ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА СТРОИТЕЛЬНЫХ ... · 2012-06-25 · Найдем решение методом конечных разностей. Необходимо

1

Министерство образования и наукиРоссийской Федерации

Санкт-Петербургский государственныйархитектурно-строительный университет

А. В. ЛЕБЕДЕВ

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТАСТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ

Учебное пособие

Санкт-Петербург2012

2 3

А. В. Лебедев. Численные методы расчета строительных конструкций

УДК 624.04

Рецензенты:канд. техн. наук, доцент Е. Л. Лаппо (СПбГАСУ);

канд. техн. наук, доцент Ю. В. Бондарев (ООО ТЕКТОН)

Лебедев, А. В.Численные методы расчета строительных конструкций: учеб.

пособие / А. В. Лебедев; СПбГАСУ. – СПб., 2012. – 55 с.

ISBN 978-5-9227-0338-3

Представлены основные математические методы приближенного реше-ния дифференциальных уравнений. На простых примерах демонстрируетсяиспользование этих методов.

Особое внимание уделено методу конечных элементов. Показано исполь-зование метода для решения дифференциальных уравнений и применение егок расчету строительных конструкций.

Приводится ряд примеров решения простых задач, предлагаемых сту-дентам для самостоятельной работы.

Ил. 15. Библиогр.: 5 назв.

Рекомендовано редакционно-издательским советом СПбГАСУ в качествеучебного пособия.

ISBN 978-5-9227-0338-3 А. В. Лебедев, 2012 Санкт-Петербургский государственныйархитектурно-строительный университет, 2012

Введение

В предлагаемом пособии кратко изложены основные численныеметоды решения задач строительной механики. Главное вниманиеуделяется методу конечных элементов в традиционном изложении.Численные методы построения аппроксимирующих решений диффе-ренциальных уравнений иллюстрируются простыми примерами. Про-водится сравнение полученных результатов с точными решениями.Отслеживается преемственность различных подходов и переход отформального математического изложения к смысловому физическо-му содержанию используемых математических объектов. При этомматематические аспекты примененимости излагаемых методов не зат-рагиваются в рамках настоящего пособия. Интересующиеся этимивопросами могут без труда отыскать ответы на них в соответствую-щей литературе [1, 4]. Приведены примеры решения простых задач,предлагаемых студентам в виде домашних заданий.

4 5


Глава 1. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

1.1. Общие положения

Напряженно-деформированное состояние конструкций или ихотдельных элементов описывается дифференциальными уравнения-ми. Вид этих уравнений для каждого конкретного случая зависит отфизических и геометрических гипотез, принимаемых при моделиро-вании поведения системы.

Напряженно-деформированное состояние балки достаточно точ-но описывается уравнением

)()( xMxZEJ −=′′⋅ (1.1)или

.)(IV qxZEJ =⋅ (1.1′)

Для расчета тонких изгибаемых плит используется уравнение

.),(),(),(4

4

22

4

4

4

Dq

yyxz

yxyxz

xyxz

−=∂

∂+

∂∂∂

+∂

∂ (1.2)

Вид дифференциального уравнения для описания напряженно-деформированного состояния однотипных конструкций также можетбыть различным. Если для простой балки достаточно уравнения (1),то для балки на упругом основании необходимо воспользоваться бо-лее сложным уравнением

.)()(IV qxZkxEJZ =⋅+ (1.3)

Решение дифференциальных уравнений напряженно-деформи-рованного состояния в виде функции Z(x) можно получить лишь для

весьма ограниченного числа задач. В подавляющем большинстве слу-чаев для решения подобных дифференциальных уравнений исполь-зуются различные численные методы, результатом применения кото-рых является не сама функция, представляющая собой решение урав-нения, а ее приближенные значения, вычисленные в предварительнонамеченных точках, или некоторая аппроксимирующая функция в видематематического ряда.

1.2. Методы численного решения дифференциальныхуравнений

Рассматриваются основные часто применяющиеся методы чис-ленного решения уравнений. На примерах простых дифференциаль-ных уравнений типа (1.1) показано, как можно использовать некото-рые из известных методов.

Более подробно излагается метод конечных элементов, являю-щийся основой большинства современных вычислительных программрасчета конструкций.

1.2.1. Метод конечных разностей

Этот метод основан на конечно-разностном представлениипроизводных. Если на отрезке оси 0 ≤ x ≤ L построить некотороеколичество точек xi, i = 1, 2, ... , m, таких, чтобы xi+1 – xi = ∆x, то значениепервой производной функции Z(x) можно вычислить по формулам вида

,/)()(1 xZZ

dxxdZ

ii ∆−≈ − (1.4)

,/)()(1 xZZ

dxxdZ

ii ∆−≈ + (1.5)

.2/)()(11 xZZ

dxxdZ

ii ∆⋅−≈ −+ (1.6)

Глава 1. Приближенные методы решения дифференциальных уравнений

6 7


Формулы (1.4)–(1.6) используются для аппроксимации производ-ных разностями назад, вперед и центральной соответственно. Дляпредставления второй производной можно использовать формулу

.)2/()2()( 2112

2xZZZ

dxxZd

iii ∆⋅+⋅−≈ −+ (1.7)

Для аппроксимации производных 4-го порядка воспользуемсяформулой (1.7), применив ее дважды следующим образом:

.)/()()(2)()()( 2

12

2

2

2

12

2

2

2

2

2

4

4x

dxxZd

dxxZd

dxxZd

dxxZd

dxd

dxxZd

iii

∆

+⋅−=

=

−+

Подставив сюда выражение (1.7), получим

421124

4)/()464()( xZZZZZ

dxxZd

iiiii ∆+⋅−⋅+⋅−≈ −−++ . (1.8)

Решение дифференциального уравнения методом конечных раз-ностей рассмотрим на примере.

Пример 1. Для балки длиной L, шарнирно опертой по концам изагруженной равномерно распределенной нагрузкой, дифференциаль-ное уравнение имеет вид

.)()(2

2xq

dxxMd

= (1.9)

Найдем решение методом конечных разностей. Необходимоучесть краевые условия в точках закрепления концов балки М(0) = 0;М(L) = 0.

Пусть ∆x = L/4, тогда по длине балки отметим 5 точек сеткиx = (0, L/4, L/2, 3L/4, L). Так как М(0) = М(L) = 0, будем определятьзначения моментов М1, М2, М3 в точках x = (L/4, L/2, 3L/4)соответственно. Запишем выражения (1.7) для точек 1, 2, 3:

.)/()2()( 2112

2xMMM

dxxMd

mmmm

∆+⋅−= −+

Подставляя в (1.9) и принимая q(x) = q и L = 1, получим системулинейных уравнений

m = 1 M2 – 2M1 + M0 – q (0,25L)2 = 0,m = 2 M3 – 2M2 + M1 – q (0,5L)2 = 0,m = 3 M4 – 2M3 + M2 – q (0,75L)2 = 0,

откудаМ1 = 0,094q; М2 = 0,125q; M3 = 0,094q.

Точное решение:М1 = М3 = 0,09375q; М2 = 0,125q.

1.2.2. Методы взвешенных невязок

Моделирование поведения системы дифференциальными урав-нениями предполагает отыскание решения в виде функции Z(x), удов-летворяющей граничным условиям. Если построить некоторую фун-кцию ψ(x), принимающую на границе области те же значения, чтои функция Z(x), то можно считать, что функция y(x) и будет искомымрешением. Аппроксимацию функции Z(x) можно отыскивать в виде

∑=

∧⋅+ψ=≈

M

mmm NaZxZ

1)( , (1.10)

где ma – неопределенные параметры;

mN – базисные функции, обладающие свойством 0=ΓmN

(Г – граница исследуемой области; для одномерной задачи это гра-ничные точки, для двумерной – линия);

∧Z – аппроксимация функции Z.Введем погрешность, или невязку, аппроксимации,

.∧

ω −= ZZR (1.11)

Для уменьшения невязки (1.11) используется условие

,0)(∫ ∫ω ω

ω

∧=ω≡ω− dRWdZZW ll (1.12)


8 9


где lW – весовые функции;ω – область определения функций.Запишем дифференциальное уравнение в общем виде [1]:

Α(Z) = Λ ⋅ Z + p = 0, (1.13)

где Λ – линейный дифференциальный оператор.Решение уравнения (1.13) должно удовлетворять краевым усло-

виямB(Z) = M ⋅ Z + r = 0, (1.14)

где B – соответствующий линейный дифференциальный оператор.Используем для аппроксимации решения уравнения (1.13)

функции (1.10). Подставляя (1.10) в (1.13), получим невязку:

∑ +Λ⋅+ψΛ≡+Λ=≡∧∧

pNapZZAR vm )()( . (1.15)

В соответствии с методом взвешенных невязок выберем весо-вые функции (Wl, l = 1, 2, …) и выполним условие (1.12)

∫ ∑∫ω =ω

=ω+Λ⋅+ψΛ≡ω⋅⋅M

mmmll dpNaWdRW

1.0})({ (1.16)

Выражение (1.16) при l = 1, 2, … , M приводит к системе линей-ных уравнений вида

K ⋅ a = f , (1.17)где

∫ω

ω⋅Λ⋅= ;, dNWK mlml (1.18)

∫ ∫ω ω

ωψΛ⋅−ω⋅−= ;dWdpWf lll

ω – область решений уравнения (1.13).Если весовые функции в (1.16) выбираются в виде Wl = δ(x – xl),

где δ(x –xl) = ∞ при x = xl и δ(x – xl) = 0 при ∞ ≤ x ≤ ∞ – дельта-

функция Дирака, то метод носит название метода поточечныхколлокаций.

Б. Г. Галёркиным было предложено в качестве весовых функцийWl выбирать сами базисные функции Nl. Такой метод носит названиеметода Бубнова – Галёркина.

Пример 2. Рассмотрим решение задачи из примера 1 методомБубнова – Галёркина. Дифференциальный оператор в (1.13) имеет вид

=Λ 2

2

dxd . Краевые условия:

М(0) = М(L) = 0.

Выберем в качестве базисных функции вида

,)( xLxN mm −= (1.19)

удовлетворяющие краевым условиям. Тогда можно построить аппрок-симирующую функцию

∑=

∧⋅=≈

M

mmm NaZZ

1,

и, подставляя (1.19) в (1.18), получим

,])1()1([)(0

12, ∫ −− +−⋅−⋅−=

Lmml

ml dxxmmxLmmxLxK (1.20)

,)(0∫ ⋅−−=L

ll dxqxLxf

где L – длина балки; q – распределенная нагрузка.Ограничиваясь значениями l, m = 1, 2, получим

.12/;6/

;15/22;6/;3/4

23

1

522

42112

311

LqfLqf

LKLKKLK

⋅−=⋅−=

⋅−=−===

Решение полученной системы уравнений при q = 1 и L = 1следующее: a1 = 0,5; a2 = 0.

Искомая функцияϕ = M(x) = a1 ⋅ x (L – x) + a2 ⋅ x

2 (L – x) = L ⋅ x/2 – x2/2


10 11


представляет собой функцию распределения изгибающего моментапо длине балки. Если найти момент в точке x = L/2, получим M(0,5) == 0,125, что при принятых значениях q и L соответствует точномузначению M(0,5) = qL2/8.

Пример 3. Для балки с двумя защемленными концами диффе-ренциальное уравнение имеет вид (1.1′). В качестве решения будемискать функцию прогибов балки. Краевые условия: Z(0) == Z(L) = 0; Z′(0) = Z′(L) = 0.

Для учета подобных краевых условий в методе Бубнова – Галёр-кина применяется общий подход, позволяющий одновременно апп-роксимировать решение дифференциального уравнения и краевыеусловия. При этом аппроксимирующая функция

∑=

∧⋅=≈

M

mmm NaZZ

1

может не удовлетворять краевым условиям. Тогда к невязке (1.15) пообласти определения функции решения добавляется невязка в крае-вых условиях

rZZBR +Μ==∧∧

Γ )(и условие (1.16) принимает вид

.0∫ ∫ω Γ

Γω =Γ⋅⋅+ω⋅⋅ dRWdRW ll (1.21)

В этом случае коэффициенты системы уравнений (1.17) будутвычисляться по формулам

,

,

∫ ∫

∫ ∫

ω Γ

ω Γ

Γ⋅−ω⋅−=

ΓΜ+ωΛ⋅=

rdWpdWf

dNWdNWK

lll

mlmllm

(1.22)

где Г – область определения граничных условий.Для рассматриваемого примера дифференциальные операторы

44 dxd=Λ , dxd=Μ , qp = , 0=r .

Выбирая в качестве базисных функции

,)(;)( 2222 xLxWWxLxN lll

mm −==−=

получим для l, m = 1, 2 следующие значения коэффициентов и свобод-ных членов системы (1.17):

;)1260/1()35/8(;8,0 10712

511 LLKLK +=⋅=

;)35/8(;)1260/1()35/8( 922

10721 LKLLK =−=

).2,0333,025,0();333,05,02,0( 22

21 LLqfLLqf +−=+−=

Принимая, как и прежде, q = 1, L = 1, найдем a1 = 0,042,a2 = 0,000202.

Соответственно функция решения2422 )(000202,0)(042,0)( xLxxLxxZ −⋅+−⋅=

при x = L/2 Z(0,5) = 0,002625, что практически соответствует при

q = L = EJ = 1 точному значению .002604,0)/()384/1()5,0( 4 == EJqLLZ

1.2.3. Вариационные методы

Еще одной большой группой приближенных методов анализанапряженно-деформированного состояния конструкций являютсявариационные методы.

В отличие от рассмотренных выше методов, при использованиивариационных методов формируется некий вариационный принцип.Например, при анализе напряженно-деформированного состояниямеханических систем функция, соответствующая истинному напря-женному состоянию конструкции, придает минимум функционалу по-тенциальной энергии системы Π. Записывая условие стационарностифункционала потенциальной энергии в виде δΠ = 0, можно получитьсистему разрешающих уравнений, аналогичных уравнениям (1.15).

Для упругих систем потенциальную энергию деформации можноопределить как сумму работ внешних и внутренних сил на возможныхперемещениях. Например, для балки, загруженной распределеннойнагрузкой q(x), выражение для работы внешних сил имеет вид

.)()(0∫=L

dxxZxqU


12 13


Работа внутренних сил

∫ ⋅=L

dxxZEJW0

2))((21 .

Потенциальная энергия системы Π = U – W. Если задаться те-перь функцией прогибов балки в виде

∑=

⋅=M

mmm NaxZ

1)( ,

то условие стационарности функционала потенциальной энергии при-мет вид

.0=Π

mdad

(1.23)

Условие (1.23) приводит к системе линейных уравнений для оп-ределения неизвестных коэффициентов ma . Этот метод был разрабо-тан швейцарским математиком В. Ритцем и носит его имя.

Пример 4. Рассмотрим решение задачи из примера 1 методомРитца. Для шарнирно опертой по концам балки примем в качествебазисных функции

)/sin( LxmaN mm π⋅= .

Тогда функционал потенциальной энергии системы

.)/sin({21)}/sin(

0

2

1 0 1

2

2

∫ ∑ ∫ ∑

π−π=Π

= =

L M

m

L M

m

mm dxLxmadxdEJdxLxmaq (1.24)

Подставляя (1.24) в (1.23) при М = 3, получим систему линей-ных уравнений, решив которую, найдем значения

)/(000054,0;0);(013071,0 432

41 EJqLaaEJqLa ===

и функцию прогибов балки в виде

)/3sin()(0000538,0)/sin()(013071,0)( 44 LxEJqLLxEJqLxZ π+π= .

Для x = 0,5 Z(0,5) = 0,013071 при q = L = EJ = 1. Точноерешение для принятых значений q, L, EJ Z(0,5) = 5/384 = 0,01302.

Точность получаемых результатов во всех рассмотренных вышепримерах существенно зависит от выбора базисных функций. Еслив последнем примере выбрать, например, функцию

)( LxxaN mmm −= ,

то

)()(0417,0)( 2 LxxEJqLxZ −=

и Z(0,5) = 0,0104. Погрешность составит 20 %.

1.2.4. Метод конечных элементов для решениядифференциальных уравнений

Рассмотренные выше методы решения дифференциальных урав-нений, описывающих напряженно-деформированное состояние раз-личных систем, как уже было отмечено, удобно применять для анали-за континуальных систем с непрерывно изменяющейся нагрузкойи краевыми условиями. Это связано с тем, что решение задачи ищет-ся в виде одной функции, описывающей поведение конструкции в целом.

В большинстве встречающихся на практике случаев исследуе-мые системы состоят из некоторого числа различных конструктив-ных элементов или рассчитываются на нагрузку в виде сосредоточен-ных сил либо распределенную нагрузку, приложенную в ограничен-ных областях. Моделирование таких систем при помощи однойфункции представляется весьма затруднительным, так как приходит-ся применять специальные разрывные функции или строить системыдифференциальных уравнений, описывающих различные части кон-струкции. Решение таких дифференциальных уравнений существен-но усложняет процесс анализа и не всегда приводит к удовлетвори-тельному результату.

Естественным развитием рассмотренных выше численных ме-тодов стал метод конечных элементов. С математической точки зре-ния метод конечных элементов (МКЭ) представляет собой один изчисленных методов решения дифференциальных уравнений. Более


14 15


того, приведенные выше методы можно считать частным случаемметода конечных элементов при числе элементов, равном 1.

Основное отличие МКЭ от рассмотренных методов состоитв том, что в этих методах решение уравнения отыскивается в видефункции, аппроксимирующей решение уравнения в целом, в то вре-мя как в МКЭ решение строится в виде набора однотипных функций, опи-сывающих области конечных размеров. При этом каждая такая областьили конечный элемент обладает теми же свойствами, что и вся системав целом. Все конечные элементы соединяются между собой в узлах.

Формальное математическое представление аппроксимирующихфункций в методе конечных элементов имеет вид

,1

∫ ∑ ∫ω = ω

ωω ω=ωE

ell

e

dRWdRW (1.25)

,1

∫ ∑ ∫Γ = Γ

ΓΓ Γ=ΓE

ell

e

dRWdRW (1.25′)

при этом ∑ ∑= =

Γ=Γω=ωE

e

E

eee

1 1,;

где Е – число подобластей или элементов, на которые разделяютсяобласти определения решения ω и граничных условий Г.

Если подобласти, на которые разделена система, имеют простуюформу и свойства, определяемые базисными функциями, то процессполучения решения сводится к представлению сложной области на-бором простых элементов с известными свойствами, соединяющихсямежду собой в узлах. В этом и заключается основная идея методаконечных элементов.

Пример 5. Рассмотрим балку, шарнирно опертую и загруженнуюравномерно распределенной нагрузкой q.

На длине балки 0 ≤ x ≤ L выберем M + 1 узлов (рис. 1.1). Узлус номером m сопоставим функцию Nm и построим аппроксимацию

∑+

=

∧=≈

1

1,

M

mmm NZZZ

где mZ – значение аппроксимации в узле m.

LE

Номер узла 1 2

1 6

Номер элемента

Рис. 1.1. Нумерация узлов и конечных элементов для примера 5

Выберем базисные функции для конечного элемента,;)(;; 222111 NWLExLENNWLExN =−=== (1.26)

где )( 1 ii xxLE −= + – расстояние между узлами, или длина конечногооэлемента.

Дифференциальный оператор Λ в (1.15) имеет вид 2/ dxd , и урав-нение (1.21) принимает вид

.1,...,2,1,0)/( 22

0

+==∧

∫ MldxdxZdWL

l

Интегрирование по частям позволяет получить более простоевыражение вида

.1,...,2,1,00

+==

− ∫

∧

Mldxdx

Zddx

dWLl

Система линейных уравнений метода Галёркина имеет вид

K ⋅ Z = f , (1.27)

где коэффициенты и свободные члены определяются по формулам

.1,,

,])/()[(

0

0

+≤≤=

+⋅=

∫

∫

MmlldxqNf

dxWNdxdWdxdNK

L

ll

L

mlmllm

(1.28)


16 17


Выполняя вычисления по формулам (1.28), для первого конечногоэлемента длиной LE получим

;;);6/()6();3/()3( 112212212

122

11 KKKKLELEKLELEK ==+−=+=

).72/()112();72/( 21 LELEqfLEqf −==

Получение разрешающей системы уравнений для всей конструк-ции осуществляется при помощи процедуры объединения конечныхэлементов. Для этого матрицы коэффициентов K конечных элементовсуммируются в узлах с одинаковыми номерами и записываются в об-щую матрицу, размерность которой равна (M + 1) ⋅ (М + 1). Так, дляМ = 6 матрица коэффициентов системы уравнений (1.27) имеет вид

.

000000000

000000000000000000000

622

621

612

611

522

521

512

511

422

421

412

411

322

321

312

311

222

221

212

211

122

121

112

111

++

++

+

=

kkkkkk

kkkkkkkk

kkkkkkkk

kk

K

083,0;083,0;972,5;056,6 211211 ==−== ffkk ii

при LE = 0,167; q = 1; i = 1, 2, …, 6.Свободные члены и неизвестные системы уравнений:

[ ] ,221212121211Tfffffffffffff +++++=

[ ] .7654321Tϕϕϕϕϕϕϕ=ϕ

Для учета граничных условий 0,0 71 =ϕ=ϕ достаточно вы-черкнуть из матрицы K соответствующие строки и столбцы. Решениеполученной системы уравнений следующее:

ϕ = [ –0,064 –0,101 –0,113 –0,101 –0,064].

Значения в строке ϕ являются величинами изгибающих момен-тов в узлах (рис. 1.1) для q = LE = 1. Точное значение изгибающегомомента в середине пролета для балки равно 0,125. Расхождение со-ставляет 9,6 %. Такое большое расхождение объясняется тем, что ап-проксимация функциями (1.26) представляет балку в виде набора пря-мых стержневых элементов, соединенных в узлах шарнирами, то естьбез учета изгибных деформаций. В действительности в узлах необхо-димо учитывать не только линейные перемещения, но и углы поворота.

1.2.5. Основные выводы

Все рассмотренные методы сводят решение дифференциальныхуравнений к решению системы линейных уравнений относительнонекоторых параметров ai, i = 1, 2,…, n. Решение дифференциальногоуравнения отыскивается в виде одной функции, описывающей пове-дение конструкции целиком. Эта функция в результате решения зада-чи получается в виде набора дискретных значений в некоторых точ-ках или узлах, как в методе конечных разностей, или в виде системыаппроксимирующих функций, как в методах Галёркина или вариаци-онном. Различие в приведенных выше методах заключается в спосо-бе построения разрешающей системы линейных уравнений. В мето-де конечных разностей эта система получается «автоматически» изразностного представления производных, в то время как в методахвзвешенных невязок и вариационном – в результате удовлетворениясоответствующих условий. Общие черты рассмотренных методов:

• искомое решение дифференциального уравнения отыскива-ется для всей области определения функции (в рассмотренных при-мерах – целиком для всей балки);

• точность получаемого решения зависит от выбора системыбазисных функций;

• выбор базисных функций предполагает неформальный ана-лиз рассматриваемой системы, что затрудняет построение простыхвычислительных алгоритмов;

• аппроксимация решения дифференциального уравненияв виде функции, описывающей поведение системы в целом, затруд-няет учет сосредоточенных факторов, таких как сосредоточенные силыили опирание в дискретных точках и т. п.


18 19


В методе конечных элементов решение ищется в виде наборафункций, представляющих не всю область решения уравнения, а лишьотдельные участки. Все участки имеют одинаковые параметры, и фун-кции, описывающие их, также одинаковы. Окончательное решениеполучается путем соединения отдельных элементов в узлах. При этомфункция решения получается в виде набора числовых значений в уз-ловых точках.

Глава 2. РАСЧЕТ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ

2.1. Метод конечных элементов (МКЭ) в расчетахстроительных конструкций

В отличие от формальной математической процедуры решениядифференциального уравнения, рассмотренной выше, применениеМКЭ в расчетах строительных конструкций удобно изучать с пози-ций физического смысла задачи. Такой подход не заменяет общиематематические рассуждения, позволяя вместе с тем оценить методс инженерной точки зрения.

Для большинства стержневых конструкций конечно-элементноепредставление системы является совершенно естественным, так кактакие системы уже состоят из отдельных одинаковых элементов, со-единенных между собой в узлах.

Тип и характеристики конечных элементов, образующих систе-му, определяются параметрами самой конструкции. Так, ферма(рис. 2.1, а), конструктивно состоящая из отдельных одинаковых поспособу закрепления и загружения стержней, однозначно может бытьпредставлена набором элементов a.

Для изгибаемых стержневых систем конечными элементами так-же являются стержни, но, в отличие от ферм, для таких систем необ-ходимо, чтобы концевые сечения элементов могли быть не толькошарнирными, но и защемленными. При этом для расчета балок(см. рис. 2.1, б) достаточно учесть лишь угловые и вертикальные пе-ремещения концов стержней b, в то время как для рамных систем(см. рис. 2.1, в) необходимо учитывать и продольные деформации c.

Для расчета плит (см. рис. 2.1, г) конечные элементы обычновыбирают в виде прямоугольных пластин d. Для массивных трехмер-ных конструкций (см. рис. 2.1, д) используются трехмерные объем-ные конечные элементы e.

Несмотря на то что для континуальных систем можно с успехомприменять приближенные методы, рассмотренные выше, МКЭ успеш-но конкурирует с ними, так как позволяет легко учитывать любыесложные краевые условия и сосредоточенные нагрузки.

20 21


2.2. Метод перемещений как основа МКЭ

Основой для понимания идеологии расчета строительных кон-струкций методом конечных элементов может служить классическийметод перемещений. Как известно, основная система метода переме-щений состоит из отдельных стержней, соединенных между собойв узлах. При этом имеются заранее составленные таблицы, при помо-щи которых можно определить усилия в этих отдельных стержнях отвсех возможных воздействий, которые представляют собой угловыеи линейные перемещения узлов и действующая на систему нагрузка.

Основным этапом решения задачи методом перемещений явля-ется формирование и решение системы канонических уравнений,коэффициентами которых являются реакции в связях, соединяющихстержни системы между собой, от единичных перемещений, задан-ных по направлению этих связей. В результате формируется системаканонических уравнений относительно неизвестных узловых пере-мещений.

В методе конечных элементов роль основной системы играет такназываемая конечно-элементная модель. Она отличается от основнойсистемы метода перемещений тем, что точки деления системы на ко-нечные элементы могут находиться не только в естественных узлахсистемы, но и в любых местах между узлами. При этом опорные узлыи узлы, в которых соединяются стержни системы, являются равно-правными. То есть, в отличие от основной системы метода перемеще-ний, во всех узлах конечно-элементной модели возможны все пере-мещения, присущие рассматриваемой расчетной схеме. Такой подходпозволяет более гибко учитывать приложенные сосредоточенные на-грузки и краевые или граничные условия.

2.3. Основные параметры конечных элементов

Конечные элементы, из которых собирается расчетная схемалюбой конструкции, имеют общие характеристики. Так, для любогоконечного элемента определяющим является число его степенейсвободы, то есть общее число всех возможных перемещений во всехузлах конечного элемента. При этом для элемента одного типа можноучитывать как все, так и лишь некоторые из возможных перемещений

в узле. Количество учитываемых узловых перемещений определяетсяконтекстом решаемой задачи.

Выбор типов конечных элементов для моделирования конструк-ции определяется в первую очередь особенностями исходной систе-мы. В каждом конкретном случае для моделирования системы выби-раются соответствующие конечные элементы с числом и характеромстепеней свободы (узловых перемещений), определяющих основныеособенности работы системы.

Глава 2. Расчет строительных конструкций

Рис. 2.1. Примеры расчетных схем и конечных элементов

в

г

а

l

a Z1

Z2 Z4

Z3

Zi Zj

dZi /dx dZj /dx

b

c Xi Xj

Z

X

Y

Zi dZi /dy

dZi /dx

d

Ux,Uy,Uz U′x,U′y,U′z в узле

Zi Zj

dZi /dx dZj /dx

e д

б

22 23


В зависимости от числа учитываемых в расчете степеней свобо-ды в узле конечного элемента формируется матрица жесткостиконечного элемента.

Матрица жесткости представляет собой универсальный матема-тический объект, используемый в методе конечных элементов дляописания упругих свойств как отдельных элементов, так и более круп-ных частей рассматриваемой системы, а также всей системы цели-ком. Матрица жесткости может быть составлена и для бесконечномалого элемента.

По определению матрица жесткости представляет собойтаблицу значений реакций в связях узлов конечного элемента отединичных перемещений, последовательно задаваемых по направ-лению этих связей.

Фактически матрица коэффициентов при неизвестных канони-ческих уравнений метода перемещений представляет собой матрицужесткости конструкции.

Если обратиться к таблицам традиционного метода перемеще-ний, легко заметить, что в них содержатся элементы матрицы жестко-сти стержневого конечного элемента b.

Порядок матрицы жесткости определяется числом учитываемыхстепеней свободы конечного элемента. Для конечного элемента aс двумя степенями свободы в каждом узле (это линейные перемеще-ния по направлению каждой из осей системы координат) порядок мат-рицы жесткости (4×4).

Для конечного элемента b, также имеющего две степени свобо-ды в узле (линейное вертикальное перемещение и угол поворота),порядок матрицы, как и в предыдущем случае, (4 × 4).

Для конечного элемента c с тремя степенями свободы в узле (дву-мя линейными перемещениями по направлению осей координати углом поворота) порядок матрицы жесткости (6 × 6). Заметим, что эле-мент c объединяет элементы a и b. Тем не менее все рассматриваемыеконечные элементы имеют право на самостоятельное существование.

Конечный элемент d используется для расчета тонких плит.В каждом узле такого конечного элемента учитываются три степенисвободы. Порядок матрицы жесткости элемента (12 × 2).

Последний конечный элемент e может быть использован длярасчета массивных конструкций. В каждом узле такого элемента учи-тывается шесть степеней свободы.

При разработке компьютерных программ, реализующих методконечных элементов, в каждой программе создается библиотека эле-ментов для всех типов конструкций, расчет которых предполагаетсявыполнять, используя данную программу. При необходимости мож-но построить матрицу жесткости для любого конечного элементас любыми заданными свойствами. Алгоритм метода конечных эле-ментов не зависит от параметров используемых матриц жесткости.Это является важной особенностью МКЭ, позволяющей при помощиодной компьютерной программы определять напряженно-деформи-рованное состояние самых различных конструкций заданной стан-дартной конфигурации, а также создавать расчетные схемы систем,содержащие элементы разных типов.

2.4. Матрица жесткости шарнирно-стержневогоконечного элемента

Следуя приведенному выше определению матрицы жесткостикак таблицы реакций в узловых связях конечного элемента от после-довательно задаваемых единичных перемещений, можно получитьматрицу жесткости для некоторых простых конечных элементов, вы-полняя указанные действия непосредственно.

Рассмотрим шарнирно-стержневой конечный элемент (рис. 2.2)и последовательно зададим перемещения по направлению узловыхсвязей. Для такого конечного элемента усилия, возникающие в стер-жне от задаваемых продольных перемещений, легко определяютсянепосредственно из закона Гука.

Если задать перемещение Z1 = 1, то в стержне возникает усилиеN = EF/l. Реакции в связях 1 и 3 r11 = EF/l и r31 = EF/l, а реакции r21 == r41 = 0. Задавая последовательно единичные узловые перемещенияи вырезая узлы, получим из уравнений проекций на óси ОХ и OY длякаждого из четырех единичных перемещений 16 значений реакцийв связях конечного элемента. Записывая значения реакций в виде таб-лицы, получим матрицу жесткости шарнирно-стержневого конечно-го элемента (2.1). Вторая и четвертая строки в матрице (2.1) полнос-тью нулевые. Такие значения реакций соответствуют вертикальнымперемещениям узлов.


24 25


Z1 Z3

Z2 Z4 Y

X l

EF i j

Рис. 2.2. Шарнирно-стержневой конечный элемент

r = (EF/l)

0000010100000101

. (2.1)

При выводе матрицы жесткости (2.1) единичные перемещениязадавались по направлениям осей системы координат, совпадающихв с главными центральными осями инерции сечения конечного эле-мента. Такая система координат называется в МКЭ локальной. Мат-рицы жесткости конечных элементов строятся, как правило, в локаль-ной системе координат.

При помощи матрицы (2.1) можно определить усилия в сечени-ях конечного элемента, если известны перемещения его концов. Обыч-но расчетные сечения для определения усилий располагаются вблизиузлов конечного элемента (см. рис. 2.2, сечения i и j). Для шарнирно-стержневого конечного элемента матрица значений усилий в расчет-ных сечениях имеет вид

N =

j

j

i

i

QNQN

, N = r · Z = r ·

4

3

2

1

ZZZZ

, (2.2)

где Z – перемещения по направлению узловых связей конечногоэлемента;

Ni, Qi, Nj, Qj – продольные и поперечные силы в сечениях i и jсоответственно.

Каждому усилию, вычисляемому по формуле (2.2), соответству-ет задаваемое при выводе матрицы (2.1) перемещение. Очевидно, чтодля рассматриваемого конечного элемента значения поперечных силвсегда будут нулевыми, поскольку матрица (2.1) содержит две нуле-вые строки, однако необходимо сохранять эту избыточную информа-цию в матрице жесткости и усилий, так как в общем случае матрицашарнирно-стержневого конечного элемента не содержит полностьюнулевых строк.

2.5. Локальная и глобальная системы координат

Построение матриц жесткости конечных элементов удобно осу-ществлять в локальной системе координат. Это позволяет не привя-зывать конечные элементы к реальным системам, а иметь библиотеку«инвариантных» конечных элементов. При построении расчетныхсхем для решения конкретных задач обычно все операции проводят в системе координат, единой для всей расчетной схемы, так называе-мой глобальной системе координат. Пример глобальной и локальнойсистем координат показан на рис. 2.3.

Y1

X1

X0 α

Y0

Рис. 2.3. Глобальная и локальнаясистемы координат:

X1, Y1 – локальные координаты;X0, Y0 – глобальные координаты

В процессе решения приходится вначале приводить матрицыжесткости всех конечных элементов к глобальной системе координат,а на завершающей стадии расчета, при определении усилий в элемен-тах, выполнять обратное преобразование. Таким образом, перемеще-ния в узлах расчетной схемы определяются в глобальной системе ко-


26 27


ординат, а усилия в конечных элементах – в локальных системах ко-ординат для каждого конечного элемента.

Переход от локальной системы координат к глобальной и обрат-но выполняется при помощи известных формул линейной алгебры.Так, перемещения концов стержней в глобальной системе координатчерез заданные перемещения в локальной системе координат опреде-ляются по формулам

.coscos,coscos

2212121102

2112111101

α⋅+α⋅=α⋅+α⋅=

iii

iii

ZZZZZZ

(2.3)

Обратное преобразование выполняется по формулам

,coscos,coscos

2102110112

2102110111

α⋅+α⋅=α⋅+α⋅=

iii

iii

ZZZZZZ

(2.4)

где Z1i0, Z2i0 – перемещения узла конечного элемента с номером iв глобальной системе координат; Z1i1, Z2i1 – перемещения узла конеч-ного элемента с номером i в локальной системе координат; αij – углы,образованные осями локальной и глобальной систем координат.

Эти же зависимости в матричной форме имеют вид

,10 ZAZ ⋅′= (2.5)

.01 ZAZ ⋅= (2.6)

Матрицы A и A′ содержат направляющие косинусы углов меж-ду осями локальной и глобальной систем координат. В случае, когдаобе координатные системы прямоугольные, матрица A принимает вид

,cossinsincos

αα−αα

=A (2.7)

где α – угол между осями X0 и X1.

Косинус угла α между осями глобальной и локальной системкоординат можно вычислить по формуле

αcos = (X j – X i) / l , (2.8)

где l – длина конечного элемента;Xi и Xj – координаты узлов элемента в глобальной системе коор-

динат.Стандартная матрица преобразования координат шарнирно-стер-

жневого конечного элемента с двумя узлами имеет следующий вид:

.

cossin00sincos00

00cossin00sincos

αα−αα

αα−αα

=A (2.9)

Для приведенного выше конечного элемента матрица преобра-зования координат

.

cossin00sincos00

00cossin00sincos

αα−αα

αα−α−α−

=A (2.9′)

Отличие в знаках элементов матриц (2.9) и (2.9′) обусловленовыбором положительных направлений единичных перемещений, при-нимаемых при выводе матрицы жесткости (2.1). Перемещение вдольоси стержня для левого узла задавалось по направлению отрицатель-ных значений оси X. Выбор такого направления единичного переме-щения в дальнейшем позволяет получить усилия в стержне с действи-тельными знаками. Если задавать направления всех единичных пере-мещений совпадающими с положительными направлениямикоординатных осей, то знак усилия в первом сечении будет обрат-ным. Подробные сведения о преобразованиях в различных системахкоординат можно найти в [5].


28 29


2.6. Матрица жесткости шарнирно-стержневого элементав глобальной системе координат

Рассмотрим шарнирно-стержневой конечный элемент, произ-вольно ориентированный относительно глобальной системы коорди-нат (рис. 2.5).

Z1 Z2

Z3

Z4 α X0

Y0

X1 Y1

Рис. 2.5. Шарнирно-стержневой элементв глобальной системе координат

Для вывода матрицы жесткости этого конечного элемента вос-пользуемся принципом возможных перемещений. По определениюкоэффициенты матрицы жесткости представляют собой реакциив связях от единичных перемещений. Задавая последовательно по на-правлению узловых связей единичные перемещения, составим урав-нения возможных работ внешних и внутренних сил. Внешними сила-ми в данном случае будут искомые реакции в связях, а внутренними –усилия в элементе, возникающие от задаваемых единичных переме-щений, которые и выполняют здесь роль возможных.

Всего необходимо вычислить 16 значений величин реакций (по4 реакции от каждого из 4 единичных перемещений). Эти реакции,записанные в виде таблицы, и образуют искомую матрицу жесткости

r0 = .

44434241

34333231

24232221

14131211

rrrrrrrrrrrrrrrr

Последовательно задаваемые единичные перемещения по на-правлению глобальных осей координат можно представить единич-ной матрицей

.

1000010000100001

0

=Z (2.10)

Работу внешних сил определим по формуле

U = r0 ⋅ Z0 . (2.11)

Работа внутренних сил представляет собой работу усилий в стер-жне N на деформациях V. Значения внутренних усилий и деформацийопределяются для фиксированных сечений стержня и в матричнойформе могут быть представлены в виде

=

mv

vv

V......

2

1

; ,

...

...2

1

=

mN

NN

N (2.12)

где m – число расчетных сечений конечного элемента.Итак, работа внутренних сил

.NVW ⋅′= (2.13)

Операция транспонирования матрицы V в (2.13) обусловленаправилами матричной алгебры.

Определим усилия. Усилия в конечном элементе вычисляютсяв локальной системе координат по формуле

,11 ZrN ⋅=но, согласно (2.5),


30 31


01 ZAZ ⋅=и соответственно

,01 ZArN ⋅⋅= (2.14)или

ArN ⋅= 1 ,так как матрица 0Z представляет собой единичную матрицу..

Деформации также определяются в локальной системе координатAZAV =⋅= 0 .

Подставляя в (2.13) выражения для V и N, получим для работывнутренних сил выражение

.1 ArAW ⋅⋅′=

Приравнивая выражения для работы внешних и внутренних сил,получим для вычисления матрицы жесткости в глобальной системекоординат формулу

.10 ArAr ⋅⋅′= (2.15)

Формула (2.15) может быть использована для вычисления мат-рицы жесткости любого конечного элемента, если известна его мат-рица в локальной системе координат r1 и матрица преобразования A.

Пример 6. Рассмотрим решение задачи с использованием выве-денной матрицы жесткости шарнирно-стержневого конечного элемен-та. На рис 2.6 показаны заданная система и соответствующая ей ко-нечно-элементная модель. Последняя представляет собой конечныеэлементы, соединенные между собой в узле. Конечные элементы, узлыи связи конечно-элементной модели пронумерованы. При этом номе-ра конечных элементов можно задавать произвольно, а номера узловдолжны соответствовать номерам элементов. Узлы каждого конечно-го элемента должны быть пронумерованы подряд. Номера перемеще-ний (или связей) в узлах также должны соответствовать номерам уз-лов конечных элементов, при этом первым в каждом узле нумеруетсяперемещение вдоль оси Х0 и следом за ним перемещение вдоль оси Y0(см. рис. 2.6).

3 4

3 EF – const

P = 4 кН

z1 z2

z3 z4

z5

z6 1

2

X0

Y0

α1

Рис. 2.6. Заданная система и конечно-элементная модель

Матрицы жесткости конечных элементов в локальной системекоординат имеют вид

;

0000010100000101

)/( 11

= lEFr

.

0000010100000101

)/( 22

= lEFr

Направляющие косинусы:для элемента 1 cos(α1) = 0,6; sin(α1) = 0,8;для элемента 2 cos(α2) = 1; sin(α2) = 0 (система координат для

стержня 2 совпадает с глобальной системой координат, поэтому α2 = 0).Матрицы преобразования координат для элементов 1 и 2 имеют

следующий вид:

;

6,08,0008,06,000

006,08,0008,06,0

1

−

−−−

=A

.

1000010000100001

2

−

=A

Матрицы жесткости конечных элементов 1 и 2 в глобальной си-стеме координат, вычисленные по формуле (2.15):


32 33


r10 = (EF / 5) ;

64,048,064,048,048,036,048,036,064,048,064,048,048,036,048,036,0

−−−−

−−−−

r20 = (EF / 4)

−

−

0000010100000101

= (EF / 5).

0000025,1025,10000025,1025,1

−

−

Здесь для удобства дальнейших вычислений общие множителиобеих матриц приведены к одному значению.

Номера строк и столбцов в матрице r10 – (1, 2, 3, 4), а в матрицеr20 – (3, 4, 5, 6), что соответствует номерам узловых перемещений этихконечных элементов.

Для построения матрицы жесткости конечно-элементной моде-ли объединим две полученные матрицы в одну таким образом, чтобыреакции в связях, относящихся к обоим конечным элементам (это связи3 и 4), суммировались. Полная матрица жесткости конечно-элемент-ной модели имеет вид

.

000000025,1025,1000064,048,064,048,0025,148,061,148,036,00064,048,064,048,00048,036,048,035,0

)5/(

−−−

−−−−

−−

= EFK

Процесс объединения матриц жесткости в МКЭ обычно называ-ют ансамблированием. Фактически он представляет собой суммиро-вание коэффициентов матриц с одинаковыми номерами и запись ихв соответствующие ячейки матрицы жесткости всей системы.

Определим реакции в связях конечно-элементной модели от на-грузки. Для этого вырежем узел, в котором приложена сосредоточен-ная сила P = 4 кН, и составим уравнения равновесия. Так как конеч-но-элементная модель фактически представляет собой основную си-стему метода перемещений, то усилия в стержнях от узловой нагрузкине возникают. Тогда реакции в связях

R1p,…, R3p = 0, R4p = 4, R5p, R6p = 0.

Система канонических уравнений МКЭ (в форме метода пере-мещений) для конечно-элементной модели принимает вид

K ⋅ Z + R = 0,

или в развернутой форме вид

−−−

−−−−

−−

000000025,1025,1000064,048,064,048,0025,148,061,148,036,00064,048,064,048,00048,036,048,035,0

⋅

6

5

4

3

2

1

zzzzzz

+

004000

=

000000

. (2.16)

Как отмечалось выше, при построении конечно-элементной мо-дели изначально предполагается, что по направлению всех узловыхсвязей могут возникать перемещения. Это означает, что конечно-эле-ментная модель не закреплена в каких-то конкретных точках. Дляустановления эквивалентности конечно-элементной модели заданнойсистеме необходимо учесть граничные условия или условия опира-ния, то есть прикрепить конечно-элементную модель к неподвижнымточкам либо к земле так же, как прикреплена заданная система. Учетграничных условий математически осуществляется приравниваниемнулю заведомо отсутствующих в заданной системе перемещений. Дляэтого достаточно вычеркнуть из системы уравнений (2.16) строкии столбцы, соответствующие этим нулевым перемещениям. В рассмат-риваемой системе граничные условия имеют вид

z1 = 0; z2 = 0; z5 = 0; z6 = 0 (2.17)


34 35


и система уравнений с учетом граничных условий

64,048,048,061,1

⋅

4

3

zz

=

− 40

.

Ее решение

4

3

zz

= .)/1(25,40

12EF

−

Для определения усилий в стержнях воспользуемся выражени-ем (2.14). Составим векторы перемещений конечных элементов в гло-бальной системе координат:

Z1 =

4

3

2

1

zzzz

=

−25,40

1200

(1 / EF); Z2 =

6

5

4

3

zzzz

=

−

0025,40

12

(1 / EF).

и вычислим усилия:N1 = r1 ⋅ A1 ⋅ Z1 =

=5

EF

0000010100000101

⋅

−

−−−

6,08,0008,06,000

006,08,0008,06,0

⋅

−25,40

1200

;1EF

N2 = r2 ⋅ A2 ⋅ Z2 = 4

EF

0000010100000101

⋅

1000010000100001

⋅

−

0025,40

12

.1EF

N1 =

−

−

05

05

, N2 =

−

−

03

03

.

Векторы усилий в конечных элементах N1 и N2 содержат усилияв сечениях, расположенных на левом и правом концах конечного эле-мента. Первая строка представляет собой значение продольной силы,вторая строка – значение поперечной силы (соответствует второмуперемещению при выводе матрицы жесткости конечного элемента).Третья и четвертая строки – те же усилия для сечения, расположенно-го на правом конце стержня.

2.7. Общая формула вычисления матриц жесткости

Выше было показано, как можно получить матрицу жесткостиконечного элемента, задавая единичные перемещения в узлах и опре-деляя соответствующие реакции в связях. Таким способом можнополучить матрицы жесткости лишь для самых простых стержневыхэлементов, когда зависимость между усилиями и деформациями из-вестна. Как правило, для большинства конечных элементов, исполь-зуемых в расчетах сложных систем, зависимости между усилиямии деформациями не устанавливаются простыми формулами, и опре-делить реакции в узловых связях из простых уравнений равновесияневозможно. В этом случае для вывода матрицы жесткости конечно-го элемента необходимо задать функцию, описывающую его напря-женно-деформированное состояние.

Выведем формулу, позволяющую вычислить элементы матрицыжесткости. Воспользуемся принципом возможных перемещений.

Для определенности рассмотрим конечный элемент, показанныйна рис. 2.7. Для этого конечного элемента в каждом узле будем учи-тывать две степени свободы: линейное перемещение, перпендикуляр-ное оси стержня, и угол поворота. Тогда матрица жесткости будетиметь порядок (4 × 4).

Для описания деформированного состояния такого стержня ис-пользуем дифференциальное уравнение изогнутой оси в виде


36 37


,)()( xMxZEJ =′′⋅ (2.18)

где Z(x) – функция прогибов стержня.Так как функция Z(x) заранее не известна, необходимо задать ее

так, чтобы она удовлетворяла уравнению (2.18). Подробно вопросывыбора функций и их параметров для различных дифференциальныхуравнений можно найти в [1]. В данном случае функция, аппрокси-мирующая функцию Z(x), должна иметь не равные нулю производ-ные до 4-го порядка включительно. Например, можно задать эту фун-кцию в виде полинома третьей степени по x [2]

34

2321)( xfxfxffxZ +++= (2.19)

или в матричной форме

[ ] [ ] [ ].1 32 fxxxfWZ ⋅== (2.20)

Zi Z′i Z′j

Zj

l

i j g

Рис. 2.7. Изгибаемый стержневойконечный элемент с двумястепенями свободы в узле

Для вывода матрицы жесткости зададим по направлению узло-вых связей конечного элемента линейные и угловые единичные пере-мещения. Линейные перемещения можно определить непосредственнопо формуле (2.20). Для определения углов поворота продифференци-руем (2.20) по x. Получим

[ ] [ ] [ ].3210 2 fxxfWZ ⋅=′=′ (2.21)

Подставляя в (2.20) и (2.21) координаты левого и правого узловстержня, составим выражения для единичных перемещений и угловповорота. Все перемещения последовательно запишем в виде матрицы

[ ] [ ] ,

32101

00100001

1000010000100001

2

320 fAf

lllll

Z =⋅

=

=

откуда

[ ] .1−= Af

В каждом столбце матрицы Z0 записаны перемещения, заданныепо направлению узловых связей последовательно. Так, в первом стол-бце z1 = 1, z2 = 0, z3 = 0, z4 = 0, во втором z1 = 0, z2 = 1, z3 = 0, z4 = 0 и т. д.

Для определения деформаций стержня запишем выражение вто-рой производной функции перемещений:

[ ] [ ] [ ] ,6210 fxfWZ ⋅=′′=′′(2.21′)

.1−⋅=′′ ABZ

Работа внутренних сил на деформациях, соответствующих пе-ремещениям Z0,

.)()()/(00∫∫ ⋅′′⋅⋅′′=⋅=ll

dxxZEJxZdxEJMMW (2.22)

Подставляя в (2.22) выражение для Z ′′ (2.21′), получим

.)()( 1

0

1 dxABEJBAWl

⋅⋅⋅⋅′⋅= −−∫ (2.23)

Работа внешних сил определяется выражением (2.11) и в дан-ном случае

U = r ⋅ Z0 = r.


38 39


Приравнивая работу внешних и внутренних сил, получим окон-чательно для определения матрицы жесткости стержневого изгибае-мого элемента (см. рис. 2.7) выражение

( ) .)( 1

0

1 −−

′′= ∫ ABEJBAr

l

(2.24)

Операция транспонирования матриц в (2.23) обусловлена пра-вилами матричной алгебры.

Формула (2.24), выведенная для изгибаемого стержня с двумястепенями свободы в узле, в действительности может быть использо-вана для получения матриц жесткости любого конечного элемента.Достаточно лишь подставить в (2.24) соответствующие выражениядля перемещений и деформаций, а также дифференциальные зависи-мости между усилиями и деформациями [2].

Матрица жесткости, вычисленная по формуле (2.24) для поло-жительных направлений узловых перемещений по рис. 2.7, имеет вид

.

2/31/3/3/6/3/6

1/32/3/3/6/3/6

222

22

−−−−

−−−−

=

llllll

llllll

lEJr

(2.25)

Используя матрицу (2.25), можно решать задачи расчета стати-чески неопределимых балок и рам. Однако для расчета рамных сис-òåì óäî áí åå èñï î ëüçî âàòü êî í å÷í ûé ýëåì åí ò, ï î êàçàí í ûé í à ðèñ. 2.1, в.Матрицу жесткости этого конечного элемента можно получить, объе-динив матрицы (2.1) и (2.25). Объединение этих матриц дает матрицу(2.26). Матрица жесткости изгибаемого стержня с шарнирным кон-цом приводится в приложении.

.

/4/60/2/60/6/120/6/120

00/00//2/60/4/60/6/120/6/120

00/00/

22

2323

22

2323

−−−−

−−−−

=

lEJlEJlEJlEJlEJlEJlEJlEJ

EFlEFllEJlEJlEJlEJlEJlEJlEJlEJ

EFlEFl

r (2.26)

2.8. Определение усилий

При расчете стержневых систем усилия в расчетных сеченияхконечных элементов определяются по формуле (2.14) при помощиматрицы жесткости.

При расчете континуальных систем, например плит, усилия привыводе дифференциального уравнения изгиба предполагаются рас-пределенными. Они вычисляются при помощи матрицы усилий, ко-торую необходимо определять дополнительно.

Процесс получения матрицы усилий продемонстрируем на при-мере стержневого элемента. В общем случае матрица усилий опреде-ляется через матрицу жесткости бесконечно малого элемента C. Длястержневого изгибаемого элемента C = EJ, для шарнирно-стержнево-го элемента C = EF.

Для бесконечно малого элемента усилие S = C ⋅ v. Деформации

определяются по (2.21′): 1−⋅= ABv . Тогда усилия в конечном элементе

,1 ZNZABCS ⋅=⋅⋅⋅= − (2.27)

где N – матрица усилий;Z – перемещения в узлах конечного элемента.Элементы матрицы N в (2.27) зависят от координат точек, в ко-

торых определяются усилия. Можно задать любые координаты в пре-делах соответствующего конечного элемента и для этих точек вычис-лять усилия по выражению (2.27) [2].


40 41


Например, для изгибаемого стержня с двумя степенями свобо-ды в узле изгибающие моменты определяются по формуле

)(xZEJM ′′⋅= , а поперечные силы dxdMQ = . Подставляя в матри-цу B (2.21) координаты трех расчетных сечений [0, l/2, l] и записываяих последовательно по строкам, получим матрицу для вычисленияизгибающих моментов и поперечных сил.

−−−−

−

⋅= −

2323

221

/1/2/1/2/1/3/2/3

00100001

6000620032000200

llllllll

EJll

ABN, (2.28)

.

/6/12/6/12/4/6/2/6/10/10/2/4/4/6

2323

22

22

−−

−−−

=

llllllllllllll

EJN (2.29)

Последняя строка в матрице B (2.28) является выражением дляпоперечной силы, постоянной по длине стержня.

Умножая матрицу N (2.29) на вектор узловых перемещений, мож-но определить изгибающие моменты в трех сечениях конечного эле-

мента (по концам и в середине) и поперечную силу. Матрица 1−A (2.28)приводится в [2].

2.9. Приведение нагрузки к узлам

Важной особенностью метода конечных элементов, как и клас-сического метода перемещений, является невозможность непосред-ственного учета нагрузок, приложенных вне узлов конечно-элемент-ной модели. Нагрузки, приложенные вне узлов, должны приводитьсяк узлам. Как показано в [2], замена распределенной нагрузки эквива-лентной узловой может быть выполнена на основе равенства работраспределенной и узловой нагрузок.

Работа распределенной нагрузки q(x), приложенной к стержне-вому конечному элементу, определяется по формуле

.)()(0

распр ∫=l

dxxzxqА

Работа узловой нагрузки,узл PZА ⋅′=

где Z ′ – матрица единичных перемещений.Как было показано выше,

,1−⋅= AWZтогда вектор узловых нагрузок

( ) .)(0

1 ∫ ⋅′⋅= −l

dxxqWAP (2.30)

Вычисление по формуле (2.30) для равномерно распределеннойнагрузки, приложенной к конечному элементу длиной l с двумя за-щемлениями, дает

=

212212

22 qlqlqlqlP , (2.31)

что соответствует узловым моментам и реакциям из таблицы методаперемещений. Равномерно распределенная нагрузка на конечный эле-мент и эквивалентная ей узловая нагрузка показаны на рис. 2.8.

ql2/12 ql2/12

ql/2 ql/2

Рис. 2.8. Распределеннаяи узловая нагрузки

Для стержневых конечных элементов приведение нагрузки к уз-ловой можно выполнять при помощи таблиц метода перемещений,однако предпочтительнее строить конечно-элементную модель так,чтобы сосредоточенные силы оказывались приложенными в узлах.


42 43


2.10. Матрица учета реакций упругого основания

Для расчета конструкций на упругом основании методом конеч-ных элементов достаточно к матрице жесткости стержневого элемен-та добавить матрицу, учитывающую реакции упругого основания. Приэтом реакцию упругого основания можно представить в виде распре-деленной по длине конечного элемента нагрузки. Используем длямоделирования упругого основания гипотезу Винклера, в соответствиис которой величина реакции упругого основания принимается про-порциональной величинам вертикальных перемещений:

,)()( xZkxp ⋅= (2.31)

где k – коэффициент «постели», характеризующий упругие свойстваоснования.

Подставим, как показано в [2], выражение прогиба (2.20) в (2.31):

.)()( 1 ZAWkxZkxp ⋅⋅⋅=⋅= −

Задавая последовательно единичные узловые перемещения Z,получим

.)( 1−⋅⋅= AWkxp

Подставляя это выражение в (2.30) вместо q(x), определим

( ) .11 −−

⋅⋅′⋅

′= ∫ AdxWWkAp

eL (2.32)

В (2.32) Le – длина конечного стержневого элемента. Предпола-гается, что в пределах длины конечного элемента коэффициент «по-стели» k постоянен. Матрицы, полученные по (2.32) для изгибаемыхстержневых элементов, приводятся в приложении.

2.11. Построение конечно-элементной модели

При построении конечно-элементных моделей конструкций узлыконечно-элементной модели должны обязательно располагаться:

• в характерных точках расчетной схемы, а именно в точкахизменения геометрии или жесткостных характеристик системы;

• точках, где приложены сосредоточенные силы или моменты;• точках, где начинается или заканчивается равномерно рас-

пределенная нагрузка;• точках, где изменяются параметры упругого основания.Кроме того при назначении узлов конечно-элементной модели

желательно, чтобы линейные размеры конечных элементов были оди-наковыми или не очень сильно отличались друг от друга.

На рис. 2.9 приводится пример расчетной схемы балки и воз-можной конечно-элементной модели.

q F

Конечно-элементная модель

EJ1 EJ2 Упругое основание

Рис. 2.9. Схема балки и возможная конечно-элементная модель

Пример 7. Расчет балки методом конечных элементов. Расчет-ная схема, конечно-элементная модель балки и нумерация узлов, ко-нечных элементов и узловых перемещений приводятся на рис. 2.10.Для расчета будем использовать матрицу (2.25).

4 4 4 4 EJ – const

F1 = 20 кН F2 = 10 кН

Z1

Z2

Z3

Z4

Z5

Z6

Z7

Z81

Z10

Z9

1 2 3 4 1 2 3 4 5

q = 20 кН/м

Рис. 2.10. Схема балки и конечно-элементная модель


44 45


Матрицы жесткости конечных элементов (2.25) имеют вид

.

1375,05,0375,0375,01875,0375,01875,05,0375,01375,0375,01875,0375,01875,0

4,..,1

−−−−

−−−−

= EJr (2.33)

Для решения задачи переведем матрицы (2.33) в глобальнуюсистему координат (2.15). Матрица преобразования координат

.

1000010000100001

−

=A

В результате преобразования (2.15) матрицы примут вид

.

1375,05,0375,0375,01875,0375,01875,05,0375,01375,0

375,01875,0375,01875,0

4,..,1

−−−−

−−

= EJr

Так как все конечные элементы имеют одинаковые размерыи жесткости, матрицы для них одинаковые. Знаки элементов 1-й строкии 1-го столбца матрицы соответствуют направлению линейного пере-мещения левого узла конечного элемента вниз, в отличие от направ-ления, показанного на рис. 2.7. Такое правило знаков удобнее исполь-зовать при расчете балок. Матрицы r1,…,4 подставляются в матрицуконечно-элементной модели в соответствии с номерами узловых пе-ремещений каждого элемента.

При формировании матрицы K матрицы конечных элементовзаписываются в матрицу так, чтобы их главная диагональ совпадала

с главной диагональю матрицы K. Так как у соседних элементов но-мера узловых перемещений совпадают, то в соответствующие ячейкиматрицы K попадают одновременно коэффициенты матриц r1, …, r4,представляющие собой реакции в связях от перемещений, задавае-мых на правом конце конечного элемента с номером g и левом концеконечного элемента с номером g + 1. Эти коэффициенты суммируют-ся. Матрица жесткости конечно-элементной модели имеет порядок(10×10) в соответствии с общим числом узловых перемещений.

Свободные члены системы уравнений определяются, как в ме-тоде перемещений. Вычислив для элемента 1 значения узловых со-ставляющих нагрузки (2.31), получим

[ ] [ ] .67,264067,26404321 −−−=pppp RRRRСоответственно R5p = –20, R7p = –10. Остальные свободные члены

равны 0.После учета граничных условий Z1 = Z2 = Z3 = Z9 = Z10 = 0 получим

систему уравнений

,

00000

01002067,26

205,0375,000375,0375,01875,005,0375,0205,0

375,01875,00375,0375,0005,0375,02

8

7

6

5

4

=

−

−+

⋅

−−−−−

−

ZZZZZ

откуда

[ ] .193,4597,16152,3858,19333,13EJ

Z −=

Для определения усилий можно воспользоваться либо матрицей(2.29), либо матрицей жесткости (2.25). В первом случае изгибающиемоменты вычисляются в трех сечениях стержня, во втором – в сече-ниях, расположенных по концам элемента.

Чтобы вычислить усилия, сформируем векторы перемещений длявсех конечных элементов. Для этого выберем из вектора решения си-стемы уравнений Z не равные нулю перемещения в узлах конечных


46 47


элементов и дополним их нулевыми значениями из вектора гранич-ных условий. Например, для элемента с номером 1 первые три пере-мещения нулевые, а четвертое (угол поворота узла 2) равно 13,33.Аналогично формируются и остальные векторы перемещений. Ониимеют вид (множитель 1/EJ опущен):

,

33,13000

1

=Z

,

52,3858,19333,13

0

2

=Z

,

93,4597,16152,3858,192

3

−

=Z

.

00

93,4597,191

4

−

=Z

Умножая матрицу (2.32) последовательно на векторы 41,...,ZZ ,получим

,

33,135

67,65

1

−=S

,

4,2785,1640

85,16

2

−

−−

=S

,

81,1415,34,27

15,3

3

−=S

.

78,3715,13

81,1415,13

4

−=S

Каждый из векторов усилий содержит значения поперечных сили моментов в концевых сечениях конечного элемента от узловой на-грузки. Положение расчетных сечений показано на рис. 2.7. Усилияв расчетных сечениях

.

−

=

j

j

i

i

i

MQMQ

S (2.34)

Отрицательное значение поперечной силы в левом сечении каж-дого конечного элемента обусловлено используемым правилом зна-ков для единичного перемещения Z1 при вычислении матрицы жест-кости (2.33).

Эпюры изгибающих моментов и поперечных сил приводятся нарис. 2.11.

20 20 10

4 4 4 4

20 40 27,4 14,8 37,8 М

Q 35

45

16,85

3,15

13,15 + –

Рис. 2.11. Эпюры моментов и поперечных сил

Для построения эпюры моментов в элементе 1 к узловой эпюре,значения которой содержатся в векторе S1, нужно приплюсовать таб-личную эпюру метода перемещений qS для стержня с двумя защем-ленными концами:

.

4045

2035

67,2640

67,2640

33,135

67,65

1узл1расп

−=

−−

+

−

−

=+= qSSS

Пример 8. Расчет балки на упругом основании. Расчетная схемабалки и конечно-элементная модель приведены на рис. 2.12. Для уче-та упругого основания используем матрицы из приложения. При рас-чете балки на упругом основании необходимо задаться числовымизначениями жесткостей стержней и упругого основания. ПримемEJ = 14 000 кН/м2, k0 = 4500 кН/м2. Коэффициент постели k в (2.31)имеет размерность кН/м3. Для вычисления коэффициента k0 коэффи-циент k умножается на ширину поперечного сечения балки, котораяв данном примере принята равной 1 м.


48 49


3 3 3 3

F1 = 20 кН F1 = 20 кН

Конечно-элементная модель

Z1 Z2

Z3

Z4

Z5

Z6

Z7

Z8

k0

1 2 3 4 5

Рис. 2.12. Схема балки для примера 8

Граничные условия для рассматриваемой системы: Z1 = Z4 = Z8 = 0.При вычислении коэффициентов матриц жесткости для элемен-

тов 1 и 4 необходимо матрицу из приложения перевести в глобаль-ную систему координат по формуле (2.15). Матрица преобразованиябудет иметь вид

.100010001

−=A

Матрицу жесткости для элемента 4 необходимо также подверг-нуть преобразованию по (2.15) при помощи матрицы

.010100001

1

=A

Это преобразование переводит матрицу жесткости для элементас шарниром на левом конце и правым защемлением (элемент 1) в мат-рицу для элемента с левым защемлением и правым шарниром (эле-мент 4). Координатным преобразованиям должны быть подвергнутыи матрицы реакций упругого основания для элементов 4 и 2. Матрицапреобразования координат для этих элементов имеет вид

.

1000010000100001

−

=A

Выполняя необходимые вычисления, получим:

;13/13/1

3/19/19/13/19/19/1

000141

−−−

−=r

;

211113/213/2

112113/213/2

0001432

32

−−−−

−−

== rr

;9/13/19/13/113/19/13/19/1

000144

−−−−

=r

;

36/334/912/396/331312/395,44/912/3936/3312/395,46/3313

7,3852

−−−−−

−

=p

.1798/39

968/338/398/334/33

7,3854

−−−

−−=p


50 51


При формировании матрицы жесткости конечно-элементноймодели для элемента 1 возьмем матрицу r1, для элемента 2 – матрицуr2 + p2, для элемента 3 – матрицу r3 и для элемента 4 – матрицу r4 + p4.

Матрица системы уравнений с учетом граничных условий, век-тор свободных членов и решение системы уравнений следующие:

;

5,363,093,00063,01,193,000

93,093,085,385,081,00085,038,368,00081,068,028,1

104

−−−

−=K

;

0200020

0

−

−

=R

.

4,373,21

81,176,349,16

10 4

−

= −Z

Вычислим усилия в расчетных сечениях. При вычислении уси-лий в элементах берутся матрицы, использованные при формирова-нии системы уравнений. Для элемента 1 – матрица r1, для элемента 2 –матрица r2 + p2 и т. д. Векторы перемещений конечных элементов (мно-

житель 410− опущен):

,76,349,16

0

1

−=Z

,

81,1076,349,16

2

−

=Z

,

4,373,21

81,10

3

=Z .

04,373,21

4

=Z

Усилия в расчетных сечениях:

,96,12

32,432,4

1

−

−=S

,

73,1343,696,1268,15

2

−=S

,

23,1265,8

72,1365,8

3

−

−−

=S .

06,223,1234,11

4

−=S

Эпюры усилий в балке приводятся на рис. 2.13.

4,32

15,68

8,65

6,43 11,34 2,06 – –

_+ +

12,96

13,73

12,23

Q

M

20 20

Рис. 2.13. Эпюры усилий для примера 8

Эпюры моментов и поперечных сил на участках балки с упру-гим основанием криволинейные. Для уточнения характера эпюр наэтих участках необходимо добавить в конечно-элементную модельдополнительные узлы.


52 53


Список использованной литературы

1. Зенкевич, О. Конечные элементы и аппроксимация / О. Зенкевич,К. Морган. – М.: МИР, 1986.

2. Масленников, А. М. Расчет конструкций методом конечных элемен-тов / А. М. Масленников. – Куйбышев, 1983.

3. Масленников, А. М. Приложение метода конечных элементов к расче-ту строительных конструкций / А. М. Масленников. – Л., 1978.

4. Розин, Л. А. Метод конечных элементов в применении к упругим си-стемам / Л. А. Розин. – М.: Стройиздат, 1977.

5. Лебедев, В. А. Статика твердого тела на основе матричных методовс применением ЭВМ / В. А. Лебедев. – Л., 1981.

Приложение

Матрицы жесткости и упругого основания стержневого элементас шарнирным концом:

;1/1/1/1/1/1/1/1/1

3 22

22

−−−−

⋅=

llllllll

lEJr

.3/238/11

3178/398/118/3913

35 2

0

−−−

−⋅

=lll

ll

lkp

Матрицы жесткости и упругого основания стержневого элементас защемленными концами (см. рис. 2.7):

;

2/31/3/3/6/3/6

1/32/3/3/6/3/6

222

22

−−−−

−−−−

=

llllll

llllll

lEJr

.

3/6/114/12/136/111312/132/94/12/133/6/11

12/132/96/1113

3522

220

−−−−−−−−

−−−

=

llllll

llllll

lkp

54 55


ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение ................................................................................................................3Глава 1. Приближенные методы решения дифференциальныхуравнений .............................................................................................................4

1.1. Общие положения ................................................................................41.2. Методы численного решения дифференциальных уравнений.........5

1.2.1. Метод конечных разностей ..........................................................51.2.2. Методы взвешенных невязок .......................................................71.2.3. Вариационные методы ...............................................................111.2.4. Метод конечных элементов для решениядифференциальных уравнений ............................................................131.2.5. Основные выводы .......................................................................17

Глава 2. Расчет строительных конструкций ................................................192.1. Метод конечных элементов (МКЭ) в расчетахстроительных конструкций ......................................................................192.2. Метод перемещений как основа МКЭ .............................................202.3. Основные параметры конечных элементов .....................................202.4. Матрица жесткости шарнирно-стержневогоконечного элемента...................................................................................232.5. Локальная и глобальная системы координат ...................................252.6. Матрица жесткости шарнирно-стержневого элементав глобальной системе координат .............................................................282.7. Общая формула вычисления матриц жесткости .............................352.8. Определение усилий ..........................................................................392.9. Приведение нагрузки к узлам ...........................................................402.10. Матрица учета реакций упругого основания.................................422.11. Построение конечно-элементной модели ......................................42

Список использованной литературы .................................................................52Приложение .........................................................................................................53

Учебное издание

Лебедев Александр Валентинович

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТАСТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ

Учебное пособие

Редактор А. В. АфанасьеваКорректоры К. И. Бойкова, М. А. Молчанова

Компьютерная верстка И. А. Яблоковой

Подписано к печати 17.04.12. Формат 60×84 1/8. Бум. офсетная.Усл. печ. л. 3,3. Тираж 100 экз. Заказ 44. «С» 17.

Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет.190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 4.

Отпечатано на ризографе. 190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 5.

56


ДЛЯ ЗАПИСЕЙ

Documents

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА СТРОИТЕЛЬНЫХ ... · 2012-06-25 · Найдем решение методом конечных разностей. Необходимо