231

Розділ 5. ЕЛЕМЕНТИ МАТЕМАТИЧНОЇ ФІЗИКИ

Дослідження різних явищ в електродинаміці, теорії пружності, гідродина-міці та інших галузях науки і техніки приводить до математичних моделей реа-льних процесів, які мають форму диференціальних рівнянь з частинними похі-дними чи деяких споріднених рівнянь (наприклад, інтегральних, інтегро-диференціальних, скінченно-різницевих), що розглядаються разом з деякими додатковими співвідношеннями (наприклад, початковими і граничними умова-ми). Сучасна математична фізика вивчає не лише методи розв'язання таких рівнянь, а й питання коректності постановки відповідних задач. Найбільш зага-льні результати одержані для лінійних диференціальних рівнянь другого по-рядку з частинними похідними, які традиційно називають рівняннями мате-матичної фізики.

У даному розділі представлені основні типи задач математичної фізики та найбільш уживані методи їх розв’язання. Значну увагу приділено фізичному змісту розглянутих задач, фізичній інтерпретації їх розв’язків. Розглянуто кла-сичні методи – характеристик, відокремлення змінних, перетворення Лапласа, які дозволяють будувати точні розв’язки важливого кола задач. Наведено коро-ткі відомості про чисельний метод скінченних різниць та сучасні нелінійні мо-делі – солітони, ударні хвилі, дисипативні структури.

5.1. Поняття про диференціальні рівняння

з частинними похідними

5.1.1. Диференціальне рівняння з частинними похідними та його розв’язок. Початкові та граничні умови. Крайові задачі.

Коректність постановки задач математичної фізики

У математичній фізиці вивчаються математичні моделі фізичних процесів, які мають форму диференціальних рівнянь з частинними похідними чи спорід-нених рівнянь або їх комбінацій. Функції багатьох змінних описують різнома-нітні явища в галузі динаміки рідини та газу, статики та динаміки дефор-мованих пружних тіл, електростатики та електродинаміки, теплопередачі та дифузії, квантової механіки та загальної теорії відносності. Їх частинні похідні відображають найважливіші фізичні величини (швидкість, прискорення, потік, струм і т. п.). Використання фізичних принципів і законів, що зв’язують вказані величини, приводить до рівнянь з частинними похідними.

Диференціальним рівнянням з частинними похідними (ДРЧП) назива-ється рівняння, яке зв’язує незалежні змінні, шукану функцію та її частинні по-хідні. Найвищий порядок похідної, що входить у диференціальне рівняння, на-зивається його порядком.

( ) 0,,,,,,,,2

2

2

2

2

=

∂∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

yx

u

y

u

x

u

y

u

x

uyxuyxF (1.1)

– загальний вигляд диференціального рівняння другого порядку з частинними похідними для функції двох незалежних змінних. Тут yx, – незалежні змінні;

232

( )yxuu ,= – шукана функція. Розв’язком диференціального рівняння з частинними похідними назива-

ється будь-яка функція, що при підстановці у диференціальне рівняння замість шуканої функції перетворює його на тотожність.

Загальний розв’язок звичайного диференціального рівняння (ЗДР) містить довільні сталі, число яких дорівнює порядку рівняння. Аналогічно, загальний розв’язок ДРЧП містить довільні функціі, число яких дорівнює порядку цього рівняння.

Розв’язок ДРЧП, який входить до складу загального розв’язку при певних фіксованих довільних функціях, називається частинним розв’язком.

Для виділення цілком певного розв’язку ДРЧП треба вказати додаткові умови.

Всі фізичні явища вивчають, починаючи з деякого моменту часу і у відпо-відних областях, що мають певні межі. Тому для однозначного зображення реа-льного процесу, крім диференціального рівняння, необхідно задати ще почат-кові умови, що відображають початковий стан процесу, а також граничні умо-ви, що вказують значення шуканої функції та її похідних на межі області ви-значення процесу.

У випадку необмеженої області D граничні умови відпадають. Задача від-шукання розв’язку ДРЧП у необмеженій області при заданих початкових умо-вах називається задачею Коші (початковою задачею).

Задача відшукання розв’язку ДРЧП в обмеженій області при заданих поча-ткових і граничних умовах називається крайовою задачею (граничною зада-чею).

Задача Коші та крайова задача формулюються для ДРЧП, які виникають при вивчені нестаціонарних процесів, що змінюються з перебігом часу. Рівнян-ня, що описують стаціонарні процеси, не містять часу t . Тому для таких рів-нянь початкові умови відсутні. Вказані ДРЧП розв’язуються тільки при гранич-них умовах.

У залежності від типу граничних умов розрізняють три типи крайових за-дач.

Задача знаходження розв’язку ДРЧП при відомих значеннях шуканої фун-кції U на межі S області D (граничні умови першого типу)

( )Sfu S = (1.2)

називається крайовою задачею Діріхле (першою крайовою задачею). Задача знаходження розв’язку ДРЧП при відомих значеннях нормальної

похідної (похідної за напрямком зовнішньої нормалі nr )

n

u

∂∂ на межі S області

D (граничні умови другого типу)

( )Sfn

u

S

=∂∂ (1.3)

називається крайовою задачею Неймана (другою крайовою задачею). Якщо на межі S області D задано (граничні умови третього (змішаного)

типу)

233

( )Sfn

uu

S

=

∂∂β+α (1.4)

то маємо третю (змішану) крайову задачу. Тут α і β - задані числа. Задача математичної фізики містить початкові та граничні умови, які на

практиці є результатом деяких вимірювань, що виконуються з певною похиб-кою. Можливі небажані ситуації, коли малі похибки в початкових та граничних умовах призводять до значних похибок у розв’язку.

Задача математичної фізики називається коректно (правильно) поставле-ною, якщо: 1) задача має розв’язок; 2) розв’язок задачі єдиний; 3) розв’язок за-дачі неперервно залежить від початкових і граничних умов (розв'язок стійкий до малих змін початкових і граничних умов).

Задача, що не задовольняє хоча б одній із вказаних умов, називається неко-ректно (неправильно) поставленою.

Приклад 1. Перевірити, чи є задана функція ( )22ln yxu += розв’язком вказа-ного рівняння

( ) 02

22 =∂∂+

∂∂+

∂∂∂+

x

uy

y

ux

yx

uyx .

Розв’язання. Знайдемо похідні:

22

2

yx

x

x

u

+=

∂∂ ;

22

2

yx

y

y

u

+=

∂∂ ; ( ) ( )222222

2 422

yx

xy

yx

yx

yx

u

+−=

+−=

∂∂∂ .

Підставимо в рівняння

( ) ( ) 022

4 2222

22222 =+

++

+

+−+

yx

xy

yx

yxyxxyyx ;

00 = - вірно. Отже, задана функція є розв’язком заданого диференціаль-ного рівняння.

Приклад 2. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння

22

32 yxyx

u −=∂∂

∂ , де ( )yxuu ,= .

Розв’язання. Зробимо заміну Vx

u =∂∂ . Тоді рівняння прийме вигляд:

232 yxy

V −=∂∂ . Інтегруючи за y , маємо

( ) ( )∫ +−=−= xCyxydyyxV 132 232 ,

де ( )xC1 – довільна функція від x . Звідси

( )xCyxyx

u1

32 +−=∂∂ .

Інтегруючи за x , маємо

( )( ) ( ) ( )∫∫ ++−=++−= dxxCxyyxyCdxxCyxyu 132

2132

( ) ( ) ( )yCxCxyyxyC 2132

2 ++−=+ ,

234

де ( )yC2 – довільна функція від y ; ( ) ( )∫= dxxCxC 11 .

Отже, шуканий розв’язок ( ) ( )yCxCxyyxu 2122 ++−= , де ( ),1 xC ( )yC2 – дові-

льні (двічі диференційовні) функції.

Приклад 3. Знайти частинний розв’язок диференціального рівняння

xxttt

u +−=∂∂

24 3 ( )0; >+∞<<∞− tx , який задовольняє початковій умові

( ) 20, xtxu t == ( )+∞<<∞− x

(задача Коші).

Розв’язання. xxttt

u +−=∂∂

24 3 . Інтегруючи по t , маємо загальний розв’язок

( ) ( ) ( )∫ ++−=++−= xCxtxttxCdtxxttu 243 24 , де ( )xC – довільна функція.

Підберемо функцію ( )xC так, щоб задовольнялась початкова умова ( ) ( ) ( ) 2

0 ;, xxCxCtxu t === .

Отже, шуканий розв’язок .224 xxtxttu ++−=

5.1.2. Класифікація лінійних диференціальних рівнянь другого порядку з частинними похідними. Основні рівняння математичної фізики

Диференціальне рівняння з частинними похідними називається лінійним, якщо воно лінійне відносно шуканої функції та всіх її частинних похідних.

FGuy

uE

x

uD

y

uC

yx

uB

x

uA =+

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂∂+

∂∂

2

22

2

2

2 (1.5)

– загальний вигляд лінійного ДРЧП другого порядку. Тут ( ) ( )yxBByxAA ,,, == , ( ) ( )yxDDyxCC ,,, == , ( )yxEE ,= , ( )yxGG ,= ,

( )yxFF ,= – задані функції, причому GEDCBA ,,,,, називаються коефіцієн-тами; F – правою частиною.

Якщо 0=F , то рівняння називається однорідним, в противному разі – не-однорідним.

Якщо коефіцієнти GFEDCBA ,,,,,, – сталі числа, то рівняння називається лінійним зі сталими коефіцієнтами.

Принцип суперпозиції: Довільна лінійна комбінація зі сталими коефіцієн-тами розв’язків лінійного однорідного ДРЧП також є розв’язком цього рівнян-ня.

Диференціальне рівняння з частинними похідними називається квазіліній-ним, якщо воно лінійне відносно всіх похідних найвищого порядку.

0,,,,22

22

2

2

=

∂∂

∂∂+

∂∂+

∂∂∂+

∂∂

y

u

x

uuyxf

y

uC

yx

uB

x

uA (1.6)

– загальний вигляд квазілінійного ДРЧП другого порядку. Ясно, що будь-яке лінійне ДРЧП є одночасно квазілінійним.

235

В залежності від знака дискримінанта ACB −=∆ 2 (1.7)

квазілінійне ДРЧП другого порядку (1.6) відноситься до одного з наступних трьох типів:

1) якщо 02 >−=∆ ACB , то рівняння гіперболічного типу, його канонічний (найпростіший) вигляд

∂∂

∂∂=

∂∂∂

y

u

x

uuyxf

yx

u,,,,

2

(1.8)

2) якщо 02 =−=∆ ACB , то рівняння параболічного типу, його канонічний вигляд

∂∂

∂∂=

∂∂

y

u

x

uuyxf

y

u,,,,

2

2

(1.9)

3) якщо 02 <−=∆ ACB , то рівняння еліптичного типу, його канонічний вигляд

∂∂

∂∂=

∂∂+

∂∂

y

u

x

uuyxf

y

u

x

u,,,,

2

2

2

2

(1.10)

Зауваження 1. Розбиття ДРЧП на гіперболічні, параболічні та еліптичні рі-вняння відповідає розбиттю фізичних процесів на три основні класи: хвильові, дифузійні та стаціонарні. Для рівнянь різних типів по-різному ставляться осно-вні задачі і часто застосовуються різні методи розв’язання.

Найважливіші рівняння математичної фізики вказаних типів: одновимірне хвильове рівняння (гіперболічний тип)

2

22

2

2

x

ua

t

u

∂∂=

∂∂ (1.11)

одновимірне рівняння теплопровідності (рівняння Фур’є) (параболічний тип)

2

22

x

ua

t

u

∂∂=

∂∂ (1.12)

двовимірне рівняння Лапласа (еліптичний тип)

02

2

2

2

=∂∂+

∂∂

y

u

x

u (1.13)

Тут a – сталий коефіцієнт. Зауваження 2. Тип розглянутих ДРЧП (1.5), (1.6) визначається тільки кое-

фіцієнтами при других похідних і не залежить від інших складових. Якщо кое-фіцієнти CBA ,, сталі, то тип цього рівняння один і той же у всій області визна-чення. Якщо коефіцієнти CBA ,, змінні, то для рівняння виділяються області йо-го гіперболічності, параболічності та еліптичності.

Приклад 1. Знайти області гіперболічності, параболічності та еліптичності

236

рівняння Трикомі 02

2

2

2

=∂∂+

∂∂

y

u

x

uy .

Розв’язання. ACB −=∆ 2 ; yA = ; 0=B ;

1=C ; yy −=⋅−=∆ 102 . При 0>y , 0<−=∆ y – рівняння еліптичного типу; при 0<y , 0>−=∆ y – рівняння гіперболічного типу, при 0=y , 0=−=∆ y – рів-няння параболічного типу.

5.1.3. Характеристики. Зведення лінійних диференціальних

рівнянь другого порядку з частинними похідними до канонічного вигляду

Квазілінійному рівнянню другого порядку (1.6) можна поставити у відпові-дність його характеристичне рівняння

,022

=+−

C

dx

dyB

dx

dyA (1.14)

яке розпадається на два рівняння

A

B

dx

dy ∆+= ; A

B

dx

dy ∆−= (1.15)

де ACB −=∆ 2 – дискримінант ДРЧП (1.6). Інтегральні криві характеристичного рівняння (1.14) (або, що те саме, рів-

нянь (1.15)) називаються характеристиками ДРЧП (1.6). Зауваження 1. У випадку гіперболічного ДРЧП ( )0>∆ маємо дві різні сім’ ї

дійсних характеристик ( ) 1, Cyx =ϕ і ( ) 2, Cyx =ψ , де 21,CC – довільні сталі. Якщо ДРЧП параболічне ( )0=∆ , то обидва рівняння (1.15) співпадають, при цьому маємо одну сім’ю дійсних характеристик ( ) 1, Cyx =ϕ . Якщо ж ДРЧП еліптичного типу ( )0<∆ , то маємо дві різні сім’ ї уявних (комплексно спряжених) характери-стик ( ) ( ) 1,, Cyxiyx =ψ+ϕ і ( ) ( ) 2,, Cyxiyx =ψ−ϕ , де i – уявна одиниця ( )12 −=i .

Приклад 1. Знайти характеристики рівняння

03sincos22

22

2

2

2

=+∂∂−

∂∂−

∂∂∂−

∂∂

uy

utgx

y

ux

yx

ux

x

u .

Розв’язання.

;sin;cos;1 2 xCxBA −=−== =−=∆ ACB2 ( ) ( )=−−− xx 22 sin1cos 01sincos 22 >=+ xx .

Рівняння гіперболічного типу. Диференціальні рівняння характеристик (1.15) набувають вигляду

;1

1cos;

1

1cos −−=+−= x

dx

dyx

dx

dy .1cos;1cos −−=+−= xdx

dyx

dx

dy

Інтегруючи за змінною x , одержуємо

( )∫ ++−=++−= 11 sin1cos CxxCdxxy ; ( )∫ +−−=+−−= 22 sin1cos CxxCdxxy .

Звідси 21 sin;sin CxxyCxxy =++=−+ – неявні рівняння характеристик. Тут ( ) ( ) xxyyxxxyyx ++=ψ−+=ϕ sin,;sin, .

237

Зауваження 2. Для зведення ДРЧП другого порядку до канонічного вигляду використовується нелінійна заміна незалежних змінних ( )yx,ϕ=ξ , ( )yx,ψ=η на основі неявних рівнянь характеристик. Тоді:

;;y

u

y

u

y

u

x

u

x

u

x

u

∂ϕ∂

η∂∂+

∂ϕ∂

ξ∂∂=

∂∂

∂ψ∂

η∂∂+

∂ϕ∂

ξ∂∂=

∂∂

+

∂ψ∂

η∂∂+

∂ψ∂

∂ϕ∂

η∂ξ∂∂+

∂ϕ∂

ξ∂∂=

∂∂ 2

2

222

2

2

2

2

2x

u

xx

u

x

u

x

u2

2

2

2

x

u

x

u

∂ψ∂

η∂∂+

∂ϕ∂

ξ∂∂ ;

+

∂ϕ∂

ξ∂∂=

∂∂

2

2

2

2

2

y

u

y

u +

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂

∂∂∂

2

2

22

2y

u

yy

u ψη

ψϕηξ 2

2

2

2

y

u

y

u

∂ψ∂

η∂∂+

∂ϕ∂

ξ∂∂ ;

+

∂ψ∂

∂ϕ∂+

∂ψ∂

∂ϕ∂

η∂ξ∂∂+

∂ϕ∂

∂ϕ∂

ξ∂∂=

∂∂∂

xyyx

u

yx

u

yx

u 2

2

22

yx

u

yx

u

yx

u

∂∂∂

∂∂+

∂∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂

∂∂ ψ

ηϕ

ξψψ

η

22

2

2

.

Розглянемо три можливі випадки: 1) Рівняння гіперболічного типу має дві різні сім’ ї дійсних характеристик

( ) ( ) 21 ,,, CyxCyx =ψ=ϕ . Заміною змінних ( )yx,ϕ=ξ , ( )yx,ψ=η таке рівняння зво-диться до канонічного вигляду

η∂∂

ξ∂∂ηξ=

η∂ξ∂∂ uu

ufu

,,,,2

.

2) Рівняння параболічного типу має одну сім’ю дійсних характеристик ( ) 1, Cyx =ϕ . Використовується заміна змінних ( )yx,ϕ=ξ , ( )yx,ψ=η , де ( )yx,ψ – до-вільна двічі неперервно диференційовна функція, яка задовольняє умову функ-ціональної незалежності функцій ( )yx,ϕ і ( )yx,ψ

0≠∂ψ∂∂ψ∂∂ϕ∂∂ϕ∂yx

yx.

У результаті рівняння зводиться до канонічного вигляду

η∂∂

ξ∂∂ηξ=

η∂∂ uu

ufu

,,,,2

2

або

η∂∂

ξ∂∂ηξ=

ξ∂∂ uu

ufu

,,,,2

2

.

3) Рівняння еліптичного типу має дві різні сім’ ї уявних (комплексно спря-жених) характеристик ( ) ( ) 1,, Cyxiyx =ψ+ϕ , ( ) ( ) 2,, Cyxiyx =ψ−ϕ . Заміною змінних

( )yx,ϕ=ξ , ( )yx,ψ=η таке рівняння зводиться до канонічного вигляду

η∂∂

ξ∂∂ηξ=

η∂∂+

ξ∂∂ uu

ufuu

,,,,2

2

2

2

.

Приклад 2. Встановити тип, знайти неявні рівняння характеристик та звес-ти до канонічного вигляду диференціальне рівняння:

а) 0cossin 22

22

2

2

=+∂∂−

∂∂−

∂∂

uyy

ux

y

ux

x

u ; б) 012442

22

2

2

22 =

∂∂+

∂∂+

∂∂∂−

∂∂

y

uy

y

uy

yx

uxy

x

ux ;

в) 014132

2

22

2

2=

∂∂−

∂∂+

∂∂

x

u

xy

u

yx

u

x.

238

Розв’язання. а) 0cossin 22

22

2

2

=+∂∂−

∂∂−

∂∂

uyy

ux

y

ux

x

u .

1=A ; 0=B ; xC 2sin−= ; 0sin22 >=−=∆ xACB

– рівняння гіперболічного типу. Диференціальні рівняння характеристик

xx

dx

dy

A

B

dx

dysin

1

sin; ±=±=∆±= .

Розв’язуючи одержанні рівняння, маємо

∫±= xdxy sin ; 1cos Cxy +−= ; 2cos Cxy += .

Звідси 1cos Cxy =+ ; 2cos Cxy =− – неявні рівняння характеристик. Вводимо заміну xy cos+=ξ ; xy cos−=η . Тоді

( ) xu

xu

x

u

x

u

x

usinsin

η∂∂+−

ξ∂∂=

∂η∂

η∂∂+

∂ξ∂

ξ∂∂=

∂∂ ;

η∂∂+

ξ∂∂=

∂η∂

η∂∂+

∂ξ∂

ξ∂∂=

∂∂ uu

y

u

y

u

y

u ;

−

∂η∂

ξ∂∂

η∂∂+

∂ξ∂

ξ∂∂

ξ∂∂−=

∂∂

x

u

x

ux

x

usin2

2

+∂∂

∂∂

xx

usin

ξ+

∂η∂

η∂∂

η∂∂+

∂ξ∂

η∂∂

ξ∂∂

x

u

x

uxsin

=∂∂

η∂∂+ x

x

usin +

η∂ξ∂∂−

ξ∂∂ u

xu

x2

22

22 sin2sin

2

22sin

η∂∂ u

xη∂

∂+ξ∂

∂− ux

ux coscos ;

+∂ξ∂

η∂∂

ξ∂∂+

∂η∂

ξ∂∂

η∂∂+

∂ξ∂

ξ∂∂

ξ∂∂=

∂∂

y

u

y

u

y

u

y

u2

2

=∂∂

∂∂

∂∂

y

u ηηη 2

22

2

2

2η∂

∂+η∂ξ∂

∂+ξ∂

∂ uuu .

Підставимо знайдені похідні в диференціальне рівняння і одержимо

+ξ∂

∂−η∂

∂+η∂ξ∂

∂−ξ∂

∂ ux

ux

ux

ux cossinsin2sin 2

22

22

2

22 −

∂∂+

∂∂∂+

∂∂−

∂∂

2

22

2

22 2sincos

ηηξξηuuu

xu

x

0cos 2 =+

η∂∂+

ξ∂∂− uy

uux ; +

ξ∂∂−

η∂ξ∂∂− u

xu

x cos2sin42

2 02 =uy ;

ux

yu

x

xu2

2

2

2

sin4sin2

cos +ξ∂

∂−=η∂ξ∂

∂ .

З формул заміни виразимо коефіцієнти рівняння через нові змінні

( ) ( ) 2;2cos η+ξ=η−ξ= yx , ( ) 422 η+ξ=y ;

( ) ( )( ) 442)(1sin 222 η−ξ−=η−ξ−=x . Тоді остаточно маємо

( )( )

( )( )uuu

2

2

2

2

444 η−ξ−η+ξ+

ξ∂∂

η−ξ−η−ξ−=

η∂ξ∂∂

– канонічний вигляд диференціального рівняння.

б) 012442

22

2

2

22 =

∂∂+

∂∂+

∂∂∂−

∂∂

y

uy

y

uy

yx

uxy

x

ux . 22 4;2; yCxyBxA =−== ;

( ) 042 2222 =−−=−=∆ yxxyACB – рівняння параболічного типу.

239

Диференціальне рівняння характеристик

x

y

x

xy

dx

dy

A

B

dx

dy 22;

2−=−== .

Розв’язуючи одержане рівняння, маємо

∫ ∫−=x

dx

y

dy2 ;

2;lnln2ln

x

CyCxy =+−= .

Звідси Cyx =2 – неявне рівняння характеристик.

Вводимо заміну yyx =η=ξ ,2 (довільна функція). Тоді:

ξ∂∂=

η∂∂+

ξ∂∂=

∂η∂

η∂∂+

∂ξ∂

ξ∂∂=

∂∂ u

xyu

xyu

x

u

x

u

x

u202 ; 12

η∂∂+

ξ∂∂=

∂η∂

η∂∂+

∂ξ∂

ξ∂∂=

∂∂ u

xu

y

u

y

u

y

u ;

=

ξ∂∂+

∂η∂

ξ∂∂

η∂∂+

∂ξ∂

ξ∂∂

ξ∂∂=

∂∂ u

x

u

x

uxy

x

u22

2

ξ∂∂+

ξ∂∂ u

yu

xy 242

222 ;

=

ξ∂∂+

∂η∂

ξ∂∂

η∂∂+

∂ξ∂

ξ∂∂

ξ∂∂=

∂∂∂ u

y

u

y

uyx

yx

u2

2

ξ∂∂+

η∂ξ∂∂+

ξ∂∂ u

xu

xyu

yx 2222

2

23 ;

+∂ξ∂

η∂∂

ξ∂∂+

∂η∂

ξ∂∂

η∂∂+

∂ξ∂

ξ∂∂

ξ∂∂=

∂∂

y

u

y

u

y

ux

y

u 22

2

2

222

2

24 2

η∂∂+

η∂ξ∂∂+

ξ∂∂=

∂η∂

η∂∂

η∂∂+

∂ξ∂

η∂∂

ξ∂∂+ uu

xu

xy

u

y

u .

Підставимо знайдені похідні в диференціальне рівняння і одержимо

+

ξ∂∂−

ξ∂∂+

ξ∂∂

2

23

2

2222 2424

uyxxy

uy

uxyx +

ξ∂∂+

η∂ξ∂∂ u

xu

xy 222

+

η∂∂+

η∂ξ∂∂+

ξ∂∂+

2

222

2

242 24

uux

uxy 012 2 =

∂∂+

∂∂

ηξu

xu

y ;

01264 22

22 =

η∂∂+

ξ∂∂+

η∂∂ u

yu

yxu

y ; η∂

∂−ξ∂

∂−=η∂

∂ u

y

u

y

xu 3

2

3 2

2

2

.

З формул заміни виразимо коефіцієнти отриманого рівняння через нові змінні η=y ; ηξ=2x .

Тоді остаточно маємо η∂

∂η

−ξ∂

∂ηξ−=

η∂∂ uuu 3

2

322

2

– канонічний вигляд диференціального рівняння.

в) 014132

2

22

2

2 =∂∂−

∂∂+

∂∂

x

u

xy

u

yx

u

x. 22

4;0;

1

yCB

xA === ; 0

422 <−=−=∆

yxACB

– рівняння еліптичного типу. Диференціальні рівняння характеристик

iy

x

dx

dy

A

B

dx

dy 2; ±=∆±= .

Розв’язуючи одержанні рівняння, маємо

240

xidxydy 2±= ; ∫ ∫±= xdxiydx 2 ; Сxy +±= 22 2 ; Cxy 22 22 +±= .

Звідси 222

122 2;2 CixyCixy =+=− – неявні рівняння характеристик.

Вводимо заміну 22 2; xy =η=ξ . Тоді:

η∂∂=

η∂∂+

ξ∂∂=

∂η∂

η∂∂+

∂ξ∂

ξ∂∂=

∂∂ u

xxuu

x

u

x

u

x

u440 ;

ξ∂∂=

η∂∂+

ξ∂∂=

∂η∂

η∂∂+

∂ξ∂

ξ∂∂=

∂∂ u

yu

yu

y

u

y

u

y

u202 ;

=η∂

∂+

∂η∂

η∂∂

η∂∂+

∂ξ∂

η∂∂

ξ∂∂=

∂∂ u

x

u

x

ux

x

u442

2

ηη ∂∂+

∂∂ uu

x 4162

22 ;

+

∂η∂

ξ∂∂

η∂∂+

∂ξ∂

ξ∂∂

ξ∂∂=

∂∂

y

u

y

uy

y

u2

2

2

ξ∂∂+

ξ∂∂=

ξ∂∂ uu

yu

2422

22 .

Підставимо знайдені похідні в диференціальне рівняння і одержимо

−

ξ∂∂+

ξ∂∂+

η∂∂+

η∂∂ uu

yy

uux

x24

4416

12

22

22

22

2 041

3=

∂∂ηu

xx

;

ξ∂∂−=

η∂∂+

ξ∂∂=

ξ∂∂+

η∂∂+

ξ∂∂ u

y

uuu

y

uu22

2

2

2

22

2

2

2

2

1;0

81616 .

З формул заміни виразимо ξ=2y . Тоді остаточно маємо

ξ∂∂

ξ−=

η∂∂+

ξ∂∂ uuu

2

12

2

2

2

– канонічний вигляд диференціального рівняння.

Зауваження 3. Якщо вихідне ДРЧП лінійне зі сталими коефіцієнтами, то його канонічний вигляд також лінійний зі сталими коефіцієнтами. В цьому ви-падку можливе подальше спрощення канонічного рівняння за допомогою за-міни невідомої функції

µη+λξ= veu (1.16) де λ і µ - сталі числа, які підлягають визначенню. Параметри λ і µ вибира-ють так, щоб після підстановки (1.16) у канонічне рівняння два його коефіцієн-ти, наприклад, при перших похідних, перетворилися на нуль.

Приклад 3. Звести до спрощеного канонічного вигляду з відсутніми перши-ми похідними лінійне ДРЧП зі сталими коефіцієнтами:

01684522

22

2

2

=−∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂∂−

∂∂

uy

u

x

u

y

u

yx

u

x

u

Розв’язання. Визначимо тип: 5;1;1 =−== CBA ; 042 <−=−=∆ ACB . Отже, дане рівняння еліптичного типу. Диференціальні рівняння характеристик

ii

dx

dy

A

B

dx

dy21

1

21; ±−=±−=∆±= .

Розв’язуючи одержані рівняння, маємо

( ) ( )∫ +±−=±−= Cxiydxiy 21;21 ; Cxixy +±−= 2 .

241

Звідси 21 2;2 CxixyCxixy =++=−+ – неявні рівняння характеристик. Вводимо заміну незалежних змінних xy +=ξ , x2=η . Тоді

η∂∂+

ξ∂∂=

∂η∂⋅

η∂∂+

∂ξ∂⋅

ξ∂∂=

∂∂ uu

x

u

x

u

x

u2 ;

ξ∂∂=

∂η∂⋅

η∂∂+

∂ξ∂⋅

ξ∂∂=

∂∂ u

y

u

y

u

y

u ;

+

∂ξ∂

η∂∂

ξ∂∂+

∂η∂

ξ∂∂

η∂∂+

∂ξ∂

ξ∂∂

ξ∂∂=

∂∂

x

u

x

u

x

u

x

u2

2

2

2

22

2

2

44η∂

∂+η∂ξ∂

∂+ξ∂

∂=

∂η∂

η∂∂

η∂∂ uuu

x

u ;

2

2

2

2

ξ∂∂=

∂η∂

ξ∂∂

η∂∂+

∂ξ∂

ξ∂∂

ξ∂∂=

∂∂ u

y

u

y

u

y

u .

Підставимо знайдені похідні у диференціальне рівняння і одержимо

+

η∂ξ∂∂+

ξ∂∂−

η∂∂+

η∂ξ∂∂+

ξ∂∂ uuuuu 2

2

222

2

2

2244 01682452

2

=−∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂

uuuuu

ξηξξ;

016812442

2

2

2

=−η∂

∂+ξ∂

∂+η∂

∂+ξ∂

∂u

uuuu ; uuuuu

4232

2

2

2

+∂∂−

∂∂−=

∂∂+

∂∂

ηξηξ

– канонічний вигляд диференціального рівняння.

Вводимо заміну шуканої функції µη+λξ= veu , де λ і µ – сталі, які підля-гають визначенню.

Знайдемо похідні, що входять в канонічне рівняння:

µη+λξµη+λξµη+λξµη+λξ µ+η∂

∂=η∂

∂λ+ξ∂

∂=ξ∂

∂eve

vuvee

vu; ;

µη+λξµη+λξµη+λξµη+λξ λ+ξ∂

∂λ+ξ∂

∂λ+ξ∂

∂=ξ∂

∂vee

ve

ve

vu 22

2

2

2

;

µη+λξµη+λξµη+λξµη+λξ µ+η∂

∂µ+η∂

∂µ+η∂

∂=η∂

∂vee

ve

ve

vu 22

2

2

2

.

Підставимо знайдені похідні в кожне рівняння і одержимо:

+λ+ξ∂

∂λ+ξ∂

∂ µη+λξµη+λξµη+λξ veev

ev 22

2

2 =+∂∂+

∂∂ +++ µηλξµηλξµηλξ µ

ηµ

ηvee

ve

v 22

2

2

−

λ+

ξ∂∂−= µη+λξµη+λξ veev

3 +

µ+

η∂∂ µη+λξµη+λξ veev

2 µηλξ +ev4 ; ( ) −ξ∂

∂λ+−=η∂

∂+ξ∂

∂ vvv232

2

2

2

( ) ( )vv µ−λ−µ−λ−+η∂

∂µ+− 23422 22 .

Виберемо значення λ і µ так, щоб коефіцієнти при перших похідних в оде-ржаному рівнянні дорівнювали нулю

( ) ( ) 022;023 =µ+−=λ+− .

Звідси 1;23 −=µ−=λ .

Отже, після заміни η−ξ−= 23veu канонічне рівняння набуває спрощеного ви-гляду

242

( ) ( ) ( ) ( )( )vvv122331234 2

2

2

2

2

−−−−−−−−=η∂

∂+ξ∂

∂ ; vvv

4

492

2

2

2

=η∂

∂+ξ∂

∂ ,

в якому відсутні перші похідні. Зауваження 4. Нехай в координатній площині Oxy задана деяка лінія L .

Кажуть, що розв’язок ( )yxu , ДРЧП (1.5) на цій кривій L має слабкий розрив, якщо при переході через неї в площині Oxy сам розв’язок ( )yxu , та його перші похідні залишаються неперервними, а деякі похідні порядку вище першого ма-ють на цій кривій L розрив першого роду. Лініями слабких розривів розв’язків ДРЧП (1.5) служать характеристики цього рівняння.

5.2. Виведення основних рівнянь математичної фізики

5.2.1. Основні етапи побудови математичної моделі фізичного процесу

Щоб скористатися методами математичної фізики для дослідження реаль-ного явища (процесу), треба скласти його математичну модель. Вона повинна відображати характерні особливості даного об`єкта і в той же час бути досить простою, щоб її можна вивчати існуючими математичними методами.

Основні етапи побудови математичної моделі (постановки задачі матема-тичної фізики):

1) Вибір величин, які є визначальними для даного процесу. Як правило, ці величини є функціями багатьох змінних – наприклад, просторових координат і часу.

2) Складання диференціального рівняння (системи рівнянь) з частинними похідними відносно шуканої функції (функцій) на основі фізичних принципів і законів з можливими обґрунтованими спрощеннями, які враховують особливо-сті протікання процесу.

3) Виведення додаткових співвідношень (наприклад, початкових і гранич-них умов) для шуканих величин, які дозволяють з нескінченної множини розв`язків диференціального рівняння вибрати той, який описує даний конкре-тний процес.

Зауваження. Одна і та ж математична модель може описувати зовсім різні фізичні явища.

5.2.2. Рівняння коливань струни

Розглянемо натягнену струну довжини l , закріплену на кінцях. Якщо її ви-вести з положення рівноваги (наприклад, легко смикнути), то вона буде колива-тися. Моделлю струни є пружна невагома (дією сили тяжіння можна знехтувати порівняно з силою натягу струни) і абсолютно гнучка (не чинить опору згину) нитка. Будемо розглядати малі плоскі поперечні коливання, коли рух усіх точок струни відбувається в одній площині перпендикулярно до її прямолінійного по-ложення рівноваги – осі Ox (рис. 1). Лівий кінець струни співпадає з точкою

0=x , а правий – з точкою lx = . Процес коливань характеризується однією фу-нкцією ( )txu , – відхиленням точки струни з абсцисою x у момент часу t . При

243

фіксованому значенні t графік функції ( )txu , дає форму (профіль) струни у цей момент часу.

Виділимо довільний елемент струни [ ]xxx ∆+, , який при коливанні деформується в дугу 1MM∪ (рис. 2). Довжина цієї дуги

( ) xdxxulxx

x

∆≈∂∂+=∆ ∫∆+

21 ,

оскільки при малих коливаннях )( xox

u ∆=∂∂ . Тобто

видовження струни не відбувається. Тоді на підставі закону Гука сила натягу →T в кожній точці струни направлена вздовж дотичної до її профілю і не зміню-

ється за величиною, тобто constTT ==→

0 .

Проекція на вісь Ou uF рівнодійної

сил пружності →F , які прикладені до еле-

мента 1MM , дорівнює

( ) ϕ−ϕ∆+ϕ= sinsin 00 TTFu .

Оскільки кут ϕ малий, то ϕ≈ϕ≈ϕ tgsin . Але за геометричним змістом похідної

x

utg

∂∂=ϕ . Тоді

( ) ( ) ( ) ( )

∂∂−

∂∆+∂=

∂∂−

∂∆+∂≈

x

txu

x

txxuT

x

txuT

x

txxuTFu

,,,,000 .

За формулою Лагранжа скінченних приростів

( ) ( ) ( ) ( )x

x

txux

x

txxu

x

txu

x

txxu ∆∂

∂≈∆∂

∆θ+∂=∂

∂−∂

∆+∂2

2

2

2 ,,,, ,

де 10 <θ< . Тоді ( )x

x

txuTFu ∆

∂∂≈

2

2

0

, .

Якщо вважати струну однорідною з лінійною густиною const=ρ=ρ 0 , то ма-са елемента 1MM∪ xlm ∆ρ≈∆ρ= 0 . Вертикальне (в напрямку осі Ou ) приско-рення W довільної точки цього елемента приблизно дорівнює вертикальному

прискоренню точки M з координатою x , тобто ( )2

2 ,

t

txuW

∂∂≈ згідно з геометри-

чним змістом другої похідної по t . Шукане рівняння коливань струни безпосередньо випливає з другого зако-

ну Ньютона uFmw= для елемента 1MM∪ в напрямку осі :Ou

( ) ( )x

x

txuT

t

txux ∆

∂∂=

∂∂∆ρ

2

2

02

2

0,, .

Звідси

Рис. 1

u

l x 0

u

0 →T

ϕ

ϕ∆+ϕ

1M M

1

→T

x xx ∆+ x

Рис. 2

244

( ) ( )2

22

2

2 ,,

x

txua

t

txu

∂∂=

∂∂ ( )0;0 ><< tlx (2.1)

– одновимірне однорідне хвильове рівняння, де 002 ρ= Ta .

Це рівняння гіперболічного типу і для нього задаються дві початкові умо-ви (ПУ)

( ) ( )xxu ϕ=0, ( )lx <<0

(початкове положення струни) і ( ) ( )xt

xu ψ=∂

∂ 0, ( )lx <<0

(початкова швидкість струни). Якщо кінці струни 0=x і lx = жорстко закріплені, то граничні умови

(ГУ) ( ) 0,0 =tu , ( ) 0, =tlu ( )0>t .

Таким чином, математична модель (задача математичної фізики) вільних малих плоских поперечних коливань однорідної струни з жорстко закріплени-ми кінцями, на яку не діють зовнішні сили, має вигляд:

(ДРЧП) 2

22

2

2

x

ua

t

u

∂∂=

∂∂ ( )0;0 ><< tlx (2.2)

(ПУ) ( ) ( )xxu ϕ=0, , ( ) ( )xt

xu ψ=∂

∂ 0, ( )lx <<0 (2.3)

(ГУ) ( ) 0,0 =tu ; ( ) 0, =tlu ( )0>t (2.4)

Математична модель (2.2) – (2.4) містить інформацію, яка необхідна для вивчення вільних коливань струни (розв`язок задачі єдиний) і не містить над-лишкової, суперечливої інформації (розв`язок задачі існує). Можна показати, що розв`язок задачі (2.2) – (2.4) стійкий до малих змін початкових і граничних умов. Таким чином, крайова задача (2.2) – (2.4) поставлена коректно.

Зауваження 1. Якщо кінці струни 0=x і lx = вільні, то граничні умови: ( )

0,0 =

∂∂

x

tu , ( )0

, =∂

∂x

tlu ( )0>t .

Зауваження 2. Ускладнення розглянутої задачі внаслідок врахування дода-ткових фізичних факторів приводить до більш складних ДРЧП. Звернемо увагу на два випадки.

1) Якщо на струну діють зовнішні поперечні сили з лінійною густиною ( ),,txp то маємо одновимірне неоднорідне хвильове рівняння

fx

ua

t

u +∂∂=

∂∂

2

22

2

2

( )0;0 ><< tlx (2.5)

де 0ρ= pf . Це ДРЧП описує вимушені коливання струни. 2) Якщо лінійна густина струни залежить від координати x (струна неод-

норідна) ( )xρ=ρ , а зовнішні поперечні сили не діють, то маємо одновимірне однорідне хвильове рівняння зі змінними коефіцієнтами

245

( ) ( )

∂∂

∂∂=

∂∂

x

txuxa

xt

u ,22

2

( )0;0 ><< tlx ,

( ) ( ) ( ) ( )x

txu

dx

xdaxa

x

uxa

t

u

∂∂+

∂∂=

∂∂ ,

22

22

2

2

( )0;0 ><< tlx . (2.6)

Зауваження 3. Поперечні коливання струни не єдиний вид плоских попере-чних хвильових рухів. Зокрема, звукові чи електромагнітні хвилі на значній відстані від джерел збудження можна вважати плоскими і описувати їх одно-вимірними хвильовими рівняннями. Двовимірні та тривимірні хвилі називають відповідно циліндричними і сферичними хвилями і описуються двовимірними і тривимірними хвильовими рівняннями.

Перелічимо основні типи хвильових процесів: 1) Звукові хвилі (поздовжні). 2) Електромагнітні хвилі (поперечні). 3) Механічні коливання твердих тіл (поздовжні, поперечні, крутильні). 4) Хвильовий пакет в квантовій механіці. 5) Гравітаційні хвилі (поперечні). 6) Механічні коливання рідини та газу (поперечні та поздовжні).

5.2.3. Телеграфні рівняння

Розглянемо (рис.3) довгу однорідну електричну лінію (ланцюг), яка харак-теризується активним опором R , індуктивністю L , ємністю C і втратою ,G де величини GCLR ,,, розподілені вздовж лінії неперервно і рівномірно і розра-ховані на одиницю довжини. Будемо вважати лінію двопровідною. Нехай ( )txi , – сила струму; ( )txu , – напруга.

Для довільного елемента [ ]xxx ∆+, маємо: xx

u ∆∂∂− – сумарне падіння напру-

ги; xiR∆ – падіння напруги на опорі; xt

iL ∆

∂∂ – електрорушійна сила самоіндук-

ції; xx

i ∆∂∂ – сумарна зміна сили струму; x

t

uC ∆

∂∂ – сила струму зарядки елемен-

та (як конденсатора); xGu∆ – сила струму втрати. Тоді за законом Ома

xt

iLxiRx

x

u ∆∂∂+∆=∆

∂∂− .

Рівняння балансу для сумар-ної зміни сили струму

0=∆+∆∂∂+∆

∂∂

xGuxt

uCx

x

i .

Звідси

0=+∂∂+

∂∂

Gut

uC

x

i (2.7)

0=∂∂++

∂∂

t

iLRi

x

u (2.8)

i xx

ii ∆

∂∂+

u xx

uu ∆

∂∂+

x xx ∆+

Рис. 3

246

– система телеграфних рівнянь. Продиференціювавши відповідним чином вирази (2.7), (2.8) і вилучивши

одну із шуканих функцій ( )txu , або ( )txi , , можна одержати рівняння, що містить тільки одну з них.

Продиференціюємо перше рівняння системи (2.7), (2.8) за змінною x , а друге – за t :

02

2

2

=∂∂

∂+∂∂+

∂∂

xt

iL

x

iR

x

u (2.9)

02

22

=∂∂+

∂∂+

∂∂∂

t

uG

t

uC

tx

i (2.10)

Знайдемо x

i

∂∂ з другого рівняння системи (2.7) і (2.8), а змішану похідну

xt

i

tx

i

∂∂∂=

∂∂∂ 22

– з другого рівняння системи (2.9) і (2.10). Підставимо їх в перше рі-

вняння системи (2.9), (2.10) і одержимо

01

2

2

2

2

=+∂∂++

∂∂−

∂∂

uLC

RG

t

u

LC

LGRC

x

u

LCt

u (2.11)

Аналогічно, вилучивши з системи (2.7), (2.8) функцію ( )txu , , отримаємо

01

2

2

2

2

=+∂∂++

∂∂−

∂∂

iLC

RG

t

i

LC

LGRC

x

i

LCt

i (2.12)

Рівняння (2.11), (2.12) також називають телеграфними.

5.2.4. Рівняння поширення тепла у стержні

Розглянемо (рис. 4) тонкий циліндричний однорідний стержень довжини l і сталого поперечного перерізу S. Будемо припускати, що бічна поверхня стер-жня теплоізольована (теплообмін може здійснюватися тільки через торці цилі-ндра), а температура у всіх точках поперечного перерізу однакова (оскільки стержень тонкий – його діаметр достатньо малий порівняно з довжиною). Вісь

стержня приймемо за координатну вісь Ox , причому лівий кінець стержня співпадає з точ-кою 0=x , а правий – з точкою lx = . Будемо вважати, що всередині стержня теплові джере-ла відсутні.

Нехай const=ρ – густина речовини стерж-ня; constC = – питома теплоємність; constk = –

коефіцієнт теплопровідності. Величиною, яка характеризує процес поширення тепла в стержні, служить функція ( )txu , – температура стержня в перерізі з абс-цисою x в момент часу t .

Розглянемо довільний елемент стержня об`ємом xSV ∆=∆ , який розміще-ний між перерізами з абсцисами x і xx ∆+ . Згідно з основним експерименталь-ним законом теплопровідності (законом Фур`є) кількість тепла, що проходить

u

0

x xx ∆+

V∆x

Рис. 4

l

247

через поперечний переріз за одиницю часу пропорційна похідній x

u

∂∂ (градієн-

ту температури). Тоді ( )

tSx

txukQ ∆

∂∂−=∆ ,

1 ; ( )tS

x

txxukQ ∆

∂∆+∂−=∆ ,

2

– кількості тепла, які протікають через перерізи xx =1 і xxx ∆+=2 . В результаті зовнішній приплив тепла в елемент V∆ за час :t∆

( ) ( ) ≈∆

∂∂−

∂∆+∂=∆−∆=∆ tS

x

txu

x

txxukQQQ

,,21

( )txS

x

txuk ∆∆

∂∂≈

2

2 , .

Цей приплив тепла Q∆ витрачається на зміну температури елемента V∆ на

величину tt

uu ∆

∂∂≈∆ . Тоді

tt

uxScuVcumcQ ∆

∂∂∆ρ≈∆∆ρ=∆∆=∆ .

Складемо рівняння теплового балансу (з точністю до нескінченно малих більш високого порядку порівняно з x∆ , )t∆ :

txSx

ukt

t

uxSc ∆∆

∂∂=∆

∂∂∆

2

2

ρ .

Звідси ;2

2

x

uk

t

uc

∂∂=

∂∂ρ ;

2

2

x

u

c

k

t

u

∂∂=

∂∂

ρ

2

22

x

ua

t

u

∂∂=

∂∂ ( )0;0 ><< tlx (2.13)

– одновимірне однорідне рівняння теплопровідності, де )(2 ρ= cka . Це рівняння параболічного типу. Параболічні рівняння виникають при мо-

делюванні явищ переносу (теплопередачі, дифузії, фільтрації, випромінювання нейтронів і т.п.).

На відміну від гіперболічних рівнянь, для рівняння теплопровідності зада-ється тільки одна початкова умова

( ) ( )xxu ϕ=0, ( )lx<<0

(початковий розподіл температури). Якщо торці стержня підтримуються при певних температурах, то граничні

умови ( ) ( )tgtu 1,0 = , ( ) ( )tgtlu 2, = ( )0>t .

Якщо торці стержня теплоізольовані, то граничні умови ( )

;0,0 =

∂∂

x

tu ( )0

, =∂

∂x

tl .

Таким чином, математична модель (задача математичної фізики) поши-рення тепла в тонкому однорідному циліндричному стержні довжини l з те-

248

плоізольованою бічною поверхнею і заданою температурою на торцях 0=x , lx = при відсутності внутрішніх джерел тепла має вигляд:

(ДРЧП) 2

22

x

ua

t

u

∂∂=

∂∂ ( )0;0 ><< tlx (2.14)

(ПУ) ( ) ( )xxu ϕ=0, ( )lx<<0 (2.15)

(ГУ) ( ) ( )tgtu 1,0 = , ( ) ( )tgtlu 2, = ( )0>t (2.16)

Зауваження. Ускладнення розглянутої задачі внаслідок залучення додатко-вих фізичних факторів приводить до більш складних ДРЧП. Наприклад, якщо всередині стержня знаходиться провід з електричним струмом, то опір матеріа-лу проводу призводить до виникнення всередині стержня рівномірно роз-поділених вздовж нього теплових джерел з інтенсивністю ( )tx,φ , яка віднесена до одиниці об`єму і одиниці часу. Тоді маємо одновимірне неоднорідне рів-няння теплопровідності

( )txfx

ua

t

u,

2

22 +

∂∂=

∂∂ ( )0;0 ><< tlx (2.17)

де ( ) ( ) )(,, ρφ= ctxtxf .

Нехай, окрім того, бічна поверхня стержня нетеплоізольована і між нею і навколишнім середовищем здійснюється теплообмін, який підлягає закону Ньютона: кількість тепла, яка передається за одиницю часу через одиницю по-верхні пропорційна різниці температури стержня ( )txu , і температури навко-лишнього середовища 0u . Тоді маємо одновимірне неоднорідне рівняння теп-лопровідності більш загального вигляду

( ) ( )txfuux

ua

t

u,02

22 +−β−

∂∂=

∂∂ ( )0;0 ><< tlx (2.18)

де )( Scραδ=β ; α – коефіцієнт теплообміну; δ – периметр поперечного пере-різу стержня.

5.2.5. Математичні моделі стаціонарних процесів

Вивчення усталених (стаціонарних) процесів приводить до ДРЧП еліптич-ного типу. Наприклад, якщо в двовимірному однорідному рівнянні теплопрові-дності

∂∂+

∂∂=

∂∂

2

2

2

22

y

u

x

ua

t

u

вважати, що шукана температура u не залежить від часу, тобто

( )yxuu ,= , то похідна t

u

∂∂ тотожно дорівнює нулю і для знаходження ( )yxu ,

одержуємо двовимірне рівняння Лапласа

02

2

2

2

=∂∂+

∂∂

y

u

x

u (2.19)

249

яке відноситься до еліптичного типу. До вказаного типу також належить двовимірне рівняння Пуассона

( )yxfy

u

x

u,2

2

2

2

=∂∂+

∂∂ (2.20)

Ці рівняння (2.19), (2.20) описують такі явища, як потенціал електростати-чного поля, стаціонарний розподіл температури і т.п.

Наприклад, припустимо що обмежена замкнена просторова область V за-повнена зарядженим провідником, у якому заряди можуть вільно переміщува-тися, а решта простору заповнена діелектриком. Розглянемо просторове стаціо-нарне електростатичне поле, створене цим зарядженим провідником. У стаціо-нарному стані потенціал u у всіх точках області V , включаючи її межу σ , од-наковий, оскільки інакше виник би рух зарядів і поле змінювалося би. Усереди-ні провідника V заряди протилежних знаків повинні бути взаємно нейтралізо-вані, тому потенціал u задовольняє тривимірному рівнянню Лапласа 0=∆u

)0( ==∆ ugraddivu , де 222222 zyx ∂∂+∂∂+∂∂=∆ – оператор Лапласа. Надлишко-вий заряд розміщується на межі σ провідника. Тому потенціал u в точці

),,( zyxM поза провідником V виражається інтегралом ( )∫∫σ σµ= drur , де µ – по-

верхнева густина заряду; rr – відстань від змінної точки поверхні σ до точки

),,( zyxM . Можна показати, що цей потенціал u також задовольняє рівнянню Лапласа. Отже, виникає задача знаходження функції ),,( zyxuu = , яка задоволь-няє рівнянню Лапласа у всіх точках простору, що оточує провідник V , при умові ( ) 0,, uzyxu =σ , де constu =0 – відоме значення потенціалу на поверхні σ .

Для рівнянь еліптичного типу вказуються лише граничні умови, а початко-ві умови відсутні.

Обмежимося двовимірним випадком. Для однозначного обчислення ( )yxuu ,= не треба задавати початковий розподіл шуканої величини u , а досить

знати значення u на межі S області D , в якій вивчається дане явище, тобто ма-ємо граничну умову першого типу

( ) ( )yxgyxuS

,, = , ( ) Syx ∈, (2.21)

де ( )yxg , - відома функція. Гранична умова (2.21) виникає, коли межа S доступна для спостереження і

в кожній її точці величину u можна виміряти.

Якщо ж у довільній точці межі S відома інтенсивність потоку n

u

∂∂ шуканої

величини, то маємо граничну умову другого типу ( ) ( )yxgn

yxu

S

,, =

∂∂ , ( ) Syx ∈, (2.22)

де nr – зовнішня нормаль до межі S. Гранична умова третього (змішаного) типу має комбінований вигляд

( ) ( ) ( )yxgn

yxuyxu

S

,,

, =

∂∂β+α , ( ) Syx ∈, (2.23)

250

де βα, – задані числа.

5.3. Методи розв’язання задач математичної фізики

5.3.1. Розв’язання задачі Коші для хвильового рівняння методом характеристик. Біжучі хвилі

Однією з найважливіших задач теорії поширення хвиль служить задача про вільні коливання нескінченної однорідної струни з заданими початковим умо-вами (граничні умови відсутні). Математично вона формулюється як задача Коші (початкова задача) для одновимірного однорідного хвильового рівняння

Знайти розв’язок ( )txu , ДРЧП

2

22

2

2

x

ua

t

u

∂∂=

∂∂ ( )0; >+∞<<∞− tx (3.1)

який задовольняє початкові умови

( ) ( )xxu ϕ=0, , ( ) ( )xt

xu ψ=∂

∂ 0, ( )+∞<<∞− x (3.2)

де ( ) ( )xx ψϕ , – відомі функції. Постановка такої задачі виправдана тим, що для досить довгої (практично

нескінченної) струни, кінці якої розміщені на значній відстані від тієї ділянки, де вивчаються коливання, граничні умови на кінцях струни практично не впли-вають на режим цієї ділянки.

Для розв’язання задачі Коші (3.1), (3.2) використовується метод характе-ристик (метод біжучих хвиль або метод Д'Аламбера), оснований на інтегру-ванні канонічного вигляду ДРЧП.

Загальна схема методу: 1) Привести вихідне рівняння до канонічного вигляду, за допомогою

заміни змінних. 2) Проінтегрувати одержане рівняння за новими незалежними змінни-

ми. 3) Повернутись до вихідних змінних. 4) Врахувати початкові умови. Таким чином, розв’язання задачі Коші (3.1), (3.2) розбивається на чотири

етапи: 1) Знаходимо неявні рівняння характеристик:

02

22

2

2

=∂∂−

∂∂

x

ua

t

u ; 2;0;1 aCBA −=== ; =−=∆ ACB2 02 >a ; A

aB

dt

dx ±= ; adt

dx ±= ;

∫ ∫±= dtadx ; Catx +±= ; 1Catx =+ ; 2Catx =−

– неявні рівняння характеристик. Вводимо заміну: atxatx −=η+=ξ ; . Тоді:

( )au

atu

t

u

t

u

t

u −⋅∂∂⋅

∂∂=

∂∂⋅

∂∂+

∂∂⋅

∂∂=

∂∂

ηξη

ηξ

ξ ;

251

+

∂ξ∂⋅

ξ∂η∂∂−

∂η∂⋅

η∂ξ∂∂+

∂ξ∂⋅

ξ∂∂=

∂∂

t

ua

t

u

t

ua

t

u 22

2

2

2

2

( ) −

−⋅

∂∂∂+⋅

∂∂=

∂∂⋅

∂∂

au

au

at

u

ηξξη

η

2

2

2

2

2

+⋅

η∂ξ∂∂

au

a2

( )2

22

22

2

22

2

2

2η∂

∂+η∂ξ∂

∂−ξ∂

∂=

−

η∂∂+ u

au

au

aau ; 11 ⋅

η∂∂+⋅

ξ∂∂=

∂η∂⋅

η∂∂+

∂ξ∂⋅

ξ∂∂=

∂∂ uu

x

u

x

u

x

u ;

=∂η∂

η∂∂+

∂ξ∂⋅

ξ∂η∂∂+

∂η∂⋅

η∂ξ∂∂+

∂ξ∂⋅

ξ∂∂=

∂∂

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u2

222

2

2

2

2

2

22

2

2

2

222

2

2

21111η∂

∂⋅η∂ξ∂

∂+ξ∂

∂=⋅η∂

∂+⋅η∂ξ∂

∂+⋅η∂ξ∂

∂+⋅ξ∂

∂= uuuuuuu .

Підставимо вирази для похідних в рівняння (3.1) і після спрощення одер-жимо

02

=η∂ξ∂

∂ u

– канонічний вигляд ДРЧП.

2) Подамо канонічне рівняння 02

=η∂ξ∂

∂ u у вигляді

0=

∂∂

∂∂

ξηu ,

проінтегруємо за змінною η і отримаємо

( )ξ=ξ∂

∂f

u ,

де ( )ξf – довільна диференційовна функція від ξ . Інтегруючи останнє рівняння за ξ , одержуємо загальний розв’язок

( ) ( )ξ+ξ= 21 ffu ,

де ( ) ( )∫ ξξ=ξ dff1 ; ( )ξ1f і ( )η2f – довільні функції, які будемо вважати двічі ди-

ференційовними. 3) Підставимо в отриманий загальний розв’язок формули заміни

atxatx −=η+=ξ ; і одержимо

( ) ( ) ( )atxfatxftxu −++= 21, (3.3)

4) Серед розв’язків (3.3) знайдемо частинний розв’язок, який задовольняє початкові умови (3.2).

Поклавши в (3.3) 0=t , в силу умови ( ) ( )xxu ϕ=0, маємо

( ) ( ) ( )xxfxf ϕ=+ 21 (3.4)

Продиференціювавши (3.3) за змінною t і поклавши потім 0=t , в силу

умови ( ) ( )xt

xu ψ=∂

∂ 0, маємо

( ) ( )( ) ( )xxfxfa ψ=′−′ 21 .

Інтегруючи одержане співвідношення в межах від 0 до x , знаходимо

252

( ) ( )( ) ( ) Cdzzxfxfax

+ψ=− ∫0

21 (3.5)

де C – довільна стала. Із (3.4), (3.5) визначаємо функції

( ) ( ) ( )a

Cdzz

axxf

x

22

1

2

1

01 +ψ+ϕ= ∫ (3.6)

( ) ( ) ( )a

Cdzz

axxf

x

22

1

2

1

02 −ψ+ϕ= ∫ (3.7)

Підставимо (3.6), (3.7) в (3.3) і одержимо

( ) ( ) ( )( ) ( )dzza

atxatxtxuatx

atx∫+

−ψ+−ϕ++ϕ=

2

1

2

1, (3.9)

– розв’язок задачі Коші. Співвідношення (3.9) називається формулою Д'Аламбера. Зауваження. Нехай ( ) ( ) ( )atxfatxftxu −++= ∗∗∗ 21, – один з частинних роз-

в’язків ДРЧП (3.1). Процес, який описується функцією ( )atxf −∗2 , називається поширенням прямої хвилі, що має сталу форму і як жорстка система рухається зліва направо вдовж осі Ox зі швидкістю a . Процес, який описується функцією

( )atxf +∗1 , називається поширенням зворотної хвилі, що має сталу форму і як жорстка система рухається справа наліво вдовж осі Ox зі швидкістю a . Пряма і зворотна хвилі називаються біжучими хвилями. Таким чином, будь-який час-тинний розв’язок (3.9) хвильового рівняння (3.1) можна розглядати як суперпо-зицію (накладання) прямої та зворотної хвиль.

Дамо просторово-часову інтерпретацію формули Д'Аламбера (3.9). Візьме-мо на xOt- площині (рис. 5) довільну точку ( )000 ;txM і проведемо через неї дві прямі 00 atxatx −=− , 00 atxatx +=+ – характеристики хвильового рівняння (3.1). Тоді розв’язок задачі Коші ( )00;txu в точці ( )000 ;txM можна розглядати як середнє значення функції ( )xϕ (початкового відхилення) в точках 001 atxx −= і

002 atxx += плюс інтеграл з множником a2

1 від початкової швидкості ( )xψ в ме-

жах від 1x до 2x . Якщо ( ) 0≡ψ x , то розв’язок задачі Коші (3.1), (3.2) визначається формулою

( ) ( ) ( )( )atxatxtxu −ϕ++ϕ=2

1, (3.10)

Процес, який описується рівністю (3.10), називається поширенням почат-кового відхилення.

Якщо ( ) 0≡ϕ x , то розв’язок задачі Коші (3.1), (3.2) задається формулою

( ) ( ) ( )atxatxtxu −φ−+φ=, (3.11)

де ( ) ( )dzza

xx

∫ψ=φ02

1 .

253

Процес, який описується рівністю (3.11), називається поширенням хвиль імпульсу.

Приклад 1. Розв’язати за-дачу Коші:

2

22

2

2

x

ua

t

u

∂∂=

∂∂

( )0; >+∞<<∞− tx ;

( ) 2

0, xexu −= ; ( )0

0, =∂

∂t

xu

( )+∞<<∞− x .

(Процес поширення початкового відхилення). Розв’язання. За формулою (3.10) одержимо розв’язок цієї задачі

( ) ( ) ( )( )22

2

1, atxatx eetxu −−+− += .

Його можна інтерпретувати так: початкове збурення (зміщення) струни ( ) 2

0, xexu −= ділиться на дві однакові частини ( ) 2

21 xe− і ( ) 2

21 xe− , кожна з яких

поширюється зі швидкістю a у вигляді біжучих хвиль ( ) ( )221 atxe +− і ( ) ( )221 atxe −− , які рухаються вздовж осі Ox в протилежних напрямках; накладання цих хвиль дає результуючу хвилю. На рис. 6 показано пряму хвилю ( ) ( )221 atxe −− .

Приклад 2. Знайти форму не-скінченної струни в момент часу

8π=t , яка описується хвильовим

рівнянням 2

2

2

2

16x

u

t

u

∂∂=

∂∂ , якщо поча-

ткова форма струни xu t 2cos0 == , а

початкова швидкість xt

u

t

2sin0

=∂∂

=.

Розв’язання. ( ) xx 2cos=ϕ ; ( ) xx 2sin=ψ ; 162 =a ;

4=a . За формулою Д'Аламбера

( ) ( ) ( )( ) =⋅

+−++= ∫+

−zdztxtxtxu

tx

tx

2sin42

142cos42cos

21

,4

4

( )( ( )) ( ) =−⋅+−++= +−

tx

txztxtx

4

42cos

21

81

42cos42cos21 +⋅ tx 4cos2cos ( )( ++− tx 42cos

16

1

( ))tx 42cos −+ txtx 4sin2sin8

14cos2cos +⋅= ;

xxxxu 2sin81

84sin2sin

81

84cos2cos

8, =

π⋅+

π⋅⋅=

π .

Отже, шуканий розв’язок xxu 2sin81

8, =

π .

Рис. 5

( )000 ,txM

0

t

x

00 atxatx −=− 00 atxatx +=+

001 atxx −= 002 atxx +=

Рис. 6

u

21 at 1= at 2=

0 x

0=t

2 1

254

Приклад 3. Необмежений пружний стержень одержаний сполученням у то-чці 0=x двох напівнескінченних однорідних стержнів. При 0<x густина маси, модуль пружності і швидкість поширення малих повздовжніх збурень дорів-нюють 1ρ , 1E , 1a , а при 0>x вони дорівнюють 2ρ , 2E , 2a . Нехай із області

0<x по стержню біжить хвиля ( ) ( )11 , axtftxu −= (падаюча хвиля). Знайти від-биту та заломлену хвилі. Дослідити розв’язок при 02 →E і при +∞→2E .

Розв’язання. Для відхилення точок стержня можна написати рівняння

21

2212

12

x

ua

t

u

∂∂

=∂

∂ ( )0,0 ><<∞− tx (3.12)

22

2222

22

x

ua

t

u

∂∂

=∂

∂ ( )0,0 >+∞<< tx (3.13)

і початкові умови

( ) ( )11 0, axfxu −= , ( ) ( )1

1 0,axf

t

xu−′=

∂∂ ( )0<<∞− x (3.14)

( ) 00,2 =xu , ( )

00,2 =

∂∂

t

xu ( )∞+<< x0 (3.15)

До цих рівнянь і початкових умов треба добавити ще дві умови спряження в точці 0=x

( ) ( )tutu ,0,0 21 = ( )0>t (3.16)

(неперервність зміщень) і ( ) ( )

x

tuE

x

tuE

∂∂

=∂

∂ ,0,0 22

11 ( )0>t (3.17)

(неперервність напруг). Невідомі функції шукаємо у вигляді

( ) ( ) ( )11111 , axtgaxtftxu ++−= ( )0,0 ><<∞− tx (3.18)

( ) ( ) ( )22222 , axtgaxtftxu ++−= ( )0,0 >+∞<< tx (3.19) Чотири функції ( )sf1 , ( )sg1 , ( )sf2 , ( )sg2 визначимо з початкових умов і

умов спряження. Використовуючи початкові умови (3.14), (3.15) маємо: ( ) ( ) ( )11111 axfaxgaxf −=−+− (3.20)

( ) ( ) ( )111111 axfaxgaxf −′=−′+−′ (3.21)

( ) ( ) 02222 =−+− axgaxf (3.22)

( ) ( ) 02222 =−′+−′ axgaxf (3.23) Позначимо sax =1 ; rax =2 і проінтегруємо рівняння (3.21), (3.23) відпові-

дно за s і r . В результаті маємо дві системи ( ) ( ) ( )sfsgsf −=+− 11 ( )0<<∞− s (3. 24)

( ) ( ) ( )sfsgsf −−=+−− 11 ( )0<<∞− s (3. 25) і

( ) ( ) 022 =+− rgrf ( )+∞<< r0 (3. 26)

( ) ( ) 022 =+−− rgrf ( )+∞<< r0 (3. 27)

255

Розв’язавши одержані системи (3.24), (3.25) і (3.26), (3.27), знайдемо ( ) ( )sfsf −=−1 , ( ) 01 =sg ( )0<<∞− s (3.28)

( ) 02 =− rf , ( ) 02 =rg )0( +∞<< r (3.29) Враховуючи (3.28) і (3.29), шукані функції (3.18), (3.19) набувають вигляду

( ) ( ) ( )( )

<+−>+++−

=;0,

;0,,

11

11111 axtaxtf

axtaxtgaxtftxu (3.30)

( ) ( )

<−>−−

=.0,0

;0,,

2

2222 axt

axtaxtftxu (3.31)

Підставимо одержані вирази (3.30) і (3.31) в умови спряження (3.16), (3.17). В результаті маємо

( ) ( ) ( )tftgtf 21 =+ ( )0>t (3.32)

( ) ( ) ( )

′−=

′+′− tfa

Etga

tfa

E 22

2111

1

111 ( )0>t (3.33)

Враховуючи, що 111 ρ= Ea і 222 ρ= Ea , та інтегруючи (3.33), отримаємо

( ) ( )( ) ( )( )tfEtgtfE 222111 −ρ=+−ρ (3.34) Таким чином, об’єднуючи (3.32) і (3.34), для знаходження ( )tf2 і ( )tg1 має-

мо систему

( ) ( ) ( )tftgtf 21 =+ ; ( ) ( )( ) ( )( )tfEtgtfE 222111 −ρ=+−ρ . Звідси

( )2211

22111 ρ+ρ

ρ−ρ=

EE

EEtg ( )tf ; ( )

2211

112

2

ρ+ρρ

=EE

Etf ( )tf .

Тоді шуканий розв’язок поставленої крайової задачі визначається форму-лами

( )( ) ( ) (

) ( )( )

<+−>++ρ+

+ρρ−ρ+−

=;0,

;0,,

11

1122

1122111

1

axtaxtf

axtaxtfE

EEEaxtf

txu (3.35)

де 0<<∞− x ;

( )( ) ( )

( )

<−>−−××ρ+ρρ

=,0,0

;0,

2

,

2

22

221111

2

axt

axtaxtf

EEE

txu (3.36)

де +∞<< x0 . У формулі (3.35) доданок

+

+−

=

+

12211

2211

11 a

xtf

EE

EE

a

xtg

ρρρρ

(3.37)

де 01 >+ axt , є відбитою хвилею. З виразу (3.37) випливає: якщо 2211 ρ=ρ EE , то відбита хвиля відсутня

( ) 011 =+ axtg ; якщо 02 =E , то відбита хвиля ( ) ( )111 axtfaxtg +=+ ; якщо

256

+∞=2E , то відбита хвиля ( ) ( )111 axtfaxtg +−=+ . Заломлена хвиля – це ( )txu ,2 при 02 >− axt . З виразу (3.36) випливає: якщо 02 =E , то заломлена хвиля має вдвічі біль-

шу амплітуду, ніж падаюча хвиля ( ) ( )22 2, axtftxu −= ; якщо +∞=2E , то залом-лена хвиля відсутня ( ) 0,2 =txu .

5.3.2. Розв`язання першої крайової задачі для одновимірного хвильового рівняння

методом відокремлення змінних. Стоячі хвилі

Розв`язок хвильового рівняння

2

22

2

2

x

ua

t

u

∂∂=

∂∂

на всій прямій +∞<<∞− x за формулою Д'Аламбера зображається у вигляді суперпозиції двох біжучих хвиль, які поширюються в протилежних напрямках. Якщо розглядати це рівняння на обмеженому проміжку lx <<0 , то біжучих хвиль вже не буде, оскільки вони будуть взаємодіяти з межами області. Замість них виникають інші, що називаються стоячими хвилями.

Метод відокремлення змінних (метод стоячих хвиль або метод Фур`є) – один з найбільш ефективних аналітичних способів розв`язання крайових задач для широкого кола лінійних ДРЧП. Звичайно його застосовують тоді, коли рів-няння і граничні умови є лінійними та однорідними. У багатьох випадках він дозволяє будувати розв`язки крайових задач і для неоднорідних ДРЧП з неод-норідними граничними умовами.

Суть методу відокремлення змінних полягає у відшуканні розв`язку крайо-вої задачі у вигляді ряду Фур`є за деякою ортогональною системою функцій, пов`язаних з цією задачею.

Загальна схема методу для випадку одновимірного однорідного лінійного ДРЧП гіперболічного (чи параболічного) типу:

1) Знаходження всієї нескінченної множини нетривіальних (ненульових) розв`язків спеціального вигляду добутку функцій ( ) ( ) ( )tTxXtxu =, , кожна з яких залежить тільки від одного аргументу, з врахуванням однорідних граничних умов. В результаті ДРЧП розщеплюється на звичайні диференціальні рівняння, кожне з яких включає лише одну функцію-співмножник. Потім знаходять розв`язки цих звичайних диференційних рівнянь, які задовольняють виділені нульові граничні умови на межі досліджуваної області. Однорідні елементарні розв`язки узгоджуються між собою і з них формується нескінченна послідов-ність розв`язків.

2) Побудова на основі принципу суперпозиції розв`язку однорідного ліній-ного ДРЧП, який задовольняє як граничні, так і початкові умови, у вигляді не-скінченного ряду, що формується з одержаної на першому етапі послідовності елементарних розв`язків. Слід зазначити, що в класичному припущенні цей ряд повинен бути рівномірно збіжним разом з рядами, які одержуються з нього ди-ференціюванням необхідне число разів за незалежними змінними. Відповідний

257

розв`язок називається класичним. Якщо вказана умова не виконується, то від-повідний розв`язок називається узагальненим.

Розглянемо задачу про вільні коливання однорідної струни довжини l з жорстко закріпленими кінцями 0=x , lx = . Припустимо, що середовище опору не чинить і зовнішні сили на струну не діють. Математично вона формулюється як перша крайова задача (задача Діріхле) для одновимірного однорідного хвильового рівняння:

знайти розв`язок ( )txu , ДРЧП

2

22

2

2

x

ua

t

u

∂∂=

∂∂ )0,0( ><< tlx (3.38)

який задовольняє початкові умови

( ) ( )xxu ϕ=0, ; ( ) ( )xt

xu ψ=∂

∂ 0, ( )lx <<0 (3.39)

і однорідні граничні умови першого типу ( ) 0,0 =tu ; ( ) 0, =tlu ( )0>t (3.40)

де ( )xϕ , ( )xψ – відомі функції; a , l – відомі числа, 0>a , 0>l . Згідно з методом відокремлення змінних розв`язання задачі (3.38) – (3.40)

розбивається на два етапи: 1) Знаходження нескінченної послідовності елементарних розв`язків, що

задовольняють однорідні граничні умови. Шукаємо ненульові розв`язки у вигляді

( ) ( ) ( )tTxXtxu =, (3.41)

де ( )xX – функція тільки від x , а ( )tT – тільки від t . Підставимо (3.41) в рівняння (3.38) і одержимо

( ) ( ) ( ) ( )tTxXatTxX ′′=′′ 2 .

Відокремимо змінні в цьому рівнянні, поділивши обидві його частини на ( ) ( )tTxXa2

( )( )

( )( )xX

xX

tTa

tT ′′=

′′2

(3.42)

Ця рівність (3.42) двох відношень, кожне з яких залежить тільки від x чи тільки від t , можлива лише у випадку, коли обидва відношення дорівнюють одній і тій же сталій величині. Позначимо її через λ

( )( )

( )( ) λ=′′

=′′

xX

xX

tTa

tT2

.

Звідси дістанемо два звичайні диференціальні рівняння 0=−′′ XX λ ; 02 =−′′ TaT λ (3.43)

де λ – довільне дійсне число (параметр розщеплення). Розв`яжемо рівняння (3.43) для трьох можливих випадків значень парамет-

ра розщеплення λ .

а) Якщо 02 <β−=λ , тоді: 02 =β+′′ XX ; 022 =β+k ; ik β±=2,1 ;

258

( ) ( )xBxAX β+β= sincos (3.44)

022 =β+′′ TaT ; 0222 =β+ ak ; iax β±=2,1 ;

( ) ( )taDtaCT β+β= sincos (3.45)

б) Якщо 0=λ , тоді: 0=′′X ; AX =′ ; BAxX += (3.46)

0=′′T ; CT =′ ; DCtT +=

в) Якщо 02 >β=λ , тоді: 02 =β−′′ xX ; 022 =β−k ; β±=2,1k ;

xx BeAeX β−β += (3.47)

022 =β−′′ TaT ; 0222 =β− ak ; β±= ak 2,1 ; tata DeCeT β−β += .

В силу довільності сталих A ,B ,C ,D ,λ маємо нескінченну множину розв`язків рівняння (3.38).

Виділимо з неї підмножину розв`язків, які задовольняють граничні умови (3.40).

Підставляючи вираз (3.41) у граничні умови (3.40), маємо ( ) ( ) 00 =tTX ; ( ) ( ) 0=tTlX ( )0>t .

Оскільки для ненульових розв`язків (3.41) ( ) 0≠tT ( )0>t , то ( ) 00 =X ; ( ) 0=lX . Таким чином, крайова задача для звичайного диференціального рівняння

(ЗДР) 0=λ−′′ XX ( )lx <<0 (3.48)

(ГУ) ( ) 00 =X ; ( ) 0=lX (3.49)

дає можливість відібрати ненульові розв`язки (3.41), які задовольняють гранич-ні умови (3.40). Значення λ , для якого крайова задача (3.48, (3.49) має ненульо-вий розв`язок, називається власним значенням (власним числом), а відповід-ний розв`язок ( )xX – власною функцією. Множина всіх власних значень нази-вається спектром, а задача (3.48), (3.49) про відшукання спектра і відповідної йому системи власних функцій – спектральною задачею або задачею Шту-рма–Ліувілля. Зазначимо, що власні функції визначаються з точністю до ста-лого множника.

Розглянемо три можливих випадки значень параметра розщеплення λ . а) Якщо 02 <β−=λ , то загальний розв`язок рівняння (3.48) визначається

формулою (3.44). Підставляючи його у граничні умови (3.49), маємо 0=A ; ( ) ( ) 0sincos =β+β lBlA .

Звідси ( ) 0sin =βlB . Якщо покласти 0=B , то отримаємо нульовий розв`язок ( ) 0=xX . Тому треба вважати, що

( ) 0sin =βl .

Розв`язавши одержане тригонометричне рівняння, знаходимо власні зна-чення

259

Znnl ∈π=β , ; lnn π=β ;

222 lnn π−=λ ; ,...2,1=n (3.50) і відповідні їм власні функції

( )l

nxBxX nn

π= sin , ,...2,1=n (3.51)

де nB – довільна стала, відмінна від нуля. Зазначимо, що в (3.50), (3.51) нема необхідності розглядати значення

,...2,1,0 −−=n . При 0=n маємо нульовий розв`язок ( ) 00 =xX , а при ,...2,1−−=n власні функції відрізняються тільки знаком від знайдених ( )xX n і тому не по-повнюють набір власних функцій (3.51) новими лінійно незалежними функці-ями.

В цьому випадку функція ( )tT визначається формулою (3.45), яка з ураху-ванням (3.50) набуває вигляду

( )l

natD

l

natCtT nnn

π+π= sincos (3.52)

де nn DC , – довільні сталі; ,...2,1=n . Відповідно маємо ненульові розв`язки вигляду (3.41) вихідного ДРЧП

(3.38), які задовольняють однорідні граничні умови (3.40)

( )

π+ππ=l

natb

l

nata

l

nxtxU nnn sincossin, (3.53)

де nn ba , – довільні сталі, причому сталі nnn DCB ,, введено до складу nn ba , ; ,...2,1=n . б) Якщо 0=λ , то загальний розв`язок рівняння (3.48) має вигляд (3.46).

Підставляючи його в граничні умови(3.49), одержуємо 0=B ; 0=+ BAl .

Звідси 0;0 == BA , тобто маємо нульовий розв`язок

( ) 0=xX .

в) Якщо 02 >β=λ , то загальний розв`язок рівняння (3.48) має вигляд (3.47). Підставляючи його в граничні умови (3.49), отримаємо систему для знаходжен-ня A і B

0=+ BA ; 0=+ β−β ll BeAe . Оскільки 0≠β , то звідси одержимо 0;0 == BA . Тобто, при будь-якому зна-

ченні 02 >β=λ крайова задача (3.48), (3.49) має тільки нульовий розв`язок ( ) 0=xX . Таким чином, всі ненульові розв`язки ДРЧП(3.38), які задовольняють од-

норідні граничні умови (3.40), утворюють послідовність, що визначається фор-мулою (3.53).

2) Знаходження розв`язку, який задовольняє як граничним, так і початко-вим умовам.

Оскільки задане ДРЧП (3.38) і граничні умови (3.40) лінійні і однорідні, то

260

згідно з принципом суперпозиції сума його розв`язків також є розв`язком. Більш того, функція ( )txu , , яка задається рядом

( ) ( )∑ ∑∞

=

∞

=

π

π+π==1 1

sinsincos,,n n

nnn l

nx

l

natb

l

natatxutxu (3.54)

також є розв`язком, який задовольняє однорідні граничні умови. Для знаходження коефіцієнтів na , nb скористаємося початковими умовами

(3.39). Одержимо

( )xl

nxan

n

ϕ=π∑∞

=sin

1

( )lx <<0 (3.55)

( )∑∞

=ψ=ππ

1

sinn

n xl

nxb

l

na ( )lx <<0 (3.56)

Співвідношення (3.55), (3.56) можна розглядати як розвинення відомих фу-нкцій ( )xϕ і ( )xψ в ряди Фур`є за синусами на проміжку [ ]l;0 . Вважаючи, що умови розвинення цих функцій в ряд Фур`є виконані (наприклад, функції ( )xϕ і

( )xψ задовольняють умовам Діріхле на відрізку [ ]l;0 ), скористаємося відомими формулами для коефіцієнтів Фур'є

( ) ∑∞

=

π=`

sinn

n l

nxAxf ; ( )∫

π=l

n dxl

nxxf

lA

0

sin2

і отримаємо

( )∫πϕ=

l

n dxl

nxx

la

0

sin2 (3.57)

( )∫πψ

π=

l

n dxl

nxx

nab

0

sin2 (3.58)

Отже, розв`язок крайової задачі (3.38) – (3.40) записується у вигляді функ-ціонального ряду (3.54), коефіцієнти якого визначаються за формулами (3.57), (3.58).

Зауваження 1. При розв`язанні крайової задачі методом відокремлення змінних суттєва однорідність граничних умов, причому ці умови можуть бути не тільки першого типу

( ) 0,0 =tu ; ( ) 0, =tlu ( )0>t ,

а й другого ( )

0,0 =

∂∂

x

tu ; ( )0

, =∂

∂x

tlu ( )0>t

чи третього (змішаного)

( ) ( )0

,0,0 =

∂∂β+α

x

tutu ; ( ) ( )

0,

, =∂

∂δ+γx

tlutlu

типу. Якщо граничні умови ненульові, то заміною змінних задачу треба попере-

дньо звести до випадку однорідних (нульових) граничних умов. Наприклад, якщо задано граничні умови

261

( ) ( )tgtu 1,0 = ; ( ) ( )tgtlu 2, = ( )0>t ,

то використовується заміна .wvu += Тут ( )txvv ,= – довільно задана функція, що задовольняє вказані граничні

умови, зокрема, можна покласти ( ) ( ).1 21 tgl

xtg

l

xv +

−= ; ( )txww ,= – нова шукана

функція, що задовольняє однорідні граничні умови. Звичайно, диференціальне рівняння і початкові умови при цьому дещо

ускладнюються. Зауваження 2. Якщо треба розв`язати крайову задачу для неоднорідного

ДРЧП з однорідними граничними умовами, то її розв`язок шукають у вигляді функціонального ряду за власними функціями ( )xX n відповідної однорідної за-дачі (метод розкладання за власними функціями). Можливий також інший підхід: якщо для неоднорідного ДРЧП, яким-небудь способом знайти частин-ний розв`язок v , що задовольняє однорідні граничні і однорідні початкові умо-ви, то введення нової шуканої функції w за формулою wvu += приводить до відповідної крайової задачі для однорідного ДРЧП.

Зауваження 3. Розв`язок першої крайової задачі (3.38) – (3.40), який визна-чається формулою (3.54), можна подати у вигляді

( )

α+ππ= ∑∞

=nn

n l

nat

l

nxAtxu sinsin,

1

(3.59)

де 22nnn baA += (3.60)

22sin nnnn baa +=α ; 22cos nnnn bab +=α . (3.61)

Кожний член ( )

α+ππ= nnn l

nat

l

nxAtxu sinsin, розкладу (3.59) – це так звана

стояча хвиля або власне коливання. Сталі nA і nα називаються відповідно амплітудою і початковою фазою стоячої хвилі ( )txun , . Кожна точка струни з фіксованою абсцисою x здійснює гармонічні коливання ( )txu , з амплітудою

l

nxAn

πsin , різною для різних точок струни, і з однаковими частотою lnan π=ω

і початковою фазою nα . Вся струна розбивається на n рівних ділянок, при-чому точки однієї і тієї ж ділянки знаходяться в одній і тій же фазі nltna α+π , а точки сусідніх ділянок – в прямо протилежних фазах. На рис. 7 зображені по-слідовні положення струни для випадку 3,2,1=n .

Точки, які відділяють одну ділянку від іншої, знаходяться в спокої. Це так звані вузли. Середини ділянок, які називають пучностями, коливаються з най-більшою амплітудою nA . Основний тон, який характеризує висоту звуку, ви-значається першою складовою ( )txu ,1 . Інші тони (обертони), ( )txun , , ...,3,2=n , які видає струна одночасно з основним тоном, характеризують певне забарв-лення (тембр) звуку. Рух струни в цілому представляє собою накладання різ-них власних коливань, коли струна одночасно бере участь у всіх цих коливан-

262

нях. Приклад 1. Знайти закон коливань струни довжиною l , яка розміщена на

відрізку [ ]l;0 , якщо в початковий момент струні надають форми синусоїди

( ) xl

Axπ=ϕ 2

sin , а потім її відпускають без початкової швидкості. Кінці струни

закріплені, зовнішні сили відсутні. Розв`язання. З математичної точки зору маємо першу крайову задачу: знайти розв`язок однорідного хвильового рівняння

2

22

2

2

x

ua

t

u

∂∂=

∂∂ )0,0( ><< tlx

який задовольняє початкові умови

( ) ( )( )lxAxu π= 2sin0, ; ( )0

0, =∂

∂t

xu ( )lx <<0

і однорідні граничні умови першого типу ( ) 0,0 =tu ; ( ) 0, =tlu ( )0>t

За формулами (3.57) і (3.58) знаходимо

=≠

=ππ= ∫ ;2,

;2,0sin

2sin

2

0 nA

ndx

l

nxx

lA

la

l

n

∫ =π⋅π

=l

n dxl

nx

nab

0

0sin02 .

Тоді згідно з (3.54) одержуємо шуканий розв`язок

( ) .sincos,1∑∞

=×

π+π=n

nn l

natb

l

natatxu

l

x

l

atA

l

nx πππ 2sin

2cossin = .

Приклад 2. По середині вільної струни, кінці якої закріплені в точках 0=x і lx = , в початковий момент часу 0=t вдаряють плоским молоточком шириною

h і надають відповідній ділянці струни початкової швидкості 0v . Визначити форму струни в довільний момент часу t , якщо початкове відхилення струни відсутнє.

Розв`язання. Математично маємо першу крайову задачу: знайти розв`язок однорідного хвильового рівняння

2

22

2

2

x

ua

t

u

∂∂=

∂∂ )0,0( ><< tlx , який задовольняє початкові умови

( ) 00, =xu ; ( )0

0,v

t

xu =∂

∂

+≤≤−2222hl

xhl ; ( )

00, =

∂∂

t

xu

<<+−<< lxhlhl

x22

;22

0

і однорідні граничні умови ( ) 0,0 =tu ; ( ) 0, =tlu ( )0>t . За формулами (3.57) і (3.58) знаходимо

∫ =π⋅=l

n dxl

nx

la

0

0sin02 ;

( )

( )

l

nhn

an

lvdx

l

nxv

nab

hl

hln 2

sin2

sin4

sin2

220

2/

20

πππ

=ππ

= ∫+

−

.

Тоді згідно з (3.54) одержуємо шуканий розв`язок

2=t1=t

0=t

1=n

2=n

2l

3=n

3l

32l

l

Рис. 7

263

( ) ∑∞

=

πππππ

=1

220 sinsin

2sin

2sin

14,

n l

nx

l

nat

l

nhn

na

lvtxu .

Приклад 3. Провідник довжиною l , по якому тече змінний струм, вкритий такою якісною ізоляцією, що втрати через його поверхню практично відсутні. Крім того, активний опір настільки малий, що ним можна знехтувати. Початко-ве значення сили струму в провіднику дорівнює нулю ( ) 00, =xu , а початкова

напруга задається формулою ( )l

xExu

23

sin0, 0π= . Обидва кінці провідника ізольо-

вані. Знайти силу струму ( )txi , в кожній точці провідника в довільний момент часу.

Розв`язання. Сила струму ( )txi , задовольняє телеграфному рівнянню (2.12). Оскільки за умовою задачі втрати через ізоляцію і активний опір відсутні, тобто

0=G , 0=R , то це рівняння переходить в однорідне хвильове рівняння

2

22

2

2

x

ia

t

i

∂∂=

∂∂ ,

де LC

a12 = ; L – індуктивність, C – ємність провідника.

З першого рівняння (2.7) системи (2.7), (2.8) маємо

iL

R

x

u

Lt

i −∂∂−=

∂∂ 1 .

Оскільки з умови задачі

( ) 00, =xi , ( )l

x

l

E

x

xu

23

cos2

30, 0 ππ=∂

∂ ,

то звідси одержимо ( )

l

x

lL

E

t

xi

23

cos2

30, 0 ππ−=∂

∂ .

Оскільки кінці провідника ізольовані, то шукана функція ( )txi , задовольняє однорідні граничні умови ( ) 0,0 =ti , ( ) 0, =tli .

Таким чином, задача допускає наступне математичне формулювання: знайти розв`язок однорідного хвильового рівняння

2

22

2

2

x

ia

t

i

∂∂=

∂∂ ,

який задовольняє початкові умови

( ) 00, =xi ; ( )l

x

lL

E

t

xi

23

cos2

30, 0 ππ−=∂

∂

і однорідні граничні умови ( ) 0,0 =ti , ( ) 0, =tli . За формулами (3.57), (3.58) знаходимо

0sin02

0

=π⋅= ∫l

n dxl

nx

la ; ( )∫ −

=π

ππ−π

=l

nnaL

Edx

l

ns

l

x

lL

E

nab

02

00

94

12sin

23

cos2

32 .

Тоді згідно з (3.54) одержимо шуканий розв`язок

264

( ) ∑∞

=

ππ−

=1

20 sinsin

94

112,

n l

nx

l

nat

naL

Etxi .

Приклад 4. Вимушені коливання однорідної струни, кінці якої 0=x і lx = жорстко закріплені, описуються хвильовим рівнянням

( )txfx

ua

t

u,

2

22

2

2

+∂∂=

∂∂ ,

де вільний член, що відображає неперервно розподілену збуджуючу силу, зада-ється рівністю ( ) txtxf ω= sin, .

Знайти відхилення точок струни ( )txu , при вимушених коливаннях, якщо початкові відхилення і швидкості дорівнюють нулю. Опором середовища зне-хтувати. Тут a і l – відомі величини.

Розв`язання. Математична постановка задачі має вигляд:

(ДРЧП) txx

ua

t

u ω+∂∂=

∂∂

sin2

22

2

2

( )0,0 ><< tlx ;

(ПУ) ( ) ;00, =xu ( )0

0, =∂

∂t

xu ( )lx <<0 ; (ГУ) ( ) ;0,0 =tu ( ) 0, =tlu ( )0>t .

Основна ідея розв`язання цієї задачі полягає в розкладі вільного члена ( ) txtxf ω= sin, і шуканої функції ( )txu , у відповідні ряди за власними функція-

ми ( )l

nxxXn

π= sin задачі Штурма–Ліувілля (3.48), (3.49):

( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑∞

=

∞

=

π==ω=1 1

sinsin,n n

nnn l

nxtfxXtftxtxf ; ( ) ( ) ( ) ( )

l

nxtTxXtTtxu

nn

nnn

π== ∑∑∞

=

∞

= 11

sin, .

Одержані співвідношення є розвиненнями відповідних функцій у ряди Фур`є за синусами на проміжку [ ]l;0 . Оскільки функція ( )txf , відома, то обчи-слимо коефіцієнти її ряду Фур`є:

( ) ( )∫ ∫ =πω=π=l l

n dxl

nxxt

ldx

l

nxtxf

ltf

0 0

sinsin2

sin,2 ;sin~;~;~ dx

l

nxvddxudxu

π===

l

nx

n

lv

ππ

−= cos~ =

ππ

+ππ

−ω= ∫ll

dxl

nx

n

l

l

nx

n

lxt

l 00

coscossin2

( )t

n

l

l

nx

n

ln

n

l

l

t nl

ωπ−=

ππ

+ππ

−ω=+

sin12

sincossin2 1

022

22

.

Для знаходження коефіцієнтів ( )tTn підставимо в ДРЧП отримані розви-нення. В результаті маємо

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑∑∞

=

∞

=

∞

=+′′=′′

1 11

2

n nnnnn

nnn xXtfxXtTaxXtT .

Оскільки згідно з рівнянням (3.48) ( ) ( ),xXxX nnn λ=′′ то одержимо

( ) ( ) ( )( ) ( )∑∞

==−λ−′′

1

2 0n

nnnnn xXtftTatT ,

де 222 lnn π−=λ - власні числа задачі Штурма–Ліувілля.

265

Система власних функцій ( )l

nxxXn

π= sin ( )...,2,1=n лінійно незалежна.

Тому рівність останнього ряду нулю можлива тільки в тому випадку, коли всі коефіцієнти при ( )xX n дорівнюють нулю. Звідси маємо диференціальні рівнян-ня:

( ) ( ) ( ) 02 =−λ−′′ tftTatT nnnn ( )...,2,1=n . Підставимо розклад ( )txu , в початкові умови

( ) 0sin01

=π∑∞

= l

nxT

nn ; ( ) 0sin0

1

=π′′∑∞

= l

nxT

nn .

Звідси ( ) 00 =nT , ( ) 00 =′nT ( )...,2,1=n . Таким чином, кожна функція ( )tTn визначається як розв`язок задачі Коші

для звичайного диференціального рівняння:

(ЗДР) ( ) ( ) ( )tftTatT nnnn =λ−′′ 2 , (ПУ) ( ) ;00 =nT ( ) 00 =′nT ,

де 2

22

l

nn

π−=λ ; ( ) ( )t

n

ltf

n

n ωπ−=

+

sin12 1

.

Розв`яжемо поставлену задачу Коші за допомогою характеристичного рів-няння:

( )t

n

lT

l

anT

n

nn ωπ−=π+′′

+

sin12 1

2

222

; 02

2222 =π+

l

ank ;

il

nak

π±= ; tl

naCt

l

naCT n

π+π= sincos 21 .

Якщо частота вимушених коливань не співпадає ні з однією з власних час-тот, тобто lnaπ≠ω , тоді

tBtATn ω+ω=∗ sincos ; tBtATn ωω+ωω−=′∗ cossin ;

tBtATn ωω−ωω−=′′∗ sincos 22 ; ×π+ωω−ωω−2

2222 sincos

l

antBtA

( ) ( )t

n

ltBtA

n

ωπ−=ω+ω×

+

sin12

sincos1

; tωcos : 02

2222 =π+ω− A

l

anA ;

tωsin : ( )n

lB

l

anB

n

π−=π+ω−

+1

2

2222 12 .

Звідси

0=A ; ( )( )2222

13 12

lann

lB

n

ω−ππ−=

+

.

Тоді

( ) +π+π=+= ∗ tl

naCt

l

naCTTtT nn sincos 21

( )( ) t

lann

l n

ωω−ππ

− +

sin12

22222

13

.

Якщо частота вимушених коливань співпадає з однією з власних частот, тобто lnaπ=ω при деякому значенні ...,2,1=n (явище резонансу) , то в цьому випадку ЗДР набуває вигляду

266

( )t

n

lTT

n

nn ωπ−=ω+′′

+

sin12 1

2 .

Тоді ( )ttBtATn ω+ω=∗ sincos ;

( )ttBtAtBtATn ωω+ωω−+ω+ω=′∗ cossinsincos ;

+ωω−ωω+ωω−=′′∗ tAtBtATn sincossin ( )ttBtAtB ωω−ωω−+ωω sincoscos 22 ;

( −ωω−+ωω+ωω− tAtBtA coscos2sin2 2

) ( ) =ω+ωω+ωω− ttBtAttB sincossin 22 ( )t

n

l n

ωπ

sin12 1+− ;

tωcos : 02 =ωB ; 0=B ;

tωsin : ( )n

lA

n

π−=ω−

+1122 ; ( )

ωπ−−=

+

n

lA

n 11 .

Таким чином, ( ) +π=+= ∗ tl

naCTTtT nnn cos1

( )tt

n

lt

l

naC

n

ωωπ

πcos

1sin

1

2

+−− .

Враховуючи початкові умови ( ) 00 =nT ; ( ) 00 =′nT

знаходимо значення довільних сталих 21, CC . При відсутності резонансу ( lnaπ≠ω ):

( ) 00 =nT : 01 =C ;

( ) 00 =′nT : ( )( ) 0

1222222

13

2 =ω−ππω−+π +

lann

l

l

naC

n

.

Звідси 01 =C ; ( )( )2222222

14

212

lann

lC

n

ω−ππ−ω−=

+

.

Тоді ( )( ) +π

ω−ππ−ω−=

+

tl

na

lann

lT

n

n sin12

2222222

14 ( )( ) t

lann

l n

ωωππ

sin12

22222

3

−− .

При наявності резонансу (l

naπ=ω при a

lnn p π

ω== ):

( ) 00 =nT : 01 =C ;

( ) 00 =′nT : ( )0

1 1

2 =ωπ

−−π +

n

l

l

naC

n

.

Звідси 01 =C ; ( )( )

( )2

11

211

ωπ−=

ωππ−=

++

n

l

nlna

lC

nn

.

Тоді ( ) ( ) ( )tt

n

lt

n

ltT

nn

n ωωπ

−−ωωπ

−=++

cos1

sin1 1

2

1

.

Таким чином, при відсутності резонансу ( lnaπ≠ω ) шуканий розв`язок має вигляд

( ) ( ) ( ) ( )( )∑ ∑

∞

=

∞

=

+

×ω−π

−π

==1 1

22222

13 12,

n n

n

nnlann

lxXtTtxu

l

nxt

l

na

n

lt

πππωω sinsinsin

− .

267

Відповідно, при наявності резонансу коливання резонансної частоти необ-межено зростають за амплітудою. Тому для достатньо віддалених моментів ча-су 0>>t справедливо

( ) ( ) ( ) =π

⋅ωωπ

−≈≈l

xntt

n

ltxutxu

p

p

n

np

p

sincos1

,,( )( ) ( )

a

xtt

aal ωωω

πω

sincos1

2⋅− .

Приклад 5. Розв`язати першу крайову задачу:

(ДРЧП) tux

u

t

u2

2

2

2

2

−+∂∂=

∂∂ ( )0;20 ><< tx ;

(ПУ) ( ) ;0, =oxu ( )0

0, =∂

∂t

xu ( )20 << x ; (ГУ) ( ) ;2,0 ttu = ( ) 0,2 =tu ( )0>t .

Розв`язання. Невідому функцію ( )txu , будемо шукати у вигляді

( ) ( ) ( )txwtxvtxu ,,, += , де ( ) ( )xttxv −= 2, – функція, що задовольняє заданим граничним умовам.

Тоді функція ( ) ( ) ( )txvtxutxw ,,, −= задовольняє нульовим граничним умовам

( ) ( ) 0,2\,0 == twtw , диференціальному рівнянню txwx

w

t

w −+∂∂=

∂∂

2

2

2

2

і наступним

початковим умовам ( ) 00, =xw ; ( )2

0, −=∂

∂x

t

xw .

Щоб знайти функцію ( )txw , , розв`яжемо допоміжну задачу:

знайти ненульовий розв`язок ДРЧП wx

w

t

w +∂∂=

∂∂

2

2

2

2

спеціального вигляду

( ) ( ) ( ),, tTxXtxw = який задовольняє однорідним граничним умовам ( ) 0,0 =tw ; ( ) 0,2 =tw . Підставляючи ( ) ( )tTxXw = в ДРЧП, одержимо

XTTXXT +′′=′′ ; λ−=′′

=−′′

X

X

T

T1 ,

де 0>λ – параметр розщеплення. Звідси дістанемо два звичайних диференціальних рівняння

0=λ+′′ XX ; ( ) 01 =−λ+′′ TT . З граничних умов ( ) 0,0 =tw , ( ) 0,2 =tw і рівності ( ) ( )tTxXw = випливає, що

( ) ( ) 00 =tTX . Звідси ( ) 00 =X ; ( ) 02 =X . Таким чином, приходимо до задачі Штурма–Ліувілля

( ) ( )

===λ+′′

.02;00

;0

XX

XX

Власні значення і власні функції цієї задачі відповідно 2

2

π=λ nn , ( )

2sin

nxxXn

π= ( )...,2,1=n .

Тоді з рівняння ( ) 01 =−+′′ TT λ маємо ( ) tBtAtT nnnnn µ=µ= sincos , де

( ) 12 2 −π=µ nn , ...,2,1=n ; nA , nB – довільні сталі.

268

Функції ( ) ( )2

sinsincos,nx

tBtAtxw nnnnnπµ+µ= ( )...,2,1=n є розв`язками допо-

міжної задачі. Тепер розв'яжемо дві наступні перші крайові задачі.

1) (ДРЧП) wx

w

t

w +∂∂=

∂∂

2

2

2

2

( )0;20 ><< tx ;

(ПУ) ( ) 00, =xw ; ( )2

0, −=∂

∂x

t

xw ( )20 << x ; (ГУ) ( ) 0,0 =tw ; ( ) 0,2 =tw ( )0>t .

2) (ДРЧП) xtwx

w

t

w −+∂∂=

∂∂ ~

~~2

2

2

2

( )0;20 ><< tx ;

(ПУ) ( ) 00,~ =xw , ( )0

0,~=

∂∂

t

xw ( )20 << x ; (ГУ) ( ) 0,0~ =tw ; ( ) 0,2~ =tw ( )0>t .

Згідно з принципом суперпозиції ( ) ( ) ( )txwtxwtxw ,~,, += . Розв`язок першої задачі задається рядом

( ) ( )∑∞

=

πµ+µ=1 2

sinsincos,n

nnnnnx

tbtatxw ,

де коефіцієнти na і nb визначаються за формулами:

( )∫ =π=2

0

02

sin0, dxnx

xwan ; ( )∫ =π

∂∂

µ=

2

0 2sin

0,1dx

nx

t

xwb

nn ( )∫ −=−

2

0

4

2sin2

1

nn ndx

xnx

πµπ

µ .

Отже, ( ) =π+µ

πµ−= ∑

∞

= 2sinsin

4,

1

xnt

ntxw

nn

n∑

∞

=

+−1 2

sinsin14

nn

n

xnt

n

πµµπ

.

Розв`язок другої задачі шукаємо у вигляді розкладу за власними функціями задачі Штурма–Ліувілля

( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑∞

=

∞

=

π==1 1 2

sin~~,~n n

nnnnx

tTxXtTtxw .

При цьому вільний член ( ) txtxf −=, також розкладаємо за власними функ-ціями

( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑∞

=

∞

=

==−=1 1 2

sin,n n

nnn

xntfxXtftxtxf

π .

Останнє співвідношення є розкладом відомої функції ( ) txtxf −=, в ряд Фур`є за синусами на проміжку [ ]2;0 . Обчислимо коефіцієнти цього ряду

( ) ( )∫ ∫ =π−=π=2

0

2

0 2sin

2sin,

2

2dx

xnxtdx

xntxftfn

( )π

−=

ππ

+ππ

−−= ∫ n

tdx

xn

n

xn

n

xt

n14

2cos

2

2cos

2 2

0

2

0

.

Підставляючи одержані розклади у відповідне ДРЧП і початкові умови, приходимо до задачі Коші:

(ЗДР) ( )π

−=µ+′′n

tTT

n

nnn142 ( )0>t ; (ПУ) ( ) 00 =nT , ( ) 00 =′nT .

Знайдемо розв`язок цієї задачі за допомогою характеристичного рівняння:

269

;;022 ikk nn µ±==µ+ tCtCT nnn µ+µ= sincos 21 ;

BAtTn +=∗ ; ATn =′∗ ; 0=′′∗nT ; ( ) ( )n

BAtn

n π−=+µ 142 ;

:t ( )n

An

n π−=µ 142 ; ( )

2

14

n

n

nA

µπ−= ;

:0t 02 =µ Bn ; 0=B .

Тоді ( )221

14sincos

n

n

nnnnnn

ttCtCTTT

µπ−+µ+µ=+= ∗ .

З початкових умов знаходимо значення довільних сталих 1C , 2C :

( ) 00 =nT : 01 =C ; 01 =C ;

( ) 00 =′nT : ( )0

1422 =

µπ−+µ

n

n

nn

C ; ( )32

14

n

n

nC

µπ−−= .

Тоді ( ) ( ) ( )23

14sin

14

n

n

nn

n

nn

tt

ntT

µπ−+µ

µπ−−= . Отже,

( ) ( ) ( )∑∞

=×

µπ−+µ

µπ−−=

123

14sin

14,~

n n

n

nn

n

n

tt

ntxw

( ) ( )∑∞

=

πµ

µ−µ−π

=π1

3 2sin

sin14

2sin

n n

nnn xn

n

ttxn ;

( ) +π⋅µµπ

−= ∑∞

= 2sinsin

14,

1

xnt

ntxw

nn

n

( ) ( )∑∞

==π

µµ−µ−

π 13 2

sinsin14

n n

nnn xn

n

tt

( ) ( )∑∞

=

πµ

µ−−µ−µ−π

=1

3 2sin

sin1sin14

n n

nn

nnn xn

n

ttt .

Тоді

( ) ( ) ( ) ( ) ×π

+−=+= 42,,, xttxwtxvtxu

( ) ( )∑∞

=

πµ

µ−−µµ−µ−

13

2

2sin

sin1sin1

n n

nn

nnnn xn

n

ttt

– шуканий розв`язок вихідної крайової задачі.

5.3.3. Розв’язання другої крайової задачі для одновимірного рівняння теплопровідності

методом відокремлення змінних

Розглянемо задачу про поширення тепла в однорідному стержні довжини l , всередині якого відсутні теплові джерела, а бічна поверхня теплоізольована. Припустимо, що початковий розподіл при 0=t температури ( )txu , в стержні

( ) ( )xxu ϕ=0, ( )lx <<0 , де ( )xϕ – відома функція, а обидва кінці стержня 0=x і lx = теплоізольовані, тобто теплові потоки через них відсутні:

( )0

,0 =∂

∂x

tu ; ( )0

, =∂

∂x

tlu ( )0>t .

Математично ця задача формулюється як друга крайова задача (задача Неймана) для одновимірного рівняння теплопровідності:

270

Знайти розв’язок ( )txu , ДРЧП

2

22

x

ua

t

u

∂∂=

∂∂ ( )0;0 ><< tlx (3.62)

який задовольняє початкову умову ( ) ( )xxu ϕ=0, ( )lx <<0 (3.63)

і однорідні граничні умови другого типу ( )

0,0 =

∂∂

x

tu , ( )0

, =∂

∂x

tlu ( )0>t (3.64)

де ( )xϕ – відома функція; a , l – відомі числа, 0>a , 0>l . На першому етапі розв’язання задачі методом відокремлення змінних шу-

каємо ненульові розв’язки однорідного рівняння (3.62), які задовольняють од-норідні граничні умови (3.64) у вигляді добутку функцій

( ) ( ) ( )tTaXtxu =, (3.65) Використовуючи відокремлення змінних у рівнянні (3.62) і граничних умо-

вах (3.64) (зробіть це самостійно), дістанемо звичайне диференціальне рівняння для знаходження функції ( )tT

( ) ( ) 02 =−′ tTatT λ (3.66) і крайову задачу Штурма–Ліувілля

( ) ( ) 0=′λ−′′ xXxX ( )lx <<0 (3.67)

( ) ( ) 00 =′=′ lXX (3.68) для знаходження функції ( )xX і довільної сталої λ (параметра розщеплення).

Рівняння (3.67) співпадає з рівнянням (3.48), яке уже розв’язувалось в по-передньому пункті 5.3.2.

Якщо 02 <β−=λ , то загальний розв’язок цього рівняння визначається фор-мулою (3.44) ( ) ( ) ( )xBxAxX β+β= sincos , де A і B - довільні сталі.

З граничних умов (3.68) маємо ( ) 00 =′X : 0=B ;

( ) 0=′ lX : ( ) ( ) 0cossin =ββ+ββ− lBlA ; 0sin =βlA . Якщо покласти 0=A , то одержимо нульовий розв’язок ( ) 0≡xX . Тому тре-

ба покласти 0sin =βl . Розв’язавши одержане тригонометричне рівняння, знаходимо власні зна-

чення nl π=β , lnn π=β ( )Zn∈ ;

222 lnn π−=λ ( )...,2,1=n (3.69) і відповідні їм власні функції

( )l

nxAxX nn

π= cos ( )...,2,1=n (3.70)

де nA – довільна стала, відмінна від нуля. Якщо 0=λ , то загальний розв’язок рівняння (3.67) визначається формулою

(3.46) ( ) BAxxX += , де A і B - довільні сталі.

271

Граничні умови (3.68) дозволяють знайти тільки довільну сталу A ( ) 00 =′X : 0=A ; ( ) 0=′ lX : 0=A .

Звідси ( ) .BxX = . Тоді 0. 0 =λ – власне значення; ( ) 00 AxX = – відповідна власна функція. Тут 0A – довільна стала, відмінна від нуля.

Якщо 02 >β=λ , то загальний розв’язок рівняння (3.67) визначається фор-мулою (3.47) ( ) xx BeAexX β−β += , де A і B – довільні сталі.

Підставляючи його в граничні умови (3.68), отримаємо систему для знахо-дження A і B :

( ) 00 =′X : 0=β−β BA ;

( ) 0=′ lX : 0=β−β ββ ll eBeA . Оскільки 0≠β , то звідси одержимо 0=A ; 0=B . Тобто, при будь-якому значенні 02 >β=λ крайова задача (3.67), (3.68) має

тільки нульовий розв’язок ( ) 0≡xX . Таким чином, об’єднуючи всі можливі випадки λ , маємо послідовність

власних значень 222 lnn π−=λ ( )...,2,1,0=n (3.71)

і відповідних власних функцій

( )l

nxAxX nn

π= cos ( )...,2,1,0=n (3.72)

При nλλ = диференціальне рівняння (3.66) набуває вигляду

( ) ( ) 02

222

=π+′ tTl

antT nn ( )...,2,1,0=n .

Це рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними. Розв’яжемо його:

∫ ∫π−= dt

l

an

T

dT

n

n2

222

; nn Ctl

anT lnln

2

222

+π−= ;

( )tlannn eCT

2222π−= ( )...,2,1,0=n (3.73) Підставляючи функції (3.72) і (3.73) в формулу (3.65), знаходимо послідов-

ність ненульових розв’язків рівняння (3.62), які задовольняють однорідні гра-ничні умови (3.64)

( ) ( )l

nxeatxu tlan

nnπ= π− cos,

2222

( )...,2,1,0=n (3.74)

де na – довільна стала, причому сталі nA і nC введено до складу na . На другому етапі методу відокремлення змінних будується розв’язок ДРЧП

(3.62), який задовольняє як граничні (3.64), так і початкові (3.63) умови. За за-гальною схемою методу такий розв’язок формується у вигляді функціонального ряду:

( ) ( )l

nxeatxu tlan

nn

π= π−∞

=∑ cos,

2222

0

(3.75)

Коефіцієнти ряду (3.75) na , ...,2,1,0=n знаходять за початковою умовою

272

(3.63):

( ) ( )xxu ϕ=0, : ( )l

nxax

nn

π=ϕ ∑∞

=cos

0

(3.76)

Розглядаючи співвідношення (3.76) як розвинення заданої функції ( )xϕ в ряд Фур’є за косинусами на відрізку [ ]l;0 і користуючись відомими формулами для обчислення коефіцієнтів ряду Фур’є, отримаємо

∫π=

l

dxl

nx

la

00 cos

1 ; ( ) dxl

nxx

la

l

nπϕ= ∫ cos

2

0

( )...,2,1=n (3.77)

Отже, розв’язок другої крайової задачі (3.62)–(3.64) записується у вигляді функціонального ряду (3.75), коефіцієнти якого обчислюються за формулами (3.77).

Зауваження. Для випадку першої крайової задачі для одновимірного одно-рідного рівняння теплопровідності:

(ДРЧП) 2

22

x

ua

t

u

∂∂=

∂∂ ( )0,0 ><< tlx (3.78)

(ПУ) ( )xxu ϕ=)0,( ( )lx <<0 (3.79)

(ГУ) ( ) 0,0 =tu , ( ) 0, =tlu ( )0>t (3.80) застосування методу відокремлення змінних дозволяє знайти її розв’язок у ви-гляді ряду

( ) ( )l

nxebtxu

n

tlann

π= ∑∞

=

π− sin,1

2222

(3.81)

де

( ) dxl

nxx

lb

l

nπϕ= ∫ sin

2

0

(3.82)

(Перевірте це самостійно). Приклад 1. Розв'язати першу крайову задачу:

(ДРЧП) 2

2

x

u

t

u

∂∂=

∂∂ ( )0,20 ><< tx ;

(ПУ) ( )xxu ϕ=)0,( =

<≤−<<

;21,2

;10,

xx

xx (ГУ) ( ) 0,0 =tu , ( ) 0,2 =tu ( )0>t .

Розв’язання. В даній задачі 12 =a , 2=l . Згідно з (3.81) шуканий розв’язок записується у вигляді ряду

( ) ( )2

sin, 4

1

22 nxebtxu tn

nn

π= π−∞

=∑ ,

де коефіцієнти nb обчислюються за формулою (3.82)

( ) +π=πϕ= ∫∫ dxnx

xdxnx

xbn 2sin

2sin

2

2 1

0

2

0

( )2

sin8

2sin2

22

2

1

n

ndx

nxx

ππ

π =−∫ .

Оскільки ( )

===−=−=π

,...,2,1,2,0

...;,2,1,12,1

2sin

mmn

mmnn m

273

то шуканий розв’язок можна подати у вигляді ряду

( ) ( )( )

( )( ) ( )∑∞

=

−π−+ −π

−−

π=

1

4122

1

2 212

sin12

18,

22

m

tmm xm

em

txu .

5.3.4. Розв’язання першої крайової задачі для рівняння

Лапласа у крузі методом відокремлення змінних. Інтегральна формула Пуассона

Нехай у крузі радіуса 0ρ з центром в початку координат треба знайти розв’язок ( )ϕρ,u рівняння Лапласа (в полярних координатах)

011

2

2

22

2

=ϕ∂

∂ρ

+ρ∂

∂ρ

+ρ∂

∂ uuu ( )00;20 ρ<ρ<π<ϕ< (3.83)

який задовольняє граничну умову ( ) ( )ϕ=ϕρ gu ,0 ( )π<ϕ< 20 (3.84)

а також додаткові умови (що випливають з фізичних міркувань) ( )ϕρ,u – неперервна функція в крузі 00 ρ≤ρ≤ (а, отже, обмежена в даному

крузі); ( )ϕρ,u – періодична функція відносно ϕ з періодом π2 , тобто

( ) ( )ϕρ=π+ϕρ ,2, uu . Тут ϕ – полярний кут; ρ – полярний радіус; ( )ϕg – відома періодична фу-

нкція періоду π2 . Розв’язок поставленої першої крайової задачі (задачі Діріхле) для рівнян-

ня Лапласа у крузі шукаємо методом відокремлення змінних у вигляді ( ) ( )ϕΦρ= Ru (3.85)

Підставляючи (3.85) у рівняння Лапласа (3.83), маємо:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0''1

'1

'' 2 =ρϕΦρ

+ρϕΦρ

+ρϕΦ RRR ; ( )( )

( ) ( )( ) λ−=ρ

ρ′ρ+ρ′′ρ−=ϕΦϕΦ

R

RR2'' ,

де 0≥λ . Зазначимо, що при 0<λ розв’язок неперіодичний. (Перевірте це самостій-

но).

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0''';0'' 2 =ρλ−ρρ+ρρ=ϕΦλ+ϕΦ RRR . Якщо 0=λ , то

( ) ( ) BA +ϕ=ϕΦ=ϕΦ ;0'' ; ( ) ( ) ( ) ( ) 0;;02 =+′ρρ=ρ′=ϕ′ρ+ϕ′′ρ vvvRRR ;

∫ ∫ +ρ−=ρρ−= Cv

d

v

dvlnlnln; ;

ρ= C

v ; ( )ρ

=ρ′ CR ; ( ) ∫ ρ

ρ=ρ dCR ;

( ) DCR +ρ=ρ ln ; ( ) ( )( )DCBAu +ρ+ϕ=ϕρ ln,0 , де DCBA ,,, – довільні сталі.

Оскільки функція ( )ϕρ,0u – періодична по ϕ , то 0=A . Із неперервності функції ( )ϕρ,0u в центрі круга при 0=ρ маємо 0=C .

Отже,

274

( ) 2, 00 au =ϕρ (3.86)

де 0a – довільна стала, в яку введено B і D . Якщо 0>λ , то

( ) ( ) ikk λ±==λ+=ϕΦλ+ϕΦ ;0;0'' 2 ; ( ) ϕλ+ϕλ=ϕΦ sincos BA ;

( ) ( ) ( ) ( ) αρ=ρ=ρλ−ρ′ρ+ρ′′ρ RRRR ;02 ; ( ) 01 122 =λρ−ραρ+ρ−ααρ α−α−α ;

( ) 01 =λ−α+−αα ; λ±=α=λ−α ;02 ; ( ) λλ− ρ+ρ=ρ DCR ;

( ) ( )( )λλ− ρ+ρϕλ+ϕλ=ϕρ DCBAu sincos, , де DCBA ,,, – довільні сталі.

Оскільки розв’язок ( )ϕρ,u неперервний в центрі круга при 0=ρ , то 0=C . Тоді

( ) ( ) λρϕλ+ϕλ=ϕρ sincos, bau , де ba, – довільні сталі.

Знайдений розв’язок має період λπ2 . Цей період дорівнює π2 або ціле число разів міститься в π2 тоді і тільки тоді, коли λ – ціле додатне число, тобто

n=λ ; 2nn =λ ( )...,2,1=n . Отже,

( ) ( ) nnnn nbnau ρϕ+ϕ=ϕρ sincos, (3.87)

Згідно з принципом суперпозиції довільна сума знайдених функцій (3.86), (3,87) і навіть ряд

( ) ( ) nnn

n

nbnaa

u ρϕ+ϕ+=ϕρ ∑∞

=sincos

2,

1

0 (3.88)

також буде розв’язком рівняння (3.83). Довільні сталі nn baa ,,0 ( )...,2,1=n знаходимо з граничної умови (3.84):

( ) ( )ϕ=ρϕ+ϕ+∑∞

=gnna

a nn

n0

1

0 sinlncos2

; ( ) ( )ϕρ+ϕρ+=ϕ ∑∞

=nbna

ag n

nn

nn

sincos2 00

1

0 .

Розглядаючи останній вираз як розклад функції ( )ϕg в ряд Фур’є і викорис-товуючи формули для коефіцієнтів ряду Фур’є, одержимо

( ) ϕϕπ

= ∫π

dga2

00

1 ; ( ) ϕϕϕπρ

= ∫π

dngann cos

1 2

00

й (3.89)

( ) ϕϕϕπρ

= ∫π

dngbnn sin

1 2

00

(3.90)

Знайдений розв’язок (3.88) можна подати в інтегральній формі. Для цього підставимо вирази для коефіцієнтів (3.89) і (3.90) у ряд (3.88). Тоді, використо-вуючи формулу Ейлера

( ) 2cos α−α +=α ii ee і формулу суми нескінченно спадної геометричної прогресії

275

)1(00

0 xaxa n

n

−=∑∞

= ,

одержимо

( ) ( ) ( ) ×ρρπ

+ϕϕπ

=ϕρ ∑∫∞

=

π

10

2

0

121

,n

ndgu ( )( ) =+∫ θϕθϕθϕπ

dnnnng sinsincoscos2

0

( ) ( ) ( ) =θθ

θ−ϕρρ+π

= ∫ ∑π ∞

=

2

0 10 cos21

21

dgnn

n ( ) ( ) ( )( ) ( ) =

++∫ ∑∞

=

−−−π

θϕθϕ θθρρπ

2

0 101

2

1dgee

n

ininn

( ) ( ) ( ) ( )( )∫ ∑π ∞

=

θ−ϕθ−ϕ

+ρρρρ+π

=2

0 0001

21

n

nii ee ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) =

∑

∞

=

−−−− θθρρρρ θϕθϕ dgeen

nii

000

( )( ) ( )

( )∫π

θ−ϕ−θ−ϕ

θ−ϕ

×

ρρ+

ρρ−⋅

ρρ+

π=

2

0 000 1

11

21 i

ii e

ee ( ) ( ) ( ) =

− −− θθρρ θϕ dg

e i01

1

( )

( )

( )

( ) ( )∫π

θ−ϕ−

θ−ϕ−

θ−ϕ

θ−ϕ=θθ

ρ−ρρ+

ρ−ρρ+

π=

2

0 00

12

1dg

e

e

e

ei

i

i

i

( ) ( )∫ +−−−π

θθρθϕρρρ

ρρπ

2

02

020

220

cos22

1dg .

Розв’язок задачі Діріхле (3.83), (3.84) в отриманій формі

( ) ( ) ( )∫π

θθρ+θ−ϕρρ−ρ

ρ−ρπ

=ϕρ2

02

020

220

cos22

1, dgu (3.91)

називається інтегральною формулою Пуассона. Крайова задача (3.83), (3.84) та її розв’язок у формі (3.88) чи (3.91) мають

важливе значення в фізичних застосуваннях. Зокрема, розглянуту задачу можна інтерпретувати як задачу про знаходження електростатичного потенціалу кру-гового диску за відомим розподілом потенціалу на його межі 0ρ=ρ або як за-дачу про стаціонарний розподіл температури всередині круга при відомій тем-пературі на його межі і т.п.

Приклад 1. Знайти розподіл електростатичного потенціалу ( )ϕρ,u на одно-рідній тонкій круглій пластинці радіуса 10 =ρ , якщо потенціал на її межі зада-

ється формулою ( ) ϕ=ϕ 2cos,1u .

Розв’язання. Маємо крайову задачу Діріхле для рівняння Лапласа в крузі: знайти розв’язок рівняння Лапласа

011

2

2

22

2

=ϕ∂

∂ρ

+ρ∂

∂ρ

+ρ∂

∂ uuu ( )π<ϕ<<ρ< 20,10 ,

який задовольняє крайову умову ( ) ( )π<ϕ<ϕ=ϕ 20cos,1 2u . Будемо шукати розв’язок у вигляді ряду (3.88). За формулами (3.89), (3.90)

знаходимо коефіцієнти ряду

+ϕπ

=ϕϕ+π

=ϕϕπ

= ππ π

∫ ∫20

2

0

2

0

20 2

12

2cos11cos

1dda 12sin

4

1 20 =πϕ

π; =ϕϕϕ

⋅π= ∫

π2

0

2 coscos1

1dna nn

+ϕϕπ

=ϕϕϕ+π

= ∫∫ππ 2

0

2

0

cos21

cos2

2cos11dndn ( )( ( )) +=−++∫ π

ϕϕϕϕϕϕ

π

ππ

n

ndnn

2

sin2cos2cos

4

120

2

0

276

( )( ) ( )

( )

≠

==

≠π−

ϕ−

=ϕπ

+π+

ϕ++ π

ππ

;2.,0

;2,21

2.,24

2sin

;2,41

24

2sin20

202

0

n

n

nn

n

n

n

n

∫ ∫π π

=ϕϕϕ+π

=ϕϕϕπ

=2

0

2

0

2

0

sin2

2cos11sincos

1

1dndnb

nn

( ) ( )( )∫∫ππ

=ϕϕ−+ϕ+π

+ϕϕπ

=2

0

2

0

02sin2sin4

1sin

2

1dnndn .

Тоді ( ) ϕρ+=ϕρ 2cos2

1

2

1, 2u ( )π<ϕ<<ρ< 20,10 – шуканий розв’язок.

5.3.5. Застосування операційного числення до розв’язання задач математичної фізики

Обмежимось випадком, коли шукана функція ( )txuu ,= залежить лише від двох незалежних змінних x і t , де x – просторова координата; t – час.

Загальна схема розв’язання задач математичної фізики операційним мето-дом:

1) Застосовуючи перетворення Лапласа по одній з незалежних змінних (як правило, по t ), перейти від вихідного ДРЧП до звичайного диференціального рівняння-зображення.

2) Розв’язати одержане допоміжне рівняння-зображення тим чи іншим ме-тодом (можна знову застосувати те чи інше перетворення) і знайти зображення шуканого розв’язку.

3) За допомогою формул обернення чи таблиць відповідності оригіналів та їх зображень перейти від зображення до оригіналу шуканого розв’язку.

Приклад 1. Розв’язати першу крайову задачу для однорідного хвильового рівняння операційним методом:

(ДРЧП) 2

22

2

2

x

ua

t

u

∂∂=

∂∂ ( )0;0 ><< tlx ;

(ПУ) ( ) ( )l

xA

t

xuxu

π=∂

∂= sin0,

;00, 0 ( )lx <<0 ;

(ГУ) ( ) ( ) 0,;0,0 == tlutu ( )0>t , де lAa ,, 0 – відомі величини; 0,0 >> la .

Розв’язання. Нехай ( ) ( )pxUtxu ,,•

•= . Тоді

x

U

x

u

∂∂=

∂∂ •

•; 2

2

2

2

x

U

x

u

∂∂=

∂∂ •

•;

( ) pUxupUt

u =−=∂∂ •

•0, ; ( ) ( )

l

xAUp

t

xuxpuUp

t

u π−=∂

∂−−=∂∂ •

•sin

0,0, 22

2

2

;

( ) 0,0 =pU ; ( ) 0, =plU . Підставляючи одержані вирази в ДРЧП, переходимо до рівняння-

зображення

277

2

22

02 sin

x

Ua

l

xAUp

∂∂=π− ;

l

x

a

AU

a

p

x

U π−=−∂∂

sin20

2

2

2

2

.

Розв’язуємо одержане лінійне неоднорідне диференціальне рівняння друго-го порядку зі сталими коефіцієнтами за допомогою характеристичного рівнян-ня:

a

pk

a

pk ±==− ;0

2

22 ; ( ) x

a

px

a

p

eCeCpxU 21, +=−

; l

xB

l

xAU

π+π=∗ sincos ;

l

x

lB

l

x

lAU

ππ+ππ−=′∗ cossin ; l

x

l

B

l

x

l

AU

ππ−ππ−=′′∗ sincos2

2

2

2

; ×π−ππ− 2

2

2

2

cosl

B

l

x

l

A

l

x

a

A

l

x

a

Bp

l

x

a

Ap

l

x π−=π−π−π× sinsincossin 20

2

2

2

2

;

l

xπcos : 0

2

2

2

2

=−π−a

Ap

l

A ; 0=A ;

l

xπsin :

20

2

2

2

2

a

A

a

Bp

l

B −=−π− ; 2222

20

lpa

lAB

+π= ;

l

x

lpa

lAeCeCUUU

xa

px

a

p π+π

++=+=−

∗ sin2222

20

21

– загальний розв'язок лінійного ЗДР. Знаходимо конкретні значення довільних сталих 1C і 2C з граничних умов:

( ) 0,0 =pU : 021 =+ CC ;

( ) 0, =plU : 021 =+− l

a

pl

a

p

eCeC ; 0;0 21 == CC .

Тоді ( )( ) l

x

lap

A

l

x

lpa

lApxU

ππ+

=π+π

= sinsin, 220

2222

20 – зображення шуканого

розв’язку. За таблицями відповідності оригіналів та їх зображень знаходимо

( )( )

•

•=

π+π⋅π

π= 22

0 sin,lap

la

l

x

a

lApxU ( )txu

l

at

l

x

a

lA,sinsin0 =⋅ ππ

π .

Отже, шуканий розв’язок

( )l

at

l

x

a

lAtxu

πππ

sinsin, 0= ( )0,0 ><< tlx .

Приклад 2. Операційним методом знайти обмежений розв’язок крайової задачі для однорідного рівняння теплопровідності:

(ДРЧП) 2

22

x

ua

t

u

∂∂=

∂∂ ( )0;0 >+∞<< tx ;

(ПУ) ( ) 00, =xu ( )+∞<< x0 ;

(ГУ) ( ) ( )tutu 00,0 δ= ( )0>t , де ( )t0δ – одинична імпульсна дельта-функція Дірака; 0, ua – задані числа,

0>a .

278

Розв’язання. Нехай ( ) ( )ρ=•

•,, xUtxu . Тоді

x

U

x

u

∂∂=

∂∂ •

•;

( ) pUxupUt

u =−=∂∂ •

•0, ; ( ) ( ) 00 ,0;1 upUt ==δ

•

• .

Підставляючи одержані вирази в ДРЧП, переходимо до рівняння-зображення

0; 22

2

2

22 =−

∂∂

∂∂= U

a

p

x

U

x

UapU .

Розв’язуємо одержане лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку:

xa

px

a

p

eCeCUa

pk

a

pk 212

2 ;;0 +=±==−−

.

Оскільки за умовою задачі функція ( )pxU , обмежена при +∞→x , то

02 =C . Тоді x

a

p

eCU−

= 1 . Значення 1C знайдемо з граничної умови ( ) 0,0 upU = : 01 uC = .

Отже, ( ) xa

p

eupxU−

= 0, – зображення шуканого розв’язку. Користуючись таблицями відповідності оригіналів та їх зображень, одер-

жимо

( ) =π

⋅== ⋅−•

•

−ta

xx

a

p

eta

xueupxU 4

3002

2

2, ( )txue

ta

xu ta

x

,2

2

2

4

3

0 =−

π .

.Отже, шуканий розв’язок:

( ) ta

x

eta

xutxu

2

2

43

0

2,

−

π= ( )0;0 >+∞<< tx .

Приклад 3. Початкова напруга в напівобмеженому нескінченному однорід-ному провіднику +∞<≤ x0 дорівнює 0 . Самоіндукція і втрати через ізоляцію практично відсутні. Активний опір і ємність одиниці довжини провідника від-повідно дорівнюють R і C . Починаючи з моменту часу 0=t до кінця 0=x провідника прикладена стала електрорушійна сила 0E . Знайти напругу ( )txu , в кожній точці провідника в довільний момент часу.

Розв’язання. Напруга ( )txu , задовольняє телеграфному рівнянню (2.9). Оскільки самоіндукція і втрати через ізоляцію практично відсутні, тобто 0=L і

0=G , то це рівняння набуває вигляду

2

22

x

ua

t

u

∂∂=

∂∂ ,

CRa

12 = .

Таким чином, маємо першу крайову задачу:

(ДРЧП) 2

22

x

ua

t

u

∂∂=

∂∂ ( )0;0 >+∞<< tx ;

(ПУ) 0)0,( =xu ( )+∞<< x0 ; (ГУ) ( ) 0,0 Etu = ( )0>t . Для розв`язання поставленої задачі застосуємо операційний метод. Нехай

279

( ) ( )pxUtxu ,,•

•= . Тоді ;2

2

2

2

x

U

x

u

∂∂=

∂∂ •

• ( ) pUxupU

t

u =−=∂∂ •

•0, ; ;0

0 p

EE

•

•= ( )

p

EpU 0,0 = .

Переходимо до рівняння-зображення 2

22

x

UapU

∂∂= .

Його розв`язок x

a

px

a

p

eCeCU 21 +=−

. З фізичних міркувань випливає, що ( ) 0, →pxU при +∞→x . Тому .02 =C

Отже, x

a

p

eCU−

= 1 .

Значення сталої 1C знайдемо з граничної умови ( ) :,0 0

p

EpU = :

p

EC 0

1 = .

Користуючись таблицями відповідності оригіналів та їх зображень, одер-жимо шуканий розв`язок

( )

φ−=ta

xEtxu

21, 0 ( )0;0 >+∞<< tx ,

де ( ) ∫−

π=φ

zx dxez

0

22 – інтеграл похибок.

Зауваження. Аналогічно операційному методу при розв`язанні задач мате-матичної фізики застосовуються інші інтегральні перетворення, зокрема, пере-творення Фур`є.

5.3.6. Розв`язання задач математичної фізики

чисельним методом сіток

Розглянемо лінійне ДРЧП другого порядку (1.5)

FGuy

uE

x

uD

y

uC

yx

uB

x

uA =+

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂∂+

∂∂

2

222

2 (3.92)

в деякій плоскій області D~ координатної площини Oxy (рис. 8).

Нехай [ ]ba; і [ ]dc; – проекції області D~ на осі Ox і Oy ; 1h і 2h – достатньо

малі додатні числа; ( )lkkl yxM ; ,...2,1,0, =lk – множина точок області D~ , які слу-

жать вузлами прямокутної сітки, утвореної прямими 1khaxk += , 2lhcyl += ;

,...2,1,0, =lk і накладеної на область D~ .

Чисельне розв`язання рівняння (3.92) в області D~ методом сіток полягає в

знаходженні чисел klu (значень klu сіткової функції), які наближено дорів-нюють відповідним значенням шуканої функції ( )yxuu ,= у вузлах сітки DM kl

~∈ : ( )lkkl yxuu ,= .

Згідно означенню частинних похідних ( ) ( ) ( )

1

1

0

,,lim1 h

yxuyxu

x

Mu lklk

h

kl −=

∂∂ +

→;

( ) ( ) ( )2

1

0

,,lim2 h

yxuyxu

x

Mu lklk

h

k −=

∂∂ +

→

l .

280

Для малих значень кроків сітки 1h і 2h оде-ржуємо скінченно-різницеву апроксимацію частинних похідних

( )

1

,1

h

uu

x

Mu kllkkl−

≈∂

∂ + ; ( )

2

1,

h

uu

y

Mu kllkkl−

≈∂

∂ + .

Аналогічно можна отримати скінченно-різницеву апроксимацію других частинних похідних:

( )21

,1,1

2

2 2

h

uuu

x

Mu lkkllkkl −+ +−≈

∂∂ ;

( )22

1,1,

2

2 2

h

uuu

y

Mu lkkllkkl −+ +−≈

∂∂

; ( )

21

1,,11,12

hh

uuuu

yx

Mu kllklklkkl+−−

≈∂∂

∂ ++++ .

Приймаючи вказані наближення, можна вважати, що числа klu задовольня-ють системі алгебраїчних рівнянь, які одержуються при підстановці в диферен-ціальне рівняння (3.92) замість u невідомих klu , а замість частинних похідних – їх скінченно-різницевих апроксимацій. При цьому функції-коефіцієнти A , B ,

DC, , FGE ,, слід розглядати в точках ( )lkkl yxM ; . В конкретних задачах математичної фізики необхідно знайти розв`язок

ДРЧП (3.92) при виконанні деяких додаткових умов, яким задовольняє шукана функція на межі області D~ . Природно вважати, що значення klu для точок

( )lkkl yxM ; , які належать межі області D~ , підкоряються цим граничним умовам. Таким чином, чисельне розв`язання крайової задачі методом сіток зводить-

ся до розв`язання деякої системи алгебраїчних рівнянь відносно невідомих klu ,

причому значення klu в точках межі області D~ підкоряються граничним умо-

вам. Зауваження 1. Розгляд основних понять теорії різницевих схем: апрокси-

мація, стійкість і збіжність виходить за рамки даного посібника. Зазначимо ли-ше, що зі стійкості й апроксимації випливає збіжність схеми, і, очевидно, при збіжності чим більш густа сітка, тим точніший чисельний розв`язок.

Приклад 1. Поставлено крайову задачу Діріхле для однорідного рівняння Лапласа в прямокутнику:

(ДРЧП) 02

2

2

2

=∂∂+

∂∂

y

u

x

u ( )( )nhmhyxDDyx =β=αβ<<α<<∈ ;;0;0:~;~; ;

(ГУ) ( ) yxyxguS

−== , ,

де S – межа області D~ ; h – задане дійсне додатне число; nm, – задані цілі до-датні числа.

Необхідно побудувати скінченно-різницеву апроксимацію цієї диференці-альної крайової задачі і розв`язати одержану різницеву (сіткову) крайову за-дачу при 3;3;1,0 === nmh .

Розв`язання. Зазначимо, що поставлена диференціальна крайова задача має

y d

2lhcyl +=

c

0 a 1khaxk += b

x

klM D~

Рис. 8

281

і причому єдиний розв`язок. Нехай ;21 hhh == ( )lkkl yxM ; , khaxk += , lhcyl += ; mk ,...,2,1,0= ,

nl ,...,2,1,0= . Вихідній крайовій задачі відповідає наступна система лінійних ал-гебраїчних рівнянь відносно невідомих klu :

041,,11,,1 =−+++ ++−− kllklklklk uuuuu ( )1...,,2,1;1...,,2,1 −=−= nlmk (3.93)

( )hlfu l ,00 = ( )1...,,2,1 −= nl (3.94)

( )nhkhfukn ;= ( )1...,,2,1 −= mk (3.95)

( )lhmhfuml ;= ( )1...,,2,1 −= nl (3.96)

( )0;0 khfuk = ( )1...,,2,1 −= mk (3.97) Сіткова крайова задача включає ( )( ) 411 −++ nm рівнянь (3.93)–(3.97):

( )( )11 −− nm рівнянь (3.93), що апроксимують ДРЧП, і ( ) 42 −+ nm рівнянь (3.94)–(3.97), що апроксимують ГУ. Рівняння (3.94)–(3.97) визначають значення змінних klu на межі області D

~ . Якщо підставити ці значення в (3.93), то одер-жимо квадратну систему з ( )( )11 −− nm неоднорідних лінійних рівнянь з ( )( )11 −− nm невідомими klu ( 1...,,2,1 −= mk ; 1...,,2,1 −= nl ).

Цю лінійну алгебраїчну систему можна подати в стандартній матричній формі

BAU = (3.98) де U – матриця-стовпець невідомих; B – матриця-стовпець вільних членів; A – квадратна матриця коефіцієнтів системи. Елементами матриці U служать чи-сла klu , які відповідають внутрішнім точкам klM області D

~ ; елементами мат-

риці B – числа klu , які відповідають точкам межі області D~ . Випишемо і розв`яжемо сіткову крайову задачу для заданих конкретних

значень 3;3;1,0 === nmh . У цьому випадку (рис. 9) внутрішніми точками є ( )1111 ; yxM , ( )2112 ; yxM , ( )1221 ; yxM , ( )2222 ; yxM і система алгебраїчних рівнянь (3.93)

– (3.97): має вигляд BAU = (3.99)

де

−−

−−

=

125,025,00

25,01025,0

25,00125,0

025,025,01

A ;

( )( )( )( )

+−+−+−+−

=

4/

4/

4/

4/

3223

3120

1302

1001

uu

uu

uu

uu

B ;

( )22211211 uuuuU T = . Значення 0102132332312010 ,,,,,,, uuuuuuuu співпада-

ють із заданими значеннями функції ( ) yxyxg −=, на межі S області D~ :

kxk 1,0= ; lye 1,0= ; ( ) 1,001,011,0, 0110 =⋅−⋅== yxgu ;

( ) 2,001,021,0, 0220 =⋅−⋅== yxgu ; ( ) == 1331 , yxgu 2,011,031,0 =⋅−⋅ ;

Рис. 9

y

3y

2y

1y

0 1x 2x 3x

x

12M 22M

11M 21M

282

( ) 1,021,031,0, 2332 =⋅−⋅== yxgu ; ( ) 1,031,021,0, 3223 −=⋅−⋅== yxgu ;

( ) == 3113 , yxgu 2,031,011,0 −=⋅−⋅ ; ( ) 1,011,001,0; 1001 −=⋅−⋅== yxgu ;

( ) 2,021,001,0, 2002 −=⋅−⋅== yxgu .

Тоді

( )( )( )

( )( )

−=

+−−+−

−+−+−−

=

0

1,0

2,0

0

4/1,01,0

4/2,02,0

4/2,02,0

4/1,01,0

B .

На практиці система (3.98) має велику розмірність і, як правило, розв`язується тим чи іншим ітераційним методом на ЕОМ. В даному модель-ному випадку систему (3.99) невисокого – четвертого – порядку будемо розв`я-зувати прямим методом – методом виключення Гаусса.

1) Прямий хід:

( )

−−

−−

−

=

0

1,0

1,0

0

125,025,00

25,01025,0

25,00125,0

025,025,01

BA ~ ~25,0;25,0 133122 SSSSSS +=′+=′

~ ~

0

1,0

1,0

0

125,025,00

25,09275,00625,00

25,00625,09375,00

025,025,01

−−

−−

~;

24

42

SS

SS

=′=′

~ ~

1,0

1,0

0

0

25,00625,09375,00

25,09325,00625,00

125,025,00

025,025,01

−−

−−

−

~75,3;25,0 244233 SSSSSS +=′−=′

~

1,0

1,0

0

0

5,3100

5,0100

125,025,00

025,025,01

~

−−

−−

−

~344 SSS +=′

−−

−−

−

0

1,0

0

0

3000

5,0100

125,025,00

025,025,01

.

2) Зворотний хід:

=−−=+−

=−+=++−

;03

;1,05,0

;025,025,0

;025,025,0

22

2221

222112

211211

u

uu

uuu

uuu

022 =u ; 1,01,05,0 2221 =+= uu ;

( ) 1,025,0/25,0 212212 −=−= uuu ; 0025,0025,025,025,0 211211 =+−=+= uuu . Отже,

011 =u ; 1,012 −=u ; 1,021 =u ; 022 =u – шукані значення klu функції ( )txuu ,= у внутрішніх вузлах сітки klM ( 1...,,2,1 −= mk ; 1...,,2,1 −= nl ).

283

Зауваження 2. Розглянуті в даному розділі методи не вичерпують усіх ві-домих способів розв`язання задач математичної фізики. Перелічимо деякі най-більш вживані методи:

1) Метод відокремлення змінних. 2) Метод інтегральних перетворень (зокрема, застосування перетворення

Лапласа – операційний метод). 3) Метод перетворення координат. 4) Метод заміни незалежних і залежних змінних. 5) Метод функцій Гріна (функцій впливу (джерела)). 6) Метод інтегральних рівнянь. 7) Варіаційні методи (замість крайової задачі для ДРЧП розв`язується деяка

задача оптимізації). 8) Чисельні методи (метод сіток, апроксимація сплайнами, метод скінчен-

них елементів і т.п.).

5.4. Нелінійні рівняння математичної фізики. Солітони. Узагальнені розв’язки. Самоорганізація

5.4.1. Загальне поняття про нелінійні моделі фізичних процесів

Фізичні явища, які відбуваються в природі, як правило, носять дуже склад-ний характер. Тому математичні моделі реальних процесів, які досить точно ві-дображають основні їх закономірності, виявляються нелінійними. Лінійні мо-делі виникають звичайно при додаткових спрощеннях, до яких приводять різні правдоподібні припущення, такі як малість величин, що характеризують про-цес. Складність оперування з нелінійними моделями довгий час стримувала їх практичне застосування. В результаті поза належною увагою залишались по-справжньому життєво важливі явища, які не піддаються лінійному описові і з класичних позицій часто сприймаються як катастрофи. Потреби більш глибоко-го вивчення реальних процесів і зростання можливостей обчислювальної техні-ки створюють передумови для підвищення інтересу до нелінійних моделей, відкриття нових чисто нелінійних математичних методів.

Можна виділити наступні три основні властивості нелінійних ДРЧП, які відрізняють їх від лінійних рівнянь:

1) утворення стійких усамітнених хвиль – солітонів; які ведуть себе подіб-но частинкам;

2) руйнування неперервних, гладких (класичних) розв’язків і утворення розривних (узагальнених) розв’язків, які відповідають ударним хвилям;

3) самоорганізація систем – утворення розв’язків зі стійкою неоднорід-ною структурою при однорідних умовах задачі, наприклад, утворення дисипа-тивних (теплових) структур в нелінійних задачах дифузії.

Указані властивості більш докладно розглядаються нижче на прикладах де-яких нелінійних рівнянь математичної фізики.

284

5.4.2. Солітони

Історично вперше (1895 р.) солітонні розв’язки з’явились при розгляді рівняння Кортевега - де Фріза (КдФ), що описує хвилі на мілкій воді

062

31 0

20

00 =+

∂η∂

η

λ++

∂η∂

ch

xc

t (4.1)

де 0h – глибина рідини; 00 ghC = – довгохвильова межа швидкості хвиль на

мілкій воді; g – прискорення вільного падіння; )( 1tхη=η – рівняння вільної поверхні рідини, причому 0h<<η .

Заміна змінних ( ) ;/ 00 xtcxx −= ;/ 0ttt = ,/ Au η=

де 3

00 6hx = ; 000 cht = ; 04xA = ,

зводить рівняння КдФ (4.1) до канонічного вигляду

063

3

=∂∂+

∂∂+

∂∂

x

u

x

uu

t

u (4.2)

Односолітонному розв’язку рівняння КдФ (4.2)

( ) ( )

α−−α⋅α= txxchtxu22

12

,3

02

2

(4.3)

де 0, xα – довільні сталі, відповідає усамітнена хвиля (горб) висотою

22max α=u , яка рухається в додатному напрямку осі xO зі швидкістю 2α=v . На рис. 10–12 зображена еволюція в часі розв’язку рівняння КдФ, який має

при −∞→t вигляд двох віддалених солітонів (рис. 10); рис. 11 відображає вза-ємодію (зіткнення) солітонів; на рис. 12 показано цей розв’язок після зіткнення при +∞→t , коли солітони розійшлись без зміни своєї форми, одержавши лише зміну x∆ величини параметра 0x : для солітона з більшою швидкістю 00 >∆x , а

для солітона з меншою швидкістю 00 <∆x .

Такі властивості вперше були виявлені при чисельному розв’язанні рівнян-ня КдФ (4.2), а потім були одержані аналітичним методом, що спирається на обернену задачу розсіювання для одновимірного рівняння Шредінгера.

Узагальненням рівняння КдФ на випадок довільної залежності фазової швидкості синусоїдальних хвиль ( )kc від хвильового числа k служить рівнян-ня Уізема

u

x

Рис. 12

u

1vr

2vr

21 vv >

x

Рис. 10

u

x

Рис. 11

285

( ) ( )0

, =∂

∂−+∂∂+

∂∂

∫+∞

∞−dz

z

tzuzxC

x

uu

t

u ,

де ядро ( )xC – Фур’є-образ функції ( )kc . Для ядра

( ) xeC λ−λ= 20 ,

де 0>λ – довільне додатне число, усамітнені хвилі сталої форми можуть бути подані в аналітичній формі. При цьому існує гранична амплітуда таких хвиль

34max =u . Хвиля граничної амплітуди

( )

−−λ−= txxtxu3

4

2exp

3

4, 0 ,

де 0x – довільна стала, має особливість – загострення на вершині. Значний інтерес представляє рівняння “ sin-Гордона” (“ синус-Гордона”)

ux

u

t

usin

2

2

2

2

−=∂∂−

∂∂ (4.4)

що описує велику кількість фізичних явищ, таких як дислокації в кристалах, ла-зерні імпульси у двофазних середовищах, поширення хвиль у феромагнетиках, зв’язаних з обертанням напрямку намагніченості, джозефсонівські переходи в надпровідниках, які розділені тонким шаром діелектрика та інші.

На рис. 13 показана механічна система, рух якої описується рівнянням ви-гляду (4.4). Це ланцюг маятників, зв’язаних з пружною ниткою. При відхиленні маятника на кут и на нитку діє пропорційна usin сила, що викликає скручу-вання.

Розглянемо розв’язки рівняння (4.4), що мають вигляд хвиль сталої форми

)(),( ctxytxи −= , які поширюються зі швидкіс-тю c в напрямку осі Ox . Функція )(zy задо-вольняє звичайному диференціальному рів-нянню

( ) yyc sin1 2 =′′− . Помножимо обидві частини цього рівнян-

ня на похідну 'y і проінтегруємо. У результаті одержимо

( ) Ayyc 2cos112

1 22 −−=′− (4.5)

де A – довільна стала. Якщо 1>c , 10 << A , то рівняння (4.5) можна подати у вигляді

−=′2

sin4 221

2 yA

cy , де 12

1 −= cc .

Його розв’язки ( )

−⋅= kc

zzsnkzyk ,arcsin2

1

0

відповідають коливальному руху маятників на рис. 54.

Рис. 13

u

x

286

Тут Ak = ; 0z – довільна стала; ( )kzsn , – еліптична функція Якобі “ си-нус амплітуди z ” . У “ плазменій” хвилі ( )ctxyk − , яка біжить по механічній си-стемі на рис. 13, окремі маятники коливаються навколо положення рівноваги

0=u з максимальним кутом відхилення ku arcsin2max = . У граничному випадку ,1<<k 1max <<u маємо синусоїдальні хвилі з мали-

ми коливаннями маятників

( ) ( )0max1

0max sinsin, ϕ−ω−=−−= tkxu

c

ctxxutxuk (4.6)

де 0x – довільна стала. Хвилі (4.6) служать розв’язками лінеаризованого рівняння

ux

u

t

u −=∂∂−

∂∂

2

2

2

2

,

мають довжину хвилі λ , хвильове число k , частоту ω і початкову фазу 0ϕ , які зв’язані співвідношеннями

12 cπ=λ ; 11 ck = ; 1cc=ω ; 21 k+=ω ; 100 cx=ϕ .

Якщо 10 << c , ,0≤A то рівняння (4.5) приймає вигляд

−=′2

cos4 221

2 yB

cy , де 11 ≥−= AB ; 2

1 1 cc −= .

Його розв’язки ( )

−±=± kkc

zzcnzy f ,arcsin2

1

0

відповідають обертальному руху маятників на рис. 13. Тут Bk 1= ; 0z – довільна стала; ( )kzcn , – еліптична функція Якобі “ко-

синус амплітуди z ” ; знаки ”+” і “-“ відповідають ”флюксонній” і “антифлю-ксонній” хвилям. У “флюксонній” ( )ctxy f − чи “антифлюксонній” ( )ctxy f −−

хвилі, яка біжить по механічній системі на рис. 13, окремі маятники здійсню-ють обертальний рух – по системі поширюються спіральна хвиля, закручена проти чи за годинниковою стрілкою. У граничному випадку 1=k маємо розв’я-зок

( )

−−±=

1

0exp4,c

ctxxarctgtxuc ,

який при фіксованому виборі знака ”+” чи ”-“ відповідає усамітненій хвилі. При зміні x від ∞− до ∞+ маятники на рис. 13 здійснюють повний оберт проти годинникової стрілки для знака ”+” і за годинниковою стрілкою для знака ”-“. Маємо відповідно солітон і антисолітон (флюксон і антифлюксон) рівняння ” sin-Гордона”.

Існують також двосолітонні розв’язки рівняння (4.4), які описують зіткнен-ня солітон – солітон, солітон – антисолітон і осцилюючий зв’язаний стан солі-тона і антисолітона в системі відліку, зв’язаній з їх центром мас, – бризер (від англ.. breather – дихаючий розв’язок).

Поширення лазерних пучків у нелінійних середовищах, властивості яких

287

залежать від інтенсивності світла, описується кубічним рівнянням Шредінгера

02

2

2

=ν+∂∂+

∂∂

uux

u

t

uі (4.7)

де ν – задане число; i – уявна одиниця. Розглянемо розв’язки рівняння (4.7), що мають вигляд модульованої плос-

кої хвилі

( ) ( ) )(, tkxiectxVtxu ω−−= (4.8)

де ( )xV – дійсна функція (амплітуда хвилі). Підставивши (4.8) в (4.7), одержимо

0)2(3 =′−+ν+α−′′ VckiVVV , де 22 ω−=α k .

Щоб функція ( )xV була дійсною, треба покласти ck =2 . Тоді, помноживши обидві частини останнього рівняння на похідну V ′ і проінтегрувавши, дістане-мо

422

2VVAV

ν−α+=′ .

В окремому випадку 0,0,0 >ν>α=A амплітуда (обвідна) ( )xV хвилі (4.8) виражається через елементарні функції

( )α⋅

να=

xchxV

12)( .

Відповідний розв’язок

( )

ω−−α

⋅να= )

2(exp

)(

12),( t

xci

ctxchtxu (4.9)

називається солітоном обвідної. Графіки дійсної частини uu Re1 = солітонного розв’язку (4.9) і його обвід-

ної ( )xV для деякого фіксованого моменту часу показані на рис. 14. Аналогічні хвилі викликаються вітром на гли-бокій воді. В цьому випадку, зви-чайно, під обвідною знаходиться не більше 14–20 горбів з довжиною

хвилі c

π=λ 4 , причому середній з

них – найвищий. Цим пояснюється відоме морякам правило, що най-вищі хвилі в групі – це сьома – де-сята (“дев’ятий вал”).

Рис. 14

Vu ,1

1u

x

uu Re1 =

V

288

5.4.3. Узагальнені розв’язки

Розривним розв’язком ДРЧП називається розривна функція ( )yxu , , яка за-довольняє деякому інтегральному закону збереження, що відповідає даному ДРЧП. Звідси випливає, що розривний розв’язок ( )yxu , задовольняє ДРЧП поза лінією розриву ( )txx = і так званій умові Гюгоніо на лінії розриву. Оскільки для ДРЧП може існувати не один інтегральний закон збереження, то для вибраного ДРЧП можна, в загальному випадку, записати деяку множину умов Гюгоніо.

Таким чином, для однозначного визначення розривного розв’язку ДРЧП необхідно вказати певний інтегральний закон збереження. У фізичних задачах (наприклад, в механіці суцільних середовищ) такий закон може бути встанов-лений однозначно – звичайно, це закон збереження маси, імпульсу чи енергії. Розривні розв’язки служать зручною математичною моделлю ударних хвиль, поблизу фронту яких відбуваються різкі зміни фізичних величин (густини, тис-ку, температури і т.п.). У таких областях математичні моделі у вигляді ДРЧП перестають вірно описувати фізичні процеси, оскільки втрачають справед-ливість відповідні припущення і наближені співвідношення, на основі яких ви-водиться дане ДРЧП. Розгляд розривних розв’язків дозволяє уникнути побудо-ви більш точних, але і більш складних математичних моделей, які треба засто-совувати у порівняно вузьких областях поблизу фронту ударних хвиль.

Узагальненим розв’язком називається фізично правильний розривний роз-в’язок, який визначається як границя неперервних (класичних) розв’язків при певних граничних змінах даних задачі. Наприклад, узагальнений розв’язок за-дачі Коші для рівняння переносу вигляду

0=∂∂+

∂∂

x

uu

t

u (4.10)

з розривною початковою умовою

=>

<==

+−+

−

),(0.,

;0.,)()0,( 0

constuuxu

xuxuxu (4.11)

можна знайти як границю класичних розв’язків для згладжених початкових умов, які наближаються до заданої розривної функції (4.11) (рис. 15). Така не-перервна залежність розв’язків від вхідних даних є однією з умов коректності задач математичної фізики, що забезпечує єдиність розв’язку.

Інший підхід до знаходження узагальненого розв’язку полягає у включенні в ДРЧП (4.10) додаткового дифузійного чле-

на 2

2

х

и

∂∂ν , що описує розсіювання (дисипа-

цію) енергії через внутрішнє тертя (в’яз-кість). В результаті приходимо до більш точ-ного ДРЧП, яке описує ударні хвилі – рів-няння Бюргерса

2

2

х

и

х

ии

t

и

∂∂ν=

∂∂+

∂∂ . Рис. 15

u −u

+u 0 x

289

Тут 0>ν – в’язкість середовища. Врахування дифузії енергії приводить до розмиття і згладжування профілю

ударної хвилі. У граничному випадку 0→ν , коли дифузійний член прямує до нуля, одержується розривна ударна хвиля – узагальнений розв’язок.

Ударні хвилі можуть виникати і при неперервних початкових умовах з до-статньо крутим переднім фронтом. Утворення багатозначного профілю роз-в’язку ДРЧП при перетині деяких характеристик називається перекиданням ударної хвилі або градієнтною катастрофою – в момент перекидання

∞−→∂∂x

иmin (рис. 16).

Замість багатозначного розв’язку, що, як правило, суперечить фізичній суті математичної моделі, вводять розривний розв’язок. Для вибору лінії розриву

використовують відповідний інтегральний закон збере-ження. Наприклад, вибира-ють значення рx із умови рі-

вності заштрихованих площ 1S і 2S (рис. 16, 17).

5.4.4. Самоорганізація нелінійних систем

Самоорганізацією називається процес спонтанного (самовільного) пору-шення ступеня симетрії (однорідності) фізичної системи з утворенням упоряд-кованих у просторі і часі структур з низьким ступенем симетрії (локалізація неперервних процесів). Такі процеси описуються нелінійними математичними моделями з дисипацією (дифузією) і взаємодією з навколишнім середовищем. На відміну від лінійних задач, де дифузія приводить до вирівнювання темпера-тур, концентрацій і т.п., у нелінійних задачах дифузія викликає формування упорядкованих структур, які називаються дисипативними структурами.

Розглянемо нелінійне рівняння теплопровідності з залежним від темпера-тури ( )txТТ ,= коефіцієнтом температуропровідності ( )Tkk = і джерелами тепла

( )TQQ = :

Qx

Tk

xt

T +

∂∂

∂∂=

∂∂ (4.12)

де bTkk 0= ; βTqQ 0= ; 0,, 00 >= constbqk ; 1>=β const .

Рівняння (4.12) описує процеси горіння. Розв’язання його чисельними ме-тодами на ЕОМ і наступні фізичні експерименти привели до відкриття явища локалізації тепла. Розмір нагрітої області з плином часу залишався незмінним, температура в цій області необмежено зростала (режим із загостренням). Роз-в’язок має вигляд

Рис. 16

u −u

+u

рx

0

x

1S

2S

u −u

+u

рx 0 x

21 SS =

Рис. 17

290

( ) ( ) ( )( )txftgtxT ϕ=, ; де

( ) ( ) ( ) ( ) ( )12

1

21

1

1 1;1 −β−−β

−β−

−=ϕ−=b

ff ttAtttAtg ; ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1

1211 cos212 +−− π++= b

fLZbbbbzf ;

( )0

012

q

kb

bL f

+π= ; ( )0011 ,,, qkbAA β= ; ( )0022 ,,, qkbAA β= ; constt f = .

З плином часу розподіл температури залишається подібним самому собі, просто він розтягується в певне число разів вздовж осей Ox і Ot . Такі розв’язки називаються автомодельними (самоподібними). До них відносяться також вже розглянуті солітони і ударні хвилі.

Приклади локалізації у просторі та часі неперервних процесів і утворення дисипативних структур виявлені у фізиці, хімії, біології, екології. Одна з най-більш відомих математичних моделей із самоорганізацією – це модель брюсе-лятора

( ) 2

2

121

x

XDYXXBA

t

X

∂∂+++−=

∂∂ ( )0;0 ><< tlx (4.13)

2

2

22

x

YDYXBX

t

Y

∂∂+−=

∂∂ ( )0;0 ><< tlx (4.14)

де ( )txXX ,= , ( )txYY ,= – концентрації деяких основних хімічних речовин X і Y у витягнутому вздовж осі Ox реакторі; l – довжина реактора.

Речовини X і Y залишаються в реакторі, тому граничні умови на кінцях реактора

( ) ( )0

,0;0

,0 =∂

∂=∂

∂x

tY

x

tX )0( >t ; ( ) ( )0

,;0

, =∂

∂=∂

∂x

tlY

x

tlX )0( >t .

Параметри A і B визначаються концентраціями, які підтримуються сталими, деяких інших допоміжних речовин A і B .

Просторово однорідні стаціонарні розв’язки диференціальної системи (4.13), (4.14) знаходяться з системи алгебраїчних рівнянь

0;0)1( 22 =−=++− YXBXYXXBA .

Ця система має єдиний розв’язок AX = , ABY = , який називається термодинамічною гілкою. При малих концентраціях речовини B довільні початкові умови

( )0,xXX = , ( )0,xYY = приводять до термодинамічної гі-лки. Але починаючи з деякого критичного значення

cBB ≥ , відбувається вихід на немонотонний стаціонар-ний розподіл концентрацій (рис. 18) – стаціонарну дисипативну структуру. Збільшення кількості стаціонарних розв’язків (у даному випадку при cBB ≥ ) на-зивається галуженням розв’язку або біфуркацією.

Термодинамічна гілка при cBB ≥ стає нестійкою: початковий стан ( )0,xXX = , ( )0,xYY = при найменших флуктуаціях переходить у дисипативну

структуру. Механічні аналоги брюселятора – кулька в жолобі з одним мініму-

Рис. 18

X

0 l

x

291

мом ( )cBB < і в жолобі з двома мінімумами, які розділені горбом (рис. 19). Роль точки O відіграє термодинамічна гілка, роль рівноправних точок M і N – ди-сипативна стаціонарна структура.

В ряді випадків можливі коливальні режими в моде-лі брюселятора, коли при довільних початкових умовах відбувається вихід на періодичні в часі розв’язки

( )txXX ,= , ( )txYY ,= – нестаціонарну дисипативну структуру.

5.5. Контрольні запитання

1) Дайте означення диференцiального рiвняння з частинними похiдними (ДРЧП). Що таке загальний і частинний розв’язки ДРЧП?

2) Що таке початкова задача (задача Коші) для ДРЧП? 3) Вкажіть основні типи граничних умов і відповідні типи крайових задач. 4) Яка задача математичної фізики називається коректно поставленою? 5) Який загальний вигляд лінійного ДРЧП другого порядку? 6) Дайте класифiкацiю лінійних ДРЧП другого порядку. Наведіть відповідний

канонiчний вигляд лінійного ДРЧП другого порядку кожного типу. 7) Що таке характеристики лінійного ДРЧП другого порядку? 8) Як здійснюється зведення лінійного ДРЧП другого порядку до канонічного

вигляду? 9) Як формулюється початкова задача для однорідного одновимірного хвильо-

вого рівняння? Як розв’язується ця задача методом характеристик? Наве-діть формулу Д’Аламбера для розв’язку цієї задачі.

10) Як формулюється перша крайова задача для однорідного одновимірного хвильового рівняння? Як розв’язується ця задача методом вiдокремлення змiнних?

11) Як формулюється друга крайова задача для однорідного одновимірного рівняння теплопровідності? Як розв’язується ця задача методом вiдокремлення змiнних?

12) Як формулюється перша крайова задача для двовимірного рівняння Лап-ласа у крузі? Як розв’язується ця задача методом вiдокремлення змiнних? Наведіть інтегральну формулу Пуассона для розв’язку цієї задачі.

13) Наведіть схему застосування операційного числення для розв’язування задач математичної фізики.

14) Як будується різницева (сіткова) крайова задача, що відповідає даній ди-ференціальній крайовій задачі?

15) Укажіть основні властивості нелінійних ДРЧП, що відрізняють їх від лі-нійних рівнянь.

16) Що таке солітон? 17) Що таке узагальнений розв’язок? 18) Що називається самоорганізацією нелінійних систем? Що таке біфурка-

ція?

O M

N

Рис. 19

292

5.6. Індивідуальні завдання для самостійної роботи

Завдання 1. Встановити тип, знайти рівняння характеристик та звести до канонічного вигляду лінійне диференціальне рівняння другого порядку зі ста-лими коефіцієнтами. Отримане канонічне рівняння звести до спрощеного ви-гляду з відсутніми першими похідними:

№ в-та Завдання

1 06234 2

22

2

2

=∂∂+

∂∂−

∂∂−

∂∂∂−

∂∂

y

u

x

u

y

u

yx

u

x

u

2 023 2

22

2

2

=∂∂+

∂∂∂−

∂∂

y

u

yx

u

x

u

3 024 2

22

=∂∂−

∂∂+

∂∂−

∂∂∂

y

u

x

u

y

u

yx

u

4 0522 2

22

2

2

=∂∂+

∂∂∂+

∂∂

y

u

yx

u

x

u

5 043244 2

22

2

2

=+−+∂∂+

∂∂∂+

∂∂

yxuy

u

yx

u

x

u

6 0262

2

2

=∂∂+

∂∂∂−

∂∂

y

u

yx

u

x

u

7 023 2

22

2

2

=∂∂+

∂∂∂+

∂∂

y

u

yx

u

x

u

8 02 2

22

2

2

=∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂∂+

∂∂

y

u

x

u

y

u

yx

u

x

u

9 022 2

22

2

2

=∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂∂−

∂∂

y

u

x

u

y

u

yx

u

x

u

10 0382

2

2

=∂∂+

∂∂∂+

∂∂

x

u

yx

u

x

u

11 082 2

22

2

2

=∂∂−

∂∂+

∂∂−

∂∂∂−

∂∂

y

u

x

u

y

u

yx

u

x

u

12 012102 2

22

2

2

=∂∂+

∂∂+

∂∂∂−

∂∂

y

u

y

u

yx

u

x

u

13 0510 2

22

2

2

=∂∂−

∂∂+

∂∂∂−

∂∂

y

u

y

u

yx

u

x

u

14 0553 2

22

2

2

=−∂∂+

∂∂+

∂∂−

∂∂∂−

∂∂

uy

u

x

u

y

u

yx

u

x

u

15 09992 2

22

2

2

=−∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂∂−

∂∂

uy

u

x

u

y

u

yx

u

x

u

16 022

22

2

2

=∂∂+

∂∂+

∂∂∂−

∂∂

y

u

y

u

yx

u

x

u

293

17 0102 2

22

2

2

=∂∂+

∂∂∂+

∂∂

y

u

yx

u

x

u

18 022

22

=∂∂−

∂∂+

∂∂−

∂∂∂

y

u

x

u

y

u

yx

u

19 07251762 2

22

2

2

=−∂∂−

∂∂+

∂∂+

∂∂∂+

∂∂

uy

u

x

u

y

u

yx

u

x

u

20 076252 2

22

2

2

=+∂∂−

∂∂+

∂∂∂+

∂∂

ux

u

y

u

yx

u

x

u

21 082

2

2

=∂∂+

∂∂−

∂∂∂−

∂∂

y

u

x

u

yx

u

x

u

22 02 2

22

2

2

=∂∂+

∂∂+

∂∂∂−

∂∂

y

u

y

u

yx

u

x

u

23 04422 2

22

2

2

=+∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂∂+

∂∂

uy

u

x

u

y

u

yx

u

x

u

24 042 2

22

=+∂∂+

∂∂−

∂∂+

∂∂∂

uy

u

x

u

y

u

yx

u

25 04532 2

22

2

2

=+∂∂−

∂∂+

∂∂+

∂∂∂+

∂∂

uy

u

x

u

y

u

yx

u

x

u

26 01534652 2

22

2

2

=−∂∂−

∂∂+

∂∂+

∂∂∂−

∂∂

uy

u

x

u

y

u

yx

u

x

u

27 054912 2

22

2

2

=−∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂∂−

∂∂

uy

u

x

u

y

u

yx

u

x

u

28 086 2

22

2

2

=∂∂+

∂∂∂+

∂∂

y

u

yx

u

x

u

29 02254 2

22

2

2

=+∂∂−

∂∂−

∂∂+

∂∂∂+

∂∂

uy

u

x

u

y

u

yx

u

x

u

30 024732 2

22

2

2

=−∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂∂+

∂∂

uy

u

x

u

y

u

yx

u

x

u

Завдання 2. Використовуючи метод характеристик, за формулою Д’Алам-

бера знайти розв’язок задачі Коші для одновимірного однорідного хвильового

рівняння 2

22

2

2

x

ua

t

u

∂∂=

∂∂ ( )0; >+∞<<∞− tx , якщо початкові умови

( ) axNxxu g +−= cos)1(0, , ( )lNxN

t

xu p +−=∂

∂sin)1(

0, .

294

Завдання 3. Розв`язати методом відокремлення змінних крайову задачу

для одновимірного однорідного хвильового рівняння 2

22

2

2

x

ua

t

u

∂∂=

∂∂ ( )0;0 ><< tlx

з однорідними граничними умовами

( ) ( ) ( ) ( )0

,0)1(1,01)1( =

∂∂−−++−

x

tutu gg ,

( ) ( ) ( ) ( )0

,)1(1,1)1( =

∂∂−−++−

x

tlutlu pp ,

якщо початкові умови

( ) ( ) ( )2

)()1(1sin1)1(0,

l

xlx

l

xpxu gg −−−+π+−= ,

( ) ( ) ( )2

)()1(1sin1)1(

0,

l

xlx

l

xg

t

xu pp −−−+π+−=∂

∂ .

Завдання 4. Розв`язати методом відокремлення змінних крайову задачу

для одновимірного однорідного рівняння теплопровідності 2

22

x

ua

t

u

∂∂=

∂∂

( )0;0 ><< tlx з однорідними граничними умовами

( ) ( ) ( ) ( )0

,0)1(1,01)1( =

∂∂−−++−

x

tutu pp ,

( ) ( ) ( ) ( )0

,)1(1,1)1( =

∂∂−−++−

x

tlutlu gg ,

якщо початкова умова ( ) ( )2

)(sin1)1(0,

l

xlx

l

xNxu g −+π+−= .

Завдання 5. Розв`язати методом відокремлення змінних крайову задачу

для двовимірного рівняння Лапласа 011

2

2

22

2

=ρ∂

∂ρ

+ϕ∂

∂ρ

+ρ∂

∂ uuu у крузі a<ρ<0 при

граничній умові ( ) .cos)1(sin)1(, ϕ−+ϕ−=ϕ gpau pg . Примітка. У завданнях 2 – 5 прийняті наступні співвідношення для вибору

параметрів задач: 1|| +−= pga , [ ])( pgNal ++= , N – номер варіанта, g – число голосних

букв у Вашому прізвищі, p – число приголосних букв у Вашому прізвищі, ][z – ціла частина числа z .

295

Післямова

В одній книзі важко надати повний виклад усіх спеціальних розділів вищої математики, розглянутих у посібнику. Спираючись на багаторічний досвід ви-кладання та враховуючи сучасні тенденції підвищення практичної спрямовано-сті навчання, автори головну увагу приділили суті розглянутих понять і ме-тодів, роз’ясненню конкретних способів їх реалізації, висвітленню проблем і засобів їх розв’язання, формуванню бачення перспективних напрямків розвит-ку. Докладно опрацьовані типові приклади застосування відповідного матема-тичного апарату. Автори свідомо пішли на певне зниження рівня строгості ви-кладу, не переступаючи меж, прийнятих у навчальній літературі. Для більш по-глибленого вивчення матеріалу рекомендується користуватися додатковою лі-тературою.

Автори щиро вдячні своїм безпосереднім колегам з кафедри вищої матема-тики ХНАМГ за товариську підтримку і вимогливість. На думку авторів, даний посібник буде корисним студентам, викладачам і практикуючим спеціалістам, а його удосконалення неможливе без їх критичних зауважень і побажань, які обов’язково будуть враховані.

Бажаємо успіхів і чекаємо відгуків за адресою: 61002, Україна, Харків, вул. Революції, 12, ХНАМГ, каф. ВМ, доц.. Бізюк В.В.; e-mail: vm_kolosov@ksame.kharkov.ua