第4課 輻射の方程式 (Equation of Radiative Transfer)
2005年11月14日
源泉関数 (Source Function) S
授業の内容は下の HP に掲載されます。
http://www.ioa.s.u-tokyo.ac.jp/kisohp/STAFF/nakada/intro-j.html
光学的深さ (Optical Depth) τ
今回のキーワード 吸収断面積 (Absorption Cross Section)
σ
輻射の方程式 (Equation of Radiative Transfer)
I(x)+dI
I(x)
dx
σ
4. 1 . 吸収断面積 σ
正面(面積S)から見ると
σ :粒子断面積 n:粒子数密度
?
総断面積 Σ
Σ = σ n S dx
被覆率 C
C=Σ/S = σ ndx
d I =- Iσ ndx
=- I ・dτ
S
dx
S
σσ
σσ
σσσ
光学的深さ(optical depth) τ
τ <<1 τ≧ 1横から 正面から
横から 正面から
前頁ではdxを十分に小さく取り、 Σ/S =d τ <<1の場合を考えた。この場合粒子同士の重なりが無視できるので被覆率 C=dτ が成立する。
しかしdxが大きくなると、粒子が重なって見えるケースが現れてくる。例えば、 Σ =n σ dx= S (d τ =1)の場合、粒子の重なり合いが無ければ S を正面から見たときに丁度完全に粒子断面積で覆われて光は全て吸収される。しかし、重なりがランダムに起こるので隙間が残り、通過する光がある。つまり、被覆の効率が下がるので、 C< d τ となってくる。
問題は単位面積当たり総吸収断面積(=光学的深さ) τ =n σ xと被覆率 Cの関係である。
光学的深さ τ と被覆率 C τ = σ ・n・x <<1の場合、 τ = C この時、隙間の割合 T =
1- C=1-τ
τ が大きくなった場合、上の図のように τ を N 枚のスライスに分けて、個々のスライスの光学的深さ( τ/N) <<1とする。スライスの隙間率 TN =1
-( τ/N) であるから、 N 枚重ねたスライスの隙間率は T= ( TN ) N = [1-
(τ/N)]N である。スライスをどんどん薄くし、その分スライスの数をふやすと、 )exp(1lim1lim1limlim
x
x
N
N
N
N
NN
Nx
NNTT
こうして、光学的深さ τ と透過率 T 、被覆率 C の関係は、
T=exp (- τ )、 C= 1- T =1- exp (- τ ) とわかった。
τ <<1のときは、 C= 1-(1- τ )= τ で最初の結果が確認される。
先に上げた τ =1、粒子の重なりが無ければ完全被覆になる、場合には
T= 1 /e であることも分かる。
微分方程式による考え方
授業の最初に出てきた図に戻ると、
d I=-Idτ であるから、
I - I dτ
I
dx
eIIId
dI0,
右上の解に出てくる e ー τ が最初の導出にあった T にあたる。
ここまでは途中の粒子は何の光も放出せず、もっぱら光を吸収するだけと仮定していた。
次に、粒子が吸収と同時に自身で光を放出する場合を扱う。
第1課の復習:
4 πε dV=体積dVからの輻射エネルギー発生率 ( ε =体積輻射係数)
dX
X
ds=X2
d Ω dω
dΩ
dS
したがって、dVからdSを通ってd Ω に放出されるエネルギー率は、
(4 πε dV)(d ω/ 4 π )=(4 πε X2d Ω dX)(dS / 4 π X2)= ε dXdSd Ω 。
この式を見ると、d X 部分からの I への寄与 d I = ε d X であることが分かる。
したがって、2)の場合は I=∫ d I =∫ ε dx
dSから視線方向Xの地点での、体積輻射係数を ε とする。dSから見て、d Ω に含まれる体積dV=dsdX=X2d Ω dX内の各点からdSを見込む角は d ω =dS / X2
κdx = dτ τ = Optical Depth ( 光学的深さ )
ε/κ =S S= Source Function (源泉関数 ) で、 τ とSを定義すると、
吸収と放射の両方を合わせて、
d I=-Iκd x+ ε dx
dI(x)/dx= - Iκ+ε
dI(x)/κdx = - I+ε/κ
上式では、簡単のため表示方式を指定していない。実際は周波数表示、波長表示、総エネルギー表示の式を一括して書いてあるので注意がいる。
I(x)
I(x+dx)
吸収: dI=-I σ dN= -I σ n dx=-I κ dx=- I d τ放射: dI= ε dx
)()()(
)()()(
SId
dI
SId
dI
輻射の基礎方程式
Equation of radiative transfer
κ(λ)
λ
X
大体 τλ =1までを見通せると考えると、 κλ 大の波長で浅い場所からの光を、
κλ 小では深い場所からの光が見える。
τ=1
τ=2
吸収係数と見通し距離
τ=0
観測者
)()()(
),()()(
),()()(
SId
dISI
d
dISI
d
dI
具体的には下の3式をまとめて書いたのが前頁の式である。
最初の総輻射強度に対する式で、 τ をどう定義するかは後で議論する。
λ 1λ 2 λ 2λ 1λ
局所熱平衡の仮定: 各点での吸収係数 κ や放射係数 ε が温度Tと密度 ρ
(LTE) で決定される。
ε(x) = εν (ρ,T) 、 κ = κν (ρ,T)
すると、 S ν (τν) =εν (τν) /κν (τν) =S ν (ρ,T)
4.2. Source Function ( 源泉関数 ) : S
T=T(x) : (Tが場所によって変わる)
Ⅰはdxの間に、 ΔI=- [Iν (x) -S ν (ρ,T)] dτν の変化を受ける。
源泉関数Sはどう表せるのか?
1
(ρ,T)
0
I(x+dx) =I(x)- I(x)κ (ρ,T) dx + ε(ρ,T) dx
= I(x) - [I(x) -S (ρ,T)] dτ I(x)
他のところでは温度は必ずしもTではない。
その他の点でも温度が一様
にTになった状況を考えて
みる。
I(x)= B (T,ν) I(x+dx)= B (T,ν) - [B (T,ν) -S ν (ρ,T)]dτλ
すると、
Ⅰν ( x ) はどこでも、Ⅰ ν =B (T,ν)
S ν ( x ) は前と同じ、S ν=S ν (ρ,T)
I (x) = I (x+dx)= B (T,ν) なので
B (T,ν) -S ν (ρ,T) =0
熱平衡状態ではS ν (ρ,T) =B (T,ν)
ところが、S ν (ρ,T) は系全体が熱平衡か
どうかには関係なく、そこがLTEであれば
そこの (ρ,T) から決まるので、一般に S ν (ρ,T)=B (T,ν) が成立する。
2
つまり
あか
dIλ(τλ)/dτλ+Iλ (τλ)=B λ[T (τλ)] : LTE の輻射の方程式
x=0
x
Iλ (x=0) Iλ(x)
4.3.簡単な解
( i ) ελ (x)=0 :途中の物質がとても冷たい。x=0に光源 Iλ0があ
る。
または
光源 吸収体
0)0(
)()(
II
Id
dI
0)0(
)()(
IxI
xIdx
xdI
ελ =0 つまり、 Sλ =0 なので、輻射の方程式は下のように書ける。
)(00
xdxeIeIxI
吸収体入射光 出射光
κ
τ
5
0
I / I o
0 τ
5970 A
5980 A
5990 A
下のグラフは、 1995 ApJ 450, 74-89 Forster, Rich and McCarthy による、 活動銀河 Mrk231 のスペクトルである。
この銀河は中心に高温の活動銀河核を持ち、そこからの連続(滑らかな)スペクトルが銀河内星間ガスにより吸収を受けている。
連続光
吸収を受けた光
星間ガス
活動核Mrk 231
1
0波長5980A(=0.598 μ m)の吸収線はMrk231星間ガス中のNa原子によるもので、D線と呼ばれる。
吸収線の深さから Mar231銀河内のNa原子のコラム密度 Nを求めよう。
0 .5
λ
吸収の強さ=
)exp()exp(0
NI
I の関係が使えそうである
吸収線中央では ( I / Io ) = e xp(ー τ )=0.5 τ =0.7
Na原子のコラム密度を N (cm-2) とすると、 τ =N σ であった。
したがって、N=0.7 / ( 1.22 × 10-23 )=5.8 × 1022 / cm2
この値は、詳しいラインフィットの手法で求めたNaコラム密度とファクター
2程度しか違わない。
そのためには、 D 線中央部での Na原子吸収断面積 σ が欲しい。
D線中央の吸収断面積は σ = ( 2 .2 × 10 -23 /D ) cm2 で与えられる。 ここに D は吸収線の幅を A (オングストローム)で表した値である。グラフから読み取ると D≒1.8Aである。 σ =1.22 × 10-23 cm2 である。銀河では D は星間ガスの運動による Na原子の視線速度のばらつきを表わす。
実験室では D は Naガスの温度に対応し、 D=1.1 × 10-3 √T (A) である。
グラフから読み取ると D≒1.8Aである。ガス温度と考えると T =1.64 × 106 K となるが、星間ナトリウムがそんなに高い温度で中性原子でいるわけはない。ガス運動速度のばらつき V と考えると、 V/c=1.8A/5980A, V=90km/sec となる。
x=0 x
I(x,λ)I=0
簡単な解( ii ) I(x=0) = 0
S(τλ) =一定
(天体の向こう側からは光が来ない。 Sλ(τλ) =一定)
0)0(,)()()( 0
ISSId
dI
この式の解は、 dtetSI t )(
0)()(
0)( SS 上の仮定のように
=一定の場合は、
eSeeSdteeSI t 11)( 00
0
0
0 1 2 3
LTEが成立 [つまり S(τλ)=Bλ(T) ]
の場合には上の式の S を B に置き換えて
eSI 1)( 0
I
0S
右のグラフから分かるように、
)1()(
)1()(0
0
SI
SI
)1()()(
)1()()(
TBI
TBI
輝度温度( brightness temperature ) Tb
Ⅰ( ν )=B(Tb, ν ) 例えば、 T c =100Kの星間雲を 1.42GHz( λ= 21c m)で観測
する場合、 x=hν/kTc = 1.44 / 210,000 / 0.01 =0.0007<<1 なので
Reyleigh-Jeans 近似が成立し、
T b=τνTc
光学的深さが τ <<1のこの星間雲を観測して、輻射強度 I ( ν )を得た。すると、光学的に薄くかつレーリージーンズ近似が適用されるので、
: Tbの定義
2
2
2
3 2
1exp
12),(
c
kT
kThc
hTB C
C
C
2
22),()(
c
TkTBI CC
この輻射強度 Iνをレーリー近似を仮定して輝度温度 Tb を使って表すと、
2
2
2
2 22)(
c
kT
c
TkI bC となるので、
Io(λ) I(λ)
簡単な
I(x,λ) = Io(λ) exp ( -∫ κ(λ)ρ(x)dx ) = Io(λ) exp [- τλ ] 解 (i)
I(x,λ) =∫S(t) exp{- (τλ- t)} dt 解 (ii)
をあわせて、I (λ) = Io(λ) exp[- τ(x,λ)]+∫ S(τ1
λ)exp{- (τλ- τ1λ)} dτ1
λ
= Io(λ) exp[- τλ] + Bλ(T)[1 - exp( - τλ)]
簡単な解( iii ) I(x=0) =Io(λ)
Sλ (x) = Bλ(T)
光源 途中の吸収・放射帯
光源と途中の吸収・輻射帯の両方
τλ <<1の場合には、
I (λ) = Io(λ) (1- τλ) + Bλ(T)τλ
= Io(λ) + [Bλ(T) - Io(λ) ]τλ
例: CaIIのK線の中心部に現れる彩層 (chromosphere)輝線
Teff
Teff
30,000
9,800
7,300
6,400
6,250
5,950
Teff Tchrom (高温)
彩層恒星大気
スペクトル
θτλ
τλ=0
μdI(μ,x)/dx = I(μ,x)κ(x) - ε(x)
Iλ (μ,τλ=0)
Iλ (μ,τλ)
全ての物理量AがX軸に垂直な平面内で一定と仮定する。 A(X,Y,Z)=A(X)
(1) ーX軸方向(上向き)の輻射強度 I に対する方程式は、dI / dx= κI- ε (2) X軸に角度 θ を成す直線 (μ = cosθ) に沿って、輻射方程式を考える。
直線に沿っての長さを t とすると、dI / dt= κI- ε d l となる。
dt と X軸に沿っての深さdXとの関係は、d t =dx/ μ なので、書き直して
4.4.線形大気
X
YZ
t
形式解
μdI(μ,x)/dx = I(μ,x)κ(x) - ε(x) :以下 I λ 、 κλ 等を I、 κ と省略する
d τ = κ dX とおいて、 μdI / dτ = I- S
dτ は光線に沿っての光学的深さでなく、X軸に沿っての光学的深さ、に注意。光学的深さ= τ の点で、X軸に対し角度 θ の輻射 I(τ,μ) は下のように
与えられる。
μ>0: I(τ,μ)=∫∞τS(t)exp[- (t - τ)/μ]dt/μ
= eτ/μ∫∞τS(t,λ)e - t/μdt/μ
μ<0: I(τ,μ)= -∫ τ0S(t,λ)exp[ (τ - t)/μ]dt/μ
= - eτ/μ∫τ0 S(t,λ) e - t/μdt /μ
=∫τ0 S(t,λ) e - (τ - t) / ( - μ) dt / ( - μ)
t=0
τ
t
μ>0
μ<0
表面から角度 θで出る輻射Iの解は下のように与えられる。
I(τ=0 、 μ) = (1/μ)∫∞0 S(τ) exp( - τ/μ) dτ
上式を見るとSを Source Function と呼ぶことが納得される。
S(τλ) =S=一定(0 <τ<τo )のスラブ表面での I (τ=0 , μ) を計算すると、
I(τ=0 , μ) = (1/μ)∫τo0S exp( -τ/μ) dτ
= S[1 - exp ( - τo /μ) ]
τo
I(τ=0 , μ)
θ
S(τ )
表面からの輻射強度
自己吸収のあるスラブの表面輝度
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 30 60 90θ °( )
Ⅰ/S
τ 0.1o= τ 0.5o= τ 1o= τ 2o=
S(τ)= a + bτ
I(τ=0 ,μ>0) = (1/μ)∫∞0S(t)exp( ‐t/μ) dt
= (1/μ)∫∞0( a+b t)exp( ‐t/μ) dt
= (1/μ)[ a∫∞0 exp(‐t /μ) dt + b∫∞0 t exp(‐t /μ) dt]
= a+ bμ= S(τ=μ) ( μ>0)
I(τ=0 ,μ<0) = 0 ( μ<0)
線形解のフラックス
θ
τ =1
τ = μ =cos θ
τ =0
下図で光線に沿った τ =1に注意
F λ =∫ μIλ(μ,τ=0) d Ω= 2π∫ 10μ( aλ+ bλμ)dμ=2 π(aλ/2 +bλ/3)
Source Function Sλ (τ)=aλ+bλτ だったから、
F λ= π[aλ+(2/3)bλ]=πSλ(τ=2/3) である。
温度Tの黒体表面からのフラックスが πB λ(T),ここにB λ( T ) は輻射強度、
だったことを考えると、線形大気では、 τλ=2 / 3の深さの所を見て
いると言える。
τλ =1
τλ = μ =cosθ
τλ =0 0
a
a+b
a+bμ
I( τ=0)
1/3 2 /3 1
S(τ=2 /3 )S
問題4 2005年11月14日 提出 4 A または4 B 11月21日 4 A 温度 T=30 K 、波長 λ =100 μmでの光学的深さ τ 100=1の星間雲がある。
星間雲物質の吸収係数は κ ( λ )= κ (100 μm)・(100 μm /
λ )2で表される。
この星間雲の λ =1mmと1cmにおける輝度温度 Tb (1mm)、 T
b (1cm)を
求めよ。
4 B 太陽の光度は Lo= 4 × 1026 W 、半径 Ro=7 × 108mである。太陽の周り
半径 R pcの空間に太陽と同じ半径と明るさを持つ星がn=10-2
星 / pc3の
数密度で一様に分布しているとする。
これらの星による星明りの総輻射強度 I ( W/m2 /Steradian) は地上ではいく
らになるか?星間物質、地球大気による吸収は考えない。
また、結果を縦軸 logI, 横軸 logR のグラフで表せ。
R∞ のとき、星明りの地球表面でのフラックスが太陽表面のそれと同じに
なることを示し、その物理的な理由を考えよ。