ФИЗИКА - mrsej.ksu.rumrsej.ksu.ru/pro/pdf_10/WychPhys_all_13.pdfЮ.Н. ПрошинЧМММВычФиз..Лекция1 # 3. Рекомендуемая литература. 1

Ю.Н. Прошин кафедра теоретической физики

Казанского федерального университета [email protected]

2004-2013, Казань

ФИЗИКА

Kazan University1804-2004

mailto:[email protected]

# 2Ю.Н. Прошин ЧМММ. Лекция 1ВычФиз.

Орг. замечания

и литература

Потоковые

лекции

-

первые

9 недель

(18 часов)

Практические

занятия

по

кафедрам (+

9 недель

=+18 ч.)

ЭКЗАМЕН или

ЗАЧЕТ?

Коллоквиум!!!

# 3Ю.Н. Прошин ЧМММ. Лекция 1ВычФиз.ВычФиз.

Рекомендуемая

литература1.

Гулд

Х., Тобочник

Я. Компьютерное

моделирование

в

физике. Т. 1-2, 1990, М.: Мир. (аб., ч.з. 9)

2.

Прошин

Ю.Н., Еремин

И.М. Вычислительная

физика

(практический курс), 2009, Казанский

университет, 180 с. (аб., ч.з. 9)

3.

Форсайт

Дж., Малькольм

М., Моулер

К. Машинные

методы математических

вычислений,1980, М.: Мир. (аб., ч.з. 9)

4.

Каханер

Д., Моулер

К., Нэш

С. Численные

методы

и

программное обеспечение,2001, М.: Мир. (аб., ч.з. 9)

5.

Сборник

задач

по

математике

Ч. 4. (Под. ред.Ефимова

А.В.) 1990, М.: Наука. (аб., ч.з. 9)

6.

Коткин

Г.Л., Черкасский

В.С. Компьютерное


физичес- ких

процессов

с

использованием

MatLab, 2001, Новосибирск

: НГУ

7.

Поршнев

С. В. Компьютерное


физических

процессов

в пакете

MATLAB. –

М.: Горячая

линия

–

Телеком, 592 с., 2003

8.

Деминов

Р.Г., Сайкин

С.К., Прошин

Ю.Н. Вычислительные

методы

в теоретической

физике. 2000, Казань: КГУ. (ч.з. 9, каф. т.ф.)

Орг. замечания

и литература


Зачем физику

компьютер?

“Общечеловеческие”

цели и желания

“Общенаучные”

цели

“Физические”

цели



компьютер??

"Общечеловеческие" цели и желания—Интернет

(общение, поиск

информации,

заработок, …)—Обучение

(языки, предметы, …)

—Словари, переводчики, базы

данных, справочники, энциклопедии, книги, …

—Развлечения

(игры, видео, фото, музыка, …)

—Разное

(???)



компьютер???


цели—Презентации

(PowerPoint, Acrobat,

…)

—Набор

и

правка

статей

(WinWord, LaTeX, OpenOffice…)

—Научная

графика

(Origin, Grapher, Excel, …)

— "Рисовалки" (Corel

Draw, Corel

Photopaint, Photoshop,…)

—Спец. рисовалки

(ChemDraw, …)—Дигитайзеры

– "оцифровка" кривых

(Grafula, …)



компьютер????


цели

—Управление

экспериментом

в реальном времени (MatLab, LabView,…)

—Аналитические

вычисления

символьные преобразования (Maple, Mathematica,

Derive, MathCad, Matlab, MuPAD,…)—Численный

анализ

(Fortran, Pascal-Delphi,

C,…; Matlab,

MathCad, Maple, Mathematica,

…)—Моделирование

(Matlab;

Maple, MathCad,

Mathematica;

Fortran,

C, Pascal-Delphi, спец. программы

и

пакеты

…)


Программное

обеспечение. Для

работы…

Таких

систем

–

пропасть. Но

для эрцгерцога, наверное, купили

что-нибудь

этакое

особенное.

Гашек

"Похождения

бравого солдата

Швейка"



компьютер????


цели

—Управление

экспериментом

в реальном времени (MatLab, LabView,…)

—Аналитические


символьные преобразования (Maple, Mathematica,

Derive, MathCad, Matlab,…)—Численный

анализ

(Fortran, Pascal-Delphi,

C,…; Matlab,

MathCad, Maple, Mathematica,

…)—Моделирование

(Matlab;

Maple, MathCad,

Mathematica;

Fortran,

C, Pascal-Delphi,…)

Таких

систем

–


для

эрцгерцога, наверное, купили

что-нибудь

этакое

особенное.

Йозеф

Швейк


Численный

анализ. Простой

пример

Численное

решение

СЛАУ

(систем

линейных

алгебраических

уравнений)

Простой

пример:

> solve(u+v+w=5, 3*u+v=15, u-2*v-w=0);u = 4, w = -2, v = 3

2 53 100

u vu v

Вывод:

можно

легко

решить и без компьютера!

53 15

- 2 - 0

u v wu v

u v w

Решение

в

Maple

> solve(2*u-v=5, 3*u+v=100);u = 21, w = 37

Вывод: и опять можно решить без компьютера!

??


Численный

анализ. НеПростой

пример

Численное

решение

СЛАУ

(с

большим

количеством

уравнений)"Нормальный" пример

(часто

встречается

в

физике

и

технике)

Вывод:

невозможно

решить

без

компьютера?

1 11

2 21

1

, const; , 1,2,...,~ 10 , где 2

,...

N

j jj

ij iNn

j jj

N

Nj j Nj

a x ba b i j N

a x b N n

a x b

Решение

в

MatLab

>> tic;a=rand(1000,1000);

b=rand(1000,1);x=a\b;tocelapsed_time

=

1.0620

Не

невоз за

допустимое

время!


Численный

анализ. Методы

Численное

решение

СЛАУ

(систем

линейных


уравнений)- - "" -ое

дифференцирование

- - "" -ые

интегрирование

и

суммирование- - "" -ая

интерполяция

- - "" -ая

аппроксимация

(МНК

-

метод

наименьших

квадратов)

LSM- - "" -ое

нахождение

собственных

значений

- - "" -ое

решение

НлАУ

(нелинейных


уравнений)- - "" -ое

решение

ОДУ

(обыкновеных

дифференциальных

уравнений) ODE

- - "" -ое

решение

ДУвЧП

(дифференциальных

уравнений

в

частных прозводных)

PDE- - "" -ая

оптимизация

- - "" -ое

решение

интегральных

уравнений- - "" -ое

БПФ

(быстрое

преобразование

Фурье)

FFTстатистическая

обработка

эксперимента,

и т.п., и т.д., и др., …


Численный анализ

Численные

методы

описаны

и

реализованы

в

книгах

и

учебниках

по

численному

анализу;

в банках алгоритмов – NAG, IMSL, … языки

программирования

Фортран,

Си

в виде (под)программ;

в

математических

пакетах (MatLab,

Maple, Mathematica, Origin, MathCad, …)

в

виде

функцийфункций


Численное

моделирование. Пример

Компьютерное моделирование =>

в

программу

закладываются основные

законы

(свойства, правила) задачи

(модели).

Задача:•

Пусть

каждому

студенту

на

курсе

из

100 человек

выдается

по

100

долларов. •

Профессор, который

также

начинает

с

100 долларами

в

кармане,

выбирает

случайным

образом

студента

и

бросает

монету. •

Если

выпадает

"решка", профессор

дает

студенту

2 доллара; в

противном

случае

студент

дает

профессору

2 доллара. •

Ни

профессору, ни

студенту

не

разрешается

делать

долги.

Вопросы:•

Какова

вероятность

того, что

у

студента

будет

n долларов?

•

Какова


того, что

у

профессора

будет

m долларов?•

Одинаковы

ли

эти

две

вероятности?


Численное


Задача:•

Студенту

=>

100 долларов.

Профессору

=>

100 долларовВопросы:•

Какова


того, что

у

студента

имеется

n долларов? •

Какова


того, что

у


имеется


Одинаковы

ли

эти

две


Как

искать

ответы:•

эксперимент?

•

аналитические

методы? •

правила

игры

=> в

программу

для

компьютера

=>

промоделировать

большое

число

обменов

и вычислить

вероятности

"Что

будет, если...?" Например, как

бы

изменились

вероятности, если

бы

обмен

производился

по

1 доллару, а не по 2? Или

по

0.5? Или… ? И т.д.


Численное


Задача:•

Студенту

=>

100 долларов.

Профессору

=>

100 долларовВопросы:•

Какова


того, что

у

студента

имеется

n долларов? •

Какова


того, что

у


имеется


Одинаковы

ли

эти

две


Как

искать

ответы:•

эксперимент?

•


методы? •

правила

игры

=> в

программу

для


=>

промоделировать

большое

число

обменов

и вычислить


Если

заменить

игроков

другими

объектами(например, под

деньгами

понимать

энергию) и слегка изменить

правила

игры,

указанный

тип

моделирования

может

найти

применениев

задачах

магнетизма

и

физики

частиц

Метод

Монте-Карло!


Численное


и реальный

эксперимент

Использование

компьютеров

дли


в течение

последних

25 лет

помогло

открыть

новые

упрощающие

физические

принципы. Гулд, Тобочник

Лабораторный

эксперимент Вычислительный

эксперимент

Образец

МодельФизический

прибор

Программа

для


Калибровка

Тестирование

программыИзмерение

Расчет

Анализ

данных

Анализ

данных


Общие

замечания

при

решении задач

на

ЭВМ.

Постановка

задачи

и

ее

уточнение, анализ

простейших моделей

и

ключевых

факторов, пробное

исследование,

построение

расчетной

модели

и

обсчет

задачи, обработка

результатов

и...

И

с

высокой

вероятностью

исследователя

ждет повторение

данного

цикла

или

некоторых

его

частей:

постановка, анализ, исследование, обработка

и

т. д.Украл, выпил

-

в тюрьму! Украл, выпил

-

в тюрьму!

Романтика!

Доцент, "Джентльмены

удачи"

данного

цикла

Главной

целью

расчета

является

все

жепонимание, а не число


Численное моделирование

Методы

численного


описаны

и реализованы

в

книгах

и

учебниках

по

моделированию;

в

специализированных

программах, написанных

на Фортране,

Си, Дельфи

(Паскале),…

для

конкретных

целей

(квантовая

химия, фракталы, кватовомеханические

методы

Монте-Карло,

механика…)

в


пакетах (MatLab,

Maple, Mathematica, Origin, MathCad,

других

CAD'ах, …) В

MatLab есть

спец. пакет

Simulink

для

создания

моделей


Примерное содержание

курса

Алгоритмы, методы

и

неприятности

Некоторые

методы

и

задачи Метод

Монте

Карло, Суммирование

по

решетке,

Решение

СЛАУ

и

ДифУр-й, Задача

Изинга, …

Нелинейность, Бифуркации, Хаос

…

Обзор

программного

обеспечения

Подготовка

публикаций

(статьи)

(постеры) (дипломы)

(LaTeX

vs

WinWord) (PowerPoint)

Internet, где, как

и

что

искать… и можно ли всё найти?

(диссертации)


Численный

анализ. Суммирование

по

решетке

Расчет

постоянной

Маделунга

Энергия

кулоновского

взаимодействие

в

ионном

кристалле

отдельного иона

со

всеми

остальными

Здесь

qi

-

заряд

i-го

иона, Rij

= |ri

-

rj

|

-

расстояние

между

i-м и j-м ионами. Для


решеточной суммы будем использовать

методы

Эвьена

и

Эвальда

[Займан

Дж. Принципы

твердого

тела. М., Наука, 1975].

i j ji i

j jij ij

q q qM q

R R


Суммирование

по

решетке. Кристалл

перовскита

АВО3

Параметры

кубической

решетки

перовскита

для

разных

кристаллов (а

– постоянная

решетки

при

T

= 298K).

Кристалл

KMgF3

KNiF3

KCoF3

KFeF3

KMnF3

a

(Å) с

точностью

0.001 Å

3.960

4.014

4.069

4.121

4.190

Координаты

атомов

в

элементарной

ячейке

:B (0, 0, 0);

qB = 2e;

A (a/2, a/2, a/2), (a/2, a/2, -a/2), (a/2, -a/2, a/2), (-a/2, a/2, a/2), (a/2, -a/2, -a/2), (-a/2, a/2, -a/2), (-a/2, -a/2, a/2), (-a/2, -a/2, -a/2); qA = 1e;

O(F)

(a/2, 0, 0), (0, a/2, 0), (0, 0, a/2), (-a/2, 0, 0), (0, -a/2, 0), (0, 0, -a/2); qO = 1e.


Задача: Рассчитать

Mi

для ионов

типа

B.


по

решетке. Постоянная

Маделунга

ji i

j ij

qM q

R

Координаты

атомов

в


ячейке

:B (0, 0, 0);

qB = 2e;

A (a/2, a/2, a/2), (a/2, a/2, -a/2), (a/2, -a/2, a/2), (-a/2, a/2, a/2), (a/2, -a/2, -a/2), (-a/2, a/2, -a/2), (-a/2, -a/2, a/2), (-a/2, -a/2, -a/2); qA = 1e;

O(F)

(a/2, 0, 0), (0, a/2, 0), (0, 0, a/2), (-a/2, 0, 0), (0, -a/2, 0), (0, 0, -a/2); qO = 1e.

ион

типа

B

ион

типа

A;

ион

типа

O

(F)



по

решетке. Постоянная

Маделунга

Задача: Рассчитать

Mi

для ионов

типа

А.

ji i

j ij

qM q

R

A

(0, 0, 0);

qA = 1e; B (a/2, a/2, a/2), (a/2, a/2, -a/2), (a/2, -a/2, a/2), (-a/2, a/2, a/2), (a/2, -a/2, -a/2),

(-a/2, a/2, -a/2), (-a/2, -a/2, a/2), (-a/2, -a/2, -a/2); qB = 2e; O(F)

(a/2, a/2, 0), (0, a/2, a/2), (a/2, 0, a/2), (-a/2, a/2, 0), (a/2, -a/2, 0), (a/2, 0, -a/2),

(-a/2, 0, a/2), (0,

a/2, -a/2) , (0,

-a/2, a/2), (-a/2, -a/2, 0), (0, -a/2, -a/2), (-a/2, 0, -a/2); qO = 1e.

ион

типа

B

ион

типа

A;

ион

типа

O

(F)



по

решетке. Проблема

сходимости

j

i ij ij

qM q

R ион

типа

B:

+2e

ион

типа

A:

+e

ион

типа

O(F): -e Ряд

сходится ОЧЕНЬ

медленно

~ ~ 1j

j R Rij

q Re eR R

для

плоскости


2

~ ~j

j R Rij

q Re e RR R


по

решетке. Проблема

сходимости

j

i ij ij

qM q

R ион

типа

B:

+2e

ион

типа

A:

+e

ион

типа

O(F): -e Ряд

сходится ОЧЕНЬ

медленно

2

~ ~j

j R Rij

q Re e RR R

для

объема


2

13~ ~j

j R Rij

q Re e RR R


по

решетке. Метод

Эвьена

ион

типа

B:

+2e

ион

типа

A:

+e

ион

типа

O(F): -e

суммирование по

мультиполям!!!


электронейтральным

"комплексам":

идея

Эвьена



по


Эвьена




идея

Эвьена

ион

типа

B:

+2e Эфф. заряд

2|e|

ион

типа

A:

+e Эфф. заряд

|e|/8

ион

типа

O(F): -e

Эфф. заряд

-|e|/2



по


Эвьена




идея

Эвьена

ион

типа

B:


2|e|

ион

типа

A:


|e|/8

ион

типа

O(F): -e

Эфф. заряд

-|e|/2суммирование

по


ячейке:

15эфф эфф эффA O B

1

8 6

1 18 6 2 08 2

jj

Q q q q q

e



по


Эвьена




идея

Эвьена

ион

типа

B:


2|e|

ион

типа

A:


|e|/8

ион

типа

O(F): -e

Эфф. заряд

-|e|/2



по


Эвьена




идея

Эвьена

ион

типа

B:


2|e|

ион

типа

A:


|e|/8

ион

типа

O(F): -e

Эфф. заряд

-|e|/2

Rrj



по


Эвьена. Алгоритм

ион

типа

B:


2|e|

ион

типа

A:


|e|/8

ион

типа

O(F): -e Эфф. заряд

-

|e|/2

1.

ввод

обезразмеренных

координат

(xj

, yj

, zj

) и эфф. зарядов

(qj

) всех

15 ионов

элементар- ной

ячейки. S = 0

2.


(циклы) по

центрам

элемен- тарных

ячеек

R

(X, Y, Z) (пространственные

координаты

X, Y, Z

меняются

от

–N до

N )3.

Внутренний

цикл

по


ячейке

->

по

ионам

(j

=115) с

"дробными" зарядами4. Rij

=[(X

-

xj

)2

+ (Y

-

yj

)2 + (Z

-

zj

)2]1/2

5.

Если

Rij

≠

0, то накопление

суммы

S = S

+ qj

/Rij6.

Повтор

цикла

3

7.

Повтор

циклов

28.

Нахождение

обезразмеренной

постоянной

Маделунга

M =

qi

*S


Общие

замечания

при

решении задач

на

ЭВМ.

Что

известно

об

исходной

задаче? (Основные

свойства, учет

симметрии,…)

Входные

данные, интервал

их

изменения

и

как

эти

изменения

могут повлиять

на

ход

решения?

Каков

приблизительно

результат

решения, как

должен

выглядеть предполагаемый

ответ?

Как

добиться

результата? Выбор

способа

(аналитическое

исследование

или

численный

анализ) и

методов

решения

задачи, необходимого инструмента

(программного

продукта).

Наилучший

метод

приводит

к

верному

результату

за

кратчайшее

время. Проверка

полученных

на

каждом

шаге

решения


(программирование, корректность

полученных

величин, проверка

модели или

метода

на

известных

результатах).

Сколько

усилий

потребует

решение

поставленной

задачи? (количество

необходимого

времени

для

освоения

пакета, программирования

и отладки, затрат

машинного

времени

на

решение

задачи)

Когда

будут

получены

окончательные

результаты?

Хеминг

Р. В. Численные

методы. М.: Наука, 1972.


Конец

1

лекции

Вопросы

Пожелания

Замечания

?




2004-2013, Казань

ФИЗИКА


# 2Ю.Н. Прошин ВычФиз Лекция 2


компьютер?

“Общечеловеческие”

цели и желания


цели


цели



обеспечение. Для

работы…

Таких

систем

–


для эрцгерцога, наверное, купили

что-нибудь

этакое

особенное.

Я. Гашек

"Похождения

бравого солдата

Швейка"



обеспечение. Обзор.

Набор

и

правка

статей

(WinWord…)

Научная

графика

(Origin…)

Спец. рисовалки

(ChemDraw, …)

Дигитайзеры

– "оцифровка" кривых

(Grafula, …)

Математические

пакетыMatlabMaple

Таких

систем

–


для

эрцгерцога, наверное, купили

что-нибудь

этакое

особенное.

Йозеф

Швейк


Набор

и

правка

статей WinWord

(сравнение

с

LaTeX)

LaTeX

–> исторически

определил

формат

научных статей и переписки.

Удобства: конвертируемость, переносимость, приспособляемость

(стилевые

файлы, преамбула), обычные

текстовые файлы

(*.tex), простота, автоматизация

нумерации

ссылок,Недостатки:

его

НУЖНО

изучать

(хотя

бы

немного!), не

WYSWYG

редакторы

->

набор

–

компилляция

–

просмотр

–

редактирование

– компилляция

–

просмотр

– – редактирование

–

компилляция

–

просмотр

… -

WYSWYG = What You See is What You Get


Набор

и

правка

статей LaTeX

LaTeX

–> сейчас

принят

стандарт

LaTeX2e, разрабатывается

LaTeX3e.

Пакеты

(1-2 CDs): LiveTeX

eTeX MikTeX

TeXAid Scientific WorkPlace, …

Редакторы: Scientific WorkPlace

WinEdt WinTeX TeXAid, …

Исходный

текст

набираетсяв

любом

текстовом

редакторе, способном

сохранять

файлы

в

формате

ASCII.После

того, как

файл

с

описанием

текста

создан, его

преобразуют

с

помощью компилятора

TEXа

в специальный dvi-файл

(device

independent), который

можно

просмотреть

на

экране

или

распечатать.


Набор

и

правка

статей LaTeX

Статья

на

русском

языке

в

формате

LATEX обычно

начинается

со

строк

\documentclass[12pt]article\usepackage[cp1251]inputenc\usepackage[russian]babel\begindocument….….

% Заканчивается\enddocument


Набор

и

правка

статей LaTeX

Простейший

LaTeX

файл


LaTeX

файл

посложнее…

Набор

и

правка

статей LaTeX

\documentclass[12pt]article\usepackage[cp1251]inputenc\usepackage[russian]babel\usepackageamssymb,amsmath\textheight=24cm % высота

текста

\textwidth=16cm % ширина

текста\oddsidemargin=0pt % отступ

от

левого

края

\topmargin=-1.5cm % отступ

от

верхнего

края\parindent=24pt % абзацный

отступ

\parskip=0pt % интервал

между

абзацами\tolerance=2000 % терпимость

к

"жидким" строкам

\flushbottom

% выравнивание

высоты

страниц%\def\baselinestretch1.5 % печать

с

большим

интервалом

\title\LaTeXe\

в примерах\thanks%Титульная

страница~---

тоже

пример...

\author\copyright~~К. В. Воронцов\date30 мая

2005

\begindocument

\maketitle

% вывести

заголовок, автора, дату


\documentclass[12pt]article\usepackage[cp1251]inputenc\usepackage[russian]babel\usepackageamssymb,amsmath\textheight=24cm % высота

текста

\textwidth=16cm % ширина

текста\oddsidemargin=0pt % отступ

от

левого

края

\topmargin=-1.5cm % отступ

от

верхнего

края\parindent=24pt % абзацный

отступ

\parskip=0pt % интервал

между

абзацами\tolerance=2000 % терпимость

к

"жидким" строкам

\flushbottom

% выравнивание

высоты

страниц%\def\baselinestretch1.5 % печать

с

большим

интервалом

\title\LaTeXe\

в примерах\thanks%Титульная

страница~---

тоже

пример...

\author\copyright~~К. В. Воронцов\date30 мая

2005

\begindocument

\maketitle

% вывести

заголовок, автора, дату\thispagestyleempty % не

нумеровать

первую страницу


\begindocument\maketitle

% вывести

заголовок, автора, дату

\thispagestyleempty % не


первую

страницу

\beginabstract

% начало

аннотацииЭто

наглядное

пособие

...

\endabstract % конец

аннотации

\tableofcontents

% сгенерировать

оглавление

\sectionВведение % первый

раздел\input

intro

% вставить

файл

intro.tex

\beginthebibliography00

% библиография

\bibitemlvovsky94latexЛьвовский~С.~М. Набор

и

вёрстка

в

пакете~\LaTeX.~---

М., Космосинформ, 1994.\bibitemknuth93texbookКнут~Д. Всё

про

\TeX.~---

Протвино, RD\TeX, 1993.

\endthebibliography\enddocument




Набор

и

правка


(сравнение

с

LaTeX)

LaTeX

–> как

выглядит

текст

и

формулыЭффект

влияния

на

сверхпроводимость

обменного

рассеяния

описывается

фундаментальным

уравнением

Абрикосова-Горькова~\citeAbr_Gor\beginequation\ln

\fracT_c

T_cs =

\Psi

\left( \frac12 \right) -

\Psi

\left( \frac12 +\frac\gamma

_s

2\pi T_c

\right)

\labelMain_Eq\endequationЗдесь

$T_c$

и

$T_cs$

--

температуры

сверхпроводящего

перехода

металла

при

наличии

$sd$-обменного

взаимодействия

и

при

его

отсутствиисоответственно, $\Psi(x)$

--

дигамма-функция. Уравнение

(\refMain_Eq),

справедливое

для

парамагнитной

фазы

металла, описывает

эффекты

рассеянияна

локализованных

спинах, причем

параметр

$\gamma_s$

представляет

величину

затухания

электронной

волновой

функции

за

счет

этого

рассеяния.\beginthebibliography999….\bibitemAbr_Gor Абрикосов

А

А, Горьков

Л

П

\it

ЖЭТФ \bf

39 1781 (1960)


Набор

и

правка


(сравнение

с

LaTeX)

LaTeX

–> как

выглядит

текст

и

формулыЭффект

влияния

на

сверхпроводимость

обменного

рассеяния


фундаментальным

уравнением

Абрикосова-Горькова~\citeAbr_Gor\beginequation\ln

\fracT_c

T_cs =

\Psi

\left( \frac12 \right) -

\Psi

\left( \frac12 +\frac\gamma

_s

2\pi T_c

\right)

\labelMain_Eq\endequationЗдесь

$T_c$

и

$T_cs$

--

температуры

сверхпроводящего

перехода

металла

при

наличии

$sd$-обменного


и

при

его

отсутствиисоответственно, $\Psi(x)$

--

дигамма-функция. Уравнение

(\refMain_Eq),

справедливое

для

парамагнитной

фазы

металла, описывает

эффекты

рассеянияна

локализованных

спинах, причем

параметр

$\gamma_s$


величину

затухания

электронной

волновой

функции

за

счет

этого

рассеяния.\beginthebibliography999….\bibitemAbr_Gor Абрикосов

А

А, Горьков

Л

П

\it

ЖЭТФ \bf

39 1781 (1960)


Набор

и

правка


(сравнение

с

LaTeX)

WinWord –> как

ДОЛЖНЫ

выглядеть

формулыв

тексте:

переменная

и

(или) величина

–>

должны

быть

наклоненыs a

b + c f(x)

векторы

и

матрицы

–>

должны

быть

прямые

и

полужирные s a

b

+ c

f(r,t)

функции, цифры, знаки, текст

и

сокращ.

–>

прямые матричный

элемент

xij

матрицы

x

при

i

2 и

j

3

равен

0. Eнач

= F

+ B

gH sin x + tgn(arccos(y2

1))

греческие

символы

могут

быть

прямыми

или

наклонными , но

единообразно

во

всем

тексте

(для

ПРОПИСНЫХ

и

строчных

допускае- тся

разное

написание

!)


Набор

и

правка


(сравнение

с

LaTeX)

WinWord –> настройка

Редактора

формул Equation editor

или

MathType(!)

Эффект влияния на сверхпроводимость обменного рассеяния описываетсяфундаментальным уравнением Абрикосова-Горькова [16]

1 1ln2 2 2

c s

cs c

TT T

(2.4)

Здесь Tc и Tcs - температуры сверхпроводящего перехода металла при наличии sd-обменного взаимодействия и при его отсутствии соответственно, (x)$ - дигамма-функция. Уравнение (2.4), справедливое для парамагнитной фазы металла,описывает эффекты рассеяния на локализованных спинах, причем параметр sпредставляет величину затухания электронной волновой функции за счет этогорассеяния.

Литература …

16. Абрикосов А А, Горьков Л П ЖЭТФ 39 1781 (1960)


Набор

и

правка


(сравнение

с

LaTeX)


Редактора


или

MathType(!)


Набор

и

правка


(сравнение

с

LaTeX)


Редактора


или

MathType(!)


Набор

и

правка


(сравнение

с

LaTeX)


Редактора

формул Equation editor или

MathType(!)


Набор

и

правка


(сравнение

с

LaTeX)


Редактора

формул Equation editor или

MathType(!)


Набор

и

правка


vs

LaTeX

(туда-сюда-обратно!)

Программы

набора

и

преобразования

MathType

6

Word2TeX

Word-to-latex

rtf2latex

…

latex2rtf

ltx2word

tex2rtf

…

WinWord

to

LaTeX LaTeX

to WinWord


Научная

графика Origin

Origin

–> построение

графиков

и

диаграмм

произвольной сложности

(графическое

представление

данных)

2-

и

3-мерная

графика

(большой

выбор

формы

представления)

легкая

трансформация

и

настройка

любого

элемента

графика

возможность

фитинга

(подгонки) практически

любой

сложности

богатейшие

возможности

импорта

и

экспорта

данных

и

графики

поддержка

и

работа

в

формате

Excel и

MatLab


написания

программ-скриптов

(свой

язык программирования)

поддержка

внешних

модулей, написанных

на

Fortran и С

вычислительные

возможности, аппроксимация

данных, …


OriginДанные

График

Список

окон

Origin. Интерфейс.

Основной объект

–

текстовый файл

с

колонками данных


Origin

7.5. Демо-примеры.c:\Program Files\OriginLab\OriginPro75\Samples\Analysis\Curve Fitting\

Linear Fit.OPJNLSF Built In Func.OPJ

\2D Binning\... \Data Masking\... …\Analysis\FFT\...Analysis\Statistics\...…\Worksheet to Matrix\

Graphing\2D Plots\Inset.opjColor

Scale.OPJLine

& Scatter

Plots.OPJ\3D Plots\

3D Surface

& Contour.OPJ3D Scatter

2.opj\EXCEL data\... \Layouts\... …\Miscellaneous\... \Statistical Graphs\.

Programming\Random Walk.OPJIsing

Model.OPJBubble Sort.OPJ

UIM\

UIM.OPJ


0 10 20 30 406.5

7.0

7.5

8.0

0 10 20 30 406.0

6.5

7.0

7.50

1

Our 3D theory fitting ( ) with two parameters:s=0.527; 2If=5.60;

nsf=1.15 - fixed; af=5.34 Е - fixed.(a)

dGd, Е

Tc, K

Experiment ( and ): Tc0=8.8 K; s0=407 Е; s=145 Е; dNb=600 Е

Buzdin-Radoviж theory ( ): Jiang et al fitting

(b)

Experiment ( ): dNb= 500 Е; s=130 Е.Our 3D theory ( ) with parameters from (a)

Experimental asymptotic value

dGd, Е

Tc, K

qf af

Nb/Gd multilayers Jiang et al. Phys.Rev.Lett. (1995):experimental points.

Izyumov, Proshin, Khusainov

Physics/Uspekhi (2002): fitting

(a)

dNb

= 600 Å

dNb

= 500 ÅFitting with the Buzdin-Radovich's

theory is not possible: Jiang et all.



пакеты MatLab

(Matrix Laboratory)

MatLab =>

мощнейший

пакет

(численные

и


расчеты)

свой

язык


огромное

число

встроенных

функций


написания

программ-скриптов, функций

работа

в

интерактивном

режиме

легкое

создание

графического

интерфейса

для

своих

программ

2х-

и

3х-

мерная

графика

с

легкой

настройкой



импорта

и

экспорта

данных

и

графики

большое

количество

Toolboxes (спец. пакетов)

поддержка

внешних

модулей, написанных

на

Fortran и С

и многое-многое

другое


Matlab

(интерфейс).

Окно

ввода

команд

Переменные

Прошлые

команды


• Диалоговый

интерфейс.Команда

->

результат, команда

->

результат

...

>> s=5 -

команда.s=

5

-

результат.>> _

-

приглашение

к

следующей

команде.

.

• Дополнен

средствами

программирования, m-files(язык


высокого

уровня, аналогичен

BASIC)

Может

включать

пользовательские

функции

и

программы m-files, mex-files,*.dll.

• Предназначен

для

работы

с

численными

данными.Есть ядро, адаптированное из Maple, для аналитических расчетов.

Matlab


MatLab

(матричная

лаборатория)

• Ориентирован

на

работу

с

матрицами.

Все

переменные

задаются

в

виде

матриц.

>> A=[1 2 3.14; 4e-13 0 1]

-

матрица

из

2 строк

3 столбцов.>> a=4 –

скаляр

-

матрица

1x1.

>> A(1,2)=0

–

обращение

к

элементу

первой

строки

второго

столбца.Множество

матричных

операций, операции

с

индексами

матриц.

>> c=A*b

–

стандартные

команды.>> c=A.*b –

перемножение

каждого

из

элементов.

>> c=expm(b) –

матричные

функции.>> c=exp(b) –

поэлементная

опреация.

>> c=b(:,2:6)

–

выделение

столбцов

со

2 по

6 в матрицу с.


Matlab

Пример.

Решение

системы

линейных

уравнений.

ax = b

x = a-1b x = a\bили


Matlab

(m-files)

• Текстовый

файл

с

расширением

*.m

• Список

последовательных

команд.Кроме

операций

с

переменными

включает

циклы

и

условныеоператоры.

• Оперирует

с

текущим

содержимымWorkspace.


Matlab

m-files, functions

-

обращениек функции

описание

–функции

• Имя

файла

и

имя

функциидолжны

быть

одинаковыми.

• Путь

к

функции

долженбыть

указан.


Matlab

Операции

с

аналитическими

выражениями.Решение

уравнения: Операции

с

матрицами:

Решение

ДУ:


Matlab

Пример. (Ordinary Differential Equation. Задача

Коши)

2dy xydx

(0) 1y

Начальное

условие:

Уравнение:

Аналитическое

решение:2

( ) xy x e >> y=dsolve('Dy=-2*t*y')y =

C1*exp(-t^2)


Matlab

C++ programs

Проектэти

файлы

должны

быть

включены

-

Зависит от версии компилятора

Порядок

важен

-


Matlab

C++ programs

Тип

переменной

-массив, Matlab

Тип

переменной

-индекс, Matlab

Эрмитово

сопряжение

Собственные

вектора,собственные

значения


Matlab

>>demoMathematics

Демонстрационные

примеры

(MatLab R2006a)

Basic

Matrix

OperationsMatrix

ManipulationUsing

FFT in

MATLABFFT for

Spectral

AnalysisPredicting

the

US PopulationOptimal

Fit

of

a Non-linear

FunctionInteger

ArithmeticSingle

Precision

MathInverses

of

MatricesGraphs

and

MatricesSparse

MatricesGraphical

Representation

of

Sparse

MatricesMatrix

ExponentialsEig. & Singular

ValueFinite

Difference

LaplacianTessellation

and

Interpolation

of

Scattered

DataDifferential

Equations

in

MATLABDifferential

Equations

–

ExamplesGraphical

Approach

to

Solving

InequalitiesSplines

in

Two

DimensionsNumerical

Integration

of

Differential

EquationsLoma Prieta Earthquake


Matlab

>>demo3-D Visualization


примеры

(MatLab R2006a)

Klein BottleTeapotChanging TransparencyVolume Visualization

>>demoProgrammingDesktop Tools and Development EnvironmentCreating Graphical User InterfacesExternal InterfacesGallery Logo

ModesWerner Boy's SurfaceCrullerFour Linked ToriKlein BottleThree-Dimensional KnotQuiverSpherical Surface Harmonic


Matlab

>>demo

Creating

and

Simulating

Models

from

the

Command

Line


примеры

(MatLab R2006a)

Radioactive DecayLotka-Volterra

ReactionsDecaying-Dimerizing

ReactionsYeast Heterotrimeric

G Protein Cycle

These demos explore creating, configuring and simulating a SimBiology

model from the MATLAB command line.


2-D Plots3-D Plots3-D Surface

PlotsLine

PlottingAxes

PropertiesAxes

Aspect

RatioVibrating

LogoLorenz

Attractor

AnimationVisualizing

SoundEarth's

TopographyImages

and

MatricesExamples

of

Images

and

ColormapsViewing

a PennySquare

Wave

from

Sine

WavesFunctions

of

Complex

VariablesInteractive

Plot

Creation

with

the

Plot

Tools

(7 min, 12 sec)

Matlab

>>demoGraphics


примеры

(MatLab R2006a)

2-D Plots3-D Plots3-D Surface

PlotsLine

PlottingAxes

PropertiesAxes

Aspect

RatioVibrating

LogoLorenz

Attractor

AnimationVisualizing

SoundEarth's

TopographyImages

and

MatricesExamples

of

Images

and

ColormapsViewing

a PennySquare

Wave

from

Sine

WavesFunctions

of

Complex

VariablesInteractive

Plot

Creation

with

the

Plot

Tools

(7 min, 12 sec)


MatlabToolboxes

(MatLab R2006a)

Bioinformatics Read, analyze, and visualize genomic, proteomic, and microarray data

Communications Design and analyze algorithms for the physical layer of communication systems

Control System Design and analyze controllers for closed-loop dynamic systems

Curve Fitting Perform model fitting and analysis

Data Acquisition Acquire and send out data from plug-in data acquisition boards

Database Exchange data with relational databases

Distributed Computing

Run MATLAB and Simulink

applications on a computer cluster

Filter Design Design and analyze fixed-point, adaptive, and multirate

filters

Filter Design HDL Coder

Generate VHDL and Verilog

code for fixed-point filters from MATLAB

Financial Analyze financial data and develop financial algorithms

Financial Derivatives

Model and analyze equity and fixed-income derivatives

Fixed-Point Design and verify fixed-point algorithms and analyze fixed-

point data

Fuzzy Logic Design and simulate fuzzy logic systems

GARCH Analyze financial volatility using univariate

GARCH models

Genetic Algorithm and Direct Search

Solve optimization problems using genetic and direct search algorithms

Image Acquisition Acquire images and video from industry-standard hardware

Image Processing Perform image processing, analysis, and algorithm development

Instrument Control Control and communicate with test and measurement instruments

Link for Code Composer Studio

Verify, debug, visualize, and validate embedded software on Texas Instruments DSPs

Link for Code Composer Studio

Verify, debug, visualize, and validate embedded software on Texas Instruments DSPs

Link for ModelSim Cosimulate

and verify VHDL and Verilog

using ModelSim

Mapping Analyze and visualize geographically based information

Model Predictive Control

Develop model predictive controllers in MATLAB and Simulink

Neural Network Design and simulate neural networks

OPC Read, write, and log data from OPC servers

Optimization Solve standard and large-scale optimization problems

Partial Differential Equation

Solve and analyze partial differential equations

RF Design and analyze networks of RF components

Robust Control Design robust controllers for plants with uncertain parameters and unmodeled

dynamics

Signal Processing Perform signal processing, analysis, and algorithm development

Spline Create and manipulate spline

approximation models of data

Statistics Apply statistical algorithms and probability models

Symbolic Math Perform computations using symbolic mathematics and variable-

precision arithmetic

System Identification

Create linear dynamic models from measured input-output data

Virtual Reality Animate and visualize Simulink

systems in three dimensions

Wavelet Analyze and synthesize signals and images using wavelet techniques

+ Simulink A platform for multidomain simulation and Model-Based Design for dynamic systems. It provides an interactive graphical environment and a customizable set of block libraries, and can be extended for specialized applications.


Bioinformatics Read, analyze, and visualize genomic, proteomic, and microarray dataCommunications Design and analyze algorithms for the physical layer of communication systemsControl System Design and analyze controllers for closed-loop dynamic systemsCurve Fitting Perform model fitting and analysisData Acquisition Acquire and send out data from plug-in data acquisition boardsDatabase Exchange data with relational databasesDistributed Computing Run MATLAB and Simulink applications on a computer clusterFilter Design Design and analyze fixed-point, adaptive, and multirate filtersFilter Design HDL Coder Generate VHDL and Verilog code for fixed-point filters from MATLABFinancial Analyze financial data and develop financial algorithmsFinancial Derivatives Model and analyze equity and fixed-income derivativesFixed-Point Design and verify fixed-point algorithms and analyze fixed-point dataFuzzy Logic Design and simulate fuzzy logic systemsGARCH Analyze financial volatility using univariate GARCH modelsGenetic Algorithm and Direct Search


Image Acquisition Acquire images and video from industry-standard hardwareImage Processing Perform image processing, analysis, and algorithm developmentInstrument Control Control and communicate with test and measurement instrumentsLink for Code Composer Verify, debug, visualize, and validate embedded software on Texas

Toolboxes

Description


Curve Fitting Perform model fitting and analysisData Acquisition Acquire and send out data from plug-in data acquisition boardsDatabase Exchange data with relational databasesFilter Design Design and analyze fixed-point, adaptive, and multirate filtersGenetic Algorithm and Direct Search


Optimization Solve standard and large-scale optimization problemsPartial Differential Equation

Solve and analyze partial differential equations

Signal Processing Perform signal processing, analysis, and algorithm developmentSpline Create and manipulate spline approximation models of dataStatistics Apply statistical algorithms and probability modelsSymbolic Math Perform computations using symbolic mathematics and variable-precision

arithmeticWavelet Analyze and synthesize signals and images using wavelet techniques

Simulink A platform for multidomain simulation and Model-Based Design for dynamic systems. It provides an interactive graphical environment and a customizable set of block libraries, and can be extended for specialized applications.

+ Compiler, Editor, Programming, Graphical User Interfaces File, I/O and External Interfacing, Desktop Tools and Development Environment,

Toolboxes

Description



пакеты Maple

Maple =>

мощнейший

пакет

(аналитические

и

численные

расчеты)

свой

язык


огромное

число

встроенных

функций


написания

программ-скриптов, функций

работа

в

интерактивном

режиме

2х-

и

3х-

мерная

графика

с

легкой

настройкой



импорта

и

экспорта

данных

и

графики

огромное

число

пакетов

+ поддержка

в

Internet

появление

маплетов

–


GUI

и многое-многое

другое


• Диалоговый

интерфейс.Команда

->

результат, команда

->

результат

...

[> f=a^2; -

команда.f = a2

-

результат.[ > _

-

приглашение

к

следующей

команде.

Текущий

сеанс

может

быть

сохранен

как

скрипт.Это

НЕ

текстовый

файл. Может

обрабатываться

только

в

Maple.

• Наглядное

графическое


выражений.

•

Пакет

предназначен

для

работы

с

аналитическими формулами.

Конечно

же

работает

с

числами!

Maple


Maple

Рабочая

область


Конец

лекции

Вопросы

Пожелания

Замечания

?




2004-2013, Казань

ФИЗИКА


# 2Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз Лекция 3

Методы Монте Карло


Монте

Карло

Одна

из

пяти

областей

Монако

Основана

в

1866 году

принцем

Чарльзом

III

Всемирно

известные

казино, роскошные

отели,пляжи

The Monte Carlo Grand Hotel


Монте

Карло

Всемирно

известныеказино, роскошные

отели,пляжи


The casino at night.

David Tomlinson - Lonely Planet Images


Port de Monaco and Monte Carlo.

Manfred Gottschalk - Lonely Planet Images


Monte Carlo,Monaco-where the rich and famous people live


Monte Carlo,Monaco-where the rich and famous people live


Методы

Монте

Карло

Монте

Карло

–

это

множество

статистических

методов, используемых

для

решения физических

и


задач.

В

этих

методах

для


используются

последовательности

случайных чисел.

Методы

Монте

Карло

наиболее

удобны

для


случайных

и

вероятностных процессов.


Монте

Карло

Методы

Los Alamos National Laboratory

Robert R. Wilson, Monte Carlo Study of Shower Production, Phys. Rev. 86, 261 (1952)

C. L. Longmire and M. N. Rosenbluth, Diffusion of Charged Particles across a Magnetic Field, Phys. Rev. 103, 507 (1956)

N. Metropolis et al., Monte Carlo Calculations on Intranuclear

Cascades, Phys. Rev. 110, 185 (1958)

Metropolis, Rosenbluth, Teller

Рождение


Пример

1. Площадь

пруда (интегрирование)

Площадь

пруда

S

a b

H

S0

= (b –

a)*H

S = S0

*nпопаданий

/nполное

Интегрирование

I

f(x)

x

y

a bГенерируем случайным

образом

n

пар точек

(x1

,y1

),

(x2

,y2

),... (xN

,yN

),

на интервале [a,b]

0( , ) ,

- число точек , для которых ( )

s

s

i i

nF a b Sn

n iy f x

f(x1

)

f (x2

)f (x3

)

f (x4

)

x1 x2x3 x4

H

(1)


Пример

2. Расчет

числа

Set Nin

=0

Do N times—Calculate 3 random numbers, r1

, r2

, r3

—Let x=r1 [0,1]—Let y=r2 [0,1]—Use r3

to choose quadrant (change signs of x and y), int [1,2,3,4]

—If x2+y2

≤

1 set Nin = Nin

+ 1

Estimate for p =

= 4Nin

/N


N = 103

Пример

2. Расчет

числа

(x1

,y1)

(x2

,y2)

N = 2

N = 105

N = 104


Пример

3. Интегрирование

1

( , ) ( ) ( )

b N

i iia

F a b f x dx f x x

f(x)

x

y

a b

Метод

прямоугольников Метод

Монте

Карло

(II)

f(x)

x

y

a b

f(x1

) f(x2

)... f(xN

)

x1

x2

... xN

–

выбираются

случайным

образомна интервале [a,b]

1

1( , ) ( ) ( )

N

ii

F a b b a f xN

x1

x2

... xN

–

задаются

как

xi

=x1

+(i-1)∆x

(2) (3)


Пример

3. Интегрирование

x

y

z f(x,y)

Многомерная

функция

f(x,y,z,a,b,c…)

Интегрирование

методом

прямоугольников,трапеций, Симпсона,... усложняется. На

каждом

шаге

надо

пересчитывать

все

координаты.

Метод

Монте

Карло:

N

iiiizzyyxx zyxf

NbaF

1

,...),,(1)...)()((),(

Примечание:

число

точек

N должно

быть

достаточно

большим. большим


Пример

4. Случайное

блуждание

x

y do sample = 1 to Nbegin

x = 0; y = 0;do step = 1 to nbegin

ir = 4*rand( );case ir0 : x = x + 1.0;1 : y = y + 1.0; 2 : x = x -

1.0;

3 : y = y -

1.0;end

end; accumulate results end


можно

усложнить проблему, задав

траекторию

без

самопересечений, возвратов, и т.д.


0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

10

20

30

40 Theory: D = Sqrt (N) Simulation

Dis

tanc

e (D

)

Steps (N)

Пример


блуждание

OriginПопытка

раз


0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

10

20

30


Dis

tanc

e (D

)

Steps (N)

Пример


блуждание


два


0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

10

20

30


Dis

tanc

e (D

)

Steps (N)

Пример


блуждание


три


Генератор

случайных

чисел

Насколько

случайно

случайное?

Простой линейный генератор

1 ( )modn nx ax b m x0

задается

при

инициализацииm -

модуль, a –

множитель,

b –

инкремент

суть

целочисленные константы

Например:a = 7141, b = 54733, m = 259200Выбор

констант

определяет

периодичность

в

повторении “случайных”

чисел.

x0

= 1, a = 3, b = 4, m = 321, 7, 25, 15, 17, 23, 9, 31, 1, 7, 25, …Период

равен

8 !?

Xn+1

/m от

0 до

1


Генератор

случайных

чисел

Насколько

случайно

случайное?



задается

при


модуль, a –

множитель,

b –

инкремент

суть



констант



в


чисел.

Проверка

парных

корреляций

•

Строим

на

плоскости множество

точек

Xi

(xn

, xn+1

).

•

Точки

равномерно

заполняют пространство

– “хороший”

генератор.

•

Точки

ложатся

в

хаотическом порядке

на

несколько

прямых

–

“плохой”

генератор.


Генератор

случайных

чисел

Насколько

случайно

случайное?



задается

при


модуль, a –

множитель,

b –

инкремент

суть



констант



в


чисел.

x0

= 1, a = 3, b = 4, m = 321, 7, 25, 15, 17, 23, 9, 31, 1, 7, 25, …Период

равен

8 !?

Xn+1

/m от

0 до

1

0 5 10 15 20 25 30 350

5

10

15

20

25

30

35

7

11

2

3

45

6

7

8

9


Генератор

случайных

чисел

Насколько

случайно

случайное?



задается

при


модуль, a –

множитель,

b –

инкремент

суть



констант



в


чисел.

Проверка

парных

корреляцийN=100

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


Генератор

случайных

чисел

Насколько

случайно

случайное?



задается

при


модуль, a –

множитель,

b –

инкремент

суть



констант



в


чисел.

Проверка

парных


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


Генератор

случайных

чисел

Насколько

случайно

случайное?



задается

при


модуль, a –

множитель,

b –

инкремент

суть



констант



в


чисел.

Проверка

парных


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


Генератор

случайных

чисел

Насколько

случайно

случайное?



задается

при


модуль, a –

множитель,

b –

инкремент

суть



констант



в


чисел.

Проверка

парных


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


Генератор

случайных

чисел

Насколько

случайно

случайное?


1 ( )modn nx ax b m


Генератор

случайных

чисел

Насколько

случайно

случайное?


1 ( )modn nx ax b m

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

a = 899, b = 0, m = 32768, x0=12


Генератор

случайных

чисел

Как

улучшить?

Перемешивание

порядка

выдачи

чисел. Основной

генератор

заполняет

буфер

случайными

числами. Дополнительный

генератор

выбирает

числа

из

буфера.

Два

основных

генератора

создают

случайные

числа

N = n1

+ n2

/z или

N = |n1

-

n2

|. Можно

тоже использовать

буфер

и

дополнительный

генератор.

Можно

создать

другой

генератор.

Существует

множество

генераторов,

например, “Xorshift”,“Lagged Fibonacci”, “Multiply-With-Carry”…


Генератор

случайных

чисел

Генерация

случайных

чиселс

заданным

распределением

Нужно

генерировать

случайные

числа

с

плотностью


f(x) (Det:=>f(x) dx

в интервале от x до x + dx )

и

(интегральной) функцией

распределения

с

нормировкой

F(∞) = 1. (Det:=>

вероятность выпадения сл. числа <= x)

x

dxxfxF )()(


Генерация

случайных

чисел

с заданным


Inverse transformation method (метод

обратного

преобразования)

Генерируется

равномерное

распределение

xi

на интервале

[0,1].

Решается

обратная

задача

yi

= F -1(xi

).

Величина

yi

распределена

с

плотностью

вероятности f(x).

Пример:

Генерация

частиц

с

энергиями

согласно

распределению

Больцмана

f(E) ~ e-E/kT. Энергия

i-й

частицы

запишется

как

Ei

= -kT ln(r), где

r -

случайное

число

на

интервале

[0,1].

Во

многих

случаях

не

так

просто

представить

F -1(xi

).


Генерация

случайных

чисел

с заданным


Rejection method

(метод

отбора-

отказа)

•

Выбираем

промежуточную функцию

для

сравнения,

h(x),

которая

“перекрывает”

искомую функцию

f(x) .

В

данном

примере

h(x) это

прямоугольная функция.

•

Равномерно

заполняем точками

область

под

h(x).

•

Из

всех

точек

выбираем только

те, которые

находятся

под

кривой

f(x) .


To be continued


Методы Монте-Карлопродолжение


Выборки

Простая.

На

каждом

шаге

выбор

идет

из

максимального

набора

различных

вариантов. При

этом

многие

из

вариантов

могут

быть

отклонены

дополнительными

правилами.

Ограниченная.

На

каждом

шаге

создается

свой

список

вариантов, который

включает дополнительные

ограничения.

По

значимости. Преимущественно

выбираются

варианты, дающие

наибольший вклад.


Простая и Ограниченная выборки Примеры

Случайное

блуждание

без

самопересечений

do sample = 1 to nbeginstep = 0;repeat

generate-one-step;step = step + 1

until (step-invalid or step = N)accumulate-results

end;

do sample = 1 to nbeginstep = 0;repeatgenerate-valid-listif list = empty thenterminate = true

elsegenerate-step-from-the-list;

step = step + 1until (terminate or step = N)accumulate-results; end;

Проблемы: быстрое

обрывание, сложно

набрать

статистику…


Простая и Ограниченная выборки Примеры

Случайное

блуждание

без

самопересечений

do sample = 1 to nbeginstep = 0;repeat

generate-one-step;step = step + 1

until (step-invalid or step = N)accumulate-results

end;

do sample = 1 to nbeginstep = 0;repeatgenerate-valid-listif list = empty thenterminate = true

elsegenerate-step-from-the-list;

step = step + 1until (terminate or step = N)accumulate-results; end;

Проблемы: быстрое

обрывание, сложно

набрать

статистику…


Еще

раз

об

интегрировании

Часто

при

интегрировании

удобно

выбирать

точки

с

большей плотностью

в

области

быстрого изменения

функции.

f(x)

x

y

a b

Тогда

интеграл

может

быть записан

как

где

xi

генерируется

согласно функции

p(xi

)

1

( )1( , )( )

N

i

i i

f xF a bN p x

Выборка по значимости

( )( , ) ( ) ,( )

( ) 1, ( ) 0

b b

a ab

a

f xF a b f x dx dxp x

p x dx p x



21

0

( , )

( ) 1; ( )

x

x

F a b e dx

p x p x Ae0 1 2 3 4

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

y

x

exp(-x2) exp(-x)




Выборка по значимостиАлгоритм

Метрополиса

Получим

распределение

p(x) “случайным

блужданием”

точек

xi

generate point xfor i = 1 to Ngenerate step = rand( ) x1

= x + step;w = p(x1

)/p(x);if w >= 1 then

x = x1else r = rand ( );

if r <= w thenx = x1

end

Функция


N должно

быть

достаточно большим.

Максимальный

шаг

должен

быть выбран

“правильно”. 1/2 –

1/3

всех

шагов

должно

приниматься.

11

( )( ) min 1,( )

n

n nn

p xw x xp x


Пример. Двумерная

модель

Изинга

Гамильтониан

Функция


∆E складывается

из

энергии

Зеемана

во внешнем

поле

и

обменной

энергии.

Процессы

с

уменьшением

энергии принимаются

все.

Процессы

с

увеличением

энергии принимаются

согласно

распределению

Больцмана.

min 1,

EkTw e

B,

i i ji i j

H g HS J S S


Пример. Метод

Монте-Карло

для микроканонический

ансамбль

Ансамбль

систем, характеризуемый

величинами

E, T, V, и описываемый


вероятностей

вида

(1),

называется

микроканоническим

ансамблем.

Эффективная

вычислительная

процедура

метода

Монте-Карло для

микроканонического

ансамбля

была

предложена

М. Кройцем

с

сотрудниками: выделение

двух

подсистем

(исходная

система + подсистема-"демон", состоящая

из

одного

элемента).

1 , если достижимо

0, в противном случае

ss

P (1)





ансамбль

1.

Сгенерировать

начальную

конфигурацию

системы

с

заданным значением

полной

энергии.

2.

Выбрать

случайным

образом

частицу

и

произвести

пробное

изменение ее

состояния.

3.

Вычислить

полную

энергию

системы

в

новом

состоянии. 4.

Если

в

новом

состоянии

энергия

системы

оказывается

меньше, то

система

отдает

энергию

демону

и

новая

конфигурация

принимается.5.

Если

в

новом

состоянии

энергия

системы

оказывается

больше, то

новая


принимается

только

в

том

случае, если

энергии

демона достаточно, чтобы

передать

ее

системе. В

противном

случае

новая


не

принимается, и

частица

сохраняет

свое

старое состояние.

6.

Если

пробное

изменение

не

меняет

энергию

системы, то

новая конфигурация

принимается.

Перечисленные

выше

действия

повторяются

до

получения репрезентативной

выборки

микросостояний...


Пример. Двумерная

модель

Изинга

Гамильтониан

Система и граничные условия

,

i j ii j i

H J S S h S





ансамбль

1.

Задание

числа

спинов

решетки

Ns

.2.

Задание

числа

шагов

метода


на

спин

Ntrial

..3.

Задание

начальной

конфигурации

системы.

4.

Выбор

случайным

образом

одного

из

спинов

системы.5.

Вычисление

пробного

изменения

энергии.

6.

Если

пробное

изменение

приводит

к

уменьшению

энергии

системы, то система

отдает

энергию

демону

и

новая


принимается.

7.

Если

пробное

изменение

увеличивает

энергию


новая конфигурация


в

том


демон

имеет

достаточную

энергию

для

передачи

ее

системе.8.

Если

пробное

изменение

не

меняет

энергию



новая

конфигурация.9.

Повторение

пп. 4-8 (число

повторений

равно

Ns

).10.Повторение

пп. 4-9 (число

повторений

равно

Ntrial

).Аккумулирование

данных, вычисление

средних, …


Пример. Транспорт

частиц

1

kvx C

f V ff ft t

Решить

уравнение

Больцмана

Задача

Существует

множество

приближенных

решений

для

частных

случаев!

Это

интегро-дифференциальное

уравнение.

А

что

если

добавить

еще

уравнение

Пуассона

для

заряда

частиц?

2

2eq

s

( ) reV n N

Сделать

среду

неоднородной, ограниченных

размеров,...?


Транспорт

частицМодель

Генерируется

N частиц

(representation particles).

Обычно, это

не реальные

частицы. Каждая

из

representation particles может

представлять

множество

реальных

частиц. Начальные

условия координаты

частиц, их

скорости, часто

не

влияют

на

конечный

результат. Задаются

граничные

условия, которые

определяют возникновение, исчезновение

частиц

в

системе.

Координаты, скорости,... каждой

из

частиц

пересчитываются

через интервал

времени

dt (sampling time). Перемещения

частиц


методом

молекулярной

динамики. На самом деле это немного сложнее, если ввести рассеяние частиц. Появляется

еще

один

интервал

времени

δt (scattering time).

Рассеяния

моделируются, используя

метод

Монте-Карло.


Транспорт

частицРассеяние

Пусть

есть

несколько

механизмов

рассеяния, которые

определяются вероятностями

w1

(E), w2

(E), w3

(E),…. Введем

wself

(E) = 1-w1

-w2

-…

Строим

шкалу

Генерируем

случайное

число

r которое


механизм рассеяния

включая

и

саморассеяние.

Когда

механизм

выбран

переходим

к

генерации

новых

параметров частицы

–

vx,vy,vz

…


хорошо

бы

иметь

таблицу

интегральных

вероятностей рассеяния

в

зависимости

от

энергии.

1w 2w 3...w 10

r


Выбор

конечного

состояния

v

v

Транспорт

частиц

Проверяем

изменяется

ли

энергия

частицы при

рассеянии. Например, рассеяние

электронов

на

примесях

не

изменяет

энергии, а

рассеяние

на

фононах

изменяет

на

ħω.


новую

энергию

частицы соответствующую

данному

типу

рассеяния.


новое

направление

движения согласно

формуле

рассеяния.

Пример: выбор

произвольного

угла

рассеяния

или


Литература

Х. Гулд, Я. Тобочник, Компьютерное


в

физике.

К. Биндер, Д. В. Хеерман, Моделирование

методом


в

статистической физике.

D. W. Heerman, Computer simulations methods in theoretical physics.

С. В. Поршнев,

Компьютерное


физических

процессов

в

пакете

MATLAB.Some materials have been adapted from presentations by M.A. Novotny and M. Schram


The End

# 1Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ВычФиз. Лекция 5




2004-2013, Казань

ФИЗИКА



Публикация научныхстатей


Материал, изложенный

далее, является субъективным

и

предназначен

только

для

принятия

к

сведению.


Для

чего

это

надо?

Статьи

–

основной

“продукт”

труда

ученого.

В

более

прикладной

области

это

–

патент.

Своими

статьями

вы

создаете

себе

“имя”

в

научной

среде.Другие

люди

знают

вас

по

вашим

научным

работам.

Влияет

на

карьерный

рост.

При

приеме

на

работу

вас

оценивают

по

публикациям.

Отчетность

по

учебе.

Отчетность

по

грантам.


Когда

начать?

Можно

начать

подготовку

статьи, когда

известно

какой

результат

вы

ожидаете.Оценка

результата

может

быть

получена

задолго

до

точных

измерений

или

точных

расчетов.В

любой

оценке

не

исключена

ошибка!

Желательно

не

откладывать

полученные

результаты

на

потом.Физика

–

динамичная

наука. Любые

новые


могут

быть

не

актуальны

через

месяц.Через

некоторое

время

вам

потребуются

дополнительные

усилия, чтобы

вспомнить

детали

работы.


Как

начать?

Мотивация.

Для

чего

это

нужно?

Почему

ваша

работа

должна

быть

интересна

для

других?Какая

польза

от

вашей

работы?

Вы

не

единственный

человек

в

мире,

работающий

по

данной

теме! Что

сделано другими

людьми?

Начните

с

чтения

обзоров

(review).На

кого

ссылаются

другие

люди

работающие

по

теме?

Хорошо

бы

знать

основные

группы

и

имена

и

работы экспертов

в

данной

тематике. Как

ваша

работа

коррелирует

с

их

исследованиями?


Как

начать?

Тип

статьи.

RegularShort (letter, brief report, rapid communication)Review.

Журнал.Важно

выбрать

журнал, специализированный

по

исследуемой

тематике. Это


как


результат.

(С

другой

стороны

-

рейтинги, импакт-факторы, …)


Как

начать?

Abstract

4 Резюме

Introduction

1 Введение

Main part 2 Основная

a) …

частьb)……

Conclusions 3 Выводы

Acknowledgements 5 Благодарности

Appendix 2 Приложение

(-я)

Дополнение

(-я)

References 1-3

Ссылки (литература)

Структура. Regular paper.

Порядок

написания


Introduction

Введение

-

наиболее

важная

формальная

часть вашей

работы.


Introduction

Эта

часть

должна

подготавливать

читателя

к

основной

части

статьи. Большинство

читателей

могут

не

быть

специалистами

в

вашей

области! Краткий обзор или ссылки на обзоры (можно

и

то, и другое).

Должна

учитываться

специфика

журнала.Описать

проблему.

Важно

мотивировать

необходимость

вашей

работы.Не

просто

важно, а очень важно!

Здесь

можно

также

включить

краткое

описание

вашей

работы.Можно

включить

краткие

выводы.


Introduction

Необходимо

упомянуть

другие

группы


в

данной

области!Начните

с

чтения

обзоров

(review).

На

кого

ссылаются

другие

люди


по

теме?Хорошо

бы

знать

основные

группы

и

имена

и

работы

экспертов

в

данной

тематике. Как

ваша

работа

коррелирует

с их

исследованиями?

В

конце

введения

можно

описать

структуру

вашей

статьи.Это

поможет

читателю

быстрее

найти

то, что

его

интересует.


Пример

Ref. to review

motivation

What has been done

by other groups?


Пример

Short review

+references to othergroups.


Пример

Что

сделано.Кратко!


Пример

Структураработы.


Introduction

Так

как

эта

часть

формальная, то

нет

необходимости

проявлять

излишнюю индивидуальность

в

написании.

Используйте

конструкции

из

других

работ, но

не

переписывайте дословно!

Не

пренебрегайте

ссылками

на

других!!!

Постарайтесь

подкрепить

каждое

из

утверждений

соответствующей ссылкой, если это не ваше персональное открытие.


не

делать

негативных

сравнений.


Main part

Структура

этой

части


индивидуальна.Вы

сами

определяете

как

удобнее


материал.


Экспериментальная

работа

Детали

эксперимента. (Experiment setup)

Описание

установки. Специфика.Условия.

Результаты.

(Results)

Очень

важно


в

наглядном

виде!Таблицы, графики.Многие

журналы

позволяют

бесплатно

использовать

цвета

в

online

публикациях.

Обсуждение

результатов. (Theory, Discussion)

Объяснение, как

вы

понимаете, результатов.Может

быть

включена

теоретическая

модель. Это

–

плюс!

Теория

может

быть

выделена

в

отдельную

секцию.


Теоретическая

работа

Теория. Может

состоять

из

нескольких

логических

частей.

Расчеты

и

специфические

результаты.

То

же

самое, что

и

для

экспериментальной

работы.

Очень

важно


в

наглядном

виде!Детали

громоздких

расчетов

надо

выносить

в

дополнения.

Обсуждение

результатов.

Сравнение

с

другими

моделями

(работами, результатами…).Преимущества

и

недостатки.

Что

было

бы

хорошо

сделать

для

того, чтобы

улучшить

модель.


Представление


Схематическое

представление.Движение

доменной

стенки

и

туннелирование

Цвет

Ч/БНеобходимоследить, чтобыв ч/б вариантецвета

были

различимы.





следить, чтобы в ч/б

варианте

цвета

были

различимы.

0.00 0.05 0.10 0.15 0.200.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.00 0.05 0.10 0.15 0.200.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

h = 0

t

df /s0

t

ds /s0 = 0.65ls /s0 = 0.2lf /s0 = 0.02s = 1.5nsf = 1.5

b 2If = 0.05 2If = 0.1 2If = 0.15 2If = 0.2

df /s0

ah = 0.3





следить, чтобы в ч/б

варианте

цвета

были

различимы.

0.00 0.05 0.10 0.15 0.200.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.00 0.05 0.10 0.15 0.200.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

h = 0

t

df /s0

t

ds /s0 = 0.65ls /s0 = 0.2lf /s0 = 0.02s = 1.5nsf = 1.5

b 2If = 0.05 2If = 0.1 2If = 0.15 2If = 0.2

df /s0

ah = 0.3





следить

и

за

толщиной

линий!

0.00 0.05 0.10 0.15 0.200.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.00 0.05 0.10 0.15 0.200.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

h = 0

t

df /s0

t

ds /s0 = 0.65ls /s0 = 0.2lf /s0 = 0.02s = 1.5nsf = 1.5

b 2If = 0.05 2If = 0.1 2If = 0.15 2If = 0.2

df /s0

ah = 0.3


Conclusions


детально

описать

все

выводы

вашей

работы.Если

в

работе

получены

численные

результаты, можно

привести

наиболее

важные

из

них.

Можно

очень

кратко

описать

рассмотренную

проблему.

Заключение

должно

быть

самодостаточным.

После

прочтения

заключения

читатель

должен

иметь представление

о

вашей

работе, даже

если

он

не

читал

другие

части.


Conclusions

Возможно

слишком

коротко!

Что

изучалось?

Результаты


Abstract

Краткое

описание

того

что

сделано. 5-10

предложений.

Наиболее

важные

выводы.

Abstract должен

создавать


о

вашей

работе.

Много общего с заключением.

Больше

акцент

на

то, что

сделано.


писать

после

заключения.


References

Список

ссылок

автоматически

готов

после

написания

основной

части

работы.

Меньше

ссылок

–

меньше

работы.

Ссылаться

ТОЛЬКО

на

свои

работы.

Как

наиболее

просто

создатьнегативное


о

себе.


Acknowledgements

Формат

acknowledgements можно

взять

из

других

статей.

Благодарите

тех

людей, которые

оказали

вам

помощь.

Если

вы

благодарите

несколько

человек, пишите

фамилии

в

алфавитном

порядке.

Не

используйте

титулы, если

люди, которых

вы

благодарите, имеют

разные

ученые

степени.

Благодарите

фонды, оказавшие

материальную

поддержку.


Несколько

авторов.

Только

один

человек

работает

с

master copy

в

каждый

момент

времени.

Обычно

master copy

должна

побывать

не

менее

двух

раз

у

каждого

из

авторов.

Работа

над

статьей.


Несколько

авторов.

Алфавитный.

Согласно

вкладу

в

работу.

Первый

автор

–

наибольший

вклад.

Теоретики

с

экспериментаторами

–

первые

экспериментаторы.

Последний

– Bo$$

Список

авторов

в

статье.


Препринт

готов.

“Выдержать”

статью.

Возможно, через

1-2 недели

у

вас

появятся

некоторые поправки

к

статье.

Отправить

препринт

в

arxiv.org

Печать

в

журнале

обычно

занимает

несколько

месяцев.

Отправить

в

журнал.


That is only beginning.

От

подачи

статьи

в

журнал

до

публикации

в среднем

проходит

3-6 месяцев

Удача, если

возьмут

сразу. Обычно

-

замечания

рецензентов

(ссылки!) или

даже

отклонение

статьи

(можно

бороться!) исправления, переписка, принятие.

Proof

–

корректура

(читать

и

смотреть

внимательно, рисунки, формулы)


Постеры. Доклады

на

конференциях.

Плакаты-презентации. Размеры

-

A0 (120*90), A1 (80*60)

Титул: название, авторы, место

работы

(affilation)

Краткость. Что

получено. Новизна. Главные

слова.

Красочность

(не

переусердствовать!).

Графики. Рисунки. Схемы.

Выводы. Ссылки.

Копии

своих

статей

по

теме

доклада

(если

есть)

Изготовление

(плакат, полистно?)

PowerPoint,

Latex, Corel,

Word, …

Формат

(ppt, pdf, jpg, tiff, doc, … где

печатать!)

Перевозка. Крепление.

Примеры.


Какписать бакалаврскуюработу или магистерскую диссертацию(добавлено

Р.Г. Дёминовым на основе публикации В.В. Монахова

(СПбГУ) и

правил

оформления

выпускной

квалификационной

работы

(КГУ))


Выпускная

квалификационная

работа

должна

включать:

•Титульный

лист. Оформляется

по

образцу.•Содержание. Включает

порядок

расположения

отдельных

частей

выпускной квалификационной

работы

с

указанием

страниц, на

которых

соответствующий раздел

начинается.•Введение. В

нем

автор

обосновывает

научную

актуальность, практическую значимость, новизну

темы, а

также

указывает

цель

и

задачи

проводимого исследования.

•Основная

часть. Структура

основной

части

определяется

правилами оформления

выпускных

квалификационных

работ, которые

разрабатываются учебно-методическими

комиссиями

соответствующих

структурных подразделений

КГУ.•Заключение

(или

выводы). В

заключении

подводится

итог

проведенному исследованию, формулируются

предложения

и

выводы

автора, вытекающие

из работы.

•Список

литературы. В

список

литературы

включаются

только

те

работы, на которые

сделаны

ссылки

по

тексту

работы. Список

оформляется

в

соответствии с ГОСТ 7.1-2003.

•Приложения. Приводятся

используемые

в

работе, таблицы, графики, схемы

и др. (аналитические

табличные

и

графические

материалы

могут

быть

приведены также

в

основной

части).

Оформление

выпускной


работы


Во

введении

необходимо:

•показать

актуальность

выбранной

темы

и

состояние

ее

разработки,

неисследованные

аспекты

проблемы;

•сформулировать

основную

цель


работы

бакалавра

и дипломной

работы, обосновать

цель

и

главные

задачи, которые

необходимо

решить

для

достижения


цели;

•указать

исходные

методологические

принципы, определяющие

подход

к изучению

темы; дать

характеристику

статистических

источников;

•обосновать

правомерность

структуры

дипломной

работы.

•В

среднем

объем

введения

может

варьироваться

от

2 до

5 страниц.


выпускной


работы.Введение


Сначала

дается

краткая

характеристика

области, в

которой

выполнена работа

(1-3 предложения) и

место

в

этой

области

конкретно

раздела, по

которому

выполнялась

работа.Все

важные

утверждения

должны

быть

подкреплены

ссылками

по

форме: [1],

[5-14], [1,3,7-9,21] и т.п. Нумерация

ссылок

сквозная

по

всей

работе. Упоминаемая

первой

ссылка

должна

иметь

номер

1, вторая

2 и т.д.

Затем

обосновывается


работы:а) научная

новизна

и

теоретическая

значимость,

б) практическая

значимость

работы.При

этом

обычно

упоминаются

предыдущие

труды

научной

группы

в

данной

области, и

обосновывается

важность

их

развития

в

данной

работе.Далее

идет

фраза, которую

лучше

повторить

дословно:

"В связи с этим целью

данной

работы

являлось… (цель

должна

быть одна!)…

Для



цели

решались

следующие

задачи:…; (первая

задача)

…: (вторая

задача) (итого, от

двух

до

пяти

задач)


выпускной




Нумерация

ссылок

сквозная

по

всей

работе. Упоминаемая

первой

ссылка должна

иметь

номер

1, вторая

2 и т.д.

1.Бахвалов, Н. С. Численные

методы

[Текст] : учеб. пособие

для

физ.-мат. специальностей

вузов

/ Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков

; под

общ. ред. Н. И. Тихонова. –

2-е изд. –

М. : Физматлит

: Лаб. базовых

знаний

; СПб. : Нев. диалект, 2002. –

630 с. : ил. ; 25 см. –(Технический

университет.

Математика). –

Библиогр.: с. 622–626. –

Предм. указ.: с. 627–630. –

30000 экз. –

ISBN 5-93208-043-4 (в пер.).

2.Гафуров, М. Р. ЭПР

примесных

ионов

Er, Yb, Tb

и

собственных

магнитных центров

в

YBa2

Cu3

Ox [Текст]: Дис. …

канд. физ.-мат. наук: 01.04.07 –

дата защиты

24.04.03. –

Казань, 2003. –

130 с. ил. -

34. –

Библиогр.: с. 121-130.

3.Ivanov, A.N. Polyaniline

modified cholinesterase sensor for pesticide determination [Text] / A.N. Ivanov, L.V. Lucheva

// Bioelectrochemistry. -

2002. -

V.55, N1-2. -

P.75-77. -

до

3 авторов!!! Если

больше, то4.Сверхвысокочастотный

ЯМР

ионов

Tm3+

в

монокристалле

этилсульфата тулия

в

сильных

магнитных

полях

[Текст] /

Д.

А.

Абубакиров, В.

В.

Налетов,

М.

С.

Тагиров, и др. //

Письма

в

ЖЭТФ. –

2002. -

Т.76, вып.10. -

C.738-741.


выпускной


работы.Ссылки

ГОСТ

(7.1-2003)

[Текст], [Электронный

ресурс] и/или

[Text], [Electronic

resource]


Конец

введения

-

либо

последняя

сформулированная

задача, либо

несколько слов

после

нее

-

о

путях

решения

задач. В

него

не

следует

включать

обзорный

материал.

В

магистерской

диссертации, в

отличие

от

бакалаврской

работы, в конце введения

следует

добавить

описание

структуры

диссертации. Например:

Во

введении

обоснована


исследования, сформулирована

цель работы

и

перечислены

решаемые

задачи.

В первой главе рассмотрена

применяемая

методика

и

проведен

обзор литературы

по

….

Во

второй

главе

описана

экспериментальная

установка

и

…. В третьей главе …В заключение диссертации

сформулированы

общие

выводы

по

…


выпускной




В первой главе, как

правило, излагаются

известные


по направлению

работы, и

проводится

их

критический

анализ. В том числе,

возможно, с

включением

оригинальных

результатов, полученных

автором работы

(диссертации). Все

важные

утверждения

(за

исключением

тех, что

основаны

на

результатах, полученных

лично

автором

в

данной

работе)

должны

быть

подкреплены

ссылками.


выпускной


работы.Основная

часть

(содержание

диссертации)


Во

второй

главе

экспериментаторы

обычно

описывают

экспериментальную установку, используемые

образцы, материалы, реактивы, приборы

и

методики. Указываются

параметры

установки

диапазоны

и

режимы измерений, ограничения

используемых

методик, погрешности. Описываются

условия

и

порядок

приготовления

образцов. Обязательно

приведения функциональной

схемы

установки, желательно

наличие

фотографий

установки

и

ее

важнейших

узлов. Если

какие-то

части

установки усовершенствованы

автором, это

следует

в

явном

виде

описать, чтобы

не

возникало

неоднозначного

или

ошибочного

мнения

о

вкладе

автора

в создании

установки.


выпускной



часть




Во

второй

главе

теоретики

и

разработчики

программных

продуктов описывают

использованные

методики, способы

расчетов, типы

компьютеров

и

операционных

систем, компиляторы, прикладные

программы

и

т.п. –

все,

чтобы

при


можно

было

независимым

образом

однозначно воспроизвести


результаты. Далее

идут

оригинальные

результаты, а в конце главы -

краткие

выводы.

В

третьей

главе

экспериментаторы

обычно

приводят


измерений,

а

теоретики

излагают

очередную

часть

оригинальных

результатов.

При

этом

как

теоретикам, так

и

экспериментаторам

следует

по

возможности сначала

приводить

фактические



(графики, числа,

формулы), и

только

потом

в

отдельном

параграфе: а) обсуждать

эти результаты; б) делать

выводы; в) высказывать

предположения.


выпускной



часть




Такие

параграфы

обычно

называют

"обсуждение

результатов". Следует понимать, что


и

их

интерпретация

-

совершенно

разные

вещи.

Разные

люди

одни

и

те

же


в


от

своих

знаний

и квалификации

могут

интерпретировать

совершенно

по-разному. Именно

для


независимой

оценки

диссертации

следует

подробно

описывать условия

проведения

экспериментов, численных

расчетов

и

т.п. Поэтому

надо

стараться

отделить

"безусловную

часть" (такая

вот

кривая, к

примеру, получилась

в

результате

измерений, либо

-

такая

вот

формула

следует

при

сделанных

предположениях).В

разделе

"обсуждение

результатов" надо

объяснить

(в

том

числе

используя

ссылки

на

литературу), что

эта

кривая

или

формула

означает, что

из

нее следует, какие

возникают

вопросы

и

сомнения. Далее

надо

сделать

выводы

не

дискуссионного

характера

(которые

можно

считать

надежно обоснованными), а

также

высказать

предположения

дискуссионного

характера

(подчеркивая

их

дискуссионность

употреблением

слов

"возможно", "вероятно", "как

мы

считаем" и т.п.).


выпускной



часть




В

конце

третьей

главы

можно

сделать

краткие

выводы

максимально

общего плана

по

полученным

результатам.

Делать

число

глав

больше

трех

имеет

смысл

только

в

магистерских диссертациях

при

очень

большом

объеме

проделанной

работы. Имейте

в

виду, что

слишком

большой

объем

текста

обычно

свидетельствует

о неумении

выделять

главное

и

может

рассматриваться

как

минус, а не плюс

работы.


выпускной



часть





—

самостоятельная

часть


работы

бакалавра и

дипломной

работы

специалиста. Оно

не

должно

быть

переложением

содержания

работы. Заключение

должно

содержать:

в

сжатой

форме

основные

выводы

и


результаты;

указание

на

то, что

именно

сделал

автор


работы

бакалавра

и

дипломной

работы;

задачи, намеченные

для

дальнейшего

исследования

данной

темы.


выпускной


работы.Заключение

ВЫВОДЫ РЕЗУЛЬТАТЫ≠Важно:


Приложения

помещают

после

списка

использованных

научной

литературы

в порядке

их

упоминания

в

тексте. Каждое

приложение

следует

начинать

с

нового

листа, в

правом

верхнем

углу

которого

пишется

слово

"Приложение" и номер, обозначены

арабской

цифрой

(без

знака

).


выпускной


работы.Приложения


К

бакалаврским

работам

не

предъявляется

требований

научной

новизны, они могут

носить

чисто

обзорный

или

учебный

характер. Хотя

получаемая

оценка,

конечно, зависит

от

качества

и

сложности

проделанной

работы.

Магистерская

работа

носит

научный

характер, результаты

работы

( или

их часть) перед

защитой


должны

быть

направлены

в

печать. Это

должно

подтверждаться

наличием

публикации

либо

выпиской

из

протокола заседания

кафедры

или

научной

организации, направлявшей

материалы

в

печать. В



обязательна

ссылка

на

опубликованную или

направленную

в

печать

работу

автора.


выпускной


работы.


Работа

(диссертация) должна

быть

оформлена

на

одной

стороне

листа бумаги

формата

А4. Допускается


таблицы

и

иллюстрации

на

листах

бумаги

формата

не

более

A3. Текст

следует

печатать

через

1.5

(иногда

2) интервала

(размер

шрифта

—

12 или

14). соблюдая

следующие размеры

полей: левое

— 30 мм; правое

—

10-15 мм; верхнее

и

нижнее

— 20

мм. Все

страницы

дипломной

работы

обязательно

должны

быть пронумерованы. Лист

с

содержанием

работы

не

нумеруется. Нумерация

страниц

начинается

с

введения

(четвертого

листа) и

заканчивается последним. Номера

страниц, чаще

всего, проставляются

внизу

страницы

в

центре

или

справа.

Бланк

титульного

листа

дипломной

работы

оформляется

самостоятельно

по стандартному

образцу.


выпускной


работы.


За

титульным

листом

располагают

оглавление, с

выделением

глав

и параграфов

(разделов

и

подразделов) по

схеме, принятой

в

типографских

изданиях. Название

каждой

новой

части

и

параграфа

в

тексте

работы

следует писать

более

крупным

шрифтом

или

выделать

более

жирно. Каждая

глава

(часть) начинается

с

новой

страницы, параграфы

(подразделы) располагаются

друг

за

другом.

В

тексте


работы

рекомендуется

чаше

применять

красную строку, выделяя

законченную

мысль

в

самостоятельный

абзац. Слишком

много

цитат

в

работе

приводить

не

следует, цитирование

используется

как прием

аргументации. В

случае


можно

излагать

чужие

мысли

своими

словами, но

и

в

этом

варианте

надо

делать

ссылку

на

первоисточник. Для

наглядности

в

дипломную

работу


должны

быть

включены

таблицы, рисунки

и

графики. Графики

выполняются

четко, красиво, желательно

в

цвете, в

строгом

соответствии

с

требованиями

деловой

документации.


выпускной


работы.


Нумерация

таблиц, графиков

и

рисунков

(отдельно

для

таблиц, рисунков

и графиков) должна

быть

сквозной

на

протяжении

всей

дипломной

работы.

Слово

"таблица" и

ее

порядковый

номер

(без

знака

) пишется

сверху

самой таблицы

в

правой

стороне. Затем

дается

ее

название

и

единица

измерения

(если

она

общая

для

всех

граф

и

строк

таблицы). При ссылке на таблицу следует

указать

номер

таблицы. Разрывать

таблицу

и

переносить

часть

ее

на

другую

страницу

можно

только

в

том


она

целиком

не

умещается на

одной

странице. При

этом

на

другую

страницу

переносится

и

шапка

таблицы, а также заголовок "Продолжение

таблицы". Если

таблица

или рисунок

заимствованы, делается

обязательная

ссылка

на

первоисточник

(по

правилам

цитирования). Формулы

расчетов

в

тексте

надо

выделять, записывая

их

более

крупным

шрифтом

и

отдельной

строкой, давая

подробное

пояснение

каждому

символу

(когда

он

встречается

впервые). Рекомендуется


формулы

в

пределах

каждого

раздела, особенно,

если

в

тексте

приходится

на

них

ссылаться.


выпускной


работы.


В


работе

или



должно

быть

не

менее 30 страниц. Верхний

предел

не

регламентируется, но

разумно

не

более

50

страниц

для


и

80 страниц

для


работ. Приложения имеют

произвольную

длину

(в

пределах

разумного).

Страницы

должны

быть

переплетены, подшиты

или

иным

образом

культурно скреплены. Желательно, чтобы

работа

была

в

обложке. Нельзя


работу

в

виде

россыпи

листов! Пусть

даже

положенных

в

папочку. Или

в папке, из

которой

работу

надо

извлекать, чтобы

читать.


выпускной


работы.Объём


Стиль

работы

должен

быть

академическим, без

риторических

вопросов, многоточий, обращений

к

читателю

и

лирических

отступлений.

Речь

должна

идти

от

третьего

лица. Не

следует

писать: “Я получил следующие

результаты:…”. Надо

писать: “Были

получены

следующие

результаты:…”. Либо: “Автором

были

получены

следующие

результаты:…”. Либо: “В

данной

работе

были

получены

следующие

результаты:…”. И т.п.

Когда

описываются

текущее

состояние

дел

в

изучаемой

области

или

научной группе, в

которой

выполнялась

работа, следует


настоящее

время. А

когда

речь

идет

о


лично

автором, следует использовать

прошедшее

время. Например: “Имеющийся

алгоритм

быстрого

преобразования

Фурье

не

позволяет

осуществлять

двумерное преобразование

Фурье. Разработанный

алгоритм

позволил

проводить

такое

преобразование”.


выпускной


работы.Стиль

изложения


Министерство

образования

и

науки

Российское

Федерации

КАЗАНСКИЙ

(ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ

НАЗВАНИЕ

ФАКУЛЬТЕТА

НАЗВАНИЕ

КАФЕДРЫ

Специальность

(направление): шифр

--

название

Специализация: шифр

— название

ВЫПУСКНАЯ

КВАЛИФИКАЦИОННАЯ

РАБОТА

(Дипломная, бакалаврская

работа

или

магистерская

диссертация)

ТЕМА


выпускной


работы.Титульный

лист


Работа

завершена:«___»___________201_г. ________________________ (И.О. Фамилия)

Работа

допущена

к

защите:Научный

руководитель,

ученая

степень, ученое

звание,должность«___»___________201_г. ________________________ (И.О. Фамилия)

Заведующий

кафедрой,ученая

степень, ученое

звание

«___»___________201_г. ________________________ (И.О. Фамилия)

Казань

— 2010


выпускной


работы.Титульный

лист


Начинать

следует

с

актуальности

темы.

Первую

фразу

доклада

следует

заучить

наизусть, чтобы

не

пришлось мучительно

изобретать, о

чем

начинать

говорить.

После

актуальности

следует

сформулировать

цель

работы

и

решаемые задачи

(прямо

по

тексту

работы).

Далее

рассказывать

по

очереди

по

решаемым

задачам

–

в

основном

об оригинальных


докладчиком.

В

конце

четко

сформулировать



(прямо

по

тексту работы). Их

можно

заучить, но

разрешается

и

зачитать.


выпускной


работы.Доклад. Содержание


Следует

подготовить

3-7 слайдов

с

важнейшими

рисунками

и

формулами. Учтите, что

при

показе

мелкие

детали

рисунков

и

мелкий

шрифт

будут

не

видны! Следует

писать

как

можно

крупнее, а

линии

на

рисунках

делать жирными.

Время

доклада

определяется

ведущим

заседание

и

обычно

составляет

для бакалаврских

работ

8-10 минут, для

магистерских

10-15 минут.

Доклад

следует

1-2 раза

отрепетировать

вслух

без

свидетелей, засекая время

выступления. При

этом

учитываются

все

паузы

и

сбои

в

рассказе. Если

удается

уложиться

в

запланированное

время

(лучше

рассчитывать

на минимальное, а не на максимальное), можно

попробовать

рассказ

перед

зрителями.Во

время

репетиции

следует

выступать

по

слайдам!

Рассказывая, не

пытайтесь

рассказать

все, что

вы

знаете. Излагайте

только самое

главное.


выпускной


работы.Доклад. Репетиция


Старайтесь

стоять

лицом

к

аудитории. Не

поворачивайтесь

спиной

к аудитории.

Если

во

время

доклада

вы

сбились

и

не

можете

закончить

предложение, не пытайтесь

его

закончить. Начинайте

следующую

мысль. Это

произведет

гораздо

лучшее

впечатление

на

слушателей, чем

долгие

паузы

и

попытки закончить

предложение.

Не

чешитесь, не

ковыряйте

в

носу

или

ухе, не

переминайтесь

с

ноги

на

ногу, не

ходите

туда

и

обратно, и т.п. Это

не

шутка: в

момент

напряжения

люди

часто

себя

не

контролируют.Говорите

громко

и

отчетливо, чтобы

вас

было

слышно. Говорите

не

торопясь,

не

тараторьте! Но в то же время не слишком медленно, без

больших

пауз.В

самом

конце

доклада

скажите: “Спасибо

за

внимание”.

Не

следует

в

конце

доклада

выражать

благодарности. По

регламенту

после доклада

идут

вопросы

к

докладчику, выступления

научного

руководителя,

рецензента, а

затем

студенту

предоставляется

заключительное

слово. Благодарности

следует

выражать

именно

во

время

заключительного

слова. И

не

надо

это

делать

слишком

долго.


выпускной


работы.Доклад. Выступление


Презентации(ну, очень

субъективно)

(советы

"знающих" людей)


I

Содержание

подготовки

Этапы

подготовки

презентации:1.

Продумывание

структуры

2.

разработка

содержания3.

Выбор

стиля

4.

Подбор

иллюстративного

материала.

Компоненты

презентации:1.

Открывающая

часть

2.

Введение3.

Основная

часть

4.

Заключение·

Подведение

итогов

·

Список

использованных

источников·

Благодарности



часть

-

приглашает

аудиторию

уделить

внимание

сообщению и


докладчика

("Культура

щелчка")

Введение

-

мост, ведущий

к

основной

части, предвосхищает

главные мотивы

презентации.


часть

и

введение

готовят

аудиторию

к

восприятию

основной части.

Основная

часть

-

информационный

блок

-

состоит

из

трех

элементов:·

Ключевые

пункты

·

Поддерживающий

материал·

Переход

-

мост, по

которому

аудитория

переключается

от

одного

ключевого

пункта

к

другому


-

решающее

давление

на

аудиторию

и

церемониальные действия

Подведение

итогов

-

вновь

перечисляет

ключевые

пункты

(кратко) и выводы

Части


Порядок

разработки:

Основная

часть


цели

работы

и

концепцию

исследованияВведение

-

объявляет

о

ключевых

пунктах

(в подведении итогов они повторяются)Открывающая

часть

-

тема

сообщения

и

подготовка

аудитории

Благодарности

–


выразить

признательность

руководителю, консультантам, а также тем авторам, чьи

материалы

были

использованы.


Совет психолога

Правило Трех: любое крупное сообщение передает не более трех ключевых пунктов (не

перенасыщать

сообщение

–

все

равно

запоминается

10% от

услышанного)Свежие

идеи

по

разработке:

·

свободный

набросок·

индексные

карточки

·

самоклеящиеся

листки·

хождение

и

разговор


часть

-

остроумная шутка, цитата, декларация, определение, риторический вопрос, аудиовизуальный эффект.Это


«эффект

края»: лучше

всего

запоминаются

яркое

начало

и

(или) конец.


II

Подготовка

компьютерной

презентации

Не

поддавайтесь

искушению

заменить

презентацию

ТЕХНОЛОГИЕЙ! Презентация

-

это

процесс

установления связей через общение.

Чем больше внимания привлекает техника и наглядность, тем меньше внимания аудитория обращает на оратора.

И

наоборот, чем

лучше

выбраны

эффекты

для

подчеркивания

отдельных тезисов, тем

выше

эффект, произведенный

презентацией.

1.

6 подпунктов

максимум2.

Специальное

выделение

(буллиты)

3.

Используйте

для

названий

и

текста

только

ключевые

слова!4.

Следует

ограничить

использование

ТОЛЬКО

ЗАГЛАВНЫХ

БУКВ

5.

Не

злоупотребляйте

ярким

фоном

там, где это отвлекает от содержания. Помните

о

сочетаемости

цветов

и

физиологии

восприятия.

6.

Выбирая

эффекты, думайте

о

тех,

на

кого

они

рассчитаны!7.

Подумайте

об

управлении

презентацией

–

ассистент

может

облегчить

Ваш

доклад8.

Продумайте

заранее, где Вы будете стоять во время показа.

9.

И помните: не

следует

читать содержание

слайда

(это

могут

сделать сами

слушатели), лучше

комментируйте

его

тезисы!


говорим

только

про

самое

важное

(цели, постановки, способы

достижения, доказательства, выводы),

перед

ключевыми

моментами


делаем

паузы,


зрительный

контакт

с

аудиторией

:)


•

Идеально

никаких

лишних

деталей, заголовок, содержание, логотип организации, может

быть

какие-то

линии

отделяющие

элемены

друг

от

друга. Никакого

фона.

•

Основные

цвета

—

чёрный и белый, соответственно

текст

и

фон. Эти

цвета обладают

максимальной

контрастностью, поэтому

видны

практически

во

всех

условиях. Ещё

стоит

помнить, что

цвет

экрана

белый, поэтому

сделав чёрный

фон

вы

получите

его

цвета

равной

общей

освещенности

в

зале, а она

далеко

всегда

равна

нулю. Вы

не

Стив

Джобс, не

выпендривайтесь:)

•

Естественно

никакой

анимации, это

раздражает, если это только не демонстрация

какого-то

процесса. 3D картинки

—

это

впечатляет

и

очень

красиво, главное

чтобы

крупные

и

контрастные.

•

На

каждом

слайде

добавьте

колонтитул

с

названием

доклада

и

авторами. Если

кто-то

опоздал

или

проболтал

начало

он

хотя

бы

будет

знать

как

найти

докладчика

для

вопросов.


•

Минимум

текста? Его

читать? В

аудитории

наверняка

будет

несколько

визуалов, которые

написанное

на

слайде

воспримут/запомнят

гораздо

лучше, чем

слова

докладчика.

•

Далее, правильный

текст

на

слайде

(то

есть

краткий) позволяет

быстро понять, о

чём

будет

речь

ближайшие

2-3 минуты.

•

Хорошо

бы

еще

иметь

и

карту

(map) презентации

Кроме

того, структура

текста

на

слайде

дополняет

«плоскую»

речь: сразу понятно, что

к

чему

относится

и

подклассом

чего

является.

•

Хорошей

идей

будет

на

последнем

слайде

расположить

маленькие изображения

всех

слайдов. Потому

что

вопросы

обычно

начинаются

типа: на

таком-то

слайде, где

было

то-то.

•

Ну

и

формат

желательно

pdf, вы

не

столкнётесь

с

тем

что

на

компьютере

не будет

нужных

шрифтов, нужной

версии

PP или

что-то

подобного.


1.Принцип

10/20/30.

Коротко

принцип

расшифровывается

как

10 слайдов

в

презентации, 20 минут времени

на

презентацию, 30 шрифтом

набран

текст

на

слайде.

Проблема

в

том, что

это

правило

в

основном

нацелено

на

крупные

презентации для

клиентов, инвесторов. Для

демонстрации

малых

презентаций, в узком,

«семейном»

кругу, нужно

уложиться

в

2 раза

меньшие

сроки. Самые

красивые мини-презентации, которые

я

видел, укладывались

на

3 слайдах

и

в

5-6

минутах. Главное

в

цифрах

10/20, это

продолжительность

слайда. Она

должна быть

не

более

2х минут, но

и

желательно

не

менее

этого

же

времени. Если

вы

не

можете

объяснить

слайд

за

2 минуты, разбейте

его

на

несколько

слайдов. Если

вы

о

слайде

говорите

менее

минуты

–

соедините

его

с

другим

слайдом,

или

выбросьте

его.


2. Лучшая

презентация

–

отсутствие

презентации.

На

презентацию

народ

собрался

выслушать

вас

и

увидеть

шоу. Не

подсовывайте ему

презентацию. Это

главный

принцип

презентаций. Если

вы

показываете

макет

–

покажите

макет. Если

показываете

рабочую

систему

–

покажите

как хороша

ваша

система. Если

фишку

–

покажите

фишку

и

как

её

сделать. Если

готовите

гимн

компании

–

спойте

его, наконец. А

вот

если

вам

нечего

показать, или

показать

что-то

в

живую

очень

сложно, соберите

презентацию. Ну

а

уж

если

пошла

такая

сборка, то

запомните: Презентация

–

это

вы

и

ваш

рассказ, то, что показывается

на

стене

—

это

дополнительные

материалы. Поэтому

предпочтительнее


на

презентационных

слайдах

объекты

в следующем

порядке: схема, рисунок, график, таблица, текст. Да, да, текст

на


нужно


только

тогда, когда

по-другому

сказать

не получается, а не тогда когда нужно что то сказать.


3. Не

создавайте

кашу

на

слайде

Вы

помните

магическое

число

семь

плюс-минус

два? Этот

психологический принцип

понимания

должен

лежать

и

в

ваших

слайдах. Слайд

должен

состоять

не

более

чем

из

5 объектов. Именно

из

пяти, а не из семи или, упаси

вас

бог, из девяти, т.к. «кошелек»

памяти

человека

состоит

из

5 односложных

слов.

Если

на

слайде

нарисована

схема, то

попробуйте

упростить

схему

до

(5-N) блоков

или

связей

между

ними, в


от

того

на

чем

вы

заостряете

внимание. Если

на

слайде

рисунок, то

на

нем

должно

быть

не

более

(5-N) различимых

отдельных

объектов.

Графики, диаграммы

и

таблицы

способны

в

1,5 раза

лучше

запоминаться

мозгом,

т.к. состоят

преимущественно

из

цифр. Поэтому

если

вы

используете

графики

в своей

презентации, то, на

мой

взгляд, допустимо


не

более

(5-

N)*1.5 значений. Не

поленитесь

подписать

вашу

диаграмму, лично

я, да

и

не

я один, не

люблю

графики

без

подписей

и

чисел, когда

я

не

вижу

цифр, я

пугаюсь, чувствуя, что

меня

обманывают.

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D0%B3%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE_%D1%81%D0%B5%D0%BC%D1%8C_%D0%BF%D0%BB%D1%8E%D1%81-%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81_%D0%B4%D0%B2%D0%B0


4. Не

клепайте

пустой

слайд.

Тут я выскажу свое мнение. В

институте, на

дипломе, нас

учили, что

презентация должна

заканчиваться

пустым

слайдом

со

словами

«Ваши

вопросы?». Так

вот,

нет

ничего

понятнее

и

приятнее

когда

слайды

закончатся, и возникнет черный цвет

или

общая

диаграмма


и

возникший

из

темноты

ведущий

скажет: «Пожалуйста, задавайте

ваши

вопросы». Зачем

это

еще

и

читать? Они же, в

конце

концов, не

даун-дауны…

Также

не

надо

создавать

«дзен»

презентации, состоящие

из

слайдов, на

которых

есть

только

один

заголовок, без

схем

и

детализирующих

рисунков. По

крайней мере, это

просто

глупо

выглядит.


5. Будьте

стильными.

Почти

в

каждой

фирме

есть

«брендбук», по

которому

дизайнером

любовно подготовлен

шаблон

для

презентаций. На

худой

случай, в

Microsoft

PowerPoint

2003 существует

около

40 стандартных

тем

и

6 цветовых

оформления

к

ним. И все

же, подавляющее

большинство

программистов

используют

стандартную

схему: белый цвет презентаций и черные буквы на нем. Контрпример

этого

пункта

–


в

стиле

детских

блогов

на

LiveInternet.

Не

сочетающаяся

смесь

шрифтов, цветов

и

фоновых

картинок

бьет

по

мозгу также

как

heavy

metal, исполненный

классическим

симфоническим

оркестром.

Конечно

же, есть

любители

такого

креатива, но

большинство

все

же предпочитает

классику. Пытайтесь

избегать

в

деловых

презентациях

ярких

цветов

и

неестественных

шрифтов. Особое

внимание

уделите

заголовку. Идеальным

заголовком

считается

заголовок, выполненный

тем

же

самым

шрифтом, почти

тем

же

самым

цветом

и немного, процентов

на

30, увеличенным

размером.

Немного по картинкам. Ваши

слушатели

догадываются, что

вы

знаете, где находиться

пункт

меню

вставки

рисунка. Поэтому, прежде

чем

вставлять

рисунок

в

каждый

слайд, подумайте, стоит

ли

он

того. Подумали? Подумайте

еще

раз. Конечно, одна

картинка

заменяет

1000 слов, но

заменит

ли

она

их

в

данном

случае? И

самое

главное: гармонично

ли

она

сочтется

стилем

и

цветовой гаммой

самой

презентации?


6. Избегайте

излишней

анимации

Я не знаю, какой

злой

гений

придумал

движущуюся

анимацию

в

презентациях. Никаким

вылетом

фразы

из-за

границы

экрана

не

заменить

оратора, а вот

отвлечь

от

хода

повествования

–

запросто. Движущейся

объект

для

человека, как

для

любого

животного, это

либо

еда,

либо

опасность. Поэтому

человек

отвлекается

на

него

подсознательно, забыв

и

ход

повествования

и

что

нужно

слушать

рассказчика, особенно, если

дело

идет

к обеду. Не

стоит

отвлекать

внимание

человека

от

темы. Оставьте

анимацию

профессионалам. Лично

я

ни

разу

не

видел

уместное

использование

такой анимации

в

презентациях, которую

готовил

«не

дизайнер».

И

самый

главный

принцип:

Ни

одна


не

заменит

человеческого

общения.

Удачных

вам

выступлений.


«Магическое

число

семь

плюс-минус

два»(«кошелёк

Миллера») —

закономерность, обнаруженная

американским

учёным-психологом

Джорджем

Миллером, согласно

которой

кратковременная

человеческая

память,

как

правило, не

может

запомнить

и

повторить

более

7 ±

2 элементов.

Эта

закономерность

была

изложена

в

его

работе

The Magical Number Seven, Plus or Minus Two: Some Limits on

our Capacity for Processing Information, увидевшей

свет в

1956 годув

Psychological Review.

Магическое

число

семь

плюс-минус

два

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C

http://www.well.com/user/smalin/miller.html



http://ru.wikipedia.org/wiki/1956_%D0%B3%D0%BE%D0%B4


Джордж

Миллер

во

время

своей

работы

в

Bell

Laboratories

провел ряд

экспериментов, целью

которых

был

анализ

памяти

операторов. В


опытов

он

обнаружил, что

кратковременная

память

человека способна

запоминать

в

среднем

девять

двоичных

чисел, восемь

десятичных

чисел, семь

букв

алфавита

и

пять

односложных

слов

—

то есть

человек

способен

одновременно

помнить

7 ±

2 элементов.

Таким

образом, кратковременная

память

— «кошелёк», в

который можно

«положить»

одновременно

семь

«монет». Причём

память

не

пытается

анализировать

смысл

информации, важны

лишь

внешние, физические

характеристики, то

есть

не

важно, какие

«монеты»

находятся

в

«кошельке» — доллар

или

цент, главное

чтобы

их

было семь. Если


элементов

больше

семи

(в

крайнем

случае,

девяти), то

мозг

разбивает

элементы

на

группы

таким

образом, чтобы количество

запоминаемых

элементов

было

от

5 до

9.

Неожиданно, аналогичное

правило

было

обнаружено

для

муравьёв: они способны

запоминать

и

передавать

сообщения

длиной

до

7 бит

Магическое

число

семь

плюс-минус

два

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B8%D0%BB%D0%BB%D0%B5%D1%80,_%D0%94%D0%B6%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B6_(%D0%BF%D1%81%D0%B8%D1%85%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B3)

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7


Успехов!


Вместо эпилога:Если птица ходит, как утка, крякает, как утка,

то, возможно, это и есть утка

# 1Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6




2004-2013, Казань

ФИЗИКА


# 2Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6ВычФиз

Решениедифференциальных

уравнений


Основные

определения

0 0( , ) (1) ( ) (2)dy f y x y x ydx

где

y –

зависимая

переменная,

x –

независимая

переменная,

f(y,x ) –

функция

производной

= правая

часть,

x0 -

начальное

значение

независимой

переменной,

y0 -

начальное

значение

зависимой

переменной.


Метод

Эйлера• Пусть

задано

уравнение

Решение

будет

искаться

в

виде

где

h –

шаг

сетки, f (tk

, yk ) = tgαk

и

h*tgαk = ∆yk

• Ошибка

дискретизации

δ

~ h

000 )(,),,( ytytttytfdtdy

n

),,()(1 kkkk ytfhtyy yk

tk tk+1

h

αk

δk

Основные


Δyk

yk+1


Основные


0 0(3) ( ) (4)tdy e y y t ydt

Уравнение

(3) –

дифференциальное

уравнение

•первого

порядка

•линейное

•в

обыкновенных

производных

•с

зависящими

от

нез. переменной

коэффициентами


Основные


0 0(3) ( ) (4)tdy e y y t ydt

Метод


решения

–

замена


разностями

Простейший

метод

–

метод

Эйлера

–> погрешность

~Δt = h

11 1

1

0 0 1

( ) ( ) (5)

( ) , (6)

k kk k k k k k

k k

k k

y y f t y y t t f tt t

y t y t t t h

1 0 0exp( ) , ( ) (7)k k k ky y t y h y t y


Решения

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.60.81.01.21.41.61.82.02.22.42.6

Euler RK4y

t


Решения

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.60.81.01.21.41.61.82.02.22.42.6

Euler RK4 Точное решение

y

t


Дифференциальные

уравнения.

• Общий

случай

•Роль

дифф. уравнений

в

физике

(рост, убывание, стремление

к равновесию,…, механика, молекулярная

физика, квантовая

механика,

электродинамика, …. ).

•Примеры

0 0

( , , , , ,..., , , ,...)

( )

d a b cd

y F y xx

y x y


Танцы

звезд

• Задача

многих

тел. Уравнения

Ньютона

или

Гамильтона.

, 1, ,

jj

jj

Hpq

j nHqp

2

2 31 1

, 1, ,

r r F r

N Ni ji

i i i ij ijijj j

m mdm m i Ndt r

2 2 2

1 , 12

N Nix iy iz i k

i iki i ki k

p p p m mHm r


Танцы

звезд

• Задача

многих

тел. (3 тела).Уравнения

Ньютона

или

Гамильтона


Танцы

звезд

• Задача

многих

тел. (3 тела

и чуть больше).Уравнения

Ньютона

или



Танцы

звезд

• Задача

многих

тел. (3 тела


Ньютона

или



Танцы

звезд

• Задача

многих

тел. (3 тела


Ньютона

или



Сеточные

функции

• Пусть

задана

непрерывная

функция

g(x)

на

участке

[a,b].

• Введем

дискретный

набор

точек

xi

, сетку.

• Точки

x0

,x1

,x2

,…xn

– узлы

сетки

•

Сетка

с

одинаковым

расстоянием

между

произвольной

парой соседних

точек

–

равномерная

сетка.

• yi

=g(xi

) –

сеточная

функция, задаваемая

в

виде

таблицы.

g(x)

x

y

a b

...

y0 y1 y2yn

x1 x2


Разности

• Можно

ввести

аналог


для

сеточной

функции

• Также

задается

• В

общем

случае

1i

i i ix

df dx y y ydx -

правая

разность

1i i iy y y -

левая

разность

1 11 1( ) ( )2 2i i i i iy y y y y -

центральная

разность

1( )m mi iy y


• Производные

второго

порядка

• Дифференцирование

произведения

• Суммирование

по

частям

Разности

Полезные

выражения

22 12i i i iy y y y 1 12i i i iy y y y 2

1i iy y

1 1( )i i i i i i i i i iy v y v v y y v v y

1 1( )i i i i i i i i i iy v y v v y y v v y

1 1

1 0 1 0 00 1 0

N N N

i i i i N N i i N Ni i i

y v v y y v y v v y y v y v


Разностные

уравнения

• Линейное

разностное

уравнение

m-го

порядка

или

• Например

)()(...)()()( 22110 ifyiayiayiayia mimiii

)()(...)()()( 2210 ifyiyiyiyi m

imiii

)()()( 110 ifyiayia ii -

уравнение

первого

порядка

ii yiiy )()(1 Решение

Если

задано

граничное

условие

y0

=const, все

остальные

значения

находятся

последовательно


Разностные

уравнения

Граничные

условия•

Аналогично

дифференциальным

уравнениям

чтобы

найти

частное

решение

требуется

задать

граничные

условия.-

уравнение

первого

порядка

–

один

параметр

-

уравнение

второго

порядка

–

два

параметра

и

т.д.

•

Согласно

заданным

условиям

уравнения

второго

порядка

можно классифицировать

как

-

Задача

Коши.

Заданы

граничные

условия

в

двух

соседнихточках.

-

Краевая

задача.

Заданные

точки

не

являются

соседними.

• Граничные

условия

могут

быть

первого, второго

и

третьего

рода.


Уравнения

первого

порядка

Метод

Эйлера• Пусть

задана

система

уравнений

(здесь

yi

–

разные

функции)

• Решение

будет

искаться

в

виде

где

h –

шаг

сетки

• Ошибка

дискретизации

~h

)),(),...(),(,()()( 211 knkkkikiki xyxyxyxfhxyxy

iinii aybxanixyxyxyxf

dxdy )(,,,...,1)),(),...(),(,( 21


Методы

Рунге-Кутта

q

iiikk hkpxyxy

11 )()()( -

общая

формула, где

;;)(1 yxfhhk

;;)( 12122 kyhxfhhk

;;)( 23213133 kkyhxfhhk

..........................................................

;...;)( 3322113 kkkyhxfhhk nnnn

qijpp ijqq 0...... 12 -

константы


Методы


Выбор

параметров

Введем

функцию

погрешности

метода

);(...)()()()()( 2211 hkphkphkpxyhxyh iii

Будем

искать

коэффициенты

из

условия

чтобы

0)0(,0)0(...)0()0( )1()( ss

тогда

1)1(

1)1(

1

)(

)!1()(

)!1()(

!)0()(

s

ss

ss

i

ss

hs

hhs

hhs

h


Уравнения

первого

порядка

Методы

Рунге-Кутта• Метод


второго

порядка

(Метод

Хьюна) ε

~ h2

• Метод

Рунге-Кутта-Фельберга

ε

~ h5

,))(,()(,))(,(2

)()( 11 kkkkkkkk xyxfhxyxfxyxfhxyxy

43201 121

4516

209

91)()( kkkkxyxy ii ;;0 ii yxfhk

;92;

92

01

kyhxfhk ii ;

41

121;

31

102

kkyhxfhk ii

;64

135128143

12869;

43

2103

kkkyhxfhk ii

;1516

527

427

1217; 32104

kkkkyhxfhk ii


• Например

уравнение

дрифт-диффузии

это

уравнение

в

частных

производных. Можно

решать

стационарное уравнение, приравняв

нулю

производную

по

времени.

Линейные

уравнения

второго

порядка

0

n n B

n Jt x

nJ q nE k Tx

2

2 0n nn n n ED q E q nt x x x

2

2 0n nA Bnx x

1 1 1 12

( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 02

i i i i ii i i

n x n x n x n x n xA B n xh h


2D уравнение

Пуассона

),( 2122

2

21

2

xxfxu

xu

-

уравнение

в

частных


Функция

u определена

на

всей

границе

–

задача

Дирихле ),(| 21 xxu B

Линейные

уравнения

второго

порядка

),()1,(),(2)1,(),1(),(2),1(212

2

2121212

1

212121 iifh

iiyiiyiiyh

iiyiiyiiy

Разностное

уравнение


• Разностное

уравнение

с

граничными

условиями

можно


в

виде

матричного

уравнения

iiiiiii fybycya 11

Метод

прогонки

Линейные

уравнения

второго

порядка

2121110 , NN yyyy

2

1

2

2

1

1

1

2

2

1

0

2

111

22

22

111

1

......

10...000...000

0...000.....................000...0000...000...01

N

N

N

N

N

NNN

NN

ff

ff

yyy

yyy

bcabc

cabca


Метод

прогонки

Алгоритм

• Выберем

соотношение

где


определены

как

с

граничными

условиями

• За

один

проход

->

можно

расcчитать

все


αi

βi

.

111 iiii yy

;; 11iii

iiii

iii

ii ac

faac

b

;; 1111


Метод

прогонки

Алгоритм

• Теперь

идем

<-

и считаем

где

yN

находится

из

граничных

условий

111 iiii yy

2

22

1

N

NNy


Buffer Layer AlxGax-1As n-

Schottky Layer AlxGax-1As nDoping Layer AlxGax-1As n+

Channel Layer GaAs n-

Substrate Layer AlxGax-1As n-

Source

(~50nm)

(~20nm)

(~20nm)

(~8nm)

(~6nm)

Drain

Gate Metal

Пример

Структура


Пример

Задача

Рассчитать

константы

спин-орбитального взаимодействия

в

полупроводниковой

гетероструктуре

с

металлическим

затвором, как функции

напряжения

на

затворе.


Спин-орбитальное

взаимодействие

SO 20

ˆ( )(2 )

ˆH Vm c

pσ

D ( )iz y y x xH k k k

2

( )i iz zk k

-

общий

вид

- формула

специфичная

для

III-Vполупроводниковых

гетероструктур

- константа

спин-орбитального


Параметр

β определяется

зонной

структурой

полупроводника

Задача

сводится

к

нахождению

волновых

функций

электронов локализованных

в

квантовой

яме


Xm

Xs

o

Xs

o Xs

Ef

E0

Ec

Ev

METAL Semiconductor

Φb

Vb

i

Металл/полупроводник Полупроводник/полупроводник

Band structure


n n n BJ q nE k T n

0B B

qE qEn n nk T k T

,

Уравнение

дрифт-диффузии:

Уравнение

Пуассона: 0 ( )r d ae p n N N

Уравнение

Шрёдингера:2 1 ( ) 0

2 * k k kV Em

Уравнения


Initialize dopingconcentration

Poisson Equation

Schrцdinger Equation

Continuity andTransport Equations

Efn calculation

Does electrondensity converge

End

Does electrondensity converge

Yes

Yes

No

No

Calculate Spin Orbit terms

Алгоритм

МикроскопическаяМикроскопическая

модельмодель

МакроскопическаяМакроскопическая

модельмодель


0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100

x (nm)

Ener

gy (e

V)

psi_schefEsub#1Esub#2Esub#3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100

x (nm)

Ener

gy (e

V)

psi_schefEsub#1Esub#2Esub#3


Vg = 0 V Vg = 0.5 V



Константы

С-О




Д. Поттер, Вычислительные

методы

в

физике.

Н. Н. Калиткин, Численные

методы.

Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков, Численные

методы.

Р.П. Федоренко, Введение

в

вычислительную

физику.

Самарский

А.А., Введение

в

численные

методы.

Ортега

Дж., Пул

У., Введение

в

численные

методы

решения


уравнений.


The End

# 1Ю.Н. Прошин ВычФиз Лекции




2004-2013, Казань

ФИЗИКА



MatLab: решениедифференциальных

уравненийи другие демонстрации (?)


Простой

пример

2dy xydx

(0) 1y 2

( ) xy x e

В

качестве

самого

простого

примера

приведем

решение

следующего

уравнения

с

начальным

условием

и

аналитическим

решением

Возможный

формат

вызова

процедуры

решателя

в

MatLab: [T,Y]=ode45(@DiffEquatFunc,[Tstart,Tfinal],StartVector).


Простой

примерСнимок

экрана, который

соответствует

численному

решению

этой

задачи

в

системе

MatLab.


В общем случае, процедура ode45 может решать систему уравнений следующего вида:

1 2( ) ( , , ,..., )X F nd t t x x xdt

,

где ( )tX – вектор-столбец

1

2

( )( )

...( )n

x tx t

x t

.

F(t, x1, x2, …, xn) – функция-столбец, зависящая от времени и компонент вектора x.


Заметим, что

уравнение

(1) можно

решить

в

MatLab

и

символьно. Приведем

часть

командного

окна, где

была

вызвана

стандартная

процедура

dsolve>> dsolve('Dy=-2*t*y','y(0)=1')ans = 2

exp(-t ) Здесь

также

использовано

начальное

условие.

Видим, что

с

точностью

до

переобозначения

x → t результат совпадает

с

приведенным

выше.


Решатели

диф. уравнений

в

MatLab (solvers)

Для

решения

систем

ОДУ

в

MatLAB

реализованы

различные

методы. Их

реализации

названы

решателями

ОДУ. Решатели

реализуют

следующие

методы

решения

систем


уравнений:

Все

решатели

(ode45, ode23,

ode133,

ode15s, ode23s, ode23t, ode23tb

) могут

решать

системы

уравнений

явного

вида

y’

= F(t, y).

Решатели

ode15s, ode23s, ode23t, ode23tb

могут

решать

уравнения неявного

вида

F(t, y, y’

) = 0.

0 0

1 2

( , )

( )

( ) ( ), ( ),... ( ) ?n

d tdt

t

t y t y t y t

y F y

y y

y


Решатели

диф. уравнений

в

MatLab (solvers)

•

ode45 –

одношаговые

явные

методы


4-го

и

5-го

порядка

начальная

проба решения. Во

многих

случаях

он

дает

хорошие

результаты;

•

ode23 –

одношаговые

явные

методы


2-го

и

3-го

порядка. При

умеренной жесткости

системы

ОДУ

и

низких

требованиях

к

точности

этот

метод

может

дать

выигрыш

в

скорости

решения;•

ode133 –

многошаговый

метод

Адамса-Башворта-Мултона

переменного

порядка. Это

адаптивный

метод, который

может

обеспечить

высокую

точность

решения;•

ode15s

–

многошаговый

метод

переменного

порядка

(от

1-го

до

5-го, по

умолчанию

5),

использующий

формулы


дифференцирования. Это

адаптивный

метод, его стоит

применять, если

решатель

ode45 не

обеспечивает

решения;

•

ode23s

–

одношаговый

метод, использующий

модифицированную

формулу Розенброка

2-го

порядка. Может

обеспечить

высокую

скорость

вычислений

при

низкой

точности;•

ode23t

–

метод

трапеций

с

интерполяцией. Этот

метод

дает

хорошие


при

решении

задач, описывающих

осцилляторы

с

почти

гармоническим

выходным сигналом;

•

ode23tb

–

неявный

метод


в

начале

решения

и

метод, использующий формулы

обратного

дифференцирования

2-го

порядка

в

последующем. При

низкой

точности

этот

метод

может

оказаться

более

эффективным, чем

ode15s.


Движение

заряженной

частицы. Закон

Кулона

Пусть

некоторая

точка

массы

m

с

зарядом

q

движется

в электрическом

поле

двух

неподвижных

зарядов

Q1 и

Q2

Q1

Q2m,q

r2

r1

R

V


Движение



Кулона

Q1

Q2m,q

r2

r1

R

V

R-r1

R-r2

1 21 23 3

1 2

qQ qQmR R r R rR r R r


Движение



Кулона

1 21 23 3

1 2

qQ qQmR R r R rR r R r

1 21 23 3

1 2

R VQ QV R r R r

R r R r

1 2( , )R x x

1 1 1( , )x yr C C

2 2 2( , )x yr C C

3 4( , )V x x

Пусть

масса

частицы

m

= 1, ее

заряд

q

= 1.

Перейдем

к

безразмерным единицам, и

будем

считать, что

данная

задача

является

"плоской".

Введем

следующие

обозначения:

,


3 32 2

3 32 2

1 3

2 4

1 1 1 2 2 23

2 2 2 21 1 2 1 1 2 2 2

1 1 1 2 2 24

2 2 2 21 1 2 1 1 2 22

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

x x

x y x

y

yx

y

y

x y

x xx x

Q x C Q x Cxx C x C x C x C

Q x C Q x Cx

x C x C x C x C

Движение



Кулона

1 2( , )R x x

1 1 1( , )x yr C C

2 2 2( , )x yr C C

3 4( , )V x x

Пусть

масса

частицы

m

= 1, ее

заряд

q

= 1.

Перейдем

к

безразмерным единицам, и

будем

считать, что

данная

задача

является

"плоской".

Введем

следующие

обозначения:

,


Движение



Кулона

Рассмотрим

простейший

случай

финитного

движения

с

Q1

=

–50, Q2

=

0, С1 = (5,0) и

С2 = (0,10).

При

таких

начальных

параметрах

(Q2 = 0 и

Q1 < 0) наша

точка

движется

в

притягивающем

поле только

первого

заряда

и, как

мы

помним

из

классической

механики,

должна

описывать

вокруг

него

эллипс. Проверим, запишем

правую часть

системы

уравнений

как

файл-функцию, назвав

ее

pointq12.

function f=pointq12(t,x)global Q1 Q2 C1x C1y C2x C2yf=[x(3);x(4);...Q1*(x(1)-C1x)/(sqrt((x(1)-C1x)^2+(x(2)-C1y)^2))^3+...Q2*(x(1)-C2x)/(sqrt((x(1)-C2x)^2+(x(2)-C2y)^2))^3;...+Q1*(x(2)-C1y)/(sqrt((x(1)-C1x)^2+(x(2)-C1y)^2))^3+...Q2*(x(2)-C2y)/(sqrt((x(1)-C2x)^2+(x(2)-C2y)^2))^3];


Движение



Кулона

Решим

систему


уравнений, вызвав

процедуру ode45 из

"пустой" файла-функции

pointDyn.m

function pointDyn()clear allglobal Q1 Q2 C1x C1y C2x C2yQ1=-50; Q2=-0.; C1x=5; C1y=0; C2x=0; C2y=10;x0=0; y0=0; vx0=0; vy0=4.3; T1=4000;[t,h]=ode45(@pointq12,[0,T1],[x0,y0,vx0,vy0]);x=h(:,1); y=h(:,2); x1=C1x; y1=C1y; x2=C2x; y2=C2y;plot(x,y,'b-'); % отрисовка

траектории

hold on% отрисовка

положения


зарядов

plot(x1,y1,'r+',x2,y2,'r*','MarkerSize',15);plot(x1,y1,'ro',x2,y2,'ro','MarkerSize',15);% comet(x,y); % отрисовка

"движения"

hold off;


Движение



Кулона

-10 0 10 20 30 40 50 60 70-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

Для

данного

примера

относительной

точности

10-3, заложенной

по умолчанию

в

процедуре

ode45, недостаточно. Придется

либо

уменьшать

этот

параметр, либо

пробовать

другие

процедуры.

# 17Ю.Н. Прошин ВычФиз Лекции-10 0 10 20 30 40 50 60 70-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

Движение



Кулона

Изменим

относительную

точность

решения

на

три

порядка

→ 10-6

:

tol = 1e-6; [t,h]=ode45(@pointq12,[0,T1],[x0,y0,vx0,vy0],...odeset('RelTol',tol))


Движение



Кулона

Время

расчета

увеличилось, но

теперь

мы

получили

вполне приемлемый

результат.

Теперь

можно

поэкспериментировать

с

начальными

условиями

и зарядами

тел

(например, можно

убедиться, что

при

последовательном

увеличении

на

единицу

заряда

Q1 с

–50 до

–46 движение

становится

инфинитным).

Естественно, что

движение

станет

также

инфинитным, если

взять заряды

одного

знака, т.е. Q1 > 0.


Движение



Кулона

0 10 20 30 40 50 60 70-20

-10

0

10

20

30

40

Введем

значение

Q2

=

–0.2. Это

внесет

возмущение

в

орбиту

движущейся

точки.


Движение



Кулона

Введем

значение

Q2

=

+0.2. Траектория


незамкнутой

.

-10 0 10 20 30 40 50 60 70-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20


Движение



Кулона

-60 -40 -20 0 20 40 60-50

0

50

Q1

=

–50 и

Q2

=

–1.5. T1 = 8000.


Движение



Кулона

Следует

подчеркнуть, что

мы

использовали

модель

точечных зарядов, т.е. пренебрегали

возможностью

"попадания" зарядов

друг

в

друга. Дальнейшее

улучшение

программы

связано

с контролем

в

ходе

решения

выполнения

закона

сохранения

энергии

(особенно

это

существенно

при

решении

задачи

многих тел).

Теперь

можно

экспериментировать

самостоятельно

!

Ю.Н. Прошин, И.М. Еремин. Вычислительная

физика (Практический

курс) Казань: Казанский

государственный

университет, 2009. ("Задание

4. Движение

заряда

в

кулоновском

поле")


Движение

под

действием сил тяжести и трения

Рассмотрим

траекторию

движения

пули

под

действием

силы тяжести. При

отсутствии

сопротивления

воздуха

это

будет

парабола. При

скорости

пули

больше

скорости

звука

сила сопротивления

воздуха

пропорциональна

квадрату

скорости

и

противоположна

направлению

движения. Уравнение

движения пули

массой

m

будет

следующим

mw mr G F mg kVV

Примем

для

простоты,

что

коэффициент

пропорциональности

k

в силе

трения

зависит

от

плотности

воздуха

ρ, которая, в

общем

случае, может

меняться

с

высотой

y, площади

поперечного

сечения пули

S

и

некоторого

постоянного

безразмерного

параметра

b

порядка

единицы, учитывающего

форму

пули. Из

соображений

размерности

k

=

bρS.


Движение

под


0 100 200 300 400 500 600 700 800 9000

20

40

60

Пусть

масса

пули

-

m

= 9 грамм, S

=

0.5

см2

(~ калибр

7.62 мм).

Пусть

ρ

=

ρ(0)

=

1.22 кг/м3, g

=

9.8 м/с2, коэффициент

b

=

0.5. При

t0

= 0: x0

=0, y0

=0, а

vx0

= 800 м/с, vy0

=

100 м/с. Переведем

все

в

систему

Си

и

обезразмерим.

- - - - ode45, + + + + ode113.

По

осям

-

метры


Движение

под


0 100 200 300 400 500 600 700 800 9000

20

40

60

Теперь

можно

проводить

компьютерные

"эксперименты", меняя параметры

задачи. Например, можно

учесть

изменение

плотности

воздуха

с

высотой, или

даже

осевое

вращение

пули, возникающее

в нарезном

стрелковом

оружии, и

оценить

как

это

влияет

на

точность

стрельбы


Движение

под


Теперь

можно

проводить

компьютерные

"эксперименты", меняя параметры

задачи. Например, можно

учесть

изменение

плотности

воздуха

с

высотой, или

даже

осевое

вращение


в нарезном


оружии

и

оценить

как

это

влияет

на

точность

стрельбы

(см. Вычислительная

физика

"Задание

2. Полет

пули", на

стр. 26).

I.

Как

изменится

траектория

пули

с

учетом

распределения плотности

воздуха

по

высоте.

Построить

аппроксимацию

ρ(y) по

следующим

данным: в

Европе

плотность

воздуха

у

поверхности Земли

равна

1.258 кг/м3, на

высоте

5 км

–

0.735 кг/м3, на

высоте

20

км

–

0.087 кг/м3, на

высоте

40 км

–

0.004 кг/м3II.

При

каком

угле

вылета

пуля

достигает

максимальной

дальности?III.

Если

одну

пулю

выстрелить

горизонтально

из

ствола, а

другую

пулю

бросить

с

той

же

самой

высоты

в

тот

же

самый момент, упадут

ли

обе

из

них

в

одно

и

то

же

время?

IV.

Если

пулю

выстрелить

из

винтовки

вертикально

вверх, какой

будет

ее

окончательная

скорость, когда

она

попадет

в

макушку

чьей-то

головы

во

время

своего

полета

вниз? Построить

фазовую

диаграмму

(y,

Vy

) при

разных

параметрах задачи. Зависит

ли

дальность

от

массы

пули? Какая пуля улетит

дальше, более

тяжелая

или

более

легкая?Учесть

осевое

вращение


в

нарезном


оружии. Как

это

влияет

на

дальность

и

точность

стрельбы?


Осциллятор

Ван

дер

Поля. Жесткость

системы

ОДУ

Разберем

известный

пример

осциллятора

Ван

дер

Поля

и

увидим, что

применение

ode45

либо

сильно

удлиняет

время

решения, либо,

вообще, не

может

привести

к

решению. Итак

ДУ, описывающее осциллятор

Ван

дер

Поля, выглядит

следующим

образом

2

22 1 0d x dxx x

dt dt

здесь

μ

–

параметр. Перепишем

12

221 2 11

dx xdtdx x x xdt



Ван

дер


системы

ОДУ

Используем

в

качестве

функции, описывающей

систему

ДУ

(13), функцию

vanderpoldemo,

входящую

в

стандартный

демонстрационный

пример

MatLab

–

odedemo.

12

221 2 11

dx xdtdx x x xdt

function

dydt

= vanderpoldemo(t,y,Mu)%VANDERPOLDEMO Defines the van der

Pol

equation

%

Copyright 1984-2002 The MathWorks, Inc. % $Revision: 1.2 $ $Date: 2002/06/17 13:20:38 $ dydt = [y(2); Mu*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1)];



Ван

дер


системы

ОДУ

12

221 2 11

dx xdtdx x x xdt

Для

малых

μ

порядка

единицы

практически

любой

MatLab решатель ОДУ

сможет

эффективно

решить

уравнение

Ван

дер

Поля.

Для

больших

значений

μ

> 100 система

ОДУ


жесткой. Для быстрого

и

эффективного

интегрирования

таких

систем

должны

быть

использованы

специальные

методы, реализованные

в

ode15s, ode23s, ode23t,

ode23tb. Сравним

работу

двух

процедур

ode45

(синяя

сплошная

линия

на

графиках) и

ode15s

(прерывистая красная)

при

разных

значениях

μ…

Начальные

условия

10 0 0.5x x

20 10 0 0x x x



Ван

дер


системы

ОДУ

tspan

= [0, 100];

x0 = [0.5; 0];

Mu

= 0.0;disp(['Fig0 tspan

= [0, 100]; mu=', num2str(Mu)])

tic

% Засекаем

время[t,x] = ode45(@vanderpoldemo, tspan, x0,[],Mu);toc

% Останавливаем

и

печатаем

время

% Plot of the solutionplot(t,x(:,1),'b','LineWidth',4)xlabel('t'); ylabel('solution x')title(['van

der Pol Equation, \mu

= ', num2str(Mu)])

hold on; tic[t,x] = ode15s(@vanderpoldemo, tspan, x0,[],Mu);toc; plot(t,x(:,1),'r--','LineWidth',4); hold off



Ван

дер


системы

ОДУ

0 20 40 60 80 100-3

-2

-1

0

1

2

3

t

solu

tion

x

van der Pol Equation, = 0

tspan

= [0,100]; mu=0ode45 => 0.103 sec.ode15s => 0.284 sec.

периодическое

решение

для гармонического

осциллятора

с

амплитудой

0.5


0 20 40 60 80 100-3

-2

-1

0

1

2

3

t

solu

tion

x

van der Pol Equation, = 0.1


Ван

дер


системы

ОДУ

tspan

= [0,100]; mu=0.1ode45 => 0.112 sec.ode15s => 0.447 sec.


0 20 40 60 80 100-3

-2

-1

0

1

2

3

t

solu

tion

x



Ван

дер


системы

ОДУ

tspan=[0,100]; mu=1ode45 => 0.191 sec.

ode15s

=> 0.796 sec.


0 20 40 60 80 100-3

-2

-1

0

1

2

3

t

solu

tion

x



Ван

дер


системы

ОДУ

tspan=[0,100]; mu=10ode45 =>0.450 sec.ode15s => 1.07 sec.

Система


жестче

–

малое изменение

параметра, приводит

к

сильному

изменению

функции. Хотя

по-прежнему

ode45

быстрее

ode15s.


0 500 1000 1500 2000-3

-2

-1

0

1

2

3

t

solu

tion

x



Ван

дер


системы

ОДУ

tspan

=[0,2000]; mu

= 175ode45 => 190.4 sec.ode15s

=> 2.631 sec.


0 2000 4000 6000 8000 10000-3

-2

-1

0

1

2

3van der Pol Equation, = 1000

t

solu

tion

xОсциллятор

Ван

дер

Поля.

Жесткость

системы

ОДУ

tspan=[0,10000]; mu=1000ode45 => Not solved!ode15s

> 3.166 sec.

При

μ

= 1000 ode45

отказывается работать, а

время

работы

ode15s

увеличился

на

треть

при

увеличении временного

диапазона

почти

в

5 раз:



Ван

дер


системы

ОДУ

tspan=[0,10000]; mu=1000ode45 => Not solved!ode15s

> 3.166 sec.

При

μ

= 1000 ode45

отказывается работать, а

время

работы

ode15s

увеличился

на

треть

при

увеличении временного

диапазона

почти

в

5 раз:

( ) ( , )X F Xd t tdt

Причина

в

том,

что

при

увеличении

параметра

μ

начинают

сильно различаться

порядки

коэффициентов

при

разных

слагаемых.

Именно

степень

этого

различия

чаще

всего

и


жесткость системы

ОДУ

В

качестве

соответствующей

характеристики

выбирают

матрицу Якоби

(якобиан) векторной

функции

F(t,X), определяющей

правую

часть

системы

ОДУ. Чем

сильнее

вырождена

матрица

Якоби, т.е. функциональная

матрица, составленная

из


F(t,X), тем

жестче

система

уравнений.


Система

Лоренца

(С.П.Кузнецов,

Динамический

хаос)


Система

Лоренца


Система

Лоренца

(Г.Шустер,

Детерминированный

хаос)


Система

Лоренца

(Г.Шустер,


хаос)


Система

Лоренца

(Г.Шустер,


хаос)


Система

Лоренца

(Г.Шустер,


хаос)


Система

Лоренца

(Г.Шустер,


хаос)


Система

Лоренца

(Г.Шустер,


хаос)


Система

Лоренца

(Г.Шустер,


хаос)


Система

Лоренца

(Г.Шустер,


хаос)


Система

Лоренца

(Г.Шустер,


хаос)


Система

Лоренца

(Г.Шустер,


хаос)


Система

Лоренца

(Г.Шустер,


хаос)


Система

Лоренца

(Г.Шустер,


хаос)


Система

Лоренца

(C.Кузнецов,


хаос)


Система

Лоренца



хаос)


Система

Лоренца



хаос)


Система

Лоренца



хаос)


Система

Лоренца



хаос)


Система

Лоренца



хаос)


Система

Лоренца



хаос)


OO1

O2

Система

Лоренца



хаос)


function lorenz(action)%LORENZ Plot the orbit around the Lorenz chaotic attractor.% This demo animates the integration of the three coupled nonlinear differential% equations that define the "Lorenz Attractor", a chaotic system

first described

% by Edward Lorenz of the Massachusetts Institute of Technology.% Copyright 1984-2005 The MathWorks, Inc.% $Revision: 5.13.4.3 $ $Date: 2005/12/15 20:52:53 $

% The values of the global parameters areglobal SIGMA RHO BETASIGMA = 10.; BETA = 8./3.;

RHO = 30; %% 28 1 13.927 24.06 24.74

Система

Лоренца


function lorenz(action)%LORENZ Plot the orbit around the Lorenz chaotic attractor.% This demo animates the integration of the three coupled nonlinear differential% equations that define the "Lorenz Attractor", a chaotic system

first described

% by Edward Lorenz of the Massachusetts Institute of Technology.% Copyright 1984-2005 The MathWorks, Inc.% $Revision: 5.13.4.3 $ $Date: 2005/12/15 20:52:53 $

% The values of the global parameters areglobal SIGMA RHO BETASIGMA = 10.; BETA = 8./3.;

RHO = 30; %% 28 1 13.927 24.06 24.74

Система

Лоренцаσ

= SIGMA = 10; b = BETA = 8/3 = 2.66; r = RHO = 30


Система

ЛоренцаRHO = 0.9 < 1

O


Система

ЛоренцаRHO = 7.5 < 13.927

O1


Система

ЛоренцаRHO = 7.5 < 13.927

O2


Система

ЛоренцаRHO = 19

> 13.927

O2


Система

Лоренца24.06 < RHO = 24.5 < 24.74

O2


Система

Лоренца24.06 < RHO = 24.5 < 24.74

O1


Система

Лоренца24.06 < RHO = 24.5 < 24.74

→Множество

Ω1 → странный

аттрактор


Система

ЛоренцаRHO = 28 > 24.74


Система

Лоренца




Система

Лоренца


Система

Лоренца



Ю.Н. Прошин, И.М. Еремин. Вычислительная

физика

(Практический

курс) -

Казань: Казанский государственный

университет, 2009. –

180 с.

С. П. Кузнецов,


хаос.-

М: ФИЗМАТЛИТ, 2006. -

356 с.

А.Ю. Лоскутов, А.С. Михайлов, Основы

теории

сложных

систем. –

М.–Ижевск: Институт компьютерных

исследований, 2007. –

620

с.

Г. Шустер


Хаос: Введение. -

М.: Мир, 1988. -

253 с.


The End

# 1Ю.Н. Прошин ВычФиз. Лекция 7




2004-2013, Казань

ФИЗИКА



Численные решения:алгоритмы, методыи неприятности …


КУЛЬТУРАКУЛЬТУРА

ВЫЧИСЛЕНИЙВЫЧИСЛЕНИЙ

НАНА

ЭВМЭВМ

•До

сих

пор

=>

Постановки

задач

и

алгоритмы

их

решения.

•Однако, мы

имеем

цепочку

«модель

—

алгоритм

—

программа».

•Одна

из

возможных

причин

несовпадения

желаемого

и получаемого

=>

несовпадение

машинной

арифметики

с

обычной

из-за конечности

разрядной

сетки

ЭВМ.

Возникающие

ошибки

могут

привести

к

большим

неприятностям, если

их

не

контролировать

и

не

соблюдать

некоторые

элементарные

правила

организации

вычислений. Правила

эти неформальны

и

напоминают

правила

хорошего

тона. Уровень

их

выполнения


уровень

вычислительной

культуры пользователя

ЭВМ. Поясним на примерах основные из этих правил.


Пример

1. Коммутативность, ассоциативность, …

Вычислим

(на

обычном

калькуляторе

или

на

ЭВМ)

1016 + 1 —

1016, 1032 + 1010 — 1032

>> 10^16 + 1 -

10^16 ans =

0>> 10^32 + 10^10 -

10^32ans =

0>>

1016 — 1016 + 1,

1032 — 1032

+ 1010

>> single(10^8) + 1 -

single(10^8) ans =

0


Пример

1. Коммутативность, ассоциативность, …

Вычислим

(на

обычном

калькуляторе

или

на

ЭВМ)

1016 + 1 —

1016, 1032 + 1010 — 1032

>> 10^16 -

10^16 + 1 ans =

1>> 10^32 -

10^32

+ 10^10 ans =

1.0000e+010>>

>> 10^16 + 1 -

10^16 ans =

0>> 10^32 + 10^10 -

10^32ans =

0>>

1016 — 1016 + 1,

1032 — 1032

+ 1010

Таким

образом, в

машинной

арифметике

нарушаются

законы коммутативности

и

ассоциативности

действий.

Применимость

основных

выводов


математики ставится

под

сомнение.


Пример

2. Предел.

Известно, что

>> (1+1./n).^nans =

2.0000 2.7220 3.2940 3.7110 4.1808 1.0000 1.0000

>> n=single([1 1e5 1e7 1.1e7 1.2e7 2e7 3e7])n =

1 100000 10000000 11000000 12000000 20000000 30000000

Вывод: при

вычислениях

с

ЭВМ

применимость

основного

понятия высшей

математики

—

предела

—

также

ставится

под

сомнение.


Правило

1.

Определение.

Машинным

эпсилоном


наименьшее представимое

в

ЭВМ

число

, удовлетворяющее

условию

Правило

1. Величина

М

характеризует

наименьшую

относительную погрешность


и

зависит

от

конкретной

ЭВМ

и

разрядности


(single, double,...

). Требовать

БОЛЬШЕГО

невозможно!


Задача и

комментарий

к

правилу

1.

Задача.

Найти

минимальное

число

М, используемое

компьютером при


по

умолчанию, определить


значащих

цифр

используемых

при

численных

расчетах, выяснить

возможности его

увеличения

(уменьшения). (На

примере

любого

языка

программи-

рования

Си, Паскаль, Фортран, Дельфи

или

вычислительного

пакета MatLab, Maple, Mathematica, MathCad, Origin, Derive).

•Очевидно, если

М

> 10-k, то

на

данной

ЭВМ

нельзя

гарантировать, что в

результатах

будет

содержаться

не

менее

k верных

значащих

цифр.

•Напомним, что

цифра

числа


верной, если

абсолютная погрешность

числа

не

превосходит

половины

единицы

того

разряда, в

котором

эта

цифра

находится.


Чувствительность к

исходным

данным. Корни

полинома

•

Задача

может

быть

чувствительна к

малым

ошибкам, допущенным при

представлении

исходных

данных.

•

Пример, корни

уравнения

p(x) = (x-2)2

= 0 равны

двум, при

изменении

свободного

члена

на

малую

величину

= 10-6

(x-2)2 = изменение

в

корнях

много

больше: x1,2 = 2

10-3.

•

Этот

тип

неустойчивости

еще

более

выражен

у

полиномов

более высокой

степени. Корни

следующего

полиномиального

уравнения

p(x) = 0, где

p(x) = (x-1)(x-2)...(x-20) = x20

- 210x19

+ … суть

реальные числа

от

1 до

20 и

хорошо

разделены.

Задача: Измените


при

x19: (-210)

(-210 + 10-7) и проследите

численно

за

катастрофическим

изменением

решения.

[Уилкинсон, 1963]



исходным


полинома

(Кондрашов)

Пусть

vn=1:n, где

n>1 - целочисленный

параметр, иpn=poly(vn') - полином

с

корнями

1:n, которые

хорошо

отделены

друг

от

друга,

wn=roots(pn) - вектор-столбец

с

вычисленными

корнями

полинома

pn. Проведем

сравнение

vn' и

wn для

различных

n.

>> n=2; vn=1:n; pn=poly(vn'); wn=roots(pn); [vn',wn]ans

=

1 22 1

откуда

видно, что

элементы

в

wn нужно

упорядочить. >> n=3; vn=1:n; pn=poly(vn'); wn=roots(pn); R=[vn',sort(wn)]R =

1.0000 1.00002.0000 2.0000

3.0000 3.0000Появившиеся

после

десятичной

точки

цифры

0 в первом столбце R как

бы

"наведены" значениями

из

второго

столбца

(шероховатость

команды

format). Погрешность

в

втором

столбце

R еще

очень

мала:

>> ((R(:,2)-R(:,1))./R(:,1))'ans =

1.0e-015 *0.2220 -0.9992 0.5921

дает


ошибку

для

корнейЭто

означает, что

в

численном


верны

примерно

14 знаков.



исходным


полинома

Для

n=10 выполнение

"программы" дает>> n=10; vn=1:n; pn=poly(vn'); wn=roots(pn); R=[vn',sort(wn)]; R1=(R(:,2)-R(:,1))./R(:,1); R1'ans =

1.0e-009 *-0.0000 0.0011 -0.0129 0.0711 -0.2270 0.4464 -0.5501 0.4132 -0.1725 0.0306

говорит

о

том, что

точность


постепенно

падает. >> me=max(abs(R1))me =

5.5015e-010

, т.е. теперь

для

всех

корней

верны

только

9 знаков

(me –

max. error). Но

корни

еще

остаются

вещественными, поскольку>> iwn=sum(abs(imag(wn)))iwn

=0

Повторим

для

n=20 и

найдем

максимальную


ошибку

me=0.0016, так

что

теперь

для

всех

корней

верны

только

2 знака, но

результат

пока

еще

остается

вещественным, поскольку

iwn=0. Сравним

точные

и

вычисленные

корни

графически:>> plot(R), grid



исходным


полинома

12.88 12.9 12.92 12.94 12.96 12.98 13 13.02 13.04 13.06 13.08

12.9

12.92

12.94

12.96

12.98

13

13.02

13.04

13.06

13.08

13.1

X: 13Y: 13.02

x

y



исходным


полинома

R =1.0000 1.0000 2.0000 2.0000 3.0000 3.0000 4.0000 4.0000 5.0000 5.0000 6.0000 6.0000 7.0000 7.0001 8.0000 7.9948 9.0000 9.1074

10.0000 9.5767 11.0000 10.9206 -

1.1013i12.0000 10.9206 + 1.1013i13.0000 12.8460 -

2.0622i14.0000 12.8460 + 2.0622i15.0000 15.3147 -

2.6987i16.0000 15.3147 + 2.6987i17.0000 18.1572 -

2.4702i18.0000 18.1572 + 2.4702i19.0000 20.4220 -

0.9992i20.0000 20.4220 + 0.9992i

Пусть

n=20 pn(2)= -210 (это


при x19). Прибавим

к

нему

1e-7, т.е. внесем

в

него

малое


примерно

в

10-м знаке, и повторим

расчет

:

>> n=20; vn=1:n; pn=poly(vn'); pn(2)=pn(2)+1e-7; wn=roots(pn); R=[vn',sort(wn)], plot(R,'*'), grid

R =

…

Несмотря

на

такое

малое


в коэффициенте

pn(2), некоторые

корни

стали

комплексными. •

их

мнимые

части

достигают

по

модулю

2.7,

•

теперь

iwn=sum(abs(imag(wn)))=18.6631, •

и из графика.



исходным


полинома

0 5 10 15 20 25-3

-2

-1

0

1

2

3

Rex

Imx



исходным


полинома

Выясним, почему

так

сильно

изменились


при

внесении

столь

малого возмущения. Обозначим

через

p(x) наш

невозмущенный

полином

pn при

n=20

и

через

a его

второй

коэффициент:p(x)=prod(x-k),k=1:20, или

p(x)=x20+ax19+ ... +20! , a=-210.

Тогда

для

корней

x=1:20 по

теореме

о


неявной

функции

будем

иметь

, откуда

У нас

, а

полином находится

как

polyder(pn). Поэтому

для


dxda на

множестве

vn наших

корней

сначала

выполним

строку>> n=20; vn=1:n; pn=poly(vn');а

затем

строку

(на

графике

значения

функции

определены

только

для

x=1:20)

>> dpn=polyder(pn); dxda=-(vn.^19)./polyval(dpn,vn); plot(log10(abs(dxda)),'*'), gridи увидим, что

уже

при

x=8 dx/da=105 и

будет

еще

больше

с

ростом

x. Поэтому

внесение

в


a возмущения

10-7 должно

в

обязательном

порядке

заметно сказаться

на

значениях

некоторых

корней, каким

бы

методом

они

ни

находились.



исходным


полинома

0 5 10 15 20-20

-15

-10

-5

0

5

10

log(

dx/d

a)

x


Пример

3.

Эквивалентные

формулы

– разные


Пусть

М

= 10-2

и

требуется

решить

уравнение:

Округляем

до

двух

значащих

цифр. Формулы

для

решения

уравнения

Результат:

Верный

ответ

--

ошибка

получена

при

вычитании

близких чисел.

Эквивалентная

формула

получаем Правда, по

этой

формуле

уже

х2

будет

вычислено

с двукратной

погрешностью.

?!


Пример

4.

Эквивалентные

формулы

– разные


Оценка

дисперсии

случайной

величины

по

измерениям

:

Пусть

х 1 = 12345.1, х 2 = 12345.2, х 3 = 12345.3.

?!

>> x= single([12345.1 12345.2 12345.3])x =

1.0e+004 *

1.2345100 1.2345200 1.2345300>> x1=mean(x)x1 =

1.2345200e+004>> y1=sum((x).^2)/3, y2=x1^2y1 =

152403952y2 =

152403968>> y1-y2ans =

-16>> y22=sum((x-x1).^2)/3y22 =

0.0066799>> y = std(x,1)^2y =

0.0066799

Чушь!

Истинно

так!

Верный

ответ

Находим

среднее

И считаем СКО (1)

(1) (2)

а СКО (2) ?!


Правило

2.

Правило

2. При выборе формулы и порядка вычислений избегать

вычитания

близких

чисел

и

деления

на

малые

величины.


Пример

5. Решения

СЛАУ

Столь

большие

отличия

в

ответах

возникли

из-за

того, что

матрицы коэффициентов

систем

1 и

2 плохо

обусловлены: определители

i

= det|ai

|

малы. Действительно, 1

= 0.001, 2

=

-0.001.

25,503.

>> a1=[1,5;1.5 7.501];b1=[17;25.5];x1=a1\b1 % Решение

в

MatLab x1 = 17

0


Пример

5. Решения

СЛАУ

Столь

большие

отличия

в

ответах

возникли

из-за

того, что


систем

1 и

2 плохо


i

= det|ai

|


= 0.001, 2

=

-0.001.

25,503.

>> a2=[1,5;1.5 7.499];b2=[17;25.503];x2=a2\b2 % Решение

в

MatLab x2 = 32.0000

-3.0000


Пример

5. Решения

СЛАУ

Столь

большие

отличия

в

ответах

возникли

из-за

того, что


систем

1 и

2 плохо


i

= det|ai

|


= 0.001, 2

=

-0.001.

Правило

3. Избегать

плохо

обусловленных

матриц.

Использовать

специальные

методы.

25,503.

>> disp([det(a1) det(a2)])0.0010 -0.0010


Переполнение, исчезновение

порядка,…

Пример

6. Числа, представимые

в

ЭВМ, лежат

в

диапазоне minD

≤

|х| ≤

maxD.

При

выходе


за

minD

=>

underflow

(исчезновение

порядка), при

выходе

за

maxD

=> overflow

(переполнение).

•При

переполнении

обычно

говорят, что

плохи

исходные

данные, а при

исчезновении

порядка

полагают

результат

равным

нулю.

•Не

следует

торопиться. Пусть

10-78 ≤

|х| ≤

1076

и

вычисляется

величина x = ab/(cd) при

a = 10-30, b = 10-60,

c = 10-40,

d = l0-50.

•Если

x=a•b/c/d

=>

10-30-60/

c/d =>

underflow;

•Eсли

x = 1/c/d•a•b => 10+40+50•a•b =>

overflow.

•Если

x = a/c•b/d =>

1010•10-60/l0-50

=>

правильный

ответ

х

= 1.

•Этот

же

ответ

можно

получить, если

отмасштабировать

переменные, например, умножив

на

1040.



порядка,…

Пример


в

ЭВМ, лежат

в


≤

|х| ≤

maxD.

При

выходе


за

minD

=>

underflow



выходе

за

maxD

=> overflow


•При


обычно


плохи

исходные



порядка

полагают

результат

равным

нулю.

>> 1e-318 %Проверка

в

MatLab1.0000e-315

>> 1e-3209.9999e-321

>> 1e-3219.9801e-322

>> 1e-3229.8813e-323

>> 1e-3239.8813e-324

>> 1e-3240

>> 1e+308ans =1.0000e+308

>> 1e+309ans =

Inf



порядка,…

Пример


в

ЭВМ, лежат

в


≤

|х| ≤

maxD.

При

выходе


за

minD

=>

underflow



выходе

за

maxD

=> overflow


•При


обычно


плохи

исходные



порядка

полагают

результат

равным

нулю.

•Не

следует


10-78 ≤

|х| ≤

1076

и



a = 10-30, b = 10-60,

c = 10-40,

d = l0-50.

•Если

x=a•b/c/d

=>

10-30-60/

c/d =>

underflow;

•Eсли

x = 1/c/d•a•b => 10+40+50•a•b =>

overflow.

•Если

x = a/c•b/d =>

1010•10-60/l0-50

=>


ответ

х

= 1.

•Этот

же

ответ

можно




на

1040.



порядка,…

Пример


в

ЭВМ, лежат

в


≤

|х| ≤

maxD.

При

выходе


за

minD

=>

underflow



выходе

за

maxD

=> overflow


•При


обычно


плохи

исходные



порядка

полагают

результат

равным

нулю.

•Не

следует


10-78 ≤

|х| ≤

1076

и



a = 10-30, b = 10-60,

c = 10-40,

d = l0-50.

•Если

x=a•b/c/d

=>

10-30-60/

c/d =>

underflow;

•Eсли

x = 1/c/d•a•b => 10+40+50•a•b =>

overflow.

•Если

x = a/c•b/d =>

1010•10-60/l0-50

=>


ответ

х

= 1.

•Этот

же

ответ

можно




на

1040.

>> a = 1e-160, b = 1e-190, c = 1e-170, d = 1e-180a = 1.0000e-160b = 1.0000e-190c = 1.0000e-170d = 1.0000e-180

>> x = 1/c/d*a*b x =

1.0000>> x = 1/c/dx =

Inf

>> x =

a*b/(c*d)x = 1>> x = a*bx = 0>> x =(c*d)x = 0>> x = a*b/c/dx = 1



порядка,…

Пример


в

ЭВМ, лежат

в


≤

|х| ≤

maxD.

При

выходе


за

minD

=>

underflow



выходе

за

maxD

=> overflow


•При


обычно


плохи

исходные



порядка

полагают

результат

равным

нулю.

•Не

следует


10-78 ≤

|х| ≤

1076

и



a = 10-30, b = 10-60,

c = 10-40,

d = l0-50.

•Если

x=a•b/c/d

=>

10-30-60/

c/d =>

underflow;

•Eсли

x = 1/c/d•a•b => 10+40+50•a•b =>

overflow.

•Если

x = a/c•b/d =>

1010•10-60/l0-50

=>


ответ

х

= 1.

•Этот

же

ответ

можно




на

1040.

>> a = 1e-160, b = 1e-190, c = 1e-170, d = 1e-180a = 1.0000e-160b = 1.0000e-190c = 1.0000e-170d = 1.0000e-180

>> x = 1/c/d*a*b x =

1.0000>> x = 1/c/dx =

Inf

>> x =

a*b/(c*d)x = 1>> x = a*bx = 0>> x =(c*d)x = 0>> x = a*b/c/dx = 1

Проверка

в

MatLab

в пределах отminD

до

maxD

Дает

ПРАВИЛЬНЫЙ

результат!!!


Правило

4.

Правило

4. При переполнении или исчезновении порядка следует

попытаться

изменить

последовательность

действий, ввести

масштабные

множители

и

т. д.

При исчезновении порядка не всегда следует обнулять результат.


Суммы, произведения…

Пример

7. Пусть

м

= 10-2

и требуется

найти S = 100 + 0.1 + …

+

0.1

•Если

вести

суммирование

слева

направо, то

с

учетом

округления

до двух

значащих

цифр

=>

S = 100

•Если

вычислять

справа

налево, то

после

тысячи

слагаемых

=>

100, и дальнейшее

+0.1+0.1+… ничего

не

изменит.

Результат

S =

200

•Правильный

результат

S =

300

!? Как

получить?!

•Сложим

1000 чисел

по

0.1, затем

еще

1000 чисел

по

0.1, а

потом

сложим

промежуточные

суммы.

2000 слагаемых


Правило

5.

Правило

5. При

сложении

следует

располагать

слагаемые

в

порядке

возрастания

абсолютных

величин, стараясь, чтобы

при каждом

сложении

порядки

величин

различались

мало.

При


цикл

суммирования

разбивается

на несколько

более

коротких.

Аналогичное

правило

действует

при

перемножении большого

числа

сомножителей.


Последовательные

приближения

Пример

8.

При

расчетах

методами

последовательных

приближений часто

ведут


до

тех

пор, пока

поправка

(разность

между

текущими

и

последующими

приближениями) не

станет

меньше заданного

порога. При

этом, как

правило, не

обеспечивается

заданная

погрешность

результата.

Найти

S с точностью до 10-3.

Если

вести


до

тех

пор, пока

общий

член

ряда

1/k2

не станет

меньше

10-3, т. е. до

kобрыв

= 32, и

S = 1.610.

Правильно

=>

S = 2/6

= 1,650... .

Если

же

приближенную

сумму

ряда

то

погрешность

останется

бесконечной, как

бы

мала

ни

становилась величина

l/k, поскольку

ряд

расходится!


Правило

6.

Правило

6. Нужно

помнить, что

остановка

итерационного

процесса

x1

, х2

, …

. по

косвенному

критерию

(например, по

или

в

задаче

решения

уравнения

F (x) = O,

по

критерию

в

задаче

оптимизации

f (x) и т. д.)

не

гарантирует


заданной

погрешности


Пример

9.

Неустойчивость

алгоритмов

•

Проверить

неустойчивость алгоритмов (погрешность действия) на примере


интеграла

(n = 1, 2, 3,...)

при помощи рекуррентной формулы

, (n = 2, 3,...),

•

E0

вычислить

аналитически

и

построить

таблицу

значений

En

при

n = 1, 2,..., 24. Оценить

возникающую

ошибку.

11

0

n xnE x e dx

1 111 1 1 1

100 0

1n x n x n xn nE x e dx x e n x e dx n E


Пример

9.



Оценим

(вычислим

ТОЧНО!) начальное

значение

E0

1 111 1 1

1 000 0

11 1 1

00

1 0.367879441171442

1 1

1 0.367879441171442 0.632120558828558

x x x

x

E x e dx x e e dx E

E e dx e e e

1 111 1 1 1

100 0



Пример

9.


алгоритмовn En

= 1

–

nEn-11 0.36792 0.26423 0.20734 0.1709 5 0.14556 0.12687 0.11248 0.10099 0.091610 0.083911 0.077412 0.0718

n En

= 1

–

nEn-113 0.066914 0.062715 0.059016 0.055517 0.057218 -0.0295 19 1.5596 20 -30.1924 21 635.0403 22 -1.3970e+004 23 3.2131e+00524 -7.7114e+006

Уже

для

n=18 получен

бессмысленный результат

!

Причина

в

том, что

начальная

ошибка округления

быстро накапливается:

при

вычислении n=18

она

умножается

на 2, затем

на

3,

4,..., 18


Пример

9.



•

Проверить

неустойчивость алгоритмов (погрешность действия) на примере


интеграла

(n = 1, 2, 3,...)

при помощи рекуррентной формулы

, (n = 2, 3,...),

•

E0

вычислить

аналитически

и

построить

таблицу

значений

En

при

n = 1, 2,..., 24. Оценить

возникающую

ошибку. •

Повторить

вычисления, изменив

алгоритм

на

устойчивый

En-1 = (1

–

En

) /n. Аналитически

и

численно

оценить

ошибку

при


En

для

n =

24, 23,..., 1 при

выборе

начального

значения

E25

= 0 (показать, что

начальная

ошибка

E24

<

1/25 и

далее

уменьшается !).

11

0

n xnE x e dx

1 111 1 1 1

100 0



Пример

9.


алгоритмовn En

= 1

–

nEn-11 0.36792 0.26423 0.20734 0.1709 5 0.14556 0.12687 0.11248 0.10099 0.091610 0.083911 0.077412 0.0718

n En

= 1

–

nEn-113 0.066914 0.062715 0.059016 0.055517 0.057218 -0.0295 19 1.5596 20 -30.1924 21 635.0403 22 -1.3970e+004 23 3.2131e+00524 -7.7114e+006

En-1 =(1

–

En

)/n0.06690.06270.0590 0.05570.0528 0.05010.04770.04550.0436 0.04170.04000.0400


Пример

9.


алгоритмовn En-1 =(1

–

En

)/n1 0.36792 0.26423 0.20734 0.1709 5 0.14556 0.12687 0.11248 0.10099 0.091610 0.083911 0.077412 0.0718

En-1 =(1

–

En

)/n0.06690.06270.0590 0.05570.0528 0.05010.04770.04550.0436 0.04170.04000.0400

После

первого

шага начальная

ошибка

уменьшится

в

24 раза, после

второго

—

еще

в

23 раза, для

n=20 мы

получим

все

шесть

значащих цифр

верных.

Формула

(2), в

отличие от

(1), определяет

устойчивый вычислительный

процесс: погрешность результата

каждого

шага

меньше погрешности исходных

данных.


Правило

6.

Правило

6.

Пользуйтесь

только

устойчивыми

численными алгоритмами!



Д. Поттер, Вычислительные

методы

в

физике.

Н. Н. Калиткин, Численные

методы.

Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков, Численные

методы.


The End

# 1Ю.Н. Прошин, И.Ю. Прошина ВычФиз. Лекции

БИФУРКАЦИИ УДВОЕНИЯ ПЕРИОДА И ПОЯВЛЕНИЕ ХАОСА В ТОЧЕЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЯХ


xn+1 = f(xn )

отображение–

это

функция, которая показывает

зависимость

последующих

значений

параметров системы

от

предыдущих

значений.

Они

удобны

ввиду

их

наглядности.

Свойства

динамической

системы определяется

свойствами

порождаемого

ей

отображения


xn+1 = f(xn )

отображение–

это

функция, которая показывает


последующих

значений

параметров системы

от

предыдущих

значений.

C помощью

точечных

отображений изучают

объекты

не

с

непрерывным, а с

дискретным

временем.При

переходе

к

отображению

размерность

изучаемой

системы

может

уменьшаться.


xn+1

= f(xn

) = r xn

(1 -

xn

)

•

Ферхюльст

(1845 год) -

исследование популяции

бабочек

в

замкнутой

среде.

Это

квадратичное

отображение, где xn –

численность

популяции

на

n–шаге

(в

n год) (0 ≤

x ≤

1); (1-

xn ) –

"свободные" места; r –


"плодовитости"

(0 ≤

r ≤

4)


xn+1

= f(xn

) = r xn

(1 -

xn

)

•

Ферхюльст

(1845 год) -


бабочек

в

замкнутой

среде.

•

Задача

о

банковских

процентах

zn+1

= (1 + )zn =…=(1 + )n+1z0

zn – сумма вклада на n–шаге

(в

n месяц);

– процент

роста

вклада


xn+1

= f(xn

) = r xn

(1 -

xn

)

•

Ферхюльст

(1845 год) -


бабочек

в

замкнутой

среде.

•

Задача

о

банковских

процентах

zn+1

= (1 + )zn =…=(1 + )n+1z0

zn+1

= [1 +

0

(1-

zn / zmax )]zn

n = 0

(1 –

zn /zmax )

xn = zn 0

/zmax (1 + 0

) r = zmax (1+

0

)2/0


При

изменении

внешнего

параметра

r точечные

отображения

демонстрируют

довольно

сложное поведение, которое


хаотическим при


больших

rхаотическим

Что

такое

ХАОС

?Это

очень

быстрое

разбегание

изначально

очень

близких

траекторий

в фазовом

пространстве


Свойства

точечных

отображений

xn

xn+1

x* x***

xn+1

= f(xn

)x*

Точка

x*

называется неподвижной,

если

x*

= f(x*).

x***

Точка

x*

- неустойчивая?

x**

Точки

x**

и

x***

– устойчивые?

xn+1

= xn


Свойства

точечных


xn

xn+1

x* x***

x0

xn+1

= f(xn

)ПостроениеЛамерея

–

«лестница Ламерея»

x*

Точка

x* называется

неподвижной, если

x*

= f(x*).

x***

Точка

x*

- неустойчивая

x1x2

x0

'x3x4

x**

x**Точки

x**

и

x***

-

устойчивые

xn+1

= xn


Свойства

точечных


xn

xn+1

x* x***

x0

xn+1

= f(xn

)x*

Точка x*

-

неустойчива,

если

|f

′(x*)| >

1.x***

x**

x**

***

Углы

**,

***< 45 ˚,

угол

> 45˚

Точки x**,

x***

-

устойчивы, если

|f

′(x**,x***)|<1.


Цикл

2

порядка

образует последовательность

точек

x1

, x2

(или

x3

, x4

), удовлетворяющих:

Свойства

точечных


x2

= f(x1

), x1

= f(x2

)или

x4

= f(x3

), x3

= f(x4

)

xn

xn+1

x*

III

xn+1

= f

(xn

)

x1 x2x3


Цикл

2

порядка

образует последовательность

точек

x1

, x2

(или

x3

, x4

), удовлетворяющих:

Свойства

точечных


x2

= f(x1

), x1

= f(x2

)или

x4

= f(x3

), x3

= f(x4

)

xn

xn+1

x*

III

xn+1

= f

(xn

)

x1 x2x4x3

x0 x0

'В

принципе, могут

быть

циклы

любого порядка

-

уст.

-неуст.


Точки

циклов отображения

y = f (x)являются

неподвижными точками

для

F (x)

= f (f (x)) ≡

f

2(x):

x1

= F (x1

); x2

= F (x2

)

Свойства

точечных


xn

xn+1

x*

III

xn+1

= f

(xn

)

x1 x2x3x4

F (x)

F (x)

= f (f (x))

2


БифуркацияБифуркация

–

эти

качественная

перестройка

картины

движения. Значения

управляющего

параметра,

при

которых

происходят

бифуркации, называются

критическими

или

бифуркационными

значениями.


xn+1 = r xn

(1 - xn )


1) 0 <

r < 1. В этом случае

отображение имеет

единственную неподвижную точку

x*

= 0,

которая

является устойчивой

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Xn

X n+1

Лестница Ламерея

r = 0.95, x0

=0.47

xn+1

= r xn

(1 - xn

)

# 17Ю.Н. Прошин, И.Ю. Прошина ВычФиз. Лекции0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Xn

X n+1


r =

2.5, x0

=0.7 2) 1 < r ≤

3. На

отрезке

[0, 1]

появляется

еще одна

неподвижная

устойчивая

точка x*1

= 1-1/r.

xn+1

= r xn

(1 - xn

)


2) 1 < r ≤

3. На

отрезке

[0, 1]


еще одна


устойчивая

точка x*1

= 1-1/r.

r =

2.5, x0

=0.7

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Xn

X n+1


r =

2.5, x0

=0.01

Неподвижная точка

x*

= 0

теряет устойчивость.

xn+1

= r xn

(1 - xn

)


0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

xn

x n+1

Лестница Ламерея для xn+1=r*xn*(1-xn) при r = 3.43

3)

3 < r ≤

1+√6≈3.45 Отображение

претерпевает бифуркацию:


точка x*1

становится неустойчивой, и вместо

нее

появляется двукратный

цикл.

r = 3.43, x0

=0.7

xn+1

= r xn

(1 - xn

)


0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

xn

x n+1

Устойчивый цикл для xn+1=r*xn*(1-xn) при r = 3.43

3)

3 < r ≤

1+√6≈3.45 Отображение

претерпевает бифуркацию:


точка x*1

становится неустойчивой, и вместо

нее

появляется двукратный

цикл.

r = 3.43, x0

=0.7

xn+1

= r xn

(1 - xn

)


xn


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

xn

x n+1


4)

При

переходе

параметра

r через значение

1+√6≈3.45, 2-кратный

цикл


4-кратным, и т.д.

xn+1

= r xn

(1 - xn

)


0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

xn

x n+1


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1xn


4)

При

переходе

параметра

r через значение

1+√6≈3.45, 2-кратный

цикл


4-кратным, и т.д.

xn+1

= r xn

(1 - xn

)


Например, при конечном значении

r = 4

в системе имеются

неустойчивые циклы

всех

возможных порядков

5)

При r = r∞

≈

3.5699456…

возникает

устойчивый цикл

бесконечного

(?!) порядка, при

r∞

< r ≤

4 отображение

в

основном

ведет

себя

хаотически.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

xn+1

= r xn

(1 - xn

)


Бифуркационная диаграммаБифуркационная

диаграмма

–

это


положения

устойчивых состояний

x

(либо


точек,

либо

точек

циклов) от

значения параметра

r.

При

переходе

параметра

через

критические

значения r2

,

r3

,

…

,

r∞

, …, rконечное

происходят

бифуркации "удвоения

периода"

Нажми

меня

(Program!)

→


Бифуркационная диаграмма

r1 r2 r3r∞



r1 r2 r3r∞








Бифуркационная диаграмма:

«окна»

с устойчи- выми циклами


Универсальное

число

Фейгенбаума

1

1

lim m m

mm m

r rr r

= 4,669201609…


xn+1 = r xn (1 - xn

2)1) 0 <

r ≤1.

отображение имеет

единственную неподвижную точку

x* = 0,

которая является устойчивой.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

xn

x n+1

Лестница Ламерея для xn+1=r*xn*(1-xn2) при r = 0.5

r =

0.5, x0

=0.2


xn+1 = r xn (1 - xn

2)2) 1 <

r ≤

1.998...

точка

x*1

= 0 теряет

устойчивость, появляется

новая устойчивая

точка

x*2

r =

1.8, x0

=0.55

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

xn

x n+1



0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

xn

x n+1


xn+1 = r xn (1 - xn

2)

3) 1.99... <

r ≤2.235... происходит

бифуркация удвоения

периода,


2- кратный

цикл

r =

2.2, x0

=0.2


0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

xn

x n+1

Устойчивый цикл для xn+1=r*xn*(1-xn2) при r = 2.2

xn+1 = r xn (1 - xn

2)

3) 1.99... <

r ≤2.235... происходит

бифуркация удвоения

периода,


2- кратный

цикл

r =

2.2, x0

=0.2

# 36Ю.Н. Прошин, И.Ю. Прошина ВычФиз. Лекции0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1xn


xn+1 = r xn (1 - xn

2)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1x


4) Дальнейшее

увеличение

r

ведет

к

каскаду бифуркаций

удвоения

периода

# 37Ю.Н. Прошин, И.Ю. Прошина ВычФиз. Лекции0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1x


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1x


xn+1 = r xn (1 - xn

2)4) Дальнейшее

увеличение

r

ведет

к

каскаду

бифуркаций

удвоения

периода


xn+1 = r xn (1 – xn

2)

Например, при r =2.59

в системе имеются

неустойчивые циклы

всех

возможных периодов

5)

При r∞

< r ≤

2.5980... отображение

для

боль- шинства

значений

r ведет

себя

хаотически.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


Бифуркационные

значения параметра

r

2-кратный

цикл

r = 1.998…4-кратный

цикл

r =

2.2355...

8-кратный

цикл

r =

2.28825...16-кратный

цикл

r =

2.29925…

32-кратный

цикл

r =

2.3017…64-кратный

цикл

r =

2.302225…

128-кратный

цикл

r =

2.3022276...256-кратный

цикл

r =

2.3022282...

r конечное

2.59807612




Выводыуниверсальность

свойств

при

анализе

квадратичного

и

кубического

точечных

отображений (Pascal, MatLab, PowerPoint...)

наличие

критического

значения

управляющего

параметра: при

r

< rконечное

, выполнение

соотношения Фейгенбаума

с

универсальной

константой

;

самоподобие

диаграмм

при

последовательном изменении

масштаба, т.е. качественное

воспроизведение

ветвистой

структуры

диаграммы

на все

более

мелких

масштабах

r. Это

яркий

пример

фрактальности

этих

структур; появление

внутри

"хаоса" областей

с

устойчивыми

циклами

различного

порядка.


Литература[1] Шустер

Г. "Детерминированный

хаос", Москва

"Наука",

1991.

[2] Лоскутов

А.Ю., Михайлов

А.С. "Введение

в синергетику", Москва

"Наука", 1990.

[3] Анищенко

В.С. "Сложные

колебания

в

простых системах", Москва

"Наука", 1990.

[4] Анищенко

В.С. "Устойчивость, бифуркации, катастрофы", Соросовский

образовательный

журнал, с. 10-19, 2000.

[5] Фейгенбаум

М. Успехи физических наук, т. 141, с. 343- 374, 1983.

[6] Петерс

Е. "Хаос

и

порядок

на

рынке

капитала", Москва ТВП

"Научное

издательство", 1997.


Спасибо за внимание

Конец...

Documents

ФИЗИКА - mrsej.ksu.rumrsej.ksu.ru/pro/pdf_10/WychPhys_all_13.pdfЮ.Н. ПрошинЧМММВычФиз..Лекция1 # 3. Рекомендуемая литература. 1