札幌新川高校

1

　

2

　このテキストで扱っている分野は，数学Ⅱの三角関数，指数・対数関数，数

学Ａの式と証明，複素数と方程式です。６回の講義では，三角関数，指数・対

数関数をそれぞれ２時間ずつ，式と証明，複素数と方程式を１時間ずつ扱い

ます。

　例題は各講４題載せてあります。２年次の模擬試験に対応できるよう，それ

ぞれ重要な内容を精選してあります。最低限講義で習った問題が出題された

ときには，解答できるようにしましょう。

　テキストの構成と使用方法は次の通りです。

基礎力チェック

その講の問題を解く上で必要な基本事項が理解されているかを確認

する問題を取り上げています。講義を受ける前に必ず解くようにしま

しょう。もしわからない問題がある場合は，教科書や参考書を参考に

きちんと解けるようにしておきましょう。

例題

講義で説明する問題を載せてあります。講義を受けながら解答や説

明事項をテキストに記入していきましょう。講義では説明事項を聞き

漏らさず，しっかりと受講しましょう。また，講義の途中でわからな

い事項が出てきたときには，不明箇所を明確にし積極的に質問しま

しょう。

演習問題

講義で扱った問題の類題を載せてあります。講義の残りの時間を用い

て各自で解きますが，時間内で全問解答するのは困難です。残った問

題は夏季休暇の間に解答し，夏季休暇が明けたときにテキストを提出

してください。添削して返却する予定です。

　２年次はとかく中だるみの学年といわれます。毎日の積み重なったつけは，

あとで重く自分にのしかかってくることを自覚しましょう。大学受験は高校受

験とは全く違います。本気で取り組まない限り，希望の進路はつかめません。

毎日の努力の積み重ねが，今求められています。

3

1 次の値をいえ。

(1) sin 76π (2) cos 11

6π (3) tan

³− π4

´

(4) sin 73π (5) cos

³− 34π´

(6) tan³236π´

2 三角関数の一つが次のように与えられたとき，残りの 2つの値を求めよ．

(1) sin θ = − 45

³π < θ < 3

2π´

(2) cos θ = 1213

³32π < θ < 2π

´

(3) tan θ = −3 (4) sin θ = 0.6³π < θ < 3

2π´

3 次の関数のグラフをかけ。また，その周期をいえ。

(1) y = sin³θ − π

3

´(2) y = cos 2θ

1 (1)− 1/2 (2)√3/2 (3)− 1 (4)

√3/2 (5)−

√2/2 (6) − 1/

√3

2 (1)− 3/5, 4/3 (2)− 5/13,−5/12 (3)± 3/√10,∓1/

√10 (4)− 4/5,−3/4 3 (1)2π (2)π

4

4 0 5 θ < 2π のとき，次の方程式を解け。

(1) sin θ = −√22

(2) cos θ =

√32

(3) tan θ = − 1√3

5 0 5 θ < 2π のとき，次の不等式を解け。

(1) sin θ >

√22

(2) cos θ >

√22

(3) tan θ < 1

6 0 5 θ < 23π のとき，次の関数の最大値・最小値を求めよ。また，そのときの θ の値を求めよ。

(1) y = sin³θ − π

3

´(2) y = 2 cos

³θ + π

2

´

4 (1)5π/4, 7π/4 (2)π/6, 11π/6 (3)5π/6, 11π/6

5 (1)π/4 < θ < 3π/4 (2)0 5 θ < π/4, 7π/4 < θ < 2π (3)0 5 θ < π/4,π/2 < θ < 5π/4, 3π/2 < θ < 2π

6 (1)Max :√3/2(θ = 2π/3) Min : −

√3/2(θ = 0) (2)Max : 0(θ = 0), Min : −2(θ = π/2)

5

1 θ が第 3象限の角で、sin θ cos θ = 25

のとき、次の式の値を求めよ。

(1) sin θ + cos θ (2) sin θ tan θ + cos θtan θ

6

2 次の方程式、不等式を解け。ただし、0 5 θ < 2π とする。

(1) 2 sin2 θ −√3 cos θ + 1 = 0

(2)√2 cos2 θ + (

√2− 1) sin θ −

√2 + 1 5 0

7

3 関数 y = 3 sin2 θ + cos2 θ − 2 cos θ − 1 の最大値、最小値を求めよ。ただし、0 5 θ < 2π とする。

8

4 y = sin θ, y = cos θ のグラフをもとにして、次の関数のグラフをかけ。

(1) y = 12sin³θ − π

3

´(2) y = cos 2θ + 1

9

5 sin θ − cos θ = − 13

のとき、次の式の値を求めよ。

(1) sin θ cos θ (2) tan θ + 1tan θ

6 次の方程式、不等式を解け。ただし、0 5 θ < 2π とする。

(1) 2 cos2 θ + 3 sin θ = 0 (2) 2 sin2 θ − cos θ − 1 > 0

10

7 関数 y = cos2 θ +√2 sin θ + 1 (0 5 θ < 2π) の最大値、最小値を求めよ。また、そのときの θ の値を求めよ。

8 次の問いに答えよ。

(1)関数 y = 2 sin 3θ + 4 の周期と値域を求めよ。

(2)関数 y = cos³2θ − π

3

´− 1 のグラフは y = cos(π − 2θ) のグラフをどのように平行移動したものか。

11

1 次の値を求めよ。

(1) sin 512

π (2) cos 712

π

2 sinα = 45, cosβ = − 12

13(0 < α < π

2, π2< β < π) のとき，次の値を求めよ。

(1) sin(α+ β) (2) cos(α− β)

3 sin θ = − 23( 32π < θ < 2π) のとき，次の値を求めよ。

(1) sin 2θ (2) cos 2θ

1 (1)(√6 +√2)/4 (2)(

√2−√6)/4 2 (1)− 33/65 (2)− 16/65 3 (1) − 4

√5/9 (2)1/9

12

4 0 5 θ < 2π のとき，次の等式を満たす θ の値を求めよ。

(1) sin 2θ − sin θ = 0 (2) cos 2θ + cos θ = 0

5 次の式を r sin(θ + α)の形に変形せよ．

(1)√3 sin θ − cos θ (2) 2 sin θ + 2 cos θ

6 0 5 θ < 2π のとき，次の等式・不等式を解け。

(1) sin³θ − π

6

´=

√32

(2) sin³θ + π

3

´> 12

4 (1)0,π,π/3, 5π/3 (2)π/3, 5π/3,π 5 (1)2 sin(θ − π/6) (2)2√2 sin(θ + π/4)

6 (1)π/2, 5π/6 (2)0 5 θ < π/2, 11π/6 < θ < 2π

13

1 α は第 2象限の角で sinα = 13, β は第 3象限の角で tanβ =

√73

のとき、cos(α− β) の値を求めよ。

14

2 0 < θ < π で、tan θ = 2√6 のとき、 sin 2θ, cos 2θ の値を求めよ。

15

3 0 5 θ < 2π のとき、次の方程式・不等式を解け。

(1)√2 sin θ −

√2 cos θ = −

√3 (2) sin θ > cos 2θ

16

4 関数 y = (√2 sin θ + 1)(

√2 cos θ − 1) (0 5 θ < 2π) について、

(1) sin θ − cos θ = t とするとき、y を tの式で表せ。

(2) y の最大値、最小値と、そのときの θ の値を求めよ。

17

1 0 5 α 5 π, π25 β 5 3

2π で cosα = − 4

5, sin β = − 12

13のとき、次の値を求めよ。

(1) sin(α+ β) (2) cos(α− β) (3) tan(α− β)

2 π2< θ < 3

2π で、sin θ = 2

3のとき、次の値を求めよ。

(1) cos 2θ (2) sin 2θ (3) sin θ2

18

3 次の方程式・不等式を解け。

(1) sin 2θ − cos θ = 0 (0 5 θ < 2π) (2) sin θ +√3 cos θ = 1 (−π 5 θ 5 π)

4 関数 y = (sin θ − 2)(cos θ + 2) (0 5 θ < 2π) について、

(1) sin θ − cos θ = t とするとき、y を tの式で表せ。

(2) y の最大値、最小値と、そのときの θ の値を求めよ。

19

1 次の計算をせよ。

(1) 3√−18× 3

√3÷ 3√−2 (2) 3

r272× 3

r14

(3)4p√

256

2 次の値を求めよ。

(1)³35

´−2(2) 16

32 (3)

³2764

´ 23

(4) 81−14 (5) 4−

32 (6) 9−0.5

3 次の式を計算して ap の形に表せ。

(1) a3 ÷ a5 × (a3)2 (2) a13 × a 14 ÷ a 16

(3)√a÷ 3√a× 6√a (4)

4√a3 × 3

√a2 ÷√a

1 (1)3 (2)3/2 (3)2 2 (1)25/9 (2)64 (3)9/16 (4)1/3 (5)1/8 (6)1/3 3 (1)a4 (2)a5/12 (3)a1/3 (4)a11/12

20

4 次の値を求めよ。

(1) 2−12 × 2 34 ÷ 2 12 (2) 8

12 × 8− 1

3 ÷ 8 32

5 次の計算をせよ。

(1) 27−3 ÷ 9−4 × 3−2 (2) 932 ÷ 32

(3) 3√5÷√5× 6√5 (4) 3

√9×√3÷ 6√3

6 次の方程式を満たす xの値を求めよ。

(1) 4x = 8 (2)√2x= 4 (3) 2x = 0.25

7 次の不等式を満たす xの値の範囲を求めよ。

(1) 2x > 18

(2) 9x < 27 (3)√2x> 8

4 (1)1/ 4√2 (2)1/16 5 (1)1/27 (2)3 (3)1 (4)3 6 (1)3/2 (2)4 (3)− 2 7 (1)x > −3 (2)x < 3/2 (3)x > 6

21

1 3x1/3 + x−1/3 = 5 のとき、次の式の値を求めよ。ただし、x > 0 とする。

(1) 9x2/3 + x−2/3 (2) 27x+ x−1 (3) 9x2/3 − x−2/3

22

2 次の方程式・不等式を解け。

(1) 9x+1 + 8 · 3x − 1 = 0 (2) 14x− 3

³12

´x− 40 5 0

23

3 関数 f(x) = 2 · 3x − 9x−1 (0 5 x 5 3) の最大値、最小値と、そのときの xの値を求めよ。

24

4 関数 f(x) = −(4x+1 + 4−x+1) + 5(2x+2 + 2−x+2)− 20 において、

(1) t = 2x + 2−x とするとき、f(x)を tで表せ。

(2) f(x) の最大値を求めよ。また、そのときの xの値を求めよ。

25

1 x1/2 + x−1/2 = 3 のとき、次の式の値を求めよ。ただし、x > 1 とする。

(1) x+ x−1 (2) x3/2 + x−3/2 (3) x1/2 − x−1/2

2 次の方程式・不等式を解け。

(1) 3 · 22x − 11 · 2x − 4 = 0 (2) 25x − 6 · 5x + 5 < 0

26

3 関数 f(x) = 9x − 2 · 3x+2 + 45 (1 5 x 5 3) の最大値、最小値と、そのときの xの値を求めよ。

4 関数 f(x) = 22x + 2−2x + 5(2x + 2−x) + 3 において、

(1) t = 2x + 2−x とするとき、f(x)を tで表せ。

(2) f(x) の最小値を求めよ。また、そのときの xの値を求めよ。

27

1 次の対数の値を求めよ。

(1) log3127

(2) log8 16 (3) log 128

(4) log5√5 (5) log√2

14

(6) log3√27

2 次の計算をせよ。

(1) log10 5 + log10 4− log10 2 (2) log10 5− log10 9 + log10 180

(3) log3 2 · log4 3 (4) log2 12− 2 log2 3 + log2 6

(5) 12log3 49 + log3

127− log3 49 (6) (log2 3 + log4 9)(log3 4 + log9 2)

1 (1)− 3 (2)4/3 (3) − 3 (4)1/2 (5)− 4 (6)3/2 2 (1)1 (2)2 (3)1/2 (4)3 (5)3 (6)5

28

3 次の方程式を満たす xの値を求めよ。

(1) log16 x =12

(2) log27 x =23

(3) logx 4 = 2 (4) logx827

= 3

(5) log3(x+ 3) = 2 (6) log3(x2 − 5x+ 15) = 2

4 次の不等式を満たす xの値の範囲を求めよ。

(1) log2 x > 4 (2) log3 x < −4 (3) log 13x > 3

5 log10 2 = 0.3010, log10 3 = 0.4771とするとき，次の値を求めよ。

(1) log10 12 (2) log10 5

3 (1)4 (2)9 (3)2 (4)2/3 (5)6 (6)2, 3 4 (1)x > 16 (2)x < 1/81 (3)x < 1/27 5 (1)1.0791 (2)0.6990

29

1 次の方程式・不等式を解け。

(1) (log0.1 x)2 − log0.1 x2 − 15 = 0 (2) log3(x+ 3) < 2− log3(2x− 1)

30

2 関数 y = log1/3(7− x) + log1/3(x+ 11) の最小値を求めよ。また、そのときの xの値を求めよ。

31

3 関数 y = log5x3

125· log5 25x

³125

5 x 5 25´の最大値、最小値を求めよ。また、そのときの xの値を求めよ。

32

4 次の方程式を満たす点 (x, y)の集合はどんな図形か。図示せよ。

logx−1 y + 2 logy(x− 1) = 3

33

1 次の方程式・不等式を解け。

(1) log3 x5 − (log3 x)2 = 6 (2) log10(x+ 1) + log10(x− 2) < 1

2 関数 y = log3(x+ 1) + log3(5− x) の最大値を求めよ。また、そのときの xの値を求めよ。

34

3 関数 y = (log3 x)2 − log3 x2

³195 x 5 9

´の最大値、最小値を求めよ。また、そのときの xの値を求めよ。

4 次の方程式を満たす点 (x, y)の集合はどんな図形か。図示せよ。

logy x+ logx y + 2 = 0

35

1 次の式が xについての恒等式となるように，定数 a, b, cの値を定めよ。

(1) a(x+ 1)2 + b(x+ 1) + cx2 = 3x− 1

(2) 1x(2x+ 1)

= ax− b2x+ 1

2 次の式の値を求めよ。

(1) x3=y5= z76= 0のとき，

xy + yz + zx

x2 + y2 + z2の値

(2) x = 3 +√5のとき，x3 − 5x2 − 2x+ 8の値

1 (1)a = 4, b = −5, c = −4 (2)a = 1, b = 2 2 (1)71/83 (2)4

36

3 次の等式を証明せよ。

(1) (a− b)2 = (a+ b)2 − 4ab

(2) a+ b = 1のとき a3 + b3 = 1− 3ab

4 次の不等式を証明せよ。また，等号が成り立つのはどのようなときか。

(1) x2 + 3xy + 3y2 = 0

(2) a+ 4a= 4 (a > 0)

3 (1)(左辺) = (右辺) = a2 − 2ab + b2 (2)(左辺) = (右辺) = 3a2 − 3a + 1

4 (1)(左辺) = (x+ 3y/2)2 + 3y2/4, x = y = 0 (2)a = 2

37

1 次の問いに答えよ。

(1)等式 (3k + 4)x+ (2k − 1)y + 7k − 9 = 0が k の値に関係なく成り立つような x, y の値を求めよ。

(2)すべての x, y について、(2x− 5y+ 1)a− (3x+ 4y− 2)b = 11x+ 7y+ cが成り立つような定数 a, b, cの値を

求めよ。

38

2 2x+ 3y6

=5y − 2z4

= z + x5

, xyz 6= 0 のとき、

(1) x : y : z を求めよ。

(2)2x2 + y2 + z2

xy + 3yz + zxの値を求めよ。

39

3 次の不等式を証明せよ。

(1) a2 + 2b2 + 4c2 = ab+ 2bc+ 3ca(2) a = b = 0 のとき、

√a−√b 5√a− b 5

√3a−

√2b

40

4 a > 0, b > 0, c > 0 のとき、次の不等式を証明せよ。³4ab+ c´³

ba+ 19c

´= 49

9

41

1 すべての x, y について、a(x+ y) + b(x− y) + c = x+ 3y + 1が成り立つような定数 a, b, cの値を求めよ。

2 x+ 2y7

=2y + 3z7

= 3z + x6

, xyz 6= 0 のとき、xy + yz + zx

x2 + y2 + z2の値を求めよ。

42

3 次の不等式を証明せよ。

(1) a2 + 2b2 + 2ab+ 2a+ 2 = 0(2) a > 0, b > 0 のとき、

√9a+ 4b < 3

√a+ 2

√b 5

p13(a+ b)

4 a > 0, b > 0 のとき、次の不等式を証明せよ。

(4a+ 9b)³1a+ 1b

´= 25

43

1 次の方程式を解け。

(1) x2 + 2x+ 4 = 0 (2) x2 + 2√2x+ 1 = 0

2 次の計算をして，結果を a+ bi(a, bは実数)の形に表せ。

(1) (2 + 3i)3 (2) 2 + 3i1 + 3i

3 次の問に答えよ。

(1) 2次方程式 x2 − 3x+ k = 0が異なる 2つの実数解を持つように，実数 k の値の範囲を定めよ．

(2) 2次方程式 2x2 + 2x+ 2k − 1 = 0が重解を持つように，実数 k の値を定めよ．

1 (1)− 1±√3i (2)−

√2± 1 2 (1)− 46 + 9i (2)11/10− 3i/10 3 (1)k < 9/4 (2)k = 3/4

44

4 2次方程式 x2 + 3x− 2 = 0の 2つの解を α,β とするとき，次の式の値を求めよ 。

(1) α+ β (2) αβ

(3) α2 + β2 (4) α3 + β3

5 次の式を因数分解せよ。

(1) x3 − 2x2 − x+ 2 (2) x3 + 4x2 − 15x− 18

6 次の方程式を解け。

(1) x3 − 27 = 0 (2) x4 + x2 − 12 = 0

(3) x3 − 3x2 + 2 = 0 (4) 2x3 + 3x2 − 1 = 0

4 (1)− 3 (2)− 2 (3)13 (4)− 45 5 (1)(x− 1)(x− 2)(x + 1) (2)(x+ 1)(x− 3)(x + 6)

6 (1)3, (−3± 3√3i)/2 (2)± 2i,±

√3 (3)1, 1±

√3 (4)− 1, 1/2

45

1 次の条件を満たすような実数 aの値の範囲を求めよ。

(1) 2次方程式 x2 − ax+ a+ 8 = 0 が異なる 2つの実数解を持つ。

(2) 2次方程式 x2 − 2(2a− 1)x+ a = 0 が異なる 2つの虚数解を持つ。

46

2 2 次方程式 x2 + px + q − 2 = 0 の 2 つの解を、それぞれ 2 倍して 5 を足した数を解に持つ 2 次方程式が

x2 + (4q − 2)x− 12p+ 1 = 0 であるとき、実数 p, q の値を求めよ。

47

3 2次方程式 4x2 − 2ax− a2 + 1 = 0 の 2つの解の差が 2であるという。実数 a の値とそのときの 2つの解を求

めよ。

48

4 3次方程式 x3 + ax2 + bx+ 5a = 0 の 1つの解が 1− 3iであるとき、実数 a, b の値と他の 2つの解を求めよ。

49

1 2つの 2次方程式 2x2 − 6x+ k = 0, kx2 + 2kx+ k − 1 = 0 がともに実数解を持つように、実数 kの値の範囲

を定めよ。

2 2次方程式 x2+px+q = 0の 2つの解を、それぞれ 2倍して 1を引いた数を解に持つ 2次方程式が x2+2qx+5p = 0

であるとき、実数 p, q の値を求めよ。

50

3 2次方程式 x2 +mx+ 2m− 1 = 0 (mは実数)の 2つの解の差が 2であるような、実数 m の値とそのときの 2

つの解を求めよ。

4 3次方程式 x3 − 2x2 + ax + a + b = 0 の 1 つの解が 1 −√2iであるとき、実数 a, b の値と他の 2つの解を求

めよ。

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数学とソフトウエア Mathematics

http://www.nikonet.or.jp/spring/sanae/math.html

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