第五章 黑油模型（ IMPES 方法）• 数学模型• 差分方程组的建立• 井、初始场分布和过泡点处理• 资料输入

第一节 数学模型一 、假设条件 1. 符合达西渗流定律 2. 等温渗流 3. 油气水三相和油气水三组分，水组分存在于水相中，油组分存在于油相中，气组分不仅存在于气相中，而且存在于油相和水相中 4. 三维 (x,y,z) 方向流动 5) 岩石和流体均可压缩 6) 油藏非均质和各向异性 7) 考虑毛管力和重力

二、数学模型 1. 组分质量守恒方程• 油组分

• 水组分

• 气组分

Bs

Bs

Bs

R

R

w

wsw

o

oso

g

ggvww

ww

rwsw

oooo

rosogg

gg

rg

RRt

qDgpBkk

DgpBkkDgp

Bkk

＋

＋

Bs

tqDgp

Bkk

w

wwvww

w

rw

w

Bs

tqDgp

Bkk

o

oovoo

oo

ro

式中 Rso— 气油比 ， Rsw— 气水比

（ 1 ）

（ 2 ）

（ 3 ）

2. 辅助方程

3. 初始条件和边界条件 假设边界不规则的油藏中有若干口井生产或注入，求油藏中的压力和饱和度分布。 I.C

1 sss wog

pppppp

ogcgo

wocow

(4)

(5)(6)

0 x xL

yL

y

0

0,,0,,

tSyxS

PyxP

wcw

i

B.C 1) 外边界封闭

2) 内边界00

tnP

•定产 式中 点源函数•定流压 Piwf Pwf t>0

yxQQ vv , 0t

第二节 差分方程组的建立一、方程（ 1 ）、（ 2 ）、（ 3 ）的右端项

tP

PB

BS

PBS

tS

BBS

to

o

o

o

o

oo

oo

oo

o

)()(

2

tP

PB

BS

PBS

tS

BBS

to

o

w

w

w

ow

ww

ww

w

)()(

2

tP

PB

BSR

PR

BS

PBRS

tS

BR

tP

PB

BSR

PR

BS

PBRS

tS

BR

tP

PB

BS

PBS

tS

BBS

RBS

RBS

t

o

o

w

w

wsw

o

sw

w

w

ow

swww

w

sw

o

o

o

o

oso

o

so

o

o

oo

sooo

o

so

o

o

g

g

g

og

gg

gw

wsw

o

oso

g

g

2

2

2)]([

(7)

(8)

(9)

根据（ 4 ）式，得

将（ 10 ）式代入（ 9 ）式得到只含 So 、 Sw 、 Po 的方程t

St

St

Swog

tP

PB

BSR

PR

BS

PBRS

PB

BSR

PR

BS

PBRS

PB

BS

PBS

tS

BBR

tS

BBR

BS

RBS

RBS

t

o

o

w

w

wsw

o

sw

w

w

ow

sww

o

o

o

oso

o

so

o

o

oo

soo

o

g

g

g

og

g

w

gw

swo

go

so

w

wsw

o

oso

g

g

2

22

)]([

(10)

(11)

二、组分质量守恒方程 将（ 7 ）、（ 8 ）、（ 11 ）代入（ 1 ）、（ 2 ）、（ 3 ）的右端项得组分质量守恒方程• 油组分

• 水组分

• 气组分

tP

PB

BS

PBS

tS

BqDgp

Bkk o

o

o

o

o

oo

oo

oovoo

oo

ro

2

tP

PB

BS

PBS

tS

BqDgp

Bkk o

o

w

w

w

ow

ww

wwvww

ww

rw

2

tP

PB

BSR

PR

BS

PBSR

PB

BRS

PR

BS

PBRS

PB

BS

PBS

tS

BBR

tS

BBR

qDgPB

kkRDgPB

kkRDgPB

kk

o

o

w

w

wsw

o

sw

w

w

ow

wsw

o

o

o

soo

o

so

o

o

oo

soo

o

g

g

g

og

gw

gw

swo

go

so

gvww

ww

rwswoo

oo

rosogg

gg

rg

22

2

(12)

(13)

(14)

三、 IMPES 方法压力方程和饱和度方程1. 思路1) 乘以适当的系数，合并（ 12 ）（ 13 ）（ 14 ）以消除

SW ， SO 得到只含变量 PO ， PW ， Pg 的压力方程。2) 由毛管压力公式 PCow=PO-PW ， PCgo=Pg-Po ，得到只含变量 的压力方程。3) 达西系数项及毛管压力采用上一时间值，因此可得只含变量 PO 的线性 代数 方程组。4) 解线性代数方程组后，求得 ，再求

5) 将 代入方程（ 1 ），求得 。 代入方程（ 2 ），求得 。 然后

1noijP n

cown

oijn

wij PPP 11

1noP 1n

oS

Pno

1

ncgo

noij

ngij PPP 11

1nwP 1n

wS

SSS nw

no

ng

111 1

2. 具体算法1) 压力方程 (12)×(Bo-RsoBg)+(13)×(Bw-RswBg)+(14)×Bg 得

(15)

tP

CqDgPBkk

RB

DgPBkk

RDgPBkk

B

qDgPBkk

BRBqDgPBkk

BRB

otgvWw

ww

rwswg

oooo

rosogg

gg

rgg

wvwwww

rwgswwovoo

oo

rogsoo

)(

)((

)()()()(

o

g

gg

o

sw

w

g

o

w

ww

o

so

o

g

o

o

oo

o

ggwwoot

PB

BC

PR

BB

PB

BC

PR

BB

PB

BC

PC

SCSCSCCC

11

11

式中

2) 隐式压力差分方程组的建立 对（ 15 ）式写差分方程时，由于网格节点多，因此可用简化形式。

式中 A— 传导系数， ， P — 压力

x

y

z

i,j,k

i,j,k+1

i+1,j,k

i,j,k-1i,j+1,k

i,j-1,k

i-1,j,k

zzzyyyxxx PAPAPAPA

距离面积

ll

rl

Bkk

)()(

)()(

)()(

,,1,,21,,,,1,,

21,,

,,,1,,21,,,,1,,

21,

,,,,1,,21,,,,1,,2

1

kjikjikjikjikjikjizzz

kjikjikjikjikjikjiyyy

kjikjikjikjikjikjixxx

PPAPPAPA

PPAPPAPA

PPAPPAPA

对压力方程（ 15 ）进行隐式差分后，两端乘以 后，令 可得到以下隐式压力差分方程组。

kjiB zyxV gwolqVQ lvBl ,,

)())(

(

)()(

)()(

)()(

1,,

111,,

,,1

,,

,,1

,,

nnkji

ntB

ijkgnn

wnsw

nno

nso

nng

nkjig

kjiwnn

wn

kjigsww

kjionn

on

kjigsoo

PPtCV

QGGWTPARPARPAB

QGWWTPABRB

QGOWTPABRB

nwcow

nw

nsw

ng

nO

nso

ngcgo

ng

ncoww

nw

no

no

gDPARgDARgDPAGGWTPgDAGWWT

gDAGOWT

)()()()(

)(

式中(16)

根据方程（ 16 ），对第 i ， j ， k 个网格写差分方程，由于其邻节点有六个，可形成七对角系数矩阵方程。若排列方式不同，则系数矩阵形式不同。 如标准排列，若有二层网格，先按 k 方向，后 J 方向，最后为 I 方向，顺序排列。

其系数矩阵如下：1 7 13 1935

911 17

15 2123

k=1

2 8 14 2046

1012 18

16 2224

k=2

如 D4 排列4 19 10 2414 5 20 111 15 6 21

16 7 22 122 17 8 2313 3 18 9

k=1

k=2

对第 i,j,k 个网格，可写成如下的一般式：BEPPAEPANPABPAWPASPAT nn

IIn

JJn

kkn

IIn

JJn

Kk

111

11

11

11

11

11

n

gk

ng

n

wk

nSwk

nswk

ng

nw

n

Ok

nsok

nsok

ng

nok

ABARRBB

ARRBBAT

21

211

211

)(21

)(21

n

gj

ngwj

nswj

nswj

ng

nw

ojnn

sojnsoj

ng

noJ

ABARRBB

ARRBBAS

21

211

21

1

)(21

)(21

n

gi

ng

n

wi

nswi

nswi

ng

nw

n

oi

nsoi

nsoi

ng

noI

ABARRBB

ARRBBAW

21

211

211

)(21

)(21

式中（ 17 ）

n

gk

ng

n

wk

nswk

nswk

ng

nw

n

ok

nsok

nsok

ng

nok ABARRBBARRBBAB

21

211

211 2

121

n

gj

ng

n

wj

nswj

nswj

ng

nw

n

oj

nsoj

nsoj

ng

noj ABARRBBARRBBAN

21

211

211 )(

21)(

21

n

gi

ng

n

wi

nswi

nswi

ng

nw

n

oi

nsoi

nsoi

ng

noi ABARRBBARRBBAE

21

211

211 )(

21)(

21

])(

[tCV

ABANAWAEASATEn

tBkJIIJk

)())(())(( GGWTQBGWWTQRBBGOWTQRBBQ gngw

nsw

ng

nwO

nso

ng

noOWG

])(

[ PtCV

QOWGB nn

tB

3) 显式饱和度方程的建立• 利用（ 1 ）式，经差分后，可得油饱和度方程

• 利用（ 2 ）式，经差分后，可得水饱和度方程

(18) 、 (19) 式中的 Pn+1 可用隐式压力方程组 (17) 求得。

n

O

OBn

O

OBO

nno B

SVB

SVt

QGOWTPA )()(1 11

n

w

wBn

w

wBw

nnw B

SVB

SVt

QGWWTPA )()(1 11

(18)

(19)

第三节 黑油模型特殊问题的处理一、井的问题 它是内边界问题的处理令

则 井的问题处理时，就 Pwf 的取法可分为两大类：1. 显式井底压力 认为 Pwf 已知，即 。2. 隐式井底压力 认为 Pwf 未知，即 。以下讨论显式井底压力时多层情况下井的处理问题。

sr

khPI

w

Reln

2l

rll

K

)( wfl

ll PP

BPIQ

nwfP

1nwfP

1. 定产量 1) 定总产油量 Qo 设该井有 n 层，可利用各层的 将 Qo 分配到各层。各层油产量

各层水产量

各层气产量

ko

o

BPI )(

n

kk

o

O

ko

o

ook

BPI

BPI

QQ

1)(

)(

k

o

o

w

w

OKWK

B

BQQ )(

wkkswokksok

o

o

g

g

okgk QRQR

B

BQQ )()(

(1)

(2)

(3)

2) 定总液量 Qt 首先计算各相的流度比油相水相

气相则可计算油产量

再利用 （ 1 ）（ 2 ）（ 3 ）式可求得Qok Qwk Qgk

k

n

kgwo

oot )(

1

k

n

kgwo

wwt )(

1

k

n

kgwo

ggt )(

1

tgtwtot

oto QQ )(

(4)

3) 定注入井的总注水量 Qwi 或 Qgi 设该井有 n 层，可利用各层的总流度将 Qwi 或 Qgi 分配到各层。

k

n

kgwo

kgwowiwik

WI

WIQQ

1)(

)(

n

kkgwoWI

1

k

n

kgwo

kgwogigik

WI

WIQQ

1)(

)(

(5)

(6)或

2. 定井底流压 1) 隐式地层压力

若为生产井 PID ＝ PI 注入井 PID ＝ WI 将（ 7 ）式代入压力差分方程组（ 17 ）的 Ql 中去，由于将 Ql 变成了 Pn+1 和 Pwf ，方程（ 17 ）中的系数 E ， B 将有变化

式中当计算出 后，即可算出 Ql ，然后计算 Qlk

wfn

k

n

kl

ll PP

BPIDQ

1

1

Wfn PP 1

iWfn PP 1

（ 7 ）

wfoldnew

oldnew

POPIBBCPIEE

g

gg

w

wswgw

o

osogok B

BB

RBBB

RBBPIDCPI

)()(

1nP

2) 显式地层压力

计算出 Ql 后，即可计算 Qlk

)(1

wfn

k

n

kl

ll PP

BPIDQ

(8)

二、初始压力场的分布

已知油气和油水接触面的压力和深度 PGOC GOC

PWOC WOC

已知某一网格的深度 EL ，则可得到该深度下的压力。

1

3

2

GOC PGOC

WOC PWOC

1) 若 ，在气相区则2) 若 ，在水相区则3) 若

则注：上述计算适用于过渡带相对较小的情况。

GEL ocijk

BgGscg

GOCELgPP ijkgGocijk

WocELijk

RB

swgscwscw

w 1

WOCELgPP ijkwWocijk WocELGoc ijk

RB

sogscosco

o 1

WOCELgPP ijkoWOCijk

三、过泡点的处理 在油气两相问题时，随着压力变化，油气相态将发生变化。当 P>Pb 时，为油相； P<Pb 时，为油气两相。 因为当 P 降到 Pb 以下时，油相性质 Bo 、 o 、 Rso 将发生变化，，称为过泡点问题。

Rso

Pb P

Bo

Pb P

o

Pb P

采用过泡点方法： 若地层压力降至泡点压力以后，用注气恢复压力，则 Pb 升高；若注水恢复压力，则 Pb 降低。1. Bo 处理

设原始泡点压力为 Pb ，若注气提高至 ，则再增加注水压力至 P ，其

Bo

PPdPBd

PBB bo

boo

P b

Pb P P

Bo(Pb)

PB bo

P b

2. o 处理

设原始泡点压力为 Pb ，若注气提高至 ，则再增加注水压力至 P ，其P b

PPdP

dP b

oboo

＋

o

Pb P P

o(Pb) P bo

P b

3. Rso

设原始泡点压力为 Pb ，若注气提高至 ，则再增加注水压力至 P ，其 P b

PPdPRd

PRR bso

bsoso ＋

Pb P P

Rso(Pb)

PR bso

P b