РАЗДЕЛ III. ХИМИЧЕСКАЯ ТЕРМОДИНАМИКА

Лекция 8. Второй закон термодинамики и его применение в химии. Энтропия.

Термодинамические потенциалы

07 апреля

1. Второй закон термодинамики. Энтропия как внутренняя переменная и ее свойства.

2. Третий закон термодинамики. Абсолютная энтропия.

3. Фундаментальное уравнение Гиббса. Характеристические функции.

4. Критерии необратимости. Термодинамические потенциалы.

5. Расчет изменения энергии Гиббса для различных процессов.

6. Химический потенциал идеального газа.

Это – основная лекция во второй части курса. В ней говорится об одном из наиболее общих

законов природы – Втором законе термодинамики, вводится фундаментальное уравнение Гиб-

бса и обсуждается применение Второго закона в химии.

3. Второй закон термодинамики

Слайд начинается с эпиграфа, в котором подчеркивается, что второй закон термодинамики

имеет вероятностный характер и справедлив только для макроскопических систем с боль-

шим числом частиц. Здесь уместно напомнить о том, что законы классической механики ин-

вариантны относительно обращения времени, а законы термодинамики – нет. В термодина-

мике существует преимущественное направление протекания процессов в одну сторону, в

сторону равновесия.

Есть несколько эквивалентных формулировок второго закона, например, в виде утверждения

о неэквивалентности теплоты и работы:

«Невозможно осуществить циклический процесс, единственным результатом которого будет

полное превращение теплоты в работу».

Но мы построили изложение на введении энтропии как критерия необратимости.

Существует экстенсивная функция состояния термодинамической системы – энтропия (S).

В адиабатически изолированной системе при обратимых процессах эта функция остается

неизменной, а при необратимых – увеличивается:

dSU,V,N 0

В этой формулировке, помимо утверждения о неубывании энтропии, есть еще два сильных

утверждения:

1) Энтропия – экстенсивная функция, т.е. обладает свойством аддитивности.

2) Энтропия – функция состояния.

Из этой формулировки следуют свойства равновесного состояния изолированной системы:

При равновесии энтропия максимальна:

dSU,V,N = 0, d 2S < 0

Таким образом, Второй закон вводит вторую фундаментальную термодинамическую функ-

цию состояния – энтропию. Первой была внутренняя энергия.

4. Энтропия. Определение Клаузиуса

Второй закон имеет очень общий характер и его нельзя вывести из более общих законов. Од-

нако, можно проиллюстрировать его смысл и происхождение. По сути, он показывает, чем

отличаются обратимые и необратимые процессы. На такое различие впервые обратил внима-

ние французский инженер Сади Карно в работе «Размышления о движущей силе огня и о ма-

шинах, способных развивать эту силу». Там была высказана фундаментальная идея о том, что

в обратимых процессах совершается максимальная работа

Вот первое отличие обратимых процессов от необратимых. Но тогда почему нельзя использо-

вать работу в качестве критерия необратимости? Ответ простой: потому что это – функция

процесса, а не функция состояния.

Рассмотрим два процесса с одинаковым начальным и конечным состоянием системы, напри-

мер, изотермическое расширение моля идеального газа от объема V до объема V + dV. Но один

процесс совершается обратимо, а другой необратимо (например, расширение газа в вакуум).

Запишем для них первый закон:

обр обр

необр необр

=

=

Q dU W

Q dU W

dU – одно и то же в обоих процессах, так как U – функция состояния (Первый закон). По

принципу Карно,

обр необрW W

(минус – из-за эгоистического принципа), откуда следует аналогичное соотношение для теп-

лоты:

обр необрQ Q

Теплота, как и работа – тоже функция процесса, но, если поделить ее на температуру, получим

функцию состояния – энтропию. Термодинамическое определение энтропии (по Клаузиусу):

обрQdS

T

Очень важно не путать определение энтропии и Второй закон:

QdS

T

5. Энтропия как внутренняя переменная

Мы уже отметили, что энтропия характеризует равновесное состояние. Изолированная си-

стема характеризуется энергией U, объемом V и числом частиц: = ( , , )S S U V n . Рассмотрим

переход энергии dU из одной части системы в другую. Изменение энтропии при равновесии

равно 0:

(1) (1) ( 2) ( 2)

(1) (2)(1) (2)

(1) (2)

, ,

( ) 0

V n V n

S SdS dS dS dU dU

U U

,

откуда следует:

(1) (1) ( 2) ( 2)

(1) (2)

(1) (2)

, ,

=

V n V n

S S

U U

Это – условие теплового равновесия между всеми частями равновесной системы.

Аналогично:

(1) (1) ( 2) ( 2)

(1) (1) ( 2) ( 2)

(1) (2)

(1) (2)

, ,

(1) (2)

(1) (2)

, ,

= условие механического равновесия

= условие химического равновесия

U n U n

U V U V

S S

V V

S S

n n

6. Физический смысл производных энтропии

Выясним физический смысл производных энтропии. Для этого в определение энтропии под-

ставим теплоту из Первого закона для открытой системы (в отсутствие полезной работы):

обр 1 1 = = i i

i

Q pdS dU dV dn

T T T T

Это уравнение можно считать основным уравнением термодинамики, или объединенным вы-

ражением Первого и Второго законов. Это – одна из форм фундаментального уравнения Гиб-

бса.

Частная производная энтропии по энергии задает абсолютную температуру (абсолют-

ную – значит, не привязанную к свойствам конкретных тел или веществ):

,

1

V n

S

U T

Отсюда получаем условие теплового равновесия – равенство температуры во всех частях си-

стемы.

Механическое равновесие: (1) (2)

,

= , = U n

S pp p

V T

Химическое равновесие: (1) (2)

, ,

= , = ii i

i U V n

S

n T

7. Условия устойчивости равновесия

Согласно основному постулату, равновесие устойчиво. А согласно Второму закону, равнове-

сие характеризуется максимумом энтропии как функции нескольких переменных. Следова-

тельно, условие максимума энтропии и есть условие устойчивости.

Среди условий максимум функции нескольких переменных есть отрицательные зна-

чения вторых производных по каждой переменной:

2 2 2

2 2 2

, , ,

0 0 0

V n U n U V

S S S

U V n

Две из таких производных связаны с экспериментально измеримыми термодинамическими

параметрами:

1) 2

2 2 2

,, ,

1/ 1 1 = = = 0

V n VV n V n

TS T

U U T U T C

Устойчивость теплового равновесия эквивалентна положительной изохорной теплоемкости,

CV > 0.

2) 2

2

,, ,

/ 1 = = 0

U nU n U n

p TS p

V V T V

Устойчивость механического равновесия требует, чтобы коэффициент сжимаемости был от-

рицательным.

8. Необратимая химическая реакция в изолированной системе

Применим Второй закон к химической реакции в изолированной системе и рассмотрим усло-

вия необратимости и равновесия. При постоянных энергии и объеме:

,

1 = 0U V i i

i

dS dnT

Количества вещества ni изменяются только в результате химической реакции, и все dni свя-

заны стехиометрическими соотношениями. Это можно выразить через химическую перемен-

ную. Если уравнение реакции записать в виде

A 0i i

i

,

где Ai – формулы веществ, i – стехиометрические коэффициенты (положительные для про-

дуктов и отрицательные для исходных веществ), то химическая переменная определяется

так:

i

i

dnd

для любого i.

Отсюда следует условие необратимости реакции:

,

1 = 0U V i i

i

dS dT

или

= 0i i

i

A

Термодинамическая функция A – это химическое сродство реакции. При равновесии A = 0, в

необратимых реакциях A > 0, если A < 0, реакция термодинамически невозможна.

Слайд 9. Статистическое определение энтропии

В статистической теории есть совершенно другое определение энтропии через вероятности

микроскопических состояний термодинамической системы. Оба определения характеризуют

одну и ту же функцию, но через совершенно разные величины.

Пусть pi – вероятность нахождения системы в i-м микроскопическом состоянии, тогда

энтропия определяется как

= lni i

i

S k p p

k = R / NA = 1.3810–23 Дж/К – постоянная Больцмана, суммирование происходит по всем воз-

можным микросостояниям системы.

Частным случаем этого определения является формула Больцмана, которая справед-

лива для случая, когда все микросостояния равновероятны. Это имеет место в изолированной

системе. Пусть W – число микросостояний, тогда все pi = 1/W, а энтропия равна

1

1 1 = ln ln

W

i

S k k WW W

Это – формула Больцмана для энтропии.

Слайд 10. Третий закон термодинамики

В отличие от внутренней энергии и энтальпии, энтропия имеет единую для всех веществ точку

отсчета S0, которая задается Третьим законом термодинамики:

При нулевой абсолютной температуре энтропия любых веществ, находящихся в равновес-

ном состоянии, имеет одно и то же значение, не зависящее от фазового состояния вещества.

S0 = 0

Этот закон позволяет ввести понятие абсолютной энтропии вещества, т.е. энтропии, отсчи-

танной от нулевого значения при T = 0. Используя понятие абсолютной энтропии, следует

помнить, что вывод о постоянстве S0 относится лишь к полностью равновесным при 0 К си-

стемам. На самом деле, при понижении температуры сильно увеличивается время релаксации

и в веществе «замораживается» некоторая остаточная энтропия.

Из Третьего закона следует, что вблизи 0 К Вблизи T = 0 все изотермические процессы,

например, химические реакции происходят без изменения энтропии: S = 0.

Слайд 11. Изменение энтропии в различных процессах

Изменение энтропии при нагревании или охлаждении рассчитывается через производную по

температуре, которую можно вычислить из основного уравнения (слайд 6).

При постоянном объеме и количестве вещества: Q = dU = CVdT, откуда

2

1

= = = =

T

V V VV V

V T

dU C S C CdS dT S dT

T T T T T

При постоянном давлении и количестве вещества: Q = dH = CpdT, откуда 2

1

= = = =

T

p p p

p p

p T

C C CdH SdS dT S dT

T T T T T

Для расчета изменения энтропии в обратимом фазовом переходе пользуемся термодинамиче-

ским определением энтропии и учитываем, что температура в процессе перехода постоянна:

обр ф.п.

ф.п. обр

ф.п. ф.п.

1 = = =

Q HS Q

T T T

12. Абсолютная энтропия

Изменение энтропии при нагревании и фазовых переходах служит основой для вычисления

абсолютной энтропии вещества через экспериментально измеряемые величины – теплоемко-

сти и энтальпии фазовых переходов. Например, стандартная энтропия газообразного вещества

складывается из пяти слагаемых: нагревания твердого, жидкого и газообразного вещества и

двух фазовых переходов:

o oпл кип(тв) (ж) (г)o пл исп

пл кип0пл кип

=

T T T

р р р

T

T T

С С СH HS dT dT dT

T T T T T

На правом графике показан процесс накопления энтропии, с двумя скачками, соответствую-

щими плавлению и испарению:

Сp/T

Tпл Tкип T Tпл Tкип T T T

(а)

крист

газ

жидк

плS

испS

S

(б)

Можно увидеть, что испS > плS. Из графика также очевидно, что для одного и того же веще-

ства Sг > Sж > Sтв.

В качестве примера можно рассмотреть таблицу со следующего слайда

Вещество Cгр Cалм H2(г) H(г) H

(р-р)

OH–(р-р) H

Oж

P

O

Sо298,

Дж/(моль К) 5.74 2.38 130.7 114.7 0 –10.8

В этой таблице стоит обратить внимание на энтропии ионов: H+ выбран в качестве точки от-

счета для ионов в растворе. Относительно H+ энтропия некоторых ионов, например, OH–, в

водном растворе оказывается отрицательной.

13. Изменение энтропии в химической реакции

Существование абсолютной энтропии у каждого вещества позволяет определить изменение

энтропии в химической реакции, или просто энтропию реакции. Для реакции

A = Bi i j j

i j

где – коэффициенты, A и B – реагенты и продукты, соответственно, энтропия реакции

определяется как разность между общей энтропией продуктов и общей энтропией реагентов:

r = (B ) (A )T j T j i T i

j i

S S S

В справочных таблицах приводят стандартный энтропии веществ при 298 К. Для расчета эн-

тропии реакции при произвольной температуре надо знать теплоемкости всех веществ:

r

r r 298

298

( ) =

T

p

T

C TS S dT

T

Если в реакции участвуют газообразные вещества, то часто знак энтропии можно оценить

качественно, не используя табличных данных.

14. Второй закон в химии

Химические реакции всегда сопровождаются выделением или поглощением теплоты. Нали-

чие теплообмена с окружающей средой не позволяет применять Второй закон к химической

системе напрямую применять нельзя, так как она не является изолированной системой. Воз-

можна необратимая реакция, в которой энтропия системы уменьшается, например, замерзание

воды при температуре –1оС.

Однако, объединяя химическую систему и окружающую среду, мы получаем изолиро-

ванную систему (Вселенную). Следовательно,

Необратимыми являются ТОЛЬКО те химические реакции, которые приводят к увеличению

общей энтропии Вселенной.

Изменение энтропии окружающей среды можно найти через тепловой эффект реакции, кото-

рый при постоянном давлении равен H:

Всел. хим.р. окр.ср.

хим.р.

окр.ср.

= 0

=

S S S

HS

T

Знак минус стоит вот почему: если в реакции теплота выделяется в окружающую среду, то

H < 0, но энтропия окружения растет.

Умножая не температуру, получаем неравенство, которое характеризует необратимые

химические реакции, протекающие в изотермических условиях и при постоянном давлении:

0H T S

15. Энтальпийный и энтропийный факторы

Выше получили общий критерий необратимости химических реакций. Он состоит из двух сла-

гаемых, который называют энтальпийным (H) и энтропийным (–TS) факторами. Их сумма

должны быть отрицательной для необратимой реакции, однако каждый из них, взятый по от-

дельности, может быть и положительным.

Температура может изменить соотношение между этими факторами, так как она явно

входит в энтропийный фактор. В таблице рассмотрены три случая:

1) При низкой температуре могут протекать те реакции, в которых энтропийный фак-

тор невыгоден: S < 0, (–TS) > 0. Для таких реакций необходимо, чтобы H < 0.

2) Высокая температура необходима для эндотермических реакций, так как у них не-

выгоден энтальпийный фактор, H < 0. Чтобы эндотермическая реакция стала воз-

можной, необходимо, чтобы она протекала с увеличением энтропии, S > 0.

3) При любой температуре термодинамически возможна реакция, в которой H < 0,

S > 0, т.е., оба фактора выгодны для необратимости. Таких реакций мало, но они

есть, например, 2H2O2 = 2H2O + O2.

Случай, когда H > 0, S < 0, не рассматривается, так как такие реакции термодинамически

невозможны.

16. Фундаментальное уравнение Гиббса для открытых систем

Фундаментальное уравнение Гиббса (слайд 6) можно записать для внутренней энергии:

= i i

i

dU TdS pdV dn

Если рассматривать внутреннюю энергию как функцию энтропии, объема и количества веще-

ства, U(S, V, n), то через нее и ее производные можно выразить все термодинамические свой-

ства системы, например, температуру:

= V

UT

S

После этого для закрытой системы можно найти U(V, T) – калорическое уравнение состояния.

Производная по объему дает термическое уравнение состояния:

S

Up

V

Вторая производная по энтропии связана с изохорной теплоемкостью:

2 2

2 2

= = = V

V

V V V

U

T T SC

T U U

S S S

Функцию, содержащую всю термодинамическую информацию о системе, называют характе-

ристической функцией. Независимые переменные в фундаментальном уравнении Гиббса для

такой функции называют естественными переменными. Так, энтропия является характери-

стической функцией в переменных S(U, V, n) – см. слайд 6.

17. Другие характеристические функции

Энтропия не является экспериментально измеримым термодинамическим параметром, по-

этому использовать ее как естественную переменную не очень удобно. Для того, чтобы заме-

нить энтропию как естественную переменную на температуру, проводят преобразование Ле-

жандра и вводят вспомогательную функцию F – энергию Гельмгольца:

, , , , = S V n T V n F U TS

Фундаментальное уравнение Гиббса для F:

= i i

i

dF SdT pdV dn

показывает, что естественными переменными для F являются T, V, n, а ее частные производ-

ные дают энтропию, давление, химический потенциал:

, , ,

( , , ) = , = , = i

V n T n i T V

F F FF T V n S p

T V n

Аналогично происходит замена естественной переменной V на p. Для этого вводят еще одну

вспомогательную функцию – энергию Гиббса:

, , , , = T V n T p n G F pV

Фундаментальное уравнение Гиббса для G:

= i i

i

dG SdT Vdp dn

Это – наиболее удобная для практических приложений химической термодинамики форма

основного уравнения термодинамики. Частные производные по естественным переменным:

, , ,

( , , ) = , = , = i

p n iT n T p

G G GG T p n S V

T p n

18. Соотношения Максвелла

С помощью характеристических функций можно получить определенные соотношения

между термодинамическими функциями, так называемые соотношения Максвелла. Они сле-

дуют из равенства перекрестных частных производных характеристических функций по

двум естественным переменным. На примере энергии Гельмгольца для закрытой системы:

T T T V

S F F p

V V T T V T

Аналогично можно найти зависимость химического потенциала от температуры при посто-

янном давлении:

, , ,

=

j

i

V n i T V n

S

T n

Соотношения Максвелла, связанные с энергией Гиббса, выражают зависимость энтропии от

давления при постоянной температуре и химического потенциала от температуры при посто-

янном давлении:

, ,, , ,

= =

j

i

p n p n iT n T p n

S V S

p T T n

19. Работа изотермического процесса

Термодинамические функции F и G имеют еще одно важное практическое значение: они свя-

заны с работой обратимого процесса, т.е. максимальной работой.

Уменьшение энергии Гельмгольца равно максимально возможной полной работе, которую

может совершить система в данном процессе при постоянной температуре.

Докажем это, используя определение F и Первый закон:

обр обр

1 2 макс

=

= = =

= = ( )

T

T

F U TS

dF dU TdS dU Q W

F F F W

Аналогично,

Уменьшение энергии Гиббса равно максимально возможной полезной работе, которую мо-

жет совершить система в данном процессе при постоянных температуре и давлении.

, полн полезн

, 1 2 полезн макс

=

= = =

= = ( )

T p

T p

G F pV

dG dF pdV W pdV W

G G G W

Обратим внимание на два различия в этих утверждениях: в одном случае работа полная, в

другом – полезная. В первом случае требуется только постоянство T, во втором – постоянство

T и p.

20. Критерии необратимости. Термодинамические потенциалы

Функции F и G обладают еще одним важнейшим свойством – они характеризуют направле-

ние необратимых процессов при определенных условиях. Мы видели это на примере хими-

ческой реакции при постоянных T и p (слайд 14).

Условие возрастания энтропии в изолированной системе эквивалентно убыванию одного из

термодинамических потенциалов (U, H, F, G) системы при фиксированных естественных пе-

ременных. В состоянии равновесия потенциалы достигают минимального значения.

По сути, это – частные случаи Второго закона. Докажем это утверждение для функций F и G.

При постоянных T и V:

,

,

,

,

=

0

( ) 0

0

VT V

T V

T V

T V

Q dUdS

T T

dU TdS

d U TS

dF

В необратимых процессах при постоянных температуре и объеме функция F может только

убывать. При равновесии в этих условиях она достигает минимального значения, и в системе

возможны только обратимые процессы, при которых dFT,V = 0.

Способность системы к определенным изменениям характеризуется соответствую-

щими потенциалами. Функция F – изохорно-изотермический потенциал.

Изобарно-изотермическим потенциалом является энергия Гиббса. При постоянных T

и p:

,

,

,

,

=

0

( ) 0

0

p

T p

T p

T p

T p

Q dHdS

T T

dH TdS

d H TS

dG

В необратимых процессах при постоянных температуре и давлении функция G может только

убывать. При равновесии в этих условиях она достигает минимального значения, и в системе

возможны только обратимые процессы, при которых dGT,p = 0.

Дальше мы сосредоточимся на свойствах энергии Гиббса – основной термодинамиче-

ской функции для практических приложений термодинамики.

21. Энергия Гиббса как характеристическая функция

Энергия Гиббса – характеристическая функция, ее естественными переменными являются

температура, давление и количество вещества. Покажем, как из G(T, p, n) и ее первых и вторых

производных найти энтропию объем, химический потенциал, изобарную теплоемкость и внут-

реннюю энергию системы:

, , , ,

2

2

, ,

, ,

= , = , =

= =

= =

j

i

p n iT n T p n

p

p n p n

p n T n

G G GS V

T p n

S GC T T

T T

G GU G TS pV G T p

T p

22. Расчет изменения энергии Гиббса. 1. Изменение температуры

Учитывая важность энергии Гиббса для химической термодинамики, рассмотрим способы ее

расчета в различных процессах. Зависимость от температуры определяется первой производ-

ной:

= p

GS

T

В качестве примера на графике показана зависимость энергии Гиббса от температуры для ин-

дивидуального вещества. Она условно изображена в виде трех прямолинейных участков.

1) У твердого вещества энтропия небольшая, энергия Гиббса уменьшается медленно.

Tкип

Tпл

G(T

)

2) При температуре плавления происходит обратимый переход в жидкое состояние, при

этом энергия Гиббса не изменяется, но скачком меняется ее производная, которая уве-

личивается по модулю, так как энтропия жидкости выше энтропии твердого вещества.

3) При температуре кипения производная функции G(T) снова испытывает скачок, для

газа энергия Гиббса быстро уменьшается с ростом температуры.

Зависимость G(T) можно выразить не через энтропию, а через энтальпию.

2 2

2

= =

1 =

/ =

p

p

p

G G HS

T T

G G H

T T T T

G T H

T T

Это соотношение называют уравнением Гиббса-Гельмгольца.

23. Расчет изменения энергии Гиббса. 2. Изменение давления

Зависимость энергии Гиббса от объема определяется соответствующей первой производной –

давлением:

= T

GV

p

У конденсированных фаз – жидкостей и твердых веществ объем мал и слабо зависит от дав-

ления, поэтому зависимость G(p) при не очень больших давлениях – прямолинейная и почти

горизонтальная

конд конд 0 конд 0( ) ( ) ( )G p G p V p p

У газов, напротив, объем сильно зависит от давления и, в среднем, на три порядка больше

объема конденсированной фазы, поэтому зависимость G(p) – значительная. Для идеального

газа она имеет логарифмический характер:

= T

G nRT

p p

г г 0

0

( ) ( ) lnp

G p G p nRTp

Графики зависимостей G(p):

Отметим, что физический смысл имеет не абсолютное значение энергии Гиббса, а только ее

изменение. Единой точки отсчета у функции G нет.

24. Расчет изменения энергии Гиббса. 3. Химическая реакция

Для расчета изменения энергии Гиббса в химической реакции, или просто энергии Гиббса

реакции можно использовать, в зависимости от имеющихся справочных данных, два эквива-

лентных подхода.

1) Применив к определению энергии Гиббса оператор химической реакции (лекция 7,

слайд 24), получим для стандартных условий:

r r r = T T TG H T S

Функцию r TH рассчитывают через справочные данные r 298H и уравнение Кирхгофа:

r r 298 r

298

( )

T

T pH H C T dT

Аналогичным образом находят r TS

r

r r 298

298

( )T

p

T

C TS S dT

T

2) К функции G можно применить закон Гесса, так как G – функция состояния, и вы-

разить энергию Гиббса реакции через энергии Гиббса образования fGo реагентов и продук-

тов из простых веществ. Для реакции

A = Bi i j j

i j

r 298 f 298 f 298 = (B ) (A )j j i i

j i

G G G

В качестве примера на слайде приведена реакция алюмотермии. В ней участвуют два про-

стых вещества, для которых энергия Гиббса образования, по определению, равна 0.

При произвольной температуре r TG можно найти из r 298G , проинтегрировав урав-

нение Гиббса-Гельмгольца:

r r 298 r r 298r 2982

298

( ) 1 1

298 298

T

TG G H T GdT H

T T T T

25. Химический потенциал

Производная энергии Гиббса по количеству вещества – химический потенциал. Это важней-

шая функция для изучения многокомпонентных систем. При постоянных T и p потенциал

i-го компонента системы определяется как

, ,

=

i j

i

i T p n

G

n

Подробно свойства этой термодинамической функции будут рассмотрены в следующей лек-

ции, а здесь найдено выражение для зависимости химического потенциала идеального газа от

давления. Используется тот факт, что для чистого вещества химический потенциал равен

мольной энергии Гиббса Gm:

m

,

m

( , ) =

= =

T p

T

GT p G

n

RTV

p p

Проинтегрируем это выражение от стандартного давления po до давления газа p:

ид ( , ) = ( ) lnp

T p T RTp

Отметим, что стандартный химический потенциал газа не зависит от давления, только от тем-

пературы.

Слайды 27-30 суммируют содержание лекции.

Слайд 27 – это совсем краткий конспект лекции, основные выводы, «Коротко о главном».

Основные понятия, для которых надо знать определения, приведены на слайде 28.

Два слайда, 29-30, посвящены основным формулам, которые лучше помнить наизусть.

Последний слайд 31– рекомендуемая литература. Красным выделена наиболее очевидная,

остальное – для дополнительного чтения.