ЛЕКЦИИПОАЛГЕБРЕ Часть2math.nsc.ru/LBRT/a1/sotr/AlgebraII.pdf · на простые множители), т. е. если a = vq1:::qs другое разложение

А. П. Пожидаев, С. Р. Сверчков, И. П. Шестаков

ЛЕКЦИИ ПО АЛГЕБРЕ

Часть 2

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФНОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Механико-математический факультет

Кафедра алгебры и математической логики

А. П. Пожидаев, С. Р. Сверчков, И. П. Шестаков


Часть 2

Учебное пособие

Новосибирск

2012

УДК 512.64(075)ББК: В14.5я73-1Г 144Пожидаев А. П., Сверчков С. Р., Шестаков И. П. Лекции

по алгебре: в 2 ч.: Учеб. пособие / Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск,2012. Ч. 2. 123 с.

ISBN 978-5-4437-0103-5

В пособии излагается основной курс высшей алгебры, читавшийсяавторами в 1989–2012 гг. на одном из потоков первого курса механико-математического факультета Новосибирского государственногоуниверситета. Часть 1 соответствует программе первого семестра,а часть 2 — второго. Для чтения и понимания текста от читателятребуется знание элементарных понятий теории множеств,отображений и принципа математической индукции.

Предназначено для студентов и преподавателей, специ-ализирующихся по курсу высшей алгебры.

Рецензенты:канд. физ.-мат. наук М. Е. Гончаров,д-р физ.-мат. наук П. С. Колесников

Издание подготовлено в рамках реализации Программыразвития государственного образовательного учреждения высшегопрофессионального образования «Новосибирский государственныйуниверситет» на 2009–2018 годы.

c© Новосибирский государственныйуниверситет, 2012

ISBN 978-5-4437-0103-5 c© Пожидаев А. П., Сверчков С. Р.,Шестаков И. П., 2012

ОглавлениеВведение 6

3. Кольца многочленов 7§ 1. Алгоритм деления с остатком и его следствие . . . . . . . 7§ 2. Факториальные кольца, Н.О.Д. и Н.О.К. в

факториальных кольцах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8§ 3. Евклидовы кольца. Алгоритм Евклида . . . . . . . . . . . . 12§ 4. Факториальность евклидовых колец . . . . . . . . . . . . . 14§ 5. Примитивные многочлены. Лемма Гаусса . . . . . . . . . . 15§ 6. Факториальность кольца многочленов над

факториальным кольцом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16§ 7. Неприводимые многочлены, признак неприводимости

Эйзенштейна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17§ 8. Разложение рациональных функций на простейшие дроби 19§ 9. Корни многочлена и линейные множители.

Интерполяционные формулы . . . . . . . . . . . . . . . . . 21§ 10. Теорема о существовании корня. Поле разложения . . . . 23§ 11. Формула Тейлора. Отделение кратных множителей . . . . 25§ 12. Формулы Виета. Основная теорема

о симметрических многочленах . . . . . . . . . . . . . . . . 28§ 13. Дискриминант многочлена. Формулы Ньютона . . . . . . 34§ 14. Результант как определитель наличия общих множителей 38§ 15. Результант как симметрическая функция корней . . . . . 40§ 16. Алгебраическая замкнутость поля C . . . . . . . . . . . . . 43§ 17. Разложение многочленов на множители над C, R и Q . . . 44§ 18. Границы корней. Теорема Штурма . . . . . . . . . . . . . . 45

4. Линейные преобразования векторных пространств 47§ 1. Матрица линейного отображения . . . . . . . . . . . . . . . 47§ 2. Координаты образа вектора. Изменение матрицы при

изменении базы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3

4 Оглавление

§ 3. Однозначное определение линейного преобразования пообразу базиса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

§ 4. Изоморфизм алгебр L(Fn, Fn) и Mn(F ) . . . . . . . . . . . 51§ 5. Характеристические многочлены подобных матриц.

Подобие матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52§ 6. Теорема Гамильтона — Кэли . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53§ 7. Инвариантные подпространства, условия их существования 54§ 8. Характеристический многочлен линейного преобразования 56§ 9. Собственные векторы и значения. Независимость

векторов, отвечающих различным собственным значениям 57§ 10.Минимальные многочлены матриц и линейных

преобразований . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59§ 11. Нильпотентные преобразования, канонический вид их

матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61§ 12.Минимальный и характеристический многочлен от

матрицы Жордана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63§ 13. Векторное пространство как прямая сумма корневых

подпространств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65§ 14. Теорема Жордана — существование жордановой

нормальной формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69§ 15. Теорема Жордана — единственность жордановой

нормальной формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72§ 16. Задача о подобии матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74§ 17. Функции от матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75§ 18. Представление функций от матриц многочленами . . . . . 77

5. Евклидовы и унитарные пространства 81§ 1. Аксиоматика и примеры унитарных и евклидовых

пространств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81§ 2. Длина вектора и расстояние. Неравенство Коши —

Буняковского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83§ 3. Процесс ортогонализации Грама — Шмидта . . . . . . . . 85§ 4. Ортогональные суммы и ортогональные дополнения . . . . 87§ 5. Пространство как ортогональная сумма подпространств

U и U⊥ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87§ 6. Существование и единственность сопряжённого

преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88§ 7. Основные свойства и матрица сопряжённого

преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89§ 8. Канонический вид нормального преобразования

унитарного пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5

§ 9. Изоморфизм унитарных пространств . . . . . . . . . . . . . 92§ 10. Канонический вид нормального преобразования

евклидова пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93§ 11. Унитарные и ортогональные преобразования . . . . . . . . 96§ 12. Канонический вид матриц унитарных и ортогональных

преобразований . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98§ 13. Эрмитовы и симметрические преобразования . . . . . . . . 99§ 14. Канонический вид матриц эрмитовых и симметрических

преобразований . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100§ 15. Положительные и неотрицательные эрмитовы

преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101§ 16. Сингулярное и полярное разложение линейного

преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6. Квадратичные формы 105§ 1. Матрица квадратичной формы, её поведение при замене

неизвестных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105§ 2. Приведение квадратичной формы к главным осям . . . . . 106§ 3. Алгоритм Лагранжа приведения формы к диагональному

виду . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106§ 4. Закон инерции квадратичных форм . . . . . . . . . . . . . 108§ 5. Формула Якоби приведения формы к диагональному виду 109§ 6. Необходимые и достаточные условия положительной

определённости формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110§ 7. Одновременная диагонализация двух квадратичных форм 112

7. Базисы Грёбнера 113§ 1. Эквивалентность систем алгебраических уравнений.

Теорема Гильберта о базисе . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113§ 2. Идеал системы, аффинное алгебраическое многообразие,

радикал идеала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115§ 3. Базис Грёбнера идеала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117§ 4. Системы алгебраических уравнений и базисы Грёбнера . . 119

Предметный указатель 121

Введение

Вторая часть учебного пособия в основном соответствует курсу“Высшая алгебра”, читаемого во втором семестре для второго потокастудентов первого курса ММФ НГУ. Данная часть состоит из пятиглав, продолжающих нумерацию глав первой части. В третьей главеизучаются многочлены. Четвёртая глава даёт более глубокий анализлинейных преобразований над алгебраически замкнутым полем, а пятая— линейных преобразований пространств со скалярным произведениемнад полями R и C. Шестая глава посвящена основам теорииквадратичных форм, а заключительная, седьмая, — основам теориибазисов Грёбнера — Ширшова, которые в случае коммутативныхалгебр называются базисами Грёбнера и которые вновь возвращают наск системам уравнений, однако на этот раз — к системам произвольныхалгебраических уравнений над полями.

Обозначения: A ⇒ B означает, что из утверждения A следуетутверждение B; A ⇔ B — эквивалентность утверждений A и B;квантор всеобщности ∀ служит заменой выражения “для всех”; ∃ —квантор существования; ∃! — существует единственный; N обозначаетнатуральные числа, N0 — натуральные числа с нулём, Z — целые числа,Q — рациональные, R — действительные, C — комплексные числа; i —мнимая единица в C; символ := означает равенство по определению;конец доказательства обозначается символом ¤.

Нумерация параграфов в каждой главе самостоятельная. Ссылка,например, на утверждение 1 означает утверждение 1 данногопараграфа; ссылка на утверждение 1 § 4 означает утверждение 1параграфа 4 данной главы, а ссылка на утверждение 1 § 2.4 означаетутверждение 1 четвёртого параграфа второй главы.

Выражаем благодарности: А. В. Васильеву, М. Е. Гончарову,В. Н. Желябину, П. С. Колесникову.

Глава 3

Кольца многочленов

В этой главе мы изучим факториальные и евклидовы кольца,рациональные функции, однако основной темой является болееглубокое изучение многочленов, их корней и разложений.

§ 1. Алгоритм деления с остатком

Теорема 1. Пусть A — целостное кольцо, g (x) ∈ A [x], и старшийкоэффициент g обратим в A. Тогда для любого f ∈ A [x] существуютединственные q, r ∈ A [x] такие, что f = q · g + r, где deg r < deg g.

Доказательство. Пусть f = a0 + . . .+anxn, g = b0 + . . .+ bmxm и bm

— обратимый элемент кольца A. Возможны следующие случаи:1) если deg g > deg f , то f = 0 · g + f ;2) если deg g = 0, то g = bm и f = (b−1

m )f · bm + 0;3) пусть 0 < deg g ≤ deg f . Воспользуемся индукцией по deg f .Пусть f1 = f − anb−1

m xn−mg. Тогда deg f1 < deg f и по индукциисуществуют g1, r1 такие, что f1 = g · q1 + r1, deg r1 < deg g. Тогда f =(q1 + anb−1

m xn−m) · g + r1.

Докажем единственность. Пусть f = q1g + r1 = q2g + r2. Тогда(q1 − q2)·g = r2−r1. Так как deg (r2 − r1) < deg g, то q1−q2 = 0, r1−r2 =0. ¤

Пусть K — ассоциативное коммутативное кольцо с единицей. ИдеалI кольца K называется главным, если I = aK := ak : k ∈ K.

8 3. Кольца многочленов

Следствие. Пусть P — поле. Тогда всякий идеал в P [x] являетсяглавным.

Доказательство. Пусть I C P [x]. Выберем f ∈ I, имеющийминимальную степень. Тогда для любого g ∈ I имеем g = fq + r,где deg r < deg f . Так как f, g ∈ I, то r ∈ I. Следовательно, g = fq,и I = f · P [x]. ¤

§ 2. Факториальные кольца, Н.О.Д. и Н.О.К.в факториальных кольцах

Пусть K — целостное кольцо. Элемент a кольца K называетсярегулярным (или обратимым) элементом, если существует такойэлемент b ∈ K, что ab = 1.

Будем говорить, что элемент b кольца K делится на a (a делитb), и писать a|b, если b = ac для некоторого элемента c ∈ K. Если a|bи b|a, то a и b называются ассоциированными. В этом случае существуюттакие элементы u, v ∈ K, что b = au и a = bv. Тогда a = auv, и поэтомуa(1−uv) = 0. Следовательно, uv = 1, т. е. u и v — регулярные элементы.Если элементы a и b ассоциированны, то будем обозначать это символомa ∼ b. Элемент p кольца K называется простым (неразложимым),если он необратим и его нельзя представить в виде p = ab, где a и b —необратимые элементы.

Примеры. 1. Регулярными элементами в кольце целых чисел Zявляются только ±1, простые элементы в Z — это ±p, где p — простоечисло.

2. Пусть f(x) — многочлен из P [x], где P — поле. Если f(x)регулярный, то существует такой g(x) ∈ P [x], что f(x)g(x) = 1.Следовательно, deg f = deg g = 0, и поэтому f(x) — элемент поляP . Ненулевые многочлены f(x) и g(x) ассоциированны тогда и толькотогда, когда f(x) = λg(x), где λ — ненулевой элемент поля P .Простые элементы в P [x] — это многочлены, которые нельзя разложитьв произведение многочленов из P [x] степени больше нуля. Они такженазываются неприводимыми над P многочленами.

Отметим некоторые простейшие свойства делимости в кольце K.

1. Если a|b и b|c, то a|c. Действительно, b = aa1 и c = bb1 длянекоторых элементов a1, b1 ∈ K. Следовательно, c = aa1b1, т. е. a|c.

§ 2. Факториальные кольца, Н.О.Д. и Н.О.К. 9

2. Если c|a и c|b, то c|(a± b). Очевидно.

3. Если a|b, то a|bc для любого c ∈ K. Действительно, b = aa1.Умножив обе части этого равенства на элемент c, получим: bc = aa1c,т. е. a|bc.

Комбинируя 2) и 3), получаем:

4. Если a|b1, . . . , a|bm, то a|(b1c1 ± . . .± bmcm) для любых элементовc1, . . . , cm ∈ K.

Целостное кольцо K называется кольцом с разложением(на простые множители) тогда и только тогда, когда для любогоненулевого элемента a ∈ K, a = up1 . . . pr (a = u

∏ri=1 pi), где u

— регулярный элемент, а pi — простые элементы. Если при этомтакое разложение однозначно (с точностью до перестановки простыхэлементов и с точностью до ассоциированности), то такое кольцоназывается факториальным (или кольцом с однозначным разложениемна простые множители), т. е. если a = vq1 . . . qs — другое разложениеэлемента a, где v регулярен, а qi просты, то r = s и при надлежащейнумерации q1 = u1p1, q2 = u2p2, . . . , qr = urpr, где u1, . . . , ur —регулярные элементы.

Теорема 1. Пусть K — целостное кольцо с разложениемна простые множители. Кольцо K факториально тогда и толькотогда, когда из p|ab следует, что p|a или p|b для любого простогоэлемента p из K.

Доказательство. Пусть K — факториальное кольцо, p — простойэлемент и p|ab. Тогда ab = pc, где c — элемент из K, a = u

∏ni=1 ai,

b = v∏m

i=1 bi и c = w∏k

i=1 ci, u, v, w — регулярные элементы, а ai, bi, ci

— простые элементы. Отсюда получаем, что элемент p ассоциированлибо с ai, либо с bj . Следовательно, p|a или p|b.

Пусть выполняется условие теоремы. Докажем, что K —факториальное кольцо. Доказательство будем вести индукциейпо числу простых сомножителей в разложении произвольного элемента.Допустим, что разложение всех элементов из K с числом ≤ n простыхсомножителей единственно. Для n = 1 это следует из определенияпростого элемента.

Докажем, что утверждение верно для любого a 6= 0, которыйможет быть разложен на (n+1) простых сомножителей. Предположим,что a = u

∏n+1i=1 pi = v

∏m+1j=1 rj , где u, v — регулярные, а pi, rj —

простые элементы. Без потери общности можно считать, что m ≥


n. Тогда pn+1 делит один из rj . Пусть, например, pn+1|rm+1. Тогдаrm+1 = wpn+1 для некоторого обратимого элемента w. Следовательно,u

∏ni=1 pi = vw

∏mj=1 rj . По предположению индукции получаем, что

n = m и разложение отличается только порядком сомножителей. ¤Приведём пример целостного кольца с разложением на простые

множители, которое не является факториальным.Пример. Пусть K = a+b

√−5 : a, b ∈ Z. Тогда K — подкольцо полякомплексных чисел C, поэтому K — целостное кольцо. Покажем, что 3и 2 +

√−5 — простые элементы. Предположим, что 3 = (a + b√−5)(c +

d√−5). Переходя в этом равенстве к комплексно сопряженным числам,

получим: 3 = (a − b√−5)(c − d

√−5). Тогда 9 = (a2 + 5b2)(c2 + 5d2).Поскольку a, b, c, d ∈ Z, то b = d = 0 и либо a = ±3 и c = ±1, либоa = ±1 и c = ±3. Следовательно, 3 — простой элемент. Аналогичнодоказывается, что 2 ± √−5 — простые элементы и что обратимыеэлементы в K — это только ±1. Ясно, что 9 = 3 ·3 = (2+

√−5)(2−√−5),причём элементы 3 и 2+

√−5 не являются ассоциированными. Заметимтакже, что, например, элемент 41 не является простым в K, так как41 = (6 +

√−5)(6−√−5).

Упражнение. Покажите, что K — кольцо с разложением на простыемножители.

Пусть K — целостное кольцо и a, b — элементы кольца K.Наибольшим общим делителем (Н.О.Д.) элементов a и b называетсятакой ненулевой элемент d ∈ K, что:1) d|a и d|b;2) если c — произвольный элемент из K, c|a и c|b, то c|d.

Обозначим Н.О.Д. элементов a и b через (a, b). Очевидно, что (a, b)определён с точностью до умножения на регулярный элемент.

Заметим, что a|b тогда и только тогда, когда ua|b для любогорегулярного u: если a|b, то b = av = uau−1v, т. е. ua|b; наоборот, еслиua|b, то b = uav, т. е. a|b.

Свойства Н.О.Д.

• (a, b) ∼ a тогда и только тогда, когда a|b.Действительно, пусть (a, b) ∼ a. Тогда, по замечанию выше, a|b.

Наоборот, пусть d = (a, b) и a|b. Поскольку a|a, то a|d. По определениюН.О.Д. d|a, а потому a = ud, где u — регулярный элемент, т. е. (a, b) ∼ a.

• Очевидно, что (a, 0) ∼ a.

§ 2. Факториальные кольца, Н.О.Д. и Н.О.К. 11

• Для произвольного элемента t из K справедливо (ta, tb) ∼ t(a, b).

Действительно, пусть d = (a, b). Тогда td|ta, td|tb, и поэтомуtd|(ta, tb). Следовательно, (ta, tb) = tdc для некоторого c ∈ K. Тогдаdc|a, dc|b и, следовательно, dc|d. Так как d|dc, то dc ∼ d и (ta, tb) ∼t(a, b).

• Для любых элементов a, b, c из K справедливо ((a, b), c) ∼ (a, (b, c)).

Действительно, пусть d1 = ((a, b), c), d2 = (a, (b, c)). Тогда d1|(a, b),d1|c. Следовательно, d1|a, d1|b, d1|c, поэтому d1|a, d1|(b, c). Получаем,что d1|(a, (b, c)), т. е. d1|d2. Аналогично d2|d1. Таким образом, d1 ∼ d2.

Понятие Н.О.Д. (a1, . . . , an) можно определить для произвольногочисла элементов a1, . . . , an. Ввиду только что доказанного получаем,что (a1, . . . , an) ∼ ((a1, . . . , an−1), an).

Пусть K — целостное кольцо и a, b ∈ K. Наименьшим общимкратным (Н.О.К.) элементов a и b называется такой элемент m ∈ K,для которого справедливо следующее:1) a|m, b|m;2) если a|c и b|c, то m|c.

Обозначим Н.О.К. элементов a и b через [a, b]. Как и в случае Н.О.Д.,элемент [a, b] определён с точностью до умножения на регулярныйэлемент.

Теорема 2. Пусть K — целостное кольцо и для a, b ∈ Kсуществуют (a, b) и [a, b]. Тогда 1) если [a, b] = 0, то a = 0 или b = 0;2) если a, b 6= 0, m = [a, b] и ab = dm, то d ∼ (a, b).

Доказательство. Пусть [a, b] = 0. Поскольку a|ab и b|ab, то [a, b]|ab,т. е. 0|ab. Следовательно, ab = 0c = 0. Отсюда получаем, что a = 0 илиb = 0.

Докажем 2). Пусть ab = dm. Так как m = [a, b], то m = a′a и m =b′b. Следовательно, ab = dm = da′a, но тогда b = da′, а потому d|bи аналогично d|a.

Пусть k|a и k|b, т. е. a = ka1, b = kb1. Положим c = ka1b1, тогда a|cи b|c. Следовательно, m|c, т. е. c = mm1. Поэтому kmm1 = kc = ab = dmи km1 = d, т. е. k|d. Таким образом, d ∼ (a, b). ¤

Пусть K — целостное кольцо, определим на K × K отношение ∼,полагая a ∼ b тогда и только тогда, когда a и b — ассоциированныеэлементы, т. е. a = ub, где u — регулярный элемент кольца K.


Предложение 1. Отношение ∼ является отношением эквивален-тности.

Доказательство. Поскольку a = 1 · a, то a ∼ a, т. е. отношение ∼симметрично.

Если a = ub, где u — регулярный элемент, то b = u−1a, т. е. a ∼ bвлечёт b ∼ a, поэтому отношение ∼ рефлексивно.

Пусть a ∼ b и b ∼ c. Тогда в силу определения ∼ получаем, чтоa = ub и b = vc. Следовательно, a = uvc. Так как uv — регулярныйэлемент, то a ∼ c. ¤

Если K — факториальное кольцо, то класс эквивалентности,содержащий простой элемент, состоит только из простых элементов.Из каждого такого класса выберем по одному элементу и обозначимполученное множество через P. Таким образом, P — это множество всехнеассоциированных простых элементов кольца K. Тогда для любыхэлементов a, b кольца K (если a = upk1

1 . . . pkrr и b = vpl1

1 . . . plrr —

их разложения на простые сомножители из множества P, т. е. pi ∈P, i = 1, . . . , r, u, v — регулярные элементы) из теоремы 1 получаемследующий признак делимости:

1) a|b тогда и только тогда, когда ki ≤ li, i = 1, . . . r;2) [a, b] ∼ ps1

1 . . . psrr , где si = maxki, li;

3) (a, b) ∼ pt11 . . . ptr

r , где ti = minki, li.

§ 3. Евклидовы кольца. Алгоритм ЕвклидаПусть K — целостное кольцо и K∗ = K \ 0. Предположим, чтоопределено отображение δ : K∗ 7→ N ∪ 0, для которого выполненыследующие условия:

(E1) для любых a, b ∈ K∗, δ(ab) ≥ δ(a);(E2) для любых a, b ∈ K∗ существуют такие q, r ∈ K (q — неполное

частное, r — остаток), что a = qb + r, δ(r) < δ(b) или r = 0.В этом случае K называется евклидовым кольцом.

Примеры. 1. Кольцо целых чисел Z с отображением δ(a) = |a|является евклидовым кольцом. 2. Кольцо многочленов P [x], где P —поле и δ(f) = deg f — евклидово кольцо.

Коммутативное кольцо называется кольцом главных идеалов, есликаждый идеал кольца является главным.

§ 3. Евклидовы кольца. Алгоритм Евклида 13

Предложение 1. Пусть K — евклидово кольцо. Тогда K — кольцоглавных идеалов.

Доказательство. Пусть I — идеал кольца K. Выберем в I такойненулевой элемент a, для которого δ(a) является минимальным. Пустьb — произвольный элемент из I. По (E2) существуют такие элементыq, r ∈ K, что b = qa + r и δ(r) < δ(a) или r = 0. Ввиду выбора элементаa получаем, что r = 0, т. е. b = aq. ¤

Алгоритм Евклида нахождения Н.О.Д. Пусть a и b — ненулевыеэлементы евклидова кольца K. Тогда в силу (E2) можно рассмотретьпоследовательность делений с остатком:

a = bq1 + r1, δ(r1) < δ(b), (a, b) = (b, r1),b = r1q2 + r2, δ(r2) < δ(r1), (b, r1) = (r1, r2),· · ·ri = ri+1qi+2 + ri+2, δ(ri+2) < δ(ri+1), (ri, ri+1) = (ri+1, ri+2),· · ·rk−2 = rk−1qk + rk, δ(rk) < δ(rk−1), (rk−2, rk−1) = (rk−1, rk),rk−1 = rkqk+1, rk+1 = 0, (rk−1, rk) = rk.

Докажем, что на каждом i-м шаге деления справедливо равенствоri = aia + bib для некоторых ai, bi ∈ K. Доказательство будем вестииндукцией по числу шагов i.

Пусть i = 1. Тогда r1 = a+(−q1)b. Полагая a1 = 1, b1 = −q1, получимr1 = a1a + b1b. Предположим, что rk = aka + bkb для всех k ≤ i. Тогдана (i + 1)-м шаге имеем:

ri+1 = ri−1 − qi+1ri = ai−1a + bi−1b− qi+1(aia + bib).

Раскрывая скобки, получим:

ri+1 = (ai−1 − qi+1ai)a + (bi−1 − qi+1bi)b = ai+1a + bi+1b.

Таким образом, мы доказали следующую теорему.

Теорема 1. В евклидовом кольце K любые два ненулевых элементаa, b имеют Н.О.Д. По алгоритму Евклида можно найти такие u, v ∈K, что (a, b) = ua+ vb. В частности, (a, b) = 1 тогда и только тогда,когда существуют такие u, v ∈ K, что ua + vb = 1. ¤

Из теоремы 1 получаем следующее


Следствие 1. Пусть K — евклидово кольцо и a, b, c ∈ K. Тогдасправедливы следующие утверждения:

1) если (a, b) = (a, c) = 1, то (a, bc) = 1;2) если a|bc и (a, b) = 1, то a|c;3) если b|a, c|a и (b, c) = 1, то bc|a.

Доказательство. 1. Поскольку (a, b) = (a, c) = 1, то по теореме 1существуют такие элементы x, y, z, t кольца K, что ax+by = 1 и az+ct =1. Следовательно, (ax + by)(az + ct) = 1. Раскрывая скобки, получаем:a(xaz + xct + byz) + bc(yt) = 1. Поэтому (a, bc) = 1.

2. Применяя теорему 1, получаем ax+by = 1 для некоторых x, y ∈ K.Следовательно, acx + bcy = c. Так как a|bc, то bc = at для некоторогоt ∈ K. Отсюда получаем: c = acx + aty = a(cx + ty), т. е. a|c.

3. Поскольку a = bx = cy и bu + cv = 1, то abu + acv = a и a =cbyu + cbxv = cb(yu + xv), а потому bc|a. ¤

§ 4. Факториальность евклидовых колец

Лемма 1. Всякое евклидово кольцо K — кольцо с разложением.Доказательство. Пусть a ∈ K∗. Предположим, что a = bc, где

b, c — необратимые элементы кольца K. Покажем, что δ(a) > δ(b).По (Е1) имеем δ(a) = δ(bc) ≥ δ(b). Пусть δ(a) = δ(b). Разделив b на aс остатком, получим b = qa + r, причём δ(r) < δ(a) = δ(b). Заметим,что r 6= 0. Действительно, если r = 0, то a = aqc, и поэтому qc = 1,т. е. c — обратимый элемент. Тогда b = bcq + r, и значит r = b(1 − qc).Следовательно, ввиду свойства (E1) получаем δ(r) = δ(b(1 − ca)) ≥δ(b) > δ(r). Противоречие. Следовательно, δ(a) > δ(b).

Пусть теперь a — произвольный элемент из K. Тогда либо a —простой элемент, либо a = bc, где b, c — необратимые элементы.Во втором случае по доказанному выше получаем δ(a) > δ(b) и δ(a) >δ(c). Точно так же поступаем с b и c. ¤

Теорема 1. Пусть K — евклидово кольцо. Тогда K —факториальное кольцо.

Доказательство. В силу теоремы 1 § 2 достаточно проверить, чтоесли p — простой элемент из K и p|ab, то либо p|a, либо p|b.

Пусть p не делит a, тогда (p, a) = 1. Поскольку p|ab и (p, a) = 1,то ввиду 2) следствия 1 § 3 получаем, что p|b. ¤

Следствие 1. Кольца Z и P [x], где P — поле, факториальны. ¤

§ 5. Примитивные многочлены. Лемма Гаусса 15

§ 5. Примитивныемногочлены.ЛеммаГауссаРассмотрим кольцо многочленов K[x] над кольцом K. Пусть f(x)

— ненулевой многочлен из K[x] и f(x) =n∑

i=0

aixi. Обозначим

Н.О.Д. элементов a0, a1, . . . , an через d(f). Элемент d(f) называетсясодержанием многочлена f(x). Пусть K — факториальное кольцо.Многочлен f(x) ∈ K[x] называется примитивным тогда и только тогда,когда d(f) ∼ 1, т. е. когда d(f) обратим.

Лемма Гаусса. Пусть K — факториальное кольцо. Тогдадля любых f, g ∈ K[x] справедливо равенство d(fg) ∼ d(f)d(g).В частности, произведение примитивных многочленов —примитивный многочлен.

Доказательство. Начнём со второго утверждения. Пусть f(x) =a0 + a1x + . . . + anxn, g(x) = b0 + b1x + . . . + bmxm — примитивныемногочлены. Предположим, что d(fg) — необратимый элемент. Тогдасуществует простой p ∈ K, который делит d(fg). Пусть ar, bs — первыекоэффициенты многочленов f и g, не делящиеся на p. Коэффициентпри xr+s в произведении fg имеет вид

cs+r = arbs + (ar−1bs+1 + ar−2bs+2 + . . .) + (ar+1bs−1 + ar+2bs−2 + . . .).

Поскольку

p|cs+r, p|(ar−1bs+1 + ar−2bs+2 + . . .), p|(ar+1bs−1 + ar+2bs−2 + . . .),

то p|arbs, откуда p|ar или p|bs. Противоречие. Следовательно, fg —примитивный многочлен.

Пусть αf1 = βf2, где f1, f2 — примитивные многочлены из K[x]и α, β ∈ K. Покажем, что α ∼ β. Действительно, пусть f1 =

∑ni=0 aix

i

и f2 =∑n

i=0 bixi. Тогда (a0, . . . , an) = (b0, . . . , bn) = 1 и αai = βbi, откуда

α|βb0, . . . , α|βbn. Следовательно,

α|(βb0, . . . , βbn) ⇒ α|β(b0, . . . , bn) ⇒ α|β.

Аналогично β|α, а потому α ∼ β.Пусть теперь f, g — произвольные многочлены из K[x]. Тогда мы

имеем f = d(f)f0 и g = d(g)g0, где f0 и g0 — примитивные многочлены.По доказанному выше многочлен f0g0 является примитивным. Ясно,что fg = d(f)d(g)f0g0. Если fg = d(fg)h, где h — примитивныймногочлен, то d(fg) ∼ d(f)d(g). ¤


§ 6. Факториальность кольца многочленовнад факториальным кольцом

Мы хотим доказать, что если K — факториальное кольцо, то K[x]— факториальное кольцо. Рассмотрим поле частных Q(K) кольцаK. По следствию 1 § 4 Q(K)[x] — факториальное кольцо. Поэтомувозможно попытаться от разложения элемента на простые множителив Q(K)[x] перейти к разложению на простые множители в K[x].Напомним, что многочлен f(x) кольца K[x] называется неприводимымнад K многочленом, если f(x) — простой элемент K[x].

Лемма 1. Пусть K — факториальное кольцо. Тогда справедливыутверждения:

1) если f, g примитивны в K[x] и f ∼ g в Q(K)[x], то f ∼ g в K[x];2) если f ∈ K[x], deg f > 0 и f — неприводим над K, то f

неприводим над Q(K).Доказательство. 1. Пусть f = rg, где r обратим в Q(K)[x]. Тогда r

обратим в Q(K). Следовательно, r = ab , где a, b ∈ K∗. Поэтому f = a

b gи b · f = a · g. В силу леммы Гаусса a ∼ b, т. е. a = ub, где u обратимв K. Тогда f = a

b g = ubb g = ug, т. е. f ∼ g в K[x].

2. Пусть f = gh, где g, h ∈ Q(K)[x]. Обозначим Н.О.К. всехзнаменателей коэффициентов многочлена g(x) через b, а через c —Н.О.К. всех знаменателей коэффициентов многочлена h(x). Ясно, чтоbg, ch ∈ K[x]. Положим a = b · c, g = bg, h = ch. Тогда

af = (bc)gh = (bg)(ch) = g · h.

По лемме Гаусса получаем:

d(af) ∼ ad(f) ∼ d(g · h) ∼ d(g) · d(h).

Поскольку g = d(g)g0 и h = d(h)h0, где g0, h0 — примитивныемногочлены в K[x], то

af = gh = d(g)d(h)g0h0 = uad(f)g0h0,

где u — регулярный элемент в K. Следовательно, f = ud(f)g0h0 и f(x)приводим в K[x]. Получили противоречие. ¤

Теорема 1. Пусть K — факториальное кольцо. Тогда K[x] —факториальное кольцо.

§ 7. Неприводимые многочлены, признак Эйзенштейна 17

Доказательство. Пусть f(x) ∈ K[x] и deg f > 0. Представиммногочлен f в виде af0, где a = d(f), а f0 — примитивныймногочлен. В силу леммы Гаусса многочлен f0 разложим в кольце K[x]в произведение f1 · . . . · fs, где f1, . . . , fs — неприводимые примитивныемногочлены. Следовательно, K[x] — кольцо с разложением на простыемножители.

Пусть теперь f0 = g1 · . . . · gt — другое разложение многочлена f0

в кольце K[x] на простые множители. Тогда f1 · . . . · fs и g1 · . . . · gt

— два разложения многочлена f0 в кольце Q(K)[x], причём по лемме1 fi, gi — неприводимые в Q(K)[x] многочлены. Так как Q(K)[x] —евклидово кольцо, то оно факториально. Поэтому s = t и с точностьюдо перестановки сомножителей fi ∼ gi в кольце Q(K)[x]. Применяяопять лемму 1, получим, что fi ∼ gi в K[x]. Таким образом, f0

однозначно раскладывается на простые множители в K[x].Так как K — факториальное кольцо, то d(f) можно однозначно

разложить в K на простые множители p1 · . . . · pl, откуда f = d(f)f0 =p1·. . .·pl·f1·. . .·fs — однозначное разложение многочлена f в кольце K[x]на простые множители. Следовательно, K[x] — факториальное кольцо.¤

§ 7. Неприводимые многочлены, признакнеприводимости Эйзенштейна

Пусть K — целостное кольцо и f(x) — многочлен из K[x], у которогоdeg f > 0. Напомним, что f(x) неприводим в кольце K[x] ⇔ f(x) —простой элемент в K[x].

Примеры. 1. Если f = ax + b и (a, b) = 1, то f неприводим.2. Многочлен x2 + 1 неприводим в R[x], но приводим в C[x].

Лемма 1. Над любым полем P существует бесконечно многонеприводимых многочленов.

Доказательство. Пусть p1, . . . , pn — все неприводимые в P [x]многочлены. Рассмотрим f = p1 · . . . · pn + 1. Тогда существует такойi ∈ 1, . . . , n, что pi|f . Следовательно, pi|1. Противоречие. ¤

Теорема 1 (признак неприводимости Эйзенштейна).Пусть f(x) =xn + an−1x

n−1 + . . . + a0 — многочлен из Z[x] и p — простое числоиз Z. Предположим, что p|a0, . . . , p|an−1 и p2 не делит a0. Тогда f(x)неприводим над Q.


Доказательство. Предположим, что f(x) разложим в Q[x]. Так какQ — поле частных кольца Z, то по лемме 1 § 6 f(x) разложим в Z[x].

Пусть f(x) = (xs + bs−1xs−1 + . . . + b0)(xt + ct−1x

t−1 + . . . + c0), гдеs, t > 0. Тогда это разложение останется и в кольце Zp[x] (рассматриваягомоморфизм φ : Z[x] 7→ Zp[x], переводящий axn в axn). Поэтому

xs+t = (xs + bs−1xs−1 + . . . + b0)(xt + ct−1x

t−1 + . . . + c0),

где все коэффициенты bi, cj ∈ Zp. Поскольку Zp — поле, то Zp[x] —факториальное кольцо. Следовательно, в поле Zp получаем:

bs−1 = . . . = b0 = ct−1 = . . . = c0 = 0,

т. е. p|b0, p|c0 и p2|b0c0, а так как b0c0 = a0, то p2|a0. Противоречие. ¤

Упражнение. Как нужно изменить формулировку теоремы, еслиf(x) имеет вид f(x) = anxn + an−1x

n−1 + . . . + a0?

Редукционный критерий неприводимости.

Теорема 2. Пусть K и R — кольца, φ : K 7→ R — гомоморфизмколец. Пусть f(x) = anxn + an−1x

n−1 + . . . + a0 — многочлен из K[x],(a0, . . . , an) = 1, и fφ(x) = φ(an)xn + φ(an−1)xn−1 + . . . + φ(a0) ∈ R[x],где φ(an) 6= 0. Если многочлен fφ(x) неприводим в R[x], то f(x)неприводим в K[x].

Доказательство. Пусть f(x) = g(x)h(x), где g(x) = blxl + bl−1x

l−1 +. . . + b0 и h(x) = ckxk + ck−1x

k−1 + . . . + c0 — многочлены из K[x].Очевидно, что blck = an. Рассмотрим многочлены gφ(x) = φ(bl)xl +φ(bl−1)xl−1 + . . . + φ(b0) ∈ R[x] и hφ(x) = φ(ck)xk + φ(ck−1)xk−1 + . . . +φ(c0) ∈ R[x]. Так как φ — гомоморфизм колец, то φ(bl)φ(ck) = φ(an).Следовательно, φ(bl) 6= 0 и φ(ck) 6= 0, а потому deg g = deg gφ и deg h =deg hφ. Поскольку f = gh, то fφ = gφhφ. Ввиду неприводимостимногочлена fφ(x) в R[x] получаем, что либо g ∈ K, либо h ∈ K. ¤

Теорема 2 имеет хорошее применение. Рассмотрим кольцо целыхчисел Z и поле Z3. Нетрудно показать, что многочлен x3 − x − 1неприводим в кольце Z3[x]. Пусть φ : Z 7→ Z3 — такой гомоморфизмколец, что φ сопоставляет каждому целому числу n его остатокот деления на 3. Тогда по теореме 2 многочлен x3 − x − 1 неприводимв Z[x].

§ 8. Разложение рациональных функций 19

§ 8. Разложение рациональных функцийна простейшие дроби

Пусть P — поле, P (x) (поле частных кольца P [x]) — поле рациональныхфункций над P . Напомним, что множество P (x) состоит из элементов(дробей) f

g , где f, g ∈ P [x], причём g 6= 0. По определению fg = f1

g1тогда

и только тогда, когда fg1 = f1g.

Для дроби fg определим её степень: deg f

g = deg f − deg g.

Степень дроби не зависит от её записи. Действительно, пусть fg = f1

g1.

Тогда fg1 = f1g, а потому deg (fg1) = deg (f1g), откуда deg f +deg g1 =deg f1 + deg g. Следовательно, deg f

g = deg f1g1.

Дробь fg называется несократимой, если (f, g) = 1.

Лемма 1. Каждая дробь единственным образом представимав виде несократимой дроби.

Доказательство. Действительно, пусть fg = f1

g1и (f, g) = (f1, g1) = 1.

Тогда fg1 = f1g. Следовательно, f |f1g. Поскольку (f, g) = 1, то f |f1.Аналогично получаем, что f1|f , g|g1 и g1|g. Таким образом, f = αf1

и g = βg1, где α, β ∈ P , причём α · β 6= 0. Тогда fg = α

βf1g1. Поскольку

fg = f1

g1, то α

β = 1, т. е. α = β. ¤

Дробь fg называется правильной, если deg f

g < 0.

Лемма 2. Каждая дробь fg единственным образом представима

в виде fg = h + f1

g1, где h ∈ P [x] и f1

g1— правильная дробь из P (x).

Доказательство. В силу алгоритма Евклида f = gh + r, где h, r ∈P [x] и deg r < deg g. Поэтому f

g = h+ rg , причём

rg — правильная дробь.

Докажем единственность такого разложения. Пусть fg = h + f1

g1=

h + f1g1. Тогда h− h = f1

g1− f1

g1= f1g1−f1g1

g1g1. Следовательно, deg (h− h) =

deg (f1g1 − f1g1) − deg (g1g1) = deg (f1g1 − f1g1) − deg g1 − deg g1 < 0,откуда h− h = 0 и f1

g1= f1

g1. ¤

Лемма 3. Сумма правильных дробей является правильной дробью.

Доказательство. Пусть fg и f1

g1— правильные дроби. Тогда

deg f < deg g и deg f1 < deg g1. Поэтому deg (fg1 + f1g) ≤


max (deg (fg1),deg (f1g)) < deg (gg1). Поскольку fg + f1

g1= fg1+f1g

gg1,

то fg + f1

g1— правильная дробь. ¤

Правильная дробь fg из P (x) называется простейшей тогда и только

тогда, когда g = p(x)n, где n ≥ 1, многочлен p(x) неприводим и deg f <deg p.

Теорема 1. Каждую правильную дробь можно однозначнопредставить в виде суммы простейших дробей.

Доказательство. 1. Существование. Пусть fg — правильная дробь.

Не теряя общности, можно считать, что g — унитарный многочлен.Тогда g = pn1

1 . . . pnss , где p1, . . . , ps — унитарные неприводимые

многочлены, причём (pi, pj) = 1 при i 6= j.Пусть gi = pn1

1 . . . pni−1i−1 p

ni+1i+1 . . . pns

s . Очевидно, что (g1, . . . , gs) =1. Из алгоритма Евклида следует существование таких многочленовu1, . . . , us, что u1g1 + . . . + usgs = 1. Тогда

f

g=

f(u1g1 + . . . + usgs)g

=s∑

i=1

fui

pnii

.

По лемме 2 имеем fui

pnii

= hi + fi

pnii

, где hi ∈ P [x], а fi

pnii

— правильная

дробь. Поэтому fg =

∑si=1 hi +

∑si=1

fi

pnii

. По лемме 3∑s

i=1fi

pnii

является

правильной дробью. Следовательно,∑s

i=1 hi = 0 и fg =

∑si=1

fi

pnii

.Теперь представим правильную дробь a

pn в виде суммы простейшихдробей. Рассмотрим последовательность делений с остатком:

a = b1p + r1, deg r1 < deg p, deg b1 < deg a,

b1 = b2p + r2, deg r2 < deg p, deg b2 < deg b1,

· · ·bm−1 = bmp + rm, deg rm < deg p, deg bm < deg bm−1, deg bm < deg p.

Тогда a = b1p + r1 = (b2p + r2)p + r1 = ((b3p + r3)p + r2)p + r1 = . . .

= (. . . (bmp + rm)p + rm−1) . . . + r2)p + r1 = bmpm + rmpm−1 + . . . + r1.

Поскольку deg a < n deg p, то m < n и

a

pn=

bmpm + . . . + r1

pn=

bm

pn−m+

rm

pn−m+1+ . . . +

r1

pn,

§ 9. Корни многочлена и линейные множители 21

где все дроби простейшие. Таким образом, fg представима в виде суммы

простейших дробей.2. Единственность. Достаточно доказать, что если

∑si=1

∑nj=1

aij

pji

=

0, где aij

pji

— простейшая дробь, то aij = 0 для всех i, j. Имеем:

(a11

p1+ . . . +

a1n

pn1

)+ . . . +

(as1

ps+ . . . +

asn

pns

)= 0.

Следовательно,

a11pn−11 + . . . + a1n

pn1

+ . . . +as1p

n−1s + . . . + asn

pns

= 0.

Положим hi = ai1pn−1i +. . .+ain, i = 1, . . . , s. Тогда h1g1+. . .+hsgs =

0, где gi = pn1 . . . pn

i . . . pns . Ясно, что многочлен h2g2 + . . . + hsgs делится

на pn1 . Поскольку (g1, p1) = 1, то h1 делится на pn

1 . Так как deg a1j <deg p1 при j = 1, . . . , n, то deg h1 < n deg p1. Отсюда получаем, чтоa11 = . . . = a1n = 0. Аналогично aij = 0 для всех i = 1, . . . , s, j =1, . . . , n. ¤

§ 9. Корни многочлена и линейные множи-тели. Интерполяционные формулы

Далее в этом параграфе K — целостное кольцо. Элемент c ∈ K — кореньf(x) ∈ K[x], если f(c) = 0.

Теорема 1 (Безу). Элемент b кольца K является корнеммногочлена f(x) тогда и только тогда, когда (x− b) делит f(x).

Доказательство. По алгоритму Евклида имеем f(x) = (x−b)g(x)+rи deg r < 1. Поэтому r ∈ K и f(b) = r. Предположим, что b — кореньмногочлена f(x). Тогда f(b) = 0, откуда r = 0. Обратно, если (x − b)делит f(x), то r = 0 и f(b) = 0. ¤

Элемент b кольца K есть корень многочлена f(x) кратности k ∈ N,если f(x) делится на (x−b)k и не делится на (x−b)k+1. Корень кратности≥ 2 называется кратным.

Теорема 2. Пусть c1, . . . , cr — различные корни многочлена f(x)кратностей k1, . . . , kr соответственно. Тогда f(x) = (x− c1)k1 . . . (x−


cr)krg(x), где g(x) ∈ K[x] и g(ci) 6= 0 для любого i = 1, 2, . . . , r.В частности, k1 + . . . + kr ≤ deg f.

Доказательство. Докажем индукцией по r, что f(x) делится на (x−c1)k1 . . . (x − cr)kr . При r = 1 утверждение следует из определениякратности корня.

Пусть по предположению индукции f(x) = (x − c1)k1 . . . (x −cr−1)kr−1fr−1(x). Тогда f(cr) = (cr − c1)k1 . . . (cr − cr−1)kr−1fr−1(cr) = 0.В силу целостности кольца K получаем, что fr−1(cr) = 0. Тогдаfr−1(x) = (x − cr)sfr(x), где s ≤ kr и fr(cr) 6= 0. Докажем, что s = kr.Поскольку

f(x) = (x− cr)krh(x) = (x− c1)k1 . . . (x− cr−1)kr−1(x− cr)sfr(x),

то ввиду целостности кольца K[x] получаем fr(cr) = 0, если kr > s.Следовательно, kr = s. Отсюда получаем, что f(x) = (x− c1)k1 . . . (x−cr)krg(x) и deg f(x) = k1 + . . . + kr + deg g. ¤

Заметим, что условие целостности кольца K в теореме 2 являетсясущественным. Действительно, возьмём в качестве K кольцо Z8.Рассмотрим многочлен f(x) = x3. Тогда в кольце Z8[x] имеет месторавенство f(x) = (x−2)(x2 +2x+4), т. е. x = 2 — корень f(x). Ясно, чтоx = 0 — корень кратности 3 у f(x). Однако f(x) не делится на x3(x−2).

Следствие 1. Пусть K — целостное кольцо, f(x) — ненулевоймногочлен из K[x] и deg f ≤ n. Тогда f(x) имеет не более n корнейс учётом их кратности. ¤

Следствие 2. Пусть K — целостное кольцо, c1, . . . , cn+1 —различные элементы кольца K, f(x), g(x) — ненулевые многочленыиз K[x] и deg f, deg g ≤ n. Предположим, что f(ci) = g(ci) дляi = 1, 2, . . . , n + 1. Тогда f(x) = g(x).

Доказательство. Рассмотрим многочлен h(x) = f(x) − g(x). Тогдаdeg h ≤ n и h(ci) = 0 для i = 1, . . . , n + 1. Следовательно, h(x) = 0, т. е.f(x) = g(x). ¤

Интерполяционная задача. Пусть K — поле, a1, . . . , an+1 —различные элементы и b1, . . . , bn+1 — произвольные элементы поляK. Задача интерполяции заключается в следующем: найти многочленf(x) ∈ K[x] степени ≤ n, принимающий при x = ai значение bi, гдеi = 1, . . . , n + 1.

Если такой многочлен f(x) существует, то по следствию 2 онопределяется однозначно. Покажем, что многочлен f(x) с указаннымисвойствами всегда существует.

§ 10. Теорема о существовании корня. Поле разложения 23

Интерполяционная формула Лагранжа. Рассмотрим многочлен

gi(x) =(x− a1) . . . (x− ai−1)(x− ai+1) . . . (x− an+1)

(ai − a1) . . . (ai − ai−1)(ai − ai+1) . . . (ai − an−1).

Тогда для любого j = 1, . . . , n + 1 имеем

gi(aj) =

1, если i = j,0, если i 6= j.

Положим f(x) =∑n+1

i=1 bigi(x). Тогда f(aj) =n+1∑i=1

bigi(aj) =

bjgj(aj) = bj , т. е. f(x) — искомый многочлен.Интерполяционная формула Ньютона. Многочлен f(x) будем

искать в виде

f(x) = u0 + u1(x− a1) + u2(x− a1)(x− a2) + . . . + un(x− a1) . . . (x− an),

где u0, . . . , un — неизвестные коэффициенты, которые находимследующим образом:

b1 = f(a1) = u0, следовательно, u0 = b1;

b2 = f(a2) = u0 + u1(a2 − a1), так как a1 6= a2, то u1 =b2 − u0

a2 − a1;

предположим, что коэффициенты u0, . . . , un−1 уже найдены, тогда

bn+1 = f(an+1) = u0 + u1(an+1 − a1) + . . . + un(an+1 − a1) . . . (an+1 − an),

в итоге

un =bn+1 − u0 − u1(an+1 − a1)− . . .− un−1(an+1 − a1) . . . (an+1 − an−1)

(an+1 − a1) . . . (an+1 − an).

Очевидно, что многочлен f(x), построенный таким образом,является искомым.

§ 10. Теорема о существовании корня. Полеразложения

Пусть P — поле, f(x) ∈ P [x]. Если f(x) не имеет корней в P ,то существует ли такое расширение P поля P , в котором для f(x)существует корень?


Теорема 1. Для любого f(x) ∈ P [x] существует расширение P поляP , содержащее корень многочлена f(x).

Доказательство. Легко заметить, что можно считать deg f ≥ 2 и fнеприводим. Зададим следующее разбиение S множества P [x]. Отнесёмв один класс многочлены, дающие при делении на f(x) один и тот жеостаток. Обозначим класс многочленов, дающих в остатке φ(x), черезSφ. Определим сложение и умножение классов по правилу: Sφ + Sψ =Sφ+ψ, SφSψ = Sφψ. Корректность определения легко проверяется.Покажем, что данное разбиение S с указанными операциями являетсяполем. Имеем

0 := S0, −Sφ := S−φ, 1 := S1.

Пусть Sφ 6= 0, тогда φ не делится на f , и так как f неприводим,то (φ, f) = 1. Следовательно, существуют такие u, v ∈ P [x], чтоφu + fv = 1, т. е. φu = 1 − fv и SφSu = 1. Остальные аксиомыполя легко проверяются. Обозначим это поле через P и покажем, чтоP — расширение поля P . Определим τ : P 7→ P правилом τ(a) = Sa.Поскольку τ(a+b) = Sa+b = Sa+Sb = τ(a)+τ(b) и τ(ab) = τ(a)τ(b), то τ— гомоморфизм. Имеем τ(a) = Sa = 0 ⇔ a = 0. Таким образом, τ — этовложение, и по теореме о гомоморфизмах колец получаем τ(P ) ∼= P ,т. е. τ(P ) — подполе в P . Пусть f(x) = a0x

n + a1xn−1 + . . . + an.

Покажем, что f(Sx) = 0. Имеем Sa0(Sx)n + Sa1(Sx)n−1 + . . . + San =Sa0xn + Sa1xn−1 + . . . + San = Sf = 0. ¤

Пусть f ∈ P [x], deg f = n. Полем разложения многочлена f(x)называется такое расширение F поля P , в котором для f(x) содержитсяn корней (с учётом их кратностей).

Следствие 1. Для любого многочлена f(x) ∈ P [x] существует полеразложения.

Доказательство. Действительно, если f(x) разлагается в P [x]на линейные множители, то P — поле разложения для f(x). Впротивном случае берём неприводимый множитель φ(x) (deg φ(x) ≥2) и по теореме 1 расширяем P до поля P ′, содержащего кореньмногочлена φ(x). Продолжая так далее, получаем наше утверждение.¤

Пусть F — расширение поля P , α ∈ F . Тогда множество всех дробейP (α) = f(α)

g(α) : g(α) 6= 0, f, g ∈ P [x] ⊆ F , которое является полем,называется простым расширением поля P . Элемент α ∈ F называется

§ 11. Формула Тейлора. Отделение кратных множителей 25

алгебраическим над полем P , если он является корнем некоторогоненулевого многочлена f(x) ∈ P [x].

Заметим, что в этом случае P (α) = f(α) : f ∈ P [x].Действительно, пусть m(x) — такой многочлен минимальной степени,что m(α) = 0. Тогда m(x) неприводим. Пусть g(α) 6= 0. Тогда(m(x), g(x)) = 1. Следовательно, существуют u, v ∈ P [x] такие, чтоmu + gv = 1, т. е. g(α)v(α) = 1 и g(α)−1 = v(α).

Если α — алгебраический элемент из F , то P (α) называетсяпростым алгебраическим расширением поля P .

Следствие 2. Пусть f(x) ∈ P [x]. Тогда существует простоеалгебраическое расширение поля P , содержащее корень многочленаf(x). ¤

§ 11. Формула Тейлора. Отделение кратныхмножителей

Пусть P — поле. Рассмотрим многочлен f(x) = anxn + . . .+a0 из P [x].

Производной многочлена f(x) называется многочлен f ′(x) =nanxn−1 + . . . + 2a2x + a1.

Лемма 1. Пусть f, g ∈ P [x] и α, β ∈ P . Тогда справедливыследующие формулы:

(αf + βg)′ = αf ′ + βg′, (1)

(f · g)′ = f ′ · g + f · g′. (2)

Доказательство. Формула (1) следует прямо из определенияпроизводной. Формула (2) следует из (1) и формулы (xn · xm)′ =(xn+m)′ = (n + m)xn+m−1 = n · xn−1 · xm + m · xm−1 · xn = (xn)′ · xm +xn · (xm)′. ¤

Индукцией по числу сомножителей k, используя (2), легко доказатьследующую формулу Лейбница:

(f1 . . . fk)′ =k∑

i=1

f1 · . . . · f ′i · . . . · fk.

Для целого положительного числа k и многочлена f(x) ∈ P [x]определим его k-ю производную f (k), полагая f (1) = f ′, f (2) =(f ′)′, . . . , f (k) = (f (k−1))′.


Пусть n и k — произвольные целые положительные числа. Тогдапо индукции нетрудно показать, что

(xn)(k) = n!

(n−k)!xn−k, если k ≤ n,

0, если k > n.

Теорема 1 (формула Тейлора). Пусть P — поле характеристикиноль, f(x) — многочлен из P [x] степени n, a ∈ P . Тогда

f(x) = f(a) +f ′(a)

1!(x− a) +

f (2)(a)2!

(x− a)2 + . . . +f (n)(a)

n!(x− a)n.

Доказательство. Рассмотрим последовательность деленийс остатком:

f(x) = (x− a)f1(x) + b0, deg f1(x) = n− 1,

f1(x) = (x− a)f2(x) + b1, deg f2(x) = n− 2,

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·fn−1(x) = (x− a)fn(x) + bn−1, deg fn(x) = 0.

Из последнего деления получаем, что fn(x) ∈ P. Обозначим fn(x) черезbn. Тогда

f(x) = f1(x)(x− a) + b0 = (f2(x)(x− a) + b1) (x− a) + b0 =

= f2(x)(x− a)2 + b1(x− a) + b0 = . . . =

= b0 + b1(x− a) + . . . + bn(x− a)n,

откуда f (k)(x) = k!bk + (x − a)g(x) для некоторого g(x) ∈ P [x].Следовательно, f (k)(a) = k!bk, и поскольку P — поле нулевойхарактеристики, то bk = f(k)(a)

k! . ¤Теорема 2. Пусть P — произвольное поле, F — расширение поля

P . Многочлен f(x) ∈ P [x] имеет кратный корень c ∈ F тогда и толькотогда, когда f(c) = f ′(c) = 0.

Доказательство. Из доказательства теоремы 1 имеем

f(x) = b0 + b1(x− c) + b2(x− c)2 + . . . + bn(x− c)n,

где b0, b1, . . . , bn ∈ P . Следовательно,

f(x) = f(c) + f ′(c)(x− c) + b2(x− c)2 + . . . + bn(x− c)n.

§ 11. Формула Тейлора. Отделение кратных множителей 27

Пусть c — кратный корень многочлена f(x). Тогда многочлен f(x)делится на (x− c)2, т. е. f(c) = 0 и f ′(c) = 0.

Если f(c) = f ′(c) = 0, то f(x) = b2(x− c)2 + . . .+ bn(x− c)n, а потомуc — кратный корень многочлена f(x). ¤

Пусть f(x) ∈ P [x]. Неприводимый в P [x] многочлен p(x) называетсяk-кратным множителем многочлена f(x), если f(x) = pk(x)g(x), где(p(x), g(x)) = 1. Разложение вида

f(x) = p1(x)k1p2(x)k2 . . . pkrr (x), (3)

где pi — ki-кратный множитель для f(x) при i = 1, . . . , r и (pi, pj) =1 при любых i 6= j, называется разложением f(x) на кратныемножители.

Теорема 3. Пусть P — поле характеристики нуль и многочленp(x) ∈ P [x] — k-кратный множитель многочлена f(x) ∈ P [x]. Тогдаp(x) — (k − 1)-кратный множитель многочлена f ′(x). В частности,при k = 1 многочлен f ′(x) не делится на p(x).

Доказательство. По определению k-кратного множителя имеемf(x) = pk(x)g(x), где (p(x), g(x)) = 1. Тогда в силу (2) получаем, что

f ′(x) = kpk−1(x)p′(x)g(x)+pk(x) ·g′(x) = pk−1(x)(kg(x)p′(x)+p(x)g′(x)).

Если f ′(x) делится на pk(x), то kg(x)p′(x)+p(x)g′(x) делится на p(x)и kg(x)p′(x) делится на p(x). Так как P — поле нулевой характеристики,то kg(x)p′(x) 6= 0, (p(x), p′(x)) = 1 и g(x) делится на p(x), получилипротиворечие. ¤

Следствие 1. Пусть P — поле характеристики нуль. Следующиеусловия эквивалентны:

1) многочлен f(x) ∈ P [x] имеет корень x0 кратности k в некоторомрасширении F поля P , т. е. x0 ∈ F и x0 — корень кратности kмногочлена f(x) ∈ P [x];

2) f (j)(x0) = 0 для любого j = 1, . . . , k − 1, а f (k)(x0) 6= 0.

Доказательство. Применить k раз теорему 3. ¤

Следствие 2. Пусть P — поле характеристики нуль и f(x) ∈ P [x]— многочлен степени ≥ 1. Если многочлен f имеет разложение (3),то

(f, f ′) = pk1−11 pk2−1

2 . . . pkr−1r .


Доказательство. Без ограничений общности можно считать, чтомногочлен (f, f ′) унитарный. Ввиду теоремы 3 каждый многочлен pi(x)является (ki − 1)-кратным множителем многочлена f ′(x), а потому

f ′ = pk1−11 pk2−1

2 . . . pkr−1r h(x),

где (h, pi) = 1 для любого i = 1, . . . , r. Отсюда получаем, что

(f, f ′) = pk1−11 pk2−1

2 . . . pkr−1r . ¤

Следующее следствие позволяет отделять кратные множители,входящие в разложение многочлена f(x).

Следствие 3. Пусть P — поле характеристики нуль и f(x) ∈ P [x]— многочлен степени ≥ 1. Если многочлен f имеет разложение (3),то

f(x)(f, f ′)

= p1(x)p2(x) . . . pr(x). ¤

§ 12. Формулы Виета. Основная теоремао симметрических многочленах

Теорема 1 (формулы Виета). Пусть P — поле, F — расширение поляP . Предположим, что многочлен f(x) = xn + a1x

n−1 + . . . + an ∈ P [x]имеет корни c1, . . . , cn ∈ F . Тогда справедливы следующие формулыВиета:

a1 = −(c1 + . . . + cn),· · ·

ak = (−1)k∑

1≤i1<i2<...<ik≤n

ci1 . . . cik,

· · ·an = (−1)nc1 . . . cn.

Доказательство. Так как c1, . . . , cn — все корни многочлена f(x),то f(x) = xn + a1x

n−1 + . . . + an = (x − c1) . . . (x − cn). Перемножаяправую часть и приравнивая коэффициенты при одинаковых степеняхx, получаем искомую формулу. ¤

§ 12. Основная теорема о симметрических многочленах 29

Рассмотрим целостное кольцо A и многочлен f(x1, . . . , xn) ∈A[x1, . . . , xn] от неизвестных x1, x2, . . . , xn. Тогда

f(x1, . . . , xn) =∑

0≤i1,...,in≤m

αi1...inxi11 . . . xin

n ,

где αi1...in— коэффициенты из A, т. е. αi1...in

∈ A для любыхi1, . . . , in, и m ∈ N. Целое число i1 + . . . + in называется степеньюодночлена xi1

1 . . . xinn ∈ A[x1, . . . , xn]. Cтепенью многочлена

f(x1, . . . , xn) =∑

0≤i1,...,in≤m αi1...inxi11 . . . xin

n называется максимальнаястепень одночленов, входящих в f(x1, . . . , xn) с ненулевымикоэффициентами:

deg f = maxi1 + . . . + in : αi1...in 6= 0.

Для нулевого многочлена 0 полагаем deg 0 = −∞. Как мызнаем, A[x1, . . . , xn] — целостное кольцо. Многочлен f(x1, . . . , xn) ∈A[x1, . . . , xn] называется однородным тогда и только тогда, когда все егоодночлены с ненулевыми коэффициентами имеют одинаковую степень.Если f — однородный многочлен степени k, то все одночлены, входящиев f , имеют степень k.

Пример. Пусть f(x1, x2, x3) = x31 + 2x2

2x3. Тогда f — однородныйстепени 3. Многочлен h(x1, x2, x3) = 4x1 − 5x2

2 + x33 не является

однородным, deg h = 3.

Лемма 1. Пусть f, g — ненулевые многочлены кольца A[x1, . . . , xn].Тогда

deg (fg) = deg f + deg g.

Доказательство. Пусть deg f = k, deg g = l. Тогда

f = f0 + f1 + . . . + fk и g = g0 + g1 + . . . + gl,

где fi и gj — однородные многочлены степеней i и j соответственно,и fk, gl 6= 0. Поскольку fg = f0g0 + . . . + fkgl, то

deg (fg) = deg (fkgl) = k + l = deg f + deg g. ¤

Многочлен f = f(x1, . . . , xn) ∈ A[x1, . . . , xn] называется симмет-рическим тогда и только тогда, когда для любой подстановки σ ∈ Sn

выполняется равенство σf = f(xσ(1), . . . , xσ(n)) = f(x1, . . . , xn).


Пример. Многочлены f(x1, . . . , xn) = xk1 + . . . + xk

n и f(x1, x2) =x2

1 + x22 — симметрические. Многочлен f(x1, x2, x3) = x2

1 + x22 не

является симметрическим, так как для подстановки σ = (23) получаем:σf(x1, x2, x3) = x2

σ(1) + x2σ(2) = x2

1 + x23 6= f(x1, x2, x3).

Очевидно, что сумма и произведение симметрических многочленов— симметрические многочлены. Ясно, что для любого многочленаg(y1, . . . , yn) ∈ A[y1, . . . , yn], g(f1, . . . , fn) ∈ A[x1, . . . , xn] — симмет-рический многочлен от x1, . . . , xn, если f1, . . . , fn — симметрическиемногочлены от x1, . . . , xn.

Элементарные симметрические многочлены от x1, . . . , xn:

s1 = s1(x1, . . . , xn) = x1 + . . . + xn,

s2 = s2(x1, . . . , xn) =∑

1≤i<j≤n

xixj ,

· · ·sk = sk(x1, . . . , xn) =

∑

1≤i1<i2<...<ik≤n

xi1xi2 . . . xik,

· · ·sn = sn(x1, . . . , xn) = x1 . . . xn.

Наша цель — доказать, что любой симметрический многочленможно выразить как многочлен от s1, . . . , sn.

Подставим в многочлены s1(x1, . . . , xn), . . . , sn(x1, . . . , xn) вместонеизвестной xn элемент 0 ∈ A. Тогда получим, что

(s1)0 = s1|xn=0 = s1(x1, . . . , xn−1, 0) = x1 + . . . + xn−1 = s1(x1, . . . , xn−1),

(s2)0 = s2|xn=0 = s2(x1, . . . , xn−1, 0) =∑

1≤i<j≤n−1

xixj = s2(x1, . . . , xn−1),

· · ·(sk)0 = sk|xn=0 = sk(x1, . . . , xn−1, 0) =

∑

1≤i1<...<ik≤n−1

xi1 . . . xik= sk(x1, . . . , xn−1),

· · ·(sn−1)0 = sn−1|xn=0

= sn−1(x1, . . . , xn−1, 0) =

x1 . . . xn−1 = sn−1(x1, . . . , xn−1),(sn)0 = sn|xn=0 = sn(x1, . . . xn−1, 0) = 0


являются элементарными симметрическими многочленамиот неизвестных x1, . . . , xn−1.

Посмотрим, что происходит с одночленами многочленаg(y1, . . . , yn) ∈ A[y1, . . . , yn] при подстановках y1 = s1, . . . , yn = sn.Если g(y1, . . . , yn) = yi1

1 yi22 . . . yin

n , то одночлен yi11 yi2

2 . . . yinn переходит

в многочлен si11 si2

2 . . . sinn от неизвестных x1, . . . , xn. Этот многочлен,

очевидно, является однородным многочленом степени i1+2i2+ . . .+nin.Число i1 + 2i2 + . . . + nin называется весом одночлена yi1

1 . . . yinn . Весом

многочлена g(y1, . . . , yn) называется максимальный вес одночленов,входящих в g с ненулевыми коэффициентами. Для многочленаg =

∑0≤i1,...,in≤m βi1...in

yi11 . . . yin

n через h(g) обозначим его вес. Тогда

h(g) = max0≤i1,...,in≤m

i1 + 2i2 + . . . + nin : βi1...in 6= 0.

Пример. Пусть g = y31 + y2

2y3. Тогда h(g) = max3, 2 · 2 + 3 · 1 = 7.Для многочлена g = y1 + y2

2 + y33 его вес h(g) = max1, 2 · 2, 3 · 3 = 9.

Теорема 2. Для любого симметрического многочлена f ∈A[x1, . . . , xn] степени m существует единственный многочлен g ∈A[y1, . . . , yn] веса m, такой, что

f(x1, . . . , xn) = g(s1, . . . , sn).

Доказательство. Сначала докажем существование многочлена g.Доказательство проведём индукцией по двум параметрам n и m.

При n = 1 имеем f(x1) = a0 + a1x1 + . . . + amxm1 , где ai ∈ A

и s1(x1) = x1. Тогда f(x1) = a0 + a1s1 + . . . + amsm1 , а потому g(y) =

a0 + a1y + . . . + amym — искомый многочлен. Следовательно, в этомслучае утверждение верно.

Пусть для всех многочленов от k (k ≤ n − 1) неизвестныхутверждение верно и f(x1, . . . , xn) — многочлен степени mот неизвестных x1, . . . , xn. Справедливость утверждения для fбудем доказывать индукцией по m.

При m = 1 имеем f = f(x1, . . . , xn) = a0 + a1(x1 + . . . + xn), гдеa0, a1 ∈ A. Тогда f = a0 + a1s1(x1, . . . , xn), а потому g(y) = a0 + a1y —искомый многочлен. Следовательно, в этом случае утверждение верно.

Пусть для всех многочленов f = f(x1, . . . , xn) степени <m утверждение выполнено. Рассмотрим такой многочлен f =f(x1, . . . , xn), что deg f = m. Положим xn = 0 в f = f(x1, . . . , xn).Тогда f(x1, . . . , xn−1, 0) — многочлен от неизвестных x1, . . . , xn−1,


поэтому по предположению индукции существует g1(y1, . . . , yn−1) ∈A[y1, . . . , yn−1], такой, что

f(x1, . . . , xn−1, 0) = g1((s1)0, . . . , (sn−1)0),

но поскольку deg f(x1, . . . , xn−1, 0) ≤ m, то h(g1(y1, . . . , yn−1)) ≤ m,а также deg (g1(s1, . . . , sn−1)) ≤ m. Следовательно, многочлен

f1(x1, . . . , xn) = f(x1, . . . , xn)− g1(s1, . . . , sn−1)

имеет степень ≤ m. Так как

f1(x1, . . . , xn−1, 0) = f(x1, . . . , xn−1, 0)− g1((s1)0, . . . , (sn−1)0) = 0,

то по теореме Безу многочлен f1(x1, . . . , xn) делится на xn, т. е.f1(x1, . . . , xn) = xnf2(x1, . . . , xn). Но многочлен f1(x1, . . . , xn) являетсясимметрическим, поэтому для любой подстановки σ ∈ Sn получаем,что σf1 = f1 = xσ(n)f2(xσ(1), . . . , xσ(n)). Следовательно, многочленf1 делится на x1, x2, . . . , xn соответственно, и значит f1 делитсяна произведение x1x2 . . . xn = sn. Поэтому f1(x1, . . . , xn) = sn ·f3(x1, . . . , xn). Тогда для любой подстановки σ ∈ Sn, σf1 = f1 =sn · σf3. Отсюда следует, что 0 = sn · (σf3 − f3) = 0. ПосколькуA[x1, . . . , xn] — целостное кольцо, то σf3 = f3. Следовательно,f3(x1, . . . , xn) — симметрический многочлен. Поскольку deg f3 ≤m − n, то по предположению индукции существует g2(y1, . . . , yn) ∈A[y1, . . . , yn], что f3(x1, . . . , xn) = g2(s1, . . . , sn). Тогда

f(x1, . . . , xn) = f1(x1, . . . , xn) + g1(s1, . . . , sn−1) =

sn · g2(s1, . . . , sn) + g1(s1, . . . , sn−1).

Существование многочлена g доказано. Сравнивая степени f и g,получаем, что вес g равен m. Докажем единственность такого g.

Пусть существуют два многочлена h1(y1, . . . , yn), h2(y1, . . . , yn) ∈A[y1, . . . , yn] такие, что f(x1, . . . , xn) = h1(s1, . . . , sn) = h2(s1, . . . , sn).Рассмотрим многочлен g(y1, . . . , yn) = h1(y1, . . . , yn) − h2(y1, . . . , yn).Тогда g(s1, . . . , sn) = 0. Докажем, что g(y1, . . . , yn) — нулевой многочлен.Для этого установим справедливость следующего утверждения: пустьg(y1, . . . , yn) ∈ A[y1, . . . , yn] — произвольный многочлен, такой, чтоg(s1, . . . , sn) = 0, тогда g(y1, . . . , yn) = 0. Доказательство проведёминдукцией по n.


При n = 1 получаем g = g(y1) = α0 + α1y1 + . . . + αkyk1 , где αi ∈ A.

Поскольку s1(x1) = x1, то g(s1) = α0 + α1x1 + . . . + αkxk1 = 0, т. е.

α0 = α1 = . . . = αk = 0 и g = 0.Пусть утверждение верно для всех многочленов от (n − 1)

неизвестной. Рассмотрим g = g(y1, . . . , yn) от неизвестных y1, . . . , yn

и разложим g по степеням yn. Тогда

g = g0(y1, . . . , yn−1) + g1(y1, . . . , yn−1)yn + . . . + gk(y1, . . . , yn−1)ykn,

где g0(y1, . . . , yn−1), . . . , g1(y1, . . . , yn−1) — многочлены от (n − 1)неизвестной, и 0 = g(s1, . . . , sn) =

g0(s1, . . . , sn−1) + g1(s1, . . . , sn−1)sn + . . . + gk(s1, . . . , sn−1)skn.

Положив xn = 0, получим 0 = g((s1)0, . . . , (sn)0) = g0((s1)0, . . . , (sn−1)0).Таким образом, многочлен g0(y1, . . . , yn−1) обладает следующимсвойством:

g0(s1(x1, . . . , xn−1), . . . , sn−1(x1, . . . , xn−1)) = 0.

Тогда по предположению индукции получаем g0(y1, . . . , yn−1) = 0.Если все многочлены gi(y1, . . . , yn−1) = 0, то g = 0, и доказывать

нечего.Пусть существует такое i = 1, . . . , k, что gi(y1, . . . , yn−1) 6= 0.

Выберем число l = min1≤i≤ki : gi(y1, . . . , yn−1) 6= 0. Тогда 0 =g(s1, . . . , sn) =

gl(s1, . . . , sn−1)sln + gl+1(s1, . . . , sn−1)sl+1

n + . . . + gk(s1, . . . , sn−1)skn =

sln(gl(s1, . . . , sn−1) + gl+1(s1, . . . , sn−1)sn + . . . + gk(s1, . . . , sn−1)sk−l

n ) = 0.

Поскольку A[x1, . . . , xn] — целостное кольцо, то

gl(s1, . . . , sn−1) + gl+1(s1, . . . , sn−1)sn + . . . + gk(s1, . . . , sn−1)sk−ln = 0.

Полагая опять xn = 0, получим, что gl(y1, . . . , yn−1) = 0. Противоречиес выбором l. Следовательно, все gi(y1, . . . , yn−1) = 0, откудаg(y1, . . . , yn) = 0 и h1 = h2. ¤

Следствие. Пусть P — поле, f(x) ∈ P [x], c1, . . . , cn — все корниf(x) в расширении F поля P и h(x1, . . . , xn) — симметрическиймногочлен. Тогда h(c1, . . . , cn) ∈ P .

Доказательство. По теореме 2 существует g(y1, . . . , yn) ∈P [y1, . . . , yn] такой, что h(x1, . . . , xn) = g(s1, . . . , sn). В силу формулВиета s1(c1, . . . , cn), . . . , sn(c1, . . . , cn) ∈ P, т. е. h(c1, . . . , cn) =g(s1(c1, . . . , cn), . . . , sn(c1, . . . , cn)) ∈ P. ¤


§ 13. Дискриминант многочлена. ФормулыНьютона

Пусть P — поле. В кольце многочленов P [t1, . . . , tn] рассмотримпроизведение

4n = 4n(t1, . . . , tn) =∏

1≤i<j≤n

(tj − ti).

Тогда σ4n = 4n(tσ(1), . . . , tσ(n)) = ±4n(t1, . . . , tn) для любойподстановки σ ∈ Sn. Значит, 42

n — симметрический многочленот неизвестных t1, . . . , tn. По теореме 2 § 12 существует единственныймногочлен Dis(x1, . . . , xn), такой, что

42n = 42

n(t1, . . . , tn) = Dis(s1(t1, . . . , tn), . . . , sn(t1, . . . , tn)).

Если f = xn + a1xn−1 + . . . + an — многочлен, имеющий корни

c1, . . . , cn в расширении F поля P , то по формулам Виета sk(c1, . . . , cn) =(−1)kak и элемент

D(f) = Dis(s1(c1, . . . , cn), . . . , sn(c1, . . . , cn)) =

Dis(−a1, . . . , (−1)nan) =∏

1≤i<j≤n

(ci − cj)2

поля P называется дискриминантом многочлена f(x), илидискриминантом алгебраического уравнения f(x) = 0. Если ai ∈ P, тоясно, что D(f) ∈ P , даже если корни ci не лежат в P . Очевидно, чтосправедливо следующее

Предложение 1. Для любого многочлена f(x) его дискриминантD(f) = 0 тогда и только тогда, когда f(x) имеет хотя бы одинкратный корень. ¤

Научимся рекуррентно вычислять D(f).Рассмотрим степенные суммы:

P0(x1, . . . , xn) = x01 + . . . + x0

n,

P1(x1, . . . , xn) = x1 + . . . + xn,

· · ·Pk(x1, . . . , xn) = xk

1 + . . . + xkn, где k ∈ N.

§ 13. Дискриминант многочлена. Формулы Ньютона 35

Очевидно, что Pk(x1, . . . , xn) — симметрический многочлен длялюбого k ∈ N.

Теорема 1. Справедливы следующие формулы Ньютона:

Pk + (−1)Pk−1s1 + (−1)2Pk−2s2 + . . . + (−1)kksk = 0 при 1 ≤ k ≤ n, (1)

Pk + (−1)Pk−1s1 + (−1)2Pk−2s2 + . . . + (−1)nPk−nsn = 0 при k > n. (2)

Доказательство. По формулам Виета получаем, что

xni + (−1)s1x

n−1i + . . . + (−1)n−1sn−1xi + (−1)nsn = 0,

где i = 1, 2, . . . , n. Умножив каждое из этих соотношений на xk−ni (k ≥

n), получим:

xki + (−1)s1x

k−1i + . . . + (−1)nsnxk−n

i = 0.

Сложив их, приходим к равенству Pk+(−1)s1Pk−1+. . .+(−1)nsnPk−n =0 (k ≥ n). В частности, при k = n получаем Pn + (−1)s1Pk−1 + . . . +(−1)nsnP0 = 0, т. е. мы доказали (2), а также (1) при k = n.

Рассмотрим многочлен fk,n(x1, . . . , xn) = Pk−Pk−1s1+. . .+(−1)kksk.Докажем индукцией по r = n− k, что fk,n = 0.Для r = 0, т. е. при n = k, это уже доказано. Пусть fl,m = 0 при

m− l ≤ r.Рассмотрим fk,n при n − k = r + 1. Положим xn = 0. Заметим, что

многочлены (Pi)0 и (si)0 совпадают соответственно с многочленами Pi

и si от неизвестных x1, . . . , xn−1. Тогда

fk,n(x1, . . . , xn−1, 0) = (Pk)0(s1)0+. . .+(−1)k−1(P1)0(sk−1)0+(−1)kk(sk)0

= fk,n−1(x1, . . . , xn−1) = 0

по предположению индукции, так как n − 1 − k = r. Следовательно,fk,n(x1, . . . , xn−1, xn) делится на xn, т. е. fk,n(x1, . . . , xn) = xnf1.Используя симметричность многочлена fk,n, получаем, чтоfk,n(x1, . . . , xn−1, xn) делится на многочлен x1 . . . xn, т. е.fk,n = x1 . . . xng(x1, . . . , xn) = sng(x1, . . . , xn). Так как deg sn = n,а deg (fk,n) = k < n, то g = 0 и fk,n = 0. ¤

Формулы Ньютона позволяют рекуррентно вычислять Pi.

Пример. P1(x1, . . . , xn) = s1; при n > 1 из (1) следует P2 −s1P1 + 2s2 = 0, поэтому P2 = s2

1 − 2s2; P3 − s1P2 + s2P1 − 3s3 =


0, что следует из (1) при n ≥ 3, поэтому P3 = s1(s21−2s2)−s1s2+3s3 =

s31− 3s1s2 +3s3; P4− s1P3 + s2P2− s3P1 = 0, что следует из (2) при n =

3, поэтому P4 = s1(s31 − 3s1s2 + 3s3)− s2(s2

1 − 2s2) + s1s3 = s41 − 4s2

1s2 +2s2

2 + 4s1s3 и т. д.

Вычислим рекуррентно D(f).

Теорема 2. Для любого натурального n справедливо равенство

Dis(s1, . . . , sn) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

n P1 P2 . . . Pn−1

P1 P2 P3 . . . Pn

P2 P3 . . . . . . Pn+1

. . . . . . . . . . . . . . .Pn−1 Pn Pn+1 . . . P2n−2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

.

Доказательство. Вычислим 4n =∏

1≤j<i≤n

(xi − xj) через

определитель Вандермонда:

Wn =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 . . . 1x1 x2 . . . xn

......

...xn−1

1 xn−12 . . . xn−1

n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

Последовательно из каждой строки определителя Wn вычтемпредыдущую, умноженную на элемент x1. Получим, что

Wn =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 . . . 10 (x2 − x1) . . . (xn − x1)...

......

0 xn−22 (x2 − x1) . . . xn−2

n (xn − x1)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

(x2 − x1) . . . (xn − x1)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 . . . 1x2 . . . xn

......

xn−22 . . . xn−2

n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣= (x2 − x1) . . . (xn − x1)Wn−1.

Применяя индукцию по числу n, имеем Wn =∏

1≤j<i≤n

(xi − xj) = 4n.

§ 13. Дискриминант многочлена. Формулы Ньютона 37

Тогда

Dis(s1, . . . , sn) = 42n =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 . . . 1x1 . . . xn

......

xn−11 . . . xn−1

n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣·

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 . . . 1x1 . . . xn

......

xn−11 . . . xn−1

n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 . . . 1x1 . . . xn

......

xn−11 . . . xn−1

n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣·

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 . . . 1x1 . . . xn

......

xn−11 . . . xn−1

n

τ ∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 . . . 1x1 . . . xn

......

xn−11 . . . xn−1

n

1 x1 . . . xn−11

1 x2 . . . xn−12

......

...1 xn . . . xn−1

n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

=

∣∣∣∣∣∣∣∣

n P1 . . . Pn−1

P1 P2 . . . Pn

. . . . . . . . . . . .Pn−1 Pn . . . P2n−2

∣∣∣∣∣∣∣∣. ¤

Примеры. 1. Пусть f = x2 + ax + b. Тогда D(f) =∣∣∣∣

2 P1

P1 P2

∣∣∣∣ =∣∣∣∣

2 s1

s1 s21 − 2s2

∣∣∣∣ = 2s21 − 4s2 − s2

1 = s21 − 4s2 = a2 − 4b.

2. Для многочлена g = x3 + ax + b его дискриминант

D(g) =

∣∣∣∣∣∣

3 P1 P2

P1 P2 P3

P2 P3 P4

∣∣∣∣∣∣.

По формулам Ньютона P1 = s1 = 0, P2 = s21 − 2s2 = −2a, P3 = s3

1 −3s1s2 + 3s3 = −3b, P4 = s4

1 − 4s1s2 + 2s22 + 4s1s3 = 2a2, поэтому

D(g) =

∣∣∣∣∣∣

3 0 −2a0 −2a −3b−2a −3b 2a2

∣∣∣∣∣∣= −12a3 + 8a3 − 27b2 = −4a3 − 27b2.


§ 14. Результант как определитель наличияобщих множителей

Пусть P — поле и f, g ∈ P [x]. Когда f и g имеют общий множительиз P [x]? Предположим, что f(x) = a0x

n+. . .+an и g(x) = b0xm+. . .+bm.

Результантом Res(f, g) многочленов f и g называется элемент поляP , определяемый формулой:

Res(f, g) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a0 a1 . . . an

a0 a1 . . . an

. . .. . .

. . .a0 a1 . . . an

b0 b1 . . . bm

b0 b1 . . . bm

. . .. . .

. . .b0 b1 . . . bm

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣︸︷︷︸

n+m

m строк

n строк

(пустые места предполагаются заполненными нулями). Заметим, чтозначение Res(f, g) зависит от формы записи f и g, если мы допускаемвозможность a0 = 0 или b0 = 0; однако для нас важно только егоравенство или неравенство нулю.

Свойства результанта.

Res 1. Res(f, g) = 0 тогда и только тогда, когда a0 = b0 = 0 илимногочлены f и g имеют общий множитель в P [x], т. е. deg (f, g) > 0.

Доказательство. Докажем вначале, что deg (f, g) > 0 тогда и толькотогда, когда существуют такие ненулевые многочлены f1, g1 ∈ P [x], что

fg1 + f1g = 0,deg f1 < deg f или deg g1 < deg g.

Пусть (f, g) = h и deg h > 0. Тогда f = f1h, g = −g1h. Очевидно, чтоdeg f1 < deg f, deg g1 < deg g. Имеем:

fg1 + gf1 = f1hg1 − g1hf1 = 0.

§ 14. Результант как определитель наличия общих множителей 39

Обратно, пусть fg1+gf1 = 0 для некоторых ненулевых f1 и g1 таких,что deg f1 < deg f или deg g1 < deg g. Покажем, что deg (f, g) > 0.Предположим, что (f, g) = 1. Тогда ввиду факториальности кольцаP [x] из равенства fg1 = −gf1 следует, что f |f1, а g|g1. Следовательно,deg f ≤ deg f1 < deg f и deg g ≤ deg g1 < deg g. Противоречие.

Теперь докажем, что условие fg1 + gf1 = 0, где f1 и g1 — такиененулевые многочлены, что deg f1 < deg f или deg g1 < deg g, влечётRes(f, g) = 0.

Пусть f1 = c0xn−1 + . . .+cn−1 и g1 = d0x

m−1 + . . .+dm−1. Посколькуfg1 + gf1 = 0, то, приравнивая коэффициенты многочлена fg1 + gf1

к нулю, получаем:

a0d0 + b0c0 = 0 при степени n + m− 1,a1d0 + a0d1 + b1c0 + b0c1 = 0 при степени n + m− 2,a2d0 + a1d1 + a0d2 + b2c0 + b1c1 + b0c2 = 0 при степени n + m− 3,· · · · · ·

Рассмотрим систему линейных уравнений

a0x0 + . . . . . . . . . . . . . . . + b0y0 + . . . = 0a1x0 + a0x1 + . . . . . . . . . + b1y0 + b0y1 . . . = 0a2x0 + a1x1 + a0x2 + . . . + b2y0 + b1y1 + b0y2 . . . = 0· · · · · ·

(1)

с неизвестными x0, . . . , xm−1, y0, . . . , yn−1.Выпишем матрицу этой системы:

A =

m︷︸︸︷a0

a1 a0

. a1 .

. . .

. . a0

an a1

an .. .

. .an

n︷︸︸︷b0

b1 b0

. b1

. . b0

. b1

bm .bm .

. .. .

bm

Очевидно, что det Aτ = Res(f, g). Поскольку (d0, . . . , dm−1, c0, . . . , cn−1)— ненулевое решение системы (1), то det A = 0. Следовательно,Res(f, g) = det Aτ = det A = 0.


Обратно, если Res(f, g) = 0, а a0 и b0 одновременно не равны нулю,то, обращая последние рассуждения, получаем deg (f, g) > 0. ¤

§ 15. Результант как симметрическаяфункция корней

В этом параграфе мы докажем ещё несколько свойств результанта.

Res 2. Пусть P — поле, f, g — многочлены из P [x], которыеполностью разлагаются в кольце P [x] на линейные множители.Предположим, что для некоторых αi, βj ∈ P мы имеем

f(x) = a0(x− α1) . . . (x− αn) и g(x) = b0(x− β1) . . . (x− βm).

Тогда

Res(f, g) = am0

n∏

i=1

g(αi) = (−1)mnbn0

m∏

j=1

f(βj) = am0 bn

0

∏

i,j

(αi − βj).

Доказательство. Рассмотрим кольцо P = P [x1, . . . , xn, y1, . . . , ym].Положим

f(x) = a0(x− x1) . . . (x− xn) = a0xn + a1x

n−1 + . . . + an,

g(x) = b0(x− y1) . . . (x− ym) = b0xm + b1x

m−1 + . . . + bm.

Очевидно, что ai, bj ∈ P . Более того, по формулам Виета

ai = (−1)ia0si(x1, . . . , xn) и bj = (−1)jb0sj(y1, . . . , ym).

Пусть z1, . . . , zn, t1, . . . , tm — элементы поля P . Рассмотримотображение

Πz1,...,zn,t1,...,tm : P 7→ P,

заданное правилом

Πz1,...,zn,t1,...,tm : h(x1, . . . , xn, y1, . . . , ym) −→ h(z1, . . . , zn, t1, . . . , tm).

Нетрудно проверить, что данное отображение является гомоморфизмомкольца P в поле P . Будем называть такое отображение подстановкойxi = zi, yj = tj и образ многочлена h ∈ P при этом отображении будемобозначать как h|xi=zi,yj=tj .

§ 15. Результант как симметрическая функция корней 41

Отметим, что f |xi=αi = f , g|yj=βj = g и Res(f, g)|xi=αi,yj=βj =Res(f, g). Введём новую неизвестную t. Тогда P [t][x], P [x][t] и P [x] —факториальные кольца.

Рассмотрим многочлены f(x) и g(x) − t как многочленыс коэффициентами из кольца P [t]. Из определения результанта имеем:

Res(f, g − t) = det

m︷︸︸︷a0

a1 a0

. a1 .

. . .

. . a0

an . a1

an .. .

. .an

n︷︸︸︷b0

b1

.

. b0

. b1

bm − t ....

bm − t

Вычисляя этот определитель, получаем:

Res(f, g − t) = (−1)nam0 tn + . . . + Res(f, g) ∈ P [t],

т. е. Res(f, g− t) — многочлен степени n. Многочлены f(x) и g(x)−g(xi)имеют общий корень x = xi, поэтому по теореме Безу они делятся на x−xi. По свойству Res 1 имеем Res(f(x), g(x)− g(xi)) = 0. Следовательно,g(xi) — корень многочлена Res(f(x), g(x) − t). Тогда по теореме Безумногочлен Res(f(x), g(x)− t) делится на t− g(xi) для всех i = 1, . . . , n.Так как многочлены g(xi) попарно различны, то

n∏

i=1

(t− g(xi)) делит Res(f, g − t),

а потому Res(f, g− t) = (−1)nam0

n∏i=1

(t− g(xi)). Положив t = 0, получим

Res(f, g) = am0

n∏

i=1

g(xi).

Подставим сюда x1 = α1, . . . , xn = αn, y1 = β1, . . . , ym = βm. Тогда

Res(f, g) = am0

n∏

i=1

g(αi).


Ввиду свойств определителя имеем Res(f, g) = (−1)nmRes(g, f).По доказанному выше окончательно получаем следующие равенства:

Res(f, g) = (−1)nmbn0

m∏

i=1

f(βj),

Res(f, g) = am0

n∏

i=1

g(αi) = am0

n∏

i=1

b0(αi−β1) . . . (αi−βm) = am0 bn

0

∏

i,j

(αi−βj).

Res 3. Пусть f(x) = a0(x−α1) . . . (x−αn) ∈ P [x] и a0 6= 0. ПоложимD(f) = a2n−2

0 D(a−10 f). Тогда a0D(f) = (−1)

n(n−1)2 Res(f, f ′).

Доказательство. Согласно Res 2 Res(f, f ′) = an−10

n∏i=1

f ′(αi). Так

как f(x) = a0(x− α1) . . . (x− αn), то

f ′(x) = a0

n∑

i=1

(x− α1) . . . (x− αi) . . . (x− αn) = a0

n∑

i=1

n∏

j=1,j 6=i

(x− αj),

а потому f ′(αi) = a0

∏j 6=i

(αi − αj). Окончательно получаем:

Res(f, f ′) = an−10

n∏

i=1

a0

∏

j 6=i

(αi − αj)

=

a2n−10

n∏

i=1

∏

j 6=i

(αi − αj) = a2n−10 (−1)

n(n−1)2

∏

i<j

(αi − αj)2 =

a0(−1)n(n−1)

2 a2n−20

∏

i<j

(αi − αj)2 = a0(−1)n(n−1)

2 D(f). ¤

Res 4. Пусть f(x), g1(x), g2(x) ∈ P [x]. Тогда

Res(f, g1g2) = Res(f, g1)Res(f, g2).

Доказательство. Пусть f(x) = a0(x − α1) . . . (x − αn) ∈ P [x], гдеαi ∈ P , и g1(x), g2(x) — произвольные многочлены из P [x] степеней kи m. По Res 2 имеем:

Res(f, g1g2) = ak+m0

n∏

i=1

g1(αi)g2(αi) =

§ 16. Алгебраическая замкнутость поля C 43

=

(ak0

n∏

i=1

g1(αi)

)·(

am0

n∏

i=1

g2(αi)

)= Res(f, g1)Res(f, g2). ¤

§ 16. Алгебраическая замкнутость поля CПоле F называется алгебраически замкнутым, если любой многочлениз F [x] разлагается в F [x] на линейные множители.

В данном параграфе мы докажем алгебраическую замкнутость поляC — теорему, доказанную Гауссом на рубеже XVIII и XIX векови часто называемую основной теоремой алгебры комплексных чисел.В дальнейшем будем использовать следующую лемму.

Лемма 1.Пусть f(x) ∈ R[x]. Тогда при x ∈ R, достаточно большихпо абсолютной величине, знак f(x) совпадает со знаком ненулевогокоэффициента многочлена f(x) при наибольшей степени. ¤

Лемма 2. Пусть f(x) ∈ R[x], deg f(x) = 2k +1. Тогда существуетα ∈ R такое, что f(α) = 0.

Доказательство. По лемме 1 существуют такие a, b ∈ R, что f(a) <0, f(b) > 0. Так как f(x) — непрерывная функция, то существует такоеα ∈ R, что f(α) = 0. ¤

Теорема 1. Пусть f(x) ∈ R[x]. Тогда существует такое α ∈ C,что f(α) = 0.

Доказательство. Пусть deg f = 2kq, где q = 2s + 1. Проведёминдукцию по k. При k = 0 теорема следует из леммы 2. Пусть P —поле разложения для f(x) над C и f(x) = (x−α1) . . . (x−αn). Выберемd ∈ R и положим βij = αiαj + d(αi + αj) ∈ P, i < j. Число элементовβij равно

n(n− 1)2

=2kq(2kq − 1)

2= 2k−1q(2kq − 1) = 2k−1q′,

где q′ нечётно. Пусть g(x) =∏

i<j(x− βij). Коэффициенты многочленаg(x) являются элементарными симметрическими многочленами от βij ,поэтому они являются многочленами от αi с действительнымикоэффициентами; более того, это симметрические многочлены.Действительно, перестановка любых αk и αl влечёт за собойлишь перестановку среди элементов βij : βkj при j 6= k, lпревращается в βlj и, наоборот, βkl и все βij при i, j 6= k, l


остаются на месте. Но коэффициенты многочлена g(x) не меняютсяпри перестановке его корней. Следовательно, по теореме 2 § 12коэффициенты многочлена g(x) — это многочлены с действительнымикоэффициентами от коэффициентов многочлена f(x), т. е. g(x) ∈ R[x].По предположению индукции существуют такие i, j, что βij ∈ C. В силупроизвольности выбора d существуют такие d1 и d2 ∈ R, d1 6= d2, что

αiαj + d1(αi + αj) = a ∈ C,

αiαj + d2(αi + αj) = b ∈ Cдля некоторых i, j. Следовательно, αi + αj , αiαj ∈ C, и элементы αi, αj

— корни уравнения x2 − (αi + αj)x + αiαj = 0, т. е. αi, αj ∈ C. ¤Теорема 2. Пусть f(x) ∈ C[x]. Тогда существует такое α ∈ C,

что f(α) = 0.Доказательство. Пусть f(x) = a0x

n+a1xn−1+. . .+an. Тогда F (x) =

f(x)f(x) = (a0xn + a1x

n−1 + . . . + an)(a0xn + a1x

n−1 + . . . + an) =

= b0x2n + . . . + b2n, где bk =

∑

i+j=k

aiaj , k = 0, . . . , 2n.

Имеем bk =∑

i+j=k aiaj = bk, т. е. F (x) ∈ R[x]. Тогда по теореме 1существует такое β ∈ C, что F (β) = f(β)f(β) = 0. Если f(β) = 0,то всё доказано. Если f(β) = 0, т. е. a0β

n + a1βn−1 + . . . + an = 0,

то a0βn + a1β

n−1 + . . . + an = 0, а потому f(β) = 0. ¤

§ 17. Разложение многочленов на множи-тели над C, R и Q

Как следствие из предыдущего параграфа, получаем следующие дветеоремы.

Теорема 1. Пусть f(x) ∈ C[x], deg f = n. Тогда f(x) = (x −α1) . . . (x− αn), α1, . . . , αn ∈ C. ¤

Теорема 2. Пусть f(x) ∈ R[x] и f(x) неприводим. Тогда deg f ≤ 2.Доказательство. Пусть deg f ≥ 2. Так как f не имеет корней из R,

но существует такой α ∈ C, что f(α) = 0, то f(α) = 0 и f делитсяна (x− α)(x− α) = x2 − (α + α) + αα ∈ R[x], т. е. deg f(x) = 2. ¤

§ 18. Границы корней. Теорема Штурма 45

По признаку неприводимости Эйзенштейна в Q[x] существуютнеприводимые многочлены сколь угодно большой степени. Однако этотпризнак не даёт ответа на вопрос о неприводимости произвольногомногочлена из Q[x]. Ответить на этот вопрос можно, используя понятиеделимости в Z.

Теорема 3. Пусть f(x) ∈ Q[x]. Тогда существует алгоритм,позволяющий за конечное число шагов определить, является ли fнеприводимым над Q.

Доказательство. Вспомним, что неприводимость в Q[x]эквивалентна неприводимости в Z[x]. Пусть f(x) ∈ Z[x]. Предположим,что f = gh и deg f = n. Тогда можно считать, что deg g ≤ n

2 = k.Выбирая различные p1, . . . , pk+1 ∈ Z, получаем, что g(pi) — делительчисла f(pi). Поскольку таких возможностей конечно, то мы можемдля каждого случая по интерполяционной формуле построить g(x)и проверить, делит ли g(x) многочлен f(x). Таким образом, за конечноечисло шагов мы решаем вопрос о неприводимости f(x) над Q. ¤

§ 18. Границы корней. Теорема ШтурмаПусть f(x) = xn + a1x

n−1 + . . . + an ∈ C[x], n ≥ 1.

Лемма 1. Пусть A = max|a1|, . . . , |an|. Тогда любой кореньмногочлена f(x) по модулю меньше 1 + A.

Доказательство. Пусть |x| ≥ A + 1. Имеем: |a1xn−1 + . . . + an| ≤

|a1||x|n−1 + . . . + |an| ≤ A(|x|n−1 + . . . + 1) = A |x|n−1|x|−1 < A |x|n

|x|−1 ≤ |x|n. ¤

Для вычисления границ корней достаточно уметь находитьлишь верхнюю границу положительных корней любого многочлена.Действительно, если N0 — верхняя граница положительных корнеймногочлена f(x), то рассмотрим многочлены

φ1(x) = xnf(1/x), φ2(x) = f(−x), φ3(x) = xnf(−1/x).

Пусть их верхние границы равны соответственно N1, N2, N3. Тогда еслиx0 — положительный корень f(x), то 1

N1< x0 < N0; если x0 —

отрицательный корень, то −N2 < x0 < − 1N3

.Пусть f(x) = xn + a1x

n−1 + . . . + an ∈ R[x], n ≥ 1.Для нахождения верхней границы положительных корней удобноиспользовать следующий метод Ньютона.


Лемма 2. Пусть c ∈ R+ такое, что f(c) > 0, f ′(c) ≥ 0, . . . , f (n)(c) ≥0. Тогда любой действительный корень многочлена f(x) меньше c.

Доказательство следует из формулы Тейлора: f(x) = f(c) +f ′(c)(x− c) + . . . + f(n)(c)

n! (x− c)n. ¤Предположим, что (f, f ′) = 1. Если это не так, то рассмотрим

вместо многочлена f многочлен f/(f, f ′), который уже обладаеттребуемым свойством, т. е. не имеет кратных корней. Пусть f0, f1, . . . , fr

получаются из f по следующей схеме: f0 = f, f1 = f ′,

f0 = f1q1 − f2, deg f2 < deg f1,f1 = f2q2 − f3, deg f3 < deg f2,

. . . . . .fr−1 = frqr, deg fr = 0.

Последовательность f0, f1, . . . , fr называется рядом Штурмамногочлена f(x).

Для каждого a ∈ R, не являющегося корнем f , определим ω(a) какчисло перемен знака в последовательности чисел f0(a), f1(a), . . . , fr(a),из которой удалены все нули.

Теорема (Штурма). Число корней из R у многочлена fна интервале [b, c] (при условии, что b и c не корни f) равно ω(b)−ω(c).

Доказательство. Заметим, что для любого a ∈ R число a не можетобращать в нуль два подряд многочлена из ряда Штурма, так какесли fs(a) = fs+1(a), то и fs+2(a) = . . . = fr(a) = 0 — противоречие,поскольку fr(a) — ненулевая константа. Все корни всех fi разбиваютинтервал [b, c] на подинтервалы [b, c] = [b, c1] ∪ [c1, c2] ∪ . . . ∪ [ck, c].Внутри (ci, ci+1) все fs имеют один знак, поэтому там ω(a) не меняется.Посмотрим, как меняется ω(a) в точках ci.

1. Пусть ci — корень fs, 0 < s < r. В силу равенства fs−1 =fsqs−fs+1 числа fs−1(ci) и fs+1(ci) должны иметь разные знаки. Эти жезнаки они имеют и в примыкающих к точке ci подинтервалах. Значит,независимо от знака fs есть одна перемена знака в последовательностиfs−1(a), fs(a), fs+1(a), как слева, так и справа от ci (и в точке ci). Итак,ω(a) не изменяется в этом случае.

2. Пусть ci — корень f . Имеем: f(x) = (x − c)g(x), g(c) 6= 0,f1(x) = g(x) + (x − c)g′(x). Знак f1 в точке ci и возле неё совпадаетсо знаком g(ci), а f меняет знак в точке ci. Значит, при a < ci естьперемена знака среди чисел f0(a) и f1(a), а при a > ci нет переменызнака. Все остальные перемены знака сохраняются. Итак, при переходечерез корень многочлена f число ω(a) уменьшается на 1. ¤

Глава 4

Линейные преобразованиявекторных пространств

В этой главе мы изучим линейные преобразования векторныхпространств и приведём классификацию таких преобразованийв случае, когда основное поле является алгебраически замкнутым.

§ 1. Матрица линейного отображения

В § 15 главы 1 мы ввели понятие линейного отображения и привелинекоторые примеры линейных отображений. Дадим ещё несколькопримеров.

Далее в этой главе через V мы обозначаем линейное пространствонад некоторым полем F . Пусть V = V1

⊕V2. Тогда для любого v ∈ V

существуют такие единственные v1 ∈ V1, v2 ∈ V2, что v = v1 + v2.Положим ϕ(v) = v1. Нетрудно проверить, что ϕ ∈ L(V, V ). Отображениеϕ называется проектированием V на V1 параллельно V2.

Далее пусть F [x] — линейное пространство многочленов от x надполем F . Положим ϕ(f(x)) = f ′(x). Очевидно, что ϕ ∈ L(F [x], F [x]).

Пусть V — линейное пространство размерности n над F , т. е.dimF (V ) = n. Пусть a1, . . . , an — некоторый базис V и ϕ ∈ L(V, V ).

48 4. Линейные преобразования векторных пространств

Тогда существуют такие единственные αij ∈ F , 1 ≤ i, j ≤ n, что

ϕ(a1) = α11a1 + . . . + α1nan,. . .ϕ(an) = αn1a1 + . . . + αnnan.

Матрица [ϕ]a1,...,an=

α11 · · · α1n

.... . .

...αn1 · · · αnn

называется матрицей

линейного преобразования ϕ в базисе a1, . . . , an. Таким образом, мыпостроили отображение [ ]a1,...,an : L(V, V ) → Mn(F ).

Примеры.1. [id]a1,...,an

= E.2. [0]a1,...,an = 0.3. Пусть V = V1

⊕V2, a1, . . . , ak — базис V1, ak+1, . . . , an — базис V2.

Тогда

[ϕ]a1,...,an=

(Ek 00 0

),

где ϕ — проектирование V на V1 параллельно V2, а Ek — единичнаяматрица из Mk(F ).

4. Пусть ϕ(f(x)) = f ′(x), ϕ : Fn[x] → Fn[x], где Fn[x] = f ∈ F [x] :deg f ≤ n. Тогда 1, x, x2, . . . , xn — базис пространства Fn[x] и

[ϕ]1,x,...,xn =

0 0 · · · 0 01 0 · · · 0 00 2 · · · 0 00 0 · · · 0 00 0 · · · n 0

.

§ 2. Координаты образа вектора. Изменениематрицы при изменении базы

Пусть V — линейное пространство над F , dimF (V ) = n, a1, . . . , an

и b1, . . . , bn — некоторые базисы V . Тогда для любого v ∈ V существуют

такие единственные α1, . . . , αn ∈ F , что v =n∑

i=1

αiai. Строка [v]a1,...,an =

(α1, . . . , αn) ∈ Fn называется координатами вектора v в базисеa1, . . . , an. По теореме 1 § 1.12 отображение [ ]a1,...,an : V → Fn

§ 2. Изменение матрицы при изменении базы 49

является изоморфизмом векторных пространств. Существуют такие

единственные tij ∈ F , что bi =n∑

j=1

tijaj , i, j = 1, . . . , n. Матрица T = (tij)

называется матрицей перехода от базиса a1, . . . , an к b1, . . . , bn.

Теорема 1. Для всех x ∈ V , ϕ ∈ L(V, V ) выполняется:1) [x]a1,...,an

= [x]b1,...,bnT ;

2) [ϕ(x)]a1,...,an= [x]a1,...,an

· [ϕ]a1,...,an;

3) [ϕ]b1,...,bn = T [ϕ]a1,...,anT−1.

Доказательство. 1. Пусть [x]a1,...,an= (x1, . . . , xn), [x]b1,...,bn

=(y1, . . . , yn). Тогда

x =n∑

i=1

xiai =n∑

j=1

yjbj =n∑

j=1

yj

(n∑

i=1

tjiai

)=

n∑

i=1

n∑

j=1

yjtji

ai.

Следовательно, xi =n∑

j=1

yjtji, i = 1, . . . , n, и (x1, . . . , xn) = (y1, . . . , yn)T .

В итоге [x]a1,...,an= [x]b1,...,bn

T. Заметим, что из последнего равенстваследует |T | 6= 0. Действительно, последовательно полагая x =a1, . . . , x = an, получаем E = XT для некоторой матрицы X.

2. Пусть x =n∑

i=1

xiai, ϕ(ai) =n∑

j=1

αijaj . Тогда

ϕ(x) =n∑

i=1

xiϕ(ai) =n∑

i=1

xi

n∑

j=1

αijaj

=

n∑

j=1

(n∑

i=1

xiαij

)aj ,

[ϕ(x)]a1,...,an = (n∑

i=1

xiαi1, . . . ,

n∑

i=1

xiαin) =

= (x1, . . . , xn) ·

α11 · · · α1n

.... . .

...αn1 · · · αnn

= [x]a1,...,an [ϕ]a1,...,an .

3. Пусть [ϕ]a1,...,an = A, [ϕ]b1,...,bn = B. Тогда для любого x ∈ Vимеем:

[ϕ(x)]a1,...,an = [x]a1,...,anA, [ϕ(x)]b1,...,bn = [x]b1,...,bnB,

[ϕ(x)]a1,...,an = [ϕ(x)]b1,...,bnT, [x]a1,...,an = [x]b1,...,bnT.


Следовательно, [x]a1,...,anA = [x]b1,...,bnTA = [x]b1,...,bnBT .Так как x — произвольный вектор, то TA = BT и B = TAT−1. ¤

§ 3. Однозначное определение линейногопреобразования по образу базиса

Теорема 1. Пусть a1, . . . , an — некоторый базис V , b1, . . . , bn —произвольные векторы из V . Тогда существует такое единственноеϕ ∈ L(V, V ), что ϕ(ai) = bi, i = 1, . . . , n.

Доказательство. Для любого v ∈ V существуют такие

единственные γ1, . . . , γn ∈ F , что v =n∑

i=1

γiai. Положим ϕ(v) =n∑

i=1

γibi.

Докажем, что ϕ ∈ L(V, V ). Для любых α, β ∈ F, x =n∑

i=1

αiai, y =n∑

i=1

βiai ∈ V имеем αx + βy =n∑

i=1

(ααi + ββi)ai. По определению

ϕ(αx + βy) =n∑

i=1

(ααi + ββi)bi = αn∑

i=1

αibi + βn∑

i=1

βibi = αϕ(x) + βϕ(y),

т. е. ϕ ∈ L(V, V ).Пусть ψ ∈ L(V, V ) и ψ(ai) = bi для всех i = 1, . . . , n. Тогда для

любого x =n∑

i=1

αiai ∈ V выполняется ψ(x) =n∑

i=1

αibi. Следовательно,

ϕ(x) = ψ(x) и ϕ = ψ. ¤Обозначим отображение [ ]a1,...,an через [ ].

Следствие 1. Отображение [ ] : L(V, V ) → Mn(F ) являетсябиективным.

Доказательство. Для любых ϕ,ψ ∈ L(V, V ) имеем

[ϕ]a1,...,an = [ψ]a1,...,an ⇔ ϕ(ai) = ψ(ai)

для всех i = 1, . . . , n. Последние равенства эквивалентны тому, чтоϕ(x) = ψ(x) для всех x ∈ V , т. е. ϕ = ψ. Следовательно, отображение [ ]

инъективно. Для любой A = (αij) ∈ Mn(F ) положим bi =n∑

j=1

αijaj , где

i = 1, . . . , n. По теореме 1 существует такое единственное ϕ ∈ L(V, V ),что ϕ(ai) = bi для всех i = 1, . . . , n. По определению [ϕ]a1,...,an = A.Следовательно, отображение [ ] сюръективно. ¤

§ 4. Изоморфизм алгебр L(Fn, Fn) и Mn(F ) 51

§ 4. Изоморфизм алгебр L(Fn, Fn) и Mn(F )

Предложение 1. Для любых α ∈ F , ϕ,ψ ∈ L(Fn, Fn) справедливо:

αϕ, ϕ + ψ, ϕ ψ ∈ L(Fn, Fn).

Доказательство. Предложение было доказано в § 1.15,за исключением того, что ϕ ψ ∈ L(Fn, Fn). Пусть α, β ∈ F, x, y ∈ Fn.Тогда ϕ ψ(αx + βy) = ψ(ϕ(αx + βy)) = ψ(αϕ(x) + βϕ(y)) =αψ(ϕ(x)) + βψ(ϕ(y)) = α(ϕ ψ)(x) + β(ϕ ψ)(y). ¤

Алгебраическая система 〈A; +, ·, ·α, α ∈ F 〉 называется алгеброй надполем F , если

(A1) 〈A; +, ·〉 — кольцо;(A2) 〈A; +, ·α, α ∈ F 〉 — линейное пространство над F ;(A3) α(a · b) = (αa · b) = a · (αb) для любых α ∈ F, a, b ∈ A.

В главе 1 было доказано, что Mn(F ) — кольцо и линейноепространство над F . Так как α(A ·B) = (αA) ·B = A · (αB) для любыхα ∈ F, A, B ∈ Mn(F ), то Mn(F ) — алгебра над F . Докажем, чтоL(Fn, Fn) — алгебра над F .

Теорема 1. L(Fn, Fn) ∼= Mn(F ).

Доказательство. Выберем a1, . . . , an — некоторый базис Fn

и обозначим [ ] = [ ]a1,...,an . Докажем, что [ ] : L(Fn, Fn) → Mn(F )— изоморфизм. В силу следствия 1 § 3 [ ] — биективное отображение.Докажем, что [ ] сохраняет операции.

1. [ϕ + ψ] = [ϕ] + [ψ]: для любых x ∈ Fn, ϕ, ψ ∈ L(Fn, Fn) имеем[(ϕ+ψ)(x)] = [x][ϕ+ψ] = [ϕ(x)+ψ(x)] = [ϕ(x)]+[ψ(x)] = [x][ϕ]+[x][ψ] =[x]([ϕ]+[ψ]). Следовательно, [ϕ+ψ] = [ϕ]+[ψ], так как x — произвольныйвектор.

2. [αϕ] = α[ϕ]: для любых x ∈ Fn, ϕ ∈ L(Fn, Fn) имеем [(αϕ)(x)] =[αϕ(x)] = α[ϕ(x)] = α[x][ϕ] = [x][αϕ]. Следовательно, α[ϕ] = [αϕ].

3. [ϕ ψ] = [ϕ] · [ψ]: для любых x ∈ Fn, ϕ, ψ ∈ L(Fn, Fn) имеем[(ϕ ψ)(x)] = [x][ϕ ψ] = [ψ(ϕ(x))] = [ϕ(x)][ψ] = ([x][ϕ])[ψ] = [x]([ϕ] · [ψ]).Следовательно, [ϕ ψ] = [ϕ] · [ψ]. ¤

Следствие. L(Fn, Fn) — алгебра над F . ¤


§ 5. Характеристические многочлены по-добных матриц. Подобие матриц

Пусть A = (αij) ∈ Mn(F ). Матрица

λE −A =

λ− α11 −α12 . . . −α1n

−α21 λ− α22 . . . −α2n

......

. . ....

−αn1 −αn2 · · · λ− αnn

называется характеристической матрицей для A. Многочлен fA(λ) =det(λE − A) называется характеристическим многочленом дляматрицы A.

Предложение 1. fA(λ) = λn + an−1λn−1 + . . . + a0, где an−1 =

−tr(A) = −(α11 + . . . + αnn) — след матрицы A, a0 = (−1)n det(A).Доказательство. Используя формулу полного развёртывания

определителя, получим fA(λ) = (λ − α11) . . . (λ − αnn) + (одночленыстепени ≤ n − 2), так как в одночлен, содержащий αij , не входитмножитель (λ−αii)(λ−αjj) при i 6= j. Поэтому fA(λ) = λn−tr(A)λn−1+сумма одночленов степени ≤ n− 2. Положим λ = 0. Тогда fA(0) = a0 =det(−A) = (−1)n det A. ¤

Матрицы A и B ∈ Mn(F ) называются подобными, если существуеттакая обратимая матрица T ∈ Mn(F ), что B = TAT−1. Обозначение:A ' B.

Предложение 2. ” ' ” — отношение эквивалентности на Mn(F ).Доказательство. Во-первых, A ' A, так как A = EAE−1. Во-

вторых, если A ' B, то существует такая обратимая матрица T , чтоB = TAT−1, т. е. A = (T−1)B(T−1)−1.

И последнее, если A ' B, B ' C, то B = T1AT−11 , C = T2BT−1

2 , гдеT1 и T2 обратимы. Поэтому C = T2T1AT−1

1 T−12 = (T2T1)A(T2T1)−1, т. е.

A ' C. ¤В силу теоремы 1 § 1.5 Mn(F ) разбивается на непересекающиеся

классы эквивалентных матриц.

Теорема 1. Если A ' B, то fA(λ) = fB(λ).Доказательство. Пусть B = TAT−1, где T — обратимая матрица.

Тогда fB(λ) = |λE−B| = |λE−TAT−1| = |λTET−1−TAT−1| = |T (λE−A)T−1| = |T | · |λE −A| · |T−1| = |T | · |T |−1 · fA(λ) = fA(λ). ¤

§ 6. Теорема Гамильтона — Кэли 53

Следствие 1. 1. Если A ' B, то tr(A) = tr(B), det(A) = det(B).2. Пусть a1, . . . , an и b1, . . . , bn — базисы V , ϕ ∈ L(V, V ). Тогда

[ϕ]a1,...,an ' [ϕ]b1,...,bn и f[ϕ]a1,...,an(λ) = f[ϕ]b1,...,bn

(λ).Доказательство. 1. Очевидно. 2. В силу теоремы 1 § 2 [ϕ]b1,...,bn

=T [ϕ]a1,...,anT−1, где T — матрица перехода от a1, . . . , an к b1, . . . , bn.Следовательно, [ϕ]a1,...,an

' [ϕ]b1,...,bnи f[ϕ]a1,...,an

(λ) = f[ϕ]b1,...,bn(λ) в

силу теоремы 1. ¤

§ 6. Теорема Гамильтона — КэлиПусть f(x) = a0x

n + . . . + an ∈ F [x], A ∈ Mn(F ). Положим f(A) =f(x)|x=A = a0A

n + . . . + anE, т. е. |x=A : F [x] → Mn(F ). Нетруднопроверить, что |x=A — гомоморфизм колец.

Теорема 1 (Гамильтона — Кэли). fA(A) = 0 для любой A ∈ Mn(F ).

Доказательство. Положим A = (λE − A) и B = A∗ =

A11 · · · An1

......

A1n · · · Ann

, где Aij = (−1)i+jMij и Mij — минор, полученный

из A вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.Имеем A · A∗ = A∗ · A = |A| · E по теореме 2 § 1.30. Следовательно,

B · (λE −A) = |λE −A| ·E = fA(λ) ·E. Очевидно, что B = (bij(λ)), гдеbij(λ) ∈ F [λ] и deg bij(λ) ≤ n − 1. Значит, bij(λ) = b

(0)ij + b

(1)ij λ + . . . +

b(n−1)ij λn−1, где b

(k)ij ∈ F , 0 ≤ k ≤ n− 1, 1 ≤ i, j ≤ n. Таким образом,

B =

(b(0)11 + b

(1)11 λ +. . .+ b

(n−1)11 λn−1

)· · ·

(b(0)1n + b

(1)1n λ +. . .+ b

(n−1)1n λn−1

)

· · · · · · · · ·(b(0)n1 + b

(1)n1 λ +. . .+ b

(n−1)n1 λn−1

)· · ·

(b(0)nn + b

(1)nnλ + . . . + b

(n−1)nn λn−1

)

= B0 + B1λ + . . . + Bn−1λn−1,

где Bi =

b(i)11 · · · b

(i)1n

.... . .

...b(i)n1 · · · b

(i)nn

∈ Mn(F ), 0 ≤ i ≤ n− 1.

Пусть fA(λ) = α0 + α1λ + . . . + αn−1λn−1 + λn, αi ∈ F. Тогда

(B0 + B1λ + . . . + Bn−1λ

n−1) · (λE −A) =


=(α0 + α1λ + . . . + αn−1λ

n−1 + λn) · E. (1)

Сравниваем коэффициенты при степенях λ:

λ0 : −B0A = α0 · E; умножим на E;λ1 : B0 −B1A = α1 · E; умножим на A;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .λn−1 : Bn−2 −Bn−1A = αn−1 · E; умножим на An−1;λn : Bn−1 = E; умножим на An.

Сложив все равенства после домножения, получим:

0 = α0 · E + α1 ·A + . . . + αn−1An−1 + An = fA(A). ¤

Задача. Почему нельзя подставить λ = A в (1)?

§ 7. Инвариантные подпространства, усло-вия их существования

Пусть V — линейное пространство над полем F , ϕ ∈ L(V, V ). Линейноеподпространство U ⊆ V называется ϕ-инвариантным, если ϕ(U) ⊆ U .

Простейшие примеры и свойства.

1. Для любого ϕ ∈ L(V, V ) пространства 0 и V являютсяϕ-инвариантными (они называются несобственными).

2. Если U1, U2 — ϕ-инвариантные подпространства в V , то U1 + U2

и U1 ∩ U2 также ϕ-инвариантны.3. Пусть U инвариантно относительно преобразований ϕ и ψ. Тогда

U является инвариантным относительно преобразований ϕ + ψ, ϕ ψ, αϕ, где α ∈ F .

4. Если U является ϕ-инвариантным, то U инвариантноотносительно преобразования f(ϕ) для любого f(x) ∈ F [x].

Пусть A ∈ Mn(F ) и A =(

B1 0B3 B2

), где B1 ∈ Mk(F ), B2 ∈

Mm(F ), k + m = n, B3 ∈ Mm,k(F ), k, m ≥ 1. Тогда A называетсяполураспавшейся матрицей.

§ 7. Инвариантные подпространства 55

Лемма 1. Преобразование ϕ ∈ L(V, V ) имеет собственноеϕ-инвариантное подпространство U (т. е. U 6= 0, V ) тогда и толькотогда, когда существует такой базис a1, . . . , an пространства V , что[ϕ]a1,...,an

— полураспавшаяся матрица.Доказательство. ” ⇒ ”. Пусть U ⊆ V — собственное ϕ-

инвариантное подпространство и a1, . . . , ak — некоторый базис U , 1 ≤k ≤ n − 1. Дополним этот базис векторами ak+1, . . . , an до базиса V .Тогда

ϕ(ai) =k∑

j=1

αijaj , i = 1, . . . , k,

ϕ(ai) =n∑

j=1

αijaj , i = k + 1, . . . , n.


[ϕ] =

α11 · · · α1k

· · · · · · · · · 0αk1 · · · αkk

αk+11 · · · · · · · · · · · · αk+1n

· · · · · · · · · · · · · · · · · ·αn1 · · · · · · · · · · · · αnn

. (1)

Обратно, пусть [ϕ]a1,...,anимеет вид (1). Тогда ϕ(ai) ∈ U, i = 1, . . . , k,

а потому ϕ(x) ∈ U для любого x ∈ U и ϕ(U) ⊆ U . ¤Пусть U является ϕ-инвариантным подпространством в V .

Тогда ограничение действия ϕ на U называется индуцированнымпреобразованием ϕ на U и обозначается ϕ|U , т. е. ϕ|U ∈ L(U,U)и ϕ|U (x) = ϕ(x) для любого x ∈ U . В частности, в лемме 1 имеем:

[ϕ|U ]a1,...,ak=

α11 · · · α1k

.... . .

...αk1 · · · αkk

.

Пусть Ai ∈ Mki(F ), k1 + . . . + k` = n. Тогда матрица

A := A1 ⊕ . . .⊕A` :=

A1

A2

. . . ∣∣A`

∈ Mn(F )


называется клеточно-диагональной.

Теорема 1. Пусть ϕ ∈ L(V, V ). Пространство является прямойсуммой ϕ-инвариантных подпространств тогда и только тогда, когдасуществует такой базис a1, . . . , an пространства V , что [ϕ]a1,...,an

—клеточно-диагональная матрица.

Доказательство. Пусть V = V1 ⊕ . . . ⊕ V`, dimF (Vi) = ki,∑i=1

ki = n. Далее доказательство повторяет доказательство леммы 1.

Пусть bs1, . . . , bsks — базис Vs, s = 1, . . . , `. Тогда a1, . . . , an =

b11, . . . , b1k1 , . . . , b`1, . . . , b`k` — базис V , [ϕ]a1,...,an

— клеточно-диагональная матрица, и наоборот. ¤

§ 8. Характеристический многочлен линей-ного преобразования

Пусть a1, . . . , an — некоторый базис V и ϕ ∈ L(V, V ). Многочлен fϕ(λ) =f[ϕ]a1,...,an

(λ) = |λE − [ϕ]a1,...,an| называется характеристическим

многочленом преобразования ϕ.

Корректность определения. Покажем, что определение не зависитот выбора базиса a1, . . . , an пространства V . Пусть b1, . . . , bn — другойбазис V . Тогда в силу следствия 1 § 5 имеем:

fϕ (λ) = f[ϕ]a1,...,an(λ) = f[ϕ]b1,...,bn

(λ) .

Простейшие свойства fϕ(λ):

1) deg fϕ(λ) = dimF (V ) = n;

2) fϕ(λ) = λn + cn−1λn−1 + . . . + c0, где ci ∈ F не зависят от выбора

базиса a1, . . . , an. По определению −cn−1 = tr([ϕ]a,...,an) := tr(ϕ) — следϕ, (−1)nc0 = det([ϕ]a,...,an) := det(ϕ) — определитель ϕ.

Лемма 1. Пусть V =s⊕

i=1Vi, где Vi — ϕ-инвариантные

подпространства, i = 1, . . . , s. Тогда

fϕ(λ) = fϕ|V1(λ1) · . . . · fϕ|Vs

(λ).

§ 9. Собственные векторы и значения 57

Доказательство. Пусть bi1, . . . , b

imi

— базис Vi, i = 1, . . . , s, тогда

s∪i=1

bi1, . . . , b

imi

— базис V . В этом базисе [ϕ] =

A1 0. . .

0 As

, где

Ai ∈ Mmi(F ),

∑mi = n. Тогда

fϕ (λ) = det (λE − [ϕ]) = det

λE1 −A1 0. . .

0 λEs −As

,

где Ei — единичная матрица из Mmi(F ), i = 1, . . . , s.

Заметим, что для любой клеточно-диагональной матрицы имеем

det(

A1 00 A2

)= det

(A1 00 E2

)det

(E1 00 A2

)=

2∏

i=1

det Ai,

где Ei — единичная матрица такого же порядка, как Ai, а потому

fϕ (λ) =s∏

i=1

det (λEi −Ai) =s∏

i=1

fϕ|Vi(λ) . ¤

Для любого ϕ ∈ L(V, V ) и многочлена f (λ) = α0 +α1λ+ . . .+αkλk ∈F [λ] положим f (ϕ) = f (λ)|λ=ϕ

= α0id + α1ϕ + . . . + αkϕk ∈ L (V, V ) .

Теорема 1 (Гамильтона — Кэли для преобразований). Для любогопреобразования ϕ ∈ L (V, V ) выполняется равенство fϕ(ϕ) = 0.

Доказательство. В силу теоремы 1 § 4 для произвольного базисаa1, . . . , an пространства V отображение [ ] = [ ]a1,...,an : L(V, V ) → Mn(F )— изоморфизм алгебр. Поэтому [f (ϕ)] = f ([ϕ]) для любого f (λ) ∈ F [λ].Следовательно, [fϕ (ϕ)] = fϕ ([ϕ]) = f[ϕ] ([ϕ]) = 0 по теореме 1 § 6. Таккак [ ] — изоморфизм, то fϕ(ϕ) = 0. ¤

§ 9. Собственные векторы и значения.Независимость векторов, отвечающихразличным собственным значениям

Элемент λ ∈ F называется собственным значением преобразования ϕ ∈L (V, V ), если существует такой ненулевой a ∈ V , что ϕ(a) = λa. В этомслучае a называется собственным вектором ϕ, соответствующим λ.


Пусть a1, . . . , an — некоторый базис V и [ ] = [ ]a1,...,an —изоморфизм L(V, V ) и Mn(F ). В силу изоморфизма все определенияи утверждения эквивалентно могут быть сформулированы длялинейных преобразований и матриц. Например, λ ∈ F называютсобственным значением A ∈ Mn (F ), если существует такой ненулевойx ∈ Fn, что xA = λx. В дальнейшем, в зависимости от удобстваизложения, мы будем формулировать утверждения либо в матричномвиде, либо для линейных отображений.

Напомним, что L (b1, . . . , bk) =

k∑i=1

αibi : αi ∈ F

— линейная

оболочка векторов b1, . . . , bk ∈ V. В силу § 1.10 L (b1, . . . , bk) —минимальное подпространство пространства V , содержащее b1, . . . , bk.

Лемма 1. Пусть ϕ ∈ L(V, V ). Справедливы следующиеутверждения:

1) a — собственный вектор ϕ ⇔ L(a) является ϕ-инвариантным;2) α — собственное значение ϕ ⇔ fϕ (α) = 0;3) ϕ имеет n линейно независимых собственных векторов

⇔ существует такой базис b1, . . . , bn пространства V , что длянекоторых αi ∈ F выполняется

[ϕ]b1,...,bn=

α1 0. . .

0 αn

.

Доказательство. 1. Если a — собственный вектор ϕ, то a 6= 0и существует α ∈ F такое, что ϕ (a) = αa. Для любого b ∈ L (a)существует λ ∈ F такое, что b = λa. Следовательно, ϕ (b) = ϕ (λa) =λϕ (a) = λαa ∈ L (a) и L (a) — ϕ-инвариантное подпространство.Обратно, если ϕ (a) ∈ L (a), то существует такой α ∈ F , что ϕ(a) = αa.

2. По определению α является собственным значением ϕ тогдаи только тогда, когда существует ненулевой a ∈ V такой, что ϕ(a) = αa.Пусть [ ] = [ ]a1,...,an , где a1, . . . , an — некоторый базис в V . Тогдаϕ (a) = αa ⇔ [ϕ (a)] = [αa] ⇔ [a] · [ϕ] = α [a] ⇔ [a] (αE − [ϕ]) = 0,где мы использовали теорему 1 из § 4 и теорему 1 из § 2.

Однородная система линейных уравнений [a] · (αE − [ϕ]) = 0 имеетненулевое решение ⇔ det (αE − [ϕ]) = fϕ (α) = 0.

§ 10. Минимальные многочлены матриц и линейных преобразований 59

3. [ϕ]b1,...,bn=

α1 0. . .

0 αn

тогда и только тогда, когда

b1, . . . , bn — базис V и ϕ (bi) = αibi, 1 ≤ i ≤ n, что эквивалентносуществованию n линейно независимых собственных векторов у ϕ. ¤

Теорема 1. Пусть ϕ ∈ L(V, V ) и b1, . . . , bk — собственные векторыϕ, соответствующие различным собственным значениям α1, . . . , αk.Тогда b1, . . . , bk линейно независимы.

Доказательство. Проведём индукцию по k. При k = 1по определению b1 6= 0. Пусть b1, . . . , bk−1 линейно независимы и β1b1 +. . . + βkbk = 0. Тогда ϕ (β1b1 + . . . + βkbk) = β1α1b1 + . . . + βkαkbk = 0,

поэтому 0 = αk

k∑i=1

βibi −k∑

i=1

αiβibi =k−1∑i=1

(αk − αi)βibi. Следовательно,

по предположению индукции (αk − αi)βi = 0 для любого 1 ≤ i ≤ k − 1.Так как αk 6= αi, то β1 = . . . = βk−1 = 0, откуда βk = 0. ¤

Следствие. Пусть ϕ ∈ L(V, V ), где V — векторное пространствонад полем F . Если fϕ(λ) имеет n различных корней в F , тосуществует такой базис b1, . . . , bn пространства V , что

[ϕ]b1,...,bn=

α1 0. . .

0 αn

.

Доказательство. Пусть b1, . . . , bn — собственные векторыпреобразования ϕ, соответствующие различным корням α1, . . . , αn

многочлена fϕ(λ). В силу теоремы 1 они линейно независимы. В силу

леммы 1 [ϕ]b1,...,bn=

α1 0. . .

0 αn

. ¤

§ 10. Минимальные многочлены матриц илинейных преобразований

Унитарный многочлен минимальной степени, аннулирующийпреобразование ϕ ∈ L(V, V ), называется минимальным многочленомпреобразования ϕ и обозначается через hϕ(x). Таким образом,


hϕ (x) = xm + am−1xm−1 + . . . + a0 ∈ F [x] — это такой многочлен

минимальной степени, что hϕ(ϕ) = 0. Аналогично определяется hA(x),A ∈ Mn(F ).

Корректность определения. Покажем, что hϕ(x) определяетсяоднозначно. Действительно, если hϕ(x) и h′ϕ(x) — два минимальныхмногочлена, то hϕ (x) − h′ϕ (x) аннулирует ϕ и deg

(hϕ (x)− h′ϕ (x)

)<

deg hϕ (x), т. е. hϕ (x)− h′ϕ (x) = 0.

Лемма 1 (основные свойства). Пусть ϕ ∈ L(V, V ), где V —векторное пространство над полем F .

1. Если f (x) ∈ F [x], f (ϕ) = 0, то hϕ (x) делит f(x).2. Если A,B ∈ Mn (F ), A ' B, то hA (x) = hB (x).3. Справедливо равенство hϕ (x) = h[ϕ] (x), где [ϕ] = [ ]b1,...,bn

и b1, . . . , bn — некоторый базис пространства V .4. Многочлен hϕ(x) делит fϕ(x).5. Если fϕ (x) = (x− λ1) . . . (x− λn) , λi ∈ F , то (x− λi) делит

многочлен hϕ(x).Доказательство. 1. По определению deg f (x) ≥ deg hϕ (x) .

Разделим f(x) на hϕ(x) с остатком:

f (x) = hϕ (x) · g (x) + r (x) ,

где либо deg r (x) < deg hϕ (x), либо r(x) = 0. Далее справедливо 0 =f (ϕ) = hϕ (ϕ) · g(ϕ) + r (ϕ) . Следовательно, r (ϕ) = 0 и r (x) = 0.

2. A ' B тогда и только тогда, когда существует обратимая T ∈Mn(F ) такая, что B = T−1AT. Заметим, что для любого k ∈ N имеем:

Bk =(T−1AT

)k= (T−1AT ) · (T−1AT ) · . . . · (T−1AT ) = T−1AkT.

Значит, для любого g (x) ∈ F [x] выполняется g (B) = T−1g (A)T.Следовательно,

hA (B) = hA

(T−1AT

)= T−1hA (A)T = 0,

hB (A) = hB

(TBT−1

)= ThB (B)T−1 = 0.

Из 1) следует, что hA(x) делит hB(x), и наоборот. В силу унитарностимногочленов hA(x) = hB(x).

3. Пусть b1, . . . , bn — некоторый базис V . Обозначим [ ] = [ ]b1,...,bn —изоморфизм L(V, V ) и Mn(F ) (теорема 1 § 4). Тогда

0 = h[ϕ] ([ϕ]) =[h[ϕ] (ϕ)

] ⇒ h[ϕ] (ϕ) = 0,

§ 11. Нильпотентные преобразования, канонический вид их матриц 61

0 = [hϕ (ϕ)] = hϕ ([ϕ]) .

Следовательно, h[ϕ](x) делит hϕ(x), и наоборот. В силу унитарностимногочленов hϕ(x) = h[ϕ](x).

4. Следует из 1) и теоремы Гамильтона — Кэли.

5. Пусть vi ∈ V — собственный вектор для λi, т. е. ϕ (vi) = λivi,vi 6= 0. Тогда hϕ (ϕ) (vi) = 0. Но ϕk (vi) = ϕk−1 (λivi) = λiϕ

k−1 (vi) =. . . = λk

ivi. Следовательно, hϕ (ϕ) (vi) = hϕ (λi) vi = 0. Так как vi 6= 0, то

hϕ (λi) = 0. По теореме Безу (x− λi) делит hϕ(x). ¤

§ 11. Нильпотентные преобразования, кано-нический вид их матриц

Пусть ϕ ∈ L (V, V ). Множество Spec (ϕ) всех попарно различныхсобственных значений ϕ называется спектром ϕ. Например, если

fϕ (x) =p∏

i=1

(x− λi)mi , где λi 6= λj при i 6= j, то Spec (ϕ) = λ1, . . . , λp.

Аналогично определяется Spec (A), A ∈ Mn (F ). Преобразование ϕ ∈L (V, V ) называется нильпотентным, если существует m ∈ N такое,что ϕm = 0. Число m называется индексом нильпотентности ϕ, еслиϕm = 0 и ϕm−1 6= 0. Аналогичные определения для A ∈ Mn(F ).

Лемма 1. Пусть ϕ — нильпотентное линейное преобразованиеиндекса m, тогда hϕ (x) = xm и Spec (ϕ) = 0.

Доказательство. Так как ϕm = 0, то hϕ (x) делит xm.Следовательно, hϕ (x) = xk, где k ≤ m. Поскольку ϕm−1 6= 0, то k = m.Пусть λ — собственное значение ϕ. Тогда существует такой ненулевойa ∈ V , что ϕ (a) = λa, откуда ϕm (a) = λma = 0, т. е. λm = 0 и λ = 0. ¤

Пусть ϕ — нильпотентное преобразование индекса m. Вектор v ∈V называется вектором высоты k, если ϕk (v) = 0 и ϕk−1 (v) 6= 0.По определению 0 — вектор высоты 0. Будем обозначать высоту вектораv через h(v) = k. Положим U (k) := v ∈ V : h (v) ≤ k , k = 1, . . . , m.Очевидно, что 0 ⊆ U (1) ⊆ . . . ⊆ U (m) = V.

Лемма 2. Пусть ϕ — нильпотентное преобразование индекса m.1. U(k) — линейное подпространство в V для любого k = 1, . . . ,m.2. Цепочка 0 = U (0) U(1) . . . U (m) = V состоит из строгих

включений.


3. Дополним базис U(m− 1) векторами c1, . . . , ct до базиса V . Тогдавекторы ϕi(cj), i = 0, . . . , m− 1, j = 1, . . . , t, линейно независимы.

Доказательство. 1. Заметим, что 0 ∈ U(k). Далее для любыхα, β ∈ F , a, b ∈ U (k) имеем ϕk (αa + βb) = αϕk (a) + βϕk (b) = 0.Следовательно, h (αa + βb) ≤ k, т. е. U(k) — подпространство в V .

2. Пусть на некотором шаге i, 0 ≤ i ≤ m−1, U(i) = U(i+1). Тогда длялюбого v ∈ V равенство ϕi+1(v) = 0 выполняется тогда и только тогда,когда ϕi (v) = 0. Рассмотрим произвольный вектор v ∈ V = U(m). Тогдаϕm (v) = 0 влечёт ϕi+1

(ϕm−i−1 (v)

)= 0, откуда ϕi

(ϕm−i−1 (v)

)= 0.

Следовательно, ϕm−1 (v) = 0 и ϕm−1 = 0. Противоречие.

3. Пусть y =m−1∑i=0

t∑j=1

αijϕi (cj) = 0. Тогда 0 = ϕm−1 (y) =

α01ϕm−1 (c1) + . . . + α0tϕ

m−1 (ct) = ϕm−1 (α01c1 + . . . + α0tct) .

Следовательно, α01c1 + . . . + α0tct ∈ U (m− 1) и α01 = . . . = α0t =

0. Аналогично 0 = ϕm−2 (y) =t∑

j=1

α1jϕm−1 (cj) = ϕm−1

(t∑

j=1

α1jcj

).

Следовательно,t∑

j=1

α1jcj ∈ U (m− 1) и α11 = . . . = α1t = 0. Повторяя

данную процедуру m раз, получим, что все αij равны нулю. ¤Следствие 1. Если ϕ нильпотентно индекса m, то m≤dimF (V ) .¤

Матрица

Jm,λ =

λ 1 0. . . . . .

. . . 10 λ

∈ Mm (F )

называется клеткой Жордана порядка m, отвечающей собственномузначению λ.

Теорема 1. Пусть ϕ ∈ L (V, V ), dimF (V ) = n и ϕ нильпотентноиндекса n. Тогда в V существует такой базис a1, . . . , an, что[ϕ]a1,...,an

= Jn,0.

Доказательство. Выберем произвольный a /∈ U (n− 1). По лемме 2a1 = a, a2 = ϕ (a) , . . . , an = ϕn−1 (a) линейно независимы и образуют

§ 12. Характеристический многочлен от матрицы Жордана 63

базис. В этом базисе имеем:

ϕ (a1) = a2,ϕ (a2) = a3,· · · · · · · · ·ϕ (an−1) = an,ϕ (an) = 0,

[ϕ]a1,...,an=

0 1 · · · · · · 00 0 1 · · · 0

. . .. . . 1

0 · · · · · · 0 0

= Jn,0. ¤

§ 12. Минимальный и характеристическиймногочлен от матрицы Жордана

Лемма 1. Пусть Jm,λ — клетка Жордана, λ ∈ F . Тогда:1) hJm,λ

(x) = fJm,λ(x) = (x− λ)m ;

2) Spec (Jm,λ) = λ ;3) для любого f (x) ∈ F [x] выполняется равенство

f (Jm,λ) =

f (λ) f(1)(λ)1! · · · f(m−1)(λ)

(m−1)!

. . . . . ....

. . . f(1)(λ)1!

0 f (λ)

.

Доказательство. 1. fJm,λ(x) = |xE − Jm,λ| = (x− λ)m

. По лемме 1 § 10hJm,λ

(x) делит fJm,λ(x). Поэтому hJm,λ

(x) = (x− λ)k, k ≤ m. Пустьk < m. Тогда

hJm,λ(Jm,λ) = (Jm,λ − λE)k = Dk+1,

где в матрице Dk+1 единицы стоят на пересечении i-й строки и (i + k)-гостолбца, i = 1, . . . , m − k, а остальные элементы нулевые (D1 := E).Противоречие, и k = m.

2. Так как fJm,λ(x) = (x− λ)m, то Spec (Jm,λ) = λ .

3. Пусть deg f = n > m. Тогда по формуле Тейлора

f (x) = f (λ) +f ′ (λ)

1!(x− λ) + . . . +

f (n) (λ)n!

(x− λ)n,

f (Jm,λ) = f (λ) E +f ′ (λ)

1!(Jm,λ − λE) + . . . +

f (n) (λ)n!

(Jm,λ − λE)n =


= f (λ)E +f (1) (λ)

1!Jm,0 + . . . +

f (n) (λ)n!

Jnm,0 =

= f (λ)D1 +f (1) (λ)

1!D2 + . . . +

f (m−1) (λ)(m− 1)!

Dm−1. ¤

Матрицей Жордана называется клеточно-диагональная матрицавида J = Jm1,λ1⊕ . . .⊕Jms,λs

, где Jmi,λi— клетки Жордана, i = 1, . . . , s.

Найдём минимальный и характеристический многочлен от матрицыЖордана.

Лемма 2. Пусть A = A1 ⊕ . . . ⊕ As — произвольная клеточно-диагональная матрица, где A ∈ Mn(F ), Ai ∈ Mni

(F ), n = n1 + . . . + ns.Тогда:

1) f (A) = f (A1)⊕ . . .⊕ f (As) для любого f (x) ∈ F [x] ;2) hA(x) = H.O.K. (hA1(x), . . . , hAs(x)).Доказательство. 1. Для любого k ∈ N имеем:

Ak =

Ak1 0

. . .0 Ak

s

, откуда f (A) =

f (A1) 0. . .

0 f (As)

.

2. Из 1) для любого f (x) ∈ F [x] имеем f (A1) , . . . , f (As) = 0 ⇔f (A) = 0.

Пусть H.O.K. (hA1 (x) , . . . , hAs (x)) = f (x), тогда f (x) = hAi (x) ·

ri (x), i = 1, . . . , s, а потому f (A) =

f (A1) 0. . .

0 f (As)

=

hA1(A1)r1(A1) 0. . .

0 hAs(As)rs(As)

=0.

Следовательно, f(x) аннулирует A, и по лемме 1 § 10 hA(x) делитf(x).

С другой стороны, hA (A) = 0. Поэтому из 1) получаем hA (A1) =. . . = hA (As) = 0. Следовательно, hAi(x) делит hA(x), i = 1, . . . , s,откуда f(x) = H.O.K.(hA1(x), . . . , hAs(x)) делит hA(x). В итоге f(x) =hA(x). ¤

Теорема 1. Пусть J =

Jm1,λ1 0. . .

0 Jms,λs

. Тогда:

§ 13. Векторное пространство как прямая сумма 65

1) fJ (x) =s∏

i=1

(x− λi)mi , Spec (J) =

λi1 , . . . , λip

, где λi1 , . . . , λip —

все различные собственные значения J среди λ1, . . . , λs;2) hJ (x) = (x− λi1)

si1 · . . . · (x− λip

)sip , гдеλi1 , . . . , λip

= Spec(J),

sik— максимальный порядок жордановой клетки, отвечающей λik

;

3) f(J) =

f(Jm1,λ1) 0. . .

0 f(Jms,λs)

для любого f (x) ∈ F [x]

(f(Jm1,λ1) определено в пункте 3) леммы 1).Доказательство. 1. По определению характеристического

многочлена и спектра.2. В силу леммы 2 hJ(x) = H.O.K. (hJm1,λ1

(x), . . . , hJms,λs(x)).

В силу леммы 1 hJmi,λi(x) = (x− λi)

mi , i = 1, . . . , s. Следовательно,

hJ (x) = H.O.K. ((x− λ1)m1 , . . . , (x− λs)

ms) =p∏

k=1

(x− λik)sik ,

гдеλi1 , . . . , λip

= Spec(J), sik

— максимальный порядок жордановойклетки, отвечающей собственному значению λk.

3. Выполнено в силу лемм 1 и 2. ¤

§ 13. Векторное пространство как прямаясумма корневых подпространств

В §§ 13–15 будет доказана

Теорема (Жордана). Пусть ϕ ∈ LF (V, V ), dimF (V ) = n и F— алгебраически замкнутое поле. Тогда существует такой базисa1, . . . , an пространства V , что [ϕ]a1,...,an

= J (ϕ), где J(ϕ) —матрица Жордана, которая определяется однозначно, с точностьюдо перестановки клеток.

Эквивалентная формулировка в матричной форме:

Пусть A ∈ Mn(F ) и F — алгебраически замкнутое поле. Тогдасуществует такая матрица Жордана J(A), что A = T−1J(A)T ,где T — обратимая матрица. Матрица Жордана J(A) определяетсяоднозначно, с точностью до перестановки клеток.


В этом параграфе мы сведём построение матрицы Жорданак ϕ-инвариантному подпространству U , где ϕ|U нильпотентно.

Пусть ϕ ∈ L(V, V ) и dimF (V ) = n. Для любого λ ∈ Spec (ϕ)обозначим через Vλ := v ∈ V : ϕ (v) = λv множество собственныхвекторов, соответствующих λ ∈ Spec (ϕ), и нулевой.

Положим V (λ) =

v ∈ V : (ϕ− λ · id)k (v) = 0, k ∈ N

—множество корневых векторов, соответствующих λ ∈ Spec (ϕ).Элемент v ∈ V называется корневым вектором высоты k, если(ϕ− λ · id)k (v) = 0 и (ϕ− λ · id)k−1 (v) 6= 0.

Так как равенство ϕ (v) = λv эквивалентно (ϕ− λ · id) (v) = 0, тоVλ ⊆ V (λ) и собственные векторы являются корневыми векторамивысоты 1.

Лемма 1. 1. Vλ, V (λ) — подпространства в V .2. V (λ) = v ∈ V : (ϕ− λid)n (v) = 0 , где n = dimF (V ).Доказательство. 1. 0 ∈ Vλ ⊆ V (λ), а потому Vλ, V (λ) 6= ∅.

Для любых α, β ∈ F , u, v ∈ Vλ имеем ϕ (αu + βv) = αϕ (u) +βϕ (v) = λ (αu + βv). Следовательно, αu + βv ∈ Vλ и Vλ — линейноеподпространство в V .

Для любых α, β ∈ F , u, v ∈ Vλ существуют такие k,m ∈ N, что(ϕ− λ · id)k (u) = (ϕ− λ · id)m (v) = 0. Пусть s = max k, m , тогда

(ϕ− λ · id)s (αu + βv) = α (ϕ− λ · id)s (u) + β (ϕ− λ · id)s (v) = 0.

Следовательно, αu + βv ∈ V (λ) и V (λ) — подпространство в V .2. Пусть a1, . . . , am — некоторый базис V (λ). Ясно, что m ≤

n = dimF (V ) . Тогда существуют такие ki, i = 1, . . . , m, что(ϕ− λ · id)ki (ai) = 0. Пусть k = max k1, . . . , km . Для любых αi ∈ F,i = 1, . . . ,m, выполняется

(ϕ− λ · id)km∑

i=1

αiai =m∑

i=1

αi (ϕ− λ · id)kai = 0

и (ϕ− λ · id) нильпотентно на V (λ). В силу следствия 1 § 11 индекснильпотентности (ϕ− λ · id) на V (λ) меньше либо равен m, поэтому(ϕ− λ · id)n = 0 на V (λ), и V (λ) = v ∈ V : (ϕ− λ · id)n (v) = 0 . ¤

Теорема 1 (Жордана). (Представление пространства в видепрямой суммы инвариантных корневых подпространств.) Пусть ϕ ∈

§ 13. Векторное пространство как прямая сумма 67

LF (V, V ), fϕ (x) =p∏

i=1

(x− λi)ni , где λi 6= λj , при i 6= j, Spec (ϕ) =

λ1, . . . , λp ⊆ F. Тогда справедливы следующие утверждения.1. V = V (λ1) ⊕ . . . ⊕ V (λp), где V (λi) — ϕ-инвариантные

подпространства в V .2. dimF V (λi) = ni и Spec ϕ|V (λi)

= λi, т. е. λi — единственноесобственное значение ϕ на V (λi) , i = 1, . . . , p.

3. Преобразование (ϕ− λi · id) нильпотентно на V (λi)и невырождено на Vi = V (λ1)⊕ . . .⊕ V (λi)⊕ . . .⊕ V (λp) , i = 1, . . . , p.

Доказательство. Обозначим fi (x) =∏j 6=i

(x− λj)nj , i = 1, . . . , p, т. е.

fi (x) =fϕ (x)

(x− λi)ni

= (x− λ1)n1 . . . (x− λi)

ni . . . (x− λp)np .

Ясно, что Н.О.Д. (f1 (x) , . . . , fp (x)) = 1. Следовательно, существуют

g1 (x) , . . . , gp (x) ∈ F [x] , такие, чтоp∑

i=1

fi (x) gi (x) = 1. (1)

Заметим, что для любого ψ ∈ L (V, V ) множество ψ (V ) =ψ (v) : v ∈ V является линейным пространством. Действительно, 0 =ψ (0) ∈ ψ (V ), и для любых α, β ∈ F , ψ (u) , ψ (v) ∈ ψ (V ) имеемαψ (u) + βψ (v) = ψ (αu + βv) ∈ ψ (V ). Значит, Wi = fi (ϕ) gi (ϕ) V =fi (ϕ) gi (ϕ) (v) : v ∈ V — линейное подпространство в V при i =1, . . . , p. Заметим, что

ϕ (Wi) = ϕfi (ϕ) gi (ϕ) (V ) = fi (ϕ) gi (ϕ) ϕ (V ) ⊆ fi (ϕ) gi (ϕ) (V ) ⊆ Wi

для любого i = 1, . . . , p, что означает ϕ-инвариантность Wi.По теореме Гамильтона — Кэли имеем:

(ϕ− λi · id)ni Wi = (ϕ− λi · id)ni fi (ϕ) gi (ϕ) (V ) = fϕ (ϕ) gi (ϕ) (V ) = 0,

а потому Wi ⊆ V (λi) . Подставив x = ϕ в (1), получимp∑

i=1

fi (ϕ) · gi (ϕ) = id.

Следовательно,(

p∑i=1

fi (ϕ) · gi (ϕ))

(V ) = id (V ) = V, или

V =p∑

i=1

fi (ϕ) · gi (ϕ) (V ) =p∑

i=1

Wi.


Имеем V =p∑

i=1

Wi ⊆p∑

i=1

V (λi) ⊆ V, поэтому V =p∑

i=1

V (λi) .

Пусть v ∈ V (λi) ∩(

∑j 6=i

V (λj)

). Тогда v =

∑j 6=i

vj , где vj ∈ V (λj) .

По пункту 2) леммы 1 (ϕ− λi · id)nv = 0. Более того, имеем:

∏

j 6=i

(ϕ− λj · id)n (v) =

∏

j 6=i

(ϕ− λj · id)n

∑

` 6=i

v`

=

=∑

` 6=i

∏

j 6=i

(ϕ− λj · id)nv`

= 0.

Очевидно, что многочлены ai (x) = (x− λi)n и bi (x) =

∏j 6=i

(x− λj)n,

i = 1, . . . , p, взаимно просты. Следовательно, существуют такие ci (x)и di (x) ∈ F [x] , что ci (x) · ai (x) + di (x) · bi (x) = 1, откуда

ci (ϕ) · ai (ϕ) + di (ϕ) · bi (ϕ) = id,

0 = ci (ϕ) ai (ϕ) (v) + di (ϕ) bi (ϕ) (v) = v

и V (λi) ∩(

∑j 6=i

V (λj)

)= 0, i = 1, . . . , p. Таким образом, V = V (λ1) ⊕

. . .⊕ V (λp) .Имеем: V = W1 + . . .+Wp, Wi ⊆ V (λi) , i = 1, . . . , p. Следовательно,

V = W1⊕. . .⊕Wp, откуда Wi = V (λi) = fi (ϕ) gi (ϕ) V и V (λi) являютсяϕ-инвариантными при i = 1, . . . , p. Пункт 1) теоремы доказан.

Далее (ϕ− λi · id)ni V (λi) = (ϕ− λi · id)ni fi (ϕ) gi (ϕ)V =fϕ (ϕ) gi (ϕ) V = 0, и (ϕ− λi · id) нильпотентно на V (λi), i = 1, . . . , p.Тогда минимальный многочлен ϕ на V (λi) является делителем(x− λi · id)ni , i = 1, . . . , p. Следовательно, Spec(ϕ|V (λi)

) = λi,i = 1, . . . , p.

Выберем в каждом V (λi) базис, тогда их объединение a1, . . . , an —базис V . В этом базисе по лемме 1 § 8

[ϕ]a1,...,an=

A1 0. . .

0 Ap

,

§ 14. Теорема Жордана — существование 69

где Ai ∈ Mmi (F ), mi = dimF V (λi). По лемме 1 § 10 fAi (x) = (x− λi)mi ,

i = 1, . . . , p, и по лемме 1 § 8

fϕ (x) = f[ϕ]a1,...,an(x) =

p∏

i=1

fAi(x) =

p∏

i=1

(x− λi)mi =

p∏

i=1

(x− λi)ni ,

где λi 6= λj при i 6= j. Так как F [x] — факториальное кольцо, то mi = ni

при i = 1, . . . , p. Следовательно, dimF V (λi) = ni, i = 1, . . . , p, и пункт2) теоремы доказан.

Осталось доказать, что (ϕ− λi · id) — невырожденноепреобразование на Vi = V (λ1) ⊕ . . . ⊕ V (λi) ⊕ . . . ⊕ V (λp) ,i = 1, . . . , p. В силу теоремы 1 § 1.19, (ϕ− λi · id) невырожденона Vi ⇔ Ker (ϕ− λi · id)|Vi

= 0. Пусть v ∈ Vi и (ϕ− λi · id) v = 0. Тогдаv ∈ V (λi), откуда v ∈ V (λi) ∩ Vi = 0 и v = 0. ¤

§ 14. Теорема Жордана — существованиежордановой нормальной формы

Доказательство теоремы мы начнём со случая нильпотентногопреобразования. Пусть ϕ ∈ L (V, V ) и ϕ нильпотентно индекса m на V .В силу следствия 1 § 11 m ≤ n = dimF (V ).

Система линейно независимых векторов a, ϕ (a) , . . . , ϕk−1 (a), гдеϕk (a) = 0, называется цепочкой длины k. Ясно, что h(a) = k. С другойстороны, в силу леммы 1 § 11 для любого a ∈ V такого, что h(a) = k,множество a, ϕ (a) , . . . , ϕk−1 (a) образует цепочку.

Базис пространства V , состоящий из цепочекai, ϕ (ai) , . . . , ϕki−1 (ai), где i = 1, . . . , p, k1 + . . . + kp = n, называетсябазисом Жордана. Ясно, что в этом базисе

[ϕ] =

Jk1,0 0. . .

0 Jkp,0

— матрица Жордана.

Лемма 1. Пусть ϕ ∈ L (V, V ) и ϕ нильпотентно индекса m на V .Тогда ϕ имеет базис Жордана.

Доказательство индукцией по m. При m = 1 имеем ϕ = 0.Тогда любой базис a1, . . . , an, n = dimF (V ), является объединением


цепочек длины 1, т. е. образует базис Жордана. Предположим, чтоутверждение верно для преобразований индекса ≤ m − 1. Рассмотримподпространство ϕ (V ) ⊆ V . Ясно, что ϕ (V ) является ϕ-инвариантными ϕ нильпотентно на ϕ (V ) индекса m−1. По предположению индукцииϕ|ϕ(V )

имеет базис Жордана. Так как для любого x ∈ ϕ (V ) существуетy ∈ V такой, что x = ϕ (y), то можно записать этот базис в виде

ϕ (ai) , . . . , ϕki (ai), i = 1, . . . , p,p∑

i=1

ki = dimF ϕ (V ) . Докажем, что

система ai, ϕ (ai) , . . . , ϕki (ai) , i = 1, . . . , p состоит из линейнонезависимых векторов. Пусть

p∑

i=1

ki∑

j=0

αijϕj (ai) = 0, где αij ∈ F.

Тогда

ϕ

p∑

i=1

ki∑

j=0

αijϕj (ai)

=

p∑

i=1

ki∑

j=0

αijϕj+1 (ai) = 0,

откуда αij = 0 при i = 1, . . . , p, j = 0, . . . , ki−1, так как ϕj (ai) — базис

ϕ(V ) при i = 1, . . . , p, j = 1, . . . , ki. Следовательно,p∑

i=1

αikiϕki (ai) = 0

и αiki = 0, i = 1, . . . , p, по тем же причинам. Если t =p∑

i=1

(ki + 1) = n,

то построенные цепочки — базис Жордана. Если t < n, то дополнимнайденную систему векторами b1, . . . , b` до базиса V .

Для любого s = 1, . . . , ` имеем ϕ (bs) ∈ ϕ (V ) . Следовательно, мыможем однозначно разложить эти векторы по базису ϕ(V ):

ϕ (bs) =p∑

i=1

ki∑

j=1

β(s)ij ϕj (ai) ,

где β(s)ij ∈ F, s = 1, . . . , `. С другой стороны, ϕ (bs) = ϕ (cs) , где

cs =p∑

i=1

ki∑

j=1

β(s)ij ϕj−1 (ai) , s = 1, . . . , `.

Тогда ϕ (bs − cs) = 0, s = 1, . . . , `, т. е. векторы bs−cs образуют цепочкидлины 1.

§ 14. Теорема Жордана — существование 71

Докажем, чтоϕj(ai), bs − cs : i = 1, . . . , p, j = 0, . . . , ki, s = 1, . . . , `

— базис V . Пусть

p∑

i=1

ki∑

j=0

αijϕj (ai) +

∑s=1

λs (bs − cs) = 0,

где αij , λs ∈ F. Тогда

p∑

i=1

ki∑

j=0

αijϕj (ai)−

∑s=1

λs

p∑

i=1

ki∑

j=1

β(s)ij

ϕj−1 (ai)

+

∑s=1

λsbs = 0.

Следовательно, λ1 = . . . = λs = 0 и αij = 0, i = 1, . . . , p, j = 0, . . . , ki.Так как построенный базис состоит из цепочек, то он является базисомЖордана. ¤

Следствие 1. Пусть ϕ ∈ L (V, V ) и Spec ϕ = λ. Тогдасуществует такой базис a1, . . . , an, что [ϕ]a,...,an

= J (ϕ) — матрицаЖордана.

Доказательство. Рассмотрим ψ = (ϕ− λ · id). По теоремеГамильтона — Кэли ψn = (ϕ− λ · id)n = fϕ (ϕ) = 0. Следовательно,ψ нильпотентно на V . Пусть ai, ψ (ai) , . . . , ψki−1 (ai) : i = 1, . . . , p —базис Жордана для ψ. Тогда в этом базисе имеем при i = 1, . . . , p, j =0, . . . , ki − 1 :

ψ(ψj (ai)

)= ψj+1 (ai) ,

ψ(ψki−1 (ai)

)= 0,

или

ϕ(ψj (ai)

)= λψj (ai) + ψj+1 (ai) ,

ϕ(ψki−1 (ai)

)= λψki−1 (ai) ,

и [ϕ] =

Jk1,λ 0. . .

0 Jkp,λ

— матрица Жордана. ¤

Теорема 1 (Жордана о существовании нормальной жордановойформы). Пусть ϕ ∈ L (V, V ) , dimF (V ) = n и F — алгебраическизамкнутое поле. Тогда существует такой базис a1, . . . , an

пространства V , что [ϕ]a1,...,an= J (ϕ) — матрица Жордана.

Доказательство. Так как F — алгебраически замкнутое поле, то

f (x) =p∏

i=1

(x− λi)ni , λi 6= λj при i 6= j.


В силу теоремы 1 § 13 имеем V =p⊕

i=1V (λi), где V (λi) является

ϕ-инвариантным и Spec(ϕ|V (λi)

)= λi, i = 1, . . . , p. В силу следствия

1 в каждом V (λi) можно найти базис Жордана для ϕ|V (λi), i = 1, . . . , p.

Пусть a1, . . . , an — объединение всех этих базисов. По теореме 1 § 7[ϕ]a1,...,an

= J (ϕ) — матрица Жордана. ¤

§ 15. Теорема Жордана — единственностьжордановой нормальной формы

Пусть ϕ ∈ L (V, V ) , dimF (V ) = n и F — алгебраически замкнутоеполе. По теореме 1 § 14 существует жорданов базис a1, . . . , an, в котором[ϕ]a1,...,an

= J (ϕ) — матрица Жордана.

Зафиксируем λ ∈ F . Обозначим через N(m,λ) число жордановыхклеток Jm,λ порядка m, соответствующих λ ∈ Spec (ϕ) , в матрицеJ(ϕ). Наша цель — доказать, что числа N(m,λ) не зависят от выборажорданова базиса.

Положим rt := dimF (ϕ− λ · id)tV , t = 0, 1, . . . В частности, r0 =

dimF (ϕ− λ · id)0 V = dimF V = n. Числа rt = dimF (ϕ− λ · id)tV не

зависят от выбора базиса пространства V .

Лемма 1. N (m,λ) = rm−1 − 2rm + rm+1 при m ≥ 1.Доказательство. Подсчитаем dimF (ϕ− λ · id)t

V при t = 0, 1, 2, . . .По теореме 1 § 13 V = V (λ) ⊕ V ′, где V ′ = ⊕

λ′ 6=λV (λ′) , и при

этом V (λ), V (λ′) — корневые подпространства в V , λ, λ′ ∈ Spec (ϕ).В силу следствия 1 § 14 в V (λ) можно выбрать жорданов базисai, ψ (ai) , . . . , ψki−1 (ai) , где i = 1, . . . , p, ψ = (ϕ− λ · id). Каждомуиз этих наборов соответствует жорданова клетка размерности ki, i =1, . . . , p. Имеем:

V (λ) =p⊕

i=1L

(ai, ψ (ai) , . . . , ψki−1 (ai)

).

Очевидно, что пространство L(ai, ψ (ai) , . . . , ψki−1 (ai)

)является

ψ-инвариантным для любого i = 1, . . . , p. Так как V (λ) и V ′

инвариантны относительно ψ, то

rm = dimF ψm (V ) = dimF ψm (V (λ)) + dimF ψm (V ′) .

§ 15. Теорема Жордана — единственность 73

В силу теоремы 1 § 13 преобразование ψm невырождено на V ′.Следовательно, dimF ψm (V ′) = dimF V ′. Далее

dimF ψm (V (λ)) = dimF ψm

(p⊕

i=1L

(ai, ψ (ai) , . . . , ψki−1 (ai)

))=

=p∑

i=1

dimF L(ψm (ai) , ψm+1 (ai) , . . . , ψm+ki−1 (ai)

).

Имеем:dimF L

(ψm (ai) , ψm+1 (ai) , . . . , ψm+ki−1 (ai)

)=

=

0, при m ≥ ki,dimF L

(ψm (ai) , . . . , ψki−1 (ai)

)= ki −m, при m < ki,

так как ψm (ai) , . . . , ψki−1 (ai) линейно независимы.Следовательно,

rm =∑

ki>m

(ki −m) + dimF V ′.

Тогда rm − rm+1 =( ∑

ki>m

(ki −m) + dimF V ′)−

( ∑

ki>m+1

(ki −m− 1) + dimF V ′)

=

=∑

ki>m

(ki −m)−∑

ki>m+1

(ki −m− 1) =

=∑

ki>m

(ki −m)−∑

ki>m+1

(ki −m) +∑

ki>m+1

1 =

=∑

ki=m+1

(ki −m) +∑

ki>m+1

(ki −m)−∑

ki>m+1

(ki −m) +∑

ki>m+1

1 =

=∑

ki=m+1

(m + 1−m) +∑

ki>m+1

1 =∑

ki=m+1

1+∑

ki>m+1

1 =

= N (m + 1, λ) + N (m + 2, λ) + . . .

Таким образом,

rm − rm+1 = N (m + 1, λ) + N (m + 2, λ) + . . . ,rm+1 − rm+2 = N (m + 2, λ) + N (m + 3, λ) + . . . ,


а потому N (m + 1, λ) = rm − 2rm+1 + rm+2. Окончательно получаемN (m,λ) = rm−1 − 2rm + rm+1 при m ≥ 1, где rm = r (ϕ− λ · id)m

,r0 = n. ¤

Теорема 1 (Жордана о единственности нормальной жордановойформы). Пусть ϕ ∈ L (V, V ) , dimF V = n и F — алгебраическизамкнутое поле. Тогда жорданова форма J(ϕ) единственнас точностью до перестановки клеток.

Доказательство. По лемме 1 числа N(m,λ) не зависят от выборажорданова базиса. ¤

§ 16. Задача о подобии матриц

Найдём необходимые и достаточные условия подобия двух матрицA, B ∈ Mn (F ), где F — алгебраически замкнутое поле.

Теорема 1 (задача о подобии матриц). Пусть A,B ∈ Mn (F )и F — алгебраически замкнутое поле. Тогда следующие условияэквивалентны:

1) A ∼ B;2) Spec (A) = Spec (B) и NA (m,λ) = NB (m,λ) для любых λ ∈

Spec (A) , m ∈ N;3) J(A) совпадает с J(B) с точностью до перестановки клеток.

Доказательство. Если A ∼ B, то существует такая обратимаяматрица T ∈ Mn (F ), что A = TBT−1. По теореме 1 § 5 fA (x) = fB (x)и Spec (A) = Spec (B) . По лемме 2 § 15 N (m,λ) = rm−1 − 2rm +rm+1, m ≥ 1, где rm = r ([ϕ]− λ · id)m.

Пусть rm (A, λ) = r (A− λE)m, rm (B, λ) = r (B − λE)m, m ≥ 0.

Тогда rm (A, λ) = r(TBT−1 − λE

)m = r(TBT−1 − λTT−1

)m =rm (B, λ) в силу следствия 2 § 1.21. Следовательно, для любых λ ∈Spec (A) и m ∈ N имеем NA (m,λ) = NB (m,λ), и J (A) совпадаетс J (B) с точностью до перестановки жордановых клеток. Переставимв жордановом базисе (если это необходимо) соответствующие цепочкивекторов так, чтобы J (A) = J (B). Тогда A ' J (A) = J (B) ' B, т. е.A ' B. ¤

§ 17. Функции от матриц 75

§ 17. Функции от матрицРассмотрим алгебру матриц Mn(C) над полем комплексных чисел C.Пусть A ∈ Mn(C) и f : C → C — некоторая комплекснозначнаяфункция. Мы собираемся определить f(A), т. е. построить отображениеf : A → Mn(C).

В случае, когда f (x) = a0 + a1x + . . . + amxm — многочлен из C[x],естественно положить

f (A) = f (x) |x=A = a0 · E + a1 ·A + . . . + am ·Am ∈ Mn (C) .

Пусть f : C → C — произвольная функция. По теореме Жордана A =T−1J(A)T , где T — матрица перехода к базису Жордана и

J (A) =

Jm1,λ1 0. . .

0 Jms,λs

, λi ∈ Spec(A).

Наложим условия на функцию f : f (α) , f (1) (α) , . . . , f (n−1) (α)определены и конечны для всех α ∈ SpecA.

Положим

f (A) = T−1 ·

f (Jm1,λ1) 0. . .

0 f (Jms,λs)

· T, где

f (Jm,α) =

f (α) f(1)(α)1! · · · f(m−1)(α)

(m−1)!

0. . . . . .

......

. . . f(1)(α)1!

0 . . . 0 f (α)

,α ∈ Spec (A) ,

m = m1, . . . ,ms.

Тогда f называется числовой функцией от A, отвечающейкомплекснозначной функции f(λ).

Теорема 1 (основные свойства числовых функций).1. Пусть f (x) ∈ C [x]. Тогда числовая функция f (A) совпадает

с f (x)|x∈A.2. Пусть для f1 : C → C, f2 : C → C и A ∈ Mn(C) определены

числовые функции f1(A) и f2(A). Тогда для f (x) = f1 (x)+f2 (x) , g (x) =


f1 (x) · f2 (x) определены f(A) и g(A), причём f (A) = f1 (A) + f2 (A)и g (A) = f1 (A) · f2 (A).

3. Пусть для g : C→ C и A ∈ Mn(C) определена числовая функцияg(A), тогда

fg(A) (x) =n∏

i=1

(x− g (λi)) , где fA (x) =n∏

i=1

(x− λi) .

Доказательство. 1. Пусть f (x) = a0 + a1 · x + . . . + am · xm, A =T−1J (A) T , тогда

f (x) |x=A = f (x) |x=T−1J(A)T =m∑

i=0

ai

(T−1J (A)T

)i=

=m∑

i=0

ai

(T−1J (A)i

T)

= T−1

(m∑

i=0

aiJ (A)i

)T = T−1 · f (x)|x=J(A)

· T.

Далее, применяя леммы 2 и 1 из § 12, получаем

T−1 · f (x)|x=J(A)· T = T−1 ·

f (Jm1,λ1) 0. . .

0 f (Jms,λs)

· T = f (A) .

2. Имеем A = T−1

Jm1,λ1 0. . .

0 Jms,λs

T,

fi (A) = T−1

fi (Jm1,λ1) 0. . .

0 fi (Jms,λs)

T,

f1 (A) + f2 (A) =

T−1

f1 (Jm1,λ1) + f2 (Jm1,λ1) 0. . .

0 f1 (Jms,λs) + f2 (Jms,λs)

T =f (A) ,

f1 (A)·f2 (A) = T−1

f1 (Jm1,λ1) f2 (Jm1,λ1) 0. . .

0 f1 (Jms,λs) f2 (Jms,λs)

T.

§ 18. Представление функций от матриц многочленами 77

Справедливо f1 (Jm,α) · f2 (Jm,α) =

b11 . . . b1m

.... . .

...0 . . . bmm

, где

bk,k+i = f1 (α) · f(i)2 (α)

i! + f(1)1 (α)

1! · f(i−1)2 (α)(i−1)! + . . . + f

(i)1 (α)

i! · f2 (α) =

1i!

(i∑

`=0

Cì f

(`)1 (α) · f (i−`)

2 (α))

= 1i! (f1 (x) · f2 (x))(i) |x=α при i =

0, 1, . . . , m − 1, k = 1, . . . ,m (последнее равенство нам даёт формулаЛейбница), откуда получаем равенство:

g (Jm,α)=

f1 (α) f2 (α) . . . [f1(x)·f2(x)](m−1)

(m−1)! |x=α

.... . .

...0 . . . f1 (α) f2 (α)

= f1 (Jm,α) f2 (Jm,α) .

Следовательно, g (A) = f1 (A) · f2 (A) .

3. Пусть λ1, . . . , λn — все собственные значения A с учётомкратностей. Тогда g (λ1) , . . . , g (λn) — все собственные значения g(A)с учётом кратностей. ¤

§ 18. Представление функций от матрицмногочленами

В этом параграфе мы докажем, что значение числовой функцииот A ∈ Mn(C) не зависит от выбора жорданова базиса и может бытьпредставлено многочленом от матрицы A.

Лемма 1. Пусть λ1, . . . , λs — различные элементы из C, A =(αij) ∈ Ms,k+1 (C), где 1 ≤ i ≤ s, 0 ≤ j ≤ k. Тогда существует такойp (x) ∈ C [x] , что p(j) (λi) = αij, т. е.

α10 α11 · · · α1k

· · · · · · · · · · · ·αs0 αs1 · · · αsk

=

p (λ1) p(1) (λ1) · · · p(k) (λ1)...

......

p (λs) p(1) (λs) · · · p(k) (λs)

.

Доказательство. Сначала построим такие вспомогательныемногочлены pt(x), 1 ≤ t ≤ s, что

p(j)t (λi) =

0, t 6= i, (1)αij , t = i, (2)


где 1 ≤ i ≤ s, 0 ≤ j ≤ k. Тогда p (x) =s∑

t=1pt (x) — искомый многочлен.

Действительно,

p(j) (x) =s∑

t=1

p(j)t (x)


p(j) (λi) =s∑

t=1

p(j)t (λi) = p

(j)i (λi) = αij .

Для t = 1, 2, . . . , s положим

ϕt (x) := βt0 + βt1 (x− λt) + . . . + βtk (x− λt)k,

где βt0, . . . , βtk ∈ C пока не определены;

Φt (x) := (x− λ1)k+1 · . . . · (x− λt)

k+1· . . . · (x− λs)

k+1.

Будем искать pt(x) в виде pt (x) = ϕt (x) · Φt (x) .Очевидно, что pt(x) удовлетворяет условию (1) при 1 ≤ t ≤ s. В силу

формулы Лейбница при 1 ≤ i ≤ s и 0 ≤ j ≤ k имеем:

p(j)i (λi) = (ϕi (x) · Φi (x))(j)

∣∣∣x=λi

=j∑

`=0

C`jϕ

(j−`)i (λi) · Φ(`)

i (λi) =

=j∑

`=0

C`j (j − `)!βi(j−`)Φ

(`)i (λi) =

= j!βijΦi (λi) + C1j (j − 1)!βi(j−1)Φ

(1)i (λi) + . . . + βi0Φ

(j)i (λi) .

Таким образом, получаем систему уравнений

αi0 = βi0Φi (λi) ,

αi1 = βi1Φi (λi) + βi0Φ(1)i (λi) ,

. . .

αik = k!βikΦi (λi) + C1k (k − 1)!βik−1Φ

(1)i (λi) + . . . + βi0Φ

(k)i (λi) .

Так как Φi (λi) 6= 0, то из первого уравнения находим βi0, подставляемего во второе уравнение и находим βi1 и т. д. По индукции находим все

βij , 0 ≤ j ≤ k, все p1 (x) , p2 (x) , . . . , ps (x) и p (x) =s∑

i=1

pi (x). ¤

§ 18. Представление функций от матриц многочленами 79

Теорема 1 (о представлении функций от матриц многочленами).Значение любой числовой функции от A ∈ Mn(C) можно представитьмногочленом от A. Значение любой числовой функции A ∈ Mn(C)не зависит от выбора базиса Жордана.

Доказательство. Пусть f(x) — комплекснозначная функция, f :C→ C и f(A) определено. Докажем, что существует такой p (x) ∈ C [x] ,что f(A) = p(A). Пусть

A = T−1 ·

Jm1,λ1 0. . .

0 Jms,λs

· T = T−1 · J (A) · T,

где m1+. . .+ms = n. Отметим, что в силу теоремы 1 § 15 J(A) не зависитот выбора базиса Жордана. По определению

f (A) = T−1 ·

f (Jm1,λ1) 0. . .

0 f (Jms,λs)

· T.

По лемме 1 существует такой многочлен p (x) ∈ C [x], что выполняетсяследующее равенство

f (λ1) f (1) (λ1) · · · f (m1−1) (λ1) 0 · · · 0...

...f (λs) f (1) (λs) · · · f (ms−1) (λs) · · · 0

=

=

p (λ1) p(1) (λ1) · · · p(m1−1) (λ1) 0 · · · 0...

...p (λs) p(1) (λs) · · · p(ms−1) (λs) · · · 0

(без ограничения общности можно считать, что λi 6= λj). Тогдасправедливо

f (A) = T−1

f (Jm1,λ1) 0. . .

0 f (Jms,λs)

T =

T−1

p (Jm1,λ1) 0. . .

0 p (Jms,λs)

T = p (A) ,


и f (A) = p (A) = p (x)|x=A по теореме 1 § 17. Так как многочленp(x) определяется матрицей A, то f(A) не зависит от выбора базисаЖордана. ¤

Глава 5

Евклидовы и унитарныепространства

В этой главе мы изучим строение линейных преобразованийвекторных пространств со скалярным произведением; всепространства рассматриваются над полем F , где либо F ' R,либо F ' C.

§ 1. Аксиоматика и примеры унитарныхи евклидовых пространств

Линейное пространство V над полем F называется унитарным, еслиопределено отображение ( , ) : V × V → F , называемое скалярнымпроизведением векторов, обладающее следующими свойствами:

1) (a, b) = (b, a) для любых a, b ∈ V ;2) (αa, b) = α (a, b) для любых a, b ∈ V, α ∈ F ;3) (a + b, c) = (a, c) + (b, c) для любых a, b, c ∈ V ;4) если a 6= 0, то (a, a) ∈ R и (a, a) > 0.

Если F = R, то унитарное пространство V называется евклидовым.В случае евклидовых пространств имеем следующие аксиомы:

1) (a, b) = (b, a);2) (αa, b) = α (a, b);3) (a + b, c) = (a, c) + (b, c);

82 5. Евклидовы и унитарные пространства

4) если a 6= 0, то (a, a) > 0.Простейшие свойства.

Пусть V — унитарное пространство, тогда:1) для любых a, b ∈ V, α, β ∈ F имеем (αa, βb) = αβ (a, b) :

(αa, βb) = α (a, βb) = α(βb, a) = α(β (b, a)) =

αβ · (b, a) = αβ(a, b) = αβ (a, b) ;

2) для любых a, b, c ∈ V имеем (a, b + c) = (a, b) + (a, c) :

(a, b + c) = (b + c, a) = (b, a) + (c, a) = (b, a) + (c, a) = (a, b) + (a, c) ;

3) (∑

αiai,∑

βjbj) =∑

i,j αiβj (ai, bj) , что является следствиемаксиом 1) и 2);

4) (a, 0) = (0, a) = 0 : действительно, (a, 0) = (a, 0 · a) = 0 · (a, 0) = 0.

Примеры. 1. Rn — n-мерное пространство строк над R, Rn =(α1, . . . , αn) : αi ∈ R. Определим на Rn скалярное произведение: a =(α1, . . . , αn) , b = (b1, . . . , bn), тогда положим (a, b) = α1b1 + . . . + αnbn.Очевидно, что 〈Rn, ( , )〉 — евклидово пространство.

2. Cn — n-мерное пространство строк над C, Cn =(α1, . . . , αn) : αi ∈ C. Определим на Cn скалярное произведение:

(a, b) = α1β1 + . . . + αnβn , если a = (α1, . . . , αn) , b = (β1, . . . , βn) .

Тогда (a, a) = α1α1 + . . . + αnαn = |α1|2 + . . . + |αn|2 > 0, если a 6= 0.

3. Пример бесконечномерного унитарного пространства: V =f : f ∈ R [0, 1] — пространство непрерывных функций на [0, 1].Очевидно, что V — бесконечномерное векторное пространство над R(1, x, . . . , xn — линейно независимые векторы для любого n ∈ N).Определим ( , ):

(f, g) =

1∫

0

f (x)g (x) dx.

Так как f (x) g (x) ∈ R [0, 1], то интеграл1∫0

f (x)g (x) dx существует

и конечен. Далее1) (f, g) = (g, f);

§ 2. Длина вектора и расстояние. Неравенство Коши — Буняковского 83

2) (αf, g) =1∫0

αf (x)g (x) dx = α1∫0

f (x)g (x) dx = α (f, g) ;

3) (f + h, g) =1∫0

(f + h)gdx =1∫0

fgdx +1∫0

hgdx = (f, g) + (h, g);

4) (f, f) =1∫0

f2dx > 0, если f 6= 0.

§ 2. Длина вектора и расстояние. Неравен-ство Коши — Буняковского

Пусть V — унитарное пространство над F . Для a ∈ V число ‖a‖ =√(a, a) называется длиной вектора a. Ясно, что ‖ ‖ : V → R. Отметим

простейшие свойства длины:

1) ‖a‖ = 0 ⇔ a = 0 :

‖a‖ = 0 ⇒√

(a, a) = 0 ⇒ (a, a) = 0 ⇒ a = 0 ⇒ ‖a‖ = 0;

2) для любых α ∈ F , a ∈ V выполняется ‖αa‖ = |α| · ‖a‖ :

‖αa‖ =√

(αa, αa) =√

α · α (a, a) =√|α|2 · (a, a) = |α| · ‖a‖ ;

3) для любого ненулевого a ∈ V имеем∥∥∥ a‖a‖

∥∥∥ = 1‖a‖ · ‖a‖ = 1.

Вектор a ∈ V называется нормированным, если ‖a‖ = 1. Такимобразом, a

‖a‖ — нормированный вектор для любого ненулевого a ∈ V .

Теорема 1 (неравенство Коши — Буняковского). Для любых a, b ∈V выполняется неравенство |(a, b)| ≤ ‖a‖ · ‖b‖ , причём равенстводостигается в том и только в том случае, когда a и b линейнозависимы.

Доказательство. Для любого λ ∈ F имеем (a− λb, a− λb) ≥ 0, или

(a, a)− (λb, a)− (a, λb) + (λb, λb) ≥ 0,

(a, a)− λ(a, b)− λ (a, b) + λλ (b, b) ≥ 0.

Если b = 0, то доказываемое неравенство тривиально. Поэтому считаем,что b 6= 0. Подставив λ = (a,b)

(b,b) , получим:

(a, a)− (a, b) · (a, b)(b, b)

− (a, b) · (a, b)(b, b)

+(a, b) (a, b)

(b, b)≥ 0.


Следовательно, (a, a) · (b, b) − (a, b) · (a, b) ≥ 0 и (a, a) · (b, b) ≥ |(a, b)|2.Таким образом,

|(a, b)| ≤ ‖a‖ · ‖b‖ .

Если a и b линейно независимы, то a − λb 6= 0 для любого λ ∈ Fи (a− λb, a− λb) > 0. Повторяя рассуждения, получим |(a, b)| < ‖a‖ ·‖b‖ . Если a и b линейно зависимы, например, a = αb для α ∈ F , то|(a, b)| =

|(αb, b)| = |α|·|(b, b)| = |α|√

(b, b)√

(b, b) =√|α|2 (b, b)·‖b‖ = ‖a‖·‖b‖ . ¤

Следствие 1. Для любых α1, . . . , αn, β1, . . . , βn ∈ C выполняется

∣∣α1β1 + . . . + αnβn

∣∣ ≤√|α1|2 + . . . + |αn|2 ·

√|β1|2 + . . . + |βn|2.

Доказательство. Пусть Vn — унитарное пространство строк над C.Тогда если a = (α1, . . . , αn), b = (β1, . . . , βn), то (a, b) = α1β1+. . .+αnβn,

(a, a) = |α1|2 + . . . + |αn|2 ⇒ ‖a‖ =√|α1|2 + . . . + |αn|2,

(b, b) = |β1|2 + . . . + |βn|2 ⇒ ‖b‖ =√|β1|2 + . . . + |βn|2

и в силу неравенства Коши — Буняковского |(a, b)| ≤ ‖a‖ · ‖b‖. ¤Аналогично доказывается, что

∣∣∣∣∣∣

1∫

0

f (t) g (t) dt

∣∣∣∣∣∣

2

≤1∫

0

f (t)2dt ·1∫

0

g (t)2dt.

Следствие 2. Пусть V — унитарное пространство. Тогда длялюбых a, b ∈ V выполняется неравенство ‖a + b‖ ≤ ‖a‖ + ‖b‖(неравенство треугольника).

Доказательство. Имеем ‖a + b‖2 = (a + b, a + b) = (a, a) + (a, b) +(a, b) + (b, b) = (a, a) + 2Re (a, b) + (b, b) . Так как Re (a, b) ≤ |(a, b)| ≤‖a‖·‖b‖, то ‖a + b‖2 ≤ (a, a)+2 ‖a‖·‖b‖+(b, b) = ‖a‖2+2 ‖a‖·‖b‖+‖b‖2 =(‖a‖+ ‖b‖)2 . Следовательно, ‖a + b‖ ≤ ‖a‖+ ‖b‖ . ¤

Пусть V — линейное пространство над C. Отображение ρ : V ×V → Rназывается расстоянием на V , если выполнено следующее:

§ 3. Процесс ортогонализации Грама — Шмидта 85

1) ρ (a, b) > 0, если a 6= b; ρ (a, a) = 0;2) ρ (a, b) = ρ (b, a) ;3) ρ (a, b) + ρ (b, c) ≥ ρ (a, c) .

Следствие 3. Пусть V — унитарное пространство, тогдаρ (a, b) = ‖a− b‖ является расстоянием.

Доказательство. Пункты 1) и 2) очевидны. Докажем 3): ρ (a, c) =‖a− c‖ = ‖a− b + b− c‖ ≤ ‖a− b‖+ ‖b− c‖ = ρ (a, b) + ρ (b, c). ¤

§ 3.Процесс ортогонализацииГрама –ШмидтаВекторы a, b ∈ V называются ортогональными, если (a, b) = 0.Обозначение: a ⊥ b. Очевидно, что a ⊥ b ⇔ b ⊥ a. Заметим, что0 ⊥ a для любого a ∈ V . Система векторов a1, . . . , an ∈ V называетсяортогональной, если (ai, aj) = 0 при i 6= j, 1 ≤ i, j ≤ n. Системавекторов a1, . . . , an ∈ V называется ортонормированной, если

(ai, aj) = δij =

0, i 6= j,1, i = j,

1 ≤ i, j ≤ n.

Лемма 1. Пусть a1, . . . , am — ортогональная система ненулевыхвекторов пространства V . Тогда:

1) a1, . . . , am — линейно независимая система;2) система a1, . . . , am может быть дополнена до ортогонального

базиса V ;3) если a1, . . . , am — ортонормированная система, то она может

быть дополнена до ортонормированного базиса.

Доказательство. 1. Пустьm∑

i=1

αiai = 0, где αi ∈ F . Тогда для любого

i, 1 ≤ i ≤ n, имеем (m∑

i=1

αiai, ai) = αi (ai, ai) = 0. Так как (ai, ai) 6= 0, то

αi = 0.2. В силу доказанного в предыдущем пункте a1, . . . , am — линейно

независимые векторы. Следовательно, m ≤ dimF (V ) = n. Среди всехортогональных систем ненулевых векторов вида a1, . . . , am, am+1, . . . , as,m ≤ s ≤ n, выберем такую, что s — максимальное число. Так какm ≤ s ≤ n, такая система существует. Докажем, что a1, . . . , as — базисV . Пусть x — произвольный вектор из V . Обозначим αk = (x,ak)

(ak,ak) , k =1, 2, . . . , s, и y = α1a1+. . .+αsas. Тогда (y, ak) = αk (ak, ak) = (x, ak), т. е.


(x− y, ak) = 0 при k = 1, 2, . . . , s. Значит, x−y = 0 и x = α1a1+. . .+αsas.Следовательно, a1, . . . , as — базис V .

3. Так как a1, . . . , am — ортонормированная система, то она состоитиз ненулевых векторов (поскольку (ai, ai) = 1). В силу пункта 2существует ортогональная система a1, . . . , am, am+1, . . . , an ненулевыхвекторов, образующих базис V . Тогда (ai, ai) 6= 0 для любого i. Системаa1, . . . , am, am+1

||am+1|| , . . . ,an

||an|| является искомой. ¤

Существует прямой способ построения ортонормированной базы.

Теорема 1 (процесс ортогонализации Грама — Шмидта).В любом конечномерном унитарном пространстве существуетортонормированный базис.

Доказательство. Выберем произвольный базис `1, . . . , `n

пространства V . Положим

a1 = `1,a2 = α2,1a1 + `2,−−−−−−−−−−−−−−−ak = αk,1a1 + . . . + αk,k−1ak−1 + `k,

где α2,1, . . . , αk,k−1 ∈ F — неизвестные коэффициенты. Докажем, чтоможно найти такие коэффициенты α2,1, . . . , αk,k−1 ∈ F , что a1, . . . , ak

— ортогональная система, состоящая из ненулевых векторов. При k = 1вектор a1 ненулевой.

Предположим, что a1, . . . , ak−1 — ортогональная система, состоящаяиз ненулевых векторов. Тогда

(a1, ak) = αk,1 (a1, a1) + (a1, `k) ,(a2, ak) = αk,2 (a2, a2) + (a2, `k) ,−−−−−−−−−−−−−−(ak−1, ak) = αk,k−1 (ak−1, ak−1) + (ak−1, `k) .

Положим (a1, ak) = . . . = (ak−1, ak) = 0. Тогда

αk,1 = − (a1, `k)(a1, a1)

, . . . , αk,k−1 = − (ak−1, `k)(ak−1, ak−1)

,

так как (a1, a1) , . . . , (ak−1, ak−1) — ненулевые числа. Очевидно, что ak 6=0, поскольку e1, . . . , ek линейно независимы. Тогда a1, . . . , ak — искомаясистема. ¤

§ 5. Пространство как ортогональная сумма подпространств 87

§ 4. Ортогональные суммы и ортогональныедополнения

Два подмножества M,N ⊆ V называются ортогональными, если(a, b) = 0 для любых a ∈ M, b ∈ N . Обозначение: M ⊥ N . Сумма

подпространств U =m∑

i=1

Ui называется ортогональной, если Ui⊥Uj для

всех 1 ≤ i 6= j ≤ m. Множество всех векторов ортогональных к M , гдеM ⊆ V , называется ортогональным дополнением к M и обозначаетсячерез M⊥. Таким образом, M⊥ = m ∈ V : (m,M) = 0.

Лемма 1. 1. Если M⊥N , то M ∩N = ∅ или M ∩N = 0.

2. Если U =m∑

i=1

Ui — ортогональная сумма подпространств, то

U =m⊕

i=1Ui — прямая сумма. При этом если a =

m∑i=1

ai, b =m∑

i=1

bi, где

ai, bi ∈ Ui, 1 ≤ i ≤ m, то (a, b) =m∑

i=1

(ai, bi).

3. Для любого подмножества M ⊆ V множество M⊥ являетсяподпространством пространства V .

Доказательство. 1. Пусть M ∩N 6= ∅ и a ∈ M ∩N . Тогда (a, a) = 0и a = 0.

2. Нетрудно заметить, что Ui ⊥ (∑j 6=i

Uj) для любого 1 ≤ i ≤ m,

поэтому в силу пункта 1) имеем Ui ∩ (∑j 6=i

Uj) = 0.

Далее (a, b) = (m∑

i=1

ai,m∑

j=1

bj) =m∑

i=1

(ai, bi).

3. Для любых a, b ∈ M⊥ и α, β ∈ F имеем (αa + βb,M) ⊆ α (a,M) +β (b, M) = 0. Следовательно, αa + βb ∈ M⊥, (0,M) = 0, а потому M⊥ —подпространство в V . ¤

§ 5. Пространство как ортогональная суммаподпространств U и U⊥

Теорема 1. Пусть U — произвольное подпространство в V . ТогдаV = U ⊕ U⊥.


Доказательство. Пусть e1, . . . , em — ортонормированная базаU и em+1, . . . , es — ортонормированная база U⊥. Тогда e1, . . . , es

— ортонормированная система векторов. Предположим, что s <dimF (V ) = n. В силу леммы 1 § 3 систему e1, . . . , es можно дополнитьдо ортонормированной базы V . Пусть e — один из дополнительныхвекторов. Тогда e ⊥ U , т. е. e ∈ U⊥. Противоречие. Следовательно,s = n = dimF V . ¤

Следствие. U⊥⊥ = U .Доказательство. Очевидно, что U ⊆ U⊥⊥. Пусть x — произвольный

вектор из U⊥⊥. Тогда x = a + b, где a ∈ U, b ∈ U⊥. Имеем 0 = (x, b) =(a + b, b) = (a, b) + (b, b) = (b, b). Следовательно, (b, b) = 0, т. е. b =0 и x = a. Таким образом, U⊥⊥ ⊆ U . ¤

§ 6. Существование и единственностьсопряжённого преобразования

Пусть V — n-мерное унитарное пространство над F . Линейноепреобразование ϕ∗ ∈ L (V, V ) называется сопряжённым к линейномупреобразованию ϕ ∈ L (V, V ) тогда и только тогда, когда (ϕ (x) , y) =(x, ϕ∗ (y)) для любых x, y ∈ V .

Предложение 1. Пусть ϕ,ψ ∈ L (V, V ) такие, что (ϕ (x) , y) =(ψ (x) , y) для любых x, y ∈ V . Тогда ϕ = ψ.

Доказательство. Для любых x, y ∈ V имеем (ϕ (x)− ψ (x) , y) = 0.Следовательно, (ϕ (x)− ψ (x) , ϕ (x)− ψ (x)) = 0, т. е. ϕ (x) − ψ (x) = 0.Значит, для любого x ∈ V выполняется ϕ (x) = ψ (x), т. е. ϕ = ψ. ¤

Теорема 1 (о существовании и единственности сопряжённогопреобразования). Для любого ϕ ∈ L (V, V ) существует единственноесопряжённое преобразование ϕ∗ ∈ L (V, V ) .

Доказательство. Выберем произвольный ортонормированный базис`1, . . . , `n пространства V . Для любого x ∈ V положим

ϕ∗ (x) =n∑

k=1

(x, ϕ (`k))`k.

Докажем, что ϕ∗ ∈ L (V, V ). Для любых α, β ∈ F и x, y ∈ V имеем

ϕ∗ (αx + βy) =n∑

k=1

(αx + βy, ϕ (`k)) `k =

§ 7. Основные свойства и матрица сопряжённого преобразования 89

= α

n∑

k=1

(x, ϕ (`k))`k + β

n∑

k=1

(y, ϕ (`k))`k = αϕ∗ (x) + βϕ∗ (y) .

Докажем теперь, что ϕ∗ сопряжено к ϕ. Пусть x — произвольный

вектор из V и x =n∑

i=1

αiì. Тогда (x, `k) = (n∑

i=1

αiì, `k) =n∑

i=1

αi (ì, `k) = αk для любого k = 1, . . . , n. Следовательно, ϕ (x) =n∑

i=1

αiϕ (ì) =n∑

i=1

(x, ì) ϕ (ì) и для любых x, y ∈ V верно (x, ϕ∗(y)) =

(x,

n∑

k=1

(y, ϕ(`k)`k)) =n∑

k=1

(x, (y, ϕ (`k)) `k) =n∑

k=1

(y, ϕ (`k)) · (x, `k) =

n∑

k=1

(x, `k)·(ϕ(`k), y) =n∑

k=1

((x, `k)ϕ (`k) , y) =(n∑

k=1

(x, `k)ϕ(`k), y) = (ϕ (x) , y) .

Докажем единственность ϕ∗. Пусть ψ ∈ L (V, V ) и (ϕ (x) , y) =(x, ψ (y)) для любых x, y ∈ V . Тогда (x, ψ (y)) = (x, ϕ∗ (y)) . В силупредложения 1 ψ = ϕ∗. ¤

§ 7. Основные свойства и матрица сопря-жённого преобразования

Лемма 1. Для любых ϕ,ψ ∈ L (V, V ) выполнены следующие свойства:1) (ϕ∗)∗ = ϕ;2) (ϕ + ψ)∗ = ϕ∗ + ψ∗, (αϕ)∗ = α · ϕ∗ для любого α ∈ F ;3) (ϕ ψ)∗ = ψ∗ ϕ∗;4) если U — ϕ-инвариантное подпространство V , то U⊥ является

ϕ∗-инвариантным.Доказательство. Для любых x, y ∈ V имеем

(ϕ∗ (x) , y) =(x, (ϕ∗)∗ (y)

)= (y, ϕ∗ (x)) = (ϕ (y) , x) = (x, ϕ (y)) ;

((ϕ + ψ) (x) , y) =(x, (ϕ + ψ)∗ (y)

)= (ϕ (x) + ψ (x) , y) =

= (ϕ (x) , y) + (ψ (x) , y) = (x, ϕ∗ (y)) + (x, ψ∗ (y)) = (x, (ϕ∗ + ψ∗) (y)) ;

((αϕ) (x) , y) =(x, (αϕ)∗ (y)

)= α (ϕ (x) , y) = α (x, ϕ∗ (y)) = (x, α · ϕ∗ (y)) ;


((ϕ ψ) (x) , y) =(x, (ϕ ψ)∗ (y)

)= (ψ (ϕ (x)) , y) = (ϕ (x) , ψ∗ (y)) =

= (x, ϕ∗ (ψ∗ (y))) = (x, (ψ∗ ϕ∗) (y)) .

Значит, по предложению 1 § 6 ϕ = (ϕ∗)∗ , (ϕ + ψ)∗ = ϕ∗ + ψ∗, (αϕ)∗ =α · ϕ∗, (ϕ ψ)∗ = ψ∗ ϕ∗. По теореме 1 § 5 V = U ⊕ U⊥. Для любыхx ∈ U, y ∈ U⊥ справедливо

(x, ϕ∗ (y)) = (ϕ (x) , y) = 0,

т. е. ϕ∗ (y) ∈ U⊥. Следовательно, U⊥ является ϕ∗-инвариантным. ¤Лемма 2 (о матрице сопряжённого преобразования). Пусть

`1, . . . , `n — ортонормированный базис V , тогда для любого ϕ ∈ L (V, V )справедливо равенство

[ϕ∗]`1,...,`n=

([ϕ]`1,...,`n

)τ

.

Доказательство. Для любого 1 ≤ i ≤ n имеем ϕ (ì) =n∑

j=1

αij`j , где

[ϕ]`1,...,`n= (αij) . Тогда для любых 1 ≤ k ≤ n, 1 ≤ i ≤ n справедливо

(ϕ(ì), `k) = (n∑

j=1

αij`j , `k) =n∑

j=1

αij (`j , `k) = αik,

(ì, ϕ∗ (`k)) = (ϕ∗ (`k) , ì),

поэтому (ϕ∗ (`k) , ì) = (αik) и [ϕ∗]`1,...,`n=

([ϕ]`1,...,`n

)τ

. ¤

§ 8. Канонический вид нормального преоб-разования унитарного пространства

Пусть V — n-мерное унитарное пространство над F , где F ' R илиF ' C. Преобразование ϕ ∈ L (V, V ) называется нормальным, если ϕ ϕ∗ = ϕ∗ ϕ; ϕ называется эрмитовым (симметрическим в случае F 'R), если ϕ = ϕ∗; ϕ называется унитарным (ортогональным в случаеF ' R), если ϕ ϕ∗ = ϕ∗ ϕ = id. Очевидно, что эрмитовы и унитарныепреобразования являются нормальными.

Дадим соответствующие определения для матрицы A ∈ Mn (F ):A — нормальная матрица, если A · (A)τ = (A)τ · A; A — эрмитова

§ 8. Канонический вид нормального преобразования над C 91

(симметрическая в случае F ' R) матрица, если A = (A)τ (A = Aτ

в случае F ' R); A — унитарная (ортогональная в случае F ' R)матрица, если A−1 = (A)τ (A−1 = Aτ в случае F ' R).

Лемма 1. Пусть ϕ — нормальное преобразование пространства V .Тогда:

1) x — собственный вектор ϕ, соответствующий λ ∈ Spec ϕ, тогдаи только тогда, когда x — собственный вектор ϕ∗, соответствующийλ ∈ Specϕ∗;

2) x, y — собственные векторы ϕ, ϕ(x) = αx, ϕ(y) = βy, α 6= β ⇒x ⊥ y.

Доказательство. 1. Очевидно, что (id)∗ = id, поэтому (λ · id)∗ = λ·idв силу леммы 1 § 7. Тогда (ϕ− λ · id)∗ = ϕ∗−λ · id. Так как ϕ ·ϕ∗ = ϕ∗ ·ϕ,то (ϕ− λ · id)∗·(ϕ− λ · id)=

(ϕ∗ − λ · id)

(ϕ− λ · id)=ϕ∗·ϕ−λϕ∗−λϕ+λλ·id = (ϕ− λ · id) · (ϕ− λ · id)∗. Таким образом, (ϕ− λ · id) — нормальноепреобразование. Имеем:

(ϕ− λ · id)x = 0 ⇔ 0 = ((ϕ− λ · id) x, (ϕ− λ · id)x) =

=(x, (ϕ− λ · id)∗ ((ϕ− λ · id) (x))

)=

(x, (ϕ− λ · id)

((ϕ− λ · id)∗ (x)

))=

=((ϕ− λ · id)∗ x, (ϕ− λ · id)∗ x

) ⇔ (ϕ− λ · id)∗ x = 0 ⇔ ϕ∗ (x) = λx.

2. Так как (ϕ (x) , y) = (αx, y) = α (x, y) = (x, ϕ∗ (y)) =(x, βy

)=

β (x, y), то (α− β) (x, y) = 0 и (x, y) = 0. ¤

Теорема 1. Преобразование ϕ ∈ LC (V, V ) является нормальнымтогда и только тогда, когда существует такой ортонормированныйбазис `1, . . . , `n пространства V , состоящий из собственных векторовпреобразования ϕ, что

[ϕ]`1,...,`n=

α1 0. . .

0 αn

, где αi ∈ Spec ϕ.

Доказательство. Так как F ' C, то существует, по крайней мере,одно собственное значение для ϕ и соответствующий ему собственныйвектор. Пусть ϕ (a) = α1a, где a 6= 0. Обозначим V1 = L (a) . Докажемтеорему индукцией по n = dimC V . В случае n = 1 имеем V = L (a),и `1 = 1

‖a‖a — искомый базис. Пусть утверждение верно для всехϕ ∈ L (U,U) , dimC U ≤ n− 1. Рассмотрим унитарное пространство V ,


dimC V = n. По теореме 1 § 5 имеем V = V1 ⊕ V ⊥1 , где dimC V ⊥

1 = n− 1.Докажем, что V ⊥

1 является ϕ-инвариантным. Для любого x ∈ V ⊥1

имеем (a, ϕ (x)) = (ϕ∗ (a) , x) = (α1a, x) = α1 (a, x) = 0. Следовательно,ϕ (x) ∈ V ⊥

1 и V ⊥1 является ϕ-инвариантным. Очевидно, что ϕ|

V⊥1нормально, так как ϕ нормально на V . Поэтому по предположениюиндукции существует ортонормированный базис `2, . . . , `n пространстваV ⊥

1 , состоящий из собственных векторов ϕ. Тогда `1, . . . , `n —ортонормированный базис V и [ϕ]`1,...,`n

= diag(α1, . . . , αn), αi ∈ Specϕ.

Обратно, если [ϕ]`1,...,`n= diag(α1, . . . , αn), то [ϕ∗]`1,...,`n

=diag(α1, . . . , αn) по лемме 2 § 7. Очевидно, что [ϕ]`1,...,`n

· [ϕ∗]`1,...,`n=

[ϕ∗]`1,...,`n· [ϕ]`1,...,`n

, поэтому получаем следующие равенства:

[ϕ ϕ∗ − ϕ∗ ϕ]`1,...,`n= 0 и ϕ ϕ∗ = ϕ∗ ϕ. ¤

§ 9. Изоморфизм унитарных пространств

Унитарные пространства V1 и V2 над полем F называются изо-морфными, если существует такое взаимно однозначное линейноеотображение ϕ : V1 → V2, что (a, b) = (ϕ (a) , ϕ (b)) для любых a, b ∈ V1.

Тот факт, что V1 изоморфно V2, будем обозначать V1 ' V2. Пусть`1, . . . , `n — базис V1, тогда нетрудно заметить, что ϕ (`1) , . . . , ϕ (`n) —базис V2. Следовательно, если V1 ' V2, то dimF V1 = dimF V2. Вернои обратное утверждение.

Теорема 1. Если V — n-мерное унитарное пространство над F ,то V ' Fn.

Доказательство. Выберем в V произвольный ортонормированныйбазис `1, . . . , `n. В силу теоремы 1 § 1.12 [ ] = [ ]`1,...,`n

— изоморфизмпространств V и Fn. Докажем, что отображение [ ] сохраняет скалярноепроизведение.

Пусть x =n∑

i=1

xiì, y =n∑

i=1

yiì, где xi, yi ∈ F . Тогда

[x] = (x1, . . . , xn) , [y] = (y1, . . . , yn) и ([x] , [y]) =n∑

i=1

xiyi.

§ 10. Канонический вид нормального преобразования над R 93

С другой стороны, (x, y) = (n∑

i=1

xiì,n∑

j=1

yj`j) =n∑

i,j=1

xiyj (ì, `j) =

n∑i=1

xiyi. Значит, ([x] , [y]) = (x, y) и [ ] : V → Fn — изоморфизм. ¤

§ 10. Канонический вид нормального преоб-разования евклидова пространства

Лемма 1. Пусть ϕ — нормальное преобразование евклидовапространства V . Тогда существует такое ϕ-инвариантноеподпространство U в V , что dimR U = 1 или dimR U = 2. Приэтом V = U ⊕ U⊥, где U⊥ является ϕ-инвариантным. Более того,если dimR U = 1, то в U можно выбрать такой ортонормированныйбазис a, что ϕ (a) = αa, α ∈ R; а если dimR U = 2, то в Uможно выбрать такой ортонормированный базис a, b, чтоϕ (a) = αa− βb, ϕ (b) = βa + αb, где α, β ∈ R.

Доказательство. Если fϕ (x) обладает вещественным корнем α, тоϕ имеет такой соответствующий собственный вектор b, что ϕ (b) =αb, α ∈ R. Тогда a = b

‖b‖ — искомый базис и U = L (a) — одномерноеϕ-инвариантное пространство. Из доказательства теоремы 1 § 8 следует,что V = U ⊕ U⊥, где U⊥ является ϕ-инвариантным.

Пусть fϕ (x) не имеет вещественных корней и ρ, ρ — комплексныекорни fϕ (x), ρ = α + βi, ρ = α− βi, α, β ∈ R, β 6= 0.

Пусть `1, . . . , `n — ортонормированный базис V . Определимвекторное пространство V над полем C. Положим V := LC (`1, . . . , `n) :=

n∑

i=1

αiì : αi ∈ C;n∑

i=1

αiì =n∑

i=1

βiì ⇔ αi = βi, 1 ≤ i ≤ n

с операциями α

(n∑

i=1

αiì

)+ β

(n∑

i=1

βiì

)=

n∑i=1

(ααi + ββi) ì для любых

α, β ∈ C.Определим на V скалярное произведение по правилу (ì, `j) = δij ,

т. е.

(n∑

i=1

αiì,

n∑

j=1

βj`j) =n∑

i=1

αiβi.

Тогда очевидно, что `1, . . . , `n — ортонормированный базис V .


Рассмотрим линейное отображение ϕ : V → V, определённоепо правилу

ϕ (v) =n∑

i=1

αiϕ (ì), если v =n∑

i=1

αiì ∈ V .

Обозначим [ϕ]`1,...,`n= A ∈ Mn (R). Матрица A является

нормальной, т. е. A·Aτ = Aτ ·A. Обозначим [ ]`1,...,`nчерез [ ]. Очевидно,

что [ϕ] = A и ϕ нормально, так как матрица A нормальна. Отметим,что ϕ(v) = ϕ (v) для любого v ∈ V .

Имеем fϕ (x) = fA (x) = fϕ (x). Пусть x =n∑

i=1

xiì — собственный

вектор ϕ, соответствующий собственному значению ρ. Тогда [x] A =ρ [x] . Переходя к сопряжённым числам, получаем:

[x] ·A = [x] ·A = ρ · [x].

Обозначим x =n∑

i=1

xiì, тогда [x] · A = ρ · [x] , т. е. x — собственный

вектор ϕ, соответствующий собственному значению ρ. Так как ρ 6= ρ,то по лемме 1 § 8 имеем (x, x) = 0, а потому x и x линейно независимыпо лемме 1 § 3. Выберем вектор x длины

√2 (достаточно взять

√2

‖x‖ · x).Тогда

‖x‖2 = (x, x) =n∑

i=1

xixi = (x, x) = ‖x‖2 = 2.

Обозначим x = a + ib,x = a− ib,

где a =n∑

i=1

Re (xi) ì, b =n∑

i=1

Im (xi) ì — векторы из V . Тогда

a = 1

2 (x + x) ,b = 1

2i (x− x) .

Имеем:

(a, a) =14· (x + x, x + x) =

14· ((x, x) + (x, x)) = 1,

(b, b) = − 12i· 12i· (x− x, x− x) =

14· ((x, x) + (x, x)) = 1,

§ 10. Канонический вид нормального преобразования над R 95

(a, b) = −12· 12i· (x + x, x− x) = 0.

Таким образом, a, b— ортонормированная система в V . Обозначимчерез U = LR (a, b) подпространство в V . Докажем, что U являетсяϕ-инвариантным:

ϕ (a) = ϕ (a) = ϕ

(12

(x + x))

=12

(ϕ (x) + ϕ (x)) =12

(ρx + ρ · x) =

=12

((α + βi) (a + ib) + (α− βi) (a− ib)) = αa− βb,

ϕ (b) = ϕ (b) = ϕ

(12i

(x− x))

=12i

(ϕ (x)− ϕ (x)) =12i

(ρx− ρx) =

=12i

((α + βi) (a + ib)− (α− βi) (a− ib)) = βa + αb.

По теореме 1 § 5 имеем V = U ⊕ U⊥. Докажем, что U⊥ являетсяϕ-инвариантным.

В силу леммы 1 § 8 имеем ϕ∗ (x) = ρx, ϕ∗ (x) = ρx, поэтому

ϕ∗ (a) =12

(ρx + ρx) =12

((α− βi) (a + ib) + (α + βi) (a− ib)) = αa + βb,

ϕ∗ (b) =12i

(ρx− ρx) =12i

((α− βi) (a + ib)− (α + βi) (a− ib)) = −βa+αb.

Таким образом, ϕ∗ (u) ⊆ U для любого u ∈ U . Для любых u ∈ U и v ∈U⊥ имеем

(u, ϕ (v)) = (u, ϕ (v)) = (ϕ∗ (u) , v) = 0.

Следовательно, ϕ (v) ∈ U⊥ и U⊥ является ϕ-инвариантным. ¤Теорема 1 (о каноническом виде матрицы нормального

преобразования евклидова пространства). Пусть ϕ — нормальноепреобразование евклидова пространства V . Тогда существует такойортонормированный базис `1, . . . , `n пространства V , что

[ϕ]`1,...,`n=

A1 0. . .

0 Ak

,

где Ai = αi, αi ∈ R, или Ai = ri

(cos ϕi − sin ϕi

sin ϕi cos ϕi

), ri > 0, 0 < ϕi <

2π, 1 ≤ i ≤ k.


Доказательство. Пользуясь леммой 1, разложим Vв ортогональную сумму V = V1 ⊕ . . . ⊕ Vk, где Vi⊥Vj при i 6= j.Более того, при 1 ≤ i ≤ k имеем либо Vi = L (ai), где ϕ (ai) = αiai,αi ∈ R, ‖ai‖ = 1, либо Vi = L (ai, bi), где ai, bi — ортонормированнаясистема и

ϕ (ai) = αiai − βibi,ϕ (bi) = βiai + αibi при αi, βi ∈ R.

Запишем комплексное число ρi = αi + βii в тригонометрическом виде:ρi = ri (cos ϕi + i sin ϕi). Тогда

ϕ (ai) = ri (cos ϕi · ai − sinϕi · bi) ,ϕ (bi) = ri (sinϕi · ai + cosϕi · bi) ,

где ri > 0 и 0 < ϕi < 2π. Объединяя эти ортонормированные системы,получим искомый базис. ¤

§ 11. Унитарные и ортогональные преобра-зования

Пусть V — унитарное пространство над F , где F ' C или F ' R,dimF V = n.

Напомним, что ϕ ∈ L (V, V ) унитарное, если ϕ ϕ∗ = ϕ∗ ϕ = id;A — ортогональная матрица, если A ∈ Mn (R) и A ·Aτ = Aτ ·A = E; A— унитарная матрица, если A ∈ Mn (C) и A ·Aτ

= Aτ ·A = E.

Лемма 1. Пусть ϕ ∈ L (V, V ), a1, . . . , an — некоторыйортонормированный базис V . Тогда эквивалентно следующее:

1) ϕ — унитарное преобразование;2) ϕ — изоморфизм унитарных пространств;3) [ϕ]a1,...,an

— унитарная (ортогональная) матрица;4) для любого a ∈ V выполняется ‖ϕ (a)‖ = ‖a‖.Доказательство. 1. Для любых x, y ∈ V имеем (ϕ (x) , ϕ (y)) =

(x, ϕ∗ (ϕ (y))) = (x, (ϕ ϕ∗) (y)) = (x, y) . И наоборот, (ϕ (x) , ϕ (y)) =(x, y) = (x, (ϕ ϕ∗) (y)). Следовательно, ϕ ϕ∗ = id.

2. Пусть [ ] = [ ]a1,...,an: L(V, V ) → Mn (F ) — изоморфизм алгебр.

Тогдаϕ ϕ∗ = ϕ∗ ϕ = id ⇔ [ϕ] · [ϕ]

τ= [ϕ]

τ · [ϕ] = E.

§ 11. Унитарные и ортогональные преобразования 97

3. Для любого a ∈ V имеем (ϕ (a) , ϕ (a)) = (a, a). Следовательно,‖ϕ (a)‖ = ‖a‖ . Обратно, для любых a, b ∈ V, α ∈ F справедливо(ϕ (a + αb) , ϕ (a + αb)) = (a + αb, a + αb) . Значит,

(ϕ (a) , ϕ (a)) + α (ϕ (a) , ϕ (b)) + α (ϕ (b) , ϕ (a)) + αα (ϕ (b) , ϕ (b)) =

= (a, a) + α (b, a) + α (a, b) + αα (b, b) .

Тогда α (b, a) + α (a, b) = α (ϕ (b) , ϕ (a)) + α (ϕ (a) , ϕ (b)) .

Если F ' R, то положим α = 1. Тогда для любых a, b ∈ Vсправедливо (a, b) = (ϕ (a) , ϕ (b)).

Если F ' C, то, положив α = 1 и α = i, получим

(b, a) + (a, b) = (ϕ (b) , ϕ (a)) + (ϕ (a) , ϕ (b)) ,i((b, a)− (a, b)) = i ((ϕ (b) , ϕ (a))− (ϕ (a) , ϕ (b))) ,

а потому для любых a, b ∈ V имеем (ϕ (a) , ϕ (b)) = (a, b). ¤Лемма 2. 1. Пусть ϕ ∈ L (V, V ) и a1, . . . , an — ортонормированный

базис V . Тогда ϕ унитарно тогда и только тогда, когдаϕ (a1) , . . . , ϕ (an) — ортонормированный базис.

2. Пусть T — матрица перехода от базиса b1, . . . , bn к базисуc1, . . . , cn пространства V . Тогда:

a) если b1, . . . , bn и c1, . . . , cn — ортонормированные базисы, то T —унитарная матрица;

b) если b1, . . . , bn — ортонормированный базис, а T — унитарнаяматрица, то c1, . . . , cn — ортонормированный базис;

c) если c1, . . . , cn — ортонормированный базис, а T — унитарнаяматрица, то b1, . . . , bn — ортонормированный базис.

Доказательство. 1. В силу леммы 1 ϕ — изоморфизм унитарныхпространств, поэтому (ϕ (ai) , ϕ (aj)) = (ai, aj) = δij .

Обратно, (ϕ (ai) , ϕ (aj)) = δij = (ai, (ϕ ϕ∗) (aj)) . Пусть(ϕ ϕ∗) (aj) = αj1a1 + . . . + αjnan, где αij ∈ F . Тогда δij = αji, поэтому(ϕ ϕ∗) (aj) = aj и ϕ ϕ∗ = ϕ∗ ϕ = id.

2. Пусть ϕ — линейное преобразование, переводящее базис b1, . . . , bn

в базис c1, . . . , cn, т. е. ϕ (bi) = ci, i = 1, . . . , n. Тогда по определению

[ϕ]b1,...,bn= T.

Следовательно, если базисы b1, . . . , bn и ϕ (b1) , . . . , ϕ (bn)ортонормированные, то ϕ унитарно и по лемме 1 матрица T


унитарна. Если b1, . . . , bn — ортонормированный базис, а T— унитарная матрица, то ϕ унитарно по лемме 1. Значит,ϕ (b1) , . . . , ϕ (bn) — ортонормированный базис. Если ϕ (b1) , . . . , ϕ (bn)— ортонормированный базис, а T — унитарная матрица, тоT ·T τ

= Tτ ·T = E. Следовательно,

(T−1

)·(T−1

)τ

=(T−1

)τ

·(T−1)

= E,

поэтому по лемме 1 матрица T−1 унитарна и ϕ−1 — унитарноепреобразование. Значит, b1 = ϕ−1 (ϕ (b1)) , . . . , bn = ϕ−1 (ϕ (bn)) —ортонормированный базис. ¤

Лемма 3. Пусть U (V ) = ϕ ∈ L (V, V ) : ϕ унитарно. Тогда U (V )— группа по умножению (группа ортогональных преобразований).

Доказательство. Очевидно, что id ∈ U (V ), так как id∗ = id. Пустьϕ, ψ ∈ U (V ). Тогда (ϕψ)∗ = ψ∗ϕ∗ = ψ−1ϕ−1 = (ϕψ)−1

. Следовательно,ϕψ ∈ U (V ) . Далее ϕ−1 = ϕ∗ ⇔ (

ϕ−1)∗ = (ϕ∗)∗ = ϕ =

(ϕ−1

)−1.

Следовательно, ϕ−1 ∈ U (V ) и U (V ) — группа по умножению. ¤

§ 12. Канонический вид матриц унитарныхи ортогональных преобразований

Пусть V — унитарное пространство над F (F ' C или F ' R).Лемма 1. Пусть ϕ ∈ LF (V, V ) , ϕ унитарно (ортогонально)

и fϕ (ρ) = 0. Тогда |ρ| = 1.

Доказательство. Пусть F ' C и a — собственный вектор ϕ,соответствующий ρ. Тогда (ϕ (a) , ϕ (a)) = (a, a) = (ρa, ρa) = ρρ (a, a).Следовательно, |ρ| = 1.

Если F ' R, то по теореме 1 § 11 существует такаяортонормированная система a, b ∈ V , что ϕ (a) = αa−βb, ϕ (b) = βa+αb,где ρ = α + iβ ∈ Spec(ϕ). Тогда

(a, a) + (b, b) = (ϕ (a) , ϕ (a)) + (ϕ (b) , ϕ (b)) =

(αa− βb, αa− βb) + (βa + αb, βa + αb) =

= α2 (a, a) + β2 (b, b) + β2 (a, a) + α2 (b, b) =(α2 + β2

)((a, a) + (b, b)) .

Следовательно, α2 + β2 = 1. ¤Теорема 1 (о каноническом виде). Пусть V — унитарное

пространство, ϕ ∈ LF (V, V ). Преобразование ϕ является унитарным

§ 13. Эрмитовы и симметрические преобразования 99

(ортогональным) тогда и только тогда, когда существует такойортонормированный базис `1, . . . , `n пространства V , что

1) если F ' C, то [ϕ]`1,...,`n= diag(α1, . . . , αn), |αi| = 1;

2) если F ' R, то [ϕ]`1,...,`n=

A1 0. . .

0 Ak

, где либо Ai = ±1,

либо Ai =(

cosϕi − sin ϕi

sin ϕi cosϕi

), 0 < ϕi < 2π при i = 1, . . . , k.

Доказательство. Необходимость следует из теоремы 1 § 11 и леммы1 § 12. Достаточность: [ϕ ϕ∗]`1,...,`n

= [ϕ]`1,...,`n [ϕ]

τ

`1,...,`n= E =

[id]`1,...,`n. Следовательно, ϕ ϕ∗ = ϕ∗ ϕ = id. ¤

§ 13. Эрмитовы и симметрические преобра-зования

Лемма 1 (основные свойства). Пусть V — унитарное пространствонад F и a1, . . . , an — некоторый ортонормированный базис V . Тогда:

1) ϕ эрмитово (симметрическое) ⇔ [ϕ]a1,...,an— эрмитова

(симметрическая) матрица;2) если ϕ,ψ эрмитовы и α ∈ R, то αϕ, ϕ + ψ эрмитовы;3) если ϕ,ψ эрмитовы, то ϕ ψ эрмитово ⇔ ϕ ψ = ψ ϕ;4) если ϕ эрмитово (симметрическое), то Spec (ϕ) ⊆ R.Доказательство. 1. ϕ = ϕ∗ ⇔ [ϕ]a1,...,an

= [ϕ∗]a1,...,an= [ϕ]

τ

a1,...,an.

2. Пусть ϕ = ϕ∗, ψ = ψ∗, α ∈ R. Тогда (ϕ + ψ)∗ = ϕ∗ + ψ∗ = ϕ + ψ,(αϕ)∗ = αϕ∗ = αϕ.

3. Если ϕ = ϕ∗, ψ = ψ∗, ϕ ψ = ψ ϕ, то (ϕ ψ)∗ = ψ∗ ϕ∗ =ψ ϕ = ϕ ψ.

Обратно, ϕ = ϕ∗, ψ = ψ∗, (ϕ ψ)∗ = ϕ ψ = ψ∗ ϕ∗ = ψ ϕ.

4. Пусть F ∼= C и x — собственный вектор ϕ = ϕ∗, соответствующийсобственному значению α ∈ C. Тогда (x, ϕ (x)) = (x, αx) = α (x, x) =(ϕ∗ (x) , x) = (ϕ (x) , x) = α (x, x), т. е. α = α, так как (x, x) 6= 0 и α ∈ R.

Если F ∼= R, то по теореме 1 § 11 существует такаяортонормированная система a, b ∈ V , что ϕ (a) = αa−βb, ϕ (b) = βa+αb,где ρ = α + iβ ∈ Spec(ϕ). Тогда (ϕ(a), b) = −β(b, b), (a, ϕ(b)) = β(a, a),т. е. β((a, a) + (b, b)) = 0 и β = 0. ¤


§ 14. Канонический вид матриц эрмитовыхи симметрических преобразований

Теорема 1 (о каноническом виде). Преобразование ϕ эрмитово(симметрическое) тогда и только тогда, когда существуетортонормированный базис a1, . . . , an в V , состоящий из собственныхвекторов ϕ, причём

[ϕ]a1,...,an= diag(α1, . . . , αn), αi ∈ Spec (ϕ) ⊆ R.

Доказательство. В силу теоремы 1 § 8 и теоремы 1 § 10 существуетортонормированный базис a1, . . . , an в V такой, что

[ϕ]a1,...,an=

A1 0. . .

0 Ak

,

где Ai = αi, если αi ∈ Spec (ϕ) ∩ R, или Ai =(

ai −bi

bi ai

), где ρi =

ai + ibi ∈ Spec (ϕ) и ρi /∈ R, i = 1, . . . , k. В силу леммы 1 § 13 Spec (ϕ) ⊆R, поэтому αi ∈ R и [ϕ]a1,...,an

= diag(α1, . . . , αn), где αi ∈ R и ai —собственные векторы ϕ при 1 ≤ i ≤ n.

Обратно, [ϕ]τ

a1,...,an= [ϕ]a1,...,an

= [ϕ∗]a1,...,an, т. е. ϕ = ϕ∗. ¤

Следствие. 1. Для любой эрмитовой матрицы A существуеттакая унитарная матрица U , что UAU−1 — вещественнаядиагональная матрица. 2. Для любой симметрической матрицыA существует такая ортогональная матрица U , что UAU−1 —вещественная диагональная матрица.

Доказательство. Пусть `1, . . . , `n — произвольныйортонормированный базис и ϕ ∈ L (V, V ) такое, что [ϕ]`1,...,`n

= A.Тогда по теореме 1 существует такой ортонормированный базисb1, . . . , bn, состоящий из собственных векторов ϕ, что [ϕ]b1,...,bn

=diag (α1, . . . , αn), αi ∈ R. Пусть U — матрица перехода от `1, . . . , `n

к b1, . . . , bn. В силу леммы 2 § 11 U — унитарная (ортогональнаяв случае F ' R) матрица. Поскольку [ϕ]b1,...,bn

= U [ϕ]a1,...,anU−1,

то diag (α1, . . . , αn) = UAU−1. ¤

§ 15. Положительные и неотрицательные эрмитовы преобразования 101

§ 15. Положительные и неотрицательныеэрмитовы преобразования

Пусть V — унитарное пространство над F , где F ' C или F ' R.Эрмитово преобразование ϕ ∈ L (V, V ) называется неотрицательным,если (ϕ (x) , x) ≥ 0 для всех x ∈ V . Обозначение: ϕ ≥ 0. Эрмитовопреобразование ϕ называется положительным, если (ϕ (x) , x) > 0 длявсех x ∈ V . Обозначение: ϕ > 0. Аналогичные определения для матриц:если A ∈ Mn (F ), то A ≥ 0, если (xA, x) ≥ 0 для любого x ∈ Fn.Очевидно, что 0 ≥ 0, id > 0.

Лемма 1 (основные свойства).1. Если α, β ≥ 0, ϕ, ψ ≥ 0, то αϕ + βψ ≥ 0.2. Если ϕ ∈ L (V, V ), то ϕ ϕ∗ ≥ 0.3. Если ϕ эрмитово, то ϕ2 ≥ 0.4. ϕ ≥ 0 (> 0) ⇔ ϕ эрмитово и α ≥ 0 (> 0) для любого α ∈ Spec (ϕ).5. Если f (x) ∈ R [x] , f (x) = α0 + . . . + αmxm, αi ≥ 0, ϕ ≥ 0, то

f (ϕ) ≥ 0.

Доказательство. 1. Для любого x ∈ V имеем ((αϕ + βψ) (x) , x) =α (ϕ (x) , x) + β (ψ (x) , x) ≥ 0, (αϕ + βψ)∗ = αϕ∗ + βψ∗ = αϕ + βψ.

2–3. (ϕϕ∗)∗ = (ϕ∗)∗ ϕ∗ = ϕϕ∗, т. е. ϕϕ∗ эрмитово. Для любого x ∈ Vимеем

((ϕϕ∗) (x) , x) = (ϕ∗ (ϕ (x)) , x) = (ϕ (x) , ϕ (x)) ≥ 0.

4. Если ϕ эрмитово, то по теореме 1 § 14 существуетортонормированный базис a1, . . . , an в V , состоящий из собственныхвекторов, причём ϕ (ai) = αiai, где αi ∈ R, 1 ≤ i ≤ n. Тогда

для любого x ∈ V имеем x =n∑

i=1

γiai, для некоторых γi ∈ F ,

и ϕ (x) = ϕ

(n∑

i=1

γiai

)=

n∑i=1

γiαiai, поэтому

(ϕ (x) , x) = (n∑

i=1

γiαiai,

n∑

i=1

γiai) =n∑

i=1

αiγiγi =n∑

i=1

αi |γi|2.

Следовательно, (ϕ (x) , x) ≥ 0 тогда и только тогда, когдаn∑

i=1

αi |γi|2 ≥ 0

для любых γ1, . . . , γn ∈ F . Положим γ1 = 0, . . . , γk = 1, . . . , γn = 0 при

k = 1, . . . , n. Тогда αk ≥ 0 при всех 1 ≤ k ≤ n ⇔n∑

i=1

αi |γi|2 ≥ 0 для


любых γ1, . . . , γn ∈ F . Аналогично (ϕ (x) , x) > 0 тогда и только тогда,когда α1 > 0, . . . , αn > 0.

5. Заметим, что Spec f(ϕ) ⊆ R+. Это следует из выбора f и свойствфункций от матриц. Далее применяем пункты 1) и 4). ¤

Лемма 2. Пусть φ, ψ — симметрические преобразованияи φψ = ψφ. Тогда φ, ψ обладают общим ортонормированным базисомиз собственных векторов.

Доказательство. Пусть λ ∈ Spec φ. Рассмотрим пространство Vλ.Для любого v ∈ Vλ имеем φ(ψ(v)) = ψ(φ(v)) = λψ(v). Следовательно,Vλ инвариантно относительно ψ. Если ψ не было бы диагонализируемона Vλ, то его минимальный многочлен имел бы кратный множитель,что невозможно (это также следует из самосопряжённости ψ).Таким образом, можно выбрать базис из собственных векторови ортонормировать его. ¤

Лемма 3. Для каждого неотрицательного преобразованияϕ унитарного пространства V существует единственноенеотрицательное преобразование ψ такое, что ψ2 = φ. При этомесли φ > 0, то и ψ > 0, r(φ) = r(ψ), φψ = ψφ.

Доказательство. Пусть e1, . . . , en — отронормированный базисиз собственных векторов для φ, φ(ei) = λiei, λi ≥ 0. Пусть ψ — линейноепреобразование, для которого ψ(ei) =

√λiei. Тогда ψ∗ = ψ ≥ 0

и для любого i = 1, . . . , n выполняется ψ2(ei) = λiei = φ(ei), так чтоψ2 = φ. Ясно, что r(φ) = r(ψ), φψ = ψφ. Докажем единственность. Мызнаем, что существует многочлен p(t) такой, что p(φ) = ψ (так как ϕдиагонализируемо, то существует√ϕ). Если θ ≥ 0, θ2 = φ, то ψ = p(φ) =p(θ2). Тогда ψθ = θψ и по лемме 2 существуют унитарная матрица Uи такие диагональные матрицы Λi, что U∗ψU = Λ1, U∗θU = Λ2. ТогдаΛ2

1 = Λ22, откуда Λ1 = Λ2 и θ = ψ. ¤

Следствие. φ = φ∗ ≥ 0 ⇔ φ = ψ2, ψ = ψ∗ ⇔ φ = ψψ∗. ¤

§ 16. Сингулярное и полярное разложениелинейного преобразования

Пусть V — унитарное пространство над F , где F ' C или F ' R,ϕ — произвольное линейное отображение из L (V, V ). Представлениеϕ = uh = h1u1, где h, h1 — неотрицательные преобразования, а u, u1 —

§ 16. Сингулярное и полярное разложение 103

унитарные преобразования, называется полярным разложением ϕ. Мыдокажем, что для любого ϕ ∈ L (V, V ) существует полярное разложение.

Лемма 1. Преобразования φφ∗ и φ∗φ имеют одинаковый спектр.Доказательство. Пусть e1, . . . , en — ортонормированный базис

из собственных векторов преобразования φ φ∗, φ φ∗(ei) = ρ2i ei, ρi ≥ 0,

причём ρ21 ≥ ρ2

2 ≥ . . . ≥ ρ2k > 0, ρk+1 = . . . = ρn = 0. Рассмотрим

a1 = φ(e1), . . . , ak = φ(ek). Имеем:

(ai, aj) = (φ(ei), φ(ej)) = (φ∗φ(ei), ej) = ρ2i (ei, ej).

Кроме того, ||ai||2 = (φ(ei), φ(ei)) = ρ2i (ei, ei) > 0. Итак, a1, . . . , ak —

ортогональная система ненулевых векторов. Далее φφ∗(ai) = φφ∗φ(ei) =ρ2

i φ(ei) = ρ2i ai. Следовательно, φ∗ φ имеет собственные значения

ρ21, . . . , ρ

2k, т. е. все ненулевые собственные значения φ∗φ являются

собственными значениями и для φφ∗. Ясно, что верно и обратное. ¤Арифметические значения квадратных корней из общих

собственных значений φφ∗ и φ∗φ называются сингулярными числамипреобразования φ.

Лемма 2. Если φ ∈ L(V, V ), то (Ker φ)⊥ = Imφ∗ и (Im φ)⊥ = Ker φ∗.

Доказательство. Если y ∈ Im φ∗, то y = φ∗(x), поэтому для любогоv ∈ Kerφ имеем (v, y) = (v, φ∗(x)) = (φ(v), x) = 0. Значит, Im φ∗ ⊆(Ker φ)⊥. Так как r(φ∗) = r(φ) = n − dim (Ker φ) = dim (Kerφ)⊥, тоимеем равенство. Второе равенство получается из первого подстановкойφ∗ вместо φ. ¤

Следствие. Уравнение φ∗(x) = a разрешимо ⇔ a ортогонален всемрешениям φ(y) = 0. В частности, φ(x) = a разрешимо для любого a ⇔φ∗(y) = 0 имеет только нулевые решения. ¤

Рассмотрим вновь базис e1, . . . , ek, ek+1, . . . , en. Тогда ||φ(ei)|| =||ai|| = ρi 6= 0, i = 1, . . . , k, поэтому L〈a1, . . . , ak〉 = Im φ,L〈ek+1, . . . , en〉 = Ker φ.

Нормируем ai: fi = ai

||ai|| = ai

ρi, тогда φ(ei) = ρifi, i =

1, . . . , k. Далее, так как (Im φ)⊥ = Ker φ∗, то выберем за fk+1, . . . , fn

произвольный ортонормированный базис Ker φ∗; тогда f1, . . . , fn —также ортонормированный базис. Имеем:

φ(ei) =

ρifi, i ≤ k,0, i > k,

φ∗(fi) =

ρiei, i ≤ k,0, i > k.

(1)


Заметим, что φ∗(fi) = φ∗(ai

ρi) = 1

ρiφ∗φ(ei) = ρiei.

Ортонормированные базисы, связанные соотношениями (1),называются сингулярными базисами.

Таким образом, нами доказана следующая теорема.

Теорема 1. Для любого линейного преобразования унитарногопространства существуют сингулярные базисы. ¤

Теорема 2. Для любого ϕ ∈ L (V, V ) существуют ψ, ψ1 ≥ 0и унитарные u, u1, такие, что ϕ = uψ = ψ1u1. При этом

1) ψ =√

ϕ∗ϕ, ψ1 =√

ϕϕ∗ определяются однозначно;2) если ϕ обратимо, то u, u1 определяются однозначно;3) ϕ нормально ⇔ ψu = uψ или u1ψ1 = ψ1u1.

Доказательство. Пусть e1, . . . , en и f1, . . . , fn — сингулярные базисыпреобразования ϕ. Положим u(ei) = fi, ψ(fi) = ρifi. Тогда u унитарно,ψ ≥ 0. Кроме того, ϕ(ei) = ρifi = ψ(fi) = ψu(ei), откуда всё следует.Далее ϕ∗ = ψu−1, поэтому φφ∗ = ψ2 и ψ определено однозначно. Еслисуществует φ−1, то u = ϕψ−1. Если ψu = uψ, то φφ∗ = φ∗φ = ψ2.

Обратно, пусть ψ2 = φφ∗ = φ∗φ = uψψu−1, ψ2 = u−1ψ2u, uψ2 = ψ2u.Следовательно, uψ = ψu, так как ψ = p(ψ2). ¤

Глава 6

Квадратичные формы

В этой главе мы изучим квадратичные формы и пары форм над Rи их канонический вид.

§ 1. Матрица квадратичной формы, еёповедение при замене неизвестных

Однородный многочлен F = F (X) = f (x1, . . . , xn) ∈ R [x1, . . . , xn]степени 2 называется квадратичной формой над R.

Пусть F = F (X) =n∑

i,j=1

αijxixj , где αij ∈ R и αij = αji. Тогда

A = (αij) называется матрицей формы F = F (X), X = (x1, . . . , xn)называются неизвестными формы F .

Имеем F = F (X) = XAXτ , где X = (x1, . . . , xn). Отметим, чтоAτ = A, т. е. A — симметрическая матрица.

Пусть Y = (y1, . . . , yn) — новые неизвестные и

x1 = t11y1 + . . . + tn1yn,−−−−−−−−−−−xn = t1ny1 + . . . + tnnyn,

где T = (tij) ∈ Mn (R) — обратимая матрица. Тогда X = Y T называетсязаменой неизвестных в форме F = F (X).

106 6. Квадратичные формы

Лемма 1. Пусть F = F (X) = XAXτ , X = Y T — заменанеизвестных. Тогда F = F (Y ) = Y BY τ , где B = TAT τ .

Доказательство. Имеем F = XAXτ = (Y T ) A (Y T )τ =Y (TAT τ )Y τ = Y BY τ . Следовательно, TAT τ = B. ¤

Следствие. Ранг матрицы A равен рангу матрицы B и потомуназывается рангом r(F ) формы F = XAXτ . ¤

§ 2. Приведение квадратичной формык главным осям

Форма F = F (X) = α1x21 + . . . + αnx2

n называется диагональной. Еслиαi = ±1, то F называется нормальной формой.

Теорема 1. Для любой F = F (X) = XAXτ существует такоеортогональное преобразование Q неизвестных X в Y , что F = F (Y ) =Y DY τ — диагональная форма.

Доказательство. Пусть ¯ = `1, . . . , `n — некоторый ортонор-мированный базис Rn, [ϕ]¯ = A = Aτ . Следовательно, ϕ —симметрическое преобразование. По теореме 1 § 5.14 существует такойортонормированный базис a = a1, . . . , an, состоящий из собственныхвекторов ϕ, что [ϕ]a := D := diag (α1, . . . , αn) , αi ∈ R. Пусть Q —матрица перехода от ¯ к a. По лемме 1 § 5.11 имеем Qτ = Q−1. ПустьX = Y Q, тогда F = F (Y ) = Y QAQτY τ = Y QAQ−1Y τ = Y [ϕ]a Y τ =Y DY τ . ¤

§ 3. Алгоритм Лагранжа приведенияформы к диагональному виду

Теорема 1 (алгоритм Лагранжа). Любая квадратичная форма F =

F (X) =n∑

i,j=1

αijxixj , αij = αji приводится к диагональному виду

методом выделения полных квадратов.Доказательство индукцией по n. При n = 1 имеем F = F (x1) =

α11x21.

Пусть любая форма от n − 1 неизвестной приводится к диаго-

нальному виду. Рассмотрим F = F (X) =n∑

i,j=1

αijxixj , αij = αji.

§ 3. Алгоритм Лагранжа приведения к диагональному виду 107

1. Предположим, что F содержит квадрат хотя бы одногонеизвестного. Пусть, например, α11 6= 0. Тогда

F = α11x21 + 2α12x1x2 + . . . + 2α1nx1xn +

n∑

i,j=2

αijxixj =

= α−111 (α11x1 + α12x2 + . . . + α1nxn)2−

−α−111

(α2

12x22 + 2α12α13x2x3 + . . . + α2

1nx2n

)+

n∑

i,j=2

αijxixj =

= α−111 (α11x1 + α12x2 + . . . + α1nxn)2 + F1 (x2, . . . , xn) .

Рассмотрим замену неизвестных:

y = α11x1 + α12x2 + . . . + α1nxn,y2 = x2, . . . , yn = xn,

(y1, . . . , yn) = (x1, . . . , xn)T, где T =

α11 0 . . . 0... 1 . . . 0...

.... . .

...α1n 0 . . . 1

обратима.

Тогда F = α−111 y2

1 + F1 (y2, . . . , yn) = α−111 y2

1 + β2z22 + . . . + βnz2

n, гдепоследнее равенство получено по индукции.

2. Предположим теперь, что αii = 0, 1 ≤ i ≤ n. Тогда, например,α12 6= 0. Имеем:

F = 2x1 (α12x2 + . . . + α1nxn) + F1 (x2, . . . , xn) .

Рассмотрим следующую замену неизвестных:

y1 = x1,y2 = α12x2 + . . . + α1nxn − x1,y3 = x3, . . . , yn = xn,

(y1, . . . , yn) = (x1, . . . , xn)T , где T =

1 1 0 . . . 00 α12 0 . . . 0...

... 1 . . . 0...

......

. . ....

0 α1n 0 . . . 1

обратима.

Тогда F = 2y1 (y1 + y2)+F1 (y1, . . . , yn) = 2y21+2y1y2+F1 (y1, . . . , yn) ,

где F1 (y1, . . . , yn) не содержит слагаемого αy21 . Таким образом, мы

пришли к случаю 1). ¤


§ 4. Закон инерции квадратичных форм

Пусть F = F (X) =n∑

i,j=1

αijxixj , αij = αji, приводится некоторой

заменой неизвестных к диагональной форме F = α1z21 + . . . + αsz

2s −

αs+1z2s+1 − . . . − αrz

2r , где α1, . . . , αr > 0, r = r (F ) . Число σ (F ) =

σ = s − (r − s) = 2s − r называется сигнатурой формы F = F (X).Заметим, что если мы знаем и сигнатуру, и ранг формы, то мызнаем и число положительных, и число отрицательных коэффициентовв диагональной форме.

Теорема 1. Сигнатура формы не зависит от способа приведенияк диагональному виду.

Доказательство. Пусть F = XAXτ = Y D1Yτ = ZD2Z

τ , где

D1 = diag (α1, . . . , αs,−αs+1, . . . ,−αr, 0, . . . , 0) ,

D2 = diag (β1, . . . , βt,−βt+1, . . . ,−βr, 0, . . . , 0) ,

αi > 0, βi > 0, X = Y T1, X = ZT2. Пусть s < t. Тогда Y T1 = ZT2 влечётY = ZT , где T = T2T

−11 — матрица перехода от Y к Z.

Имеем равенствоs∑

i=1

αiy2i −

r∑i=s+1

αiy2i =

t∑i=1

βiz2i −

r∑i=t+1

βiz2i , или

s∑

i=1

αiy2i +

r∑

i=t+1

βiz2i =

r∑

i=s+1

αiy2i +

t∑

i=1

βiz2i . (1)

Рассмотрим систему от zi:

y1 = t11z1 + . . . + tn1zn = 0,−−−−−−−−−−−−ys = t1sz1 + . . . + tnszn = 0,zt+1 = 0, . . . , zn = 0.

Число уравнений s + (n− t) = n− (t− s) < n, т. е. существуетрешение (z1, . . . , zt) = (γ1, . . . , γt) 6= 0, zt+1 = . . . = zn = 0.Подставив это решение в равенство (1), получим 0 = β1γ

21 + . . . +

βtγ2t +

r∑i=s+1

αiy2i (γ1, . . . , γt) > 0. Противоречие. Следовательно, s ≥ t.

Аналогично t ≥ s, т. е. s = t. ¤

§ 5. Формула Якоби приведения формы к диагональному виду 109

§ 5. Формула Якоби приведения формык диагональному виду

Пусть A ∈ Mn (R). Миноры D0 (A) = 1, D1(A) = a11,

D2 (A) =∣∣∣∣

a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ , . . . , Dk(A) =

∣∣∣∣∣∣∣

a11 . . . a1k

......

ak1 . . . akk

∣∣∣∣∣∣∣, . . . , Dn(A) = |A|

называются главными минорами матрицы A.

Теорема 1 (формула Якоби). Для любой квадратичной формыF = F (X) = XAXτ , где r (A) = r > 0, D1 (A) 6= 0, . . . , Dr (A) 6= 0,существует такая замена неизвестных X = ZT , что

F =r∑

k=1

z2k

Dk−1 (A)Dk (A).

Доказательство. Индукция по n. При n = 1 имеем F (x1) = a11x21,

F (x1) =(a11x1)

2

1 · a11=

z21

D0 (A)D1 (A), где z1 = a11x1, D1 (A) = a11 6= 0.

Предположим, что для k ≤ n − 1 неизвестных утверждение верно.Тогда метод Лагранжа даёт

F = F (x1, . . . , xn) =n∑

i,j=1

aijxixj =1

a11(a11x1 + . . . + a1nxn)2−

−n∑

i,j=2

a1ia1j

a11xixj +

n∑

i,j=2

aijxixj =1

a11(a11x1 + . . . + a1nxn)2 +

+n∑

i,j=2

(aij − a1ia1j

a11

)xixj =

1a11

y21+

n∑

i,j=2

bijyiyj =1

a11y21+F2 (y2, . . . , yn) ,

где y1 = a11x1 + . . . + anxn, y2 = x2, . . . , yn = xn. Положим bij = aij −a1i

a11· a1j, 2 ≤ i, j ≤ n. Тогда F2 (y2, . . . , yn) =

n∑i,j=2

bijyiyj = Y BY τ , где

B=

a22 − a12a11

a12 . . . a2n − a12a11

a1n

.... . .

...an2 − a1n

a11a12 . . . ann − a1n

a11a1n

. Пусть C =

a11 a12 · · · a1n

0 b22 · · · b2n

· · · · · · · · · · · ·0 bn2 · · · bnn

.


Тогда i-строка матрицы C равна разности между i-строкой Aи 1-строкой A, умноженной на a1ia

−111 . Имеем r (C) = r (A).

Следовательно, r (B) = r − 1. Далее D0 (C) = D0 (A) = 1, D1 (C) =a11 = D1 (A) , D2 (C) = D2 (A) = a11D1 (B) 6= 0, . . . , Di (C) = Di (A) =a11Di−1 (B) 6= 0, . . . , Dr (C) = Dr (A) = a11Dr−1 (B) 6= 0.

По индукции существует замена (y2, . . . , yn) = (t2, . . . , tn)T такая,что

F2 (y2, . . . , yn) =t22

D0 (B) D1 (B)+ . . . +

t2rDr−2 (B)Dr−1 (B)

=

=a211t

22

D1 (A) D2 (A)+ . . . +

a211t

2r

Dr−1 (A)Dr (A).

Тогда

F =z21

D0 (A)D1 (A)+ . . . +

z2r

Dr−1 (A) Dr (A),

где z1 = y1, z2 = a11t2, . . . , zr = a11tr. ¤

§ 6. Необходимые и достаточные условияположительной определённости формы

Квадратичная форма F называется положительно определённой, еслидля всех X ∈ Rn, X 6= 0, справедливо F (X) > 0. Обозначение: F > 0.

Имеем: F (X) = XAXτ = (XA, X). Так как Aτ = A, топо определению (XA, X) = F (X) > 0 тогда и только тогда, когда A > 0.Последнее по лемме 1 § 5.13 эквивалентно тому, что A = Aτ и λi > 0для всех λi ∈ Spec (A). Это равносильно существованию такой матрицыU , что U−1 = Uτ и UAU−1 = diag (α1, . . . , αn) , αi > 0, а последнеевозможно тогда и только тогда, когда F = α1z

21 + . . . + αnz2

n, αi > 0,или F = y2

1 + . . . + y2n.

Теорема 1. Форма F = F (X) = XAXτ положительно определенатогда и только тогда, когда D1 (A) > 0, . . . , Dn (A) > 0.

Доказательство. Пусть форма F положительно определена.Докажем, что D1 (A) 6= 0, . . . , Dn (A) 6= 0 и r (A) = n. Имеем:D1 (A) = F (1, 0, . . . , 0) = a11 > 0. Пусть для некоторого k, 1 <

§ 6. Условия положительной определённости формы 111

k < n, имеем: D1 (A) 6= 0, . . . , Dk (A) 6= 0, Dk+1 (A) = 0. ТогдаF (x1, . . . , xk+1, 0, . . . , 0) = G (x1, . . . , xk+1) > 0, где

G (x1, . . . , xk+1) = (x1, . . . , xk+1)

a11 · · · a1k+1

· · · · · · · · ·ak+1,1 · · · ak+1,k+1

x1

...xk+1

.

По формуле Якоби G (x1, . . . , xk+1) =k∑

i=1

z2i

Di−1(A)Di(A) , где

z1 = t11x1 + . . . + tk+1,1xk+1, . . . , zk+1 = t1,k+1x1 + . . . + tk+1,k+1xk+1,

т. е. (z1, . . . , zk+1) = (x1, . . . , xk+1)T , T = (tij) — невырожденнаяматрица.

Рассмотрим систему

z1 = t11x1 + . . . + tk+1,1xk+1 = 0,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .zk = t1,kx1 + . . . + tk+1,kxk+1 = 0.

Так как число k уравнений строго меньше числа k+1 неизвестных, тосистема имеет нетривиальное решение: (x1, . . . , xk+1) = (γ1, . . . , γk+1) 6=0. Тогда G (γ1, . . . , γk+1) = 0. Противоречие. Следовательно, D1 (A) 6=0, . . . , Dn (A) 6= 0. По формуле Якоби существует такая невырожденная

замена X = ZT , что F =n∑

i=1

z2i

Di−1(A)Di(A) . Предположим, что

Di−1 (A)Di (A) < 0 для некоторого 1 ≤ i ≤ n. Рассмотрим систему

z1 = t11x1 + . . . + tn1xn = 0,. . .

zi = t1ix1 + . . . + tnixn = 1,. . .

zn = t1nx1 + . . . + tnnxn = 0.

Матрица T обратима, поэтому существует решение (γ1, . . . , γn) 6= 0 и

F (γ1, . . . , γn) =1

Di−1 (A) Di (A)< 0.

Следовательно, Di−1 (A) Di (A) > 0 для любого i. Так как D0 (A) = 1 >0, то D1 (A) > 0. Продолжая так далее, получаем Di (A) > 0 для всех i.

Обратно, F = F (x1, . . . , xn) =k∑

i=1

z2i

Di−1(A)Di(A) . Следовательно,

F (γ1, . . . , γn) > 0 для любого (γ1, . . . , γn) 6= 0. ¤


§ 7. Одновременная диагонализация двухквадратичных форм

Теорема 1. Пусть F = F (x1, . . . , xn) > 0, G = G (x1, . . . , xn).Тогда существует замена X = Y T такая, что F = y2

1 + . . . + y2n,

G = β1y2 + . . . + βny2

n, где β1, . . . , βn с точностью до перестановкиоднозначно определены формами F и G.

Доказательство. Пусть F = XAXτ , G = XBXτ .Существование. Пусть X = ZT приводит F к нормальному виду:

F = XAXτ = ZTAT τZτ = ZZτ =n∑

i=1

z2i ,

G = XBXτ = ZTBT τZτ = ZB1Zτ .

Приведём ZB1Zτ к главным осям: Z = Y Q, где Q−1 = Qτ ,

F = ZEZτ = Y QEQτY τ =n∑

i=1

y2i ,

G = ZB1Zτ = Y QB1Q

−1Y τ =n∑

i=1

βiy2i .

Единственность. Пусть замена X = Y T1 приводит нашу пару формк виду

F = y21 + . . . + y2

n,G = β1y

21 + . . . + βny2

n,

а замена X = ZT2 — к виду

F = z21 + . . . + z2

n,G = γ1z

21 + . . . + γnz2

n.

Тогда X = Y T1 = ZT2. Следовательно, Y = Z(T2T

−11

)= ZT , где T =

T2T−11 . Тогда F = Y EY τ = ZTT τZτ = ZEZτ ⇒ TT τ = E ⇒ T−1 = T τ .

Пусть B :=

β1

. . .βn

, Γ :=

γ1

. . .γn

. Тогда

G = Y BY τ = ZTBT−1Zτ = ZΓZτ ⇒ TBT−1 = Γ ⇒ B ∼ Γ.

Следовательно, β1, . . . , βn с точностью до перестановки совпадаютс элементами γ1, . . . , γn. ¤

Глава 7

Базисы Грёбнера

В этой главе даются основы теории систем произвольныхалгебраических уравнений над полями.

§ 1. Эквивалентность систем алгебраичес-ких уравнений. Теорема Гильбертао базисе

Пусть F — поле, fi(x1, . . . , xn) ∈ F [x1, . . . , xn], i ∈ Ω. Системойалгебраических уравнений (далее — системой) называется система видаfi(x1, . . . , xn) = 0, i ∈ Ω. Если |Ω| < ∞, то система называетсяконечной. Две системы называются эквивалентными, если множестваих решений совпадают. Обозначение: S1 ∼ S2.

Лемма 1. Всякая конечная система над R эквивалентна системеиз одного уравнения.

Доказательство. Система fi(x1, . . . , xn) = 0, i = 1, . . . , mэквивалентна уравнению

f21 (x1, . . . , xn) + . . . + f2

m(x1, . . . , xn) = 0.

Упражнение. Доказать лемму 1 для произвольного алгебраическинезамкнутого поля.

Лемма 2. Над полем C система x = 0, y = 0 не эквивалентнаникакому уравнению.

114 7. Базисы Грёбнера

Доказательство. Пусть уравнение f(x, y) = 0 имеет решение x =0, y = 0. Пусть f(x, y) = a0(y) + a1(y)x + . . . + am(y)xm, где am(y) 6=0. Тогда существует такое y0 6= 0, что am(y0) 6= 0. Значит, уравнениеa0(y0)+a1(y0)x+. . .+am(y0)xm имеет корень x0. Следовательно, (x0, y0)— решение уравнения f(x, y) = 0. ¤

Пусть A — ассоциативное коммутативное кольцо с 1. Говорят, чтоидеал I E A порождается элементами ai ∈ A, i ∈ Ω, если I := (ai, i ∈Ω) := ai1r1 + . . . + ainrn : ri ∈ A, т. е. I есть наименьший идеалв A, содержащий ai, i ∈ Ω. Говорят, что элементы ai, i ∈ Ω, составляютбазис идеала I. Элементы ai, i ∈ Ω, называются порождающими (илиобразующими) элементами идеала I. Говорят, что идеал IEA допускаетконечный базис, если существуют a1, . . . , an ∈ A такие, что I =(a1, . . . , an).

Теорема 1 (Гильберта о базисе). Пусть I E F [x1, . . . , xn]. Тогда Iдопускает конечный базис.

Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда I порождаетсяодночленами m1,m2, . . . Покажем, что в I можно выбрать базисmi1 , . . . , mik

. Проведём индукцию по n. При n = 1 утверждениеочевидно. В случае n неизвестных подставим во все одночлены xn = 1и в полученной совокупности выберем базис m′

1, . . . ,m′s. Пусть mi ∈ I

соответствует m′i и l есть наибольший показатель при xn в одночленах

m1, . . . ,ms. Рассмотрим все одночлены из I степени p относительно xn,p = 0, . . . , l − 1. Подставим в них xn = 1 и в полученном множествевновь выберем базис m

(p)1 , . . . , m

(p)sp . Легко видеть, что множество

m1, . . . ,ms,m(j)i xj

n : j = 0, . . . , l − 1, i = 1, . . . , sj является базисомв I.

Далее рассмотрим лексикографический порядок на множествеодночленов, т. е. xα1

1 . . . xαnn > xβ1

1 . . . xβnn , если либо α1 > β1, либо

α1 = β1, . . . , αk = βk, αk+1 > βk+1 для некоторого k. Пусть J —идеал, порождённый старшими членами fC элементов f из I. Выберемконечный базис m1, . . . , mk в J . Пусть fi — многочлены из I, старшиечлены которых равны mi. Покажем, что fi образуют базис в I. Еслиf ∈ I, то fC = mir для некоторых i и одночлена r. Тогда g = f −fir ∈ Iи gC < fC . За конечное число шагов получим f ∈ (f1, . . . , fk). ¤

§ 2. Идеал системы, аффинное алгебраическое многообразие 115

§ 2. Идеал системы, аффинное алгебраичес-кое многообразие, радикал идеала

Для всякой системы S = fi(x1, . . . , xn) = 0, i ∈ Ω мы можемопределить идеал I(S) = (fi, i ∈ Ω).

Лемма 1. Если f ∈ I(S), то f(x01, . . . , x

0n) = 0 для любого решения

(x01, . . . , x

0n) системы S.

Доказательство. Имеем f ∈ I(S) ⇔ f = r1fi1 + . . . + rmfim.

Следовательно, f(x01, . . . , x

0n) = 0. ¤

Предложение 1. Пусть f1, . . . , fm и g1, . . . , gk — два базиса в I.Тогда системы S1 = f1 = 0, . . . , fm = 0 и S2 = g1 = 0, . . . , gk = 0эквивалентны.

Доказательство. Если x = (x01, . . . , x

0n) — решение S1, то

gi(x01, . . . , x

0n) = 0 по лемме 1. Следовательно, x — решение системы

S2. Обратное аналогично. ¤Таким образом, множество решений системы однозначно

определяется идеалом системы, а различным базисам одного идеалаотвечают эквивалентные системы.

Следствие 1. Любая система эквивалентна конечной системе.Доказательство. Из теоремы 1 § 1 следует, что во всяком идеале

кольца F [x1, . . . , xn] можно выбрать конечный базис. ¤Следствие 2. Любая система от одного неизвестного

эквивалентна системе из одного уравнения. ¤Подмножество X в Fn называется аффинным алгебраическим

многообразием, если существует система S такая, что x ∈ S ⇔ x ∈X(S), где X(S) обозначает множество решений системы S. Если I EF [x1, . . . , xn], то через X(I) обозначим подмножество в Fn, состоящееиз элементов, на которых все многочлены из I равны 0. Ясно, чтоS1 ∼ S2 ⇔ X(S1) = X(S2), а также что X(S) = X(I(S)).

Заметим, что системы могут быть эквивалентны, но их идеалы несовпадают.

Пример. x = 0 ∼ x2 = 0, но (x2) 6= (x).Однако для любого многообразия X существует наибольший идеал

J(X), задающий это многообразие:

J(X) = f ∈ F [x1, . . . , xn] : f(x) = 0 для любого x ∈ X.


Предложение 2. S1 ∼ S2 ⇔ J(X(S1)) = J(X(S2)).Доказательство. Покажем, что если J(X(S1)) = J(X(S2)), то

X(S1) = X(S2). Так как Si ⊆ I(Si) ⊆ J(X(Si)), то для любого f ∈ S1

имеем f ∈ J(X(S2)), т. е. любое решение системы S2 является решениемсистемы S1. Следовательно, X(S2) ⊆ X(S1). Аналогично показываетсяобратное. Теперь очевидны эквивалентности: S1 ∼ S2 ⇔ X(S1) =X(S2) ⇔ J(X(S1)) = J(X(S2)). ¤

Радикалом идеала I называется множество

r(I) = f ∈ F [x1, . . . , xn] : fs ∈ I для некоторого s ∈ N.

Предложение 3. 1. I ⊆ r(I). 2. r(I) E F [x1, . . . , xn]. 3. X(I) =X(r(I)).

Доказательство. 1. Очевидно. 2. Пусть f1, f2 ∈ r(I) и fs11 ∈ I, fs2

2 ∈I. Тогда (f1 + f2)s1+s2 =

∑αkfk

1 fs1+s2−k2 ∈ I, αk ∈ F . Если f2

произвольный, то (f1f2)s1 ∈ I ⇒ f1f2 ∈ r(I). 3. Из I ⊆ r(I) следуетX(r(I)) ⊆ X(I). Обратно, если x ∈ X(I) и f(x) 6= 0 для некоторогоf ∈ r(I), то fs(x) 6= 0 для любого s, но существует s такое, что fs ∈ I.¤

Идеал I называется радикальным, если I = r(I).Упражнение. Показать, что r(r(I)) = r(I).Далее в этом параграфе считаем F = C.

Предложение 4. (см.: Прасолов В. В. Многочлены. М.: МЦНМО,2000.) Если f1, . . . , fm без общих нулей, то существуют такиеg1, . . . , gm, что

∑mi=1 figi = 1. ¤

Теорема 1 (Гильберта о нулях). Для любой системы S над Cсправедливо равенство

J(X(S)) = r(I(S)).

Переформулировка: Для системы fi(x1, . . . , xn) = 0, i = 1, . . . , mмногочлен f(x1, . . . , xn) обращается в нуль на всех решениях даннойсистемы ⇔ существуют r1(x1, . . . , xn), . . . , rm(x1, . . . , xn) и s ∈ Nтакие, что fs =

∑mi=1 rifi.

Замечание. Над R теорема не верна.Доказательство. Пусть S = f1 = 0, . . . , fm = 0 и f(x0

1, . . . , x0n) = 0

для любого (x01, . . . , x

0n) ∈ X(S). Покажем, что существует s ∈ N такое,

что fs ∈ (f1, . . . , fm). При f = 0 утверждение очевидно. Добавим

§ 3. Базис Грёбнера идеала 117

к неизвестным x1, . . . , xn новую неизвестную xn+1 = z и рассмотриммногочлены f1, . . . , fm, 1− zf . Они не имеют общих нулей, поэтому

1 =m∑

i=1

hifi + hm+1(1− zf),

где hi ∈ F [x1, . . . , xn, z]. Положим z = 1/f . После приведения к общемузнаменателю получим: fs =

∑mi=1 rifi, где ri ∈ F [x1, . . . , xn]. ¤

Следствие 3. S1 ∼ S2 ⇔ r(I(S1)) = r(I(S2)). ¤Следствие 3 показывает, что существует биекция между

аффинными алгебраическими многообразиями и радикальнымиидеалами кольца C[x1, . . . , xn].

Предложение 5. Пусть f1(x1, . . . , xn) и f2(x1, . . . , xn)неприводимы. Тогда f1 = 0 ∼ f2 = 0 ⇔ f1 = αf2, α ∈ C.

Доказательство. Из неприводимости fi и факториальности кольцаC[x1, . . . , xn] следует, что если некоторая степень f делится на fi, то fделится на fi. Следовательно, r((fi)) = (fi). Таким образом, f1 = 0 ∼f2 = 0 ⇔ (f1) = (f2) ⇔ f1 = αf2. ¤

Следствие 4. Система S несовместна ⇔ 1 ∈ I(S).Доказательство. X(S) = ∅ ⇔ S ∼ 1 = 0 ⇔ r(I(S)) =

r(C[x1, . . . , xn]) ⇔ 1 ∈ r(I(S)) ⇔ 1 ∈ I(S). ¤

§ 3. Базис Грёбнера идеалаЗадача вхождения. Пусть идеал I E F [x1, . . . , xn] задан базисомI = (f1, . . . , fm). Требуется найти алгоритм, позволяющий за конечноечисло шагов выяснить, принадлежит ли данный многочлен h =h(x1, . . . , xn) идеалу I.

Редукция. Предположим, что hC делится на (fi)C , т. е. hC = (fi)C ·q. Положим h1 = h − fi · q. Тогда (h1)C < hC и h ∈ I ⇔ h1 ∈ I.Таким образом, задачу вхождения теперь можно решать для h1. Еслиза конечное число редукций h сводится к нулю (редуцируется), то h ∈ I.

Базис f1, . . . , fm в I называется базисом Грёбнера, если любой h ∈ Iредуцируется к нулю при помощи f1, . . . , fm.

Заметим, что f1, . . . , fm — базис Грёбнера в I ⇔ I = (f1, . . . , fm)и для любого h ∈ I одночлен hC делится на некоторый (fi)C .


Лемма 1. Пусть f1, . . . , fm ∈ I такие, что для любого h ∈ Iодночлен hC делится на (fi)C для некоторого i. Тогда f1, . . . , fm —базис Грёбнера в I.

Упражнение. Н.О.Д.(fC , gC) = 1 ⇒ f, g — базис Грёбнера в I =(f, g).

Таким образом, если нам известен базис Грёбнера идеала I и данмногочлен h, то, проводя всевозможные редукции с помощью элементовбазиса, получаем, что h ∈ I ⇔ h редуцируется к нулю.

Лемма 2. Пусть I E F [x1, . . . , xn]. Тогда в I существует базисГрёбнера.

Доказательство. Рассмотрим идеал, порождённый всемиэлементами fC , f ∈ I, и выберем в нём по теореме Гильбертао базисе конечный базис J . Тогда элементы исходного идеала, старшиечлены которых образуют базис J , составляют конечный базис Грёбнерав I. ¤

Пусть I = (f1, . . . , fm). Говорят, что многочлены fi и fj допускаюткомпозицию, если (fi)C и (fj)C одновременно делятся на некоторыйодночлен g 6∈ F .

Если fi, fj ∈ I допускают композицию, т. е. (fi)C = wq1, (fj)C =wq2, то рассмотрим их композицию, т. е. многочлен S(fi, fj) = fiq2 −fjq1 ∈ I. Редуцируем S(fi, fj) с помощью базиса к элементу S(fi, fj).Если S(fi, fj) = 0, то говорим, что композиция тривиальна, иначеприсоединяем S(fi, fj) := fm+1 к базису f1, . . . , fm.

Упражнение. Если Н.О.Д. (fC , gC) = 1, то S(f, g) := fgC − gfC

редуцируется к нулю при помощи f, g. В этом случае также говорим,что композиция f и g также тривиальна.

Лемма 3. Пусть fi, i = 1, . . . , s, имеет старший членaix

α11 . . . xαn

n . Тогда если f =∑s

i=1 λifi и fC < xα11 . . . xαn

n , то f =∑s−1i=1 γiS(fi, fi+1), γi ∈ F .

Доказательство. S(fi, fi+1) = fi

ai− fi+1

ai+1, f =

∑si=1 λifi = λ1a1( f1

a1−

f2a2

) + (λ1a1 + λ2a2)( f2a2− f3

a3) + . . . + (λ1a1 + . . . + λs−1as−1)(

fs−1as−1

− fs

as) +

(λ1a1 + . . . + λsas)( fs

as). ¤

Теорема 1. Для любого набора f1, . . . , fm ∈ F [x1, . . . , xn] послеприсоединения конечного числа нетривиальных композиций получимнабор, в котором все композиции тривиальны.

§ 4. Системы алгебраических уравнений и базисы Грёбнера 119

Доказательство от противного. Если при редуцированииполучается бесконечное множество I нередуцируемых многочленов, торассмотрим идеал J , порождённый их старшими членами. Выбираемв J конечное множество образующих m1, . . . ,mk. Пусть fi ∈ I такие,что (fi)C = mi, i = 1, . . . , k, и пусть T = fi, i = 1, . . . , k. Тогда длялюбого f ∈ I \ T старший член fC делится на (fi)C для некоторого i,т. е. редуцируется. ¤

Теорема 2 (Diamond Lemma). Базис f1, . . . , fm в I являетсябазисом Грёбнера ⇔ в базисе f1, . . . , fm все композиции тривиальны.

Доказательство. В одну сторону утверждение очевидно. Докажемв обратную. Достаточно показать, что f =

∑hifi для любого

f ∈ I, где старший член fC совпадает с (hkfk)C для некоторого k.От противного. Предположим, что fC < (hkfk)C для некоторого kи такое представление для f выбрано так, что (hkfk)C минимален.Пусть hi = (hi)C +(hi)M и f =

∑ti=1((hi)Cfi+(hi)Mfi)+

∑mi=t+1 hifi, где

(hifi)C = aixα11 . . . xαn

n , для i = 1, . . . , t, k < t, ai ∈ F . По лемме 3 имеем:∑ti=1(hi)Cfi =

∑t−1i=1 γiS((hi)Cfi, (hi+1)Cfi+1). Так как (hi)C являются

мономами, то S((hi)Cfi, (hi+1)Cfi+1) делится на S(fi, fi+1). Так какS(fi, fi+1) редуцируется к нулю, то S(fi, fi+1) =

∑glfl и S(fi, fi+1)C =

gkfk для некоторого k. Следовательно, f =∑

dlfl, где (difi)C < (h1f1)C

для любого i. Противоречие. ¤

§ 4. Системы алгебраических уравненийи базисы Грёбнера

В данном параграфе всюду F = C.

Теорема 1. Система S несовместна ⇔ базис Грёбнера идеала I(S)содержит ненулевую константу.

Доказательство. Если 0 6= α ∈ I(S), то система несовместна. Еслисистема несовместна, то 1 ∈ I(S) по следствию 4 § 2. Следовательно,(fi)C делит 1 для некоторого fi из базиса. ¤

Из следствия 3 § 2 получаем следующую теорему.

Теорема 2. S1 = fi = 0, i = 1, . . . , m ∼ S2 = gi = 0, i =1, . . . , k ⇔ fi ∈ r((g1, . . . , gk)), gj ∈ r((f1, . . . , fm)) для любых i, j. ¤

Теорема 3. Число решений системы S конечно ⇔ базис Грёбнераидеала I(S) содержит такие элементы f1, . . . , fn, что (fi)C = xki

i .


Доказательство. Пусть число решений системы конечно.Неизвестная x1 может принимать на множестве решений лишь конечноечисло значений α1, . . . , αn1 . Многочлен f(x1) = (x1−α1) . . . (x1−αn1) ≡ 0на множестве решений системы S. Следовательно, по теоремеГильберта о нулях существует k1 ∈ N такое, что fk1 ∈ I(S). Далее(fk1)C = xn1k1

1 . По определению базиса Грёбнера в этом базисесуществует такой f1, что (f1)C делит (fk1)C , т. е. является степеньюx1. Аналогично и для остальных неизвестных.

Обратно, если f1, . . . , fn — такие элементы базиса Грёбнера, что(fi)C = xni

i , то в силу порядка fn зависит только от xn, т. е. xn можетпринимать лишь конечное число значений. Аналогично fn−1 зависиттолько от xn и xn−1 и его старший член не равен нулю при любыхзначениях xn. Следовательно, xn−1 принимает конечное число значенийи т. д. ¤

Предметный указатель

алгебра над полем, 51алгоритм

Евклида, 13

базисГрёбнера, 117Жордана, 69идеала, 114идеала конечный, 114

базисысингулярные, 104

векторкорневой, 66нормированный, 83собственный, 57

векторыортогональные, 85ортонормированные, 85

весмногочлена, 31одночлена, 31

высотавектора, 61

делимость, 8делитель

наибольший общий, 10дискриминант, 34длина

вектора, 83

дополнениеортогональное, 87

дробьнесократимая, 19правильная, 19простейшая, 20

заменанеизвестных, 105

значениесобственное, 57

идеалглавный, 7радикальный, 116

индекснильпотентности, 61

клеткаЖордана, 62

кольцоглавных идеалов, 12евклидово, 12с разложением, 9факториальное, 9

композиция, 118координаты вектора, 48корень

кратный, 21многочлена, 21

кратное

121

122 Предметный указатель

наименьшее общее, 11

матрицаЖордана, 64клеточно-диагональная, 56нормальная, 90ортогональная, 91отображения, 48перехода, 49полураспавшаяся, 54симметрическая, 91унитарная, 91характеристическая, 52эрмитова, 91

матрицыподобные, 52

метод Ньютона, 45минор

главный, 109многообразие

аффинное алгебраическое, 115многочлен

минимальный, 59неприводимый, 8однородный, 29примитивный, 15симметрический, 29симметрический

элементарный, 30характеристический, 52характеристический

преобразования, 56множества

ортогональные, 87множитель многочлена

кратный, 27

неравенствоКоши — Буняковского, 83

определительпреобразования, 56

определитель Вандермонда, 36ортогонализация, 86

подпространствоинвариантное, 54

полеалгебраически замкнутое, 43разложения, 24

преобразованиеиндуцированное, 55неотрицательное, 101нильпотентное, 61нормальное, 90ортогональное, 90положительное, 101симметрическое, 90сопряжённое, 88унитарное, 90эрмитово, 90

проектирование, 47произведение

скалярное, 81производная

многочлена, 25многочлена кратная, 25

пространстваизоморфные, 92

пространствоевклидово, 81унитарное, 81

радикалидеала, 116

разложениена множители, 27полярное, 103

рангформы, 106

123

расстояние, 84расширение поля

алгебраическое, 25простое, 24

результант, 38ряд Штурма, 46

сигнатура, 108система

уравненийалгебраических, 113конечная, 113

системыэквивалентные, 113

следматрицы, 52преобразования, 56

содержание многочлена, 15спектр, 61степень

дроби, 19многочлена, 29одночлена, 29

суммаортогональная, 87степенная, 34

теоремаГамильтона — Кэли, 53Гильберта о нулях, 116Жордана, 65, 66, 71, 74Штурма, 46

формадиагональная, 106квадратичная, 105нормальная, 106положительно определённая,

110формула

Лейбница, 25функция

матрицы, 75

цепочка, 69

числосингулярное, 103

элементалгебраический, 25неразложимый, 8простой, 8регулярный, 8

элементыассоциированные, 8образующие, 114порождающие, 114

Учебное издание

Пожидаев Александр Петрович,

Сверчков Сергей Робертович,

Шестаков Иван Павлович


Часть 2

Учебное пособие

Редактор Е. П. Войтенко

Подписано в печать 30.10.2012Формат Уч.-изд. л. 7,8. Усл. печ. л. 7,2.

Тираж 150 экз. Заказ Редакционно-издательский центр НГУ.630090, Новосибирск-90, ул. Пирогова, 2.

Documents

ЛЕКЦИИПОАЛГЕБРЕ Часть2math.nsc.ru/LBRT/a1/sotr/AlgebraII.pdf · на простые множители), т. е. если a = vq1:::qs другое разложение