Поверхностные интегралы

Поверхностные интегралы первого рода

Вычисление поверхностного интеграла первого рода

• Пусть функция определена и непрерывна

на гладкой поверхности , которая задана уравнением

• тогда поверхностный интеграл

первого рода можно определить с помощью двойного интеграла

по формуле

• Если - угол между нормалью к поверхности и осью , то

формула вычисления может быть записана в виде

w f(x,y,z)

S

xyz z(x,y),(x,y) D .

2 2

x y

S

f (x,y,z)d f (x,y,z(x,y)) 1 (z ) (z ) dxdy.

Dxy

Oz

S

dxdyf (x, y, z)d f (x, y, z(x, y)) .

cosDxy

• Симметричные формулы справедливы в случае

задания поверхности уравнениями S

,( , ), ( , )yz

x x y z y z D

dzdyf (x, y, z)d f (x(y, z), y, z) .

cosDS yz

S

dxdzf (x,y,z)d f (x,y(x,z),z) .

cosDxz

( , ), ( , ) .xz

y y x z x z D

Площадь поверхности

• Площадь гладкой поверхности определяется

формулой

S

S

(S) d .

Пример

• Вычислить , где - часть

поверхности вырезанная цилиндрической

поверхностью .

S

zd S

z xy,

2 2x y 4

Поверхностные интегралы второго рода

7

Ориентация поверхности

• Гладкую поверхность будем называть

ориентированной поверхностью, если для любой точки ,

лежащей на этой поверхности и любой замкнутой непрерывной

кривой проходящей через точку , нормаль,

выпущенная из точки при движении по кривой

не изменит своего направления в точке .

• Такая поверхность называется также двусторонней

поверхностью

S

M,

ML S

L

ML

n

M

S

M

8

Неориентированные поверхности

• Если существует кривая на поверхности, при движении по которой, нормаль, возвращаясь в исходную точку, меняет своё направление, то такая поверхность называется неориентированной или односторонней.

• На такой поверхности нормаль - разрывная функция, а на ориентированной –непрерывная.

Бутылка Клейна

n(M)

9

Определение поверхностного интеграла второго рода

• Пусть - ориентированная поверхность, и

- нормаль, задающая выбранную ориентацию.

На поверхности заданы функции

• Поверхностным интегралом второго рода

по ориентированной поверхности будем называть

интеграл вида

S

n (cos ,cos ,cos )

P(M), Q(M), R(M), M(x,y,z) S

S

S

S

P(x,y, z)dydz Q(x,y, z)dxdz R(x,y, z)dxdy

S

(P(M)cos Q(M)cos R(M)cos )d .

10

Замечания.

• Обозначение поверхностного интеграла второго рода связано с

проекцией меры поверхности на координатные плоскости

• На на

• Если ввести векторную функцию

и векторную меру на ориентированной

поверхности , то поверхностный интеграл второго рода

можно записать в векторном виде

dxOy dxdy,

a(M) (P(M), Q(M), R(M)) , M(x,y,z) S,

S

d n(M)d

S S

a d a nd

xOz dxdz, yOz dydz.

11

Изменение ориентации поверхности

• Обозначим через ориентируемую поверхность ,

ориентация которой определяется нормальным вектором

а через - поверхность,ориентированная нормальным

вектором направленным противоположно. Справедливы

формулы

• Таким образом, при изменении ориентации поверхности

интеграл второго рода меняет знак.

S S

n,

S

n,

S SS S

a d a ( n)d a nd a d

12

Вычисление поверхностного интеграла второго рода

• Пусть гладкая поверхность задана уравнением

и ориентация задана нормальным вектором,

образующим острый угол с осью ,

например, вектором

• Тогда справедлива формула, выражающая поверхностный

интеграл второго рода через двойной интеграл

Sz f(x,y),(x,y) D

x y

2 2

x y

( f , f ,1)Nn .

N f f 1)

xyS D

R(x,y,z)dxdy R(x,y,f (x,y))dxdy

Nz

xyD

S

x

y

Oz

N gradF, F z f(x,y).

13

Вычисление поверхностного интеграла второго рода

общего вида

• Поверхностный интеграл второго рода общего вида, заданный в

векторном виде, можно вычислить по формуле

где - нормаль, задающая

ориентацию поверхности .

xyS D

dxdya d a(x, y, f (x, y)) n

cos

n (cos ,cos ,cos )

xyS : z f (x,y), (x,y) D .

14

Аналогично

• если

• если

yzS D

dydzad a(y,z,g(y,z)) n ,

cos

yzS : x g(y,z), (y,z) D .

xzS D

dxdzad a(x,z,h(x,z)) n ,

cos

xzS : x h(x,z), (x,z) D .

15

Примеры

• Пример 1. Вычислить интеграл , где -

нижняя часть поверхности

• Пример 2. Вычислить интеграл , где - замкнутая

поверхность, состоящая из поверхности

и плоскостей

Нормаль - внешняя к замкнутой поверхности, образуемой

заданными поверхностями. Вектор-функция имеет

вид

S

dxdy S

2 2 2z x y , 0 z 1.

S

adS

2 2

cS : x z 9,

1 2P : y 0, P : y 1

a y j xzk.

a(x,y,z)

16

Примеры

• Пример 3. Вычислить интеграл где

а - цилиндрическая поверхность из примера 2:

• Пример 4. Вычислить интеграл где

часть плоскости отсекаемая

координатными плоскостями

с нормалью, направленной к началу координат.

S

ad ,

S 1,x y z

a y i zk,

S

ad , a x i zk,

S

2 2

cS : x z 9, 0 y 1

17

Интеграл от радиус-вектора

• В приложениях часто требуется вычислить интеграл

где векторная функция, которая

называется радиус – вектором.

• Задача. Вычислить интеграл по внешней поверхности

конуса, ограниченного конической поверхностью

и плоскостью

,r dS

r xi yj zk

2 2 2:S x y zk

.: , 0o

S z H H

18

Решение

• Так как - единичная нормаль, то где

проекция вектора на вектор . Поэтому

• На конической поверхности

• На основании - Отсюда

n ,n

r n r

r nn

r

.n

r d r dS S

.n

Hr

2 3( )

n n

k

o

o

n

o

H

r drr dS

H H S H H

dSS

dS

rH

0.n

r

r

n

n

H

19

Домашнее задание

• 1. Вычислить интеграл , где

- замкнутая поверхность, состоящая из

поверхности

и плоскостей

• 2. Вычислить интеграл , где

- замкнутая поверхность, состоящая из плоскости

и координатных плоскостей с

внешней нормалью к замкнутой поверхности.

.: 0, : 51 2

P z P z

S

ad

2 2: 1,S x yc S

2 ,y z a j k

S

ad 2 ,za k

S

2 2 1x y z

20

Домашнее задание

• 3. Вычислить интеграл

• a) по внешней поверхности сферы

• в) по внешней поверхности цилиндра

,r dS

2.2 2 2: RS x y z

, 0 .2 2 2 z Hx y R

21

Физическое истолкование поверхностного интеграла

2-го рода Теорема Гаусса- Остроградского

22

Векторное поле

• Если на задана векторная функция

где функции, определённые

на , то функция называется

векторным полем.

G

G

( ) ( ) ( ) ( ) , , F M P M i Q M j R M k M G

( ), ( ), ( ) P M Q M R M( )F M

23

Поток векторного поля

• Потоком векторного поля через

ориентированную поверхность называется

поверхностный интеграл второго рода

• Физически поток векторного поля можно

истолковать как количество жидкости, протекающей в

единицу времени , через поверхность в направлении

заданной нормали, где поле скоростей

S

S S

v d v nd .

( )Mv

S( )Mv

( )Mv

24

Поток =

• Объём жидкости через

nv t

n

S S S

v d v nd vd

S

d

v

n nd пр v t d v t d

25

Дивергенция векторного поля

• Дивергенцией векторного поля

• называется скалярная величина равная

( ) ( ) ( ) ( ) , ,a M P M i Q M j R M k M

.P Q R

divax y z

26

Теорема Гаусса - Остроградского

• Если в пространственной области координаты

векторного поля непрерывны вместе со

своими производными

то для любой замкнутой кусочно-гладкой поверхности

справедлива формула

где - область, ограниченная поверхностью

( ), ( ), ( ), ,P M Q M R M M

( ), ,a M M

, , ,P Q R

x y z

S

S G

ad diva dxdydz,

G .S

27

Физическое истолкование дивергенции

• Если дивергенция векторного поля положительна

то поток жидкости, вытекающий из , по формуле

Гаусса – Остроградского также положителен. В этом

случае внутри имеется источник. Отрицательная

дивергенция означает наличие стока.

• Применяя к тройному интегралу теорему о среднем и

стягивая в точку, получаем определение дивергенции,

не зависящее от выбора координат

( ) 0, ,diva M M G

G

G

G

S

d(G) 0

ad

diva(M) lim .V(G)

28

Пример

• Вычислить поток радиус – вектора замкнутую

поверхность (нормаль внешняя)

; 0; .2 2 2: z z HS x y R

29

Домашнее задание

• 5. Вычислить поток векторного поля

через замкнутую поверхность (нормаль внешняя)

.e 2 2 1y x x y z

a i j k

: 2 2, 0, 0, 0.S x y z x y z