МБОУ «СОШ № 10» Миасского городского округа Челябинской области

Составитель: Золотько Л.И.

Задачи повышенной трудности

по теме «ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ»

6 класс

2012ДЕЛИТЕЛИ И КРАТНЫЕ

№ 1.У марсиан бывает произвольное число рук. Однажды все марсиане взялись за руки так, что свободных рук не осталось. Докажите, что число марсиан, у которых нечётное число рук, чётно.

№ 2.На плоскости расположены 7 шестерёнок, соединённых цепочкой по кругу. Могут ли все шестерёнки цепочки вращаться?

№ 3.Может ли конь пройти с поля а1 на поле h8, побывав по дороге на каждом из полей ровно 1 раз?

№ 4.Можно ли нарисовать замкнутую ломаную из 9 звеньев, каждое звено которой пересекается ровно с одним из остальных звеньев?

№ 5.На доске записаны 15 чисел: 8 нулей и 7 единиц. Вам предлагается 14 раз подряд выполнить такую операцию: зачеркнуть любые 2 числа и если они одинаковые, то дописать к оставшимся числам нуль, а если разные, то единицу. Какое число останется на доске?

№ 6.Петя купил общую тетрадь объёмом 96 листов и пронумеровал все её страницы от 1 до 192. Его младший брат вырвал из тетради все листы и разбросал по комнате. Петя подобрал наугад с пола 25 листов и сложил все 50 чисел, которые на них написаны. Могло ли у него получиться 2006?

№ 7.

2

2006 человек выстроились в шеренгу. Всегда ли их можно расставить по росту, если за один ход разрешается переставлять людей, стоящих через одного?

№ 8.16 корзин расположили по кругу. Можно ли в них разложить 55 арбузов так, чтобы количество арбузов в любых двух соседних корзинах отличалось на единицу?

№ 9.На столе стоят 9 стаканов - все вверх дном. Разрешается за один раз перевернуть любые 4 стакана. Можно ли после нескольких переворотов добиться того, чтобы все стаканы стояли правильно?

№ 10.Выполняя приказ царя Гороха, генерал Муштралкин пытался выстроить всех солдат по 2, а затем – по 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, но, к его удивлению, каждый раз последний ряд оказывался неполным, т.к. оставалось соответственно 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 солдат. Какое наименьшее число солдат могло быть?

ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ ЧИСЕЛ

№ 11. Найдите наибольшее пятизначное число, кратное 9, такое, чтобы его первая цифра была 3, а все остальные цифры различны.

№ 12.Запишите: а) наибольшее трёхзначное натуральное число, которое состоит из чётных цифр и делится на 9; б) наименьшее трёхзначное натуральное число, которое состоит из нечётных цифр и делится на 9; в) наименьшее четырёхзначное

3

натуральное число, кратное 6; г) наибольшее четырёхзначное натуральное число, кратное 15.

№ 13.Докажите, что: а) число 3100+1 делится на 2; б) число 92000-72000

делится на 10.

№ 14.Найдите наибольшее и наименьшее трёхзначные натуральные числа, каждое из которых делится на 6 и имеет в своей записи цифру 7.

№ 15.Найдите цифры пятизначного числа 51*3*, если оно без остатка делится на 36.

№ 16.Если задуманное трёхзначное число разделить на 7, то получится остаток 2; если его разделить на 8, то получится остаток 3; если его разделить на 11, то получится остаток 6. Найдите это число.

№ 17.Найдите наименьшее натуральное число, которое начинается с цифр 1998 и делится на все числа от 1 до 9.

№ 18.Сергей нашёл произведение всех чисел от 1 до 11 включительно и записал результат на доске. Во время перерыва кто-то случайно стёр три цифры, и в записи осталось число 399*68**. Помогите восстановить цифры.

ПРОСТЫЕ И СОСТАВНЫЕ ЧИСЛА№ 19.Число а при делении на 35 даёт остаток 14. Докажите, что а – составное число.

4

№ 20.Число а - натуральное число меньше 45, которое не делится на 2, на 3 и на 5. Верно ли, что а – простое число?

№ 21.Известно, что а, b и с – простые числа, причём произведение аbс нечётно. Докажите, что сумма а+b+с также нечётна.

№ 22.Определите, не вычисляя, является ли число 623713-1 простым или составным.

№ 23.Проверь, что значения выражения n2+n+1 (трёхчлен Эйлера) при n=1, 2, 3, 4, 5 являются простыми числами. При всех ли натуральных значениях n будут получаться простые числа?

РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ

№ 24. Барон Мюнхгаузен утверждает, что ему удалось найти такое натуральное число, произведение всех цифр которого равно 6552. Докажите, что барон, как всегда, говорит неправду.

№ 25.Определите, может ли число, составленное из одних восьмёрок, делиться на число, составленное из одних троек? А наоборот?

№ 26.Мальчик и девочка измерили одно и то же расстояние в 143 м шагами, причём 20 раз их следы совпали. Найдите длину шага мальчика, если она выражается целым числом сантиметров, а шаг девочки равен 55 см.

5

№ 27.В числе сосчитали сумму цифр. В полученном числе вновь сосчитали сумму цифр и продолжали этот процесс до тех пор, пока не получили однозначное число. Какое это число?

№ 28.Произведение некоторых простых чисел равно 15015. Каким числом является сумма таких чисел – простым или составным?

№ 29.К трёхзначному числу приписали такое же число. Найдите остатки от деления этого шестизначного числа на простые числа 7, 11, 13.

№ 30.Докажите, что если к любому трёхзначному числу приписать трёхзначное число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, то получится число, делящееся на 11.

№ 31.Вычисляя сумму всех различных простых делителей некоторого шестизначного числа, в записи которого все цифры одинаковы, Стёпа Растеряйкин получил 70, а Петя Угадайкин – 80. Покажите, что они оба ошиблись.

№ 32.На сколько нулей оканчивается число 100!?

НОД И НОК

№ 33.Если натуральное число делится на а и на b, то оно делится и на произведение аb. Каким свойством должны обладать натуральные числа а и b, чтобы это утверждение было верным? Для каких натуральных чисел а и b это утверждение неверно?

6

№ 34.Определите, может ли сумма двух взаимно простых чисел иметь с одним из этих чисел наибольший общий делитель, больший единицы.

№ 35. Найдите наименьшее натуральное число, которое кратно числам 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

№ 36.Если из некоторого трёхзначного числа вычесть 7, то полученная разность будет делиться на 7, если вычесть 8, то разность будет делиться на 8, если вычесть 9, то разность будет делиться на 9. Найдите наименьшее такое число.

№ 37.а) НОД (a, b) = a. Найдите НОК (a, b).б) НОК (a, b) = b. Найдите НОД (a, b).

№ 38.а) Наименьшее общее кратное двух чисел равно 120. Найдите эти числа, если частные от их деления на их наибольший общий делитель соответственно равны 4 и 5.

№ 39.Даны числа а, b и с, причём а делится на b и b делится на с. Найдите НОД (а, b, с) и НОК (а, b, с).

№ 40.Витя раскладывает орехи кучками. Если он раскладывает в кучки по 3, 5 и 7 штук, то получается натуральное число полных кучек. Какое минимальное число орехов может быть у Вити?

ОТВЕТЫ:

7

№ 1: Т.к. свободных рук не осталось, то общее число рук чётно. Общее число рук у марсиан с чётным числом рук всегда чётно, а у марсиан с нечётным числом рук общее число рук будет чётным только тогда, когда марсиан чётное число.№ 2: Если первая шестерёнка вращается по часовой стрелке, то вторая – против часовой стрелки и т.д., т.е. шестерёнки с нечётными номерами вращаются по часовой стрелке, а с чётными – против. Тогда 1 и 7 шестерёнка вращаются обе по часовой стрелке. Ответ: нет.№ 3: Конь при перемещении по полю каждый раз меняет цвет клетки. Клетка а1 чёрного цвета, тогда все нечётные ходы будут заканчиваться на клетке белого цвета, а чётные – чёрного. Чтобы обойти все клетки, нужно сделать 63 хода, т.е. конь остановится на клетке белого цвета. Это не может быть клетка h8, т.к. она чёрного цвета.№ 4: Все звенья ломаной образуют пары пересекающихся звеньев, значит, их должно быть чётное число, но 9 – нечётное число. № 5: Сумма исходных чисел равна 7 – нечётному числу. При вычёркивании двух нулей, сумма будет равна 7 – нечётна. При вычёркивании двух единиц сумма равна 5 – нечётна. При вычёркивании нуля и единицы сумма равна 7 – нечётна. Таким образом, сумма всегда остаётся нечётной, значит, она будет равна 1.№ 6: На 25 вырванных страницах стоят чётное и нечётное число, т.е. в сумме 25 нечётных чисел и 25 чётных дают число нечётное. Значит, оно не может быть 2006.№ 7: Не всегда. При перестановке через одного сохраняется чётность места. И если самый высокий стоит на чётном месте, то он никогда не станет первым.№ 8: Нет, т.к. если число арбузов в соседних корзинах отличается на 1, то будет чередоваться чётное и нечётное количество арбузов. Тогда в 8 корзинах будет чётное число арбузов, а в 8 – нечётное. Значит, всего арбузов будет чётное число, и оно не может равняться 55.№ 9: Нет, т.к. всегда число перевёрнутых вверх дном стаканов будет нечётным.№ 10: Если при делении на 10 в остатке остаётся 9, то солдат могло быть 19, 29, 39 и т.д. Разделим это количество солдат по 9, тогда в остатке будет 1, 2, 3 и т.д. Остаток 8 дают числа 89, 179, 269, 359 и т.д.

8

Разделим это количество солдат по 8, получим остатки 1, 3, 5, 7, 1 и т.д. Остаток 7 дают числа 359, 719, 1079, 1439, 1799, 2159, 2519 и т.д. Разделим это количество солдат по 7, получим остатки 2, 5, 1, 4, 0, 3, 6, 2 и т.д. Остаток 6 дают числа 2519, 5039 и т.д. Число 2519 при делении на 6, 5, 4, 3, 2 даёт остатки 5, 4, 3, 2, 1.№ 11: 98613.№ 12: а) 864; б) 135; в) 1014; г) 9975.№ 13: а) При умножении нечётных чисел получаем нечётное число, поэтому 3100 будет нечётным, тогда 3100+1 – чётное число, и, значит, делится на 2. б) При возведении числа 9 в различные степени на конце будем получать цифры 9, 1, 9, 1 и т.д. Значит, у числа 92000 на конце цифра 1. При возведении числа 7 в различные степени на конце будем получать цифры 7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1 и т.д. Значит, у числа 7 2000 на конце цифра 1. Тогда число 92000-72000 оканчивается на цифру 0, значит, оно делится на 10.№ 14: 978 и 174.№ 15: Число делится на 36, значит, оно делится на 4 и на 9. Тогда получаем числа 51732 или 51336.№ 16: Если число делится на 8, то на конце может быть цифра 8, 6, 4, 2, 0, но т.к. при делении на 8 остаток 3, то последняя цифра будет 1, 9, 7, 5, 3. Двузначное число, образованное двумя последними цифрами может быть 11, 15, 19, 23 и т.д. Тогда подбором находим число 611.№ 17: 1998360.№ 18: 39916800.№ 19: а = 35х+14 = . Число а больше 35 и имеет делитель 7, значит, оно составное.№ 20: Да, т.к. а будет однозначным или двузначным числом, у которого на конце может быть цифра 1, 3, 7 или 9, и сумма его цифр не делится на 3. Таким образом, а=7, 11, 31, 41, 13, 23, 43, 17, 37, 19, 29, т.е. простое число.№ 21: Произведение чисел нечётно, значит, все три числа – нечётные. Тогда их сумма тоже нечётна.№ 22: Число 623713 оканчивается на цифру 1, тогда число 623713-1 оканчивается на цифру 0, значит, оно делится на 2 и на 5, т.е. составное.№ 23: Чтобы число n2+n+41 стало составным, выражение n2+n должно делиться на 41, т.е. n(n+1)=41k. Тогда n=41, 82 и т.д.

9

№ 24: Но цифры 13 не существует.№ 25: Может, если число восьмёрок равно 3, 6, 9 и т.д. Например,

делится на 3, тоже делится на 3. А наоборот не может, т.к. в разложении чисел 33, 333 и т.д. никогда не будет множителя 8.№ 26: 14300:20=715 м, , значит, . Но шаг мальчика не может быть равен 143 см, значит шаг мальчика 65 см.№ 27: . Сумма цифр этого числа – 27, сумма цифр числа 27 равна 9.№ 28: . 3+5+7+11+13=39 – составное число.№ 29:

т. е. это число делится без остатка на 7, 11 и на 13.№ 30: , т.е. число делится на 11.№ 31: . Тогда а+3+7+13+11+37=а+71. Если а+71=80, то а=9, но это составное число. № 32: Нуль на конце числа образуется при умножении числа 5 на любое чётное число. Число 5 содержится в разложении чисел 5, 10, 15, 20, 25, 30, …, 95, т.е. всего 20 раз, значит число 100! оканчивается 20-ю нулями.№ 33: НОД (а, b)=1. Если НОД (а, b)>1, то утверждение может быть неверным, например, 10 делится на 2 и на 10, но 10 не делится на 20.№ 34: Нет, т.к. если а+b=c и , то , т.е. b – составное число, что противоречит условию.№ 35: НОК (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)=№ 36: Пусть х – данное трёхзначное число. Тогда

Значит, Итак, НОК (7, 8, 9)=

№ 37: а) НОД (а, b) = a. Значит, и . Тогда НОК (а, b)=b, т.к. и б) НОК (а, b) = b. Значит, и . Тогда НОД (а, b)=а,

т.к. и № 38: Пусть а и b – задуманные числа. Тогда НОД (а, b), b=

НОД (а, b). НОК (а, b)= НОД (а, b)=120. Значит, НОД (а, b)=6. Тогда а=24, b=30. б) Пусть а и b – задуманные числа. Тогда

10

НОД (а, b), b= НОД (а, b). НОК (а, b)= НОД (а, b)=120. Значит, НОД (а, b)=6. Тогда а=24, b=30.№ 39: , значит, . , значит, . Итак, имеем три числа: , и с. НОД (а, b, c)=c, НОК (а, b, с)=а.№ 40: НОК (3, 5, 7) = 105.

ЛИТЕРАТУРА:

1) Рурукин А.К, Чайковская К.В. Задания по курсу «Математика 5-6». Для учащихся 6-х классов Заочной школы МИФИ. - М.: ЗШ МИФИ, 2011.- 16 с.

2) Брагин В.Г., Уединов А.Б., Чулков П.В. Математика. Дидактические материалы. 6 класс. – М.: «Школа XXI век» - 160 с.

3) Ершова А.П., Голобородько В.В. Самостоятельные и контрольные работы по математике для 6 класса. – 5-е изд., испр. – М.: ИЛЕКСА, 2010. – 192 с.

4) Севрюков П.Ф. Подготовка к решению олимпиадных задач по математике. – М.: ИЛЕКСА; Народное образование; Ставрополь: Сервисшкола, 2009. – 112 с.

5) Балаян Э.Н. Готовимся к олимпиадам по математике: 5-6 классы. – Ростов-на-Дону: Феникс, 2010. – 180 с.

КАРТИНКИ:http://cs4387.vkontakte.ru/u107771362/-14/x_1aa84871.jpghttp://im2-tub-ru.yandex.net/i?id=346294844-34-72&n=21http://im5-tub-ru.yandex.net/i?id=240691409-09-72&n=21http://cs11141.vkontakte.ru/u15946340/-14/x_8d159d72.jpghttp://i01.fsimg.ru/3/tlog_box/1415/1415693.jpghttp://i077.radikal.ru/0912/ca/96ac76e07613.jpg

11