Πανεπιστημιακή Φυσική Τόμος Α Hugh D. Young Μέρος Α - Κεφάλαιο 1: Κινηματική

Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 1

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

ΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΜΕΡΟΣ Α: ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ

Οι σημειώσεις βασίζονται στο βιβλίο Πανεπιστημιακή Φυσική Τόμος Α (Hugh D.

Young).

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ

ΚΟΝΤΟΜΑΡΗΣ ΣΤΕΛΙΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΠΟΥΛΟΥ ΒΑΣΙΛΙΚΗ

www.sciencephysics4all.weebly.com



Οι σημειώσεις αυτές απευθύνονται σε πρωτοετείς φοιτητές ΑΕΙ και ΤΕΙ που

διδάσκονται το μάθημα Φυσική Ι – Μηχανική σε πρώτο πανεπιστημιακό επίπεδο.

Είναι βασισμένες στο βιβλίο Πανεπιστημιακή Φυσική Τόμος Α (Hugh D. Young).

Περιέχουν σύνοψη της θεωρίας των κεφαλαίων 2 και 3, καθώς και χαρακτηριστικά

παραδείγματα με τις λύσεις τους.

Δεν αποτελούν σε καμία περίπτωση υποκατάστατο πανεπιστημιακού βιβλίου.

Αποτελούν όμως ένα χρήσιμο βοήθημα για το φοιτητή που χρειάζεται λυμένα

παραδείγματα για την περεταίρω κατανόηση της θεωρίας.

Επικοινωνία

Αν θέλετε να επικοινωνήσετε μαζί μας για οποιοδήποτε λόγο (παρατηρήσεις,

διορθώσεις κ.τ.λ) στείλτε τα μας το μήνυμά σας σε ένα από τα παρακάτω mail:

[email protected]

[email protected]

[email protected]

mailto:[email protected]





ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

ΕΝΟΤΗΤΑ Α: ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ .................................................................. 4

Α. 1) Διανυσματική μέση ταχύτητα ........................................................................... 4

Α. 2) Διανυσματική στιγμιαία ταχύτητα .................................................................... 4

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΩΝ Α.1-Α.2 ............................................................... 6

Α.3) Μέση και στιγμιαία επιτάχυνση ........................................................................ 8

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑΣ Α.3 ....................................................................... 9

Α.4) Κίνηση με σταθερή επιτάχυνση....................................................................... 11

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑΣ Α.4 ..................................................................... 12

Α.5) Ελεύθερη πτώση σωμάτων .............................................................................. 16


Α.6) Εύρεση ταχύτητας και συντεταγμένης θέσης με ολοκλήρωση ....................... 20


Α.7) Σχετική ταχύτητα στην ευθύγραμμη κίνηση ................................................... 23


ΕΝΟΤΗΤΑ Β: ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ................................................................... 25

Β.1) Διάνυσμα θέσης ............................................................................................... 25

Β.2) Το διάνυσμα της μέσης ταχύτητας .................................................................. 25

Β.3) Το διάνυσμα της στιγμιαίας ταχύτητας ........................................................... 25

Β.4) Συνιστώσες του διανύσματος της στιγμιαίας ταχύτητας (στις 3 διαστάσεις) . 26

Β.5) Συνιστώσες του διανύσματος της στιγμιαίας ταχύτητας (στις 2 διαστάσεις) . 26

Β.6) Το διάνυσμα της μέσης επιτάχυνσης ............................................................... 27

Β.7) Το διάνυσμα της στιγμιαίας επιτάχυνσης ........................................................ 28

Β.8) Συνιστώσες του διανύσματος της στιγμιαίας επιτάχυνσης .............................. 28

(στις 3 διαστάσεις) ................................................................................................... 28

Β.9) Συνιστώσες του διανύσματος της στιγμιαίας επιτάχυνσης .............................. 29

(στις 2 διαστάσεις) ................................................................................................... 29

Β.10) Ανάλυση διανύσματος επιτάχυνσης .............................................................. 29

Β.11) Ρυθμός μεταβολής του μέτρου της ταχύτητας και μέτρο διανυσματικής

επιτάχυνσης .............................................................................................................. 30

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑΣ Β ........................................................................ 31

ΕΝΟΤΗΤΑ Γ: ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΗΣ

ΚΙΝΗΣΗΣ .................................................................................................................... 37

Γ.1) ΚΙΝΗΣΗ ΒΛΗΜΑΤΟΣ ................................................................................... 37

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑΣ Γ.1 ...................................................................... 39

Γ.2) ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ....................................................................... 47


Γ.3) ΣΧΕΤΙΚΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΣΤΙΣ 2 ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ .............................................. 52




ΕΝΟΤΗΤΑ Α: ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ

Α. 1) Διανυσματική μέση ταχύτητα

Η συνιστώσα x της διανυσματικής μέσης ταχύτητας av είναι ο λόγος της συνιστώσας x

της μετατόπισης x που συντελέστηκε μέσα σε κάποιο χρονικό διάστημα t , προς το

χρονικό διάστημα αυτό:

t

x

tt

xxav

12

12 (Α.1.1)

Αν σε ένα διάγραμμα παρασταθεί η αλλαγή της θέσης ενός σωματίου σε συνάρτηση με το

χρόνο, η διανυσματική μέση ταχύτητά του θα παριστάνεται από την κλίση της ευθείας που

ενώνει τα σημεία που αντιπροσωπεύουν τις θέσεις του σωματίου μεταξύ των οποίων

αναζητούμε τη μέση του ταχύτητα.

Η διανυσματική μέση ταχύτητα είναι φυσικά διανυσματική ποσότητα. Όταν παίρνει

αρνητικές τιμές, το σωμάτιο κινείται προς τη φορά του άξονα των θέσεων που εμείς έχουμε

ορίσει ως αρνητική. Πρέπει να τη διακρίνουμε από τη μέση ταχύτητα, η οποία είναι

μονόμετρο μέγεθος και δίνεται από το πηλίκο του συνολικού διαστήματος που διανύει ένα

σωμάτιο σε ένα χρονικό διάστημα προς το χρονικό διάστημα αυτό.

Α. 2) Διανυσματική στιγμιαία ταχύτητα

Διανυσματική στιγμιαία ταχύτητα ονομάζεται η ταχύτητα που έχει ένα σωμάτιο σε μια

ορισμένη χρονική στιγμή ή σε ένα ορισμένο σημείο της τροχιάς του. Ορίζεται ως το όριο του

λόγου tx / όταν το t πλησιάζει το μηδέν ή με άλλα λόγια ως η παράγωγος του x ως

προς t :

dt

dx

t

x

t

0lim (Α.2.1)

Στο διάγραμμα της συντεταγμένης x σαν συνάρτησης του χρόνου, η (διανυσματική)

στιγμιαία ταχύτητα σε κάθε σημείο ισούται με την κλίση της εφαπτομένης της καμπύλης σε

εκείνο το σημείο.

x(m)

t(s) t1 t2

x1

x2

p1

p2

κλίση = μέση ταχύτητα

x(m)

t(s)

p1

t1

x1

κλίση = στιγμιαία ταχύτητα



Αν η εφαπτομένη κοιτάζει πάνω, η κλίση της και άρα και η ταχύτητα είναι θετική και η

κίνηση γίνεται προς τη θετική κατεύθυνση x . Αν, αντίθετα, η εφαπτομένη κοιτάζει κάτω, η

ταχύτητα είναι αρνητική και η κίνηση γίνεται προς την αρνητική κατεύθυνση. Όπου η

εφαπτομένη είναι οριζόντια, η κλίση και η ταχύτητα μηδενίζονται.

Όταν χρησιμοποιούμε τον όρο ταχύτητα εννοούμε πάντα τη στιγμιαία ταχύτητα και όχι τη

μέση, εκτός κι αν σαφώς δηλώσουμε το αντίθετο.



ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΩΝ Α.1-Α.2

Άσκηση 2-6 σελ. 50 από το βιβλίο Πανεπιστημιακή Φυσική, τόμος Α (Hugh D. Young)

Μια καθηγήτρια φυσικής ξεκινάει από το σπίτι της με τα πόδια για την Πανεπιστημιούπολη.

Μετά από 5 min την πιάνει βροχή και επιστρέφει σπίτι της. Η απόστασή της από το σπίτι σα

συνάρτηση του χρόνου φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Σε ποια από τα σημεία που

σημειώνονται, η ταχύτητά της είναι a) μηδέν, b) σταθερή και θετική, c) σταθερή και

αρνητική, d) αύξουσα κατά μέτρο, e) φθίνουσα κατά μέτρο;

ΛΥΣΗ

a) Στο σημείο IV (η κλίση της γραφικής παράστασης είναι μηδενική).

b) Στο σημείο I (η γραφική παράσταση είναι ευθεία με θετική κλίση).

c) Στο σημείο V (η γραφική παράσταση είναι ευθεία με αρνητική κλίση).

d) Στο σημείο II (η κλίση είναι θετική και αυξανόμενη).

e) Στο σημείο ΙΙΙ (η κλίση είναι θετική και μειούμενη).


Ένα αυτοκίνητο σταματά στο κόκκινο. Όταν ανάψει πράσινο, προχωράει σε ευθεία και η

απόστασή του από τον σηματοδότη δίνεται από την εξίσωση 32 ctbtx , όπου

2/40,1 smb και 3/100,0 smc . a) Υπολογίστε τη διανυσματική μέση ταχύτητα του

αυτοκινήτου μέσα στο χρονικό διάστημα από 0t ως st 0,10 , b) Υπολογίστε τη

διανυσματική στιγμιαία ταχύτητα του αυτοκινήτου τις χρονικές στιγμές i) st 0 , ii)

st 00,5 , iii) st 0,10 .

ΛΥΣΗ

a) Η απόσταση που διανύει το αυτοκίνητο στο χρονικό διάστημα 0t έως st 10 είναι:

3

1

2

1

3

2

2

212 ctbtctbtxxx

mmmmx )01,0()04,1()101,0()104,1( 3232 m240

Επομένως, η διανυσματική μέση ταχύτητα του αυτοκινήτου θα είναι:



t

xav

s

mav

10

240 smav /24

b) Βρίσκουμε την παράγωγο της έκφρασης για το x :

232232

)/3,0()/8,2(32 tsmtsmctbtdt

ctbtd

dt

dx

(1)

Για st 0 :

(1) smsmsm /00)/3,0(0)/8,2( 232

Για st 5 :

(1) 232 5)/3,0(5)/8,2( ssmssm sm /5,21

Για st 10 :

(1) 232 10)/3,0(10)/8,2( ssmssm sm /58

Πρόβλημα 2-40 σελ. 53 από το βιβλίο Πανεπιστημιακή Φυσική,τόμος Α (Hugh D.

Young)

Κάθε διαγωνιζόμενος σε «αυγοδρομία» πρέπει να τρέξει m0,20 μεταφέροντας ένα αυγό μέσα

σε κουτάλι και να ξαναγυρίσει πίσω. Η Ελένη τρέχει τα πρώτα m0,20 σε s0,12 . Κατά την

επιστροφή της έχει αποκτήσει περισσότερη αυτοπεποίθηση, οπότε της χρειάζονται μόνο

s0,8 . Ποιο είναι το μέτρο της μέσης ταχύτητας για

a) τα πρώτα m0,20 ;

b) την επιστροφή της;

c) Πόση είναι η διανυσματική μέση της ταχύτητα για τη συνολική διαδρομή μετ’ επιστροφής;

d) Πόση είναι η μέση της ταχύτητα για τη συνολική διαδρομή;

ΛΥΣΗ

a) sms

m

t

xav /67,1

12

20

b) sms

m

t

xav /5,2

8

20

c) Εφόσον η διαγωνιζόμενη επέστρεψε στο σημείο εκκίνησης, η μετατόπιση της είναι μηδέν.

Άρα, η διανυσματική μέση ταχύτητα:

smtt

xav /0

0

d) Η μέση ταχύτητα (όχι η διανυσματική) είναι: smss

mm/2

812

2020

.

Προσοχή: Η μέση ταχύτητα για τη συνολική διαδρομή διαφέρει από τον αριθμητικό μέσο

όρο των δύο διανυσματικών μέσων ταχυτήτων.



Α.3) Μέση και στιγμιαία επιτάχυνση

Η συνιστώσα x της μέσης επιτάχυνσης ava είναι ο λόγος της μεταβολής της συνιστώσας x

της ταχύτητας που συντελέστηκε μέσα σε κάποιο χρονικό διάστημα t , προς το

χρονικό διάστημα αυτό:

ttt

aav

12

12 (Α.3.1)

Στιγμιαία ταχύτητα ονομάζεται η ταχύτητα που έχει ένα σωμάτιο σε μια ορισμένη χρονική

στιγμή ή σε ένα ορισμένο σημείο της τροχιάς του. Ορίζεται ως το όριο στο οποίο πλησιάζει η

μέση επιτάχυνση καθώς το χρονικό διάστημα πλησιάζει το μηδέν ή με άλλα λόγια ως η

παράγωγος της στιγμιαίας ταχύτητας:

dt

d

ta

t

0lim (Α.3.2)

Η στιγμιαία επιτάχυνση dtda / , μπορεί να εκφραστεί με πολλούς τρόπους. Αφού

dtdx / , έχουμε:

dt

xd

dt

dx

dt

d

dt

da

2

(Α.3.3)

Δηλαδή, η a είναι η δεύτερη παράγωγος του x ως προς t .



ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑΣ Α.3


Στο παρακάτω σχήμα έχουμε διάγραμμα της συντεταγμένης x μιας αράχνης που σέρνεται

κατά μήκος του άξονα x . Σχεδιάστε τα διαγράμματα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης σα

συναρτήσεις του χρόνου.

ΛΥΣΗ

Από st 0 έως st 5 : Το γράφημα είναι παραβολή με θετική κυρτότητα, άρα η επιτάχυνση

είναι σταθερή και θετική. Η ταχύτητα (η οποία τη στιγμή st 0 είναι μηδέν) θα αυξάνεται

σταθερά, άρα το γράφημά της θα είναι μια ευθεία γραμμή με θετική κλίση.

Από st 5 έως st 15 : Το γράφημα είναι ευθεία γραμμή με θετική κλίση, άρα η ταχύτητα

είναι σταθερή και θετική και η επιτάχυνση μηδενική.

Από st 15 έως st 25 : Το γράφημα είναι παραβολή με αρνητική κυρτότητα, οπότε η

επιτάχυνση είναι σταθερή και αρνητική. Το γράφημα της ταχύτητας θα είναι μια ευθεία με

αρνητική κλίση.

Από st 25 έως st 35 : Το γράφημα είναι ευθεία γραμμή με αρνητική κλίση. Συνεπώς, η

ταχύτητα είναι σταθερή και αρνητική και η επιτάχυνση μηδενική.

Από st 35 έως st 40 : Το γράφημα είναι παραβολή με θετική κυρτότητα. Επομένως, η

επιτάχυνση είναι σταθερή και θετική. Η ταχύτητα θα μειώνεται σταθερά (μέχρι να μηδενιστεί

τη στιγμή st 40 ), άρα το γράφημά της θα είναι μια ευθεία γραμμή με θετική κλίση.

Τα ζητούμενα διαγράμματα είναι τα ακόλουθα:




Η ταχύτητα αυτοκινήτου σα συνάρτηση του χρόνου δίνεται σαν 2)( tt , όπου

sm /00,5 και 3/200,0 sm . a) Υπολογίστε τη μέση επιτάχυνση κατά το χρονικό

διάστημα από 0t ως st 00,5 , b) Υπολογίστε τη στιγμιαία επιτάχυνση για i) st 0 , ii)

st 00,5 .

ΛΥΣΗ

a) 2

22

/105

/02,05/52,05sm

ss

smsm

taav

b) tsmtsmbtdt

btad

dt

da

)/4,0(/2,022

)( 332

(1)

Για st 0 :

(1) 23 /00)/4,0( smssma

Για st 5 :

(1) 23 /25)/4,0( smssma



Α.4) Κίνηση με σταθερή επιτάχυνση

Η απλούστερη επιταχυνόμενη κίνηση είναι η ευθύγραμμη κίνηση με σταθερή επιτάχυνση.

Στην περίπτωση αυτή, η ταχύτητα μεταβάλλεται με τον ίδιο ρυθμό κατά τη διάρκεια της

κίνησης. Αν αντικαταστήσουμε στον τύπο της μέσης επιτάχυνσης, τη μέση επιτάχυνση με τη

σταθερή πια στιγμιαία (κάθε στιγμή η μέση ταυτίζεται τώρα με τη στιγμιαία), παίρνουμε:

12

12

tta

(Α.4.1)

Αν τη χρονική στιγμή 01 t , η ταχύτητα ενός σωματίου είναι 0 και κάθε επόμενη στιγμή

tt 2 η ταχύτητα είναι , τότε η εκάστοτε κατοπινή ταχύτητά του θα είναι:

atttt

a

0

0

12

12

0

(Α.4.2)

Αν ένα σωμάτιο τη χρονική στιγμή 0t βρίσκεται στη θέση 0x και έχει ταχύτητα 0 , η νέα

του θέση οποιαδήποτε επόμενη στιγμή t θα είναι:

2

002

1attxx (Α.4.3)

Αν λύσουμε τη σχέση (Α.4.2) ως προς τον χρόνο, παίρνουμε: a

t 0 . Αντικαθιστώντας

τη σχέση αυτή στη σχέση (Α.4.3), προκύπτει μια άλλη που συνδέει τα μεγέθη x , και a ,

χωρίς να περιέχει τον χρόνο t :

)(2 0

2

0

2 xxa (Α.4.4)





Το ακόλουθο διάγραμμα δείχνει την ταχύτητα ενός μοτοσυκλετιστή αστυνομικού σα

συνάρτηση του χρόνου.

a) Βρείτε τη στιγμιαία επιτάχυνση όταν st 3 , όταν st 7 και όταν st 11 ,

b) Πόση απόσταση έχει διανύσει ο αστυνομικός τα πρώτα s5 ; Τα πρώτα s9 ; Τα πρώτα s11 ;

ΛΥΣΗ

a) Στο χρονικό διάστημα st 0 έως st 5 , η ταχύτητα είναι σταθερή, συνεπώς όταν st 3 , 2/0 sma .

Στο χρονικό διάστημα st 5 έως st 9 , η επιτάχυνση είναι σταθερή (ευθεία γραμμή το

γράφημα της ταχύτητας), επομένως κάθε στιγμιαία επιτάχυνση θα ταυτίζεται με τη μέση.

Άρα, όταν st 7 :

2/25,659

/20/45sm

ss

smsm

taa av

Στο χρονικό διάστημα st 9 έως st 13 , η επιτάχυνση είναι σταθερή (ευθεία γραμμή το

γράφημα της ταχύτητας), επομένως κάθε στιγμιαία επιτάχυνση θα ταυτίζεται με τη μέση.

Άρα, όταν st 11 :

2/25,11913

/45/0sm

ss

smsm

taa av

(επιβράδυνση)

b) Τα πρώτα 5s: mssmtxS 1005)/20(0

Τα επόμενα 4s: mssmssmattxS 130)4(/25,62

14)/20(

2

1 222

0

Άρα, τα πρώτα 9s συνολικά: mmmS 230130100

Τα επόμενα 4s: mssmssmattxS 90)4(/25,112

14)/45(

2

1 222

0

Άρα, τα πρώτα 13s συνολικά: mmmS 32090130100



Πρόβλημα 2-42 σελ. 53 από το βιβλίο Πανεπιστημιακή Φυσική, τόμος Α (Hugh D.

Young)

Το ανθρώπινο σώμα μπορεί να αντέξει τραυματισμό που οφείλεται σε επιβράδυνση (εξαιτίας

απότομης σύγκρουσης), αν το μέτρο της είναι μικρότερο από 2/250 sm . Αν σας συμβεί

αυτοκινητιστικό ατύχημα από αρχική ταχύτητα hkm/100 και προφυλαχτείτε με αερόσακο

που φουσκώνει από το τιμόνι, μέσα σε πόση απόσταση πρέπει ο αερόσακος να σας

σταματήσει ώστε να επιζήσετε;

ΛΥΣΗ

Κατ’ αρχάς μετατρέπουμε τη δοθείσα ταχύτητα σε sm / :

sms

mhkm /8,27

3600

1000100/100

Η ύπαρξη του αερόσακου έχει νόημα μόνο εάν η επιβράδυνση που προκαλείται από τη

σύγκρουση είναι μικρότερη ή ίση από τη μέγιστη ανεκτή. Η μέγιστη επιβράδυνση θα

αντιστοιχεί σε κάποια (ελάχιστη) απόσταση στην οποία πρέπει να μηδενιστεί η ταχύτητα του

ανθρώπου. Αν η ταχύτητα μηδενιστεί σε μικρότερη απόσταση, αυτό θα σημαίνει μεγαλύτερη

επιβράδυνση και άρα θανάσιμο τραυματισμό του ανθρώπου. Επομένως, ψάχνουμε την

απόσταση στην οποία η ταχύτητα μηδενίζεται, με επιβράδυνση 2/250 sm . Σε αυτή την

απόσταση, που ο άνθρωπος θα έχει σταματήσει, θα πρέπει ο αερόσακος να ανοίξει ώστε να

τον συγκρατήσει και να τον προστατέψει από την αναπόφευκτη πρόσκρουση σε σκληρά

σημεία του εσωτερικού του οχήματος.

msm

sm

axxxxa 55,1

)/250(2

)/8,27(0

2)(2

2

22

0

2

00

2

0

2

Ένα μέρος του m55,1 είναι η απόσταση στην οποία σταματά το όχημα (μικρότερη από την

αντίστοιχη του ανθρώπου λόγω μεγαλύτερης επιβράδυνσης) και το άλλο είναι η επιπλέον

απόσταση που διανύει το ανθρώπινο σώμα σε σχέση με το όχημα, λόγω της δικής του

αδράνειας.


Young)

Μια φοιτήτρια τρέχει να προλάβει το εσωτερικό λεωφορείο της Πανεπιστημιούπολης, που

περιμένει στη στάση. Η φοιτήτρια τρέχει με sm /0,6 ˙ δεν μπορεί να τρέξει γρηγορότερα.

Όταν η φοιτήτρια θέλει ακόμα m60 για να το φτάσει, το λεωφορείο ξεκινάει με σταθερή

επιτάχυνση 2/180,0 sm .

a) Επί πόσο χρόνο πρέπει να τρέξει η φοιτήτρια και τι απόσταση πρέπει να διανύσει για να

φτάσει το λεωφορείο;

b) Πόσο γρήγορα κινείται το λεωφορείο όταν το φτάνει η φοιτήτρια;

c) Να κάνετε γραφικές παραστάσεις των απομακρύνσεων )(tx τόσο της φοιτήτριας, όσο και

του λεωφορείου. Πάρτε την αρχική θέση της φοιτήτριας στο 0x

d) Οι εξισώσεις που χρησιμοποιήσατε στην a) ερώτηση για να βρείτε τον χρόνο, έχουν και

μια δεύτερη λύση που αντιστοιχούν σε μια κατοπινή στιγμή, όπου η φοιτήτρια και το

λεωφορείο βρίσκονται και πάλι στο ίδιο σημείο, αν συνεχίσουν τις κινήσεις που

περιγράψαμε. Εξηγήστε τη σημασία αυτής της δεύτερης λύσης. Πόσο γρήγορα κινείται το

λεωφορείο σε αυτό το σημείο;



e) Αν η σταθερή ταχύτητα της φοιτήτριας ήταν sm /0,4 , θα έφτανε το λεωφορείο;

f) Πόση είναι η ελάχιστη ταχύτητα που πρέπει να ’χει η φοιτήτρια ώστε να φτάσει το

λεωφορείο; Επί πόσο χρόνο πρέπει να τρέξει και τι απόσταση πρέπει να διανύσει στην

περίπτωση αυτή;

ΛΥΣΗ

a) Θεωρούμε ως αρχή των θέσεων 0x , το σημείο στο οποίο βρίσκεται αρχικά η φοιτήτρια.

Κάθε στιγμή t , η φοιτήτρια θα απέχει tx 11 από το σημείο 0x , ενώ το λεωφορείο θα

απέχει 2

22

160 atx . Όταν οι θέσεις των δύο θα είναι ίδιες, στον άξονα των θέσεων, οι

μετατοπίσεις από την αρχή του άξονα θα είναι ίσες. Επομένως:

stttattxx 25,12060609,02

160 1

22

121 ή st 4,542

Επιλέγουμε την πρώτη λύση, αφού είναι η πρώτη φορά που το βρίσκει δίπλα της. Σε αυτό το

δευτερόλεπτο, η φοιτήτρια θα έχει διανύσει απόσταση:

mssmtx 2,7325,12)/6(11 .

b) smssmat /20,225,12)/18,0( 2

2

c) Φοιτήτρια

Λεωφορείο

d) Αν λεωφορείο και φοιτήτρια συνέχιζαν κανονικά τις κινήσεις τους, τις αμέσως επόμενες

στιγμές η φοιτήτρια θα προπορευόταν του λεωφορείου (δοκιμάστε να βρείτε τις μετατοπίσεις

για st 13 και θα βγει αυτή της φοιτήτριας μεγαλύτερη αυτής του λεωφορείου) μέχρι τη

στιγμή st 4,542 που το λεωφορείο θα έφτανε τη φοιτήτρια αυτή τη φορά. Εκεί, το

λεωφορείο θα έχει ταχύτητα:

smssmat /79,94,54)/18,0( 2

2

e) Θα ήταν:

060409,02

160 22

121 ttattxx

Αυτή η δευτεροβάθμια εξίσωση δεν έχει λύσεις (η διακρίνουσα βγαίνει αρνητική), συνεπώς η

φοιτήτρια δε θα έφτανε το λεωφορείο.



f) Η φοιτήτρια πλησιάζει το λεωφορείο όσο η σταθερή της ταχύτητα είναι μεγαλύτερη από

αυτή (τη συνεχώς μεταβαλλόμενη) του λεωφορείου. Επομένως η οριακή στιγμή για να

έχουμε συνάντηση θα είναι η στιγμή για την οποία ισχύει:

21

( 1 η ταχύτητα της φοιτήτριας και 2 η ταχύτητα του λεωφορείου).

Απαλείφουμε και από τις δύο εξισώσεις κίνησης τον χρόνο

atat 2

2

και έχουμε:

axtx a

t2

1111

2

ax

aaxatx a

t

260

2

160

2

160

2

222

2

22

2

2

2

Παίρνουμε τη στιγμή που φοιτήτρια και λεωφορείο συναντιούνται, εκμεταλλευόμενοι τη

συνθήκη που θα ισχύει (κατά τα γνωστά, 21 xx ). Τότε, θα έχουμε:

a

21

a260

2

2 (1)

Όμως, εμείς θέλουμε την οριακή συνθήκη όπου 21 . Τώρα, η σχέση (1) γίνεται:

a

2

1smmsm

aa/65,460)/18,0(2

260

260 1

22

1

2

1

2

1

Επομένως, η ελάχιστη σταθερή ταχύτητα που πρέπει να έχει η φοιτήτρια ώστε να φτάσει το

λεωφορείο είναι sm /65,4 .

Σε αυτή την περίπτωση, θα πρέπει να τρέξει χρόνο ίσο με:

ssm

sm

at

at 82,25

/18,0

/65,42

12 21

Και να διανύσει απόσταση:

mssmtx 12082,25)/65,4(12



Α.5) Ελεύθερη πτώση σωμάτων

Η ελεύθερη πτώση αποτελεί ένα εξιδανικευμένο μοντέλο πτώσης των σωμάτων, στο οποίο τα

σώματα κινούνται κάτω από την επίδραση μόνο του βάρους τους (αμελητέα η αντίσταση του

αέρα), με σταθερή επιτάχυνση (την επιτάχυνση της βαρύτητας - 2/8,9 smg κοντά στην

επιφάνεια της Γης) και ανεπηρέαστα από την περιστροφική κίνηση της Γης. Σύμφωνα με το

μοντέλο αυτό, όλα τα σώματα πέφτουν με την ίδια επιτάχυνση από την ίδια θέση, ανεξάρτητα

από το μέγεθος ή το βάρος τους. Μια τέτοια κίνηση περιγράφεται από τις εξισώσεις της

ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης, μόνο που τώρα η κίνηση γίνεται στον άξονα

των y και όχι των x .





Ρίχνουμε ένα αυγό σχεδόν κατακόρυφα προς τα πάνω από θέση κοντά σε κορνίζα ψηλού

κτιρίου. Καθώς το αυγό ξαναπέφτει κάτω -μόλις και δε χτυπάει στην κορνίζα- περνάει από

σημείο 50,0m πιο κάτω από τη θέση που ξεκίνησε 7,00s μετά τη ρίψη του. a) Πόση είναι η

αρχική ταχύτητα του αυγού; b) Πόσο ψηλά υψώθηκε από την αρχική θέση ρίψης; c) Πόσο

είναι το μέτρο της ταχύτητάς του στο ψηλότερο σημείο; d) Πόσο είναι το μέτρο και ποια η

κατεύθυνση της επιτάχυνσης στο ψηλότερο σημείο;

ΛΥΣΗ

Θεωρούμε ότι το αυγό από τη στιγμή που ξεκινά εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη

κίνηση, με αρχική ταχύτητα 0 με φορά προς τα πάνω και επιτάχυνση με φορά προς τα

κάτω, άρα 2/8,9 sma . Η αρχική θέση 0y είναι μηδέν και γενικά η θετική κατεύθυνση

είναι προς τα πάνω.

a) Η θέση y κάθε χρονική στιγμή είναι:

22

0

2

0 /8,92

1

2

1tsmtyatty

Τη χρονική στιγμή st 7 , my 50 (κάτω από την αρχή 0y σημαίνει αρνητικό πρόσημο).

Άρα:

smssmsm /2,277/8,92

1750 0

22

0

b) Στο ψηλότερο σημείο, το αυγό σταματά να ανεβαίνει (θετικές τιμές της ) και αρχίζει να

πέφτει (αρνητικές τιμές της ). Ακριβώς τη στιγμή που φτάνει στο ψηλότερο σημείο, η

ταχύτητά της μηδενίζεται. Άρα:

myysmsmyya 8,37)0(/8,92/2,270)(2 22

0

2

0

2

c) Στο ψηλότερο σημείο της ανόδου του, το αυγό σταματά στιγμιαία, επομένως το μέτρο της

ταχύτητάς του εκεί είναι μηδέν (όπως ειπώθηκε και στο προηγούμενο ερώτημα εξάλλου).

d) Και στο ψηλότερο σημείο η επιτάχυνση εξακολουθεί να είναι 2/8,9 sm . Δηλαδή έχει

μέτρο 2/8,9 sm και κατεύθυνση αρνητική (προς τα κάτω), όπως και σε κάθε σημείο της

τροχιάς του αυγού (είτε στο ανοδικό είτε στο καθοδικό τμήμα). Η φορά της επιτάχυνσης της

βαρύτητας είναι πάντα προς τα κάτω˙ το αρνητικό της πρόσημο οφείλεται στο γεγονός ότι

ορίσαμε θετική την ανοδική κατεύθυνση.




Young)

Βρίσκεστε στην ταράτσα του κτιρίου φυσικής, m0,46 πάνω από το έδαφος. Ο καθηγητής σας

της φυσικής, που έχει ύψος m80,1 , πλησιάζει το κτίριο με σταθερή ταχύτητα sm /20,1 . Αν

θέλετε να ρίξετε ένα αυγό στο κεφάλι του καθηγητή σας, πού πρέπει να βρίσκεται αυτός όταν

αφήνετε το αυγό; Υποθέστε ότι το αυγό κάνει ελεύθερη πτώση.

ΛΥΣΗ

Το αυγό μέχρι να φτάσει m80,1 πάνω από το έδαφος (στο κεφάλι του καθηγητή δηλαδή), θα

έχει διανύσει mmmy 2,4480,10,46 . Αυτό θα συμβεί σε χρόνο:

ssm

m

a

ytaty 3

/8,9

2,4422

2

12

2

(Το αυγό εκτελεί ελεύθερη πτώση, επομένως κινείται με επιτάχυνση 2/8,9 sma )

Όσο το αυγό πέφτει, ο καθηγητής θα πρέπει κι αυτός, έχοντας ξεκινήσει από ένα σημείο, να

περπατά στη διάρκεια αυτών των 3s έτσι ώστε μετά από αυτά τα 3s να ¨συναντήσει¨ το αυγό.

Στη διάρκεια αυτού του διαστήματος, ο καθηγητής, κινούμενος με σταθερή ταχύτητα, θα έχει

διανύσει απόσταση:

mssmtx 6,33)/2,1(

Επομένως, πρέπει να αφήσουμε το αυγό όταν ο καθηγητής βρίσκεται m6,3 μακριά από το

σημείο ακριβώς κάτω από μας.


Young)

Σε ένα τσίρκο, οι θεατές παρακολουθούν καταδύσεις σε πισίνα από ελαστική πλατφόρμα που

βρίσκεται σε ύψος m0,25 . Σύμφωνα με τον παρουσιαστή, οι αθλήτριες μπαίνουν στο νερό με

ταχύτητα hkm/100 . Η αντίσταση του αέρα να αγνοηθεί. a) Είναι σωστός ο ισχυρισμός του

παρουσιαστή; b) Είναι δυνατό η αθλήτρια να πηδήξει προς τα πάνω από την πλατφόρμα και

κατά την πτώση της στο νερό να φτάσει ταχύτητα hkm/100 ; Πόση αρχική ταχύτητα προς τα

πάνω θα χρειαζόταν για να το πετύχει αυτό; Είναι αυτή η ταχύτητα πραγματοποιήσιμη;

ΛΥΣΗ

a) Ας θεωρήσουμε θετική φορά τη φορά προς τα κάτω και σημείο εκκίνησης το my 00 .

Η αθλήτρια εκτελεί ελεύθερη πτώση, άρα κινείται με επιτάχυνση 2/8,9 sma (θετική

επιτάχυνση διότι η επιτάχυνση της βαρύτητας έχει φορά πάντα προς τα κάτω κι εδώ ορίσαμε

ως θετική αυτήν ακριβώς τη φορά).

Η ταχύτητα της αθλήτριας όταν φτάνει στο νερό είναι:

)25)(/8,9(20)(2)(2 22

0

2

00

2

0

2 msmyyayya



sm /1,22

Γνωρίζουμε ότι είναι θετική αυτή η ταχύτητα, διότι η αθλήτρια κατευθύνεται προς τα κάτω

(προς τη θετική φορά επομένως) όταν βουτάει στο νερό.

Μετατρέποντας την σε hkm/ , για να τη συγκρίνουμε με την ταχύτητα που αναφέρει ο

παρουσιαστής, έχουμε:

hkmhkm

h

km

sm /6,79/6,31,22

3600

11000

1

1,22/1,22 , η οποία είναι μικρότερη από

hkm/100 . Επομένως, ο ισχυρισμός του παρουσιαστή είναι λάθος.

b) Η τελική ταχύτητα θέλουμε να είναι:

sms

mhkm /8,27

3600

1000100/100

Επομένως, η αρχική θα πρέπει να είναι:

)25)(/8,9(2)/8,27()(2)(2 22

0

2

00

2

0

2 msmsmyyayya

sm /8,160

Έχουμε βάλει αρνητικό πρόσημο διότι αφού η φορά της αρχικής ταχύτητας είναι προς τα

πάνω (αντίθετα από αυτή που ορίσαμε ως θετική φορά).

Για να διαπιστώσουμε αν αυτή η ταχύτητα εκκίνησης είναι εφικτή, θα υπολογίσουμε σε ποιο

μέγιστο ύψος αναπήδησης οδηγεί (σε εκείνο το ύψος, η ταχύτητα στιγμιαία μηδενίζεται, άρα

sm /0 ):

msm

sm

ayyya 4,14

/8,92

)/8,16(0

2)(2

2

22

0

2

0

2

0

2

Το μείον σημαίνει ότι η ανώτερη θέση είναι προς τα πάνω (προς τα αρνητικά του άξονα

λοιπόν). Μια κάθετη αναπήδηση που θα φτάσει τα m4,14 , όπως είναι εύκολα αντιληπτό,

είναι σωματικά αδύνατη. Επομένως, η ανέφικτη αρχική ταχύτητα κάνει ανέφικτη και την

επιθυμητή τελική.



Α.6) Εύρεση ταχύτητας και συντεταγμένης θέσης με ολοκλήρωση

Οι σχέσεις στις οποίες καταλήξαμε στο εδάφιο που ανέλυε την ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση

έχουν ισχύ φυσικά μόνο στην περίπτωση που η επιτάχυνση είναι σταθερή. Ποιες εξισώσεις

ισχύουν όταν η επιτάχυνση δεν είναι σταθερή αλλά μεταβάλλεται με τον χρόνο;

Έστω λοιπόν ότι η ταχύτητα ενός σωματίου μεταβάλλεται όπως στο παρακάτω σχήμα:

Όπως βλέπουμε, η κλίση της καμπύλης δεν είναι σταθερή (η γραφική παράσταση δεν είναι

ευθεία), που σημαίνει ότι η επιτάχυνση είναι μεταβαλλόμενη και συγκεκριμένα εδώ

αυξανόμενη με τον χρόνο. Χωρίζουμε το χρονικό διάστημα από 1t ως 2t σε πολλά

μικρότερα διαστήματα t . Ας πάρουμε το χρονικό διάστημα t που είναι έντονα

χρωματισμένο. Σε αυτό, η μετατόπιση θα είναι ίση με: tx av (όπου av η μέση

ταχύτητα του σωματίου στο διάστημα αυτό) και όπως προκύπτει κι απ’ το σχήμα, είναι ίση

με το εμβαδόν της σκούρας αυτής λωρίδας. Η συνολική μετατόπιση, τώρα, μεταξύ των

στιγμών 1t και 2t θα είναι το άθροισμα όλων των μετατοπίσεων που έγιναν στα μικρά

χρονικά διαστήματα και άρα ίση με το εμβαδόν όλου του χωρίου που περιέχεται μεταξύ της

καμπύλης και του άξονα του χρόνου. Για να το προσδιορίσουμε, θα πρέπει να μειώσουμε τα

χρονικά διαστήματα σε απειροστά μικρά. Τότε σε κάθε ένα από αυτά, η μέση ταχύτητα θα

ταυτίζεται με την αντίστοιχη στιγμιαία . Στη συνέχεια, θα αθροίσουμε όλα αυτά τα

απειροστά μικρά εμβαδά ή με άλλα λόγια θα σαρώσουμε όλη την επιφάνεια. Σε αυτή την

περίπτωση, μιλάμε για το ολοκλήρωμα της ταχύτητας από 1t ως 2t . Αν 1x και 2x οι

θέσεις του σωματίου τις χρονικές στιγμές 1t και 2t αντίστοιχα, έχουμε:

2

1

2

112

t

t

x

xdtdxxx

Αν 01 t και 01 xx , τότε κάθε επόμενη στιγμή tt 2 , η μετατόπιση xx 2 θα είναι:

tt

dtxxdtxx0

00

0 (Α.6.1)

Με αντίστοιχο τρόπο, βρίσκουμε την ταχύτητα αν μας δίνεται η καμπύλη μεταβολής της

χρονικά μεταβαλλόμενης επιτάχυνσης:

2

1

2

112

t

tadtd

Αν 01 t και 01 , τότε κάθε επόμενη στιγμή tt 2 , η ταχύτητα 2 θα είναι:

tt

adtadt0

00

0 (Α.6.2)

av





Η επιτάχυνση μοτοσυκλέτας δίνεται από τη συνάρτηση 2BtAta , όπου 2/90,1 smA

και 4/120,0 smB . Η μοτοσυκλέτα βρίσκεται ακίνητη στην αρχή τη χρονική στιγμή 0t .

a) Βρείτε τη θέση και την ταχύτητα σαν συναρτήσεις του χρόνου. b) Υπολογίστε τη μέγιστη

ταχύτητα που φτάνει η μοτοσυκλέτα.

ΛΥΣΗ

a) Η μοτοσυκλέτα τη χρονική στιγμή 0t βρίσκεται στην αρχή, άρα mx 00 , και είναι

ακίνητη, άρα sm /00 . Η ταχύτητα τη χρονική στιγμή t θα είναι:

3/12,0

2/9,1)(/12,0/9,10)(

34

22

0

242 tsm

tsmtdttsmtsmt

t

3422 /04,0/95,0)( tsmtsmt

Για τη θέση έχουμε:

4/04,0

3/95,0)(/04,0/95,00)(

44

32

0

3422 tsm

tsmtxdttsmtsmtx

t

4432 /01,0/317,0)( tsmtsmtx

b) Η ταχύτητα γίνεται μέγιστη όταν η συνάρτηση που την εκφράζει παρουσιάζει ακρότατο.

Όταν δηλαδή 0/ dtd . Όμως, η παράγωγος της ταχύτητας ταυτίζεται με την επιτάχυνση.

Επομένως, η συνθήκη αυτή μάς δίνει:

sttsmtsmadt

d8,150/12,0/9,100 242

(η άλλη ρίζα της εξίσωσης είναι η 0t , όμως τότε 0 )

Αντικαθιστώντας αυτή τη χρονική στιγμή (τη στιγμή που γίνεται η ταχύτητα μέγιστη) στη

γενική εξίσωση της ταχύτητας, παίρνουμε:

smssmssm /4,79)8,15(/04,0)8,15(/95,0 3422




Young)

Η ταχύτητα αντικειμένου μετράται να είναι 2)( tt , όπου 2/00,6 sm και 3/00,2 sm . Τη χρονική στιγμή 0t , το αντικείμενο βρίσκεται στη θέση 0x . a)

Βρείτε τη θέση και την επιτάχυνση του αντικειμένου ως συναρτήσεις του χρόνου. b) Πόση

είναι η μέγιστη θετική απομάκρυνση του αντικειμένου από την αρχή;

ΛΥΣΗ

a)

tt tsmtsmdttsmsmdtxtx

0

332232

00

3

/2/6/2/60)(

332 /7,0/6)( tsmtsmtx

tsmdt

tsmsmd

dt

dta 3

232

/4/2/6

)(

b) Η μέγιστη απομάκρυνση σημειώνεται όταν η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης της

απομάκρυνσης είναι μηδέν (εξασφάλιση ακρότατου) και ταυτόχρονα η δεύτερη παράγωγος

της συνάρτησης είναι αρνητική (εξασφάλιση μέγιστου). Άρα:

sttsmsmdt

dx73,10/2/600 232

Σε αυτή τη χρονική στιγμή, η επιτάχυνση (δεύτερη παράγωγος της απομάκρυνσης) πράγματι

είναι αρνητική. Τώρα, μπορούμε να βρούμε την εν λόγω απομάκρυνση:

mssmssmtx 76,673,1/7,073,1/6)(332



Α.7) Σχετική ταχύτητα στην ευθύγραμμη κίνηση

Σχετική ταχύτητα είναι η ταχύτητα ενός κινούμενου σώματος σε σχέση με τον εκάστοτε

παρατηρητή. Κάθε παρατηρητής που διαθέτει μεζούρα και χρονόμετρο αποτελεί ένα

σύστημα αναφοράς. Με άλλα λόγια σύστημα αναφοράς είναι ένα σύστημα συντεταγμένων

μαζί με ένα χρονόμετρο. Ας υποθέσουμε τώρα ότι ένα σώμα Ρ κινείται ως προς ένα ακίνητο

σύστημα αναφοράς Α αλλά και ως προς ένα κινούμενο σύστημα αναφοράς Β. Τότε, αν η

μετατόπιση του Ρ ως προς το Α είναι APx / , ως προς το Β είναι BPx / και η απόσταση της

αρχής του Β από την αρχή του Α είναι ABx / , θα ισχύει:

ABBPAP xxx ///

Παραγωγίζοντας την παραπάνω σχέση, προκύπτει μια νέα που συνδέει τις διάφορες

ταχύτητες:

ABBPAPABBPAP

dt

dx

dt

dx

dt

dx///

/// (Α.7.1)

Παρατηρήσεις:

1. Με το σύμβολο BA / παριστάνουμε την ταχύτητα του Α σε σχέση με το Β.

2. Αν έχουμε τρία διαφορετικά συστήματα αναφοράς, Α, Β και C, θα ισχύει:

ABBCCPAP ////

Όπως γίνεται αντιληπτό, οι δείκτες υπακούν σε έναν ενδιαφέροντα κανόνα: Αν θεωρήσουμε

τον κάθε δείκτη σαν κλάσμα, τότε το κλάσμα του αριστερού μέλους είναι το γινόμενο των

κλασμάτων του δεξιού μέλους.

3. Αν Α και Β είναι δύο οποιαδήποτε σημεία ή συστήματα αναφοράς, τότε γενικά ισχύει:

ABBA //

4. Οι σχετικές θέσεις των σωμάτων δεν επηρεάζουν τις σχετικές τους ταχύτητες. Οι σχετικές

ταχύτητες μένουν αμετάβλητες όποιες κι αν είναι οι αποστάσεις μεταξύ των εμπλεκόμενων

σωμάτων.





Κινούμενος διάδρομος επιβατών σε αερολιμένα κινείται με sm /0,1 και έχει μήκος m0,80 .

Αν μια γυναίκα μπει από τη μια άκρη και περπατάει με sm /0,2 σχετικά με τον κινούμενο

διάδρομο, πόσο χρόνο θα χρειαστεί για να φτάσει στην άλλη άκρη αν περπατάει a) στην ίδια

κατεύθυνση με την οποία κινείται ο διάδρομος; b) στην αντίθετη κατεύθυνση;

ΛΥΣΗ

Συμβολίζουμε το διάδρομο με Δ, τη γυναίκα με Γ και εμάς με Π. Επιπλέον, ορίζουμε ως

θετική φορά τη φορά κίνησης του διαδρόμου.

a) Η γυναίκα κινείται με ταχύτητα ως προς εμάς ίση με:

smsmsm /3/1/2 ////

Ο χρόνος που θα χρειαστεί η γυναίκα ώστε να φτάσει στην άλλη άκρη θα είναι:

ssm

mlt 7,26

/3

80

/

b) Η γυναίκα κινείται με ταχύτητα ως προς εμάς ίση με:

smsmsm /1/1/2 ////

(ταχύτητα μέτρου sm /1 και φοράς αντίθετης από αυτήν της κίνησης του διαδρόμου)

Ο χρόνος που θα χρειαστεί η γυναίκα ώστε να φτάσει στην άλλη άκρη θα είναι:

ssm

mlt 80

/1

80

/



ΕΝΟΤΗΤΑ Β: ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

Β.1) Διάνυσμα θέσης

Το διάνυσμα θέσης r

ενός σημείου Α είναι ένα διάνυσμα που κατευθύνεται από την αρχή

του συστήματος συντεταγμένων προς το σημείο Α και χρησιμοποιείται για να προσδιορίσει

τη θέση ενός σωματίου που βρίσκεται στο σημείο Α.

kzjyixr

(Β.1.1)

Οι καρτεσιανές συντεταγμένες zyx ,, του σημείου Α είναι οι συνιστώσες του διανύσματος

r

.

Β.2) Το διάνυσμα της μέσης ταχύτητας

Επομένως, η μέση ταχύτητα του σωματίου θα είναι:

12

12

tt

rr

t

rav

(Β.2.2)

Προσοχή! Η διανυσματική μέση ταχύτητα είναι διάνυσμα. Ανάμεσα στα σημεία Α και Β έχει

την ίδια κατεύθυνση με τη μετατόπιση.

Β.3) Το διάνυσμα της στιγμιαίας ταχύτητας

Σαν στιγμιαία ταχύτητα ορίζεται το όριο της μέσης ταχύτητας, όταν 0t .

dt

rd

t

r

t

0lim (Β.3.1)

Έστω, ότι ένα σωμάτιο κινείται σε καμπύλη

τροχιά, όπως στο διπλανό σχήμα (ροζ

διακεκομμένη γραμμή). Κατά τη διάρκεια του

χρονικού διαστήματος t , το σωμάτιο κινείται

από το σημείο Α με διάνυσμα θέσης 1r

, στο

σημείο Β με διάνυσμα θέσης 2r

. Η μετατόπιση

του σωματίου κατά τη διάρκεια του χρονικού

διαστήματος t , θα είναι:

12 rrr

(Β.2.1)

1r

2r

r

x

y

z

av



Β.4) Συνιστώσες του διανύσματος της στιγμιαίας ταχύτητας (στις 3

διαστάσεις)

Παραγωγίζοντας τη σχέση (1) ως προς το χρόνο προκύπτει:

kdt

dzj

dt

dyi

dt

dx

dt

rd kji zyx

(Β.4.1)

Στην παραπάνω σχέση οι zyx ,, είναι οι συνιστώσες της στιγμιαίας ταχύτητας

και

είναι οι χρονικές παράγωγοι των συντεταγμένων zyx ,, .

Δηλαδή,

dt

dxx ,

dt

dyy ,

dt

dzz (Β.4.2)

Το μέτρο του διανύσματος της στιγμιαίας ταχύτητας είναι:

222

zyx (Β.4.3)

Β.5) Συνιστώσες του διανύσματος της στιγμιαίας ταχύτητας (στις 2

διαστάσεις)

Η σχέση (1) στην περίπτωση αυτή γράφεται ως εξής:

jyixr

(Β.5.1)

Παραγωγίζοντας ως προς χρόνο προκύπτει:

jdt

dyi

dt

dx

dt

rd ji yx

(Β.5.2)

Όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα, το διάνυσμα

της στιγμιαίας ταχύτητας εφάπτεται στην

τροχιά, σε κάθε σημείο της τροχιάς.

x

z

y



Στην παραπάνω σχέση οι yx , είναι οι συνιστώσες της στιγμιαίας ταχύτητας

και είναι οι

χρονικές παράγωγοι των συντεταγμένων yx, .

Δηλαδή,

dt

dxx ,

dt

dyy (Β.5.3)

Β.6) Το διάνυσμα της μέσης επιτάχυνσης

Επομένως, η μέση επιτάχυνση του σωματίου ορίζεται από τη σχέση:

12

12

tttaav

(Β.6.2)

Προσοχή! Η μέση επιτάχυνση είναι διανυσματικό μέγεθος και έχει πάντα την ίδια

κατεύθυνση με το διάνυσμα της μεταβολής της ταχύτητας

.

Το μέτρο του διανύσματος της στιγμιαίας ταχύτητας

είναι:

22

yx (Β.5.4)

Και η κατεύθυνση προσδιορίζεται από τη γωνία α:

x

y

x

y

arctantan (Β.5.5)

Έστω ένα σωμάτιο που διαγράφει την καμπύλη τροχιά

του σχήματος. Η στιγμιαία ταχύτητα του σωματίου στο

Α (τη χρονική στιγμή 1t ) είναι

1

και η στιγμιαία

ταχύτητα στο Β (τη χρονική στιγμή 2t ) είναι

2

.

Η μεταβολή της ταχύτητας του σωματίου το χρονικό

διάστημα 12 ttt είναι:

12

(Β.6.1)

x

y

x

y

φ

1

2

1

2

ava



Β.7) Το διάνυσμα της στιγμιαίας επιτάχυνσης

Σαν στιγμιαία επιτάχυνση ορίζεται το όριο της μέσης επιτάχυνσης, όταν 0t .

dt

d

ta

t

0lim (Β.7.1)

Β.8) Συνιστώσες του διανύσματος της στιγμιαίας επιτάχυνσης

(στις 3 διαστάσεις)


kdt

dj

dt

di

dt

d

dt

da zyx

kdt

zdj

dt

ydi

dt

xda

2

2

2

2

2

2

kajaiaa zyx

(Β.8.1)

Στην παραπάνω σχέση οι zyx aaa ,, είναι οι συνιστώσες της στιγμιαίας επιτάχυνσης a

και

είναι οι χρονικές παράγωγοι ως προς το χρόνο των συνιστωσών της ταχύτητας zyx ,, ή οι

δεύτερες παράγωγοι των συντεταγμένων zyx ,, ως προς το χρόνο.

Δηλαδή,

2

2

dt

xd

dt

da xx

,

2

2

dt

yd

dt

da

y

y

, 2

2

dt

zd

dt

da zz

(Β.8.2)

Το μέτρο του διανύσματος της στιγμιαίας επιτάχυνσης είναι:

222

zyx aaaa (Β.8.3)

Προσοχή! Γενικά το διάνυσμα της επιτάχυνσης δεν έχει τη

ίδια κατεύθυνση με το διάνυσμα της ταχύτητας. Τα

διανύσματα ταχύτητας και επιτάχυνσης έχουν την ίδια

διεύθυνση μόνο στις περιπτώσεις ευθύγραμμης τροχιάς. Σε

περιπτώσεις καμπυλόγραμμης τροχιάς αυτό δεν συμβαίνει.

Επίσης όταν ένα σωμάτιο κινείται σε καμπύλη τροχιά έχει

πάντα μη μηδενική επιτάχυνση ακόμα και αν το μέτρο της

ταχύτητάς του παραμένει σταθερό. Η επιτάχυνση προκαλεί

μεταβολή του μέτρου ή της κατεύθυνσης της ταχύτητας (ή

και των 2).

Τέλος, η επιτάχυνση έχει πάντα κατεύθυνση προς το κοίλο

μέρος της τροχιάς.

a



Β.9) Συνιστώσες του διανύσματος της στιγμιαίας επιτάχυνσης

(στις 2 διαστάσεις)


jdt

di

dt

d

dt

da

yx

j

dt

ydi

dt

xda

2

2

2

2

jaiaa yx

(Β.9.1)

Στην παραπάνω σχέση οι yx aa , είναι οι συνιστώσες της στιγμιαίας επιτάχυνσης a

και είναι

οι χρονικές παράγωγοι ως προς το χρόνο των συνιστωσών της ταχύτητας yx , ή οι

δεύτερες παράγωγοι των συντεταγμένων yx, ως προς το χρόνο.

Δηλαδή,

2

2

dt

xd

dt

da xx

,

2

2

dt

yd

dt

da

y

y

(Β.9.2)


22

yx aaa (Β.9.3)

Β.10) Ανάλυση διανύσματος επιτάχυνσης

Η επιτάχυνση ενός σωματίου που κινείται σε καμπύλη τροχιά μπορεί να αναλυθεί σε δύο

συνιστώσες. Μία παράλληλη στην ταχύτητα ||a

και μία κάθετη στην ταχύτητα a

.

Η συνιστώσα ||a

είναι υπεύθυνη για τη μεταβολή του μέτρου της ταχύτητας και η συνιστώσα

a

είναι υπεύθυνη για τη μεταβολή της κατεύθυνσης της ταχύτητας, όπως βλέπουμε στα

παραπάνω σχήματα.

Στην περίπτωση όπου ένα σώμα κινείται σε καμπύλη τροχιά και το μέτρο της ταχύτητας

παραμένει σταθερό, τότε το διάνυσμα της επιτάχυνσης είναι συνεχώς κάθετο στο διάνυσμα

της ταχύτητας (δηλαδή η επιτάχυνση έχει μόνο μία μη μηδενική συνιστώσα την a

).

a

a

||a

||a

1

2

1

2

a



Αντίθετα εάν ένα σώμα κινείται σε ευθύγραμμη τροχιά και το μέτρο της ταχύτητας δεν

παραμένει σταθερό τότε το διάνυσμα της επιτάχυνσης είναι συνεχώς παράλληλο στο

διάνυσμα της ταχύτητας (δηλαδή η επιτάχυνση έχει μόνο μία μη μηδενική συνιστώσα την

||a

).

Β.11) Ρυθμός μεταβολής του μέτρου της ταχύτητας και μέτρο

διανυσματικής επιτάχυνσης

Ρυθμός μεταβολής του μέτρου της ταχύτητας: dt

d

H ποσότητα dt

d

μηδενίζεται όταν το μέτρο της ταχύτητας παραμένει σταθερό ακόμα και αν

η κατεύθυνση της κίνησης μεταβάλλεται

.

Μέτρο της διανυσματικής επιτάχυνσης: dt

d

Η ποσότητα dt

d

μηδενίζεται μόνο όταν η επιτάχυνση μηδενίζεται, δηλαδή μόνο όταν το

σωμάτιο κινείται με σταθερή διανυσματική ταχύτητα.



ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑΣ Β


Οι συντεταγμένες ενός πουλιού που πετά στο επίπεδο xy δίνονται ως συναρτήσεις του

χρόνου από τις σχέσεις atmx 0,2 και 2ty , όπου sma /6,3 και 2/8,2 sm .

α) Υπολογίστε τα διανύσματα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης του πουλιού συναρτήσει

του χρόνου.

β) Υπολογίστε το μέτρο και την κατεύθυνση της ταχύτητας και της επιτάχυνσης του πουλιού

τη χρονική στιγμή st 0,3 .

ΛΥΣΗ

α) Το διάνυσμα θέσης r

σε κάθε χρονική στιγμή θα δίνεται από τη σχέση:

jts

mit

s

mmjyixr

2

28,26,30,2

Άρα,

jdt

dyi

dt

dx

dt

rd jt

s

mis

m 2

6,56,3

Και

jdt

di

dt

d

dt

da

yx

j

s

ma

2

6,5

22

yx (1)

Άρα, τη χρονική στιγμή st 0,3 ,

s

mx 6,3 και

s

ms

s

my 8,1636,5

2

Άρα, η σχέση (1) δίνει:

22

yx

22

8,166,3s

m

s

m sm /2,17

Η κατεύθυνση του διανύσματος

προσδιορίζεται από τη γωνία που σχηματίζει το

με

τον άξονα xx .

β) Το μέτρο του διανύσματος της στιγμιαίας ταχύτητας είναι:



x

y

tan

6,3

8,16tan

10267,4tan


22

yx aaa (2)

Άρα, 0xa και 2

6,5s

ma y

Αντικαθιστώντας στη σχέση (2) προκύπτει:

22

yx aaa

2

26,5s

ma

26,5s

ma

Η κατεύθυνση του διανύσματος a

προσδιορίζεται από τη γωνία που σχηματίζει το a

με

τον άξονα xx . Επειδή 0xa , το διάνυσμα a

είναι κάθετο στον άξονα xx .


Οι συντεταγμένες σωματίου που κινείται στο επίπεδο xy δίνονται ως συναρτήσεις του

χρόνου από τις σχέσεις atx και 20,19 tmy , όπου sma /40,1 και 2/800,0 sm .

α) Ποια είναι η απόσταση του σωματίου από την αρχή τη χρονική στιγμή st 00,2 ;

b) Ποια είναι η ταχύτητα του σωματίου (μέτρο και κατεύθυνση) τη στιγμή st 00,2 ;

c) Ποια είναι η επιτάχυνση του σωματίου (μέτρο και κατεύθυνση) τη στιγμή st 00,2 ;

d) Ποιες στιγμές η ταχύτητα του σωματίου είναι κάθετη προς την επιτάχυνσή του;

e) Ποιες στιγμές η ταχύτητα του σωματίου είναι κάθετη προς το διάνυσμα θέσης;

f) Ποιες είναι οι θέσεις του σωματίου αυτές τις χρονικές στιγμές;

g) Ποια είναι η ελάχιστη απόσταση του σωματίου από την αρχή; Ποιες στιγμές συμβαίνει

αυτό το ελάχιστο;

h) Σχεδιάστε την τροχιά του σωματίου.

ΛΥΣΗ

α) Τη χρονική στιγμή st 00,2 :

mss

mx 8,224,1

mss

mmy 8,1528,00,19

2

2

Άρα, η απόσταση του σωματίου από την αρχή θα είναι:

22 yxr 22

8,158,2 mmr mr 16



b) Το διάνυσμα θέσης σε κάθε χρονική στιγμή είναι:

jts

mmit

s

mjyixr

2

28,0194,1

Άρα,

jdt

dyi

dt

dx

dt

rd jt

s

mi

s

m

26,14,1

Το μέτρο του διανύσματος της στιγμιαίας ταχύτητας δίνεται από τη σχέση:

22

yx (1)

Άρα, τη χρονική στιγμή st 0,2 ,

s

mx 4,1 και

s

ms

s

my 2,326,1

2

Αντικαθιστώντας στην (1) προκύπτει:

22

2,34,1s

m

s

m

s

m49,3

Η κατεύθυνση του διανύσματος

προσδιορίζεται από τη γωνία που σχηματίζει το

με

τον άξονα xx .

x

y

tan

4,1

2,3tan

4,66 (κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού από τον

άξονα x )

c) Το μέτρο του διανύσματος της στιγμιαίας επιτάχυνσης είναι:

22

yx aaa (2)

Άρα, 0xa και 2

6,1s

ma y

Αντικαθιστώντας στη σχέση (2) προκύπτει:

22

yx aaa

2

26,1s

ma

26,1s

ma

Η επιτάχυνση έχει μία μη μηδενική συνιστώσα, την 2

6,1s

ma y , επομένως η κατεύθυνσή

της θα είναι η κατεύθυνση του άξονα y .



d) Το διάνυσμα της ταχύτητας του σωματίου θα είναι κάθετο προς το διάνυσμα επιτάχυνσής

του, τις χρονικές στιγμές στις οποίες ισχύει: 0a

Άρα,

06,16,104,100

22 s

mt

s

m

s

maaa yyxx

006,16,122

ts

mt

s

m

e) Το διάνυσμα της ταχύτητας του σωματίου θα είναι κάθετο προς το διάνυσμα θέσης του, τις

χρονικές στιγμές στις οποίες ισχύει: 0

r

Άρα,

06,18,0194,14,1002

2

2

t

s

mt

s

mm

s

mts

myxr yx

028,14,3096,1 3

4

2

2

2

2

2

ts

mt

s

mt

s

mt

0

128,14,3096,1

2

22

2 s

mtt

s

01

28,144,282

22

2

s

mtt

s

01 t ή

01

28,144,28 2

2t

s 2

2

128,144,28 ts

22 28,144,28 ts st 71,42

f) Για 01 t , 01 x και my 191

Για st 71,42 , mss

mx 6,671,44,12 και ms

s

mmy 25,171,48,019

2

22

h) Η τροχιά του σωματίου δίνεται από τη σχέση:

20,19 tmy

2

0,19a

xmy

2

2

4,1

8,00,19

s

m

x

s

mmy

2

2 4,18,00,19

m

sx

s

mmy

2

2

2

2 4,18,00,19

x

m

s

s

mmy

2

4,1

18,00,19

x

mmy

m

xmy

1

96,18,00,19

2

mxmy1

4,00,19 2



Θα μελετήσουμε τη συνάρτηση 24,00,19 xy

Η απόσταση ενός τυχαίου σημείου Μ από την αρχή των αξόνων ΟΜ δίνεται από τη σχέση:

222yx

22224,019 xx 3612,1416,0 242

xx

Θέτουμε

3612,1416,0)( 24 xxxg

66,666,664,038,4464,04,2864,0)( 23 xxxxxxxxg

(Η ανάλυση γίνεται για 0x , διότι ts

mx 4,1 )

x 0 66,6

x64,0 + +

66,6x - +

66,6x + +

xg - +

xg

Επομένως η απόσταση ελαχιστοποιείται για mx 66,6 .

Επομένως η ελάχιστη απόσταση θα είναι:

2222 yxr 22 yxr

2

22 166,64,01966,6

mmmmr

22 58,135,44 mmr mr 8,6

Η ελάχιστη απόσταση λαμβάνει χώρα τη χρονική στιγμή:

a

xtatx

s

m

mtatx

4,1

66,6st 7,4

g)

.. ά



Άσκηση 3-33 σελ. 80 από το βιβλίο Πανεπιστημιακή Φυσική (Hugh D. Young)

Ένα πουλί πετά στο επίπεδο xy με διάνυσμα ταχύτητας που δίνεται από jtit

2 ,

όπου sma /1,2 , 3/6,3 sm και 2/5 sm και όπου η θετική κατεύθυνση y είναι

κατακόρυφη προς τα επάνω. Όταν 0t το πουλί είναι στην αρχή των συντεταγμένων.

a) Υπολογίστε τα διανύσματα θέσης και επιτάχυνσης του πουλιού συναρτήσει του χρόνου.

b) Ποιο είναι το ύψος του πουλιού (συντεταγμένη y) καθώς πετά πάνω από το 0x για

πρώτη φορά μετά από τη στιγμή 0t ;

ΛΥΣΗ

Όταν 0t το πουλί είναι στην αρχή των συντεταγμένων, δηλαδή, 00 x , 00 y .

a) tt

jtdtidttrr00

2

0

j

ti

ttr

23

23

jtittr

23

2

1

3

1

jtdt

dit

dt

d

dt

da

2 jita

2

b) Προσδιορίζουμε τη δεύτερη χρονική στιγμή για την οποία 0x :

03

10 3ttx

03

1 2 tta

0t ή 2

3

1t 23 t

32t

3t

36,3

1,23

s

ms

m

t st 32,1

Για st 32,1 ,

2

2

1ty

2

232,15

2

1s

s

my my 4,4

0



ΕΝΟΤΗΤΑ Γ: ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ

ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

Γ.1) ΚΙΝΗΣΗ ΒΛΗΜΑΤΟΣ

Η κίνηση του βλήματος μπορεί να θεωρηθεί σαν συνδυασμός οριζόντιας κίνησης με σταθερή

ταχύτητα και κατακόρυφης κίνησης με σταθερή επιτάχυνση (στην περίπτωση όπου

θεωρήσουμε την αντίσταση του αέρα αμελητέα). Η πραγματική κίνηση είναι υπέρθεση

αυτών των ανεξάρτητων κινήσεων.

Έστω ότι η αρχική θέση του βλήματος (θέση τη χρονική στιγμή 00 t ) είναι η 00 , yx .

Η αρχική ταχύτητα του βλήματος αναλύεται σε 2 συνιστώσες:

000 cos x (Γ.1.1)

000 sin y (Γ.1.2)

Προσδιορισμός της κίνησης στον άξονα x :

000 cos xx (Γ.1.3)

txx x00 txx 000 cos (Γ.1.4)

Προσδιορισμός της κίνησης στον άξονα y :

gtyy 0 gty 00 sin (Γ.1.5)

2

002

1gttyy y 2

0002

1sin gttyy (Γ.1.6)

y

x

y0

x0

0

0

y

x

x

y

0



Οι σχέσεις (Γ.1.3)-(Γ.1.6) δίνουν τη θέση και την ταχύτητα του βλήματος κάθε χρονική

στιγμή t .

Η απόσταση r του βλήματος από την αρχή των αξόνων σε κάθε χρονική στιγμή (το μήκος

του διανύσματος θέσης r

) θα είναι:

22 yxr (Γ.1.7)

Το μέτρο της ταχύτητας σε κάθε χρονική στιγμή είναι:

22

yx (Γ.1.8)

, όπου οι συνιστώσες της ταχύτητας yx , προκύπτουν από τις σχέσεις (Γ.1.3), (Γ.1.5).

Το διάνυσμα της ταχύτητας

εφάπτεται στην τροχιά σε κάθε σημείο.

Η κατεύθυνση της ταχύτητας σε κάθε σημείο προκύπτει από τη γωνία που σχηματίζει το

διάνυσμα της ταχύτητας με τον άξονα x , δηλαδή:

x

y

x

y

arctantan (Γ.1.9)

Εξίσωση της τροχιάς του βλήματος προκύπτει από τις σχέσεις (Γ.1.4) και (Γ.1.6) με

απαλοιφή του χρόνου:

2

00

0

00

0000

cos2

1

cossin

xxg

xxyy

20

0

22

0

000cos2

tan xxg

xxyy

(Γ.1.10)

Αν θεωρήσουμε σαν αρχική θέση του βλήματος την αρχή των αξόνων, δηλαδή:

0,0 00 yx , η σχέση (31) γίνεται: 2

0

22

0

0cos2

tan xg

xy

(Γ.1.11)

Από τη σχέση αυτή φαίνεται ξεκάθαρα ότι στην περίπτωση απουσίας αντίστασης του αέρα η

τροχιά του βλήματος είναι παραβολή, δηλαδή είναι της μορφής: 2axbxy , όπου ab,

σταθερές.



ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑΣ Γ.1


Το μακρύτερο χτύπημα στο μπέιζμπολ. Σύμφωνα με το βιβλίο των παγκοσμίων ρεκόρ

Guinnes, η μακρύτερη οριζόντια απόσταση που διάνυσε μπάλα του μπέιζμπολ και έχει

καταμετρηθεί, οφείλεται στο χτύπημα της μπάλας από τον Roy <<Dizzy>> Carlyle σε

παιχνίδι χαμηλής κατηγορίας. Η απόσταση έφτασε τα 188m και η μπάλα χτύπησε το έδαφος

εκτός γηπέδου.

a) Υποθέτοντας ότι η αρχική ταχύτητα της μπάλας σχημάτισε γωνία 45 πάνω από την

οριζόντια διεύθυνση και παραμελώντας την αντίσταση του αέρα, ποιο ήταν το αρχικό μέτρο

της ταχύτητας του αέρα αν χτυπήθηκε σε ένα σημείο m9,0 πάνω από το έδαφος; Υποθέσετε

ότι το έδαφος είναι τελείως επίπεδο.

b) Πόσο πιο πάνω από φράκτη ύψους m0,3 που βρίσκεται m116 από την εστία (σημείο που

χτυπήθηκε η μπάλα) θα περάσει η μπάλα;

ΛΥΣΗ

a) Η αρχική θέση της μπάλας είναι η 00 , yx , όπου my 9,00 .

Η τελική θέση της μπάλας θα είναι στο έδαφος,:

mmyy 9,09,000 (δηλαδή m9,0 χαμηλότερα από την αρχική της θέση)

Θέτουμε my 9,0 .

Επίσης η οριζόντια απόσταση της μπάλας είναι mxxx 1880 .

Από τη σχέση (Γ.1.10) προκύπτει:

2

0

0

22

0

000cos2

tan xxg

xxyy

2

0

0

22

0

000cos2

tan xxg

xxyy

2

0

22

0

0cos2

tan xg

xy

2

0

22

0

0cos2

tan xg

xy

2

0

22

0

0cos2

tan xg

yx

yx

xg

00

2

22

0tancos2

mm

ms

m

9,045tan18845cos2

1888,9

2

2

22

0 sm /8,420

b) Πρέπει να βρούμε το ύψος της μπάλας σε οριζόντια απόσταση mx 116

Άρα,



2

0

22

0

0cos2

tan xg

xy

2

2

2

116

2

18,422

/8,9116 m

s

m

smmy

mymyymy 451,441,44 0

Άρα mmmy 42345 πάνω από το φράκτη.


Αιώρα τσίρκου.

c) Tη βραδιά της πρώτης παράστασης ο Joe Bob τη χάνει τελείως καθώς περνά πέρα από

αυτόν. Πόσο μακριά ταξιδεύει οριζοντίως η Mary Belle από το αρχικό σημείο εκτίναξης, πριν

προσγειωθεί στο δίκτυ ασφαλείας που είναι m6,8 κάτω από το σημείο εκκίνησης;

ΛΥΣΗ

a) Από τη σχέση (Γ.1.10) προκύπτει:

2

0

0

22

0

000cos2

tan xxg

xxyy

2

0

0

22

0

000cos2

tan xxg

xxyy

2

0

22

0

0cos2

tan xg

xy

2

0

22

0

0cos2

tan xg

xy

2

0

22

0

0cos2

tan xg

yx

yx

xg

00

2

22

0tancos2

mm

ms

m

1,653tan2,853cos2

2,88,9

2

2

22

0 sm /8,130

b) Υπολογίζουμε το χρόνο που χρειάζεται για να φτάσει στον Joe Bob:

txx 000 cos tx 00 cos

00 cos

xt

53cos8,13

2,8

s

m

mt

Ένα νέο νούμερο τσίρκου είναι το εξής: η αξιαγάπητη Mary

Belle αιωρείται σε αιώρα, εκτοξεύει το σώμα της υπό γωνία 53 και υποτίθεται πιάνεται από τον Joe Bob, του οποίου τα

χέρια είναι σε σημείο m1,6 πάνω και m2,8 οριζόντια από το

σημείο εκτίναξης.

a) Ποια αρχική ταχύτητα 0 πρέπει να έχει η Mary Belle

ώστε μόλις να φθάνει τον Joe Bob;

b) Για την αρχική ταχύτητα που υπολογίστηκε στο (a), ποιο

είναι το μέτρο και η κατεύθυνση της ταχύτητάς της όταν

αυτή φθάνει τον Joe Bob;



st 9874,0

Από τις σχέσεις (Γ.1.3) και (Γ.1.5) προκύπτει:

00 cos x 53cos8,13s

mx smx /31,80

gty 00 sin ss

m

s

my 99,08,953sin8,13

2

s

my 34,1

Άρα, από τη σχέση (Γ.1.9) προκύπτει:

x

y

arctan

31,8

34,1arctan

16,9

c) Η αρχική θέση της Mary Belle είναι η 00 , yx , όπου my 6,80 .

Η τελική θέση της Mary Belle θα είναι στο έδαφος:

mmyy 6,86,800 (δηλαδή m6,8 χαμηλότερα από την αρχική της θέση)

Θέτουμε my 6,8 .

Επίσης η οριζόντια απόσταση της Mary Belle είναι 0xxx .


2

0

0

22

0

000cos2

tan xxg

xxyy

2

0

0

22

0

000cos2

tan xxg

xxyy

2

0

22

0

0cos2

tan xg

xy

2

0

22

0

0cos2

tan xg

xy

2

0

22

0

0cos2

tan xg

yx

0tancos2

0

2

0

22

0

yxxg

06,853tan

53cos8,132

8,92

2

2

2

mxx

s

m

s

m

06,832,107,0 21 mxxm

mx 9,23 (δεχόμαστε μόνο τη θετική λύση).




ΛΥΣΗ

Η αρχική θέση του καθηγητή είναι η 00 , yx , όπου my 1000 .

Η τελική θέση του καθηγητή θα είναι:

myy 150 (δηλαδή m15 χαμηλότερα)

Θέτουμε my 15 .

Επίσης η οριζόντια απόσταση που διανύει ο καθηγητής είναι mxxx 400 .


2

0

0

22

0

000cos2

tan xxg

xxyy

2

0

0

22

0

000cos2

tan xxg

xxyy

2

0

22

0

0cos2

tan xg

xy

2

0

22

0

0cos2

tan xg

xy

2

0

22

0

0cos2

tan xg

yx

yx

xg

00

2

22

0tancos2

mm

ms

m

1553tan4053cos2

408,9

2

2

22

0 sm /88,170

Φυσικός, καθηγητής πανεπιστημίου, κάνει

επικίνδυνα ακροβατικά στον ελεύθερο χρόνο

του. Το πιο πρόσφατο νούμερό του ήταν να

προσπαθήσει να πηδήξει ένα ποτάμι οδηγώντας

μοτοποδήλατο. Η ράμπα απογείωσης είχε κλίση 53 , το ποτάμι ήταν m40 πλατύ και η απέναντι

όχθη ήταν m15 κάτω από το ανώτατο σημείο

της ράμπας. Το ίδιο το ποτάμι ήταν m100 κάτω

από τη ράμπα. Ποιο θα έπρεπε να ήταν το μέτρο

της ταχύτητάς του στην κορυφή της ράμπας

ώστε μόλις που να φτάσει στην απέναντι άκρη

της όχθης;




Αποδείξτε ότι βλήμα βαλλόμενο υπό γωνία 0 έχει το ίδιο βεληνεκές με βλήμα που βάλλεται

με την ίδια ταχύτητα υπό γωνία 090 .

ΛΥΣΗ

Το βεληνεκές υπό γωνία 0 είναι:

txx 000 cos tx 00 cos (1)

Ο ολικός χρόνος κίνησης μέχρι την πρόσπτωση στο έδαφος είναι:

g

ty02

gt 00 sin2 (2)

Αντικαθιστώντας τη σχέση (2) στην (1) προκύπτει:

g

x 0000

sin2cos

(3)

Ομοίως Το βεληνεκές υπό γωνία 090 είναι:

g

x 0000

90sin290cos

(4)

Όμως,

000 sin90cos90cos (5)

0000 coscos90sin90sin (6)

Αντικαθιστώντας τις (5), (6) στην (4) καταλήγουμε στην (3):

g

x 0000

cos2sin

gx 00

00

sin2cos

xx




Σε ένα βλήμα δίνεται αρχική ταχύτητα υπό γωνία πάνω από την επιφάνεια κεκλιμένου

επιπέδου μέτρου 0 . Το κεκλιμένο επίπεδο έχει γωνία κλίσης ως προς την οριζόντια

διεύθυνση.

a) Υπολογίστε την απόσταση, μετρούμενη κατά μήκος του κεκλιμένου επιπέδου, από το

σημείο βολής μέχρι το σημείο όπου το βλήμα χτυπά το κεκλιμένο επίπεδο. Η απάντησή σας

να δοθεί συναρτήσει των ,,,0 g .

b) Ποια γωνία δίνει τη μέγιστη απόσταση, μετρούμενη κατά μήκος του κεκλιμένου

επιπέδου;

ΛΥΣΗ

a) Αν θεωρήσουμε σαν αρχική θέση του βλήματος την αρχή των αξόνων, δηλαδή:

0,0 00 yx , ισχύει: 2

0

22

0

0cos2

tan xg

xy

(σχέση Γ.1.11)

Η γωνία βολής ως προς το οριζόντιο επίπεδο είναι: 0 (Α)

Επίσης ισχύει: tantan xyx

y (Β)

Αντικαθιστώντας τις σχέσεις (Α) και (Β) στη σχέση (Γ.1.11) προκύπτει:

2

22

0 cos2tantan x

gxx

x

g

22

0 cos2tantan

xg

22

0 cos2tantan

tantan

cos2 22

0

xg

g

x

22

0 cos2tantan (C)

Όμως η ζητούμενη απόσταση κατά μήκος του κεκλιμένου επιπέδου ισούται με:

cos

xs (D)

y

x

s



Επομένως πολλαπλασιάζουμε τα 2 μέλη της εξίσωσης (C) με cos

1

cos

cos2tantan

cos

22

0

g

x (Ε)

Αντικαθιστώντας την (D) στην (E) προκύπτει:

tantan

cos

cos2 22

0

g

s

,που είναι και το ζητούμενο.

b) Από τη σχέση (Α) έχουμε: 0

Άρα,

tantan

cos

cos2 22

0

gs

tantan

cos

cos20

0

22

0

gs

cos

sin

cos

sin

cos

cos2

0

00

22

0

gs

2

0

22

000

2

0

cos

sincos2

cos

sincos2

ggs

2

0

22

0

2

00

2

0

cos

sincos2

cos

cossincos2

ggs

sincoscossincos

cos

20

2

002

2

0 g

s (F)

Όμως,

2

2sincossin 0

00

(G)

2

2cos1cos 0

0

2

(Η)

Αντικαθιστώντας τις (G) και (Η) στην (F) προκύπτει:

sin2cos1cos2sin

2

1

cos

2002

2

0

gs

002

2

0 2cossinsincos2sincos

gs

002

2

0 2cossinsincos2sincos

gs



sin2sin

cos02

2

0 g

s

Επομένως η μέγιστη τιμή του s είναι όταν μεγιστοποιείται το: 02sin

Δηλαδή όταν: 2

212sin 00

240

24

24



Γ.2) ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

Όταν ένα σώμα κινείται σε κυκλική τροχιά με ταχύτητα σταθερού μέτρου εκτελεί ομαλή

κυκλική κίνηση. Στην περίπτωση αυτή δεν υπάρχει συνιστώσα της επιτάχυνσης παράλληλα

στην ταχύτητα (δηλαδή εφαπτομένη στην τροχιά) διότι το μέτρο της ταχύτητας παραμένει

συνεχώς σταθερό. Υπάρχει μόνο συνιστώσα της επιτάχυνσης κάθετη στην τροχιά που

προκαλεί αλλαγή στην κατεύθυνση της ταχύτητας.

Στο σχήμα Γ.2.1 βλέπουμε ένα σωμάτιο που κινείται σε κυκλική τροχιά ακτίνας R . Το

σωμάτιο διαγράφει το τόξο s (από το σημείο Α στο σημείο Β) σε χρόνο t . Η

διανυσματική μεταβολή της ταχύτητας είναι

, όπως φαίνεται στο σχήμα Γ.2.2.

Όπως προαναφέρθηκε υπάρχει συνιστώσα επιτάχυνσης (συνεχώς κάθετη στο διάνυσμα της

ταχύτητας) που είναι υπεύθυνη για τη συνεχή αλλαγή της κατεύθυνσης του σωματίου. Το

μέτρο της επιτάχυνσης αυτής προσδιορίζεται ακολούθως:

Παρατηρούμε από τα σχήματα Γ.2.1 και Γ.2.2 ότι τα τρίγωνα ΟΑΒ και ΓΔΕ είναι όμοια

επειδή είναι ισοσκελή και έχουν ίσες τις γωνίες

. Άρα, οι λόγοι των

αντίστοιχων πλευρών είναι ίσοι:

R

s

1

s

R

1

t

s

Rt

1

t

s

Raav

1

Άρα το μέτρο της στιγμιαίας επιτάχυνσης στο σημείο Α θα είναι το όριο της παραπάνω

έκφρασης όταν το σημείο Β τείνει στο σημείο Α :

t

s

Ra

t

1

0lim

t

s

Ra

t 0

1 lim

dt

ds

Ra 1 1

1

Ra

Ra

2

1

Σημείωση: To όριο t

s

t

0lim είναι το μέτρο της ταχύτητας 1 στο σημείο Α.

Επειδή η σχέση R

a2

1 ισχύει για οποιοδήποτε σημείο της τροχιάς παραλείπουμε το δείκτη

στην ταχύτητα και γράφουμε:

1

2

s

R

R

1

2

R

rada

Σχήμα Γ.2.1

Σχήμα Γ.2.2

Σχήμα Γ.2.3

R

rada



R

arad

2 (Γ.2.1)

Επειδή η επιτάχυνση κατευθύνεται πάντα προς το κέντρο του κύκλου ονομάζεται

κεντρομόλος επιτάχυνση.

rada κεντρομόλος επιτάχυνση (Σχ. Γ.2.3)

Συσχέτιση μέτρου ταχύτητας – περιόδου κίνησης

Επειδή το μέτρο της ταχύτητας ενός σώματος που εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση είναι

σταθερό, το σώμα διανύει σε ίσους χρόνους t , ίσα διαστήματα s .

Άρα, το μέτρο της ταχύτητας του σώματος δίνεται από τη σχέση:

t

s (Γ.2.2)

Σε μία πλήρη περιφορά το σώμα θα έχει διανύσει μήκος ίσο με την περιφέρεια του κύκλου,

δηλαδή:

Rs 2 (Γ.2.3)

Το μήκος Rs 2 το διανύει σε χρόνο ίσο με μία περίοδο

Tt (Γ.2.4)

Η περίοδος της κίνησης αποτελεί το χρόνο που απαιτείται για μία πλήρη περιφορά του

σώματος.

Αντικαθιστώντας τις σχέσεις (Γ.2.3) και (Γ.2.4) στην (Γ.2.2) προκύπτει:

T

R

2 (Γ.2.5)

Συσχέτιση μέτρου κεντρομόλου επιτάχυνσης – περιόδου κίνησης

Αντικαθιστώντας τη σχέση (Γ.2.5) στην (Γ.2.1) προκύπτει:

2

24

T

Rarad

(Γ.2.6)

Κυκλική κίνηση με ταχύτητα μεταβαλλόμενου μέτρου

Σε όλη την παραπάνω ανάλυση υποθέσαμε ότι η ταχύτητα έχει σταθερό μέτρο. Εάν το μέτρο

της ταχύτητας μεταβάλλεται, η σχέση R

arad

2 εξακολουθεί να δίνει την ακτινική

συνιστώσα της επιτάχυνσης (τη συνιστώσα που είναι συνεχώς κάθετη στη στιγμιαία

ταχύτητα). Στην περίπτωση αυτή όμως υπάρχει και μία συνιστώσα της επιτάχυνσης tana , η

οποία είναι παράλληλη στη στιγμιαία ταχύτητα. Το μέτρο της tana δίνεται από τη σχέση:



dt

da

tan (Γ.2.7)

Προσοχή! Στην ομαλή κυκλική κίνηση 0tan a . Οπότε, dt

daa rad

Υπενθυμίζουμε ότι γενικά: dt

d

dt

d

. Στην ομαλή κυκλική κίνηση 0dt

d

και

.

dt

d

Η διανυσματική επιτάχυνση σώματος που εκτελεί κυκλική τροχιά με ταχύτητα

μεταβαλλόμενου μέτρου είναι το διανυσματικό άθροισμα των rada

και tana

.





Πέτρα δεμένη σε σχοινί κινείται στο επίπεδο xy. Οι συντεταγμένες της συναρτήσει του

χρόνου δίνονται από τις σχέσεις:

tRx cos , tRy sin

Όπου R και ω σταθερές.

a) Δείξτε ότι η απόσταση της πέτρας από την αρχή των συντεταγμένων είναι σταθερή και ίση

προς R, δηλαδή ότι η τροχιά της είναι κύκλος ακτίνας R.

b) Δείξτε ότι για κάθε σημείο η ταχύτητα της πέτρας είναι κάθετη προς το διάνυσμα θέσης.

c) Δείξτε ότι η επιτάχυνση της πέτρας έχει πάντοτε αντίθετη φορά από τη φορά του

διανύσματος θέσης και έχει μέτρο R2 .

d) Δείξτε ότι το μέτρο της ταχύτητας της πέτρας είναι σταθερό και ίσο με R .

e) Συνδυάστε τα αποτελέσματα των (c) και (d) για να δείξετε ότι η επιτάχυνση της πέτρας

έχει σταθερό μέτρο R

2.

ΛΥΣΗ

a) 22 yxr 22

sincos tRtRr tRtRr 2222 sincos

ttRr 222 sincos 12Rr 2Rr Rr

b) To διάνυσμα θέσης δίνεται από τη σχέση:

jyixr

jtRitRr

sincos

Οι συνιστώσες του διανύσματος της ταχύτητας θα είναι:

tR

dt

tRd

dt

dxx

sin

cos

tR

dt

tRd

dt

dyy

cos

sin

Επομένως το διάνυσμα της ταχύτητας θα είναι:

ji yx

jtRitR

cossin

Άρα,

yxr yx

tRtRtRtRr sincoscossin

ttRttRr sincoscossin 22 ttttRr sincoscossin2



0 r

Άρα, τα διανύσματα

και r

είναι κάθετα σε κάθε θέση.

c) Οι συνιστώσες του διανύσματος της επιτάχυνσης θα είναι:

xtR

dt

tRd

dt

da xx

22 cossin

ytR

dt

tRd

dt

da

y

y

22 sincos

Επομένως το διάνυσμα της επιτάχυνσης θα είναι:

jaiaa yx

jyixa

22 jyixa 2 ra

2

Επειδή, ο όρος 2 είναι θετικός, τα διανύσματα a

και r

έχουν σε κάθε θέση αντίθετη

κατεύθυνση.

d) tRtRtRtRyx 2222222222 cossincossin

ttR 2222 cossin 22R R

e) Το μέτρο της επιτάχυνσης της πέτρας ισούται με:

Ra 2 (Α)

Το μέτρο της ταχύτητας της πέτρας ισούται με:

R (Β)

Άρα λύνοντας την (Β) ως προς ω και αντικαθιστώντας στην (Α) προκύπτει:

RR

a

2

Ra

2



Γ.3) ΣΧΕΤΙΚΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΣΤΙΣ 2 ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ

Άρα,

/// rrr PP

jyixjyixjyix PPPP

//////

jyyixxjyix PPPP

//////

Επομένως,

/// xxx PP (Γ.3.2)

και

/// yyy PP (Γ.3.3)

Παραγωγίζοντας ως προς το χρόνο τις 2 παραπάνω σχέσεις προκύπτει:

dt

dx

dt

dx

dt

dx PP /// xxPxP /// (Γ.3.4)

dt

dy

dt

dy

dt

dy PP /// yyPyP /// (Γ.3.5)

Συνεπώς, από τις σχέσεις (Γ.3.4) και (Γ.3.5) προκύπτει:

///

PP (Γ.3.6)

Από τη σχέση (Γ.3.6) προκύπτει ότι η ταχύτητα του σωματίου ως προς το σύστημα αναφοράς

Α είναι το διανυσματικό άθροισμα της ταχύτητας του σωματίου ως προς το σύστημα

αναφοράς Β και της ταχύτητας του συστήματος αναφοράς Β ως προς το σύστημα αναφοράς

Α.

Το μέτρο της ταχύτητας του σωματίου ως προς το σύστημα αναφοράς Α θα είναι:

Έστω ότι ένα σωμάτιο κινείται ως προς 2

διαφορετικά συστήματα αναφοράς, το και το

. Θεωρούμε ότι το κινείται ως προς το

ακίνητο με σταθερή ταχύτητα. Αντί μιας

συντεταγμένης x χρησιμοποιούμε διάνυσμα

θέσης r

, που στο επίπεδο περιγράφεται από δύο

συνιστώσες yx, . Έστω ότι το P παριστάνει τη

θέση του σωματίου. Στην περίπτωση αυτή ισχύει

η σχέση:

/// rrr PP

(Γ.3.1)

/r

/Pr

/Pr

x

y

P

y

x

z

z



2

/

2

// PP (Γ.3.7)

Τέλος ισχύει πάντα η σχέση: //

Δηλαδή η ταχύτητα του σωματίου ως προς το σύστημα αναφοράς Β είναι το αντίθετο της

ταχύτητας ως προς το σύστημα αναφοράς Α.

Η κατεύθυνση της ταχύτητας θα είναι:

/

/

/

/ arctan

PP (Γ.3.8)

/P

/P

/





Ποτάμι ρέει προς βορρά με ταχύτητα sm /4,2 . Άνθρωπος διασχίζει με βάρκα το ποτάμι. Η

ταχύτητά του ως προς το νερό είναι sm /5,3 προς ανατολάς. Το ποτάμι έχει πλάτος m1000 .

a) Ποια είναι η ταχύτητά του ως προς την όχθη;

b) Πόσος χρόνος απαιτείται για να διασχίσει το ποτάμι;

c) Πόσο θα έχει μετατοπιστεί κατά τη διεύθυνση βορρά – νότου από το σημείο εκκίνησης

όταν φτάσει στην αντίπερα όχθη;

ΛΥΣΗ

a)

Άρα,

2

/

2

//

22

4,25,3s

m

s

m sm /24,4

Η κατεύθυνση της ταχύτητας ως προς την όχθη θα είναι:

/

/

5,3

4,2

4,34 βόρεια της ανατολής

b)

/

/

x

tt

xsm

mt

/5,3

1000st 286 (όπου x το πλάτος του ποταμού).

c) ty / ss

my 2864,2 my 686

Έστω /

η ταχύτητα του ανθρώπου ως προς

το βορρά, /

ταχύτητα του ανθρώπου ως

προς την ανατολή και /

η ταχύτητα του

ανθρώπου ως προς το ποτάμι.

/

/

/

Όχθη




Πιλότος αεροπλάνου καθορίζει με πυξίδα πορεία (κατεύθυνση ατράκτου) ακριβώς δυτικά με

ταχύτητα (ως προς τον αέρα) hkm/220 . Μετά από πτήση h500,0 βρίσκεται πάνω από πόλη

που είναι km150 δυτικά και km40 νότια από το σημείο εκκίνησης.

a) Βρείτε την ταχύτητα του ανέμου (μέτρο και κατεύθυνση).

b) Εάν η ταχύτητα του ανέμου είναι hkm/120 ως προς το νότο, προς ποια κατεύθυνση

πρέπει να θέσει ο πιλότος την πορεία του για να πάει ακριβώς δυτικά; Πάρτε την ίδια

ταχύτητα αέρος hkm/220 .

ΛΥΣΗ

a)

Μας δίνονται οι μετατοπίσεις ως προς το έδαφος (ως προς τη Γη), με αποτέλεσμα να

μπορούμε να βρούμε τις συνιστώσες της ταχύτητας /

.

hkmh

kmx /300

5,0

150/ (ταχύτητα προς τα δυτικά)

hkmh

kmy /80

5,0

40/ (ταχύτητα προς τα νότια)

Στη συνέχεια αναλύουμε όλες τις ταχύτητες /

, /

σε συνιστώσες x (δυτικές

συνιστώσες) και y (νότιες συνιστώσες). Η συνισταμένη των δυτικών συνιστωσών των /

,

/

θα ισούται με x /

και η συνισταμένη των νοτίων συνιστωσών των /

,

/

θα

ισούται με y /

.

Η ταχύτητα του αεροπλάνου /

ως προς τη

Γη είναι το διανυσματικό άθροισμα της

ταχύτητας του αεροπλάνου ως προς τον αέρα

/

και της ταχύτητας του αέρα ως προς τη Γη

/

.

/

/

ΔΥΣΗ

ΝΟΤΟΣ

/

x

y

/

y /

x /



Επομένως προκύπτει:

Δυτικές συνιστώσες:

xx /// xx /// /// xx

hkmhkmx /220/300/ hkmx /80/

Νότιες συνιστώσες:

yy // yy // hkmy /80/

Επομένως το μέτρο της ταχύτητας του ανέμου θα ισούται με:

yx /2

/2

/

22

/ 8080h

km

h

km hkm/113/

Η κατεύθυνση της ταχύτητας του ανέμου θα είναι:

45180

80

/

/

y

x νότια της Δύσης

b)

Η ταχύτητα του αεροπλάνου /

ως προς τη

Γη είναι το διανυσματικό άθροισμα της

ταχύτητας του αεροπλάνου ως προς τον αέρα

/

και της ταχύτητας του αέρα ως προς τη Γη

/

.

y/

x/

/

x

y

/

ΔΥΣΗ

ΝΟΤΟΣ

ΒΟΡΑΣ

ΑΝΑΤΟΛΗ

ΔΥΣΗ

ΝΟΤΟΣ

/

/

/



Το μέτρο της ταχύτητας του ανέμου είναι: hkm/120/

Το μέτρο της ταχύτητας του αεροπλάνου ως προς τον αέρα είναι: hkm/220/ .

Απομένει να προσδιοριστεί η κατεύθυνση της ταχύτητας του αεροπλάνου ως προς τον αέρα,

δηλαδή η κατεύθυνση του διανύσματος /

.

1,331220

120sin

/

/

(βόρεια της Δύσης)

Documents

Πανεπιστημιακή Φυσική Τόμος Α Hugh D. Young Μέρος Α - Κεφάλαιο 1: Κινηματική