СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРАНЫН НЕГИЗДЕРИmath.krsu.edu.kg/metodich/syzalgebra.pdfда жана B⋅A көбөйтүндүсүн да табууга болот жана

КЫРГЫЗ-РОССИЯ СЛАВЯН УНИВЕРСИТЕТИ

“Жогорку математика” кафедрасы

А.К. Курманбаева

СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРАНЫН НЕГИЗДЕРИ

Окуу-методикалык куралы

Бишкек-2011

© КРСУ Курманбаева А.К. Кафедра высшей математики

УДК 512.643(575.2)(075) А.К. Курманбаева Сызыктуу алгебранын негиздери. Окуу-методикалык куралы/ Кыргыз-Россия Славян Университети: Бишкек, 2011-57с.

Кыскача сызыктуу алгебранын теориялык негиздери берилген. Ар бир параграфтагы теориялык материалдарды бекемдөө үчүн тиешелүү мисалдар толугу менен талданылган. Ал эми окуу-методикалык куралынын акырында өз алдынча иштөө үчүн жетишерлик санда көнүгүүлөр киргизилген.

Окуу- методикалык куралы Кыргыз-Славян университетинин архитектура, дизайн жана куруу факультетинин жана сырттан окуу факультетинин студенттери үчүн арналган.

Рецензенттер: д.ф.-м.н., с.н.с. С. Искандаров к.ф.-м.н., доцент И.А.Усенов

4


КРСУ, Бишкек, 2011

5


МАЗМУНУ Кириш сөз ……………………………………………………………….... 4

§1. Матрицалар жана алар менен болгон амалдар .......................5 §2 Аныктагычтар..............................................................................11

2.1.Экинчи жана үчүнчү тартиптеги аныктагычтар жана алардын касиеттери …………………………………………………………………..11 2.2. Жогорку тартиптеги аныктагычтарды чыгаруу....................................18

§3. Тескери матрица .........................................................................20 §4. Матрицанын рангы .........................................................23 §5. Теңдемелер системасы жөнүндө негизги түшүнүктөр ............27

§6.Сызыктуу теңдемелер системасын Крамердин формуласы

менен чыгаруу..................................................................29 §7. Бир тектүү үч белгисиздүү экинчи тартиптеги сызыктуу теңдемелер системасы.........................................................................32 §8. Үч белгисиздүү үчүнчү тартиптеги сызыктуу теңдемелер

системасы.....................................................................34 8.1. Бир тектүү эмес үчүнчү тартиптеги сызыктуу теңдемелер системасы.............................................................................34 8.2. Бир тектүү үчүнчү тартиптеги сызыктуу теңдемелер

6


системасы............................................................................38 §9. Теңдемелер системасынын матрицалык формасы жана теңдемелер системасын матрицалык жол менен чыгаруу ......41 §10. Гаусстун ыкмасы ................................................................... 44 §11. Өз алдынча иштөө үчүн көнүгүүлөр.........................................49

Кириш сөз

Билимдин жана техникалардын ар түрдүү тармактарында кызмат

кылган окумуштуулардын жана инженердик адистердин билиминин

фундаменти- математика. Сызыктуу алгебра математиканын негизги

бөлүгү болуп эсептелет жана математикалык билим алууда эң

орчундуу орунду ээлейт.

Бул окуу-методикалык куралдын максаты сызыктуу

алгебранын негизги элементтерин студенттерге окуп үйрөтүү жана

практикалык маселелерди сапаттуу чыгарууга жардам берүү.

7


Сызыктуу алгебра боюнча ар түрдүү деңгээлде орус тилинде

жазылган адабияттар арбын, бирок кыргыз тилинде жазылган окуу

куралдар жок.

Окуу- методикалык куралын жазууда Кыргыз-Славян

университетинин техникалык жана куруу адистери үчүн түзүлгөн

программалары эске алынды.

Окуу-методикалык куралына матрицалар жана алар менен

болгон амалдар , аныктагычтар, сызыктуу теңдемелер системасы жана

аларды чыгаруу ыкмаларына көнүл бурулду.

Ар бир параграфтагы теориялык материалдарды бекемдөө үчүн

тиешелүү мисалдар толугу менен талданып берилди. Ал эми окуу-

методикалык куралынын акырында өз алдынча иштөө үчүн

жетишерлик санда көнүгүүлөр киргизилди.

8


§1. Матрицалар жана алар менен болгон амалдар

Аныктама. Берилген сандарынын m—жолчодон жана n-

мамычадан турган төмөнкү тик бурчтуу таблица

ija

( )nmijnmij aaA

,,== =

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

n m ... 2 m1 m

n 22221

n 1 12 11

a a a... ... ... ...a ... a aa a a ...

матрица деп аталат.

Матрицаларды латын тамгалары менен белгилейбиз: А,В,С,...., же )( ijaA = ,

. 1 2 1 2( , , ..., ; , , ..., )i m j= = n

Матрицаны түзгөн сандарын матрицанын элементтери дейбиз.

Матрицанын ар бир элементи эки индекстен турат i жана j:

ija

i –индекси элементтин жайгашкан жолчосунун номерин көрсөтөт, ал эми j –

индекси –мамычасынын номерин көрсөтөт.Мисалы, a12 элементи 1- жолчодо

жана 2- мамычада жайгашкан, ал эми a31 элементи- 3- жолчодо жана 1-

мамычада жайгашкан.

9


Эгерде матрицанын жолчолорунун саны менен мамычаларынын

саны барабар болсо (m=n) анда матрица квадраттык матрица деп

аталат жана n-ди анын тартиби дейбиз. Эгерде болсо, анда

матрицаны тик бурчтуу дейбиз.

nm ≠

Мисалы, матрицасы 2×4 өлчөмдүү тик бурчтуу,

анткени ал 2 жолчо жана 4 мамычадан турат.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

20765021

A

матрицасы ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

654321

B 23× өлчөмдүү тик бурчтуу матрица,

анткени ал 3 жолчодон жана 2 мамычадан турат

Ал эми - үчүнчү тартиптеги 3-жолчо жана 3-

мамычадан турган квадраттык матрица.

3,3154050312

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=D

10


Матрицалардын айрым түрлөрү

Бир жолчодон турган n×1 өлчөмдүү матрицаны жолчо же

жолчо вектор деп айтабыз, мисалы ( ) 3,1512 −=B .

Бир мамычадан турган 1×m өлчөмдүү матрицаны мамыча же мамыча

вектор дейбиз, мисалы .

1,3532,1

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=C

Элементтеринин баардыгы нөл болгон матрицаны нөлдүк

матрица деп айтабыз, мисалы . ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

000000000

O

Квадраттык матрицанын негизги диагоналы деп , , …, элементтеринен турган, анын сол бурчунан он бурчун көздөй жүргөн

элементтерин айтабыз, ал эми оң бурчунан сол бурчу көздөй жүргөн

элементтерин кошумча диагонал дейбиз:

11a 22a nna

11


⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

Эгерде квадраттык матрицанын негизги диагоналында жатпаган

элементтери нөлгө барабар болсо, анда ал матрица диагоналдык

матрица деп аталат, мисалы

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

1200020003

A

Негизги диагоналынын элементтери бирге барабар болгон

диагоналдык матрица бирдик матрица болот жана Е тамгасы менен

белгиленет, мисалы

E = - 3-чү тартиптеги бирдик матрица. ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

100010001

12


Матрицанын тартибин өзгөртпөй туруп, анын жолчолорун

мамычаларына же мамычаларын жолчолоруна алмаштыруу матрицаны

траспорнирлөө деп аталат.Мисалы,

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

957431

,973541 TAA

Матрицалар менен болгон амалдар

Кошуу амалы. Бирдей өлчөмдүү А жана В матрицаларынын

суммасы деп, А жана В матрицаларынын тиешелүү

элементтеринин суммасынан турган ошол эле өлчөмдөгү С

=А+В матрицасын айтабыз.

Мисал 1.

.220593

20)3(13)3()7(25421

233752

013241

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−++−−+++

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

Бирдей өлчөмдүү А,В жана С матрицаларды кошуунун

төмөнкүдөй касиеттери бар:

10 A B ; B A+ = +

13


20 ( ) (A B C A B C+ + = + + ) .

Матрицаларды кошууда нөлдүк матрица кадимки сандарды

кошуудагы нөлдүн ролун аткарат:

30 A O A+ =

Матрицаны санга көбөйтүү. А матрицаны µ санына

көбөйткөндө А матрицанын ар бир элементи ошол эле µ санына

көбөйтүлгөн С= µА матрицасын айтабыз.

Мисал 2. . Анда ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

8430

A

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅−⋅⋅

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

241290

8343)3(303

8430

3A .

Матрицаны матрицага көбөйтүү. Эгерде ) матрицасы

-өлчөмдүү, ал эми

( ijaA =

nm × )( isbB = матрицасы kn × -өлчөмдүү

болсо, анда А жана В матрицасынын көбөйтүндүсү km × -

өлчөмдүү )( iscCBA ==⋅ матрицасы болот. Мында С

матрицанын элементтери төмөнкү формула менен аныкталат: эsc

14


Берилген А жана В матрицаларынын көбөйтүндүсү BAC ⋅= , А

матрицасынын мамычаларынын саны В матрицасынын жолчолорунун

санына барабар болгон учурда гана аныкталат.Эгерде А жана В n-

өлчөмдүү квадраттык матрицалар болушса, анда BA ⋅ көбөйтүндүсүн

да жана AB ⋅ көбөйтүндүсүн да табууга болот жана бул көбөйтүндү

матрицалардын өлчөмү да n-ге барабар болот.Жалпы учурда

матрицаларды көбөйтүүдө орун алмаштыруу закону орун албайт, б.а.

ABBA ⋅≠⋅ .

Мисал 3.

1 1 20 1 1

A⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠ жана матрицалары үчүн

1 1 01 1 10 1 1

B⎛ ⎞⎜= −⎜⎜ ⎟⎝ ⎠

⎟⎟

nsinsisi

n

jjsijэs babababac +++== ∑

=...2111

1, ;,...,2,1 mi = .,...,2,1 ks =

15


=⋅ BA =⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

110111011

110211

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−+⋅+⋅⋅−+−⋅+⋅⋅−+⋅+⋅

⋅+⋅+⋅⋅+−⋅+⋅⋅+⋅+⋅021

3221)1(11001)1()1(1100)1(1110

12110112)1(111021111

орун алат. Ал эми AB ⋅ мааниге ээ эмес, себеби В матрицасынын

мамычаларынын саны А матрицасынын жолчолорунун саны менен дал

келбейт.

Мисал 4.

, 121

A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

( )2 1 1B = үчүн: а) С1=A B⋅ , б) ABC ⋅=2 ны

тапкыла.

а) .

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=111121121222111121

1C2 1 14 2 22 1 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

б) ( ) ( ) 5112112121

1122 =⋅+⋅+⋅=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅=C ( )

16


Мисал 5. , .

1 0 11 1 10 1 1

A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2 0 01 1 02 1 1

B⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

;121123112

100110010100110012100100002

110011002

110111101

1

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

++++++++++++++++++

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=⋅= BAC

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

++++++++++++++++++

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=⋅=

110110010011010011002000002

110111101

110011002

2 ABC

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

221212202

.

Мында BA ⋅ жана AB ⋅ матрицаларынын экөө тең А, В матрицаларындай эле

3×3 өлчөмгө ээ, бирок ABBA ⋅≠⋅ .

17


Матрицаларды көбөйтүүнүн касиеттери:

1) (А⋅В)⋅С=А⋅(В⋅С);

2) (А+В)⋅С=А⋅С+В⋅С;

3) A E ; E A A⋅ = ⋅ =

4) A O , бул жерде O - нөлдүк матрица; O A O⋅ = ⋅ =

5) λ(А+В)=λА+λВ, λ -сан

6)λ(АВ)=(λА)В=А(λВ).

§2.Аныктагычтар жана алардын касиеттери

2.1. Экинчи жана үчүнчү тартиптеги аныктагычтар жана

алардын касиеттери

Аныктагычтар жөнүндөгү түшүнүккө биз биринчи даражагы

алгебралык теңдемелердин системасын кароодо келебиз.

Эки белгисизи бар экинчи таритиптеги сызыктуу теңдемелердин

системасын карайбыз:

18


⎩⎨⎧

=+=+

22221

11211

byaxabyaxa

(1)

Белгисиз х- табуу үчүн, биринчи теңдемени санына,

экинчисин- санына көбөйтүп, теңдемелерди кошсок,

төмөндөгүнү табабыз:

22a

12a

( ) .12222112212211 ababxaaaa −=⋅−

Ошондой эле, биринчи теңдемени санына, экинчисин

санына көбөйтүп, төмөнкү теңдемени табабыз:

21a 11a

( ) .21111212212211 ababyaaaa −=⋅−

Эгерде 012212211 ≠− aaaa болсо, анда

12212211

211112

12212211

122111 ;aaaa

ababy

aaaaabab

x−−

=−−

= . (2)

(2) формула менен аныкталган х, у - маанилерин (1) системага коюп, аны

канаатандыра турганын көрүүгө болот.

19


Демек, эгерде 012212211 ≠− aaaa болсо, анда (1) теңдемелер

системасы жалгыз чыгарылышка ээ болот (чыгарылышты (2)

формула аркылуу табабыз).

(1) системасындагы белгисиз х, у-тин коэффициенттеринен

түзүлгөн төмөнкү сандардын таблицасын карайбыз:

. (3) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

2221

1211

aaaa

Мындай таблицаны 2- тартиптеги (квадраттык) матрица дейбиз. Аны А

тамгасы менен белгилейбиз. (2) формуланын бөлүмүндөгү туюнтма

А матрицасынын экинчи тартиптеги аныктагычы деп

аталат. А матрицасынын аныктагычы төмөндөгүдөй символ менен

белгилейбиз

( 12212211 aaaa − )

A же Adet же ∆ .

Ошентип, бизге экинчи тартиптеги матрицасы

берилсе, анда А матрицасына тиешелүү 2-тартиптеги аныктагыч

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2221

1211

aaaa

A

Adet

төмөнкү формула менен аныкталган сан болот:

(4)

20

.det 211222112221

1211 aaaaaaaa

A −===∆


Экинчи тартиптеги аныктагычты эсептөө үчүн негизги

диагоналындагы элементтеринин көбөйтүндүсүнөн жардамчы

диагоналындагы элементтеринин көбөйтундүсүн кемитүү жетиштүү.

Мисал 6. 72)2(313221

=⋅−−⋅=−

=∆ .

Жогорку көрсөтүлгөн экинчи тартиптеги аныктагычты

эсептөөнүн эрежесинин негизинде b1a11-b2a12 жана b2a11-b1a21

туюнтмаларын

222

121122221 ab

ababab =− ;

221

111211112 ba

baabab =−

түрүндө жазууга болот.

Анда (1) системасынын чыгарылышы төмөндөгү түрдө табылат:

21


2221

1211

221

111

2221

1211

222

121

;

aaaababa

y

aaaaabab

x == (5)

Эгерде үч белгисиздүү сызыктуу теңдемелердин системасынын

чыгарылышын карасак,

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=++=++

3333231

2232221

1131211

bzayaxabzayaxabzayaxa

(6)

анда, үчүнчү тартиптеги аныктагычтарга келебиз.

Тогуз сандан турган квадраттык таблицаны (үчүнчү тартиптеги

матрицаны) карайбыз

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

A

Үчүнчү тартиптеги А матрицасынын же 3-тартиптеги аныктагыч

Adet төмөнкү формула менен эсептелген сан болот:

22


.322311332112312213

312312322113332211

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

aaaaaaaaaaaaaaaaaa

−−−

−++==∆ (7)

Бул туюнтма үч бурчтуктардын эрежеси боюнча төмөнкү схемадан

алынат:

+ –

Мисал 7. Төмөнкү 3-тартиптеги аныктагычты эсептегиле:

.2311111020310011121130121011

−=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅==∆

23


Үчүнчү тартиптеги аныктагычты карайлы:

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

=∆

Бул аныктагычтын берилген aij элементинин минору деп ал

элемент жайгашкан i-чи жолчону жана j-чи мамычаны сызып

салгандан кийинки келип чыккан экинчи тартиптеги аныктагычты

айтабыз жана эки индекстүү М i j - тамгасы менен белгилейбиз.

Мисалы а12 элементине тиешелүү минор төмөнкү экинчи тартиптеги

аныктагыч болот:

.233133213331

2321

333231

232221

131211

12 aaaaaaaa

aaaaaaaaa

M ⋅−⋅===

Бул минор үчүнчү таритиптеги аныктагычтын 1-чи жолчосун жана 2-чи

мамычасын сызып салгандан кийин келип чыкты.

24


Берилген аныктагычтын aij элементинин алгебралык

толуктоочусу Aij деп ji+− )1( белгиси менен алынган анын минорун

айтабыз, б.а.

(9) ,( j MA ⋅= )1 iji

ij − +

мында i-aij элементи жайгашкан жолчонун номери; j- мамычанын номери.

Мисалы, 3332

23221111

1111 )1(

aaaa

MMA ==⋅−= + ,

3331

23211212

2112 )1(

aaaa

MMA =−=⋅−= + .

Мисал 8. Төмөнкү 3-тартиптеги аныктагычтын баардык

элементтеринин алгебралык толуктоочторун тапкыла:

135213653

=∆ .

Чыгаруу.

25


;51321

)1( 111111

11 −===⋅−= + MMA 71523

)1( 121221

12 ==−=⋅−= + MMA ;

;43513

)1( 131331

13 ===⋅−= + MMA ;131365

)1( 212112

21 ==−=⋅−= + MMA

;151563

)1( 222222

22 −===⋅−= + MMA

;163553

)1( 232332

23 ==−=⋅−= + MMA ;42165

)1( 313113

31 ===⋅−= + MMA

;122363

)1( 323223

32 ==−=⋅−= + MMA

;121353

)1( 333333

33 −===⋅−= + MMA

Аныктагычтардын касиеттери

1. Эгерде аныктагычтын кандайдыр бир жолчосу (мамычасы)

нөлдөрдөн гана турса, анда аныктагычтын мааниси нөлгө

барабар, мисалы

.0654000321==∆

26


2. Аныктагычтын эки жолчосунун (мамычасынын) ордун

алмаштыруудан аныктагычтын белгиси гана өзгөрөт, мисалы

.

232221

333231

131211

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

aaaaaaaaa

−=

3. Эгерде аныктагыч бирдей эки жолчого (мамычага) ээ болсо,

анда анын мааниси нөлгө барабар болот, мисалы

.0321201510321

==∆

4. Эгерде аныктагычтын жолчолорун мамычалары менен же

болбосо мамычаларын жолчолору менен алмаштырсак, анда

аныктагыч өзгөрүлбөйт:

.

332313

322212

312111

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

aaaaaaaaa

=

27


Бул аныктагычтарды транспонирлөө деп аталат. Бул касиет

текшерүү жолу менен далилденет.

5. Эгерде аныктагычтын кандайдыр бир жолчосу (мамычасы)

k-га барабар болгон жалпы көбөйтүүчүгө ээ болсо, анда k

санын аныктагычтын белгисинин алдына чыгарууга болот:

.

333231

232221

131211

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

kaaakaaakaaak

⋅=⋅⋅⋅

6. Эгерде аныктагычтын эки жолчосунун (мамычасынын)

элементтери пропорциялаш болушса, анда аныктагыч нөлгө

барабар болот, мисалы

.004533622011

45123682041

=⋅=⋅=

7. Эгерде аныктагычтын кандайдыр бир жолчосуна (мамычасына)

каалаган санга көбөйтүлгөн башка жолчонун ( мамычанын)

элементтерин кошсок, анда аныктагычтын мааниси

өзгөрбөйт,мисалы

28


.

31333231

21232221

131211

333231

232221

131211

kaaaakaaaakaaaa

aaaaaaaaa 11

+++

=

8. Аныктагычтын мааниси бул аныктагычтын каалагандай

жолчосунун (мамычасынын) элементтеринин алардын

алгебралык толуктоочуларына көбөйтүлгөн көбөйтүндүлөрүнүн

суммасына барабар.

Башка сөз менен айтканда төмөнкү барабардыктар орун алат:

333332323131

232322222121

131312121111

,,

AaAaAaAaAaAa

AaAaAa

++=∆

++=∆++=∆

(10)

333323231313

323222222112

313121211111

,,

AaAaAaAaAaAa

AaAaAa

++=∆

++=∆++=∆

(11)

Аныктагычты (10) жана (11) формулалардын негизинде жазуу

аныктагычты тандалып алынган жолчонун же мамычанын

элементтери аркылуу ажыратуу деп аталат. Аныктагычтардын бул

29


касиети n-тартиптеги аныктагычты эсептөөнү n-сандагы (n-1)-

тартиптеги аныктагычты алып келүүгө мүмкүндүк берет.

Мисал 9. Биринчи жолчонун элементтери боюнча ажыратып

төмөнкү 3-чү тартиптеги аныктагычты эсептегиле.

.0)122(3)410(2)115(114

32)1(3

5412

)1()2(5113

)1(1514132

321

31

2111

=−−⋅++⋅+−⋅=−

⋅−⋅+

+−

⋅−⋅−+−

−⋅−⋅=

−−

−=∆

+

++

2.2. Жогорку тартиптеги аныктагычтарды чыгаруу

Бизге төртүнчү тартиптеги аныктагычты чыгаруу талап

кылынат:

2164729541732152

−−

−−−

=∆

30


Чыгаруу. Биринчи жолчонун элементтери боюнча ажыратабыз:

=⋅+⋅+⋅−+⋅=∆ 14131211 21)5(2 AAAA

=

+−−

−⋅−⋅+

−−⋅−⋅−+

−−

−⋅−⋅ +++

264795473

)1(1214725413

)1()5(216729417

)1(2 312111

( )

( ) (( ) .96278)21(51523635365630272

126701441961205412110322820125

4918484236282164295173

)1(2 41

−=⋅−+−⋅+⋅=−−−++⋅−−−−++−⋅+++−−+−⋅+

+−−++−⋅=−−

−−⋅−⋅+ +

)

≥n

Биз бул аныктагычка алардын сегизинчи касиетин колдонуп, үчүнчү

тартиптеги 4 аныктагычты чыгарууга алып келдик. Бирок мындай жол менен

аныктагычты чыгаруу бизди канаатандырбайт, анткени 4 болгондо

мындай аныктагычты чыгаруу көп эсептөөнү талап кылат. Ошондуктан

аныктагычтардын башка касиеттерин колдонуп, аны чыгарууну

жөнөкөйлөтүүгө болот. Эң мурда аныктагычты төмөнкү түрдө кайрадан

өзгөртүп алабыз. Биринчи жолчонун элементтерин экинчи жолчонун

31


тиешелүү элементтерине кошобуз, андан кийин биринчи жолчонун

элементтерин кезеги менен (-2), (-1) сандарына көбөйтүп, алынган жолчону

үчүнчү, төртүнчү жолчонун элементтерине кошобуз

0012301160212152

2164729541732152

−

−−

=

−−

−−=∆

−

.

Үчүнчү мамычанын элементтери боюнча ажыратып төмөнкү Үчүнчү

тартиптеги аныктагычка алып келебиз

012311621

)1(11 3113

−

−⋅−⋅=⋅=∆ +A .

Эми Үчүнчү тартиптеги аныктагычты жөнөкөйлөтөбүз.Экинчи жолчонун

элементтерине биринчи жолчонун тиешелүү элементтерин кошуп, андан

кийин биринчи жолчонун элементтерин 2-ге көбөйтүп Үчүнчү жолчонун

тиешелүү элементтерине кошобуз

32


1230930621

012311621 −=

−

−=∆ .

Биринчи жолчонун элементтери боюнча ажыратып, экинчи тартиптеги

аныктагычка ээ болобуз:

( ) ( ) .9273639123)1(

12393

)1()1()1(1230930621

1111

−=−−=⋅−⋅⋅−=

=⋅−⋅−=⋅−=−

=∆ +A

§3. Тескери матрица

Аныктама. Эгерде матрицанын аныктагычы нөлдөн айырмалуу,

б.а. 0det ≠A болсо, анда мындай матрица өзгөчөлөнбөгөн матрица деп

аталат. Тескери учурда, б.а. 0det =A болгондо өзгөчөлөнгөн матрица

деп аталат.

33


Аныктама. 1−A матрицасы А квадраттык матрицасынын

тескери матрицасы деп аталат, эгерде

(12)

EAAAA =⋅=⋅ −− 11

барабардыгы орун алса.

Аныктама боюнча квадраттык матрицалар үчүн гана тескери

матрица түшүнүгү жашайт деп айтууга болот.

Квадраттык А матрицанын тескери матрицасы А-1 жашайт качан

гана 0det ≠A болсо, б.а. А- өзгөчөлөнбөгөн матрица болсо.

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

A өзгөчөлөнбөгөн матрицасы берилсин дейли, б.а.

0det

333231

232221

131211

≠=aaaaaaaaa

A .

34


Анда А матрицанын тескери матрицасы

(13)

0

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛−

332313

322212

3121111 1

AAA

AAA

⎟⎜=det

AAAA

A

болот.

Тескери матрицанын табуу схемасы

1. Берилген А матрицанын аныктагычын табабыз. Эгерде det =A

болсо, анда А- өзгөчөлөнгөн жана А-1 жашабайт. Эгерде 0det ≠A

болсо, анда А- өзгөчөлөнбөгөн матрица жана тескери матрица

жашайт.

2. Берилген А матрицанын бардык элементтеринин алгебралык

толуктоочтору -лерди табабыз.

эja

эjA

3. Эми - алгебралык толуктоочтордун жардамы менен эjA

35


⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

333231

232221

131211

*AAAAAAAAA

A матрицасын түзөбүз жана аны

транспорнирлейбиз

( )⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

332313

322212

312111

*AAAAAAAAA

A T

4. матрицанын ар бир элементин ( )TA * Adet га бөлөбүз

( )⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅=⋅=−

332313

322212

3121111

det1*

det1

AAAAAAAAA

AA

AA T .

5. Тескери матрица А-1 туура табылгандыгын EAA =⋅−1 же

EAA =⋅ −1 формуласы менен текшеребиз.

Мисал 10. Эгерде берилсе, ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

211110121

A 1A− матрицасын тапкыла.

Чыгаруу. 1. Матрицанын аныктагычын эсептейбиз.

36


1 2 10 1 1 1 1 2 0 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 0 2 21 1 2

detA = = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =

2. Aматрицасынын элементтеринин алгебралык толуктоочторун табабыз:

1 111

1 11 1

1 2( )A += − = ; 2 1

21

2 11 3

1 2( )A += − = − ; 3 1

31

2 11 1

1 1( ) += − = ; A

1 212

0 11 1

1 2( )A += − = ; 2 2

22

1 12

1 2( )A + 1= − = ; 3 2

32

1 11 1

0 1( )A += − = − ;

1 313

0 11 1

1 1( )A += − = − ; 2 3

23

1 21 1

1 1( )A += − = ; 3 3

33

1 21 1

0 1( )A += − = ;

3. *A матрицасын түзөбүз жана аны транспорнирлейбиз:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−=

111113111

*A , ( )⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−=

111111

131* TA .

37


4. матрицанын ар бир элементин ( )TA * Adet -га бөлөбүз

1

1 3 12 2 21 3 1

1 11 1 12 2

1 1 1 1 1 12 2 2

A−

⎛ ⎞−⎜ ⎟−⎛ ⎞ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟1 12 2

= − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− ⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠

.

5. Тескери матрица А-1 туура табылгандыгын EAA =⋅−1 же

EAA =⋅ −1 формуласы менен текшеребиз:

1

1 3 1 1 1 3 1 1 11 1 12 2 2 2 2 2 2 2 21 2 11 1 1 1 1 1 1 1 10 1 12 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 2 1 1 1 1 1 3 1 1 11 12 2 2 2 2 2 2 2 2

A A−

⎛ ⎞ ⎛− + − − + + −⎜ ⎟ ⎜⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⋅ = ⋅ − = − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠

⎜ ⎟ ⎜− + − − + +⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

1

⎞+ ⎟⎟⎟ =⎟⎟⎟− + ⎟⎠

1 0 00 1 00 0 1

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

.

38


§4. Матрицанын рангы

m-жолчодон жана n-мамычадан турган тик бурчтуу А матрицасын

карайбыз

.

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

mnmkmm

inkii

nk

nk

aaaa

aaaa

aaaaaaaa

A

......

.........

..........

......

.........

......................

21

121

222221

111211

Бул матрицанын k-жолчосун жана k-мамычасын сызып k-

тартиптеги квадраттык матрицаны бөлүп алууга болот. Мындай

камтылуучу матрицанын аныктагычы А матрицасынын k- тартиптеги

минору деп аталат.

Мисалы, 3 жолчо жана 4-мамычадан турган

матрицасы үчүн үчүнчү тартиптеги минорлорунун бири болуп

биринчи, экинчи, үчүнчү жолчолорду жана экинчи, үчүчү, төртүнчү

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−=

24021602

4523A

39


мамычаларды бөлүп алгандан кийинки төмөнкү аныктагыч

240160

452

−− болот. Экинчи тартиптеги минорлорунун бири болуп

төмөнкү аныктагыч 2416

−−

болот. Ал эми матрицанын

элементтерин биринчи тартиптеги минорлор деп карасак болот.

Матрицанын кээ бир минорлору нөлгө барабар болушу мүмкүн, кээ

бирлери нөлдөн айырмалуу болушу мүмкүн.

Аныктама. Матрицанын рангы деп бул матрицанын нөлдөн

айырмалуу болгон минорлорунун эң жогорку тартиби аталат.

Эгерде А матрицасынын рангы r-ге барабар болсо, анда А-

матрицасында жок дегенде бир нөлдөн айырмалуу r-чи тартиптеги

минор бар дегенди билдирет, бирок r-ден чоң тартиптеги бардык

минорлор нөлгө барабар. А матрицасынын рангы Arang же )(Ar деп

белгиленет.

Аныктамадан төмөндөгүлөр келип чыгат:

40


а) А матрицасынын рангы бул матрицанын өлчөмдөрүнүн

кичинесинен ашып кетпейт, б.а. );;min()( nmAr ≤

б) 0)( =Ar болот качан гана матрицанын бардык элементтери нөлгө

барабар болсо;

в) n-тартиптеги квадраттык матрица үчүн nAr =)( болот, качан гана

А-өзгөчөлөнгөн матрица болсо.

Матрицанын рангын минорлорду курчоо жана элементардык

өзгөртүү ыкмалары менен эсептелинет.

1. Минорлорду курчоо ыкмасы

Мейли А матрицасындагы aij элементи нөлдөн айырмалуу

болсун (aij 0≠ ). Анда 01 ≠M жана 1)( ≥Ar , aij элементин (i+1) -

жолчо жана (j+1) - мамычасы менен курчап, экинчи тартиптеги

минорун алабыз: 2M

1,1,1

1,,2

+++

+=jiji

jiji

aaaa

M .

41


Эгерде =0 болсо, анда башка жолчо жана мамычылар

менен a

2M

ij элементин курчап мүмкүн болгон экинчи тартиптеги

минорлорун карайбыз. Эгерде экинчи тартиптеги минорлордун

баардыгы нөлгө барабар болсо, анда 1)( =Ar болот; эгерде экинчи

тартиптеги минорлордун ичинен жок дегенде бир минор нөлдөн

айырмалуу болсо, анда 2)( ≥Ar болот.

Эми экинчи тартиптеги 02 ≠M минорун карайбыз жана аны

жанындагы жолчо, мамычалар менен курчап үчүнчү тартиптеги

минорлорду алабыз. Курчоо ыкмасын r-чи тартиптеги 0≠rM ,

бирок бардык болгонго чейин улантабыз. 01 =+rM

Мисал 11. матрицасынын рангын эсептегиле. ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

=111

222111

A

Чыгаруу. ,11 =M ,02222111

2 =+−=−−

=M ,02222112

2 =+−=−−

=M

042211223

2 ≠=+=−

=M

42


.2)(0111

222111

3 =⇒=−

−−

= ArM

2. Элементардык өзгөрүүлөр ыкмасы

Жалпы учурда матрицанын рангын аныктоо үчүн бардык

минорлорду карап чыгуу кыйынчылыктарды туудурат. Бул маселени

жеңилдетүү максатында матрицанын рангына таасирин тийгизбөөчү

өзгөртүп түзүүлөрдү жүргүзөбүз.

Матрицаны элементардык өзгөртүп түзүү деп, төмөндөгү

амалдарды айтабыз:

нөлдүк катарларды алып салуу;

матрицанын жолчолорунун (мамычаларынын) бардык

элементтерин нөлдөн айырмалуу болгон санга көбөйтүү;

матрицанын жолчолорунун (мамычаларынын) орундарын

алмаштыруу;

43


матрицанын кандайдыр бир жолчосунун (мамычасынын) ар бир

элементтерине башка бир жолчонун (мамычанын) жалпы мүчөгө

көбөйтүлгөн тиешелүү элементтерин кошуу;

матрицаны транспорнирлөө.

Теорема. Матрицаны элементардык өзгөртүп түзүүдө анын

рангы өзгөрбөйт.

Мисал 12. матрицасынын рангын тапкыла. ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

1296386424321

A

Чыгаруу:1- жолчонун элементтерине 2- жолчонун тиешелүү

элементтерин кошуп, андан кийин 1-жолчонун элементтеринен

3- жолчонун тиешелүү элементтерин кемитебиз. Андан кийин

1- жолчону алып салабыз.

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

1296386424321

A ~ ~ ~ ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

129638642

12963

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

1296386420000

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛128

96

64

32

⇒ .2)( =Ar

44


§5. Теңдемелер системасы жөнүндө негизги түшүнүктөр

n белгисиздүү m сызыктуу теңдемелер системасы деп төмөнкү

системаны

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+++

=+++=+++

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

...........................

,...,...

2211

22222121

11212111

(14)

айтабыз. Мында aij, bi njmi ,1;,1 == каалагандай сандар жана

тиешелүү түрдө белгисиздердин коэффициенттери, бош мүчөлөрү

деп аталышат.

Теңдемелер системасынын чыгарылышы деп, бул системага

койгондо ар бир теңдемени теңдеш барабардыкка айландыруучу

х1=C1, х2=C2, ..., xn=Cn сандарынын жыйындысын айтабыз.

Теңдемелер системасы жок дегенде бир чыгарылышка ээ болсо

биргелешкен, ал эми чыгарылышы жашабаса биргелешпеген деп

45


аталат. Системанын биргелешкендиги Кронекер-Капеллинин

теоремасынын жардамы менен аныкталат.

биргелешкен болот, качан гана системанын матрицасыныны рангы

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

mnmkmm

inikii

nk

nk

aaaa

aaaa

aaaaaaaa

A

........................

.........................

......

......

21

21

222221

111211

анын кеңейтилген матрицасынын рангына барабар болсо

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

mmnmkmm

iinikii

nk

nk

baaaa

baaaa

baaaabaaaa

A

...........................

............................

......

......

21

21

2222221

1111211

.

Биргелешкен теңдемелер системасы жалгыз гана бир чыгарылышка

ээ болсо, система аныкталган деп аталат. Ал эми бирден көп сандагы

чыгарылышка ээ болсо, аныкталбаган деп аталат.

46


Мисалы,

1) системасы биргелешпеген, анткени бул система

чыгарылышка ээ эмес;

⎩⎨⎧

=+=+

21

21

21

xxxx

2) системасы биргелешкен жана аныкталбаган, себеби

бирден көп чыгарылышка ээ (

⎩⎨⎧

=+=+

2221

21

21

xxxx

CxCx =−= 21 ;1 , мында С- каалаган

сан).

3) системасы биргелешкен жана аныкталган, себеби бул

ситема жалгыз гана чыгарылшка ээ:

⎩⎨⎧

=−=+

11

21

21

xxxx

.0;1 21 == xx

Эгерде эки теңдемелер системасы чыгарылыштардын бирдей

көптүгүнө ээ болушса, анда алар эквивалентүү системалар деп

аталышат. Матрицаларга колдонулуучу элементардык өзгөртүп

түзүүлөрдү берилген системага колдонууда ага эквиваленттүү болгон

система алынат.

Системаны элементардык өзгөртүп түзүүлөргө төмөнкүлөр кирет:

теңдемелердин орундарын алмаштыруу;

47


системанын каалагандай бир теңдемесинин эки жагын тең

кандайдыр бир нөлдөн айырмалуу чыныгы санга көбөйтүү;

системанын бир теңдемесинин эки жагына тең кандайдыр

бир чыныгы санга көбөйтүлгөн экинчи бир теңдемесин

кошуу.

00...00 21 =⋅++⋅+⋅ nxxx түрүндөгү теңдемени сызып

салуу.

Сызыктуу теңдемелер системасын чыгаруу ыкмалары:

Крамердин ыкмасы;

Матрицалык жол менен чыгаруу ыкмасы;

Гаусстун ыкмасы.

§6. Сызыктуу теңдемелер системасын Крамердин формуласы

менен чыгаруу

Сызыктуу теңдемелер системасын чыгаруу үчүн m=n учурда

кана Крамердин формуласы колдонулат.

48


Эгерде эки белгисизи бар эки сызыктуу теңдемелердин системасын

карасак

⎩⎨⎧

=+=+

22221

11211

byaxabyaxa

анда §2 негизинде төмөндөгүнү алабыз:

⎩⎨⎧

−=−−=−

21111212212211

12222112212211

)()(

ababyaaaaababxaaaa

(15)

Аныктагычты эсептөө эрежеси боюнча:

∆==−2221

121121122211 aa

aaaaaa ;

;222

121122221 xab

ababab ∆==− yba

baabab ∆==−

221

111211112 ,

белгилөөлөрүн киргизебиз.

Анда (15) системасын (16) ⎩⎨⎧

∆=⋅∆∆=⋅∆

y

x

yx

түрдө жазсак болот.

Эгерде (1) система чыгарылышка ээ болсо, анда ал чыгарылыш

(16) системасын дагы канааттандырат.

49


Системанын аныктагычы 0≠∆ болсо, анда (1) системасы жалгыз

чыгарылышка ээ болот:

∆

∆=

∆∆

= yx xx 2; . (17)

x менен - тин бул маанилерин (1) системасына коюп, аны канааттандыра

тургандыгын көрөбүз. (17) формула Крамердин формулалары деп аталат.

y

Эгерде системанын аныктагычы 0=∆ болсо, анда эки учурду

карайбыз:

1. 0=∆=∆=∆ yx болсун, анда

021212212121112212211 =−=−=− babababaaaaa ⇒ 2

1

22

12

21

11bb

aa

aa

== ,

демек системанын теңдемелеринин коэффициенттери пропорциялаш

болушат. Пропорциялардын коэффициентин k менен белгилесек, анда

2122122111 ;; kbbkaakaa === болот.

Системанын биринчи теңдемесине маанилерин койсок 12111 ,, baa

22221 byaxa =+ экинчи теңдеме келип чыгат. Эки белгисизи бар бир теңдеме

чексиз чыгарылышына ээ болот, анткени теңдеменин бир белгисизине ар

50


түрдүү маанилерин берүүгө болот, экинчи белгисизи ушул маанилер аркылуу

туюндурулат. Демек бул учурда (1) система чексиз чыгарылышка ээ болот

2. Эгерде 0 жана жок дегенде аныктагычтардын бири =∆ x∆

же нөлгө барабар эмес болсун. Мейли, мисалы болсун,

анда

y∆ 0≠∆ x

xx ∆=⋅∆ барабардыгы x -тин каалагандай маанилерине

канаатандырылбайт. Ошондуктан бул учурда (1) системасы

чыгарылышка ээ болбойт.

Мисалдар:

1. ⎩⎨⎧

=+=−

74332

yxyx

Бул жерде 0114132

≠=−

=∆ . Демек система бирден бир чыгарылышка ээ

болот.

117132

,334733

21 ==∆=−

=∆

Крамердин формуласынын негизинде .1;3 22

11 =

∆∆

==∆∆

= xx

51


2. ⎩⎨⎧

−=+−=−

64232

yxyx

062

31;0

4623

;04221

21 =−−

=∆=−

−=∆=

−−

=∆ .

Эгерде системанын биринчи теңдемесин эки тарабын тең (-2) ге

көбөйтсөк, анда системанын экинчи теңдемеси келип чыгат.

Ошондуктан бул система бир теңдемеге тең күчтүү жана чексиз

чыгарылышына ээ. Теңдеменин у белгисизине ар түрдүү маанилерди

берсек, экинчи белгисиз х ти табабыз:

.32 += yx Мисалы, у=0 болсо, анда х=3; эгерде у=1 болсо, анда х=5 жана

б.у. .

3. ⎩⎨⎧

=−−=+

24212

yxyx

чыгарылышка ээ эмес, анткени

.0842

21;0

4221

1 ≠−=−

=∆=−−

=∆

§7. Бир тектүү үч белгисиздүү экинчи тартиптеги сызыктуу

52


теңдемелер системасы

Бир тектүү үч белгисиздүү экинчи тартиптеги сызыктуу

теңдемелердин системасы деп төмөнкү теңдемелердин системасы

аталат:

, (18) ⎩⎨⎧

=++=++

00

232221

131211

zayaxazayaxa

бул жерде а11,а12, а13, а21, а22, а23 сандары системанын коэффициенттери деп

аталат.

(18) системанын чыгарылышы деп , бул системага койгондо ар бир

теңдемени теңдеш барабардыкка айландыруучу х=с1, у=с2, z=с3 деген үч сан

аталат. Системаны чыгаруу үчүн, адагенде белгиcиздердин

коэффициенттеринен түзүлгөн аныктагычтардын бири:

2221

1211

aaaa

, 2321

1311

aaaa

, 2322

1312

aaaa

, мисалы, биринчиден 02221

1211 ≠aaaa

нөлгө барабар эмес деп болжолдойлук.

Анда (18) системаны төмөндөгү түрдө жазабыз:

53


⎩⎨⎧

−=+−=+

zayaxazayaxa

2322121

1312111 (19)

z - белгисизин параметр деп эсептеп, (19) системасынын чыгарылышын

Крамердин формуласынын негизинде табабыз:

z

aaaaaaaa

aaaa

azaaza

x ⋅=−−

=

2221

1211

2322

1312

2221

1211

2223

1213

; )(

2221

1211

2322

1312

2221

1211

2321

1311

z

aaaaaaaa

aaaa

zaazaa

y −⋅=−−

= . (20)

z - маанисин параметр деп эсептегендиктен система чексиз көп

чыгарылышка ээ болот. Системанын бардык чыгарылыштарынын

жыйындысын төмөнкү түрдө жазууга болот:

taaaa

ztaaaa

ytaaaa

x ⋅=−=⋅=2221

1211

2321

1311

2322

1312 ),(, ; (21)

Мында

2221

1211

aaaa

zt = белгиленген, ал ар кандай сандарды туюнтат. Эгерде үч

аныктагыч тең 2322

1312

2321

1311

2221

1211 ,,aaaa

aaaa

aaaa

нөлгө барабар болсо, анда

54


(18) системанын коэффициенттери бири бирине пропорциялаш болушат.

Ошондуктан система үч белгисизи бар бир теңдемеге келтирилет:

.23

13

22

12

21

11 λ===aa

aa

aa

⇒ .;; 231322122111 aaaaaa λ=λ=λ=

Системанын биринчи теңдемесине 231322122111 ;; aaaaaa λ=λ=λ=

маанилерин койсок , системанын экинчи теңдемесин алабыз:

0232221 =λ+λ+λ zayaxa ,

же болбосо 0232221 =++ zayaxa . Үч белгисизи бар бир теңдеме чексиз

чыгарылышка ээ болот. Ал чыгарылышты табуу үчүн теңдеменин эки

белгисизине ар кандай маани берип, үчүнчү белгисизин теңдемени

канаатандыра тургандай кылып табабыз.

Мисалдар.

1. ⎩⎨⎧

=−+=+−0032

zyxzyx

<=>⎩⎨⎧

=+−=−zyx

zyx 32

031121

≠=−

; .34

31

31

;31

3123

zz

z

yzz

z

x =

−

=−=

−−

=

55


Система чексиз чыгарылышка ээ. Чыгарылыштардын жыйындысын

төмөндөгү түрдө табабыз: }3;4;{ tztytx ==−= мында t-ар кандай сан.

2. . ⎩⎨⎧

=++−=−−

062203

zyxzyx

Система чексиз чыгарылышка ээ болот, анткени системанын экинчи

теңдемеси биринчи теңдеменин натыйжасы. Ошондуктан системанын

чыгарылышынын жыйындысын төмөндөгү түрдө жазууга болот:

{ uztyutx = }=+= ;;3 мында t жана u ар кандай сандар.

§8. Үч белгисиздүү үчүнчү тартиптеги сызыктуу теңдемелер

системасы

8.1. Бир тектүү эмес үчүнчү тартиптеги сызыктуу теңдемелер

системасы

Бизге үч белгисиздүү үчүнчү тартиптеги сызыктуу теңдемелер

системасы берилсин дейлик:

56


⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=++=++

3333231

2232221

1131211

bzayaxabzayaxabzayaxa

(22)

Белгисиздердин коэффициенттеринен түзүлгөн үчүнчү тартиптеги

аныктагычты

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

=∆

системанын аныктагычы дейбиз.

Төмөнкү кошумча аныктагычтарды түзөбүз

33231

22221

11211

33331

23221

13111

33323

23222

13121

,,baabaabaa

abaabaaba

aabaabaab

zyx =∆=∆=∆ .

Системанын биринчи теңдемесин а11 элементинин алгебралык

тотуктоочусу А11- ге, экинчи теңдемесин а21 элементинин алгебралык

толуктоочусу А21 -ге, үчүнчүсүн а31 элементинин алгебралык толуктоочусу

А31- ге көбөйтүп кошобуз:

57


331221111333123211311

323122211211313121211111

)()()(

bAbAbAzaAaAaAyaAaAaAxaAaAaA

++=+++

++++++ (23)

Мындан ;aAaAaA ∆=++ 313121211111

,aAaAaA;aAaAaA

00

333123211311

323122211211

=++

=++

анткени

,

333231

232221

131211

313121211111 ∆==++aaaaaaaaa

aAaAaA

,0

333231

232221

131212

323122211211 ==++aaaaaaaaa

aAaAaA

.0

333331

232321

131312

333123211311 ==++aaaaaaaaa

aAaAaA

Анда (23) теңдемени төмөнкүдөй жазууга болот

331221111 bAbAbAx ++=⋅∆ , (24)

58


мында

x

aabaabaab

bAbAbA ∆==++

33323

23222

13121

331221111 .

Же болбосо xx ∆=⋅∆ . Ошондой эле системанын экинчи жана үчүнчү

теңдемелерин zy zy ∆=⋅∆∆=⋅∆ ; түрдө жазууга болот.

Демек, эгерде (22) система чыгарылышка ээ болсо, анда чыгарылыш

төмөнкү системаны канаатандырат

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∆=⋅∆∆=⋅∆∆=⋅∆

z

y

x

zyx

(25)

Эгерде системанын аныктагычы нөлгө барабар болбосо 0≠∆ , анда

(25) система жалгыз чыгарылышка ээ болот, жана ал чыгарылыш

төмөнкү формула менен табылат

∆∆

=∆

∆=

∆∆

= zyx zyx ;; (26)

59


Муну далилдөө үчүн х, y ,z - тин маанисин системанын теңдемелерине

коебуз

=∆∆

+∆

∆+

∆∆

=++ zyx aaazayaxa 131211131211

++++++∆

= )()([13232221211231321211111 AbAbAbaAbAbAba

+++∆

=+++ )([1)]( 131312121111133323213113 AaAaAabAbAbAba

133133212311132313221221112 )]()( bAaAaAabAaAaAab =++++++ .

(26) формула Крамердин формуласы деп аталат.

Мисал 13. Берилген теңдемелер системасын Крамердин формуласы

боюнча чыгаргыла: ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=++=++

14351543913327

zyxzyxzyx

Системанын аныктагычтарын түзөбүз:

;03315439327

≠==∆ ;6311443153213==∆ x

60


;15314541593137

−==∆ y 9141515391327

==∆ z .

Демек система жалгыз чыгарылышка ээ. Аны Крамердин формуласы менен

табабыз

.339;2

36;5

315

==∆∆

===∆

∆=−=−=

∆∆

= zyx zyx

Эгерде 0 болсо, анда система чыгарылышка ээ болбойт, же

болбосо чексиз көп чыгарылышка ээ болушу мүмкүн.

=∆

Төмөнкү учурларды карап көрөлү:

1) жана кошумча аныктагычтардын жок дегенде бири 0=∆ x∆ ,

же , же нөлгө барабар эмес болсун ( мисалы, ). Анда

канааттандырылбай калат. Демек (25) системасы

чыгарылышка ээ болбойт. Бул учурда (22) системасынын

чыгарылышы жок.

y∆ z∆ 0≠∆ z

zz ∆=⋅∆

61


Мисал 14. ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+−=+−=+−

03422

13

zyxzyx

zyx

Система чыгарылышка ээ болбойт, анткени

;04101

432311

;04110

423311

;0111

422311

≠=−−

=∆≠=−

−−

=∆=−−

−−

=∆ yx

.0011322111=

−−−

=∆ z

2) 0=∆=∆=∆=∆ zyx болсун, анда система же болбосо чыгарылышка ээ

болбойт, же болбосо чексиз чыгарылышка ээ болушу мүмкүн. Төмөнкү

мисалдарды карап көрөлү.

Мисал 15. ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−=+−

=+−

13334222

2

zyxzyx

zyx

62


Мында ;0331224112

;0333222111

=−−−

=∆=−−−

=∆ x

,0133422211

;0313242121

=−−−

=∆==∆ zy бирок система чыгарылышка ээ

болбойт, анткени системанын биринчи жана экинчи теңдемелерин кошсок

6333 =+− zyx

үчүнчү теңдемеге карама-каршы келип чыгат, демек системанын

чыгарылышы жок.

Мисал 16.⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+=−+

=−+

44442222

1

zyxzyx

zyx

Мында 0=∆=∆=∆=∆ zyx , система чексиз чыгарылышка ээ, анткени

системанын экинчи, үчүнчү теңдемелери биринчи теңдеменин натыйжасын

берет. Ошондуктан бир теңдеме (үч белгисизи бар) чексиз чыгарылышка ээ

1=−+ zyx ; { }1,, −+=== utzuytx .

63


8.2. Бир тектүү үчүнчү тартиптеги сызыктуу теңдемелер

системасы

Эми тектүү үчүнчү тартиптеги сызыктуу теңдемелер

системасына токтолобуз:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=++=++

000

333231

232221

131211

zayaxazayaxazayaxa

(27)

Бул система ар дайым нөлдүк чыгарылышка ээ болот .0=== zyx

Эгерде системанын аныктагычы 0≠∆ болсо, анда нөлдүк чыгарылыш

0=== zyx системанын бирден бир чыгарылышы болот, анткени

. 0=∆=∆=∆=∆ zyx

Эми системанын аныктагычы 0=∆ болсун дейлик, бирок

аныктагычтын жок дегенде бир минору нөлгө барабар эмес болсун, мисалы

02221

12112 ≠=

aaaa

M .

Анда системанын биринчи эки теңдемесин карайбыз. §7 негизинде бул

система

64


⎩⎨⎧

−=+−=+

zayaxazayaxa

2322121

1312111

чексиз чыгарылышка ээ болот, чыгарылыштын жыйындысын төмөнкү түрдө

жазууга болот

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅=−=⋅= taaaa

ztaaaa

ytaaaa

x2221

1211

2321

1311

2322

1312 ),(, , (28)

мында t-ар кандай сан.

Системанын үчүнчү теңдемесине x, y, z маанисин коебуз:

.0

333231

232221

131211

2221

121133

2321

131132

2322

131231 =⋅=⋅+⋅−⋅ t

aaaaaaaaa

taaaa

ataaaa

ataaaa

a

Демек системанын үчүнчү теңдемеси биринчи жана экинчи теңдеменин

натыйжасы болот, ошондуктан бул теңдеме x, y, z маанисин канааттандырат.

Эгерде 0 болсо жана аныктагычтын бардык минорлору нөлгө барабар

болушса, анда системанын теңдемелеринин коэффициенттери бири бирине

пропоциялаш болушат, ошондуктан (27) система үч белгисизи бар бир

теңдемеге келтирилет:

=∆

0131211 =++ zayaxa

65


(системанын калган эки теңдемеси бул теңдеменин натыйжасы).

Эгерде системанын аныктагычы нөлгө барабар эмес болсо, анда

система жалгыз нөлдүк чыгарылышка ээ болот. Эгерде 0 болсо, анда

система чексиз чыгарылышка ээ болот. Мындан төмөнкү натыйжа келип

чыгат: бир тектүү сызыктуу теңдемелердин системасы нөлгө барабар эмес

чыгарылышка ээ болуш үчүн системанын аныктагычы болушу зарыл

жана жетишерлик болот.

=∆

0=∆

Мисалдар.

1. система нөлдүк чыгарылышка ээ болот, анткени ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+=++=+−

03200

zyxzyxzyx

.06132

111111

≠−=−

−=∆

2. ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=++=++

09450523032

zyxzyxzyx

чексиз чыгарылышка ээ болот, анткени

66


.0945523312==∆ Аныктагычтын минору ,01

2312

2 ≠==M демек

системанын үчүнчү теңдемеси биринчи жана экинчи теңдеменин натыйжасы.

Ошондуктан төмөнкү системаны чыгарабыз

⎩⎨⎧

−=+−=+

zyxzyx

52332

,

;5332

;2513

;12312

zzz

zzz

yx −=−−

=∆−=−−

=∆==∆

.; zyzx yx −=∆

∆=−=

∆∆

=

Демек системанын чыгарылышынын жыйындысы };;{ tztytx =−=−= ,

мында t-ар кандай сан.

67


3. ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−=+−=+−

06330422

02

zyxzyx

zyx Система чексиз чыгарылышка ээ, анткени

0633422211=

−−−

=∆ , аныктагычтын бардык экинчи тартиптеги минорлору

нөлгө барабар, ошондуктан система биринчи теңдемеге келтирилет

.02 =+− zyx Системанын бардык чыгарылыштарынын жыйындысын

төмөнкү түрдө жазабыз

)}(21;;{ tuzuytx −=== , мында t, u ар кандай сандар.

§9. Теңдемелер системасынын матрицалык формасы жана

теңдемелер системасын матрицалык жол менен чыгаруу

Бизге үч белгисизүү үчүнчүтартиптеги сызыктуу теңдемелер

системасы берилсин дейлик:

68


⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=++=++

3333232131

2323222121

1313212111

bxaxaxabxaxaxabxaxaxa

(29)

Төмөнкү белгилөөлөрдү киргисебиз:

,

333231

232221

131211

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

aaaaaaaaa

A , . ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

3

2

1

xxx

X⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

3

2

1

bbb

B

Анда =⋅ XA ⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

3

2

1

xxx

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

++++++

333232131

323222121

313212111

xaxaxaxaxaxaxaxaxa

жана берилген (29) системаны төмөнкү түрдө жазууга болот

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

++++++

333232131

323222121

313212111

xaxaxaxaxaxaxaxaxa

= , ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

3

2

1

bbb

же кыскача

(30) .

BXA =⋅

(30) барабардыгы матрицалык теңдеме деп аталат. Эгерде (29)

системасы матрицалык формада (30) теңдемеси түрүндө жазылса

69


жана А матрицасы өзгөчөлөнбөгөн матрица болсо, анда теңдеме

төмөнкү түрдө чыгарылат. (30) теңдеменин эки жагын А

матрицасынын А-1 тескери матрицасына көбөйтөбүз:

BAXAA ⋅=⋅⋅ −− 11 .

Аныктама боюнча жана EAA =⋅−1 XXE =⋅ , анда

матрицалык теңдеменин чыгарылышына ээ болобуз

(31) BAX ⋅= −1

Мисал 17. Теңдемелер системасын матрицалык жол менен

чыгаргыла

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+=++=+

1322323

102

32

321

21

xxxxx

xx

Чыгаруу. Системаны матрицалык формада төмөнкү түрдө

жазабыз BXA =⋅ . Мында

70


. ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

132310

,,210123021

3

2

1

Bxxx

XA

Эми тескери матрицасын табуу үчүн Adet=∆ жана

алгебралык толуктоочторду табалы:

ijA

,09210123021

det ≠−===∆ A

( ) ;31023

)1(;62013

)1(;32112

1 3113

2112

1111 =−=−=−==−= +++ AAA

;11021

)1(;22001

)1(;42102

)1( 3223

2222

1221 −=−==−=−=−= +++ AAA

.42321

)1(;11301

)1(;21202

)1( 3333

2332

1331 −=−=−=−==−= +++ AAA

Мындан

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−

−

−=−

413126

243

)9(11A

71


болот. Эми (27) формула боюнча

,534

452736

)9(1

13)4(23)1(10313)1(23210)6(

13223)4(103

)9(1

132310

413126

243

)9(11

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅−+⋅−+⋅⋅−+⋅+⋅−

⋅+⋅−+⋅

−=

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−

−

−=⋅= − BAX

б.а. берилген системанын чыгарылышы х1=4; х2=3; х3=5 болот.

Матрицалык теңдемелердин негизги түрлөрү

1. BXA =⋅ . Бул жерде А матрицасы квадраттык матрица болушу

керек, .0det ≠A Теңдеменин эки жагын А-1 матрицасына сол

жагынан көбөйтөбүз: BAXAA ⋅=⋅⋅ −− 11 , BAXE ⋅=⋅ −1 , BAX ⋅= −1 .

2. BAX =⋅ . Бул жерде А матрицасы квадраттык матрица болушу

керек, .0det ≠A Теңдеменин эки жагын А-1 матрицасына оң

жагынан көбөйтөбүз: 11 −− ⋅=⋅⋅ ABAAX , 1−⋅=⋅ ABEX , 1−⋅= ABX .

3. .CBXA =⋅⋅ Бул жерде А жана В матрицалары квадраттык

болушу керек жана .0det,0det ≠≠ BA Теңдеменин эки жагын А-1

матрицасына сол жагынан көбөйтөбүз: СABXAA ⋅=⋅⋅⋅ −− 11 ⇒ 72


.1 CABX ⋅=⋅ − Андан кийнин теңдеменин эки жагын В-1

матрицасына оң жагынан көбөйтөбүз: 11111 −−−−− ⋅⋅=⇒⋅⋅=⋅⋅ BCAXBCABBX .

Мисал 18.Матрицалык теңдемени чыгаргыла

.9553

4321

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ X

Чыгаруу. Бул жерде . ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

9553

,4321

BA BAX ⋅= −1 ,

( )

.3211

,3211

9)5,0(55,15)5,0(35,1915)2(513)2(

9553

5,05,112

,5,05,1

12*

det1

1

1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−+⋅⋅−+⋅

⋅+⋅−⋅+⋅−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=⋅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−==

−

−

X

BA

AA

A T

§10. Гаусстун ыкмасы

Бизге теңдемелердин саны m, ал эми белгисиздердин саны n

болгон (14) системасы берилсин.

73


Гаусстун ыкмасы- сызыктуу теңдемелер системасын

чыгарууда белгисиздерди удаалаш жоюу ыкмасы деп аталат. Бул

ыкмада элементардык өзгөртүүлөлдүн жардамы менен

теңдемелердин системасы тең күчтүү (баскычтуу) (же үч бурчтуу)

системага келтирилип, ал системанын акыркы (номерине карата)

теңдемесинен биринчи теңдемени көздөй бардык белгисиздери

удаалаш табылат.

Гаусстун өзгөртүүлөрүн (28) системанын теңдемелерине

жүргүзбөстөн, ал системанын коэффициенттери менен бош

мүчөлөрү аркылу түзүлгөн

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

mmnmkmm

iinikii

nk

nk

baaaa

baaaa

baaaabaaaa

A

...........................

............................

......

......

21

21

2222221

1111211

кеңейтилген матрицага жүргүзгөн ыңгайлуу болот.

Мисалдар.

74


1. Теңдемелер системасын Гаусстун ыкмасы менен чыгаргыла

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+=−+=++

043,432,632

321

321

321

xxxxxxxxx

Чыгаруу. Системанын коэффициенттеринен жана бош

мүчөлөрүнөн турган кеңейтилген матрицасын түзөбүз:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−=

046

413132

321A

Эми A матрицанын жолчолоруна төмөнкү элементардык

өзгөртүүлөрдү жүргүзөбүз:

1. A матрицанын биринчи жолчосун кезеги менен (-2),

(-3) сандарына көбөйтүп, алынган жолчолорду 2-чи, 3-чү

жолчолоруна кошуп, акыркы эки жолчодон х1 белгисизин жойобуз,

б.а. төмөнкүнү алабыз:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−=

046

413132

321A ~

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−−−

188

6

1350710

321

75


2. Акыркы матрицанын 2-чи жолчосун (-5) санына көбөйтүп жана

анын элементтерин 3-чү жолчонун тиешелүү элементтерине кошуп,

акыркы жолчодон х2 белгисизин жойобуз, б.а.

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−−−

188

6

1350710

321

~⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−−22

86

2200710

321

Акыркы матрицага төмөнкү система туура келет:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−=−−=++

222287632

3

32

321

xxx

xxx

Бул системанын 3-теңдемесинен х3=1 ди табабыз, 2- теңдемеден

;117878 32 =⋅−=−= xx

Биринчи теңдемеден 113126326 321 =⋅−⋅−=−−= xxx болот. Демек

(1;1;1) берилген системанын чыгарылышы болот.


⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−=+−=++

6223,13,42

321

321

321

xxxxxxxxx

76


Чыгаруу. Бул система үчүн

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−=

614

223131112

A

матрицасы кеңейтилген матрица болот.

1. Биринчи жолчо менен экинчи жолчонун ордун алмаштырабыз.

Андан кийин A матрицанын биринчи жолчосун кезеги менен (-2),

(-3) сандарына көбөйтүп, алынган жолчолорду 2-чи, 3-чү

жолчолоруна кошуп, акыркы эки жолчодон х1 белгисизин жойобуз,

б.а.

A~⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

641

223112131

~⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−

321

170170

131

2. Акыркы марицанын 3-жолчосунан 2-жолчонун тиешелүү

элементтерин кемитип, акыркы жолчодон х2 белгисизин жойобуз, б.а.

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−

321

170170

131~

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

−

121

000170

131

77


Акыркы матрицага төмөнкү система туура келет:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⋅=−=+−

102713

3

32

321

xxx

xxx

Системанын үчүнчү теңдемеси карама каршы келип чыкты (0=1),

демек берилген система биргелешпеген.


⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−−=+−=−+

174,332,72

zyxzyx

zyx

Чыгаруу. Бул ситема үчүн

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−=

1737

114132121

A

матрицасы кеңейтилген матрица болот.

1. A матрицанын биринчи жолчосун кезеги менен (-2), (-4)

сандарына көбөйтүп, алынган жолчолорду 2-чи, 3-чү жолчолоруна

кошуп, акыркы эки жолчодон х1 белгисизин жойобуз, б.а.

78


⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−=

1737

114132121

A ~⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−

−

11117

370370121

Акыркы марицанын 3-жолчосунан 2-жолчонун тиешелүү

элементтерин кемитип, акыркы жолчодон х2 белгисизин жойобуз, б.а.

A~⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−

−

11117

370370121

~⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−

−

0117

000370121

~ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−117

370121

Мында нөлдүк 3-жолчону алып салдык. Акыркы матрицага төмөнкү

система туура келет:

⎩⎨⎧

−=+−=−+

113772

zyzyx

Акыркы система баскычтуу система. Демек, системанын экинчи

теңдемесинен у белгисизин аныктап, андан кийин системанын

биринчи теңдемесине у-тин маанисин коюп, х-белгисизин

аныктайбыз (бул жерде z-эркин өзгөрмө болот):

,711

73

7311

+=−−−

= zzy

79


.

727

71

722

76727 +=+−−=+−= zzzzyx

Жообу: ⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=

+=

,711

73

,727

71

zy

zx

z-каалагандай сан.

80


§11. Өз алдынча иштөө үчүн көнүгүүлөр.

Вариант 1 1. A жана B матрицаларынын A B ; көбөйтүндүүсүн эсептегиле, мында

A= , B= , ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

342

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 312

431

2. Төмөнкү аныктагычты экинчи жолчо боюнча ажыратып, эсептегиле

214120531

4. Матрицалык теңдемени чыгаргыла

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛9553

4321Х

4-5.Теңдемелер системасын Крамердин жана Гаусстун эрежелери боюнча чыгаргыла

81


⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−=−=+

.yx,zy,zx

2432262

Төмөнкү бир тектүү теңдемелер системасынын жалпы чыгарылышын тапкыла

⎩⎨⎧

=−−=−+

03202

zyxzyx

Вариант 2

1. А жана В матрицаларынын АВ көбөйтүндүүсүн эсептегиле, мында

А = , В= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛5321

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −0124

2. Төмөнкү аныктагычты биринчи жолчо боюнча ажыратып, эсептегиле

82


341235312

3. Төмөнкү матрицанын тескери матрицасын тапкыла

А = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−

121011322


⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+−=++−=+−

.zyx,zyx

,zyx

114354

7532

6.Төмөнкү бир тектүү теңдемелер системасынын жалпы чыгарылышын тапкыла

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−=++=−+

.zyx,zyx,zyx

0320202

83


Вариант 3


A= , B= , ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

− 123204153

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

342

2. Төмөнкү теңдемени чыгаргыла 022

142

=+−−−хх

х

3. Төмөнкү матрицалык теңдемени чыгаргыла ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

1001

2112

Х


84


⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−=+−

=−+

.0,10332

,1333

zxzyxzyx

6.Төмөнкү бир тектүү теңдемелер системасынын чыгарылышын тапкыла

⎩⎨⎧

=−−=−+

03202

321

321

xxxxxx

Вариант 4

85


1. Эгерде А = , В= болсо, анда (A + B) тапкыла ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −5123

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −0124 2

2. Төмөнкү аныктагычты 1) үчүнчү мамыча боюнча ажыратып, эсептегиле; 2) үч бурчтуктар эрежеси боюнча эсептегиле

213

237142

−

−


В= ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −

100210321


⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−=++−=−+

.23,22523,4432

zyxzyxzyx

86



⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=++=−−

.zyx,zyx

,zyx

0373024

0

Вариант 5


А = (1 5 6), В = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

− 521143012

2. Төмөнкү аныктагычты 1) биринчи мамыча боюнча ажыратып, эсептегиле; 2) үч бурчтуктар эрежеси боюнча эсептегиле

87


341

123112

−


D= ; ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

165543321


⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=+−−=−+−=+−

.zyx,zyx,zyx

73241342


⎩⎨⎧

=−−=−+

.032,02

zyxzyx

88


Вариант 6


А = , В = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

342

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

− 521143012

2. Төмөнкү теңдемени чыгаргыла

0512154

31=

−−х


D= ; ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−

997637

942

4-5.Теңдемелер системасын Крамердин жана Гаусстун эрежелери

89


боюнча чыгаргыла

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+−=++−=+−

.zyx,zyx

,zyx

114354

7532


1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 3 0;4 5 6 0;2 9 12 0.

x x xx x xx x x

+ + =⎧⎪− + + =⎨− + + =⎪⎩

Вариант 7


90


A= , B= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 312

431

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

504273


0cos

1sin4=

xxx

3. Төмөнкү матрицалык теңдемени чыгаргыла

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

0521

2143

-Х


⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=++=++

.zyx,zyx,zyx

1132132523


91


1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 02 33 3 0

x x xx x xx x x

+ − =⎧⎪ − + =⎨+ + =⎪⎩

;0;.

Вариант 8

1. Матрицаларынын көбөйтүндүүсүн эсептегиле

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

231521652

352142231

2. Төмөнкү аныктагычты 1) биринчи мамыча боюнча ажыратып, эсептегиле; 2) үч бурчтуктар эрежеси боюнча эсептегиле

92


318432

174−


⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

1091614

8765

2513

Х


⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+=−+=−+

.zyx,zyx

,zyx

1973415423

112


1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 04 26 3 0

x x xx x xx x x

+ − =⎧⎪ − + =⎨+ − =⎪⎩

;0;.

93


Вариант 9

1.С жана N матрицаларынын көбөйтүндүүсүн эсептегиле, мында

С = (1 5 6), N= ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

342

2. Төмөнкү барабарсыздыкты чыгаргыла

035

211122>

−−−+

x

x

3. Элементардык өзгөрүү ыкмасын колдонуп, төмөнкү матрицанын рангын тапкыла

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

4171453312231

94



⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+=−+=−+

.zyx,zyx,zyx

1620128810644532


⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−=−+

=−+

.034,0638

,0

zyxzyx

zyx

Вариант 10

1. Матрицаларынын көбөйтүндүүсүн эсептегиле

95


⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−⋅

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

569314523

374596485


23

3213

=−−хх

х


⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−0124

2175

X


⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−−=+

−=−+−

.3xx5x3,6x3x

,11x3xx2

321

21

321


96


⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+=+−=+−

.03,0334,023

yxzyxzyx

Адабияттар

1. В.А. Малугин. Математика для экономистов: Линейнная алгебра. Курс лекций-М.:Эксмо, 2006.-224с.

2. Просветов Г.И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: задачи и решения: учебное пособие.-М.:БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008.-192с.

3. А.Б. Соболев, А.Ф.Рыбалко. Математика:учебное пособие-Екатеринбург:ГОУ ВПО УГТУ-УПИ,2004.-180с.

4. Л.Г. Лелевкина. Основы линейной и векторной алгебры. Задачи и упражнения для компьютерного тестирования/КРСУ: Бишкек,2001.-80с.

97


98

Documents

СЫЗЫКТУУ АЛГЕБРАНЫН НЕГИЗДЕРИmath.krsu.edu.kg/metodich/syzalgebra.pdfда жана B⋅A көбөйтүндүсүн да табууга болот жана