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면적 및 체적 적분
Metal Forming CAE Lab.
Department of Mechanical Engineering
Gyeongsang National University, Korea
역학에서의 면적 및 체적 적분 사례
면성치(Area properties) : 면적, 도심, 단면2차(극)관성모멘트
체성치(Volume or mass properties) : 체적, 무게중심, 질량관성모멘트
정역학 및 동역학A
y dAy
A= ∫분포하중에 대한 합력의 계산시 도심의 결정 : ,A A
xdA xdAx
A= =∫ ∫∫ A
물체의 무게중심의 계산 : , ,A A AxdV y dV z dV
x y zρ ρ ρ
= = =∫ ∫ ∫A
AdA∫
물체의 무게중심의 계산 , ,A A A
x ydV dV dVρ ρ ρ∫ ∫ ∫
질량관성모멘트 :2 2
zz V VI r dm r dVρ= =∫ ∫
고체역학
축의 비틀림 문제에서 단면2차극관성모멘트 :2
zJ I r dA= = ∫
zz V Vρ∫ ∫
보의 단면의 도심 결정:
보의 단면의 일부에 대한 면적적분 :
z A∫
y dA= ∫Q,x y
의 의 부에 대 적적
단면2차관성모멘트 :
1Ay∫
2zz A
I y dA= ∫
면적 및 체적 적분의 개념
( , ) ( , )A A
f x y dA f x y dxdy=∫ ∫∫용어의 정의
면적적분:A A∫ ∫∫
적분요소
피적분함수(Integrand)
적분구간
예제: 그림의 면적을 대상으로 하여 다음 식에서의 를 구분하여 설명하라. A
적분구간 는 그림의 영역(사각형의 내부)을 나타내는 기호임
적분요소에서 는 단독으로 의미를 가지지 못하며, 임dA dxdy=Ay dA
yA
= ∫A
A분모의 는 사각형의 면적( )를 의미함A bh=
A Ay
h※ 체적 적분은 면적 적분의 단순 확장이므로A
x
상세설명은 면적 적분으로 대신함b
면적 및 체적 적분의 개념
면적적분의 의미
면적적분: 적분구간을 미소의 적분요소인 면적요소로 나누고 모든 면적요소의 중심에서
구한 피적분함수의 값과 그 면적요소의 면적을 곱하여 더해 준 것임
예제: 다음의 식의 의미를 그림의 면적을 대상으로 설명하고, 근사적으로 값을 구하라.
면적요소 와 를 곱하여 더해 주되, 그 대상 면적을 으로
한다는 의미임
2ydA1
2
AI y dA∞ = ∫ 1A
1 2 1 2( , )A A A A A= ∪ ∅ = ∩y
A
y
x
1A
16b =2A
A24h =
x
12
11
2128 8 8192
i ii
I A y=
=
= × =
∑4
24
1
2 232 (2 10 2 6 )
i ii
I A y=
=
= × × + ×
∑16
216
1
2 2 2 28 (4 11 4 9 4 7 4 5 )
i ii
I A y=
=
= × × + × + × + ×
∑( )
8704=( )
8832=3 21 216 8 16 8 8 8874
12 3exactI I∞ = = × × + × × =
면적 및 체적 적분의 계산법
면적적분의 계산법
일반적으로 직선 적분과는 달리 공식이 한정되어 있음. 따라서 수계산으로 구할 수
있는 면적 및 체적 적분은 극히 제한적임. 대부분의 경우 수치계산법으로 구해야 함
상황(피적분함수의 형태, 적분구간의 형태)에 따라 적절히 대응해야 하며, 경험적 요소에
의존할 수밖에 없음. 다행히 고체역학 문제의 경우, 수계산으로 계산이 가능한 경우가
대부분임
수계산이 가능한 경우
단면적이 원 직사각형 삼각형 등의 기본 도형의 조합으로 이루어져 있는 복합도형의단면적이 원, 직사각형, 삼각형 등의 기본 도형의 조합으로 이루어져 있는 복합도형의
면성치
(단면적, 도심, 단면(2차)극관성모멘트, 단면(2차)관성모멘트 등)
원통, 직육면체, 원뿔 등의 기본적인 입체형상의 조합으로 이루어져 있는 복합입체형상의
체성치체성치
(체적, 체적중심, 무게중심, 질량관성모멘트 등)
면적 및 체적 적분의 계산법
경우 단면이 직사각형이고 피적분함수가 와 의 다항식으로 구성되어 있을 경우
수계산이 가능한 경우
경우 1. 단면이 직사각형이고, 피적분함수가 와 의 다항식으로 구성되어 있을 경우
예제 1.1: / 22/ 2 / 2h
b h y⎡ ⎤∫ ∫∫ ∫ ∫
yx
y 'y/ 2 / 2
/ 2 / 2/ 2
02
b h
A A b hh
yydA ydxdy dx ydy b− −
−
⎡ ⎤= = = × =⎢ ⎥
⎣ ⎦∫ ∫∫ ∫ ∫
예제 1.2: / 23 3/ 2 / 2
hb h y bh⎡ ⎤
∫ ∫∫ ∫ ∫x
y
A
y
'x/ 2 / 22 2 2
/ 2 / 2/ 23 12
b h
A A b hh
y bhy dA y dxdy dx y dy b− −
−
⎡ ⎤= = = × =⎢ ⎥
⎣ ⎦∫ ∫∫ ∫ ∫
2 2/ 2 'h
b h y bh⎡ ⎤예제 1.3:
hA
b
y
/ 2
/ 2 00
' ' ' ' ' ' '2 2
b h
A A b
y bhy dA y dx dy dx y dy b−
−
⎡ ⎤= = = × =⎢ ⎥
⎣ ⎦∫ ∫∫ ∫ ∫
3 3/ 2 'h
b h y bh⎡ ⎤예제 1.4:
/ 22 2 2
/ 2 00
'' ' ' ' ' ' '3 3
b h
A A b
y bhy dA y dx dy dx y dy b−
⎡ ⎤= = = × =⎢ ⎥
⎣ ⎦∫ ∫∫ ∫ ∫
/ 23 2 3 2/ 2 ' 'b h
b h x y b h⎡ ⎤ ⎡ ⎤예제 1.5:
/ 22 2
/ 2 0/ 2 0
' '' ' ' ' ' ' ' ' ' '3 2 24
b h
A A bb
x y b hx y dA x y dx dy x dx y dy−
−
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = × =⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫∫ ∫ ∫
면적 및 체적 적분의 계산법
경우 2. 한 변이 축과 평행한 삼각형이고, 피적분함수가 와 의 다항식으로
수계산이 가능한 대표적인 경우(계속)yxx
3구성되어 있을 경우
예제 2 1 : dy
y34
b
2
0 0( )
6= = − =∫ ∫ ∫
h h
A
b bhy dA ywdy h y ydyh
예제 2.1 :
3
dy
y
hw
wdy
34
304
34 4
= +∫ ∫ ∫
∫ ∫
b b
A b
b b
x dA x ydx x ydx
h h: ( ) :h b h y w= −
xb
2 24304
2
4 4 ( ' )37
= + −
=
∫ ∫b b
b
h hx dx bx x dxb b
b h
y 34
b
예제 2.2 : 3
∫ ∫ ∫h hb bh
24= b h
hx dx
2 2 2
0 0( )
12= = − =∫ ∫ ∫
h h
A
b bhy dA y wdy h y y dyh x
bx
dx
면적 및 체적 적분의 계산법
수계산이 가능한 대표적인 경우(계속)
경우 단면이 원이고 피적분함수가 반경 의 함수일 때
oRiR
dr
예제 3.1:
경우 3. 단면이 원이고, 피적분함수가 반경 의 함수일 때rr
( )2 2 4 422
o
i
R
o iA Rr dA r rdr R Rππ= × = −∫ ∫
2dA rdrπ=
경우 4. 단면이 원 또는 부채꼴이고, 피적분함수가 또는 의 함수일 때
예제 4.1: 원
yxdrθd
drr
( )22 2 2 3 2 4 4sin sinoRy dA r r d dr r dr d R R
π πθ θ θ θ= = = −∫ ∫∫ ∫ ∫
22
0sin sin 0o
i
R
A A RydA r r d dr r dr d
πθ θ θ θ= = =∫ ∫∫ ∫ ∫ C
θ2α
drr
( )0
sin sin4i
o iA A Ry dA r r d dr r dr d R Rθ θ θ θ= = =∫ ∫∫ ∫ ∫
3 3sin 2 sinR R R Rα
α α θ α⋅∫ ∫ ∫ ∫ ∫
예제 4.2: 부채꼴
r
dA rd drθ=2
0 0
sin 2 sincos cos3 3
R R
A
R RxdA r r d dr r dr dα α
αα α
θ αθ θ θ θ −
− −= = = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫
면적 및 체적 적분의 계산법
수계산이 가능한 대표적인 경우(계속)
경우 그림과 같이 단면 형상이 활꼴이고 피적분함수가 의 함수일 경우y
예제 5.1:
경우 5. 그림과 같이 단면 형상이 활꼴이고, 피적분함수가 의 함수일 경우y
32 22 2 2 2 2
2 2
0
2 2
2( )23
2
a a h
A h
a hydA y a y dy tdt
a y t ydy dt
− −= − = =∫ ∫ ∫
y
2 2
, 20
a y t ydy dty a ty h t a h
− = − =
= → =⎛⎜ →⎝
dy
y h t a h= → = −⎝
xh a y
x
도심의 정의
' ' '∫ ∫ ∫x dL y dL z dL
도심(Centroid)의 의미: 도형의 중심. 선, 면적, 체적의 기하학적 중심
수학적 정의 'yy
' ' ', ,= = = =∫ ∫ ∫L L L
x dL y dL z dLx y z
L L L선중심:
면적중심' ' '∫ ∫ ∫A A A
x dA y dA z dA
y
x x면적중심:
(도심)
체적중심:
, ,= = = =∫ ∫ ∫A A Ax y zA A A' ' '
, ,= = = =∫ ∫ ∫V V Vx dV y dV z dV
x y z
yx
', ,x y z', ', 'x y z
대개 역학 문제에서 좌표계를 도심에서 정의하므로 그림의 2차원 평면상에서 보는 바와
같이 기준좌표계인 좌표계에 대한 상대적인 위치, 즉 로 도심을 정의함, ,x y z
, ,yV V V 'x
역학 계산에서 면적중심이 많이 사용되고 있으며, 주로 그림에서 보는 바와 같이 좌표계의 면
또는 면과 평면을 일치시킴
x y−y z− yy
무게중심과의 관계: 체적중심은 밀도가 균일한 동일한 형상의 물체의 무게중심과 일치함
xz
무게중심과의 관계: 체적중심은 밀도가 균일한 동일한 형상의 물체의 무게중심과 일치함. 선과 면적은 부피가 없으므로 무게중심과 직접 비교할 수는 없음. 그러나 선의 굵기와 면의
두께가 균일하고 밀도가 동일한 물체의 무게중심과 일치하는 것으로 이해해도 무방함
직접적분으로 도심 구하기의 예제
예제 1-A2
' bhdA∫예제 로부터 임
yA
'y
2' / 22
Ay dA bh hyA bh
= = =∫
'2A
bhy dA =∫예제 1.1로부터 임
따라서 임
x
h/ 2h2y
A bh'
0Ax dA
xA
= =∫축에 대해서 좌우 대칭이므로 임'x −
'xh
b
/ 2h
'예제 2-A
예제 2.1의 결과를 이용하면,
'y34
b
2' 7 / 24 7/ 2 12
Ax dA b hx bA bh
= = =∫ 'dy
hw
2' / 6/ 2 3
Ay dA bh hyA bh
= = =∫
/ 2 12A bh
'y
h
/ 2 3A bh
b'x
직접적분으로 도심 구하기의 예제
'예제 3-A: 원
예제 3.2의 결과를 이용하면,
'y
'0A
y dAy
A= =∫'
0Ax dA
xA
= =∫0 'x
2R Rα α
∫ ∫ ∫ ∫∫
예제 3-B: 부채꼴
2
0 02 2
3
cos cos'
sin 2 i
R R
Ar r d dr r dr dx dA
xA R R
R R
α α
α α
α
θ θ θ θ
α α
θ
− −= = =∫ ∫ ∫ ∫∫'y cosθr
2
sin 2 sin3 3
R RR
αθ α
α α−
⋅= =
R drθd drr
4=
Rx
반원일 경우 αα C
R
θαα 'x
r
3π=x R
θ= ⋅dA rd dr
직접적분으로 도심 구하기의 예제
예제 5.1로부터 임
예제 5-A 32 2 22( )'
3A
a hy dA −=∫ 3A∫
면적의 계산
2 2 2 2 22 22 ' ' 2 cos (1 cos 2 )a
h hA dA a y dy a d a dπ π
θ θ θ θ= = − = = +∫ ∫ ∫ ∫
h a
1 1sin sin
1 2 2 2
2 2 cos (1 cos 2 )
( sin )2
h hA ha a
A dA a y dy a d a d
h a h a ha
θ θ θ θ
π
− −
−
+
= − − −
∫ ∫ ∫ ∫
'
1
' sin , ' cos
' ; ' sin2
y a dy a dhy a y ha
θ θ θπθ θ −
= =
⎛ ⎞= → = = → =⎜ ⎟⎝ ⎠
2 2 2' '+ =x y a
'y
'dyA
32 2 2
1 2 2 2
' 2( )
3 ( sin )
Ay dA a hy
hA a h a hπ −
−∴ = =
⎧ ⎫⎨ ⎬
∫⎝ ⎠
'ya y
13 ( sin )2
a h a ha
− − −⎨ ⎬⎩ ⎭
2 22 ' 'dA a y dy= −반원의 도심:
4ay =
'x1sin /− h a
y y반원의 도심:
3y
π=
직접적분으로 도심 구하기의 예제'
예제 6
1 2 1 2
' ' ''+
+= = =
∫ ∫ ∫∫ A A A AAx dA x dA x dAx dA
x
'y
a 1A
A
1 2
0
( ' ) '' ' '
= = =+
−⎧ ⎫+ −⎨ ⎬−⎩ ⎭∫ ∫a b
a
xA A A A
h x b xhx dx dxb a
h
b
2A
0
2
2 2
( ) / 2( ) (2 )
⎩ ⎭=+ −
− ++
a b aah b a h
ah b a h a bb b
'xb
'y'=dA hdx
2 22 6
( ) / 2 3( )
+ + += =
+ − +a b ab
ah b a h a b' 'dA y dx=
' ( ' )hy x bb a
= − −−
2
0' ' ''
1 ( )
h
A
a b y by dyy dA hyA b h
−⎧ ⎫+⎨ ⎬⎩ ⎭= =
∫∫ 'x'dx'x
'y
3 2
( )2
(2 )3 2
A a b h
a b bh ha b hh
+
−+
+
y
'dy( )' '−
= +a bx y b
h
' 'dA x dy=
(2 )3 21 3 ( )( )2
a b hha ba b h
+= =
++'x
h
'dy
도심 이용 면적적분'
'x dA∫
도심을 이용한 면적 적분 공식
'y
2'y dA yA R Rπ= = ×∫'AA
A
x dAx x dA xA
dA= ⇒ =∫ ∫∫ 3
Ay dA yA R R
R
π
π
= = ×
=
∫
''A
A
y dAy y dA yA
dA= ⇒ =∫ ∫∫
'x'y
h∫
AA
y y ydA ∫∫
h 2
'2A
hy dA yA bh
bh
= = ×
=
∫
''A
A
z dAz z dA zA
dA= ⇒ =∫ ∫∫
b'y
2'x
AdA∫
2
3 2A
h bhxdA yA
b h
= = ×∫h
'x6
b h=
b
복합도형의 도심 계산
1 2 1 2
' ' ' ''A A A A A A i iA
x dA x dA x dA x dAx dA A x+ +⋅⋅++ + ⋅⋅ +∫ ∫ ∫ ∫∫ ∑
복합도형의 도심 계산 공식
1 2 1 2
1 2 1 2
n n
n n
A A A A A A i iA
iA A A A A A A
xAdA dA dA dA dA
+ + +
+ +⋅⋅+
= = = =+ + ⋅⋅+
∫ ∫ ∫ ∫∫ ∑∑∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫∫ 1 2 1 2
1 2 1 2
' ' ' ''n n
n n
A A A A A A i iA
iA A A A A A A
y dA y dA y dA y dAy dA A yy
AdA dA dA dA dA+ +⋅⋅+
+ +⋅⋅+
+ + ⋅⋅ += = = =
+ + ⋅⋅+
∫ ∫ ∫ ∫∫ ∑∑∫ ∫ ∫ ∫ ∫
1 2 1 2n n
'y
1A2A
3A 'i
i iAx dA x A=∫
. . .nA
i
'x
복합도형의 도심 구하기의 예제
2 2 2 2 2' ' ( 2 3 )A Ax dA x dA b ab a a h a b ab+ + − + + +∫ ∫
사다리꼴의 도심
1 2
1 2
( 2 3 )( ) 3( )6( )
2
A A b ab a a h a b abx b aA A a bah h
+ − + + += = =
−+ ++
∫ ∫
'
1
2
1 1
2 2
'2 2
( ) ( 2 )' ( )
A
a a hx dA x A a h
b a b a h b ab a hx dA x A a
= = =
− − + −+
∫
∫
'y
aA
22 2 ( )
3 2 6Ax dA x A a= = + =∫
1 2( ),
2b a hA ah A −
= = h
1A
2A
2
1
2
1 1
2
'2 2
( ) ( )A
h ahy dA y A a h
h b a h b a h
= = =
− −
∫
∫
'xb
/ 2h/ 3h
b
O
2' ' (2 ) (2 )A Ay dA y dA a b h a b h+ + +∫ ∫
22 2
( ) ( )'3 2 6A
h b a h b a hy dA y A= = × =∫3−
+b aa
1 2
1 2
(2 ) (2 )( ) 3( )6( )
2
A A a b h a b hy b aA A a bah h
+ += = =
−+ ++
∫ ∫
복합도형의 도심 구하기의 예제
40120
'y120
A
40
40= +100
60
1A
2A
30
30
20 20 50'x
20 - -20
4060
4A 3A
2 21 212000 mm , 3000 mmA A= =
2 3 3
1 1 2( ) ( ) ( )f x dx f x dx f x dx= −∫ ∫ ∫※
1 1 2 2 3 3 4 4 75 0 mmA x A x A x A x
x+ − −
= =
2 23 4
1 1
800 mm , 450 mm60, 50
60 100
A Ax y
π= =
= =
1 2 3 4
75.0 mmxA A A A
= =+ − − 2 2
3 3
60 100120 ,3 3
20 40110 120, 202 2
x y
x y
= + =
= + = = +
4 4
2 24 4030 30 60, 30
3x y
π π= + = = × =1 1 2 2 3 3 4 4
1 2 3 4
50.8 mmA y A y A y A y
yA A A A+ − −
= =+ − −
복합도형의 도심 구하기의 예제
'y
= -240
1A 2A
+120
60
120 360 'x
1 1 2 2 166 6 mm−
= =A x A x
x 21 480 360 60A A× × ×1 2
1 1 2 2
166.6mm
120mm
= =−−
= =
xA A
A y A yy
A A
21 2
1 2 2 2
480 360 , 6021 1480, 360, 1203 3
A A
x y x y
π= × × = ×
= × = × = =1 2−
yA A 3 3
도심을 이용한 값 구하기Q
의 정의:
보의 전단응력 계산에 필요한 값,
ydA= ∫Qτ =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠xy
zz
VbIQ
의 계산:
의 정의
1 11 12 1nA A A AydA ydA ydA ydA= = + + ⋅⋅+∫ ∫ ∫ ∫Q
1AydA∫QQ
Q1 1 11 11 12 12 1 1n ny A y A y A y A= = + + ⋅⋅ +
예제
사각형단면: 원형단면: 복합단면:y
'yy
8y =10y =
사각형단면: 원형단면: 복합단면:
z h1y
20
4
4
ah 1 =y h
z1A
1A 0y =2y =6
bd A b d y=
32 2 2
1 2 2 2
2( )
3 ( sin )π −
−=
⎧ ⎫− − −⎨ ⎬
a hh a h a h
Q 20
4
1 11 1 12 2( 0)= = +y A y A yQ'x
1
1
2
22 2
+ ⎛ ⎞= × −⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞
h y hb yQ 1 2 2 2
3 ( sin )2
( sin )2π −
⎨ ⎬⎩ ⎭
⎧ ⎫× − − −⎨ ⎬⎩ ⎭
a h a ha
h a h a ha
24 3 80 8 712= × + × =
1 11 1 12 2( 2)16 4 80 8 704
= = += × + × =
y A y A yQ2
21
12 4⎛ ⎞
= −⎜ ⎟⎝ ⎠
h y3
2 2 22( )3−
=a h 1 11 1( 8) 40 9 360= = = × =y A yQ
1 11 1( 10) 0 10 0= = = × =y A yQ
도심을 이용한 축대칭 물체의 부피 계산
2 2π πΑ
= =∫V rdA rA2
1 2 3 1000mmA A A A= − + =
A2A 3A
= - +1A100
100
50
50
2 22 3
1 1 2 2 3 31000 50 50 50
4 4 33.33mm
π π
π π
× − × × + × ×− += = =
+
r rA r A r A rr
A A A 2 21 2 3
1 2 3
1000 50 504 4
4 450, 100 50, 100 50
π π− + − × + ×
= = − × = + ×
A A A
r r r1 2 350, 100 50, 100 503 3π π
+r r r
32 2 33.33 1000 209418.57mmV rAπ π= = × × × =
도심을 이용한 합력의 계산
4m 6m
1200N/m2800N/m
= +1200N/m
1600N/m1A
2A
110 1200 6 1600 16800NR A A= + = × + × × =
= +1 5x = 2 8x =
1 2
1 2 2 2
10 1200 6 1600 16800N2
212000 5 4800 (4 6) 413
R A A
A x A xx
= + = × + × × =
× + × + ×+= = = 4m 6m
16800NR =
1 2 12000 4800 7x
A A+ +
1200N/m2800N/m
417
x =
복합보의 중립축 구하기
0AEydA =∫
복합보의 중립축 계산 공식
중립축의 정의: ' , 'N Ny y y y y y= + = −
, 'y y1A
A
( )'i i
i i N iA A Ai i
EydA E ydA E y dA y A= = −∑ ∑∫ ∫ ∫
,N Ny y y y y y
' 0E dA E A∑ ∑∫z
y
2A
'i
i i i iAE y dA E y A∑ ∑∫
' 0i
i N i iAi i
E y dA y E A= − =∑ ∑∫
'z
Ny 1y
ny1nA −
iAi i
Ni i i i
i i
yE A E A
= =∫
∑ ∑y 'y
z
nA
1 2
2 0A A AEydA E ydA E ydA= + =∫ ∫ ∫
예제:
a
1A 1E E=
1 2
2' 2 ' 02 2
3 3 52 0
N NA A
EA EAE y dA y E y dA y
A A a EAE E
− + − =∫ ∫ Nyz ′
A
z
2E E
a
3 3 52 02 2 2 2 2 6N NA A a EAE a E y y a× × + × × − = → =
22 2 4A a a a= × =2A 2a 2 2E E=
단면2차관성모멘트 구하기-단순단면
y
3h
h ⎡ ⎤
예제: 직사각형 단면
dy
zh
y
3 22 2 32
2 0
123 12
h
hzz A
yI y dA y bdy b bh−
⎡ ⎤= = = =⎢ ⎥
⎣ ⎦∫ ∫
dy
b예제: 원형 단면=dA bdy
2 22 3 2 3 2
0 0 0 0
24
sin sin
i 2
R R
zz AI y dA r drd r dr d
R
π π
π
θ θ θ θ
θ θ
= = =
⎡ ⎤
∫ ∫ ∫ ∫ ∫=dA bdy
y
244 4
0
sin 24 2 4 4 64
R R dπθ θ π π⎡ ⎤= − = =⎢ ⎥⎣ ⎦ dθ
θR
drr
2 2 2 2 2
2 4 4
( )
2 2
A A A AJ r dA z y dA z dA y dA
dA I R dπ π
= = + = +∫ ∫ ∫ ∫
∫
z
2 4 42 22 32zzA
y dA I R dπ π= = = =∫
siny r θ=dA rd drθ= ⋅
단순한 복합단면에 대한 단면2차관성모멘트의 계산
y
=각 구성 요소의 가 0인 경우y
2 2
2 2
R Czz A A A
I y dA y dA
y dA y dA
−= =
= −
∫ ∫∫ ∫
A
z hR
RA CA
3 4112 4
R CA Ay dA y dA
bh Rπ
= −
= −
∫ ∫
b
R
12 4
=
C1 2
2 2
2 2 2
R C Czz A A A A
I y dA y dA
dA dA dA
− −= =∫ ∫
∫ ∫ ∫
ARA
CACA
1 2
2 2 2
3 4 4 3 41 1R C CA A Ay dA y dA y dA
bh R R bh Rπ π π
= − −
= − − = −
∫ ∫ ∫h
R12 8 8 12 4
b
복합단면의 단면2차관성모멘트 계산 공식
도심에서 떨어져 있는 축에 대한 단면2차관성모멘트의 계산' 'z z−
2' ' 'z z A
I y dA= ∫ , 'y ydA
2
2 2
( )
( 2 )
Ay y dA
y yy y dA
= +
= + +
∫
∫y
2 2
( 2 )
2
A
A A A
y yy y dA
y dA y ydA y dA
+ +
= + +
∫
∫ ∫ ∫z
' = +y y yy
2 2
2
Ay dA y A= +∫ 'z
2zzAI y A= +
단면2차관성모멘트 구하기-단순단면
예제: 삼각형 단면
2 / 3 2 / 3h h b∫ ∫ ∫
'y y
2 / 3 2 / 32 2 2' ' / 3 / 3
' ' ' ( ') ' 'h h
z z A h h
bI y dA y wdy b y y dyh− −
= = = −∫ ∫ ∫
2 / 3⎛ ⎞
h
'dy
hw
2 / 32 / 3 2 3 3 4
/ 3/ 3
( ' ' ) ' ' '3 4−
−
⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎝ ⎠∫
hh
hh
b b bby y dy y yh h 'yz
3h
'=dA wdy
3 4 3 48 163 27 4 81 3 27 4 81
= ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅b h b h b h b h
h h
'zb
y
( ') : :− =h y h w b
( ') ( )−b h y bb
37108
= bh( ) ( ')= = −
b h y bw b yh h
( ') '= −bdA b y dy
22 3
' '7
108 9 21
zz z zh bhI I y A bh= − = − ×
( )dA b y dyh31
108bh=
특수한 단면2차관성모멘트 계산 예제
를 직접 적분으로 구할 수 있는 경우, 의 계산
2 3 2Rπ
∫ ∫ ∫
' 'z zI zzI
2 3 2' ' 0 0
3 2 4
0 0
' sin
sin8
z z A
R
I y dA r drd
r dr d Rπ
θ θ
πθ θ
= =
= ⋅ =
∫ ∫ ∫
∫ ∫' = +y y y
, 'y y0 0 8∫ ∫
2 sin'Rr drdy dA
πθ θ∫ ∫∫
dθ
θR
drryz
0 02
300
sin
/ 2
2 / 3 [ cos ] 4
A
R
r drdy dAy
A R
rR
π
θ θ
π
θ
= =
⎡ ⎤ × −⎣ ⎦
∫ ∫∫ θ
'z
y
dA rd drθ= ⋅' siny r θ=0
2 3R
Rπ π⎣ ⎦= =
16 8π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞
siny r θ
2 4 2 2 4' ' 2
16 88 9 2 8 9zz z zI I y A R R R Rπ π π
π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − × = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
복합단면의 단면2차관성모멘트 계산 예제
w
1 1 2 2 3 3y A y A y Ay + +=
해법 1
1A
2A
t
y′y
d( )
1 2 3
22 2 2
yA A Ad t dtd w t t d td
+ +
⎛ ⎞× + − × − + ×⎜ ⎟⎝ ⎠
2A
z′t
( )( ) ( )
( )
2
2 2 22
2 2 2 5
td w t t td
w t d t dt
⎝ ⎠=+ − +
− × − += = =( )2 2 2 2
td w t+ − =
+ +1A 2AA
1 2 3) ) )= + +zz zz zz zzI I I I1A td= 2 ( 2 )A w t t= − 3A td=
3A
( ) ( )22
3 31 1 2 212 2 12 2
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + × − + − + − × − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦d ttd td y w t t w t t y d
231
12 2⎛ ⎞+ + × −⎜ ⎟⎝ ⎠
dtd td y
복합단면의 단면2차관성모멘트 계산 예제
w
1 1 2 2y A y Ay −=
해법 2
y′y
d( )
1 2
2 ( )2 2
yA A
d d twd w t d t
−−× − − − ×
=z′
( )( ) ( )
( )
2
2 ( )
2 2 2 52 2 2 2
wd w t d t
w t d t dt
d w t
=− − −
− × − += =
+ =t
1 2) )= −zz zz zzI I I
( )2 2 2 2d w t+ −
-1A 2A
23
2
112 2
⎛ ⎞= + × −⎜ ⎟⎝ ⎠
⎧ ⎫⎛ ⎞
dwd wd y
d
1A wd= 2 ( 2 )( )A w t d t= − −
( ) ( )2
31 2 ( ) 2 ( )12 2⎧ ⎫−⎛ ⎞− − − + − − × −⎨ ⎬⎜ ⎟
⎝ ⎠⎩ ⎭
d tw t d t w t d t y
복합단면의 단면2차관성모멘트 계산 예제
d d⎛ ⎞
y ′
t1A 2A
2A
3 234 2
3 2 4
d dtd td dy d
td td
⎛ ⎞× + × +⎜ ⎟⎝ ⎠= =
+ y
2d
d
z
( )3 2 2
31 3 1 36 3 2 2d d dI t td d t d td d d⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= × × + × − + × + × + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
z ′6t
2d
1A 2A
1A( )
3
6 3 2 212 2 4 4 12 2 412548
zzI t td d t d td d d
td
+ + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=
A 2A 1A
5.7521 7 75⎛ ⎞⎛ ⎞
1A 2
2 3,A A
A200
( )
3
3
1 7.752 130 7.75 130 7.75 10012 2
1 5 75 200 2 7 75
zzI⎛ ⎞⎛ ⎞= × × × + × × −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
+ × × − ×
1A
3A
130
7.75( )5.75 200 2 7.75
1221638087.7
+ × × − ×
=1A
복합보에서의 단면2차관성모멘트 관련 면적적분
∫ ∫ ∫
21b A
M Ey dAρ
= ∫복합보에서의 평형조건식: y 'y
1A 1E E=
1 2
1 2
2 0
2' 2 ' 02 2
A A A
N NA A
EydA E ydA E ydA
EA EAE y dA y E y dA y
= + =
− + − =
∫ ∫ ∫
∫ ∫a
za2 2
3 3 52 02 2 2 2 2 6N NA A a EAE a E y y a× × + × × − = → =
Nyz ′
2A 2a 2 2E E=
a
2 2'= ×= + N
A a ay y y1
22 3 4
1
2
1 3 5 192 212 2 6 18A
I y dA a a a a a a a⎛ ⎞= = × × + × × − =⎜ ⎟⎝ ⎠∫
'= − Ny y y2
22 3 4
21 1 5 72 2 2
12 2 6 18AI y dA a a a a a a⎛ ⎞= = × × + × × − =⎜ ⎟
⎝ ⎠∫
( )1 2
42 2 2
1 2 1 21 1 1 332
18ρ ρ ρ ρ⎡ ⎤= = + = + =⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫b A A A
EaM Ey dA E y dA E y dA EI EIρ ρ ρ ρ
