Embed Size (px)
Citation preview
Міністерство освіти і науки України Національний технічний університет України “Київський політехнічний інститут”
Фізико-математичний факультет
ФІЗИКА: ЕЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
Методичні вказівки до самостійної роботи
студентів технічних напрямків підготовки усіх форм
навчання
Київ 2014
2
УДК 53 (07) ББК..................................... ............................................ Ф50
Укладачі: Анісімова Ольга Володимирівна Пугач Ольга Віталіївна
Рецензент: Балахонова Н.О.
Фізика: Електромагнетизм. Методичні вказівки до самостійної роботи студентів технічних напрямків підготовки усіх форм навчання. – 2014. - 50 с.
3
Вступ
Рух зарядженої частинки або впорядкований рух якоїсь
кількості частинок, який називають електричним струмом, створюють в оточуючому просторі особливий вид поля – магнітне поле.
З іншого боку дія магнітного поля на рухомі заряди залежить від швидкості заряду, тобто розділення поля на електричне і магнітне залежить від вибору системи відліку. При переході від однієї системи відліку до іншої електричне і магнітне поля певним чином перетворюються і закони цього перетворення даються спеціальною теорією відносності. Доповнивши основні факти з області електродинаміки магнітною дією струмів зміщення, Максвел склав систему фундаментальних рівнянь електродинаміки.
Магнітне поле сталого струму
Силовою характеристикою магнітного поля у даній точці
простору є індукція – B . Вона визначається електричним струмом (або величиною і
швидкістю руху заряда), геометричним положенням точки та магнітними властивостями навколишнього середовища, які характеризуються магнітною проникністю µ . Одиниця вимірювання B у системі СІ – тесла (Тл), µ – безрозмірна.
Індукція, що створюється рухомим зарядом
та провідником зі струмом Індукція магнітного поля, створювана зарядженою частинкою
[ ]034
qr⋅µµ
=π
v rB ,
де r – радіус-вектор, напрямлений від заряду q до точки, у якій визначається магнітна індукція, v – швидкість частинки. Індукція поля, що створюється елементом струму визначається із закону Біо-Савара-Лапласа
4
[ ]034
I dd
r⋅µµ
=π
l rB ,
де dB – магнітна індукція поля, створюваного елементом провідника довжиною dl зі струмом I (напрямок dl співпадає з напрямком струму); µ – магнітна проникність ізотропного (з однаковими у всіх напрямках властивостями) середовища; 0µ – магнітна стала; r – радіус-вектор, напрямлений від елемента провідника до точки, у якій визначається магнітна індукція. Модуль вектора dB визначається
02
d sin4
I ldBr
µµ= α
π,
де α – кут між радіусом-вектором і напрямком струму. Магнітна індукція об’ємно розподіленого струму
[ ]034dV
dr⋅µµ
=π
j rB ,
де j – густина струму в об’ємі dV . Напрямок вектора магнітної індукції B
поля, створюваного прямим струмом, можна визначити за правилом правого гвинта (рис. 1). Лінії індукції завжди замкнені. Вони лежать в площині, перпендикулярній напрямку струму або швидкості заряду. Магнітна індукція провідника зі струмом визначається за принципом суперпозиції:
d= ∫B B . Якщо магнітне поле створюється кількома провідниками, магнітна індукція дорівнює векторній сумі магнітних індукцій складових полів iB
ii
=∑B B .
Покажемо застосування принципу суперпозиції на прикладі визначення магнітної індукції на осі колового провідника зі струмом.
Приклад. Тонким коловим провідником радіусом R проходить струм I.
Рис. 1
5
Визначимо магнітну індукцію B в точці А, рівновіддаленій від усіх точок кола на відстань r.
Виділимо на провіднику елемент dl і від нього в точку А проведемо радіуc-вектор r (рис. 2). Визначимо dB – магнітну індукцію поля, створюваного елементом струму lId у точці А. Згідно закону Біо-Савара-Лапласа:
[ ]034
I dd
rµµ ⋅
=π
l rB .
Напрямок вектора dB виберемо відповідно до правила правого гвинта (рис. 2).
За принципом суперпозиції магнітних полів, магнітна індукція B у точці А визначається інтегруванням:
ld= ∫B B ,
де інтегрування ведеться по всіх елементах dl провідника. Розкладемо вектор dB на дві складові: d ⊥B – перпендикулярну до
площини кола, і dB – паралельну площині кола, тобто d d d⊥= +B B B .
Тоді l l
d d⊥= +∫ ∫B B B .
Для кожної пари елементів струму Idl та Id ′l ( Idl Idl′= ), розміщених симетрично відносно центра кільця, вектори dB і d ′B у точці А рівні за
модулем та протилежні за напрямком: d d ′= −B B . Тому інтеграл 0l
d =∫ B ,
тобто l
d ⊥= ∫B B .
Оскільки вектори d ⊥B від різних елементів dl напрямлені в один бік, замінимо векторне інтегрування скалярним:
l
B dB⊥= ∫ ,
де cosdB dB⊥ = β (рис. 2). Розглянемо векторний добуток [ ]d ⋅l r у формулі для dB (закон Б-С-
Л). Оскільки d ⊥l r , sin 1α = . Остаточно маємо 0
24IdldBr
µµ=π
.
Таким чином, 2
0 0 02 2 2
0
2cos cos cos4 4 4
R
l
Idl I I RB dlr r r
πµµ µµ µµ π= β = β = βπ π π∫ ∫ .
Після скорочення та врахування, що cos /R rβ = (рис. 2) отримаємо
Рис. 2
6
20
32IRBr
µµ= .
Якщо h – відстань від центра витка до точки, у якій визначається магнітна індукція,
( )2
03/22 22
IRBh Rµµ=+
.
Магнітна індукція у центрі колового провідника радіуса R зі струмом
0
2IB
Rµµ
= .
Магнітна індукція поля, створюваного відрізком прямого провідника зі струмом (див. рис. 3а),
( )0 1 2
0
cos cos2
IB
rµµ α − α
=π
.
Позначення зрозумілі з рис. 3. Напрямок вектора магнітної індукції B позначено точкою – це означає, що вектор B напрямлений перпендикулярно до площини креслення до нас.
При симетричному розташуванні кінців провідника відносно точки, у якій визначається
магнітна індукція (рис. 3б), 1 2cos cos cosα = − α = α .
Тоді 0
0
cos2IB
rµµ α
=π
.
Магнітна індукція поля довгого прямого струму навпроти його середини
0
02IB
rµµ
=π
,
де 0r – відстань від осі провідника до точки, у якій визначається індукція B (довжина провідника 0l r>> ).
Магнітна індукція поля довгого соленоїда∗ в його середині *Сукупність спірально намотаних на циліндричну поверхню витків ізольованого провідника, по якому проходить електричний струм.
Рис. 3
7
0B nI= µµ , де n – відношення числа витків соленоїда до його довжини.
Провідник зі струмом у магнітному полі
Сила, що діє на прямий відрізок провідника зі струмом в однорідному магнітному полі (сила Ампера),
[ ]I= ⋅F l B , або sinF IlB= α , де l – довжина провідника (напрямок l співпадає з напрямком струму); α – кут між напрямком струму в провіднику і вектором магнітної індукції B .
Якщо поле неоднорідне і провідник не прямий, то закон Ампера можна застосовувати до кожного елемента dl провідника окремо:
[ ]d I d= ⋅F l B . Магнітний момент плоского контуру зі струмом (рис. 4)
m IS=p n , де n – одиничний вектор нормалі (додатної) до площини контуру; I – сила струму, що протікає в контурі; S – площа контуру. Одиниці вимірювання mp у системі СI – 2А м⋅ . Механічний (обертальний) момент, що діє
на контур зі струмом в однорідному магнітному полі, [ ]m= ⋅M p B , або sinmM p B= α ,
де α – кут між векторами mp і B . В стані рівноваги напрямки mp і B співпадають. Результуюча сила, що діє на контур в однорідному магнітному полі дорівнює нулю. В неоднорідному полі
mpn
∂=
∂BF ,
де n
∂∂B – похідна від вектора B за напрямком вектора mp .
Проекція сили F на деякий напрямок x буде x
x mBF pn
∂=
∂
Рис. 4
8
Потенціальна енергія (механічна)* контуру зі струмом у магнітному полі
мех cosm mp BΠ = − = − αp B .
Відношення магнітного моменту mp до механічного L (моменту імпульсу) зарядженої частинки, що рухається по коловій орбіті,
/ / 2mp L Q m= , де Q – заряд частинки; m – маса частинки.
Сила Лоренца (магнітна складова)
Сила, яка діє на заряджену частинку, що рухається в магнітному полі
[ ]м Q= ⋅F v B , або м sinF QхB= α , де Q – заряд частинки, v – швидкість зарядженої частинки; α – кут між векторами v і B . Оскільки сила Лоренца перпендикулярна швидкості частинки, вона не змінює величини швидкості, робота магнітних сил дорівнює нулю. Якщо в магнітному полі виконується робота, вона виконується за рахунок інших джерел енергії.
Якщо заряджена частинка влітає в однорідне магнітне поле паралельно до ліній магнітної індукції ( 0α = ), сила Лоренца дорівнює нулю, а частинка буде рухатись прямолінійно та рівномірно.
Якщо заряджена частинка влітає в однорідне магнітне поле перпендикулярно до ліній магнітної індукції ( ⊥v B ), вона буде рівномірно рухатись по колу, причому частота обертання частинки не буде залежати від її швидкості.
Приклад. Визначимо частоту обертання частинки з зарядом Q та масою
m в магнітному полі з індукцією B. Оскільки сила Лоренца перпендикулярна до вектора швидкості
* Частина повної потенціальної енергії, зумовлена існуванням механічного (обертального) моментy (див. І.В. Кучерук, І.Т. Горбачук, П.П. Луцик. Загальний курс фізики. Електрика і магнетизм. „Техніка”. –К. 2001 р.§8.6.
9
частинки v , то вона надасть їй нормальне прискорення na . Відповідно до другого закону Ньютона,
м nF ma= , де m – маса частинки. У нашому випадку ⊥v B і sin 1α = , отже мF QхB= . Нормальне прискорення 2
na х R= (R – радіус кола), тобто: 2QхB mх R= .
Звідси х R QB m= .
Період обертання 2T R х= π . Частота 12 2х QB
T R mν = = =
π π.
Якщо заряджена частинка влітає в однорідне магнітне поле під деяким кутом α (α=π/2) до ліній магнітної індукції, вона буде рухатися гвинтовою лінією (рис. 5).
Приклад. Визначимо радіус R та крок h гвинтової лінії електрона, який рухається зі швидкістю v, що влетів в магнітне поле з індукцією B під кутом α .
Розкладемо швидкість v електрона на дві складові: паралельну вектору B ( v ) і перпендикулярну до нього ( ⊥v ). Швидкість v у магнітному полі не змінюється і забезпечує переміщення електрона уздовж силової лінії поля. Швидкість ⊥v у результаті дії сили Лоренца буде змінюватися тільки за напрямком
( м ⊥⊥F v ). Таким чином, електрон, рухаючись по спіралі, братиме участь одночасно у двох рухах: рівномірному переміщенні вздовж напряму магнітного поля зі швидкістю v ( cosх х= α ) і рівномірному русі по колу зі швидкістю ⊥v ( sinх х⊥ = α ).
Знайдемо радіус гвинтової лінії R. Для цього скористаємося тим, що сила Лоренца надає електрону нормальне (доцентрове) прискорення
2na х R⊥= . Відповідно до другого закону Ньютона можна написати
м e nF m a= , або 2eeх B m х R⊥ ⊥= , де me – маса електрона, e – елементарний
заряд. Отже, sine em х m хR
eB eB⊥ α
= = .
Період обертання електрона пов’язаний з перпендикулярною складовою
швидкості співвідношенням 2 2 eR mTх eB⊥
π π= = .
Рис. 5
10
За час, що дорівнює періоду обертання T, електрон пройде вздовж силової лінії поля відстань, рівну кроку гвинтової лінії , тобто
2 cosem хh х TeB
π α= = .
Якщо частинка перебуває одночасно в електричному і магнітному
полях, то під силою Лоренца розуміють вираз [ ]Л ел м Q Q= = + ⋅F F + F E v B ,
де E – вектор напруженості електричного поля.
Магнітне поле в речовині Вектор намагніченості J – сумарний магнітний момент одиниці об’єму речовини
1
1 N
m iiV =
=∆ ∑J p , або mn=J p ,
де m ip – магнітні моменти окремих молекул, N – число молекул в об’ємі V∆ , mp – середній магнітний момент молекулярних струмів однієї молекули, n – концентрація молекул. Вектор напруженості магнітного поля H – допоміжна силова характеристика магнітного поля. У випадку, коли нормаль до межі магнетика складає кут 0 або 90° з лініями магнітної індукції, напруженість магнітного поля не залежить від магнітних властивостей однорідного середовища. Вектор напруженості можна визначити як
0
= −µBH J .
Зв'язок намагніченості J з напруженістю H магнітного поля = χJ H ,
де χ – магнітна сприйнятливість речовини. Одиниці вимірювання J , H у системі СІ – А/м. Зв'язок магнітної індукції B із напруженістю H магнітного поля
0= µµB H , де магнітна проникність речовини 1µ = + χ . У вакуумі ( 1µ = ) магнітна індукція 0= µB H .
11
Діамагнетики – речовини (наприклад, інертний газ), у яких за
відсутності зовнішнього магнітного поля орбітальні Lp і спінові Sp моменти атомів або молекул скомпенсовані ( ат 0=p ). У
зовнішньому магнітному полі в результаті прецесії електронних орбіт з’являються індуковані магнітні моменти атомів, напрямлені проти поля B .
Ларморівська частота прецесії
Л 2 e
eBm
ω = ,
де e – заряд електрона, em – маса електрона. Магнітна сприйнятливість діамагнетиків
22
06 ie
e Zn Rm
χ = − µ < > ,
де Z – кількість електронів в атомі, 2iR< > – середня відстань
електрона від ядра. Магнітна сприйнятливість діамагнетиків не залежить від магнітного поля та температури. За порядком величини ( )5 8~ 10 –10− −χ . Ларморівське обертання є одним із проявів електромагнітної індукції. Внаслідок цього магнітне поле, створюване ларморівським обертанням електронних орбіт має напрямок протилежний до напрямку зовнішнього поля. До діамагнетиків належать інертні гази, вода, мідь, цинк, ртуть, свинець, срібло, золото, багато органічних сполук та ін. Діамагнетики не притягаються до магнітів, скоріше, слабко відштовхуються. Парамагнетики – речовини, молекули яких за відсутності зовнішнього магнітного поля мають власний магнітний момент, але внаслідок хаотичної орієнтації магнітних моментів 0=J . У зовнішньому магнітному полі під дією обертального моменту сил M магнітні моменти речовини намагаються повернутися у напрямку зовнішнього поля, внаслідок чого вектор J напрямлений вздовж H і 0χ > .
12
Магнетон Бора Bµ (елементарний магнітний момент)
2Be
em
µ = ,
де – стала Планка. Намагніченість ізотропного парамагнетика визначається (за
Ланжевеном) ( )MJ np L a= ,
де n – концентрація молекул; Mp – магнітний момент окремої
молекули; ( )L a – функція Ланжевена, Mp BakT
= . У класичному
наближенні, якщо можливі всі орієнтації магнітних моментів 1( )
a a
a a
e eL ae e a
−
−
+= −
−,
де k – стала Больцмана, T – абсолютна температура. За умови 1a << ( Mp B kT<< ) функція Ланжевена ( ) / 3L a a≈ ,
у цьому випадку намагніченість 2
3MnpJ B
kT= , або
2
0 3MnpJ H
kT= µ .
Магнітна сприйнятливість парамагнітних речовин за умови Mp B kT<<
2
0 3Mnp
kTχ = µ .
Закон Кюрі визначає залежність магнітної сприйнятливості парамагнетика від температури (у випадку парамагнітних газів)
CT
χ = ,
де C – стала Кюрі. Урахування взаємодії між частинками (у рідинах та твердих тілах) приводить до закону Кюрі – Вейса
K
CT T
′χ =
−,
де C′ – стала Кюрі, KT – характерна для кожної речовини температура, яка може бути як додатною, так і від’ємною.
13
До парамагнетиків належать магній, алюміній, кальцій, хром, марганець, кисень, літій, уран. За порядком величини
( )4 6~ 10 –10− −χ . Феромагнетики – це кристалічні речовини, у яких магнітні моменти окремих іонів 0i ≠p . У феритів елементарну комірку кристалу утворюють іони різного типу, у феромагнетиків – одного типу. Як показали досліди Ейнштейна і де Гааза, а також досліди Н.Ф.Іоффе і П.Л.Капіци, магнітний момент іона феромагнетику зумовлений впорядкованою орієнтацією спінових магнітних моментів електронів i s=∑p p . Область всередині кристалічного феромагнетику, в якій усі магнітні моменти елементарних комірок за відсутності зовнішнього поля встановлюються в одному напрямку за рахунок обмінної електростатичної взаємодії, називається доменом. Домен наділений магнітним моментом Дp . Розміри доменів становлять
8 610 –10 м− − . За відсутності зовнішнього магнітного поля магнітний момент феромагнетику дорівнює нулю. Між доменами є перехідні шари шириною 9 810 –10 м− − .
Магнітна проникність µ феромагнетику залежить від напруженості магнітного поля H . Її можна визначити з основної кривої намагнічування ( )B H (див. рис. 6):
0
BH
µ =µ
.
Для феромагнетиків і феритів є притаманним магнітний гістерезис, який відображає залежність намагнічування від попереднього стану. При
циклічних змінах величини і напрямку напруженості H
Рис. 6.
14
зовнішнього поля ця залежність характеризується кривою, що називається петлею гістерезисну (рис. 7).
Якщо феромагнетик був початково розмагніченим, то він намагнічується за основною кривою намагнічування ОА. У точці А напруженість насН і індукція насB відповідають стану магнітного насичення.
Розмагнічування феромагнетику проходить кривою ( '- - -r сА В Н А ).
За умови 0Н = намагніченість феромагнетику не зникне ( rB B= ). Цей стан називається залишковим магнетизмом. Напруженість, при якій зникає залишкова намагніченість ( 0B = ), називається коерцитивною силою – cН . Якщо при циклічному намагнічуванні max насН Н> , отримаємо максимальну петлю гістерезису. Криві 2 і 3 – це часткові цикли, коли max насН Н< . Максимуми B і Н часткових циклів лежать на основній кривій намагнічування ОА. Умовно прийнято вважати феромагнетик жорстким, якщо 100 А/мсН ≥ . Якщо 100 А/мсН < феромагнетики вважаються м’якими. Теоретично намагніченість насичення має найбільше значення при 0 КT = і монотонно зменшується до нуля при температурі, що дорівнює температурі Кюрі KT . Якщо KT T> речовина з феромагнітного стану переходить в парамагнітний.
Магнітний потік
У випадку однорідного магнітного поля і плоскої поверхні магнітний потік (потік індукції магнітного поля) дорівнює
cosBSΦ = ϕ, або nB SΦ = , де S – площа поверхні; cosnB B= ϕ – проекція вектора В на нормаль п; ϕ – кут між нормаллю до площини поверхні та вектором індукції B .
Рис. 7
Рис. 7.
15
У випадку неоднорідного поля та довільної поверхні S потік індукції магнітного поля
nS
B dSΦ = ∫
Потокозчеплення (повний магнітний потік крізь усі витки соленоїда)
NΨ = Φ , де N – кількість витків в обмотці соленоїда, Φ – магнітний потік крізь один виток. Ця формула справедлива для соленоїда і тороїда з рівномірною намоткою витків, які щільно прилягають один до одного. Одиниці вимірювання Φ , Ψ у системі СІ – вебер (Вб).
Індуктивність контуру /L I= Ψ .
Індуктивність довгого соленоїда (тороїда) 2
0L n V= µµ , де n – відношення числа витків соленоїда до його довжини; V – об’єм соленоїда.
Одиниці вимірювання L у системі СI – генрі (Гн). Якщо є два індуктивно зв’язані контури зі струмами I1 та I2, коефіцієнт взаємної індукції (взаємна індуктивність)
12 12 2/L I= Φ , де 12Φ – магнітній потік, створюваний струмом 2I крізь контур 1. Теорема взаємності
12 21L L= . Робота з переміщення замкненого контуру в магнітному полі
A I= ∆Φ .
Енергія магнітного поля Енергія котушки з індуктивністю L
2 2LW LI= . Об'ємна густина енергії магнітного поля (енергія магнітного
поля в одиниці об’єму) 2 2
0 02 2 2dW dV BH B H= = = µµ = µµw , де B – магнітна індукція; H – напруженість магнітного поля.
16
Основні закони магнітного поля
Закон повного струму (теорема про циркуляцію)
l
l
H dl I=∫ ,
де lH – проекція вектора H на напрямок елементарного переміщення dl вздовж контуру l ,
1
n
ii
I I=
= ∑ – алгебраїчна сума струмів,
охоплених контуром (струми повинні бути замкненими). Струм вважається додатним, якщо його напрямок зв’язаний з напрямком обходу контуру за правилом правого гвинта (рис. 8). Диференціальна форма закону повного струму
rot =H j, де j – густина струму. У декартовій системі координат ротор (вихор) вектора H (див. додаток 1) визначається як
rot y yx xz zx y z
H HH HH Hy z z x x y
∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ = − + − + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ H e e e ,
де xe , ye , ze – одиничні вектори осей x , y , z . Формально rotH – це векторний добуток диференціального
оператора ∇ (набла) на вектор Н.
Теорема Гауса для магнітного поля: магнітний потік крізь
замкнену поверхню дорівнює нулю 0n
S
B dS =∫ .
У диференціальній формі div 0=B .
У декартовій системі координат дивергенція (розходження) вектора B (див. додаток 1) визначається як
Рис. 8.
17
div yx zBB B
x y z∂∂ ∂
= + +∂ ∂ ∂
B .
Формально divB – це скалярний добуток диференціального
оператора ∇ на вектор В.
Граничні умови для векторів B та H на межі розділу двох магнетиків
1 2n nB B= ; 2 1 nH H iτ τ− = , де 1nB , 2nB – проекції векторів магнітної індукції у першому та другому середовищах на нормаль до поверхні поділу, проведену з першого середовища у друге, 1H τ , 2H τ – тангенціальні складові векторів напруженості ni – складова лінійної густини поверхневого струму i , яка перпендикулярна до магнітного поля.
Явища індукції та самоіндукції
Закон електромагнітної індукції Фарадея
–iddtΦ
=ε ,
де iε – ЕРС індукції, що виникає в контурі, Φ – магнітній потік, що пронизує цей контур. Правило Ленца: індукційний струм у замкненому провідному контурі має такий напрям, що створюване ним магнітне поле протидіє змінам магнітного поля, яке збуджує індукційний струм. Закон електромагнітної індукції в загальному вигляді (формулювання Максвела)
l nl S
dE dl B dSdt
= −∫ ∫ ,
де l – довільний замкнений контур, S – довільна поверхня, яка спирається на контур l , E – напруженість електричного поля. Диференціальна форма запису закону електромагнітної індукції Фарадея:
rot – t
∂=
∂BE .
У декартовій системі координат ротор вектора E (див. додаток
18
1) визначається як
rot y yx xz zx y z
E EE EE Ey z z x x y
∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ = − + − + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ E e e e .
У соленоїді ЕРС індукції
–iddt
е Ψ= .
Різниця потенціалів на кінцях провідника довжиною l , що рухається зі швидкістю v в магнітному полі індукції B
sinU Blх= α , де α – кут між векторами v і B .
Заряд, що протікає по замкнутому контуру під час зміни магнітного потоку, що пронизує цей контур,
NQR R∆Ψ ∆Φ
= = ,
де R – опір контуру. ЕРС самоіндукції
–sdILdt
е = .
Змінний струм
Напруга на активному опорі R RU IR= ,
де I – сила струму в колі. Різниця потенціалів на котушці індуктивностіL
LdIU Ldt
= .
Різниця потенціалів на конденсаторі ємності C
CqUC
= ,
де q – заряд на конденсаторі. Розгалужені кола змінного струму розраховують на основі правил Кірхгофа, узагальнених для змінного струму (випадок квазістаціонарних струмів):
0ii
I =∑ (для вузлів);
19
i ii i
U е=∑ ∑ (для контурів).
У першому правилі Кірхгофа враховуються струми, що сходяться у вузлі. У другому правилі Кірхгофа враховуються як
R iU , так і L iU , C iU , ii
е∑ - алгебраїчна сума ЕРС контуру.
Приклад: Електричне коло складається з послідовно з’єднаних індуктивності L та активного опору R. Встановимо закон зміни сили струму I в електричному колі у випадках: 1) Вмикання джерела струму з ЕРС е ; 2) Розмикання кола, якщо в початковий момент часу у колі проходить струм
0I . Випадок 1. Запишемо для нашого випадку друге правило Кірхгофа
dIL RIdt
е+ = .
Це диференціальне рівняння, яке можна розв’язати методом розділення змінних:
dIL RIdtе= − ; 1dI dt
RI Lе =−
; dI R dtR I Lе =−
.
Оскільки в початковий момент ( 0 0t = ), струм дорівнює нулю, отримаємо:
0 0
I tdI R dtR I Lе =−∫ ∫ .
Після інтегрування
ln R I R tR L
ее
−− = .
Звідси
expR I R tR L
ее
− = − ; exp RI tR R Lе е
− = − ; exp RI tR R Lе е
= − − .
Отже струм замикання кола змінюється за законом
1 exp RI tR Lе
= − − .
Випадок 2. У цьому випадку друге правило Кірхгофа запишеться
0dIL RIdt
+ = .
Розділимо змінні: dI R dtI L= − .
У початковий момент часу в колі проходить струм 0I , тому
20
0 0
I t
I
dI R dtI L= −∫ ∫ .
Після інтегрування отримаємо
0ln I R t
I L= − .
Отже струм розмикання кола змінюється за законом
0 exp RI I tL
= − .
Якщо струм в колі змінюється за синусоїдальним законом
0 sinI I t= Ω , де 0I – амплітудне значення сили струму, Ω – циклічна частота коливань. Напруга на активному опорі R
0 sinR RU U t= Ω , де 0 0RU I R= . Напруга і струм змінюються в однакових фазах. Різниця потенціалів на котушці індуктивності L
( )0 sin / 2L LU U t= Ω + π , де 0 0LU LI= Ω , LX L= Ω – індуктивний опір. Напруга за фазою випереджає струм в котушці на / 2π . Різниця потенціалів на конденсаторі ємності C
( )0 sin / 2C CU U t= Ω − π ,
де 0 01
CU IC
=Ω
, 1CX
C=Ω
– ємнісний опір. Напруга на
конденсаторі за фазою відстає від струму на / 2π . У загальному випадку, якщо коло складається з послідовно з’єднаних резистора опором R , котушки індуктивністю L , конденсатора ємністю C напругу результуючого коливання можна визначити як
( )0 sinU U t= Ω + ϕ ,
де 2 20 0 ( 1 / )U I R L C= + Ω − Ω , R –
активна складова опору, 1 /X L C= Ω − Ω – Рис. 9.
21
реактивна складова опору, 2 2( 1 / )Z R L C= + Ω − Ω – імпеданс (повний опір кола) ,
1 /L CtgR
Ω − Ωϕ = .
Співвідношення за фазами 0RU , 0LU , 0CU і 0U можна наглядно представити за допомогою векторної діаграми (рис. 4.9). Друге правило Кірхгофа в цьому випадку можна записати
i i ii i
Z I е=∑ ∑ .
Миттєве значення потужності ( )P t змінного струму в момент часу t визначається
( )P t UI= . Якщо струм і напруга змінюються періодично, визначають середнє значення потужності за період
2ефP I R= ,
де ефI – ефективне (діюче) значення струму. У випадку 0 sinI I t= Ω
ефективні значення струму і напруги еф 0 / 2I I= , еф 0 / 2U U= .
Електричні коливання Власні коливання. Період власних коливань в електричному контурі (формула Томсона)
2T LC= π , де L – індуктивність, C – ємність. Циклічна частота власних коливань
0 2 / 1T LCω = π = . Загасаючі коливання. Рівняння загасаючих коливань
( )-в0e cos +бtq q t= ω ,
де q – заряд на конденсаторі, 0q – амплітуда коливань, 2RL
β = –
коефіцієнт загасання, R – активний опір контуру,
22
22 2
01
2R
LC L ω = − = ω −β
– циклічна частота загасаючих
коливань. Період загасаючих коливань
2
2 2
12
TR
LC L
π π= =ω −
.
Струм та напруга у контурі також здійснюють загасаючі коливання, для яких значення β та ω визначаються вказаними вище формулами.
Критичний опір – найменше значення опору, за якого ще можливі загасаючі коливання
к 2 LRC
= .
Якщо кR R> , то частота та період – уявні, коливання не відбуваються і має місце аперіодичний розряд конденсатора.
Логарифмічний декремент загасання – натуральний логарифм відношення значень напруги (або струму), розділених інтервалом часу, що рівний періоду коливань T ,
( )( )
1
2
ln lnA tA
A A t Tλ = =
+.
Для коливального контуру
2
2=2 1
2
RTL R
LC L
πλ β = ⋅
−
.
Добротність контуру 2 2
0
2Q
ω −βπ= =λ β
.
Вимушені коливання Вимушені коливання відбуваються у коливальному контурі, що є підключеним до джерела, електрорушійна сила якого змінюється за гармонічним законом
0 cos tе е= Ω .
23
Струм в послідовному коливальному контурі (рис. 10) змінюється за законом
0 cosI I t= Ω , де 0I – амплітуда струму
00 2 2( 1 )
IR L C
е=
+ Ω − Ω,
ϕ – зсув фаз між напругою джерела і струмом
2 20
2tg Ω −ωϕ =
βΩ.
Якщо 0Ω < ω – напруга на контурі відстає від струму (переважає ємнісний опір), якщо 0Ω > ω – напруга на контурі випереджає струм (переважає індуктивний опір). Залежність 0 ( )I Ω визначає резонансну криву (рис. 11). Амплітуда струму різко зростає якщо частота Ω джерела ЕРС
наближається до частоти власних коливань 0ω . Це явище називається резонансом. Для струму резонансна частота рез 0Ω = ω . Добротність контуру
2 20
2Q
ω −β=
β
визначається гостротою резонансних кривих. За умови 0∆Ω << ω на висоті
0max0 2
II = ширина резонансної кривої
2∆Ω = β , добротність 0Q = ω ∆Ω .
Напруга на конденсаторі, як і електрорушійна сила ε , також змінюється за гармонічним законом
/ cos( / 2)C CmU q C U t= = Ω + ϕ− π , де q – заряд конденсатора, CmU – амплітуда коливань напруги на конденсаторі.
Рис. 11.
Рис. 10.
24
02 2( 1 )CmU
C R L Cе
=Ω + Ω − Ω
.
Резонансна частота для заряду q (або напруги на конденсаторі CU )
2 2рез 0 2Ω = ω − β .
Система рівнянь Максвела
Струм зміщення. Густина струму зміщення
зм 0 t t t
∂ ∂ ∂= = ε +
∂ ∂ ∂D E Pj ,
де D – вектор електричного зміщення, 0ε – електрична стала, E – вектор напруженості електричного поля, P – вектор поляризації,
пол t∂
=∂Pj – густина поляризаційного струму зміщення (струму,
обумовленого рухом зв’язаних зарядів). Друга частина струму
зміщення 0 t∂
ε∂E не пов’язана з рухом частинок і може існувати
навіть у вакуумі. Сила струму зміщення
зм nS
I D dSt∂
=∂ ∫ .
Узагальнений закон повного струму
змlH dl I Il
= +∫ , або nl n
S S
DH dl j dS dStl
∂= +
∂∫ ∫ ∫ ,
де lH – проекція вектора H на напрямок елементарного переміщення dl вздовж контуру l , I – сумарний струм провідності, охоплений контуром, j – густина струму провідності. Система рівнянь Максвела
Система рівнянь Максвела в інтегральній формі n
l nl S S
DH dl j dS dSt
∂= +
∂∫ ∫ ∫ ;
25
nl
l S
BE dl dSt
∂= −
∂∫ ∫ ;
0nS
B dS =∫ ;
nS V
D dS dV= ρ∫ ∫ ,
де ρ – об’ємна густина вільних зарядів. Система рівнянь Максвела в диференціальній формі
rott
∂= +
∂DH j ;
rot –t
∂=
∂BE ;
div 0=B ; div = ρD .
Диференціальну систему рівнянь доповнюють граничними умовами
2 1–n nD D = σ ; 2 1E Eτ τ= ; 1 2n nB B= ; 2 1 nH H iτ τ− = ,
де 1nD , 2nD , 1nB , 2nB – проекції векторів D та В в першому та другому середовищах на нормаль до поверхні поділу, проведену з першого середовища в друге, 1E τ , 2E τ , 1H τ , 2H τ – тангенціальні складові векторів напруженості, σ – поверхнева густина вільних зарядів, ni – складова лінійної густини поверхневого струму i , яка перпендикулярна до магнітного поля.
Матеріальні рівняння 0= εεD E ; 0= µµB H ; у=j E ,
де у – питома провідність провідника ε і µ – діелектрична і магнітна проникність середовища. Рівняння Максвела разом з граничними умовами становлять повну замкнену систему рівнянь, яка дає можливість розв’язати будь-яку задачу макроскопічної електродинаміки.
Для стаціонарних полів ( 0t t
∂ ∂= =
∂ ∂D B ) система рівнянь
Максвела розпадається на дві незалежні системи: систему рівнянь
26
електростатичного поля rot 0=E ; div = ρD ; 0= εεD E ;
2 1–n nD D = σ ; 2 1E Eτ τ= та систему рівнянь магнітостатичного поля
rot =H j; div 0=B ; 0= µµB H ; 1 2n nB B= ; 2 1 nH H iτ τ− = .
Електромагнітні хвилі. В однорідному ізотропному діелектрику система рівнянь
Максвела переходить в хвильове диференціальне рівняння щодо векторів E та H :
2
2 2
1 0t
∂∆ − =
υ ∂EE ,
2
2 2
1 0t
∂∆ − =
υ ∂HH ,
де ∆ – оператор Лапласа, 0 0
1 cυ = =
εε µµ εµ – фазова швидкість
електромагнітної хвилі, c – швидкість світла у вакуумі. У декартовій системі координат оператор Лапласа (див. додаток 1)
визначається як 2 2 2
2 2 2x y z∂ ∂ ∂
∆ = + +∂ ∂ ∂
.
Для одномірного випадку розв’язком хвильового рівняння буде рівняння плоскої гармонійної хвилі. Вектори E , H та v утворюють праву трійку векторів. Якщо E напрямлений вздовж осі x , H – вздовж y , то вектор v – буде напрямлений вздовж осі z . В електромагнітній хвилі коливання векторів E і Hвідбувається в однаковій фазі, причому 0 0E Hεε = µµ . Об’ємна густина електромагнітної енергії
2 2⋅ ⋅
= +E D B H
w .
Вектор Умова – Пойнтінга (густина потоку енергії) [ ]= ⋅Р E H .
Для плоских монохроматичних електромагнітних хвиль у вакуумі
27
cΠ = ⋅w , або 20c EΠ = ⋅ε .
Приклади розв’язання задач
Приклад 1. По відрізку прямого провідника довжиною 80 смl = проходить струм 50 АI = . Визначити магнітну
індукцію B поля, створюваного цим струмом, в точці А (рис.12), яка рівновіддалена від кінців відрізка провідника і перебуває на відстані 0 30 смr = від його середини.
Розв'язок. Для розв'язання задачі скористаємося законом Біо-Савара-Лапласа і принципом суперпозиції магнітних полів. Закон Біо-Савара-Лапласа дає змогу визначити магнітну індукцію dB , створювану елементом струму Idl . Зауважимо, що вектор dB у точці А напрямлений за площину креслення. Принцип суперпозиції робить можливим для визначення B скористатися інтегруванням:
l
d= ∫B B , (1)
де символ l означає, що інтегрування проводиться по всій довжині провідника.
Запишемо закон Біо-Савара-Лапласа у векторній формі:
[ ]034
I dd
r⋅µµ
=π
l rB ,
де r – радіус-вектор, напрямлений від елемента провідника до точки А (рис. 12), 0µ – магнітна стала; µ –магнітна проникність середовища, у якому перебуває провідник. У нашому випадку 1µ = (У всіх задачах, де це спеціально не обумовлено, треба вважати, що середовищем є повітря, для якого магнітна проникність приймається рівною одиниці). Зауважимо, що вектори dB від різних елементів струму напрямлені в один бік (рис. 12), тому вираз (1) можна переписати в скалярній формі:
l
B dB= ∫ ,
де
Рис. 12.
28
02
sin4
IdldBr
µ= α
π.
У скалярному виразі закону Біо-Савара-Лапласа кут α – це кут між елементом струму Idl і радіусом-вектором r . Таким чином,
02
sin4 l
I dlBr
µ= α
π ∫ . (2)
Перетворимо підінтегральний вираз так, щоб була одна змінна – кут α . Для цього виразимо довжину елемента провідника dl
через кут dα (рис. 4.12) sinrddl α
=α
. Тоді підінтегральний вираз
2 2
sinsinsin
dl rd dr r r
α α α α = = α . Зауважимо, що r також залежить від
α : 0
sinrr =α
; отже, 0
sind dr rα α α= .
Таким чином, вираз (2) можна переписати у вигляді 2
1
0
0
sin4
IB dr
α
α
µ= α α
π ∫ ,
де 1α і 2α – межі інтегрування. Виконаємо інтегрування:
( )01 2
0
cos cos4
IBr
µ= α − α
π. (3)
Зауважимо, що при симетричному розташуванні точки А відносно відрізка провідника 2 1cos cosα = − α . З урахуванням цього формула (3) набере вигляду
01
0
cos2
IBr
µ= α
π. (4)
З рис. 12 випливає, що ( )
1 2 2 22 00
2cos42
l ll rl r
α = =++
.
Підставивши вираз 1cosα у формулу (4), отримаємо 0
2 20 02 4I lBr l r
µ=
π +. (5)
29
Після проведення підрахунків за формулою (5), отримаємо 26,7 мкТлB = .
Напрямок вектора магнітної індукції B поля, створюваного прямим струмом, можна визначити за правилом свердлика (правилом правого гвинта). Для цього проводимо магнітну силову лінію (штрихова лінія на рис. 13) і по дотичній до неї в потрібній нам точці проводимо вектор B , який у точці А (рис. 12) напрямлений перпендикулярно до площини креслення від нас.
Приклад 2. Два паралельних нескінченно довгих провідника D і С, по яких проходять в одному напрямку електричні струми силою 60 АI = , розташовані на відстані 10 cмd = один від одного. Визначити магнітну індукцію B поля, створюваного провідниками зі струмом в точці А (рис. 14), яка віддалена від осі одного провідника на відстань 1 5 смr = , від іншого – 2 12 смr = .
Розв'язок. Для визначення магнітної індукції B в точці А скористаємося принципом суперпозиції магнітних полів. Для цього визначимо напрямки магнітних індукцій 1B і 2B полів, створюваних кожним провідником зі струмом окремо, і складемо
їх векторно: 1 2= +B B B .
Модуль вектора B може бути знайдений за теоремою косинусів:
2 21 1 1 12 cosB B B B B= + + α , (1)
де α – кут між векторами 1B і 2B . Магнітні індукції 1B і 2B виражаються
відповідно через силу струму I і відстаней 1r і 2r від провідників до точки А:
01
12IBr
µ=
π; 0
222IBr
µ=
π.
Підставляючи вирази 1B і 2B у формулу (1) і виносячи 0
2Iµπ
за
знак кореня, отримаємо
Рис. 14
Рис. 13.
30
02 2
1 2 1 2
1 1 2cos2
IBr r r r
µ α= + +
π. (2)
Обчислимо cosα . Врахуємо, що α =∠DAC (як кути з відповідно перпендикулярними сторонами) і за теоремою косинусів запишемо
2 2 21 2 1 2– 2 cosd r r r r= + α ,
де d – відстань між провідниками. Звідси 2 2 2 2 2 2
1 2
1 2
– 5 12 –10 23cos2 2 5 12 40
r r dr r
+ +α = = =
⋅ ⋅.
Підставимо у (2) числові значення фізичних величин і виконаємо обчислення:
74
2 2
4 10 60 1 1 2 23 3,08 10 Тл2 0,05 0,12 0,05 0,12 40
B−
−π ⋅ ⋅= + + = ⋅
π ⋅.
Приклад 3. Довгий провідник зі струмом 50 АI = зігнутий під кутом 2 / 3α = π . Визначити магнітну індукцію B у точці А (рис. 15). Відстань 5 смd = .
Розв'язок. Зігнутий провідник можна розглядати як два довгих провідники, кінці яких з’єднані в точці О (рис. 15).
Відповідно до принципу суперпозиції магнітних полів магнітна індукція B у точці А буде дорівнювати геометричній сумі магнітних індукцій 1B і 2B полів, створюваних відрізками довгих провідників 1 і 2, тобто 1 2= +B B B .
Магнітна індукція 2B дорівнює нулю. Це випливає з закону Біо-Савара-Лапласа, відповідно до якого в точках, що лежать на осі провідника, 0d =B ([ ] 0d ⋅ =l r ).
Магнітну індукцію 1B знайдемо, скориставшись формулою для індукції, створеної відрізком прямого провідника:
( )01 1 2
0
cos cos4
IBr
µ= α − α
π,
де r0 – найкоротша відстань від
Рис. 15.
Рис. 16.
31
провідника 1 до точки A (рис. 16). У нашому випадку 1 0α → (провідник довгий), 2 2 / 3α = α = π
( 2cos 1/ 2α = − ). Відстань 0 sin( – ) 3 / 2r d d= π α = . Оскільки 1B B= ( 2 0B = ), то
0 01
2 3112 44 3
I IB Bdd
µ µ = = + = ππ .
Вектор B співнапрямлений з вектором 1B і визначається правилом правого гвинта. На рис. 16 цей напрямок позначений хрестиком у кружечку (перпендикулярно до площини креслення, від нас).
Виконаємо обчислення: 7
53 4 10 50 Тл 3,46 10 Тл 34,6 мкТл4 0,05
B−
−⋅ π ⋅ ⋅= = ⋅ =
π ⋅.
Приклад 4. На залізне кільце намотано в один шар 500N = витків дроту. Середній діаметр кільця 25 смD = . Визначити магнітну індукцію в залізі і магнітну проникність заліза, якщо сила струму в обмотці 0,3 АI = .
Розв'язок. Для розв’язку задачі скористаємось формулою нескінченно довгого соленоїда (тороїда)
0B nI= µµ , де n – кількість витків на одиницю довжини соленоїда) . Індукція магнітного поля залежить від магнітної проникності заліза µ , тому спочатку визначимо напруженість магнітного поля 0/H B= µµ . Величина H в даному випадку не залежить від магнітних властивостей середовища і визначається формулою
H nI= . Визначимо довжину соленоїда l D= π . Отже, /n N l N D= = π ,
NH ID
=π
.
Виконаємо обчислення 35000 0,3 А 1,91 10 А/м
3,14 0,25 мH ⋅= = ⋅
⋅.
Індукцію магнітного поля можна визначити за основною
32
кривою намагнічування заліза, яка представлена на рис.4.6. За графіком визначаємо, що у випадку, коли 31,91 10 А/мH = ⋅ , індукція магнітного поля
1,33 ТлB = . Визначимо магнітну проникність заліза за цих умов
37 3
0
1,33 0,55 104 3,14 10 1,91 10
BH −
µ = = = ⋅µ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
Приклад 5. Двома паралельними прямими провідниками довжиною 2,5 мl = кожний, що перебувають на відстані
20 смd = один від одного, проходять однакові струми 1 кАI = . Обчислити силу взаємодії струмів. Розв'язок. Взаємодія двох провідників, по яких проходять струми, здійснюється через магнітне поле. Кожний струм створює магнітне поле, що діє на інший провідник. Припустимо, що обидва струми (позначимо їх для зручності 1I і 2I ) проходять у одному напрямку. Струм 1I створює в місці розташування провідника зі струмом
2I магнітне поле 1B . Проведемо лінію магнітної індукції (пунктир на рис. 17) через
другий провідник і по дотичній до неї – вектор магнітної індукції 1B . Модуль магнітної індукції
визначається співвідношенням 0 1
1 2IBd
µ=
π (1)
На кожний елемент довжиною dl другого провідника зі струмом 2I в магнітному полі діє сила Ампера
2 1[ ]d I d= ⋅F l B . Модуль цієї сили ( )2 1 1sindF I B dl d ∧= l B . Оскільки
вектори dl і 1B перпендикулярні, 2 1dF I B dl= .
Підставивши в цей вираз 1B відповідно до (1), отримаємо
Рис. 17.
33
0 1 2
2I IdF dl
dµ
=π
.
Силу F взаємодії провідників зі струмом знайдемо інтегруванням
2l
d= ∫F F ,
де символ 2l означає, що інтегрування ведеться вздовж другого провідника. Напрямок сили dF визначається за правилом лівої руки (рис. 17). Оскільки вектори dF , що діють на різні елементи струму Idl напрямлені в один бік (в нашому випадку до першого провідника), то силу F взаємодії провідників зі струмом знайдемо скалярним інтегруванням:
2
0 1 2 0 1 2
02 2
l
l
I I I IF dF dl ld d
µ µ= = =
π π∫ ∫ .
Врахувавши, що 1 2I I I= = , отримаємо 2
0
2I lFd
µ=
π.
Переконаємося в тому, що ця рівність дає одиницю сили (Н): 2 2
0[ ] [ ] [ ] 1 Гн/м 1 A 1 м 1 Дж 1 Н[ ] 1 м 1 м
I ld
µ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = .
Для перевірки розмірності була використана формула енергії котушки з індуктивністю L : 2 2LW LI= .
Виконаємо обчислення: 7 3 24 10 (10 ) 2,5 Н 2,5 H
2 0,2F
−π ⋅ ⋅ ⋅= =
π ⋅.
Сила F напрямлена в один бік із силою dF – до струму 1I (рис. 17).
Приклад 6. Електрон, що влетів в однорідне магнітне поле ( 0,2 ТлB = ), став рухатися по колу радіуса 5 cмR = . Визначити: 1) магнітний момент mp еквівалентного колового струму; 2) відношення магнітного моменту до моменту імпульсу орбітального руху електрона.
Розв'язок. Електрон починає рухатися по колу, якщо він влітає в однорідне магнітне поле перпендикулярно до ліній магнітної
34
індукції. На рис. 18 лінії магнітної індукції перпендикулярні до площини креслення і напрямлені “від нас” (позначені хрестиками).
Рух електрона по колу еквівалентний коловому струму, який в даному випадку можна визначити
екв | | /I e T= , де e – заряд електрона; T – період його обертання.
Період обертання можна виразити через швидкість електрона х і шлях, який електрон проходить за період
2 /T R х= π . Тоді
екв| |2e хI
R=
π. (1)
За визначенням, магнітний момент контуру зі струмом виражається співвідношенням
еквmp I S= , (2) де S – площа, обмежена колом, яке описує електрон ( 2S R= π ).
Підставивши еквI з (1) у вираз (2), отримаємо
2| | 1 | |2 2me хp R e хR
R= π =
π. (3)
Співвідношення між швидкістю електрона υ і радіусом R кола, вздовж якого він рухається, можна визначити з другого закону Ньютона
e nF m a= , (4) де em – маса електрона, 2 /na х R= – нормальне прискорення.
Електрон рухається колом в результаті взаємодії з магнітним полем (дії сили Лоренца ЛF ). Оскільки в нашому випадку швидкість перпендикулярна лініям індукції магнітного поля,
Л | |F F e хB= = . Після підстановки цього виразу в другий закон Ньютона
отримаємо 2| | /ee хB m х R= ; | | / eх e BR m= .
Підставивши вираз для швидкості в (3), отримаємо:
Рис. 18
35
2 2| |2m
e
e BRpm
= .
Переконаємося в тому, що права частина рівності дає одиницю магнітного моменту (А·м2):
22 2 2 2 2[ ] [ ] [ ] 1 Кл 1 Тл 1 м 1 А 1 с 1 Вб [ ] 1 кг 1 кг
e B Rm⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= = =
221 А 1 с 1 Дж 1 А м
1 кг⋅ ⋅
= = ⋅ .
Виконаємо обчислення: 19 2 2
2 12 231
(1,6 10 ) 0,2 0,05 А м 7,03 10 А м2 9,31 10mp
−−
−
× ⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ ⋅
⋅ ⋅.
Визначимо момент імпульсу орбітального руху електрона за формулою моменту імпульсу матеріальної точки
L=m υ R. Визначимо відношення магнітного моменту електрона до моменту імпульсу з (3)
| | | |2 2
mp e хR eL mхR m
= = ,
що відповідає гіромагнітному відношенню для орбітального магнітного і механічного моментів.
Для обчислень скористаємось значенням питомого заряду електрона 11| | / 1,78 10 Кл/кгe m = ⋅ . Отже,
11 11/ 0,5 1,78 10 Кл/кг 0,89 10 Кл/кгmp L = ⋅ ⋅ = ⋅ . Приклад 7. Магнітне поле створене довгим прямим
провідником, яким тече струм 10 АI = . На відстані 5 смr = від цього провідника розміщено кільце малих розмірів з магнітним моментом 210 мА мmp = ⋅ . Визначити силу F , що діє на кільце у випадках, коли вектор mp : 1) розташований паралельно прямому провіднику; 2) напрямлений радіально від провідника; 3) співпадає за напрямом із вектором індукції магнітного поля B .
Розв'язок. Як відомо, сила, що діє на контур зі струмом у неоднорідному магнітному полі визначається за формулою
mpn
∂=
∂BF , (1)
36
де n
∂∂B – похідна від вектора B за напрямком вектора mp .
Індукція, що створюється нескінченно довгим прямим провідником зі струмом I на відстані r , визначається ( 1µ = )
0 2B I r= µ π і напрямлена за правилом правого гвинта (рис. 19).
1. У випадку, коли вектор mp розташований паралельно провіднику індукція магнітного поля B не змінюється ні за величиною, ні за напрямом, тобто const=B . Отже, у цьому випадку
0=F . 2. Якщо напрямок mp співпадає з напрямком r
n r∂ ∂
=∂ ∂B B .
У цьому випадку індукція магнітного поля B змінюється тільки за величиною, напрям її залишається незмінним
BB
r r∂ ∂
=∂ ∂B e ,
де Be – одиничний вектор вздовж напрямку B . Отже,
0 022 2B m m B
I Ip pr r r
µ µ∂ = ⋅ = − ∂ π π F e e .
Знак «–» означає, що сила напрямлена в сторону, протилежну напрямку B . Обчислимо величину сили
7 30 6
2 2 4
4 10 10 10 10 8 10 Н 8 мкН2 2 5 10
mI pFr
− −−
−
µ π ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = ⋅ =
π π ⋅ ⋅
Переконаємося в тому, що ця рівність дає одиницю сили (Н)
[ ] [ ] [ ] [ ][ ]
2 20
2 2
(Гн/м) А А м Гн А Дж Нм м м
mI pF
r
µ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = = = .
3. Якщо напрямок mp співпадає з напрямком B , індукція магнітного поля B змінюється тільки за напрямом, величина її
Рис. 19.
37
залишається незмінною. У цьому випадку магнітний момент напрямлений по дотичній до кільця радіуса r , яке охоплює провідник. Тобто
n l∂ ∂
=∂ ∂B B ,
де l – криволінійна координата, напрямлена вздовж кола радіуса r.
Як показано на рис. 20, зміну індукції при переміщенні вздовж кола на dl можна визначити як dB Bd= ϕ і вона буде напрямлена до центра кола. Величину dl можна записати як довжину елемента дуги кола dl rd= ϕ .
Bd Bl rd r
∂ ϕ= =
∂ ϕB .
Силу можна визначити 02
8 мкН2
m mp B p IFr r
µ= = =
π,
вона напрямлена до провідника. Розмірність як і в попередньому випадку.
Приклад 8. Плоский квадратний контур зі стороною 10 сма = , по якому проходить струм 100 АI = , вільно встановився
в однорідному магнітному полі ( 1 ТлB = ). Визначити роботу А, яка виконується зовнішніми силами під час повороту контуру відносно осі, що проходить через середину його протилежних сторін, на кут:
1) 1 90ϕ = ° ; 2) 2 3ϕ = °. Під час повороту контуру сила струму в ньому підтримується незмінною.
Розв'язок. Як відомо, на контур зі струмом у магнітному полі діє момент сили M (рис. 21)
sinmM p B= ϕ , (1) де 2
mp IS Ia= = – магнітний момент контуру; B – магнітна індукція; ϕ – кут між векторами mp
(напрямлений по нормалі до контуру) і індукцією B .
За умовою задачі в початковому положенні контур вільно встановився у магнітному полі. При
Рис. 21.
Рис. 20.
38
цьому момент сили дорівнює нулю ( 0M = ), а це означає, що і 0 0ϕ = , тобто вектори mp і B напрямлені в один бік. Якщо
зовнішні сили виведуть контур із положення рівноваги, то момент сил M буде повертати контур у вихідне положення. Проти цього моменту і буде виконуватись робота зовнішніх сил. Оскільки момент сил змінний (залежить від кута повороту ϕ ), для визначення роботи застосуємо формулу роботи в диференціальній формі дA Md= ϕ. З огляду на формулу (1), отримаємо
2 sinдA IBa d= ϕ ϕ. Узявши інтеграл від цього виразу, знайдемо роботу повороту на кут ϕ :
2
0
sinA IBa dϕ
= ϕ ϕ∫ . (2)
Робота повороту на кут 1 90ϕ = ° /2
/22 2 21 0
0
sin cosA IBa d IBa IBaπ
π= ϕ ϕ = − ϕ =∫ . (3)
Підставимо в (3) числові значення величин в одиницях СІ: 2
1 100 1 0,1 Дж 1 ДжA = ⋅ ⋅ = . Робота повороту на кут 2 3ϕ = °. У цьому випадку, з огляду на
те, що кут 2ϕ малий, замінимо у виразі (2) sinϕ на кут ϕ : 2
2 2 22 2
0
12
A IBa d IBaϕ
= ϕ ϕ = ϕ∫ . (4)
Виразимо кут 2ϕ у радіанах: 2 3 /180 0,0523 радϕ = ⋅π = . Після підстановки числових значень величин у (4) знайдемо
( ) ( )2 2 32 0,5 100 1 0,1 · 0,0523 Дж 1,37 10 Дж 1,37 мДжA −= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = . Задачу можна розв’язати й іншими методами. 1. Робота зовнішніх сил по переміщенню контуру зі струмом у
магнітному полі дорівнює добутку сили струму в контурі на зміну магнітного потоку, що пронизує контур:
1 2( )A I I= − ∆Φ = Φ −Φ , де 1Φ , 2Φ – магнітні потоки, що пронизують контур до і після переміщення.
39
Якщо 1 90ϕ = ° , то 1 BSΦ = , 2 0Φ = . Отже, 2
1A IBS IBa= = , що збігається з (3).
2. Скористаємося виразом для механічної потенціальної енергії контуру зі струмом в магнітному полі m cosp BΠ = − ϕ . Робота зовнішніх сил визначається зміною потенціальної енергії
0A = ∆Π = Π −Π , або m 0(cos – cos )A p B= ϕ ϕ . Оскільки 2
mp Ia= , 0cos 1ϕ = і 1cos 0ϕ = , то у першому випадку 2
1A IBa= , що також збігається з (3).
Приклад 9. Коротка котушка, що містить 3 10N = витків, рівномірно обертається з частотою 110 с −ν = відносно осі AB, що лежить у площині котушки і перпендикулярна до ліній однорідного магнітного поля ( 0,04 ТлB = ). Визначити миттєве значення ЕРС індукції для тих моментів часу, коли площина котушки утворюватиме кут 60α = ° із лініями поля. Площа котушки 2 100 смS = .
Розв'язок. Миттєве значення ЕРС індукції iе визначається рівнянням Фарадея – Максвела, основним рівнянням електромагнітної індукції:
iddt
е Ψ= − . (1)
Потокозчеплення NΨ = Φ , де N – число витків котушки, які пронизуються магнітним потоком Φ . Підставивши вираз Ψ у формулу (1), отримаємо
idNdt
е Φ= − . (2)
Під час обертання котушки (рис. 22) магнітний потік Φ , що пронизує її в момент часу t , змінюється за законом
cosBS tΦ = ω , де ω – кутова швидкість обертання.
Підставивши у формулу (2) вираз магнітного потоку Φ і продиференціювавши за часом, знайдемо миттєве значення ЕРС
Рис. 22.
40
індукції: sini BNS tе = ω ω .
Врахуємо, що кутова швидкість ω пов’язана з частотою обертання ν котушки співвідношенням 2ω = πν і кут / 2tω = π −α ) (див. рис. 22). В результаті отримаємо (враховано, що
2 cosi BNSе = πν α . Переконаємося, що права частина цієї рівності дає одиницю
ЕРС (В): 1 2[ ] [ ] [ ] 1 с 1 Тл 1 м 1 Вб /1 с 1 Вn B S −⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = = .
Виконаємо обчислення: 3 22 3,14 10 10 0,04 10 0,5 В 25,1 Вiе −= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = .
Приклад 10. Квадратна рамка з проводу, сторона якої становить 5 смa = і опір 10 мОмR = перебуває в однорідному магнітному полі ( 40 мТлB = ). Нормаль до площини рамки утворює кут 30α = ° із лініями магнітної індукції. Визначити заряд Q , який пройде рамкою, якщо магнітне поле вимкнути.
Розв'язок. Під час вимикання магнітного поля відбудеться зміна магнітного потоку. Згідно з основним законом електромагнітної індукції в рамці виникне ЕРС індукції
iddt
е Φ= − .
ЕРС індукції викликає в рамці індукційний струм, миттєве значення якого можна визначити, скориставшись законом Ома для повного кола
iiI
Rе
= − ,
де R – опір рамки. Тоді
idI RdtΦ
= − .
Миттєве значення сили індукційного струму idQIdt
= , тому цей
вираз можна переписати у вигляді dQ dRdt dt
Φ= − , звідки
/dQ d R= − Φ . (1)
41
Проінтегрувавши вираз (1) 2
10
/Q
dQ d RΦ
Φ
= − Φ∫ ∫ ,
знайдемо ( )1 2 /Q R= Φ −Φ .
Оскільки при вимкненому полі (кінцевий стан) 2 0Φ = , то 1 /Q R= Φ . (2)
Знайдемо магнітний потік 1Φ . За визначенням магнітного потоку для однорідного магнітного поля
1 cosBSΦ = α , де S – площа рамки.
У нашому випадку (рамка квадратна) 2S а= . Тоді 2
1 cosBаΦ = α . (3) Підставивши (3) у (2), отримаємо
2 cosBаQR
α= .
Пересвідчимося, що права частина рівності дає одиницю заряду (Кл):
2 2 2[ ] [ ] 1 Тл 1 м 1 Н 1 м 1 Дж 1 Кл[ ] 1 Ом 1 А 1 м 1 Ом 1 В
B аR⋅ ⋅ ⋅
= = = =⋅ ⋅
.
Для перевірки ми використали вираз для сили Ампера: sinF IlB= α .
Виконаємо обчислення: 4
30,04 25 10 3 / 2 Кл 8,67 10 Кл 8,67 мКл0,01
Q−
−⋅ ⋅ ⋅= = ⋅ = .
Приклад 11. Ділянка кола, що складається з послідовно з’єднаних конденсатора ємності 22 мкФC = і котушки з активним опором
20 ОмR = і індуктивністю 0,35 ГнL = під’єднана до мережі змінної напруги з амплітудою 0 180 ВU = і частотою 50 Гцν = . Визначити: 1) амплітуду струму в колі 0I ; 2) зсув фаз між струмом і зовнішньою напругою ϕ ; 3) амплітуди напруги на конденсаторі
0CU і котушці 0LU . Розв'язок. 1. Амплітуду струму в колі можна визначити за
42
формулою 0
0UIZ
= ,
де 2 2( 1 / )Z R L C= + Ω − Ω – імпеданс (повний опір кола), R – активна складова опору, 1X L C= Ω − Ω – реактивна складова опору, Ω – циклічна частота. У нашому випадку 2 314 рад/сΩ = πν = , відповідно
314 0,35 110 ОмLX L= Ω = ⋅ = , ( )61 1 314 22 10 145 ОмCX C −= Ω = ⋅ ⋅ = .
За даної частоти ємнісна складова реактивного опору більша за індуктивну, отже струм буде випереджати напругу. Визначимо амплітуду струму
( )0
0 2 2 22
180 4,47 А( 1 / ) 20 110 145
UIR L C
= = =+ Ω − Ω + −
.
2. Зсув фаз між струмом і зовнішньою напругою можна визначити як відношення
tg XR
ϕ = ,
де L CX X X= − – реактивний опір кола, R – активний опір. У даному випадку
110 145tg 1,7520−
ϕ = = − ; / 3ϕ = −π .
Отже, напруга за фазою відстає від струму на / 3π . 3. Амплітуда напруги на конденсаторі
0 01 145 4,47 685 ВCU IC
= = ⋅ =Ω
.
Напруга на конденсаторі за фазою відстає від струму на / 2π . Оскільки котушка має активний опір, то напругу на котушці можна визначити
0 0L LU Z I= , де 2 2( )LZ R L= + Ω .
Виконаємо обчислення:
43
2 20 20 (110) 4,47 500 ВLU = + ⋅ = .
Зсув фаз між струмом і напругою на котушці 110tg 5,520
LL
XR
ϕ = = = ; 0,44Lϕ = π .
Напруга на котушці випереджає струм на 0,44π (менше, ніж на / 2π ). Можна відмітити, що амплітуди напруги на конденсаторі 0CU і
на котушці 0LU значно більші за напругу в мережі 0U . Приклад 12. У вакуумі поширюється плоска монохроматична
електромагнітна хвиля з амплітудою електричної складової 0 50 мВ/мE = . Визначити середнє за період значення густини
потоку енергії. Розв'язок. 1. Для визначення густини потоку енергії (вектор
Умова – Пойнтінга) скористаємось формулою [ ]= ⋅Р E H .
Оскільки в електромагнітній хвилі вектори напруженості електричного і магнітного полів E і H – перпендикулярні, то скаляр векторного добутку запишеться як
EHΠ = . Визначимо напруженість магнітного поля, скориставшись
формулою 0 0E Hεε = µµ ,
де 0ε , 0µ – електрична і магнітна сталі, ε , µ – діелектрична і магнітна проникність середовища.
У вакуумі 1ε = , 1µ = , отже 0
0
H Eε=
µ, відповідно
0 2 20
0
E E cεΠ = = ε
µ.
Тут враховано, що швидкість світла 0 0
1c =ε µ
.
2. Співвідношення 20E cΠ = ε можна отримати, використавши
зв'язок вектора Умова – Пойнтінга з об’ємною густиною
44
електромагнітної енергії w П= υ ·w,
де сυ =
εµ – фазова швидкість електромагнітної хвилі, с –
швидкість світла). Об’ємну густину енергії можна визначити 2 2
0 0
2 2E Hεε µµ
= +w .
Зі співвідношення 0 0E Hεε = µµ видно, що в
електромагнітній хвилі густина електричної енергії 2
0
2Eεε у будь-
який момент дорівнює густині магнітної енергії 2
0
2Hµµ . Отже,
20E= εεw .
У вакуумі ( 1ε = , сυ = ), тобто 2
0E сΠ = ε . Для плоскої монохроматичної хвилі напруженість
електричного поля змінюється за гармонічним законом 0 cos( )E E t kx= ω − ,
де t – час, x – координата, що визначає напрямок розповсюдження хвилі, ω – циклічна частота, k – хвильове число.
Визначимо середнє значення 2 2 2
0 0 0 cos ( )E c E c t kx< Π >=< ε >= ε < ω − > . Використавши 2cos ( ) 1 / 2t kx< ω − >= , отримаємо
20 0 / 2E c< Π >= ε .
Перевіримо розмірність [ ] [ ] [ ] [ ]2 3 2
0 0 1 Ф/м 1 В/м 1 м/с 1 Дж/м 1 м/с 1 Дж/(м с)E cΠ = ε ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = Виконаємо обчислення
12 2 6 8 6 20,5 8,85 10 50 10 3 10 3,32 10 Дж/(м с)− − −< Π >= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ .
45
Література: 1. І.М.Кучерук, І.Т.Горбачук, П.П.Луцик. Загальний курс фізики.Т.2. «Техніка», – К., 2001. 2. И.Е. Иродов. Электромагнетизм. Основные законы. «Лаборатория базовых знаний», – М., 2000. 3. И.В. Савельев. Курс общей физики. Т.2, изд. “Наука”, – М., 1978. 4. Б.М.Яворский, А.А.Детлаф, Л.Б.Милковская. Курс физики. Т.2, «Высшая школа», – М., 1973. 5. Д.В.Сивухин. Общий курс физики. Т.3, «Наука», – М., 1977. 6. Л.Г. Чертов, А.А. Воробьёв. Задачник по физике. «Высшая школа», – М., 1977. 7. И.Е. Иродов. Задачник по физике. «Наука», – М.,1988. 8. И.В. Савельев. Задачник по физике. «Высшая школа», – М., 1982.
Додатки
Додаток 1. Опис векторних полів.
Деякі поняття та формули векторного аналізу.
Потік вектора a крізь поверхню S визначається як
a nS
a dSΦ = ∫ ,
де na – проекція вектора a на напрямок нормалі n до поверхні dS . У випадку замкненої поверхні нормаль орієнтована назовні.
Векторне поле можна представити сукупністю ліній вектора a , побудованих таким чином, щоб модуль a в кожній точці визначався густиною ліній, а напрямок співпадав з напрямком вектора a . Точки, в яких починаються лінії поля, називають джерелами поля, а в яких закінчуються лінії поля – стоками (джерелами з негативною потужністю).
Потік вектора a можна інтерпретувати як кількість ліній вектора a , що проходять крізь поверхню S . Лінії, що утворюють гострий кут з нормаллю до поверхні враховуються зі знаком «+», тупий – зі знаком «–».
Якщо джерела поля всередині замкненої поверхні відсутні, то потік вектора a крізь цю поверхню дорівнює нулю. Дивергенція вектора a визначається в точці, в яку стягується об’єм V
0
1div lim nVS
a dSV→
= ∫a ,
де S – поверхня, що обмежує об’єм V . Дивергенція – скалярна величина і
46
може бути як додатною, так і від’ємною. Дивергенцію вектора a можна інтерпретувати як кількість точок на
одиницю об’єму в яких починаються або закінчуються лінії поля (густину потужності джерел поля)
Циркуляція вектора a замкненим контуром визначається як лінійний інтеграл
a ll
C a dl= ∫ ,
де la – проекція вектора a на переміщення dl вздовж контура l . Якщо циркуляція вектора a довільним замкненим контуром дорівнює нулю, векторне поле a – потенціальне.
Ротор вектора a – вектор, проекція якого на нормаль n до площі S∆ визначається
( )0
1rot lim ln Sl
a dlS∆ →
=∆ ∫a ,
де l – контур, що обмежує поверхню S∆ (напрямок обходу контуру вибирається за правилом правого гвинта).
Ротор вектора a можна інтерпретувати як густину породження циркуляції малою ділянкою поверхні по відношенню до площі цієї поверхні. Модуль ротора дорівнює найбільшому позитивному значенню густини породження циркуляції зі значень, що відповідають різним орієнтаціям контуру в просторі.
Векторні поля, ротор яких не дорівнює нулю називають вихровими (соленоїдальними).
Якщо у будь-якій точці простору rot 0=a , поле вектора а – потенціальне. У цьому випадку його можна представити як градієнт скалярної функції
grad f=a . Приклад – електростатичне поле. Зв’язок між напруженістю Е і потенціалом φ: grad= − ϕЕ . Градієнт скалярної функції f – вектор, проекція якого на напрямок l визначається як похідна за цим напрямком
( )gradl
ffl
∂=∂
.
Градієнт є вектором, що визначає зміну функції в околі точки. Напрям градієнта співпадає з напрямом найшвидшого збільшення скалярної функції f (наприклад, температури, потенціалу, модуля швидкості). Модуль градієнта дорівнює похідній за напрямом найшвидшого збільшення функції
47
f (якщо grad f=a , то за напрямом лінії вектора a ). Оператор Лапласа можна визначити як
divgradf f∆ = . Формули векторного аналізу зручно записати, використовуючи оператор набла ∇ (оператор Гамільтона). В декартовій системі координат
x y zx y z∂ ∂ ∂
∇ = + +∂ ∂ ∂
e e e ,
де xe , ye , ze – одиничні вектори осей x , y , z .
Градієнт скалярної функції f можна записати як добуток набла на f :
grad f f= ∇ ; x y zf f ffx y z∂ ∂ ∂
∇ = + +∂ ∂ ∂
e e e .
Дивергенцію вектора a можна записати як скалярний добуток
div = ∇a a ; yx zx x y y z z
aa aa a ax y z
∂∂ ∂∇ = ∇ +∇ +∇ = + +
∂ ∂ ∂a .
Ротор вектора a можна записати як векторний добуток
[ ]rot = ∇ ⋅a a ; [ ]x y z
x y z
x y za a a
∂ ∂ ∂∇ ⋅ =
∂ ∂ ∂
e e e
a .
Якщо розкрити визначник, отримаємо
[ ] y yx xz zx y z
a aa aa ay z z x x y
∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∇ ⋅ = − + − + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ a e e e .
Оператор Лапласа 2f f∆ = ∇ ; ( )
2 2 22 2 2
2 2 2x y zf f ff f
x y z∂ ∂ ∂
∆ = ∇ +∇ +∇ = + +∂ ∂ ∂
.
Оператор Лапласа векторної функції 2∆ = ∇a a ; x x y y z za a a∆ = ∆ + ∆ + ∆a e e e .
Деякі формули векторного аналізу:
( ) ( ) ( )grad grad gradfg f g g f= +
( ) ( )div grad divf f f= +a a a
48
rot grad 0f =
div rot 0=a (поле ротора не має джерел)
rot rot graddiv= + ∆a a a
Додаток 2. Одиниці вимірювання магнітних величин (в системі СІ)
Одиниця вимірювання
Величина позначення назва Індукція магнітного поля Тл тесла Напруженість магнітного поля А/м Намагніченість А/м Магнітний момент А·м2 Магнітний потік Вб вебер Індуктивність Гн генрі
Додаток 3. Магнітна сприйнятливість діа- та парамагнетиків
Додаток 4. Деякі фізичні сталі
Нормальне прискорення вільного падіння
g = 9,81 м/с2
Електрична стала ε0 = 8,85⋅10-12 Ф/м; 1/4πε0 = 9⋅10 9 м/Ф
Магнітна стала µ0 = 4π⋅10-7 Гн/м
Діамагнетики µ – 1 , 10– 6 Парамагнетики µ – 1, 10– 6 Водень – 0,063 Азот 0,013 Бензол – 7,5 Повітря 0,38 Вода – 9,0 Кисень 1,9 Мідь – 10,3 Ебоніт 14 Скло – 12,6 Алюміній 23 Кам’яна сіль – 12,6 Вольфрам 176 Кварц – 15,1 Платина 360 Вісмут – 176 Рідкий кисень 3400
49
Швидкість світла в вакуумі с = 3,00⋅108 м/с Елементарний заряд е = 1,60⋅10-19 Кл Маса електрона me = 0,911⋅10-30 кг
me = 0,00055 а.о.м. Питомий заряд електрона е/me = 1,76⋅1011 Кл/кг Маса протона mp = 1,672⋅10-27 кг
mp = 1,00728 а.о.м. Питомий заряд протона е/mp = 0,959⋅108 Кл/кг Маса α-частинки (ядра атома 42He)
mα = 6,64⋅10-27 кг mα = 4,00149 а.о.м.
Атомна одиниця маси а.о.м. = 1,660⋅10-27 кг Стала Больцмана k = 1,38⋅10-23 Дж/К Стала Планка h = 6,63⋅10-34 Дж⋅с Стала Планка ħ = h/2π = 1,05⋅10-34 Дж⋅с Комптонівська довжина хвилі електрона
Λ =2,43⋅10-12 м
Енергія іонізації атома водню Еі = 2,18⋅10-18 Дж ( 13,6 еВ ) Радіус Бора а = 0,529⋅10-10 м Стала Рідберга ω : R = 2,07⋅1016 с–1
( 1 /ν = λ ): R = 1,10⋅107 м-1 Магнетон Бора µB = 0,9274⋅10-23 Дж/Тл
Зміст
Вступ………………………………………………………………………... 3 Магнітне поле сталого струму …………………………………………….3 Індукція, що створюється рухомим зарядом та провідником зі струмом……………………………………………….3 Провідник зі струмом в магнітному полі…………………………………7 Сила Лоренца………………………………………………………………..8 Магнітне поле в речовині………………………………………………….10 Діамагнетики………………………………………………………………11 Парамагнетики…………………………………………………………….11 Ферромагнетики…………………………………………………………..13 Магнітний потік………………………………………………………………14 Енергія магнітного поля………………………………………………………15
50
Основні закони магнітного поля…………………………………..…………16 Явища індукції та самоіндукції……………………………………..…………17 Змінний струм…………………………………………………………………..18 Електричні коливання………………………………………………………..21 Власні незагасаючі коливання……………………………………………..21 Загасаючі коливання………………………………………………………...21 Вимушені коливання………………………………………………………..22 Рівняння Максвела………………………………………………………..……24 Струм зміщення………………………………………..……………………..24 Система рівнянь Максвела……………………………………………………24 Електромагнітні хвилі..……………………………..……………….……….26 Приклади розв’язання задач……………………………………………………27 Література………………………………………………………..………………45 Додатки…………………………………………………………..………………45 Додаток 1. Опис векторних полів (Деякі поняття та формули векторного аналізу)…………………………………………………………..……………….45 Додаток 2. Одиниці вимірювання магнітних величин (в системі СІ)…..…48 Додаток 3. Магнітні сприйнятливості діа- і парамагнетиків……………....48 Додаток 4. Деякі фізичні сталі………………………………………………..48
