В. И. Гаврилов

Об Университете и учениках.

2

Биографическая справка

Валериан Иванович Гаврилов родился в 1935 году в Москве в семьеслужащих. Его отец - Гаврилов Иван Дорминдонтович после окончанияизвестной в то время Промакадемии находился на партийной работе вавиационной промышленности; мать - Чехова Лидия Михайловна рабо-тала в школе учительницей младших классов.

В 1952 году окончил в Москве среднюю школу с золотой медалью ипо результатам собеседования поступил на механико-математический фа-культет Московского государственного университета имени М.В. Ломоно-сова, с которым оказалась связанной вся его дальнейшая жизнь. В 1957году окончил факультет и был принят в его аспирантуру к Алексею Ива-новичу Маркушевичу, в научную школу которого вошёл на третьем курсефакультета. В 1960 году окончил аспирантуру и был зачислен на кафед-ру математического анализа в должности ассистента. В 1962 году защи-тил кандидатскую диссертацию в Математическом институте АН СССРимени В.А. Стеклова (официальные оппоненты - член-корреспондентАН СССР Сергей Никитович Мергелян, профессоры Алексей ФёдоровичЛеонтьев, Павел Петрович Белинский). В 1963 году В.И.Гаврилов пере-ведён на должность доцента кафедры математического анализа, в 1965году получил аттестат доцента.

В 1968 - 1970 годы В.И. Гаврилов работает в Бомбейском Технологи-ческом Институте (I.I.T., Bombay, India) в должности Visiting Professor,руководит научной работой двух преподавателей института, которые впо-следствии защитили Ph.D. диссертации по предложенным им научнымтемам. В тот же период им опубликованы по представлению профессораP.C. Jain две заметки в журнале Notices of American Mathematical Societyи две статьи в ведущих математических журналах Японии, на основаниикоторых был принят членом American Mathematical Society; завершилчленство в 1999 году.

С 1971 года по 1979 год В.И. Гаврилов занимал должность замести-теля декана механико-математического факультета по учебной работе ис того времени входит в состав Учёного Совета факультета. В разныегоды он входил в Учёные Советы факультетов педагогического образова-ния (заместитель председателя), СУНЦ МГУ - школа имени А.Н. Колмо-горова (заместитель председателя, член), факультета фундаментальнойфизико-химической инженерии, а также в составы Специализированныхсоветов по защите докторских диссертаций на мехмате, факультете пе-дагогического образования (учёный секретарь), по защите кандидатскихдиссертаций в МОПИ имени Н.К. Крупской; член редакции Черногор-ского математического журнала Mathematica Montisnigri с момента егооснования в 1993 году.

В 1979 году защитил докторскую диссертацию в Тбилисском государ-ственном университете (официальные оппоненты - член-корреспондентАН СССР, академик АН Грузинской ССР, А.В. Бицадзе, член-корреспондент

3

АН Грузинской ССР Б.В. Хведелидзе, профессор Е.Д. Соломенцев; отзывведущей организации подписан членом-корреспондентом АН СССР А.Ф.Леонтьевым). Диссертация утверждена ВАК СССР в 1981 году.

За 55 лет работы в МГУ В.И. Гавриловым прочитаны обязательныекурсы по математическому анализу и специальные курсы по многим раз-делам современного комплексного анализа на механико-математическомфакультете, на многих естественных факультетах, а также в других выс-ших учебных заведениях страны и за рубежом, материалы которых вошлив учебники, учебные пособия, монографии - V.I. Gavrilov, Z. Pavicevic.“Mathematicka Analiza I.” Podgorica Uniræx, 535 str.; В.И. Гаврилов. Ма-тематический анализ. Курс лекций, М. школа имени А.Н. КолмогороваСУНЦ МГУ имени М.В. Ломоносова, Изд-во “Самообразование”; Часть1, - 1999, 76 с; Часть 2, - 2000, 80 с.; В.И. Гаврилов, В.Н. Афанасьева.Начала математического анализа и элементарные функции. Учебное по-собие, Якутск, Изд-во ЯГУ: Часть 1, - 2000, 108 с; Часть 2, - 2001, 80 с;В.И. Гаврилов, Ю.Н. Макаров, В. Г. Чирский. Математический анализ(Университетский учебник. Сер. “Высшая математика и её приложения кхимии”), М., Издательский центр “Академия”, 2013, 330 с.; В.И. Гаврилов,А.В. Субботин, Д.А. Ефимов. Граничные свойства аналитических функ-ций (дальнейший вклад). М., Изд-во Московского Университета, 2013, 264с.

Лекционная деятельность В.И. Гаврилова началась в 1965 году чтени-ем обязательных курсов по высшей математике на вечерних отделенияххимического и географического факультетов.

В 70-е годы им был прочитан ряд специальных курсов на механико-математическом факультете. Летом 1980 года кафедра математическогоанализа поручила ему чтение обязательного курса математического ана-лиза - одного из самых ответственных учебных курсов на обоих отделе-ниях мехмата продолжительностью в 4 семестра с четырьмя недельнымилекционными часами и таким же количеством часов для семинарскихзанятий. Чтение этого курса значительно усложнилось тем обстоятель-ством, что в том году в Москве проводились Олимпийские Игры, и всту-пительные экзамены на факультет проводились в конце августа, когда ониуже завершились в вузах страны. Пришлось экзаменовать абитуриентов,не прошедших по конкурсу в других вузах. Была, конечно, традиционнаядля мехмата группа школьников, которые связывают свою судьбу толькос факультетом. В общем же приём на факультет оказался заметно нижепо уровню школьной подготовки, чем обычно.

В сложившихся обстоятельствах возникла задача, в какой манере чи-тать курс, чтобы его материал был понятен слушателям и одновременнонаименее отклонялся бы от традиционного мехматовского уровня. Былиспользован такой педагогический приём: поскольку курс предстоялопреподавать на отделении механики факультета, в учебных курсах ко-торого большинством учебных примеров служат объекты гладкой струк-туры, В.И Гаврилов предложил прочитать вариант гладкого математиче-

4

ского анализа, в котором основные понятия излагались на основе толькооткрытых множеств. Параллельно в качестве спецкурса читался тради-ционный мехматовский вариант курса (правда, его посещаемость былаочень низкой). Примененный приём позволил сохранить для дальнейше-го обучения на факультете подавляющее большинство студентов курса.

Во второй половине 2000-х годов В.И. Гаврилов перешел препода-вать математический анализ на открывшийся новый факультет фунда-ментальной физико-химической инженерии. Пришлось снова изменитьметодику преподавания предмета, которую в окончательном виде ему,к сожалению, завершить не удалось.

Учебная деятельность В.И. Гаврилова отмечена медалью Университе-та Camerino (Италия, 1985), Ломоносовской премией за педагогическуюдеятельность (МГУ, 1998), присуждением почётного звания Заслуженныйпрофессор Московского университета (2002).

5

Об Университете и учениках

С середины 40-х до начала 80-х годов прошедшего века на механико-математическом факультете Московского государственного университе-та имени М.В. Ломоносов работал научно-исследовательский семинар покомплексному анализу, руководимый Алексеем Ивановичем Маркушеви-чем (1908-1979 гг). Как рассказывал сам А.И., семинар был задуман какпродолжение работавшего в Московском Университете с начала ХХ ве-ка знаменитого семинара по теории функций, созданного и руководимо-го классиками отечественной математики Дмитрием Федоровичем Его-ровым, Николаем Николаевичем Лузиным, Иваном Ивановичем Прива-ловым, но прекратившего свою работу в 1941 году в связи с началомВеликой Отечественной Войны и кончиной в том же году последнего егоруководителя - И.И. Привалова.

Тематика семинара И.И. Привалова была поистине многогранной; онаохватывала многочисленные разделы теории функций действительногои комплексного переменных, теории гармонических и субгармоническихфункций, граничные свойства и краевые задачи, проблемы теории по-лианалитических функций, теории квазиконформных отображений, при-ложения методов функционального анализа к задачам теории функций.Научные результаты участников семинара и его руководителя опублико-ваны в нескольких широко известных монографиях, последняя из кото-рых вышла под названием И.И. Привалов “Граничные свойства однознач-ных аналитических функций” в Издательстве Московского Университетав 1941 году - в год кончины её автора.

Я не знаю, был ли организованный А.И. Маркушевичем семинар из-начально также общемосковским, каковым являлся семинар И.И. Прива-лова. Но уже в первые годы его работы учениками Маркушевича - Нико-лаем Алексеевичем Давыдовым, Генрихом Целестиновичем Тумаркиным,Генрихом Ароновичем Фридманом, Семеном Яковлевичем Хавинсоном -были получены настолько значительные результаты, что возникла по-требность в переиздании последней монографии И.И. Привалова, став-шей уже в то время библиографической редкостью. Громадные экономи-ческие трудности, переживаемые нашей страной в первые послевоенныегоды, естественно не позволяли возможности расширения объема новогоиздания, и, как сообщает во введении к нему его редактор - А.И. Марку-шевич - “перед пишущим эти строки. . . встал вопрос о том переиздаватьли книгу в том виде, в котором она вышла в свет ещё при жизни автора,или подвергнуть её более или менее значительной переработке. Сознаваявсю ответственность, которая возлагается на меня принятым решением, явстал на второй путь. . . Из первоначального текста в настоящем изданиисохранено не более 50%... Это дало также возможность включить в кни-гу принадлежащие им (ученикам А.И. - В.Г.) оригинальные результаты.”Второе издание монографии И.И. Привалова под названием “Граничныесвойства аналитических функций” вышло в 1950 году и было затем пере-

6

ведено на несколько иностранных языков. Я ещё вернусь к этим муже-ственным словам моего учителя.

Однако во второй половине 50-х годов, когда я - студент мехмата МГУ- стал посещать заседания руководимого А.И. Маркушевичем семинара,проходившие по понедельникам с 18 до 20 часов в аудитории 14-13 новогоГлавного Здания МГУ, я могу засвидетельствовать, что семинар стал об-щемосковским и даже, можно сказать, общесоюзным, поскольку на нёмчасто выступали учёные многих математических центров страны и наего основе проводились многочисленные всесоюзные конференции и сим-позиумы. Привожу по памяти имена постоянных участников семинара(с извинениями о неполноте списка, которым я не располагаю, и дажене уверен, вёлся ли он регулярно): Борис Владимирович Шабат, ИванЕвгеньевич Базилевич, Евгений Дмитриевич Соломенцев, Алексей Федо-рович Леонтьев, Борис Абрамович Фукс, Виктор Иосифович Левин, Ма-рат Андреевич Евграфов, Г.Ц. Тумаркин, С.Я. Хавинсон. Сравнительночасто семинар посещали Василий Сергеевич Владимиров, Сергей Ники-тович Мергелян, Андрей Александрович Гончар. Постоянными участни-ками были аспиранты многих вузов Москвы.

Теперь мне приятно сказать несколько слов об необыкновенно забот-ливой, дружественной атмосфере, царившей в научной школе А.И. Мар-кушевича. В студенческие годы выбор направлений моих научных инте-ресов, тем курсовых работ предлагал и обсуждал Алексей Иванович, авыполнение курсовых и моей дипломной работы курировал его ученик- Г.А. Фридман. Далее, только на факультетской комиссии по распре-делению я узнал, что по письменному представлению Алексея Иванови-ча я рекомендован в аспирантуру факультета. В аспирантские годы навыбор моей научной тематики радикально повлиял Г.Ц. Тумаркин, об-ративший мое внимание на свежеопубликованную статью финских мате-матиков О. Лехто и К.И. Виртанена (O. Lehto , K.I. Virtanen), в кото-рой был рассмотрен новый для исследований объект - нормальные меро-морфные функции. К моменту окончания аспирантуры (осень 1960 года)полученные мною результаты по новой тематике составили содержаниенескольких статей, представленных по рекомендации Алексея Иванови-ча в журнале “Доклады Академии Наук СССР” Ректором МГУ ИваномГеоргиевичем Петровским. С декабря 1960 года, опять же по рекомен-дации Алексея Ивановича и по приглашению Николая ВладимировичаЕфимова, я занял позицию ассистента кафедры математического анали-за механико-математического факультета МГУ, на которой работаю понастоящее время. Мои статьи вышли в “ДАН СССР” в 1961 году и те-перь они общеприняты пионерскими в теории нормальных функций (на-ряду с работами американских математиков Ф. Багемила и В. Зейделя(F. Bagemihl, W. Seidel); первая же моя публикация состоялась в 1960году в журнале “Доклады Академии Наук Белорусской ССР” и содер-жала результаты моей дипломной работы, в которой существенно уточ-нялся размер универсальной постоянной Э. Коллингвуда и Ж. Валирона

7

(E. Collingwood , G. Valiron, 1926), связанной со скоростью стремления ксвоим асимптотическим значениям целых функций.

В те годы запрещалось проводить защиты кандидатских диссертацийпо месту постоянной работы соискателя и при непосредственном содей-ствии Ивана Георгиевича Петровского защита моей кандидатской диссер-тации состоялась 22 февраля 1962 года на Учёном Совете Математиче-ского института имени В.А. Стеклова АН СССР с официальными оппо-нентами: Сергеем Никитовичем Мергеляном, Павлом Петровичем Белин-ским, Алексеем Фёдоровичем Леонтьевым. Кандидатский диплом подпи-сан Иваном Матвеевичем Виноградовым.

Г.Ц. Тумаркину принадлежит инициатива поручить мне перевод нарусский язык вышедшей в 1960 году монографии K. Noshiro “Clustersets”, материал которой существенно дополнял содержание монографииИ.И. Привалова. Перевод под редакцией Г.Ц. Тумаркина вышел в светв 1963 году в издательстве ИЛ под названием К. Носиро “Предельныемножества”. Эта книга, наряду с теорией нормальных функций, опреде-лила направление моей научной работы на весь последующий период моейжизни.

В 1963 году я ввел в научный оборот новое понятие P -последователь-ности для мероморфных функций, определенных в единичном круге накомплексной плоскости, а в 1965 году - аналогичное понятиеM (p) - после-довательностей для мероморфных функций, определенных на всей ком-плексной плоскости. Вначале эти понятия использовались для изученияраспределения значений мероморфных функций, для их классификациипо скорости роста сферической производной (классы Wp, p > 1, меро-морфных функций на плоскости и в единичном круге), а также уста-новления условий окончательного характера в граничных теоремах един-ственности (см., например, мои статьи : 1) О распределении значений ме-роморфных в единичном круге функций, не являющихся нормальными //Матем. Сб., 1965 , т. 67, №1, с. 408-422; 2) Мероморфные в единичном кру-ге функции с заданным ростом сферической производной // Матем. Сб.,1966 , т. 71, № 3, с. 386-404; 3) О некоторых классах мероморфных функ-ций, характеризуемых сферической производной // Известия АН СССР,сер. матем., 1968, т. 32, № 4, с. 735-742 ; 4) Gavrilov V.I. On a uniquencetheorem // Nagoya Math. J., 1969, v. 35, 151-157). Из конкретных резуль-татов отмечу обнаружение и изучение ранее не изучавшегося подклассамероморфных функций в классическом классе функций, исключитель-ных в смысле Жюлиа, и полную характеристику множества нормальныхмероморфных функций в терминах P -последовательностей.

В 1968-1970 годы я занимал позицию Visiting Professor в Бомбей-ском технологическом институте (I.I.T., Bombay). Моя миссия, как еёсформулировал декан математического факультета института профес-сор Джеин (P.C. Jain), состояла в том, чтобы довести до уровня Ph. D.диссертаций двух молодых сотрудников факультета - С. Кришнамурти(S. Krishnamoorthy) и Н. Шиварамакришнана (N. Sivaramakrishnan). Я

8

определил каждому тему диссертации, ежедневно курировал их занятия,читал специальные курсы. К концу моего пребывания один из них имелнаучную публикацию (S. Krishnamoorthy // Math. Zeitsh. 1970, b. 114,no. 2, p. 93-100), другой готовил материал к публикации. В дальнейшемони сообщили мне, что успешно защитили свои Ph. D. диссертации.

По возвращении на факультет Алексей Иванович рекомендовал мненачать чтение специальных курсов и ведение учебно-научного семинарадля студентов старших курсов. Такой семинар начал работать с осени1971 года, и к моему удивлению в нём стали участвовать не только сту-денты, но и аспиранты родственных кафедр факультета, одним из ко-торых был Курбанов Курбан Османович, занявшийся изучением свойстввведенных мною классов Wp мероморфных функций.

Неожиданно для себя я обнаружил, что занятия со студентами на се-минаре оказывают самое благотворное влияние на мои собственные на-учные занятия; в частности, я открыл для себя наличие тесной связи по-нятия P -последовательности с предельными множествами мероморфныхфункций. Первый результат здесь состоял в том, что используя свойстваP -последовательностей мне удалось в 1974 году разделить изучаемое с1927 года граничное множество точек Абрама Иезекииловича Плеснерана три непересекающихся подмножества: для каждой точки первого под-множества каждая оканчивающаяся в ней хорда круга содержит P - по-следовательность мероморфной функции; в точках второго подмножествани одна из хорд не содержит P -последовательностей и предельное мно-жество функции по каждой хорде накрывает сферу Римана (насыщеннаяточка Плеснера); а третье подмножество мало в метрическом и тополо-гическом смыслах. Этот результат позволил существенно уточнить двеклассические теоремы теории граничных свойств мероморфных функций- теорему А.И. Плеснера (1927 г.) и теорему К. Мейера (K. Meier, 1961)(см. мою статью “Поведение вдоль хорд мероморфных функций в еди-ничном круге” // Доклады АН СССР , 1974, т. 216 , № 1 , 21-23; статьяпредставлена к публикации Василием Сергеевичем Владимировым).

В декабре 1974 года К.О. Курбанов защитил на мехмате МГУ кан-дидатскую диссертацию, в которой он получил ряд глубоких критериевпринадлежности классам Wp, p > 1, и некоторым их подклассам меро-морфных функций на комплексной плоскости и в единичном круге. Вдиссертацию не вошел опубликованный позднее (1977 г.) наш совместныйкритерий (в терминах предельных множеств), когда луч на комплекс-ной плоскости становится лучом Жюлиа для исключительных в смыслеЖюлиа функций. После защиты К.О. Курбанов преподавал в Дагестан-ском государственном университете в Махачкале и опубликовал несколь-ко статей, в которых развивал результаты своей диссертации. В насто-ящее время он работает заведующим кафедрой математики и информа-тики Махачкалинского филиала Московского автомобильно-дорожногогосударственного технического университета.

9

С середины 70-х годов состав участников семинара стал заметно растиза счёт стажёров из научных центров союзных республик и зарубежныхуниверситетов, с которыми Московский Университет имел договоры онаучном сотрудничестве. Расширился спектр научных тем, разрабатыва-емых на семинаре, поскольку часто стажёры приезжали со своими ори-гинальными замыслами и предварительными результатами.

В сентябре 1977 года на мехмате МГУ защитил кандидатскую диссер-тацию стажёр Ереванского университета Аркадий Николаевич Айрапе-тян. Чтобы охарактеризовать результаты диссертации А.Н. Айрапетяна,надо упомянуть, что в 1974 году мною (см. “Матем. Сб., 1974, т.94, № 1,3-15”) было получено уточнение результатов М. Цудзи (M. Tsuji , 1950)и Л. Карлесона (L. Carlesson, 1950), состоящее в дополнительном утвер-ждении о спрямляемости образов хорд в подклассах Карлесона функцийограниченного вида. Эти результаты я предварительно докладывал насеминаре А.И. Маркушевича, Семён Яковлевич Хавинсон заметил, чтозначительная доля предварительных утверждений, представляющих тех-ническую часть доказательства основного результата, никак не связанасо свойством мероморфности функции, а справедливо для произвольныхизмеримых функций. Этому замечанию я последовал в окончательномопубликованном тексте статьи. Это простое на первый взгляд замеча-ние оказалось очень глубоким и впоследствии использовалось не тольков диссертации А.Н. Айрапетяна, но и в исследованиях, Жарко Павиче-вича (Zarko V. Pavicevic) в связи с изучением мер Карлесона и обрат-ных к моему результату теорем, Ново Лабудовичем (Novo Labudovic),С.Л. Берберяном, В.С. Захаряном. Я очень сожалею, что именно здесь, ане в статье, я впервые упоминаю свою оплошность. Частичным извине-нием может служить традиция семинара обсуждать каждый доклад поего окончании в дружелюбной профессиональной атмосфере. В диссер-тации А.Н. Айрапетяна этот результат распространён на более подроб-ное, чем у Карлесона, разбиение функций ограниченного вида на под-классы, когда малость исключительных граничных множеств измеряетсяне шкалой нулевых α-ёмкостей (Л. Карлесон), а шкалой нулевых ёмко-стей относительно последовательностей. Кроме того, он распространилна случай орициклических углов упомянутое выше моё уточнение теоре-мы К. Мейера. Сергей Никитович Мергелян указал весьма неожиданныйдля специалистов пример ограниченной в круге голоморфной функции снесуммируемой по площади производной. В совместной работе А.Н. Ай-рапетяна и студента мехмата МГУ Анатолия Николаевича Канатниковав 1976 году доказано, что такие функции составляют большинство в то-пологическом смысле в каждом классе Харди Hp, 0 < p 6 +∞, где ониобразуют остаточное множество типа Gδ.

В настоящее время А.Н. Айрапетян преподаёт в одном из Ереванскихинститутов, занимая в нём в течение нескольких десятилетий должностьзаведующего кафедрой высшей математики.

10

Новое направление в работу семинара, связанное с приложением мето-дов функционального анализа к теории функций комплексного перемен-ного, внёс стажёр из ГДР Жак Майер (Jakues Mayer). Это направлениестало традиционным в работе семинара, но наивысшего своего развитияоно достигло во второй половине 90-х годов и первом десятилетии XXIвека (об этом речь пойдёт позже). Ж. Майер полностью описал линейныеизометрии банаховых пространств аналитических функций в круге, про-изводные n-го порядка которых принадлежат пространствам Харди Hp,1 6 p 6 +∞, и изометрии пространств аналитических функций в кру-ге, производные которых растут при приближении к границе со степен-ной скоростью. Существенно новым моментом в его исследовании служитидея использования для описания изометрий не всей границы Шоке ба-наховых пространств, а её части - множества точек пика. Эти результатысоставили его кандидатскую диссертацию, защищенную на мехмате МГУв декабре 1979 года.

По возвращении на родину Ж. Майер преподавал в Берлинском уни-верситете им. Гумбольдта; в настоящее время он преподаёт в Техническоминституте Западного Берлина.

Период с 1981 года по 1983 год оказался самым плодотворным по чис-лу защищённых диссертаций участниками семинара: в апреле 1981 годакандидатскую диссертацию защитил стажёр Ереванского университетаМельсик Мамиконович Мирзоян; в ноябре 1981 года - выпускник и ас-пирант мехмата Анатолий Николаевич Канатников; в ноябре 1981 года- стажёр из Колумбии Хорхе Энрике Мехия Лаверда (Jorge Enrice MejiaLaverda); в феврале 1982 года - выпускница мехмата Галина ДмитриевнаЛёвшина; в октябре 1982 года - стажёр Ереванского университета СамвелЛевонович Берберян; в марте 1983 года - выпускница мехмата НадеждаБорисовна Малышева; в июне 1983 года - аспирант мехмата Петр Васи-льевич Довбуш; в декабре 1983 года защитил докторскую диссертацию вБелградском университете стажёр Университета Черногории Жарко В.Павичевич (Zarko V. Pavicevic).

Чтобы охарактеризовать результаты М.М. Мирзояна, необходимо сде-лать предварительно следующее замечание. Хотя понятие предельногомножества возникло в комплексном анализе, но по своей природе оно яв-ляется чисто топологическим. На это обстоятельство, по-видимому, впер-вые обратил внимание английский тополог Дж. Уэстон (J. Weston) в 1958году. Его замечание не привлекло внимание большинства специалистовпо теории предельных множеств возможно потому, что, в основном, онибыли специалистами по комплексному анализу. Заслуга М.М. Мирзоя-на состоит в том, что он заметил, что ключевую для теории предель-ных множеств функций комплексного переменного теорему Э. Коллинг-вуда (E.F. Collingwood, 1957) о максимальности можно распространитьна отображения топологических пространств, причём в окончательномвиде, усиливая при этом результаты Дж. Уэстона и результат Р. Фейока(R.E. Feiock, 1974) о множестве точек отсутствия свойства непрерывно-

11

сти по совокупности переменных у многомерных функций, непрерывныхпо каждому переменному. Другая часть диссертации М.М. Мирзояна со-стоит в распространении упомянутых выше результатов Э. Коллингвуда(1957 г.) и В.И. Гаврилова (1974 г.), относящихся к некасательному под-ходу к границе, на случай касательных путей со степенным порядкомподхода.

М.М. Мирзоян преподаёт в должности доцента в одном из институ-тов Еревана, ведя при этом активную публикацию новых результатов,связанных с тематикой диссертации.

Результаты А.Н. Канатникова по теории предельных множеств следу-ет признать выдающимися. Во-первых, ему принадлежит полное обраще-ние теорем К. Мейера (1961 г.) и А.М. Плеснера (1927 г.), являющихсятопологическим и метрическим канонами в описании граничных особен-ностей мероморфных функций в круге; до этого в нашей совместной ста-тье (1977 г.) утверждение теоремы К. Мейера приобрело окончательныйвид. Во-вторых, А.Н. Канатникову принадлежит введение нового типапредельных множеств - предельные множества по последовательностямкомпактов (анонсировано в журнале “Доклады АН СССР, 1980, т. 253, №1, 14-17”), систематически изученное в работе, опубликованной в журна-ле “Известия АН СССР, сер. матем., 1984, т. 48, № 6, 1196 - 1213”. Этопонятие возникло в связи с замечательным результатом С.М. Воронина освойстве универсальности дзета-функции Римана. К сожалению, С.М. Во-ронину не удалось доказать, что дзета-функция обладает этим свойствомв полном виде, и вопрос остается открытым до сего времени. Однако, сдругой стороны, в статье В.И. Гаврилова, А.Н. Канатникова // ДокладыАН СССР, 1982, т.265, № 2, 74-76, отмечено, что если ряд Дирихле, об-разующий дзета-функцию, сделать знакочередующим, то получающаясяпри этом функция обладает свойством универсальности в полном объе-ме. Но, как рассказывал мне Сергей Михайлович, даже в неполном видеего теорема играет ключевую роль в некоторых современных разделахтеоретической физики. Глубокие исследования А.Н. Канатникова обна-ружили связи нового понятия предельного множества по последователь-ностям компактов, распределения значений функций (в частности, с P -последовательностями) и другими разделами. В дальнейшем это понятиеизучалось, под другим названием, профессором Виктором ИвановичемКругликовым (1997 г.) и его учеником - доцентом Антоном ПавловичемДевятковым (2006-2008 гг).

В настоящее время А.Н. Канатников является признанным учёным,специалистом не только по теории предельных множеств, но и по теорииуправления, в которой он защитил докторскую диссертацию.

А.Н. Канатников - профессор МГТУ имени Н.Э. Баумана, автор мно-гих научных монографий и вузовских учебников, лауреат премии Прези-дента Российской Федерации.

Х.Э. Мехия Л. ввёл новый класс функций, названных эквиморф-ными функциями. Поскольку, как известно, каждое однолистное квази-

12

конформное отображение является эквиморфизмом, то множество экви-морфных функций содержит все псевдомероморфные функции, гранич-ное поведение которых изучается с конца 20-х годов прошедшего века, и,как показал Х.Э. Мехия Л. это вложение строгое. Его кандидатская дис-сертация посвящена систематическому изучению граничных свойств эк-виморфных функций, включая свойства введённых им для эквиморфныхфункций P -последовательностей и структуру граничных особенностей. Внастоящее время Х.Э. Мехия Л. является профессором Университета го-рода Меделина (Колумбия), активно работающим в теории динамическихсистем.

Г.Д. Лёвшиной принадлежит дальнейшее плодотворное развитие воз-никшего в работе семинара направления, связанного с приложениями ме-тодов функционального анализа к задачам комплексного анализа. В еёдиссертации полностью описаны множества линейных изометрий и ко-эффициентных мультипликаторов в липшицевых пространствах анали-тических функций с произвольным модулем непрерывности с указаниемявного вида изометрий и мультипликаторов. Все предыдущие исследова-ния относились к частному случаю модуля непрерывности степенного ви-да, причём используемые в них техники принципиально не переносилисьна общий случай. Поэтому результаты Г.Д. Лёвшиной получены новым,принадлежащим ей оригинальным методом. Новой даже для частногослучая оказалась её теорема о совпадении множеств коэффициентныхмультипликаторов в липшицевых пространствах и в пространствах с ин-тегральным условием Липшица. Указаны приложения к исследованиюсуммируемости рядов Фурье непрерывных и суммируемых функций.

Во второй части диссертации впервые вводятся необходимые и доста-точные условия для мероморфной функции, порождающей нормальныеили абсолютно гипернормальные семейства на подгруппах группы кон-формных автоморфизмов единичного круга.

Исследования по названным направлениям были успешно ею продол-жены после защиты диссертации. Результаты Г.Д. Лёвшиной отмечены внедавней монографии В.И. Гаврилов, А.В. Субботин, Д.А. Ефимов “Гра-ничные свойства аналитических функций (дальнейший вклад ).” М.: Изд-во Московского Университета, 2013, стр. 161 - 166.

Г.Д. Лёвшина преподаёт в Москве в Институте стали и сплавов, яв-ляется автором многих учебных пособий по различным разделам высшейматематики, была официальным оппонентом по нескольким кандидат-ским диссертациям.

С.Л. Берберян предложил семинару свою тематику, состоящую в изу-чении граничных свойств и свойств нормальности гармонических, суб-гармонических, непрерывных функций. Его кандидатская диссертациясостоит из двух частей. В первой части начатые А.Н. Айрапетяном иссле-дования подклассов функций ограниченного вида в шкале ёмкостей отно-сительно последовательностей получили своё завершение в форме резуль-татов окончательного характера. Во второй части рассматривается гра-

13

ничное поведение субгармонических функций, систематическое изучениекоторых начато работами И.И. Привалова, Е.Д. Соломенцева, М. Цудзи(M. Tsuji). Основное внимание уделяется определённым в единичном кру-ге субгармоническим функциям, удовлетворяющим условию Дж. Литт-лвуда (J.E. Littlewood), когда субгармоническая функция представима ввиде разности гармонической функции и потенциала Грина. Установленыусловия, при которых потенциал Грина имеет конечные пределы по по-чти всем хордам в каждой точке единичной окружности, за возможнымисключением точек множества нулевой ёмкости относительно последо-вательностей. Этот результат позволил распространить указанное вышезаключение на субгармонические функции при выполнении дополнитель-ных условий. Диссертация завершается изучением граничного поведениянормальных субгармонических функций и субгармонических функций,нормальных относительно гиперболической подгруппы конформных ав-томорфизмов круга (т.е. функций классов Nθ, 0 6 θ 6 2π). В частности,доказано, что субгармоническая функция класса N∗ =

⋃06θ62π N

θ, удо-влетворяющая условию Литтлвуда, обладает конечными угловыми пре-делами почти всюду на границе.

Во второй половине двухтысячных годов С.Л. Берберян защитил вИнституте математики Национальной Академии Наук Армении диссер-тацию на соискание учёной степени доктора физико-математических науки в настоящее время работает профессором Российско-Армянского (Сла-вянского) Университета в Ереване.

Диссертация Н.Б. Малышевой посвящена систематическому изуче-нию предельных множеств отображений топологических пространств. Вней впервые отмечена принципиальная роль в изучаемой проблематикеуниверсальной топологии Андрея Николаевича Тихонова 1936 года. Так,Н.Б. Малышевой установлено, что предельные множества произвольногоотображения топологических пространств образуют многозначное отоб-ражение, непрерывное в универсальной топологии Тихонова. В диссер-тации установлены эквивалентные характеристики понятия предельно-го множества как предела некоторой обобщённой последовательности за-мкнутых множеств в экспоненциальной топологии и как минимальногопредела в смысле Владимира Ивановича Пономарева в универсальнойтопологии Тихонова. Доказаны теоремы о максимальности и теоремы онепрерывности отображений, порождаемых предельными множествами.Эти результаты имеют окончательный характер относительно категориии типа исключительных множеств. Изучаются качественные предельныемножества и устанавливается их эквивалентность обычным предельныммножествам для непрерывных отображений. Исследуется также свойстволинейной связности образов некоторых классов граничных кривых приотображении, порождаемом предельными множествами комплекснознач-ных функций.

После окончания аспирантуры Н.Б. Малышева преподаёт на мехма-те в должности доцента; она - автор и соавтор нескольких учебников и

14

учебных пособий по высшей математике для естественных факультетовМГУ.

Научным руководителем П.В. Довбуша в годы учёбы на мехмате МГУбыл Б.В. Шабат и П.В. получил солидную подготовку в области много-мерного комплексного анализа. После его зачисления в аспирантуру фа-культета, Борис Владимирович обратился ко мне с просьбой определитьдля П.В. Довбуша направление научной работы и курировать её. Такв начале 1979 года появился новый участник семинара. К этому време-ни были достигнуты основополагающие результаты в теории нормальныхмероморфных функций одного комплексного переменного и её приложе-ний. Поэтому выбор тематики для исследований определился сам собой- распространить теорию нормальных функций на многомерный случай.Активно включившись в разработку поставленных задач, П.В. Довбушуже в 1981 году опубликовал две статьи, которые и следует считать нача-лом теории нормальных функций нескольких комплексных переменных(причём рукопись первой статьи была сдана в редакцию журнала уже виюле 1979 года). В следующем 1982 году были опубликованы ещё однастатья автора и наша совместная работа, содержавшая приложение новойтеории к изучению граничных особенностей, порождаемых предельны-ми множествами произвольных голоморфных функций нескольких ком-плексных переменных. В 1983 году П.В. Довбуш защитил в Московскомуниверситете кандидатскую диссертацию - первую в мире диссертациюпо теории нормальных функций нескольких комплексных переменных.

Диссертация начинается обобщением на голоморфные функции нес-кольких комплексных переменных классического одномерного критерияФ. Марти (F. Marty; 1931) нормальности семейства мероморфных функ-ций. Аналогичный результат публикует американский математик Р. Ти-мони (R.M. Timoney), но статья последнего сдана в печать 17 октября 1979г., в то время как статья П.В. Довбуша - 18 июля 1979 г. Обобщённый кри-терий Марти используется для доказательства критерия нормальностиголоморфных функций в ограниченных однородных областях в Cn. Од-нако в многомерном случае часто трудно установить является ли областьоднородной, и, более того, большинство областей не являются однород-ными даже среди строго псевдовыпуклых областей. Поэтому П.В. Дов-буш вводит свойство нормальности функции в произвольной области изCn посредством обобщения на многомерный случай одномерного понятияP -последовательности. Это позволило доказать несколько критериев нор-мальности голоморфных функций в однородных, строго псевдовыпуклыхобластях и в произвольных областях с невырожденной метрикой Берг-мана. Далее изучаются некоторые вопросы асимптотического поведениянормальных функций; в частности, доказано, что нормальная в строгопсевдовыпуклой области функция, имеющая некасательный асимптоти-ческий предел в граничной точке области, обладает в этой точке рав-ным ему допустимым пределом (по Кораньи).Эта теорема содержит всебе известный результат Е.М. Чирки (1973 г.) Диссертация завершается

15

приложениями к изучению граничных особенностей произвольных голо-морфных функций и, в частности, доказательством многомерного анало-га одномерной теоремы К. Мейера, содержащегося в нашей совместнойпубликации.

В настоящее время П.В. Довбуш является признанным специалистомв многомерной теории нормальных функций. В июне 2004 года на Специ-ализированном Учёном Совете в Кишинёвском Университете, в которыйвходили несколько зарубежных учёных, им была защищена диссертацияна соискание учёной степени доктора хабилитат физико-математическихнаук, что соответствует докторской диссертации в СССР и РоссийскойФедерации. Он работает в Институте математики Национальной акаде-мии Наук Молдовы в г. Кишинёве.

В заключение отмечу, что достаточно полный обзор достижений вмногомерной теории нормальных функций содержит статья В.И. Гаври-лов, П.В. Довбуш “Нормальные отображения” // Mathematica Montisnigri,2001, v. 14, p. 5 - 61.

С 1980 по 1983 гг на основе Договора о научном сотрудничестве меж-ду МГУ и Черногорским Университетом в работе семинара участвовалталантливый стажёр Университета Черногории Ж. Павичевич. За ука-занный короткий период времени, войдя в совершенно новую для неготематику, он получил настолько значимые результаты, что они соста-вили предмет его докторской диссертации, защищённой в БелградскомУниверситете в конце 1983 года.

В диссертации изучаются условия метрического и топологического ха-рактера, при которых равномерная сходимость на внутренних компактахпоследовательностей мероморфных функций из подклассов Л. Карлесо-на функций ограниченного вида и последовательностей аналитическихфункций из аналогичных подклассов пространства Харди Hp влекут схо-димость последовательностей угловых граничных значений входящих вназванные последовательности функций к угловым граничным значени-ям предельных функций. Аналогичная задача решается в гиперболиче-ском классе H1

h. В третьей главе диссертации рассмотрена локализацияуказанных выше задач, когда граничное поведение изучается не на всейгранице области определения, а на её борелевских подмножествах.

Ж. Павичевич является самым молодым из сотрудников Черногор-ского Университета, получавших степень доктора, звание профессора исоздававших свои научные школы. Под его руководством защищены тридокторские диссертации, а его ученик Ново Лабудович (Novo Labudovic)защитил в 1990 году первую в истории Черногорского Университета док-торскую диссертацию по математике. Все три диссертации тесно связаныс тематикой семинара, а их авторы регулярно докладывали на нём своирезультаты. Сейчас профессор Н. Лабудович находится на пенсии, а дваученикаЖ. Павичевича - Ромео Мештрович (Romeo Mestrovic) и ЕлаШу-шич (Jela Susic) - работают профессорами Черногорского Университета.

16

Участники семинара середины 90-х годов.

Фото 1: Фото 2:

Фото 3: Фото 4:

На фото 1 изображены: в первом ряду (справа налево) Н. Лабудович, Р. Ме-штрович, В.И. Гаврилов и С.В. Кравцев; во втором ряду - Ж. Павичевич(в центре ряда). На фото 2 изображены: в первом ряду (справа налево) Н.Лабудович, Ж. Павичевич, В.И. Гаврилов и С.В. Кравцев; в последнем рядусправа - А.В. Субботин. На фото 3 изображены: в первом ряду (справа налево)Н. Лабудович, В.И. Гаврилов и С.В. Кравцев; во втором ряду - Ж. Павичевич(справа). На фото 4 изображены участники семинара, включая Н. Лабудовича,Р. Мештровича и Барри Бабукара (крайний справа).

Профессор Ж. Павичевич - научный руководитель многих магистерскихдиссертаций по математике и педагогике.

В настоящее время профессор Ж. Павичевич - самый известный ма-тематик Черногории, специалист по теории нормальных семейств и нор-мальных функций, по теории динамических систем, теории F -пространстваналитических функций. Его результаты печатают ведущие журналыРоссии, стран Европы, Новой Зеландии и др. Последние частично пред-ставлены в монографии R. Mestrovic and Z. Pavicevic, “Privalov Spaces onthe Unit Disk (research monograph).” Department of Mathematics, Faculty ofScience, University of Montenegro, Podgorica, 2009, ISBN 978-9940-551-00-1,143 str.

Профессор Ж. Павичевич внёс значительный вклад в развитие Чер-ногорского Университета и всего образования Черногории. В 1992-1994 ггон работал заместителем декана природно-математического факультета

17

Черногорского Университета, а в 1994-1998 гг - деканом факультета. В1993 г. Он организовал научный журнал “Mathematica Montisnigri” и яв-ляется его бессменным главным редактором. Статьи журнала полностьюреферируются реферативными журналами России, США, ФРГ. В 1994году опубликован университетский учебник V.I. Gavrilov, Z. Pavicevic.“Mathematicka Analiza I.” Podgorica Uniræx, 535 str., который используюттакже преподаватели некоторых университетов Сербии.

В двухтысячные годы профессор Ж. Павичевич был организатороми руководителем двух популярных журналов: “Mathematiuku Moзauk” и“Mathematice-Racunarske Mozaik” - для учеников начальной школы и уче-ников 5-8 классов основной школы. В 10-е годы ХХI века он в соавтор-стве опубликовал два дидактических комплекта “Нова математика 1” (трикнижки) и “Нова математика 2” (три книжки) для школьников первогои второго классов начальной школы.

Профессор Ж. Павичевич является многие годы Председателем Фо-рума университетских профессоров и исследователей Черногории. Он на-граждён высшими наградами: “13 jul”, “19 decembar”, “Oktoih”.

В последующие четыре года с 1984 по 1987 гг кандидатские диссерта-ции защитили еще пять участников семинара: стажёр из Сирии Абду АльРахман Хасан (Abdu Al’ Rahman Hassan) - в марте 1984 года; аспирантмехмата Игорь Борисович Ошкин - в апреле 1985 года; аспирант мехматаСергей Владимирович Кравцев - в июне 1985 года; выпускник мехмата,аспирант МОПИ им. Н.К. Крупской Шамиль Анасович Махмутов - виюне 1985 года; аспирант мехмата Александр Анатольевич Симушев - вдекабре 1987 года.

В диссертации А.Р. Хасана изучаются предельные множества функ-ций одного комплексного переменного вдоль касательных граничных пу-тей с произвольной функцией подхода к границе. В определённом смыслев ней подводится некоторый итог исследованиям структуры граничныхособенностей, порождаемых предельными множествами произвольнымии мероморфными в односвязных областях комплексной плоскости функ-циями. Случай некасательного подхода к границе является классическим;достигнутые здесь результаты изложены в монографиях И.И. Привалова(1941 г., 1950 г.), К Носиро (1960 г.; русский перевод - 1963 г.), Э Коллинг-вуда и А. Ловатера (1966 г.; русский перевод - 1971 г.). Изучался такжеслучай касательного подхода степенного характера. Для произвольнойфункции подхода в диссертации выделяются два класса касательных гра-ничных путей, порождаемых этой функцией, которые совпадают толькодля степенных функций подхода. В каждом из этих классов строится своятеория граничных особенностей и указывается тот из классов, для которо-го сохраняется большинство результатов относящихся к некасательномуподходу к границе. Построены примеры, указывающие на окончательныйхарактер результатов диссертации.

Начавшаяся в нашей стране “перестройка” повлияла на судьбу А.Р. Ха-сана: он перестал заниматься математикой, посвятив себя коммерческой

18

деятельности в нашей стране. О его положении в настоящий момент мненичего не известно.

В диссертации И.Б. Ошкина доказан признак нормальности семей-ства голоморфных функций, который составил основу нового плодотвор-но развиваемого направления в теории нормальных семейств аналити-ческих функций, как это отмечено в монографии новозеландского мате-матика Дж. Шиффа (Joel L. Schiff. Normal families. 1993. Springer-Verlag,New York, Inc. p.133, 151). Другой замечательный результат состоит в зна-чительном уточнении нижней оценки классической константы Блока длямероморфных функций в зависимости от роста числа точек локальнойнеоднолистности.

Во второй части диссертации доказан неожиданный критерий нор-мальности мероморфных функций относительно параболических и ги-перболических подгрупп конформных автоморфизмов единичного кру-га в терминах непрерывного продолжения в точки пространства макси-мальных идеалов алгебры H∞. Установлен также критерий абсолютнойгипернормальности мероморфной функции относительно произвольногосемейства автоморфизмов.

В дальнейшем И.Б. Ошкин перешёл в другие области математическойнауки и его работы до сих пор остаются закрытыми.

Диссертация С.В. Кравцева относится относится к ещё одному ори-гинальному направлению в работе семинара. В ней изучаются свойствафуксовых групп и автоморфных функций и форм, порождаемых таки-ми группами. Фуксовой группой традиционно называют разрывную под-группу группы движений двумерного гиперболического пространства. Вкачестве модели такого пространства обычно используют открытый еди-ничный круг на комплексной плоскости, в котором расстояние междуточками измеряется в гиперболической метрике (модель плоскости в гео-метрии Н.И. Лобачевского). В этом случае фуксовыми группами служатдискретные подгруппы группы конформных автоморфизмов круга. Од-ной из важных характеристик фуксовых групп в этой модели являетсяскорость роста считающей функции их орбит, поскольку от её поведе-ния зависят многие важные свойства как самой фуксовой группы, так иавтоморфных относительно группы функций и форм. Поэтому на получе-ние оценок роста и асимптотики считающей функции были направленыусилия многих математиков, среди которых М. Цудзи (M. Tsuji; 1959),С. Хубер (S. Huber; 1959), П. Николлс (P.J. Nicholls; 1974, 1977, 1981),С. Паттерсон (S.J. Patterson; 1957), Й Ленер (J. Lehner; 1977). С.В. Крав-цеву принадлежит новая оценка, справедливая для широкого класса фук-совых групп. Эта оценка позволила ему получить новые результаты о по-следовательностях тейлоровских коэффициентов автоморфных функцийи форм, а также уточнить некоторые теоремы вложения для функцио-нальных пространств, образуемых такими объектами.

С.В. Кравцев исследовал также геометрические свойства фуксовыхгрупп особого типа - групп с массивной фундаментальной областью, выде-

19

ленных в исследованиях финского математика Р. Ауласкари (R. Aulaskari,1978). С.В. Кравцев предложил рассматривать подкласс фуксовых группс равномерно локально-конечной фундаментальной областью, которыйоказался шире класса Ауласкри групп с массивной фундаментальной об-ластью, но сохраняет многие интересные свойства таких групп.

В диссертации продолжены начатые А. Беардоном и П. Никколсом(A.F. Beardon, P.J. Nicholls; 1982) исследования о строении предельныхмножеств фуксовых групп. В частности, в ней уточнены топологическиеи метрические размеры особого подмножества предельного множества -множества точек Гарнет, о котором было известно из работ А. Беардона иП. Никколса, что оно имеет линейную лебегову меру нуль. С.В. Кравцевдоказал, что множество точек Гарнет обязано быть σ-пористым множе-ством в смысле Е.П. Долженко. Кроме того, получены новые характери-стики других подмножеств предельного множества в терминах тополо-гического строения и ёмкостей. Построены примеры фуксовых групп иавтоморфных форм относительно таких групп, обладающие неординар-ными и интересными топологическими свойствами.

После окончания аспирантуры С.В. Кравцев преподаёт на мехматеМГУ; опубликовал около 30 статей и книг.

В диссертации Ш.А. Махмутова подробно изучаются классы Wh ме-роморфных функций на комплексной плоскости и в единичном круге,в которых рост регулируется посредством произвольной положительнойчисловой функции h(x), определённой, соответственно, либо на проме-жутке числовой оси от нуля до +∞, либо на отрезке от нуля до единицы,и бесконечно малой при x → +∞, либо при x → 0+. Начальные ре-зультаты в обоих классах, полученные, соответственно в терминах Mh-и µh-последовательностей и Ph- и ρh-последовательностей, анонсированыв статьях Gavrilov V.I.// Amer. Math. Soc. Abstracts , 1969, v.16. p. 11 иGavrilov V.I.// Amer. Math. Soc. Abstracts , 1969, v.16. p. 568. Для степен-ных функций h с показателем степени p > 1 классы Wp, как отмечалось,изучались ранее В.И. Гавриловым (1965 г.) и К.О. Курбановым (1974 г.).В случае плоскости и p = 1, 2 получаем класс мероморфных функций,исключительных в смысле Жюлиа (G. Julia , 1924), и класс К. Иосиды(K. Yosida, 1934), а в случае круга и p = 1 - класс нормальных мероморф-ных функций.

В диссертации, как для плоскости, так и для круга доказаны крите-рии принадлежности функций классу Wh посредством условия на после-довательности их a-точек, а также критерий нормальности мероморфнойфункции в терминах равномерного роста ее неванлинновой характери-стической функции. Установлен критерий принадлежности мероморфнойфункции классу Wh в терминах свойства нормальности порождаемых еюопределённого вида последовательностей функций. Последний критерийпозволяет выделить и детально изучить в классах Wh определённые под-классы W 0

h . Впервые указаны приложения излагаемой теории к изуче-нию мероморфных решений обыкновенных дифференциальных уравне-

20

ний: предложены условия, при которых эти решения принадлежат клас-сам Wp и W 0

p .Интерес к классамWh (особенно кWp) возник у отечественных и зару-

бежных математиков сразу после их введения; отметим имена Г.А. Бар-сегяна, А.А. Гольдберга, А.Н. Канатникова, Й Винклера (J. Winhler),Т. Дзинно (T. Zinno), С. Ямаситы (Sh. Yamashita). Классы Wp изуча-лись с позиций нестандартного анализа (K.D. Stroyan. // Proceedings Non-Standard Anal., Amsterdam - London, 1972 , h. 47-64). Развивая изложен-ную выше классификацию мероморфных функций на плоскости, япон-ский математик Х. Иосида (H. Yoshida, 1976) предложил и изучил своёразбиение таких функций на функции первого и второго типа в смыслеГаврилова. Следует сказать, что в статьях зарубежных авторов почти по-стоянно использовалась иная терминология: вместо классов Wp в кругеиспользовался термин α-нормальные функции, вместо классов Wh - тер-мин ϕ-нормальные функции (R. Aulaskari, J. Rattya // Michigan Math.J., 2011, v. 60, p. 93 - 111). И только немецкий математик Н. Штеин-мец (N. Steinmetz // Journal d’Analyse Mathematiques , 2012 , v.117, no.1,p. 347-404) использует обозначение Wp для классов, которым, как он до-казывает, принадлежат мероморфные решения дифференциальных урав-нений Пенлеве.

В дальнейшем Ш.А. Махмутов преподавал в Башкирском государ-ственном педагогическом институте (г. Уфа) и в Уфимском государствен-ном авиационно-техническом университете. В 1993-1997 гг он проходилнаучную стажировку в Hokkaido University, Sapporo, Japan, где в 1997 го-ду защитил диссертацию на соискание учёной степени Doctor of Science.В настоящее время он занимает позицию Associate Professor в Султан Ка-бус Университете в Омане, является признанным специалистом в областикомплексного анализа, имеющим оригинальные и совместные публикациис математиками США, Финляндии, Японии и других стран, получающимприглашения для чтения лекций от многих университетов мира, участникмеждународных математических съездов и конференций.

Диссертация А.А. Симушева содержит глубокие исследования нор-мальных квазимероморфных отображений в евклидовых пространствахRn, n > 3. Сначала рассматриваются квазимероморфные отображения,определенные в единичном шаре из Rn, n > 3, для которых свойство нор-мальности ещё в предыдущих работах финского математика М. Вуорине-на (M. Vuorinen , 1980) определяется через группу автоморфизмов шара.А.А. Симушев доказывает здесь три критерия выполнения свойства нор-мальности, аналогичные известным критериям для мероморфных функ-ций комплексного переменного. Первый - аналог критерия О. Лехто иК.И. Виртанена (O. Lehto, K.I. Virtanen, 1957); второй - аналог критерияА. Ловатера и Кр. Поммеренке (A.J. Lohwater, Ch. Pommerenke, 1973);третий - аналог критерия в терминах P -последовательностей (В.И. Гав-рилов, 1963); при этом понятие P -последовательности для пространствен-ных квазимероморфных отображений вводится в диссертации. Далее рас-

21

сматриваются квазимероморфные отображения, определённые в произ-вольных ограниченных областях в Rn, n > 3, группы автоморфизмовкоторых тривиальные. Свойство нормальности для квазимероморфныхотображений таких областей вводится посредством использования в ка-честве определения третьего из указанных выше критериев нормально-сти, что позволяет распространить на этот случай и второй критерийнормальности. Отмечу также изящный локальный критерий нормально-сти семейства K - квазимероморфных отображений в точке произвольнойобласти в Rn, n > 2, существенно усиливающий результат американскойученой Р. Минёвиц (R. Miniowitz, 1982).

Во второй главе диссертации изучаются асимптотические свойстванормальных квазимероморфных отображений. Сначала рассматривает-ся случай нормальных отображений, определённых в единичном шаре,и доказывается теорема типа теорем Линделёфа (E. Lindelof, 1915), ко-гда существование предела отображения по сравнительно “тощему” мно-жеству точек, накапливающихся к точке единичной сферы, влечёт су-ществование равного ему предела по конусам с вершинами в граничнойточке. Затем рассматриваются нормальные квазимероморфные отобра-жения, определённые в произвольных ограниченных областях в Rn, n > 2.Чтобы распространить на этот случай теорему, доказанную для шара, ав-тор вводит новые понятия криволинейного угла и ёмкостной плотностимножества относительно криволинейного угла, переходящие в случае ша-ра в известные понятия конуса и нижней ёмкостной плотности множества.Получаемое при этом утверждение содержит и усиливает все известныедо этого родственные результаты. Следует отметить, что в доказатель-ствах обоих процитированных утверждений существенно использованырезультаты монографии Анатолия Викторовича Сычёва “Модули и про-странственные квазиконформные отображения.” - Новосибирск, Наука,1983, 152 с.

В третьей главе диссертации доказаны две теоремы единственностидля пространственных квазимероморфных отображений, усиливающихсоответствующий результат признанных в этой теории финских матема-тиков О. Мартио и С. Рикмана (O. Martio, S. Rickman, 1972) по двумнаправлениям: 1) расширяется класс допустимых отображений; 2) устра-няется условие существования радиальных пределов отображений.

К большому сожалению, А.А. Симушев опубликовал в открытой пе-чати только аннотации своих результатов без доказательств. Возможнопо этой причине многие его результаты в дальнейшем передоказывалисьзарубежными математиками без ссылок на начальный источник. Поло-жение, на мой взгляд, может исправить публичное издание диссертацииА.А. Симушева.

В настоящее время А.А. Симушев преподаёт в Московском Энергети-ческом институте, является автором многих учебных пособий по вузов-ской тематике.

22

В трудные годы конца 80-х и в 90-е семинар стал резко сокращаться.Из науки уходили многие способные молодые люди, имеющие даже пуб-ликации, как Е.Ф. Буркова, Л.М. Ганжула, стажёр из Вьетнама Во КимАнь (последний, возможно, защитил диссертацию на родине). Продол-жили участие в работе семинара и защитили кандидатские диссертации:стажёр из Армении Оганесян Жора Сарибекович - в октябре 1990 го-да; стажёр из Бенина Айите Альфонс (A. Ayite, Benin) - в марте 1992года; болгарский студент и аспирант мехмата Станев Мартин Атанасов(M.A. Stanev; Bulgaria) -в мае 1993 года; стажёр из Сенегала Барри Бу-бакар (B. Barry, Senegal) - в апреле 1997 года.

И, как дар небес, в самые трудные годы середины 90-х в семинарестал работать один из самых талантливых за всё время существованиясеминара участник - студент третьего курса мехмата Алексей Владими-рович Субботин, защитивший кандидатскую диссертацию в декабре 1999года накануне своего двадцатипятилетия, и оставленный для работы нафакультете.

В диссертации Ж.С. Оганесяна продолжено начатое в диссертацииА.Р. Хасана изучение предельных множеств функций вдоль касатель-ных граничных путей с произвольной функцией подхода к границе. Пер-вая её глава содержит результаты о структуре граничных особенностей,аналогичные соответствующим результатам из диссертации А.Р. Хаса-на, но полученные для произвольных множественнозначных функций идля функций подхода h из более широких классов квазивыпуклых и сла-бо квазивыпуклых функций. Для оценки исключительных множеств награнице автор вводит новое понятие σh-пористости множества. Во второйглаве диссертации изучаются предельные множества и граничные особен-ности эквиморфных функций. Здесь результаты диссертации Х.Э. Мехия,установленные для эквиморфных функций по некасательным граничнымпутям, распространяются на случай касательных путей с произвольнойвыпуклой функцией подхода к границе. На этот случай распространенытакже результаты статьи Abdu Al’Rahman Hassan, V.I. Gavrilov, “The setof Lindelof points for meromorphic functions” // Математички Весник, 1988,книга 40, свесна 3-4, 181-184.

В настоящее время Ж.С. Оганесян преподаёт в одном из Ереванскихвузов.

В диссертации А. Айите изучаются мероморфные и голоморфныефункции, образующие нормальные семейства относительно произвольнойподгруппы G группы T конформных автоморфизмов единичного кругана комплексной плоскости: обозначим множества таких функций симво-лами NG и BG соответственно. Полученные результаты обобщают иссле-дования многих авторов, относящиеся к случаям, когда G - гиперболи-ческая или параболическая подгруппа. В первой главе диссертации дока-заны три критерия принадлежности мероморфной функции множествуNG в терминах роста сферической производной, существования P - по-следовательностей и интегральный критерий, являющийся новым даже в

23

случае, когда G = T (т.е., для нормальных мероморфных функций); ана-логичный интегральный критерий доказан для некоторого естественногоподмножества N0

G в NG. Установлены также критерий принадлежностиголоморфной функции классу BG в терминах роста её производной и ин-тегральный признак, ранее не отмечавшийся даже в случае G = T (т.е.,для функций Блока); аналогичный интегральный критерий доказан длянекоторого естественного подмножества B0

G в BG.Во второй главе диссертации изучаются функциональные свойства во

множестве BG и подмножестве B0G. На BG вводится инвариантная нор-

ма, относительно которой, как доказывает автор, BG образует полноенормированное, т.е., банахово пространство, а B0

G является замкнутымсепарабельным подпространством в BG, совпадающим с замыканием по-линомов в топологии, порожденной нормой в BG. Доказывается такжекритерий принадлежности голоморфной функции подпространству B0

G,переходящий в случае G = T в критерий Дж. Андерсона, Дж. Клуни,Кр. Поммеренке (J. M. Anderson, J. Clunie, Ch. Pommerenke, 1974).

В настоящее время А. Айите преподаёт в одном из университетов Мон-реаля в Канаде.

В диссертации М.А. Станева продолжено дальнейшее развитие на-правления, связанного с приложением методов функционального ана-лиза к задачам комплексного анализа. Развивая методику диссертацииЖ. Майера, автор получает полное описание изометрических изоморфиз-мов равномерных пространств (т.е., замкнутых подпространств норми-рованного пространства непрерывных комплекснозначных функций) надхаусдорфовыми компактами посредством изучения, как и у Майера, неко-торой части границы Шоке единичного шара в сопряжённых простран-ствах (а именно, множества точек пика). Затем доказываются глубокиетеоремы, характеризующие изометрические изоморфизмы весовых бана-ховых пространств голоморфных функций медленного роста в шаре изCn, n > 2.

В конце 90-х годов М.А. Станев преподавал в Софийском Универси-тете, Болгария; сейчас его положение мне не известно.

Диссертация Барри Б., состоящая из двух частей, содержит дальней-шее развитие введённого А.Н. Канатниковым понятия предельного мно-жества мероморфной функции по последовательностям компактов. В ра-ботах А.Н. Канатникова это понятие используется в случае некасательно-го подхода к границе. В первой части диссертации рассматривается вве-дённая ранее в диссертации А.Р. Хасана геометрия касательных гранич-ных кривых в единичном круге, определяемая посредством произвольнойфункции подхода, и в этой геометрии доказываются теоремы о макси-мальности для предельных множеств по последовательностям компактов(для S-множеств в терминологии диссертации). Установлена характери-стика граничного множества максимальной неопределённости в терминахS-множеств и проведено сравнение граничных множеств относительно ихS-множеств и полных предельных множеств.

24

Во второй части диссертации понятие предельного множества по по-следовательностям компактов распространяется на множественнознач-ные отображения в топологические пространства и в отмеченной вышегеометрии касательных граничных путей доказываются теоремы о мак-симальности, симметричной максимальности для произвольных множе-ственнозначных отображений в топологические пространства в терминахнового общего понятия предельного множества. Эти теоремы обобщаютна случай касательных путей результаты статьи Gavrilov V.I., KanatnikovA.N., Pighetti C, “Ensembles d’accumulation generalice’s” // Comp. Rendu,Paris, Ser.1, 1981, v.292, № 7, p. 293-296.

Во время своей стажировки на мехмате МГУ Барри Б. работал в По-сольстве Сенегала в Москве и в 1999 году защитил в Институте АфрикиРАН кандидатскую диссертацию на соискание учёной степени кандидатаисторических наук. Его положение в настоящее время мне не известно.

Прежде, чем излагать научные результаты А.В. Субботина, я обязанвернуться к началу этих заметок к словам А.И. Маркушевича из пре-дисловия ко второму изданию монографии И.И. Привалова о том, что“из первоначального текста (в издание - В.Г.) вошло не более 50%”. Те-перь можно считать историческим казусом, что Алексей Иванович, счи-тающийся первым отечественным математиком, применившим в своихисследованиях по комплексному анализу методы функционального ана-лиза, не включил во второе издание объекты (частично рассмотренныесамим И.И. Приваловым, ставшие недоступными для зарубежных и поте-рявших интерес для отечественных математиков), которые наиболее вос-приимчивы к функциональным методам. Таковыми оказались введённыеи изученные И.И. Приваловым подклассы функций ограниченного вида;они заново передоказывались в 70-е годы зарубежными учёными (разу-меется без указания приоритета И.И. Привалова). Одной из основныхзаслуг А.В. Субботина следует считать восполнение этого пробела.

В первой главе диссертации рассматриваются известные факты отно-сительно одномерных классов Привалова, а предметом изучения предла-гаются многомерные классы Привалова. Доказаны свойства голоморф-ной функции, эквивалентные принадлежности классу Привалова, с по-мощью техники, развитой У. Рудиным в монографиях (W. Rudin, 1960и 1980) по поликругу и единичному шару в Cn. Эти методы распростра-няются также на общие классы голоморфных функций, определяемыепосредством произвольной неубывающей выпуклой функции ϕ(t) вместофункции ϕ(t) = tq, q > 1, соответствующей классу Привалова Nq. Уста-навливается также, что теорема Ф. и М. Риссов (F. and M. Riesz, 1923)переносится с классов Харди на многомерные классы Привалова.

Вторая глава имеет дело с топологическими свойствами классов При-валова в топологии, определяемой естественными метриками этих клас-сов. Показывается, что классы Привалова образуют сепарабельные F -пространства относительно этих метрик и обычных линейных операцийнад функциями и, более того, также F -алгебры относительно поточеч-

25

ного умножения функций. Полностью охарактеризованы ограниченныеи вполне ограниченные подмножества классов Привалова, как линейно-топологических пространств.

В третьей главе рассматривается метрическая структура классов При-валова Nq и ассоциированных с ними максимальных классов ПриваловаMq (совпадающих с обычными классами Привалова как множества и кактопологические пространства). Полностью охарактеризованы множестваинъективных и группы сюръективных линейных изометрий пространствПривалова и показано, что множества инъективных линейных изометрийпространства Привалова и множества инъективных линейных изометриймаксимальных пространств Привалова различны, так что метрическиеструктуры этих пространств - разные. Применением метода описания ли-нейных изометрий пространств Привалова в полную силу получен об-щий вид сюръективных линейных изометрий максимальных пространствПривалова, правда только для натуральных показателей q, что являетсявторым основным результатом третьей главы.

Все результаты диссертации А.В. Субботина вошли в монографиюВ.И. Гаврилова, А.В. Субботина, Д.А. Ефимова “Граничные свойства ана-литических функций (дальнейший вклад ).” М.: Изд-во Моск. Унив., 2013,262 стр. Другие функциональные свойства F -алгебр Привалова содержитмонография R. Mestrovic and Z. Pavicevic, “Privalov Spaces on the UnitDisk (research monograph).” Department of Mathematics, Faculty of Science,University of Montenegro, Podgorica, 2009, ISBN 978-9940-551-00-1, 143 str.По инициативе авторов монографий в современной мировой математиче-ской литературе установилось название “пространства и F -алгебры При-валова”.

Ещё до окончания аспирантуры А.В. Субботин был зачислен на фа-культет, на котором преподавал до конца двухтысячных. За это времяон опубликовал более 20 статей, из которых выделю статью: ГавриловВ.И., Субботин А.В. // Mathematica Montisnigri, v. XIL, p. 17-31, в кото-рой введены и изучены новые F -алгебры голоморфных функций несколь-ких комплексных переменных, содержащие многомерное пространствоНеванлинны-Островского (не образующее F -алгебру), и статьи методи-ческого характера, опубликованные в журнале “Математика в высшемобразовании” ( 2003, 2004, 2007, 2008 гг).

В настоящее время А.В. Субботин работает в НТЦ ОАО РКК “Энер-гия” С.П. Королёва.

В двухтысячные годы число постоянных участников семинара про-должало редеть. За весь период были защищены только две кандидат-ские диссертации: студентом и аспирантом факультета Дмитрием Алек-сандровичем Ефимовым - в ноябре 2007 года и аспирантом факультетаМаксимом Александровичем Дорофеевым - в марте 2009 года.

Диссертация Д.А. Ефимова добавила новый аспект в сложившеесяна семинаре направление приложений функционального анализа к зада-чам комплексного анализа. В ней рассмотрены структурные и линейно-

26

метрические свойства F -алгебр голоморфных функций в полуплоскости;в этом случае возникает принципиально иная методика исследования. Ин-терес к изучению пространств голоморфных функций в областях с гра-ницей бесконечной меры впервые возник в начале 30-х годов прошедшеговека в связи с исследованиями Р. Пэли и Н. Винера (R. Paley, N. Wiener,1934) свойств преобразования Фурье. В работах Э. Хилле и Я.Д. Тамар-кина (E. Hille, J.D. Tamarkin, 1933, 1935) рассмотрены классы Hp(D),p > 1, голоморфных в верхней комплексной полуплоскости D функций,аналогичные пространствам Харди Hp в случае круга. Немногими года-ми позже советский математик В.И. Крылов (1939 г.) провёл системноеисследование более широких, чем Hp(D), классов голоморфных функцийв полуплоскости (в частности, введённого им аналога класса Неванлинныв круге). Дальнейший интерес к данной тематике возник в самом концеХХ века, когда японские математики Н. Мачизуки (N. Machizuki, 1991)и Я. Иида (Y. Iida, 2000) продолжили исследования В.И. Крылова. В тоже время Л.М. Ганжула (2000 г.) рассмотрела новый вид максимальныхклассов (а именно, пространство M(D)) и доказала, что M(D) образуетF -алгебру относительно определённой в M(D) естественной инвариант-ной метрики.

В диссертации изучаются общие классы Mq(D), q > 0, голоморфныхв D функций и отмечается, что каждый Mq(D), q > 0, содержит классыХарди Hp(D) для всех 0 < p 6 q. Аналоги классов Mq(D), q > 0, в кругеи шаре рассмотрены В.И. Гавриловым и А.В. Субботиным (2000 г). Па-раллельно изучаются классы Nq(D), q > 0, голоморфных в D функций,служащие аналогами классов И.И. Привалова для круга. В диссертацииустановлены связи изучаемых классов с известными классами в полу-плоскости, в частности, доказано, что Mq(D) и Nq(D) совпадают какмножества в случае q > 1. Исследовано граничное поведение и полученыоценки роста для функций классов Mq(D) и Nq(D), q > 0. Предложе-но новое факторизационное представление функций из Mq(D), q > 0, спомощью произведения Бляшке, построенного по нулям этих функций.Доказано, что классы Mq(D) и Nq(D), q > 0, образуют F -алгебры от-носительно естественных метрик. Установлены критерии свойств ограни-ченности и полной ограниченности подмножеств в пространствахMq(D),q > 0. Указан общий вид линейных изометрий в Nq(D), q > 0.

Результаты Д.А. Ефимова вошли в цитируемую выше монографию(2013 г.) трех авторов.

По окончании аспирантуры Д.А. Ефимов был оставлен на мехматев качестве преподавателя, но в начале 10-х годов нашего века он поки-нул МГУ и преподает в Американском Университете Шарджи (AmericanUniversity of Sharjah, UAE). Изменились и его научные интересы: теперьони связаны с приложением математических методов к задачам машин-ного обучения и исследования данных, где Д.А. Ефимов приобрёл надёж-ный авторитет. Он - обладатель нескольких престижных грантов, побе-дитель международных соревнований по машинному обучению, участник

27

и член организационных комитетов международных конгрессов и конфе-ренций, рецензент зарубежных журналов.

В диссертации М.А. Дорофеева изучается структура множества осо-бых точек произвольного отображения из полупространства Rn+ : xn > 0,n > 3 евклидова пространства Rn, n > 3, в регулярное локально ком-пактное пространство со счетной базой, характеризуемого предельнымимножествами отображения по областям, подходящим к границе Rn+ каса-тельным образом. Сначала, в важном частном случае трехмерного про-странства, такие области образуются посредством касающихся плоскостиOx1x2 эллипсов вращения, оси вращения которых параллельны оси Ox3.Затем для Rn+, n > 3 , рассмотрен глубокий общий случай касания с про-извольной функцией подхода. Доказывается, что в обоих случаях множе-ство особых точек являются совершенными σ-пористыми множествамив смысле С.В. Колесникова, и что совокупности таких множеств одина-ковы для произвольных отображений и для ограниченных непрерывныхфункций на Rn+. Последнее обстоятельство указывает на определённуюзавершённость проделанных исследований.

В качестве приложения проведённых исследований устанавливается,что множество точек Гарнет произвольной фуксовой группы, действую-щей в Rn+, является совершенным σ-пористым множеством на ∂Rn+, чтопредставляет собой новый результат в случае n > 3, а в случае n = 2уточняет соответствующий результат С.В. Кравцева (1984 г).

Результаты М.А. Дорофеева высоко оценил Сергей Михайлович Ни-кольский, представивший их для публикации в журнале “Доклады РАН”.

Ближе к середине 10-х годов семинар стал собираться всё реже и ре-же, в основном, когда в МГУ приезжали отечественные или зарубежныегости. Одними из последних, кто выступил на семинаре с серией лек-ций, были H. Yoshida и Ж. Павичевич. Много ли времени дано работатьсеминару? Я вспоминаю всех его участников с любовью и благодарно-стью, желая каждому жизненного и творческого долголетия, жизненныхи творческих успехов.

Благодарю Д.А. Ефимова и С.В. Кравцева за создание электроннойверсии текста.

Май 2015.