線形代数 I第3回 ベクトルの内積

担当： 松野 崇

大学院工学研究科，機械宇宙工学

専攻

前回小テストの答え

a =2x4yz

æ

èççç

ö

ø÷÷÷,  b =

2y3y5x

æ

èçççç

ö

ø÷÷÷÷である時、

(1)    a+ 2b = ?(2)   2a-b = ?(3)   5 2b+ a( ) = ?

前回小テストの答え

a+ 2b =2x4yz

æ

èççç

ö

ø÷÷÷+ 2

2y3y5x

æ

èçççç

ö

ø÷÷÷÷

a+ 2b =2x4yz

æ

èççç

ö

ø÷÷÷+

4y6y10x

æ

èçççç

ö

ø÷÷÷÷

a+ 2b =2x + 4y10y

z+10x

æ

èçççç

ö

ø÷÷÷÷

a =2x4yz

æ

èççç

ö

ø÷÷÷,  b =

2y3y5x

æ

èçççç

ö

ø÷÷÷÷である時、

前回小テストの答え

2a-b = 22x4yz

æ

èççç

ö

ø÷÷÷-

2y3y5x

æ

èçççç

ö

ø÷÷÷÷

2a-b =4x8y2z

æ

èççç

ö

ø÷÷÷-

4y6y10x

æ

èçççç

ö

ø÷÷÷÷

2a-b =4x - 2y

5y2z- 5x

æ

èçççç

ö

ø÷÷÷÷

a =2x4yz

æ

èççç

ö

ø÷÷÷,  b =

2y3y5x

æ

èçççç

ö

ø÷÷÷÷である時、

前回小テストの答え

5 2b+ a( ) = 5 a+ 2b( )a+ 2b =

2x + 4y10y

z+10x

æ

èçççç

ö

ø÷÷÷÷

5 2b+ a( ) = 52x + 4y10y

z+10x

æ

èçççç

ö

ø÷÷÷÷

5 2b+ a( ) = 10x + 20y50y

5z+ 50x

æ

èçççç

ö

ø÷÷÷÷

a =2x4yz

æ

èççç

ö

ø÷÷÷,  b =

2y3y5x

æ

èçççç

ö

ø÷÷÷÷である時、

今回の内容

• ベクトルの内積

内積の表記について

テキスト このスライド

ベクトルの内積の定義

内積： で定義されるスカラー

q ab

テキスト pp.11

a ×b = a b cosq

b cosq

ベクトルの内積の定義

aテキスト pp.11

a ×b = 0

内積： で定義されるスカラーa ×b = a b cosqb

ベクトルの内積の定義

ab

テキスト pp.11

内積： で定義されるスカラーa ×b = a b cosq

110 = e

201 = e

例1 基本ベクトルの内積

テキスト pp.12

1 2× =e e1 1× =e e2 2× =e e

011

内積の基本性質

テキスト pp.12

a ×b = b ×a( )1 2 1 2+ × = × + ×a a b a b a b( ) ( )c c c× = × = ×a b a b a b

分配則の補足説明

テキストにはありません

( )1 2 1 2+ × = × + ×a a b a b a b

q1a

2a

b1 2+a a

式（３．２）の導出

( ) ( )2- = - × -b a b a b a

テキスト pp.11

 = × - × - × + ×b b b a a b a a  2= × - × + ×a a a b b b

2 2  2= + - ×a b a b

ベクトルの内積（成分表示）

a ×b = axbx + ayby

平面ベクトルの場合

テキスト pp.11

各成分同士を掛けたものの和

,  x xy y

a ba b = = a b

ベクトルの内積（成分表示）

a ×b =

空間ベクトルの場合

テキスト pp.11

各成分同士を掛けたものの和

,  x xy yz z

a ba ba b

= = a b

axbx + ayby + azbz

ベクトルの内積（成分表示）

a ×b = axbx + ayby

,  x xy y

a ba b = = a b

( )2 2 212× = - - - -a b b a a b

2 2 2  2  - = + - ×b a a b a b

( ) ( ) ( ) ( )( )22 2 2 2 212 x x y y x y x yb a b a a a b b× = - - + - - + - +a b

テキスト pp.11

ベクトルの内積（成分表示）

a ×b = axbx + ayby

,  x xy y

a ba b = = a b

1 21 0,  0 1 = = e e

別の証明

1 2

1 2

,  x y

x y

a ab b

= += +

a e eb e e

a ×b = axex + ayey( ) × bxex + byey( )a ×b = axbxex ×ex + axbyex ×ey + aybxey × ex + aybyey × ey

1 2

1 2

,  x y

x y

a ab b

= += +

a e eb e e

シュワルツの不等式

 × a b a b

テキスト pp.13

cosq× =a b a b

例題１

テキスト pp.13

1 12 ,   13 1

= - = - a b である時のaとbの為す角

a ×b = a b cosqcosq ×= a ba b

( ) ( )( )1 1 2 1 3 114 3

× + - × + × -=

問題2

テキスト pp.13 問題2

122

= - a

× =a b

211

- = b

1 2 2 1 2 1× - + - × + ×2= -

問題2

テキスト pp.13 問題2

122

= - a

=a

211

- = b

2 21 1 2 2 3× + - + =

問題2

テキスト pp.13 問題2

122

= - a

=b

211

- = b

2 2 22 1 1 6- + + =

問題2

テキスト pp.13 問題2

122

= - a

cosq =

211

- = b

×a ba b

23 6-=

問題3

テキスト pp.13 問題3

122

= - a ，単位ベクトル：長さが１のベクトル

=a ( )22 21 2 2 3+ - + =

問題3

テキスト pp.13 問題3

122

= - a ，単位ベクトル：長さが１のベクトル

=a ( )22 21 2 2 3+ - + =

11 23 2

= - aa

= ×X aX a

問題3

テキスト pp.13 問題3

122

= - a ，単位ベクトル：長さが１のベクトル

cos ×= X aX a

100

= × aa

小テスト

1( )   a ×b = ?

0 10 ,   12 2

= = a b

2( ) aとbのなす角度は？