Σε λείο κεκλιµένο έδαφος, γωνίας κλίσεως φ ως προς τον ορίζοντα, έχει τοποθετηθεί πυροβόλο µάζας M, του οποίου η ολίσθη ση προς τα κάτω αποφεύγεται µε την βοήθεια εµποδίου. Tο πυροβόλο εκτοξεύει οριζόντια ένα βλήµα µάζας m, µε ταχύτητα

�

v . Eάν ο χρόνος

κίνησης του βλήµατος στην κάνη του πυροβόλου είναι Δt, να βρεθούν: i) η προς τα πάνω µετατόπιση του πυροβόλου και ii) η δύναµη που ασκεί το έδαφος στο πυροβόλο κατά τον χρόνο Δt. Δί νεται η επιτάχυνση

�

g της βαρύτητας

ΛYΣH: i) Στην διάρκεια της κίνησης του βλήµατος µέσα στην κάνη του πυροβό λου, το πυροβόλο δέχεται το βάρος του

�

w , την αντίδραση

�

A του λείου κεκλιµέ

νου εδάφους και την δύναµη

�

F από τα αέρια που δηµιουργούνται από την έκρηξη

Σχήµα 8 της πυρίτιδας. H δύναµη

�

F είναι αντίθετη εκείνης που δέχεται το βλήµα από τα

αέρια και το µέτρο της υπολογίζεται µε εφαρµογή του θεωρήµατος ωθησης-ορµής για το βλήµα, οπότε θα έχουµε: FΔt = mv

�

⇒ F = mv/Δt (1) Eξάλλου, εφαρµόζοντας για το πυροβόλο το θεώρηµα ωθησης-ορµής κατά την διεύ θυνση του κεκλιµένου επιπέδου και για τον χρόνο Δt, παίρνουµε την σχέση:

F1Δt - w1Δt = MV - 0

�

⇒ (Fσυνφ - Mgηµφ)Δt = MV

�

⇒(1)

�

mvσυνϕΔt

- Mgηµϕ⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ Δt = MV

�

⇒

�

V =mvσυνϕ - MgΔtηµϕ

M (2)

όπου

�

F 1 η συνιστώσα της

�

F κατά την διεύθυνση του κεκλιµένου επιπέδου,

�

w 1 η

αντίστοιχη συνιστώσα του βάρους

�

w του πυροβόλου και

�

V η ταχύτητα του πυρο

βόλου αµέσως µετά την εκτόξευση του βλήµατος, που θα παίξει ρόλο αρχικής ταχύτητας για την παραπέρα επιβραδυνόµενη κίνησή του. Έτσι αν smax είναι η προς τα πάνω µετατόπιση του πυροβόλου, σύµφωνα µε το θεώρηµα κινητικής ενέργειας-έργου θα έχουµε:

0 - MV2/2 = -w1smax

�

⇒ MV2 = 2Mgsmaxηµφ ⇒(2)

�

smax =(mvσυνϕ - MΔtgηµϕ)2

2M2gηµϕ (3)

ii) Εφαρµόζοντας για το πυροβόλο το θεώρηµα ώθησης-ορµής κατά την κάθετη προς το κεκλιµένο επίπεδο διεύθυνση, παίρνουµε την σχέση: AΔt - w2Δt - F2Δt = ΔPy

�

⇒ (A – wσυνφ - Fηµφ)Δt = 0

�

⇒

A = wσυνφ + Fηµφ

�

⇒(1)

�

A = Mgσυνϕ + mvηµϕ /Δt όπου

�

F 2 ,

�

w 2 οι συνιστώσες της

�

F και του βάρους

�

w του πυροβόλου αντιστοίχως

κατά την κάθετη προς το κεκλιµένο επιπέδο διεύθυνση. P.M. fysikos

Mια ευκίνητη τροχαλία αµελητέας µάζας είναι στερε ωµένη, όπως φαίνεται στο σχήµα (9) και από τον λαιµό της διέρχεται λεπτό και µη εκτατό νήµα επαρκούς αντοχής, στο ένα άκρο του οποίου έχει δεθεί σώµα µάζας m1 και στο άλλο άκρο σώµα µάζας m2>m1. Tο πρώτο σώµα ισορροπεί πάνω σε οριζόντιο έδαφος, ενώ το άλλο σώµα κρατείται, ώστε το νήµα να είναι χαλαρό και κάποια στιγµή αφήνεται ελεύθερο να κινηθεί. Yστερα από κατακόρυφη διαδροµή h του σώµατος το νήµα τεντώνεται και το σώµα µάζας m1 αρχίζει να ανυψώνεται. i) Nα βρεθεί η ώθηση της τάσεως του νήµατος κατά τον χρόνο που αυτό τεντώνεται. ii) Nα βρεθεί η µέγιστη αποµάκρυνση της µάζας m1 από το οριζόντιο έδα φος, µε την προϋπόθεση ότι η απόσταση της τροχαλίας από αυτό είναι αρκετά µεγάλη. Δίνεται η επιτάχυνση

�

g της βαρύτητας.

ΛYΣH: i) Tο σώµα µάζας m2, µέχρις ότου τεντωθεί το νήµα δέχεται µόνο το βάρος του, οπότε η ταχύτητά του

�

v λίγο πριν τεντωθεί το νήµα θα έχει µέτρο που

δίνεται από την σχέση:

�

v = 2gh (1)

Kατά το πολύ µικρό χρονικό διάστηµα Δt (Δt→0) που διαρκεί το τέντωµα του νή

µατος το σώµα µάζας m2 δέχεται την τάση

�

T του νήµατος και το βάρος του

�

m2

g ,

οπότε εφαρµόζοντας για το σώµα αυτό κατά τον χρόνο Δt, το θεώρηµα ώθησης-ορµής παίρνουµε την σχέση:

�

m2

V κ = m2

v + Ω T + m2

g Δt

�

⇒(Δt→0)

�

m2

V κ = m2

v + Ω T (2)

όπου

�

V κ η ταχύτητα του σώµατος αµέσως µετά το τέντωµα του νήµατος και

�

Ω T η

ώθηση* της τάσεως του νήµατος για τον χρόνο Δt. Mε θετική φορά στην κατακό ρυφη διεύθυνση την προς τα πάνω, η διανυσµατική σχέση (2) µετατρέπεται σε σχέση αλγεβρικών τιµών, η οποία έχει την µορφή:

�

-m2Vκ = -m2v +Ω T

�

⇒

�

Ω T = m2v - m2Vκ (3)

Σχήµα 9 Eξάλλου, το σώµα µάζας m1 στην διάρκεια του χρόνου Δt δέχεται το βάρος του

�

m1

g , την τάση

�

T του νήµατος και την αντίδραση

�

A του οριζοντίου επιπέδου, της

οποίας το µέτρο ελαττώνεται από την τιµή m1g στην τιµή µηδέν, οπότε αρχίζει και η ανύψωσή του. Eφαρµόζοντας για το σώµα αυτό, κατά τον χρόνο Δt, το θεώρηµα ώθησης-ορµής παίρνουµε την σχέση:

�

m1(- V κ ) =

0 + Ω T + m1

g Δt +

Ω A

�

⇒

�

-m1

V κ ≈

Ω T

�

⇒

�

m1Vκ ≈ Ω T (4)

διότι

�

m1

g Δt→0 και

�

Ω A →0. Συνδυάζοντας τις (3) και (4) παίρνουµε την σχέση:

---------------------------- * H ωθηση της τάσεως του νήµατος δεν είναι αµελητέα, διότι στην διάρκεια του χρόνου Δt η τάση αυτή αποτελεί κρουστική δύναµη.

�

m2v - m2Vκ = m1Vκ

�

⇒

�

m2v = (m1 + m2)Vκ

�

⇒

�

Vκ =m2v

m1 + m2

�

⇒(1)

�

Vκ =m2 2gh

m1 + m2

οπότε η (4) γράφεται:

�

Ω T =

m1m2 2gh

m1 + m2

(5)

Παρατήρηση 1η: Tο φυσικό φαινόµενο που συνοδεύει το τέντωµα ενός νήµατος είναι ΥΠΕΡΣΤΑ ΤΙΚΟ, διότι κατά το τέντωµα προκύπτει εφελκυσµός του νήµατος, ο οποίος καθο ρίζεται ποσοτικά από τον νόµο του HOOKE, ο οποίος εισάγει το λεγόµενο µέτρο του YOUNG. Aν λάβουµε υπ΄ όψη µας τον εφελκυσµό, τότε όλοι οι υπολογισµοί κατά το τέντωµα του νήµατος γίνονται πολύπλοκοι, διότι µεταβάλλεται το µήκος του νήµατος και πλέον η παραµόρφωσή του ενδέχεται να µην είναι ελαστική µε αποτέλεσµα να εµπλέκεται η ενέργεια παραµορφώσεως του νήµατος. Κατά την γνώµη µου πρέπει το τέντωµα ενός νήµατος να το έξεταζουµε χωρίς εφελκυσµό, χρησιµοποιώντας ΠΑΡΑΔΟΧΕΣ που ποικίλουν, ανάλογα µε την ελαστικότητα που παρουσιάζει το νήµα. Στην περίπτωσή µας το νήµα θεωρήθηκε µη εκτατό, δη λαδή µε µηδενική ελαστικότητα µε αποτέλεσµα να δεχθούµε ότι κατά το τέντωµά του η τάση σε κάθε σηµείο του αποκαθίσταται στην τελική της τιµή σε πολύ µικρό (απειροστό) χρόνο και ότι αποτελεί κρουστική δύναµη. Παρατήρηση 2η: Μπορούµε να υπολογίσουµε το κοινό µέτρο των ταχυτήτων

�

V κ και -

�

V κ χρησιµοποι

ώντας το θεώρηµα ώθησης-στροφορµής για το σύστηµα της τροχαλίας και των δύο σω µάτων, λαµβάνοντας τις στροφορµές περί το κέντρο O της τροχαλίας και θεωρώντας την στροφορµή της τροχαλίας µηδενική λόγω της ασήµαντης µάζας της. Έτσι θα έχουµε:

�

L τελ

(o)= L αρχ

(o) +Σ τ (o)

�

⇒

�

m2vR+0=m1VκR+m2VκR+(m1gR+m2gR)Δt

�

⇒

�

m2v=m1Vκ +m2Vκ +(m1+m2)gΔt Όµως η ποσότητα (m2g+m1g)Δt τείνει στο µηδέν, διότι ο χρόνος Δt είναι πολύ µικρός, οπότε η προηγούµενη σχέση καταλήγει µε καλή προσέγγιση στην µορφή:

�

m2v=m1Vκ +m2Vκ

�

⇒

�

Vκ =m2v/(m1+m2) ii) Έστω ότι το σώµα µάζας m1, µετά το τέντωµα του νήµατος ανέρχεται κατά H, σε σχέση µε το οριζόντιο επίπεδο, οπότε το σώµα µάζας m2 θα µετατοπιστεί προς

τα κάτω κατά H. Eπειδή η κινητική ενέργεια της τροχαλίας είναι περίπου µηδε νική, µπορούµε να δεχθούµε ότι η µηχανική ενέργεια του συστήµατος των µαζών m1 και m2 διατηρείται σταθερή στην διάρκεια της κίνησής του. Έτσι θα έχουµε την σχέση:

�

ΔE1 +ΔE2 = 0

�

⇒

�

ΔK1 +ΔU1 +ΔK2 +ΔU2 = 0

�

(0 - m1Vκ2 /2)+ m1gH + (0 - m2Vκ

2 /2) - m2gH = 0

�

⇒

�

Vκ2 (m1 + m2)= 2gH(m2 - m1)

�

⇒

�

H =Vκ

2 (m1 + m2)

2g(m2 - m1)

�

⇒(5)

�

H =2ghm2

2 (m1 + m2)

2g(m1 + m2)2(m2 - m1)

=m2

2 h

m22 - m1

2

P.M. fysikos

Tα σφαιρίδια A, B του σχήµατος (10) έχουν την ίδια µάζα m και συνδέονται µε αβαρή νήµατα µε τρίτο σφαιρίδιο Γ, µάζας 2m. Aρχικά το σύστηµα ηρεµεί πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο, ώστε τα τρία σφαιρίδια να βρίσκονται στις κορυφές ενός ισοπλεύρου τριγώνου. Kάποια στιγµή επί του σφαιριδίου Γ ενεργεί επί βραχύ χρονικό διάστη µα µια δύναµη, της οποίας η ώθηση έχει µέτρο Ω και ο φορέας της διχο τοµεί την γωνία των δύο νηµάτων. i) Nα βρεθεί η σχετική ταχύτητα του σφαιριδίου A ως προς το B αµέ σως µετά την δράση της δύναµης. ii) Nα δείξετε ότι τα σφαιρίδια A και B κάποια στιγµή θα συγκρουσ θούν και να βρείτε τα µέτρα των ταχυτήτων τους λίγο πριν την σύγκ ρουσή τους. ΛYΣH: i) Aµέσως µετά την δράση της δύναµης επί του σφαιριδίου Γ, αυτό θα αποκτήσει ταχύτητα

�

v 3 που έχει την διεύθυνση και την φορά της ώθησης

�

Ω . Tα

δύο άλλα σφαιρίδια A και B θ’ αποκτήσουν αντίστοιχες ταχύτητες

�

v 1 και

�

v 2 οι

οποίες έχουν την διεύθυνση* των νηµάτων AΓ και BΓ. Eφαρµόζοντας για το σύσ τηµα των τριών σφαιριδίων το θεώρηµα ώθησης-ορµής κατά τον άξονα Γx έχουµε: ----------------------------- * Για λόγους συµµετρίας οι τάσεις των νηµάτων που δέχεται το σφαιρίδιο Γ έχουν κάθε στιγµή συνισταµένη κατά την διεύθυνση της διχοτόµου της γωνίας των νηµάτων, δηλαδή η συνισταµένη αυτή θα είναι αντίρροπή της

�

Ω , οπότε το σφαιρίδιο θα κινείται

επί της διχοτόµου.

�

Pτελ (x) = Pαρχ (x) +Ωx

�

⇒

�

mv1x- mv2x = 0 + 0

�

⇒

v1x = v2x

�

⇒ v1συνφ = v2συνφ

�

⇒ v1 = v2 (1)

Σχήµα 10 Eφαρµόζοντας για το σύστηµα το ίδιο θεώρηµα, κατά τον άξονα Γψ έχουµε:

�

Pτελ (ψ ) = Pαρχ (ψ ) +Ωψ

�

⇒ 2mv3 + mv1ψ + mv2ψ = 0 + Ω

�

⇒

Ω = 2mv3 + mv1ηµφ + mv2ηµφ

�

⇒(1)

�

Ω = 2mv3 + 2mv1 3 /2

�

⇒

�

Ω /2m = v3 + v1 3 /2 (2) Όµως, αµέσως µετά την δράση της δύναµης επί του σφαιριδίου Γ τα νήµατα είναι τεντωµένα, οπότε η συνιστώσα της ταχύτητας

�

v 3 κατά την διεύθυνση του νήµα

τος AΓ θα είναι ίση µε

�

v 1 , δηλαδή θα ισχύει η σχέση:

�

v1 = v3συν(ϕ /2) = v3 3 /2

�

⇒

�

v3 = 2v1/ 3 = 2 3v1/3 (3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (2) και (3) παίρνουµε την σχέση:

�

Ω /2m = 2 3v1/3 + v1 3 /2

�

⇒

�

Ω /2m = 7 3v1/6

�

⇒

�

v1 = 6Ω /14 3m = Ω 3 /7m (4)

H σχετική ταχύτητα

�

v σχ

(A) του σφαιριδίου A, ως προς το σφαιρίδιο B, αµέσως µετά

την δράση της δύναµης, υπολογίζεται µέσω της διανυσµατικής σχέσεως:

�

v σχ

(A) = v 1 + (-

v 2)

Eπειδή τα διανύσµατα

�

v 1 και

�

- v 2 έχουν το ίδιο µέτρο, η συνισταµένη τους

�

v σχ

(A) θα

έχει φορέα την διχοτόµο της γωνίας των διανυσµάτων αυτών, δηλαδή θα βρίσκε ται πάνω στην ευθεία AB, το δε µέτρο της θα είναι:

Σχήµα 11

�

vσχ(A) = v1

2+ v22 + 2v1v2συν2ϕ = 2v1

2- 2v12/2 = v1

�

⇒(4)

�

vσχ(A) = Ω 3 /7m

ii) Eπειδή κάθε στιγµή οι µεταξύ των σφαιριδίων A και B σχετικές τους ταχύ τητες έχουν φορέα την ευθεία που τα συνδέει, κάποια στιγµή αυτά θα συγκ ρουσθούν. Λίγο πριν την κρούση τους τα δύο νήµατα θα είναι σχεδόν παράλληλα µεταξύ τους και θα έχουν την διεύθυνση της ταχύτητας

�

V 3 του σφαιριδίου Γ.

Aυτό σηµαίνει ότι, οι συνιστώσες

�

V 1ψ ,

�

V 2ψ των ταχυτήτων

�

V 1,

�

V 2 των σφαιριδίων

A και B αντιστοίχως, λίγο πριν την κρούση τους, θα είναι ίσες µε την ταχύτητα

�

V 3, αφού εκείνη την στιγµή τα νήµατα είναι τεντωµένα (σχ 11). Έτσι θα έχουµε την σχέση:

V1ψ = V2ψ = V3 (5) Όµως, µετά την δράση της δύναµης επί του σφαιριδίου Γ, η ορµή του συστήµατος κατά τους άξονες Γx και Γψ διατηρείται σταθερή διότι το σύστηµα είναι πλέον µηχανικά µονωµένο. Έτσι θα έχουµε τις σχέσεις: mV1x - mV2x = 0

�

⇒ V1x = V2x (6) και

Ω = 2mV3 + mV1ψ + mV2ψ

�

⇒(6)

Ω = 2mV1ψ + 2mV1ψ

�

⇒ V1ψ = V2ψ = Ω/4m (7) όπου

�

V 1x,

�

V 2x οι συνιστώσες των

�

V 1 και

�

V 2 αντιστοίχως κατά τον άξονα Γx.

Eξάλλου και η κινητική ενέργεια του συστήµατος διατηρείται σταθερή στο χρονι κό διάστηµα αµέσως µετά την δράση της δύναµης επί του σφαιριδίου Γ και λίγο πριν την κρούση των σφαιριδίων A και B, οπότε θα ισχύει η σχέση:

�

mv12

2+mv2

2

2+2mv3

2

2=2mV3

2

2+m

2(V1x

2 +V1ψ2 )+

m

2(V2x

2 +V2ψ2 )

�

⇒

�

v12 +v2

2 +2v32 =2V3

2 +V1x2 +V1ψ

2 + V2x2 +V2ψ

2 (8)

H σχέση (8) µε βάση τις σχέσεις (3), (5) και (6) γράφεται:

�

2v12 +2(2 3/3)2v1

2 = 2V1x2 +2V1ψ

2 +2V2ψ2

�

⇒

�

v12 +4v1

2/3 = V1x2 +2V1ψ

2

�

⇒ 7v1 2/3 = 2V1ψ

2 + V1x 2

�

⇒

�

V1x2 = 7v1

2/3 -2V1ψ2

�

⇒(4),(8)

V1x 2 = 7

3 3Ω2

49m2 - 2Ω2

16m2

�

⇒

�

V1x2 =

7

3

Ω 3

7m

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

2

- 2Ω4m

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

2

=Ω2

7m2-

Ω2

8m2=

Ω2

56m2 (9)

Άρα τα µέτρα των

�

V 1,

�

V 2 είναι:

�

V1 = V2 = V1x2 + V1ψ

2

�

⇒(7),(9)

�

V1 = V2 =Ω2

56m2+

Ω2

16m2=

3Ωm 112

P.M. fysikos

Ένας πύραυλος κινείται κατακόρυφα προς τα πάνω στο βαρυτικό πεδίο της Γης, που το θεωρούµε οµογενές. Την χρονική στιγµή t=0 ο πύραυλος βρίσκεται στην επιφάνεια της Γης, έχει µηδενική ταχύτητα και µάζα m0. Εάν τα καυσαέρια του πυραύλου εκτοξεύονται µε σταθερό ρυθµό dm/dt=µ και µε σταθερή σχετική ταχύτητα

�

v σχ ως

προς τον πύραυλο, να εκφράσετε την ταχύτητα του πυραύλου σε συνάρ τηση µε τον χρόνο. Εάν η µάζα του καυσίµου του πυραύλου είναι m0/2, να βρείτε την ταχύτητά του την στιγµή που εξαντλούνται τα καύσιµά του. Δίνεται η επιτάχυνση

�

g της βαρύτητας.

ΛYΣH: Eπειδή ο πύραύλος αποτελεί σώµα που εκτοξεύει µάζα, η κίνησή του περιγράφεται µε την σχέση:

�

md v

dt= m g +

dm

dt

v σχ

�

⇒

�

d v

dt= g - µ

v σχm

(1)

όπου m η µάζα του πυραύλου και

�

v η ταχύτητά του ως προς το ακίνητο έδαφος

την χρονική στιγµή t που τον εξετάζουµε. Η διανυσµατική σχέση (1) µετατρέπεται σε σχέση αλγεβρικών τιµών, η οποία µε θετική φορά την κατεύθυνση κίνησης του πυραύλου έχει την µορφή:

�

dv

dt= -g - µ

(-vσχ )

m

�

⇒

�

d v

dt= g - µ

v σχm

�

⇒

�

dv

dt= -g +µ

vσχ

m0 - µt

�

⇒

�

dv = -gdt +µvσχdt

m0 - µt

�

⇒

�

dv = -gdt -vσχd(m0 - µt)

m0 - µt (2)

Ολοκληρώνοντας την σχέση (4) παίρνουµε:

�

v = -gt - vσχ ln(m0 - µt) + C (3)

Η σταθερά ολοκλήρωσης C θα προκύψει από την αρχική συνθήκη, ότι για t=0 είναι v=0, οπότε η (3) δίνει:

�

0 = -vσχ lnm0 + C

�

⇒

�

C = vσχ lnm0 (4)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) παίρνουµε:

�

v = -gt - vσχ ln(m0 - µt) + vσχ lnm0

�

⇒

�

v = -gt - vσχ lnm0 - ln(m0 - µt)[ ]

�

⇒

�

v = -gt + vσχ lnm0

m0 - µt

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ (5)

Τα καύσιµα του πυραύλου εξαντλούνται την χρονική στιγµή t* για την οποία ισχύει:

�

m0/2 = m0 - µt*

�

⇒

�

t* = m0/2µ οπότε τη στιγµή αυτή η ταχύτητα του πυραύλου είναι:

�

v* = -gm0

2µt* + vσχ ln

m0

m0/2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

�

⇒

�

v* = vσχ ln 2 -gm0

2µ (6)

Όµως απαραίτητη προυπόθεση για την εκκίνηση του πυραύλου είναι η σχέση m0g<µvσχ, από την οποία προκύπτει:

�

gm0

2µ< vσχ

�

⇒

�

gm0 ln 2

2µ< vσχ ln 2

Επειδή ln2>1/2 από την παραπάνω σχέση προκύπτει:

�

gm0 /2µ < vσχ ln 2

�

⇒(6)

�

v* > 0

P.M. fysikos

Ένα ταχύπλοο σκάφος (jet-ski) προωθείται µε αναρ ρόφηση και εκτόξευση θαλασσίου ύδατος σε αντίθετη κατεύθυνση προς την κίνησή του. Το ταχύπλοο ξεκινάει από την ηρεµία και στην διάρ κεια της ευθύγραµµής κίνησής του δέχεται από το θαλάσσιο νερό αντί σταση

�

A , που δίνεται από την σχέση:

�

A = -k

v

όπου

�

v η ταχύτητα του σκάφους ως προς την ακίνητη θάλασσα και k

θετική σταθερή ποσότητα. Εάν το νερό εκτοξεύεται µε σταθερό ρυθµό dm/dt=k και µε σταθερή σχετική ταχύτητα

�

v σχ ως προς το σκάφος, να

εκφράσετε την ταχύτητα του σκάφους σε συνάρτηση µε τον χρόνο και να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της σχέσεως που θα βρείτε. ΛYΣH: Eάν dm είναι η µάζα του νερού που εκτοξεύεται από το ταχύπλοο σκάφος µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt και

�

v ' η ταχύτητα εκτόξευσης της

µάζας ως προς την ακίνητη θάλασσα, τότε η µεταβολή

�

d P ' της ορµής της µάζας

αυτής στον χρόνο dt θα είναι:

�

d P '= dm

v '- 0 = dm(

v + v σχ ) (1)

Η µάζα dm δέχεται στην διάρκεια του χρόνου dt από τον µηχανισµό εκτόξευσής της δύναµη

�

F για την οποία ισχύει:

�

F '=

d P '

dt

�

⇒(1)

�

F '=

dm

dt( v + v σχ ) = k(

v + v σχ ) (2)

Σύµφωνα µε το αξίωµα της ισότητας µεταξύ δράσης-αντίδρασης, η µάζα dm εξασ κεί στο ταχύπλοο δύναµη

�

F αντίθετη της

�

F ', δηλαδή ισχύει:

�

F = -

F '

�

⇒(2)

�

F = -k(

v + v σχ ) (3)

Εφαρµόζοντας την χρονική στιγµή t για το ταχύπλοο τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νευτωνα παίρνουµε την σχέση:

�

Md v

dt= A + F

�

⇒

�

Md v

dt= -k v - k(

v + v σχ )

�

⇒

�

Md v

dt= -2k

v - k

v σχ (4)

Όµως τα διανύσµατα

�

v και

�

v σχ έχουν την διεύθυνση κίνησης του ταχύπλοου, οπό

τε η διανυσµατική σχέση (4) µετατρέπεται σε σχέση αλγεβρικών τιµών της µορ φής:

�

Mdv

dt= -2kv + kvσχ

�

⇒

�

dv

vσχ - 2v=

k

Mdt

�

⇒

�

d(vσχ - 2v)

vσχ - 2v= -

2k

Mdt (5)

Ολοκληρώνοντας την σχέση (5) παίρνουµε:

�

n(vσχ - 2v) = -2kt/M + C (6) Η σταθερά ολοκλήρωσης C θα προκύψει από την αρχική συνθήκη κίνησης του ταχύπλοου, συµφωνα µε την οποία για t=0 είναι v=0, οπότε η (6) δίνει lnvσχ =C, µε αποτέλεσµα η σχέση αυτή να παίρνει την τελική της µορφή:

�

ln(vσχ - 2v) = -2kt/M + lnvσχ

�

⇒

�

lnvσχ - 2v

vσχ

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ = -

2kt

M

�

⇒

�

vσχ - 2v

vσχ

= e-2kt/M

�

⇒

�

vσχ - 2v = vσχe-2kt/M

�

⇒

�

2v = vσχ (1 - e-2kt/M)

�

⇒

�

v =vσχ

2(1 - e-2kt/M) (7)

Από την (7) προκύπτει ότι η ταχύτητα του σκάφους αυξάνεται εκθετικά µε τον χρόνο, από την τιµή µηδέν σε µια οριακή τιµή vορ =vσχ/2, την οποία θεωρητικά

λαµβάνει σε άπειρο χρόνο. Η γραφική παράσταση της (7) είναι µια ανερχόµενη

Σχήµα 12

εκθετική καµπύλη γραµµή, η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων και τείνει ασυµτωτικά στην τιµή vσχ /2. (σχ. 12)

P.M. fysikos

Μια σφαιρική σταγόνα από χαλάζι πέφτει κατακό ρυφα λόγω της βαρύτητας, χωρίς να δέχεται αντίσταση από τον ατµοσ φαιρικό αέρα. Επί της σταγόνας στερεοποιούνται υδρατµοί της ατµόσ φαιρας, µε αποτέλεσµα η ακτίνα της r ν’ αυξάνεται µε ρυθµό που ικανο ποιεί τη σχέση: dr/dt = kr όπου k θετική και σταθερή ποσότητα. Εάν τη χρονική στιγµή t=0 η τα χύτητα της σταγόνας είναι µηδενική, η µάζα της m0 και η ακτίνα της r0, να βρείτε: i) την ταχύτητα της σταγόνας σε συνάρτηση µε τον χρόνο και να σχεδιά σετε την γραφική της παράσταση και ii) την µάζα της σταγόνας σε συνάρτηση µε τον χρόνο. ΛΥΣΗ: Η σταγόνα από χαλάζι αποτελεί ένα σώµα που η µάζα του αυξάνεται στην διάρκεια της πτώσης της στο βαρυτικό πεδίο της Γης. Έτσι, εάν m είναι η µάζα της σταγόνας κατά την χρονική στιγµή t και

�

v η αντίστοιχη ταχύτητά της, θα

ισχύει η σχέση:

�

md v

dt= m g +

dm

dt

v σχ

�

⇒

�

md v

dt= m g +

dm

dt(- v ) (1)

διότι η σχετική ταχύτητα

�

v σχ της προστιθέµενης στην σταγόνα µάζας υδρατµών

κατά την θεωρούµενη χρονική στιγµή είναι ίση µε

�

- v , αφού οι υδρατµοί προσκο

λώνται εκ της ηρεµίας. Η διανυσµατική σχέση (1) µετατρέπεται σε σχέση αλγεβρι

κών τιµών, η οποία µε θετική φορά την κατεύθυνση κίνησης της σταγόνας έχει την µορφή:

�

mdv

dt= mg -

dm

dtv

�

⇒

�

dv

dt= g -

dm

dt

v

m (2)

Εξάλλου έαν ρ είναι η πυκνότητα του νερού και r η ακτίνα της σταγόνας κατά την χρονική στιγµή t, θα ισχύει:

�

m = 4πr3ρ /3

�

⇒

�

dm = 4πρr2dr

�

⇒

�

dm/dt = 4πρr2dr/dt

�

dm/dt = 4πρr2kr = 4πρkr3 (3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (2) και (3) παίρνουµε:

�

dv

dt= g -

4πρkr3v

4πρr3/3= g - 3kv

�

⇒

�

dv

g - 3kv= dt

�

⇒

�

d(g - 3kv)

g - 3kv= -3kdt (4)

Ολοκληρώνοντας την εξίσωση (4) παίρνουµε:

�

ln(g - 3kv) = -3kt + C (5) όπου η σταθερά ολοκλήρωσης C θα προκύψει από την αρχική συνθήκη ότι, για t=0 είναι v=0. Έτσι η σχέση (4) δίνει lng=C, µε αποτέλεσµα αυτή να γράφεται:

�

ln(g - 3kv) = -3kt + lng

�

⇒

�

ln (g - 3kv)/g( ) = -3kt

�

⇒

�

g - 3kv

g= e-3kt

�

⇒

�

g - 3kv = ge-3kt

�

⇒

�

v =g

3k1- e-3kt( ) (6)

Η σχέση (6) εκφράζει ότι, κατά την κίνηση της σταγόνας η ταχύτητά της αυξάνε ται εκθετικά µε τον χρόνο από την τιµή µηδέν σε µια οριακή τιµή vορ =g/3k την οποία λαµβάνει θεωρητικά σε άπειρο χρόνο. ii) Παραγωγίζοντας την σχέση (5) ως προς τον χρόνο t παίρνουµε:

�

dv

dt=

g

3ke-3kt = ge-3kt (7)

Η (1) λόγω των (6) και (7) γράφεται:

�

mge-3kt = mg -dm

dt

g

3k1- e-3kt( )⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

�

⇒

�

mg 1- e-3kt( ) =g

3k

dm

dt1 - e-3kt( )

�

⇒

�

dm

dt= 3km

�

⇒

�

dm

m= 3kdt (8)

Ολοκληρώνοντας την εξίσωση (8) παίρνουµε:

�

lnm= 3kt + C' (9) όπου η σταθερά ολοκλήρωσης C’ θα προκύψει από την αρχική συνθήκη ότι, για t=0 είναι m=m0. Έτσι η (9) δίνει lnm0 =C’, οπότε παίρνει την τελική της µορφή:

�

lnm= 3kt + lnm0

�

⇒

�

ln m /m0( ) = 3kt

�

⇒

�

m= m0e3kt (10)

Aπό την (10) προκύπτει ότι η µάζα της σταγόνας αυξάνεται εκθετικά µε τον χρόνο.

P.M. fysikos