ПРЕДИСЛОВИЕ - narod.ru · 3 ПРЕДИСЛОВИЕ Данное методическое пособие разработано к УМК «Алгебра. 8 класс»

3

ПРЕДИСЛОВИЕДанное методическое пособие разработано к

УМК «Алгебра. 8 класс» Г. К. Муравина, К. С. Му-равина, О. В. Муравиной, который включает:

• учебник;• электронное приложение к учебнику (разме-

щено на сайте www.drofa.ru);• методические рекомендации по составлению

рабочих программ (размещено на сайте www.drofa.ru);

• рабочая тетрадь для учащихся в двух частях;• дидактические материалы.Основными целями курса алгебры 8 класса в

соответствии с Федеральным государственнымобразовательным стандартом основного общегообразования являются: «осознание значения ма-тематики… в повседневной жизни человека; фор-мирование представлений о социальных, культур-ных и исторических факторах становления мате-матической науки; формирование представленийо математике как части общечеловеческой куль-туры, универсальном языке науки, позволяющемописывать и изучать реальные процессы и явле-ния»1.

1 Федеральный государственный образовательныйстандарт основного общего образования / Министер-ство образования и науки РФ. — М.: Просвещение,2011. — (Стандарты второго поколения). Приказ Ми-нистерства образования и науки РФ от 17.12.2010,№ 1897, с. 13.

4

Усвоенные знания и способы действий по мате-матике в основной школе необходимы не толькодля дальнейшего успешного изучения математи-ки и других школьных дисциплин в основнойшколе, но и для решения реальных практическихзадач в повседневной жизни.

При разработке учебников авторы дополни-тельно ставили перед собой следующие цели: раз-витие личности школьника средствами матема-тики, подготовка его к продолжению обучения ик самореализации в современном обществе.

Достижение поставленных целей предусматри-вает решение следующих задач:

— формирование мотивации к изучению мате-матики, готовности и способности учащихся к са-моразвитию, личностному самоопределению, по-строению индивидуальной траектории в изучениипредмета;

— формирование у учащихся способности к ор-ганизации своей учебной деятельности посред-ством освоения личностных, познавательных, ре-гулятивных и коммуникативных универсальныхучебных действий;

— формирование специфических для матема-тики стилей мышления, необходимых для полно-ценного функционирования в современном обще-стве, в частности, логического, алгоритмическогои эвристического;

— освоение в ходе изучения математики специ-фических видов деятельности, таких как постро-ение математических моделей, использованиеинструментальных вычислений, овладение сим-волическим языком предмета и др.;

— формирование умений представлять инфор-мацию в зависимости от поставленных задач в ви-де таблицы, схемы, графика, диаграммы, исполь-зовать компьютерные программы, Интернет приее обработке;

5

— овладение учащимися математическим язы-ком и аппаратом как средством описания и иссле-дования явлений окружающего мира и формиро-вания научного мировоззрения;

— овладение системой математических зна-ний, умений и навыков, необходимых для реше-ния задач повседневной жизни, изучения смеж-ных дисциплин и продолжения образования;

— воспитание культуры личности, отношенияк математике как к части общечеловеческой куль-туры, играющей особую роль в общественном раз-витии.

Методическая концепция обучения выражает-ся в системно-деятельностном подходе и принци-пах обучения, которые сформулированы ниже.

Системно-деятельностный подход предполага-ет ориентацию на достижение цели и основногорезультата образования — развитие на основе ос-воения универсальных учебных действий, позна-ния и освоения мира личности обучающегося, егоактивной учебно-познавательной деятельности,формирование его готовности к саморазвитию инепрерывному образованию; разнообразие инди-видуальных образовательных траекторий и инди-видуального развития каждого обучающегося.

Принцип разделения трудностей. Математиче-ская деятельность, которой должен овладетьшкольник, является комплексной, состоящей измногих компонентов. Именно эта многокомпо-нентность является основной причиной испыты-ваемых школьниками трудностей. Концентрациявнимания на обучении отдельным компонентамделает материал доступнее.

Нужно правильно и последовательно выбиратькомпоненты для обучения. Если некоторая мате-матическая деятельность содержит в себе творче-скую и техническую компоненту, то, согласнопринципу разделения трудностей, они изучаютсяотдельно.

6

Так, например, изучение формул сокращенногоумножения разделено на два года: в 7 классе изу-чаются квадрат суммы, квадрат разности и раз-ность квадратов, а в 8 классе — куб двучлена, сум-ма и разность кубов. Изучение методов решениясистем уравнений: в 7 классе — способа сложе-ния, а в 8 классе — способа подстановки.

Если изучаемый материал носит алгоритми-ческий характер, то для отработки и осознаниякаждого шага алгоритма в учебнике составляетсясистема творческих заданий. Каждое следующеезадание в системе опирается на результат преды-дущего, применяется сформированное умение, но-вое знание. Постепенно, легко и непринужденноформируется весь алгоритм действий.

Принцип укрупнения дидактических единиц.Укрупненная дидактическая единица (УДЕ) —это клеточка учебного процесса, состоящая из ло-гически различных элементов, обладающих в тоже время информационной общностью. Она обла-дает качествами системности и целостности, ус-тойчивостью во времени и быстрым проявлениемв памяти. Принцип УДЕ предполагает совместноеи одновременное изучение взаимосвязанных дей-ствий, операций, функций, теорем. Принцип ук-рупнения дидактических единиц прекрасно рабо-тает в некоторых темах, например при изученииформул сокращенного умножения, формул ком-бинаторики, в арифметической и геометрическойпрогрессиях.

Принцип опережающего формирования ориен-тировочной основы действия (ООД) заключаетсяв формировании представления обучающегося оцели, плане и средствах осуществления некоторо-го действия. Полная ООД обеспечивает системати-чески безошибочное выполнение действия в неко-тором диапазоне ситуаций. ООД должна состав-ляться учениками совместно с учителем в ходевыполнения системы заданий. Отдельные этапы

7

ООД включаются в опережающую систему упраж-нений, что дает возможность готовить базу к изу-чению нового материала и увеличивать время наих усвоение.

Принципы позитивной педагогики заложеныв основе педагогики сопровождения, поддержки исотрудничества с учеником. При этом у учащихсяформируются критичность, здравый смысл и ра-циональность как интеллектуальная атмосферагуманистического образования. В процессе обуче-ния учитель воспитывает эмпатией, уважением,свободой, ответственностью и участием. В обще-нии с учителем передаются, усваиваются и выра-батываются приемы жизненного роста как цепьпроцедур самоидентификации, самоопределения,самоактуализации и самореализации, в результа-те которых формируется творчески-позитивноеотношение к себе, к социуму и к окружающемумиру в целом, вырабатывается жизнестойкость,расширяются возможности и перспективы здоро-вой жизни, полной радости и творчества.

Перейдем к разговору о конкретной технологииобучения, которая строится на базе двух форм ор-ганизации работы с классом. Одна из них — фрон-тальная беседа — используется в основном приизучении нового материала и при работе с нестан-дартными (развивающими задачами). Вторая —самостоятельная письменная работа — применя-ется для формирования навыка решения стан-дартных задач.

Фронтальная беседа. Работа строится в видедиалога учителя с классом, при этом учитель ста-рается с помощью системы вопросов привлечь кнему как можно больше учащихся. Понятно, чтонаиболее простые вопросы адресуются ученикампослабее в изучении математики. Нужно следить,чтобы фронтальная беседа не выродилась в работус сильными учениками, когда большая частькласса даже не успевает следить за развитием сю-

8

жета. А поэтому желательно заранее планиро-вать, кому и какой вопрос задать.

При работе с новым материалом учитель частоделает записи на классной доске, однако ученикине должны их дублировать в своих тетрадях —в большинстве случаев, когда рассматриваетсяновый тип задачи, аналогичный материал естьв учебнике. Но главная причина состоит в том, чтоученики не в состоянии разделять свое вниманиемежду несколькими видами деятельности, поэто-му в каждый момент урока ученик должен зани-маться чем-то одним: внимательно слушать, обду-мывать, устно считать, переписывать, сравниватьили что-то записывать в тетради. Учитель же дол-жен своевременно переключать школьников с од-ного вида деятельности на другой, помня, что они,как правило, не могут долго (в 8 классе не больше5—7 мин) концентрироваться на одном виде де-ятельности.

Вернемся к проблеме переписывания с доски.Если все же учитель считает, что какие-то из за-писей должны оказаться в ученических тетрадях,то после объяснения соответствующего логическизаконченного блока ему следует специально выде-лить время и предложить ученикам сделать соот-ветствующие записи в тетрадях.

За активное участие в работе учеников полезностимулировать отметкой или похвалой.

Письменная самостоятельная работа. Непре-менное требование, которому должна удовлетво-рять организация самостоятельной работы, — ин-формация о ее продолжительности до начала рабо-ты и анализ результатов непосредственно после ееокончания. Конечно, глубина анализа может бытьразличной, однако каждый ученик, закончив ра-боту, как минимум, должен знать, какую ее частьон выполнил верно и где допустил ошибку.

Это требование немедленного самоконтроля за-ставляет несколько иначе взглянуть на домаш-

9

нюю работу школьников, а также на организациюконтрольных работ. В частности, можно утверж-дать, что материал алгоритмического характеранельзя задавать на дом, пока учениками не усво-ены соответствующие алгоритмы, поскольку дажеконстатация расхождения полученного ответа сответом в учебнике может оказаться недостаточ-ной для отыскания ошибочного шага решения.

Тематические контрольные работы, помещен-ные в наших методических рекомендациях, со-ставлены так, чтобы оставалось хотя бы 5—7 минурока на анализ их результатов (после сдачи работученики несколько минут еще помнят, что онив них написали).

Наиболее эффективны относительно небольшиеодновариантные самостоятельные работы, рассчи-танные на 4—6 мин. Продолжительность работвыбирается такой, чтобы снизить неэффективныезатраты времени школьников, одни из которыхзаканчивают раньше срока, а другие иногда за-стревают в каком-нибудь месте. Работа, предло-женная в одном варианте, существенно экономитвремя анализа ее результатов, а проблема списы-вания снимается, если ученики знают, что работатолько готовит к выполнению заданий на оценку.Такие короткие самостоятельные работы обычнопредлагаются сериями по несколько работ в каж-дой. Между работами серии иногда полезно пере-ключать внимание школьников на другой матери-ал, предлагая им для обсуждения какое-нибудьнесложное нестандартное задание, как правилоидейно связанное с изучаемым материалом.

Выставление отметок за самостоятельную рабо-ту проводится, когда материал достаточно отрабо-тан. Контролирующие самостоятельные работылучше, конечно, проводить в нескольких вариан-тах (можно использовать любые имеющиеся ди-дактические материалы, хотя упражнений в учеб-нике на два варианта должно хватить). Для обес-

10

печения объективности самооценивания можноиспользовать копирку — ученики выполняют ра-боту в тетради, но подкладывают заранее подпи-санный лист бумаги, на котором через копиркудублируются их записи. По окончании работыученик сдает копию учителю, сверяет свои реше-ния (как минимум, ответы) и выставляет себеоценку. Учителю нет необходимости всегда прове-рять все сданные работы — большинство учени-ков ставят себе отметку объективно (по сформули-рованным учителем критериям).

Во время анализа работы школьники могут за-дать любой вопрос по выполнению включенныхв нее заданий. Отвечает на него либо сам учитель,либо кто-то из учащихся.

Кроме этих основных форм, конечно, имеютместо и другие хорошо известные виды учебнойработы, такие как устные упражнения, математи-ческие диктанты, самостоятельная работа с учеб-ником, парные самостоятельные работы и т. д.

Эффективность работы существенно повысит-ся, если, рассмотрев любой логически завершен-ный блок материала (вывод формулы, составлениеуравнения по тексту задачи, решение примера,правильное решение заданий самостоятельной ра-боты, чтение и обсуждение фрагмента учебникаи т.п.), предложить школьникам полминуты мол-ча подумать о том, что важное и новое для себяони из этого блока узнали, в чем заключалась ихошибка и т. п., т. е. еще раз как бы прокрутитьэтот блок материала в своем сознании.

Особенности построения УМК обеспечиваютдостижение выпускниками основной школы сле-дующих личностных, метапредметных и пред-метных результатов.

В личностных результатах сформирован-ность:

— ответственного отношения к учению, готов-ности и способности обучающихся к самореали-

11

зации и самообразованию на основе развитой мо-тивации учебной деятельности и личностногосмысла изучения математики, заинтересован-ности в приобретении и расширении знаний и спо-собов действий по предмету, осознанного постро-ения индивидуальной образовательной траекто-рии;

— коммуникативной компетентности в обще-нии и сотрудничестве, в учебно-исследователь-ской, творческой и других видах деятельности попредмету, которая выражается в умении ясно,точно, грамотно излагать свои мысли в устнойи письменной речи, выстраивать аргументациюи вести конструктивный диалог, приводить при-меры и контрпримеры, а также понимать и ува-жать позицию собеседника, достигать взаимопо-нимания, сотрудничать для достижения общихрезультатов;

— целостного мировоззрения, соответствующе-го современному уровню развития науки и обще-ственной практики, представления об изучаемыхматематических понятиях и методах как важней-ших средствах математического моделированияреальных процессов и явлений;

— формально-логического мышления: критич-ность (распознавание логически некорректныхвысказываний), креативность (собственная аргу-ментация, опровержения, постановка задач, фор-мулировка проблемы, исследовательский проекти др.).

В метапредметных результатах сформи-рованность:

— способности самостоятельно ставить целиучебной и исследовательской деятельности, пла-нировать, осуществлять, контролировать и оцени-вать учебные действия в соответствии с поставлен-ной задачей и условиями ее выполнения;

12

— умения самостоятельно планировать альтер-нативные пути достижения целей, осознанно вы-бирать наиболее эффективные способы решенияучебных и познавательных задач;

— умения находить необходимую информациюв различных источниках (в справочниках, лите-ратуре, Интернете), представлять в различнойформе (словесной, табличной, графической, сим-волической), обрабатывать, хранить и передаватьв соответствии с познавательными или коммуни-кативными задачами;

— осознанного владения приемами умственныхдействий: определения понятий, обобщения, уста-новления аналогий, классификации на основе са-мостоятельного выбора оснований и критериев,установления родовидовых и причинно-следст-венных связей, построения умозаключений ин-дуктивного, дедуктивного характера или по ана-логии;

— умения организовывать совместную учебнуюдеятельность с учителем и сверстниками: опреде-лять цели, распределять функции, взаимодейст-вовать в группе, выдвигать гипотезы, находитьрешения проблем, разрешать конфликты на осно-ве согласования позиции и учета интересов, аргу-ментировать и отстаивать свое мнение.

В предметных результатах сформирован-ность:

— умения работать с математическим текстом,точно и грамотно выражать свои мысли в устнойи письменной речи, применяя математическуютерминологию и символику, использовать различ-ные языки математики (словесный, символиче-ский, графический, табличный), доказывать ма-тематические утверждения;

— умения использовать базовые понятия из ос-новных разделов содержания (число, функция,уравнение, неравенство, вероятность, множество,доказательство и др.);

13

— представлений о числе и числовых системахот натуральных до действительных чисел; прак-тических навыков выполнения устных, письмен-ных, инструментальных вычислений, вычисли-тельной культуры;

— умения использовать символический языкалгебры, приемы тождественных преобразованийрациональных выражений, решения уравнений,неравенств и их систем; идею координат на плос-кости для интерпретации решения уравнений, не-равенств и их систем; алгебраического аппаратадля решения математических и нематематиче-ских задач;

— умения использовать систему функциональ-ных понятий, функционально-графических пред-ставлений для описания и анализа реальных зави-симостей;

— представлений о статистических закономер-ностях в реальном мире и о различных способахих изучения, об особенностях выводов и прогно-зов, носящих вероятностный характер;

— приемов владения различными языками ма-тематики (словесный, символический, графиче-ский) для иллюстрации, интерпретации, аргумен-тации и доказательства;

— умения применять изученные понятия, ап-парат различных разделов курса к решению меж-предметных задач и задач повседневной жизни.

Структура учебникаУчебник «Алгебра. 8 класс» содержит шесть

глав:1. Рациональные выражения.2. Степень с целым показателем.3. Квадратные корни.4. Квадратные уравнения.5. Вероятность.6. Повторение.Первая глава посвящена изучению рациональ-

ных выражений, объединяющих целые и дробные

14

выражения. Изучая целые выражения, ученикипродолжают знакомство с формулами сокращен-ного умножения, в том числе с кубом двучлена,суммой и разностью кубов. Ученики встретятсятакже с формулой бинома Ньютона, коэффициен-ты разложения которого находятся сначала с по-мощью комбинаторных рассуждений, как числосочетаний, а затем с помощью треугольника Пас-каля.

Изучение дробных выражений началось в 7 клас-се при сокращении дробей, а умения производитьарифметические действия с ними формируютсяв 8 классе.

Во второй главе повторяются понятия пропор-циональных величин, рассматривается обратнаяпропорциональность, свойства и график функции

y = . Продолжается изучение свойств степеней,

начатое в 7 классе, вводится понятие степени с це-лым отрицательным показателем. Свойства степе-ней с целыми показателями применяются в тож-дественных преобразованиях и в действиях с чис-лами, записанными в стандартном виде.

В третьей главе расширяется множество раци-ональных чисел, вводятся понятия иррациональ-ного и действительного чисел, изучаются дейст-вия с квадратными корнями.

В четвертой главе излагается материал, связан-ный с методами решения квадратных уравнений:выделением полного квадрата, по формуле кор-ней, по обратной теореме Виета, частные способырешения, а также задачи, приводящие к квадрат-ным уравнениям и их системам.

Пятая глава посвящена вероятности. С поняти-ем вероятности события школьники познакоми-лись в 7 классе. Там они встретились с несложны-ми задачами, в которых вероятность находиласькак отношение числа благоприятных исходов кчислу всех равновероятных исходов. Эта схема,

kx---

15

конечно, применима только к тем задачам, в кото-рых все исходы равновероятны. В 8 классе учени-ки сначала повторяют формулы вероятности икомбинаторики, а затем знакомятся с некоторымиметодами поиска вероятности, в которых либочисло исходов бесконечно, либо исходы не яв-ляются равновероятными. В последнем случаешкольники знакомятся с идеями статистики.

Материал последней главы «Повторение» мож-но использовать при организации текущего повто-рения, поэтому многие задания из этой главы кэтому моменту могут быть выполнены. Это, одна-ко, не мешает использовать их повторно в концегода.

В учебник включены дополнительные матери-алы: исследовательские работы, практикум по ре-шению текстовых задач, домашние контрольныеработы, ответы, советы и решения, справочныематериалы, темы проектов, список дополнитель-ной литературы и интернет-ресурсов и предмет-ный указатель.

Каждый пункт учебника включает: объясни-тельный материал, который построен крупнымблоком с разобранными примерами и образцамирешений, историческими справками, системойупражнений и контрольными вопросами и зада-ниями.

К системе упражнений можно подходить с раз-ными критериями. Так, например, все задачикурса алгебры можно разделить на стандартные,решение которых вместе с его оформлением стара-ются в процессе обучения довести до уровня навы-ков, и нестандартные, в решении которых учени-кам необходимо проявлять элементы творчества,где процесс решения, пожалуй, более важен, чемправильный ответ. Понятно, что такое деление за-дач зависит от программы и целей соответствую-щего курса и что некоторые задачи, стандартные,например, при углубленном изучении математи-

16

ки, в общеобразовательном курсе оказываются яв-но нестандартными.

Практически в любом учебнике стандартныезадачи многократно дублируются в системе уп-ражнений, в то время как нестандартные задачиявляются штучными. Нельзя не отметить, что припервой встрече со стандартной задачей ученикеще не знает, что она станет для него стандартной,и в этот момент творчество ученика вполне естест-венно.

Другой критерий, по которому можно разде-лить задачи, основан на смысловом различии по-нятий посильная задача и доступная задача. По-сильная задача — это та задача, которая по силамученику, с решением которой он может справить-ся без посторонней помощи. Это, конечно, не иск-лючает того, что и в посильной задаче ученик мо-жет допустить ошибки, однако они носят техниче-ский характер.

К доступным задачам относятся те, в решениикоторых ученик может активно участвовать, на-пример, под руководством учителя и решение ко-торых будет ему понятно. Так, в частности, к до-ступным относятся красивые математические за-дачи, идеи решения которых неожиданны, в товремя как их реализация элементарна. Понятно,что посильные задачи составляют подмножестводоступных задач. Конечно, посильность и доступ-ность задачи рассматриваются применительно кконкретному ученику в конкретный момент вре-мени, поскольку по мере обучения расширяетсякак множество доступных, так (если не забыватьо необходимости повторения) и множество по-сильных задач. Однако учителю математики при-ходится в основном работать не с конкретнымучеником, а с целым классом, поэтому понятияпосильности и доступности нужно относить нек отдельному ученику, а ко всему классу. Ориен-тироваться при этом следует, как правило, на луч-

17

шие в смысле математического уровня 70% уча-щихся.

Задачи, недоступные большинству учащихся,с классом рассматривать не следует — их мож-но использовать для индивидуализации работыс сильными учениками.

Таким образом, система упражнений учебникасостоит из стандартных и нестандартных заданий,разделенных специальными обозначениями на не-сколько г р у п п.

1. Стандартные задания обязательного уровняматематической подготовки — задания, выпол-нять которые должны научиться все школьники.Таких упражнений в учебнике примерно 50% иих номера никак не обозначены.

2. Стандартные задания чуть более сложные,чем задания обязательного уровня, выполнениекоторых необходимо время от времени требоватьот школьников, чтобы гарантировать уверенноевыполнение ими заданий обязательного уровня.Таких заданий примерно 25%, и они обозначены спомощью значка «○» рядом с номером задания.

3. Нестандартные доступные задачи. Их при-мерно 20%. Эти задания обозначены значком «�»рядом с номером. Практически все эти заданияжелательно обсудить с классом.

4. Нестандартные задачи, которые не предназ-начены для работы со всем классом, относятся кзаданиям повышенной трудности. Они обозначе-ны значком «*» и составляют 5%.

Кроме того, в учебнике имеется ряд упражне-ний, которые выполняются только при наличиимикрокалькулятора, они обозначены «■». Боль-шинство этих упражнений относится к соответст-вующему стандартному типу, но с усложненнымивычислениями.

Наличие указанной разметки упражнений су-щественно облегчает работу учителя по плани-рованию и проведению уроков.

18

Количества упражнений к пунктам учебникаболее чем достаточно для организации работы поизучению нового материала. Для организации по-вторения в учебнике имеется целая глава, зада-ния которой можно использовать в течение всегоучебного года. Кроме того, в учебнике есть прак-тикум по решению текстовых задач, в которомзадачи сгруппированы по типам (три варианта вкаждом) и сопровождаются системой вопросов,отвечая на которые ученик постепенно составляетуравнение или систему уравнений. Задачи прак-тикума могут использоваться в течение всего годакак в классной, так и в домашней работе.

Количество задач учебника может полностьюобеспечить учебный процесс. В то же время, еслиу учителя имеются дополнительные дидактиче-ские материалы, рабочие тетради и электрон-ное приложение к учебнику, их, конечно, тожеочень полезно применять.

В учебнике имеется ряд исследовательских ра-бот, большинство из которых учащиеся выполня-ют дома с последующим обсуждением получен-ных результатов в классе.

Важную роль в работе с учебником играет и раз-дел ответов, в котором даны ответы к большин-ству заданий. Советы и решения более трудныхзадач собраны в соответствующем разделе. Нали-чие решений, с одной стороны, экономит времяучителя на подготовку к уроку, а с другой — об-легчает школьникам самоконтроль при выполне-нии домашней работы.

Наличие в учебнике контрольных вопросови задач к каждому пункту и домашних контроль-ных работ к каждой главе позволяет достаточнолегко перейти на зачетную форму контроля за ус-певаемостью школьников.

Зачеты лучше проводить по материалу целойглавы. При этом содержание зачета складываетсяиз контрольных вопросов и заданий к ее пунктам.

Можно, конечно, добавлять или заменять отдель-ные вопросы, но о содержании зачета следует про-информировать учащихся заранее. Допуском к за-чету могут служить выполненные домашние конт-рольные работы.

Зачетная форма гораздо гибче контрольных ра-бот. Так, например, зачет для некоторых школь-ников можно растянуть на несколько занятий, даи пересдача зачета, например, с отметки «3» на«5» технически проще, чем переписывание конт-рольной работы.

Точное знание о содержании зачета стимулиру-ет деятельность школьников по самоконтролю.В этом плане полезно предлагать школьникампосле каждого урока проанализировать, на какиеконтрольные вопросы они могут ответить и какиеновые задания из домашней контрольной работыони могут выполнить.

И наконец, методические рекомендации в этойкниге — это не более чем советы авторов. Хоте-лось бы, чтобы они не сковывали, а способствова-ли проявлению творческой инициативы учителяматематики.

20

ТЕМ

АТИ

ЧЕС

КО

Е П

ЛА

НИ

РОВА

НИ

Е

Алг

ебра

. 8кл

асс

(105

ч/14

0ч)

Сод

ерж

ани

е м

атер

иал

ап

унк

та у

чебн

ик

а

Кол

иче

ство

часо

вХ

арак

тер

ист

ик

а ос

нов

ны

х в

идо

вде

яте

льн

ости

уче

ни

ка

3ч

в н

едел

ю4

чв

нед

елю

Глав

а1.

Рац

иона

льны

е вы

ра-

жен

ия25

33

1.Ф

орм

улы

куб

а дв

учл

ена

Фор

му

лы

ку

ба с

ум

мы

и к

уба

р

азн

ости

. Б

ин

ом Н

ьюто

на,

би

ном

иал

ьны

е к

оэф

фи

ци

ен-

ты р

азл

ожен

ия

би

ном

а Н

ьюто

на

34

Пр

им

еня

ть ф

орм

ул

ы к

уба

дву

чл

ена

дл

я

пр

иве

ден

ия

мн

огоч

лен

ов к

ста

нд

артн

о-м

у в

ид

у,

выч

исл

ени

я з

нач

ени

й в

ыр

аже-

ни

й,

док

азат

ельс

тва

тож

дес

тв

Пр

оек

ты1

.З

арож

ден

ие

алге

бры

.2

.Ф

орм

ул

ы с

окр

ащен

ног

о у

мн

ожен

ия

и п

ри

емы

рац

ио-

нал

ьны

х в

ыч

исл

ени

й

Иск

ать,

отб

ир

ать,

ан

али

зир

оват

ь, с

и-

стем

ати

зир

оват

ь и

кл

асси

фи

ци

ров

ать

ин

фор

мац

ию

. И

спол

ьзов

ать

раз

ли

чн

ые

ист

очн

ик

и и

нф

орм

аци

и д

ля

раб

оты

над

п

рое

кто

м

21

2.Ф

орм

улы

сум

мы

и р

азн

ос-

ти к

убов

Пол

ны

й и

неп

олн

ый

к

вад

рат

ы с

ум

мы

и р

азн

ости

34

Пр

им

еня

ть ф

орм

ул

ы с

ум

мы

и р

азн

ости

к

убо

в д

ля

пр

еобр

азов

ани

я м

ног

очл

енов

, вы

чи

слен

ия

зн

ачен

ий

вы

раж

ени

й,

реш

ени

я у

рав

нен

ий

, д

оказ

ател

ьств

а то

жд

еств

и д

ели

мос

ти ч

исе

л

Пр

оек

ты1

.М

атем

ати

ка

— я

зык

п

ри

род

ы.

2.

Исп

ольз

ован

ие

ком

пью

-те

рн

ых

пр

огр

амм

в р

ешен

ии

ал

гебр

аич

еск

их

зад

ач

Иск

ать,

отб

ир

ать,

ан

али

зир

оват

ь, с

и-

стем

ати

зир

оват

ь и

кл

асси

фи

ци

ров

ать

ин

фор

мац

ию

. И

спол

ьзов

ать

раз

ли

чн

ые

ист

очн

ик

и и

нф

орм

аци

и д

ля

раб

оты

над

п

рое

кто

м

3.Д

опус

тим

ые

знач

ени

я.

Сок

ращ

ени

е др

обей

Доп

уст

им

ые

знач

ени

я д

роб

-н

ых

вы

раж

ени

й,

рац

ион

аль-

ны

х в

ыр

ажен

ий

34

Фор

му

ли

ров

ать

осн

овн

ые

свой

ства

д

роб

и.

Сок

ращ

ать

алге

браи

чес

ки

е д

роб

и,

пр

и-

мен

яя

фор

му

лы

сок

ращ

енн

ого

ум

нож

е-н

ия

.Н

аход

ить

мн

ожес

тво

доп

уст

им

ых

зн

а-ч

ени

й р

аци

онал

ьны

х в

ыр

ажен

ий

.В

ып

олн

ять

чи

слов

ые

под

стан

овк

и и

вы

-ч

исл

ять

зн

ачен

ие

др

оби

, в

том

чи

сле

с п

омощ

ью к

альк

ул

ято

ра.

Фор

му

ли

ров

ать

осн

овн

ое с

вой

ство

ал

-ге

браи

чес

кой

др

оби

и п

ри

мен

ять

его

д

ля

пр

еобр

азов

ани

я д

роб

ей

22

Про

дол

жен

ие

та

бл.

Сод

ерж

ани

е м

атер

иал

ап

унк

та у

чебн

ик

а

Кол

иче

ство

часо

вХ

арак

тер

ист

ик

а ос

нов

ны

х в

идо

вде

яте

льн

ости

уче

ни

ка

3ч

в н

едел

ю4

чв

нед

елю

4.У

мн

ожен

ие,

дел

ени

е и

воз

веде

ни

е др

обей

в

степ

ень

34

Ум

нож

ать,

дел

ить

и в

озво

ди

ть в

сте

пен

ь ал

гебр

аич

еск

ие

др

оби

5.С

лож

ени

е и

вы

чи

тан

ие

дроб

ей с

оди

нак

овы

ми

зн

а-м

енат

еля

ми

23

Ск

лад

ыва

ть и

вы

чи

тать

др

оби

с о

ди

на-

ков

ым

и з

нам

енат

еля

ми

6.С

лож

ени

е и

вы

чита

ни

е др

обей

с р

азн

ым

и з

нам

ена-

тел

ям

иТ

реу

гол

ьни

к П

аск

аля

45

Фор

му

ли

ров

ать

пр

ави

ла

вып

олн

ени

я

ари

фм

ети

чес

ки

х д

ейст

вий

.С

кл

ады

вать

и в

ыч

ита

ть д

роб

и с

раз

ны

-м

и з

нам

енат

еля

ми

.П

ри

мен

ять

дей

стви

я с

ал

гебр

аич

еск

им

и

др

обя

ми

дл

я у

пр

ощен

ия

вы

раж

ени

й

и д

оказ

ател

ьств

а то

жд

еств

.Р

ешат

ь за

дач

и,

свод

ящ

иес

я к

сос

тавл

е-н

ию

ал

гебр

аич

еск

их

др

обей

. П

ри

мен

ять

би

ном

Нью

тон

а п

ри

реш

е-н

ии

тр

уд

ны

х з

адач

23

7.У

пр

ощен

ие

рац

ион

аль-

ны

х в

ыр

ажен

ий

34

Уп

рощ

ать

выр

ажен

ия

, и

спол

ьзу

я д

ей-

стви

я с

ал

гебр

аич

еск

им

и д

роб

ям

и и

ос-

нов

ное

сво

йст

во д

роб

и

8.Д

роб

ны

е ур

авн

ени

я с

од-

ной

пер

емен

ной

34

Раз

ли

чат

ь и

наз

ыва

ть д

роб

ны

е и

цел

ые

ур

авн

ени

я.

Реш

ать

др

обн

о-р

аци

онал

ь-н

ые

ур

авн

ени

я.

Объ

ясн

ять

поя

влен

ие

пос

тор

онн

их

кор

ней

, д

елат

ь п

ров

ерк

у

най

ден

ны

х к

орн

ей.

Реш

ать

зад

ачи

, св

о-д

я и

х к

реш

ени

ю д

роб

ны

х у

рав

нен

ий

Зач

ет и

ли

кон

трол

ьная

раб

о-та

№1

11

Глав

а2.

Сте

пень

с ц

елы

м

пока

зате

лем

1620

9.П

ря

мая

и о

брат

ная

пр

о-п

орц

ион

альн

ость

вел

ичи

н3

4М

одел

ир

оват

ь н

есл

ожн

ые

зави

сим

ости

с

пом

ощью

фор

му

л.

Раз

ли

чат

ь и

наз

ы-

вать

пр

ям

о п

роп

орц

ион

альн

ые

и о

брат

-н

о п

роп

орц

ион

альн

ые

вел

ич

ин

ы.

Ре-

шат

ь за

дач

и с

исп

ольз

ован

ием

пр

ям

ой

и о

брат

ной

пр

опор

ци

онал

ьнос

тью

. В

ыч

исл

ять

зн

ачен

ия

фу

нк

ци

й,

зап

ол-

ня

ть т

абл

иц

ы

24

Про

дол

жен

ие

та

бл.

Сод

ерж

ани

е м

атер

иал

ап

унк

та у

чебн

ик

а

Кол

иче

ство

часо

вХ

арак

тер

ист

ик

а ос

нов

ны

х в

идо

вде

яте

льн

ости

уче

ни

ка

3ч

в н

едел

ю4

чв

нед

елю

10

.Фун

кц

ия

y =

и

ее

гра-

фи

кФ

ун

кц

ия

. О

блас

ть о

пр

едел

е-н

ия

фу

нк

ци

и.

Гр

афи

к ф

ун

к-

ци

и.

Точ

ки

и г

раф

ик

, си

м-

мет

ри

чн

ые

отн

оси

тел

ьно

на-

чал

а к

оор

ди

нат

. Г

ип

ербо

ла

34

Рас

поз

нав

ать

вид

ы ф

ун

кц

ий

y =

.

На-

ход

ить

зн

ачен

ия

фу

нк

ци

й y

=

с п

о-

мощ

ью и

нж

енер

ног

о к

альк

ул

ято

ра.

По-

каз

ыва

ть с

хем

ати

чес

ки

рас

пол

ожен

ие

на

коо

рд

ин

атн

ой п

лос

кос

ти г

раф

ик

ов

фу

нк

ци

й в

ид

а y

=

. С

трои

ть г

раф

ик

и

изу

чае

мы

х ф

ун

кц

ий

по

точ

кам

, оп

и-

сыва

ть и

х с

вой

ства

. Н

аход

ить

точ

ки

п

ерес

ечен

ия

гр

афи

ков

. О

пр

едел

ять

, п

рох

оди

т л

и г

раф

ик

фу

нк

ци

и ч

ерез

ук

а-за

нн

ую

точ

ку

. И

спол

ьзов

ать

ком

пью

-те

рн

ые

пр

огр

амм

ы д

ля

пос

трое

ни

я г

ра-

фи

ков

фу

нк

ци

й,

исс

лед

ован

ия

п

олож

ени

я н

а к

оор

ди

нат

ной

пл

оск

ости

k x----k x---

k x---

k x---

25

граф

ик

а ф

ун

кц

ии

в з

ави

сим

ости

от

зн

ачен

ия

коэ

фф

иц

иен

та п

роп

орц

ио-

нал

ьнос

ти

Пр

оек

ты1

.И

стор

ия

поя

влен

ия

и р

аз-

вити

я п

оня

тия

фу

нк

ци

и.

2.

Рол

ь ф

ун

кц

ий

в

мат

емат

ик

е и

жи

зни

лю

дей

Иск

ать,

отб

ир

ать,

ан

али

зир

оват

ь, с

и-

стем

ати

зир

оват

ь и

кл

асси

фи

ци

ров

ать

ин

фор

мац

ию

. И

спол

ьзов

ать

раз

ли

чн

ые

ист

очн

ик

и и

нф

орм

аци

и д

ля

раб

оты

над

п

рое

кто

м

Кон

трол

ьная

раб

ота

№2

11

11

.Оп

ред

елен

ие

степ

ени

с

цел

ым

отр

иц

ател

ьны

м п

ока-

зате

лем

Ну

лев

ой и

отр

иц

ател

ьны

й

пок

азат

ели

сте

пен

и

34

Фор

му

ли

ров

ать

опр

едел

ени

е ст

епен

и

с ц

елы

м п

оказ

ател

ем.

Вы

чи

сля

ть з

нач

е-н

ие

степ

ени

с ц

елы

м п

оказ

ател

ем.

Зап

исы

вать

вы

раж

ени

е, с

одер

жащ

ее

степ

ени

с ц

елы

ми

пок

азат

еля

ми

в в

ид

е д

роб

и

12

.Сво

йст

ва с

теп

еней

с ц

е-л

ым

и п

оказ

ател

ям

и3

4Ф

орм

ул

ир

оват

ь, з

апи

сыва

ть в

си

мво

ли

-ч

еск

ой ф

орм

е и

ил

лю

стр

ир

оват

ь п

ри

ме-

рам

и с

вой

ства

сте

пен

и с

цел

ым

и п

оказ

а-те

ля

ми

.П

ри

мен

ять

сво

йст

ва с

теп

ени

дл

я п

рео

б-р

азов

ани

я в

ыр

ажен

ий

и в

ыч

исл

ени

й

26

Про

дол

жен

ие

та

бл.

Сод

ерж

ани

е м

атер

иал

ап

унк

та у

чебн

ик

а

Кол

иче

ство

часо

вХ

арак

тер

ист

ик

а ос

нов

ны

х в

идо

вде

яте

льн

ости

уче

ни

ка

3ч

в н

едел

ю4

чв

нед

елю

13

.Ста

нда

ртн

ый

ви

д чи

сла

Пор

яд

ок ч

исл

а2

2З

апи

сыва

ть ч

исл

а в

стан

дар

тном

ви

де.

Зап

исы

вать

раз

мер

ы р

еал

ьны

х о

бъек

-то

в, д

ли

тел

ьнос

ти п

роц

ессо

в в

окр

у-

жаю

щем

ми

ре

с п

омощ

ью ч

исе

л в

ста

н-

дар

тном

ви

де.

Ср

авн

ива

ть ч

исл

а и

вел

и-

чи

ны

, за

пи

сан

ны

е с

исп

ольз

ован

ием

ст

епен

и ч

исл

а 1

0.

Вы

пол

ня

ть в

ыч

исл

е-н

ия

с р

еал

ьны

ми

дан

ны

ми

. П

ольз

оват

ь-ся

сп

рав

очн

ым

и м

атер

иал

ами

уч

ебн

ик

а и

др

уги

ми

ист

очн

ик

ами

Пр

оек

т «

Вы

чи

сли

тел

ьная

тех

ни

ка

и с

кор

ость

вы

чи

слен

ий

»

Иск

ать,

отб

ир

ать,

ан

али

зир

оват

ь, с

и-

стем

ати

зир

оват

ь и

кл

асси

фи

ци

ров

ать

ин

фор

мац

ию

. И

спол

ьзов

ать

раз

ли

чн

ые

ист

очн

ик

и и

нф

орм

аци

и д

ля

раб

оты

над

п

рое

кто

м

Зач

ет и

ли

кон

трол

ьная

раб

о-та

№3

11

27

Глав

а3.

Ква

драт

ные

корн

и19

26

14

.Рац

ион

альн

ые

и и

рр

аци

-он

альн

ые

числ

аР

аци

онал

ьны

е, и

рр

аци

-он

альн

ые

чи

сла,

дей

стви

-те

льн

ые

чи

сла.

Нес

ораз

мер

-н

ость

дл

ин

ы д

иаг

онал

и

ква

др

ата

и е

го с

тор

оны

. Р

ас-

ши

рен

ие

пон

яти

я ч

исл

а

23

Пр

иво

ди

ть п

ри

мер

ы и

рр

аци

онал

ьны

х

чи

сел

. Р

асп

озн

ават

ь р

аци

онал

ьны

е и

и

рр

аци

онал

ьны

е ч

исл

а, и

зобр

ажат

ь ч

исл

а то

чк

ами

коо

рд

ин

атн

ой п

ря

мой

. Х

арак

тер

изо

вать

мн

ожес

тво:

цел

ых

, р

аци

онал

ьны

х,

ир

рац

ион

альн

ых

, д

ей-

стви

тел

ьны

х ч

исе

л.

Оп

исы

вать

соо

тно-

шен

ия

меж

ду

эти

ми

мн

ожес

твам

и.

Ср

авн

ива

ть и

уп

оря

доч

ива

ть р

аци

о-н

альн

ые

чи

сла,

вы

пол

ня

ть в

ыч

исл

ени

я

с р

аци

онал

ьны

ми

чи

слам

и и

сте

пен

ям

и

с ц

елы

м п

оказ

ател

ем.

Исп

ольз

оват

ь в

пи

сьм

енн

ой м

атем

ати

чес

кой

реч

и о

бо-

знач

ени

я ч

исл

овы

х м

нож

еств

, те

орет

и-

ко-

мн

ожес

твен

ну

ю с

им

вол

ик

у

15

.Пер

иод

ич

еск

ие

и н

епер

и-

оди

ческ

ие

беск

онеч

ны

е де

-ся

тич

ны

е др

оби

Оп

ред

елен

ие

рац

ион

альн

ого

и и

рр

аци

онал

ьног

о ч

исе

л ч

е-р

ез д

еся

тич

ну

ю д

роб

ь.

34

Пр

едст

авл

ять

дей

стви

тел

ьное

чи

сло

беск

онеч

ной

дес

яти

чн

ой д

роб

ью.

Ср

авн

ива

ть и

уп

оря

доч

ива

ть д

ейст

ви-

тел

ьны

е ч

исл

а. Н

аход

ить

дес

яти

чн

ые

пр

ибл

иж

ени

я р

аци

онал

ьны

х и

ир

рац

и-

онал

ьны

х ч

исе

л.

Чи

тать

и з

апи

сыва

ть

28

Про

дол

жен

ие

та

бл.

Сод

ерж

ани

е м

атер

иал

ап

унк

та у

чебн

ик

а

Кол

иче

ство

часо

вХ

арак

тер

ист

ик

а ос

нов

ны

х в

идо

вде

яте

льн

ости

уче

ни

ка

3ч

в н

едел

ю4

чв

нед

елю

Пр

едст

авл

ени

е об

ык

нов

ен-

ной

др

оби

в в

ид

е д

еся

тич

ной

и

обр

атн

о

пер

иод

ич

еск

ие

дес

яти

чн

ые

др

оби

. П

е-р

евод

ить

обы

кн

овен

ну

ю д

роб

ь в

дес

я-

тич

ну

ю и

нао

бор

от.

Нах

оди

ть з

акон

о-м

ерн

ости

в з

апи

си ч

исе

л.

Вы

пол

ня

ть

слож

ени

е и

вы

чи

тан

ие

пер

иод

ич

еск

их

д

еся

тич

ны

х д

роб

ей

16

.Фун

кц

ия

y =

x2

и е

е гр

а-ф

ик

Сво

йст

ва ф

ун

кц

ии

. П

араб

о-л

а. С

им

мет

ри

я г

раф

ик

а от

-н

оси

тел

ьно

оси

. В

озр

аста

ю-

щая

и у

быва

ющ

ая ф

ун

кц

ии

23

Стр

оить

гр

афи

к ф

ун

кц

ии

y =

x2 н

а к

оор

-д

ин

атн

ой п

лос

кос

ти.

Оп

исы

вать

сво

йст

-ва

фу

нк

ци

и.

Нах

оди

ть з

нач

ени

я ф

ун

кц

ии

, за

пол

-н

ять

таб

ли

цу

зн

ачен

ий

. Н

аход

ить

гр

а-ф

ич

еск

ое р

ешен

ие

сист

емы

изу

чен

ны

х

фу

нк

ци

й.

Оп

ред

еля

ть п

о гр

афи

ку

пр

о-м

ежу

тки

воз

рас

тан

ия

и у

быва

ни

я

17

.Пон

яти

е к

вадр

атн

ого

кор

ня

23

Фор

му

ли

ров

ать

опр

едел

ени

е к

вад

рат

-н

ого

кор

ня

из

чи

сла.

Зап

исы

вать

29

Реш

ени

е у

рав

нен

ия

x2 =

a

анал

ити

чес

ки

и г

раф

ич

еск

и.

Ква

др

атн

ый

кор

ень

и а

ри

ф-

мет

ич

еск

ий

ква

др

атн

ый

к

орен

ь

ква

др

атн

ый

кор

ень

из

ук

азан

ног

о ч

исл

а. И

спол

ьзов

ать

граф

ик

фу

нк

ци

и

y =

x2 д

ля

нах

ожд

ени

я к

вад

рат

ны

х к

ор-

ней

. В

ыч

исл

ять

точ

ны

е и

пр

ибл

иж

ен-

ны

е зн

ачен

ия

кор

ней

, и

спол

ьзу

я п

ри

н

еобх

оди

мос

ти к

альк

ул

ято

р и

ли

таб

ли

-ц

у;

пр

овод

ить

оц

енк

у к

вад

рат

ны

х

кор

ней

цел

ым

и ч

исл

ами

и д

еся

тич

ны

ми

д

роб

ям

и.

Док

азы

вать

ир

рац

ион

аль-

нос

ть у

каз

анн

ых

ква

др

атн

ых

кор

ней

. С

рав

ни

вать

чи

сла,

зап

иса

нн

ые

в ви

де

ква

др

атн

ых

кор

ней

. И

ссл

едов

ать

ур

ав-

нен

ие

x2 =

a;

нах

оди

ть т

очн

ые

и п

ри

бли

-ж

енн

ые

кор

ни

пр

и a

� 0

18

.Сво

йст

ва а

ри

фм

ети

че-

ски

х к

вадр

атн

ых

кор

ней

34

Фор

му

ли

ров

ать

и з

апи

сыва

ть в

си

мво

-л

ич

еск

ой ф

орм

е св

ойст

ва а

ри

фм

ети

че-

ски

х к

вад

рат

ны

х к

орн

ей.

Док

азы

вать

св

ойст

ва а

ри

фм

ети

чес

ки

х к

вад

рат

ны

х

кор

ней

; п

ри

мен

ять

их

дл

я п

рео

браз

ова-

ни

я в

ыр

ажен

ий

. В

ыч

исл

ять

зн

ачен

ия

вы

раж

ени

й,

сод

ерж

ащи

х к

вад

рат

ны

е к

орн

и;

выр

ажат

ь п

ерем

енн

ые

из

гео-

мет

ри

чес

ки

х и

фи

зич

еск

их

фор

му

л,

30

Про

дол

жен

ие

та

бл.

Сод

ерж

ани

е м

атер

иал

ап

унк

та у

чебн

ик

а

Кол

иче

ство

часо

вХ

арак

тер

ист

ик

а ос

нов

ны

х в

идо

вде

яте

льн

ости

уче

ни

ка

3ч

в н

едел

ю4

чв

нед

елю

сод

ерж

ащи

х к

вад

рат

ны

е к

орн

и.

Нах

о-д

ить

мн

ожес

тво

доп

уст

им

ых

зн

ачен

ий

вы

раж

ени

й,

сод

ерж

ащи

х к

вад

рат

ны

е к

орн

и.

Нах

оди

ть з

нач

ени

я к

вад

рат

ны

х

кор

ней

, то

чн

ые

и п

ри

бли

жен

ны

е, п

ри

н

еобх

оди

мос

ти и

спол

ьзу

я к

альк

ул

ято

р

ил

и т

абл

иц

у

19

.Вн

есен

ие

и в

ын

есен

ие

мн

ожи

тел

я и

з-п

од з

нак

а к

орн

я

23

Вн

оси

ть и

вы

нос

ить

мн

ожи

тел

ь и

з-п

од

знак

а к

орн

я п

ри

уп

рощ

ени

и в

ыр

аже-

ни

й,

выч

исл

ени

и и

ср

авн

ени

и з

нач

ени

й

чи

слов

ых

вы

раж

ени

й

20.

Дей

стви

я с

ква

драт

ны

ми

к

орн

ям

и4

5О

своб

ожд

атьс

я о

т и

рр

аци

онал

ьнос

ти

в зн

амен

ател

ях

др

обей

ви

да

, .

Вы

чи

сля

ть з

нач

ени

я в

ыр

ажен

ий

,

a x----

---a

b +

c

--------

--------

------

31

сод

ерж

ащи

х к

вад

рат

ны

е к

орн

и;

вып

ол-

ня

ть з

нак

ово-

сим

вол

ич

еск

ие

дей

стви

я с

и

спол

ьзов

ани

ем о

бозн

ачен

ий

ква

др

ат-

ног

о к

орн

я.

Уп

рощ

ать

выр

ажен

ия

, со

кр

ащат

ь д

роб

ны

е вы

раж

ени

я,

сод

ер-

жащ

ие

ква

др

атн

ые

кор

ни

Зач

ет и

ли

кон

трол

ьная

раб

о-та

№4

11

Глав

а4.

Ква

драт

ные

урав

не-

ния

2128

21

.Вы

дел

ени

е п

олн

ого

ква

д-р

ата

23

Раз

ли

чат

ь д

роб

ны

е и

цел

ые

ур

авн

ени

я.

Оп

ред

еля

ть с

теп

ень

ур

авн

ени

я,

пр

ед-

став

лен

ног

о в

вид

е м

ног

очл

ена.

Реш

ать

ур

авн

ени

я р

азл

ожен

ием

мн

огоч

лен

а н

а м

нож

ите

ли

. Ф

орм

ул

ир

оват

ь оп

ред

еле-

ни

е к

вад

рат

ног

о у

рав

нен

ия

. В

ыд

еля

ть

пол

ны

й к

вад

рат

дву

чл

ена

22.

Реш

ени

е к

вадр

атн

ого

урав

нен

ия

в о

бщем

ви

деД

иск

ри

ми

нан

т. Ф

орм

ул

а к

орн

ей к

вад

рат

ног

о у

рав

не-

ни

я

34

Вы

вод

ить

фор

му

лу

кор

ней

ква

др

атн

ого

ур

авн

ени

я.

Реш

ать

ква

др

атн

ые

ур

авн

е-н

ия

. Р

ешат

ь к

вад

рат

ны

е у

рав

нен

ия

с

пар

амет

рам

и.

Стр

оить

вы

игр

ыш

ну

ю

стр

атег

ию

игр

ы.

Сос

тавл

ять

бл

ок-с

хе-

32

Про

дол

жен

ие

та

бл.

Сод

ерж

ани

е м

атер

иал

ап

унк

та у

чебн

ик

а

Кол

иче

ство

часо

вХ

арак

тер

ист

ик

а ос

нов

ны

х в

идо

вде

яте

льн

ости

уче

ни

ка

3ч

в н

едел

ю4

чв

нед

елю

му

реш

ени

я л

ин

ейн

ого

и к

вад

рат

ног

о у

рав

нен

ия

23.

Тео

рем

а В

иет

аИ

стор

ия

отк

ры

тия

тео

рем

ы

Ви

ета.

Пр

иве

ден

ное

и н

епр

и-

вед

енн

ое к

вад

рат

ное

ур

авн

е-н

ие

23

Наб

лю

дат

ь и

ан

али

зир

оват

ь св

язь

меж

-д

у к

орн

ям

и и

коэ

фф

иц

иен

там

и к

вад

-р

атн

ого

ур

авн

ени

я.

Фор

му

ли

ров

ать

и д

оказ

ыва

ть т

еор

ему

Ви

ета,

а т

акж

е об

рат

ну

ю т

еор

ему

, п

ри

мен

ять

тео

-р

емы

дл

я р

ешен

ия

ур

авн

ени

й и

за-

дач

24.

Час

тны

е сл

учаи

ква

драт

-н

ых

ур

авн

ени

йП

олн

ые

и н

епол

ны

е к

вад

рат

-н

ые

ур

авн

ени

я.

Фор

му

ла

кор

ней

с с

окр

ащен

ны

м д

иск

-р

им

ин

анто

м

23

Кл

асси

фи

ци

ров

ать

ква

др

атн

ые

ур

авн

е-н

ия

. Р

ешат

ь к

вад

рат

ны

е у

рав

нен

ия

п

олн

ые

и н

епол

ны

е, п

о ф

орм

ул

е с

сок

ра-

щен

ны

м д

иск

ри

ми

нан

том

33

25.

Зад

ачи

, пр

иво

дящ

ие

к к

вадр

атн

ым

ур

авн

ени

ям

45

Реш

ать

тек

стов

ые

зад

ачи

ал

гебр

аич

е-ск

им

сп

особ

ом: п

ерех

оди

ть о

т сл

овес

ной

ф

орм

ул

ир

овк

и у

слов

ия

зад

ачи

к а

лге

б-р

аич

еск

ой м

одел

и п

уте

м с

оста

влен

ия

у

рав

нен

ия

; р

ешат

ь со

став

лен

ное

ур

ав-

нен

ие;

ин

тер

пр

ети

ров

ать

рез

ул

ьтат

. С

трои

ть м

одел

и к

зад

ачам

, п

ольз

уя

сь

пр

акти

ку

мом

по

реш

ени

ю т

екст

овы

х

зад

ач.

Уст

анав

ли

вать

соо

твет

стви

е м

ежд

у т

екст

ами

зад

ач и

мат

емат

ич

е-ск

им

и м

одел

ям

и;

объ

ясн

ять

сос

тавл

ен-

ны

е м

одел

и к

зад

ачам

Кон

трол

ьная

раб

ота

№5

11

26.

Реш

ени

е си

стем

ы у

рав

-н

ени

й с

пос

обом

под

стан

овк

и3

4О

пр

едел

ять

, я

вля

ется

ли

пар

а ч

исе

л р

е-ш

ени

ем у

рав

нен

ия

с д

вум

я п

ерем

енн

ы-

ми

; п

ри

вод

ить

пр

им

еры

реш

ени

й у

рав

-н

ени

й с

дву

мя

пер

емен

ны

ми

, си

стем

ы

ур

авн

ени

й.

Оп

ред

еля

ть,

явл

яет

ся л

и п

ара

чи

сел

ре-

шен

ием

си

стем

ы у

рав

нен

ий

. В

ыя

сня

ть,

явл

яю

тся

ли

си

стем

ы у

рав

нен

ий

рав

но-

сил

ьны

ми

.

34

Про

дол

жен

ие

та

бл.

Сод

ерж

ани

е м

атер

иал

ап

унк

та у

чебн

ик

а

Кол

иче

ство

часо

вХ

арак

тер

ист

ик

а ос

нов

ны

х в

идо

вде

яте

льн

ости

уче

ни

ка

3ч

в н

едел

ю4

чв

нед

елю

Реш

ать

сист

емы

ур

авн

ени

й с

пос

обом

сл

ожен

ия

, сп

особ

ом п

одст

анов

ки

, п

о те

орем

е В

иет

а. Р

ешат

ь за

дач

и,

свод

я-

щи

еся

к с

оста

влен

ию

си

стем

ы,

в к

ото-

ры

х о

дн

о и

з у

рав

нен

ий

не

явл

яет

ся л

и-

ней

ны

м

27.

Реш

ени

е за

дач

с п

о-м

ощью

си

стем

ур

авн

ени

й3

4Р

ешат

ь те

кст

овы

е за

дач

и а

лге

браи

че-

ски

м с

пос

обом

: пер

еход

ить

от

слов

есн

ой

фор

му

ли

ров

ки

усл

ови

я з

адач

и к

ал

геб-

раи

чес

кой

мод

ели

пу

тем

сос

тавл

ени

я

ур

авн

ени

я;

реш

ать

сост

авл

енн

ое у

рав

-н

ени

е; и

нте

рп

рет

ир

оват

ь р

езу

льт

ат

Зач

ет и

ли

кон

трол

ьная

раб

о-та

№6

11

35

Глав

а5.

Вер

оятн

ость

79

28.

Вы

числ

ени

е ве

роя

тнос

-те

йК

омби

нат

ори

ка.

Кл

асси

че-

ская

фор

му

ла

вер

оятн

ости

сл

уч

айн

ого

собы

тия

. П

рав

и-

ло

пр

оизв

еден

ия

. Ф

орм

ул

ы

чи

сла

пер

еста

нов

ок,

раз

ме-

щен

ий

, со

чет

ани

й

34

Нах

оди

ть в

ероя

тнос

ть с

лу

чай

ны

х с

обы

-ти

й н

а ос

нов

е к

лас

сич

еск

ого

опр

едел

е-н

ия

вер

оятн

ости

.Р

асп

озн

ават

ь за

дач

и н

а вы

чи

слен

ие

чи

сла

пер

еста

нов

ок,

раз

мещ

ени

й,

соч

е-та

ни

й и

пр

им

еня

ть с

оотв

етст

вую

щи

е ф

орм

ул

ы.

Реш

ать

зад

ачи

на

нах

ожд

ени

е ве

роя

т-н

осте

й с

обы

тий

с п

ри

мен

ени

ем ф

орм

ул

к

омби

нат

ори

ки

29.

Вер

оятн

ости

вок

руг

нас

Мат

емат

ич

еск

ая с

тати

сти

-к

а. И

спы

тан

ия

, ч

асто

та и

с-х

ода

34

Изв

лек

ать

ин

фор

мац

ию

из

табл

иц

и

ди

агр

амм

, вы

пол

ня

ть в

ыч

исл

ени

я п

о та

бли

чн

ым

дан

ны

м. О

пр

едел

ять

по

ди

а-

грам

мам

наи

бол

ьши

е и

наи

мен

ьши

е д

анн

ые,

ср

авн

ива

ть в

ели

чи

ны

.О

рга

ни

зовы

вать

ин

фор

мац

ию

в в

ид

е та

бли

ц,

стол

бчат

ых

и к

ру

говы

х д

иа-

грам

м,

в то

м ч

исл

е с

пом

ощью

ком

пью

-те

рн

ых

пр

огр

амм

. Н

аход

ить

гео

мет

ри

-ч

еск

ие

вер

оятн

ости

. П

ров

оди

ть с

лу

чай

-н

ые

эксп

ери

мен

ты,

в то

м ч

исл

е

36

Ок

онч

ан

ие

та

бл.

Сод

ерж

ани

е м

атер

иал

ап

унк

та у

чебн

ик

а

Кол

иче

ство

часо

вХ

арак

тер

ист

ик

а ос

нов

ны

х в

идо

вде

яте

льн

ости

уче

ни

ка

3ч

в н

едел

ю4

чв

нед

елю

с п

омощ

ью к

омп

ьюте

рн

ого

мод

ели

-р

ован

ия

, и

нте

рп

рет

ир

оват

ь и

х р

е-зу

льт

аты

. В

ыч

исл

ять

час

тоту

сл

уч

ай-

ног

о со

быти

я;

оцен

ива

ть в

ероя

тнос

ть

с п

омощ

ью ч

асто

ты,

пол

уч

енн

ой о

пы

т-н

ым

пу

тем

Зач

ет и

ли

кон

трол

ьная

раб

о-та

№7

11

Глав

а6.

Пов

торе

ние

1724

30.

Чи

сла

и ч

исл

овы

е вы

ра-

жен

ия

45

Вы

чи

сля

ть з

нач

ени

я в

ыр

ажен

ий

с

исп

ольз

ован

ием

рац

ион

альн

ых

чи

сел

, ст

епен

ей с

цел

ым

и п

оказ

ател

ям

и

37

31

.Рац

ион

альн

ые

выр

аже-

ни

яИ

стор

ия

раз

вити

я п

оня

тия

ст

епен

и с

цел

ым

пок

а-за

тел

ем

45

Пр

еобр

азов

ыва

ть р

аци

онал

ьны

е вы

ра-

жен

ия

, д

оказ

ыва

ть т

ожд

еств

а;

нах

оди

ть м

нож

еств

о д

опу

сти

мы

х

знач

ени

й

32.

Ква

драт

ны

е к

орн

иИ

стор

ия

поя

влен

ия

ква

др

ат-

ны

х к

орн

ей

46

Пр

еобр

азов

ыва

ть и

рр

аци

онал

ьны

е вы

-р

ажен

ия

33

.Ква

драт

ны

е ур

авн

ени

яИ

стор

ия

поя

влен

ия

ква

др

ат-

ны

х у

рав

нен

ий

и с

пос

обов

их

р

ешен

ия

47

Пр

им

еня

ть р

аци

онал

ьны

е сп

особ

ы р

е-ш

ени

я к

вад

рат

ны

х у

рав

нен

ий

Ито

гова

я к

онтр

ольн

ая

раб

ота

11

Все

го1

051

40

38

Методические комментариик главам учебника

Глава 1РАЦИОНАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ

В главе вводится понятие рационального выра-жения, объединяющее целые и дробные выраже-ния. Продолжается изучение формул сокращен-ного умножения, в том числе куба двучлена, сум-мы и разности кубов, а также дробных выражений(с дробными выражениями ученики встречалисьпри сокращении дробей в 7 классе) и действийс ними. Ученики встретятся также с формулой би-нома Ньютона, коэффициенты разложения кото-рого находятся сначала с помощью комбинатор-ных рассуждений как число сочетаний, а затемс помощью треугольника Паскаля.

1. Формулы куба двучлена (3 ч)В пункте идет речь о формулах куба суммы и

куба разности двух выражений, изучается биномНьютона, биномиальные коэффициенты разложе-ния бинома Ньютона.

Предметные результаты обучения: приме-нять формулы куба двучлена для приведениямногочленов к стандартному виду, вычислениязначений выражений и доказательства тождеств.

Метапредметные результаты обучения: до-казывать математические утверждения, читатьтождества, сравнивать формулы, переводить с ес-

39

тественного языка на математический, обобщатьформулу квадрата двучлена на квадрат трехчле-на, выполнять задания творческого характера.

Цель первого урока: повторение приемов вы-числений с рациональными числами.

Комментарии. Начать первый урок алгебрыв 8 классе следует со знакомства с учебником. Этоможно сделать, например, следующим образом.

«Вы продолжаете изучать курс алгебры, кото-рый был начат в 7 классе. Внимательно рассмот-рите учебник, с которым вы будете работать весьучебный год. Откройте учебник на странице 3, накоторой находится оглавление. Из оглавления выуже сейчас можете узнать названия тем, которыебудете изучать в этом году, а в дальнейшем оглав-ление поможет вам быстро находить нужный ма-териал.

Найдите по оглавлению раздел «Ответы» и от-кройте учебник на нужной странице. Вы видите,что ответы сгруппированы по главам. Для чего ну-жен раздел «Ответы»? Для того чтобы проверитьправильность решений. Кроме того, в учебникеесть раздел «Советы и решения» с указаниями,которые помогут вам справиться с трудными зада-чами. Если же вы сами решили задачу, то свое ре-шение вы сможете сравнить с решением авторов.

В учебник включен раздел «Проверь себя! До-машние контрольные работы». После каждогоурока вам нужно будет просматривать заданияв контрольной работе. Если найдутся задания,аналогичные решенным в классе, их надо выпол-нить сразу, не оставляя все на последний момент.Тогда к окончанию изучения главы у вас уже бу-дет решена контрольная работа, и вы ее сдадите всрок. Принятая домашняя контрольная работа —это допуск к зачету. А сам зачет будет проводить-ся по вопросам, которыми завершается каждыйпункт. Как и в учебнике алгебры 7 класса, в этомучебнике имеется практикум по решению тексто-

40

вых задач и исследовательские работы, а в главу«Повторение» включен исторический материал.Откройте раздел «Справочные материалы», назо-вите известные вам формулы».

На следующем этапе урока ученики повторя-ют материал, изученный в 7 классе. Разбираетсяфронтально с классом п р и м е р 1 данного пунк-та, и устно выполняются задания № 1 (1, 2),2 (1, 2), 3 на повторение материала. При разборепримера и в процессе выполнения указанных за-даний необходимо, чтобы школьники отвечали наследующие в о п р о с ы.

1. Что такое одночлен?2. Что называют многочленом?3. Какие одночлены называют подобными?4. Какой вид многочлена называют стандарт-

ным?5. Какой член многочлена называют свобод-

ным?6. Какой член многочлена называют старшим?

Как он получается?7. Как определяют степень многочлена?8. Сколько может быть членов у многочлена 7-й

степени с одной переменной?9. Как получается член, содержащий x? Как по-

лучается член, содержащий x2?После этого класс приступает к изучению ново-

го материала, а именно возведению двучлена встепень. Заметим, что термин степени многочленаможет использоваться в двух разных смыслах:как одна из характеристик многочлена и как ука-зание на преобразование, которое нужно с много-членом произвести. Так, например, совершенноразный смысл имеют выражения: многочленчетвертой степени и четвертая степень мно-гочлена.

При возведении многочлена в степень стан-дартным приемом является представление степе-ни в виде произведения степеней этого многочлена

41

с меньшими показателями. В случае возведенияв куб двучлена используются формулы сокращен-ного умножения, изученные в 7 классе.

В зависимости от уровня класса вывод формулкуба суммы и разности можно либо разобрать сучениками по учебнику, либо получить при фрон-тальном выполнении задания № 4. Потом проде-монстрировать таблицу с формулами сокращенно-го умножения.

Тренировка в применении формул проходит назаданиях в № 5. Задания № 5 (1, 2) выполняютсяфронтально, а затем ученикам предлагается сериясамостоятельных работ.

З а м е ч а н и е 1. Усвоение алгоритмическогоматериала, как правило, организуется в виде се-рий небольших (4—6 мин) самостоятельных ра-бот.

Ключевые моменты организации серии само-стоятельных работ.

1. Каждая работа состоит из 2—4 заданий, вре-мя выполнения которых должно быть ограниченои определено. Работа предлагается в одном вари-анте.

2. После истечения выделенного времени само-стоятельная работа прекращается, и начинаетсяпроверка полученных результатов. Если доскаоборудована крыльями, можно предложить одно-му-двум ученикам выполнить работу на крыльяхдоски скрытно от всего класса, а затем использо-вать их решения для проверки и обсуждения спо-собов выполнения заданий.

Формулы сокращенного умноженияa2 – b2 = (a – b)(a + b)(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab(a – b)2 = a2 + b2 – 2ab

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

42

В зависимости от материала и наличия временипроводится полноценное обсуждение или толь-ко сверка ответов, чтобы каждый допустившийошибку ученик осознал ее и понял, как правильновыполнить задание. В процессе проверки ученикимогут задать вопросы по выполнению заданий иполучить на них ответы от учителя или от класса.

3. После проверки работы учитель или обсуж-дает с классом план решения какой-нибудь из не-стандартных доступных задач (обычно такие за-дачи отмечены значком «�»), или рассматриваетновый тип стандартного задания, или сразу пред-лагает задания для следующей работы.

4. Подбор заданий следующей самостоятель-ной работы в серии зависит от результатов провер-ки предыдущей работы. Так, в следующую работуобязательно включаются задания, аналогичныетем, что вызвали затруднения более чем у 30%школьников. Если же 70% школьников справи-лось с заданием, то следует либо несколько услож-нить его, либо пропустить такой тип заданийв следующей работе серии.

5. В каждой работе серии соседние заданиядолжны по возможности относиться к разнымтипам: их решения должны основываться на раз-ных формулах или на различных приемах.

6. Оценки за выполнение работ серии, как пра-вило, не выставляются. Учащиеся должны по-нять, что эти самостоятельные работы только го-товят их к выполнению заданий на оценку, а зна-чит, списывать у своих товарищей совершеннобессмысленно.

На первом уроке серия состоит всего из двухсамостоятельных работ по алгоритму:

С1: № 5 (3, 4) → Обсуждение результатов рабо-ты → С2: № 5 (7, 8) → Проверка.

Если на уроке останется время, то фронтальнорешается № 7 (1, 2).

43

Д о м а ш н е е з а д а н и е. П. 1, № 5 (5, 6, 9),7 (3, 4); ответить на контрольные вопросы к пункту.

З а м е ч а н и е 2. Если учитель выбрал зачет-ную форму контроля знаний, то он должен ре-гулярно напоминать ученикам о подготовке к за-чету, который проводится по материалу главы.Вообще, вопросы и задания к зачету — это конт-рольные вопросы и задания к пунктам главы,а также домашние контрольные работы к главам(из одноименного раздела в конце учебника).

Допуском к зачету является выполнение школь-ником соответствующей домашней контрольнойработы. Следует напоминать школьникам, чтобыони не откладывали выполнение домашней конт-рольной работы на конец изучения материала,а пытались решить из нее какие-нибудь заданияпосле каждого урока. Школьники должны вос-принимать домашнюю контрольную работу какпостоянное домашнее задание, проверка которогонесколько отсрочена.

Преимущества зачетной формы тематическогоконтроля по сравнению с контрольными рабо-тами.

1. Ученики знают вопросы и задания задолго дозачета, что усиливает мотивационную компонен-ту учебной деятельности.

2. За зачет не выставляется двоек — не сдавшийзачет с первого раза пересдает его.

3. На зачете нельзя списать ответ.4. Есть возможность дифференциации вопросов

и заданий в зависимости от возможностей конк-ретных школьников.

5. Не нужно проверять стопки тетрадей дляконтрольных работ.

Цель второго урока: формирование уменийшкольников применять формулы сокращенногоумножения и бинома Ньютона.

44

Комментарии. Начинается урок с устнойработы.

У с т н а я р а б о т а включает задания № 1 (3),2 (3), 7 (6), 12 (1—4). Заметим, что ученики рабо-тают устно, а учитель во многих случаях записы-вает ответы учеников на доске.

Изучение нового материала начинается с разбо-ра п р и м е р а 2 пункта. Рассмотреть вывод фор-мулы бинома Ньютона полезно со всем классом.Этот вывод основывается на комбинаторных пред-ставлениях школьников, которые должны былибыть сформированы в 7 классе. В частности, речьидет о понятии сочетания и использовании форму-лы числа сочетаний. Вероятно, что саму формулуученики не помнят, поэтому она приведена в учеб-нике и на уроке должна быть продемонстрирова-на. Хуже, если школьники забыли, что такоеперестановки и размещения и чем от них отлича-ются сочетания. В последнем случае придется за-тратить дополнительное время хотя бы на поверх-ностное повторение этих понятий.

Различие между размещением и сочетанием за-ключается в том, что в первом важен порядок рас-положения элементов комбинации, а во втором —только состав входящих в комбинацию элементов.Можно рассмотреть со школьниками пару комби-наторных задач, в одной из которых речь идето перестановках, в другой — о сочетаниях.

З а д а ч а 1. Сколько трехзначных чисел мож-но записать без повторения цифр, используяшесть цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6?

З а д а ч а 2. Сколько существует треугольни-ков, вершины которых совпадают с вершинамиправильного шестиугольника?

И в первой, и во второй задаче нужно найтичисло способов выбора трех элементов из шестиданных. Однако в первой задаче важно не толькокакие, но и в каком порядке выбираются элемен-ты, а во второй задаче порядок выбора роли не иг-

45

рает. Значит, в первой задаче мы имеем дело с раз-мещениями (ответ: ), а во второй — с сочета-ниями (ответ: ). Только после этого небольшогоповторения можно перейти к комбинаторным рас-суждениям вывода формулы бинома Ньютона.При выводе формулы следует использовать учеб-ник.

Для закрепления формулы фронтально выпол-няются № 18 (2, 1). Ученики сначала применяютформулу бинома, и учитель записывает на доскесоответствующее выражение:

(x + 2)6 = x6 + x5•2 + x4•22 +

+ x3•23 + x2•24 + x•25 + 26.

Затем в этом выражении вычисляются биноми-альные коэффициенты и степени числа 2:

x6 + 6x5•2 + 15x4•4 + 20x3•8 + 15x2•16 +

+ 6x•32 + 64.

И наконец, получается окончательно:

(x + 2)6 = x6 + 12x5 + 60x4 + 160x3 +

+ 240x2 + 192x + 64.

Задание № 18 (1) сравнивается с выполненнымзаданием. При этом ученики должны сделать вы-вод о том, что те члены, в которые число 2 входилос четными показателями степени, не изменяются,а члены с нечетными показателями степени числа2 должны изменить знак. После этого под диктов-ку учеников на доске учитель сразу записываетокончательный ответ:

(x – 2)6 = x6 – 12x5 + 60x4 – 160x3 +

+ 240x2 – 192x + 64.

Полученные результаты несколько позже ещебудут использованы, поэтому их нужно записатьна доске в месте, которое не понадобится для даль-нейшей работы.

A63

C63

C65 C6

4

C63 C6

2 C61

46

Затем фронтально рассматривается п р и м е р 3пункта. Учителю нет необходимости изобретатьчто-нибудь иное или заменять авторские примерыдругими: использование примеров из учебникапозволит сэкономить время на переписываниеучениками решений в тетради.

Во время разбора примеров учитель выполняети комментирует предложения учеников, которыев этот момент должны полностью сконцентриро-ваться на том, что происходит на доске.

После рассмотрения примера 3 со школьника-ми фронтально выполняются № 16 (1, б, в; 2, б, в),17 (1).

Затем предлагаются самостоятельные работы.С1: № 18 (3, 4). С2: № 16 (1, г; 2, г).После обсуждения результатов работы школьни-

ки фронтально выполняют № 18 (5). В этом номереученики должны предварительно сделать вывод отом, что члены с четными номерами при сложениивзаимно уничтожатся, поскольку они отличаютсятолько знаками, а коэффициенты членов с нечет-ными номерами удвоятся. Понятно, что именноздесь используются результаты № 18 (1, 2).

После получения ответа в № 18 (5) продолжа-ется серия самостоятельных работ.

С3: № 17 (2). С4: № 8 (1).В заключение урока фронтально рассматрива-

ется № 7 (5).Д о м а ш н е е з а д а н и е. П. 1, № 7 (6), 8 (2,

3); для желающих № 7 (8), 16 (4).

Цель третьего урока: выполнение заданий по-вышенной трудности.

Урок можно начать фронтальной работой с за-даниями № 1 (4), 2 (4, 5), 12 (4—6).

Затем школьникам предлагается самостоятель-ная работа по вариантам на оценку.

В-1. № 9 (1), 14 (1, 3, 5).В-2. № 9 (2), 14 (2, 4, 6).

47

Ученики сдают подписанные листочки со свои-ми ответами, а затем начинается проверка пра-вильности выполнения самостоятельной работы.Учитель либо спрашивает полученные ответы уучеников, либо сам приводит правильные ответы.За правильный ответ ученик выставляет рядомс заданием знак «+», за неправильный — знак «–».Ученики, в работах которых оказываются четыреплюса, получают оценку «5», три плюса — «4»,два плюса — «3». Двойки за промежуточные само-стоятельные работы в журнал не выставляются.

Продолжается работа по теме. Фронтально раз-бирается № 15 (1, 2, 6, 5, 4, 3). Во всех заданияхученики должны преобразовать данное выраже-ние к виду, в котором будут действия только ссуммой и произведением переменных x и y. Так,во втором задании находим значение выраженияx2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = 52 – 2•3 = 19. Этот резуль-тат будет использоваться в № 15 (4). В № 15 (5)школьники должны сразу увидеть знакомую фор-мулу и сказать ответ 125. Выражение в № 15 (4) на(3x2y + 3xy2) меньше, чем 125. Здесь следует вос-пользоваться значением x2y + xy2, найденнымв первом задании.

Затем обсуждаются № 10 (1), 11, 13. В сильномклассе желательно рассмотреть № 19—22. Еслиже класс слабый, но в нем есть сильные ученики,эти номера можно адресовать только им.

Д о м а ш н е е з а д а н и е. П. 1, № 9 (3, 5),10 (2), 14 (7, 8). Для желающих можно предло-жить № 21. Выполнить задания к данному пунктуиз домашней контрольной работы № 1.

З а м е ч а н и е. Возможна и другая последова-тельность изучения материала пункта. На первыхдвух уроках рассмотреть пример 1 и задания1—16, не требующие использования формулы би-нома Ньютона, а третий урок посвятить биному.

48

2. Формулы суммы и разности кубов (3 ч)В этом пункте вводятся формулы суммы и раз-

ности кубов. Закрепление материала строится также, как и на предшествующих уроках, а именнов форме серий самостоятельных работ. Новымидля школьников являются термины неполныйи полный квадраты суммы и разности.

Предметные результаты обучения: приме-нять формулы суммы и разности кубов для преоб-разования многочленов, вычисления значенийвыражений, решения уравнений, доказательстватождеств и делимости чисел.

Метапредметные результаты обучения: до-казывать математические утверждения, читатьтождества, устанавливать истинность утвержде-ний.

Цель первого урока: применение формул сум-мы и разности кубов для преобразования много-членов, упрощения вычислений с рациональнымичислами.

Комментарии. Начинается урок с фронталь-ной работы по повторению материала предыду-щего пункта № 9 (5, 6), 13, 20.

Затем рассматривается вывод формулы суммыкубов, с которой начинается пункт 2. Формуласуммы кубов выводится так же, как в учебнике.Все записи учитель делает на доске. (Тетради иучебники школьников должны быть закрыты.)

Получив на доске формулу суммы кубов, учи-тель анализирует ее структуру. Ученикам задают-ся в о п р о с ы: «На какое знакомое выражениепохоже содержимое второй скобки? Чего не хвата-ет для того, чтобы в скобках оказался квадрат раз-ности?» После ответов на вопросы вводятся тер-мины неполного и полного квадратов разности.Затем ученикам предлагается самим прочитатьполученную формулу, используя новый термин —«неполный квадрат разности». Далее под руковод-

49

ством учителя фронтально выводится формуларазности кубов. Здесь учитель должен поставитьпрямой в о п р о с: «Как из формулы суммы кубовполучить формулу разности кубов?» Имеется в ви-ду замена b на –b. Записи на доске выполняютсяучителем в соответствии с предложениями школь-ников. Читается полученная формула по анало-гии с формулой суммы кубов.

Учитель обращает внимание школьников навозможность использования полученных формулкак в разложении на множители, так и в приведе-нии к многочлену стандартного вида, т. е. справаналево и слева направо.

Затем ученикам предлагается увидеть суммуили разность кубов в выражениях № 25, 26, 28 —только увидеть и сказать, что в каждом случаевозводится в куб. При этом, как уже отмечалось,задания выполняются не подряд, а одно-два изкаждого номера.

З а м е ч а н и е. Предварительный фронталь-ный анализ массива заданий существенно повы-шает эффективность последующих самостоятель-ных работ, направленных на отработку соответст-вующих навыков.

Во фронтальную работу следует вовлекать какможно больше школьников. При этом слабым уче-никам можно задавать простые вопросы, напри-мер: «Можно ли представить 27 в виде куба како-го-либо числа? Какая степень должна быть у b,чтобы после возведения в куб она стала равной 6?»Такие промежуточные вопросы, посильные дляслабых учеников, позволят за счет увеличения ихобщего количества дать слово практически всемученикам класса.

В каждую из первых двух самостоятельных ра-бот серии включаются задания на применениеразных формул из № 25, 26. Например, С1: 25 (1),26 (б); С2: 25 (4), 26 (в). После проверки первой са-мостоятельной работы фронтально обсуждается

50

№ 28 (1). Полезно переформулировать это зада-ние, предложив школьникам восстановить однуиз формул, записанных на доске (ученики самидолжны определить, какую именно).

1. «Какое выражение дано?» [Неполный квад-рат разности.]

2. «Неполный квадрат разности каких выраже-ний?» [5a и 3b]. И т. д.

Во вторую самостоятельную работу включает-ся задание на использование формул в обратномнаправлении: № 25 (4), 26 (в). В менее оптимис-тичном варианте можно уменьшить шаг труднос-ти при переходе от одной работы серии к другой.

После проверки второй самостоятельной рабо-ты фронтально обсуждается № 28 (2).

Третья работа серии С3: № 25 (9), 26 (д), 27 (1, 8).В процессе проверки следует обратить внима-

ние на выполнение № 27 (8). Выражение a6 – b6

можно рассматривать и как разность квадратов:

a6 – b6 = (a3)2 – (b3)2 = (a3 – b3)(a3 + b3) == (a – b)(a2 + b2 + ab)(a + b)(a2 + b2 – ab),

и как разность кубов:

a6 – b6 = (a2)3 – (b2)3 = (a2 – b2)(a4 + a2b2 + b4) == (a – b)(a + b)(a4 + b4 – a2b2).

У учеников, естественно, возникнет мысль, чторазные формулы сокращенного умножения при-водят к разным разложениям. Полезно поэтомупоказать, что выражение a4 + a2b2 + b4, в свою оче-редь, можно разложить на множители:

a4 + a2b2 + b4 = a4 + 2a2b2 + b4 – 2a2b2 + a2b2 == (a2 + b2)2 – a2b2 = (a2 + b2 – ab)(a2 + b2 + ab).

Д о м а ш н е е з а д а н и е. П. 2, № 29 (1, 2),27 (6, 7); подумать над № 31 (2).

Цель второго урока: применение формул сум-мы и разности кубов для доказательства тождестви решения уравнений.

51

Комментарии. В устную работу можно вклю-чить № 26. Полезно выполнить все задания, не об-ращая внимания на то, что некоторые из них ужебыли оформлены письменно.

При выполнении № 28 (3, 4) учитель для на-глядности записывает решение на доске поддиктовку учеников. Затем разбирают с классом№ 30 (а, б).

Проводится серия самостоятельных работ.С1: № 27 (9), 32 (1, 2). С2: № 27 (10), 32 (10, 11).Между этими работами фронтально разбирает-

ся № 31 (1), фронтально решается уравнение№ 33 (1) и предлагается решить самостоятельно№ 33 (2).

Для индивидуальной работы сильным учащим-ся можно предложить № 30 (в, г). Решение зада-ния № 30 (в) дано в учебнике, а задание (г) рас-смотрим.

543 – 243 = 30•(542 + 54•24 + 242).

Каждое слагаемое в скобке делится на 36, зна-чит, и вся сумма кратна 36, т. е.

30•(542 + 54•24 + 242) = 30•36k = 1080k,

где k — натуральное число.Д о м а ш н е е з а д а н и е. П. 2, № 32 (3, 7, 9),

33 (3); подумать над № 34; ответить на контроль-ные вопросы пункта.

Цель третьего урока: закрепление материалапункта.

Комментарии. В начале урока проверяетсядомашнее задание, затем фронтально разбираются№ 34, 35 (1, 2), 36 (1, 2). На доске составляютсятождества в № 37 (1, 2), ученики письменно дока-зывают по вариантам эти задания.

По материалам двух пунктов проводится само-стоятельная работа по вариантам на оценку.

52

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА

ОТВЕТЫ К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ

В-1. 1. 970 299. 2. 8x3 – 36x2 + 54x – 27.3. (0,1a + 4b)(0,01a2 – 0,4ab + 16b2). 4. 15.

В-2. 1. 1 030 301. 2. 27x3 + 54x2 + 36x + 8.3. (3x – 0,2y)(9x2 + 0,6xy + 0,04y2). 4. –20.

Д о м а ш н е е з а д а н и е. П. 2, № 32 (5, 6),33 (4); задания из домашней контрольной работы№ 1.

3. Допустимые значения.Сокращение дробей (3 ч)

В этом пункте вводится понятие рационально-го выражения, как объединяющего для целых идробных выражений. Отрабатывается умение на-ходить допустимые значения переменных длядробных выражений, и проводится исследова-тельская работа из соответствующего разделаучебника.

Предметные результаты обучения: формули-ровать основное свойство алгебраической дроби и

Вариант 1 Вариант 2

1. Вычислите:

993 1013

2. Преобразуйте в многочлен стандартного вида:

(2x – 3)3 (3x + 2)3

3. Разложите на множители:

0,001a3 + 64b3 27x3 – 0,008y3

4. Найдите значение выражения:

при

x = 1,05 и y = –1,95

при

x = –1,05 и y = –0,95

5x3 – 5y3

x2 + xy + y2------------------------------------ 10x3 + 10y3

x2 – xy + y2-----------------------------------

53

применять его для преобразования дробей; сокра-щать алгебраическую дробь, применяя формулысокращенного умножения; находить множестводопустимых значений рациональных выражений;выполнять числовые подстановки и вычислятьзначение дроби; решать уравнения и текстовые за-дачи, приводимые к рациональным выражениям.

Метапредметные результаты обучения: вы-числять значение дроби с помощью калькулятора;классифицировать алгебраические выражения нацелые и дробные; подводить под понятие (целые,дробные и рациональные выражения); строитьматематические модели при решении текстовыхзадач; доказывать тождества; выражать перемен-ные из различных формул; проводить исследова-ния.

Цель первого урока: формирование понятий це-лого, дробного, рационального выражения и до-пустимых значений дробного выражения; повто-рение приемов вычислений с рациональными чис-лами.

Комментарии. Начать урок можно с заданий№ 52 (1, 3, 5). Затем школьникам предлагаетсяраспределить выражения № 40 по двум группам:в первую группу номера выражений, в которыхнет деления на выражение с переменной, а во вто-рую — номера тех выражений, в которых такоеделение есть. Затем по аналогии с числами вводят-ся понятия целое, дробное и рациональное выра-жения. Выражения этого же номера можно ис-пользовать для введения понятия допустимыезначения переменных.

Попрактиковаться в нахождении допустимыхзначений переменных в дробных выраженияхшкольники могут в процессе фронтального вы-полнения № 41 (нечетные номера) и № 42 (1, 3).

Можно предложить ученикам самостоятельносоставить выражения к задачам № 44 (1, 2), про-

54

верить результаты и фронтально составить выра-жения для задач № 44 (3, 4). Вычислительнуючасть этих заданий следует отнести в домашнее за-дание.

Д о м а ш н е е з а д а н и е. П. 3, довести до чис-лового ответа задачи № 44 (3, 4), 43. Полезнопредложить школьникам проверить, используягеографические атласы или Интернет, верно лиуказаны в задачах № 44 (3, 4) расстояния междуОдессой и Батуми, между Владивостоком и Алек-сандровском.

Цель второго урока: формирование уменийшкольников сокращать дроби и записывать мно-жество допустимых значений переменных.

Комментарии. Начинается урок с обсужде-ния результатов домашней работы. Устно выпол-няются задания № 52 (2, 4, 6), 42 (2, 4).

Затем вниманию учеников предлагаются запи-санные на доске выражения:

, , a + 2.

Задается в о п р о с: «Можно ли между данны-ми выражениями поставить знак равенства?» иобсуждается, при каких значениях переменной aэти равенства будут верными, а при каких — нет.В результате обсуждения будет получен ответ, чторавенства верны при всех допустимых значенияхпеременной a. Учителю следует напомнить школь-никам, что равенства, верные при всех допусти-мых значениях входящих в них переменных, на-зывают тождествами.

При сокращении дроби = a + 2,

a ≠ 2 мы заменили одну часть тождества другой,

т. е. преобразовали выражение .

a2 – 4a – 2----------------- a – 2( ) a + 2( )

a – 2---------------------------------------

a – 2( ) a + 2( )

a – 2---------------------------------------

a – 2( ) a + 2( )

a – 2---------------------------------------

55

Переход от одной части тождества к другойего части называют тождественным преобразова-нием.

Еще раз подчеркнем, что в процессе этой рабо-ты учебники и тетради учеников должны быть за-крыты. После фронтальной работы ученики могутзанести в свои тетради определения тождестваи тождественного преобразования.

Затем тетради и учебники снова закрываются,и с классом рассматривается исходное выраже-ние п р и м е р а 1 из пункта 3. Перед ученикамиставятся следующие в о п р о с ы.

1. Можно ли сократить коэффициенты числи-теля и знаменателя? На какое число можно со-кратить коэффициенты? Чем является число дляэтих коэффициентов? [Наибольшим общим дели-телем.]

2. Какие переменные и в какой степени можносократить?

3. Какая переменная останется в числителеи в какой степени?

4. Какая переменная останется в знаменателеи в какой степени?

Ответы на эти вопросы записываются на доске.После того как на доске будет получена сокращен-ная дробь, ученикам предлагается в о п р о с: «Накакое выражение мы разделили числитель и зна-менатель дроби?» [Дробь сократили на 6a3x2.]

Затем фронтально, без записей на доске, об-суждаются номера из учебника № 45 (1, 2, 5, 6),46 (3, 4), 47 (1, 3, 5), при этом ставятся в о п р о-с ы: «На какое выражение можно сократитьдробь? Какие преобразования нужно будет пред-варительно сделать в числителе и знаменателедроби, чтобы дробь можно было сократить?»После обсуждения начинается серия небольшихписьменных самостоятельных работ, в которыхученики сокращают рассмотренные дроби. На-помним, что соседние задания в каждой самостоя-

56

тельной работе должны отличаться друг от друга.Например,

С1: 45 (1, 5), 46 (3), 47 (3);С2: 45 (2, 6), 46 (4), 47 (5).Затем можно фронтально разобрать № 48 (1),

обсудить новую порцию заданий из № 45—47 ипродолжить серию самостоятельных работ, в ко-торые включить задания № 48.

В конце урока следует предложить школьни-кам следующие з а д а н и я.

1. Сформулировать правило, которым они поль-зуются при сокращении дробей.

2. Указать значения переменных, при которыхне имеет смысла какая-нибудь из сокращавшихсядробей.

3. Сформулировать определение тождества итождественного преобразования. Если школьни-ки затрудняются с формулировками, то учительпредлагает прочитать сделанные в тетради запи-си, отметив, что сокращение дробей является од-ним из примеров тождественных преобразований.

Д о м а ш н е е з а д а н и е. П. 3, 49 (2, 4), 51 (1);контрольные вопросы и задания к пункту.

Цель третьего урока: формирование исследо-вательских умений.

Комментарии. Урок можно провести по сле-дующему п л а н у.

1. Проверка домашнего задания.2. Фронтальная работа: № 41 (четные номера),

45 (3, 4), 56.3. Исследовательская работа № 2 по вариантам:

В-1 работает с дробью , а В-2 — с дробью (см.

раздел учебника «Исследовательские работы»).4. Серия самостоятельных работ с предвари-

тельным фронтальным анализом заданий. C1: 51 (2), 53 (1), 54 (1). С2: 51 (5), 53 (2), 54 (2).

12--- 5

2---

57

Между самостоятельными работами полезнорассмотреть задачу № 55 (1).

По желанию учителя можно провести в концеэтого урока или в начале следующего тестирова-ние знаний учащихся по материалу пункта.

ТЕСТ

Выберите правильные ответы к заданиям.1. Найдите допустимые значения переменной

в выражении .

А. x ≠ –2; В. x ≠ –0,75;

Б. x ≠ 0,75; Г. x ≠ 1 .

2. Сократите дробь .

А. ; Б. ; В. ; Г. – .


А. 2d – c; Б. c + 2d; В. 2cd; Г. c – 2d.

ОТВЕТЫ К ТЕСТУ

1. Б. 2. Г. 3. Г.Д о м а ш н е е з а д а н и е. П. 3, № 51 (6), 53 (3),

54 (3); контрольные вопросы и задания к пункту.

4. Умножение, делениеи возведение дробей в степень (3 ч)

В пункте изучаются арифметические действияумножения, деления и возведения дробей в сте-пень по аналогии с действиями над обыкновенны-ми дробями, а также проводится исследователь-ская работа из соответствующего раздела учеб-ника.

4x + 81,5 – 2x------------------------

13---

3b2 – 2718 – 6b------------------------

b + 32

-------------- 3 – b2

-------------- b – 32

-------------- b + 32

--------------

c3 – 6c2d + 12cd2 – 8d3

c2 – 4cd + 4d2----------------------------------------------------------------------

58

Предметные результаты обучения: умно-жать, делить и возводить в степень алгебраиче-ские дроби; формулировать правила выполнениядействий; применять изученные действия с дробя-ми для упрощения выражений.

Метапредметные результаты обучения: про-водить исследования.

Цель первого урока: формирование уменийшкольников умножать и делить алгебраическиедроби.

Комментарии. Урок начинается с проверкидомашнего задания и устной фронтальной работы.

УСТНАЯ РАБОТА

1. Даны выражения: – + ; (a – b)(a + b);

5c : 15; 3 : 3d; d – .

1) Какие из выражений являются целыми, а ка-кие — дробными?

2) Укажите допустимые значения переменных.2. Сократите дробь:

1) ; 3) ;

2) ; 4) .

3. Назовите пары взаимно обратных дробей:

2; a; ; ; ; ; ; ; ; ; .

На следующем этапе урока изучаются действияс алгебраическими дробями.

Правила действий с алгебраическими дробямианалогичны правилам действий с обыкновеннымидробями и записываются теми же самыми буквен-ными формулами, что и в 5—6 классах. Поэтому,начиная рассмотрение материала, полезно пред-ложить школьникам выполнить умножение и де-ление обыкновенных дробей.

a2--- 2

5---

4d + 1---------------

x9y7

x12y5--------------- c3 + 3c2d + 3cd2 + d3

c2 + 2cd + d2---------------------------------------------------------------

x2 – y2

y – x-------------------- 15a2b

25 ab( )3----------------------

12--- 1

a--- 2

3--- 2

a3------ 3

2--- 3

a--- 3

a2------ a

3--- a3

2------

59

Например,

• , : .

Затем записать правила в буквенной формеи предложить школьникам сформулировать ихсловами, например:

При умножении на дробь умножают на ее чис-литель и делят на ее знаменатель.

Разделить на дробь — значит умножить на об-ратную ей дробь.

(При делении на дробь умножают на ее зна-менатель и делят на ее числитель.)

Но можно двигаться последовательно по номе-рам заданий, выполнить № 57 (1, 2) и ввести пра-вило умножения дробей.

Для закрепления материала задания № 57 (3)можно взять, например, случаи а)—г) устно, а за-дания ж), и) выполнить письменно.

Затем фронтально разбирается № 58. Следуетобратить внимание школьников на возможностьпостановки знака «минус» перед дробью и, вооб-ще, на возможность одновременного изменениязнаков числителя и знаменателя, знака числителя(знаменателя) и знака дроби.

Правило деления дробей можно ввести при раз-боре заданий № 59 (1, 2). Затем на доске показатьприменение правила деления дробей при выпол-нении заданий № 59 (3, а, б). Задания № 59 (3, в, д)школьники выполняют письменно.

Некоторым ученикам запомнить правила умно-жения и деления дробей помогают схематическиезаписи.

Умножение Деление

•

23--- 5

7--- 2

3--- 5

7---

ab--- c

d--- a

b--- c

d---

60

Следует предложить школьникам при выпол-нении заданий фиксировать, как и в учебнике,промежуточный этап умножения и деления дро-бей — запись в виде дроби до сокращения. Сокра-щение числителя одной дроби со знаменателемдругой, во-первых, повышает вероятность техни-ческих ошибок, а во-вторых, часто вызывает нега-тивную реакцию у специалистов, проверяющихработу.

В завершение урока после проверки самостоя-тельной работы из заданий № 60 (1, 3) со школь-никами фронтально разбирается № 61 (1, 2).

Д о м а ш н е е з а д а н и е. П. 4, № 57 (е, з),59 (г, е), 60 (2, 4); контрольные вопросы и заданияк пункту.

Цель второго урока: формирование уменийшкольников умножать и делить целое выражениена дробь.

Комментарии. Урок начинается с проверкидомашней работы и устной фронтальной работы.



2. Представьте в виде дроби:

Затем по учебнику рассматриваются п р и м е-р ы 2, 4 и 5 без использования классной доски.При этом ученики открывают учебник на страни-це 26 и под руководством учителя разбирают ав-

1) • ;

2) : ;

3) ;

4) + ;

5) – ;

6) 1 – .

1) • ;

2) : ;

3) 1 – ;

4) 1 + ;

5) • ;

6) 1 : .

59--- 12

25-------

712------- 6

14-------

23---

3

12--- 3

5---

12--- 2

3---

59---

ab--- 1

a – 1--------------

cc – 2------------- c2

c – 2-------------

cd---

ab---

a3b2cd5

---------------- d2

ab2---------

ac---

61

торские решения. После работы с учебникомшкольникам предлагается серия самостоятель-ных работ, в которую включаются соответствую-щие задания из № 57 (к—м), 59 (ж—м).

При умножении и делении целого выраженияна дробь полезно обратить внимание школьниковна возможность не записывать целое выражениев виде дроби со знаменателем 1, а сразу перехо-дить к одной дроби. В то же время не следует этоделать обязательным требованием к оформлениюрешений, так как многие школьники привыклик предварительному преобразованию целого чис-ла в дробь при действиях с обыкновенными дробя-ми и переучивание может увеличить число оши-бок.

На уроке полезно продолжить работу по выпол-нению № 60—62, из которых составляется сериясамостоятельных работ. Например, С1: № 60 (5),61 (3); С2: № 60 (7), 61 (4); С3: № 62 (1, 3). Для об-суждения между работами серии используются№ 63, 64 и даже 65, хотя последний номер и отме-чен значком «*».

Важно обсудить со школьниками № 66, в кото-ром следует правильно интерпретировать двойныедроби — основная черта дроби должна быть болеедлинной.

Д о м а ш н е е з а д а н и е. П. 4, № 60 (6, 8),62 (2, 4).

Цель третьего урока: закрепление умений ум-ножать и делить алгебраические дроби и форми-рование умения возводить дробь в степень.

Комментарии. Можно начать урок с возведе-ния в степень обыкновенной дроби, например

, затем записать правило в буквенной форме

и предложить школьникам сформулировать его.При возведении дроби в степень ее числитель

и знаменатель возводят в эту степень.

23---

5

62

Затем устно с мест школьники выполняют № 67.Учитель должен планировать опрос, а не вызы-вать первых поднявших руку или сигнальнуюкарточку школьников. В случае неверного ответазадание выполняется фронтально и записываетсяна доске.

Следующий этап — серия самостоятельных ра-бот из № 62, 68, между выполнением которых рас-сматриваются № 69, 70.

Д о м а ш н е е з а д а н и е. П. 4, № 62 (5, 6),68 (3, 6, 9); выполнить задания из домашней конт-рольной работы № 1 (см. раздел учебника «До-машние контрольные работы»).

5. Сложение и вычитание дробейс одинаковыми знаменателями (2 ч)

Кроме изучения сложения и вычитания дробейс одинаковыми знаменателями, в этом пунктеповторяются формулы числа сочетаний и разме-щений, с которыми восьмиклассники уже встре-чались в пункте 1. Работа с материалом пунктавыстраивается по той же схеме, что и в предыду-щих пунктах.

Предметные результаты обучения: формули-ровать правила сложения и вычитания алгебраи-ческих дробей с одинаковыми знаменателями;складывать и вычитать дроби с одинаковыми зна-менателями и применять эти действия при упро-щении выражения, вычислении значений число-вых и буквенных выражений; доказательстве тож-дества.

Метапредметные результаты обучения: про-изводить вычисления по формулам, применятьрациональные приемы вычислений.

Цель первого урока: формирование уменийшкольников складывать и вычитать дроби с оди-наковыми знаменателями.

Комментарии. Сначала на доске записывает-ся несколько примеров на сложение обыкновен-

63

ных дробей с одинаковыми знаменателями. На-пример,

+ ; + ; + .

Затем формулируется правило сложения дро-бей.

Далее записывается и формулируется правиловычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Задания № 72 (4, а, б) рассматриваются фрон-тально. Полученные устно дроби можно записатьна доске.

Разбираются п р и м е р ы 1 и 2 пункта, в кото-рых после выполненных действий дробь требуетсясократить. Закрепляются правила при выполне-нии заданий № 72 (д, е), 73, 85, 74 (1, 3). Меж-ду работами фронтально обсуждаются задания№ 73, 77.

Д о м а ш н е е з а д а н и е. П. 5, № 72 (ж, з),74 (2, 4); для желающих № 86 (1).

Цель второго урока: формирование уменийшкольников складывать и вычитать дроби, зна-менатели которых отличаются знаком, а такжевыполнять задания с факториалами и формуламикомбинаторики.

Комментарии. После разбора п р и м е р а 3пункта ученикам можно предложить серию издвух самостоятельных работ. В каждую из работвключить по одному заданию из № 72 (в, г), 76,78 (1, 3).

Задания № 80 можно выполнить фронтальномежду самостоятельными работами серии. Затемфронтально выполняется № 79 (1) и письменно№ 79 (3, 5). Полезно также фронтально обсудитьнесколько заданий из № 81.

Завершить урок следует рассмотрением № 82—84. Умение работать с факториалами не являетсяобязательным, но оно понадобится, в частности,при обосновании закономерностей треугольникаПаскаля в следующем пункте.

25--- 1

5--- 3

13------- 7

13------- 87

173---------- 81

173----------

64

При работе с № 82 сначала произведение дробейзаписывается в виде дроби. Затем рассматриваетсясокращение 5! и 3!. Отдельно на доске следуетпоказать, что 5! = 3!•4•5. По аналогии с этим(m + 1)! = (m + 1)m(m – 1)! После разложения намножители можно сократить дроби.

При рассмотрении задания № 83 (1) следует на-помнить школьникам, что из одного сочетания,содержащего m различных элементов, получаетсяm! перестановок (размещений) этих элементов.Отсюда получаем, что число размещений в m! разбольше числа сочетаний.

В задании № 83 (2) следует рассуждать следую-щим образом: «Выбирая k элементов из n, мы темсамым выбираем n – k остающихся элементов».Только после этих рассуждений можно показать,что к тем же выводам можно прийти через рас-смотрение формул.

В № 84 (1, 2) следует сначала представить дан-ную дробь в виде суммы или разности дробей, какв № 79, а затем сократить каждую дробь. В № 84(5, 6) подставить числа и произвести вычисления.Так, записи в решениях № 84 (5) будут выглядетьследующим образом:

+ = =

= = = 80.

Д о м а ш н е е з а д а н и е. П. 5, № 78 (2, 4),79 (2, 4, 6); для желающих № 84 (4, 6).

6. Сложение и вычитание дробейс разными знаменателями (4 ч)

Кроме изучения сложения и вычитания дробейс разными знаменателями, в пункт включен до-полнительный материал, в котором рассматрива-ется треугольник Паскаля.

A53 – A5

2

P2

-----------------------P5

P2

-------A5

3 – A52 + P5

P2

--------------------------------------

5•4•3 – 5•4 + 5•4•3•22

------------------------------------------------------------------------- 5•4 3 – 1 + 3•2( )

2--------------------------------------------------

65

Предметные результаты обучения: склады-вать и вычитать дроби с разными знаменателями;применять действия с алгебраическими дробямидля упрощения выражений и доказательства тож-деств; решать задачи, сводящиеся к составлениюалгебраических дробей; применять бином Ньюто-на при решении трудных задач.

Метапредметные результаты обучения: при-менять рациональные приемы вычислений; обоб-щать приемы сложения и вычитания обыкновен-ных дробей на алгебраические дроби; составлятьалгоритм сложения алгебраических дробей.

Цель первого урока: формулирование понятийобщего кратного многочленов, общего знаменате-ля алгебраических дробей; формирование уменийскладывать и вычитать дроби с разными знамена-телями.

Комментарии. На уроке обсуждается сложе-ние обыкновенных дробей с разными знаменате-лями, формулируется правило, а затем ученикампредлагается при обсуждении п р и м е р а 1 пунк-та перенести понятие общего знаменателя на ал-гебраические дроби, т. е., по сути дела, сформу-лировать понятие наименьшего общего кратногомногочленов.

Обсуждается п р и м е р 2. Поиск общего зна-менателя лучше начинать с определения его чис-лового коэффициента, а затем входящих в зна-менатель переменных или их степеней. Важнообратить внимание школьников на отысканиеи запись дополнительных множителей.

Фронтально выполняется № 88. Хотя решениеустное, ученики сначала записывают в тетрадь по-лученный ими ответ, и лишь затем его объясняют.При этом они должны сначала делать вывод о чис-ловом коэффициенте, а затем о буквенной частизнаменателя. Полезно задать вопрос о дополни-тельных множителях.

66

После устного решения № 88 начинается сериясамостоятельных работ, которые составляются иззаданий № 89, 92—94.

З а м е ч а н и е. На всех уроках изучения мате-риала данного пункта г л а в н о й ц е л ь ю явля-лось формирование умений складывать и вычи-тать дроби. При формировании алгоритмическихумений результаты самостоятельных работшкольников должны проверяться непосредст-венно после их завершения, в противном случаевесьма высока вероятность формирования при-вычной ошибки. В этой связи следует задуматьсянад содержанием домашней работы школьников.Пожалуй, наиболее эффективной является рабо-та над теми заданиями, в которых ученик до-пустил ошибки в серии самостоятельных ра-бот. Эти задания в процессе проверки были ис-правлены, и их решения имеются в тетради ушкольника. Поскольку задания серии самостоя-тельных работ берутся из учебника, то именно ихи следует предложить для домашней отработки.После выполнения этих заданий ученик имеетвозможность сверить результат с правильным об-разцом, имеющимся в тетради. Если есть расхож-дения, то они анализируются и исправляются. Ко-нечно, ученик должен быть уверен, что оцени-ваться будет именно умение выполнять подобныеили эти же задания, а не наличие решений в тет-ради, которые могут быть бездумно переписаны изразных источников.


Цель второго урока: формирование у учениковумения складывать и вычитать дроби в случаях,когда одно из слагаемых не является дробью.

Комментарии. Начинается урок с устнойфронтальной работы.

67

В у с т н у ю р а б о т у полезно включить № 90и следующие задания.

1. Найдите общий знаменатель дробей, зна-менатели которых равны:

2. Назовите дополнительные множители к каж-дой дроби.

Фронтально выполняется № 95 (1, 2), затемученики самостоятельно продолжают № 95 (3, 4) итолько после этого со всем классом подводитсяитог работы по № 95.

Серия самостоятельных работ составляется иззаданий № 91, 96. Между работами серии можнообсудить, например, № 107.

На данном уроке целесообразно провести иссле-довательскую работу № 1 (см. раздел учебника«Исследовательские работы»).

Ц е л ь р а б о т ы: сформулировать гипотезу(предположение) о наименьшем периметре прямо-угольников данной площади. Для этого необходи-мо заполнить таблицу, по таблице найти значе-ние x, при котором прямоугольник будет на-именьшего периметра.

Прежде чем заполнить таблицу, фронтальновыводятся формулы для h и P:

h = 144 : x или h = и P = 2 x + .

На доске вычерчивается таблица.

1) 3x и 2y;2) 12a и 24a2;3) 6xy2 и 42x2y;

4) x2 – y2 и x + y;5) n + 1 и 3n + 6;6) 12ac – 8c2 и 4c2 – 9a2.

x, см 6 8 9 10 12 13 15 18 24 36 48

h, см

P, см

144x

---------- 144x

----------

68

Работа по заполнению таблицы распределяетсямежду учениками класса, что существенно сокра-щает временные затраты.

По заполненной таблице ученики увидят, чтонаименьший периметр получился, когда стороныпрямоугольника были равны, т. е. когда прямо-угольник представлял собой квадрат со стороной12 см. Это позволяет сформулировать гипотезу:«Прямоугольник данной площади имеет наимень-ший периметр в том случае, когда он являетсяквадратом».

Полезно завершить урок разбором № 97 (1, 3, 5).Д о м а ш н е е з а д а н и е. № 91 (5, 6), 97 (2, 4, 6)

и контрольные вопросы к пункту.

Цель третьего урока: формулирование общегоалгоритма сложения алгебраических дробей с раз-ными знаменателями.

Комментарии. На уроке, используя решениепримера 3, формулируется алгоритм сложениядробей с разными знаменателями, который затемученики применяют в серии самостоятельных ра-бот по № 97 (7—12), 98, 99, 102. Между работамирассматриваются задачи № 100 (1), 108 (1).


1. Назовите общий знаменатель и дополнитель-ные множители к дробям:

1) + + ; 3) + .

2) + + ;

2. Приведите дробь к знаменателю:

1) b – a; 3) a2 – ab; 5) a3 – b3;2) a2 – b2; 4) c2b – c2a; 6) b2 – ab.Д о м а ш н е е з а д а н и е. П. 6, № 102, 103 (1),

108 (2); для желающих № 100 (2).

1a--- 1

a – b-------------- 1

a + b-------------- 1

y2 – 6y + 9-------------------------------- 1

3y2 – 27------------------------

1x2 – 2x--------------------- 1

2x – 4------------------ 1

x---

3aa – b--------------

69

Цель четвертого урока: формирование пред-ставлений о треугольнике Паскаля и примененииего для нахождения коэффициентов разложениябинома Ньютона.

Комментарии. Начинается урок с устнойфронтальной работы.


1. Выполните действия:

2. Сравните выражения. Чем они похожи и чемотличаются?

После обсуждения домашнего задания № 109предлагается серия самостоятельных работ, кото-рая охватывает № 109—114.

Затем продолжается закрепление материалапункта, изученного на предыдущих уроках. Вы-полняются № 99, 102, 104 (1, 3, 5), 105.


Представьте в виде дроби выражение:


1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Д о м а ш н е е з а д а н и е. П. 6, № 103 (2),104 (2, 4, 6); для желающих № 106.

1) + ;

2) + ;

3) – ;

4) + ;

5) – ;

6) – .

1) • ;

2) x + 2 – ;

3) + ;

4) : .

a3--- a

4---

13a------- 1

4a-------

13a------- 1

4a-------

1a3------ 1

a4------

1a3------ 1

a4------

13a3---------- 1

4a4----------

5ba2 – 2ab------------------------ 7a – 14b

25b-------------------------

x – 2( )2

x + 2----------------------

3ax – ay---------------------- 2

by – bx---------------------

a2c3

4d------------

3 a3c2

6d2------------

3

75a------- 8x

x + 2--------------- 3b – 2a

ab x – y( )-------------------------- 27c3d3

8a3--------------------

70

7. Упрощениерациональных выражений (3 ч)

8. Дробные уравнения с одной переменной (3 ч)В этих пунктах продолжается формирование

умений преобразовывать дроби. Уроки имеют та-кую же структуру, как и предыдущие. Однако,поскольку задания пункта достаточно трудоемки,лучше включать в самостоятельную работу однозадание, а иногда и часть задания, разбивая вы-полнение одного задания на этапы, с проверкойвыполнения каждого. Перед самостоятельнымвыполнением нового задания полезно предвари-тельно обсудить его с классом. Ученики должныкак бы прокомментировать предстоящую работу,обратить внимание на порядок действий, возмож-ность вынесения за скобки общего множителя,необходимость перемены знака и т. п., т. е. соста-вить план выполнения задания. Сформирован-ность умений выполнять ту или иную деятель-ность тем выше, чем дольше они формировались.Поэтому имеет смысл объединить изучение пунк-тов 7 и 8, существенно растягивая тем самым вре-мя на усвоение материала обоих пунктов.

Предметные результаты обучения: упро-щать рациональные выражения, используя дейст-вия с алгебраическими дробями и основное свой-ство дроби; различать и называть дробные и целыеуравнения; решать дробно-рациональные уравне-ния; объяснять появление посторонних корней,делать проверку найденных корней; решать зада-чи, сводя их к дробным уравнениям.

Метапредметные результаты обучения: клас-сифицировать виды уравнений: дробные и целыеуравнения; составлять план решения уравнения итекстовой задачи.

Цель первого урока: формирование уменияшкольников преобразовывать дробные выраже-ния с несколькими действиями.

71

Комментарии. В устную работу включаютсязадания на все изученные действия с алгебраиче-скими дробями.


1. 1) Найдите общий знаменатель дробей, зна-менатели которых равны:

2) Назовите дополнительные множители к каж-дой дроби.

2. Представьте в виде дроби выражение:

Задание 2 (4), вероятно, вызовет у значитель-ной части школьников затруднения. Учительможет несколько упростить задачу, предложившкольникам выписать на доске промежуточное

выражение • и затем производить со-

кращения.Образец выполнения упрощения выражения,

содержащего несколько арифметических дейст-вий, можно разобрать по п р и м е р у пункта 7,обращая внимание на правила оформления реше-ния.

Аналогичное задание, например № 115 (9),можно выполнить на доске с полным устным раз-бором.

Затем ученики выполняют № 115 (1, 2) само-стоятельно, а двое работают на боковых досках,чтобы потом быстро проверить решения с клас-сом.

а) 2a, 3a2b, 4bc2; б) c + b, c – b, a;

в) c2 – d2, (c – d)2; г) b – 2, b2 – 2b + 4.

1) + ;

2) – ;

3) • ;

4) : .

1a + b-------------- 1

a – b--------------

12a + 2b---------------------- 1

3a + 3b----------------------

a + b( )2

a – b---------------------- a2 – b2

a-------------------

8a3b4

9c5---------------- 2ab2

3c3-------------

2

8a3b4

9c5---------------- 9c6

4a2b4----------------

72

Перед выполнением самостоятельных работ по-лезно их устно обсудить. При этом ученики могутрассказать о порядке выполнения действий в вы-ражении, об общем знаменателе, к которому бу-дут приведены дроби, о правилах выполнения тре-буемых действий, о формулах сокращенного ум-ножения, которые встречаются в выражениях.

Следующие задания можно выполнить само-стоятельно по вариантам.

В-1. № 115 (3). В-2. № 115 (4).Аналогичная работа проводится с другими за-

даниями № 115.Д о м а ш н е е з а д а н и е. П. 7, № 115 (7, 12)

и контрольные вопросы и задания к пункту 7.

Цель второго урока: формирование понятиядробного уравнения и умения решать дробныеуравнения с учетом множества допустимых зна-чений.

Комментарии


1. Решите уравнение: 1) = 0; 2) = 10;

3) = 0; 4) + = 0.

2. Расскажите о плане решения каждого урав-нения. Назовите допустимые значения перемен-ных.

Продолжается устная работа — № 122 (1—6),затем учитель отвечает на вопросы, возникшиеу школьников при выполнении домашнего зада-ния, и переходит к изучению нового материалапункта 8. При этом рассматривается решениез а д а ч и пункта, затем вводится понятие дробно-го уравнения и на п р и м е р е 1 обсуждаются осо-бенности решения дробных уравнений.

x + 35

--------------- 50x – 1--------------

x2 – 1x

----------------- 12x------- 1

3x2----------

73

Закрепляется материал фронтальным выполне-нием № 122 (7—9), 123 (3, 4). Ответы к заданиямученики фиксируют в тетрадях. Между выполне-нием № 122 и 123 обсуждается № 124 (1). Послеэтого № 124 (2) ученики самостоятельно выполня-ют в тетради.

При обсуждении заданий № 124 (9, 10) внима-ние школьников следует привлечь к необходимос-ти проверки корней при решении дробных урав-нений. С целью повторения материала на урокеможно выполнить № 115 (5, 6, 8).


Цель третьего урока: закрепление уменияшкольников проводить преобразования рацио-нальных выражений и использовать их в решенииуравнений.

Комментарии. Урок начинается с проведе-ния теста.

ТЕСТ

Вариант 1

1. Значение выражения – при x = –4

равно: А. ; Б. – ; В. 2.

2. После сокращения дробь принимает

вид: А. ; Б. ; В. .

3. Выражение – на множестве до-

пустимых значений тождественно равно:

А. ; Б. ; В. .

x + 4x

--------------- xx – 4--------------

12--- 1

2---

a4 + a2

a4 – 1--------------------

a2 – 1a2 + 1----------------- a2 + 1

a2----------------- a2

a2 – 1-----------------

4y2 – 9----------------- 2

y2 + 3y---------------------

1y2 – 9----------------- 2

y2 – 3y--------------------- 3

y2 + 3y---------------------

74

4. Уравнение = 0 имеет корни:

А. 4; Б. –4; В. 4 и –4.

Вариант 2

1. Значение выражения + при x = 5

равно: А. ; Б. 5 ; В. .

2. После сокращения дробь принимает

вид: А. ; Б. ; В. .

3. Выражение – на области допус-

тимых значений тождественно равно:

А. ; Б. ; В. .

4. Уравнение = 0 имеет корни:

А. 5; Б. –5; В. 5 и –5.


В-1. 1. Б. 2. В. 3. Б. 4. А. В-2. 1. В. 2. Б. 3. Б. 4. Б.Проводится проверка правильности выполне-

ния теста, и для самостоятельного решения уче-никам предлагается № 116 (1, 3). После проверкивыполняется № 124 (3, 5). Фронтально разбирает-ся № 126 (3), если остается время, то № 116 (5, 6).

Д о м а ш н е е з а д а н и е. П. 7, № 116 (2, 4),124 (4, 6); контрольные вопросы и задания к пунк-ту 7.

Цель четвертого урока: закрепление уменияучеников проводить преобразования рациональ-

x2 – 16x + 4

---------------------

5 – xx

-------------- xx + 5---------------

15--- 1

5--- 1

2---

x6 – 1x6 + x3---------------------

x3

x3 – 1----------------- x3 – 1

x3----------------- x3 – 1

x3 + 1------------------

6x2 – 9----------------- 3

x2 – 3x---------------------

3x2 – 9----------------- 3

x2 + 3x--------------------- 3

x2 – 3x---------------------

x2 – 25x – 5

---------------------

75

ных выражений при доказательстве тождестви при решении уравнений.

Комментарии. Начинается урок с проверкидомашнего задания и устной работы.


1. Какие из чисел 2; –2; 0; –4 являются корня-ми уравнения:

2. Решите уравнение:

При разборе решений уравнений устной рабо-ты полезно обратить внимание школьников на то,что не всегда следует приводить уравнение к виду

= 0. Так, уравнение 2 (а) можно представить

в виде = и использовать условие равен-

ства дробей. Уравнение 2 (б) не имеет корней, таккак оба слагаемых отличны от нуля и имеют одини тот же знак. Уравнение 2 (в) можно представить

в виде = и, используя основное свойство

дроби, получить 2x = x – 4. В уравнении 2 (г)следует заметить, что 0 при делении получается

а) x(x2 – 4) = 0;

б) = 0;

в) = 0;

г) = 0;

д) = 0;

е) = 0?

а) + = 0;

б) + x = 0;

в) – = 0;

г) : = 0;

д) • = 0;

е) • = 0.

x – 2x

--------------

x2

x + 4---------------

x2 – 4x + 2-----------------

x2 + 2xx

----------------------

x3 – 6x2 + 12x – 8x2 – 4x + 4

------------------------------------------------------

2x – 2-------------- x

x – 2--------------

3x---

1x--- 2

x – 4--------------

1x--- 1

x – 5--------------

x3

x + 7--------------- 2 x – 1( )

x5-----------------------

x2

x – 1--------------

2 x – 1x6

--------------

P x( )

Q x( )-------------

2x – 2-------------- –x

x – 2--------------

1x--- 2

x – 4--------------

76

только, когда делимое равно нулю, а в данном слу-чае этого быть не может. В уравнении 2 (е) ни x,ни x – 1 не могут быть равны нулю.

После этого ученикам предлагается самостоя-тельная работа на оценку по вариантам. Работавыполняется школьниками на подписанных лис-точках и сдается учителю. Затем школьникам со-общаются правильные о т в е т ы.

В-1. № 117 (1), 126 (1). В-2. № 117 (2), 126 (2).На следующем этапе урока рассматривается до-

казательство тождеств.Ученики вспоминают определения тождества и

тождественного преобразования и самостоятельновыполняют № 119 (1, 2), затем фронтально разби-рается № 120 (5). Вновь самостоятельно ученикивыполняют № 120 (1, 2). После обсуждения полу-ченных результатов переходят к самостоятельно-му решению уравнений № 125 (5, 6), и если оста-ется время, то до конца урока можно продолжитьработу по формированию умений преобразовы-вать выражения — № 117 (5, 6).

Д о м а ш н е е з а д а н и е. П. 7, 8, № 117 (3),125 (3, 4), 120 (3); контрольные вопросы к пунк-ту 8.

Цель пятого урока: закрепление уменийшкольников преобразовывать рациональные вы-ражения и использовать их при решении уравне-ний и текстовых задач.

Комментарии. Проводится у р о к - п р а к-т и к у м по повторению материала. На доске за-писываются номера, которые ученики должнывыполнить самостоятельно, обсудить в парах илигруппах, проверить правильность выполнения,затем проводится коллективный разбор заданий.Если задания не вызвали трудностей, всеми уче-никами получены правильные ответы, то не сле-дует останавливаться на подробном их разборе.Если какое-то задание вызвало трудности или приего выполнении школьники допустили ошибки,

77

то можно показать его решение и предложить ана-логичное задание.

Можно использовать задания на упрощениевыражений — № 118 (4, 5), на доказательство —№ 120 (4, 5), на решение уравнений — № 124 (6, 7),на составление и решение уравнений — № 128 (1, 2).

Д о м а ш н е е з а д а н и е. Домашняя контроль-ная работа № 1 (сдается на следующем уроке).

Цель шестого урока: закрепление материалапри выполнении всех видов заданий, которыевстречались в пунктах 7 и 8, и подготовка к конт-рольной работе или к зачету.

Комментарии. Ученики сдают домашнююконтрольную работу и называют задания, кото-рые вызвали трудности. Эти задания разбираютсяв классе.

Предлагаются задания на упрощение выра-жений — № 118 (6, 7), на доказательство —№ 120 (3, 6), на решение уравнений — № 124 (4, 8),на составление и решение уравнения — № 129(1, 2). Если останется время, полезно выполнить№ 121 (1).

Д о м а ш н е е з а д а н и е. П. 8, № 130 (1),121 (2), 127 (2).

Завершается работа над главой проведением за-чета или контрольной работы. Описание урока-за-чета можно найти в данных методических реко-мендациях в разделе «Планы-конспекты уроков»,а контрольную работу — в разделе «Контрольныеработы».

Глава 2СТЕПЕНЬ С ЦЕЛЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ

В этой главе повторяются понятия пропорцио-нальных величин, рассматривается обратная про-порциональность, свойства и график функции

y = . Продолжается изучение свойств степеней,kx---

78

начатое в 7 классе, вводится понятие степени с це-лым отрицательным показателем. Свойства степе-ней с целыми показателями применяются в тож-дественных преобразованиях и в действиях с чис-лами, записанными в стандартном виде.

9. Прямая и обратнаяпропорциональность величин (3 ч)

В этом пункте повторяется понятие прямойпропорциональности и вводится понятие обрат-ной пропорциональности. Акцент делается наформировании умений восьмиклассников исполь-зовать свойства пропорциональных и обратно про-порциональных величин при решении текстовыхзадач.

Предметные результаты обучения: модели-ровать несложные зависимости с помощью фор-мул; различать и называть прямо пропорциональ-ные и обратно пропорциональные величины; ре-шать задачи с использованием прямой и обратнойпропорциональности.

Метапредметные результаты обучения: вы-числять значения функции с помощью калькуля-тора; заполнять таблицы; классифицировать ве-личины, выделяя прямо пропорциональные и об-ратно пропорциональные; анализировать условиезадачи и составлять план ее решения.

Цель первого урока: формирование понятийпрямой и обратной пропорциональности, которыезакрепляются при их сравнении и противопостав-лении.

Комментарии. Разбираются з а д а ч и 1 и 2пункта, вводятся понятия прямой и обратной про-порциональности, формируется умение различатьпропорциональные, обратно пропорциональные инепропорциональные величины при устном вы-полнении № 131 (1—5).

Затем проводится письменная работа в дваварианта. Первый вариант заполняет таблицу в

79

№ 132 (1), второй — в № 132 (2). Проверка пра-вильности заполнения таблиц.

Перед решением задач на пропорциональностьследует обсудить с учениками, какая пропорци-ональность встречается в задаче. Ученики долж-ны сформулировать свойство пропорциональныхвеличин применительно к тем величинам, о кото-рых идет речь в задаче. Так, например, перед темкак предложить задачу № 134 (1) для самостоя-тельного решения, желательно, чтобы ученикисказали о том, что при уменьшении опорной по-верхности в несколько раз оказываемое на снегдавление увеличивается во столько же раз. В задачеесть одна тонкость. Сняв лыжи, спортсмен стоитна двух ногах, а значит, опорная поверхность рав-на 2•160 см2. После этого ученики формулируютп л а н решения.

1. Узнать, во сколько раз уменьшилась опорнаяповерхность.

2. Увеличить во столько же раз данное в усло-вии давление.

З а м е ч а н и е. Конечно, можно было бы сразусоставлять соответствующую пропорцию, однакоописанный подход формирует более прочныенавыки применения идеи пропорциональности.Кроме того, при таком подходе уменьшается чис-ло ошибок, связанных с путаницей между прямойи обратной пропорциональностью.

После формулировки плана ученики самостоя-тельно реализуют его в тетрадях. Полученныеими ответы проверяются.

Условие задачи 135 (1) нужно предварительнообсудить со школьниками, так как для некоторыхиз них не очевидно, что длина окружности шкиваобратно пропорциональна скорости его вращения,т. е. числу его оборотов в минуту.

После фронтального решения этой задачи№ 135 (2) ученикам предлагается для самостоя-

80

тельного решения уже без предварительного об-суждения. Однако все упомянутые ранее вопросыследует задать ученикам в процессе проверки.

Д о м а ш н е е з а д а н и е. П. 9, № 133 (1),134 (2); включить задания из раздела «Повто-рение».

Цель второго урока: формирование уменийшкольников решать текстовые задачи двумя спо-собами: составлением уравнения и с помощью рас-суждений о пропорциональности величин.

Комментарии. Урок можно провести поп л а н у.

1. Проверка домашнего задания.2. Устно выполняется № 131 (6—10).3. Разбираются задачи из № 136, 137.При решении задач на движение полезно со-

ставлять схемы движения и обсуждение прово-дить с опорой на них. Решение всех указанныхзадач проводится по одному и тому же п л а н у.

1. Называются величины, о которых идет речьв задаче, и какой пропорциональностью они свя-заны. Желательно, чтобы свойство соответствую-щей пропорциональности прозвучало примени-тельно к упомянутым величинам.

2. Из текста задачи находятся два значениякакой-то величины, и делается вывод о том, восколько раз она изменилась.

3. Делается вывод о том, как должно изменить-ся значение второй величины, и находится иско-мое ее значение.

Так, например, при решении задачи № 136 (1)речь идет о скорости автобуса и времени, котороеему требуется на преодоление маршрута.

П л а н решения задачи.1. Эти величины обратно пропорциональны,

т. е. если время уменьшится в несколько раз, тоскорость увеличится во столько же раз.

81

2. Обычное время 2,5 ч при увеличении ско-рости уменьшается и становится равным 2 ч, т. е.

время изменяется в = раза.

3. Скорость должна измениться в раза, т. е.

увеличиться на обычной скорости автобуса. По-

скольку это увеличение равно 10 км/ч, то обыч-ная скорость равна 40 км/ч. Расстояние находимкак произведение скорости на время движения40•2,5 = 100 (км).

Задачу 136 (4) можно решатьи без использования результа-тов примера 4, который отно-сится к дополнительному мате-риалу. Этот вариант решенияпоказан в учебнике в разделе«Советы и решения». Чем мень-ше времени затратит мотоциклист на движение,тем меньшее расстояние он проедет. Значит, путь

после встречи составляет всего пути (рис. 1).

Тогда велосипедист до встречи проехал всего

пути, затратив на него всего времени. Отсюда

следует, что время велосипедиста на весь путьв 5 раз больше, т. е. 16•5 = 80 (мин).

Д о м а ш н е е з а д а н и е. П. 9, № 133 (2),136 (2), 137 (2).


Комментарии. Разбирается з а д а ч а 4 пун-кта, устно выполняются № 131 (11—15), закреп-ляется умение учеников в решении задач.

Рассматриваются задачи № 138 на совместнуюработу и № 139, 140 на смеси. В учебнике даны

22,5--------- 4

5---

54---

14---

Рис. 1

Велосипедист

16 мин

16 мин4 мин

Мотоциклист

15---

15---

15---

82

подробные решения этих задач. Полезно пока-зать, что эти задачи можно решать и составлениемуравнения.

Д о м а ш н е е з а д а н и е. П. 9, № 141; конт-рольные вопросы и задания к пункту, которые го-товят к изучению нового материала на следующемуроке.

10. Функция y = и ее график (3 ч)

В этом пункте вводится функция y = , строит-

ся ее график и изучаются свойства; закрепляютсяпонятия функции, области определения и множе-ства значений функции, графика функции, вво-дится понятие гиперболы, точек и графиков, сим-метричных относительно начала координат.

Предметные результаты обучения: распозна-

вать виды функций y = ; находить значения

функции y = с помощью инженерного кальку-

лятора; показывать схематически расположениена координатной плоскости графиков функций

вида y = ; строить графики изучаемых функций

по точкам, описывать их свойства; находить точ-ки пересечения двух графиков; определять, про-ходит ли график функции через указанную точку;использовать компьютерные программы для по-строения графиков функций, для исследованияположения на координатной плоскости графиковфункций в зависимости от значений коэффициен-та пропорциональности.

Метапредметные результаты обучения: срав-

нивать функции и графики функций вида y = ;

kx----

kx---

kx---

kx---

kx---

kx---

83

заполнять таблицы, снимать информацию с гра-фиков.

Цель первого урока: повторение понятий функ-ции, области определения и множества значенийфункции, графика функции; формирование поня-

тия функции y = , построение ее графика.

Комментарии. После проверки домашнего

задания на доске остается функция y = (см.

задание 3 из списка «Контрольные вопросы и за-дания к пункту 9 учебника»).

ВОПРОСЫ ДЛЯ ФРОНТАЛЬНОГОПОВТОРЕНИЯ МАТЕРИАЛА

1. Что называется функцией?2. Какую переменную называют аргументом

функции?3. Назовите аргумент функции у = 2х2.4. Что называют областью определения функ-

ции?5. Найдите область определения функций в

№ 142.6. Назовите область определения следующих

функций: y = 2x + 3, y = x3.7. Назовите область допустимых значений аргу-

мента следующих функций: y = 2x + 3, y = x3. 8. Что называют графиком функции? Как по-

строить график функции?9. Что является графиком функции: y = 2x + 3,

y = x3, у = 2х2, y = ?

Можно рассмотреть таблицу значений функции

и график функции y = в учебнике или в элек-

тронном приложении к учебнику. По графику

функции y = выполнить № 143.

kx---

0,576x

----------------

12x

-------

12x

-------

12x

-------

84

На следующем этапе урока полезно предложитьшкольникам самостоятельно построить графикив № 144, предварительно обсудив с ними вопросо том, какие значения x удобно брать (делителичисла 6). Можно распределить построение графи-ков 1) и 2) по двум вариантам, тогда вопрос о вза-имном расположении графиков будет решаться спомощью сравнения результатов работы сидящи-ми рядом учениками. Однако можно предложитьвсем ученикам выполнить построение обоих гра-фиков в одной системе координат. В этом случаежелательно, чтобы графики проводились разны-ми цветами.

Задания № 145 (1), 146 (1) являются стандарт-ными для работы с формулами и графиками.

В этом месте можно предложить школьникаманалогичное по идее д о п о л н и т е л ь н о е з а-д а н и е на повторение:

«Прямая у = kx + l проходит через точки:а) А(0; 2) и В(3; 5); б) K(–2; 3) и М(–3; 2). Найдитеk и l».

Д о м а ш н е е з а д а н и е. П. 10, № 145 (2),146 (2).

Цель второго урока: изучение свойств функ-

ции y = и применение их при выполнении зада-

ний.Комментарии. Проверяется домашнее зада-

ние и затем фронтально выполняется № 147. При-чем формулу в задании № 147 (1) лучше перепи-сать xy = 10, а в задании № 147 (2) в виде xy = –10.Зная, например, что ab = 10, и подставляя коор-

динаты точки B 2a; b в уравнение xy = 10

в № 147 (1, б), получим: xy = 2a• b = ab = 10. Ко-

ординаты точки B удовлетворяют уравнению гра-

kx---

12---

12---

85

фика, значит, точка B принадлежит графику.Если задания выполняются письменно, то ре-шение можно записать короче. Так, например,в случае № 147 (1, г) решение можно записать так:xy = 3a•3b = 9ab = 90 ≠ 10, точка M не принадле-жит графику. На дополнительный вопрос о нали-чии у графика оси симметрии можно легко отве-тить, исходя из геометрических, т. е. наглядных,соображений. Здесь, однако, имеется в виду ана-литическое обоснование, которое использует соот-ношение координат симметричных точек относи-тельно биссектрис координатных углов. ТочкаP(b; a) в № 147 (д) симметрична точке C(a; b) отно-сительно биссектрисы I и III координатных углов,а точка N(–b; –a) симметрична точке C(a; b) отно-сительно биссектрисы II и IV координатных уг-лов. В № 147 (д), по сути, уже была доказана сим-метричность каждого графика относительно бис-сектрисы I и III координатных углов. Аналогичнообосновывается и симметрия графика относитель-но биссектрисы II и IV координатных углов.

В № 148 рассматриваются физические прило-

жения графика функции y = , и его лучше рас-

смотреть дома.В № 149 (а, е) учащиеся работают одновременно

с графиками линейной функции и функции вида

y = . Следует напомнить, что отыскание точек

пересечения двух графиков — это решение систе-мы их уравнений.

Д о м а ш н е е з а д а н и е. П. 10, № 148,149 (б, д).


Комментарии. Начать урок полезно с само-стоятельной работы по вариантам на оценку.

kx---

kx---

86



В-1. 1. 1) –6; 3) 6; –2; –1,2; 4) 2; –3; –1,5.2. у = ±х.

В-2. 1. 1) –12; 3) 12; –4; –2,4; 4) 4; –6; –3.2. у = ±х.

На уроке планируется выполнить задания из№ 150—153.

В № 152 функции отличаются множествами до-пустимых значений аргумента. Если из множест-ва допустимых значений аргумента функции y = 0

изъять x = 0, получится функция y = .

О заданиях типа № 153 уже говорилось. Понят-но, что точки A и C при положительном значенииx должны находиться по разные стороны от точкиE, а точка B расположена по ту же сторону от точ-ки E, но дальше, чем A. Руководствуясь этими иподобными рассуждениями, указываем искомоерасположение точек O и E на рисунке 8, б, в, д. Наостальных рисунках изображены невозможныеситуации. Так, например, на рисунке 8, а точкаО должна располагаться слева от точки A, так как


1. Известно, что график функции y = проходит че-

рез точку:

А(2; –3) В(–4; 3)

1) Найдите значение коэффициента k.2) Постройте график полученной функции.3) Найдите значения функции при х = –1; 3; 5.4) Найдите значение аргумента, если у = –3; 2; 4.

2. Составьте уравнения осей симметрии построеннойгиперболы

kx---

0x---

87

> x2. Точка E должна одновременно находиться

слева от A, поскольку 0 < x < x2, и между точкамиA и C, так как x > 0.

Д о м а ш н е е з а д а н и е. П. 10, № 149 (г),контрольные вопросы задания к пункту.

11. Определение степени с целымотрицательным показателем (3 ч)12. Свойства степеней с целыми

показателями (3 ч)13. Стандартный вид числа (2 ч)

В данных пунктах отрабатывается определениестепени с нулевым и отрицательным показателемстепени, доказываются свойства степеней с це-лыми показателями и закрепляются свойства сте-пеней при вычислениях с числами, записаннымив стандартном виде. Эти пункты лучше изучатькомплексно, что даст возможность длительноевремя отрабатывать свойства степеней с целымипоказателями на разнообразных заданиях.

Распространив понятие степени на нулевой ицелый отрицательный показатели, как это сдела-но в учебнике, можно провести с классом устнуюфронтальную работу по решению части упражне-ний пункта 11. Перед тем как дать ответ, ученикидолжны записать его в тетрадь. Убедившись, чтошкольники уверенно переходят от степеней с от-рицательными показателями к дробям и обратно,можно перейти к рассмотрению свойств степенейв пункте 12. Задания этого пункта можно выпол-нять в виде серии самостоятельных работ с про-веркой каждой работы. От изучения свойств сте-пеней школьники переходят к знакомству со стан-дартным видом числа в пункте 13.

Мы приводим пример комплексного изученияданных пунктов.

1x---

88

Предметные результаты обучения: формули-ровать определение степени с целым показателем;записывать выражение, содержащее степени с от-рицательными показателями в виде дроби; вычис-лять значения степеней с целыми показателями;формулировать, записывать в символической фор-ме и иллюстрировать примерами свойства степенис целыми показателями; применять свойства сте-пени для преобразования выражений и вычисле-ний; записывать числа в стандартном виде; срав-нивать числа и величины, записанные с использо-ванием степени 10.

Метапредметные результаты обучения:обобщение свойств степени с натуральным пока-зателем на степени с целыми показателями; запи-сывать размеры реальных объектов, длительностьпроцессов в окружающем мире с помощью чиселв стандартном виде; выполнять вычисления с ре-альными данными; пользоваться справочнымиматериалами учебника и других источников.

Цель первого урока: формирование понятиястепени с целым отрицательным показателем.

Комментарии. При проведении устной рабо-ты актуализируется понятие степени с натураль-ным показателем.


Вычислите xp, если:

Ответьте на в о п р о с ы.1) Какие значения принимают основание степе-

ни и показатель степени?2) Какие значения показателя степени не встре-

тились в данных заданиях? [Нуль, отрицательныечисла, дробные числа.]

1) x = 2, p = 4;

2) x = –3, p = 3;3) x = –1,1, p = 2;

4) x = – , p = 2;

5) x = 0, p = 10;6) x = 1, p = 100.

27---

89

С дробными показателями степени учащиесяпознакомятся в старших классах, а на этом урокеизучат нулевой и целый отрицательный показа-тели степени, понятия которых вводятся в соот-ветствии с текстом учебника.

Далее самостоятельная работа на отработкуумения переводить степени с отрицательными по-казателями в дроби. В-1. № 154 (номера нечет-ные). В-2. № 154 (номера четные).

Ученики записывают ответы в тетрадь, затемпри проверке заданий первого варианта ученикивторого варианта следят за правильностью отве-тов по учебнику, затем наоборот.

При проверке и фронтальном обсуждении раз-личных заданий следует предлагать школьникамформулировать используемые определения и свой-ства степеней.

Фронтально с записью на доске выполняется№ 155 (нечетные номера). В № 156 отрабатывает-ся умение уходить от дробей с помощью отрица-тельных показателей степени. Работа аналогичнаработе с № 154. Фронтально разбирается № 157,письменно выполняется № 161 (нечетные номера).

Д о м а ш н е е з а д а н и е. П. 11, № 155 (чет-ные номера), 161 (четные номера).

Цель второго урока: формирование умения при-менять свойства произведения и частного степе-ней с целыми показателями.

Комментарии. Устно выполняются № 158 (1),160. С целью повторения свойств степеней с оди-наковыми основаниями проводится тест.

ТЕСТ


1) 22•24;

2) ;

3) (32)2;

4) ;

5) ;

6) .5100

598----------- 316•310

324----------------------

731•3•729

4916•728-------------------------------

495 + 494 + 493

162( )23------------------------------------------

90

2. Найдите ответы среди предложенных и из но-меров, соответствующих правильным ответам, со-ставьте код к работе:

1) 3; 2) 9; 3) 10; 4) 14; 5) 15; 6) 24; 7) 25; 8) 64;9) 65; 10) 80; 11) 81; 12) 84; 13) 85.

ОТВЕТЫ К ЗАДАНИЯМ ТЕСТА

1. 1) 64; 2) 25; 3) 81; 4) 9; 5) 3; 6) 84.2. Код правильных ответов 87112112.Ученики после выполнения теста сдают учите-

лю листочки с составленным кодом правильныхответов. В рабочей тетради у учеников остаетсякод и решение заданий. После урока учитель про-анализирует типичные ошибки учеников, а про-верка выполненной работы будет проводиться потетради. При проверке учитель делает акцент наприменяемых свойствах. Свойства выписывают-ся на доску.

На этапе ознакомления с новым материаломученики проверяют выполнение свойств произве-дения и частного степеней на конкретных приме-рах.


Вариант 1. Проверить выполнимость свойстваam•an = am + n при m = –5, n = 3.

Вариант 2. Проверить выполнимость свойстваam : an = am – n при m = –5, n = 3.

В сильном классе можно доказать свойства в об-щем виде.

Вариант 1. Доказать, что am•an = am + n приm > 0, n < 0.

Вариант 2. Доказать, что am•an = am + n приm < 0, n < 0.

Вариант 3. Доказать, что am : an = am – n приm < 0, n > 0.

Вариант 4. Доказать, что am : an = am – n приm < 0, n < 0.

91

Рассмотрим д о к а з а т е л ь с т в о am•an = am + n при m > 0, n < 0.

Так как n < 0, то произведение степеней с целы-ми показателями можно записать в виде частногостепеней с натуральными показателями am•an =

= . Для степеней с натуральными показателя-

ми известно свойство = am – (–n) = am + n. Что и

требовалось доказать.Этап закрепления проводится при выполнении

заданий № 164 (а, в, д, ж) устно и № 165 (1, 2, 4, 5)письменно.

Затем следует вернуться к закреплению мате-риала пункта 11, т. е. к выполнению заданий № 162в виде серии самостоятельных работ.

С1: № 162 (1, 2, 4, 5). С2: № 162 (9, 10).Между самостоятельными работами фронталь-

но разбираются № 162 (11, 12).Д о м а ш н е е з а д а н и е. П. 11, 12, № 163,

165 (3, 6); контрольные вопросы пункта.

Цель третьего урока: закрепление уменияприменять свойства произведения и частного сте-пеней с одинаковыми основаниями с целыми по-казателями.

Комментарии. В устную работу включаютсязадания № 158 (2), 164 (четные номера).

Самостоятельная работа проводится по вариан-там на оценку.

В-1. № 162 (5, 8). В-2. № 162 (3, 7).В устной работе ученикам предлагается вычис-

лить и назвать свойства, которыми они воспользо-вались для вычислений:

Затем проводится групповая (или парная) само-стоятельная работа.

1) 915•97;

2) (102)–2;

3) 22•32;

4) ;

5) 1121 : 1119;

6) 3.

am

a–n---------

am

a–n---------

366

66--------- 2

3---

92

Группа 1. Проверить выполнимость свойства(am)n = amn при m = –5, n = –2.

Группа 2. Проверить выполнимость свойства(ab)n = an•bn при n = –3.

Группа 3. Проверить выполнимость свойства

= при n = –4.

В сильном классе можно предложить ученикамдоказать данные свойства в общем виде.

Выполняются № 167 и 168, 171, из части кото-рых и домашней контрольной работы № 3 составля-ется д о м а ш н е е з а д а н и е.

Цель четвертого урока: формирование уменияприменять свойства степени произведения с це-лыми показателями и свойства возведения степе-ни в степень.

Комментарии. Устно обсуждается № 169,письменно выполняются № 169 (3), 170, устно№ 172 (1, 2), письменно № 172 (3), 173.

Д о м а ш н е е з а д а н и е составляется из за-даний этих же номеров.

Цель пятого урока: формирование умения при-менять свойство возведения в степень частногос целым показателем степени.

Комментарии. Устно № 174 (1, 2), письмен-но № 174 (3), 175, 176.

Д о м а ш н е е з а д а н и е составляется из зада-ний этих же номеров.


Вариант 1

1. Представьте в виде степени выражение:1) a5 : a–3; 2) (b–3)–2b9.

2. Вычислите .

3. Упростите выражение x–2y–1 : (3x3y–1).

ab---

n an

bn------

510•25–6

125–1--------------------------

13---

–2

93

4. Представьте в виде дроби выражение(y–1 – (x + y)–1)•x–1y.

Вариант 2

1. Представьте в виде степени выражение:1) a–6 : a–8; 2) (b4)–3b8.


3. Упростите выражение x–3y : 1 x4y–7 .

4. Представьте в виде дроби выражение(x–2y + xy–2)(x–1 + y–1)–1.


В-1. 1. 1) a8; 2) b15. 2. 5. 3. 3xy3. 4. .

В-2. 1. 1) a2; 2) b–4. 2. 4. 3. x2y5. 4. .

Цель шестого урока: формирование понятиястандартного вида числа.

Комментарии. Материал изучается по учеб-нику, выполняются № 177—180, на повторение№ 166.

Д о м а ш н е е з а д а н и е. П. 13, № 179 (4, 6),контрольные вопросы и задания к пункту 12.

Цель седьмого урока: формирование уменияпроизводить арифметические действия с числами,записанными в стандартном виде, повторениесвойств степени с целыми показателями.

Комментарии. На уроке выполняются зада-ния из № 181—186, 190 (1).

Д о м а ш н е е з а д а н и е. П. 13, № 184 (6, 8),186 (4, 6), контрольные вопросы и задания к пунк-ту 13.

410•16–6

64–1--------------------------

34---

–2 79---

1x + y---------------

x2 – xy + y2

xy-----------------------------------

94

Цель восьмого урока: закрепление материалаглавы и подготовка к контрольным мероприя-тиям.

Комментарии. На уроке выполняются зада-ния из № 187—192. Проводится самостоятельнаяработа по вариантам на оценку.


Вариант 1

1. Запишите в стандартном виде число:1) 32 000; 2) 0,00745.2. Представьте результат действий в стандарт-

ном виде:1) (5,6•10–3)•(2,5•10–4);2) (9,2•109) : (2,3•10–2);3) 2,8•106 + 8,7•105.3. Сравните числа 2,3•108 и 8,7•106.

Вариант 2

1. Запишите в стандартном виде число:1) 670 000; 2) 0,000201.2. Представьте результат действий в стандарт-

ном виде:1) (1,8•10–3)•(6,5•108);2) (1,7•10–3) : (1,14•10–5);3) 4,5•10–6 – 4,7•10–7.3. Сравните числа 8,4•10–5 и 1,5•10–4.


В-1. 1. 1) 3,2•104; 2) 7,45•10–3. 2. 1) 1,4•10–6;2) 4•1011; 3) 3,67•106. 3. 2,3•108 > 8,7•106.

В-2. 1. 1) 6,7•105; 2) 2,01•10–4. 2. 1) 1,17•106;2) 1,5•102; 3) 4,03•10–6. 3. 8,4•10–5 < 1,5•10–4.

Д о м а ш н е е з а д а н и е. П. 13, № 187 (5, 6),190 (2).

95

ЗАЧЕТ ПО МАТЕРИАЛУ ГЛАВЫ 2«СТЕПЕНЬ С ЦЕЛЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ»

В начале урока дается инструкция о форме про-ведения зачета.

Зачет проводится по двум вариантам заданий,которые записаны на доске или размножены и ле-жат на парте у каждого ученика. Ученикам пред-лагается выполнять задания кратко в любой по-следовательности и оформлять решение каждогозадания или серии коротких заданий на отдель-ных листах, которые складываются на углу пар-ты. Ученики, которые первыми закончат выпол-нение заданий, сдают зачет учителю устно. Те уче-ники, которые сдали зачет, становятся консуль-тантами и принимают зачет у остальных учениковпо рядам.

Каждому консультанту выдается таблица, в ко-торую он заносит фамилии тех учеников, зачет у ко-торых он принимает. Консультант должен про-верить правильность выполнения конкретных но-меров и отметить в таблице в соответствующихстолбцах знаками «+» при правильном и «–» принеправильном выполнении заданий. Шесть зада-ний зачета выполняются письменно, и предлага-ется один устный вопрос.

Те ученики, которые быстро и правильно решатвсе задания, помогают консультантам в принятиизачета или ученикам в решении заданий, объяс-няя материал. Ученики, которым оказывалась по-мощь в ходе зачета, считаются не сдавшими зачет,они будут повторно сдавать зачет во внеурочноевремя.

Фамилия, имя 1 2 3 4 5 6 7

1.

2.

96

Учитель просматривает таблицы у консультан-тов, видит общую картину сдачи зачета, оказыва-ет индивидуальную помощь.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПИСЬМЕННОЙ ЧАСТИ ЗАЧЕТА

Вариант 1

1. Запишите числа в стандартном виде:1) 506 000; 2) 0,0123.


3 . Найдите координаты точек пересечения

графиков функций y = и y = x + 1.

4 . Упростите выражение

(a–2 – b–2) : (b–1 + a–1) – a–1.

5 . Решите задачу. Продано 65 кг яблок и груш.Определите, сколько килограммов яблок и сколь-ко килограммов груш продано, если известно, чтояблоки дешевле груш в 1,5 раза и за все яблокивыручено столько же денег, сколько за груши.

6 . Докажите, что = .

Вариант 2

1. Запишите в стандартном виде числа:1) 123 456; 2) 0,0010203.

2. Вычислите •9–2• .

3 . Найдите координаты точек пересечения

графиков функций y = – и y = x – 5.

4 . Упростите выражение

(a–2 + b–2) : (b–1 – a–1) – 2(a – b)–1.

3–4•9–1

27–2-----------------------

○

6x---

○

�

� ab---

–3 ba---

3

13---

3 127-------

–2

○

6x---

○

97

5 . Решите задачу. Машинистка может перепе-чатать рукопись за 1,5 ч, а ученица — за 2,25 ч. Закакое время они смогут перепечатать рукопись,работая вместе?

6 . Докажите, что = .

ОТВЕТЫ К ПИСЬМЕННОЙ ЧАСТИ ЗАЧЕТА

В-1. 1. 1) 5,06•105; 2) 1,23•10–2. 2. 1. 3. (2; 3)

и (–3; –2). 4. – . 5. 39 кг яблок и 26 кг груш.

В-2. 1. 1) 1,23456•105; 2) 1,0203•10–3. 2. .

3. (2; –3) и (3; –2). 4. . 5. 54 мин.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ УСТНОЙ ЧАСТИ ЗАЧЕТА

1. Приведите пример обратно пропорциональ-ных величин. Какая формула задает зависимостьмежду ними?

2. Приведите пример пропорциональных вели-чин. Какая формула задает зависимость междуними?

3. Каким свойством обладают обратно пропор-циональные переменные, принимающие толькоположительные значения?

4. Какие величины являются пропорциональ-ными, а какие — обратно пропорциональнымив формуле площади прямоугольника?

5. Какие величины являются пропорциональ-ными, а какие — обратно пропорциональнымив формуле расстояния прямолинейного и равно-мерного движения?

6. Чем будет отличаться расположение графи-

ков функций y = и y = – ?

�

� ab---

–3 a–3

b–3---------

1b---

13---

a – bab

--------------

3x--- 3

x---

98

7. Укажите свойства, общие для графиков

функций y = .

8. Как проверить, проходит ли график функции

y = через точку A(–0,02; 250)?

9. Сколько общих точек могут иметь графики

функций y = kx и y = ?

10. Сколько общих точек могут иметь графики

функций y = kx + b и y = ?

11. Как найти для функции y = значение k,

если известно, что график функции проходит че-рез точку A(–2; –4)?

12. Чему равно произведение an и a–n, где a ≠ 0и n — натуральное число?

13. Найдите значение n, если an = .

14. Чему равно 50, 51, 5–1?15. Назовите свойство произведения степеней.16. Назовите свойство частного степеней.17. Назовите свойство возведения степени в сте-

пень.18. Назовите свойство степени произведения.19. Назовите свойство степени дроби.20. Что значит представить положительное чис-

ло в стандартном виде? Что называют порядкомчисла?

21. Приведите пример числа, порядок которогоравен 2.

22. Приведите пример числа, порядок которогоравен –2.

При подведении итогов зачета учитель отмеча-ет, сколько человек сдали зачет, какие заданиявызвали наибольшие трудности, обращает внима-ние учеников на необходимость систематического

kx---

5x---

kx---

kx---

kx---

127-------

99

выполнения заданий после каждого пункта, а так-же постепенное выполнение заданий из домашнейконтрольной работы. Подводятся итоги выполне-ния домашней контрольной работы, если работысданы вовремя и проверены. Следующий зачет бу-дет проведен по завершении изучения главы 3.

Глава 3КВАДРАТНЫЕ КОРНИ

В главе расширяется множество рациональныхчисел, вводятся понятия иррационального и дей-ствительного чисел, изучаются действия с квад-ратными корнями.

14. Рациональныеи иррациональные числа (2 ч)

В этом пункте школьники сталкиваются с про-блемой нехватки рациональных чисел. Историче-ски эта проблема возникла в Древней Греции ибыла связана с измерением длин отрезков. Каза-лось бы, какими бы ни были отрезки AB и CD (см.рис. 10 учебника), можно взять достаточно малыйотрезок d, который в m раз меньше одного и в n разменьше другого, где m и n — натуральные числа.Этот отрезок d, укладывающийся натуральноечисло раз и в отрезке AB, и в отрезке CD, называ-ют их общей мерой. Понятно, что в этом случае от-ношение длины первого отрезка к длине второго

равно . Однако, рассматривая прямоугольный

равнобедренный треугольник, древнегреческиематематики обнаружили, что подобрать общуюмеру для катета и гипотенузы невозможно. Гео-метрическое доказательство этого факта рань-ше, например, в эпоху учебников А. Т. Киселева(1852—1940), рассматривалось в школьном курсегеометрии.

mn-----

100

Доказательство несоизмеримости стороны и ди-агонали квадрата в пункте 14 опирается на самыеэлементарные геометрические знания школьни-ков, полученные ими еще в 5—6 классах. Именнона геометрической интерпретации основано и по-нимание школьниками того факта, что большеечисло имеет больший квадрат и обратно, что боль-ший квадрат соответствует большему основанию.Это позволяет в 8 классе обойтись без специально-го изучения свойств неравенств, которые будутизучаться в курсе 9 класса.

До оценки длины диагонали квадрата со сторо-ной, равной 1, желательно подчеркнуть невоз-можность ее представления конечной десятичнойдробью. А затем уже получать бесконечную дробь.Для того чтобы ученики лучше восприняли поня-тие действительного числа, следует еще обратитьвнимание на возможность рассматривать конеч-ные десятичные дроби как бесконечные с «хвос-том» из нулей.

Несмотря на отсутствие соответствующего ма-териала в курсе геометрии, полезно все же начатьразговор об иррациональных числах с историче-ского экскурса. Поговорить о древних греках ио том, как они измеряли отрезки. К сожалению,трудно синхронизировать изучение геометриис изучением алгебры так, чтобы этот разговор со-стоялся в курсе геометрии в нужное время. Поэто-му придется использовать «алгебраическое» вре-мя. Учителям, которым нужно давать открытыйурок (в связи с аттестацией, например), можно по-советовать использовать именно это место курса.Здесь велика роль учителя в изложении, и покаеще не могут быть предъявлены требования к те-матическим знаниям школьников. Ну и конечно,это прекрасный случай продемонстрировать един-ство математического пространства, дающий ред-кую возможность использовать столь модную сей-

101

час форму интегрированного урока. Покажемодин из возможных вариантов ее использования.

Предметные результаты обучения: распозна-вать рациональные и иррациональные числа, изо-бражать числа точками координатной прямой;приводить примеры иррациональных чисел; ха-рактеризовать множество: целых, рациональных,иррациональных, действительных чисел и описы-вать соотношения между этими множествами;сравнивать и упорядочивать рациональные числа,выполнять вычисления, вычисления с рациональ-ными числами, вычислять значения степенейс целыми показателями.

Метапредметные результаты обучения: ис-пользовать в письменной математической речиобозначения числовых множеств, теоретико-мно-жественную символику; классифицировать дейст-вительные числа.

Цель первого урока: формирование понятия ир-рационального числа.

Комментарии. В начале урока, который и бу-дет интегрированным с курсом геометрии, с клас-сом разбирается решение задачи деления отрезкав отношении 2 : 3. На доске изображается отрезокAB, проводится вспомогательный луч. На вспомо-гательном луче откладываются равные отрезкис помощью циркуля, а параллельные прямые про-водятся с помощью линейки на глаз (рис. 2). Привыполнении работы используется известный алго-ритм, основанный на теореме Фалеса. При обсуж-дении отмечается, что ес-ли провести прямые черезвсе пять точек, образовав-шихся на вспомогатель-ном луче, то отрезок AMразделится на два, а от-резок MB — на три рав-ных между собой отрезка. Рис. 2

M

L

K

BA

102

Здесь можно попросить школьников привестиформулировку теоремы Фалеса. Затем учащимсяпредлагается за 5 мин о п р е д е л и т ь:

1) длину отрезка MB, если AM = 1;2) длину отрезка AM, если MB = 1;3) длину отрезка, который дважды уложился

в отрезке AM и трижды — в отрезке MB в каждомиз случаев 1) и 2);

4) отношение .

После этого вводится определение общей мерыотрезков. Учитель изображает на доске два отрез-ка CD и EF и говорит, что отрезок, который m разсодержится в первом и n раз — во втором отрезке,называется их общей мерой.

Затем ученики выполняют самостоятельнуюработу по следующим заданиям:

1) начертить в тетради отрезок;2) измерить длину отрезка с помощью линейки

(с точностью до миллиметра);3) найти отношение длины своего отрезка к дли-

не отрезка соседа по парте;4) записать это отношение в виде несократимой

обыкновенной дроби;5) найти общую меру отрезков.Двух учеников можно попросить выполнить

эти же задания на доске с отрезками CD и EF, ис-пользуя демонстрационную линейку. Поясненийпотребует выполнение задания 4, в котором по-лученную дробь, возможно, придется сократить.На эту работу можно отвести 5—7 мин.

Следующий этап урока посвящен доказательст-ву несоизмеримости катета и гипотенузы равно-бедренного прямоугольного треугольника.

Примерный текст учителя может быть таким:«Долгое время древние греки, обожавшие гео-

метрию, считали, что любые два отрезка имеютобщую меру, т. е. что отношение длин любых двух

MBAM-----------

103

отрезков можно записатьв виде обыкновенной дро-би. Но однажды они по-пытались найти общуюмеру катета и гипотену-зы равнобедренного пря-моугольного треугольни-ка, и здесь их ожидалоудивительное открытие.(Учитель воспроизводит на доске рисунок 3.) По-пробуем и мы найти общую меру отрезков ACи AB. Пусть у катета и гипотенузы треугольникаABC есть общая мера, тогда AC = mx и AB = nx,где x — длина наибольшего из отрезков, укла-дывающихся n раз в катете AC и m раз в гипотену-зе AB».

Дальше доказательство проводится в видефронтального обсуждения с записью результатовна доске. Учащиеся отвечают с мест, но не делаютзаписей в тетрадях. Возможен такой д и а л о г.

1. Выразите MB через m, n и x (AC = AM). [MB == AB – AM = AB – AC = (n – m)x.]

2. Какой угол дополняет угол 2 (1) до 90°?[∠AMC (∠ACM).]

3. Что можно сказать об этих углах? Как этообосновать? [∠AMC = ∠ACM, поскольку тре-угольник MCA — равнобедренный.]

4. Какой вывод об углах 1 и 2 можно сделать?[∠2 = 90° – ∠AMC = 90° – ∠ACM = ∠1.]

5. Равенство каких отрезков следует из равен-ства этих углов? Есть ли на рисунке другие рав-ные им отрезки? [CN = MN = MB.]

6. Выразите NB через m, n и x. [NB = BC – CN = mx – (n – m)x = (2m – n)x.]Поскольку числа (m – n) и (2m – n) натураль-

ные, отрезок длиной x является общей мерой ка-тета и гипотенузы равнобедренного прямоуголь-ного треугольника NMB.

Рис. 3

A B45°

2

1

45°

N

C

M

104

Катет и гипотенуза у треугольника NMB мень-ше, чем у треугольника ACB. Что можно сказатьо наибольших общих мерах этих двух пар отрез-ков? [У меньших отрезков наибольшая общая ме-ра должна быть меньше.]

Значит, любая общая мера отрезков MB и NBдолжна быть меньше x, а мы только что получи-ли, что она равна x.

Мы пришли к противоречию, значит, предпо-ложение о том, что катет и гипотенуза прямо-угольного равнобедренного треугольника имеютобщую меру, неверно.

Отрезки, у которых нет общей меры, называютнесоизмеримыми.

Последняя часть урока проводится по учебни-ку. Для перехода можно предложить учащимсясказать, чему должно быть равно отношение гипо-тенузы к катету, согласно сделанному предполо-

жению о наличии у них общей меры = .

Вообще, если отрезки соизмеримы, то их отно-шение равно или натуральному, или дробномучислу, т. е. является числом рациональным, а ес-ли отрезки несоизмеримы, то их отношение не яв-ляется рациональным числом.

Рассматривая прямоугольный равнобедрен-ный треугольник, мы пришли к выводу, что егогипотенуза несоизмерима с катетом. (Эта частьурока занимает примерно 10 мин.)

К этому же выводу можно было прийти и болеепростым путем, описание которого можно найтина страницах 79—80 учебника. Ученики внима-тельно читают текст до слов «Рассмотренный при-мер показал…» и готовятся ответить на вопросы.Пока ученики читают учебник, на доске можнозаписать в о п р о с ы и предложить школьникамнайти в тексте ответы на них.

ABAC--------- m

n-----

105

1. Почему площадь квадрата ACPQ (см. рис. 11учебника) в 2 раза больше площади квадратаABCD? [Квадрат ACPQ состоит из четырех тре-угольников, а квадрат ABCD — из двух таких жетреугольников.]

2. Чему равна площадь квадрата ACPQ, еслиAB = 1?

3. Чем являются стороны AB и AC квадратовв треугольнике ABC? [Катетом и гипотенузой.]

4. Из какого уравнения можно найти число d —длину стороны квадрата ACPQ? [d2 = 2.]

5. Почему d не является натуральным числом?[d > 1, а если d � 2, то площадь квадрата d2 � 4 > 2.]

6. Как сократимую обыкновенную дробь заме-нить равной ей несократимой дробью? [Сократи-мую дробь можно сократить на наибольший об-щий делитель числителя и знаменателя.]

7. Почему квадрат несократимой дроби нельзясократить? [При возведении в квадрат не появля-ется новых простых делителей.]

8. Верно ли равенство = 2, если — несо-

кратимая дробь?На первое прочтение выделяется 4 мин, на по-

иск ответов — еще 4 мин, а затем 5 мин ответыфронтально обсуждаются с классом. Полезно дляобсуждения скопировать рисунок 11 учебника надоску.

«Таким образом, — подводит итог учитель, —вы убедились в том, что диагональ квадрата состороной 1 не является ни целым, ни дробнымчислом, т. е. не является рациональным числом.Значит, кроме рациональных, есть и другие не-рациональные числа, называемые иррациональ-ными».

Ученики, используя схему состава действи-тельных чисел (см. с. 81 учебника), выполняют№ 193.

pq---

2 pq---

106

Решение № 195 (3, 8) выполняется ученикамисамостоятельно (примерно 4 мин). Ответы прове-ряются. После этого фронтально рассматривается№ 196. (На этот номер отводится примерно 5 мин.)

Остается подвести итог урока, где учитель ещераз подчеркивает, что на этом уроке школьникипознакомились с понятиями соизмеримости и не-соизмеримости отрезков, столкнулись с пробле-мой нехватки рациональных чисел для измерениядлин.

Д о м а ш н е е з а д а н и е. П. 14, еще раз вни-мательно прочитать весь текст пункта; № 195 (6,7, 10), 197 (1); попробовать выполнить № 199 (2).

Цель второго урока: повторение материалао рациональных числах.

Комментарии. Во время устной работы по-лезно выполнить № 194, 198 (1—4).

При фронтальном разборе № 199 (1) можно за-менить одну из данных дробей дробью с нужнымзнаменателем и числителем, равным x. Тогда,найдя x из пропорции, можно будет его несколькоуменьшить или увеличить. Например, в задании 1

имеем: = , 12x = 7•63, x ≈ 36,75, что значит

либо дробь удовлетворяет требованию задачи,

либо задача решений не имеет. Чтобы выяснить,с каким из этих случаев мы имеем дело, достаточ-

но сравнить числа и .

Затем можно предложить школьникам № 201,в котором требуется доказать, что число 5 нельзяпредставить в виде квадрата несократимой обык-новенной дроби. Полезно спросить школьников,можно ли представить это число в виде квадратасократимой обыкновенной дроби — ответы, какправило, развеивают иллюзии учителя о том, чтовсе ученики поняли доказательство того, что дроб-

712------- x

63-------

3763-------

3763------- 11

18-------

107

ное число, квадрат которого равен 2, не являетсярациональным.

Затем можно предложить ученикам выписатьнатуральные числа, меньшие 10, которые не яв-ляются квадратами рациональных чисел. Можнопопробовать также рассмотреть вопрос о том, яв-ляется ли, например, число 0,5 квадратом како-го-нибудь рационального числа.

Если 0,5 = , то, перевернув обе части равен-

ства, получим 2 = — равенство, невозмож-

ность которого уже была доказана.Затем следует обсудить с классом задания

№ 200. После того как ученики на основании из-вестных правил действий положительно ответятна вопросы задания 1, в задании 2 используетсяметод доказательства «от противного». Так, на-пример, предположение о том, что частное ра-ционального и нерационального чисел являетсярациональным числом, приводит по правиламдействий к выводу о том, что частное двух раци-ональных чисел в этом случае не является раци-ональным, что неверно. Здесь же можно ввес-ти термин иррациональные для нерациональныхчисел.

Завершить урок можно фронтальным обсужде-нием № 202.

Д о м а ш н е е з а д а н и е. П. 14, № 197 (2),199 (2); выявить в выражении № 197 (2) формулысокращенного умножения.

15. Периодические и непериодическиебесконечные десятичные дроби (3 ч)

В этом пункте рассматривается перевод обык-новенной дроби в десятичную, вводится понятиепериода и обосновывается «неизбежность» появ-ления периода при таком переводе.

pq---

2

qp---

2

108

Предметные результаты обучения: формули-ровать определение рационального и иррацио-нального чисел через десятичную дробь; пред-ставлять действительное число бесконечной де-сятичной дробью; сравнивать и упорядочиватьдействительные числа; находить десятичные при-ближения рациональных и иррациональных чи-сел; читать и записывать периодические деся-тичные дроби; переводить обыкновенную дробьв десятичную и обратно; выполнять сложение ивычитание периодических десятичных дробей.

Метапредметные результаты обучения: на-ходить закономерности в записи чисел и продол-жать их.

Цель первого урока: формирование уменияшкольников переводить обыкновенную дробь вдесятичную и обратно.

Комментарии. В начале урока школьникиустно выполняют № 198. Затем устно разбирают№ 203 (1, а, б) и выполняют № 212.

Далее разговор с опорой на учебник ведется опредставлении чисел в виде бесконечных десятич-ных дробей, основной идеей здесь является воз-можность указать координату любой точки коор-динатной прямой как бесконечную десятичнуюдробь.

Затем внимание школьников возвращается кзаданию № 198 (6), в котором для сравнения чиселобыкновенную дробь перевели в десятичную. Рас-смотрение п р и м е р а 1 пункта подводит учени-ков к выводу о том, что любую обыкновеннуюдробь можно представить в виде бесконечной пе-риодической десятичной дроби. Желательно, что-бы школьники поняли идею ограниченности чис-ла остатков при делении на натуральное число.

Закрепляется материал при самостоятельномвыполнении учениками № 204 (нечетные номера).

После проверки правильности выполнения за-даний, посвященных представлению обыкновен-ной дроби в виде бесконечной десятичной пери-

109

одической дроби, естественно рассмотреть алго-ритм решения обратной задачи — перевода пери-одической дроби в обыкновенную — на п р и м е-р е 2 пункта и выполнить № 205 (нечетные но-мера).

Д о м а ш н е е з а д а н и е. П. 15, № 204 (чет-ные номера), 205 (четные номера).

Цель второго урока: отрабатывать у учениковумение работать с бесконечными десятичнымидробями.

Комментарии. В начале урока по мотивамдомашнего задания проводится самостоятельнаяработа по вариантам. Ответы ученики сдают наподписанных листках.



В-1. 1. 1) ; 2) 7; 3) – ; 4) . 2. 1) 3,(0); 2) 4,1(0);

3) 0,58(3); 4) 3,(5). 3. 1) ; 2) 4 .


1. Запишите числа, обратные данным:

1) 9; 2) ; 3) – ; 4) 1,4 1) 7; 2) ; 3) – ; 4) –2,4

2. Запишите в виде бесконечной периодической деся-тичной дроби числа:

1) 3; 2) 4,1; 3) ; 4) 3 1) 5; 2) 4,01; 3) ; 4) 3

3. Запишите в виде обыкновенной дроби:

1) 0,(5); 2) 4,3(15) 1) 0,(7); 2) 7,2(51)

17--- 5

3--- 1

11------- 7

3---

712------- 5

9--- 10

11------- 5

12-------

19--- 3

5--- 5

7---

59--- 52

165----------

110

В-2. 1. 1) ; 2) 11; 3) – ; 4) – . 2. 1) 5,(0);

2) 4,01(0); 3) 0,(90); 4) 3,41(6). 3. 1) ; 2) 7 .

Проверку можно провести по ответам после то-го, как ученики сдадут свои листки.

Выполнение заданий № 206 (1, 3), 207 (1, 3),211 основывается на переносе правил действий,знакомых школьникам по работе с конечными де-сятичными дробями, на бесконечные дроби, чтохотя и не вполне математически корректно, одна-ко оправдано дидактическими соображениями.Кроме того, в рамках общеобразовательного курсавыстраивание строгой теории действительных чи-сел не предполагается.

Д о м а ш н е е з а д а н и е. П. 15, № 206 (2, 4),207 (2, 4); контрольные вопросы к пункту.

Цель третьего урока: обобщение знаний уча-щихся об иррациональных числах.


УСТНАЯ РАБОТАЧисла записываются на доске, а задания учи-

тель формулирует устно.1. Среди записанных чисел 5; 0; 1; 6(4); –21;

56,031; ; – ; 4,(9); 0,777… укажите: натураль-

ные числа; целые числа; рациональные числа; ир-рациональные числа; действительные числа.

2. Представьте числа 6; 2,5; 5,1121212…; в ви-

де периодических дробей.3. Сравните числа:1) 0,(2) и 0,(21); 3) 7,131313… и 7,(13);2) 3,(5) и 3,565665666…; 4) 2,(9) и 3.Убедившись, что все рациональные числа запи-

сываются периодическими дробями, а бесконеч-ные периодические дроби представляют собой ра-циональные числа, школьники достаточно легко

17--- 3

7--- 5

12-------

79--- 83

330----------

37--- 5

2---

23---

111

могут сделать в ы в о д о том, что на долю ирраци-ональных чисел остаются непериодические дро-би. В тексте пункта рассмотрен п р и м е р 3, слу-чай непериодической дроби, после рассмотрениякоторого можно предложить школьникам поду-мать над заданиями № 209. Вообще говоря, зада-ния не вполне корректны, поскольку никто «незапрещает» дроби после указанных знаков начатьвести себя совершенно иначе, однако в заданияхпредполагается, что закономерность существует иуказанных цифр достаточно для ее обнаружения.

Задания № 210 являются аналогом № 200 с уче-том того, что термин «периодическая дробь» заме-няет термин «рациональное число», а «неперио-дическая» — «иррациональное».

Если на уроке останется время, то разбирается№ 432 из раздела «Повторение».

Д о м а ш н е е з а д а н и е. П. 15, № 427 (нечет-ные номера), 428 (1, 2) из раздела «Повторение».

16. Функция y = x2 и ее график (2 ч)В пункте при изучении функции y = x2, запол-

нения таблицы значений и построения графикафункции и формировании ее свойств повторяютсяфункциональные понятия: функция, аргументфункции, симметрия графика относительно осикоординат, возрастающая и убывающая функцияна промежутках.

Предметные результаты обучения: строитьграфик функции y = x2 на координатной плоскос-ти; описывать свойства функции; находить значе-ния функции, заполнять таблицу значений; нахо-дить графическое решение системы уравнений;определять по графику функции промежутки еевозрастания и убывания.

Метапредметные результаты обучения: счи-тывать информацию с графика и с таблицы, за-полнять таблицы.

Цель первого урока: формирование знаний освойствах функции y = x2.

112

Комментарии. Урок можно начать с рассмот-рения новой функции. Сначала площадь квадратарассматривается как функция длины его стороныS = a2, затем сравнивается с функцией y = x2. Присравнении этих функций обращается внимание наразницу между областью определения функции,вытекающей из условия задачи, и так называемойестественной областью определения функции,совпадающей с множеством допустимых значенийаргумента в формуле, задающей функцию.

В сильном классе при рассмотрении функцииy = x2 следует отметить равенство значений функ-ции, соответствующих противоположным значе-ниям аргумента, и использовать этот факт присоставлении таблицы значений функции. В менеесильном классе следует придерживаться последо-вательности изложения учебника.

Соображение о том, что на каждом отрезке зна-чений аргумента значения функции находятсямежду ее значениями в концах отрезка, исполь-зуется, конечно, отдельно для положительной иотрицательной частей оси абсцисс. Сам график по-лучается как результат сгущения точек, при кото-ром все они располагаются на некоторой кривой.После построения графика рассматриваются ос-новные свойства, которые формулируются какдля графика, так и для функции.

Весь теоретический материал рассматриваетсяв форме фронтальной беседы с опорой на учебник.Перед разговором о свойствах ученики в своихтетрадях проводят график функции y = x2, как нарисунке 15 учебника. Следует обратить вниманиешкольников на закругленность параболы у еевершины, так как многие ученики в этой точкеизображают излом. С этой целью ученикам полез-но выполнить № 213 (а). Также следует предло-жить школьникам до рассмотрения свойств гра-фика выполнить задания № 214, 215.

113

При этом № 214 можно выполнять в форме са-мостоятельной работы на два варианта. При об-суждении результатов № 214 (2) следует обратитьвнимание на то, что каждому из указанных значе-ний функции соответствует пара противополож-ных значений аргумента.

Перед выполнением № 215 желательно вспом-нить со школьниками, в каком случае точка при-надлежит графику функции; кроме того, необ-ходимо обратить их внимание на то, что при возве-дении в квадрат удобно пользоваться таблицейквадратов на странице 254 учебника.

№ 217 выполняется после рассмотрения свойствфункции y = x2. Правило, которое полезно сфор-мулировать при решении этого номера, звучиттак: «Большее по модулю число имеет большийквадрат». № 218 (1) сначала выполняют ученикина местах, а затем к доске приглашается ученик,который должен обосновать свой ответ, ссылаясьна свойства функции y = x2.

Д о м а ш н е е з а д а н и е. П. 16, № 220, 225.

Цель второго урока: формирование умений ре-шать системы уравнений графически.

Комментарии. На уроке в форме серии одно-вариантных самостоятельных работ выполняютсязадания № 221, 222, 224. Фронтально разбирают-ся № 219 и 223.

17. Понятие квадратного корня (2 ч)В пункте дается понятие квадратного корня с

помощью аналитического и графического реше-ния уравнения х2 = a. Школьники учатся записы-вать корни этого уравнения с помощью квадратно-го корня и вычислять его значение, применяякалькулятор.

Предметные результаты обучения: формули-ровать определение квадратного корня из числа;записывать квадратный корень из указанногочисла; использовать график функции у = х2 для

114

нахождения квадратных корней; вычислять точ-ные и приближенные значения корней, используяпри необходимости калькулятор или таблицы;проводить оценку квадратных корней целымичислами и десятичными дробями; доказывать ир-рациональность указанных квадратных корней;сравнивать числа, записанные в виде квадратныхкорней; исследовать уравнение х2 = а; находитьточные и приближенные корни при а > 0.

Метапредметные результаты обучения: про-водить оценку числа, проводить исследования прирешении уравнений с параметрами, находить точ-ные и приближенные значения при вычислениях,использовать калькулятор для вычислений.

Цель первого урока: формирование понятияквадратного корня.

Комментарии. Подход к понятию квадратно-го корня через решение уравнения x2 = a позволя-ет объяснить природу термина: корень уравне-ния — корень, поскольку входит в уравнение какквадрат — квадратный. С другой стороны, гра-фическая интерпретация, нахождение абсцисс то-чек графика, имеющих соответствующую ордина-ту a, дает ответ на вопрос о количестве корнейуравнения, т. е. при каких значениях a имеетсядва, при каком — один корень и при каких значе-ниях a корней нет. Эти идеи закрепляются прифронтальном выполнении № 226 (1, 2).

Ученики часто путают понятие квадратногокорня из положительного числа a и понятие ариф-метического квадратного корня, для которого вво-

дится специальное обозначение . Поэтому важ-

но подчеркнуть, что равенство = b означаетодновременное выполнение двух условий, т. е.

системы условий Именно выполнение

этих двух условий должны устно проверить уча-щиеся при выполнении № 228 (2).

a

a

b2 = a,b � 0.

115

Фронтально выполняются задания № 229—232.При этом не нужно решать номера полностью.

В последних двух заданиях № 234 учащиесявстречаются с ситуацией, когда подкоренное чис-ло уменьшено в 100 раз по сравнению с числом изтаблицы квадратов. Полезно немного забежатьвперед и рассмотреть, что произойдет с корнем,когда подкоренное выражение изменится в n2 раз.

№ 236 сводится к ответу на вопрос: «Какойцифрой (цифрами) может заканчиваться квадратнатурального числа?» Поскольку последняя илидве последних цифры квадрата определяются по-следней цифрой его основания, следует рассмот-реть все однозначные числа. В связи с этим можнопредложить школьникам обосновать правило воз-ведения в квадрат числа, оканчивающегося циф-рой 5.

При возведении в квадрат числа, оканчиваю-щегося цифрой 5, число его десятков умножаетсяна следующее за ним число и к результату спра-ва дописывается 25.

Любое число, которое оканчивается цифрой 5,можно записать, как 10n + 5. Тогда

(10n + 5)2 = 100n2 + 100n + 25 = n(n + 1)•100 + 25.После вывода правила возведения в квадрат чи-

сел, которые оканчиваются цифрой 5, естественнопредложить школьникам устно возвести в квад-рат числа 15, 45, 95, 105.

В заключение урока школьникам предлагается№ 238 (2), в котором для получения ответа нужносравнить квадратный корень и рациональное чис-ло. В этом задании следует воспользоваться темже правилом для возведения в квадрат числа 3,5.

Д о м а ш н е е з а д а н и е. П. 17, № 241, 243(1, 3, 5, 7, 9), 245, 249 (1, 2).

Цель второго урока: формирование умения ре-шать квадратные уравнения простейшего вида.

Комментарии. На уроке ученикам предлага-ется самостоятельная работа в двух вариантах.

116

В-1. № 243 (2), 244 (1). В-2. № 243 (4), 244 (3).После проверки работы фронтально разбирает-

ся № 242, в котором следует обращать вниманиетолько на порядок расположения точек на коор-динатной прямой, а не на расстояния между ни-ми. Рассмотрев два случая x > 1 и 0 < x < 1, учени-ки должны заметить, что точка A должна распо-лагаться на координатной прямой между точкамиB и C.

Затем следует разобрать со школьниками

№ 240. Доказательство иррациональности про-водится методом от противного. Предполагается,что указанное число является рациональным, нотогда и его квадрат — число π тоже является раци-ональным, что противоречит условию.

В оставшееся время полезно решить уравнения№ 243 (12), № 246 (1—3).

Д о м а ш н е е з а д а н и е. П. 17, контрольныевопросы и задания к пункту; № 243 (11), 246 (2, 3),247.

18. Свойства арифметическихквадратных корней (3 ч)

В этом пункте начинается отработка уменийпреобразовывать выражения с квадратными кор-нями.

Предметные результаты обучения: формули-ровать и записывать в символической форме свой-ства арифметических квадратных корней; дока-зывать свойства арифметических квадратныхкорней; применять их для преобразования выра-жений; вычислять значения выражений, содер-жащих квадратные корни; находить множестводопустимых значений выражений, содержащихквадратные корни; находить точные и прибли-женные значения квадратных корней.

Метапредметные результаты обучения: вы-ражать переменные из геометрических и физиче-

π

117

ских формул, содержащих квадратные корни; ис-пользовать калькулятор или таблицы для нахож-дения значений квадратных корней.

Цель первого урока: формирование уменияшкольников применять свойство извлечения кор-ня из квадрата числа.

Комментарии. В начале урока можно фрон-тально рассмотреть с классом № 246 (1, 3). Привыполнении этих заданий ученики отвечают навопрос: «Какое неотрицательное число следуетвозвести в квадрат, чтобы получить подкоренноечисло?» Затем аналогичный вопрос ставится к за-данию № 248 (2). После ответа на него следует из-менить данное в условии неравенство на a < 2. Же-лание получить ответ, который объединяет оба

случая, приводит к равенству = |a – 2|.Затем фронтально выполняется № 250. Послед-нее задание этого номера приводит к доказатель-ству свойства «Корень из квадрата числа равенмодулю этого числа». Закрепляется свойство привыполнении № 251, 252, перед выполнением ко-торых разбирается п р и м е р 1 пункта.

В № 251 речь идет о тождествах. Здесь, чтобыдоказать, что равенство не является тождеством,достаточно привести пример допустимого значе-ния, при котором оно не выполняется. Если же та-кого примера найти не удается, следует попытать-ся доказать, что равенство является тождеством.Это делается аналогично тому, как доказывалосьсвойство корня из квадрата, т. е. проверяется вы-полнение двух условий. Чтобы доказать тождест-

во = x2, следует убедиться, что: 1) x2 � 0;2) (x2)2 = x4.

Другой вариант решения — использование ужедоказанного тождества свойства 1:

= |a|, а именно = x2, |x2| = x2, x2 = x2.

Д о м а ш н е е з а д а н и е. П. 18, № 246 (2, 4, 6),248 (3), 252 (5), 253 (1, д; 2, г), 254 (3, 5).

a – 2( )2

x4

a2 x4

118

Цель второго урока: формирование уменияшкольников применять свойства извлечения кор-ня из произведения и частного.




1) ; 3) ; 5) ; 7) ;

2) ; 4) ; 6) ; 8) .2. Решите уравнение:

1) x2 = 49; 3) x2 = 5; 5) = 11;

2) 2x2 = 30; 4) x2 = 2; 6) = 3.

Затем в № 255 (1) формулируется свойство «Ко-рень из произведения равен произведению кор-ней», которое доказывается в задании 2 и приме-няется в задании 3. Закрепляются первые двасвойства выполнением заданий № 256, 257.

В заданиях № 256 (1—4) множители, стоящиепод знаком корня, можно не раскладывать напростые множители. Достаточно выделить квадра-

ты. Например, в задании № 256 (2) =

= = = 18•8 = 144.В заданиях № 257 свойство корня из произведе-

ния используется в обратном направлении. Полез-но предложить школьникам дать соответствую-щую формулировку: «Произведение корней равнокорню из произведения».

Аналогично на выполнении № 258 строится ра-бота по изучению свойства корня из частного. За-крепляется свойство выполнением № 259.

Завершить урок можно фронтальным выполне-нием нечетных заданий № 260.

Д о м а ш н е е з а д а н и е. П. 18, № 255 (3, ж,з), 256 (4, 8), 259 (2, 4); подумать над № 263.

121 256 225 0

196 144 289 1

12--- x

13--- 1

4--- x

162•128

81•2•64•2 9•2•8( )2

119


Комментарии. Урок можно начать с провер-ки домашнего задания. Следует обсудить сошкольниками № 263. С идеей, лежащей в основеего решения, учащиеся уже встречались в № 236.Задания № 263 (5, 6) требуют иного подхода. В за-дании 5, умножив и разделив подкоренное чис-

ло на 10 000, мы получим = =

= . Числитель дроби иррационален, а зна-

менатель — натуральное число, значит, дробьиррациональна. С такой ситуацией школьникивстречались в № 200 (2), когда речь шла о частномиррационального и рационального чисел.

Затем класс переходит к фронтальному вы-полнению № 266. Рассуждения школьников, на-пример, при выполнении задания 9 могут быть

такими: имеет смысл, когда знаменатель

дроби — выражение 2x + 6 принимает положи-тельные значения. Для этого значение выражения2x должно быть больше чем –6, и, следовательно,множество допустимых значений x > –3. В зада-нии 10 школьникам следует предложить отметитьна координатной прямой множества допустимыхзначений x сначала для одного корня, а затем длядругого и записать с помощью неравенства значе-ния x, при которых существуют оба корня. В зада-нии 12, во-первых, должен существовать корень,а значит, подкоренное выражение должно бытьнеотрицательным, и, во-вторых, этот корень недолжен принимать значение, равное 1. Выполне-ние заданий № 266 не предполагает знакомствашкольников со свойствами неравенств, ответы по-лучаются на основании конкретных рассуждений.

23419010000

----------------------234190

10000--------------------------

234190100

--------------------------

52x + 6-------------------

120

Затем со школьниками обсуждается план вы-полнения заданий № 265. Сначала корень из квад-рата заменяется модулем, а затем, чтобы изба-виться от модуля, рассматриваются два случая.Полезно в заданиях 1—4 рассмотреть графиче-ский метод решения. Это, естественно, потребуетпостроения графика функции y = |x|, что полезносамо по себе. Кроме того, даже весьма схематиче-ское изображение графиков левой и правой частейравенства позволяет определить, каким, положи-тельным или отрицательным, является искомыйкорень уравнения.

З а м е ч а н и е. Характерной методическойособенностью работы с новым материалом являет-ся наличие этапа обсуждения задания перед еговыполнением. На этом этапе учащиеся должнысформулировать и обосновать план своей деятель-ности, сказать, какими правилами, формуламии свойствами они будут пользоваться. Понятно,что учитель оказывает в этом школьникам необхо-димую помощь.

Завершить урок можно фронтальным обсужде-нием № 264. Нужно обратить внимание на форму-лировку задания. Здесь утвердительный ответ да-ется в случае, если удается указать конкретныезначения переменных, при которых равенствоверно. А доказывать надо, что таких значений несуществует (так, в задании 1 предположение отом, что при каких-то значениях данное равенствоверно приводит к выводу о равенстве квадратовлевой и правой части равенства, а это, в свою оче-редь, приводит к равенству ab = 0, которое не вы-полняется ни при каких положительных значени-ях a и b).

Д о м а ш н е е з а д а н и е. П. 18, № 261, 262,267 (используется таблица квадратов из разделаучебника «Справочные материалы»).

121

19. Внесение и вынесение множителяиз-под знака корня (2 ч)

В этом пункте продолжается работа с квадрат-ными корнями. Пожалуй, единственную труд-ность для школьников может представить преоб-разование буквенных выражений. Именно в этойситуации существен знак модуля при вынесениимножителя из-под знака корня. В случаях же чис-ловых выражений ошибки в применении соответ-ствующей формулы маловероятны.

Предметные результаты обучения: вноситьи выносить множитель из-под знака корня при уп-рощении выражений, вычислении и сравнениизначений числовых выражений, содержащих квад-ратные корни.

Метапредметные результаты обучения: до-казывать математические утверждения, сравни-вать математические объекты.

Цель первого урока: формирование уменийшкольников вносить и выносить множители из-под знака квадратного корня.

Комментарии. Урок начинается с самостоя-тельной работы по материалу предыдущего пункта.


Вариант 11. Вычислите:

1) ; 2) ; 3) (– )2; 4) .


1) – ; 2) • .

Вариант 2


1) ; 2) ; 3) –(– )2; 4) .

1,44 16225---------- 21 1 9

16-------

729 529 19--- 0,36

3,61 81196---------- 12 1 64

225----------

122


1) – ; 2) • .


В-1. 1. 1) 1,2; 2) ; 3) 21; 4) . 2. 1) 4; 2) 0,2.

В-2. 1. 1) 1,9; 2) ; 3) –12; 4) . 2. 1) 2; 2) 1,5.

На следующем этапе урока разбирается теоре-тический материал.

При обсуждении формулы = |a| следуетсразу обратить внимание школьников на возмож-ность обратного преобразования — внесения мно-жителя под знак корня. Примеры, рассмотренныев учебнике, целесообразно предложить ученикамв следующем порядке: сначала п р и м е р 1, затемп р и м е р 3.

После обсуждения этих примеров ученикампредлагается серия самостоятельных работ из за-даний № 268, 272, 269. В каждую работу сериивключается по одному заданию из каждого номе-ра. В серии 3—4 задания. Между работами обсуж-даются задания № 276.

Например, С1: 268 (2, а), 272 (1), 269 (1, а). → Об-суждение результатов. → Фронтальный разбор№ 269 (1, а). → С2: 268 (2, е), 272 (4), 269 (1, в). →Обсуждение результатов. → Разбор № 276 (1, д)и т. д. Как мы уже говорили, выбор заданий дляследующей самостоятельной работы серии зави-сит от результатов выполнения классом предыду-щей работы.

Д о м а ш н е е з а д а н и е. П. 19, № 268 (2, в, з,н), 269 (1, б, е), 272 (3, 6).

Цель второго урока: формирование уменийшкольников упрощать выражения и сравниватьзначения выражений, содержащих квадратныекорни.

676 576 925------- 6,25

415------- 5

4---

914------- 17

15-------

a2b b

123

Комментарии. На уроке сначала предлагает-ся серия из двух самостоятельных работ — про-должение серии, начатой на предыдущем уроке.Затем рассматриваются п р и м е р ы 2 и 4. Послечего предлагается серия из 3—4 самостоятельныхработ, составленных из заданий № 271, 274, 273,по одному заданию из номера. Между работами се-рии разбираются задания № 276. Перед тем какученики приступят к первой работе из серии, сле-дует обсудить план выполнения каждого задания.

Затем со школьниками рассматриваются зада-ния № 270, 275, 276 (1, з).

Рассмотрим несколько заданий пункта, кото-рые обычно вызывают сложности у школьников.

№ 270. Дополнительное условие в задании 1применяется при снятии модуля. В задании 3 из-под знака корня выносится x2. Понятно, что знакдля x не важен, а вот под знаком корня остается x,и некоторые школьники склонны поставить передним знак «–», чтобы сделать его положительным.В этом случае следует предложить школьникамопределить знак значений y в исходном выраже-нии, поскольку x < 0, то x5 < 0. И чтобы произве-дение x5y было неотрицательным, значения yдолжны быть неположительными. Не помешаетзадать этот вопрос, даже если ученики и не допус-тили в задании ошибок. В задании 6 из-под корнявыносится |p3q4| — под знаком модуля стоит выра-жение, значения которого отрицательны (p3 < 0).При снятии модуля появляется знак «–».

В № 276 следует задать ученикам вопрос о зна-ке переменной и знаке всего выражения. Так,например, в задании 1 (з) под корнем стоит неот-рицательное число –x, значит, и значение выра-

жения –x неотрицательно. После внесения

числа –x под знак корня получим = .Д о м а ш н е е з а д а н и е. П. 19, № 273 (6, 7),

275 (3, 4).

–x

–x( )3 –x3

124

20. Действияс квадратными корнями (4 ч)

В этом пункте, практикуясь в основном в преоб-разованиях числовых выражений, школьникиуглубляют свои знания о квадратных корнях.В содержании пункта можно выделить две части:

1) работа с квадратными корнями из чисел;2) преобразование буквенных выражений, со-

держащих корни.Такое перечисление частей отнюдь не задает по-

следовательность их изучения. Более того, можносказать, что вторая часть осуществляет хотя и по-лезную на этом этапе, но все же достаточно отда-ленную пропедевтику материала 9 и 10 классов,в котором будут специально изучаться преобразо-вания буквенных выражений с радикалами.

Предметные результаты обучения: осво-бождаться от иррациональности в знаменателях

дробей вида , , вычислять значения

выражений, содержащих квадратные корни; вы-полнять знаково-символические действия с ис-пользованием обозначений квадратного корня;упрощать выражения, сокращать дробные выра-жения, содержащие квадратные корни.

Метапредметные результаты обучения: вы-числять величины по различным формулам, со-держащим квадратные корни; выражать величи-ны из формул, пользуясь квадратными корнями.

Цель первого урока: формирование уменияшкольников избавляться от иррациональностив знаменателе дроби.

Комментарии. На уроке можно предложитьшкольникам самостоятельную работу в двух ва-риантах.

a

x------- a

b + c----------------------

125


Вариант 1

1. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

2. Внесите множитель под знак корня:

1) 3 ; 2) –8 ; 3) 6b ; 4) 3y3 .

Вариант 2

1. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

2. Внесите множитель под знак корня:

1) 9 ; 2) –5 ; 3) x ; 4) 5a3 .


В-1. 1. 1) 10 ; 2) ; 3) 4 ; 4) 15x2y .

2. 1) ; 2) – ; 3) ; 4) .

В-2. 1. 1) 9 ; 2) ; 3) 6 ; 4) 12b2|a| .

2. 1) ; 2) – ; 3) ; 4) .

При проверке работы полезно вернуться к фор-мулам, которыми задаются свойства корней, и ещераз обратить внимание школьников на возмож-ность их применения в обе стороны, т. е. на воз-можность замены левой части равенства его пра-вой частью, и наоборот.

В качестве иллюстрации обратного переходарассматривается п р и м е р 1 пункта.

300 2 112------- 48a 225x4y3

7 10 b 2y3

-------

162 2 39125---------- 72c 144a2b5

2 5 23--- x 3a

5-------

3 5

2 3----------- 3a y

63 640 36b3 6y7

2 17

5 5----------- 2c b

162 125 4x3

9---------- 15a7

126

Затем фронтально обсуждается, какими форму-лами можно воспользоваться в заданиях № 278,и выполняются несколько заданий, например 1,3, 9, 10. Работа с этими заданиями может прово-диться в виде самостоятельных мини-работ — сна-чала предлагается ученикам выполнить в тетрадяхзадание, затем (через 1—1,5 мин) обсудить реше-ние. Записи на доске при обсуждении выполняетучитель, реализуя предложения школьников,организуя критику или акцентируя внимание насущественных особенностях задания.

Далее можно рассмотреть с учениками п р и-м е р 2 пункта и выполнить задания № 279 (1, 3,5, 7, 13, 15).

Затем обсуждается план выполнения заданий№ 280, который школьники реализуют в серии са-мостоятельных мини-работ.

Д о м а ш н е е з а д а н и е. П. 20, выполнить тезадания, в которых были допущены ошибки науроке; выбрать задания из домашней контрольнойработы № 4, которые уже возможно выполнить.

Цель второго урока: закрепление уменияшкольников избавляться от иррациональности взнаменателе дроби.

Комментарии. На уроке сначала проводитсясерия из трех самостоятельных работ по три за-дания в каждой (по одному из № 278—280). Меж-ду первой и второй работами серии рассмотреть№ 281 (1).

После обсуждения задания № 280, завершаю-щего выполнение серии, учащимся предлагаетсяпридумать рациональный способ упрощения вы-ражений № 282 (1, 3, 7, 9). Следует добиться того,чтобы все учащиеся увидели формулу разностиквадратов в задании 1. В № 282 (3) следует предло-жить устно найти удвоенное произведение и срав-

нить его с . В № 282 (7) следует помочь школь-никам увидеть, что во второй скобке находится

12

127

неполный квадрат суммы 2 + 5 + • = 7 +

+ . В № 282 (9) школьники должны использо-вать знание того, что квадраты суммы и разностиотличаются только знаком перед удвоенным про-изведением.

После фронтального обсуждения школьникисамостоятельно выполняют упомянутые задания.Их проверкой и завершается урок.

Цель третьего урока: формирование уменийшкольников избавляться от иррациональностив знаменателе дроби.

Комментарии. Начинается урок с устноговыполнения № 283, затем самостоятельно по ва-риантам выполняется № 284, разбирается п р и-м е р 3 пункта. Закрепляется прием избавленияот иррациональности в знаменателе серией само-стоятельных работ из заданий № 285.

Затем фронтально обсуждается задание № 287 (3)и выполняется самостоятельно (с последующимобсуждением) задание 4. В этих заданиях дляответа на поставленный вопрос вычисляетсяквадрат данного выражения. Так, в задании 3:

( – )2 = 12 – 2 == 12 – 10 = 2. Число, квадрат которого равен 2, яв-ляется иррациональным.

Завершается урок обсуждением с последующимвыполнением самостоятельных мини-работ (с про-веркой каждой) из № 288 (1), 289 (1), 290 (1),292 (1), 293 (1).

Д о м а ш н е е з а д а н и е. № 288 (2), 289 (2),290 (2), 293 (2); подумать над выполнением № 291(если возникнут трудности, разобрать решение поучебнику).

Цель четвертого урока: формирование уменийшкольников преобразовывать буквенные выраже-ния, содержащие квадратные корни.

2 5

10

6 + 11 6 – 11 36 – 11

128



Вариант 11. Выполните действия:

1) 7 + 2 – ; 2) (2 + 6 ) : .2. Упростите выражение:

1) 4 – – 12 ; 2) ( + )( – ).

3. Освободите выражение от иррациональности

в знаменателе .

Вариант 21. Выполните действия:

1) 5 – + 3 ; 2) (3 + )• .

2. Упростите выражение:

1) – + 6 ; 2) ( – )( + ).

3. Освободите выражение от иррациональности

в знаменателе .


В-1. 1. 1) 8 ; 2) 34. 2. 1) –3 ; 2) c – b.

3. .

В-2. 1. 1) 5 ; 2) 24. 2. 1) – ; 2) c – d.

3. .

После обсуждения выполнения самостоятель-ной работы ученикам предлагается составитьплан решения уравнения № 292 (6), который онизатем реализуют в тетрадях.

3 27 75 75 48 3

a 34--- 16a a

9--- b c c b

d

2 – d------------------

6 216 24 12 12--- 48 3

2b 32--- 32b 8b

9------- c d c d

d

5 – d------------------

3 a

d 2 – d2 – d

-----------------------

6 2b

5 d + d25 – d

-------------------------

129

После проверки устно выполняются задания№ 294, затем в форме самостоятельных мини-работ № 295 (1, 3, 5, 9, 11).

Затем фронтально разбирается п р и м е р 4пункта, обсуждается и выполняется по действиям№ 296 (1). (В слабом классе этот материал можнопропустить.) Следует подчеркнуть, что введениеновых переменных в примере 4 делается толькодля более рельефного выделения формул и ни в ко-ей мере не может быть принято за единственныйобразец оформления решения. Напротив, полезнодобиться, чтобы ученики могли воспринимать,

например, a как ( )2, а b как .Д о м а ш н е е з а д а н и е. П. 20, контрольная

работа № 3.

ЗАЧЕТ ПО МАТЕРИАЛУ ГЛАВЫ 5«КВАДРАТНЫЕ КОРНИ»

Учитель предлагает ученикам задания двухуровней: обязательного и дополнительного. Пра-вильное выполнение обязательного уровня оцени-вается отметкой «удовлетворительно», правиль-ное выполнение обязательного и дополнительногоуровней оценивается оценкой «отлично». Учительво время проведения зачета проверяет правиль-ность выполнения заданий по таблице с ответамии выставляет в тетради на полях напротив каждо-го задания знак «+» при правильном выполнениии знак «–» при неправильном выполнении зада-ний. Чтобы проверить, насколько осознанно уче-ники выполняют задания, учитель по ходу провер-ки правильности выполнения письменных зада-ний задает вопросы типа тех, которые приведеныв списке вопросов к зачету. Рядом с плюсом, кото-рый ученик получил за правильное выполнениеписьменного задания, ставится еще один знак «+»или «–» в зависимости от комментариев, которыеученик дает по ходу его выполнения.

a b b( )3

130

У ученика есть возможность исправить ошибкив течение зачета, а у учителя — исправить минусна плюс. Если зачет учеником не сдан на уроке,он может быть перенесен на другое время, где емубудет предложен другой вариант.

ЗАДАНИЯ К ПИСЬМЕННОЙ ЧАСТИ ЗАЧЕТА

Вариант 1

Обязательный уровень1. Докажите, что число –8,6 рациональное.

2. Сравните числа 0,(65) и .

3. Постройте график функции y = x2 и с его по-

мощью найдите приближенное значение .

4. Вычислите 8 – .

5. Освободитесь от иррациональности в знаме-

нателе .

Дополнительный уровень


7. Решите задачу. Площадь одного квадратаравна 24 дм2, а площадь другого — 6 дм2. Во сколь-ко раз сторона первого квадрата больше сторонывторого?

8. Упростите выражение , если из-вестно, что b < –5.

Вариант 2

Обязательный уровень1. Докажите, что число –0,35 рациональное.

2. Сравните числа и 0,8(5).

23---

5

0,25 511------- 121

3

5 – 2 3----------------------

a – 3aa – 3

----------------------

b2 + 6b + 9

56---

131

3. Постройте график функции y = x2 и с его по-

мощью найдите приближенное значение .

4. Вычислите 1,2 – .

5. Освободитесь от иррациональности в знаме-

нателе .

Дополнительный уровень


7. Решите задачу. Площадь одного круга равна72 см2, площадь другого — 12 см2. Во сколько разрадиус первого круга больше радиуса второго?

8. Упростите выражение , еслиa < 1.


В-1. 2. 0,(65) < . 3. ≈ 2,2. 4. –1. 5. .

6. . 7. В 2 раза. 8. –b – 3.

В-2. 2. < 0,8(5). 3. ≈ 2,4. 4. 1,2. 5. .

6. + 3 . 7. В раз. 8. 1 – a.

ВОПРОСЫ К УСТНОЙ ЧАСТИ ЗАЧЕТА

1. Из каких чисел состоит множество действи-тельных чисел?

2. Может ли сумма и разность рациональныхчисел быть иррациональным числом?

3. Может ли произведение и частное рациональ-ных чисел быть иррациональным числом?

6

11336------- 1

4--- 0,64

7

2 + 3 7-----------------------

a2 – 27

a a – 3 3a----------------------------------

a2 – 2a + 1

23--- 5 3 + 6

13-----------------------

a

a + 3-----------------------

56--- 21 – 2 7

59--------------------------

a 3a--- 6

132

4. Может ли сумма или разность иррациональ-ных чисел быть рациональным числом?

5. Каким числом может быть произведение ир-рациональных чисел?

6. Каким числом может быть квадратный ко-рень из рационального числа?

7. Как обратить число в десятичную дробь?

8. Каким числом — рациональным или ирраци-ональным — является 3,5(7)?

9. Дайте названия графикам следующих функ-

ций: y = x; y = ; y = x2.

10. Сравните числа:

1) (–3,4)2 и 3,32; 2) и .11. Сколько точек пересечения может быть у гра-

фиков функций:

1) y = x2 и y = ; 2) y = x2 и y = kx + b?

12. Назовите свойства функции y = x2.13. Проходит ли график функции y = x2 через

точку C(2; )?14. Чем по смыслу отличаются предложения:

«b — квадратный корень из числа a» и «b = »?

15. Что означает запись = b?

16. Верно ли равенство = 50?

17. Имеет ли смысл выражение: , ?18. В каких координатных четвертях располо-

жен график функции y = (1 – )x?

19. Верно ли, что если a > b > 0, то > ?20. Сформулируйте свойство извлечения корня

из произведения. Запишите его в виде формулы.21. Сформулируйте свойство извлечения корня

из частного. Запишите его в виде формулы.

23---

1x---

5,7 5,6

kx---

2

a

a

250

–4 0

3

a b

133

22. Как установить, что равенство = y верно?23. На каком свойстве квадратного корня осно-

вано вынесение множителя из-под знака корня?24. Какое преобразование называется освобож-

дением дроби от иррациональности в знаменате-ле? Приведите пример дроби с иррационально-стью в знаменателе.

25. Примените формулу разности квадратовк выражению a – 9.

26. Примените формулу разности кубов к выра-

жению 27 – a .В конце урока учитель подводит итоги зачета,

выделяет задания, вызвавшие затруднения у уче-ников. Проводит разбор типичных ошибок. Назы-вает следующую дату принятия зачета для техучеников, которым не зачли работу.

Глава 4КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

В главе излагается материал, связанный с мето-дами решения квадратных уравнений: выделени-ем полного квадрата, по формуле корней, по об-ратной теореме Виета, частные способы решения,а также задачи, приводящие к квадратным урав-нениям и их системам.

21. Выделение полного квадрата (2 ч)Материал этого пункта осуществляет пропедев-

тику вывода общей формулы корней квадратногоуравнения.

Предметные результаты обучения: различатьдробные и целые уравнения; формулировать опре-деление степени уравнения, представленного в ви-де многочлена; решать уравнение разложениеммногочлена на множители; формулировать опре-

x

a

134

деление квадратного уравнения; выделять пол-ный квадрат двучлена.

Метапредметные результаты обучения: клас-сифицировать уравнения (дробные и целые); поль-зоваться формулой; подводить объект под поня-тие; выделять характеристические свойства поня-тия; переводить с естественного языка на языкматематических моделей; проводить математиче-ские исследования при решении уравнений с па-раметрами.

Цель первого урока: формирование понятияквадратного уравнения и умения его решить с по-мощью выделения полного квадрата.

Комментарии. В этом пункте желательно нетолько познакомить школьников с определениемквадратного уравнения, но и сформировать у нихпредставление о целом уравнении n-й степени содной переменной. Во-первых, что такое целоеуравнение? Ученики знакомы с рациональнымии иррациональными выражениями. Рациональ-ные выражения состоят из двух классов выраже-ний: целых и дробных. Полезно напомнить, чтоцелые выражения приводятся к многочленам,а дробные — к дробям, в знаменателях которыхдолжны присутствовать переменные. В связис этим целыми алгебраическими уравнениямис одной переменной называют уравнения видаP(x) = 0, где P(x) — многочлен от переменной x.Степенью многочлена называют наибольший изпоказателей степеней, с которыми в этот много-член входит переменная. Отсюда п р а в и л о: что-бы определить степень уравнения, следует:

1) перенести все его члены в одну часть, оставивв другой части нуль;

2) привести выражение к многочлену стандарт-ного вида и определить его степень.

Данные понятия вводятся в № 298, при разборекоторого учитель дает следующие з а д а н и я.

135

1. Назовите целые уравнения. Ответ объясните.2. Назовите старший коэффициент в целых

уравнениях.3. Укажите степень каждого из целых уравне-

ний.4. Какой член многочлена вы бы назвали сво-

бодным? Назовите свободные члены в целых урав-нениях.

5. Определите вид уравнения в № 299 (1, 2), на-зовите его степень, старший коэффициент и сво-бодный член.

Ученикам предлагается фронтально выполнить№ 300 (2). Если у них возникнут затруднения,то следует обратиться к разобранным примерампункта и попросить учеников найти нужный слу-чай. Это п р и м е р 1, который класс разбирает поучебнику, и возвращается к выполнению № 300.

При анализе заданий № 301 (1, 2, 5, 6) ученикиотмечают, что даны квадратные уравнения. Квад-ратными их называют по аналогии со степенями,где вторую степень обычно называют квадратом.При работе с определением следует обсудить воп-рос о неравенстве нулю коэффициента при x2. Да-лее школьники должны не только назвать коэф-фициенты, но и соотнести их с коэффициентамиквадратного уравнения ax2 + bx + c = 0, записан-ного на доске, когда речь шла о его определении.Называть коэффициенты ученики должны так:

«Коэффициент a при старшем члене равен –5,коэффициент b при x равен 4,свободный член с равен 1».Учитель предлагает № 302 (1, 3, 7), по ходу их

решения ученики обращаются к тексту учебникадля разбора п р и м е р о в 2, 3 и 4. При их рас-смотрении основное внимание следует уделитьпроблеме домножения при выделении полногоквадрата и представлению уравнения в виде ра-венства квадрата двучлена числу.

136

При анализе уравнений в № 302, 303 ученикипо каждому из приведенных в этих номерах урав-нений должны ответить, на какое число удобноумножить уравнение, чтобы выделить полныйквадрат. После чего ученики выполняют № 302(1, 3, 7), 303 (3) в форме самостоятельной работы.

Д о м а ш н е е з а д а н и е. № 302 (2, 4), 303 (1),308 (1); просмотреть задания домашней контроль-ной работы № 5 и выполнить те из них, которыеаналогичны разобранным в классе.

Цель второго урока: формирование умения ре-шать квадратные уравнения выделением полногоквадрата.

Комментарии. На уроке устно выполняются№ 301 (3, 4, 7, 8), 302 (1, 2), 305 (1, 2).

Затем проводится серия из двух небольших са-мостоятельных работ.

С1: № 302 (5), 303 (2). С2: № 302 (8), 303 (2).Между сериями работ выполняются задания

№ 304 (3), 305 (3). Последняя часть урока посвя-щается решению текстовых задач.

Д о м а ш н е е з а д а н и е. П. 21, контрольныевопросы и задания к пункту.

22. Решение квадратного уравненияв общем виде (3 ч)

В ходе изучения материала данного пункта уче-ники знакомятся с формулой корней квадратногоуравнения. В этом пункте не ставится задачасформировать прочные навыки решения квадрат-ных уравнений по формуле. Это могло бы привес-ти к тому, что ученики хуже усвоят другие спосо-бы решения квадратных уравнений и будут стре-миться находить корни по формуле, даже когдаэто не рационально. Поэтому основной акцент впункте ставится на вопросы, связанные с исследо-ванием дискриминанта квадратного уравнения.

137

Предметные результаты обучения: выводитьформулу корней квадратного уравнения; решатьквадратные уравнения; решать квадратные урав-нения с параметрами.

Метапредметные результаты обучения: стро-ить выигрышную стратегию игры; составлятьблок-схему решения линейного и квадратногоуравнений; доказывать математические утверж-дения; переводить с естественного языка на языкматематических моделей.

Цель первого урока: закрепление метода реше-ния квадратного уравнения выделением полногоквадрата, выведение формулы корней квадратно-го уравнения.

Комментарии. Урок начинается с самостоя-тельного выполнения школьниками № 310 (1),в процессе проверки которого подчеркивается, чтодля выделения квадрата двучлена в левой частиуравнения пришлось домножить его на учетверен-ный первый коэффициент. После этого со школь-никами фронтально рассматривается задание№ 310 (2). Следует обратить внимание школьни-ков, что если a = 0, то уравнение оказывается ли-

нейным и решается устно: 3x = –1, x = – . Здесь

старший коэффициент отличен от нуля, по анало-гии с только что решенным уравнением возникаетидея и здесь воспользоваться домножением на 4a.

Затем учитель заменяет в исходном уравнениичисла 3 и 1 буквами b и c. Здесь следует еще раз об-ратить внимание школьников на то, что квадрат-ным это уравнение является только при усло-вии, что a ≠ 0. Фронтально выполняются № 311,312 (1, 2). Затем класс переходит к решению урав-нения ax2 + bx + c = 0, где a ≠ 0. Решение этогоквадратного уравнения естественно провести поучебнику (до блок-схемы).

13---

138

Для закрепления алгоритма решения квадрат-ного уравнения общего вида фронтально выполня-ются № 314 (а, г, д).

Учащиеся самостоятельно выполняют № 310,а два ученика — на боковых досках. В задании 1решается квадратное уравнение выделением пол-ного квадрата, в задании 2 используется уравне-ние с одним параметром. Затем формула корнейквадратного уравнения в общем виде выводится входе фронтальной работы всего класса и с необхо-димыми записями учителя на доске.

Работа по формуле корней проводится при вы-полнении № 314 (а, в, д, ж).

В последней части урока подводится итог рабо-ты: рассматривается блок-схема на рисунке 21учебника и повторяется п л а н решения квадрат-ного уравнения.

1. Привести уравнение к виду ax2 + bx + c = 0.2. Найти дискриминант по формуле

D = b2 – 4ac.Если D < 0, то пишем, что корней нет.Если D = 0, то корень находим по формуле

x = – .

Если D > 0, то находим два корня по формуле

x1, 2 = .

Д о м а ш н е е з а д а н и е. П. 22, № 312 (3),313 (3), 314 (б), 317.

Цель второго урока: формирование уменияшкольников находить корни квадратного уравне-ния по формуле корней.

Комментарии. В начале урока учащиеся са-мостоятельно решают № 313 (2). Затем фронталь-но обсуждаются планы выполнения заданий№ 315. Школьники должны заметить, что в зада-ниях, отмеченных черными кружками, ответ мож-но получить устно. В задании 3 при подстановке

b2a-------

–b ± D2a

-------------------------

139

в левой части получится иррациональное чис-ло, а в правой — нуль. В задании 5 первые два чле-на делятся на 5, а свободный член — нет. Значит,левая часть на 5 не делится, а правая, нуль, делит-ся. Здесь можно обобщить результат и сказатьо том, что, вообще, когда в квадратном уравне-нии все коэффициенты целые, то целый корень(если он есть) должен являться делителем сво-бодного члена.

После обсуждения школьникам предлагаетсявыполнить № 315 (1, 2). В завершение урока мож-но сыграть со школьниками в игру — № 322 (1).При этом на доске учитель записывает уравнениес многоточиями и по очереди с учениками запол-няет их числами. Учитель должен быть вторымигроком, тогда он наверняка сможет выиграть.

Д о м а ш н е е з а д а н и е. П. 22, № 315 (4, 6),316 (1), 319, 325 (2); подумать над планом и веро-ятным результатом игры — № 322 (2, 3).


Комментарии. В начале урока проверяетсядомашнее задание. Здесь следует обратить внима-ние на проверку корней по тексту задачи № 325 (2).Затем проводится самостоятельная работа наоценку по вариантам — № 324 (1, 2).

Устно решаются уравнения № 314 (е, ж, з), и де-лается вывод о том, что не всегда при решенииквадратных уравнений следует сразу применятьформулу.

Организуется игра в № 322 в парах между уче-никами, предварительно учитель играет с учащи-мися. Понятно, что в этой игре участники форми-руют дискриминант квадратного уравнения. Так,в № 322 (2) первый игрок выигрывает, если дис-криминант окажется больше или равен нулю. Онобязательно выиграет, если первым же ходом по-ставит, например, вместо b нуль.

7

140

Второй игрок в № 322 (3) может не дать полу-чить единственный корень. Если первый игрок за-меняет b, то второй заменяет c нулем. Если жепервый игрок заменяет a или c, то второй заменя-ет соответственно c или a противоположным чис-лом. Тогда дискриминант окажется больше нуля.

Затем разбирается п р и м е р 2 пункта и вы-полняются задания № 318, 320, 321.

В пункте приведены две текстовые задачи. Каки в 7 классе, полезно отнестись к переводу задачина математический язык как к отдельной дидак-тической проблеме. Помочь в ее решении могут«препарированные» задачи из раздела «Практи-кум по решению текстовых задач». Эти задачиможно использовать на протяжении достаточнодлительного времени, отведенного на главу 4. Тог-да к началу изучения пункта 25, посвященногорешению текстовых задач, уже можно будет рас-считывать на наличие у школьников соответ-ствующих умений.

Д о м а ш н е е з а д а н и е. П. 23, № 316 (4),323, 325 (1).

23. Теорема Виета (2 ч)В пункте школьники познакомятся с историей

открытия теоремы Виета, самостоятельно дока-жут ее и научатся применять для решения квад-ратных уравнений. Формулы Виета применяютсядля составления квадратных уравнений по извест-ным корням и поиска второго корня, когда извес-тен первый.

Предметные результаты обучения: анализи-ровать связь между корнями и коэффициентамиквадратного уравнения; формулировать и доказы-вать теорему Виета, а также обратную ей теорему;применять теоремы для решения квадратныхуравнений и задач.

141

Метапредметные результаты обучения: клас-сифицировать квадратные уравнения (приведен-ные и неприведенные); формулировать гипотезыи доказывать математические утверждения; под-бирать рациональный способ решения квадратно-го уравнения; заполнять таблицы.

Цель первого урока: формирование знания отеореме Виета и умения ее применять для реше-ния квадратных уравнений.

Комментарии. В начале урока выполнениезаданий № 326 (а, б, в, г) подводит учеников к ги-потезе о соотношении корней и коэффициентовквадратного уравнения, после чего по учебникуразбирается доказательство теоремы Виета. Учи-тель сообщает школьникам, что теорема носитимя доказавшего ее французского математикаФрансуа Виета.

После этого ученикам предлагается самостоя-тельно выполнить № 328 (а, б). Ученики обнару-жат, что в задании а) корнем уравнения являетсячисло 1, а в задании б) — число –1, и дальше вста-нет проблема выбора формулы Виета для нахож-дения второго корня. Желательно, чтобы ученикисами выбрали вторую формулу. Если все же привыполнении задания возникнут трудности, учи-тель должен напомнить ученикам, что в такихслучаях следует искать помощь в учебнике —в п р и м е р а х пункта или в разделе «Советы ирешения».

Задания № 328 (в, г) выполняются после обсуж-дения работы фронтально. Здесь ученики должнысформулировать условия, которым удовлетворя-ют коэффициенты квадратного уравнения, имею-щего корень 1 или –1.

Затем ученики самостоятельно выполняют№ 327 (1, 2). С одной стороны, им полезно попрак-тиковаться в действиях с квадратными корнями,с другой — они убеждаются в том, что сумма и

142

произведение иррациональных чисел может бытьрациональным числом.

Затем фронтально по учебнику рассматривает-ся обратная теорема Виета для приведенного урав-нения. Именно эта теорема позволяет подбиратьсразу оба корня квадратного уравнения, а такжесоставлять по данным корням квадратное урав-нение. После формулировки этой теоремы по ре-зультатам, полученным в заданиях № 327 (1, 2),ученики записывают в своих тетрадях соответст-вующие квадратные уравнения.

Проверка обязательна, так как многие ученикина этом этапе забывают о том, что второй коэффи-циент приведенного уравнения не равен, а проти-воположен сумме корней.

Желательно обсудить со школьниками вопрососвобождения полученных уравнений от дробнос-ти коэффициентов с помощью умножения их наобщий знаменатель дробей.

Затем школьники переходят к № 333. Обсужда-ется отличие задания 1 от задания 3 этого номера.Затем задание 3 фронтально решается на доске.

При подведении итогов урока можно предло-жить школьникам ответить на в о п р о с: «Мож-но ли сказать, чему равна сумма корней квадрат-ного уравнения x2 – 2x + 3 = 0?» Скорее всего, уче-ники сразу же предложат ответ 2. Однако этотответ не верен, так как это уравнение вообще неимеет корней: D = 4 – 12 < 0.

Следовательно, прежде чем говорить о корняхуравнения, необходимо проверить, существуют лиу заданного квадратного уравнения корни.

Д о м а ш н е е з а д а н и е. П. 23, № 329 (2),330 (2), 332 (1, 4), 333 (2, 4), 334.

Цель второго урока: формирование уменияшкольников применять обратную теорему Виетаи решать задачи повышенной сложности.

143

Комментарии. В начале урока обсуждаетсядомашнее задание. В № 330 (2) внимание учени-ков обращается на желательность получения урав-нения с целыми коэффициентами, а № 333 (4) мож-но рассмотреть на доске. Данные таблицы можнопредставить в виде системы и решить ее:

3 = , a = , x1 = 12.

Пока это решение, записанное на доске, рас-сматривается учителем с классом, один из учени-ков записывает на доске доказательство обратнойтеоремы Виета (№ 334).

Затем фронтально устно решаются № 327 (3, 4),332 (2, 4).

После этого внимание учеников обращается наобратную теорему Виета, доказанную на доске,и учитель говорит о том, что некоторые приведен-ные квадратные уравнения удается решить с еепомощью, подбирая корни.

Фронтально рассматриваются уравнения № 335.Ученик, подобравший корни, поднимает руку иотвечает, называя два корня, их сумму и произве-дение. Полезно обсудить со школьниками п л а нподбора корней, который заключается в том, чтосвободный член разными способами раскладыва-ется на множители и затем находится их сумма,которая должна оказаться противоположной вто-рому коэффициенту квадратного уравнения. Корниподобрать не удается в заданиях 2, 5, 6, 7. Чтобырешить эти уравнения, нужно вычислять дискри-минант и т. д. Решение этих уравнений ученикамзадается на дом.

После подбора корней класс переходит к фрон-тальному выполнению № 338 (1—4).

x1 + 3 = ,

3x1 = ,

5a---

12a

-------

x1 = ,

+ 3 = ,

4a---

4a--- 5

a---

1a--- 1

3---

144

Затем обсуждается № 336 (1), в котором данаразность корней 6, сумма противоположна числу

– , а найти нужно произведение корней, умно-

женное на 4.Ученики выполняют решение самостоятельно

после обсуждения плана. При проверке решенияполезно обратить внимание школьников на то, чтодостаточно было найти 2x1 и 2x2:

2x1 = 13, 2x2 = 1,

2x1•2x2 = 4x1x2 = 13 = c.

Фронтально (от начала и до ответа) выполняет-ся № 337 (1). Полезно обратить внимание школь-ников на то, что при нахождении чисел по их сум-ме и разности мы складываем и вычитаем данныезначения, а при нахождении чисел по их произ-ведению данные значения перемножаются и де-лятся.

= (–12)•(–3) = 36,

= (–12) : (–3) = 4.

Понятно, что один из корней положителен,а другой отрицателен. Может быть два случая:

x1 = 6, x2 = –2, b = –20; x1 = –6, x2 = 2, b = 20.После этого решения ученикам уже совсем не-

трудно будет сделать вывод о том, что произойдетс корнями, если у второго коэффициента квадрат-ного уравнения поменять знак № 339 (1, а; 2, а).

Д о м а ш н е е з а д а н и е. П. 23, № 333 (5),334 (5), 335 (2, 7), 336 (2); для желающих поду-мать над решением № 338 (5—8).

284

-------

x1 – x2 = 6,x1 + x2 = 7,

x1x2 = – ,

= –3;

605

-------

x1

x2

------x1

2

x22

145

24. Частные случаи квадратныхуравнений (2 ч)

Материал этого пункта предназначен для фор-мирования у школьников рационального подходак решению квадратных уравнений. Ученики мо-гут проверять, являются ли корнями числа 1 или–1; раскладывать квадратное уравнение на мно-жители; использовать формулы Виета, формулукорней с сокращенным дискриминантом или об-щую формулу корней.

Предметные результаты обучения: решатьполные и неполные квадратные уравнения, а так-же с четным вторым коэффициентом по формулес сокращенным дискриминантом.

Метапредметные результаты обучения: клас-сифицировать квадратные уравнения (приведен-ные и неприведенные; полные и неполные); под-бирать рациональный способ решения квадратно-го уравнения.

Цель первого урока: формирование уменияшкольников решать неполные квадратные урав-нения и квадратные уравнения с четным вторымкоэффициентом.

Комментарии. Урок начинается с проверкидомашнего задания и фронтального решения урав-нений № 342. Сначала школьники просматриваютвсе уравнения этого номера, затем отвечают навопрос № 342 (2). После этого обсуждается планрешения уравнений. Уравнения № 342 (а, в) вы-полняются школьниками самостоятельно в тет-радях.

Затем фронтально выполняется № 343. Следу-ет предложить школьникам ответить на в о п р о со том, какие способы подбора корней они знают.Таких способов два: 1) проверка чисел 1 или –1с последующим нахождением второго корня поформуле Виета; 2) одновременный подбор обоихкорней по обратной теореме Виета.

146

Далее ученикам предлагается найти, что об-щего имеют все квадратные уравнения № 344. Всеэти уравнения имеют четный второй коэффици-ент, и встает вопрос о том, как решаются квадрат-ные уравнения с четным вторым коэффициентом.Полезно предложить ученикам найти соответст-вующий пример данного пункта. Это п р и м е р 5,а перед ним вывод формулы. Этот вывод и приме-нение формулы в примере 5 целесообразно разо-брать фронтально по учебнику.

Несколько заданий № 344 ученики решают са-мостоятельно. Можно вызывать ученика решатьуравнение на крыле доски и использовать затемэто решение при проверке.

Затем следует обсудить с классом планы и спо-собы решения уравнений № 345. После этого пред-ложить школьникам самостоятельно в тетрадяхрешить несколько уравнений этого номера.

Д о м а ш н е е з а д а н и е. П. 24, № 344, 345,354 (2), 356 (1).

Цель второго урока: формирование уменияшкольников решать дробно-рациональные урав-нения, сводя их к квадратным.

Комментарии. Начать урок можно с само-стоятельной работы по вариантам.

В-1. № 350 (1). В-2. № 350 (2).После проверки обсудить со школьниками

№ 347 (1, 4). Затем фронтально разобрать № 351,в котором акцентируется внимание на необходи-мости проверки корней, и на примере № 352 (9)повторить со школьниками, как приводятся дро-би к общему знаменателю.

После этого ученики самостоятельно решают№ 352 (2, 3, 5) с проверкой каждого из уравнений.Между решениями уравнений со школьникамиможно разобрать № 355.

В конце урока полезно совместно со школьни-ками сформулировать общий п л а н решенияквадратных уравнений.

147

1. Привести уравнение к виду ax2 + bx + c = 0,без дробных коэффициентов и a > 0.

2. Если уравнение неполное, то разложить намножители и записать корни.

3. Если уравнение приведенное, то постаратьсяподобрать корни по обратной теореме Виета.

4. Проверить числа 1 и –1 в качестве корней.5. Если второй коэффициент четный, то найти

сокращенный дискриминант и корни по формуледля четного второго коэффициента.

6. Если предыдущие пункты плана не удались,то найти дискриминант и корни по общей фор-муле.

7. Если уравнение было дробным, то проверитькорни.


25. Задачи, приводящиек квадратным уравнениям (4 ч)

В этом пункте ученики учатся решать задачи,приводящие к квадратным уравнениям, и закреп-ляют умения решать квадратные уравнения.

Предметные результаты обучения: решатьтекстовые задачи алгебраическим способом.

Метапредметные результаты обучения: ре-шать текстовые задачи составлением квадратныхуравнений: переходить от словесной формулиров-ки условия задачи к алгебраической модели путемсоставления уравнения; решать составленное урав-нение; интерпретировать результат; строить моде-ли к задачам, пользуясь практикумом по реше-нию текстовых задач; устанавливать соответствиемежду текстами задач и математическими моде-лями; объяснять готовые модели к задачам.

148

Цель первого урока: формирование уменияшкольников решать задачи на движение.

Комментарии. В начале урока с целью про-верки усвоения материала можно предложитьшкольникам следующий тест.

ТЕСТ

1. Решите уравнение 5x – x2 = 0.

А. . Б. 0 и . В. 17,5. Г. 0 и 17,5.

2. Решите уравнение (x + 4)2 = 2(4x + 11).

А. и – . В. – и .

Б. . Г. корней нет.3. Решите уравнение (3 – 5x)2 = 16.А. –2,6. Б. –0,2. В. –0,2 и 1,4. Г. 0,2 и –1,4.4. Решите уравнение 2x2 – 5x – 7 = 0.

А. –0,5 и . Б. 0,5 и – . В. 1 и –3,5. Г. –1 и 3,5.

5. При каких значениях c уравнение 3x2 – 4x ++ c = 0 имеет единственный корень?

А. 1 . Б. 1 . В. –1 . Г. –1 .

6. При каких значениях a и b корнями уравне-ния ax2 + bx + 10 = 0 являются числа –2 и 5?

А. a = 1, b = 3. В. a = –1, b = –3.Б. a = 1, b = –3. Г. a = –1, b = 3.7. Составьте квадратное уравнение с корнями

и – .

А. x2 + x + 6 = 0. В. x2 – x + 6 = 0.

Б. x2 – x – 6 = 0. Г. составить нельзя.


1. Г. 2. В. 3. В. 4. Г. 5. Б. 6. Г. 7. Б.

27---

235------- 2

35-------

2 2 6 6

6

74--- 7

4---

23--- 1

3--- 1

3--- 1

6---

12 3

3 3

3

149

Ученики сдают ответы на подписанных листоч-ках. После этого проводится устная работа по сле-дующим заданиям.


1. Подберите корни к следующим уравнениям:1) x2 + x – 2 = 0; 3) x2 – x – 6 = 0;2) x2 – 5x + 6 = 0; 4) x2 – 7x + 12 = 0.2. Назовите корни уравнений:1) 9x2 – 16 = 0; 3) 3x2 = 1;2) 5x2 – 10x = 0; 4) 15x2 = 0.Затем устно проверяется домашнее решение

№ 356 (2, 3). Особое внимание при этом уделяетсясоставлению уравнения по условию задачи.

После проверки школьники переходят к зада-чам пункта. Составление уравнения по условиюзадачи является ключевым этапом решения текс-товой задачи. Поэтому именно на формированиеумений составлять уравнения должны быть на-правлены основные усилия при изучении пункта.Этим объясняются рекомендации доводить науроке решение задачи только до уравнения, а ре-шение этого уравнения и запись ответа к задачепереносить на домашнюю работу школьников.Понятно, что план решения соответствующихуравнений должен быть ясен школьникам.

Фронтально разбирается з а д а ч а 2 пункта.Подчеркиваются соотношения между собственнойскоростью, скоростью по течению и скоростьюпротив течения реки.

Затем школьники самостоятельно работают с№ 358 (1) и после обсуждения — с № 358 (2). Прифронтальном обсуждении школьники должнысказать, что обозначено буквой x и что выражаеткаждая из дробей. После этого ученики самостоя-тельно составляют уравнение к задаче № 359 (1, а),в условие которой учитель должен внести неболь-шое изменение, сказав, что спортсмен проплыл

150

против течения 11 км. Собственную скорость лод-ки школьники обозначат буквой x. После обсуж-дения полученного ими уравнения и плана егодальнейшего решения полезно предложить школь-никам сказать, что изменится в уравнении, еслибуквой x обозначить скорость лодки по течениюреки, скорость лодки против течения реки, время,которое спортсмен плыл против течения.

В завершение урока учитель привлекает внима-ние учеников к разделу «Практикум по решениюзадач» и предлагает им в з а д а ч е 1 ответить навопросы до 3 (а) включительно. Школьники ра-ботают устно, а учитель записывает их ответы надоске.

Д о м а ш н е е з а д а н и е. П. 25, № 359 (цели-ком); из «Практикума по решению задач» задачи1 и 2 до ответа; домашняя контрольная работа№ 5.

Цель второго урока: формирование уменияшкольников решать задачи на работу.

Комментарии. Начинается урок с проверкидомашнего задания, два ученика на боковых отво-ротах доски показывают решение домашних за-дач, а весь класс выполняет самостоятельную ра-боту по мотивам домашнего задания.


Составить уравнения для решения задачи, обо-значив буквой x:

а) собственную скорость;б) скорость по течению, скорость против тече-

ния.Вариант 1. Катер прошел 30 км по течению ре-

ки и 13 км против течения, затратив на весь путь1 ч 30 мин. Какова собственная скорость катера,если скорость течения реки равна 2 км/ч?

Вариант 2. Туристы проплыли на байдарке про-тив течения реки 6 км и вернулись обратно. На все

151

путешествие они затратили 4 ч 30 мин. Каковасобственная скорость байдарки, если скорость те-чения реки 1 км/ч?


В-1. Уравнение + = , где x — собст-

венная скорость катера. Ответ: 28 км/ч.

В-2. Уравнение + = , где x — собст-

венная скорость байдарки. Ответ: 3 км/ч.

Проверяются у р а в н е н и я, составленные кзадачам, выявляются типичные ошибки, сделан-ные учениками.

После проверки самостоятельной работы фрон-тально разбирается з а д а ч а 3 пункта. Основноевнимание обращается на то, как выразить произ-водительность труда, а также на то, что произво-дительность совместного труда равна сумме про-изводительностей каждого.

Затем школьники самостоятельно работают с№ 360. При фронтальном обсуждении школьникидолжны сказать, что обозначено буквой x и чтовыражает каждая из дробей.

После этого ученики составляют уравнения кзадаче № 361 (1, а) самостоятельно. Эта задачапредставлена в разделе «Практикум по решениюзадач» учебника как з а д а ч а 8. Если составле-ние уравнения вызывает затруднения, то можнопредложить школьникам последовательно отве-тить на вопросы к задаче, приведенные в прак-тикуме. Ответы учеников следует фиксировать надоске.

Затем ученики составляют уравнения к№ 361 (1, б) самостоятельно и после их обсуж-дения фронтально составляют уравнения к№ 361 (1, в).

30x + 2--------------- 13

x – 2-------------- 3

2---

6x – 1-------------- 6

x + 1--------------- 9

2---

152

Завершает урок самостоятельное доведение доответа задач самостоятельной работы, предложен-ной школьникам в начале урока.

Д о м а ш н е е з а д а н и е. П. 25, № 361 (пол-ностью); задачи 9, 10 из «Практикума по реше-нию задач».

Цель третьего урока: формирование уменияшкольников решать задачи на движение.

Комментарии. С целью проверки усвоенияматериала по решению задач на работу проводит-ся самостоятельная работа.


Вариант 1. Токарь должен был обработать 120 де-талей к определенному сроку. Он обрабатывалв час на 2 детали больше, чем было намечено поплану, и уже за 3 ч до срока обработал на 16 дета-лей больше. Сколько деталей в час должен был об-работать токарь по плану?

Вариант 2. Мастер должен изготовить 72 дета-ли, а ученик — 64 детали. Изготовляя в час на 4 де-тали больше, чем ученик, мастер выполнил заказна 2 ч раньше. Сколько деталей изготовлял в часмастер?

Затем, если много неправильных ответов, про-веряются у р а в н е н и я, составленные к за-дачам.

В-1. Плановая производительность токаря x де-

талей в час, и ему требуется на всю работу ч.

Токарь, обрабатывая x + 2 детали в час, обработал

120 + 16 = 136 деталей и затратил ч. Состав-

ляем уравнение – = 3. Ответ: 6 деталей

в час.

120x

----------

136x + 2---------------

120x

---------- 136x + 2---------------

153

В-2. Мастер изготавливал x деталей в час, а уче-ник — x – 4 детали. Мастер затратил на выполне-

ние заказа ч, а ученик — ч. Зная, что мас-

тер закончил работу на 2 ч раньше, составим урав-

нение – = 2. Ответ: 12 деталей в час.

Изучение нового материала можно начать с са-мостоятельной работы, в которой требуется соста-вить по предложенному в учебнике плану уравне-ния к з а д а ч а м 5, 6 и 7 из раздела «Практикумпо решению задач». Проверить правильность ихсоставления. Предложить ученикам составить са-мостоятельно уравнения к задачам № 364 (а, б).Перейти к решению квадратных уравнений в№ 352 (7), 349 (1, 3).

Д о м а ш н е е з а д а н и е. П. 25, № 364 (в),349 (2, 4).

Цель четвертого урока: формирование уменияшкольников решать задачи на сплавы и закрепле-ние умения решать все изученные виды задач.

Комментарии. По мотивам домашнего зада-ния полезно провести самостоятельную работу.


Вариант 1. Из города A в город B, расстояниемежду которыми равно 120 км, выехал автобус.Через 1 ч вслед за ним выехала легковая машина,скорость которой на 20 км/ч больше скоростиавтобуса. Найдите скорости автобуса и легковоймашины, если они прибыли в город B одновре-менно.

Вариант 2. Из двух пунктов, расстояние междукоторыми 24 км, выехали навстречу друг другудва велосипедиста. Скорость первого, выехавше-го на 20 мин раньше второго, на 6 км/ч меньше

72x

------- 64x – 4--------------

64x – 4-------------- 120

x----------

154

скорости второго. Встретились велосипедисты насередине пути. Найдите скорость каждого велоси-педиста.


В-1. Скорость автобуса x км/ч, скорость ма-шины x + 20 (км/ч). Время, затраченное автобу-

сом, ч, время, затраченное машиной, ч.

Разность во времени — 1 ч. Составляем уравнение

– = 1. Ответ: 40 км/ч и 60 км/ч.

В-2. Скорость первого велосипедиста x км/ч,скорость второго — x + 6 (км/ч). Первый велоси-

педист на 12 км затратил ч, второй — ч.

Второй велосипедист затратил на половину пути

на 20 мин, т. е. на ч меньше, чем первый. Состав-

ляем уравнение – = . Ответ: 12 км/ч

и 18 км/ч.После проверки правильности выполнения са-

мостоятельной работы переходим к решению за-дач на сплавы и смеси, которые представляют, по-жалуй, наибольшие трудности для школьников.Возможно, это связано с тем, что нужно что-то де-лать с процентами. По аналогии с двумя предыду-щими уроками изучение нового материала начина-ется с фронтального разбора з а д а ч и 4 пункта.Важно, чтобы ученики запомнили, что процент-ное содержание (концентрация) выражается как

•100%, где m — масса вещества, процентное

содержание (концентрация) которого необходимонайти, M — масса всего сплава (раствора).

120x

---------- 120x + 20------------------

120x

---------- 120x + 20------------------

12x

------- 12x + 6---------------

13---

12x

------- 12x + 6--------------- 1

3---

mM------

155

После разбора задачи 4 обсуждается № 362.Следует дополнительно предложить школьникамобъяснить, что выражают уменьшаемое и вычи-таемое в левой части уравнения. Кроме того, уче-ники должны сказать, как можно упростить дан-ные уравнения. [Разделить на 20%.]

Затем школьники стараются самостоятельносоставить уравнения к задачам № 363 и упрос-тить их.

В завершение урока можно предложить школь-никам несколько задач разных типов для самостоя-тельного решения с проверкой в классе. В учебни-ке говорится о том, что оформление решений за-дач может быть минимальным. Приведем примертакого оформления задачи.

№ 367 (1). Р е ш е н и е.Пусть x км/ч — скорость автобуса после за-

держки, тогда

– = , = ,

= , 180•12 = x2 – 3x, x2 – 3x – 2160 = 0,

D = 9 + 4•2160 = 8649, x1, 2 = =

= .

Скорость — величина положительная, поэтомуx = 48. Ответ: 48 км/ч.

Д о м а ш н е е з а д а н и е. Завершить выполне-ние домашней контрольной работы № 5 и сдать еена следующем уроке.

Число текстовых задач пункта несколько боль-ше, чем можно решить за четыре урока в обычномклассе, даже если ограничиваться составлениемуравнений к большинству из них. Оставшиеся не-решенными задачи следует включать в домашниезадания при изучении следующих пунктов учеб-ника.

60x – 3-------------- 60

x------- 1

12------- 60x – 60x + 180

x x – 3( )------------------------------------------------ 1

12-------

180x2 – 3x--------------------- 1

12-------

3 ± 86492

------------------------------

3 ± 932

-------------------

156

26. Решение системы уравненийспособом подстановки (3 ч)

В пункте ученики повторяют понятие системыуравнений и метод ее решения с помощью сложе-ния уравнений и осваивают новый для них методподстановки.

Предметные результаты обучения: опреде-лять, является ли пара чисел решением уравне-ния с двумя переменными и системы уравнений,являются ли системы уравнений равносильными;приводить примеры решений уравнений с двумяпеременными; решать системы уравнений спосо-бом сложения, способом подстановки, по теоремеВиета; решать задачи, сводящиеся к составлениюсистемы, в которых одно из уравнений не являет-ся линейным.

Метапредметные результаты обучения: пе-реводить с естественного языка на язык математи-ческих моделей; использовать рациональные спо-собы решения систем уравнений.

Цель первого урока: формирование уменияшкольников использовать формулы Виета при ре-шении систем уравнений.

Комментарии. На уроке перед изучением но-вого материала следует повторить материал, изу-ченный в 7 классе. С этой целью с ученикамифронтально по учебнику рассматривается п р и-м е р 1 (решение 1). При обсуждении приведенно-го решения школьники отвечают на в о п р о с ыи выполняют задания из учебника.

1. Что такое система уравнений с двумя неиз-вестными?

2. Какую пару чисел называют решением систе-мы? (После ответа на второй вопрос школьникампредлагается устно выполнить № 374.)

3. Из каких видов уравнений составлены сис-темы?

157

4. Какие системы уравнений называют равно-сильными?

5. Какие равносильные преобразования системвы знаете? (После ответа на пятый вопрос школь-никам предлагается выполнить № 375.)

6. Какие преобразования использовались прирешении системы из примера 1?

Затем изучается решение 2 п р и м е р а 1.Подводя итог рассмотрения решений, учитель

обращает внимание школьников на то, что обаспособа направлены на достижение одной цели —исключить одну из переменных и получить урав-нение с одним неизвестным. Это уравнение затемрешается, а для отыскания соответствующих зна-чений другого неизвестного найденные корни под-ставляются в одно из уравнений исходной сис-темы.

Далее ученикам предлагается самостоятельнорешить систему № 376 (1).

При проверке решения школьники должны за-метить, что система является системой линейныхуравнений, и ее можно решить как способом сло-жения, так и способом подстановки.

Затем школьникам предлагается подумать надпланом решения № 378 (1, а). При обсужденииэтой системы ученики, во-первых, говорят, чтоэта система состоит из линейного уравнения иуравнения второй степени. Во-вторых, школьни-ки должны прийти к выводу о том, что способомсложения нельзя исключить одно из неизвестных.Остается способ подстановки. Из линейного урав-нения выражается y, и этим выражением заменя-ется y во втором уравнении.

Ученикам предлагается самостоятельно ре-шить эту систему способом подстановки. Одногоили двух школьников можно пригласить выпол-нить решение на крыльях доски. При проверке ре-

158

шения следует обратить внимание школьников наэтапы оформления решения:

2x2 + x – 15 = 0.

D = 121, x1, 2 = , x1 = –3, x2 = 2,5, y1 =

= 2(–3) + 1 = –5, y2 = 2(2,5) + 1 = 6.Ответ: (–3; –5), (2,5; 6).При проверке правильности решения предла-

гается ответить на следующие в о п р о с ы.1. В каких случаях используют способ сложе-

ния при решении систем?2. Изложите план решения системы уравнений

способом сложения.3. В каких случаях используют способ подста-

новки при решении систем?4. Изложите план решения системы уравнений

способом подстановки.Завершить урок можно решением задачи

№ 387 (1) и ограничиться составлением системыуравнений по условию задачи.

№ 387 (1). Р е ш е н и е. Пусть искомая дробь ,

где x и y — натуральные числа. Тогда

Обсудив план решения этой системы, следуетпредложить школьникам довести решение задачидо ответа дома.

Д о м а ш н е е з а д а н и е. П. 26, № 376 (3),377 (2), 378 (1, в, д), 387(полностью).

Цель второго урока: формирование уменияшкольников решать более сложные системы урав-нений, когда одно из уравнений не является ли-нейным.

2x – y = –1,xy = 15,

y = 2x + 1,x(2x + 1) = 15,

–1 ± 114

-----------------------

xy---

= ,

x2 + y2 = 1145.

x + 5x + 2--------------- 4

5---

159

Комментарии. В начале урока проводитсясамостоятельная работа на оценку.

В-1. № 376 (2), № 378 (1, б). В-2. № 376 (4),378 (1, е).

После проверки самостоятельной работы нап р и м е р е 3 пункта фронтально рассматривает-ся возможность использования теоремы Виетапри решении систем.

Затем школьники выполняют самостоятельно№ 379 (1), после проверки которого фронтальнообсуждается план решения № 379 (3) и 381 (6).В этих заданиях перед применением теоремы Ви-ета нужно несколько видоизменить данные систе-мы, чтобы выделить произведение и сумму.

Полезно вернуться к № 378 (1, б) и предложитьшкольникам подумать, как в нем использовать те-орему Виета.

378 (1, б). Р е ш е н и е.

z2 – 6z – 72 = 0, z1 = –6, z2 = 12, x1 = –6, –18y1 =

= 12; x2 = 12, –18y2 = –6. Ответ: –6; – , 12; .

Далее ученикам предлагается составить урав-нение и систему уравнений к задаче № 386 (1, а, б).Если останется время, школьники решают состав-ленную систему.

Д о м а ш н е е з а д а н и е. П. 26, № 379 (3),381 (6), 378 (1, а), 371 (2, а, б).


Комментарии. На уроке решаются болеесложные системы — № 380, 381.

В начале урока можно провести тест.

x – 18y = 6,xy = 4,

x + (–18y) = 6,x(–18y) = – 72;

23--- 1

3---

160

ТЕСТ


В-1. 1. 3). 2. 1). В-2. 1. 4). 2. 4).Систему № 380 (1) школьники выполняют са-

мостоятельно до ответа. При обсуждении выпол-ненного решения следует обсудить, что лучше:сразу подставлять в первое уравнение выражениеy из второго или предварительно освободитьсяв первом уравнении системы от дробей.

После этого школьники доводят решение зада-ния № 380 (3) до квадратного уравнения, где так-же лучше предварительно избавиться в первомуравнении от дробей.

Системы № 381 обсуждаются фронтально. За-писи учитель выполняет на доске по предложени-ям учеников. Во многих случаях школьниковприходится «подталкивать» к появлению у нихплана. Напоминаем, что во время фронтальнойработы с системой ученики ничего не записывают


1. Координаты каких из точек: A(1; –1), B(–1; 3),

C 2 ; 1 , D 2 ; 3 являются решением системы:

Ответы: 1) A; 2) B; 3) B и C; 4) A и D

2. Решите систему уравнений:

Ответы: 1) (1; 2) и (4; 0,5); 2) (9; –2) и (6; –0,5);3) (1; 10) и (2; 5); 4) (2,5; 4) и (–2; –5)

23--- 1

6--- 1

3---

x + 2y = 5,

–x2 + xy = –4?

3x – y = 4,

xy – y2 = –2?

x + 2y = 5,xy = 2

2x – y = 1,xy = 10

161

в тетрадях, на необходимые записи им выделяетсявремя после того, как упрощение системы обсуж-дено и зафиксировано на доске.

В большинстве систем этого номера на помощьприходит способ сложения. Система не решается,а упрощается с его помощью. Советы к решениюуравнений есть в учебнике в соответствующемразделе.

На уроке не предполагается доведение решениясистем № 381 до ответа. Системы приводятся квиду, решения которых могут представлять дляшкольников лишь незначительные техническиетрудности. Эти трудности ученики постараютсяпреодолеть дома.

Завершить урок можно обсуждением № 386(1, в).

Пусть длины катетов x и y. Ученикам предлага-ется ответить на в о п р о с ы.

1. Что нужно найти в задаче?2. Что известно?3. В какую известную формулу входят произве-

дение чисел, их сумма и сумма их квадратов?4. Как из этой формулы выразить произведе-

ние?

Записывается решение № 386 (1, в):

= = = =

= 30•52 = 1560 (м2).

Д о м а ш н е е з а д а н и е. П. 26, № 380 (2, 3),381 (1, 3, 5), 384 (1), 386 (2, в).

27. Решение задач с помощьюсистем уравнений (3 ч)

Главной целью изучения этого пункта являетсясовершенствование умений школьников перево-дить текст задачи на математический язык. В дан-ном случае составлять систему уравнений по тексту

xy2

------- x + y( )2 – x2 + y2( )

2•2------------------------------------------------------- 1192 – 892

4------------------------------ 30•208

4----------------------

162

задачи. Большинство номеров этого пункта содер-жат по две похожие задачи. Собственно, един-ственное исключение — № 389, который можнорассматривать как дополнение № 388. К началуизучения пункта нерешенными остались толькозадания, отмеченные черным кружком, а это, каквы знаете, говорит о том, что основной формой ра-боты с ними является фронтальное обсуждение.В то же время наличие дублирующих заданийпозволяет ученикам после обсуждения первого за-дания номера самостоятельно выполнить второе.Заметим, что задачи, которые удобно решать с по-мощью систем уравнений, встречаются в школь-ном курсе достаточно редко. Этим в первую оче-редь объясняется относительно небольшое числозадач в пункте.

Пункт 27 завершает главу «Квадратные уравне-ния», а значит, кроме выше сформулированнойцели, при изучении пункта школьники должнызакрепить свои умения решать квадратные урав-нения, системы уравнений и подготовиться к за-чету.

Предметные результаты обучения: решатьтекстовые задачи составлением системы уравне-ний; применять рациональные способы решениясистем уравнений.

Метапредметные результаты обучения: ре-шать текстовые задачи составлением систем урав-нений: переходить от словесной формулировкиусловия задачи к алгебраической модели путемсоставления уравнения; решать составленное урав-нение; интерпретировать результат; строить моде-ли к задачам, пользуясь практикумом по реше-нию текстовых задач; устанавливать соответствиемежду текстами задач и математическими моде-лями; объяснять готовые модели к задачам.

Цель первого урока: формирование уменияшкольников решать задачи с физическим содер-

163

жанием с помощью составления системы уравне-ний.

Комментарии. На уроке начать изучениеследует с обсуждения решения з а д а ч и 2 пунк-та. Эта задача осуществляет межпредметные свя-зи с курсом физики.

Затем со школьниками обсуждается условие за-дачи № 388 (2). Отметим, что с параллельным со-единением проводников ученики встретились взадаче 2 пункта. Полезно напомнить, что при по-следовательном соединении сопротивление цепиравно сумме сопротивлений проводников, соеди-ненных в цепь: R = R1 + R2. Дальнейшее решениеученики могут выполнить самостоятельно.

Р е ш е н и е № 388 (2). Пусть сопротивленияпроводников R1 Ом и R2 Ом. Тогда

z2 – 160z + 4800 = 0,

= 802 – 4800 = 1600, z1, 2 = 80 ± 40,

z1 = 40, z2 = 120. Ответ: 40 Ом, 120 Ом.После проверки ученикам предлагается серия

одновариантных самостоятельных работ из зада-ний предшествующих пунктов на решение квад-ратных уравнений и систем квадратных уравне-ний. При этом можно использовать как задачи,которые не были рассмотрены на уроках, так и за-дачи, которые ученики уже решали. Можно так-же обратиться к заданиям главы «Повторение».

Д о м а ш н е е з а д а н и е. П. 27, № 388 (1),389, контрольные вопросы и задания пункта 26.

Цель второго урока: формирование уменияшкольников решать задачи на совместную работус помощью составления системы уравнений.

R1 + R2 = 160,

+ = ,1R1

------- 1R2

------- 130-------

R1 + R2 = 160,

= ,R1 + R2

R1R2

---------------------- 130-------

R1 + R2 = 160,

= ,160R1R2

-------------- 130-------

R1 + R2 = 160,R1R2 = 4800;

D4----

164

Комментарии. На уроке фронтально разби-рается задача № 390 (2) (ее решение приведено вразделе «Советы и решения» учебника). Затемшкольники обсуждают и после обсуждения реша-ют задачу № 390 (1).

Д о м а ш н е е з а д а н и е. П. 27, № 390 (2), за-дача 2 из контрольных заданий к пункту 27; сдатьдомашнюю контрольную работу № 5.

Цель третьего урока: формирование уменияшкольников решать задачи всех изученных видовс помощью составления системы уравнений.

Комментарии. На уроке по учебнику рас-сматривается з а д а ч а 3 пункта. Затем школьни-ки составляют системы к задачам № 391.

На следующем уроке школьникам предстоитсдавать зачет. Поэтому им предоставляется воз-можность задать вопросы (из вопросов к зачету),которые вызывают затруднения. На эти вопросыотвечают ученики, а если желающих ответитьнет, то ответы дает учитель.

Д о м а ш н е е з а д а н и е. П. 27, № 391; разо-брать задачу 4 пункта.

Зачет по главе 4 «Квадратные уравнения»ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПИСЬМЕННОЙ ЧАСТИ ЗАЧЕТА

Вариант 1

1. Составьте квадратное уравнение с целымикоэффициентами, корнями которого являются

числа – и 3.

2. Решите уравнение 5x2 + 14x – 3 = 0.3. Решите систему уравнений

4. Решите задачу. Катер проплывает 48 км про-тив течения реки на 48 мин дольше, чем 56 км по

12---

x – y = 5,x2 – y2 = 45.

165

течению реки. Найдите скорость течения реки, ес-ли собственная скорость катера 12 км/ч.

5. Один из корней уравнения 3x2 + bx – 5 = 0 ра-вен –5. Найдите коэффициент b и другой кореньуравнения.

6. Уравнение x2 + cx + 6 = 0 имеет корни x1 и x2.

Выразите + через переменную c.

Вариант 2

1. Составьте квадратное уравнение с целымикоэффициентами, корнями которого являются

числа и –2.

2. Решите уравнение 7x2 – 18x – 9 = 0.3. Решите систему уравнений

4. Решите задачу. Поезд был задержан с отправ-лением на 16 мин. Поэтому, чтобы прибыть впункт назначения вовремя, он увеличил скоростьна 10 км/ч. С какой скоростью двигался поезд, ес-ли пройденное им расстояние равно 80 км?

5. Один из корней уравнения 2x2 – bx – 4 = 0 ра-вен 4. Найдите коэффициент b и другой кореньуравнения.

6. Уравнение x2 + dx + 5 = 0 имеет корни x1

и x2. Выразите (x1 – x2)2 через переменную d.


В-1. 1. 2x2 – 5x – 3 = 0. 2. 0,2 и –3. 3. x = 7 и y = 2.

4. 2 км/ч. 5. b = 14 и x2 = . 6. – 2.

x1

x2

------x2

x1

------

13---

x2 + y2 = 10,x2 – 2xy + y2 = 16.

13--- c2

6-----

166

В-2. 1. 3x2 + 5x – 2 = 0. 2. – и 3. 3. (1; –3), (3; –1),

(–1; 3) и (–3; 1). 4. 50 км/ч. 5. b = 7 и x2 = –0,5.

6. d2 – 20.

ВОПРОСЫ К УСТНОЙ ЧАСТИ ЗАЧЕТА

1. Какое уравнение называется квадратным?2. Во всяком ли квадратном трехчлене можно

выделить полный квадрат?3. Как установить, сколько корней имеет квад-

ратное уравнение?4. Перечислите методы решения квадратных

уравнений.5. Приведите пример квадратного уравнения,

у которого a < 0, b > 0, c < 0. С какого преобразова-ния вы начнете решение данного уравнения?

6. Приведите пример квадратного уравнения,у которого a > 0, b = 0, c = 0. Чему равен кореньуравнения?

7. Приведите пример квадратного уравнения,у которого a < 0, b = 0, c > 0. Чему равен кореньуравнения?

8. Сформулируйте теорему Виета.9. Примените обратную теорему Виета для ре-

шения квадратного уравнения x2 + 9x – 22 = 0.10. На сколько сумма корней уравнения 2x2 –

– 15x – 6 = 0 больше произведения его корней?11. Приведите пример квадратного уравнения,

при решении которого пользоваться общей фор-мулой нерационально.

12. Как проверить, является ли пара (2; –1) ре-шением системы

37---

x2 – y = 4,x + 2y = 0?

167

Глава 5ВЕРОЯТНОСТЬ

С понятием вероятности события школьникипознакомились в 7 классе. Тогда же они встрети-лись с несложными задачами, в которых вероят-ность находилась по так называемой «классиче-ской схеме», т. е. как отношение числа благопри-ятных исходов к числу всех равновероятныхисходов. Эта схема, конечно, применима только ктем задачам, в которых все исходы равновероят-ны. В этой главе ученики сначала повторяют клас-сическую схему и формулы комбинаторики, а за-тем знакомятся с некоторыми методами поискавероятности, в которых либо число исходов бес-конечно, либо исходы не являются равновероят-ными. Последний случай начинает знакомитьшкольников с идеями статистики.

28. Вычисление вероятностей (3 ч)В пункте повторяются понятие вероятности и

формулы комбинаторики, закрепляются умениявыбирать формулы и применять их к решению за-дач. Можно строить изучение этого пункта в по-следовательности, реализованной в учебнике, т. е.начать с повторения понятия вероятности, клас-сической схемы подсчета вероятности, а комбина-торные задачи рассматривать как этапы решениязадач на вероятность. Такой подход можно реко-мендовать в классах, где у большинства учениковхорошо сформированы комбинаторные представ-ления. Это должно было проявиться при изученииформулы бинома Ньютона и свойств треугольникаПаскаля. Если же большинство школьников недо-статочно уверенно ориентируются в комбинатор-ных ситуациях, то изучение материала лучше на-чать с повторения комбинаторики. Последний ва-риант мы и рассмотрим ниже.

168

Предметные результаты обучения: находитьвероятность случайных событий на основе класси-ческого определения вероятности; распознаватьзадачи на вычисление числа перестановок, разме-щений, сочетаний и применять соответствующиеформулы; решать задачи на нахождение вероят-ностей событий с применением комбинаторики.

Метапредметные результаты обучения: ис-пользовать вероятностные представления в жизни.

Цель первого урока: повторение понятий «ком-бинаторика», «правило произведения»; закрепле-ние умения школьников пользоваться правиломпроизведения при решении комбинаторных за-дач.

Комментарии. В начале урока ученики вмес-те с учителем вспоминают, что комбинаторика —это раздел математики, посвященный решениюзадач выбора и расположения элементов, что най-ти нужно число возможных при этом комбина-ций.

Основное правило при подсчете числа комбина-ций — правило произведения, которое повторяет-ся при фронтальном разборе п р и м е р а 2 пунктаи самостоятельном выполнении № 394.

В 7 классе с помощью правила произведения бы-ли выведены формулы числа перестановок, разме-щений и сочетаний. Повторять эти выводы в 8 клас-се не надо, а следует сконцентрировать вниманиешкольников на р а з л и ч и я х между комбина-циями, в которых важен порядок расположенияэлементов — перестановки и размещения, и ком-бинациями, в которых важен только состав входя-щих в них элементов — сочетания. Фронтальноразбирается п р и м е р 3 (1, 2). В процессе рабо-ты с этим примером на доску выписываются фор-мулы числа перестановок, размещений и соче-таний. В этих формулах встречается обозначе-ние n!. Большинство школьников помнят, что n! == 1•2•3•…•n. Не вызывает сомнений у учеников

169

и равенство n! = 1. Однако это определение не пол-но и не позволяет, например, найти число раз-мещений из n элементов по n по формуле:

= = . Поскольку каждое такое раз-

мещение является перестановкой из n элементов,

то должно быть = Pn, т. е. = n!. Отсюда полу-

чаем, что 0! = 1.Таким образом, определение n! выглядит так:

n! =

Затем ученикам предлагается найти по форму-лам: 1) P4; 2) ; 3) . Вычисления выполняют-

ся в тетрадях с последующей фронтальной провер-кой результатов.

После этого фронтально решаются комбинатор-ные задачи пункта № 395, 396 (1), 397, 400—405.При решении ученики должны придерживатьсяследующего п л а н а.

1. Определить, важен ли порядок расположе-ния элементов в искомых комбинациях, и назватькомбинации, о которых идет речь в задаче.

2. Записать формулу числа этих комбинаций и,если требуется, произвести по ней необходимыевычисления.

Решения могут не доводиться до числового от-вета, принципиально важным является выборформулы, т. е. запись типа: ; .

Особое внимание следует уделить задачам, ре-шение которых требует некоторого переосмысле-ния (переформулировки) данной ситуации. Так,например, в № 400 полезно изобразить на доскемногоугольник. В решениях № 403, 405 (2) пред-лагается некоторая схема последовательного отбо-ра группы. Важно, чтобы школьники понимали,

Ann n!

n – n( )!---------------------- n!

0!-----

Ann n!

0!-----

1•2•3•…•n, при n > 1,1, при n = 0 и при n = 1.

A74 C8

6

A103 C10

3

170

что при такой схеме будут получены все требуе-мые комбинации.

Обращаем ваше внимание, что в разделе «Сове-ты и решения» все задачи подробно решены.

Д о м а ш н е е з а д а н и е. П. 28, довести реше-ния задач, разобранных в классе, до числовых от-ветов.

Цель второго урока: повторение определениявероятности и закрепление умения школьниковприменять формулы вероятности и комбинатори-ки при решении задач.

Комментарии. На уроке повторяется опреде-ление вероятности и закрепляется умение приме-нять формулы вероятности и комбинаторики прирешении задач. Главное внимание обращается наобоснование выбора формулы комбинаторики.

В начале урока разбирается домашнее задание,затем проводится математический диктант по ма-териалу домашнего задания.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ДИКТАНТ

В тетрадь записывается номер задачи и выра-жение.

1. Сколькими способами можно выбрать дляпроверки три тетради из 27 тетрадей учениковкласса?

2. Сколькими способами можно распределитьтри билета в театр в классе, в котором 30 уча-щихся?

3. Сколькими способами можно составить спи-сок из 32 учеников класса?

4. В классе учатся 15 девочек и 16 мальчиков.Сколькими способами можно составить из учени-ков класса пару для бальных танцев?

ОТВЕТЫ К МАТЕМАТИЧЕСКОМУ ДИКТАНТУ

1. . 2. . 3. 32!. 4. 15•16.C273 A30

3

171

Затем ученики вспоминают, что такое вероят-ность. В этом пункте дается классическое опреде-

ление вероятности: P(A) = , где m — число бла-

гоприятных, а n — число всех равновероятных ис-ходов.

В этом определении используется термин «бла-гоприятный исход», т. е. такой, в котором проис-ходит событие A. Очевидным минусом этого тер-мина является его смысловая нагрузка в естествен-ном (русском) языке. Так, например, школьникамлегко принять, что случай, когда на купленныйлотерейный билет выпадает выигрыш, являетсяблагоприятным. Значительно сложнее назвать бла-гоприятным случай, когда билет не выигрывает.

Обратим внимание еще на одну важную особен-ность классического определения вероятности.Оно применимо только в тех случаях, когда всеисходы некоторого испытания равновероятны.При этом равновероятность исходов либо декла-рируется в условии задачи, либо предполагается.

При решении задач на нахождение вероятностиследует придерживаться следующего п л а н а.

1. Установить, какие равновероятные исходывозможны, и найти их количество.

2. Установить, при каких из этих исходов про-исходит интересующее нас событие, и найти ихколичество.

3. Разделить второе число на первое.Решим, например, простейшую задачу: «В ло-

терее выпущен 1 млн билетов, среди которых300 тыс. выигрышных. Найти вероятность вы-играть, купив один билет этой лотереи».

Р е ш е н и е.1) При покупке одного билета им может с рав-

ной вероятностью оказаться любой из 1 млн вы-пущенных билетов.

mn-----

172

2) Выигрышных билетов среди них 300 тыс.

3) Вероятность выигрыша равна = 0,3.

Аналогично разбирается п р и м е р 1 пункта,а затем фронтально решаются № 392, 393. Снача-ла ученики с мест говорят, какие и сколько всегоисходов, объясняют, почему они считают их рав-новероятными, затем указывают, при каких исхо-дах происходит искомое событие.

№ 392. Р е ш е н и е. Способ 1.1. Может быть вытащена любая из 36 карт коло-

ды. Карта вытаскивается наугад, значит, ни у од-ной из карт нет никаких преимуществ переддругими картами. Это позволяет считать все 36возможных исходов вытаскивания карты равно-вероятными.

2. Чтобы карта оказалась червой, она должнабыть либо шестеркой червей, либо семеркой чер-вей, …, либо королем червей, либо тузом червей.Всего в колоде 9 червей.

3. Значит, вероятность искомого события рав-

на = .

Способ 2.1. Все четыре масти в колоде равноправны,

поэтому вытаскивание любых из них равноверо-ятно.

2. Одна из мастей — червы. Значит, вероят-

ность вытащить черву равна .

Затем разбирается задача № 396 (2). В ней ни-чего не говорится о том, сколько пассажиров, кро-ме Саши и Коли, находится в автобусе, поэтомуможно считать, что Саше и Коле никто не мешаетсесть на любое место из 20. Важно, кто из мальчи-ков какое место займет. Поэтому есть способаих рассадки в автобусе. Здесь следует сказать отом, что все эти способы равновероятны. Напри-

300 0001 000 000----------------------------

936------- 1

4---

14---

A202

173

мер, мальчики занимают места согласно куплен-ным билетам. Вместе мальчики могут оказаться наодном из 10 сдвоенных сидений, причем сесть наних они могут двумя способами: Саша слева илиСаша справа от Коли. Значит, сесть вместе маль-чики могут 2•10 способами. Таким образом, иско-

мая вероятность равна = = .

И в этой задаче можно рассуждать иначе. Пустьпервым заходит в автобус Саша, а вторым — Ко-ля. Где бы ни сел Саша, Коля может выбирать из19 свободных мест. Только одно из этих местрядом с Колей. Значит, искомая вероятность рав-

на .

Далее со школьниками фронтально решаютсязадачи № 410 (1, а), 408.

Особое внимание следует уделить задаче№ 408 (2). Среди шести карт должен оказаться хо-тя бы один туз. Ученики должны понять, что всевозможные варианты вытащить шесть карт мож-но разделить на два множества: варианты, в кото-рых ни один из тузов не вытащен, и варианты,в которых среди вытащенных карт есть хотя быодин туз. Общее число вариантов, поскольку по-рядок вытаскивания несуществен, равно .Шестерка карт без тузов выбирается из колоды,в которой после удаления четырех тузов осталось32 карты. Значит, число возможных шестерок .Тогда число шестерок, среди которых хотя бы одинтуз, можно найти как разность – . Искомая

вероятность равна частному = 1 – =

= 1 – ≈ 1 – 0,79 ≈ 0,2. Вычисления

на уроке можно не доводить до конца.

2•10A20

2--------------- 2•10

20•19------------------- 1

19-------

119-------

C366

C326

C366 C32

6

C366 – C32

6

C366

--------------------------C32

6

C366

---------

30•29•28•2736•35•34•33-------------------------------------------

174

Похожим образом решается и задача № 410(1, а), фронтальным обсуждением которой завер-шается урок. Сначала легко находится общее чис-ло равновероятных вариантов: .

Пару носков составляют, если оба они одногоцвета, т. е. либо оба черные, либо оба синие. По-этому число благоприятных вариантов следует ис-кать как сумму числа вариантов, когда оба носкачерные — и когда оба они синие — . Иско-

мая вероятность равна = = .

Д о м а ш н е е з а д а н и е. П. 28, № 410 (1, б; 2),407 (1).

Цель третьего урока: закрепление умения уче-ников решать задачи на вычисление вероятнос-тей.

Комментарии. После обсуждения домашнегозадания школьникам предлагается самостоятель-ная работа.


Вариант 1

Какова вероятность вытащить наугад пять картиз колоды, содержащей 36 карт, так, чтобы средивытащенных карт: 1) оказался только один ко-роль; 2) не оказалось ни одного короля; 3) ока-зался хотя бы один король; 4) оказалось три ко-роля?

Вариант 2

Какова вероятность вытащить наугад пять картиз колоды, содержащей 36 карт, так, чтобы средивытащенных карт: 1) оказалась только одна буб-на; 2) не оказалось ни одной бубны; 3) оказаласьхотя бы одна бубна; 4) оказалось три бубны?

C112

C72 C4

2

C72 + C4

2

C112

---------------------- 21 + 655

------------------ 2755-------

175


В-1. 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

В-2. 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

После проверки самостоятельной работы рас-сматривается № 406, а затем школьникам предла-гается самим попытаться составить задачи на вы-числение вероятностей и предложить их классу.Полезно на уроке разобрать № 411.

Если ученики затрудняются с составлением за-дач, то можно использовать задачи из учебникаалгебры для 7 класса.

Д о м а ш н е е з а д а н и е. П. 28, № 409, 410 (2).

29. Вероятности вокруг нас (3 ч)При изучении пункта ученики знакомятся с си-

туациями, в которых возможно либо бесконечномного равновероятных исходов, либо исходы неявляются равновероятными.

Предметные результаты обучения: находитьгеометрическую вероятность случайного события;проводить случайный эксперимент, в том числе спомощью компьютерного моделирования, интер-претировать его результаты; вычислять частотуслучайного события.

Метапредметные результаты обучения: из-влекать информацию из таблицы и диаграммы;выполнять вычисления по табличным данным;определять по диаграмме наибольшие и наимень-шие данные, сравнивать величины; организовы-вать информацию в виде таблиц, столбчатых икруговых диаграмм, в том числе с помощьюкомпьютерных программ; оценивать вероятностьс помощью частоты, полученной опытным путем.

4•C324

C365

------------------C32

5

C365

---------C36

5 – C325

C365

--------------------------4•C32

2

C365

------------------

9•C274

C365

------------------C27

5

C365

---------C36

5 – C275

C365

--------------------------C9

3•C272

C365

---------------------

176

Цель первого урока:формирование представ-лений о математическойстатистике и умения про-водить случайный экспе-римент.

Комментарии. Изу-чение материала лучшепроводить по учебнику.Полезно при рассмотре-нии п р и м е р а 1 пунктаизобразить на доске ци-ферблат часов, на котором

по предложениям школьников закрасить сектора,в которых может находиться минутная стрелка,показывающая время, соответствующее выборуавтобуса № 5 (рис. 4). Понятно, что другие трисектора соответствуют выбору автобуса № 2.

После разбора примера 1 ученики самостоя-тельно делают аналогичный рисунок к задаче№ 412 (1) и решают ее.

Далее фронтально обсуждается задача № 413.К этой задаче тоже можно сделать рисунок цифер-блата и указать на нем сначала время прибытияавтобуса, а затем закрасить секторы, в которыхожидание автобуса не больше 5 мин.

Можно поступить иначе, использовать для ил-люстрации 20-минутный отрезок (рис. 5) междуотправлением одного и отправлением следующегоавтобуса. При этом по-прежнему считаем, что наостановке автобус стоит минуту.

Легко видеть, что заштрихованный отрезок со-

ставляет всего промежутка. Следовательно, ве-

роятность того, что ожидать автобуса придется неболее 5 мин, равна 0,3.

05

10

15

20

2530

35

40

45

50

55

Рис. 4

Рис. 5

0 5 10 15 20

620-------

177

В учебнике дан другой ответ. Это связано с воз-можностью иной трактовки задачи. Так, еслиждать прибытия автобуса, например встречая ко-го-то, то время стоянки автобуса учитывать ненужно. Из 20-минутного интервала между при-бытиями автобусов в этом случае берется 5-ми-нутный интервал перед прибытием следующего

автобуса. Получаем = 0,25.

После решения предложенных задач по учебни-ку разбирается п р и м е р 2.

Проводится исследовательская работа № 5 израздела учебника «Исследовательские работы».

Д о м а ш н е е з а д а н и е. П. 29, № 412 (2),приступить к выполнению домашней контроль-ной работы № 6.

Цель второго урока: формирование уменияшкольников находить вероятность события с по-мощью эксперимента.

Комментарии. Урок начинается с разбора до-машнего задания. У школьников могли возник-нуть вопросы по домашней контрольной работе№ 6.

Новый материал рассматривается по учебнику.Ученикам предлагается внимательно прочитатьп р и м е р 2 пункта. На это дается 5 мин.

Затем этот пример фронтально обсуждается.Школьники должны уяснить разницу между ситу-ацией с подбрасыванием монеты, у которой обестороны одинаковы, и пуговицы, у которой однасторона выпуклая, а другая — вогнутая. Если впервом случае естественно предположить равнове-роятность выпадения орла или решки, то во вто-ром случае такое предположение высказать труд-но. В примере вводится статистическое понятиечастоты. На примере серии подбрасываний пуго-вицы показывается, что с увеличением числа под-брасываний частота меняется незначительно. Этодает основание принять ее за приближенное зна-

520-------

178

чение вероятности. Аналогично рассматриваетсяп р и м е р 4. Можно предложить школьникамнайти частоту угадывания буквы «е» при случай-ном выборе строки и номера буквы в ней.

Эту работу можно организовать в парах. Одинученик называет номер строки и номер в ней бук-вы, а другой находит в абзаце эту букву. Непол-ную строку лучше не считать. Тогда номер строкиможет быть от 1 до 11. Каждая пара школьниковпроводит по 10 испытаний, результаты фиксиру-ются ими на бумаге. Затем учитель суммируетв таблице на доске число угадываний и общее чис-ло попыток. И, разделив с помощью калькуляторапервое число на второе, находит частоту.

Д о м а ш н е е з а д а н и е. П. 29, исследова-тельская работа № 5, № 415, 418, в котором каж-дому школьнику предлагается найти частоту бук-вы, номер которой в русском алфавите (без бук-вы «ё») совпадает с номером фамилии ученикав классном журнале.

Цель третьего урока: закрепление и система-тизация материала главы.

Комментарии. В начале урока обсуждаютсяполученные дома результаты. Затем рассматрива-ются оставшиеся номера пункта.

На следующем уроке проводится зачет по мате-риалу главы, поэтому ученики должны сдать до-машнюю контрольную работу № 6. Последнюютреть урока можно посвятить рассмотрению за-четных вопросов.

Д о м а ш н е е з а д а н и е. П. 29, разобратьп р и м е р 3 пункта и повторить Сашино исследо-вание на своей улице.

Зачет по главе 5 «Вероятность»Вариант 1

1. Запишите формулу вероятности события сравновероятными исходами.

179

2. Сколькими способами можно выбрать трехдежурных из 25 учеников класса?

3. В соревнованиях по спортивной гимнастикеучаствуют 12 человек. Сколькими способамиможно установить порядок их подхода к снаряду?

4. Бросаются одновременно две игральные кос-ти. Какова вероятность, что сумма выпавших оч-ков будет равна 10?

5. Из карточной колоды в 36 карт наугад выни-мают две карты. Какова вероятность, что обе кар-ты окажутся тузами?

Вариант 2

1. Запишите формулу числа перестановок изk элементов.

2. Сколькими способами можно выбрать четырекраски из 10 различных красок?

3. Сколько можно составить флагов с тремя го-ризонтальными полосами, если для окраски полосможно использовать пять разных цветов, а все по-лосы на флаге различны по цвету?

4. Бросаются одновременно две игральные кос-ти. Какова вероятность, что сумма выпавших оч-ков будет равна 6?

5. Из карточной колоды в 36 карт наугад выни-мают две карты. Какова вероятность, что обе кар-ты окажутся одной масти?

ОТВЕТЫ К ЗАЧЕТУ

В-1. 1. P(A) = . 2. = = 2300.

3. P12. 4. = . 5. = = .

В-2. 1. Pk = k!. 2. = = 210. 3. =

= 5•4•3 = 60. 4. . 5. = = . Другое

mn----- C25

3 25•24•233•2

-------------------------------

336------- 1

12-------

C42

C362

--------- 4•336•35------------------- 1

105----------

C104 10•9•8•7

2•3•4--------------------------------- A5

3

536-------

4C92

C362

----------- 4•9•836•35-------------------- 8

35-------

180

решение. После того как вынута первая карта,в колоде осталось 35 карт, из которых 8 карт име-ют ту же масть, что и первая карта. Искомая веро-

ятность равна .

Глава 6ПОВТОРЕНИЕ

Повторение курса 8 класса целесообразно на-чать несколько раньше, чем будет изучен материалпятой главы учебника, а именно вместе с рассмот-рением материала пункта 28. Этот пункт посвященвероятностным и комбинаторным задачам, на ко-торые выделяются первые два урока, а в оставшее-ся время учащиеся выполняют самостоятельныеработы на повторение пройденного.

В последней главе учебника предлагаются зада-ния, которые можно использовать для итоговогоповторения всего курса, однако никто не запреща-ет использовать уже рассмотренные ранее зада-ния.

Основное внимание при повторении уделяетсяматериалу, пройденному в первой половине учеб-ного года: преобразованиям дробных выражений(пункт 31) и квадратным уравнениям (пункт 33).Текстовые задачи пункта 33 следует равномернораспределить по всем урокам повторения, причемв большинстве случаев ограничиваться составле-нием уравнения.

Вычислительные задания пункта 30 следуеттакже распределить по урокам и домашним зада-ниям, так как эти задания не требуют повторениятеории. Завершить повторение можно свойства-ми степеней (пункт 31) и квадратных корней(пункт 32).

При повторении материала следует использо-вать демонстрационные таблицы или плакаты,

835-------

181

на которых выписаны основные формулы. Полез-но предложить школьникам подготовить доклады,несколько расширяющие содержание историче-ского материала пунктов раздела «Повторение».Многие школьники пользуются дома Интернетом.Можно попытаться договориться с преподавате-лем информатики о доступе к школьным компью-терам.

С х е м а организации повторения каждого те-матического блока.

Обзор основных свойств и формул → Серия са-мостоятельных работ → Исторический материал.

Вопросы и задания для заключительного зачетаможно отобрать из уже проводившихся зачетов,ориентируясь на средний уровень трудности. До-пуском к зачету служит домашняя контрольнаяработа № 7.

30. Числа и числовые выражения (4 ч)В этом пункте при повторении различных ви-

дов числовых выражений и закреплении вычис-лительных навыков выполняется исследователь-ская работа № 4. С первых же уроков повторенияучеников ориентируют на выполнение итоговойдомашней контрольной работы.

При рассмотрении материала пункта полезновспомнить основные понятия и акцентироватьвнимание на основных приемах преобразованиявыражений. В пункте встречаются как рацио-нальные, так и иррациональные выражения.

Предметные результаты обучения: вычис-лять значения числовых рациональных и ирра-циональных выражений с использованием ра-циональных чисел и степеней с целыми показате-лями.

Метапредметные результаты обучения: про-водить математические исследования; вычислять

182

с помощью арифметического и инженерного каль-кулятора.

Приведем некоторые в о п р о с ы, на которыешкольники должны уметь отвечать.

1. Какие выражения называют числовыми?2. По каким правилам строятся числовые выра-

жения?3. Приведите пример числового выражения,

не имеющего смысла.4. Что значит найти значение числового выра-

жения?5. Расскажите правило порядка выполнения

арифметических действий при вычислении значе-ний числовых выражений.

6. Как вы поступаете, если в числовом выра-жении встречаются обыкновенные и десятичныедроби?

7. Как представить обыкновенную дробь в видебесконечной дроби?

8. Представьте в виде бесконечной десятич-

ной дроби.9. Как записать бесконечную десятичную пе-

риодическую дробь, например 2,3252525…?10. Запишите число 0,00403 в стандартном ви-

де. Как вы понимаете, что значит записать числов стандартном виде?

На одном из уроков полезно предложить уча-щимся следующий тест.

ТЕСТ

1. Сравните числа 3,245 и 3 .

А. 3,245 = 3 . Б. 3,245 < 3 . В. 3,245 > 3 .

2. Сравните 0,6•10–3 и 6,2•10–4.А. 0,6•10–3 = 6,2•10–4. В. 0,6•10–3 < 6,2•10–4.Б. 0,6•10–3 > 6,2•10–4.

43---

49---

49--- 4

9--- 4

9---

183

3. Найдите значение выражения .

А. . Б. 7. В. 3.

4. Выполните действие и запишите от-

вет в виде десятичной дроби.А. 0,006. Б. 0,06. В. 0,6.


1. Б. 2. В. 3. В. 4. А.Поскольку в конце года повторяется и курс гео-

метрии 8 класса, полезно предложить школьни-кам исследовательские работы № 3 и 4. При ихвыполнении ученики формулируют гипотезы, до-казательства которых осуществляются средства-ми геометрии.

РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПРОВЕДЕНИЮ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ РАБОТЫ № 4

При выполнении исследовательской работы№ 4 ученики формулируют г и п о т е з у о том,что отсекаемый от координатного угла тре-угольник будет иметь наименьшую площадь,когда данная точка окажется серединой гипоте-нузы. Для доказательства этой гипотезы, даже вболее общем виде, рассмотрим геометрическую за-дачу на построение.

З а д а ч а. Через точку внутри угла провестипрямую, отсекающую от этого угла треугольникнаименьшей площади.

Здесь не требуется, чтобы угол был прямым, од-нако переформулировка гипотезы для этого слу-чая особых затруднений не представляет: чтобыплощадь треугольника ABC была наименьшей,точка M должна быть серединой отрезка BC(рис. 6).

3–2•7–3

21–3-----------------------

13---

7,2•107

1,2•1010--------------------------

184

Д о к а з а т е л ь с т в о.Пусть точка M — серединаотрезка BC. Проведем черезточку M какую-нибудь пря-мую, пересекающую сто-роны угла в точках B1 и C1.

1. Что нам надо дока-зать? [Что площадь тре-угольника ABC меньше пло-

щади треугольника AB1C1.]2. Как из треугольника ABC получить тре-

угольник AB1C1? [Отрезать треугольник MCC1 иприставить треугольник MBB1.] Значит, остаетсясравнить площади этих треугольников. Через точ-ку B проведем прямую, параллельную AC, и обо-значим точку ее пересечения с отрезком B1C1 бук-вой N.

3. Что можно сказать о треугольниках MBNи MCC1? [Они равны по стороне и двум прилежа-щим к ней углам.]

4. Площадь какого из треугольников — MВВ1или MCC1 — больше? Почему? Какой из треу-гольников — ABC или АВ1С1 — имеет меньшуюплощадь?

После доказательства этого утверждения следу-ет обратить внимание учеников на то, что сформу-лированная задача на построение все еще не реше-на — осталось разработать п л а н, действуя по ко-торому можно через точку внутри угла провестипрямую так, чтобы ее отрезок, заключенный меж-ду сторонами угла, делился в этой точке пополам.

1. Ученикам предлагается вспомнить, в какихзнакомых им случаях отрезок делился пополам.«Примеряя» каждое их предложений школьни-ков к изображенной на доске конфигурации, учи-тель дойдет до средней линии треугольника: точ-ка M — середина стороны BC треугольника ABC.Изобразив среднюю линию KМ, замечаем, чтоее можно провести, даже не имея точек B и C

Рис. 6

B1

NB

M

ACC1

185

(рис. 7), поскольку она параллельна AC. После че-го получить эти точки не сложно.

2. Фантазия школьников может привести ик другому способу решения, если сначала онивспомнят, что основание медианы делит сторонутреугольника пополам или что диагонали парал-лелограмма точкой пересечения делятся пополам.В этом случае AM — медиана треугольника ABC.Продолжая медиану на ее же длину, получаем па-раллелограмм ABDC (рис. 8), который можно по-строить, не имея изначально точек B и C.

31. Рациональные выражения (4 ч)В этом пункте школьникам встречаются как

буквенные выражения, имеющие смысл при всехзначениях переменных, так и выражения, не име-ющие смысла при некоторых значениях перемен-ных. Ученики закрепляют навыки преобразова-ний рациональных выражений и выполняютисследовательскую работу № 3.

Предметные результаты обучения: преобра-зовывать буквенные выражения, сокращать ал-гебраические дроби; доказывать тождества; вы-числять значения буквенных выражений; нахо-дить множество допустимых значений буквенныхвыражений.

Метапредметные результаты обучения: вы-числять с помощью калькулятора; проводить до-

Рис. 7

AC

MK

B

Рис. 8

A C

B D

M

186

казательства математических утверждений; вы-ражать указанные величины из формул.

При повторении материала пункта с целью сис-тематизации знаний полезно предложить учени-кам следующие в о п р о с ы и з а д а н и я.

1. Какие выражения называют буквенными?2. Что значит найти значение буквенного выра-

жения?3. Какие выражения называют рациональны-

ми? Как вы думаете, многочлен — это рациональ-ное выражение? Приведите пример дробного вы-ражения.

4. Запишите и назовите основное свойство дроби.5. Укажите допустимые значения переменных

для следующих выражений:

1) 2x5 – 3x2 – 1; 2) ; 3) ; 4) .

6. Сократите дробь: 1) ; 2) .

7. Расскажите, как вы рассуждаете при сокра-щении дробей:

1) ; 2) ; 3) .

РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПРОВЕДЕНИЮ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ РАБОТЫ № 3

Эта работа приводит школьников к г и п о т е-з е о том, что произведение длин отрезков, на ко-торые данная точка делит хорду, одно и то жедля любой проходящей через эту точку хорды.

Для доказательства этой гипотезы школьникидолжны быть знакомы с вписанным углом и подо-бием треугольников. Достаточно показать равен-ство произведений отрезков двух произвольныхпересекающихся хорд.

Соединив концы хорд AB и CD, пересекающих-ся в точке M, рассмотрим треугольники AMC и

x + 3x – 2--------------- 5

x – 3----------------- 1

x2 + 5------------------

14x4y49x3y2-------------------- 39a3b

26a2b2--------------------

a2 – b2

a3 – b3------------------- x2 – 6x + 9

x3 – 9x2 + 27x – 27---------------------------------------------------------- 2x2 + 8x

x3 + 64--------------------------

187

DMB (рис. 9). Углы A и Dэтих треугольников равныкак вписанные, опирающие-ся на одну и ту же дугу BC.Углы M — вертикальные.Значит, треугольники подоб-ны (по двум углам). Из про-порциональности соответст-

вующих сторон =

получаем доказываемое ра-венство:

AM•BM = DM• CM.

32. Квадратные корни (4 ч)В этом пункте ученики повторяют свойства

квадратных корней, закрепляют навыки вычис-ления квадратных корней и преобразований вы-ражений, содержащих квадратные корни, а так-же знакомятся с историей появления квадратныхкорней и их вычислений.

Предметные результаты обучения: приме-нять свойства квадратных корней, преобразовы-вать выражения и вычислять значения выраже-ний, содержащих квадратные корни; избавлятьсяот иррациональности в знаменателе дроби.

Метапредметные результаты обучения: про-водить доказательства математических утвержде-ний; вычислять с помощью калькулятора.


1. Какое число называют арифметическимквадратным корнем из числа a?

2. Назовите свойства арифметических квадрат-ных корней.

Рис. 9

A

C

D

B

M

AMDM----------- CM

BM-----------

188

3. Сформулируйте следующие свойства:

1) = |x|;

2) = • , если a � 0, b � 0;

3) = , если a � 0, b > 0.


1) ; 4) ;

2) ; 5) .

3) ;

5. Как вы рассуждаете, находя область допусти-мых значений выражений:

1) ; 3) ;

2) ; 4) ?

6. Расскажите, как вы рассуждаете, избавляясьот иррациональности в знаменателе в следующихвыражениях:

1) ; 3) ;

2) ; 4) .

7. Расскажите, как вы рассуждаете при сокра-щении дробей в следующих случаях:

1) ;

2) .

На одном из уроков полезно предложить уча-щимся следующий тест.

x2

ab a b

ab---

a

b-------

121 1

49 0,25

0

x + 1 x + 1

x – 2------------------

2

x------- 1

1 – x------------------

1

x------- 1

x – y-----------------------

1

2 + x------------------- 1

a – b------------------

x + yx2 – y2

-----------------------

x + x

x-------------------

189

ТЕСТ

1. Сравните числа 23 и .

А. 23 = . В. 23 > .

Б. 23 < .

2. Расположите числа 7, , в порядке воз-

растания.

А. 7, , . В. , , 7.

Б. , 7, .


А. 0,5. В. 3 .

Б. .

4. Упростите выражение 2 – + .

А. 0. В. + .

Б. – .

5. Найдите значение выражения .А. 240. Б. 480. В. 720.


1. Б. 2. В. 3. А. 4. Б. 5. В.

33. Квадратные уравнения (4 ч)В этом пункте систематизируются знания о ре-

шении квадратных уравнений, закрепляются на-выки в их решении и в решении задач, а такжерассматривается история появления квадратныхуравнений и способы их решения.

539

539 539

539

37 173

-------

37 173

------- 173

------- 37

37 173

-------

6

2 3( )2

-------------------

332---

5 45 3

5 3

3 5

28•34•52

190

Предметные результаты обучения: приме-нять рациональные способы решения квадратныхуравнений и их систем; решать текстовые задачисоставлением квадратных уравнений и их систем.

Метапредметные результаты обучения: пе-реводить с естественного языка на язык математи-ческих моделей; проводить математические ис-следования при решении квадратных уравненийс параметрами.


1. Какое уравнение называется квадратным?2. Назовите виды квадратных уравнений.3. Назовите способы решения следующих квад-

ратных уравнений:1) x2 – 81 = 0; 3) x2 – 5x + 6 = 0;2) 4x2 – 16x = 0; 4) 8x2 – 2x + 1 = 0.4. Не решая квадратное уравнение, найдите зна-

ки его корней:1) x2 + x – 12 = 0; 3) x2 – 7x + 12 = 0.2) x2 + 7x + 12 = 0;5. Подберите корни уравнения:1) x2 – x – 2 = 0; 3) x2 + 7x + 12 = 0.2) x2 + 2x – 3 = 0 ;6. Сформулируйте план решения уравнения:

1) = 2x;

2) – = 0.

7. Решите графически уравнение:

1) x2 = x + 2;

2) 3 – 2x = x2.

На одном из уроков проводится тест.

x2 + 9x

------------------

4x--- 5

x + 1---------------

191

ТЕСТ

1. Сколько корней имеет уравнение

x2 + x – + 2 = 0 ?

А. Ни одного. Б. Один. В. Два.

2. Укажите множество допустимых значений

выражения .

А. x ≠ –3. В. x ≠ –3 и x ≠ –4.Б. x ≠ 0,5 и x ≠ –4.

3. Решите уравнение 0,16x2 – 0,8x + 1 = 0.А. x = 2,5. В. x = –2,5.Б. x = 0,25.

4. Составьте квадратное уравнение, корни кото-

рого равны 1 – и 1 + .

А. x2 + 2x + 6 = 0. В. x2 – 2x – 6 = 0.

Б. x2 – 2x + 6 = 0.

5. Решите систему уравнений

А. (–1; 0) и (4; –3). В. (–1; 0) и (–4; –3).Б. (–1; 0).

6. Один из корней уравнения 2x2 + x + c = 0 ра-вен 7,5. Найдите c.

А. c = –120. В. c = –60.Б. c = –8.


1. В. 2. Б. 3. А. 4. В. 5. В. 6. А.Полезно провести пробную контрольную работу

по итогам года, чтобы выяснить темы, плохо усво-енные учениками.

5

x + 32x2 + 7x – 4-------------------------------------

7 7

y – x = 1,y2 + 3x = –3.

192

ПРОБНАЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Вариант 1

1. Представьте в виде многочлена

(a + 3)(a4 – 3a3 + 9a2 – 27a + 81).

2. Решите уравнение

= 0.

3. Представьте в виде рациональной дроби

+ – • – 4 .

4. Упростите выражение

(6 + 2 )• – .

5. Две машинистки перепечатали рукопись.При этом первая машинистка работала 10 дней,а вторая — 6 дней. За сколько дней смогла бы пе-репечатать всю рукопись каждая из машинисток,если второй на это потребовалось бы на три днябольше, чем первой?

Вариант 2

1. Представьте в виде многочлена

(b + 2)(b6 – 2b5 + 4b4 – 8b3 + 16b2 – 32b + 64).


= 0.

3. Представьте в виде рациональной дроби

3a – + b : 3a – – b .

2x2 + x – 1x2 – 1

---------------------------------

x2 + 927 – 3x2------------------------- x

3x + 9------------------- 3

x2 – 3x--------------------- x + 5

2---------------

2 11 – 6 2 4,5 – 14

7 + 2( )–2

----------------------------------

2x2 – 7x – 42x2 + x

------------------------------------

3a + b3a – b------------------ 1

3a – b------------------


(4 – 2 )• + .

5. Бригаде рабочих было поручено изготовитьв определенный срок 270 деталей. Перевыполняязадание, она ежедневно изготовляла на 6 деталейбольше, чем планировалось, а потому за 4 дня досрока бригада сдала 264 детали. Сколько деталейв день должна была изготовить бригада по плану икакой срок ей был дан для его выполнения?

ОТВЕТЫ К ПРОБНОЙ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ

В-1. 1. a5 + 243. 2. x = 0,5. 3. – . 4. 1,5.

5. 15 дней и 18 дней.

В-2. 1. b7 + 128. 2. x = 4. 3. . 4. –16.

5. 18 деталей и 15 дней.

3 7 + 4 3 7 – 4

1 + 7( )–2

-----------------------------

x + 32x

---------------

3a + b3a – b + 1-----------------------------

194

Контрольные работы

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1

Тема «Рациональные выражения»Вариант 1

1. Представьте в виде многочлена стандартноговида (2x – 4)3.

2. Определите, при каких значениях перемен-

ной a значение дроби :

1) равно нулю;2) равно 1;3) дробь не имеет смысла.3. Упростите выражение:

1) – : – ; 2) • .

4 . Решите уравнение – = .

5 . Замените переменную x таким выражени-ем, чтобы получилось тождество

•x2 = .

6 . Впишите пропущенные одночлены… + 64x6 = (… + …)(… – 12x3 + …).

5a – 41 – 2a------------------

5k3

3t2----------

3 10k8

9t7-------------

2 a3 – 1a + 1----------------- a2 – 1

a2 + a + 1-----------------------------

○ 1x – 2-------------- 4x

x + 2--------------- 4x2

4 – x2-----------------

�

b5

9a3---------- a

b---

�

195

Вариант 2

1. Представьте в виде многочлена стандартноговида (3x – 2)3.

2. Определите, при каких значениях перемен-

ной k значение дроби :

1) равно нулю;2) равно 1;3) дробь не имеет смысла.3. Упростите выражение:

1) – : – ; 2) • .

4. Решите уравнение = – .

5 . Замените переменную x таким выражени-

ем, чтобы получилось тождество •x2 = .

6 . Впишите пропущенные одночлены: 27x3 – … = (… – …)(… + 6xy2 + …).

3k + 95k – 1------------------

10a4

9b6-------------

4 5a5

27b8-------------

3 x2 – y2

x3 + y3-------------------- x2 – xy + y2

x + y-----------------------------------

2xx – 5-------------- 5

x + 5--------------- 2x2

25 – x2---------------------

�

a5

25b7------------- a

b---

�

196


Тема «Функция y = »

Вариант 11. Найдите область определения функции

y = .

2. Проходит ли график функции y = – через

точку A(–0,25; –24)?3. Найдите координаты точек пересечения гра-

фиков функций y = и y = x + 1.

4. На путь из A в B мотоциклисту нужно 20 мин,а велосипедисту на путь из B в A требуется 1 ч. Че-рез какое время встретятся мотоциклист и велоси-педист, если выедут одновременно?

5 . При каких значениях k и l гипербола y =

и прямая y = kx + l проходят через точку B(2; –1)?

kx----

2xx – 7--------------

6x---

2x---

� kx---

197

Вариант 21. Найдите область определения функции

y = .

2. Проходит ли график функции y = – через

точку A(–0,25; 40)?3. Найдите координаты точек пересечения гра-

фиков функций y = и y = x – 3.

4. Используя один насос, можно откачать водуиз резервуара за 6 ч, а другой насос может вы-полнить эту работу на 2 ч быстрее. Сколько време-ни потребуется на осушение резервуара, если од-новременно использовать оба насоса?

5 . При каких значениях k и l гипербола y =

и прямая y = kx + l проходят через точку D(–3; 2)?

5x x + 3( )------------------------

10x

-------

10x

-------

� kx---

198


Тема «Степень с целым показателем»Вариант 1

1. Представьте в стандартном виде числа

0,76•10–6; 2100•10–10; 0,063•10–5

и расположите их в порядке возрастания.2. Используя отрицательные показатели, пред-

ставьте в виде произведения .

3. Вычислите •9–5•81–4.

4. Найдите значение выражения

при a = 1,5 и b = .

5. Запишите без отрицательных показателей сте-пени и упростите выражение (x–2 – y–2) : (x–1 + y–1).

6 . Расположите числа x, x–1, x–2 в порядке воз-растания, если 0 < x < 1.

3,6a3

104b3c5----------------------

13---

–26

a–5( )–2

a8 b–4 : b–6( )----------------------------------

34---

�

199

Вариант 2

1. Представьте в стандартном виде числа

31•10–16; 5100•10–18; 0,052•10–13

и расположите их в порядке убывания.2. Используя отрицательные показатели, пред-

ставьте в виде произведения .


4. Найдите значение выражения при

x = и y = –1.

5. Запишите без отрицательных показателейстепени и упростите выражение (a + b)–1(a–2 – b–2).

6 . Расположите числа x, x2, x–2 в порядке воз-растания, если 0 < x < 1.

26x2

103y3z4----------------------

64–5

16–34–9----------------------

x3 : y5( )2

x8 : y7------------------------

23---

�

200


Тема «Квадратные корни»Вариант 1

1. Постройте графики параболы y = x2 и прямойy = x + 2. Найдите точки пересечения графиков.

2. Вычислите – .


– – ( + ).4. Освободитесь от иррациональности в знаме-

нателе .

5 . Периметр квадрата равен 4 + 8 см. Най-дите площадь этого квадрата.

20•45 32

50-----------

28 45 7 20

3 5

1 + 2 5-----------------------

� 2

201

Вариант 2

1. Постройте графики параболы y = x2 и прямойy = x + 6. Найдите точки пересечения графиков.

2. Вычислите + .


( – 2 ) – ( + ).4. Освободитесь от иррациональности в знаме-

нателе .

5 . Найдите площадь прямоугольника, периметр

которого равен 4 см, а его длина равна 2 – см.

54

24----------- 32•50

32 3 50 27

2 3

1 – 3 3----------------------

�

3

202


Тема «Квадратные уравнения»Вариант 1

1. Является ли число 2 – 3 корнем уравне-ния x2 – 2x – 26 = 0?

2. Решите уравнение 3x2 – 7x – 6 = 0.3. Составьте квадратное уравнение, корнями

которого являются числа 2 и –5.4. Турист проплыл на лодке 6 км против тече-

ния реки и 15 км по озеру, затратив на путь по озе-ру на 1 ч больше, чем на путь по реке. Найдитесобственную скорость лодки, если скорость тече-ния реки равна 2 км/ч.

5 . Найдите значение a и один из корней урав-нения (a – 3)x2 – 3x – a = 0, если другой его кореньравен –2.

3

�

203

Вариант 2

1. Является ли число 2 + 2 корнем уравне-ния x2 – 2x + 7 = 0?

2. Решите уравнение 5x2 + 22x – 15 = 0.3. Составьте квадратное уравнение, корнями

которого являются числа 2 – и 2 + .4. Теплоход за 1 ч прошел 9 км по озеру и 20 км

по течению реки. Найдите собственную скоростьтеплохода, если скорость течения реки составляет3 км/ч.

5 . Найдите значение a и один из корней урав-нения (a – 4)x2 – 2x + a = 0, если другой его кореньравен –3.

2

3 3

�

204

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 6Тема «Системы двух уравнений

с двумя переменными»

Вариант 1


2. Значение, равное 12, квадратный трехчленx2 + px + q принимает при x, равном 5, и при x,равном –8. Найдите p и q.

3. От пристани по течению реки отправилсяплот. Через 5 ч 20 мин вслед за плотом с той жепристани отправилась моторная лодка, котораядогнала плот, пройдя 20 км. Какова скорость пло-та, если известно, что скорость моторной лодкибольше скорости плота на 12 км/ч?

4 . Дана система уравнений

Верно ли следующее утверждение:1) существует такое значение a, при котором

система имеет бесконечно много решений;2) существует такое значение a, при котором

система не имеет решений?

y2 + 2x – 4y = 0,2y – x = 2.

�

x + 2y = 5,ax + 4y = 10.

205

Вариант 2


2. Значение, равное 30, квадратный трехчленax2 + bx – 15 принимает при x, равном 5, и при x,равном –4,5. Найдите a и b.

3. Катер отошел от причала одновременно сплотом и прошел по течению реки 36 км. Не делаяостановки, он развернулся и пошел против тече-ния реки. Пройдя 24 км, он встретился с плотом.Если скорость течения реки 3 км/ч, то какова соб-ственная скорость катера?

4 . Дана система уравнений

Верно ли следующее утверждение:1) существует такое значение a, при котором

система имеет бесконечно много решений;2) существует такое значение a, при котором

система не имеет решений?

x2 – 5x + 3y = 3,2x + y = 7.

�

x – 3y = 7,ax – 12y = 28.

206

ИТОГОВАЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТАВариант 1

1. Сравните числа и 625 000•10–5.



+ + = 0.

4. На обработку одной детали первый рабочийзатрачивает на 6 мин больше, чем второй рабочий.Сколько деталей обрабатывает каждый из них за7 ч, если первый за это время обрабатывает на 8 де-талей меньше второго?

5 . Найдите значения переменной n, при кото-

рых дробь сократима.

25---

–2

53---

3•2,4

6x2 – 36--------------------- 1

36 – 12x + x2---------------------------------------- 1

2x + 12----------------------

�

5n + 3---------------

Вариант 2

1. Сравните числа и 34 000•10–4.



+ = .

4. Два комбайнера убрали урожай с участка за12 ч, причем один из них начал работу на 4 ч поз-же другого, а закончили уборку они одновремен-но. За сколько часов мог бы убрать урожай с уча-стка каждый комбайнер, работая один, если из-вестно, что первому на это понадобилось бы на 8 чбольше, чем второму?

5 . Найдите значения переменной n, при кото-

рых дробь сократима.

23---

–3

0,81• 43---

4

3x2 – 9----------------- 1

9 – 6x + x2--------------------------------- 3

2x2 + 6x--------------------------

�

7n + 2---------------

208

ОТВЕТЫК КОНТРОЛЬНЫМ РАБОТАМ

Контрольная работа № 1

В-1. 1. 8x3 – 48x2 + 96x – 64. 2. 1) a = 0,8;

2) a = ; 3) a = 0,5. 3. 1) – ; 2) (a – 1)2. 4. – .

5. x = ± . 6. 27x3 + 64x6 = (3x + 4x2)(9x2 – 12x3 +

+ 16x4).В-2. 1. 27x3 – 54x2 + 36x – 8. 2. 1) k = –3;

2) k = 5; 3) k = 0,2. 3. 1) –240a; 2) . 4. 1 .

5. x = . 6. 27x3 – 8y6 = (3x – 2y2)(9x2 + 6xy2 +

+ 4y4).


В-1. 1. x ≠ 7. 2. Не проходит. 3. (1; 2) и (–2; –1).4. Через 15 мин. 5. k = –2, l = 3.

В-2. 1. x ≠ 0 и x ≠ –3. 2. Проходит. 3. (5; 2) и(–2; –5). 4. 2 ч 24 мин. 5. k = –6, l = –16.


В-1. 1. 2,1•10–7; 6,3•10–7; 7,6•10–7.

57--- 15t8

4k7------------ 2

9---

3a2

b3----------

x – yx + y--------------- 2

3---

5b3

a2---------

209

2. 3,6•10–4a3b–3c–5. 3. 1. 4. 4. 5. . 6. x; x–1; x–2.

В-2. 1. 5,2•10–15; 5,1•10–15; 3,1•10–15.

2. 2,6•10–2x2y–3z–4. 3. 1. 4. – . 5. . 6. x2; x;

x–2.


В-1. 1. (2; 4) и (–1; 1). 2. 29,2. 3. – 5 .

4. . 5. 6 + 4 .

В-2. 1. (–2; 4) и (3; 9). 2. 41,5. 3. – – 5 .

4. – . 5. 2 – 3.


В-1. 1. Не является. 2. – и 3. 3. x2 + 3x – 10 = 0.

4. 5 км/ч или 6 км/ч. 5. a = 2, x = –1.

В-2. 1. Не является. 2. –5 и . 3. x2 – 4x + 1 = 0.

4. 27 км/ч. 5. a = 3, x = 1.


В-1. 1. (2; 2) и (–6; –2). 2. p = 3; q = –28.3. 3 км/ч. 4. 1) Да, при a = 2; 2) нет.

В-2. 1. (2; 3) и (9; –11). 2. a = 2; b = –1.3. 15 км/ч. 4. 1) Да, при a = 4; 2) нет.

y – xxy

--------------

94--- b – a

a2b2--------------

7 5

30 3– 519

------------------------ 2

2 3

3 + 913

------------------- 3

23---

35---

Итоговая контрольная работа

В-1. 1. = 625 000•10–5. 2. 3 . 3. 4. 4. 28 де-

талей и 20 деталей. 5. n = 2 + 5 k, где k — любое це-лое неотрицательное число.

В-2. 1. < 34 000•10–4. 2. 1,6. 3. 1,8. 4. 24 ч

и 16 ч. 5. n = 5 + 7k, где k — любое целое неотрица-тельное число.

25---

–2 13---

23---

–3

211

Планы-конспекты уроков

Используя данное методическое пособие, учи-тель имеет возможность по-своему строить урокс учетом степени математической подготовкиучеников класса и своего собственного мастерстваи опыта работы.

В данном разделе приводятся примеры конс-пектов уроков, чтобы показать, как учитель мо-жет творчески воплотить рекомендации при по-строении уроков разных типов.

Урок-зачетпо главе 1

«РАЦИОНАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ»

Цели урокаПредметные результаты: формулировать

правила действий с алгебраическими дробями;находить множество допустимых значений выра-жений; записывать тождества в общем виде; дока-зывать тождества; вычислять значения выраже-ний и упрощать буквенные выражения.

Метапредметные результаты: самоконт-роль и самооценка знаний школьниками по мате-риалу главы; классифицировать выражения (це-лые и дробные); составлять выражения по указан-ным правилам.

Личностные результаты: контролировать иоценивать свои знания по материалу первой гла-вы.

Оборудование: листы с вопросами и заданиями(4 экземпляра) и жетоны.

212

I. Инструкция по проведению зачета (5 мин)

До урока класс разбивается на 4 команды, каж-дой команде присваивается номер и выдается листс вопросами и заданиями. На этом листе заданияразбиты на группы, в каждой группе по 4 задания.Номер задания в группе соответствует номерукоманды, которая его выполняет.

В каждой команде выбирается капитан, кото-рый распределяет вопросы между членами коман-ды и добивается, чтобы каждый дал не менее од-ного ответа.

На фразу учителя: «Вопрос для четвертой ко-манды» именно капитан будет говорить: «На воп-рос отвечает Дмитрий Иванов». На некоторые во-просы и задания ответы даются устно. Задания бо-лее сложные решаются на доске или решенныев тетради проецируются на экран. Для подготовкик ответу выделяется 10 мин.

Перед учителем лежат задания, которые будутпредложены одной команде. Если ответ правиль-ный, учитель дает команде жетон, если непра-вильный, то учитель предлагает ответить следую-щей команде, если ответ поступил неполный, тодополняет следующая команда, в последнем слу-чае жетоны могут быть выданы обеим командам.

«Сегодня мы проводим зачет по первой главе«Рациональные выражения». Вы должны повто-рить и систематизировать теоретический и прак-тический материал данной главы. Номера группвопросов и заданий будут разыгрываться. Каждаякоманда отвечает на задание со своим номером.

Я достаю из конверта номер команды, котораябудет отвечать на первый вопрос. Капитан гово-рит, кто из членов команды будет отвечать. Каж-дый член команды должен ответить хотя бы одинраз. Если команда дает правильный ответ, я пере-даю жетон отвечающему. К концу зачета у каждо-

213

го члена команды соберется какое-то количествожетонов, что даст возможность оценить каждогоучастника зачета. Общая сумма жетонов опреде-лит место команды в зачете.»

II. Вопросы и задания к зачету(выполнение заданий 10 мин)

1. Сформулируйте правило:1) умножения дробей;2) деления дробей;3) сложения дробей с равными знаменателями;4) возведения дроби в степень.2. Ответьте на вопросы.1) Какие значения y не являются допустимыми

для выражения ?

2) Какие из выражений , , , x + y

являются дробными?

3) При каких значениях x выражение

равно нулю?

4) Какие из выражений , , , x + y

являются целыми?3. Запишите правую часть тождества:

4. Творческие задания.1) Составьте какое-нибудь целое выражение,

содержащее четыре арифметических действия:сложение, умножение, вычитание и деление.

2) Составьте дробное выражение, содержащеечетыре арифметических действия: сложение, вы-читание, умножение и деление.

3) Запишите дробь, имеющую смысл при всехзначениях x, кроме x = –5.

1) (am)n = ...;

2) = ...;

3) an•am = ...;

4) (ab)n = ... .

y + 325 – y2--------------------

2x--- y

3--- z – 2

z + 1-------------- 2

3---

x2 – 49x + 7

---------------------

2x--- y

3--- z – 2

z + 1-------------- 2

3---

ab---

n

214

4) Приведите пример уравнения с переменнойв знаменателе дроби, которое не имеет корней.

5. Докажите, что:1) (m2 – n2)2 + (2mn)2 = (m2 + n2)2;2) (x – y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3;3) (x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4;

4) – = 4.

6. Известно, что x – y = 3. Найдите значение вы-ражения:

1) ;

2) ;

3) x3 – 3x2y + 3xy2 – y3;

4) .

7. Упростите выражение:

1) • ;

2) – • ;

3) + ;

4) • – .

III. Проведение зачета (20 мин)

IV. Подведение итогов зачета (5 мин)Капитан каждой команды рассказывает, сколь-

ко жетонов они заработали, какие оценки полу-чили члены команды, какие задания вызвалинаибольшие трудности. Учитель обращает внима-ние, что все задания взяты из списка контрольных

a + b( )2

ab---------------------- a – b( )2

ab---------------------

x2 – 2xy + y2

x – y---------------------------------------

9y – x--------------

x3 – 3x2y + 3xy2 – y3

x2 – 2xy + y2----------------------------------------------------------------

–2a2

3b3--------------

3 81b15

80a10----------------

1x--- 1

y--- 1

x – y( )2----------------------

2a2 – 2ab------------------------ 1

2b2 – ab------------------------

1a2 – b2------------------- 1

a2------ 1

b2-----

215

вопросов и заданий после каждого пункта и до-машней контрольной работы. Тот, кто системати-чески их решал, тот справился и с контрольнойработой, и с зачетом. Следующие зачеты будутпроводиться также после изучения глав. Учительобъявляет, какая команда победила, кому из уче-ников выставлен зачет, какие пробелы в знанияхнужно устранить.

Урок по теме «ВНЕСЕНИЕ И ВЫНЕСЕНИЕ

МНОЖИТЕЛЯ ИЗ-ПОД ЗНАКА КОРНЯ»

Цели урокаПредметные результаты: выносить множи-

тель из-под знака корня и вносить множитель подзнак корня.

Метапредметные результаты: комментиро-вать решения при составлении алгоритма выпол-нения задания; участвовать в открытии новыхзнаний на уроке: формулировать гипотезы, опре-деления, выводить формулы, строить алгоритмвнесения и вынесения множителя из-под знакакорня.

Личностные результаты: ставить и достигатьличные цели на уроке; оценивать свои возможнос-ти при выборе уровня самостоятельной работы.

Оформление доски до урока:

1. 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

2. 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

3. 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

4. 1) 2 ; 2) 7 ; 3) x ; 4) a2 .На боковую доску или на плакат выносятся за-

писи:

1) , если x < 0; 2) , если n < 0.

36 225 0,64 144

49•2 100•7 81•2 121•3

8 700 162 363

3 2 x b

x2y m4n2

216

На плакате или на обратной стороне боковогокрыла доски даны ответы к итоговой самостоя-тельной работе.

1-й уровень: 10 ; ; y2 .

2-й уровень: 5 ; ; b2c2 .

3-й уровень: 6 ; ; 3a2|y| .

I. Актуализация знаний (фронтальный опрос)

В первой строке нужно вычислить значениявыражений:

[1) = 6; 3) = 7;

2) = 15; 4) = 12.]Ученики читают выражение и называют его

значение, например: «Корень из 36 равен 6».

Какое свойство вы использовали при вычисле-нии?

[ = |a|.]

Упростите выражения, записанные во второйстроке.

[1) = 7 ; 3) = 9 ;

2) = 10 ; 4) = 11 .]

Каким свойством вы воспользовались?

[ = ]

Как представить первые множители в видеквадрата?

[ = .]

II. Постановка проблемыЧем отличаются задания третьей строки от вто-

рой? [Выражения под знаком корня не представ-лены в виде произведения, один из множителейкоторого является квадратом числа.]

2 45 a

5 3 b

3 0,018 7ay

36 49

225 144

a2

49•2 2 81•2 2

100•7 7 121•3 3

ab a b.

49•2 72•2

217

Каков алгоритм упрощения данных выраже-ний?

[ = = 2 .]

Запишите формулу, которой вы пользовалисьпри упрощении выражений второго и третьего ря-да.

[ = |a| .]

III. Открытие нового знанияУпростите выражения:

1) , если x < 0; 2) , если n < 0.

[1) = –x ; 2) = –m2n.]

На какое свойство квадратных корней вы опи-рались?

[ = |a|.]

Уточните формулу = a .

[ = |a| .]

Выполните обратные преобразования, т. е. вне-сите множитель под знак корня:

1) 2 ; 2) 7 ; 3) x ; 4) a2 .Каков алгоритм внесения числа под знак кор-

ня? [Нужно число, которое собираемся вносить под

знак корня, возвести в квадрат и записать множи-телем под корнем.]

Какой формулой вы воспользовались?

[|a| = .]

Какие преобразования можно делать с по-

мощью формулы = |a| ?

8 22•2 2

a2b b

x2y m4n2

x2y y m4n2

a2

a2b b

a2b b

3 2 x b

b a2b

a2b b

218

[Выносить множитель из-под знака корня ивносить множитель под знак корня.]

IV. Первичное закрепление изученногоC1: № 268 (а), 272 (1), 269 (1, а).Обсуждение результатов.Прочитайте выражение, которое у вас получи-

лось в № 268 (а).

[ = 7 .]


[ = |a| .]

Прочитайте выражение, которое у вас получи-лось в № 272 (1).

[2 = = .]


[|a| = .]

Прочитайте выражение, которое у вас получи-лось в № 269 (1, а).

[ = |a| .]

Какое выражение получится, если известно,что a > 0?

[ = |a| = a .]

Какое выражение получится, если известно,что a < 0?

[ = |a| = –a .]

Можно ли сразу записать ответ в № 269 (1, а)?

[Да, = –a , так как a < 0.]

С2: № 268 (е), 272 (г), 269 (1, в).Обсуждение результатов.

72•3 3

a2b b

7 22•7 28

b a2b

a2x x

a2x x x

a2x x x

a2b b

219

Объясните подробно, как вы выполняли № 268(2, е).

[ = = = 3 .]

Расскажите алгоритм выполнения данного за-дания.

[1. Представим подкоренное выражение в видепроизведения множителей, один из которых запи-шем в виде квадрата. 2. Число, записанное в видеквадрата, выносим из-под знака корня.]

Объясните подробно, как вы выполняли№ 272 (г).

[7 = = .]

Преобразования в № 269 (1, в) можно было вы-полнять по-разному. Посмотрим, какими способа-ми вы выполнили задание.

= |a| = |a| = |ab| или

= = = |ab| .

Если ученики показали оба случая, то следуетих сравнить, если один способ, то учитель можетпоказать другой и затем их сравнить.

Сравните эти два способа. [В первом случае выносили множители после-

довательно из-под знака корня, а во втором снача-ла выделили квадрат выражения, а затем вынеслиего из-под знака корня.]

Подумайте, как вынести множитель из-под зна-ка корня в № 270 (3).

Выполняется на доске с объяснением:

= = x2 .

Нужно ли x2 записывать под знаком модуля? [Нет, потому что x2 — число положительное.]

45 9•5 32•5 5

10 72•10 490

a2b3 b3 b2b b

a2b3 a2b2b ab( )2b b

x5y x2( )2xy xy

220

V. Итоговая самостоятельная работаСамостоятельная работа трехуровневая: чем

больше номер уровня, тем труднее задания. Уче-ники самостоятельно выбирают уровень работы.Можно предложить школьникам выполнить рабо-ту под копирку, копию сдать учителю, а первыйэкземпляр оставить себе для работы над ошиб-ками.

1-й уровень: № 268 (2, ж), 272 (2), 269 (1, б).2-й уровень: № 268 (2, и), 272 (6), 269 (1, г).3-й уровень: № 268 (2, л), 272 (9), 269 (1, и).Проверка ответов (написаны на крыле доски)

и обсуждение заданий, в которых допущеныошибки.

1-й уровень: 10 ; ; y2 .

2-й уровень: 5 ; ; b2c2 .

3-й уровень: 6 ; ; 3a2|y| .

VI. Итоги урока и задание на домОцените, правильно ли вы выбрали уровень са-

мостоятельной работы. Дома проведите работунад ошибками и выполните более высокий уро-вень самостоятельной работы. Ученики, которыеправильно решили задания третьего уровня, до-машнюю работу не выполняют.

Урок по теме «РЕШЕНИЕ КВАДРАТНОГО

УРАВНЕНИЯ В ОБЩЕМ ВИДЕ»(первый урок)

Цели урокаПредметные результаты: формирование у уча-

щихся умения применять общую формулу корнейпри решении квадратных уравнений.

2 45 a

5 3 b

3 0,018 7ay

221

Метапредметные результаты: выполнятьтворческие задания по теме; участвовать в откры-тии новых знаний на уроке: формулировать гипо-тезы, определения, выводить формулы, строитьалгоритм решения квадратных уравнений и др.

Личностные результаты: участвовать в от-крытии новых знаний на уроке; ставить и дости-гать личные цели на уроке; оценивать свои воз-можности в изучении конкретного материала.

I. Актуализация знанийНа доске записаны уравнения:

x2 – 16 = 0, x2 + 9 = 6x , 3x – 10 + x2 = 0,

3x2 – 15x = 0, 3x2 – 7x + 2 = 0.

Какие уравнения записаны на доске? [Квадратные.]

Докажите, что данные уравнения квадратные. [Уравнение вида ax2 + bx + c = 0 называется

квадратным, если a ≠ 0. Значит, нужно уравнениязаписать в виде x2 + bx + c = 0 и назвать коэффи-циенты уравнения.]

Перечислите виды квадратных уравнений, за-писанных на доске.

[Неполные квадратные уравнения:

x2 – 16 = 0, 3x2 – 15x = 0. Полные квадратные уравнения:

x2 + 9 = 6x, 3x – 10 + x2 = 0, 3x2 – 7x + 2 = 0.]

II. Постановка проблемыКакими методами вы предлагаете решить дан-

ные квадратные уравнения?[Уравнение x2 – 16 = 0 можно решить разложе-

нием на множители:(x – 4)(x + 4) = 0, x1 = 4, x2 = –4.

222

Уравнение x2 + 9 = 6x нужно переписать в видеx2 – 6x + 9 = 0 и свернуть по формуле квадратаразности: (x – 3)2 = 0, x – 3 = 0, x = 3.

Уравнение 3x2 – 15x = 0 разложим на множите-ли: 3x(x – 5) = 0, x1 = 0, x2 = 5.

Уравнение 3x – 10 + x2 = 0 перепишем в видеx2 + 3x – 10 = 0 и выделим полный квадрат:

x2 + 2• x + – – 10 = 0, x + = ,

x + = , x + = – , x1 = 2, x2 = –5.

Уравнение 3x2 – 7x + 2 = 0 решим, выделяяполный квадрат. Сначала умножим уравнение на4a, т. е. на 12, чтобы получить квадрат первогочлена:

36x2 – 84x + 24 = 0,36x2 – 2•6x•7 + 49 – 49 + 24 = 0,

(6x – 7)2 = 25, 6x – 7 = 5,

6x – 7 = –5, x1 = 2, x2 = .]

III. Открытие нового знанияДавайте вместе решим квадратное уравнение

общего вида выделением полного квадрата.ax2 + bx + c = 4a•ax2 + 4a•bx + 4a•c = (2ax)2 +

+ 2•(2ax)•b + b2 – b2 + 4ac = (2ax + b)2 – (b2 – 4ac).

(2ax + b)2 = b2 – 4ac, 2ax + b = ,

x1, 2 = .

Мы получили формулу корней квадратногоуравнения, из которой:

x1 = ; x2 = .

D = называют дискриминантом.

32--- 9

4--- 9

4--- 3

2---

2 494

-------

32--- 7

2--- 3

2--- 7

2---

13---

b2 – 4ac

–b ± b2 – 4ac2a

--------------------------------------------

–b + b2 – 4ac2a

------------------------------------------- –b – b2 – 4ac2a

-------------------------------------------

b2 – 4ac

223

Что случится, если дискриминант будет равен:нулю; больше нуля; меньше нуля?

[Если дискриминант равен нулю, уравнение бу-дет иметь один корень, если дискриминант боль-ше нуля — два корня, если дискриминант меньшенуля — нет корней.]

IV. Закрепление материалаДавайте проверим, все ли квадратные уравне-

ния, записанные на доске, можно решить по фор-муле корней. Для каждого уравнения предвари-тельно запишите значения коэффициентов.

[Все уравнения можно решить по формуле кор-ней.]

Значит, решение квадратных уравнений поформуле корней — это общий способ решения лю-бого квадратного уравнения.

Сравните разные способы решения каждогоуравнения и сделайте вывод.

[Решение квадратных уравнений по формулекорней — это общий способ решения, но иногдаможно и быстрее найти корни.]

Устно выполняется № 311.С1: В-1. № 312 (1), 313 (1). В-2. № 312 (2),

313 (2). С2: № 314.Фронтальная проверка правильности выполне-

ния заданий.

Разбейте квадратные уравнения в № 314 нагруппы по наличию корней.

[Есть корни в уравнениях: а, б, г, д, е, з. Неткорней: в, ж.]

Далее работа проводится в тетрадях.

Как будете выполнять задание к № 315? [Выполнить задание можно по-разному. Можно

подставить корни в уравнение и проверить, будетли равенство. Можно найти корни уравнения поформуле корней и сравнить с корнем, предложен-ным в задании.]

224

Назовите номера заданий, в которых легче датьответ по формуле корней.

[1, 2, 4, 6.]Какие ответы вы дадите в заданиях 3 и 5? Объ-

ясните свой ответ. [С п о с о б 1. Данное число не является корнем

уравнения. Так при подстановке в уравнение 3 по-лучим сумму двух рациональных чисел, из раци-онального числа вычитается иррациональное. Вид-но, что разность не будет равна нулю. В уравнении 5при подстановке числа 5 получим, что разностьдвух чисел кратна 5, а число 1324 не кратно 5,значит, в результате вычислений нуль не полу-чится. С п о с о б 2. Разность первых двух чиселбудет положительна, прибавив к ней еще 1324, ре-зультат нулем не будет.]

Имеет ли корни уравнение

2003x2 + 2004x – 2005 = 0 в № 319? [Да, так как дискриминант положительный.]

V. Подведение итогов урокаРассмотрите блок-схему на рисунке 21 учебни-

ка и скажите, сколько корней может иметь квад-ратное уравнение и при каких условиях. Составь-те план решения квадратного уравнения.

[1. Привести уравнение к виду ax2 + bx + c = 0.2. Найти дискриминант по формуле D = b2 – 4ac.3. Вычислить корни уравнения, если они есть:если D < 0, то пишем, что корней нет;если D = 0, то корень находим по формуле

x = – ;

если D > 0, то находим два корня по формуле

x1, 2 = .]

Д о м а ш н е е з а д а н и е. № 312 (5), 313 (3),323.

b2a-------

–b ± D2a

-------------------------

225

Урок по теме «ТЕОРЕМА ВИЕТА»

(первый урок)

Цели урокаПредметные результаты: анализировать связь

между корнями и коэффициентами квадратногоуравнения; формулировать и доказывать теоремуВиета, а также обратную ей теорему.

Метапредметные результаты: использоватьприемы умственной деятельности — анализ, клас-сификация, обобщение и подведение под понятие;ставить цель исследования, выдвигать гипотезы,представлять информацию в символической и таб-личной формах.

Личностные результаты: коммуникативнаякомпетентность в творческой деятельности; инте-рес к изучению математики за счет включенияпримеров из биографии Виета, приема запомина-ния формулировки теоремы Виета, самостоятель-ного открытия знаний, выполнения заданий, рас-крывающих все основные варианты соответствую-щей деятельности.

Оборудование: интерактивная доска, компью-терная презентация к уроку.

Таблица 1

Уравнение Корни Суммакорней

Произведениекорней

x2 – 6x + 8 = 0

x2 – 2x – 5 = 0

3x2 – x – 2 = 0

3x2 + x – 2 = 0

x2 + px + q = 0

ax2 + bx + c = 0

226

На одной боковой части доски сделаны записи:1) x2 + 3x – 40 = 0, x1 = –8, x2 = 5;

2) x2 – 2x – 3 = 0, x1 = –1, x2 = 3;

3) x2 – 2 = 0, x1 = – , x2 = ;

4) x2 – 2x – 9 = 0; x1 = 1 – , x2 = 1 + .На другой боковой части доски дано з а д а н и е.Найдите x2, p, зная, что x2 + px – 35 = 0, x1 = 7.

I. Самостоятельная работа по материалу, изученному ранее.

Постановка проблемыУченики выполняют № 326 (а, в, д, е). При про-

верке правильности выполнения самостоятельнойработы учитель под диктовку учащихся заполня-ет таблицу 1, и получается таблица 2.

Полезно предложить слабым ученикам прочи-тать уравнения вслух, тем самым проверяя уме-ния читать квадратные уравнения; назвать ре-зультат сложения и умножения корней, проверяяумение складывать и умножать рациональныечисла и квадратные корни.

Таблица 2


Произведе-ние корней

x2 – 6x + 8 = 0 4; 2 6 8

x2 – 2x – 5 = 0 1 + ; 1 – 2 –5

3x2 – x – 2 = 0 1; – –

3x2 + x – 2 = 0 –1; – –

2 2

10 10

6 6

23--- 1

3--- 2

3---

23--- 1

3--- 2

3---

227

II. Открытие нового знанияСравните сумму и произведение корней с коэф-

фициентами уравнений. Какое предположениеможно сделать? Какая зависимость существуетмежду корнями приведенного квадратного урав-нения и его коэффициентами? Сформулируйте ут-верждение и заполните предпоследнюю строчкутаблицы 1.

С этими словами учитель записывает данныев предпоследнюю строку таблицы 2.

[Сумма корней приведенного квадратного урав-нения равна второму коэффициенту, взятому спротивоположным знаком, произведение корнейравно свободному члену.]

Сформулируйте теорему для произвольногоквадратного уравнения и заполните последнююстроку таблицы.

[Сумма корней квадратного уравнения ax2 + bx +

+ c = 0 равна – , произведение корней равно .]

Вы сформулировали и доказали теорему Виетадля приведенного квадратного уравнения и произ-вольного квадратного уравнения.

Окончание табл. 2


Произведе-ние корней

x2 + px + q = 0;

–p q

ax2 + bx + c = 0; –

–p + p2 – 4q2

----------------------------------------

–p – p2 – 4q2

----------------------------------------

–b + D2a

------------------------

–b – D2a

-----------------------

ba--- c

a---

ba--- c

a---

228

Историческая справка. Впервые зависимостьмежду корнями и коэффициентами квадратногоуравнения установил знаменитый французскийученый Франсуа Виет (1540—1603).

Франсуа Виет был по профессии адвокатом имного лет работал советником короля. И хотя ма-тематика была его увлечением, благодаря упорно-му труду он добился в ней больших результатов.В 1591 г. Виет ввел буквенные обозначения длянеизвестных и коэффициентов уравнений, что да-ло возможность записывать свойства уравнений икорней общими формулами.

Недостатком алгебры Виета было то, что онпризнавал только положительные числа. Чтобыизбежать отрицательных решений, он заменялуравнения или искал искусственные приемы ре-шения, что отнимало много времени, усложнялорешение и часто приводило к ошибкам.

Много разных открытий сделал Виет, но сам онбольше всего дорожил установлением зависимос-ти между корнями и коэффициентами квадратно-го уравнения, т. е. той зависимости, которая на-зывается теоремой Виета.

Запомнить эти формулы помогает стихотворе-ние, которое так и называется «Теорема Виета».

Поэтом по праву должна быть воспетаО свойствах корней теорема Виета.Что лучше, скажи, постоянства такого,Умножишь ты корни, и дробь уж готова:В числителе c, в знаменателе a,И сумма корней тоже дроби равна.Хоть с минусом дробь та, что за беда:В числителе b, в знаменателе a.

III. Первичное закреплениеПроверьте, правильно ли найдены корни квад-

ратных уравнений, записанных на боковой частидоски.

229

Устно № 332 (1, 2), письменно № 332 (3, 4).Один из учеников решает на доске № 338 (1),

остальные участвуют в обсуждении решения.Р е ш е н и е. x1 + x2 = 13, x1x2 = 5.

y1 + y2 = 2x1 + 2x2 = 2(x1 + x2) = 2•(13) = 26.

y1y2 = 2x1•2x2 = 4x1x2 = 4•5 = 20.

y2 – 26y + 20 = 0.

Затем ученики записывают в тетради уравне-ния № 338 (2, 3, 4).

Фронтально выполняется з а д а н и е:«Найти x2, p, зная, что x2 + px – 35 = 0, x1 = 7».Р е ш е н и е. x1x2 = –35, 7x2 = –35, x2 = –5.x1 + x2 = –p, 7 – 5 = –p, p = –2.Ответ: x2 = –5, p = –2.

IV. Самостоятельная работаУченики выполняют № 328 (а, б), 332 (5, 6).

V. Подведение итогов урокаЗадаются следующие в о п р о с ы. 1. Можно ли сказать, чему равна сумма корней

квадратного уравнения x2 – 2x + 3 = 0?[Скорее всего, ученики скажут, что числу 2. Од-

нако этот ответ неверен, так как это уравнение во-обще не имеет корней:

x2 – 2x + 3 = x2 – 2x + 1 + 2 = (x – 1)2 + 2 � 2 > 0.2. Следовательно, прежде чем ответить на воп-

рос о сумме и произведении корней, необходимопроверить, существуют ли корни у заданногоквадратного уравнения.]

3. Могут ли оба корня уравнения x2 – 2x – 9 = 0быть положительными?

[Нет, x1•x2 = –9, значит, корни разных зна-ков.]

230

4. Можно ли утверждать, что модуль положи-тельного корня уравнения x2 – 2x – 9 = 0 большемодуля отрицательного? [Да, можно, потому чтоx1 + x2 = 2 > 0.]

Д о м а ш н е е з а д а н и е. П. 23, № 329 (2),330 (2), 332 (1, 4), 333 (2, 4).

Урок по теме«ТЕОРЕМА ВИЕТА»

(второй урок)

Цели урокаПредметные результаты: применять теорему

Виета и обратную ей при решении задач разнойстепени трудности.

Метапредметные результаты: проводить ма-тематическое исследование при решении квадрат-ного уравнения с параметром; аргументироватьсвой ответ, формулировать проблему, гипотезу,составлять план выполнения задания.

Личностные результаты: оценка своих зна-ний и умений по материалу урока.

I. Проверка домашнего заданияЗаполненную дома таблицу к № 333 можно про-

верить устно, разобрав подробно задания 4 и 6.Один ученик выполняет № 333 (4, 6) на доске.

Р е ш е н и е. 4) b = –5, c = 12, x2 = 3. Имеем:

x1 = = , 3 + = , = 3, a = , x1 = 12.

6) a = 9, c = –7, x1 = 1. Имеем: x1x2 = ,

x2 = , 1 – = – , b = –2.

Другой ученик на доске доказывает обратнуютеорему Виета, выполняя № 334.

123a------- 4

a--- 4

a--- 5

a--- 1

a--- 1

3---

–79

-------

–79

------- 79--- b

9---

231

II. Самостоятельная работапо изученному ранее материалу

Ученики выполняют упражнения № 329, 330.Два ученика работают на боковых досках, так

чтобы не было видно ученикам класса. Затем до-ски разворачивают и проводят проверку правиль-ности выполнения в тетрадях, сверяясь с доской.

Р е ш е н и е. № 329 (1). x2 – 13x – 75 = 0.№ 329 (2). x2 + 17x + 27 = 0.

№ 330 (1). x2 – x – = 0 или 15x2 – 10x – 21 = 0.

№ 330 (2). x2 + x + = 0 или 12x2 + 2x + 11 = 0.

Как избавиться от дробей в № 330?[Умножить уравнение на наибольший общий

делитель знаменателей дробей.]

III. Изучение нового материала

Проверка доказательства обратной теоремы Ви-ета на доске.

Сформулируйте обратную теорему Виета. [Корнями квадратного уравнения x2 – (p + q)x +

+ pq = 0 являются числа p и q.]Проверяем доказательство на доске.

Что значит, что число p является корнем данно-го уравнения?

[Если подставить его вместо х, должно получить-ся верное числовое равенство.

p2 – (p + q)p + pq = p2 – p2 – qp + pq = 0.

Таким образом, число p — корень. Аналогичноможно показать, что и число q — тоже корень.]

З а д а н и е. Подберите корни в уравнении: 1) x2 – x – 2 = 0; 2) x2 – 5x + 6 = 0.

23--- 7

5---

16--- 11

12-------

232

IV. Первичное закрепление

Письменно решить № 335 (1—4). Фронтальноразбирается № 328 (г).

Р е ш е н и е № 328 (г). При решении уравнения5x2 – 32x – 37 = 0 проверяются числа 1 и –1. Приподстановке числа –1 левая часть равенства обра-щается в нуль, значит, x1 = –1 — корень. Ищем вто-рой корень:

1) из суммы корней: x1 + x2 = , –1 + x2 = ,

x2 = ;

2) из произведения корней: x1•x2 = – , x2 = ;

видно, что второй способ рациональнее.

V. Самостоятельная работа

Ученики выполняют № 335 (5—8), 328 (в).

VI. Закрепление материала пункта

Каждое задание из списка № 336 (1), 337 (2),339 (б), 340 предлагается для самостоятельногорешения, и один из учеников приглашается длярешения на боковую доску для организации быст-рой проверки.

№ 336 (1). Р е ш е н и е. x2 = x1 + 6; 2x1 + 6 = –7,

x1 = –6,5, x2 = –0,5, = (–6,5)(–0,5), c = 13.

№ 337 (2). x2x1 = 0,1, x2 = x1, x1•x1 = 0,1,

= , x1 = ± , x2 = ± , причем второй корень

имеет тот же знак, что и первый. b = ± ± = ± .

325

------- 325

-------

375

-------

375

------- 375

-------

c4---

58--- 5

8---

x12 4

25------- 2

5--- 1

4---

25--- 1

4--- 13

20-------

233

№ 339 (1, б). Уравнение получится, если в ис-

ходном уравнении заменить x на . Значит, урав-

нение имеет корни, обратные числам x1 и x2.№ 339 (2, б). Если бы это уравнение имело от-

личный от нуля корень, то обратное ему число бы-ло бы корнем исходного уравнения. Если же вто-рое уравнение имеет корень, равный нулю, то егосвободный член (a = 0) тоже должен быть равеннулю, что противоречит условию о том, что урав-нение ax2 + bx + c = 0 является квадратным, т. е.a ≠ 0.

№ 340. Оба уравнения имеют одинаковые ди-скриминанты. Значит, либо они оба имеют корни,либо оба корней не имеют.

VII. Подведение итогов урока

Задаются следующие в о п р о с ы.1. Сколько корней может иметь квадратное

уравнение? Приведите подтверждающий пример.2. Известно, что x = 1 является корнем уравне-

ния 2x2 + bx + 5 = 0. Чему равен коэффициент b?

[b = –7.]

3. Известно, что x = –1 является корнем уравне-ния 2x2 + bx + 5 = 0. Чему равен коэффициент b?

[b = 7.]

Д о м а ш н е е з а д а н и е. № 335 (9—12), 336 (2);для желающих творческое задание: «Доказать,что если в квадратном уравнении

ax2 + bx + c = 0:

1) a + b + c = 0, то x1 = 1, x2 = ;

2) a – b + c = 0, то x1 = –1, x2 = – ».

1x---

ca---

ca---

234

Урок-тренинг по теме«ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ КВАДРАТНЫХ

УРАВНЕНИЙ»(первый урок)

Цели урокаПредметные результаты: решать квадратные

уравнения разными способами: проверять, явля-ются ли корнями числа 1 или –1; раскладыватьквадратное уравнение на множители; использо-вать формулы Виета, формулу корней с сокращен-ным дискриминантом или общую формулу кор-ней.

Метапредметные результаты: выбирать ра-циональный способ решения квадратного уравне-ния; работать самостоятельно и в паре; организо-вывать тематический диалог с одноклассниками,задавать вопросы, понимать разные решения;обобщать типы квадратных уравнений и способыих решения.

Личностные результаты: ставить и достигатьличные цели на уроке; оценивать свои знанияи умения по материалу урока.

I. Постановка целей урока (1 мин)Сегодня мы проводим урок-тренинг, на кото-

ром вы повторите и систематизируете методы ре-шения разных видов квадратных уравнений. Выдолжны к концу урока научиться выделять видыквадратных уравнений и методы их решения, атакже составить общий план решения произволь-ного квадратного уравнения. Сначала вы само-стоятельно решаете уравнения, затем обсуждаетесвои способы решения и ответы в парах, после че-го мы коллективно, т. е. всем классом, подводимитоги работы.

235

II. Самостоятельная работа.Принятие собственного решения (20 мин)1. Подберите концовку предложения, исполь-

зуя представленные ответы.1) Уравнение ax2 + bx + с = 0 называется квад-

ратным, если … . 2) Уравнение называется неполным, если … .3) Уравнение называется приведенным, если … .4) Уравнение имеет корни, выраженные проти-

воположными числами, если … .5) Уравнение ax2 + bx + c = 0 является линей-

ным, если … .Ответы: 1) a ≠ 0; 2) a = 0; 3) b = 0; 4) c = 0; 5) a = 1;

6) b ≠ 0.2. Решите уравнения:1) 3x2 = 0;2) x2 + 36 = 0;3) 2x2 – 5 = 0;4) 2x2 – 8x = 0;5) x2 + x – 12 = 0;6) –2x2 – 5x + 7 = 0;

7) x2 + x – = 0;

8) 24x2 – 10x – 8 = 0.

В ходе самостоятельной работы ученики пробу-ют самостоятельно решить все уравнения, найтиразные способы решения и прийти к выводу, ка-кой способ решения рациональнее.

III. Работа в парах (5 мин)При обсуждении работы в парах ученики све-

ряют свои ответы, просматривают способы реше-ния, выбирают наиболее рациональный способ иобсуждают общий способ решения квадратныхуравнений. У учеников появляется возможностьпроговорить способ решения, объяснить свой спо-

14--- 1

3--- 5

4---

236

соб, что потребует активной речевой деятельнос-ти, развивает умение слушать и понимать товари-ща, принимать общее решение.

IV. Коллективная работа класса.Обсуждение различных мнений

и выработка общего плана действия(10 мин)

Проверяется сначала правильность решенияуравнений, т. е. ответы. Затем учитель вывешива-ет «Лист контроля формул» или разворачивает бо-ковую доску.

Лист контроля формул

1) ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0, x1, 2 = ,

x1 + x2 = – , x1•x2 = .

2) ax2 + 2kx + c = 0, x1, 2 = .

3) x2 + px + q = 0, x1 + x2 = – p, x1•x2 = q.

4) ax2 + bx = 0, x(ax + b) = 0, x1 = 0, x2 = – .

5) ax2 + c = 0, x2 = – , – > 0, x1, 2 = ± .

6) ax2 = 0, x = 0.Называются виды квадратных уравнений и спо-

собы их решения. Ученики называют номера,под которыми записаны данные виды уравнений,и обсуждают способы решения. Таким образом,все уравнения классифицируются.

Учитель обращает внимание на способ решенияуравнения с четным коэффициентом при x.

Составляется общий п л а н решения произ-вольных квадратных уравнений.

–b ± b2 – 4ac2a

--------------------------------------------

ba--- c

a---

–k ± k2 – aca

-----------------------------------------

ba---

ca--- c

a--- –c

a---

1. При решении уравнений с дробными коэффи-циентами сначала избавляются от дробей.

2. Перед решением уравнения с отрицатель-ным коэффициентом при x2 уравнение умножаютна –1.

3. Неполные уравнения решаются либо по опре-делению квадратного корня (когда нет слагаемогопри x), либо вынесением x за скобки. Во второмслучае можно сразу записать x1 = 0, а второй ко-рень найти, например, по теореме Виета.

4. При решении уравнений с четным коэффици-ентом при x лучше применять формулу с сокра-щенным дискриминантом.

5. При решении уравнений полезно проверитьусловия:

a + b + c = 0 и a – b + c = 0, т. е. являются ли числа 1 или –1 корнями уравне-ния, затем по теореме Виета найти второй корень.

6. Во всех остальных случаях решаем квадрат-ное уравнение по общей формуле корней.

V. Подведение итогов урока (1 мин)Д о м а ш н е е з а д а н и е. Решить по одному

квадратному уравнению каждого вида в № 345.

238

СОДЕРЖАНИЕПредисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Тематическое планирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Методические комментарии к главам учебникаГлава 1. Рациональные выражения . . . . . . . . . . . . 38

1. Формулы куба двучлена . . . . . . . . . . . . . . . . . 382. Формулы суммы и разности кубов . . . . . . . . . 483. Допустимые значения. Сокращение дробей 524. Умножение, деление и возведение дробей в степень. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями . . . . . . . . . . . . . 626. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. . . . . . . . . . . . . . . . . . 647. Упрощение рациональных выражений.8. Дробные уравнения с одной переменной . . . . 70

Глава 2. Степень с целым показателем . . . . . . . . . 779. Прямая и обратная пропорциональность величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

10. Функция y = и ее график. . . . . . . . . . . . . . 82

11. Определение степени с целым отрицательным показателем.12. Свойства степеней с целыми показателями.13. Стандартный вид числа. . . . . . . . . . . . . . . . . 87

Глава 3. Квадратные корни. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9914. Рациональные и иррациональные числа . . . 9915. Периодические и непериодические бесконечные десятичные дроби . . . . . . . . . . . . . 10716. Функция у = х2 и ее график . . . . . . . . . . . . . 11117. Понятие квадратного корня . . . . . . . . . . . . . 11318. Свойства арифметических квадратных корней . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11619. Внесение и вынесение множителя из-под знака корня . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12120. Действия с квадратными корнями . . . . . . . . 124

Глава 4. Квадратные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . 13321. Выделение полного квадрата . . . . . . . . . . . . 13322. Решение квадратного уравнения в общем виде . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

kx---

23. Теорема Виета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14024. Частные случаи квадратных уравнений . . . 14525. Задачи, приводящие к квадратным уравнениям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14726. Решение системы уравнений способом подстановки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15627. Решение задач с помощью систем уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

Глава 5. Вероятность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16728. Вычисление вероятностей. . . . . . . . . . . . . . . 16729. Вероятности вокруг нас. . . . . . . . . . . . . . . . . 175

Глава 6. Повторение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18030. Числа и числовые выражения . . . . . . . . . . . 18131. Рациональные выражения . . . . . . . . . . . . . . 18532. Квадратные корни . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18733. Квадратные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

Контрольные работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194№ 1. Тема «Рациональные выражения» . . . . . . 194

№ 2. Тема «Функция y = » . . . . . . . . . . . . . . . . 196

№ 3. Тема «Степень с целым показателем» . . . . 198№ 4. Тема «Квадратные корни» . . . . . . . . . . . . . 200№ 5. Тема «Квадратные уравнения» . . . . . . . . . 202№ 6 Тема «Системы двух уравнений с двумя переменными». . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204Итоговая контрольная работа . . . . . . . . . . . . . . 206Ответы к контрольным работам . . . . . . . . . . . . . 208

Планы-конспекты уроков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211Урок-зачет по главе 1 «Рациональные выражения» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211Урок по теме «Внесение и вынесение множителя из-под знака корня» . . . . . . . . . . . . 215Урок по теме «Решение квадратного уравнения в общем виде» (первый урок) . . . . . . 220Урок по теме «Теорема Виета»(первый урок). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225Урок по теме «Теорема Виета» (второй урок) . . 230Урок-тренинг по теме «Частные случаи квадратных уравнений» (первый урок) . . . . . . . 234

kx---

Documents

ПРЕДИСЛОВИЕ - narod.ru · 3 ПРЕДИСЛОВИЕ Данное методическое пособие разработано к УМК «Алгебра. 8 класс»