ТЕМА 2

(Урок № 19 – Урок № 49)

ОБИКНОВЕНИ ДРОБИ

В ТАЗИ ТЕМА СЕ ВЪВЕЖДАТ ПОНЯТИЯТА:• обикновена дроб, числител, знаменател;• правилна дроб, неправилна дроб,

смесено число;• съкратима и несъкратима дроб;• реципрочно число, числов лъч.

УЧЕНИЦИТЕ СЕ НАУЧАВАТ:• да събират и изваждат обикновени дроби;• да умножават и делят обикновени дроби;• да използват свойствата на действията с

обикновени дроби за рационално смятане;• да намират неизвестна компонента при

действията;• да намират част от число и решават основни

задачи.

44

ДРОБНИ ЧИСЛА

Нека един шоколад съдържа 10 еднакви блокчета.

Делим този За едната частшоколад на: четем: пишем:

• 2 равни части половинка 1 : 2 (една втора) от шоколада

• 5 равни части петинка 1 : 5 (една пета) от шоколада

• 10 равни части десетинка 1 : 10, (една десета) от шоколада.Означаваме: (половинка), (петинка), (десетинка).

Забелязваме,чезнакътзаделение(:)езамененсчертичка.

В закусвалня се продава пица, разделена на 6 равни части. При покупка на едно парче продавачът ни дава една от шестте части.

За да изядем четвърт ябълка, разделяме цялата ябълка на четири равни части и вземаме едната от тях.

Една пица, една ябълка, един шоколад, ... се раз-глеждат като едно цяло (числото 1).

На чертежа кръгчето е разделено на равни части.

Оцветенатачаст откръгчето е: Четем: еднавтора едначетвъртеднаосмаеднатретаеднашеста

На рождения ден на Ваня дошли 11 деца. На колко равни части Ваня е разделила тортата и каква част от тортата е получило всяко дете?Решение: Ваня е разделила тортата на 12 равни части, защо-

то децата са били общо 12 (11 гостенчета и Ваня). Всяко дете е получило от тортата.

1

.

ЗАДАЧА 1

19.

45

Петя и Иван участвали във викторина и получили награда по 1 шоколад с по 8 еднакви блокчета. Петя изяла три блокчета, а Иван – 7 блокчета. Каква част от шоколада си е изяла Петя? Каква част от шоколада си е изял Иван?Решение:Един шоколад е един шоколад три части пет частиразделен на 8 равни части. Тогава 1 част Петя →е от шоколада.

Петя е изяла триосми отшоколадаси.

един шоколад седем части eдна част Иван →

Иван е изял седемосми отшоколадаси.

→

Забелязваме, че:

• числото показва, че шоколадът е раз делен на 8 равни части и са взети 3 от тях;

• числото показва, че шоколадът е разделен на 8 равни части и са взети 7 от тях.

→

ЗАДАЧА 2

Дробни числаС 1

2 , 13 , 1

5 , 110, 5

12, 38 , 7

8 , ... се означават нов вид числа, които изразяват част от цяло. Те се наричат дробни числа или дроби.• Дробното число 1

5 означава, че цялото (например един шоколад) сме разделили на пет равни части и сме взели една от тях.• Дробното число 5

12 означава, че цялото (например една торта) сме разделили на дванадесет равни части и сме взели пет от тях.

ЗАДАЧИ 1 Запишете с дробно число: а) четвъртинка; б) седминка; в) деветинка; г) осминка.

2 Запишете с дробно число: а) една двадесета; б) три пети; в) пет седми; г) шест осми.

3 Запишете с думи дробните числа

4 Какво означава дробното число: а) ; б) ; в) ; г) ?

5 В тетрадките си запишете с дробно число каква част от фигурата е оц-ветена:

а) б)

в) г)

!

46

ОБИКНОВЕНИ ДРОБИ

(Диктовка) Запишете с дробно числоедна пета, четвъртинка, десетинка, една осма,една десета, половинка, две седми, три четвърти.

Решение:

Ако едно цяло сме разделили:на 2 равни части на 3 равни части на 4 равни частии вземем и двете части и вземем и трите части и вземем и четирите части...,

товаозначава,чесмевзелицялото,т.е.1.

Едно дете изяло 1 шоколад и част от втори шоколад, т.е.

четири третинки шоколад

Купени са две еднакви торти, всяка от които е разделена на 10 равни парчета. 17 деца изяждат по едно парче торта.

10 парчета торта + 7 парчета торта = 17 парчета тортаКазваме, че са изядени 17 десетинки. Пишем 1710 . Четем седемнадесетдесети.Това означава, че децата са изяли 1 цяла торта и от втората торта.

Прочетете дробните числа: а) ; б) .Решение:a) една втора, две втори, три вториб) една четвърт, три четвърти, пет четвърти

Пишем 43 . Четемчетиритрети.

от втория шоколад .

Четем: “Тритретинкииеднатретинкасачетиритретинки.”

един шоколад

ЗАДАЧА 1

ПРИМЕР 1

ПРИМЕР 2

=

ПРИМЕР 3

Дробното число 1710 се записва като сбор 1 + 7

10 и означава, че сме взе­

ли 1 (= 1010) цяло (едната тор та) и 7

10 от второ то цяло ( 710 от втората торта).

ЗАДАЧА 2

!

20.

47

За числото :• 8 означава, че цялото е разделено на

8 части. 8 се нарича знаменател.• 5 означава, че са взети пет от тези

части. 5 се нарича числител.• Знакът “−−” се нарича дробначерта.

Напишете обикновена дроб със:а) числител 7 и знаменател 20; б) числител 9 и знаменател 5;в) числител 12 и знаменател 37; г) числител 17 и знаменател 24.

Решение: a) б) в) 1237 г) 17

24

Ако едно цяло сме разделили:на 2 равни части на 3 равни части на 4 равни частии вземем и двете части и вземем и трите части и вземем и четирите части...,

товаозначава,чесмевзелицялото,т.е.1.

Обикновени дробиДробните числа, записани във вида 1

2 , 57 , 3

8 , 1115, 3

3 , 2013, ... ,

се наричат обикновени дроби.

Всяка обикновена дроб има числител и знаменател: • Знаменателят показва на колко равни части е разделено

цялото и се записва под дробната черта. Знаменателятечисло,скоетоседелиинеможедабъденула. • Числителят показва колко такива части са взети и се записва над дробната черта.

ЗАДАЧИ 1 В тетрадките си запишете с дробно число:

а) каква част от фигурата е оцветена;

б) колко оцветени четвъртинки съдър жа фигурата, която се състои от два квадрата.

1 2 3

4 5 6

1 2

3 4

2 Запишете като обикновена дроб: а) пет девети; в) девет осми; б) четири седми; г) седем пети.3 Прочетете обикновените дроби: а) ; б) ; в) ; г) .

4 Напишете обикновена дроб със: а) числител 4 и знаменател 5; б) числител 7 и знаменател 6; в) числител 9 и знаменател 13; г) числител 7 и знаменател 9.5 Напишете пет дроби със: а) числител 7; б) знаменател 8.6 Напишете пет дробни числа със

знаме нател 10 и: а) числител, по-малък от знамена-

теля; б) числител, по-голям от знаменате-

ля.

ЗАДАЧА 3

!

58

числителзнаменател

дробна черта

48

ПРАВИЛНИ И НЕПРАВИЛНИ ДРОБИ

Дробните числа, записани във вида: (1) (2) ,

се наричат обикновени дроби.Обикновенитедробисезаписватвъввида:

В примерите (1) числителите са по-малки от знаменателите. Такива дроби се наричат правилни (а < b).

В примерите (2) числителите са равни или по-големи от знаменателите. Такива дроби се наричат неправилни (а > b или а = b).

Неправилната дроб означава, че сме взели 5 пъти по , т.е.

4 пъти по (= 1 цяло) и още (от още едно цяло). Например, за

да вземем парчета торта, трябва да имаме 2 еднакви торти, всяка

от които да е разделена на 4 равни части, и да вземем една цяла торта

и едно парче от втората торта.

където a е естествено число или 0, b е естествено число.

Правилната дроб означава, че цялото (например една торта) е разделено на 4 равни части и са взети 3 от тях.Всякаправилнадроб е част от едно цяло (от 1), т.е. епо-малкаот1.Правилните дроби от вида са равни на числото 0, т.е.

и т.н.

Всяка неправилна дроб съдържа едно или повече цели, т.е. тя е по-голяма от 1 или равна на 1.Например:

14

14

14

14

34

Правилна дроб Обикновена дроб, на която числителят е по­малък от знаменателя, се нарича правилна дроб.

Неправилна дроб Обикновена дроб, на която числителят е равен или по­голям от знаменателя, се нарича неправилна дроб.

!

!

21.

ab

числителзнаменател

дробначерта(знакзаделение→ ab = а:b),

49

Отделете правилните и неправилните от следните обикновени дроби:

Решение:

Правилни дроби са

Неправилни дроби са

Дадени са обикновените дроби Разменете местата на

числителя и знамена теля на всяка от тях и прочетете получените дроби.

Решение: (седем пети), (три осми),

(пет първи), (една седма)

Всяко цяло число може да се запише като неправилна дроб със знаменател 1. и т.н.Неправилна дроб, на която числителят е равен на знаменателя, е равна на 1. и т.н.

Напишете реципрочните числа на 711

, 1320

, 115

, 171

, 21, 09

.Решение: 7

11 → 11

7, 13

20 → 20

13, 11

5 → 5

11, 17

1 → 1

17 ,

21 → 121

, 09

→ няма реципрочно число.

ЗАДАЧА 1

ЗАДАЧА 2

Реципрочно число Дадена е обикновената дроб a

b (а ≠ 0). Ако разменим местата на a и b, получаваме дробта b

a , която се нарича реципрочна (обратна) на ab .

ЗАДАЧА 3

ЗАДАЧИ 1 В тетрадките си запишете с обикно-вена дроб каква част от фигурите е оцвете на:

a) б) в) г)

2 Дадени са дробите

Запишете: а) правилните дроби; б) неправилните дроби.

3 Запишете всички правилни дроби, които имат знаменател 13 и числител просто число.

4 Запишете всички неправилни дроби, които имат числител 13 и знаменател четно число.

5 Дадени са дробите

Напишете и прочетете реципрочни-те им числа.

!

50

ОСНОВНО СВОЙСТВО НА ДРОБИТЕ. РАЗШИРЯВАНЕ НА ДРОБИ

Правоъгълниците на чертежа имат изме ре ния 12 и 8 деления и са разделени на 4, 8, 12 и 16 еднакви право ъгълника. Сравнете лицата на оцветените ленти!

Лицата на оцвете ните ленти са равни на от лицето на пра во-ъгълника и образу ват правоъгълник с едно и също лице:

14

18

18

112

112

112

116

116

116

116

Равенството показва, че:• при умножаване на числителя и знамена теля на с 2 или• при деление на числителя и знаме нателя на с 2се получава дроб, равна на дадената.

1428312416

Основно свойство на дробитеАко числителят и знаменателят на една дроб се умножат (разделят) с число, различно от 0, получава се дроб, равна на дадената:

Îñíîâíî ñâîéñòâî íà äðîáèòå

Ако числото n = 1 (m = 1), дробта не се променя.

!

22.

ab = a , n

b . n , (n ≠ 0); ab = a : m

b : m , m ≠ 0.

51

Пример: Казваме, че сме разширилидробта с 3. .

Разширете с числото 2 дробите: а) 56 ; б) 11

15; в) 2017.

Решение:

а) б) в)

Разширете дробите: а) с числото 2 ; б) с числото 12; в) с числото 6.

Решение: а) б) в)

Намерете допълнителните множители на дробта , ако:

а) б) в)

Решение: а) б) в)

ЗАДАЧА 1

Разширяване на дробиУмножаването на числителя и знаменателя на една дроб с едно и също естествено число (различно от 1) се нарича разширяване на дробта.Числото, с което разширяваме дробта, се нарича допълнителен множител.

ЗАДАЧА 2

Допълнителният множител се записва обикновено над дробта.При разширяване на дробите в Задача 2 получихме дроби с равни знаменатели.

ЗАДАЧА 3

ЗАДАЧИ 1 Разширете дробите :

а) с 2; б) с 3; в) с 5; г) със 7.

2 Разширете дробта: а) 1

3 с 10; б) 25 с 19; в) 6

7 с 22.

3 Открийте липсващите числа: а) ; б) ;

в) ; г) .

4 Разширете с числото 2 дробите: а) 1

327

, ; б) 59

1113

, ;

в) 1117

1319

, ; г) 512

311

, .

5 Разширете дробите до равни знаме-натели:

а) б)

в) г)

Ако числото n = 1 (m = 1), дробта не се променя.

!

52

ОСНОВНО СВОЙСТВО НА ДРОБИТЕ. СЪКРАЩАВАНЕ НА ДРОБИ

Съкратете дробите Решение:

Казваме,чесмесъкратилиеднадробтогава,когатояпревърнемвнесъкратимадроб(виж Задачи 1 и 2):

Съкратете дробта .Решение:І начин: Пишем : .

ІІ начин: Търсим HOD на числителя 24 и знаменателя 42:

.

Приразширяване на дробите използвахме основното свойство:

Присъкращаванена дробите използваме основното свойство: ,където m е делител на a и m е делител на b.

Съкращаване на дробиДелението на числителя и знаменателя на една дроб с едно и също естествено число (различно от 1) се нарича съкращаване на дробта.

ЗАДАЧА 1

При съкращаване на дроби (Задача 1) търсим общ делител на числителя и знаменателя, като използваме признаците за делимост на 2, 3, 5, 10.

ЗАДАЧА 2

Дробта е съкратимадроб (може да се съкрати).

Дробта е несъкратимадроб (не може да се съкрати).

!

23.

53

Съкратете дробите Решение:

Като разложите предварително числителя и знаменателя на прости множители, съкратете дробта .Решение:

Съкратете дробите: а) ; б) ; в) .Решение:

а) б) в)

ЗАДАЧА 3

ЗАДАЧА 4

ЗАДАЧА 5

ЗАДАЧИ 1 Съкратете дробите:

а) б)

в) г)

2 Открийте липсващите числа:

а) ; б) ;

в) ; г) .

3 След като разложите числителя и знаме на теля на прости множите-ли, съкратете дробите:

а) б) в)

4 Намерете HOD на числителя и знаме нателя на всяка дроб и я съ-кратете:

а) б) в) г)

5 Съкратете дробите:

а) ; б) ; в) .

В Задача 5, когато съкращаваме:а) ако съобразим, че 25 . 25 = 625, можем веднага да запишем 1

25;б) ако съобразим, че 26 = 2 . 13, по­рационално е да съкратим на 13, а след това на 2;в) съобразяваме, че първо можем да съкратим на 1 000.

54

ПРИВЕЖДАНЕ НА ОБИКНОВЕНИ ДРОБИ КЪМ ОБЩ ЗНАМЕНАТЕЛ

Приведете към общ знаменател дробите

Решение:

Числата 5 и 8 имат много общи кратни: 40, 80, 120, 160 ... Когато привеждаме дроби към общ знаменател, е прието да се търси най-малкото общо кратно (HOK ) на знаменателите им.

Приведете към най-малък общ знаменател дробите , и .

Решение:

Допълнителните множители 40, 24 и 15 разширяват дробите , и до дроби със зна ме нател 120, т.е.

3 . 40 = 120, 5 . 24 = 120, 8 . 15 = 120.Тогава 40 = 120 : 3, 24 = 120 : 5, 15 = 120 : 8.

Разширете дробите 12 , 2

3 , 56 , 7

9 така, че знаменателите им да са равни на 18.

Решение: 12 = 9

18, 83 = 48

18, 56 = 15

18, 79 = 14

18.9 6 3 2

Замяната на дроби с равни на тях, които имат еднакви знаменатели, се нарича привеждане на дроби към общ знаменател.

ЗАДАЧА 1

Общ знаменател на дробиОбщото кратно на знаменателите на две или повече дроби се нарича общ знаменател на тези дроби.

ЗАДАЧА 2

Под “най-малък общ знаменател” на дроби ще разбираме най­малкото общо кратно (HOK) на знаменателите на тези дроби.

ЗАДАЧА 3

Правило за намиране на допълнителните множителиКогато привеждаме дроби към общ знаменател, допълнителните множители получаваме, като разделим общия знаменател със знаменателя на всяка дроб.

!

!

!

24.

55

Приведете към общ знаменател дробите: a) ; б) .

Решение: a) HOK (3; 9) = 9 б) HOK (2; 3; 6) = 6

Когато се поставя въпросът за намиране на общ знаменател на дроби, се търси рационално решение и се намира HOK на знаменателите на тези дроби.

Приведете към общ знаменател дробите .

Решение:

HOK = 2 . 2 . 3 = 12

12 : 4 = 312 : 3 = 4 12 : 6 = 2

допълнителни

множители

Съкратете дробите и ги приведете към най-малък общ знаменател.

а) 721 и 8

32; б) 1215, 20

24 и 2445.

Решение: а) 7

21 = 13 , 8

32 = 14 ,

13 и 1

4 412 и 3

12.

12

4 3

4430

6 5 2

ЗАДАЧА 4

В Задача 4 а) 9 е кратно на 3, HOK (3; 9) = 9; б) 6 е кратно и на 2, и на 3, HOK (2; 3; 6) = 6.

ЗАДАЧА 5

Правило за привеждане на дроби към най-малък общ знаменател• Намираме НОК на всички знаменатели.• Намираме допълнителните множители на всяка дроб.• Разширяваме дробите със съответния допълнителен мно жител.

ЗАДАЧА 6

б) 1215 = 4

5 , 2024 = 5

6 , 2445 = 8

15

45 , 5

6 и 815 24

30, 2530, и 16

30.

ЗАДАЧИ Приведете към общ знаменател дробите:

1 а) б) ;

в) г) .

2 а) б)

в) г) .

3 а) б) .

4 Съкратете дробите и ги приведете към най-малък общ знаменател.

а) 820 и 22

33; б) 615 и 9

24;

в) 1827, 35

45 и 5060; г) 10

35, 1421 и 33

63.

!

56

СРАВНЯВАНЕ НА ОБИКНОВЕНИ ДРОБИ

Забелязваме, че дробите 23 и 3

5 сравнихме, като ги разширихме

до дроби с равни знаменатели 1015 и 9

15. Казваме, че ги привеждамекъмединисъщзнаменател.

Сравнете дробите

Решение:120 → 1 квадратче320 → 3 квадратчета 720 → 7 квадратчета

320

↓120

→

720

→

Иван разделил шоколада на 3 ленти от по 5 блокчета и изял две от тези ленти, т.е. изял е 2

3 от шоколада, или 10 блокчета, които са 10

15 от шоко-лада.

Петя разделила шоколада на 5 ленти от по 3 блокчета и изяла три от тези ленти, т.е. изяла е 3

5 от шоколада,

или 9 блокчета, които са 915 от шоколада.

23 → 10 блокчета, които са 1015 от шо-

колада.

35 → 9 блокчета, които са 9

15 от шо-колада.

От 10 > 9 следва, че , т.е. 23 > 3

5 . Иван е изял повече шоколад.

От 1 < 3 < 7 следва, че

Иван и Петя си купили два еднакви шоколада. Всеки шоколад съдържа 15 равни

блокчета. Иван изял 23 от еди ния, а Петя – 3

5 от другия. Кой е изял повече шоколад?Решение:

СРАВНЯВАНЕ НА ДРОБИ С РАВНИ ЗНАМЕНАТЕЛИ

ЗАДАЧА 1

Ако дроби имат равни знаменатели, това означава, че всяка от тях съдържа толкова равни части (квадратчета), колкото е числителят й.

Сравняване на дроби с равни знаменателиДроби с равни знаменатели сравняваме, като сравним числителите.По­малка е тази дроб, която има по­малък числител.

СРАВНЯВАНЕ НА ДРОБИ С РАЗЛИЧНИ ЗНАМЕНАТЕЛИ

ЗАДАЧА 2

!

25.

57

Сравнете дробите: а) 23 и 8

6 ; б) .

Решение:

а) , , т.е. . б) , т.е. 712 > 3

8 .

Подредете по големина дро бите 12 , 1

3 , 14 , 1

5 , 16 .

Решение:

Забелязваме, че 16 < 1

5 < 14 < 1

3 < 12 .

Сравнете дробите: а) 511 и 9

11 ; б) 179 и 13

9 .

Решение:

а) От 5 < 9 следва, че . б) От 17 > 13 следва, че .

Сравняване на дроби с различни знаменателиДроби с различни знаменатели сравняваме, като първо ги приведем към дроби с равни знаменатели и сравняваме получените дроби.

ЗАДАЧА 3

ЗАДАЧА 4

ЗАДАЧА 5

ЗАДАЧИ Сравнете дробите:

1 а) б) в) .

2 а) б) в) .

3 а) б) в) .

4 а) б) в) .

5 а) б)

в) г)

6 Подредете по големина дробите:

а) б)

в) г)

7 Сравнете дробите: а) б) в)

8 Като започнете от най-малката, наре дете по големина дробите:

а) б)

От две дроби с равни числители и различни знаменатели по­малка е тази, която има по­голям знаменател.

!

58

ИЗОБРАЗЯВАНЕ НА ОБИКНОВЕНИ ДРОБИ ВЪРХУ ЧИСЛОВ ЛЪЧ

На чертежа върху числов лъч са изобразени дро бите 46 и 2

3 . Защо тези дроби са равни?

На чертежа са изобразени дробите Подредете дробите по големина.Решение:

Изобразете върху числов лъч числата Решение:Избираме 1 м. ед. така, че да е съставена от 5 равни части. Дробите са изобразени върху числовия лъч.

Решение:Точката A е образ на 4

6 , защото 1 м. ед. е разделена на 6 равни части и са взети 4 от тях.Точката B е образ на 2

3 , защото 1 м. ед. е разделена на 3 равни части и са взети 2 от тях.

На чертежа е избрана 1 м. ед. = 12 деления.Отсечка с дължина:

има 1 деление;

има 2 деления;

има 3 деления;

има 4 деления;

има 6 деления.

Тогава .

112

161413

12

На 46 → ОА = 4 деления

от квадратната мрежа.На 2

3 → ОВ = 4 деления

От ОА = ОВ следва, че 46 = 2

3

44

ЗАДАЧА 1

ЗАДАЧА 2

ЗАДАЧА 3

26.

59

Изобразете върху числов лъч числата 74 .

Решение:Избираме 1 м. ед. така, че да е съставена от 8 равни части, защото НОK (2; 4; 8) = 8.

, , , , 74

Дробите са изобразени върху числовия лъч.

Подредете върху числов лъч числата Решение: НОK (2; 3; 5; 8) = 120 →

Oт 60 < 72 < 75 < 80 следва, че ,

т.е. . Дробите са подредени върху числовия лъч.

741

88

ЗАДАЧА 4

ЗАДАЧА 5

Върху числов лъч правилните дроби се изобразяват преди числото 1, а неправилните дроби – след числото 1.

В Задача 5 НОK = 120 е голямо число и 1 мерна единица трудно се пред­ста вя като 120 деления. Дроби, на които знаменателите са големи числа, трудно могат да се изобразяват върху числов лъч. Тогава в условието на задачата се изисква те да се подредят (не да се изобразят) върху числов лъч по големина така, че да се спази правилото всяко по­малко число да е отляво на по­голямото от него число.

ЗАДАЧИ Изобразете върху числов лъч числата:

1

2

3

4

5

6

7 Подредете върху числов лъч числата:

8

9

10

!

60

СЪБИРАНЕ НА ОБИКНОВЕНИ ДРОБИ С РАВНИ ЗНАМЕНАТЕЛИ

На квадратната мрежа правоъгълникът е съставен от 5 квадратчета. Намерете каква част от правоъгълника е:а) оцветена в жълто;б) оцветена в синьо;в) оцветена.Решение:

а) Частта, оцветена в жълто, е .

б) Частта, оцветена в синьо, е .

в) Оцветената част е .

Сборът от оцветените в жълто и в синьо части е равен на оцветената част на правоъгълника:

, т.е. .

Съберете дробите: а) б) в) Решение:

а) б) в)

Забелязваме, че:a + b = b + a ,(a + b) + c = a + (b + c) = а + b + c .

Проверете вярно ли е попълнена таблицата:

Отговор: Таблицата е попълнена вярно.

a b c a + b b + a b + c (a + b) + c a + (b + c) a + b + c17

27

37

37

37

57

67

67

67

19

29

59

39

39

79

89

89

89

ЗАДАЧА 1

Правило за събиране на дроби с равни знаменатели

, n – естествено число

ЗАДАЧА 2

ЗАДАЧА 3

!

27.

an + b

n = a + bn

61

Съберете дробите и представете резултата като несъкратима дроб:

а) 59

19

+ ; б) 514

314

+ ; в) 78

58

+ .Решение:

а) 59

19

5 19

69

23

+ = + = = б) 514

314

5 314

814

47

+ = + = = в) 78

58

7 58

128

32

+ = + = =

ЗАДАЧА 4

Сравнете: а) 59

29

+ и 89 ; б) 7

134

13+ и 10

13 ; в) 1319

619

+ и 1919 .

Решение:

а) 59

29

5 29

79

79

89

59

29

89

+ = + =

<

+ <

б) 713

413

1113

1113

1013

713

413

1013

+ =

>

+ >

в) 1319

619

1919

1919

1919

1319

619

1919

+ =

=

+ =

ЗАДАЧА 5

Съберете дробите и представете резултата като несъкратима дроб:

а) 121

521

821

+ + б) 588

1588

1388

+ + .Решение:

а) 121

521

821

1 5 821

1421

23

+ + = + + = = б) 588

1588

1388

5 15 1388

3388

38

+ + = + + = =

ЗАДАЧА 6

Сравнете:

а) 57

17

+ и 1; б) 711

911

+ и 1.Решение:

а) 57

17

5 17

67

1+ = + = < б) 711

911

7 911

1611

1+ = + = >

ЗАДАЧА 7

ЗАДАЧИ Извършете събирането:1 а) б)

в) г)

2 а) б)

в) г)

3 а) б)

в) г)

4 а) б)

в) г)

Сравнете:5 а) 2

137

13+ и 8

13 ; б) 517

617

+ и 1017 ;

в) 521

1321

+ и 1721 ; г) 9

291129

+ и 1829 .

6 а) 58

38

+ и 1; б) 713

813

+ и 1;

в) 919

519

+ и 1; г) 1723

623

+ и 1.

7 Напишете четири числа, първото от които е 5

19 , а всяко следващо е с 2

19 по-голямо от предходното. Намерете сбора на:

а) първото и четвъртото число; б) второто и третото число.

62

ИЗВАЖДАНЕ НА ОБИКНОВЕНИ ДРОБИС РАВНИ ЗНАМЕНАТЕЛИ

На квадратната мрежа правоъгълникът е съставен от 5 квадратчета. Намерете:а) каква част от правоъгълника е оцветена в жълто;б) каква част от правоъгълника е оцветена в червено;в) коя от оцветените части е по-голяма и с колко?

Решение:

а) Частта, оцветена в жълто, е .

б) Частта, оцветена в червено, е .

в) От следва, че червената част е по-голяма от жълтата.

1 квадратче е част от правоъгълника. Тогава

• червената част е части, а

• жълтата е части, т.е. червената част е с по-голяма от жълтата.

е разликата на и → , т.е. .

Извадете дробите: а) б) в) Решение:а) б) в)

Извършете изваждането: а) 15

11 – 911 ; б) в)

Решение:

а) 1511 – 9

11 = 611 б) в)

ЗАДАЧА 1

Правило за изваждане на дроби с равни знаменатели

, a > b или a = b, n – естествено число

ЗАДАЧА 2

ЗАДАЧА 3

!

28.

an – b

n = a – bn

63

ЗАДАЧА 4 Извършете изваждането и направете проверка: а) 5

112

11− ; б) 13

959

− . Решение: а) 5

112

115 211

311

− = − = б) 139

59

13 59

89

− = − =

Проверка: 311

211

3 211

511

+ = + = 89

59

8 59

139

+ = + =

ЗАДАЧИ Извършете изваждането:

1 а) б)

в) ; г) .

2 а) б)

в) ; г) .

3 Извършете изваждането и напра-вете проверка:

а) 817

317

− ; б) 1519

1219

− ;

в) 3231

1731

− г) 2729

1729

− .

ЗАДАЧА 5 Извършете изваждането и представете резултата като несъкратима дроб: а) 5

818

− ; б) 138

38

− .Решение: а) 5

818

5 18

48

12

− = − = = б) 138

38

13 38

108

54

− = − = =

ЗАДАЧА 7 Сравнете: а) 79

29

− и 49 ; б) 11

757

− и 87 ; в) 15

131113

− и 413 .

Решение:а) 7

929

7 29

59

59

49

79

29

49

− = − =

>

− >

б) 117

57

11 57

67

67

87

117

57

87

− = − =

<

− <

в) 1513

1113

15 1113

413

413

413

1513

1113

413

− = − =

=

− =

4 Сравнете: а) 5

113

11− и 2

11 ; б) 1823

1423

− и 323 ;

в) 4037

2537

− и 1837 ; г) 18

411341

− и 541 .

Пресметнете:5 а) 8

959

19

− −( ) ; б) 1113

713

513

− −( ) ;

в) 1931

2031

1531

− −( ) ; г) 917

1517

1017

− −( ) .6 а) 13

175

173

17− +( ) ; б) 19

33733

833

− +( ) ;

в) 2519

419

719

− +( ) ; г) 4153

5053

4153

− +( ) .

ЗАДАЧА 6 Пресметнете: а) 97

17

47

− +( ) ; б) 1013

713

513

− −( ) ; в) 1723

2023

1523

− −( ) .

Решение:

а) 97

17

47

97

57

47

− +( ) == − =

б) 1013

713

513

1013

213

813

− −( ) == − =

в) 1723

2023

1523

1723

523

1223

− − =

= − =

( )

64

29. СМЕСЕНИ ЧИСЛА. ПРЕМИНАВАНЕ ОТ СМЕСЕНО ЧИСЛО В НЕПРАВИЛНА ДРОБ И ОБРАТНО

Неправилната дрoб може да се запише:

Неправилната дроб е сборът . Този сбор се записва и

се нарича смесено число с цяла част 1 и дробна част

Примери: 2 17 (две цяло и една седма); 100 3

5 (сто цяло и три пети).

Какдапревърнемнеправилнатадроб всмесеночисло?

Превърнете в смесени числа неправилните дроби: а) ; б) .

Решение: а)

б)

Дробнатачастнасмесеноточислоеправилнадроб.

І начин: ІІ начин:

ЗАДАЧА 1

Смесено число Смесеното число е запис на неправилна дроб: 4

3 = 1 + 13 = 1 1

3 .

неправилна дроб смесено число

При решаване на Задача 1- а) 24 е най­голямото число, което се дели на 6 и е по­малко от 29. По същия начин разсъждаваме при решаване на условие б).

!

Неправилнадробпревръщамевсмесеночисло,каторазделимчислителяназнаменателя.

65

Какдапревърнемнеправилнатадроб всмесеночисло?

Когато превръщаме неправилна дроб в смесено число, казваме, че “изключвамецялото”.

Какдапревърнемсмесеноточисло внеправилнадроб?

→ е неправилна дроб, където x е числото, което разделено на 4, дава частно 2 и остатък 3, т.е.

от x = 2 . 4 + 3 = 11 получихме .

Превърнете в неправилни дроби смесе ните числа: а) ; б) .Решение:

а) б)

Дадени са дробите .а) Превърнете неправилната дроб в смесено число.б) Превърнете смесеното число в неправилна дроб.

Решение: а) 176 = 17 : 6 = 2 + 5

6 = 2 56 б)

Превърнете в смесени числа неправилните дроби: а) ; б) .Решение:а) б)

ЗАДАЧА 2

Правило за превръщане на смесено число в неправилна дроб

ЗАДАЧА 3

ЗАДАЧА 4

ЗАДАЧИ Превърнете в смесени числа непра-вил ните дроби:1 а) 3

2 ; б) 76 ; в) 8

5 ; г) 97 .

2 а) 112 ; б) 13

3 ; в) 154 ; г) 21

5 .

3 а) 2913; б) 83

11 ; в) 9712; г) 100

3 .

4 а) 3017 ; б) 50

13 ; в) 7911 ; г) 55

18 .

Превърнете в неправилни дроби смесе-ните числа:5 а) 1 1

3 ; б) 1 25 ; в) 1 3

7 ; г) 1 511 .

6 а) 2 23 ; б) 5 1

3 ; в) 7 14 ; г) 8 3

5 .

7 а) 13 13 ; б) 17 2

5 ; в) 21 35 ; г) 101 7

8 .8 Намерете реципрочните числа на:

а) 8 13 ; б) 4 2

5 ; в) 5 38 ; г) 7 2

9 .

!2 3

4 = 2 . 4 + 34 = 11

4

66

Съберете дробите: а) б) .Решение:

а)

б)

СЪБИРАНЕ НА ОБИКНОВЕНИ ДРОБИ С РАЗЛИЧНИ ЗНАМЕНАТЕЛИ

HOK = 60

Правило за събиране на обикновени дроби с различни знаменателиДроби с различни знаменатели събираме, като първо ги приведем към дроби с един и същ знаменатели ги съберем като дроби с равни знаменатели.

ЗАДАЧА 1

Намерете стойностите на А, В, С, D.

+ 13

14

15 А B16 C D

ЗАДАЧА 2Решение: A = 1

513

315

515

3 515

815

+ = + = =+

B = 15

14

420

520

4 520

920

+ = + = =+

C = 16

13

16

26

36

12

+ = + = =

D = 16

14

212

312

512

+ = + =

ЗАДАЧА 3 Пресметнете и сравнете:а) 1

315

+ и 715 ; б) 1

425

+ и 1720 ; в) 1

934

+ и 3136 .

Решение:

а) 13

15

5 315

815

+ = =+ б) 14

25

5 820

1320

+ = =+ ; в) 19

34

4 2736

3136

+ = =+

815

715

> 1320

1720

< 3136

3136

=

13

15

715

+ > 14

25

1720

+ < 19

34

3136

+ =

ЗАДАЧА 4 Пресметнете и сравнете: а) 13

12

+ и 112

34

+ ; б) 27

14

+ и 1128

17

+ .Решение:

а) 13

12

26

36

56

+ = + = 112

34

112

912

1012

56

+ = + = = ⇒ + = +13

12

112

34

30.

!

67

б) 27

14

828

728

1528

+ = + = 1128

17

1128

428

1528

+ = + = ⇒ + = +27

14

1128

17

Съберете дробите: а) б) Решение:

а)

б) HOK = 36

ЗАДАЧА 5

ЗАДАЧА 6 В лявата колона на бланката за отговори е написана буквата на сбора. Срещу нея в дясната колона запишете номера на разликата със същата стойност.

(А) 19

16

+ (1) 2930

730

−

(2) 4760

160

−

(Б) 35

16

+(3) 23

361336

−

Решение: (А) 19

16

218

318

518

+ = + = (1) 2930

730

2230

1115

− = =

(Б) 35

16

1830

530

2330

+ = + = (2) 4760

160

4660

2330

− = =

(3) 2336

1336

1036

518

− = =А 3Б 2

ЗАДАЧИ Извършете събирането:1 а) б)

в) г)

2 а) б)

в) г)

3 а) б)

в) г)

4 а) б)

в) г)

5 а) б)

в) г)

6 Попълнете таблицата:

+ 12

25

17

13 ? ? ?14 ? ? ?16 ? ? ?

68

ИЗВАЖДАНЕ НА ОБИКНОВЕНИ ДРОБИ С РАЗЛИЧНИ ЗНАМЕНАТЕЛИ

Извадете дробите: а) б) в) .Решение:

а)

б)

в)

HOK = 36

Правило за изваждане на дроби с различни знаменателиДроби с различни знаменатели изваждаме, като първо ги приведем към дроби с един и същ знаменатели ги извадим като дроби с равни знаменатели.

ЗАДАЧА 1

В Задача 1 - в) извадихме дроб от цяло число, като цялото число запи­сахме като дроб със знаменател 1.

ЗАДАЧА 2 Извършете изваждането и представете резултата като несъкратима дроб: а) 32

358

15− ; б) 13

18730

− .Решение:

а) 3235

815

96105

56105

96 56105

40105

821

3 7

105

� �

��� ��− = − = = =−

HOK = 105

б) 1318

730

6590

2190

65 2190

4490

2245

5 3

90

� �

��� ��− = − = = =−

HOK = 90

35 1535 57 11

357

,

18 309 153 51 5

1

2335

,

ЗАДАЧА 3 Извършете изваждането и направете проверка: а) 1315

56

− ; б) 1114

821

− .Решение: Проверка:

а) 1315

56

2630

2530

26 2530

130

2 5

30

� �

���− = − = =− 1

3056

130

2530

1 2530

2630

1315

+ = + = = =+

31.

!

69

Пресметнете: а) б) Решение:

а)

б)

Проверка:

б) 1114

821

3342

1642

33 1642

1742

3 2

42

� �

��� ��− = − = =− 17

42821

1742

1642

17 1642

3342

1114

+ = + = = =+

ЗАДАЧА 4 Пресметнете и сравнете:а) 2

358

− и 524 ; б) 5

714

− и 1128 ; в) 7

912

− и 518 .

Решение:а) 2

358

16 1524

124

− = =− б) 5714

20 728

1328

− = =− ; в) 79

12

14 918

518

− = =−

124

524

< 1328

1128

> 518

518

=

23

58

524

− < 57

14

1128

− > 79

12

518

− =

ЗАДАЧА 5

ЗАДАЧИ Извършете изваждането:

1 а) б)

в) ; г)

2 а) б)

в) ; г)

3 а) б)

в) ; г)

4 а) б)

в) ; г)

ЗАДАЧА 6 В лявата колона на бланката за отговори е написана буквата на разликата. Срещу нея в дясната колона запишете номера на сбора със същата стойност.

(А) 57

25

− (1) 735

335

+

(2) 1370

970

+

(Б) 712

38

−(3) 9

48148

+

Решение: (А) 57

25

2535

1435

1135

− = − = (1) 735

335

1035

27

+ = =

(Б) 712

38

1424

924

524

− = − = (2) 1370

970

2270

1135

+ = =

(3) 948

148

1048

524

+ = =А 2Б 3

70

РАЗМЕСТИТЕЛНО И СЪДРУЖИТЕЛНО СВОЙСТВО НА ДЕЙСТВИЕТО СЪБИРАНЕ

Проверете разместителното свойство на действие събиране, ако: а) а = 2

15 и b = 715 ; б) а = 5

8 и b = 27 .

Решение:

а) a + b = 215 + 7

15 = 2 + 715 = 9

15 = 35

b + a = 715 + 2

15 = 7 + 215 = 9

15 = 35

б) a + b = 58 + 2

7 = 3556 + 16

56 = 35 + 1656 = 51

56

b + a = 27 + 5

8 = 1656 + 35

56 = 16 + 3556 = 51

56

⇒ 215 + 7

15 = 715 + 2

15⇒ a + b = b + a

44

7 8

8 7 ⇒ 58 + 2

7 = 27 + 5

8⇒ a + b = b + a

44

Проверете съдружителното свойство на действие събиране, ако: а) а = 2

15 , b = 415 и с = 7

15 ; б) а = 15 , b = 1

4 и с = 13 .

Решение:

а) (a + b) + с = ( 215 + 4

15 ) + 715 = 6

15 + 715 = 13

15

а + (b + с) = 215 + ( 4

15 + 715 ) = 2

15 + 1115 = 13

15

б) (a + b) + с = ( 15 + 1

4 ) + 13 =

= ( 420 + 5

20 ) + 13 =

= 920 + 1

3 = 2760 + 20

60 = 4760

а + (b + с) = 15 + ( 1

4 + 13 ) =

= 15 + ( 3

12 + 412 ) =

= 15 + 7

12 = 1260 + 35

60 = 4760

⇒( 15 + 1

4 ) + 13 = 1

5 + ( 14 + 1

3 ) (a + b) + с = а + (b + c)

444444444444

Извод: Разместителното свойство на действието събиране a + b = b + a е изпълнено и при събирането на обикновени дроби.

( 215 + 4

15 ) + 715 =

= 215 + ( 4

15 + 715 )

(a + b) + с = а + (b + c)

44

⇒

Извод: Съдружителното свойство на действието събиране (a + b) + с = а + (b + с) е изпълнено и при събирането на обикновени дроби. При събирането на три и повече дроби можем да не пишем скоби.

(a + b) + с = а + (b + c) = а + b + c

ЗАДАЧА 1

ЗАДАЧА 2

32.

71

⇒( 15 + 1

4 ) + 13 = 1

5 + ( 14 + 1

3 ) (a + b) + с = а + (b + c)

Пресметнете: а) 1

9 + 29 + 4

9 ; б) 12 + 1

3 + 16 .

Решение:

а) 19 + 2

9 + 49 =

= 1 + 2 + 49 = 7

9

б) 12 + 1

3 + 16 =

= 36 + 2

6 + 16 =

= 3 + 2 + 16 = 6

6 = 1

3 2 1

Пресметнете рационално. а) 5

36 + 724 + 7

36 ; б) 59 + 5

8 + 49 + 1

4 .Решение:

а) 536 + 7

24 + 736 =

= 536 + 7

36 + 724 =

= 1236 + 7

24 =

= 13 + 7

24 = 8 + 724 =

= 1524 = 5

8

8

б) 59 + 5

8 + 49 + 1

4 =

= 59 + 4

9 + 58 + 1

4 =

= 99 + 5

8 + 28 =

= 1 + 78 = 1 7

8

Намерете числото, което е с 539 по-голямо от сбора на числата 5

6 и 839 .

Решение: ( 5

6 + 839 ) + 5

39 =

= 56 + 8

39 + 539 = 5

6 + 1339 = 5

6 + 13 =

= 56 + 2

6 = 76 = 1 1

6

ЗАДАЧА 3

ЗАДАЧА 4

ЗАДАЧА 5

ЗАДАЧИ Пресметнете:

1 а) 14 + 1

6 + 29 ;

б) 512 + 1

15 + 320 ;

в) 13 + 5

24 + 730 ;

г) 29 + 11

16 + 548 .

2 а) 14 + 1

6 + 29 + 5

12

б) 14 + 11

20 + 725 + 13

50

в) 310 + 11

12 + 415 + 7

20

г) 38 + 2

15 + 512 + 1

24Пресметнете рационал но:

3 а) 517 + 3

8 + 1217 ;

б) 316 + 5

12 + 1316 ;

в) 913 + 7

18 + 1118 ;

г) 1320 + 8

35 + 720 .

72

СЪБИРАНЕ И ИЗВАЖДАНЕ НА СМЕСЕНИ ЧИСЛА

ЗАДАЧА 1 Съберете смесените числа 2 15 и 4 2

5 .Решение:І начин: 2 4 61

525

115

225

335

35

+ = + = = .

ІI начин: 2 4 2 4 2 4 6 615

25

15

25

15

25

35

35

+ = + + + = + + + + =( ) ( ) = .

Записваме: 2 4 615

25

35

+ =

Правило за събиране на смесени числаI начин:1. смесените числа превръщаме

в неправилни дроби;2. събираме неправилните дроби;3. получения сбор (неправилна

дроб) превръщаме в смесено число.

ІІ начин:1. събираме целите части;2. събираме дробните части;3. събираме получените сборове

и резултата записваме като смесено число.

ЗАДАЧА 2 Пресметнете: а) 5 4 712

+ ; б) 13 519

719

+ .

Решение: а) 5 4 9712

712

+ = ; б) 13 13519

719

1219

+ = .

Всяко естествено число е смесено число с дробна част нула.Всякa правилна дроб е смесено число с цяла част нула.

ЗАДАЧА 3 Пресметнете: а) 4 3711

511

+ ; б) 2 358

712

+ .

Решение: а) 4 3 7 7 1 8711

511

1211

111

111

+ = + = + =

Записваме: 4 3 7 8711

511

1211

111

+ = = .

Записът 71211 не е смесено число, защото 12

11 не е правилна дроб. Той се използва за рационално пресмятане.

33.

!

73

б) 2 3 2 3 538

712

924

1424

2324

3 2

24

� �

��� ��+ = + =

Ако дробните части на смесените числа са с различни знаменатели, предварително ги привеждаме към дроби с равни знаменатели.

ЗАДАЧА 4 Извадете смесените числа 5 35 и 31

5 .Решение:І начин: 5 3 23

515

285

165

125

25

− = − = = .

ІI начин: 5 3 235

15

25

− =

Правило за изваждане на смесени числаI начин:1. смесените числа превръщаме

в неправилни дроби;2. изваждаме неправилните

дроби;3. ако полученият резултат е

неправилна дроб, превръщаме я в смесено число.

ІІ начин: 1. изваждаме дробните части;2. изваждаме целите части;3. резултата записваме като

смесено число.

ЗАДАЧА 5 Извадете: а) 17 13 – 5 2

3 ; б) 18 311 – 5 7

11 . Решение:

а) 17 13 – 5 2

3 = ? От неможемдаизвадим !

Тогаваот17“вземаме1цяло”,записвамегокато игоприбавямекъмдробнатачаст.

Записваме 17 13 – 5 2

3 = 16 43 – 5 2

3 = 11 23 .

б) 18 311 – 5 7

11 = 171411 – 5 7

11 = 12 711

ЗАДАЧИ Пресметнете по два начина:

1 а) 3 527

17

+ ; б) 5 7811

311

+ ;

в) 5 413

12

+ ; г) 3 527

16

+ .

2 а) 7 2513

213

− ; б) 8 5 711

− ;

в) 8 313

15

− ; г) 9 427

57

− .

!

(17 13 = 16 + 1 + 1

3 = 16 + 33 + 1

3 = 16 + 43 = 16 4

3 )

74

СЪБИРАНЕ И ИЗВАЖДАНЕ НА ОБИКНОВЕНИ ДРОБИ. НАМИРАНЕ НА НЕИЗВЕСТНО СЪБИРАЕМО, УМАЛЯЕМО И УМАЛИТЕЛ

Намерете неизвестното число x:

а) ; б) в)

; ; .

Решение:

х + 27 = 3

4 х – 313 = 1

258 – х = 1

6

х + 27 = 3

4

х = 34 – 2

7

х = 2128 – 8

28

х = 1328

х – 313 = 1

2

х = 12 + 3

13

х = 1326 + 6

26

х = 1926

58 – х = 1

6

х = 58 – 1

6

х = 1524 – 4

24

х = 1124

х + 811 = 10

11

ЗАДАЧА 1

Неизвестно събираемо намираме, като от сбора извадим даденото събираемо.

б) – 3 = 2 = 2 + 3

в) 5 – = 3 = 5 – 3

Неизвестно умаляемо намираме, като съберем разликата с умалителя.

Неизвестен умалител намираме, като от умаляемото извадим разликата.

а) + 3 = 5 = 5 – 3

34.

!

!

!

75

Попълнете празните квадратчета така, че квадратът да стане магически:Решение: Сборът на числата по редове, стълбове и диагонали трябва да бъде равен на

1. Търсим число x от квадратчето 1 . 2. Търсим число x от квадратчето 3 .

3. Търсим число x от квадратчето 2 . 4. Търсим число x от квадратчето 4 .

5. Търсим число x от квадратчето 5 . Магическият квадрат е

? ? ?

15

13

715

? ? 25

1

15

х = 415

15

25 4

1535

215

15

13

715

815

115

25

ЗАДАЧА 2

,

ЗАДАЧИУмаляемо 8

9 ? 59 ?

Умалител ? 817 ? 25 3

22

Разлика 19

317

14 13 5

22

Събираемо 217 ? 3

8 ?

Събираемо ? 13 ? 15 5

32

Сбор 717

1112

56 37 7

32

1 2

2 3

4 5