1

О. С. Істер

МА

ТЕ

МА

ТИ

КА

Кам’янець-ПодільськийФОП Сисин О. В.

Абетка2014

 ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ ДО ВСЬОГО КУРСУ АЛГЕБРИ І ГЕОМЕТРІЇ

 БІЛЬШЕ 1000 ПРИКЛАДІВ

 1000 ТЕСТОВИХ ЗАВДАНЬ РІЗНОЇ СКЛАДНОСТІ

 40 КОНТРОЛЬНИХ ТЕСТІВ

 2 КОМПЛЕКСНІ ВАРІАНТИ ТЕСТОВИХ ЗАВДАНЬ

 ВІДПОВІДІ

МАТЕМАТИКАДОВІДНИК+ТЕСТИ

повний повторювальний курс, підготовка до зовнішнього незалежного оцінювання

ЗНО 2014

2

ББК 22.1я729 І-89

Автор: Істер Олександр Семенович, вчитель вищої категорії, вчитель-методист, автор підручників з алгебри і геометрії для 7 і 8 класів, завдань для державної підсумкової атестації з математики у 9 та 11 класах, 10 статей і більше 100 книг.

Відповідальний за випуск: Сисин Я. І., директор видавництва «Абетка».

Редактор: Сисин О. В., вчитель-методист математики ЗОШ №12 м. Кам’янець-Подільського.

Істер О. С. Математика. Довідник + тести. Повний повторюваль-ний курс, підготовка до зовнішнього незалежного оцінювання. 2-е видання, доповнене і перероблене / Олек сандр Істер. – Кам’я-нець-По дільський: ФОП Сисин О. В., 2014. – 552 с.ІSBN 978-617-539-165-5

Матеріал довідника сформовано відповідно до чинних програми з матема-тики для загальноосвітніх навчальних закладів, затверджених Міністерством освіти і науки, молоді та спорту України та програми зовнішнього незалеж-ного оцінювання з математики.

Посібник містить теоретичні відомості до всього курсу алгебри і геометрії. Матеріал проілюстровано достатньою кількістю прикладів з повним розв’язанням. В кінці кожного тематичного розділу запропоновано тести різного рівня складності, призначені для самостійної підготовки учнів до проходження зовнішнього незалежного оцінювання з математики. Матеріал посібника може використовуватися для проведення тематичного оцінювання знань.

Для учнів шкіл, ліцеїв, гімназій та абітурієнтів, студентів вищих навчальних за кладів, учителів, викладачів.

ББК 22.1я729

© Істер О. С., 2014;© ФОП Сисин О. В., 2014.

І-89

ІSBN 978-617-539-165-5

3

ШАНОВНІ ЧИТАЧІ!Книга, яку ви тримаєте в руках, є частиною комплексу для під-

готовки до зовнішнього незалежного оцінювання, що складається з трьох посібників. Теоретичний курс, приклади розв’язування вправ та тестові завдання складено у відповідності до програми зовніш-нього незалежного оцінювання з математики (див. сайт Українського центру оцінювання якості освіти http://testportal.gov.ua).

Матеріал цього посібника розбито на 6 розділів: 4 розділи з алгебри і початків аналізу та 2 з геометрії відповідно до вказаної програми.

На початку кожного розділу коротко наведено основні теоретич-ні відомості, які проілюстровано достатньою кількістю прикладів, поданих із повними розв’язаннями. Всі розділи, крім розділу ІV з алгебри та початків аналізу (який містить всього три параграфи), містять контрольні тести. В кінці кожного розділу запропоновано тестові завдання для самостійного виконання. До всіх завдань у кінці посібника подано відповіді.

Для самостійного виконання у кожному розділі запропоновано: 60 завдань із вибором однієї правильної відповіді (у розділі IV з алгебри і початків аналізу таких завдань 20); 5 завдань на вста-новлення відповідностей (у розділі IV з алгебри та початків аналізу таких завдань – 3) та 20 завдань з короткою відповіддю (у розділі IV з алгебри та початків аналізу таких завдань – 8).

ШАНОВНІ АБІТУРІЄНТИ!Зовнішнє незалежне оцінювання з математики – нелегке випро-

бування, котре проходять як одинадцятикласники, так і випускники попередніх років, що бажають вступити у вищі навчальні заклади.

Запропонований посібник допоможе вам самостійно або за допо-могою викладача підготуватися до цього випробування. Спочатку потрібно засвоїти теоретичні відомості розділу, що вивчається, роз-глянути приклади розв’язування вправ та розв’язати контрольні те-сти. Після цього потрібно приступити до самостійного розв’язування тестових завдань. Спочатку необхідно розв’язати завдання із вибором однієї правильної відповіді з п’яти запропонованих. Після цього приступити до розв’язування вправ на встановлення відповідностей. У цих вправах кожне завдання містить інформацію, яку позначено цифрами і буквами. Виконуючи завдання, необхідно встановити

ПЕРЕДМОВА

4

відповідність (утворити логічні пари). Далі пропонується розв’язати завдання із короткою відповіддю, якою є ціле число або скінчений десятковий дріб.

Після опрацювання цього посібника для продовження підготовки до ЗНО та закріплення теоретичних відомостей ми пропонуємо Вам серію з наступних двох посібників:

а) «Математика. Збірник тестових завдань. 936 тестових завдань + 4 комплексні варіанти у форматі ЗНО». Ці вправи дають змогу як за допомогою вчителя, так і самостійно закріпити теоретичний матеріал при опрацюванні тестових завдань та підготуватись до проб-ного тренувального тестування у форматі ЗНО;

б) «Математика. Комплексні варіанти завдань у тесовій формі. 16 варіантів». Посібник дає змогу закріпити Ваші знання та провести тренувальне пробне зовнішнє оцінювання. Він містить 16 варіантів типових завдань, що повністю відповідають специфікації ЗНО.

Для самоконтролю у згаданих вище посібниках подано відповіді.

ШАНОВНІ ВЧИТЕЛІ!Сподіваюсь, що запропонований посібник допоможе Вам у нелег-

кій праці підготовки учнів до зовнішнього незалежного оцінювання та тематичних контрольних робіт. Маю надію, що посібник стане у пригоді як під час індивідуальних, так і під час групових занять.

Автор щиро вдячний вчителю-методисту Сисин Оксані Володи-мирівні, чия дружня допомога та цінні поради у процесі роботи над рукописом книги сприяли його покращенню.

Автор

5

АЛГЕБРАі ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

6

§1. РАЦІОНАЛЬНІ ЧИСЛА.

1. Натуральні числа.×исла 1, 2, 3, 4, 5 ... , які використовуються під час лічби предметів,

називають натóралüними числами. Найменше натуральне число – 1, найбільшого – не існує. Множину цілих чисел позначають літерою N.

2. Звичайні дроби.×астку від ділення натурального числа à на натуральне число b можна

записати у вигляді çвичаéноãо дроáó ab

, де a – чиселüник дроáó, b – його

çнаменник.Ïравилüним дроáом називається дріб, у якого чисельник менший від

знаменника.Íеïравилüним дроáом називається дріб, у якого чисельник більший від

знаменника або дорівнює йому.Значення правильного дробу менше за 1, а неправильного – не менше за 1.З неправильного дробу можна виділити цілу і дробову частину (отримаємо

м³øане число).

Наприклад: =12 2

25 5

; =175 3

434 4

.

Мішане число можна подати у вигляді неправильного дробу.

Наприклад: ⋅ +

= =1 4 3 1 13

43 3 3

.

Основна властив³стü дроáó: значення дробу не зміниться, якщо чи сельник і знаменник дробу помножити або поділити на одне й те саме нату ральне число.

Наприклад: = =15 15 : 5 320 20 : 5 4

(скоротили дріб 1520

на 5), ⋅

= =⋅

3 3 2 67 7 2 14

(звели

дріб 37

до знаменника 14).

3. Десяткові дроби.Звичайний дріб, знаменник якого – натуральне число, записане одиницею

з наступними нулями (10, 100, 1000 тощо) можна записувати десÿтковим дроáом.

Наприклад: =7

0,710

; =13

0,13100

; =197

0,1971000

.

ßкщо в чисельнику звичайного дробу цифр менше, ніж нулів у знамен-нику, то в десятковому дробі після коми дописують зліва до цих цифр стільки нулів, щоб кількість цифр після коми дорівнювала кількості нулів у знаменнику звичайного дробу.

Розділ І. ЧИСЛА І ВИРАЗИ

7

Наприклад: =19

0,0191000

; 0,000310000

.

Властив³стü десÿтковоãо дроáó: значення десяткового дробу не змі-ниться, якщо до нього справа після коми дописати будь-яку кількість нулів.

Десятковими дробами, як і звичайними, можна записувати мішані числа. При цьому цілу чàстину відокремлюють комою, а праворуч від коми запи-сують дробову чàстину:

=3

7 7,310

; =11

4 4,001110000

; =1

19 19,01100

.

4. Додатні і від’ємні числа. Модуль числа.Пряму лінію з вибраними на ній початком відліку, одиничним відрізком

і напрямом називають координатноþ ïрÿмоþ (мал. 1). Точки цієї прямої зображають числа. Натуральні і дробові числа, які розглядалися раніше, називають додатними і пишуть іноді перед ними знак плюс, а числа, що знаходяться зліва від точки О (початок відліку) – в³д’ємними і пишуть перед ними знак мінус.

–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5мàл. 1

Два числа, що відрізняються одне від одного лише знаком, називаються ïротилеæними числами. Наприклад: числа 5 і –5 – протилежні.

Ìодóлем числа називається відстань від початку відліку до точки, що зображує це число на координатній прямій.

Модулем додатного числа і числа нуль є саме це число, а модулем від’ємного числа – протилежне йому число. Модуль числа à позначають знаком a :

, 0,

– , 0.

≥= <

якùо

якùо

a аa

а а

Наприклад: =2 2 ; =–3,8 3,8 ; =0 0 ; 3 3π − = π − (оскільки 3 0π − > );

( )4 4 4π − = − π − = − π (оскільки 4 0π − < ).

Властивост³ модóлÿ:

1) ≥ 0a ;

2) –a a= ;

3) = =2 2 2a a a ;

4) ⋅ = ⋅a b a b ;

5) =: :a b a b , де ≠ 0b ;

6) − ≤ + ≤ +a b a b a b ;

7) − ≤ − ≤ +a b a b a b .

8

Розділ I

5. Цілі числа, раціональні числа, ірраціональні числа.×исла, протилежні до натуральних, називають ц³лими в³д’ємними. На-

туральні числа, цілі від’ємні числа і нуль утворюють множину ц³лиõ чисел. Вона позначається літерою Z.

Об’єднання множин цілих і дробових чисел (додатних і від’ємних) складають множину рац³оналüниõ чисел. Вона позначається літерою Q.

Áудь-яке раціональне число можна записати у вигляді pq

, де ∈ ∈;p Z q N .

×исла, які не можна записати у вигляді pq

, де ∈ ∈,p Z q N , називають

³ррац³оналüними числами.

6. Дійсні числа. Співвідношення між числовими множинами.

Z Q R

мàл. 2

N

Ðаціональні числа разом з ірраціональними утворюють множину д³éсниõ чисел. Множину дійсних чисел позначають літерою R.

Співвідношення між множинами натуральних, цілих, раціональних і дійсних чисел подано на малюнку 2.

§2. ПРАВИЛА ПОРІВНЯННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ.1. Порівняння натуральних чисел.

Із двох натуральних чисел, що мають різну кількість цифр, більшим є те, в якого цифр більше.

Наприклад: 417 < 1922; 12375 > 9873.Із двох натуральних чисел, що мають однакову кількість цифр, більшим

є те, в якого більше одиниць у найвищому розряді.Наприклад: 732 > 698; 1295 < 2003.Із двох натуральних чисел, що мають однакову кількість цифр і однакову

цифру у найвищому розряді, більшим є те, в якого більше одиниць у наступному, нижчому, розряді і т. д.

Наприклад: 1232 > 1217; 14198 < 14199.

2. Порівняння десяткових дробів.З двох десяткових дробів á³лüøиé той, у якого більша ціла частина. ßкщо

цілі частини дробів рівні, то більший той, у якого більше десятих, і т. д.Наприклад: 18,7 > 16,92; 12,37 < 12,41; 5,32 > 5,319.

3. Порівняння звичайних дробів.Із двох дробів з однаковими знаменниками більший той, чисельник

якого більший.

Наприклад: >4 37 7

; <1 711 11

.

Ùоб порівняти дроби з різними знаменниками, достатньо звести їх до спільного знаменника (тобто, користуючись основною властивістю дробу, записати рівні їм дроби з однаковими знаменниками) і порівняти утворенні дроби.

9

Числа і вирази

Наприклад: щоб порівняти дроби 35

і 47

зведемо їх до спільного

знаменника 35. Маємо ⋅

= =⋅

3 3 7 215 5 7 35

і ⋅

= =⋅

4 4 5 207 7 5 35

. Оскільки >21 2035 35

, то

й >3 45 7

.

Із двох дробів з однаковими чисельниками, більший той, у якого зна-менник менший.

Наприклад: <5 5

,3 2

11 116 9

4. Порівняння додатних і від’ємних чисел.Áудь-яке від’ємне число менше від нуля і менше від будь-якого додатного

числа. Із двох від’ємних чисел більшим є те, модуль якого менший, і меншим є те, модуль якого більший.

Наприклад: 2 > –10; –5 < 0; –3 < –1; –4 > –15.

§3. ПРАВИЛА ОКРУГЛЕННЯ ЦІЛИХ ЧИСЕЛ І ДЕСЯТКОВИХ ДРОБІВ.

1. Правила округлень натуральних чисел.При окрóãленн³ натóралüноãо числа до певного розряду всі наступні

за цим розрядом цифри замінюють нулями. ßкщо перша наступна за цим розрядом цифра 5, 6, 7, 8 або 9, то останню цифру, що залишилася, збільшують на одиницю. ßкщо перша наступна за цим розрядом цифра 0, 1, 2, 3 або 4, то останню цифру, яка залишилася, не змінюють.

Наприклад, при округленні до сотень: 4520 ≈ 4500, 17287 ≈ 17300, 12950 ≈ 13000.

2. Правила округлення десяткових дробів.При окрóãленн³ десÿтковоãо дроáó до певного розряду всі наступні за

цим розрядом цифри замінюють нулями або відкидають (якщо вони стоять після коми). ßкщо перша наступна за цим розрядом цифра 5, 6, 7, 8 або 9, то останню цифру, що залишилася, збільшують на одиницю. ßкщо перша наступна за цим розрядом цифра 0, 1, 2, 3 або 4. то останню цифру, що залишилася, не змінюють.

Наприклад, при округлені до сотих:4,783 ≈ 4,78; 5,925 ≈ 5,93; 4,798 ≈ 4,80.

§4. ПРАВИЛА ДІЙ З РАЦІОНАЛЬНИМИ ЧИСЛАМИ.

1. Дії з десятковими дробами.Äодаваннÿ ³ в³дн³маннÿ десÿтковиõ дроá³в виконують, як і додавання

натуральних чисел, порозрядно, записуючи їх один під одним так, щоб кома розміщувалася під комою. У сумі або різниці ставлять кому під комою.

10

Розділ I

Наприклад:

Ùоб ïеремноæити десÿтков³ дроáи, треба виконати множення, не звертаючи уваги на коми, а потім у результаті відокремити справа комою стільки цифр, скільки їх стоїть після коми в обох множниках разом. ßкщо ж у результаті отримують менше цифр, ніж треба відокремити комою, то зліва дописують відповідну кількість нулів.

Наприклад:

Ùоб ïомноæити десÿтковиé др³á на 10n, де n – натуральне число, треба в цьому дробі перенести кому на n цифр вправо. ßкщо для перенесення коми не вистачає знаків, то дріб доповнюють справа відповідною кількістю нулів.

Наприклад: 4,17 · 10 = 41,7; 0,29 · 100 = 29; 4,8 · 1000 = 4800.

Ùоá ïомноæити десÿтковиé др³á на 0,1; 0,01; 0,001…, треба в цьому дробі перенести кому вліво на стільки знаків, скільки нулів стоїть у другому множнику перед одиницею (включаючи і нуль цілих). ßкщо для перенесення коми не вистачає знаків, то дріб доповнюють зліва відповідною кількістю нулів.

Наприклад: 17,2 · 0,1 = 1,72; 293 · 0,01 = 2,93; 1,45 · 0,001 = 0,00145.

Ùоá ïод³лити десÿтковиé др³á на натóралüне число, треба виконати ділення, не звертаючи уваги на кому, проте після закінчення ділення цілої частини діленого треба в частці поставити кому.

Наприклад:

Ùоá ïод³лити десÿтковиé др³á на 10n, треба в цьому дробі перенести кому на n цифр уліво, доповнюючи його при недостачі знаків відповідною кількістю нулів зліва.

Наприклад: 14,5 : 10 = 1,45; 2,37 : 100 = 0,0237.

11

Числа і вирази

Ùоá ïод³лити десÿтковиé др³á на десÿтковиé, треба в діленому і дільнику перенести кому на стільки цифр вправо, скільки їх стоїть після коми в дільнику, а потім виконати ділення на натуральне число.

Наприклад: 12,1088 : 2,56 = 1210,88 : 256 = 4,73.

Ùоá ïод³лити десÿтковиé др³á на 0,1; 0,01; 0,001, …, треба в цьому дробі перенести кому вправо на стільки знаків, скільки нулів містить дільник перед одиницею (враховуючи нуль цілих). ßкщо для перенесення коми не вистачає знаків, то дріб доповнюють справа відповідною кількістю нулів.

Наприклад: 4,73 : 0,1 = 47,3; 2,5 : 0,01 = 250; 0,0427 : 0,001 = 42,7.

2. Дії зі звичайними дробами.Äроáи ç однаковими çнаменниками додаþтü ³ в³дн³маþтü, використо-

вуючи формули:

++ = ,

a b a bc c c

і −

− = .a b a bc c c

Наприклад: + =2 3 5

;7 7 7

− =13 2 11

.19 19 19

Ùоá додати аáо в³днÿти дроáи ç р³çними çнаменниками, їх спочатку зводять до спільного знаменника, а потім додають або віднімають одержані дроби з однаковими знаменниками.

Наприклад:

ßк виконують додавання і віднімання мішаних чисел, показано на при-кладах:

Усі властивості дій із дійсними числами (див. с. 13) справедливі і для зви-чайних дробів; їх застосування часто спрощує процес додавання і віднімання.

Наприклад:

+ + + + = + + + + = + + = 7 5 2 7 1 7 2 5 7 1 1 1

1 2 1 2 2 3 5 .9 12 9 12 4 9 9 12 12 4 4 4

Тут використано переставну і сполучну властивості додавання.

Ùоá ïомноæити два дроáи, треба помножити окремо їх чисельники і знаменники, і перший добуток записати чисельником, а другий – зна-менником результату:

12

Розділ I

⋅ = ,a c acb d bd

де ≠ ≠0; 0.b d

Наприклад:

⋅⋅ = ⋅ = = =

⋅3 7 3 7 3 21 1

7 4 ;5 1 5 1 5 5 5

Застосування властивостей дій із дійсними числами часто спрощує процес множення дробів.

Наприклад: 3 19 4 3 4 19 19 19

7 7 1 7 7 .4 31 3 4 3 31 31 31

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = ßкщо добуток двох дробів дорівнює 1, то такі дроби називають вçаємно

оáерненими.

Наприклад: дріб 56

обернений до 65

, оскільки 5 6

1.6 5

⋅ =

Ùоá ïод³лити один др³á на ³нøиé, треба ділене помножити на дріб, обер нений до дільника:

: .= ⋅ =a c a d adb d b c bc

Наприклад: 2 3 2 7 2 7 14

: ;5 7 5 3 5 3 15

⋅= ⋅ = =⋅

3. Дії із додатними та від’ємними числами.Ùоá додати два в³д’ємниõ числа, треба додати їх модулі і поставити

перед одержаним числом знак «–». Наприклад: –2 + (–7) = –9.Ùоá додати два числа ç р³çними çнаками, треба від більшого з модулів

доданків відняти менший модуль і поставити перед різницею знак того доданка, модуль якого більший. Сума двох протилежних чисел дорівнює нулю.

Наприклад: –7 + 7 = 0; 5 + (–3) = 2; –8 + 1 = –7.Ùоá в³д одноãо числа в³днÿти ³нøе, треба до зменшуваного додати

число, протилежне до від’ємника:

( ).− = + −a b a b

13

Числа і вирази

Наприклад: 5 – 9 = 5 + (–9) = –4; –2 – 5 = –2 + (–5) = –7; –3 – (–7) = –3 + 7 = 4.Äоáóток двох чисел з однаковими знаками дорівнює добутку їх модулів.

Добуток двох чисел із різними знаками дорівнює добутку їх модулів, взятому зі знаком «–».

Наприклад: –4 · (–3) = 12; 2 · (–5) = 10.×астка двох чисел з однаковими знаками дорівнює частці від ділення їх

модулів. ×астка двох чисел із різними знаками дорівнює частці від ділення їх модулів, взятій зі знаком «–».

Наприклад: –8 : (–2) = 4; 6 : (–3) = –2; –18 : 6 = –3.

4. Властивості дій із дійсними числами.При додаванні дійсних чисел справджується

ïереставна властив³стü: a + b = b + a та сïолóчна властив³стü: (a + b) + c = a + (b + c).

При множенні дійсних чисел справджується ïереставна властив³стü: ab = ba,сïолóчна властив³стü: (ab) · c = a · (bc) та роçïод³лüна властив³стü: (a + b) · c = ac + bc; (a – b) · c = ac – bc.

КОНТРОЛЬНИЙ ТЕСТ ¹ 1

1. Подати у вигляді неправильного дробу число 3

65

.

А Á В Г Д

325

335

215

395

інша відповідь

2. ßку з наведених цифр можна підставити замість * у запис 41*3 > 4174, щоб утворилася правильна нерівність?

А Á В Г Д

7 0 6 8 4

3. Укажіть правильну нерівність.

А Á В Г Д

0,19 > 0,2 –0,12 < –0,13 –5,1 > –5,99 –0,41 > –0,4 –0,02 > 0,01

4. Укажіть неправильну нерівність.

А Á В Г Д

4 37 7

>1 18 9

>2 37 8

<3 58 12

<8 59 6

<

14

Розділ I

5. Записати десятковий дріб 5,03 у вигляді мішаного числа.

А Á В Г Д

5310

35

103

5100

35

1000503100

6. ßке з округлень числа до десятих зроблене правильно?

А Á В Г Д

2,17 ≈ 2,1 3,82 ≈ 4 4,15 ≈ 4,2 7,392 ≈ 7,39 4,51 ≈ 4,6

7. Знайти частку 87 : 2,6 і округлити її до десятих.

А Á В Г Д

33,5 33,4 33,46 33,47 3,3

8. Знайти значення виразу: (39 – 23,4) : |–65|.

А Á В Г Д

0,24 –0,24 2,4 –2,4 24

9. Обчислити: 3 5 3

41 38 2 1 .4 6 8

− + −

А Á В Г Д

172

2417

424

113

2417

324

інша відповідь

10. Обчислити: 1 1 1 612 2 2 :

3 4 4 13⋅ − .

А Á В Г Д

122

87

48

511

85

328

722

8

11. Виконати дії: ( ) 12,5 13,4 5 : 5 0,25

2− ⋅ − + ⋅ .

12. Відомо, що 2=ab

. ×ому дорівнює частка чисел 0,25a і 1,25b?

73

Числа і вирази

ЗРАЗКИ ТЕСТОВИХ ЗАВДАНЬ.

Завдання з вибором однієї правильної відповіді.Çавданнÿ 1-60 маþтü ïо ï’ÿтü вар³ант³в в³дïов³д³, серед ÿкиõ лиøе

один ïравилüниé.

1. У коробці менше 40 цукерок. Цукерки можна порівну розділити між двома або трьома дітьми, але не можна між чотирма. ßка найбільша можлива кількість цукерок може бути в коробці?

А Á В Г Д

27 30 33 36 39

2. В ящику знаходяться білі та чорні кульки у відношенні 3:1. Вкажіть число, яким може виражатися загальна кількість кульок у ящику.

А Á В Г Д

62 63 64 65 70

3. У Сергія є певна кількість слив. ßкщо він розкладе їх у купки по 4 сливи, то одна слива залишиться, а коли розкладе їх по 3, то зайвих слив не виявиться. ßка кількість слив із запропонованих може бути у Сергія?

А Á В Г Д

27 30 32 33 46

4. Відомо, що 410 + n ділиться на 9; яке значення із запропонованих може приймати число n?

А Á В Г Д

4 2 1 7 9

5. ßку з цифр потрібно підставити замість * у число 12 * 34 , щоб воно ділилося на 3 без остачі?

А Á В Г Д

4 6 3 7 2

6. Сума чисел 212 + a ділиться на 5. ßке значення із запропонованих може приймати число a.

А Á В Г Д

319 413 250 719 495

74

Розділ I

7. Обчислити: 4 5

1,8 19 16

− ⋅ .

А Á В Г Д

13

19

118

172

інша відповідь

8. Обчислити: 2

0,25 0,53

⋅ + .

А Á В Г Д

38

13

614

23

41

5

9. Обчислити: 1 1

5,6 8,53 3

⋅ + ⋅ .

А Á В Г Д

47 4,7 4,9 4,07 3,7

10. На скільки 34

числа 360 більше за 0,35 числа 420?

А Á В Г Д

121 60 417 81 123

11. Указати правильну нерівність.

А Á В Г Д

2 37 7

> 5 52 3

< 7 66 7

< 7 58 6

> 19 621 7

<

12. Визначити кількість усіх звичайних дробів із знаменником 24, які більші

за 34

, але менше за 78

.

А Á В Г Д

жодного один два чотири шість

13. Визначити кількість усіх звичайних дробів із знаменником 28, які більші

за 67

, але менше за 1.

А Á В Г Д

два три чотири п’ять сім

81

58. Обчислити: ( ) ( )lg 25 lg 4a b+ , якщо ( )lg = 3ab , > 0, > 0a b .

А Á В Г Д

103 1323

5 6

59. На змаганнях з настільного тенісу брали участь однакові за кількістю хлопчиків і дівчаток команди, усього 34 дівчинки і 51 хлопчик. Скільки дівчаток було в кожній команді?

А Á В Г Д

1 2 3 4 5

60. Довжина кроку батька 70 см, довжина кроку сина 40 см. ßку найменшу відстань вони повинні пройти, щоб кожний зробив ціле число кроків?

А Á В Г Д

3,5 м 5,6 м 2,8 м 28 мнеможливо визначити

Завдання на встановлення відповідностей.Ó çавданнÿõ 1-5 до коæноãо ç рÿдк³в ³нформац³¿, ïоçначениõ цифрами,

виáер³тü один ïравилüниé, на Ваøó дóмкó, вар³ант, ïоçначениé áóквоþ.

1. Встановити відповідності між виразами (1-4) та їх значеннями якщо x = 1,5 (А-Д).

1 2 4

2x

x−

+

2 2

2 44 4 4

x xx x x− ⋅

− +

3 3

2

1

1

xx x

−+ +

4 ( ) ( )22 4 1x x− + −

2. Встановити відповідність між числовими виразами (1-4) та їхніми зна- ченнями (А-Д).

1 20022 –19982

2 1742 – 174 · 268 + 1342

3 822 + 82 · 76 + 382

4 1212 – 21 · 121 – 121 + 21

A 0,5

Б 1

В –0,5

Г 2,25

Д –1

A 1600

Б 1440

В 14400

Г 12000

Д 16000

А Á В Г Д

1

2

3

4

А Á В Г Д

1

2

3

4

82

3. Встановити відповідність між формулами зведення (1-4) та виразами, які їм тотожно дорівнюють (А-Д).

1 ( )sin π + α

2 ( )cos 2π − α

3 3

sin2π − α

4 3

cos2π + α

4. Встановити відповідність між числовими виразами (1-4) та значеннями цих виразів (А-Д).

1 ( )8 50 2−

2 ( )12 2 50

2−

3 ( ) ( )21 15 21 15− +

4 ( )22 3 2 6− +

5. Встановити відповідність між числовими виразами (1-4) та значеннями цих виразів (А-Д).

1 4log 8

2 2log 4

3 8log 2

4 2log 2

Завдання з короткоþ відповіддþ.

1. Ціна товару спочатку знизилася на 10%, але згодом нову ціну підняли на 20%. На скільки відсотків кінцева ціна товару більша від початкової?

2. Обчислити: 2 21 4 1192 2,5 98 71

16 75 234− − − .

3. Знайти x із пропорції:

1 1 2 3 14 3,5 2 1 : 0,16 3 :7 5 7 14 6=23 49

41 4084 60

x

− − −

−.

4. Знайти значення виразу: ( ) ( )2 24 4 4 43 27 7 3 27 7 − + + −

.

A 1

Б –sin α

В sin α

Г –cos α

Д cos α

A 6

Б 3

В 5

Г –6

Д –3

A 2

Б 23

В 32

Г 13

Д 12

А Á В Г Д

1

2

3

4

А Á В Г Д

1

2

3

4

А Á В Г Д

1

2

3

4

83

5. Обчислити: 42 37 7

9 39 2 39 3 2− −

− + −.

6. Обчислити: 1,6 1,8

23

3 9

27

− ⋅.

7. Обчислити: 15 16 17 18log 18 log 15 log 16 log 17⋅ ⋅ ⋅ .

8. Обчислити: + ⋅8log 12533 52 log 5 log 27 .

9. Знайти значення виразу: ( )2 4 12

3 log log 16 log 2+ .

10. Знайти значення виразу: 6 6 2 2sin cos 3sin cosα + α + α α, якщо = 12α °.

11. Обчислити кут при =9

xπ

значення виразу ( )3 sin sin3 sin5

cos cos3 cos5

x x x

x x x

+ ++ +

.

12. Спростити вираз:

( ) ( )2 2 2 2 3sin cos sin sin cos cos

2 2π π α − α − π − α α − π − α + α

.

13. Знайти cos 22π + α

, якщо відомо, що ( ) 1сtg 2 =

3α − π − .

14. Обчислити значення виразу α α + α

sin 1 tg tg2

, якщо = 45α ° .

15. Знайти sin4α , якщо sin2 = 0,6α − і 135 < < 180° α ° .

16. Спростити вираз ( )2 4a b ab a b+ − − + , якщо = 17a ; = 3b .

17. Знайти значення виразу 2

a a b b a bab

a ba b

+ +− ⋅ −+ , якщо a = 2013;

b = 2012.

18. Знайти значення виразу 2 2

2 1xx yx y

−+−

, якщо x = – 3,17; y = –1,17.

19. Знайти значення виразу 2

1 1:

xx

x x x x x x

+ ++ + −

, якщо x = 1999.

20. Знайти значення виразу 2 2

2 2:

ab ab a ba a

a b a b b a + − − + −

, якщо = 2,a

= 8b .

285

ГЕОМЕТРІЯ

286

§1. ÍÀÉÏРОÑТІØІ ГЕОМЕТРÈЧÍІ ÔІГÓРÈ ÍÀ ÏËОÙÈÍІ ТÀ ЇÕ ÂËÀÑТÈÂОÑТІ.

1. Тî÷êà ³ ïðÿìà.Ãåîìåòð³ÿ – öå íàóêà ïðî âëàñòèâîñò³ ãåîìåòðè÷íèõ ô³ãóð.Ïëàí³ìåòð³ÿ – ÷àñòèíà ãåîìåòð³¿, ÿêà âèâ÷ຠâëàñòèâîñò³ ãåîìåòðè÷íèõ

ô³ãóð íà ïëîùèí³.Ïëîùèíà º îäí³ºþ ç îñíîâíèõ ãåîìåòðè÷íèõ ô³ãóð. Óÿâëåííÿ ïðî ÷àñòèíó

ïëîùèíè äຠïîâåðõíÿ ñòîëó, øèáêè, ñòåë³ òîùî. Ïëîùèíó â ãåîìåò𳿠ââàæàþòü ð³âíîþ òà íåîáìåæåíîþ; âîíà íå ìຠìåæ³ òà íå ìຠòîâùèíè.

Îñíîâíèìè ãåîìåòðè÷íèìè ô³ãóðàìè íà ïëîùèí³ º òî÷êà ³ ïðÿìà. Òî÷êè ïîçíà÷àþòü âåëèêèìè ëàòèíñüêèìè áóêâàìè A, B, C, D... (ìàë. 140). Ïðÿì³ ìîæíà ïðîâîäèòè çà äîïîìîãîþ ë³í³éêè (ìàë. 141). Ïðè öüîìó çîáðàæóþòü ÷àñòèíó ïðÿìî¿, à âñþ ïðÿìó óÿâëÿºìî íåñê³í÷åííîþ â îáèäâà áîêè. Ïðÿì³ íàé÷àñò³øå ïîçíà÷àþòü ìàëèìè ëàòèíñüêèìè áóêâàìè a, b, c.

Íà ìàëþíêó 142 çîáðàæåíî ïðÿìó à ³ òî÷êè A, B, C. Òî÷êè A ³ B ëåæàòü íà ïðÿì³é a; ãîâîðÿòü òàêîæ, ùî òî÷êè A ³ B íàëåæàòü ïðÿì³é à, àáî ùî ïðÿìà à ïðîõîäèòü ÷åðåç òî÷êè À ³ Â. Òî÷êà Ñ íå ëåæèòü íà ïðÿì³é à; ³íàêøå êàæó÷è, òî÷êà Ñ íå íàëåæèòü ïðÿì³é à, àáî ïðÿìà à íå ïðîõîäèòü ÷åðåç òî÷êó Ñ.

ßêà á íå áóëà ïðÿìà, ³ñíóþòü òî÷êè, ùî íàëåæàòü ö³é ïðÿì³é, ³ òî÷êè, ùî íå íàëåæàòü ¿é.

Äëÿ çðó÷íîñò³ çàì³ñòü ñë³â «òî÷êà À íàëåæèòü ïðÿì³é à» êîðèñòóþòüñÿ çà­ïèñîì A a∈ , à çàì³ñòü ñë³â «òî÷êà Ñ íå íàëåæèòü ïðÿì³é à» – çàïèñîì C a∉ .

Çàóâàæèìî, ùî ÷åðåç òî÷êè À ³ B íå ìîæíà ïðîâåñòè ³íøó ïðÿìó, ÿêà íå çá³ãàºòüñÿ ç ïðÿìîþ à.

×åðåç áóäü-ÿê³ äâ³ òî÷êè ìîæíà ïðîâåñòè ïðÿìó, ³ äî òîãî æ ò³ëüêè îäíó.Ïðÿìó, íà ÿê³é ïîçíà÷åíî äâ³ òî÷êè, íàïðèêëàä, À ³ Â, ìîæíà ïîçíà÷èòè

äâîìà áóêâàìè: À àáî ÂÀ.Íà ìàëþíêó 142 òî÷êà Ñ íå íàëåæèòü ïðÿì³é ÀÂ, öå çàïèñóþòü òàê

C AB∉ . Ãîâîðÿòü òàêîæ, ùî òî÷êè À,  ³ Ñ íå ëåæàòü íà îäí³é ïðÿì³é (íå íàëåæàòü îäí³é ïðÿì³é).

Íà ìàëþíêó 143 òî÷êè P, K ³ M ëåæàòü íà îäí³é ïðÿì³é, ïðè÷îìó òî÷êà K ëåæèòü ì³æ òî÷êàìè P ³ M.

Ç òðüîõ òî÷îê íà ïðÿì³é îäíà ³ ò³ëüêè îäíà ëåæèòü ì³æ äâîìà ³íøèìè.

Рîзд³л І. ÏËÀÍІМЕТРІЯ

мàл. 140 мàл. 141

мàл. 142 мàл. 143

287

2. Ïðîì³íü.Ïðîâåäåìî ïðÿìó ³ ïîçíà÷èìî íà í³é òî÷êó À

(ìàë. 144). Öÿ òî÷êà ä³ëèòü ïðÿìó íà äâ³ ÷àñòèíè, êîæíó ç ÿêèõ ðàçîì ³ç òî÷êîþ À íàçèâàþòü ïðî­ìåíåì, ùî âèõîäèòü ç òî÷êè À. Òî÷êà À íàçèâà ºòüñÿ ïî÷àòêîì êîæíîãî ç ïðîìåí³â. Ïðîìåí³ ïîçíà÷àþòüñÿ äâîìà âåëèêèìè ëàòèíñüêèìè áóê âàìè, ïåðøà ç ÿêèõ ïî÷àòêîì ïðîìåíÿ, à äðóãà – ÿêàñü ³íøà òî÷êà íà ïðîìåí³ (íàïðèêëàä ïðîì³íü ÎÊ íà ìàëþíêó 145).

Р³çí³ ïðîìåí³ îäí³º¿ ïðÿìî¿, ùî ìàþòü ñï³ëüíèé ïî÷àòîê, íàçèâàþòü äîïîâíÿëüíèìè. Íà ìàëþíêó 146 ïðîì³íü ÂÑ äîïîâíÿëüíèé äëÿ ïðîìåíÿ BD, ³ íàâïàêè, ïðîì³íü BD º äîïîâíÿëüíèì äëÿ ïðîìåíÿ ÂÑ.

3. ³дð³зîê.³äð³çêîì íàçèâàþòü ÷àñòèíó ïðÿìî¿, ÿêà ñêëàäàºòüñÿ ç óñ³õ òî÷îê

ö³º¿ ïðÿìî¿, ùî ëåæàòü ì³æ äâîìà ¿¿ òî÷êàìè, ðàçîì ç öèìè òî÷êàìè. Ö³ òî÷êè íàçèâàþòü ê³íöÿìè â³äð³çêà.

Íà ìàëþíêó 147 çîáðàæåíî â³äð³çîê ÀÂ; òî÷êè À ³  – éîãî ê³íö³.

Íà ìàëþíêó 148 òî÷êà Ê íàëåæèòü â³äð³çêó CD, à òî÷êà L íå íàëåæèòü â³äð³çêó CD.

Äëÿ âèì³ðþâàííÿ â³äð³çê³â íåîáõ³äíî ìàòè îäèíè÷íèé â³äð³çîê (îäèíèöþ âèì³ðþâàííÿ). Îäèíèöÿìè âèì³ðþâàííÿ äîâæèíè º, íàïðèê ëàä, 1 ìì, 1 ñì, 1 äì, 1 ì, 1 êì.

Êîæíèé â³äð³çîê ìຠïåâíó äîâæèíó, á³ëüøó â³ä íóëÿ.

Íà ìàëþíêó 149 çîáðàæåíî â³äð³çîê ÀÂ. Òî÷êà Ñ ä³ëèòü â³äð³çîê À íà äâà â³äð³çêè ÀÑ ³ ÑÂ. Ïðè öüîìó AB AC CB= + .

Äîâæèíà â³äð³çêà äîð³âíþº ñóì³ äîâæèí ÷àñòèí, íà ÿê³ â³í ðîçáèâàºòüñÿ áóäü­ÿêîþ éîãî òî÷êîþ.

Äîâæèíó â³äð³çêà íàçèâàþòü òàêîæ â³äñòàííþ ì³æ éîãî ê³íöÿìè.

Ïðèêëàä. Òî÷êà Ñ íàëåæèòü â³äð³çêó ÀÂ, äîâæèíà ÿêîãî äîð³âíþº 7,5 ñì. Âèçíà÷òå äîâæèíè â³äð³çê³â ÀÑ ³ ÑÂ, ÿêùî ÂÑ êîðîòøèé çà ÀÑ ó 2 ðàçè.

Ðîçâ’ÿçàííÿ (ìàë. 149). Íåõàé äîâæèíà â³äð³çêà =BC x ñì, òîä³ = 2AC x ñì. Îñê³ëüêè =AC CB AB+ , òî ìàºìî ð³âíÿííÿ 2 = 7,5x x+ .

Рîçâ’ÿçóºìî éîãî: 3 = 7,5x ; = 2,5x . Îòæå, = 2,5BC ñì; = 2 2,5 = 5AC ⋅ ñì.

Òî÷êó â³äð³çêà, ÿêà ä³ëèòü éîãî íàâï³ë, òîáòî íà äâà ð³âí³ â³äð³çêè, íàçèâàþòü ñåðåäèíîþ â³äð³çêà.

мàл. 144

мàл. 145

мàл. 146

мàл. 147

мàл. 148

мàл. 149

288

Розділ I

4. Ëàìàíà.Ëàìàíîþ 1 2 3 nA A A A íàçèâàþòü ô³ãóðó, ÿêà ñêëà­

äàºòüñÿ ç òî÷îê 1 2 3, , , , nA A A A ³ â³äð³çê³â 1 2A A , 2 3A A ,

..., 1n nA A− , ùî ¿õ ñïîëó÷àþòü (ìàë. 150). Òî÷êè

1 2 3, , , , nA A A A íàçèâàþòü âåðøèíàìè ëàìàíî¿, à â³ä­

ð³çêè 1 2A A , 2 3A A , ..., 1n nA A− , – ëàíêàìè ëàìàíî¿.

Äîâæèíîþ ëàìàíî¿ íàçèâàþòü ñóìó äîâæèí ¿¿ ëàíîê.Äîâæèíà ëàìàíî¿ íå ìåíøà çà äîâæèíó â³äð³çêà, ùî ñïîëó÷ຠ¿¿ ê³íö³.

5. Êóò.Êóò – öå ãåîìåòðè÷íà ô³ãóðà, ÿêà ñêëàäàºòüñÿ ç òî÷êè ³ äâîõ

ïðîìåí³â, ùî âèõîäÿòü ³ç ö³º¿ òî÷êè.Ïðîìåí³ íàçèâàþòü ñòîðîíàìè êóòà, à ¿õ ñï³ëüíèé ïî÷àòîê – âåðøèíîþ

êóòà.Íà ìàëþíêó 151 çîáðàæåíî êóò ç âåðøèíîþ Î

³ ñòîðîíàìè ÎÀ òà ÎÂ. Òàêèé êóò ìîæíà íàçâàòè êóòîì Î, àáî êóòîì ÀÎÂ, àáî êóòîì ÂÎÀ. Ó äðóãîìó òà òðåòüîìó âàð³àíòàõ íàçâè êóòà áóêâà Î, ùî ïîçíà÷ຠâåðøèíó êóòà, ñòàâèòüñÿ ïîñåðåäèí³. Ñëîâî «êóò» ìîæíà çàì³íèòè çíàêîì ∠ , çàïèñàâøè êóò òàê: O∠ , àáî AOB∠ , àáî BOA∠ .

Ðîçãîðíóòèé êóò – öå êóò, ñòîðîíè ÿêîãî º äîïîâíÿëüíèìè ïðîìåíÿìè (ìàë. 152).

Êîæíèé êóò ìຠïåâíó ãðàäóñíó ì³ðó, á³ëüøó â³ä íóëÿ. Ðîçãîðíóòèé êóò äîð³âíþº 180°.

Ãðàäóñíà ì³ðà êóòà äîð³âíþº ñóì³ ãðàäóñíèõ ì³ð êóò³â, íà ÿê³ â³í ðîçáèâàºòüñÿ áóäü­ÿêèì ïðîìåíåì, ùî ïðîõîäèòü ì³æ éîãî ñòîðîíàìè.

Íà ìàëþíêó 153 ïðîì³íü ÎK ä³ëèòü ÀΠíà äâà êóòè: ÂÎK ³ KÎÀ. Òîä³

=AOB AOK BOK∠ ∠ + ∠ .

Ïðèêëàä. Ïðîìåí³ ÎK ³ ÎÌ ïðîõîäÿòü ì³æ ñòîðîíàìè êóòà ÀÎÂ, ÿêèé äîð³âíþº 120°.

= 80KOB∠ , = 90AOM∠ . Çíàéòè ãðàäóñíó ì³ðó êóòà KÎÌ.

Ðîçâ’ÿçàííÿ (ìàë. 154).= = 120 90 = 30MOB AOB AOM∠ ∠ − ∠ − .

Òîä³ = = 80 30 = 50KOM KOB MOB∠ ∠ − ∠ − .Рîçð³çíÿþòü íàñòóïí³ âèäè êóò³â. Êóò íàçèâàþòü ðîçãîðíóòèì, ÿêùî

éîãî ãðàäóñíà ì³ðà äîð³âíþº 180°, ïðÿìèì – ÿêùî éîãî ãðàäóñíà ì³ðà äîð³âíþº 90°, ãîñòðèì – ÿêùî â³í ìåíøèé â³ä ïðÿìîãî, òóïèì – ÿêùî â³í á³ëüøèé â³ä ïðÿìîãî, àëå ìåíøèé â³ä ðîçãîðíóòîãî (ìàë. 155).

мàл. 150

мàл. 152

мàл. 153

мàл. 154

мàл. 151À

289

Планіметрія

мàл. 155

6. Á³ñåêòðèñà êóòà.Á³ñåêòðèñîþ êóòà íàçèâàþòü ïðîì³íü, ÿêèé âèõîäèòü ç âåðøèíè

êóòà, ïðîõîäèòü ì³æ éîãî ñòîðîíàìè ³ ä³ëèòü éîãî íà äâà ð³âí³ êóòè.Íà ìàëþíêó 156 ïðîì³íü OP – á³ñåêòðèñà êóòà ÀÎÂ.

Ïðèêëàä. ßêèé êóò óòâîðþº á³ñåêòðèñà êóòà 50° ç ïðîäîâæåííÿì îäí³º¿ ç éîãî ñòîð³í?

Ðîçâ’ÿçàííÿ (ìàë. 157). 50

= = = 252 2

AOBKOB

∠∠

.

Òîä³, = = 180 25 = 155MOK MOB KOB∠ ∠ − ∠ − .

мàл. 156 мàл. 157 мàл. 158

Âëàñòèâ³ñòü á³ñåêòðèñè êóòà: áóäü­ÿêà òî÷êà á³ñåêòðèñè êóòà ð³âíîâ³ääàëåíà â³ä ñòîð³í öüîãî êóòà (äèâ³òüñÿ §4).

Íà ìàëþíêó 158 ïðîì³íü ÎK – á³ñåêòðèñà êóòà ÀÎÂ; M OK∈ , ML ³ MN – â³äñòàí³ â³ä òî÷êè Ì äî ñòîð³í êóòà. Òîä³ =ML MN .

§2. ÀÊÑІОМÈ ÏËÀÍІМЕТРІЇ.Àêñ³îìè ïëàí³ìåò𳿠– öå òâåðäæåííÿ ïðî îñíîâí³ âëàñòèâîñò³

íàéïðîñò³øèõ ãåîìåòðè÷íèõ ô³ãóð, ïðèéíÿò³ ÿê âèõ³äí³ ïîëîæåííÿ.Íàãàäàºìî äåÿê³ âæå â³äîì³ íàì àêñ³îìè.². ßêà á íå áóëà ïðÿìà, ³ñíóþòü òî÷êè, ùî íàëåæàòü ö³é ïðÿì³é, ³

òî÷êè, ùî íå íàëåæàòü ¿é.²². ×åðåç áóäü­ÿê³ äâ³ òî÷êè ìîæíà ïðîâåñòè ïðÿìó, ³ äî òîãî æ

ò³ëüêè îäíó.²²². Ç òðüîõ òî÷îê íà ïðÿì³é îäíà ³ ò³ëüêè îäíà ëåæèòü ì³æ äâîìà

³íøèìè.IV. Êîæíèé â³äð³çîê ìຠïåâíó äîâæèíó, á³ëüøó â³ä íóëÿ.

290

Розділ I

V. Äîâæèíà â³äð³çêà äîð³âíþº ñóì³ äîâæèí ÷àñòèí, íà ÿê³ â³í ðîçáèâàºòüñÿ áóäü­ÿêîþ éîãî òî÷êîþ.

VI. Êîæíèé êóò ìຠïåâíó ãðàäóñíó ì³ðó, á³ëüøó â³ä íóëÿ. Ðîçãîðíóòèé êóò äîð³âíþº 180°.

VII. Ãðàäóñíà ì³ðà êóòà äîð³âíþº ñóì³ ãðàäóñíèõ ì³ð êóò³â, íà ÿê³ â³í ðîçáèâàºòüñÿ áóäü­ÿêèì ïðîìåíåì, ùî ïðîõîäèòü ì³æ éîãî ñòîðîíàìè.

Ùå îäíà âàæëèâà àêñ³îìà – àêñ³îìà ïàðàëåëüíîñò³ ïðÿìèõ àáî àêñ³îìà Åâêë³äà áóäå ñôîðìóëüîâàíà â §5.

§3. ÑÓМІÆÍІ ТÀ ÂЕРТÈÊÀËÜÍІ ÊÓТÈ.

1. Ñóì³æí³ êóòè, ¿õ âлàñòèâîñò³.Äâà êóòè íàçèâàþòü ñóì³æíèìè, ÿêùî îäíà ñòîðîíà â íèõ ñï³ëüíà,

à äâ³ ³íø³ ñòîðîíè öèõ êóò³â º äîïîâíÿëüíèìè ïðîìåíÿìè.Íà ìàëþíêó 159 êóòè ÀÎK ³ KΠ– ñóì³æí³.

Âëàñòèâ³ñòü ñóì³æíèõ êóò³â: ñóìà ñóì³æíèõ êóò³â äîð³âíþº 180°.

Ïðèêëàä. Çíàéòè ì³ðè ñóì³æíèõ êóò³â, ÿêùî îäèí ç íèõ íà 50° á³ëüøèé çà ³íøèé.

Ðîçâ’ÿçàííÿ (ìàë. 159). Íåõàé =KOB x∠ , òîä³

= 50AOK x∠ + .

Çà âëàñòèâ³ñòþ ñóì³æíèõ êóò³â 50 = 180x x+ + ;

2 = 130x ; = 65x .

Îòæå, = 65KOB∠ , = 115AOK∠ .

2. Âåðòèêàлüí³ êóòè, ¿õ âлàñòèâîñò³.

Äâà êóòè íàçèâàþòü âåðòèêàëüíèìè, ÿêùî ñòîðîíè îäíîãî êóòà º äîïîâíÿëüíèìè ïðîìåíÿìè äî ñòîð³í ³íøîãî.

Íà ìàëþíêó 160 ïðÿì³ ÀÂ ³ CD ïåðåòèíàþòüñÿ â òî÷ö³ K. Êóòè AKC ³ DKB – âåðòèêàëüí³, êóòè AKD ³ CKB òåæ âåðòèêàëüí³.

Âëàñòèâ³ñòü âåðòèêàëüíèõ êóò³â: âåðòèêàëüí³ êóòè ð³âí³.

Ïðèêëàä. Ãðàäóñí³ ì³ðè äâîõ ç ÷îòèðüîõ êóò³â, ùî óòâîðèëèñÿ ïðè ïåðåòèí³ äâîõ ïðÿìèõ, â³äíîñÿòüñÿ ÿê 2:7. Çíàéòè ãðàäóñíó ì³ðó êîæíîãî ç êóò³â, ùî óòâîðèëèñÿ.

Ðîçâ’ÿçàííÿ (ìàë. 160). Êóòè, îïèñàí³ â óìîâ³, ìàþòü ð³çí³ ãðàäóñí³ ì³ðè ³ òîìó º íå âåðòèêàëüíèìè, à ñóì³æíèìè.

Ïîçíà÷èìî = 2AKC x∠ ; = 7AKD x∠ .

Çà âëàñòèâ³ñòþ ñóì³æíèõ êóò³â 2 7 = 180x x+ ; 9 = 180x ; = 20x .

Îòæå, = = 2 20 = 40AKC BKD∠ ∠ ⋅ , = = 7 20 = 140AKD BKC∠ ∠ ⋅ .

мàл. 159

мàл. 160

509

ТРЕНУВАЛЬНИЙ ТЕСТ №1

Завдання 1-20 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише ОДИН ПРАВИЛЬНИЙ. Виберіть правильний, на Вашу думку, варіант від-повіді, позначте його у бланку А згідно з інструкцією. Не робіть інших позначок в бланку А, оскільки комп’ютерна програма реєструватиме їх як помилки!

1. Розташуйте в порядку зростання числа 29

; 0,2; 0,22.

А Б В Г Д

29

; 0,2; 0,22 0,2; 0,22; 29

0,22; 29

; 0,2 0,2; 29

; 0,2229

; 0,22; 0,2

2. Діаграма, зображена на рисунку містить інформацію про кількість про-даних одиниць техніки в супермаркеті електроніки протягом тижня.

ìîá³ëüí³ òåëåôîíè

5

10

15

20

25

30

íîóòáóêè ïëàíøåòè òåëåâ³çîðè öèôðîâ³ ôîòîàïàðàòè

найменування товару

кіл

ькіс

ть

про

даних

одиниць

тех

нік

и

Використовуючи дані діаграми, доберіть таке закінчення речення, щоб утворилося правильне твердження: «Більше, ніж цифрових фотоапаратів, але менше, ніж мобільних телефонів, у цьому супермаркеті продано…»

А Б В Г Д

і ноутбуків, і телевізорів

лише телевізорів

і ноутбуків, і планшетів

лише планшетів

і планшетів, і телевізорів

3. Точки А, В і С належать прямій, що паралельна прямій т. Скільки існує площин, які паралельні прямій т і проходить через точки А, В, і С?

А Б В Г Д

безліч лише три лише дві лише одна жодної

Комплексні варіанти тестових завдань

510

4. На рисунку зображено графік функції ( )y f x= , яка визначена на відрізку

[–5; 4]. Вкажіть область значень цієї функції.

А Б В Г Д

[–5; 4] [–2; 2] [–2; 3] [–3; 4] [–5; –3]

5. Пряма а перетинає перпендикулярні прямі b i c (див. рисунок). Визначте градусну міру кута х.

А Б В Г Д

122° 132° 138° 142° 152°

6. Розв’яжіть рівняння 3 1 1

4 8x x− +

= .

А Б В Г Д

35

−37

35

15

−53

7. AD – медіана трикутника АВС (див рисунок). Вкажіть правильну векторну рівність.

А Б

( )12

AD AB AC= + ( )2AD AB AC= +

В Г Д

( )12

AD AB AC= − + ( )1

2AD AB AC= − ( )1

2AD AC AB= −

511

Комплексні варіанти тестових завдань

8. Розв’яжіть нерівність 24x x≥ .

А Б В Г Д

( )0;4 ( ] [ );0 4;−∞ +∞ ( );−∞ +∞ [ ]0;4 ( ];4−∞

9. На рисунку зображено рівносторонній трикутник АВС, MN – його се-редня лінія. Периметр чотирикутника AMNC дорівнює 60 см. Визначте периметр трикутника BMN.

B

M N

A C

А Б В Г Д

30 см 33 см 36 см 42 см 45 см

10. Обчисліть 3 0,27⋅ .

А Б В Г Д

0,3 0,09 0,81 0,03 0,9

11. На рисунку зображено фрагмент однієї з наведених функцій на відрізку [ ]0;π . Вкажіть цю функцію.

π

А Б В Г Д

2cosy x= 2cosy x= − 2cos2y x= − 2siny x= 2siny x= −

12. У першому ряді кінотеатру встановлено 19 крісел, а в кожному наступ-ному – на 2 крісла більше, ніж у попередньому. Скільки всього крісел встановлено в одинадцятому ряді цього кінотеатру?

А Б В Г Д

33 35 37 39 41

525

ВІДПОВІДІ

АлгебрА

розділ І. ЧислА І ВирАзи

Контрольні тести.

№ вправи№ теста

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 Б Г В Д В В А А Г Д –127,75 0,42 Г Г В В Г Д Б В В Г 228 –123 Г В Г Г А Б В В Г А –6 20,254 Г Д Г В Г Б Г А В В –1 0,7045 В Д Б Б А Б Г А Б Г 1,4 –56 Г Г В А Г Б Г Б Б Д 3,5 322,57 Б Г В В В Д Г Г В А –0,48 –3,58 А В Г Д А Д В Б В В 0,5 1359 Б Б Б Г Б Г Д Г А Г 890 75

завдання з вибором однієї правильної відповіді

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Б В Г А Д Б Б Г Б Д Г В Б Г Д

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Б В Б В Г В Г Б Д А Г Г В Д Б

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

Г В В В Г А Д Б В Б Г Г Б А Б

46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

В Г Д В Б А В Б В Б Д В Г Б В

завдання на встановлення відповідностей

1 2 3 4 5

1 – В, 2 – Д, 3 – А, 4 – Г

1 – Д, 2 – А, 3 – В, 4 – Г

1 – Б, 2 – Д, 3 – Г, 4 – В

1 – Г, 2 – Д, 3 – А, 4 – В

1 – В, 2 – А, 3 – Г, 4 – Д

завдання з короткою відповіддю

1 2 3 4 5 6 7 8 9 108 0 1 47 6 1 1 2 2 111 12 13 14 15 16 17 18 19 203 –1 0,6 1 –0,96 0 1 –0,5 1 0,25

532

Передмова ........................................................................................................... 3

Алгебра і початки аналізу

Розділ І. ЧИСЛА І ВИРАЗИ ............................................................................ 6

§1. РАЦІОНАЛЬНІ ЧИСЛА. .............................................................. 61. Натуральні числа ................................................................. 62. Звичайні дроби. .................................................................... 63. Десяткові дроби.................................................................... 64. Додатні і від’ємні числа. Модуль числа .................................. 75. Цілі числа, раціональні числа, ірраціональні числа ................. 86. Дійсні числа. Співвідношення між числовими множинами ....... 8

§2. ПРАВИЛА ПОРІВНяННя РАЦІОНАЛЬНИх ЧИСеЛ. .................... 81. Порівняння натуральних чисел. ............................................. 82. Порівняння десяткових дробів ............................................... 83. Порівняння звичайних дробів ................................................ 84. Порівняння додатних і від’ємних чисел .................................. 9

§3. ПРАВИЛА ОкРуГЛеННя ЦІЛИх ЧИСеЛ І ДеСяткОВИх ДРОБІВ. .............................................................. 91. Правила округлень натуральних чисел ................................... 92. Правила округлення десяткових дробів .................................. 9

§4. ПРАВИЛА ДІй З РАЦІОНАЛЬНИМИ ЧИСЛАМИ ......................... 91. Дії з десятковими дробами .................................................... 92. Дії зі звичайними дробами .................................................. 113. Дії із додатними та від’ємними числами ............................... 124. Властивості дій із дійсними числами .................................... 13Êîíòðîëüíèé òåñò ¹ 1 .......................................................... 13

§5. ПОДІЛЬНІСтЬ НАтуРАЛЬНИх ЧИСеЛ. .................................... 151. Дільники і кратні ............................................................... 152. Ознаки подільності на 2; 3; 5; 9; 10 ...................................... 153. Прості і складені числа. Розкладання натурального числа

на прості множники ........................................................... 154. Найбільший спільний дільник (НСД) і найменше спільне

кратне (НСк) ..................................................................... 15

§6. тОтОæНІ ВИРАЗИ. тОтОæНІСтЬ. тОтОæНІ ПеРетВОРеННя ВИРАЗІВ. ................................................................................ 161. тотожні вирази. тотожність ................................................ 162. тотожні перетворення виразів .............................................. 16

зміст

533

§7. ВІДНОøеННя тА ПРОПОРЦІЇ ................................................... 171. Відношення. Пропорція ...................................................... 172. Використання основної властивості пропорції

при розв’язуванні рівнянь ................................................... 183. Прямо пропорційна залежність ............................................ 18

§8. ПеРетВОРеННя ДеСяткОВОГО ДРОБу у ЗВИЧАйНИй тА ЗВИЧАйНОГО у ДеСяткОВИй ........................................... 191. Перетворення десяткового дробу у звичайний ........................ 192. Перетворення звичайного дробу у скінченний десятковий ....... 193. Перетворення звичайного дробу у нескінчений періодичний

десятковий дріб .................................................................. 194. Десяткове наближення звичайного дробу. .............................. 20Êîíòðîëüíèé òåñò ¹ 2 .......................................................... 20

§9. СтеПІНЬ З НАтуРАЛЬНИМ ПОкАЗНИкОМ .............................. 221. Означення степеня з натуральним показником ...................... 222. Властивості степеня з натуральним показником .................... 22

§10. ОДНОЧЛеН ............................................................................. 221. Означення одночлена .......................................................... 222. Множення одночленів ......................................................... 233. Піднесення одночлена до степеня ......................................... 23

§11. МНОГОЧЛеН ........................................................................... 231. Означення многочлена ........................................................ 232. Додавання і віднімання многочленів ..................................... 233. Множення одночлена на многочлен ...................................... 244. Множення многочленна на многочлен .................................. 24

§12. ÔОРМуЛИ СкОРОЧеНОГО МНОæеННя ................................... 24

§13. РОЗкЛАДАННя МНОГОЧЛеНІВ НА МНОæНИкИ ..................... 251. Винесення спільного множника за дужки ............................. 252. Спосіб групування .............................................................. 253. Використання ôормул скороченого множення ....................... 25Êîíòðîëüíèé òåñò ¹ 3 .......................................................... 26

§14. АЛГеБРАЇЧНИй ДРІБ .............................................................. 271. Означення алгебраїчного дробу.............................................. 272. Область допустимих значень змінних ..................................... 273. Основна властивість дробу .................................................... 284. Скорочення дробу ................................................................ 285. Зведення дробу до нового знаменника .................................... 28

§15. ПРАВИЛА ВИкОНАННя АРИÔМетИЧНИх ДІй З АЛГеБРАЇЧНИМИ ДРОБАМИ ................................................ 281. Додавання і віднімання дробів з однаковими знаменниками .... 282. Додавання і віднімання дробів з різними знаменниками .......... 293. Множення дробів ................................................................. 29

534

4. Піднесення дробу до степеня ................................................. 295. Ділення дробів ................................................................... 30

§16. тОтОæНІ ПеРетВОРеННя РАЦІОНАЛЬНИх ВИРАЗІВ ............. 30

§17. СтеПІНЬ З ЦІЛИМ ПОкАЗНИкОМ ........................................... 311. Означення степеня з цілим показником ................................ 312. Властивості степеня з цілим показником .............................. 32Êîíòðîëüíèé òåñò ¹ 4 .......................................................... 32

§18. кВАДРАтНІ кОРеНІ. АРИÔМетИЧНИй кВАДРАтНИй кОРІНЬ ............................................................ 341. Означення квадратного кореня ............................................. 342. Означення ариôметичного квадратного кореня ...................... 343. Властивості ариôметичного квадратного кореня .................... 344. Дії з ариôметичними квадратичними коренями ..................... 35

§19. тОтОæНІ ПеРетВОРеННя ВИРАЗІВ, ùО МІСтятЬ кВАДРАтНІ кОРеНІ ................................................................ 361. Винесення множника з-під знака кореня .............................. 362. Внесення множника під знак кореня .................................... 363. Скорочення дробів .............................................................. 364. Звільнення дробу від ірраціональності в знаменнику дробу ..... 37

§20. кОРІНЬ n-го СтеПеНя. АРИÔМетИЧНИй кОРІНЬ n-го СтеПеНя. ............................................................ 371. Означення кореня n-го степеня. ........................................... 372. Означення ариôметичного кореня n-го степеня. ..................... 373. Властивості ариôметичного кореня n-го степеня. ................... 384. Дії з ариôметичними коренями n-го степеня. ........................ 39

§21. тОтОæНІ ПеРетВОРеННя ВИРАЗІВ, ùО МІСтятЬ АРИÔМетИЧНІ кОРеНІ n-го СтеПеНя. ................................... 391. Винесення множника з-під знака кореня. ............................. 392. Внесення множника під знак кореня. ................................... 393. Скорочення дробів. ............................................................. 404. Звільнення від ірраціональності в знаменнику дробу. ............. 40Êîíòðîëüíèé òåñò ¹ 5 .......................................................... 40

§22. ПОРІВНяННя ДІйСНИх ЧИСеЛ .............................................. 421. Порівняння ірраціональних чисел ........................................ 422. Загальне правило порівняння двох дійсних чисел .................. 42

§23. ЧИСЛОВІ ПРОМІæкИ .............................................................. 431. Означення, зображення та позначення числового проміжку .... 432. Переріз та об’єднання числових проміжків ........................... 44

§24. СтеПІНЬ З РАЦІОНАЛЬНИМ ПОкАЗНИкОМ ............................ 441. Означення степеня з раціональним показником ..................... 442. Властивості степеня з раціональним показником ................... 453. Перетворення виразів, які містять степінь з раціональним

показником ........................................................................ 45

535

§25. ВІДСОткИ ............................................................................... 461. Означення відсотка ............................................................. 462. Знаходження відсотка від числа ........................................... 463. Знаходження числа за значенням його відсотка ..................... 464. Відсоткове відношення двох чисел ....................................... 465. Ôормула складних відсотків ................................................ 47Êîíòðîëüíèé òåñò ¹ 6 .......................................................... 47

§26. ОЗНАЧеННя СИНуСА, кОСИНуСА, тАНГеНСА і кОтАНГеНСА ЧИСЛОВОГО АРГуМеНту ........................................................ 491. Градусна та радіанна міра кута ............................................ 492. Одиничне коло ................................................................... 503. кут довільної величини ....................................................... 504. тригонометричні ôункції кута і числового аргумента ............. 515. тригонометричні ôункції деяких кутів ................................. 52

§27. ВЛАСтИВОСтІ тРИГОНОМетРИЧНИх ÔуНкЦІй ..................... 531. Область визначення ............................................................ 532. Область значень ................................................................. 533. Знаки тригонометричних ôункцій у чвертях ......................... 544. Парність і непарність тригонометричних ôункцій .................. 555. Періодичність тригонометричних ôункцій ............................ 55

§28. СПІВВІДНОøеННя МІæ тРИГОНОМетРИЧНИМИ ÔуНкЦІяМИ ОДНОГО й тОГО САМОГО АРГуМеНту ..................................... 561. тотожності, ùо пов’язуþть тригонометричні ôункції

одного й того самого аргументу ............................................ 562. Використання співвідношень між тригонометричними

ôункціями одного й того самого аргументу для обчислень ...... 563. Використання співвідношень між тригонометричними

ôункціями одного й того самого аргументу для тотожних перетворень виразів ....................................... 57

Êîíòðîëüíèé òåñò ¹ 7 .......................................................... 57

§29. ÔОРМуЛИ ЗВеДеННя тА Їх ЗАСтОСуВАННя ......................... 591. Ôормули зведення .............................................................. 592. Застосування ôормул зведення для обчислень ....................... 603. Застосування ôормул зведення для тотожних

перетворень виразів ............................................................ 60

§30. ÔОРМуЛИ ДОДАВАННя тА НАСЛІДкИ З НИх ........................ 611. Ôормули додавання ............................................................ 612. Ôормули подвійного і потрійного кута .................................. 623. Ôормули пониження степеня ............................................... 634. Ôормули половинного кута ................................................. 645. Ôормули перетворення суми і різниці однойменних

тригонометричних ôункцій у добуток ................................... 64Êîíòðîëüíèé òåñò ¹ 8 .......................................................... 65

536

§31. ЛОГАРИÔМ. ............................................................................ 671. Означення логариôма. ........................................................ 672. Десятковий і натуральний логариôми. ................................. 673. Властивості логариôмів. ...................................................... 684. тотожні перетворення виразів, ùо містять логариôми. .......... 69Êîíòðîëüíèé òåñò ¹ 9 .......................................................... 71

ЗРАЗкИ теСтОВИх ЗАВДАНЬ ........................................................ 73

Розділ ІІ. РІВíЯííЯ І íåРІВíîСòІ ........................................................... 84

§1. РІВНяННя З ОДНІЄþ ЗМІННОþ ............................................. 841. Означення рівняння з однієþ змінноþ .................................. 842. корінь (розв’язок) рівняння з однієþ змінноþ ....................... 843. Рівносильні рівняння .......................................................... 844. Властивості рівнянь ............................................................ 84

§2. ЛІНІйНІ РІВНяННя, РІВНяННя, ùО ЗВОДятЬСя ДО ЛІНІйНИх ......................................................................... 851. Лінійне рівняння ................................................................. 852. Рівняння, ùо зводяться до лінійних ...................................... 85

§3. РІВНяННя З ДВОМА ЗМІННИМИ. СИСтеМИ РІВНяНЬ З ДВОМА ЗМІННИМИ .............................................................. 861. Рівняння з двома змінними ................................................. 862. Розв’язок рівняння з двома змінними ................................... 863. Рівносильні рівняння з двома змінними ................................ 864. Системи рівнянь з двома змінними ....................................... 865. Означення рівносильних систем ........................................... 87

§4. МетОДИ РОЗВ’яЗуВАННя СИСтеМ ЛІНІйНИх РІВНяНЬ ........ 871. Лінійне рівняння з двома змінними ..................................... 872. Граôік лінійного рівняння з двома змінними ........................ 873. Граôічний спосіб розв’язування систем ................................. 884. Розв’язування систем двох лінійних рівнянь з двома

змінними способом підстановки ........................................... 885. Розв’язування системи двох лінійних рівнянь з двома

змінними способом додавання .............................................. 89Êîíòðîëüíèé òåñò ¹ 1 .......................................................... 90

§5. кВАДРАтНІ РІВНяННя ........................................................... 911. Означення квадратного рівняння ......................................... 912. Неповне квадратне рівняння ................................................ 913. Ôормули коренів квадратного рівняння ................................ 92

§6. теОРеМА ВІЄтА. ..................................................................... 93

§7. РОЗВ’яЗуВАННя РІВНяНЬ, ùО ЗВОДятЬСя ДО кВАДРАтНИх. ................................................................... 941. Дробові раціональні рівняння. ............................................. 94

537

2. Метод розкладання многочлена на множники ....................... 963. Біквадратні рівняння .......................................................... 964. Метод заміни змінних ......................................................... 96Êîíòðîëüíèé òåñò ¹ 2 .......................................................... 97

§8. кВАДРАтНИй тРИЧЛеН ......................................................... 991. Означення квадратного тричлена ......................................... 992. Розкладання квадратного тричлена на лінійні множники ....... 99

§9. РОЗВ’яЗуВАННя СИСтеМ РІВНяНЬ ДРуГОГО СтеПеНя З ДВОМА ЗМІННИМИ .............................................................1001. Спосіб підстановки ............................................................1002. Спосіб додавання ...............................................................1003. Заміна змінних .................................................................101

§10. ЗАСтОСуВАННя РІВНяНЬ ДО РОЗВ’яЗуВАННя текСтОВИх ЗАДАЧ ...................................................................................1021. Загальна схема ..................................................................1022. Розв’язування текстових задач за допомогоþ

лінійних рівнянь ...............................................................1023. Розв’язування текстових задач за допомогоþ квадратних

рівнянь .............................................................................1024. Задачі на рух, ùо зводяться до дробових раціональних

рівнянь .............................................................................1035. Задачі на роботу, ùо зводяться до дробових раціональних

рівнянь .............................................................................104

§11. ЗАСтОСуВАННя СИСтеМ РІВНяНЬ ДО РОЗВ’яЗуВАННя текСтОВИх ЗАДАЧ ................................................................1051. Загальна схема ..................................................................1052. Розв’язування текстових задач за допомогоþ системи

лінійних рівнянь ...............................................................1053. Розв’язування текстових задач за допомогоþ систем рівнянь

другого степеня .................................................................105Êîíòðîëüíèé òåñò ¹ 3 .........................................................106

§12. НеРІВНОСтІ ...........................................................................1081. Означення нерівності з однієþ змінноþ ...............................1082. Розв’язок нерівності з однієþ змінноþ .................................1083. Рівносильні нерівності .......................................................1084. Властивості нерівностей з однієþ змінноþ............................108

§13. ЛІНІйНІ НеРІВНОСтІ З ОДНІЄþ ЗМІННОþ ............................1081. Розв’язування лінійних нерівностей ....................................1082. Розв’язування нерівностей, ùо зводяться до лінійних ...........109

§14. СИСтеМИ НеРІВНОСтей З ОДНІЄþ ЗМІННОþ тА Їх РОЗВ’яЗуВАННя ....................................................................1091. Система нерівностей з однієþ змінноþ .................................109

538

2. Загальна схема розв’язування систем нерівностей .................1103. Розв’язування систем лінійних нерівностей ..........................110

§15. кВАДРАтНА НеРІВНІСтЬ .......................................................1111. Означення квадратної нерівності .........................................1112. Розв’язування квадратної нерівності ...................................111

§16. МетОД ІНтеРВАЛІВ ...............................................................113

§17. РІВНяННя, ùО МІСтятЬ ЗМІННу ПІД ЗНАкОМ МОДуЛя ......1141. Рівняння виду ( )f x a= де a – число ...................................114

2. Рівняння виду ( ) ( )=f x g x ................................................115

3. Рівняння виду ( ) ( )=f x g x ...............................................115

4. Рівняння, ùо містять декілька знаків модуля ......................115

§18. НеРІВНОСтІ, ùО МІСтятЬ ЗМІННу ПІД ЗНАкОМ МОДуЛя ....1171. Нерівності виду ( )f x a> та ( )f x a≥ , а – число ..................117

2. Нерівності виду ( )f x a< та ( ) ,f x a≤ а – число ..................117

3. Загальний підхід до розв’язування нерівностей, ùо містять знак модуля ......................................................................118

Êîíòðîëüíèé òåñò ¹ 4 .........................................................119

§19. ІРРАЦІОНАЛЬНІ РІВНяННя ...................................................120

1. Рівняння ( )n f x a= , а – число ............................................120

2. Рівняння виду ( ) ( )n nf x g x= .............................................121

3. Рівняння виду ( ) ( )n f x g x= ...............................................121

4. Розв’язування ірраціональних рівнянь, ùо містять кілька квадратних коренів ............................................................122

5. Заміна змінних у ірраціональному рівнянні .........................124

§20. СИСтеМИ, ùО МІСтятЬ ІРРАЦІОНАЛЬНІ РІВНяННя .............124

§21. ІРРАЦІОНАЛЬНІ НеРІВНОСтІ .................................................1251. Найпростіші ірраціональні нерівності ..................................125

2. Нерівності виду ( ) ( )n nf x g x> , ( ) ( )n nf x g x≥ .....................126

3. Нерівності виду ( ) ( )f x g x< , ( ) ( )f x g x≤ ..........................127

4. Нерівності виду ( ) ( ),f x g x> ( ) ( )f x g x≥ .........................128

5. Розв’язування ірраціональних нерівностей, ùо містять декілька квадратних коренів ..............................................128

Êîíòðîëüíèé òåñò ¹ 5 .........................................................129

539

§22. АРкСИНуС, АРккОСИНуС, АРктАНГеНС І АРккОтАНГеНС ЧИСЛА. ..................................................................................1311. Арксинус і арккосинус числа. .............................................1312. Арктангенс і арккотангенс. ................................................132

§23. НАйПРОСтІøІ тРИГОНОМетРИЧНІ РІВНяННя. ....................1321. Рівняння sin t = a .............................................................1322. Рівняння cos t = a .............................................................1343. Рівняння tg t = a ...............................................................1354. Рівняння ctg t = a .............................................................1355. тригонометричні рівняння, які зводяться до найпростіших. ..136

§24. МетОДИ РОЗВ’яЗуВАННя тРИГОНОМетРИЧНИх РІВНяНЬ. ..1361. Заміна змінних у тригонометричних рівняннях ....................1362. Зведення тригонометричного рівняння до однієї ôункції

одного аргументу ...............................................................1373. Метод розкладання на множники ........................................1384. Однорідні тригонометричні рівняння та рівняння,

ùо зводяться до однорідних ................................................1395. Рівняння виду a sin x + b cos x = c .....................................140

§25. СИСтеМИ, ùО МІСтятЬ тРИГОНОМетРИЧНІ РІВНяННя .......141

§26. НАйПРОСтІøІ тРИГОНОМетРИЧНІ НеРІВНОСтІ ...................142Êîíòðîëüíèé òåñò ¹ 6 .........................................................146

§27. ПОкАЗНИкОВІ РІВНяННя .....................................................1481. Рівняння ax = b, де a > 0, a ≠ 1 ...........................................1482. Рівняння af(x) = ag(x), де a > 0, a ≠ 1 ......................................1493. Зведення показникових рівнянь до найпростіших

способом винесення спільного множника за дужки. ..............1494. Рівняння виду af(x) = bf(x), де a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, a ≠ b .....1495. Заміна змінних у показникових рівняннях ..........................1506. Однорідні показникові рівняння .........................................150

§28. ПОкАЗНИкОВІ НеРІВНОСтІ ...................................................151

1. Нерівності виду ax ≥ b, ax > b, ax ≤ b, ax < b, де a > 0, a ≠ 1 ........151

2. Нерівності виду af(x) ≥ ag(x), af(x) > ag(x), де a > 0, a ≠ 1 .............1523. Розв’язування складніших показникових нерівностей ...........152

§29. ЛОГАРИÔМІЧНІ РІВНяННя ...................................................153

1. Рівняння виду logax = b .....................................................153

2. Рівняння виду logaf(x) = logag(x) .........................................154

3. Рівняння виду logaf(x) = g(x) .............................................1544. Рівняння, які зводяться до найпростіших за допомогоþ

ôормул логариôмування ....................................................1545. Заміна змінних у логариôмічних рівняннях .........................155

540

§30. ЛОГАРИÔМІЧНІ НеРІВНОСтІ .................................................156

1. Нерівності виду logax ≥ b, logax > b, logax ≤ b, logax < b ..........156

2. Нерівності виду logaf(x) ≥ logag(x), logaf(x) > logag(x) .............156

3. Розв’язування складніших логариôмічних нерівностей .........157

§31. СИСтеМИ, ùО МІСтятЬ ПОкАЗНИкОВІ І ЛОГАРИÔМІЧНІ РІВНяННя .............................................................................158Êîíòðîëüíèé òåñò ¹ 7 .........................................................160

§32. РОЗВ’яЗуВАННя РІВНяНЬ, НеРІВНОСтей тА СИСтеМ З ПАРАМетРАМИ ..................................................................1621. Розв’язування рівнянь із параметрами .................................1622. Розв’язування нерівностей з параметрами ............................1633. Розв’язування систем з параметром .....................................164

§33. ЗАСтОСуВАННя ВЛАСтИВОСтей ÔуНкЦІй ДО РОЗВ’яЗуВАННя РІВНяНЬ тА НеРІВНОСтей ........................1651. Використання ОДЗ рівняння або нерівності, яка є порожньоþ

множиноþ або скінченноþ множиноþ .................................1652. Оцінþвання лівої і правої частини рівняння або нерівності ....1663. Використання монотонності ôункції при розв’язуванні

рівняння ...........................................................................166

§34. ВИкОРИСтАННя ГРАÔІЧНОГО МетОДу РОЗВ’яЗуВАННя І ДОСЛІДæеННя РІВНяНЬ, НеРІВНОСтей тА СИСтеМ ............1671. Використання граôічного методу розв’язування

і дослідження рівнянь ........................................................1672. Використання граôічного методу розв’язування

і дослідження нерівностей ..................................................1683. Використання граôічного методу розв’язування

і дослідження системи рівнянь ...........................................169Êîíòðîëüíèé òåñò ¹ 8 .........................................................170

ЗРАЗкИ теСтОВИх ЗАВДАНЬ .......................................................172

Розділ ІІІ. ФУíКЦІЯ .................................................................................... 184

§1. ОСНОВНІ ВІДОМОСтІ ПРО ÔуНкЦІþ ......................................1841. Означення ôункції .............................................................1842. Область визначення ôункції ...............................................1843. Область значень ôункції ....................................................1854. табличний спосіб задання ôункції ......................................1855. Граôік ôункції. Граôічний спосіб задання ôункції ...............1856. Нулі ôункції .....................................................................1867. Проміжки зростання та спадання ôункції. точки максимуму

і точки мінімуму ôункції. Максимуми і мінімуми ôункції ....186

§2. ОБеРНеНА ÔуНкЦІя .............................................................187

541

§3. ПАРНІСтЬ І НеПАРНІСтЬ ÔуНкЦІЇ ........................................188

§4. ЛІНІйНА ÔуНкЦІя ................................................................1891. Означення та граôік лінійної ôункції ..................................1892. Пряма пропорційність ........................................................1903. Властивості лінійної ôункції ..............................................191Êîíòðîëüíèé òåñò ¹ 1 .........................................................191

§5. ÔуНкЦІЇ 2; ;k

y y x y xx

= = = , Їх ГРАÔІкИ

тА ВЛАСтИВОСтІ ...................................................................193

1. Ôункція k

yx

= , її граôік ....................................................193

2. Ôункція 2y x= , її граôік ...................................................194

3. Ôункція y x= , її граôік ôункції ......................................194

4. Властивості ôункції 2; ;k

y y x y xx

= = = ............................195

§6. ÔуНкЦІя y = ax2 + bx + c, a ≠ 0, ЇЇ ГРАÔІк тА ВЛАСтИВОСтІ ..1961. Означення квадратичної ôункції, її граôік ..........................1962. Властивості ôункції y = ax2 + bx + c ....................................197

§7. СтеПеНеВА ÔуНкЦІя, ЇЇ ГРАÔІк І ВЛАСтИВОСтІ .................1971. Означення степеневої ôункції .............................................1972. Ôункція y = xα, α – натуральне число .................................1973. Ôункція y = xα, якùо α = 0 ................................................1984. Ôункція y = xα, α – ціле від’ємне число ..............................1985. Ôункція y = xα, α – не ціле додатне число ...........................1986. Ôункція y = xα, α – не ціле від’ємне число ..........................1997. Властивості степеневої ôункції ...........................................200Êîíòðîëüíèé òåñò ¹ 2 .........................................................201

§8. ПеРІОДИЧНІСтЬ ÔуНкЦІЇ .....................................................2031. Означення періодичної ôункції ...........................................2032. Найменший додатний період тригонометричних ôункцій ......203

§9. тРИГОНОМетРИЧНІ ÔуНкЦІЇ, Їх ГРАÔІкИ тА ВЛАСтИВОСтІ ...................................................................2041. Ôункція y = sin x, її граôік................................................2042. Ôункція y = cos x, її граôік ...............................................2053. Ôункція y = tg x, її граôік .................................................2054. Ôункція y = ctg x, її граôік ...............................................2065. Властивості тригонометричних ôункцій ...............................207

§10. ПОкАЗНИкОВА ÔуНкЦІя, ЇЇ ГРАÔІк І ВЛАСтИВОСтІ ............2081. Означення показникової ôункції .........................................2082. Граôік показникової ôункції ..............................................2083. Властивості показникової ôункції .......................................209

542

§11. ЛОГАРИÔМІЧНА ÔуНкЦІя, ЇЇ ГРАÔІк тА ВЛАСтИВОСтІ .......2091. Означення логариôмічної ôункції .......................................2092. Граôік логариôмічної ôункції ............................................2093. Властивості логариôмічної ôункції .....................................211

§12. ПОБуДОВА ГРАÔІкІВ ÔуНкЦІй ЗА ДОПОМОГОþ ГеОМет-РИЧНИх ПеРетВОРеНЬ ВІДОМИх ГРАÔІкІВ ÔуНкЦІй .........211

1. f(x) → f(x) + n ...................................................................211

2. f(x) → f(x + m) ..................................................................212

3. f(x) → –f(x) .......................................................................212

4. f(x) → kf(x), де k > 0, k ≠ 1 .................................................2125. Послідовне використання декількох перетворень послідовно

для побудови граôіка ôункцій. ...........................................213Êîíòðîëüíèé òåñò ¹ 3. ........................................................214

§13. ЧИСЛОВІ ПОСЛІДОВНОСтІ ......................................................2171. Означення числової послідовності. Члени числової

послідовності ....................................................................2172. Числові послідовності, ùо задані ôормулоþ .........................2173. Числові послідовності, ùо задані переліком її членів ............2174. Задання числових послідовностей описом її членів ...............2175. Числові послідовності, ùо задані таблицями ........................2186. Числові послідовності, ùо задані рекурентно .......................218

§14. АРИÔМетИЧНА ПРОГРеСІя. ..................................................2181. Означення ариôметичної прогресії ......................................2182. Ôормула n-го члена ариôметичної прогресії .........................2193. Властивості ариôметичної прогресії ....................................2194. Сума n перших членів ариôметичної прогресії .....................220

§15. ГеОМетРИЧНА ПРОГРеСІя ....................................................2211. Означення геометричної прогресії .......................................2212. Ôормула n-го члена геометричної прогресії ..........................2223. Властивості геометричної прогресії ......................................2224. Сума n перших членів геометричної прогресії ......................222

§16. НеСкІНЧеННА ГеОМетРИЧНА ПРОГРеСІя ЗІ ЗНАМеННИкОМ 1q < тА ЇЇ СуМА. ..................................................................223

1. Сума нескінченної геометричної прогресії зі знаменником 1q < ...............................................................................223

2. Перетворення нескінченних десяткових періодичних дробів у звичайні ........................................................................224

§17. ПОхІДНА ÔуНкЦІЇ ................................................................2271. Означення похідної ôункції в точці .....................................2272. таблиця похідних елементарних ôункцій ............................227

543

3. Правила знаходження похідної суми, різниці, добутку, частки двох ôункцій ..........................................................228

4. Знаходження числового значення похідної ôункції в точці для заданого значення аргументу ..............................................229

5. Похідна складеної ôункції .................................................230

§18. ГеОМетРИЧНИй тА ÔІЗИЧНИй ЗМІСт ПОхІДНОЇ..................2311. Геометричний зміст похідної ..............................................2312. Рівняння дотичної до граôіка ôункції .................................2323. Ôізичний зміст похідної .....................................................233

§19. ЗНАхОДæеННя ПРОМІæкІВ МОНОтОННОСтІ тА екСтРеМуМІВ ÔуНкЦІЇ ЗА ДОПОМОГОþ ПОхІДНОЇ ........2331. Достатня умова зростання (спадання) ôункції на проміжку.

Знаходження проміжків монотонності ôункції .....................2332. Знаходження точок екстремуму та екстремумів ôункції ........235

§20. ЗАСтОСуВАННя ПОхІДНОЇ ДО ДОСЛІДæеННя ÔуНкЦІЇ тА ПОБуДОВИ ЇхНІх ГРАÔІкІВ ..................................................237

§21. ЗНАхОДæеННя НАйБІЛЬøОГО І НАйМеНøОГО ЗНА ЧеН-Ня ÔуНкЦІЇ тА ВІДРІЗку. ПРИкЛАДНІ ЗАДАЧІ НА ЗНАхО-ДæеННя НАйБІЛЬøОГО І НАйМеНøОГО ЗНАЧеНЬ .............2401. Знаходження найбільшого і найменшого значення ôункції

на відрізку ........................................................................2402. Прикладні задачі на знаходження найбільшого або (і)

найменшого значення деякої величини ................................241

§22. ПеРВІСНА. тАБЛИЦя ПеРВІСНИх. ПРАВИЛА ЗНАхОДæеННя ПеРВІСНИх .................................................2441. Означення первісної ...........................................................2442. Основна властивість первісних ............................................2453. таблиця первісних .............................................................2454. Правила знаходження первісних .........................................246

§23. ВИЗНАЧеНИй ІНтеГРАЛ. ÔОРМуЛА НЬþтОНА-ЛейБНІЦА ..248

§24. ЗАСтОСуВАННя ВИЗНАЧеНОГО ІНтеГРАЛА ДО ОБЧИСЛеННя ПЛОù кРИВОЛІНІйНИх тРАПеЦІй, ПЛОù ПЛОСкИх ÔІГуР тА ДО ПРИкЛАДНИх ЗАДАЧ .................................................2491. Означення криволінійної трапеції та знаходження її плоùі ...2492. Обчислення плоù плоских ôігур .........................................2503. Обчислення об’єму тіла обертання .......................................2514. Переміùення матеріальної точки, ùо рухається

прямолінійно ....................................................................2525. Робота сили, ùо діє на матеріальну точку ............................252Êîíòðîëüíèé òåñò ¹ 6 .........................................................253

ЗРАЗкИ теСтОВИх ЗАВДАНЬ .......................................................255

544

Розділ ІV. åЛåìåíòИ КîìáІíАòîРИКИ, ПîЧАòКИ òåîРІЇ éìîВІРíîСòåé òА åЛåìåíòИ СòАòИСòИКИ .................................... 270

§1. еЛеМеНтИ кОМБІНАтОРИкИ ................................................2701. Правило суми і правило добутку .........................................2702. Поняття ôакторіалу ...........................................................2713. Розміùення ......................................................................2714. Перестановки ....................................................................2725. комбінації (сполучення) .....................................................273

§2. йМОВІРНІСтЬ ВИПАДкОВОЇ ПОДІЇ .........................................2741. Випадковий дослід і випадкова подія ..................................2742. Вірогідна подія та неможлива подія ....................................2743. класичне означення ймовірності випадкової події .................2744. Розв’язування задач на підрахунок ймовірностей за

допомогоþ ôормул комбінаторики .......................................275

§3. еЛеМеНтИ СтАтИСтИкИ ......................................................2761. Генеральна сукупність та вибірка ........................................2763. Систематизація і ранжування вибірки .................................2764. Вибіркові характеристики ..................................................2775. Граôічна ôорма подання статистичної інôормації .................278

ЗРАЗкИ теСтОВИх ЗАВДАНЬ .......................................................279

геометрія

Розділ І. ПЛАíІìåòРІЯ .............................................................................. 286

§1. НАйПРОСтІøІ ГеОМетРИЧНІ ÔІГуРИ НА ПЛОùИНІ тА Їх ВЛАСтИВОСтІ ...............................................................2861. точка і пряма ...................................................................2862. Промінь ............................................................................2873. Відрізок ............................................................................2874. Ламана .............................................................................2885. кут ..................................................................................2886. Бісектриса кута .................................................................289

§2. АкСІОМИ ПЛАНІМетРІЇ .........................................................289

§3. СуМІæНІ тА ВеРтИкАЛЬНІ кутИ .........................................2901. Суміжні кути, їх властивості ..............................................2902. Вертикальні кути, їх властивості ........................................2903. кут між прямими ..............................................................291

§4. ПеРПеНДИкуЛяРНІ ПРяМІ. ПеРПеНДИкуЛяР І ПОхИЛА, СеРеДИННИй ПеРПеНДИкуЛяР ...........................................2911. Перпендикулярні прямі .....................................................2912. Перпендикуляр і похила, відстань від точки до прямої .........2913. Серединний перпендикуляр ................................................292

545

§5. ПАРАЛеЛЬНІ ПРяМІ. ОЗНАкИ тА ВЛАСтИВОСтІ ПАРАЛеЛЬНИх ПРІМИх ........................................................2931. Паралельні прямі ..............................................................2932. кути, утворені при перетині двох прямих січноþ .................2933. Ознаки паралельності прямих .............................................2934. Властивості паралельних прямих ........................................294Êîíòðîëüíèé òåñò ¹ 1 .........................................................295

§6. теОРеМА ÔАЛеСА, уЗАГАЛЬНеНА теОРеМА ÔАЛеСА ..........2971. теорема Ôалеса .................................................................2972. узагальнена теорема Ôалеса ...............................................298

§7. кОЛО. кРуГ ...........................................................................2981. коло, його елементи ..........................................................2982. круг, його елементи ..........................................................3003. Центральні та вписані кути ................................................3004. Властивість двох хорд, ùо перетинаþться ............................3015. Дотична до кола та її властивості ........................................3026. Взаємне розміùення двох кіл .............................................3037. Довжина кола. Довжина дуги кола .....................................305

§8. тРИкутНИкИ ........................................................................3061. трикутник і його основні елементи .....................................3062. Види трикутників ..............................................................3063. Ознаки рівності трикутників ..............................................307

§9. МеДІАНА, БІСектРИСА, ВИСОтА тРИкутНИкА тА Їх ВЛАСтИВОСтІ ...............................................................3091. Медіана трикутника ..........................................................3092. Бісектриси трикутника ......................................................3103. Висоти трикутника ............................................................3114. Властивість медіани рівнобедреного трикутника ...................312Êîíòðîëüíèé òåñò ¹ 2 .........................................................313

§10. СуМА кутІВ тРИкутНИкА ....................................................315

§11. ЗОВНІøНІй кут тРИкутНИкА .............................................316

§12. НеРІВНІСтЬ тРИкутНИкА ....................................................317

§13.СеРеДНя ЛІНІя тРИкутНИкА тА ЇЇ ВЛАСтИВОСтІ ................317

§14. кОЛО, ОПИСАНе НАВкОЛО тРИкутНИкА. кОЛО, ВПИСАНе В тРИкутНИк .......................................................3181. коло, описане навколо трикутника .....................................3182. коло, вписане у трикутник .................................................319Êîíòðîëüíèé òåñò ¹ 3 .........................................................320

§15. ПРяМОкутНИй тРИкутНИк .................................................3221. Основні елементи та властивості прямокутного трикутника ...3222. теорема Піôагора ..............................................................323

546

3. Пропорційні відрізки у прямокутному трикутнику ...............3244. Співвідношення між сторонами і кутами прямокутного

трикутника .......................................................................325

§16. теОРеМА кОСИНуСІВ. теОРеМА СИНуСІВ ............................3261. теорема косинусів .............................................................3262. теорема синусів .................................................................3283. узагальнена теорема синусів ...............................................329Êîíòðîëüíèé òåñò ¹ 4 .........................................................329

§17. ЧОтИРИкутНИк тА йОГО еЛеМеНтИ ...................................331

§18. ПАРАЛеЛОГРАМ, йОГО ВЛАСтИВОСтІ. ОЗНАкИ ПАРАЛеЛОГРАМА ....................................................3321. Означення паралелограма та його властивості ......................3322. Ознаки паралелограма .......................................................334

§19. ПРяМОкутНИк, йОГО ВЛАСтИВОСтІ. ОЗНАкИ ПРяМОкутНИкА .....................................................3341. Означення прямокутника та його властивості .......................3342. Ознаки прямокутника ........................................................335

§20. РОМБ, йОГО ВЛАСтИВОСтІ. ОЗНАкИ РОМБА .........................3361. Означення ромба та його властивості ...................................3362. Ознаки ромба ....................................................................337

§21. кВАДРАт, йОГО ВЛАСтИВОСтІ. ОЗНАкИ кВАДРАтА .............3371. Означення квадрата та його властивості ...............................3372. Ознаки квадрата ................................................................338Êîíòðîëüíèé òåñò ¹ 5 .........................................................339

§22. тРАПеЦІя, ЇЇ ВЛАСтИВОСтІ тА ВИДИ. СеРеДНя ЛІНІя тРАПеЦІЇ ...............................................................................3411. Означення трапеції, її властивість .......................................3412. Види трапеції ....................................................................3413. Середня лінія трапеції, її властивості ..................................343

§23. ВПИСАНІ у кОЛО тА ОПИСАНІ НАВкОЛО кОЛА ЧОтИРИкутНИкИ .................................................................3441. Чотирикутник, вписаний у коло .........................................3442. Чотирикутник, описаний навколо кола. ...............................345

§24. МНОГОкутНИк. .....................................................................3451. Многокутник та його елементи. ..........................................3452. Опуклий многокутник. Сума кутів описаного многокутника. .3473. Вписані в коло та описані навколо кола многокутники. ........347

§25. ПРАВИЛЬНИй МНОГОкутНИк. .............................................3481. Означення правильного многокутника. ................................3482. Вписані у коло та описані навколо кола правильні

многокутники. ..................................................................349Êîíòðîëüíèé òåñò ¹ 6 .........................................................350

547

§26. ÔОРМуЛИ ДЛя ОБЧИСЛеННя ПЛОù. ...................................3511. Ôормули для обчислення плоùі трикутника. .......................3512. Ôормули для обчислення плоùі паралелограма. ...................3523. Ôормули для обчислення плоùі ромба. ................................3544. Ôормули для обчислення плоùі прямокутника і квадрата. ....3555. Ôормули для обчислення плоùі трапеції. ............................3566. Ôормули для обчислення плоùі правильного многокутника. .3577. Ôормули для обчислення плоùі круга та кругового сектора. .358

§27. ПРяМОкутНА СИСтеМА кООРДИНАт НА ПЛОùИНІ. НАйПРОСтІøІ ЗАДАЧІ. .........................................................3591. Прямокутна система координат на плоùині, координати

точки. ..............................................................................3592. Ôормули для обчислення координат середини відрізка. .........3603. Ôормула для обчислення відстані між двома точками

із заданими координатами. .................................................361

§28. РІВНяННя кОЛА тА ПРяМОЇ. ................................................3611. Рівняння ôігури на плоùині. .............................................3612. Рівняння кола. ..................................................................3623. Рівняння прямої. ...............................................................362Êîíòðîëüíèé òåñò ¹ 7 .........................................................364

§29. ВектОР. .................................................................................3661. Поняття вектора. ...............................................................3662. колінеарні вектори. Рівні вектори. ......................................3663. Додавання і віднімання векторів. ........................................3674. Множення вектора на число. ..............................................368

§30. кООРДИНАтИ ВектОРА. ДІЇ З ВектОРАМИ, ùО ЗАДАНІ кООРДИНАтАМИ. ...............................................3691. координати вектора. ..........................................................3692. Сума та різниця векторів, ùо задані координатами. ..............3703. Множення вектора, ùо задано координатами, на число.

умова колінеарності векторів. ............................................3704. Розкладання вектора за двома неколінеарними векторами. ....371

§31. СкАЛяРНИй ДОБутОк ВектОРІВ тА йОГО ВЛАСтИВОСтІ. ....3721. Скалярний добуток векторів. ..............................................3722. Ôормула для знаходження кута між векторами, ùо задані

координатами....................................................................3733. умова перпендикулярності векторів, ùо задані

координатами....................................................................3734. Скалярний квадрат вектора. ...............................................374

§32. ГеОМетРИЧНІ ПеРетВОРеННя. ПеРеМІùеННя тА йОГО ВЛАСтИВОСтІ. .......................................................................3741. Геометричні перетворення ôігур. ........................................3742. Переміùення (рух) та його властивості. ...............................374

548

3. Симетрія відносно точки. ...................................................3754. Симетрія відносно прямої. ..................................................3765. Поворот. ...........................................................................3766. Паралельне перенесення. ....................................................377

§33. ПеРетВОРеННя ПОДІБНОСтІ. ГОМОтетІя. ............................3781. Перетворення подібності. ...................................................3782. Подібні ôігури. .................................................................3783. Ознаки подібності трикутників. ..........................................3794. Гомотетія. .........................................................................3815. Відношення плоù подібних ôігур. ......................................382Êîíòðîëüíèé òåñò ¹ 8 .........................................................383

ЗРАЗкИ теСтОВИх ЗАВДАНЬ .......................................................385

Розділ ІІ. СòåРåîìåòРІЯ ........................................................................... 400

§1. ОСНОВНІ ПОНяття СтеРеОМетРІЇ. АкСІОМИ СтеРеОМетРІЇ тА НАСЛІДкИ З НИх. ............................................................4001. Основні поняття стереометрії. .............................................4002. Аксіоми стереометрії. ........................................................4003. Найпростіші наслідки з аксіом стереометрії. ........................401

§2. ВЗАЄМНе РОЗМІùеННя ПРяМИх у ПРОСтОРІ. .....................4021. Прямі у просторі. ..............................................................4022. Паралельність прямих у просторі. .......................................4033. Мимобіжні прямі. ..............................................................404

§3. ВЗАЄМНе РОЗМІùеННя ПРяМОЇ І ПЛОùИНИ. .....................4051. Розміùення прямої і плоùини у просторі. ...........................4052. Паралельність прямої і плоùини. .......................................405

§4. ВЗАЄМНе РОЗМІùеННя ДВОх ПЛОùИН. ..............................4071. Розміùення двох плоùин у просторі. ..................................4072. Паралельність плоùин. ......................................................4073. Властивості паралельних плоùин. .......................................407

§5. ПАРАЛеЛЬНе ПРОектуВАННя, йОГО ВЛАСтИВОСтІ. ЗОБРАæеННя ÔІГуР у СтеРеОМетРІЇ. .................................4091. Паралельне проектування. ..................................................4092. Властивості паралельного проектування. .............................4103. Зображення трикутника та його елементів. ..........................4114. Зображення паралелограма та його видів. ............................4125. Зображення трапеції. .........................................................4136. Зображення правильного шестикутника...............................4137. Зображення кола. ..............................................................414Êîíòðîëüíèé òåñò ¹ 1 .........................................................414

§6. ПеРПеНДИкуЛяРНІСтЬ ПРяМИх у ПРОСтОРІ. .....................416

549

§7. ПеРПеНДИкуЛяРНІСтЬ ПРяМОЇ І ПЛОùИНИ. .....................4171. Означення прямої, перпендикулярної до плоùини. ...............4172. Ознака перпендикулярності прямої і плоùини .....................4173. Властивості прямих і плоùин, перпендикулярних

між собоþ .........................................................................418§8. Перпендикуляр і похила. Проекція похилої на плоùину. ......4181. Означення перпендикуляра, похилої та проекції похилої на

плоùину ...........................................................................4182. Властивості перпендикуляра і похилої .................................418

§9. теОРеМА ПРО тРИ ПеРПеНДИкуЛяРИ .................................420

§10. ДВОГРАННИй кут. ПеРПеНДИкуЛяРНІСтЬ ПЛОùИН .........4211. Двогранний кут. Лінійний кут двогранного кута ..................4212. Перпендикулярність плоùин ..............................................422Êîíòðîëüíèé òåñò ¹ 2 .........................................................423

§11. ВІДСтАНІ у ПРОСтОРІ ...........................................................4261. Відстань від точки до прямої ..............................................4262. Відстань від точки до плоùини ...........................................4263. Відстань від прямої до плоùини .........................................4274. Відстань між прямими, ùо належать одній плоùині .............4275. Відстань між плоùинами ...................................................4286. Відстань між мимобіжними прямими ..................................428

§12. кутИ у ПРОСтОРІ ..................................................................4291. кут між прямими ..............................................................4292. кут між прямоþ і плоùиноþ ..............................................4303. кут між плоùинами ..........................................................4304. Ортогональне проектування ................................................432Êîíòðîëüíèé òåñò ¹ 3 .........................................................433

§13. МНОГОГРАННИкИ тА Їх еЛеМеНтИ .....................................435

§14. ПОНяття ПеРеРІЗу МНОГОГРАННИкА .................................435

§15. ПРИЗМА ................................................................................4361. Означення призми. елементи призми. Види призм ...............4362. Перерізи призми ...............................................................4373. Плоùі повної та бічної поверхонь призми ............................4384. Об’єм призми ....................................................................440

§16. ПАРАЛеЛеПІПеД ...................................................................4421. Означення паралелепіпеда, його властивості.........................4422. Прямокутний паралелепіпед, його властивості .....................443Êîíòðîëüíèé òåñò ¹ 4 .........................................................444

§17. ПІРАМІДА ..............................................................................4461. Означення піраміди. елементи піраміди ..............................4462. Правильна піраміда ...........................................................448

550

3. Перерізи піраміди ..............................................................4494. Плоùа повної та бічної поверхонь піраміди .........................4505. Об’єм піраміди ..................................................................451

§18. ЗРІЗАНА ПІРАМІДА ...............................................................4531. Означення зрізаної піраміди. елементи зрізаної піраміди ......4532. Правильна зрізана піраміда ................................................4543. Діагональний переріз зрізаної піраміди ...............................4544. Плоùі повної та бічної поверхонь зрізаної піраміди ..............4555. Об’єм зрізаної піраміди ......................................................456Êîíòðîëüíèé òåñò ¹ 5 .........................................................456

§19. тІЛА І ПОВеРхНІ ОБеРтАННя, Їх еЛеМеНтИ .......................4581. тіла і поверхні обертання ...................................................4582. Означення циліндра. елементи циліндра .............................4593. Перерізи циліндра плоùинами ............................................4604. Плоùі бічної та повної поверхонь циліндра ..........................4625. Об’єм циліндра ..................................................................462

§20. кОНуС ...................................................................................4631. Означення конуса. елементи конуса ....................................4632. Перерізи конуса ................................................................4633. Плоùі бічної та повної поверхонь конуса .............................4654. Об’єм конуса .....................................................................466

§21. ЗРІЗАНИй кОНуС ..................................................................4661. Означення зрізаного конуса. елементи зрізаного конуса ........4662. Осьовий переріз зрізаного конуса ........................................4673. Плоùі бічної і повної поверхонь зрізаного конуса .................4684. Об’єм зрізаного конуса .......................................................468Êîíòðîëüíèé òåñò ¹ 6 .........................................................469

§22. куЛя. СÔеРА ........................................................................4701. Означення кулі і сôери. елементи кулі і сôери ....................4702. Взаємне розміùення кулі і плоùин .....................................4713. Плоùина дотична до кулі (сôери) .......................................4724. Переріз кулі плоùиноþ ......................................................4725. Плоùа сôери ....................................................................4736. Об’єм кулі ........................................................................473

§23. кОМБІНАЦІЇ ГеОМетРИЧНИх тІЛ .........................................4731. Призма, вписана у циліндр .................................................4742. Призма, описана навколо циліндра .....................................4743. Піраміда, вписана у конус ..................................................4754. Піраміда, описана навколо конуса .......................................4765. Многогранник, вписаний в кулþ .........................................4776. Многогранник, описаний навколо кулі ................................479Êîíòðîëüíèé òåñò ¹ 7 .........................................................481

551

§24. ПРяМОкутНА СИСтеМА кООРДИНАт у ПРОСтОРІ ................4821. Прямокутна система координат у просторі.

координати точки .............................................................4822. Особливості розташування точок у просторі .........................4833. Ортогональні проекції точок на координатні плоùини.

Відстань від точки до координатних плоùин ........................484

§25. ÔОРМуЛА ДЛя ОБЧИСЛеННя ВІДСтАНІ МІæ ДВОМА тОЧкАМИ ..............................................................................484

§26. ÔОРМуЛА ДЛя ОБЧИСЛеННя кООРДИНАт СеРеДИНИ ВІДРІЗкА ...............................................................................485Êîíòðîëüíèé òåñò ¹ 8 .........................................................485

§27. ВектОРИ у ПРОСтОРІ. ДІЇ НАД ВектОРАМИ .........................4871. Поняття вектора у просторі, довжина вектора,

колініарні вектори, рівні вектори .......................................4872. Додавання і віднімання векторів .........................................4883. Множення вектора на число ...............................................488

§28. кООРДИНАтИ ВектОРА. ДІЇ НАД ВектОРАМИ, ùО ЗАДАНО кООРДИНАтАМИ ...............................................4881. координати вектора у просторі. Рівність векторів, заданих

координатами. Модуль вектора ...........................................4892. Дії над векторами, ùо задані координатами .........................4903. Ознака колінеарності векторів ............................................490

§29. СкАЛяРНИй ДОБутОк ВектОРІВ ..........................................4911. Скалярний добуток векторів, його властивості ......................4912. Ôормула для знаходження кута між векторами, ùо задані

координатами....................................................................4923. умова перпендикулярності векторів, ùо задані

координатами....................................................................493Êîíòðîëüíèé òåñò ¹ 9 .........................................................494

ЗРАЗкИ теСтОВИх ЗАВДАНЬ. ......................................................496

КîìПЛåКСíІ ВАРІАíòИ òåСòîВИх ЗАВдАíь .................................. 509тренувальний тест №1 ............................................................509тренувальний тест №2 ............................................................517

ВІдПîВІдІ ..................................................................................................... 525