МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Часть 1

Методические указания

Составитель Н. И. Куканов

Ульяновск УлГТУ

2011

2

УДК 624.04.044(076) ББК 38.112 я7 Ч-67

Рецензент доктор технических наук, профессор В. К. Манжосов Одобрено секцией методических пособий научно-методического совета университета Численные методы решения задач математической физики. В 2 ч. Ч. 1 : методические указания / сост. Н. И. Куканов. – Ульяновск : УлГТУ, 2011. – 23 с.

Указания составлены в соответствии с учебными программами по дисциплине

«Аналитические и численные методы решения задач математической физики» для магистратуры по направлению «Строительство», профиль подготовки «Теория про-ектирования зданий и сооружений». В методических указаниях рассматриваются ос-новные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений: методы конечных разностей, метод конечных элементов и метод граничных элемен-тов. Приведены примеры решения задач.

Методические указания предназначены для магистрантов направления «Строи-тельство». Работа подготовлена на кафедре теоретической и прикладной механики.

УДК 624.04.044(076) ББК 38.112 я7

© Куканов Н. И.,составление, 2011 © Оформление. УлГТУ, 2011

Ч-67

3

СОДЕРЖАНИЕ

Введение ................................................................................................ 3

1. Метод конечных разностей .............................................................. 5

1.1. Конечно-разностные аппроксимации производных ........... 5

1.2. Решение дифференциального уравнения методом

конечных разностей ...................................................................... 7

2. Метод конечных элементов ............................................................. 9

2.1. Аппроксимация базисными функциями .............................. 9

2.2. Взвешенные невязки .............................................................. 10

2.3. Понятие конечного элемента ................................................ 12

2.4. Некоторые типичные базисные функции для конечного

элемента ......................................................................................... 12

2.5. Формирование системы уравнений на примере решения

задачи ............................................................................................. 14

3. Метод граничных элементов ........................................................... 18

3.1. Понятие фундаментального решения

дифференциального уравнения.................................................... 18

3.2. Пример решения задачи поперечного изгиба стержня ....... 19

Заключение ............................................................................................ 23

Библиографический список ................................................................. 24

4

ВВЕДЕНИЕ

Настоящие учебно-методические указания предназначены для сту-

дентов, обучающихся по направлению 27010068 «Строительство» (про-

филь подготовки «Теория и проектирование зданий и сооружений»), изу-

чающих дисциплину «Аналитические и численные методы решения урав-

нений математической физики».

При поиске количественного описания физического явления обычно

вводят в рассмотрение некоторую систему дифференциальных уравнений,

справедливую в определенной области, и налагают на эту систему подхо-

дящие краевые и начальные условия. На этой стадии математическая мо-

дель построена, и для практического применения требуется найти реше-

ние для исходного множества исходных данных. Здесь возникают основ-

ные трудности, так как точному решению поддаются лишь уравнения

простого вида внутри области с геометрическими тривиальными граница-

ми. Обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэф-

фициентами являются одним из немногих примеров, для которых имеются

стандартные процедуры решения, но даже здесь при большом числе зави-

симых переменных встречаются значительные трудности.

Чтобы преодолеть эти трудности и иметь возможность воспользо-

ваться вычислительной техникой, необходимо преобразовать задачу к

чисто алгебраической форме, включающей только основные арифметиче-

ские операции. Для достижения этой цели могут быть использованы раз-

личные виды дискретизации непрерывной задачи, определенной диффе-

ренциальными уравнениями. При такой дискретизации бесконечное мно-

жество чисел, представляющих неизвестную функцию или функции, за-

меняется конечным числом неизвестных параметров, и для этого процесса

требуется некоторая форма аппроксимации искомых функций.

При численном решении уравнений математической физики широко

применяются следующие методы: метод конечных разностей (МКР), ме-

тод конечных элементов (МКЭ), метод граничных элементов (МГЭ).

5

1. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ

1.1. Конечно-разностные аппроксимации производных

Предположим, что решается одномерная краевая задача, т. е. требует-

ся определить функцию x , удовлетворяющую заданному дифференци-

альному уравнению на отрезке x0 вместе с надлежащими краевыми

условиями при 0x и x .

Для решения этой задачи методом конечных разностей, прежде всего,

производится дискретизация независимой переменной x , т. е. строится

множество (сетка) 1N дискретных равноотстоящих точек ix

( Ni ,...,2,1,0 ) на отрезке x0 с 00 x , Nx и

Nxxx ii 1 .

Следующий шаг состоит в замене в дифференциальном уравнении

членов, содержащих дифференцирование, членами, в которых использу-

ются только алгебраические операции. Этот процесс по необходимости

включает аппроксимацию и может быть выполнен путем использования

конечно-разностных аппроксимаций для производных функции.

Пользуясь разложением по формуле Тейлора, можно записать

...!2

1

!1

1 22

2

1

xdx

dx

dx

dxxx

ii xxxxii ,

используя нижний индекс i для значения функции в точке ixx , это со-

отношение можно переписать в виде

...2

1 22

2

1

xdx

dx

dx

d

iiii , или ( 1 )

...

2

12

21

x

dx

d

xdx

d

i

ii

i

Это приведет к аппроксимации разностью вперед для первой произ-

водной функции

xdx

d ii

i

1 . ( 2 )

6

Погрешность данной аппроксимации имеет порядок xO .

Аналогичным образом, пользуясь разложением по формуле Тейлора,

получим

...2

1 22

2

1

xdx

dx

dx

d

iiii , или ( 3 )

...

2

12

21

x

dx

d

xdx

d

i

ii

i

Получим аппроксимацию разностью назад для первой производной

функции

xdx

d ii

i

1 , ( 4 )

которая имеет порядок погрешности xO .

Обе аппроксимации (2) и (4) имеют один и тот же порядок погрешно-

сти xO , который можно повысить, вычтя (3) из (1)

...!3

12 3

3

3

11

xdx

d

dx

dx

iiii ,

тем самым получим аппроксимацию центральной разностью

xdx

d ii

i

211 , ( 5 )

порядок погрешности которой 2xO .

Это представление должно быть лучше, чем аппроксимация разно-

стями вперед и назад, т. е. чем меньше выбран шаг x , тем численное ре-

шение будет ближе к точному решению.

Сложим (1) и (3)

24

4

211

2

2

!4

12x

dx

d

xdx

d

i

iii

i

,

тем самым получим аппроксимацию второй производной функции

7

2

112

2 2

xdx

d iii

i

, ( 6 )

погрешность которой имеет порядок 2xO .

Аппроксимации производных более высоких порядков, если они по-

требуются, можно получить аналогичным образом.

1.2. Решение дифференциального уравнения

методом конечных разностей

Рассмотрим пример решения дифференциального уравнения [1].

Распределение изгибающего момента M в балке под действием рас-

пределенной нагрузки xq на единицу длины удовлетворяет уравнению

xqdx

Md2

2

. Балка единичной длины свободно оперта (т. е. 0M ) на

обоих концах и несет нагрузку xxq sin на единицу длины. Вычис-

лить распределение изгибающего момента конечно-разностным методом,

используя шаг сетки 25,0x .

Записывая уравнение xqdx

Md2

2

в выбранной точке сетки ix , имеем

точное равенство i

i

qdx

Md2

2

и, используя аппроксимацию (6) для второй

производной, приходим к уравнению для произвольной точки ix

iiii qxMMM 211 2 . ( 7 )

Записывая это уравнение для внутренних точек 25,001 xxx ,

5,012 xxx и 75,023 xxx , получим систему уравнений

32

234

22

123

12

012

2

2

2

qxMMM

qxMMM

qxMMM

С учетом краевых условий 00 M при 00 x и 04 M при 14 x , а

также значений распределенной нагрузки во внутренних точках

8

2125,0sin1 q , 15,0sin2 q и 2175,0sin3 q , получим

следующую систему уравнений 2 2

1 2 1 0

2 21 2 3 2

2 22 3 3 4

2 2

2

2 2,

M M x q M x

M M M x q x

M M x q M x

которую можно записать в матричном виде BAM ,

где

210

121

012

A ,

3

2

1

M

M

M

M ,

21

1

212xB .

Таким образом, исходная задача определения неизвестной функции

изгибающего момента xM заменяется задачей решения матричного

уравнения относительно дискретного множества значений 1M , 2M , 3M .

Решение системы

07544,0

10609,0

07544,0

221

221

221

16

1

21

1

21

321

242

123

4

21 xBAM .

Точное решение исходного дифференциального уравнения имеет вид

xxM

sin1

2, которое дает следующие значения в тех же точках:

07165,02

1

4sin

1221

M ,

10132,01

2sin

1222

M ,

07165,02

1

4

3sin

1223

M .

Конечно-разностный метод дает информацию о значениях функции в

узлах сетки, но не дает никакой информации о значениях функции между

этими точками. В действительности дифференциальное уравнение ап-

проксимируется только в дискретном числе точек, а не на всем интервале.

9

2. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

2.1. Аппроксимация базисными функциями

Предположим, что требуется аппроксимировать заданную функцию

x на некотором отрезке x0 . В задачах, описываемых диффе-

ренциальными уравнениями, необходимо найти решение, удовлетворяю-

щее определенным краевым условиям. Построим аппроксимирующую

функцию, которая в точках 0x и x принимает те же значения, что и

x . Если найти некоторую функцию x , принимающую одинаковые с

x значения на концах отрезка, т. е. 00 и , и ввести

систему линейно независимых базисных функций MmNm ...,,1,0 , та-

ких, что 00 mm NN для всех m , то на можно предложить ап-

проксимацию для :

xNaxxxM

mmm

0

ˆ , ( 8 )

где Mmam ...,,1,0 — некоторые параметры, вычисляемые таким обра-

зом, чтобы получить хорошее приближение. Базисные функции этого типа

иногда называют функциями формы, или пробными функциями.

Способ определения и системы базисных функций автоматически

обеспечивает тот факт, что аппроксимация обладает свойством 00

и для любых значений параметров ma . Ясно, что система ба-

зисных функций должна быть выбрана таким образом, чтобы гарантиро-

вать улучшение аппроксимации при возрастании числа M используемых

базисных функций.

Параметры ma выбираются на основании требования, что аппрокси-

мация ̂ должна совпадать с функцией в M различных произвольно

выбранных точках . Это требование приводит к системе линейных

уравнений относительно набора параметров Mmam ...,,1,0 . Например,

можно выбрать такие наборы базисных функций на отрезке x0 :

xxN mm 11 ; xmNm 1sin .

10

2.2. Взвешенные невязки

Введем погрешность (невязку) xR в аппроксимации

xNaxxxxxRM

mmm

0

ˆ . ( 9 )

Чтобы уменьшить невязку на всем отрезке , потребуем равенства

нулю соответствующего числа интегралов от погрешности, взятых с раз-

личными весами, т. е.

00

dxxRxWl Ml ,0 , ( 10 )

где xWl — множество линейно независимых весовых функций.

Подставив в (10) выражение (9), получим систему линейных алгеб-

раических уравнений для неизвестных коэффициентов ma , которую запи-

шем в матричном виде

FKA , ( 11 )

где TMaaa ,...,, 10A ;

lmkK ,

0

dxNWk mllm Mml ,0, ;

TMfff ,...,, 10F ,

0

dxWf ll Ml ,0 .

На практике используются различные виды систем весовых функций

xWl Ml ,0 , ведущие к разным методам аппроксимации посредством

взвешенных невязок.

Приведем наиболее известные виды весовых функций:

1. Поточечная коллокация

Весовые функции задаются в виде дельта-функции Дирака

,,

,,0

l

lll xx

xxxxxW

которая обладает свойством ll xgdxxxxg

.

11

Согласно (10), выбор таких весовых функций эквивалентен тому, что

невязка xR полагается равной нулю (т. е. ˆ ) в ряде заданных точек

lx . Тогда матрица K и вектор F в (11) имеют элементы

lmlm xNk ; lll xxf .

2. Коллокация по подобластям

При данном подходе весовые функции принимаются в виде

,,,0

,,,1

1

11

ll

lllll xxx

xxxxxxxxW

где

0,0

0,1

x

xx — функция Хевисайда («ступенчатая» функция).

В этом случае элементы матрицы K и вектора F принимают вид

1l

l

x

xmlm dxxNk ;

1l

l

x

xl dxf .

3. Метод Галеркина

В этом наиболее популярном методе взвешенных невязок вместо

привлечения новой системы функций в качестве весовых множителей вы-

бираются сами базисные функции, т. е.

ll NW .

В этом случае в системе (11) матрица K и вектор Fимеют элементы

0

dxNNk mllm ;

0

dxNf ll ,

что приводит к симметрии матрицы K и обеспечивает методу вычисли-

тельные преимущества.

Кроме того, если базисные функции mN подобраны таким образом,

что выполняется условие ортогональности 00

dxNN ml при ml 1, то

матрица K принимает диагональный вид и коэффициенты ma можно вы-

разить в явном виде. 1 При выборе весовых и базисных функций в виде синус-рядов xmN m sin , получим разложение функции

в ряд Фурье.

12

2.3. Понятие конечного элемента

Аппроксимация функции в виде (8) предполагает, что базисные

функции mN определены одним выражением для всей области

( x0 ), а интегралы (10) вычисляются сразу по всей области .

Альтернативный подход состоит в разбиении области на ряд непе-

рекрывающихся подобластей или элементов e ( ee xxx 1 ) и построе-

нии затем аппроксимации ̂ кусочным образом, т. е. отдельно на каждой

подобласти. Тогда используемые в процессе аппроксимации базисные

функции также могут быть определены кусочным образом с применением

различных выражений для разных подобластей e , из которых составлена

вся область. В таком случае входящие в аппроксимирующие уравнения

определенные интегралы могут быть получены простым суммированием

их вклада по каждому элементу:

010 1

E

e

x

xll

e

e

dxxRxWdxxRxW

, ( 12 )

при условии, что

E

ee

1

. Здесь E – общее количество элементов.

В пределах каждого элемента базисные функции можно определять

простыми зависимостями (полиномами нулевого, первого, второго и т. д.

порядка), тем самым искомая функция кусочно аппроксимируется в пре-

делах каждого элемента. В этом состоит идея метода конечных элемен-

тов. Кусочное определение базисных функций означает, что аппроксими-

рующие функции или их производные могут иметь разрывы на стыках

двух соседних элементов, что допустимо.

2.4. Некоторые типичные базисные функции для конечного элемента

Рассмотрим использование метода конечных элементов для аппрок-

симации произвольной функции x на отрезке x0 . Разбиение

отрезка на E непересекающихся подотрезков e осуществляется про-

стым выбором подходящего множества точек lx Ml ,...,1,0 при 00 x

13

и Mx . В качестве элемента e берется отрезок ee xxx 1 . В данном

случае ME .

Используя метод поточечной коллокации для аппроксимации задан-

ной функции x , получим постоянные значения функции x̂ на каж-

дом элементе. Получаемая аппроксимация является разрывной со скачка-

ми в точках сопряжения элементов lx . В качестве точек коллокации выби-

раются средние точки элементов. Эти точки называются узлами. В конеч-

но-элементных процессах узлы и элементы нумеруются.

Функция x̂ может быть записана в стандартной форме (8) путем

сопоставления каждому узлу m кусочно-постоянной разрывной и одина-

ковой для всех элементов глобальной базисной функции mN , по определе-

нию принимающей единичное значение на элементе m и нулевое значе-

ние на всех других элементах

M

mmm xNxx

1

ˆ , ( 13 )

где mma – значение функции в узле m .

Произвольная функция x из (8) здесь опущена, и, следовательно,

эта аппроксимация не будет равна значению функции x в граничных

точках отрезка 00 x , Mx . Однако в данном представлении эти значе-

ния приближаются сколь угодно точно при уменьшении длин элементов,

прилегающих к границам 00 x и Mx .

На каждом элементе e глобальная аппроксимация (13) может быть

выражена через значения e в узле элемента и базисной функции

элемента eN

ee

e xN ˆ , xxxxxN eee 1 на элементе e , ( 14 )

где xN e определена для элемента e и принимает на этом элементе еди-

ничное значение.

Рассмотрим случай аппроксимации функцией, линейно меняющейся

по длине каждого элемента. В этом случае (нумерованными) узлами яв-

14

ляются точки сопряжения элементов, и аппроксимация осуществляется

путем сопоставления каждому узлу i кусочно-линейной глобальной ба-

зисной функции xNi .

Эти глобальные базисные функции обладают тем свойством, что iN

отлично от нуля только на элементах, ассоциируемых с узлом i , причем

1iN в узле i и равно нулю во всех других узлах. Можно заметить, что с

узлами некоторого элемента ассоциируются только те глобальные базис-

ные функции, которые на нем отличны от нуля.

Если в качестве точек коллокации взять узлы, то глобальную аппрок-

симацию можно записать в виде

M

mmm xNxx

1

ˆ ,

где m – значения x в узле m . Подстановка соответствующих значений

в узлах 00 x и Mx гарантирует, что это представление автоматически

принимает нужные значения в двух граничных точках отрезка и явное ис-

пользование функции x не требуется. На каждом элементе e с узлами

i и j аппроксимация выражается с помощью двух линейных базисных

функций элемента eiN , e

jN и узловых значений i , j по правилу

ejj

eii NN ˆ на элементе e , ( 15 )

где ij

jei xx

xxN

, ij

iej xx

xxN

.

Из этих двух примеров видно, что характерной особенностью метода

конечных элементов является нумерация узлов и элементов.

2.5. Формирование системы уравнений на примере решения задачи

Решим уравнение 02

2

dx

d при 10 x с краевыми условиями

00 и 11 . Разобьем отрезок на три элемента ( 3E ) равной дли-

ны 311321 Ehhhh . Количество узлов M равно четырем, коор-

динаты которых iii hxx 1 ( 00 x , 311 x , 322 x , 13 x ).

15

В соответствии с выражением (12), можно записать

0ˆˆ

1

02

2

dxx

dx

xdxWl , при 3,2,1,0l , ( 16 )

где искомая функция аппроксимируется следующим выражением:

3

0

ˆm

mm xNx , ( 17 )

где m – значения искомой функции в узловых точках.

Примем линейную базисную функцию mN на элементе по (15), а ве-

совую функцию lW примем по методу Галёркина, т. е. в виде ll NW .

Тогда после интегрирования по частям (16) с учетом (17) получим выра-

жение

0ˆˆ

ˆ1

0

1

0

dx

dNdxN

dxd

dx

dNll

l , 3,2,1,0l . ( 18 )

Получаемую систему уравнений (18) представим в матричном виде

FK , ( 19 )

где lmkK ,

1

0

dxNNdx

xdN

dx

xdNk ml

mllm , 3,2,1,0, ml ;

Tffff 3210 ,,,F , 1

0

ˆ

dxd

Nf ll , 3,2,1,0l ;

T3210 ,,, .

Вклад в эти коэффициенты элемента e , узлы которого имеют номера

i и j , может быть вычислен в общей форме, и полезность применения

правила суммирования (12) становится очевидной. Единственными от-

личными от нуля на элементе e глобальными базисными функциями бу-

дут iN и jN , и, таким образом, 0lN на элементе e , если l не равно i

или j , т. е. если узел l не принадлежит элементу e . Поскольку

4

1e

elmlm kk , для построения матрицы K достаточно оценить вклад произ-

вольного элемента:

16

0elmk , jiml ,, ;

6

1 h

hdxNN

dx

xdN

dx

xdNkk

j

i

x

x

ej

ei

ej

eie

jieij

;

3

122

h

hdxxN

dx

xdNkk

j

i

x

x

ei

eie

jjeii

.

Таким образом, для каждого из трех элементов матрицы примут вид

0000

0000

003

1

6

1

006

1

3

1

1 h

h

h

h

h

h

h

h

k ;

0000

03

1

6

10

06

1

3

10

0000

2

h

h

h

h

h

h

h

hk ;

3

1

6

100

6

1

3

100

0000

0000

3

h

h

h

h

h

h

h

hk .

Просуммировав эти матрицы от вкладов каждого из элементов, полу-

чим матрицу коэффициентов системы уравнений

3

1

6

100

6

1

3

12

6

10

06

1

3

12

6

1

006

1

3

1

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

K

17

928

1853

00

1853

956

1853

0

01853

956

1853

001853

928

.

По свойствам базисных функций получаем 021 ff , а вектор пра-

вых частей F примет вид

1

0

ˆ0

0

ˆ

x

x

dxd

dxd

F .

Из краевых условий известно, что 00 0 и 11 3 , т. е. из

системы уравнений (19) можно вычеркнуть первую и последнюю строчки,

и в итоге получим разрешающую систему уравнений относительно неиз-

вестных 1 и 2

18

530

18

530

9

56

18

5318

53

9

56

32

1

6098,0

2885,0

5936

2809

9735

1

2

1 .

Определив значения функции в узлах, можно подставить их в первую

и последнюю строчки системы уравнений (19), тем самым получив значе-

ния первой производной функции в начальной и конечной точках отрезка.

18

3. МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

3.1. Понятие фундаментального решения

дифференциального уравнения

Представим обыкновенное дифференциальное уравнение с постоян-

ными коэффициентами в виде

xfxdx

dL

, ( 20 )

где

dx

dL – дифференциальный оператор; x – искомая функция;

xf – произвольная функция.

Любое обыкновенное дифференциальное уравнение с постоянными

коэффициентами имеет фундаментальное решение ,xG , которое опре-

деляется решением уравнения

xxG

dx

dL , , ( 21 ),

где x – дельта-функция Дирака.

Фундаментальное решение ,xG представляется в виде

xxxG 0sgn2

1, , ( 22 ),

где

x

xx

,1

,1sgn – функция знака; x0 – решение соответст-

вующего однородного дифференциального уравнения 00

x

dx

dL , с

краевыми условиями 0... 2

02

00

n

n

dx

xd

dx

xdx и

11

01

n

n

dx

xd

при x , где n – порядок старшей производной оператора L . Фундамен-

тальное решение определяется с точностью до решения однородного

уравнения, и тем самым, является обобщенной функцией.

Функция знака и функция Дирака связаны дифференциальной зави-

симостью

19

x

dx

dx sgn

2

1. ( 23 )

Если известно фундаментальное решение какого-либо дифференци-

ального уравнения, то решение этого дифференциального уравнения с

произвольной правой частью можно записать в виде

xRdfxGx

, , ( 24 )

где xR – решение, зависящее от значений функции x и ее производ-

ных на границах области определения .

3.2. Пример решения задачи поперечного изгиба стержня

Рассмотрим в качестве примера получение фундаментального реше-

ния дифференциального уравнения поперечного изгиба стержня длиной

xqdx

xwdEJ 4

4

, x0 , ( 25 )

где EJ – жесткость стержня при поперечном изгибе; xw – функция пе-

ремещений точек стержня; xq – произвольная поперечная нагрузка.

Дифференциальным оператором уравнения (25) является выражение

4

4

dx

dEJ

dx

dL

,

соответственно решением однородного дифференциального уравнения

00

xw

dx

dL является функция

432

23

10 2

1

6

1CxCxCxCxEJw ;

32

21

0

2

1CxCxC

dx

xdwEJ ;

212

02

CxCdx

xwdEJ ;

13

03

Cdx

xwdEJ .

20

Удовлетворяя условиям получения фундаментального решения (22),

получим систему уравнений относительно постоянных интегрирования

iС :

02

1

6

143

22

310 CCCCEJw ; 3

4 6

11

EJC ;

0

2

132

21

0

CCCdx

dwEJ ; 2

3 2

11

EJC ;

0212

02

CCdx

wdEJ ;

EJC

12 ;

1

113

03

CEJdx

wd;

EJC

11 .

По (22) получим фундаментальное решение уравнения (25) и его про-

изводные

EJ

xxxx

EJxxG

126

1

2

1

2

1

6

11sgn

2

1,

33223

; ( 26 )

EJ

xx

dx

xdG

4sgn

, 2

;

EJ

x

dx

xGd

2

,2

2

;

EJ

x

dx

xGd

2

sgn,3

3

;

EJ

x

dx

xGd

4

4 ,,

подставив в (21) убедимся в тождестве.

Функцию перемещений точек стержня xw будем искать в виде

dx

xdGMxGQdqxGxw

0,0,, 00

0

dx

xdGMxGQ

,

, , ( 27 )

где 0Q , 0M , Q , M – некоторые параметры на границах отрезка при

0x и x . Необходимо учитывать тот факт, что выбранная точка все-

гда должна быть внутри области определения, т. е. на границах области

следует брать значения x при определении функции в точке 0x и

x при определении функции в точке x . Здесь – положитель-

ная малая величина.

21

Для определения неизвестных 0Q , 0M , Q , M используются гранич-

ные условия закрепления стержня:

0,0 dx

dww – жесткая заделка;

0,0 2

2

dx

wdEJMw – шарнирное закрепление; ( 28 )

0,0 3

3

2

2

dx

wdEJQ

dx

wdEJM – свободный край.

Распределенная нагрузка xq может принимать следующие типы:

xbaxpxq – постоянная нагрузка p на участке bxa ;

axPxq – сосредоточенная сила P в точке ax ;

dx

axdMxq

– сосредоточенный момент M в точке ax .

Рассмотрим изгиб жесткозаделанного с обоих концов стержня длиной

под действием сосредоточенной силы P , приложенной в точке 2x .

Граничные условия имеют вид 0

00

dx

dww ,

0dx

dww

.

Решение ищется в виде (27)

EJ

xxM

EJ

xQ

EJ

xPxw

4sgn

1212

2 2

0

3

0

3

EJ

xxM

EJ

xQ

4sgn

12

23

;

EJ

xM

EJ

xxQ

EJ

xxP

dx

xdw

24sgn

4

22sgn 0

2

0

2

EJ

xM

EJ

xxQ

24sgn

2

.

Удовлетворяя граничным условиям, получим разрешающие системы

уравнений относительно неизвестных величин 0Q , 0M , Q , M

041296

0233

EJ

MEJ

QEJ

Pw

;

22

0

2416

0 22

EJ

MEJ

QEJ

P

dx

dw ;

041296

2

0

3

0

3

EJ

MEJ

QEJ

Pw

;

0

2416 0

2

0

2

EJ

MEJ

QEJ

P

dx

dw .

Решением системы будут искомые параметры

PQQ2

10 ; PMM

8

10 .

Например, перемещение в точке 2x составит значение

EJ

Pw

482

3

, что соответствует значению, полученному другими извест-

ными методами.

23

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Среди существующих на данный момент времени численных методов

решения задач математической физики нельзя выделить ни одного уни-

версального метода, так как каждый из них обладает своими преимущест-

вами и недостатками. В случае, если требуется определить всего лишь не-

которых набор значений искомой функции в области определения задачи

с простыми геометрическими формами, то в таком случае удобно исполь-

зовать метод конечных разностей. В случае областей с произвольной гео-

метрией, наиболее удобен метод конечных элементов для определения

конечного набора значений искомой функции. Если требуется знать

функцию в произвольных точках области определения, то удобно приме-

нять метод граничных элементов. Метод граничных элементов требует

большой предварительной теоретической подготовки, в том числе знать

заранее фундаментальное решение исходного дифференциального урав-

нения, что в свою очередь является трудоемкой процедурой.

24

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Зенкевич, О. Конечные элементы и аппроксимация / О. Зенкевич,

К. Морган ; пер. с англ. под ред. Н. С. Бахвалова. – М. : Мир, 1986. –

318 с.

2. Зенкевич, О. Метод конечных элементов в технике / О. Зенкевич ;

пер. с англ. под ред. Б. Е. Победри. – М. : Мир, 1975. – 541 с.

3. Бреббия, К. Методы граничных элементов / К. Бреббия, Ж. Телес,

Л. Вроубел ; пер. с англ. под ред. Э. И. Григолюка. – М.: Мир, 1987. –

524 с.

4. Бенерджи, П. Метод граничных элементов в прикладных науках /

П. Бенерджи, Р. Баттерфилд ; пер. с англ. под ред. Р. В. Гольдштейна.

– М. : Мир, 1984. – 494 с.

Учебное издание

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Часть 1 Методические указания

Составитель КУКАНОВ Николай Иванович

Редактор Н. А. Евдокимова

Подписано в печать 08.12.2011. Формат 60×84/16.

Усл. печ. л. 1,40. Тираж 50 экз. Заказ 224. Ульяновский государственный технический университет

432027, Ульяновск, Сев. Венец, 32. Типография УлГТУ, 432027, Ульяновск, Сев. Венец, 32.