第４課 　輻射の方程式 　 (Equation of Radiative Transfer)

２００５年１１月１４日

源泉関数 (Source Function) 　 S

授業の内容は下の HP に掲載されます。

http://www.ioa.s.u-tokyo.ac.jp/kisohp/STAFF/nakada/intro-j.html

光学的深さ (Optical Depth) 　 τ

今回のキーワード 吸収断面積 (Absorption Cross Section) 　

σ

輻射の方程式 (Equation of Radiative Transfer) 　

Ｉ（ｘ）＋ｄＩ

Ｉ（ｘ）

ｄｘ

σ

４． 1 ． 吸収断面積　 σ

正面（面積Ｓ）から見ると

σ ：粒子断面積　　ｎ：粒子数密度

？

総断面積　 Σ

Σ ＝ σ ｎ S ｄｘ

被覆率　 C

C=Σ/S ＝ σ ｎｄｘ

ｄ I ＝－ Iσ ｎｄｘ

　＝－ I ・ｄτ

S

ｄｘ

S

σσ

σσ

σσσ

光学的深さ（ｏｐｔｉｃａｌ　ｄｅｐｔｈ）　 τ

τ ＜＜１ τ≧ １横から　　　　　正面から

横から　　　　　正面から

　前頁ではｄｘを十分に小さく取り、 Σ/S ＝ｄ τ ＜＜１の場合を考えた。この場合粒子同士の重なりが無視できるので被覆率 C=dτ が成立する。

しかしｄｘが大きくなると、粒子が重なって見えるケースが現れてくる。例えば、 Σ ＝ｎ σ ｄｘ＝ S （ｄ τ ＝１）の場合、粒子の重なり合いが無ければ S を正面から見たときに丁度完全に粒子断面積で覆われて光は全て吸収される。しかし、重なりがランダムに起こるので隙間が残り、通過する光がある。つまり、被覆の効率が下がるので、 C< ｄ τ となってくる。

問題は単位面積当たり総吸収断面積（＝光学的深さ） τ ＝ｎ σ ｘと被覆率 Cの関係である。

光学的深さ τ と被覆率 C τ ＝ σ ・ｎ・ｘ ＜＜１の場合、 τ ＝ C 　　　この時、隙間の割合　 T ＝

１－ C=1-τ

τ が大きくなった場合、上の図のように τ を N 枚のスライスに分けて、個々のスライスの光学的深さ（ τ/N) ＜＜１とする。スライスの隙間率　 TN ＝１

－（ τ/N) 　であるから、 N 枚重ねたスライスの隙間率は T= （ TN ） N ＝ [1-

(τ/N)]N 　である。スライスをどんどん薄くし、その分スライスの数をふやすと、 )exp(1lim1lim1limlim

x

x

N

N

N

N

NN

Nx

NNTT

こうして、光学的深さ τ と透過率 T 、被覆率 C の関係は、

T=exp （－ τ ）、　　　 C= １－ T ＝１－ exp （－ τ ）　とわかった。

τ ＜＜１のときは、 C= １－（１－ τ ）＝ τ で最初の結果が確認される。

先に上げた τ ＝１、粒子の重なりが無ければ完全被覆になる、場合には

T= １ /e であることも分かる。　　

微分方程式による考え方

授業の最初に出てきた図に戻ると、

ｄ I=-Idτ であるから、

I － I ｄτ

I

ｄｘ

eIIId

dI0, 　 　 　

右上の解に出てくる e ー τ が最初の導出にあった T にあたる。

ここまでは途中の粒子は何の光も放出せず、もっぱら光を吸収するだけと仮定していた。

次に、粒子が吸収と同時に自身で光を放出する場合を扱う。

第１課の復習：

４ πε ｄＶ＝体積ｄＶからの輻射エネルギー発生率　　　　　　（ ε ＝体積輻射係数）

ｄＸ

Ｘ

ｄｓ＝Ｘ２

ｄ Ω ｄω

ｄΩ

ｄＳ

したがって、ｄＶからｄＳを通ってｄ Ω に放出されるエネルギー率は、

　　（４ πε ｄＶ）（ｄ ω/ ４ π ）＝（４ πε Ｘ２ｄ Ω ｄＸ）（ｄＳ / ４ π Ｘ２）＝ ε ｄＸｄＳｄ Ω 。

この式を見ると、ｄ X 部分からの I への寄与　ｄ I ＝ ε ｄ X 　であることが分かる。

したがって、２）の場合は　　 I=∫ ｄ I ＝∫ ε ｄｘ

ｄＳから視線方向Ｘの地点での、体積輻射係数を ε とする。ｄＳから見て、ｄ Ω に含まれる体積ｄＶ＝ｄｓｄＸ＝Ｘ２ｄ Ω ｄＸ内の各点からｄＳを見込む角は　ｄ ω ＝ｄＳ / Ｘ２

κdx ＝ dτ 　　　　　 τ ＝ Optical Depth ( 光学的深さ )

ε/κ ＝Ｓ 　　　　　Ｓ＝ Source Function 　 (源泉関数 ) 　で、 τ とＳを定義すると、

吸収と放射の両方を合わせて、

ｄ I=-Iκd ｘ＋ ε ｄｘ

dI(x)/dx= - Iκ+ε

dI(x)/κdx = - I+ε/κ

上式では、簡単のため表示方式を指定していない。実際は周波数表示、波長表示、総エネルギー表示の式を一括して書いてあるので注意がいる。

Ｉ（ｘ）

Ｉ（ｘ＋ｄｘ）

吸収：　ｄＩ＝－Ｉ σ ｄＮ＝ －Ｉ σ ｎ ｄｘ＝－Ｉ κ ｄｘ＝－ I ｄ τ放射：　ｄＩ＝ ε ｄｘ

)()()(

)()()(

SId

dI

SId

dI

輻射の基礎方程式

Equation of radiative transfer

κ(λ)

λ

Ｘ

大体 τλ ＝１までを見通せると考えると、 κλ 大の波長で浅い場所からの光を、

κλ 小では深い場所からの光が見える。

τ＝１

τ＝２

吸収係数と見通し距離

τ＝０

観測者

)()()(

),()()(

),()()(

SId

dISI

d

dISI

d

dI

具体的には下の３式をまとめて書いたのが前頁の式である。

最初の総輻射強度に対する式で、 τ をどう定義するかは後で議論する。

λ １λ ２ λ ２λ １λ

局所熱平衡の仮定：　各点での吸収係数 κ や放射係数 ε が温度Ｔと密度 ρ

（ＬＴＥ）　　　　　で決定される。

　　　　　　　　　　 ε(x) ＝ εν (ρ,T) 、 κ ＝ κν (ρ,T)

すると、　　　　　　Ｓ ν (τν) =εν (τν) /κν (τν) ＝Ｓ ν (ρ,T)

４．２． Source Function 　 ( 源泉関数 ) ： S

Ｔ＝Ｔ（ｘ）　：　（Ｔが場所によって変わる）

Ⅰはｄｘの間に、 ΔＩ＝－ [Iν (x) －Ｓ ν (ρ,T)] dτν の変化を受ける。

源泉関数Ｓはどう表せるのか？　　

1

(ρ,T)

０

I(x+dx) =I(x)- I(x)κ (ρ,T) dx ＋ ε(ρ,T) ｄｘ

　　　＝ I(x) － [I(x) －Ｓ (ρ,T)] dτ I(x)

他のところでは温度は必ずしもＴではない。

その他の点でも温度が一様

にＴになった状況を考えて

みる。

I(x)= Ｂ (T,ν) I(x+dx)= Ｂ (T,ν) － [Ｂ (T,ν) －Ｓ ν (ρ,T)]dτλ

すると、

Ⅰν ( ｘ ) はどこでも、Ⅰ ν ＝Ｂ (T,ν)

Ｓ ν ( ｘ ) は前と同じ、Ｓ ν＝Ｓ ν (ρ,T)

I (x) ＝ I (x+dx)= Ｂ (T,ν) なので

Ｂ (T,ν) －Ｓ ν (ρ,T) ＝０

熱平衡状態ではＳ ν (ρ,T) ＝Ｂ (T,ν)

ところが、Ｓ ν (ρ,T) は系全体が熱平衡か

どうかには関係なく、そこがＬＴＥであれば

そこの (ρ,T) から決まるので、一般に　Ｓ ν (ρ,T)＝Ｂ (T,ν)　が成立する。

2

つまり

あか

dIλ(τλ)/dτλ+Iλ (τλ)=Ｂ λ[Ｔ (τλ)] ：　 LTE の輻射の方程式

ｘ＝０

ｘ

Iλ (x=0) Iλ(x)

４．３．簡単な解

（ i ） ελ （ｘ）＝０ ：途中の物質がとても冷たい。ｘ＝０に光源 Iλ０があ

る。

または

光源 吸収体

0)0(

)()(

II

Id

dI

0)0(

)()(

IxI

xIdx

xdI

ελ ＝０　つまり、 Sλ ＝０ なので、輻射の方程式は下のように書ける。

)(00

xdxeIeIxI

吸収体入射光 出射光

κ

τ

５

０

Ｉ / Ｉ o

0 τ

５９７０ Ａ

５９８０ Ａ

５９９０ Ａ

下のグラフは、 1995 ApJ 450, 74-89 Forster, Rich and McCarthy 　　による、　　　　活動銀河　Ｍｒｋ２３１　のスペクトルである。

この銀河は中心に高温の活動銀河核を持ち、そこからの連続（滑らかな）スペクトルが銀河内星間ガスにより吸収を受けている。

連続光

吸収を受けた光

星間ガス

活動核Ｍｒｋ　２３１

１

０波長５９８０Ａ（＝０．５９８ μ ｍ）の吸収線はＭｒｋ２３１星間ガス中のＮａ原子によるもので、Ｄ線と呼ばれる。

吸収線の深さから　Ｍａｒ２３１銀河内のＮａ原子のコラム密度 Nを求めよう。

０ .５

λ

吸収の強さ＝

)exp()exp(0

NI

I の関係が使えそうである

吸収線中央では　 ( Ｉ / Ｉｏ ) = e ｘｐ（ー τ ）＝０．５　　 τ ＝０．７

Ｎａ原子のコラム密度を　Ｎ　（ｃｍ－２）　とすると、　 τ ＝Ｎ σ　であった。

したがって、Ｎ＝０．７ / （ １．２２ × １０－２３ ）＝５．８ × １０２２　 / ｃｍ２ 　　

この値は、詳しいラインフィットの手法で求めたＮａコラム密度とファクター

２程度しか違わない。

そのためには、 D 線中央部での Na原子吸収断面積 σ が欲しい。

Ｄ線中央の吸収断面積は σ ＝ ( ２ .２ × １０ －２３ /D ) cm2 で与えられる。　ここに D は吸収線の幅を A （オングストローム）で表した値である。グラフから読み取ると　Ｄ≒１．８Ａである。 σ ＝１．２２ × １０－２３ cm2 である。銀河では D は星間ガスの運動による Na原子の視線速度のばらつきを表わす。

実験室では D は Naガスの温度に対応し、　Ｄ＝１．１ × １０－３ √Ｔ　（Ａ）　である。　

グラフから読み取ると　Ｄ≒１．８Ａである。ガス温度と考えると Ｔ ＝１．６４ × １０６　 K となるが、星間ナトリウムがそんなに高い温度で中性原子でいるわけはない。ガス運動速度のばらつき V と考えると、 V/c=1.8A/5980A, V=90km/sec となる。

x=0 ｘ

I(x,λ)I=0

簡単な解（ ii ） I(x=0) = 0

S(τλ) ＝一定

（天体の向こう側からは光が来ない。 Sλ(τλ) ＝一定）

0)0(,)()()( 0

ISSId

dI　　

この式の解は、 dtetSI t )(

0)()(

0)( SS 上の仮定のように

＝一定の場合は、

eSeeSdteeSI t 11)( 00

0

0

０　　　　　１　　　　　　２　　　　　　３

ＬＴＥが成立 [つまり S(τλ)=Bλ(T) ]

の場合には上の式の S を B に置き換えて

eSI 1)( 0

I

0S

右のグラフから分かるように、

)1()(

)1()(0

0

SI

SI

)1()()(

)1()()(

TBI

TBI

輝度温度（ brightness temperature ） Tb

　Ⅰ（ ν ）＝Ｂ（Ｔｂ， ν ）　例えば、 T ｃ =100Kの星間雲を 1.42GHｚ（ λ＝ 21c ｍ）で観測

する場合、 x=hν/kTc ＝ 1.44 / 210,000 / 0.0１ =0.0007<<1 なので

Reyleigh-Jeans 近似が成立し、　　　　

Ｔ b=τνTc

光学的深さが τ ＜＜１のこの星間雲を観測して、輻射強度 I （ ν ）を得た。すると、光学的に薄くかつレーリージーンズ近似が適用されるので、

：　Ｔｂの定義

2

2

2

3 2

1exp

12),(

c

kT

kThc

hTB C

C

C

2

22),()(

c

TkTBI CC

この輻射強度 Iνをレーリー近似を仮定して輝度温度 Tb を使って表すと、

2

2

2

2 22)(

c

kT

c

TkI bC となるので、

Io(λ) I(λ)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　簡単な

I(x,λ) = Io(λ) exp ( －∫ κ(λ)ρ(x)dx ) = Io(λ) exp [－ τλ ]　　　解 (i)

I(x,λ) =∫S(t) exp{－ (τλ－ t)} dt 解 (ii)

をあわせて、I (λ) = Io(λ) exp[－ τ(x,λ)]＋∫ S(τ1

λ)exp{－ (τλ－ τ1λ)} dτ1

λ

= Io(λ) exp[－ τλ] + Bλ(T)[1 － exp( － τλ)]

簡単な解（ iii ）　 I(x=0) =Io(λ)

Sλ (x) ＝ Bλ(T)

光源 途中の吸収・放射帯

光源と途中の吸収・輻射帯の両方

τλ ＜＜１の場合には、

Ｉ (λ) ＝ Io(λ) （１－ τλ） + Bλ(T)τλ

　　　＝ Io(λ) + [Bλ(T) － Io(λ) ]τλ

例：　ＣａＩＩのＫ線の中心部に現れる彩層 (chromosphere)輝線

Teff

Teff

30,000

9,800

7,300

6,400

6,250

5,950

Teff Tchrom （高温）

彩層恒星大気

スペクトル

θτλ

τλ＝０

μdI(μ,x)/dx ＝ I(μ,x)κ(x) － ε(x)

Iλ (μ,τλ=0)

Iλ (μ,τλ)

全ての物理量ＡがＸ軸に垂直な平面内で一定と仮定する。　Ａ（Ｘ，Ｙ，Ｚ）＝Ａ（Ｘ）

　（１）　ーＸ軸方向（上向き）の輻射強度 Ｉ に対する方程式は、ｄＩ / ｄｘ＝ κＩ－ ε　（２）　Ｘ軸に角度 θ を成す直線 (μ ＝ cosθ) に沿って、輻射方程式を考える。

直線に沿っての長さを ｔ とすると、ｄＩ / ｄｔ＝ κＩ－ ε ｄ ｌ となる。

ｄｔ と Ｘ軸に沿っての深さｄＸとの関係は、ｄ t ＝ｄｘ／ μ なので、書き直して

４．４．線形大気

Ｘ

ＹＺ

ｔ

形式解

μdI(μ,x)/dx ＝ I(μ,x)κ(x) － ε(x) 　：以下 Ｉ λ 、 κλ 等を Ｉ、 κ と省略する

　ｄ τ ＝ κ ｄＸ　とおいて、　 μdI / dτ ＝ I－ S 　

　　　 dτ は光線に沿っての光学的深さでなく、Ｘ軸に沿っての光学的深さ、に注意。光学的深さ＝ τ の点で、Ｘ軸に対し角度 θ の輻射 I(τ,μ) は下のように

与えられる。

μ>0： I(τ,μ)=∫∞τS(t)exp[－ (t － τ)/μ]dt/μ

=　 eτ/μ∫∞τS(t,λ)e － t/μdt/μ

μ<0： I(τ,μ)= －∫ τ0S(t,λ)exp[ (τ － t)/μ]dt/μ

= － eτ/μ∫τ0 S(t,λ) e － t/μdt /μ

=∫τ0 S(t,λ) e － (τ － t) / ( － μ) dt / ( － μ)

ｔ＝０

τ

ｔ

μ>0

μ<0

表面から角度 θで出る輻射Ｉの解は下のように与えられる。

I(τ=0 、 μ) = (1/μ)∫∞0 S(τ) exp( － τ/μ) dτ

上式を見るとＳを Source Function と呼ぶことが納得される。

S(τλ) ＝Ｓ＝一定（０ <τ<τo ）のスラブ表面での Ｉ (τ=0 , μ) を計算すると、

I(τ=0 , μ) =　 (1/μ)∫τo0S exp( -τ/μ) dτ

　　　　　　　＝　 S[1 － exp ( － τo /μ) ]

τo

I(τ=0 , μ)

θ

S(τ ）

表面からの輻射強度

自己吸収のあるスラブの表面輝度

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 30 60 90θ °（ ）

Ⅰ/Ｓ

τ 0.1ｏ＝ τ 0.5ｏ＝ τ 1ｏ＝ τ 2ｏ＝

S(τ)= a + bτ

I(τ=0 ,μ>0) = (1/μ)∫∞0S(t)exp( ‐t/μ) dt

　　　　　　＝ (1/μ)∫∞0( ａ＋ｂ t)exp( ‐t/μ) dt

　 ＝ (1/μ)[ a∫∞0 exp(‐t /μ) dt + b∫∞0 t exp(‐t /μ) dt]

＝ a+ bμ= S(τ=μ) 　　　　（ μ＞０）

I(τ=0 ,μ<0) = 0 （ μ＜０）

線形解のフラックス

θ

　 τ ＝１

　 τ ＝ μ ＝ｃｏｓ θ

　 τ ＝０

下図で光線に沿った τ ＝１に注意

　　Ｆ λ ＝∫ μIλ(μ,τ=0) ｄ Ω＝ 2π∫ １0μ( aλ+ bλμ)dμ=２ π(aλ/2 +bλ/3)

　 　　　　 Source Function 　 Sλ (τ)=aλ+bλτ 　だったから、

Ｆ λ＝ π[aλ+(2/3)bλ]=πSλ(τ=2/3) 　である。

　温度Ｔの黒体表面からのフラックスが πＢ λ(T),ここにＢ λ( Ｔ ) は輻射強度、

　だったことを考えると、線形大気では、 τλ＝２ / ３の深さの所を見て

　いると言える。

　 τλ ＝１

　 τλ ＝ μ ＝ｃｏｓθ

　 τλ ＝０　０

　ａ

　ａ＋ｂ

　ａ＋ｂμ

　Ｉ（ τ＝０）

　1/３　２ /３　１

S(τ＝２ /３ )S

問題４　２００５年１１月１４日　　　　　　　　提出　４ A または４ B １１月２１日　　　　　　　　４ A 　温度 T=３０ K 、波長 λ ＝１００ μｍでの光学的深さ τ １００＝１の星間雲がある。

　　　星間雲物質の吸収係数は κ （ λ ）＝ κ （１００ μｍ）・（１００ μｍ /

λ ）２で表される。

　　　この星間雲の λ ＝１ｍｍと１ｃｍにおける輝度温度 Tb （１ｍｍ）、 T

b （１ｃｍ）を

　　　求めよ。

４ B 　太陽の光度は Lo= ４ × １０２６　 W 、半径 Ro=７ × １０８ｍである。太陽の周り

　　　半径 R ｐｃの空間に太陽と同じ半径と明るさを持つ星がｎ＝１０－２

星 / ｐｃ３の

　　　数密度で一様に分布しているとする。

　　　これらの星による星明りの総輻射強度 I （ W/ｍ２ /Steradian) は地上ではいく

　　　らになるか？星間物質、地球大気による吸収は考えない。

　　　また、結果を縦軸 logI, 横軸 logR のグラフで表せ。

　　　 R∞ のとき、星明りの地球表面でのフラックスが太陽表面のそれと同じに

　　　なることを示し、その物理的な理由を考えよ。