Embed Size (px)
Citation preview
0
Старооскольский технологический институт им. А.А. Угарова (филиал) федерального государственного автономного образова-тельного учреждения высшего профессионального образования
Национальный исследовательский технологический университет «МИСиС»
(СТИ НИТУ «МИСиС»)
кафедра высшей математики
Е.М. Богатов, Т.В. Тамбыя
Теория вероятностей
Материалы для самостоятельной работы
Учебное пособие для студентов
заочной формы обучения
СТАРЫЙ ОСКОЛ 2012
1
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие…………………………………….……………………………4
Основные понятия теории вероятностей……………..……………………5
Основные формулы комбинаторики………………….……………………8
Теорема сложения вероятностей……………………………………………9
Теорема умножения вероятностей………………………..………………10
Формула полной вероятности……………………………………………..12
Формула Бернулли……………………………............................................14
Асимптотическая формула Пуассона………………………………..……15
Случайные величины и их числовые характеристики……...……………16
Дискретная случайная величина ……………………………….…..……..17
Непрерывная случайная величина……………………….………………..19
Равномерное распределение……………………………………….………22
Экспоненциальное распределение…………………………………...……23
Нормальное распределение………………………………………….…….23
Предельные теоремы Муавра-Лапласа……………………………..……..25
Домашнее задание …………………………………………………………26
Данные к домашнему заданию …………………………………………...29
Указания к выполнению домашнего задания………………...…………..34
2
Основы теории вероятностей
1. Основные понятия теории вероятностей
Предметом изучения теории вероятностей являются ко-
личественные закономерности однородных случайных явле-
ний массового характера.
Определение 1. Событием называется всякий возмож-
ный факт, о котором можно сказать, что он произойдет или
не произойдет в данных условиях.
Пример. Готовые детали, сошедшие с конвейера, могут
оказаться либо стандартными, либо нестандартными. Один
(любой) исход из указанных двух возможных называются со-
бытием.
Различают три вида событий: достоверные, невозмож-
ные и случайные.
Определение 2. Достоверным называют то событие ,
которое при соблюдении некоторых условий не может не
произойти, т.е. обязательно произойдет.
Пример. Если в урне содержатся только белые шары, то
взятый наудачу из урны шар будет обязательно белый. В
данных условиях факт появления белого шара будет досто-
верным событием.
Определение 3. Невозможным называют то событие ,
которое при соблюдении некоторых условий не может про-
изойти.
Пример. Нельзя извлечь белый шар из урны, содержа-
щей только черные шары. В этих условиях факт появления
белого шара будет невозможным событием.
Определение 4. Случайным называют событие, которое
в одних и тех же условиях может произойти, но может и не
произойти.
Пример. Монета, брошенная вверх, может упасть так,
что на ее верхней стороне окажется либо герб, либо цифра.
3
Здесь появление сверху той или другой стороны монеты яв-
ляется случайным событием.
Определение 5. Испытание - совокупность тех условий
или действий, которые могут быть повторены бесконечное
число раз.
Пример. Подбрасывание монеты вверх - испытание, а
возможный результат, т.е. выпадение на верхней стороне мо-
неты либо герба, либо цифры является событием.
Определение 7. Два события A и B называются несов-
местными, если при данном испытании они не могут про-
изойти одновременно.
Пример. Герб и цифра являются единственно возмож-
ными и несовместными событиями при однократном броса-
нии монеты.
Определение 8. Два события A и B называются сов-
местными (совместимыми) при данном испытании, если по-
явление одного из них не исключает возможность появления
другого события при том же испытании.
Пример. Возможно совместное появление орла и цифры
при одном бросании двух монет.
Определение 9. События Ai называются равновозмож-
ными в данном испытании, если в силу симметрии опыта есть
основание считать, что ни одно из этих событий не является
более возможным по сравнению с другими.
Пример. Появление любой грани при одном бросании
игральной кости является равновозможным событием (при
условии, если кость сделана из однородного материала и
имеет форму правильного шестигранника).
Определение 10. Случаи называются благоприятству-
ющими (благоприятными) некоторому событию, если появ-
ление одного из этих случаев влечет появление данного со-
бытия. Случаи, исключающие появление события, называют-
ся неблагоприятствующими этому событию.
Пример. В урне имеется 5 белых и 7 черных шаров. При
взятии наугад одного шара, в руках может оказаться или
4
белый или черный шар. В данном случае появление белого
шара благоприятствует 5 случаев, а появлению черного шара
7 случаев из общего количества 12 возможных случаев.
Определение 11. Суммой событий А и В называется
событие А+В, состоящее в появлении или события A, или со-
бытия B, или обоих этих событий вместе.
Определение 12. Произведением событий А и В назы-
вается событие АВ, заключающееся в одновременном появ-
лении и события A и события B.
Определение 13. Два единственно возможных и несов-
местных события называют противоположными друг другу.
Если одно из этих событий обозначено A, то противополож-
ное ему событие обозначают символом A .
Пример. Попадание в цель и промах; выигрыш и проиг-
рыш по билету лотереи - все это примеры противоположных
событий.
Всякое случайное событие в заданных условиях имеет
свою объективную возможность появления, причем у одних
событий эта возможность появления больше, у других -
меньше. Для количественного сравнения между собой собы-
тий по степени возможности их наступления с каждым слу-
чайным событием связывают некоторое действительное чис-
ло, выражающего количественную оценку степени объектив-
ной возможности наступления данного события. Это число
называют вероятностью события.
Определение 15. (Классическое определение вероятно-
сти). Вероятностью события А называется отношение числа
m случаев, благоприятствующих наступлению этого события,
к числу n всех возможных случаев, т.е. n
mAP )( .
Пример. Урна содержит 5 белых и 7 черных шаров,
тщательно перемешанных. Какова вероятность того, что взя-
тый наудачу из урны один шар окажется белым?
Решение. В данном испытании имеется всего 12 воз-
можных случаев, из них 5 благоприятствуют появлению бе-
5
лого шара. Поэтому вероятность появления белого шара
Р=5/12.
Основные свойства вероятности.
10 Вероятность любого события А не может быть
отрицательным числом, т.е. Р(А)≥0
20 Вероятность достоверного события равна 1.
Р()=1.
30 Вероятность невозможного события равна 0.
Р()=0.
40 Вероятность любого случайного события А за-
ключена между нулем и единицей 0<Р(А)<1.
2. Основные формулы комбинаторики
Определение 1. Различные группы по m предметов, со-
ставленные из n однородных предметов (m,n), называются
соединениями. Предметы, из которых составляют различные
соединения, называют элементами.
Существует 3 вида соединений: размещения, переста-
новки, сочетания.
Определение 2. Размещениями по m элементов из дан-
ных n элементов (m≤n) называют такие соединения, которые
отличаются друг от друга либо самими элементами, либо их
порядком. Например, размещениями из трех предметов a, b и
c по два будут следующие соединения: ab, ac, bc, ca, cb, ba.
Число размещений из данных n элементов по m обозначают
символом
)1...()1( mnnnAm
n
Пример. 4
10A =10·9·8·7=5040.
Определение 3. Перестановками из n элементов назы-
вают такие соединения, которые отличаются друг от друга
6
только порядком элементов. Число таких соединений можно
найти по формуле Рn=n
nA =n(n-1)(n-2)...·3·2·1=n!
По определению 0!=1.
Пример. В ряд из пяти мест нужно разместить пять че-
ловек. Количество различных комбинаций вычислим по фор-
муле 5!=1·2·3·4·5=120.
Определение 4. Сочетаниями из n элементов по m
называются также соединения, которые отличаются друг от
друга, по меньшей мере, одним элементом и каждое из кото-
рых содержит m различных элементов: m
nC=
m
m
n
P
A=
m
mnnnn
...321
)1)....(2)(1(
=
)!(!
!
mnm
n
.
Пример. Найти число сочетаний из 10 элементов
по четыре.
Решение. 4
10
10 9 8 7
1 2 3 4С
=210.
3. Теоремы теории вероятностей
3.1. Теорема сложения вероятностей
Теорема 1. Вероятность наступления одного какого-
либо события из двух несовместимых событий А и В равно
сумме вероятностей этих событий Р(А+В)=Р(А)+Р(В).
Следствие. Для несовместных событий справедливо ра-
венство: ( ) ( ) 1P A P A .
Теорема 2. Вероятность наступления одного из двух со-
бытий A или B равно сумме вероятностей этих событий ми-
нус вероятность их совместного появления
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).
Пример. Найти вероятность того, что наудачу выбран-
ное двузначное число кратно двум или пяти.
7
Решение.
Пусть
А={двузначное число делится на 2},
В={двузначное число делится на 5}.
В задаче требуется найти )( BAP . Вычислим следую-
щие вероятности P(A), P(B), P(AB), где
АВ={двузначное число делится и на 2, и на 5 одновре-
менно}.
Всего двузначных чисел 90, из них чётных ровно поло-
вина, значит 5,090
45)( AP .
Чисел, кратных пяти всего 18, следовательно,
2,090
18)( BP .
Если число делится на 2 и на 5 одновременно, то оно
делится на 10. Таких двузначных чисел ровно 9, значит,
1,090
9)( ABP .
По формуле, приведённой выше, имеем:
6,01,02,05,0)( BAP .
3.2. Теорема умножения вероятностей
Определение 1. Два события A и B называются незави-
симыми, если вероятность одного из них не зависит от
наступления или ненаступления другого.
Пример. Пусть A - событие, состоящее в появлении гер-
ба при первом бросании монеты, а B - событие, состоящее в
появлении герба при втором бросании монеты, то события A
и B не зависят друг от друга, т.е. результат первого бросания
монеты не может изменить вероятность появления герба при
втором бросании монеты.
8
Определение 2. Два события A и B называются зависи-
мыми, если вероятность одного из них зависит от наступле-
ния или ненаступления другого.
Пример. В урне 8 белых и 7 красных шаров, переме-
шанных между собой. Событие A - появление белого шара, а
событие B - появление красного шара. Будем брать из урны
наугад два раза по одному шару, не возвращая их обратно. До
начала испытания вероятность появления события A равна
P(A)=8/15, и вероятность события B равна P(B)=7/15. Если
предположить, что в первый раз был взят белый шар (собы-
тие A), то вероятность появления события B при втором ис-
пытании будет P(B)=7/14=1/2. Если в первый раз был взят
красный шар, то вероятность появления красного шара при
втором извлечении равна P(B)=6/14=3/7.
Определение 3. Вероятность события B, вычисленная в
предположении, что перед этим наступило связанное с ним
событие A, называется условной вероятностью события B и
обозначается PА(B).
Теорема 3. Вероятность совместного наступления двух
зависимых событий (A и B) равна произведению вероятности
одного из них на условную вероятность другого, вычислен-
ную в предположении, что первое событие произошло, т.е.
P(AB)=P(A)·PA(B)=P(B)·PB(A).
Теорема 4. Вероятность совместного наступления не-
скольких зависимых событий равно произведению вероятно-
сти одного из них на условные вероятности всех остальных
событий, вычисленные в предположении, что все предыду-
щие события уже наступили:
)(...)()()()...(121211 ...321321 nAAAAAAn APAPAPAPAAAAP
n
Теорема 5. Вероятность совместного наступления двух
независимых событий A и B равна произведению вероятно-
стей этих событий P(AB)=P(A)P(B).
Теорема 6. Вероятность совместного наступления не-
скольких независимых событий A1, A2, ... An равна произведе-
нию их вероятностей, т.е.
9
1 2 3 1 2( ... ) ( ) ( ) ... ( )n nP A A A A P A P A P A .
Пример. Два стрелка делают одновременно по одному
выстрелу в одну цель. Какова вероятность того, что оба по-
падут, если известно, что первый стрелок в среднем дает 7
попаданий, а второй 8 попаданий на каждые 10 выстрелов?
Какова вероятность поражения мишени?
Решение. Вероятность попадания первого стрелка (со-
бытие A) равна P(A)=0,8, вероятность попадания второго
стрелка (событие B) равна P(B)=0,7. События A и B незави-
симы друг от друга, поэтому вероятность совместного
наступления этих событий (совместное попадание в цель)
найдем по теореме умножения для независимых событий:
P(AB)=P(A)P(B)=0,80,7=0,56.
Вероятность поражения мишени означает попадание в
мишень хотя бы одного стрелка. Так как попадание в мишень
первого и второго стрелков являются событиями совместны-
ми, то применение теоремы сложения вероятностей для сов-
местных событий дает следующий результат:
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)·P(B)=
= 0,8+0,7- 0,8·0,7=0,94.
Следствие. Вероятность наступления хотя бы одного из
n независимых событий A1, A2, ... An можно найти используя
противоположное событие:
)A...AA(1)A...AA( n21n21 PP =
= )(...)()(1 21 nAPAPAP .
3.3. Формула полной вероятности
Определение 4. Если при некотором испытании может
произойти одно какое-либо событие из нескольких несов-
местных A1,A2,...,Ak, и при этом никаких других событий быть
не может, но одно из указанных событий обязательно про-
изойдет, то группу событий A1,A2,...,Ak называют полной
группой событий.
10
Пример. В урне лежат белые и черные шары и никаких
других. Взятый наугад один шар может оказаться белым или
черным. Эти события образуют полную группу, т.к. появле-
ние шара другой окраски при данном испытании исключено.
Теорема 7. Сумма вероятностей событий, образующих
полную группу, равна единице:
1)(...)()()(1
21
k
iki APAPAPAP .
Если вероятность одного события обозначим через p,
вероятность противоположного ему события обозначим через
q, тогда p+q=1.
Пример. Вероятность попадания в цель равна 0,94.
Найти вероятность непопадания.
Решение. Попадание в цель и непопадание являются
противоположными событиями, поэтому, если p=0,94, то
q=1-p=1-0,94=0,06.
Теорема 8. Если случайные события A1, A2, …, An обра-
зуют полную группу, и если событие B может осуществлять-
ся только совместно с каким-нибудь одним из этих событий,
то вероятность наступления события B можно определить по
формуле полной вероятности:
)()(...)()()()()(21 21 BPAPBPAPBPAPBP
nAnAA .
Пример. На склад готовой продукции поступили изде-
лия из трех цехов, в том числе: 30% из I-го цеха, 45% из II
цеха и 25% из III цеха. Среди изделий I цеха брак составляет
0,6%, по II цеху 0,4% и по III цеху-0,16%. Какова вероятность
того, что взятое наугад для контроля одно изделие окажется с
браком?
Решение. Одно изделие может быть взято или из про-
дукции I цеха (событие A1), или из продукции II цеха (собы-
тие A2), или из продукции III цеха (событие A3). Вероятности
этих событий будут равны:
P(A1)=0,30; P(A2)=0,45; P(A3)=0,25.
11
Вероятность того, что изделие с браком (событие B) бу-
дет взято из продукции I цеха, есть условная вероятность
)(1
BPA . Она по условию равна )(1
BPA =0,006. Вероятность
того, что изделие с браком будет взято из продукции II цеха
)(2
BPA =0,004 и из продукции III цеха )(3
BPA =0,0016.
Теперь по формуле полной вероятности найдем вероят-
ность того, что взятое наугад одно изделие будет с браком:
P(B) = 0,3·0,006+0,45·0,004+0,25·0,0016=0,004.
Следствие. Формула Байеса позволяет вычислить веро-
ятность события iA при условии, что событие В уже произо-
шло в результате эксперимента:
)()(...)()()()(
)()()(
21 21 BPAPBPAPBPAP
BPAPAP
n
i
AnAA
Ai
iB
Пример. Для задачи, приведённой выше, определить ве-
роятность того, что бракованное изделие поступило из второго
цеха.
Решение. По формуле Байеса искомая вероят-
ность равна:
45,060,25·0,0010,45·0,0040,3·0,006
004,045,0)( 2
APB .
3.4. Формула Бернулли
Теорема 9. Пусть производится n независимых повтор-
ных испытаний по отношению к некоторому событию A.
Пусть вероятность появления этого события в каждом от-
дельном испытании остается неизменно равной p, а вероят-
ность появления противоположного события Ā, есть q.
Тогда вероятность появления интересующего нас собы-
тия A ровно m раз при указанных n испытаниях рассчитыва-
ется по формуле Бернулли:
12
)(mPn = mnmm
n qpC , где )!(!
!
mnm
nC m
n
.
Пример. Коэффициент использования станка в среднем равен
0,8. В цехе имеется 5 станков. Какова вероятность того, что в
некоторый момент времени окажутся работоспособными
только 3 станка?
Решение. Задача подходит под схему повторных испы-
таний и решается по формуле Бернулли:
n=5, m=3, p=0,8, q=1-0,8=0,2.
)3(5P = 3
5C ·(0,8)3·(0,2)
2=0,2084.
3.5. Асимптотическая формула Пуассона
В статистической практике нередко встречаются такие
примеры независимых испытаний, когда при большом числе
n независимых испытаний вероятность р появления события
в каждом отдельном испытании оказывается сравнительно
малой величиной, стремящейся к нулю с увеличением числа
испытаний.
При этих условиях для вычисления вероятности )(mPn
появление события m раз в n испытаниях пользуются асимп-
тотической формулой Пуассона:
am
n em
amP
!)( , где a=np.
Пример. Доля брака всей продукции завода составляет
0,5%. Какова вероятность того, что в партии, состоящей из 400
изделий, окажется три изделия бракованных?
Решение. В условии примера дано p=0,005, n=400, m=3,
следовательно, a=np=400·0,005=2. Вероятность данного со-
бытия найдем по формуле Пуассона Р400(3) = 0,1804. Значения
)(mPn можно взять из таблицы в приложении.
13
4. Случайные величины и их числовые характеристи-
ки
Определение 1. Случайной величиной называется пере-
менная величина, имеющая определённый экономический,
физический или иной смысл, значения которой подвержены
неконтролируемому разбросу.
Случайные величины могут быть как дискретными, так
и непрерывными.
Определение 2. Дискретной называется случайная ве-
личина, которая может принимать лишь отдельные, изолиро-
ванные друг от друга значения. Дискретная случайная вели-
чина – это величина, все значения которой можно перенуме-
ровать.
Для характеристики случайной величины недостаточно
перечислить все ее возможные значения. Необходимо также
знать, как часто могут появиться те или иные значения слу-
чайной величины в результате испытаний при одних и тех же
условиях, т.е. нужно определить вероятности их появления.
Исчерпывающее описание случайной величины дается
ее законом распределения – правилом, позволяющим опреде-
лить вероятность попадания этой величины в любую задан-
ную область ее значений.
Законом распределения дискретной случайной величи-
ны Х является ряд распределения - таблица из двух строк
(столбцов), в первой из которых перечислены все возможные
значения случайной величины х1, х2, …..,хn,…. во второй – со-
ответствующие им вероятности p1, p2, …, pn,…:
хi х1 х2 …. Хn ….
Рi р1 р2 …. Рn ….
Здесь рi=Р(Х=хi). Вероятности всех значений случайной
дискретной величины удовлетворяют условию нормировки:
14
n
iip
1
1 .
Графическое представление закона распределения слу-
чайной дискретной величины называется многоугольником
распределения.
4.1. Числовые характеристики дискретной случай-
ной величины.
Из ряда распределения мы получаем наиболее полную,
хотя иногда и труднообозримую информацию о поведении
дискретной случайной величины в ходе испытаний. Однако
на практике часто бывает достаточно знать значительно
меньше, а именно:
1) Знать примерное расположение того более или менее узко-
го интервала значений величины, в котором находится основ-
ная масса вероятности; иначе говоря, знать некоторое сред-
нее из значений величины, вокруг которого группируются
(более или менее тесно) эти значения.
Это среднее носит название математического ожида-
ния случайной величины Х, обозначается M(X) и вычисляется
по формуле 1
( )n
i i
i
М X x p
Свойства математического ожидания.
10
Математическое ожидание постоянной (неслучайной)
величины С равно самой постоянной M(C)=C.
20 Математическое ожидание алгебраической суммы
нескольких случайных величин равно алгебраической сумме
математических ожиданий слагаемых
M(X1 ± X2 ±...± Xn) = M(X1) ± M(X2) ±…± M(Xn).
30 Константу можно вынести за знак математического
ожидания M(CX)=CM(X).
15
40 Математическое ожидание произведения нескольких
независимых случайных величин равно произведению мате-
матических ожиданий этих величин:
1 2 1 2(X X ... ) (X ) ( ) ... ( )n nM X M M X M X .
Знать, как и насколько разбросана масса вероятности
около центра группирования, т.е. точно охарактеризовать с
помощью числового показателя степень рассеивания.
Этот показатель называется дисперсией и обозначается
D(X).
Определение 3. Дисперсией случайной дискретной ве-
личины X называется математическое ожидание квадрата
отклонения этой величины от ее математического ожидания.
2 2
1
( ) ( ) ( )n
i x i
i
D X M X M X x m p
, где ( ) xM X m .
Для вычисления дисперсии более удобна формула:
D(X)= )()( 22 XMXM , т.е. дисперсия случайной величины
равна разности между математическим ожиданием квадрата
этой величины и квадратом ее математического ожидания.
Свойства дисперсии.
10 Дисперсия постоянной величины равна нулю
D(С) = 0.
20 Постоянный множитель можно выносить за знак
дисперсии, предварительно возведя его в квадрат:
D(CX) = C2D(X).
30
Дисперсия суммы нескольких независимых случай-
ных величин равна сумме дисперсий этих величин:
D(X1+...+Xn) = D(X1)+...+D(Xn).
40 Дисперсия разности двух независимых случайных
величин равна сумме дисперсий этих величин
D(X-Y)=D(X)+D(Y).
16
Поскольку дисперсия имеет размерность квадрата слу-
чайной величины, на практике часто используют другую
числовую характеристику - среднеквадратичное отклонение
(СКО).
Определение 4. Среднеквадратичным отклонением
случайной величины называется квадратный корень из дис-
персии: )(xDх .
Пример. Найти математическое ожидание и дисперсию
случайной величины X, которая задана следующим законом
распределения:
Решение. Найдем математическое ожидание:
M(Х)=1·0,3+2·0,5+5·0,2=2,3.
Найдем дисперсию:
D(X)=1·0,3+4·0,5+25·0,2-2,32=2,01.
4.2. Числовые характеристики непрерывной случай-
ной величины
Определение 5. Непрерывная случайная величина – это
величина, все значения которой сплошь заполняют некоторый
промежуток числовой прямой.
Закон распределения непрерывной случайной величи-
ны может быть задан с помощью любой из двух взаимно -
однозначно связанных между собой функций: функции рас-
пределения (интегральной) и плотности распределения
(дифференциальной).
Функция распределения одномерной случайной вели-
чины определяется следующим образом:
F (х) = Р(Х < х).
X 1 2 5
p 0,3 0,5 0,2
17
Плотность вероятности представляет собой производ-
ную функции распределения: ( )
( )dF x
f xdx
.
Свойства интегральной функции распределения.
10 Значения интегральной функции распределения при-
надлежат отрезку 0, 1 , т.е. 0≤F(x) ≤1.
20 Функция распределения есть неубывающая функция.
30 0)( F , 1)( F .
40
)()()( aFbFbxaP .
Свойства дифференциальной функции
распределения.
10 Дифференциальная функция распределения есть
функция неотрицательная f(x) ≥0.
20 Несобственный интеграл от дифференциальной
функции распределения равен единице (условие нормиров-
ки):
1)( dxxf .
30
Зная дифференциальную функцию, можно найти
функцию распределения:
x
dttfxF )()( .
40
b
a
dxxfbxaP )()( .
Математическим ожиданием непрерывной случайной
величины X называется интеграл:
18
dxxxfXM )()( ,
где f(x)-плотность вероятности случайной величины X.
Дисперсия непрерывной случайной величины равна:
D(x)= 2 2 2( ) ( )x xx m f x dx x f x dx m
.
Медианой Me(X) распределения случайной величины X
называется корень уравнения 1
( )2
XF Me .
Медиана является средней характеристикой распределе-
ния в том смысле, что X с равными вероятностями принимает
значения, лежащие справа и слева от Me(X). Поэтому для дис-
кретной случайной величины медиана – это середина вариа-
ционного ряда.
Модой Mo(X) распределения называется наиболее веро-
ятное значение случайной величины: в непрерывном случае -
точка максимума плотности распределения, в дискретном
случае – наиболее вероятное значение из ряда распределения.
Пример. Найти дисперсию, медиану и моду случайной
величины X, заданной интегральной функцией
F(x)=
0, 2,
1, 2 2,
4 2
1, 2.
при x
xпри x
при x
Решение. Найдем дифференциальную функцию:
0, 2,
1( ) ( ) , 2 2,
4
0, 2.
при x
f x F x при x
при x
.
Вычислим математическое ожидание
19
2 2 2 2
2 2
1 2 ( 2)( ) ( ) 0
4 8 8M X x f x dx x dx
.
Найдем искомую дисперсию
2 2
2 2
2 2
1 4( ) ( )
4 3xD x x m f x dx x dx
.
Me(X) найдём из уравнения 1
( )2
XF Me : 1 1
4 2 2
x , откуда
( ) 0x Me X .
Мода 1
( )4
Mo X - максимум плотности распределе-
ния.
5. Равномерное распределение
Определение . Случайная величина называется равно-
мерно распределённой на [a, b], если её плотность распреде-
ления на отрезке постоянна , а вне его равна нулю:
],[,
1
],[,0
)(bax
ab
bax
xf .
Числовые характеристики этого распределения:
2)(
baXM
,
12
)()(
2abXD
.
Пример. Время ожидания автобуса Х измеряется в мину-
тах и распределено на отрезке [0, 10]. Определить среднее
время ожидания автобуса и вероятность того, что ждать при-
дётся не более 3-х минут.
Решение. 52
100)(
XM (мин) – среднее время ожи-
дания. 3,0)03(1,01,0)3(3
0
dxXP .
20
6. Экспоненциальное распределение
Определение. Случайная величина Х распределена по
экспоненциальному закону, если её плотность распределения
имеет вид:
0,
0,0)(
xe
xxf
x, 0 .
Числовые характеристики этого распределения:
1)( XM ,
2
1)(
XD .
7. Нормальное распределение
Это распределение играет исключительную роль в тео-
рии вероятностей и математической статистике. Оно описы-
вает случайные величины, которым присущи самые общие
закономерности: непрерывность значений, симметричность,
большая вероятность малых отклонений от среднего значе-
ния.
Известно, что случайные величины, формирующиеся
под воздействием большого числа независимых случайных
факторов, взаимодействующих аддитивно и имеющих один
порядок значений, распределены приблизительно по нор-
мальному закону.
Определение 1. Непрерывная случайная величина X
называется нормальной, если её плотность вероятности опи-
сывается формулой:
2
2
2
)(
2
1)(
x
exf ,
где μ - математическое ожидание, σ - среднеквадратическое
отклонение.
Определение 2. Нормальное распределение с парамет-
рами μ=0, σ=1 называется нормированным или стандарт-
ным.
21
Плотность вероятности стандартного нормального
распределения описывается следующей формулой:
2
2
2
1x
ex
.
Значения данной функции для неотрицательных значе-
ний табулированы. В силу чётности функции φ(x) значения
для отрицательных чисел легко определить φ(-x)= φ(x).
Пример. Математическое ожидание нормально распре-
деленной случайной величины равно 3 и среднеквадратиче-
ское отклонение σ =2, тогда дифференциальная функция
имеет вид: f(x)= 8
)3( 2
22
1 x
e
Теорема. Если случайная величина X распределена по
нормальному закону, то вероятность ее попадания в интервал
(a,b) определяется следующим образом:
( )b a
P a X b
.
Здесь
x z
dzez0
2
2
2
1)(
- функция Лапласа, значения кото-
рой для неотрицательного аргумента табулированы. Для отри-
цательного аргумента их можно найти из соотношения
( ) ( )Ф x Ф x .
Следствие. Вероятность отклонения нормальной случайной
величины от своего математического ожидания на величину Δ
вычисляется по формуле
2xP .
Пример. Случайная величина X распределена по нор-
мальному закону. Математическое ожидание и среднеквадра-
тическое отклонение этой величины соответственно равны 30
и 10. Найти вероятность того, что X примет значение, при-
надлежащее интервалу (10, 50).
Решение. a=10, b=50, σ =10, μ=30.
22
10
3010
10
3050)5010( xP
(2) ( 2) 2 (2)Ф Ф Ф
Из таблицы находим Ф(2) и окончательно имеем
P(10 < x < 50)=0,9544.
8. Предельные теоремы Муавра-Лапласа
Если число независимых испытаний n достаточно ве-
лико, а вероятность p одного успешного испытания не мала,
то пользоваться формулой Бернулли становится неудобно. В
этом случае для решения практических задач используются
следующие теоремы Лапласа:
Локальная теорема
npq
npm
npqmPn
1)( ,
где )(x - плотность стандартного нормального рас-
пределения.
Интегральная теорема
npq
npm
npq
npmmxmP 12
21 )( ,
где )(x - функция Лапласа.
23
Домашнее задание
Задача 1. Вычислить вероятность событий, используя
классическое определение вероятности и формулы
комбинаторики:
Инвестор формирует пакет из R акций. В его распоря-
жении имеются N акций нефтяной компании , M акций бан-
ков и K акций телекоммуникационной компании. Найти веро-
ятности следующих событий:
а) инвестор сформировал пакет из n акций нефтяной
компании, m акций банков и k акций телекоммуникационной
компании;
б) в пакете, сформированном инвестором, имеется хотя
бы одна акция нефтяной компании.
Задача 2. Вычислить вероятности событий, используя
основные теоремы теории вероятностей (сложения, умно-
жения):
Три брокера играют на бирже. Предполагается, что ве-
роятности событий «провести торги с прибылью за текущий
период» для брокеров равны 1p , 2p и 3p . Какова вероят-
ность того, что за текущий период:
а) все три брокера проведут торги с прибылью;
б) хотя бы один из трёх брокеров проведёт торги с при-
былью;
в) один брокер проведёт торги с прибылью, а два дру-
гих – без прибыли?
Задача 3. Вычислить вероятности событий, применяя
формулы полной вероятности или Байеса:
Имеется три одинаковые коробки с коллекционными
монетами. В первой коробке m1 российских и m2 канадских
монет, во второй – n1 российских и n2 канадских, в третьей –
r1 российских и r2 канадских. Наудачу выбирается коробка, и
из нее вынимают две монеты.
24
а) Найти вероятность, что они разные (российские и ка-
надские).
б) Они оказались разными. Из какой коробки вероятнее
всего они были извлечены?
Задача 4. Вычислить вероятности событий по форму-
лам Бернулли или Пуассона:
1. Вероятность того, что некий студент может сдать экзамен
сессии на отлично равна p. В сессию он должен сдать N
экзаменов. Найти вероятности того, что студент сдаст на
отлично:
а) n экзаменов;
б) от n1 до n2 экзамена;
в) хотя бы один экзамен;
г) найти наиболее вероятное число экзаменов, сдан-
ных на отлично, и его вероятность.
2. Вероятность изготовления бракованной детали равна p.
Определить вероятность того, что из N деталей число
бракованных составит:
а) n деталей;
б) хотя бы две.
3. Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету
равна р. Сколько нужно купить лотерейных билетов, чтобы
выиграть хотя бы по одному из них с вероятностью P, не
меньшей, чем 0,9?
Задача 5. Определение числовых характеристик дис-
кретной случайной величины.
Закон распределения случайной величины Х задан табли-
цей:
xi -1 0 1 2 4
pi P1 P2 ? P4 P5
Найти недостающее значение вероятности; , ,X X Xm D ,
моду и медиану случайной величины Х. Чему равна вероят-
25
ность ( 1)P X , ( 2)P X ? Найти математическое ожидание и
дисперсию случайной величины 3X 7Y = + .
Задача 6. Определение числовых характеристик не-
прерывной случайной величины.
Случайная величина Х распределена с постоянной плотно-
стью С в промежутке [Q1,Q2]; попадает с вероятностью R в
промежуток [Z1, Z2] и имеет там плотность распределения
вида 3f(x)= A x z . Для остальных значений Х 0f ( x ) =.
Требуется:
1. Найти недостающие значения параметров.
2. Указать плотность распределения, функцию распределения
и построить их графики.
3. Вычислить математическое ожидание Xm , дисперсию Dx,
среднеквадратическое отклонение X случайной величины Х.
Найти вероятность ( )x XP X m < .
Задача 7. Решить задачу, используя нормальное рас-
пределение:
Измеряемая случайная величина Х подчиняется закону
распределения ( )x xN m ,σ . Определить:
1. Вероятность того, что случайная величина не
превосходит значение ε ;
2. Вероятность того, что случайная величина изменяется
от α до β;
3. Вероятность того, что случайная величина отличается
от среднего не более чем на значение σ в ту или другую
сторону;
4. Симметричный относительно математического ожидания
интервал, в который с вероятностью 1p попадает измеряемое
значение.
26
Данные к домашнему заданию по вариантам:
№ вар. задача 1 задача 2
R N
n
M
m
K k 1p
2p 3p
1 10 7 5 6 3 5 2 0,2 0,4 0,7
2 13 8 5 8 3 9 5 0,3 0,5 0,8
3 20 15 8 12 7 9 5 0,5 0,6 0,9
4 18 12 9 11 3 8 6 0,3 0,7 0,2
5 13 10 6 8 4 12 3 0,7 0,4 0,5
6 12 10 4 6 2 8 6 0,8 0,3 0,7
7 14 8 5 10 6 6 3 0,6 0,2 0,5
8 15 9 6 6 4 10 5 0,1 0,9 0,4
9 17 15 10 10 3 8 4 0,2 0,5 0,6
10 16 12 8 9 4 9 4 0,4 0,6 0,8
11 11 8 4 8 3 5 4 0,6 0,7 0,5
12 14 10 6 7 5 8 3 0,9 0,5 0,3
13 16 14 9 7 2 11 7 0,7 0,5 0,1
14 17 12 8 13 4 7 5 0,5 0,8 0,4
15 16 15 7 9 3 8 6 0,3 0,8 0,2
16 16 10 8 8 3 10 5 0,2 0,9 0,8
17 13 7 5 6 3 8 5 0,7 0,6 0,5
18 10 7 4 8 3 5 3 0,8 0,4 0,7
19 17 10 7 8 6 10 4 0,6 0,9 0,3
20 13 8 4 9 6 5 3 0,5 0,7 0,8
21 11 6 4 8 4 4 3 0,4 0,5 0,8
22 13 5 2 6 6 8 5 0,7 0,3 0,4
23 12 6 3 7 5 9 4 0,6 0,5 0,5
24 15 5 7 10 3 7 5 0,8 0,3 0,5
25 16 10 4 8 5 9 7 0,5 0,6 0,9
27
Продолжение данных: №
вар.
Задача 3 задачи 4.1 4.2 4.3
m1
m2
n1
n2
r1
r2 p
N
n
n1
n2
p
N
n p
1 4
3
5
2
3
5 0,63
5
3
2
4
0,002 1000
2
0,02
2 5
3
4
2
3
3 0,57
4
3
1
3
0,001 500
3
0,01
3 6
3
3
2
4
1 0,46
4
2
2
3
0,003 300
5
0,03
4 2
7
6
4
2
2 0,55
5
2
2
4
0,004 500
4
0,04
5 4
1
3
7
4
3 0,67
5
3
3
5
0,001 1000
3
0,01
6 8
3
6
4
5
4 0,46
4
2
3
4
0,003 200
2
0,03
7 4
5
6
2
7
1 0,68
5
4
1
4
0,002 500
4
0,02
8 5
3
7
4
3
3 0,56
4
3
2
4
0,005 400
3
0,05
9 7
2
5
3
2
4 0,81
5
2
1
3
0,005 200
1
0,05
10 6
5
7
3
3
5 0,72
4
1
2
3
0,001 500
2
0,01
11 9
1
4
6
3
7 0,65
6
4
3
5
0,007 1000
6
0,07
12 2
5
6
3
8
4 0,36
5
4
2
4
0,002 1000
5
0,02
13 6
2
8
5
2
2 0,55
5
3
2
5
0,003 200
1
0,03
14 3
7
4
2
1
3 0,48
4
2
1
3
0,004 200
3
0,04
15 1
5
5
3
8
3 0,74
4
3
2
4
0,006 500
4
0,06
16 7
2
5
6
9
3 0,68
6
3
3
6
0,002 300
4
0,02
17 2
6
5
3
7
6 0,72
5
3
2
4
0,003 1000
7
0,03
18 2
4
4
3
7
1 0,84
4
2
1
3
0,001 300
1
0,01
19 3
3
5
4
8
4 0,91
4
3
1
4
0,008 500
10
0,08
20 5
4
4
4
6
7 0,73
5
2
2
4
0,005 200
5
0,05
28
21 2
5
3
4
2
2 0,55
5
3
1
3
0,002 400
3
0,04
22 3
6
5
7
3
2 0,48
4
1
1
2
0,003 600
5
0,03
23 3
7
4
6
5
5 0,66
5
2
1
4
0,004 500
3
0,05
24 2
7
4
5
3
1 0,75
4
3
2
3
0,002 600
4
0,1
25 4
4
3
6
1
5 0,84
3
2
1
2
0,006 700
3
0,15
Данные для задачи 5:
№ вар. 1p 2p 4p 5p
1 0,11 0,27 0,1 0,23
2 0,11 0,4 0,08 0,17
3 0,13 0,22 0,06 0,3
4 0,11 0,27 0,1 0,26
5 0,13 0,28 0,08 0,19
6 0,13 0,23 0,05 0,17
7 0,11 0,37 0,05 0,3
8 0,13 0,3 0,06 0,14
9 0,15 0,32 0,09 0,23
10 0,12 0,27 0,1 0,15
11 0,14 0,37 0,07 0,29
12 0,11 0,22 0,08 0,28
13 0,1 0,24 0,1 0,14
14 0,15 0,4 0,09 0,15
15 0,13 0,37 0,1 0,17
16 0,1 0,4 0,09 0,16
17 0,13 0,26 0,07 0,26
18 0,14 0,34 0,06 0,12
19 0,1 0,26 0,05 0,15
20 0,15 0,25 0,08 0,11
21 0,1 0,3 0,08 0,13
22 0,11 0,32 0,1 0,2
23 0,14 0,27 0,1 0,2
24 0,14 0,39 0,05 0,22
25 0,13 0,23 0,07 0,18
29
Данные для задачи 6:
№
вар.
Q1 Q2 Z1 Z2 z3 R C A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
-1
-4
-1
-3
-3
-1
1
0
-3
-1
-1
-4
-3
-3
-1
-2
0
-1
-3
-4
1
-2
-3
1
-4
1
-1
2
0
-1
3
4
3
0
1
2
-2
0
-1
0
1
3
2
-1
-2
4
2
-1
3
-1
-3
0
-3
1
0
-3
-2
-3
1
2
-5
0
1
0
1
3
-4
-6
0
0
-4
3
2
-3
2
-2
2
-2
3
1
-2
0
-1
3
4
-2
2
3
3
2
4
-2
-4
2
3
-2
5
4
0
5
-4
-3
-5
-2
-1
1
3
2
3
5
-2
-1
1
4
1
1
3
-7
-1
-2
1
1
1
4
-6
0.25
0.33
0.45
0.35
0.3
0.35
0.15
0.4
0.125
0.125
0.215
0.155
0.125
0.135
0.125
0.155
0.135
0.215
0.225
0.325
0.145
0.135
0.215
0.025
0.245
30
Данные для задачи 7:
№
вар. x xm ,σ ε 1p α ; β
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
2; 0.3
1; 0.5
3; 0.2
0; 1.2
0.5; 0.03
4; 1.2
3.5; 2.3
2.3; 1.1
1.4; 0.4
6; 2.4
3.6; 1.2
8; 4.2
1.3; 0.3
2.5; 1.2
3.1; 2.3
5; 1.6
4.2; 3.2
7; 1.5
2.4; 0.4
5.1; 3.1
3; 2.1
6.2; 3.5
4.8; 0.8
5.6; 0.9
1.7; 0,1
0.7
1.3
1.6
0.3
0.1
2.3
2.5
1.7
0.6
6.8
4.2
5.7
0.6
3.1
2.4
5.8
4.5
3.6
2.1
4.6
2.5
5.1
5.6
3.8
1.2
0.75
0.48
0.54
0.67
0.78
0.66
0.59
0.65
0.58
0.49
0.87
0.94
0.87
0.73
0.27
0.57
0.55
0.64
0.48
0.58
0.55
0.69
0.48
0.77
0.86
1.1; 2.1
0.3; 0.7
1; 1.5
-0.2; 0.3
0; 1.3
4.1; 4.9
2.3; 3.6
3.2; 3.5
0.2; 0.9
4.5; 6.1
2.6; 3.1
5.7; 7.8
2; 3.4
1.4; 2.6
2.5; 3.5
3.2; 5.1
3.7; 6
5.6; 7.6
1.3; 4.3
4.2; 6.1
1.2; 3.4
5.7; 7.1
3.4; 6.1
4.5; 6.3
0.2; 0.8
31
Указания к выполнению домашнего задания
Задача 1. Вычислить вероятность событий,
используя классическое определение вероятности и
формулы комбинаторики:
Инвестор формирует пакет из R акций. В его распо-
ряжении имеются N акций нефтяной компании , M акций
банков и K акций телекоммуникационной компании. Найти
вероятности следующих событий:
а) А={инвестор сформировал пакет из n акций нефтя-
ной компании, m акций банков и k акций телекоммуникаци-
онной компании}.
По формуле ( )
( )( )
N AP A
N
, где ( )N A - число исходов,
благоприятствующих событию А, ( )N - общее число исхо-
дов. Для вычисления этих значений используем число соче-
таний:
( ) R
N M KN C , ( ) n m k
N M KN A C C C .
б) В={в пакете, сформированном инвестором, имеется
хотя бы одна акция нефтяной компании}.
Перейдём к событию B ={в пакете, сформированном
инвестором, не ни одной акции нефтяной компании}.
( )( )
( )
N BP B
N
, где ( ) R
N M KN C , ( ) R
M KN B C .
Искомая вероятность равна ( ) 1 ( )P B P B .
Задача 2. Вычислить вероятности событий, исполь-
зуя основные теоремы теории вероятностей (сложения,
умножения):
Три брокера играют на бирже. Предполагается, что
вероятности событий «провести торги с прибылью за теку-
32
щий период» для брокеров равны 1p ,2p и
3p . Какова веро-
ятность того, что за текущий период:
а) А={все три брокера проведут торги с прибылью}.
Введём следующие обозначения:
iA ={брокер с номером i проведёт торги с прибылью},
тогда 1 2 3A A A A и ( )i iP A p , 1,2,3.i
События iA независимы, значит по теореме умножения
вероятность произведения событий равна произведению ве-
роятностей этих событий:
1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) ( )P A P A P A P A p p p .
б) B={хотя бы один из трёх брокеров проведёт торги с
прибылью}.
Перейдём к событию B ={ни один из трёх брокеров не
проведёт торги с прибылью}, тогда 1 2 3B A A A , где собы-
тие iA ={брокер с номером i не проведёт торги с прибылью} и
( ) 1 ( ) 1i i iP A P A p . В силу независимости этих событий
имеем 1 2 3( ) (1 )(1 )(1 )P B p p p . Искомая вероятность
равна ( ) 1 ( )P B P B .
в) C={один брокер проведёт торги с прибылью, а два
других – без прибыли}.
Это событие можно представить в виде суммы попарно
трёх несовместных событий:
1 2 3 1 2 3 1 2 3C A A A A A A A A A .
По теореме сложения для несовместных событий име-
ем:
1 2 3 1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) ( )P C P A A A P A A A P A A A .
В силу независимости вышеуказанных событий это ра-
венство можно продолжить следующим образом:
1 2 3 1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P C P A P A P A P A P A P A P A P A P A
33
Подставляя исходные данные, получим искомую вероят-
ность.
Задача 3. Вычислить вероятности событий, применяя
формулы полной вероятности или Байеса:
Имеется три одинаковые коробки с коллекционными
монетами. В первой коробке m1 российских и m2 канадских
монет, во второй – n1 российских и n2 канадских, в третьей –
r1 российских и r2 канадских. Наудачу выбирается коробка, и
из нее вынимают две монеты.
а) Найти вероятность, что они разные (российские и ка-
надские).
Введём следующие обозначения:
В={монеты разные}, iA ={наудачу выбрана i коробка}.
Вероятность 1
( )3
iP A , так как было 3 коробки.
Найдём условные вероятности ( )iAP B по классическому
определению, используя число сочетаний:
1
1 2
1 2
2( )A
m m
m mP B
C
,
2
1 2
1 2
2( )A
n n
n nP B
C
,
3
1 2
1 2
2( )A
r r
r rP B
C
.
Искомая вероятность по формуле полной вероятности
равна 1 2 31 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A A AP B P A P B P A P B P A P B .
б) Они оказались разными. Из какой коробки вероятнее
всего они были извлечены?
На вопрос задачи можно ответить, вычислив три вероят-
ности по формуле Байеса ( ) ( )
( )( )
ii A
B i
P A P BP A
P B
, и выбрать
наибольшую из них.
Задача 4. Вычислить вероятности событий по фор-
мулам Бернулли или Пуассона:
34
1. Вероятность того, что некий студент может сдать
экзамен сессии на отлично равна p. В сессию он должен сдать
N экзаменов. Найти вероятности того, что студент сдаст на
отлично:
а) А={n экзаменов}.
По формуле Бернулли имеем:
( ) ( )NP A P n = n n N n
NC p q , где 1p q .
б) B={от n1 до n2 экзамена}.
Событие В представляет собой сумму несовместных со-
бытий iB , где 1 2,...,i n n , следовательно,
2
1 1 1 2 2 2
1
1 2( ) ( ) ( ) ... ( ) ...n
n n N n n n N n
i N N N N
i n
P B P B P n P n C p q C p q
в) C={хотя бы один экзамен}.
Введём обозначение C ={ни одного экзамена студент на
отлично не сдал}, тогда 0 0( ) (0) N N
N NP C P C p q q . Ис-
комую вероятность найдём по формуле ( ) 1 ( )P C P C .
г) найти наиболее вероятное число экзаменов, сданных
на отлично, и его вероятность.
Обозначим наиболее вероятное число 0n , его можно
найти их двойного неравенства 0Np q n Np p и, приме-
нив формулу Бернулли, определить 0( )NP n .
2. Вероятность изготовления бракованной детали равна
p. Определить вероятность того, что из N деталей число
бракованных составит:
а) А={n деталей}.
По формуле Пуассона ( ) ( )!
na
N
aP A P n e
n
, где a=Np.
б) B={хотя бы две}.
Перейдём к событию B ={число бракованных изделий
менее двух}, тогда B - это сумма двух несовместных собы-
тий, а его вероятность - это сумма вероятностей, каждую из
35
которых можно определить по формуле Пуассо-
на: ( ) (0) (1)N NP B P P . Искомая вероятность равна
( ) 1 ( )P B P B .
3. Вероятность выигрыша по одному лотерейному биле-
ту равна р. Сколько нужно купить лотерейных билетов, чтобы
выиграть хотя бы по одному из них с вероятностью P, не
меньшей, чем 0,9?
Введём следующие обозначения
iA ={i-ый билет выигрышный}, тогда ( )iP A p ;
iA ={i-ый билет невыигрышный}, тогда ( ) 1iP A p ;
N – число лотерейных билетов;
А={хотя бы один билет выигрышный};
A ={ни один билет не выигрышный}.
Событие A представляет собой произведение независи-
мых событий iA , и по теореме умножения его вероятность
равна 1 2( ) ( ) ( ) ... ( ) (1 )N
NP A P A P A P A p .
По условию задачи должно выполняться неравенство:
( ) 0,9P A , следовательно, число купленных лотерейных би-
летов N можно найти, решив неравенство: 1 (1 ) 0,9Np .
Задача 5. Определение числовых характеристик дис-
кретной случайной величины.
Закон распределения случайной величины Х задан таб-
лицей:
xi -1 0 1 2 4
pi P1 P2 ? P4 P5
Найти недостающее значение вероятности, , ,x x xm D ,
моду и медиану случайной величины Х. Чему равна вероят-
ность ( 1)P X , ( 2)P X ? Найти математическое ожидание и
дисперсию случайной величины 3X 7Y = + .
36
Из условия нормировки
n
iip
1
1 найдём недостающее
значение вероятности 3 1 2 4 51 ( )p p p p p .
Математическое ожидание, дисперсию и СКО вычис-
лим по формулам 1
n
x i i
i
m x p
, 2 2
1
n
x i i x
i
D x p m
, x xD .
Мода Мо – это значение xi с наибольшей вероятностью.
Пусть 521 ... ppp , тогда Мо=4.
Cередина вариационного ряда с нечётным числом чле-
нов N, определяется по формуле Ме = 2/)1( Nx = 3x =1.
Для случайной величины 3X 7Y = + найдём Ym , YD
пользуясь свойствами математического ожидания и диспер-
сии:
M(C)=C, M(X1 ± X2) = M(X1) ± M(X2), M(CX)=CM(X),
D(С) = 0, D(X1+X2) = D(X1)+D(X2),D(CX) = C2D(X).
( ) 3 ( ) 7 3 7xM Y M X m ,
( ) (3 7) 9 ( ) 9 xD Y D X D X D .
Задача 6. Определение числовых характеристик не-
прерывной случайной величины.
Случайная величина Х распределена с постоянной плот-
ностью С в промежутке [Q1,Q2]; попадает с вероятностью R
в промежуток [Z1, Z2] и имеет там плотность распределения
вида 3f(x)= A x z . Для остальных значений Х 0f(x)= .
Требуется:
1. Найти недостающие значения параметров.
Недостающие значения параметров найдём из условия
нормировки:
1)( dxxf , т.е. справедливо следующее:
37
2 2
1 1
3 1
z Q
z Q
A x z dx Cdx .
Рассмотрим 3 случая нахождения недостающих
параметров.
а) R известно, С и А найдём из следующих соотношений 2
1
1 2 3( )
z
z
P z x z A x z dx R и 2
1
1
Q
Q
Cdx R .
б) С известно, R и А найдём из следующих соотношений
2
1
2 1 1
Q
Q
Cdx C Q Q R и 2
1
3
z
z
A x z dx R .
в) А известно, С и R найдём из следующих соотношений 2
1
3
z
z
A x z dx R и 2
1
1
Q
Q
Cdx R .
2.Указать плотность распределения, функцию
распределения и построить их графики.
1 2
3 1 2
, ,
( ) , ,
0, .
C Q x Q
f x A x z z x z
в остальных случаях
Найдём функцию распределения, используя её опреде-
ление и свойство непрерывности слева:
x
dttfxF )()( .
3. Вычислить математическое ожидание xm , дисперсию
Dx, среднеквадратическое отклонение x случайной величины
Х. Найти вероятность ( )x xP X m < .
( )xm xf x dx
- математическое ожидание,
2 2 2( ) ( )x x xD x m f x dx x f x dx m
- дисперсия,
38
x xD - среднеквадратичное отклонение.
Вероятность ( )x xP X m < можно найти по формуле
( ) ( ) ( ) ( )
b
a
P a x b f x dx F b F a , положив x xa m и
x xb m .
Задача 7. Решить задачу, используя нормальное рас-
пределение:
Измеряемая случайная величина Х подчиняется закону
распределения ( )x xN m ,σ . Определить:
1. Вероятность того, что случайная величина не
превосходит значение ε .
( ) x
x
mP X
,
здесь
x z
dxex0
2
2
2
1)(
- функция Лапласа, значения
которой для неотрицательного аргумента табулированы. Для
отрицательного аргумента их можно найти из соотношения
( ) ( )Ф x Ф x и 1
( )2
, 1
( )2
.
2. Вероятность того, что случайная величина изменяется
от α до β.
( ) x x
x x
b m a mP X
.
3. Вероятность того, что случайная величина отличается
от среднего не более чем на значение σ в ту или другую
сторону.
Используя формулу из пункта 7, имеем:
12 xP ,
где (1) - табличное значение функции Лапласа.
39
4. Симметричный относительно математического
ожидания интервал, в который с вероятностью 1p попадает
измеряемое значение.
Пусть - величина, на которую нужно отступить
вправо и влево от математического ожидания xm , тогда
условие задачи можно представить в виде
1xP X m p . Следовательно, можно найти из
условия: 12x
x
P X m < p
(зная вероятность 1
2
p
находим по таблице значения аргумента функции Лапласа).
А интервал будет иметь вид ;x xm m .
40
Выбор номера варианта.
Номер варианта выбирается из данной таблицы по
двум последним цифрам зачетной книжки. Столбец фиксиру-
ется по предпоследней цифре, строка – по последней. Тогда
на пересечении столбца и строки находится ваш номер вари-
анта. Например, если две последние цифры зачетки 32, то
номер варианта 13.
Номер
вари-
анта
Предпоследняя цифра зачетной книжки
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
Посл
едн
яя
ци
фр
а з
ач
етн
ой
кн
иж
ки
1 10 8 15 21 21 10 7 20 15 6
2 3 14 7 21 17 25 3 2 3 22
3 22 10 11 10 12 2 12 22 16 4
4 12 11 12 12 25 3 4 20 16 18
5 15 24 9 23 6 13 3 13 22 7
6 7 1 14 22 25 10 22 11 12 24
7 8 1 24 11 7 14 6 12 23 1
8 15 18 20 8 21 24 19 19 8 10
9 8 14 17 17 20 22 12 8 21 6
0 17 9 23 16 14 13 8 1 11 5
41
Приложения.
Таблица 1. Распределение Пуассона am
em
amXP
!)( .
a
m
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
0
1
2
3
4
5
6
7
0.9048
0.0905
0.0045
0.0002
0.8187
0.1637
0.0164
0.0011
0.0001
0.7408
0.2223
0.0333
0.0033
0.0003
0.6703
0.2681
0.0536
0.0072
0.0007
0.0001
0.6065
0.3033
0.0758
0.0126
0.0016
0.0002
0.5488
0.3293
0.0988
0.0198
0.0030
0.0003
0.4966
0.3476
0.1216
0.0284
0.0050
0.0007
0.0001
0.4493
0.3595
0.1438
0.0383
0.0077
0.0012
0.0002
0.4066
0.3659
0.1647
0.0494
0.0111
0.0020
0.0003
a
m
1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
0.3679
0.3679
0.1839
0.0613
0.0153
0.0031
0.0005
0.0001
0.1353
0.2707
0.2707
0.1805
0.0902
0.0361
0.0120
0.0034
0.0009
0.0002
0.0498
0.1494
0.2240
0.2240
0.1681
0.1008
0.0504
0.0216
0.0081
0.0027
0.0008
0.0002
0.0001
0.0183
0.0733
0.1465
0.1954
0.1954
0.1563
0.1042
0.0595
0.0298
0.0132
0.0053
0.0019
0.0006
0.0002
0.0001
0.0067
0.0337
0.0842
0.1404
0.1755
0.1755
0.1462
0.1045
0.0653
0.0363
0.0181
0.0082
0.0034
0.0013
0.0005
0.0002
0.0025
0.0149
0.0446
0.0892
0.1339
0.1606
0.1606
0.1377
0.1033
0.0689
0.0413
0.0225
0.0113
0.0052
0.0022
0.0009
0.0003
0.0001
0.0009
0.0064
0.0223
0.0521
0.0912
0.1277
0.1490
0.1490
0.1304
0.1014
0.0710
0.0452
0.0264
0.0142
0.0071
0.0033
0.0015
0.0006
0.0002
0.0001
0.0003
0.0027
0.0107
0.0286
0.0572
0.0916
0.1221
0.1396
0.1396
0.1241
0.0993
0.0722
0.0481
0.0296
0.0169
0.0090
0.0045
0.0021
0.0009
0.0004
0.0001
0.0011
0.0050
0.0150
0.0337
0.0607
0.0911
0.1171
0.1318
0.1318
0.1186
0.0970
0.0728
0.0504
0.0324
0.0194
0.0109
0.0058
0.0029
0.0014
42
Таблица 2. Функция 2
2
2
1)(
x
ex
.
С о т ы е д о л и
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3.0
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
0.3989
3970
3910
3814
3683
3521
3332
3123
2897
2661
0.2420
2179
1942
1714
1497
1295
1109
0940
0790
0656
0.0540
0440
0355
0283
0224
0175
0136
0104
0079
0060
0.0044
0033
0024
0017
0012
0009
3989
3965
3902
3802
3668
3503
3312
3101
2874
2637
2396
2155
1919
1691
1476
1276
1092
0925
0775
0644
0529
0431
0347
0277
0219
0171
0132
1010
0077
0058
0043
0032
0023
0017
0012
0008
3989
3961
3894
3790
3652
3485
3292
3079
2850
2613
2371
2131
1895
1669
1456
1257
1074
0909
0761
0632
0519
0422
0339
0270
0213
0167
0129
0099
0075
0056
0042
0031
0022
0016
0012
0008
3988
3956
3885
3778
3637
3467
3271
3056
2827
2589
2347
2107
1872
1647
1435
1238
1057
0893
0748
0620
0508
0413
0332
0264
0208
0163
0126
0096
0073
0055
0040
0030
0022
0016
0011
0008
3986
3951
3876
3765
3621
3448
3251
3034
2803
2565
2323
2083
1849
1626
1415
1219
1040
0878
0734
0608
0498
0404
0325
0258
0203
0158
0122
0093
0071
0053
0039
0029
0021
0015
0011
0008
3984
3945
3867
3752
3605
3429
3230
3011
2780
2541
2299
2059
1826
1604
1394
1200
1023
0863
0721
0596
0488
0396
0317
0252
0198
0154
0119
0091
0069
0051
0038
0028
0020
0015
0010
0007
3982
3939
3857
3739
3589
3410
3209
2989
2756
2516
2275
2036
1804
1582
1374
1182
1006
0848
0707
0584
0478
0387
0310
0246
0194
0151
0116
0088
0067
0050
0037
0027
0020
0014
0010
0007
3980
3932
3847
3726
3572
3391
3187
2966
2732
2402
2251
2012
1781
1561
1354
1163
0989
0833
0694
0573
0468
0379
0303
0241
0189
0147
0113
0086
0065
0048
0036
0026
0019
0014
0010
0007
3977
3925
3836
3712
3555
3372
3166
2943
2709
2466
2227
1989
1758
1539
1334
1145
0973
0818
0681
0562
0459
0371
0297
0235
0184
0143
0110
0084
0063
0047
0035
0025
0018
0013
0009
0007
3973
3918
3825
3697
3538
3352
3144
2920
2685
2444
2203
1965
1736
1513
1315
1127
0957
0804
0669
0551
0449
0363
0290
0229
0180
0139
0107
0081
0061
0046
0034
0025
0018
0013
0009
0006
43
Таблица 3. Функция Лапласа
2
2
0
1
2π
x t
Φ(x)= e dt
.
x
Ф(x)
x
Ф(x)
x
Ф(x)
x
Ф(x)
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.10
0.11
0.12
0.13
0.14
0.15
0.16
0.17
0.18
0.19
0.20
0.21
0.22
0.23
0.24
0.25
0.26
0.27
0.28
0.29
0.30
0.31
0.0000
0.0040
0.0080
0.0120
0.0160
0.0199
0.0239
0.0279
0.0319
0.0359
0.0398
0.0438
0.0478
0.0517
0.0557
0.0596
0.0636
0.0675
0.0714
0.0753
0.0793
0.0832
0.0871
0.0910
0.0948
0.0987
0.1026
0.1064
0.1103
0.1141
0.1179
0.1217
0.32
0.33
0.34
0.35
0.36
0.37
0.38
0.39
0.40
0.41
0.42
0.43
0.44
0.45
0.46
0.47
0.48
0.49
0.50
0.51
0.52
0.53
0.54
0.55
0.56
0.57
0.58
0.59
0.60
0.61
0.62
0.63
0.1255
0.1293
0.1331
0.1368
0.1406
0.1443
0.1480
0.1517
0.1554
0.1591
0.1628
0.1664
0.1700
0.1736
0.1772
0.1808
0.1844
0.1879
0.1915
0.1950
0.1985
0.2019
0.2054
0.2088
0.2123
0.2157
0.2190
0.2224
0.2257
0.2291
0.2324
0.2357
0.64
0.65
0.66
0.67
0.68
0.69
0.70
0.71
0.72
0.73
0.74
0.75
0.76
0.77
0.78
0.79
0.80
0.81
0.82
0.83
0.84
0.85
0.86
0.87
0.88
0.89
0.90
0.91
0.92
0.93
0.94
0.95
0.2389
0.2422
0.2454
0.2486
0.2517
0.2549
0.2580
0.2611
0.2642
0.2673
0.2703
0.2734
0.2764
0.2794
0.2823
0.2852
0.2881
0.2910
0.2939
0.2967
0.2995
0.3023
0.3051
0.3078
0.3106
0.3133
0.3159
0.3186
0.3212
0.3238
0.3264
0.3289
0.96
0.97
0.98
0.99
1.00
1.01
1.02
1.03
1.04
1.05
1.06
1.07
1.08
1.09
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
1.16
1.17
1.18
1.19
1.20
1.21
1.22
1.23
1.24
1.25
0.3315
0.3340
0.3365
0.3389
0.3413
0.3438
0.3461
0.3485
0.3508
0.3531
0.3554
0.3577
0.3599
0.3621
0.3643
0.3665
0.3686
0.3708
0.3729
0.3749
0.3770
0.3790
0.3810
0.3830
0.3849
0.3869
0.3883
0.3907
0.3925
0.3944
44
Продолжение табл.3
x
Ф(x)
x
Ф(x)
x
Ф(x)
x
Ф(x)
1.26
1.27
1.28
1.29
1.30
1.31
1.32
1.33
1.34
1.35
1.36
1.37
1.38
1.39
1.40
1.41
1.42
1.43
1.44
1.45
1.46
1.47
1.48
1.49
1.50
1.51
1.52
1.53
1.54
1.55
1.56
1.57
1.58
0.3962
0.3980
0.3997
0.4015
0.4032
0.4049
0.4066
0.4082
0.4099
0.4115
0.4131
0.4147
0.4162
0.4177
0.4192
0.4207
0.4222
0.4236
0.4251
0.4265
0.4279
0.4292
0.4306
0.4319
0.4332
0.4345
0.4357
0.4370
0.4382
0.4394
0.4406
0.4418
0.4429
1.59
1.60
1.61
1.62
1.63
1.64
1.65
1.66
1.67
1.68
1.69
1.70
1.71
1.72
1.73
1.74
1.75
1.76
1.77
1.78
1.79
1.80
1.81
1.82
1.83
1.84
1.85
1.86
1.87
1.88
1.89
1.90
1.91
0.4441
0.4452
0.4463
0.4474
0.4484
0.4495
0.4505
0.4515
0.4525
0.4535
0.4545
0.4554
0.4564
0.4573
0.4582
0.4591
0.4599
0.4608
0.4616
0.4625
0.4633
0.4641
0.4649
0.4656
0.4664
0.4671
0.4678
0.4686
0.4693
0.4699
0.4706
0.4713
0.4719
1.92
1.93
1.94
1.95
1.96
1.97
1.98
1.99
2.00
2.02
2.04
2.06
2.08
2.10
2.12
2.14
2.16
2.18
2.20
2.22
2.24
2.26
2.28
2.30
2.32
2.34
2.36
2.38
2.40
2.42
2.44
2.46
2.48
0.4726
0.4732
0.4738
0.4744
0.4750
0.4756
0.4761
0.4767
0.4772
0.4783
0.4793
0.4803
0.4812
0.4821
0.4830
0.4838
0.4846
0.4854
0.4861
0.4868
0.4875
0.4881
0.4887
0.4893
0.4898
0.4904
0.4909
0.4913
0.4918
0.4922
0.4927
0.4931
0.4934
2.50
2.52
2.54
2.56
2.58
2.60
2.62
2.64
2.66
2.68
2.70
2.72
2.74
2.76
2.78
2.80
2.82
2.84
2.86
2.88
2.90
2.92
2.94
2.96
2.98
3.00
3.20
3.40
3.60
3.80
4.00
4.50
5.00
0.4938
0.4941
0.4945
0.4948
0.4951
0.4953
0.4956
0.4959
0.4961
0.4963
0.4965
0.4967
0.4969
0.4971
0.4973
0.4974
0.4976
0.4977
0.4979
0.4980
0.4981
0.4982
0.4984
0.4985
0.4986
0.4987
0.4993
0.4997
0.4998
0.4999
0.4999
0.4999
0.5000
45
Список литературы:
1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая ста-
тистика. М.: Высшая школа, 2003.
2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории ве-
роятностей и математической статистики. М.: Высшая
школа, 2004.
3. Сборник задач по математике для втузов, Часть 4. Ефимов
А.В., Каракулин А.Ф., Поспелов А.С. М.: Физматлит,
2003.
4. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Задачи и упражнения по тео-
рии вероятностей. М.: Высшая школа, 2007.
5. Андронов А.М., Копытов Е.А., Гринглаз Л.Я. Теория ве-
роятностей и математическая статистика: Учебник для ву-
зов.- СПб.: Питер, 2004.
6. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая ста-
тистика: Учебник для вузов.- 2-е изд., перераб. и доп. - М.:
Юнити-Дана, 2004. — 573 с.
7. Попов А. Г., Данко П. Е., Кожевникова Т. Я. Высшая ма-
тематика в упражнениях и задачах: В 2 ч.: Ч. 2: Учебное
пособие для втузов. М.: ОНИКС 2007 г.
8. Сборник задач по высшей математике для экономистов:
Учеб. пособие / Под ред. В.И. Ермакова. – М.: ИНФРА-М,
2008. – 575с.
9. Балдин К.В., Башлыков В.Н., Рукосуев А.В. Основы тео-
рии вероятностей и математической статистики. Учебник -
Москва: Флинта, 2010.- 488 с. (Возможен доступ через
www.iqlib.ru)
10. Гусева Е.Н. Теория вероятностей и математическая стати-
стика. Учебное пособие - Москва: Флинта, 2011.- 220 с.
(Возможен доступ через www.iqlib.ru)
