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第六週：真值表法Ⅰ：判斷單一語句

一、什麼是真值表法？• 真值表 (truth table) ：一種考慮邏輯上所有可能

情況的真假值配置方式。• 邏輯考慮的是「所有可能情況」，也就是在

「所有可以想像的世界」裡的真假值。• 我們把代表形式原子語句的小寫字母 p, q 稱為

「語句變項」。真值表用語句變項來呈現不同語句形式（否言、並言、選言、條件句、互為條件句）的語意定義。

• 語句形式：語句變項和語句連接詞的一種配置方式。

二、不同語句形式的真值表定義( 一 ) 否言的真值表：

• 跟日常語言用法的比較：上述定義相當符合日常語言的使用。

• 否言的真假值具「遞歸性」：更複雜的否言的真假值是依照否定連接詞的運算範圍一一疊加上去的。

p ~p

T F

F T

二、不同語句形式的真值表定義( 二 ) 並言的真值表：• 當並言的兩個連項 (p 、 q) 都為真時， 則該並言為真；若其中一個為假或 兩個連項都為假，則並言為假。

• 跟日常語言用法的比較： 1. 在多數狀況下，符合我們日常語言的使用。 例如：「我今天穿了一件長褲且戴了一頂帽子」翻成 A • B 2. 日常語言中有些並言的連項之先後順序有影響。 例如：她結婚了且有了孩子 M • B （有先結婚後生小孩之意） 她有了孩子且結了婚 B • M （有生子後再補結婚之意）

p q p • q

T T T

F T F

T F F

F F F

二、不同語句形式的真值表定義( 三 ) 選言的真值表：• 在兼容性的選言中，只要有一個選 項為真，選言便為真；只有當兩個 選項都為假時，選言才為假。

• 跟日常語言用法的比較： 1. 符合日常語言用法的例子： 例 1 ：老師說：「下個禮拜出作業或小考」。 例 2 ：梁朝偉或劉德華是電影明星 A B （ T ） 畢卡索或梁朝偉是電影明星 C A （ T ） 畢卡索或梵谷是電影明星 C D （ F ）

p q p q

T T T

F T T

T F T

F F F

二、不同語句形式的真值表定義 2. 不符合日常語言用法的例子： 例 1 ：總統府在台北或台中。 例 2 ：小玉九歲或十九歲。

• 如果原語句中排斥性選言的意義是不可或缺的，那麼就要在翻譯中加入「不可兩者得兼」的意涵，翻譯成：

(A B) • ~ (A • B)

二、不同語句形式的真值表定義( 四 ) 條件句的真值表：• 當前件為真、後件為假時，條件 句為假；在其他情況下，條件句 都為真。

• 跟日常語言用法的比較： 1. 符合日常語言用法的例子： 例 1 ：如果梁朝偉是個電影明星，那麼劉德華也是。 A→B

（ T ） 例 2 ：如果梁朝偉是個電影明星，那麼畢卡索也是。 A→C

（ F ） 2. 不符合日常語言用法的例子： ( 前件為假 ) 例 1 ：如果畢卡索是個電影明星，那麼劉德華也是。 C→B

（ T ） 例 2 ：如果畢卡索是個電影明星，那麼梵谷也是。 C→D

（ T ）

p q p→q

T T T

F T T

T F F

F F T

二、不同語句形式的真值表定義• 前件為假、條件句為什麼為真？ 例如：老師說：「如果你期末考考九十分以上，那麼

你的學期成績就會九十分以上。」 ◎ 因為前件為假 ( 你期末考沒有考九十分以上 ) ，「如

果…」不成立，所以不管老師給你什麼成績，都沒有騙人。

• 產生差距的原因：條件連接詞“→”表達的是「真值蘊含」的關係，即條件句的真假值純粹依賴前件和後件的真假，而不依賴前件與後件之間的推論關係。

二、不同語句形式的真值表定義( 五 ) 互為條件句的真值表：• 當兩個構成部分的真假值不同時， 該互為條件句為假；當兩個構成部 分的真假值相同時，它就為真。

• 跟日常語言用法的比較： 1. 符合日常語言用法的例子： 例 1 ：梁朝偉是個電影明星，若且唯若劉德華是個電影明星。 AB

（ T ） 例 2 ：梁朝偉是個電影明星，若且唯若畢卡索是個電影明星。 AC

（ F ） 2. 不符合日常語言的例子： ( 構成份子都為假 ) 例 1 ：畢卡索是個電影明星，若且唯若梵谷是個電影明星。 CD

（ T ） 例 2 ：美國國防部的建築是六角形的，若且唯若它有八個面。 S E

（ T ）

p q p q

T T T

F T F

T F F

F F T

二、不同語句形式的真值表定義• 兩個構成份子都為假，互為條件句為什麼為真？ 例如：「劉德華將會當選建築師工會的會長，若且唯

若他獲得建築師工會多數代表的支持」。 ◎ 這個互為條件句說明的是「任何人要當選建築師工會

會長」的充分必要條件，所以即使兩個構成份子都為假，整個語句仍為真。

• 產生差距的原因：互為條件連接詞“”表達的是「真值等值」，即互為條件句的真假值純粹依賴構成份子的真假，而不依賴它們之間的推論關係。

三、真值表法的基本概念( 一 ) 真值函數 (truth function) ：由一個或多個語

句連接詞表達的複合語句，它的真假值是其構成份子真假值的一個函數。

• 真值表顯示，一個複合語句的真假值的「所有可能情況」，可以透過該語句所包含的語句連接詞和原子語句的真假值來決定。

三、真值表法的基本概念( 二 ) 主要運算符號：在一個複合語句中，掌握該語

句最大構成要素的語句連接詞。• 在判斷主要運算符號時，可以用數學上加減乘除的運

算概念來做類比。• 否定連接詞的運算範圍僅限於接在它後面的語句，其

他語句連接詞的運算範圍限於它前後連接的兩個語句。• 範例： ~(A • B) 主要運算符號是 ~

(A • B) C 主要運算符號是 A • ~(B C) 主要運算符號是 • ~ (~ (B C) → ~A) 主要運算符號是 ~

三、真值表法的基本概念• 決定複合語句真假值的順序： 1. 代表原子語句的個別字母。 2. 在個別字母前面的否定連接詞。 3. 連接字母或否言的其他語句連接詞。 4. 在括號裡面的複合語句。 5. 在括號外面的否定連接詞。 6.主要運算符號最後計算。

• 原則：由小到大，由內而外

有趣的推理：大學生了沒？ • 四個都姓馬的大學女生分租一間公寓，其中一

個人正在修指甲，一個在整理頭髮，一個在化妝，一個在讀書。我們現在知道：

馬蘿不在修指甲，也沒有在讀書。 馬德不在化妝，也沒有在修指甲。 如果馬蘿不在化妝，則馬妮不在修指甲。 馬莉沒有在讀書，也沒有在修指甲。 馬妮沒有在讀書，也沒有在化妝。

請問：這四個女大學生分別在做什麼？

四、真值表法用於複合語句• 在決定一個複合語句的邏輯真假值時，我們要判斷邏輯上的「所有可能情況」。

• 真值表法：以複合語句的簡單構成部分的每一種真假值的可能情況，來判斷該語句的邏輯真假值。

• 真值表的列數＝ 2n

（ n＝原子語句的數目）

四、真值表法用於複合語句 例 1 ： (A ~B)→B

A B (A ~ B) → B

T T T T F T T T

F T F F F T T T

T F T T T F F F

F F F T T F F F

四、真值表法用於複合語句 例 2 ： (C • ~D) →E C D E (C • ~ D) → E

T T T T F F T T T

F T T F F F T T T

T F T T T T F T T

F F T F F T F T T

T T F T F F T T F

F T F F F F T T F

T F F T T T F F F

F F F F F T F T F

五、真值表法用於單一語句• 任何複合語句可以是套套邏輯 (tautology) 、矛盾

句 (contradictory sentence) 或未確定句 (contingent sentence ) 。

1. 套套邏輯：它在真值表的所有可能情況中都為真。

2. 矛盾句：它在真值表的所有可能情況中都為假。 3. 未確定句：它在真值表的某些情況下為真，在另一些情況下為假。

五、真值表法用於單一語句( 一 ) 套套邏輯 ∕ 恆真句：它是邏輯上真的語句。無論其構成份子的真假值為何，該複合語句都為真。

例 1 ：形式語句「 p ~p 」或實質語句「大溪地位於南 太平洋或大溪地不位於南太平洋」

例 2 ： ((G→H) • G) →H

• 套套邏輯有無窮多個，是邏輯要研究的一部份真理。• 套套邏輯的語句其實並沒有提供任何資訊。• 以套套邏輯的語句作為結論的論證必然有效。

五、真值表法用於單一語句( 二 ) 矛盾句：它是邏輯上假的或自我矛盾的語句。無論其構成份子的真假值為何，該複合語句都為假。

例 1 ：形式語句「 p • ~p 」或實質語句「李白是人同時李白又不是人」

例 2 ： (G H) (~G • ~H)

• 矛盾句也有無窮多個。它是邏輯學家最忌諱的，因為它是真理的反面。

• 矛盾句其實並沒有提供任何資訊。 • 以矛盾句的語句作為前提的論證必然有效。

五、真值表法用於單一語句( 三 ) 未確定句 ∕ 適真句 ∕ 偶真句：複合語句的

真假值會隨著其構成份子的真假值而改變，在某些情況下為真，在另外一些情況下為假。

例 1 ：形式語句「 p • q 」

例 2 ： (X→(R→F)) ((X→R)→F)

• 未確定句也有無窮多個。• 未確定句有提供某些資訊，告訴我們這個語句在什

麼情況下為真，在什麼情況下為假。

五、真值表法用於單一語句• 任何形式語句或實質語句一定是套套邏輯、矛盾句

或未確定句中的一種。

• 要判斷實質語句屬於哪一類，要先把它「符號化」，然後像形式語句一樣，畫出其真值表的所有真假值的分佈情況，再看真值表最後一行是全真 (套套邏輯 ) 、全假 (矛盾句 ) 、還是有真有假 (未確定句 ) 。

• 任何「套套邏輯」的否言一定是個矛盾句； 任何「矛盾句」的否言一定是個套套邏輯； 任何「未確定句」的否言還是一個未確定句。

五、真值表法用於單一語句〔練習題〕：以真值表法判斷以下語句是套套邏輯、矛盾句，還是未確定句

例 1 ： (M→P) (P→M) 套套邏輯

例 2 ： ((E→F) →F) →E 未確定句

例 3 ： ((H→N) • (T→N)) →((H T) →N) 套套邏輯

例 4 ： ((Q→P) • (~Q→R)) • ~(P R) 矛盾句

六、日常推理的應用• 李教授是一位經濟學家，他做出以下預測：收支平衡程度將會降低的充分必要條件是利率保持穩定；然而，未來不可能發生「利率不會保持穩定或者收支平衡程度將會降低」的狀況。

請問：我們應該相信李教授的預測嗎？

• 提示：先把李教授的預測翻譯成邏輯語言，而後用真值表法分析一下他的預測是套套邏輯、矛盾句還是未確定句，就可以做出判斷。

六、日常推理的應用 B=收支平衡程度將會降低 I=利率保持穩定• 李教授的預測可以翻譯為： (B ↔ I) • ~ (~I B)• 畫出這個語句真值表：

• 結論：真值表顯示這是一個矛盾句，表示這句話在任何情況下都為假，所以我們不必相信李教授的預測。

B I (B↔I) • ~ (~I B) T T T F F F T F T F F T F F T F F F F T T F F T F F T T

有趣的推理：紙牌的秘密• 以下四張牌從左到右分別是 a 、 b 、 c 、 d 。淺藍色的部分表示被紙牌蓋住。

• 如果我們想要知道：是不是所有的紙牌如果左邊有圓圈，那麼右邊也有圓圈？

請問：這時候最少需要翻開哪幾張蓋住的牌？