МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН

ТАШКЕНТСКИЙ АРХИТЕКТУРНО СТРОИТЕЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Методические указания и контрольные задания для студентов заочной формы обучения

ЧАСТЬ 2

Tashkent-2019

Методическое пособие одобрено методическим Советом Ташкентского архитектурно строительного института (протокол №1, 28.09.18)

Авторы: кандидат технических наук, доцент Ш. Р. Хуррамов; кандидат физико-математических наук, доцент А.Абдурахимов; старший преподаватель Ф.С. Холтураев; ассистент Н.У.Аннаев

Рецензенты: кандидат физико-математических наук, А.Бойтураев (НУУз); доктор физико-математических наук, А.Заитов (ТАСИ) Высшая математика: Методические указания и контрольные задания для студентов заочной формы обучения, Часть 2 / Хуррамов Ш. Р., Абдурахимов А., Холтураев Ф.С., Аннаев Н.У.–Ташкент: 2019. ‒ 38 с.

Методическое пособие предназначена для студентов заочной формы обучения направления: 5340200- Строительство зданий и сооружений (по видам), 5340300 –Городское строительство и хозяйство, 5340400 - Строительство и монтаж инженерных коммуникаций (по видам), 5340500- Производство строительных материалов, изделий и конструкций, 340700-Гидротехнтческое строительство (по видам), 5341100- Стоимостьной инжиниринг, 5311500 -Геодезия, картография и кадастр. Пособие содержит варианты для контрольных работ по разделам курса высшей математики «Дифференциальное исчисление функций одной переменной», «Интегральное исчисление функций одной переменной» и «Обыкновенные дифференциальные уравнения». Для каждой контрольной работы приведены решения типичных задач с подробными пояснениями и примерное их оформление.

© Ташкентский архитектурно-строительный институт

3

ВВЕДЕНИЕ

Настоящие учебно-методические материалы предназначены для студентов заочной формы обучения и являются руководством для изучения дисциплины “Высшая математика”. Они содержат в себе основные рекомендации студентам-заочникам при выполнении контрольных работ, а также методические указания по изучению разделов курса высшей математики «Дифференциальное исчисление функций одной переменной», «Интегральное исчисление функций одной переменной» и «Обыкновенные дифференциальные уравнения», с решениями типичных примеров. В разобранных задачах приведено примерное их оформление с пояснениями.

В материалах приведены контрольные задания для двадцати пяти вариантов, которые разбиты на три раздела.

Данное методическое пособие является одним из составных частей организационно-методического обеспечения студентов заочного обучения кафедры математики и естественных наук для студентов инженерных специальностей

ОБЩИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ СТУДЕНТАМ ЗАОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ ПРИ РАБОТЕ НАД КОНТРОЛЬНОЙ

РАБОТОЙ

1. В процессе изучения дисциплины студент-заочник должен выполнить контрольные работы по различным разделам высшей математики, которые рецензируются преподавателем. Рецензия на выполненную работу позволяет студенту судить о степени усвоения им материала курса, указывает на имеющиеся у него пробелы, на желательное направление его дальнейшей работы и помогает сформулировать вопросы для постановки их перед преподавателем.

2. Не следует приступать к выполнению контрольного задания, не решив достаточное количество задач по изучаемому материалу.

3. Каждая контрольная работа должна выполняться самостоятельно. Несамостоятельно выполненная работа не дает возможность преподавателю - рецензенту указать студенту на недостатки в его работе, в усвоении им учебного материала, в результате чего студент не приобретает необходимых знаний и может оказаться неподготовленным к сдаче итогого контроля.

4. Контрольная работа должна быть прислана в срок (до сессии). Невыполнение этого требования не дает возможности рецензенту своевременно указать студенту на допущенные им ошибки и удлиняет срок рецензирования работы.

4

5. При выполнении и оформлении контрольной работы студент должен строго придерживаться следующих правил:

а) контрольная работа должна быть выполнена в отдельной тетради с оставлением полей для замечаний преподавателя-рецензента; б) на обложке тетради в заголовке указывается - контрольная работа по высшей математике и её номер, - фамилия и инициалы студента, номер зачетной книжки, - факультет, курс и группа, - дата отсылки работы в высшее учебное заведение и обратный адрес

студента; в) решение задач следует располагать в порядке следования их

номеров; г) перед началом самого решения задачи необходимо полностью

записать ее условие, заменив, если необходимо, буквенные обозначения числовыми данными, соответствующими своему варианту;

д) все основные этапы решения задач следует сопровождать краткими, но исчерпывающими пояснениями;

ж) в конце контрольной работы указывается используемая литература. 6. Студент выполняет вариант контрольных работ, соответствующей

последным двум цифрам рейтинговой книжки. При этом, эти две цифры делятся на 25 и остаток означает номер варианта контрольной работы, который должен выполнят студент. Если последные две цифры рейтинговой книжки 75,50,25,00 , то студент выполняет вариант № 25.

7. После получения прорецензированной контрольной работы студент должен исправить отмеченные ошибки и предоставить ее на повторное рецензирование.

8. Без предъявления соответствующей прорецензированной и зачтенной контрольной работы студент не допускается к итоговыму контролью по предмету “Высшая математика”.

ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ ПО КУРСУ “ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА”

Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной, ее геометрический и ханический смысл. Дифференцируемость функции. Дифференциал функции.

Дифференцирование суммы, разности, произведения и частного функций. Дифференцирование обратной функции. Дифференцирование сложной функции. Производные основных элементарных функций. Правилы дифференцирования и таблица производных. Логарифмическая производная.

5

Дифференциация параметрически и неявно заданных функций. Производные и дифференциалы высших порядков.

Теорема Ферма. Теорема Роляя. Теорема Лагранжа. Теорема Коши Теорема Лопиталя. Теорема Тейлора.

Условия монотонности функций. Экстремумы функций. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Вогнутость, выпуглость и точки перегиба графика функции. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования и построения графика функций.

Интегральное исчисление функций одной переменной

Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов. Методы интегрирования.

Интегрирование рациональных функций. Интегрирование рациональных дробей.

Интегрирование тригонометрических функций. Интегрирование иррациональных выражений. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Интегральная сумма и определенный интеграл. Геометрическое и механическое смыслы определенного интеграла. Свойства определенного интеграла. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям в определенном интеграле.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Несобственные интегралы от неогранеченных функций. Признаки сходимости несобственных интегралов. Геометрические и физические применения определенного интеграла.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциаль-ные уравнения первого порядка. Задача Коши. Уравнения с разделящимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения. Линейные уравнения. Уравнения Вернулли. Уравнения в польных дифференциалах. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Уравнения, допускающие понижение порядка. Линейные однородные дифференциальные уравнения. Линейные однородные ифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков и второго порядка. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных. Дифференциальные уравнения с правой частью специального вида. Нормальные системы дифференциальных уравнений. Методы решения нормальных систем. Системы линейных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами.

6

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Д.Т.Писменный. Конспект лекций по высшей математике: польный курс- М: Айрис-пресс, 2009. 2. А.П.Рябушко и др. Сборник задач индивидуальных заданий по высшей математике. Ч. 2– Минск, Высшая школа, 1991. 3. О.В Зимина, А.И.Кириллов, Т.А. Сальникова, Высшая математика. М.: Физматлит, 2001. 4 П.С. Данко, А.Г.Попов, Т.Я.Кожевникова. Высая математика в упражнениях и задачах. Ч.1. –М.: 2003. 5. К.Н.Лунгу, Е.В.Макаров. Высшая математика. Руководство к решению задач. Ч.1 – М.: Физматлит, 2007. 6. Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах. 1том. СПб. “Политехника”, 2003.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

В данном разделе методических указаний приведены примеры решения

типовых задач контрольных заданий. Решение задач приведено по темам, которые студент должен изучить в процессе выполнения контрольной работы. Решенные задачи содержат формулы и пояснения, которые могут быть использованы студентом, при выполнении заданий своего варианта. В то же время, тех теоретических сведений, которые приведены в задачах, недостаточно для сдачи итогого контроля по курсу «Высшая математика», они могут быть использованы лишь при решении практических задач и выполнении контрольной работы.

ТЕМА 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Пример 1. Найти производные функций:

1) ;)7(

473 55 2

xxxy 2) xxarctgy sin3 34 ;

3) 3

3 2 132x

e

xxy ; 4) xxy sin3 .

7

Решение. Найдем производные, пользуясь основными правилами фифференцирования и таблицу производных.

1)

551

25

5 2 )7(4)73()7(

473 xxxx

xxy

)7()7)(5(4)73()73(

51 625

42 xxxxxx

.)7(

20)73(5

271)7(

20)27()73(5

165 4265 42

xxxx

xx

xx

2) )3(43)4()34( sin3sinsin3 xxx xarctgxarctgxarctgy

)(sin3ln343)4(43 sin3sin2 xxarctgxarctgxarctg xx

xxarctgxx

xarctg xx cos3ln343)4(161143 sin3sin

22

xxarctgx

xarctg xx cos3ln343161443 sin3sin

22

.cos3ln1611243 2

2sin

xarctgxx

xarctgx

3)

32

331

2331

2

3

3 2)132()132(

132x

xx

x

e

exxexx

e

xxy

32

331

23232

2

3)132()132()132(

31

x

xx

e

xexxexxxx

3

2

3 2

3 223 132

31

)122(334

x

x

e

xxxx

xe

3 223

2

)132(3

13234

xxe

xxxx .

)132(3

472

3 223

2

xxe

xxx

8

4) Воспользуемся формулой логарифмического производного:

uuvuvuu vv ln)( .

Согласно условию xvxu sin3, . Откуда xvu cos3,1 .

Тогда

xxxxxxy xx 1sin3lncos3)( sin3sin3

xxxxx x sin3lncos3sin .

Пример 2. Найти )(xy для заданных параметрически функций )(xyy :

.

,13

2

ttyttx

Решение. Сначала найдем )(xy :

.1213

)1()( 2

2

3

t

ttt

ttxyy

t

t

t

tx

Тогда

3

22

2

)12()13()12()12()13(

121213

)(t

ttttt

tt

xyy t

t

txxx

3

2

)12()13(2)12(6

tttt .

)12(266

3

2

ttt

Пример 3. Найти придел, используя правило Лопиталя:

xtg

xx

)22(lim

2

.

Решение. )22ln(lim

21

2)1()22(limxxtg

xtg

x

xex

.

Здесь

.00)22ln(lim)0()22ln(lim

21

21

xctgxxxtg

xx

Применяя правило Лопиталя, получим:

.2

sin

222

lim)(

))22(ln(lim)22ln(lim2

221

21

x

xxctg

xxctg

xxxx

9

Итак, .)22(lim2

2

ex xtg

x

Пример 4. Провести полное исследование функции и построить ее график:

112

xxy .

Решение. .1o Область определения функциин: );;1()1;()( fD .2o При 0x , 1y . Функция пересекает ось Oy в точке )1;0( . Функция не пересекает ось Ox , так как 0y . .3o Функция на );1( знако положительний, а на )1;( знако отрицательний. .4o Для функции не выполняютя условие )()( xfxf и )()( xfxf . Поэтому функция общего вида.

.5o

11lim

2

01 xx

x va

11lim

2

01 xx

x.

Таким образом, прямая 1x вертикальная асимптота.

1)1(

1lim2

xx

xkx

, .111lim1

11lim

2

x

xxxxb

xx

Таким образом, прямая, 1 xy будет горизонтальной асимптотой.

Рис. 1

1

O

y

222

21

x

1x

1 xy

10

.6o Найдем интервалы монотонности функции.

,)1(

12)1(

1)1(2)( 2

2

2

2

xxx

xxxxxf 0)( xf 21,21 21 xx .

Производная в точке 1x не существует и в точках 21,21 21 xx равна нулю. Эти точки разбивают область

определения функции на четыре интервала монотонности );21(),21;1(),1;21(),21;( . Функция возрастает на

интервалах );21(),21;( и убивает на интервалах ,1;21

)21;1(),1;21( . .7o Исследуем функцию на экстремум. Рассмотрим изменение знака y при переходе через критические точки: Следовательно, 21x – точка максимума, 21x – точка минимума. 222)21(,222)21( minmax fyfy . .8o Исследуем функцию на выпуклость и вогнутость и определяем точки перегиба функции. Вичислим вторую производную

4

22

)1()12)(1(2)1)(22()(

xxxxxxxf 0)(,

)1(4

3

xfx

Отсюда ясно, что функция выпугла вверх на )1;( и выпугла вниз на );1( , функция не имеет точка перегиба.

Используя полученные в пунктах oo 81 данные, строим искомий график (рис. 1).

ТЕМА 2. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ

ПЕРЕМЕННОЙ Пример 5. Найти неопределенные интегралы:

1) dxxxx

xx

)52)(1(

5742

2

; 2) dxx

xx

cos1

cos3sin2 ;

3) dxxx

xx

3

63 2

.333)3(

; 4)

.

)1(12 5

3 24

dxxxx

Решение. 1) Подинтегральная дробь – правильная. Разложим ее на сумму простейщих дробей:

521)52)(1(574

22

2

xxCBx

xA

xxxxx

_ _ x

. . . 1 21 21

11

Для того, чтобы найти неизвестные коэффициенты CBA ,, , приведим дроби в правой части равенства к общему знаминателю и избавляясь от знаминателей, приходим к равенству:

).1)(()52(574 22 xCBxxxAxx

Найдем коэффициенты CBA ,, :

.55:,4:

,816:1

0

2

CAxBAx

Ax

Откуда .5,2,2 CBA

Таким образом,

52)52(|1|ln2

5252

12

)52)(1(574

2

2

22

2

xxxxdxdx

xxx

xdxdx

xxxxx

.2

123|52|ln|1|ln2

2)1()1(3 2

22 Cxarctgxxxx

xd

2) Преобразуем подинтегральную функцию:

.3cos1sin13

cos1sin1cos33

cos1cos3sin2

1 CIxdxxxdxdx

xxxdx

xxx

В интеграле 1I воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой:

arctgtx

tdtdx

ttx

ttxxtgt

dxxxI

,12

,11cos,

12sin,

2cos1sin1

2

2

2

2

1

2

2

2

2

12

111

121

tdt

tttt

2

2

22

2

1)1(

12

121

ttdt

ttdtdtdt

ttt

.2

cosln222

1ln2

|1|ln 22 xxtgxtgxtgtt

Таким образом,

.2

cosln22

3cos1

cos3sin2 Cxxtgxdxx

xx

12

3) Применяем подстановку 63 tx , так как 6)6,3,2( EKUK .

Отсюда .6,3 56 dttdxtx

Тогда

dttttttdx

xxxx 5

23

4

3

63 2

6.333)3(

dttttdtttt )1(6

116 244

3

.)3(56)3(

76

56

76

6 56 7567 CxxxCttt

4). Представим подинтегральную функцию в стандартном виде

.132

41

1217

xx

Отсюда видно, что под знаком интеграла стоит дифференциальный

бином, при этом .32,

41,

1217

pnm Bundan .11

pn

m

Воспользуемся третьей подстановкой Чебышева:

341

41

1 txx yoki .1)1( 341

tx

Откуда ,1 31

4

4

xxt ,)1( 43 tx .)1(12 532 dtttdx

Тогда

dttttttdxxxx 5323

21333

172

12 5

3 24

)1())1(()1(12)1(

dttdttt 4225

32

317

2 12)1(12

.15

125

123

5

4

45 C

xxCt

Пример 6. Вычислить определенные интегралы:

1) 9

02 3cos

xxdx ; 2)

2

268 .cossin2 xdxx

13

Решение. 1) Применим формулу интегрирования по частям:

9

0

9

02

9

02 3

313

31

331,

3cos

,,

3cos

xdxtgxxtgxtgv

xdxdv

dxduxu

xxdx

|0cos|ln

3cosln

91

273|3cos|ln

910

3931 9

0

xtg

2ln332711ln

21ln

91

273

.

2) Преобразуем подинтегральную функцию:

222222424268 )cossin2()sin2(16)cossin2)(sin2(2cossin2 xxxxxxxx

xxxxx 2sin)2cos2cos21(162sin)2cos1(16 2222

xxxxx 2cos2sin162sin2cos322sin16 2222

222 )2cos2sin2(42sin2cos32)2sin2(8 xxxxx

)8cos1(22sin2cos324cos88 2 xxxx

.2cos2sin328cos24cos810 2 xxxx

Имеем:

2 2 2 2

2

2

268 2cos2sin328cos24cos810cossin2 xdxxxdxxdxdxxdxx

2

2

222

)2(sin2sin1688sin2

44sin810 xxdxxx

.53

2sin16002

102

3

x

Пример 7. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением кривой l вокруг заданной оси:

:l дуга астроиды tytx 33 sin5,cos5 , 2

0 t вокруг оси .Oy

Решение. Если дуга кривой, заданная параметрическими уравнениями ),(tx ),(ty t , вращается вокруг оси Oy , то площадь

поверхности вращения вычисляется по формуле

dtttt )()()(2 22 .

14

Рис 2

O

5

x

y

5

Вычислить площадь поверхности, образованной вращением астроиды

tytx 33 sin5,cos5

20 t вокруг оси Oy : (рис. 2):

2

0

22223 )cossin15()sincos15(cos52

dtttttt

2

0

32

0

2223 sincoscos150)sin(cos)sin(coscos150

tdtttdtttttt

2

0

2

0

54

2

0

4 .305

cos150)(coscos150sincos150

tttdtdtt

Пример 8. (8.1-8.15). Найти координаты центра тяжести однородной плоской дуги кривой l :

:l одна арка циклоиды )cos1(),sin( tayttax . Решение. Первая арка циклоиды симметрична относительно прямой

ax . Поэтому абсциссса центра тяжести равна axc . Находим ординату центра тяжести астроиды по формуле

m

ydly

b

ac

,

b

a

dlm

Здесь dttattadl )cos1()sin( 2 dttta 222 sin)cos1(

15

.2

sin2cos22 dttadtta

Считаем const , так как, кривая однородная. Тогда

2

0

dlm ;82

cos42

sin22

0

2

0

atadtta

2

0

22

0

2

2sin

2sin22

2sin)cos1(2 dtttadtttaa

2

0

322

0

22

2cos

31

2cos8

2cos

2cos18 ttatdta

;3

3231

31118 22 aa

.34

8332 2

aa

ayc

Итак,

34; aaC .

Пример 8. (8.16-8.25). Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры D , ограниченной данными линиями:

:D ограниченной прямой 1by

ax и осями координат.

Решение. Найдем из уравнения прямой: .bxaby

Воспользуемся следующими формулами

,m

xydxx

b

ac

,2

1 2

m

dxyy

b

ac

b

a

ydxm .

Тогда

;222

0

2

0

babababxxabdxbx

abm

aa

;62323

222

0

23

0

bababaxbxabdxbx

abx

aa

dxx

abx

abbdxbx

ab aa

0

22

222

0

2 222

;632

22

2

0

3

2

2222 abx

abx

abxb

a

16

;36

22 aba

baxc

.

3622 b

baabyc

Итак,

3;

3baC .

ТЕМА 3. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Пример 9. Найти общее решение ураввнений:

1) 034 22 dyxydxyx ; 2) 03)3( 22 yyxxy .

Решение. 1) Эта уравнение с разделяющимися переменными. Разделим обе части уравнения на 034 22 xy . Получим уравнение с разделенными переменными:

043 22

y

ydyx

xdx .

Интегрируя обе части уравнения, имеем:

Cyx 22 43 .

Отсюда 22 34 xCy

или

4)3( 22 xCy .

2) Преобразуем уравнения к виду

2

2

33

xxyyy

где 2

2

33),(

xxyyyxf

– однородная функция.

Следовательно, данное уравнение однородное.

Сделаем подстановку xxuyuxy ,

22

22

33

xuxuxuxu

yoki 13

3 2

uuuxu .

17

Отсюда

13

33 22

u

uuuxu yoki .13

uuxu

Разделяем переменных:

.13x

dxduu

u

Интегрируя, имеем:

xdxCdu

uu ln13 yoki .||lnln3||ln xCuu

Откуда xuCu ln3 . Сделаем подстановку

xyu :

yC

xy ln3 или x

y

Cey3

.

Пример 10. Решить задачу Коши:

21)0(,0cos2 yxyytgxy .

Решение. Преобразуем уравнение к виду: xyytgxy cos2 .

Это уравнение Бернулли, где 2n .

Полагаем 121 yyz и получаем линейное уравнение

xztgxz cos .

Сделаем подстановку ,uvz uvvuz :

.cos)( xvtgxvuvu

Для определения функции vu, решаем систему

xvuvtgxv

cos,0.

Из первой уравнение системы найдем частное решение xv cos и подставым ее на второе уравнение:

xxu coscos , 1u , .Cxu

Найдем общие решение исходного уравнения:

,uvz .cos)( xCxz

18

Откуда xCxy cos)(1 или .cos)(

1xCx

y

Наконец, учитывая, что 21)0( y , т.е.

C1

21 , получим 2C .

Следовательно, .cos)2(

1xx

y

Пример 11. Решить дифференциальные уравнения методом вариации произвольных постоянных:

xyy

3sin19 .

Решение. Запишем уравнение без правой части .09 yy Его характеристическое уравнение имеет вид 092 k , откуда ik 32,1 , т.е.

xCxCy 3sin3cos 211 .

Частное решение ищем в виде

xxCxxCy 3sin)(3cos)( 21 .

По методу вариации произвольных постоянных, имеем

xxxCxxC

xxCxxC

3sin13cos)(33sin)(3

,03sin)(3cos)(

21

21

.

Откуда xctgxCxC 331)(,

31)( 21

или после интегрирования

.|3sin|ln91)(,

31)( 21 xxCxxC

Таким образом, частное решение исходного уравнения

xxxxy 3sin|3sin|ln913cos

31

и общее решение

xxxxxCxCy 3sin|3sin|ln913cos

313sin3cos 21 ,

xxCxxCy 3sin|3sin|ln913cos

31

21

.

19

Пример 12. Решить систему дифференциальных уравнений:

.cos3,sin

212

211

xyyyxyyy

Решение. 1) Преобразуем систему к виду:

.3,

212

211

yyyyyy

Составим характерическое уравнение и решим ее:

01311

, .2,2 21

Находим собственные числа. При 21 имеем: 03 2111 , 111 и 321 . При 22 имеем: .1,1 2212

Тогда решение однородной системы имеет вид:

xx

xx

eCeCyeCeCy

22

212

22

211

3,

.

Частное решение заданной системы ищем в виде:

xBxAyxBxAy

sincos,sincos

222

111 .

Откуда

.cossin,cossin

222

111

xBxAyxBxAy

Подставим 2121 ,,, yyyy в заданную систему и приравнивая коэффициентов перед xcos и xsin находим:

.54,

51,

51,0 2211 BABA

Итак, искомые частные и общее решения имеет вид:

xxy

xy

sin54cos

51

,sin51

2

1

,

.sin54cos

513

,sin51

22

212

22

211

xxeCeCy

xeCeCy

xx

xx

20

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Пример 1. Найти производные функций:

1.1. 1) .)5(

8125 23 4

xxxy 2) .arccos1 4x

xctgy

3) .)52( 3

tgxexy

4) .)(cos 42 xxy

1.2. 1) .375)2(

3 7 25

xx

xy 2) .3 5xarcctgxtgy

3) .534 2

3

xxey

xtg

4) .)1( cos3 xxy

1.3. 1) .534

5)7( 23 5

xxxy 2) .2arccos2 33 xxtgy

3) .)5( 4

2sin

xey

x

4) .)( 15 xarctgxy

1.4. 1) .732

2)4( 25 6

xxxy 2) .32 5 xarctgy tgx

3) .252

5cos

xxey

x 4) .)( 1 xarctgxy

1.5. 1) .)5(134

3 52

xxx

y 2) .arcsin2 53 xxtgy

3) .733

2

xexxy

4) .2cos xxy

1.6. 1) .132)4(

3 6 22

xx

xy 2) .2arccos 37 xxctgy

3) .574 2

xxtgxey

x

4) .3 xxy

1.7) 1) .34)4(

3 3 42 xx

xy

2) .7 6sin xtgey x

3) .)42(

cos5

3

xxy 4) .)(sin 3xxy

21

1.8. 1) .736

8)1(

223

xxx

y 2) .8 3cos xctgey x

3) .15 32 xexxy 4) .)(cos2xxy

1.9. 1) .38)1(

7 23 xx

xy

2) .4arccoscos5 xxy

3) .)52(

27

2

xy

x

4) .)( sin xtgxy

1.10. 1) .)4(

4543 45 2

xxxy 2) .57sin 23 xarcctgxy

3) .)23( 2

5sin

xey

x

4) .23 xxxy

1.11. 1) .)3(

4543 53 2

xxxy 2) .33sin 52 xarcctgxy

3) .)13( 44 xexy 4) .3sin xxy

1.12. 1) .)2(

423 334

xxxxy 2) .cos 45 arctgxxy

3) .)245( 322 xexxy 4) .)1( sin2 xxy

1.13. 1)

.)13(4

33 42

2

xxx

y 2) .7cos2 26 xxtgy

3) .)53( 4

5

xey

xctg

4) .)2(sin 1 xxy

1.14. 1) .)153(

10)4( 23 7

xxxy 2) .arcsin43 xxctgy

3) .)32(2

7

xexy

4) xtgxy 2)1(

1.15. 1) .)2(

4523 53 4

xxxy 2) .52 3cos xarctgy x

3) .)42(

322

2

xxy

x

4) 12

)(sin xxy

22

1.16. 1) .132

3)3( 33 4

xxxy 2) ).2(ln4 5 xy x

3) .)53( 3

4

xey

x

4) .)13( arcsin2 xxy

1.17. 1) .258)2(

7 25 xx

xy

2) .7arcsin3 4xy tgx

3) .)52( 6

4sin

xey

x

4) .)( 4 xxey

1.18. 1) .742

5)1( 23 5

xxxy 2) .2arccos5 52

xy x

3) .10534

2

xexxy

4) .)1( 13 2 xxy

1.19. 1) .)142(

54 22

5

xxxy 2) .23sin 34 xarctgxy

3) .257cos

3

xexxy

4) .)( 13 xtgxy

1.20. 1) .)1(

5537 35 32

xxxy 2) xxtgy arcsin23

3) .43 2

3

xxey

xtg 4) .)( sin3 xxey

1.21. 1) .857

9)3( 27

xxxy 2) .3sin 5 xarctgxy

3) .152

3

xxey

x

4) .arcsin xxy

1.22. 1) .431

28 23

xxxy

2) .3arcsin3cos 24 xxy

3) .)243( 2

5

xxey

xctg

4) .)(arcsin xxy

23

1.23. 1) .237

4)1( 24 5

xxxy 2) .8cos2sin 53 xxy

3) .5

3arccos

xey

x

4) .)( 3 xetgxy

1.24. 1) .736

3)2( 25 6

xxxy 2) .143cos 35 xtgxy

3) 2

5sin

)23(

xey

x

4) .)(sin 6 xxy

1.25. 1) .)3(

3251 42

xxxy 2) .4arcsin 24 xxtgy

3) .23 2

xexxy

4) .15sin xxy

Пример 2. Найти )(xy для заданных параметрически функций )(xyy :

2.1.

.cos,sinttyttx

2.2.

.18,2

3

5

ttyttx

2.3.

.cos,2

tyex t

2.4.

.cos

1,

2 ty

ctgtx

2.5.

.2sin,2cosln

2 tytx

2.6.

).1ln(

,31

2

3

ty

ttx

2.7.

).(

31

,133

3

tt

t

eey

ex 2.8.

.),1ln( 2

tarctgtytx

2.9.

).cos1(2),sin(2tyttx

2.10.

.sin

1,

2 ty

tgtx

2.11.

.4cos21

,4sin3

3

ty

tx 2.12.

.ln2,

tctgyctgttgtx

2.13.

.1

3,4

2

2

t

t

ey

ex 2.14.

.sin2,cos3

3

2

tytx

24

2.15.

.sin,cos2

ttytx

2.16.

.sinln,cosln

ttyttx

2.17.

.sin,cos3

ttytx

2.18.

.sin,cos

ttyttx

2.19.

.sin,2sin2

3 tyttx

2.20.

.2arccos

),1arcsin( 2

tytx

2.21.

.sin

,2

cos

tty

tx 2.22.

.cos1,2

tytx

2.23.

.1,

2

23

tty

tttx 2.24.

.2cos

,2sin21

ty

ttx

2.25.

.2cos

,2sin21

ty

ttx

Пример 3. Найти придел, используя правило Лопиталя:

3.1. tgx

x x

1lim0

. 3.2. xtgxtg

x 53

lim2

.

3.3. )ln(lim0

xxx

. 3.4. .55

4arcsinlim0 xx e

x

3.5. .sin4sinlim

0 xxxtgx

x

3.6. .2)2cos1(lim

0xctgx

x

3.7. .)1(lim sin1

0

x

xx

3.8. .lnlim 2

0xx

x

3.9. .ln1

11lim

0

xxx 3.10.

xe xx

11

1lim

0

.

3.11. 2

sin

0lim x

aa xx

x

. 3.12. )ln(cos)ln(cos

lim0 bx

axx

.

3.13. )21ln(

1lim

0 xe x

x

. 3.14.

xe x

x 2sin1

lim0

.

25

3.15. x

xx

1

0coslim

. 3.16. x

xx

1

0)sin1(lim

.

3.17. xtg

x

tgx 2

4

)(lim

. 3.18. )(lim 3 x

xex

.

3.19. 20 1

limxx

ba xx

x

. 3.20.

2)(lim

xtgxx

.

3.21. 3

lnlim

xx

x . 3.22.

xx

xx lnln1lim

1.

3.23. ctgx

xx)sin1(lim

0

. 3.24.

xx

x

coslnlim0

.

3.25. 30lim x

arctgxxx

.

Пример 4. Провести полное исследование функции и построить ее график:

4.1. xx

xxy2

12

2

4.2. 211x

y

.

4.3. )1(4

)3( 2

x

xy . 4.4. 1

22

xx

y .

4.5. xx

xy21

2

. 4.6. 1)1(

2

2

xxy .

4.7. 2

2

4142xxy

. 4.8. 2

3 1x

xy .

4.9. 14

22

2

xxy . 4.10. 23 x

xy

.

4.11. 212

xxy

. 4.12. 2

2

)1()1(

xxy .

4.13. 9

12

x

y . 4.14. 2)1(

x

xy .

4.15. 2)1()1(8

xxy . 4.16.

2)1(12

xxy .

4.17. 13

4

xxy . 4.18. 2

3

)1(2

xxy .

26

4.19. 2

3 2

x

xy . 4.20. 2)1(

4

x

xy .

4.21. 25

52

2

xxy . 4.22.

1332

x

xxy .

4.23. x

xy 12 . 4.24.

xxy 163

.

4.25. 2

2 14x

xxy .

Пример 5. Найти неопределенные интегралы:

5.1. 1) .

)134)(1(77

2 dxxxx

x 2) .

cos3sin42 xxdx

3) .

)1( 3

63 2

dxxx

xxx 4) .1

2

3 2

dxx

x

5.2. 1) .

)136)(1(63

2

2

dxxxx

xx 2) .

sin3cos4 xxdx

3) .

313

3dx

xx 4)

.115 4

3 5

dxxx

x

5.3. 1) .

)4)(2(13

2

2

dxxxxx 2)

.sin35

sinx

xdx

3) .1

2dx

xxx 4)

.19 4

3 3

dxxx

x

5.4. 1) .8

1243

2

dxx

xx 2) .

cossin1cos

xxxdx

3)

.13

3 2

dxxx

x 4) .1

152

3 5 4

dxxxx

5.5. 1) .

)52)(1(133

2 dxxxx

x 2) .

cos17cos5sin6 dx

xxx

3)

.11

13

dxx

x 4) .1

9 8

3 3 2

dxxxx

27

5.6. 1) .

)2)(1(153

2

2

xxxx 2)

.5cos3 x

dx

3) .

3 3 2xxdxx 4)

.

)1(8 7

4 3

dxxxx

5.7. 1) .

)32)(2(12

2

3

dxxxx

x 2) .

3cos5 xdx

3) .

111 3

dxx

xx 4) .19 4

3 3

dxxx

x

5.8. 1) .

)1)(1(532 dx

xxx 2)

.3cossin xx

dx

3) .

6

3

dxxxxx 4)

.

)1(20 72

5 44 3

dxxxx

5.9. 1) .

)1)(2(65

2 dxxxx

x 2) .

1cossinsin1 dx

xxx

3)

.43 2

dxxx

x 4) .112 5

4 3

dxxx

x

5.10. 1) .

)1)(2(12

2

2

dxxxx

xx 2) .

)cos1(cos xxdx

3) .

)1( 3

3 2

dxxx

xxx 4)

.)1(

32

3 25 4

dxxx

x

5.11. 1) .1

233

2

dxx

xx 2) .

5cos3sin xxdx

3) .)1)(1(

6 5

3

dxx

xx 4) .15 2

5 3

dxxx

x

5.12. 1) .

)102)(2(36

2 xxxdx 2)

.3sincos2 xx

dx

3) .

1 3

6

xdxx 4)

.

)1(6 5

3 2

dxxxx

28

5.13. 1) .

)1)(1(13

2

2

dxxxx

xx 2) .

cossin2 xxdx

3) .

3 xxdx 4)

.13

3 4

dxxxx

5.14. 1) .

)22)(1(23

2 dxxxx

x 2) .

sin3cos xxdx

3) .1

11 3

dxx

x 4). .1

6 5

4 3 2

dxxxx

5.15. 1) .

)22)(3(25

2 dxxxx

x 2) .

cossin1sin

xxxdx

3) .

1111

3dx

xx 4)

.1

25 112

5 5 6

dxxxx

5.16. 1) .

)1)(1(352 dx

xxx 2)

;cossin3 xx

dx

3)

.)(

16

3

dxxxx

x 4) .1 3

dxxxx

5.17. 1) .

)134)(2(612

2 dxxxxx 2)

.5cos3 x

dx

3) .

)1(1

3dx

xxx 4)

.

)1(9 5

3 23

dxxxx

5.18. 1) .

)52)(1(1022

2

2

dxxxx

xx 2) .

cos4sin3 xxdx

3) .

3

6

xxdxx 4)

.

)1(5 22

4 35 4

dxxxx

5.19. 1) .

)32)(2(73

2 dxxxx

x 2) .

cos48 xdx

3) .

1 4dx

xx 4)

.

)1(52

5 43 2

dxxx

x

29

5.20. 1) .

)1)(2(34

2 dxxxx

x 2) .

4sin4cos3 xxdx

3) .

1

3

dxx

x 4) .1

82

4 3

dxxxx

5.21. 1) .

)136)(1(36175

2

2

dxxxx

xx 2) .

cos2cos

xdx

3)

.1 3 2x

dxx 4) .13 2

3

dxxx

x

5.22. 1) .

)102)(2(222

2 dxxxx

x 2) .

2cos3sin xxdx

3)

.33

33

6

dxxx

x 4)

.

)1(12 7

4 33

dxxxx

5.23. 1) .

)52)(1(772

2

2

dxxxx

xx 2) .

cos3sin2 xxdx

3) .

)(3 xxxdx 4)

.

)1(10 9

5 4

dxxxx

5.24. 1) .

)136)(1(13

2

2

dxxxx

xx 2) .

5sin4cos2 xxdx

3) .

1111 dx

xx 4)

.

)1(42

3 24 3

dxxxx

5.25. 1) .2765

3

2

dxxx 2).

.cos3sin25 xx

dx

3)

.22

23

dxxxx 4)

.152

5 4

dxxxx

Пример 6. Вычислить определенные интегралы:

6.1. 1)

0

2

2 .3cos)2( xdxx 2)

0

84 .cos2 xdx

6.2. 1) 2

1

2 .lne

xdxx 2)

0

264 .cossin2 xdxx

30

6.3. 1) 3

0

2 .sin)3( xdxxx 2) 2

0

444 .cossin2 xdxx

6.4. 1) 2

1

.)23ln( dxxx 2)

0

84 .sin2 xdx

6.5. 1) 2

1

2 .ln xdxx 2) 2

0

44 .4

cos4

sin dxxx

6.6. 1) 2

0

2 .cos)1(

xdxx 2) 2

0

62 .4

cos4

sin dxxx

6.7. 1)

1

1

22 .dxexx

2)

2

628 .cossin2 xdxx

6.8. 1) 1

0

;xarctgxdx 2)

0

2

88 .sin2

xdx

6.9. 1)

0

2

2 ;)1( dxexx

2) 2

0

44 .3cos3sin xdxx

6.10. 1) e

xdxx1

2 .ln 2)

0

624 .cossin2 xdxx

6.11. 1) 1

0

32 .dxex x 2)

2

88 .cos2 xdx

6.12. 1)

1

0

2 .)1(lne

dxx 2)

0

2

628 .cossin2

xdxx

6.13. 1) 2

0

2 .2

sin

dxxx 2) 2

0

62 .cossin xdxx

6.14. 1) 3

02 .

cos

xxdx 2)

0

444 .cossin2 xdxx

6.15.1) e

xdxx0

2 .ln 2) 2

0

8 .4

cos dxx

6.16. 1) e

xdx1

3 .ln 2)

0

624 .2

cos2

sin2 dxxx

31

6.17.1)

0

3 .sin xdxx 2) 2

0

26 .cossin xdxx

6.18.1)

0

2

2 .3cos)4( xdxx 2)

0268 .cossin2

xdxx

6.19. 1) 3

4

2 .sin

xxdx 2)

2

88 .sin2 xdx

6.20. 1) 3

4

2 .2sin)3(

xdxxx 2)

2

448 .cossin2 xdxx

6.21. 1)

0

1

2 .)1ln( dxxx 2)

0

444 .2

cos2

sin2 dxxx

6.22.1)

0

2 .2

cos)1( dxxx 2) 2

0

8 .4

sin dxx

6.23. 1) e

dxx

x1

2 .ln3 2)

0

2

88 .cos2

xdx

6.24.1)

0

1

2 .)1( dxex x 2)

0

2

448 .cossin2

xdxx

6.25.1) .1

0 dxxxarctg 2)

0

84 .2

cos2 dxx

Пример 7. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением кривой l вокруг заданной оси:

7.1. :l дуга кривой teytex tt cos,sin , 2

0 t , .Ox

7.2. :l дуга астроиды tytx 33 sin2,cos2 , .Oy

7.3. :l дуга одной арки циклоиды )cos1(3),sin(3 tyttx , .Ox

7.4. :l дуга окружности sin4r , 2

0 , .Ox

7.5. :l дуга кривой 16

4,24

23 tytx , 220 t , .Ox

32

7.6. :l дуга кривой 2

ln4

2 xxy , ex 1 , .Ox

7.7. :l дуга синисоиды xy sin , x0 , .Ox

7.8. :l дуга эллипса 11625

22

yx , 50 x , .Ox

7.9. :l дуга цепной линии 2

2 xchy , 20 x , .Ox

7.10. :l дуга параболы yx 22 , 230 y , .Oy

7.11. :l дуга кривой

2cos

12

r , 2

0 , .Ox

7.12. :l дуга параболы 122 xy , 70 x , .Ox

7.13. :l дуга лимнискаты 2cos92r , 4

0 , .Ox

7.14. :l дуга кривой cos4r , .Ox

7.15. :l дуга кардиоиды )cos1(2 r , 2 , .Ox

7.16. :l дуга кривой teytex tt cos,sin , 2

0 t , .Oy

7.17. :l дуга кривой 2

ln4

2 yyx , ey 1 , .Oy

7.18. :l дуга кривой tytx sin1,cos , .Ox

7.19. :l дуга кривой 3

,2

432 tytx , 220 t , .Oy

7.20. :l дуга эллипса 1259

22

yx , 50 y , .Oy

7.21. :l дуга кривой

2sin

12

r , 2

0 , .Ox

7.22. :l дуга одной арки циклоиды )cos1(2),sin(2 tyttx , .Oy

33

7.23. :l дуга кардиоиды )cos1(5 r , 2

0 , .Oy

7.24. :l дуга астроиды tytx 33 sin4,cos4 , .Ox

7.25. :l дуга кривой xey , 0x , .Ox

Пример 8. (8.1-8.15). Найти координаты центра тяжести однородной плоской дуги кривой l :

8.1. :l дуга астроиды 4

sin2,4

cos2 33 tytx , расположенная в первом

квадранте.

8.2. :l дуга кривой sin2r , 0 .

8.3. :l дуга цепной линии )3(3 xchy 33 x .

8.4. :l дуга астроиды tytx 33 sin5,cos5 , расположенная слева от оси Oy .

8.5. :l дуга окружности 922 yx , стягивающая центральный угол o60 .

8.6. :l дуга кардиоиды )cos1(2 r , 2 .

8.7. :l дуга кривой 32 ,3 ttytx , 10 t .

8.8. :l дуга развертки окружности )cos(sin3),sin(cos3 tttytttx ( t0 ).

8.9. :l дуга кривой 3

sin 3 ar .

8.10. :l полуокружность 2522 yx , расположенная над оси Ox .

8.11. :l дуга кардиоиды )cos1(4 r 0 .

8.12. :l дуга цепной линии axachy , axa .

8.13. :l дуга окружности 1622 yx расположенная направо от оси Oy .

8.14. :l дуга астроиды 2

sin3,2

cos3 33 tytx расположенная в третьем

квадранте.

8.15. :l дуга кривой cos2r , 4 dan

44 .

34

Пример 8. (8.16-8.25). Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры D , ограниченной данными линиями:

8.16. :D ограничена первой петлей лимнискаты 2cos92r .

8.17. :D ограничена дугой синисоиды xy sin и отрезком оси Ox ( ];0[ ).

8.18. :D ограничена кривыми xy 32 и yx 32 .

8.19. :D ограничена дугой астроиды tytx 33 sin4,cos4

20 t .

8.20. :D ограничена кардиоидой )cos1(2 r .

8.21. :D ограничена осями координат и дугой эллипса

11625

22

yx )0,0( xy .

8.22. :D ограничена кривыми 0,0,)2( 2 yxxy .

8.23. :D ограничена дугой окружности 1622 yx , стягивающая центральный угол o60 .

8.24. :D ограничена кривыми 6 yx , 0,0 xy .

8.25. :D ограничена осями координат и дугой косинусоиды xy cos .

Пример 9. Найти общее решение ураввнений:

9.1. 1) .1)1( yye x 2) .22 yxyyxy

9.2. 1) .ln 3' xeyy 2) .332 yxyxy

9.3.1) ).2(cos)2cos(cos3 yxyxyy 2) .0)75()54( dyxydxxy

9.4. 1) .02)8( dxyeye xx 2) .1ln

xyyyx

9.5. 1) .032

xdxdyyx 2) .0)2( yyxxy

9.6. 1) .0)1( 22

dxyxdye x 2) .sinxy

xyy

9.7. 1) .3 ydydxe xy 2) ).( 223 xyyyx

9.8. 1) .0)( xyyyxyx 2) .xytg

xyy

35

9.9.1) .)1(2 22 dxxdyyx 2) .ln)(

x

yxyxyyx

9.10.1) .0)()( 22 yxyyxxy 2) .xy

xeyyx

9.11.1) .)1( 2 dxxxydy 2) .lncos

xyyyx

9.12. 1) .011

2

2

xyy 2) .)2( 22 yxyyxyx

9.13. 1) .sincoscossin xdxyxdyy 2) .yx

xyy

9.14. 1) .10 yxy 2) .)( yxxyy

9.15. 1) .011 22 dxyxdyx 2) .0ln xdydxxyy

9.16. 1) .)1()1( dyxdxy 2) .2 22 xyyxy

9.17. 1) .04 22 xxyyx 2) .)2( 22 yxyxyxy

9.18. 1) .0)32(2 dxyxydyx 2) .0)2( ydxdyxy

9.19.1) .0)1( 2 dyxdxy 2) .)63()32( 2322 dxyxyxdyxy

9.20. 1) .0)1(1 yey 2) .)(2 yyxxy

9.21. 1) .0)33()24( 22 dyyxydxxyx 2) .02)3( 22 xydydxyx

9.22.1) .cos2cossin xxyyy 2) .0)2( 22 dyxdxxyy

9.23.1) .)12( tgxyy 2) .22 dyyxxdyydx

9.24.1) .3 22 ydyxydydxy 2) .24 22 yyxyx

9.25. 1) .0)4( dyedxex yy 2) .22 yexyxye yx

yx

Пример 10. Решить задачу Коши:

10.1. ,3

2xyyxy .3)1( y 10.2. .49)0(,2 yyeyy

x

36

10.3. .1)0(,2 yxyyy 10.4. .21)1(,ln2 2 yxyyyx

10.5. .1)1(,)54(53 4 yyxyyx 10.6. .2)0(,22 23 yyxxyy

10.7. .1)0(,2 yxyyy 10.8. .2)0(,)(2 2 yxyyy

10.9. .1)0(,cos4 yxyytgxy 10.10. .2)1(,2 yxyyxy

10.11. .1)1(,42 2 yyyxyx 10.12. .1)0(,33 yyyxy

10.13. .1)0(,sin32 4 yxyytgxy 10.14. .1)1(,ln2 yxyyyx

10.15. .1)1(,)(2 2 yxyyyx 10.16. .3)1(,ln)(3 2 yxyyyx

10.17. .2)1(,2 xyxxxy 10.18. .2)0(,0cos2 yxyyy

10.19. 3322 .3)1(, yyxyxy 10.20. .8)2(,2 3 yyyxyx

10.21. .1)1(,2 yxyyyx 10.22. .4)0(; yeyxyy x

10.23. .2)1(,32

xdyy

yxxdx 10.24. .

22)0(;

23 yeyxyy x

10.25. .2)1(;2 yxyyxy

Пример 11. Решить дифференциальные уравнения методом вариации произвольных постоянных:

11.1. ctgxyy . 11.2. xtgyy 24 .

11.3. xxyy 2cos . 11.4. tgxyy .

11.5. xctgyy 24 . 11.6. xxeyyy 2 .

11.7. .4 22 xx eeyy 11.8. x

yy2sin

14 .

11.9. xeyyy 21

165

. 11.10. .1

x

x

eeyy

11.11. .cos

22x

eyyyx

11.12. .44 3

3

xeyyy

x

11.13. x

yysin

1 . 11.14. .2

xeyyy

x

37

11.15. .cos

542

xeyyy

x

11.16. .2cos

14x

yy

11.17. .1

123

xeyyy 11.18. .ln44 2 xeyyy x

11.19. .2 xxeyy 11.20. ).sin(2 xx eeyy

11.21. .)cos(2 xx eeyy 11.22. .44 3

2

xeyyy

x

11.23. .3cos

12x

yy 11.24. .sin

22 x

yy

11.25. .sin

22

xyy

Пример 12. Решить систему дифференциальных уравнений:

12.1.

.,3

212

211

xyyyeyyy x

12.2.

.sin23,cos2

212

211

xyyyxyyy

12.3.

.22,

212

211

xyyyxyyy

12.4.

.3,2

212

211

xyyyxyyy

12.5.

.2,3

212

2211

xyyyeyyy x

12.6.

.25,12

212

211

xyyyyyy

12.7.

.,4

3212

211xeyyy

yyy 12.8.

.3,3

212

211x

x

eyyyeyyy

12.9.

.2,cos

212

21

yyyxyy

12.10.

.2,1454

212

211

xyyyxyyy

12.11.

.cos24,sin2

212

211

xyyyxyyy

12.12.

.4,

212

211x

x

xeyyyeyyy

12.13.

.154,45

212

211

yyyeyyy x

12.14.

.125,2

2212

211

xyyyyyy

38

12.15.

.3,35

2212

2211

x

x

eyyyxeyyy

12.16.

.2,4

212

211xxeyyy

yyy

12.17.

.,3

212

211xeyyy

yyy 12.18.

.2,13

212

211

xyyyyyy

12.19.

.2,4

212

3211

yyyeyyy x

12.20.

.25,2

2212

211

xyyyxyyy

12.21.

.3sin4,3cos2

212

211

xyyyxyyy

12.22.

.2,52

2212

211xeyyy

yyy

12.23.

.sin23,cos42

212

211

xyyyxyyy

12.24.

.22,32

212

211x

x

xeyyyeyyy

12.25.

.23,2

212

211x

x

eyyyeyyy