7
c 2010 Inoue Lab. – 1 / 40 (2010 5 23 ) May 23, 2010 (1)-(5) (6)-(10) c 2010 Inoue Lab. – 2 / 40 c 2010 Inoue Lab. – 3 / 40 O 90 π/2 180 π ( rad)(radian( )) 180 π 90 π/2 1 π/180(rad) c 2010 Inoue Lab. – 4 / 40 (1) 30 (2) 45 (3) 60 (4) 120 (5) 270 (6) π/5(rad) (7) 3π/8(rad) (8) 11π/9(rad) (9) 15π/8(rad) (10) 4π(rad) (1) π/6 (2) π/4 (3) π/3 (4) 2π/3 (5) 3π/2 (6) 36 (7) 67.5 (8) 220 (9) 337.5 (10) 720 (1)-(5) c 2010 Inoue Lab. – 5 / 40 1 π 180 (rad) (1) 30 = 30 × π 180 (rad) = 1 6 π(rad) (2) 45 = 45 × π 180 (rad) = 1 4 π(rad) (3) 60 = 60 × π 180 (rad) = 1 3 π(rad) (4) 120 = 120 × π 180 (rad) = 2 3 π(rad) (5) 270 = 270 × π 180 (rad) = 3 2 π(rad) (6)-(10) c 2010 Inoue Lab. – 6 / 40 1(rad) 180 π (6) π 5 (rad) = π 5 × 180 π = 36 (7) 3π 8 (rad) = 3π 8 × 180 π = (135/2) = 67.5 (8) 11π 9 (rad) = 11π 9 × 180 π = 220 (9) 15π 8 (rad) = 15π 8 × 180 π = (675/2) = 337.5 (10) 4π(rad) =4π × 180 π = 720

(1)-(5)kansu]sankakukansu[6men].pdf · 2 θ c 2010 Inoue Lab. –7/40 c 2010 Inoue Lab. –8/40 O y x θ −1 1 1 P(x,y) x y −1 xy P(x, y) x θ ( ) ( ) sin cos tan

  • Upload
    others

  • View
    0

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: (1)-(5)kansu]sankakukansu[6men].pdf · 2 θ c 2010 Inoue Lab. –7/40 c 2010 Inoue Lab. –8/40 O y x θ −1 1 1 P(x,y) x y −1 xy P(x, y) x θ ( ) ( ) sin cos tan

c©2010 Inoue Lab. ������ – 1 / 40

����

(2010� 5� 23���)

May 23, 2010

���

� ���

�����

�����

���������

(1)-(5)

���������

(6)-(10)

�����

���

����

���������

��

��������

���������

�������

c©2010 Inoue Lab. ������ – 2 / 40

�����

c©2010 Inoue Lab. ������ – 3 / 40

O

90◦

π/2

180◦

π

������������������������

�������������������� ��������������

���� (���rad)(radian(����))����

������180�� π �90�� π/2 ���������� ���

�������1����������� π/180(rad) ���

�������

�����

c©2010 Inoue Lab. ������ – 4 / 40

��������������������������������

�����

(1) 30◦ (2) 45◦ (3) 60◦ (4) 120◦ (5) 270◦

(6) π/5(rad) (7) 3π/8(rad) (8) 11π/9(rad)

(9) 15π/8(rad) (10) 4π(rad)

���(1) π/6 (2) π/4 (3) π/3 (4) 2π/3 (5) 3π/2

(6)

36◦ (7)

67.5◦ (8)

220◦ (9)

337.5◦ (10)

720◦

��������� (1)-(5)

c©2010 Inoue Lab. ������ – 5 / 40

������ 1◦ ��⇔ π

180(rad)

��������� ����������� ����

(1) 30◦ = 30 × π

180(rad) =

1

6π(rad)

(2) 45◦ = 45 × π

180(rad) =

1

4π(rad)

(3) 60◦ = 60 × π

180(rad) =

1

3π(rad)

(4) 120◦ = 120 × π

180(rad) =

2

3π(rad)

(5) 270◦ = 270 × π

180(rad) =

3

2π(rad)

��������� (6)-(10)

c©2010 Inoue Lab. ������ – 6 / 40

������ 1(rad)��⇔

(180

π

)◦

��������� ����������� ����

(6)π

5(rad) =

π

(180

π

)◦

= 36◦

(7)3π

8(rad) =

(180

π

)◦

= (135/2)◦ = 67.5◦

(8)11π

9(rad) =

11π

(180

π

)◦

= 220◦

(9)15π

8(rad) =

15π

(180

π

)◦

= (675/2)◦ = 337.5◦

(10) 4π(rad) = 4π ×(180

π

)◦

= 720◦

Page 2: (1)-(5)kansu]sankakukansu[6men].pdf · 2 θ c 2010 Inoue Lab. –7/40 c 2010 Inoue Lab. –8/40 O y x θ −1 1 1 P(x,y) x y −1 xy P(x, y) x θ ( ) ( ) sin cos tan

�����

���

� �����

���������

���

����

���������

��

��������

���������

�������

c©2010 Inoue Lab. ������ – 7 / 40

���������

c©2010 Inoue Lab. ������ – 8 / 40

O

y

x

θ

1−1

1P(x, y)

x

y

−1

�������xy��������������������P(x, y)����

�������x�� ���� ���

�������������������������� (�����������)�����������

������������������������ (����������)��

���������

���

���

�����

� ���

��� sin cos tan

���

����

���������

��

��������

���������

�������

c©2010 Inoue Lab. ������ – 9 / 40

��� sin cos tan ���

c©2010 Inoue Lab. ������ – 10 / 40

O

y

x

θ

1−1

1 P(x, y)

x

y

−1

A

1

���� P����� (0 ≤ θ <1

2π)

����������

�OAP ����������� sin�����cos�����tan������

���

sin θ =��

��=

y

1= y cos θ =

��

��=

x

1= x

tan θ =��

��=

y

x

����

���

�����

���

� ����

������

�����

�������

��������

�����

���������

��

��������

���������

�������

c©2010 Inoue Lab. ������ – 11 / 40

������

c©2010 Inoue Lab. ������ – 12 / 40

O

y

x

θ

1−1

1

P(x, y)

x

y

−1

����� ���0 ≤ θ <π

2(= 90◦) �������� ����θ ��

���������� �

sin θ = y, cos θ = x, tan θ =y

x

��� sin , cos , tan ���������

������� sin θ, cos θ, tan θ ������ θ ��� ���� (θ ��������) ���

�� �������� r �������������������

Page 3: (1)-(5)kansu]sankakukansu[6men].pdf · 2 θ c 2010 Inoue Lab. –7/40 c 2010 Inoue Lab. –8/40 O y x θ −1 1 1 P(x,y) x y −1 xy P(x, y) x θ ( ) ( ) sin cos tan

�����

c©2010 Inoue Lab. ������ – 13 / 40

θ ��������sin θ, cos θ, tan θ �������

(1) π/3 (2) 4π/3 (3) π/6 (4) π/4 (5) 5π/3

����

(1)

sinθ=√3/2,cosθ=1/2,tanθ=√3

(2)

sinθ=−√3/2,cosθ=−1/2,tanθ=√3

(3)

sinθ=1/2,cosθ=√3/2,tanθ=1/√3

(4)

sinθ=1/√2,cosθ=1/√2,tanθ=1

(5)

sinθ=−√3/2,cosθ=1/2,tanθ=−√3

�������

c©2010 Inoue Lab. ������ – 14 / 40

θ �������� �����sin θ, cos θ, tan θ ������������������������

O x

tan θ ���

−+

− +

−1

1

−1 1

y

O

cos θ ���

+−

− +

−1

1

−1 1 x

y

O

sin θ ���

−−

+ +

−1

1

−1 1 x

y

��������

c©2010 Inoue Lab. ������ – 15 / 40

sin θ, cos θ, tan θ ������������

(1) tan θ =sin θ

cos θ

(2)sin2 θ + cos2 θ = 1

(3) 1 + tan2 θ =1

cos2 θ

�����

c©2010 Inoue Lab. ������ – 16 / 40

���������

(1) θ ������� (π < θ < 3π/2) sin θ = −3/4 ����

cos θ, tan θ �������

(2) θ ������� (3π/2 < θ < 2π) cos θ = 1/3 ����

sin θ, tan θ �������

(3) θ ������� tan θ = 4 ����sin θ, cos θ �������

����

(1)

cosθ=−√7/4,tanθ=3/√7

(2)

sinθ=−2√2/3,tanθ=−2√2

(3)

sinθ=−4/√17,cosθ=−1/√17

�����������

���

�����

���

����

���������

���

����

(��) ���������

�����

���������

������

����

�����

���������

��������

���������

�������

c©2010 Inoue Lab. ������ – 17 / 40

����

c©2010 Inoue Lab. ������ – 18 / 40

(1) sin (α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β

(2) cos (α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β

(3) tan (α ± β) =tan α ± tan β

1 ∓ tan α tan β

����������������

Page 4: (1)-(5)kansu]sankakukansu[6men].pdf · 2 θ c 2010 Inoue Lab. –7/40 c 2010 Inoue Lab. –8/40 O y x θ −1 1 1 P(x,y) x y −1 xy P(x, y) x θ ( ) ( ) sin cos tan

(��)���������

c©2010 Inoue Lab. ������ – 19 / 40

������������������������������������

���

(cos (α + β) − sin (α + β)sin (α + β) cos (α + β)

)=

(cosβ − sinβsinβ cosβ

)(cosα − sinαsinα cosα

)

������������������ ����������

�����

c©2010 Inoue Lab. ������ – 20 / 40

���������

(1) 75◦ = 45◦ + 30◦ ����������

sin 75◦ , cos 75◦ , tan 75◦ �������

(2) 15◦ = 45◦ − 30◦ ����������

sin 15◦ , cos 15◦ , tan 15◦ �������

(3) sin 165◦ , cos 165◦ , tan 165◦ �������

(4) sin 105◦ , cos 105◦ , tan 105◦ �������

���������

c©2010 Inoue Lab. ������ – 21 / 40

(1) sin 75◦ =

√6 +

√2

4, cos 75◦ =

√6 − √

2

4,

tan 75◦ = 2 +√

3

(2) sin 15◦ =

√6 − √

2

4, cos 15◦ =

√6 +

√2

4,

tan 15◦ = 2 − √3

(3) sin 165◦ =

√6 − √

2

4, cos 165◦ = −

√6 +

√2

4,

tan 165◦ =√

3 − 2

(4) sin 105◦ =

√6 +

√2

4, cos 105◦ =

√2 − √

6

4,

tan 105◦ = −2 − √3

������

c©2010 Inoue Lab. ������ – 22 / 40

�������������������1

(1) sin A + sin B = 2 sin

(A + B

2

)cos

(A − B

2

)

(2) sin A − sin B = 2 cos

(A + B

2

)sin

(A − B

2

)

(3) cos A + cos B = 2 cos

(A + B

2

)cos

(A − B

2

)

(4) cos A − cos B = −2 sin

(A + B

2

)sin

(A − B

2

)

1���� sinx, cosx ��� ((sinx)′ = cosx, (cosx)′ = − sinx) ��������(2)(4)����

����

c©2010 Inoue Lab. ������ – 23 / 40

�������������������

(1) sin 2α = 2 sin α cos α

(2) cos 2α = 1 − 2 sin2 α = 2 cos2 α − 1

(3) tan 2α =2 tan α

1 − tan2 α

�����

c©2010 Inoue Lab. ������ – 24 / 40

���������

(1) 30◦ = 2 × 15◦ ����������

sin 15◦ , cos 15◦ , tan 15◦ �������

(2) sin 67.5◦ , cos 67.5◦ , tan 67.5◦ �������

(3) sin 22.5◦ , cos 22.5◦ , tan 22.5◦ �������

Page 5: (1)-(5)kansu]sankakukansu[6men].pdf · 2 θ c 2010 Inoue Lab. –7/40 c 2010 Inoue Lab. –8/40 O y x θ −1 1 1 P(x,y) x y −1 xy P(x, y) x θ ( ) ( ) sin cos tan

���������

c©2010 Inoue Lab. ������ – 25 / 40

(1) sin 15◦ =

√6 − √

2

4, cos 15◦ =

√6 +

√2

4,

tan 15◦ = 2 − √3

(2) sin 67.5◦ =

√2 +

√2

2, cos 67.5◦ =

√2 − √

2

2,

tan 67.5◦ = 1 +√

2

(3) sin 22.5◦ =

√2 − √

2

2, cos 22.5◦ =

√2 +

√2

2,

tan 22.5◦ =√

2 − 1

��������

���

�����

���

����

���������

��

� ��������

���������

��������

(Sin)(Cos)

(��������(Tan)

���������

������

���������

������

�����

���������

���������

�������

c©2010 Inoue Lab. ������ – 26 / 40

���������

c©2010 Inoue Lab. ������ – 27 / 40

O

y

x1−1

1

−1

θ

P(cos θ , sin θ)sin θ

cos θ

���������sin θ, cos θ ������

−1 ≤ sin θ ≤ 1, −1 ≤ cos θ ≤ 1

���� �����

tan θ ����������

�������� (Sin)(Cos)

c©2010 Inoue Lab. ������ – 28 / 40

0

−1

1

y = cos x ��������2π�

y = sin x ��������2π�

x

y

π

2

− π

2π 2π−π

� ������������sin x , cos x ��� −1 �� 1 ������

(−1 ≤ sin x ≤ 1 , −1 ≤ cos x ≤ 1 )

(�������� (Tan)

c©2010 Inoue Lab. ������ – 29 / 40

0

y

x

− π

2

π

2

π−π 2π 3π

tan x �����������

(−∞ < tan x < +∞ )

� ������������

���sin x � cos x ������

���������������

y = tanx ��������π�

���������������

c©2010 Inoue Lab. ������ – 30 / 40

����������������������������������

cos 2xcos xcos

(1

2x

)

−1

1

x

y

0

(−1 ≤ cos 2x ≤ 1 , −1 ≤ cos

(1

2x

)≤ 1 , −1 ≤ cos x ≤ 1 )

� ������������cos 2x , cos

(1

2x

), cos x ��� −1 �� 1 ������

Page 6: (1)-(5)kansu]sankakukansu[6men].pdf · 2 θ c 2010 Inoue Lab. –7/40 c 2010 Inoue Lab. –8/40 O y x θ −1 1 1 P(x,y) x y −1 xy P(x, y) x θ ( ) ( ) sin cos tan

���������������

c©2010 Inoue Lab. ������ – 31 / 40

��������������������������� ����

� ��������������sin x , sin

(1

3x

), sin 3x ��� −1 �� 1 �����

sin 3xsin xsin

(1

3x

)

−1

1

x

y

0

(−1 ≤ sin x ≤ 1 , −1 ≤ sin

(1

3x

)≤ 1 , −1 ≤ sin 3x ≤ 1 )

�����

c©2010 Inoue Lab. ������ – 32 / 40

������� ����

(1) y =1

2sin θ

(2) y = cos

2

)

(3) y = 3 sin 2θ

(4) y = cos

(θ − π

4

)

(5) y = sin

(θ +

3

)

(6) y = tan 2θ

(7) y = tan

(θ − π

2

)

���������

c©2010 Inoue Lab. ������ – 33 / 40

(1) 2π (2) 4π (3) π (4) 2π (5) 2π (6) π/2 (7) π

���������

���

�����

���

����

���������

��

��������

��������

��

�����

�����

�������

c©2010 Inoue Lab. ������ – 34 / 40

�����

c©2010 Inoue Lab. ������ – 35 / 40

����� ������0 ≤ θ < 2π ����

(1) cos θ = −1/2

(2) tan θ =√

3

(3) 2 sin θ = −√3

(4) sin (θ + π/6) = 1/2

(5) cos 2θ + sin θ − 1 = 0

����(1) 2π/3,4π/3 (2) π/3,4π/3 (3) 4π/3,5π/3

(4) 0,2π/3 (5) 0,π/6,5π/6,π

�����

c©2010 Inoue Lab. ������ – 36 / 40

����� ������0 ≤ θ < 2π ����

(1)√

2 sin θ ≤ 1

(2) 2 cos θ >√

3

(3) tan θ > 0

(4) 1/2 ≤ sin θ < 1/√

2

����(1)

0≤θ≤π/4,3π/4≤θ<2π

(2) 0≤θ<π/6,11π/6<θ<2π

(3)

0<θ<π/2,π<θ<3π/2

(4) π/6≤θ<π/4,3π/4<θ≤5π/6

Page 7: (1)-(5)kansu]sankakukansu[6men].pdf · 2 θ c 2010 Inoue Lab. –7/40 c 2010 Inoue Lab. –8/40 O y x θ −1 1 1 P(x,y) x y −1 xy P(x, y) x θ ( ) ( ) sin cos tan

�������

���

�����

���

����

���������

��

��������

���������

� �������

���������

�����

���������

(2)

���� 10

c©2010 Inoue Lab. ������ – 37 / 40

��������������

c©2010 Inoue Lab. ������ – 38 / 40

�� y =√

3 sin θ + cos θ (0 ≤ θ < 2π) ��������

(1)√

3 sin θ + cos θ r sin (θ + α) �������

(2) ��������� �

(3) ����������������

����(1) 2sin

(θ+

π

6

)

(2) �������

(3)

���2(θ=π/3),���−2(θ=4π/3)

��������� (2)

c©2010 Inoue Lab. ������ – 39 / 40

0

y

θ

−2

2

y = 2 sin

(θ +

π

6

)

1

π

3

56π 4

116π

���� 10

c©2010 Inoue Lab. ������ – 40 / 40

���� y ������������

(1) y =√

3 cos θ − sin θ (0 ≤ θ < 2π)

(2) y = sin θ + cos θ (0 ≤ θ < 2π)

����(1)

���2(θ=11π/6),���−2(θ=5π/6)

(2)

���√2(θ=π/4),���−√2(θ=5π/4)