موس لصف یاهراپ لیسنارفید تلاداعم - Kebriaee...1 هتفرشیپ تایضایر 46 ریز طباور طخ نیا یور رب عقاو رد و هدرک فیرعت

سومفصل

ایمعادالت دیفرانسیل پاره

1 ریاضیات پیشرفته 49

ای پرداخته و در ابتدا بحث را با حل معادالت مرتبه در این فصل به بررسی حل معادالت دیفارنسیل مشتقات پاره

کنیم.اول آغاز می

ای مرتبه اول حل معادالت دیفرانسیل مشتقات پاره -1

فرم کلی است و PDEی در معادله حضور دارد، نمایانگر مرتبه ی مشتقی کهبزرگترین مرتبهدانیم همانطور که می

PDE .مرتبه اول به صورت زیر است

(3-1) 0,,,, yx uuuyxF

که این معادالت به سه دسته کلی تقسیم می شوند.

(3-2) , , , ,x ylinear p x y u q x y u r x y u s x y

(3-3) , , , ,x ysemilinear p x y u q x y u f x y u

(3-9) , , , , , ,x yquasilinear p x y u u q x y u u f x y u

مرتبه اول زیر را به حل کنید. PDE: معادله 1-6مثال

2, ,0 1x yu xu u u x

در ادامه خواهیم دانست جواب عمومی معادله فوق به صورت زیر است.

, exp 2u x y c x

2که 2x y ت.است و از شرایط مرزی خواهیم داش

2

2

1 exp 2

1exp

ln

, exp ln 2 2

, exp 2 2

c x x

x xc

x c x

u x y c x c x y

u x y x x y

49 ایمعادالت دیفرانسیل پاره

ما به جای یک ثابت مجهول یک تابع مجهول PDEشود در حل معادالت که همانطور که در این مثال مشاهده می

داریم.

حل وجود دارد اما اینکه یکتا باشد یا نه به شرایط مرزی و برقراری شرایط اضافی PDEی برای معادله نکته:*

)شرط کوشی( بستگی دارد.

1هاروش خطوط مشخصه -1-1

xسی در فضای رگیریم. اگر تابع وابسته مورد بررا در نظر می quasilinearبرای توضیح این روش، یک معادله y

شود یده مینام 2که بر روی آن مقدار مشخص است، منحنی اطالعات کوشی گیرد. منحنی مورد بررسی قرار می

را در 1-3قرار بگیرد. در واقع همان مفهوم شرط اولیه را در بردارد. حال شکل xکه اگر این منحنی بر روی محور

اطالعات روی خط کوشی مشخص است و قصد داریم خطوط معرفی کنیم که تغییرات روی نظر بگیرید. فرض کنید

م ایینم یروروی خطوط مشخصه پیشنامیم. در این صورت اگر ه آنها را خطوط مشخصه میل محاسبه باشد کآنها قاب

توان با خطوط مشخصه ی حل را میکل دامنهاز انجا که محاسبه کنیم بر روی این خطوط را uمقدار بتوانیم و

بل محاسبه است.در تمام دامنه قا uپوشش داد پس

نمایش خطوط مشخصه و خط کوشی 1 -3شکل

1 The Method of Characteristics 2 Cauchy data curve


تعریف کرده و در واقع بر روی این خط روابط زیر sرا با پارامتر PDEپس اگر خط کوشی تعریف شده در معادله

برقرار باشد:

(3-9) 0 0,x x s y y s

به صورت زیر باشد. و شرایط کوشی تابع که طول خط منحنی است

(3-6) 0u u s

تعریف شده اند که مقدار هایی )متقاطع با منحنی کوشی( بیاییم که با پارامتر ایاگر بتوانیم منحنی مشخصه

)تغییرات , ) ( ( ), ( ))u u x y u x y های مشخصه از رابطه زیر به دست آید:ی منحنیبر رو

(3-7) du u dx u dy

d dx d y d

( خواهیم داشت:3-3که از مقایسه رابطه فوق و معادله )

(3-8) , , , , ,dx dy

p x y u q x y ud d

طه زیر :آید و از رابکه در واقع به کمک این دو معادله، منحنی خط مشخصه به دست می

(3-4) , ,du

f x y ud

آید.شود، تغییرات بر روی منحنی مشخصه به دست میشناخته می 3که به عنوان معادله سازگاری

این معادالت در فرم دیگری نیز قابل بیان هستند:

( خواهیم داشت:8-3بین معادالت ) با حذف

(3-11)

, ,

, ,

q x y udy

dx p x y u

آید.و به همین ترتیب رابطه سازگاری به صورت زیر در می

(3-11)

, ,

, ,

f x y udu

dx p x y u

3 Compability equation


برخورد خط مشخصه با خط کوشی 2 -3شکل

آید، برخورد )و حتی مماس شدن( خط مشخصه با د میمرتبه اول به وجو PDEاز مشکالتی که در حل معادالت

که خط کوشی و مشخصه در حالت خاص ( 2-3دهد. )شکل خط کوشی است که حل اعتبار خود را از دست می

.گویندمی characteristics Cauchy Problemمسائل به روی هم قرار می گیرند

چند نکته:

( و 8-3امتری تعریف شده باشد بهتر است از معادالت دسته اول )روده و یا به صورت پااگر خط کوشی منحنی ب*

-3و ) (11-3) دسته دوم از روابطlinear وsemilinear معادالت غیر این صورت برای( استفاده شود و در 3-4)

کنیم.استفاده می( 11

کنیم.بشود، از روابط دسته دوم استفاده می yیا xحالتی که خط کوشی هر کدام از محورهای *

: معادله خطی زیر را به کمک روش مشخصه ها حل کنید.2-3مثال

3 2

( ,0)

x y

x

u u u

u x e


آید.طه زیر به دست میاز راب است y ،با فرض آنکه محل برخورد آن با محور ی مشخصهمعادلهکه

33

1

3

3

dy

dx

y x

y x

آید.معادله سازگاری نیز از رابطه زیر به دست می

2

1

ln 2

du u

dx

u x f

که با اعمال شرایط کوشی f آید.به صورت زیر به دست می

2 2 3

2 3

2 3 /3

3

3

x f x f y x

x f xx

x y x

u e e

e e

f x x

xf x

u e

یر را حل کنید.مرتبه اول ز PDE: معادله 3-3مثال

3 2

1 :

x yu u x

u whereon ax by

آید.که از فرمت اول برای حل این مسئله استفاده می کنیم و خطوط مشخصه از روابط زیر به دست می

1

2

33 2

2

x kdx dy

y kd d

روی خط کوشی و از آنجا که بر گیریمدر نظر می 0را معادل محل برخورد خط مشخصه و خط کوشیاگر

دانیم:می

.

.

x b sax by s

y a s

شوند.خطوط مشخصه به صورت زیر پارامتری می


نمایش خط کوشی فرضی 3 -3شکل

1

2

30

2

x k bs x bs

y k as y as

دستگاه مختصات در واقع و اند از هم مستقل sو در واقع s, تر از دستگاه در اینجا مناسب yx, .است

از معادله سازگاری محاسبه شود. uمقدار روی خط مشخصه بر حاال باید

2

3

3

2

dux bs

d

u bs f s

که 3 2

, 3 23 2 3 2

y x ax bys for a b

a b a b

و f s شود.به صورت زیر محاسبه میخط کوشی .اطالعات از

2

00 0 1

1

1

3 3 2, 1

2 3 2 3 2 3 2

u f su

f s

ax by ax by y xu x y b

a b a b a b


baاگر 23 اگر شرایط منطبق بر خط کوشی، مشخصه شوند. برای خط ، خطوط مشخصه و کوشی موازی می

مسئله جواب دارد، در غیر این صورت جواب ؛ ای باشند که با دینامیک مسئله تطابق داشته باشدکوشی به گونه

،موازی خط کوشیمشخصه ی خطوط ندارد، و برای دسته sf ماند.همواره مجهول می

.دهیمشود را مورد بررسی قرار میمنطبق می 9ای که بر روی خط کوشیخط مشخصهدر ادامه رفتار معادله را بر روی

. . .u u u x

s s x s

و از انجا که

bs

xbsx

از خط کوشی :

3

1

x

از خط مشخصه :

bsxu

مساله دینامیک:

خواهیم داشت.

2

2 2 2

1 1

3 3 3

6 6

u b sx b bs b

s

b s xu c c

cپس از دینامیک مسئله بدست آوردیم که روی خط کوشی x

u 6

2

است.

مرزی داشتیم که روی خط کوشی شرطاما از 1, yxu که در تناقض با دینامیک است بنابراین مسئله در

baحالت 23 دله و هم شرایط مرزی را ارضا با این شرط مرزی جواب ندارد. اگر یک جواب بدست آوریم که معا

یکتا است، اما در اینجا کند

2 2

3 26

b su c c f y x جواب ناهمگن :

4 Characteristic Cauchy Problem


زیر را حل کنید. semilinearادله مع: 9-3 مثال

(0, )

u

x yu u e

u y y

ی نقطهاگر کنیم.است بنابراین از دسته دوم معادالت استفاده می ها yمحور خط کوشی 0, محل برخورد

باشد. هاyمحور خط مشخصه با

1

u u

dyy x

dx

due e x f

dx

و از اعمال شرایط مرزی )کوشی خواهیم داشت(

0,

0y

y

u y y

e f y

f y e

بنابراین پاسخ مسئله به صورت زیر خواهد بود:

1ln

y xu

x y

e x e

ue x

0مگر اینکه این جواب همه جا برقرار است که xe yx ،0باید نابراین بباشد xe yx باشد.

زیر را حل کنید. معادله برگر غیرخطی :9-3مثال

0

(0, ) 1

x yu uu u

u y y

از معادله سازگاری خواهیم داشت: خط کوشی است. yاست.در این معادله محور quasilinearاین معادله از نوع

ln

duu

dx

u x f

ی نقطهاگر 0, محور محل برخورد خط مشخصه باyباشد. ها


ln 1 0

ln 1

f

f

بنابراین خواهیم داشت:

ln ln 1

1 x

u x

u e

آید.از طرفی معادله مشخصه از رابطه زیر به دست می

1 xdyu e

dx

، بنابراین خواهیم داشت:ثابت است یم که گیرمی ای روی خط مشخصه

1 xy e c

ی از خط معادله و از آنجا که این 0, کند.عبور می

1

2 1

1 2 1x

c

c

y e

خواهیم داشت. برای به دست آوردن

2 1

1

2

x x

x

x

e y e

y e

e

که در نهایت خواهیم داشت.

11

2

1 1, ln

2 1 2

xx

x

x

y eu e

e

yu x y x

e

نکته: روش خطوط مشخصه زمانی درست است که خطوط مشخصه یکدیگر را قطع نکنند که اگر قطع کنند، *

افتد.شوک اتفاق می

یک مقدار ثابت دارد. نکته: بر روی هر خط مشخصه *


یا اینکه نرخ غیر خطی حل را خراب نامطلوب ممکن است اتفاق بیفتد، ی برگر دو حالت ل معادلهنکته: برای ح*

کند، یا اینکه شرط مرزی روی خط کوشی خوب نباشد یعنی ناپیوستگی داشته باشد.می

شوند.مرتبه اول است که ضرائب آن ثابت بوده و به صورت زیر تعریف می PDEدر واقع معادله موج، همان معادله

(3-12) 0t xu cu

است.9جایی که در واقع همان معادله جابه

که معادله مشخصه آن به صورت زیر است.

(3-13) dx

c x ctdt

باشد.و معادله سازگاری به شکل زیر می

(3-19) ctxffudt

du 0

کند.بر روی خط مشخصه تغییر نمی uدهد مقدار که این رابطه نشان می

: مسئله زیر را حل کنید.6-3 مثال

3 ,0 sint xu u u kx u x x

منحنی مشخصه این مسئله به صورت زیر است:

3 3dx

x tdt

معادله سازگاری نیز به صورت زیر است.

3

, 3 3

, 3 3

t

t

duu kx u kt k

dt

u x t e f k t

u x t e f x t k x

5 Advection Equation


که با ارضای شرایط مرزی خواهیم داشت.

sin 3 sin 3

, sin 3 3 3 3t

x f x k x f x x k x

u x t e x t k x t k x

مسئله زیر را حل کنید. :7-3مثال

1 ,0 tant xu xu u u x x

شود.خطوط مشخصه این مسئله به صورت زیر تعریف می

ln ln t

dxx

dt

x t x e

باشد.معادله سازگاری این مسئله نیز به صورت زیر می

1 1 1t t tduu u e f e f xe

dt

که با اعمال شرایط اولیه خواهیم داشت.

tan 1

tan 1

, 1 tan 1t t

x f x

f x x

u x t e xe

را بررسی کنید. (Riemann Problemمساله ریمان اول) :8-3مثال

00

010,0

x

xxuuuu xt

شود، این خطوط مشاهده می 9-3ه را در وهله اول رسم کنیم، همانطور که در شکل این مسئلخطوط مشخصه اگر

قایی کنیم و معادله را به شکل باستفاده می 6حل ضعیفبرای حل این مسئله از و لذا کنندبا هم برخورد می

6 Weak Solution


از tکند، پس از معادله نسبت به شوک در زمان به سمت جلو حرکت می از آنجا که نویسیم.می1x تا

2x انتگرال

گیریم.می

نمایش خطوط مشخصه در مساله ریمان اول 9 -3شکل

2

1

2

2

22 2

2 11

22 2

2 11

10

2

10

2

1, , 0

2

1, , 0

2

t x

x

t xx

x

tx

x

x

u u

u u dx

u dx u x t u x t

udx u x t u x tt

بین u* که 1x شوک یک رابطه و از شوک تا محلتا

2x شوک ی دیگر دارد. )محلهرابط t است)

2

1

2

2 2

2 1

2 2

2 11

1, , 0

2

1, , 0

2

t x

x t

t x t

t tx t

dudx udx u x t u x t

dt

d t d tu t u dx u t u dx u x t u x t

dt dt

که اگر 1x t

و 2x t

آید.باشد، معادله فوق به صورت زیر در می

2 2

2

1

2

1 1

2 2

L R L R

L R

du u u u

dt

udS u u

dt u


ی شوک لزوما خط صاف نیست.معادلهاین نکته قابل توجه است که *

( را بررسی کنید.Riemann Problemمساله ریمان دوم ) :4-3مثال

01

000,0

x

xxuuuu xt

ندارند، وم، خطوط مشخصه با یکدیگر برخوردییمان دری در مسئلهشود، مشاهده می 9-3همانطور که در شکل

ای از دامنه حل جوابی اختصاص داده نشده است.یعنی برای ناحیه .ک نداریمبنابراین شو

نمایش خطوط مشخصه در مساله ریمان دوم 9 -3شکل

شوند.در این ناحیه قرار دارند به صورت زیر تعریف میای که کنیم خطوط مشخصهفرض می

2

0

10 0

0

t t

t x

x x

dxu

dt

duu u

dt

u u xu uu u u u

u u t t

x xu u

t t

ن برای خطوط مشخصه خواهیم داشت:بنابرای


ln ln ln

0 1

dx x

dt t

x t

dx dt

x t

x t

ای مرتبه دوم حل معادالت دیفرانسیل مشتقات پاره -2

ای مرتبه دوم به صورت زیر است.به طوری کلی فرم یک معادله مشتقات پاره

(3-19) ( , , , , , , , ) 0x y xx yy xyF u u u u u u x y

شود.نامیده می "خطی"ای مرتبه دوم معادله مشتقات پاره که به صورت زیر

(3-16) ( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )xx xy yy x yA x y u B x y u C x y u P x y u Q x y u R x y u F x y

2Bدر این رابطه عالمت است و PDEتعیین کننده رفتار PDE معادله نوع هر AC نوع معادله را مشخص

خواهد کرد.

(3-17) 2 0( ) hyper lB cAC bo i

(3-18) 2 0)( PB A a l cC rabo i

(3-14) 2 0)( ellipticB AC

تحت عناوین زیر نامگذاری ای در معادالت دیفرانسیل پارهسه دسته معادله خطی اصلی شناخته شده از طرفی

گردند.می

(3-21)

2 2 2 tt tt xxWave u c uE uquation c u

(3-21) 2 2 2 t t xxTransien Heat Equatio k u u k un u

(3-22) 2 0 0xx yyLaplace Equati un uo u

( قرار دارند و در واقع معرف هر کدام از این سه دسته 14-3( تا )17-3که هر کدام در یکی از سه دسته معادالت )

باشند.می


، مستقل از دستگاه مختصات ا ست.PDEی معادلهتوان نشان داد نوع هر به طور کلی می

تغییر متغیرهای زیر الزم است. PDEل معادله در نظر بگیرید، برای ح

(3-23) , ,x y x y

شود.که ژاکوبین ان به صورت زیر تعریف می

(3-29)

,, 0

,

x y

x y

J x yx y

ای خواهیم داشت.که بر اساس قانون زنجیره

(3-29) x x x x x

y y y y y

u u ux

u u uy

ل در ادامه خواهیم داشت.که به طور مثا

(3-26)

2 22

xxx x x xx xx x x

x x x x xx xx

u uuu u u u u

x x x x

u u u u u

این دستگاه مختصات به صورت زیر خواهد بود.در PDEکه به این ترتیب معادله

(3-27) 2 ,Au Bu Cu Pu Qu Ru F

که:

(3-28)

22

22

2

2

x x y y

x x x y y x y y

x x y y

A A B C

B A B C

C A B C

که خواهیم داشت.

(3-24) 2

2 2 2 2,x y y xB AC B AC J x y B AC


تا معادله به یکی از می توان معادله را ساده کرد PDEبا انتقال مناسب دستگاه مختصات برای هر به این ترتیب

کلی زیر در آید: فرم

معادله هذلولوی

(3-31) 0 , 0A C A C B

که به معادله هذلولوی به یکی از دو فرم زیر قابل بیان است.

(3-31) 1 2, , , , , , , ,u f u u u u u f u u u

معادله بیضوی

(3-32) , 0A C B

که به معادله بیضوی به فرم زیر قابل بیان است.

(3-33) , , , ,u u H u u u

سهمویمعادله

(3-39) 0A B

بیان است.به فرم زیر قابل سهمویکه به معادله

(3-39) , , , ,u G u u u

ستاندارداای به فرم تبدیل معادله دیفرانسیل پاره -2-1

توضیحات PDEباشد که در ادامه در مورد هر نوع ای قابل تبدیل به فرم استاندارد میهر معادله دیفرانسیل پاره

شود.تکمیلی ارائه می

گیرد.به صورت زیر انجام میبرای یک معادله با ضرائب ثابت به فرم استاندارد تبدیل یک معادله هذلولوی

0Aبرای ارضای شرط :خواهیم داشت


(3-36)

2 2

2 2

2

0

x x y y

x y x y

A B C

A B B AC A B B AC

که بنابراین خواهیم داشت.

(3-37) 2

2

1, 1, 0x y

dy B B ACA B B AC

dx A

د بود:که یکی از خطوط مشخصه به صورت زیر خواه

(3-38) 2B B AC

y xA

و برای تعیین خط مشخصه دون نیز خواهیم داشت.

(3-34) 2

2

2, 2, 0x y

dy B B ACA B B AC

dx A

بنابراین خط مشخصه دوم به صورت زیر خواهد بود.

(3-91) 2B B AC

y xA

مشخصه و در واقع دو تغییر متغیر ب دو خطکه به این ترتی 1 2, , ,x y x y معادلهPDE (3-

آورد.( را به صورت زیر در می16

(3-91) 2 ,Bu Pu Qu Ru F


(3-92) 1

,2

u F Pu Qu RuB

در آورید. داردفرم استانزیر را به هذلولوی PDEمعادله :11-3ل مثا

1 8 7 2 2 0xx xy yy x yu u u u u u y

که برای معادله فوق خواهیم داشت.


24 1 7 9 0

که معادله هذلولی بوده و خواهیم داشت.

1

7 7

dyy x

dx

dyy x

dx


1 1 7 4 1 1 1 7 7 1 1 18B

7x

y

u u u

u u u

یی به صورت زیر خواهد بود.و معادله نها

1 1

3 736 6

u u u u

2ی سهموی تبدیل معادلهبرای 0B AC یکی از خطوط مشخصه را به فرم استانداردx در نظر گرفته

0Bو برای آنکه :باشد، خواهیم داشت

(3-93) dy B By xAdx A

که همچنین رابطه 2

2 0B B

A A B CA A

نیز برقرار خواهد بود و لذا خواهیم داشت.

(3-99) ,Au Pu Qu Ru F

در آورید. استاندارد زیر را به فرم سهموی PDEمعادله :11-3مثال

1 4 4 3 0xx xy yy xu u u u x

ه خواهیم داشت:ک


2 22 4 0B AC

پس معادله سهموی بوده و خواهیم داشت:

2 ,dy B

y x xdx A

و با این تغییر متغیرها معادله به صورت زیر در خواهد امد.

2 3u u u

2، معادله به علت آنکه ی بیضوی به فرم استانداردتبدیل معادلهبرای 0B AC باشد خط مشخصه فیزیکی می

ندارد، لیکن با تغییر متغیرهای 2

Ay Bx

AC B

xو .خواهیم داشت

(3-99) ,A u u Pu Qu Ru F

زیر را به فرم بیضوی استاندارد در آورید. PDEمعادله :11-3مثال

5 2 2 2 4 0xx xy yy yu u u u y

که خواهیم داشت:

2

1 5 2 9

پس معادله بیضوی بوده و خواهیم داشت:

1

5 ,3

y x x

که در نهایت معادله به صورت زیر در خواهد آمد.

112 36 50

75u u u

ه و به فرم استاندارد کاهش دهید.زیر را مشخص کرد ایپاره نوع معادله دیفرانسیل :13-3مثال


11 4 0

2xx yy xu yu uy yu


2

0

0

0

y Elliptic

B AC y y Parabolic on x axis

y Hyperbolic

شود:ناحیه تقسیم بندی می 3له به مسئ که این

0yبیضوی: معادله

1

2

22

2

C

C

dyy i y i y ix

dx y

dy xy i y i y ix

dx

وابطو لذا ر3 2

1 1 1, , ,

2x y xx yyu u u u u u u u

y yy خواهیم داشت: رار بوده و بر ق

2 1 21

2u u u u

0هذلولی: معادله :y

2

2

dyy y x

dx

dyy y x

dx

و لذا روابط زیر بر قرار است:

3 2

1

2

1 1 1 1

2

x

y

xx

yy

u u u

u u uy

u u u u

u u u u y u uy y y

و خواهیم داشت:


21 1

16u u u u u

0yسهموی: معادله

0 ,dy

y xdx

و خواهیم داشت.

10

2u u

ایشرایط مرزی و اولیه در معادالت دیفرانسیل پاره -2-2

را داشته باشد.یر تواند یکی از شرایط زمیای شرایط مرزی یک معادله دیفرانسیل پاره

7شرط دیریشله

(3-96) onyxforyxuyxu ,,,

8شرط نیومن

(3-97) , , ,u

x y u x y for x y onn

4شرط رابین

(3-98)

onyxforyxfyx

n

ubyxuyxa ,,,,,

11شرط کوشی

(3-94)

onyxforyxyx

n

uyxyxu ,,,,,,

7 Dirichlet Condition 8 Neumann Condition 9 Robin Mixed Condition 10 Cauchy Condition


شود.و شرایط اولیه نیز به صورت زیر تعریف می

(3-91) 0 0,0 , ,0u

u x u x x u xt

تعریف شده است. 0tط کوشی است که که در واقع شرای

احاطه شده باشد و تمامی نقاط درون های دامنهتوسط مرززمانیکه بسته است Dی ناحیهدر بررسی یک مسئله

a,به طور مثال در دستگاه مختصات کارتزین باشند. Dمرز متعلق به x b c y d و در دستگاه

1ای مختصات استوانه 2R r R .ناحیه بسته هستند

باز است وقتی که ناحیه تا بی نهایت گسترده باشد یا اینکه درون مرزی باشد که تمام نقاط داخل Dی ناحیهو

,در دستگاه مختصات کارتزین به طور مثال مرز مربوط به ناحیه نیست. 0a x b y و در دستگاه مختصات

1ای استوانه 2R r R هستند. بازناحیه

تعریف 12و یا بدرفتاری 11است شرایط خوش رفتاری BVPای که بسته بوده و به تعبیری همچنین برای مسئله

شود. می

که حل یکتا وجود داشته باشد و هستند ای به گونه Dی رایط مرزی و ناحیهشرفتار خوش BVPدر یک مسئله

باشد. 13حل پایدارو به تعبیری تغییرات کوچک در شرایط مرزی، تاثیر اندکی روی حل بگذارد

تند یا حل وجود ندار و یا ممکن استهسای به گونه Dی شرایط مرزی و یا ناحیهبدرفتار BVPدر یک مسئله

بیری و به تع شود منجرکه حل وجود داشته باشد ولی تغییرات کوچکی در شرایط مرزی به تغییرات بزرگی در حل

باشد.حل ناپایدار

11 Well-Posed Problem 12 (Improperly Posed) Ill-Posed Problem 13 Stable


ای به هماره شرایط مرزی و نواحی متناسب با آنها آورده انواع معادالت مرتبه دوم دیفرانسیل پاره 1-3در جدول

ه است.شد

منجر به عدم وجود جواب، جواب بدیهی و یا PDEشرایط مرزی نامناسب برای حل یک الزم به ذکر است اعمال

غیر منحصر به فرد و یا جواب ناپایدار گردد.

PDEی مناسب برای سه نوع شرایط مرزی و ناحیه 1-3جدول

PDEنوع شرایط مرزی نوع ناحیه

Open Cauchy Conditions Hyperbolic

Open Dirichlet, Neumann, or mixed Parabolic

Closed Dirichlet, Neumann, or mixed Elliptic

: جواب مسئله زیر را بررسی کنید.13-3مثال

شود.معادله انتقال حرارت پایداری را در نظر بگیرید که شرایط مرزی آن به صورت زیر تعریف می

شرایط مرزی مساله انتقال حرارت 6 -3شکل

شرایط مرزی همخوانی ندارد و بنابراین مسئله با توجه به مفهوم شار حرارتی مشخص است که این مسئله با این

جواب ندارد.

خواهد بود.خوش رفتار ه باشد، لشیش دیریهای الپالس، اگر تمام شرایط مرزینکته: معادله*


هایی توضیح داده خواهد شد.طی مثال PDEحل معادالت در ادامه در مورد نحوه

زیر را بررسی کنید. ی موجمعادله :19-3 مثال

2 22

2 2

u uc

t x


2 2B AC c

لذا معادله هذلولوی بوده و خواهیم داشت.

dxc x ct

dt

dxc x ct

dt

ی موج خواهیم داشتدر معادله با اعمال تغییر مختصات فوقو

0

,

u

u G

u f g

که در واقع به صورت زیر قابل بازنویسی است.

,u x t f x ct g x ct

خطوط مشخصه این مسئله و نحوه پخش اطالعات در دامنه حل نشان داده شده است. 7-3شکل در


دله موجخطوط مشخص معا 7 -3شکل

توان بیان نمود:نکات زیر را میاین معادله که در مورد

شود که این خاصیت مهم معادالت خطی است.دو موج با هم جمع می اطالعات Aی در نقطه .1

روی خط مشخصه که (Hyperbolicشوند )دو خط مشخصه = منتشر میمشخصه روی دو خط هر نقطه . اطالعات 2

ثابت بوده، پس سمت راست، g ثابت بوده و ,u تنها تابع f است و برای خط مشخصه چپ

است. ثابت

شوند.منتشر می cابت ی موج، بیانگر دو موج پیش رونده در دو جهت مختلف است که با سرعت ث. حل معادله9

ی اولیه اطالعات. 9 f x و g x ی خود های موج نامیده می شوند که هر کدام روی خط مشخصهپروفیل

شوند.بدون تغییر منتشر می

دو موج پیش رونده در دو جهت مختلف است. اطالعاتجموع ، مtی در هر لحظه اطالعات. 6

ی موج دو بعدی با فرض پیوستگی و دوبار مشتق پذیر بودن معادله txu نسبت به متغیرهایش استخراج شده ,

تگی در پیوسهای ناپیوسته با پرش محدود یا نااست. دراین مرحله نشان خواهیم داد که چگونه این شرایط با پروفیل

شان، هماهنگ ا ست.مشتق


های موج زیر را در نظر بگیرید:پروفیل

0 1 0 1

1 1 1 , 2 1 1

0 1 0 1

x x

f x x g x x

x x

ی موج خواهیم داشت:که بنابراین معادله

0 1

,0 3 1 1

0 1

x

u x f x g x x

x

خواهیم داشت. 1tدر 1cفرض سرعت انتشار موج با

0 1 1 0 1 1

1 1 1 1 1 , 1 2 1 1 1

0 1 1 0 1 1

0 0 0 2

1 1 0 2 , 1 2 2 0

0 2 0 0

x x

f x x g x x

x x

x x

f x x g x x

x x

و لذا خواهیم داشت:

0 2

2 2 0,1 1 1

1 0 2

0 2

x

xu x f x g x

x

x

خواهیم داشت. 2tبرای به همین ترتیب و

0 3

2 3 1

,2 2 2 0 1 1

1 1 3

0 3

x

x

u x f x g x x

x

x

های مختلف نشان داده شده است.پاسخ مسئله به ازای زمان 8-3در شکل

منجر به پاسخ ناپیوسته ی موج، پروفیل موج ناپیوسته، عادلهی ماهیت مشود به واسطهمشاهده میهمانطور که

.به علت وجود ترم غیرخطی است متفاوت استکه ناپیوستگی شود که البته ذاتا با معادالت شبه خطی مرنبه اولمی


های مختلفدر زمان معادله موج جواب 8 -3شکل

ی موجصل داالمبر در معادلها -2-3

زیر را در نظر بگیرید.ی موج همگن یک بعدی معادله

(3-91) 2 2

2

2 2

u uc c constant

t x

که شرایط اولیه )کوشی( برای این مسئله به صورت زیر است.

(3-92) ,0 , ,0tu x h x u x k x

ی در بازه 0tذیر هستند و روی خط اولیه توابعی مشتق پ kو hبه طوری که x تعریف

اند.شده

به این ترتیب از مثال قبل خواهیم داشت.

(3-93) ,u x t f x ct g x ct

شود.که مشتق آن هم به صورت زیر تعریف می

(3-99) u

cf x ct cg x ctt

که با اعمال شرایط اولیه خواهیم داشت.

(3-99) ,0u x h x f x g x h x

(3-96) ,0tu x k x cf x cg x k x


( خواهیم داشت.96-3گیری از معادله )که با انتگرال

(3-97) 1 x

af x g x k d g a f a

c

آید.ط زیر به دست می( رواب97-3( و )99-3و با حل دسته معادالت )

(3-98)

1 1 1

2 2 2

1 1 1

2 2 2

x

a

x

a

f x h x k d g a f ac

g x h x k d g a f ac

pرسم خطوط مشخصه عبوری از نقطه 4 -3شکل

آید.که پس از بازنویسی فرم نهایی پاسخ به صورت زیر در می

(3-94)

1 1 1,

2

1,

2 2

x ct x ct

a a

x ct

x ct

u x t h x ct h x ct k d k dc c

h x ct h x ctu x t k d

c

ی برای معادله موج را با استفاده از شرایط کوشی، برای نقطهفرض کنید قصد داریم حل داالمبر در ادامه 0 0,p x t

شود که از خط اولیه ی موج از برخورد دو خط مشخصه ناشی میدانیم حل هر نقطه از معادلهبه دست بیاوریم. می

(Initial line= Cauchy line) نقطه گیرند. با دنبال کردن دو خطی که درسرچشمه میp یکدیگر را قطع کرده


ABی تنها به شرایط کوشی در بازهدهد که حل حل داالمبر نشان میرسیم. اند، به دو نقطه روی خط اولیه می

0ی روی خط اولیه بستگی دارد. بنابراین به بازه 0 0 0x ct x x ct برای 19ی وابستگیروی خط اولیه، دامنه

شود زیرا هر نقطه در این مثلث گفته می ABی در بازه 19ی معین، دامنهABPدرون مثلث و به نقاط pی حل نقطه

گیرند.شود که از خط اولیه در این بازه سرچشمه میای ایجاد میاز برخورد خطوط مشخصه

داالمبر حلو پایداری اثبات یکتایی -2-3-1

جواب مختلف 2ی موج، اگر به دلیل ماهیت خطی معادله ,u x t و ,v x t وجود داشته باشند، هر دو شرایط

کنند و تفاضل آنها کوشی را ارضا می , , ,w x t u x t v x t که در شرایط هم جواب معادله خواهد بود

کند.زیرصدق میکوشی

(3-61)

,0 0

,0 0t

w x h x h x

w x k x k x

معادله و لذا جواب این 0, txw است و بنابراینu v .جواب یکتاست

کنیمفرض می، ایداری حل داالمبربرای اثبات پ 1 ,u x t و 2 ,u x t ی موج باشند دو جواب متفاوت از معادله

شوند.دست آمده اند که به صورت زیر تعریف میرایط کوشی متفاوتی بکه با توجه به ش

(3-61)

1 1 1 1

2 2 2 2

,0 , ,0

,0 , ,0

t

t

u x h x u x k x

u x h x u x k x

باید ثابت کنیم که تغییر کوچک در شرایط کوشی )شرایط مرزی( منجرب به تغییرات کوچکی در حل داالمبر که

لذا اگر فرض کنیم شرایط شود.می 1 2 1h x h x و 1 2 2k x k x که برقرار باشد1 و

2.ها، داریمبا استفاده از یک نامساوی برای انتگرال ، مقادیر مثبت دلخواه کوچکی هستند:

14 Domain of Dependence 15 Domain of Determinacy


(3-62) b b

a ap x dx p x dx

و لذا خواهیم داشت.

(3-63)

1 2 1 2

1 2

1 2

, ,2 2

1

2

x ct

x ct

h x ct h x ct h x ct h x ctu x t u x t

k k dc

آید.که با توجه فرضیات رابطه زیر به دست می

(3-69)

21 2 1 1

1 2 1 2

1 1, ,

2 2 2

, ,

x ct

x ctu x t u x t d

c

u x t u x t t

tهای پس برای زمان کهt مقداری دلخواه و ثابت است، وقتی شرایط کوشی به هم نزدیک باشند، حل آنها

ی موج براساس شرایط کوشی، نشان اهد بود. وجود یک جواب پایدار و یکتا برای معادلههم به یکدیگر نزدیک خو

ست.خوش رفتار ا دهد که این مسئلهمی

که از برخورد خطوط مشخصه بوجود آمده است یدر متوازی االضالعتوان نشان داد * با توجه به اصل داالمبر می

.رابطه زیر برقرار است( 11-3)شکل

(3-69) u A u C u B u C

ctxداریم: DCو ABبرای خطوط مشخصه که و برایBC وAD :داریمx ct که و

.روی هر خط مقادیری ثابت اند

لذا برای رئوس متوازی االضالع رابطه زیر برقرار است.

(3-66) A A B B A A D D

D D C C B B C C

x ct x ct x ct x ct

x ct x ct x ct x ct

بر روی رئوس خواهیم داشت. uو از طرفی برای مقادیر


(3-67)

A A A A C C C C

B B B B D D D D

u A u C f x ct g x ct f x ct g x ct

u B u D f x ct g x ct f x ct g x ct

متوازی االضالع به وجود آمده از برخورد خطوط مشخصه 11 -3شکل

که با مرتب سازی روابط خواهیم داشت.

(3-68) u A u C u B u D

ه شرایط مرزی و اولیه زیر حل کنید.را با توجه بزیر ی موج معادله - 16-3مثال

2 2

2

2 2

u uc c constant

t x

,0 , ,0tu x h x u x k x

0, 0u t U t t

وجود دارد، حل داالمبر برقرار است، لیکن برای حل نقاط باالی SRبرای نقاطی در دامنه حل که زیر خط مشخصه

را در نظر بگیرید که رابطه زیر بین رئوس متوازی االضالع برقرار است. 11-3خط مشخصه شکل

u P u R u Q u S

u P u Q u S u R

که Ru و Su از حل داالمبر به دست می آیند و Qu .را از شرط مرزی داریم


19-3برخورد خطوط مشحصه در مثال 11 -3شکل

(Separation of Variablesروش جداسازی متغیرها) -2-9

خطی، همگن مرتبه ی دوم و باالتر، با ضرایب ثابت کاربرد دارد. PDEاین روش برای حل معادالت

ی موج کارتزین با شرط مرزی همگن زیر راحل کنید.معادله :17-3مثال

2

1tt xxu u

c

,0 , ,0 0x tu x k L x u x : شرایط اولیه )کوشی(

0, 0 , , 0u t u L t شرایط مرزی همگن:

Lxاستفاده از روش مشخصه ها به دلیل اینکه 0 .محدود است برای حل این مسئله مناسب نیست

2

2

,

1

1

u x t X x T t

TX X T

c XT XT

T Xk

c T X

توان معادله زیر را استخراج نمود:که می

0X kX

2 cos( ) sin( )k X x A x B x : معادله اشتروم لیوویل


از طرفی برای شرایط مرزی داریم:

, 0 0

0, 0 0 0 0

u L t X L T t X L

u t X T t X


0 0 0

0 sin 0

X A

nX L x

L

برای قسمت دوم معادله نیز داریم:

2 2 0

cos sin

T c T

n nT t A ct B ct

L L


1

1

,

, cos sin sin

n n

n

n n

n

u x t X x T t T t X x

n n n xu x t A ct B ct

L L L

دانیم:می nBو nAکه برای به دست آوردن

1

,0 sinn

n

nu x kx L x A x

L

xا در لیوویل طرفین ر-از معادله اشترومL

nsin گیریم:ضرب کرده و سپس انتگرال می

0

2

23 3

0

0sin .

8sin .

L

n L

nkx L x x dx

LA kLnx dx nL

گیریم:نیز از فرم عمومی معادله مشتق می مین شرط کوشیو استفاده از دو nBبرای محاسبه ی

1

1

, sin cos sin

,0 sin 0 0

t n n

n

t n n

n

n c n c n c n xu x t A t B t

L L L L

n c n xu x B B

L L


که در نهایت خواهیم داشت:

2

330

2 1 2 18 1, sin cos

2 1r

r x r ctkLu x t

L Lr

معادله ی موج کارتزین باشرایط مرزی غیرهمگن :18-3 مثال

: شرایط اولیه )کوشی( ,0 ,0tu x f x u x g x

: شرایط مرزی 0, ,u t h t u L t k t

را حل کنید.

شرایط مرزی را همگن کنیم. بنابراین تابعی به شکل زیر تعریف می کنیم:باید ابتدا ه لبرای حل این مسئ

0,,

,

v t h tx L xv x t k t h t

v L t k tL L

که با تغییر متغیر , , ,u x t v x t w x t آید.شرایط مرزی به صورت زیر در می

0, 0, 0,

0, 0

, , ,

, 0

u t v t w t h t

w t h t h t

u L t v L t w L t k t

w L t k t k t

باشد:نیز به صورت زیر میو شرایط اولیه

,0 ,0 ,0

,0 ,0 0 0

u x v x w x f x

x L xw x f x v x f x k h

L L

,0 ,0 ,0

,0 0 0

t t t

t

u x v x w x g x

x L xw x g x k h

L L

با جایگذاری به این ترتیب ,w x t ی اصلی خواهیم داشت:در معادله


2 2 2 22

2 2 2 2

w w x L h x d kc

t x x x L dx

معادله اضافه شده است.در ن خود به خود مشاهده میشود که با همگن شدن شرایط مرزی، ترم غیرهمگکه

ها را به توان حل همگن و غیرهمگن را جداگانه انجام داده و مجموع جوابی موج، میبا توجه به خطی بودن معادله

) عنوان حل نهایی کل معادله در نظر گرفت. , ) ( , ) ( , )w x t P x t Q x t

قسمت اول: حل همگن )اثرات شرایط اولیه(

2 22

2 2

0, 0, 0 , , , 0

,0 ,0

,0 ,0t t

P Pc

t x

P t w t P L t w L t

P x w x

P x w x

این معادله مانند مثال قابل محاسبه است.

1

, cos sin sinn n

n

n c n c n xP x t A t B

L L L

forceقسمت دوم: اثرات

2 22

2 2,

0, 0 , 0

,0 0 ,0 0t

Q Qc H x t

t x

Q t Q L t

Q x Q x

اینگونه تعریف کنیم. را Qتابع توانیم که می

1

n n

n

Q t x

بنابراین کنیم، شرایط مرزی خود به خود ارضا می شوند. فادهاز حل معادله همگن است ها را nاگر که به این ترتیب

های از تعریف 1

sinn

n

n xQ t

L

و 1

, sinn

n

n xH x t H t

L

شود که از رابطه استفاده می

آید.زیر به دست می


0

2

0

, sin

sin

L

n L

n xH x t dx

LH tn x

dxL

تعاریف فوق داریم: که با جایگذاری

2 2 2 2

2 21

sin 0nn n

n

c n n xH t

t L L

که بنابراین خواهیم داشت:

2 2 2 2

2 2

nn n

c nH t

t L

همچنین از شرایط اولیه داریم:

,0 0 0 sin 0 0 0

,0 0 0 sin 0 0 0

n n

t n n

n xQ x

L

n xQ x

L

باشد.بنابراین جواب نهایی مسئله به صورت زیر می

, , , ,u x t v x t P x t Q x t

را به دست آورید.( 12-3شکل )نهایت( )طول بی ایدر دستگاه استوانهی موج معادله حل :14-3مثال

22 2

20tt

uu c u

z

شرایط مرزی: 1, , 0 0 2 , 0u t for t

, , 0 1 , 0u u r t is finite for r t


دستگاه استوانه ای به طول بی نهایت - 12-3شکل

: شرایط اولیه )کوشی( , ,0 , , , ,0 ,tu r f r u r g r

شود.ای به صورت زیر تعریف میاپراتور الپالسین در دستگاه استوانهدانید طور که میهمان

2 22

2 2 2

1 1tt

u u uu c

r r r r

(اگر از روش جدایش متغیرها , , ,u r t X r T t ( شود خواهیم داشت:استفاده

گردد:که منجر دو رابطه زیر می

2 2

2 2

0

0

T c T

X X

پردازیم و مجددا از روش جدایش متغیرها از تعریف میی هلمهولتز ل معادلهابتدا به حکه

( , ) ( ) ( )X r R r H شود.استفاده می

پردازیم:شرایط مرزی میبرای حل معادله ابتدا به تبیین

شرایط مرزی:

1 0

0 1

0 2

0 2

R

R r finite r

H H circular symmetry

H H circular symmetry

رسیم:لیوویل زیر می-ت اشترومکه با استفاده از روش جدایش متغیرها به معادال

22 2r R H

R r mR r H


2mکه با فرض n داریم و فرض تناوبی بودن تابع( )H .به نتیجه زیر خواهیم رسید

2

1 2

0

cos sinn n

H n H

H C n C n

برای تابع R r .نیز خواهیم داشت

2 2 2 2 0

n n

r R rR r n R

R r BJ r Cy r

که با فرض R r finite .0خواهیم داشتC

n kR r BJ r

ا استفاده از شرط مرزی که ب 1 0R آید.بدست میمسئله ی ، مقادیر ویژه

0n kJ

باشند. می nJصفرهای k که بنابراین

)از طرفی برای حل معادله )T t :داریم

1 2( ) sin cosk kT t A c t A c t

بنابراین خواهیم داشت.

1 2

0 1

cos sin sin cosn k n n nk k nk k

n k

u J r C n C n A c t B c t

که از شرایط اولیه داریم:

1 2

0 1

1 2

0 1

( , ) cos sin

( , ) cos sin

n k n n nk

n k

k n k n n nk

n k

f r J r C n C n B

g r c J r C n C n A

nو 2nCو 1nC که برای به دست آوردن kB وn kA فوق در تبا ضرب معادال cosn krJ r n و

sinn krJ r n گیری از آن داریم:و انتگرال


1 2

0 01 1 2

2 2

0 0

1 2

0 02 1 2

2 2

0 0

1 2

0 01 1 2

2 2

0 0

2

, cos

cos

, sin

sin

, cos

cos

, sin

n k

nk n

n k

n k

nk n

k n k

n k

nk n

k n k

n k

nk n

rf r n J r d drB C

r n J r d dr

rf r n J r d drB C

rc n J r d dr

rg r n J r d drA C

rc n J r d dr

rg r n J r dA C

1 2

0 0

1 22 2

0 0sink n k

dr

rc n J r d dr

نهایت را با شرایط مرزی شکل ای )انتقال حرارت پایا( با طول بیاستوانه ی الپالس در دستگاهمعادله :21-3مثال

بررسی کنید. 3-13

هندسه مساله انتقال حرارت پایا -13 -3شکل

باشد.همانطور که می دانیم معادله به صورت زیر می

2

2

0

1 10rr r

T

T T Tr r

دهد شرایط مرزی زیر بر این مسئله صادق است:و شکل نشان می

,0 , 0T r T r

را در بگیرید. rاست و از طرفی شرایط زیر را برای مسئله در راستای که شرایط مرزی همگن است برای راستای


0

0, :

1,

T finite

T T

با استفاده از روش جدایش متغیرها ,T r R r H :داریم

2 2R R Hr r

R R H

شود.که به معادالت زیر منجر می

2 2

2

0

0

r R rR R

H H

راستای مسئله اشتروم لیوویل همگن است لذا در این که با توجه به آنکه معادله و شرایط مرزی در راستای

باشد و لذا خواهیم داشت:می

2 0

cos sin

H H

H A B

که با اعمال شرایط مرزی خواهیم داشت:

0 0 0

0 sin 0 1,2,...

sin

n

n n

H A

H B n n

H B n

داریم: rهمچنین در راستای

2 2 10

0 : 0 n n

r R rR R R r Cr Dr

R finite D R r C r

و بنابراین خواهیم داشت.

1

, sinn

n

n

T r A r n

و با اعمال شرایط مرزی داریم.

0

1

1, sinn

n

T T A n


خاصیت تعامد برای که به علت sin n در بازه ی 0 با ضرب کردن sin m در بازه و انتگرال

م داشت.خواهی تا 0

00 0

32

0

1 1sin 4

sin

n

n

T n dn TA

nn dn


2 10

31

2 18,

2 1

n

n

sin nTT r r

n

نشان داده شده است( 16-3بررسی کنید. )مختصات در شکل در دستگاه کرویرا ی الپالس معادله :21-3مثال

که نیمه ی باالیی آن دمای ثابت 𝜌توزیع دما را برای کره ای با شعاع 1T 0و نیمه ی پائینی اش دمای ثابتT را

دارد محاسبه کنید.

ندارد. فرض: کره متقارن است، بنابراین تابعیتی از

2 2

2

1sin sin 0

sin

u uu r

r r r

دستگاه مختصات کروی1 -3شکل


باشد.ات فوق شرط مرزی به صورت زیر میکه با توضیح

00

11

01 02

1,0 1

2

0,

TT

TT

T

T finite

cosای از جنس الپالس در مختصات کروی، از تغییر متغیر نکته: برای حل مسئله کنیم.استفاده می

2 22

2 2

. sin

sin cos

u u u

u u u

که خواهیم داشت.

2 2

2 2 2

2 22 2 1 0

u u u uu r r

r r

جدایش متغیرها که از روش ,u r R r Q :/داریم

222

2 12 Q Qr R rRk

R Q

شود.که منجر به رابطه زیر می

2 2

2

2 0

1 2 0

r R rR k R

Q Q kQ

1cos1با توجه به اینکه تابعی که در بازه ی ، 1,1 صدق می کند، به شرطی دوم فوقدر معادله

که 1 nnk باشد، تابع لژاندر nQ P .است

نیز داریم: rبرای راستای

1( ) n

n

BR r Ar

r

که با توجه به اینکه 0 :R finite 0باشد, میB داشت.است.و بنابراین خواهیم


0

, n

n nn

u r A r P

که از شرایط مرزی خواهیم داشت:

0 11

0 11 01

12

1

1,0,1,...

2

2 1

n nn

n

n

T P d T P du P dA n

P dn

و 0A، به طور مثال لژاندرکه با توجه به تعریف تابع 1A .قابل محاسبه هستند

0 0 1

1 1 0

2

3 5

0

1 3 5

1 0

1

2

3

4

0

, 1 3 7 11...

2 4 16 32

A T T

A T T

A

T r T r r rP P P

T T

نتقال حرارت گذرای زیر را حل کنید.: مسئله ا22-3مثال

2 22

2 2 2

1 1

(1, , ) 0

( ,0, ) 0

( , , ) 0

( , ,0) (1 )cos

t

u u uu k u k

r r r r

u t

u r t

u r t

u r r

گیریم:با استفاده از روش جدایش متغیرها در نظر می

( , , ) ( ) ( ) ( )u r t R r T t

با جایگذاری در معادله خواهیم داشت.که

2

2

( ) ( ) 1 ( ) 1 ( )

( ) ( ) ( ) ( )

T t R r R rk

T t R r r R r r

خواهیم داشت.بنابراین


22( ) ( ) 0 ( ) k tT t k T t T t Ae

طرفی خواهیم داشت.از

2

2

2 2 2

2 2 2

( ) 1 ( ) 1 ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) 0

( ) ( ) ( ) 0

R r R r

R r r R r r

R r R rr r r

R r R r

r R r rR r r R r

)برای که ) :داریم

2

( ) cos sin

(0) 0

( ) 0 sin

A B

A

B m

)برای پس )R r :نیز داریم

,

( ) ( ) ( ) 0

(1) 0 ( ) 1,2,...

m m

m m k

R r AJ r BY r B

R AJ r z k

آید:به دست میبنابراین

2

.

, ,

0 1

( )cos m kKz t

m k m m k

m k

u A J z r m e

m,محاسبه برای kA توان گفت:می

, ,

0 1

.

(1 )cos ( )cos

0 1

m k m m k

m k

m k

r A J z r m

A if m

و

1, 1 1,

1

1

1 1,0

1, 12

1 1,0

(1 ) ( )

(1 ) ( )

( )

k k

k

k

k

k

r A J z r

r r J z r drA

rJ z r dr


:PDEهای فوریه و الپالس برای حل معادالت استفاده از تبدیل -2-9

ی باشد در غیر این صورت با توجه به دامنهاستفاده می کنیم که بازه حل محدود وقتی از روش جداسازی متغیرها

انتخاب کرد: 2-3با توجه به جدول توان تبدیل مناسب رااولیه می حل و شرایط مرزی و

انتخاب روش به ازای دامنه نامحدود -2-3جدول

تبدیل دامنه ی حل نوع شرط

- فوریه ,

IVP ,0 الپالس

BVP (dirichlet) ,0 فوریه سینوسی

BVP (neumann) ,0 فوریه کسینوسی

حل معادله ی الپالس دو بعدی :23-3مثال

0 ,0xx yyu u u x f x x

xی حل با توجه به دامنه از معادله نسبت بهx، گیریم:تبدیل فوریه می

22

2, , 0

,0

x xx yy

x

F u u i U y U yy

F u x F

که حل معادله فوق به صورت زیر است.

2 0

, y y

U U

U y A e B e

با توجه به اینکه ,U y باید محدود باشد، پس اگر 0 , 0A 0و اگر ، 0B

خواهد بود.


1

, ,0

,

( , ) ,

y

y

x

U y c e U c F

U y F e

u x y F U y

حل کنید.الپالس ی زیر را به کمک روش تبدیل ی موج اصالح شدهمعادله :29-3مثال

2 22xx tt tv c v ckv k v

: ط مرزیایشر 0

0, sin0

tv t t

x

اولیه:شرایط ,0 0 , ,0 0tv x v x

گیریم.می tچون شرایط اولیه همگن است تبدیل الپالس را نسبت به

2 2 2

2

2

0

xx

xx

V c s V cskV k V

V cs k V

که حل این معادله به صورت زیر است:

,

cs k x cs k xV x s A s e B s e

که به ازای شرایط مرزی ,V x s finite :داریم

0 ,

cs k xA s V x s B s e

به ازای تبدیل الپالس شرایط مرزی مقدار B s آید.از رابطه زیر به دست می

2 2

1 10, sin

1 1V s L t B s

s s

آید.که الپالس تابع و متعاقبا مقدار تابع از روابط زیر به دست می

2

1,

1

, sin

kx csx

kx

V x s e es

v x t e t cx u t cx

Documents

موس لصف یاهراپ لیسنارفید تلاداعم - Kebriaee...1 هتفرشیپ تایضایر 46 ریز طباور طخ نیا یور رب عقاو رد و هدرک فیرعت