Сопряженный делитель Тур I, задача 1

Прошел не один месяц, как Петя всерьез занялся математикой и уже, по его мнению,

серьезно преуспел. На последнем факультативном занятии Петя узнал, что натуральное число Y называется сопряженным относительно натурального числа X, если Y меньше чем X.

Дома Петя продолжил исследование свойств сопряженных чисел. Приложив немало усилий, он доказал, что для любого натурального числа X количество сопряженных ему чисел равно X-1. Дальнейшее исследование свойств сопряженных чисел начинающий ученый посвятил изучению их делимости. Уже через несколько часов работы Петя стал понимать, что находится на пороге революционного открытия. Для проверки своей гипотезы Петя разработал табличный метод получения максимального сопряженного делителя для заданного натурального числа N.

Для этого Петя составил таблицу, состоящую из N–2 строк и N–1 столбцов, все строки которой пронумерованы сверху вниз начиная с единицы, а столбцы – слева направо начиная с единицы. Каждому сопряженному относительно N числу соответствует один столбец таблицы. Таким образом в каждый столбец подряд Петя записал числа сопряженные относительно номера данного столбца, затем обвел те числа таблицы, которые делят нацело как число N, так и номер соответствующего столбца, то есть число в i-й строке и j-м столбце (1 ≤ i < j; 1 ≤ j ≤ N – 1) обводится Петей, если данное число делит нацело число j и число N. Максимальное из обведенных чисел является искомым Петей числом.

Рисунок №1, характеризует первый пример. Из примера видно, что на поиск максимального сопряженного делителя Петя тратит

много времени и бумаги, и он просит помощи у Вас. Помогите Пете, начинающему ученому, сказать новое слово в науке, то есть для заданного числа N найти максимальный сопряженный делитель.

Входные данные Первая строка входного файла содержит одно натуральное число N (3 ≤ N ≤ 109).

Выходные данные Первая и единственная строка выходного файла должна содержать одно натуральное

число – максимальный сопряженный делитель для заданного N.

input.txt output.txt 12 4

7 1

245 49

Что нам стоит дом построить! Тур I, задача 2

Петр Васильевич Колошин, известный всем своей любовью к природе, в очередной

раз решил сменить работу и освоить новую для него профессию. Петра Васильевича оформили на работу в лесничество, ему выдали ружье и выделили под охрану лес, за которым необходимо следить днем и ночью. Петр Васильевич узнал, что в лесничестве есть правило, согласно которому каждый лесник имеет право построить на охраняемом им участке леса дом. Недолго думая, Петр Васильевич решил воспользоваться этой возможностью.

Охраняемый Петром Васильевичем лес представляет собой прямоугольник размером N на M метров, разделенный на квадраты одинакового размера площадью один м2. То есть схематично лес можно представить в виде прямоугольной таблицы с N строками и M столбцами. Строки таблицы нумеруются сверху вниз начиная с единицы, а столбцы – слева направо также начиная с единицы. Следовательно, каждому квадрату можно поставить в соответствие пару чисел (X, Y), где X – это номер строки, а Y – номер столбца, на пересечении которых квадрат находится.

Известно, что на каждом квадрате леса может расти не более одного дерева. По правилам лесничества место для постройки дома должно иметь прямоугольную форму, границы должны проходить по линиям, разделяющим лес на квадраты, а также не может выходить за границы леса. С точки зрения комфорта, Петр Васильевич знает, что площадь места для постройки его будущего дома не может быть меньше S м2. Петр Васильевич понимает, что все деревья, находящиеся на выбранном под постройку месте, придется вырубить, а также знает, что вырубка более чем K деревьев недопустима.

Рисунок №1. Описание первого примера. N = 5, M = 6, K = 1, S = 9 3 варианта, каждый из которых приведет к вырубке одного дерева.

Ваша задача – помочь Петр Васильевичу Колошину определить количество

различных вариантов выбора места для постройки дома. Два варианта выбора места считаются различными, если существует такой квадрат, который принадлежит одному месту для постройки дома и не принадлежит второму.

Входные данные Первая строка входного файла содержит четыре целых числа, разделенные

одиночными пробелами N, M (2 ≤ N, M ≤ 300), K (0 ≤ K ≤ N * M) и S (1 ≤ S ≤ N * M) соответственно.

Следующие N строк содержат строковые величины, состоящие из M символов, описывающих лес, j-й символ в i-й по счету строковой величине описывает один квадрат с координатами (i, j). Символ ‘#’(ASCII 35) – на квадрате с координатами (i, j) растет дерево, символ ‘.’(ASCII 46) – на квадрате с координатами (i, j) деревьев нет.

Выходные данные Выходной файл должен содержать одно целое число – количество различных

способов выбора места для постройки дома. input.txt output.txt 5 6 1 9 .##... #...#. ....#. ...#.# .#.#..

3

3 4 0 4 ..#. .... ....

10

Районы Байтландии Тур I, задача 3

Байтландия – замечательная страна, обладающая живописной природой и

расположенная в центре континента. Основным источником дохода для населения страны является транзит, так как через страну проходит автомагистраль международного значения М0, вдоль которой расположены все N городов Байтландии.

До недавних времен в стране не существовало административно-территориального деления, то есть отсутствовали районы, области и округа. Последние несколько десятков лет численность байтландцев значительно выросла, поэтому управлять страной стало сложно. Правительство страны в целях упрощения административного управления приняло решение разделить Байтландию на K районов. Каждый район включает один или более городов. Кроме этого, каждый город должен принадлежать одному из K районов. Правительство Байтландии постановило, что деление на районы должно быть таким, что каждому району отводится определенный отрезок автомагистрали, поэтому все города, расположенные вдоль этого отрезка, принадлежат данному району. То есть, если город B находится между городами А и С и города А и С принадлежат одному району, то и город B принадлежит этому району.

Известно, что численность населения каждого из N городов Байтландии равна Ai, поэтому для каждого из K районов несложно определить Sj - численность населения соответствующего района, равную суммарной численности населения всех городов, принадлежащих этому району. Правительству Байтландии важно, чтобы численность населения одного района незначительно отличалась от численности населения другого района. Для этого академия наук Байтландии разработала специальный показатель административно-территориального деления S, равный сумме чисел (Si – Sj)2 для всех таких пар (i, j) что 1 ≤ i < j ≤ K.

Рисунок №1. Описание первого примера. S = (110 – 90)2 + (110 - 105)2+ (90 – 105)2 = 650.

Ученым Байтландии удалось доказать, что чем меньше показатель административно-

территориального деления S, тем более близки между собой районы по численности населения. Ваша задача – определить минимальный из возможных показателей административно-территориального деления S, который может быть достигнут разделением N городов Байтландии на K районов.

Входные данные Первая строка входного файла содержит два целых числа, разделенных одним

пробелом, это числа N и K (1 ≤ N ≤ 500, 1 ≤ K ≤ 100, K ≤ N) соответственно. Вторая строка входного файла содержит N целых чисел Ai (1 ≤ Ai ≤ 65536) –

численность населения i-го города. Числа разделены одиночными пробелами.

Выходные данные Выходной файл должен содержать одно целое число – минимальный из возможных

показателей административно-территориального деления.

input.txt output.txt 6 3 50 60 90 15 70 20

650

7 2 1 2 3 4 5 6 7

4

Утренник Тур II, задача 1

В детском саду готовятся к Новогоднему празднику. Дед Мороз, известный всем своей незаурядностью, придумал для детей новый конкурс.

У Деда Мороза имеется мешок с N фишками. Каждый раз Дед Мороз выбирает из группы двоих детей, каждый из которых извлекает из мешка Деда Мороза одну фишку. Ребенок, который извлек фишку с большим номером, получает от Деда Мороза конфеты в количестве, равном числу, написанному на его фишке, второй ребенок не получает ничего. После вручения конфет фишка с большим номером остается у ребенка, а фишка с меньшим номером возвращается обратно в мешок. Игра продолжается до тех пор, пока в мешке находится не менее двух фишек.

Рисунок №1. Из пяти фишек были вытянуты фишки с числами 5 и 4,

было получено 5 конфет (фишка выделена цветом), фишка с числом 4 была возвращена в мешок.

Деду Морозу необходимо определить максимальное количество конфет, которое могут получить игравшие дети. Ваша задача – помочь Дедушке в этом нелегком вопросе.

Входные данные Первая строка входного файла содержит одно целое число N (2 ≤ N ≤ 1000), которое

определяет число фишек в мешке Деда Мороза. Вторая строка входного файла содержит ровно N различных целых чисел Ai

(1 ≤ Ai ≤ 32767). Числа в строке разделяются одиночными пробелами. Ai – число, написанное на i-й фишке.

Выходные данные Единственная строка выходного файла содержит одно целое число – максимально

возможное количество конфет, которые могут получить игравшие дети. input.txt output.txt 2 7 3

7

5 2 5 3 4 7

19

Элементарно, Ватсон! Тур II, задача 2

1894 год. В самом центре Лондона совершенно хладнокровное убийство,

расследование которого было поручено известному сыщику Шерлоку Холмсу и его коллеге Доктору Ватсону. На месте обнаружено орудие преступление – английский боевой нож, который, по всей видимости, несколько дней назад был похищен из Английского Национального Музея Холодного Оружия.

Сыщики заметили на рукоятке ножа надпись со следами деформации, это свидетельствовало о том, что злоумышленник явно пытался уничтожить надпись. Экспертом удалось однозначно определить, что существующая надпись – это уникальный идентификационный номер ножа, представляющий собой N-значное натуральное число в десятичном представлении. Экспертам также удалось восстановить некоторые цифры номера, то есть в соответствие номеру на ноже была поставлена строка S, состоящая из N символов, которыми могут быть цифры от 0 до 9, либо символ ‘?’, если цифру на соответствующей позиции в номере ножа определить не удалось.

В результате следствия удалось установить, что существует строгий регламент нумерации холодного оружия, согласно которому все выпускаемые в Англии ножи имеют на рукоятках уникальный идентификационный номер, и нумеруются последовательно согласно порядку их выпуска, то есть нож, выпущенный раньше, имеет меньший идентификационный номер по сравнению с ножом, выпущенным позже. Существующие в то время технологии не позволяли на заводе выпускать несколько ножей одновременно, поэтому они выпускались сериями (партиями). Более того, по регламенту первый нож каждой серии, выпущенный заводом, передавался Национальному Музею вместе с паспортом его номера. По паспорту номера всегда можно определить какие цифры и в каком количестве использовались в нумерации данного ножа. Анализ паспорта номера похищенного ножа показал, что в номере ножа использовалось K0 нулей, K1 единиц, и так далее, K9 девяток.

В результате оперативно-розыскных мероприятий удалось установить завод-изготовитель, на котором были изготовлены все ножи той же серии, что и орудие преступления. В ответ на официальный запрос был получен ответ, согласно которому однозначно определить первый и последний номер ножей искомой серии установить не удалось, однако точно можно сказать, что все выпущенные ножи данной серии не могут быть меньше числа A и больше числа B.

Рисунок №1, описание первого примера. Искомый номер X = 1093, всего удовлетворяющих условиям номеров Y = 3: 1093, 1390, 3190.

Ваша задача – по имеющимся числам N, A, B и заданной строке S, а также числам K0, K1,…, K9 помочь сыщикам определить минимальное натуральное число X, которое может являться идентификационным номером орудия преступления с учетом всей полученной в результате следствия информации. Более того, Шерлоку Холмсу для проверки состоятельности своей версии хотелось бы дополнительно знать число Y – общее количество натуральных чисел, которые могут являться идентификационными номерами орудия преступления с учетом всей информации, полученной в результате следствия.

Оценка Если Ваше решение правильно определило число X, но неправильно определило

число Y или не определило его вовсе, то Вы получите 80% баллов за тест. Если Ваше решение правильно определило число X и число Y, то Вы получите

100% баллов за тест. Во всех остальных случаях Вы получите 0 баллов за тест.

Входные данные Первая строка входного файла содержит одно натуральное число N (1 ≤ N ≤ 80). Вторая строка входного файла содержит строковую величину S длиной N символов. Третья строка входного файла содержит одно натуральное число A (1 ≤ A < 1080) в

десятичном представлении без лидирующих нулей. Четвертая строка входного файла содержит одно натуральное число B

(1 ≤ A ≤ B < 1080) в десятичном представлении без лидирующих нулей. Пятая строка содержит десять целых чисел K0, K1,…, K9 соответственно. Числа

разделяются одиночными пробелами. (0 ≤ Ki ≤ N, ∑Ki = N). Выходные данные Первая строка выходного файла должна содержать число X – минимальное

натуральное число в десятичном представлении без лидирующих нулей, удовлетворяющее условию задачи.

Если Вам удалось определить число Y, то вторая строка выходного файла должна содержать число Y – натуральное число в десятичном представлении без лидирующих нулей, обозначающее общее количество чисел, удовлетворяющих условию задачи.

Гарантируется, что решение существует, то есть существует не менее одного числа, удовлетворяющее условию задачи.

input.txt output.txt 4 ??9? 973 3187 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1

1093 3

5 ????? 1 99999 2 0 0 1 0 0 1 0 1 0

30068 36

Конкурс Тур II, задача 3

Однажды собрались все N программистов страны Байтландии и решили определить,

кто из них самый сообразительный. Сообразительность они решили определять с учетом результатов олимпиад по информатике, которые в Байтландии проводились M раз. Участие в олимпиадах является обязательным для каждого программиста Байтландии, причем в результате каждой олимпиады программист либо является ее победителем и получает диплом, либо не является ее победителем.

Считается, что программист A сообразительнее программиста B, если у программиста A есть дипломы тех олимпиад, на которых B был победителем, кроме того у программиста A должен быть как минимум один диплом с олимпиады, на которой B не был победителем.

Рисунок №1. В первом случае можно однозначно определить, что программист B сообразительнее;

во втором, что сообразительнее программист А. В третьем и четвертом случае ничего точно определить нельзя.

По известным результатам олимпиад для каждого из N программистов Вам надо определить количество таких пар целых чисел (i, j) 1 ≤ i, j ≤ N, что i-й программист сообразительнее j-го.

Входные данные Первая строка входного файла содержит два целых числа: N (2 ≤ N ≤ 131072) –

количество программистов и M (1 ≤ M ≤ 16) – количество олимпиад. Следующие N строк описывают результаты выступления программистов на

олимпиадах. Каждая строка содержит одну строковую величину, состоящую из M символов “+” / “-“, где j-й символ i-й строки описывает результаты выступления i-го программиста на j-й олимпиаде, символ “+” означает, что i-й программист имеет диплом с j-й олимпиады, а “-” означает, что i-й программист не был победителем на j-й олимпиаде. Программисты нумеруются от единицы до N в порядке ввода их результатов.

Выходные данные Выходной файл должен содержать одно целое число - количество различных пар

целых чисел, показывающих, что программист, соответствующий первому числу пары, сообразительнее второго.

input.txt output.txt 5 5 ++--+ -++-- -+--+ -++-- +++-+

5

3 4 ++-- -++- --++

0

Обзорный лист I тур

Название задачи Параметры

Сопряженный делитель Что нам стоит дом построить! Районы Байтландии

Входной файл input.txt input.txt input.txt Выходной файл output.txt output.txt output.txt Время на тест 1 сек 0.5 сек 1 сек Ограничение памяти 64 MB 64 MB 64 MB Ограничение на размер сдаваемых файлов

64 Кбайт 64 Кбайт 64 Кбайт

Опции компилятора

С++ -O2 -O2 -O2 Pascal -O2 -O2 -O2

Количество тестов 20 20 20 Максимум баллов 100 100 100

Сдать на проверку

С++

Исходный файл с расширением cpp Исходный файл с расширением cpp Исходный файл с расширением cpp

Pascal Исходный файл с расширением pas Исходный файл с расширением pas Исходный файл с расширением pas

Частичная оценка

N ≤ 1000 – не менее 40 баллов

N, M ≤ 10 – не менее 30 баллов

K ≤ 2 – не менее 10 баллов

N ≤ 10000 – не менее 50 баллов

N, M ≤ 20 – не менее 40 баллов

K ≤ 3 – не менее 25 баллов

N ≤ 100000 – не менее 60 баллов

N, M ≤ 50 – не менее 50 баллов

N ≤ 20, 3 < K ≤ 10 – не менее 40 баллов

N ≤ 106 – не менее 75 баллов

N, M ≤ 80 – не менее 60 баллов

N ≤ 30, 3 < K ≤ 15 – не менее 60 баллов

Тестирование решений будет производиться на компьютере с тактовой частотой процессора не менее 2 GHz и объемом оперативной

памяти не менее 1024МВ.

Обзорный лист II тур

Тестирование решений будет производиться на компьютере с тактовой частотой процессора не менее 2 GHz и объемом оперативной

памяти не менее 1024МВ.

Название задачи Параметры

Утренник Элементарно, Ватсон!

Конкурс

Входной файл input.txt input.txt input.txt Выходной файл output.txt output.txt output.txt Время на тест 1 сек 1 сек 1 сек Ограничение памяти 64 MB 64 MB 64 MB Ограничение на размер сдаваемых файлов

64 Кбайт 64 Кбайт 64 Кбайт

Опции компилятора

С++ -O2 -O2 -O2 Pascal -O2 -O2 -O2

Количество тестов 20 20 20 Максимум баллов 100 100 100

Сдать на проверку

С++

Исходный файл с расширением cpp Исходный файл с расширением cpp Исходный файл с расширением cpp

Pascal Исходный файл с расширением pas Исходный файл с расширением pas Исходный файл с расширением pas

Частичная оценка

N ≤ 10 – не менее 30 баллов

N ≤ 6, B < 106 – не менее 30 баллов

N ≤ 2000 – не менее 40 баллов

N ≤ 100 – не менее 45 баллов

A = 1 – не менее 60 баллов

N ≤ 10000 – не менее 50 баллов

N ≤ 500 – не менее 60 баллов

N ≤ 18 – не менее 80 баллов

M ≤ 13 – не менее 60 баллов M ≤ 15 – не менее 80 баллов