Embed Size (px)
Citation preview
' 4 Ж х х \ 4 v ' ч - b i ч' V' “ ' 5Ч ' ’ V Ч U ^ ч 1 y S ^ S
/пг / о ? -1 /, ,^ ( / , , < У>( x v Y о д / ' Ж у ' с а
е >! Р': Йг>'ь?л-1йл > V
/ i ‘,л / / у , *< < , л ' / Ч > I ' / 'у J г/ ' ' / / л . Y X ' i •)
I ' ' Г '’ ' 1 ' , t y t , , - ч 'У w 4
W< (. л ^
^ и .
ш и в ш иЖ
К Л Х р Ч О Х ^ У Ч ? ' ' ' ' ' '■
МИНИСТЕРСТВО ПУТЕЙ с о о б щ е Щ Ц ^Р О С С И Й С КО Й ФЕДЕРАЦИИ
м о с ко в с ки й ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ)
>4
•Мrrtr*
Кафедра «Прикладная математика-1»
шШШ:Е.Б. АРУТЮНЯН, Е.В. РОДИНА
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
А
M r t k X y
Типовые расчеты для студентов
специальностей АТС, УВМ и УИК
ггЖ <
А ' V '
^ , v 4 л ;-, а \ V> 1 * ч ч > , v ч* ^ л ч N ч V ' ' 'V N ,\ V •>ч А < ' ,ЧЧ Ж'% ' ? У;ч 'А S ^ W f ^ , М |1
vw
А 6
V / / ( „ л>У %-01 ху> л! 6%ЦШфшу-'Z <
■ч> > Ш Х рчЧ' < \ ч ' ' о ,. “ч4'' < > ’ V л ,,,
X ? \ ' f ' \ л. / ' ' ', <Чл г( х 'Жл *р(КОХДЧ>Л>Хо1Ч. °ХУДУ>>1
X - Л * " уИ А '
<Г > ) ь f* 1 ' ч<3
ЖуХАиЖШШ&4&
уЧ / ^
* Ж ^ А Ч А у <'ч .|' 'ч% ч; “Х4'" f \у>у >л1 уч ,и ^х ч А а чЖ '^ *>v а а^ К w . f , л * ;?• > 4 j < /V 0 УХ У.А /\ ■><’'> v4vXV4 /V *1 ^ ж, '1 г \ \ч ' ' •> ! , I'А' ' л < < ;< 4'va , X л , , <>\а
> \>< у ' у:шУуМЫУу$уМ
МОСКВА - 2003>
Л А
' ЖX ч ' ! , ' 4 Y / X 4 / V ^
М.У. Арутюнян Н. ВNo 1815 Аналитическая геометрия ,Д1
O ' ) I ' Т С . v - . . . . _
11 У I ГЛТ Г Ъ И /тн тр -Л i r ЧМ И И 7 )
Кафедра «Прикладная математика - 1»
Е.Б.Арутюнян, Е.В.Родина
АНЛИТИЧЕСК АЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Типовые расчеты для студентов
специальностей АТС, УВМ и УНК
0 0 8 2 1 7 5 и линейная алгебра|'()3
ТВЕННЫЙ
Утверждено редакционно-издательским
советом университета
Москва -- 2003
УДК 514 А 79
Арутюнян Е.Б., Родина Е.В. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Типовые расчеты для студентов специальностей АТС, УВМ и УНК. М.: МИИТ, 2003. - 40 с.
Сборник содержит два типовых расчета по аналитической геометрии и один - по линейной алгебре. Предназначен для самостоятельной работы студентов специальностей АТС (курс «Высшая математика»), УВМ и УНК (курс «Алгебра и геометрия») в первом семестре.
©Московский государственный университет путей сообщения
(МИИТ). 2003
Раздел 1. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
ТИПОВОЙ РАСЧЕТ № 1 Прямая линия на плоскости.
Кривые второго порядка
Задание 1.Доказать, что точки А, В, С не лежат на одной прямой. Задание 2.Составить уравнения прямых, содержащих стороны треугольника АВС.Задание 3.Составить уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно стороне АВ.Задание 4.Определить взаимное расположение прямой М М 2 и прямых, содержащих стороны треугольника АВС.Задание 5.Составить уравнение прямой, содержащей медиану AM. Задание 6.Составить уравнение прямой, содержащей высоту СИ. Задание 7.Определить координаты центра тяжести треугольника АВС (точки пересечения медиан).Задание 8.Определить периметр треугольника АВС.Задание 9.Определить длину высоты СН.Задание 10.Определит ь площадь треугольника АВС.Задание 11.Определит ь углы треугольника АВС.Задание 12.Составить уравнение прямой А ’В ’, симметричной прямой АВ относительно точки С. Сделать чертеж,.
1. А(-5;2), В(5;7), 0(1; 1), М,(1;2), М2(5;4).2. А( 2,10), В(13;5), С(1;1), М,(5;5), М2(11;7).3. А(3; 1), В (-7; 6), 0 ( 3;2), М,( 3; I), М2( 7; 3).4. А(3;~9), В( 12: 4), С(0;0), М,( 4; 4); М2( 10;-А).5. Л( -1.2:9), В(12;16), С(0;0), М ,(Ю ;3), М2( 2;6).6. Л( 7;4). В(3;9), С( 1:1), М,( 1,4). М2(3;6).7. Л( 4; 10). В(11;5), 0( 1:1).. М,(3;5), М2(9;7).8. А(-1; 4), В( 11; 9), C (-7;-l), М , ( 7; 4), М2( 11; 6).9. А(3;3), В( 12:2). С(0;6), М,(-4;2), М2( Ю ;0).10. А( 11;8), В(13;15), 0(1; 1), М,(11; 4), М2(- 1:5).11. А( 4;2), В(6;7), 0(2: I). М,(2;2), М2(6;4).12. А(-2;8), В(13;3), 0(1; 1), М,(5;3), М2(11;5).13. А(9; 5), В( 1;-10), 0(3; 2), М,(3;--5), М2( 1; 7).14. А( 2; 8), В( 17: 3). С( 5;1). М ,(-9;-3), М2( -15;-5).15. А( 13;10), В(11;17), 0( 1:1), М,(9; 2). М2( 3;7).16. А(1;8). В(11;13), 0(7;5), М,(7:8). М2(11;Ю).17. А( 1 ;9), В(14;4), 0(2:0). М,(6;4), М,(12:6).18. А((); 3), В( 10; 8), 0( 6:0). М,(- 6; 3), М2( 10; 5).19. А( 1;- 7), В( 16; 2), 0( 4;2), М,(..8; 2), М2( 14; 4).20. А( 10;8), В( 14; 15), 0(2; 1), 01,(12; 4). М2(0;5).21. А( 8;6). В(2;11), 0( 2;3). М,(- 2;6), М г(2;8).22. А( 3:11), 13(12:0) 0«);2), М,(4;6), М2(10;8).23. А(6; 7), В( 4; 12). 0(0; 4), М,(0; 1), Мд 4: <)).24. А(0; 6). В(--15; 1), С(-3;..3). М ,( -7; 1), М2(-13;-3).25. Л( -5; 14), В(19;21), 0(7;5), М,(17;2). М2(5;11).26. А( 6:7), В(4:1.2), 0(0:4), М,(0;7). Мг(4;9).27. Л(0;6), В( 15;1), 0(3; 3). М ,(7;1) М2(13;3).28. А(8;-6), В( 2: 11), 0(2; 3), М,(2; 6), М2( 2; -8).29. Л(3; 11), В(-1.2; 6), 0(0; 2). М,( 4; 6), М2(--10; 8).30. А( 14:12). В(10;19), 0( 2;3), М,(8;0), М2( 4;9).
Задание 13.Построить указанные кривые второго порядка, в прямоугольной декартовой системе координат.
В А Р И А Н Г Ы 3 А Л А Н И Я 13
1. а) (х- 2? + (у З)2 - 9; 2. а) (х+3)2 + (у -5)2 - 4;х 2 v2
б)--- i --- ■= 1; 25 9
ч ^ У 1 149 25
у2 9х.
г г61 ... f У- ■■■■: 1;
49 4х 1 v 1
в) - - -1;25 16
г) у2 = Is.
3. а) (х Г)2 + (у 2)2 - 16; 4. а) (х -З)2 + (y-i-4)2 =25;X
б )— + > U l ; 61А- , у 136 25 ' 25 16
■ у
я:" у1 ч х~ V~в) '.. 1; в) -- 1:
16 9 64 25Т) У2 :г: 5х. г) у2 - 16х.
5. а) (х +3)2 4 (У +3)2 - 4; 6. а) (х 1ГНу+1)2=1;1 )
г- Х6 )— к'.. 1;49 25
2 ЛВ) .... .. 1;
36 9г) у2 = Зх,
7. а) (х 1 2)г 4 (у --I )2 'Г 36;
9. а) (ч; 4)" -ь (у 4) - 9;Л ,2
61- - - Л' 1;36 9
Х'ы Vо) • !;16 4
г , гВ1 Л = :::■ 1;
9 4О у2;: 4х.
61Л 1-•V“ -1; 6 )Л9 4 49
х г У
V*>X**
В) ~; -1;л )25!6 4
г) у2 2х. Г) у-
8. а) (х.4Г-Ку+2)'4---49;г
• -1;I"
10. а) (х 5)2-Ку I 1)2=4;2 2
б ) - - ; 1;16 9
2 2в)"; 1;
1. X в) - -
л. > 1
36 16 49 9Г) V2 х. г) У2::- 8х.
1 1. a) (x i 5) + (у-6 У
13. а) (х+1У + (у 3)
б)--...f49
2
В) А 49
' ) у:; -
15. а) (х 12)2 i (y-i 4)
»)
16; 12. а) (х 1 )г+(у+5)г=г1;
1;
1;
25; 14. а) (х~3)2+(у-2)2-36;у 1— =1;
>-ч Х" О)
25 4 -•)
, , х ‘б ) ..... -36
/ _ 16
1 у2 2 v 2в)Л
36- - - = 1; 25
в)---...25
>4 “
О У2 -9х. г) у2 - -7х.
х 29
и 1 —-64
'У■ \ } м 2
V
• - \: 16
в)— 36
~5х. г) у2
= 1;
~4х.
: 49; 16. а) (х-3)Ч (у-2)г=9;2 2
-1- {; 16
V2 v2
49б) - i
9V25 ~
Ух~64
2 2 v2- '..г: I;
36в)л....
49; 3X. >)v? Зх.
1;
17. а) ( х 5 )" + (у | З)2 - 4; 18. a) (хШ 2 НуЧ)2-16;г2
б) • -
в ):
'' - 1: б ) Л'... < у-49 25 36
2 X2в ) ....
25 9 16-2х. Г) у2 = ~6х.
19. а) (х+4)2 + (у З)2 - 25; 20. а) (х -3)Ч(у- З)2 -4;
х 1б ) .. у
X 2б ) — 4-
>
•v'..- 1:16 25 25 49
г 2 2 2уВ ) - = 1; . > • ' ...... 1:
25 64 9 36г) У2 = -х. г ) У 2 8х.
2 1 . а) (XI l ) 2 + (у I ) 2
б)
®)"
г) х2 = 9у.
2 3 . а ) (х + 2 )2 + ( у - 4 ) 2
2 2: 1;
4 16
х1б) —
4, 2 .2£ .....—- -■ 1;4 9
v2”) 4
1; 22. а)(х l)2f(y i2)2 36;г
+ у1 ;
~~ -1;16
г) х2 =■■ 7у
49; 24. а)(х- 4 )2Ну|-4)г 9;А236
2 „ Xо) —, 9
2= 1;
49!' •' - 1
362
» )£ ...9V 1;25
ь ) У...16
). ? : ,
36!■) X" ; 5у.
ЛГ) х“ = 16у.
25. а) (л 1 )• + (у 5)а"4
у" А'9 49
4;
6 ):
в)
У
2
26. а) (х 6)” ь(у !■ 5)‘ 16:г
1: 6)'V92
,.. V . 1; 49 2
..... 1;
- !>Г) Г4
••-“VSC
36 'г) х" - Зу. г) к" ~ 4у.
27. а) (X..3 )2 f (у i I )2 - 25; 28. а) (х 2)2 ! (у 3)2- 36;г г
о) : 1; 9 49
2 1-ч Х У ,о ) ..- | ....---1;
16 49. 2 2
в )Л ..* 1:16 49
2 гч У Х 1 в ) .............1;
4 36
29. а) (х+4)' 4 (у+2)
«)*
49; 30. а) (х+5ГНу..1)"
“>зг) х* = 8у
2..= 1;
г 2ч -1:6 )Л
64 16 36
- A l ;г 2
- ■ — - 1:в) ....64 4 25 '8у. г)х2:= 2у.
Задание 14.Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому вис>у и построить данную кривую в исходной системе координат. 'Указать формулы перехода от исходной системы координат к канонической.
В А Р И А Н Т . Ы......3 А Д А Н И Я 14
1. 9у2 4х2 18у 8х 31 - 0.2. х5 н- 2у ■ - 4х I б- 0.3. 4у2 + 9х" + 36х - 0.4. х2 + у2 2х • 4у I 1 - 0.5. х2 -2х 9у i 1 0.6. х2 - 4х - 5 ~ 0.7.Г-1 6у 9 - 0.8. 4у? ■ 25х' - 96 - 0.9. у2 4 •4х2 ■■2у - 8х i 1 - 0.10. у2 I - 2у 3 - 0.11. х2 10х !■ 25 0.12. х2 : 2:\ Зу 4 7 ■-=0.13. 9х2.4у 1 3()Х 4" 16у 1614. х2 + у' 4х 2у 4 „ 0.15. х2 - 8х » 16 -6 .16. 9у т X' ' ■ 2х 8 - 0.17. х2 - 12.x |- 20 - 0.18. х2 + Г 8х ь 4 ■( 20 - 0.
19. у2 г 8у - 1 5 -0 .20. у2 - 9х2 < 6у ь 36х 27 = 0.2 1 . x2 + у2 - 6х ■••• 6у + 17 0.22. у2 ! 2у ■ 4х - 10 - 0.23. у2 ..4;у ь х + 8 = 0.24. 4х2 ■ 9уг+8х+18у..23 - 0.25. х2 - 10х | 25 - 6.26. 4уг - 9х2 i 8у 18x 5 0.27. 16х2 -25у2+64х- 50у■ -361 ~0.28. 4у2 - х2 + 8у -2х -i- 3 = 0.29. у1 + 6у ! х + 9 - 0.3 0 . х2 - у 2 +8у- 16 = 0 .
Задание 15.Построить данные линии в прямоугольной системе коор- динат и заштриховать ограниченные ими области.
В А Р И А Н Т Ы ... З А Д А Н И Я 15
1. х2 4 = (у + 1); 5х + 2у - 10 - 0; у 5 .4
1 22. .... * • 1: 2х -I- Зу - 12 - 0; 2х - Зу f 12 - 0.
4 9 'г 2
3. - ... f ~~ ■ 1; х2 =• у: 2х -Зу + 15 - 0.9 4
4. х2 = --у; (х - 4)2 - -у; у = 0.
5. у ™ - ; х .у - 0; х 4.х
6, (У - 2)2 - х; (х ..4)3 I- (у + 4)2 - 16; хг г
7. — 1- --- 1: х - у "■■ 1; х + 5 - 0.16 9
8. (х - 2)2 + уг = 4; у2 - - (х .2); х - - 2.2 х 29. у 2 — ~ 1; х З у - 9 - 0 : v 1.
4
10. у2 - - (х 2); (х ~ 2)2 = у; х - 1 = 0.11. х2 - - (у - 4); 2х у - 4 = 0; у - 4 = 0.
12. у ~ х - 2 ~ 0; Зх + 4у = 12.
13. (у + 2)2 - х; х = 0; у - 1 = 0.14. х2 = - ( у ..2); х2 =■- у + 2 ; у - 4 =15. (х - 5)2 + (у - 2)а ;* , X V16.
16 91;
1; (у - 5)2
1 1: У 2х
0.(х 5)2; у - 0.
= 1.
17. у - 1 х ■ 5 ~ 0; у - 4 - 0.х
18. (X + З)2 - -{у - 2); 7х + Зу + 21 - 0; х - Зу ~ 2119. (у - 6)2 - х; у2 = х; х ~ 0.20. (у - I)2 - х + 1; х ь 1 ~ 0; 4х 1 Зу 11 = 0.2 1 . у2 - х ; (у I ) 2 - ( х - 4 ) ; х i 2 - 0 .
>
2 2 . ..................
4
„ 2
■ 1 : ( х -
4
4 ) 2 -}■ у2 1 ; х 6 -
2 3 . ,
4 9
г
У : : : 1 ; (Х -
1 6
V ) 2у 2 } • % = 0 .
2 4 . у2 - - ( х ‘ 1 ) : у2 - х - 1 - 3 ; х 2 0 .
25. х2 - у; х2 + (у-3)2 ~ 1 ;у .3 ,5 - 0.26. х2 + у2 - 4: х2 + (у-6)2 - 4; х2 - 4.27. (х - 2)2 = у - 2; (х - 2)2 = у 1 2; ( х .2)2 - 2.
у2 - : х + 4; х ..Зу у 6 - 0; х
у Г - ... 1 2хX
1 У - 3; у - 3 - 0
гу гХ 1-
2х2 " 9- Х-
2. (.>L
4 9 ?Л
9 4
0.
Задание 16.Построить линию в полярной системе координат.
13 А Р И А I I I Ы ......З А Д А Н И Я ....16
1. р = cosz2q>. 2. р 3sm22cp. 3. p = sin4(p.4. р = 3cos3(p. 5. р = 1 tsin((p+l ). 6. p : 2coscp.
7. р = - . 8. р ~ 1 2sincp. 9. p ; 1 coscp.(Р
10. р = l+2cos<p. 11. р " 4sincp. 12. p 2
13. р •- ?/’. 14. р 5 sin2fp. 15. p
92
16. р = (0,5)':' . 17. р 1 18. p ‘
cos <p 1
19. р - ~2q>. 20. р
2 sin (p
"■■■ 0,5ф. 21. p
COS ip 1
COS <p + 1
1 3 122. |> -.......... - . 2 3 . p-~ .......... 24. p = - ... .
1 cos (p sin (/> 2 sin (p1 1 125.p -------------. 26.p - ............'.....-... . 27.p~ - ...— =—..— .
2 - sin <p sin <p t cos <p cos <p + 2 sin <p
28. p = ...... .. ..- - .29. p - - .......5 .30. p = - ........— - cos (p i 3 sin <p cos (p - sin <p 2 cos (p л- 3 sin (p
ТИПОВОЙ РАСЧЕТ № 2 Плоскости н прямые в пространстве.
Поверхности второго порядка
Задание ЕДоказать, что точки А, В, С, О не лежат в одной плоскости.Задание 2,Составить уравнения плоскостей, содержащих грани пирамиды Л BCD.Задание. 3.
Составить уравнение плоскости, проходящей через вершину D пирамиды параллельно грани АВС.Задание 4.Составить уравнение плоскости, проходящей через ребро АВ параллельно ребру CD.Задание 5.Составить уравнение прямой, содержащей ребро CD. Задание 6.Составить уравнение прямой, проходящей через точку В параллельно ребру АС.Задание 7.Найти объем пирамиды ABCD.Задание 8.Найти длину высоты пирамиды ABCD, опущенной из вершины D.Задание 9.Найти площадь грани АВС пирамиды ABCD.Задание 10.Найти величину двугранного угла при ребре АВ.Задание 11.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку D перпендикулярно ребру АВ.Задание 12.Составить уравнение прямой, содержащей высоту DH пирамиды ABCD.Задание 13Найти координаты основания И высоты пирамиды ABCD , опущенной из вершины D.
В А Р И А Н Г Ы ...З А Д А Н И Й М 3
1. А( 2; 1:1); В( 5,1; 2); С(-3;0;3); D((»;0;1).2. А(—3;~4; 1); В( 2; 3:..5); С(0;();0); D(-6;0;3).3. А(--2;4;5); В(1;3; -4); С(.5;..5; Г); D (-1;2;-2).4. А(~1;2;0); В(.4:2;..3); С<-2;1;2); I)(.5:1:0).5. А(- 2; 3;0): В( 1; 2;-б); 1); D(~ 5; 1:2).
6. А(-1;5;~6); В(2;4; 5); С (4 ;4 ;0 ); D(0;3; 3).7. А( 3;2;2); В( 6;2;4); С(-4;1;4); D(--7;l;2).8. А(-4;-3;2); В(-3;-2;-4); С(-1;1;1); D(-7;l;4).9. А( 3;5: 4); В(0;4; 3): С(-6;- 4:2); D(--2;3;-l).10. А(0;1;1>; В( 3;1; 2); С(-1;0;3); D(--4;0;l).11. А(1; 2:1); В(1;-5;-2); С(0; 3;3); D(0;-6;l).12. Л( 4: 3:1); В(..3;..2;-5); С(0;0;0); D(0;~6;3).13. А(4; 2: 5); В(3;1: 4); С( 5; 5;1); 11(2; 1: 2).14. А(2; 1:0); В(2; 4; 3); С(1; 2;2); D(l;~5;0).15. А( 3; 2:0); В(~2;~1;~6); С(1; 1;—1); D(l;-5;2).16. А(5; 1; 6); В(4;2;-5); С(™4; 4;0); D(3;0; 3).17. А(2;-3;2); 13(2; 6; 1): С(1:4;4): D(l;-7;2).18. А(—3; ~4;2); В( 2; 3; 4): 0(1; 1;1); D (l; 7;4).19. А(5;--3;™4); В(4;0; 3); С(4;--6;2); D(3;-2; 4 ).20. А(1;0;1); В(1; 3, 2); 0(0;—1;3); D(0;-4:l).21 . А{!;();!); В( 2; 1; 5); С(3;0;-3); D(1;0; 6).22. А(1; 4...3); В( -5; 3: 2): С(0;0;0); D (3;0;6).23. А(-5;4:-2); В(-4;3;1); С(1;~5;-5); IX 2;2; 1).24. А(0;2;~1); В(-3;2;-4); С(2;1;-2); D(0;l;-5).25. А(0;..3; 2); В( 6; 2: 1); С(~1;1;1); D(2;l;-5).26. А(-6;5;..1); В(-5;4;2); С(0;—4-;—4); D(-3;3;0).27. А(2;2;..3); В(-1;2;-6); С(4;1;-4); D(2;l; 7).28. А(2;-3;..4); В(-4;- 2; -3); С(1;1; 1); D(4;l;~7).29. А(~4;5: 3); В(-3;4;0); С(2;-4;~6); D (-l:3:-2).30. А(1;1;0); В( 2; 1; 3); С(3;0; 1); D(l;0;-4).
'Задание 14.Методом сечений определить вид поверхности. Сделатьчертеж:.
В Д РИ А Н 1Ы ..... ЗА Д А Н И Я ___14
1. x2 - 4v: + 'X?} zr- 16. 2. 4x2 12y + 3z23. ■>
X" -i- 2y2 +* 7 •>/' ^ 18. 4. 4x2.... y" - 72 = i
5. 16x2■ i. 9y2.4z2 -0 . 6. 3x2 +• 4v2 12z7. 5x2 1 5y2 4z2:- 20. 8. 9x2- y - ■/: <
0.4.
9. х:2 + 4у2 + 2z2 = 4 10. 9х2 .... 4у2 4 < ) / } -■- 0.1 1 .
9х~ - 16у2 - г 2 = 16. 1 2 . 4х2 + Зу2 - 6z2 : 0 .
1 3 . 4 х 2 ■+ Зу2 + 4z2 =- 1 2 . 14.-9х2 <)у 2 (. 4 у ' 0.1 5 . х 2 - V2 - 2z = 0. 16. X 2 4 ■у2 - --4.
1 7 . х~ + у2 - 8z = 0. 1 8 . 4 х 2 4z2 = 16.1 9 . 16х2 + у 2 .z2 = 16. 20. V 2 - 4z = 0.2 1 . 4х2 ■ у* = 0. 2 2 . - х 2 + 16V2 ..у : : = 16.2 3 . 4у2 z2 = 8х. 24. 2/;' ..5 = 0.2 5 . 9х2 .4у2 = 36. 26. 4х2 ■ - 4 y 2 + z 2 - 1 6 .
2 7 . 4х2 + Зу2 - 12z = 0 . 2 8 . - х г .. 16у2 + Z2 := 16.2 9 . х 2 + z 2 9 . 3 0 . х2 - 4у2 = 0.
Задание 15.Выделением полных квадратов и переносом начала координат привести уравнение поверхности к канонической форме и определить ее вид.
В А Р И А Н Т Ы З А Д А Н И Я __ 15
1. х2 + у2 + z2 - 4х + 8у - 6z + 20 = 0.2. 4х2 + у2 - 8z2 + 8х 4у + 16z - 32 = 0,3. 9х2- 4у2 36z2 18х 16у -216z - 367=0.4. Зх2 + у2 -*■ 2z2 -■ 12х - 6у + 4z - 13 = 0.5. 2х2 - 3z2 + 4х -1 2у + 6z + 1 = 0.6. х“ + 4у2 9z2 - 2х •- 16у - 18z +■ 45 ~ 0.7. 2х2 + Зу2 + 12х 12у 18/, + 30 = 0,8. у2 - 8х 2у +4 = 0.9. 4х2 - 6у2 + 9z2 + 24х + 12у +36z+30 = 0.10. Зх2 + 2у2 + 4z2 + 18х - 4у - 16z +33 = 0.11. 2х2 + Зу2 - 4х + 6у - 12г + 14 = 0.12. 8х2 6у2 3z2 + 16х 12у + 18z 49 = 0.13. 20хг i 15у2 -12z2 - 120х * 30у-> 72z +87 = 0.14. 4х2 + 6у5 •+ 9z2 + 24х 12у..36z^42 - 0.15. Зх2 + 4у2 - бх - 56у + 187 - 0.16. х2 + у2 + г2 + 6х - 2 у .4z - 2 = 0.17. Зу2 ' 4z2 - 6у + 5 6 z .205 - 0.
18. 2уг - 3z2 -- 12х - 4 v .V 6z 10 = 0.19. 2х“ -З у 2 -- 4х - 6у - I2z 10 = 0.20. 4х2 4 6у" - 9z2 + 8х - 12у 54/ 10721. Зх2 -- 4у2 - 6х + 56у 205 • 0.22. 8х2 ... 6у 2 - 3z2 + 16х + 12y - 18z + 5 = 023. 20х: , , 2-АЗу + 12гг -120х 30v 72zb 273=0.24. ~4х‘- бу2 Г 9z2 - 8х - 12y- 54z + 35 = 0.25. Vо + З?2 -- 12х -- 4у 6z + 14 = 0.26. х2 + у2 -ь ?2 + 8х - 4у 6z i 20 = 0.27. X2 - 9V2 + 4 г Г -2 х - 18у 16z + 45 = 0.28. зу2 + 2Z2 - 12х + бу - 4z + 14 = 0.29. X" 4 у2 4 2г + 6х - 4у 2z - 2 = 0.30. Зх2 - 4т -- 6х 4 56z - 205 = 0.
Раздел 2. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ТИПОВОЙ РАСЧЕТ № 3
Задание 1.Вычислить определители матриц А и В.
В А Р И А Н Т Ы _ З А Л А Н И Я ..1
' 5' 1 2 3 4
2 22 3 7 10
- 6 - 2 0 ; б) В5 - 3 23
. 0 0 1\\'“ 4 I 0 3
(4(. 1 2 4 3 ^
3 01 0 5 - 2
2 1 0 i; о) В1 3 2 .4
0 3 j-2 4 1 3 ,
4. а) А
5. а) А
6. а) А
{ 6 0( - 2 4 3 Г
- 3 '2 - 5 1 0
4 2 7 ; 6 ) 5 =4 1 -1 3
15 0 ?\ ^ 4 3 1 ,
f 3 1 22Г 2 ; 1 3 4"'I
б) В -5 .3 2 1
0 3 1-1 1i-, 5 3
,0 1 1 J \ 1 6 3 1 J( 1 2 3 - 44 о о ... ? 1 2 3
3 1 1 ; б) В ■-1 23
л - 2 4у2 * 3 2 1
-~4ЛЛ-3 1 -4 1
'1 0 ? 5 3 12 3 6 ; б) В -
! 0 2 4 ... з5 0 - 2
1 1 2 4 3
6 8 4 'а) А~~ 0 2 0 б) В ::
5 i ,
2 14 .26 4
3 427 8
- 9 О Г2 6 1 3 ;
8. а) А8 6 1 5 - 3 О
О О I J
f 5
: 6) В
44 31 5
3 2 '2 12 -1
9. а) А' 2 1 62 3 6О 0 -1
; 6) В
-2 4Л) 2 4 1 4
5 -4 3 - 21 1 1 -1
к2 3 - 4 5 У
{ 6 2 O'j- 5 1 0 j; б) В
к 1 4J
2 3 - 5 41 - 2 - 4 31 0 2 4
11. а) А :7 0 - 3 '
- 1 1 2I. 6 0 - 2)
8 4 3'
; 6) Л
^ -231
- 5
3 14 5
2 3
У0 2
41
12. а) А -7 3 1О 0 2
; б ) в
13. а) А'Ъ 1 1 N
О 5 1
ч° 3 1 ,
б) В =
V
- 2 1 4 2 л1 3 5 - 1 2 4 6 - 30 2 4 ~ 4
( 1 5 2 - 4 ^| 2 3 0 -1j 2 - 3 1 2[ l 6 2 3 ;
(2 0 0 ^14. а) А ■ 4 7
0 3; б) В =
/
1:5. а) А' Ь 3 0 '!0 8 6
16. а) А
0
/ 97
б) 5 =
v
■53 о ; б) д
V 1 0 -и
3 2 - 4 1 '
1 5 3 4
1 3 0 ■ 2
3 - 2 - 5 1/
Г 2 1 3 4 N
1 2 0 - -5
- 2 з - ; 1
• 1 2 3 4 ^\
' '2 1 3 2
3 5 - 2 0
1 2 ... 2 4
2 3 1 4 j
18. а) А
19. а) А
20. а) А
21. а) А-.
22. я) А
23. а) А
6 -4 1 ; б) В0 3 /
л2 1 3'10 3 0 ; б) В =
0 4 у
3 4 - 5 1 ^2 3 1 42 - 5 3 02 1 1 -V
1 - 2 3)
5 1 32 - 3 0
1 4 Зу
07
■П
6 1,
3 5 1 2 4
; б) В2 1 1 2
..3 - 4 2 1
. 1 0 2 -3 J
0 " f 46 - 2
' ■ 2 0 2 - 3 - 42 8 3 ; б) 5 =
1 2 0V 3 7 - 2,
U 5 1
1}"5 3 6/ 2 41 - 2 -1
1|
- 3 0 б) Я =1 5 ?
V 0 0 3\ . ' \ 3
\5 - 4
' г'ъ 1 ?
0 - 2 '
; 6) 5 -1 4 - 2
4 1 31 5 7
,5 0 ..4V У
vl 0 - 2
' 2 3 54 5 2
1 0 20 3 0 ; б) #
5 7 6v 9 0 - 5 ,
. - 4 2 5
1 1 13
4 ,21I4 |з !'05 4 3
1 '
•Ь 1 4
- з1
24. а) А' 1 2 О 1
7 Л
; б) в,0 2 - 2 ,
, 2
2 0 0 '
I;'с? 1 3 1 ; 6 ) 5 =
v 1 - 6 - 4 ,
26. а) А =ч
7-2 0"
- 5 0 ; б) В
7.../
3А
0 2 ,Ч
ч"]
' 5 8 5 ^27. а) А = ..3 6 1 ; б) 5 =
0 з ,
! 6- 4 9^
ч2
28. а) .4 = 9 - 7 0 ; б) 5 =1
,20 5,
v
г 4 - 2 -1 Зл0 5 2 32 - 3 1 1
1 -1 3- 2 2 31 - 5 32 5 2 4
1 0 2 32 1 3 л
6 о
29. a) /J =(I 4 1
0 2 1 0 4 -1
; б) в
з 2 ■2
I 1
- 2 0 2
30
- 2- 2
1 5-4 52 33 1
25 0
о
2 - 6 6 53 1..1 4 Ч:5 33 0
3 32
- 3 -14
-1 1)1 32 32 3
J
J
' 2 ■4 3 6Л' 2. 0 0 '
2 5 8 130. а) А - -1 4 - 2 ; 6 ) 5 =
..3 6 4 01 1 3 - 3 ./ . 1 2 4 3
Задание 2.Для данных матриц А. и В указать, какие из приведенныхопераций выполнимы, и выполнить их: Г) А i В; 2) А' + В; 3) А + В Т; 4) А Т + В Т; 5) АВ; б) А В; 7) АВ Г; 8) ВАГ-
В А Р И А Н Т Ы 3 А Д А Н И Я 2
Г2 1 ^ ' 0 -АЛ
1. А = 3 1 ; В = 13 2
1° 4 У V0 1 )(2 П
! 0 - 1'\'2 3 5'\
3. А = В = 6 21 3 4 / I
ч 2ч 3 J( 2 6 -Г ' - I 2 Зл
4. А ~ ; Я ■=V4 -1 4 V9 - 8 0J
' 0 - Г \ ' - 2 1 ''5. А ~ - 8 3 ? В 6 4
Л 1 / V 2 4
'3 - Г' 2 3 Г)
6. А ^ 13 0 в 1 - 2 0
,2 5 )\
(1 ~ 5 N'0 - 3 Г
7. А = в - 6 12.4 -3 5 УЧ I 3 4
9. А-
10. А--
11. А-
12. А:
13. А
14. А
f - 2 5 1л (3 6 - 4^в
к 6 - 5 Ь И - 8 5 j'5 -2 ^ (' 5 1 ^4 6
5 В - - б 2
Ь 0 , ч 1 - 5 ;
f 6 -
V
7 2v -3 4 j
/ 1 5 х-9 3-2 6
Г 6 - 2 х)3 7
V 3 5 j
(~ 5 ..3 7'?I 4 - 6 1,
f - 5 4 9 х[ - 2 б -1 )
В
в--
в
в
в
( - 2 5 2\4 1 О
( 2 3 >5 4
I - 5v '
"7 4
V.
2 49 8 1
1 2
-3 5 4 1
( 6 5 74 1 6
■'2 1 > ' 6 - 2']15. А = 7 .. 2 в = 7 1
ч5 " 4J , - 4 .з ,( - 4 5
16. Л = 6 4 -9 .2 ; В =
I - 3V 5 34 2
7x,i
17. Л ="2 - 3
И - 3
Г4 318. А =
v5 1
^-7 5"'19. Л = 10 3 ;
ч“ 4' ..7 2
20. Л = 9 3
Ч D - 4В .. 6 Г
21. ,4 = з 7 ;\к--5 V/ .6 1
п"7г» 4 94
f - 8 623. А =
- 4 9V
г -- 2 - 524. А =
, 6 3
(ъ 5 ^25. .4 : 4 - 2 ;
0Ч~ - 4 ./
■ 4\■в)’
В
В
В
\
( 1- 5 -2
( 51"2' - 3
6
2
7
/7
В
В
В
(5
- 59
7 J- 3 8 ")1 - 7о чл-,
~3
7 38 1/
' 2 67 3
1 4ч 1 ^7
'1 6 - 5 ^ч3 -1 6
' 3 - 1 )-3 4 !.
ч-7 1f - 2 4 - 5'j ч 5 1 - 7 J'' 8 2 ''
; 5 - - 5 6
Ч 1 - 3 ,
3 7 6 1/
27. А -
28. i4:
29. .4:
30. А
-2 5 - 4 \
3 2 - i f
{ 7, 514 б - 4
-7 51 6
f9 4 1 1 30 - 7
( 4 6 -41
v.3 1 -■ V7 3 4
8 _ 2
I 5' - 6 -7 - s '
V*( - 5
2
б >3 J
11 - 5
чЗ - 4 ;
- 3 --Г|
.3 -1 2 1'у
Задание 3.Для данной матрицы А найти обратную, если она существует, и установить, что А Л 1 ~ Е.
B A I ^ H A H T b l ..3 А Д А Н И Я..... 3
" 2 2 31 4 2 311. .4 - 1 1 0 ; 2. Л = 1 1 0
ч-1 2 1, чЗ 2 2;/'2 1 Г '2 3 4 Л
3. .4 = 4 б 5 9 4. ,4 = 1 2 3 ;
чЗ 5 4, ч1 3 6,
9.
11.
А
4 =
А ---
ч 0 П 4 7 100 1 2 \ 6. н 1 1 ;>
V* 2 4,!V2 .3 1,
Ч 3 2^ j'2 1 4 х4 3 2 8. /4 = 3 2 4 5
I 29А- Ч 2 1/
Ч 2 1' а 2 - 3N5 3 2 ? 10. <4 = 3 2 .. 4
1з 2 V 2 1 0 ,
( 22 7 1 (6 - 3 4 '
- 3 - 2 5 ; 12. ,4 = 4 4 •3
V 4 3 -1, U ..4 4
*+ ^ Z,13. 4 = _ 2 4 3 5 14. 4 - 2 4 1
4ч 5 5, 3ч 2
' 6 5 5 1 ч 5 5Л15. А = 2 6 7 ? 16. 4 = 4 5 4
4- з Ю ч_ V3 4 5JЧ 2 4 ' Ч 1
17. А 5 3 - 2 9 18. 4 = 4 А
! ~> Ч 1 - 5 j ч 2
Ч 1 3' ч 4 Г19. А - 5 - 2 2 •) 20. 4 = 1 3 4
ч2 2 з , I 2 5 6;( 5 3 1 " ' 9 4
21. /1 ■■ 1 - 5 - 2 ; 22. 4 = - 5 - 2
V-5 2 1 / I 2 1
т \
•54
'2 - 3 15
23. А = 4 - 5 2 ;- 7 3J
'2 6 3"25. А - 3 2 3 ?
ч4 3 4 J'3 - 1 ?л
27. А = 4 - 3 30 2 )
Г 4 329. А ■ 2 3 > •
ь 5 ~ 4 /
'1 1 124. А = - 1 8 10
. 4-1 ....2
( 2 1 - Г26. 2 1 - 2 ?
1з 2 - 2j
(1 0 П28. А - 1 1 1
U 3 1у
Г 1 2 2 \
30. 3 2 -1, ~ 2 1 5
Задание 4.Решить систему уравнений 1)методом Крамера; 2)в матричной форме.
В А Р И А Н Т Ы З А Д А Н И Я .._4
2х + v - г = 5 X ~ у 4 2 ~ 6
1.- Зх 4 3 v - 2z = 8. 2.- X - 2 / 4 2 = 9.X -4- у 4- 2 = 6
ГГ>Иt*j:ч1нj
4х + 2 / - 2 = 1 Зх 4 / 4 3 z 23. 5х 4 Зу - 2z = 2. 4. 5х -- 2у 4 2 г - L
Зх+- 2у~- 3 г 0 2 x 4 2 / 4 3 2 = 1
5х 4 2у 4 5z ~ 4 -- 4х 4 / 4- 32 = 15. 3x4-5/ ~-3z = -L 6. Зх - у - 42 = 2
.2х - 4 / "!- Ъг = 1 2х 4 3 / 4- Z - - 3
Зх 4 4у 4 z = 2 7. < х 4 Зу 4 4z - -4.
х + 2 v + г = 1
~ х ~ 2у - г = 2 5х + 2 у 4 4 z = 7. х - у + 5z = -3
9.
11.
13.
17.
х + Зу - г - 3 Зх + 2у + г = 44х 4 Зу - - 2 г = -2. 10. <- X - у 4 2 2 = 6.
2х + 2у - z = 5 2х 4 у - 2 = - 1
- х 4 2у - z = 5 Зх + у + z = 2' -■ х - Зу - 3z = 4 . 12. <X 4- Зу 4- 22 = -5.
- 2х - 2у - 2 г = 3 6х + 2у + z = 2
X 4 у 4 2 = 1 Зх 4- У + 2 = 9* х - у + 5z = -3 . 14. х - у 4- 22 = -3.
-- х + у 4 3z = 4 ..X 4- у - 2 = 6
( Зх + 2у + z = 4 5х 4- у 4- 2г = 3< 2x4 4у 4 2z = 1. 16. < 2х 4- у 4- 2 = - 1.
х 4 2 у + 3z = 1 Зх 4- у 4- 22 = 2
X + у + 2 = 7 3x4- Зу - 3z = -5■< х - у + 32 = 5. 18. 2х 4- у 4- 2z - 9
- х + у ~ г ~ 2 - X - 2у 4- 2 = 6
~ х 4 Зу + z = 2 Зх 4- 2у 4- 2 = 4j х + Зу + 4г = .-3. 20.- X 4 4у 4 2.2 = 1 .
2 х ..Зу+ 2z = 5 Зх 4- 2у - 2 = -2*
- Зх + 2у + 2 = 9 Зх 4- у 4- 2 = 4■< 2х f 4у -1- 2 2 = 1. 22. X - у 4- 2 2 = 3 .
- х + 2 у + Зг = 4ч - 2х 4- У - 2 = “ 1
2х 4 3i-’ + 2z = 3 5х 4 у 4 2 = 4х - у + 2 = 5 . 24. X 4- 2у 4 3z = -1
- 2х 4 у -• 2 2 = 3 -- 2х + 2у 4 2 = 5
2х + 4 y ~ z = 625. s З х - 2у + z = - 3
| Зх + 2y + z = 4 26. <! 2 x - 4 y - 2 z = l.
-2 x 4 -3 y - z - 7
4x 4 2y -(■ 32 = 0
~ x - 2y 4 3z = 2
2x 4 3y ~ 2 z ~ 6
2 7 J 3 x + 3y->-2z = 5. 28. x --- у 4 2 = 5 .12x + 4y + z - -2
3x - 2y 4- 2 = 7
2x +- у + 2г = 3
2x 4 у - 42 = 329. J 5x - 4y + 2 = 5 .
3x + 5y 4 ■ 2 = --230. < - 3x + 5y + 62 = 1.
2x - 4y - 7г = 4
Задание 5.Сравнить ранги основной и расширенной матриц системы уравнений, сделать вывод и решить систему методом Гаусса.
В А Р И А Н Т Ы З А Д А Н И Я ..5
х, 4- х г + Зх3 ~ 2х а + Зх5 ----- 4 2х, ■+ 2х2 ■+■ 4х, - х4 4 Зх. -- б Зх, + Зхг + 5х3 - 2х4 + Зх5 ■= 6 2х, 4 2хг + 8х3 - Зх, н- 9х5 14
2х, - 2х2 + х3 - х 4 + х, = IX, 4 2х., ~ X, 4 X. - 2х, = 1
2м ‘Зх, 4- Зхг 4 5х3 -• 2х4 4 Зх5 = 6
2х, -1 4 х 2 4 7х3 - 1хА 4 И х, = -1
5х, 4 7хг 4 4х3 4- бх4 4 6х5 = 2^ 1 5.V, 4 30хг 4 7х, 4 8 х4 4 Зх5 — —13
9х, 4- 6хг 4 5х3 4 8х4 4 9х5 •= 9 6х, 4 9х2 4 Зх, 4 4х4 4 Зх5 -- - 1
2х, + х 2 - х3 - х4 4 х5 =■ 1 х, - х, н- X; 4 х4 - 2х5 = О
3xj + Зхг - Зх3 -- Зх4 4 4х5 =■24х, + 5х? • 5х, - 5х4 4 7х, = 3бх, 4 5х;) 4■ 7х3 + 5х4 4 Зх5 - 614х, 4 5х?4-Зх3+ 9х4 - X, - 24х, 4- 5хд 4 8х3 4 4х4 -г 4х. ~ 7'8Xj 4- 5х? -4 4х , + 7х4 -*' 2 х 5 = 2
X, - 2х?+ -- х4 4 х, - 02х, 4 х2 ~ X, 4- 2х4 - Зх5 = 1
ЗХ( • 2х?- х3 4- х4 - 2х5 - 1 '2х, - 5х2 4- х3 - 2х4 4 2х3 = ...2
ц~\
■+■ 2х94" 4х .Зх4 4 9х5 = 23Зх, - 2 0 х 2 4- 5х3- 2х 4 4 6х4 = 8
Зх 4 6х 2 4- 2х3~*4 4 Зх5 19х, 4- 4х2 + Зх3 - 2 х 4 4 6х5 = 122х + *г + Xj “ 2х4 4• 4х5 = 1
13х,*
f 8х 2 4 4х3 ~3х4 4 6х5 = 95х, 4- 4х2 2х ~ Зх4 4 6х3 = 3'
. Зх. 4 2х 4- Х 3 ~ х4 4 2X4 ~ 213х, - 4х2 ..Зх3 — 4х4 - 6Х„: 8
н 2х; + х3 - 2 х 4 Зх = 75х, " 4хг 4- 7х3 4 4х4 4 6л% ---4'7х, !■ 2 х 2 4- 5х3 ■f 2 х 4 4 Зх5 = 5
2х, + Зх2 + x3 + 6x4 +■ 9x 5 = 2 x2 - 2x3 4 2x4 + 3x} - -7
2x, + xz 4- 4x3 4- 2x4 4- 3x5 = 3 3x, + 2xz 4- 5x3 4- 4x4 4 6x4 = 1
3x, ~ x2 4- 3x? 4- 2x4 4 Sx5 = 6 5x, — 3x, 4- 2x3 4- 3x4 4- 4x5 = 7
x, - 3x2 - Зх, - 9x5 •- -4 7x, - 5x2 4- x3 4 4x4 4 x5 = 62x, 4- 3x2 4 7x3 4- x4 4- 2x5 --1 X, 4 2xz 4 3x3 4 2x4 4 4x5 ■— 0 3x, 4 2xz 4 x3 4 2x4 4 4x5 -- 4
j 4x, 4 3x2 4 2x3 4 3x„ 4- 6x5 = 5
13. iIi
- X, 4- 3x2 4 3xz 4- 4x4 4 5x5 -- 76x, 4 2 x 2 4 2 x 3 - x 4 = - 2
- 3x, 4 x2 4 X3 4 2x4 4 3x3 = 5 1 lx, 4- 3x2 4 3x3 4 X4 - X5 = -5
| 2x, x2 4 3x3 4 4x4 - x5 = -1X, 4 2x2 - 3x, 4 X4 4- 2x, = 1
14. 4j 5x, - 5x2 4- 12x3 4-1 lx4 - 4x5 = -4 I x, - 3xz 4 6x;; 4 3x4 - 3x5 = -2
x, 4- x2 ~ 3x3 -- x5 ~ -2 X, - x2 4 2x, - x4 = 1
4x, - 2x3 4 6x} 4 3x4 - 4x5 = 7 2x, - 4x, - 2x, 4- 4x4 -• 7x,, = 1
Эя, + хг - 2х3 + х4 - х5 = 4 2х, х2 ■+• 7х3 - Зх4 + 5х, = 6 х, + Зх2 - 2х3 + 5х4 - 7х5' = 2 Зх, - 2хг -ь 7х3 - 5х4 + 8х 5 = 5
х, + 2х2 + Зх3 - 2х4 + х,: ~ 4 Зх, + 6х2 + 5х3 - 4х4 + Зх5 - 5 х, +- 2хг + 7х3 - 4х4 + х5 = 11
2х, + 4х2 + 2х3 - Зх4 + Зх5 6
х, + 2хг - Зх3 + 2х5 = 2х, - х2 - Зх3 - 4х4 - Зх5 = -4
j 2х, т Зх, + х3 - 5х4 + 2х5 = 1 lx, - 2хг ~ 2х3 -- Зх4 - 5х, - -7
9х, + 7х2 + 5х3 + 6х4 + 9х5 = 10 8х, + 4хг + 2х4 +• Зх5 = 5
5х, + Зх 2 + х3 + 2х4 + Зх5 — 4 7х, + 5хг + Зх, + 4х4 + бх5 = 7
20
i х, - - 2х2 + Зх3 - 4х,. 1- 2х, - 0 J х, + 2 х 2 - х3 - х, - - 1
х, --х2 + 2х, -З х 4 = -I л% ~ х3 + х4 - 2 х 5 = - I
6х, + х2 - Зх3 + 9х4 + 5х, = О 6х, + 5х2 - Зх3 + 9х4 + 7х5 = 6 2х, 4хг -- х3 + Зх4 + 2х, ~ 4 4х, + 7х2 - 2х, + 6х4 + 5х3 = 8
2х, 4 Зх2 + 5x3 - Ax4 + x5 = 3 x, - x2 4 2x3 4- 3x4 4 5x5 = 8
3x, 4 7x;2 4 8x3 -1 lx4 - 3x5 = -2 2хг 4 3x2 4 5x3 - 4x4 4 x5 -- 3
x, - 4x, - 4x3 4 x4 - 3x5 = -3X! 4 7x2 4 6x, ~ 2x4 4 6x5
9xt 4 8x2 4 4x, - 3x4 4 9x57x, 4 5x2 4 2x3.2x4 4 6x5
= 2= -7 = -6
24.-
8x . — 4x2 4 3.x* 3 4 6x4 4 8x5 —■ 5 10x, - 5x2 4 5x., 4 9x4 4 15x5 = 10
4x, - 2x2 4 x3 + 2x4 4 2x5 = 1 2x.t - x:, 4 3x.. 4 7x4 4 1 1x5 =8
5x, 4 6x2 4 X 3 4 10x4 4 7x5 - 3
25 A5x, 4 x2 4 2x . 4 5x4 4 4x5 = 7 4x, 4 3x2 4 X3 4 7x4 4 5x5 — 4 3x, 4 2x2 4 x3 4 4x4 4 3x5 = 3
26.
2x, 4 x2 4 3x3 - 3x4 -- 3 x, -- 3x, 4- x3 — x. - -2
4x, - 7x, + 5x3X, - 4x2 4 x 3 4 x 4
■ x4 -- 2x5 = -1■ x5 - -2
27.
x, 4 2x2 4 x; - 3x4 4 2x5 = 3 2x, 4 X , 4 x3 4 x4 - 3x5 = 2
x, 4 x2 -i 2x3 -4- 2x4 - 2x5 - 4 2x, 4 3x2 ~ 5x3 - 17x4 4 10x5 = -7
х, - Зх2 + 5x, + 4x4 + 6x53x, 1
2x, + 2x2 + 2x3 + 2x4 + 3x5 = 34x, 4x3 - 2x4 3x, 1
А-j 4- 2х3 -- 2х4 + х4 = 5х, - 2х + х, - х, - х 4 = --2
29. < 2 3X. - 4х2+ Х3 4 х4 - х5 = --2
Зх, - 3*2 + 4*3 - 2х4 - х5 = 1
5х, - *3 + Зх5 = -4
30.2x,
x, + Xn + 3x, + 2x4 = 13x, + 3x2 2x3 + x4 = -7
Задание 6.Найти собственные значения и собственные векторы матрицы.
В А Р И А Н Т Ы З А Д А Н И Я 6
( 6 2 0'i! ' 7 0 - 3 ' U 0 (П1. - 5 1 0 2. - 1 1 2 3. 3 1 1
v 2 - 1 4 j v 6 0 - 2 - 2 4^
'' 6 8 4 ' 8 4 3^ 3 1 2 xi4. 0 2 0 5. - 7 - 3 1 1 6* 0 3 1
ч“ 3 5 - к v ° 0 2 ,1 1
{ 52 2' "2 1 •(>' f 4 - 3 O'
7. -6 - 2 0 8. 2 3 4 9. 6 1 00 1 j ,0 0 - 1 , 0 3,.
/' 8 6 1л '1 0 - 4') '6 0 -з"!10. - 5 -3 0 11. 2 3 6 12. 4 2 7
ч 0 0 1 ,5 0 - 2J ч5 0 - 2 J' 6 2 °1 fl 0 - 31 "4 0 0)
13. 7 1 0 14. 2 1 1 15. 1 1 5
ч"1 2 v? 0 - 2 у чз 2 4 ,"6 - 5 2 ' 7 -1 6 ч г4 3 1 Ч
16. 2 1 .1 17. 0 1 0 I 18. 0 1 - 2чо 0 4 ) - 3ч 2 2 J 1 4 J
% 0 -3^ ['8 - 7 о 4) Гз 0 0 )19. 8 2 5 20. 4 - 3 0 21. 1 3 1
И 0 ч3 1 2 // U i 1/- 6 ( 2 2 0 N\ Г 4 6 б1
22. 2 - 2 0 23. 1 3 0 24. 1 -3 1 00 1у ч " 6 4 1, V» 0 3 ,
"8 - 5 0' ( 1 2 5 ч ( 6 4 525. 6 - 3 0 26. 0 3 0 27. 0 2 0
1ч 0 1> ч-4 6 - 2,/ 1-3 7 -2
Гб 7 .I'4' / 7 2 7 л /4 1 3 \
28. 2 1 2 29. 0 1 0 30. 0 1 - 2
10 0 4 J ч-З ~1 -2J 1° 5 4
Задание 7.Определить, являются ли линейно зависимыми данные векторы.
В А Р И А Н Т Ы __ З А Д А Н И Я 7
1. (3;2;4;7); (4; 3; 11 -2 ) ( 5;3; 13;1) (7; ~2;16;3).33
2. (1;1;4;2); (1;1;-2;4); (0;2;6;-2); (~3;-1;3;4).3. (2;3;5;2); (1;—2;1;—1); (-1;2;-1;1); (1;-3;2;-3).4. (1;0;1;0); (-2;1;3;~7); (3;-1;0;3); (4;-3;1;-3).5. (1;2;3;1); (2;3;1;2); (3;1;2; 2); (0;4;2;5).6. (2;3;4;1); (-1;1;-1;3); (3;—5;1;—13) (3;0;3;~6).7. (1;2;3;-4); (2;-1;2;5); (2; -1;5;-4); (2;3;~4;1).8. (2;3;4;1); (3;-1;1;-2); (-1;2;-3;4); (5;-7;6;-7).9. (1;2;1;1); (1;1;1:2); (--3;-2;1;-3) (—i;i;3;i).10. (1;2;3;4); (2;3;4;1); (3;4;1;2); (7;11;11;11).11. (-1;-1;0;2); (1;0;-1;-2); ( 1 ; 3;1;5); (1;2;-3;-6).12. (2;1;1;2); (1;3;1;3); (1;1;5:3); (2;5;-7;14).13. (-5;3;-13;1); (7;-2;16;3); (3;2;4;7); (4; -3;11;-2).14. (0;2;6;-2); ( 3 ; 1 ;3;4); (1;1;4;2); d;i;-2;4).15. (-1;2;-1;1); (1;-3;2;-3); (2;3;5;2); (1;-2;1;-1).16. (3: 1;0;3); (4;3;1; 3); (1;0;1;0); (~2;1;3;-7).17. (3;1;2;-2): (0;4;2;5); (1;2;3;1): (2;3;1;2).18. (2;-1;5;-4); (2;3;—4;1); (1;2;3: 4); (2;—1;2;5).19. <~1;2;-3:4); (5;-7;6;~7); (2;3;4;1); (3;-1;1;-2).20. (-3;-2;1;-3); (-1;1;3;1); (1;2;1;1); (1;1;1;2).21. (3;4;1;2); (7;11;11;11) (1;2;3;4); (2;3;4;1),22. ' (-1; 3;1;5); (1;2;-3;-6); ( 1 : 1:0;2); (1;0;-1;-2).23. (1;1;5;3); (2;5;-7;14); (2;1;1;2); (1;3;1;3).24. (3:-5;1;-13); (3;0;3;-6): (2;3;4;1); (—1;1;—1;3).25. (7; 2;16;3); (4;-3;11;-2) ( -5;3; 13;1); (3;2;4;7).26. (-3; 1;3;4); (1;Г.-2;4): (0;2;6;-2); (1;1;4;2).27. (1;-3;2;-3); (1;-2;1;-1); (-1;2;-1;1); (2;3;5;2).28. (4;-3;1;-3); (2;1;3;7) ; (3; 1;0;3); (1;0;1;0).29. (0;4;2;5); (2;3;1;2); (3;1;2;-2); (1;2;3;1).30. (3;0;3;-6); C-i;i;-i;3); (3; 5:1; 13) (2;3;4;1),
Задание 8.Найти фундаментальный набор решений системы уравнений.
В А Р И А Н Т Ы З А Д А Н И Я 8
7х, + 2хг - 5.x, ~ 6х4 - Зх, = О, х, Зх2 + х3 - 8 х 4 + б х , -- О,
|5х, - 4хг - 5х3 + 8х4 17х, = О.
2.4х, + хг - 7х3 + х4 + 8х, = О, х , ч- 2хг — х , Зх4 - 4х, = О,
2х, - Зх2 + 7х, - 17х4 ч 4х5 = О.
Зх, - хг + 8х, - 1 1х, + Зх5 = О, х, - 2х2 -- 5х3 - 4х„ - О,
7х, - 4х2 + Зх3 - 2х4 - 1 8х, - О.
!2х, + х2 + х3 - 5х4 х5 = О, х, + 4х, - 2х3 - Зх4 - 12х 5 = О,
х, + х2 + х,; 6х4 + Зх5 = О.
5.2х, - 2хг -З х 3 ч- 4х4 + 10х5 = О,
х, - Зх, + х3 ч- х, + 15х, ~ О,Зх, - х 2 + Зх, - х4 ч- 1 2 х 5 = О.
6.2х, - 2х2 - Зх3 + Зх4 + х5 = О,х, - Зх2 + х3 + Зх4 + 9х5 = О,
4х, -- Зхг - 5х3 + 7х4 + 6х, = О.
7.2х, + х2 + Зх, - 4х„ - Зх, = О, х, -- 2х3 - Зх3 ч- х4 ч- 2х, = О,
Зх, - Зхг -(• 7х3 + 10х4 - 16х5 = О.
8.х, ч 2хг ч- З х ? ~ х4 - 2 х 5 - О,
2х, -- х2 + х3 - 7х4 + 5х5 = О,4х, 4- 7х2 4 5х3 + х4 - 1 2х, - О.
Г 7х, 4 2 х 2 - х3 - 15х 4 + 10х, — О,
ч х, + Зх2 4- Х-, - 6х4 - 9х, = О, 2х, - 2хг 4 2х4 4- 10х, = О.
х, + х2 - х-, -• 5х4 + 5х5 ■= 0, Зх, + х2 - 2х3 - 8 х 4 - X ; 0 ,
. 2х, - 2х2 + х3 + 5х4 - 8 х 5 ~ 0 .
11.Зх, + х2 - 8х3 + 2х4 -1 8 х 5 = О, х, - 2х2 + Зх3 + 2х4 4- Зх5 ~ О,
х, + 6х2 - 9х3 - 10х4 — 13х5 = 0.
125х, - 2х, + Зх3 - 7х4 4 4х5 = О, х, - 2х;, 4- х, 4- Зх4 - 2х, = О,
2х, + Зх2 4- 7х3 -■ 2х4 4- Зх5 --- 0.
13.7х, 4- 2х2 - 5х, - 6х4 - 3xs = О,
< 2х, 4- 6х2 - 14х„ г 14х5 = О,6х, — х2 - 6х3 + 2х4 - 9х, = 0.
14.4х, + Xj - 7х3 4- х4 4- 8х5 = О,
- 2х, J 4х3 - 14х, -+ 18х4 4- 4х5 -- О, Зх, - х3 - 6х3 + 4х4 + 12х5 = 0.
15Зх, - х2 + 8х, --11х4 4- Зх5 = О,
< - 4х, 4 Зх2 4- Зх. - 9х4 + 21х5 ~ О, 2х, + х, + 13х, - 7 х4 +3х5 — 0.
16.2х, + х., + х, - 5хл - х, = О,
х, + л:4 - 4х5 = О,j х, - Зх2 +■ З х ,..2х4 - 4х5 = 0.
17.2х, - 2х, - Зх3 + 4х4 4 Юх., = 0. ~ х - х, - 6х3 4- 5х4 2х5 = О,
[ х, 4- х2 - 4х, 4- Зх4 - 5х, = 0.
18.2х, -2х, -Зх, -4Зх., +х, = О,
- 2х, 4- х , 4- 2х3 - 4л4 ■ - 5х, = О,х , 4- х 2 - 4 х , - 8 х 5 = 0 .
2х, 4- х, 4- Зх3 - 4х4 — Зх5 = О,. - х, + 4х, - 4х3 -1 4х4 4- 13х5 = О,
х, 4- Зх, J 6х3 - 5х, - 5х5 ~ 0.
x i + 2хг + З* 3 - *4 - 2* 5 = 0,— 3*, -- 5* 2 - 2*3 - 2*,, + 10*5 = 0,- *, + 3*j + 2*з + 6*4 - 7*5 = 0.
21
22.
7*J + 2*2 - *3 - 15*5 + 1 0*5 = 0, 5*j + 4*з -- *3 -1 7*4 = 0,
6 * , - * 2 - 2 * 3 - 9 * 5 + 1 9 * 5 ~ 0 .
*! + * 2 - *3 - 5*5 + 5*5 = 0,~ *, + 3*;, - 2 * 3 - 10*5 + 13*5 = 0,
- 2*, + *3 + 3*5 + 6*5 = 0.
233*! + * 2 - 8*3 + 2*5 - 18*5 = 0,
' 2*1 - 5*2 + *3 + 12*5 " 5*5 = 0,
2*1 +3*2 - 11*3 - 21*5 = 0.24 ! ~ 2*2 + З*3 - 7*4 + 4*3 = 0,
* j 3*! - 5*2 - 4*3 - 5*5 + *5 = 0,
! 4*, + 2*з - 10*4 + 6*} = 0.
25,j~ 4*, + 7*2 + 6*3 -16*5 + 23*5 - 9. ■j - 2*! - 6*2 + 14*5 - 14*5 - О,
5*t - 4*2 - 5*з + 8*5 -17*5 = 0.
26.- *, + 5*2 - 8*3 +14*5 ~ 8*5 = 0,
• - 2*j - 4*2 +14*з -18*5 ~ 4*5 = 0, 2* j - 3*2 + 7*з - 17*5 + 4*5 = 0.
27.- 6*, + 2*2 - 8*3 - 2*4 +18*5 = О, 4*, -3*2 - 5* 3 +9*5 - 21*5 - 0> 7*( - 4*з + 3*з - 2*5 - IS*, ~ 9.
28.
29.
Зх, - Зх, + Зх4 - 1 5х, = 0,х4 + 4х5 = О,
X j + Х 2 "f ■ 6х4 + Зх52*, +■ 2*з — 2*з + 2*5 + 3*5 - О,
- 5*4 + 2*5 ■= О,
3*! - *, + З*3 - *4 + 12*s = 0.- 3*1 6.xз - 4*5 + 3*5 = О,
2*, - * 2 - 2*, + 4*4 + 5*5 = О,4*, - 3*з - 5л-3 + 7*5 + 6*5 = 0.
Задание 9.Найти ортогональный базис линейной оболочки данных векторов.
В А Р И А Н Т Ы З А Д А Н И Я 9
1. (1;0;1); (1;1;0); (1;0;-1).2. (-2;1;2); (0;-2;-1); (2;1;-2).3. (—1;—1;1); (-1;-1;-1).4. (1 Д Н ); (1;1;1).5. (~2;0;2); (1 -2 ; 1); (2;-1;-2).6. (1;-1;1).7. (1;1;1); (l;l;2); (1;2;3).8. (1;3;1); <0;3;0); (3;0;-3).9. (2;3;4); (1;-2;1); (1;2;3).10. (2;1;2); (—1;2;1); (2;~1;2).11. (2;-1;2); (1;2;-1); (2;1;2).12. (2;5;1); (4;-2;2): (4;1;3).13. (1;0;1); (0;0;2); (0;-1;1).14. (~2;1;2); (~4;0;4); (-2;3;3).15. H ; i ; i ) ; (0;2;2); (0;2;0).16. (1;~1Д); (0;~2;0); (0;-2;2).17. (-2;0;2); (4;1;4), (-3;2;1).18. (1;1;1); (0;2;0); (2;0;0).19. ( i; i; i) ; (0;—1;—2); (0;0;~1).20. (1;3;1); (-2;3;4); (1;0;-1).21. (2;3;4); (1;1;1); (1;5;3).22. (2;1;2); (0;2;0); (3;-1;1).23. (2;-1;2); (0;2;0); (1;-3;3).24. (2;5;1); (~2;4;—2); (-2;7;-1).25. (0;1;1); (1;1;0); (0;0;-2).26. (—2;—3;1); (0;-2;-1); (4;0;4).27. (0;0;2); (0;-2;-2); (—1;—1;—1).28. (0;0;2); (0;2;0); (1;1;1).29. (—i;-i;3); <4;—1;—4); (2;~1:-2).30. (—2;2;0); (0;-2;0); (1;~1;1).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной ал
гебры и аналитической геометрии. - Ростов-на-Дону,
«Феникс», 1997.
2. Кпетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геомет
рии. - М.: Наука, 1998.
3. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре.
- М.: Наука, 1970.
Учебно-методическое издание:
Арутюнян Елена Бабкеновна Родина Елена Викторовна
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Типовые расчеты
Сдано в печать -17, 09 , 03 , Тираж - £00,Усл.-печ. л.-3,5, Формат - Цена - 16/*>•/£, ООагп.Изд. № 3 U Z ~ 0 3 , Заказ ~ /OFO ,
127994, Москва, ул.Образцова, 15 Типография МИИТа
/ 1Г/ У У . { 1 (/УЛ v > / ^ ч Л >лУ Х у
'уХ'/ЛЗУУ; 1 >Ъ>У$9ШУ <v ^ ч ЩШу к
'Ш ш Ф к ж ш ; V Л ■Пу$ М ууж и4 t4 'лЧ 'Ч я Чя^у'Л у'Ч П , Л ;Ш 0Ш ф ¥0Ш |д а я $
ж Ш ш 'ЛЛЯяХЧХ ф У ук 'Г ' А Г У Я ^ Я Р v ^ \ j ^> bs, vqv 4 у . ?■ Л Л Я \
> ' !я лу * J w ЧУ
tJ Чу X ' АГ '" v X t' i;
л \•J ? у
v>Л л ' чч - ^/ у
Л ^ л $'. у ч у \1 у
A y iV f A у ^ Я Х
Л ч Л'> Л У П х уШ‘Ф
Л '
; /
■$X
$ $ -
■ $ $
> & &
>л\
Л
в $мЙЙ>МfexS
х \
\* <Я Ч Ч ^ Ч Х >
Л Ч Ч< л
л Vs
> я
\ $$Л Л ч )> ^ уN 1 л к
\ У О <
Х А :> ы < ш < &1 »
х л # ; а ж
Ш Г
ЧААЧАЯуЯЯ . . . „ л л \ ' v ь
У У ЧХ Аs V i ч
/ 1'ШщУ
У
VЧЯлЯ
А Я , А у\ 'jA у ^f •> \ч J
4Шо'%У,
уЛ v < '
v ; М \< \ , . А '
Л Л
\
Ч ч > '5 # ^ > & Х Ф ^ у л ’ > А) л
Ау ч 1»> Ч?П У)*-»
h >ь л ‘ч л< v f У > ъ
} У ; А
K vЛшхЧ
У / ш $у У ,
,у > уУ ШУ У о У
Ч / У У‘ф М у ‘У У У У
Ч *л
У ф -Щ )
У ФуМ У % | Ш >
| | 1
7 Л
у лщ М
i n iч чАЯ Л у я
>УУу
’ШШ<Н$8Щ9К '»ЧйЧППл'хППм''ПкПяП>'
у . >> Ч v ч \ 4 чч<,Ш
, J V ' ' ч •» ч N
fV > ^ ^ '4 '^ ' л Чч; in wXЛ ? Я Ч Я Л \ / 5Р
j s }' J х 4 v ^ ' Х А у к уV ^ ^Гч*ЧМ*$ Шw M
, К ] '№ 'П>ЧП %У v w П'мсП 8 >^ K w W R ' w i »
“ .ОУч
Л у'-ПЧ
\ж
Л а л
Л ч
>v ЧЧ '•V ow$4 4 fУ f >S \y4#V
^ Ч о '/у
< У > / ! у
у Чу Ь ,
f1 Л У
' " ' ч Л / 'у / >y/v
'“ *>" -^ЧЧЧ^лЧЧ4Ч<П|ЧЧЧ)у I'' у А Л Л А Л Л
чЛу$хЧЧЧ
' у > у ж е' У у ’ 1' 1,/ , ,« У у V V Л ' у У ' / } Л <1 !
> У ' у ' < УУ > / у<у<л Х,'у
X Ч Ло х с , Л л : о Ч ( ) У 1ч
/ ‘ Ла Л
'Ч А
х гv ( JW\ Ч л
У ‘ / 41 ГУ
Л г ^ чу4
уЛЛО‘Х.ХЛЛчЛ'Л;'ЛАХ'<ХхХ‘ЛЯЙХ'й ж Ж М А » # ^ !^ЛП‘лЧ%-, Л5лШлЧчПчППЧПЗЧчЧ лллучЧя ЛйХуЛШ«ЯйУо‘«,лЛЛчЧЧ9ЛХ ЧчЧяЧЧШЛляЧуХАА'ШхяЧлМлкххЧ ЧляХуЛч'уЛуЯуЛуЧуЧчШУЯЯлУ Я Л ,у^Я 'Л Л )% Ж Л ;^Л > 7 (^ л®,у>,уЛ9Чшл1лйЧ<яуЯя АР>ЯХчл)ЛуХфЛгЛЧЛХХКЧЧяЧЧчЧлЧлЧЧЧлляау'ЧяЧ ЧЯЧхяллхуЯляЛЧЛлЛу(ЯччдаЛя8яЛЛЯ«ЯЛЛ^ЯоЯ7&Л('1' ЩУШУУУШаш 'УууаФущ1щ(у^Ф м у ^ Ф Ф М ш ^
ЯЛуЯ1':»9Хлж^Л9>ЯлХЧ^^;)о>ИлЛлЧЛ яПЧхяЯлЧ ЧЬуЧлЯхУлЛХлЛ№'Ла 4Xx<4'vA4y4$xwy44w4w/( <u4Щ Ш Ш м м ю> Л ч-Я Я Л Ж Л Я уЛ ^ йХ(Я'{ЛМлЛаЧХх1ЯЯЧЛу>Л V ЛЧЧ iy Л' ч ; <улЧ' Хл " Л тш-
уу уу Яу / а'у Я ,чЯЛ 'S s ч у ЛЯа ' Уу' Ч УЛЯ . Лу Яу > У' я лч Ч Ч я Ч Н 'V ' чЧ> лхш А
Ч \ л
^ЧЯладЧкууу^ k ^ i ’X ^ y y y ' - -'У vwfi'^V ЧЧ'» < *
Л у Л ? ч .." У У Xя П'
- Ч ч Ч х П . ? у у 7я <ч >у 4jXv УШШтч Ж Ч ;ч> я м , Л V
Л Л уч ч
Т уЛ а я Ч Ь
