-Exponential & Logarithmic Function- Chapter 5

-Exponential & Logarithmic Function-Chapter 5

朝陽科技大學資訊管理系李麗華教授

2

Introduction to Exponential & Logarithmic

1. 指數和對數是自然界中常見的現象。 ( 別忘了，數學完全是用來解決生活中的問題，其中當然

包含了自然界中觀察到的現象。 )

2. 所謂的指數函數，即 (b>0, b≠1) ，指數函數的 Domain( 定義域 ) 是所有實數

( ) xf x b

3

指數的例子

EX ：兔子的繁衍，幾個世代下來即可看出指數成長現象。 ( 若每兩隻兔子可生出六隻小兔 )

第 0 代

第 1 代

第 2 代︰︰︰

由上圖可知，第 n 代為 1( ) 62n

n

RR

每一對兔子

生六隻

所以 1 2 3 03( ) 3(3 ) 3(3(3 ) ... 3 3n nn n n n n nR R R R R R 第 0 代

所以由公式就可看出兔子在沒有天敵天災的狀況下，他們的成長具有指數現象。

4

指數的變化與圖形

3. 指數是一個快速遞增 ( 減 ) 的函數圖形

EX ： ( ) 3xf x , 則其圖形如下

x

( )f x

1

3 9 27

2 3 4 5 …

…81 243

1 2 3 4 5

5101520

x

( )f x

1

0.5 0.25 0.125

2 3 4 5 …

….0625 .03125

EX ： ( ) (0.5)xf x

x

( )f x

-4

16 8

-3 -2 -1…

… 4 25-5

5

10

15

20

x

x

( )f x

( )f x

5

指數範例 -1

所以由上頁的兩個圖可看出不論遞增或遞減，圖都會經過

的這一個點。其遞增遞減性相對的較其他圖形高很多。

( ) 1f x

EX ： ( ) 4xf x

代入 3x 2

3x

3

2x

3(3) 4 64f 23 3 2 32

( ) 4 4 163

f

32

33 2 3

3 1 1 1 1( ) 4

2 2 84 (2 )f

6

指數範例 -2

4. 生活中必接觸到的指數範例有① 存錢在銀行時的複利計算。 ( 問 : 月複利較佳或年複利 ?)

② 在 18 世紀時，英國經濟學家兼人口學家 Malthus 就觀察到人口數的成長亦存在指數現象。他當時提出的估算與現今的世界人口數幾乎只有 0.21% 的誤差。

令本金 , 存錢 n 個月後的本利和 , 年利率 0a na r

0 (1 )12

nn

ra a

1800 1900 2000

10

20

30

40

50

60

年

人口 ( 億 )

7

指數範例 -3

③ 放射線的衰變：居禮夫人 ( 發現鐳 ) 與利比 ( 發現碳 14) 皆因發現放射線元素具有指數型態的半衰期，而雙雙獲得諾貝爾獎。• 鐳的半衰期是 1600 年

• 碳 14 訂年法式考古學家或許多醫學家與地質學家利用來判定的好工具。 ( 碳 14 的半衰期為 5770 年 )

( ) xf x ca 16001

2a

8

5-1 Exponential Function (1)

1. , 指數函數2. 自然界最常見的指數應用，其基底 (base) 為

( 餓 . 吃ㄧ包 ) 。e 是由而求得的無理數 (irrational numb

er)

( ) xf x b 0 & 1b b

2.718e

1lim(1 )n

n n

n 1(1 )nn

1 2

10 2.59374246

100 2.704813829

1000 2.716923932︰︰

1000000 2.718281827

( 餓 . 吃ㄧ包二包一包二次 )

這個 e 數是由瑞士的數學家提出 Leonhara Fuler

9


EX ：我們平常存款的複利他的成長就具有自然指數的現象，所以 e 是非常生活化也存在自然界的數。 ( 說明如下 )

(1 )mtrA P

m rtA Pe ( Why ? )

balance 本金

利息

期數

∵ lim (1 ) [lim(1 ) ]mrmt rt

m m

r rp p

m m

若考量要存很久 ( )m

令 mn

r

1r

m n

1[lim (1 )]rt

mP p

n rtA pe

這就是 e 囉原來複利的夠久它就是自然指數

10


EX ：令本金有 $10000& 利息為 8%( 複利 ) ，則 3 年後本利和約為多少 ?

sol ： 310000[(1 8%)] 12597.72A

與利用來算rtA pe3 0.08 0.2410000 10000 12.712e e

( 年代愈久 , 則 e 的值會愈接近實際值 )

11


EX ： If the fish population is growing with 0.3

2000

1 49 ty

e

a. How many fish at the beginning?b. How many fish will it be after 10 years?c. What is the max no. of fish supported by the lake?

sol ：

a. 開始的魚數 0.3 0 0

2000 2000 200040

1 49 1 49 50y

e e

b. 當 10t 3

2000 2000580

1 49 1 2.45y

e

c. 當 t 0.3lim 0t

te

0.3

2000lim 2000

1 49 tt e

12


3. Property of exponents ：

0 11&e e e 1 21x

xe

e

3 x y x ye e e 4

xx y

y

ee

e

5 ( )x y x ye e 6 lim x

xe

71

lim 0xx e

13

上台練習

1 05 2 ?e

2

4

2?

e

e

3 5 42 2 ?

4 3 ?xe e

5 04 ?e

14

5-2 Logarithmic Function (1)

1. 對數 (Logarithmic) 和指數互為親戚

2. 常用對數符號：

3.

logxbb a a x ( 基底均同 , 但指數的答案為對數的內容 )

10log logx x log lne x x (叫自然對數 )

log 1e e log 1 0e

ln 1e ln1 0

15


EX ：求的解

sol ：

710 9x

107 log 9x 10log 9

7x

EX ：求的解

sol ：

54 12xe

5 5123

4x xe e log 3 5e x log 3 ln 3

5 5ex or

EX ： , 求 x 解

sol ：

3ln 2 10x

103

10ln 2 2

3x e x

103

2

ex

16


4. 常用的對數特性 (Property)

1 lim lnx

x

20

lim lnx

x

3

4

5

6

7

ln xe x 0x

ln xe x x R

ln( ) ln lna b a b

ln ln lna

a bb

ln lnpa p a 0, 0,a b p R

17


EX ：請簡化下列各式

a

b

c

d

e

74ln 4 7 28e

ln31 1 3xe x

3 3ln ln ln 3 lne x e x x 2

ln ln( 2) ln( 5)5

xx x

x

ln ln 2 ln

2

xx

18


5. 所以前面指數等相關議題或應用，現在都可以利用對數交互來計算。例如前面所提亦可反求 r 或反求 t 的值。

rtA pe

rt Ae

p ln

Art

p ln A

pr andt

ln A

ptr

實例一 : 若想在 8 年內賺兩倍 , 則請問利息應為何 ?

sol ：82rt rA pe c ce 解 r

8 ln 22 ln 2 8 0.87

8re r r

19


實例二 : 若細菌成長為指數型態 , 且細菌由起始 400 個增加到 1000 個只需 3 小時 , 問 10 小時候有多少細菌 ?

sol ： 31000 400 ke32.5 ln 2.5 3ke k

ln 2.50.305

3k

所以 10 小時候約 3(0.305)400 8446A e

實例三 : Radium( 鐳 ) half life is 1600 years. If begins with an 80-gram of radium, how many grams will be remain 200 years from now?

sol ： 160080 kA e 160040 80 ke

先求 k1

1600 ln2

k 12ln 0.6931

0.00041600 1600

k

20


實例四 : 碳 14 定年法 (已知碳 14 半衰期為 5730 年 )

(5730)0.5 kc ce 57300.5 ke ln 0.5 5730k

ln 0.5 69310.00012

5730 5730k

在 Alps(阿爾卑斯山 ) 發現一化石 , 其碳 14剩 0.53

0.0001250.53 tc ce 5291t

21

5-3 Differentiation of Exponential Function(1)

1. 指數的微分和第 3章所教的相同。( ) '( )x xf x e f x e

其證明詳如 p.279

pf:

0 0

( ) ( )'( ) lim lim

x x x

x x

f x x f x e ef x

x x

0 0

( 1)lim lim

x x x x x

x x

e e e e e

x x

0 0

1'( ) lim lim

xx x

x x

ef x e e

x

對沒影響x xe 逼近 1(參見課本 279 頁 )

22


EX ： 3( ) xf x x e , 求其微分即 '( )f x

sol ：

u v

'( ) ' 'f x uv u v 3 3( ) ' ( ) '( )x xx e x e 3 23x xx e x e 2 ( 3)xx e x

EX ：

sol ：

2

7( )

xef x

x

, 求 '( )f x

代入2 2

2 2 2

' ' ( 7) '( ) ( 7)( ) ''( )

( )

x xu v uv e x e xf x

v x

令 u

令 v

2 2

4 4

[( ) ' (7) ']( ) 2 ( 7) 2 14x x x xe x x e x e xe x

x x

23


EX ：若 , 求

sol ：

xy e x dy

dx1 12 2

1 1[( ) ]' ( ) [ ]'

2 2

xx x x

x

dy ee x e x e x

dx e x

令 u u u’

EX ：令 , 求

sol ：

8xy e dy

dx

8 8 8 8[ ]' (8 ) 8 8x x x xdy de e x e e

dx dx

令 u

u’

24


2. ，即( )u ud due e

dx dx 'ue u

EX ：

sol ：

3 12(1 )xy e , 求dy

dx( 即 )'y

3 12 3 3 3[(1 ) ]' 12(1 ) '' ' 12(1 ) ''[1 ]'x x x xdye e u e e

dx

3 3 3 312(1 ) '' (3) 36 (1 ) ''x x x xe e e e

令 u

EX ：美國 1982-1987 的單親家庭房屋的價格成長公式為

sol ：

0.6( ) 71 2 tp t t e (t 為年 , 1982 為第 0 年即 t=0, p(t) 為價格 )

1求房屋成長率 , 自 1982~2987 2求 1985 的價格變化率

1 0.6 0.6'( ) 2 (0.6) 2 0.6t tp t e e

20.6(3)'(3) 2 0.6 5.1p e (1985 為第 3 年 , 由 1982 算起 )

25


1. 1(ln )

dx

dx x 0x

說明 : 由於

pf ：

ln xe x

ln ( )xd de x

dx dx ln( )(ln ) ' 1xe x

ln

1 1[ln ]' [ln ]'

xx x

e x

EX ：求 when

sol ：

'( )f x 2( ) lnf x x xu v

2'( ) ' ' [ln ]' (2 )(ln )f x uv u v x x x x 2

2 ln 2 lnx

x x x x xx

26

上台練習

EX ：

sol ：

3( ) 6(ln )f x x , 求 '( )f x

23 2 1 18(ln )

'( ) 6[(ln ) ]' 6[3(ln ) ( )]x

f x x xx x

EX ：

sol ：代

2

ln( )

xf x

x , 求 '( )f x

2

2 4

' ' [ln ]' (ln )(2 )'( )

u v uv x x x xf x

x x

2

4 4 3

2 ln 2 ln 1 2lnxx x x x x x x

x x x

27

5-4 Differentiation of Logarithmic Function (1)

2. 若， u 為 x 的函數，則( ) lnf x u

1ln

d duu

dx u dx 即

'[ln ]'

uu

u

EX ：

sol ：令

2( ) ln( 1)f x x , 求 '( )f x

2 1u x 2

2 2

( 1) ' 2'( ) [ln ]'

( 1) 1

x xf x u

x x

28

上台練習

EX ：若

sol ：令

3 5( ) ln( 9)f x x , 求 '( )f x

3 5 3 4 3 3 4 2

3 5 3 5 3 5

[( 9) ]' 5( 9) [ 9]' 5( 9) 3'( ) [ln ]'

( 9) ( 9) ( 9)

x x x x xf x u

x x x

3 5( 9)u x

2

3

15

9

x

x

EX ：

sol ：令 , 即

2( ) ln( 1 )f x x , 求 '( )f x

21 x u 122(1 )x u

1122 22 1

222 2 2 2

(1 ) (2 )' [(1 ) ]' 2'( )

11 1 2 1 1

x xu x x xf x

u xx x x x

29

上台練習

EX ：

sol ：

( ) 2 ln 2f x x x , 求 Relative Extrema(RE) 相對極值

2 1'( ) 2 2

2f x

x x

∵要求 RE ∴令 '( ) 0f x

1 2 1 12 0 0

2

xx

x x

x'( )f x

1/3

-

1/2

+( ln∵ 不能有 x<0 的數∴不討論 )

30


3. ，則 ( 即 ) ( ) lnf x x

1'( )f x

x

1dy

dx x

1dx

dx x

pf ：若 , 則0x ( ) lnf x x1

'( )f xx

若 , 則0x 1 1( ) ln( ) '( )f x x f x

x x

∴得証

1'( )f x

x

31


4. 若非指數為底則其微分公式亦同( ) xf x a , 則 ln ln'( ) [ ]' [ ]'

xa x af x e e

lnxa a

ln[ ]' [ ln ]'x ae x a

∴若 , 則( ) xf x a '( ) lnxf x a a

若 , u 為 x 的函數 , 則( ) uf x a '( ) ln ' lnu uduf x a a a u a

dx

32


EX ： , 求

sol ：令

2 1( ) 4xf x '( )f x

2 1u x ( ) 4uf x

'( ) 2 4 ln 4uf x x

同理 , 若 , 則( ) logaf x u 1 1'( ) '

lnf x u

u a

EX ：令 , 求

sol ：即求令

210log ( 1)y x

dy

dxdy

dx2

10'( ) [log ( 1)]'f x x 2 1u x

2 2

1 1 22

1 ln10 ( 1) ln10

xx

x x

33


EX ：若 , 求

sol ：這一題由於 base 有 x, exponent 也有 x, 故應先設法予以化簡再求微分

( ) xf x x '( )f x

令 , 則兩邊取xy x ln ln ln xy x ln lny x x

兩邊一起微分 [ln ]' [ ln ]'y x xu v

1[ln ]' (1) ln

dyx x x

y dx

' ln (1 ln )x

y x y xx

' (1 ln ) lnx x xy x x x x x

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