Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Β΄ Λυκείου

ΚΩΣΤΑΣ ΓΚΑΒΕΡΑΣ

ΜΕΡΟΣ 1ο : ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ

Γραμμική ονομάζεται μία εξίσωση αν είναι της μορφής αx+βy=γ με α≠0 ή β≠0

x

y΄

y

x΄

αx+βy=γ

Γραμμική εξίσωση Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις :• Αν , β ≠0 , τότε η εξίσωση γράφεται :

η εξίσωση αυτή παριστάνει ευθεία που έχει συντελεστή διεύθυνσης και τέμνει τον άξονα y'y στο σημείο

Γραμμική εξίσωση Ειδικότερα :

Αν ✔ α ≠ 0 , τότε η ευθεία τέμνει και τους δύο άξονες (Σχ. α΄), ενώ

✔ Αν α = 0 , τότε η εξίσωση παίρνει τη μορφή y = και επομένως παριστάνει ευθεία που είναι παράλληλη στον άξονα x'x και τέμνει τον άξονα y'y στο σημείο (Σχ. β΄).

Γραμμική εξίσωση

Αν β = 0 (οπότε α ≠ 0), τότε η εξίσωση γράφεται

Επομένως η εξίσωση αυτή παριστάνει ευθεία που είναι παράλληλη στον άξονα y'y και τέμνει τον άξονα x'x στο σημείο

Κατασκευή ευθείας 3x-2y=5 1. Κατασκευάζουμε τον πίνακα

τιμών.

2. Η εξίσωση είναι γραμμική, άρα

αρκούν δύο σημεία.

3.Τοποθετούμε τα σημεία στο

καρτεσιανό επίπεδο.

4. Ενώνουμε και

5. Προεκτείνουμε.

6. Κάθε σημείο της ευθείας είναι

λύση

x

y΄

y

x΄

3x-2y

=5

1,1

xy

1-1

32

2,3

Συστήματα – Ορισμοί Γραμμικό σύστημα 2 εξισώσεων με 2 αγνώστους ονομάζεται κάθε πρόταση της μορφής:

Κάθε διατεταγμένη (χ , ψ) που επαληθεύει και τις δυο εξισώσεις ονομάζεται λύση του συστήματος. Η διαδικασία για την εύρεση των λύσεων ονομάζεται επίλυση του συστήματος. Δύο συστήματα ονομάζονται ισοδύναμα όταν έχουν τις ίδιες λύσεις.

Σε ένα σύστημα τι έχουμε;

Οι ευθείες έχουν ένα κοινό σημείο.

Μοναδική λύση του συστήματος το

σημείο τομής των ευθειών

x

y΄

y

x΄ x

y

y

x

Οι ευθείες δεν έχουν κανένα κοινό σημείο.

Το σύστημα δεν έχει

καμμία λύσηΕίναι αδύνατο

x

y

y

x

Έχουν άπειρα κοινά σημεία

Το σύστημα έχει άπειρες μονοπαραμετρικές

λύσεις.Είναι αόριστο

Τρόποι επίλυσης ενός γραμμικού συστήματος

Υπάρχουν δυο τρόποι: 1. Γραφική επίλυση. 2. Αλγεβρική επίλυση.

Γραφική Επίλυση Συστήματος

1. Κατασκευάζουμε τους πίνακες τιμών.

2.Τοποθετούμε τα σημεία στο καρτεσιανό επίπεδο

3. Βρίσκουμε τις ευθείες και

4.Υπολογίζουμε το σημείο τομής.

x

y

x΄

y΄

1,3

Παράδειγμα με το Excel

Θέλω να δοκιμάσω και εγώ

-3

-2

-1

0

1

2

3

-3 -2 -1 0 1 2 3

(ε)

(φ)

(ε): 3 x + 5 y = 2 (φ): 7 x + 6 y = -1

Γραφική Επίλυση Συστήματος

ΑΝΟΙΞΤΕ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ:

ΜΕΡΟΣ 2ο: ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΛΥΣΗ

Μέθοδοι Αλγεβρικής Επίλυσης

Μέθοδος Αντικατάστασης Μέθοδος Αντικατάστασης

Μέθοδος Αντιθέτων ΣυντελεστώνΜέθοδος Αντιθέτων Συντελεστών

Μέθοδος Αντικαταστάσεως Ίσως η πιο εύκολη από όλες τις μεθόδους

Επιλέγουμε τη μεταβλητή που έχει τον πιο απλό συντελεστή (1 ή -1).

Λύνουμε ως προς τη μεταβλητή αυτή, την μία εξίσωση.

Αντικαθιστούμε στην άλλη εξίσωση, που γίνεται εξίσωση ως προς έναν άγνωστο.

Και από εδώ και πέρα τα πράγματα απλουστεύονται κατά πολύ…

Παράδειγμα… και σύντομα...

Μέθοδος Αντικατάστασης

3x – 5y = – 1 x + 2y = 7

3x – 5y = – 1 x = 7 – 2y

Ποιος είναι ο πιο εύχρηστος συντελεστής;

Άρα λύνουμε τη δεύτερη εξίσωση ως

προς x

Μέθοδος Αντικατάστασης

3x – 5y = – 1 x + 2y = 7

3x – 5y = – 1 x = 7 – 2y

3(7 – 2y) – 5y = – 1 x = 7 – 2y

Αντικαθιστούμε το x στην πρώτη εξίσωση

Μέθοδος αντικατάστασης

3x – 5y = – 1 x + 2y = 7

3x – 5y = – 1 x = 7 – 2y

3(7 – 2y) – 5y = – 1 x = 7 – 2y

21 – 6y – 5y = – 1 x = 7 – 2y

21 – 11y = – 1 x = 7 – 2y

– 11y = – 22 x = 7 – 2y

Λύνουμε την πρώτη εξίσωση ως προς y

Μέθοδος Αντικατάστασης

3x – 5y = – 1 x + 2y = 7

3x – 5y = – 1 x = 7 – 2y

3(7 – 2y) – 5y = – 1 x = 7 – 2y

21 – 6y – 5y = – 1 x = 7 – 2y

21 – 11y = – 1 x = 7 – 2y

– 11y = – 22 x = 7 – 2y

y = 2 x =

Αντικαθιστούμε την τιμή που βρίσκουμε για το y στην

δεύτερη εξίσωση και υπολογίζουμε το x.

Μέθοδος Αντικατάστασης

3x – 5y = – 1 x + 2y = 7

3x – 5y = – 1 x = 7 – 2y

3(7 – 2y) – 5y = – 1 x = 7 – 2y

21 – 6y – 5y = – 1 x = 7 – 2y

21 – 11y = – 1 x = 7 – 2y

– 11y = – 22 x = 7 – 2y

y = 2 x = 7 – 22

Μέθοδος Αντικατάστασης

3x – 5y = – 1 x + 2y = 7

3x – 5y = – 1 x = 7 – 2y

3(7 – 2y) – 5y = – 1 x = 7 – 2y

21 – 6y – 5y = – 1 x = 7 – 2y

21 – 11y = – 1 x = 7 – 2y

– 11y = – 22 x = 7 – 2y

y = 2 x = 7 – 22

y = 2 x = 3 (x, y) = (3, 2)

Μέθοδος Αντιθέτων Συντελεστών

Χρησιμοποιώντας ιδιότητες ισοτήτων, πολλαπλασιάζουμε τις δύο εξισώσεις με τέτοιους συντελεστές ώστε προσθέτοντας τις εξισώσεις κατά μέλη να απαλείφεται ο ένας άγνωστος.

ΑΝΟΙΞΤΕ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ: ΑΝΤΙΘΕΤΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ.ggb

Μέθοδος Αντιθέτων Συντελεστών

Προσοχή στα μεγάλα νούμερα.Να υπολογίζετε το ΕΚΠ των συντελεστών της υπό απαλοιφή μεταβλητής και όχι το γινόμενό τους.

Παράδειγμα… και σύντομα...

Μέθοδος Αντιθέτων Συντελεστών

24x +35y = 2 16x – 14y =76

Μήπως έχουμε κάποια

απλοποίησηση;

Ας διαιρέσουμε και τα δύο μέλη της δεύτερης

εξίσωσης με το 2

÷224x +35y = 2 8x – 7y = 38

Μέθοδος Αντιθέτων Συντελεστών

24x +35y = 2 16x – 14y =76

÷2

24x +35y = 2

8x – 7y = 38

(-1) 3

–24x – 35y = – 2 24x – 21y = 114

– 56y = 112

Και τώρα ας

διώξουμε τα x

ΕΚΠ(24,8) = 24

Μέθοδος Αντιθέτων Συντελεστών

24x +35y = 2 16x – 14y =76

÷2

24x +35y = 2

8x – 7y = 38

(-1) 3

–24x – 35y = – 2 24x – 21y = 114

– 56y = 112

256112y

Μέθοδος Αντιθέτων Συντελεστών

24x +35y = 2 16x – 14y =76

÷2

24x +35y = 2

8x – 7y = 38

(-1) 3

–24x – 35y = – 2 24x – 21y = 114

– 56y = 112

256112y

Και τώρα σειρά έχουν τα y

24x +35y = 2

8x – 7y = 38

ΕΚΠ(7,35) = 35

Μέθοδος Αντιθέτων Συντελεστών

24x +35y = 2 16x – 14y =76

÷2

24x +35y = 2

8x – 7y = 38

(-1) 3

–24x – 35y = – 2 24x – 21y = 114

– 56y = 112

256112y

24x +35y = 2

8x – 7y = 38

5

24x + 35y = 2

40x – 35y = 190

64x = 192

364192x

Άρα η λύση του συστήματος είναι (x, y) = (3, -2)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ:

8x + 15y = 9 7x + 10y = 11

Το δύσκολο σε αυτό το σύστημα είναι οι μεγάλοι

συντελεστές γι΄ αυτό προτιμάμε την μέθοδο…

ΛΥΣΗ

8x + 15y = 9 7x + 10y = 11

Άρα η λύση του συστήματος είναι (x, y) = (3, -1)

(-2)(3)

-16x - 30y = -18 21x + 30y = 33 -----------------------

5x = 15 x = 15/5 = 3και τότε έχουμε8 3 + 15y = 9 24 + 15y = 915y = 9 – 2415y = -15y = -15/15 = -1

ΑΣΚΗΣΗ Α3 σελ. 21Να λυθούν τα συστήματα

ΛΥΣΗ i) 5 2 1 2 0

2 7

14 14 14

6 6 83 2

6 6 6

7 5 2 2 1 28 0 2 6 3 6 48

7 35 4 2 28 0 2 12 3 18 48

7 4 5 2 3 18

2-7

14 8 10 14 21 126

29 116

4

2 3( 4) 18 2 12 18 2 6 3

ii)2 1 243 4

3 32 3

12 12 12

6 6 6

4(2 1) 48 3( 2) 3( 3) 18 2( )

8 4 48 3 63 9 18 2 2

8 3 462 9

9 2

8(9 2 ) 3 46

72 16 3 469 2

13 269 2

29 2 2

25

ΜΕΡΟΣ 3ο : ΜΕΘΟΔΟΣ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ Αν έχουμε το σύστημα:

1. Υπολογίζουμε τις ορίζουσες:

2. Έχουμε τις περιπτώσεις:• Αν D ≠0, έχει μοναδική λύση, την (x,y) με • Αν D = 0, είναι αδύνατο ή έχει άπειρο πλήθος λύσεων

ΑΝΟΙΞΤΕ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ.ggb

Ομογενές Σύστημα

Ομογενές λέγεται το σύστημα όταν οι σταθεροί όροι είναι ίσοι με το 0. Τότε το σύστημα έχει: Μοναδική λύση το Ο(0,0) ή Άπειρες λύσεις

Δεν μπορεί να είναι αδύνατο

Παράδειγμα ομογενούς 2x2:

3x + 5y = 0– 4 x + 2y =0

Για να μας βοηθήσει το Excel…5 x + 7 y = 83 x + 9 y = 17

D= 24

Dx = 61 x = 3

Dy = -47 y = -2

Θέλω να δοκιμάσω και εγώ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ1. Να βρείτε για τις διάφορες τιμές του α ∈ R τα

κοινά σημεία των ευθειών :

ΑΝΟΙΞΤΕ:ΑΣΚΗΣΗ Β7i.ggb ΑΣΚΗΣΗΒ7ii.ggb

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 2. Να λύσετε τα συστήματα :

ΑΝΟΙΞΤΕ: ΑΣΚΗΣΗ Β8i.ggb ΑΣΚΗΣΗ Β8ii.ggb

ΤΕΛΟΣ