1

Уравнения прямой в пространстве

Лекция 7

2

Параметрические уравнения прямой

• Перейдём в векторном уравнении прямой

в пространстве к координатной форме

• Полученные уравнения называются

параметрическими уравнениями прямой.

0r r t a

0

0

0

, . (1)

x x m t

y y n t t

z z p t

0 0 0 0( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )r x y z r x y z a m n p

3

Канонические уравнения прямой

• Из векторного уравнения прямой

следует линейная зависимость векторов .

Поэтому координаты этих векторов

пропорциональны:

• Полученные уравнения называются каноническими

уравнениями прямой.

0,r r a

0r r t a

0 0 0 , 0, 0, 0.

x x y y z z

m n pm n p

4

Векторное уравнение прямой, проходящей

через две точки

• Пусть заданы 2 точки .

и соответствующие

радиус-векторы - .

Вектор возьмём

за направляющий вектор . Подставим в векторное уравнение прямой

которое принимает вид

Если то уравнение (3) есть уравнение отрезка

1 1 1 1 2 2 2 2( ; ; ), ( ; ; ),M x y z M x y z

O

1M

2M

a

2r

1r

1 2, .r r

1 2M M

a

1 2 1( ), ,r r t r r t R

1 2(1 ) , , (3)r t r t r t R

[0;1],t 1 2M M

5

Уравнения прямой, проходящей через две

точки

• Из линейной зависимости

следуют уравнения прямой вида

• Если записать векторное уравнение (3) в

координатах , то получим параметрические

уравнения

1 2 1( ) ( ) r r t r r

1 1 1

2 1 2 1 2 1

2 1 2 1 2 1

, 0, 0, 0.x x y y z z

x x y y z zx x y y z z

1 2

1 2

1 2

(1 )

(1 ) , . (3 )

(1 )

x x t x t

y y t y t t

z z t z t

6

Пример

• Найти уравнение прямой, проходящей через

точку параллельно оси .

(1;3;0)A Ox

7

Уравнение плоскости

8

Уравнение плоскости в векторной форме

• Пусть на плоскости задана точка и

перпендикулярный к плоскости вектор

(нормаль). Обозначим через

произвольную (текущую) точку плоскости.

Из ортогональности

векторов и

получаем

уравнение векторное

плоскости

0 0 0 0( ; ; )M x y z

( ; ; )N A B C

( ; ; )M x y z

0

0r r

NM0

M0 0

M M r r

N

0( ) 0.N r r

9

Общее уравнение плоскости

• Переходя к координатной записи в векторном

уравнении плоскости, получаем уравнение плоскости

по заданной точке и нормали

• Раскрывая скобки, получаем общее уравнение

плоскости

0 0 0( ) ( ) ( ) 0A x x B y y C z z

0 0 0 0( ; ; )M x y z

( ; ; )N A B C

0Ax By Cz D

10

Условия параллельности плоскостей

• Пусть даны плоскости

• Условие параллельности плоскостей совпадает с

условием коллинеарности нормалей

т.е ранг матрицы

равен 1, или,

в частности, коэффициенты

• пропорциональны

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

: 0

: 0

A x B y C z D

A x B y C z D

1 1 1 1 2 2 2 2( ; ; ), ( ; ; ).N A B C N A B C

1N

2N

1 1 1

2 2 2

,A B C

A B C

1 1 1

2 2 2

A B C

A B C

11

Пример

• При каких условиях на коэффициенты плоскости

• a) будут параллельны?

• в) совпадать?

1 1 1 1

2 2 2 2

: 0

: 0

B y C z D

B y C z D

12

Условие перпендикулярности плоскостей

• Условие перпендикулярности плоскостей

совпадает с условием ортогональности нормалей,

т.е.

1 2,

1 2 1 2 1 2 1 20 0. N N A A B B C C

13

Угол между плоскостями

• Рассмотрим плоскости,

заданные уравнениями:

• Угол между

плоскостями можно

вычислить по формуле

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

: 0

: 0

A x B y C z D

A x B y C z D

1 2

1 2

1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 2

1 1 1 2 2 2

cosN N

N N

A A B B C C

A B C A B C

N1

2N

14

Особенности расположения плоскостей,

заданных неполными уравнениями

• Предположим, что в общем уравнении плоскости

отсутствует один из коэффициентов при

переменных, например ,

• тогда нормальный

вектор

ортогонален орту ,

следовательно, плоскость

параллельна оси

0 0 A By Cz D

(0; ; )N B C

(1;0;0)i

.Ox

x

y

z

i

N

15

Особенности расположения плоскостей,

заданных неполными уравнениями

• В случае отсутствия двух коэффициентов при

переменных в уравнении плоскости, например,

плоскость расположена параллельно

осям , ввиду ортогональности нормали

ортам

0Cz D

,Ox Oy

x

y

z

O

N(0;0; )N C

, .i j

16

Особенности расположения плоскостей,

заданных неполными уравнениями

• Отсутствие означает, что плоскость проходит

через начало координат.

D

x

y

z

O

17

Расстояние от точки до плоскости

• Расстояние от точки до плоскости

• вычисляется по формуле

• Доказательство формулы аналогично

доказательству формулы расстояния от точки до

прямой.

0 0 0 0( , , )M x y z

0Ax By Cz D

0 0 0

2 2 2.

Ax By Cz Dd

A B C

0M

18

Нормальное уравнение плоскости

• Нормальное уравнение плоскости получается из

общего уравнения умножением на нормирующий

множитель

• и имеет вид

2 2 2

1,

A B C

cos cos cos ,

0.

x y z p

p

i

p

j

k

Взаимное расположение точки и начала координат

относительно плоскости

Пусть плоскость задана нормальным уравнением

и - произвольная точка. Величина

называется отклонением точки от плоскости

Если , то начало координат и точка

лежат по разные стороны плоскости.

Если , то – по одну сторону.

• Величина равна расстоянию от точки до

плоскости.

19

0 0 0 0( , , )M x y z

0 0 0 0( ) cos cos cos M x y z p

0( ) 0 M

0M

0( ) 0 M

0( ) M

cos cos cos , x y z p

Пример

• Установить, лежит ли точка и начало

координат в одном , в смежных или вертикальных

углах, образованных плоскостями

20

0M (4;3;1)

1 2: y z 5 0 : 2y z 1 0.

• Построение

21

O

1P

2P

x

y

z

0M (4;3;1)

3

1

4

22

Уравнение плоскости в отрезках

• Уравнение плоскости вида

• называется уравнением в отрезках, так как

- величины отрезков, отсекаемых плоскостью на

координатных осях.

1x y z

a b c

, ,a b c

x

y

z

a

b

c

O

23

Уравнение плоскости, проходящей через

три точки

• Пусть заданы три точки

• не лежащие на одной прямой. Найдём уравнение

плоскости , проходящей через эти точки.

1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3( , , ), ( , , ), ( , , ),A x y z A x y z A x y z

1A

2A

3A

M 1 1 2 1 3

1 1 2 1 3

1 1 1

2 1 2 1 2 1

3 1 3 1 3 1

,

( ) 0

: 0.

A M A A A A

A M A A A A

x x y y z z

x x y y z z

x x y y z z

24

Задачи на прямую в пространстве и плоскость

25

Пересечение прямой и плоскости.

• Пусть прямая задана параметрическими

уравнениями, а плоскость общим уравнением. Для

нахождения токи пересечения прямой и плоскости

надо решить линейную систему уравнений:

0

0

0

(1)

0

x x m t

y y nt

z z p t

Ax By Cz D

26

Условие параллельности прямой и

плоскости

• Подставляя в уравнения плоскости уравнения

прямых, получаем

• Отсюда, если

• то система (1) имеет единственное решение, В

противном случае: , система

уравнений (1) либо не имеет решения( прямая и

плоскость параллельны), либо имеет бесконечно

много решений ( прямая лежит на плоскости).

0 0 0

0 0 0

( ) ( ) ( ) 0

( ) ( )

A x m t B y n t C z p t D

Am Bn Cp t Ax By Cz D

0Am Bn Cp

0Am Bn Cp

27

Угол между прямой и плоскостью

• Чтобы найти угол между прямой и плоскостью, надо

найти угол между направляющим вектором прямой и

нормальным вектором плоскости.

N a sin sin( )

2

cos .N a

N a

28

Канонические уравнения и проектирующие

плоскости

• Задание прямой каноническими уравнениями

• равносильно заданию прямой как линии пересечения

плоскостей,

проектирующих прямую

на координатные плоскости.

0 0 0x x y y z z

m n p

0 0

0 0

0 0

x x y y

m n

y y z z

n p

x x z z

m p

29

Канонические уравнения прямой,

заданной пересечением плоскостей

• Пусть прямая

задана пересечением

плоскостей

• Требуется найти

канонические и

параметрические

уравнения прямой.

1 1 1 1

2 2 2 2

0: .

0

A x B y C z DL

A x B y C z D

L

2P

1P

L

1N

2N

30

Примеры

• 1. Доказать, что прямые

• лежат на одной плоскости и написать уравнение этой

плоскости.

• 2. Написать уравнение плоскости, проходящей через

прямую

• перпендикулярно плоскости .

1 2

1 2 5 7 2 1: ; :

2 3 4 3 2 2

x y z x y zL L

0:

2 2 0

x y zL

x y

xOy