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3-2+1=?
66
1177+
+
11
11
多變量微積分
1. 多變量函數2. 極限與連續3. 偏導數(觀念、理論、應用)4. 重積分(觀念、理論、應用)
Southern Taiwan University
3-2+1=?
66
1177+
+
11
11
(I) 偏導數
Southern Taiwan University
3-2+1=?
66
1177+
+
11
11
(A)多變數函數
Functions of Several Variables
Southern Taiwan University
22
88
444
11
11二變數函數
設 為所有實數所成的集合， 為所有二元有序實數組所成的集合，即 2
2 {( , ) | , }x y x y
Southern Taiwan University
22
88
444
11
11二變數函數
若 ，且對每一 ，在 中有唯一的 與之對應，則函數 稱為兩個變數的實值函數， 為函數 的定義域，為函數 的對應域，在 中有被對應的 所成的集合，稱為 之值域。 中元素 所對應的 值，記作 ，即
稱為自變數， 稱為因變數。
2 ( , )x y z f ：
ff
z
f ( , )x yz ( , )f x y
( , )z f x y
,x y z
Southern Taiwan University
22
88
444
11
11例題. ，求
(a) f(1,-4)；(b) f的定義域。
2 2 9( , )
x yf x y
x
解：( ) (1, 4)a f
2 21 ( 4) 91
8 2 2
2 2( ) {( , ) | 9 0, 0}fb D x y x y x
Southern Taiwan University
22
88
444
11
11二變數函數
二變數函數 的圖形，即集合
為三維空間的一曲面。
( , )z f x y
{( , , ( , )) | ( , ) }x y f x y x y
Southern Taiwan University
22
88
444
11
11 例題.求作函數 的圖形。
解：
2 2( , ) 25z f x y x y
Southern Taiwan University
22
88
444
11
11例題.試求函數 的等高線。
解：
2 2( , )z f x y y x
Southern Taiwan University
22
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444
11
11三變數函數
三變數函數
定義為對每一
，在 中有唯一 與之對應。對某些常數 而言，滿足 之點 的集合為一曲面，此曲面稱為 之一等高曲面(Levelsurfaces)。
3( , , ) {( , , ) | , , }x y z x y z x y z u c
( , , )f x y z c ( , , )x y zf
( , , )u f x y z
Southern Taiwan University
3-2+1=?
66
1177+
+
11
11
(B)極限與連續
Limits and Continuity
Southern Taiwan University
22
88
444
11
11定義設 為函數 之定義域內一固定點，若當內之動點 趨近於 時，亦即
趨近於0，恒能使得 趨近於一實數 ，亦即 之值會趨近於0，則稱當趨近於 時，函數 的極限為 ，記作
0 0( , )x y f ( , )x y 0 0( , )x y
2 20 0 0 0( , ),( , ) ( ) ( )d x y x y x x y y
( , )f x y L( , )f x y L│ │ ( , )x y
0 0( , )x y ( , )f x y L
0 0( , ) ( , )lim ( , )
x y x yf x y L
Southern Taiwan University
22
88
444
11
11•在單變數函數的情形：
•在二變數函數的情形：
使 存在，則須對於沿著趨近
於 之所有可能路徑， 均趨近於相同
值 。
若存有二條趨近於 之不同路徑，使得
趨近於不同值，則 不存在。
lim ( ) lim ( )x a x a
f x f x L
0 0( , ) ( , )lim ( , )
x y x yf x y
0 0( , )x y f
L
0 0( , )x y
( , )f x y0 0( , ) ( , )
lim ( , )x y x y
f x y
Southern Taiwan University
22
88
444
11
11
定理
若 ， 為一常數，則( , )f x y c c
0 0( , ) ( , )lim ( , )
x y x yf x y c
Southern Taiwan University
22
88
444
11
11
定理
及0 0
0( , ) ( , )lim
x y x yx x
0 00( , ) ( , )
limx y x y
y y
Southern Taiwan University
22
88
444
11
11 定理
若 及 ，
則
(1)
(2) ，其中 為一常
數。
(3)
(4) ( )
0 01( , ) ( , )
lim ( , )x y x y
f x y L
0 0
2( , ) ( , )lim ( , )
x y x yg x y L
0 0
1 2( , ) ( , )lim ( , ) ( , )
x y x yf x y g x y L L
0 0
1( , ) ( , )lim ( , )
x y x ykf x y kL
k
0 0
1 2( , ) ( , )lim ( , ) ( , )
x y x yf x y g x y L L
0 0
1
( , ) ( , )2
( , )lim
( , )x y x y
Lf x yg x y L
2 0L Southern Taiwan University
22
88
444
11
11例題. 試求
解：
2
( , ) (1,2)
2lim
x y
x yxy
2
( , ) (1,2)
2lim
x y
x yxy
21 2 21 2
52
Southern Taiwan University
22
88
444
11
11例題.設 ，證明
解：
當 ，則
且 ，因而
所以得證
( , )| | | |
xyf x y
x y
( , ) (0,0)lim ( , ) 0
x yf x y
( , ) 0f x y | || |
| | | |x y
x y
2| | | |
4 | | | |x y
x y
| | | |4
x y
2 2( 0) ( 0) 0x y | | 0x
| | 0y ( , ) 0 0f x y
( , ) (0,0)lim ( , ) 0
x yf x y
Southern Taiwan University
22
88
444
11
11例題.設 ，求
解：當(x,y)沿著x軸趨近於(0,0)時，
當(x,y)沿著y軸趨近於(0,0)時，
故 不存在。
2 2
2 2
2( , )
3x y
f x yx y
( , ) (0,0)lim ( , )
x yf x y
( , ) (0,0)lim ( , )
x yf x y
( , ) (0,0)lim ( , )
x yf x y
0lim ( ,0)x
f x
2
20
0lim
0x
xx
1
( , ) (0,0)lim ( , )
x yf x y
0lim (0, )y
f y
2
20
0 2lim
0 3y
yy
23
Southern Taiwan University
22
88
444
11
11例題.設 ，求
解：當(x,y)沿著直線y=x趨近於(0,0) 時，
當(x,y)沿著直線y=2x趨近於(0,0)時，
故 不存在。
( , ) (0,0)lim ( , )
x yf x y
( , ) (0,0)lim ( , )
x yf x y
( , ) (0,0)lim ( , )
x yf x y
( , ) (0,0)lim ( , )
x yf x y
2 2( , )xy
f x yx y
2
2 20limx
xx x
12
2
2 20
2lim
4x
xx x
25
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22
88
444
11
11例題. 試求
解：
所以由夾擊定理得
3
2 2( , ) (0,0)lim
x y
x yx y
03
2 2
x yx y
2
2 2
xxy
x y
| || |x y
( , ) (0,0)lim | || | 0
x yx y
3
2 2( , ) (0,0)lim 0
x y
x yx y
Southern Taiwan University
22
88
444
11
11定義(1) 若 則稱函數在點 為連續。換言之，對任意動點 ，若 ，恒能使得 ，則稱函數在點 為連續。(2) 若函數 在區域 內每一點均為連續，則稱 在 為連續。
0 00 0( , ) ( , )
lim ( , ) ( , )x y x y
f x y f x y
( , )f x y
0 0( , )x y( , )x y 2 2
0 0( ) ( ) 0x x y y
0 0( , ) ( , ) 0f x y f x y ( , )f x y
0 0( , )x y( , )f x y f
Southern Taiwan University
22
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444
11
11 定理
令 ，若函數 在點
連續，則
(1) 函數 與 均在點 連續，
其中 為常數。
(2) 當 時，函數 在點 連
續。
2 , :f g 0 0( , )x y
,cf f g f g 0 0( , )x y
c
0 0( , ) 0g x y fg 0 0( , )x y
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11
11
定理
若 ，且函數 與
分別在點 與 連續，則合
成函數 亦在點 連續。
21 2, 1 2:f : 2g
0 0 1( , )x y 0 0( , )f x y
1:g f 0 0( , )x y
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11
11例題.討論 的連續性。
解：函數f在直線y=x上的點沒有定義，而在定義域內所有點均為連續，故知f在集合
為連續。
( , )xy
f x yy x
{( , ) }x y y x
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22
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444
11
11
例題.試問
在 是否連續?
解：因 ，
所以f在(0,0)連續。
, ( , ) (0,0)| | | |( , )
0 , ( , ) (0,0)
xyx y
x yf x yx y
(0,0)
( , ) (0,0)lim ( , ) (0,0)
x yf x y f
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444
11
11例題.試問
在 是否連續?
解：因 不存在，
所以g在(0,0)不連續。
(0,0)
2 2 , ( , ) (0,0)( , )
0 , ( , ) (0,0)
xyx y
x yg x yx y
( , ) (0,0)lim ( , )
x yg x y
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3-2+1=?
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1177+
+
11
11
(C)偏導數
Partial Derivatives
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11
11
偏導數(partial derivative)的定義設z=f(x,y)為定義於區域 之函數，且 。則二單變數函數
之圖形為曲面z=f(x,y)分別與平面 及之交集，均為空間曲線，分別稱為f在x軸方向與y軸方向的偏函數(或切片函數)
20 0( , )x y
0
0
( ) ( , )
( ) ( , )
x f x y
y f x y
0y y 0x x
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22
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11
11
Southern Taiwan University
22
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444
11
11
若視y為常數，則ψ在點x=x0 之導數，稱為f
在點(x0,y0)對x之偏導數，記作 ，即 0 0( , )x y
fx
0 0 0
0 0( , ) 0
( ) ( )limx y x x x
x x xf dx dx x
0 0 0 0
0
( , ) ( , )lim
x
f x x y f x yx
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22
88
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11
11
若視x為常數，則 在點y=y0之導數，稱為在f
點(x0,y0)對y之偏導數，記作 ，即 0 0( , )x y
fy
0 0 0
0 0( , ) 0
( ) ( )limx y y y y
y y yf dy dy y
0 0 0 0
0
( , ) ( , )lim
y
f x y y f x yy
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11
11
在 中所有能使 存在的點(x,y)定義為
一函數，則稱此函數f為對x之偏導函數，記
作 ，即
( , )x y
fx
( , )f
x yx
0
( , ) ( , )( , ) lim
x
f f x x y f x yx y
x x
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88
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11
11
在 中所有能使 存在的點(x,y)定義為
一函數，稱為此函數f對y之偏導函數，記
作 ，即
( , )x y
fy
( , )f
x yy
0
( , ) ( , )( , ) lim
y
f f x y y f x yx y
y y
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11
11偏導函數之符號尚有其他表示法
1x x
ff f D f
x
2y y
ff f D f
y
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11
11例題.設 ，求
及 。
解：
2 3 3( , ) 2f x y x x y y
,f fx y
(1,2) (1,2),f fx y
fx 22 6x x y
fy 3 22 3x y
(1,2)
fx
10 (1,2)
fy
14
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11
11例題.設函數 ，
求 及 。
解：
2 3( , , ) ln( )f x y z x y z
,f fx y
fz
fx
fy
fz
2 3
2 3
1( )x y z
x y z x
2 3
1x y z
2 3
2 3
1( )x y z
x y z y
2 3
2 yx y z
2 3
2 3
1( )x y z
x y z z
2
2 3
3zx y z
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11
11
例題.設 ，
求 及 。
解：
3 3
2 2 ,( , ) (0,0)( , )
0 ,( , ) (0,0)
x yx y
f x y x yx y
(0,0)xf (0,0)yf
(0,0)xf0
( ,0) (0,0)lim
x
f x fx
0
0lim
x
xx
1
(0,0)yf0
(0, ) (0,0)lim
y
f y fy
0
0lim
y
yy
1
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11
11偏導數的幾何意義
函數 在點 之偏導數
表曲面 與平面 相交所成之
切片函數 過點 之
切線 的斜率。
( , )z f x y 0 0( , )x y
0 0 0 00 0 0
( , ) ( , )( , ) limx x
f x x y f x yf x y
x
( , )z f x y 0y y
0( ) ( , )x f x y0 0 0( , , )P x y z
1L
Southern Taiwan University
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11
11偏導數的幾何意義
函數 在點 之偏導數
表曲面 與平面 相交所成之
切片函數 過點 之
切線 的斜率。
( , )z f x y 0 0( , )x y
0 0 0 00 0 0
( , ) ( , )( , ) limy y
f x y y f x yf x y
y
( , )z f x y 0x x
0( ) ( , )y f x y0 0 0( , , )P x y z
2L
Southern Taiwan University
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11
11偏導數的幾何意義
此二切線的方程式分別為
與
0 0 0 01
0
( , )( ): xz z f x y x x
Ly y
0 0 0 02
0
( , )( ): yz z f x y y y
Lx x
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22
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11
11 例題.設一橢圓拋物面之方程式為，試求平面 與曲面相交的曲線在點之切線斜率。
解：因 ，
故相交曲線在點(3,2,4)之切線斜率為
2 218 4 9z x y 3x (3,2,4)
2 21(4 9 )
18z x y
zy
y
(3,2) 2z
my
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22
88
444
11
11 例題.求球面 與平面 相交的曲線在點 之切線方程式。
解：因 ，
故相交曲線在點(3,1,2)之切線斜率為
，且所求之切線方程式為
2 2 2 14x y z 1y (3,1,2)
2 2( , ) 14z f x y x y
2 214
z xx x y
(3,1)
32
zx
32 ( 3)
21
z x
y
3 2 131
x zy
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22
88
444
11
11高階偏微分
2
2xx x x xx
f ff D D f D f
x x x
2
xy y x xy
f ff D D f D f
y x y x
2
yx x y yx
f ff D D f D f
x y x y
2
2yy y y yy
f ff D D f D f
y y y
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22
88
444
11
11例題. 設 ，求 及 。
解：
( , ) y xf x y xe ye xyf3
2
fy x
x
ff
x
y xe ye
2
xy x
ff f
y x y
y xe e
3
2 xyy xy
ff f
y x y
ye
Southern Taiwan University
22
88
444
11
11 例題. 設 ，求 。
解：
2 3( , ) ln( )f x y x y , , ,xx xy yx yyf f f f
x
ff
x
2 3
2xx y
y
ff
y
2
2 3
3 yx y
xxx
ff
x
2 3
2 3 2
2( ) 2 (2 )( )
x y x xx y
3 2
2 3 2
2( )( )
y xx y
x
xy
ff
y
2
2 3 2
2 (3 )( )
x yx y
2
2 3 2
6( )
xyx y
yyx
ff
x
2
2 3 2
3 (2 )( )
y xx y
2
2 3 2
6( )
xyx y
yyy
ff
y
2 3 2 2
2 3 2
6 ( ) 3 (3 )( )
y x y y yx y
2 3
2 3 2
3 (2 )( )y x yx y
Southern Taiwan University
22
88
444
11
11定理
設 為二變數函數且 為 之一開集合。
若 與 在 皆為連續，則對 中的
每一點 ，
f 2, ,x y xyf f f yxf
( , )x y
( , ) ( , )xy yxf x y f x y
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3-2+1=?
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1177+
+
11
11
(D)連鎖律
Chain Rules
Southern Taiwan University
22
88
444
11
11
定理
設函數 ，且 ， 均為連續。
若 ， ，且 皆存
在，則
(1)
(2)
( , )u f x y xfyf
( , )x x s t ( , )y y s t , , ,s t s tx x y y
u f x f ys x s y s
u f x f yt x t y t
Southern Taiwan University
22
88
444
11
11推論
設函數 且 均連續。
若 ， 且 皆存在，則
( , )u f x y ,x yf f
( )x x t ( )y y t ( ), ( )x t y t
du u dx u ydt x dt y dt
Southern Taiwan University
22
88
444
11
11例題.設 ，且 ， ，求
解：
2 lnu x y tx e 2 1y t dudt
dudt
u dx u dyx dt y dt
2
(2 ln ) ( )(2 )t xx y e t
y
22 2
2
22 ln( 1)
1
tt te
e tt
Southern Taiwan University
22
88
444
11
11 例題.設 ，且 ， ，求
解：
2 2u x xy y 2x s t 2y s t ,
u us t
us
u x u yx s y s
( )( ) ( )( )2 2 2 1x y x y
5 4x y ( ) ( )5 2 4 2s t s t
14 3s t ut
u x x yx t y t
( )( ) ( )( )2 1 2 2x y x y
( )3 2s t
3 6s t Southern Taiwan University
22
88
444
11
11隱函數微分公式設 之第一階偏導函數連續，且可微分函數 滿足方程式
或
利用連鎖律，得
若 ，則
( , )u F x y( )y f x
( , ) 0F x y
( , ( )) 0F x f x
0du F F dydx x y dx
0
Fy
//
dy F xdx F y
Southern Taiwan University
22
88
444
11
11例題.若方程式 ，求
解：令 ，則
3 2 2 2 1 0x x y x y dydx
3 2 2( , ) 2 1F x y x x y x y
dydx
//
F xF y
2 2
2
3 2 12 2
x xyx y
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3-2+1=?
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1177+
+
11
11
(E)多變數函數的極值
Extrema of Functions
Southern Taiwan University
22
88
444
11
11
定義設函數 定義於區域 ，且 。若對 之ㄧ鄰域內
任一點 ，恆有
則稱 為 之ㄧ相對(局部)極大點，而 為 之ㄧ相對極大值。
z f x y ( , ) 2x y 0 0( , ) x y0 0( , )
N x y x y d x y x y 0 0 0 0( , ) ( , ) | (( , ),( , )) x y( , )
f x y f x y 0 0( , ) ( , )
x y0 0( , ) ff x y0 0( , ) f
Southern Taiwan University
22
88
444
11
11
定義設函數 定義於區域 ，且 。若對 之ㄧ鄰域內
任一點 ，恆有
則稱 為 之ㄧ相對(局部)極小點，而 為 之ㄧ相對極小值。
z f x y ( , ) 2x y 0 0( , ) x y0 0( , )
N x y x y d x y x y 0 0 0 0( , ) ( , ) | (( , ),( , )) x y( , )
f x y f x y 0 0( , ) ( , )
x y0 0( , ) ff x y0 0( , ) f
Southern Taiwan University
22
88
444
11
11
定理
若函數 在 內一點 有一極大
或極小值，且 與 均存在，
則
，
註： 為 之一臨界點
z f x y ( , ) x y0 0( , )
xf x y0 0( , ) yf x y0 0( , )
xf x y 0 0( , ) 0 yf x y 0 0( , ) 0
x y0 0( , ) f
Southern Taiwan University
22
88
444
11
11 定理 二階偏導數檢定法設函數 在 內一點 之鄰域中各二階偏導函數皆存在，且為連續。若 ， ，令
則(1) 當 ，且 時， 為一極大值；(2) 當 ，且 時， 為一極小值；(3) 當 時， 既非極大值亦非極小值，而稱 為 之一鞍點；(4) 當 時，我們無法用此法判定為 之極端點或鞍點。
z f x y ( , ) x y0 0( , )
xf x y 0 0( , ) 0 yf x y 0 0( , ) 0
xx yy xyf x y f x y f x y2
0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , )
0 xxf x y0 0( , ) 0 f x y0 0( , )
0 xxf x y0 0( , ) 0 f x y0 0( , )
0 f x y0 0( , )x y f x y0 0 0 0( , , ( , )) f
0 x y0 0( , )f
Southern Taiwan University
22
88
444
11
11
Southern Taiwan University
22
88
444
11
11 例題. 試求函數 之極值及鞍點。解： ，令 ，則(x,y)=(0,0)或(2,1)。又 ， ，(1)在點(0,0)
故(0,0,0)為ㄧ鞍點(2)在點(2,1)
且 ，故f在(2,1)有一極小值
f x y x xy y3 3( , ) 12 8
xf x y23 12 yf x y212 24 x yf f 0
xxf x6 xyf 12 yyf y48
xx yy xyf f f 2(0,0) (0,0) (0,0) 144 0
xx yy xyf f f 2(2,1) (2,1) (2,1) 432 0
xxf (2,1) 12 0
f (2,1) 8Southern Taiwan University
22
88
444
11
11 例題. 試求點(1,2,1)至平面2x-y+z=7之最短距離。解：設P(x,y,z)為此平面上任一點，則點P與
(1,2,1) 之距離
若距離l為最短，則l2之值亦為最小，故令
則
由 ，得(3,1)。在點(3,1)， ，因而得之最小值，所以最短距離為 。
x y z2 2 2( 1) ( 2) ( 1)
f x y x y x y2 2 2 2( , ) ( 1) ( 2) (6 2 ) xf x x y2( 1) 4(6 2 ) 10 4 26x y
yf y x y2( 2) 2(6 2 ) x y4 4 8
x yf f 0 , ,xx xy yyf f f10 4 4 24 0
6Southern Taiwan University
22
88
444
11
11拉格蘭日乘數法則
•在實際問題中，我們時常會遇到在附帶條件下求極值的情形。對於此種附帶條件之極值問題，常採用拉格蘭日乘數法則(Lagrange’s multiplier rule)來求解。
Southern Taiwan University
22
88
444
11
11 定理設 與 在域 內之一階偏導函數均存在，且為連續。又對 內任一點，均有
若 是滿足方程式 ，而使有極值之點，則存在 ，使得為下面方程組之解：
f x y( , ) g x y( , ) 2
x yg x y g x y 2 2( , ) ( , ) 0
x y0 0( , ) g x y ( , ) 0 f
0 x y0 0 0( , , )
x x
y y
f x y g x yf x y g x y
g x y
( , ) ( , ) 0( , ) ( , ) 0
( , ) 0
Southern Taiwan University
22
88
444
11
11推論1.在條件 下，欲求函數之極值，可令
極值點 可從下列方程組中解出 而得：
g x y ( , ) 0 z f x y ( , )
L x y f x y g x y( , , ) ( , ) ( , ) x y( , ) , ,x y
LxLyL
0
0
0
Southern Taiwan University
22
88
444
11
11
推論2.若在條件 ， 下，欲求函數 之極值，可令
極值點 可從下列方程組中解出而得：
， ， ， ，
g x y z ( , , ) 0 h x y z ( , , ) 0u f x y z ( , , )
1 2 1 2L x y z f x y z g x y z h x y z( , , , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) x y z( , , ) , , , ,x y z 1 2
Lx
0
Ly
0
Lz
0
L
1
0
L
2
0
Southern Taiwan University
22
88
444
11
11 例題.設 ，平面 交
三座標軸於A,B,C三點，如圖所示，過
內一點 作三座標平面之平行平面，試
求此三平面與座標平面所圍成最大六面體之
體積。
, ,a b c0 0 0 x y za b c
1
P x y z( , , )
ABC
Southern Taiwan University
22
88
444
11
11 解：設V表此六面體之體積，則V=xyz。因P在過A,B,C之平面上，故有
令
x y za b c 1
x y zxyz
a b c1
L x y z f x y z g x y z( , , , ) ( , , ) ( , , )
Southern Taiwan University
22
88
444
11
11
故P點座標為 ，且體積V之最大值為
Lyz
x aL
xzy bL
xyz cL x y z
a b c
0
0
0
1 0
yz xz xya b c
, ,
y b z cx a x a
,
b cy x z x
a a,
a b cx y z, ,
3 3 3
a b c
, ,3 3 3
a b c abcf , ,
3 3 3 27 Southern Taiwan University
22
88
444
11
11 例題.求二平面 ， 之交線上，最接近原點之點，並求該點與原點的距離。
解：設P(x,y,z)為此交線上任一點，其與原點之距離為
令函數f(x,y,z)=l2=x2+y2+z2，又令
x y 2 x z2 4
x y z2 2 2
L x y z 1 2( , , , , )
f x y z g x y z h x y z1 2( , , ) ( , , ) ( , , )
x y z x y x z2 2 21 2( 2) ( 2 4)
Southern Taiwan University
22
88
444
11
11 Lx
xL
yyL
zzL
x y
Lx z
1 2
1
2
1
2
2 0
2 0
2 2 0
2 0
2 4 0
,y z1 22
x y z2 2 0
x y zx yx z
2 2 02
2 4
, ,x y z4 2 43 3 3
Southern Taiwan University
22
88
444
11
11
可解得
故所求之點為 ，而其與原點之距
離為
, ,x y z4 2 43 3 3
4 2 4, ,
3 3 3
f4 2 4
, , 23 3 3
Southern Taiwan University
3-2+1=?
66
1177+
+
11
11
(F)最小平方法
The Method of Least Squares
Southern Taiwan University
22
88
444
11
11設 為由實驗收集所得的一些資料。這些資料在座標平面上描出，所得之點集合，稱為散佈圖。若這些點之分佈情形很近一直線，我們想求最“靠近”這些點的直線。
n nx y x y x y1 1 2 2( , ),( , ), ,( , )
Southern Taiwan University
22
88
444
11
11
設此直線方程式為
令
表觀測值 與估計值 之差。我們稱 為以 來近似 時之誤差。欲使“最佳配合(best fit)”這些資料，一種很有用之方法為使所有 之平方和為最小。
( )y f x ax b
( ) , 1,2.....i i ie y f x i n
iy ( )if x e( )if x iy
ie
Southern Taiwan University
22
88
444
11
11令
上式即為誤差平方和。利用最小化誤差平方和而求得之“最佳配合直線” ，稱為資料 的最小平方直線或迴歸線(Regression line)。
E ....2 2 21 2 ne e e
22 21 1 2 2( ) ( ) ( )n ny f x y f x y f x
2
1
( )n
i ii
y f x
2
1
( )n
i ii
y ax b
y ax b
1 1 2 2( , ),( , ), ,( , )n nx y x y x y
Southern Taiwan University
22
88
444
11
11 考慮二變數函數
欲求之極小值，須使可得
2
1
( , ) ( )n
i ii
E E a b y ax b
0, 0E Ea b
1
2 ( )n
i i ii
Ex y ax b
a
1
2 ( )n
i ii
Ey ax b
b
2
1 1 1
2 0n n n
i i i ii i i
x y a x b x
1 1
2 0n n
i ii i
y a x nb
Southern Taiwan University
22
88
444
11
11 可改寫成如下之正規方程式：
解方程組，可得
2
1 1 1
1 1
( ) ( )
( )
n n n
i i i ii i i
n n
i ii i
x a x b x y
x a nb y
1 1 1
2 2
1 1
( )( )
( )
n n n
i i i ii i i
n n
i ii i
n x y x ya
n x x
b y ax Southern Taiwan University
22
88
444
11
11
得 ，及
故由定理知上述方程組解得之 值，確能最小化誤差平方和。
22
21
2n
ii
Ex
a
2 2
1
2n
ii
E Ex
a b b a
2
2 2E
na
2
2 0E
a
2 2 22
2 2 ( )E E E
a b a b
2 2
1 1
4 ( )n n
i ii i
n x x
2 2
1 1 1
4 ( 1)( ) ( )n n n
i ii i i
x x
2
1 1
2 ( )n n
i ji j
x x
0
,a b
Southern Taiwan University
22
88
444
11
11例題.某公司為了研究廣告費對銷售量的影響，收集了如下表的資料。為以萬為單位的廣告費，為以萬為單位的銷售量。試求其迴歸線。
1110863銷售量
75.54.532廣告費 xy
Southern Taiwan University
22
88
444
11
11解：
192112.53822774911755527.5105.543620.2584.5318963264321
i ix iy 2ix i ix y
2
5(192) 22(38) 1241.58
5(112.5) (22) 78.5a
112.5(38) 192(22) 51
0.6578.5 78.5
b
1.58 0.65y x 回歸線為Southern Taiwan University
22
88
444
11
11例題.下表顯示美國從1963到1968的工業生產指數。試利用最小平方法求其發展趨勢：
100
1967
10599918479指數
19681966196519641963年份 xy
解： ， ， ， ，
得
6n6
1
21ii
x
6
1
558ii
y
6
2
1
91ii
x
6
1
2046i ii
x y
2
6(2046) (21)(558) 5585.31
6(91) (21) 10591(558) 2046(21) 7812
74.4105 105
a
b
. .5 31 74 4y x 回歸線為Southern Taiwan University
3-2+1=?
66
1177+
+
11
11
(II) 重積分
Multiple Integration
Southern Taiwan University
3-2+1=?
66
1177+
+
11
11
(A)在矩形上的二重積分
Southern Taiwan University
22
88
444
11
11設 為 平面上的矩形區域：
我們可用平行 軸及 軸的直線將 分割成個小矩形，並將這些小矩形記為 。設 的面積為 ， 。令 為所有中最大的對角線長度。現在考慮一個定義在上的二變數函數 。在 每一個上選一點 ，則
稱為 對分割 的黎曼和(Riemann sum)。
R xy{( , ) | , }R x y a x b c y d
x y R n, ,...,1 2 nR R R
kR kA , ,...,1 2k n || ||P kRR
( , )f x ykR
( , )k kx y
1 1 11
( , ) ( , ) ... ( , )n
k k k n n nk
f x y A f x y A f x y A
f 1 2{ , , ..., }nP R R R
Southern Taiwan University
22
88
444
11
11若極限 存在，則稱 在
上可積分(integrable over R)。此極限值稱為
在 上的二重積分(double integral of over
R)，並記為
|| || 01
lim ( , )n
k k kPk
f x y A
f R
fR
f
|| || 01
( , ) lim ( , )n
k k kPkR
f x y dA f x y A
Southern Taiwan University
22
88
444
11
11幾何意義：
若 ，我們可將曲面 之下，
之上的立體之體積為 。
( , ) 0f x y ( , )z f x y R
( , )R
f x y dA
Southern Taiwan University
22
88
444
11
11定理
若 是定義在矩形 上的連續函數，則
在 上可積分。
( , )f x y R f
R
Southern Taiwan University
22
88
444
11
11 定理
(1) 若 在矩形 上連續，則
， 是任一常數。
(2) 設 和 是兩個不重疊的矩形，且其交集
為一線段。若 在 連續，則
(3) 若 在矩形 上連續，且
，則
,f g R( , ) ( , )
R R
kf x y dA k f x y dA k[ ( , ) ( , )] ( , ) ( , )
R R R
f x y g x y dA f x y dA g x y dA 1R 2R
f ,1 2R R
1 2 1 2
( , ) ( , ) ( , )R R R R
f x y dA f x y dA f x y dA
,f g R ( , ) ( , )f x y g x y
( , )x y R ( , ) ( , )
R R
f x y dA g x y dA Southern Taiwan University
22
88
444
11
11
例題.設 ，試
求 ，其中
解：令
1, 0 2, 0 1( , )
2, 0 2, 1 2x y
f x yx y
( , )
R
f x y dA{( , ) : 0 2, 0 2}R x y x y
1= ( , ) | 0 2, 0 1R x y x y 2 = ( , ) | 0 2, 1 2R x y x y
( , )R
f x y dA1 2
( , ) ( , )R R
f x y dA f x y dA
1 2
1 2R R
dA dA =1 2 2 2 6Southern Taiwan University
3-2+1=?
66
1177+
+
11
11
(B)疊積分
Iterated Inetgrals1. 在矩形上計算二重積分2. 在非矩形區域上的二重積分
Southern Taiwan University
3-2+1=?
66
1177+
+
11
11
1. 在矩形上計算二重積分
Southern Taiwan University
22
88
444
11
11 假設 是定義在矩形 上的連續函數，其
中 。我們將變數
固定，此時 為一個以 為自變數的單變
數函數。將此單變數函數積分，可得
如此一來， 是一個以 為自變數的連續函
數。函數 在區間 上的定積分為
我們將上式右邊稱為疊積分(Iterated
integral)，並記為
( , )f x y R{( , ) | , }R x y a x b c y d x
( , )f x y y
( ) ( , )d
cA x f x y dy( )A x x
( )A x [ , ]a b
( ) ( , )b b d
a a cA x dx f x y dy dx
Southern Taiwan University
22
88
444
11
11
( , ) ( , )b d b d
a c a cf x y dydx f x y dy dx
Southern Taiwan University
22
88
444
11
11例題. 試求
解：
1 2
0 0(8 4 )xy y dydx
1 2
0 0(8 4 )xy y dydx
=1 2
0 0(8 4 )xy y dy dx
=
1 22 2
00(4 2 )xy y dx
=1
0(16 8)x dx
2 108 8 |x x
16Southern Taiwan University
3-2+1=?
66
1177+
+
11
11
2. 在非矩形區域上的二重積分
Southern Taiwan University
22
88
444
11
11第一型區域:
假設 是兩連續函數，1 2, :[ , ]g g a b R
1 2{( , ) | , ( ) ( )}S x y a x b g x y g x
Southern Taiwan University
22
88
444
11
11第二型區域:
假設 是兩連續函數，1 2, :[ , ]h h c d R
1 2{( , ) | ( ) ( ), }S x y h y x h y c y d
Southern Taiwan University
22
88
444
11
11
定理
設 是定義在區域 上的連續函數。
(1) 若 為第一型區域，則
(2) 若 為第二型區域，則
( , )f x y S
S
S
= 2
1
( )
( )( , ) ( , )
b g x
a g xS
f x y dA f x y dydx
= 2
1
( )
( )( , ) ( , )
d h y
c h yS
f x y dA f x y dxdy
Southern Taiwan University
22
88
444
11
11定理 Fubini定理
若 在區域 上連續，且 可同時表示為
第一型及第二型區域，則
( , )f x y S S
( , )S
f x y dA = 2
1
( )
( )( , )
b g x
a g xf x y dydx
2
1
( )
( )( , )
d h y
c h yf x y dxdy
Southern Taiwan University
22
88
444
11
11例題. 試求 ，其中
解：
(12 10 )S
x y dA2{( , ) | 0 2,0 }S x y x y x
(12 10 )S
x y dA22
0 0(12 10 )
xx y dydx
22 2
00(12 5 )
xxy y dx
2 3 4
0(12 5 )x x dx
24 5
0(3 )x x
80Southern Taiwan University
22
88
444
11
11 例題. 試求 ，其中S為由x=0，
y=4，y=x2所圍成之區域。
解：
2
4 y
S
xe dA
x y
S
e dA
{( , ) | 0 ,0 4}S x y x y y
=24
0 0[ 4 ]
y yxe dx dy
=24 2
0 02
yyx e dy
=24
02 yye dy
=2 4
0
ye
= 16 1e Southern Taiwan University
22
88
444
11
11例題. 試求
解：
4 2 3
01
xy dydx
4 2 3
01
xy dydx
{( , ) | 0 4, 2}S x y x x y
22 3
0 01
yy dxdy
2 3 2
01 y y dy
9
1
13
udu
32
9
1
1 23 3
u ( ) 2
27 19
529
2{( , ) | 0 ,0 2}x y x y y
Southern Taiwan University
3-2+1=?
66
1177+
+
11
11
(C)二重積分之變數變換
Change of Variables
Southern Taiwan University
22
88
444
11
11 定理
設 為在區域 上之連續函數，若變數變換
將 平面上之區域 以一對一映射至 平面上之
區域 ，且Jacobian為
則
( , )f x y S
( , )( , )
x g u vy h u v
uv S xy
S
( , )
( , ) 0,( , )( , )
x xu vy yu v
x yJ u v u v S
u v
( , ) ( ( , ), ( , )) ( , )S S
f x y dxdy f g u v h u v J u v dudvSouthern Taiwan University
22
88
444
11
11
設 為區域 上之連續函數。令變數變
換
將 平面上之區域 以一對一映射至 平
面上之區域 ，則
其中
( , )f x y
,( , )
x au bvu v
y cu dvuv xy
( , ) ( , )f x y dxy f au bv cu dv J dudv
0J ad bcSouthern Taiwan University
22
88
444
11
11 例題.設 為由 軸， 軸及直線 所圍
成之區域，求
解：
x y 2x y
y xy xe dxdy
{( , ) 0, 0,0 2}x y x y x y
( , )u y x
x yv y x
* {( , ) 0 2, }u v u u v u
Southern Taiwan University
22
88
444
11
11 解：
*2 ( , )
2
u vx
u vu v
y
1 12 2
1 12 2
( , ) 1( , )
( , ) 2
x xu vy yu v
x yJ u v
u v
y xy xe dxdy
*
( , )vue J u v dvdu
2
0
12
vu
u
ue dvdu
2
0
12
vu u
uue du
2
0
1 1( )
2e udu
e
1e
eSouthern Taiwan University
22
88
444
11
11 例題.設 為由曲線 ， ， 與
所圍成之區域，求
解：
1xy 2xy 4y x y x
2 2x y dxdy
{( , ) 1 2, 4 }x y xy x y x
( , )u xy
x yyv
x * {( , ) 1 2,1 4}u v u v
Southern Taiwan University
22
88
444
11
11
21
( , )2 2
( , )
u ux y
yv vxx y x
y xu v y y yv
x y x x x
( , )
( , )
( , ) 1 1( , )
( , ) 2u vx y
x yJ u v
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