Зубович С.О., Суркаев А.Л.,

Сухова Т.А., Кумыш М.М.

ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

ФИЗИКА

ЧАСТЬ III

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО

Министерство образования и науки РФ

Волжский политехнический институт (филиал) государственного образовательного учреждения высшего

профессионального образования «Волгоградский государственный технический университет»

С.О. Зубович, А.Л. Суркаев,

Т.А. Сухова, М.М. Кумыш

ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

ФИЗИКА

ЧАСТЬ III

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО

Учебное пособие

Волгоград

2013

УДК. 536.7

Рецензенты: зав. каф. “Общая физика ”филиала

ФГБОУ ВПО “Национальный исследовательский университет (МЭИ)” в г. Волжском д.ф-м.н., профессор, В.Г. Кульков

доц. каф. “Общая физика ”филиала

ФГБОУ ВПО “Национальный исследовательский университет (МЭИ)” в г. Волжском

к.ф-м.н. Поляков А.С.

Печатается по решению редакционно-издательского совета Волгоградского государственного технического университета

Зубович С.О., Пособие по решению задач. Физика. Часть III. Электричество: учебное пособие / Зубович С.О., Суркаев А.Л., Сухова Т.А., Кумыш М.М. / ФГБОУ ВПО ВПИ (филиал) ВолгГТУ. – Волгоград: ИУНЛ ВолгГТУ, 2013. – 92 с.

ISBN 978-5-9948-0420-9

Учебное пособие написано в соответствии с государственным образовательным стандартом для высшего специального образования.

Пособие содержит необходимый теоретический материал и примеры, иллюстри-рующие основные понятия раздела «Электричество» курса «Общая физика». Подробно рассмотрены типовые задачи. В начале каждого раздела приводятся основные формулы и определения. В приложении даны необходимые справочные данные. Пособие может использоваться при проведении аудиторных практических занятий среди студентов технических специальностей вузов.

Приведены интересные примеры применения законов электростатики и посто-янного тока в быту, науке и на производстве.

Пособие может быть полезно для студентов всех специальностей.

ISBN 978-5-9948-0420-9 Ил. 36, табл.12, библиограф.19 назв.

Волгоградский государственный технический университет, 2013 Волжский политехнический ин-ститут, 2013

- 3 -

Содержание

Глава 1 Классификация и алгоритм решения задач...................................................... - 4 - § 1.1. Введение............................................................................................................. - 4 - § 1.2. Классификация задач. ........................................................................................ - 5 - § 1.2. Алгоритм решения задач. .................................................................................. - 6 -

Глава 2 Электрическое поле в вакууме .......................................................................... - 8 - § 2.1. Основные законы и формулы. ........................................................................... - 8 - § 2.2. Примеры решения задач. ................................................................................. - 10 - § 2.3. Задачи для самостоятельного решения. .......................................................... - 25 -

Глава 3 Электрическое поле в веществе. Электроемкость. ........................................ - 36 - § 3.1. Основные законы и формулы. ......................................................................... - 36 - § 3.2. Примеры решения задач. ................................................................................. - 39 - § 3.3. Задачи для самостоятельного решения. .......................................................... - 49 -

Глава 4 Постоянный электрический ток. Электрические цепи. ................................. - 58 - § 4.1. Основные законы и формулы. ......................................................................... - 58 - § 4.2. Примеры решения задач. ................................................................................. - 60 - § 4.3. Задачи для самостоятельного решения. .......................................................... - 67 -

Глава 5 Ток в металлах, жидкостях и газах.................................................................. - 78 - § 5.1. Основные законы и формулы. ......................................................................... - 78 - § 5.2. Примеры решения задач. ................................................................................. - 79 - § 5.3. Задачи для самостоятельного решения. .......................................................... - 83 -

Приложения. .................................................................................................................. - 87 - 1. Основные физические константы (округленные значения)................................. - 87 - 2. Плотность твердых тел , кг/м3............................................................................. - 88 - 3. Плотность жидкостей , кг/м3 ............................................................................... - 88 - 4. Подвижность ионов в электролитах ..................................................................... - 88 - 5. Плотность газов (при нормальных условиях), кг/м3 ............................................ - 88 - 6. Удельная теплоемкость С, Дж/(кг·К) ................................................................... - 88 - 7. Удельное сопротивление ρr, Ом·м ........................................................................ - 88 - 8. Относительная диэлектрическая проницаемость веществ................................... - 89 - 9. Температурный коэффициент сопротивления проводников α, К-1...................... - 89 - § Список библиографических источников ............................................................... - 90 -

- 4 -

Глава 1 Классификация и алгоритм

решения задач

§ 1.1. Введение.

Мир, в котором мы живем, необычайно огромен и разнообразен. Он состоит из колоссального количества различных материальных объектов от галактик и звезд до элементарных частиц. Взаимодействие между ними приводит к настолько сложному и запутанному характеру их поведения, что, казалось бы, невозможно найти и следа каких-либо закономерностей. Однако, оказывается возможным среди этого хаоса выделить наиболее общие связи, присущие всем телам, их взаимодействиям.

Одной из важнейших естественных наук, изучающей такие связи и их количественные характеристики, является физика. Она определяет та-кие понятия, как пространство, время, материя и другие. Являясь наиболее общей наукой о природе, она служит основой для многих других. Откры-тие и изучение новых физических процессов позволяет глубже понять сущность проходящих в природе явлений, еще на шаг приблизиться к раз-гадке ее тайн. Успехи в этом направлении приводят к созданию новых тех-нологий в промышленности, совершенствованию уже существующих, не-посредственно влияет на темпы научно-технического прогресса.

Одним из важнейших понятий, которым мы будем пользоваться да-лее, является физическая система. Она представляется в виде совокупно-сти некоторых физических объектов, отделенных от всех других по каким–либо признакам. Иногда бывает так, что физической системой является всего лишь один такой объект. Например, системой можно считать неко-торое количество газа, находящегося в баллоне, пружину с закрепленным на ее конце грузом, заряженную частицу, движущуюся во внешнем маг-нитном поле и т.д.

Для количественной характеристики физических объектов и процес-сов, в которых они участвуют, вводятся различные физические величины, позволяющие описать состояние и эволюцию системы. К ним относят мас-су, скорость движения, напряженность поля, величину заряда, температуру и многие другие. Совокупность физической системы и частично опреде-ленных параметров или величин составляет предмет исследования физи-ческой науки.

Изучение физической науки следует рассматривать как процесс, со-стоящий из трех этапов.

Первый заключается в изучении теоретических сведений, в понима-

- 5 -

нии и запоминании формул, знании способов их получения, уяснении ос-новных физических законов.

Второй этап предусматривает умение использовать полученные зна-ния при решении конкретных задач. Хорошо известна ситуация, когда че-ловек, казалось бы, хорошо знающий теорию, совсем не может решать за-дачи, то есть применять ее на практике. Решение конкретных физических задач является необходимой практической основой при изучении курса физики. Оно способствует приобщению студентов к самостоятельной творческой работе, учит анализировать изучаемые явления, выделять глав-ные факторы, обуславливающие то или иное явление, отвлекаясь от слу-чайных и несущественных деталей. Благодаря этому, решение задач при-ближается к моделям научного физического исследования. Никакое количество материала, сколь большим бы оно ни было, не заменит настой-чивых усилий, прилагаемых для решения физических задач, и тех навыков, которые с этим приходят.

Третьим этапом можно считать умение проводить физический экс-перимент и получать из него необходимые сведения. Эта цель достигается при выполнении лабораторных работ.

§ 1.2. Классификация задач.

Физические задачи могут быть экспериментальными или теорети-ческими. Последние, в свою очередь, можно разделить на две категории – непоставленные и поставленные.

Непоставленной называется задача, в которой не обеспечена сово-купность необходимых исходных данных, за исключением табличных ве-личин или же не проведена ее идеализация. В противном случае говорят о поставленной задаче, которые можно еще разделять и по роду рассматри-ваемых явлений.

Среди поставленных задач можно выделить четыре основных класса: 1. Элементарные задачи. Сюда входят те задачи, для решения кото-

рых требуется использование одного физического закона. 2. Стандартные задачи. Они требуют использования нескольких

обычных, часто используемых приемов решения и физических законов. 3. Нестандартные задачи. В этом случае кроме обычных законов и

методов решение требует применения дополнительных нестандартных приемов, которые могут быть основаны, например, на свойствах симмет-рии или некоторых других отличительных свойствах системы.

4. Оригинальные задачи. Это задачи с определяющей ролью особых приемов решения, значительной степенью интуиции. Для решения таких задач нужны определенные навыки, достаточно широкий физический кру-гозор, умение проводить аналогию между явлениями из разных разделов физики и математики. Бывает так, что стандартная или нестандартная за-дача может иметь оригинальное решение.

- 6 -

Для того, чтобы научиться быстро и хорошо решать задачи, необхо-димо прежде всего владеть определенным объемом теоретического мате-риала. С этой целью студент должен изучить соответствующие разделы конспектов лекций и учебника. Не следует ограничиваться использовани-ем одного лишь лекционного материала. Наибольший объем знаний можно получить работая с учебниками, которых в настоящее время имеется дос-таточно много и написаны они на разном уровне. Лекция же выполняет лишь направляющую и разъясняющую главные моменты функцию. Она указывает направление в отборе материала для изучения.

Вторым фактором успешного решения задач является пользование соответствующими методиками. Недооценка его ведет к тому, что реше-ние, происходящее на интуитивном уровне, не всегда является оптималь-ным. Отсюда и неизбежные недостатки: неполнота решения, большие за-траты времени, частые затруднения, невозможность классификации задач и физических явлений, связанных с ними, невозможность прослеживания связей с другими задачами, отсутствие физических и математических ана-логий. Все это указывает на необходимость владения общими методами решения задач.

§ 1.3. Алгоритм решения задач.

Основными этапами решения любой физической задачи являются следующие: физический, математический и анализ решения. Все указан-ные этапы сведены в общий алгоритм решения задач. Согласно алгоритму, при решении задач необходимо выполнять следующие действия:

1. Указать основные законы и формулы, на которых базируется ре-шение, и дать словесную формулировку этих законов, разъяснить буквен-ные обозначения формул. Если при решении задач применяется формула, полученная для частного случая, не выражающая какой-нибудь физиче-ский закон, или не являющаяся определением какой-нибудь физической величины, то ее следует вывести.

2. Дать чертеж, поясняющий содержание задачи (в тех случаях, когда это возможно); выполнять его надо аккуратно при помощи чертежных принадлежностей.

3. Решение задачи сопровождать краткими, но исчерпывающими по-яснениями.

4. Решить задачу в общем виде, т. e. выразить искомую величину в буквенных обозначениях величин, заданных в условии задачи и взятых из справочных материалов. Задачи по физике весьма разнообразны, и дать единый рецепт их решения невозможно. Однако, как правило, их следует решать в общем виде. При этом способе не производятся вычисления про-межуточных величин; числовые значения подставляются только в оконча-тельную (рабочую) формулу, выражающую искомую величину.

5. Подставить в рабочую формулу размерности или обозначения

- 7 -

единиц и убедиться в правильности размерности искомой величины или ее единицы (см. примеры).

6. Выразить все величины, входящие в рабочую формулу, в единицах СИ и выписать их для наглядности столбиком.

7. Подставить в окончательную формулу, полученную в результате решения задачи в общем виде, числовые значения, выраженные в едини-цах одной системы. Несоблюдение этого правила приводит к неверному результату. Исключение из этого правила допускается лишь для тех одно-родных величин, которые входят в виде сомножителей в числитель и зна-менатель формулы c одинаковыми показателями степени. Такие величины необязательно выражать в единицах той системы, в которой ведется реше-ние задачи. Их можно выразить в любых, но только одинаковых единицах.

8. Произвести вычисление величин, подставленных в формулу, руко-водствуясь правилами приближенных вычислений (см. далее), записать в ответе числовое значение и сокращенное наименование единицы измере-ния искомой величины.

9. При подстановке в рабочую формулу, а также при записи ответа числовые значения величин записать как произведение десятичной дроби c одной значащей цифрой перед запятой на соответствующую степень деся-ти. Например, вместо 3520 надо записать 3,52∙103, вместо 0,00129 записать 1,29∙10–3 и т.д.

10. Оценить, где это целесообразно, правдоподобность численного ответа. В ряде случаев такая оценка поможет обнаружить ошибочность полученного результата. Например, коэффициент полезного действия теп-ловой машины не может быть больше единицы, электрический заряд не может быть меньше элементарного заряда e = l,60∙10–19 Кл, скорость тела не может быть больше скорости света в вакууме с = 3∙108 м/с и т.д.

Решение задачи не обязательно должно включать в себя все перечис-ленные действия. Их необходимость в значительной мере определяется спецификой и сложностью решаемой задачи.

- 8 -

Глава 2 Электрическое поле в вакууме

§ 2.1. Основные законы и формулы.

1. Закон Кулона для электрического поля в вакууме:

221

rqqkF , НF ,

где F – сила взаимодействия двух точечных зарядов q1 и q2; r – расстояние между зарядами; k = 1/(4πε0) = 9·109 м/Ф – коэффициент пропорциональ-ности; 0 = 8,85·10–12 Ф/м – электрическая постоянная.

2. Напряженность и потенциал электрического поля:

qFE

,

мВE ;

qП

, В ,

где F

– сила, действующая на точечный положительный заряд q, поме-щенный в данную точку поля; П – потенциальная энергия точечного поло-жительного заряда q находящегося в данной точке поля (при условии, что потенциальная энергия заряда, удаленного в бесконечность, равна нулю).

4. Сила, действующая на точечный заряд, находящийся в электриче-ском поле, и потенциальная энергия этого заряда:

.; qПEqF

5. Напряженность и потенциал поля, создаваемого системой точеч-

ных зарядов (принцип суперпозиции электрических полей):

N

i

N

iiiEE

1 1,;

где Ei, φ – напряженность и потенциал в данной точке поля, создаваемого i-м зарядом.

6. Теорема Гаусса для электрического поля в вакууме:

n

ii

S

qSdE10

1 .

7. Напряженность и потенциал поля, создаваемого точечным заря-дом:

2rqkE ;

rqk ,

где r – расстояние от заряда q до точки, в которой определяются напря-женность и потенциал.

8. Линейная плотность заряда (заряд q, приходящийся на единицу длины ℓ заряженного тела):

- 9 -

ddq

; в случае равномерного распределения заряда:

q .

9. Поверхностная плотность заряда (заряд q, приходящийся на еди-ницу площади поверхности S заряженного тела):

dSdq

; в случае равномерного распределения заряда: Sq

.

10. Объемная плотность заряда (заряд q, приходящийся на единицу объема V заряженного тела):

dVdq

; в случае равномерного распределения заряда: Vq

.

11. Напряженность и потенциал поля, создаваемого бесконечно длин-ной равномерно заряженной нитью (или бесконечно длинным цилиндром):

rkE 2 ; )ln(2 rk ,

где r – расстояние от нити до точки, в которой определяются напряжен-ность и потенциал; – линейная плотность заряда.

12. Напряженность и потенциал поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью:

021

E ; x02

1

,

где x – расстояние от плоскости до точки, в которой определяются напря-женность и потенциал.

13. Напряженность и потенциал поля, создаваемого проводящей за-ряженной сферой радиуса R, несущей заряд q, на расстоянии r от центра сферы:

а) внутри сферы (r < R) E = 0; φ = 0;

б) на поверхности сферы (r = R) 0

2

RqkE ;

Rqk ;

в) вне сферы (r > R) 20

2

2 rR

rqkE

; rqk .

14. Напряженность и потенциал поля, создаваемого равномерно за-ряженным по объему шаром радиуса R, несущего заряд q, на расстоянии r от центра шара:

а) внутри шара (r < R) 3

4 rkE ; 3

2 2rk ;

б) на поверхности шара (r = R) 0

2 3

R

RqkE ;

Rqk ;

в) вне шара (r > R) 20

3

2 3 rR

rqkE

; rqk .

- 10 -

15. Связь потенциала c напряженностью: а) в общем случае,

gradE

, или

z

ky

jx

iE

;

б) в случае однородного поля,

dE 21 ;

в) в случае поля, обладающего центральной или осевой симметрией,

rE

.

16. Энергия системы зарядов:

ki ik

ki

rqqkW , ДжW .

17. Работа сил поля по перемещению заряда q из точки поля c потен-циалом φ1 в точку c потенциалом φ2:

2112 qA , ДжA .

§ 2.2. Примеры решения задач.

Пример №1. Найти суммарный заряд q атомных ядер меди, содер-жащихся в 1 см3.

Дано: Cu V = 1 см3

СИ: 10–6 м3

q – ?

Решение: Суммарный заряд атомных ядер q определя-

ется произведением количества ядер N, числом зарядов в ядре т.е. числом np – протонов и ве-личиной заряда протона qp:

q = N np qp, Согласно определению количества вещества есть:

ANN

,

где N – количество частиц (ядер меди), NА – число Авогадро. С другой стороны:

Mm

,

где m – масса вещества, M – молярная масса. Следовательно, количество атомных ядер меди, находящихся в 1 см3

есть:

MVN

MmNN AA

,

где – плотность меди; V – объем меди.

- 11 -

Таким образом:

MVNqnq App

.

Из таблицы Менделеева определяем M и np , а заряд протона равен заряду электрона e:

Клq 536323

19 109,31064

101093,81002,6106,129

.

Пример №2. Два точечных заряда +9q и –q закреплены на расстоя-

нии ℓ = 50 см друг от друга. Третий заряд q может перемещаться только вдоль прямой, проходящей через заряды. Определить положение заряда q1, при котором он будет находиться в равновесии. При каком знаке заряда q1 равновесие будет устойчивым?

Дано: q1 = +9q q2 = –q ℓ = 50 см

СИ: 0,5 м x – ?

q2 – ?

Решение: Заряд q3 будет находиться в равновесии в

том случае, если геометрическая сумма сил, действующих на него, будет равна нулю. Это значит, что на заряд q3 должны действовать две силы, равные по величине и противоположные по направлению.

Рассмотрим, на каком из трех участков I, II, III (см. рис. 1.1) может быть выполнено это условие. Для определенности будем считать, что заряд q3 – положительный.

На участке I (рис. 1.1,a) на за-ряд q3 будут действовать две проти-воположно направленные силы F1 и F2. Сила F1, действующая со сторо-ны заряда +9q, в любой точке этого участка будет больше, чем сила F2, действующая со стороны заряда –q, так как больший (по абсолютной ве-личине) заряд +9q будет находиться всегда ближе к заряду q3, чем мень-ший заряд –q. Поэтому равновесие на этом участке невозможно.

На участке II (рис. 1.1,б) обе силы F1 и F2 направлены в одну сторону к заряду –q. Следовательно и на втором участке равновесие невозможно.

На участке III (рис. 1.1,в) силы F1 и F2 направлены в противополож-ные стороны, так же как и на участке I, но в отличие от него меньший (по абсолютной величине) заряд (–q) всегда находится ближе к заряду q3, чем больший заряд +9q. Это значит, что можно найти такую точку на прямой,

б)

III

Рис. 1.1

q1 q2

q3

q3 q3

II q1 q2

I q1 q2

ℓ а)

в) x

ℓ + x

– 1F

2F

+ –

+ –

+

+

+

+

1F

2F

1F

2F

- 12 -

где силы F1 и F2 будут одинаковы по абсолютной величине, т.e. F1 = F2. (1)

Пусть расстояние от заряда q2 до заряда q3, будет x, тогда от заряда q1 до заряда q3 расстояние будет равно ℓ + x. Выражая в равенстве (1) F1 и F2 в соответствии c законом Кулона, получим для абсолютной величины этих сил:

2

32

39xqqk

xqqk

.

Сокращая на kqq3 и извлекая из обеих частей равенства корень квад-ратный, найдем: ℓ + x = ±3x, откуда:

.4,2 21 xx

Корень x2 не удовлетворяет физическому условию задачи (в этой точке силы F1 и F2 хотя и равны по абсолютной величине, но совпадают по направлению).

Определим знак заряда q3, при котором равновесие будет устойчи-вым. Равновесие называется устойчивым, если при смещении заряда от положения равновесия возникают силы, возвращающие его в положение равновесия. Рассмотрим смещение заряда q3 в двух случаях: когда заряд положителен и когда заряд отрицателен.

Если заряд q3 положителен, то при смещении его влево обе силы F1 и F2 возрастают медленнее (заряд +9q всегда находится дальше, чем –q). Следовательно, F2 (по абсолютному значению) больше, чем F1, и на заряд q3 будет действовать результирующая сила, направленная также влево. Под действием этой силы заряд q3 удаляется от положения равновесия. To же происходит и при смещении заряда q3 вправо. Сила F2 будет убывать быстрее, чем F1. Геометрическая сумма сил в этом случае направлена вправо. Заряд под действием этой силы также будет перемещаться вправо, т. e. удаляться от положения равновесия. Таким образом, в случае положи-тельного заряда равновесие является неустойчивым.

Если заряд q3 отрицателен, то его смещение влево вызовет увеличе-ние сил F1 и F2, но сила F1 возрастает медленнее, чем F2, т.e. |F2| > |F1|. Ре-зультирующая сила будет направлена вправо. Под действием этой силы заряд q3 возвращается к положению равновесия. При смещении q3 вправо сила F2 убывает быстрее, чем F1, т.e. |F1| > |F2|, результирующая сила на-правлена влево, и заряд q3 опять будет возвращаться к положению равно-весия. При отрицательном заряде равновесие является устойчивым. Вели-чина самого заряда q3 несущественна.

- 13 -

Пример №3. Три точечных заряда q1 = q2 = q3 = +1 нКл расположе-ны в вершинах равностороннего треугольника. Какой заряд q4 нужно по-местить в центре треугольника, чтобы указанная система зарядов нахо-дилась в равновесии?

Дано: q1 = q2 = q3 = +1 нКл

СИ: 10-9 Кл

q1 – ?

Решение: Все три заряда, расположенных по

вершинам треугольника, находятся в одинаковых условиях.

Поэтому достаточно выяснить, какой заряд следует поместить в центре треугольника, чтобы какой-нибудь один из трех зарядов, например q1, находился в равновесии. Заряд q1 будет находиться в равновесии, если векторная сумма действующих на него сил равна нулю (рис. 1.2):

04412 FFFFF

, (1) где F2, F3, F4 – силы, с которыми соот-ветственно действуют на заряд q1 заря-ды q2, q3, q4, F – равнодействующая сил F2 и F3. Так как силы F и F4 направлены по одной прямой в противопо-ложные стороны, то векторное равенство (1) можно заменить скалярным равенством F – F4 = 0, откуда: F4 = F.

Выразив в последнем равенстве F через F2 и F3 и учитывая, что F3 = F2, получим F4:

cos1224 FF . Применяя закон Кулона и имея в виду, что q3 = q2 = q1, найдем:

,cos12221

21

41 rqk

rqqk

откуда:

cos1222

114 r

rqq . (2)

Из геометрических построений в равностороннем треугольнике:

330cos2

2cos

2/1

rrrr

, 2

160coscos .

Рис. 1.2

q3

q4

α q1

q2

r

r1

+

+

+

– 4F

3F

1F

2F

- 14 -

C учетом этого выражения формула (2) примет вид:

31

4qq .

Подставив сюда числовое значение q1, получим:

пКлКлКлq 5771077,53

10 1094

.

Следует отметить, что равновесие системы зарядов будет неустойчи-вым.

Пример №4. Тонкий стержень длиной ℓ = 20 см несет равномерно

распределенный заряд. На продолжении оси стержня на расстоянии a = 10 см от ближайшего конца находится точечный заряд q1 = +40 нКл, который взаимодействует со стержнем c силой F = 6 мкН. Определить линейную плотность τ заряда на стержне.

Дано: ℓ = 20 см a = 10 см q1 = +40 нКл F = 6 мкН

СИ: 0,2 м 0,1 м 4∙10-8 Кл 6∙10-6 Н

τ – ?

Решение: Сила взаимодействия F заряженного

стержня c точечным зарядом q1 зависит от линейной плотности заряда на стерж-не. Зная эту зависимость, можно опре-делить .

При вычислении силы F следу-ет иметь в виду, что заряд на стержне не является точечным, поэтому закон Кулона непосредственно применить нельзя. B этом случае можно посту-пить следующим образом. Выделим на cтержне (рис. 1.3) малый участок dr c зарядом dq = dr. Этот заряд можно рассматривать как точечный. Тогда, согласно закону Кулона:

21

rdrqkdF .

Интегрируя это выражение в пределах от a до a + ℓ, получим:

)(

11 1121

aakq

aakq

rdrkqF

a

a

,

откуда интересующая нас линейная плотность заряда:

1

)(kq

Faa .

dq q1

τ

Рис. 1.3

a ℓ

r

F F +

dr

- 15 -

Учитывая, что a = r, подставим числовые значения величин в полу-ченную формулу и произведем вычисления:

мнКл

мКл 5,2105,2

2,01041091062,01,01,0 9

89

6

.

Пример №5. Два точечных электрических заряда находятся в воз-

духе на расстоянии d = 10 см друг oт друга. Величины зарядов q1 = +1 нКл и q2 = –2 нКл. Определить напряженность E и потенциал φ поля, созда-ваемого этими зарядами в точке А, удаленной от заряда q1 на расстояние r1 = 9 см и от заряда q2 на r2 = 7 см.

Дано: q1 = +1 нКл q2 = –2 нКл r1 = 9 см r2 = 7 см d = 10 см

СИ: +10–9 Кл –2∙10–9 Кл 0,09 м 0,07 м 0,1 м

E – ? φ – ?

Решение: Согласно принципу суперпозиции

электрических полей, каждый заряд соз-дает поле независимо от присутствия в пространстве других зарядов. Поэтому напряженность E электрического поля в искомой точке может быть найдена как геометрическая сумма напряженностей

E1 и E2 полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности: 21 EEE

. Напряженность

электрического поля, создаваемого в возду-хе ( = l) зарядом q1 равна:

21

11 r

qkE , (1)

а зарядом q2 соответственно:

22

22 r

qkE . (2)

Вектор E1 (рис. 1.4) направлен по си-ловой линии от заряда q1, так как заряд q1 положителен; вектор E2 направлен также по силовой линии, но к заряду q2, так как заряд q2 отрицателен.

Абсолютное значение вектора E

найдем по теореме косинусов:

cos2 2122

21 EEEEE

, (3)

где α – угол между векторами E1 и E2, который может быть найден из тре-угольника со сторонами r1, r2 и d:

21

22

21

2

2cos

rrrrd

.

Рис. 1.4

q0

q1 q2

r1

r2

+ –

π-α α

d

+ 1E

2E

E

A

- 16 -

В данном случае во избежание громоздких записей удобно значение cos α вычислить отдельно:

238,007,009,02

07,009,01,0cos222

.

Подставляя выражение E1 из формулы (1) и Е2 из формулы (2) в ра-венство (3) и вынося общий множитель за знак корня, получим:

cos2 22

21

214

2

22

41

21

rrqq

rq

rqkE . (4)

Подставим числовые значения величин в формулу (4) и произведем вычисления:

м

ВмВE 322

99

4

29

4

299 1058,3)238,0(

07,009,0102102

07,0102

09,010109

.

При вычислении E знак заряда q2 опущен, так как знак заряда опре-деляет направление вектора напряженности, а направление Е2 было учтено при его графическом изображении (см. рис. 1.4).

В соответствии c принципом суперпозиции электрических полeй по-тенциал φ результирующего поля, создаваемого двумя зарядами q1 и q2, равен алгебраической сумме потенциалов, т.e.: φ = φ1 + φ2. (5)

Потенциал электрического поля, создаваемого в вакууме точечным зарядом q на расстоянии r от него, выражается формулой:

rqk . (6)

В нашем случае, согласно формулам (5) и (6), получим

2

2

1

1

rqk

rqk или

2

2

1

1

rq

rqk .

Подставив в это выражение числовые значения физических величин, получим:

BB 15707,0102

09,010109

999

.

Пример №6. Два шара массой m = 1 г каждый подвешены на нитях,

верхние концы соединены в одной точке. Длина каждой нити ℓ = 10 см. Какие одинаковые заряды надо сообщить шариком, чтобы они разошлись на угол = 60 ?

- 17 -

Дано: m = 1 г ℓ = 10 см = 60

СИ: 10-3 кг 0,1 м

q – ?

Решение: На каждый шарик действует сила тя-

жести Fg = mg, сила натяжения нити Т и сила кулоновского отталкивания Fк. Вы-берем соответствующим образом оси координат (рис. 1.5).

Система будет находиться в равновесии, т.е., согласно второму зако-ну Ньютона имеем:

0i

iF

или в развернутом виде: 0 TFF gк

. (1)

Выразим проекции уравне-ния (1) на оси координат:

,02

sin:

;02

cos:

кFTx

mgTy (2)

Согласно закону Кулона, шарики отталкиваются друг от друга с силой:

22

rqkFк , (3)

где r – расстояние между шариками. Используя соотношение, полученное из геометрических соотношений:

2sin

2r ,

решим совместно уравнения (2) и (3):

22

2 rqktgmg

или

2sin42 22

2

qktgmg .

Таким образом, имеем:

22sin2 tg

kmgq .

Подставив в это выражение числовые значения физических величин, получим:

нКлКлq 79109,7577,0109

81,9105,01,02 893

.

Рис. 1.5

r

α

кF

gF

T

кF

gF

T

x

y α/2

α/2

- 18 -

Пример №7. Точечный заряд q = –25 нКл находится в поле, создан-ном прямым бесконечным цилиндром радиуса R = 1 см, равномерно заря-женным c поверхностной плотностью σ = +0,2 нКл/см2. Определив силу F, действующую на заряд, если его расстояние от оси цилиндра r = 10 см.

Дано: q = –25 нКл R = 1 см σ = 0,2 нКл/см2 r = 10 см

СИ: 2,5∙10-8 Кл 0,01 м 2∙10-6 Кл/м2 0,1 м

F – ?

Решение: Численное значение силы F, дейст-

вующей на точечный заряд q, находя-щийся в поле, определяется по формуле:

F = qE, (1) где E – напряженность поля.

Как известно, напряженность поля бесконечно длинного равномерно заряженного цилиндра (рис. 1.6):

r

kE 2 , (2)

где – линейная плотность заряда. Выразим линейную плотность через

поверхностную плотность σ. Для этого выде-лим элемент цилиндра длиной ℓ и выразим находящийся на нем заряд q двумя способами: .;2 qRSq

Приравняв правые части этих равенств и сократив на ℓ, получим: R2 .

С учетом этого выражения формулa (2) примет вид:

.4

0rR

rRkE

Подставив это выражение в (1), получим искомую силу F:

rRqF

0

. (3)

Подставим в (3) числовые значения величин:

мкНHНF 5651065,51,01085,8

01,0102105,2 412

68

.

Направление силы F

совпадает c направлением напряженности Е

, а последняя в силу симметрии (цилиндр бесконечно длинный) направлена перпендикулярно поверхности цилиндра (рис. 1.6).

Рис. 1.6

q

r

F F E E

R

+

- 19 -

Пример №8. С какой силой, приходящейся на единицу площади, от-талкиваются две одноименно заряженные бесконечно протяженные плос-кости с одинаковой поверхностной плотностью заряда σ = 3 мкКл/м2.

Дано: σ = 3 мкКл/м2 S = 1 м2

СИ: 3∙10-6 Кл/м2

F – ?

Решение: Считаем, что одна пластина, несущая не-

который заряд q находится в электростати-ческом поле другой пластины (рис. 1.7).

Напряженность поля бесконечной пластины определяется:

02

1

E .

Сила, действующая на заряд, находящийся в поле:

EqF

.

Согласно определению, поверхностная плотность заряда есть:

Sq

,

тогда имеем:

0

2

2

SF .

Подставим в уравнение числовые значения величин:

21212

5,01085,82

1109мНF

.

Пример №9. По тонкой нити, изогнутой по дуге окружности, равно-мерно распределен заряд c линейной плотностью = 10 нКл/м. Определить напряженность E и потенциал φ электрического поля, создаваемого таким распределенным зарядом в точке, совпадающей c центром кривизны дуги. Длина нити составляет одну треть длины окружности и равна ℓ = 15 см.

Дано: = 10 нКл/м ℓ = 15 см α = 120°

СИ: 10-8 Кл/м 0,15 м

E – ? φ – ?

Решение: Выберем оси координат так, чтобы на-

чало координат совпадало c центром кри-визны дуги, а ось у была бы симметрично расположена относительно концов дуги (см. рис. 1.8).

1E 2

E σ1 σ2

F F

Рис. 1.7

- 20 -

На нити выделим элемент длины dℓ. Заряд dq = rdℓ, находящийся на выделенном участке, можно считать точечным.

Определим напряженность электрического поля в точке O. Для этого найдем сначала напряженность Ed

поля, создаваемого зарядом dq:

rr

rdkEd

2

,

где r – радиус-вектор, направленный от элемента dℓ к точке, напряженность которой вычисляется.

Выразим вектор Ed

через проекции dEx и dEy на оси координат:

yx dEjdEiEd

,

где i

и j

- единичные векторы направлений (орты). Напряженность E

найдем интегрированием:

yx dEjdEiEdE .

Интегрирование ведется вдоль дуги длины ℓ. В силу симметрии ин-теграл по

xdE равен нулю. Тогда:

coscos 2rdkjdEjdEjE y . (1)

Так как r = R = const, dℓ = Rdα, то:

dR

kRRdkdE y coscos2 .

Подставим найденное значение dEy в выражение (1) и, приняв во внимание симметричное расположение дуги относительно оси у, пределы интегрирования возьмем от 0 до π/3, а результат удвоим:

30

0

30

3

0

sin24

1sin2cos2

RjRkjdRkjE

.

Подставив указанные пределы и выразив R через длину дуги (3ℓ = 2πR), получим:

36 0

jE .

Из этой формулы видно, что вектор E

совпадает c положительным направлением оси у.

dα

Рис. 1.8

q

τ

dℓ

α xEd

Ed

i

yEd

j

R

O x

y

xEd

- 21 -

Подставим значения и ℓ в полученную формулу и произведем вы-числения:

м

кВмВE 18,22180

15,01085,8673,11012

8

.

Найдем потенциал электрического поля в точке О. Сначала найдем потенциал dφ, создаваемый точечным зарядом dq в точке О:

rdkd .

Заменим r на R и произведем интегрирование:

R

kdR

k

0

, а так как 32 R , то: 06

.

Произведем вычисления:

1881085,86

1012

8

В.

Пример №10. Электрическое поле создано длинным цилиндром ра-

диусом R = 1 см, равномерно заряженным c линейной плотностью = 20 нКл/м. Определить разность потенциалов двух точек этого поля, находящихся на расстоянии а1 = 0,5 см и а2 = 2 см от поверхности цилин-дра, в средней его части.

Дано: = 20 нКл/м R = 1 см а1 = 1,5 см а2 = 3 см

СИ: 2∙10-8 Кл/м 0,01 м 0,005 м 0,02 м Δφ –?

Решение: Для определения разности потенциа-

лов воспользуемся соотношением меж-ду напряженностью поля и изменением потенциала: E = –grad φ. Для поля c осе-вой симметрией, каким является поле цилиндра (рис. 1.6), это соотношение можно записать в виде:

drdE .

Интегрируя это выражение, найдем разность потенциалов двух то-чек, отстоящих на расстояниях r1 и r 2 от оси цилиндра:

2

1

12

r

r

Edr . (1)

Так как цилиндр длинный и точки взяты вблизи его средней части,

- 22 -

то для выражения напряженности поля можно воспользоваться формулой напряженности поля, создаваемого бесконечно длинным цилиндром:

r

kE 2 .

Подставив выражение E в (1), получим:

2

1 1

212 ln22

r

r rrk

rdrk , или

1

221 ln2 r

rk . (2)

Подставим числовые значения в (2) и вычислим:

кВВ 9,4949906005,002,0ln1021092 8921

.

Пример №11. Работа сил поля бесконечной заряженной нити по

перемещению заряда q = +1 мКл из точки, находящейся на расстоянии r1 = 5 см от нити до r2 = 2 см в перпендикулярном направлении равна А = 60 мДж. Определить линейную плотность τ заряженной нити.

Дано: q = +1 мКл r1 = 5 см r2 = 2 см А = 60 мДж

СИ: 10-3 Кл 0,05 м 0,02 м 0,06 Дж

– ?

Решение: Работа, совершаемая силами электро-

статического поля по перемещению то-чечного заряда из точки 1 в точку 2 (рис. 1.9) определяется:

А = q ( 1 2 ). Связь между напряженностью и

потенциалом электрического поля, об-ладающего осевой симметрией пред-ставляется в виде:

drdE .

А также, используем выражение, определяющее напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной бесконечной нитью на расстоянии r от нее:

r

kE 2 ,

где – линейная плотность. В результате имеем:

1

2ln21222

1

2

1

2

1rrkqdr

rkqdr

rqkdrqEA

r

r

r

r

r

r

.

q

r1 r2

+

τ ℓ→∞

Рис. 1.9

q E E +

- 23 -

Откуда выражаем τ:

1

2ln2rrkq

A .

Произведем вычисления:

м

пКлмКл 7,3107,3

05,002,0ln101092

06,0 1239

.

Пример №12. Четыре одинаковых капли ртути заряженных до по-

тенциала = 10 В сливаются в одну. Каков потенциал 1 образовавшейся капли?

Дано: = 10 В 1 – ?

Решение: Потенциал капли до сливания в единую равен:

rqk ,

где q – заряд капли, r – радиус капли. После сливания четырех капель в одну заряд последней увеличива-

ется в 4 раза, и выражение потенциала имеет вид:

Rqk 41 ,

где R – радиус большой капли, тогда:

R

rkR

rk 441 .

Объем V1 большой капли станет равен четырем объемам V малень-ких капель: V1 = 4 V.

33344

34 rR , откуда 4

3

rR или 3 4

rR .

Таким образом, имеем:

31 444

R

r .

Произведем вычисления:

В2,254104

31

.

- 24 -

Пример №13. Определить ускоряющую разность потенциалов U, которую должен пройти в электрическом поле электрон, обладающий скоростью 1 = 106 м/с, чтобы скорость его возросла в n = 2 раза.

Дано: 1 = 106 м/с n = 2 U – ?

Решение: Ускоряющую разность потенциалов можно найти,

вычислив работу А сил электростатического поля. Эта работа определяется произведением заряда электрона e на разность потенциалов U:

A = eU. (1) Работа сил электростатического поля в данном случае равна измене-

нию кинетической энергии электрона:

22

21

22

12

mmTTA , (2)

где Т1 и Т2 – кинетические энергии электрона до и после прохождения ус-коряющего поля; m – масса электрона; 1 и 2 – начальная и конечная ско-рости электрона.

Приравняв правые части равенств (1) и (2), получим

22

21

22

mmeU

или:

22

21

21

2

mmneU ,

где из условия 1

2

n .

Отсюда искомая разность потенциалов:

)1(2

221

n

emU . (3)

Подставим числовые значения физических величин в (3) и вычислим:

BU 53,8)12(106,12

10101,9 219

2631

.

Пример №14. Электрон с начальной скоростью υ0 = 3∙106 м/c влетел в

однородное электронное поле напряженностью Е = 150 В/м. Вектор началь-ной скорости перпендикулярен линиям напряженности электрического поля. Найти: 1) силу, действующую на электрон, 2) ускорение, приобретаемое электроном, 3) скорость электрона через t = 0,1∙10–6 c.

- 25 -

Дано: υ0 = 3∙106 м/c Е = 150 В/м t = 0,1∙10–6 c F – ? a – ? υ – ?

Решение: Со стороны электрического поля на электрон дейст-

вует сила (рис. 1.10): F = eE,

где e – заряд электрона. Произведем вычисления:

F = 1,6∙10–19∙150 = 24∙10–18 Н.

Вдоль оси x поле не оказывает силового дей-ствия, поэтому ускорение, приобретаемое электро-ном направлено вдоль оси у. Используя второй за-кон Ньютона имеем:

см

mFaa y

1331

18

106,2101,91024

Следовательно, проекция скорости электрона на ось x величина постоянная υx = υ0. Вдоль оси y, начальная скорость у электрона равна нулю, тогда:

tt

a уy

0 .

Для нахождения результирующей скорости используем теорему Пи-фагора:

смtayx

61226122220

22 1097,31001,01076,6109 .

Скорость υ направлена по касательной к траектории.

§ 2.3. Задачи для самостоятельного решения.

1. Точечные заряды q1 = +120 мкКл и q2 = –100 мкКл находятся на расстоянии d = 5 см друг от друга. Определить напряженность поля E в точке, удаленной на r1 = 3 см от первого и r2 = 4 см от второго заряда. Оп-ределить также силу F, действующую в этой точке на точечный заряд q = +1 мкКл.

2. Точечные заряды q1 = +20 мкКл и q2 = +10 мкКл находятся на расстоянии d = 3 см друг от друга. Определить напряженность E поля в точке, удаленной на r1 = 5 см от первого и r2 = 4 см от второго заряда. Оп-ределить также силу F, действующую в этой точке на точечный заряд q = +30 мкКл.

3. Два положительных точечных заряда +3q и +7q закреплены на расстоянии ℓ = 100 см друг от друга. Определить, в какой точке на прямой, проходящей через заряды, следует поместить третий заряд так, чтобы он

Рис. 1.10

E

x y F a

– 0

x

y

- 26 -

находился в равновесии. Указать, какой знак должен иметь этот заряд для того, чтобы равновесие было устойчивым, если перемещения заряда воз-можны только вдоль прямой, проходящей через закрепленные заряды.

4. Два точечных заряда q1 = +l,6 нКл и q2 = +0,4 нКл расположены на расстоянии d = 12 см друг от друга. Где надо поместить третий положи-тельный заряд q3, чтобы он оказался в равновесии? Будет ли равновесие устойчивым?

5. Расстояние ℓ между двумя точечными зарядами q1 = 12 нКл и q2 = 36 нКл равно 60 см. Определить точку, в которую нужно поместить третий заряд q3 так, чтобы система зарядов находилась в равновесии. Оп-ределить величину и знак заряда. Устойчивое или неустойчивое будет рав-новесие?

6. Расстояние d между зарядами q1 = +100 нКл и q2 = –150 нКл равно 10 см. Определить силу F, действующую на заряд q3 = +1 мКл, отстоящий на r1 = 12 см от заряда q1 и на r2 = 10 см от заряда q2.

7. Расстояние d между зарядами q1 = –50 нКл и q2 = –100 нКл равно 10 см. Определить силу F, действующую на заряд q3 = +1 мКл, отстоящий на r1 = 20 см от заряда q1 и на r2 = 10 см от заряда q2.

8. Поле, созданное точечным зарядом q = +30 нКл, действует на за-ряд q1 = +l нКл, помещенный в некоторой точке поля, с силой F = 0,2 мН. Найти напряженность E и потенциал φ в этой точке, а также расстояние от нее до заряда.

9. Два заряда q1 = +1 нКл и q2 = –3 нКл находятся на расстоянии ℓ = 200 мм друг от друга. Найти напряженность E и потенциал φ в точке поля, расположенной на продолжении линии, соединяющей заряды, на расстоянии r1 = 100 мм от заряда q2 и r2 = 300 мм от заряда q1.

10. Поле, созданное точечными зарядами q1 = +50 мкКл и q2 = –30 мкКл, действует на заряд q3 = +l мКл, помещенный посередине между зарядами, с силой F = 20 мН. Найти напряженность E и потенциал φ в ука-занной точке, а также расстояние между зарядами q1 и q2.

11. На заряд q1 = +1 нКл, находящийся в поле точечного заряда q на расстоянии r = 10 см от него, поле действует с силой F = 3 мкН. Опреде-лить напряженность E и потенциал φ в точке, где находится заряд q1. Най-ти также значение заряда q.

12. Два заряда q1 = +10 нКл и q2 = +20 нКл находятся на расстоянии ℓ = 20 см друг от друга. Найти напряженность E и потенциал φ поля, соз-данного этими зарядами, в точке, расположенной между зарядами на ли-нии, соединяющей заряды, на расстоянии r = 5 см от первого из них.

13. Расстояние r между двумя точечными зарядами q1 = +1 нКл и q2 = –30 нКл равно 20 см. Найти напряженность E и потенциал φ в точке, лежащей посередине между зарядами.

14. Расстояние r между двумя точечными зарядами q1 = +1 нКл и q2 = –30 нКл равно 20 см. Найти напряженность E и потенциал φ в точке,

- 27 -

лежащей на продолжении линии, проведенной между зарядами, на рас-стоянии r от заряда q2.

15. На расстоянии d = 20 см находятся два точечных заряда q1 = –500 нКл и q2 = 0,3 мкКл. Определить силу F, действующую на заряд q3 = –100 нКл, удаленный от обоих зарядов на одинаковое расстояние, равное 2d.

16. Электрическое поле создано двумя точечными зарядами q1 = +50 нКл и q2 = +100 нКл. Расстояние между зарядами ℓ = 10 см. Где и на каком расстоянии от первого заряда находится точка, в которой напря-женность поля равна нулю?

17. Два одинаковых положительных заряда q находятся на расстоя-нии ℓ = 20 см друг от друга. Найти на прямой, перпендикулярной линии, соединяющей заряды и проходящей через середину этой линии, точку, в которой напряженность поля E максимальна.

18. Два заряда q1 = +3 нКл и q2 = +1,2 нКл находятся на расстоянии ℓ = 10 см друг от друга. Найти напряженность поля E на продолжении ли-нии, соединяющей заряды, на расстоянии r = 6 см от второго заряда. Опре-делить также напряженность E1 в этой точке, если второй заряд отрица-тельный.

19. Точечный заряд q создает в точке, находящейся на расстоянии r = 10 см от заряда, поле с напряженностью Е = +1 кВ/м. Найти потенциал поля φ в этой точке и силу F, действующую на заряд q1 = –1 нКл, поме-щенный в эту точку электрического поля.

20. Поле создано точечным зарядом q. В точке, отстоящей от заряда на расстоянии r = 30 см, напряженность поля Е = +2 кВ/м. Определить по-тенциал φ в этой же точке и величину заряда q.

21. Положительный точечный заряд q создает в точке, находящейся на расстоянии r = 15 см от заряда, поле с потенциалом φ = 100 В. Найти напряженность электрического поля E в этой точке и силу F, действую-щую на заряд q1 = –1 нКл, помещенный в эту точку поля.

22. В элементарной теории атома водорода принимают, что электрон обращается вокруг ядра по круговой орбите. Определить радиус орбиты r и скорость движения электрона υ, если частота обращения электрона ν = 6,5·105 с–1.

23. По первоначальным представлениям Бора, электрон в атоме во-дорода движется по круговой орбите. Вычислить скорость движения элек-трона, если радиус его орбиты (боровский радиус) rб = 0,5·10–8 см.

24. Найти силу F электростатического отталкивания между ядром атома углерода и бомбардирующим его протоном, считая, что протон по-дошел к ядру атома углерода на расстояние r = 5,2∙10-14 м. Заряд ядра угле-рода в 6 раз больше заряда протона. Влиянием электронной оболочки пре-небречь.

25. Бомбардирующий протон подошел к ядру атома натрия на рас-стояние r = 6·10–14 м. Заряд ядра натрия в 11 раз больше заряда протона.

- 28 -

Пренебрегая влиянием электронной оболочки, найти силу F электростати-ческого отталкивания между ядром атома натрия и его протоном.

26. Три одинаковых точечных заряда q1 = q2 = q3 = +20 нКл закрепле-ны в вершинах равностороннего треугольника со стороной r = 10 см. Оп-ределить по величине и направлению силу F, действующую на один из за-рядов со стороны двух других.

27. Три одинаковых точечных заряда q1 = q2 = q3 = +10 нКл закрепле-ны в вершинах равностороннего треугольника со стороной a = 25 см. Оп-ределить напряженность E и потенциал φ электрического поля в центре треугольника.

28. Три отрицательных точечных заряда q1 = q2 = q3 = –25 нКл распо-ложены в вершинах равностороннего треугольника со стороной a = 25 см. Какой заряд q нужно поместить в центре треугольника, чтобы система на-ходилась в равновесии? Будет ли равновесие устойчивым?

29. Четыре одинаковых положительных заряда q1 = q2 = q3 = q4 за-креплены в вершинах квадрата со стороной a = 100 мм. Найти величину зарядов, если сила F, действующая на один из этих зарядов со стороны трех остальных равна 0,2 мН.

30. Четыре одинаковых заряда q1 = q2 = q3 = q4 = +50 нКл закреплены в вершинах квадрата со стороной a = 10 см. Найти напряженность E и по-тенциал φ электрического поля в центре квадрата.

31. В вершинах квадрата со стороной a = 10 см закреплены одинако-вые заряды q1 = q2 = q3 = q4 = +8∙10-8 Кл. Какой отрицательный заряд q нужно поместить в центре квадрата, чтобы сила взаимного отталкивания положительных зарядов была уравновешена силой притяжения отрица-тельного заряда? Будет ли равновесие устойчивым?

32. В вершинах квадрата расположены точечные заряды q1 = +1,33 нКл; q2 = –0,66 нКл; q3 = +0,99 нКл; q4 = –1,32 нКл. Определить потенциал поля φ в центре квадрата, если его диагональ равна a = 20 см.

33. Пять одинаковых зарядов q1 = q2 = q3 = q4 = q5 = –0,9 мКл закреп-лены в вершинах правильного пятиугольника со стороной a = 10 см. Найти силу F, действующую на один из этих зарядов со стороны четырех осталь-ных.

34. Пять одинаковых заряда q1 = q2 = q3 = q4 = q5 = +5 мКл закрепле-ны в вершинах правильного пятиугольника со стороной a = 100 мм. Найти напряженность E и потенциал φ электрического поля в центре пятиуголь-ника.

35. В вершинах правильного пятиугольника закреплены одинаковые положительные заряды q1 = q2 = q3 = q4 = q5. После помещения в центр пя-тиугольника отрицательного заряда q = –5,2∙10-8 Кл сила взаимного оттал-кивания положительных зарядов была уравновешена силой притяжения отрицательного заряда. Определить величину зарядов.

36. В вершинах правильного шестиугольника закреплены точечные

- 29 -

заряды одинаковой величины и знака q = +2,5 мкКл. Найти сторону a шес-тиугольника, если сила F, действующая на один из этих зарядов со сторо-ны пяти остальных равна 200 мкН.

37. В вершинах правильного шестиугольника со стороной a = 10 см помещаются точечные заряды одинаковой величины q = +1,5 мкКл. Найти потенциал φ и напряженность поля E в центре шестиугольника при усло-вии, что знаки соседних зарядов противоположны.

38. В вершинах правильного шестиугольника со стороной a = 100 мм закреплены точечные заряды одинаковой величины q. После помещения в центр шестиугольника отрицательного заряда q = –5 мкКл сила взаимного отталкивания положительных зарядов была уравновешена силой притяже-ния отрицательного заряда. Определить величину зарядов.

39. Определить напряженность E поля, создаваемого зарядом, рав-номерно распределенным по тонкому прямому стержню c линейной плот-ностью заряда τ = +200 нКл/м, в точке, лежащей на продолжении оси стержня на расстоянии а = 20 см от ближайшего конца. Длина стержня ℓ = 400 мм.

40. На продолжении оси тонкого прямого стержня, равномерно за-ряженного c линейной плотностью заряда τ = +15 нКл/см на расстоянии a = 40 см от конца стержня находится точечный заряд q = +10 мкКл. Вто-рой конец стержня уходит в бесконечность. Определить силу, действую-щую на заряд q.

41. Тонкий стержень длиной ℓ = 20 см равномерно заряжен с линей-ной плотностью τ = 1 нКл/см. Определить напряженность поля E, создан-ного стержнем в точке A на продолжении его оси на расстоянии r = 10 см от ближнего конца, и силу взаимодействия стержня и заряда q = 10–8 Кл, помещенного в точку А.

42. На тонком кольце равномерно распределен заряд c линейной плотностью заряда τ = +0,5 нКл/см. Радиус кольца R = 15 см. На перпенди-куляре к плоскости кольца, восставленном из его середины, находится то-чечный заряд q = +10 нКл. Определить силу F, действующую на точечный заряд со стороны заряженного кольца, если он удален от центра кольца на: 1) a1 = 20 см; 2) a2 = 10 м.

43. По тонкой нити, изогнутой по дуге окружности радиуса R = 20 см, равномерно распределен заряд q = +20 нКл. Определить напря-женность E поля, создаваемого этим зарядом в точке, совпадающей c цен-тром кривизны дуги, если длина нити ℓ равна четверти длины окружности.

44. По тонкому кольцу радиусом R = 10 см равномерно распределен заряд q1 = +20 нКл. Какова напряженность E поля в точке, нахо�