´ ÏìÜäá

1.¸÷ïõìå:|á − â| = |(á − ã) + (ã − â)| ≤ |á − ã| + |ã − â|.

2. Éó÷ýåé üôé á > â ⇔ á − â > 0, Üñá |á − â| = á − â. Ôüôå:

i)

ii)

3. i) Áöïý |x| ≥ 0, |y| ≥ 0, ç éóüôçôá |x| + |y| = 0 ⇔ |x| = |y| = 0 ⇔ x = y = 0.ii) Áöïý |x| ≥ 0, |y| ≥ 0, éó÷ýåé üôé |x| + |y| ≥ 0. Áðü ôï åñþôçìá (i) åßäáìå

üôé ç éóüôçôá (|x| + |y| = 0) éó÷ýåé áí êáé ìüíï áí x = y = 0, ïðüôå çáíéóüôçôá (|x| + |y| > 0) éó÷ýåé ïðïõäÞðïôå áëëïý, äçëáäÞ x ≠ 0 Þ y ≠ 0.

4. i) Áöïý á, â > 0, äéáéñþíôáò ôç äïóìÝíç ó÷Ýóç á < â ìå â êáé á áíôß-óôïé÷á, Ý÷ïõìå:

• á < â ⇔ ⇔ êáé

• á < â ⇔ ⇔ .

ÅðïìÝíùò .

ii) Áðüóôáóç ôïõ 1 áðü ôï : .

Áðüóôáóç ôïõ 1 áðü ôï : .

Ôüôå óõãêñßíïõìå ôéò äýï áðïóôÜóåéò ðáßñíïíôáò ôç äéáöïñÜ ôïõò:

2â â â á â ád 1 1á á á á á

−= − = − = − =

âá

1á á â á â ád 1 1â â â â â

−= − = − = − =

áâ

á â1â á

< <

â1á

<á âá á

<

á 1â

<á ââ â

<

á â | á â | á â (á â) á â á â 2â â.2 2 2 2

+ − − + − − + − += = = =

á â | á â | á â á â 2á á.2 2 2

+ + − + + −= = =

ËYÓÅÉÓ ÁÓÊÇÓÅÙÍ Ó×ÏËÉÊÏÕ ÂÉÂËÉÏÕ ÁËÃÅÂÑÁÓ Á´ ËÕÊÅÉÏÕ

22 EÊÄÏÓÅÉÓ ÐÁÔÁÊÇ • ÌÅÈÏÄÏËÏÃÉÁ ÁËÃÅÂÑÁÓ Á´ ËÕÊÅÉÏÕ • Ì. ÅÕÓÔÁÈÉÏÕ – Å. ÐÑÙÔÏÐÁÐÁÓ

×ñçóéìïðïéïýìå ôçí éäéüôçôá |á + â| ≤ |á| + |â|.

01.qxd 11/1/2011 11:41 Page 22

Aöïý á, â > 0 êáé áðü ôçí á < â Ý÷ïõìå (â − á)2 > 0, áðü ôçí (É) ðñïêý-

ðôåé üôé d2 − d1 > 0 ⇔ d2 > d1, äçëáäÞ o áñéèìüò âñßóêåôáé ðéï êïíôÜ

óôï 1 óå ó÷Ýóç ìå ôïí áñéèìü .

5.

Óõíåðþò:|x − 2| < 0,1 ⇔ 2 − 0,1 < x < 2 + 0,1 ⇔ 1,9 < x < 2,1 (É).|y − 4| < 0,2 ⇔ 4 − 0,2 < y < 4 + 0,2 ⇔ 3,8 < y < 4,2 (ÉÉ).i) Ç ðåñßìåôñïò ôïõ ôñéãþíïõ åßíáé ßóç ìå Ð1 = x + 2y.

ÐïëëáðëáóéÜæïõìå ôç (ÉÉ) ìå 2 êáé Ý÷ïõìå üôé:(ÉÉ) ⇔ 2 ⋅ 3,8 < 2 ⋅ y < 2 ⋅ 4,2 ⇔ 7,6 < 2y < 8,4 (ÉÉÉ).ÐñïóèÝôïíôáò ôéò (É) êáé (ÉÉÉ), âñßóêïõìå üôé: 1,9 + 7,6 < x + 2y < 2,1 + 8,4 ⇔ 9,5 < Ð1 < 10,5.

ii) Ç ðåñßìåôñïò ôïõ äïóìÝíïõ ó÷Þìá-ôïò åßíáé ßóç ìå: Ð2 = x + x + y + x + z + x + y − z == 4x + 2y.ÐïëëáðëáóéÜæïõìå áñ÷éêÜ ôçí (É) ìåôï 4 êáé Ý÷ïõìå üôé:• (É) ⇔ 4 ⋅ 1,9 < 4x < 4 ⋅ 2,1 ⇔

⇔ 7,6 < 4x < 8,4 (IV).ÐñïóèÝôïíôáò ôéò (ÉÉÉ) êáé (IV) êáôÜ ìÝëç, Ý÷ïõìå üôé:7,6 + 7,6 < 4x + 2y < 8,4 + 8,4 ⇔⇔ 15,2 < Ð2 < 16,8.

iii) Ç ðåñßìåôñïò ôïõ êýêëïõ åßíáé Ð3 = 2ðx, ïðüôå ðïëëáðëáóéÜæïíôáòôçí (É) ìå ôï 2ð Ý÷ïõìå üôé: 2 ⋅ ð ⋅ 1,9 < 2 ⋅ ð ⋅ x < 2 ⋅ ð ⋅ 2,1 ⇔ 3,8ð < Ð3 < 4,2ð.

âá

áâ

2 1

2

2 1

â á â á (â á)â (â á)á (â á)â á(â á)d dá â áâ áâ áâ

(â á)(â á) (â á)d d .áâ áâ

− − − − − − −− = − = − = =

− − −= ⇔ − = (I)

1. ÏÉ ÐÑÁÃÌÁÔÉÊÏÉ ÁÑÉÈÌÏÉ

23EÊÄÏÓÅÉÓ ÐÁÔÁÊÇ • ÌÅÈÏÄÏËÏÃÉÁ ÁËÃÅÂÑÁÓ Á´ ËÕÊÅÉÏÕ • Ì. ÅÕÓÔÁÈÉÏÕ – Å. ÐÑÙÔÏÐÁÐÁÓ

Áñ÷éêÜ, åöáñìüæïõìå ôçí áêüëïõèç éóïäõíáìßá ãéá ñ > 0 êáé :

• ⇔ ⇔ ⇔ 0 0x ñ x x ñ.− < < +0 0x (x ñ,x ñ)∈ − +0x x ñ− <0d(x,x ) ñ<

0x ∈R

01.qxd 11/1/2011 11:41 Page 23

Ñßæåò ðñáãìáôéêþí áñéèìþí

Á´ ÏìÜäá

1.

i)

ii)

iii)

2.

i) áöïý ð < 4 ⇔ ð − 4 < 0.

ii)

iii) .

iv) .

3.

áöïý:2 5 3 5 2 5 3 5 2 5 3 5 12 2

−( ) + −( ) = − + − = − + + − = ,

22 2

2

x x x x | x | | x |4 2 2 2 | 2 | 2

⎛ ⎞= = = = =⎜ ⎟⎝ ⎠

( )2x 1 | x 1|− = −

( )220 20 20.− = − =

( )2ð 4 | ð 4 | (ð 4) ð 4,− = − = − − = − +

555 0,00001 0,1 0,1.= =444 0,0001 0,1 0,1,= =

333 0,001 0,1 0,1,= =20,01 0,1 0,1,= =

5 55 32 2 2.= =4 44 16 2 2,= =

3 33 8 2 2,= =24 2 2,= =

5 55 100.000 10 10.= =444 10.000 10 10,= =

3 33 1.000 10 10,= =2100 10 10,= =

1.4

ËYÓÅÉÓ ÁÓÊÇÓÅÙÍ Ó×ÏËÉÊÏÕ ÂÉÂËÉÏÕ ÁËÃÅÂÑÁÓ Á´ ËÕÊÅÉÏÕ

24 EÊÄÏÓÅÉÓ ÐÁÔÁÊÇ • ÌÅÈÏÄÏËÏÃÉÁ ÁËÃÅÂÑÁÓ Á´ ËÕÊÅÉÏÕ • Ì. ÅÕÓÔÁÈÉÏÕ – Å. ÐÑÙÔÏÐÁÐÁÓ

×ñçóéìïðïéïýìå ôçí éäéüôçôá üôáí á ≥ 0.í íá á,=

×ñçóéìïðïéïýìå ôçí éäéüôçôá 2á | á | .=

×ñçóéìïðïéïýìå ôçí éäéüôçôá 2á | á | .=

01.qxd 11/1/2011 11:41 Page 24

• ⇔ , Üñá êáé

• ⇔ , Üñá

4. Ãéá íá ïñßæåôáé ç ðáñÜóôáóç, ðñÝðåé ïé õðüññéæåò ðïóüôçôåò íá åßíáé ìçáñíçôéêÝò, äçëáäÞ x − 5 ≥ 0 êáé x + 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ 5 êáé x ≥ −3 ⇔ x ≥ 5.Ôüôå áðü ôçí ôáõôüôçôá (á − â)(á + â) = á2 − â2 Ý÷ïõìå:

5.

i)

ii)

= ( ) − ( ) = − = ⋅ − ⋅ = − =3 7 4 2 3 7 4 2 9 7 16 2 63 32 312 2 2 2 2 2

.

= + +( ) ⋅ −( ) = +( ) ⋅ −( ) =2 7 7 4 2 3 7 4 2 3 7 4 2 3 7 4 2

= ⋅ + + ⋅( ) ⋅ ⋅ − ⋅( ) =4 7 7 16 2 9 7 16 2

28 7 32 63 32

4 7 7 16 2 9 7 16 2

+ +( ) ⋅ −( ) =

= ⋅ + + ⋅( ) ⋅ ⋅ − ⋅( ) =

= −( ) ⋅ + −( ) =

= − ⋅ = − ⋅ = − ⋅ = −

2 2 3 2 5 2 6 2 4 2

2 7 2 7 2 7 2 142

.

= ⋅ − ⋅( ) ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅( ) =4 2 9 2 25 2 36 2 16 2

8 18 50 72 32

4 2 9 2 25 2 36 2 16 2

−( ) ⋅ + −( ) =

= ⋅ − ⋅( ) ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅( ) =

x x x x x x

x x x x

− − +( ) − + +( ) = − − + =

= − − + = − − − = −

5 3 5 3 5 3

5 3 5 3 8

2 2

( ) .

3 5 3 5.− = −3 5 0− >3 5>

2 5 2 5 2 5− = − −( ) = − +2 5 0− <2 5<

1. ÏÉ ÐÑÁÃÌÁÔÉÊÏÉ ÁÑÉÈÌÏÉ

25EÊÄÏÓÅÉÓ ÐÁÔÁÊÇ • ÌÅÈÏÄÏËÏÃÉÁ ÁËÃÅÂÑÁÓ Á´ ËÕÊÅÉÏÕ • Ì. ÅÕÓÔÁÈÉÏÕ – Å. ÐÑÙÔÏÐÁÐÁÓ

×ñçóéìïðïéïýìå ôçí éäéüôçôá , ãéá á, â ≥ 0.á â á â⋅ = ⋅

01.qxd 11/1/2011 11:41 Page 25

6.

i)

ii)

7.

i)

ii)

8.

i)

ii)

18 18 18 18 1818 13 18 13 18 13 132 2 2 2 2 2 2 .+= = ⋅ = ⋅ = ⋅

9 6 2 9 3 6 18 18 18 188 5 2 8 3 5 16 15 16 15 312 2 2 2 2 2 2 2⋅ ⋅⋅ ⋅ +⋅ = ⋅ = ⋅ = = =

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

3

34 3 3 34 3 43 4 912 412 9 412 9 412 1312

12 1

⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = = =

=

⋅⋅ ⋅ +

+112 1212 1212 12 123 3 3 3 3 3= ⋅ = ⋅ = ⋅ .

= = = = ⋅ = = = =⋅ ⋅ ⋅2 4 2 4 8 4 8 4 32 32 2 222 35 35 3 35 35 35 5 3 55 3 3 .

2 2 2 2 8 2 2 8 2 2 16 2 16 2 1635 3 35 35 35 2 35 65= = ⋅ = = = =⋅

2 2 2 2 8 2 8 2 16 16 2 23 34 3 34 34 34 4 3 44 3 3⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = = = =⋅ ⋅ .

3 33 33 2 (9 5) 2 4 8 2 2.= ⋅ − = ⋅ = = =

2 3 5 3 5 2 3 5 3 5 2 3 53 3 33

2 23⋅ + ⋅ − = ⋅ +( ) ⋅ −( ) = ⋅ −( ) =

2(4 2) 2 2 4 2.= − = ⋅ = =

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2⋅ − ⋅ + = −( ) +( ) = −( ) =

ËYÓÅÉÓ ÁÓÊÇÓÅÙÍ Ó×ÏËÉÊÏÕ ÂÉÂËÉÏÕ ÁËÃÅÂÑÁÓ Á´ ËÕÊÅÉÏÕ

26 EÊÄÏÓÅÉÓ ÐÁÔÁÊÇ • ÌÅÈÏÄÏËÏÃÉÁ ÁËÃÅÂÑÁÓ Á´ ËÕÊÅÉÏÕ • Ì. ÅÕÓÔÁÈÉÏÕ – Å. ÐÑÙÔÏÐÁÐÁÓ

×ñçóéìïðïéïýìå ôçí éäéüôçôá , ãéá á, â ≥ 0, *í .∈Níí íá â á â⋅ = ⋅

×ñçóéìïðïéïýìå ôéò éäéüôçôåò , ,

, ãéá á, â ≥ 0 êáé ì, í, ñ ∈ *.Níí íá â á â⋅ = ⋅

ì í ìí ñ ñá á⋅ ⋅ =ì ì íí á á⋅=

Âñßóêïõìå ôï ÅÊÐ ôùí ôÜîåùí ôùí ñéæþí, ìåôáôñÝðïõìå üëåò ôéò ñßæåòóå áõôÞ ôçí ôÜîç êáé ÷ñçóéìïðïéïýìå ôéò éäéüôçôåò:

ãéá á, â ≥ 0 êáé ì, í, ñ ∈ *.Nì í ìì ì í í ñ ñí íí íá á, á á , á â á â,⋅⋅ ⋅= = ⋅ = ⋅

01.qxd 11/1/2011 11:41 Page 26

iii)

9.

i)

ii)

10.

i)

ii)

=+( )

−=

+( )= +( )8 7 5

7 5

8 7 5

24 7 5 .

87 5

8 7 5

7 5 7 5

8 7 5

7 52 2−

=+( )

−( ) +( ) =+( )

−=

45 3

4 5 3

5 3 5 3

4 5 3

5 3

4 5 3

25 3

4 5 3

22

2 5

2 2−=

+( )−( ) +( ) =

+( )−

=+( )−

=

=+( )

=+ 33

11( )

.

= ⋅ = = ⋅ = = ⋅ =30 6 35 2

30 185 2

6 9 22

6 9 22

6 3 22

18.

216 75 36 6 25 3 36 6 25 3 6 6 5 350 25 2 25 2 5 2⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= = = =⋅

25 1275

25 4 325 3

25 4 325 3

25 2 35 3

50 35 3

10= ⋅⋅

= ⋅⋅

= ⋅ = = .

5 5 5 5 5 5 5 5 5

5 5 5 5

3 3 46 3 32 3 23 2 46 96 26 46

9 2 46 9 2 46

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ =

⋅⋅ ⋅

+ + == = = = =

= ⋅ = ( ) ⋅ = =

⋅⋅ +5 5 5 5

5 5 5 5 5 5 25 5

156 5 32 3 5 4 1

4 2 2 2 .

1. ÏÉ ÐÑÁÃÌÁÔÉÊÏÉ ÁÑÉÈÌÏÉ

27EÊÄÏÓÅÉÓ ÐÁÔÁÊÇ • ÌÅÈÏÄÏËÏÃÉÁ ÁËÃÅÂÑÁÓ Á´ ËÕÊÅÉÏÕ • Ì. ÅÕÓÔÁÈÉÏÕ – Å. ÐÑÙÔÏÐÁÐÁÓ

×ñçóéìïðïéïýìå ôçí éäéüôçôá , ãéá á, â ≥ 0.á â á â⋅ = ⋅

ÐïëëáðëáóéÜæïõìå áñéèìçôÞ êáé ðáñïíïìáóôÞ ìå ôç óõæõãÞ ðáñÜ-óôáóç ôïõ ðáñïíïìáóôÞ. Áöïý óå êÜèå ðáñïíïìáóôÞ õðÜñ÷ïõí ôåôñá-ãùíéêÝò ñßæåò êáé ç ìïñöÞ ôïõ ðáñïíïìáóôÞ åßíáé á − â, ðïëëáðëáóéÜ-æïõìå ìå ôï á + â. ×ñçóéìïðïéïýìå ôçí ôáõôüôçôá á2 − â2 = (á − â)(á + â).

01.qxd 11/1/2011 11:41 Page 27

iii)

11.

i)

ii)

´ ÏìÜäá

1.

i) 3 3 2 23 2

3 3 2 2 3 2

3 2 3 2

3 3 3 3 2 2 3 2 2 2

3 2

2 2

2 2

−−

=−( ) +( )−( ) +( ) =

= + − −

−=

= ++

= ⋅ +⋅ +

= ++

+

+

3 33 3

3 3 33 3 3

3 3 13 3 1

20 4 20

18 4 18

20 4 20

18 4 18

20 4

18 4

( )( ))

.

= =

= = =−

33

3 3 3

20

18

20 18 2

12 20 2 12 20 2 12 20 24 20

11 6 2 11 3 6 2 11 3 6 22 18

9 3 (3 ) 3 3 3 3 39 27 (3 ) (3 ) 3 3 3 3

⋅

⋅ ⋅

+ + + += = = =

+ + + +

162 9850 32

3 2 7 25 2 2 2

3 2 7 25 2 2 2

9 2 7 25 2

4 2

2 4

4 2

2 4

+−

= ⋅ + ⋅⋅ − ⋅

= ⋅ + ⋅⋅ − ⋅

=

= +−−

= =4 2

16 22

16.

7 67 6

7 6 7 6

7 6 7 67 6 2 7 6

7 6

7 6 2 7 67 6

13

2 2

2 2

+−

=+( ) +( )−( ) +( ) = + +

−=

= + + ⋅−

= ++ 2 42.

ËYÓÅÉÓ ÁÓÊÇÓÅÙÍ Ó×ÏËÉÊÏÕ ÂÉÂËÉÏÕ ÁËÃÅÂÑÁÓ Á´ ËÕÊÅÉÏÕ

28 EÊÄÏÓÅÉÓ ÐÁÔÁÊÇ • ÌÅÈÏÄÏËÏÃÉÁ ÁËÃÅÂÑÁÓ Á´ ËÕÊÅÉÏÕ • Ì. ÅÕÓÔÁÈÉÏÕ – Å. ÐÑÙÔÏÐÁÐÁÓ

×ñçóéìïðïéïýìå ôçí éäéüôçôá , ãéá á, â ≥ 0.á â á â⋅ = ⋅

ÐïëëáðëáóéÜæïõìå áñéèìçôÞ êáé ðáñïíïìáóôÞ ìå ôç óõæõãÞ ðáñÜ-óôáóç ôïõ ðáñïíïìáóôÞ. Áöïý óå êÜèå ðáñïíïìáóôÞ õðÜñ÷ïõí ôåôñá-ãùíéêÝò ñßæåò êáé ç ìïñöÞ ôïõ ðáñïíïìáóôÞ åßíáé á − â, ðïëëáðëáóéÜ-æïõìå ìå ôï á + â. ×ñçóéìïðïéïýìå ôçí ôáõôüôçôá á2 − â2 = (á − â)(á + â).

01.qxd 11/1/2011 11:41 Page 28

ii)

2. i)

ii) ×ñçóéìïðïéþíôáò ôï åñþôçìá (i) êáé ôçí éäéüôçôá , Ý÷ïõìå:

áöïý , ïðüôå êáé

Üñá 3 2 7 3 2 7 3 2 7− = − −( ) = − + .3 2 7 0,− <

3 2 7 3 2 7+ = +3 2 7 0+ >

= + − − = + − − +( ) =

= + + − =

3 2 7 3 2 7 3 2 7 3 2 7

3 2 7 3 2 7 6,

37 12 7 37 12 7 3 2 7 3 2 72 2

+ − − = +( ) − −( ) =

2á | á |=

3 2 7 3 2 3 2 7 2 7 9 12 7 4 7 37 12 72 2 2

−( ) = − ⋅ ⋅ + ( ) = − + ⋅ = − .

9 12 7 4 7 9 12 7 28 37 12 7,= + + ⋅ = + + = +

3 2 7 3 2 3 2 7 2 7 9 12 7 2 72 2 2 2 2

+( ) = + ⋅ ⋅ + ( ) = + + ⋅ =

( )(á â) á â áâá â áâ.

á â

− + += = + +

−

2 2á â á áâ â áâ (á â)(á â) (á â) áâá â á â

− + − − + + −= = =

− −

2 2á á á áâ â âá â â á á áâ â áâ âá â á â

⋅ + − − ⋅ + − −= = =

− −

( )( )( )( )

2 2

2 2

á á â â á âá á â âá â á â á â

á á á á â â â á â â

á â

− +−= =

− − +

+ − −= =

−

= ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅−

= + − − = +3 3 3 3 2 2 3 2 2 23 2

9 3 6 2 6 41

5 6.

1. ÏÉ ÐÑÁÃÌÁÔÉÊÏÉ ÁÑÉÈÌÏÉ

29EÊÄÏÓÅÉÓ ÐÁÔÁÊÇ • ÌÅÈÏÄÏËÏÃÉÁ ÁËÃÅÂÑÁÓ Á´ ËÕÊÅÉÏÕ • Ì. ÅÕÓÔÁÈÉÏÕ – Å. ÐÑÙÔÏÐÁÐÁÓ

×ñçóéìïðïéïýìå ôéò ôáõôüôçôåò (á + â)2 = á2 + 2áâ + â2 êáé (á − â)2 = á2 − 2áâ + â2.

01.qxd 11/1/2011 11:41 Page 29

3.

i)

ii)

áöïý ï á åßíáé èåôéêüò áêÝñáéïò.

4. i)

ii)

= ⋅

−( )=

−( )= =4 2 3

2 3

8 34 3

8 31

8 32 2 2 2 2 .

=+( ) − −( )−( ) +( )

=+ + −( ) + − +( )

−( ) +( )⎡⎣

⎤

2 3 2 3

2 3 2 3

2 3 2 3 2 3 2 3

2 3 2 3

2 2

2 2

⎦⎦

=2

1

2 3

1

2 3

2 3

2 3 2 3

2 3

2 3 2 32 2

2

2 2

2

2 2−( )

−+( )

=+( )

−( ) +( )−

−( )−( ) +( )

=

= ⋅ + + − ⋅−

= + + − = =3 5 3 5 3 55 3

15 3 5 152

82

42 2

.

=+( ) + −( )−( ) +( ) = + + −

−=

3 5 3 5 5 3

5 3 5 33 5 3 3 5 5 3 5

5 32 2

35 3

55 3

3 5 3

5 3 5 3

5 5 3

5 3 5 3−+

+=

+( )−( ) +( ) +

−( )+( ) −( ) =

2 2 21 á 2á 1 á 2á 1 (á 1)á 2 ,á á á á á á

+ + += + + = + + = = ∈ Q

2 221 1 1 2 á 1á á 2 á á

áá á á á⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ = + ⋅ ⋅ + = + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= + ⋅ + = + + = ∈23

2 1 32

46

126

96

256

Q .

2 2 22 3 2 2 3 3 2 2 3 32 23 2 3 3 2 2 3 3 2 2

⎛ ⎞+ = + ⋅ ⋅ + = + ⋅ ⋅ + =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

ËYÓÅÉÓ ÁÓÊÇÓÅÙÍ Ó×ÏËÉÊÏÕ ÂÉÂËÉÏÕ ÁËÃÅÂÑÁÓ Á´ ËÕÊÅÉÏÕ

30 EÊÄÏÓÅÉÓ ÐÁÔÁÊÇ • ÌÅÈÏÄÏËÏÃÉÁ ÁËÃÅÂÑÁÓ Á´ ËÕÊÅÉÏÕ • Ì. ÅÕÓÔÁÈÉÏÕ – Å. ÐÑÙÔÏÐÁÐÁÓ

×ñçóéìïðïéïýìå ôçí ôáõôüôçôá (á + â)2 = á2 + 2áâ + â2.

01.qxd 11/1/2011 11:41 Page 30

5. i) ×ñçóéìïðïéþíôáò ôï ðõèáãüñåéï èåþñçìá óôïïñèïãþíéï ôñßãùíï ÁÂÃ, ãéá á, â > 0 Ý÷ïõìå üôé:

ÂÃ2 = ÁÂ2 + ÁÃ2 ⇔ ⇔

⇔ ⇔

ii) Áðü ôçí ôñéãùíéêÞ áíéóüôçôá éó÷ýåé üôé:

Âà < Á + Áà ⇔iii) ×ñçóéìïðïéïýìå ôç ìÝèïäï ôçò éóïäõíáìßáò êáé, áöïý ôá äýï ìÝëç ôçò

áíéóüôçôáò åßíáé ìç áñíçôéêÜ, õøþíïõìå óôï ôåôñÜãùíï ÷ùñßò áëëáãÞôçò öïñÜò ôçò áíéóüôçôáò.

ðïõ éó÷ýåé, Üñá éó÷ýåé êáé ç áñ÷éêÞ.Ãéá ôçí éó÷ý ôçò éóüôçôáò Ý÷ïõìå üôé:

⇔ ⇔ Þ ⇔ á = 0 Þ â = 0.â 0=á 0=0 2 á â=

( )22

2 2

á â á â á â á â

á â á â 2 á â á â á â 2 á â

+ = + + = +

+ = + + + = + +

⇔ ⇔

⇔ ⇔ ⇔

0 2 á â,⇔ ≤

2 2á â á â 2 á â á â á â 2 á â⇔ + ≤ + + ⇔ + ≤ + + ⇔

( )22á â á â á â á â⇔ ⇔+ ≤ + + ≤ +

á â á â.+ < +

ÂÃ á â.= +2 2

ÂÃ á â= +

2 2BÃ AB AÃ= +

1. ÏÉ ÐÑÁÃÌÁÔÉÊÏÉ ÁÑÉÈÌÏÉ

31EÊÄÏÓÅÉÓ ÐÁÔÁÊÇ • ÌÅÈÏÄÏËÏÃÉÁ ÁËÃÅÂÑÁÓ Á´ ËÕÊÅÉÏÕ • Ì. ÅÕÓÔÁÈÉÏÕ – Å. ÐÑÙÔÏÐÁÐÁÓ

01.qxd 11/1/2011 11:41 Page 31

É. 1. Ç ðñüôáóç åßíáé øåõäÞò, áöïý ãéá á = 1, â = 2, ã = 7, ä = 6 éó÷ýåé üôé á + ã = â + ä, åíþ á ≠ â êáé ã ≠ ä. ÅðïìÝíùò äåí éó÷ýåé ç óõíåðáãùãÞ á + ã = â + ä ⇒ (á = â êáé ã = ä), åíþ éó÷ýåé ç óõíåðáãùãÞ (á = â êáé ã = ä) ⇒ á + ã = â + ä.

2. Ç ðñüôáóç åßíáé øåõäÞò, áöïý ãéá á = 0 êáé â ≠ 0 éó÷ýåé á2 = áâ, åíþ äåíéó÷ýåé á = â.

3. Ç ðñüôáóç åßíáé øåõäÞò, áöïý (á + â)2 = á2 + 2áâ + â2.

4. Ç ðñüôáóç åßíáé øåõäÞò, áöïý ïé áñéèìïß , åßíáéÜññçôïé, åíþ ôï ÜèñïéóìÜ ôïõò (á + â = 3) åßíáé ñçôüò.

5. Ç ðñüôáóç åßíáé øåõäÞò, áöïý ïé áñéèìïß åßíáé

Üññçôïé, åíþ ôï ãéíüìåíü ôïõò

åßíáé ñçôüò.6. Ç ðñüôáóç åßíáé áëçèÞò, áöïý á > â êáé ã < ä ⇔ −ã > −ä, ïðüôå

ðñïóèÝôïíôáò Ý÷ïõìå á − ã > â − ä.7. Ç ðñüôáóç åßíáé øåõäÞò, áöïý, áí á = −5, â = −3, éó÷ýåé á2 > áâ, åíþ

á < â.

8. Ç ðñüôáóç åßíáé øåõäÞò, áöïý, áí á = −8, â = −4, éó÷ýåé åíþ

á < â.9. Ç ðñüôáóç åßíáé áëçèÞò, áöïý ðñïóèÝôïíôáò ôéò äýï äïóìÝíåò

áíéóüôçôåò Ý÷ïõìå:á + á > â − â ⇔ 2á > 0 ⇔ á > 0.

10. Ç ðñüôáóç åßíáé øåõäÞò, áöïý ãéá éó÷ýåé:

⇔ ⇔ åíþ á < 1.

11. Ç ðñüôáóç åßíáé áëçèÞò, áöïý á < â < 0 ⇔ −á > −â > 0, üðïõ õøþ-íïíôáò óôï ôåôñÜãùíï (ùò èåôéêÝò ðïóüôçôåò) éó÷ýåé á2 > â2.

1 2,2

− > −1 1

122

− >−

1áá

>

1á2

= −

á 1,â

>

( )( ) 2 2áâ 5 1 5 1 5 1 4= − + = − =

â 5 1= +á 5 1,= −

â 5 4= − +á 5 1= −

ÅÅññùùôôÞÞóóååééòò êêááôôááííüüççóóççòò

ËYÓÅÉÓ ÁÓÊÇÓÅÙÍ Ó×ÏËÉÊÏÕ ÂÉÂËÉÏÕ ÁËÃÅÂÑÁÓ Á´ ËÕÊÅÉÏÕ

32 EÊÄÏÓÅÉÓ ÐÁÔÁÊÇ • ÌÅÈÏÄÏËÏÃÉÁ ÁËÃÅÂÑÁÓ Á´ ËÕÊÅÉÏÕ • Ì. ÅÕÓÔÁÈÉÏÕ – Å. ÐÑÙÔÏÐÁÐÁÓ

01.qxd 11/1/2011 11:41 Page 32

12. Ç ðñüôáóç åßíáé øåõäÞò, áöïý, áí á = 0 êáé â = 1, éó÷ýïõí ïé á > −2, â > −3, åíþ äåí éó÷ýåé ç áâ > 6.

13. Ç ðñüôáóç åßíáé áëçèÞò, áöïý á < −2 ⇔ −á > 2 êáé â < −3 ⇔ −â > 3,ôéò ïðïßåò ðïëëáðëáóéÜæïíôáò êáôÜ ìÝëç (ùò èåôéêÝò ðïóüôçôåò) éó÷ýåéáâ > 6.

14. Ç ðñüôáóç åßíáé áëçèÞò, áöïý 4á2 − 20áâ + 25â2 = (2á − 5â)2 ≥ 0.15. Ç ðñüôáóç åßíáé áëçèÞò, áöïý:

• (á − 1)2 ≥ 0, (á + 1)2 ≥ 0, ïðüôå (á − 1)2 + (á + 1)2 ≥ 0 êáé• ç éóüôçôá éó÷ýåé ìüíï áí á − 1 = 0 êáé á + 1 = 0, ôï ïðïßï äåí ìðïñåß

íá óõìâåß, Üñá (á − 1)2 + (á + 1)2 > 0.16. Ç ðñüôáóç åßíáé øåõäÞò, áöïý ãéá á = −1 Ý÷ïõìå üôé:

(á2 − 1)2 + (á + 1)2 = 0. 17. Ç ðñüôáóç åßíáé áëçèÞò, áöïý (á + â)2 ≥ 0, (á − â)2 ≥ 0, ïðüôå:

(á + â)2 + (á − â)2 = 0 ⇔ á + â = 0 êáé á − â = 0 ⇔ á = −â êáé á = â ⇔⇔ á = â = 0.

18. Ç ðñüôáóç åßíáé áëçèÞò, áöïý:

ðïõ éó÷ýåé, Üñá éó÷ýåé êáé ç áñ÷éêÞ.19. Ç ðñüôáóç åßíáé øåõäÞò, áöïý, áí á = −3 êáé â = 9, éó÷ýåé ç á2 = â, åíþ

äåí éó÷ýåé ç ⇔ ⇔ −3 = 3!!!20. Ç ðñüôáóç åßíáé øåõäÞò, áöïý, áí á = −3, äåí éó÷ýåé:

⇔ ⇔ ⇔ 3 = −3!!!21. Ç ðñüôáóç åßíáé áëçèÞò (ãíùóôü áðü ôç èåùñßá).22. Ç ðñüôáóç åßíáé øåõäÞò, áöïý, áí á = −9 êáé â = −25, éó÷ýåé üôé á⋅â ≥ 0,

åíþ äåí éó÷ýåé üôé , áöïý äåí ïñßæïíôáé ïé .23. Ç ðñüôáóç åßíáé øåõäÞò, áöïý, áí á = −3 êáé â = 25, Ý÷ïõìå:

, åíþ

!!!24. Ç ðñüôáóç åßíáé øåõäÞò, áöïý, áí á = 3 êáé â = 4, Ý÷ïõìå:

åíþ á + â = 3 + 4 = 7!!!2 2 2 2á â 3 4 9 16 25 5,+ = + = + = =

á â 3 25 3 5 15⋅ = − ⋅ = − ⋅ = −

2 2á â ( 3) 5 9 25 225 15⋅ = − ⋅ = ⋅ = =

á, âá â á â⋅ = ⋅

9 3= −2( 3) 3− = −2á á=

3 9− =á â=

2 2

2 2 2

2 2 2 2

| á â | | á | | â | | á â | (| á | | â |)(á â) | á | 2 | á || â | | â |á 2áâ â á 2 | áâ | â áâ | áâ | áâ 0,

+ = + ⇔ + = + ⇔

⇔ + = + + ⇔

⇔ + + = + + ⇔ = ⇔ ≥

1. ÏÉ ÐÑÁÃÌÁÔÉÊÏÉ ÁÑÉÈÌÏÉ

33EÊÄÏÓÅÉÓ ÐÁÔÁÊÇ • ÌÅÈÏÄÏËÏÃÉÁ ÁËÃÅÂÑÁÓ Á´ ËÕÊÅÉÏÕ • Ì. ÅÕÓÔÁÈÉÏÕ – Å. ÐÑÙÔÏÐÁÐÁÓ

01.qxd 11/1/2011 11:41 Page 33

25. Ç ðñüôáóç åßíáé áëçèÞò, áöïý , äåäïìÝíïõ üôé á ≥ 0.26. Ç ðñüôáóç åßíáé øåõäÞò, áöïý, áí á = −4, Ý÷ïõìå:

åíþ ç äåí ïñßæåôáé.

27. Ç ðñüôáóç åßíáé áëçèÞò, áöïý 525 > 255 ⇔ 525 > (52)5 ⇔ 525 > 52⋅5 ⇔⇔ 525 > 510, ðïõ éó÷ýåé, Üñá éó÷ýåé êáé ç áñ÷éêÞ.

28. Ç ðñüôáóç åßíáé áëçèÞò, áöïý

1122 > 2211 ⇔ 1122 > (2 ⋅ 11)11 ⇔ 1122 > 211 ⋅ 1111 ⇔ ⇔

⇔ 1122−11 > 211 ⇔ 1111 > 211 ⇔ 11 > 2, ðïõ éó÷ýåé, Üñá éó÷ýåé êáé ç áñ÷éêÞ.

ÅðïìÝíùò ïé áðáíôÞóåéò óõãêåíôñùìÝíåò åßíáé:

ÉÉ. 1. Áöïý 2 < x < 5, éó÷ýïõí ïé x − 2 > 0 êáé x − 5 < 0, ïðüôå |x − 2| = x − 2êáé |x − 5| = −(x − 5) = −x + 5, Üñá |x − 2| + |x − 5| = x − 2 − x + 5 = 3êáé óùóôü åßíáé ôï Ä.

2. Áöïý 10 < x < 20, éó÷ýïõí ïé x − 10 > 0 êáé x − 20 < 0, ïðüôå |x − 10| = x − 10 êáé |x − 20| = −(x − 20),

Üñá êáé óùóôü

åßíáé ôï Ä.

3. Áöïý êáé , Ý÷ïõìå â < ã < á êáé óùóôü åßíáé ôï Ä.

4.

Üñá óùóôü åßíáé ôï Ã.

ÅðïìÝíùò ïé áðáíôÞóåéò óõãêåíôñùìÝíåò åßíáé:

9 4 5 5 2 2 2 5 5 2 5 2 5 22 2 2

+ = + + ⋅ ⋅ = +( ) = + = + ,

6 23 6ã 3 3 9= = =6 3 6â 2 2 8= = =6á 10,=

| x 10 | | x 20 | x 10 (x 20) 1 ( 1) 0x 10 x 20 x 10 x 20

− − − − −+ = + = + − =

− − − −

22 11 11

11 11

11 2 1111 11

⋅>

á42 2 44 44á ( 4) 16 2 2,= − = = =

6 2 33 3á á á⋅= =

ËYÓÅÉÓ ÁÓÊÇÓÅÙÍ Ó×ÏËÉÊÏÕ ÂÉÂËÉÏÕ ÁËÃÅÂÑÁÓ Á´ ËÕÊÅÉÏÕ

1 Ø 2 Ø 3 Ø 4 Ø 5 Ø 6 Á 7 Ø8 Ø 9 Á 10 Ø 11 Á 12 Ø 13 Á 14 Á15 Á 16 Ø 17 Á 18 Á 19 Ø 20 Ø 21 Á22 Ø 23 Ø 24 Ø 25 Á 26 Ø 27 Á 28 Á

1 Ä 2 Ä 3 Ä 4 Ã

34 EÊÄÏÓÅÉÓ ÐÁÔÁÊÇ • ÌÅÈÏÄÏËÏÃÉÁ ÁËÃÅÂÑÁÓ Á´ ËÕÊÅÉÏÕ • Ì. ÅÕÓÔÁÈÉÏÕ – Å. ÐÑÙÔÏÐÁÐÁÓ

01.qxd 11/1/2011 11:41 Page 34

ÉÉÉ. ¼ôáí 0 < á < 1, éó÷ýåé 0 < á4 < á3 < á2 < á < < 1,

åíþ, üôáí â > 1, éó÷ýåé 1 < < â < â2 < â3 < â4. Óõíåðþò:

â

á

1. ÏÉ ÐÑÁÃÌÁÔÉÊÏÉ ÁÑÉÈÌÏÉ

35EÊÄÏÓÅÉÓ ÐÁÔÁÊÇ • ÌÅÈÏÄÏËÏÃÉÁ ÁËÃÅÂÑÁÓ Á´ ËÕÊÅÉÏÕ • Ì. ÅÕÓÔÁÈÉÏÕ – Å. ÐÑÙÔÏÐÁÐÁÓ

Ã Ä Å Æ Ç È

á3 á2 á â â2 â3

01.qxd 11/1/2011 11:41 Page 35

Eîéóþóåéò 1ïõ âáèìïý

Á´ ÏìÜäá

1. i) 4x − 3(2x − 1) = 7x − 42 ⇔ 4x − 6x + 3 = 7x − 42 ⇔

⇔ 4x − 6x − 7x = −3 − 42 ⇔ −9x = −45 ⇔ ⇔ x = 5.

ii) ⇔

⇔ ⇔

⇔ 4(1 − 4x) − 5(x + 1) = x − 4 + 5 ⋅ 5 ⇔ 4 − 16x − 5x − 5 = x − 4 + 25 ⇔⇔ − 16x − 5x − x = − 4 + 5 − 4 + 25 ⇔ − 22x = 22 ⇔

⇔ ⇔ x = −1.

iii) ⇔ ⇔

⇔ 30x − 20x = 15x − 12x − 49 ⇔ 30x − 20x − 15x + 12x = − 49 ⇔

⇔ 7x = −49 ⇔ ⇔ x = 7.

iv) 1,2(x + 1) − 2,5 + 1,5x = 8,6 ⇔ 1,2x + 1,2 − 2,5 + 1,5x = 8,6 ⇔

⇔ 1,2x + 1,5x = 8,6 − 1,2 + 2,5 ⇔ 2,7x = 9,9 ⇔ .

2. i) 2(3x − 1) − 3(2x − 1) = 4 ⇔ 6x − 2 − 6x + 3 = 4 ⇔ 6x − 6x = 4 − 3 + 2 ⇔⇔ 0x = 3, ðïõ åßíáé áäýíáôç.

9,9 99 11x2,7 27 3

= = =

49x7

−=

x x x x 4960 60 60 60 602 3 4 5 60

⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ − ⋅x x x x 492 3 4 5 60

− = − −

22x22

=−

1 4x x 1 x 4 520 20 20 205 4 20 4

− + −⋅ − ⋅ = ⋅ + ⋅

1 4x x 1 x 4 55 4 20 4

− + −− = +

45x9

−=

−

2.1

36 EÊÄÏÓÅÉÓ ÐÁÔÁÊÇ • ÌÅÈÏÄÏËÏÃÉÁ ÁËÃÅÂÑÁÓ Á´ ËÕÊÅÉÏÕ • Ì. ÅÕÓÔÁÈÉÏÕ – Å. ÐÑÙÔÏÐÁÐÁÓ

Åîéóþóåéò2

01.qxd 11/1/2011 11:41 Page 36

ii) ⇔ ⇔

⇔ 6x − (5 − x) = −5 + 7x ⇔ 6x − 5 + x = −5 + 7x ⇔⇔ 6x + x − 7x = 5 − 5 ⇔ 0x = 0, ðïõ åßíáé áüñéóôç.

3. i) • Áí ë − 1 ≠ 0 ⇔ ë ≠ 1, Ý÷ïõìå ìïíáäéêÞ ëýóç ôç ⇔ x = 1.

• Áí ë = 1, ç åîßóùóç åßíáé ç 0x = 0, ðïõ åßíáé áüñéóôç.

ii) • Áí ë − 2 ≠ 0 ⇔ ë ≠ 2, Ý÷ïõìå ìïíáäéêÞ ëýóç ôç .

• Áí ë = 2, ç åîßóùóç åßíáé ç 0x = 2, ðïõ åßíáé áäýíáôç.iii) • Áí ë(ë − 1) ≠ 0 ⇔ ë ≠ 0 êáé ë ≠ 1, Ý÷ïõìå ìïíáäéêÞ ëýóç ôç

.

• Áí ë = 0, ç åîßóùóç åßíáé ç 0x = −1, ðïõ åßíáé áäýíáôç.• Áí ë = 1, ç åîßóùóç åßíáé ç 0x = 0, ðïõ åßíáé áüñéóôç.

iv) Éó÷ýåé üôé ë(ë − 1)x = ë2 + ë ⇔ ë(ë − 1)x = ë(ë + 1).• Áí ë(ë − 1) ≠ 0 ⇔ ë ≠ 0 êáé ë ≠ 1, Ý÷ïõìå ìïíáäéêÞ ëýóç ôç

.

• Áí ë = 0, ç åîßóùóç åßíáé ç 0x = 0, ðïõ åßíáé áüñéóôç.• Áí ë = 1, ç åîßóùóç åßíáé ç 0x = 2, ðïõ åßíáé áäýíáôç.

4. ¸÷ïõìå üôé 0 < ÁÌ < ÁÄ ⇔ 0 < x < 5 êáé ÌÄ = ÁÄ − ÁÌ ⇔ ÌÄ = 5 − x.Åðßóçò:

, ,

⇔

⇔ x∈(0, 5).340 3(5 x) 5x 40 15 3x 5x 25 2xE ,

2 2 2− − − − + − −

= = =

3 ÁÂÃÄ 1 23 (5 x) x 5 40 3 (5 x) x 5E E E E 20

2 2 2 2 2⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅

= − − = − − = − −

ÁÂÃÄAB ÃÄ 5 3 8E AÄ 5 5 4 5 20,

2 2 2+ +

= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =

2AM AB x 5E

2 2⋅ ⋅

= =1ÃÄ ÄM 3 (5 x)E

2 2⋅ ⋅ −

= =

ë(ë 1) ë 1xë(ë 1) ë 1

+ += =

− −

ë 1 1xë(ë 1) ë

−= =

−

ëxë 2

=−

ë 1xë 1

−=

−

5 x 5 7x3 2x 3 3 33 3 3−

⋅ − ⋅ = − ⋅ + ⋅5 x 5 7x2x

3 3 3−

− = − +

2. ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ

37EÊÄÏÓÅÉÓ ÐÁÔÁÊÇ • ÌÅÈÏÄÏËÏÃÉÁ ÁËÃÅÂÑÁÓ Á´ ËÕÊÅÉÏÕ • Ì. ÅÕÓÔÁÈÉÏÕ – Å. ÐÑÙÔÏÐÁÐÁÓ

01.qxd 11/1/2011 11:41 Page 37

i) E1 + E2 = E3 ⇔ ⇔

⇔ 3 ⋅ (5 − x) + 5x = 25 − 2x ⇔ 15 − 3x + 5x = 25 − 2x ⇔

⇔ −3x + 5x + 2x = 25 − 15 ⇔ 4x = 10 ⇔ .

Óõíåðþò , ïðüôå ôï Ì åßíáé ôï ìÝóï ôçò ðëåõñÜò ÁÄ.

ii) E1 = E2 ⇔ ⇔ 3 ⋅ (5 − x) = 5x ⇔ 15 − 3x = 5x ⇔

⇔ −3x − 5x = − 15 ⇔ −8x = −15 ⇔ .

Óõíåðþò , ïðüôå ç èÝóç ôïõ Ì åßíáé ðñïóäéïñéóìÝíç ðÜíù

óôçí ðëåõñÜ ÁÄ.

5. ¸óôù üôé x € ôïêßóôçêáí ðñïò 5%, ïðüôå (4.000 − x) € ôïêßóôçêáí ðñïò3%, ìå áíôßóôïé÷á ðïóÜ áðü ôüêïõò 5% ⋅ x € êáé (4.000 − x) ⋅ 3% €. Áõôüóçìáßíåé üôé: 5% ⋅ x + (4.000 − x) ⋅ 3% = 175 ⇔ 0,05x + (4.000 − x) ⋅ 0,03 = 175 ⇔⇔ 0,05x + 120 − 0,03x = 175 ⇔ 0,05x − 0,03x = 175 − 120 ⇔

⇔ 0,02x = 55 ⇔ ⇔ x = 2.750 €.

ÅðïìÝíùò 2.750 € ôïêßóôçêáí ðñïò 5% êáé 4.000 € − 2.750 € = 1.250 € ôïêßóôçêáí ðñïò 3%.

6. Èåùñïýìå ôç ìåôáâëçôÞ ùò ðñïò ôçí ïðïßá ëýíïõìå Üãíùóôï ôçò«åîßóùóçò» êáé ëýíïõìå ôçí «åîßóùóç» êáôÜ ôá ãíùóôÜ.

i) áöïý á ≠ 0.

ii) ⇔ ⇔1 2 1 2 1 21 2

1 1 1RR R RR R RR RR R R

= +1 2

1 1 1R R R

= +

00 0 0

v vv v át v át v át v v t ,

á−

= + ⇔ + = ⇔ = − ⇔ =

55x0,02

=

15AM8

=

15x8

=

3 (5 x) x 52 2

⋅ − ⋅=

5AM2

=

10 5x4 2

= =

3 (5 x) x 5 25 2x2 2 2

⋅ − ⋅ −+ =

ËYÓÅÉÓ ÁÓÊÇÓÅÙÍ Ó×ÏËÉÊÏÕ ÂÉÂËÉÏÕ ÁËÃÅÂÑÁÓ Á´ ËÕÊÅÉÏÕ

38 EÊÄÏÓÅÉÓ ÐÁÔÁÊÇ • ÌÅÈÏÄÏËÏÃÉÁ ÁËÃÅÂÑÁÓ Á´ ËÕÊÅÉÏÕ • Ì. ÅÕÓÔÁÈÉÏÕ – Å. ÐÑÙÔÏÐÁÐÁÓ

01.qxd 11/1/2011 11:41 Page 38

⇔ ⇔ ⇔

⇔ ⇔ , áöïý

Éó÷ýåé áöïý, áí R2 = R, ôüôå ç áñ÷éêÞ ãßíåôáé

ðïõ äåí ìðïñåß íá éó÷ýåé.

7.

i) x2(x − 4) + 2x(x − 4) + (x − 4) = 0 ⇔ (x − 4)(x2 + 2x + 1) = 0 ⇔⇔ (x − 4)(x + 1)2 = 0 ⇔ x − 4 = 0 Þ (x + 1)2 = 0 ⇔ x = 4 Þ x + 1 = 0 ⇔⇔ x = 4 Þ x = −1.

ii) (x − 2)2 − (2 − x)(4 + x) = 0 ⇔ (x − 2)2 + (x − 2)(4 + x) = 0 ⇔⇔ (x − 2)(x − 2 + 4 + x) = 0 ⇔ (x − 2) ⋅ (2x + 2) = 0 ⇔

⇔ x − 2 = 0 Þ 2x + 2 = 0 ⇔ x = 2 Þ 2x = −2 ⇔ x = 2 Þ ⇔

⇔ x = 2 Þ x = −1.

8.

i) x(x2 − 1) − x3 + x2 = 0 ⇔ x(x − 1)(x + 1) − x2(x − 1) = 0 ⇔⇔ (x − 1)[x(x + 1) − x2] = 0 ⇔ (x − 1)(x2 + x − x2) = 0 ⇔⇔ (x − 1) ⋅ x = 0 ⇔ x − 1 = 0 Þ x = 0 ⇔ x = 1 Þ x = 0.

ii) (x + 1)2 + x2 − 1= 0 ⇔ (x + 1)2 + (x − 1)(x + 1) = 0 ⇔⇔ (x + 1)(x + 1 + x − 1) = 0 ⇔ (x + 1) ⋅ 2x = 0 ⇔ x + 1 = 0 Þ 2x = 0 ⇔⇔ x = −1 Þ x = 0.

9.

i) x(x − 2)2 = x2 − 4x + 4 ⇔ x(x − 2)2 − (x2 − 4x + 4) = 0 ⇔⇔ x(x − 2)2 − (x − 2)2 = 0 ⇔ (x − 2)2(x − 1) = 0 ⇔⇔ (x − 2)2 = 0 Þ x − 1 = 0 ⇔ x − 2 = 0 Þ x = 1 ⇔ x = 2 Þ x = 1.

ii) (x2 − 4)(x − 1) = (x2 − 1)(x − 2) ⇔ (x2 − 4)(x − 1) − (x2 − 1)(x − 2) = 0 ⇔⇔ (x − 2)(x + 2)(x − 1) − (x − 1)(x + 1)(x − 2) = 0 ⇔⇔ (x − 2)(x − 1)(x + 2 − x − 1) = 0 ⇔ (x − 2)(x − 1) = 0 ⇔⇔ x − 2 = 0 Þ x − 1 = 0 ⇔ x = 2 Þ x = 1.

2x2

= −

1 1

1 1 1 1 0,R R R R

= + ⇔ =

2R R,≠

2R R.≠21

2

RRRR R

=−

( )1 2 2R R R RR− =

1 2 1 2R R RR RR− =1 2 2 1R R RR RR= +

2. ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ

39EÊÄÏÓÅÉÓ ÐÁÔÁÊÇ • ÌÅÈÏÄÏËÏÃÉÁ ÁËÃÅÂÑÁÓ Á´ ËÕÊÅÉÏÕ • Ì. ÅÕÓÔÁÈÉÏÕ – Å. ÐÑÙÔÏÐÁÐÁÓ

Ðáñáãïíôïðïéïýìå êáé ÷ñçóéìïðïéïýìå üôé á ⋅ â = 0 ⇔ á = 0 Þ â = 0.

Ðáñáãïíôïðïéïýìå êáé ÷ñçóéìïðïéïýìå üôé á ⋅ â = 0 ⇔ á = 0 Þ â = 0.

ÖÝñíïõìå üëïõò ôïõò üñïõò óôï ðñþôï ìÝëïò, ðáñáãïíôïðïéïýìå êáé÷ñçóéìïðïéïýìå üôé á ⋅ â = 0 ⇔ á = 0 Þ â = 0.

01.qxd 11/1/2011 11:41 Page 39

10.

i) x3 − 2x2 − x + 2 = 0 ⇔ x2(x − 2) − (x − 2) = 0 ⇔ (x − 2)(x2 − 1) = 0 ⇔⇔ (x − 2)(x − 1)(x + 1) = 0 ⇔ x − 2 = 0 Þ x − 1 = 0 Þ x + 1 = 0 ⇔⇔ x = 2 Þ x = 1 Þ x = −1.

ii) x3 − 2x2 − (2x − 1)(x − 2) = 0 ⇔ x2(x − 2) − (2x − 1)(x − 2) = 0 ⇔⇔ (x − 2)[x2 − (2x − 1)] = 0 ⇔ (x − 2)(x2 − 2x + 1) = 0 ⇔⇔ (x − 2)(x − 1)2 = 0 ⇔ x − 2 = 0 Þ (x − 1)2 = 0 ⇔ x = 2 Þ x − 1 = 0 ⇔⇔ x = 2 Þ x = 1.

11.

i) Ãéá ⇔ ⇔ ⇔

⇔ x ≠ 1 êáé x ≠ 0 Ý÷ïõìå:

⇔ ⇔

⇔ ⇔ x . x = 1 ⇔ x2 = 1 ⇔

⇔ x2 − 1 = 0 ⇔ (x − 1)(x + 1) = 0 ⇔ x − 1 = 0 Þ x + 1 = 0 ⇔⇔ x = 1 (áðïññßðôåôáé) Þ x = − 1 ⇔ x = − 1.

ii) Ãéá ⇔ ⇔ ⇔

⇔ x ≠ ±1 Ý÷ïõìå:

⇔ ⇔

⇔ ⇔

⇔ (x + 1)(x − 1) + 2(x + 1) = 0 ⇔ (x + 1)(x − 1 + 2) = 0 ⇔ (x + 1)2 = 0 ⇔ x = −1 (áðïññßðôåôáé), Üñá åßíáé áäýíáôç.

2 22

x 1 2(x 1)(x 1) (x 1)(x 1) 0(x 1)(x 1) (x 1)

++ − + + − =

− + −

2

x 1 2 0(x 1)(x 1) (x 1)

++ =

− + −2 2

x 1 2 0x 1 x 2x 1

++ =

− − +

x 1 0 êáé x 1 0x 1 0

− ≠ + ≠⎧⎨ − ≠⎩

2

(x 1)(x 1) 0(x 1) 0− + ≠⎧

⎨ − ≠⎩

2

2

x 1 0x 2x 1 0

⎧ − ≠⎨

− + ≠⎩

x 1x(x 1) x(x 1)x 1 x(x 1)

− = −− −

x 1x 1 x(x 1)

=− −2

x 1x 1 x x

=− −

x 1 0x 0 êáé x 1 0

− ≠⎧⎨ ≠ − ≠⎩

x 1 0x(x 1) 0

− ≠⎧⎨ − ≠⎩

2

x 1 0x x 0

− ≠⎧⎨ − ≠⎩

ËYÓÅÉÓ ÁÓÊÇÓÅÙÍ Ó×ÏËÉÊÏÕ ÂÉÂËÉÏÕ ÁËÃÅÂÑÁÓ Á´ ËÕÊÅÉÏÕ

40 EÊÄÏÓÅÉÓ ÐÁÔÁÊÇ • ÌÅÈÏÄÏËÏÃÉÁ ÁËÃÅÂÑÁÓ Á´ ËÕÊÅÉÏÕ • Ì. ÅÕÓÔÁÈÉÏÕ – Å. ÐÑÙÔÏÐÁÐÁÓ

Ðáñáãïíôïðïéïýìå êáé ÷ñçóéìïðïéïýìå üôé á ⋅ â = 0 ⇔ á = 0 Þ â = 0.

ÂÜæïõìå ðåñéïñéóìïýò, âñßóêïõìå ôï ÅÊÐ ôùí ðáñïíïìáóôþí, êÜíïõ-ìå áðáëïéöÞ ðáñïíïìáóôþí êáé ëýíïõìå ôçí åîßóùóç ðïõ ðñïêýðôåéêáôÜ ôá ãíùóôÜ. Óôï ôÝëïò åëÝã÷ïõìå áí ïé ëýóåéò ðïõ âñÞêáìå åßíáéäåêôÝò óå ó÷Ýóç ìå ôïõò ðåñéïñéóìïýò.

01.qxd 11/1/2011 11:41 Page 40

12. i) Ãéá ⇔ ⇔ ⇔

⇔ x ≠ ±1 Ý÷ïõìå:

⇔ ⇔

⇔ ⇔

⇔ x + 1 + x − 1 = 2 ⇔ 2x = 2 ⇔ x = 1 (áðïññßðôåôáé), Üñá åßíáéáäýíáôç.

ii) Ãéá ⇔ ⇔ ⇔

⇔ x ≠ −2 êáé x ≠ 0 Ý÷ïõìå:

⇔ ⇔

⇔ ⇔

⇔ 3x − 2(x + 2) = x − 4 ⇔ 3x − 2x − 4 = x − 4 ⇔⇔ 3x − 2x − x = 4 − 4 ⇔ 0x = 0,ïðüôå ëýóç åßíáé êÜèå x ∈ −{−2, 0}.

iii) Ãéá ⇔ ⇔ ⇔

⇔ x ≠ ±2 Ý÷ïõìå:

⇔ ⇔

⇔ ⇔

⇔ x − 2 = x ⇔ x − x = 2 ⇔ 0x = 2, Üñá åßíáé áäýíáôç.

iv) Ãéá ⇔ ⇔ ⇔

⇔ x ≠ ±1 Ý÷ïõìå:

x 1 0x 1 0 êáé x 1 0

+ ≠⎧⎨ + ≠ − ≠⎩

x 1 0(x 1)(x 1) 0

+ ≠⎧⎨ − + ≠⎩

2

x 1 0x 1 0

+ ≠⎧⎨ − ≠⎩

1 x(x 2)(x 2) (x 2)(x 2)x 2 (x 2)(x 2)

− + = − ++ − +

1 xx 2 (x 2)(x 2)

=+ − +2

1 xx 2 x 4

=+ −

x 2 0x 2 0 êáé x 2 0

+ ≠⎧⎨ + ≠ − ≠⎩

x 2 0(x 2)(x 2) 0

+ ≠⎧⎨ − + ≠⎩

2

x 2 0x 4 0

+ ≠⎧⎨ − ≠⎩

R

3 2 x 4x(x 2) x(x 2) x(x 2)x 2 x x(x 2)

−+ − + = +

+ +

3 2 x 4x 2 x x(x 2)

−− =

+ +2

3 2 x 4x 2 x x 2x

−− =

+ +

x 2 0x 0

x 0 êáé x 2 0

+ ≠⎧⎪ ≠⎨⎪ ≠ + ≠⎩

x 2 0x 0

x(x 2) 0

+ ≠⎧⎪ ≠⎨⎪ + ≠⎩

2

x 2 0x 0

x 2x 0

+ ≠⎧⎪ ≠⎨⎪ + ≠⎩

1 1 2(x 1)(x 1) (x 1)(x 1) (x 1)(x 1)x 1 x 1 (x 1)(x 1)

+ − + + − = + −− + − +

1 1 2x 1 x 1 (x 1)(x 1)

+ =− + − +2

1 1 2x 1 x 1 x 1

+ =− + −

x 1 0x 1 0

x 1 0 êáé x 1 0

− ≠⎧⎪ + ≠⎨⎪ − ≠ + ≠⎩

x 1 0x 1 0

(x 1)(x 1) 0

− ≠⎧⎪ + ≠⎨⎪ − + ≠⎩

2

x 1 0x 1 0x 1 0

− ≠⎧⎪ + ≠⎨⎪ − ≠⎩

2. ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ

41EÊÄÏÓÅÉÓ ÐÁÔÁÊÇ • ÌÅÈÏÄÏËÏÃÉÁ ÁËÃÅÂÑÁÓ Á´ ËÕÊÅÉÏÕ • Ì. ÅÕÓÔÁÈÉÏÕ – Å. ÐÑÙÔÏÐÁÐÁÓ

01.qxd 11/1/2011 11:41 Page 41

⇔ ⇔

⇔ ⇔

⇔ x(x − 1) = x(x − 1) ⇔ x(x − 1) − x(x − 1) = 0 ⇔ 0x = 0,ïðüôå ëýóç åßíáé êÜèå x ∈ − {−1, 1}.

13. Áí x∈ , èåùñïýìå ôïõò äéáäï÷éêïýò áêåñáßïõò x − 1, x, x + 1.Ôüôå: x − 1 + x + x + 1 = (x − 1) ⋅ x ⋅ (x + 1) ⇔ 3x − x(x2 − 1) = 0 ⇔⇔ x(3 − x2 + 1) = 0 ⇔ x(4 − x2) = 0 ⇔ x(2 − x)(2 + x) = 0 ⇔⇔ x = 0 Þ 2 − x = 0 Þ 2 + x = 0 ⇔ x = 0 Þ x = 2 Þ x = −2.ÅðïìÝíùò ïé æçôïýìåíïé áñéèìïß åßíáé: −1, 0, 1 (ãéá x = 0) Þ 1, 2, 3 (ãéá x = 2) Þ −3, −2, −1 (ãéá x = −2).

14. i) |2x − 3| = 5 ⇔ 2x − 3 = 5 Þ 2x − 3 = −5 ⇔ 2x = 5 + 3 Þ 2x = −5 + 3 ⇔

⇔ 2x = 8 Þ 2x = −2 ⇔ Þ ⇔ x = 4 Þ x = −1.

ii) |2x − 4| = |x − 1| ⇔ 2x − 4 = x − 1 Þ 2x − 4 = −x + 1 ⇔

⇔ 2x − x = 4 − 1 Þ 2x + x = 4 + 1 ⇔ x = 3 Þ 3x = 5 ⇔ x = 3 Þ .

iii) • Áí 2x − 1 < 0 ⇔ 2x < 1 ⇔ , ç åîßóùóç åßíáé áäýíáôç, áöïý ôï

ðñþôï ìÝëïò åßíáé ìç áñíçôéêü, åíþ ôï äåýôåñï ìÝëïò åßíáé áñíçôéêü.

• Áí 2x − 1 ≥ 0 ⇔ 2x ≥ 1 ⇔ , ç åîßóùóç ãßíåôáé:

|x − 2| = 2x − 1 ⇔ x − 2 = 2x − 1 Þ x − 2 = −2x + 1 ⇔⇔ x − 2x = 2 − 1 Þ x + 2x = 2 + 1 ⇔ −x = 1 Þ 3x = 3 ⇔⇔ x = −1 (áðïññßðôåôáé) Þ x = 1 ⇔ x = 1.

ÅðïìÝíùò ç åîßóùóç Ý÷åé ìïíáäéêÞ ëýóç ôç x = 1.iv) • Áí x − 2 < 0 ⇔ x < 2, ç åîßóùóç åßíáé áäýíáôç, áöïý ôï ðñþôï ìÝëïò

åßíáé ìç áñíçôéêü, åíþ ôï äåýôåñï ìÝëïò åßíáé áñíçôéêü.• Áí x − 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2, ç åîßóùóç ãßíåôáé:

|2x − 1| = x − 2 ⇔ 2x − 1 = x − 2 Þ 2x − 1 = −x + 2 ⇔⇔ 2x − x = 1 − 2 Þ 2x + x = 1 + 2 ⇔ x = −1 Þ 3x = 3 ⇔⇔ x = −1 Þ x = 1 (áðïññßðôïíôáé).

ÅðïìÝíùò ç åîßóùóç åßíáé áäýíáôç.

1x2

≥

1x2

<

5x3

=

2x2

−=

8x2

=

Z

R

x(x 1) x(x 1)(x 1) (x 1)(x 1)(x 1)(x 1) x 1

−− + = − +

− + +

x(x 1) x(x 1)(x 1) x 1

−=

− + +

2

2

x x xx 1 x 1

−=

− +

ËYÓÅÉÓ ÁÓÊÇÓÅÙÍ Ó×ÏËÉÊÏÕ ÂÉÂËÉÏÕ ÁËÃÅÂÑÁÓ Á´ ËÕÊÅÉÏÕ

42 EÊÄÏÓÅÉÓ ÐÁÔÁÊÇ • ÌÅÈÏÄÏËÏÃÉÁ ÁËÃÅÂÑÁÓ Á´ ËÕÊÅÉÏÕ • Ì. ÅÕÓÔÁÈÉÏÕ – Å. ÐÑÙÔÏÐÁÐÁÓ

01.qxd 11/1/2011 11:41 Page 42

15. i) ⇔ ⇔

⇔ 5(|x| + 4) − 3(|x| + 4) = 5 ⋅ 2 ⇔ 5|x| + 20 − 3|x| − 12 = 10 ⇔⇔ 5|x| − 3|x| = 12 − 20 + 10 ⇔ 2|x| = 2 ⇔ |x| = 1 ⇔ x = ±1.

ii) ⇔ ⇔

⇔ 2(2|x| + 1) − 3(|x| − 1) = 3 ⇔ 4|x| + 2 − 3|x| + 3 = 3 ⇔⇔ 4|x| − 3|x| = −3 − 2 + 3 ⇔ |x| = −2, ðïõ åßíáé áäýíáôç, áöïý ôï ðñþôïìÝëïò åßíáé ìç áñíçôéêü, åíþ ôï äåýôåñï ìÝëïò åßíáé áñíçôéêü.

16. i) Ãéá 3 + x ≠ 0 ⇔ x ≠ −3 Ý÷ïõìå üôé:

⇔ ⇔ ⇔

⇔ |3 − x| = 4 ⋅ |3 + x| ⇔ 3 − x = 4(3 + x) Þ 3 − x = −4(3 + x) ⇔⇔ 3 − x = 12 + 4x Þ 3 − x = −12 − 4x ⇔⇔ −x − 4x = 12 − 3 Þ −x + 4x = −12 − 3 ⇔ −5x = 9 Þ 3x = −15 ⇔

⇔ Þ ⇔ Þ x = −5.

ii) |x − 1||x − 2| = |x − 1| ⇔ |x − 1||x − 2| − |x − 1| = 0 ⇔⇔ |x − 1|(|x − 2| − 1) = 0 ⇔ |x − 1| = 0 Þ |x − 2| = 1 ⇔⇔ x − 1 = 0 Þ x − 2 = 1 Þ x − 2 = −1 ⇔⇔ x − 1 = 0 Þ x = 2 + 1 Þ x = 2 − 1 ⇔ x = 1 Þ x = 3.

B´ ÏìÜäá

1. i) (x + á)2 − (x − â)2 = 2á(á + â) ⇔⇔ x2 + 2áx + á2 − (x2 − 2âx + â2) = 2á2 + 2áâ ⇔⇔ x2 + 2áx + á2 − x2 + 2âx − â2 = 2á2 + 2áâ ⇔⇔ 2áx + 2âx = á2 + 2áâ + â2 ⇔ 2(á + â)x = (á + â)2 (É).• Áí á + â = 0 ⇔ á = −â, ç (É) åßíáé áüñéóôç.

• Áí á + â ≠ 0 ⇔ á ≠ −â, ôüôå (É) ⇔ .

ÅðïìÝíùò ç åîßóùóç Ý÷åé ëýóç ãéá êÜèå á, â ∈ .R

2(á â) á âx2(á â) 2

+ += =

+

9x5

= −15x3

−=

9x5

=−

| 3 x || 3 x | 4 | 3 x || 3 x |

−+ ⋅ = ⋅ +

+| 3 x | 4| 3 x |

−=

+3 x 43 x

−=

+

2 | x | 1 | x | 1 16 6 63 2 2

+ −⋅ − ⋅ = ⋅

2 | x | 1 | x | 1 13 2 2

+ −− =

| x | 4 | x | 4 215 15 153 5 3+ +

⋅ − ⋅ = ⋅| x | 4 | x | 4 2

3 5 3+ +

− =

2. ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ

43EÊÄÏÓÅÉÓ ÐÁÔÁÊÇ • ÌÅÈÏÄÏËÏÃÉÁ ÁËÃÅÂÑÁÓ Á´ ËÕÊÅÉÏÕ • Ì. ÅÕÓÔÁÈÉÏÕ – Å. ÐÑÙÔÏÐÁÐÁÓ

01.qxd 11/1/2011 11:41 Page 43

ii) Ãéá á, â ≠ 0 Ý÷ïõìå üôé:

⇔ ⇔ á(x − á) = â(x − â) ⇔

⇔ áx − á2 = âx − â2 ⇔ áx − âx = á2 − â2 ⇔ (á − â)x = (á − â)(á + â) (ÉÉ).• Áí á − â = 0 ⇔ á = â, ç (ÉÉ) åßíáé áüñéóôç.

• Áí á − â ≠ 0 ⇔ á ≠ â, ôüôå (ÉÉ) ⇔

ÅðïìÝíùò ç åîßóùóç Ý÷åé ëýóç ãéá êÜèå á, â ∈ *.

2. Ãéá á, â ≠ 0 Ý÷ïõìå üôé:

⇔ ⇔ âx − áx = áâ ⇔ (â − á)x = áâ (É).

• Áí â − á ≠ 0 ⇔ â ≠ á, ôüôå (É) ⇔ .

• Áí á = â ≠ 0, ôüôå (É) ⇔ 0x = á2, ðïõ åßíáé áäýíáôç, áöïý áðü ôïõòðåñéïñéóìïýò Ý÷ïõìå üôé á ≠ 0.

ÅðïìÝíùò ç åîßóùóç Ý÷åé ëýóç ãéá êÜèå á, â ∈ *, ìå á ≠ â.

3. ¸óôù x ml ôï êáèáñü ïéíüðíåõìá ðïõ ðñÝðåé íá ðñïóèÝóåé ï öáñìá-êïðïéüò. Ç áñ÷éêÞ ðïóüôçôá êáèáñïý ïéíïðíåýìáôïò åßíáé 15% ⋅ 200 = 30 ml, åíþç ôåëéêÞ ðïóüôçôá êáèáñïý ïéíïðíåýìáôïò åßíáé 32% ⋅ (200 + x) ml. Óõíåðþò èá éó÷ýåé üôé: 15% ⋅ 200 + x = 32% ⋅ (200 + x) ⇔ 0,15 ⋅ 200 + x = 0,32 ⋅ (200 + x) ⇔⇔ 30 + x = 64 + 0,32x ⇔ x − 0,32x = 64 − 30 ⇔ 0,68x = 34 ⇔

⇔ ⇔ x = 50.

ÅðïìÝíùò 50 ml åßíáé ôï êáèáñü ïéíüðíåõìá ðïõ ðñÝðåé íá ðñïóèÝóåé ïöáñìáêïðïéüò.

4. ¸óôù üôé x þñåò ìåôÜ ôá áõôïêßíçôá èá áðÝ÷ïõí l km.Ôüôå óå x þñåò ôï áõôïêßíçôï Á äéáíýåé 100x km, åíþ ôï áõôïêßíçôï Âäéáíýåé 120x km êáé èá éó÷ýåé üôé:

120x = 100x + 1 ⇔ 120x − 100x = 1 ⇔ 20x = 1 ⇔ .1x20

=

34x0,68

=

R

áâxâ á

=−

x xáâ áâ áâ 1á â

⋅ − ⋅ = ⋅x x 1á â

− =

R

(á â)(á â)x á â.á â

+ −= = +

−

x á x âáâ áââ á− −

⋅ = ⋅x á x â

â á− −

=

ËYÓÅÉÓ ÁÓÊÇÓÅÙÍ Ó×ÏËÉÊÏÕ ÂÉÂËÉÏÕ ÁËÃÅÂÑÁÓ Á´ ËÕÊÅÉÏÕ

44 EÊÄÏÓÅÉÓ ÐÁÔÁÊÇ • ÌÅÈÏÄÏËÏÃÉÁ ÁËÃÅÂÑÁÓ Á´ ËÕÊÅÉÏÕ • Ì. ÅÕÓÔÁÈÉÏÕ – Å. ÐÑÙÔÏÐÁÐÁÓ

01.qxd 11/1/2011 11:41 Page 44

Óõíåðþò ôá áõôïêßíçôá èá áðÝ÷ïõí 1 km ìåôÜ áðü

5. Ãéá ⇔ ⇔ ⇔

⇔ x ≠ ±á Ý÷ïõìå:

⇔ ⇔

⇔ ⇔ (x + á)2 = x2 ⇔

⇔ x2 + 2áx + á2 = x2 ⇔ x2 + 2áx + á2 − x2 = 0 ⇔ 2áx = −á2 (É).

• Áí á ≠ 0, ôüôå (É) ⇔ .

• Áí á = 0, ç (É) Ý÷åé ëýóç êÜèå x ∈ *, áöïý ëüãù ôïõ áñ÷éêïý ðåñéï-ñéóìïý éó÷ýåé x ≠ ±á ⇔ x ≠ 0.

6. Ãéá x − 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ 2 Ý÷ïõìå üôé:

⇔ ⇔

⇔ x2 + 2x + 4 = x2 + 4 ⇔ x2 + 2x + 4 − x2 − 4 = 0 ⇔ 2x = 0 ⇔ x = 0.

7. |2|x| − 1| = 3 ⇔ 2|x| − 1 = 3 Þ 2|x| − 1 = −3 ⇔ 2|x| = 1 + 3 Þ 2|x| = 1 − 3 ⇔

⇔ 2|x| = 4 Þ 2|x| = −2 (áäýíáôç) ⇔ ⇔ |x| = 2 ⇔ x = ±2.

8. ⇔ ⇔ |x − 1| = |3x − 5| ⇔

⇔ x − 1 = 3x − 5 Þ x − 1 = −3x + 5 ⇔ x − 3x = 1 − 5 Þ x + 3x = 1 + 5 ⇔

⇔ −2x = −4 Þ 4x = 6 ⇔ Þ ⇔ x = 2 Þ .3x2

=6x4

=4x2

−=

−

2(x 1) | 3x 5 |− = −2x 2x 1 | 3x 5 |− + = −

4| x |2

=

22(x 2)(x 2x 4) x 4

x 2− + +

= +−

32x 8 x 4

x 2−

= +−

R

2á áx2á 2

−= = −

2x á x(x á)(x á) (x á)(x á)x á (x á)(x á)

+− + = − +

− − +

2x á xx á (x á)(x á)

+=

− − +

2

2 2

x á xx á x á

+=

− −

x á 0x á 0 êáé x á 0

− ≠⎧⎨ + ≠ − ≠⎩

x á 0(x á)(x á) 0

− ≠⎧⎨ − + ≠⎩

2 2

x á 0x á 0

− ≠⎧⎨ − ≠⎩

1 60h min 3 min.20 20

= =

2. ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ

45EÊÄÏÓÅÉÓ ÐÁÔÁÊÇ • ÌÅÈÏÄÏËÏÃÉÁ ÁËÃÅÂÑÁÓ Á´ ËÕÊÅÉÏÕ • Ì. ÅÕÓÔÁÈÉÏÕ – Å. ÐÑÙÔÏÐÁÐÁÓ

01.qxd 11/1/2011 11:41 Page 45

Ç åîßóùóç xv = á

Á´ ÏìÜäá

1.

i) x3 − 125 = 0 ⇔ x3 = 125 ⇔ ⇔ ⇔ x = 5.

ii) x5 − 243 = 0 ⇔ x5 = 243 ⇔ ⇔ ⇔ x = 3.

iii) x7 − 1 = 0 ⇔ x7 = 1 ⇔ ⇔ x = 1.

2.

i) x3 + 125 = 0 ⇔ x3 = −125 ⇔ ⇔ ⇔ x = −5.

ii) x5 + 243 = 0 ⇔ x5 = −243 ⇔ ⇔ ⇔ x = −3.

iii) x7 + 1 = 0 ⇔ x7 = −1 ⇔ ⇔ x = −1.

3.

i) x2 − 64 = 0 ⇔ x2 = 64 ⇔ ⇔ x = ±8.

ii) x4 − 81 = 0 ⇔ x4 = 81 ⇔ ⇔ ⇔ x = ±3.

iii) x6 − 64 = 0 ⇔ x6 = 64 ⇔ ⇔ ⇔ x = ±2.

4.

i) x5 − 8x2 = 0 ⇔ x2(x3 − 8) = 0 ⇔ x2 = 0 Þ x3 − 8 = 0 ⇔ x = 0 Þ x3 = 8 ⇔

⇔ x = 0 Þ ⇔ x = 0 Þ ⇔ x = 0 Þ x = 2.3 3x 2=3x 8=

6 6x 2= ±6x 64= ±

44x 3= ±4x 81= ±

x 64= ±

7x 1= −

5 5x 3= −5x 243= −

3 3x 5= −3x 125= −

7x 1=

5 5x 3=5x 243=

3 3x 5=3x 125=

2.2

ËYÓÅÉÓ ÁÓÊÇÓÅÙÍ Ó×ÏËÉÊÏÕ ÂÉÂËÉÏÕ ÁËÃÅÂÑÁÓ Á´ ËÕÊÅÉÏÕ

46 EÊÄÏÓÅÉÓ ÐÁÔÁÊÇ • ÌÅÈÏÄÏËÏÃÉÁ ÁËÃÅÂÑÁÓ Á´ ËÕÊÅÉÏÕ • Ì. ÅÕÓÔÁÈÉÏÕ – Å. ÐÑÙÔÏÐÁÐÁÓ

×ñçóéìïðïéïýìå üôé xí = á ⇔ , á < 0, í öõóéêüò ðåñéôôüò. íx | á |= −

×ñçóéìïðïéïýìå üôé xí = á ⇔ , á ≥ 0, í öõóéêüò ðåñéôôüò. íx á=

×ñçóéìïðïéïýìå üôé xí = á ⇔ , á ≥ 0, í ≠ 0 öõóéêüò Üñôéïò. íx á= ±

Ðáñáãïíôïðïéïýìå, ÷ñçóéìïðïéïýìå ôçí éóïäõíáìßá á⋅â = 0 ⇔ á = 0 Þ â = 0 êáé åöáñìüæïõìå ôéò äéÜöïñåò ðåñéðôþóåéò ãéáôçí åðßëõóç ôçò åîßóùóçò xí = á, *.í ∈N

01.qxd 11/1/2011 11:41 Page 46

ii) x4 + x = 0 ⇔ x(x3 + 1) = 0 ⇔ x = 0 Þ x3 + 1 = 0 ⇔ x = 0 Þ x3 = −1 ⇔

⇔ x = 0 Þ ⇔ x = 0 Þ x = −1.iii) x5 + 16x = 0 ⇔ x(x4 + 16) = 0 ⇔ x = 0 Þ x4 + 16 = 0 ⇔

⇔ x = 0 Þ x4 = −16 (áäýíáôç) ⇔ x = 0.

5.

Ãéá x > 0 Ý÷ïõìå üôé:

x ⋅ x ⋅ 3x = 81 ⇔ 3x3 = 81 ⇔ ⇔ x3 = 27 ⇔ ⇔

⇔ ⇔ x = 3.ÅðïìÝíùò ïé äéáóôÜóåéò ôïõ åßíáé 3 m, 3 m, 9 m.

6. i) ⇔ ⇔ ⇔ x + 1 = 4 ⇔⇔ x = 4 − 1 ⇔ x = 3.

ii) 1 + 125x3 = 0 ⇔ 125x3 = −1 ⇔ ⇔ ⇔

⇔ ⇔ .

iii) (x − 1)4 − 27(x − 1) = 0 ⇔ (x − 1)[(x − 1)3 − 27] = 0 ⇔⇔ x − 1 = 0 Þ (x − 1)3 − 27 = 0 ⇔ x − 1 = 0 Þ (x − 1)3 = 27 ⇔

⇔ x = 1 Þ ⇔ x = 1 Þ ⇔⇔ x = 1 Þ x − 1 = 3 ⇔ x = 1 Þ x = 3 + 1 ⇔ x = 1 Þ x = 4.

3 3x 1 3− =3x 1 27− =

1x5

= −33 1x

5⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎝ ⎠

3 1x125

= −3 1x125

= −

3 3x 1 4+ =3x 1 64+ =3(x 1) 64+ =

3 3x 3=

3x 27=3 81x3

=

3x 1= −

2. ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ

47EÊÄÏÓÅÉÓ ÐÁÔÁÊÇ • ÌÅÈÏÄÏËÏÃÉÁ ÁËÃÅÂÑÁÓ Á´ ËÕÊÅÉÏÕ • Ì. ÅÕÓÔÁÈÉÏÕ – Å. ÐÑÙÔÏÐÁÐÁÓ

×ñçóéìïðïéïýìå üôé ï üãêïò åíüò ïñèïãþíéïõ ðáñáëëçëåðéðÝäïõ åßíáéßóïò ìå ôï ãéíüìåíï ôùí ôñéþí äéáóôÜóåþí ôïõ.

01.qxd 11/1/2011 11:41 Page 47