Міністерство освіти і науки України

Національний університет водного господарства

та природокористування

         

                        ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ І МАТЕМАТИЧНА 

СТАТИСТИКА

НАВЧАЛЬНИЙ ПОСІБНИК

 

для студентів І курсу заочної форми навчання напрямів підготовки 

6.030504 “Економіка  підприємства”, 6.030509 “Облік і аудит”, 

6.030508 “Фінанси і кредит ”

  

Рівне 2010

1

УДК 510.6 (073)

ББК 22.11 (Я7­6)

         Б89

Затверджено вченою радою Національного університету  

водного господарства та природокористування

(Протокол №6 від 25 червня2010 р.)

Рецензенти:  

Мізюк В.Г., кандидат фізико­математичних наук,     доцент Національного 

університету водного господарства та природокористування;

Кузнєцова   Т.В.,   кандидат   економічних   наук,   доцент   Національного 

університету водного господарства та природокористування.

Брушковський О.Л., Дубчак І.В.

Б89 Теорія ймовірностей і математична статистика. Навчальний  посібник. 

– Рівне: НУВГП, 2010. –117 с.

Навчальний  посібник “Теорія  ймовірностей  і математична статистика” 

містить   робочу   програму,   стислий   конспект   лекцій,     методичні 

рекомендації  до  вивчення  курсу   і  виконання  контрольної  роботи  з  теорії 

ймовірностей   та  математичної   статистики,  необхідний  довідковий  мате­

ріал,   зразок   виконання  контрольної  роботи,   30   варіантів   індивідуальних 

завдань,  питання  для підготовки  до захисту  контрольної  роботи,    тестові 

завдання  для   самоконтролю   засвоєння  матеріалу   та   список   рекомендо­

ваної літератури. 

Для студентів І  курсу  заочної  форми навчання ФЕіП  і навчально­

консультаційних центрів напрямів підготовки 6.030504  “Економіка під­

приємства”, 6.030509  “Облік і аудит”, 6.030508 “Фінанси і кредит” (ІІ се­

местр). 

УДК 510.6 (073)

ББК 22.11 (Я7­6)

      © Брушковський О.Л., Дубчак І.В., 2010

 © Національний університет водного

 господарства та природокористування, 2010

2

1. Зміст навчальної дисципліни

1.1. Структура програми курсу “Основи теорії ймовірностей 

та математичної статистики”

ІI СЕМЕСТР

 Заочна форма навчання

Призначення: 

підготовка 

бакалаврів

Напрям, спеціаль­

ність, освітньо­

кваліфікаційний 

рівень

Характеристика 

навчальної 

дисципліни

Кількість 

кредитів,відповідних 

ECTS – 3

Модулів – 2

Змістових

 модулів – 2

Контрольних

 робіт – 1

Загальна кількість 

годин 108

Тижневих годин:

аудиторних – 0;

СРС –10.

6.030504  “Економіка 

підприємства”, 

6.030509     “Облік   і 

аудит”, 

6.030508   “Фінанси   і 

кредит” 

Освітньо­

кваліфікаційний 

рівень – бакалавр

Обов'язкова, 

нормативна

Рік підготовки: І

Семестр: ІІ

Лекції: 8 год.

Практичні: 6 год.

Самостійна робота: 

94 год.  

КР – 1 “Основи теорії 

ймовірностей та 

математичної 

статистики”.

Види контролю:

 залік

3

1.2. Робоча програма

Змістовий модуль 1 “Основи теорії ймовірностей ”

Тема 1. Ймовірність випадкових подій

  Предмет   теорії   ймовірностей.  Елементи   комбінаторики. 

Класичний, геометричний і статистичний методи визначення базових 

ймовірностей.   Властивості   ймовірностей   (ймовірність   появи 

протилежної   події,   ймовірність   появи   неможливої   події,   теорема 

додавання ймовірностей будь­яких двох подій, умовна ймовірність, 

теорема добутку ймовірностей, теорема добутку ймовірностей для 

незалежних подій). Формула повної ймовірності. Формула Байєса.

Послідовність   незалежних   випробувань.     Формула   Бернуллі. 

Найімовірніша частота появи події  в незалежних  пробах.  Локальна 

та інтегральна теореми Муавра­Лапласа. Формула  Пуассона.

Тема 2. Випадкові величини

Дискретні випадкові величини і їх числові характеристики

Функція   розподілу.   Закон   розподілу   дискретної   випадкової 

величини. Числові характеристики дискретної випадкової величини. 

Приклади   законів   розподілу   дискретної   випадкової   величини: 

біноміальний і розподіл Пуассона.

Неперервні випадкові величини  і їх числові характеристики

Інтегральна   та   диференціальна   функції   розподілу.   Числові 

характеристики   неперервних   випадкових   величин.   Закон 

рівномірного розподілу. Нормальний закон розподілу.   Ймовірність 

попадання в заданий інтервал і ймовірність заданого відхилення для 

нормально розподіленої  випадкової  величини.  Правило  трьох сигм. 

Показниковий закон розподілу.

4

Нерівність  Чебишова.   Закон   великих   чисел   для   послідовності 

незалежних   випадкових   величин.  Теореми  Чебишова   і  Бернуллі. 

Поняття про центральну граничну теорему.

Двомірні випадкові величини. Функція і щільність розподілу. 

Змістовий модуль 2  “Основи математичної статистики ”

Тема 3.  Основи математичної статистики

Предмет   математичної   статистики.   Генеральна   сукупність   і 

вибірка.  Варіаційний  ряд.  Емпіричні  ряди  розподілу,   їх   графічне 

зображення. Числові характеристики одномірної вибірки (вибіркові 

середні, мода, медіана, дисперсія, середнє квадратичне відхилення).

Статистичні  оцінки  параметрів  розподілу.  Вимоги  до  статистич­

них оцінок.  Точкові  оцінки.  Інтервальні  оцінки.  Надійний  інтервал. 

Знаходження  надійного   інтервалу  для  математичного  сподівання   і 

середнього квадратичного відхилення.

 Статистичні  гіпотези.  Перевірка  статистичних  гіпотез.  Поняття 

про критерії узгодження. Критерій Пірсона. Перевірка статистичної 

гіпотези про нормальний розподіл генеральної сукупності.

Елементи теорії кореляції. Системи випадкових величин. Числові 

характеристики   системи  двох   випадкових   величин.  Кореляційний 

момент. Коефіцієнт кореляції. 

Функціональна   залежність   і   регресія.   Вибірковий   коефіцієнт 

кореляції.  Емпірична   лінія   регресії   і   вибіркове   рівняння   прямої 

регресії. Метод найменших квадратів.

5

 Практичні заняття

№з/п Теми практичних занять Кількість 

годин

1 Елементи комбінаторики.   Події та їх класифіка­

ція.  Математична   і  статистична  ймовірність  події. 

Властивості   ймовірностей   (ймовірність   появи 

протилежної  події,  ймовірність  появи  неможливої 

події,  теорема  додавання  ймовірностей  будь­яких 

двох  подій,  умовна  ймовірність,  теореми  добутку 

ймовірностей   для   залежних   і   незалежних   подій). 

Формула   повної   ймовірності.   Формули   Байєса. 

Формула   Бернуллі.   Локальна   та   інтегральна 

теореми   Лапласа.   Найімовірніша  частота   появи 

події в незалежних пробах.

2

2 Дискретні   випадкові   величини,   ряд   розподілу. 

Знаходження   числових   характеристик.   Закони 

розподілу: біноміальний і Пуассона.

Неперервні  випадкові  величини:  функція  розпо­

ділу і щільність розподілу, ймовірність попадання в 

заданий   інтервал,   числові   характеристики.   Нор­

мальний закон розподілу.

2

3 Основи   математичної   статистики.   Групування 

вибіркових   даних.   Емпіричні   ряди   розподілу,   їх 

зображення.   Числові   характеристики   одномірної 

вибірки. Статистичні оцінки параметрів розподілу. 

1

4   Перевірка   статистичних   гіпотез.   Критерій 

Пірсона.  Числові   характеристики   системи   двох 

випадкових величин. Коефіцієнт кореляції.  

1

Всього: 6

6

1.3. Структура залікового кредиту

Назви тем, змістових модулів

Кількість годин

Лекцій Практич­

них

Самос­

тійна та 

індиві­

дуальна 

робота

Разом

Змістовий модуль 1. Основи 

теорії ймовірностей

6 4 58 68

Тема 1. Основні поняття і 

теореми 

3 2 29 34

Тема 2. Випадкові величини 3 2 29 34

Змістовий модуль 2.  Основи 

математичної статистики

2 2 36 40

Тема 3. Основи математичної 

статистики

2 2 36 40

Всього годин 8 6 94 108

7

1.4. Розподіл балів, що присвоюються студентам  згідно

кредитно­модульної системи 

        Модуль 1 Підсум­

ковий 

контроль

Сума

Змістовий модуль 1 Змістовий модуль 2

40  20

Т­1 Т­2 Т­3

20 20 20

Захист

контроль­

ної роботи

40

100

2. Змістовий модуль 1 “Основи теорії ймовірностей ”

2.1. Теоретичні питання до змістового модуля 1 

1. Масові випадкові явища. Предмет теорії ймовірностей. Події та 

їх класифікація. Алгебра подій.

2.  Частоти   і   їх   властивості.  Ймовірність   події.  Аксіоми   теорії 

ймовірностей.

3.   Класичний     і   статистичний   методи   визначення   базових 

ймовірностей. Елементи комбінаторики.

4.Властивості ймовірностей (ймовірність появи протилежної події, 

ймовірність   появи   неможливої   події,   теорема   додавання 

ймовірностей  будь­яких  двох  подій,  умовна  ймовірність,  теореми 

добутку ймовірностей для залежних і незалежних подій).

5. Формули повної ймовірності і формули Байєса.

6.   Послідовність   незалежних   випробувань.   Схема   Бернуллі. 

Формула Бернуллі. Найімовірніша частота появи події в незалежних 

пробах. 

8

7. Граничні теореми  Лапласа і Пуассона. 

8. Поняття випадкової величини. Дискретні і неперервні випадкові 

величини. Функція розподілу і її властивості.

9.  Розподіл  дискретних  випадкових  величин.    Типові  розподіли: 

біноміальний і пуассонівський. 

10.  Неперервний   і   абсолютно   неперервний   розподіли.  Функція 

розподілу і щільність розподілу абсолютно неперервних випадкових 

величин.    Властивості  щільності  розподілу.  Ймовірність  попадання 

абсолютно неперервної випадкової величини в заданий інтервал. 

11. Типові  розподіли неперервних випадкових величин: рівномір­

ний, нормальний. Крива Гауса. 

12.   Ймовірність   попадання   в   заданий   інтервал   і   ймовірність 

заданого  відхилення  для  нормально  розподіленої  випадкової  вели­

чини. Правило трьох сигм. 

13. Математичне сподівання і дисперсія випадкових величин та їх 

властивості. 

14. Математичне  сподівання   і  дисперсія  при  типових  розподілах 

випадкових  величин   :    дискретних   (біноміальному,  пуассонівсько­

му),  неперервних (рівномірному, нормальному).

15.Початкові і центральні моменти. 

16. Нерівність Чебишова. Закон великих чисел для послідовності 

незалежних   випадкових   величин.  Теореми  Чебишова   і  Бернуллі. 

Поняття про центральну граничну теорему.

         

2.2.  Питання для самоперевірки 

1. Яке явище називається випадковим? 

2. Які випадкові явища називаються масовими?

3. Яка математична наука займається вивченням закономірностей 

масових випадкових явищ?

4. Що таке ймовірнісний експеримент?

9

5.  Дайте  означення  елементарної  події   і  простору  елементарних 

подій. Як вони позначаються?

6.  Яким  може  бути  простір  елементарних  подій  по  числу   еле­

ментів?

7.   Яким   буде   простір   елементарних   подій   при   підкиданні 

грального кубика один раз? А два рази?

8. Дайте означення події. Як позначаються події?  

9. Дайте означення вірогідної, неможливої і випадкової подій. Як 

вони позначаються?

10. Розкажіть про алгебру подій.

11.   Дайте   означення   частоти   події.   Сформулюйте   властивості 

частот.

12. Який висновок можна зробити, якщо частота події в даній серії 

випробувань  дорівнює  0 або  1? Чи  буде  така  подія  неможливою 

або вірогідною?

13.   Яка   основна   закономірність   спостерігається   у   масових 

випадкових явищах при великому числі випробувань? 

14.  Як   ймовірність   події   пов'язана   з   частотою   події?  Як   вона 

позначається?

15. Які аксіоми теорії ймовірностей Ви знаєте? Сформулюйте їх.

16. Які методи визначення базових ймовірностей Ви знаєте?

17.  Розкажіть  про  класичний   (лапласівський)  метод   визначення 

базових ймовірностей.

18.   Розкажіть   про   статистичний   метод   визначення   базових 

ймовірностей.

19.  Яка  вибірка  носить  назву  розміщень? Як  визначається  число 

розміщень?

20. Яка вибірка носить назву перестановок? Як визначається число 

перестановок? 

21. Яка вибірка носить назву комбінацій? Як визначається число 

комбінацій?

22. Запишіть біном Ньютона.

10

23.   Сформулюйте   основні   теореми   теорії   ймовірностей 

(ймовірність   появи   протилежної   події,   ймовірність   появи 

неможливої   події,   теорема   додавання   ймовірностей   будь­яких 

двох   подій,   теореми   добутку   ймовірностей   для   залежних   і 

незалежних подій).

24. Запишіть формулу повної ймовірності. 

25. Запишіть формули Байєса.  

26. Що таке послідовність незалежних випробувань?

27. Розкажіть про схему Бернуллі. Наведіть формулу Бернуллі.

28. Розкажіть про граничні теореми теорії ймовірностей

(локальну та інтегральну теореми Лапласа і теорему Пуассона).

29. Як визначається найімовірніше число появи події?

30.  Дайте  означення  випадкової  величини.  Які  види  випадкових 

величин Ви знаєте? Дайте їх означення.

31. Розкажіть про функцію розподілу  та її властивості.

32. Як задається розподіл дискретної випадкової величини? 

33.   Розкажіть   про   ряд   розподілу   і   багатокутник   розподілу 

дискретної випадкової величини.

34.   Розкажіть   про   типові   розподіли   дискретних   випадкових 

величин (біноміальний і розподіл Пуассона).

35. Який розподіл називається абсолютно неперервним? 

36. Розкажіть про щільність розподілу і її властивості.

37.  Як  ще  називаються  щільність  розподілу   і  функція  розподілу 

абсолютно неперервних розподілів?

38.   Розкажіть   про   типові   розподіли   неперервних   випадкових 

величин (рівномірний та нормальний).

39.  Розкажіть   про   графічне   зображення  щільності   нормального 

закону   і   вплив   параметрів   нормального   розподілу   на   форму 

нормальної кривої.

40.  Як   визначається  ймовірність  попадання   в   заданий   інтервал 

нормальної випадкової величини?

41. Як  визначається  ймовірність  заданого  відхилення  нормальної 

11

випадкової величини?

42. Які числові характеристики випадкових величин Ви знаєте?

43. Розкажіть про математичне сподівання і його властивості.

44. Розкажіть про дисперсію та її властивості.

45. Чому крім дисперсії для характеристики розсіювання значень 

випадкової   величини   використовується   середнє   квадратичне 

відхилення?

46.  Як  визначаються    математичне  сподівання     і  дисперсія  для 

дискретних і неперервних випадкових величин?

47.  Як  визначаються    математичне  сподівання     і  дисперсія  для 

типових розподілів  випадкових величин?

2.3. Короткі теоретичні відомості. Довідковий матеріал [2,3]

Багато явищ носить випадковий характер, тобто при однократному 

спостеріганні   такого   явища   неможливо   наперед   вказати   його 

результат.  Однак   при   багатократному   спостереженні   випадкових 

явищ   можливо   помітити   деякі   закономірності.   Масовими 

випадковими   явищами   називають   такі   явища,   які   можливо 

спостерігати  багатократно,  практично  необмежену  кількість  разів 

при  одних і тих же умовах.

Теорія   ймовірностей  є   математична   наука,   яка   займається 

вивченням закономірностей масових випадкових явищ.

Спостерігання  даного  випадкового  явища  при  одному   і  тому  ж 

комплексі   умов,   яке   можно   виконувати   практично   необмежену 

кількість разів будемо називати ймовірнісним експериментом.

Елементарною  подією      (омега)  будемо   називати   любий 

результат   із   сукупності   всіх   можливих,   взаємна   виключних 

(несумісних) результатів даного ймовірнісного експерименту.

Простір   елементарних   подій  (омега),   це   множина   всіх 

12

елементарних   подій   ={} ,   що   відповідає   даному 

ймовірнісному   експерименту.  По   числу   елементів   він  може  бути 

скінченним  або  нескінченним,  останній  зчисленним  або  незчислен­

ним.   Скінченний   простір   позначають:   ={i∣i=1, n }.

Нескінченний   простір   із   зчисленною   множиною   елементів 

позначають: ={i∣i=1,∞}.

Приклади. 

1) Якщо  монету  підкинуто  1 раз,  то  простір  елементарних  подій 

складається з двох подій:     1

— випав “герб” і  2

— випала 

“решка”, тобто  ={1;

2}={Г ; Р} .

2) Якщо монету підкинуто 2 рази, то простір елементарних подій 

складається з чотирьох подій: 

={i∣i=1,4}={ГГ ; ГР; РГ ; РР} .

Подією  називається   усяка   підмножина   простору   елементарних 

подій. Події позначаються великими буквами латинського алфавіту 

А,В, С (можливо з індексами).

Приклади: 

1) А— влучення у мішень при пострілі;

2) В — справна робота приладу у даний проміжок часу.

В   результаті   випробування   відбувається   тільки   одна   з 

елементарних   подій   ймовірнісного   простору.   Разом   з   нею 

відбуваються   або   не   відбуваються   багато   інших,   більш   складних 

подій. Наприклад: ймовірнісний експеримент полягає в підрахуванні 

числа очок, що випали на верхній грані грального кубика при його 

однократному   підкиданні.   Ймовірнісний   простір   складається   з 

шести елементарних подій   ={i∣i=1,6} . Нехай в результаті 

експерименту  відбулась  подія   5

(випало  5 очок).  Разом  з  тим 

відбулися або не відбулися більш складні події:

13

A={1,

3,

5} —   випало   непарне   число   очок   (відбулася); 

B={2,

4,

6} — випало парне число очок (не відбулася);

C={1,

2,

3,

4,

5} —   випало     число   очок   не   більше   5 

(відбулася).

Класифікація подій

Вірогідною  називається   подія,   яка   співпадає   з   простором 

елементарних  подій.  Ця  подія   завжди   відбувається  при  кожному 

повторенні   ймовірнісного   експерименту.   Вона   позначається 

символом  .

Неможливою  називається   подія,   яка   співпадає   з   порожньою 

множиною.   Ця   подія   завжди   не   відбувається   при   кожному 

повторенні   ймовірнісного   експерименту.   Вона   позначається 

символом  ∅ .

Випадковою  називається   подія,   яка     може   відбутися   або   не 

відбутися   при   кожному   повторенні   ймовірнісного   експерименту, 

тобто результат передбачити неможливо.

Алгебра подій.

Об'єднанням  (або   сумою)   двох   подій  А  і  В  називається   така 

складна     подія   A∪B ,  що  містить   ті   елементарні   події,   які 

належать хоча б одній з цих подій.

A∪B={∣∈A , або∈B , або∈Ai B}.

Таким чином подія   A∪B відбувається тоді, коли відбувається 

хоча б одна з подій А або В, тобто (або А , або В, або обидві разом).

Узагальнення. Об'єднанням (або сумою) скінченної або зчисленної 

множини  подій   A1, A

2, ...   називається така складна    подія  , що 

містить ті елементарні події, які належать хоча б одній з цих подій.

14

Перетином  (або  добутком)  двох  подій  А  і  В  називається   така 

складна     подія   А∩B ,  що  містить   ті   елементарні   події,   які 

належать як події А так і  події В:

A∩B={∣∈A i ∈B}.

Таким чином подія   А∩B відбувається тоді, коли відбувається 

і подія А і подія В, тобто  обидві події відбуваються разом.

Узагальнення.   Перетином   (або   добутком)   скінченної   або 

зчисленної  множини  подій   A1, A

2, ...   називається  така  складна 

подія , що містить ті елементарні події, які належать одночасно всім 

подіям, що входять в дану множину подій.

Дві   події   називаються  несумісними,   якщо   їх   перетин   є 

неможливою   подією   A∩B=∅ . Інакше   події   називаються 

сумісними . 

Зауваження.  Для   несумісних   подій   замість   A∪B будемо 

писати   AB ,  а  перетин    будь­яких  подій   А∩B позначати 

А⋅B або  А B .

Подія  А називається протилежною події А, якщо вона є допов­

ненням множини А до множини .

Таким чином:  A∪А=; A∩А=∅ ; =∅ ; А=A.

Різницею  двох   подій   A ∖B називається   така   подія,   яка 

складається з тих елементарних подій, що входять до події А, але не 

входять до події В.

Приклади 

1)   Дана множина , що складається з двох подій   {A , B}. Тоді:

А⋅B —   відбулись   обидві   події;     A⋅BA⋅B   —   відбулась 

тільки одна подія;  A∪B=A⋅BA⋅BA⋅B  —  відбулась хоча б 

15

одна з подій;   A⋅B  — не відбулась жодна з подій. Зрозуміло, що 

A⋅BA⋅BA⋅BA⋅B=     або  A∪BA⋅B=

2)  Дана  множина   ,  що  складається   з  трьох  подій   {A , B ,C }.

Тоді: А⋅B⋅C — відбулись всі три події; 

  A⋅B⋅CA⋅B⋅CA⋅B⋅C  — відбулись тільки дві події;

A⋅B⋅СA⋅B⋅CA⋅B⋅C  — відбулась тільки одна подія;

  A∪B∪C  —  відбулась хоча б одна з подій; 

A⋅B⋅C  — не відбулась жодна з подій. 

 Зрозуміло, що  A∪B∪CA⋅B⋅C=.

Групу   випробувань   з   фіксованим   комплексом   умов   називають 

серією випробувань.

Нехай  n  —   загальна  кількість   випробувань   в  даній   серії;  m  — 

кількість з них, в яких відбулась подія А ( m≤n ).

Частотою   події p* A називається   відношення   числа   випро­

бувань     m, у яких відбулась подія А, до загального числа випробу­

вань n:                                     p* A=

m

n.

У   деяких   випадках   частоту   події   А   потрібно   визначати   при 

додатковій  умові,  що  відбулась   інша    подія  В.  Така  частота  нази­

вається умовною частотою і дорівнює 

p* A∣B=

mAB

mB

,

де mb

—   кількість   випробувань,   у   яких   відбулась   подія   В;

mAB

— кількість з них, у яких відбулась подія А.

Властивості частот

1. Частота неможливої події дорівнює нулю:    p*∅=0 .

2. Частота вірогідної події дорівнює 1 :  p*=1.

16

3. Частота випадкової події є невід'ємне число, не більше за 1: 

0≤p* A≤1.

4. Частота появи однієї з несумісних подій, байдуже якої, дорівнює 

сумі їх частот:  p* A∪B=p

* Ap*B .

5. Частота сумісної появи двох подій А і В дорівнює частоті однієї 

з них, помножену на умовну частоту іншої:

p* A∩B=p

* A⋅p*B∣A або  p

* A∩B=p*B⋅p

* A∣B.6. Якщо частота події у даній серії випробувань дорівнює 0 або 1, 

то з цього не випливає, що подія неможлива або вірогідна.

Ймовірність події. Аксіоми теорії ймовірностей

Основною   закономірністю,   яка   спостерігається   у   масових 

випадкових   явищах,   є   стійкість   частот   при   великому   числі 

випробувань.  Якщо  при  малому   числі   випробувань   частота  події 

носить   випадковий   характер,   то   при   достатньо   великому   числі 

випробувань   вона   проявляє   тенденцію   до   стабілізації   відносно 

деякого  характерного  для  даної  події   значення.  Це  дає  підставу 

вважати, що існує об'єктивна числова характеристика  кожної події, 

ймовірність  події,  коло  якої  стабілізується  частота  цієї  події  при 

необмеженому   зростанні   числа   випробувань.  Ймовірність  події  А 

позначають  P(A).   У   сучасній   теорії   ймовірностей   цю   числову 

характеристику   об'єктивної   можливості   появи   події   вводять   з 

допомогою системи аксіом. Наведено одну з них:

Аксіома   1.  Для   кожної   події  А  ймовірність  P(A)   задовольняє 

подвійній нерівності:  0≤P A≤1.

Аксіома 2. Ймовірність вірогідної події дорівнює 1 :  P=1.

Аксіома 3  (Аксіома додавання ймовірностей несумісних подій). 

Ймовірність  об'єднання  попарно  несумісних  подій  дорівнює  сумі 

ймовірностей цих подій. Так для двох несумісних подій:

17

P A∪B=P APB.

Класичний (лапласівський) метод визначення ймовірностей.

Якщо всі  елементарні  події  із деякого скінченного ймовірнісного 

простору рівноможливі, то ймовірність здійснення події A дорівнює 

відношенню числа сприятливих для неї елементарних подій     m до 

загального числа   n всіх елементарних подій

P A=m

n.                                  (1)

Класичний   метод   визначення   ймовірностей   носить   обмежений 

характер: множина елементарних подій повинна бути скінченною, а 

всі   елементарні  події   —   рівноможливими.  Якщо  хоч  одна   з  цих 

вимог   порушена,   то   замість   класичного   методу   потрібно 

застосовувати   інший.  Найбільш   загальним   з   них   є  статистичний 

метод. Його суть полягає в тому, що за ймовірність події приймають 

її  частоту  при  достатньо   великому  числі   випробувань.   Існує  ряд 

теорем, на основі яких можна розрахувати число випробувань  n для 

знаходження ймовірності події А з потрібною точністю.

Елементи комбінаторики

В   теорії   ймовірностей   широке   застосування   знаходять   методи 

комбінаторики,   яка   розглядає   задачі     вибору   і   розміщення  m 

елементів   (вибірки)   з  деякої   скінченної  множини,  що  містить    n 

елементів     (генеральної   сукупності)   у   відповідності   з   заданими 

правилами.

Можливі  два  способи  відбору:  з  поверненням   і  без  повернення.  У 

першому   випадку   перед   відбором   кожного   наступного   елемента 

відібраний   попередньо   елемент   повертається   у   генеральну 

сукупність, у другому — не повертається.

18

Вибірка об'ємом    m   з   n елементів при вибірці з поверненням може 

бути проведена     nm

    способами.

 Вибірка об'ємом   m  з  n елементів при вибірці без повернення може 

бути проведена            An

m=n⋅n−1⋅n−2⋅...⋅n−m1    числом 

способів.  Ці   вибірки     відрізняються   одна   від   одної   або   самими 

елементами,  або   їх  порядком   і  називаються  розміщеннями. Число 

розміщень   із  n  елементів по  m  знаходиться   за вказано формулою, 

яку на практиці використовують  у такому вигляді:

An

m=n!

n−m !.                                     (2)

Приклад. Скількома способами можна вибрати 4 чоловік на 4 різні 

посади з 8 кандидатів на ці посади?

Розв'язання.  A8

4=8!

8−4!=

8!

4!=

4!⋅5⋅6⋅7⋅8

4!=1680 .

Розміщення   з    n  елементів   по  n  носять   назву  перестановок. 

Перестановки   відрізняються   одна   від   одної   лише   порядком 

елементів.   Число   перестановок     із  n  елементів   знаходиться   за 

формулою:  Pn=A

n

n=n!

n−n!=

n!

0!=

n!

1=n!                                 (3)

Приклад.  П'ять   студентів   вирішили  піти   в  кінотеатр   і  купили   5 

квитків.   Скількома   способами   їх   можна   розподілити   між   цими 

студентами.

Розв'язання.            Pn=5!=1⋅2⋅3⋅4⋅5=120.

Вибірки з n  елементів по m , які відрізняються одна від одної хоча б 

одним   з   елементів   називаються  сполуками   (або   комбінаціями). 

Число сполук  із n елементів по m знаходиться  за  формулою:

19

Сn

m=A

n

m

Pm

=n!

m !n−m !;                                 (4)

При цьому  Сn

0=Сn

n=1 ;      Сn

m=Сn

n−m;

Приклад. Скількома способами можна вибрати 3 деталі з 8 ?

Розв'язання.  С8

3=8!

3!8−3!=

8!

3!⋅5!=

5!⋅6⋅7⋅8

1⋅2⋅3⋅5!=56 .

   Часто у теорії ймовірностей розглядаються задачі, що зводяться до 

наступної   схеми.  Маємо   генеральну   сукупність,  що  містить   n  

елементів, з яких   n1

елементів І виду і  n2=n−n

1 елементів ІІ 

виду.     З   цієї   сукупності   вибирається     r   елементів.   Знайти 

ймовірність того, що серед цих   r елементів   буде    k  елементів І 

виду. Ця ймовірність знаходиться за формулою гіпергеометричного

 розподілу:                       P=C

n1

k⋅Cn

2

r−k

Cn

r.                                         (5)

Біном  Ньютона.  Для  будь­яких  чисел   a   і   b   та  будь­якого 

натурального  n  :

ab n=Cn

0a

nCn

1a

n−1bC

n

2a

n−2b

2...Cn

nb

n=∑m=0

n

Cn

ma

n−mb

m.

Приклад. Знайти  ab 4 .

Розв'язання.  ab 4=C4

0a

4C4

1a

3bC

4

2a

2b

2C4

3a b

3C4

4b

4.

С4

0=C4

4=1 ; С4

1=C4

3=4!

1!⋅3!=4 ; С

4

2=4!

2!⋅2!=6 ;

20

ab 4=a44 a

3b6a

2b

24 ab3b

4.

Властивості ймовірностей

Їх  формулюють  у  вигляді  теорем,  для  доведення  яких  використо­

вують   аксіоми   теорії   ймовірностей.  Наведемо   їх   як   властивості, 

включаючи і аксіоми.

1.  Аксіома.  Ймовірність  випадкової  події  А  задовільняє  подвійній 

нерівності:

0≤P A≤1.                                         (6)

2. Аксіома. Ймовірність вірогідної події дорівнює 1:  P=1. (7)

3.  Аксіома  додавання  ймовірностей  несумісних  подій.  Ймовірність 

об'єднання  попарно  несумісних  подій  дорівнює  сумі  ймовірностей 

цих подій. Так для двох несумісних подій:

P A∪B=P APB.                         (8)

4. Ймовірність протилежної події: P A=1−P A.                    (9)

5. Ймовірність неможливої події дорівнює 0:   P∅=0 .          (10)

6.   Теорема   додавання   будь­яких   двох   подій.  Ймовірність   появи 

об'єднання будь­яких двох подій дорівнює сумі їх ймовірностей без 

ймовірності їх перетину (сумісної появи):

P A∪B=P APB−P AB.                (11)

7. Теорема добутку ймовірностей. Ймовірність сумісної появи двох 

подій   дорівнює   ймовірності   однієї   з   них,   помножену   на   умовну 

ймовірність іншої:

P A B=P A⋅PB∣A=P B⋅P A∣B.          (12)

8.    Теорема  добутку  ймовірностей  для  незалежних  подій.  Ймовір­

21

ність  сумісної  появи  двох  незалежних  подій  дорівнює  добутку   їх 

ймовірностей: P A B=P A⋅PB .                                         (13)

Приклад. Прилад  складається  з двох  вузлів.  Ймовірність виходу з 

ладу   на   протязі   року   відповідно   для   першого   і   другого   вузла 

становить 0,2  та  0,6 . Прилади виходять з ладу незалежно один від 

одного. Знайти ймовірність того, що на протязі року вийдуть з ладу:

1) обидва вузли;

2) тільки один вузол;

3) ні один з вузлів;

4) хоча би один з вузлів.

Розв'язання.  Позначимо події: 

А — на протязі року вийшов з ладу перший вузол; 

В — на протязі року вийшов з ладу другий вузол.

Ймовірності цих подій задані: P A=0,2 ; P B=0,6 .

Ймовірності протилежних подій: 

P A=1−P A=0,8 ; P B=1−PB=0,4 .

Складні події:

1)  AB  — на протязі року вийшли з ладу обидва вузли;

2)  A BA B — на протязі року вийшов з ладу тільки один вузол;

3)  A B — на протязі року не вийшов з ладу ні один з вузлів;

4)  A∪B — на протязі року вийшов з ладу хоча би один з вузлів. 

Знайдемо їх ймовірності:

1) P AB=P A⋅P B=0,2⋅0,6=0,12 ;

22

2)  PA BA B=PA⋅P BP A⋅PB=0,2⋅0,40,8⋅0,6=0,56 ;

3) P A B=P A⋅P B=0,8⋅0,4=0,32 ;

4)  P A∪B=P APB−P AB=0,20,6−0,12=0,68 .

Останню ймовірність можна знайти і інакше:

P A∪B=1−P A⋅B=1−0,32=0,68 . Поясніть   чому   і   які 

теореми   та   аксіоми   були   використані   при   знаходженні   вказаних 

ймовірностей.

Формула повної ймовірності

Ймовірність   події A , яка може відбутися тільки сумісно з однією з 

подій   H1, H

2, ... , H

n,  що   утворюють   повну   групу   несумісних 

подій   (гіпотез,  об'єднання  яких  співпадає   з   )   знаходиться   за 

формулою повної ймовірності:

P A=PH1⋅P A∣H

1...PH

n⋅P A∣H

n .      (14)

Якщо гіпотез тільки дві, то:

  P A=P H1⋅P A∣H

1P H

2⋅P A∣H

2.        (15)

Приклад. Два кооперативи виробляють однакові деталі, які після їх 

одержання  на  склад  були  змішані.  Ймовірність  браку  для  першого 

кооперативу   0,2,  для  другого  — 0,6.  Знайти  ймовірність  того,  що 

взята навмання деталь буде бракована, якщо І кооператив поставив 

80% деталей, а другий 20%.

Розв'язання. Введемо у розгляд події:

A — взята деталь бракована;   Н1

  — взята деталь виготовлена І 

кооперативом;   Н2

 — взята деталь виготовлена ІІ кооперативом.

23

Тоді:  PH1=0,8 ; P A∣H

1=0,2 ;

  PH2=0,2 ; P A∣H

2=0,6 ;

P A=PH1⋅P A∣H

1P H

2⋅P A∣H

2=

=0,8⋅0,20,2⋅0,6=0,160,12=0,28 .

Формули Байєса (переоцінка гіпотез після випробування)

Ймовірність події PHk∣A  гіпотези   H

k після того, як мала 

місце подія  А , визначається за формулами Байєса:  

PHk∣A=

P HkP A∣H

k

∑i=1

n

PHiP A∣H

i

=PH

kP A∣H

k

P A.

     (16)

де  k=1,2,...,n  і   гіпотези   H1, H

2, ... , H

nскладають   повну   групу 

несумісних   подій,   об'єднання   яких   співпадає   з   простором 

елементарних подій .

Приклад.  Нехай при використанні  умови  попередньої  задачи взята 

навмання деталь виявилась бракованою. Знайти  ймовірність того, що 

вона була виготовлена І кооперативом.

Розв'язання.  PH1∣A=

P H1 PA∣H

1

P A=

0,8⋅0,2

0,26=0,54 .

Послідовність незалежних випробувань  — це повторне виконання 

n випробувань,   при незмінному комплексі умов, в кожному з яких 

ймовірність  події А не залежить від результатів інших випробувань.

24

Схема Бернуллі — це така послідовність незалежних випробувань, у 

кожному з яких  ймовірність  події А дорівнює р  (стала).

Формула Бернуллі.  Ймовірність   настання події  A  m     разів  при  n 

незалежних випробуваннях, у кожному з яких ймовірність настання 

події       дорівнює  p    (схема  Бернуллі)   знаходиться   за  формулою 

(формула біноміального розподілу):

Pnm =C

n

mp

mq

n−m, де: q=1−p ; C

n

m=n!

m !n−m!.    (17)

Приклад.  Монету підкидають 6 разів.  Знайти ймовірність того, що 

герб випав 5 разів.

Розв'язання:         n=6 ;   m=5 ; p=1

2;     q=1−p=

1

2;  

Cn

m=n!

m!n−m!; C

6

4=6!

5!6−5!=

6!

5!1!=

5!⋅6

5!⋅1=6 .

Pnm =C

n

mp

mq

n−m; P

65=6⋅ 12

5

⋅ 12 1

=6

25⋅21=

6

64.

Граничні теореми теорії ймовірностей це спільна назва ряду теорем, 

що вказують умови появи тих чи інших закономірностей у результаті 

дії великого числа випадкових факторів. До них зокрема відносяться 

теореми Лапласа і Пуассона.

При  великих   n   обчислення з використанням формули  Бернуллі 

стають   громіздкими.   Лаплас   одержав   зручну   формулу   для 

приблизного знаходження   Pnm для достатньо великих  n   .

Локальна   теорема   Лапласа.  Ймовірність   того,   що   при  n 

незалежних випробуваннях, в кожному з яких ймовірність події  A  

дорівнює       p , 0p1   подія   А   відбудеться  рівно   m  

25

разів   (байдуже   в   якій   послідовності)   знаходиться   по   наближеній 

формулі (формула Лапласа):

Pnm ≈

1

npqt ,                             (18)

де:   t =1

2⋅e−t

2/2

; q=1− p ; t=m−np

npq.

Таблиця функції   t   для додатних t  наводиться в підручниках 

і довідниках по теорії ймовірностей. Для від'ємних  t   користуються 

тією ж таблицею, враховуючи те, що функція  t    парна і тому 

−t =t .

Приклад.  Знайти  ймовірність  того,  що  подія  А  відбулась  рівно  23 

разів  при 100 випробуваннях,  якщо ймовірність події  А в кожному 

випробуванні стала і дорівнює 0,2.

Розв'язання.  p=0,2 ; q=1−p=0,8 ; n=100 ; m=23.

npq=100⋅0,2⋅0,8=4 ;

t=m−np

npq=

23−100⋅0,2

4=

3

4=0,75 .

0,75=0,301 (таблиця функції на стор.  55).

Pnm≈

1

npqt ;

P10023≈

1

40,75=

1

4⋅0,301=0,07525≈0,075 .

Інтегральна   теорема   Лапласа.  Ймовірність   того,   що   при  n 

незалежних випробуваннях, в кожному з яких ймовірність події  A  

дорівнює       p , 0p1   подія   А   відбудеться   не  менше 

26

m1

  разів і не більше  m2

  приблизно знаходиться по  формулі :

Pnm

1, m

2≈ tm

2− tm

1 ,                     (19)

де:   x=1

2⋅∫

0

x

e−t

2/2

dt ; q=1−p ; t=m−np

npq;

tm

2

=m

2−np

npq;    t

m1

=m

1−np

npq.

Функцію   x називають  стандартним   інтегралом  ймовірностей 

або  функцією Лапласа. Інтеграл   x не може бути виражений 

через   елементарні   функції   і   для   його   обчислення   застосовують 

спеціальні   таблиці.  Таблиця  функції     x     для   додатних  x 

наводиться   в   підручниках   і   довідниках   по   теорії   ймовірностей, 

причому 0≤x≤5 . Для значень x5 приймають  x=0,5.  

Для від'ємних x   користуються тією ж таблицею, враховуючи те, що 

функція    x непарна і тому   −x =− x .

Приклад.  Використовуючи   умову   попередньої   задачі,   знайти 

ймовірність того, що подія А відбудеться не менше 15 і не більше 27 

разів.

Розв'язання. 

p=0,2 ; q=1− p=0,8 ; n=100 ; tm

1

=15 ; tm

2

=27.

npq=100⋅0,2⋅0,8=4 ; np=100⋅0,2=20 ;

tm

2

=m

2−np

npq; t

27=

27−20

4=

7

4=1,75 .

tm

1

=m

1−np

npq; t

15=

15−20

4=−5

4=−1,25.

27

Pnm

1,m

2≈ tm

2− tm

1 ,

P10015 ;27≈ t 27− t 15 =1,75−−1,25=

=1,751,25=0,4600,394=0,854 .

(таблиця функції   x на стор. 56).

Теорема   Пуассона.    Ймовірність   того,  що   при   великому   числі 

незалежних  випробувань    n    ,  в  кожному  з  яких  ймовірність  події 

A   дорівнює       p , подія   А   відбудеться  рівно   m    разів 

знаходиться по наближеній формулі (формула Пуассона):

Pnm≈

m⋅e−

m!, де:   =np .                     (20)

Формулу  Пуассона  застосовують  у  теорії  масового  обслуговування 

коли   p — мале, ( p0,1 ), а   np10 .

Приклад.  Підручник   з  математики   деяким   видавництвом   видано 

тиражем 100 000 екземплярів. Ймовірність того, що у підручнику є 

дефект дорівнює 0,0001. Знайти ймовірність того, що тираж містить 

6 бракованих книжок.

Розв'язання.  n=100 000 ; p=0,0001 ; =np=10 ; m=6.

P100 000

6≈10

6⋅e−10

6!≈0,0625.

Найімовірніше число появ події у незалежних випробуваннях

Число  k0

( появи події у незалежних випробуваннях, в кожному з 

яких  ймовірність  появи  події  дорівнює    p  )  називається  найімовір­

нішим,   якщо   ймовірність   того,    що   подія   у   цих   випробуваннях 

28

відбудеться  k0

разів перевищує (або принаймні не менше) ймовір­

ності інших можливих результатів випробувань. 

Найімовірніше число k0

визначається з подвійної нерівності [3,4]

np−q≤k0npp ,                                  (21)

причому:

1) якщо  число   np−q   — дробове,  то  існує одне    найімовірніше 

число  k0

;

2) якщо число  np−q — ціле, то існують два найімовірніших числа

k0

і  k01 ;  

3) якщо число  np — ціле, то найімовірніше число k0=np .

Приклад.  Проводиться   випробування   кожного   з   18   елементів 

деякого   приладу.   Ймовірність   того,   що   елемент   витримає 

випробування, дорівнює 0,9. Знайти найімовірніше число елементів, 

що витримають випробування.

Розв'язання. За умовою:  n=18 ; p=0,9 ; q=1−p=0,1.

np−q≤k0npp ;

18⋅0,9−0,1≤k018⋅0,90,9 ; 16,1≤k

017,1 ;

Так як   k0

 ціле, то   k0

= 17.

Випадкова величина

Випадкова   величина   —   це   змінна   величина,   яка   приймає   в 

залежності   від   випадку   ті   чи   інші   значення   з   визначеними 

ймовірностями.

Випадкові   величини   позначають   великими   буквами   з   кінця 

29

латинського алфавіту,  а їх можливі  значення відповідними  малими 

буквами   з   індексами.   Наприклад:     X ,Y ,Z   і   відповідно 

xi, y

i, z

i.

Дискретною  випадковою   величиною   називається   випадкова 

величина із скінченною або зчисленною множиною можливих значень

(це   випадкова   величина   можливі   значення   якої   можна 

пронумерувати). 

Наприклад:

1) число бракованих деталей у перевіреній партії деталей;

2)  число появ герба при 100 підкиданнях монети;

3) число влучень у мішень при 20 пострілах.

Неперервні  випадкові   величини   можуть   приймати   будь­яке 

значення з деякого скінченного або нескінченного інтервалу.

Наприклад:

1) величина відхилень розміру деталей від стандарту;

2) дальність польоту снаряду;

3) час справної роботи приладу.

Функцією розподілу випадкової величини   F x  називається 

функція дійсної змінної x  , яка визначає ймовірність того, що випад­

кова величина Х   в результаті експерименту прийме значення менше 

деякого фіксованого числа  x :

F x =PXx =P X∈−∞ ; x .                (22)

Це   універсальна   характеристика,   яка   повністю   характеризує 

30

випадкову величину і застосовується як для дискретних,  так і для 

неперервних випадкових величин.

Властивості функції розподілу.

1)  limx−∞

F x =0 ;      limx∞

F x =1 ;

2)  F x неспадна функція;

3)  F x неперервна зліва, тобто lim

x x0−0

F x=F x0 .

Ймовірність попадання випадкової величини Х у напівзамкнутий 

проміжок:

Pa≤Xb=F b −F a .                     (23)

Дискретну   випадкову   величину   задають   її  рядом   розподілу, 

тобто   шляхом   переліку     можливих   значень   x1, x

2,... , x

n, ... , 

записаних  у   зростаючому  порядку   і  відповідних   їм  ймовірностей 

p1, p

2, ... , p

n,... ,   при   цьому   повинна   виконуватись   умова 

∑i

pi=1 .    Ряд розподілу  може бути  заданий  у вигляді  таблиці 

або   формули.   Графічне   зображення   ряду   розподілу   дискретної 

випадкової величини називається багатокутником розподілу.

Типові розподіли дискретних випадкових величин:

Біноміальний  розподіл   це  розподіл  ймовірностей  випадкової 

величини   X  — числа здійснень події у  n  незалежних повторних 

випробуваннях,   якщо   в   кожному   випробуванні   ймовірність 

здійснення  такої  події  дорівнює    p.      Таким  чином  біноміальний 

розподіл     це   розподіл   ймовірностей   випадкової   величини     з 

цілочисловими   значеннями   m=0,1 ,2 ,... , n ,   що   задається 

формулою Бернуллі:

31

Pnm =C

n

mpmqn−m

, де:   q=1−p ; Cn

m=n!

m !n−m !    (24)

Дискретна   випадкова   величина  Х  розподілена   по   закону 

Пуассона, якщо вона приймає зчисленну множину можливих значень 

m=0,1 ,2 ,... , n з ймовірностями

  Pnm ≈

m⋅e−

m!,                                  (25)

де число  називається  параметром розподілу.

Зауваження.  Розподіл   Пуассона   може   використовуватись   як 

хороше наближення  біноміального  розподілу,  якщо  n  велике,  а      p 

мале. Тоді   =np .

Числові характеристики дискретної випадкової величини

Математичне сподівання

M X =x1

p1x

2p

2, ... , x

np

n=∑

i=1

n

xip

i.            (26)

Для зчисленної величини 

M X =x1

p1x

2p

2, ... , x

np

n,...=∑

i=1

∞

xip

i,   при   умові, 

що цей ряд збіжний абсолютно, а  ∑i=1

∞

pi=1 Дисперсія 

D X =M X−m 2 або        D X =M X2−m2.        (27)

Для   зручності   написання   формул   математичне   сподівання 

позначено  m=M X

32

Для скінченної величини 

DX =∑i=1

n

xi−m2 p

i, або D X =∑

i=1

n

xi2 p

i−m2 , (28)

Для зчисленної величини 

DX =∑i=1

∞

xi−m2 p

i, або    DX =∑

i=1

∞

xi2 p

i−m2 , при 

умові, що ці ряди збіжний абсолютно.

Середнє квадратичне відхилення

Дисперсія невід'ємна величина, яка служить для характеристики 

розсіювання   випадкової   величини,   і   має   розмірність   квадрату 

розмірності   випадкової   величини,   тому   для   характеристики 

розсіювання   застосовують   і   середнє   квадратичне   відхилення 

X =D X , яке має розмірність випадкової  величини.

Для біноміального розподілу:

M X =np; DX =npq: X = npq .        (29)

Для розподілу Пуассона з параметром  :

M X = : D X = ; X = .                 (30)

Неперервні випадкові величини

Усі  можливі  значення  неперервної  випадкової  величини  цілком 

заповнюють   деякий   скінченний   або   нескінченний   проміжок 

a ,b .   Припускається,   що   при   кожному   випробуванні   така 

величина  приймає  одне   і  тільки  одне   значення   з  цього  проміжку. 

Розподіл   неперервної   випадкової   величини   з   незчисленною 

множиною   можливих   значень   неможливо   задати   ймовірностями 

окремих   значень,   але   його   можна   задати   з   допомогою   функції 

33

розподілу:   F x =PXx .   Неперервний   розподіл   —   це 

розподіл   ймовірностей   випадкової   величини   Х ,   функція 

розподілу  F x якої неперервна.

Серед неперервних розподілів найбільш важливими є абсолютно 

неперервні розподіли, для яких функція розподілу    F x може 

бути представлена у вигляді: F x =∫−∞

x

p t dt , де підінтегральна 

функція     px ≥0 ;   її   називають  щільністю   розподілу  або 

диференціальною  функцією  розподілу.  Функцію  розподілу F x абсолютно   неперервної   випадкової   величини  Х  іноді   називають 

інтегральною функцією розподілу.

Властивості щільності розподілу:

1)  px ≥0 ; 2)  ∫−∞

∞

px dx=1 ;

3)  px =F ' x  у точках неперервності.

Ймовірність   (до  випробування)  того,  що  неперервна  випадкова 

величина Х прийме наперед вказане строго визначене значення   a  

дорівнює  нулю.  Тому  для  неперервної   випадкової   величини  крім 

рівності що визначає ймовірність попадання випадкової величини  Х 

у заданий проміжок Pa≤Xb=F b −F a вірними є рівнос­

ті: PaXb=F b −F a ; PaX≤b=F b −F a ; 

Pa≤X≤b=F b −F a .

Ймовірність попадання випадкової величини Х у заданий проміжок 

може бути визначена і через щільність розподілу:

  Pa≤X≤b=∫a

b

p xdx .                           (31)

34

Типові розподіли неперервних випадкових величин:

Рівномірний розподіл

Абсолютно   неперервну   випадкову   величину   Х   називають 

рівномірно  розподіленою  на  проміжку   [a ,b] якщо   її  щільність 

імовірності  на  цьому  проміжку  стала,  а  в  усіх   зовнішніх  точках 

дорівнює нулю. 

Звідси випливає, що для рівномірного розподілу

  p=1

b−a і  F x ={

0, при xa ;

x−a

b−a, при a≤ x≤b ;

1, при xb .

           (32)

Графіки  px  і  F x  наведені нижче.

35

1

b−a

y y=p x

a b x

y

1

a b x

y=F x

Нормальний розподіл 

Розподіл ймовірностей неперервної випадкової величини  X  

називається нормальним з параметрами   a ,    , якщо він має 

щільність  імовірності:

px ,a ,=1

2 e−x−a

2

22

.                    (33)

Графік щільності нормального розподілу називається кривою 

Гауса.

Нижче зображено графік щільності нормального розподілу при 

a=2    і  =1 .

Ймовірність попадання в заданий інтервал нормальної 

випадкової величини

P≤X≤= −a − −a ,              (34)

де    x ­ функція Лапласа.

36

y

x

−1 0 1 2 3 4 5

0,4

0,3

0,2

0,1

Ймовірність заданого відхилення

P ∣X−a∣≤ =2 .                         (35)

Правило трьох сигм

P ∣X−a∣3 =23=2⋅0,49865=0,9973.   Звідси   можна 

зробити висновок, що для нормально розподіленої випадкової вели­

чини   X всі розсіювання з точністю до долей проценту належать 

інтервалу  a−3 ;a3 . Це і є правило трьох сигм.

Числові характеристики неперервної випадкової величини

Математичне сподівання

M X =∫−∞

∞

x p x dx .                               (36)

В   частковому   випадку,   коли   всі  можливі   значення   належать 

проміжку  a ,b , то  M X =∫a

b

x p xdx .

Дисперсія 

D X =∫−∞

∞

x−m 2 px dx або   DX =∫−∞

∞

x2px dx−m2

.

Для   зручності   написання   формул   математичне   сподівання 

позначено  m=M X .

В   частковому   випадку,   коли   всі  можливі   значення   належать 

проміжку  a ,b , то 

D X =∫a

b

x−m2 p x dx або D X =∫a

b

x2p x dx−m 2

. (37)

37

Середнє квадратичне відхилення   X =DX .       (38) 

Для рівномірного розподілу:

M X =ab

2; DX =

b−a2

12: X =

b−a

23.     (39)

Для     нормального   розподілу   : M X =a ; DX = 2.

Таким   чином   параметри   нормального   розподілу   це  математичне 

сподівання і середнє квадратичне відхилення цього розподілу.

3. Змістовий модуль 2 “Основи математичної статистики”

3.1. Теоретичні питання до змістового модуля 2

1. Генеральна   сукупність   і   вибірка.   Репрезентативність   вибірки. 

Задачі математичної статистики.

2. Групування   вибіркових   даних.   Емпіричні   ряди   розподілу,   їх 

графічне зображення. 

3. Числові  характеристики  одномірної вибірки (вибіркові середні, 

мода, медіана, дисперсія, середнє квадратичне відхилення).

4. Статистичні   оцінки   параметрів   розподілу.   Вимоги   до 

статистичних   оцінок.   Точкові   оцінки.   Інтервальні   оцінки. 

Надійний   інтервал.   Знаходження   надійного   інтервалу   для 

математичного сподівання.

5. Статистичні  гіпотези.  Перевірка статистичних  гіпотез.  Поняття 

про критерії узгодження. Критерій Пірсона.

6. Елементи теорії кореляції. Системи випадкових величин. Функ­

ція і щільність розподілу. Числові характеристики системи двох 

випадкових величин. Коефіцієнт кореляції. 

38

7. Регресія.   Вибірковий   коефіцієнт   кореляції.   Емпірична   лінія 

регресії і вибіркове рівняння прямої регресії. 

         Література [2,3], т. 2, Гл. XX ; M. 085­111, cтор. 36­44.

3.2.  Питання для самоперевірки 

1. Що вивчає математична статистика? 

2. Що таке вибірка і генеральна сукупність?

3. Які значення називаються варіантами?

4. Що таке варіаційний ряд?

5. Дайте означення частоти і відносної частоти варіанти.

6. Дайте означення статистичного ряду.

7. Як записується статистичний ряд для неперервного розподілу?

7. Яка функція називається емпіричною функцією розподілу?

8. Як будується полігон частот?

9. Як будується гістограма частот для неперервних розподілів?

10.   Розкажіть   про   точкові   статистичні   оцінки   параметрів 

розподілу.

11.   Розкажіть   про   інтервальні   статистичні   оцінки   параметрів 

розподілу.

12. Що таке надійність оцінки параметра a ?

13. Дайте означення надійного інтервалу. 

14. Як оцінюється математичне сподівання і середнє квадратичне 

відхилення нормально розподіленої величини? 

15. Яка гіпотеза називається статистичною?

16. В чому полягає задача перевірки статистичної гіпотези? 

17. Що таке критерії згоди?

18. Розкажіть про критерій Пірсона.

19.  Яка   залежність   випадкових   величин   називається   статистич­

ною?

20. Яка статистична залежність називається кореляційною?

39

21. Які числові характеристики двомірної вибірки Вам відомі?

22. Запишіть вибіркове рівняння прямої лінії регресії.

23.  Назвіть властивості вибіркового коефіцієнту кореляції. 

3.3. Короткі теоретичні відомості.  Довідковий матеріал [2,3]

Математична  статистика  розглядає  математичні  методи  систе­

матизації, обробки та дослідження статистичних даних для наукових 

і практичних висновків. Її теоретичною основою є теорія ймовірнос­

тей. Зв'язок між ними грунтується на законах великих чисел.

Вибіркою  об'єму   n   для   даної   випадкової   величини   X  

називається   послідовність     x1, x

2, x

3,... , x

n  n   незалежних 

спостережень   цієї   величини.  Величина   X ,   з   якої   проводиться 

вибірка, називається генеральною сукупністю. 

Значення x1, x

2, x

3,... , x

n називаються вибірковими значеннями 

або  варіантами.   Послідовність   таких   варіант,   записаних   у 

зростаючому порядку називається варіаційним рядом.

Число, що вказує, скільки разів спостерігалась дана варіанта серед 

результатів вибірки, називається  частотою варіанти, а відношення 

частоти до об'єму вибірки називається відносною частотою.

Статистичним рядом розподілу називається таблиця, яка містить 

варіаційний  ряд   і  відповідні  частоти   або   відносні  частоти  членів 

цього ряду.

У   випадку   неперервного   розподілу   випадкової   величини   Х  

статистичний  ряд  розподілу  є  таблиця,  в  якій   записано   інтервали 

значень величини   Х , розміщені у порядку зростання цієї величи­

ни,  і відповідні їм частоти або відносні частоти.

Полігон і гістограма

Для  графічного  зображення  статистичного  ряду  розподілу  диск­

40

ретної  випадкової  величини   Х   використовують полігон,  а непе­

рервної величини  Х  — гістограму.

Полігоном частот називають ламану, відрізки якої з'єднують точки 

xi, n

i ,  де   x

i  — варіанти  вибірки,  а   n

i— відповідні   їм 

частоти.

Гістограмою називають  фігуру, що складається з прямокутників, 

основами   яких   служать   довжина   інтервалів   h,   а   висотами 

відношення  відповідних  частот  або  відносних  частот  до  довжини 

інтервалу. 

У випадку великого об'єму вибірки на її основі робиться групуван­

ня: весь інтервал розбивається на часткові інтервали 

ai;b

i ,i=1,... , k . Число інтервалів  k знаходиться за 

емпіричною формулою:

k≥13,22 lg n , де n — об'єм вибірки.

Довжина інтервалу h визначається за формулою:

h≈x

max− x

min

k−1.

Початок першого інтервалу:  a1≈x

min−

1

2h .

При   округленні   вказаних   величин   необхідно   слідкувати,   щоб 

xmin

       потрапив до першого інтервалу, а    xmax

  — до остан­

нього.

Кінець   першого   інтервалу:   b1=a

1h. Для   наступних 

інтервалів:

  ai1=a

ih=a

1i⋅h ; b

i1=a

i1h , i=1, ... , k−1 , 

причому кінець попереднього інтервалу є початком наступного.

Після цього підраховується кількість значень випадкової величини, 

що  потрапила  в  кожний   інтервал,  знаходяться  середини   інтервалів 

41

xi=aib

i

2  і складається відповідна таблиця — емпіричний ряд 

розподілу.   Для   його   графічного   зображення   будують   полігон   і 

гістограму.

Статистичні оцінки параметрів розподілу

Точні значення параметрів розподілу неможливо визначити ні при 

якому   об'ємі   вибірки.  В   результаті   обробки   статистичних   даних 

можливо  знайти  тільки  наближене  значення  невідомого  параметру, 

яке називається оцінкою невідомого параметру.

Оцінки бувають точкові та інтервальні.

Точковою називають оцінку, яка визначається одним числом.

Незміщеною  називають   точкову  оцінку,  математичне  сподівання 

якої   при   будь­якому   об'ємі   вибірки   дорівнює   параметру,   що 

оцінюється.

Ефективною називають оцінку, яка при даному об'ємі вибірки має 

найменшу дисперсію.

Незміщеною оцінкою генеральної середньої є вибіркова середня:

x=1

n∑i=1

k

ni⋅x

i,    де:       x

i— варіанта вибірки;         n

i— її 

частота;     n — об'єм вибірки,        k — число інтервалів.

Вибіркова дисперсія і вибіркове середнє квадратичне відхилення:

Dв=

1

n∑i=1

k

ni⋅x

i−x

2,     

в=Dв

.

Вибіркова   дисперсія   є   зміщеною   оцінкою   для   генеральної 

дисперсії.  Незміщеною  оцінкою генеральної  дисперсії  є виправлена 

вибіркова дисперсія:

42

s2=

n

n−1D

в.

Для   оцінки   середнього   квадратичного   відхилення 

використовується виправлена дисперсія:

s=s2.

Інтервальні оцінки

Інтервальною називають оцінку, яка визначається двома числами 

— кінцями інтервалу, що покриває параметр, який оцінюється.

Під точністю оцінки  a параметра  a розуміють таке  0 , 

для якого виконується нерівність  ∣a−a∣ . 

Ймовірність , з якою виконується ця нерівність,   називається 

надійністю оцінки параметра  a , тобто  P ∣a−a∣= .

Цю ймовірність можна також записати так:

  P a−aa =.

Інтервал   I= a− ; a називається  інтервалом  надійності. 

Рівнем значущості такого інтервалу називають число  =1− .

Для   оцінки   математичного   сподівання   a   нормально 

розподіленої   випадкової   величини   Х    по   вибірковій   середній 

x     і   відомим   середнім   квадратичним   відхиленням    

генеральної сукупності використовують надійний інтервал  [4]:

x−t

naxt

n.

  де  t

n — точність оцінки;  n — об'єм вибірки, t — таке 

43

значення функції Лапласа при якому  t=

2.

Якщо   середнє  квадратичне   відхилення     невідоме,   (а  об'єм 

вибірки  n30  ) то надійний інтервал

x−ts

naxt

s

n,

де     s — виправлене  середнє  квадратичне  відхилення;       t

знаходиться по таблиці (стор.57) по заданому об'єму вибірки   n   і 

надійності    [4].

Для  оцінки  середнього  квадратичного  відхилення нормально 

розподіленої величини   з надійністю по виправленому вибірко­

вому середньому квадратичному  відхиленню  s використовується 

надійний інтервал   [4]:   

s 1−q s 1q ,  при  q < 1 ;

0 s 1q ,  при q > 1, 

де  q знаходиться по таблиці (стор.58) згідно n  і  [4].

Перевірка статистичних гіпотез

Статистичною  називають   гіпотезу  про  вид  невідомого  розподілу 

або про параметри відомих розподілів.

Критерій  згоди    — це  таке  правило,  яке дозволяє відкинути  або 

прийняти   гіпотезу   на   основі   вибірки.   У   результаті   перевірки 

статистичної гіпотези можуть бути допущені помилки двох видів.

Помилка   першого   виду   полягає   в   тому,   що   буде   відхилена 

правильна гіпотеза.

Помилка   другого   виду   полягає   в   тому,   що   буде   прийнята 

44

неправильна гіпотеза.

Ймовірність   зробити   помилку   І   виду   називають  рівнем 

значущості. Найбільш часто його приймають рівним 0,01—0,05.

Розглянемо  критерій  згоди  Пірсона  для  перевірки  гіпотези  про 

розподіл   генеральної   сукупності     [4].  У   цьому   критерії   за  міру 

розходження   між   теоретичним   і   статистичним   розподілом 

приймається величина   2 (хі­квадрат):

2=n∑i=1

k pi−p

i' 2

pi'

,

де:   pi

­відносні  статистичні частоти,      pi' ­ відповідні теоре­

тичні ймовірності ;   n  ­ об'єм вибірки. 

Розподіл   2 залежить   від   параметра   f ,   який   називається 

числом степенів свободи: f=k−l ,

де: k — число інтервалів;   l , — число незалежних умов, що 

накладаються на частоти  pi

.

Якщо перевіряється гіпотеза про нормальний розподіл, то  l=3 і 

теоретичні ймовірності  pi' знаходяться за формулою:

pi'= b i−x

в− ai−x

в

Для спрощення обчислень   використовують не відносні частоти, а 

статистичні частоти   ni

  і теоретичні частоти  ni' . Тоді

45

сп

2 =∑i=1

k ni−n

i' 2

ni'

, де  ni'=n⋅ bi−x

в− ai−x

в.

По   таблиці   критичних   значень   при   числі   степенів   свободи 

f=k−3 і  заданому  рівні  значущості     знаходимо  критичне 

значення  кр

2(стор.59 ) [4].

Якщо  сп

2 кр

2, то дані спостережень не суперечать гіпотезі про 

нормальний   розподіл   величини  Х.   Якщо   сп

2 ≥кр

2,   то   дану 

гіпотезу про нормальний розподіл величини Х слід відхилити.

Елементи теорії кореляції

Досить  часто  потрібно   встановити   і  оцінити   зв'язок   випадкової 

величини Х із однією або кількома іншими випадковими величинами. 

Випадкові   величини   можуть   бути   зв'язані   статистичною   або 

функціональною   залежністю.  Статистична   залежність,   це   така 

залежність, при якій зміна однієї з випадкових величин приводить до 

зміни розподілу іншої.

Якщо   при   зміні   однієї   з   випадкових   величин   змінюється 

статистичне   середнє   другої,   то   така   статистична   залежність 

називається кореляційною.

Припустимо,   що   вибірка   зроблена   з   двомірної   генеральної 

сукупності  X ,Y .

Вибірка   об'єму   n   складається   з   пар   виду 

xi, y

j , i=1, ... , k ; j=1,... ,m.

Числовими характеристиками такої двомірної величини є:

статистичні середні значення:

46

x=1

n∑i=1

k

nxi⋅x

i; y=

1

n∑j=1

m

nyj⋅y

j;

статистичні дисперсії:

Dxв=

xв

2 =1

n∑i=1

k

nxi⋅x

i−x

2; D

yв=

yв

2 =1

n∑j=1

m

nyj⋅y

j−y

2;

а також коефіцієнт кореляції між X і  Y:

r в=

∑i=1

k

∑j=1

m

ni jxiyj−n x y

n⋅xв⋅

yв

;

де:  nxi

  частота появи значення  xi

 ;

       nyj

    частота появи значення  yj

;

       ni j

 частота появи пари  xi, y

j  .

Або rв= x y−x⋅y

xв⋅

yв

, де  x y=1

n∑i=1

k

∑j=1

m

ni jxiyj.

Регресією Y на X  називається довільна функція   yx= f x , ,

яка   наближено   дає   залежність   yx   від  x.   Графік   цієї  функції 

називається лінією регресії. Аналогічно визначається регресія   X на 

Y:     x y=g x .

Якщо обидві лінії регресії прямі, то кореляцію називають лінійною.

Вибіркове рівняння прямої лінії регресії Y на X має вид:

yx−y=rв⋅

yв

xв

⋅ x−x .

47

Вибірковий коефіцієнт кореляції має властивості:

1)   ∣r в∣≤1 ;

2) чим ближче  ∣r в∣  до одиниці, тим зв'язок між X і Y  сильніший.

3)чим ближче  ∣r в∣ до  0, тим зв'язок слабший.

Якщо       ∣r в∣0,5 ,  то  зв'язок  слабкий.  Якщо     ∣r в∣0,8     ,то 

зв'язок сильний.

Якщо  ∣r в∣=1 ,то X і Y   зв'язані лінійною функціональною залеж­

ністю.

Точковою оцінкою коефіцієнта кореляції є вибірковий коефіцієнт 

кореляції r=rв

.

Інтервальною   оцінкою   генерального     коефіцієнта   кореляції   є 

інтервал надійності

rв−t

rr

Гr

в t

r,

де для  n≥50 r=1−r

в2

n.

Значення t  знаходять з умови  t=

2.

       

48

 Таблиця випадкових чисел (варіанти 1­10)1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2990 7554 2395 1837 8331 5963 6261 0037 8568 0640

7738 3843 9021 2057 2171 2233 6466 2973 4864 7522

2862 5190 3087 7114 5558 2091 6869 5669 2825 2842

7021 8523 7087 7292 3675 8422 1649 4590 5907 7227

9794 6800 8259 2291 0031 5231 2351 2198 7025 2717

6601 8679 4006 6974 1980 4177 9638 4778 2097 5553

3688 2076 8680 0239 1405 0766 5969 9372 9747 0309

0946 3008 5678 8046 5707 8733 8952 4251 4089 2657

7252 6940 6235 4502 6454 6424 5423 7477 0383 0165

8847 3739 3490 0919 9859 6422 2086 2769 9109 9272

0778 6667 3553 1593 2947 7731 2345 4320 4782 3840

3568 1152 6208 7420 5754 5676 3502 6601 2053 7064

4424 0650 8261 2229 7528 4474 2247 5785 2699 8286

1706 5159 1663 4810 0680 8454 5655 6117 3397 9362

2605 9832 3659 7874 3547 7240 8998 3393 0069 0693

4379 6317 4212 9973 2918 9300 9252 8079 9124 1670

7701 5577 6911 4771 1310 7669 8053 0161 3016 3590

5275 0928 8492 8111 3217 7733 0724 3311 1797 8615

8381 9037 8680 7451 0455 7793 1564 5495 6792 8016

4319 9955 5666 5950 7744 5389 4826 7004 2294 6425

8327 5995 0418 5248 9962 0630 9215 2397 4044 9618

3212 2670 1096 4833 0237 9669 0493 1726 9918 1728

4409 4002 2721 4468 7478 7537 8493 2313 7416 7669

0802 6618 4378 8755 1179 6434 7720 6774 6843 9278

2630 3052 5067 1926 7137 6745 2897 8491 9087 2248

1057 4832 3633 2416 7382 9782 1876 8928 6231 3125

9787 0089 4047 7054 8518 9734 2148 3666 5308 5122

4894 2475 0623 3960 3507 1217 5804 8506 4376 2799

8269 9418 0382 3971 7093 6900 7075 2405 6765 9169

3961 6648 0830 0912 7948 9904 2244 3384 6616 8815

5680 8985 3471 9669 8299 7339 3300 4428 6893 8465

2282 2263 9423 5556 2034 6370 4473 2906 0015 5289

6814 7213 4587 6749 1554 9711 7119 5199 3476 0534

8542 4174 6559 6783 3858 9430 0169 0096 9718 1307

9303 0786 6510 2848 5709 4792 6122 7497 5922 2516

6608 4013 2845 9041 1585 4942 9470 7397 0502 3250

5143 2853 0565 3757 5837 3607 9807 4874 1815 6861

8740 4570 2187 8083 2544 4374 5112 8426 4282 6503

9403 3177 2886 2963 6330 4025 0261 0794 4055 0152

1274 3119 4272 5532 1225 5811 9903 6788 5039 6001

1951 3780 0571 4138 1863 3115 8512 6974 1541 2794

49

             (продовження, варіанти 1­10)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

3477 0944 5971 6363 3907 2301 0388 4168 3095 4443

4320 4368 7562 8592 9900 8788 4403 9803 5576 9443

5804 7527 3222 6374 1665 5085 9489 0177 2059 1031

2971 5536 1975 8943 1900 5882 1243 2288 0050 4338

6731 4370 8706 4293 2962 8606 3081 7366 8409 8657

6808 4213 6184 0031 0587 7849 5116 0076 8026 7175

1107 0998 2712 3082 9940 4611 8964 1184 6899 9014

5522 3629 3384 4228 7922 6346 2835 1003 3712 1244

9660 0520 5457 5844 0551 6044 3693 5667 6120 1719

50

         Таблиця випадкових чисел (варіанти 11­20)11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

7679 0165 7793 3039 6958 8625 9929 8973 6803 1166

1011 2763 9673 1993 4702 1304 8854 0120 8111 9765

9556 8750 4013 6791 4636 3461 8315 5129 9787 5379

4294 7467 5544 2088 0506 2502 0713 0435 1475 7516

1601 2486 0279 1273 4479 4980 2577 3333 5100 0688

3098 4656 9439 7111 1447 4075 0572 9762 9203 0359

5142 3498 7826 0686 5585 8331 3188 6298 8766 4664

3814 0367 7150 4093 1640 1629 9073 4217 4962 4174

4906 8059 8830 4344 5170 0277 8419 5742 0039 7622

6101 5181 1120 3927 5867 6706 2258 9055 3004 1024

3719 6818 1391 0868 0911 3031 2497 9984 7248 7459

4158 2154 5518 2988 6498 0688 3265 4917 6429 3304

2540 2530 8485 3660 6457 4351 0366 8716 3406 3370

9740 7125 0187 1131 7993 1098 4162 0491 1083 1410

7950 5241 3563 3468 8229 0062 4156 1494 4979 0585

4798 7519 3116 3283 1179 9573 7634 1544 8288 1040

4914 8028 8165 5101 9159 6159 6200 3321 6649 7282

4730 4599 2523 8294 8067 0751 8355 2223 2245 3334

2808 7043 0853 5923 0326 2032 5496 7960 3576 3784

9000 8490 1813 7165 3591 0972 3324 9791 4292 9973

7073 9023 4572 9596 7317 2639 0347 5672 4861 2592

9006 7669 9635 9859 3592 9961 1890 9089 7920 5466

2873 6920 3956 4685 4085 7547 5657 7409 7338 9949

7382 4411 8972 1954 4007 6289 4593 4354 1960 9454

6946 0966 7123 6581 0825 0716 6542 2715 9804 4462

8182 2677 1382 2138 7362 5467 9685 3020 2876 7023

2969 0258 1435 1941 2212 5442 8230 6804 9795 0190

6258 6741 1157 3381 3322 1982 4097 9864 4697 3901

4326 2879 6578 5707 5017 3941 1174 4702 6960 4050

1725 9929 4308 3160 1871 6519 8602 0101 3323 8397

0291 9581 5139 1448 2963 8461 3430 7060 8325 8127

0961 2651 1006 7540 8358 6023 1480 9532 0725 8441

3582 2451 8370 7889 5611 0241 4408 4212 0342 7732

2610 0633 7313 7748 2081 0276 6209 5511 7336 4534

3638 8297 7185 4645 5837 5543 0668 7317 5075 1393

5758 8656 3844 4128 6546 9454 4369 0954 3667 4711

8685 6276 5344 5998 4024 7424 6274 0233 2935 3610

4768 6573 1907 1953 1218 7744 7495 1886 5061 2570

3279 0819 1226 7122 4947 7772 6576 9317 8726 0243

4028 7411 6519 9371 3409 0543 6796 9684 0777 9731

3294 5544 6304 5202 7497 7522 2946 4992 9407 8007

51

             (продовження, варіанти 11­20)

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

7562 2686 8826 8788 9808 3773 6560 6384 3090 5285

6627 7117 2696 3146 6489 6106 3690 3284 5790 4466

3015 9084 0011 9319 4285 7508 6840 7231 2500 6248

5238 0062 8934 4064 8851 8742 7837 5410 5126 0927

0696 1754 8045 3392 4900 4533 9498 8590 7817 5288

3056 0832 4372 3067 0151 8657 0575 6991 5888 3075

3239 1126 3137 2172 5190 1988 0914 3027 7398 6040

3955 8094 7794 1999 1486 2694 6533 0984 1283 4350

6272 4340 5182 0644 7407 5333 9301 7982 2324 5189

52

          Таблиця випадкових чисел (варіанти 21­30)21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

5563 6315 4194 7735 1505 6182 8649 4532 3580 4689

8487 1675 2483 0487 3161 5176 7019 4145 6460 1370

0417 0799 6552 1061 8206 1885 0362 6188 4209 5551

7244 9772 1866 1438 7507 3371 7620 6156 7903 1201

0845 6391 2875 3328 6877 6036 8504 3896 0182 4964

5266 0599 5763 1818 1660 3969 3703 2022 0157 7912

7573 7401 7684 9439 8840 5191 2810 6460 1347 0713

7661 2192 7104 0536 5520 3981 6573 4024 7877 6755

8988 3143 7354 4751 4961 9014 8720 8664 1037 8877

6576 8610 6278 4260 8049 5118 9452 0859 1578 0799

1573 9239 2991 8677 9776 8511 2658 6348 2534 0535

3103 1522 3678 0457 6273 8639 9471 4993 7303 0508

3870 3879 9118 0149 8140 7167 5267 7592 8026 6845

8391 9598 6084 1382 8275 5860 9892 0932 2208 2427

1467 5311 3949 5145 5768 0222 3785 5239 5215 1088

5747 9086 4967 4865 9235 3107 2031 4502 0698 0057

1347 9089 9655 7431 0470 7930 3291 0363 8863 5499

2790 0330 0811 6738 5476 6579 6960 9260 1818 2175

0348 7565 1261 5315 2429 0496 8422 4461 4997 9120

4518 6344 8209 4173 3775 8679 2104 7066 9042 0966

2565 1831 1296 3376 8570 6772 9955 5530 6032 1772

7705 6380 9337 8966 1695 1767 9462 0116 6228 4459

9236 0746 0803 7445 4919 4578 6123 7023 1644 5165

7989 4209 6996 9286 7585 5566 6058 7540 1096 2090

9312 8801 8470 8649 7767 0165 0416 7229 0281 6643

1688 9517 7389 2491 6961 2308 7069 3085 9331 8713

8250 7320 2922 5246 6606 0507 0812 2663 8046 1907

4753 7358 0708 3223 6007 8475 3388 6423 5704 3669

3067 7392 3185 0456 9883 0147 2764 6952 3232 2094

5665 1482 9414 8586 6728 6020 9093 7540 8683 7140

9447 3436 4498 0155 6659 0506 8631 0047 6929 4335

3716 9996 1727 6901 0451 1610 7048 3215 8562 0280

5309 4226 1762 4723 2813 8490 0743 1906 6029 9426

9046 5477 2862 3544 5632 9522 4049 4263 9569 0978

8597 3284 0974 0324 0186 1425 1934 7234 4640 0496

7513 9949 4722 9275 4672 7534 7765 5415 9440 3794

4841 8486 9271 7704 2030 4903 7226 6079 9165 6795

7058 7763 0079 8032 8087 0265 9457 0021 7498 4097

0517 5012 4046 5238 4287 8718 2773 2051 4133 2213

5846 8975 0699 5116 6679 2729 0019 3904 8808 9184

0699 5866 6947 0778 3897 5034 1043 3354 5055 8541

53

           (продовження, варіанти 21­30)

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

7451 5572 3552 1497 0810 7839 0215 3583 9890 4348

5796 5736 3323 6495 0853 0002 9223 0872 3907 8032

0056 4606 3897 7003 5384 7795 2037 6427 1149 7092

4967 8600 2664 8519 0097 3474 6358 0312 7057 6249

4660 2852 1985 7983 9347 2838 7986 8571 3709 1892

6602 3765 6498 0499 0768 1882 8294 2805 8308 9443

9897 3276 8042 2561 1795 8139 6035 8153 8451 3092

4402 3111 5944 6387 1094 5291 9225 9080 3862 2934

0972 0464 6699 7470 0964 7467 9352 9258 0273 7660

54

Таблиця значень функції х=1

2e

−х2

2. При  х3,7 x=0.

х 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,399

397

391

381

368

399

396

390

380

367

399

396

389

379

365

399

396

388

378

364

399

395

388

376

362

399

394

387

375

361

398

394

386

374

359

398

393

385

373

357

398

392

384

371

356

398

392

382

370

354

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

352

333

312

290

266

350

331

310

287

264

348

329

308

285

261

347

327

306

283

259

345

325

303

280

257

343

323

301

278

254

341

321

299

276

252

339

319

297

273

249

337

317

294

271

247

335

314

292

268

244

1,0

1,1

1,2

1,3

1,4

242

218

194

171

150

240

216

192

169

148

237

213

190

167

146

235

211

187

165

144

232

208

185

163

142

230

206

183

160

139

228

204

180

158

137

225

201

178

156

135

223

199

176

154

133

220

197

174

152

132

1,5

1,6

1,7

1,8

1,9

130

111

094

079

066

128

109

093

078

064

126

107

091

076

063

124

106

089

075

062

122

104

088

073

061

120

102

086

072

060

118

101

085

071

058

116

099

083

069

057

115

097

082

068

056

113

096

080

067

055

2,0

2,1

2,2

2,3

2,4

054

044

036

028

022

053

043

035

028

022

052

042

034

027

021

051

041

033

026

021

050

040

033

026

020

049

040

032

025

020

048

039

031

025

019

047

038

030

024

019

046

037

030

024

018

045

036

029

023

018

2,5

2,6

2,7

2,8

2,9

018

014

010

008

006

017

013

010

008

006

017

013

010

007

006

016

013

010

007

006

016

012

009

007

005

015

012

009

007

005

015

012

009

007

005

015

011

009

007

005

014

011

008

006

005

014

011

008

006

005

3,0

3,1

3,2

3,3

3,4 ­3,6 

004

003

002

002

001

004

003

002

002

001

004

003

002

002

001

004

003

002

002

001

004

003

002

002

001

004

003

002

002

001

004

003

002

001

001

004

003

002

001

001

004

003

002

001

001

004

003

002

001

001

55

Таблиця значень    х =1

2∫0

х

e

−t2

2dt. При  х3,3 х =0,5

.

х 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,000

040

079

118

155

004

044

079

118

155

008

048

087

126

162

012

052

091

129

166

016

056

095

133

170

020

060

099

137

174

024

064

103

141

177

028

068

106

144

181

032

071

110

148

184

036

075

114

152

188

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

192

226

258

288

316

195

229

261

291

319

199

232

264

294

321

202

236

267

297

324

205

239

270

300

326

209

242

273

302

329

212

245

276

305

332

216

249

279

308

334

219

252

282

311

337

222

255

285

313

339

1,0

1,1

1,2

1,3

1,4

341

364

385

403

419

344

367

387

405

421

346

369

389

407

422

349

371

391

408

424

351

373

393

410

425

353

375

394

412

427

355

377

396

413

428

358

379

398

415

429

360

381

400

416

431

362

383

402

418

432

1,5

1,6

1,7

1,8

1,9

433

445

455

464

471

435

446

456

465

472

436

447

457

466

473

437

448

458

466

473

438

450

459

467

474

439

451

460

468

474

441

452

461

469

475

442

453

462

469

476

442

454

463

470

476

444

455

463

471

472

2,0

2,1

2,2

2,3

2,4

477

482

486

489

492

478

483

486

489

492

478

483

487

490

492

479

484

488

490

493

480

484

488

491

493

480

485

488

491

493

481

486

488

491

493

481

486

489

491

493

481

485

489

491

493

481

485

489

492

494

2,5

2,6

2,7

2,8

2,9

494

495

497

497

498

494

495

497

498

498

494

496

497

498

498

495

496

497

498

498

495

496

497

498

498

495

496

497

498

499

495

496

497

498

499

495

496

497

498

499

495

496

497

498

499

495

496

497

498

499

3,0

3,1

3,2

499

499

499

499

499

499

499

499

499

499

499

499

499

499

499

499

499

499

499

499

499

499

499

499

499

499

499

499

499

499

56

Таблиця значень  t=t , n

   

n

  0,95 0,99 0,999

5 2,78 4,60 8,61

10 2,26 3,25 4,78

15 2,15 2,98 4,14

20 2,093 2,861 3,883

25 2,064 2,797 3,745

30 2,045 2,756 3,659

35 2,032 2,720 3,600

40 2,023 2,708 3,558

45 2,016 2,692 3,527

50 2,009 2,679 3,502

60 2,001 2,662 3,464

70 1,996 2,649 3,439

80 1,991 2,640 3,418

90 1,987 2,633 3,403

100 1,984 2,627 3,392

120 1,980 2,617 3,374

∞ 1,960 2,576 3,291

57

Таблиця значень  q=q , n

   

n

  0,95 0,99 0,999

5 1,37 2,67 5,64

10 0,65 1,08 1,80

15 0,46 0,73 1,15

20 0,37 0,58 0,88

25 0,32 0,49 0,73

30 0,28 0,43 0,63

35 0,26 0,38 0,56

40 0,24 0,35 0,50

45 0,22 0,32 0,46

50 0,21 0,30 0,43

60 0,188 0,269 0,38

70 0,174 0,245 0,34

80 0,161 0,226 0,31

90 0,151 0,211 0,29

100 0,143 0,198 0,27

150 0,115 0,160 0,211

200 0,099 0,136 0,185

250 0,089 0,120 0,162

58

Критичні точки розподілу 2

Число 

степенів

свободи

k

Рівень значущості  

0,01 0,025 0,05 0,95 0,975 0,99

1 6,6 5,0 3,8 0,0039 0,00098 0,00016

2 9,2 7,4 6,0 0,103 0,051 0,020

3 11,3 9,4 7,8 0,352 0,216 0,115

4 13,3 11,1 9,5 0,711 0,484 0,297

5 15,1 12,8 11,1 1,15 0,831 0,554

6 16,8 14,4 12,6 1,64 1,24 0,872

7 18,5 16,0 14,1 2,17 1,69 1,24

8 20,1 17,5 15,5 2,73 2,18 1,65

9 21,7 19,0 16,9 3,33 2,70 2,09

10 23,2 20,5 18,3 3,94 3,25 2,56

11 24,7 21,9 19,7 4,57 3,82 3,05

12 26,2 23,3 21,0 5,23 4,40 3,57

13 27,7 24,7 22,4 5,89 5,01 4,11

14 29,1 26,1 23,7 6,57 5,63 4,66

15 30,6 27,5 25,0 7,26 6,26 5,23

16 32,0 28,8 26,3 7,96 6,91 5,81

17 33,4 30,2 27,6 8,67 7,56 6,41

18 34,8 31,5 28,9 9,39 8,23 7,01

59

4. Методичні вказівки і завдання  до  контрольної роботи з 

теорії ймовірностей та математичної статистики

В контрольну роботу входять 5 завдань з теорії ймовірностей і 2 

завдання   з  математичної   статистики.   Завдання   індивідуальні,   30 

варіантів.  Перед   виконанням   кожного   завдання   слід   опрацювати 

теоретичний   матеріал   по   відповідній   темі   і   розібрати   наведені 

приклади.   Для   полегшення   виконання   контрольної   роботи 

студентами  заочної  форми  навчання  методичний  посібник  містить 

весь необхідний для розв'язання вправ  довідковий  матеріал [4, 5] і 

таблиці   випадкових   чисел.   Наведено   також   зразок   виконання 

контрольної роботи з методичними порадами.

4.1.  Частина І. Завдання  до  контрольної роботи з теорії 

ймовірностей 

Завдання 1

    1.   Президент   фірми   хоче   створити   команду   дизайнерів   для 

розробки   нової  моделі   товару   у   складі   трьох   інженерів   і   двох 

спеціалістів   з   дослідження   ринку.  Яка   ймовірність,  що   команда 

такого   складу   буде   створена,   якщо   з   групи   10   інженерів   і   5 

спеціалістів з проблем ринку вибрати навмання 5 осіб?

  2.   Ймовірність   своєчасної   оплати   податків   для   першого 

підприємства  дорівнює  0,8;  для  другого  — 0,6;  для  третього  2/3. 

Визначити  ймовірність  своєчасної  оплати  податків  не  більше,  ніж 

одним підприємством.

   3.  У  групі  спортсменів  є  20 важкоатлетів,  6 велосипедистів   і  4 

легкоатлети.     Ймовірність   виконати   кваліфікаційну   норму   для 

важкоатлета — 0,96; для велосипедиста — 0,8; для легкоатлета — 

60

0,75.     Знайти   ймовірність   того,  що   взятий   навмання   спортсмен 

виконає кваліфікаційну норму.

4. Ймовірність прибуткової діяльності для першої фірми дорівнює 

0,7; для другої — 0,5; для третьої ця ймовірність у три рази менша 

від   суми   ймовірностей   для   першої   та   другої   фірм.   Знайти 

ймовірність того, що прибутковими будуть рівно дві фірми.

 5. На станцію очистки вода поступає по трьох водогонах, причому 

по першому водогону подається половина всієї необхідної кількості 

води, а по двох інших — відповідно 20% і 30%. Ймовірність подачі 

першим  водогоном  води   із  вмістом   заліза,  що  перевищує  норму, 

становить  0,05;  для  двох   інших  водогонів  ця  ймовірність  складає 

відповідно   0,04   і   0,03.   Яка   ймовірність   попадання   на   станцію 

очистки води із збільшеним вмістом заліза?

   6.  Ймовірність  повного  розрахунку   за  енергоносії  для  першого 

заводу   дорівнює   0,5;   для   другого   на   20%   більша.     Знайти 

ймовірність   своєчасної   оплати   за   енергоносії   принаймні   одним 

заводом.

  7.    Ймовірність  виконання  договору  для  першого  підприємства 

становить 3/5; для другого ця ймовірність є розв'язком рівняння:

5 p26 p−8=0 .    Визначити  ймовірність  виконання  договору 

хоча б одним підприємством.

8.  Збори  колективу,  на  яких  присутні  25 чоловік,  в  тому  числі  8 

інженерно­технічних  працівників,  обирають  делегацію  з  5 чоловік. 

Вважаючи, що кожний із присутніх з однаковою ймовірністю може 

бути обраний, знайти ймовірність того, що в складі делегації буде 3 

інженерно­технічних працівники.

9. Студент здає іспит по трьох розділах програми,  кожний  з яких 

містить по 20 питань. Студент знає 16 питань з першого розділу, 14 

питань — з другого і 18 питань з третього розділу програми.  Яка 

61

ймовірність здати іспит, якщо для цього потрібно вірно відповісти 

не менше, ніж на два питання?

10. Для кожної з чотирьох дощувальних установок, які працюють на 

зрошувальному масиві незалежно одна від одної, ймовірність виходу 

з  ладу  на  протязі  доби  складає  0,1.  Яка  ймовірність  того,  що  на 

протязі доби вийде з ладу не більше двох установок?

11.  В  будівельній  бригаді   12  чоловіків   і   8  жінок.  По  табельних 

номерах навмання відбирають 9 будівельників. Яка ймовірність, що 

серед них буде 4 чоловіка і 5 жінок?

12.   Робітник   обслуговує   три   автоматичні   станки,   які   працюють 

незалежно один від одного. Ймовірність того,  що на протязі  зміни 

робота першого станка вимагатиме втручання робітника, становить 

0,7;  для  другого  — 0,6;  для  третього  — 0,6.  Знайти  ймовірність 

того,   що   на   протязі   зміни   робота   двох   станків     вимагатиме 

втручання робітника. 

13.  Електролампи виготовляються на трьох заводах. Перший завод 

виготовляє  30% загальної  кількості  електроламп,  другий  — 50%, 

третій — 20%. Ймовірність того, що електролампа, яка виготовлена 

першим   заводом,   є   стандартною,   дорівнює   0,80;   для   другого   і 

третього заводів ця ймовірність становить відповідно 0,85 і 0,90. В 

магазин  поступає  продукція   всіх   трьох   заводів.  Яка  ймовірність 

того, що куплена в магазині електролампа буде стандартною?

14.  На   спостережній   станції   встановлені   3   радіолокатори  різних 

конструкцій, які  працюють незалежно один від одного. Ймовірність 

того,  що   ціль   буде   своєчасно   виявлена   для     першого   локатора 

становить  0,7;  другого  — 0,9;  третього  — 0,95.  Яка  ймовірність 

того,   що   ціль   буде   своєчасно   виявлена   не   менше,   ніж   двома 

радіолокаторами?

15.      На  складі   знаходиться   20  манометрів,  серед  яких   5  мають 

приховані   дефекти,  що   впливають   на   точність   вимірювань.  Для 

встановлення на трубопроводах насосної станції беруть навмання 8 

62

манометрів.  Яка ймовірність того,  що серед них 6 не будуть мати 

приховані дефекти?

16.  Ймовірність банкрутства для першої фабрики дорівнює 0,2; для 

другої  — на  50 % більше;  для  третьої  дана  ймовірність  дорівнює 

0,1. Банкрутство фабрик відбувається незалежно один  від одного. 

Визначити ймовірність  банкрутства тільки однієї фабрики.

17. Робітник  обслуговує  три  станки,  на  яких  обробляються  одно­

типні деталі, причому продуктивності першого, другого і третього 

станків     відносяться   як   2:3:5.  Ймовірність   браку   для   першого 

станка  складає   0,02,  для  другого  —  0,05,  для  третього  —  0,10. 

Знайти ймовірність того, що взята навмання деталь буде якісною.

18.  Робітник  обслуговує  два  станки,  на  яких  обробляються  одно­

типні   деталі,   причому   на   першому   станку   виробляється   40% 

деталей,   а  на  другому   —   60%.  Ймовірність  браку  для  першого 

станка складає 0,04, для другого — 0,08. Знайти ймовірність того, 

що взята навмання деталь буде якісною.

19.  В   групі   15   студентів,   серед   яких   6   відмінників.  По   списку 

навмання  відбирають  9  студентів.  Яка  ймовірність,  що  серед  них 

буде 3 відмінники? 

20. На ділянці зрошувального каналу є три автоматичні затвори на 

водоспусках.   Затвори   працюють   незалежно   один   від   одного. 

Ймовірність   того,   що   на   протязі   дня   буде   відкрито   перший 

водоспуск   становить   0,2;   другий   —   0,4;   третій   —   0,46.   Яка 

ймовірність того, що на протязі дня буде відкритим не більше, ніж 

один водоспуск?

21. Три економісти заповнюють документи, які складають у спільну 

папку.  Ймовірність   зробити   помилку   у   документі   для   першого 

економіста 0,10; для другого — 0,20; для третього — 0,25. Перший 

економіст заповнив 30 документів, другий і третій — по 40.  Знайти 

ймовірність того, що навмання взятий з папки документ виявиться з 

помилкою.

22. Студент здає іспит по трьох розділах програми, кожний з яких 

63

містить по 20 питань. Студент знає 14 питань з першого розділу, 15 

питань  –  з  другого   і  16 питань  з  третього  розділу  програми.  Яка 

ймовірність здати іспит, якщо для цього потрібно вірно відповісти 

не менше, ніж на два питання?

23. Збори колективу, на яких присутні 28 чоловік, в тому числі 12 

інженерно­технічних  працівників,  обирають  делегацію  з  5 чоловік. 

Вважаючи, що кожний із присутніх з однаковою ймовірністю може 

бути обраний, знайти ймовірність того, що в складі делегації буде 4 

інженерно­технічних працівники.

24.  На  насосній  станції  працюють  незалежно  один  від  одного  три 

насоси.  Ймовірність   того,  що   на   протязі   зміни   робота   першого 

насоса вимагатиме втручання механіка, становить 0,2; для другого 

— 0,4; для третього — 0,6. Знайти ймовірність того, що на протязі 

зміни  вимагатиме  втручання  механіка  робота  не  менше,  ніж  двох 

насосів.

25. На станцію очистки вода поступає по трьох водогонах, причому 

по першому водогону подається половина всієї необхідної кількості 

води, а по двох інших — відповідно 15% і 35%. Ймовірність подачі 

першим  водогоном  води   із  вмістом   заліза,  що  перевищує  норму, 

становить  0,06;  для  двох   інших  водогонів  ця  ймовірність  складає 

відповідно   0,04   і   0,02.   Яка   ймовірність   попадання   на   станцію 

очистки води із збільшеним вмістом заліза?

26.   Ймовірність того, що справним є перший  комп'ютер дорівнює 

2/3; другий — 3/4 ;   третій — 5/6. Визначити ймовірність того, що 

справними є хоча б два комп'ютери.

27. Прилад складається з трьох вузлів. Ймовірність безвідмовної ро­

боти на протязі року першого вузла становить 0,8; другого — 0,8; 

третього — 0,6. Вузли виходять з ладу незалежно один від одного. 

Яка ймовірність, що на протязі року вийдуть з ладу не більше двох 

вузлів?

28.  У лотереї 30 білетів, серед яких 6 виграшних. Яка ймовірність 

того, що серед 5 навмання вибраних білетів буде 2 виграшних?

64

29.   Студент здає іспит по трьох розділах програми, кожний з яких 

містить по 20 питань. Студент знає 19 питань з першого розділу, 18 

питань — з другого і 12 питань з третього розділу програми.  Яка 

ймовірність здати іспит, якщо для цього потрібно вірно відповісти 

не менше, ніж на два питання?

30.   Для кожної  з трьох дощувальних установок,  які  працюють на 

зрошувальному масиві незалежно одна від одної, ймовірність виходу 

з  ладу  на  протязі  доби  складає  0,2.  Яка  ймовірність  того,  що  на 

протязі доби вийде з ладу не більше двох установок?

Завдання 2

1. Ймовірність влучення у мішень при одному пострілі дорівнює 0,8. 

Знайти  ймовірність  того,  що   із   100  пострілів  у  мішень  буде     75 

влучних.

2.   Фабрика випускає в середньому 70% продукції першого сорту. 

Знайти ймовірність того, що в партії із 1000 виробів число першо­

сортних знаходиться між 680 і 725.

3. Ймовірність того, що довільний абонент подзвонить на комутатор 

на  протязі   години,  дорівнює   0,01.  Телефонна  станція  обслуговує 

800   абонентів.   Яка   ймовірність   того,   що   протягом   години 

подзвонять 4 абоненти?

4. Відділ технічного контролю заводу перевіряє партію з 10 деталей. 

Ймовірність   того,  що   деталь   стандартна,   дорівнює   0,75.   Знайти 

найімовірніше число деталей, які будуть визнані стандартними.

5. В кожній партії кольорових телевізорів (в партії 100 штук), що їх 

виготовляє  деякий   завод,   80  є  вищої  якості.  Знайти  ймовірність 

того, що в даній партії телевізорів вищої якості буде не менше 75 і 

не більше 90.

6. Товарознавець оглядає 25 зразків товарів. Ймовірність того,  що 

65

кожний  із  зразків  буде визнано  придатним для  продажу,  дорівнює 

0,6.  Знайти  найімовірніше  число  зразків,  які  товарознавець  визнає 

придатними для продажу.

7.   Знайти ймовірність того, що подія  А відбудеться 70 разів у 100 

випробуваннях,   якщо   ймовірність   появи   цієї   події   в   кожному 

випробуванні дорівнює 0,8.

8.     Ймовірність   появи   події   в   кожному   з   2100   незалежних 

випробувань   дорівнює   0,7.   Знайти   ймовірність   того,   що   подія 

відбудеться не менше 1470 і не більше 1500 разів.

9.   Ймовірність   появи   події   в   кожному   із   100   незалежних 

випробувань стала і дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що подія 

відбудеться не менше 90 разів.

10.   Ймовірність   народження   хлопчика   дорівнює   0,51.   Знайти 

ймовірність   того,   що   серед   100   новонароджених   виявиться   53 

хлопчика.

11.  Парашутист  робить  чотири  стрибки  на  точність  приземлення, 

причому ймовірність приземлення в центр круга складає для нього 

0,8. Знайти  ймовірність приземлення в центр круга не менше двох 

разів.

12. Фабрика випускає в середньому 70% продукції першого сорту. 

Знайти   ймовірність   того,   що   в   партії   із   1000   виробів   число 

першосортних знаходиться між 685 і 720.

13.     Ймовірність   того,   що   довільний   абонент   подзвонить   на 

комутатор  на  протязі   години,  дорівнює   0,01.  Телефонна   станція 

обслуговує   900   абонентів.   Яка   ймовірність   того,   що   протягом 

години подзвонять 3 абоненти?

14.  Висіяно  600 зернин  кукурудзи  з  ймовірністю  проростання  0,9 

для  кожної  зернини.  Яка ймовірність  того,  що проросте не менше 

530 зернин?

66

15.   Деякий  шахіст із кожних  100 партій  в  середньому виграє 70. 

Яка ймовірність того, що в матчі з 6 партій він виграє не менше 4­ох 

партій?

16.   Знайти   ймовірність   того,  що   хлопчиків   серед   1000   новона­

роджених буде більше 490, але менше 540 (ймовірність народження 

хлопчика прийняти 0,51).

17.   Прядильниця   обслуговує   200   веретен.   Ймовірність   обриву 

нитки на одному веретені на протязі однієї хвилини дорівнює 0,004. 

Знайти  ймовірність   того,  що  на  протязі  однієї  хвилини  буде  не 

більше двох обірваних ниток.

18.    Виробництво  дає   2% бракованої  продукції.  Яка  ймовірність 

того, що з 900 взятих на дослідження виробів буде 20 бракованих?

19. В кожній партії телевізорів (в партії 400 штук), що їх виготовляє 

деякий  завод,  300 є  першосортними.  Яка  ймовірність  того,  що   із 

п'яти   навмання   взятих   телевізорів   не   менше   трьох   будуть 

першосортними?

20.  Пересаджено   400  дерев.  Знайти  ймовірність  того,  що  прижи­

веться більше 340 дерев, якщо в середньому може прижитися 80 % 

дерев.

21.   Ймовірність   влучення   у   мішень   для   деякого   стрільця   при 

одному  пострілі  дорівнює  0,7.  Знайти  ймовірність  того,  що  з  200 

пострілів у мішень буде 150 влучних.

22.   Ймовірність правильної  відповіді  на кожне з чотирьох питань 

екзаменаційного  білета  для  деякого   студента   становить   0,7  Яка 

ймовірність  того,  що  число  правильних  відповідей  буде  не  менше 

двох?

23.  На   підприємстві   300   робітників.   В   середньому   40%   з   них 

перевиконують   норму   виробітку.   Яка   ймовірність   того,   що   в 

навмання взятий день перевиконали норму більше 100 робітників?

24.  З умов випуску лотереї відомо, що виграє 3%  всіх випущених 

білетів. Яка ймовірність того, що серед 200 куплених білетів виграє 

не менше трьох?

67

25.   Проростання   насінини   деякої   рослини   дорівнює   80%.   Яка 

ймовірність того, що з 800 посіяних насінин цієї рослини проросте 

620?

26. Товарознавець оглядає 25 зразків товарів. Ймовірність того, що 

кожний  із  зразків  буде визнано  придатним для  продажу,  дорівнює 

0,8.  Знайти  найімовірніше  число  зразків,  які  товарознавець  визнає 

придатними для продажу.

27.  Знайти ймовірність того, що подія А відбудеться 85 разів у 100 

випробуваннях,   якщо   ймовірність   появи   цієї   події   в   кожному 

випробуванні дорівнює 0,9.

28.     Ймовірність   появи   події   в   кожному   з   3600   незалежних 

випробувань   дорівнює   0,8.   Знайти   ймовірність   того,   що   подія 

відбудеться не менше 2850 і не більше 2900 разів.

29.   Ймовірність   появи   події   в   кожному   із   100   незалежних 

випробувань стала і дорівнює 0,9. Знайти ймовірність того, що подія 

відбудеться не менше 92 разів.

30.   Ймовірність   народження   хлопчика   дорівнює   0,51.   Знайти 

ймовірність   того,   що   серед   100   новонароджених   виявиться   56 

хлопчиків.

Завдання 3   

Скласти   таблицю   розподілу   ймовірностей   дискретної  

випадкової   величини Х,  побудувати багатокутник розподілу,  

знайти   математичне   сподівання   М(Х),   дисперсію  D(X)   і  

середнє квадратичне відхилення  (Х)

1.   Керівництво   однієї   з   прикордонних   застав   зібрало   дані,   які 

вказують, що 80% машин, які прибувають на   заставу — це легкові 

автомобілі. Х — число легкових автомобілів з 4­ох , що прибули на 

заставу.

2.   Перша   фірма може одержати заданий прибуток з ймовірністю 

68

0,7;   для   другої   ця   ймовірність   є   розв'язком   рівняння: 

5 p2−13 p6=0 .       Х — кількість фірм, що отримують прибу­

ток.

3.   Ймовірність   правильної   відповіді   на   кожне   з   4­ох   питань 

екзаменаційного  білета  для  деякого  студента  складає  0,6.      Х  — 

число правильних відповідей.

4.   Митниця   дає   офіційну   оцінку   того,   що   20%   усіх   осіб,   що 

повертаються   з­за   кордону,   не   декларує   весь   товар,   на   який 

накладається податок.     Х — число осіб, які не задекларували весь 

товар з числа  чотирьох перевірених.

5.  Для   зрошення   деякої   ділянки   використовують   два   незалежно 

працюючих   трубопроводи.   Ймовірність   розриву   трубопроводу 

внаслідок   гідравлічного   удару   на   протязі   сезону   складає   для 

першого з них 0,05; для другого — 0,10.  Х — число розірваних на 

протязі сезону трубопроводів.

6.     Для   деякого   шахіста   ймовірність   виграшу   в   кожній   партії 

складає 0,4. Грається матч з чотирьох партій.  Х — число виграних 

партій.

7. Служба податків  визначила,  що 50% всіх особистих  декларацій 

про   прибуток  містять   принаймні   одну   помилку.  Х  —   кількість 

декларацій, які містять помилки з 5­ти випадково відібраних.

8.   Обчислювальний   центр,   що   складається   з   двох   ЕОМ,   які 

працюють незалежно одна від одної, проводить обробку інформації. 

Ймовірність   відмови   на   протязі   деякого   часу   для   першої  ЕОМ 

складає 0,2; для другої — 0,1.  Х — число ЕОМ, які відмовлять за 

вказаний час.

9.  На ділянці зрошувального каналу є п’ять автоматичних затворів. 

Ймовірність того, що на протязі дня затвор буде відкритим, складає 

для   кожного   з   них   0,5.    Х  —   число   відкритих   на   протязі   дня 

69

затворів.

10.   На станції  спостереження  встановлені  2 радіолокатори різних 

конструкцій.  Ймовірність   виявлення   цілі   для   першого   локатора 

складає   0,8;  для  другого  —  0,9.  Х  —  число  радіолокаторів,  які 

виявлять ціль.

11. Для сигналізації про пожежу в цеху встановлено 4 сигналізатори, 

які працюють незалежно один від одного. Ймовірність того, що при 

пожежі сигналізатор спрацює дорівнює 0,9 для кожного з них.  Х  – 

число сигналізаторів, які спрацюють при пожежі.

12.  На насосній станції незалежно один від одного працюють два на­

соси. Ймовірність нормальної роботи (без втручання механіка) для 

першого   насоса   становить   0,6;   для   другого   —   0,8.  Х  —   число 

нормально працюючих на протязі дня насосів.

13.   Ймовірність   правильної   відповіді   на   кожне   з   4­ох   питань 

екзаменаційного  білету  для  деякого  студента  складає  0,8.      Х  — 

число правильних відповідей.

14. У державному вузі 70% студентів отримує деякий вид стипендії. 

Х  — число студентів,  що отримують стипендію з   4­ох випадково 

відібраних.

15.  Для   зрошення  деякої  ділянки  використовують  два  незалежно 

працюючих   трубопроводи.   Ймовірність   розриву   трубопроводу 

внаслідок   гідравлічного   удару   на   протязі   сезону   складає   для 

першого з них 0,10; для другого — 0,20.  Х — число розірваних на 

протязі сезону трубопроводів.

16.    Для   деякого  шахіста   ймовірність   виграшу   в   кожній   партії 

складає 0,6. Грається матч з чотирьох партій.  Х — число виграних 

партій.

17.   Ймовірність   ліквідації   заборгованості   для   першого   заводу 

70

дорівнює 6/7 , для другого — 3/4, для третього — 0,8.  Х — число 

заводів, що ліквідують заборгованість.

18.   Обчислювальний   центр,   що   складається   з   двох   ЕОМ,   які 

працюють незалежно одна від одної, проводить обробку інформації. 

Ймовірність   відмови   на   протязі   деякого   часу   для   першої  ЕОМ 

складає 0,3; для другої — 0,2.  Х — число ЕОМ, які відмовлять за 

вказаний час.

19.   Було   встановлено,   що   25%   сімей   міста   мають   кабельне 

телебачення.    Х  —   число   сімей   міста,   що   мають   кабельне 

телебачення з 4­ох сімей, відібраних випадково.

20.   На станції  спостереження  встановлені  2 радіолокатори різних 

конструкцій.  Ймовірність   виявлення   цілі   для   першого   локатора 

складає   0,7;  для  другого  —  0,8.  Х  —  число  радіолокаторів,  які 

виявлять ціль.

21. Фірма, що проводить поштове опитування, встановила, що 40% 

одержувачів  анкет  повертає   їх  назад.  За  тиждень  фірма  провела 

поштове опитування 5­ти сімей.     Х  — число сімей, що повернуть 

анкети.

22.    Ймовірність  банкрутства  для  першої  фабрики  дорівнює    0,5; 

для  другої  ця  ймовірність  становить  60% від  першої.  Х  — число 

фабрик, що збанкрутує.

23.   Ймовірність   правильної   відповіді   на   кожне   з   4­ох   питань 

екзаменаційного  білета  для  деякого  студента  складає  0,9.      Х  — 

число правильних відповідей.

24.   В   кожній   сотні   приладів,   які   випускає   деякий   завод,   80 

першосортних.   Х — число першосортних приладів серед  чотирьох 

взятих.

25.  Для   зрошення  деякої  ділянки  використовують  два  незалежно 

71

працюючих   трубопроводи.   Ймовірність   розриву   трубопроводу 

внаслідок   гідравлічного   удару   на   протязі   сезону   складає   для 

першого з них 0,20; для другого — 0,30.  Х — число розірваних на 

протязі сезону трубопроводів.

26.    Для   деякого  шахіста   ймовірність   виграшу   в   кожній   партії 

складає 0,8. Грається матч з чотирьох партій.  Х — число виграних 

партій.

27. Було встановлено, що 15% усіх рахунків оплачуються повністю 

за допомогою карток VISA. З попереднього року вибрали навмання 

3 рахунки.  Х — число рахунків, які оплачені за допомогою карток 

VISA.

28.   Обчислювальний   центр,   що   складається   з   двох   ЕОМ,   які 

працюють незалежно одна від одної, проводить обробку інформації. 

Ймовірність   відмови   на   протязі   деякого   часу   для   першої  ЕОМ 

складає 0,4; для другої — 0,2.  Х — число ЕОМ, які відмовлять за 

вказаний час.

29.   Статистика безробіття свідчить, що 8% працездатних людей є 

безробітними.  Навмання  вибрано  троє  працездатних  людей.  Х  — 

кількість осіб, що не мають роботи.

30.  На  станції  спостереження  встановлені  2  радіолокатори  різних 

конструкцій.  Ймовірність   виявлення   цілі   для   першого   локатора 

складає   0,6;  для  другого  —  0,7.  Х  —  число  радіолокаторів,  які 

виявлять ціль.

Завдання 4   

 Задана функція розподілу ймовірностей абсолютно неперервної 

випадкової величини Х:

72

F x ={0,при xa ;

k x−a 2 , при a xb ;

1,при xb.

Необхідно:   1)   знайти   коефіцієнт  k  і   щільність   розподілу 

ймовірностей;   2)   побудувати   графіки   функцій   розподілу 

ймовірностей   і   щільності   розподілу   ймовірностей;   3)   знайти 

математичне   сподівання,   дисперсію   і   середнє   квадратичне 

відхилення випадкової величини Х; 4) знайти ймовірність попадання 

випадкової   величини  Х  в   інтервал   ,   та   зобразити   цю 

ймовірність на графіках функції розподілу ймовірностей і щільності 

розподілу ймовірностей. 

Варіантa b

1 2 6 4 8

2 ­2 4 0 5

3 3 6 4 8

4 ­3 3 0 5

5 4 8 6 9

6 3 8 5 10

7 ­2 3 0 4

8 4 9 6 10

9 ­4 1 0 3

10 1 4 2 6

11 1 10 4 11

12 ­2 7 0  8

73

Варіантa b

13 3 9 4 10

14 ­3 6 0  8

15 4 10 6 12

16 ­4 2 ­2 6

17 2 5 3 8

18 ­2 9 0 12

19 3 12 5 14

20 ­3 3 1 4

21 4 11 6 14

22 ­4  5 0 7

23 1 7 3 9

24 ­1 5 2 8

25 1 4 3 10

26 ­2 7 ­1 8

27 ­1 8 1 12

28 5 11 7 14

29 ­3 9 1 4

30 2 11 3 12

Завдання   5   Державна   податкова   адміністрація   проаналізувала 

благодійні внески всіх підприємців, що зробили їх із своїх прибутків 

протягом  року.   Було   встановлено,  що   внески  на  одну  особу   є 

нормально розподіленою випадковою величиною  Х з математичним 

74

сподіванням (середнім  значенням)   а  грн  і  середнім  квадратичним 

відхиленням   грн. Знайти ймовірність, що благодійні внески у 

навмання взятого підприємця: 1) знаходяться в межах від    до 

грн;  2)  відхиляються  від  середнього  значення  по  абсолютній 

величині менше ніж на  грн.

Варіантa

1 200 8 190 208 5

2 400 8 390 420 10

3 600 10 580 615 15

4 1000 15 980 1030 20

5 1000 20 950 1030 15

6 800 10 785 820 15

7 600 12 585 620 10

8 400 15 390 420 5

9 800 12 780 825 15

10 1000 25 960 1050 20

11 200 10 190 215 6

12 400 6 392 416 8

13 600 9 585 620 12

14 800 14 776 820 16

15 1000 20 975 1032 13

16 200 5 193 212 8

17 400 6 392 417 7

75

Варіантa

18 600 14 576 622 18

19 800 16 782 825 24

20 1000 24 964 1040 28

21 200 5 192 208 8

22 400 9 388 410 6

23 600 8 588 618 14

24 800 11 788 820 18

25 1000 16 988 1036 20

26 800 12 785 828 22

27 600 9 584 620 16

28 400 6 388 416 10

29 800 12 785 817 15

30 1000 26 972 1038 30

4.2.  Частина ІІ.  Завдання  до  контрольної роботи з 

математичної статистики

          Вихідні дані для розрахунку

Варіант № k Згідно із списком групи в журналі або вказується викладачем

Стовпчик таблиці 

випадкових чисел

Відповідає номеру варіанта

Об'єм вибірки  n 50 або вказується викладачем

Надійність   варіанти (1­10)              = 0,95

варіанти (11­20)            = 0,99

варіанти (21­30)           = 0,999

76

     Рівень

 значущості  варіанти (1­10)              = 0,01

варіанти (11­20)            = 0,05

варіанти (21­30)            = 0,025

Додаток № Вказується викладачем

 

 Основою для статистичних даних  індивідуальних завдань були:

1) Методические  указания и задания к выполнению типового расчёта 

по   высшей   математике.   Раздел   “Основы   математической 

статистики” , 085­56, Сачук Н.И. Ровно. 1983 г.

2) Розробка   Антонюка   Р.А:   “Контрольна   робота   з     математичної 

статистики”. Рівне, НУВГП, 2006 р.

3) Методичні   вказівки   і   завдання     до   типового   розрахунку   з 

математичної   статистики   для   студентів   ІІ   курсу   спеціальності 

7.050107  Зарівняк І.С. Рівне: УДАВГ, 1997 р.

Статистичні  дані  носять  навчальний  характер   і  не    претендують  на 

достовірність.

Завдання   1   (10  б.)        За    даними    спостережних     значень     (з 

відповідного   додатку   )   за   допомогою   таблиці   випадкових   чисел 

виконати   вибірку   об'єму   n,   провести   групування   статистичних 

даних,  записати  відповідний  ряд  розподілу,  побудувати    полігон   і 

гістограму,   знайти   числові   характеристики   вибірки   випадкової 

величини Х,   провести їх статистичні точкові та інтервальні оцінки 

при   даній   надійності   і   перевірити   за   допомогою   критерію 

Пірсона  гіпотезу  про  нормальний  розподіл  випадкової  величини  Х 

при рівні значущості  .

77

Додаток   №1.    Дані   спостережень   відносно   річних   об'ємів 

будівельно­монтажних   робіт   (Х   млн.грн)   для   ряду   будівельних 

трестів№ п/п Х № п/п Х № п/п Х № п/п Х

00 6,3 25 7,6 50 12,0 75 6,1

01 9,9 26 8,4 51 12,8 76 8,5

02 13,7 27 10,2 52 7,8 77 10,4

03 7,2 28 9,8 53 10,9 78 11,8

04 9,7 29 10,8 54 13,4 79 12,6

05 13,2 30 12,2 55 16,8 80 13,4

06 10,6 31 11,7 56 17,2 81 9,4

07 11,3 32 14,8 57 12,5 82 11,1

08 12,1 33 15,2 58 16,2 83 17,1

09 14,9 34 15,3 59 11,1 84 12,5

10 13,7 35 14,8 60 9,4 85 17,5

11 12,5 36 16,2 61 13,4 86 17,1

12 11,9 37 16,8 62 11,5 87 13,4

13 8,7 38 16,6 63 14,1 88 10,9

14 8,2 39 12,4 64 12,7 89 9.8

15 6,8 40 13,1 65 11,4 90 12,8

16 15,7 41 14,3 66 13,9 91 10,5

17 14,5 42 6,0 67 12,5 92 13,7

18 12,6 43 6,5 68 14,5 93 17,4

19 13,9 44 15,9 69 15,5 94 10,5

20 11,4 45 9,6 70 8,7 95 15,9

21 12,8 46 15,8 71 8,2 96 9,6

22 14,1 47 10,5 72 11,8 97 15,9

23 11,5 48 16,4 73 12,5 98 13,0

24 13,6 49 13,7 74 15,7 99 10,8

78

Додаток №2. Дані спостережень відносно річних об'ємів будівельно­

монтажних робіт (Х млн.грн) для ряду будівельних трестів  

№ п/п Х № п/п Х № п/п Х № п/п Х

00 2,85 25 3,00 50 3,11 75 2,43

01 2,80 26 3,10 51 2,26 76 2,84

02 2,86 27 2,22 52 2,34 77 3,20

03 2,82 28 2,41 53 2,47 78 3,10

04 2,58 29 2,60 54 2,48 79 2,72

05 2,37 30 3,30 55 2,92 80 2,35

06 2,54 31 2,45 56 2,90 81 2,10

07 2,50 32 2,30 57 2,72 82 2,54

08 2,52 33 2,52 58 2,63 83 2,62

09 2,98 34 2,71 59 2,81 84 2,62

10 3,03 35 2,75 60 2,68 85 3,00

11 2,97 36 2,74 61 3,30 86 3,24

12 3,16 37 3,17 62 3,30 87 2,26

13 3,16 38 2,95 63 3,04 88 2,37

14 3,15 39 2,95 64 2,78 89 3,10

15 3,07 40 2,87 65 2,65 90 2,12

16 3,27 41 2,86 66 2,77 91 2,65

17 2,18 42 2,70 67 2,56 92 2,91

18 2,46 43 2,92 68 2,40 93 2,86

19 2,31 44 2,90 69 2,40 94 3,04

20 2,60 45 3,05 70 2,49 95 2,57

21 2,53 46 2,93 71 2,07 96 2,63

22 2,90 47 2,82 72 2,70 97 2,76

23 3,00 48 2,92 73 2,68 98 2,97

24 3,25 49 2,94 74 2,91 99 3,25

79

Додаток №3. Дані спостережень відносно річних об'ємів будівельно­

монтажних робіт (Х млн.грн) для ряду будівельних трестів  

№ п/п Х № п/п Х № п/п Х № п/п Х

00 1,50 25 0,96 50 1,02 75 1,52

01 1,37 26 1,20 51 1,32 76 1,28

02 1,49 27 1,32 52 1,60 77 1,76

03 1,46 28 1,43 53 1,17 78 1,30

04 1,48 29 1,42 54 1,31 79 1,72

05 1,65 30 1,60 55 1,53 80 1,50

06 0,97 31 1,24 56 1,58 81 1,43

07 1,26 32 1,38 57 1,38 82 1,46

08 1,12 33 1,67 58 1,37 83 1,06

09 1,48 34 1,44 59 1,46 84 1,42

10 1,40 35 1,82 60 1,54 85 1,60

11 1,40 36 1,65 61 1,60 86 1,66

12 1,52 37 1,60 62 1,39 87 1,80

13 1,47 38 1,41 63 1,47 88 1,44

14 1,37 39 1,16 64 1,09 89 1,78

15 1,39 40 1,45 65 1,16 90 1,37

16 1,47 41 1,44 66 1,04 91 1,22

17 1,51 42 1,61 67 1,65 92 1,36

18 1,32 43 1,62 68 1,48 93 1,43

19 0,98 44 1,31 69 1,46 94 1,43

20 1,50 45 1,65 70 1,54 95 1,31

21 1,33 46 1,29 71 1,39 96 1,18

22 1,01 47 1,63 72 1,49 97 1,00

23 1,40 48 1,52 73 1,55 98 1,35

24 1,52 49 1,39 74 1,36 99 1,56

80

Додаток №4. Дані спостережень відносно річних об'ємів будівельно­

монтажних робіт (Х млн.грн) для ряду будівельних трестів  

№ п/п Х № п/п Х № п/п Х № п/п Х

00 0,75 25 0,62 50 0,70 75 0,37

01 0,66 26 0,26 51 0,67 76 0,60

02 0,64 27 0,37 52 0,32 77 0,57

03 0,54 28 0,30 53 0,56 78 0,56

04 0,53 29 0,51 54 0,40 79 0,36

05 0,45 30 0,53 55 0,64 80 0,24

06 0,60 31 0,69 56 0,33 81 0,24

07 0,25 32 0,45 57 0,28 82 0,39

08 0,35 33 0,56 58 0,22 83 0,59

09 0,79 34 0,32 59 0,70 84 0,62

10 0,68 35 0,42 60 0,36 85 0,77

11 0,46 36 0,78 61 0,45 86 0,58

12 0,65 37 0,82 62 0,80 87 0,33

13 0,75 38 0,53 63 0,73 88 0,22

14 0,57 39 0,45 64 0,66 89 0,77

15 0,58 40 0,64 65 0,35 90 0,25

16 0,70 41 0,58 66 0.56 91 0,45

17 0,36 42 0,31 67 0,48 92 0,62

18 0,31 43 0,33 68 0,55 93 0,50

19 0,31 44 0,40 69 0,57 94 0,63

20 0,46 45 0,45 70 0,70 95 0,47

21 0,47 46 0,28 71 0,80 96 0,36

22 0,56 47 0,43 72 0,40 97 0,51

23 0,60 48 0,52 73 0,47 98 O,62

24 0,65 49 0,53 74 0,42 99 0,78

81

Завдання 2 (10 б.) 

1) Знайти вибіркові середні, вибіркові дисперсії , вибіркові середні 

квадратичні   відхилення,   вибірковий   коефіцієнт   кореляції   та 

вибіркове   рівняння   прямої   лінії   регресії  У  на  Х,     а   також   по 

значенню коефіцієнта кореляції оцінити тісноту зв'язку між  У та  Х 

згідно кореляційної таблиці.

2)   Провести   статистичні   оцінки   генеральних   середніх,   гене­

рального   середнього   квадратичного   відхилення   та   генерального 

коефіцієнта кореляції.

        У

Х

m+4 m+8 m+2 m+16 m+20

m 3 3 2

m+5 6 7 35 ­k

m+10 4 10 +k

m+15 11 6

m+20 2 9

m+25 2

Зауваження:   k — номер варіанта; m — номер групи або вказується 

викладачем.

5.   Методичні   поради   до   виконання   контрольної   роботи 

студентами заочної форми навчання. Зразок виконання типової 

контрольної роботи .

Після  вивчення теоретичного матеріалу змістових  модулів  № 1, 

№2   потрібно  відповісти  на  питання  для  самоперевірки.  Наведемо 

зразок виконання  контрольної роботи з методичними порадами.

82

Зразок

Міністерство освіти і науки України

   Національний університет водного господарства та природокористування

     Кафедра вищої математики

КОНТРОЛЬНА РОБОТА

“Основи теорії ймовірностей 

та математичної статистики”

варіант №31

виконала:

студентка гр. ЕП ­3 і

Воронцова Т.В.

перевірив:

Слов'янськ — 2008 

83

Частина І “Основи теорії ймовірностей”

Тема 1 “Основні поняття і теореми” 

Завдання 1.         В будівельній бригаді 20 чоловіків і 5 жінок. По 

табельних   номерах   навмання   відбирають   8   робітників.   Яка 

ймовірність, що серед них буде 6 чоловіків і 2 жінки?

Розв'язання.  Задача   розв’язується   з   допомогою   формули 

гіпергеометричного розподілу:

P A=C

n1

k⋅Cn

2

r−k

Cn

r,  

де   n   –  число  робітників  у  бригаді,  n1

  ­ число  чоловіків  у 

бригаді,    n2

  ­  число  жінок  у  бригаді,  r –  число  відібраних 

робітників,    k   –   число   з   них   чоловіків.   Число   комбінацій 

знаходиться за формулою:       

                          

Cn

m=n!

m!n−m!.

Отже:

P A=C

20

6 ⋅C5

2

C25

8; P A=

20!⋅5!⋅8!⋅17!

6!⋅14!⋅2!⋅3!⋅25!≈0,36 .

Завдання   2.  Парашутист   робить   чотири   стрибки   на   точність 

приземлення,   причому   ймовірність   приземлення   в   центр   круга 

складає   для   нього  0,9.   Знайти   ймовірність   приземлення   в   центр 

круга не менше трьох разів.

Розв'язання. Використовуємо формулу Бернуллі:

   Pnm =

n!

m !n−m!⋅pm⋅qn−m ,

де:   n = 4;   p = 0,9;    q = 1 ­ p = 1 ­ 0,9 = 0,1.

84

P4m≥3=P

43P

44 =

=4!

3!1!⋅0,93⋅0,11

4!

4!0!⋅0,94⋅0,10=0,9477 .

Тема 2 “Випадкові величини” 

Завдання   3.  Задана   таблиця  розподілу  ймовірностей  дискретної 

випадкової величини Х. Побудувати багатокутник розподілу, знайти 

математичне сподівання М(Х), дисперсію D(X) і середнє квадратичне 

відхилення  (Х).

xi

2 4 6 8 10

pi

0,10 0,30 0,20 0,10 0,30

Багатокутник розподілу:

Математичне сподівання:

 M X =∑

i=1

n

xi⋅p

i=

=2⋅0,104⋅0,306⋅0,208⋅0,1010⋅0,30=6,40 .

85

p

0 2 44 86 10

x

0,3

0,2

0,1

Дисперсія: 

D X =∑i=1

n

xi

2⋅pi−M 2X =

=22⋅0,104

2⋅0,3062⋅0,208

2⋅0,10102⋅0,30−6,402=7,84 .

Середнє квадратичне відхилення:

   X =DX =7,84=2,8 .

Зауваження. Завдання 3  може бути задано і дещо інакше. 

  Скласти  таблицю  розподілу  ймовірностей  дискретної  випадкової 

величини  Х,   побудувати   багатокутник   розподілу,   знайти   мате­

матичне   сподівання  М(Х),  дисперсію  D(X)  і   середнє  квадратичне 

відхилення  (Х).

   На   насосній   станції  працюють   незалежно  один   від  одного  два 

насоси. Ймовірність нормальної роботи (без втручання механіка) на 

протязі доби для першого насосу становить 0,7, а для другого 0,8. 

Х – число нормально працюючих на протязі доби насосів.

Розв'язання. Позначимо події:

А — нормально працює на протязі доби І насос; В — нормально 

працює на протязі доби ІІ насос.

Їх ймовірності: Р А=0,7 ; РВ=0,8.

Ймовірності протилежних подій:

P A=1−P A=0,3 ; P B=1−PB=0,2 .

Величина Х – число нормально працюючих на протязі доби насосів, 

приймає значення: 0; 1; 2. Знайдемо відповідні ймовірності.

P x=0=P AB=P A⋅P B=0,3⋅0,2=0,06 ;

86

P x=1=P ABA B=P A⋅P BP A⋅P B=

=0,3⋅0,80,7⋅0,2=0,240,14=0,38 ;

P x=2=P A B=P A⋅P B=0,7⋅0,8=0,56.

Ряд розподілу:

xi

0 1 2

pi

0,06 0,38 0,56

Далі   працюємо   як   з   дискретною   величиною,   заданою   у   вигляді 

таблиці розподілу (див. попередній приклад).

Завдання  4.    Задана  функція  розподілу  ймовірностей  абсолютно 

неперервної випадкової величини Х:

F x ={0,при xa ;

k x−a 2 , при a xb ;

1,при xb.

Необхідно:   1)   знайти   коефіцієнт  k  і   щільність   розподілу 

ймовірностей;   2)   побудувати   графіки   функцій   розподілу 

ймовірностей   і   щільності   розподілу   ймовірностей;   3)   знайти 

математичне   сподівання,   дисперсію   і   середнє   квадратичне 

відхилення випадкової величини Х; 4) знайти ймовірність попадання 

випадкової  величини  Х  в   інтервал   (   , )  та   зобразити  цю 

ймовірність на графіках функції розподілу ймовірностей і щільності 

розподілу ймовірностей. 

 a = 2;       b = 8;      = 4;         = 10.  

Розв'язання.  При заданих значеннях параметрів функція 

87

розподілу має вид:  F x ={0,при x2 ;

k x−22 , при 2x8 ;

1,при x8.

1) Функція F(x) – неперервна і F(8) = 1, звідки 36k = 1 і  k=1/36. 

Отже:              

  F x ={0,при x2 ;

1

36⋅x−22 , при 2 x8 ;

1,при x8.

Щільність розподілу:

  px =F ' x={0,при x2 ;

2

36⋅x−2 , при 2x8 ;

0,при x8.

      

2) Будуємо графіки функції розподілу і щільності розподілу:

88

0 2 4 8

x

F x 1

1/9

}F=8 /9

3) Математичне сподівання:

M X =∫−∞

∞

x p x dx=∫2

82

36⋅x 2−2 x dx=

2

36⋅ x

3

3−2

x2

2 ∣28==

2

36⋅ 512

3−64−

8

34 =6 .

Дисперсія:

D X =∫−∞

∞

x2p x dx−M 2X =∫

2

82

36⋅x3−2 x

2dx−36=

=2

36⋅ x

4

4−2

x3

3 ∣28−36=2

36⋅ 8

4

4−

2⋅83

3−

16

4

16

3 −36=2 .

Середнє квадратичне відхилення: 

  X =DX =2≈1,41 .

4) Ймовірність попадання в заданий інтервал:

      Px=F −F .

  P4x10=F 10 −F 4=1−4

36=

32

36=

8

9≈0,89 .    

Завдання  5.  Завод  залізобетонних  виробів  виготовляє  будівельні 

блоки.  Можна   вважати,  що  маса  блока   є   нормально  розподілена 

випадкова   величина  Х  з   математичним   сподіванням   (проектною 

89

0 2 4 8

x

px 1/3

S=8

9

масою)  а  кг  і  середнім  квадратичним  відхиленням   кг.  Знайти 

ймовірності   того,  що  маса  навмання   взятого  блока  буде:   1)   зна­

ходитись в межах від    до  кг; 2) відхилятись від проектної 

маси по абсолютній величині менше ніж на  кг.

 a = 220;  = 3;  = 215;  = 224;       = 7.

Розв'язання

1) Ймовірність попадання нормально розподіленої величини в 

заданий інтервал:

     Px=Ф −a

−Ф −a

.  

P215x224=Ф 224−220

3 −Ф 215−220

3 =Ф 1,33−

−Ф −1,67=Ф 1,33Ф 1,67=0,4080,453=0,861 .

2) Ймовірність заданого відхилення:   

  P∣X−a∣=2Ф .  

    P∣X−220∣7=2Ф 73 =2Ф 2,33=2⋅0,490=0,980 .

Частина ІІ “Основи математичної статистики” 

Ця частина контрольної роботи складається з двох завдань.

Завдання 1.   За  даними  спостережних  значень  (з   додатку № 5 ) 

за допомогою таблиці випадкових чисел виконати вибірку об'єму  n, 

провести групування статистичних даних, записати відповідний ряд 

розподілу,   побудувати     полігон   і   гістограму,   знайти   числові 

90

характеристики   вибірки   випадкової   величини  Х,    провести   їх 

статистичні точкові та інтервальні оцінки при даній надійності  і   перевірити   за   допомогою   критерію   Пірсона   гіпотезу   про 

нормальний  розподіл  випадкової  величини  Х  при  рівні  значущості 

n=50 ; =0,999 ; =0,05 .

Таблиця випадкових чисел. Варіант 31.

0628 9614 6843 9279 8716

9341 2011 0342 0771 4767

6686 8863 7117 7258 0526

0157 5163 9560 8629 3286

7445 5703 9662 4178 9437

5843 5276 9417 2996 5672

2343 7973 0515 4073 8030

3638 7886 4149 5903 2553

6221 8607 1209 7075 4784

6282 3929 2889 5383 0161

91

Додаток №5  ( навчальний). Дані спостережень за величиною Х

№ п/п Х № п/п Х № п/п Х № п/п Х

00 6,1 25 6,3 50 7,6 75 12,0

01 8,5 26 9,9 51 8,4 76 12,8

02 10,4 27 13,7 52 10,2 77 7,8

03 11,8 28 7,2 53 9,8 78 10,9

04 12,6 29 9,7 54 10,8 79 13,4

05 13,4 30 13,2 55 12,2 80 16.8

06 9,4 31 10,6 56 11,7 81 17,2

07 11,1 32 11,3 57 14,8 82 12,5

08 17,1 33 12,1 58 15,2 83 16,2

09 12,5 34 14,9 59 15,3 84 11,1

10 17,5 35 13,7 60 14,8 85 9,4

11 17,1 36 12,5 61 16,2 86 13,4

12 13,4 37 11,9 62 16,8 87 11,5

13 10,9 38 8,2 63 16,6 88 14,1

14 9,8 39 8,7 64 12,4 89 12,7

15 12,8 40 6,8 65 13,1 90 11,4

16 10,5 41 15,7 66 14,3 91 13,9

17 13,7 42 14,5 67 6,0 92 12,5

18 17,4 43 12,6 68 6,5 93 14,5

19 10,5 44 13,9 69 15,9 94 15,5

20 15,9 45 11,4 70 9,6 95 8,7

21 9,6 46 12,8 71 15,8 96 8,2

22 15,9 47 14,1 72 10,5 97 11,8

23 13,0 48 11,5 73 16,4 98 12,5

24 10,8 49 13,6 74 13,7 99 15,7

92

Завдання 2 

1) Знайти вибіркові середні, вибіркові дисперсії , вибіркові середні 

квадратичні   відхилення,   вибірковий   коефіцієнт   кореляції   та 

вибіркове   рівняння   прямої   лінії   регресії  У  на  Х,     а   також   по 

значенню коефіцієнта кореляції оцінити тісноту зв'язку між  У та  Х 

згідно кореляційної таблиці.

2)   Провести   статистичні   оцінки   генеральних   середніх,   гене­

рального   середнього   квадратичного   відхилення   та   генерального 

коефіцієнта кореляції.

        У

Х

12 16 20 24 28

20 2 4 3

25 6 6 35

30 2 14

35 8 7

40 10

45 3

Розв'язання

Завдання   1.  За   допомогою   таблиці   випадкових   чисел   робимо 

простий  випадковий  відбір  50 різних  значень  величини  Х  (простий 

випадковий відбір, вибірка без повернення, додаток 5) . Для цього 

спочатку   використовуємо   лише   перші   дві   цифри   кожного 

чотиризначного випадкового числа таблиці, стежачи, щоб одержані 

двозначні   числа   не   повторювались,   а   потім   при   необхідності 

переходимо знову на початок таблиці і використовуємо дві останні 

цифри. Відібрані значення заносимо в таблицю.

93

№п.п №п.п Значення №п.п №п.п Значення

Вибірка Ген. сукуп. Х Вибірка Ген. сукуп. Х

1 6 9,4 26 41 15,7

2 93 14,5 27 12 13,4

3 66 14,3 28 28 7,2

4 1 8,5 29 92 12,5

5 74 13,7 30 7 11,1

6 58 15,2 31 72 10,5

7 23 13,0 32 29 9,7

8 36 12,5 33 40 6,8

9 62 16,8 34 59 15,3

10 96 8,2 35 70 9,6

11 20 15,9 36 53 9,8

12 88 14,1 37 87 11,5

13 51 8,4 38 47 14,1

14 57 14,8 39 32 11,3

15 52 10,2 40 56 11,7

16 79 13,4 41 80 16,8

17 78 10,9 42 25 6,3

18 86 13,4 43 45 11,4

19 39 8,7 44 43 12,6

20 68 6,5 45 38 8,2

21 3 11,8 46 21 9,6

22 71 15,8 47 82 12,5

23 95 8,7 48 14 9,8

24 94 15,5 49 11 17,1

25 5 13,4 50 63 16,6

94

Знаходимо найбільше і найменше значення варіант:

xmax=17,1 ;      x

min=6,3.

Число інтервалів  k знаходиться за емпіричною формулою:

k≥13,22 lg n , де n — об'єм вибірки.

k≥13,22 lg 50≈6,47 . Приймаємо  k=7 .

Довжина інтервалу h визначається за формулою:

h≈x

max− x

min

k−1=

17,1−6,3

7−1≈1,8 . Приймаємо  h=1,8 .

Початок першого інтервалу:  a1≈x

min−

1

2h=6,3−

0,9

2=5,4.

Кінець першого інтервалу:  b1=a

1h=5,41,8=7,2 . Для 

наступних інтервалів:

  ai1=a

ih=a

1i⋅h; b

i1=a

i1h , i=1, ... , k−1

Визначаємо всі інтервали і проводимо групування даних 

спостережень.

X (5,4;

    7,2)

(7,2;

   9,0)

(9,0;

   10,8)

(10,8;

   12,6)

(12,6;

   14,4)

(14,4;

  16,2)

(16,2;

  18,0)

/// /////// //////// ////////// ////////// //////// ////

 Підраховуємо кількість значень випадкової величини, що 

потрапила в кожний інтервал. Перевіряємо, чи  xmin=6,3 і 

xmax=17,1 і потрапили відповідно в перший і останній інтервали. 

Умова виконана.

     Знаходимо середини інтервалів  xi=a

ib

i/2  і складаємо 

відповідну таблицю, яка включає в себе  емпіричний ряд розподілу:

95

№з/п 1 2 3 4 5 6 7

Інт. (5,4;

    7,2)

(7,2;

   9,0)

(9,0;

   10,8)

(10,8;

   12,6)

(12,6;

   14,4)

(14,4;

  16,2)

(16,2;

  18,0)

xi

6,3 8,1 9,9 11,7 13,5 15,3 17,1

ni

3 7 8 10 10 8 4

niнак. 

3 10 18 28 38 46 50

Накопичені частоти  niнак. =∑

j=1

i

nj. Останнє значення повинно 

дорівнювати об'єму вибірки, тобто 50, що виконано.

Графічне  зображення статистичного ряду виконується  з допомогою 

полігону і гістограми.   

Полігон

                          

96

0

5

10

15

20

ni

xi

6,3 8,1 9,9 11,7 13,5 15,3 17,1

 Гістограма

Знаходимо числові характеристики вибірки.

Вибіркова середня:

xв=1

n∑i=1

k

ni⋅x

i=

=1

503⋅6,37⋅8,18⋅9,910⋅11,710⋅13,58⋅15,34⋅17,1=

=11,95 .

 

Вибіркова дисперсія 

Dв=

1

n∑i=1

k

ni⋅x

i− xв

2=1

n∑i=1

k

nixi

2− xв2.

Dв=

1

503⋅6,3

27⋅8,128⋅9,9

210⋅11,7210⋅13,5

28⋅15,32

1

504⋅17,1

2−11,952=9,121 .

97

ni/h

5/ h

10 /h

15/h

20 /h

0 5,4 7,2 9,0 10,8 12,6 14,4 16,2 18,0

x

Вибіркове   середнє   квадратичне   відхилення 

в=Dв

=9,121=3,02 .

Точкові оцінки

Генеральне середнє:  x= xв=11,95 .

Незміщеною оцінкою генеральної дисперсії є виправлена вибіркова 

дисперсія:

s2=

n

n−1D

в=

50

49⋅9,121=9,3072 .

Для   оцінки   середнього   квадратичного   відхилення 

використовується виправлена дисперсія:

s=s2=9,3072≈3,05 .

Інтервальні оцінки

Інтервал   I= a− ; a називається  інтервалом  надійності. 

Рівнем значущості такого інтервалу називають число  =1− .

 Надійний інтервал для генерального середнього:

x−ts

naxt

s

n,

де  s  — виправлене середнє квадратичне відхилення;    t  по 

надійності   =0,999 і   об'єму   вибірки n=50 знаходиться   по 

таблиці (стор. 57), t=3,502 . Отже:

11,95−3,502⋅3,05

50a11,95

3,502⋅3,05

50;

10,44a13,46 .

98

Для  оцінки  середнього  квадратичного  відхилення нормально 

розподіленої величини   з надійністю по виправленому вибірко­

вому середньому  квадратичному   відхиленні   s   використовуєть­

ся надійний інтервал:    

s 1−qs1q ,  при  q < 1; 0s 1q ,  при q >1, 

де    q  знаходиться  по  таблиці   (стор.   58)   згідно   n=50     і

=0,999 ,   q=0,43 . Отже

3,05⋅1−0,433,05⋅10,43 ;  1,734,35 .

Перевірка гіпотези про нормальний розподіл

Число степенів свободи  f=k−3=7−3=4.

Знаходимо для кожного інтервалу  теоретичні частоти  ni' : 

  ni'=n⋅ bi

−x

в− ai

−x

в.

n1'=50⋅ 7,2−11,95

3,02 − 5,4−11,95

3,02 ==50 −1,57−−2,17=50 −1,572,17=

=50 −0,4420,485=50⋅0,043=2,15 ;

n2'=50⋅ 9,0−11,95

3,02 − 7,2−11,95

3,02 ==50 −0,98−−1,57 =50 −0,981,57 =

=50 −0,3370,442=50⋅0,105=5,25 ;

99

n3'=50⋅ 10,8−11,95

3,02 − 9,0−11,95

3,02 ==50 −0,38−−0,98=50 −0,380,98=

=50−0,1480,337=50⋅0,189=9,45 ;

n4'=50⋅ 12,6−11,95

3,02 − 10,8−11,95

3,02 ==50 0,22 −−0,38 =50 0,220,38 =

=50 0,0870,148=50⋅0,235=11,75 ;

n5'=50⋅ 14,4−11,95

3,02 − 12,6−11,95

3,02 ==50 0,81−0,22 =

=50 0,291−0,087=50⋅0,204=10,20 ;

n6'=50⋅ 16,2−11,95

3,02 − 14,4−11,95

3,02 ==50 1,41−0,81 =

=50 0,421−0,291=50⋅0,130=6,50 ;

n7'=50⋅ 18,0−11,95

3,02 − 16,2−11,95

3,02 ==50 2,00 −1,41 =

=50 0,477−0,421=50⋅0,056=2,80 .

100

Результати обчислень заносимо в таблицю:

№ п/п 1 2 3 4 5 6 7

ni

3 7 8 10 10 8 4

ni' 2,15 5,25 9,45 11,75 10,20 6,50 2,80

ni—n

i' 2

ni'

0,34 0,58 0,22 0,26 0,00 0,35 0,51

На  координатній  площині   з   графіком  полігона   наносимо   точки 

xi;n

i' , (i=1,...7) і будуємо криву Гауса.

Знаходимо  сп

2 =∑i=1

k ni−n

i' 2

ni'

≈2,26 .

По таблиці критичних значень при числі степенів свободи  f=4

і   заданому   в   завданні   рівні   значущості     =0,05 заходимо 

2

кр =9,5 .

Так як  сп

2 кр

2, то дані спостережень не суперечать гіпотезі 

про нормальний розподіл величини Х. 

 

101

Завдання 2. Розв'язання

Використовуючи задану таблицю будуємо наступну таблицю:

        У

Х

12 16 20 24 28 nx

20 2 4 3 9

25 6 6 35 47

30 2 14 16

35 8 7 15

40 10 10

45 3 3

ny

2 10 11 57 20 100

По   цій   таблиці   знаходимо   числові   характеристики   двомірної 

випадкової величини.

Вибіркові   середні:

x=1

n∑i=1

6

nxi⋅x

i=

=1

100⋅9⋅2047⋅2516⋅3015⋅3510⋅403⋅45=28,95 ;

y=1

n∑j=1

5

nyj⋅y

j=

=1

100⋅2⋅1210⋅1611⋅2057⋅2420⋅28=23,32 .

102

x y=1

n∑i=1

k

∑j=1

m

ni jxiyj,

де:        ni j

 частота появи пари  xi, y

j  .

100⋅xy=2⋅20⋅124⋅20⋅163⋅20⋅206⋅25⋅166⋅25⋅20

35⋅25⋅242⋅30⋅2014⋅30⋅248⋅35⋅247⋅35⋅28

10⋅40⋅283⋅45⋅28=69200.

Звідки   x y=692 .

Вибіркові дисперсії:

Dxв=

1

n∑i=1

k

nxi⋅x

i−x

2; D

yв=

1

n∑j=1

m

nyj⋅y

j−y

2;

або

Dxв=

1

n∑i=1

6

nxi⋅x

i

2−x 2; D

yв=

1

n∑j=1

5

nyj⋅y

j

2−y2;

Dxв=

1

100⋅9⋅20

247⋅25216⋅30

215⋅35210⋅40

23⋅452−

−28,952=40,15 ;

Dyв=

1

100⋅2⋅12

210⋅16211⋅20

257⋅24220⋅28

2−

−23,32 2=13,78.

Середні квадратичні відхилення:

xв=Dxв

2 =6,34 ; yв=Dyв

2 =3,71 .

Шукаємо вибірковий коефіцієнт кореляції між X і  Y:

103

rв= x y−x⋅y

Sx⋅S

y

=692−28,95⋅23,32

6,34⋅3,71=0,72 .

Вибіркове рівняння прямої лінії регресії Y на X має вид

yx−y=rв⋅

yв

xв

⋅ x−x ; yx−23,32=0,72⋅3,71

6,34⋅x−28,95 ;

yx=23,320,42 x−12,19 ; yx=0,42 x11,13.

Так   як   вибірковий   коефіцієнт   кореляції   rв=0,72 ,   і   врахо­

вуючи,  що  при       ∣r в∣0,5   зв'язок слабкий   ,  а при     ∣r в∣0,8  

зв'язок   сильний,   робимо   висновок,  що   зв'язок  між   випадковими 

величинами   середній.

Проведемо оцінку параметрів.

А. Точкові оцінки

Незміщеними оцінками генеральних середніх є вибіркові середні

x=28,95 ; y=23,32 .

Незміщеними оцінками генеральних дисперсій є виправлені вибір­

кові дисперсії:

sx

2=n

n−1D

xв=

100

99⋅40,15=40,56 ;

sy

2=n

n−1D

yв=

100

99⋅13,78=13,92 ;

Для оцінок середніх квадратичних відхилень використовуються 

виправлені дисперсії:

sx=s x2=6,37 ; ; s

y=sy2=3,73 .

104

Точковою оцінкою коефіцієнта кореляції є вибірковий коефіцієнт 

кореляції:

rв=0,72 .

Б. Надійні інтервали

 Надійний інтервали для генеральних середніх:

x−tsx

n a

x xt

sx

n, y−t

sy

n a

y yt

sy

n,

де     sx

,   sy

—   виправлені   середні  квадратичні   відхилення; 

t   по   надійності   =0,999 і   об'єму   вибірки n=100

знаходиться по таблиці (стор. 57), t=3,392 . Отже:

28,95−3,392⋅6,37

100a

x28,95

3,392⋅6,37

100;

26,79ax31,11.

23,32−3,392⋅3,73

100a

y23,32

3,392⋅3,73

100;

22,05ay24,59 .

Для оцінки середнього квадратичного відхилення x

нормально 

розподіленої величини   з надійністю по виправленому вибірко­

вому  середньому  квадратичному    відхиленні   sx

       використо­

вується надійний інтервал     

sx1−q

xs

x1q ,  при  q < 1 ;

105

0xs

x1q ,  при q > 1, 

де    q  знаходиться  по   таблиці   (стор.   58),   так  як   n=100     і

=0,999 , то   q=0,27 . Аналогічна оцінка проводиться і для 

середнього квадратичного відхилення величини  Y. Отже

6,37⋅1−0,27x6,37⋅10,27 ;  4,65

x8,09 .

3,73⋅1−0,27y3,73⋅10,27 ;  2,72

y4,74 .

Знаходимо   середню   квадратичну   похибку   для   генерального 

коефіцієнта кореляції, враховуючи, що  n≥50 :

r=

1−r в2

n=

1−0,722

100=0,048.

Інтервальною   оцінкою   генерального     коефіцієнта   кореляції   є 

інтервал надійності

rв−t

rr

Гr

в t

r.

Значення t для заданої надійності  =0,999  знаходять  з умови 

t =

2 по таблиці функції Лапласа (стор.56) : 

t =

2=

0,999

2=0, 4995 ;  t = 3,34.

0,72−3,34⋅0,048rГ0,723,34⋅0,048 ;

0,56rГ0,88 .

106

6. Питання для підготовки до захисту контрольної роботи

 

  Питання   для   підготовки   до  захисту   контрольної   роботи 

складаються з теоретичних питань до змістових модулів №1, №2.

Розділ 1 . “Основи теорії ймовірностей”

1. Масові випадкові явища. Предмет теорії ймовірностей. Події та 

їх класифікація. Алгебра подій.

2.  Частоти   і   їх   властивості.  Ймовірність   події.  Аксіоми   теорії 

ймовірностей.

3.   Класичний     і   статистичний   методи   визначення   базових 

ймовірностей. Елементи комбінаторики.

4.   Властивості   ймовірностей   (ймовірність   появи   протилежної 

події,   ймовірність   появи   неможливої   події,   теорема   додавання 

ймовірностей  будь  яких  двох  подій,  умовна  ймовірність,  теореми 

добутку ймовірностей для залежних і незалежних подій).

5. Формули повної ймовірності і формули Байєса.

6.   Послідовність   незалежних   випробувань.   Схема   і   формула 

Бернуллі. Найімовірніша частота появи події в незалежних пробах. 

7. Граничні теореми  Лапласа і Пуассона. 

8. Поняття випадкової величини. Дискретні і неперервні випадкові 

величини. Функція розподілу і її властивості.

9.  Розподіл  дискретних  випадкових  величин.    Типові  розподіли: 

біноміальний і пуассонівський. 

10.  Неперервний   і   абсолютно   неперервний   розподіли.  Функція 

розподілу і щільність розподілу абсолютно неперервних випадкових 

величин.    Властивості  щільності  розподілу.  Ймовірність  попадання 

абсолютно неперервної випадкової величини в заданий інтервал. 

11. Типові  розподіли неперервних випадкових величин: рівномір­

ний, нормальний. Крива Гауса. 

12.   Ймовірність   попадання   в   заданий   інтервал   і   ймовірність 

заданого  відхилення  для  нормально  розподіленої  випадкової  вели­

107

чини. Правило трьох сигм. 

13. Математичне сподівання і дисперсія випадкових величин та їх 

властивості. 

14. Математичне  сподівання   і  дисперсія  при  типових  розподілах 

випадкових  величин   :    дискретних   (біноміальному,  пуассонівсько­

му),  неперервних (рівномірному, нормальному).

15. Початкові і центральні моменти. 

16. Нерівність Чебишова. Закон великих чисел для послідовності 

незалежних   випадкових   величин.  Теореми  Чебишова   і  Бернуллі. 

Поняття про центральну граничну теорему.   

Розділ 2.  “Основи математичної статистики”

1. Генеральна   сукупність   і   вибірка.   Репрезентативність   вибірки. 

Задачі математичної статистики.

2. Групування   вибіркових   даних.   Емпіричні   ряди   розподілу,   їх 

графічне зображення. 

3. Числові  характеристики  одномірної вибірки (вибіркові середні, 

мода, медіана, дисперсія, середнє квадратичне відхилення).

4. Статистичні   оцінки   параметрів   розподілу.   Вимоги   до 

статистичних   оцінок.   Точкові   оцінки.   Інтервальні   оцінки. 

Надійний   інтервал.   Знаходження   надійного   інтервалу   для 

математичного сподівання.

5. Статистичні  гіпотези.  Перевірка статистичних  гіпотез.  Поняття 

про критерії узгодження. Критерій Пірсона.

6. Елементи   теорії   кореляції.   Системи   випадкових   величин. 

Функція і щільність розподілу. Числові характеристики системи 

двох випадкових величин. Коефіцієнт кореляції. 

7. Регресія.   Вибірковий   коефіцієнт   кореляції.   Емпірична   лінія 

регресії і вибіркове рівняння прямої регресії. 

         

108

7. Зразок білету для захисту контрольної роботи

   Білет  для   захисту  контрольної  роботи   складається   з  чотирьох 

питань:   двох   теоретичних   і   двох   прикладів   або   задач.     Кожне 

питання  оцінюється  в  10 балів.  Теоретичні  питання    ті  самі,  що  й 

теоретичні питання для підготовки до змістових модулів, тобто до 

розділів:         “Основи теорії ймовірностей” і “Основи математичної 

статистики”.    Всього  на  підсумковому  модулі  можна  одержати  40 

балів  максимально.    Наведемо   приклад     білету,   кожне   завдання 

якого оцінюється в 10 балів.

Білет № 31  (зразок)

1. Серії випробувань. Частота події. Властивості частот.

2.  Розподіл   дискретних   випадкових   величин.    Типові   розподіли: 

біноміальний і пуассонівський. 

 3. Прилад складається з трьох вузлів. Ймовірність безвідмовної роботи 

на протязі року першого вузла становить 0,8; другого – 0,7; третього – 

0,9. Вузли виходять з ладу незалежно один від одного. Яка ймовірність, 

що на протязі року вийдуть з ладу не більше двох вузлів?

4.   Завод   залізобетонних   виробів   виготовляє   будівельні   блоки. 

Можна вважати, що маса блока є нормально розподілена випадкова 

величина Х з математичним сподіванням (проектною масою) а кг і 

середнім  квадратичним  відхиленням   кг.  Знайти  ймовірності 

того, що маса навмання взятого блока буде: 1) знаходитись в межах 

від     до   кг;   2)   відхилятись   від   проектної   маси   по 

абсолютній величині менше ніж на  кг.

a = 600; = 10; = 580; = 615; = 15.

109

8. Завдання для підготовки до  захисту контрольної роботи

  1.  Прилад  складається  з  трьох  вузлів.  Ймовірність  безвідмовної 

роботи  на  протязі  року  першого  вузла  становить  0,6   ;  другого  – 

0,7  ;    третього  –  0,8.  Вузли  виходять  з  ладу  незалежно  один  від 

одного.  Яка  ймовірність,  що  на  протязі  року  вийдуть   з  ладу  не 

більше двох вузлів?                                                           

 Відп.    0,664 .

2. Гральний кубик підкинуто два рази. Знайти ймовірність того, що 

сума очок, що випали, дорівнює 6. 

 Відп.    5/36 .

3.    В   будівельній   бригаді   18  юнаків   і   7   дівчат.  По   табельних 

номерах навмання відбирають 6 будівельників. Яка ймовірність, що 

серед них буде 4 юнака?

 Відп.    0,363 .

 4. Студент здає іспит по трьох розділах програми, кожний з яких 

містить по 20 питань. Студент знає 18 питань з першого розділу, 16 

питань  – з  другого   і  12 питань  з  третього  розділу  програми.  Яка 

ймовірність здати іспит, якщо для цього потрібно вірно відповісти 

не менше, ніж на два питання?                                                           

  Відп.   0,876 . 

  5.  Відділ   технічного  контролю  перевіряє  партію   з   10  деталей. 

Ймовірність   того,  що   деталь   стандартна,   дорівнює   0,9.   Знайти 

найімовірніше число деталей, які будуть визнані стандартними.

 Відп.    9 .

 6.  Знайти ймовірність того, що подія А відбудеться 86 разів у 100 

випробуваннях,   якщо   ймовірність   появи   цієї   події   в   кожному 

випробуванні дорівнює 0,9.

 Відп.    0,055 .

7.  Підприємство  випускає  в  середньому   80% продукції  першого 

сорту. Знайти ймовірність того, що в партії із 1000 виробів число 

першосортних знаходиться між 780 і 810.                                         

 Відп.    0,727 .

110

8. Для постачання води на деяке будівництво використовують два 

незалежно   працюючих   трубопроводи.   Ймовірність   розриву 

трубопроводу  внаслідок  гідравлічного  удару  на  протязі  кварталу 

складає   для  першого   з   них   0,1;   для  другого   –   0,2.  Х  –   число 

розірваних   на   протязі   кварталу   трубопроводів.   Написати   ряд 

розподілу величини Х. Побудувати багатокутник розподілу. 

 Відп.              

    xi

0 1 2

    pi

0,72 0,26 0,02

                 

9.  Два  рівносильних  шахіста  грають  у  шахи.  Що  більш  ймовірно 

виграти: одну партію з двох чи три партії з шести?

 Відп.   Одну з двох .

 10. Монету підкидають 3 рази. Знайти закон розподілу  випадкової 

величини  Х  –   числа   появ   герба.   Побудувати   багатокутник 

розподілу.  Знайти  математичне   сподівання,  дисперсію   і   середнє 

квадратичне відхилення цієї величини. 

 Відп.   M(X) =3/2;  D(X) =3/4;  (X) = 3/2 .

  11. Гральний  кубик    підкидають  3 рази.  Знайти  закон  розподілу 

випадкової величини  Х – числа появ “4. Побудувати багатокутник 

розподілу.  Знайти  математичне   сподівання,  дисперсію   і   середнє 

квадратичне відхилення цієї величини. 

         Відп.    M(X) =1/2;  D(X) =1/12;  (X) = 1/23 . 

12.  Випадкова величина Х задана функцією розподілу:

                                  F x ={0,при x3 ;

1

25x−32 ,при3 x8 ;

1,при x8.

 

111

Знайти щільність розподілу і побудувати графіки функції розподілу 

та щільності розподілу.

13. Випадкова величина Х задана функцією розподілу:

                                F x ={0,при x3 ;

1

25x−32 , при3 x8 ;

1,при x8.

Знайти ймовірність попадання в інтервал (5;9). 

 Відп.   0,84 . 

14.   Випадкова величина Х задана функцією розподілу:

                                F x ={0,при x3 ;

1

25x−32 , при3 x8 ;

1,при x8.

 Знайти математичне сподівання та дисперсію цієї величини.

 Відп.     M(X) =6,33;  D(X) =1,39 . 

    15.  Знайти  математичне   сподівання,  дисперсію   та  побудувати 

багатокутник розподілу дискретної випадкової величини   Х: 

                  

    xi

­2 4 6

    pi

0,3 0,2 0,5

                                                      

 Відп.       M(X) =3,2;  D(X) =12,16  . 

  16.       Знайти   математичне   сподівання,   дисперсію   і   середнє 

квадратичне  відхилення  випадкової  величини  Х,  розподіленої  по 

закону рівномірної щільності у інтервалі (4;12).

     Відп.     M(X) =8 ;  D(X) =5,33;  (X) =2,31 .

112

  17.  Математичне   сподівання   і   середнє  квадратичне   відхилення 

нормально розподіленої випадкової величини Х відповідно рівні 8 і 

Знайти  P4X14.                                                         

     Відп.    0,998 .

 18.     Випадкова величина  Х розподілена за нормальним законом з 

математичним   сподіванням  М(Х)=   2   і   дисперсією      D(Х)=1/4. 

Записати   аналітичний   вираз   щільності   розподілу   і   побудувати 

криву Гауса.                                                    

    Відп.     px =2/ e−2 x−2

2

19.   Випадкова   величина  Х  розподілена   нормально.   Середнє 

квадратичне   відхилення   цієї   величини   дорівнює   0,2.   Знайти 

ймовірність   того,   що   відхилення   випадкової   величини   від   її 

математичного сподівання по модулю менше 0,5.

 Відп.    0,988 .

20.      Випадкова   величина  Х  розподілена   нормально   з   середнім 

квадратичним відхиленням    =3 і математичним сподіванням 

M=4. Знайти інтервал її практично можливих значень і побудувати 

криву Гауса.                                                                  

 Відп.    (­2 ; 13) .

21.  Завод   залізобетонних   виробів   виготовляє   будівельні   блоки. 

Можна вважати, що маса блока є нормально розподілена випадкова 

величина  Х з математичним сподіванням (проектною масою) а кг і 

середнім  квадратичним  відхиленням   кг.  Знайти  ймовірності 

того, що маса навмання взятого блока буде: 1) знаходитись в межах 

від     до   кг;   2)   відхилятись   від   проектної   маси   по 

абсолютній величині менше ніж на  кг.

a = 600; = 10; = 580; = 615; = 15.

       Відп.   1) 0,910 ; 2) 0,866 .

22.   Під   час   проведення   ймовірнісного   експерименту   подія  А 

113

відбулася всі  10 разів  в 10 випробуваннях. Чи можливо на основі 

цього  зробити висновок, що подія А вірогідна?

Відп.  a)  Так;    б)  ні. 

23. Чи може математичне сподівання бути від'ємним? 

Відп.  a)  Так;    б)  ні. 

24. Чи може дисперсія бути від'ємною?

Відп.  a)  Так;    б)  ні. 

9. Методичне забезпечення

1.  Методические  указания  и  задания  к  выполнению  типового 

расчёта   по   высшей   математике.   Раздел   “Основы   мате­

матической статистики” , 085­56, Сачук Н.И. Ровно. 1983 г.

2.   Антонюк   Р.А:   “Контрольна   робота   з     математичної 

статистики”. Рівне, НУВГП, 2006 р.

3.   085­93   Методичні   вказівки   і   завдання     до   типового 

розрахунку з математичної  статистики  для студентів ІІ курсу 

спеціальності 7.050107  Зарівняк І.С. Рівне: УДАВГ, 1997 р.

114

10. Рекомендована література

10.1. Основна література

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. 

–М.:Наука., 1985. Т.1.2.

  2.  Гмурман  В.Е.    Теория  вероятностей  и  математическая  ста­

тистика. ­М.: Наука, 1985.

3.   Гмурман   В.Е.   Руководство   к   решению   задач   по   теории 

вероятностей  и  математической  статистике.  –М.:  Высшая  школа, 

1979.

10.2.  Додаткова література

1. Кудрявцев   Б.А.,   Демидович   Б.П.   Краткий   курс   высшей 

математики. –М.: Наука, 1978.

2. Данко   П.Е.,   Попов   А.Г.,   Кожевникова   Т.Я.   Высшая 

математика   в  упражнениях   и   задачах.   ­–М.:  Высшая  школа, 

1980. Ч.1,2

11. Інформаційні ресурси

1.   Освітньо­професійна   програма   вищої   освіти   за   напрямом 

6.060101 «Будівництво», Київ, 2004 р.

2. Бібліотеки:

* НУВГП­33000 м.Рівне, вул. Приходька, 75.

* Обласна наукова – 33000, м.Рівне, майдан Короленка, 6.

• Міська бібліотека 33000, м.Рівне, вул Гагаріна,67, 

тел.24­12­47

115

ЗМІСТ

  1   Зміст навчальної дисципліни................................................    3

  1.1 Структура   програми   курсу   “Основи   теорії 

ймовірностей та математичної статистики” .....................

   

   3

  1.2 Робоча програма................................................................... 4

Практичні заняття................................................................. 6

 1.3 Структура залікового кредиту.............................................  7

  1.4 Розподіл балів,  що присвоюються студентам....................  8

2 Змістовий модуль 1 “Основи теорії ймовірностей ”....  8

2.1 Теоретичні питання до змістового модуля 1  ................   8

2.2 Питання для самоперевірки.................................................  9

2.3 Короткі теоретичні відомості. Довідковий матеріал......... 12

3 Змістовий модуль 2 “Основи математичної статисти­

ки”............................................................................................ 38

3.1 Теоретичні питання до змістового модуля 2  ................  38

3.2 Питання для самоперевірки................................................. 39

3.3 Короткі теоретичні відомості. Довідковий матеріал......... 40

4 Методичні вказівки і завдання  до  контрольної роботи з 

теорії ймовірностей та математичної статистики...............   60

  4.1 Завдання  до  контрольної роботи з теорії ймовірностей..   60

 4.2 Завдання  до  контрольної роботи з математичної ста­

тистики.....................................................................................   76

116

 5 Методичні   поради   до   виконання   контрольної   роботи 

студентами   заочної  форми   навчання.  Зразок   виконання 

типової контрольної роботи..................................................  82

 6 Питання для підготовки до захисту контрольної роботи..  107

 7 Зразок білету для захисту контрольної роботи................. 109

 8 Завдання   для   підготовки   до   захисту   контрольної 

роботи....................................................................................... 110

 9 Методичне забезпечення....................................................... 114

10 Рекомендована література ................................................... 115

11 Інформаційні ресурси........................................................... 115

117