Ряды Фурье повышенной сложности · 2020. 5. 10. · Ряды Фурье повышенной сложности Высшая математика для

Ряды Фурье повышенной сложности ● Высшая математика для заочников и не только

© http://mathprofi.ru, Емелин А., Высшая математика – просто и доступно! Приветствуется свободное распространение данного материала, пожалуйста, не убирайте копирайты

Ряды Фурье повышенной сложности

В данном файле содержатся дополнительные примеры с решениями, которые не вошли в

основной урок http://mathprofi.ru/ryady_furie_primery_reshenij.html

Каждая задача снабжена кратким содержательным комментарием.

Пример 8

Разложить функцию в ряд Фурье

2)( xxf в интервале );(

Это обещанное классическое разложение параболы, которое можно найти практически в

любом учебнике по теме.

Решение: В данной задаче период разложения 2T , полупериод l .

Функция 2)( xxf является чётной, а значит, раскладывается в ряд Фурье только по

косинусам:

1

0 cos2

~)(n

n nxaa

xf

Используя соответствующие формулы, вычислим коэффициенты Фурье.

3

2)0(

3

2

3

22)(

2 230

3

0

2

0

0

xdxxdxxfa

(*)cos2

cos)(2

0

2

0

nxdxxnxdxxfan

Дважды интегрируем по частям:

b

a

b

a

b

a

vduuvudv

nxn

vnxdxdv

xdxduxu

sin1

cos

22

(*)sin4

)00(2

sin2

sin12

(*)00

0

2

nxdxx

nnnxdxx

nnxx

n

nxn

vnxdxdv

dxduxu

cos1

sin

032

0

0 )(sin4

)0cos(4

cos1

cos14

(*) nxn

nn

nxdxn

nxxnn

http://mathprofi.ru/http://mathprofi.ru/ryady_furie_primery_reshenij.html



232

)1(4)00(

4)1(

4

nnn

nn

Таким образом:

12

2

1

0 cos)1(4

3cos

2~)(

n

n

n

n nxn

nxaa

xf

Ответ:

12

2

cos)1(

43

~)(n

n

nxn

xf

Пример 9

Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом 2T ) функцию )(xf , заданную на

отрезке ; .

;0;2

0;;12)(

xx

xxxf

Техническая сложность данного примера состоит в нахождении коэффициентов nn ba , .

Формула интегрирования по частям используется дважды одновременно.

Решение: в данной задаче период разложения 2T , полупериод l .

Разложим функцию в ряд Фурье:

1

0 sincos2

~)(n

nn nxbnxaa

xf

Используя соответствующие формулы, вычислим коэффициенты Фурье:

2

2

212

212

2

1)(0

1

22

1)(

12

1)12(

1)(

1

22

0

202

0

0

0

xx

xxdxxdxxdxxfa

(*)cos21

cos121

cos)(1

0

0

nxdxxnxdxxnxdxxfan

Интегрируем по частям:

b

a

b

a

b

a

vduuvudv

nxn

vnxdxdv

dxduxu

sin1

cos

212

nx

nvnxdxdv

dxduxu

sin1

cos

2

http://mathprofi.ru/



22222

22

0

0

0

0

0

0

)1(1)1(1

1)1(1

21)1(

1)1(1

2

0cos)cos(1

)cos(0cos2

cos11

)00(1

cos12

)00(1

sin1

sin211

sin2

sin1211

(*)

nnnnn

nn

nn

nxnnn

nxnnn

nxdxn

nxxn

nxdxn

nxxn

nnnnn

(*)sin21

sin121

sin)(1

0

0

nxdxxnxdxxnxdxxfbn


nxn

vnxdxdv

dxduxu

cos1

sin

212

nx

nvnxdxdv

dxduxu

cos1

sin

2

nn

nn

nnnn

nxnn

nn

nxnn

nn

nxdxn

nxxn

nxdxn

nxxn

nn

nnn

nn

)1(113

)1(333

)1(21232)1(2)1(121

)00(1

2)1(21

)00(2

)1(1211

sin11

2)cos(21

sin12

)cos(1211

cos1

cos211

cos2

cos1211

(*)

22

0

0

0

0

0

0

Ответ:

12

sin))1(11(

3cos)1(1

4

2~)(

n

nn

nxn

nxn

xf

Пример 10

Разложить функцию в ряд Фурье

21;1

10;)(

xx

xxxf

Разложение по нетривиальному промежутку 2;0 . Как и в предыдущем примере, возникает техническая сложность при вычислении коэффициентов nn ba ,

Решение: В данной задаче период разложения 2T , полупериод 1l .




«Поправим» формулы на «нестандартность» интервала и вычислим коэффициенты Фурье:

12

1

2

1)01(

2

1)01(

2

1

)1(2

1)(

2

11)(

1 21

21

0

2

1

1

0

2

0

0

xxdxxxdxdxxfla

l

(*)cos)1(coscos)(1

2

1

1

0

2

0

nxdxxnxdxxdxlnx

xfl

a

l

n


b

a

b

a

b

a

vduuvudv

nxn

vnxdxdv

dxduxu

sin1

cos

b

a

b

a

b

a

vduuvudv

nxn

vnxdxdv

dxduxu

sin1

cos

1

0)1(11)1(

)cos2(cos1

)0cos(cos1

cos11

)00(1

cos11

)00(1

sin1

sin)1(1

sin1

sin1

(*)

222222

2

1

1

0

2

1

2

1

1

0

1

0

nnn

nn

n

nxnnn

nxnnn

nxdxn

nxxn

nxdxn

nxxn

nn

(*)sin)1(sinsin)(1

2

1

1

0

2

0

nxdxxnxdxxdxlnx

xfl

b

l

n


nnnn

n

nn

n

nxnn

nn

nxnn

nn

nxdxn

nxxn

nxdxn

nxxn

nn

)1)1((1)1()00(

12cos)00(

1cos

sin11

)02(cos1

sin11

)0(cos1

cos1

cos)1(1

cos1

cos1

(*)

2222

2

1

1

0

2

1

2

1

1

0

1

0

Искомое разложение имеет вид:

1

0 sincos2

~)(n

nnl

nxb

l

nxa

axf

Ответ:

1

sin)1)1((1

2

1~)(

n

n

n

nxxf

nxn

vnxdxdv

dxduxu

cos1

sin

nx

nvnxdxdv

dxduxu

cos1

sin

1




Пример 11

1)( xxf , );( x

После раскрытия модуля выясняется, что на интервале разложения функция хоть и

непрерывна, но кусочна. Следовательно, каждый коэффициент Фурье придётся

представить в виде суммы двух интегралов.


Раскроем модуль:

);1(,1

)1;(),1()(

xx

xxxf

Разложим функцию в ряд Фурье:

1

0 sincos2

~)(n

nn nxbnxaa

xf


1

2

1

222

111

2

1

2

1

21

2

11

2

1

2

11

1)1(

1)(

1

22222

1

21

2

1

1

0

xx

xx

dxxdxxdxxfa

(*)cos11

cos11

cos)(1

1

1

nxdxxnxdxxnxdxxfan


b

a

b

a

b

a

vduuvudv

nxn

vnxdxdv

dxduxu

sin1

cos

1

2222

1

1

1

1

1

1

)cos)1((2cos)1()1(cos)cos)1((

1))1((cos

1

cos11

)00(1

cos11

)00(1

sin1

sin111

sin1

sin111

(*)

n

n

n

nnn

nn

n

nxnnn

nxnnn

nxdxn

nxxn

nxdxn

nxxn

nnnnn

(*)sin11

sin11

sin)(1

1

1

nxdxxnxdxxnxdxxfbn





nxn

vnxdxdv

dxduxu

cos1

sin

1

22

22

22

1

1

1

1

1

1

))1((sin2sin2)1(2

sin2)1(2sin2)1)(11(

)sin0(1)1)(1(

)0sin(1)1)(1(

sin11

)0)1)(1((1

sin11

))1)(1(0(1

cos1

cos111

cos1

cos111

(*)

n

nn

n

nn

n

n

nn

n

n

nnn

nnn

nxnnn

nxnnn

nxdxn

nxxn

nxdxn

nxxn

nn

nn

nn

nn


122

2

sin))1((sin2

cos)cos)1((2

2

1~)(

n

nn

nxn

nnnx

n

nxf

Ответ:

12

2 sin))1((sincos)cos)1((2

2

1~)(

n

nn

n

nxnnnxnxf

Пример 12

Разложить в ряд Фурье по синусам

xxf 3cos)( , );0( x

Задача отличается тем, что коэффициенты 1b , 2b , 3b нужно вычислить непосредственным

интегрированием, а общий коэффициент nb найти для номеров 4n

Решение: так как функцию требуется разложить в ряд Фурье по синусам, продолжим её

на симметричный интервал нечётным образом:

);0(,3cos

)0;(,3cos)(

xx

xxxf

В данной задаче период разложения 2T , полупериод l .

Искомое разложение имеет вид:

1

sin~)(n

n nxbxf

Вычислим коэффициент Фурье:




(*)sin3cos2

sin)(2

00

nxdxxnxdxxfbn

Используем тригонометрическую формулу:

2

)sin()sin(cossin

00

)))3(sin())3((sin(1

))3sin()3(sin(2

12(*) dxnxnxdxxnxxnx

Вычислим коэффициенты 1b , 2b , 3b непосредственным интегрированием:

1) Если 1n , то:

00

1 )2sin4(sin1

))2sin(4(sin1

dxxxdxxxb

0)11(2

1)11(

4

12cos

2

14cos

4

100

xx

2) Если 2n , то:

00

2 )sin5(sin1

))sin(5(sin1

dxxxdxxxb

5

8

5

1022

5

2)11(

1)11(

5

1cos

15cos

5

100

xx

3) Если 3n , то: 0)11(6

16cos

6

1)0sin6(sin

10

0

3

xdxxb

4) При 4n справедливо неравенство 03n , а значит, сумма синусов

))3(sin())3(sin( nxnx будет именно суммой, а, не разностью (как в пунктах № 1, 2) и

не одиночным синусом (как в пункте № 3)

)9(

))1(1(2

)3)(3(

2))1(1(

)3)(3(

33))1(1(

)3(

1

)3(

1)1)1(()1)1((

)3(

1)1)1((

)3(

1

)0cos))3((cos()3(

1)0cos))3((cos(

)3(

1

))3(cos()3(

1))3(cos(

)3(

1

)))3(sin())3((sin(1

2

1

111

00

0

n

n

nn

n

nn

nn

nnnn

nn

nn

nxn

nxn

dxnxnxb

nnn

nnn

n


42

4

321 sin)9(

))1(1(202sin

5

80sin3sin2sinsin~)(

n

n

n

n nxn

nxnxbxbxbxbxf

Ответ:

42

sin)9(

))1(1(22sin

5

8~)(

n

n

nxn

nxxf




Пример 13

Разложить в ряд Фурье по синусам

3;2

3,3

2

3;0,

)(

xx

xx

xf

Очень интересный пример, в котором кусочно-заданная функция непрерывна на

интервале )3;0( , и в ходе разложения она отображается на интервал )0;3( нечётным

образом (график симметричен относительно начала координат). Коэффициент nb

выражается через сумму двух интегралов.

Решение: в данной задаче период разложения 6T , полупериод 3l .

Разложим функцию в ряд Фурье по синусам:

1

sin~)(n

nl

nxbxf

Вычислим коэффициент Фурье:

3

23

23

003

sin)3(3

2

3sin

3

2sin)(

2dx

nxxdx

nxxdx

l

nxxf

lb

l

n

1) (*)3

sin3

223

0

dxnx

x


b

a

b

a

b

a

vduuvudv

nx

n

nx

nvdx

nxdv

dxduxu

3cos

2

3cos

3

3

2

3sin

3

2

2sin

6

2cos

30

2sin

6

2cos

3

3sin

320

2cos

2

32

3cos

2

3cos

2(*)

2222

23

0

23

0

23

0

n

n

n

n

n

n

n

n

nx

nn

n

ndx

nx

n

nxx

n

2) (*)3

sin)3(3

23

23

dxnx

x


b

a

b

a

b

a

vduuvudv

nx

n

nx

nvdx

nxdv

dxduxu

3cos

2

3cos

3

3

2

3sin

3

2

3




2sin

6

2cos

3

2sin0

6

2cos

3

3sin

32

2cos

2

30

2

3cos

2

3cos)3(

2(*)

2222

3

23

3

23

3

23

n

n

n

n

n

n

n

n

nx

nn

n

ndx

nx

n

nxx

n

Таким образом: 2

sin12

2sin

6

2cos

3

2sin

6

2cos

3222222

n

n

n

n

n

n

n

n

n

nbn

В результате:

1

221

sin2

sin12

~sin~)(nn

nl

nxn

nl

nxbxf

Ответ:

122 3

sin2

sin112

~)(n

nxn

nxf

Пример 14

Разложить в ряд Фурье по косинусам

4)(

xxf

, );0( x

Стандартный пример чётного разложения линейной функции


Разложим функцию в ряд Фурье по косинусам (чётным образом):

1

0 cos2

~)(n

n nxaa

xf


4)0(

4

1)(

2

1

2

1)(

4

12)(

2 20

2

00

0

xdxxdxxfa

(*)cos)(4

12cos)(

2

00

nxdxxnxdxxfan


nxn

vnxdxdv

dxduxu

sin1

cos

222

0

0

0

2

))1(1(

2

)1)1(()0cos(cos

2

1

cos1

2

1)00(

2

1sin

1sin)(

1

2

1(*)

nnn

n

nxnnn

nxdxn

nxxn

nn





12

cos2

))1(1(

8~)(

n

n

nxn

xf

Ответ:

12

cos))1(1(

2

1

8~)(

n

n

nxn

xf

Пример 15

Разложить в ряд Фурье по косинусам

xxxf sin)( , );0( x

Задание похоже на Пример 12, коэффициент 1a нужно вычислить непосредственным

интегрированием. Повышенная сложность вычислений.


Разложим функцию в ряд Фурье по косинусам:

1

0 cos2

~)(n

n nxaa

xf


(*)sin2

)(2

00

0

xdxxdxxfa


b

a

b

a

b

a

vduuvudv

xvxdxdv

dxduxu

cossin

2)00(2

2sin2

)0(2

cos2

)cos(2

(*) 00

0

xxdxxx

(*)cossin2

cos)(2

00

nxdxxxnxdxxfan

Используем тригонометрическую формулу 2

)sin()sin(cossin

00

)))1sin(())1(sin((1

))sin()(sin(2

12(*) dxxnxnxdxnxxnxxx

I) Если 1n , то второй синус обнуляется:

(*)2sin1

)02(sin1

)))11sin(())11(sin((1

000

1

xdxxdxxxdxxxxa





xvxdxdv

dxduxu

2cos2

12sin

b

a

b

a

b

a

vduuvudv

2

1)00(

4

1

2

1)2(sin

2

1

2

1)0(

2

12cos

2

12cos

2

11(*) 0

0

0

xxdxxx

II) Для всех номеров 2n справедливо неравенство 01 n , поэтому:

(*)))1sin((1

))1sin((1

)))1sin(())1(sin((1

)))1sin(())1(sin((1

00

00

dxxnxdxxnx

dxxnxnxdxxnxnxan

Интегралы удобно вычислить по отдельности:

1) (**)))1sin((1

0

dxxnx


))1cos((1

1))1sin(( xn

nvdxxndv

dxduxu

b

a

b

a

b

a

vduuvudv

nnn

xnnn

nn

dxxnn

xnxn

nn

1

)1()00(

)1(

1

)1(

)1(

))1sin((1

1

1

11)0))1cos(((

)1(

1

))1cos((1

1))1cos((

1

11(**)

2

1

0

0

0

2) (**)))1sin((1

0

dxxnx

dxduxu

))1cos((1

1))1sin(( xn

nvdxxndv




)1(

)1()00(

)1(

1

)1(

)1(

))1sin(()1(

1

)1(

1)0))1cos(((

)1(

1

))1cos((1

1))1cos((

1

11(**)

2

1

0

0

0

nnn

xnnn

nn

dxxnn

xnxn

nn


1

)1(2

)1)(1(

11)1(

1

1

1

1)1(

)1(

)1(

)1(

)1((*)

2

nnn

nn

nnnn

nnn

nn

В результате:

22

2

10 cos

1

)1(2cos

2

1

2

2coscos

2~)(

n

n

n

n nxn

xnxaxaa

xf

Ответ:

22

cos1

)1(2cos

2

11~)(

n

n

nxn

xxf

Documents

Ряды Фурье повышенной сложности · 2020. 5. 10. · Ряды Фурье повышенной сложности Высшая математика для