Мийнетерство Sbieliiefo й среднего сиёциальноГо о6разо1ааийя Р С Ф С Р

ЛЕНИНГРАДСКИЙ ГИДРОМЕТЕОРОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Г . Р . Р Е Х Т З А М .Е Р .

.DO

o S

о с н о в ы К А Р Т О Г Р А Ф И И

(учебное пособие)

Л Е Н И Н Г Р А Д 1.974

У Д К 5 2 8 . 2 - | - 5 ^ . r

Одобрено Ученым советом

Ленинградского гидрометеорологического института

Изложены основы теории искажения, общая теория кар­тографических проекций, вопросы картоведения и приклад­ной картометрии.

Учебное пособие предназначено для студентов-океанологов гидрометеорологических институтов и государственных уни­верситетов.

П р и ж и з н и Г . Р , Р е х т з а м е р а н е у д а л о с ь и з д а т ь с о с т а в л е н н о е ' и м у ч е б н о е п о с о б и е « О с н о в ы к а р т о г р а ф и и » . Н а с т о я щ е е и з д а н и е п о д г о т о в л е н о к а ф е д р о й м е т о д о в о к е а н о л о г и ч е с к и х и с с л е д о в а н и й Л Г М И , с о т р у д н и к о м к о т о р о й Г а й Р о д и о н о в и ч я в л я л с я м н о г и е г о ­д ы , и п о с в я щ е н о е г о п а м я т и .

В с о г л а с и и с н а м е р е н и е м а в т о р а р е д а к т и р о в а н и е .у ч е б н о г о п о ­с о б и я б ы л о п о р у ч е н о п р о ф е с с о р у , д о к т о р у т е х н и ч е с к и х н а у к К- А . З в о н а р е в у . В п о д г о т о в к е р у к о п и с и к п е ч а т и п р и н я л и т а к ж е у ч а с т и е д о ц е н т к а ф е д р ы М О И А . В . Н е к р а с о в « . с о т р у д н и к к а ф е д ­р ы Н . С . Н о в и к б в а . '

П Р Е Д И С Л О В И Е Р Е Д А К Т О Р О В

Учебное пособие «Основы картографии>? составлено на основа­нии курса лекций, читаемых'студентам-океанологам Ленинградско­го гидрометеорологического института.

Изданные до этого времени фундаментальные ;учебники и учеб­ные пособия по картографии В. В. Каврайского, А. В. Траура, К. А. Звонарева, Н. А. Ур 1 аева и А. П. Ющенко в основном пред­назначены для студентов-картографов, гидрографов и геодезистов, являются очень сложными и, как правило, имеют большой объем. Кроме того; ни один из перечисленных учебников не учитывает специфику океанологической специальности.

В настоящее: время океанологам 'все больше и больше прихо­дится иметь дело с различными морскими 'картами, атласами и другими картографическими пособиями, в которых дается геогра­фическое распределение гидрометеорологических элементов, а так­же производить самые разноббразяые измерения и работы, свя­занные с картированием гидрологических процессов, происходя­щих в морях и океанах. Все эти обстоятельства заставили несколь­ко изменить программу ранее читавшегося курса картографии и приблизить его к нуждам океагголёгии.

Особенностью настоящего учебного пособия является то, что в нем основное внимание уделяется тем картографическим проек­циям и практическим вопросам, которые получили наибольшее распространение в океанологии. Составлена специальная глава V in о географических картах, применяемых в морской гидромете­орологии. В последней главе книги, посвященной картометриче­ским работам, рассматриваются способы определения длин и пло­щадей по картам в тех проекциях, с которыми работают океано­логи, а также приводятся методы вычисления основных морфо- метрических характеристик водных объектов. В приложении дает­ся классификация морских карт, рассказывается об их назначении к содержании. С целью облегчения самостоятельной работы сту­дентов при изучении картографии наиболее важные разделы курса

, иллюстрируются примерами и задачами.В заключение автор считает своим долгом выразить искрен­

,П Р Е Д И С Л О В И Е А В Т О Р А

нюю благодарность проф. Ю. А. Гордееву , доц. С. И. Запасскому,бывшему нач. отдела картографии Государственного гидрологиче­ского института ГУГМС Е. П. Сё'нкову за ряд ценных замечаний

} и пожеланий, сделанных при подготовке рукописи к изданию.

К а р т о г р а ф и я — н а у к а о б о т о б р а ж е н и и и и с с л е д о в а н и и п р о ­с т р а н с т в е н н о г о р а зм еп 1 ,е н и я , с о ч е т а н и я и в з а и м о с в я з е й я в л е н и й п р и р о д ы и о б щ е с т в а (и их' и з м е н е н и й в о в р е м е н и ) п о с р е д с т в о м о б р а з н о - з н а к о в ы х м о д е л е й (к а р т о г р а ф и ч е с к и х и з о б р а ж е н и й ) , в о с ­п р о и з в о д я щ и х т е и л и и н ы е ч а с т и и с т о р о н ы д е й с т в и т е л ь н о с т и в о б о б щ е н н о й и н а г л я д н о й ф о р м е * . К а р т о г р а ф и ч е с к и е и з о б р а ж е ­н и я , с о д н о й с т о р о н ы , с у м м и р у ю т н а щ и з н а н и я о б и з у ч а е м о й д е й ­с т в и т е л ь н о с т и , с д р у г о й с т о р о н ы , о н и с л у ж а т д л я е е д а л ь н е й ш е г о у г л у б л е н н о г о и з у ч е н и я .

V Н а с и н т е р е с у ю т я в л е н и я , с в я з а н н ы е с п о в е р х н о с т ь ю З е м л и ^ а с о о т в е т с т в е н н о и к а р т о г р а ф и ч е с к и е и з о б р а ж е н и я е е п о в е р х н о с т и . К а р т о г р а ф и ч е с к и е и з о б р а ж е н и я з е м н о й п о в е р х н о с т и м о г у т б ы т ь т р е х м е р н ы м и и п л о с к и м и -

П о д о б н о е и з о б р а ж е н и е к р и в о л и н е й н о й з е м н о й п о в е р х н о с т и , т . е . .и з о б р а ж е н и е з е м н о й п о в е р х н о с т и в п о с т о я н н о м м а с ш т а б е , м о ж н о п о л у ч и т ь т о л ь к о н а т р е х м е р н о й м о д е л и — г л о б у с е . Г л о б у с ы д е л а ­ю т т о л ь к о с ф е р и ч е с к и м и . О д н а к о м а л о е с ж а т и е з е м н о г о э л л и п с о ­и д а п о з в о л я е т с ч и т а т ь к о н т у р ы и з о б р а ж е н и й н а ш а р о в о м г л о б у с е г ф а к т и ч е с к и п о д о б н ы м и с о о т в е т с т в у ю щ и м к о н т у р а м н а з е м н о й п о ­в е р х н о с т и . Г л о б у с ы д е л а ю т м а л ы х р а з м е р о в , а п о т о м у з е м н а я по^ в е р х н о с т ь н а н и х м о ж е т и з о б р а ж а т ь с я т о л ь к о в м е л к и х м а с ш т а б а х .

.И з г о т о в л е н и е б о л ь ш и х г л о б у с о в н е ц е л е с о о б р а з н о , т а к к а к п р а к т и - , ч е с к о е и х и с п о л ь з о в а н и е н е в о з м о ж н о . '

В п р а к т и к е и с п о л ь з у ю т с я п л о с к и е м о д е л и з е м н о й п о в е р х н о с т и — г е о г р а ф и ч е с к и е к а р т ы . Д л я п о с т р о е н и я к а р т ы н а д о с ф е р о и д и ч е - с к у ю з е м н у ю п о в е р х н о с т ь и з о б р а з и т ь н а п л о с к о с т и . И з в е с т н о , ч т о п о в е р х н о с т ь э л л и п с о и д а в р а щ ё н и я , и в ч а с т н о с т и , ш а р а , н е м о ж е т б ы т ь р а з в е р н у т а н а п л о с к о с т и — .« р а с п л а с т а н а » . Е с л и п р е д с т а в й т ь с е б е п о в е р х н о с т ь г л о б у с а т в е р д о й , н а п р и м е р , ц е л л у л о и д н о й , то п р и е е р а с п л а с т ы в а н и и о н а р а с к о л е т с я н а м е л к и е ч а с т и , с о в м е щ е н ­н ы е с п л о с к о с т ь ю . С о о т в е т с т в е н н о , н е б о л ь ш и е у ч а с т к и з е м н о й п о ­в е р х н о с т и м о ж н о п р и н и м а т ь з а п л о с к и е и и з о б р а ж а т ь н а т о п о г р а ­ф и ч е с к и х п л а н а х с с о б л ю д е н и е м п о д о б и я , в' п о с т о я н н о м м а с ш т а б е . О д н а к о с о е д и н и т ь п л а н ы о т д е л ь н ы х у ч а с т к о в в с п л о ш н у ю к а р т у

* С а л и ще в ^ К. А. Картография. М., изд. «Высшая школа», 1971, стр. 4—5.

В В Е Д Е Н И Е

. . 5

объединяющей эти участки обширной территории невозможно, как нельзя соединить без разрывов осколки целлулоида..

Пример получения сплошного плоского рзображения поверх.-' кости глобуса дан на рис. 1. '

б)

Рис. 1. Пример изображения поверхности глобз'са на плоскости: а—с разрывами; б—без разрывов:'

Если разрезать глобус по меридианам так, что из-за незначи­тельности протяжения по долготе каждой части их можно практи­чески считать плоскими (рис. 1,а) и соединить по экватору, то по мере удаления от экватора EQ разрывы между этими частями увеличиваются все больше и больше. Для сохранения непрерыв­ности и получения сплошного плоского изображения поверхности глобуса необходимо проделать дополнительные построения, напри­мер, такие, как «а рис. 16. , Какие бы ни были сделаны постро^з- ния (приведенный пример не является единственным), во всех слу­чаях появятся искажения, т- е. масштабы длин' не будут постоян­ными на всех участках и по всем напраблениям.

Для Изображения на плоскости поверхности земного эллипсои­да или шара применяются картографические проекции.

К а р т о г р а ф и ч е с к о й п р о е к ц и е й называется всякий математически выражаемый способ изображения поверхности эл­липсоида вращения (или шара) на плоскости так, что всякой точке М изображаемой поверхности соответствует взаимно одно­значная точка М' на плоскости, называемая изображением точки М, а непрерывному* перемещению точки М соответствует непре­рывное, вообще говоря, перемещение точки М'.

' Положение точки 'Af определяется в натуре в какой-либо сис- теь^е координат, например, географической. Системы линий, точки которых имеют одну из координат постоянной, называются к о о р ­д и н а т н ы ми л и н и я м и. Например, меридианы и параллели являются координатными линиями географической системы коор­динат. \ ,

Изображение системы координатных линий в проекции называ­ется к а р т о г р а ф и ч е с к о й с е т к о й . Основой для построения изображений земной поверхности является картографическая сет­ка, изображающая географические, меридианы и параллели.

Сплошное уменьшенное изображение части или всей земной по­верхности в определенной картографической проекции носит наз­вание г е о г р а ф и ч е с к о й к а р т ы . На карте в соответствии с ее целевым назначением показывается размещение и связи при­родных, экономических и общественно-политических явлений.

Для создания географических карт предложено много карто­графических проекции.' Раздел картографии-) занимающийся воп­росами математической основы карт, называется м 'а т е м а т и ч е- с к о й к а р т о г р а ф и е й.

В математической картографии на основе применения матема­тического анализа, астрономии и геодезии рассматриваются:

1) теория картографических проекций;2) методы и приемы использования астрономических ■ пунктов

и геодезической сети для создания математической основы карты. ■Математическое обоснование получения по картам длин, углов,

площадей и ряда морфометрических характеристик (объемов, уг­лов наклона и т. п.) составляет предмет особого раздела карто­графии— к а р т о м е т р и и .

Раздел картографии, изучающий свойства, виды, элементы я способы применения географических карт, называется к а р т о в е- д е н и е м. ■ ^

В остальных раздеЛах' картографии: составлении, оформлении, редактировании и издании карт на основе выбранной картографи­ческой проекции и масштаба — изучаются вопросы заполнения карты ее содержанием в соответствии с теми требованиями, кото­рые предъявляются к данной географической карте.

В настоящем учебном пособии рассматриваются только -два ■раздела этой науки: теория картографических проекций"и карто­

метрия, и ТОЛЬКО' в том плане, который необходим для будущих инженеров-океанологов при выполнении ими натурных и камераль­ных работ.при гидрологических исследованиях, в-, море. .•

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ Иа ГЕОДЕЗИИ И ТЕОРИИ ИСКАЖЕНИЙ

" § 1. Фигура Земли

•З е м л я и м е е т ф о р м у г е о и д а . Г е о / и д о м н а з ы в а е т с я ф и г у р а , о г р а н и ч е н н а я с р е д н е й у р о в е н н о й п о в е р х н о с т ь ю . П о д у р о в е и-> н о й п о в е р х н о с т ь ю п о н и м а е т с я т а к а я п о в е р х н о с т ь , в л ю б о й т о ч к е к о т о р о й н о р м а л ь с о в п а д а е т с о т в е с н о й л и н и е й , п р о х о д я щ е й ч е р е з э т у т о ч к у . Т а к и х п о в е р х н о с т е й м о ж н о в ы б р а т ь о ч е н ь м н о г о . С р е д н е й у р о в е н н о й п о в е р х н о с т ь ю я в л я е т с я п о в е р х н о с т ь м о р е й и о к е а н о в в с п о к о й н о м с о с т о я н и и , м ы с л е н н о п р о д о л ж е н н а я п о д с у ­ш е й . П о л у ч е н н а я т а к и м о б р а з о м з а м к н у т а я i у р о в е н н а я п о в е р х - п о с т ь п р и н и м а е т с я з а п о в е р х н о с т ь З е м л и , а о г р а н и ч и в а е м о е э т о й п о ­в е р х н о с т ь ю т е л о н о с и т н а з в а н и е г е о и д а . П о с к о л ь к у н а п р а в л е н и е о т в е с н ы х л и н и й с о в п а д а е т с н а п р а в л е н и е м с и л ы т я ж е с т и , а щ л а т я ж е с т и , в с л е д с т в и е н е р а в н о м е р н о с т и р а с п р е д е л е н и я м а с с в т е л е З е м л и , и м е е т р а з л и ч н ы е в е л и ч и н ы , т о г е о и д и м е е т о ч е н ь с л о ж н у ю и н е п р а в и л ь н у ю ф о р м у . П о э т о м у п р и р е ш е н и и г е о д е з и ч е с к и х и к а р т о г р а ф и ч е с к и х з а д а ч З е м л я п р и н и м а е т с я з а э л л и п с о и д в р а щ е ­н и я ( с ф е р о и д ) , п о в е р х н о с т ь к о т о р о г о б л и з к о п о д х о д и т к п о в е р х ­н о с т и г е о и д а .

Э л л и п с о и д о м в р а щ е н и я н а з ы в а е т с я т е л о , п о л у ч а г б - щ е е с я о т в р а щ е н и я э л л и п с а в о к р у г е г о м а л о й о с и . Э т а о с ь , е с л и р е ч ь и д е т о з е м н о м э л л и п с о и д е ', 'я в л я е т с я о с ь ю в р а щ е н и я З е м л и

РРьЗ е м н о й э л л и п с о и д х а р а к т е р и з у е т с я в е л и ч и н о й е г о э л е м е н т о в :

б о л ь ш о й п о л у о с ь ю а, м а л о й п о л у о с ь ю Ь и з а в и с я щ и м и о т нй.Ч с ж а т и е м

(1,1)

f Г л а в а I

а

1-м эксцевгтрнситетом меридианного эллипса

е ' - л /"Z E E^ ~ ~ v ft* ■

2 - м э к с ц е н т р и с и т е т о м м е р и д и а н н о г о э л л и п с а

(1.2)

(1,3)

Размеры земного эллипсоида вычисляются На основании геоде­зических, астрономических и гравиметрических измерений. В раз­ных государствах используются различные размеры элементов эл­липсоида. Наиболее употребляемые приведены в табл. 1.

Таблица 1

Эллипсоид ГодБольшая

полуось а, км

Малая полуось, Ь

кмСжатие, а

Бесселя . . . . . . . . 1841 6 :?77 397 6 355 079 1 : 299,2Кларка . . . . . . . . 1866 6 378 206 6 35б 584 1 ; 295,0

1880 6 378 249 6 356 -515 1 : 293.5Хейфорда . . . . . . . 1924 6 378 388 6 356912 1 : 297,0

В Советском Союзе, начиная с 1946 г., для всех„геодезических и картографических pa6ot постановлением правителвства, был введен референц-эллипсоид Красовского. До этого в СССР при­менялся эллипсоид Бесселя-

Референц-эллипсоид Красовского определяется следующими параметрами: -

большая полуось о = 6 378 24-5,000 ж,

сжатие « = 1 :2 9 8 ,3 ;

Производные от них:

малая полуось 6 = 6 356 863,01^8 м,

: квадрат 1-го эксцентриситета 2== 0,00669342,

радиус шара одинаковой поверхности t земным.эллипсои-

д о м Ж = 6 3 7 1 116,1 м,

радиус шара одинакового объема с земным эллипсоидом

/ ? " - 6 371 109,7 ж

9

Точки, полученные при пересечении малой оси с поверхностью ■эллипсоида, называются п о л ю с а м и : Северным и Южным., Окружность, которая является следом пересечения земного

f . сфероида плоскостью, перпендикулярной к оси вращения и прохо­дящей через его центр, .называе^ря" з а е мным э к в а т о р о м . Радиус экватора равен большой полуоси а.

- Окружности сечения элл1ипс0!ида плоскостями, параллельными■ земному экватору, носят название г е о г р а ф и ч е с к и х- п а р а л ­л е л е й . / ■ V . , i

Эллипсы, получающиеся при сечении эллипсоида плоскостями, проходящими через земную ось вращения, называются м е р и д и а ­н а м и . Один из меридианов, а именно меридиан, проходящий че­рез Гринвич, условно считается начальным. Двугранный угол между плоскостями начального меридиана и меридиана точки .4 называется г е о г р а ф и ч е с к о й д о л г о ' т ой точки А и обоз­начается буквой X или L.

Угол между нормалью, проведенной из точки Л, расположен­ной на поверхности эллипсоида, и плоскостью экватора носит наз­вание г е о г р а ф и ч е с К0 ;й. широ . т . ы точки Л и обозначается буквой ф, или:5. Широта ф:.и долгота к являются г е о г р а ф и ч е ­с к и м и : к о о р д и н а т а м и и определяют положение точки на референц-эллипсоиде.

■В-любой точке эллипсоида А через нормаль можно провести • бесчисленное-количество плоскостей, которые называются, н о р ­

м а л ь н ы м и с е ч е н и я м и , иди . в е р т и к а л а м и . ' Радиусы кривизны различных нормальных сечений, проведенных в какой- .либо точке, не ..равны, между собой. Исследование кривизны нор­мальных сечений дает возможность определять кривизны эллип­соида в данной точке. Как известно, кривизна окружности обратно пропорциональна радиусу -этой ' окружности; поэтому можно на-

. писать, что .........

— ^ ( 1 ,4 )

где R — радиус; 5 — Длина дуги окружности; а -^ центральный угол, стягиваемый дугой 5 ., . , ..

Но формула (1,4) справедлива только для ок|>ужности; при­менять ее для определения радиуса кривизны кривых, образован- 11ЫХ нормальными речениями, можно только для бесконечно малых злёментов'кривой. В этом случае формуле’(1.4) следует придать вид: '

■ § 2. Географические координаты. Нормальные сечения ,

:■ 10 ■ ' ■ ' ) ' .

d a .~ d S '

(1,5)

где p — радиус кривой в данной точке; dS — бескбнечно ■ малый ,элемент дуги, кривой при данной ^точке; da — бесконечно малый угол, стягиваемый дугой dS.

Для характеристики кривизны эллипсоида, в данной точке кполне достаточно определить радиусы кривизны двух взаимно-

' перпендикулярных сечений, меридианного М и перпендикулярного к нему нормального сечения по первому вертикалу N", которые на­зываются (рис. 2 ).

г л а в н ы м и н о р м а л ь н ы м и с е ч е н и я ми

Рис. 2. Н орм альны е сеч ен и я зем н о го эллипсоида;/ — главное н орм альн ое сеч ен и е по п ер вом у верти- калу;. 5 — п р ои зв ол ьн ое нор м альн ое сеч ен и е; .3— ■ . .

главное н орм альное сеч ен и е по м ери ди ану.

Основное свойство главных нормальных сечений заключается в том, что радиусы кривизны у них являются наибольшим и наи­меньшим из всех возможных в данной точке.

Главные радиусы кривизны могут быть .выражены через эле­менты сфероида и широту точки, для которой они определяются следующими формулами:

( 1 — sro^

jV = -

(1,6)

0 , 7 )

11

Радиус кривизны N, представляет собою длину нормали от точ­ки на поверхности эллипсоида до пересечения с осью вращения.

За величину среднего радиуса кривизны поверхности в этой точке принимается среднее геометрическое из радиусов кривизны главных нормальных сечений . ,

a V 1— е^R = V M N = r : ; s i n % • <'•«)

где а — большая полуось эллипсоида; е — эксцентриситет;, ф — широта точки, для которой вычисляются М, и

Из формул (Ь6 ), (1.7) и (1.8) видно, что радиусы кривизны за­висят только' от широты, так как остальные величины, входящие в эти формулы, являются постоянными. '

Если разделить (1.7) на (1.6), то можно видеть, что радиус кривизны по первому вертикалу будет наибольшим, а по меридиа­ну наименьшим

N а(1-^е^ sin^ ® ) ® ' 2 1— еЧш '-фМ (l-e4in® ® )^''’'a(l~e®) 1 - е - ->1.

Кроме того, подставив в уравн ен и я (1.6) и (1.6) Значения ф = 0® я Ф=90'’, имеем: ,

для экватора ф = 0 °, iVo = а, Мо = а ( 1 — е );

для полюсов ф = 90°, /^0 0= ^ 9 0= — 7 -=£=г— .У l —e"

Полученные данные позволяют сделать вывод о том, что, во- первыХ, радиусы кривизны увеличиваются по мере удаления точ­ки от экватора к полю су, а, во-вторых, на полюсе они будут равны между собой, что вполне естественно, так как оба являются радиу­сами меридианных сечений.

Знание , величин М, N я R необходимо при картографических и геодезических вычислениях- С помощью радиуса кривизны М вычисляются разности широт (РШ) и длины дуг меридианов; N — используется при расчетах разности долгот (РД), длин дуг параллелей и сближения меридианов у. Средний радиус кривизны R употребляется в тех случаях, когда поверхность эллипсоида за­меняется в 'картографических работах поверхностью шара.

Значения Л1, N и R выбираются из Картографических таблиц по аргументу ф.

12 '

§ 1 вычисление длины дуг меридианов и параллелей

Предположим, что необходимо вычислить длину дуги меридиа­на между точками Л и В (рис. 3).

Сначала определим, чему равняется бесконечно малый отрезок дуги меридиа­на AAi = dK, который можно принять за дугу окружности с радиусом кривизны, равным М. Тогда лолучим

■ dX = Md<f. (1.9).!

Отсюда дугу меридиана АВ ^ ^ Х ав можно вычислить, проинтегрировав вы­ражение (1.9) в пределах от фл до (рв,

j Шср.ад

Рис. 3. О пределение^ длины д уги м ер и д и а н а .'

Длина дуги меридиана от экватора до данной параллели ф будет равна

(1,10)

Для вычисления дуги L меридиана между двумя любыми па- . р аллеля ми ф2 и ф1 следует определить длины дуг меридиана От .экватора до параллелей фг и ф1 по формул® ( 1 .1 0 ), а затем взять их разность , ,

Р , " ' ^ ,? (1,11)

где L — длина дуги меридиана' в натуре. 'Длина дуги параллели Р для разности долгот %2 — как дли­

на дуги окружности, вычисляется по формуле

Р = г1,

где / = Я2 — Яь а г — радиус данной параллели. На шаре

г=./?созф. / ( 1 .1 2 )

На земном эллипсоиде радиус параллели г можно определитьиз треугольника AOD (рис. 4), откуда '

созф , (1-12')

13

Ьде N = A b — ]эадйус кривианы по йервому вертикалу; ф — ш'ирота точки А. Следовательно,’

P = N cos (р -1или

, P = N cos ( f { %2 — h ) , ( 1 .1 3 )

где I и (Яг — h ) должны быть вы-■ ражены в радианной мере.

Для практического применения формуле (1.13) придают вид

, Р = Л^со8ф-агс Г - (Я2 — Я,)'. (1.130

Длины дуг меридианов и парал­лелей на' эллипсоиде Красовского

Р ис. 4. О п р е д е л ен и е д л и н ы .д у ги .даются в Картографических таб- параллели на зем ном эл л и п сои де г г т

, лицах.

§ 4 . М а с ш т а б ы и у в е л и ч е н и я

При составлении планов небольших участков' местности вое об-бекты натуры переносятся на бумагу с полным сохранением по­добия, но в уменьшенном виде. В этом случае под масштабом по­нимают отношение длины линии на плане к соответствующему горизонтальному проложению длины этой же линии на местности.

При изображении значительных территорий такое определение' масштаба.будет неверным. . . ■ г ■■

■Масштаб, в котором рассчитывается проекция карты, называ-' ется гл' авным или о б щ и м м а с ш т а б о м к а р т ы. Именно главный масштаб цо, показывающий общее уменьшение всех эле­ментов, и приводится на картах:

Wnили d S a = H d S ., . , (1,14)

В этой формуле dS — б1еок,оненно малый ртрезокГв натуре, ^ sq — его изображение в проекции в главном масштабе цо-

На самом же'деле, как об этом уже писалось.ранее, развернуть на плоскости поверхность эллипсоида невозможно, а это означает,., что в действитёльностй масштаб карты является величиной пере­менной и непрерывно изменяется при переходе от точки к точке, т. е. зависит от положения точки и направления с нее. ' ,

Масштаб карт'Ьг в дайной точке по заданному направлению на­зывается ч а с т н ы м м а с ш т а б о м и обозначаётся ' буквой' ix.

Частный масштаб представляет собой отношение бесконечно­малого отрезка на карте ds к соответствующему бесконечно мало-

14

My горизонтальному отрезку dS на зеМнЪй поверхнос'ГЙ'й выража­ется формулой:

(1,15)

Таким образом; на карте различают два вида масштабов: глав­ный и частные. Главный масштаб сохраняется только в некоторы: точках и направлениях, во всех остальных частях карты масштабы больше или меньше главного..

Одной из важнейших задач математической картографии явля­ется отыскание таких проекций, во всех точках которых было бы наименьшее уклонение частных масштабов от главного.

Отношение частного масштаба \х к главному |яо называется у в е л и ч е н и е м м а с ш т а б а или увеличением длин в данной точке по данному направлению и обозначается буквой с:

. ^ . as dSQ as ds‘‘S ■ dS - ds^ '

где — длина отрезка dS, выраженная в главном масштабе-Из приведенных фбр1мул видно, что с представляет собой коэф­

фициент, на который следует умножить |ло, чтобы получить част­ный масштаб. Уклонение v увеличения масштаба с от единицы но­сит название и с к а ж е н и я д л и н :

/ и = с - - 1 . (1.17)'

(§5 . Э ллипс искаж ений

Возьмем на поверхности изображаемого эллипсоида бесконеч­но малый круг, описанный около точки О. Во. всякой проекций, в, общем случае, этот круг изобразится некоторым эллипсом. Дока­жем, ЧТО это действительно так.

Обозначим радиус изображаемой окружности через г, а коордя- паты любой точки М этой окружности, отнесенные к любым двум взаимноперпендмкулярным направлениям, например, меридиану и параллели,: через х, у (рис. Ъ,а). В проекции (рис.'5,6) меридиан к параллель изобразятся, вообще говоря, не взаимно перпендику­лярными прямыми, и прямоугольным координатам х, у в проекции будут соответствовать косоугольные координаты-^',. точки М'.

Если увеличения по меридиану и по параллели^обозначим со­ответственно m и /г, то

х' = пг'х,:у'=^пу.

(1,18)

15

Ёсли в yp,aBH€Hjie изображаемой окружиостй

Рис. 5. Бесконечно малый круг на земном эллип­соиде (в), изображение этого круга в проекции (ff).

подставить вместо координат х, у их выражения из (1.18):х ' у ' ' » й V

л = -— , , у==— , то получим уравнение кривои, изображающейПТ ttв проекции окружность бесконечно малого радиуса

' ’ + ( 4 -т

кли

т - ) + п-г (1,19)

Уравнение (1.19) есть уравнение эллипса, вообще говоря, в ко­соугольных координатах, оси которцх направлены по двум взаим­но сопряженным диаметрам эллипса. Значит, бесконечно малый круг на изображаемой поверхности во всякой проекции изобра­жается бесконечно малым эллипсом, а любые два взаимно пер­пендикулярные направления в круге изображаются парой взаимно сопряженных диаметров эллипса; наоборот, всякой паре взаимно сопряженных диаметров в эллипсе соответствует пара взаимно перпендикулярных направлений в/круге. Следовательно, оСи эл­липса (пара взаимно перпендикулярных сопряженных диаметров) являются изображением также взаимно перпендикулярных направ­лений в круге. '

Отношение , -

— или г --СГ (1,20)

16

показывает, что .радиусы-векторы г' эллипса, изображающего в ' проекции круг, пропорциональны увеличениям с по соответствую­щим направлениям, а при г= \ численно равны увеличениям по со­ответствующим направлениям.

Полуоси эллипса, в проекции изображающего круг, являются наибольшим и наименьшим радиусами-векторами эллипса; следо­вательно, они выражают наибольшее увеличение а и наименьшее увеличение Ь. Осям эллипса, как взаимно сопряженным диамет­рам, соответствуют взаимно перпендикулярные направления в на­туре. В эллипсе, если он не обращается в круг, существует только одна пара взаимно перпендикулярных сопряженных диаметрой- Поэтому, если в проекции изображения меридиана и параллели

_взаимно перпендикулярны, то увеличения ,по ним являются наи-, большим и наименьшим, т. е; из увеличений т и п наибольшее

)есть увеличение а, наименьшее — увеличение Ь.] Направления, наибольшего и наименьшегр увеличений, т. е. ) осей эллипса, изображающего круг, называются г л а в н ы м и „ н а п р а в л е н и я м и в данной точке. “( Эллипс конечных размеров, подобный и одинаково ориентиро- ванный с эллипсом, изображающим при данной точке проекции бесконечно малый круг, носит название э л л и п с а и с к а ж е ­ний.

§ 6. У величение длин в дан н ой точке по д а н н ом у направлейию

Если известны масштабы по главным направлениям (а их, как увидим ниже, легко определить), то всегда можно вычислить част­ные масштабы (или увеличения) по; любому заданному направле­нию.

В бесконечно малом круге, построенном радиусом 'г, выражен­ном в главном масштабе (рис. 6 ,а), и изображающем его эллипсе (рис. 6 ,6 ) направления координатных осей л:, у, и .t', у' примем по главным направлениям, взаимно перпендикулярным в натуре и в проекции. Точки М' и М' — соответствующие точки. Ставим зада­чей; определение увеличения по направлению О'М'. Согласно опре­

делению,. увеличение масштаба по данному направлению с = — .

Из треугольника рОМ следует, что

X = r'ZOS и; .::Л ^y — r - s m u ,

где и — угол, отсчитываемый от главного направления по ходу ча совой стрелки до произвольного направления ОМ. Умножив х и у на увеличения по главным направлениям, получим х ' '^ах , у' = Ьу.

S ^ ‘P-’ :K I0 T E K A i-■‘■-А 9

2 ^ """" , 1 1 1 7

Тогда уравнения примут виД:x' — arcosu :

у ' = Ь г sin,и.

а)

Рис. 6. Б еск он еч н о ма.чый квадрат на зем ном эллип­со и д е (а), и зо б р а ж ен и е этого квадрата на п л оск о­

сти [6).

В треугольнике С'О'М' гипотенуза г '= У + у''^. Заменим .г' и у' их значениями. Тогда имеем:

r ' = Y aV-cos’ « - f s i n ^ a .

Вынесем г за знак радикала

r ' ~ r Y а'' cos sin®« .

Разделим правую и левую часть этого уравнения на г. Тогда

Но ~ = с . Отсюда окончательно получим

(1,21)

Уравнение (1,21) дает возможность найти увеличение в данной точке по направлению, заданному дирекционным углом и.

§ 7. Искажения направлений и углов

Для определения, искажения направления и углов воспользуем­ся снова рис. 6 ,а и’б.

Из треугольника С'О'М' следует, что где н ' — угол на

18

проекции, отсчитываемый по ходу часовой стрелки от главного на­правления до заданного направления О'М'.

. Подставим вместо х 'и у 'их значения, тогда

Ьг sin и,аг COS и '

■ После сокращения

(1,22)

Вычтем из i g u правую и левую части уравнения (1,22)

Ь ‘ Ь■ tgM -tg tt'==tgм------- - i g a = i g u [ \ ------ --.Cl \ Cl J

(1,22')

Прибавим tg« к правой и левой частям уравнения (1.22)

tg и+ tg u '= ig tg u = \g h (i - f (1,22")

Из тригонометрии известно, что сумма и разность тангенсов' равна,

tg»+ tg?=Ь — Ь,1 д . (,Q g ^

Следовательно, уравнения (1,22') — (1,22") можно переписать в следующем виде:

sin (и— и') I, Ь------- i ^ — i gu 1 ---------cos «'COS й \ а

COS и • COS и

Разделив первое уравнение на второе, получим

а— Ь

откуда

sin (и— а ' ) _____sin {и-\-и') а-\-Ь

а —Ьsin (и— и') a+fe

(1.23)

(1,24)

Разность и — й' носит название искажения направления в дан­ной точке проекции. Формула (1,24) показывает, что искажение

2* 19

направления, зависит от суммы ы + ы'' и Наибольшее абсолютное искажение будет в том случае, если м + и' = 90°, т. е. sin (и + и') — 1.

Обозначим эти величины буквами U ii U', а разность

и — где-^ — наибольшее искажение направления.'Тогда

=агс зша--Ь a j-b ■

(1,25)

' Наибольшее искажение направления можно получить и в дру­гом виде, Для этого перепишем формулу (1,25) так:

cos = 1 — sin’r 1a ~ ia-\-b

2К aba-\-b

Разделив (1,25) на (1,26), получим

1

]/ i

(1.26)

'(1,27)

Так как f/' = 90°— V, а U~9Q° ~ V', на основании уравнения( 1 ,2 2 ) можно написать »

c tg t/= “ ig V

ctgU '.

Следовательно, наиболее искажаемое направленкг ,на эллип- :оиде и на карте выразится следующими формулами:

t e W = ± l / - f ;

t g ! ; ' = ± l / X

(1,28)

(1,29)

Вследствие того, что U+ U' = 9Q° и ( / — U' = ~^, взяв полусумму

этих равенств, получим У = 45°+ - j , а на основании предыдущих

форм л будем иметь

2 0

t g u = c i g V ' = t g ( 4 5 ° + - ^ - ] = ± y '

Поскольку любой угол представляет робой разность двух на- гфавлений, то, если составить угол из двух наиболее искажаемых направлений, наибольшее искажение этого угла со будет равно 2 ( U — U').

Таким образом,' м а к с и м а л ь н а я в е л и ч и н а и с к а ж е- ния у г ла в да н н о й точке п р о е к ц и и р а в н а д в о й ­ном у н а и б о л ь ш е м у и с к а ж е н и ю направления .

§ 8 . Масштабы и увеличения площадей

Возьмем бесконечно малый прямоугольник (рис. 5,а) со сторо­нами'л: и у, направленными по взаимно перпендикулярным направ­лениям меридиана, и параллели на эллипсоиде вращения, умень­шенном в главном масштабе |хо.. Следовательно, этот прямоуголь­ник в глав'нем масштабе |lio имеет площадь dfo = xy, а в натуре —

dfa х у \ площадь аг = — 5- = — о.

Н , ! о-В любой проекции прямоугольник изображается бесконечно

малым параллелограммом (рис. 5,6) со сторонами х' = тх, у' = пу, где m и п — увеличения по изображениям меридиана и параллели, и углом '"ф между изображениями меридиана и параллели. Пло­щадь этого параллелограмма d f= х ' у ' sin \\> = тх • пу ■ sin Следо­вательно, масштаб площадей в данной точке равен

.„ d f т х - п у - sin /11 1 = - ~ — ---------------- ' = тп sm 6 • (1,31)d t х у , I и >

а увеличение площадей в этой точке

m x-tiv - sin— ---------- i (1,32)ху } ' V

В частности, если \{;='90°, т. е. меридиан и параллель являются главными. направлениями в данной точке, а увеличения по ним /п и п наибольшее и наименьщее, формула (1.32) перепишется в виде \ . ■

р ^ а Ь . : (1.32')

Уклонение v = р— 1 называется и с к а ж е н и е м п л о щ а д е й в данной точке проекции.

' . 21

Свойства проекции в каждой ее точке характеризуются эллип­сом искажений- Эллипс искажений определяется его элементами.

Э л е м е н т а м и э л л и п с а и с к а же ни й , определяющими его размер и ориентирование, являются его большая и малая по­луоси и угол между положительными направлениями'меридиана и большой полуоси. Эллипсы искажений, построенные на карте, позволяют судить о величинах искажений в отдельных точках и их распределении на. различных участках карты.

При выводе формулы для определения размеров эллипса иска­жений воспользуемся теоремами Аполлония из аналитической гео­метрии. .

Теорема 1-я: сумма квадратов двух сопряженных иолудиамет- ров эллипса есть величина постоянная и равная сумме квадратов :его полуосей (рис. 7, а и S)

q^A -р2. (1,33)

§ 9. Элементы эллипса искажений

Р ис. 7. К о п р едел ен и ю р азм ер ов эллипса искаж ений: д — взаим но перпен ди кул ярн ы е диам етры 'о к р у ж ­

ности; с'опряж енны е диам етры эллипса.

Теорема 2-я: площадь треугольника, построенного на двух со­пряженных полудиаметрах эллипса, есть величина постоянная и равная площади треугольника, построенного на его полуосях

; 1 ' 1kl sin <bz qp. (1.34)

Обозначим через т я п масштабы По двум сопряженным на­правлениям: меридиану и параллели. На рис. 7,6 OTpesiiH к, I, д я р представляют собой изображение на проекции двух взаимно пер­пендикулярных радиусов бесконечно малого круга на земном эл­липсоиде. Поэтому можно написать, что к, I, q я р равны радиу­сам, умноженным на масштабы по соответствующим направлени-

22

ям, т. е. к = г -т, 1 = г - п , q = r-a, p = r-b. Подставив эти значения в формулы (1.33) и (1.34), получим ■

.(гш)2 -f ( т )2 = (га)2 + (г6) 2;

r'hnn sin

Сократив первое выражение на г , а второе на будем

иметь ./?г 4-п2 = а2 + &2 ; (1,35)

тп sin \р = аЬ. (1,36)

Уравнения (1,35) и (1.36) дают возможность вычислить раз­меры эллипса искажений, т- е, величины его полуосей а и Ь, еслиизвестны:. т — увеличение масштаба по меридиану; п — увеличе­ние масштаба по па}эаллели; ф — угол между меридианом и па­раллелью на проекции. Для этого умножим обе части уравнения (1,36) на два, а затем сложим и вычтем. полученную величину из уравнения (1.35) ^

пг ± 2тп sin + /г — ± 2аВ +Отсюда

, д+ & = у т ‘‘*-|-«-±2ягя s i n : (1,37)

Таким образом, вычислив {а + Ь) и {а-— Ь), можно очень легко получить каждую из этих величин в отдельности.

Ориентирование главных направлений эллипса искажений воз­можно тогда, когда будет определено значение азимута на карте р', который соответствует азимуту главного направления в натуре Р (рис. 8 ,а и б). Азимут [5' представляет собой угол между мери­дианом данной точки и большой полуосью эллипса искажений.

Напишем выражение увеличения по меридиану т по формуле(1,21), заменив в ней с буквой т, а угол и углом |3. Тогда форму­ла ( 1 .2 1 ) примет вид

m^=a2cos2 sin-p, (1.38)

Вследствие того, что меридиан перпендикулярен параллели, уравнение (1.38) можно использовать для определения увеличе­ния по параллели ^

= sin2 cosf |3. (1.39)

Заменив в выражении (1.38) s i n ^ p = l — соз р, а в выражении (1.39) cos |3= 1 — sin-р, получим для увеличения по меридиану:

23

т ? = а ^ { \ — sin^p) + — {а ? — Ь ^ ) sin^p;

_ m2 = a2 cOs2 Р + 62(1 _ cos2 р) - 62 ^ (ц2 _ ^2) C0S2 р

для з^величения по параллели:

„2 = д2(1 — cos^ р) + б^соз^ р = — (а^ — b ^ ) c o s ^ р;

, «2 = а2 sin2 р + 62(1 — siri2 р) = 62 + (а2 — 62) sin2 р.

оу

' Рис. 8. Э.11ЛИПС искажений и его элементы:в—бесконечно малый круг на земном эллипсоиде;(У—соответствующий этому кругу эллипс искажений.

Путем несложных преобразований из этих выражений можно определить sin р, cos р и tg р:

cos В“V а 6 ^

(1,40)

Для определения азимута р на проекции (рис. 8 ,6 ) восполь­зуемся ранее выведенным уравнением ( 1 ,2 2 ), заменив в нем и и и' соответственно на р'и p':

^ g r= 4 - tg P > (Ь41)

24

(1,42)

Подставив в (1,41) значение t'gр из уравнерия (1 ,40), получим

fa Г - 4 ^ 1 / 'а V т^-Ь^- а V а

Выведенные формулы дают возможность вычислить элементы и построить эллипс искажений на карте.

Задача. На листе карты „полушарий в главном масштабе 1 : 80 ООО ООО с( сеткой меридианов и параллелей через 10° в точкё М (ф = 60°М иД=170°0®‘ ) определить увеличение масштабов т и п, острый угол между меридианом и параллелью г!з и элементы эллипса искажения (рис. 9). Построить эллипс искажений в дан­ной точке. '

Для решения задачи требуется:1. Измерить на карте: а) длины дуг меридианов и б) длины дуг

параллелей (рис. 9,а) — АВ = I мм и CD — р мм; в) угол ф меж­ду касательными к меридиану н параллели в точке А4.

а)

А/

Рис. 9. Определение эле.ментов (а) и построение (ff) эллипса искажений.

2. Вычислить по формулам длину дуги меридиана L и длину дуги параллелив натуре:

92

?!

25

Р = yV COS ф АЯ == vV COS ф arc г AV, .

где X — расстояние по меридиану от экватора до данной парал- лели; ф1 и фг — крайние параллели дуги АВ\

N cos ф = /' — радиус параллели на широте ф;Л^созф-агсГ — длина одной минуты дуги параллели на ши-

роте ф (эти величины выбираются из Карто­графических таблиц).

3. Определить частные масштабы:,

а) по меридиану

б) по п а р а л л е л и ^Р '

4. Вычислить увеличение масштабов по меридиану (т) и па­раллели («.),.для чего необходимо знать главный масштаб карты М-р: N, ' ■ ■

- , -а) т = -

б) п = -

!J-o

\ n■Н'О .

5. Для определения элементов эллипса искажений и других характеристик искажений в данной точке следует вычислить:

а) размеры эллипса искажений, т. е. величины его полуосей

a-\-b=Yrn^-\-n-‘ -\-2mn

a —b=y"m^-j-n — 2тп sin''f, ;

где — ^ угол между меридианом и параллелью в точке М;б) ориентирный угол в натуре:

, . ■ / а?— тР‘ - /

в) ориентирный угол в проекции

t g r = - ^ tgP;tl .. . ч-

г) наиболее искажаемое направление

tg t g f / -Ь ' у .а ' у

где и — направление на земном эллипсоиде; U' — направление на, проекции; ,

26

.. 40 а'—Ь 1 “ d— I■ sm -jr- == tg =

д ) н а и б о л ь ш е е и с к а ж е н и е н а п р а в л е н и я .

a + b ' 2 ^ 2У ab ’

е) наибольшее искажение угла со;ж) увеличение масштаба площадей ■. . , ^

р = тп sin г|; = а6. •

6. Построение эллипса искажений делается следующим обра­зом (рис. 9,6):

а) от направления касательной к меридиану откладывают ори­ентир ный угол р' в сторону острого' угла между меридианом и па­раллелью карты — получают’ направление большой оси эллипСа искажений;

б) задавшись какой-либо линейной величиной для вырал^ения одной единицы увеличения (1,- 2, 3 и т. а - см, в зависимости от раз- .меррв увеличений и желательных размеров эллипса искажений), откладывают, от точки М ,в обе стороны по направлению большой оси эллипса цскажений .величину а; по направлению, к нему пер­пендикулярному, — величину 6, по направлениям. ' касательных к .меридиану и параллели — величины, т и п соответственно;

в) соединив полученные восемь точек плавной кривой, полу­чают эллипс искажений (рис. 9,6).

Пример.1. Применительно к рис. 9,а имеем результаты измерений до

0,0.1 см\ ■а) длина дуги меридиана АВ = 1 = Ъ,Ы см;б) длина дуги параллели CD = /p = 1,12 сж;в)' измеренный транспортиром угол между касательными, к ме­

ридиану и параллели \j) = 76°,5 (расположен к востоку от мериди­ана). ' . ' i

2. По формулам вычислены: . ' . . ■а) длина, дуги меридиана в натуре между параллелями

®v = 70°N и ф 5 = 50°N

L = J70 — ^50 = 7769,1 — 5540,9 = 2228,2 кж;

20“Контроль: L^6371 • =2223,9 км.\

б) длина дуги параллели на широте ф = 60° для разности дол­гот АЯ = 20° ^

Р = Л соЗф arc Г - 1 2 0 0 ' = 1116,0 кл;

20° 20° контроль: Р~Л^созф-^у5-^~31 9 7 , 2 - = 1 1 1 6 , 0 км.

•>

27

3- Частные масштабы:

а) по меридиану ^

б) по параллели j.i„=

12228,2-10=

157 580000’

1 1Р 1116,0-10

4. Увеличения масштабов:80000000

д а Ш р о о ’

1,3894;а) по меридиану »г=

80000000 ^ополо) по параллели я= - - -0,8029,

5. Размеры, ориентировка эллипса; ;искал?ений и величины,-ха­рактеризующие проекцию в данной точке карты, приведены в табл, 2 . '

Таблица 2

т 1,3894 m2 1,9304 1,9808Щ 0,8029 rfl 0.6446 0,5941

sinU< 0,9724 Ф - n f l 0,0504 r f i - b i 0,0505р~ т п sfn ф 1,0848 m'’— ЬЧ 1,3363 1,3364

2m «'Sini 2,1696 tg’-P 0.0377 tg2 Э , 0,0378(й-1-6)2 4,7446 0,!942 b : a 0,5477

' 0,4054 У 1ГОО' tgP' 0,1064а-\-Ь 2,1782 6°04' a : b 1,8259

а—Ь ' 0,6367 ,0)

sin "2^ 0,2923 tg u 1,3513

: а 1,4074ti)

0,3056 t g W 0,7004

Ь 0,7708Q> i

■ 2 17°00' u 53°30'р—аЬ 1,0848 to 34°00' U' 3fi°30'

Совпадение величин р и tg^ р, вычисленных различными мето­дами, дает возможность предположить, что все вычисления сде­ланы правильно.

6 . ,По полученным данным строим на карте эллипс искажений (рис. 9,6). I

§ 1 0 . Основные формулы из геодезии и теории искажений

а— Ьа

1 — уравнение меридианного эл-

липса;

---- сжатие меридианного эллипса;

2$

f a^— b^ „e— I / 2-------- первый эксцентриситет мериди-

' _____ энного эллипса;а^~Ь^

' ^ = 1 /. — — — второй эксцентриситет мери­

дианного эллипса;а (1 — е)*

М = —г----- \ . ■./ 3 ,------- радиус кривизны меридиана;(1— sin''*c?)® '=

а' ( 1 — е' sin *

Af ®Л^=— I------3— Г1 — гг----- радиус кривизны 1 -го вертикала

_____ (нормаль); .П п /Т Г лГ ^ ' У 1— „/<— У A1N g2 gj„ 2 ------ радиус средней кривизны;

IS

[ M do— длина дуги меридиана от эква- 6 тора до широты ф;

Г ‘ ■M d ' f = X 2 — длина дуги меридиана от широ- тыф1 до широты фг;

г=Л^со5 ср— радиус параллели;P=/Vcos о агс1 '(/.2— /ч)'— длина дуги параллели;

a- cos*«-fft-sin ' M— увеличение масштаба по любому' _________ направлению и;

а-±Ь— '\^ sin ф— для вычисления наибольшего инаименьшего увеличения мас­штабов (полуосей эллипса иска­жений)^

где

Г 2 Г ^2 tgp— |,/ ~ | / вычисления ориентирного,

угла виатурё;

tg S '=---- tg для вычисления ориентирногоС1-

угла-на проекции;ш а —Ь ■ ш

^ ^ или tg - 2—

_ / а2 Y ab b

\ а )а ) — для вычисления наибольшего ис­кажения направления;

' 29

tg

где ш = 2 -^ — наибольшее

искажение угла;

/ ■ Ьtg U ' = ± y . —— — для определения наиболее иска­

жаемых направлений; р — аЬ— т п-5т '^— увеличение масштаба площадей.

П о с т о я н н ы е в е л и ч и н ы

Mod=0,4342945 Р°=57,29578 р'=3437,748 Р'^=206264,8

arc 1°=0,01745329 arc Г =0,0002908882 arc 1 "=0,000004848137

6=2,718282 т:=3,141593

lgM od=9,6677843 lg p °= l,7581226 Ig р '=3,5362739 ig р"=5,3144251

Ig (1:р°)=8,2418774 lg(l:p')^6.4637211 lg(l;,o")=4,6855749

Ig e=r0,4342945 lg:x==0,4971499

30

§ И. Общие сведения

В .начале настоящего пособия было указано, что изобразить поверхность земного эллипсоида,.на карте без искажений нельзя н что каждый бесконечно малый круг на проекциях изображается различным'и как по форме, так и по величине эллипсами. Поэтому какая бы ни применялась картографическая проекция (а их может быть бесчисленное множество), на карте все равно имеют месго искажения.

Для того, чтобы каким-либо образом систематизировать все проекции, которые созданы в настоящее время или будут предло­жены впоследствии, необходимо создать такую стройную, класси­фикацию проекций, которая давала бы возможность четко отобра­зить основные свойства каждой проекции и представить в одной группе такие проекции, которые имели бы одинаковые признаки. Независимых признаков для классификации существует несколько, так что одни и те же проекции, благодаря наличию ряда призна­ков, принадлежат разным классификационным группам.

Все картографические проекции принято классифицировать по двум главным и не зависящим друг от друга признакам:

а) по характеру искажения или свойствам изображения;б) по виду меридианов и параллелей нормальной сетки.

§ 12. Классификация проекций по характеру искажений

Все картографические проекции по характеру искажений де­лятся на равноугольные (конформные), равновеликие (эквивалент­ные) и произвольные. . ' .

Р а в н о у го л ь н ы м и, или к о н ф о р м н ы м и, н а з ыв а ю т- ся т г к и е ироекции, в к а ж д о й точке^ к о т о р ы х у г ­лы не и с к а ж а ю т с я .

Условие равноуголБности выражается следующими формулами, справедливыми для каждой точки проекции:

г л а в а II

КЛАССИ Ф И К АЦ И Я К АРТ О ГРАФ И Ч ЕСКИ Х П РО ЕК Ц И Й

> 31

a = b ^ c —m = n ,

т. e. масштаб по всем направлениям постоянен. На зтом основа­нии формулы искажений для равноугольных проекций значитель­но упрощаются: '

^= 9 0 °; (2,1)

На картах в равно)тольной проекции бесконечно малые круги на эллипсоиде изобразятся на проекции кругами, отсюда сохране-i ние подобия бесконечно малых фигур в проекции и натуре. При. переходе в другую точку масштаб изменяется. Это значит, что эл­липс: искажений в разных точках карты будет изображаться кру­гами разных размеров (рис. 1 0 ,а).

Поскольку, на картах в равноугольных проекциях сохраняются размеры углов, то в этих проекциях можно измерять углы (углы между касательными к сторонам угла при его вершине) и направ­ления с помощью транспортира или протрактора. Кроме того, на этих картах по сравнению с другими проекциями легче измерять пасстояния.

85

75

60

30

о’

О)о 30 60 90°

/!"SЛ— -------(

Ч-/е)- - —

90

60

fa,30

б>30 60 90°

)

. . . -(( \ ‘

. . .

1 )

и

Рис. 10. Изображение эллипса искажений в равноугольной (а), равно­промежуточной (ff) н равновеликой (в) цилиндрических проекциях.

Р а в н о в е л и к и м и , или э к в и в а л е н т н ы м и , ' называ­ются т акие п р о е к ц и и , на . к о т о р ы х п л о щ а д и на к а р т а х п р о п о р ц и о н а л ь н ы с о о т в е т с т в у ю щ и м пло- щ, г д я м н а п о в е р X ;Н о с т и э л л и,п со и д а.

Площади в равноугольных проекциях принимают равными плйщадям в натуре, уменьшенным в главном масштабе, т. ,е. пола­гают увеличение площади р=Л. Отсюда условие равновеликости

32

-может быть выражено на основании формулы (1,32) следующим равенством:

p = a6 = l = mnsiinl3, или ''

i = _ L „ a - - L . (2,2)

Условия равновеликости и равндугольности несовместимы.Всякий бесконечно малый круг на эллипсоиде в равновеликой

проекции изобразится эллипсом, равным по площади кругу. Для ■ разных точек карты форма этих эллипсов будет различна (рис. 10,s ). На картах в равновеликих проекциях искажаются уг­лы и не сохраняется подобие фигур.

На основании формулы (2,2) можно сделать заключение, что . р . равновеликих проекциях наибольший масштаб во столько раз больше главного, во сколько раз главный масштаб больше наи­меньшего. Раз это так, то формула (1,28) примет вид:

tg U = a = - L ,

Подстави® ЭТИ значения а И 6 В (1-21), получим

c2 = tg 2 {/-co s"t/-f c tg 2 t/.s in 2 t/= 1. (2,3)

Из выражения (2,3) видно, что в равновеликих проекциях от­резки линий по, наиболее искажаемым направлениям О не изменя­ют своей длины (с = 1 ).

‘ На картах в равновеликих проекциях можно измерять и сопо­ставлять площади, используя для получения площади в натуре только квадраты главного масштаба.

П р о и з в о л ь н ы м и н а з ы в а ю т с я т а к ие проек ции , в к о т о р ы х не с о х р а н я е т с я ни р а в е н с т в о углов, ни п р о п о р ц и о н а л ь н о с т ь площадей.

Бесконечно малые круги, взятые на эллипсоиде в этих проек­циях, в общем случае изобразятся на карте в виде эллипсов раз­личной формы и площади. По свойствам изображения произволь­ные проекции, в зависимости от задач, которые поставлены перед создателями карты, могут либо быть близки к равноугольным или равновеликим, либо обладать другими нужными качествами.

Из этого-типа проекций наибольшее распространение имеют равнопромежуточные и ортодромические проекции.

Равнопромежуточные проекции обладают тем свойством, что масштаб по одному из главных направлений равен единице: 0 = 1 или 6 = 1 (рис.. 1 0 ,6 ).

3 33

в некоторых случаях к равнопромежуточным проекциям при чнсляют такие проекции, у которых масшт 1 б а или Ь не равен еди нице, а является постоянной величиной. Т1о характеру искажени' равнопромежуточные проекции' занимают среднее положени между ,равноугольными и равновеликими проекциями. Равнопро межуточиост|^ несовместима ни с равноугольностью, ни с равнове дикостью. ' , ' ' I

§ 13. Классификация проекций по виду меридианов нормальнойсетки

Рис. 11 показывает перспективное изображение шара на кар тинной плоскости К — К параллельным пучком лучей, перпендч кулярным картинной плоскости (ортографичес5):ую проекцию) Как видно из зтого рисунка, географические меридианы и Парад лель, т. е. координ'атные линии системы с полюсом Р,'Ъ орто'гра фической .проекции изображаются картографическими сеткам! разного вида, из которых сетка на рис. 12,а имеет наиболее прос той вид. Этот вид изображения географических меридианов и па раллелен имеет в том случае, когда полюс Р географической сис темы совмещен с точкой Z пересечения изображаемого шара цент

; ральным проектирующим лучом. Иначе говоря, сеткой наиболее простого вида изображаются координатные линии системы с по люсок в точке Z-

Из данного частного случая ортографической проекции сдела ем обобщения для всех проекций вообще. Сетка наиболее прос того вида из всех, свойственных данной проекции, называете; н о р м а л ь н о й с е т к о й этой проекции. Та система, коорди натные линии которой изображаются нормальной сеткой, называ ется с и с т е м о й н о р м а л ь н о й для данной проекции. Иначе системой координат, нормальной для данной проекции, называете} та, в функции от координат которой выражаются плоские коорди наты изображений точек в проекции..

Применительно к' ортографической проекции нормальной сис темой сферических координат является система с полюсом в точк( Z, а сетка на рис. 12,а является нормальной сеткой ортографиче ской проекции. В случае совмещения полюса Р географическо! системы с полюсом Z пор^мальной системы, плоские полярные ко ординаты (р, со) изображения М' выражаются следующей функ цией от географических координат (ф, X), явл1яющихся нормаль ными для изображаемой точки М: . '' ,

p = i? c o s ф; 03 — Я,

где/? — радиус изображаемого шара.,34 , ' :

Р ис. 11. П р и м ен ен и е ор топ р аф и ч еск ой проекции в норм альном {а),. поперечном((з'; и к осом (в)п олож ен иях.

Вообще, если полюс Р географической системы совмещен с по­люсом Z нормальной системы, то географические меридианы и па­раллели изо|бражаются в проекций н о р м а л ь н о й , ( п р я м о й ) с е т к о й этой проекции (рис. 12,а). '

Р ис. 12. Н орм альная (а), попереч н ая (б"), косая (в) сетк и ор тогр аф и - ч еск ой проекции.

Если Р 2 = 90°, то географические меридианы и параллели изо­бражаются в проекции п о п е р е ч н о й с е т к о й этой проекци!5 (рис. 1 2 ,6 ,1 . X ’

Если О < PZ <^90°, то географические меридианы и параллели изображаются в проекции к о с о й с е т к о й этой проекции (рис. 12,в).

Соответственно говорят о применении проекции в нормальном (прямом), поперечном пли косом положениях.

Как видно из рис. 11, бесконечно малая (а практически просто малая) обл'асть вокруг точки Z параллельна соответствующей об­ласти вокруг точки Z', т. е. изображается в ортографической (и вообще любой другой перспективной) проекции без искажений. Следовательно, выбором положения точек Z можно достичь изоб­ражения области вокруг нее с малыми искажениями. В зависи­мости от положения точки Z относительно полюса Р географиче­ской системы приходится применять проекции в нормальном, по­перечном или косом положениях.

Заметим, что точки Р я Z могут служить полюсами совершение аналогичных систем координат только на шаре; поэтому только шар можно изобразить в проекциях, применяя их в поперечном и косом положениях,

В основу классификации картографических проекций кладут вид нормальной сетки-

По виду нормальной картографической сетки все проекции де­лятся на следующие классы: круговые, конические, псевдокониче­ские, поликонич^ские, цилиндрические, псевдоцилиндрические

36

азимутальные (частным случаем ’ которых являются перспектив­ные) и производные.

Круговые проекции. В этих проекциях меридианы и параллели нормальной сетки я в л я ю т с я окружностями. Средний меридиан и экватор — прямые взаимно лерпендикулярные линии, делящие изображение шара на четыре равные части.

Наибольшее распространение из круговых проекций получила ш а р о в а я , или г л о б у л я р и а я, проекция (рис. 13).

Из других круговых проекций для построения мировых карт применяются р а в н о у г о л ь н ы е п р о е к ц и и Л а г р а н ж а и Г р и и т е н а (рис. 14).

Р ис. ’ 3. К артограф и ческ ая с е т ­ка в глобулярн ой п роекции. ,

Рис. 14. К артогр аф и ч еск ая сетка в п р оекц и и Г ринтена.

Конические проекции- В конических проекциях параллели нор­мальной сетки являются дугами одноцентренных окружностей, ме­ридианы — радиусы этих окружностей, сходящиеся в центре под углами, пропорциональными соответствующим разностям долгот (рис. 15).

Вид сетки конических проекций вызывает представление об , их по­лучении в результате развертки на плоскость разрезанной по образую­щей поверхности конуса,' на которую предварительно спроектировали географические меридианы и парал­лели изображаемого тела. Употре­бительные конические проекции во­все не получаются через перспекти­вы на конус, заимствуя, однако, их терминологию. Так, говорят о про- е ^ ц и я х на к а с а т е л ь н ы й ко-

Рис. 15. Вид картограф ической сетки в прям ой к онической

проекции.37

нус, когда наименьшее увеличение по параллели, называемой условно пар аллелью касания , равно единице (рис; 16,а). ГО|Ворят о проекциях на с е к у щи й конус, когда наименьшее увеличение по параллели меньше единицы, а по двум параллелям, называемым условно п а р а л л е л я м и с'ече^ния, равно еди­нице (рис. 16,6), . ' '

Мы знаем, что географические меридианы и параллели изобра­жаются нормальной сеткой проекции тогда, когда полюсы геогра­фической системы совмещены' с полюсами системы координат, нормальной для данной проекции. По рис. 16 видно, что в виде

Рис; 16. Г ео м етр и ч еск о е п редстав л ен и е к онических п р о ек ­ций: в — на .к асател ь н ом к о н у с е “; ^ — на „сек ущ ем к онусе" .

нормальной сетки конической проекции изображаются координат­ные линии системы с полюсами в точках Z и 1 ' пересечения'шара осью конуса. Соответственно говорят о н о р м а л ь н о й (п р я-

Р ис. 17. П рямая (я), п оп ер еч н ая , (б) и косая (в) к он и ч е­ская проекции.

38

[ОЙ) п р о е к ц и и эллипсоида вращения или шара, а также оо п е р е ч н о й или к о с о й к о н и ч е с к о й п р о е к ц и и шара

рис.. 17)- , . 'По характеру искажения конические проекции могут быть рав-

юугольными, равновеликими и произвольными.Конические проекцирг имеют большое практическое значенче

ipn создании очень многих 'карт, в основном мелкого масштаба 'от 1 : 2500 000 до 1 ; 4000 000).

В равноугольной конической проекции составлены карты Кар- кого и Баренцева морей в Большом Советском атласе, физиче- кая’ и политическая карты Европы. Большинство научно-справоч-

1ЫХ и учебных карт частей СССР и отдельных зарубежных стран юставлены в равноугольны.^, равнапромежуточных и равновели­ких конических проекциях.

В р а в и о п р о м е ж у т о ч н о й п р о е к ц и и В. В. К а в р а й- : к ог о прстроены карты СССР масштаба 1:2500 000, гипсомет­рические, физические, климатические и другие карты Советского Союза, Европы и Северной Америки.

Псевдоконические проекции. В этих проекциях параллели изоб- эалоются дугами одноцентренных окружностей, а меридианы — кривыми линиями. Средний (осевой) меридиан сетки, к востоку и западу от которого , ведется счет долгот, — изображается прямой.

Р ис. 18. Вид к артограф ическ ой сетки в псевдок ои и- ч еекой проекции Бонна.

39

По характеру искажения псевдоконические проекции подраз­деляются на равновеликие и произвольные. Дл.ч построения к^рт з этих проекциях поверхность Земли принимается за поверхность шара.

Наибольшее распространение из этого класса проекций имеет р а в н о в е л и к а я п р о е к ц и я Б о н н а (рис. 18). В проекциях Бонна в свое время была составлена трехверстная карта Европей­ской части России. В этой же проекции построены топографиче­ские карты Франции масштаба 1 ; 80 000.

Поликонические проекции. В поликонических проекциях парал­лели нормальной сет-ки являются дугами окружностей, центры ко­торых расположены на среднем прямолинейном (осевом) меридиа­не сетки, от которого ведется счет долгот. Остальные меридианы— кривые.

П р о с т а я п о л и к о н и ч е с к а я п р о е к ц и я (рис. 19) по свойствам изображения является произвольной- Главный масштаб сохраняется по среднему меридиану (то=-^1 ) и по всем паралле­лям (п=1). По мере удаления от среднего меридиана искажения увеличиваются, поэтому проекция выгодна для изображения стран, вытянутых по меридиану. .

Рис. 19. Картографическая сетка в прострй поликонической проекции.

40

е

Р ис. 20. К артограф и ческ ая сетка в цили ндри ч еской проекции.

в простой поликонической проекции составляются крупномас­штабные морские и топографические карты в США. Эта проекция положена также в основу при построении карт масштаба I : 1 000 000. Для составления карт, мира испрльзуется полйкониче- ская проекция ЦНИИГАиК-

Цилиндрические проекции. В этих проекциях параллели нор­мальной сетки — прямые линии, параллельные экватору. Мериди- cu-гы также прямые, перпендикулярные параллелям. Расстояния между меридианами пропорциоиальиы .разностям долгот (рис. 2 0 ).

Сказанное в отношений конических проекций справедливо и в отношении цилиндрических. Наиболее употребительные цилиндри­ческие проекции вовсе не получаются через перспективы на ци- ЛР1НДР, хотя и заимствуют их TepMHHOvTornro.

Проекциями на к а с а т е л ь н ы й ц и л и н д р условно назы­ваются такие цилиндрические проекции, у которых наименьшее увеличение по параллелям, имеющее место по экватору, равно еди­нице (рис. 21,а). Проекциями, на секуптий цили' пдр назы­ваются такт цилиндрические проекции, у которых наименьшее увеличение по параллелям (на экваторе) меньше единицы, а уве­личение равно единице на двух параллелях, условно называемых ; п а р а л л е л ям и с е ч е н и я (рис. 2 1 ,6 ).

Из рис. 21 следует, что в виде нормальной сетки цилиндриче­ской проекции изображается система координатных линий с .по­люсами в точках Z и Z' пересечения шара осью цилиндра. В зави-

а) б)

Рис. 21. Г еом етр и ч еск о е п р едста в л ен и е' цилиндрической проекции,

а — на „касательном цилиндре"; ff— im ,с е к \щ е м цилиндре".

42

имости от расположения точек Z и Р получают нормальную (пря- 1ую) цилиндрическую проекцию эллипсоида вращения или шара рис. 2 2 ,а), ил1'Г .поперечную (рис. 2 2 ,6 ), или косую (рис- 2 2 ,в) ци- [индрические проекции шара. ' '

CL) б)

Рис. 22. Прямая (а), поперечная (о) и косая (в) цилинд­рические проекции.

По .характеру искажения цилиндрические проекции могут быть равноугольными, равновеликими и произвольными. Сравнивая конические и цилиндрические проекции, мрж«о видеть, что послед­ние являются частным случаем конических проекций, когда углы между меридианами обращаются в нуль, а меридианы и паралле­ли обращаются в системы взаимно перпендикулярных прямых.

Из большого количества цилиндрических проекций наиболь­шее распространение получили морские карты в п р ямо й рав­н о у г о л ь н о й ц и л и Н д р и ч е с к о й п р о е к ц и и М е р к а- тора.

Необходимо отметить, что подавляющее большинство проекций карт I и П томов Морского атласа составлены именно в проекций Меркатора.

Не меньшее практическое применение имеет проекция эллип­соида вращения, которая, будучи применена для шара, обращает­ся в поперечную равноугольную цилиндрическую проекцию. Она называется п р о е к ц и е й Гаусса. . В этой проекции строятся все трапециЕ топографических карт СССР в масштаба^ крупнее1 : 500 000. Проекция Гаусса лежит в основе применяемой в геоде­зии системы плоских прямоугольных координат.

Псевдоцилиндрические проекции. Здесь параллели нормальной сетки являются параллельными прямыми, а меридианы, заисклю- лением прямолинейного осевого, представляют собой кривые.

, Из этого класса проекций широко прйменяюТся для составле­ния мировых карт равновеликие и произвольные проекции. Напри­мер, р а в н о в е л и к а я , с и н у с о и д а л ь н а я п р о е к ц и я

43

Сан с о н а (рис. 23), р а в и о в е л и к а я э л л и пт и ч ес к а я п р о е к ц и я Мо л ь в е й д е (рис. 24), п р о и з в о л ь н а я псев- д о ц и л и н д р и ч е с к а я про-екц' ия Ц Н И И Г А и К (рис. 25), р а в н о в е л и к и е п р о е к ц и и Эккерта , п р о и з в о л ь н ы е п р о е к ц и и К а в р а й с к о г о , У р м а е в а и многие другие.

Р ис. 23. К артограф и ческ ая сетк а проекции С ансона.

Рис. 24; К артогр аф и ч еск ая , сетка проекции Л^оль- \ вейде.

Азимутальные проекции. В этих проекциях параллели нормаль­ной сетки являются одноцентренными .окружностями; меридианы- радиусы этих окружностей, сходящиеся в центре под углами, раз­ными разностям соответствующих долгот в натуре.

Эти проекции являются частньши случаями конических проек­ций.

■ На практике часто применяются азимутальные проекции в по­перечном положении (экваториальные) и в косом положении (го- ризонтные). В поперечных и косых сетках меридианы и параллели в общем случае кривые линии.

44

Рис. 25 . К артогр аф и ч еск ая сетк а п р оекц и и Ц Н И И Г А и К.

4СП '

, Азимутальные проекции имеют широкое применение в карто­графии, особенно это относится к равноугольной (стереографиче­ской)., проекции, р а в н о в е л й к о й п р о е к ц и п Л а м б е р т а и

а в н о п р о м е ж у т о ч и о й а з и м у т а л ь н о й п р о е к ц и и Л о с т е л я. .

Перспективные проек­ции. Это азпмутальныг проекции, которые полу­чаются Аутем перспектиР5- ного проектирования ша­ровой поверхности зеМли на картинную плоскость; луча'ми из постоянной точки зрения.

Точка зрения лежит на .'перпендикуляре к картин­ной плоскости, проходя- ш,им через центр шара (рис. 26).

В зависимости от раз­мещения картинной пло­скости относительно изо­бражаемого шара перс- пективныё проекции де­лятся на три группы (рис. 27а, б , в):

1 ) прямые, нормаль­ные или полярные, в ко-

Р ис. 26. Г еом етр и ч еск о е п р едстав л ени е п ерспективны х n p o e n u ip .

торых картинная плоскость параллельна земному экватору;2 ) поперечные или' экваториальные проекции, у которых кар­

тинная плоскость ^параллельна плоскости любого из меридианов;3) косые или горизонтные проекции, у которых' картииная

плоскость параллельна горизонту какой-нибудь точки на шаре.

I

46

1 Р'ис. 27.: П олярная (а ), экваториальная (ff) и горизонтная (в) пер спекти вн ы е проекции.

в зависимости от положения точки зрения перспективные про­екции делятся на четыре вида: .

Рис. 2S. К артограф и ческ ая сетка в п р ои зв одн ой проекции (п р о ек ­ция А й това— Г ам м ера).

1 ) ортографическая проекция, у которой точка зрения удалена в бесконечность;

2 ) внешние проекции, у которых точка зрения , находится на конечном расстоянии;

3) стереографическая проекция, у которой точка зрения нахо­дится на проектируемой поверхности;

4) центральная или гномоническая ,проекция, у которой точка зрения расположена в центре изображаемого шара.

По характеру искажений перспективные проекции могут быть равноугольными и произвольными. ■

Наибольшее применение из перспективных проекций имеют центральная и стереографическая проекции в прямом, а также поперечном и косом полол<ениях. ■

Производные проекции. Эти проекции и создаются на основе одной или нескольких типовых проекций.

Характерными примерами этого класса проекций могут слу­жить р а в н о в е л и к а я п р о е к ц и я - А й т о в а— Г а м м ер а, которая получается из поперечной равновеликой азимутальной проекции удвоением всех долгот и ординат (рис. 28); или р aвнo- y г о л ь н о-р а в н о пр о м е ж у т о ч н а я ц и л и н д р и ч е с к а я п р о е к ц и я К а в р а й с к о г о , составленная из двух цилиндри­ческих проекций — равноугольной и равнопромежуточной.

, 47

КОНИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ

1§ 14. Общая теория

г л а в а I I I

Изображения точек в конических проекциях удобно определять в плоской п о л я р н о й системе ко,ординат: полярным углом б и радиусом-вектором р; полюсом системы плоских полярных коор­динат при.нимается точка 5 схождения меридианов (рис. 29).

а) б)

Р ис. 29. Т рапеция на зем ном эл л и п сои де A B C D (а), .и зо б р а ж ен и е A ’B 'C ’D^ этой трапеции в -к он и ч еск ой

проекции {б).

Плоские полярные координаты определяются уравнениями их зависимости ■ от координат в нормальной системе, каковыми при проекции в нормальном положении (рис. 29) являются географи­ческие координаты ф и л = L — Lq, где X— прираще'ние долготы L меридиана изображаемой точки М относительно долготы Lo мери­диана, начального для счета долгот . ^

Ь — аХ, (3.1)

где S — угол между изображениями меридианов Lo и L; а — коэффициент пропорциональности долгот, постоянный для

48

каждой проекции;, радиус-вектор р является функцией широты, по­этому можно написать

Р=/(Ф).' (3.2)

Вместе с тем р — радиус окружности, изображающий параллель с широтой ф.

Вид функции р = /(ф) зависит от того, какую проекцию необ­ходимо построить: равноугольную, равновеликую или произволь­ную. t

Выведем формулы масштабов по меридианам и параллелям, общие для всех ,конических проекций. Для этого рассмотрим на земном эллипсоиде бесконечно малую трапецию ЛВС/) (рис.29,а), которая в проекции (рис. 29,6) изобразится плоской трапецией A'B'C'D'. Точка Л на местности будет иметь координаты ф и %. Идентичная, ей точка А ' на плоскрсти имеет координаты S и р.

Известно, что отношение сторон плоской трапеции Л'В'С'£)' к соответствующим сторонам сфероидической трапеции ABCD дает частные масштабы проекции.

Из определения частного масштаба следует, что масштаб по меридиану будет равен ’

А 'В '1/71— ’ (3,3)

где Л'В' — линейное приращение радиуса параллели ф; АВ ^ длина дуги меридиана, которая, согласно формуле (1,9), равна Mdif. Подставив значения А 'В ' и АВ в формулу Масштаба по ме­ридиану, получим

(3,30

В формуле (3,3) поставлен з.нак цинус из-за того, что с увели­чением широты ф радиус параллели 0 будет уменьшаться, т. е- по­ложительному приращению с?ф соответствует отрицательное пр|и- ращение — dp.

Из гл. I § 9 известно, что увеличение масштаба по меридиану /л равно отношению частного масштаба |Лд, к главному j o. Поэтому можно написать

Масштаб по параллели представим как отношение

A ' t ) ' ;a d ’

4 / .49

где A'D' — дуга окружности радиуса р, которай стягивает уго db. Следователь'но, ;

A'D' = pdb.

AD представляет собой,дугу параллели и на основании форму лы (1,13) будет равна Л ^

^ - 'AD = N cos if d%.

Подставив значения A'D ' и AD в формулу масштаба по парал лели,- полу^^им ■ , , • . , , .

' '

' ^ COS/f^A

но аЯ; тогда уравнение (3,5) можно переписать,в сл.едующе> виде

___ a d'K -Л 'созфс/а ■

Сократив на d%, окончательно имеем ,

“Р ю с\’- п ~ —г ,— ----- • (3,0" NCOS’S - - \ ’

Увеличение масп1таба по параллели л по аналогии'с (3.6) .бу­дет равно '

. ол'■ ' \^qN cos !р

или

ао . . ■. / . - \ : . - Л З -)

так как > .

' ’ r ==N cos ф. ^

В конических проекциях меридианы и параллели взаимно пер­пендикулярны, поэтому г л а в н ы е н а п р а в л е и и я с о в п а- д а ю т с н а п р а в л е н и я ми- м е р и д и а н о в и п а р а л л е ­лей и масштабы по ним будут, иметь наибольшее и наимен зшее значения из всех'возможных в Данной точке. Тогда и увеличение плошадей будет выражено следующим уравнением;

р = т п ’ (3.8)

SO , ■ /Г ^

а наибольшее искажение углов и определится из выражения

tg (4 5 ° + -- V b

(3,9)

где при л > т а = п, Ь = т или при п<.т а = т, Ь = п.Как было сказано в § 13, если наименьшее увеличение по па­

раллелям Пй = 1 соблюдается по некоторой параллели фо, то проек­ция называется проекцией на касательный конус, а параллель фо называется п а р а л л е л ь ю к а с а н и я . Если наименьшее из увеличений по параллелям ло<1 соблюдается на параллели фо, существуют две параллели ф1 и фг, по которым увеличения П\ = П2 — \, называемые п а р а л л е л я м и сечен и-я, ■ то проек­ция называется проекцией на секущий конус-

Определим значение коэффициента пропорциональности при условии, чтобы масштаб по заданной параллели фо был бы наи- меньшим-

Продифференцируем уравнение (3,7) по X. Это можло. сделать,

так как р и /•'зависят от широты, а cлeдoвateльнo,' и от Z = j- Mdcp.

Тогда получим

dndp

~ d T•г— р

d r

dXd X ' [Xq

Из риС; 30 видно, чтоdrdX-

= — sin ф. Знак минус перед sin ф поставлен из-за того, что положи-

. тельному приращению соответ­ствует отрицательное приращение dp. На основании (3,7) можно папи-

dpсать, что т|хо = -дг;?- или, что то

же самое, тцо = -;> V ’ поэтому

dpdX

M d f dp

d X

-\xom. Откуда

dn~dX~ 10

Р и с. 30. П р и р ащ ен и е р а д и у са параллели на эл л и п со и д е .

■ • • 1.-Иоягг-f-p sin

■ Приравняем эту производную нулю, для чего достаточно, что­бы числитель был равен нулю. Тогда получим для параллели фо;

р,оГПоГо =- ро sin фо,4*=. 61

где индекб, -^ноль» (означает функции от широты фо. Отсюда -

sin ?о ' ,

Но г = i V cos ф ; следовательно;

ра = Ио' оА'о ctg фо. (3,10)

Из уравнения (3,7) определим величину а: , '

__ cos ср. . ■ , ' ' ' , р

Подставив (3,10) в последнее выражение, окончательно .полу­чим ; ■ '

а = — sin 'fo- (3,11)

Наоборот, наименьшее увеличение . о имеет место по паралле­ли фо, определяемой условием

sin®o— «- (3,12)Щ

В случае изображения шара формулы масштабов и увеличений примут следующий вид:

^0 'масштаб по меридиану ---- (3,13)

dpувеличение масштаба по меридиану ,тп=-------(3,14)

■?

i масштаб по параллели ц (3,15)‘ " /? cos<p г ’ '

увеличение масштаба по параллели п— — — = — ------; '(3.16)

параллель фв с наименьшим увеличением sin ® о = -^ (3,17)

- Определение конкретной .конической проекции— равноугольной, равнопромежуточной, равновеликой — треб,ует зна,ния двух произ­вольных постоянных. Одна из них а — коэффициент пропорцио- нальцости долгот на карте и в натуре; вторая получается в рз-

52 , '

зультате интегрирования уравнения, получаемого; из (3^2), а именно:

d p = f ' { ( p ) d i p .

Произвольные постоянные находятся, исходя из условий, предъявляемых к проекции; прежде всеГо устанавливают — г выби­рается 'проекция на касательный или секущий конус., Дело в том, что полоса вдоль параллели фо изображается в постоянном масштабе, так как вблизи минимума функция (мас­штаб, увеличение) меняется медленно. Поэтому, если принять /?о=1, то пояс по обе стороны от параллели фо изобразится с ма­лыми искажениями. Значит, проекции на касательный конус вы­годны для изображения, узких полос, вытянутых вдоль параллели, если параллель фо выбрать между крайними параллелями фдг и

полосы- Произвольные постоянные при этом определяются ус­ловиями: i

1) «0 = 1 и заданием значения парадлели фо, взяв, например,

(срдг-!--? ) округлении полученного при этом значе­

нии фо его следует взять ближе к северной параллели2) Ло=и но значение параллели касания фо не задается, а под­

чиняется требованию, равенства = увеличений на крайних параллелях фдг,и Фз .

В проекциях на касательный конус разность между наиболь­шим увеличением (на крайних параллелях полосы) и наи­меньшим /?о=1 может превысить допустимую величину при зна­чительной ширине n ^ — n g полосы. Разность п — п можно уменьшить, распределив ее по обе стороны от единицы и применив проекцию на секущий Конус, т. е. взяв «о<1-

Произвольные постоянные проекции на секущий конус опреде­ляются условиями;

1) заданными значйниям'и ф[ (северной) и фг (южной) парал­лелей сечения, по которым « 1 = П2 = 1 ; параллели сечения выбира­ются на одинаковом удалении по широте от крайних параллелей;

_ А

Iгде А = ---- доля разности широт Д, для вытянутых по-

I Iлее принимаемая

К ~ 7 '

■ \ 53

2) равенства увеличений пд^=й5 на крайних параллелях и ра­венства уклонений'.от единицы наибольших и , наименьшего увели­чений; второе условие можно выразить по-разному:

а) Ядг--1 =Я 5 — 1=:1— -Яо или ■

«я Ч , 1®> - г = - г : = — ■ ;

§ 15. Равноугольны е конические проекции

Условие равноугольности — равенство, наибольшего с й наимень­шего 6 увеличений в каждой точке проекцииприменительно к коническим проекциям, у которых меридианы и параллели ^— глав­ные направления, выражается равенством т = п. Поэтому на осно­вании формул (3,4) и (3,7) можно написать

т = п = — 4 У - = ----- ----- ------ . (3,.18)[ЛдЛ/ COS ср

Найдем из этого выражения, чему равняется радиус параллели Ф па проекции. Для этого уравнение (3,18) запишем в следующем виде;

rfp _ ^ УИ^ср

Р N cos с? ’

Подстави1Уг,вместо М и их значения из формул (1,6 и 1,7)

dp ^ (1— g^) ( 1— si n ^ср) /2, rfcpо ( 1 — g^sin^cp)®/^ cos ср ■

После сокращения будем иметь

do 1—-4—= — ж<-

1— g ^ s i n ^ c p COS ср.

где dp — бесконечно малое изменение радиуса параллели, соответ­ствующее бесконечно малому изменению широты с?ф.

Преобразуем правую часть этого выражения, умножив в числи­теле н а 35^2 ф _|_ Ф = 1. Тогда

rfp а[1— e-(sin^cp4- соз 'сд)] rfcp1— e ^ s i n '^ c p cos ср

doа(1— sin ср) ^ ае[е cos ср)

1— e^sin^c? 1— e®sin*cp cos ср

54

После сокращения подобных членов можно написатьdfj я

V COS со.е‘ cos ср

1 — е® siri^ ?

Проинтегрируем это уравнение

dtj " dr:.Cos

■ie (3,19)

Обозначим:е sin.^ = sin г];.

Продифференцировав это выражение и заменив значение функ­ции ф на д|;, получим .. \ 'V ' . е cos ф с/ф = со8 ф Aji.

Возведем е sin ф в квадрат и вычтем найденную величину из. единицы

1 — e2sin^9=l — sin '»|) = cos

Заменим в уравнении (3,19) величицы ес03фс?ф_и 1— е2 51п“ ф ■ их выражениями через i|:. Тогда

Г '■---- ^ +ае -----г'-— .cos о I cos ,

(3.20)

Интегралы правой части уравнения (3,20) можно брать как табличные типа

dx=ln ik

/ ти ( - 4 - +

• В.результате интегрирования получим:! -г гг '''

]п р=^--'а In tg 4- in tg -1-ln k,

где In к — постоянная интегрирования.Так как,разность логарифмов равна логарифму частного, ту

In - f - = — а In k

( ~ г + ~ т

tg<4 2

Обозначим

tg

t rY

55

тогда

In тг-т= — а In V = In к

^ ’ i

откуда радиус параллели *

Р = - ^ . , (3,21)

Для экватора ф = г|5=0, (7=l = f7*, так что для изображения экватора р кв иначе говоря, постоянная интегрирования есть радиус экватора. Поэтому формулу (3,21) можно переписать ввиде

(3,210

Величины V, Ig f/, Iglgt/ берутся из Картографических таблиц■ ПО аргументу ф.

Для вывода формулы увеличения масштаба возьмем уравне­ние (3,7) и подставим в него значение р:

' (3,22)cos ® f/*Увеличение нлош,адей в равноугольной конической проекции

р = п \ (3.23)

Величина коэффициента пропорциональности а вследствие ра­венства m и « на основании формулы (ЗД2) равна

а = з1пфо. (3.24)

' Для построения сетки в равноугольной конической проекции, кроме а, необходимо определить величину постоянной рэ*в •

При; изображении ,на конус с заданной широтой фо параллели касания увеличение по параллели касания Ло=1- Подставим вформулу (3,22) вместо По единицу

: арЭКВ ' : --1 " .

' П о с л е п о т е н ц и р о в а н м я б у д е м н м - е т ■

* При ф =90*.р=0, т. е. .в равноугольной конической проекции полюс изоб­ражается точкой,схождения меридианов.

56 -

Заменим а его значением из уравнения (3 ,24), тогда

sin УоРэкв 1.

Отсюда

или

РоЛ о GOS о*

\i o N q c o s f o U pPaw sm ®o

.uoA octgcpo t o*- , (3,25)

В случае секущего конуса с заданными параллелями сечения Ф1 (северной) и фг (южной) увеличение масштаба по каждой из этих параллелей долн^но быть равно единице. Тогда ; -форйула(3.24) примет вид: '

«2=

cos =1;

= 1.(3,26)

\I-bN2 cos 2^2'. Вследствие равенства правых частей уравнения (3,26) можно

переписать

«Р.КВ __ “Рак.[ lo A 'i COS 9 i £ / i ^ c o s - f a f / j * '

После сокращения и преобразования получим

и , N 2 cos <?2

\ IJ 2. ' ) ~ N , coscpi ■

Логарифмирз'я выражение (3,27), определим а: j

сс = [IgUi — Ig U2 ) = lg(A^2 cos Ф2 ) — lg(iVi cos cpi).

Окончательно

>g(A^2 eoscp2)— lg (Л cos'fl)

Постоянная рэ^в может быть определена из уравнений (3,26)

|д.оА/, cosа

H.0 /V2 cos СР2 0 /- (3,29)

57

Выведенные. .формулы /Дашх воэмбаснасть,.. поетроить. равно- угольную коническую проекцию.

Ниже приводятся номера формул, необходимых для расчета:(3.1)— долгота на карте, '(3.21)— радиус параллели, , ■(3.22)— увеличение масштаба по меридиану и параллели,(3.23)— масштаб площади . ' ' .._ .при «касательном конусе» с заданной'широтой фо параллели

касания: ■ •’(3.24)— коэффициент пропорциональности,(3.25) — постоянная интегрйровапия ■-при «секущем конусе» с заданными параллелями ф} ,и ф2 сече­

ния: ,(3.28) — коэффициент пропорциональности, .(3.29) — постоянная интегрирования. , ,. ..Не следует думать, что если даны формулы для определения

постоянных величин а и Рэвв , то опи известны. Эти величины надо задать и, в зависимости о,т условий-, будут получаться те или иные

;виды. равноугольной конической проекции. Например, если > Рэ„в=оо , то получим проекцию Меркатора, при а = 1 — стереогра­фическую проекцию (эти проекции являются частным случаем равноугольных конических проекций). При а<1. получаются раз­личные типы равноугольных конических проекций.

Постоянные проекции а и р„в определяются принятием' како­го-либо из тех условий, какие были указань! в конце предыдущего параграфа- Пример определения а и р«в для двух условий зада­ния проекций на касательный и секущий конусы были только что рассмотрены. — - • '

При изображении в равноугольной конической проекции шара выведенные ранее формулы для определения гп, п, р и рэкв будут выражены более простыми уравнениями.

Для вывода формулы радиуса параллели воспользуемся урав­нениями увеличения масштабов по меридиану и параллели (3,14) и (3,16). Поскольку проекция равноугольная,, то т = п,-т. е.

i ' - ' / ' / . ; ■ • V •

cos

отсюда

fj-o cos cp

После сокращения получим

do doCOS Ф

58

Проинтегрируем правую часть уравнения фт экватора до за-|,анной широты ср, а левую от'р, до-р,эЕв : ■

Р ■

do

Рэкв

После интегрирования имеем/

1ЛИ

Рэкв _Р ~~

Отсюда радиус параллели будет равен

/экв’ (3,30)

Для определения увеличения масштаба т ~ п и постоянных аI Рэив воспользуемся уравнениями (3,22), (3,24), (3,25) и (3,29), заменинв в них величины Ni,- N q и соответственно величинами

и tg'-" |^45°+-^j .Тогда

a = sin фо;

т=п=с/. PssB

lAo/?COSC5tg’ 45° + - “-\ Z I

(3.31)

(3.32)

для-конуса с заданной нтиротои фо параллели касания

. Р,кв=Р-о ctg с?о ig" (3,33)

для секущего конуса с заданными параллелями ф1 и ф2 сечения

___________ Ig cos Уз— Ig cos tpi_____‘

lg tg 4 5 ° + -^ - I g t g 45'■>

2

59

cos ®i tg* ( 4 5 °Рак*' ■*

\)-oR cos 92 (^45°-+P,.,— - -

(3,34)

Пример I. Вычисление равноугольной; конической проекции на касательном конусе.

• Условия вычисления проекции; главный масштаб карты . йо = I,: 5 ООО ООО, территория ограничена меридианами ^ ij7 = 70°0®‘ и ^Qst =12(1°О®* , параллелями q>s=30°N, ф ч4=?0°Ы, параллель касания фо = 50°К, средний' меридиан карты Яо = 95°0®* . Меридиа­ны и параллели провести через 5°.

Решение-1. Вычислим постоянную проекции а, которая для случая каса­

тельного конуса равна: a = sin^o=?=sin 50°; Iga — Igsin 50° == 9,884254; а = 0,766045.

2., Рассчитаем, вторую постоянную проекции Рзкв :

Рэкв =.Л о ctg Фо f/o; 1 g,(/о = 0,436704;IgPsM = 1д(Л^ос1§фо),+a lg С/о; « = 0,766045;

lg(Л?octgфo) = 6,729369 а Ig = 0,334534

lgP3„ = 7,063903 ~

при выражении рэ в л.Для получения всех радиусов параллелей в см и,в масштабе

карты рэк» следует разделить на знаменатель численного масшта­ба и умножить на 100;

lgPs.« = 7,063903 lg 2 -10,-5 = 5,301030

“ lgp3,« = 2,364933.

3. Рассчитаем полярную координату б = аА-, где Л — заданная разность долгот, в нашем случае А = 5° = 18 ООО"; lg6 = lg a -f Ig V'';

lga== 9,884254 , ГIg Г = 4,255272

' 14Д 39526

б" = 13799" или б = 3°49'59"

60

Получив полярную координату б, определим пЬ и необходй-

ДаИныемые для вычисления прямоугольных координат х и у, сведем в табл. 3. -

Т а б л и ц а 3

\

пЬл82

5° 3°49'59" 1“55'00"10° 7°39'58" 3°49':5Ч"15° М °29'57" б°44'58"20° 15°19'56" 7 '39 '58"25° 19°09'55" 9°34'5S"

4: Вычислим полярную координату р по формул^ р= ^ или

lgp = lgp 3KB — a l g U . Данные вычисления сведем в табл. 4.5. Вычислим увеличения т = п и увеличенЯя -площадей р по

формулам: " '

р= п? ,и

Igra = Iga + Igp,

м .

A^cos®U* '

+ доп. Ig.iVcos ср + доп. (а I f U)

для всех широт ф (табл. 5).6. Рассчитаем прямоугольные координаты х ш у точек пересече­

ния, меридианов'И параллелей по формулам, общим для всех ко­нических проекций:

х = р c o s «о==р— 2 р s in *по

(3,35)

у = р> sin п о .

при начале координат в точке схождения меридианов, оси абсцисс по направлению меридиана ?о = 95° с положительным направле­нием вниз.

Вычисление производится на арифмометре. Для вычисления на барабан арифм.ометра ставят 2р и последовательно, умножают

на s in ^~ . При вычислении г/ на барабан арифмометра ставят зна­

чение р и умножают последовательно на все значения sintt6. Зна­чения X и у сведены в табл. 6.' . ■ ' : '

#1

Таблица 4

Ш и p 0 T i1 /Формулы

_30° 35° 40°- ' 45° 50°‘ ' й ° 60° -- 65° 70°

IgC/a l g VIg рэкв

IgPp, CM

0,2371060,1816362,3649332,183299152,510

0,281855 .0,215914 2,364933

2,149019 . 140,935

0,3294570,25237.92,3649332,112554129,585

0,380718 ■ 0,291647

2,364933 2,073296 118,382

0,4367040,3345352,3649332,030398107,250

0,498893 ■ 0,382174

2,364933 1,982759 96,108

0,5694270,4362062,3649331,92872784,865

0,651605 0,499159 2,384933 . 0,865774 73,413

0,750944 0,575257 . 2,364933 0,789676 61,652

Таблица 5

Формулы.Ш . и Э 0 T a tp

30° 35° 40° 45° 50° 55° 60° , 65° 70°

' ' g “+ lg Рэкв доп. Ig (N COS ®)

доп. (я Ig U)

\gn-J- n

p

6,9481573,2574049,818366

6,9481573,9544569,784086

6,9481573,3104449,747621

6,9481573,3450869,708353

6,9481573,3863779,665465

6,9481573,4357309,617826

6,9481573,4952369,563794

6,9481573,5681539,500841

6,948157 3,659960 9,424743 ■

0,023927 . 1,057

1,112

0,0136991,0321,065

0,0062221,0141,028

0,0015961,001■1,002

9,9999991,0001,000

0,001/131,0041,008

0,0071871.0171,034

0,0171511,0401,082

0,0327601,0791,164

V Ig «=9,884254 Ig Рэкв=7,063903

Ig Рэкв=б,948157.

■|П1рймер 2. Вычисление равноугольной конической проекции на секуш.ем конусе

Условие вычисления; главный масштаб 1 ; 5 ООО ООО, террито­рия ограничена меридианами К,^=70°, A,Qst = 120° и параллелями cps=30° и (р^=70°; параллели сечения ,ф| = 40°, ф2 = 60°, осевой ме­ридиан 95°; разность широт и долгот сетки равна 5°.

Р е ш е н и е . ,1. Вычислим постоянную проекции а .по формуле; ,

Ig (Wi costpi)— Ig (Л2 cos tpa) _

ig(yV, cos Ф,) = 6,689 556 \ g U i = 0,569 426 ' lg{A' 2 cos ф2 ) = 6,504 764, Ig U, = 0,329 457 ,

_ _ _ _ _ _ 5 = a239969

, , Iga = Ig /l — lg 5 ; .

1£Л = 9,2 666 832 Ig В = 9,380 1552

lg,a = 9,886 528’o'

■ . ' a = 0,770 066

2-^Рассчйтаем постоянную проекции по формулам;

__Л^1 cos tpif/i'" N 2 coscpgf a”Рэвв—- ■ ~~ ,я 0L

■Ig Рз:;в ="lg(A/: COS ф,) + а Ig Uy + доп.,Iga = rg(iV2 cos фг) + cclg [ / 2 + доп. Iga.

Для определения . найдем сначала значение a l g L ^ n a lg t / 2 :.

Ig C/i = 0,329 457 Ig U2 = 0,569 426g = 0,770 066 a = 0,770 066

a Ig t/i = 0,253 703, a Ig U2 = 0,438 496 ~

Вычислив значение a Ig f/, определим . Igpg^B в метрах;

lg(A/'i cos ф1) = 6,689 556 Ig (Л 2 cos Ф2 ) = 6,504 764 a Ig Ul = 0,253 703 a Ig J72 = 0,438 496

’ ' ДО:П. Iga = 0,113 472 ■ . дап. lga = 0,113472

IgP.BB = 7,056 73T”r.-.lgp,,« = 7,0567.^

' 63

Таблица 6

3НСО0 J г 0 т а 1

X ■ Xа§bS

й° ■5°9 0 -1 0 0 “

10°85 -1 0 5 °

15°8 0 -1 1 0 °

20°

7 5 - 1 15*25°

7 0 -1 2 0 °

2р и р

’ 30“ X±У

152,5100

152,16810,195

151,14620,345

149,45030,493

147,08440,326

144,05850,065

303,020152,510

35°, X±У

140,9350

140,6199,412

139,67518,801

138,10728,086

135,92337,265

133,12546,268

281,870140,935

40“ X± у

129,585 • . 0 '

129,2958,653

128,42717,287

126,98525,823

124 977 34 264

122,40342,542

259,170129,585

,45° X

±У118,382

0118,118

7,904117,324

15,792116,00623,590

114 17 ;31,302

111,82238,865

236,764118,382

50° X±У

107,2500

107,0107,160

Ю6.29214,307

105,09821,371

103,43228,359

101,30635,209

214,500107,250

55° X±У

96,1080

95,8926,425

95,24812,821

, 94,180 19,150

: 92,688 25,412

90,78231,552

' 192,216 96,108

60° X±У

85,060 0 '

1

84,8705,686

84,30011,347

83,35216,947

82,03222,491

80,34627,925

170,120 ■ 85,060

65° X±У

73,4130

73,2494,908

' 72,757 9,783

71,э!з914,636

70,80119,412

69,34524,101

146,82673,413

70° , X±У

61,6520

61,1144,121

60,7008,224

60,01412,291

59,05j816,302

57,83620,240

123,304 . 61,652

пЬsin2 2

sin пЬ — —0,0011190,066850

0,2044690,133400

1,

0,0100360,199366

0,0177960,264416

0,0277110,328294

П р и м s ч а н и е: величины Ig U, Ig N eo s ® и Ig N c tg w вы бираю тся соотвьт- ственно из К артографических таблиц.

'. Для получения всех радиусов параллелей в масштабе картй' ?; в сантиметрах надо р,кв разделить на знаменатель численного масштаба и умножить на 100;

Ig р экв == 7,056 732 ' L' : : Ig 2-10-®- 5,301 030 ’ ' ‘ .,,:л

,lgp.s 2,357 762

64

3. Вычислим полярную координату б по формуле б = а)ц где -заданная разность долгот. В нашем случае Я = 5° = 1 8 ООО"

Ig а = 9,886 5282 Ig Я = 4,255 273

Ig б" = 4,141 801 б" = 138 61" или б = 3°5Г01"

Зная значения б, определим величины «б и -^ , которые необхо­

димы для вычисления прямоугольных координат х и t/.. Данные сведем в табл. 7. ^ i

Таблица 7

X пЬпЬ-

~ Т

5° ■ 3°51'01" ' 1“55'3б'(10“ 7°42'02" , 3°51'01"15° - 11°33'03'' 5°46'32"20° 15°24'04"' 7°42'02"25® 19°15'05" 9°37'32"

4. Вычислим полярную координату р по' формуле >

отсюда lgp=^lgP9 KB — alg<7. Данные вычисления сведем в табл. 8.

5. Вычислим увеличения /п = л и , увеличения ' площадей р по формулам

т .~ п— ®РэквN cos

и

отсюда

Ig 'i “ Ig a -t- IgPsKB + дoп.lg(iVcosф) -к доп. (ft Ig (7), Iga = 9,886 528

Ig Рэкв = 7,056 731

Ig a + Ig p ЭВВ = &.943 259

Данные сведем в табл. 9.

65

Таблица 8-

Ш и ]р 0 т а ■ .<рФормулы

30° 35° 40° ^ 45° " 50° 55° 60° 65° . 7 0 °

\ g Ua \ g u2 РэквIg р

р

0;237106 0,182587 2,357762 2,175175

, 14.9,684

0,2818550,2170472,3577622,140715138,266

0,3294570,2537032,357762^2,104059127,066

0,3807180,2931182,3577622,064644115,783

0,4367040,3362912,3577622,021471105,069

0,498893 0,384180 2,357762 1,973582

94,098

0,5694260,438496,4,3577621,919266

83,036

0,6516050,5017792,3577621,855983-71,777

0,7509440,5782762,3577621,779486

60,185-

Таблица 9

Ш и - P 0 , 1 aФормул ы

. 30° .35° .40° 45° 50° 55° 60" 65° ,70°

Ig a + lg Рэкв , 6,943259 - 6,943259 6,943259 6,943259 6,943259 6,943259 6,943259 6,943259 6,943259ДОП. Ig {N COS tf) 3,257404 3,281456 3,310444 3,345086 3,386377 3,435730 3,495236 3,568153 3,659960

доп. (а Ig U) 9,817413 9,782953 9,746297 9,706882 9,663709 9,615820 9,561504 9,498221 9,421724—

Ign 0,018076 0,007668 0,000000 9,995227 9,993345 9,994809 9,999999 0,009633 0,024943ti 0,044 0,018 1,000 0,989 0,985 0,988 1,000 1,022 1,059P. 0,087

10,036 1,000 0,978 0,970 0,976 1,000 1,045 1,122

6.' Рассчитаем прямоугольные координаты х -я у точек пересе- пения меридианов и параллелей по формулам (3,35):

Вычисление производится на арифмометре. Для вычисления л: на барабан арифмометра ставят величину 2р и последовательно

умножают на все значения sin^-^ . При вычислении у на барабан

арифмометра ставят Значение р и умножают последо1вательно на все значения sinn6. Значения х w у сведем в, табл. 10-

§ 16. Р ав н оп р ом еж уточ н ы е и равновеликие коническиепроекции

Равнопромежуточные конические проекции

В этих проекциях масштаб по меридианам равен единице, т. е. т = \. Радиусы ближайших друг от друга параллелей будут отли­чаться на величину, равную спрямленной дуге меридиана между этими параллелями (рис. 31).

Приняв главный масштаб !д,о = 1, на основании формулы (3,14) получим для проекции эллипсоида вращения:

—dn

M d ^ ’

но так как th = \ , то

doMd<f

Рис. 31. Вид картографической сетки в равнопромежуточной конической

проекции.

Отсюда

ф = — Мйф.

Проинтегрировав это выражение, будем иметь для проекции :фероида

(3,36)

где рэкв — постоянная интегрирования, а величина X представляет собой длину дуги меридиана от экватора до параллели ф.

Вторая полярная координата 6 = аХ. Масштаб вдоль паралле­ли в равнопромежуточных Конических проекциях, согласно фор­муле (3.16), в которой 1-10=1, будет .. 67

Т а б л и ц й 1 0

X)Е-га,

Д 0 л г 0 т аа:S=«о. 0° 5° 10° 15° 20° 25°

2р и р

ооis:

95° 90-100° 85-10§° 80-110° 75-115° 70-120°

30“ X±У

149,6840

149,34610,051

1148,33420*057

146,65228,972

.144,31039,752

141,31449,353

299,369149,684

35° X±У

138,266 . 0

137,9549,284

137,02018,527

135,46627,696

133.30236,720

130,53445,588

276 532 138,266

40° л: 127,0660

126,7808,532

125,92017,026

124.49225,443

122,504.33,746

119,96041,895

254,132127,066

45° X±У

115,7830

115,5217,775

114,73915,514

113,43923,184

111,62530,749

109,30938.175

231.566115,783

50° X±У

105,0690

104,8317,055

104.12114.079

102,94121,039

101,29727,904

99,19334.643

210,138105,069

55° X±У

.94,098 0 ,

93,8866,318

93,25012,609

92,19218,842

90,72024,990

88,89631.025

188,19694,098

60° X±У

83,0360

82,8485,576

82.28811,126

81,35416,627

80.05422,052

78,39227,378

166,07283,036

,65° X±У

' 71,777 0

71,6154,820

71,1299,618

70,32314,372

69,19919,062

67.76323;666

143,55471,777

70° ,х± > '

60,1850

60,0494,041

59,6438,064

58,96712.051

58.02315,884

56,81910,844

120,37060,185

пЬsin2 2 sin пЬ

——

0,001129 ■ 0,067149

0,0045090.133996

0,0101270.200237

0,0179549,165575

0,027959 ■ 0.329714

—

/2.=ар ар

(3,37)

или, подставив вместо р его значение из уравнения, (3,36),. окон­чательно получим:

^ _ ^(Рэив -^)N cos ®

(3,38)

Увеличение площадей, вследствие того, что т = 1 , равно

6S

Для проекции на к о н у с к а с а т е лЁНЫй по параллели фо будем иметь при т^ П о = \ из формулы (3.17):

С6 = 51пф0, Ч (3.40)

как и для всех проекций на касательный конус-По формуле (3,38), написанной для параллели касания, имеем

*1РэЕВ ^ о) _ sin СРо(Рэвв -^о) _JyVoCOScpo ' ~ iVoCOScpo '

Отсюда получает выражение постоянная интегрирования

Рэкв = ctg фо + Ао- (3,41)

Для проекции на к о н у с с е к у щ и й сфероид по'паралле­лям' ф1 и ф2 , по формуле (3,38), заменив в «ей для краткостиЛ’ cos ф — г, можем написать для параллелей сечения

р = п . ^ (3.39)

Значит,

или

Таким образом:

После этого

''2(pSKB— = l(P5KB— ^ 2 )

Р э в в ( ^ 2 — Г \ ) = Г 2Х \ — Г \ Х 2

. (3,«)'2--

Рэкв ^1 Рэкв ^2(3,43)

Таковы , формулы равнопромежуточных конических проекций сфероида, не более сложные, чем формулы проекций шара, так как величины X и г даются в Картографических таблицах по аргументу широты — ф*.

Для проекций шара применимы эти же формулы, если подс-та- Еить N = M = R\ X = R-(^\ г = • cos ф,, причем для вычисления Xшироту ф надо вы'разить в радианной мере, т. е.

* Зам етим , что при ф = 90° р > 0 , т. е. в равнопром еж уточны х конических проекциях полю с и зо б р а ж а ет ся «полярной дугой».

Для вычисления сетки в равнопромежуточной конической,про­екции необходимо вычислить постоянные проекции и определить полярные координаты р и б. В этих проекциях, как и во всех ко­нических, выгодно строить карты территорий, вытянутых по парал­лелям. Наиболее употребительными равнопромежуточными конй- ческими проекциями являются проекция В. В. Каврайского и про­екция Ф. Н. Красовского.

Равновеликие конические проекции шара

Равновеликие проекции' характеризуются тем, что отношение площади ,на карте к площади на изображаемой поверхности, есть величина постоянная; ее принимают равной Тогда для равно­великих конических проекций можно написать, что ‘

= = const = 1.

По.дставим в формулу (3,43) значение величин m и п. из урав­нения (3,14) и (3,16) и, считая р = получим

dp ар1.' RdiB R ■ cos ®

Отсюдаj ' ар dp ^ — R' c o s^ йц).

Интегрируя это выражение, будем иметь:

— /?-(— sin tp- Ь ^ ) — sin '-?),

где d — постоянная интегрирования, размерность которой такая же, как у sin ф, т- е. нулевая.

Учитывая главный масштаб цо, окончательно получим: ,

, ('^-s in tp). ;■ (3,44)>

Для определения масштаба по параллели воспользуемся фор­мулой (3,16), подставив в нее значение р из формулы (3,44). Тогда

GOS ® IJ-c,/? cos ср

* При, ф = 9 0 ° р > 0 , т. е. в равновеликих конических проекциях полю с и зо б ­р аж ается «пойярной дугой», , , .

70 ' ! ■

:5ли после сокращения получим

1т ■ -t l - - ^ l / -cos tp ^ a

[ d — s in cp). (3,45)

Из формулы (3,17), после подстановки в нее вырайсени!! уве­личений m и п из (3,45), получаем

sin фо — 2d sin фо + 1 = О

Это уравнение имеет корни sin фо = й± — 1. Из дву}?: значенийкорня реальное значение имеет только один, при d > \ , определяю- дий параллель с наименьшим увеличением щ и наибольшим гпц:

sin фо = d — V d ^ — \ i(3,46)

Наибольшее распространение из равновеликих конических про- гкций имеют проекции Цингера, Эйлера (Альберса), Тиссо.

§ 17. Построен»ге картограф ических сеток в конических проекциях

; Построенине картографических оеток в конических проекциях производится в основном'двумя способами.

Первый способ применяется npn.nt)- строении карт' в мелком маошта бе и. за­ключается в вычислении полярных коор­динат р и б по выведенным ранее ураз- нения'М.

Параллели проводят циркулем или штангенциркулем (рис. , 32) радиусами р, вычисленными для различных широт. Углы. пЬ между начальным меридианом (6 = 0) и изображаемым строятся про­ведением прямых' через центр паралле­лей и засечки из точки пересечения на­чального меридиана любой параллели же хордами ■

Рис. 32. Построение сет­ки конической проекции

■ с помощью циркуля и линейки.

s„=2p sinдо

(3,47)

Второй способ употребляется для построения крупномасштаб­ных карт. В этом случае картографические сетки наносят по пря-

71

моугольн^м координатам точек и у пересечения меридианов и параллелей. Для этого заранее на макете карты устанавливают размеры рамки карты а м Ь (рис. 33). Проводят осевой меридиан О'С, определяемый долготой и отрезком 0 0 ' = р.

Рис, 33. Построение’ картографичес­кой сетки конической- проекции по

координатам узловых точек.

Если за начало системы координат принять точку О', средний меридиан О'С за ось х, а нижнюю рамку карты за ось у, то пря­моугольные координаты какой-то точки ~М, находящейся на пере­сечении меридиана .и параллели, можно определить по следующим формулам:

(3,48)х'' = ps + q ~ р oosn6, г/ ' == р sin «б

где-'рз — радиус самой южной параллели карты, а q — расстояние по среднему меридиану от точки О' до параллели с широтой ф8.

В этом случае достаточно вычислить координаты х я у только для половины сетки, так как средний меридиан О'С является осью симметрии и другая по^ювина будет строиться по тем же значе­ниям X я у, только ординаты будут со знаком минус- Но, обычно для.удобства начало координат переносят в точку О (юго-запад­ный угол рамки), и тогда формулы (3,48) примут вид:

X — р S - f <7 — р C-OS «б,

у = р ± psinn8,где р = 0 0 ' (рис. 3 3 ),

{3 ,Щ

72

Т л а Б а I V

ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ

§ 18. Общая теория

Ц и л и н д р и ч е с к и м и п р о е к ц и я м и называются такие, у которых параллели нормальной сетки прямые линии, параллель-

. FHie экватору. Меридианы' также прямые, перпендикулярные па­раллелям. Расстояния между меридианами пропорциональны раз­ностям долгот.

Согласно определению цилиндрических проекций, изображение точки (ф, X) будет иметь в любой цилиндрической проекции плос­кие координаты X, у , которые могут быть выражены уравнениями следующего вида;

л: = /(ф); (4.1)

У ^ С Х , (4.2)

где л; — расстояние параллелей от экватора, абсцисса; у — рас-- стояние меридианов от начального меридиана, ордината; С — ко­эффициент пропорциональности. '

а ) б)

В*

d . ^А'

X

у d y

С '

Рис. 34: Т рапеция нЯ зем н ом эл л и п сои де A B C D (а), и зо б р а ж ен и е A ' B ' C ' D ' этой трапец й и в ц и ­

л ин дрической проекции {б).13

Вид функции X =7(ф ) определяется условиями равноугольно- сти, равнопромежут.очности или равновеликости проекции.

Выведем формулы масштабов по меридианам и параллелям, общие для всех цилиндрических проекций. Возьмем на эллипсоиде бесконечно малую трапецию ABCD-, при перенесении на проекцию она изобразится плоской трапецией A'B'C'D' (рис. 34,а и б).

В Треугольнике ABC угол В = 90°. На проекции, согласно усло­вию, в треугольнике А ' В ' С угол В' = 90°.

На эллипсоиде точка А имеет координаты ф и X, точка С — (ф -f о(ф) и {'k + dX). Соответственно лга проекции точка А'{х, у), а точка С' {x + dx) и {y-\:dy). ‘ ,

Определим масштаб по .меридиану- Из определения частного масштаба следует, что масштаб по меридиану будет равен

Н'т----

где Л — линейное прирзщение dx, А В — длина дуги меридиана Md^). Подставив значения А ' В ' п А В в формулу масштаба по ме­ридиану, получим . .

' Увеличение масштаба по меридиану m будет равно отношению частного масштаба к главному ро- Отсюда:

' ' \ d x И

По аналогии с предыдущим масштаб по параллели можно представить как отношение

A 'D '

где A'D' — линейное приращение dy, AD — длина дуги параллели, равная У?/со5ф ^Х., , •

ЗамениБ^Л'/)'и Л/) их-значениями, будем иметь ^

N cos (prfX ’

по dy являе;тся разностью, ординат на проекции и поэтому соот­ветствует разности долгот с? на эллипсоиде. Тогда

dy=CdX. (4.6)

Подставим значение (^г/.из формулы (4,6) в уравнение (4,5).

74 '

Cd'K

С л е д о в а т е л ь н о ,

N cos vid\

или после сокращения

, = 4 " -' " На основании (4.7) ]Уюжно написать,' что увеличение масштаба по параллели будет равно:

: ' С : Г(4,8)

;ioA^cos с? \1 ^г ,

Д.ЛЯ .определения коэффициента пропорциональности С вос­пользуемся -формулой (4,8) для случая, когда частный масштаб на некоторой параллели фо будет равен главному,-т. е. увеличение /7о=1. Эта параллель называется г л а в н о й . Тогда

. 1ХоУУоСО$сро ■ '

отсюдаС = роЛ о cos фо,

или ■ •С=(1о?'о,! ' (4.9)

т. е. постоянная проекции С есть радиус Го главной параллели, вы­раженный в главном масштабе.

Подставив С в выражение (4,8), окончательно получим

l^o^o COS ?0 _ А О COS Уо ^ _Го_[iuyV COS ср ■ Л'' co s ср г ’ \ )

где Го и г — радиусы главной и заданной параллели.Наименьшее из увеличений по параллелям — по экватору, так

какг„й^ при,ф = 0.Заменив в формуле (4,2) величину С ее значением, найдём

г/= роЛ о cos фо Яили

£/ = !ХоГоЯ, (4.11)

ио практическое пользование этой формулой неудобно, так как она требует выражения Я в радианной мере, поэтому рациональ­нее выразить долготу в угловых минутах

,г/ = Ро/"о arc ГЯ'. (4.12)

« ' 7 5

кроме того, не следует забывать, что меридианы и параллели в этой проекции перпендикулярны друг другу, а раз это так, тоони совпадают с главными направлениями эллипса искажений.Поэтому увеличение масштабов наибольшее будет а, а наимень­шее Ь.

На этом основании можно написать, что увеличение площадей

р = аЬ = тп. (4.13)

Наибольшее искажение углов и наиболее искажаемые направ- Iления

tg (45'’- f - “- ) = tg { ;= c tg (4,14)

Если принять землю йа шар радиуса то формулы увеличе­ний масштабов перепишутся следующим образом:

d xувеличение по меридиану— /?г=— — , (4,15)

' Сувеличение по параллели — п = — — — . (4,16)

Из выражения (4.16) определим, чему равен коэффициент про­порциональности С для случая, когда частный масштаб на глав­ной параллели фо будет равен главному, т. е. п-=\. Отсюда:

cos фо. . ^ (4.17)

Подставив в (4.16) значение С из (4.17), окончательно полу­чим: ^

(Хл/?С03®л COS <ро чпчд = — — _L±_ = -------IL._costp„sec!p. (4,18)\ioR cos ® COS cp . 'f'o T V > ^

Из уравнения (4,18) наглядно видно, что с увеличением широ­ты зесф будет увеличиваться до бесконечности, а это значит, что в цилиндрической проекции нельзя -изображать районы, близкие к полюсам, так как уве.личение масштаба по параллели также стре­мится к бесконечности.

. Выведенные формулы цилиндрической проекции показывают, что, в нормальном положении эти проекции выгодны дл.я картиро­вания территорий, вытянутых вдоль экватора. Но вследствие того, что любой большой круг может быть принят за экватор, в попе­речном положении, цилиндрическая проекция выгодна для стран, расположенных вдоль меридиана, а в косом — для территорий, расположенных вдоль произвольно ориентированного большого круга. , Л

76 : * ' ,

Ёсли изображается узкая поЛосг - вдоль экватора нормальной системы координат, выгодно принять увеличение по изображению экватора, т. е. наименьшее Идкв = 1 , тогда С = |хо/'экв .

Для проекции в нормальном положении эллипсоида вращения

где а — радиус экватора, являющийся большой полуосью эллип­соида вращения. .

' Для проекции шараС — \i-qR ,

где R — радиуц изображаемого шара.В этом случае условно говорят о проекции на «касательный

цилиндр» (касание может б’ыть только по большому кругу), где увеличение по параллелям /г> 1.

При изображении полосы значительной ширины, вытянутой вдоль экватора, следует принять наименьшее увеличение вдоль' экватора «экв < 1 и взять главные параллели ±фо где-либо между экватором и крайними параллелями изображаемого пояса. Тогда в пределах изображения этого пояса раздица меж|ду наибольшим увеличением «шал: на краях изображаемой полосы и наименьшим

JIO экватору распределится по обе стороны от единицы. В этом случае говорят о проекции на цилиндр, «секущий» изобра- . жаемую поверхность по главным параллелям.

§ 19- Равноугольная цилиндрическая проекция (проекция Меркатора)

Равноугольная цилиндрическая проекция была предложена в 1569 г. голландским картографом Меркатором (иначе Кремером) ■ И является до настоящего времени основной проекцией для по-, строения морских навигационных карт среднего и крупного мас­штабов.

Условия равноугольности, как уже известно, заключаются в том, что масштабы по главным, а следовательно, и по всем, на­правлениям равны а = Ь — т = п — с = const, а. поэтому угловых искажений нет и со = 0. Главными направлениями являюд-ся ме­ридианы и параллели.

Эти обстоятельства дают возможность написать условие рав­ноугольности: увеличения масштабов по' меридианам и паралле­лям равны между собой. Тогда на основании формул (4,4) и (4,8) можно написать:,

dx Ст = ^ п = — т т т - = — Гг-------------------------------------- • (4,19)

/ 77

C ltpiMafcp C M d ^

Р-оУУ cos tp N costp ’

О п р е д е л и м и з ( 4 , 1 9 ) в и д ф у н к ц и и ( 4 , 1 )

d X = ( 4 , 2 0 ;

где dx — элементарный отрезок абсциссы.Заменим в выражении (4,20) М и Л' их значениями из формул

(1,6 и 1,7)С а(1-е^ )(1—e4in'^?)‘/2flfcp

d X =

И, сократи®, получим:

d x = C

а(1— sin- f f ' i^ cos tp

\ — e^ rfy

1 sin ® cos ■ (4,21)

- Преобразуем правую часть уравнения' (4,21), умножив в чи­слителе на sin^9 + соз^ф = 1:

d X =С [1 — e 2 ( s i h ‘ c p - j -c o s ^ t ? ] daj,

1— sin tpили

C(1 — sin tp) 1 — e® s in ^ © \

Cg(g cos tp),1 — e^ ;S in ^ tp

Отсюда можно написать, что

С Ce cosy Л

dtp

c o s tp

й ?л -=cos tp 1 — e* s in ^

d(£) (4,22)

Для получения абсциссы x проинтегрируем выражение (4,22) в пределах от экватора ф = О до заданной широты <р:

СО

x = c jdtp

costp-Се е cos <р

1— s i n ^ tpdtp.

Обозначим:е sin ф = sin

(4.23)

(4.24) ,

где е — первый эксцентриситет меридианного эллипса. Дифференцируя выражение (4,24), найдем:

е cos ф й?ф = cos г]) й?1|з (4,25)Возведем (4,24) в квадрат и вычтем из единицы; 1тогда по­

лучим:1— е^з1п2ф=1 — sin i|: = cos^ я|з - (4,26)

7S

П о д с т а в и в ( 4 , 2 5 ) и ( 4 , 2 6 ) . в у р а й н е н й е ( 4 ; 2 3 ) , б у д е м и м е т ь ;

х = С rftp

Оcos tp

в результате интегрирования

— Се cos ф

^ = C ln t g + - - l - C e l n t g — +\ 4 ' 2 1 4 I 2

Так как разность логарифмов равна логарифму частного, го

t g ( — + - 2 ~ х = С 1 п - ----- (4,27)

t g '

Вследствие того, что

tg/ т:

+

t g * J L + . J L.4 ^ ' 2

То формула для вычисления абсциссы х будет иметь следующий вид: ■ '

„X = С In и,

или в десятичных логарифмах

СХ : =

Mod

(4,28)

(4,29)

Заменив коэффициент пропорциональности С его значением из формулы (4,9), окончательно получим:

Mod IgU, (4,30)

где uo/"o = |ХоЛ/оС08фо == С; Mod — модуль перехода от натуральных логарифмов к десятичным, Mod = 0,4342945; Ig U берется из Кар­тографических таблиц, по аргументу ф .

Ордината у вьшисляется по общей для всех цилиндрических проекций формуле (4,12).

79

Вычислив абсциссы х для вСе) широт от экватора и.,оПрёделив ординату у, можно построить картографическую сетку в проекции Меркатора (рж . 35). ' '

а )

У

Экватор

К

(■

у

\)

ч

п < /7

5

( ........ \

(

J----

К

б)

- Ф -

Экватор п<1

п = !

Параллельсечения

Параллель ' сечения

Р нс. 35. К артограф и ческ ая с е т ­ка в проекции М ерк атора.

Р ис. 36. Г р аф и ч еск ое п редстав л ен и е искаж ений в проекции М еркатора;

а — на „касательны й цил и ндр”; (У~на , сек ущ и й цилиндр".

Увеличение масштабов, согласно общим формулам цилиндри-. ческих проекций, определяется по формуле (4,10).

Масштаб площадей, благодаря равенству т и п экстремаль­ным а я Ь, примет вид

р — ri = тК (4,31)На рис. 36 наглядно показано изменение масштабов проекции

Меркатора при проектировании на «касательный» и ' «секущий» цилиндры.

Т абл иц а 11

сс‘ / 1 т = п Р

0°11,000 1,000

10° 1,015 1,03120° 1,064- 1,13330° 1.155: ' 1,3334 0 “ 1,305 1,70450° 1 556 / 2 ,42060° 2.000 4,00070" 2 3 2 4 8,54880“ 5,759 33,16090° ОО 00 ' ■

80

Для большей убедительности в'табл. 11 приводятся изменения масштабов т = п я р для различных широт от экватора до, по­люса при « э к в = 1-

На основании формул увеличения масштабов, табл. И и рис. 36,а и б можно сделать два основных вывода: во-пер-вых, что карты в проекции Меркатора для 'районов, близких к полюсам, строить нельзя и, во-вторых, при работе с картами в этой проек­ции необходимо выбирать такие широтные зоны, в которых прак­тически изменениями масштаба можно пренебречь. (Более под­робно вопрос учета искажений и измерения яа картах в равно­угольной цилиндрической проекции рассматривается в главе IX).

Если принять землю за шар, то многие формулы, применяемые в проекции Меркатора, будут выглядеть значительно проще. На­пример, формулы увеличения масштабов (4,15) и (4,16).

Поскольку проекция равноугольная, то т = п. Отсюда ■

dx С

dx:

V-oR cos ® ■

Найдем, чему равняется бесконечно малый отрезок абсциссы

d x —

После сокращения

COS cp (4,32)

Для получения значения абсциссы а: проинтегрируем выраже­ние (4,32) от экватора (ф = 0°) до ,заданной широты ф.

' . ' \ 'S ' <9

х = С

О

После интегрирования.

d f

COS <р= С

d<p

Х — С In tg I 4

cos tp

t ' l

(4,33)

(4,34)

Или, заменив С его значением и перейдя от натуральных лога­рифмов к десятичным, окончательно получим:

9( 4 , 3 5 )

81

Вычисление ординаты у пройзводиТся по формуле (4,12).Для определения увеличения масштабов используется формула

(4,18). В случае «касательного цилиндра», когда, «параллелью касания» является экватор и cos фо = I, формула (4,18-) примет вид:

п = т = — — -=:isec®. (4;36)cos ®

Масштаб площади р = п^. В случае «касательного цилиндра;»

/7 = зес^ф, (4^37)

М еридиональны е части.

I Единица карты

Ранее было установлено, что ос — расстояние от экватора до параллели с широтой ф и у — расстояние от начального меридиана до, заданного с долготой Я — могут быть вычислены с помощью формул (4,30) и (4,11), которые напишем иначе;

-^=!-Ч о arc Г • '.-г-; (4,38)Mod arc Г V > ;

г/= iQ Го arc ГЯ' (4,39)

Здесь величина гоагсГ — длина 1' дуги главной параллели,т. е. сохраняющей главный масштаб; 1_(оГо arc Г — длина той жедуги в главном масштабе; эту величину, равную е, называют е д и - н и ц е й к а р т ы. Если обозначить хо величину, соответствующую удалению'л; параллели с широтой ф от экватора в проекции Мер­катора, т. е. если напйсать , j

- м з 1 ? . ^ Г Г ’то ■

(4Д1)M od-arcl ГдагсГ р-цГо arc Г

Следовательно, величина D' выражает, сколько в абсциссе .V содержится длин Г главной параллели. Величины D' называются м е р и д и о н а л ь н ы м и ч а с т я м и , про них говорят, что они вы­ражены в длинах одной минуты дуги главной параллели или про­сто в минутах. D' = /(ф) и даются в Картографических таблицах по аргументу ф. С учетом сказанного, формула (4,30) перепишется ь следукгщем раСочем виде;

. ............ x ( 4 , 4 2 )

82

а ордината

В Картографических таблицах приводятся:1) значения меридиональных частей D в минутах дуги для всех

широт от О до 90°;2) величины единицы карты для стандартных параллелей в

миллиметрах в зависимости от главного масштаба ■Для нестандартных параллелей ' определенмё единицы карты

может производиться следующим образом; по аргументу фо бе­рется 'значение Ро — длины дуги V параллели в натуре. Умножив ■ выбранную величину Рй на главный масштаб, получим значение в( е = 1Хо/"о a r c К = Я о ц о )-

Главные и стандартны е параллели

Для уменьщения искажений на картах в проекции Меркатора удобнее шринимать-’главный масштаб не по экватору, а по какой- то параллели, проходящей по середине данного моря, что и де­лается на практике.

Для карт каждого моря или части океана установлены свои с т а н д а р т н ы е - п а р а л л е л и , вдоль которых сохраняют глав­ный масштаб. В соответствии с этим для всех морских навига­ционных карт, издаваемых в Советском Союзе, установлены стан­дартные (главные) параллели (табл. 12).

Иногда удобно сохранить главный масштаб не по стандартной, а по некоторой другой параллели, которую называют г Ла в но й .

Но даже и в этих случаях, когда главные масштабы отнесены к стацдартным или главным параллелям, расхождение между главными и частными масштабами может достигать довольно большой величины. Например, на картах полярных морей эти откл'онения доходят до 33%.

М одуль параллели

Для нахождения частного масштаба по параллели на карте в проекции Меркатора, когда главный масштаб, применяя формулу (4,36), считается не по экватору, а по некоторой главной парал­лели, служит, м о д у л ь п а р а л л е л и . Модулем параллели на­зывается коэффициент, на который нужно помножить знамена­тель главного масштаба, чтобы получить знаменатель ластного масштаба на заданной параллели карты. Исходя из определения модуля параллели, можно написать, что

М .(4,44)

у^еХ' . (4,43)

6* , , 83

Название моря или района

Пред,,елы широт

в градусах от—до

Ш ирота стандартной

параллели в гр ад усах

Таблица 1й

Восточно-Китайское море Средиземное море . . . .■Японское море с Татарским проливом Каспийское море Черное и Азовское моря Татарский пролив Охотское море Берингово море . . ,Северное , море . . . Балтийское море ...Белое море . .Берег Норвегии . . .Берег Норвегии . . .Баренцево море: Мурманский берег Карское море: Обь-Енисейский район Северный Ледовитый океан . .

Остальные моря

2 2 - 3 5 3 0 - 4 6 -3 0 -4 5

, 3 6 - 4 741—474 5 - 5 24 2 - 6 35 3 - 6 6 5 1 - 6 254—6664— 69 58—656 5 - 7 1 68—70 6 7 - 7 4 7 0 - 8 2

0 - 1 01 0 -3 3 .3 3 - 4 64 6 - 5 6 56—65 6 5 - 7 2 7 2 - 7 8 78—82

3040404244

'5 2525960 60 66 6069

'6970 75 ,0 25 40 52 60 69 75 80

где V — модуль параллели, Мо— знаменатель главного масштаба, . М — знаменатель. частного масштаба заданной параллели

карты.Модуль параллели можно представить как отношение длины

Ро- Г дугИ' главной параллели к длине Р Г дуги параллели, для которой определяется частный масштаб:

' . . (4,45)

Определив модуль параллели, можно, зная Ма, найти вели­чину частного масштаба

1 1

М ■(4,46)

Модуль параллели на основании . (4,45) определяется по Кар­тографическим таблицам.

Вычисление картографической сетки в равноугольной цилин­дрической проекции может производиться по формулам, выведен­ным в предыдущем параграфе. Но в связи с тем, что эти вычисле­ния очень слож'ные и трудоемкие, созданы специальБые табтшы, во много раз упрощающие р'асчет картографических сеток в про­екции Меркатора. За основу при вычислени'и таблиц приняты формулы (4,42) и (4,43). Если эти формулы ограничить опреде­ленными, заранее заданными значениями широт « долгот, то их можно представить в следующем виде;

I X i = : e ( D - D s ; (/.— Х ^ ) .

х ^ = е ( D y j - D ) - у , = е ( X o s t - X ) ;

§ 2 0 . В ы ч и с л е н и е к а р т о г р а ф и ч е с к о й с е т к и в п р о е к ц и и М е р к а т о р а

(4,47)

где ЛГ1 и Х2 — расстояния от заданной параллели ф до ЮЖ|Н0Й и се­верной рамок, являющихся изображением параллелей; южной фз и северной ф^ ; , ^til и г/2 — расстояния от заданного меридиана л до западной и вос­точной рамок, являющихся изображением крайних меридианов; западного и восточного KqsCD, и Dg — меридиональные

части, соответствующие широтам ф5, ?N и Фз • ,

Ь <

f s

, ■ 1

•^2

■X,♦

— и . 1■ '■ ■■ ■■ У2 .......... ~

а

~ 9

то

Dx

Рис. 37. Построение картографической сетки в проекцги! 1Меркатора.

Формулы (4.47) применяются как для вычисления размеров рамки карты, так и для расчета картографической сетки. За на­чало координат во всех случаях берут юго-западный угол рамки (рис. 37).

При определении координат х и г/ и построении -сетки следует, соблюдать определенный порядок действия, а йменно;

,1) определение главного ,масшта карты |.io по стандартной или главной параллели ,с'Широтой фо, установленной для данной части акватории; ■ ?

2) установление интервалов между соседними параллелями с таким расчвтом, чтобы практически масштаб между ними бъщ бы постоянным;

i3) определение по Картографическим таблицам единицы кар- Р

ты, т. е. е = или е = РоЦо, где Ро — длина 1' дуги параллели ■^0 / '

фр, выбранная из Картографических таблиц; Мо — знаменатель главного масштаба;' цо — главный масштаб.. (Если фо является ста}1дартной параллелью, то единица карты выбирается непосред- стьенно из Картографических таблиц по аргументам фо и (.lo, а если нет, то рассчитывается таким образом, как указано выше),

4) выборка из Картотрафических таблиц значения меридио­нальных частей для каждой параллели подлежащей изобра­жению;

5) вычисление по формуле a = e(A ost— Я^) горизонтальных размеров рамки, для чего разность (^Qst — выражают в ми­нутах;

6) определение по формуле Ь = е { О ц — £>s) вертикальных размеров рамки;

7) проверка правильности вычисления размеров рамки, для чего надо определить величину диагонали d = У" а Н- 6 ;

8) по формулам (4,47). расчет значения разностей (х — Х \ ) , (Х2 — х), (у — г/i) и {у2 — у ) — расстояний промеж1уточных парал­лелей и меридианов от рамок;

9) контроль полученных величин по формулам:

1 (4,48)У 1 + У 2 = а . j

Расхождение допускается не более 0,001 см.По. полученным значениям х и у очень просто построить кар­

тографическую сетку. Для этого на ватмане проводят произволь­ную горизонтальную линию, представляющую собой южную п.э- раллель. Из условно выбранного начала координат на. этой ли­нии откладывают расстояния, равные у, и по ним проводят пер­пендикулярные прямые— меридианы. Затем на меридианах от­кладывают отрезки, равные г, и через полученные точки прочер­чивают прямые, параллельные осно1вной линии, которые и яв- .тяются искомыми параллелями!

Пример. Вычислить рамку и картографическую сетку карты в проекции Меркатора по. следующим данным: cps = 44°40'N; == 3 5 W 1 6 " 0 ^ ‘; cpN=45°12'N; Хо«‘=35°ЗГ01"0*‘.

Масштаб: (Хо=1-'50000 по, главной параллели фо = 45°. Ме­ридианы и параллели провести через 5'.

Р е ш е н и е .1. По картографическим таблицам рассчитаем, единицу .карты

е = Ро(ло; е = 13 141 X Q,00002 = 26,28272 мм.2. Вычислим размеры рамки -карты: XQst — = 30’,75;

fl=e(X ost-A w )=26,'28272X30,75= 80§ ,19 мм;

Ь ^ е (Djvj- D s)= 26 ,28272X 45,051 == 1184,06281 мм.

3. Контроль: d = у'^а^ -f- 6 = 1433,29.4. По формулам (4,47) и по заданным интервалам между ме­

ридианами и параллелями определим х н у . Расчет удобно произ­водить по предлагаемой табл. 13.

Та б ли ц а 13

Р асстоян и е в .им Р ассто я н и е в м м

П арал­

лели

М ер и д и о ­

нальны е

части, D

отю ж нойрамки

Xl

от сев ер н ой

рамки х -2

М ер и ­

дианы

отзападной

рамкиУг

от ^ с т о ч ­

ной рамки

3'-2 ‘

, 1 2 3 4 1 ,5 , 6 7

S рамка 44°40' 2985,543 ! 1 8 4 ,0 |

W рамка 35°00'16" 808,19

44°45' 2992,555 : 184,29 999.77 '35°05' 124,84 683,3544=50' 2999,576 368.82 815.24 35°10' 256,26 551i94

-44'=55' 3006.608 553,64 630.42 35°15' 387.67 ,420 .5245°00' 3013.650 738,41 445 33 35°20' 519 ,08 289,1145=05' 3020,703 m i o 259,96 35°2б' 650.50 157.7045“10' Й027,766 1107,09 74.33 35°30' 790,91 26,28

N рамка45° 12' 3030,594 1184,0.1' —

рам ка35°31' 808,19

Пояснения к габ.шце 13

1. В столбцы 1,и 5 заносятся соответственно ф и Я с зaдaнны;vгинтервалом. , .

2. В столбце 2 меридиональные части D по заданной широте выбираются из Картографически.х таблиц.

3. Данные в столбце- 3 получаются последовательным вычи­танием (D — D s ) и умножением на единицу карты е.

87

4. Данные в столбце 4 получаются последовательным' вычита­нием ( О ц — О) и умножением на единицу карты е.

5. Значения у, я в столбцах 6 и 7 определяются последова­тельным вычитанием (Я — А,\у) и (Яо — Я) и умножением на еди­ницу карты е. ■ ' . .

: 6. Контролем правильности вычисления служат формулы ^1 + Х2 = Ь я у\ + Уч = а. ‘Для этого на схеме для каждого зна-

, чения Xl я Х2, г/1 и £/2, йаходящихся соответственно на одной и той же ф и Я, следует подсчитать их сумму; она долж^ш быть равна в первом случае вертикальному размеру рамки (6), во втором— горизонтальному размеру рамки (а).

7. Получив значения х. я у ъ м м для каждой ф и Я с- выбран­ным интервалом, строим картографическую сетку. За начало коор­динат принимается ipro-западный угол рамки карты.

§ 21. Л о к с о д р о м и я и о р т о д р о м и я в п р о е к ц и и М е р к а т о р а

У р а в н е н и е л о к с о д р о м и и . Широкое применение карт в проек­ции Меркатора для нужд кораблевождения и океанологии объяс­няется тем, что это единственная проекция, в которой линия: по­стоянного курса — л о к с о д р о м и я ^ —^изображается прямой. Для соблюдения этого требования проекция должна быть равноуголь­ной и иметь изображение меридианов в виде параллельных пря­мых линий; все это соблюдается в проекции Меркатора.

На поверхности земного эллипсоида локсодромия представ­ляет собой линию двоякой кривизны ^ спираль, пересекающую

*’леридианы под одним и тем же углом. Йоксодромия стремится к полюсам, но никогда их не достигает. Длина отрезка локсодро­мии, по которому перемещается судно по заданному курсу, назы­вается п л а в а н и е м . В связи с тем, что на картах ib проекции хМеркатора локсодр'Омия — прямая, то плавание по этой прямой наиболее удобное, так как значительно упрощает все штурманские расчеты и позволяет просто и быстро с помощью измерителя и транспортира прокладывать на карте различные направления и курсы судна. Основным недостатком локсодромии является то, что она не представляет собой наиболее короткого расстояния между двумя точками на земной поверхности.

Для^того чтобы яснее представить, что такое локсодромия, рас­смотрим рис. 38, на котором отрезки CiV и 6 L — меридианы,соот­ветствующие долготам Я: и Я. Отрезок дуги экватора NL = = е(Я — Я1), где е — единица карты, Я1 — долгота начальной точ­ки А локсодромии, а Я — долгот^ ее произвольной точки В. Пря­мая АВ курс судна — локсодромия. Предположим, что точка Л лежит на,параллели с широтой: фь а точка В — на параллели с широтой ф. Угол Д' — истинный курс судна. Для определения рас­

88 '

стояния точек Л и 5 от экватора достаточно найти их меридио­нальные части Dl я D и умножить их на е. -

Из прямоугольного треугольника АСВ получим СВ — АС • tg К, но СВ NL = e(X — Xi); АС = {D — Di)e. Отсюда

\ ^ \ = { D - D , ) i g K (4.49)

Тогда на основании формулы щля определения D можно напи­сать, что

In tgr2

I n t g V 4 + (4,50)

Выражение (4,50) представляет собой уравнение локсодромии Б общем виде, если принять поверхность Земли за поверхность шара.

Проанализируем уравнение локсодромии на некоторых курсах мё)йду точками А (фь A,i) и В (фа, А.2)'.

При курсах судна 0° и 180° К = О, когда Хг — Ai == О или Яг = Л:, т. е. долгота не изменяется; это значит, что локсодромия на кур­сах N ‘н S проходит чарез географические полюсы и превращается в мёриДиан.

Решая уравнение (4,50) относительно tg /(, получим

tg/.о--- /'1

In tg 45' - i n tg 45° +

89

Полагая К равным 90° или 270°, фбрмула примет вид

^ _ > ^ 2 - 4 ■

In tg (45° + tg (45° + ^ )

Поскольку %2 -— Л1 не может быть равно бесконечности, то, сле­довательно, знаменатель правой части уравнения равен 0. Тогда ф1 = ф2, т. е. широта не меняется и локсодромия превращается в параллель. Если положить ф1 = 0°, то точка А локсодромии будет находиться на экваторе,-уравнение локсодромии примет более про­стой вид:

или

' ' = ^ + t g ^ I n t g ( ^ 4 5 4 - - | - j .

+ (4,5Г)2 ;

где e — осно-вание натуральных логарифмов.По формулам ’*(4,51) или (4,5Г) легко определить точки пере­

сечения локсодромии с любым меридианом Я или параллелью, с широтой ф. Кроме того, из-ур авнения (4,51) видно, что если дол­готе X давать значения X, X Ч- 2я, % -f 4я и т. д., то в каждом слу­чае широта ф имеет новые все увеличивающиеся значения, а дол­гота останется без изменения, т. е. будет соответствовать тому же меридиану. Отсюда становится ясно, что локсодромия действи­тельно пересекает каждый меридиан бесконечное количество раз в точках, широта которых непрерывно возрастаем. Таким образом, как уже указывалось,...локсодр.омия стремится к полюсам, но ни­когда их не достигает, за исключением случаев, когда она совпа­дает с меридианом. ' . ^

Уравнение ортодромии. Известно, что кратчайшим расстояниел! между двумя точками на земном эллипсоиде является г е о д е з и ­ч е с к а я | линий^ о р т о д р о м и я ; на шаре — это дуга большого круга. Пр'И переходе от точки к точке ортодромия составляет раз ­личные углы С; меридианами и в проекции Меркатора изображает­ся кривой, обращенной выпуклостью к ближайшему географиче­скому полюсу. Поэтому плавание по ортодромии имеет ряд не­удобств и требует предварительного вычисления как положения самой ортодромии' на навигационной карте, так и курсов, по ко - . торым должно идти судно, плавая по. дуге большого круга.

Положение дуги ортодромии на поверхности земного шара определяется двумя величинами: долготой пересечения продолже­ния дуги ортодромии с экватором — Яо и углом Кь между мери-

90 /

iHOM и дугой большого круга при пересечении ее с экватором, я определения этих параметров рассмотрим два'прямоугольных грических треугольника МАА\ и МВВ\ (рис. 39). Для первого них можем написать

tg/Co = ctg(pi-sin (Xl— Ло). (4.52)

Формула (4,52) называется уравнением ортодромии. По ана- гии, из треугольника МВВ\ ^

tgi^o = ctgcp2 • sin(X2 — Хо) (4.53)

. р

Р и с. 39. К вы воду уравн ен и я ор тодр ом и и .

Решая уравнения (4,52) и (4,53) относительно ф, получим

tg ф1 == ctg K g sin (Xl — Xo) tg.ф2 = ctg /Co sin (X2 — Xo)

(4,54)

Определим из формул (4,54) значение Хо. Для этого разделим орое уравнение на первое

t g ?2 sin (/-2-Ао)■ t g ® i sin (Xj—>.0)

представим это уравнение в виде производной пропорции

tg y 2— tg?i ^ sin (/-2—/-о)—sin(),j-)'o) tg 9:1+ tg ®2 sin (X2—7o)-f sin ().i -Ло) ■

91

tg 92— tg ?, _ sin (72- ? i)tg <pi-ftg 92' sin (®i-}-92) ■

sin ()'2—Aq)— sin (Ii--Aq) _sin (Лз—>'o)4'Sin (/-1 —/-o)

} — ---- '0 • ■ '2---- '0'“ ’ '']'2co-s — — ^4^ — “ • sm — =—

М о ж н о н а п и с а т ь , ч т о

2sin cos . '

Произведя некоторые преобразования и сокращения,, имеем

sin (Хз—/ о)—sin (/-J—Хо) /■ /'i+X.sin (i.j—J.o)+sin (i-i—)-o) ' 2

откуда

sin (fpi-f^) , ^

или окончательно

tg - ^ - Ь - — sin (t?i-f ?2) cosec (tpa—?]) tg — 2— . (4.5;

•Таким образом, зфавнения (4,52) и (4,55) дают возможное определить параметры Ло и /Со, а, зная эти величины,—-рассчитг направление ортодромии в любой заданной точке.

Ортодромическая поправка. Угол между локсодромией на кг те в проекции Меркатора и касательной к ортодромии, провед( ной из той же точки, называется о р.т о д р о м и ч е с к о й п п р а в к о й . Ортодромическую поправку можно представить се как р.азность локсодромического и ортодромического азимутов пеленгов. При плавании по дуге большого круга или при рпреде,' НИИ места судна по радиопеленгам, .когда разность направлен между локсодромией и ортодромией достигает практически оп тимых величин, Необходимо учитывать ортодромическую поправ) При разности долгот концов отрезка ортодромии менее 30° обыч пользуются приближенной-формулой ' ,

* При определении величины Яо ф орм улу (4 ,55) сл едует исследовать знаки. ч I

92 .

(rf>--sin ? J , ( 4 , 5 6 )

91 + 92

Если разность долгот более 30°, то в этом случае следует при- !нять следующую-формулу: ;

rf}. (4,560

Долготы считаются положительными к востоку. Соответственно ак ортодромической поправки определяется как разность

6 = Л о к . П — Орт. П, (4,57)

к что при курсах о < X < 180° -ф > 0; при курсах 180° < К < 360° < 0 .

Р ис. 40 . О р тодр ом и ч еск ая прправка.

■В формуле (4,5.7) Лок. П означает азимут (пеленг) локсодро- ии, а Орт. П — азимут (пеленг) ортодромии в данной точке (см. ис. 40).

Ортодромическая поправка имеет большое значение при опре- елении места судна по радиопеленгам. На карту в проекции Мер- атора наносят локсодромические пеленги (Лок. П), а по радио- еленгатору получают ортодромические пеленги (Орт. П ). Поэто- у для построения на карте нужного направления локсодромии собходимй исправить Орт. П ортодромической поправкой

Лок. П = Орт. П + (4,5Г)

чиуая в правой части сумму алгебраической, .учитывая знак я[1.

93

Величина ортодромической поправки по аргументам ф и Ш. i ходится с помощью Картографических таблиц по аргументам и Л (азимут). /

Р а з н о с т ь д л и н л о к с о д р о м и и и о р т о д р о м и и . При малых пере? дах, порядка 80— 100 миль *, разность расстояний между длин локсодромии и ортодромии очень незначительна и практическо значения не имеет. Но при больших переходах разница в расстс ■кии становится весьма существенной и ее необходимо учитыва'

Рис. 41. О п р едел ен и е плавания по ортодром ии .

Плaвaни e по локсодромии можно рассчитать по известным фот мулам навигационного счисления по разности широт (ф2 — Ф1) = = РШ и разности долгот (Яг — ?ч) = РД.

На основании формулы (4,49), написанной для локсодромй между точками Л ( ф ь Я1) и j 5 ( ф 2 , Яг),, при замене (Яг — Я[) = = ;й!Я = РД, имеем ,

Р Д = (D 2 -£ > ,) tg i( ,

где Dl ,и D2 меридиональные части, К — локсодромический кур судна. Отсюда - .

РД

* М иля — примерно длина 1' дуги экватора; 1 м орская миля = 1 8 5 2 как это принято е; р я д е Стран.

94

[ЛИ

ctg к-^ ^ 2 D j

РДПлавание по локсодромии в'морских милях: ■

5’,oK =Pm -sec/C. ' (4,58)Плавание по ортодромии легко определяется по формуле ко-

инуса стороны из рассмотрения сферического треугольника АВ рис. 41).

cos Sc,p;= cos (90°—¥i) cos (90°—<?г)+ sin X, X(90°-<p,)sin (90°--(p,).cos РД.

;ли .cos 5’opT=sin fl sin tpj+cos cpj cos cos РД. (4,59)

Формула (4,59) , громоздкая, нелогарифмического вида и тре­бует исследования ее на знаки, как и в случае применения этой |)ормулы для вычисления элементов параллактического треуголь- !ика в астрономии. Для упрощения определения 5орт можно .вос- юльзоваться астрономическими таблицами высот и азимутов све- :ил (ТВА). Аргументами для входа в таблицы являются: ф = ф1,3 = ф2 и / = РД. Выбранную из ТВА высоту светила h]. прини- 11ают за расстояние Sop,-, предварительно вычитая полученную ве- 1ичииу из 90°, так, как эта сторона параллактического треуголь- !ика является не высотой, а дополнением высоты светила до 90'"’, ’. е. зенитным расстоянием. Таким образом, разность длин локсо- jpoMHH и ортодромии находится из выражения

5 ,Орт* (4,60)Пример. Определить разность длин локсодромии и ортодро-

«5ИИ, если координаты пункта отхода: ф 1 = 49°30'N и Xi = 10°19'W, i пункта прихода: фг = 38°10'N и Яг = 72°39'W.

Р е ш е н и е .1. Вычислим длину локсодромии:

Яг = 72°39' Я, = 10°19'

Ф2 = 38° 10' Ф1 = 49°30'

Ds = 2466,734 Dl = 3410,522

РД = 62°20' РШ = — 11°20' РД = 3740' . РШ = —680'

IgPД = 3,57287 lg (D 2 — Dl) == 2,97534/г

Dz — Dl = —943,788

Ig P m = 2,83251 IgsecK = 0,61099

lg tg i ( = 0,59753« i< = 75°49'4SO*‘ К = 104°10'6

lgS.,„K = 3,44350. 2 7 7 6 , 5 M o p . м и л ь

95

2. Вычислим длину ортодромии ‘ '+ Ч- : "Г 4-

cos 5opT=Sin sin срг+ cos COS Р Д = I - f II, ,

ф1 — 49°30W 1§1зпф1 =9,88105 1§созф1 = 9,81254ф2 == 38°10W Ig sin ф2 = 9,79095 Ig cos фз = 9,89554

, РД = 62°20'Г Ig l = 9,67200 Igcos РД = 9,66682

I = 0,46989 l g l l = 9,37490II = 0,23708 I 11 = 0,23708,

cos 5 орт = 0,70697 Ig cos SopT = 9,84940

5opT= 4 5 °0 0 7 --= 2700,7 Mop. миль

3. Определим разность длин локсодромии и ортодромии:. AS = 2776,5 — 2700,7 = 75,8, мор. миль.

Нанесение ортодромии на карту в проекции Меркатора. Пргплавании по дуге большого круга вь время гидрологических экспе­диционных работ в море возникает необходимость нанести орто­дромию на навигационную карту и определить по ней координати гидрологических станций. Для построения ортодромии на_ карте е проекции Меркатора достаточно знать географические координать: нескольких промежуточных точек этой дуги между двумя задан­ными пунктами. Координаты промежуточных точек ортодромии могут быть: I) сняты с карты в центральной или гномонической проекции; 2) вычислены по формулам или выбраны из таблиц;3) определены с помошью ортодромической поправки.

Рассмотрим коротко каждый из этих способов.,1. Нанесение ортодромии по точкам, координаты которых сняты

с карты в центральной проекции. Как увидим, на картах в цент­ральных (гномонических) проекциях любая дуга большого круга изображается прямой линией. .Значит, если на карте в этой проек­ции соединить прямой пункты отхода и прихода и снять коорди­наты необходимого количества промежуточных точек и построить их на карте в проекции Меркатора, соединив плавной кривой, по­лучим дугу большого круга — ортодромию. Обычно для сокраще­ния объема работ промежуточные точки выбираются на пересече­нии ортодромии с параллелями или меридианами карты, в зави­симости от -ее расположения, и тогда ограничиваются снятием только одной координаты. Пр» построении/ортодромии таким спо­собом необходимо помнить, что карты в центральной или гномо- пической проекции составляются, как правило, в мелком масштабеи, следовательно, координаты точек снимаются с них с довольно значительными ошибками. Поэтому этот метод нанесения ортодро­

96

мии на навигационную карту является менее точным, чем два остальных, но в связи с простотой на практике употребляется до­вольно часто.

2. Нанесение ортодромии по точкам, координаты которых вы­числены по формулам или выбраны из таблиц. Вычислив по фор­мулам (4,52) и (4,55) значения параметров Яо и Ко, определяют :;начения ср,- выбранных промежуточных точек с заданными дол­готами Я,- по формуле (4,54).

При Хо<С20° По заранее заданным ф,- рассчитывают долготы промежуточных точек. Для этого формула (4,54) решается от­

носительно Я,(, т. е.

5Ш(Я; Яо) = tgф,• tgKo. (4,61)

Вычисление координат промежуточных точек дуги большого круга по формулам 'является наиболее точным из всех существую­щих методов, но одновременно с этим этот способ самый сложный и трудоемкий. : '

Пример. Определить широты промежуточных точек, В' кото­рых пересекаются меридианы, взятые через 10°, дугой ортодромии, соединяющей Нью-Йорк (ф1 = 40°30'N; Я) = 73°50'W) и Кейптаун (Ф2 = 33°40'8; Я2= 18°10'0^');,

Я2 — Я, = 9 2 W 0 : ' Я] + Яг = —55°40';

Ф1 + Ф2 = +6°50'; ф2 — Ф1 = —74°10'. •

Р е ш е н и е . ■

1. Вычислим Яо и Ко По формулам • (4,55) и (4,52): '

Igtg lg t g 4 6 W = 0,0152

lgsin(фl + ф2) = lgsin6°50' = 9,0755 ig cosec ('<?!—cp2 ) = lgcosec (—74°10') - 0,0168 W

i g t g f ^ ^ ' - X o ) = 9 ; 1 0 7 5 «\

( -2 7 " 5 0 '-Я о ) = —7°18' Яо = ---20°32' - 20°32'W

97

. ! g t g < P i - l g t g 4 0 " 3 ( ) ' ^ - 9 , 9 3 l S

ig cosec (Xl = J g cosec (~53°18') = 0,0960n

lgctg^ o = 0,0275«7(o = 4 3 ° i r S O * ‘

Ко = 136°49'

2. Олределить широты промежуточных точек, ра-сположенны: по ортодромии с интервалом по долготе через 10°. Для этого П( Л'о =г 43°1Г (берем дополнение до 180°, от этого изменится тольк! знак) я Л,-— Яо находим ф (табл. 14).

п

Рис, 42. Н а н есен и е ор тодр ом ии на карту в проекции М еркатора с пом ощ ью ор тодр ом и ч еск ой поправки.

Та бл иц а U

Ч '

- 5 0 ° - 7 0 ° 3 2 'W b 3 9 ° l3 'N- 4 0 ° - 6 0 ° 3 2 'W + 34°24 'N- 3 0 ° ,■ - 5 0 ° 3 2 'W + 2 8 ° 0 3 'N- 2 0 ° - 4 0 ° 3 2 'W 1-20°01'N— !0 “ — 30°32'W -1 0 °2 9 'N

• 0°- - 2 0 ° 3 2 'W 0° 0'10° — 10°38'W - 1 0 ° 2 9 'S20° — 0°32'W - 2 0 ° 0 r S30° ' 9°28 'Q st ~28°03?S

3. Нанесение ортодромии на карту с помощью ортодромиче­ской поправки. Для построения дупи большого круга ,в проекции Меркатора с ,■ применением 0рт0др10м,иче:ск0й поправки делают следующие построения и расчеты. Соединяют прямой линией на-

98.

чальнуй и конечную Фочки и измеряют локсодромический курс Kl судна (рис. 42). Как известно

А = К - ^ ,

где А — угол между истинным меридианом и направлением орто­дромии (ортодромический курс судна); /( — локсодромический курс судна; ijj — ортодромическая поправка.

Знак ортодромической поправки берется согласно правил, и.з- ложенных выше в этом параграфе, формула (4,57). '

Практически построение ортодромии производится так: .вычи­слив величину -ф. для начальной точки и отложив эту поправку от локсодромии, наносят, в .сторону к ближайшему полюсу, направ­ление касательной к дуге большого круга в виде прямой под уг­лом Al из точки /. Отрезок касательной к ортодромии принимают

, за дугу ортодромии. Затем на полученном отрезке ортодромии откладывают 200—300 миль (расстояние определяется в зависимо­сти от скорости судна). Полученную точку 2 соединяют прямой с конечной точкой, и измеряют локсодромический курс /Сг этой пря­мой. Рассчитывают ортодромическую поправку т1)2 и проводят вто­рой отрезок ортодромии под углом Лг = /Сг — iti2- Снова отклады­вают на отрезке ортодромии 200—300 миль и т. д. до тех пор, пока не будет проведен отрезок ортодромии с предпоследней точки на конечную. Проведя плавную кривую через все точки, получим изо­бражение дуги большого круга.

§ 22. Равнопромежуточные и равновеликие цилиндрические проекции

Равнопромежуточная цилиндрическая проекция шара.

Основное условие равнопромежуточных цилиндрических проек­ций заключается в том, что увеличение масштаба по меридианам равно единице ( т = 1). , )

Самой простой проекцией этого вида является п р о с т а я или к в а д р а т н а я п р о е к ц и я , являющаяся проекцией шара на «ка­сательный цилиндр». В этой проекции С = R ц расстояние/ /между меридианами начальным и изображаемым- равно выпрямленной дуге экватора для соответствующей разности долгот X, а расстоя­ние X от экватора до изображаемой параллели ф ра вно выпрям­ленной дуге меридиана от экватора до параллели ф. Поэтому, если задать одинаковые разности широт и долгот, то получится квадратная сетка (рис. 43).

Для вычисления ..координат х п у примем Землю за шар с ра-

7* ' , ’99

диусом д . в этом случае Дуга экватора, которая йредставляет со­бой ординату у, будет' , ■

y = R X .

Абсцисса X соответственно

д; = /? ф .

(4.62)

(4.63)

8 4ПК

'

1:5000 000

Р ис. 43, К а р то гр а ф и ч еск а я сет" ка р а в н о п р о м еж у то ч н о й ц и л и н ­др и ч еск ой (квадратной) п р о е к ­

ции.

Р ис, 44. .О п р едел ен и е к оординаты х в и зоцнлиидрической проекции Л а м ­

берта .

В формулах (4,62) и (4,63) К ’и <р выражены, в радиаяной мере. Если ф и А, выразить в градусах, и умножить.на главный масщтаб проекции,то получим

x — R\>-o

y — R\ ^

'0 РГ

0 р

(4,64)

При построении картографической сетки удобнее, чтобы вели­чины л: .и г/ были даны в сантиметрах, поэтому, если R взять в метрах, формулы (4,64) примут вид

; с = 1 0 0 [ А о /? ^ ' С М ,

( 4 , 6 5 )

100

Обычно вычисление картографической сетки производится при помощи логарифмов. Тогда -

ig x = lg lO O -f Ig f^o+ I g ^ + lg 'P ° + Ig

lg y = :lg lOO+lg ^ ^ o+Ig^ +Ig 12-(4.66)

, Для определения искажений в квадратной, проекции, выведем формулы увеличения масштабов по параллелями. Извёстно, что

R =sec 9,

т. е.п =. sec ф. (4,67)

Вследствие того, что т = 1, увеличение площадей будет

р = аЬ = тп = sec ф.Наибольшее искажение углов со определим по формуле

п — \(О _ а — Ь _2 ~ а + Ь ~ п - { - \

sec ср— 1 seccp-f-1 t g '

2 •(4,68)

Т а б л и ц а 15

9 т п Р i ®

90°75°60°45°30°1.5°0°

Для больи

1111111

ней наглядное

оо' 3.864

2,000 1,414 1,155 Ь035 1,000

;ти изменения

оо, 3,864

2.000 1.414 1,155 1.035 1.000

[ увеличения

180°00'72°09',38°51'19°45'8°15'1°58'0°00'

масштабов иискажения углов' приЁодится табл. 15, из которой видно, что в квадратной ^проекции не сохраняется ни равенство углов, ни ра­венство площадей. Из-за того, что масштаб по меридианам равен единице, эта проекция равнопромежуточная.

Искажение углов ш очень резко увеличивается по мере прибли­жения к полюсам. Поэтому вполне понятно, что эти проекции наи­более выгодно применять для стран, расположенных вблизи эква­тора.

101

пример. Вычислить картографическую сетку в квадратной проекции. Условия вычисления проекции: главный масштаб цо = = 1:5000000; территория ограничена меридианами %Qs.t = 12°0®*

=4°0® ‘и параллелями фд — 36°N h ф] — 44°N,': меридианы и параллели провести через 2°.

В ы ч и с л е н и е . В связи с тем, что Дф° = ДА,° = 2.°, рассчитаем длину дуги экватора в 2°, т. е. = Ах, по формуле и для кон­троля г/= х для Я Qst,— ~ Ф к — Ф3 = 8°:

ig 100 [Хо = 4,69897 Ig 100 |.т = 4,69897 lg/? = 6,80422 lgy? = 6,804221g2°=0,30103 lg8° = 0,9030'9

lg - ~ = 8,24188 I g -1 = 8 ,2 4 1 8 8

- 1 0 . ' — 1 0

Ig Аг/= 0,04610 Ig г /= 0,6'4816A ^ = 1,112 CM г/= 4,448 CM

Получив значение у, строим сетку квадратов со стороной 1 , 1 1 2 СЛ.

На 'рис. 43 ^изображена картографическая сегка, построенная согласно услов1иям настоящего примера.

Равновеликая цилиндрическая проекция шара .

В равновеликих проекциях увеличение плошадей есть величина постоянная и равная единице, т. е. для цилиндрических проекций

р = аЬ = тп = 1 .

Наибольшее применение из этого вида цилиндрических проек­ций имеет и з о ц и л и н д р и ч е с к а я п р о ек ция, п р о е к ц и я на. к а с а т е л ь н ы й ц и л и н д р , предлож!енная в .XVIH векг Ламбертом. Свойство равновели’кости нзоцилиндрической проекции основано; на том, что поверхность шарового пояса равнд поверхно­сти касательного ц'илиндра, имеющего ту же высоту с основанием, равным большому кругу шара.

Будем считать ординаты от осевого меридиана по формуле (4,62). Величину абсциссы х можно легко вывести «а основании рис. 44 из треугольника ОВС

X = /? sin ф. (4,69)

Для того, чтобы X и г/ были выражены в сантиметрах и мас­штабе карты, необходимо правые части уравнений (4,62) и (4,69)

1 0 2

умножить на главный масштаб уо и на 100, а величину долготы X", выраженной в градусах, разделить на число градусов в радиане. Тогда'

л:=100(Ао/? sin ® см\

^ см.

, Уравнения (4,70) являются рабочими формулами, по которым рассчитывается картографическая сетка в равновеликой цилиндри­ческой проекции Ламберта.

Увеличение масштаба по параллели рассчитывается точно так же, как и для равнопромежуточных цилиндрических проекций, по формуле (4,67). Увеличение масштаба по меридиану можно полу­чить на основании свойства равновеликости, т. е.

!П-1 1

(4,71)

Наибольшее искажение направления вычисляется по формуле

(4,72)s i n = :п — тп + т

Характер искажения длин и углов показан в табл. 16, из ко­торой видно, что искажение длин и углов по мере приближения к полюсам резко увеличивается. Обычно эта проекция употребляется Х1ЛЯ мелкомасштабных карт, на которых показывают распределе­ние географических объектов по зонам в завиоимости от измене­ния широты ф (этнографические, геоботанические и другие карты).

Вычисление картографической сетки в изоцилвндрической проекции, в мелких масштабах, производится следующим образом: меридиан разбивают на отрезки, равные выбранной разности ши­рот в градусах, а параллели проводят перпендикулярно меридиану через полученные точки (рис, 45).

' Г .п со

1,000 1,000 0^00',010° 0,985 1,015 Г 4 5 ' ,020° 0,940 ■ 1,064 7° 7',4-30° 0;866 1,155 16°25',640° 0,766 1,308 30°11',250° 0,643 1,556 49° 2 ',060° 0,500 2,000 73°44',670° 0 ,342 ' 2 ,924 104°28',4

■' 80° 0,174 5,759 140°35',8

ЮЗ

,90'’

Рис. 45. П остр оен и е н зоцилиндрической проекции •Памберта.

;§ 23. Проекция Гаусса

В основе применяемой в СССР системы плоских прямоуголь­ных координат лежит равноугольная проекция, предложенная з начале, XIX века знаменитым немецким математиком Гауссом и носящая его имя. В этой проекции составляются топографические карты СССР в масштабах 1 : 500 000 и крупнее.

Проекция Гаусса определяется следующими условиями, иллю­стрируемыми рис. 46:

1) меридиан, принятый за начальный для счета, долгот Яо, изо­бражается прямой линией, принимаемой за ось абсцисс плоской прямоугольной системы координат с началом в точке О' пересе­чения с изображением экватора;

2) увеличение длин по оси абсцисс постоянно; в СССР прини­мается равным единице, т. е. ' n

О ' А ' ^ О А ; О ' В ' ^ ОВ; О'Р' = О'Р / = 0 Р = ОРй

3) проекция равноугольная, т. е. бесконечно малый круг при точке М изображается бесконечно малым кругом при точке М'.

Проекция Гаусса, будучи применена для шара, т. е. для эллип­соида вращения с сжатием а = О, обращается в поперечную рав­ноугольную цилиндрическую прое;Кцию, что до некоторой степени оправдывает пазвапие проекции Гаусса, проекции эллипсоида вра- шения, «поперечно-цилиндрической». , ,

В проекции Гаусса точка М{ц>, 1 — Х — Яо) изображается точ­кой М'{х, у), причем л: = /i (ср, /); I /= ^(ф, /)■

ПолЬж^1тельным (северным) широтам ф соответствуют в проек­ции полож.ительные абсциссы х; положптёльным (к iBOiCnoKy от

104

начального меридиана) приращениям долготы I соответствуют по­ложительные ординаты у (рис. 47). ;

Проекция симметрична относительно' изображений начального меридиана и экватора, так что для точек М\ (ф, 1) и Мг (ф, —/) их изображения М / и М 2' имеют координаты: Х\ = Хг, у\ = — г/г; для точек М з ( — ф, I) и М 4 ( — ф|, —/) их изображ1енйя я М^' имеюткоординаты: Хз = лч = —Хь г/з = — Уа = У\. Чтобы, соблюсти эти '1ребо'вания, т. е. чтобы при равных широтах и противоположных но знаку приращениях долготы абсциссы нзобра>кбний были одина­ковы, а ординаты имели знак /, нун<.но, чтобы абсцисса была функ­цией четных степеней I, а ордината — функцией нечетных степеней.

а )

Рис. 46. Э лли псоид вращ ения (а ), ег о и зо б р а ж ен и е в проекцииГ аусса {б) .

СССР расположен в северном полушарии, поэтому при изобра­жении его территории в проекции Гаусса абсциссы положительны.

, Из определения проекции выводятся следующие формулы точ­ки в проекции Гаусса, определяющие для точки М', изображаю­щей точку М(ф, 1 = % — 7i-o), плоские прямоугольные координаты X , у; сближение меридианов у, т. ё. угол при точке М' между ка­сательной к изображению меридиана и осью абсцисс, и масштаб проекции в функции ф и Для формул даем приближенные вы­ражения:

x = X - j — J V sin <р cos 9 + . . . ^ 1 1 1 (4 .73)

105

I /яу — — N coscp+ cos® ©+ . . . 11 costp'/° км-., (4,74)

I tY = /- s in 9+ - ^ sin 9 €08 (0+ ... «s/.-sin cp; (4,75)

c.os^®+ . . . ^ 1 + ^ . (4,7G)

В этих формулах: X — длина дуги меридиана от экватора до параллели ф; 111 км — примерная длина Г 'земного экватора и меридиана; N — наибольший из главных радиусов кривизны изо­бражаемого эллипсоида; 111 cos ф — примерная длина 1° парал­лели с широтой ф в КМ-, р — вы|^ажение радиана в тех единицах, в каких взята величина /; R = средний радиус кривизны нашироте ф. ,

Искажение длин в проекции равно

(4,77)

К оординатны е зоны

Масштаб в проекции Гаусса увеличивается по мере удаления от начального меридиана. Чтобы уменьшить искажение масштаба, при составлении карт и применении в геодезии плоских прямо­угольных координат в этой проекции земная поверхность разби­вается на м е р и д и о н а л ь н ы е , или так называемые к о о р д и ­н а т н ы е з оны. 'Зоны по широте простираются от полюса до полюса, а по долготе — на 6°. Иногда для составления ведом­ственных крупномасштабных съемок применяются трехградусные зоны. -

Для стандартной шестиградусной зоны наибольшее линейное т:скажение на экваторе достигает величины Vtso. В трехградусных зонах эти искажения значительно меньше и не превышают '/з2оо-

. Меридианы и параллели в проекции Гаусса представляют со­бой кривые линии, за исключением осевого для данной, зоны ме­ридиана, являющегося в ней начальным, который изображается прямой линией, перпендикулярной, экватору (рис. 48).

Каждая зона имеет свою систему координат.Вся поверхность земного эллипсоида делится на 60 шестигра-

дусных зон. Счет зон ведете^ от Гринвичского меридиана к во­стоку. Каждая зона имеет свой номер {п).

Долгота осевого меридиана зоны L q определяется по формуле

1 о = 6 я — 3 ° . ( 4 , 7 8 )

106

З н а я Lo, м о ж н о о п р е д е л и т ь н о м е р з о н ы

п = ( 4 , 7 9 )

Координаты д; и у измеряются в метрах. На пракгике для по­лучения всех ординат со знаком плюс их значения увеличивают

Рис. 47. Правила знаков в проекции Гаусса.

Рис. 48. Меридиональная зона в проекции Гаусса.

на 500 ООО Ji и, кроме того, перед значением ординаты ставят но­мер зоны. Записанные таким образом координаты называются у с л о в н ы м и . Например: условная ордината ра®на 5 400 000 .и. Это означает, что п = Ь, а у = — 100 000 м.

С ближ ение м еридианов и AHpeifUHOHHbie углы

В проекции Гаусса все меридианы, за исключением осевого, совпадающего с ^ocью Ох, представляют собой кривые линии (рис, 49). Из рисунка видно, что меридианы РМ составляют с осью Ох некоторый угол у, который, как было оказано, называется с б л и ж е н и е м м е р и д и а н о в .

Как известно, в геодезии направление любой линии опреде­ляется азимутом А. А з и м у т о м называется угол между север-, ным направлением меридиана и направлением горизонтальной проекции линии на местности, отсчитываемый по ходу часовой стрелки.

107

в проекции Гаусса направление любой линии оп-ределяется уг­лом, образованным положительным направлением оси абсцисс и данной линией, отсчитываемым по часовой стрелке. Этот угол на­зывается д и р е К 'Ц и о н н ы м у г л о м и обозначается буквой Г или а. Поэтому для связи, направлений в натуре и на проекции

■ Гаусса следует пользоваться формулами, которые легко выводятся из рис. 49

(4,80)Выражение (4,80) представляет собою сумму алгебраическую. Величина сближения меридианов у берется .из Картографиче­

ских таблиц по аргументам ф и /. '

Р ис. 49. С ближ ение) м еридианов и дирек ц ион н ы е укчы.

К илометровы е линии

Для удобства пользования картами в проекции Г аусса, а также картами и в других проекциях (например, Меркатора) очень часто наряду с меридианами и параллелями наносят координатные ли­нии системы прямоугольных координат, которые называются к и ­л о м е т р о в о й с е т к о й . Километровая сетка состоит из кило­метровых линий.

Километровые линии представляют собой прямые,. параллель­ные осям координат со значениями абсцисс и ординат, равными определенному числу километров. Сетка квадратов, образуемая двумя сИсте.мами равноотстоящих километровых линий, и носит название километровой сетки. '

На поверхности эллипсоида километровым линиям соответ­ствуют сфероидические кривые, очень близкие к геодезическим ли­ниям, нормальным и параллельным к осевому меридиану.

Расчет километровой сетки производится по Картографическим таблицам, ^которые дают возможность .получить долготы и широ­ты, точек пересечения километровых Л'иди.й с параллелями'и ме­ридианами. ,

108

При ВЫЧИ9Л6НИИ картографической сетки в проекции Гаусса необходимо, в первую очередь, установить значения географиче­ских координат (ф и Я) углов рамки карты, далее определить дол­готы меридианов и широты параллелей, которые должны быть нанесены на карту, и составить схему карты. На схеме следует обозначить рамки карты и точки перасечения меридианов и парал­лелей (рис. 50). При этом надо помнить, что меридианы и парал­лели наносятся на проекцию Гаусса только для ориентирования.

Выполнив эти несложные построения, приступают к вычисле­нию картографической сетки, для чего:

1) определяют координатную зону и значение осевого мери­диана по формулам (4,78) и (4,79);

2) назначают условные начальные координаты, абсциссу Хо южной и ординату уо западной или восточной рамок, относительно которых будут производиться все дальнейшие вычисления;

3) по известным географическим координатам рамки карты, то­чек пересечения меридианов и параллелей и опорных пунктов рас­считывают плоские прямоугольные координаты этих точек, а так­же расстояния л: — Хо, у — уо их до южной и западной (восточной) рамок.

Перевод географических координат, в плоские прямоугольные координаты может быть выполнен по:

а) Таблицам вычисления прямоугольных и географических ко­ординат. Изд. ГУ ВМС, 1948; .

б) Таблицам координат Гаусса — Крюгера для широт от 32 до 80° через 5' и для долгот от О до 6° через 71/ 2' и таблицам разме­ров рамок и площадей трапеций топографических съемок. Эллип-.. соид Красовского. 3-е изд. М., Госгеолтехиздат, 1963;

в) Таблицам прямоугольных координат углов рамок, размероврамок и площадей трапеций топографических съемок масштаба 1 :5 ООО для широт от 36 до 68°, Эллипсоид Красовского, М., Гео- дезиздат, 1953; ■

4) устанавливают интервал, с которым будут проведены.#:Кило- метровые линии, и вычисляют их расстояния до южной и запад­ной рамок;

5) по полученным значениям расстояний от Хо и у^ строят ки­лометровую сетку и наносят опорные пункты.

Пример.* Вычислить рамку карты и картографическую сетку для составления карты в проекции Гаусса в масштабе 1:50 000.

Дано: cpN=58°55'N; cps=58°38'N; Xw=3°36'W; XQst=3W W .

§ 2 4 . В ы ч и с л е н и е к а р т о г р а ф и ч е с к о й с е т к и в п р о е к ц и и f a y c c a

* П ример взят из книги: Г л и н к о в Е. Г. Н авигационны е пособия. Л., изд, У Н ГС ВМ Ф , 1960,

109

Начальная абсцисса Ло = 6ЙбОООО,б м\ начальная ординат;- г/о = 1 500 000,0 м.

Километровые линии провести через 5 км, параллели — через 5' по широте, меридианы — через 10' по долготе.

Схема точек пересечения меридианов и параллелей и углоЕ рамки устанавливается по рис. 50.

38°55, , с - з3°30'

13 °2 0 '

23°10'

3 с-в

ев®50'

б8®4б'

58° 40*14

Ю-3

10

15

19

1,1

16

2 0

12

17

21

13

18

ю-в3 ° 3 6 ' ' .Ч°00'

Р ис. 5 0 . С хем а рамки карты в проекции Г а у сса .

Р е ш е н и е ,

1. Определяем координатную зону п = 3 ° + 3°

2. Осевой меридиан Lo = 6п — 3° = 3°W.3. За начало координат возьмем Ю.—В. угол рамки; в связи с

тем, что осевюй меридиан зоны совпадает с восточной рамкой. Но вообще Хо и Уо могут быть выбраны совершенно произвольно.

4. Вычисляем пря1моугольные координаты углов рамки карты и точек пересечения меридианов и параллелей (табл. 17).

5. Вычисляем километровую сетку (табл. 18) .6._ По'полученным данным CTponivi картографическую и кило­

метровую сетки карты в проекции Гаусса.

1Ю

Таблица IT

Н а им ен ован и е

Ш ирота tp

А— дол гота ,

/ —дол гота от

о сев о го м еридиана

Р асстоян и е в с м

ИЛИ пунктаУ

от JC„ ДО Ув

С — 3 угол S 8 ° 5 5 ' - 3 ° 3 6 '- 0 ° 3 6 '

6 533 655,3 — 34 598,4 1 465 401,6

67,311. - 6 9 , 1 9 7

С — В угол 58°55 ' - 3 ° 0 0 '0°00'

6 533 600,5 0,01 500 000,0 V

67,001 0,00-

Ю — 3 угол 5 8 ° 3 8 ' - 3 ° 3 6 ' — 0*^36'

' 6 502 094,7 -^ 3 4 880,8 1 465 119,2

4,189 . - 6 9 ,7 6 1

Ю — В угол 58°38' - 3 ° 0 0 ' 0°00 ' '

6 501 939,1 0,01 500 000,0

3,878 0,0fr

Точка 1 58°55' - 3 ° 3 0 '-О ^ЗО '

6 533 608,1 - 2 8 834,5 67,216 - 5 7 ,6 6 9 '

Т очка 21 68°38' - 3 ° 1 0 '- 0 ° 1 0 '

6 501 951,1 - 9 681,6 •3,902 — 19,363.

Таблица l8

Н аим енование к ил ом етр овой

линии X

Р асстоян и е

рт Хо в с м

У словн ы е ординаты

к и л ом етр о­вы х линии

у

Р асстоян и е

от Уо в с л

Н аим енование кил ом етровой

линии у

6 500 0,00 1 5 0 0 0,00 0, 6 506 10,00 1 4 9 5 10,00 - 5

6 5 1 0 20,00 1 490 20,00 - 1 0,6 515 30,00 1 4 8 5 30,00 — 156 520 40,00 1 480 40,00 ■ - 2 06 525 50,00 ' 1 475 50,00 - 2 56 530 -60,00 1 470 60,00. - 3 06 535 .70,00 1 465 70,00 — 35

11 460 80 ,00 - 4 0

П2

г л а в а :Y' ' i

АЗИМУТАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ

§ 25. Общая теория

Согласно определению, азимутальные проекции выражаются уравнениями следующего вида:

C f ' 1 .

где р — радиус параллели на карте; б — угол между меридианами.Из формул (5,1) видно, что азимутальные ‘проекции являются

частным случаем конических проекций, когда коэффициент про­порциональности а = 1.

Вид функции р = /(ф) зависит от того, какую азимутальную проекцию следует получить: равноугольную, равновеликую или произвольную.

Зная полярные координаты р и б, можно построить картогра­фическую сетку в любой азимутальной проекции.

Меридианы и параллели в азимутальных проекциях пересе­каются под ' прямым углом, а отсюда следует, что мёридианы и параллели совпадают с главными направлениями эллипса искаже­ний. Поэтому масштабы по меридианам и параллелям являются наименьшим и наибольшим из всех возможных, а увеличения масштабов т и п будут численно равны полуосям эллипса иска­жений а \\ Ь. ■

Выведем формулы масштабов по меридианам и параллелям з азимутальных проекциях шара. Возьмем на шаре бесконечно ма­лую трапецию ABCD\ в проекции,она изобразится плоской трапе­цией A'B'C'D' (рис. 51,а и б). Частный масштаб по меридиану бу­дет равен • •

А ' В '(5.2)

где А'В ' — линейное приращение радиуса параллели ф ; АВ — длина дуги' меридиана на шаре, .равная Rd(f. Подставив

8 , 113

значения А'В' и АВ в формулу (5,2), окончательно по­лучим ,

d p

R d ^ -(5,3)

' Знак минус в уравнении (5,3). поставлеге вследствие того, что с увеличением широты ф радиус параллели р будет уменьшаться.

а ) б)

Р ис. 51. Трапеция на зе.мном эл л ип сои де A B C D (а ), и зо б р а ж ен и е этой трапеции A ' B ' C ' D ' в азим утальной проекции (б').

Зная, что увеличение масштаба равно отношению частного мас­штаба к главному, получим

т ~ — d p

\ ^ . ^ R d v i '

Масштаб по параллели можно представить, как отношение

A'D '

(5,4)

A D '

где — равно p<iS (см. § 15); Л£) — дуга параллели на шаре, равная R cos фйЯ = г d'k. Отсюда

• p d b(5,5)R cos ср d'k'

Но, согласно формуле (5,1), б = Я. Тогда окончательно получим

РR cos ср

( 5 , 6 )

114

п=^---- ^ = (5,7)1 0 R c o s <f

Поскольку меридианы и параллели совпадают с главными на­правлениями, то выражение длй масштаба площадей и формулы для наибольшего искажения углов будут такими же, как и в, ко­нических проекциях (см. формулы (3,8) и (3,9) в гл. П1).

Нормальные сетки азимутальных проекций применяются при построении карт северного и южного полушарий, или полярных областей.

Для построения картографической сетки в нормальном поло­жении радиусы параллелей р вычисляются по формуле (5,1). Ме­ридианы «б рассчитываются по формул,е

/ \= 2 p s in - ^ , - (5,8)

где X — хорда, стягивающая отрезки параллели между начальным и данным меридианами (см. рис. 32).

Построение сетки производится с помощью циркуля и линейки.

§ 26. Азимутальные проекции в косом и поперечном положениях

Для изображения восточного и западного полушарий или об­ластей, близких по своей форме к кругу и находящихся в районе экватора, употребляются поперечные сетки. Карты материков и территорий, имеющих округлую форму и расположенных в сред­них широтах, строят на сетке в косом положении.

В этих случаях в виде нормальной сетки изобразятся коорд!!- натные линии системы с полюсом в точке Z, выбираемой в центре изображаемой области. Координатными линиями являются в е р ­т и к а л ы ZZi (аналогичные географическим меридианам), опре-. деляемые а з и м у т а м и а, отсчитываемыми по часовой стрелке от направления на географический полюс Р, и а л ь м у к а н т а ­ра ты (малые круги, аналогичные географическим параллелям), определяемые зенитными расстояниями z, отсчитываемыми от точки Z (рис. 52). Так что формулы азимутальных проекций в об­щем виде будут

}

У в е л и ч е н и е м а с ш т а б а п о п а р а л л е л и

8* 115

в выражениях ;(5,9), сравнительно с (5,1), географические ко- Gp^HfiaTbi ф и Я заменены сферическими координатами г и а в нормальной системе.

Для того чтобы построить сетку, например в косом положении, необходимо найти сферические координаты z и а в нормальной системе любой точки /VI (рис.;53) через ф И/Я по формулам сфери­ческой тригонометрии.

Рис: 53. Координатные линии системы, нормаль­ной для данной проек1Н1н.

Пз сферического треугольника AdZP, где Z — полюс нормальной системы координат с широтой фо и долготой Яо, получим

cos sin 'fo sin 'f + cos cos f cos (л—Aq),

sin z cos a —.cos cpo sin cc —sin cp cos cp cos (л~Ло),

sin г sin a = c o s cpsin Q-—Ao).

(5,10)

Для решения этих уравнений должны быть выбраны широта фо и долгота %о полюса Z нормальной системы.

Если необходимо построить сетку в поперечном положении, т. е. когда фо = О, то формулы (5,10) примут вид

,cos z = cos ср ops (А—/.,)), tg a = c t g ? sin (X—Ао).

( 5 , 1 1 )

116

Картографическая сетка в. поперечном и косом положениях строится по прямоугольным координатам точек пересечения мери­дианов и -параллелей, так йак в этих проекциях меридианы и па­раллели представляют собой кривые линии. Поэтому, получив по­лярные координаты (р, б) этих точек, необходимо вычислить их , прямоугольные координаты. Связь между прямоугольными и по­лярными координатами может быть получена на основании сле­дующих -несложных выводов. Из рис. 54 видно, что

Рис. 54. Связь между полярными» прямоуголь­

ными коорди!1атами.

/

, г/ = р sin S.X' = р cos б.

Но, как известно из .фор мулы (5,9), б = а, отсюда

; У = 9 s i n Cl-

X = р cos fl,В общем виде, учитывая, что p = f (z) , связь между прямо­

угольными. ‘И нормальными сферическими координатами можно

(5,12)

(5,13)

записать в таком виде:X = fi{z, а), у = h{z , а).

(5,14)

Величины г и а выбираются из Картографических таблиц по аргументам ф и

117

§ 27- Равновеликая азимутальная проекция Ламберта

Равновеликая азимутальная проекция была предлож1ена в 1772 г. немецким ученым Ламбертрм.

Условие равновеликости для азимутальных проекций, как и: -, вестно, заключается в том, что тп = 1. Тогда на основании общих формул увеличения масштабов по меридианам и параллелям ази­мутальных проекций, считая р,о = 1, можно написать

fir, г\= 1Rd< R cos Ф

илиrfp р

- 1 , (5,15)

где "& = 90° — ф и с ростом гаолярного расстояния § растет и р.- Перепишем уравнение (5,15) в следующем виде:

[.‘dp = sin fl- •

После интегрирования получим ’■

j ' pdp = J sin a rf»; = R^ ( - cos & + 1). и

p2 = 2/?2(l— COS^). • (5,16)

1 — Cos & = 2 sin ~|-5

0Отсюда

оаменим

следовательно.

или

P = 2 / ? s i n y . .(5,18)

Выведем формулы увеличения масштабов по меридианам и па­раллелям. Для этого воспользуемся уравнениями (5,4) и (5,7), приняв [Хо = 1.

Увеличение по меридиану .

“ = ' ( 5 , 1 9 )

118

В з я в в м е с т о о е г о з н а ч е н и е и з ф о р м у л ы ( 5 , 1 8 ) , п о л у ч и м

:R cos-i- d(}.

Отсюда' можно написать, что1}

Rcos «'8т =

R d b= cos

или

п-

т = cos

Увеличение по параллели

Р Р

9 0 ° - с р

2/? sin у

cos ср R sin fl

Масштаб плошади будет

2R sin

р = та = cos О

2

cos

о

= sec

(5,20)

(5,21)

• s e c - 2 = 1 .

Наибольшее искажение углов можно вычислить, подставив в формулу (3,9) значения т и «:

(5,22)

Мелкомасштабная каргографическая сетка в равновелико}! азимутальной проекции может быть выполнена графическими по­строениями '(рис. 55). Параллели проводят циркулем, радиусом р =

= 2 sin — , равным хорде от полюса

Z до соответствующего значения ■& на вспомогательном круге, а мери­

дианы— по формуле К = 2psin — ,

где X — хорда, стягивающая дуги пХ между начальными и изобра­жаемыми меридианами (рис. 55).

Характер искажения масштабови углов в равновеликой азимуталь- „ „-L ^ - Рис. 0 0 . Построение кар-

■нои проекции наглядно виден из^ тографической сетки втабл. 19, проекции Ламберта:.

119

Таблица 19

& ' т п Р (1>

0° 1,000 1,000 ' f 1 O-’OO'15° 0,991 1,009 1 1 0°59'30° 0,996 1,035 1 3°00'45° 0,924 1,082 1 9°04'60° 0,866 1,155 1 16°26'75° 0,793 1,260 1 26°17/90° 0,707 1,414 1 38°57'

■ 'Картографическая сетка в прямой равновеликой .азимутальной проекции предст,авлена на рис. 56.

Рис. 57. Картографическая сетка Рис. 56. Картографическая сетка вчтрямойя в прямой равнопромежуточной

равновеликой азимутальной проекции.Яш азимутальной проекции.

1§ 28. Равнопромежуточная азимутальная проекция Постеля

Равнопромежуточная азимутальная' проекция была предложена в XVI веке французским математиком Постелем.

Согласно условию равнопромежуточности, увеличение масшта­ба по меридианам т равно единице. Для определения значения радиуса р восполь'Зуемся формулой (5,4), приняв fio = 1;

1 2 0

' _ 1 ‘/?й?<р

Решив это уравнение относительно йр, полупим^ p = — R d < f .

После интегрирования будем иметь9

Г / т ' ^P = — R d f — R \ - ^ — ф

(5,23)

Заменив — ср полярным расстоянием О, можно написать:

■р = Rb. (5,24)Вторая полярная координата б = Я. ‘

Увеличение масштаба по параллели легко определить из фор­мулы (5,7) ’

Rb I)(5,25)/? cos f R sin О sin

Масштаб плош,ади, вследствие того, что m = 1, будет равен

р — п —s in ! } '

(5,26)

Наибольшее искажение углов можно получить на основании' формулы (3,9)

tg l45°- 4 ni(5,27)

Характер искаж-ения масштабов и углов в проекции Постеля можно видеть из табл. 20.., '

Та бл иц а ?0

ь п = р т СО

0 °. 1.000 1 0°00 '15° 1,012 . 1 0°39'30° 1,047 1 2°39'45° 1,111 1 6 °0 Г60° 1,209 1 10°52'75° 1,355 1 17°21'90° 1,571 1 2Ь°40'

121

■ Построение картографической сетки производится графически по тем же формулам, как и в равнореликой проекции Ламберта.

Проекция Постеля используется для карт северного и южного полушарий. На рис. 57 представлена картографическая сетка в равнопромежуточной азимутальной прое1 ции в прямом полол^е- нии. ' :

В проекциях Ламберта и Постеля можно изобразить весь шар бт 0 < |> < п, причем полюс ■д == я изобразится окружностью ко­нечного радиуса. . ■ '

122

ПЕРСПЕКТИВНЫЕ ПРОЕКЦИИ

|§ 29. Общая теория

В § 13 говорилось о том, что перспективными называются ази- ■1утальные проекции, которые получаются при проектировании по- ;ерхности Земли, принимаемой за шар, иа картинную плоскость 13 постоянной точки зрения, лежащей на перпендикуляре к кар- инной плоскости, проходящем через центр изображаемого шара.'

Перспективные проекции применяются как в нормальном по- южении, так в поперечном и косом.

В тех случаях, когда полюс нормальной системы сферических соординат совпадает с географическим полюсом, общие уравцения' 1ерспективных проекций имеют следующий вид;

6 = 1 , j

'де А- — поляррое расстояние в географической системе сфериче­ских координат. '

Для проекций в косых и поперечных положениях общие урав -16НИЯ перспективных проекций выражаются в функции координат в нормальной системе, а именно:

I ' ' ( 6 . 2 )б = а, ')

где 2 — зенитное расстояние; а — азимут.Координаты Z и а узловых точек картографической сетки с за­

данными значениями ср и {% — А,о) вычисляют по формулам (5,10) к (5,11), в которых фо, Л() — географические координаты полюса Z нормальной системы координат, выбранного в зависимости от рас­положения на земной поверхности изображаемой области.

Для определения величины полярной координаты р, общего для всех перспективных проекц11Й, рассмотрим рис. 58, где: М — точка, проектируемая на картинную плоскость; ф и Я — географические

’ " ' г л а в а V I '■ \J ’ '

123

координаты точки М; г ъ q.— азимутальные координаты точки ^ Со — центр земного шара; О — точка зрения, откуда производите проектирование; Д — расстояние от тОчки зрения до( центра шар К — расстояние от точки зрения до картинной плоскости (ка тинное расстояние); Z — полюс нормальной системы координа М' — проекция точки М на картинной плоскости; х, у — прям угольные координаты точки М'\ р, А — полярные координат точки М'; Р — географический полюс; ЕЕ — плоскость экватор jMQ — перпендикуляр, опущенный из точки М на центральнь: проектирующий луч OCoZZ’.

Р и с . 58. К вы воду ф орм улы р ади уса параллели в п ерспективны х п р о ек ­

циях.

124

Из подобия треугольников OZ'M' и QMO (рис. 58) можно Р 0Z '

гаписать, что

0 Z 'д ж . (6,3)‘ ~ 0Q

Для определения CoQ и ' QM рассмотрим прямоугольный тре- гольннк QCqM. Гипотенуза СоМ = (радиусу изображаемого

оара), угол QCoM = ZM = 2 . Тогда катет QCq = R c o s z , а'катет = /? sin Z. Отсюда 0Q = Д + ^ cos 2 .

Подставив в уравнение (6,3) значения 0 Z ' = К, QM = R sin г, = Д + R c o s z и считая j.io = 1, окончательно получим

_ K R sin Zcqs Z ■ ^

'' . УВыведем формулы для' увеличения масштабов по меридианам

I параллелям, являющимся главными направлениями.В случае нормальной сетки можно пользоваться уравнениями

'5,4) и (5,7), но для косых и поперечных перспективных проекцийIX следует преобразовать. Найдем увеличение масштаба вдоль леридиана из выражения (5,4)

dpт — —R d ^ ■

Но так как общ ие: уравнения для косых и поперечных сеток шеют вид формул (6,2), то

т = I ' (6,5)

Подставим в формулу (6,5) значение р и продифференцируем jTo выражение

m - ^ R COSS) d[ R sin г - KR sin ( ^ + R cosz )

-1ЛИ • ■ ■ , ,

{Д+ R cos z) K R cos z + KR 'sin- 2, m =R Ч Д Л - R c o s

Отсюда

M K R cos z - { - K R \ c o s 4 + s i n " - z ) m = ---------R { Д -y R c o s z f , ■ ’

125

( 6 ,(

сократив, окончательно получимК {Д COS

^ { Д + R c o s г у

Увеличение масштаба по параллели можно вывести из фор мулы (5,7)

Р _ РR cos ю R sin г ■

Подставим вместо р его значение. Тогда

K R sin Z /<п =

Д + R c o s(6,7

' (Д + /? cos г) R sinМасштаб плош,ади

К ' Ч Я + Д COS г) р — ran— . ^(Д + /? COS г)Наибольщее искажение углов и определяется по формуле (3,9

(6 ,6

, t g ( 4 5 ° + - 4 - ) - yт

п 'Косые и поперечные перспективные проекции вычисляются П'

прямоугольным координатам. Для вывода формул х и г/ восполь зуемся уразнениями (5,13). Подставив вместо р его значение- i общем виде, получим

K R sin Z А'=р COS а ~ -гт I 'п а,

у = р sin а-

Д + / ? С 0 3 2

K R' Д + R c o s z sin Z sin а.

(6,9

Для того чтобы вычислить х и г/ в,косых перспективных проек циях, следует подставить вместо sin г cos а, cosz и sin 2 sin а и; значения из формул (5,10). Тогда

— t COS сро sin ср — Sin tpo COS 9 cos (X — Х,,)!Д + R [sin ®o sin cp-f- COS tpo cos cp cos (X— ^o)]’

K R cos cp sin (X — Xq) ( 6 , 1 0

Д -f- [ sin cpo sin cp + cos f o cos cp cos (X — X(,)JЕсли в уравнениях (6,10) положить фо = 90° (или i& = 0°), тс

получим формулы координат для вычисления нормальной сетки

K R cos ср COS (X — Xq)X =

126

Д + /? з 1 п с р

_ K R cos f sin (X —?4q)Д - f ^ s i n ¥ ~

( 6 , i t :

Знад минус у абсциссы х ставится потому, что счет долгот про­тивоположен счету азимутов.

Соответственно поставленным условиям изменятся и формулы- увеличения масштабов по' меридианам и параллелям

/\ sin tp)т =

п ==

{Д+ R sin К

( 6 ,1 2 )

Д- \-Я sin срПри сро = О (или О = 90°) получим формулы координат для

K R sin tpрасчета поперечных сеток

л : = : Д + R cos ср cos (f—л„) ’_ KR cos ср sin 0-— \))

Д + R cos cs cos (К—Хо) ’

^ _ к IR + Д cos у cos (Х-т-Хр)

п =

/f-+-/^,C0S ср cos (X—Xq)к .

Д + R COS ср COS (X—/.(,)■

(6,13)

(6,14)

Вычисление картографических сеток в перспективных проек­циях производится в следующем порядке;

1) по географическим координатам ф и X узловых точек сетки рассчитываются их координаты z и а в нормальной системе;

2) вычисляются прямоугольные координаты х и у точек пере­сечения меридианов и параллелей (узловых точек) картографиче­ской сетки.

Все формулы, выведенные в этом параграфе; являются общими для вычисления картографических сеток любых перспективных проекций.

>§ 30. Ортографические проекции

■ Перспективные проекции, у которых точка зрения удалена в бесконечность, называются о р т о г р а ф и ч е с к и ми п р о е к ­ц и я м и (/( = Д = о о ) . В этом случае проектирование произво­дится параллельными лучами, перпендикулярными к картинной плоскости, так что изображено может быть только полушарие.

По положению картинной плоскости относительно полюса сфе­рической системы координат Z ортографические проекции разде­ляются на прямые (полярные), поперечные (экваториальные) и косые (торизонтные) (рис. 11). ^

1SI7

Формулы ортографических проекций выводятся на основе об­щих уравнений перспективных проекций.

Найдем выражение для полярной координаты р из формулы (6,4), которую представим в следующем виде:

K R sin 2 ~ I R \ '

Но вследствие того, что К = Д =сю , сократив на К = Д и считая

- д cos.2= 0 '■ получим- ....

o = i?sin2. (6,14')

Увеличение масштаба вдоль меридиана и параллели определимиз формул (6,6) и (6,7). Проделав в этих формулах те же преоб­разования, какие были сделаны с формулой (6.4), можно написать, что '

m = cosz; (6.15)

п = 1. (6.16)

I Из уравнения (6,16) видно, что ортографические проекции яв­ляются р а в н о пр о м е ж у т о ч н ы м и по параллелям проек­циями.

Формулы для определения х я у выводятся-на основании урав­нений (6.10) при Д = Я’=со

X = /?[соз фо sin ф — sin фосоз ф с os (Я — Яо)], у — R cos ф sin (Я — Яо).

(6,17)

Увеличение площадей из формул (6,15) и (6,16) равно

р = тп — cos Z. (6.18)

Наибольшее искажение углов на основании формулы (3,9)

tg (45°-|--^ ) = 1 / ~ = ' ] / ' — — = V sec Z- (6,19) \ . 4 ) у т К cos г:

Формулы (6,14) — (6.19)" являются общими для всех ортогра­фических проекций, и одновременно с этим они служат для вычи­сления сеток в к о с о й (го р из о нт н о й) о р т о г р а ф и ч е ­с к о й п р о е к ц и и . В этой проекции меридианы и параллели имеют вид эллипсов (рис. 12,в).

128 ^

Для вычислёния прямой ортбграфической проекции, т. е. имей- щей нормальную сетку, следует принять фо = 90°, Тогда формулы (6,14) — (6,19) примут следующий вид:

= R c o s ф ,

m = р = з 1 п ф ,

/1 = 1 , '

Х = — i?COS(f>COS (А, — к о ) ,

у = ^?cosфsin (А, — Хо),

tg 45°

( 6 , 2 0 )

В п р я мых , о р т о г р а ф и ч е с к и х п р о е к ц и я х паралле­ли нормальной сетки изображаются концентрическими окружно­стями, а меридианы— прямыми,'исходящими из одной точки по­люса. Углы между меридианами на проекции и в'натуре равны между собой (рис. 59, а также 12,а).

Рис. 59. М акет карты в прям ой о р тогр аф и ч еск ой проекции.

Р ис. 60. П о стр оен и е к ар тогр аф и ч еск ой с е ­тки в прям ой с т е р е о ­граф и ч еск ой п р о е к ­

ции.

Вычисление поперечных (экваториальных) ортографических проекций производится по тем же формулам (6,14) — (6,19), если принять фо = 0°:

129

m=p=Q.os to cos (X—Xu),

д = 1 ,

x = R sin f ,

y = R cos tp sin (>-—M-

i

tg 45°-f- = V sec tp-sec (X—X ).

(6 .2 1

4 ;

В э к в а т о р и а л ь н ы х о р т о г р а ф и ч е с к и х п р о е к ц и я X меридианы представляют собой дуги эллипсов, а паралле ли — параллельные прямые (рис. 12,6).

Следует отметить,,что ортографические проекции применяются на практике очень редко. Чаще всего их используют для астро номических^карт, при изображении планет — Луцы, Марса и т. б

§ 31. Стереографические проекции

Стереографическими называются перспективные проекции, } которых точка зрения помещается на поверхности изображаемоп шара {Д = Ц).

Стереографические проекции — равноугольные и, '.кроме того обладают очень важным свойством изображать на проекции кру' гами круги любого размера на шаре.

В. зависимости от положения географического полюса относи­тельно полюса нормальной системы координат, все стереографи­ческие проекции делятся на прямые (полярные), поперечные (эк­ваториальные) и косые (горизонтнЫе).

Для вывода формул стереографической проекции можно вос­пользоваться общими уравнениями перспективных, либо равно­угольных азимутальных проекций, приняв в последнем случае т - п . .

Поскольку в настоящем пособии эти проекции рассматриваюг- ся как перспективные, все выводы будут делаться на основе тео­рий перспективных проекций, принимая Д = R я K = 2R (проек­ция нг1 касательную плоскость). /

Для определения величины полярной координаты р возьмем формулу (6,4) ,

K R sin г 2R- sin 2- 2R^ sin г'Р' ' Д + R c o s ^ R + R ' c o s ^ R { \ + c o & z )

. 2R sin 2 0D4. ( 6 ,2 2 )

Ш

При 2 = я р— со, т. ё. второй полюс.изображается окружностью бесконечно большого-радиуса. - . ‘ ,

Увеличение масштаба вдоль меридиана и параллели найде.м по формулам (6,6) и (6,7)

т —/ ( {Д cos Z + R) _ , 2 R H c o s г + 1 ) {Д R cos z f

2

R'^ (cos 2-f- l) ‘

COSa-f 1

n —К

— sec*" -p r ,

2RД - ^ R c o ъ г 7 ? ( c o s ^ - f l ) — = s e s ’ cosг 4-1 2

(6,23)

Из уравнений (6,23) видно, что. m п п равны, а это обстоятель­ство подтверждает, что стереографические проекции являются рав­ноугольными (конформными).

Преобразуя уравнения (6,10), получим формулы для опреде­ления х-я у.

x = 2R

y = 2R

___cosjso^^n tp -- sin Pq cos (p cos (X—XJ1 + sin ?o sin cp 4- cos tpo cos « cos (X —

______________ cos cp s in (X—Xq)i -f- sin cpo r.in <p -1- cos cpo oos-cp cos (X Xq) ■

(6,24)

Формулы (6,22) — (6,24) являются общими дл» всех стереогра­фических проекций и одновременно с этим они являются форму­лами для вычисления сеток в косой стереографической проекции. / В к о с о й с т е р е о г р а ф и ч е с к о й п р о е к ц и и картинна,ч.

плоскость параллельна горизонту в какой-либо точке. Меридианы и параллели 'изоюражаются дугами окружностей.

В п р я м ы х с т е р е о г р а ф и ч е с к и х п р о е к ц и я х картин­ная плоскость параллельна экватору: Меридианы изображаются прямыми линиями, сходящимися в одной точке — полюсе. Парал­лели представляют собой концентрические окружности с центром в точке схода меридианов. По,мере' удаления от полюса расстоя­ние между параллелями увеличивается, , .

Для вычисления нормальных сеток следует преобразовать урав­нения (6,22) — (6,24), считая фо = 90°:

Р =- 2R tg {^45°- -J-1 = 2 /? t g ^ ; ( 6 , 2 5 )

4 5 " -2 '

'I'aK к а к 4 5 ° — }

— _ 2/? cos (p cos (X—Xq)1 + sin cp ’

__ 2R cos Ф sin(X—Xq) l + sin®

2 ’

( 6 , 2 5 0

Если картинная плоскость параллельна плоскости какого-ни-- будь меридиана, то получим п о п е р е ч н у ю с т е р е о г р а ф и ­ч е с к у ю . п р о е к ц и ю . В этом случае мериДианы изображаются дугами окружностей. Средний меридиан прямой. Расстояния меж­ду меридианами на карте при одинаковой разности долг:о'т не рав­ны между собой, а возрастают по мере удаления от среднего ме­ридиана. Параллели — дуги'окружностей, и при одинаковой раз­ности широт расстояние между ними увеличивается при удалении Ьт экватора к полюсам.

Вычисление поперечных сеток производится по формулам(6 ,2 2 )-(6 ,2 4 ) при фо = 0°:

p = ^ 2 / ? t g

(6,26)

2 ’

m = = n = s e c ^ г ^ - у

Х -— 2/? sin '9^“ 1 -1- cos ср cos (X — kg)’

^ __2R cos ср sin (X—Xq)1 + cos cp cos (X—Xq)'

Изменения искажений масштабов в стереографической проек- :ции приведены в табл. 21, которая вычислена при R = 1., , Из .табл. 21 видно, что в общем искажения в этой проекцией невелики, особенно вблизи от центра карты, где увеличения длини. площадей мало отличаются от единицы. По мере удаления от

-цейтра искажения медленно увеличиваются и на изображении эк­ватора в проекции достигают^ величин т = п = 2, р = 4. При # > 90° увеличения растут еще больше и при '& = 180° достигают бесконечности.-- Стереографический проекции широкЬ применяются на практике

при построении карт Арктики и Антарктики в прямом, попереч­ном и косом положениях для изображения полушарий. Кроме того* благодаря незначительным иска^^сениям, которые дают сте-

132

реографические проекции, они используются при построении карт, отдельных стран 'и территорий округлых форм в крупном и сред­нем масштабах.

, Та бл иц а 2!

2 т = п Р (0

0“ 1,000 : 1,000 Ofoo',15° 1,017, 1,035 0*00'30" 1,072 1,149 OtOO'45° 1,172 1,373 ' 0*00'60° 1,333 1,778 0*’0 0 ' '

‘ ■ 75° 1,589 2 ,524 0°00 '90° 2 ,000 4,000 0'’00'

Свойство этой проекции изображать круг конечных размеров кругом дает возможность применят1> стереографические проекции для решения задач сферической геометрии, астрономии и радио­навигации.

Картографические сетки стереографических .проекций строятся F. мелком масштабе — графическим путем, а в крупном масшта­б е — с помошью прямоугольных координат. Графическое построе­ние сетки в прямой стереографической проекции можно видеть на рис. 60.

Из точки О (центра карты) произвольным радиусом проводят окружность. Дуга РА делится на равные части и точки делен'ия соединяются с противоположным полюсом P i. Отрезки 0^, О*, О и т. д. являются радиусами параллелей. Параллели проводятся радиз^сами в заданном масштабе из точки О. Меридианы строят в виде прямых линий под углами, равньши-разности долгот из той же точки О.

§ 32. Центральные или гномонические проекции

В центральных или гномонических проекциях точка зрения на­ходится в центре шара (Д = 0), а картинная плоскость является касательной к поверхности шара, т. е. К = R.

По свойствам искажений эти проекции произвольные, но обла­дают одним очень важным свойством; любая дуга большого круга изображается на них прямой линией. Это объясняется тем, что при проектировании из центра шара дуги больших кругов прохо­дят через центр и дают на, проекции прямую линию. А так как о р т о д р о м и я представляет собой дугу большого круга, то она изображается прямой. Благодаря этому ценному свойству цент­ральная проекция находит широкое применение в морской и аэро­навигации и для -построения карт звездного неба.

133

Р ис. 61. К артограф ическая сетка в центральной проекции: в прямом (в ), попереч н ом (ff) и к осом (в) полож ен иях.

134

в зависимости от положения картинной плоскости относительно полюса сферической системы все центральные проекции делятся на прямые (полярные), поперечные (экваториальные) и косые (горизонтные).

В п р я м ы х ц е н т р а л ь н ы х п р о е к ц и я х географическай сетка совпадает с сеткой нормальной сферической' системы. Ме­ридианы— прямые, сходящиеся в одндй точке — центре карты — под равными углами. Параллели изображаются концентрическими окружностями. Расстояние между параллелями при постоянной разности широт неодинаково и увеличивается при удалении от по­люса (цецтра карты) к экватору (рис. 61,а).

П о п е р е ч н ы м и или э к в а т о р и а л ь н ы м и ' ц е н т р а л ь ­ными п р о е к ц и я м и называются такие, у которых картинная плоскость касается земного шара в какой-то: точке экватора. Ме­ридианы представляют собой прямые параллельные линии, пер­пендикулярные плоскости экватора. При постоянной разности дол­гот расстояние между меридианами неодинаково и увеличивается от осевого меридиана к востоку и западу. Параллели изображают­ся кривыми линиями— гиперболами (рис. 61,6).

В к о с ы х (г о р и 3 о н тн ы х) п р о е к ц и я х картинная плос­кость может касаться земного шара в любой выбранной точке. Меридианы являются на карте прямыми, сходящимися в ' одной точке — географическом полюсе. Экватор — прямая линия, перпен­дикулярная осевому меридиану. Параллели изображаются гипер­болами (если параллель имеет значение меньше 90° — фо (где фо— параллель точки горизонта), параболами если широта параллели равна 90° — фо, и эллипсами, если широта параллели больше 90°—— Фо (рис. 61,в). .

Для вывода формул центральных проекций воспользуемся об- ншми уравнениями перспективных проекций, считая при этом Л' = /? и Д =-G.' Тогда на основании формул (6,4)-т-(6,10) для ко­сой проекции получим

p— R t g z .

m=sec'-^ 2,

f t = s e c 2 . '

/7=sec'"

, coscppsin y—sintpocos'f cos (>•—Xq)]sintposin cp-f cos focostpcos (X—Xq) ’

costpsin (X—Xq) sin®osin<f4-coscpoCostpcos (X—Xg) ’

X ■■

t g [ 4 5 ° + ^ ) = V sec

(6 ,2 7 )

135

при ,2 =«= 90° р = , т. е, в центральной проекции можно изо­бразить лишь полушарие, н о и то теоретически, так как экватор изобразится окружностью бесконечно большого радиуса,

Формулы (6,27) являются общими для в.сех центральных про­екций.

Для расчета сеток в нормальном положении при фо = 90° и по­перечном положении при фо = 0° изменятся только формулы для определения л: и у, а именно:

для нормальных сеток

X = — R ctg ф cos (А, — Яо),у = ^ ? G t g ф s iп ( л — Яо);

(6,28)

(6,29)

для поперечных сеток

л: = P t g ф s e c ( Я — ,Яо),

^ = i? ' t g ( Я — Яо).

(Максимальные искажения масштабов и углов в центральной проекции приводятся в табл. 22, из которой видно, что по мере

Таблица 22

г ' т и Р ш

0” 1,000 1,000 ' 1,000 0°00'15° 1.072 1,035 1,110 Л°59'ЗОо 1,333 1,155 , 1,540 8°14'45° •2,000 1,414 2,828 19°45'60“ 4,000 2,000 8,000 38°57'76° 14,928 3,864 57,676 72°09'90° оо ■ , СО оо 180® /

удаления от центра карты искажения длин, площадей и углов очень быстро возрастают и на краю сетки достигают бесконечно­сти.

Центральные проекции строят по прямоугольным координатам.

136

§ 3 3 . Номенклатура топографических карт

Топографические карты крупного и среднего масштабов отно-. сятся к номенклатурным картам^ т. е. картам, имеющим опреде­ленное обозначение. Это объясняется тем, что карты стандартных масштабов: 1 : 1 ООООООу 1 : 500 000, 1 : 300 000, 1 : 200 000, 1 : 100 000 и крупнее представляют собой серию листов, которую для прак­тического использования необходимо привести в единую стройную систему, позволяющую быстро подобрать для определенной терри­тории нужные листы карты. Одной из таких систем является но­менклатурная разграфка.

Н о м е н к л а т у р н о й р а з г р а ф к о й называется система разбивки земного сфероида на ряд трапеций в,зависимости от масштаба карты.

За основу деления границ листов принята Международная кар­та мира в масштабе 1:1 000 000. Согласно номенклатурной раз­графке, каждая трапеция миллионной карты имеет по широте 4'Л а по долготе 6°, за исключением листов карт, расположенных выше параллели 60°. Листы карт: в широтах от 60° до 76° имеют протяженность по долготе 12°, а от широты 76° до 88° — протя­женность 24°.

На рис. 62 по:казана номенклатурпая разграфка листов карты масштаба 1 : 1 000 000 для северного полушария. Ряды листов, вы­тянутых вдоль параллелей, составляют ряд или пояс. Ряды счи­таются от экватора до параллелей ±88° и обозначаются заглав­ными латинскими буквами от А до V. Листы рядов северного по­лушария снабжаются буквой Л/','южного — буквой S. Зоны по ме_- рйдианам называются колоннами и обозначаются цифрами от 1 до 60. Счет колонн начинается от меридиана 180.

Таким образом, каждый лист карты в масштабе 1 : 1 ООО ООО имеет определенное обозначение — номенклатуру, например: 0—46

* Каждая трапеция земного эллипсоида изображается на отдельном листе карты в проекции, рассмотренной в § 34.

Г л а в а V I I

П Р О Е К Ц И И Т О П О Г Р А Ф И Ч Е С К И Х К А Р Т

137

i O i 6 2 “ 1 6 6 ° Т Б 0 ® иL.rtiet'T RC

' 2‘Jo33oo33go342°3A®

Рис. 62. Международная разграфка листов карты масштаба 1 :1 ООО ООО (дляодного полушария).

138

1ЛИ L-41. Буквы ряда и номер колонны дают возможность не олько определить номенклатуру листа карты, но и получить ее точное положение на поверхности земного эллипсоида.

Листы карты в масштабе 1 : 1 ООО ООО являются основой' для зазбивки их на более мелкие по плошади трапеции, изображае- ',зые в масштабах крупнее 1:1 000 000. В обозначение проекций Золее крупных масштабов обязательно входит номенклатура мил- пионного листа карты.

Трапеция карты масштаба 1:1 000 000 разбивается на четыре трапеции, изображаемые в масштабе 1:500 000. Листы карт мас- :лтаба 1:500 000 обозначаются номенклатурой миллионного мас­штаба с добавлением заглавных букв русского алфавита— А, Б,5, Г (рис. 63,а ) . ,

а)0-46

3). 0-46

А В.3 »

В, ' Ж0- 46- 2

Э-4в-Г

б ) 0-46

' , II 1П

IV V VI

VII VII! ш IX-0-461»20'

t 2 3 4 6 6 7 В 9 11 \2

1 3 1 4 1 5 1 6 ) 7 1 8 1 9 2 0 21 2 2 2 3

/ А; 2 5 ; 2 6 2 7 2 8 2 9 3 0 31 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6

3 7 3 8 3 9 4 0 41 4 2 4 3 4 4 4 6 4 6 4 7 4 8

4 9 6 0 61 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 6 7 6 8 6 9 6 0

6 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 6 7 6 8 6 9 ; 7 0 71 7 2

7 3 7 4 75 7 6 7 7 7 8 7 9 8 0 8 1 8 2 8 3 8 4

8 С 8 6 8 7 8 8 8 9 9 0 91 9 2 9 3 9 4 9 5 9 6

9 7 9 8 9 9 1 0 0 1 0 1 1 0 2 1 0 3 1 0 4 Ю 5 1 0 6 1 0 7 1 0 8

1 0 9 1 1 0 m 1 1 2 1 1 3 1 1 4 1 1 6 116 1 1 7 1 1 8 1 1 9 1 2 0

121 1 2 2 1 2 3 1 2 4 1 2 5 1 2 6 1 2 7 1 2 8 J 2 9 1 3 0 131 1 3 2

1 3 3 1 3 4 1 3 6 1 3 6 1 3 7 1 3 8 1 3 9 1 4 0 141 1 4 2 1 4 3 1 4 4

0-46-25

А щ

В г

0-46-2S-B

H-46-25-6-6-i>

Рис. 63. Номенклатура топографических карт в масштабах; я - 1 ; 500 ООО; ff— l : 300 ООО; 8 - 1 ; 200 ООО; г - 1 ; 100 ООО; д - 1 ; 50 ООО.

139

Еслр трапецию карты милл(юнного масштаба разделить на частей, то получим трапеции ка)эты в масштабе 1 : 300 ООО. Карп в этом масштабе обозначаются римскими цифрами (I—IX), коте рые пишутся перед номенклатурой миллионного листа (рис. 63,6-

- Трапеция карты миллионного масштаба делится на 36 чаете! изображаемых на листах карты масштаба 1 :200 ООО. Каждая кар та обозначается римскими цифрами от I до XXXVI. В отличие о карт масштаба 1 :300 ООО, цифры пишутся после номенклатур! .миллионного листа (рис. 63,в).

Трапеция карты масштаба 1:1 000 000 делится на 144 части изО:браж'аемые на листах карты масштаба 1 : 100 000. Карты в мае штабе 1 : 100 ООО нумеруются цифрами от 1 до 144. Схема делени! листа миллионной карты на трапеции стотысячной карты показан; на рис. 63,г. >

Трапеция карты в масштабе 1 : 100 000 служит основой для раз графки на трапеции масштаба 1 : 50 ООО, I : 25 ООО и .1 : ГО ООО. Раз графка карт этих масштабов представлена; на рис. 63,(3, причем заштрихованные трапеции имеют номенклатуру.

§ 34. Проекция Международной карты мира в масштабе 1 : 1 000 000

В 1891 году по предложению географа А. Пенка Международ­ным географическим конгрессом было принято решение о создани? единой Международной карты мира в масштабе 1: 1 000 000. Раз работка условий, которым должна удовлетворять эта карта, про должалась очень долго и закончилась только в 1928 году.

В качестве основы для построения карты выбрана видоизмё ненная поликоническая проекция, причем проекция применяется как многогранная, а это означает следующее.i = Представим себе, что поверхность,земного сфероида с помощью проведенных на ней меридианов и параллелей разделена на сфе-

а а

Рис. 64. Изображение сфероидиче- Рис. 65. Соединение листов Между- ской трапеции в многогранной про- народной карты мира в масштабе

екции. i 1 :1 ООО ООО.

140

ойдйческие трапеции. Проведем iiepes центр каждой трапеЦйй лоскость, касательную к поверхности, й спроектируем каждую рапецию на грань полученного многогранника. В результате вся оверхность Земли будет изображена на описанном вокруг зем- ого сфероида многограннике (рис. 64).

Любая проекция может быть применена для изображения на тдельных листах карты отдельных сфероидических трапеций. 1 таких случаях говорят, что проекция применена как многогран- ая. Чем меньше размеры сфероидической трапеции, тем меньше удут проявляться особенности той или иной проекции и тем ольше ее изображение на-плоскости будет приближаться к плану.

Согласно положению о проекции Международной карты мира масштабе 1 : 1 ОООООО, каждый лист карты изображает сфероиди-

ескую трапецию в 4°'по широте и 6° по долготе, как о том гово- илось в предыдущем параграфе. Следовательно, проекция при- [еняется как многогранная.

Рис. 66. Построение сетки на листе Международ­ной карты мира в масштабе 1 :1 ООО ООО.

-141

Каждая трапеция йзобрай<аётся на плоскости по слёДу10ще; закону построения картографической сетки, определяющему пр екцию: меридианы и параллели проводятся через 1°; крайние п раллели трапеции с широтами ф1 и ф2 изображаются дугами о ружностей, описанными радиусами pi и рг из центрО'В, находящи ся на продолжении среднего меридиана; радиусы параллелей

Pl = Л ^ ,ctgф I, .1 (7

р2 = Л^2С1§ф2. I '

Увеличение масштабов по крайним параллелям ф1 и ф2 rii = П2 = 1 , что определяет точки пересечения их меридианами.

Меридианы прямолинейны. Увеличение по меридианам с’ до готами относительно среднего, равными ±2°, равно единице. О сюда следует, что увеличение по среднему меридиану т о < 1 , по крайним меридианам с долготами относительно среднего ± т > \ / .

Укорочение среднего меридиана против величины в натуре, bj раженной в главном масштабе, может быть вычислено, Величи! отрезка среднего меридиана определяет точки пересечения е; крайними параллелями, центры параллелей и само их изображ ние. Через Точки деления крайних параллелей проводятся прям- линейные меридианы. Промежуточные параллели ф проводятся ч рез точки деления меридианов на части, пропорциональные разш стям широт (ф — ф1). Таким, образом, промежуточные параллел строго говоря, не являются дугами окружностей, но отличаютс от них на величины, лежащие за пределами графической точност

Искажения на проекции очень небольшие. Максимальные иск; жения углов в пределах листа карты не более 7', а длин 0,14°/ т. е. по существу эти карты предетавляют собой план.

В связи с тем, что проекция Международной карты мира масштабе 1; 1 000 000 построена в многогранной .проекции, б;, разрыва можно сложить только два соседних листа. Также отсу ствуют разрывы, если сложить листы одного ряда и колонны. И если" сложить 4 или 9 листов, то появляются разрывы (рис. 65 Практически разрывы а и р между отдельными листами почт незаметны. Если соединить четыре смежных листа, имеющих одн общую угловую точку, то наибольший угловой разрыв будет, раве 24',1-созфи, где фц, — средняя широта четырех листов.

Построение сетки листа Международной карты мира в мае штабе 1 ; 1 ООО ООО иллюстрирует рис. 66.

Прежде всего строится средний меридиан листа; на нем точк А (или В) берется. произвольно и от нее откладывается бтрезо

АВ = = l i ^ ( X 2 - X , ) - K , ; (7,2

142

Где ) 2 я Xl — Длины дуг мёр1}дййма от экватора до йрайнйх параллелей карты фг и фь таким образом, (Хг — Xi) — длина дуги меридиана между параллелями ц>\ и фг на земном эллипсоиде, а Ио(Х2 — Xl) — то же, но выраженное в главном масштабе (хо = = 1:1 000000; к — укорочение отрезка f,io(X2 — Х\), определяемое из условия paiBCHCTBa единице увеличения на меридианах карты с долготами + 2°, даваемое в специальных; таблицах для расчета сетки карт в проекции Международной карты мира по аргументам ф1 и ф2.

Построение точек Л и S определяет положение центров Si и S 2 крайних параллелей

A S i = pi = N ictgcpu

(7,4)

(7 .3 )B S 2 = р'2 =•Л 2Ctgф2.

Точки деления крайних параллелей на части, соответствующие однойу градусу по долготе в натуре, стягивают углы

б] = ± Г sin ф,

62 = ± 2° sin ф,

63 = ± 3° sin ф.

Эти углы рассчитывают для, каждой параллели; на рис. 66 они обозначены ± б ' для параллели фь' ± 6''-^ для параллели ф2.

Точки деления крайних параллелей строятся по прямоугол{>- ным координатам, рассчитанным для каждой параллели. Для по­строения этих точек деления за ось абсцисс принимается средний меридиан, а за ось ординат для построения абсцисс точек деления принимается касательная к окружности параллели в точке на среднем меридиане, т., е. перпендикуляры к среднему меридиану в точках А и В. ' ’

Как видно по рис. 66, например, для точки 3";у% = Р2 sin б"зХ / = S 2B — S 2C = Р2 — Р2 COS So"=P2 (1 — COS S 3")

Наконец,

(7,5)

, AV'-=2psin2-2-. (7,6)I

Подобные расчеты производятся для всех 8" и б' и обеих па­раллелей ф1 и ф2.

Через построенные точки, принадлежащие одной параллели, проводятся .плавные кривые, которые являются дугами окружно-' стей и изображают крайние параллели листа карты.

Соответствующие точки деления параллелей ф1 и ф2 соеди­няются прямыми, изображающими меридианы.

143

бтрезкй меридианов между крайнимй параллелями делятся . Х - Х , '

согласно отношению -т;----- , где л относится к каждой проме-Л 2 -—Л 1

жуточной параллели; практически, это '/з и^/з отрезка меридиана между крайними параллелями. Точки деления меридианов соеди­няются плавными кривыми, которые принимают за изображения промежуточных параллелей.

144

ПРИМЕНЕНИЕ ГЕОГРАФИЧЕСКИХ КАРТ В ГИДРОМЕТЕОРОЛОГИИ

§ 35, Географические карты, применяемые в океанологии

Океанологам приходится работать в море, производить каме­ральную обработку материалов натурных'исследований.или зани­маться чиСто теоретическими вопросами, связанными с физиче­скими процессами в морях и океанах. Во всех случаях они имеют дело с каким-то реальным водным объектом. Поэтому, как -пра­вило, всегда, какой бы работой ни занимался океанолог, он в той или иной мере имеет дело с географической картой. И действн- тельно* изучение любого водного объекта без географической, кар­ты немыслимо. '

Карты дают возможность установить связь, размещение и. за­кономерности изучаемых явлений в данном море. Но в каждом отдельном случае следует подходить критически к выбору самой карты; необходимо, чтобы карта давала возможность не только более наглядно, но и с больщей достоверностью и тоЧ(Ностыо изу­чить нуж)ное море или океан.

Все эти обстоятельства обязывают океанологов грамотно поль­зоваться географическими картами и «е только различать ее осо­бенности, но и уметь производить по ней нужные измерения и правильно наносить на карту необходимые гидрологические дан­ные.

Пользоваться картографическим материалом океанологам при­ходится на следующих этапах работы:

1) предварительное ознакомление с водным объектом перед началом экопедицйонных работ;

2) детальное изучение района работ, составление плана и про­граммы научных исследований на конкретном море : или части океана; ‘ '

3) производство дополнительных навигационных определения, дублирование и' проверка: графической прокладки, ведущейся штур-. манскйм составом на экспедиционном судне;

Г л а в а V I I I

10 : 145

4) пользование справочнь1м картографическим материалом в время экспедиционных и камеральных работ;

5) пользование синоптическими картами;6) картирование гидрологических характеристик и составлени

прогностических карт.Для получения хороших результатов в каждом отдельном слу

чае следует со знанием дела отнестись к выбору не только мае штаба карты, Но и к особенностям-той или иной картографическо) проекции. В какой проекции выбрать, карту для данного район, работ и как ею пользоваться, необходимо твердо знать каждому океанологу.

В настоящее вр^мя для' своих исслёдований океанологи в ос новном пользуются морскими картами, составленными в мерка торской, стереографической и центральной проекциях, В некоторы)

"случаях применяются карты в равноугольной конической проекции и проекции Гаусса. Перед тем как пользоваться картами, необхо димо предварительно знать, какую информацию и с какой -досто верностью „может дать та или иная карта. Д ля' океанологов наи больший интерес представляют морские карты. Как известно, (см приложение 1), морские карты делятся на две основные группы: навигационные и справочно-вспомогательные. Рассмотрим, эти две группы карт с точки зрения применения их для океанологически}( исследований как во время экспедиционных работ в море для Сбора основных гидрологических сведений, так и для нанесения результатов камеральной обработки материалов.

Навигационные морские карты

В основном все навигационные морские карты у нас в Совет­ском Союзе и за границей составлены в проекции Меркатора. Мас­штаб навигационных карт от 1 : 10 000 до 1 ; 500 ООО и мельче. При пользовании навигационными картами для океанологических ис­следований в первую очередь следует обратить внимание н а .до­стоверность данных, помещенных на карте, т. е. следует брать для )аботы карту, откорректированную на дату ее использования. Лользоваться старыми картами, не прошедшими корректуру,'не

рекомендуется. Это обстоятельство/особенно важно в тех случаях, когда по картам производится изучение района моря или океана до или во время экспедиционных работ. .При гидрологических ис­следованиях в море исключительно в.аж.ное значение для океано­лога, помимо общих навигационных сведений, имеют такие дан­ные, как нуль глубин, течения, рельеф дна и некоторые другие гидрологические хараг^теристики. Поэтому необходимо знать, по каким материалам и как на навигационных картах нанося.тся эти элементы нагрузки; м ____

146

Нуль глубин. Для морей СССР приняты следующие нули глу­бин. На бесприливных морях и океанах, в которых средняя вели­чина прилива менее 50 см, принимается средний многолетний уро­вень. моря. На морях с приливами более 50 сж «улем глубин яв­ляется наинизший теоретический уровень моря*; при этом, по­скольку в разных участках моря наблюдаются различные вели­чины прилива, нули глубин для таких участков различны. Гра­ницы участков устанавливаются таким образом, чтобы ощибка при приведении измеренных глубин к назначенному нулю в пределах каждого участка была не более ошибки измерения, самих глубин.

На советских навигационных картах, составленных на иност­ранные воды, за высотную основу принимают тот нуль глубин, который указан на иностранных картах для этих морей или ча-

‘ стейюкеана. 'Приливы и течения. На навигационных картах СССР (для

иностранных вод) данные о приливах приводятся в виде таблиц, ■'на свободных от нагрузки участках карты. Эти таблицы содержат сведения о скорости и направлении приливных течений с точностью до 0,1 узла по отношению к моменту полной воды основного порта.

Постоянные течения обозначаются на картах в виде стрелки (вектора) с обозначением скорости течения в узлах, с ошибкой0,25 узла. Следует отметить, что на большинстве навигационных карт условными знаками показываются водовороты, приливо-от­ливные,течения, сулои и спорные течения. На генеральных картах с масштабами менее 1:1 000 000 скорости течения не приводятся.

Рельеф дна. Рельеф морского дна на навигационных картах дается на основании измерения глубин с, определенной частотой промерных галсов. Поэтому получить исчерпывающую картину рельефа дна, практически пока не представляется возможным. Отсюда следует, чтр достоверность нанесения на карту морского дна зависит от степенин гидрографической изученности данного района моря или океана, а также от грунтов, слагающих дно (вид и характер грунтов показывается на карте).

На навигационных картах подводный рельеф изображается Ьт- метками глубин и изобатами (линиями равных глубин). Изобаты в совокупности с отметками глубин дают картину рельефа дна. Изобаты, как правило, проводятся через глубины 20, 50, 100 и 200 м. В мелководных, районах дополнительно наносится десяти- ?/1етровая изобата, в глубоководных морях дайтся изобаты для глубин 500, 1000, 2000 и далее через 1000 метров.

* Иногда в связи .с отсутствием данных наблюдений за нуль глубин могут ]финимать.ся и другие уровни моря.

‘

Справочными ■ и вспомогательными морскими картами океана кОгн пользуются, ■ пожалуй, даже чаще, чем.-навигационными кар тами. Из этих карт наибольший интерес для океанологов, пред ртавляют; бланковые карты, карты гидрометеорологических эле ментов, морские атласы и обзорные карты.

Бланковые карты. Эти карты составляются в масштабах о 1 : 200 ООО до 1 : 50 ООО ООО и могут употребляться для нанесени: на -них результатов гидрологических исследований. Карты и:з даюТся в проекции Меркатора, а для полярных областей— в цент ральной' проекции. На бланковые карты нанесены основные эле менты общегеографической нагрузки: очертания береговой л и н и й

крупные населенные пункты, реки, озера, дороги, иногда прове дены основные изобаты,!но так бледно, чтобы.они не мешали но строению специального содержания.

Карты гидрометеорологических элементов. Как и предыдущие эти карты в большинстве случаев составлены в. проекции Мерка тора, а для полярных областей — в стереографической и централь ной проекциях. Карты гидрометеорологических элементов пред ставляют собой бланковые двухсторонние карты с нанесенной сет. кой меридианов и параллелей. Они -дают в графической форме основные сведения о гидрологическом и метеорологическом режи ме морей и океанов на ка.ждый месяц года. Лицевая сторона кар' гы составлена в масштабах от 1 : 10 000 000 до Г: 50 ООО ООО и при меняется для изображения на ней на те же сроки основных, гидро­метеорологических элементов: постоянных и приливо-отливных те­чений, прозрачности и цвета морской воды, распределения льдов давления, ветр4, температуры воздуха и воды, туманов,'■облачно­сти и т. п. На оборотной стороне карты в более мелком масштабе порядка 1:60 000 000— 1:80 00Ь000 на отдельных схемах приво­дятся данные о волнении, зыби, штормах, ходе ураганов и т. и..

Морские атласы- Морские атласы представляют собой комп­лект морских к^рт, объединенных единым содержанием или на­значением и служат пособием ,,аля изучения морей и океанов. Кро­ме этого, фундаментального, атласа, существует еще много самых разнообразных по содержанию , гидрометеорологических атласои для отдельных морей, океанов или их частей. Обычно гидрометео­рологические атласы состоят из обзорных и. специальных карт, на которых представлены либо комплекс гидрометеорологических ;^лементов, либо один из элементов, например волнение, течение, пр1;ли-вы, распределение льдов, температуры воды, плотности во­ды, давления'^и т. п. В общем случае эти атласы; служат для озна­комления с основными гидрометеорологическими условиями, вод­ного объекта и содержат карты (графики'и таблйцы), в которых

Справочные и вспомогательные советские морские kaptbi

148

оказано распределение типичных; средних и экстремальных зна- '' ений основных гидрологических, метеорологических и аэрологи- еских элементов по месяцам или сезонам. Карты и графики, по- 1еш,енные в атласе, допол.няются пояснениями и табличными дан-!ЫМИ. . . ■

Подобных атласов, как уже говорилось, очень много и они 'вдаются многими организациями, и в'частности научно-'исследо- !ательскими институтами 'И . местными управлениями- Главного '■правления гидрометслужбы при Совете Министров СССР (ГУГМС).

Обзорные морские карты. Эти карты предназначены для обще- 'еографического изучения морей и океанов и также в основном юставляются в проекции Меркатора или, для полярных районов, н стереографической проекции. Масштабы обзорных карт могут 5ыть от 1 : 5 0 0 000 до 1 : 2 0 000 000. Из гидрометеорологических элементов на обзорные карты.наносятся скорость и направление течений и границы распределения льдов.

Карты в центральной проекции. Как уже указывалось, карты в центральной проекции применяются для изображения полярных областей и составлены в основном в масштабе 1 : 1 0 0 0 0 000. Но не. следует забывать, что карты в этих проекциях могут быть так­же с успехом использованы океанологами для о.пределения коор­динат гидрологических станций при плавании судна по дуге боль­шого круга.

Карты в равноугольной конической проекции и проекции Гаусса. При 'плавании во внутренних морях, кроме карт в проекции Меркатора, в некоторых случаях можно пользоваться картами з равноугольной конической проекции.

При гидрологических изысканиях иа морях в прибрежной зо­не, включая сюда и полевые работы под гидротехнические соору­жения, выгоднее всего применять проекцию Гаусса, а также рав­ноугольную коническую проекцию.

Перечисленные! выше советские карты и; картографические по­собия в основном удовлетворяют нужды .океанологии, но'следует оговориться, что в отдельных случаях не исключена необходимость применения географических карт и в других проекциях. Например, к специальных работах, связанных с измерением площадей водной поверхности, ограниченных изотермами, изобатами и другими изо­линиями, пользуются - равновеликими проекциями. Определение площадей,,в этих проекциях наиболее простое.

Несколько слов о масштабах карт. Выбор масштаба географи­ческих карт, в первую очередь, зависит от размеров исследуемой

149

акватории и той подробности, с какой необходимо нанести гидро­логические элементы на' карту. При этом надо по11нить, что чем меньше масштаб карты, тем более сказывается Картографическая генерализация, т. е. объекты наносятся на карту все с большим и большим обобш,ением, а некоторые исчезают вообще.

Справочные и вспомогательные иностранные морские карты

На практике океанологам Д1ногда приходится пользоваться мор­скими картами издания зарубежных госз/дарств. При их примене­нии, следует иметь в виду, что, кроме обычных навигационных карт, о которых говорить не имеет смысла, так как они ни в прин­ципе, ни по содержанию почти не отличаются от советских нави­гационных карт, в. некоторых странах составляются справочные и вспомогательные карты. Эти карты могут быть также широко ис­пользованы при исследовании морей и океанов. Поэтому ниже дается краткая характеристика иностранных карт этого типа.

Английские морские карты- Из справочно-вспомогательной группы этих карт, которые называются «Non-navigational charts», океанологов могут интересовать метеорологические, ледовые, ба­тиметрические и бланковые карты. Большинство справочных и вспомогательных английских карт составлено в проекции Мерка­тора, некоторые в поликонической, а для Полярных областей — в стереографической и центральной проекциях. Кроме карт, гидро­графический департамент английского адмиралтейства выпускает морские атласы. Наибольш&е распространение из них получили «Атлас приливов и приливо-отлйвНых течений Британских остро­вов и прилегающих вод» и так называемые карманные атласы при­ливо-отливных течений.

Американские морские карты. Из большого количества различ­ных американских справочных и вспомогательных карт следует от­метить: Outline charts (бланковые карты) и Oceanographic charts (океанографические карты). -

Бланковые карты в основном составляются в проекции Мерка­тора, а для некоторых морей — в центральнай,/поликанической и равновеликой конической пр.оекциях. Масштабы бланковых карт • колеблются в пределах от 1: 2500 000 до 1:20 000 000. К океано­графическим картам относятся Карты постоянных течений, темпе­ратуры поверхностного'слоя, грунтов и т. д. Все эти карты мелко­масштабные и составлены в проекции Меркатора.

Немецкие морские карты. Справочные и вспомогательные не­мецкие карты представлены картами двух типов: Leerkarten(бланковые карты), которые составлены в масштабах от 1 :3 0 0 ООО до 1 :40 ООО ООО, и Verschiedenekarten (карты разного содержания),

150 . "

уда входит, и группа гидрологических карт. Подавляющее боль- шнство таких карт издается в проекции Меркатора, ;

Морские карты други'х стран почти не имеют справочных и гпомогательных карт с отображением гидрометеорологических лементов, поэтому их описание не. дается.

Приведенная краткая характеристика морских карт показы-- afeT, что-выбор таких карт довольно обширный и они позволяют олучнть вполне удовлетворительный материал дйя общей гидро­метеорологической характеристики района работ. Но кроме уме- ия получить с карты интересующие океанолога сведения, необхо- ,имо еще и уметь из различных измерений на картах получать азличные числовые характеристики объектов в натуре. Поэтому! главе IX излагаются методы и приемы получения из измерений

:о'картам в-различных проекциях длин линий, площадей и осноз- ых морфометрических характеристик водных объектов.

36. Географические карты, применяемые в морской метеорологии

,При зкспедиционнцх работах и при анализе гидрологических . роцессов,. происходящих в море, океанологи «е могут обойтись ез метеорологических' данных. Это обязывает океанологов уметь ' ользоваться всеми метеорологическими пособиями, в том числе иноптическнми картами и картами метеорологических элементов. 16скольку эти материалы излагаются в специальных курсах, то в астоящем параграфе приводятся только сведения о картографи- еских проекциях и масштабах, в которых составлены синоптичё- кие карты, а также дается краткое описание основных картогра- Ьических пособий по морской метеорологии.

Для составления синоптических карт за основу следует прини­мать такие картографические проекции, которые давали бы воз­можность как можно проще и без существенных искажений нано- ■ить на карты ветер и Другие метеарологические элементы. Такими ■войствами обладают равноугольные проекции, у которых мери- шаны представляют собой прямые линии. Исходя из этих сообра- кений Международный метеорологический комитет в 1937 г. ре­комендовал для составления синоптических карт следующие проек- 1ии:

1) .стереографическую проекцию с главным масштабом по па- эаллели с широтой 60° для полярных областей; ,

2) равноугольную коническую проекцию на' секущий конус с ."лавным масштабом по параллелям с, широтой 30° и 60° для сред­них широт;

3 ) -меркаторскую проекцию с главным масштабом по паралле-1ЯМ с широтами ±22°,5 для областей, находящихся вблизи эква­тора. ) V

151

кроме того, необходимо, чтобы масштаб' карты давал возмож­ность разместить на синоптическую карту все данные метеорологи­ческих станций, которые, как правило, располагаются одна от дру^ гой на расстоянии, 100— 150 км. Поэтому в зависимости, от харак­тера синоптических данных применяются карты различных мас­штабов.

В Советском Союзе при составлении синоптических карт при­меняются бланковые карты масштабов:

для основных синоптических карт Д : 10 ООО ООО;'для'^арт барической топографии 1 : 20 000 000; , ■' Ыдля карт погоды северного полушария 1 : 30 000 000; для мировых карт погоды 1,: 40 ООО ООО.При составлении жарт-кольцовок используются бланковые кар­

ты в масштабе 1 ; 5000 000, а для некоторых районов даже в мас­штабе 1 :2 ООО ООО. ' '

Помимо синоптических карт для ознакомления с общим харак­тером метеорологического режима для отдельных морей и океанов составляются специальные метеорологические пособия. Большин­ство таких пособий представЛёно в виде карт гидрометеО|рологи- ческих элементов и морскиХ'атласов' (описание этих пособий изла­гается в § 35). ' ,

152

, ОСНОВЫ КАРТОМЕТРИИ ,

' ' § 37. Общие сведения

■ Картометрия — это раздел картографии, который занимается изучением приемов определения по картам длин линий, площадей и морфометрических характеристик в натуре. Под 1 орфометриче- скими характеристиками понимают такие величины, как средняя высота, средняя глубина, площади физических по1верхностей, объем, крутвдна, уклоныловерхности, изрезанность . рельефа и т. п. Опре­деление этих понятий будет дано ниже.

Определение длин линий и площадей внутри криволинейных контуров на Kapte выполняется в два этапа: а) измерение, изобра­жений объектов на карте и б) установление их действительного значения в натуре. '

'Первый этап, работы не зависит от характера искажений и масштаба карты, в его задачу входит только измерение объекта с помощью определенных инструментов и -принятой методики из­мерения.

? Задачей второго этапа, является учет всех особенностей карто­графической проекции и масштаба карты для перехода к соответ­ствующим величинам в натуре.' , . ' .

На точность результатов измерения: изображений объектов на географических картах влияют два вида оШибок: картографиче­ские и технические.

: Картографические ошибки вызываются: 1) погрешностями при составлении карты; 2) влиянием деформации бумаги, на'которой напечатана карта, и 3) свойствами картографической проекции карты.

К техническим ошибкам относятся: 1) ошибки инструкентов, которыми-производятся, измерения, и 2) ошибки методики изме­рения искомых.величин на'картах.

Таким образом, определение любых величин по географическим картам является в общем довольно сложным и трудоемким про­цессом, а окончательные результаты и их точность во многом за-

г л а в а I X

' 153

висят от технических приемов измерения и от правильного учета характерных особенностей и свойств использованной геогра1фиче- СК0Й карты. .

Коротко рассмотрим все перечисленные выше вопросы. \

Оценка точности карт

' Точность результатов любого' измерения на картах в первую очередь зависит от тех ошибок в положении точек и контуров, ко­торые возникают при составлении самой карты. Поскольку про­цесс составления карты очень сложный, +6~'и учет ошибок при оценке точности карты необходимо рассматривать последователь­но, начиная с полевых топографических работ и кончая оттиском карты, на котором производятся картометрические работы.. О ш и б- к у п о л о ж е н и я ■ к о н т у р н о й т о ч к и , котор ая получается в результате составления карты й которая' определяет ошибку на- ■ несения на карту каждого контура или линии, называют о б щ е й и выражают величиной средней квадратической ошибки.

Положение контурной' точки на карте зависит от точности по­левых съемочных материалов, от ошибок нанесения точки на ори­гинал, карты и ошибок при печати оттиска. Рассмотрим причины появления ошибок в положении контурной точки в зависимости от последовательных операций при изготовлений карты.

Точность полевых топографических работ определяется ошиб-' ками определения и нанесения опорных точек геодезической сети От| и ошибками нанесения на планшет контурных точек относи­тельно опорной сети /Й2. Тогда ошибку положения точки на съемоч­ном планшете можно выразить следующихм уравнением: ' .

tn.— ± V m f + rtuf. i ' ' (9,1)

При изготовлении оригинала карты возникает ошибка съемоч­ного материала «з, которая уменьшается пропорционально отно­шению масштабов съемочного планшета и карты в п раз, и ошибка- перенесения точек со съемочного планшета на карту т^.

Таким образом, ошибка в положении точек на оригинале карты равна ■ ^

и , --------1- I / m (9,2)

Окончательная общая ошибка в. положении контурной точки на оттиске карты /П/ включает в себя ошибку, ms и ошибку /Ие, кото­рые возникают при печати. Следовательно,

, , = i . . . (9.3)

154

Подставляя в выражение (9,3) значение' оШибок ni\, и т. д., можно получить ошибку в положении контурной ■ точки на карте. Например, по данным проф. Н. М.'Волкова, для карты масштаба1 : 500 ООО ошибка Ш7 = ± 1,2 жж.

Влияние картографической генерализации на точность карты

'Содержание нагрузки карты зависит от назначения карты. В зависимости от тех задач, которые стоят перед составителями карты, определяется ' отбор . и обабидение элементов содержания карты и особенности их отображения. Карты одного и того же масштаба, но разного назначения, могут отличаться-одна от дру­гой по содержанию-и полноте отображения одних и тех же эле­ментов. Но, кроме специализации карты, на детальность содержа-- ния в очень большой степени влияет'масштаб карты, так как не всё то,'что можно изобразить на картах крупного масштаба, удаег- ся показаться на картах более мелкого масштаба. Поэтому при уменьшении масштаба приходится отбирать не только те элемен­ты, которые необходимо отобразить на карте, но и одновременно с этим производить' обобщение, т. е. картографическую генерали­зацию. ■

Генерализация проводится при составлении всех* географических карт. Основная ее задача заключается в отборе и обобщении эле­ментов содержания-карты с целью правильной, передачи харак­терных особенностей территории или акватории, которая в умень- шенном'виде и в условных'обозначениях изображается на карте. Поэтому очень часто, даже если позволяет масштаб карты, но не требуется ее назначением, излишняя детализация изображения не нужна, так как она мешает и затрудняет выявление наиболее важ­ных особенностей элементов карты. Например, при изображении-, береговой черты, как правило, приходится исключать некоторую, часть мелких бухт, заливов, мысов, чтобы сконцентрировать вни­мание на наиболее важных и характерных очертаниях береговой линии. То же можно сказать и о генерализации извилистых линий (рек и т. п.), которые в результате обобщения и выделения основ­ных характерных особенностей объектов спрямляются и тем са­мым уменьшаются их действительные размеры, что приводит к ошибкам при Определении длин и площадей этих объектов по из­мерениям их изображения на карте. Отсюда можно сделать вывод, что картографическая генерализация находится в обратной зави­симости -от .масштаба карты. Чем крупнее масштаб карты, тем меньше обобщений и тем с большей, точностью можно определять положение точек, длин линий и площадей контуров ла картах. ■

Проф. Н. М. Волковым были вычислены средние квадратиче­ские ошибки в положении контурных точек на картах за счет ге-

I 155

нерализации: при масштабе карты 1 : }00.000 ошибки в положении точки равны ±0,39 лш, при масштабе } : 200 ООО. ошибки ±Qi67 мм, при масштабе 1 : 1 ОООООО ошибки ±0,82 мм.

Эти данные показывают, ,что ошибка из-за генерализации кар­ты составляет значительную часть общей ошибки в положении контурной точки и тогда общая ошибка с.учетом генерализации карты, по расчетам М. Волкова, может быть выражена вели­чиной ms 2.

Деформация бумаги и ее учет при измерениях на картах

Большое влияние на точность картометрических работ, помимо других ошибок, оказывают ошибки за счет деформации бумаги, ил которой напечатана карта. Несмотря на то, что для печ.^тания карты употребляется специальная картографическая. бумага, ко­торую предварительно подвергают акклиматизации (ее -выдержи-

, вают некоторое, время при определенной температуре и 'влажно­сти, после чего ее деформация становится наименьшей), но она все же деформируется и, это безусловно сказывается на результа­тах определений по данным измерений. Бумага чувствительна к прокату, влажности воздуха и изменению температуры. Различные краски, которыми печатают карты, также по-разному влияют на деформацию'бумаги. ■

Исследования Н. М. Волкова показали, что деформация бумаги колеблется в пределах 0,87о по направлению, перпендикулярному к прокату бумаги, и порядка 0,5% по направлению, совпадающему с прокатом, а. искажение площадей за счет, деформации, бумаги достигает 0,4%.

Поэтому для уменьшения влияния деформации бумаги измере- .ние объектов рекомендуется производить на участках карты раз­мером не более. 10 X 10 сл, в пределах которых деформацию мож­но считать постоянной. При определении объектов, выходящих за пределы этого квадрата, измерение делают по частям. Например, при измерении длин для каждой части следует вычислить новое значение цены растворения циркуля, а’ при определении площа­дей — цену деления планиметра, -

|§ 38. Измерение длин линий на K ja p r a x

Общие сведения

Для измерения прямых и малоизогнутых линий применяются различные циркули-измерители, микрометренные циркули. Для из­мерения длинных прямых 'ЛИНИЙ — штангенциркуль и женевская линейка. Приближенное измерение прямых, кривых и извилистых

i линий производится с помощью обычных курвиметров.', Чтобы по­

156

лучить величину извилистой линий (береговую чёрту, Длину реки и т.' п.) наиболее точно, применяют специальные циркули с по­стоянным малым растворением и специальные курвиметры. При­менение циркулей-измерителей и други.х инструментов безусловно вносит ошибки в результаты измерения линий. Величины средни.х квадратических ошибок одного измерения прямых линий наглядно видны из табл. 23.

Таблица 23

ИнструментСредняя квадратическая

' ошибка^ см.

Обычный циркуль-измеритель . . ..Укороченный циркуль ..........................Циркуль с микрометренным винтомШ тангенц иркуль...................... . . .Женевская линейка' . . . . . . . .Курвиметр . . ................... . ...................

До 10 6 - 8 4 - 5 100 100

В преде­лах кар­

ты ;

0,03 ': 0,025-.0,030

0,025-0 ,0300,025 0,010

1 ;50— 1 : 100' (отно^вдельная. ошибка) ,

При пользовании циркулем с постоянным растворением перед началом рЭ'бот определяют расстояние между иголками циркуля, з. миллиметрах, которое называется в е л и ч и н о й р а ст во р е н и я циркуля. :•

Кроме этого, необходимо знать ц е н у р а с т в о р е н и я цир­куля. Ценой растворения циркуля называется число метров или километров, соответствукЗщее этому растворению на данном учасг- ке карты, с учетом ее 'частного масштаба и деформации бумаги.

■ Цена растворения циркуля |д, определяется путем его отклады­вания на прямолинейном отрезке меридиана или параллели, ле­жащем в пределах трапеции (на которой находится извилистая линия, подлежащая измерению), и сравнения его с длиной этого же отрезка меридиана АХ. или параллели АР, взятых из Картогра­фических таблиц. Такая операция дает возможность учесть одно­временно частный масштаб карты, деформацию бумаги и ошибка построения картографической сетки.

Обозначив число отложений циркуля по меридиану через а по параллели через п^„, получим, что цена растворения циркуля будет равна .

или (9,4)" 'т . л

Найденное значение или служит для нахождения иско­мой длины L извилистой линии, изображение которой содержит растворений циркуля, по формулам: , ' j '

157

, X — ИЛИ (9,5)„Если измерить на карте диркулем ’прямую линию / в сантимет­

рах и одновременИо с этим измерить в сантиметрах отрезок мери­диана Ах'или отрезок параллели Ар и взять ^натуральное значение

' зтих же отрезков ДХ и АР из Картографических таблиц, то длина. /. определяемой линии в натуре, соответствующая длине / .на кар­те, равна ■

' - / .А А ' ■ ,Д РL = l — (9 ,5 )

Учет непостоянства масштабов на картах в различных проекциях

Масштабы длин в , различных картографических проекциях не являются постоянными в пределах данной карты. Они изменяются при переходе от точки к точке,и зависят от направлений. Следова­тельно, при измерении длин линий на картах в Ъй или иной-проек­ции необходимо учесть характерные особенности этой проекции, устано'Вить значение среднего масштаба данной линии и, умножив гГычисленный знаменатель масштаба на величину измереиного' от­резка, получить длину линии в натуре. В каждой проекции сред­ний масштаб определяется по-разному. .Не следует .забывать, что

: изменение масштаба в-пределах листа карты может быть довольно значительным. Поэтому ошибки определения длин из-за изменения масштаба карты стараются сделать такими, чтобы они лежали за пределдмй графической- точности снятия длин с карты. Для

: достижения этого следят, чтобы изменение масштаба, в пределах измеряемого отрезка не .-превышало инструментальной ошибки из­мерения,, т. ,е. .1 :300. Соблюдение этого условия заставляет разби­вать линию ,на отдельные части, определяя для каждой, из них средний масштаб или свою цену деления инструмента. : Рассмотрим более подробно, как это делается в наиболее упот­ребительных картографических проекциях.

Равноугольная цили 1 дрическая проекция (проекция Меркатора)

В проекции Меркатора масштаб длин по любому направлению из точки с широтой ф для шара определяется уравнением

« = з е с ф . ■

Для получения приращения масштаба с изменением широты продифференцируем это выражение

dm = sin ф.зес ф й ф.

. Поделив dm т й1, найдем, относительное у.вели-нение масштаба цри изменении широты на величину б?ф:

■ dm sin :p sec^ cp , * , ' 'm sec Ф

■ Переходя к конечным приращениям, последнее выражение мож­но, представить в следующем виде:

• (9,6)

. Ат 1а:приняв отнощение и решив уравнение относи-

/72 oUUтельно Аср, окончательно получим

Полученная величина Дф'дает возможность вычислить в зави­симости от широты места значения^широтны.х зон, в пределах ко­торых изменение масштаба не будет меняться более чем на 1 ;300..■ Приведем значения :Дф' для широт от. 5 до 80°:

'f . . . . 5° 10" 20° 30"., 40° 50" 60° 70“ §0°Д-f' . 2=12' 1°15' 31^ 20' 14' 10' .7' 4 ' 2 '

Йз ЭТИХ данны.х, видно, что по iviepe удаления от экватора ши­ротные зоны резко’уменьшаются. Этр вполне понятно и объясняет­ся тем, что в проекции Меркатора масштаб изменяется ' пропор­ционально эесф. Кроме того, при измерении кривых и изогнутых линий в этой проек1ьии следует разбивать их на части таким,обра­зом, чтобы каждый из отрезков не выходил за пределы своей зоны .и имел бы свою цену растворения циркуля ц. При измерении пря­мых линий (локсодромий) можно пользоваться средним масшта­бом, независимо от велпчийы широтной зоны, так как практически масштабы изменяются по закону, близкому к пропорциональности, и поэтому значение масштаба посредине между концами отрезка линии И; среднее арифметическое из масштабов измерений линии очень близки между собой. '

Пример. Главный масштаб карты 1 :250000 по стандартной па­раллели 40°. Определить расстояние по локсодромии-между точ­ками А и В. Координаты точки А ( ф = 34°43'4N; Я =. 129°26"6О**). Координаты точки S ( ф = 34°10'4 N; Я = 129°52ЧО^‘)-

С п о с о б ы р е ш е н и я . Определить длину локсодромии меж­ду двумя точками из измерения длины, ее изображения на карте в проекции Меркатора можно несколькими способами:, 1) по сред­нему масштабу линии, 2) путем совмещения с вертикальной рам­кой карты, '3) -с помощью средней длины меркаторской мили,4) аналитическим путем, по формулам навигационного счисления.

. 159

Определение длины прямой АВ первым способом, кроше реше­ния основной задачи, попутно знакомит студентов с определением

' частного масштаба в любой точке карты. Для о^пределения длины прямой'ЛЯ необходимо для измеряемой линии найгти увеличения

' COS Флмасштаба в конечных точках А и В по формуле /г — -------иj ! 'Г ^Яд - | - Пв •

среднее значение rtcj = — — . . .Злая. n.ip И;главный масштаб карты )Ло, легко определить и

среднее значение частного масштаба: (х р = « р р,о. После этого, , измерив прямую АВ с помощью линейки в сантиметрах, получи'М

длину локсодромии в натуре: S ~ 1\ .Вторым способом прямая АВ определяется измерителем, а по­

лученная величина откладывается иа шкале вертикальной рамкн карты симметрично относительно широты средней точки линии; разность:отсчетов по рамке даст расстояние в единицах, в какихнанесей'а шкая’9-

Третий способ предусматривает измерение длины АВ по ча стям. Для этого на вертикальной рамке карты на широте средней точки линии измерителем измеряется расстояние, равное одной или нескольким милям и откладывается целое число раз на отрезке ЛВ,.затем пр. рамке карты определяют величину остатка и прибав- лянэт его к количеству отложений, умноженному на число мил ».- . Для вычисления АВ четвертым — аналитическим способом при­меняются следующие формулы:..

■ о _ (? в — ?лУ cos /( '

- S ' -(9,8)

где,5 — расстояние в милях; (срд — фл )' — разность широт точек А я В в минутах; /С — локсодромический курс; — раз-?юсть долгот между точками Л и В в минутах; Ь л и — ме.Р:,?!’- диональные части. .

Аналитический способ является наиболее точным из всех имею- щиxcяJ приемов измерения прямых линий на картах в проекции Меркатора.

:Р е ш е н и ej . ,1. Измеряем Л В по среднему масштабу линии:а) с помощью циркуля-и масштабной линейки измеряем длину

линии ЛВ: /=■ 27,18 сж;б) определяем; широту середины линий'фср = 34°26'9;в) вычисляем увеличение ^масштаба на концах линии

160

_ СО^О _ _ -COS 40° ■ _ 0 ,7 6 6 0 4 _ i

с о з ? л ~ c o s3 4 = 4 3 ',4 “ 0 ,8 2 1 9 1 ’ ’

„ _ Уо _ _ c o s 40° _ _ 0 ,7 6 6 0 4 _ _c o s c p B ~ c o s 3 4 ° 10 ';4 “ 0 ,8 2 7 3 4 ■ ’

r) определяем среднее значение увеличения масштаба и сред­ний частный масштаб

= 0 ,9 3 0 1 ,

0,9301 _ 1 .Рср— «срМ^о— 250000 268 816’

д) расстояние АВ в натуре равно„ / 27,18X268 816О — ---- ----------------------- -------------- —■ — / O.UD КЛС

Р'ор 1 ' ,,

или В морских милях

73,Оь л ПS = -^ •^=39,42 мор. мили.1 ,оЬ2

2. Измеряем АВ путем совмещений с вертикальной рамкой:

S = 34°46',7 — 34°07',2 == 39,5 мор. мили.

3. Измеряем АВ с помощью средней длины меркаторской мили:

5 = 4 X 9 + 3,4 = 39,4 мор мили.

4. Р1змеряем АВ аналитическим путем по формулам навига­ционного счисления:

а) определяем величину курса

- з Ц й -

/<=г:(180=-32=56')= 147=04;

б) вычисляем величину АВ

— iA. — ------ — ==39;39 мор. мили.cos л: cos(147'U4 ) —0,839

* Da и D в берутся из табл. 1 Приложения 3 интерполяцией со вторыми разностями, как это показано в объяснении к таблицам.

II 161

Поперечная цилиндрическая равноугольная проекцйА (проекция Г аусса ) ,

Масштабы в проекции Гаусса изменяются только по мере уда­ления от осевого меридиана, а разность долгот LS.\^ax — 3°. Поэто­му наибольшее увеличение масштаба даже на краю зоны очень мало и им практически можно пренебречь. Считая в пределах карты масштаб величиной постоянной, при измерении длин в этой проекции необходимо учитывать только деформацию бумаги. Для этого в пределах области' постоянной деформации масштаб опре­деляется по километровой сетке — сравнением длин на карте с их размерами в натуре. /

'v.Равноугольная коническая проекция

В прямых конических проекциях при проекции на касательный конус главный масштаб сохраняется только по параллели касания. В обе стороны от параллели касания масштабы больше единицы и увеличиваются по мер-е приближения к полюсам. При секущем ко­нусе главные масштабы сохраняются по параллелям сечения. Между параллелями сечения масштабы меньше единицы, причем наименьший масштаб около середины. По мере удаления от парал­лелей сечения масштабы больше единицы и становятся тем больше, чем ближе к полюсам.

Масштабы длин зависят только от широты. Поэтому для из­мерения длин в этих проекциях следует применять общий прием; измерить отрезок на карте и разделить его на средний масштаб, который выводится из увеличений на концах отрезка. Не следует .забывать, что чем длиннее линия, тем больше изманяется масштаб в пределах этой линии. Благодаря этому расстояние необходимо измерять по частям так, чтобы изменение масштабов в каждой части отрезка не превышало бы 1 ; 300.

Экспериментальные расчеты, проведенные с целью определения разности широт, в пределах которой масштаб длин равноугольной конической проекции меняется до 1 :300 своей в,еличины, показы­вают, что разность широт концов отрезков не должна превышать следующих величин: при удалении от средней параллели на 10° — не более 2° в обе стороны; на 15° — не более 50' в обе стороны; на 20° — не более 20' в обе стороны.

За границы отрезков удобнее всего принимать параллели и меридианы; а измерения вести по отдельным трапециям, что поз­волит учесть одновременно и деформацию бумаги.

Равнопромежуточкые конические проекции

В прямых равнопромежуточных конических Проекциях мас­штабы вдоль меридианов равны. Масштабы по параллели, оста- ,ваясь одинаковыми на одной параллели, изменяются при переходе на другую параллель. Отсюда нетрудно понять, что линии, совпа- даюшие с меридианами и параллелями, имеют постоянный мас­штаб и измерение их весьма просто. Для этого, измерив отрезок,' ого умножают на соответствующий знаменатель масштаба. Во всех остальных случаях измерение прямых очень сложно. Еще труднее измерить извилистую линию, так как от изменения азимута ме­няются и масштабы. В двух соседних точках извилистой линии раз­ность масштабов может , доходить до величин разности экстре­мальных значений. Практически измерение линий возможно только для тех частей карты, в которых экстремальные масштабы отли­чаются один от другого на величину не более 1:300, т. е. не дальше 4—5° от средней параллели.

Равноугальная азимутальная (стереографическая) проекция

: Из формулы, увеличений в стереографической проекции

1 ■ ,m — n==sec-cos-’

может быть установлена ширина Az пояса, в пределах которого увеличение меняется на .1/300 своей величины и практически мо­жет считаться постоянным. Для этого воспользуемся методикой, использованной для решения того же вопроса в проекции Мерка­тора. Дифференцируем формулу увеличения

d m = +

Z . г ,2 co s- у sin

2 cos -g-

отсюда . •z z z

« CO S -2 sin .------------------^ ^ =

C O S -^ ,

Для конечных приращений последняя формула, перепишется в виде

И * ' 163

~ = i g 4 - i z . m

Искомая величина в минутах выражена формулой

(9,10)т ^ 2 arc Г ’

' ■ ' „ Лт 1Для заданной величины — = можем окончательно нани-tn uL/U

'сать .

Приведем значения допустимых Дг для различных значений 0 < 2 < 9 0 ° :

г . . . . 5“ 10° ’ 20° 30° 40° ■ 50° 60° 70° ,80° 90°

Дг . . ,4°22' 2°11' 1°05' 43' ЗГ 25' 20' 16' 14' И '

Для учета искажений из-за изменения масштаба следует опре­делять длину отрезка по масштабу, расположенному на том по­лярном расстоянии Z , в котором находится середина измеренного отрезка. ' *

Центральная или гномоническая проекция

Обычно карты в центральной проекции составляются в мас­штабе от 1 :500 ООО' и мельче. Определение длины линии по этим картам производится по меридианной шкале для средней- широты измеряемой линии и исправляется поправкой, кЬторая выбирается из «Таблиц для перевода истинных направлений в гномонические».

Если карта составлена в косой центральной проекции с цент­ральной точкой посредине листа, то длины отрезков измеряют так' же, как описано выше, только вместо средней широты измеряемой линии берут ее среднее полярное расстояние z.

Проекция Международной карты мира в масштабе 1:1000000

; По характеру искажений проекция Международной карты мира в масштабе 1 : 1 ОООООО является произвольной, но изменение мас­штабов в пределах одного листа карты настолько незначительно, что ее практически можно принимать за план, учитывая при изме­рении только деформацию бумаги.

164

' П р и м е ч а н и е . Измерение длин линий и площадей, как пра­вило, производится только на картах крупного и среднего масшта­бов, поэтому здесь нет ссылок на проекции карт, составленных в мелком масштабе.

Особенности измерения береговой линии моря и длин рек ^\ . i

Береговая линия морей и океанов не является чем-то постоян­ным, ее положение под воздействием многих 'причин непрерывно изменяется и делает береговую черту настолько подвижной, что учесть все ее изменения практически почти невозможно. Особенно неустойчиво положение' береговой линии на морях с приливами.

В инструкциях по топосъемкам нет четких указаний, к какому уровню моря должна быть приведена береговая линия и поэтому, на картах она наносится относительно наинизшего теоретического уровня и наинизшего сизигийного уровня, а иногда даже приво­дится к мгновенному уровню моря. Площадь, занятая «осушкой», дается только для морей с очень хорошо изученными приливами. Все эти обстоятельства вносят довольно большую путаницу при нанесении положения береговой линии на картах для морей с при­ливами.

На бесприливных морях береговая линия приводится к сред­нему многолетнему уровню моря. Вследствие кэртографической генерализации, за счет отбора элементов, которые находят отра­жение на географической карте, и обобщения из-за уменьшения масштаба, береговая линия спрямляется и становится более ко­роткой. Таким образом, подвижность береговой линии в натуре и обобщение ее при генерализации вносят некоторую неопределен­ность в результаты определения длин береговых линий морей и океанов по измерениям на картах.

Береговая линия на картах Наносится чаще всего одной тонкой линией толщиной от 0,1 до 0,15 мм. В некоторых случаях ее; на­носят одной линией, но с утолщениями, которые достигают 6,4:—0,5 мм. I

Реки представляют собой очень важный гидрологический объект, имеющий большое народнохозяйственное значение. Поэто­му каждому гидрологу необходимо не только знать, как изобра­жаются реки на картах, но и уметь по ним правильно определять все нужные ему характеристики реки: длину, ширину, координаты истока, устья и т. д. ^

Реки на картах в зависимости от их ширины обозначаются либо одной, либо двумя лициями толщиной 0,1 -М М каждая. При этом следует иметь в виду, что при изображении рек двумя линиями минимальное расстояние между ними на карте равно 0,4 м.и, а считая толщину линии, рекд займет ширину 0,6 мм, что может

165

■f ' превысить ее истинную ширину. В связи с этим ширину рек можноизмерять на картах с достаточной степенью точности в том случае,когда на карте ее ширина не менее 2—3 мм. Согласно инструкциипо топографическим съемкам, реки с небольшой шириной ани-маются по одному берегу, а именно: при масштабе карты 1 : 50 ОООширина доллсна быть до 50 в масштабе 1:100 000 — до 200 м.к т. д.

За длину реки принимают расстояние между ее истоком н устьем. Длина реки, если она нанесена двумй линиями, измеряется по средней линии, являющейся наиболее стабильной по сравнению с другими линиями. В некоторых случаях измерения делают гю фарватеру или по судовому ходу.

Если принять измерение по средней линии за 100%, то рас­хождения в длинах рек при измерении их но фарватеру или су­довому ходу могут достигать 4—7% всегда в' сторону увеличения длины. Кроме T0JO, при определении длин рек по картам большую роль играет картографическая генерализация, которая приводит к спрямлению длин рек и уменьшению их длин при изображении на карте, т. е. с рекой происходит то же, что и с береговой линией; поэтому при измерении рек по картам'эти факторы следует иметь в виду.

Измерение береговой линии и длин рек на картах. Картомет­рические работы по измерению береговых линий и длин рек про­водились А, Пенком, Ю, М. Шокальским, Н. М. Волковым и рядом других ученых, а в последние годы отделом картографии Государ­ственного гидрологического института (ГГИ). Многолетний опыт таких измерений показывает, что принципиального различия между измерением по картам береговой линии и длин рек нет. Основы-, ваясь на опыте ГГИ, мож1Чо рекомендовать измерение извилистых линий производить на картах масштаба 1 ; 100 000 и крупнее, а' в крайнем случае использовать карты масштаба 1 ; 300 ООО. Работая на картах такого масштаба Ы применяя предложенную ГГИ мето­дику измерения, можно получить длины береговых линий и длины рек с ошибкой до 2%. Измерение длин в различных картографиче­ских проекциях следует производить по частям с учетом изменения масштабов и Деформации бумаги.

Для измерения извилистых линий следует применять либо цир­куль с постоянным растворением, равным 1 лш, лучше с приспо­соблением В. В. Никольского, позволяющим быстро и точно уста­новить нужную величину растворения циркуля, либо усовершен­ствованный курвиметр КС, созданный ГГИ в 1956 году.

Измерение извилистых линий циркулем производится по участ­кам одинаковой извилистости, на которые разбивается измеряемая линия, дважды — прямым и обратным ходом. Расхождение между количеством п отложений циркуля в прямом и обратном ходе на

166

каждом участке не должно превышать 2%. Определив Длины участков извилистой линии и умножив их на знаменатель среднего масштаба зоны, установленного из измерений по карте, учитываю­щих и. деформацию бумаги, а также умножив на свою для каж­дого участка величину коэффициента извилистости к, которая/ вы­бирается по образцам, предложенным ГГИ (рис. 67), шлучаем натуральную длину участков. Сумма длин всех участков будет длиной всей извилистой кривой — береговой линии или реки в на­туре.

Л/еобразц.

Козарф.извилистости

1 1,0011 1,01III 1,03IV 1,06V 1,07VI 1,11VII 1,13VIII 1,17IX 1,20X 1,24XI 1,29XII 1,32XIII 1,35

Рис. 67. Образцы извилистости рек

167

при измерении извилистой линии курвиметром КС предвари­тельно следует определить поправку курвиметра ( ±А/ ) , опреде­ляемую следующим образом. С помощью, женевской линейки или штангенциркуля на' ватмане откладывается отрезок прямой, раз­ный 50 cjf, и измеряется курвиметром 10 раз. Отсчет, полученный по прибору после 10-кратных измерений, вычитается из 500, а по­лученная, разность делится на 500. Зная поправку курвиметра, можно рассчитать и длину измерений линии по формуле

„L = a ± a A / , ‘ (9,12)

где а — отсчет по курвиметру. , 'Измерение извилистой линии курвиметром проводится также

по частям прямым и обратным ходом. Расхождение между отсче­тами не должно превышать при длине линии 10 см — 0,1—0,2 де­ления, при длине линии 25 см — 0,3—0,4 деления, при длине линия 50 см — 0,5—0,7 деления.

После измерения длины отрезка извилистой линии по формуле (9,12) рассчитывают длину участка в сантиметрах, и, умножая L на знаменатель среднего масштаба широтной зоны, получают длп-

л:у участка в наТуре. Суммируя длины отдельных участков, нахо­дят длину береговой линии или длину реки в натуре. *

i§ 39. Определение площадей по картамОбщие сведения

Измерение площадей на картах производится в основном с по­мощью планиметров различных систем и специальных палеток. Описание этих приборов, а также подробная техника измерения площадей приводится в любом курсе геодезии и поэтому здесь не рассматривается.

Основное внимание в этом параграфе уделяется техническим ошибкам, возникающим при измерении площадей планиметром н палетками, а также ошибкам, зависящим от свойств картографи­ческих проекций карт, на которых производятся эти измерения.

При измерении площадей планиметром сначала делают повер­ку планиметра, вычисляют цену деления при избранной длине обводного рычага и выбирают точку установки полюса планиметра с таким расчетом, чтобы при обводе фигуры не было углов между рычагами менее 30° и более 150°. После проведения этих подгото­вительных работ приступают к измерению плош,ади. Обычно, со­гласно рекомендациям, обводка каждого контура планиметра де­лается прямым и обратным ходом, при двух положениях полюса.

* Подробные сведения о методике измерения длин рек приводятся в Мего- дических указаниях ГГИ, № 56, Л., Гидрометеоиздат, 1960. i

168 ,

Расхождение между результатами обводов нё должно быть больш'? указанных в табл .24. ,

' Таблица 24

Число делений планиметра (площадь в делениях планиметра)

Допустимое расхождение в числе делений планиметра между- прямой

и обратной обводками

до 150 от 150 до 600 от 600 до 1000 от 1 ООО до 1 400 от 1 400 до 1 800 от 1 800 до 2 200

Если при измерениях расхождение получается больше указан­ного в табл, 24,'то измерение делается заново До тех пор, пока ре­зультаты не будут в допустимых пределах.

Ошибки при измерении площадей планиметром т р зависят от измеряемой площади-и вычисляются, по формуле

тр=^0,02 / 7 с м \

Чем больше площадь, тем меньше относительная ошибка из­мерения. Изменения средних квадратических ошибок измерения площадей планиметром, по Н. М. Волкову, представлены в табл. 25.

Таблица 25

Число делений планиметра в измеряемой фигуре

Средняя квадратическая ошибка измерения в %

0 - 20 5,202 0 - 50 / 1,855 0 - 100 i.oo

1 0 0 - 200 0,61 '200— 300 0,43 -300— 500 0,31500— 750 0,24750— 1 000 0,19

' 1 000— 1 500 0,161 5 0 0 -2 000 ' 0,13

Из табл. 25 также следует, что площадь м^лых размеров при измерении планиметром получается довольно грубо. Поэтому для' измерения площадей малых и внутри -сильно извилистых контуров применяются палетки. Ошибка измерения палеткой особенно ма­лых площадей значительно, меньше, чем планиметром.

169

Палетка представляет собой прозрачную целлулоидную или из органического стекла пластинку с вычерченной на ней сеткой ма­лых и больших квадратов или прямоугольников. Малые ячейки имеют размер отТ до 4 мм^, я большие— 100 мм^. Размер палетки 10 X 10 см. >

Перед началом работ определяется цена деления палетки, ко­торая выражается в или млг^. Измерение площади производится дважды. Площадь на карте, будет равна-'общему количеству кле­ток, которые помещаются в контуре, умноженному на цену деления палетки.

Исследования П. М. Волкова, а позже Ф. А. Черняевой пока­зали, что малые площади измеряются палеткой, как уже указыва­лось, более точно. Это наглядно иллюстрирует заимствованная из работы Ф. А. Черняевой табл. 26, в которой приведены ошибки из­мерения площадей фигур планиметром и палеткой.

Таблица 26

Площадь в мм^Средние ошибки измерения в %

палеткой планиметром

0 - 100 3,48 4,491 0 0 - 200 . 2,94 3,322 0 0 - 500 1,60 2,155 0 0 - 1 ООО 1,11 0,94

1 ООО- 5 ООО 0,41 0,495 000— 10 000 0,20 0,31

> 10 000 0,11 0,13

На основании табл. 26 можно было бы рекомендовать измерять илощади не планиметром, а палеткой. Но измерения палеткой тре­буют не только большого напряжения, но и значительной затраты времени. Поэтому их следует применять для измерения площадей малых и внутри сильно изрезанных контуров, а также при работе с листами карты, бывшими в употреблении.

Независимо от того, каким прибором измеряется площадь на карте, измерение площадей рациональнее производить по широт­ным поясам поскольку в употребительных проекциях увеличения площадей, как и увеличения длин, являются функцией широты. Для этого на-карте должны быть нанесены меридианы и паралле­ли. Размер образуемых трапеций' не должен быть больше 1 0 X1 0 см. Площади полных трапеций, входящих в измеряемый контур, не измеряются, а выбираются из Картографических таб­лиц. В каждой неполной трапеции измеряются ее обе части — в контуре и вне контура — и . суммируются. Площадь всей трапеция сравнивается с теоретической площадью, взятой из тех же Карто-

170

рафичёских таблиц, полученная, невязка разбрасывается про- юрционально площадям.

Учет непостоянства масштабов на картах в различных проекциях

Карты средних и крупных масштабов, по которым можно из- герять площадь, за небольшим .исключением составляются в рав- юугольных и, произвольных проекциях. Поэтому при работе с :тими картами необходимо, как и при измеренИИ| длин, учитывать 13менчивость масштабов площадей. ' ,

Основным прибором , для измерения площадей, как известно, :лужит планиметр. Ошибку планиметра для плош,адей средних >азмеров принято считать равной 1 ;1000. Тогда поставим условие, 1T0 и изменение масштабов площадей в проекции не должно пра- ;ышать инструментальной ошибки прибора, т. е. 1 : 1000. Исходя .'3 этих условий, можно рассчитать величину размера трапеция ia карте, на которой можно работать, с одной ценой деления пла- шметра. Если заданная площадь больше этой трапеции, то пло- цадь делится на трапеции, не большие установленной предельной; [змерение планиметром делается по частям и для каждой из ча- ;тей определяется своя цена деления.

Когда цена деления планиметра С вычисляется в сл1 , требуется тереход от выражения площади каждого участка в делениях пла­ниметра к выражению ее в с.и умножением на С. Полученный Jeзyльтaт нужно умножить также и на знаменатель увеличения масштаба площади, вычисленного для данной трапеции. Сумма частей контуров даст площадь контура в натуре. ,

При измерении . площадей на картах в равновеликих проек­циях, вследствие постоянства масштаба площадей, на всем листе <арты цена деления планиметра также была бы постоянной. Поэ­тому размеры площадей могли бы быть неограниченными,, если бы »е приходилось учитывать влияние деформ^ип бумаги. Последнее эбстоятельство вынуждает производить измерение площадей в рав­новеликих проекциях на трапециях размером не более 10 X 10 см. Из всех карт в других проекциях наибольшее практическое приме­нение для измерения плошадей имеют карты в прое1 ции Мерка- гора, Гаусса, в равноугольных и равнопромежуточных конических проекциях и проекции Международной карты мира в масштабе 1:1 000 000. Поэтому рассмотрим влияние масштабов на измере­ние площадей в этих проекциях более подробно.

Равноугольная цилиндрическая проекция шара (проекция Меркатора)

Увеличение масштаба площади р равно квадрату увел_ичения масштаба по меридиану или параллели. Для проекции на «каса­тельный цилиндр» . ; ,

171

Для получения приращения масштаба с изменением широты продифференцируем это уравнение

dp = d sec^ ф == 2 sec ф tg ф ^ф.

Найдем относительное изменение масштаба площади при из­менении широты на /ф;

dp \Примем — = -T pir, и, переходя к конечным приращениям, р 1 UUb

определим величину широтной зоны, в пределах которой, масштаб площадей не будет изменяться более чем на 1 ;1000. Тогда полу­чим - '

2 0 б Й ^ '-

р = ^ з е с ^ ф . 1 .

На основании формулы (9,14) можно вычислить предельные размеры широтных зон, в пределах которых масштаб площади не будет меняться больше чем на 1 : 1000:

9 . . . 5° 10° 20° 30° 40° 50° 60° 70° 80°

Д о . . 19',6 9 ',7 4',7 3',0 2 ',О 1',4 1',0 0',G С',3\

Из этих данный следует, что если измеряемая площадь выходит за пределы указанных широтных'зон, то эту площадь надо разде­лить на части путем проведения дополнительных параллелей. Раз­мер трапеции не яолж щ превышать 10 X 10 сл-л

Пример. Измерить площадь внутри криволинейного контура (изотермы) на карте Л(Ь 403 в масштабе fxo = 1 : 200 000 по главной параллели 60°. Площадь, подлежащая измерению, заштрихована. Границы трапеции: по меридиану от 27°30'0*’'‘ до 28°00'0®^; по параллели от 59°45'N до 60°00'N (рпс. 68).

У с л о в и я р е ше ния .I. Для. измерения площади криволинейного контура, ограни­

ченного любой изолинией (изобатой, изотермой и т. п.) или бере­говой чертой,, необходимо разбить эту площадь на широтные зоны, Б которых ошибка изменения масштаба будет меньше или равна0,001 инструментальной ошибки планиметра или палетки, кото­рыми измеряется площадь. В каждой широтной зоне определяется, средняя широта фср и полней рассчитывается среднее увеличение масштаба площади зоны р. '

172 ' '

й. Определение цейы деления планиметра б в сантиметрах про­изводится обводкой квадрата со стороной 10 см.

С - ^/ ’

где Fo — известная площадь, т. е. площадь квадрата, равная 100 см^; / — разность ртсчетов планиметра после и до обводки.*

З'/ ЗО'

Рис. 68. К измерению площади криволинейного контура в проекцииМеркаторя.

3. С помощью планиметра в каждой широтной зоне измеряется прямым и обратным ходом' площадь части контура, попавшая в эту зону, и площадь вне контура этой же зоны, т. е. в результате должна быть измерена площадь всей трапеции.

* Разность отсчетрв планиметра прямым и обратным ходом не должна превышать дву.х делений планиметра.

173

4 . г1л ощ адь вн утр и в сег о к он т у р а в н а т у р е вы ч и сл я ется п<ф о р м у л е ,

И, ^ р Р , ^ Р

где С — цена деления планиметра; п — число делений планиметрг в обводке; Ро — главный масштаб площади, Ро = (.i о ; Р — среднее ув'еличение масштаба площади Зоны.

По этой же формуле определяется площадь Пг вне криволи­нейного контура.

5. Сумма площадей II = П )-f-Пд должна быть равна теорети ческой площади Пт трапеции, взятой из Картографических таб­лиц. Невязка может получаться в пределах до 1 клг ;

П1-ЬП2=П; П -П ,= &,

где П — измеренная площадь трапеции; — теоретическая пло- щагдь трапеции; ■& — невязка.

6. Результаты измерения Исправляются пропорционально пло­щадям на величину невязки с обратным знаком.

Р е ш е н и е .1. Разбиваем трапецию, в которой расположен контур, на ши­

ротные зоны. Согласно формуле (9,14), для ф = 60° широтная зона равна V. ... 2. Определяем фср для каждой широтной зоны и нанесем их

н'а трапецию (рис. 68), средние параллели зоны нанесены пункти­ром.

3. Определяем цену деления планиметра

" C = -^? = - j ^ _ 0 , 0 9 6 6 . . - .

4. Вычисляем площадь криволинейного контура '

iL V А ■ р ; L 7

П = -^- 2 ^ — КМ^-

Для решения примера по этой формуле составляем специаль- нзто'табл.27. ’

5. Приведенная площадь криволинейного контура на картеП / ='"75I X 0 ,0 9 6 6 = 7 2 ,5 4 8 сж2,

6. Приведенная площадь вие криволинейного контура на карте

П / = 1269 X 0 ,0 9 6 6 = 1 2 2 ,580

174

f аблица 2f

2оРЗ

?ср=

зоныcos'fcp

с.о9-со

§■С/) 1 1р ”

к

Площадь по показаниям планиметра,

п

Площадь по пока­заниям планимет­ра, приведенным к главной папал-

Оо

f-H

0 О1S '

внут­ри

кон­тура

внекон­тура

лел

внутриконтура

и, л

внеконтура

1 59°45'30" 0,5036 1 0072 1.0145 130 1322 59“46'30" 0,5034 1,0068 L0136 --- 129 _ 1313 59°47'30" 0,5031 1,0062 1,0124 21 113 21 , 1154 59°48'30" 0,5029 1,0058 1,0116 45 92 45 935 59°49'30" 0,5026 1,0052 1,0104 50 84 50 856 59°50'30" 0,5024 1,0048 1,0096 92 45 93 457 Sg-’Sl'SO" 0,5021 1,0042 1,0084 94 38 95 388 59°52'30" 0,5019 1,0038 1,0076 97 32 98 329 59°53'30" 0,5016 1,0032 1,0064 92 39 93 39

10 59°54'30" 0,5014 1,0028 1,0056 78 60 78 6011 59“55'30" 0,5011 1,0022 1,0044 57 77 57 7712 69°56'30" 0,5009 1,0018 1,0036 53 84 53 8413 59”57'30" 0,5006 1,0012 1,0024 44 96 44 . 9614 59°58'30" 0,5004 1,0008 1,0016 24 112 24 11215 59°59'30" 0,5001 1,0002 1,0004 — 130 130

747 1261 751 ■ 1269

П р и м е ч а н и я . В сто.пбцах 4 и 5 вычислены величины, обратные увели­чению масштабов /л и р для средних широт зон, - для замены деления умно­жением при получении столбцов 8 и 9. Величины в столбцах 8 и 9 получаются

1умножением данных столбцов 6 и 7 на величину — каждой широтной-зоны.

7. Площадь криволинейного контура в натуре

П1 = 7 2 ,5 4 8 X 2 0 0 000^ = 7 2 ,5 4 8 X 4 X Ю'о = 2 9 0 ,1 9 км^. '

8. Площадь вне. криволинейного контура в натуре

П2 = 1 2 2 ,5 8 0 X 2 0 0 000^ = 1 2 2 ,5 8 0 X 4 X 10*° = 4 9 0 ,3 2 км^.

9.Общая измеренная площадь всей трапеции в натуре v

П =П 1+П ,=780,51 км}.

10. Теоретическая площадь в натуре той же трапеции

И,г=780,00 км-^.

11. Невязка измерения '

0 = П - П , = 0 , 5 1

175

. 12. Исправленная на величину невязки площадь криволиней­ного контура в натуре

290,19 — 0,19 = 290,00 /сж2.

13. Исправленная на величину невязки плбщадь вне контура в натуре

490,32 — 0,32 = 490,00 км^.

14. Исправленная на величину невязки общая площадь трапе­ции

290,00 км^ + 490,00 км^ = 780,00 к м \

В Приложениях в конце книги даются поверхности градусных трапеций. Для определения поверхностей долей градусных трапе­ций удобны «Таблицы координат Гаусса — Крютера для широт от 32 до 80° через 5' и для долгот от О до 6° через Т'/г' и таблицы' размеров рамок и площадей трапеций топографических съемок. Эллипсоид Красовского». 3-е изд. М., Госгеолтехиздат, 1963. Из них для трапеций карт масштаба 1:10 000, имеющих протяжение по широте 2',5, по долготе — 3',75, установили, что сумма площа­дей трапеций от 59°45' до 60°00' составляет 97,50 км^. Трапеция с той же разностью широт параллелей и в 30' по долготе имеет по-

ЗО''верхность,' равную 97,50 X = 97,50 X 8 = 780,00 км^.

О , / 0

‘ Проекция Гаусса

В проекции-Гаусса масштаб площадей равен квадрату масштаб ба, длин. Известно, что в этой проекции масштабы вообще, а мас­штабы площади в частности, возрастают по мере удаления от осе­вого меридиана зоны. Максимальное удаление от осе-вого мери­диана равно 3°, Поэтому, если при измерении длин иокажениями линейного масштаба можно было пренебречь, то при измерении площадей это удается сделать только при определенных условиях.

Величина колебаний масштаба в пределах листа карты'зави­сит, главным образом, от разности ординат восточной и западной рамок листа. Эта разность зависит от широты (к северу меридианы сближаются) и от разности долгот рамок, зависящей от масштаба карты: колебание масштаба будет тем меньше, чем больше широ­та, и тем меньше, чем крупнее масштаб карты. Например, на карте в масштабе 1 :500 ООО наибольшая разность масштабов (в южных широтах СССР) достигает 0,18% и при измерении- площадей с одной ценой деления планиметра ошибка в измеренной площади может _быть порядка 1 :500, т. е. вдвое больше предельной, уста­новленной нами выше, Значит, при работах с картами в проекции

176 , ,

Гаусса в масштабе 1 : 500 000 следует определять цену деления п-ла- ниметра по обводам той трапеции, на которые делится карта, где производятся измерения плошади.

На картах масштаба 1:200 000 наибольшая разность масшта­бов в .пределах листа достигает только 0,1%. Поэтому на картах этого масштаба и крупнее при измерении площадей следует учи­тывать только деформацию бумаги, т. е. производить измерения на трапециях размером не более 10 X 10 см. Если на картах нет для этой цели достаточного количества меридианов и параллелей, нх необходимо нанести.

Равноугольная коническая проекция

Изменение масштаба площадей в этой проекции возрастает от параллели с наименьшим масштабом фо к северу и югу, приче.м более интенсивно к северу. Эти положения легко подтверждаются табл. 28, в которой показывается изменение масштаба площади в равноугольной конической проекции с минимальным увеличением По = 1 по параллели с широтой фо = 50° (параллель касания).

Из табл. 28 видно, что уже при удалении от фо на 2° по широте масштаб площади изменяется более чем на 0,1 7о (т. е. 1 : 1000). Дальнейший анализ подобных исследований дает возможность установить, что при измерении площадей с ошибками менее или равными 1:1000 можно. пользоваться Следующими трапециями:

Таблица 28

Удаление от паралле­

ли <ро к северу

Масштабплощади,

Р

1Искажение |

площадейв % '

Удаление от паралле­

ли tfo к югу

Масштаб'площади,

Р

Искажение площадей

в %

20° 1,1634 16,34 20° - 1,1165 11,6516“ 1,0954 9,54 16° 1,0741 7,4112° 1,0499 4,99 . 12° 1,0417 , 4,1710° 1,0337 3,37 10° 1,0291 5 .2,918° 1,0210 2,10 , 8° 1,0187 1.876° 1,0115 1',15 6° 1.0106 1,06 .4° 1,0050 0,50 4° 1,0047 Р.472° 1.0012 0,12 2= 1,0011 0,110° 1,0000 0,00 0°, 1.0000 0,00

двуградусными трапециями в двух поясах, ближайших к фо1 одноградусными трапециями при удалении от фо до 4°; полуградусными трапециями при удалении от фо до 6°; двадцатиминутными трапециями при удалении от фо до 8—9°; десятиминутными трапециями при удалении от фо до 12— 13°.

1 2 177

п р и у д а л е н и и т р а п ец и й на вел и ч и н у б о л е е у к а за н н о й о щ и бк и зм ер ен и я п л о щ а д е й п р ев ы ся т 1 ; 1000.

Равнопромежуточная коническая проекция

Произведенные расчеты, подобные сделанным для равноуголь ных конических цроекций, показывают, что для обеспечения ошиб ки в измеренных'площадях, равной 1 ; 1000, слёдует пользоваться

двухградусными трапециями в двух поясах, ближайших к фо; одноградусными трапециями при удалении от фо до 5—6“; полуградусными трапециями при удалении от фо до 8°; двадцатиминутными трапециями при удалении от фо до 12°; десятиминутными трапециями при удалении от фо до 14— 15°. Приведенные данные показывают, что для измерения площа­

дей равнопррмежуточные, по сравнению с равноугольными кони­ческими проекциями, более выгодны.

Проекция Международной карты мира в масштабе 1:1000 000

Исследования масштаба площадей показали, что при измере­нии площадей на листе карты в этой проекций можно пользо­ваться общей ценой деления планиметра и при этом точность из­мерения будет в пределах допустимой, т. е. 1:1000: Но, чтобы учесть деформацию бумаги, измерения следует делать по частям на трапециях не более 10 X см.

§ 40- Вычисление основных морфометрических характеристикводных объектов

При псследовании многих вопросов у океанологов очень часто возникает необходимость знать объем массы морской воды, огра­ниченной какими-нибудь изолиниями, величину уклона дна, а так­же иметь и некоторые другие сведения о состоянии подводного рельефа. Все эти задачи относятся к морфометрии и обычно ре­шаются по географическим картам.

Не рассматривая особенности измерения этих величин на кар­тах в, разных проекциях, что уже сделано ранее, обратимся к вы­воду основных формул и зависимостей, которые позволяют вы­числить наиболее важ|ные для практики морфометрические харак­теристики.

Вычисление объемов воды '

Вычисление объемов воды по изобатам. Наиболее распростра­нено вычисление объема воды по формуле

1 / = P Z , ' ( 9 , 1 5 )

178

где Р — поверхность водь1 (площадь зеркала); Z — средняя глу­бина водоема.

Задача заключается в измерении с помощью планиметра пло­щади зеркала воды и умножением ее на среднюю глубину водного объекта. Под средней .глубиной понимаетс5Гсреднее из глубин всех элементарно малых плопхадок р\, рг, Рз и т. д., взятых На поверх­ности водоема с карты и ограниченных соседними изобатами. Сред­няя глубина может быть определена уравнением

+РпТ-п (9,16)

где Zu 22, . . . z „ — средние глубины между изобатами в метрах; pi , р 2 , •■■Рп— частные площади водного объекта, заключенные

- межДу изобатами в Р — также вТаким образом, чтобы определить Z следует измерить площади

между изобатами, умножить их на среднюю глубину каждой сту­пени между изобатами, сложить полученные произведения и 'раз­делить их на общую площадь зер:кала шоды (рис. 69). Определив Z, и общую поверхность водоема Р, по формуле (9,15) легко опре­делить объем воды.

1 2 * 179

Определение объема воды по батиграфической кривой. Вычи сление объемов воды этим способом основано на построении ба­тиграфической кривой. Для этого планиметром или палеткой из- мерянэт площади имеющихся на карте изобат, т. е .глубинны)! слоев, и, приним^ая эти площади абсциссами, а соответствующие им глубины — ординатами, наносят эти точки в выбранном мас­штабе на миллиметровую бумагу. Вы*бор -масштаба зависит от глубины и общей площади водного' объекта. Полученные точки соединяют линией, которая и представляет собой батиграфиче- скую кривую (рис. 70). Конечным' , точками батиграфической кри­вой будут максимальная глубина и нуль глубины. Объем воды

’'О 500 1000 2000 3000 Р, км

Рис. 70. Бати графическая кривая.

подсчитывается измерением площади, ограниченной батиграфиче­ской кривой и осью абсцисс. Для получения объема в натуре по­лученная величина умножается на знаменатель масштаба пло­щади.'

Кроме получения объема воды батиграфическая кривая дает возможность вычислить и среднюю глубину водоема. Для этого измеренная площадь делится на длину ее основания, снятой с графика

■ ' ' ' (9,17)

Определение объема водного объекта по вычислению отдельных слоев. В некоторых случаях вычисляют объемы отдельных слоев Р О Д Ы между изобатами, результаты суммируют и определяют объем воды объекта в целом. Каждый из водных слоев в зависи­мости от его формы может приближенно приниматься за объем

180 '

усеченного конуса, призмы, шарового сегмента и т. п., и тогда об­щий объем воды будет выражаться следующей формулой:

где V\, V2, . . . — объемы отдельных глубинных слоев.Рассмотрим глубинный слой как имеющий вид усеченного ко-

:4уса; тогда объем этого слоя может быть 'вычислен на основании формулы

V i ^ ~ ( p i + P , + Vpip2)> '(9 ,18 )

где — сечение изобат; pi и ра — площади верхнего и нижнего (!Снования слоя или, что то же самое, площади, ограниченные верх­ней и нижней изобатами.

Общая формула объема воды, если водоем состоит из несколь­ких таких слоев, соответствует уравнению

iPo+Pl-r YPlPo)-r iPl+P2~{-YP)P2^ ■ - ■ 4"

+ ' ,(9.19)

где pi — площадь внутри изобаты с порядковым номером I.Если изобаты нанесены с одним сечением, то формула (9,19)

примет вид

'V~~^{p ( i - \ -V poP i- \ - ‘2.pi+VpiP2~[- ‘ P2-\-Vp2Ps-¥- ■ ■ Рп)- (9,20)

Рассматривая глубинный слой как призму, получим при тех же обозначениях

(9,21)

Суммируя объемы слоев и принимая объем водного объекта фигурой, состоящей из. нескольких призм, стоящих одна на другой, можно написать, что

1 / = - й + Л 4 г . + ' . . (9,22)

t . ' . а при одинаковом сечении изобат будем иметь ,,

V — ~2 ( / ’ o 4 ' 2 P i + 2 / » 3 - f - ■ . • +Рп)- ( 9 ; 2 3 )

181

Если чаша водного объекта имеет вид шарового сегмента, то в этом случае для вычисления ее объема можно применить формулу

(9,24)

где р„ — площадь нижней изобаты. /Таким образом, в зависимости от вида того или иного глубин­

ного слоя объем водного объекта в общем случае равен

г= л

/= 1

Все. предложенные здесь формулы одинаково пригодны как для определения объема воды, так и для вычисления объемов различ­ных форм рельефа суши.

Вычисление средних углов наклона дна

Определение среднего угла наклона дна. Способов измерения среднего угла наклона линии'имеется несколько. Рассмотрим' наи­более простой. Предположим, требуется определить средний угол

11аклона дна вдоль какой-то линии аЬ, горизонтальное проложение которой ао о (рис. 71,а). Пусть глубина точки а = Zi, а глубина точки Ь = Z2. Развернем полученный профиль йоаЬЬо на плоскост.^, тогда получим фигуру AqABBo (рис. 71,6),'длина горизонтального

182

!роложения которой A qB o = aobo == I. Если бы линия ЛВ была пря- 10Й, то средний угол наклона этой линии

Zi — ZaI \

-Io так как линия АВ представляет собой кривую, то написанная 1ависимость будет неверна. Для определения угла наклона кривой шнии разделим ЛоВо на бесконечно малые и равные элементы dl, ! пределах которых глубины изменятся на величину dz. Тогда тан- 'снс угла наклона элемента линии ЛВ окажется равным

йг

а средний угол наклона линии аЬ можно представить как

Sflfz ~ S rf/ •

Заменим dz его значением из предыдущей формулы, тогда

= (9.25)

Таким образом, средний угол наклона линии равен:взвешен­ному среднему из тангенсов углов наклона отдельных элементов этой линии, весами которых приняты длины горизонтальных про- ложений соответствующих элементов dl.

Вычисление среднего угла наклона поверхности дна. Задача получения среднего угла наклона поверхности дна решается сле­дующим образом. Выберем на участке карты площадь между дву­мя изобатами с глубинами z я z + dz (рис. 72). Разделим эту по­верхность на бесконечно большое число элементарных площадок. Площадь каждой элементарной площадки на основании рис. 72. будет

dp = dl-ds.

г + d z

Рис. 72. К определению сред­него угла наклона поверхности

дна.

183

Если разность глубин между изобатами равна dz, то угол нак­лона,элементарной площадки определится соотнощением

dz

Умножим числитель и знаменатель правой части этого уравне­ния на dl и, заменив произведение через dp, получим

, dzdl dz dld s d ' l ~ d p '

Тогда средний угол А наклона всей поверхности,участка, дна в пределах заданных между изобатамй гучубин 2 й г - I - о к а ж е т с я равным ' . '

( 0 . - )

При постоянной величине dz сечения изобат формула (9,26) перепишется в виде

I 'В этсй формуле dz = Az — сечение изобат; 'Z d l^ 'Z l / = L —

сумма длин изобат всех наименований в пределах поверхности Р = Y,dp дна, для которой ищется средний угол наклона. Поэтому формулу (9,27) можно выразить так:

(9,28)

, Формулу (9,27) можно выразить следующими словами: тангенс среднего угла наклона поверхности дна равен отношению суммы вертикальных площадей к сумме горизонтальных площадок, обра­зующих ступени между изобатами.

/

184.

1. Б е л о б р о в А. П. Гидрографические работы (дополнительные вопросы). Л,,изд. ГУ ВМС, 1951,

2. В о л к о в Н. М.. Принципы и методы картометрии. М.—Л., изд. АН СССР,1950.

Г а р а е в с к а я Л. С. К'артография. М., Геодезиздат, 1955.4. Г л и н к о в Е. Г. Навигационные пособия. Л., изд. УНГС ВМФ,, 1960.5. Г р а у р А. В. Математическая картография. Изл,. ЛГУ, 1956.6. К а в р а й с к и й В. В. Избоанные труды, том П, вып. 1, 2, 3. М,, изд. УНГС

ВМФ, 1958-1960.7. 3 а п а с с к и й С. И. Картография. Методические указания и контрольные за­

дания для студентов-заочииков по специальности «Гидрометеорология». М,, изд. «Морской транспорт», 1958.

8. З в о н а р е в К. А. Картография.'М., Углетехиздат, 1951.9. Таблицы для построения рамок трапеций тонографи*1еских съемок масшта­

бов 1 : 5000 и 1 : 2000. М., 1951.'О, Таблицы координат Гаусса — Крюгера для широт от Зг'’ до 80° .через 5' и

для долгот от 0° до 6° через 7'/2' и таблицы размеров рамок и площадан трапеций топографических съемок. Эллипсоид Красовского. 3-е изд. М., Госгеолтехиздат, 1963.

II, Картографические таблицы. Эллипсоид Красовского. 2-е изд. М., Геодезиздат, 1953 (Труды ЦНИИГАиК,-вып. 97).

12 Таблицы вычисления прямоугольных и географических координат. Из.а. ГУ ВМС, 1948. '

13. Таблицы прямоугольных координат углов рамок, размеров рамок и площадейтрапеций топографических съемок масштаба 1 :5000 для широт от 36 до 68°, Эллипсоид Красовского. М., Геодезиздат, 1953 (ГУГК).

14. Таблицы для вычисления высоты и азимута (ТВА-57). Изд. УНГС ВМ ф, 1957.15. Таблицы для вычисления плоских конформных координат Гаусса в пределах

широт от 30 до 80°. Эллипсоид Красовского. М., Геодезиздат, 1958.16 М а к с и м о в Г. С. Гидрографическая опись. М.—Л., изд. Главсевморпути,

1949.

Л И Т Е Р А Т У Р А

185

П Р И Л О Ж Е Н И Я

187

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

М ОРСКИЕ КАРТЫ

Морскими картами называются карты, предназначенные для решения задач кораблевождения, изучения района плавания, а также для других целей, свя­занных с. исследованием морей и океанов. Некоторые морские карты дают воз­можность получить общегеографический и справочный материал по распределе-» нию различных элементов, нанесенных на карту.

Кроме обычных требований предъявляемых ко всем другим видам геогра­фических карт, морские карты должны:

1) составляться в таких прбекциях, которые давали бы возможность просто' и , легко делать на карте разнообразные графические построения и другие ра,'- четы в ус}ювиях плавания;

2) с большей степенью подробности, чем это делается иа обычных картах, отображать элементы водного пространства;

3) иметь удобный формат для пользования картон на корабле и печататься иа плотной бумаге с незначительной деформацией.

Содержание морских карт. Совокупность элементов, наносимых на геогра­фическую карту, называется с о д е р ж а н и е м к а р т ы . Общий объем вссх •элементов содержания, которые графически изображены на карте, носит назв.1- ние н а г р у з к и к а р т ы . Нагрузка карты зависит от назначения и масштаба карты. Содержание морских карт можно подразделить на четыре основные группы:

1) математическая основа карты — геодезическая и высотная основа, кар­тографическая сетка, масштаб и внутренние рамки карты; )

2) элементы специальной морской обстановки — характер береговой линии, рельеф дна, грунты, средства навигационного оборудования и береговые ориен­тиры, гидрометеорологические данные и т. д.;

3) общегеографические элементы — береговая линия, рельеф суши, гидрогра­фия суши, населенные пункты и т. п.;

4) элементы оформления карты — заголовок, номер карты, наружные рамкикарты, пояснительные надписи 1И рисунки. \

Соответствие содержания морских карт их назначению ш масштабам опре­деляется отбором, обобщением и выделением наиболее важных объектов, кото­рые наносятся на карту (картографической генералирцией). Поскольку все' объекты не могут быть изображены в масштабе карты, их наносят условными знаками.

Граница района, охватываемого данной картой, называется н а р е з к о й к а р т ы. Советские морские карты издаются на отдельных листах трех форма­тов: лист (100 X 75 см), половиина листа (75 X 50 см) и четверть листа (50 X X 38 см).

Классификация морских карт. По своему назначению все морские карты подразделяются иа две основные группы: 1) морские навигационные карты; 2) морские справочные и вспомогательные карты.

М о р с к и е . н а в и г а ц и о н н ы е к а р т ы являются основным пособием для мореплавания и употребляются для графической прокладки и других расче­тов в море. Поэтому на этих картах наиболее полно отображается навигацион- !!ая и общегеографическая нагрузка. Навигационные карты ■ для моря имеют такое же значение, как топографические карты для территории суши. Эти карты с(.ставляются, как правило, в проекции Меркатора, что дает возможность изо­бражать прямой линией курс судна и наносить измеренные углы на карту для определения места корабля в море. Очень важным требованием для правильною кснользования навигационных карт является выбор масштаба карты. В завис.,1- мости от условий и особенностей плавания навигационные карты издаются в различных масштабах и делятся на следующие четыре подгруппы;

189

\. /Генеральные карты — изображают отдельные морр, бкеаМЫ или их часгй и служат ДЛЯ1 общего изучения условий плавания, предварительной прокладки, общих навигационных расчетов,'а также для графической прокладки пути судна при следовании в открытом море вдали от берегов. Эти карты составляются в масштабах от 1 : 500 ООО до I .’ 5 000 000 по главной параллели моря.

2. Путевые карты — служат для обеспечения плавания в значительном ряс- гтоянии от береговой черты и вне видимых берегов. На этих картах наносятся все знаки навигационного оборудования и фарватеры. Изобаты проводятся по глубинам 5, 10, 20, 50 и 100 м, в зависимости diT имеющихся в данной акватории глубин, крутизны подводных' склонов. Карты составляются в масштабах от 1 : 100 000 до 1 : 500 000 по главной параллели моря.

3. Частные карты — используются для обеспечения плавания в непосред­ственной близости берегов и' в трудных навигационных условиях: шхерах, узко­стях, при подходе к порту и т. д. На частные карты наносятся все знаки нави­гационного оборудования. Изобаты проводятся через те же глубины, как и iia путевых картах. Масштабы этих карт 1 : 50 000— 1 : 75 ООО по главной параллели моря. .

4. Планы — предназначены для обеспечения: входа в бухты, гавани, рейды, порты, якорные стоянки и т. п:, и в большинстве случаев представляют собой копии съемочных и промерных планшетов. Планы составляются в масштабах от 1 : 1 ООО до 1 : 25 ООО.

С п е ц и а л ь н ы е н а в и г а ц и о н н ы е к а р т ы являются в основном кар­тами, на которых нанесена дополнительная нагрузка в виде сетки изолиний для определения места судна различными радионавигационными и гидроакустиче­скими методами. , ,

С п р а в о ч н ы е м о р с к и е к а р т ы , как правило, составляются в мелком масштабе и служат для изучения физико-географических данньйс и других эле- ■ментов, которые не могут быть показаны на навигационных картах. На них изо­бражаются отдельныё моря, океаны, полушария и даже весь земной шар. К этой группе относятся обзорные карты, карты радиомаяков и радиостанций, часовых поясов, звездного неба, грунтов, элементов земного магнетизма, карты гидроме­теорологических элементов, батиметрические карты, морские атласы и сборные листы. Большинство справочных карт составлено в проекции Меркатора, часть из них издана в центральной и стереографической проекциях. Подробное опися- нпе справочных карт и наставления для пользования ими приведены в лоциях. Описание справочных карт, необходимых при производстве океанологических ис­следований, дано в § 35 главы VIH. Остальные справочные карты имеют зна­чение только для навигационных целей и поэтому их описание не приводится.

В с п о м о г а т е л ь н ы е м о р с к и е к а р т ы в о'сновном предназначен]Л для специальных навигационных расчетов и графических построений. Эта группа карт довольно разнообразна по своему содержанию и состоит из карт-сеток, ко­дированных и бланковых карт, а хакже карт для расчета плавания по дуге большого круга. Вспомогательные карты составляются в различных масштабах и в основном имеют чисто навигационный характер; исключением могут служить бланковые карты и карты для расчета плавания по дуге большого круга, кото­рые нашли также довольно широкое применение в океанологии.

Оценка достоинства морских навигационных карт. При практическом исполь- довании морской карты необходимо определить степень ее пригодности и досто­верности. Оценка достоинства карты состоит в тщательной проверке карты. Для этого следует внимательно прочесть все данные о карте, помещенные в за ­головке. , Заголовок карты определяет ее название, номер, уточняет изображе!!- ный на ней район моря, указывает численный масштаб карты по. главной парал­лели моря, дает сведения о магнитном склонении и нуле глубин. Отсутствие сведений .о нуле глубин обязывает критически отнестись к достоверности, осо­бенно малых глубин, так как неизвестно, к какому уровню моря эти глубины приведены. Кроме того, следует внимательно прочитать все предупреждения и

190

1;римечанйя, о которых гойбрйтся в загблобке карты, чтобы знатЬ, в. какй^ рай-• онах моря можно плавать и при каких условиях. Далее необходимо ознако­миться с разбивкой внутренней рамки карты. Особое внимание следует обратить на зарамочные подписи, которые позволяют судить о точности и современносги карты. Указание о геодезической основе карты дает представление о геометри­ческой точности и достоверности размещения объектов на карте. Например, надпись «Основа карты — геодезические координаты в системе 1942 г.» говорит0 сравнительно высокой точности основы карты, а ссылка на местную систему координат показывает на возможность получения невязки даже при определенгьч места судна. Даты издания карты, большой и малой корректуры также указы­вают на точность и достоверность карты. Причем следует иметь в виду, что малая корректура к осноце карты никакого отношения не имеет и ссылка на нее указывает только на исправление положения навигацр!онных элементов карты.

По элементам содержания карты также можно иметь представление о ее точности. Например, если на карте промерные галсы нанесены редко, глубны ^;aлo, то надо быть осторожным, так как гидрографическая изученность зтого района моря явно недостаточна. То же можно сказать и о других элементах содержания карты. ,

Точность положения контурных точек на карте зависит, как это указыва­лось в § 37, от многих причин. На основании исследований, проведенныхН. М. Волковым, средняя квадратическая ошибка положения контурной точки иа оттиске карты может быть принята равной .± 1 мм. Отсюда, зная масштаб карты, легко получить величину этой ошибки в метрах. Например, для навига- иионной карты с масштабом 1 : 200 ООО она равна 200 м, для карты в масштабе1 : 50 ООО — 50 и т. д. /

каталоги карт и книг. Морские карты и другие руководств.а для плавания принято' систематизировать по географическому признаку: nd морям и океанам. Основным пособием для нахождения нужного картографического материала яв­ляется книга «Каталоги морских карт и книг», которая содержит подробные сведения о картах и книгах, (Предназначенных для целей кораблевождения и других исследований.

Советский каталог карт и книг издается по мере накопления нового мате­риала й состоит из двух самостоятельных разделов: «Карты» и «Книги». Разде ,1 каталога «Карты» содержит четыре отдела: Отдел I — Морские навигационные карты. Отдел И — Озерные и речные карты. Отдел П1 — Справочные карты. От­дел IV — Специальные карты.

Каждый отдел состоит из секций, а секция — из коллекции карт.-Например: Отдел I подразделен на следующие секции: Атлантический океан. Каспийское море. Индийский океан. Тихий океан и Северный Ледовитый океан. В каждом секции даются генеральные карты, а' затем следуют коллекции путевых, частных карт и -планов; перед коллекцией приведен сборный лист, на котором указаны все карты, включенные в данную коллекцию. Пользуясь таким каталогом, всегда легко найти нужную морскую карту.

191

ОСНОВНЫЕ УСЛОВНЫЕ СОКРАЩЕНИЯ НА МОРСКИХ КАРТАХ

1. Средства навигационного оборудования:Аэромаяк . . . . . ' . , .................................................... Аэро М*'Гидроакустическая и звукосигнальная станция . . .ТГидрологическая станция . . . ..................................... гидр. ст.Ледовая станция ........................................................... ....... . .лед. ст.Гидрометеорологическая станция . . . . . . .гм. ст.Лоцманская станция . ........................................................... л. ст.Метеорологическая станция . . . . . . . . мет. ст.М а я к ............................. ...... .......................................................... М'Плавучий маяк . . . . . . . . . . . . Пл. М''Радиодальномерная станция . . . . '.......................... РДСРадиолокационная станция . . . . . . . . . РЛСРадиолокационный отражатель . .............................. РЛРадио'маяк кругового излучения . . . . . . РМ"Радиомаяк направленного излучения . . * . . . . РМ"' иРадиомаяк секторный . . . . . . . . . . РМ*' сктРадиомаяк створный . . . . : . . . , . РМ* ств.Радиопеленгаторная с т а н ц и я .............................................. ' . РПСРадиотехнические с р е д с т в а ........................................................................... РТСРадиотелеграфная с т а н ц и я ............................................................... РТФРадиотелефонная станция . ..........РТЫСтвор ., . ■ ............................................. ....... . . . . . СтвСтворный з н а к .................................................................................Ств. зн.Сигнальная станция . . . . ' .....................................с. ст.С.дужба погоды ..........................................................................Сл. Пог.Спасательная станция . . . . . ' .......................... сп. ст.Станция штормовых сигналов . . , . . . . . . шт. ст.Телеграфная с т а н ц и я ........................................................... ....... ■ . тф. ст.Телефонная с т а н ц и я ............................................................ . . . . тн. ст.

И. Характер огней и их характеристика:

Вертящийся . . . . . . . . . . . . . ВГруппо-затм еваю щ ийся .................................... . . Гр. Зтм.Группо-проблесковый................................................... ....... Гр. Пр.Затмевающийся . . . . ............................................. ....... Зтм.Переменный ........................................................................................Пер.Переменный проблесковый . . . . . . . . . Пер. Пр.П о с т о я н н ы й ................................................................................. ' . ППостоянный с группой проблесков ...........................................П. Гр. Пр.Постоянный с проблесками . . . . . . . . П. Пр.Прерывистый часто-проблесковый . , . . . . . Прер. ЧПр.Проблесковый : ........................ ... ..................................................... ПрС м е ш а н н ы й ........................................................................................ Смш.Часто-проблесковый . . . . . . . . . . . Ч. пр.Дальность видимости в милях . . . . ' . , . . 20М, ЮМКоличество проблесков (затмений) в группе . . . . (4), (2)Необслуживаемый маяк (огонь) . . . . . . . . . ( U)Период о г н я ................................. ............................................... ....... '(20*^), (Ю* )Резервный . . .................................................................................. РезервСекторный .................................................................................................Скт.Створный . . |. . . . . . . . . . . Ств.

п р и л о ж е н и е 2

192 .

i l l . Характер звукосигнальных и гидроакустических средств:

Взрыв ............................ (в)Гидрофон . . . . . (гф)Гонг . . . . . . . гонгГ о р н .................................(''),Гудок . ........................... (рёв)Диафон . . . . . . (д)Колокол . . . . . .(к)Наутофон . . . . . (и)

iV. Гидрологические элементы:

Грунт . . . . . . . гКвадратура . . . . квадр.Малая в о д а ........................МВНуль карты . . . . Н. К.О т л и в .................................отл.Отличительныйцвет в о д ......................отл. цв.

Подводный колокол . . . . (ПкПодводный осциллятор . . (И .о .,Пушка . . ................................(П)Р е в у н ............................... (рев)Свисток . . . . . . . . (реп)Сирена . ...........................(с)Т айфон ............................. (т)

Полная вода ......................ПВПресная вода . . . . . . Пресн.П р и л и в .......................................... прил.С и зи г и я ........................................... Сиз.Теоретический нульг л у б и н ....................................... . ТНГУ р о в е н ь ...................................... ур.

V. Грунты:

Валуны . . . . , В гравий, дресва . . . . . . ГрВодоросли . . . . . . Вд Г у б к а ............................. ГбкГ а л ь к а ....................... Гк Диатомовый . . . . . . . ДтГлина . . . . . Гл И з в е с т ь .............................. . . Изв.Глинистый ил . . ГлН Изгарь . . . . . .Глобигерин . . . . . Глоб И л ...................................... . . . ИИлистый песок . . . . ИПКамень . . . . . • • . К Радиолярий . . . . . . ., РадКоралл . . . .■ . Кор Ракушка . . . . . . . . : Р

-Лнтотамий . . . Лт Скалистый, скала . . . . . СкМел ....................... М Сланец ........................... . . . сМергель . . . . . . Мг Туф . . . . . . . . . . ТМирабилит '. . . . . . Мр У с т р и ц ы ........................... . . . УсОрешек . . . . . . Ор Форамииифера . . . . . . ФорПемза . . . . . . . Пм Х р я щ ................................. . . . . ХрП е с о к ........................ П Щ е б е н ь ...................... ..... . . . щПесчанистый ил . . ПИ

Характеристика

Битый . . . . б Крупный . ; ( . . к Полужидкий . . . пжВязкий . . . . . в Мелкий . м Пористый . . . • порВулканический .вулк Мягкий . , . мг Разрушенный '. . . рЖесткий . . . . же Отдельный ' . отд средний . . . . срдЖидкий . . Плотный . пл Твердый . . . . . ТВ

Цвет

Белый . . . . бл. Коричневый . . кч Светлый . . свБурый . . . бр Красный . . кр Серый . . . срГолубой . . гл Оранжевый . . ор Синий . . . сн

Пятнистый . . пт Темный . . ., '. '. т.мЗеленый . . . . зл Розовый . . рз Черный ;. . . .■ . чр

13 193

Условные Знаки морских карт

Х а р а к т ер б е р е га

Береговая линия достоверная '

Б е р е гк а м е н и с т ы й

Б е р е го в а я л и н и я н е д о с т о в е р н а я

8 Б е р е г гл и н и с т ы й [н и з м е н н ы й )

Б е р е г с к а л и с т ы й Б е р е г о п а с н ы й

Б е р е г о б ры висты й с п л я ж е м

Б е р е г обры висты й без п л я ж а

Б е р е г п е с ч а н ы й ( и л и з е м л и с т ы й )

Б ерег осушной

И зобат ы (в м е т р а х )

1м ■ 2 -■■■3 - -4 ......д ••

6 — • 75 .....

д

Ю м -

20 - 30 - W ■ 50 - 60 . 70 ■ 80 ■ 90 ■

ЮОм-2 0 0 -300-ЦОО-5 0 0 -60 0 -700-80 0 -9 0 0 -

1 0 0 0 м — — ------------ f i M - ----------------------

2 0 0 0 ---------- --------------- } 2 -------------

3 0 0 0 - ’ - -------------- / 3 — ------------

I fQ O O ------------- / 4 -------------------------- ! !

S 0 0 0 — - - -------- - — 1 5 .................................

6 0 0 0 - - 1 6 ------------- ---------- -- !

7 0 0 0 П -------------------------- ,

Ш О - ------- — -••• 1 8 -----------------

9 0 0 0 — - — --------------------------

■Щ'Линия отличительных глубин ......... Граница опасной внавигаи,

отнош ении зоны. Примечание- Р азм еры условны х обозначений изобат

сохраняются д/ш всех масш табоб

Ф а р ва т е р ы12 i,

б е з у к а з а н и я гл у б и н

13

" ( 7 , 0 ) - ^ ' ' С н а и м е н ь ш е й г л у б и н о й 7 м

— т о ] ~ ^ П р о т р а л е н н ы й н а Ю м

15 ______ _n p o lr f^ jljfa j/u Г р а н и ц ы п р о т р а л е н н ы х п л о ш ^а д е и

“ г - - ,' 1

З а п р е т н ы е зо н ы , р а й о н ы у ч е н и й и т .д .

Х а р а к т е р м о р с к о го д н а17

•й 1 К а м е н ьн а д в о д н ы й 1 i

5 Je & ^ S' ^ « S >.cb ^

1 ^

23О с т р о в а , н е

в ы р а ж а ю щ и е с я 'в м а с ш т а б е

78

\Т: ТК ам ень под­в о д н ы й с у к а з а н и е м гл иб ины под

н и м

2 ^•:'5) O S m

Ф

О тд е л ь ны е о т л и ­ч и т е л ь н ы е гл у б и ­н ы и б а н к и м а л о ­г о р а з м е р а

W

+К а м е н ь о с ы х а ю щ и 1 и б у р у н

l i l

Cj (2 IQ

2 5 О се р е д ы ш и и ' о т с ы х а ю щ и е о т м е л и 6р е к а х

2 0....ПС ... ПС ■•Т.- .

•+:пс

П о л о ж е н и ес о м н и т е л ь н о е

К о р а л л о в ы е

р и с р ы

21,х,с.5-.сс

0C C

С у ш ,е с тв о в а н и е

с о м н и т е л ь н о е

2 7

•р;ПОдВ.'"'ярепзщ

П о д в о д н ы еп р е п я т с т в и я

22

■:р>(165) С к а л ы

13* 195

йбозначёния на бо^е2 8

1 i

Я к о р н ы е с т о я н к и д. б о л ьш и х и м алы х с у д о в , н е о б о р у д о ­

в а н н ы й р е й д

Затонувш ее судно с глубиной над ним6.fS)i

П а л ы

2 3 W +16°И з о го н ы

i 11Ш е с т , ледовы й буй

л е д о в а я в е х а

4 ^ Телеграсрная ве ха

30 Г р а н и и ,а м а г н и т ­н о й а н о м а л и и .

Г р а н и и д м а г н и т ­н о й а н о м а л и и н е д о с т о в е р н а я

Г I М -а я в е х а

5 / J ^S - а я в е х а

*CKfl.K,25“vveЗ начения м агнсклон В анрм алийн. т о ч к е н а Воде ил и н а ш е го

! ? W - а я в е х а

X nS Z flnS ^ Гранины л ь д о в! ! 0 - а я в е х а

33 П одводны й ка б ел ь К р е с т о в а я в е х а

J4* = = s * ss i = Э л е к т р а -л о ц м а н в е д у щ и й к а б е л ь

М о р с к о й к а н а л и е го о гр а ж д е н и я

С порны е т е ч е н и я , т о л ч е я , с у л о й

б в t П л а в у ч и й м а я к

е э В о д о в о р о т Б о ч к а

■ 3 7 ' f r f»u27

Вилконичпроявлподв. 09О8-год, 2 7 -глубина) А

крБ у й , б а к а н

3 8 \ щ В о д о р о с л и Лчр

Б и й , б а к а н с m ono -о о й ф и гу р о й

С т а м у х а лО с в е щ а е м ы й

б а к а н и л и б у й

i ^ 46s 4Bs Г л у б и н ыС т в о р з н а к о в

4 / 1 X. f ■% не

Глубина при которой • д остали дна(пронесщ

4 2 _ _ 12s '%

[л уб и н а недостоверн., р #

С тв о р о гн е й

U hВ ы с о т а о о у и /к и н а д н у л е м к а р т ы

З а то н увш е е судно с ч а с т я м и н а д водой П остоянное течение ■

То ж е с глубиной нао ни м м еньш е / 8 ^

(?4Переменное течение

196

О б означения н а во д е (продолж ение)

6S Пршшво-отливные течения\с оперением- приливы, без опер, от м

7/ 1Гавани

66Закол для рыбной

ловли

12I—I—Г"Т—г-

В о л н о л о м ,

брекват ер

67Рыболовные сети

73

r l llllU M II

Пристань

68 Подводный звука -

вой сигнал, связан­

ный с берегом

74

C Z DПлавучий док

69 Подводный звуке - Sou сигнал, несвя­

занный с'берегом

75

Э л л и н г

70Мол

76С ухой док

М ельни ц ы , к о л о д ц ы и др. о б ьек т ы7 7

- 4 Мельницы на судах86

/07 .Клю чи источники

родники

78Водяные мелЪницы

87^орт. к.

Артезианскиеко лод ц ы

79Водяные лесопилки

88^ серн

Минеральные

ист очники

80Чигири Колодцы сжураВл.

811

Колодцы с ветр

двигат елем

90^ к а к ''

Д о ж девы е ям ы

( в Ср. А зии )

82® л : Колодцы

91^сард.

Д ож девы е ямы

( в Ср. А зии)

83‘ К (с у х ) Колодцы с у х и е

В2А Труба

<94h Наблю д am. вышка

93 Церковь

кам .

место ко ■

торых опр.

85Г Парашют, вышка

94к Мечеть

197

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

Прилагаемые картографические таблицы распространены в некоторых слу­чаях (табл. 1) лишь для'широт Советского Союза. Аргументом для выборки из таблиц интересующих величин обычно является широта ср. '

В случаях, когда требуется найти функцию широты для ее значения, выра­жающегося не целым числом градусов, приходится применять интерполяцию. Приведем некоторые примеры,

1. В общем случае линейная интерполяция неприменима и приходится де­лать интерполяцию с учетом разностей высших порядков по формуле

h(h^ l ) {h^2) .

КАРТОГРАФИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ

3'= /('f+ ,5'f)==/('?4-^)=JfT +A -'^i+ '^2., 6(0

Здесь h= -д - , т, е, выражение приращения аргумента бср

Ь 2-3 ^3+ . • .

долях таб­личного интервала Аср; в наших таблицах Аф = 1“ = 60'; Ai, Аг, Аз, — разно­сти первого, второго, третьего и т. д. порядков.

В качестве иллюстрации возьмем нахождение меридиональных частей для аргументов срд = 34°43',4 = 34°,723 и фд = 34°10',4 = 34°,173, данных в примере на определение длины'локсодромии по меркаторской карте (см, § 38). Поскольку функции широт 34°, 35° и' т, д. отсутствуют в табл. 1, они взяты из других таб­лиц, где меридиональные части даны для широт через Г в интервале О < !f< 90°.

Приводим выписку из таблиц и составляем разности А:

33°34°35°36°

2086,9862158.6042231,0792304,453

71,61872.47573,3/4

0,8570,899

Z) ,= 2 1 5 8 ,604-f0,723X72,475 -0,723X0,277

ХО,899=2158,604-f52,399-0,090=2210,913;

0,173X0,827Z) j=2158,604+0,173X72,475 2 '

X

X

Х0.899=2158,604 + 12,538—0,064=2171,078;

' Dj^—Dj^=39,83o. -■ ,

2. Величина ig U быстро меняется с широтой, поэтому линейная интерполя­ция при отыскании ig U для промежуточных между табличными значений шп­роты недопустима. Поэтому приходится прибегать к приему, вытекающему из следующих рассуждений:

\ Y1 — е sin со el2= lg tg(4^' -big E;

198

-де функция широты

1 —е sin (с\г / 2■£ = 1 1 sin 'f

L. широтой меняется медленно и может быть выбрана из табл. 1 линейной ни- герполяцией.

Найдем, для примера, Ig О' для широты ср = 58°34'19",65 = 58°34',3275 = = 58°,572; ■ .

Igtg ( 4о°-Ь = Ig tg (45° - f 29°17'09",а2) = Ig tg (74°17'09",82) = 0,5507534 .

l g £ = 0,0024692 + 266 x 0,572 = 0,0024692 + 0,00001.52= 0,0024844

Ig £/'=0,5532378.

199

iO"ОО Основные величины

Т а б л и ц а t

■о X е м

Меридиональ- Длина I' дуги Длина 1' дз'ги? . ные части.

Dпараллели

в мммеридиана -

в ммIg С/ l g £ СрО

1 2 " 3 4 5 6 7 8

0 0 0.000 1 855 356 1 842 938 0,000 ОООО 0,000(0000 010 1 105 875 599,074 1 827 354 1 843 496 - 0.075 6817 0,000 5048 1020 - 2 212 406 1217,267 1 744 148 1 845 104 0,153 7787 ■ 0,000 9945 2030 3 320 1/2 .1876.864 1 608 132 1 847 573 0,237 1064 0.001 4542 3040 4 429 607 2607,886 1 423 255 1 850 609 0‘329 4572 0,001 8703 4041 4 540 654 2686,487 1 402 277 Г 850 930 ' 0.339 3870 0,001 9089 41

. 42 - 4-651 719 2766,300 1 380 869 1 851 253 0.349 4698 0,001 9471 4243 4 762 804

л л Г\ 2847,386 1 359 039 1 851 578 0.359 7135 0.001 9846 4344 . 4 873,908 2929,813 1 336 792 1 851 903 0.370 1266 0.002J0215 44

■ 46 4 985 032 3013,650 1 ЗН 136 1 852 228 0,380 7179 . 0,002 0578 45 -46 5 096 176 3098,974 1 291 077. - 1 852 554 0,391 4970 0,002 0934 46

' ' 47/'' 5 207 339*Л t Г"* /"V 4 3185,865- 1 267 621 1 852 879 - 0,402 4739 : 0,002 1286 47

.48 5 318 521 3274,4083364,694

> 1 243 777 1 853 204 0,413 6596 0,002 1630 4849 5 429 723 1 219 550 1 853 527 0,425 0657 0,002 1966 4950 5 540 944 3456,823 1 194 949 1 853 849 0,436 7044 0.002 2297 50

' 51 5 652 185 3550,899 1 169 981 1 854 170 - 0,448 5891 • 0.002 2622 5152 5 703 445 3647,036 1 144 653 1 854 487 0,460 7343 - 0.002 2938 5253 5 8/4 723 3745,357 1 118 972 1 854 803 0.473 1553 . . 0.002 32-iS 53-54 5 986 021 3845,994 1 092 948 1 855 115 0.485 8688 0,002 3552 5455 6 097 337 3949,089 1 066 507 1 855 424 0.498 8929 0.002 3848 5556 6 ‘.iiOS 672 4054,798 1 039 897 1 855 729 0.512 2473 0,002 4137 56- .

. 57 6 320 025 4163.292 1 012 887 1 856 029 0,525 9534 0.002 4418 57 :58 6 431 3S)5 4274.753 985 564 1 866 325 0,540 0344 0,002 4692 58

. 59 6 542 783 4389.384 957 938 I 8.56 617 0,554 5159 0;002 4958 5960 6 654 189 4507,407 930 015. ! 856 903 0.569 4259 0,002 5216 6061 6 765 612 4629,066 901 806 1 857 183 0,584 7952 0.002 5467 6162 6 877 051 4754.630 . 873 319 1 857 457 0.600 6578 0.002 5711 6263 6 988 506 4884.398 844 561 1 857 725 . 0.617 0516 0,002 5947 63

1 2 3 4

6.4 7 099 978 5018,703 815 52465 7 211 465 5157,915 786 27266 7 322 967 5302,909 756 758

■■ 67 7 434 483 5452,784 727 01068 7 546 014 6609,443 697 03769 7 657 558 5773,034 666 84870 7 769 116 5944,253 636 45371 7 880 686 6123,901 605 86072 7 992 268 6312.911 575 08073 8 103 862 6512,373 .544 12274 . 8 215 467 6723,579 512 99475 8 327 082 1 948,066 481 70876 8 438 707 - 7187,695 450 27277 8 650 341 7444,737 418 69778 8 661 984 7722,010 386 99179 8'7 73 635 8023,069 ' 355 16680 8 885 293 8352,487 323 23081 ' 8 996 958 8716,287 291 19482 9 108 629 9122,622 259 067

- 83 9 220 306 9582,928 - 226 86084 9 331987 - 10113,95 194 58385 9 443 673 10741,65 „ 162 245

■ 86 9 555 362 11509,51 129 85687 9 667 053 12499,08 97 42888 9 778 747. 13893,'8 64 96989 9 890 442 16276,50 . 32 48990 10 002 137 оо OOOO

5 6 7 8

1 857 987- 0,634 0185 0,002 6174 641 858 241 0,651 6054 0,002 6394 651 858 '188 0,669 8649 0,002 6606 661 868 728 0,688 8565 0,002 6809 671 858 960 0,708 6473 0,002 7004 681 859 183 0,729 3139 0,002 7192 691 859 398 0,750 9442 0,002 7370 701 859 604 . 0,773 6394 0.002 7541 711 859 802 0,797 5172 0,002 7703 721 859 990 0,822 7155 0.002 7856 731 860 168 0.849 3974 0.002 8001 741 860 337 0,877 7572 0,002 81 '7 751 860 496 0,908 0297 0.002 8265 761 860 645 0,940 5021 0.002 8384 771 860 784 0,9765303 0.002 8495 781 860 912 1,013 5634 0.002 8597 79-18Ы 030 1,055 1792 0,002 8690 801 861 137 1,101 1384 0.002 8774 811 861 233 1,152 4713 0.Г02 8850 82 .1 861 318 1,210 6223 0,002 8916 83 ■1 861 391 1,277 7068 0,002 8974 841 861 454 1,357 0046 0,002 9023 851 861 5u5 - 1,454 0099 0,002 9063 861 861 545 1,579 0227 0,002 9094 - 871 861 574 1,755 1669 0,002 9116 881 861 591 2,056 2286 0,002 9130 891 861 597 --- 0,002 9134 90'

Единица карты в миллиметрахТ а б л и ц а 2:

МасштабаШ и р о т 3' tpn

25° 30° 40= 42° 44° 52°

25 000= 50 000= 75 000=

100 000= 150 000= 200 000= 250 000= 300 000= 350 000= 400 000= 500 000= 600 000= 700 000= 750 000= 800 000= 900 000=

1 ООЙ 000= 1 ЬОО 000 =

Г: 2 ООО 000= 1! 3 ООО 000= 1 :5 ООО 000=

0,00004000000 0,00002000000 0,00001333333 0,00001000000

-0,00000666666 0,00000500000 0,00000400000 0,00000333333 .0,00000285714 0,00000250000 0,00000200000 0,00000166666 0,00000142857 0,00000133333 0,00000125000 0,00000111111 0,00000100000 0,000000666666 0,000000500000 0,000000333333 0,000000200000

67,30120 64,32528 56,93020 55,23476 53,47168 45,7861233,65060 ■ 32,16264 28,46510 27,61738 26J3584 22,8930522.43373 21,44175 18,97673 18,41158 17,82389 15,2620416,82530 16,08132 14,23255 13,80869 13,36792 11,44653.11,21687 10;72088 9,48837 9,20579 8,91195 7,631028,41265 8,04066 7,11628 6,90434 6,68396 5,72326.6,73012 . 6,43253 5,69302 5,52348 ■ 5,34717 4,578615,60843 5,36043 4;74418 4,60289 4,45597 3,815514,80722 4,59466 4,06644 3,94534 3,81940 3,27043-4,20632 4,02033 3,55814 3,46217 3,34198 2,86163-3,36506 3,21626 2,846.‘)1 2,76174 2,67358 2,289312,80421 2,68021 2,37208 2,30144 2,22798 1,90775.2,40361 2,29733 2,03322 1,97267 l,909f0 1,635222,24337 2,14417 1,89767 1,84115 1,78238 1,526202,10316 2,01016 1,77907 1,72609 1,67099 1.430821,86948 1,78681 . 1,58139 1,53430 1,48532 1,271841,68253 1,60813 1,42326 1,38087 1,33679 1,144651,12169 1,07209 0,94884 0,92058 0,89119 0,763100,841265 0,804066 0,711628 0,690434 0,668396 0,5723250,560843 0,536043 ■ 0,474418 0,460289 0,445597 0,3815510,336506 0,321626 0,284651 0,276174 0,267358 0,228931

П р о д О я ж е н и е т а б л и ц ы 2

Ш и р о т а !fo

Масштаб59“ 60“ 66° 69° 70“ ' 75“ 80°

1: 25 000= 0.00004000000 38.31752 37,20060 30.27032 26,67392 25,45812 19,26832 12,929201 : 50 000 =0,00002000000 1: 75 000=0,00001333333

19.15876 18,60030 15.13516 13,33696 12,72906 9,63416 6,46460' 12.77250 12,40020 10,09010 8,89130 8,48604

6.364536.42277 4,30973

1: 100 000=0.00001000000 9,57938 9,30015 7,56758 6,66848 4.81708 3,232301: 150 000= 0 ,00000366G66 6,38625 6,20010 5.04505 4,44565 4,24302 3,21139 . 2,154871 : 200 000 =0,00000500000 1: 250 000=0.00000400000 1: 300000=0,00000333333 1: 350 000=0,00000285714 1: 400000=0,00000250000

4,78969 4,65008 3,78379 3,33424 3.18226 2.40854 1,616153.83175 3,72006 3,02703 2.66739 2,54581 1.92683 1,292923,19312 3,10005 2.52252 2.22282 2,12151 1.60569 1,077432,73696 2,65718 2,16216 1,90528 1,81844. 1.37631 0.923512,39484 2,32504 1,89190 1.66712 1,59113 1.20427 0,80808

1 ! 500 000=0,00000200000 1,91588 1,86001 1,51352 1.33370 1,27291 . 0,96342 0,646461: 600 000=0,00000166666 1,59656 1,55002 1,26126 1,11141 1,06075 0,80284 0,538711: 700 000=0.00000142857 1 ! 750 000=0.00000133333

1,36848 1,32859 1,08103 0.95264 0.90922 0,68815 0,461761,27725 1,24002 . 1,00901 0,88913 0,84860 ,0,64228 0,43097

1: 800 000=0.00000125000 1.19742 1,16252 0,94.595 0,83356 0,79557 ' 0,60214 0,40404I : 900000=0,00000111111 1,06437 1,03335 . 0,84084 0,74094 0,70717 0,53523 0,35914Ы 000 000=0,00000100000 0,95794 0,93002 0,75676 0.66685 0.63645 0,48171 0,323231 : 1 500 000=0,000000666666 - 0,63862 0,62001 0,50450 0,44456 0.42430- 0,32114 0,215491 : 2 ООО 000=0,000000500000 0,478969 0,465008 0,378379 0,333424 0,318226 0,240854 0,1616151 : 3 ООО 000=0,000000333333 0,319312 0,310005 0,252252 0,222282 0,212151 0,160569 0,1077431 : 5 ООО 000=0.000000200000 0.191588 0.186003 0.151352 0,133370 0,127291 0,096342 0,064646

to-Осо

Логарифмы радиусов кривизныТ а б л и ц а 3 '"

IgM

0°0°30'ГГЗО'2 “2°30'3°3“30'4“4°30'5°5°30'6°6'’3 0 '^7°7°30'8° ■ 8°30'9“9°30'

10°10°30' 1Г1Г30'12°1?°30'13-13°30'14°14°30'

6,8017 845 17 848 17 858 17 875 17 898 17 92817 96518 008 18 057 18 114 .18 176 18 246 18 322 18 404 18 493 18 588 18 690 18 79818 91219 033 19 !60 19 293 19 433 19 578 19 73019 88820 052 20 222 20 398 20 579

IgW

310.17233037434957627075828995

102108114121127133140145152158164170176181188

6,8047 012 47 013 47 016 47 022 47 030 47 040 47 052 47 066 47 083 47 101 47 122 47 146' 47171

; 47 19847 228 47 260 47 294 - 47 330 47 368 47 408 47 450 47 495 47 541 47 590 47 640 47 693 47 748 47 804 47 863 47 923

1368

1012141718 212425 27 30 32 34 36 38 40 4245464950 5355565960 63

6,8032 428 32 431 32 437 32 448

.3 2 464 32 484 32 508 32 537 32 570 32 607 32 649 32 696 32 746 32 801 32 860 32 92432 99233 064 33 140 33 220 33 305 33 394 33 487 33 584 33 685 33 79033 900

-- 34 01334 130 34 251

3 6

.11 16 20 24 29 33

. 37 42 47 50 55 59 64 68 72 76 80 85 89 93 97

101 105n o -113117121125

8

!g N cos rf

- 6,804 70128,863 8429 6,804 68488,562 7802 6,804 63558,386 6313 6,804 55338,261 6192 6,804 43838,16 16109 6,804 29048,085 3094 6,804 10968,018 2205 6,803 89587-,960 0645 6,803 64917,908 7260 f',803 36937,8(2 7605 6,803 05657,821 1377 6,802 71057,783 0969 6,802 33147,748 0603 6,801 91917,715 5790 6,801 47357,685 2960 6,800 99457,656 9268 6,800 48217,630 2341 6,799 93627,605 0243 6,799 35677,581 1342 6,79S 74357,558 4263 6,7.98 09657,536 7826 6,797 41567,516 1019 6,796 70077,496 2964 6,795 95177,477 2895 6,795 16847,459 0 1 4 0 6,794 35087,441 4107 6,793 49877,424 4267 6,792 61197,408 0152 6,791 69047,392 1343 6,790 7339

.15“15°30'16°16“30'17“ -17"30'18°18°30'19°19°30'20“20°30' 2 Г 21°30' 22° 22°30' 23° , 23°30' 24° 24°30' 25° 25°30' 2,6° 2б.°30' 21° ■ 27°30' 28° 28°30' 29° 29°30' 30° 30°30' 31°31°30'32°32°30'33"33°30'

ot

40 1Ы20 96021 159 21 36321 573

. 21 78922 010 22 237-

6,8022 46822 70622 94823 195 23 447, 23 70523 96724 234 24 50624 78225 063 25 348 25 63825 93226 230 26 53226 83827 149. 27 46327 78028 102 28 42728 755.29 087 29 422.29 76030 10130 44530 79231 142

193199204210216221227231238242247252258262267272276281285290294298302306311314317322325328332.335.338341344347350352

‘il чои48 050 48 117 48 185 48 255 48 327 48 400 48 476

6,8048 553 48 632 48 713 48 79548 87948 96549 053 49 142 49 232 49 324. 49 418 49 513 49 609 49 707 49 80749 90850 010 50 113 50 218 50 324 50 43150 53950 64950 75950 87150 98451 09751 21251 32851 444

34 50534 63834 774 3491435 058 35 205 35 356

6,8035 511 35 669 35 83035 99536 163 36 335 36 51036 68836 86937 053 37 24037 43037 62437 820 3801838 220. 38 42438 631 38.84039 052 39 26639 48339 70239 923 ■40 146 .40 37240 59941 82941 06041 293

1291331361401441471511551581611§5168172175178181184187190194196198202204207'209212214217219221223226227230231 233 2j5

7,361 8167 7,347 31527,333 2Г36 7,319 48657,306 11047,293 06407,280 3277 7,267 8835 7,255 7145 7,243 8054 7,232 1419 7,220 7105 7,209 4990 7,1984957 7,187 6898 7,177 07137,166 6305 7,156 3586 7,146 2472 7,136 2884 7,126 4746 7,116 7989 7,107 2545 7,097 8351 7,088 5346 7,079 3474 7,070 2680 7,061 2911 7,05<i4ll9 7,043 6255 7,034.92747,026 31337,017 77907,009 32057,000 9339 6,992 6154 6,984 36l5

6,788 7155 6,78765336,786 5554 6,7854218 6,784 2522 6,78304646,781 8042 6,780 5254 6,779 2098 6,777 8571 6,776 4672 6,7750397 6,773 5744 6,772 0711 6,770 52956,768 94936,767 3302 6,765 6719 6,763 9742 6,762 2367 6,760 45906,758 64096,756 7818 6,75488186,752 9402 6,750 9567 6,748 9319 6,746 86236,744 7507 6,742 59556,740 3963 6,738 152Г 6,735 8642 6,733 5302 6,731 15046,728 7242 6,726 2510

34°3t°30'35°35°30'36“36°30'37°37°30'38°38°30'39°39°30'40°40°30'41°41°30'42°42°30'‘43° .43°30'44°44°30'45“45°30'46°46°30'47°47'30'48°48°30'49°'49°30'

6,8031 49431 84932 206 32 66632 92733 29133 65734 024 34 39434 765 3511735 51135 886

- 3 i2 6 236 640 3701837 39737 77738 15838 53938 920

. 39 30239 68440 06540 44740 82841 210 ‘11 59041 97042 350

: 42 72943 106

355357360361 364 366

■367370371372 374

.375376 378378379380381

■ 381381382 382381382381382 380 380 380 379 3/7377

6,8051 56251 68051 79951 91952 039 52 161 52 283 52 40552 52852 65252 77652 901 5302653 451 53 277 53 40353 529.53 65653 78353 910

' 54 03654 164 54 29154 419 5» 54654 67354 80054 92755 05455 18055 30655 432

П р о д о л ж е н и е т а б л и ц ы З

6,8041 52841 76442 002

’ 42 24242 48342 72642 970 4321543 46143 70843 956-44 206 44 456 44 70744 95845 21145 46345 71745 97046 22446 47946 73346 98747 24247 49647 75148 00548 259 4851248 76549 01849 269

236238240241 244244245246247248 250250251251253252254253254255 254254255254255 254 254 253 253 253251252

6,976 1687 6,968 0337 6,959 9531 6,951 9239 6,943 9429 6,9360072 6,928 11386,920 2600 6,912 4=130 6,9046600 6,896 9084 6,889 1856 6,881 4890 6,873 81626,866 16456,858 5319 6.8509155 6,843:3131 6,835 7224 6,828 1410 6,820 56656,812 9967 6,805 4291 6,797 8615 6,790 29186,782 7173 6,755 13596,767 5452'6,759 94286,752 32646,744 6937 6,737 0421

6,723 73046,721 1617 6,718 54446,715 87796,713 1616 6,710 39486,707 5769 6,704 7072 6.701 78506,698 8096 6,695 7802 6,692 69616,689 5565 6,686 36066,683 1075 6,679 7964 6,676 4264 6,672 9965 6,669 50576,665 9532 6,662 33786,658 65856,654 9141 6,651 1037 6,647 2259 6,643 2795 6,639 2633 6,635 1760 6,631 0163 6,626 7826 6,622 47366,618 0877

50®- 50°30'

5 Г 51°30' 52° 62°30' 53° 53°30' 54°54°30'55°55°30'56°56°30'57°57°30'68°58°30'59°59°30'6 0 °60°30'61°6Г30'62°62°30'63°63°30'64°64°30'65°65°30'66°66°30'67°67°30'68'68°30'

43 48343 85944 23344 60644 97845 348 4571646 08246 44746 80947 170 '47 52847 88348 23648 58748 93549 28049 62249 96150 29750 63050 96051 28651 608

' 51 92752 243 .52 55452 86253 10553 -16553 76054 05154 33754 61954 89755 17055 43855 702

376374373372370368366365362361358355353351348345312339336333330326322319316311308303300295291286282278273268264258

55 55855 68355 80855 93256 05656 18056 30256 42456 54656 66756 78756 90657 025 57 142 57 259 57 37557 49057 60457 71757 82957 94058 050 58 15958 26658 37358 47858 582 5868458 7'8558 88558 98459 08159 17659 27059 36359 45459 54359 631

49 52149 77150 021 50 269 50 51750 76451 009 51.253 51 496 51 73851 97852 217 52 454 52 68952 92353 155 53 385 53 61353 83954 063 54 285 54 505 54 72254 93755 150 55 360 55 568 55 77355 97556 175 5(i 372 56 566 56 75756 94557 130 57 312 57 491 57 666

250250248248247245244243242240239237235234232230228226225222220217215213210208'205202200197194191188185182179175173

6,729 36936,721 67286,713 95006,706 19846,698 41556,690 5984 6,682 7446 6,674 85136,666 91566,658 9347 6,650 90556,642 82496,634 68996,620 49726,618 24336,609 9248 6,601 53826,593 07986,584 5455 6,575 9314 6,567 23346,558 4471 6,549 56796,540 5910 6,531 5116 6,522 3245 6,513 02406,503 6047 6,494 0603 .6,484 3846 6,474 5709 6,464 61216,454 5007 6,444 2289 6,433 7882 .6,423 1697 6,412 36396, lO 1 3606

6,613 62336,609 0788 6,604 4526 6,599 74286,594 9476 6,590 06516,585 0932 6,580 0300 6,574 8733 6,569 6207 6,564 27006,558 8186 6,553 26416.547 60376,541 83476,535 95406,529 9587 6-5238455 6,5176111 6,5112518 6,504 7640 6,498 1438 6,491 38716,484 4895 6,477 4466 6,470 25346,462 90496,455 3958 6.447 7205 6,4398729 6,4:11 84666,423 63506,415 2309 6,406 6267 6,397 8143 6,388 78506,379 5297 6,370 0385

69°69°30'70°70°30'71°7 ГЗО'72°72°30'73°73°30'74°74°30' 75° 75°30' 76° 76°30' 77° 77°30' 78° . 78°30' 79° 79°30' 80°80°30'8 Г8Г30'82°82°30'83°83°30' 84° . 84°30'

6,8055 96056 21456 46256 70656 94457 17757 40557 62757 84458 05558 26158 46158 65558 84459 02759 20159 37459 53959 69859 85159 99760 13860 27260 40060 52160 63660 74560 84860 94361 033 61 116 61 192

254 , 248 244 238 233 228 222 217 211 206 200 194 189 183 177 170 165 159 153 146 141 134 128 121 115 109 103 95 90. 83 76 70

6,8059 71759 80259 88459 96660 04560 12360 199

' 60 27360 34560 41560 48460 55160 61560 67860 83960 798

' 60 85560 91060 96361 014

.61 06361 ПО 61.154 61 197 61 237 61 276 61 312 61 346 61 378 61 408 61 435 61 461

П р о д о л ж е н и е т а б л и ц ы 3

16916516315915515214814414113Т134129126122118114110106!019894898581777368'6459565146

6,390 14916,378 71786,367 0543 6,355 1452 6,342 9764 6,330 53216,317 7959 6,304 7496 6,291 37356,277 6464 6,263 5448 6,249 04346,234 11406,218 72596,202 8450 6,186 4336 6,169 4496 6,151 8462 6,183 5708

'6,114 5640 6,094 75856,074 0779 6.052 4342 6,029 7262 6,005 83625,980 6264 5,953 9337 5,925 56375,895 2816 5,8628003 5,827 76385,789 7230

6,360 3009 6,350 3055 6,3400401 6,329 49186,318 64646,307 48876,296 0022 6,284 1691 6,271 9698 6,259 3833 6,246 3865 6,23295396,219 0578 67204 6S75 6,189 7491 6,174 26516,158 1735 6,141 42786,123 9752 6,105 7567 6,086 7051 6,066 7440 6,045 7856 6,023 72896,000 4562 5,975 8297 5,949 68655,921 8323 5,892 03235,859 9996 5,825 37815,787 7190

85“85=30'86=86=30'87=87=30'88°88=30'89°89°30'90=

61 26261 32561 382 6! 43261 47561 51261 54261 56561 58261 59261 595

6357504337302317103

61 48461 50561 52461 54161 555 '61 56861 57861 58561 59161 59461 595

21 19 17 14 13 10

' 7 6 3 1

61 373 61 415 61 453 61 486 61 515 61 540 61 560 61 575 61 586 61 593. 61 595

4238за29252015И72

5,748 1002 5,746 44445,702-1347 5,700 79385,650 7962 5,649 73695,592 6402 5,591 82945,525 5513 5,524 9557“5,446 2499 5,445 83635,349 2416 5,348 9,695,224 2264 5,224 07765,048 0806 5,048 01444,747 0178 4,747 0013

Радиусы кривизныТ а б л и ц а 4

1

М в м в м

RБ М

N ctg Ф в км

N COS о в км

6

0°0° 30'Г1°30'2°2° 30' 3°3“ 30'4,4° 30'Ъ°5° 30' 6°6° 30' 7° ■7° 30' 8°8° 30'9°9° 30'

10°10° 30' 11°11° 30' 12°12° 30'13°13°30' 14°14°30' 15° ,15° 30', 16°16° 30' 17°17°30'18°18° 30'19°19° 30' 20°

.20° 30' 21°21°30'22°22° 30' 23°23' 30'

6335 553 6335 558 6335 572 6335596 6335 630 6335 674 6335 727 6335'790 6335 8626335 9446336 036 6336 137 6336 248 6336 368 6336 498 6336 637 6336 7856336 9436337 110 6337 286 6337 471 6337 6666337 8696338 082 6338 3036338 5' 4 63.38 7736339 021 6339 2776339 542 6.339 8166340 098 6340388 6340 6876340 9946341 309 6341 6326341 9626342 3016342 6476343 001 6343 3626343 7316344 107 6344 4906344 879 63452766345 680

6378 245 6378 247 6378 252 6378 260 6378 271 6378 286 6378 304 6378 325 6378 349 6378 376 6378 407 6378 441 6378 478 6378 519 6378 562 6378 609 6378 658 6378 711- 6378 7676378 8266378 889 6378,9546379 022 6379 094 6379 168 6379 245 6379 325 6379 409 6379 495 6379 584 6379 675 6379 7706379 8676379 9686380 070 6380 176 63S0 284

. 6380 395 6380 509 6380 6256380 7436380 8656380 988 638М 146381 242 6381 3736381 5066381 642

6356 863 6356 866 6356 876 6356 892 6356 91.5 6356 9446356 9s06357 022 6357 070 6357 125 6357 186 6357 254 6357 328 6357 408 6357 495 6357 588 6357 687 6857 7936357 904 63580226358 146 6358 276 6358 412 6358 555 6358 7036358 8576359 017

. 6359 1836359 354 6359 532 6359 7146359 9036360 097 6360 297 6360 502 6360 7136360 9296361 150 6361 376 6361 6086361 8446362 086 6362 3326362 583 63628406363 100 6363 366 6363 636

730 874,7 365 409,8243575,9 132 649,8 146 086,S 121 706.3 104 284,791 214,64 81 044,96 72 905,53 66 242,6460 687,1755 983,5451 949,2248 450,3445 386,5142 680.9540 273,9538 118,3636 176,4834 417,7632 817,2231 354,2530 011.6328 774,9227 631,8926 572,1525 586,7624 668.0223 809,2723 004.7192 249.2421 538.41 20 868.27 20 235,33 19 636,50 19 068,99 18 530,34 18 018,33 17 530,95 17 066,40 16 623,04 16 199,40 15 794,13 15 406,00 15 033,89 14676,77

6378,245 6378,0046377.2806376,074 6374,385 637-2,215 6369,562 6366,4286362.812 63.58,714 6354,135 6349,076 6343,536 6337,5166331,017 6324,0396316,582 6308;6476300,2346291,345 6-^81,9796272,1386261,8226251.0316239,7686228.031 6215,824 6203,145 6189,9966176,3796162,2936147,740 6132,722 6117,229 6101,292 6084,882 6068,011 6050,680 6032,8906014,642 5995,938 5976,7785957,166 5937,1015916,5855895,620 ,5874,208 5852,349

2 1 0

ftp 0| Д О Л ж ё н й £ i т а б л и ц ы 4

1 2 3 4 5 6

24“ 6346 090 6381 779 6363 910 14333,71 5830,04624° 30° 6346 507 . 6381 919 6364 188 14003,84 5807,29925= 634G 931 6382061 6364 472 13686,37 5784,11225° 30' 6347 360 6382 205 6364 759 13380,57 5760,48426° 6347 796 6382 351 6365 050 13085,76 5736,41926° 30' 6348 238 6382 499 6365 346 12801,31 5711,91827° 6348 686 6382 649 6365 645 12526,65' 5686,98227° 30' 6349 139 6382 801 6365 948 12261,25 5661,61428° 6349 598 6382 955 6366 255 12004,59 5636,81528° 30' 6350 063 6383 111 6366 566 11756,23 5609,58729° 6350 533 6383 268 6366 879 11515,72 5582,93229° 30' 6351 008 6383 427 6367 197 11282,67 5555,85230° 6351 488 6383 588 6467 518 11056,70 5528,34930? 30' 6351 974 6383 751 6368 843 10837,46 5500,42631° 6352 464 6383 915 6368 170 10624,62 5472,08331°30' 6352 958 6384 081 6368 500 10417,87 5443,32432° 6353 457 6384 248 6363 834 10216,93 5414,14932° 30' 6353961 6384 416 6369 170 10021,53 . 5384,562 i33° 6354 468 6384 586 6369 510 9831,401 5354,56533° 30' 6354 980 6384 758 6369 851 9646,317 5324,159

, 34° 6355 495 6334 930 6370 196 9466,048 5293,347’ 34° 30' 6366 014 6385 104 6370 543 9290,384 5262,132

35° 6356 537 6385 279 6370 892 9119,124 5230,51435° 30' 6357 064 6385 455 6371 244 8952,079 5198,49836° 6357 593 6385 633 6371 597 8789,069 5166,085

.36°30' 6358 126 6385 811 6371 953 8629,928 5133,27837° 6358 661 6385 990 6372 311 8474,495 5100,07937° 30' 6359 199 6386 170 6372 671 ' 8322,619 5066,49038° 6359 740 6386 351 6373 032 8174,157 5032,51438'- 30' 6360 283 6386 533 6373 395 8028,973 4998,15339° 6360 829 6386 716 6373 759 7886,937 4963,41039° 30' 6361 376 6386 899 6374 125 7747,928 4928,28840° 6361 926 6387 083 6374 492 7611,829 4892,79040° 30' 6362 477 6387 267 ' 6374 860 7478,529 4856,9164 P 6363 030 6387 452 6375 230 7347,924 4820,67141° 30' 6363 584 6387 638 6375 600 7219,911 4784,05842° 6364 140 6387 824 6375 971 ' 7094,397 4747,07842° 30' 6364 697 6388 010 6376 343 6971,290 4709,73543° . 6365 254 6388 197 6376 715 6850,502 4672,03143° 30' 6365 813 6388 384 6377 088 6731,951 4633,97044» 6366 372 6388 571 6377 462 6615,559 4595,55344° 30' 6366 931 6388 758 6377 835 6501,247 4556,784 '45° 6367 491 6388 945 6378 209 6388,945 4517,66645°30' 6368 051 6389132 6378 583 6278,583 4478,20246° 6368 611 6389 319 6378 957 6170,094 4428,39446°30' 6369 170 6389 506 6379 330 6063,415 4398,246

. 47° 6369 729 6389 693 6379 703 5958,485 4357,760' 47° 30' 6370 287 6389 880 6380 076 5855,246 4316,940

48° 6370 845 6390 066 6380 449 5753,642 4275,789, 48°30' 6371 402 6390 252 6380 820 5653,618 4234,309

2U

49“49° 30' 50°50° 30' 51°Sl-^SO'52°52° 30' 53°53° 30' 54° ч 54° 30''55°55° £0' 56°56° 30' 57°57°30' 58°68°30' 59°59° 30' 60°60° 30' 61°61°30' 62°62° 30'63°63°30' 64°64° 30'. 65°65° 30' 66°66° 30' 67°67° 30' 68°68° 30' 69°69° 30' 70°70° 30'71°71° 30'72°72° 30'73°73° 30',

6371 9576372 5126373 065 ,6373 6166374 1656374 7136375 2586375 8016376 3426376 8806377 4156377 9476378 4766379 0026379 5256380 0446380 5596381 0706381 5776382 0806382 5786383 0726383 5616384 0456384 5256384 9996385 4686385 9326386 3896386 8426387 2886387 7296388 1636388 5916389 0126389 4276389 8366390 2376390 632 63910206391 4006391 774 63921396392 4986392 8486393 1926393 5276393 8546394 173 6394484

6390 4386390 6246390 8086390 9936391 17,66391 3596391 5426391 7236391 9046392 083 6392 2626392 4406392 6176392 7936392 9676393 140 6393 312 6393 4836393 6526393 8206393 9876394 1526394 3156394 4776394 6376394 7956394 9526395 106 6395 259 6395 410 6395 559 6395 7066395 8516395 9946396 135 6-396 2736396 4106396 5446396 6756396 8056396 9326397 056 63971786397 2986397 4156397 5296397 6416397 7506397 8566397 960

6381 1916381 5616381 9306382 2986382 6656383 0316383 3956383 7576384 1186384 4776384 8346385 1906385 5436385 8946386 2426386 5896386 9326387 2736387 6126387 9476388 2806388 6096388 9366389 2596389 5796389 8956390 208 6390 5176390 8236391 1256391 4226391 7166392 0066392 2916392 5726392 8496393 1226393 3906393 6536393 911 63941656394 4146394 6586394 8976395 1316395 3606395 5846395 8026396 0156396 222

5555,1235458,1085362,5255268,3285175,4735083,9174993,6^4904,5424816.645 4729,893 4644,2504559,683 4476.1594393.645 4312,11-1 4231,5274151,8664073,098 3995,1973918,1383841,895 3766,4433691,7593617.821 3544,605 3472,090 3400,256 3329,0823258,5473188,634 3119,323 3050,595

■ 2982,4342914.8222847,74.3 2781,179 2715,-1152649.535 2584,4252519,7682455,5522391,761 2328,382 2265,402 2202,806 2140',583 2078,720 2017.203 1956,021 1895,162

4192,5054150. 3784107.9334065,1714022,0983978,7153935,0263891,0343846,7443802.157 3757.2783712.1093666.6543620,918 3574.9023528.611 3482.047

. 3435.216 3388,1203340,762 3293,1473245,2773197.158 3148,7913100,1823051,333 3002,248 2952,932 2903,3872853,618 2803,6292753.4232703,003 2652.3762601.542 2550,508 2499.276 2447,851

-2-396,2372344,4372292,4552240,2962187,9642135,4622082.7942029.9661976.9801923.8411870.5521817,119

2 1 2

74°74° 30' 75°75; 30' 76*76°30' 77°77° 30'78°78° го' 79°79° 30' 80=80° 30' 81°81°30'82°82° 30' 83°83° 30' 84°84°30'а5°85° 30'86°86° 30' 87°87° 30' 88°88° 30' 89„89° 30' 90°

6394 7876395 0826395 3686395 6466395 9156396 1756396 4276396 6706396 9046397 1296397 3446397 5516397 7496397 9376398 1166398 2866398 4466398 5976398 7386398 8706398 9926399 105 6399 208 6399 301 6399 384 6399 458 6399 522 6399 576 6399 620 6399 654 6399 679 6399 694 6399 699

6398 0616398 1606398 2556398 3486398 4376398 5246398 6086398 6896398 7676398 8426398 9146398 9836399 049 6399 111 6399 171 6399 228 6399 281 6399 331 6399 379 6399 423 6399 463 6399 501 6399 535 6399 566 6399 594 6399 618 6399 640 6399 658 6399 6736399 6846399 6926399 6976399 699

6396 4246396 6216396 8116396 9976397 1766397 3506397 5186397 6796397 8356397 9856398 129 6398 267 6398 399 6398 524 6398 644 6398 757 6398 8646398 964.6399 0586399 1466399 2286399 3036399 3716399 4336399 4896399 5386399 5816399 6176399 6466399 6696399 6866399 6966399 699

1834,6151774,3671714,4071654,7251595.3101536,1491477,2351418,5551360,1001301,8591243,8231185,9811128,3251070,8441013,529956,371899,360842,488785,745729,122672,611616,202559,887503,657447,503391,417335,391279,415223,481167,582111,70755,849

О

1763,5451709,8341655,9901602,0181547,9221493,7061439,3741384,9301330,3781275,7241220,9701166,1221111,1831056,1581001,051945,866890,608835,280779,8887>24,435668,926613,365557,756502,104446,413390,687334,931279,149223,345167,524111,69055,847

О

213

J I

Т а б л и ц а бДуги параллелей, дуги меридианов и поверхностй трапеций

Г дуги параллели

в км

Г дугимеридиана

в км

Поверхность одно- '

градусной трапеции

в

019

I 34о678 9

10II 121314151617181920 21 22232425 '2627282930313233343536373839404142

111,3214111,3045111,2540111,1698111,0520110,9006110,7156110,4971110,2452109,9598109,6412109,2894108,9045108,4866108,0358107,5523107,0362106,4876105,&068105,2938104,6489103.9722103,2639102,5243101,7535100,9518100,119499,256698,363597,440596,487995,505994,494793,454892,386391,289790,165289,013287,833986,627986,395384,136682,8521

■^169 505 842

1178 1514 1850 2185 2519 2854 3186 3518 3849 4179 4508 4835 5161 5486 5808 6130 6449 6767 7083

' 7396 7708 8017 8324 8628 8931 9230 9526 9820

1 0112 1 0399 1 0685 1 0966 1 1245 1 1520 1 1793 1 2060 1 2326 1 2587 1 2845 1 3098

0 - 11 - 22 - 33 - 44 - 55 - 66 - 77 - 88 - 99 - 1 0

10 -1 1 11 — 121 2 -1 31 3 -1 41 4 -1 51 5 -1 61 6 -1 71 7 -1 81 8 -1 91 9 -2 02 0 -2 1 2 1 -2 22 2 -2 32 3 -2 42 4 -2 52 5 -2 62 6 -2 72 7 -2 82 8 -2 92 9 -3 03 0 -3 13 1 -3 23 2 -3 33 3 -^ 43 4 -3 53 5 -3 63 6 -3 73 7 -3 83 8 -3 939 -4 0 .4 0 -4 14 1 -4 24 2 -4 3

110,5764 110,5770 110,5784 110,5804 110,5831 110,5865 110,5905 110,5952 110,6005 110,6065 110,6132 110,6204 110,6283 110,6368 110,6459 110,6556. 110,6659 110,6767 110,6881 110,7001 110,7126 110,7256 110,7391 110,7530 110,7675 110-,7824 110,7977 110,8134 110,8295 110,8460 110,8629 110,8800 110,8976 110,9153 110,9334 110,9517 110,9702 110,9890 111,0079 111,0270 111,0462 111,0655 111,0849

^■6 14’ 20 27 34 40 47 53 60 67 72 79 85 91 97

103 108 114 120 125

. 130 135 139 145 149 153 157 161 165 169 171176177 181 183 185 188 189191192193194195

12308.89 12305,2412297.9512287.00 12272,42 ■12254.19 12232,32 12206,8212177.7012144.96 12108,61 12068,66 12025,1111977.98 11927,2711873.0111815.2011753.8611688.99 11620.63 11548,78 11473,45 11394,6811312.4811226.86 11137,8511045.4810949.7510850.71 10748,3710642.7610533.90 10421.83 10306,58 10188,16 10066,629941.98 08И,2_9 9683.56 ,

Ш 9 Ж9413,17'9273,589131,10

214

п р о д о л ж е н и е т а б л и ц ы 5

81,542380,207578,848277,464676,057374,626673.173071,696970,198868,679267,138365,57696Я,995262.3938 60,7732 59,1338 57,4763 55,8009 54,1084 52,3991 50,6737 48,9326 47,1763 45,4055 43,6206 41,8222 40,0109 38,1872 36,3516 34,5048 32,6473 30,7797 28,9025 27,0163 25,1218 23,2195 21,310019.3938 17,4716 15,5440 13,6116 11,67509,73477,79145,84573,89811,94940,0000

1 3348 1 3593 1 3836 1 4073 1 4307 1 4536 1 4761 1 4981 1 5196 1 5409 1 5614 1 5817 1 6014 1 6206 1 6394 1 6575 I 6754 I 6925 1 7093

. 1 7254 1 7411 1 7563 1 7708 1 7849 1 7984 18113 1 8237 1 8356 1 8468 1 8575 1 8676 1 8772 1 8862 1 8945 1 9023 1 9095 1 9162 1 9222 1 9276 1 9324 1 9366 1 9403 1 9433 1 9457 1 9476 1 9487 1 9494

43г-444 4 -4 54 5 -4 64 6 -4 74 7 -4 84 8 -4 94 9 -5 05 0 -5 15 1 -5 25 2 -5 35 3 -5 45 4 -5 65 5 -5 65 6 -5 75 7 -5 85 8 -5 95 9 -6 06 0 -6 1 6 1 -6 26 2 -6 36 3 -6 46 4 -6 56 5 -6 66 6 -6 76 7 -6 86 8 -6 96 9 -7 07 0 -7 17 1 -7 27 2 -7 37 3 -7 47 4 -7 57 5 -7 67 6 -7 77 7 -7 87 8 -7 97 9 -8 08 0 -8 1 8 1 -8 28 2 -8 38 3 -8 4 .8 4 -8 58 5 -8 68 6 -8 78 7 -8 888-^898 9 -9 0

6

111,1044111,1239111,1435111,1630111,1825111,2019111,2213111,2406111,2597111,2787111,2975111,3162111,З.Ш111,3528'111,3707

,111,3883111,4056111,4226111,4392111,4555111,4714111,4869111,50191)1,5165111,5307111,5443111,5575111,5701111,5822111,5938111,6048111,6152111,6251111.6343111,6429111,6509111,6583111,6650111,6711111.6766111,6813111,6854111,6888111,6916111,6936111,6950111,6957

195194195 195 194 194 193 191 190 188 187 184 182 179 176 173 170 166 163 159 155 150 146 142 136 132 126 121 116 110 1049992868074676}554741342820147

8985.798837.678686.79 8533,138376.92 8218,01 8056,-527892.497725.96 7556,99 7385,627211.92 7035,916857.67 6677,236494.66 6310,026123.34 5934,71 3744,16 5551,76 5357,575161.66 4964,06 4764,87 4564,12 4361,904158.263953.263746.97 3539,473330.80 3121,05 2910,28 2698,55 2485,94 2272,512058.341843.501628.041412.05 1195,60978,76761,59544,17326,58108,87

215

. § 3 . Вычисление длины дуг меридианов и параллелей§ 4. Масштабы и увеличения . ; ............................................................§ 5. Эллипс и с к а ж е н и й ..............................................................................§ 6. Увеличение длин в данной точке, по данному направлению§ 7. Искажения направлений и углов . . . . . . . .§ 8. Масштабы и увеличения площадей • ............................................§ 9. Элементы эллипса- искажений . . .

§ 10. Основные формулы из геодезии и теории искаженийГлава // , Классификация картографических п р о е к ц и й .............................

§ 11. Общие с в е д е н и я ....................................................................................§ 12. Классификация проекций по характеру искажений § 13. Классификация проекций по виду меридианов нормальной сетк1

Глава III. Конические проекции . . ....................................................§ 14. Общая теория . . . ' . ...........................................................§ 15. Равноугольные конические проекции! . . . . . .

’§ 16. Равнопромежуточные и равновеликие конические проекции § 17. Построение картографических сеток в конических проекциях

Глава IV. Цилиндрические проекции . . . . . . . . . .5 18. Общая теория . .............................................'. . .

§ 19. Равноугольная цилиндрическая проекция (проекция Меркатора' § 20. Вычисление картографической сетки в проекции Меркатора § 21. Локсодромия и ортодромия в чроекции Меркатора . .§ 22. Равнопромежуточные и равновеликие цилиндрические проекции§ 23. Проекция Г а у с с а .......................................................§ 24 .'Вычисление картографической сетки в проекции Гаусса

Глава V. Азимутальные проекции . . . ....................................................§ 25. Общая теория . . . . . . . . . . . .

§ 26. Азимутальные проекции в косом и поперечном положениях § 27. Равновеликая азимутальная проекция Ламберта . . . .§ 28. Равнопромежуточная азимутальная проекция Постеля

’ лава VI. Перспективные проекции . . . . ..............................§ 29. Общая теория . . ..........................................................................§ 30. Ортографические п р о е к ц и и .......................................

§ 31. Стереографические проекции . . . . . . . . .§ 32. Центральные или гномонические п р о е к ц и и ..............................

Глава VII. Проекции топографических к а р т .....................................§ 33. Номенклатура топографических к а р т ........................................§ 34. Проекция Международной карты мира в масштабе 1 : 1 ООО ООО

Г.шва VIII. Применение географических карт в гидрометеорологии § 35. Географические карты, применяемые в океанологии § 36. Географические карты, применяемые в морской метеорологии

216

Глава /X. Основы картометрии . . . . i 15Й§ 37. Общие сведения . . ..................................... ....... 153§ 38. Измерение длин линий на картах . . . . . . . . 156§ 39. Определение площадей по к а р т а м .......................................................158§ 40. Вычисление основных морфометрических характеристик водных

о б ъ е к т о в .............................................................................................................178Литература . . . ..................................................... ....... 185Приложения .......................................................... ...................................................... 187/

Рехтзамер Гай Родионович

Основы картографии

(учебное пособие)

Редактор Ю. П. Андрейков

.4-06305. Подп. к печ. 29/V 1974 г. Печ. л. 13®/ie. Тир. 600. Зак. 315. Цена 95 ко;.'. Типография ВВМУПП им. Лен. комсомола

217