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MatematicaAplicada

Matemática Aplicada

Vila Velha (ES)2017

Diretor Geral Nildo Ferreira

Copyright © Todos os direitos desta obra são da Escola Superior Aberta do Brasil.www.esab.edu.br

Av. Santa Leopoldina, nº 840Coqueiral de Itaparica - Vila Velha, ES

CEP 29102-040

Em 17/11/2004, inicialmente foi credenciada ‘EM CARÁTER ESPECIAL” para ofertar cursos de pós-graduação Lato Sensu, por intermédio do Parecer CNE/CES nº 305/2004 e da Portaria MEC nº. 3.693/2004.

Portanto, desde 2004, mediante a oferta de diversos cursos lato sensu em várias áreas do saber, a Instituição passou a promover a qualificação de profissionais que dispõem de tempo reduzido para estudos e/ou que não podem se deslocar até os centros de formação. Essa oferta de cursos, gradualmente, caracterizou-se como um processo dinâmico, empreendedor e compromissado com a qualidade social da educação.

Em 2006, cumprindo o Marco de Regulação do MEC, a ESAB ingressou no Sapiens, atual e-MEC, com a solicitação para oferta do curso de Pedagogia presencial.

Em 2009, a ESAB foi credenciada como Instituição de Ensino Superior (IES), por meio da Portaria/MEC Nº 1.242, de 30 de dezembro de 2009 – Parecer CNE/CES nº 317/2009 para a oferta do curso de pedagogia presencial.

Em 2010, e já regulada aos marcos do MEC, passou a ofertar Curso de Pedagogia na modalidade presencial, sob o respaldo da Portaria 14/2010, de 08 de janeiro de 2010. Também em 2010, ingressou com pedido via e-Mec para a oferta de 18.000 vagas distribuída em três cursos de graduação na modalidade a distância: Administração, Sistemas de Informação e Pedagogia.

**Em Fevereiro de 2012, foi avaliada para credenciamento nestes três cursos em EAD, com notmáxima 5 (cinco), em todas as dimensões previstas e exigidas pelo MEC.

Em 23 de outubro de 2012, teve sua trajetória educacional coroada, ocasião em que recebeu da Editora Segmento o PRÊMIO TOP EDUCAÇÃO/ 2012, sendo reconhecida pela sociedade brasileira como a melhor instituição de formação docente de EaD do País.

Entre os anos 2011 e 2012 a ESAB, recebeu 19 comissões do MEC, para avaliações de seus polos de apoio em 10 estados e foi credenciada em todos eles, sem que houvesse nenhuma diligência.

Em Agosto de 2013 a ESAB foi credenciada para a oferta de graduação em EAD através da Portaria Nº 717 de 08 de agosto de 2013.

Em outubro de 2013, obteve autorização para ministrar os cursos de graduação na modalidade à distância, através das portarias SERES/MEC nº 548, 547 e 549, de 24 de outubro de 2013, com 9.000 vagas iniciais.

Em dezembro de 2013, fazendo parte do Marco Regulatório do MEC, obteve o Reconhecimento do Curso de Pedagogia Presencial através da PORTARIA nº 648, de 10 de dezembro de 2013.

Em maio de 2014, a ESAB foi recredenciada institucionalmente pelo MEC, tendo uma avaliação unânime pela comissão composta por três doutores, no quesito “Tecnologia para EAD” com índices “Muito Além do mínimo do referencial exigido”.

**Nos dias 15,16 e 17/12/2015 – A ESAB teve seu curso de Sistema de Informação RECONHECIDOtambém com grande destaque em sua plataforma SGEI® onde conquistou nota máxima 5.

Em Setembro de 2017 A ESAB foi autorizada através da portaria nº 964 para ofertar o curso em nível de tecnólogo de Gestão de Recursos Humanos.

Enfim, a ESAB pensa à frente de seu tempo, produz conhecimento e inovação e contribui para a formação de seres humanos éticos e antenados com os avanços tecnológicos dos tempos atuais.

Consequentemente, promove o crescimento, o desenvolvimento e a evolução da educação superior no Brasil.

HISTÓRICO A PARTIR DE SUA REGULAÇÃO:

Escola Superior Aberta do Brasil

Apresentação

Caro estudante,

Disciplina de Matemática Aplicada. Vamos percorrer um longo caminho, que inicia nos conceitos mais elementares da matemática, chegando até suas aplicações. Alguns assuntos talvez você já tenha estudado, no entanto, aqui eles terão uma nova abordagem para contribuir de forma significativa na sua vida profissional.

Na elaboração deste material didático foram utilizados os seguintes autores como referência básica: Guidorizzi (2010), Murolo (2012), Silva e Abrão (2008), por isso as maiores contribuições deste material são encontradas nessas três obras. Como referências complementares contaremos com os autores: Demana et al. (2009), Goldstein, Schneider e Lay (2012), Medeiros (2005), Silva, Silva e Silva (2011) e Jacques (2010), que no geral trabalham com conceitos mais aprofundados sobre a disciplina de Matemática.

Estudar matemática requer dedicação, concentração e exata compreensão dos conceitos. Como trataremos dessas questões com foco nas aplicações em sua área de interesse, pretendemos que este estudo seja bastante prazeroso e interessante.

Convidamos você a iniciar esta disciplina com muita motivação para que, ao final deste estudo, você possa ter um novo olhar sobre os problemas .

Bom estudo!

Objetivo

O nosso objetivo é desenvolver oportunidades de compreender aplicações da matemática, estabelecendo relações entre conhecimentos específicos . Para isso, é necessário identificar situações-problema, propor soluções frente a diferentes níveis de dificuldade e desenvolver o raciocínio lógico e crítico.

Habilidades e competências

• Reconhecer a importância do conhecimento matemático em diferentes situações-problema.

• Reconhecer os conceitos de funções, limites e derivadas e suas aplicações.

• Estabelecer conexões entre temas matemáticos de diferentes campos e entre esses temas e conhecimentos de outras áreas curriculares.

• Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações – naturais, inteiros, racionais ou reais.

• Comparar e saber utilizar conhecimentos sobre funções, limites e derivadas, analisando as informações para a construção de argumentos.

Ementa

Números reais (operações, representações e intervalos). Álgebra (uso de equações e inequações na resolução de problemas). Funções (linear, quadrática, inversa, composta, exponencial, logarítmica) e suas aplicações (problemas de demanda e oferta de mercado, receita, custo e lucro). Cálculo diferencial no dia a dia de um gestor (limites e derivadas) e suas aplicações.

Sumário

1. Conjuntos numéricos e números reais .............................................................................7

2. Uso de calculadora na resolução de operações matemáticas .........................................16

3. Equações do primeiro grau ............................................................................................21

4. Equações do segundo grau ............................................................................................26

5. Inequações do primeiro grau ........................................................................................31

6. Inequações do segundo grau ........................................................................................37

7. Introdução ao conceito de funções ................................................................................43

8. Função linear – parte I ..................................................................................................49

9. Função linear – parte II .................................................................................................54

10. Aplicações de função linear ...........................................................................................60

11. Equação da reta ............................................................................................................69

12. Exercícios sobre função linear ........................................................................................75

13. Função quadrática ........................................................................................................84

14. Função quadrática – parte I ..........................................................................................89

15. Função quadrática – parte II .........................................................................................95

16. Aplicações de função quadrática .................................................................................102

17. Exercícios sobre função quadrática ..............................................................................106

18. Função inversa ............................................................................................................111

19. Função composta ........................................................................................................117

20. Função exponencial – parte I ......................................................................................123

21. Função exponencial – parte II .....................................................................................129

22. Aplicações de função exponencial ...............................................................................135

23. Função logarítmica – parte I .......................................................................................141

24. Função logarítmica – parte II ......................................................................................147

25. Aplicações de funções logarítmicas .............................................................................156

26. Exercícios sobre função inversa, composta, exponencial e logarítmicas......................161

27. O limite de uma função ...............................................................................................166

28. Cálculo de limites usando suas leis – parte I ...............................................................171

29. Cálculo de limites usando suas leis – parte II ..............................................................176

30. Cálculo de limites usando suas leis – parte III .............................................................181

31. Continuidade e descontinuidade de funções ...............................................................186

32. Limites no infinito .......................................................................................................195

33. Assíntotas horizontais .................................................................................................200

34. Derivadas ....................................................................................................................207

35. Derivadas: Taxa de Variação .........................................................................................213

36. Derivadas de Funções Polinominais e Exponenciais ....................................................220

37. Derivadas: regra do produto ........................................................................................228

38. Derivadas: regra do quociente .....................................................................................233

39. Exercícios sobre derivadas ...........................................................................................238

40. Derivadas: regra da cadeia – parte I ............................................................................243

41. Regra da cadeia – parte II ...........................................................................................247

42. Derivada de ordem superior ........................................................................................253

43. Exercícios sobre derivadas ...........................................................................................258

44. Aplicações de derivadas no estudo das funções...........................................................263

45. Aplicações de derivadas no estudo das funções – parte I ............................................270

46. Aplicações de derivadas no estudo das funções – parte II ...........................................277

47. Aplicações das derivadas nas áreas econômica e administrativa .................................284

48. Exercícios de revisão ....................................................................................................289

Glossário ............................................................................................................................296

Referências ........................................................................................................................303

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1 Conjuntos numéricos e números reais

ObjetivoRepresentar e fazer operações com números reais, além de trabalhar com notação de intervalo e potenciação com expoentes inteiros.

Você já observou que uma das atividades mais presentes do nosso dia a dia é a contagem? Contamos o dinheiro, a quilometragem até chegar ao trabalho, os habitantes de certa cidade, as páginas de um livro etc.

Houve um tempo em que o homem não sabia contar, pois não era preciso. Com o passar do tempo, as pessoas passaram a se questionar: Qual a quantidade de animais nesse rebanho? Quantas batatas foram obtidas nesta colheita? Quantas pessoas vivem nesta comunidade? A partir de então começaram a criar diferentes representações para essas quantidades até chegarem à representação dos números utilizada atualmente.

Esta primeira unidade trata dos conjuntos de números criados para representar estas quantidades e sua formalização matemática. Veremos conceitos que dão base a esta disciplina, do ponto de vista da matemática e também vamos (re)conhecer tipos de conjuntos e fazer operações com seus elementos de forma correta, o que nos dará mais facilidade no momento em que formos resolver problemas.

1.1 Representação dos números reais

De acordo com Demana et al. (2009, p. 3), “[...] um número real é qualquer número que pode ser escrito na forma decimal.” Esses números são representados por símbolos já conhecidos por você, como:

3 70, 5, 1, 44, 105, 3, , , 3, 5, , 1,3636 ... e 0,3.3

eπ- - -

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Todos esses números fazem parte do conjunto dos números reais, denotado pelo símbolo R. Além disso, eles podem ser representados por pontos em uma reta horizontal, chamada de reta real. O número 0 é identificado como a origem. À sua direita marcam-se os valores positivos e à sua esquerda os negativos, como no exemplo da Figura 1.

Númerosreais negativos

Númerosreais positivos

–1–2–3–4–5 2 3 4 50 1

3− π

Figura 1 – Reta real.Fonte: Elaborada pelos autores (2013).

Exemplo 1: Represente o conjunto { }23, 5, , 5, 1,5,3

- - -π sobre uma

reta real.

l–1–2–3–4–5 2 3 4 50 1

π− 1,5−23

5 35−

Figura 2 – Reta real representando o conjunto do exemplo 1.Fonte: Elaborada pelos autores (2013).

Existem outros conjuntos numéricos conhecidos, que são subconjuntos dos números reais. São eles: conjunto dos números naturais, dos inteiros, dos racionais e dos irracionais.

O conjunto dos números naturais, representado por N, tem os seguintes elementos: N = { 1, 2, 3, 4, 5, ...}.

Os números inteiros, cujo conjunto é representado pelo símbolo Z é composto pelos números naturais e seus opostos, ou seja, os negativos: Z = { ..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}.

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O conjunto dos números racionais Q é composto por todos os números

que podem ser escritos na forma de fração ,ab em que a e b são números

inteiros e b ≠ 0. Observe os seguintes exemplos:

7 1,7544 0,363636... 0,36

111025

933

=

= =

=

-- =

Note que o conjunto dos números inteiros está contido no conjunto dos números racionais.

Os números irracionais são todos os números que não pertencem ao conjunto dos racionais, por exemplo:

3, , 2, 9, 1,948563840...eπ Note que nenhum destes pertence ao conjunto dos números racionais, pois eles não podem ser escritos como a razão entre dois números inteiros.

Ao unirmos todos os conjuntos mencionados, teremos o conjunto dos números reais. A Figura 3 mostra como um conjunto está contido no outro até formar o conjunto dos números reais, que iremos trabalhar ao longo desta disciplina.

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Números Racionais Números Irracionais

Números Reais

Números Inteiros

NúmerosNaturais

Figura 3 – Conjuntos numéricos.Fonte: <www.infoescola.com>.

1.2 Ordem e notação de intervalo

No conjunto dos números reais, é possível dizer que um número é “maior que” ou “menor que” outro, pois ele é considerado um conjunto ordenado. Essa característica pode ser identificada na reta de números reais (Figura 1), e são usados símbolos de desigualdade para fazer as representações. Os símbolos são: <, >, ≤, ≥.

Vejamos, por meio de alguns exemplos, a utilização desses símbolos.

Símbolo Leitura Significado Representação gráfica

< 3xx menor que 3

Representa todos os números reais estritamente menores que 3. 3

> 3xx maior que 3

Representa todos os números reais estritamente maiores que 3. 3

≤ 3xx menor ou igual a 3

Representa todos os números reais menores ou iguais a 3. 3

≥ 3xx maior ou igual a 3

Representa todos os números reais maiores ou iguais a 3. 3

− ≤ ≤2 4x x entre–2 e 4

Representa todos os números reais entre –2 e 4. 4–2

Quadro 1 – Ordem dos números reais.Fonte: Elaborado pelos autores (2013).

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Ao tomarmos um “pedaço” do conjunto dos números reais, como nos exemplos do Quadro 1, é possível utilizarmos outra notação para representar esse intervalo de números: a notação de intervalos.

Os intervalos são muito importantes no estudo de funções. Fique atento, pois você irá precisar desses conceitos daqui a pouco!

A desigualdade –2 ≤ x ≤ 4 é um intervalo limitado. Além disso, dizemos que ele é fechado, pois inclui os extremos –2 e 4. Existem quatro tipos de intervalos limitados. Vejamos sua notação em comparação com a notação de desigualdade.

Notação de intervalo

Tipo de intervaloNotação de

desigualdadeRepresentação gráfica

[2,3] Fechado ≤ ≤2 3x 32

]2,3[ Aberto < <2 3x 32

[2,3[ Fechado à esquerda e aberto à direita

≤ <2 3x 32

]2,3] Aberto à esquerda e fechado à direita

< ≤2 3x 32

Quadro 2 – Intervalos limitados de números reais.Fonte: Elaborado pelos autores (2013).

Note que os números 2 e 3 são os extremos do intervalo. Na representação gráfica, quando um valor extremo pertence ao intervalo, marca-se uma “bolinha” fechada sobre a reta. Já quando um valor extremo não pertence ao intervalo, marca-se uma “bolinha” aberta sobre a reta, isto é, consideram-se todos os valores muito próximos ao extremo, menos ele.

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Agora conheceremos os quatro intervalos não limitados, mas para isso é preciso lembrar que o símbolo –∞ é utilizado para representar o infinito negativo e o símbolo +∞ para representar o infinito positivo.

Notação de intervalo

Tipos de intervaloNotação de

desigualdadeRepresentação gráfica

[3, [+∞ Fechado ≥ 3x 3

]3, [+∞ Aberto > 3x 3

Fechado ≤ 3x 3

Aberto < 3x 3

Quadro 3 – Intervalos não limitados de números reais.Fonte: Elaborado pelos autores (2013).

Observe que o intervalo aberto ]–∞, +∞ [ pode ser utilizado para representar o conjunto dos números reais.

Exemplo 2: Converta a notação de intervalo para desigualdade ou vice-versa. Encontre os extremos e verifique se o intervalo é limitado, seu tipo e a representação gráfica.

a. ]‒3, 2]

Solução: A notação de desigualdade para esse intervalo corresponde a –3 < x ≤ 2; o intervalo é limitado, do tipo aberto à direita e fechado à esquerda, e seus extremos são ‒3 e 2.

b. 1 ≤ x ≤ 5

Solução: A notação de intervalo é [1, 5]; o intervalo é limitado e fechado, com extremos 1 e 5.

c. ]–∞, 2[

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Solução: A notação de desigualdade é x < 2; o intervalo não é limitado, é aberto e possui apenas o extremo 2.

1.3 Propriedades básicas da álgebra

Existem algumas operações possíveis de serem feitas com o conjunto dos números reais. Elas são conhecidas como adição, subtração, divisão e multiplicação. No entanto, existem propriedades da álgebra (regras) que devemos conhecer para realizar as operações corretamente.

Propriedades

1. Comutativa

• Adição: + = +3 4 4 3• Multiplicação: ⋅ = ⋅3 4 4 3

2. Associativa

• Adição: (3 4) 5 3 (4 5)+ + = + +• Multiplicação: ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅(3 4) 5 3 (4 5)

3. Elemento neutro

• Adição: + =3 0 3• Multiplicação: ⋅ =3 1 3

4. Oposto

• + − =3 ( 3) 0• Dizemos que −3 é o oposto de 3 e vice-versa.

5. Inverso

•

⋅ =13 13

• Dizemos que 13 é o inverso de 3, pois seu produto é igual a 1.

6. Distributiva

•

⋅ + = +( )a b c ab ac• + ⋅ = +( )a b c ac bc

Quadro 4 – Propriedades da álgebra.Fonte: Elaborado pelos autores (2013).

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Essas propriedades serão utilizadas ao longo da disciplina como ferramenta na realização dos cálculos, especialmente a propriedade distributiva.

1.4 Potenciação com expoentes inteiros

A potenciação é uma notação (símbolo) criada para simplificar a representação de produtos com o mesmo termo, isto é, podemos representar 2 . 2 . 2 . 2 . 2 como 25. Dizemos “2 elevado a 5” e chamamos o número 2 de base e o 5 de expoente.

A base de uma potência pode ser qualquer número real e, neste caso, o expoente será um número inteiro. Nesse sentido, podemos fazer diferentes operações com as potências, mas observando as seguintes propriedades.

Propriedades Exemplos

1. +⋅ =m n m na a a +⋅ = =2 5 2 5 73 3 3 3

2. −=

mm n

n

a aa

−= =5

5 2 32

3 3 33

3. =0 1a − =( 7) 1

4. − =

1nna

a

− =5

0

5

133

5. ⋅ = ⋅( )n n na b a b − − −⋅ = ⋅4 4 4(2 3) (2 ) (3 )

6. =( )n m nma a ⋅= =5 2 5 2 10(3 ) 3 3

7.

=

n n

n

a ab b

=

5 5

5

2 23 3

Quadro 5 – Propriedades da potenciação.Fonte: Elaborado pelos autores (2013).

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Exemplo 3: Usando as propriedades de potenciação, simplifique as expressões a seguir supondo que os denominadores sejam diferentes de zero.

a. 4 3

2 5

x yx y

Solução: Pela propriedade 2, temos: 4 3

4 2 3 5 2 22 5 .x y

x y x yx y

- - -= =

b. 2 2 4

2

(3 )3x y

y

Solução: Pelas propriedades 2 e 6, temos: 2 2 4 2 4 4

4 22 2

(3 ) 3 3 .3 3x y x y

x yy y

= =

c. 3

2xy

-

Solução: Pelas propriedades 4, 5 e 7, temos: 3 3 3 32 .

2 8xy x y

xy

- = =

Saiba mais

Note que em um dos exemplos anteriores, a resposta nos fornece uma dízima periódica, ou seja, uma repetição periódica e infinita de um ou mais algarismos. Nesse caso, o período é 36 e representamos a repetição com um traço sobre a sequência que se repete. Para saber mais sobre o assunto acesse a esta página ou assista ao vídeo disponível aqui.

http://www.somatematica.com.br/fundam/dizimas.php

http://www.youtube.com/watch?v=GAkULGmmbJw

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2 Uso de calculadora na resolução de operações matemáticas

ObjetivoUsar a calculadora na resolução de operações matemáticas.

A calculadora é um importante instrumento para realização de operações matemáticas. Existem diferentes tipos de calculadoras, que variam de acordo com o modelo e a capacidade de realizar operações. As calculadoras mais simples são aquelas que realizam apenas as operações básicas (adição, subtração, divisão, multiplicação e porcentagem). As que oferecem funções como a logarítmica, a exponencial e as trigonométricas usualmente são chamadas de calculadoras científicas. Além disso, temos calculadoras específicas para a área financeira ou para a engenharia, com funções mais avançadas e construção de gráficos.

Para o nosso curso, a calculadora científica é suficiente. A Figura 4 mostra um exemplo desse modelo de calculadora.

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Figura 4 – Calculadora científica.Fonte: <www.casio-intl.com>.

Observe que nela, além das operações básicas, estão disponíveis as funções trigonométrica, logarítmica, exponencial, raiz, entre outras. Além disso, o uso de parênteses, muito comum na matemática, também pode ser feito.

Para descobrir o valor de uma expressão matemática como

× +7 (1,35 2,43)4,5

com o uso da calculadora científica, basta digitar a

expressão toda, utilizando as funções destacadas na Figura 5. Perceba que na calculadora a operação de multiplicação é representada por um x.

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Figura 5 – Funções para resolver a expressão.Fonte: <www.casio-intl.com>.

Inicialmente seleciona-se a função , que representa uma fração:

A função replay possui quatro flechas, e assim é possível posicionar a digitação no numerador ou denominador da fração. Primeiramente digitamos o numerador, por exemplo 7 × (1,35 + 2,43), nesse mesmo formato, utilizando os parênteses. Em seguida é preciso posicionar a digitação para que se possa inserir o denominador e finalmente apertar o sinal de igualdade para obter a resposta.

× +=

7 (1,35 2,43) 5,884,5

Se necessário, é possível transformar os números decimais em fracionários, e vice-versa, com a função: .

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Nesse caso, basta pressionar a tecla e teremos 1475,88 .25

=

Dica

Na página, disponivel aqui, você encontra uma calculadora científica on-line. Não deixe de conhecer e praticar!

Outras funções importantes são raiz e potência. Vejamos como utilizar a calculadora para encontrar o valor da expressão - +4 52 144 32. Iremos utilizar as funções destacadas na Figura 6.

Figura 6 – Funções para resolver a expressão.Fonte: <www.casio-intl.com>.

Para digitarmos a potência 24 utiliza-se a função destacada posicionada à direita, em que aparece:

Com a função replay, posiciona-se para digitar a base 2 e o expoente 5 em seus respectivos lugares.

http://www.mycalculadora.com/calculadora-cientifica-online/

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A raiz quadrada 144 pode ser digitada com a função mostrada à esquerda, na Figura 6, , bastando digitar o número 144.

Para raiz quinta, isto é, raiz com índice 5, é preciso pressionar a tecla

SHIFT (no canto esquerdo superior) e em seguida a tecla . Assim é

selecionada a função em amarelo (acima da tecla), aparecendo o seguinte:

. Então, basta digitar o índice 5 e o radicando 32.

Para resolver a expressão completa, usam-se todas as funções citadas em cada parte até formar a expressão - +4 52 144 32 e pressiona-se o sinal de igualdade para obter a solução.

4 52 144 32 6- + =

O uso da calculadora é bastante útil, pois facilita os cálculos com as operações matemáticas. No entanto, para utilizá-la é preciso saber resolver os cálculos de acordo com as propriedades da álgebra citadas na unidade 1.

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3 Equações do primeiro grau

ObjetivoApresentar equações do primeiro grau.

As equações são importantes na resolução dos problemas que iremos abordar nas próximas unidades, principalmente quando falarmos sobre funções. Assim como as funções estão presentes no dia a dia das pessoas, as equações, como ferramenta de resolução de casos específicos nos problemas de funções, também apresentam-se em problemas do nosso cotidiano, como a função linear que nos dá uma relação entre o preço em função da quantidade litros abastecido de determinado combustível. Aproveite para conhecer as principais ferramentas para a resolução das questões que serão abordadas nesta disciplina.

3.1 Equações

Segundo Demana et al. (2009, p. 37), “[...] uma equação é uma afirmativa de igualdade entre duas expressões”, ou seja, em uma equação ambos os lados (expressões) são iguais. Isso nos permite realizar qualquer operação em ambos os lados da equação e a igualdade ainda se mantém.

De acordo com as definições de equação, vejamos alguns exemplos para melhor compreensão:

1. − = +3 7 2 3x x

2. + + =2 2 1 0x x

3. − =6 1 0y

4. + = −2 3x x

5. −= +

5 2 28 4

a a

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Note que a primeira equação é formada por duas expressões:

3x – 7 e 2x + 3.

Sendo assim, você pode observar as expressões que compõem todas as equações dos exemplos citados.

Na equação 3x – 7 = 2x + 3, se substituirmos o valor 10 no lugar da variável x, teremos o seguinte:

3 . 10 – 7 = 2 . 10 + 330 – 7 = 20 + 3

23 = 23

Isso quer dizer que o valor 10 é solução da equação 3x – 7 = 2x + 3, pois torna a igualdade verdadeira. Nesse sentido, resolver uma equação é encontrar todos os valores que satisfazem essa igualdade.

Para resolver uma equação são utilizadas operações que mudam a “cara” da equação sem alterar sua solução. É o que chamamos de equações equivalentes. Vejamos, por meio de um exemplo, as operações utilizadas na resolução de uma equação.

Exemplo 1: Resolva a equação 4x – 7 = 2x + 3.

− = +4 7 2 3x x Subtraia 2x em ambos os lados para eliminar a variável x do lado direito e isolar no lado esquerdo.

− =2 7 3x Adicione 7 de ambos os lados para eliminar os números do lado esquerdo e isolar no lado direto.

=2 10x Divida ambos os lados por 2 para obter o valor da variável x.

= 5x Assim, o conjunto solução será {5}.

De forma geral, é possível realizar as seguintes transformações nas equações: adicionar o mesmo número ou a mesma expressão em ambos os lados; subtrair o mesmo número ou a mesma expressão em ambos os lados; multiplicar ambos os lados pelo mesmo número (ou expressão) não nulo; dividir ambos os lados pelo mesmo número (ou expressão) não nulo; simplificar expressões em um dos lados de uma equação.

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3.2 Equações do primeiro grau

Uma equação do primeiro grau possui a forma ax + b = 0, em que a e b são números reais e a ≠ 0. Além disso, ela apresenta uma única solução.

Vejamos algumas equações do primeiro grau e o processo para determinar seu conjunto solução.

Exemplo 2: Resolva as equações.

a. 5 2 28 4

x x-= +

Solução: Veja que estamos trabalhando com frações cujos denominadores são 8, 1 e 4. O mínimo múltiplo comum é 8.

−= +

5 2 28 4

x x Multiplique ambos os lados por 8 para eliminar os denominadores em todas as parcelas.

− ⋅ = ⋅ +

5 28 8 28 4

x x Segundo a propriedade distributiva vista na unidade 1.

− = ⋅ + ⋅5 2 8 2 84xx

− = +5 2 16 2x x Some 2 em ambos os membros para eliminar os números do lado esquerdo e isolar no lado direto.

= +5 18 2x x Subtraia 2x em ambos os membros para eliminar a variável x do lado direito e isolar no lado esquerdo.

=3 18x Divida ambos os membros por 3 para obter o valor da variável x.

= 6x Assim, o conjunto solução será {6}.

b. - = -3 2

5 4 8x x x

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Solução: Neste caso, o mínimo múltiplo comum dos denominadores das frações é 40.

− = −3 2

5 4 8x x x Multiplique ambos os lados por 40 para eliminar

os denominadores em todas as parcelas.

⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅340 40 40 2 40

5 4 8x x x Segundo a propriedade distributiva vista

unidade 1.

− = −8 30 80 5x x x

− = −22 80 5x xSome 5x em ambos os membros para eliminar a variável x do lado direito e isolar no lado esquerdo.

− =17 80x Divida ambos os lados por -17 para obter o valor da variável x .

= −8017

xAssim, o conjunto solução será{ }−

80 .17

c. 5x = 2x – (1 – 3x)

Solução:

= − −5 2 (1 3 )x x x Remova os parênteses usando as regras da subtração.

= − +5 2 1 3x x x Atenção para os sinais!

= −5 5 1x x Subtraia 5x em ambos os membros para eliminar a variável x do lado direito e isolar no lado esquerdo.

= −0 1 A igualdade não é verdadeira. Neste caso, dizemos que a equação não admite solução.

d. 5 73

xx

+=

-Solução: Os denominadores das frações são x – 3 e 1. Dessa forma, o mínimo múltiplo comum entre eles é x – 3.

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+=

−5 73 1

xx

Multiplique ambos os membros por x-3 para eliminar os denominadores em todas as parcelas.

+ − = − − 5( 3) 7( 3)3

xx xx

Segundo a propriedade distributiva vista na unidade 1.

+ = −5 7 21x x Subtraia x em ambos os membros para eliminar a variável x do lado esquerdo e isolar no lado direito.

= −5 6 21x Some 21 em ambos os membros para eliminar os números do lado direito e isolar no lado esquerdo.

=26 6x Divida ambos os membros por 6 para obter o valor da variável x.

=266

x Simplifique a fração dividindo o numerador e o denominador por 2.

=133

x Assim, o conjunto solução será { }13 .3

Note que o valor encontrado deve ser um número diferente de 3, pois caso contrário o denominador da fração seria zero, e não é possível dividir por zero.

Verifique se as soluções encontradas são verdadeiras utilizando uma calculadora. Assim você já estará praticando!

Fórum

Caro estudante, dirija-se ao Ambiente Virtual de Aprendizagem da Instituição e participe do nosso Fórum de discussão. Lá você poderá interagir com seus colegas e com seu tutor de forma a ampliar, por meio da interação, a construção do seu conhecimento. Vamos lá?

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4 Equações do segundo grau

ObjetivoApresentar equações do segundo grau.

As equações do segundo grau podem ser aplicadas na resolução de problemas relacionados a funções do segundo grau, mas também em problemas específicos como o cálculo das dimensões de um campo de futebol para a Copa do Mundo. Sabe-se que o comprimento de um campo tem 40m a mais do que a largura e sua área total é 10.800m2. A equação que encontra o tamanho dos lados do campo de futebol é a equação do segundo grau x2 + 40x – 10.800 = 0. Esta unidade mostra o que é uma equação do segundo grau e como resolvê-la.

As equações do segundo grau são da forma ax2 + bx + c = 0, em que a, b, e c são números reais e a é diferente de zero. Note que, se a for igual a zero, cairemos em uma equação do primeiro grau.

A seguir, são dados alguns exemplos de equações do segundo grau:

1. + + =23 5 2 0x x

2. − = −24 20 17x x

3. + =(3 11) 20x x

4. − − =2 20 0x x

5. − + =( 9)( 4) 0x x

Nos exemplos (3) e (5), as equações estão escritas na forma fatorada. Veja que ao aplicarmos a propriedade distributiva no exemplo (5), teremos a seguinte equação equivalente:

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(x – 9)(x + 4) = 0x2 + 4x – 9x – 36 = 0

x2 – 5x – 36 = 0

Ao substituir o valor 9 na equação, verificamos que ele é solução desta equação do segundo grau.

x2 – 5x – 36 = 092 – 5 . 9 – 36 = 081 – 45 – 36 = 0

O mesmo acontece com o valor –4, isto é, ele também é solução desta equação.

Observe que, ao escrevermos a equação na forma fatorada ((x – 9)(x + 4) = 0), esses números aparecem de forma evidente. Devemos apenas tomar cuidado com o sinal, que é sempre o oposto (contrário) do que está aparecendo. Portanto, uma forma de encontrar as raízes é, se possível, escrever a equação na forma fatorada.

Outro caminho é utilizar a fórmula de Bhaskara. Para isso, considere uma equação do tipo ax2 + bx + c = 0. As soluções dessa equação são encontradas por meio da seguinte fórmula:

- ± -=

2 42

b b acxa

Exemplo 1: Encontre o conjunto solução da equação x2 – x – 6 = 0.

Solução: Para utilizarmos a fórmula de Bhaskara, destacamos os valores dos coeficientes, ou seja, os valores de a, b e c. Observe neste exemplo que a = 1, b = 1 e c = 6. Agora basta substituir.

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2

2

42

( 1) ( 1) 4 1 ( 6)2 1

1 1 242

1 52

b b acxa

x

x

x

- ± -=

- - ± - - ⋅ ⋅ -=

⋅± +

=

±=

Então, temos como soluções:

+ -= = = = -1 2

1 5 1 53 22 2

x x

O conjunto solução desta equação é {‒2, 3}.

Observe que nos exemplos mostrados as equações apresentaram duas soluções. Isso sugere que as equações do segundo grau possuem duas soluções.

Vejamos alguns exemplos de como encontrar as soluções de uma equação do segundo grau.

Exemplo 2: Encontre as soluções da equação:

a. 3x2 ‒ 6x = 5

Solução: Inicialmente devemos deixar a equação igualada a zero:

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− =23 6 5x x Assim, devemos subtrair 5 de ambos os membros para eliminar os números do lado direito.

− − =23 6 5 0x xAplicamos a fórmula de Bhaskara para

= = − = −3, 6 e 5a b c para encontrarmos as raízes da equação.

− − ± − − ⋅ ⋅ −=

⋅

2( 6) ( 6) 4 3 ( 5)2 3

x

± +=

6 36 606

x

±=

6 966

x

Dessa forma, as soluções são:

+ -= ≅ = ≅ -1 2

6 96 6 962,63 0,636 6

x x

b. (x – 2)(x + 1) = 0

Solução: Esta equação do segundo grau está na forma fatorada e suas soluções encontram-se visíveis na própria equação: x1 = 2 e x2 = –1. Observe que sempre tomamos o valor com o sinal oposto.

Ao substituirmos o valor 2 na equação (x – 2)(x + 1) = 0, ele será uma solução, pois (2 – 2)(2 + 1) = 0 . 3 = 0. O mesmo acontece para o valor –1, isto é, (–1 – 2)(–1 + 1) = (–3) . 0 = 0.

c. (x + 5)2 (2x – 7)2 = 82

Solução: Inicialmente devemos desenvolver os quadrados utilizando a propriedade distributiva:

(x + 5)2 = (x + 5)(x + 5) = x2 + 10x + 25 e(2x – 7)2 = (2x – 7) (2x – 7) = 4x2 –28x + 49

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Assim, temos a equação:

+ − =2 2( 5) (2 7) 82x x

+ + + − + =22 10 25 4 28 49 82x x x x Combinamos os termos semelhantes.

− − =25 18 8 0x xAplicamos a fórmula de Bhaskara com = = − = −5, 18 e 8a b c e

encontramos as raízes da equação.

− − ± − − ⋅ ⋅ −=

⋅

2( 18) ( 18) 4 5 ( 8)2 5

x

± +=

18 324 16010

x

±=

18 2210

x

As soluções são as seguintes:

+ -= = = = - = -1 2

18 22 18 22 4 2410 10 10 5

x x

É interessante notar que sempre podemos resolver uma equação do segundo grau pela fórmula de Bhaskara, mas é um caminho que exige ou pouco mais de cálculos. A forma fatorada nos dá as soluções de maneira mais imediata, mas se a equação não estiver inicialmente nesta forma, nem sempre é evidente transformá-la em sua forma fatorada.

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5 Inequações do primeiro grau

ObjetivoApresentar inequações do primeiro grau.

Nesta unidade precisaremos de conceitos abordados na unidade 1, principalmente sobre desigualdades e sua representação na reta de números reais.

Uma inequação do primeiro grau com variável é uma desigualdade do tipo ax + b < 0, ax + b ≤ 0, ax + b > 0 ou ax + b ≥ 0, sendo a e b números reais e diferente de zero. Dessa forma, alguns exemplos de inequações do primeiro grau são:

1. + ≥5 3 0x

2. − <32

2 7x

3. − − + ≤3( 5) 4( 6) 7x x

4. − +

− ≤ −2 3 5 4 35

3 6 8x x x

Resolver uma inequação significa encontrar valores de x que satisfaçam a desigualdade. A inequação do exemplo 1 apresenta um conjunto de valores como solução. Por exemplo, o valor 1:

5x + 3 ≥ 05∙1 + 3 = 8 ≥ 0

Portanto, o número é solução da inequação. Ao substituirmos os valores 2, 3, ... , eles também serão solução da inequação. Então, como encontrar o conjunto solução? Devemos usar algumas propriedades, semelhantes às utilizadas nas equações.

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Considere u, v, w, z números reais, variáveis ou expressões algébricas e c um número real (DEMANA et al., 2009, p. 49).

Propriedades das inequações

Transitiva Se < < <e , então .u v v w u w

Adição Se < + < +então .u v u w v w

MultiplicaçãoSe < > <e 0, então .u v c uc vcSe < < >e 0, então .u v c uc vc

Quadro 6 – Propriedades das inequações.Fonte: Demana et al. (2009).

A multiplicação de uma inequação por um número positivo preserva a desigualdade, enquanto a multiplicação por um número negativo inverte a desigualdade.

Vejamos alguns exemplos em que aplicamos as propriedades para encontrar o conjunto solução das inequações.

Exemplo 1: Resolva:

a. - + ≤ +3( 1) 2 5 6x x

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Solução:

− + ≤ +3( 1) 2 5 6x x Segundo a propriedade distributiva que vimos na unidade 1.

− + ≤ +3 3 2 5 6x x

− ≤ +3 1 5 6x x Adicionamos l em ambos os membros para eliminar os números do lado esquerdo e isolar a variável x.

≤ +3 5 7x x Subtraímos 5x em ambos os membros para eliminar a variável x do lado direito e isolar no lado esquerdo.

− ≤2 7xMultiplicamos por

−

12

em ambos os membros para obter o valor da variável x.

− ⋅ − ≤ − ⋅

1 1( 2 ) 72 2

x Atenção: a desigualdade é invertida pois multiplicamos ambos os lados por um valor negativo.

≥ −72

x

Portanto, o conjunto solução dessa inequação são todos os números reais

maiores ou iguais a - 7 .2

Em notação de intervalos, o conjunto solução

é - +∞ 7 , .2

A visualização do conjunto solução na reta dos números

reais é:

72

−

Figura 7 – Reta representando o conjunto solução - +∞ 7 , .2

Fonte: Elaborada pelos autores (2013).

b. 3(x – 5) – 4(x + 6) ≤ 7

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Solução:

− − + ≤3( 5) 4( 6) 7x x Propriedade distributiva (unidade 1).

− − − ≤3 15 4 24 7x x Simplificando.

− − ≤39 7x Somamos 39 em ambos os membros.

− ≤ 46xMultiplicamos por −1 em ambos os membros. Perceba novamente que o sentido da desigualdade muda.

≥ −46x

O conjunto solução desta inequação são todos os números maiores ou iguais a –46. Em notação de intervalos, o conjunto solução é [–46, +∞[. A visualização do conjunto solução na reta dos números reais é:

46−

Figura 8 – Reta representando o conjunto solução [−46,+∞[.Fonte: Elaborada pelos autores (2013).

c. - +- > -

2 3 5 4 353 6 8

x x x

Solução:

− +− > −

2 3 5 4 353 6 8

x x xMultiplicamos ambos os lados pelo mínimo múltiplo comum 24 para eliminar os denominadores em todas as parcelas.

− +⋅ − ⋅ > − ⋅(2 3) (5 4) 324 24 120 24

3 6 8x x x

Simplificamos.

− − − > −16 24 20 16 120 9x x x

− − > −4 40 120 9x xSomamos em ambos os membros para eliminar a variável x do lado direito e isolar no lado esquerdo.

>5 160x

Multiplicamos ambos os membros

por 15 para obter o intervalo em

que a variável x está.

> 32x

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O conjunto solução desta inequação são todos os números reais maiores que 32. A representação em intervalos do conjunto solução é ]32, +∞[. A visualização do conjunto solução na reta real é:

32

Figura 9 – Reta representando o conjunto solução ]32,+∞[.Fonte: Elaborada pelos autores (2013).

d.

Solução: Neste caso o conjunto solução estará entre dois valores.

+− < ≤

2 53 53

x Multiplicamos por 3 todos os termos para eliminar os denominadores em todas as parcelas.

− < + ≤9 2 5 15x Subtraímos 5 em todos os termos para eliminar os números do lado direito e esquerdo.

− < ≤14 2 10x Multiplicamos todos os termos por 12 para

obter o intervalo em que a variável x está.

− < ≤7 5x

O conjunto solução desta inequação são todos os números reais entre –7 e 5, incluindo o 5. Em notação de intervalos, o conjunto solução é ]–7, 5] e sua representação na reta de números reais é:

57−

Figura 10 – Reta representando o conjunto solução ]‒7, 5].Fonte: Elaborada pelos autores (2013).

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e. 0 < 3 – 5x ≤ 10

Solução:

< − ≤0 3 5 10x Subtraímos 3 em todos os membros.

− < − ≤3 5 7x Multiplicamos todos os membros por −1 .5

> ≥ −3 75 5

x Atenção: a desigualdade é invertida.

− ≤ <7 35 5

x

O conjunto solução desta inequação são todos os números reais entre

7 3e ,5 5

- incluindo o - 7 .5

A notação em intervalos do conjunto

solução é 7 3, .5 5

- A sua representação na reta real fica:

75

−35

Figura 11 – Reta representando o conjunto solução 7 3, .5 5

- Fonte: Elaborada pelos autores (2013).

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6 Inequações do segundo grau

ObjetivoApresentar inequações do segundo grau.

Uma inequação do segundo grau é do tipo ax2 + bx + c > 0 (ou para qualquer outro símbolo de desigualdade), com a, b e c números reais e a diferente de zero. Veja algumas inequações do segundo grau:

1. − − ≥2 12 0x x

2. − ≤2 8 20x x

3. + ≤22 3 20x x

4. − <2 4 1x x

Para encontrarmos o conjunto solução de uma inequação do segundo grau, é preciso lembrar alguns conceitos de função do segundo grau. Em nossa disciplina, teremos apenas uma unidade abordando conceitos de função do segundo grau, mas algumas noções são necessárias neste momento.

Procurar os números reais em que a inequação do segundo grau x2 + x ‒ 2 > 0 tem solução é o mesmo que procurar situações em que a função y = x2 + x ‒2 é positiva.

Como podemos encontrar os valores em que uma função é positiva?

Sabemos que o gráfico de uma função do segundo grau é uma parábola. Além disso, é importante lembrar que, em uma função do tipo y = ax2 + bx + c, quando a é positivo, a parábola tem concavidade voltada para cima e quando a é negativo, a parábola tem concavidade voltada para baixo.

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O gráfico da função y = x2 + x ‒ 2 é:

x

y

0

–1–1–3–4

–3

–2

–2

4

3

2

1

4321

Figura 12 – Gráfico da função y = x2 + x – 2.Fonte: Elaborada pelos autores (2013).

Os valores para os quais a função é positiva são os valores em que é positivo. Isto é, segundo o gráfico, se tomarmos valores de x maiores que 1, teremos o valor y associado positivo. O mesmo acontece se tomarmos valores menores que ‒2. No entanto, quando tomamos valores de x entre ‒2 e 1, o gráfico fica abaixo do eixo x, ou seja, a função é negativa.

A inequação x2 + x – 2 > 0 encontra todos os valores de x que tornam a função positiva. Pelo gráfico, o conjunto solução é ]–∞, –2[ ∪ ]1, +∞[.

Como podemos encontrar os valores –2 e 1?

Observe que, quando resolvemos a equação x2 + x – 2 = 0, o conjunto solução é {‒2, 1}. Então, basta resolver a equação para encontrarmos os valores nos quais a função corta o eixo x.

Não é preciso construir o gráfico para resolvermos uma inequação do segundo grau. Veja o processo completo nos exemplos a seguir.

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Exemplo 1: Resolva as inequações.

a. x2 – x – 12 > 0

Solução: Inicialmente encontre o conjunto solução da equação x2 – x – 12 = 0. Pela fórmula de Bhaskara, o conjunto solução é {–3, 4}. Essesvalores indicam onde a função y = x2 – x – 12 corta o eixo x.

Observe que nesta função a = 1 e a > 0, ou seja, a parábola tem concavidade voltada para cima.

É importante fazer um esboço do gráfico (Figura 13) para a melhor visualização do conjunto solução. Veja que este esboço não é o gráfico da função.

–3

–

++

4

Figura 13 – Esboço da função y = x2 – x – 12.Fonte: Elaborada pelos autores (2013).

Assim, fica mais fácil observar que o conjunto solução para a inequação x2 – x –12 > 0 são os valores de maiores que 4 e menores que ‒3. Em notação de intervalos temos o conjunto solução ]–∞, –3[ ∪ ]4, +∞[.

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b. 2x2 + 3x ≥ 20

Solução: Pela fórmula de Bhaskara, o conjunto solução da equação

2x2 + 3x ‒ 20 = 0 é { }-54, .2

Observa-se também que a parábola tem

concavidade voltada para cima, pois a = 2.

–

++

4−52

Figura 14 – Esboço da função y = 2x2 + 3x – 20.Fonte: Elaborada pelos autores (2013).

O conjunto solução da inequação 2x2 + 3x – 20 ≤ 0 são todos os valores

de x maiores que 52 e menores que ‒4, incluindo ‒4 e

5 ,2 pois nesses

valores a inequação é igual a zero. Em notação de intervalos, o conjunto

solução é 5] , 4] , .2

- ∞ - ∪ +∞

c. x2 – 8x – 20 ≤ 0

Solução: Utilizando a fórmula de Bhaskara, o conjunto solução da equação x2 – 8x – 20 = 0 é {–2, 10}. Fazendo um esboço do gráfico da função y = x2 – 8x – 20 e observando que a parábola tem concavidade voltada para cima, temos:

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–

++

102−

Figura 15 – Esboço da função y = x2 – 8x – 20.Fonte: Elaborada pelos autores (2013).

Gostaríamos de encontrar valores de x em que a função é negativa. Observe que os valores que estamos buscando estão entre –2 e 10, ou seja, o conjunto solução desta inequação é [–2, 10].

Estudo complementar

Caso você queira construir gráficos de funções, especialmente as do segundo grau, conheça o software gratuito Winplot, que você pode baixar na internet clicando aqui, ou fazendo uma busca no Google.

http://www.baixaki.com.br/download/winplot.htm

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Resumo

Estas primeiras unidades servem de base para o estudo de todas as seguintes. Os conteúdos que estudamos são ferramentas importantes para a interpretação e resolução de problemas. Já que os números reais são aqueles que iremos abordar ao longo da disciplina, as operações com eles, seja por meio de calculadoras ou mentalmente, devem ser conhecidas por você para que não haja problemas em obter os resultados corretos.

A notação de intervalos e as desigualdades são importantes no estudo de funções, limites e derivadas. Dentre as funções (que são nosso próximo tema), temos funções do primeiro e do segundo grau, e para desenvolvê-las é necessário o conhecimento de equações e inequações do primeiro e do segundo grau.

Destacamos também a importância da visualização geométrica dos resultados encontrados, isto é, o conjunto solução das inequações do primeiro grau representado na reta real e o esboço feito para observar o conjunto solução das inequações do segundo grau.

Esperamos que a matemática vista nestas unidades, mesmo abordada sem tanta aplicação, já tenha contribuído para sanar algumas dificuldades nesta área.

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7 Introdução ao conceito de funções

ObjetivoIntroduzir o conceito de funções a partir de problemas de Administração.

Agora que estudamos as equações e inequações do primeiro e do segundo grau, temos suporte para continuar nossos estudos através do conceito de funções e seu papel. As funções que abordaremos são funções lineares, quadráticas, exponenciais e logarítmicas e teremos como principal base os autores Murolo e Bonetto (2012).

Esta unidade apresenta alguns conceitos gerais de funções (definição, domínio e imagem) e mostra de que forma elas podem nos auxiliar na resolução de certos tipos de problemas.

Exemplo 1

Um determinado produto “A”, por exemplo, sofre alteração de preço, em reais, ao longo do ano de acordo com a Tabela 1.

Tabela 1 – Preço médio do produto “A”.

Mês (t) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Preço (P) 6,70 6,75 6,80 6,88 6,95 7,01 7,08 7,14 7,20 7,28 7,36 7,45

Fonte: Murolo e Bonetto (2012).

Nessa tabela, os meses estão representados por números, sendo o número 1 correspondente ao mês de janeiro, o 2 ao mês de fevereiro, e assim sucessivamente.

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Você pode observar que cada mês (t) tem um único preço (P) associado, o que caracteriza uma função matemática. Segundo Murolo e Bonetto(2012, p. 2),

“A cada valor da grandeza t está associado um único valor da grandeza P, caracterizando P como uma função de t, o que é indicado por p = f (t).”

Para sua reflexão

No exemplo, se um dos meses tivesse dois preços associados, não poderíamos caracterizar essa situação como uma função matemática, ou seja, não tem sentido falar que o preço médio do mês 2 é 6,75 reais e 6,70 reais. Existe apenas um preço médio em cada mês, você concorda?

A resposta a essa reflexão forma parte de sua aprendizagem e é individual, não precisando ser comunicada ou enviada aos tutores.

Na função que associa os meses (t) com o preço (p), chamamos a variável p de dependente, pois seu valor depende do mês que é escolhido. E a variável t é chamada de variável independente.

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Uma representação dos valores da Tabela 1 pode ser feita por meio de um gráfico, como na Figura 16.

p

t

7,07,17,27,37,47,5

6,46,56,66,76,86,9

321 654 987 10 12110

Figura 16 – Preço médio do produto “A”.Fonte: Murolo e Bonetto (2012).

Você pode observar que os pontos do gráfico não formam uma linha reta, mas estão próximos disso. Nesse sentido, não há uma função exata que represente a situação do exemplo citado, mas é possível fazer uma aproximação que resultará na função p (t).

Essa função é encontrada utilizando-se métodos numéricos adequados. Existem diferentes formas de encontrar a função que melhor se ajusta aos dados observados. Mas neste problema foi feita uma regressão linear utilizando o Método de Mínimos Quadrados (MMQ). Como o estudo desses métodos não é o objetivo deste curso, não entraremos em maiores detalhes.

p (t) = 0,0676 t + 6,6104

Quando você tem a função que associa a variável independente “mês” com a variável dependente “preço”, é possível fazer um novo gráfico, traçando uma reta, em que se nota uma grande aproximação.

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p

t

7,07,17,27,37,47,5

6,46,56,66,76,86,9

321 654 987 10 12110

Figura 17 – Função que aproxima o preço médio do produto “A”.Fonte: Murolo e Bonetto (2012).

De forma geral, o conjunto de valores para variável independente (t) forma o domínio da função. Enquanto o conjunto de valores da variável dependente (p) forma a imagem da função.

No gráfico da Figura 16, nota-se que o domínio da função era o conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. Ao fazermos aaproximação do problema pelo MMQ, encontramos a função p (t) = 0,0676 t + 6,6104 e o domínio passa a ser o conjunto dos números reais (Figura 17).

O raciocínio é análogo para a imagem da função (MUROLO; BONETTO, 2012).

Existem muitos tipos de funções que representam situações de problemas de administração. Veja agora outros exemplos.

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Exemplo 2

A análise estatística da venda (v) de um CD ao longo dos meses (t). Por meio de técnicas matemáticas adequadas, encontrou-se a função:

( ) 25071 500 0,5tv t =

+ ⋅

Essa função é uma estimativa das vendas ao longo do tempo e foi encontrada a partir dos dados disponíveis (pontos em azul). O método para encontrar a função (v) não é objeto de estudo desta disciplina.

Considerando que a venda (v) é dada em milhares de exemplares e o tempo (t) em meses, você pode observar o gráfico da função venda na Figura 18.

v

t100

50

200150

300250

2 64 8 10 12 14 16 18 200

Figura 18 – Vendas de um CD.Fonte: Murolo e Bonetto (2012).

A função mostra que as vendas não ultrapassam o valor de 250.000 cópias. Neste caso, dizemos que a função é limitada superiormente, isto é, se você aumentar a quantidade de meses, o valor máximo de cópias de CDs que é possível vender é 250.000 (MUROLO; BONETTO, 2012).

Observe que a imagem dessa função é o intervalo [0, 250].

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Exemplo 3

O custo (c) por unidade de certo produto é modificado de acordo com a quantidade (q) produzida. Por meio de dados estatísticos e utilizando métodos matemáticos adequados, foi obtida a função que relaciona o custo (em reais) com a quantidade (em unidades):

( ) 240 50c qq

= +

Essa função é uma estimativa do custo unitário de acordo com a quantidade produzida. O método para encontrar a função não é objeto de estudo desta disciplina.

O gráfico da função está representado na Figura 19. c

q

100755025

20 6040 8010 100 150 250 3002000

Figura 19 – Custos unitários para a produção de um produto.Fonte: Murolo e Bonetto (2012).

Pode-se observar que o custo (c) unitário desse produto nunca é inferior

a 50 reais. Quanto maior o valor de (q) na função ( ) 240 50,c qq

= + mais

próximo de zero será o número da parcela 240 .q

Dessa forma, a soma240 50q

+ resulta em um número próximo de 50.

A função representada pela Figura 19 é limitada inferiormente.

Para dar continuidade ao estudo de funções, vamos à próxima unidade. Bons estudos!

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8 Função linear – parte I

ObjetivoCompreender situações-problema envolvendo função linear e conceituar função linear, coeficiente angular e coeficiente linear.

Agora que vimos uma introdução das funções podemos dar início a esta unidade destacando características de funções lineares por meio de um exemplo-problema.

Exemplo 1

Por meio de uma pesquisa, foram coletados os dados que constam na Tabela 2, que mostra o custo, em reais, para a produção de pares de calçados em função da quantidade produzida.

Tabela 2 – Custo da produção de pares de calçados.

Quantidade (q) 0 5 10 20 50 100Custo (C)

200 300140120110100

10+ 10+ 20+ 60+ 100+

5+ 5+ 10+ 30+ 50+


Observe que, quando há um aumento de 5 unidades produzidas, o custo aumenta em 10 reais; quando o aumento é de 10 unidades produzidas, o custo aumenta em 20 reais; para o aumento de 30 unidades, o custo aumenta em 60 reais; e para o aumento de 50 unidades produzidas, o custo aumenta em 100 reais.

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Esses valores indicam que a variável dependente (C) e a independente (q)variam proporcionalmente, ou seja,

2 1

2 1

10 20 60 100 25 10 30 50

C CCq q q

-D= = = = = =

D -

Em que DC significa a variação do custo, Dq a variação da quantidade, C2 e C1 são dois custos quaisquer da Tabela 2 e q2 e q1 são as quantidades correspondentes à C2 e C1 da Tabela 2 de modo que C2 > C1 e q2 > q1.

Segundo Murolo e Bonetto (2012), essa proporcionalidade caracteriza uma função do primeiro grau. Ela significa que a cada unidade produzida

temos um acréscimo de 2 reais no custo. Além disso, Cq

DD

é chamada de

taxa de variação média do custo em relação à quantidade de calçados. Essa medida indica o quanto a função custo está crescendo de acordo com as unidades produzidas.

Observe ainda que quando não há produção de calçados (q = 0), tem-se um custo fixo de 100 reais que se deve aos impostos, despesas com funcionários, instalações, entre outros.

De forma geral, a função custo é uma soma do custo fixo (Cf ) e do custo variável (Cv), C = Cv + Cf. Nesse exemplo, considerando que o Cf = 100 e Cv = 2q. Onde q representa a quantidade de calçados. Assim, a função custo é:

C (q) = 2q + 100

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Essa função representa uma função linear, cujo gráfico é uma reta (Figura 20).

C

q

100

200

140

20 50

( ) 2 100C q q= +

60C =Variação em

30q =Variação em

Figura 20 – Função custo.Fonte: Murolo e Bonetto (2012).

Caracterização geral de uma função linear

Segundo Murolo e Bonetto (2012), chama-se função linear toda função do tipo y = f (x) = mx + b em que m e b são números reais e m ≠ 0.

Chamamos de coeficiente angular o valor m que representa o crescimento ou decrescimento da função. O coeficiente angular é a razão entre a variação da variável dependente com relação à variável independente.

ym

xD

=D

Se o valor de m for positivo, a função é crescente, e se for negativo, a função é decrescente. No exemplo anterior, como m = 2 a função é crescente, como observado na Figura 20.

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Temos ainda o coeficiente linear, representado na função por b. Esse valor nos mostra onde o gráfico corta o eixo y, ou seja, o valor de y quando x = 0.

y = f (0) = m . 0 + by = b

No exemplo anterior, em que a função foi dada por C (q) = 2q + 100, o coeficiente linear é b = 100. Em seu gráfico (Figura 20), você observa que ele intercepta o eixo y, representado pela variável C, em 100.

Exemplo 2:

Uma pesquisa de mercado revelou a variação do preço unitário (y) de um martelo em relação à quantidade demandada. As informações estão dispostas na Tabela 3.

Tabela 3 – Variação do preço unitário de martelos.

Unidades (x) 0 10 20 30 40 50

Preço unitário (y) 100 80 60 40 20 0


Observa-se que ocorre uma queda no preço do martelo conforme a demanda cresce. Além disso, a taxa de variação média do preço unitário em relação à quantidade demandada é constante, uma vez que se pegarmos qualquer intervalo Dy e o intervalo correspondente Dx o resultado será o mesmo. Por exemplo, pegando y2 = 80 e y1 = 100 teremos x2 = 10 e x1 = 0.

2 1

2 1

80 100 20 2.10 0 10

y y ym

x x xD - - -

= = = = = -D - -

Poderíamos pegar também outro intervalo: y2 = 20 e y1 = 80 o que corresponde a x2 = 40 e x1 = 10. Desta forma teremos:

2 1

2 1

20 80 60 2.40 10 30

y y ym

x x xD - - -

= = = = = -D - -

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Percebemos também que a taxa de variação obtida, chamada de coeficiente angular, é negativa. Isso significa que a função é decrescente e o coeficiente linear (b) é igual a 100, pois, segundo a Tabela 3, quando não há demanda, o preço máximo do martelo é 100 reais.

Assim, obtemos a função linear do preço:

y = -2x + 100

O gráfico da função é representado na Figura 21.

y

x

100

50

40

40

5030

30

10

10

20

20

60

9080

110

70

0

Figura 21 – Preço unitário do martelo de acordo com a demanda.Fonte: Elaborada pelos autores (2013).

É possível observar que o domínio da função é dado pelo conjunto de valores [0, 50] e que a imagem é o conjunto [0, 100].

Finalizamos mais uma unidade. Siga adiante!

Tarefa dissertativa

Caro estudante, convidamos você a acessar o Ambiente Virtual de Aprendizagem e realizar a tarefa dissertativa.

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9 Função linear – parte II

ObjetivoApresentar gráfico, domínio e imagem de função linear e interpretar o gráfico a partir de problemas propostos.

Para dar seguimento aos estudos, vamos iniciar esta unidade trazendo novas características das funções lineares.

Dada uma função linear f (x) = mx + b, seu gráfico será sempre uma reta. Essa reta pode ser crescente (quando m > 0) ou decrescente (quando m < 0) Nos exemplos da unidade 8, vimos esses dois casos.

Você sabe ainda que por dois pontos dados passa uma única reta. Portanto, para construirmos o gráfico de uma função linear é preciso de, pelo menos, dois pontos.

Exemplo 1

Construa o gráfico e apresente o domínio e a imagem das funções.

a. f (x) = 2x ‒ 1

Solução: Para construirmos o gráfico da função linear f (x) = 2x ‒ 1 é interessante construir uma tabela de valores, em que sejam atribuídos valores quaisquer para a variável x para calcularmos o valor da variável y associada.

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Tabela 4 – Tabela de valores.

x y = f (x) (x, y)0 y = 2⋅0 -1 = -1 (0, -1)

12

12 1 02

y = ⋅ - =1 ,02


Agora basta localizar os pontos ( ) 10, 1 e ,02

-

no plano cartesiano e traçar a reta.

y

x

431 2

4

3

1

2

0 1− 1−

2−

2−

3−

3−

4−

Figura 22 – Gráfico da função f (x) = 2x ‒ 1.Fonte: Elaborada pelos autores (2013).

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Para sua reflexão

Como vimos na unidade 8, o coeficiente angular

de uma função linear é dado por .ym

xD

=D

Pelos

valores encontrados na tabela,

11

22.y

mx

D= = =

D

Esse é exatamente o valor que podemos observar na função f (x) = 2x ‒ 1 dada no problema?


Observe que o coeficiente angular (m = 2) é positivo e, portanto, a reta é crescente. Além disso, o coeficiente linear (b = ‒1) representa o ponto onde a reta corta o eixo y, como você observa na Figura 22.

O domínio da função f (x) = 2x ‒ 1 são todos os valores que a variável independente x pode assumir. Já a imagem da função são todos os valores que a variável dependente y pode assumir. Neste caso, o domínio e a imagem são o conjunto dos números reais.

b. f (x) = ‒ x + 3

Solução: Você deve construir uma tabela de valores para que seja possível localizar pelo menos dois pontos no plano cartesiano e então traçar o gráfico da função.

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x y = f (x) (x, y)0 y = ‒0 +3 = 3 (0, 3)3 y = ‒3 + 3 = 0 (3, 0)


Basta localizar os pontos (0, 3) e (3, 0) no plano cartesiano e construir a reta.

y

x

431 2

4

3

1

2

0 1− 1−

2−

2−

3−

3−

4−

Figura 23 – Gráfico da função f (x) = ‒x + 3.Fonte: Elaborada pelos autores (2013).

Observe que o coeficiente angular (m = ‒1) é negativo e isso faz com que a reta seja decrescente. O coeficiente linear (b = 3) representa o ponto onde a função corta o eixo y.

O domínio e a imagem da função f (x) = ‒x + 3 é o conjunto dos números reais.

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Para sua reflexão

O domínio e a imagem de uma função linear sempre será o conjunto dos números reais. A exceção ocorre quando a função linear está inserida no contexto de um problema, por exemplo, quando a variável x representa os meses do ano (não tem sentido falarmos de meses negativos) ou quando uma das variáveis representa uma quantidade que necessariamente deve ser maior ou igual a zero. Neste caso, restringimos o domínio e/ou a imagem de acordo com a situação-problema, você concorda?


Exemplo 2

Um operário tem seu salário dado por um valor fixo mais uma parte variável que é diretamente proporcional ao número de horas extras trabalhadas. A função que representa o salário em função das horas extras é y = 20x + 600, em que a variável y representa o salário e a variável y representa o número de horas extras. Faça o gráfico da função encontrada e identifique o domínio e a imagem.

Solução: Neste caso é preciso fazer uma tabela de valores.


x y (x, y)0 y = 20 . 0 + 600 = 600 (0 , 600)

‒30 y = 20 . (‒30) + 600 = 0 (‒30, 0)


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Como a variável x representa o número de horas extras trabalhadas, não tem sentido termos valores de x negativo. Portanto, utilizamos uma linha tracejada para representar o gráfico para esses valores ou simplesmente não a fazemos, conforme a Figura 24.

40 6020

1500

500

1000

0 60− 40− 20−

500−

Figura 24 – Gráfico da função y = 20x + 600.Fonte: Elaborada pelos autores (2013).

Você pode observar que quanto mais horas extras o operário trabalhar, maior será seu salário. Podemos comparar essa informação com o coeficiente angular da função, m = 20, que é positivo e indica uma função crescente.

Na tabela de valores observa-se que o valor mínimo que o operário pode receber de salário, caso não faça nenhuma hora extra (x = 0), é 600 reais. Logo, o domínio da função é o conjunto [0, +∞[ e a imagem é o conjunto [600, +∞[.

Agora que vimos como se comportam as funções lineares, vamos seguir para a próxima unidade, na qual veremos diversas aplicações desse tipo de função.

Atividade

Chegou a hora de você testar seus conhecimentos em relação às unidades 1 a 9. Para isso, dirija-se ao Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA) e responda às questões. Além de revisar o conteúdo, você estará se preparando para a prova. Bom trabalho!

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10 Aplicações de função linear

ObjetivoApresentar situações-problema envolvendo funções lineares, ponto de encontro entre duas retas.

Esta unidade apresenta problemas das áreas econômicas envolvendo principalmente o conceito de função linear, mas também conteúdos vistos nas unidades anteriores. Estas situações-problema servem como base para o estudo de outras funções.

Além disso, é importante, a partir de agora, ter em mente alguns conceitos específicos para resolver problemas sobre funções lineares.

Os exemplos a serem citados irão abordar os seguintes conceitos específicos (SILVA; ABRÃO, 2008):

Receita ou Receita Total: é a soma total de suas vendas e recebimentos. Pode-se dizer, a grosso modo, que a receita é o dinheiro que entra no caixa.

Custo fixo: são aqueles que dependem da quantidade vendida ou produzida pela empresa. Como exemplo, o aluguel é um custo fixo.

Custo variável: são aqueles que variam de acordo com a quantidade produzida ou vendida. A matéria-prima é um exemplo, pois, se não houver produção ou venda, não haverá consumo de matéria-prima.

Custo total: é a soma dos custos fixos com os custos variáveis.

Lucro: é a diferença entre a receita e o custo total, isto é, L = R ‒ C.

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Ponto de equilíbrio: ocorre quando o lucro é nulo, ou seja, a receita é igual ao custo.

Margem de contribuição unitária (MCU): é o “lucro” que cada unidade de produto nos proporciona. Por exemplo, se um produto é vendido a R$ 8,00 e ele tem um custo unitário de fabricação de R$ 3,50, a MCU desse produto é R$ 4,50.

Não confunda MCU com Lucro! Para obtermos lucro, ainda é preciso descontar os custos fixos de produção.

Outro conceito muito utilizado por administradores é o ponto de equilíbrio. Ele nos diz a quantidade necessária a serem vendidas para começarmos a obter lucro. Em outras palavras, interessa-nos saber quanto devemos vender, no mínimo, para não obtermos prejuízo.

Portanto, o ponto de equilíbrio ocorre quando o lucro é nulo (L = 0). No entanto, se L = R ‒ C, podemos fazer:

0 = R ‒ CR = C

Existem duas maneiras de pensar no ponto de equilíbrio:

1. L = 0

2. R = C

Procuraremos relacionar esses conceitos presentes em situações-problema de Administração na resolução de problemas de funções lineares.

Exemplo 1

A Suspiro Gelado é uma fábrica de picolés que usa um sistema de aluguel de carrinhos para colocar seus produtos no mercado. Ela aluga cada carrinho de picolé por R$ 21 por dia. A pessoa que aluga o carrinho recebe-o abastecido com 80 picolés, pelos quais deverá pagar R$ 0,80 de

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cada um que vender, devolvendo à sorveteria os que restarem. O preço de venda do picolé é de R$ 1,50 (SILVA; ABRÃO, 2008). Pergunta-se:

a. Qual a receita total da pessoa se vender em um dia apenas 10picolés?

Solução: A receita total (R) representa o dinheiro que entrou no caixa. Como cada picolé custa R$ 1,50, a receita total após a venda de 10 picolés será:

R = 1,50 . 10 = 15 reais

b. Qual a receita total da pessoa se ela vender em um dia 100 picolés?

Solução: A receita total após a venda de 100 picolés, sendo que cada um deles custa R$ 1,50, será:

R = 1,50 . 100 = 150 reais

c. Qual a função que pode representar a receita total da pessoa para umnúmero qualquer de picolés vendidos?

Solução: Considere que a variável x representa o número de picolés vendidos e, ainda, que cada picolé custa R$ 1,50. Então, a função da receita total torna-se:

R = 1,50 . x

d. Qual o custo fixo diário para a pessoa que aluga o carrinho?

Solução: Segundo o enunciado do problema, a pessoa que aluga o carrinho de picolés deve pagar R$ 21 por dia.

e. Qual o custo variável (CV) para a pessoa que aluga o carrinho?

Solução: O custo variável é aquele que depende da quantidade vendida, ou seja, ele só vai existir se os picolés forem vendidos. Para a pessoa que aluga o carrinho o custo variável é de R$ 0,80 por picolé, pois é o valor que ele terá que pagar para a fábrica.

f. Qual o custo variável para a pessoa se vender 10 picolés?

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Solução: Como cada picolé tem um custo variável de R$ 0,80. Se a pessoa vender 10 picolés, o custo variável será:

CV = valor de cada picolé × quantidade de picolésCV = 0,80 . 10 = 8 reais

É interessante perceber que o custo variável de determinada mercadoria será o produto do valor pela quantidade da mercadoria.

g. Qual o custo variável para a pessoa se vender 100 picolés?

Solução: Como cada picolé tem um custo variável de R$ 0,80, se a pessoa vender 100 picolés, o custo variável será:

CV = 0,80 . 100 = 80 reais

h. Qual expressão pode representar o custo variável para um númeroqualquer de picolés vendidos?

Solução: Considerando que o número de picolés vendidos é representado pela variável x, o custo variável para qualquer número de picolés vendidos é representado pela função:

CV = 0,80 . x

i. Qual expressão pode representar o custo total (CT) para a pessoapara um número qualquer de picolés vendidos?

Solução: O custo total é a soma do custo variável com o custo fixo. Considerando as respostas obtidas nas letras “d” e “h”, o custo total é representado pela função CT = CV + CF , em que CV = 0,80x. Assim:

CT = 0,80 . x + 21

j. Qual a margem de contribuição unitária?

Solução: A margem de contribuição unitária (MCU) é a diferença entre a receita e o custo variável. Ela representa o quanto sobra para o vendedor de picolé a cada picolé vendido. Como a receita ao vender um

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único picolé é de R$ 1,50 e o custo variável é R$ 0,80, a margem de contribuição unitária será:

MCU = 1,50 ‒ 0,80 = 0,70

k. Qual a expressão que pode representar a margem de contribuição emfunção do número de picolés vendidos?

Solução: Considerando que o número de picolés é representado pela variável x, a margem de contribuição em função do número de picolés vendidos será:

MC = 0,70 . x

Ou seja, o produto do valor do MCU unitário de cada picolé, multiplicado pela quantidade de picolés, nos dará a margem de contribuição total de determinada quantidade de picolés. Perceba que aqui não calculamos a margem de contribuição unitária.

l. Qual o lucro (L) da pessoa se vender 100 picolés num dia?

Solução: O lucro é a margem de contribuição por unidade vendida menos o custo fixo, ou seja,

L = 0,70 . x ‒ 21

Na venda de 100 picolés, o lucro será de R$ 49, veja:

L = 0,70 . 100 ‒ 21L = 49

m. Qual o ponto de equilíbrio diário em número de picolés vendidos?

Solução: O ponto de equilíbrio ocorre quando a receita é igual ao custo total.

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R = CT1.50 . x = 0,80 . x + 21

0,7 . x = 21x = 30

O ponto de equilíbrio físico é x = 30.

n. Esboce num mesmo plano cartesiano os gráficos da receita, custo total e lucro em função do número de picolés vendidos.

Solução: Para construir o gráfico das funções citadas, é preciso fazer uma tabela de valores para cada uma delas.

Tabela 7 – Tabela de valores: receita.

x R = 1,50 . x (x, R)0 R = 1,50 . 0 = 0 (0, 0)30 R = 1,50 . 30 = 45 (30, 45)


Tabela 8 – Tabela de valores: custo total.

x CT = 0,80 ⋅ x + 21 (x, CT)0 CT = 0,80 ⋅ 0 + 21 = 21 (0, 21)30 CT = 0,80 ⋅ 30 + 21 = 45 (30, 45)


Tabela 9 – Tabela de valores: lucro bruto.

x LB = 0,70 . x ‒ 21 (x, LB)0 LB = 0,70 . 0 ‒ 21 = ‒ 21 (0, ‒21)30 LB = 0,70 . 30 ‒ 21 = 0 (30, 0)


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Observe que o ponto de equilíbrio físico é o ponto de encontro do gráfico da função receita e da função custo fixo. Além disso, quando x = 30, o lucro (L) é zero.

y

x

LB

R CT

40

40

20

20

30

30

10

10

0 40− 30−

30−

20−

20−

10− 10−

Figura 25 – Gráfico das funções receita, custo total e lucro bruto.Fonte: Elaborada pelos autores (2013).

o. Quantos picolés a pessoa terá que vender para lucrar R$ 100 por dia?

Solução: A função que representa o lucro é L = 0,70 . x ‒21. Para que o lucro seja R$ 100 por dia, devemos substituir esse valor no lugar da variável L para encontrar o número de picolés a serem vendidos.

0,70 21100 0,70 21121 0,70

121 172,850,70

L xxx

x

= ⋅ -= ⋅ -= ⋅

= =

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Será preciso vender 172,85 picolés, ou melhor, 173 picolés, pois não é possível vender frações de picolés.

p. Se a pessoa fizer uma promoção por sua própria conta, do tipo pague 2 leve 3, imaginando que todas as vendas aconteçam na promoção, qual o novo ponto de equilíbrio?

Solução: Se cada picolé custa R$ 1,50 e as pessoas pagariam 2 e comprariam 3, a receita a cada venda seria de R$ 3,00. Dessa forma, seria como se cada picolé custasse R$ 1,00. Como o ponto de equilíbrio é a igualdade R = CT, em que R = 1,00 . x e CT = 0,8 . x + 21, temos:

1,00 0,8 210,20 21

21 1050,2

R CTx xx

x

=⋅ = ⋅ +⋅ =

= =

Portanto, será preciso vender 105 picolés ou 35 promoções para ocorrer o ponto de equilíbrio, isto é, para começar a ganhar lucro.

q. Na modalidade de venda do item anterior, quantas promoções terá que vender para lucrar o mesmo valor obtido na situação da letra “l”?

Solução: O lucro obtido na letra “l” foi de R$ 49. O lucro é a margem de contribuição por unidade vendida menos o custo fixo. Como a margem de contribuição por unidade vendida mudou para MCU = 1,00 ‒ 0,8 = 0,2, o lucro será:

L = 0,2 . x ‒ 21

Como se espera obter um lucro de R$ 49, esse valor é substituído na equação para encontrar a variável x, que representa o número de picolés.

49 0,2 2170 0,2

70 3500,2

xx

x

= ⋅ -= ⋅

= =

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Será preciso vender 350 picolés ou 116,66 promoções para obter um lucro de R$ 49.

r. Supondo que, em média, o vendedor vendesse 60 picolés por dia a R$ 0,80 cada, o que aconteceria com seu resultado se fizesse uma promoção baixando o preço para R$ 0,70 e a venda aumentasse para 70 picolés em média. Justifique.

Solução: Se fossem vendidos 60 picolés por R$ 0,80, a receita seria R = 0,80 . 60 = 48 reais. Caso fossem vendidos 70 picolés por R$ 0,70, a receita aumentaria para R = 0,70 . 70 = 49 reais. Neste caso, seria melhor vender 70 picolés por R$ 0,70.

Com esse exemplo, encerramos mais uma unidade. Esperamos que essas aplicações de funções possam ter lhe auxiliado a melhor compreendê-las.

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11 Equação da reta

Objetivo Apresentar a equação da reta a partir de dois pontos conhecidos.

Com o estudo de funções feito até o momento, seguiremos estudando a equação da reta. Em muitas situações, conhecemos alguns valores, mas não temos a função que representa o problema. Como toda função linear tem como gráfico uma reta, para encontrar a equação da reta bastam dois pontos. Esses dois pontos, muitas vezes, são informações oferecidas pelo problema.

Vamos ver um exemplo.

Exemplo 1

Uma casa de eventos promove festas com ingressos no valor de R$ 10,00 e atinge uma lotação de 200 pessoas. Quando o valor do ingresso passa para R$ 15,00, a lotação é de 150 pessoas.

Veja que os valores R$ 10,00 e 200 (pessoas) estão associados, assim como R$ 15,00 e 150 (pessoas). Podemos representar esses valores por meio de pares ordenados (10, 200) e (15, 150), representando pontos do plano cartesiano.

Para obter a equação da reta, utiliza-se a seguinte equação:

0 0

1 0 1 0

y y x xy y x x

- -=

- -

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Em que:

0x 0y

10 200

1x 1y

15 150

Sabendo o valor das variáveis x0, y0, x1, y1, substituímos na equação:

( ) ( )

200 10150 200 15 105 200 50 105 1000 50 500

5 50 150050 1500

510 300

y x

y xy x

y xxy

y x

- -=

- -- = - -- = - +

= - +- +

=

= - +

Note que o coeficiente angular (m = ‒10) é negativo, portanto a reta é decrescente. Esta reta associa a demanda em relação ao preço e mostra que, à medida que o preço aumenta, a demanda cai.

y

x

400200

200

300

300

100

100

0 400− 300−

300−

200−

200−

100− 100−

Figura 26 – Gráfico da função y = ‒10x + 300.Fonte: Elaborada pelos autores (2013).

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Exemplo 2

Considerando a mesma situação-problema anterior, encontre a equação da demanda com os pontos:

a. (1, 122) e (10, 95)

Considere os pontos de acordo com as tabelas.

0x 0y

1 122

1x 1y

10 95

Substituindo os valores na equação da reta obtemos:

( ) ( )

0 0

1 0 1 0

122 195 122 10 1

9 122 27 19 1098 27 27

9 27 112527 1125

93 125 é a equação da reta.

y y x xy y x x

y x

y xy x

y xxy

y x

- -=

- -- -

=- -

- = - -- = - +

= - +- +

=

= - +

b. (9, 1075) e (40, 300)

Considere os pontos de acordo com as tabelas.

0x 0y

9 10751x 1y

40 300

Substituindo os valores na equação da reta obtemos:

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( ) ( )

0 0

1 0 1 0

1075 9300 1075 40 9

31 1075 775 931 33325 775 6975

31 775 40300775 40300

3125 1300 é a equação da reta.

y y x xy y x x

y x

y xy x

y xxy

y x

- -=

- -- -

=- -

- = - -- = - +

= - +- +

=

= - +

As funções lineares também se aplicam a problemas de juros simples, ou seja, quando a taxa de juros incide apenas sobre o capital inicial. Considere as seguintes variáveis:

• J: juros• P: capital inicial• i: taxa de juros• n: período de aplicação• M: montante (juros + capital inicial)

Os juros e o montante podem ser obtidos pelas equações:

Juros Montante

J = P ⋅ i ⋅ n M = J + P

Considerando uma quantia de R$ 2.000,00 aplicada a uma taxa de juros simples de 5% ao mês durante certo período, a função que representa os juros e o montante em função dos meses será:

Juros Montante

J = P ⋅ i ⋅ n J = 2000 ⋅ 0,05 ⋅ n

J = 100n

M = J + P M = 100n + 2000

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Para sua reflexão

A taxa de juros i pode ser representada em

porcentagem ou na forma decimal. Observe que 55% 0,05.

100= = Desta forma podemos

dizer que calcular o juros e o montante é preciso

escrever a taxa de juros na forma decimal? Por que?


Note que o coeficiente angular das duas funções é o mesmo e é positivo: m = 100 e cresce na mesma proporção. O gráfico das funções juros e montante estão representados na Figura 27.

n

JM

2000

Figura 27 – Gráfico das funções juros e montante.Fonte: Elaborada pelos autores (2013).

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O gráfico do montante é obtido fazendo-se uma translação de 2000 unidades em relação ao gráfico dos juros. Esse valor representa o capital inicial.

Dessa forma, encerramos a unidade 11 e podemos seguir para a próxima, onde veremos diversos exercícios sobre função linear.

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12 Exercícios sobre função linear

ObjetivoPropor exercícios sobre função linear.

Esta unidade será composta apenas por exercícios resolvidos sobre função linear.

Exercício 1

Em um posto de combustível, o preço do álcool é de R$ 2,30 por litro.

a. Determine uma expressão que relacione o valor pago (V) em função da quantidade de litros (q) abastecidos por um consumidor. Intuitivamente podemos pensar que o valor pago será o produto do preço pela quantidade.

Solução: A função que relaciona o valor pago com a quantidade de litros será:

V = 2,30 . q

b. Supondo que o tanque de combustível de um carro comporte 50 litros, esboce o gráfico da função obtida no item anterior.

Solução: Como o tanque do carro tem um limite de 50 litros, o valor máximo que a variável q pode atingir é 50. Para construir o gráfico é importante fazer a tabela de valores:

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q V = 2,30 . q (q, V)0 V = 2,30 . 0 = 0 (0, 0)50 V = 2,30 . 50 = 115 (50, 115)


Essa tabela indica características relevantes sobre o problema:

• Se a quantidade de litros fosse zero (q = 0), não haveria valor a ser pago;

• O máximo que o consumidor pode pagar para encher o tanque do seu carro é R$ 115,00. Isso ocorre quando ele coloca a quantidade máxima de litros que seu tanque comporta (q = 50).

Então, o gráfico da função V = 2,30.q será:

x

y

100

504030

1020

60

9080

110120

70

0 50403010 20 60 8070

Figura 28 – Gráfico da função V = 2,30 . q.Fonte: Elaborada pelos autores (2013).

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Exercício 2

Um produto, quando comercializado, apresenta as funções custo (C) e receita (R) dadas, respectivamente, por C = 3q + 90 e R = 5q, onde q é a quantidade comercializada que se supõe ser a mesma para custo e receita (MUROLO; BONETTO, 2012).

a. Encontre o ponto de equilíbrio em quantidade vendida.

Solução: O ponto de equilíbrio ocorre quando C = R. Dessa forma:

C = R3q + 90 = 5q

90 = 2qq = 45 unidades

b. Em um mesmo plano cartesiano, esboce o gráfico do custo e da receita e indique o ponto de equilíbrio.

Solução: Para a construção do gráfico, faz-se a tabela de valores para as duas funções.


q C = 3q + 90 (q, C) q R = 5q (q, R)0 C = 3 . 0 + 90 (0, 90) 0 R = 5 . 0 = 0 (0, 0)45 C = 3 . 45 + 90 = 225 (45, 225) 45 R = 5 . 45 = 225 (45, 225)


Em seguida os gráficos são construídos, observando o ponto em comum entre as duas retas, identificado com o ponto de equilíbrio.

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503010 10− 30− 50− 9070

100

504030

1020

60

9080

120

210

70

200

150140

220

110

130

160

190180

230

170

R C

Ponto de Equilíbrio

Figura 29 – Gráfico das funções custo e receita.Fonte: Elaborada pelos autores (2013).

c. Obtenha a função lucro (L), esboce o gráfico e determine as quantidades necessárias para que o lucro seja positivo, negativo ou nulo.

Solução: A função lucro também pode ser interpretada como a diferença entre a receita e o custo total, ou seja,

L = 5q ‒ (3q + 90)L = 2q ‒ 90

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Observe alguns dados na tabela de valores:


q L = 2q ‒ 90 (q, L)0 L = 2 . 0 ‒ 90 = ‒90 (0, ‒90)45 L = 2q ‒ 90 (45, 0)


Na venda de 45 unidades do produto (ponto de equilíbrio) não ocorre lucro algum. A partir de 45 unidades vendidas, o produto começa a dar lucro. A venda de uma quantidade menor que 45 unidades traz prejuízos. Veja o gráfico da Figura 30.

0 50403010 20 10− 10−

40− 30−

50−

20−

60−

90− 80− 70−

60 70

4030

1020

Figura 30 – Gráfico da função lucro.Fonte: Elaborada pelos autores (2013).

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Exercício 3

Um lava-jato de automóveis tem como único serviço uma lavagem simples, pela qual cobra R$ 12,00. Cada lavagem gasta em média R$ 3,00 de produtos de limpeza. As contas de água e luz têm média mensal de R$ 350,00 somadas. A empresa tem 3 funcionários, recebendo cada um deles R$ 260,00 fixos mais R$ 1,00 por cada carro lavado. As obrigações sociais ficam em 40%. O prédio da empresa é alugado, pelo qual o proprietário paga R$ 250,00 por mês. Não há mais custos consideráveis (SILVA; ABRÃO, 2008).

a. Qual a receita total do lava-jato se lavar 250 carros no mês?

Solução: Como a lavagem custa R$ 12,00 por carro, a receita total será:

R = 12,00 . 250 = 3.000 reais

b. Qual a expressão que representa a receita total para um número qualquer de carros lavados?

Solução: Considerando que a variável x representa o número de carros lavados, a expressão será:

R = 12,00 . x

c. Qual o custo fixo mensal da empresa?

Solução: O problema apresenta que os custos fixos são:

• Água e luz: R$ 350,00.• Aluguel: R$ 250,00.• Funcionários (3): R$ 780,00.• Obrigações sociais (40% sobre R$ 780,00): R$ 312,00.

O custo fixo total é a soma dos itens anteriores: R$ 1.692,00.

d. Qual o custo variável da empresa se lavar apenas 250 carros?

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Solução: O custo variável depende do número de carros lavados. Neste caso, temos para cada carro um custo com matéria-prima de R$ 3,00, as comissões de R$ 1,00 e obrigações sociais (40% sobre as comissões) de R$ 0,40. Portanto, o custo variável para se lavar 250 carros será 4,40 . 250 = 1.100 reais.

e. Qual a expressão que pode representar o custo variável para um número qualquer de carros lavados?

Solução:

CV = 4,40 . x

f. Qual expressão pode representar o custo total da empresa para um número qualquer de carros lavados?

Solução: O custo total é a soma do custo fixo com o custo variável. Portanto, a expressão será:

CT = 4,40 . x + 1692

g. Qual o ponto de equilíbrio em número de carros lavados?

Solução: O ponto de equilíbrio ocorre quanto o custo total e a receita se igualam, ou seja:

12 4, 40 16927,6 1692

1692 222,637,6

x xx

x

⋅ = ⋅ +⋅ =

= =

Como a variável x representa o número de carros, o ponto de equilíbrio ocorre quando x = 223 carros.

h. Qual o lucro da empresa se lavar 223 carros?

Solução: O lucro é a diferença entre a receita e o custo total:

L = 12 . x ‒ (4,40 . x + 1692)L = 7,6 . x ‒ 1692

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O lucro da empresa ao lavar 223 carros será L = 7,6 . 223 ‒ 1692 = 2,80 reais. Esse valor significa que praticamente não haverá lucro, pois é um valor próximo ao ponto de equilíbrio.

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Resumo

Os conteúdos abordados até agora mostram de que forma alguns conceitos matemáticos podem ser úteis na resolução de problemas das áreas econômicas.

Na unidade 7 estudamos o conceito de funções de forma generalizada. Dessa forma, pudemos observar que uma das relações entre a Matemática e a Administração pode ser feita por meio de resolução de problemas utilizando as funções.

Seguindo, nas unidades 8 e 9, vimos que uma função importante para o administrador é a função linear, pois ela caracteriza diferentes situações. Com o auxílio da linguagem matemática, estudamos na unidade 10 generalizações, soluções e buscamos caminhos para compreender características dos problemas não explicitados no enunciado. Na unidade 11 estudamos um pouco mais profundamente as funções lineares, com a equação da reta. Também vimos como construir essa equação a partir de alguns pontos.

No final, na unidade 12, foram propostos envolvendo função linear, e você pôde observar sua importância para representar funções como custo, receita e lucro, presentes diariamente na sua área. Além disso, até mesmo os problemas sobre juros simples podem ser interpretados por meio de funções lineares.

Nas próximas unidades estudaremos outros tipos de funções, sendo que a próxima será a função quadrática. Os conhecimentos aprendidos até esta unidade são fundamentais para seguirmos com o estudo.

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13 Função quadrática

ObjetivoCompreender situação-problema envolvendo função quadrática. Conceituar função quadrática.

Agora que concluímos o estudo de funções lineares, vamos nos aprofundar no conteúdo de funções com o estudo de funções quadráticas.

A função quadrática é mais um tipo de função que aparece em problemas do seu curso. Veremos que com mais esta ferramenta conseguiremos abordar situações com um pouco mais de complexidade, isto é, tornando o problema mais completo e aproximando da realidade dos problemas deAdministração. Para isso, utilizaremos como suporte teórico os trabalhos de Murolo e Bonetto (2012).

Em problemas de Administração, uma das situações em que aparecem funções quadráticas é a obtenção da receita em função da quantidade unitária. Como isso pode ser feito?

Segundo Murolo e Bonetto (2012), a função receita é dada pela relação R = p ⋅ q, em que p representa o preço unitário e q a quantidade comercializada do produto.

No exemplo 2 da unidade 8, vimos que o preço do produto em relação à quantidade foi dado pela função:

p = –2q + 100

Substituindo a função do preço na receita, obtém-se:

R = p ⋅ q R = (–2q + 100) ⋅ q

R = –2q2 + 100q

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A função da receita é uma função quadrática que depende apenas da variável q.

Caracterização geral de funções quadráticas

Segundo Silva e Abrão (2008, p. 30), “[...] chama-se função quadrática ou do segundo grau toda a função do tipo:

y = ax2 + bx + c

em que a, b e c são números reais, x é a variável independente e y é a variável dependente.”

Na função quadrática R = –2q2 + 200q, por exemplo, a = –2 (que multiplica q2), b = 200 (que multiplica q) e c = 0 (termo independente). A variável independente é a quantidade q e a variável dependente é a receita R.

Se atribuirmos valores à quantidade q na função, poderemos obter a receita correspondente àquele valor. Na Tabela 13 é possível observar os dados obtidos por meio da expressão R = –2q2 + 200q.

Tabela 13 – Receita em função da quantidade.

Quantidade (q) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Receita (R) 0 1800 3200 4200 4800 5000 4800 4200 3200 1800 0

Fonte: Murolo e Bonetto (2012).

Quando plotamos os pontos no plano cartesiano (Figura 31), podemos observar que se forma uma curva, e não uma reta, como tínhamos na função linear. Essa curva é chamada de parábola. O gráfico de qualquer função quadrática é uma parábola.

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40 8020 60 120100

3000

Quantidade

Receita

20001000

6000

40005000

Figura 31 – Gráfico da função 22 200 .R q q= - +Fonte: Adaptada de Murolo e Bonetto (2012).

Veja no exemplo a seguir a aplicação de funções lineares e funções quadráticas.

Exemplo 1

O proprietário de um lava-jato contratou uma empresa para fazer uma pesquisa de mercado a fim de estudar o comportamento de seu público-alvo diante das variações de preço da lavação (em reais). Os dados obtidos na pesquisa estão na Tabela 14 (SILVA; ABRÃO, 2008).

Tabela 14 – Receita em função da quantidade.

Variável independente Variável dependente

Preço da lavação (x) Provável n° de carros lavados (y)

10 400

12 300

14 200

16 100

Fonte: Silva e Abrão (2008).

a. Qual expressão representa o número de carros (y) em função do preço da lavação (x)?

Solução: Observamos que a variação é linear, ou seja:

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2 1

2 1

300 400 100 5012 10 2

y yyx x x

−∆=

∆ −− −

= = −−

Taxa de variação média

Portanto, esta função será do tipo linear. Para você encontrar a função y = f (x), utilize a fórmula a seguir, vista na unidade 11.

0 0

1 0 1 0

y y x xy y x x

- -=

- -

Selecionando dois pontos (10,400) e (12,300) da Tabela 14, substituímos na fórmula e isolamos a variável de interesse y para encontrar a função y = f (x), conforme apresentado nos passos a seguir:

400 40010 10300 400 12 10 100 2

y yx x- -- -= → =

- - -

Desenvolvendo a multiplicação cruzada ficamos com:

2(y –400) = –100(x –10) → 2y –800 = –100x + 1000

Isolando a variável y em um dos lados da expressão:

100 18002 100 18002

xy x y - += - + → =

Fazendo a divisão por 2, ficamos com a função: y = –50x + 900.

Portanto, a função y = –50x + 900 relaciona o número de carros (y) em função do preço da lavação (x).

b. Qual expressão pode representar a receita (R) cobrada em função do preço da lavação?

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Solução: A receita total é representada pelo produto entre o preço cobrado na lavação (x) e o número de carros lavados (y), ou seja:

R = y ⋅ x

A função do preço de lavação é y = –50x + 900. Substituindo y na função da receita, obtemos:

R = y ⋅ x R = (–50x + 900)⋅x R = –50x2 + 900x

A receita é uma função quadrática que depende do preço da lavação (x).

Caso você queira saber qual é a receita quando o preço da lavação é R$ 7,00, basta substituir esse valor na função encontrada:

R = –50x2 + 900x e x = 7R = –50.72 + 900.7

R = 3.850 reais

A receita quando o preço da lavação é R$ 7,00 atinge o valor de R$ 3.850,00.

Finalizamos esta unidade que deu início ao conteúdo sobre as funções quadráticas, que veremos com mais profundidade nas próximas unidades.

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14 Função quadrática – parte I

ObjetivoApresentar gráfico, domínio e imagem de função quadrática.

Compreendendo algumas aplicações das funções quadráticas e seu conceito, passaremos a analisar seu comportamento graficamente. Neste momento, estudaremos a curva formada pelas funções quadráticas, chamadas de parábola, e sua caracterização de acordo com as funções.

Como vimos na unidade 13, o gráfico das funções quadráticas tem o formato de uma curva, que possui o nome de parábola. Esse gráfico pode ter, em geral, os dois formatos apresentados a seguir:

x

y

x

y

45

BA6

1

1

2

2

3

3

3− 2−

2−

1− 1−

1

1

2

2

3 3−

3− 4−

6− 5−

2−

2−

1− 1−

Figura 32 – Gráfico de funções quadráticas distintas.Fonte: Elaborada pelos autores (2013).

Dizemos que na Figura 32 (a) a parábola tem concavidade voltada para cima e na Figura 32 (b) a parábola tem concavidade voltada para baixo.

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Além disso, o domínio de toda função quadrática é o conjunto dos números reais, e a imagem irá depender do valor que atinge a variável y. Na Figura 32 (a), a imagem é o conjunto [0, +∞[ e na Figura 32 (b) aimagem é [0, –∞[.

Estudo complementar

Na unidade 15 você irá estudar sobre o vértice da função, que apresenta os valores máximo e mínimo que ela atinge. Enquanto isso, você pode ver um pouco mais sobre esse assunto lendo o artigo “Máximo e mínimo absolutos da função quadrática”, de Marcelo Rigonatto. Disponível aqui.

Mas como é possível saber de que forma será o gráfico?

Já vimos que toda função quadrática tem o formato y = ax2 + bx + c. Quando o coeficiente a for positivo, a parábola terá concavidade voltada para cima. Quando o coeficiente a for negativo, a parábola terá concavidade voltada para baixo:

• a > 0: concavidade voltada para cima – Figura 32 (a)

• a < 0: concavidade voltada para baixo – Figura 32 (b)

Exemplo 1

A função quadrática y = x2 + 2x + 1, cujos coeficientes são a = 1, b = 2 e c = 1, têm como gráfico uma parábola com a concavidade voltada para cima.

Exemplo 2

A função quadrática y = –x2 + 2x + 1, cujos coeficientes são a = – 1, b = 2 e c = 1, tem como gráfico uma parábola com a concavidade voltada para baixo.

http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/maximo-minimo-absolutos-funcao-quadratica.htm

http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/maximo-minimo-absolutos-funcao-quadratica.htm

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Além da concavidade, podemos relacionar outras características da parábola com a função quadrática. Vejamos a seguir:

Pelo gráfico da função y = x2 –5x + 4 na Figura 33, observa-se que a > 0 (concavidade voltada para cima) e o gráfico corta o eixo y no valor y = 4.

x

y

4

4

5

5 61

1

2

2

3

3

2−

2−

1− 1−

Figura 33 – Gráfico da função 2 5 4.y x x= - +Fonte: Elaborada pelos autores (2013).

Podemos dizer que o ponto onde o gráfico corta o eixo y tem coordenadas (0,4), ou seja, quando substituímos x = 0 na função y = x2 –5x + 4, obtemos o valor y = 4 associado:

y = x2 –5x + 4 y = 02 –5⋅0 + 4 = 4

De forma geral, para qualquer função quadrática y = ax2 + bx + c, quando substituímos x = 0 na função obtemos y = c. Portanto, o coeficiente c, chamado de termo independente, é sempre o valor em que a parábola corta o eixo y.

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Além disso, a parábola corta o eixo x em dois valores: x = 1 e x = 4. Podemos dizer que os pontos em que o gráfico da função y = x2 –5x + 4 corta o eixo x têm coordenadas: (1,0) e (0,4). Isso quer dizer que nesses pontos o valor de y é zero, ou seja:

x2 –5x + 4 = 0

Então, para encontrar os pontos onde o gráfico corta o eixo x basta resolver uma equação do segundo grau através da fórmula de Bhaskara:

2 42

b b acxa

- ± -=

Sendo a = 1, b = –5 e c = 4, temos:

2

1 2

( 5) 5 4.1.42.1

5 25 162

5 92

5 32

5 3 2 5 3 81 e 42 2 2 2

x

x

x

x

x x

- - ± -=

+ ± -=

±=

±=

- += = = = = =

Os valores obtidos na resolução, neste caso x1 = 1 e x2 = 4, são chamados de raízes da função.

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Exemplo 3

Encontre o ponto onde a função y = x2 –6x + 8 corta o eixo y e suas raízes.

Solução: O ponto onde a função corta o eixo y é obtido substituindo-se x = 0 na função:

y = 02 – 6 ⋅ 0 + 8 = 8

Portanto, o ponto será (0,8).

As raízes da função são obtidas quando y = 0:

x2 –6x + 8 = 0

Aplicando a fórmula de Bhaskara, obtém-se:

2 42

b b acxa

- ± -=

Sendo a = 1, b = –6 e c = 8, temos:

( )2

1 2

( 6) 6 4 1 82 1

6 36 322

6 42

6 22

2 e 4

x

x

x

x

x x

- - ± - - ⋅ ⋅=

⋅± -

=

±=

±=

= =

Portanto, as raízes da função são x1 = 2 e x2 = 4, e os pontos onde a função corta o eixo x são (2,0) e (4,0).

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Observe no gráfico da função (Figura 34) os pontos obtidos na resolução do exemplo 3.

x

y

4

4

5

5 6 7 81

1

2

2

3

3

89

67

2−

2−

1− 1−

Figura 34 – Gráfico da função 2 6 8.y x x= - +Fonte: Elaborada pelos autores (2013).

Agora que iniciamos o estudo de funções quadráticas, com o detalhamento de gráfico, domínio e imagem, na próxima unidade vamos dar continuidade ao assunto e veremos como determinar os valores de máximos e mínimos, assim como os intervalos de crescimento ou decrescimento desse tipo de função.

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15 Função quadrática – parte II

ObjetivoDeterminar valores máximos e mínimos e intervalos de crescimento ou decrescimento da função.

Devido ao seu formato, as funções quadráticas apresentam valores de máximo ou de mínimo, de acordo com a concavidade da parábola. Neste caso, se a receita de uma empresa for representada por uma função quadrática que depende da quantidade x, o valor máximo pode representar a receita máxima que uma empresa pode ter naquelas circunstâncias. Nesta unidade você aprenderá como encontrar esses valores e o seu significado nos problemas abordados, e para isso vamos utilizar as principais ideias de Murolo e Bonetto (2012) sobre o assunto.

Vimos na unidade 14 os pontos onde o gráfico da função corta o eixo x (raízes) e o eixo y (através do termo independente). A partir deste momento você irá observar que toda função quadrática tem um valor máximo ou mínimo. Esse valor, além de nos ajudar a encontrar a imagem da função, pode ter diferentes significados em um problema de Administração, como mostraremos na unidade 16.

O ponto de mínimo é o ponto mais baixo que a curva pode atingir. Veja que todas as parábolas com concavidade voltada para cima terão ponto de mínimo, como na Figura 35. Por outro lado, o ponto de máximo é o maior ponto que a curva atinge e somente as parábolas com concavidade voltada para baixo terão esse ponto (MUROLO; BONETTO, 2012). Iremos neste momento apresentar o ponto mínimo e mais adiante apresentaremos o ponto máximo.

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x

y

4

4

5

5 6 7 81

1

2

2

3

3

89

67

2−

2−

1− 1−

Figura 35 – Ponto de mínimo da função 2 6 8.y x x= - +Fonte: Elaborada pelos autores (2013).

Como encontrar as coordenadas do ponto de mínimo, também chamado de vértice?

A fórmula utilizada é:

( )2

24

4

v

v

bxa

b a cy

a

-=

- - ⋅ ⋅=

⋅

Sendo que o vértice (ou ponto de mínimo) é formado pelo ponto (xv, yv) e a, b e c são os coeficientes da função quadrática y = ax2 + bx + c.

Neste exemplo, como a função é y = x2 –6x + 8, seus coeficientes são a = 1, b = –6 e c = 8. Substituindo nas fórmulas para encontrar o vértice, temos:

www.esab.edu.br 97

( )

( ) ( )( )22

6 6 32 2 1 2

6 4 1 84 4 14 4 1 4

v

v

bxa

b a cy

a

- --= = = =

⋅- - - ⋅ ⋅- - ⋅ ⋅ -

= = = = -⋅ ⋅

Portanto, o valor mínimo que a função atinge será y = –1 e o vértice será (3, –1).

Nessas condições, observamos que o domínio dessa função é o conjunto dos números reais e a imagem é o conjunto [–1, +∞[ (observe a Figura 35).

Observa-se, também, que para valores de x no intervalo ]–∞, 3] a função é decrescente, e para valores de x no intervalo [3, +∞[ a função é crescente. Portanto, as coordenadas do vértice são importantes para determinar o intervalo de crescimento e decrescimento da função quadrática.

Quando a parábola tem concavidade voltada para cima, a função quadrática terá ponto de mínimo, mas quando a parábola tem concavidade voltada para baixo, a função terá ponto de máximo (MUROLO; BONETTO, 2012) (Figura 36).

x

y

x

y

45

BA6

1

1

2

2

3

3

3− 2−

2−

1− 1−

1

1

2

2

3 3−

3− 4−

6− 5−

2−

2−

1− 1−

Ponto de máximo

Ponto de mínimoFigura 36 – Ponto de máximo e de mínimo de funções quadráticas.


www.esab.edu.br 98

Agora vamos demonstrar como encontrar as coordenadas do ponto de máximo, também chamado de vértice. As fórmulas utilizadas são:

( )2 4

e2 4v v

b a cbx ya a

- - ⋅ ⋅-= =

⋅

Dessa forma, a função quadrática y = –3x2 + 6x –5, cujo gráfico é uma parábola com a concavidade voltada para baixo, apresenta vértice com as seguintes coordenadas:

( )( ) ( ) ( )( )

( )

2 2

6 6 12 2 3 6

4 6 4 3 5 (36 60) 24 24 4 3 12 12

v

v

bxa

b a cy

a

- - -= = = =

⋅ - -

- - ⋅ ⋅ - - ⋅ - ⋅ - - -= = = = = -

⋅ ⋅ - - -

Ou seja, (xv, yv) = (1, –2). Além disso, o valor máximo que a função atinge é y = –2. Veja o gráfico da função na Figura 37.

x

y

1

1

2

2

3 4 3−

3− 4−

6− 5−

2−

2−

7− 8− 9−

1− 1−

Figura 37 – Gráfico da função 23 6 5.y x x= - + -Fonte: Elaborada pelos autores (2013).

www.esab.edu.br 99

Dica

O gráfico da função 23 6 5y x x= - + - não corta o eixo x, ou seja, a função não tem raízes. Na fórmula de Bhaskara, acontece a seguinte situação:

( ) ( )( )

2

2

42

6 6 4 3 52 3

6 246

b b acxa

x

x

- ± -=

- ± - ⋅ - ⋅ -=

⋅ -

- ± -=

-

Como não existe raiz de números negativos, a função quadrática não apresenta raízes reais. Suas raízes pertencem ao conjunto dos números complexos.

Construção do gráfico da função quadrática

Para construir o gráfico de funções quadráticas é preciso de, pelo menos, três pontos. Esses pontos devem ser obtidos de tal forma que seja possível visualizar o formato da parábola.

Sugerimos então, seguir os seguintes passos:

a. Encontrar as raízes (pela fórmula de Bhaskara).

b. Encontrar as coordenadas do vértice.

c. Identificar o termo independente.

www.esab.edu.br 100

Exemplo 1

Faça o gráfico da função y = x2 + x –12.

Solução: Vamos seguir os passos sugeridos:

a. Inicialmente encontraremos as raízes, pois assim saberemos onde a parábola corta o eixo x.

( )

2

2

2

1 2

12 0

42

1 1 4 1 122 1

1 492

1 72

3 e 4

x x

b b acxa

x

x

x

x x

+ - =

- ± -=

- ± - ⋅ ⋅ -=

⋅- ±

=

- ±=

= = -

Sabe-se, então, que a parábola passa pelos pontos (3,0) e (–4,0).

b. As coordenadas do vértice são as seguintes:

( ) ( )( )2 2

1 12 2 1 2

4 1 4 1 12 494 4 1 4

v

v

bxa

b acy

a

- -= = = -

⋅- - - - ⋅ ⋅ - -

= = =⋅

O vértice é 1 49,2 4

- -

e o valor mínimo que a função atinge é 49 .4

y = -

c. O termo independente da função y = x2 + x –12 e c = –12. Portanto, a parábola corta o eixo y no ponto (0, –12).

Marcamos os pontos encontrados nos itens a, b e c no plano cartesiano e forma-se o gráfico da parábola.

www.esab.edu.br 101

x

y

1

1

2

2

3 4 5 6 7 8 3−

3− 4−

4−

6−

6−

5−

5− 2−

2−

7−

7−

8−

8−

9− 10− 11−

13−

1− 1−

12−

Figura 38 – Gráfico da função 2 12.y x x= + -Fonte: Elaborada pelos autores (2013).

Note que a função é decrescente para valores de x no intervalo 1,2

-∞ - e crescente no intervalo

1 , .2

- +∞

Já estudamos funções quadráticas nas unidades 13, 14 e 15. É importante destacar as características principais desse tipo de função, como o seu gráfico e qual o significado das raízes, do vértice e do termo independente na parábola. Com essas informações, estamos prontos para ver, na unidade a seguir, outras aplicações desse tipo de função.

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16 Aplicações de função quadrática

ObjetivoApresentar situações-problema envolvendo funções quadráticas.

Como já conhecemos as características das funções quadráticas, como gráfico, pontos de máximo e mínimo, crescimento e decrescimento, raízes, entre outros, passaremos a estudar aplicações desse tipo de função em problemas de Administração, com o auxílio do trabalho de Murolo e Bonetto (2012). Essas aplicações levam em conta todo o conceito matemático abordado até o momento, e é muito importante conseguirmos essa associação entre a teoria matemática e suas aplicações.

Veja que em diversos momentos precisaremos de conhecimentos abordados nas primeiras unidades, e as aplicações são melhor compreendidas se o conceito matemático tiver sido absorvido.

Nos exemplos que a seguir serão abordados, será preciso identificar função linear e quadrática, conhecer o vértice de funções quadráticas, intervalo de crescimento e decrescimento, conceito de lucro, receita e custo. Observe que nessa contextualização os conhecimentos se misturam, tornando-se mais interessantes.

Exemplo 1

Para certo produto comercializado, a receita e o custo são dados, em função da quantidade, respectivamente por R = –2q2 + 1000q e C = 200q + 35000, cujos gráficos são:

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R,C

q

105.000

50 500

45.00035.000

250 350

125.000 Custo

Receita

Figura 39 – Gráfico das funções receita e custo.Fonte: Murolo e Bonetto (2012).

Então, a partir do gráfico, obtenha:

a. Os intervalos de crescimento e decrescimento da função receita, a quantidade para que a receita seja máxima e a receita máxima.

Solução: Podemos observar no gráfico da receita da Figura 39 que o vértice da parábola é o ponto (250, 125.000). Este é um ponto de máximo, pois a parábola tem concavidade voltada para baixo.

A função receita é crescente para valores de q no intervalo [0, 250] e decrescente para valores de q no intervalo[250, 500].

A quantidade necessária para que a receita seja máxima é encontrada quando se calcula o qv = 250, e para uma quantidade q = 250 obtemos uma receita máxima R = 125.000.

www.esab.edu.br 104

b. Quais são os pontos de equilíbrio e o que eles representam?

Solução: As funções receita e custo se interceptam em dois pontos (Figura 39): (50, 45.000) e (350, 105.000). Esses pontos indicam onde o lucro é nulo. Quando o gráfico da função receita está acima da função custo, temos lucro positivo, e quando o gráfico da receita está abaixo do custo, temos lucro negativo.

c. Quais os intervalos em que o lucro é positivo e em que o lucro é negativo?

Solução: Pelo gráfico da função, os valores de q para que se tenha um lucro positivo estão no intervalo [50, 350], e o intervalo em que o lucro é negativo será [0,50] ∪ [350, 500]. Na Figura 40, veja que a região amarela representa o lucro positivo e a região verde o lucro negativo.

R,C

q

105.000

50 500

45.00035.000

250 350

125.000 Custo

Receita

Lucro positivo

Lucro negativo

Lucro negativo

Figura 40 – Intervalo em que o lucro é positivo e negativo.Fonte: Adaptada de Murolo e Bonetto (2012).

www.esab.edu.br 105

d. Qual a função lucro?

Solução: O lucro é a diferença entre a receita e o custo total. Portanto, dadas as funções R = –2q2 + 1000q e C = 200q + 35000, a função lucro será:

L = R – CL = –2q2 + 1000q – (200q + 35000)L = –2q2 + 1000q – 200q – 35000

L = –2q2 + 800q –35000

A função lucro L = –2q2 + 800q – 35000 é uma função quadrática com concavidade voltada para baixo (a = –2).

e. Qual a quantidade para que o lucro seja máximo e qual o lucro máximo?

Solução: Como a função lucro tem concavidade voltada para baixo, seu vértice será um ponto de máximo. Os coeficientes da função L = –2q2 + 800q –35000 são a = –2, b = 800 e c = – 35000.

( )( ) ( ) ( )( )

( )

2 2

800 800 2002 2 2 4

4 800 4 2 35000 360000 450004 4 2 8

v

v

bqa

b acL

a

- - -= = = =

⋅ - -

- - - - ⋅ - ⋅ - -= = = =

⋅ - -

O vértice da função é o ponto (200, 45000). A quantidade para que o lucro seja máximo é q = 200, e o lucro máximo é L = 45000.

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17 Exercícios sobre função quadrática

ObjetivoPropor exercícios sobre função quadrática.

Nesta unidade apresentaremos diferentes problemas sobre funções quadráticas, com base em conceitos abordados nas unidades anteriores. Os autores em que mais nos apoiaremos para esta unidade são Silva e Abrão (2008) e Murolo e Bonetto (2012). Esperamos que estes exercícios lhe auxiliem a melhor compreender esse assunto. Aproveite!

Exercício 1

Uma sorveteria descobriu que a função L = –100x2 + 400x –100 representa seu lucro diário em função do preço (em reais). Pergunta-se (SILVA; ABRÃO, 2008):

a. Quais os intervalos de preços que fazem a empresa trabalhar no prejuízo e qual o intervalo em que a empresa opera em lucro?

Solução: A função lucro é quadrática e com concavidade voltada para baixo (a = –100). Graficamente, observa-se lucro nulo nos pontos onde a parábola corta o eixo x.

4321–100

300

200

100

Figura 41 – Gráfico da função 2100 400 100.L x x= - + -Fonte: Elaborada pelos autores (2013).

www.esab.edu.br 107

Esses valores são obtidos resolvendo-se a equação:

–100x2 + 400x –100 = 0

Os valores dos coeficientes são: a = –100, b = 400 e c = –100. Pela fórmula de Bhaskara, obtemos:

( ) ( )( )

2

2

1

2

42

400 400 4 100 1002 100

400 160.000 40.000200

400 120.000200

400 346, 41200

400 346, 41 0,26200

400 346, 41 3,73200

b b acxa

x

x

x

x

x

x

- ± -=

- ± - ⋅ - ⋅ -=

⋅ -

- ± -=

-- ±

=-

- ±=

-- +

= =-

- -= =

-

Para preços entre 0,26 e 3,73 reais, a função é positiva, e portanto o lucro é positivo. Para valores menores que 0,26 e maiores que 3,73 reais, a função é negativa, e portanto o lucro é negativo.

b. Qual preço propicia o maior lucro? Qual é esse lucro?

Solução: Vimos no item anterior que a função lucro tem concavidade voltada para baixo. Assim, ela terá um ponto de máximo que é obtido calculando-se o vértice.

Os coeficientes da função L = –100x2 + 400x –100 são a = –100, b = 400 e c = –100. Com esses valores, o vértice será:

www.esab.edu.br 108

( )( ) ( ) ( )( )

( )

2 2

400 400 22 2 100 200

4 400 4 100 100 120000 3004 4 100 400

v

v

bxa

b acL

a

- - -= = = =

⋅ - -

- - - - ⋅ - ⋅ - -= = = =

⋅ - -

O preço que propicia maior lucro será 2 reais, e o lucro máximo será 300 reais.

Exercício 2

Uma empresa investiu em papéis de duas empresas no mercado de ações durante 12 meses. O valor das ações da primeira empresa variou de acordo com a função A = t + 10, e o valor para a segunda empresa obedeceu à função B = t2 –4t + 10. Considere t = 0 o momento em que a empresa compra as ações; t = 1 após um mês; t = 2 após 2 meses etc. (MUROLO; BONETTO, 2012).

a. Em que momentos as ações têm o mesmo valor? Quais são esses valores?

Solução: Os momentos em que as ações têm o mesmo valor aparecem nos pontos onde os gráficos se interceptam. Para encontrarmos esses momentos, devemos igualar as funções B = t2 –4t + 10 e A = t + 10.

t2 –4t +10 = t + 10t2 –5t = 0

Pela fórmula de Bhaskara, resolve-se a equação t2 –5t = 0.

2

1 2

5 5 4 1 02 1

5 252

5 5 5 55 e 02 2

t

t

t t

± - ⋅ ⋅=

⋅±

=

+ -= = = =

As ações apresentam o mesmo valor nos meses t = 0 e t = 5.

www.esab.edu.br 109

Os valores das ações são obtidos substituindo-se o valor dos meses em qualquer uma das funções. Você deve escolher a função em que a conta fica mais fácil.

Para o mês t = 0, o valor da ação será:

A = t + 10A = 0 + 10 = 10

Dica

Substituindo 0t = na função 2 4 10B t t= - + , obtém-se:

2

2

4 10

0 4 0 10 10

B t t

B

= - +

= - ⋅ + =

O resultado é o mesmo nas duas funções, pois obtemos a equação 2 5 0t t- = igualando as funções A e B, e dessa equação tiramos as raízes para substituir nas duas funções.

Para o mês t = 5, o valor da ação será:

A = t + 10A = 5 + 10 = 15

b. Comente a evolução das ações no período de um ano.

Solução: O gráfico das funções está representado na Figura 42.

Observa-se que no momento da compra das ações (t = 0) os valores das ações são iguais. Entre os meses t = 0 e t = 5, a melhor opção de investimento é a primeira empresa (A), pois seu gráfico está acima do gráfico da segunda empresa (B). A partir de t = 5, a melhor opção passa a ser a segunda empresa (B), pois a partir desse momento seu gráfico fica acima do gráfico da primeira empresa (A).

www.esab.edu.br 110

y

x

( )5,15

( )0,1010

54

4

3

12

2

6

6

98

8

12

7

1514

11

13

1617

4− 6− 8− 2− 2−

B A

Figura 42 – Gráfico das funções 2 4 10 e 10.B t t A t= - + = +Fonte: Elaborada pelos autores (2013).

Finalizamos mais uma unidade. Com isso, você conheceu as principais características das funções quadráticas e algumas situações-problema. Na unidade 18 você verá o conceito de função inversa e seu significado em nosso contexto.

Tarefa dissertativa


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18 Função inversa

ObjetivoConceituar função inversa na administração.

Com o estudo de funções quadráticas e alguns exercícios da última unidade, vamos prosseguir agora estudando função inversa, com base em Silva e Abrão (2008) e Murolo e Bonetto (2012).

A função inversa, segundo Silva e Abrão (2008, p. 37), é obtida quando “[...] a variável dependente se torna independente e a variável independente se torna dependente”. De acordo com essa afirmação, observe como encontrar a função inversa nos problemas.

Em muitos problemas, obtemos a receita em função da quantidade vendida, ou seja, se um produto custa 2 reais, a função receita será R = 2q, sendo q a quantidade vendida. Por outro lado, é possível encontrar a quantidade vendida em função da receita:

2Rq =

Nesses casos, o conceito de função inversa é importante, pois ele nos mostra outros caminhos na análise de problemas. Veja nos exemplos a seguir.

Exemplo 1

A função custo (C) da produção de certo produto está relacionada com a quantidade produzida (q) de acordo com a função C = 3q + 90.

Se quisermos obter a quantidade q em função do custo, basta reescrever a função isolando a variável q:

www.esab.edu.br 112

3 903 90

903

303

C qq C

Cq

Cq

= += -

-=

= -

A função 303Cq = - é chamada de função inversa de C = 3q + 90.

Observe que na função C = 3q + 90 a variável dependente é C e a

independente é q. Na função inversa 30,3Cq = - a variável dependente

é q e a independente é C.

Exemplo 2

Uma empresa de alimentos vende um pacote de biscoitos a um valor de R$ 3,00. Considerando a variável x o número de pacotes de biscoito vendidos, a função receita será R = 3x.

Se quiséssemos saber o número de pacotes vendidos em função da receita, teríamos que encontrar a função inversa de R = 3x. Assim, isolando a variável x, obtemos:

3

3

R xRx

=

=

A variável dependente da função inversa é ,3Rx x= e a independente é R.

Exemplo 3

Um operário recebe salário de R$ 700,00, mais R$ 9,00 por hora extra trabalhada. A função salário do operário pode ser representada por S = 700 + 9h. No entanto, podemos ter uma função que nos ofereça o número de horas extras trabalhadas em função do salário, isto é:

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700 99 700

7009

S hh S

Sh

= += -

-=

A função 700

9Sh -

= é a função inversa de S = 700 + 9h. Essa função

também pode ser chamada de ( )1 700 .9

Sh f S- -= =

Para uma função qualquer, é possível seguir alguns passos para encontrarmos a função inversa. Inicialmente faremos um exemplo e em seguida vamos explicitar os passos.

Exemplo 4

Encontrar a função inversa de y = 2x + 3.

Solução:

1. Isolar a variável independente (x).

2 32 3

32

y xx y

yx

= += -

-=

2. Trocar x por y. 32

xy -=

3. Chamar y de y –1.

1 32

xy- -= é a função inversa de y = 2x + 3.

Existem duas notações para função inversa:

( )1 13 3e .2 2

x xy f x- -- -= =

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Portanto, para encontrar a função inversa, sugere-se seguir os seguintes passos:

1. Isolar a variável independente ( );x

2. Trocar x por y;

3. Chamar y de 1.y-

Exemplo 5

Encontrar a inversa da função ( ) 3 8.2

f x x= -

Solução: Se a função está escrita como ( ) 3 8,2

f x x= - inicialmente

troque f (x) por y.

1. Isolar a variável independente (x),

( )

3 82

3 82

2 83

y x

x y

yx

= -

= +

+=

2. Trocar x por y.( )2 8

3x

y+

=

3. Chamar y de y –1.( )1 2 8

3x

y- +=

A função inversa de ( ) ( )1 2 83 8 é .2 3

xf x x y - +

= - =

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Gráfico de funções inversas

Vamos demonstrar como ficam os gráficos com a função original e a inversa.

São dadas duas funções: f (x) = 2x + 3 e sua inversa ( )1 3 .2

xf x- -=

Essas funções são lineares e o gráfico será uma reta (Figura 43).

x

y

4

4

1

1

2

2

3

3

3−

3−

4−

4−

2−

2−

1− 1−

Eixo de simetria

( )f x

( )1f x−

Figura 43 – Gráfico das funções ( ) ( )1 32 3 e .2

xf x x f x- -= + =


Observe que a função e sua inversa são simétricas em relação ao eixo de simetria.

Atividade


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Resumo

Inicialmente apresentamos situações-problema das áreas econômicas para conceituar funções quadráticas, associando-as com conceitos de funções lineares que foram estudados nas unidades anteriores. Apresentamos o formato de uma função quadrática, o domínio e a imagem da função.

Em seguida, observamos os pontos de máximo e mínimo de uma função e o que esses valores representam em um contexto. A partir do ponto de máximo ou de mínimo, pudemos identificar os intervalos de crescimento e decrescimento da função quadrática. Também sugerimos um estudo complementar que aborda a importância da análise de regressão na previsão de vendas. Essa ferramenta é bastante utilizada em diferentes áreas, como administração, economia, engenharia, física, entre outros Além disso, apresentamos problemas que envolvem funções quadráticas e abordamos as principais características dessa função, como o vértice, as raízes, entre outros.

Por fim, vimos o significado da função inversa e como encontrá-la seguindo alguns passos sugeridos.

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19 Função composta

ObjetivoConceituar função composta na Administração.

Caro aluno, estamos estudando funções desde a unidade 7, então você já deve ter se deparado com alguma função composta, mas como ainda não a definimos, você nem deve tê-la percebido. Nesta unidade, vamos estudar esse tipo de função. Vamos lá?

Podemos definir uma função composta como aquela que provém da combinação de duas outras funções. Nós a obtemos quando substituímos a variável independente x de uma função por outra função (GOLDSTEIN; SCHNEIDER; LAY, 2012; SILVA; ABRÃO, 2008).

Vejamos a seguir alguns exemplos de funções compostas que podem ser utilizadas na vida de um administrador, assim como fizemos na unidade 7.

Exemplo 1

Vamos rever o exemplo do lava-jato da unidade 7.

Caro aluno, caso você não esteja se lembrando desse exemplo, é importante que você volte à unidade 7 e releia por completo, pois nesse momento estamos interessados em estudar funções compostas.

Vamos agora rever alguns pontos importantes do exemplo do lava-jato da unidade 7 e compreender sua relação com a função composta.

www.esab.edu.br 118

Um lava-jato de automóveis oferece apenas um serviço de lavagem, pelo qual cobra R$ 12,00. Cada lavagem custa em média R$ 3,00 de produtos de limpeza. As contas de água e luz têm média mensal de R$ 350,00 somadas. A empresa possui 3 funcionários, e cada um deles recebe R$ 260,00 fixos mais R$ 1,00 por cada carro lavado. Os encargos sociais ficam em 40%, além disso, o prédio da empresa é alugado e custa R$ 250,00 por mês. Outros custos podem ser desprezados. Exemplo adaptado de Silva e Abrão (2008).

Já vimos na unidade 7 que:

• O custo fixo mensal do lava-jato é: R$ 1.692,00, que é a soma dos gastos fixos:

• água e luz: R$ 350,00;• funcionários (3): R$ 780,00;• aluguel: R$ 250,00;• encargos sociais (40% sobre R$ 780,00): R$ 312,00.

• O custo variável depende do número de carros lavados x e ele é representado pela função: CV = 4,40x, na qual, 4,40 é a soma dos seguintes custos:

• custo com matéria-prima de R$ 3,00 (para cada carro);• custo com comissões de R$ 1,00 (para cada carro);• obrigações sociais (40% sobre as comissões) de R$ 0,40 (para

cada carro).

• O custo total do lava-jato é dado pela função: CT = y + 1.692, na qual y representa o custo variável e 1.692 representa o custo fixo mensal.

Se y, na função CT, representa o custo variável, e o custo variável é representado pela função CV, então substituindo y por CV – na função CT, temos:

CT = y + 1.692 função CT;CT = CV + 1.692 substituindo y por CV;

CT = 4,40x + 1.692 substituindo CV por 4,40x.

www.esab.edu.br 119

Ou seja, a função que representa o custo total do lava-jato, dada por CT = 4,40x + 1.692, é uma função composta expressa em relação ao número de carros lavados.

Exemplo 2

Uma empresa produz um único produto com um custo fixo de R$ 1.200,00 e um custo variável médio de R$ 20,00 por unidade (GUIDORIZZI, 2010).

Vamos compreender agora qual a relação desse exemplo com o conceito de função composta.

Seguindo o mesmo raciocínio do exemplo anterior, temos:

• O custo fixo mensal da empresa é: R$ 1.200,00.

• O custo variável depende da quantidade de produtos vendidos x e ele é representado pela função: CV = 20x, na qual 20 é o custo médio por unidade.

• O custo total da empresa é dado pela função: CT = y + 1.200, na qual y representa o custo variável e 1.200 representa o custo fixo mensal.

Se y na função CT representa o custo variável, e o custo variável é representado pela função CV, então substituindo y por CV em CT, temos:

CT = y + 1.200 função CT;CT = CV + 1.200 substituindo y por CV;

CT = 20x + 1.200 substituindo CV por 20x.

Ou seja, a função que representa o custo total da empresa, dada por CT = 20x + 1.200, é uma função composta.

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Exemplo 3

Após t horas de operação, uma linha de montagem produziu A (t ) cortadores de grama, sendo que t está definido no intervalo 0 ≤ t ≤ 10, e

a produção em função do tempo é dada pela expressão 21( ) 20 .2

A t t t= -

Suponha que o custo para a fábrica ao produzir x unidades é C(x) dólares, em que C(x) = 3000 + 80x (GOLDSTEIN; SCHNEIDER; LAY, 2012).

a. A partir do enunciado anterior, expresse o custo da fábrica como uma função (composta) do número de horas de operação da linha de montagem.

Solução: O custo da fábrica é dado pela função C(x) = 3000 + 80x, em que x representa a quantidade de cortadores de grama produzidos. Porém, a quantidade produzida de cortadores de grama é dada em função do número de horas t que a linha de montagem da fábrica

trabalhou e essa função é dada por 21( ) 20 .2

A t t t= - Logo, o custo da

fábrica em função do número de horas de operação é dado pela função:

2

2

2

1( ( )) 3000 80 20 , substituindo por ( );2

80( ( )) 3000 1600 , efetuando as devidas operações;2

( ( )) 3000 1600 40

C A t t t x A t

C A t t t

C A t t t

= + -

= + -

= + -

Resposta: a função procurada é: C(A(t)) = 3000 + 1600t ‒ 40t2.

b. Qual é o custo das primeiras 2 horas de operação?

Solução: Substituindo t = 2 horas, na função encontrada na solução do item anterior, temos:

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2

2

( ( )) 3000 1600 40 Substituindo 2, teremos:

( (2)) 3000 1600 2 40 (2) Efetuando as devidas operações:( (2)) 3000 3200 40 4( (2)) 3000 3200 160 6040

C A t t t t

C AC AC A

= + - =

= + ⋅ - ⋅= + - ⋅= + - =

Resposta: O custo das primeiras duas horas de operação é de 6.040 dólares.

Vamos ver agora alguns conceitos relacionados às funções compostas.

Conceitos adicionais

• Além da notação f (g(x)), usa-se também a notação f o g(x), que é lida como “f bola g”.

Note que f o g(x) ≠ g o f (x). Por exemplo, dadas f (x) = 3x + 1 e g (x) = 2x + 3, escolhemos um ponto qualquer (x = 7) e calculamos f o g (7) ≠ g o f (7) para verificarmos a desigualdade:

Primeiro, vamos encontrar a função f o g(x):

( ) ( ( ))

Substituindo ( )( ) 3.(2 3) 1

por 2 3 em ( )

efetuando as devidas( ) 6 9 1

operações

( ) 6 10

f g x f g x

g xf g x x

x f x

f g x x

f g x x

=

= + ++

= + +

= +

Agora, aplicando a f o g(x) em 7, temos:

f o g(7) = 6 . 7 + 10f o g(7) = 42 + 10

f o g(7) = 52

www.esab.edu.br 122

Agora vamos encontrar a função g o f (x):

( ) ( ( ))

substituindo ( )( ) 2 (3 1) 3

por 3 1 em ( )

aplicando as devidas( ) 6 2 3

operações

( ) 6 5

g f x g f x

f xg f x x

x g x

g f x x

g f x x

=

= ⋅ + ++

= + +

= +

Aplicando a g o f (x) em 7, temos:

g o f (7) = 6 . 7 + 5g o f (7) = 42 + 5

g o f (7) = 47

Como f o g (7) = 52 e g o f (7) = 47 então mostramos que f o g(x) ≠ g o f (x).

Nesta unidade, estudamos funções compostas utilizando algumas aplicações no contexto de administração.

Você constatará que continuaremos estudando funções e suas aplicações por muitas unidades ainda, e isso é necessário, pois funções são importantes e aparecem em nosso dia a dia com muita facilidade. Na próxima unidade, a função abordada será a exponencial.

Fórum


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20 Função exponencial – parte I

ObjetivoCompreender situação-problema envolvendo função exponencial e conceituar função exponencial.

Vamos dar continuidade aos nossos estudos sobre funções? A partir desta unidade começaremos a estudar as funções exponenciais.

Nesta primeira parte, vamos compreender de forma prática, através de exemplos, em qual tipo de problema essa função pode ser usada, e após esse entendimento, vamos definir o que é função exponencial.

Comecemos pela seguinte situação-problema:

João foi morar no exterior, mas na mudança ele se esqueceu de encerrar sua conta corrente no banco, como se não bastasse o seu saldo estava negativo em R$ 500,00. O banco tentou entrar em contato, mas não obteve sucesso. João retorna ao Brasil após dois anos e recebe uma carta na qual constava que sua dívida com o banco era de R$1.520,00. A princípio, João não entendeu o valor, mas depois lembrou que a taxa de juros cobrada era de 8,5% ao mês (SILVA; ABRÃO, 2008).

Qual é o nosso objetivo com o problema apresentado? Verifique se o valor cobrado está correto. Perceba que não se menciona se os juros cobrados eram simples ou compostos. Vamos ver os dois casos?

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Se a taxa for de juros simples...

Na unidade 11, já estudamos juros simples e sabemos que a função usada para calcular esse tipo de juros é uma função linear dada por: J = P . i . n, em que P representa o capital inicial, i representa a taxa de juros e n o período.

Dessa forma, se a cobrança for por meio de juros simples, temos:

8,5500; 8,5% 0,085; 2 anos100

P i n= = = = =

Como a taxa é cobrada por mês, trabalharemos com a quantidade de 24 meses.

Logo,

J = P . i . nJ = 500 . 0,085 . 24

Ao substituirmos os valores e fazermos os cálculos, o resultado será:

J = 1.020,00

Portanto, sua dívida com o banco seria de R$ 1.520,00 (R$ 1.020,00 juros + R$ 500,00 valor que já estava devendo).

Perceba que o valor é o mesmo do enunciado do problema, portanto a cobrança foi realmente feita por meio de juros simples.

E se a cobrança tivesse sido feita por meio de juros sobre juros (juros compostos), quanto João estaria devendo? Vamos explorar esse caso agora.

Vamos usar uma tabela para nos auxiliar no entendimento do problema. Acompanhe a seguir:

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Tabela 15 – Tabela de juros compostos mês a mês.

MêsBase de cálculo

Taxa Valor dos juros compostos Saldo devedor atualizado

1 500,00 8,5% 500,00 x 8,5% = 42,50 500,00 + 42,50 = 542,50

2 542,50 8,5% 542,50 x 8,5% = 46,11 542,50 + 46,11 = 588,61

3 588,61 8,5% 588,61 x 8,5% = 50,03 588,61 + 50,03 = 638,64

4 638,64 8,5% 638,64 x 8,5% = 54,28 638,64 + 54,28 = 692,93

5 692,93 8,5% 692,93 x 8,5% = 58,90 692,93 + 58,90 = 751,83

6 751,83 8,5% 751,83 x 8,5% = 63,91 751,83 + 63,91 = 815,73

7 815,73 8,5% 815,73 x 8,5% = 69,34 815,73 + 69,34 = 885,07

8 885,07 8,5% 885,07 x 8,5% = 75,23 885,07 + 75,23 = 960,30

9 960,30 8,5% 960,30 x 8,5% = 81,63 960,30 + 81,63 = 1.041,93

10 1.041,93 8,5% 1.041,93 x 8,5% = 88,56 1.041,93 + 88,56 = 1.130,49

11 1.130,49 8,5% 1.130,49 x 8,5% = 96,09 1.130,49 + 96,09 = 1.226,58

12 1.226,58 8,5% 1.226,58 x 8,5% = 104,26 1.226,58 + 104,26 = 1.330,84

13 1.330,84 8,5% 1.330,84 x 8,5% = 113,12 1.330,84 + 113,12 = 1.443,96

14 1.443,96 8,5% 1.443,96 x 8,5% = 122,74 1.443,96 + 122,74 = 1.566,70

15 1.566,70 8,5% 1.566,70 x 8,5% = 133,17 1.566,70 + 133,17 = 1.699,87

16 1.699,87 8,5% 1.699,87 x 8,5 = 144,49 1.699,87 + 144,49 = 1.844,36

17 1.844,36 8,5% 1.844,36 x 8,5% = 156,77 1.844,36 + 156,77 = 2.001,13

18 2.001,13 8,5% 2.001,13 x 8,5% = 170,10 2.001,13 + 170,10 = 2.171,23

19 2.171,23 8,5% 2.171,23 x 8,5% = 184,55 2.171,23 + 184,55 = 2.355,78

20 2.355,78 8,5% 2.355,78 x 8,5% = 200,24 2.355,78 + 200,24 = 2.556,02

21 2.556,02 8,5% 2.556,02 x 8,5% = 217,26 2.556,02 + 217,26 = 2.773,29

22 2.773,29 8,5% 2.773,29 x 8,5% = 235,73 2.773,29 + 235,73 = 3.009,91

23 3.009,91 8,5% 3.009,91 x 8,5% = 255,77 3.009,91 + 255,77 = 3.264,78

24 3.264,78 8,5% 3.264,78 x 8,5% = 277,51 3.264,78 + 277,51 = 3.542,29

Fonte: Adaptada de Silva e Abrão (2008).

Na primeira linha da tabela, podemos observar que no primeiro mês os juros foram calculados sobre os 500 reais. Já na segunda linha, ou seja, no segundo mês, os juros foram cobrados sobre 542,50 reais, valor que representa a soma dos 500 reais com os 42,50 reais de juros do mês anterior. E assim sucessivamente.

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Portanto, considerando a última linha da tabela de juros compostos, podemos ver que no 24º mês sua dívida com o banco seria de R$ 3.542,00.

Ou seja, podemos perceber a diferença de valores quando a cobrança é feita com juros simples e quando é feita com juros compostos. Por isso, é muito importante estarmos atentos a como é feita a cobrança de juros quando vamos fazer um investimento, um empréstimo ou quando estivermos diante de qualquer decisão em relação a esse assunto.

Mais à frente, na unidade 22, veremos algumas outras aplicações de juros compostos, mas por enquanto podemos adiantar que a função que representa esse tipo de juros é uma função exponencial.

20.1 Conceituação da função exponencial

Após a situação-problema de João, envolvendo função exponencial, vamos definir esse tipo de função.

Segundo Silva e Abrão (2008), funções exponenciais são as funções do tipo:

y = f (x) = ax

Em que a deverá ser sempre maior do que zero e diferente de 1.

Nas próximas unidades, como você verá, estudaremos conceitos importantes relacionados às funções exponenciais, por isso compreender a sua definição é de extrema importância.

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20.2 Algumas propriedades

Vamos relembrar algumas propriedades de potências, vistas na unidade 1, que também são válidas nesta unidade:

Tabela 16 – Propriedades da potenciação.

(i) am . an = am+n (ii) 1nna

a- =

(iii)

mm n

n

a aa

-= (iv) (an)m = anm

(v) (a . b)n = an . bn (vi)n n

n

a ab b

=

Fonte: Adaptada de Goldstein, Schneider e Lay (2012).

Vejamos exemplos em que podemos empregar algumas das propriedades mencionadas:

• com a propriedade (iv), podemos mudar a aparência de uma função

exponencial. Por exemplo, considere a função exponencial f (x) = 16x.

Sabemos que o quadrado de quatro é dezesseis, pois 4 . 4 = 42 = 16,

logo, podemos substituir 16 por 42, ficando com f (x) = 16x = (42)x = 42x

Ou seja, a função f (x) = 16x pode ser escrita também como f (x) = 42x

• com a propriedade (ii) podemos, também, mudar a

aparência de uma função exponencial. Por exemplo,

considere a função exponencial 1( ) .3

x

g x =

Sabemos que

1 11 13 , logo, ( ) (3 ) 3 ,3 3

xx xg x- - - = = = =

ou seja, a função

1( )3

x

g x =

pode ser escrita também como g(x) = 3‒x.

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Nesta unidade, iniciamos nosso estudo das funções exponenciais. Compreendemos uma situação-problema, a conceituação dessas funções e também vimos algumas propriedades. Na próxima unidade, continuaremos estudando funções exponenciais.

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21 Função exponencial – parte II

ObjetivoApresentar gráfico, domínio e imagem de funções exponenciais e função crescente e decrescente.

Nesta unidade, continuaremos explorando as funções exponenciais. Já vimos na unidade anterior que uma função exponencial é dada por f (x) = ax, com a > 0 e a ≠ 1. Vamos agora verificar quando essas funções serão crescentes ou decrescentes, como é caracterizado o domínio e a imagem e como se dá o gráfico dessas funções.

21.1 Crescimento ou decrescimento exponencial

Segundo Demana et al. (2009), seja a um número real, para qualquer função exponencial f (x) = ax, com a > 0 e a ≠ 1, temos que:

• quando a > 1, a função será crescente (função de crescimento exponencial), com a sendo o seu fator de crescimento. Exemplo:

f (x) = 2x ;

• quando 0 < a < 1, ela será decrescente (função de decrescimento exponencial), com a sendo o seu fator de decrescimento. Exemplo:

1( ) .2

x

f x =

21.2 Domínio e imagem de uma função exponencial

Silva e Abrão (2008) explicam que uma função exponencial x pode assumir qualquer valor real, assim o seu domínio (D) é o conjunto dos números reais, D = R para determinar o conjunto imagem (Im).

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Devemos nos aprofundar um pouco mais no estudo e, para isso, será preciso que você leia com bastante cuidado e atenção a explicação a seguir, para que compreenda o raciocínio. Na seção 21.3, com os gráficos, ficará ainda mais claro.

Considere uma função exponencial do tipo f (x) = ax + c, na qual c é um número real:

• Com a > 1, note que:

• Por um lado, conforme o valor de x assume valores maiores, ax assumirá valores maiores e o valor de f (x) também aumentará. Por exemplo, se considerarmos a função f (x) = 2x (nesse caso c = 0), temos que f (3) = 23 = 8 < f (4) = 24 = 16 < f (5) = 25 = 32, e assim por diante. Podemos observar que: se x tende a +∞, ax tende a +∞, e consequentemente f (x) tende a +∞ (não importando o valor de c).

• Por outro lado, conforme o valor de x tende a menos infinito, ax também assumirá valores menores e f (x) também diminuirá, mas note que ax nunca será negativo e nem zero. Por exemplo, considerando a função f (x) = 2x + 1 (nesse caso c = 1), temos que:

4 3

4 3

( 4) 2 1 ( 3) 2 11 1( 4) 1 ( 3) 12 21 1( 4) 1 ( 3) 1

16 8( 4) 1,0625 ( 3) 1,125

f f

f f

f f

f f

- -- = + - = +

- = + - = +

- = + - = +

- = - =

Note que: ‒4 é menor do que ‒3 e f (‒4) é menor do que f (‒3). Isso ocorrerá sucessivamente, ou seja, conforme x assumir valores menores, f (x) também assumirá valores menores.

Perceba que 2x nunca será negativo e também nunca será zero, porém sua tendência é se aproximar cada vez mais de zero e, consequentemente, f (x) se aproximará de 1. Nesse caso, podemos observar que: se x tende a -∞, então ax tende a 0, e dessa forma f (x) tenderá a c.

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• Com 0 < a < 1 ocorrerá o mesmo raciocínio anterior (usado na explicação para a>1), porém, você poderá perceber que os casos irão se inverter. Ou seja, quando x tender a +∞, teremos que f (x) tenderá a c, e quando x tender a -∞, teremos que f (x) tenderá a +∞.

Com essa análise, podemos concluir que, para a função exponencial f (x) = ax + c, com a > 0 e a ≠ 1, temos que sua imagem será o conjunto Im = ]c, +∞[ e a função constante y = c é denominada de assíntota da função.

Note ainda que: se c = 0, teremos a função exponencial f (x) = ax, com a > 0 e a ≠ 1, que possui como imagem o conjunto Im = ]0, +∞[, e nesse caso y = 0 é a assíntota da função.

Agora vamos estudar o gráfico dessas funções. Você perceberá que com o gráfico a explicação do domínio da imagem ficará mais clara.

21.3 Gráfico de uma função exponencial

Vamos agora estudar o gráfico da função exponencial f (x) = ax + c, para facilitar a visualização e o entendimento do que acontece. Para isso, analisaremos, separadamente, os casos crescente e decrescente.

Já vimos que, quando a > 1, a função será crescente. Vamos esboçar o gráfico para o exemplo: f (x) = 2x (note que aqui c = 0).

Na tabela a seguir, apresentamos a aplicação da função para alguns valores de x:

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Tabela 17 – Alguns valores de x e y, para y = f (x) = 2x.

x y

-3 0,125

-2 0,25

-1 0,5

0 1

1 2

2 4

3 8


Vamos agora marcar no plano xy os pontos encontrados na tabela e esboçar o gráfico da função f (x) = 2x. Note que, quando x = ‒3, temos que y = 0,125, ou seja, o ponto (‒3; 0,125) pertence ao gráfico da função.

Veja na Figura 44, a seguir, o referido gráfico:

x

y

4

4 51

1

2

2

3

3

9

10

5

6

7

8

3− 4− 2− 1− 1−

Figura 44 – Gráfico da função exponencial y = f (x) = 2x.Fonte: Elaborada pelos autores (2013).

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Com base no gráfico da função y = f (x) = 2x, podemos perceber o que estávamos discutindo na seção anterior, que D = R e Im = ]0, +∞[.

Veja que nesse caso o eixo x será assíntota horizontal da função, ou seja, a função se aproxima cada vez mais do eixo x, mas nunca irá cruzá-lo.

Vimos também que quando 0 < a < 1 a função será decrescente. Vamos

esboçar o gráfico para o exemplo: 1( ) 1, em que 1.2

x

f x c = + =

Vamos aplicar a função em alguns valores de x e encontrar alguns pontos para o esboço do gráfico. Veja a tabela a seguir:

Tabela 18 – Alguns valores de 1e , para ( ) 1.2

x

x y y f x = = +

x y

-3 9

-2 5

-1 3

0 2

1 1,5

2 1,25

3 1,125


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Encontrados alguns pontos, podemos fazer a marcação destes no plano xy e esboçar o gráfico. Veja a figura a seguir:

x

y

4

4 51

1

2

2

3

3

9

10

5

6

7

8

3− 4− 2− 1− 1−

Figura 45 – Gráfico da função exponencial 1( ) 1.2

x

y f x = = +


Com base no gráfico da função 1( ) 1,2

x

f x = +

podemos perceber que Im = ]1, +∞[.

Veja que, nesse caso, a reta y = 1 será a assíntota horizontal da função, ou seja, a função se aproxima cada vez mais da reta y = 1, mas nunca irá interceptá-la.

Na presente unidade, demos continuidade ao nosso estudo das funções exponenciais. Vimos os conceitos de domínio e imagem, quando elas são crescentes ou decrescentes e aprendemos como traçar o gráfico dessas funções. Na próxima, veremos algumas aplicações de funções exponenciais.

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22 Aplicações de função exponencial

ObjetivoApresentar aplicações de funções exponenciais em Administração e juros compostos.

Para consolidar o conceito de função exponencial, nesta unidade vamos estudar alguns exemplos práticos dessa função, como o crescimento de vendas de um produto e a relação entre oferta e demanda. E, por fim, veremos um exemplo envolvendo juros compostos (que já mencionamos na unidade 20), no qual iremos deduzir algumas fórmulas relacionadas a esse conceito.

Exemplo 1

Considere que o departamento de marketing de uma empresa desenvolveu uma campanha para lançar um novo produto, e para a venda deste foi previsto um crescimento exponencial dado pela função f (t) = 2t ‒ 1, em que t representa o tempo em meses (SILVA; ABRÃO, 2008). Com base nesse enunciado, podemos responder às seguintes perguntas:

a. Considerando que o preço de cada produto é de R$ 100,00, quanto em reais será arrecadado com as vendas no final do oitavo mês?

Solução: Nesse caso, basta substituir t por oito (t = 8) na função para obtermos a quantidade de produtos vendidos, e depois multiplicamos a quantidade encontrada pelo valor de cada produto.

Ao substituirmos t da função por 8, teremos f (8) = 28 ‒ 1. Em seguida:

f (8) = 256 ‒ 1 Fatorando 256, temos que 256 = 28

f (8) = 255 Efetuando a subtração.

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Logo, ao final do oitavo mês serão vendidos 255 produtos, e dessa forma serão arrecadados R$ 22.500,00, pois multiplicamos R$ 100,00 x 255 (valor do produto x a quantidade do produto).

b. Sabendo que o ponto de equilíbrio (já estudado na unidade 10) ocorre quando são vendidos, por mês, 511 produtos, quantos meses levará para se alcançar o ponto de equilíbrio?

Solução: Aqui, queremos encontrar o valor de t tal que f (t) = 2t ‒ 1 seja igual 511.

9 9

2 1 511 igualando a função a 511;2t = 511 + 1 adicionando + 1 a ambos os

lados e efetuando cálculos;

2 512 efetiuando a soma;

2 2 fatorando 512, temos que 512=2 ;9 eliminando as bases iguais.

t

t

t

t

- =

=

==

Logo, ao final do nono mês, será alcançado o ponto de equilíbrio.

c. Se o mercado não atender ao esperado e a venda vier a obedecer à função f (t) = 3t ‒ 218, quantos meses levará para se alcançar o ponto de equilíbrio, ou seja, os mesmos 511 produtos vendidos?

Solução: Aqui, devemos encontrar o valor de t tal que sua imagem pela função f (t) = 3t ‒ 218 seja 511.

6 6

3 218 511 igualando a função a 511;adicionando + 218 a ambos

3 511 218os lados e efetuando cálculos;

3 729 efetuando a soma;

3 3 fatorando 729, temos que 729 = 3 ;6 eliminando as bases iguais.

t

t

t

t

t

- =

= +

=

==

Logo, se a função a ser obedecida for f (t) = 3t ‒ 218, teremos que ao final do sexto mês será alcançado o ponto de equilíbrio.

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Para sua reflexão

Você percebeu que com a função ( ) 2 1tf t = - o ponto de equilíbrio é alcançado em nove meses, e já com a função ( ) 3 218tf t = - ele é alcançado em menos tempo? Você consegue explicar por que isso acontece? (Dica: lembre-se do fator de crescimento da função exponencial, visto na unidade 21).


Exemplo 2

Considere que determinado produto obedece às seguintes funções de oferta e demanda em função do preço (SILVA; ABRÃO, 2008):

• demanda: d(x) = 80 × 0,4x, em que x representa o preço;

• oferta: o(x) = 20 × 1,6x, em que x representa o preço.

Com base nesse enunciado podemos responder à seguinte pergunta:

a. Qual é o preço a que deve ser vendido o produto para que haja equilíbrio entre a oferta e a demanda?

Solução: Para que ocorra o equilíbrio, devemos encontrar o valor de x tal que sua imagem seja a mesma nas duas funções, ou seja:

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( ) ( ) igualando as funções;

80 0,4 20 1,6

4 0,4 1,6 dividindo ambos os lados por 20;

1,64 dividindo ambos os lados por 0,4 ;0,41,64 usando a propriedade (vi) da unidade 20;0,4

4 4 dividindo

x x

x x

xx

x

x

x

d x o x=

× = ×

× =

=

=

=1 1

1,6 por 0,4 temos 4;

4 4 lembre-se de que 4 4 ;1 eliminando as bases iguais.

x

x= =

=

Logo, o preço a que será vendido o produto deve ser de R$ 1,00.

Até agora, vimos dois exemplos práticos envolvendo funções exponenciais. Dando continuidade aos exemplos, veremos um que envolverá juros compostos e aprenderemos como calculá-los utilizando algumas fórmulas.

22.1 Juros compostos

Você lembra que na unidade 20 já foi abordada uma situação-problema envolvendo juros compostos? Esse modelo de rendimento é importante, pois a rentabilidade que é oferecida por ele é maior que a do regime por juros simples (já estudado na unidade 11).

Em nosso sistema financeiro atual, esse tipo de juros é o mais usado, ou seja, muitas das modalidades de investimentos e financiamentos são calculadas de acordo com esse modelo de investimento, pois como ele oferece um maior rendimento, consequentemente oferece mais lucro.

É importante destacar que os cálculos envolvendo juros compostos muitas vezes necessitam do manuseio de uma calculadora científica, pois envolvem operações que quando efetuadas sem a calculadora podem ser trabalhosas. Lembre-se de que na unidade 2 você já viu como usar calculadora na resolução de operações matemáticas.

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22.2 Fórmulas para o cálculo de juros compostos

Os juros compostos representam uma aplicação em que funções exponenciais são utilizadas. Mas afinal, o que é juro composto?

Juros compostos são aqueles juros de um determinado período somados ao capital para o cálculo de novos juros nos período seguintes.

As fórmulas usadas no cálculo dos juros compostos são as seguintes:

M = P(1 + i) e J = M ‒ P

Em que:

• P = principal;

• i = taxa de juros;

• n = tempo de aplicação dos juros;

• M = montante

Vamos agora ver um exemplo de como utilizar essas fórmulas:

Considere que o capital inicial (principal P) que você aplicou em um investimento é de R$ 1.000,00, que a taxa mensal de juros compostos (i) é de 10% ao mês e que o seu investimento durou 3 meses.

Vamos calcular o montante (M = principal + juros) e os juros compostos (J = montante ‒ principal)utilizando as fórmulas acima:

Dados:

• P = R$ 1.000,00

• 1010% 0,1 ao mês100

i = = =

• n = 3 meses

www.esab.edu.br 140

Para o cálculo do montante vamos usar a fórmula: M = P(1 + i)n.

3

3

1000(1 0,1) substituindo os dados da fórmula;

1000 (1,1) dsomando 1 com 0,1;1000 1,331 aplicando a potenciação.1331 aplicando a multiplicação.

M

MMM

= +

= ×= ×=

Logo o montante será de: R$ 1.331,00, ou seja, esse é o valor do seu investimento após 3 meses.

Para o cálculo dos juros vamos usar o valor do montante encontrado no cálculo anterior e a fórmula: J = M ‒ P.

1331 1000 substituindo os dados da fórmula;331 aplicando a subtração.

JJ

= -=

Logo os juros pagos resultarão no valor de: R$ 331,00, ou seja, esse é o valor dos juros do seu investimento após 3 meses.

Na presente unidade, estudamos alguns exemplos práticos de funções exponenciais, como o desejável crescimento de vendas de um determinado produto, a relação entre oferta e demanda e, por fim, juros compostos e suas fórmulas. Na próxima unidade, começaremos o estudo de outro tipo de função, as funções logarítmicas.

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23 Função logarítmica – parte I

ObjetivoCompreender situação-problema envolvendo função logarítmica e conceituar logaritmo e suas propriedades.

A partir desta unidade, começaremos o nosso estudo sobre as funções logarítmicas. Assim como fizemos com as exponenciais, nesta primeira parte estaremos interessados em compreender em qual tipo de problema (usando uma situação-problema) uma função logarítmica pode ser usada, e após esse entendimento vamos estudar os logaritmos, suas propriedades e como fazer cálculos com eles. Somente na próxima unidade vamos definir, de fato, o que é função logarítmica.

Considere a seguinte situação-problema:

Maria era uma empresária que se interessava pelas ideias de Taylor e Ford, principalmente aquelas relacionadas com a criação de mecanismos de remuneração para estimular a maior produtividade. Após alguns estudos, Maria constatou que a melhor forma de conceder a comissão para seus vendedores seria a seguinte: a comissão deveria iniciar em um percentual muito pequeno, mas que crescesse rapidamente, oferecendo tranquilidade e garantia de ganhos para os vendedores, de tal forma que depois de um tempo esse percentual continuasse crescendo, porém de forma cada vez menos acelerada. A empresária queria que a função que representasse o percentual de comissão fosse de acordo com o gráfico apresentado a seguir (SILVA; ABRÃO, 2008).

www.esab.edu.br 142

4000

4

100002000

2

120008000 140006000% de

com

issão

Quantidade vendida em reais

Figura 46 – Gráfico da porcentagem de comissão em relação à quantidade vendida em reais.Fonte: Elaborada pelos autores (2013).

O gráfico relaciona a quantidade de produtos vendida em reais e a porcentagem de comissão que um funcionário poderá receber. Esse gráfico representa uma função logarítmica e você verá como construí-lo na próxima unidade.

Vamos agora ver a conceituação de logaritmo e algumas propriedades.

23.1 Conceituando logaritmo

De acordo com Silva e Abrão (2008), o logaritmo de um número a em uma base b (a > 0, b > 0 e b ≠ 1) é o número c, tal que se logb a = c, então bc = a.

É fundamental conhecer algumas propriedades de logaritmo, pois elas aparecem e ajudam nas resoluções de questões envolvendo logaritmos.

www.esab.edu.br 143

Vejamos algumas delas:

Tabela 19 – Propriedades de logaritmos.

Fonte: Adaptada de Silva e Abrão (2008).

23.2 Exemplos de cálculo de logaritmos e mais propriedades

Vejamos alguns exemplos.

2

3 3

2

3

1 12 2

log 8 se e somente se 2 =8;

2 2 fatorando o 8 temos: 8 2 ;3 eliminando as bases iguais.

Portanto, log 8 3.

log 3 se e somente se 3 = 3;

3 3 pois: 3 3 ;1 eliminando as bases iguais.2

Portanto, l

a.

o

b.

x

x

x

x

x

x

x

x

=

= ==

=

=

= =

=

31g 3 .2

=

www.esab.edu.br 144

Observação: quando a base do logaritmo é 10, não precisamos escrever a base:

2 2

3 33

log100 se e somente se 10 =100;

10 10 pois: 100 10 ;2 eliminando as bases iguais.

Portanto, log100 2.

1 1log se e somente se 10 = ;1000 1000

1 110 10 pois: = =10 ;1000 10

3 eliminando as bases i ua

c.

d.

g

x

x

x

x

x

x

x

x

- -

=

= ==

=

=

=

= - is.1Portanto, log 3.

1000= -

Logaritmos com base “e” (número de Euler) são denotados por “ln” e são chamados de logaritmos naturais ou neperianos:

5 5 5

5 5

5

5

1 12 2

ln temos que ln log ;

log se e somente se ;

;5 eliminando as bases iguais.

Portanto, ln 5.

ln temos que ln log ;

log se e somente se

e.

;

;

pois ;1

f.

elimin2

e

xe

x

e

xe

x

x

e x e e

e x e e

e ex

e

e x e e

e x e e

e e

e e e e

x

= =

= =

==

=

= =

= =

=

= =

= ando as bases iguais.

1Portanto, ln .2

e =

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Dica

Em geral, as calculadoras possuem duas teclas para os cálculos utilizando logaritmos, que são “log” e “ln”, ou seja, os logaritmos de base “10” e base “e”, respectivamente. Dessa forma, é interessante saber como transformar (como visto nesta unidade) qualquer outra base nessas duas.

Podemos usar mudança de base para logaritmos. Sejam a, b e x reais

positivos e b ≠ 1, temos que: log

log .log

ab

a

xx

b=

3

3

6

ln16log 16 usando mudança de base;ln3

usando calculadora ln16 2,52( representa aproximadamente).ln3Portanto, log 16 2,52.

log10log 10 usando mudança de base;

log 6p

log10 1log 6

g.

h.

log 6

=

≅≅

≅

=

= 10

1

6

ois: log10 1,já que log10 log 10

e 10 10;usando calculadora 1 1,29( representa aproximadamente).log 6Portanto, log 10 1,29.

==

=

≅≅

≅

Caro estudante, esta unidade é importante para que você se familiarize com logaritmos e para que nas próximas unidades o conceito de função logarítmica possa ser entendido.

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Nesta unidade, começamos nosso estudo sobre funções logarítmicas, vimos uma situação-problema, o conceito de logaritmo, suas propriedades e como fazer cálculos com logaritmos. Na próxima unidade, vamos definir as funções logarítmicas, pois isso ainda não foi feito, e dar continuidade ao nosso estudo sobre elas.

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24 Função logarítmica – parte II

ObjetivoConceituar função logarítmica, domínio, imagem e gráficos.

Nesta unidade, veremos a definição da função logarítmica, vamos estudar alguns conceitos importantes, como seu domínio e sua imagem, e também vamos entender como se dá o gráfico dessas funções.

24.1 Conceituação da função logarítmica

Após ver a situação-problema da empresária Maria, na unidade anterior, que envolveu função logarítmica, vamos agora definir esse tipo de função.

Segundo Goldstein, Schneider e Lay (2012), a função logarítmica de base b é denotada por:

y = f (x) = logb x

Em que b deverá ser sempre maior do que zero e diferente de 1.

Algo importante a ser considerado é que uma função logarítmica é a inversa de uma função exponencial (o conceito de função inversa já foi estudado na unidade 18 e o de função exponencial foi abordado a partir da unidade 20). Saber desse fato nos ajudará com cálculos e também a esboçar o gráfico das funções logarítmicas, como veremos ainda nesta unidade. Para isso, veremos agora como fazer a transformação de uma forma para a outra.

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24.2 Transformação entre a forma logarítmica e a forma exponencial

Como já visto na unidade anterior, o logaritmo de um número positivo a em uma base b (b > 0 e b ≠ 1) é o número c, tal que se logb a = c então bc = a.

Dessa forma, se x > 0, b > 0 e b ≠ 1, temos que:

y = f (x) = logb x se e somente se b y = x

Com essa transformação, sabemos que um logaritmo está relacionado com uma potência (isto é, o logaritmo é o expoente de uma potência) e, dessa forma, podemos usar as propriedades de potenciação vistas na unidade 20.

Vamos agora ver quais os valores que x e f (x) podem assumir, ou seja, vamos identificar qual é o conjunto domínio e o conjunto imagem da função logarítmica.

24.3 Domínio e imagem de uma função logarítmica

Silva e Abrão (2008) explicam que, em y = f (x) = logb x, x deve ser maior que zero, portanto, o domínio (D) de uma função logarítmica é o conjunto D = {x ∈ R / x > 0}. Já a imagem (Im) será o conjunto dos reais, isto é Im = R.

Quando estudarmos o gráfico das funções logarítmicas, o que faremos a partir de agora, ficará mais clara a visualização dos conjuntos imagem e domínio dessas funções.

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24.4 Gráfico de uma função logarítmica

Você se lembra do problema da empresária Maria (unidade 23), que queria encontrar uma forma de dar comissões para seus funcionários? Vamos imaginar que a função que resolve o problema da Maria é dada por f (x) = 1n(x) ‒5,5, com x ≥ 250, na qual x representa a quantidade em reais de produtos que foi vendida por um funcionário. Podemos observar que o funcionário começará a receber comissão após a venda mínima de R$ 250,00.

Dessa forma, vamos usar uma tabela para nos ajudar a esboçar o gráfico da função f (x) = 1n(x) ‒5,5, com o valor inicial para x sendo 250 (para os cálculos encontrados na tabela a seguir, utilizamos uma calculadora científica).

Primeiro, aplicamos a função em alguns valores de x, e assim encontramos os respectivos valores de y, conforme tabela a seguir:

Tabela 20 – Alguns valores de e , para ( ) ln( ) 5,5x y f x x= - .

x (quantidade vendida em reais) y (comissão em %)

250 1n(250) ‒ 5,5 ≅ 0, 02.000 1n(2000) ‒ 5,5 ≅ 2, 1 4.000 1n(4000) ‒ 5,5 ≅ 2, 8 6.000 1n(6000) ‒ 5,5 ≅ 3, 2 8.000 1n(8000) ‒ 5,5 ≅ 3, 5 10.000 1n(10000) ‒ 5,5 ≅ 3, 7 12.000 1n(12000) ‒ 5,5 ≅ 3, 9


Após feitos os cálculos, encontramos os pontos (x, y), marcamos estes no plano xy e depois esboçamos o gráfico.

www.esab.edu.br 150

Veja na figura a seguir o gráfico da função f (x) = 1n(x) ‒5,5:

4000

4

10000

1

2000

2

250 120008000 140006000

3%

de co

miss

ão

Quantidade vendida em reais

Figura 47 – Gráfico da função logarítmica ( ) ln( ) 5,5.y f x x= = -Fonte: Elaborada pelos autores (2013).

Como as funções logarítmicas são inversas de funções exponenciais, temos que o gráfico de uma função logarítmica é simétrico ao gráfico de sua respectiva inversa exponencial, em relação à reta y = x.

Vamos estudar alguns gráficos como exemplo:

Gráfico da função 2( ) log ( )f x x=

Se x = 1, temos que log2(1) = y se e somente se 2y = 1, logo y = 0.



Ou seja, podemos perceber que a função logarítmica f (x) = log2 (x) será inversa da função exponencial g(x) = 2x. Dessa forma, traçamos primeiramente o gráfico da função g(x) = 2x (azul) e teremos que o gráfico da função f (x) = log2 (x) (vermelho) será simétrico ao primeiro em relação à reta y = x (verde).

Na tabela a seguir, encontramos um resumo dos cálculos efetuados anteriormente.

www.esab.edu.br 151

Tabela 21 – Alguns valores de e para ( ) 2xx y g x = .

x y

0 (0) 2 1xg = =

2 2(2) 2 4g = =

3 3(3) 2 8g = =


Dessa forma, temos que os pontos (0, 1), (2, 4) e (3, 8) são pontos

da função exponencial g(x). Vamos traçá-los no plano xy e então traçar primeiramente o gráfico da função g(x). Sabemos que a função logarítmica f (x) que queremos esboçar é inversa da função g(x). Dessa forma, os pontos (0, 1), (2, 4) e (3, 8)

farão parte do gráfico de f (x).

Logo, traçamos esses pontos no mesmo plano xy e conseguimos esboçar o gráfico da função logarítmica f (x) conforme a figura a seguir:

x

y

4

4

1

1

2

2

3 85 6 7

3

9

5

6

7

8

0 3− 2− 1−

y x=

2log ( )x

2x

Figura 48 – Gráfico da função exponencial 2 ,xy = da logarítmica 2log e da reta .y x y x= =


www.esab.edu.br 152

Veja outros gráficos e perceba que novamente a construção do gráfico da função logarítmica pode ser feita a partir do gráfico da sua inversa exponencial.

Gráfico da função ( ) log( )f x x=

Os gráficos f (x) = log(x) (em cor vermelha) e f (x) = 10x (em cor azul) são simétricos em relação à reta y = x (em cor verde).

x

y

4

4

1

1

2

2

3

3

0 3− 2−

2−

1− 1−

y x= 10xy =

logy x=

Figura 49 – Gráfico da função logarítmica log ,y x= da função exponencial 10xy = e da reta .y x=Fonte: Elaborada pelos autores (2013).

Observando o gráfico de f (x) = log(x) (em cor vermelha), podemos perceber que D = {x ∈ R / x > 0} e Im = R.

Veja que nesse caso o eixo y será a assíntota vertical da função, ou seja, a função se aproxima cada vez mais do eixo y, mas nunca irá interceptá-lo.

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Gráfico da função ( ) ln( )f x x=

Os gráficos f (x) = ln(x) (em cor vermelha) e f (x) = ex(em cor azul) também são simétricos em relação à reta y = x (em cor verde).

x

y

4

4

1

1

2

2

3

3

0 3− 2−

2−

1− 1−

y x= xy e=

lny x=

Figura 50 – Gráfico da função logarítmica ln ,y x= da função exponencial xy e= e da reta .y x=Fonte: Elaborada pelos autores (2013).

Aqui também podemos perceber que para a função f (x) = ln(x) (em cor vermelha) temos D = {x ∈ R / x > 0} e Im = R e que o eixo y será a assíntota vertical.

Finalizamos esta unidade destacando a importância de compreendermos as funções logarítmicas, que são funções inversas de funções exponenciais. Ao serem apresentados os gráficos das funções logarítmicas, você percebe mais claramente como se dá a visualização dos conjuntos imagem e domínio dessas funções.

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Estudo complementar

Caro aluno, clique aqui e acesse informações importantes sobre a construção de gráficos traçados a partir das transformações sofridas pela função logarítmica. Por exemplo, qual é a diferença do gráfico da função ( ) ln( 1)f x x= + e da função

( ) ln( ) 1f x x= + em relação à função ( ) ln( )?f x x= Você verá a resposta no link

indicado.

http://ecalculo.if.usp.br/funcoes/logaritmica/flogaritmica.htm

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Resumo

A cada unidade que estudamos você pôde perceber que, de alguma forma, os conceitos matemáticos podem ser úteis na resolução de problemas das áreas de Administração e Economia.

Nas unidades que você acabou de estudar, buscamos sempre apresentar situações-problemas do dia a dia de um administrador. Inicialmente, na unidade 19, começamos abordando o conceito de função composta, e então vimos que uma função composta nada mais é do que a combinação de duas outras funções.

Após isso, nas unidades 20, 21 e 22, estudamos as funções exponenciais e percebemos que estas são importantes para o estudante de Administração, pois caracterizam as situações em que se trabalha com os juros compostos – que, como vimos, são mais rentáveis do que juros simples. Aprendemos sua conceituação, domínio, imagem e vimos como são traçados os gráficos dessas funções.

Por fim, nas unidades 23 e 24, estudamos as funções logarítmicas, que são funções inversas de funções exponenciais. Também vimos sua conceituação, domínio, imagem e gráfico.

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25 Aplicações de funções logarítmicas

ObjetivoApresentar situações-problema de Administração envolvendo funções logarítmicas.

Como já conhecemos as características das funções logarítmicas como domínio, imagem e gráficos, passaremos a estudar, com o auxílio do trabalho de Murolo e Bonetto (2012), aplicações desse tipo de função em problemas de Administração. Nesta unidade, vamos consolidar o raciocínio envolvendo logaritmos através da resolução de exercícios. Essas aplicações levam em conta o conceito matemático abordado como função inversa, função composta e exponencial.

Atualmente dispomos de outras ferramentas para calcular o valor de uma expressão que envolva várias operações (multiplicação, divisão, potenciação e radiciação), como uma calculadora científica, um programa de computador ou até mesmo um aplicativo.

Contudo, no passado, para encontrar o valor de x em uma expressão

como esta 5 7

11

(11,2) 2,07 ,(1,103)

x ⋅= usávamos logaritmos.

O cálculo era feito com o auxílio de tabelas de logaritmos e das propriedades operatórias, em que as multiplicações transformavam-se em adições, as divisões em subtrações e as potenciações em multiplicações.

Acompanhe o exemplo:5 7

11

(11,2) 2,07(1,103)

x ×=

Primeiro aplicamos o logaritmo nos dois lados da igualdade, conforme segue:5 7

11

(11,2) 2,07log log(1,103)

×=x

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Aplicando as propriedades dos logaritmos (propriedade da divisão), vistas na Tabela 19 da unidade 23 temos:

( )

5 117

iii log log( ) log( ), assim:

log log (11,2

propr

) 2,07

iedade

log(1,103)

→ = -

= × -

x x yy

x

Note que, após aplicarmos a propriedade (iii), ainda nos resta um produto no argumento do logaritmo do lado direito. Logo:

( )5 117

log( ) log( ) log( ), então:

log log(1

propr

1,2) log 2,07

ieda

log(1 1

i

, 0 )

d

3

e ⋅ = +

= + -

→ x y x y

x

Utilizando a propriedade (ii) do expoente (log(x y) = y ⋅ logx), chegamos à expressão final:

1log 5 log11,2 log 2,07 11 log1,1037

= × + × - ×x

As antigas tabelas de logaritmos forneciam os valores log 11,2, log 2,01 e log 1,103 com os quais se calculava o valor de logx e chegava-se ao valor de x. Nos dias de hoje esse tipo de cálculo está ultrapassado, por isso não apresentaremos as tabelas de logaritmos. A seguir, vamos verificar alguns exemplos sobre aplicações de funções logarítmicas.

Os logaritmos mais usados nas aplicações são os naturais, que têm uma base natural denotada pela letra e, adoção feita em homenagem ao matemático suíço Leonard Euler, que, em um artigo, foi o primeiro a sugerir sua aplicação.

As funções logarítmicas foram desenvolvidas para agilizar as contas de multiplicação, divisão, potenciação e radiciação, entretanto elas também são fundamentais em outras disciplinas, por exemplo, na Química para o cálculo do PH (potencial de hidrogênio), na Física para o cálculo de intensidade física sonora (decibel), e até mesmo para a solução de problemas de Contabilidade e Administração, como podemos ver nos exemplos a seguir.

Observe como as ciências estão intimamente ligadas à Matemática e, nesses casos, com as funções logarítmicas.

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Exemplo 1

Uma pessoa investiu R$ 5.000,00 em uma aplicação e deseja resgatar o investimento quando o seu saldo for de R$ 8.000,00. Supondo que a taxa de juros (i) dessa aplicação seja de 0,78% ao mês, determine o tempo que esse investidor deverá deixar o recurso aplicado.

Solução: Na disciplina de Matemática Financeira, você verá com mais detalhes a fórmula do montante (M) no regime de capitalização composto. Agora, para fins didáticos, considere a fórmula do montante M = C (1 + i)n, na qual M é o montante, C é o capital inicial, i é a taxa de juros e n é o período correspondente, que pode ser em dias, meses, anos, décadas etc. Logo, 8000 = 5000 ⋅ (1 + 0,0078)n.

Agora dividiremos os dois lados da expressão por 5000, conforme segue:

8000 (1 0,0078)5000

n= +

Aplicando a função logarítmica na base 10 nos dois lados da expressão,

temos: 8log(1,0078) log5

n =

Agora aplicaremos a propriedade (ii) da Tabela 19 da unidade 23

(log(x y) = y ⋅ log(x)) do seguinte modo: 8log(1,0078) log .5

⋅ =

n

Com o auxílio de uma calculadora, encontraremos o valor de log

(1,0078)= 0,00374 e log log1,6 0,204120. ⇒ =

Assim, temos:

n x 00,003374= 0,204120

E isolando o período n, chegamos ao resultado:

0,2041200,00337460,49

n

n

=

=

O tempo necessário para chegar aos R$ 8.000,00 oscila entre o mês 60 e o mês 61, após a aplicação.

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Exemplo 2

Suponha que a função V = 35000⋅0,875t origina o valor final (V) de um carro em função do tempo t, cujo valor inicial é de R$ 35.000,00 e cuja depreciação é de 12,5% ao ano. Determine após quanto tempo o valor do carro chega à metade do valor inicial.

Solução: Como a aplicação do exemplo refere-se exclusivamente às funções logarítmicas, consideremos o valor do carro V em função do tempo t. Logo, teremos:

V = 35000⋅0,875t

Vamos substituir V=17500, que é a metade do valor inicial de R$ 35.000,00, já que a questão pede o tempo necessário para que o valor chegue à metade do valor inicial:

35000⋅0,875t = 17500

Agora isolaremos o termo 0,875t, conforme segue:

175000,87535000

0,875 0,5

t

t

=

=

Para encontrarmos o valor de t, aplicamos o logaritmo nos dois lados da igualdade, assim log0,875t = log0,5.

Aplicando a propriedade (ii) da Tabela 19 da unidade 23, ou seja, log(x y) = y ⋅ log(x), temos:

log 0,875 log 0,5log 0,5

log 0,875

t

t

× =

=

Usando a calculadora, obtemos o valor de t:

t ≅ 5,19089317 t ≅ 5,2 anos

www.esab.edu.br 160

Essa aplicação permite concluir que o valor do carro será a metade do valor inicial entre o 5º e o 6º ano.

Nesta unidade, trabalhamos com as aplicações das funções logarítmicas voltadas à Economia, aos negócios e a outros temas importantes ao profissional de Administração. Na próxima unidade, resolveremos exercícios que envolvem outros assuntos já estudados.

www.esab.edu.br 161

26 Exercícios sobre função inversa, composta, exponencial e logarítmicas

ObjetivoPropor exercícios sobre função inversa, composta, exponencial e logarítmica.

Nesta unidade vamos verificar nosso aprendizado respondendo a uma série de exercícios que também nos ajudarão a fixar melhor o que foi aprendido nas unidades anteriores.

Exemplo 1

Suponhamos que a população de certa cidade seja estimada, para daqui a x

anos, por 1( ) 20 1000.2

= - × xf x Qual a população referente ao terceiro ano?

Solução: Sabemos que a população de determinada cidade aumenta em função do ano e de acordo com a função 1( ) 20 1000.

2= - ⋅xf x

Para determinarmos a população, após três anos, basta substituirmos x = 3, na função, e teremos a quantidade de pessoas referente aos três anos. Nossa resolução fica assim:

www.esab.edu.br 162

3

1( ) 20 100021(3) 20 100021(3) 20 10008

160 1(3) 10008

159 159000000(3) 10008 8

(3) 19875

= - × = - × = - ×

- = ×

= × =

=

xf x

f

f

f

f

f

Ou seja, após 3 anos a população da cidade será de 19.875 habitantes.

Exercício 2

O montante de uma dívida no decorrer de x meses é dado por M (x) = 10000 ⋅ 1,05x. Determine após quanto tempo o montante será de R$ 40.000,00.

Solução: Na expressão anterior, vamos substituir M (x) = 40.000. Assim, teremos:

10000 ⋅ 1,05x = 40000.

Isolando o termo 1,05x, obtemos:

400001,0510000

1,05 4

=

=

x

x

Novamente, para determinarmos o valor de x, aplicamos o logaritmo na base 10 nos dois lados da igualdade.

log1,05x = log4

www.esab.edu.br 163

Aplicando a propriedade (ii) log(x y) = y ⋅ log(x) da Tabela 19 da unidade 23, que se aplica também aos logaritmos naturais, temos:

log1,05 log 4log 4

log1,05

x

x

⋅ =

=

Usando a calculadora, obtemos o valor de x:

0,6020600,02118928,4133981728,41

x

xx

≅

≅≅

O que nos permite concluir que o montante da dívida será de R$ 40.000,00 entre o 28º e o 29º mês.

Exercício 3

Dada a função f de R em R, definida por f (x) = x2, qual é a função inversa de f (x)?

Solução: A função dada é f (x) = y = x2. Aplicando a regra prática, indicada na unidade 18, permutando as variáveis, temos:

Para encontrar a função inversa, sugere-se os seguintes passos:

1) isolar a variável independente (x);

2) trocar x por y;

3) chamar y de 1y- .

www.esab.edu.br 164

Então:

x = y2

Expressando y em função de x:

2 ou = ⇒ = = -x y y x y x

(ambas as respostas são possíveis)

Exercício 4

Encontre a função composta fog (x) para as funções f (x) = 2x+3 e g (x) = 2x ‒ 1.

Solução: Vimos, na unidade 19, que: fog (x) = f (g(x)), ou seja, colaremos dentro da função f (x) a função g (x), então:

fog (x) = 2( g (x)) + 3

fog (x) = 2(2x ‒ 1) + 3

Aplicando a propriedade distributiva e somando os termos, temos:

fog (x) = 4x – 2+3

fog (x) = 4x + 1

Logo, a função composta será fog (x) = 4x + 1.

Exemplo 5

Uma pesquisa mostrou que a população de determinada região do país cresce em relação ao tempo t , contado em anos, segundo a função P (t) = 50.000 × 20,125t. Na função, o valor de 50.000 refere-se a população atual da região, ou seja, na data da pesquisa. Estime a populção dessa região, passadas 4 décadas.

www.esab.edu.br 165

Solução: Neste exemplo, temos uma função exponencial. Substituindo o valor de 40 anos (4 décadas) em t, teremos a população da região nesse período. Portanto:

( )( )( )( )( )

0,125

0,125 40

5

50.000 2

40 50.000 2

40 50.000 240 50.000 1.02440 1.600.000

tP t

P

P

P

P

×

= ×

= ×

= ×

= ×

=

Passdos 40 anos, a população da determinada região será de 1.600.000 habitantes.

Nesta unidade, resolvemos exercícios sobre as funções inversa, composta, exponencial e logarítmica, que funcionam com uma espécie de pré-requisito para o estudo da próxima unidade, em que falaremos sobre o limite de uma função. O conceito matemático de limite é fundamental para a compreensão do cálculo diferencial. Nas próximas unidades, você terá a oportunidade de conhecer e trabalhar com as principais aplicações do cálculo diferencial na administração de empresas. Preparado?

Tarefa dissertativa


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27 O limite de uma função

ObjetivoIntroduzir o conceito de limites a partir de situações-problema e cálculo do limite de funções.

Nesta unidade abordaremos o conceito de limite e como ele é utilizado para descrever o comportamento de uma função de acordo com a aproximação de seu argumento a um determinado valor. O conceito de limite é fundamental para a construção de outras definições que ainda estudaremos, como as definições de derivada e integral. A noção de limite lhe fornecerá, neste momento, condições para distinguir o comportamento de algumas funções que variam continuamente, ou não, em relação às suas variáveis.

A ideia de limite não se aplica só à Matemática. Em nosso cotidiano a ideia de limite aparece frequentemente para ilustrar a produtividade máxima de uma fábrica, o rendimento ideal de um automóvel, entre outros exemplos que expressam um limite, ou seja, um desempenho ideal que nunca pode ser atingido, mas o qual podemos fazer uma aproximação. Introduziremos o conceito matemático de limite de forma intuitiva.

Consideremos uma função f (x) em que sua variável independente x assuma valores próximos de uma constante a. No caso, f (x) assume um conjunto de valores e, com x muito próximo de a, os valores assumidos por f (x) aproximam-se de uma outra constante, C. Considere ainda que os valores assumidos por x são relativamente próximos de a, mas é importante destacar que eles não chegam ao valor de a. Assim, o conjunto de valores assumidos por f (x) chega muito próximo a C, mas não atinge seu valor. Dissemos então que f (x) tende a C quando x tende a a. Na Matemática, escreve-se assim: ( )lim

→∞=

xf x C

O limite de uma função tem larga aplicação na análise do comportamento de uma função nas proximidades de um ponto fora do

www.esab.edu.br 167

domínio, ou seja, quando o valor de x tende a valores muito grandes ou muito pequenos. Aqui trataremos essas situações como x → +∞ (x tendendo a mais infinito) e x → –∞ (x tendendo a menos infinito).

Considere a função f (x) = x2. Vamos calcular seus limites laterais, ou seja, vamos aproximar o valor de x ao de 3 pelo lado direito (por valores maiores do que 3) e pelo lado esquerdo (por valores menores do que 3). Assim, quando x tende a 3, teremos:

Limite pela esquerda

Vamos considerar um conjunto de números que chegue o mais próximo possível de 3, ou seja, que convirja para o 3. Logo:

( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2

2 2 22,9 2,9 2,99 2,99 2,999 2,999

2,9 8,41 2,99 8,9401 2,999 8,9940

f x x

f f f

f f f

=

= = =

= = =

Tabela 22 – Limite de uma função ( ) 2 , com 3-= →f x x x (lê-se x tendendo a 3 pela esquerda).

x 2,9 2,99 2,999

y 8,41 8,9401 8,9940


Note que quando x tende a 3 pela esquerda, f(x) tende a 9. Logo : ( )

3lim 9.

-→=

xf x

Limite pela direita

Consideraremos agora um conjunto de números que convirja para o 3 pela direita, segue:

( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2

2 2 23,1 3,1 3,01 3,01 3,001 3,001

2,9 9,61 2,99 9,0601 2,999 9,0060

f x x

f f f

f f f

=

= = =

= = =

www.esab.edu.br 168

Tabela 23 – Limite de uma função ( ) 2 , com 3+= →f x x x (lê-se x tendendo a 3 pela direita).

x 3,1 3,01 3,001

y 9,61 9,0601 9,0060


Quando x tende a 3 pela direita, f(x) tende a 9. Logo : ( )3

lim 9.+→

=x

f x

Nesse caso, os limites laterais são iguais. Então, podemos dizer que ( )

3lim 9, e x

f x f→

= é continua no ponto 3.

xPela esquerda Pela direita3

y

9

Figura 51 – Representação gráfica da função ( ) 2 com 3.= → ±f x x xFonte: Elaborada pelos autores (2013).

Vamos considerar agora outra função ( ) 11 ,= -f xx

a fim de discutir e aplicar o conceito de limite.

Sendo ( ) 11f xx

= - e adotando valores para a variável x cada vez maiores,

podemos dizer que x tende ao infinito, ou seja, x → ∞. Assim:

www.esab.edu.br 169

Tabela 24 – Limite de uma função ( ) 11 com = - → ±∞f x xx

.

x 1 2 3 4 5 ... 500 ... 1000 ... 2000 ... 10000

y 0 0,500 0,667 0,750 0,800 0,998 0,999 0,9995 0,9999

x -1 -2 -3 -4 -5 ... -500 ... -1000 ... -2000 ... -10000

y 2,000 1,500 1,333 1,250 1,200 1,002 1,0001 1,0005 1,00001


Acompanhe o gráfico da função, e observe que quando x → ±∞, a função aproxima-se de 1, contudo, nunca chega nesse valor.

x

y

1

Figura 52 – Representação gráfica da função ( ) 11 com .= - → ±∞f x xx

Fonte: Elaborada pelos autores (2013).Note que quando os valores de x vão aumentando na tabela – ou seja,

tendem ao infinito –, os respectivos valores de ( ) 11f xx

= - aproximam-

se de 1. Assim, escreve-se: 1lim 1 1→∞

- = x x

Observe também que quando

o valor de x tende ao infinito – ou seja, a valores cada vez maiores –, o termo 1

x tende a zero.

www.esab.edu.br 170

Em termos de simbologia, quando pretendemos demonstrar que uma função tem sua variável independente assumindo valores cada vez maiores, expressamos isso mostrando que x → +∞, ou seja, x tende a mais infinito, ou simplesmente x → ∞ (x tende a infinito). Da mesma forma, quando pretendemos demonstrar que uma função tem sua variável independente assumindo valores cada vez menores, expressamos isso dizendo que x → –∞, ou seja, x tende a menos infinito.

Igualmente, quando temos a função y(x) na notação de limites, temos

lim 0x

y→∞

=

Nesse caso, queremos traduzir a ideia de que x assume valores maiores do que se possa imaginar e que, ao escrevermos lim 0 ou 0 quando ,+

→∞= → → +∞

xy y x queremos como consequência

exprimir a ideia de que y assume valores positivos cada vez menores, aproximando-se do zero.

Nesta unidade apresentamos a você a noção de limite. Através de algumas aplicações práticas, introduzimos um conceito que é a base no estudo do cálculo diferencial. Na próxima unidade, continuaremos estudando o conceito de limite e trabalharemos com algumas de suas propriedades, como sua aplicação e contextualização, para que você adquira todas as ferramentas necessárias à sua utilização.

Atividade


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28 Cálculo de limites usando suas leis – parte I

ObjetivoApresentar cálculo de limites usando suas leis.

Na unidade anterior apresentamos o conceito de limite e, através de tabelas e gráficos, vimos o comportamento de algumas funções quando sua variável independente tende a determinado valor, o que nos possibilita determinar intuitivamente seu limite. Nesta unidade, resolveremos alguns exercícios relacionados ao limite de uma função, a fim de aplicar os teoremas que serão apresentados e explicados aqui.

Na aplicação do conceito de limite, para cada caso teremos uma propriedade que nos ajudará a resolver da melhor forma possível determinada situação. A seguir, são listadas as propriedades de limites que veremos nesta unidade. Cabe a você interpretá-las e aplicá-las quando necessário.

Propriedades de limites

As seguintes propriedades de limites o ajudarão a avaliar o limite de uma função.

www.esab.edu.br 172

Considerando m, n e k números reais, segue:

[ ]

lim ;

lim ;

lim( ) ;

( ) e ( ) e Te

(i)

(ii)

(iii)

(imos:lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( );

lim ( ) lim ( )

lim[ ( )

Considerando

v)

(v)

também que

( )] li(vi

:

m)

→

→

→

→ → →

→ →

→ →

=

=

+ = +

= = ∈

+ = +

=

⋅ =

x a

x a

x a

x a x a x a

x a x a

x a x

k k

x a

mx n ma n

f x m g x n c

f x g x f x g x

cf x c f x

f x g x ( ) lim ( );

lim ( )( )lim desde que lim ( ) 0;(vii)

(viii)

( ) lim ( )

lim[ ( )] [lim ( )] , para .

→

→

→ →→

→ →

⋅

= ≠

= ∈

a x a

x a

x a x ax a

n n

x a x a

f x g x

f xf x g xg x g x

f x f x n N

Vamos resolver os limites aplicando a propriedade que é mais adequada a cada caso.

Exemplo 1:

Calcule o 2

14

lim 4.→

-x

x

Solução: Para resolução deste exemplo iremos aplicar a propriedade (iii)lim( ) ,

→+ = +

x amx n ma n assim:

22

12

2

12

1 1 1 16 15lim 4 4 42 4 4 4

15Assim lim 44

→

→

- - ⇒ - ⇒ - ⇒ ⇒ -

-- =

x

x

x

x

www.esab.edu.br 173

Exemplo 2:

Calcule o 6

4lim .2 2→

--x

xx

Solução: Para resolução deste exemplo iremos aplicar a propriedade (vii)

lim ( )( )lim desde que lim ( ) 0,( ) lim ( )

x a

x a x ax a

f xf xg x

g x g x→

→ →→

= ≠

substituindo x = 6, temos:

6

66

lim 44lim .2 2 lim 2 2

→

→→

--⇒

- -x

xx

xxx x

Substituindo x = 6, segue:

6

6 4 2 1 4 1. Assim o lim .2 6 2 10 5 2 2 5→

- -= = =

× - -x

xx

Exemplo 3:

Calcule o ( )13

6lim 4 3 .

→+

xx

Solução: Para este exercício usaremos a propriedade lim[ ( )] [l(viii) im ( )] ,

→ →=n n

x a x af x f x para n ∈ N, assim:

( ) ( )( ) ( )

( )

1133

6 6

1 133 3

13

6

lim 4 3 lim 4 3 . Substituindo 6, temos

4 6 3 27 , como sabemos que , temos: 27 3.

Logo, o limite procurado é lim 4 3 3

→ →

→

+ ⇒ + =

× + ⇒ = =

+ =

x x

nm n m

x

x x x

x x

x

www.esab.edu.br 174

Exemplo 4:

Calcule o ( ) ( )3

1lim 4 3 2x

x x→

+ × +

Solução: consideraremos para a resolução deste exemplo a propriedade (vi)

( ) ( ) ( ) ( )3 3

1 1 1

lim[ ( ) ( )] lim ( ) lim ( ), assim teremos:

lim 4 3 2 lim 4 3 lim 2

→ → →

→ → →

⋅ = ⋅

+ × + ⇒ + × +

x a x a x a

x x x

f x g x f x g x

x x x x

Substituindo x=1 nas duas funções, teremos:

( ) ( )( )

( ) ( )3

1

4 1 3 1 2

4 3 312 3 36

Desta forma, lim 4 3 2 36.→

× + × +

+ ×

× =

+ × + = xx x

Exemplo 5:

Calcule o 2

2

4lim2 2x

x xx→

--

.

Solução: Usaremos neste exemplo 2 propriedades, a propriedade

l(

ivi

m ( )( )lim( ) lim ( )

i) x a

x ax a

f xf xg x g x

→

→→

=

desde que lim ( ) 0x a

g x→

≠ e no numerador a propriedade (iv)

[ ]22

2 2

22

lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ), assim:

lim lim 44lim2

(iv

2 lim

)

2 2

→ → →

→ →

→→

+ = +

--⇒

- -

x a x a x a

x x

xx

f x g x f x g x

x xx xx x

Substituindo x = 2 , segue:2 2

2 2

22

2

lim lim 4 2 4 2 4 8 4 2lim 2 2 2 2 2 4 2 2

4Assim o resultado será lim 2.2 2

→ →

→

→

- - × - -⇒ ⇒ ⇒ ⇒ -

- × - -

-= -

-

x x

x

x

x x

x

x xx

www.esab.edu.br 175

Com esses exercícios, oportunizamos a você a aplicação de algumas propriedades dos limites vistas nesta unidade. Através da resolução de exercícios, estudaremos na unidade seguinte mais ferramentas para a aplicação prática de limites de uma função, o que irá aumentar seu conhecimento sobre o assunto.

Saiba mais

Para se inteirar, ainda mais, sobre a matéria de limite de uma função, assista à videoaula disponível clicando aqui. Nesse vídeo, é possível conferir o que significa limite do ponto de vista matemático, conceito que será essencial para as próximas unidades sobre derivadas.

http://eaulas.usp.br/portal/video.action?idItem=128

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29 Cálculo de limites usando suas leis – parte II

Objetivo Apresentar o cálculo de limites usando suas leis.

Na unidade passada, tratamos da resolução de exercícios sobre limites de uma função – parte I, mostramos alguns teoremas que serão de suma importância na resolução de exercícios envolvendo limites. Nesta unidade, apresentaremos mais exercícios de limites, resolveremos passo a passo, mostrando qual o teorema apropriado para sua resolução.

Agora acompanhe a resolução destes exercícios:

Exemplo 1

A função de produção de certo bem em relação à quantidade de matéria-

prima, em quilogramas, é dada por 2 4( ) .

2-

=-

xP xx

Determine a produção

quando se tem 2 quilogramas de matéria-prima.

Solução: Percebemos que P = P(x) não está definida para x = 2, já que esse valor faz x ‒ 2 = 0, ou seja, quando x → 2, o numerador e o denominador tendem a zero, o que não deixa claro o valor do limite, caracterizando uma indeterminação na matemática. No entanto, essa dificuldade pode ser contornada se fatorarmos o numerador da seguinte forma:

( ) ( )2 2 242 2

x xxx x

+ × --⇒

- -

anulando x ‒ 2 no numerador e denominador sobra x + 2.

www.esab.edu.br 177

Agora, tomamos o limite quando x → 2 e avaliamos o que ocorre com a produção, isto é, quando a produção x tende a esse valor.

22

2

lim ( )

4lim2

x

x

P x

xx

→

→

--

Como mostramos no cálculo anterior, podemos simplificar a expressão fazendo x → 2 (ou seja, substituindo x por 2) o que irá resultar:

( )2

2

( 2) 2lim

2lim( 2) 4x

x

x xx

x→

→

+ × --

+ =

Assim, quando a produção tem apenas 2 quilogramas são produzidas 4 unidades.

Exemplo 2

A função 2

2

7 10( )4

x xf xx- +

- determina a produção de certo produto.

Calcule o limite dessa função quando x → 2.

Solução: f (x) não está definida para x = 2, já que esse valor faz x2 –4 = 0,

ou seja, subtituindo 2 na função teremos: 2

2

2 7 2 10 0( ) ( )2 4 0

f x f x- × += ⇒ =

-

o que caracteriza uma indeterminação na matemática. A saída encontrada para este impasse, é usarmos o recurso da fatoração, e trabalharmos a função de modo que fujamos da indeterminação. Assim, se fatorarmos o numerador e o denominador, obteremos:

( )2

22 2

27 10lim lim4→ →

-- +⇒

-x x

xx xx

( )( )

. 5

2

-

-

x

x ( ).

. 2+x

Aqui aplicaremos a propriedade

lim ( )( )lim , desde que lim ( ) 0,( ) lim ( )

(vii) →

→→→

= ≠x a

x ax ax a

f xf x g xg x g x

www.esab.edu.br 178

desde que lim ( ) 0.→

≠x a

g x Desse modo, aplicando o limite x → 2

(substituindo x por 2 no numerador e no denominador), teremos:

( )( )2

5 3lim2 4x

xx→

-= -

+

Exemplo 3

Calcule 2

1lim( 1).→-

+ +x

x x

Solução: Nesse caso, não há indeterminação, ou seja, a função está definida para qualquer valor de x. Então, podemos resolver o limite substituindo diretamente o valor de x (x = ‒ 1) no argumento do limite.

( )2 2

1 1lim( 1) lim ( 1) ( 1) 1 1x x

x x→- →-

+ + = - + - + =

Nesse caso também poderíamos ter utilizado a propriedade [ ]lim ( ) ( ) li(i m ( ) lim ( ),v)

→ → →+ = +

x a x a x af x g x f x g x em que para cada parte da

expressão o limite é calculado separadamente:

( )22 2

1 1 1 1 1 1lim( 1) lim lim lim 1 lim lim 1x x x x x x

x x x x x x→- →- →- →- →- →-

+ + = + + = + +

Então, aplicando o valor do limite (x= –1), encontramos:

2 2

1lim( 1) ( 1) 1 1 1x

x x→-

+ + = - - + =

Perceba que as duas formas que utilizamos para calcular o limite chegam ao mesmo resultado. Então, é preciso primeiramente avaliar qual é o caminho mais fácil para resolver determinado limite.

Exemplo 4

Calcule 2

1

7 2lim3 5x

x xx→

+ --

Solução: Nesse caso, não há indeterminação, ou seja, a função está definida para qualquer valor de x. Pode-se dizer que sustituindo x=1

www.esab.edu.br 179

na expressão, temos 3x – 5 ≠ 0. Então, resolveremos o limite trocando diretamente o valor de x (x = 1) no argumento do limite. Aplicando a propriedade [ ]lim ( ) ( ) li(i m ( ) lim ( ),v)

→ → →+ = +

x a x a x af x g x f x g x em que para cada

parte da expressão o limite é calculado separadamente e a propriedade

2

1

2

1 1 1

1 12

lim ( )( )lim desde que lim ( ) 0, temos:( ) lim ( )

7 2lim3 5

lim lim 7 lim 2

lim3 lim5

1 7 2 6 33 5

(

2

vii) →

→ →→

→

→ → →

→ →

= ≠

+ --

+ -

-

+ -= = -

- -

x a

x a x ax a

x

x x x

x x

f xf x g xg x g x

x xx

x x

x

Logo, o valor do limite procurado é ‒3.

Exemplo 5

Calcule o 31

5lim .7→

--x

xx

Solução: Note que neste caso ao substituirmos x por 1, não teremos o problema da indeterminação, o que facilita a resolução. Assim

substituindo x = 1 na expressão, temos 3

5 0.7

-≠

-xx

Aplicando a propriedade

lim ( )( )lim , desde que lim ( ) 0, temos:( ) lim (

(vii))

→

→ →→

= ≠x a

x a x ax a

f xf x g xg x g x

13 3 31

1

lim 55 1 5 4 4lim .7 lim 7 1 7 6 6

→

→→

-- - -⇒ ⇒ ⇒ ⇒

- - - -x

xx

xxx x

Assim, o limite 31

5 4lim será igual a .7 6x

xx→

--

www.esab.edu.br 180

Nesta unidade aplicamos algumas propriedades e resolvemos situações envolvendo o conceito de limite de uma função através de exemplos práticos e contextualizados. Na próxima unidade, resolveremos mais exercícios sobre limite, a fim de revisar e reforçar os conceitos vistos até o momento.

Saiba mais

Sugerimos que você assista à videoaula disponível clicando aqui. Nessa reprodução, você terá acesso à continuação do vídeo indicado na unidade anterior para consolidar a teoria de limites.

http://eaulas.usp.br/portal/video.action?idItem=128

www.esab.edu.br 181

30 Cálculo de limites usando suas leis – parte III

ObjetivoApresentar o cálculo de limites usando suas leis.

Nesta unidade apresentaremos novas propriedades e, através de exercícios resolvidos passo a passo, mostraremos suas aplicações.

Como na unidade 28, vamos considerar m, n e k como números reais. Dessa forma, temos as seguintes propriedades:

( )

lim ( ) lim ( ), desde que lim ( ) 0,

ou se lim ( ) 0 e for i

(ix)

(x

nteiro positivo ímpar;

lim{ln[ ( )]} ln[lim ( )] lim 0;

lim{cos[ ( )]} cos

)

(xi)

n nx a x a x a

x a

x a x a x a

x a

f x f x f x n N

f x n

f x f x se f x

f x

→ → →

→

→ → →

→

= > ∈

≤

= >

=

lim ( )( )

[lim ( )];

lim{sen[ ( )]} sen[l (xii)

(xiii

im ( )];

lim) .x a

x a

x a x a

f xf x

x a

f x

f x f x

e e →

→

→ →

→

=

=

Vamos agora resolver alguns limites aplicando a propriedade que mais se adequa em cada caso:

Exercício 1

Calcular o 3 2

2lim 2 1.

→- + -

xx x x

Solução: Para a resolução deste exercício usaremos a propriedade(ix)lim ( ) lim ( ),

→ →=n n

x a x af x f x desde que lim ( ) 0, ou se lim ( ) 0

→ →> ∈ ≤

x a x af x n N f x e

n for inteiro positivo ímpar, assim temos:

www.esab.edu.br 182

( )3 2 3 2

2 2

3 2

3 2

2

lim 2 1 lim 2 1

Substituindo 2 segue:

2 2 2 2 1 8 4 4 1 7

Desse modo teremos que lim 2 1 7.

→ →

→

- + - ⇒ - + -

=

- + × - ⇒ - + - =

- + - =

x x

x

x x x x x x

x

x x x

Exercício 2

Calcular ( )3

lim 2 .→

-x

xe x

Solução: Aplicando a propriedade [ ]lim ( ) ( ) li(i m ( ) lim ( ),v)→ → →

+ = +x a x a x a

f x g x f x g x em que para cada parte da expressão o limite é calculado separadamente, e a propriedade

( ) 3

lim ( )( )

lim

3 3 33

lim , temo(xi s:

lim 2 lim lim 2 lim 2

ii)

.

→

→

→

→ → →→

=

- ⇒ - ⇒ -

x a

x

f xf x

x a

xx x

x x xx

e e

e x e x e x

Substituindo x=3, temos:

( )3 3 3

32 3 6. Dessa forma, o limite fica: lim 2 6.

→- × = - - = -x

xe e e x e

Exercício 3

Calcular 3

2lim( 5 2).

→- +

xx x

Solução: Aplicando a propriedade

[ ]lim ( ) ( ) lim ( ) lim ((iv )) ,x a x a x a

f x g x f x g x→ → →

+ = + na qual em cada parte da expressão o seu limite é calculado separadamente, temos:

3

23

2 2

2

lim 8

lim 5 10 lim( 5 2) 8 10 2 0

lim(2) 2

x

x x

x

x

x x x→

→ →

→

=- = - ⇒ - + = - + =

=

.

Note que para cada parte da expressão fez-se x=2, obtendo o valor do limite da expressão inteira, somando cada valor encontrado.

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Exercício 4

Calcular o 2

5

10lim .5→

++x

xx


lim ( )( )lim , desde que lim ( ) 0,( ) lim (

(v ))

ii x a

x a x ax a

f xf xg x

g x g x→

→ →→

= ≠

vista na unidade 28, temos:

22 25

5 55

lim( 10)10 35 7 10 7lim . Assim, temos: lim .5 lim( 5) 10 2 5 2

→

→ →→

++ += = = =

+ + +x

x xx

xx xx x x

Mais uma vez, depois de aplicada a função, fez-se x=5 no numerador e no denominador.

Exercício 5

Calcule o 2

3 2lim .1→

++x

xx


lim ( )( )lim , desde que lim ( ) 0,( ) lim (

(v ))

ii x a

x a x ax a

f xf xg x

g x g x→

→ →→

= ≠

vista na unidade 28, temos:

2

22

lim3 23 2 3 2 2 8lim .1 lim 1 2 1 3

→

→→

++ ⋅ += = =

+ + +x

xx

xxx x

Note que a resolução de um limite resume-se em aplicar a propriedade e substituir o valor em que x tende na função. Logo, é importante que você reveja, sempre que necessário, as propriedades apresentadas nas unidades 28 e 29.

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Exercício 6

Calcule o 9

9lim .3→

--x

xx

Solução: Como não podemos aplicar a propriedade do quociente, já que

9lim 3 0,

→- =

xx ou seja, a função não está definida em x=9, teremos de

multiplicar a expressão pelo conjugado (esse procedimento foi visto por você no Ensino Fundamental). Mas não fique preocupado, pois se você não se recorda, o explicaremos aqui, passo a passo.

Uma forma de simplificar essa expressão e sair da situação de indeterminação

9(lim 3 0)

→- =

xx é multiplicando a expressão no numerador

e no denominador pelo conjugado de 3, que é 3.x x- + Acompanhe:

9 9 9

( 9)9 ( 9) ( 3)lim lim lim3 ( 3) ( 3)x x x

xx x xx x x→ → →

-- - × += =

- - × +

( 3)( 9)

xx× +-

Cancelando (x ‒ 9) do numerador com (x ‒ 9) do denominador, temos:

9 9

9lim lim 3 63x x

x xx→ →

-= - =

-.

Fazendo x = 9 temos o resultado final. Perceba que procedendo dessa forma fugimos da indeterminação, e agora nosso limite possui um resultado, que é 6.

Agora, você já conhece os limites de uma função e sabe resolver os exercícios referentes a esses limites. Vá para a próxima unidade, na qual estudaremos o tema Continuidade e Descontinuidade das Funções.

Estudo complementar

Caro aluno: no link aqui, você encontrará informações sobre a matemática aplicada à Administração, voltada ao dia a dia de uma empresa. Poderá refletir sobre a importância que um bom profissional pode ter dentro da instituição em que trabalha.

http://www.administradores.com.br/artigos/tecnologia/matematica-aplicada-na-administracao/30545/

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Resumo

Nas últimas seis unidades, o primeiro tema abordado foi a aplicação de funções logarítmicas, vistas na unidade 25, a fim de podermos solucionar situações-problema. Descobrimos que essas funções são muito úteis quando se pretende encontrar, por exemplo, o tempo necessário para que determinada variável atinja certo valor. Na unidade 26, analisamos exercícios sobre funções inversa, composta e exponencial e também as equações logarítmicas em suas propriedades.

Depois, vimos nas unidades 27, 28 e 29 algumas propriedades de limites, bem como métodos de resolução. Aprendemos ainda que o cálculo do limite de uma função tem o objetivo de determinar o comportamento de uma função à medida que ela se aproxima de alguns valores, não importando por qual lado se aproxime.

Por fim, resolvemos exercícios para melhor fixar o tema de limite de uma função.

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31 Continuidade e descontinuidade de funções

ObjetivoVerificar a continuidade e a descontinuidade de funções.

Na unidade anterior, fizemos uma série de exercícios para melhor fixar o conteúdo da matéria dada. Nesta unidade, daremos sequência no estudo de funções, abordando a continuidade e descontinuidade de funções.

Sobre esse tema, Silva e Abrão (2008) explicam que se uma função tem limite em um determinado ponto e é possível calcular o valor dessa função, coincidindo os dois valores, essa função é contínua nesse ponto. Observe o exemplo:

Exemplo 1

Uma empresa tem como função de custo, para certo produto x, a função:

2 0 10( )

0,6 14 10x se x

C xx se x

< ≤= + >

a. Esboce o gráfico da função C(x).

Solução: Para construirmos o gráfico de uma função do tipo da C(x), podemos observar que as duas equações representam equações do primeiro grau, portanto graficamente são duas retas. Podemos construir uma tabela de valores que facilitará a construção do gráfico.

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Tabela 25 – Alguns valores de x para determinar y.

x y

0 2 × 0 = 0

2 2 × 2 = 4

10 2 × 10 = 20

20 0,6 × 20 + 14 = 26

30 0,6 × 30 + 14 = 32


De acordo com a Tabela 25, podemos construir o gráfico da função C(x).

10 20 30 40

5

10

15

20

25

30

35

40

Figura 53 – Gráfico da função C (x).Fonte: Elaborada pelos autores (2013).

b. Determine o 10 10

lim ( ) e lim ( ).x x

C x C x- +→ →

Solução: Como x tende a 10 pela esquerda, temos que:

1010lim ( ) lim 2 2.10 20

xxC x x

- →→= = = e como x pode tender a 10 pela direita,

temos:

10 10lim ( ) lim 0,6 14 0,6.10 14 20

x xC x x

+ +→ →= + = + =

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c. A função é contínua ou descontínua?

Solução: Como vimos no item anterior, a função C (x) é contínua pois os limites tanto pela direita como pela esquerda são iguais a 20.

Assim, dizemos que uma função é contínua em um ponto a do seu domínio se nesse ponto ela não dá saltos, ou seja, não apresenta interrupções. Vejamos alguns exemplos gráficos.

Exemplo 2

A função f é contínua em x = a. Veja o gráfico apresentado na Figura 54 e perceba que f (x) é contínua para qualquer ponto do domínio.

x

y

f(x)

a

1

Figura 54 – Gráfico da função f (x) indicando uma continuidade no ponto x = a.Fonte: Elaborada pelos autores (2013).

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Segundo Guidorizzi (2010), para haver continuidade uma função deverá ser contínua em todos os pontos do seu domínio e, além disso, é necessário que exista o limite no ponto p e que os limites, tanto pela direita como pela esquerda no ponto p sejam iguais, conforme vimos no exemplo 1.

Para que a função seja contínua no ponto p, é necessário que satisfaça às seguintes condições:

• o ponto deve pertencer ao domínio da função, ou seja, ∃ f (a);

• o limite de f (x) no ponto deve existir, ou seja, lim ( )x a

f x→

∃ ;

• o limite deve ser igual ao valor da função no ponto, ou seja,

lim ( ) ( )x a

f x f a→

= .

Lembre-se de que o símbolo ∃ significa “existe”.

No exemplo que segue, observe como estas condições podem ser analisadas:

Exemplo 3

A administração de determinado laboratório quer implementar um sistema que pretende otimizar seu atendimento. O seguinte modelo matemático foi experimentalmente determinado para prever que em t dias o percentual de cidadãos que podem ser atendidos sem ter de aguardar por atendimento:

2 8 50 0 10( ) 38 100 10

0,4

t t se th t t se t

t

- + ≤ ≤= -

>

De início percebemos que o único ponto problemático é t = 10 dias, pois

neste ponto a função 38 100( )0,4th t

t-

= não está definida, uma vez que o

denominador da fração não pode ser zero. Então devemos verificar se as três condições são satisfeitas para sabermos se a função é contínua neste ponto ou não:

www.esab.edu.br 190

a. o ponto deve pertencer ao domínio da função, ou seja, ∃ f (a);

De fato, o domínio da função são todos os números reais menos o zero. Portanto, a primeira condição está satisfeita.

b. o limite de f (x) no ponto deve existir, ou seja, lim ( );x a

f x→

∃

Determinando o limite dessa função, temos:

2

1010

1010

lim ( ) lim 8 50 70

38 100lim ( ) lim 700,4

hh

hh

h t t t

th tt

-

+

→→

→→

= - + =

-= =

Note que primeiro calculamos o limite quando h tende a 10 pela esquerda, ou seja, quanto h tende a 10 por valores menores que 10. Então

10lim ( ),

hh t

-→ pois na função h (t) = t2 –8t + 50, t só pode assumir

valores entre 0 e 10, inclusive.

Já na função 38 100( ) ,0,4th t

t-

= calculamos o limite quando h tende a 10

pela direita , ou seja, quando h tende a 10 por valores maiores que 10, porque nesta função t só pode assumir valores maiores que 10. E como os limites laterais têm o mesmo valor (pela direita e pela esquerda) temos que h (10) = 70.

Portanto constatamos que não há problemas no décimo dia de atendimento, uma vez que a função é contínua em t = 10. Sabemos ainda que segundo o modelo que se quer implementar, o percentual de cidadãos que podem ser atendidos sem terem de aguardar por outra data é de 70% (h (10) = 70).

c. o limite deve ser igual ao valor da função no ponto, ou seja, lim ( ) ( ).x a

f x f a→

=

Se o limite pela direita e pela esquerda de 10 são iguais, então a função é contínua no ponto t = 10.

www.esab.edu.br 191

Por outro lado, quando uma ou mais dessas condições não é satisfeita para x = a, dizemos que a função é descontínua em a. Ou seja, em uma função descontínua o gráfico apresenta interrupções. Veja como fica o gráfico de uma função descontínua, através do exemplo 4.

Exemplo 4

Em uma cidade se observa que a despesa de uma família com TV a cabo depende do tempo t, mensal, que os habitantes assistem à TV e essa quantidade, em centenas de reais, é expressa pela função:

0 0 20( ) 0,1 20 100

40 1000 1002 100

se tP t t se t

t se tt

≤ <

= ≤ ≤ - >

+

Estude a continuidade da função despesa P (t) e esboce o gráfico dessa função:

Solução: Primeiramente devemos calcular o limite quando t tende a 20 pela direita e pela esquerda e quando t tende a 100 pela direita e pela esquerda. Pois, se você observar, a função P (t) = 0 pode assumir valores menores que 20, então dizemos que ela tende para a esquerda de 20 ou t → 20–. Já a função P (t) = 0,1t tende a 20 por valores maiores que 20, ou seja, tende a 20 pela direita ou t → 20+ .Assim:

20 20

20 20

lim ( ) lim 0 0

lim ( ) lim 0,1 0,1.20 2

t t

t t

P t

P t t

- -

+ +

→ →

→ →

= = =

= = = =

Logo, a função é descontínua no ponto t = 20, pois pela direita temos um valor e pela esquerda temos outro, ou seja, os limtes laterais são diferentes. Por outro lado, devemos verificar a continuidade para t = 100.Perceba agora que quando a função tende a 100 pela esquerda, temos P (t) = 0,1t e quando a função tende a 100 pela direita, temos

www.esab.edu.br 192

100 100

100 100

40 1000( ) , então:2 100

40 1000 40.100 1000lim ( ) lim 102 100 2.100 100

40 1000 40.100 1000lim ( ) lim 102 100 2.100 100

t t

t t

tP tt

tP tt

tP tt

- -

+ +

→ →

→ →

-=

+

- -= = = =

+ +

- -= = = =

+ +

Portanto, a função é contínua no ponto t = 100. Note que não existem mudanças de gasto quando o tempo que se assiste à TV é ligeiramente superior ou inferior a 100 horas.

Assim, podemos representar graficamente esta função:

t

P (t)

10

1412108642

20 50 100

Figura 55 – Gráfico de uma função descontínua para t = 20.Fonte: Elaborada pelos autores (2013).

Portanto, ao analisar o gráfico, podemos perceber que há uma interrupção no ponto t = 20 e nesse caso, dizemos que a função é descontínua neste ponto. Também podemos observar que para t = 100 a função não sofre interrupções, então dizemos que a função é contínua nesse ponto.

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Então, seja f uma função real, de variável real, e a um ponto de acumulação do domínio de f e pertencente a Df , diz-se que a função f é contínua no ponto a se, e somente se, existir o limite de f quando x tende para a e o valor desse limite coincide com o valor da função no ponto a.

Para falarmos em descontinuidade de uma função em um ponto, devemos observar que é necessário que esse ponto permaneça no domínio da função.

Da definição decorre que se f é descontínua em a ∈ I, então as duas condições deverão estar satisfeitas:

• existe f (a);

• não existe lim ( ) lim ( ) ( ).x a x a

f x ou f x f a→ →

≠

E, essas condições, podemos observar no exemplo 4 quando calculamos o limite pela direita e pela esquerda de t = 20.

Note que existe a P (t), mas os limites

20 20

20 20

lim ( ) lim 0 0

lim ( ) lim 0,1 0,1.20 2t t

t t

P t

P t t- -

+ +

→ →

→ →

= = =

= = = =

são diferentes o que satisfaz a segunda condição. Portanto, podemos concluir que P (t) é uma função descontínua.

Estudo complementar

Assista ao vídeo “Cálculo I – Limites e continuidade”, disponível clicando aqui, para acompanhar alguns exemplos interessantes de continuidade de função. Seria muito proveitoso se você resolvesse alguns exercícios e depois conferisse o resultado na explicação passo a passo.

http://www.youtube.com/watch?v=NOPEwktLxgw

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Nesta unidade, você aprendeu como identificar uma função contínua e uma função descontínua e suas propriedades. Aprendemos, também, a identificar graficamente quando uma função é contínua e descontínua. Na próxima unidade, iremos estudar limites no infinito, seus teoremas, suas características e seus cálculos.

Fórum


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32 Limites no infinito

ObjetivoApresentar cálculos de limites no infinito.

Nesta unidade, estudaremos o comportamento dos valores de uma função, com base no que dizem Silva e Abrão (2008) e Guidorizzi (2010) sobre esse assunto, para identificarmos seu aumento ou diminuição ilimitadamente, ou seja, estudaremos o comportamento dos limites no infinito, e para isso utilizaremos exemplos que demonstrem tal comportamento. Além disso, veremos também suas características e o comportamento das funções quando x tender para o infinito.Vamos lá!

Para Guidorizzi (2010), intuitivamente, podemos tornar o valor de f (x) tão próximo de p quanto desejamos, tomando para x valores suficientemente elevados. Da mesma forma, fazendo x decrescer ilimitadamente, vemos que f (x) se aproxima desse mesmo valor p. Veja alguns exemplos.

Exemplo 1:

Verifique o comportamento da função 2

1000( )f xx

= quando x tende ao

infinito, ou seja, 2

1000limx x→+∞

.

Solução: Podemos escrever esse limite como: 2

1lim 1000x x→+∞

⋅ ≤

Como 2

1lim 0,x x→+∞

= resulta que: 2

1lim 1000. lim 1000.0 0.x xx→+∞ →+∞

= =

Assim, 2

1000lim 0.x x→+∞

= Quando x vai se tornando cada vez maior, 2

1000x

vai ficando cada vez mais próximo de zero. Você pode ver melhor observando os valores da Tabela 26:

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Tabela 26 – Alguns valores para a função 2

1x

quando x aumenta.

x 10 100 1000 10 000 100 000 x → +∞

2

1x

0, 01 0,001 0,0001 0,00001 0,000001 2

1x 0→


Perceba que conforme os valores da variável x vão ficando maiores, a

tendência de 2

1( )f xx

= é ser cada vez menor, até que quando tomamos

o limite no infinito seu valor então será zero. Perceba o comportamento dessa função através do gráfico 56.

x

f(x)

10 100

0,010,0001

0,0000010,00000001

1000 10000

Figura 56 – Gráfico de uma função 2

1x

mostrando que, quando x aumenta a função tende para o infinito.


Exemplo 2

Estude o comportamento da função f (x) = x3, quando x tende ao infinito, ou seja, encontre o 3lim .

xx

→+∞

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Solução: Para x tendendo a mais infinito, x3 tenderá, também, para mais

infinito, ou seja, 3 3lim [ ] .x

x→+∞

= ∞ = ∞ Assim, de acordo com Guidorizzi

(2010, p. 84), “[...] se um número positivo for muito grande, tão grande quanto se possa imaginar, o seu cubo será, também, tão grande quanto se possa imaginar”.

Observe a Tabela 27, a qual ilustra o que o autor quer dizer:

Tabela 27 – Alguns valores para a função x3 quando x aumenta.

x 10 100 1000 10 000 x → +∞3x 1000 1000000 1000000000 1000000000000 3x → +∞


Partindo desses dois exemplos, entendemos que limites do tipo lim ( ) e lim ( )

x xf x f x

→+∞ →-∞ são denominados limites no infinito. A notação

simbólica x → +∞, que se lê: x tendendo a mais infinito, é usada para traduzir a ideia de que x vai se tornando cada vez maior e tão grande quanto se possa imaginar. Por outro lado, a notação x → –∞, que se lê: x tende a menos infinito, significa que x vai se tornando menor que qualquer número negativo que se possa imaginar.

Segundo Guidorizzi (2010), um limite da forma lim( ) (ou ), onde ,x p

f x p→

= +∞ - ∞ → pode ser substituído por x → p+,

x → p–, x → +∞ ou por x → –∞. De forma intuitiva, a noção simbólica

lim ( )x p

f x→

= +∞ traduz a ideia de que para todo x tendendo a p, o valor

da f (x) vai se tornando cada vez maior, ultrapassando o valor de qualquer número positivo, por maior que seja tal número.

Agora que já vimos algumas definições formais para limites tendendo ao infinito, vamos a um exemplo para entendermos melhor o que define o autor.

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Exemplo 3:

Estude o limite da função 1( )f xx

= quando x tender a ∞–. ∞+, 0–, 0+.

Solução: Para melhor entendimento, vamos montar quatro tabelas de valores:

Tabela 28 - Quando x decresce indefinidamente, isto é, x → ∞–.

x ‒1 ‒10 ‒100 ‒1000

1( )f xx

= ‒1 ‒ 0,1 ‒ 0,01 ‒ 0,001

Tabela 29 - Quando x cresce indefinidamente, isto é, x → ∞+.

x 1 10 100 1000

1( )f xx

= 1 0,1 0,01 0,001

Tabela 30 - Quando x se aproxima de zero por valores menores que zero, isto é, x → 0–.

x ‒1 ‒ 0,1 ‒ 0,01 ‒ 0,001

1( )f xx

= ‒1 ‒ 10 ‒ 100 ‒ 1000

Tabela 31 - Quando x se aproxima de zero por valores maiores que zero, isto é, x → 0+.

x 1 0,1 0,01 0,001

1 10 100 1000

Fonte: Elaboradas pelos autores (2013).

Assim, de acordo com as tabelas, temos que:

• 1lim 0,x x→∞

= ou seja, à medida que x aumenta, y tende para zero e o

limite é zero;

www.esab.edu.br 199

• 1lim 0,x x→-∞

= ou seja, à medida que x diminui, x tende para zero e o

limite é zero;

• 0

1lim ,x x→ +

= ∞ ou seja, quando x se aproxima do zero pela direita

de zero (x → 0+) ou por valores maiores que zero, x tende para o infinito e o limite é infinito;

• 0

1lim ,x x→ -

= -∞ ou seja, quando x tende para zero pela esquerda ou por

valores menores que zero, x tende para menos infinito.

Graficamente, podemos representar essa função do seguinte modo:

x

y

0

=

1yx

Figura 57 –Gráfico que representa a função 1( )f xx

= e assume valores positivos ou negativos conforme x

tende para o infinito positivo ou infinito negativo. Fonte: Elaborada pelos autores (2013).

Como podemos acompanhar ao longo desta unidade, o cálculo de limites nos permite estudar o comportamento de funções. Depois de todo o conteúdo apresentado sobre limites no infinito, falaremos, na unidade seguinte, sobre assíntotas horizontais e discorreremos sobre como ela se expressa.

www.esab.edu.br 200

33 Assíntotas horizontais

ObjetivoApresentar assíntotas horizontais.

Na unidade anterior, tivemos a oportunidade de aprender um pouco mais sobre limites no infinito. Agora, vamos aprender a analisar as assíntotas horizontais e verificar o seu comportamento graficamente através de exemplos.

A existência de assíntota depende do comportamento de uma função y = f (x) para valores que tendem para o +∞ e –∞. Por exemplo, considere

a função 3( ) .2

xf xx

+=

-

33 1 0Calculando-se o lim lim lim 122 1 0

33 1 0e o lim lim lim 1,22 1 0

x x x

x x x

xx x x

xxx x

xx x x

xxx x

→+∞ →+∞ →+∞

→-∞ →+∞ →+∞

++ += = =

- --

- +- + - += = =-- - - --

podemos observar que tanto o x tendendo a +∞ como x tendendo a –∞, temos que o limite é igual a 1.

Então, se os limites quando x tende a +∞ ou x tende a –∞ forem iguais, dizemos que a função tem uma assíntota horizontal y = 1 e o gráfico está descrito na Figura 58.

www.esab.edu.br 201

x

y

1

2

Figura 58 – Gráfico da assíntota horizontal no ponto y = 1.Fonte: Elaborada pelos autores (2013).

Assim, dizemos que uma reta y = 1 é assíntota da curva de uma função f (x) se a distância de um ponto tende ao infinito.

Nesse sentido, notamos que a curva é assíntota ao eixo y quando x assume valores positivos cada vez menores, se “aproximando” do zero e que para x = 2 a função não está definida pois não pertence ao domínio da função.

Agora, que você já analisou como se comporta uma função em relação a assíntota hotizontal, acompanhe mais alguns exemplos:

Exemplo 1

Guidorizzi (2010, p. 89) questiona: “[...] a função 3 4xyx+

= admite

assíntota em +∞? E em –∞? Admite assíntota horizontal? Esboce o gráfico.”

Solução: 3 4 3 4 ,x xyx x x+

= = + daí segue que 43 .yx

= + Para x

tendendo a +∞, a parcela 4x

tende a zero, o que significa que, quando x

cresce, o valor de y vai ficando cada vez mais próximo de 3.

www.esab.edu.br 202

A reta y = 3 é uma assíntota horizontal para a função em +∞. Do mesmo modo y = 3 é uma assíntota horizontal em –∞ e o gráfico da função

3 4xyx+

= tem o seguinte aspecto.

x

y=3

y

3 Assíntota horizontal

Figura 59 – Gráfico da assíntota vertical no ponto y = 3.Fonte: Elaborada pelos autores (2013).

Exemplo 2

Seja a função f (x) definida por 2

2

2( ) ,1

xf xx

=+

descubra suas assíntotas.

Solução: Para verificar se f (x) possui assíntotas, calculamos os limites

tendendo ao infinito positivo e negativo, ou seja, 2

2

2lim 2,1x

xx→±∞

=+

pois se

dividirmos o numerador e o denominador da fração por

2

22

2

2

22, temos: lim lim 2,

1 1x x

xxx

xx

→+∞ →+∞= =

+

ou ainda, de forma análoga, temos que: 2

2

2lim 2.1x

xx→-∞

=+

www.esab.edu.br 203

Nesse caso, como ambos os limites deram iguais, concluímos que y = 2 é a única assíntota horizontal de f.

Isso significa dizer que, à medida que x cresce ou decresce indefinidamente, a curva f (x) se aproxima arbitrariamente da reta assintótica y = 2, como podemos observar graficamente:

x

y

y=2

Figura 60 – Gráfico da assíntota horizontal no ponto y = 2. Fonte: Elaborada pelos autores (2013).

Exemplo 3

Determine a assíntota horizontal da função f real dada por 3( ) , 1

1xf x x

x= ≠

- e construa o gráfico dessa função.

Solução: Novamente, para descobrir as assíntotas, devemos calcular os limites tendendo ao infinito positivo. Assim, podemos dividir o numerador e o denominador pelo maior expoente, no caso x. Então:

33 3lim lim lim 3,11 1 0x x x

xx x

xxx x

→+∞ →+∞ →+∞= = =

- --

www.esab.edu.br 204

pois de forma análoga aos exemplos anteriores, vamos obter o limite quando x tendo +∞ igual a 3 e

33 3lim lim lim 3.11 1 0x x x

xx x

xxx x

→-∞ →-∞ →-∞= = =

- --

Como ambos os limites (infinito positivo e infinito negativo) possuem o mesmo valor, podemos concluir que y = 3 é a única assíntota horizontal de f, como podemos perceber no gráfico mostrado a seguir.

x

y

y=33

Figura 61 – Gráfico da assíntota horizontal da função 3( ) , 1.

1xf x x

x= ≠

-Fonte: Elaborada pelos autores (2013).

Exemplo 4

A reta de equação y = 1 é assíntota horizontal da função 2

2

1.1xy

x-

=+

Solução: Dado o limite 2

2

1lim ,1x

oux

xx→+∞

→-∞

-+

www.esab.edu.br 205

para resolvermos esse limite, devemos dividir o numerador e o denominador pelo maior expoente. Assim:

2

2 2 2 2

22

22 2

1 111lim lim lim .111 1x x xou ou oux x x

xx x x x

xxxx x

→+∞ →+∞ →+∞

→-∞ →-∞ →-∞

- --= =

+ ++

Como vimos na unidade 32, 1lim 0nx x→∞= podemos reescrever o limite

2

2

11 1 0 1lim , como: lim 1.1 0 1 11x xou oux x

x

x→+∞ →+∞

→-∞ →-∞

- -= =

++

Podemos observar que a função tende para 1 quando x tende para o infinito positivo ou negativo, ou seja, os limites tendendo para o infinito positivo ou negativo são iguais.

Observe a representação gráfica da função2

2

1,1xy

x-

=+

mostrada na Figura 62:

x1

y

y=1

Figura 62 – Gráfico da assíntora horizontal da função 2

2

1.1xy

x-

=+


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Finalizando esta parte sobre limites, podemos iniciar a próxima unidade com o assunto a respeito das derivadas, que nada mais é do que a taxa de variação instantânea de uma função. Vamo lá?

Estudo complementar

Sugiro que você assista ao vídeo disponível aqui, e acompanhe a videoaula sobre assíntotas horizontais para melhor entendimento da matéria estudada e resolva os exercícios propostos pelo professor da aula. Essa aula é muito interessante, vale a pena conferir!

http://www.im.ufrj.br/dmm/projeto/projetoc/precalculo/sala/conteudo/capitulos/cap121s4.html

http://www.im.ufrj.br/dmm/projeto/projetoc/precalculo/sala/conteudo/capitulos/cap121s4.html

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34 Derivadas

ObjetivoConceituar derivadas.

Depois de estudarmos as assíntotas horizontais, vamos dar continuidade à matemática aplicada, agora discorrendo sobre derivadas. Vamos trabalhar com derivadas nas próximas unidades e verificaremos o quanto essa matéria está intimamente ligada ao cotidiano empresarial em todas as suas formas. Estudaremos também aplicações de derivadas na análise geral de uma função, além de modelos da economia, administração e contabilidade. Antes de iniciarmos nossos estudos recomendamos o vídeo do ícone a seguir.

Por ora, iniciaremos esses estudos com Silva e Abrão (2008) e Guidorizzi (2010), que conceituam, exemplificam e abordam a origem histórica das derivadas.

Diversas áreas de conhecimento se utilizam da derivada como ferramenta para resolver problemas que envolvem variação. Na economia, utilizamos a derivada para estudar a receita, calcular o custo e o lucro marginal, e também para maximizar ou minimizar o lucro na venda de um determinado produto, para citar alguns exemplos. Mas suas aplicações são inúmeras e, em muitos casos, estão explicitamente ligadas ao conceito de derivada, que é a medida de variação.

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34.1 Como surgiu o estudo das derivadas

Historicamente, o estudo da derivada é o resultado de uma lenta evolução, que se iniciou na Antiguidade, quando os matemáticos da época utilizaram tabelas de quadrados e de raízes quadradas e cúbicas ou quando os Pitagóricos tentaram relacionar a altura do som emitido por cordas tensionadas. Naquela época, o conceito de limite não estava claramente definido. As relações entre as variáveis surgiram de forma implícita e eram descritas verbalmente ou por um gráfico.

Quando Descartes introduziu as coordenadas cartesianas, foi possível transformar problemas geométricos e problemas algébricos e estudar analiticamente as funções. A matemática recebeu ali um grande impulso, passando a aplicá-las em outras ciências.

Fermat, enquanto estudava as funções, se deu conta das limitações do conceito clássico. Ele achou importante reformular o conceito e encontrou um processo de traçar uma tangente em determinado ponto de um gráfico. Essa dificuldade ficou conhecida como “O Problema da Tangente”. Além disso, ele resolveu esse problema de uma maneira muito simples: para determinar uma tangente a uma curva em um ponto P, considerou outro ponto Q sobre a curva; considerou a reta PQ secante à reta. Depois fez deslizar Q ao longo da curva, em direção à P, obtendo retas PQ1 que se aproximavam de uma reta t, a qual Fermat chamou de reta tangente à curva no ponto P, como mostra o gráfico da Figura 63 a e b. Note que na Figura a o ponto P tem coordenadas P (x0, f (x0)) e Q tem coordenadas Q (x, f (x)) por onde passa a reta s . Na Figura b, podemos observar que o ponto Q desliza ao longo da curva, em direção à P até o ponto Q1 de coordenadas Q1 (x1, f (x1)) por onde passa a reta s1 e fazendo com que a reta s1 tenha coeficiente angular diferente da reta s em relação a reta t mesmo a reta t permanecendo tangente à curva.

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x

y sQ

P

Xo X

t

f(x)

f(xo)

A

x

y s

s1

P

Xo Xx1

Q1

Q

t

f(x)

f(xo)

f(x1)

B

Figura 63 – Exemplo do gráfico de uma função derivada segundo Fermat.Fonte: Elaborada pelos autores (2013).

Note que, na Figura 63, o ponto Q desliza sobre a curva no ponto Q1 formando o segmento PQ1 que se aproxima cada vez mais da reta t.

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Essas ideias constituíram o embrião do conceito de derivada. A derivada surgiu para resolver um problema muito interessante, que seria determinar a inclinação de uma curva f (x) em um determinado ponto x. Sabemos que existem infinitas inclinações em uma mesma curva e elas variam com a curva, diferentemente de uma reta, na qual existe apenas uma inclinação. A Figura 64 representa graficamente o comportamento dessa função.

Note que quando os pontos Q1, Q2, Q3, ..., Qn deslizam sobre a curva, se aproximando do ponto P, os pontos X1, X2, X3, ..., Xn se aproximam de zero e também podemos observar que as retas r1, r2, r3, ..., rn têm coeficiente angular diferente, em relação à reta tangente.

X0 X1Xn X3

Qn Q3 Q2Q1

rn r3

r2r1

X2

P

f(x)

f(x)

x

Figura 64 – Gráfico que representa a variação de uma curva quando Q1 se aproxima de P .Fonte: Elaborada pelos autores (2013).

Vamos imaginar a seguinte situação: um automóvel desloca-se em uma estrada que apresenta retas e curvas. Enquanto a estrada for constituída por uma reta, o motorista não precisa mudar a direção do movimento, ou seja, não precisa mudar a posição do volante. Ao entrar em uma curva, o motorista irá girar o volante e o automóvel irá mudar de direção. Se durante a curva o motorista tirar as mãos do volante, o automóvel mantém a direção e se desloca em linha reta, abandonando o traçado da curva.

Em termos gráficos, a direção de uma curva em um ponto é dada pela reta tangente à curva nesse ponto, assim, podemos observar no figura 65, que quando o motorista tirar as mãos do volante, o automóvel continuará seguindo em linha reta e o coeficiente angular desta reta tangente é chamada de derivada.

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xo x1

Reta tangente

f(xo)f(x1)

Figura 65 – Gráfico do trajeto que um automóvel faz em linha reta em uma estrada sinuosa.Fonte: Elaborada pelos autores (2013)

A direção de uma curva em cada ponto tem interpretação importante em diversos problemas.

• Se uma curva descreve o espaço percorrido por um móvel em função do tempo, S = f (t), a direção da curva em um ponto t representa a velocidade do móvel naquele instante. Observe graficamente e note que o móvel faz o trajeto partindo de A (x0, f (x0)) em direção a B (x1, f (x1)) sobre a reta r1. Agora, observe que

quanto mais o ponto B (x1, f (x1)) se aproxima do ponto A (x0, f (x0)), mais as

reta que passam pelo segmento ____AB se aproximam da reta tangente no ponto A.

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xo

BBB

A

x1

f(xo)f(x1)

C(x)

x

Figura 66 – Mostra que quanto mais o valor de x1 tender para x0, mais o ponto B se aproxima do ponto A e a reta tende a ficar tangente no ponto A.Fonte: Elaborada pelos autores (2013).

Assim, a derivada de uma função em um ponto A mede exatamente o coeficiente angular da reta tangente, uma vez que o coeficiente angular varia de acordo com a curva.

O processo do cálculo da derivada inclui duas etapas: o cálculo da taxa média de variação da função entre o ponto A e um ponto próximo e, em seguida, o limite da taxa de variação no ponto A, que veremos nas próximas unidades.

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35 Derivadas: Taxa de Variação

ObjetivoInterpretar a derivada como uma taxa de variação.

Iniciamos os estudos de derivadas conhecendo um pouco da sua história e a conceituando. Agora, prosseguiremos abordando o conceito de taxa de variação e seus gráficos, além de analisar a taxa de variação média e a taxa de variação instantânea. Tais análises ajudarão a entender o conceito de derivada, que tem grande aplicação nas mais variadas áreas do conhecimento.

Todos os dias pensamos muitas vezes na variação de grandezas, como o tempo gasto para se chegar à universidade ou a variação da temperatura em um dia específico. Vamos estudar a aplicação dessas taxas de variações em nosso dia a dia.

35.1 Taxa média de variação

Para medir a maior ou menor rapidez de variação de uma função f em

um intervalo [a,b], recorre-se ao seguinte quociente: ( ) ( ) ,f b f ab a

--

que se chama taxa média de variação (TMV) de f no intervalo [a,b]: ( ) ( )[ , ] .f b f a

TMV a bb a

-=

-

Seja f uma função definida no intervalo I, e p1 e p2 dois pontos de I. A taxa média de variação (TMV) da função f no intervalo [p1, p2] é o quociente:

2 1

2 1

( ) ( )f p f pTMV

p p-

=-

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Graficamente, a taxa média de variação mede o coeficiente angular da reta secante ao gráfico da função nos pontos, como podemos observar na Figura 67, na qual a reta s é secante à curva de f (x) e corta essa curva em dois pontos: P e Q.

Q

P

s

P1 P2

f(y )2

f(y )1

C(x)

x

Figura 67 – Gráfico que representa a reta s secante à curva da função dada. Fonte: Elaborada pelos autores (2013).

Podemos também dizer que a taxa média de variação (TMV) da função f entre os pontos p1 e p2 fornece a variação média dos valores de f (x) quando x passa do ponto p1 para o ponto p2.

Essa variação é traduzida por um crescimento, se TMV > 0, ou por um decrescimento, se TMV < 0. Se TMV = 0, então a função mantém-se constante em média entre os pontos p1 e p2.

Assim, dada uma função 2 1

2 1

( ) ( )( ), a razão f x f xy f x

x x-

=-

pode ser

interpretada como a taxa de variação da variável y em relação à variável x, isto é, essa taxa pode ser interpretada como uma forma de medir quão rápido a variável y está mudando à medida que a variável x muda.

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Exemplo 1

Calcule e interprete o valor da TMV (taxa média de variação) da função 2 10( ) ,

3 4xf x

x+

=+

no intervalo [0, 6].

Solução: De acordo com os dados do problema, temos: x1 = 0, x2 = 6.

Também podemos escrever:

2

1

2

2

0 10 10( ) (0) 2,503.0 4 4

6 10 46( ) (6) 2,09.3.6 4 22

f x f

f x f

+= = = =

+

+= = = =

+

Então, a taxa média de variação (TMV) é dada por: 2 1

2 1

( ) ( ) .f x f xx x

--

Substituindo os valores

1 2 1 2

2 1

2 1

0, 6, ( ) 2,50 e ( ) 2,09 vamos obter:

( ) ( ) 2,09 2,50 0,41TMV= 0,07.6 0 6

x x f x f x

f x f xx x

= = = =

- - -= = = -

- -

Também podemos determinar a TMV, usando a fórmula yTMV

xD

=D

que é equivalente a fórmula

2 1

2 1

( ) ( ) .f x f xx x

--

Em que:

Dy = f (x2) – f (x1) e Dx = x2 – x1.

Assim:

Dx = 6 – 0 = 6 Dy = 2,09 –2,50 = –0,41.

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Portanto:

0,41 0,076

yTMV

xD -

= = = -D

Logo, no intervalo [0,6] a função decresce 0,07 unidades em média. Veja graficamente como se comporta esta função:

2,502,09

6

Figura 68 – Gráfico da função2 10( ) ,

3 4xf x

x+

=+

no intervalo [0, 6].


Exemplo 2

Considerando que, para determinada empresa, a quantidade P de determinado produto produzido depende do número x de horas de produção, e que tal produção é dada por P = k ⋅ x2 na qual k é uma constante que pode variar. Tomando k = 1, temos P = x2, em que P é dada em toneladas. Então, temos a produção como função do tempo x, ou seja, P = f (x), e podemos escrever a produção como f (x) = x2.

Ainda escolhemos que o instante (tempo) do início da produção é representado por x = 0, ou seja, 0 horas, determine a taxa de variação média da produção para o intervalo de tempo das 3 horas até as 4 horas e também para o intervalo das 4 horas até as 5 horas (ou seja, para 3 ≤ x ≤ 4 e para 4 ≤ x ≤ 5).

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Solução: Primeiramente precisamos calcular a taxa de variação média no intervalo [3, 4] horas. Então: Taxa de variação média de f (x) para o intervalo de 3 até 4:

2

2

3 (3) 3 9Para

4 (4) 4 16

(4) (3) 16 39 16 9 7 ton/h4 3 1

x f

x f

f f

= ⇒ = =

= ⇒ = =

- -= = - =

-

Em seguida calcula-se, de forma análoga, a taxa de variação para o intervalo [4, 5] horas.

Taxa de variação média de f (x) para o intervalo de 4 até 5:

2

2

4 (4) 4 16

5 (5) 5 25

(5) (4) 25 16 25 16 9ton/h5 4 1

x f

x f

f f

= ⇒ = =

= ⇒ = =

- -= = - =

-

De acordo com a resolução do problema, podemos dizer que a taxa de variação média da produção para o intervalo de tempo das 3 horas até as 4 horas será de 7 toneladas por hora e a também para o intervalo das 4 horas até as 5 horas é de 9 toneladas por hora o que nos deixa claro que a taxa de variação média é obtida por meio da divisão de duas grandezas que, na prática, têm unidades de medida, então a taxa de variação média também tem unidade de medida que será dada pela divisão das duas unidades de medida envolvidas.

35.2 Taxa de variação instantânea

Podemos calcular a taxa de variação da produção para um instante específico e, ao calcularmos tal taxa, vamos denominá-la taxa de variação instantânea.

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Ao estudar a taxa de variação média, verifica-se que ela fica a desejar quando estamos interessados em conhecer o comportamento de uma função. Para conhecer tal intervalo, tem-se a taxa de variação instantânea. Ela nos mostrará intervalos muito pequenos, mas como “muito pequeno” é um valor relativo, o ideal é definir o que é taxa de variação em cada ponto. Em outras palavras, a taxa de variação instantânea é dada pela derivada da derivada da função dada. Observe como se pode calcular a taxa de variação instantânea no exemplo anterior:

Exemplo 3

Considerando que, para um grupo de operários em uma indústria de alimentos, a quantidade P de alimentos produzidos (ou industrializados) depende do número x de horas trabalhadas a partir do início do expediente, e que tal produção é dada por f (x) = x2, calcule a taxa de variação instantânea.

Solução: Se f (x) = x2, então a derivada dessa função é dada por f ′(x) = 2x e a derivada da função f ′(x) é igual a f ″(x) = 2. Isso significa dizer que são produzidas 2 toneladas por hora de trabalho.

Leia agora as observações a seguir.

• A taxa de variação pontual de f no ponto x0 é denominada simplesmente taxa de variação de f no ponto x0. No caso da variável independente ser o tempo, a taxa de variação é denominada instantânea.

• Quando se trata de taxa de variação média de uma função f em um determinado intervalo, a palavra “média” é imprescindível.

• Dada y = f (x), para calcularmos a taxa de variação pontual de f no ponto x0, se consideramos o acréscimo Dx > 0, fazemos Dx se aproximar de 0 por valores positivos e escrevemos Dx → 0+. Se consideramos Dx < 0, fazemos se aproximar de 0 por valores negativos e escrevemos Dx → 0–. Quando escrevemos simplesmente Dx → 0 ao calcularmos o limite, estamos fazendo Dx se aproximar de 0 tanto por valores positivos como por negativos.

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Agora que você já aprendeu a interpretar a derivada como uma taxa de variação, podemos ir adiante e aprofundar nossos conhecimentos estudando sobre as derivadas das funções polinomiais e exponenciais.

Tarefa dissertativa


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36 Derivadas de Funções Polinominais e Exponenciais

ObjetivoEncontrar a derivada de funções polinomiais e exponenciais.

De acordo com o que estudamos nas unidades anteriores e conforme explica Guidorizzi (2010, p. 114), “[...] dizemos que uma função y = f (x) é derivável em um conjunto se f ‘ (x) existir para todo x pertencente a este conjunto. Por outro lado, dizer simplesmente que y = f (x) é derivável significará que f ‘ (x) existe em todo x do domínio f (x)″. Nesta unidade, vamos aprofundar nosso conhecimento sobre derivada de função polinomial e exponencial que você já estudou na unidade 20.

A derivada da função polinomial, segundo Guidorizzi (2010) nos diz que, de um modo geral , para todo n inteiro positivo, a derivada de xn é n⋅x n–1. Observe a aplicabilidade da fórmula no exemplo que segue:

Exemplo 1

Calcule a derivada da função f (x) = 3x2.

Solução: Se f (x) = 3x2, então f ′(x) é dada por:

f (x) = 3x2 f ′(x) = 2⋅3x2–1

f ′(x) = 6x

Assim, se quisermos calcular a derivada da função f (x) = 3x2 em qualquer ponto, basta calcular o valor numérico da função f ′(x) = 6x para esse ponto dado.

Então: f ′(2) = 6 ⋅ 2 = 12 ou, ainda, f ′(–3) = 6⋅ –3 = –18.

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Logo, os resultados obtidos asseguram que o ponto x = 2 pertence ao intervalo em que a função f (x) = 3x2 é crescente pelo fato da derivada desse ponto ter dado um resultado positivo. Da mesma forma, o ponto x = ‒3 pertence ao intervalo em que a função é decrescente pelo fato da derivada nesse ponto ter dado um valor negativo.

Para facilitar os cálculos da derivada das funções, aplicamos algumas regras práticas que foram obtidas a partir da definição que mostramos anteriormente.

Fórmulas de derivação de funções

• Derivada da função constante: a derivada de uma constante é sempre igual a zero, ou seja, f (x) = a então f ′(a) = 0 com a uma constante qualquer, por exemplo:

Se f (x) = 2, então f ′(x) = 0; ou ainda: se f (x) = ‒0,4, então f ′(x) = 0 ⋅ –0,4 = 0.

• Derivada da potência: para Silva e Abrão (2008), se f (x) = xn, com n ∈ R, então a sua derivada é f ′(x) = n⋅x n–1, por exemplo:

Se f (x) = x10, então f ′(x) = 10⋅x10–1 = 10x9.

• Derivada da função polinomial do primeiro grau: a derivada da função polinomial do primeiro grau é igual ao coeficiente numérico do termo ax. Por exemplo:

Se f (x) = 5x + 3, temos que f ′(x) = 1⋅5x1–1 + 0.3 = 1⋅5 + 0 = 5; ou ainda: se f (x) = – 3x + 1, então f ‘ (x) = – 3.

• Derivada da função exponencial: se a é uma constante e u = f (x), vale a relação y = au ⇒ y = au ln a⋅u′, observe o exemplo:

Obter a derivada da função 2 25 .x xy += Note que: a = 5; u = x2 + 2x e

u ′= 2x + 2 vale a relação y ′= au ln a⋅u′, então: 2 2' 5 .ln 5(2 2)x xy x+= +

• Derivada da soma ou diferença de funções: de acordo com Silva e Abrão (2008, p. 141), “[...] se f e g são funções deriváveis e f (x) = f ±

www.esab.edu.br 222

g, então sua derivada é f ′(x) = (f ± g)′ = f ′± g″′. Conforme mostra o exemplo.

Se f (x) = 4x3 + 5x, entãof ′(x) = (4x3)′ + (5x)′, logo:

f ′(x) = (4x3 + 5x)′ = 12x2 + 5.

As derivadas e o aspecto do modelo funcional

A derivada mede a tendência ao crescimento e ao decréscimo que uma função y = f (x) apresenta em cada ponto x do seu domínio.

Pelo que mostramos nas taxas de variação, quando uma função for crescente, sua derivada será positiva no intervalo; quando for decrescente, será negativa.

O aspecto da curvatura do modelo também está relacionado com o comportamento das derivadas. Se a tendência ao crescimento (medido pelo valor da derivada) torna-se maior com o aumento do valor de x, a curvatura tem concavidade voltada para cima. De forma análoga, se a tendência ao crescimento (medido pelo valor da derivada) diminui com o aumento do valor de x, a curva tem a concavidade voltada para baixo.

Exemplo 2

Diga para quais pontos a derivada da função f (x) = x3 –12x2 + 8 é positiva e onde esta derivada é negativa. Faça um estudo da concavidade dessa função.

Solução: Inicialmente, vamos determinar a derivada da função f (x) = x3 –12x2 + 8. Assim,

f (x) = x3 –12x2 + 8f ′(x) = 3x3–1 –2⋅12x1–1

f ′(x) = 3x2 –24x

Agora vamos analisar a função f ′(x).

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Para sabermos onde a função cresce e onde decresce, precisamos igualar a zero a função derivada pois quando f ‘ (x) = 0 podemos resolver a equação e determinarmos os pontos onde o gráfico corta o eixo x e a função é nula, assim resolvendo a equação, obtemos: 3x2 –24x = 0. Aplicando o caso de resolução de equação quadrática incompleto, temos:

3x (x –8) = 0, então: 3x = 0 ⇒ x = 0e x –8 = 0 ⇒ x = 8

de onde se tem x’ = 0 e x’’ = 8. Como 3x2 –24x = 0 representa uma equação do 2º grau, podemos resolvê-la, também, usando a fórmula de Bhaskara:

2

2

4. . e vamos obter:2.

( 24) ( 24) 4.3.0 24 576 ,2.3 6

24 24' 86então

24 24" 06

b b a cxa

x x

x

x

- ± -=

- - ± - - ±= ⇒ =

+= =

-= =

Portanto, a derivada da função é uma parábola com curvatura para cima que corta o eixo x nos pontos x = 0 e x = 8, conforme mostra o gráfico a seguir.

80+++++++ ++++++++++--- - - - - - - - - - -

Figura 69 – Parábola com a concavidade voltada para cima e cortando o eixo x nos pontos x ‘ = 0 e x ‘‘ = 8.Fonte: Elaborada pelos autores (2013).

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Analisando o gráfico, temos que:

Como ax2 > 0, pois a função derivada é dada por f ′(x) = 3x2 –24x e 3x2 > 0, portanto a parábola tem a concavidade voltada para cima como vimos na unidade 14.

A derivada é positiva para x < 0 e x > 8, o que significa que a função é crescente para x ≤ 0 e x ≥ 8. Da mesma forma, podemos observar que a derivada é negativa para 0 < x < 8, o que indica que a função f (x) = x3 –12x + 8 é decrescente. Você pode fazer uma releitura da unidade 15 e verificar o comportamento das funções quadráticas.

Dica

Para você relembrar um pouco mais sobre função do segundo grau, concavidade, gráfico e estudo do sinal, assista ao vídeo “ Função do 2º Grau (Função Quadrática) - Definição, coeficientes”, disponível clicando aqui.

Exemplo 3

Diga para quais pontos a derivada f (x) = – x2 – 6x é crescente e faça um esboço do gráfico.

Solução: Derivando a função f (x) = – x2 – 6x, vamos obter f ′(x) = – 2x – 6. Igualando a função f ′(x) = 0, temos uma equação do primeiro grau, onde o gráfico representa uma reta. Então, – 2x – 6 = 0, de onde se tem que x = –3.

Como o termo ax é negativo, o gráfico representa uma função decrescente.

http://www.youtube.com/watch?v=pDonrCpC86U

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-3

+++++++++++ --- - - - - - - - - - -

Figura 70 – Gráfico de uma reta decrescente e seus respectivos sinais.Fonte: Elaborada pelos autores (2013).

Derivada da função exponencial

De acordo com o que vimos nas regras de derivação, nesta unidade podemos entender que se a é uma constante, vale a relação:

f (u) = au, então f ′(u) = au ⋅ ln a⋅u′.

Exemplo 1

Obter a função derivada da função 1( ) .2

x

f x =

Solução: Como acabamos de estudar, nossa função é do tipo

1( ) , em que e .2

uf u a a u x= = = De nossa fórmula, precisamos

calcular u ‘, que será 1

21 1' ( )' .2 2

u x xx

-

= = ⋅ = De acordo com

a fórmula da derivada da função exponencial (f ′(u) = au ⋅ ln a⋅u ′), a

derivada de f (x) será: 1 1'( ) ln ( )'.2 2

x

f x x = ⋅ ⋅

Como calculamos

acima, temos que: 1( )' .2

xx

= Então, substituindo esse resultado

www.esab.edu.br 226

na função f ’ (x), temos que: 1 1 1'( ) ln ,2 2 2

x

f xx

= ⋅ ⋅

que é o

resultado de nossa derivada.

Exemplo 2

Determine a função derivada da função 22 3 1( ) 3 .x xf x + -=

Solução: Novamente, nossa função é do tipo, em que a = 3 e u = 2x2 + 3x –1. Como vimos, precisamos calcular a derivada da função de u = 2x2 + 3x –1. Assim: u ′= (2x2 + 3x –1)′ = 2⋅2x2–1 + 1⋅3x1–1 –0⋅1. Logo: u ′= (2x2 + 3x –1)′ = 4x + 3. De acordo com a definição f ′(u) = au ⋅ ln

a⋅u′, temos que:2 22 3 1 2 3 1 2( ) (3 ) (3 ) ln3 (2 3 1) .x x x xf x x x+ - + -′ ′ ′= = ⋅ ⋅ + -

Substituindo R (x) = 30x – x2, por 4x + 3, temos: 22 3 1'( ) (3 ) ln3 (4 3),x xf x x+ -= ⋅ ⋅ + que é o resultado de nossa derivada.

Assim, concluímos que as derivadas podem ser resolvidas por meio de regras práticas de derivação, como vimos nos exemplos anteriores. Nas próximas unidades, continuando o assunto sobre derivadas, vamos aprofundar nossos conhecimentos com o estudo do cálculo da derivada pela regra do produto. Vamos em frente!

Atividade


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Resumo

Nas últimas seis unidades, estudamos que o resultado para o limite pode ser um número real finito ou infinito. Na unidade 31, aprendemos como identificar uma função contínua e uma função descontínua, suas propriedades, sua representação gráfica e sua aplicabilidade no ramo da economia. Vimos também que para que uma função seja contínua em um ponto, é necessário que o ponto permaneça no domínio, que exista limite no ponto (laterais e iguais) e que o limite seja igual ao valor da função no ponto.

Aos cálculos com limites no infinito, visto na unidade 32, em que o domínio da função “x” tende ao infinito, temos casos de indeterminação do tipo ∞ e –∞.

Quanto às assíntotas horizontais, que estudamos na unidade 33, vimos que uma função real de variável real f pode ter no máximo duas assíntotas horizontais, máximo esse apenas no caso em que os limites lim ( ) e lim ( )

x xf x f x

→-∞ →+∞ existam e sejam finitos e distintos.

Já na unidade 34, estudamos as derivadas e vimos que a derivada surgiu para resolver um problema muito interessante, que seria determinar a inclinação de uma curva f (x) em um determinado ponto x.

Além da definição de derivada, estudamos na unidade 35 os diferentes tipos de taxas e de variação. Nesta unidade podemos observar que temos dois tipos de taxas: a taxa de variação e a taxa de variação instantânea. O que diferencia uma da outra é a própria derivada, ou seja, para determinar a taxa de variação basta derivar a f (x) e encontrar a f ′(x) e para calcularmos a taxa de variação instantânea devemos derivar a função f ′(x) e determinar a f ″(x), para explorar melhor esta unidade mostramos alguns exemplos da aplicabilidade deste conteúdo para a resolução de problemas. Finalizando, aprendemos um pouco mais sobre a derivada das funções polinomiais e exponenciais que exploramos na unidade 36 através de exemplos e gráficos.

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37 Derivadas: regra do produto

ObjetivoCalcular a derivada pela regra do produto.

Nas unidades anteriores, vimos a definição de derivada, sua aplicabilidade no conteúdo sobre taxa de variação e também a derivada de funções polinomiais e exponenciais.

Nesta unidade, abordaremos a regra do produto para derivar funções e a derivada do produto de uma constante por uma função.

Para entendermos melhor o assunto desta unidade, recorremos a Guidorizzi (2010), que define a derivada do produto de duas funções como sendo a derivada da primeira multiplicada pela segunda, mais a primeira multiplicada pela derivada da segunda.

Em outras palavras, podemos dizer que, se as funções f (x) e g (x) e são deriváveis, então seu produto f (x) ⋅ g (x) também é derivável, resultando na regra do produto: (f (x) ⋅ g (x))′ = f ′(x) ⋅ g (x) + f (x) ⋅ g ′(x).

Para entendermos melhor como chegamos a essa definição, acompanhe o desenvolvimento da regra do produto por meio de alguns exemplos:

Exemplo 1

Calcule a derivada da função h (x) = x2 (x5 + 3x + 1).

Solução: Primeiro, identificamos f (x) e g (x). Após aplicarmos a regra do produto, temos:

f (x) = x2

g (x) = x5 + 3x + 1

www.esab.edu.br 229

Então:

(f (x) ⋅ g (x))′ = (x2)′ ⋅ (x5 + 3x + 1) + x2 (x5 + 3x + 1)′ == 2x (x5 + 3x + 1) + x2 (x4 + 3)

Efetuando as multiplicações e reduzindo os termos semelhantes, vamos obter h ′(x) = 2x6 + 6x2 + 2x + x6 + 3x2 = 5x6 + 9x2 + 2x, que é a derivada de h (x).

Exemplo 2

Calcule a derivada do produto das funções f (x) = x2 + 2x + 1 e g (x) = 2x + 1.

Solução: Aplicando o conceito da regra da derivada do produto, temos: (f (x)⋅g (x))′ = f ′(x)⋅g (x) + f (x)⋅g ′(x) e substituindo os valores de f (x) e g (x), temos:

(f (x)⋅g (x)) = (x2 + 2x + 1)′⋅(2x – 1) + (x2 + 2x + 1)⋅(2x – 1).

Assim, derivando os polinômios, vamos obter:

(f (x)⋅g (x))′ = (2x + 2)⋅(2x + 1) + (x2 + 2x + 1)⋅2 == 4x2 – 2x + 4x – 2 + 2x2 + 4x + 2

Portanto, reduzindo os termos semelhantes vamos obter a derivada da função produto. Logo:

(f (x)⋅g (x))′ = 6x2 + 6x

Exemplo 3

Determine a derivada da função h (x) = x2⋅ ex.

www.esab.edu.br 230

Solução: Se f (x) = x2 e g (x) = ex. Ao aplicar a regra do produto, temos que: (f (x)⋅g (x))′ = f ′(x)⋅g (x) + f (x)⋅g ′(x). Substituindo os valores da f (x) e da g (x) na fórmula, temos:

(f (x) ⋅ g (x))′ = (x2)′⋅ (ex) + (x2) ⋅ (ex)′

(f (x) ⋅ g (x))′ = 2x ⋅ ex + x2 ⋅ ex,

pois a derivada da função

ex é igual a ex.

Colocando o termo x ⋅ ex em evidência, temos a derivada de h (x) = x2 ⋅ ex:

h ′(x) = (f (x) ⋅ g (x))′ = x ⋅ ex (x + 2)

Saiba mais

Para aprofundar seus conhecimentos em derivada, assista ao vídeo “Curso básico de Derivada aula 1”, do professor José Fernando Grings, que está disponível aqui, e entenda melhor a definição de derivada através de alguns exemplos.

Derivada do produto de uma constante por uma função

Segundo Silva e Abrão (2008, p. 140), “[...] se f é uma função derivável e y = k ⋅ (x), em que k é uma constante, então sua derivada é: (k ⋅ f (x))′ = k ⋅ f ′(x), ou seja, a constante pode ser colocada fora do sinal de derivação”. Observe alguns exemplos.

Exemplo 1

Calcule a derivada da função h (x) = 3x2.

http://www.youtube.com/watch?v=Nwy4NILJDxw&list=PLEEDABAF4F530F79C

www.esab.edu.br 231

Solução: Se f (x) = 3 e g (x) = x2, temos:

(f (x) ⋅ g (x))′ = f ′(x) ⋅ g (x) + f (x) ⋅ g ′(x)

Substituindo na fórmula, vamos obter:

(f (x) ⋅ g (x))′ = (3)′ ⋅ (x2) + (3) ⋅ (x2)′

Resolvendo as derivadas, teremos a expressão que nos dá a derivada de h (x) = 3x2:

(f (x) ⋅ g (x))′ = 0 ⋅ x2 + 3 ⋅ 2x, então: (f (x) ⋅ g (x))′ = 0 + 6x = 6x.

Exemplo 2

Encontre a derivada da função h (x) = –7x3.

Solução: Como f (x) = –7 e g (x) = x3, temos:

(f (x) ⋅ g (x))′ = f ′(x) ⋅ g (x) + f (x) ⋅ g ′(x)

Substituindo os valores da f (x) e da g (x), na fórmula:

(f (x) ⋅ g (x))′ = (–7) ⋅ (x3) + (–7) ⋅ (x3)′

Desenvolvendo as derivadas, teremos a expressão que nos dá a derivada de h (x) = –7x3:

(f (x) ⋅ g (x))′ = 0 ⋅ x3 + (–7) ⋅ 3x2

logo (f (x) ⋅ g (x))′ = 0 + (–21x2) = –21x2

Exemplo 3

Determine a derivada da função =( ) 5 .h x x

Solução: Para = =( ) 5 ( ) ,f x e g x x temos:

(f (x) ⋅ g (x))′ = f ′(x) ⋅ g (x) + f (x) ⋅ g ′(x)

www.esab.edu.br 232

Substituindo os valores da f (x) e da g (x), na fórmula:

= +( ( ). ( ))' (5)'.( ) (5).( )'f x g x x x

Lembrando que podemos escrever a função = =12( ) como ( )g x x g x x e

podemos reescrever a expressão como: 1 12 2( ( ) . ( )) ' (5) ' . ( ) (5) . ( ) '.= +f x g x x x

Desenvolvendo as derivadas, teremos a expressão:1 12 21( ( ) . ( )) ' 0 . (5) .

2-

= +f x g x x x

Logo: - -

= + =1 12 21 5( ( ). ( ))' 0 (5. )

2 2f x g x x x

Portanto: -

=125( ( ). ( ))'

2f x g x x

pode ser escrita como:

=5( ( ). ( ))' ,

2f x g x

x que é a derivada de =( ) 5 .h x x

Nos exemplos citados, você pode observar que toda função do tipo f (x) = k ⋅ f (x) pode ser simplificadamente derivada colocando a constante fora do sinal da derivação. Agora, observe como ficaria o Exemplo 1 na forma simplificada: f (x) = 3x2 = 3 ⋅ (x2)′ = 3 ⋅ 2x2–1 = 6x.

Assim, podemos observar que a regra do produto pode ser aplicada de forma simplificada sempre que a função for do tipo f (x) = k ⋅ f (x).

Dando continuidade ao nosso tema sobre derivadas, vamos estudar, na unidade seguinte, como calcular a derivada pela regra do quociente. Vamos adiante!

www.esab.edu.br 233

38 Derivadas: regra do quociente

ObjetivoCalcular a derivada pela regra do quociente.

Dando continuidade ao assunto sobre derivadas, nesta unidade vamos estudar sobre as regras de derivação do quociente.

Segundo Guidorizzi (2010, p. 156), “[...] a derivada de um quociente é igual à derivada do numerador multiplicado pelo denominador menos o numerador multiplicado pela derivada do denominador, sobre o quadrado do denominador”.

Em outras palavras, podemos reescrever a definição de derivada do quociente da seguinte forma: se f (x) e g (x) têm derivada finita e se g (x) ≠ 0, então:

-=

'

2

( ) '( ). ( ) '( ). ( )( ) ( ( ))

f x f x g x g x f xg x g x

Vamos fazer alguns exemplos sobre a definição para que você entenda melhor como se aplica a fórmula da derivada do quociente.

Definição da regra do quociente: Se f (x) e g (x) são deriváveis, então:

-=

'

2

( ) '( ). ( ) '( ). ( ) ,( ) ( ( ))


o que resulta na fórmula para a

derivada do quociente de duas funções.

www.esab.edu.br 234

Exemplo 1

Extraído de Guidorizzi (2010, p. 157). Calcule a derivada da função

( ) .h x

Solução: Identificando f (x) = x2 + 1 e g (x) = x + 1, e sabendo que

-=

'

2

( ) '( ). ( ) '( ). ( ) ,( ) ( ( ))


podemos substituir os valores da

f (x) e g (x).

Assim, temos que: + + - + +

= +

' 2 2

2

( 1)' ( 1) ( 1)( 1)'( )( ) ( 1)

x x x xf xg x x

Resolvendo as derivadas dos polinômios, vamos obter:

+ - ++

2

2

2 ( 1) ( 1).1.( 1)

x x xx

Eliminando os parênteses do numerador através

da propriedade distributiva, temos: + - -+

2 2

2

2 2 1.( 1)

x x xx

Agora, reduzindo os termos semelhantes, vamos obter como resposta:

+ -= +

' 2

2

( ) 2 1,( ) ( 1)

f x x xg x x

que é a derivada da função

+=

+

2 1( ) .1

xh xx

Exemplo 2:

Dada a função +

=-

2( ) ,3

xh xx

determine sua derivada no ponto x = 1.

Solução: Identificando f (x) = 2 + x,

-= - =

'

2

( ) '( ). ( ) '( ). ( )( ) 3 e( ) ( ( ))

f x f x g x g x f xg x x

g x g x e, podemos substituir

os valores da f (x) e g (x).

Assim, + - - + -

= -

'

2

( ) (2 )'.(3 ) (2 ).(3 )' .( ) (3 )

f x x x x xg x x

Derivando as

funções, temos:

www.esab.edu.br 235

- - + -= -

'

2

( ) 1(3 ) (2 )( 1) .( ) (3 )

f x x xg x x

Aplicando a propriedade distributiva,

vamos obter:

- + += -

'

2

( ) 3 2( ) (3 )

f x x xg x x

Reduzindo os termos semelhantes, chegaremos ao resultado:

= -

'

2

( ) 5 ,( ) (3 )

f xg x x que é a derivada de +

=-

2( ) .3

xh xx

Agora, calculamos a derivada no ponto x = 1. Para isso basta substituirmos o valor de x na função derivada. Assim, temos:

= = -

'

2

(1) 5 5 .(1) (3 1) 4

fg Então, 5

4 é o valor da derivada da função

h (x) no ponto x = 1.

Exemplo 3:

Seja 5( ) ,1

+=

+xf xx

determine os itens a seguir.

• O domínio da função f (x), estudado na unidade 9.

• A derivada da função f (x), vista na unidade 34.

• A função admite assíntota? Quais? Estudamos esse tema na unidade 33.

• Esboce o gráfico dessa função.

Solução: a) Para determinarmos o domínio da função, precisamos observar que uma fração só não existe quando o seu denominador for igual a zero.

Logo, x + 1 ≠ 0. Então, resolvendo a inequação, teremos: x ≠ 1. Com isso, podemos escrever o domínio da função como sendo todos os números reais, exceto o número 1, ou seja, D (f ) = {x ∈ R / x ≠ 1}.

www.esab.edu.br 236

b) De acordo com a derivada do quociente, temos que: se f (x) = x + 5 e g (x) = x + 1, temos que

-=

'

2

( ) '( ). ( ) '( ). ( ) .( ) ( ( ))


Podemos substituir os valores da

f (x) e da g (x), e teremos:

+ + - + + + - += = + +

'

2 2

( ) ( 5)'.( 1) ( 1)'.( 5) 1( 1) (1)( 5) .( ) ( 1) ( 1)

f x x x x x x xg x x x

Portanto, resolvendo as multiplicações e reduzindo os termos semelhantes, obteremos:

+ - - -= = + +

'

2 2

( ) 1 5 4( ) ( 1) ( 1)

f x x xg x x x

c) Dada a função +

=+

5( )1

xf xx

Vamos verificar se existe assíntotas de acordo com o que estudamos na unidade 33.

1. Como o denominador da fração não pode ser zero, então a função só existe se x + 1 ≠ 0 em que se tem que x ≠ –1, logo x = –1 é a assíntota vertical, como mostra no gráfico a linha paralela ao eixo x.

2. Para calcular a assíntota horizontal, precisamos calcular o limite quando x tende ao ∞ e este limite tem que ser igual a um número

real. Logo: →∞

++

5lim1x

xx

pode ser calculado dividindo o numerador e

o denominador da fração pela variável de maior expoente. Assim:

→∞ →∞ →∞

++ += = =

+ ++

55 1 0lim lim lim 1,11 1 0x x x

xx x x

xxx x

portanto: y = 1 é uma

assíntota horizontal da função dada, como mostra a reta paralela ao eixo y, no gráfico da Figura 71.

www.esab.edu.br 237

Então, podemos concluir que para y = 1, é uma assíntota horizontal e para x = –1, é uma assíntota vertical.

d) De acordo com o que calculamos nos itens anteriores, podemos

construir um esboço do gráfico da função +

=+

5( ) .1

xf xx

y

x

1

-1

Figura 71 – Gráfico da função

+=

+5( )1

xf xx

e suas assíntotas verticais e horizontais.

Fonte: Guidorizzi (2010, p. 329).

Estudo complementar

Para aprofundar um pouco mais o assunto sobre regra de derivada do quociente, assista ao vídeo: “Derivadas, exercícios resolvidos passo a passo”, disponível aqui.

Como você pôde observar nesta unidade, a derivada do quociente entre dois polinômios nada mais é do que a razão entre a derivada do produto pelo quadrado da função do denominador e também observou que não é necessário desenvolver o denominador da função (como veremos mais tarde). Dando continuidade ao assunto sobre derivadas, vamos, na unidade seguinte, fazer uma revisão através de exercícios sobre a derivada das funções.

http://www.youtube.com/watch?v=zjT3Xy-p2HA

www.esab.edu.br 238

39 Exercícios sobre derivadas

ObjetivoResolver problemas e exercícios sobre derivadas de funções polinomiais, exponenciais e o uso da regra do produto e do quociente.

Depois de termos estudado (nas unidades 36, 37 e 38) alguns pontos importantes sobre derivadas, vamos fazer, nesta unidade, uma revisão sobre as unidades já abordadas através de exercícios. Para isso, tomaremos como base os livros de Guidorizzi (2010), Silva e Abrão (2008) e Murolo e Bonetto (2012).

Para darmos início aos exercícios, vamos fazer uma pequena revisão sobre derivadas – você pode acompanhá-la no ícone a seguir.

Saiba mais

Como vimos nas unidades anteriores, a derivada tem suas regras e definições. Para relembrá-las, assista ao vídeo “Cálculo I – derivadas”, disponível aqui. Nessa aula, o professor apresenta e exemplifica a definição de função derivada.

Agora que você já relembrou o que estudou nas outras unidades, passamos aos exercícios sobre derivadas e suas regras.

Exemplo 1

Calcule, aplicando a regra do produto, a derivada da função h (x) = –4x2 (x2 –3x) no ponto x = 1.

http://www.youtube.com/watch?v=WcFfGlH02uI

www.esab.edu.br 239

Solução: Como podemos observar na função dada, temos uma função na qual os termos estão se multiplicando. Então, podemos escrever: h (x) = f (x) ⋅ g (x) e f (x) = –4x2 e g (x) = (x2 –3x). Daí, podemos derivar pela regra do produto: (f (x) ⋅ g (x))′ = f (x) ⋅ g (x) + f (x) ⋅ g ′(x). Substituindo os valores, temos: (f (x) ⋅ g (x))′ = (–4x2) ⋅ (x2 –3x) + (–4x2) ⋅ (x2 –3x)′.

Assim: (f (x) ⋅ g (x))′ = (–8x) ⋅ (x2 –3x) + (–4x2) ⋅ (2x –3). Portanto, h ′(x) = –8x3 + 24x2 –8x3 + 12x2 ⇒ h ′(x) = –16x3 + 36x2.

Logo, para calcularmos o valor da derivada no ponto x = 1, basta substituir este valor na função h ′(x) = –16x3 + 36x2 e vamos obter h ′(1) = –16(1)3 + 36(1)2 ⇒ h ′(1) = –16 + 36 = 20.

Exemplo 2

Explique por que a derivada da função -

= -34567,8345

( ) ( )f x e é igual a zero?

Solução: Segundo Silva e Abrão (2008), se f (x) = k, sua derivada é f ′(x)

= (k)′ = 0 e como e e são números, a função -

= -34567,8345

( ) ( )f x e não

possui variável. Logo, -

-34567,8345

( )e é igual a uma constante k, portanto: f ′(x) = (k)′ = 0.

Exemplo 3

Encontre a f ′(–1) da função polinomial f (x) = 10x4 –5x3 + 2x2.

Solução: Utilizando a regra prática para derivar polinômio segundo Silva e Abrão (2008), temos:

f (x) = (10x4 –5x3 + 2x2)′ = (10x4)′ – (5x3)′ + (2x2)′

www.esab.edu.br 240

Como a regra prática de derivação de polinômios nos diz que para derivarmos um polinômio basta multiplicar o expoente pelo coeficiente numérico e o expoente da parte literal diminui 1 unidade, temos:

f ′(x) = 10⋅4x4–1 –5⋅3x3–1 + 2⋅2x2–1 = 40x3 –15x2 + 4xLogo: f ′(–1) = 40(–1)3 –15(–1)2 + 4(–1) = –40 –15 –4 = –59

Então: f ′(–1) = –59

Exemplo 4

Se +

=-

4( ) ,5

xf xx

encontre a derivada de f (x) e determine o domínio da

f ′(x).

Solução: Se +

=-

4( ) ,5

xf xx

temos, por definição, que f (x) = 4 + x e g

(x) = 5 – x.

Assim, podemos aplicar a regra do quociente:

-=

'

2

( ) '( ). ( ) '( ). ( )( ) ( ( ))


Substituindo os valores da

f (x) e da g (x), temos: + - - + -

= -

'

2

( ) (4 )'.(5 ) (4 ).(5 )'( ) (5 )

f x x x x xg x x

Resolvendo as derivadas e efetuando as multiplicações, temos:

- - + - - + += = = - - -

'

2 2 2

( ) 1.(5 ) (4 ).( 1) 5 4 9( ) (5 ) (5 ) (5 )

f x x x x xg x x x x

Para determinarmos o domínio da função, devemos estudar o numerador da função. Como ele não pode ser zero, fazemos: (5 – x)2 ≠ 0 → 5 – x ≠ 0 → x ≠ 5, do qual concluímos que D (f ) = R – {5}, ou seja, a derivada de f (x) não está definida em x = 5.

www.esab.edu.br 241

Exemplo 5

Calcule a derivada da função exponencial f (x) = e3x.

Solução: Sabemos que a função f (x) é uma função exponencial de grau ou expoente 3x.

Assim, f ′(x) = (e3x)′. Para iniciarmos o cálculo da derivada, vamos utilizar a regra de derivação da função exponencial que nos diz que a derivada de uma exponencial é igual à própria exponencial multiplicado pela derivada da potência. Então: f ′(x) = e3x ⋅ (3x)′ ⇒ f ′(x) = e3x ⋅ 3 = 3 . e3x. Da qual se pode afirmar que a derivada da função f (x) = e3x é igual a f ′(x) = 3 ⋅ e3x.

Exemplo 6

Calcule a derivada da função pela regra do quociente e em

seguida determine a derivada no ponto x = 1.

Solução: Se +

=-

2( ) ,2

xf xx

temos, por definição, que f (x) = x + 2 e g (x)

= x –3.

Assim, podemos aplicar a regra do quociente:

-=

'

2

( ) '( ). ( ) '( ). ( )( ) ( ( ))


Substituindo os valores da f (x) e da

g (x), temos: + - - + -

= -

'

2

( ) ( 2)'.( 3) ( 2).( 3)' .( ) ( 3)

f x x x x xg x x

Resolvendo as derivadas e efetuando as multiplicações, temos:

- - + - - - -= = = - - -

'

2 2 2

( ) 1.( 3) ( 2).(1) 3 2 5 .( ) ( 3) ( 3) ( 3)

f x x x x xg x x x x

www.esab.edu.br 242

Portanto: -

=- 2

5'( ) ,( 3)

f xx

mas como queremos determinar a derivada

no ponto x = 1, temos que substituir o valor de x na função derivada por 1.

Logo: - - - -

= = = = =- - -2 2 2

5 5 5 5'( ) '( ) .( 3) (1 3) ( 2) 4

f x f xx

Da qual se pode concluir que a derivada da função no ponto x = 1é igual

a -5 .4

Conforme os exemplos apresentados nesta unidade, tivemos a oportunidade de revisar e fixar o estudo das derivadas das funções polinomiais e exponenciais, bem como o uso da regra do produto e do quociente para resolver problemas de derivação. Na próxima unidade, aproveitando o estudo que já fizemos nesta, daremos continuação ao estudo das derivadas com a parte I da regra da cadeia. Vamos em frente!

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40 Derivadas: regra da cadeia – parte I

ObjetivoCalcular as derivadas pela regra da cadeia.

Para aprofundar nossos estudos sobre derivadas, vamos apresentar nesta unidade, como calcular algumas derivadas aplicando a regra da cadeia. Antes de mostrarmos na prática, veremos algumas definições e demonstrações.

De acordo com Guidorizzi (2010, p. 159), “[...] sendo f (x) derivável, é válida a seguinte regra para a derivada de y = (f (x))n onde n ≠ 0 onde é um real qualquer”. Então, podemos representar matematicamente a definição do autor como: y = (f (x))n ⇒ n (f (x))n–1 f ′(x).

Para você entender melhor a definição, note que: Se f (x) = (2x + 3)2, podemos escrever essa função como f (x) = u2 em que u = (2x + 3). Perceba nesta escrita que há uma composição de funções, ou seja, uma dentro da outra. Assim, usando a regra da cadeia, podemos derivar a função f (x) = (2x + 3)2 da seguinte forma: f ′(x) = (u2)′⋅u′. Substituindo os valores, temos: f ′(x) = [(2x + 3)2]′⋅(2x + 3)′.

Então: f ′(x) = 2(2x + 3)⋅2 ⇒ f ′(x) = 4(2x + 3).

Agora, você poderia estar se perguntando qual o objetivo de usar a regra da cadeia? Para responder a essa pergunta, pense de que forma você derivaria a função f (x) = (2x + 1)5. Podemos fazê-la usando Binômio de Newton e obter o polinômio f (x) = 35x5 + 80x4 + 80x3 + 40x2 + 10x + 1 e derivando essa função vamos obter a f ′(x) = 160x4 + 320x3 + 240x2 + 80x + 10.

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Até aqui o exercício torna-se muito fácil. Porém, podemos agora questionar como seria a derivada da função f (x) = (2x + 1)200. Poderia também ser desenvolvida pelo Binômio de Newton, mas demoraria muito tempo e a chance de erro seria muito grande.

Nesse caso, teríamos que recorrer à regra da cadeia, cujo objetivo é encontrar uma fórmula que expresse a derivada de uma função composta f0 g (x), em termos das derivadas de f (x) e g (x).

Assim, aplicar a regra da cadeia permite que funções complicadas sejam derivadas como funções mais simples e, para simplificarmos o que foi dito até agora, podemos reescrever a regra da cadeia definida por Guidorizzi (2010) da forma y = (f (x))n ⇒ n(f (x))n–1 f ′(x), como: [f (g (x))]′ = f ′(g (x)) ⋅ g ′(x) ou ainda podemos escrever a derivada da função composta como f ′(x) = (u2)′⋅u′.

Com isso, podemos responder à pergunta sobre a derivada da função f (x) = (2x + 1)200.

Sabendo que a função f (x) = (2x + 1)200, suponha que f (u) = u200 e que u(x) = 2x + 1 é uma função composta, pois podemos escrever a função f (x) = (2x + 1)200 como f (u) = (2x + 1)200 ou seja, escrevermos a função f (u) = u200 e no lugar de u, trocamos por u(x).

Pela regra da cadeia f ′(x) = (u200)′⋅u′, em que (u200)′ = 200u199 = 200(2x + 1)199 e u′ = 2, lembrando que u(x) = 2x + 1. Então podemos substituir os valores e obter a função f ′(x) = 200⋅(2x + 1)199⋅2 = 400(2x + 1)199.

Da qual se tem que a derivada da função f (x) = (2x + 1)200 é igual a f ′(x) = 400(2x + 1)199.

Nosso objetivo a seguir é estabelecer uma regra, denominada regra da

cadeia, para a derivada dydx

da função composta y = f (g (x)).

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Dica

Para entender melhor a regra da cadeia, assista ao vídeo “Derivada de função composta, raiz, polinomial aula 11” que está disponível neste link. Neste vídeo, o professor José Fernando Grings resolve alguns exemplos de função composta e sua derivação. Vale a pena conferir!

Agora que você já aprendeu a definição da regra da cadeia, vamos analisar alguns exemplos.

Exemplo 1

Extraído de Guidorizzi (2010). Calcule, pela regra da cadeia, a derivada

da função = +2 5y x .

Solução: Primeiramente é necessário observarmos que temos, na

função = +2 5,y x duas funções. A primeira vamos chamar de

=y u e a segunda u = x2 + 5. Então: = +2 5y x é equivalente a

= = +2 em que 5.y u u x

Sabemos que: -

= = =1 12 21 1' ( )' e, portanto ' .

2 2y u u y

u

Por outro lado, u′ = (x2 + 5)′ e, portanto, u′ = 2x.

Pela regra da cadeia, temos que: ='( ) ( )'. '.f x u u Substituindo os valores, temos:

= = =1 2' .2

2 2x xy x

u u u

Substituindo u por x2 + 5, temos como resultado: 2

' ,5

=+

xyx

a derivada

que queríamos obter.

http://www.youtube.com/watch?v=lJGbtSmXD18

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Exemplo 2

Extraído de Guidorizzi (2010). Considere as funções y = u5, u = x4 e x = t3.

a. Calcule a derivada das funções y, u e x.

b. Expresse y em função de t e determine a derivada da função encontrada.

Solução: a) Para calcularmos a derivada de cada uma das funções temos que:

y ′= (u5)′ = 5u4

u ′= (x4)′ = 4x3

x ′= (t3)′ = 3t2

b) De acordo com o enunciado, temos que: y = u5, u = x4, x = t3.

Assim podemos escreve a função y = u5 e substituir u por x4 e vamos

obter a expressão y = (x4)5 que é igual a, y = x20 pela propriedade das potências: manter a base e multiplicar os expoentes. De forma análoga, podemos substituir x por t3 e vamos encontrar a função y = (t3)20, que por meio da mesma propriedade aplicada anteriormente temos y = t60 que foi obtida por meio de uma composição de funções.

Logo, para determinarmos a derivada de y = t60, temos y ′= 60x60–1 ⇒ y ′= 60x59, que é o resultado que estávamos procurando.

Como podemos observar nesta unidade e através desses exemplos, a regra da cadeia é aplicada a funções compostas, com o objetivo de tornar mais simples algumas funções mais complexas. Na próxima unidade, você terá a oportunidade aprender um pouco mais sobre essa regra através de alguns exemplos. Mãos à obra!

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41 Regra da cadeia – parte II

ObjetivoCalcular as derivadas pela regra da cadeia.

Na unidade anterior, aprendemos que a regra da cadeia é a derivada da função composta. Para você relembrar o assunto sobre derivada, seria interessante rever o vídeo que está disponível no estudo complementar da unidade 38. Lá você verá passo a passo as formas de derivação que serão muito úteis para este conteúdo, pois nesta unidade, iremos resolver alguns exercícios para que você possa entender a aplicação dessa regra em algumas funções.

Para Silva e Abrão (2008), a regra da cadeia pode ser calculada derivando a função simples e depois derivando a função composta. Por meio de alguns exemplos, entenda melhor o que diz o autor. Note que os exemplos 1 e 2 correspondem a uma mesma função, mas que a solução será por métodos diferentes.

Exemplo 1

Calcule a derivada da função = +2 1.y x

Solução: Suponha que = = +2 e 1.y u u x

Derivando a função simples -

= =1

21, temos: ' ,2

y u y u que é o mesmo

que =1'

2y

ue derivando a função u = x2 + 1, temos: u ′= 2x.

Aplicando a regra da cadeia, temos: ='( ) ( )'. ',f x u u assim substituindo os valores vamos

www.esab.edu.br 248

= + = =+ + +

=+

2

2 2 2

2

1 1obter: '( ) ( 1)', então '( ) .2 .2 1 2 1 1

Portando : '1

xf x x f x xx x x

xyx

Agora, observe no Exemplo 2 como Guidorizzi (2010) o desenvolve.

Exemplo 2

Calcule pela regra da cadeia a derivada de = +2 1.y x

Solução: Primeiro, é preciso desmembrar a função em funções

que saibamos derivar. Então: = +2 1y x é equivalente a

= = +2 e 1.y u u x

Sabemos que: -

= = =1 12 21', então ( )' ,

2dy dy

y u udu du

e, portanto,

=1

2dydu u

de onde se tem que a derivada de y ′ é igual a 1

2 u.

Por outro lado, 2( 1) ' e, portanto, 2 .= + =du dux xdx dx

De onde se tem que a

derivada de u é igual a 2x.

Pela regra da cadeia, temos que: = . .dy dy dudx du dx

Substituindo os valores,

temos:

= ⇒ = =1 2. .2 .

2 2dy dy du x xxdx du dx u u u

Substituindo u por

+ =+

2

21, resulta: .

1

dy xxdx x

www.esab.edu.br 249

Estudo complementar

Para você entender melhor sobre a derivada da função composta, assista à videoaula “Derivada – Regra da Cadeia Aula 1”. Você pode acessá-la clicando aqui e observar como podemos derivar alguns polinômios. Também seria interessante que você refizesse alguns dos exercícios para fixar o conteúdo trabalhado.

Como você pôde observar nos Exemplos 1 e 2 e nos exercícios apresentados no vídeo, podemos usar a regra da cadeia de uma forma mais simplificada e prática, como podemos ver nos exemplos que seguem.

Exemplo 3

Calcule a derivada da função f (x) = (2x + 1)3.

Solução: Para calcular a derivada dessa função, precisamos identificar as funções elementares y = u3 e u = (2x + 3) que formam a função composta e aplicar a regra da cadeia. Assim:

f (x) = (2x + 1)3

y = u3 ⇒ y ′= 3u2

u = 2x + 1 ⇒ u ′= 2

Então, y ′(x) = y ′(u)⋅u ′(x) ⇒ y ′(x) = 3u2⋅2.

Agora, vamos voltar à derivada, para a variável original x. Então, u = 2x + 1. Logo: y ′(x) = 3(2x + 1)2⋅2 = 6(2x + 1)2.

Portanto, a derivada da função f (x) = (2x + 1)3 é f ′(x) = 6(2x + 1)2.

http://www.youtube.com/watch?v=iQooZZIUW8g

www.esab.edu.br 250

Exemplo 4

Calcule a derivada da função f (x) = (x + 1)2, usando a regra da cadeia e em seguida calcule a derivada nos pontos: x1 = –1, x2 = 0 e x3 = 1. Logo após, construa o gráfico da função f ′(x) nos pontos x1, x2, x3.

Solução: Separando as funções em funções elementares, temos:

f (x) = (x + 1)2

y = u2 ⇒ y ′= 2uu = x + 1 ⇒ u ′= 1

Usando a fórmula da regra da cadeia (estudada na unidade 40), temos: y ′(x) = y ′(u)⋅u(x) ⇒ y ′(x) = 2u⋅1. Voltando à derivada, para a variável original x, teremos: u = x + 1. Logo: y ′(x) = 2(x + 1) ⋅1 = 2x + 2. Portanto, a derivada de f (x) = (x + 1)2 é f ′(x) = 2x + 2.

Agora que já encontramos a derivada da função f (x) = (x + 1)2, podemos determinar o valor dessa derivada nos pontos x1 = –1, x2 = 0 e x3 = 1. Então:

Para x = –1, temos: f ′(–1) = 2(–1) + 2 = 0.

Para x = 0, temos: f ′(0) = 2(0) + 2 = 2.

Para x = 1, temos: f ′(1) = 2(1) + 2 = 4.

Como você pode observar, a função f ′(x) = 2x + 2 representa uma reta, pois a função é do primeiro grau. Então, podemos representá-la graficamente nos pontos x1 = –1, x2 = 0 e x3 = 1.

www.esab.edu.br 251

1

2

4

-1 x

f (x)

Figura 72 – Gráfico da função = +'( ) 2 2.f x xFonte: Elaborada pelos autores (2013).

Exemplo 5

Encontre a derivada da função = +

5

( ) .1 3

xf xx

Solução: Note que, primeiramente, devemos fragmentar a função em duas funções elementares, observe:

= + =

=+

5

5

( )1 3

1 3

xf xx

y uxu

xUsando a fórmula da regra da cadeia estudada na unidade 40, temos:

42

(1).(1 3 ) ( )( 3)'( ) '( ) . '( ) '( ) 5 . .(1 3 )

- - -= ⇒ = -

x xy x y u u x y x ux

Note que para

derivarmos =-

,1 3

xux

precisamos usar a regra do quociente (que vimos

na unidade 38).

www.esab.edu.br 252

Então, continuando a derivar a função

- - - = - 4

2

(1).(1 3 ) ( )( 3)'( ) 5 . ,(1 3 )

x xy x ux

temos:

- - - = - -

4

2

(1)(1 3 ) ( )( 3)'( ) 5 . .1 3 (1 3 )

x x xy xx x

Resolvendo as

multiplicações e reduzindo os termos semelhantes, chegamos ao seguinte

resultado: =-

4

6

5'( ) ,(1 3 )

xf xx

que é a derivada procurada.

De acordo com os exemplos que vimos nesta unidade e segundo Guidorizzi (2010) e Silva e Abrão (2008), podemos entender que toda função composta do tipo fog (x) (que estudamos na unidade 26) pode ser derivada aplicando a regra da cadeia.

Assim, dando continuidade aos nossos estudos sobre derivadas vamos estudar, na próxima unidade, a respeito das derivadas de ordem superior. Vamos lá?

www.esab.edu.br 253

42 Derivada de ordem superior

ObjetivoApresentar derivadas de ordem superior.

Nesta unidade, vamos estudar sobre a derivada de ordem superior que, segundo Murolo e Bonetto (2012), nada mais é do que derivar a função até seu último grau de derivação, ou seja, quantas vezes for possível. Dentro desse contexto, vamos aprender a derivada de segunda ordem e sua aplicabilidade dentro da Cinemática e da Economia.

Para Murolo e Bonetto (2012), podemos definir a derivada de ordem superior como a função derivada da f ′(x), a partir da qual obtém-se a f ″(x), que quando derivada resulta na f ″′(x), e assim sucessivamente.

A derivada segunda de f (x) é obtida a partir da derivação da derivada da f ′(x), isto é, podemos dizer que a derivada segunda de f (x) é a “derivada da derivada” da função f (x).

Assim, para representarmos a derivada segunda, temos:

=2

2"( ) d yf x

dxEntão, quando derivamos a função pela primeira vez, temos f ′(x), que é chamada de derivada de primeira ordem. Quando derivamos a derivada f ′(x), temos a f ″(x), que é chamada de derivada de segunda ordem.

De modo parecido ao realizado para a segunda derivada, temos a derivada terceira, ou a derivada de terceira ordem de f (x). Obtemos a

derivada terceira =3

3"'( ) ,d yf x

dx derivando a derivada segunda, ou seja,

derivando “três vezes” a função f (x).

www.esab.edu.br 254

Portanto, segundo Murolo e Bonetto (2012, p. 214), “[...] generalizando as derivadas sucessivas, teremos a derivada e – nézima ou derivada de e – nézima ordem, ou ainda derivada de ordem n de f (x)”.

Ainda segundo o autor, obtemos a derivada e – nézima =( )n

nn

d yf x

dx

derivando n vezes a função f (x).

Para entender melhor a definição da derivada de ordem superior, observe os exemplos a seguir.

Exemplo 1

Extraído de Murolo e Bonetto (2012). Dada a função f (x) = x5, obtenha a derivada terceira.

Solução: Devemos derivar a f (x) = x5 três vezes, ou seja, vamos obter, em sequência, as derivadas primeira, segunda e terceira da f (x).

=

=

= =

=

5

4

3

2

2

( )

'( ) 5assim:

"( ) 20

"'( ) 60

Pode-se concluir que "'( ) 60 .

f x x

f x x

f x x

f x x

f x x

Exemplo 2

Se f (x) = x8, calcule a derivada de ordem 3

Solução: Dado f (x) = x8, calculando as derivadas sucessivas, temos:

f ′(x) = 8x8–1 = 8x7

f ″(x) = 8⋅7x7–1 = 56x6

f ″′(x) = 56⋅6x6–1 = 336x5

De forma geral, temos que a derivada terceira da função f (x) = x8 é igual a f ″′(x) = 336x5.

www.esab.edu.br 255

Outro exemplo em que podemos usar a derivada de segunda ordem é na área de Economia, na qual a primeira derivada da função, f ′(t), fornece a variação da taxa de inflação em qualquer instante de tempo t. Dessa forma, quando um economista ou um político alega que “a inflação está diminuindo”, o que ele quer dizer é que a taxa de inflação está decrescendo.

Matematicamente isto é equivalente a notar que a segunda derivada f ″(t) é negativa no instante t, como podemos acompanhar no Exemplo 3.

Exemplo 3

Suponha que o Índice de Preços ao Consumidor (IPC) de uma economia é descrito pela função f (t) = –0,2t3 + 3t2 + 100, com (0 ≤ t ≤ 9). Em que t = 0 corresponde ao início do tempo em anos. Calcule a f ′(6) e f ″(6).

Solução: De acordo com o enunciado, temos que:

f (t) = –0,2t3 + 3t2 + 100f ′(t) = –0,6t2 + 6tf ″(t) = –1,2t + 6

Portanto, para determinarmos a f ′(6) e f ″(6), basta substituir os valores nas funções indicadas. Então:

f ′(6) = –0,6(6)2 + 6⋅6 = 14,4f ″(6) = –1,2(6) + 6 = –1,2

Portanto, f ′(6) = 14,4 e f ″(6) = –1,2. Os cálculos revelam que ao final do sexto ano a taxa de inflação está decrescendo.

Agora que você já sabe que para derivar a função em qualquer ordem, basta derivar a derivada sucessivamente, observe o Exemplo 4.

Exemplo 4

Determine as derivadas de todas as ordens da função polinomial f (x) = 2x5 – 3x4 + 2x3 + 5x – 12.

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Solução: Para encontrarmos todas as derivadas dessa função, devemos derivá-la o máximo possível, até que se obtenha uma constante. Pois, como vimos em unidades anteriores, a derivada de uma constante é igual a zero. Assim:

f (x) = 2x5 –3x4 + 2x3 + 5x –12f ′(x) = 10x4 –12x3 + 6x2 + 5

f ″(x) = 40x3 –36x2 + 12xf ″′(x) = 120x2 –72x + 12

f 4 (x) = 240x –72f 5 (x) = 240

f 6 (x) = 0

Assim, podemos observar que desse ponto em diante, a derivada será sempre zero, isto é, f n (x) = 0, para n ≥ 6.

Saiba mais

Agora, é interessante que você assista ao vídeo “Cálculo I – Derivada de ordem superior” disponível aqui. Nessa videoaula, você terá a oportunidade de aprender mais um pouco sobre a derivada de ordem superior e também relembrar sobre algumas propriedades que vimos nas unidades anteriores.

Como vimos até aqui, as derivadas de ordem superior são muito importantes em certos problemas teóricos de matemática e estatística. As derivadas de segunda ordem podem ser usadas para a representação gráfica das funções (como será discutido em unidades posteriores) e também são úteis sempre que a taxa de variação da quantidade representada pela primeira derivada seja de interesse. Por exemplo, a taxa de variação da velocidade é a aceleração, e a taxa de variação da inflação indica se ela está crescendo, decrescendo ou é constante.

http://www.youtube.com/watch?v=ogJ-cwc2kAc

www.esab.edu.br 257

Resumo

Durante o estudo sobre derivadas, vimos algumas regras de derivação que nos permitem calcular a derivada de algumas funções como, por exemplo, as funções polinomiais, exponenciais ou até mesmo as funções em forma de fração. Para cada uma dessas funções, podemos observar que existem regras que facilitam a sua derivação.

Na unidade 37, estudamos sobre a regra do produto aplicada à multiplicação entre polinômios e a regra do quociente (vista na unidade 38) que, de forma análoga à regra do produto, nos permite calcular a derivada da razão entre dois polinômios.

Ainda sobre as derivadas, na unidade 39, resolvemos alguns exercícios que serviram como reforço e revisão do conteúdo sobre o tema abordado.

Finalizando esta parte do conteúdo, aprendemos a derivação pela regra da cadeia, nas unidades 40 e 41, através de definições e exemplos práticos. Encerrando, vimos (na unidade 42) que algumas funções podem ser derivadas mais de uma vez, como as derivadas de ordem superior.

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43 Exercícios sobre derivadas

ObjetivoPropor exercícios sobre a regra da cadeia e derivadas de ordem superior.

Na unidade anterior trabalhamos com o conceito de derivadas de ordem superior, que são derivações sucessivas de uma mesma função, podendo aplicar todas as regras para a derivação de uma função. Nesta unidade, resolveremos minuciosamente alguns exercícios sobre regra da cadeia e derivada de segunda ordem, e você ainda terá a oportunidade de rever outras regras importantes, como a regra do quociente e do produto.

Exemplo 1

Dada a função y = (x2 + 3x + 3)5, determine sua derivada, ou seja,

determine .dydx

Solução: Vimos, nas unidades 40 e 41, que quando temos uma função do tipo y = (f (x))n,podemos aplicar a regra da cadeia, que é dada por: y ′= n (f (x))n–1 f ′(x).

Comparando a função y = (x2 + 3x + 3)5 apresentada no enunciado com a fórmula da regra da cadeia identificamos que n = 5, f (x) = x2 + 3x + 3 e precisamos calcular f ′(x). Se f (x) = x2 + 3x + 3 então basta derivarmos esse polinômio e ficaremos com f ′(x) = 2x + 3. Aplicando os resultados na fórmula teremos:

y ′ = n(f (x))n–1 f ′(x) ⇒ y ′ = 5(x2 + 3x + 3)5–1 (2x + 3) = = 5(x2 + 3x + 3)4 (2x +3).

Ou seja, a derivada de y = (x2 + 3x + 3)5 será y ′ = 5(x2 + 3x + 3)4 (2x + 3).

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Exemplo 2

Dada a função + = +

53 3 ,2 1xyx

encontre y ′.

Solução: Aqui aplicaremos novamente a regra da cadeia, vista nas unidades 40 e 41, do seguinte modo:

= .dy dy dudx du dx

Como anteriormente, primeiro escreveremos

( ) += = =

+5 3 3 e ,

2 1xy g u u ux

ou seja, vamos considerar que toda a

expressão que está elevada na 5ª potência é uma variável u, e mostrar a

fórmula ,dydu

que é u′ = 5u4. Depois, fazemos ,dudx

que neste caso é uma

expressão mais complexa, pois teremos que aplicar a regra para derivação de um quociente, conforme vimos na unidade 38.

Para derivar a expressão ++

3 3 ,2 1xx

aplicaremos a regra do quociente, dada

por: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )-

=

2

. ' . '' ,

g x f x f x g xy x

g x considerando que

f (x) = 3x + 3, f ′(x) = 3, g (x) = 2x + 1 e g ′(x) = 2. Substituindo esses resultados na expressão, ficamos com:

( ) ( ) ( )( )

( )( )

( )( )

+ ⋅ - + ⋅=

++ - -

=+

-=

+

2

2

2

2 1 3 3 3 2'

2 16 3 6 6'

2 13'

2 1

x xy x

xx xy x

x

y xx

www.esab.edu.br 260

Dessa forma, aplicando a regra da cadeia, e dada a função + = +

53 3 ,2 1xyx

temos: ( )

-= ⋅

+4

2

3' 5 .2 1

y ux

Substituindo +

=+

3 3 ,2 1xux

teremos a expressão final para nossa derivada que será:

( )+ - = ⋅ + +

4

2

3 3 3' 52 1 2 1xyx x

Exemplo 3

Dada a função y = 3x2 + 6x + 5, encontre a derivada segunda.

Solução: Aplicaremos aqui as derivadas sucessivas, vistas na unidade 42. Logo, para encontrar a segunda derivada da função y = 3x2 + 6x + 5, faremos sua derivação duas vezes consecutivas, como segue:

Se y = 3x2 + 6x + 5, então y ′= 6x + 6 e y ″= 6. A derivada segunda da função y = 3x2 + 6x + 5 é y ″= 6.

Exemplo 4

Dada a função = +2 1,y x encontre sua derivada segunda.

Solução: Novamente, aplicaremos as derivadas sucessivas, vistas na

unidade 42. Logo, para encontrar a segunda derivada da função = +2 1,y x faremos sua derivação duas vezes consecutivas. Contudo, é

importante lembrar que essa função necessita de mais atenção antes de se

fazer sua derivação – vamos fazer ( )= + = +1

2 2 21 1 .y x x Desse modo,

poderemos aplicar a regra da cadeia, que diz: se temos uma função do

tipo y = (f (x))n, então sua derivada será y ′= n (f (x))n–1 ⋅ f ′(x), como vimos nas unidades 40 e 41.

www.esab.edu.br 261

Comparando a função ( )= +1

2 21y x com a regra da cadeia, podemos

identificar = = +21 e ( ) 1.2

n f x x Para aplicarmos a regra da cadeia,

precisamos calcular f ′(x) que será f ′(x) = 2x. Agora, basta substituirmos esses resultados na fórmula da regra da cadeia:

- --= ⋅ ⇒ = + ⋅ = + ⋅1 111 2 22 21 1' ( ( )) '( ) ' ( 1) 2 ( 1) 2

2 2ny n f x f x y x x x x

Dessa forma, nossa primeira derivada será -

= + ⋅1

2 2' ( 1) .y x x

Para calcularmos a segunda derivada, precisamos derivar a expressão -

= + ⋅1

2 2' ( 1) .y x x Porém, agora nós temos um produto de duas funções,

as quais podemos identificar como ( ) ( ) ( )-= = +

12 2 e 1 .f x x g x x Desse

modo, teremos que usar a regra da derivada do produto de duas funções, dada por y ″= f ′(x) ⋅ g (x) + f (x) ⋅ g ′(x), conforme vimos na unidade 37. Note que pela fórmula, além de f (x) e g (x) precisamos calcular também suas derivadas, f ′(x) e g ′(x). A derivada f (x) = x pode ser calculada diretamente, e será f ′(x) = 1.

Já para calcularmos a derivada de ( ) ( )1

2 21g x x-

= + , precisaremos usar a regra da cadeia. Como fizemos no início deste exemplo, vamos identificar os componentes da fórmula da regra da cadeia. Comparando

( ) ( )-= + =

12 21 com ( ( )) ,ng x x y f x podemos identificar que

( )= - = +21 e 1.2

n f x x Mas como a fórmula da derivada pela regra da

cadeia é y ′= n (f (x))n–1 ⋅ f ′(x), sabemos que ainda precisamos calcular f ′(x). Calculando essa derivada, teremos f ′(x) = 2x. Agora substituímos esses resultados na regra da cadeia para obtermos g ′(x). Assim, teremos:

( ) ( )31 12 2 221' 1 2 ( 1) .

2g x x x x x

-- -= - + ⋅ = + ⋅ Agora que já temos g ′(x),

podemos substituir os dados na fórmula da derivada da regra do produto, que era o que nos faltava para aplicar essa fórmula.

www.esab.edu.br 262

Dos cálculos que havíamos feito inicialmente, sabemos que:

( ) ( ) ( ) ( )1

2 2, 1 , ' 1f x x g x x f x-

= = + = e também que

( )-

= + ⋅3

2 2' ( 1)g x x x (como acabamos de calcular). Substituindo estes na regra do produto, teremos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )31

2 2 22' ' . . ' '' 1 1 ( 1)y f x g x f x g x y x x x x--

= + ⇒ = ⋅ + + ⋅ + ⋅

Reescrevendo nossa expressão, teremos nossa resposta final que será:

( )3 21

2 2 2 222 2 3

1'' 1 ( 1)1 ( 1)

xy x x xx x

--= + + + = +

+ +

Note que para resolver esses exercícios tivemos que aplicar os conceitos de derivadas sucessivas, regra do produto e regra da cadeia, o que resultou em uma demonstração bastante longa. Contudo, revendo-a em detalhes você compreenderá melhor.

Na próxima unidade, estudaremos o conceito de máximos e mínimos de uma função. Com larga aplicação na área administrativa, teremos a oportunidade de resolver exercícios aplicando o conceito de máximos e mínimos de uma função nessa área.

www.esab.edu.br 263

44 Aplicações de derivadas no estudo das funções

ObjetivoEstudar máximos e mínimos de uma função.

Na unidade anterior, trabalhamos com as derivadas de ordem superior através de exemplos práticos, dando a você condições de acompanhar as ideias que serão apresentadas nas próximas unidades. Nesta etapa, apresentaremos o conceito de máximos e mínimos de uma função, mostrando como encontrá-los e aplicá-los.

Um ponto de máximo ou mínimo de uma função é um ponto no qual seu gráfico muda de crescente para decrescente, ou vice-versa. Medeiros (2005) diz que sua determinação sinaliza o caminho que devemos seguir para que um fenômeno estudado apresente resultados compatíveis com aqueles previstos pelo modelo próximo a esses pontos.

Acompanhe o exemplo apresentado por Goldstein, Schneider e Lay ( 2012, p. 144), no qual uma droga é injetada em um músculo. A concentração do entorpecente nas veias tem uma curva tempo-concentração, como a que aparece na figura a seguir.

www.esab.edu.br 264

t (h)

mg/L

2 4 6 8

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

1 3 5 7 9

Figura 73 – Curva tempo-concentração de uma droga.Fonte: Goldstein, Schneider e Lay (2012, p. 144).

Em t = 0, não há droga nas veias. Quando injetada no músculo, ela começa a se espalhar na corrente sanguínea. A concentração nas veias aumenta e atinge seu valor máximo em t=2 horas. Depois desse instante, ela começa a diminuir, sendo removida do sangue pelos processos metabólicos do corpo, tendendo a zero. Neste exemplo, podemos considerar que em t = 2 horas, temos um ponto de máximo da função.

Medeiros (2005) diz que um ponto P é um ponto de máximo sempre que existir um intervalo I, centrado em P, no qual: f (P ) ≥ f (x), representado graficamente por P1 na Figura 74. Ressalta também que um ponto P é um ponto de mínimo sempre que existir um intervalo I, centrado em P, sendo: f (P ) ≤ f (x), representado graficamente por P2 na Figura 74. Em outras palavras, entende-se que um ponto P é um ponto de máximo quando a função no ponto P assume valor que necessariamente é maior ou igual a qualquer outro valor assumido pela função. Além disso, um ponto P é um ponto de mínimo quando a função no ponto P assume valor que basicamente é menor ou igual a qualquer outro valor assumido pela função.

www.esab.edu.br 265

y

x

Ponto de máximo

Ponto de mínimo

P1

P2

Figura 74 – Ponto de máximo e ponto de mínimo.Fonte: Elaborada pelos autores (2013).

Dissemos que no ponto de máximo a função atinge seu maior valor e no ponto mínimo, seu menor valor. É importante salientar que os conceitos de ponto máximo e mínimo apresentados nesta unidade são conceitos de ponto de máximo e ponto mínimo locais, ou seja, valem para as proximidades do ponto.

Existe uma relação entre os pontos de máximo e mínimo e as derivadas de uma função. Considere y = f (x) uma função derivável. Se P é um ponto de máximo (Figura 75 (a)), a função deve ser crescente à esquerda e decrescente à direita do ponto P. Assim, a primeira derivada de f, ou seja, y ′, é positiva à esquerda de P, e y ′ é negativa à direita de P. No ponto P, a primeira derivada de f, que é y ′, é nula. Com o ponto P representando um ponto de mínimo (Figura 75 (b)), a função deve ser decrescente à esquerda e crescente à direita do ponto P. Dessa forma, a primeira derivada y ′ é negativa à esquerda de P e positiva à direita de P.

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y

x

DecrescenteCrescente

P

y

x

CrescenteDecrescente

P

BA

Figura 75 – Ponto de máximo (a) e ponto de mínimo (b).Fonte: Elaborada pelos autores (2013).

Veremos agora o primeiro critério para a localização de um ponto de máximo ou mínimo: o critério da primeira derivada. Medeiros (2005) sugere que devemos:

a. identificar os candidatos a ponto de máximo e mínimo e, para isso, devemos:• calcular a primeira derivada;• calcular os pontos que anulam a primeira derivada (identificando

os candidatos).b. classificar o candidato:

• se y ′ for negativa à esquerda de P e y ′ for positiva à direita de P, então P é um ponto de mínimo.

Decrescente- - - - - - - - - - + + + + + + + + + +

Crescente

Sinal de yP

Figura 76 – Ponto de mínimo, critério da 1a derivada.Fonte: Elaborada pelos autores (2013).

• se y ′ for positiva à esquerda de P e y ′ for negativa à direita de P, então P é um ponto de máximo. Observe a Figura 77:

www.esab.edu.br 267

Decrescente

- - - - - - - - - -+ + + + + + + + + +

Crescente

Sinal de yP

Figura 77 – Ponto de máximo, critério da 1a derivada.Fonte: Elaborada pelos autores (2013).

Acompanhe o exemplo:

Identifique e classifique os candidatos a pontos de máximo e mínimo para a função y = – x2 + 4x, x ∈ R.

Solução: Primeiro, calcularemos a primeira derivada. Segue:

y ′ = – 2x + 4

Agora, iremos analisar o sinal da função da seguinte maneira:

Quando > ⇒ - + > ⇒ << ⇒ - + < ⇒ >

' 0 2 4 0 2' 0 2 4 0 2

y x xy x x

, ou seja: à esquerda de 2, y ′ é

positivo, e à direita ele é negativo. Logo x = 2 é um ponto de máximo. Acompanhe o esquema da Figura 78:

Decrescente

- - - - - - - - - -+ + + + + + + + + +

Crescente

Ponto de máximo 2Figura 78 – Ponto de máximo.


www.esab.edu.br 268

Na maioria de nossas aplicações, usaremos o critério da segunda derivada para identificar os pontos de máximo e mínimo, o qual será apresentado na próxima unidade. Contudo, apresentaremos, como exemplo ilustrativo, uma aplicação em que encontraremos o valor de máximo usando exclusivamente o critério da primeira derivada. A partir de agora, usaremos o critério da primeira derivada somente em situações inconcludentes ou quando o cálculo da segunda derivada for muito trabalhoso.

Exemplo: Considere uma empresa que fabrica um produto com um

custo mensal (C), dado pela função = - + +3 21 2 12 54,3

C q q q na qual

q é a quantidade do produto. Esse produto é vendido em unidades a um preço de R$ 33,00. Qual a quantidade que deve ser produzida a fim de se obter o máximo lucro mensal?

Solução: Como estamos calculando o lucro máximo possível, falamos de um ponto de máximo. Para calcularmos o lucro máximo, consideraremos que o lucro é a receita menos o custo, assim:

Lucro = Receita – Custo ⇒ L = R – C

Como a receita (R) é o produto da quantidade (q) pelo preço (P) R = P x q, podemos escrever que R= 33q, pois o preço de R$33,00 foi retirado do enunciado e a letra q representa a quantidade do produto. Assim, podemos fazer a seguinte substituição na função lucro:

3 2

3 2

133 2 12 543

1 2 21 543

Lucro Receita Custo L R C

L q q q q

L q q q

= - ⇒ = -

= - - + +

= - + + -

Agora aplicaremos o critério da primeira derivada. Assim, derivando L, temos:

L′ = – x2 + 4x + 21

Essa equação tem raízes (‒3, 7). Logo:

www.esab.edu.br 269

‒‒ +

Sinais de L’‒3 7

Figura 79 – Análise do sinal da função.Fonte: Elaborada pelos autores (2013).

Analisando o comportamento de L:

Comentário da análise: Não consideramos a quantidade –3, que se trata de umaquantidade negativa. Observando a �gura anterior, nota-seque à esquerda de 7 L’ > 0 e à direita L’ < 0, o que caracterizaum ponto de máximo.

-3 7

Figura 80 – Análise de pontos máximos e mínimos.Fonte: Elaborada pelos autores (2013).

Considerando a quantidade positiva, o ponto de máximo é q = 7. Logo, para ter o máximo de lucro, a empresa deve vender 7 unidades por mês.

Nesta unidade, aplicamos o conceito de derivada para encontrar um ponto de máximo ou de mínimo. Através de um exemplo prático, aplicamos a ideia de máximos e mínimos na área da Administração. Na próxima etapa, continuaremos o estudo dos máximos e mínimos e aprenderemos como identificar se um ponto é de máximo ou de mínimo através do critério da segunda derivada. A fim de mostrar sua aplicação na área administrativa, apresentaremos exemplos práticos.

www.esab.edu.br 270

45 Aplicações de derivadas no estudo das funções – parte I

ObjetivoApresentar derivada segunda e concavidade de um gráfico.

Na unidade anterior, apresentamos a ideia de máximos e mínimos aplicada à administração. Vimos como encontrar um ponto de máximo ou de mínimo através do critério da primeira derivada. Empregando as ideias de Medeiros (2005), mostraremos nesta unidade como encontrar um ponto de máximo ou de mínimo utilizando o critério da segunda derivada.

Uma derivada mede o crescimento ou decrescimento de uma função. Medeiros (2005) diz que o crescimento ou decrescimento da tendência (derivada) pode ser medido por meio da sua segunda derivada, ou seja, a derivada da função derivada.

Assim, se considerarmos y = f (x), a primeira derivada f ′(x) avaliará o crescimento da função, e a segunda derivada f ″(x) avaliará o crescimento ou decrescimento de f ′(x), que corresponde à concavidade de f (x).

Faremos agora a análise de alguns gráficos utilizando como argumentos a primeira e segunda derivada.

Quando a função for crescente, a primeiraderivada será positiva. Note que a curvatura – ou concavidade – está para cima. Dessa forma, a segunda derivada também apresentará um valor positivo.

x

yGráfico 1: função crescente

Figura 81 – Função crescente I.Fonte: Elaborada pelos autores (2013).

www.esab.edu.br 271

Como no grá�co anterior, quando a função forcrescente, a primeira derivada será positiva.Entretanto, a curvatura – ou concavidade –está para baixo. Assim, a segunda derivadaapresentará um valor negativo.

x

yGráfico 2: função crescente

Figura 82 – Função crescente II.Fonte: Elaborada pelos autores (2013).

Quando a função for decrescente, a primeiraderivada será negativa. Note que a curvatura– ou concavidade – está para cima.Dessa forma,a segunda derivada apresentaráum valor positivo.

x

yGráfico 3: função decrescente

Figura 83 – Função decrescente I.Fonte: Elaborada pelos autores (2013).

No caso, quando a função for decrescente,a primeira derivada será negativa.A curvatura – ou concavidade – está parabaixo. Assim, a segunda derivada tambémapresentará um valor negativo.

x

yGráfico 4: função decrescente

Figura 84 – Função decrescente II.Fonte: Elaborada pelos autores (2013).

www.esab.edu.br 272

x

reta 1 - crescente

reta 2 - decrescente

y

Gráfico 5: função crescente e decrescente

Figura 85 – Função crescente (reta 1) e função decrescente (reta 2).Fonte: Elaborada pelos autores (2013).

No Gráfico 5 temos duas funções lineares. Na reta 1, a função é linear crescente. Logo, a primeira derivada é positiva e, como não apresenta curvatura, a segunda derivada é nula. A reta 2 apresenta função decrescente, sendo que a primeira derivada é negativa e a segunda é nula.

Na unidade anterior, mostramos como encontrar um candidato a ponto de máximo ou de mínimo utilizando a primeira derivada. Agora apresentaremos o critério da segunda derivada que servirá para de fato sabermos se o ponto encontrado na primeira derivada é de máximo ou de mínimo. Medeiros (2005) descreve o procedimento para determinar um ponto de máximo ou de mínimo utilizando o critério da segunda derivada.

a. Identificação dos candidatos a pontos de máximo e a pontos de mínimo:• calcular a primeira derivada; • calcular os pontos que anulam a primeira derivada, identificando

os candidatos a pontos de máximos e ou mínimos.b. Classificação do candidato (saber se cada ponto é máximo ou

mínimo):• calcular a segunda derivada; • calcular o valor da segunda derivada no ponto candidato.

Se f ″(P ) < 0, a concavidade é para baixo e P é um ponto de máximo.

Se f ″(P ) > 0, a concavidade é para cima e P é um ponto de mínimo.

Se f ″(P ) = 0, não apresenta concavidade, dizemos que o teste é inconcludente.

www.esab.edu.br 273

Exemplo 1

Considere a função y = x2 – 8x + 3 com x ∈ R. Diante disso, determine o ponto de máximo ou de mínimo.

Solução: Primeiramente, vamos identificar os candidatos calculando a primeira derivada e encontrando os pontos que anulam (zeram) a função derivada, como vimos no passo a).

A derivada será y ′= 2x – 8. Agora, fazendo y ′= 0 para encontrar os pontos que anulam a derivada da função, temos:

2x – 8 = 02x = 8x = 4

O candidato que anula a derivada da função é o 4. Calculando a segunda derivada, obtemos: y ″= 2. Substituindo, temos: y ″(4) = 2 > 0. Como a segunda derivada apresenta um valor positivo, a concavidade é para cima, caracterizando um ponto de mínimo. Portanto, x = 4 é um ponto de mínimo.

Exemplo 2

Uma grande revendedora de peças buscou analisar a variação nas vendas dos últimos oito anos de um de seus principais produtos. Segundo seu estudo, a variação das vendas do produto pode ser expressa com boa proximidade por Q (t) = 91 – 15t + 9t 2 – t 3, em que P(t) é a quantidade de produtos vendidos em função do tempo t, em anos. Então, quais foram os períodos de maior e de menor venda do produto?

Solução: Se sabemos o comportamento das vendas do produto pela função Q (t) = 91 – 15t + 9t 2 – t 3, então podemos determinar em que períodos as vendas foram maiores ou menores encontrando os pontos de máximo ou de mínimo da função. Como vimos, inicialmente encontramos o ponto em que a primeira derivada se anula. Desse modo, saberemos se a função tem pontos de máximos e ou mínimos.

www.esab.edu.br 274

Calculando a primeira derivada, teremos:

Q (t) = 91 – 15t + 9t 2 – t 3 ⇒ Q ′(t) = 0 – 15t1–1 + 2 ⋅ 9t 2–1 – 3 ⋅ t 3-1 == – 15 + 18t – 3t 2

Agora, calculamos os pontos em que a derivada primeira se anula, fazendo:

Q ′(t) = – 15 + 18t – 3t 2 = 0

Como se trata de uma equação do segundo grau, podemos encontrar os pontos que anulam a função utilizando a fórmula de Bhaskara, com a qual em nosso caso identificamos como a = ‒3, b = 18 e c = ‒15. Substituindo esses valores na fórmula de Bhaskara, temos:

- ± - - ± - ⋅ - ⋅ -= =

⋅ -- ± - - ±

= =- -

- + - - - -= = = = = =

- - - -

2 2

1 2

4 18 18 4 ( 3) ( 15)2 2 ( 3)

18 324 180 18 1446 6

18 12 6 18 12 30Teremos então: 1 e 56 6 6 6

b b acta

t

t t

Logo, esses são candidatos a pontos de máximo ou mínimo.

Para sabermos de fato se os pontos são de máximo ou de mínimo, utilizamos a segunda derivada da função e a aplicamos em cada ponto. Se o resultado der positivo, o ponto será de mínimo; se der negativo, o ponto será de máximo. Vamos calcular a segunda derivada.

Q ′(t) = – 15 + 18t – 3t 2 ⇒ Q ″(t) = 18 – 6t

Agora, aplicamos os pontos t=1 e t=5:

Q ″(1) = 18 – 6(1) = + 12 e Q ″(5) = 18 – 6(5) = – 12.

Como a derivada segunda aplicada ao ponto t = 1 deu positiva (Q ″(1) > 0), este é um ponto de mínimo. Já a derivada segunda aplicada ao ponto t = 5 deu negativa (Q ″(5) < 0), então este é um ponto de máximo.

www.esab.edu.br 275

Sabendo disso, podemos fazer uma análise sobre o aumento e a queda das vendas. Como t = 1 é um ponto de mínimo, sabemos que antes desse período as vendas estavam caindo até atingir o mínimo de vendas em t = 1 ano. Em seguida, sabemos que temos um ponto de máximo em t = 5. Então após atingir o mínimo de vendas em 1 ano, as vendas começaram a crescer até um máximo que foi atingido em t = 5 anos. Se este é um ponto de máximo, então após esse tempo as vendas começaram a cair novamente. Veja um resumo na tabela a seguir.

Tabela 32 – Comportamento da função Q(t).

Intervalos Q (t)

t < 1 Decrescente

1 < t < 5 Crescente

t > 5 Decrescente


Vamos acompanhar os pontos de máximo e de mínimo através do gráfico da Figura 86.

t = 1Ponto de mínimo

t = 5Ponto de máximo

0,00

25,00

50,00

75,00

100,00

125,00

1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00t

7,00 8,00

Figura 86 – Gráfico da função Q(t).Fonte: Elaborada pelos autores (2013).

www.esab.edu.br 276

Perceba que antes do primeiro ano a função desce até t = 1, e depois começa a crescer até atingir t = 5. Em seguida, volta a cair.

Nesta unidade, mostramos como interpretar a curvatura de uma função utilizando a primeira e segunda derivadas. Apresentamos ainda como encontrar um ponto de máximo e de mínimo e como classificá-los empregando o critério da segunda derivada. A fim de analisar funções por meio de derivadas, na próxima unidade apresentaremos mais exemplos.

www.esab.edu.br 277

46 Aplicações de derivadas no estudo das funções – parte II

ObjetivoAnalisar as funções por meio derivadas.

Na unidade anterior, interpretamos a curvatura de uma função empregando a primeira e segunda derivada. Utilizando o critério da segunda derivada, mostramos como encontrar um ponto de máximo e mínimo e classificá-los. Nesta unidade, apresentaremos mais exemplos a fim de analisar funções por meio de derivadas.

Vamos agora analisar as funções a seguir no que se refere a pontos de máximo (P.M.) e de mínimo (P.m.).

Exemplo 1

Encontre (se houver) os pontos de máximo e/ou mínimo da função y = x2, x ∈ R.

Solução: Em primeiro lugar, vamos identificar os candidatos, conforme vimos na unidade 45, calculando a primeira derivada.

Então, a primeira derivada será y ′= 2x. Agora, para encontrar os pontos que anulam a primeira derivada fazemos y ′= 0. Assim, temos: y ′= 2x = 0. Logo, x = 0.

O candidato a ponto de máximo ou mínimo é o 0. Calculando a segunda derivada, obtemos o seguinte: y ″= 2.

www.esab.edu.br 278

Substituindo o valor de x na função, temos: y ″(0) = 2 > 0. Como a segunda derivada apresenta um valor positivo, a concavidade é para cima, caracterizando um ponto de mínimo (P.m.). Portanto, x = 0 é um ponto de mínimo (P.m.).

Podemos conferir esse resultado através do gráfico apresentado na Figura 87.

100,00

87,50

75,00

62,50

50,00

37,50

25,00

12,50

0,00-2,50-5,00-7,50-10,00 5,002,50 7,50 10,00 x

y

x = 0ponto demínimo

Figura 87 – Gráfico da função y = x2. Fonte: Elaborada pelos autores (2013).

Exemplo 2

Encontre (se houver) pontos de máximo e/ou mínimo da função y = x2 – 6x + 15, x ∈ R.

Solução: Repetindo os procedimentos do Exemplo 1, primeiramente vamos identificar os candidatos, encontrando a primeira derivada e fazendo y ′= 0, conforme segue:

www.esab.edu.br 279

y ′= 2x – 6, fazendo y ′= 0, obtém-se:

=- ==

=

=

' 02 6 02 6

6 2

3

yxx

x

x

O candidato é o 3. Calculando a segunda derivada, temos: y ″= 2. Substituindo o valor de x na função, temos: y ″(3) = 2 > 0. Como a segunda derivada apresenta um valor positivo, a concavidade é para cima, caracterizando um ponto de mínimo (P.m.). Portanto, o x = 3 é um ponto de mínimo (P.m.). Vamos conferir esse resultado através da Figura 88.

0,001,00-1,00-2,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00 9,00

10,00

20,00

30,00

x

y

x = 3ponto demínimo

Figura 88 – Gráfico da função y = x2 – 6x + 15.Fonte: Elaborada pelos autores (2013).

www.esab.edu.br 280

Exemplo 3

Encontre (se houver) pontos de máximo e/ou mínimo da função y = –2x2 + 2x + 18, x ∈ R.

Solução: Primeiramente, vamos identificar os candidatos, conforme vimos na unidade 45, encontrando a primeira derivada. Agora, para descobrirmos os pontos que anulam a primeira derivada fazemos y ′= 0, conforme segue: y ′= – 4x + 2. Fazendo y ′= 0, temos:

=+ =

- = --

=-

=

' 04 2 0

4 22 4

12

yx

x

x

x

O candidato é o 1 .2

Aplicando a segunda derivada, adquire-se o seguinte:

y ″= – 4. Substituindo, temos: = - <

1'' 4 0.2

y Como a segunda

derivada apresenta um valor negativo, a concavidade é para baixo, caracterizando um ponto de máximo (P.M.).

Portanto, o =12

x é um ponto de máximo (P.M.). Vamos conferir esse

resultado na Figura 89.

www.esab.edu.br 281

0,00

1,00-1,00 2,00 3,00

5,00

15,00

10,00

20,00

x

y

x = 1/2ponto demáximo

Figura 89 – Gráfico da função y = –2x2 + 2x + 18.Fonte: Elaborada pelos autores (2013).

Exemplo 4

Encontre (se houver) pontos de máximo e/ou mínimo da função

= - + - ∈3

29 18 23, .3 2xy x x x

Solução: Primeiramente, vamos identificar os candidatos, conforme vimos na unidade 45, encontrando a primeira derivada. Agora, para encontrar os pontos que a anulam, aplicamos y ′= 0.

Como essa função é um pouco mais complexa que as apresentadas até o momento, vamos mostrar passo a passo a derivação de cada componente

da soma do polinômio. Assim para derivar, = - + -3

29 18 233 2xy x x

derivaremos cada membro da expressão separadamente, assim

www.esab.edu.br 282

-

-

/⇒ = =/

×/⇒ - = - =/

⇒ =⇒ - =

3 3 12

2 2 1

33 39 2 9 92 2

18 1823 0

x x x

x x x

x

Assim, a derivada será y ′= x2 – 9x +18. Fazendo y ′= 0, temos uma equação de segundo grau. Logo:

( )

( )

=

- ± D- + = ⇒ D = -

D = - - × ×D = -D =

- - ±=

±=

+= ⇒ ⇒

-= ⇒ ⇒

'

2 2

2

1

2

0

9 18 0, 42

9 4 1 1881 729

9 92

9 32

9 3 12 62 2

9 3 6 32 2

y

bx x usando b aca

x

x

x

x

Assim, para 2 3' 9 18 0 ,

6x

y x xx

== - + = =

o que nos dá dois candidatos a

pontos de máximo e ou mínimo. Calculando a segunda derivada, temos: y ″= 2x – 9. Substituindo o valor de x na função, obtém-se o seguinte:

y ″(3) = 2(3) – 9y ″(3) = 6 – 9

y ″(3) = – 3 < 0

www.esab.edu.br 283

Neste caso, a segunda derivada apresenta um valor negativo. Logo, sua concavidade é para baixo, caracterizando um ponto de máximo (P.M.). Portanto, o x = 3 é um ponto de máximo (P.M.).

Agora vamos analisar o segundo candidato:

y ″(6) = 2(6) – 9y ″(6) = 12 – 9y ″(6) = 3 > 0

A segunda derivada apresenta um valor positivo. Logo, a concavidade é para cima, caracterizando um ponto de mínimo (P.m.). Assim sendo, o x = 6 é um ponto de mínimo (P.m.). Podemos conferir esses resultados graficamente pela Figura 90.

0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00

10,00

-10,00

x

yx = 3

ponto de máximo

x = 6ponto de mínimo

Figura 90 – Gráfico da função = - + -3

29 18 23.3 2xy x x


Nesta unidade, através de exemplos, analisamos algumas funções utilizando-nos das derivadas. Aplicando o critério da primeira e segunda derivada, mostramos a você como avaliar o comportamento de uma função. Na próxima unidade, abordaremos exemplos aplicados à Administração.

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47 Aplicações das derivadas nas áreas econômica e administrativa

ObjetivoAplicar as derivadas nas áreas econômica e administrativa.

Na unidade anterior, por meio de exemplos, analisamos algumas funções empregando as derivadas. Aplicando o critério da primeira e segunda derivada, mostramos a você como examinar o comportamento de uma função. Nesta unidade, abordaremos exemplos aplicados à Administração (através do conceito de derivada) e daremos a você condições de acompanhar detalhadamente a resolução de exemplos práticos, situações em que o uso da derivada ajudará a resolver problemas comuns no cotidiano de um administrador. Citaremos brevemente alguns conceitos relacionados à Administração, bem como as funções relacionadas a essas definições.

Não pretendemos aqui tratar a fundo de conceitos que você verá em disciplinas relacionadas à área da Administração; citaremos e faremos um breve comentário. Dessa forma, a aplicação do conceito de derivada será mais significativa e empregada ao seu curso.

Na atual conjuntura são cada vez mais comuns decisões administrativas pautadas em análises matemáticas. A aplicação de métodos matemáticos está presente em diversas situações, seja no mercado de capitais, em que o comportamento de uma ação pode ser analisado através de gráficos; seja no dia a dia de uma indústria, em que o acesso a diversos dados estatísticos e a várias políticas alternativas fornece margem a uma imensidão de possibilidades. Os administradores, tendo conhecimento ou não do cálculo, utilizam várias funções, seja para acompanhar o custo de produção de determinado produto, estabelecer a que preço certo bem ou serviço terá demanda, ou analisar o lucro da empresa. A seguir veremos alguns desses conceitos. Acompanhe os exemplos a seguir.

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Função custo

É representada por C (x) (custo para produzir x unidades de um produto). Segundo Goldstein, Schneider e Lay (2012), se admitirmos que a função custo tenha um gráfico suave como o da Figura 91, pode-se usar ferramentas do cálculo para analisá-la. Uma aplicação bastante comum é a do custo marginal, que é a mudança (acréscimo ou redução) do custo total devido às alterações na quantidade produzida em alguma unidade. No custo marginal a primeira derivada C ′(x) representa a taxa de variação instantânea do custo em relação à quantidade, ou seja, é o acréscimo dos custos totais quando se aumenta a quantidade produzida em uma unidade. A taxa de variação instantânea representa uma variação muito pequena da variável dependente (custo) em função da variável independente (quantidade ou nível de produção).

Nível de produção

Custo

Figura 91 – Representação gráfica da Função Custo.Fonte: Elaborada pelos autores (2013).

Função receita

É dada por R (x) (receita gerada pela venda de x produtos). Goldstein, Schneider e Lay (2012) comentam que um administrador não está preocupado somente com os custos do seu negócio, mas também fica atento ao faturamento. Se R (x) é o faturamento recebido com a venda de x unidades de um bem ou serviço, a derivada R ′(x) é chamada faturamento marginal, que mede o aumento do faturamento por unidade na quantidade produzida.

Como exemplo, a função receita pode ser representada graficamente da seguinte forma:

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x

R (x)

0 X1

Figura 92 – Representação gráfica da Função Receita.Fonte: Elaborada pelos autores (2013).

Por meio do gráfico, podemos analisar que: a receita é zero quando a curva encontra o eixo x; e possui valor máximo nos valores correspondentes ao ponto mais alto da curva.

Função lucro

Medeiros (2005) diz que, sendo C (x) o custo total associado à produção de uma utilidade e R (x) a receita total referente à venda desta utilidade, a função lucro associada à venda da utilidade é dada por L(x) = R (x) ‒ C(x) (lucro gerado pela produção e venda de x unidades de um produto). A derivada da Função Lucro nos dá o lucro marginal, que expressa a variação dessa função. A função demanda é representada pelo gráfico da Figura 93.

x

L(x) Lucromáximo

Pontos deequilíbrio

x1x2

Figura 93 – Representação gráfica da Função Lucro.Fonte: Elaborada pelos autores (2013).

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Veja que quando a curva encontra os pontos x1 e x2, o lucro é nulo. Já o lucro máximo acontece nos valores correspondentes ao ponto mais alto da curva.

Função demanda

Para Medeiros (2005), seja x uma utilidade qualquer (bem ou serviço) e D a demanda ou procura e mercado a um preço P, isto é, a soma das quantidades que todos os compradores do mercado estão dispostos e aptos a adquirir ao preço P, em determinado período de tempo, que pode ser um dia, uma semana, um mês etc. A função que associa a demanda ou a procura de mercado a um preço P é denominada função de demanda D (x) (demanda gerada pela procura de x unidades de um produto).

Demanda

Preço

Figura 94 – Representação gráfica da função demanda.Fonte: Elaborada pelos autores (2013).

Na Figura 94 é representada a função demanda. Veja que conforme o preço aumenta, a procura pelo produto diminui e quando o preço diminui, a demanda aumenta. Note que essa relação é caracterizada por uma função decrescente.

Função oferta

Consideremos uma utilidade como bem ou serviço. Para Medeiros (2005), sendo S a oferta de mercado dessa utilidade a um preço P, a oferta é a soma das quantidades que todos os produtores estão dispostos e aptos a vender ao preço P durante certo tempo. A função que associa a oferta de mercado a todo preço P no período considerado é denominada função de oferta de mercado S(x). Geralmente, essas

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funções são definidas para valores inteiros positivos. A razão disto está no fato de não fazer sentido discutir o custo para produzir -1 sapato ou o faturamento gerado pela venda de ‒2,45 automóveis. Se tivermos, por

exemplo, uma função de oferta dada por = - + < ≤24 , 10 20,5

S P com P

a representação gráfica permanece da seguinte forma:

Preço ($)

Oferta

4

10 20

‒4

Figura 95 – Representação gráfica da função oferta. Fonte: Elaborada pelos autores (2013).

No gráfico da Figura 95, é possível concluir que existe demanda quando o preço for maior do que R$10,00. Note que temos um intervalo aberto em 10 e fechado em 20, pois o intervalo em que o preço determinado para que essa função seja válida é 10 < P ≤ 20.

Nesta unidade, abordamos brevemente alguns conceitos da área de Administração que serão de grande valia na resolução de problemas voltados à área administrativa. Na próxima unidade, resolveremos exercícios utilizando esses conceitos, ou seja, faremos exercícios sobre custos, receita, lucro, aplicando o conceito de derivada.

Tarefa dissertativa


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48 Exercícios de revisão

ObjetivoPropor exercícios de revisão.

Na unidade anterior, discutimos alguns conceitos relacionados à Administração. Além disso, falamos sobre receita, custo, lucro, demanda e oferta. Com o objetivo de prevê-los e interpretá-los, esses elementos adotam a matemática como ferramenta. Nesta unidade, com o intuito de fazer uma revisão dos principais conceitos vistos até o momento, abordaremos alguns exercícios práticos.

Exemplo 1

Uma indústria de cosméticos tem a receita mensal de um determinado produto de sua linha dada pela função R (x) = 30x – x2 e um custo dado por C (x) = 20 + 4x.

a. Obtenha a quantidade x que maximiza o lucro.b. Mostre que, para o resultado obtido anteriormente, o custo marginal

é igual à receita marginal.

Solução:

a. Estamos procurando o valor de x que maximiza o lucro, ou seja, procuramos a quantidade do determinado produto que representa um ponto de máximo. Logo, precisamos encontrar um candidato e definir se ele é um ponto de máximo ou de mínimo. Para isso, utilizaremos o critério da primeira e segunda derivada, visto nas unidades 44 e 45.

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Mostramos, na unidade 47, que a função lucro é dada por L(x) = R(x) ‒ C(x). Assim, temos:

L (x) = R (x) – C (x)L (x) = 30x – x2 – (20 – 4x)

L (x) = – x2 + 26x – 20

A função lucro é L (x) = – x2 + 26x – 20. Obtida essa função, vamos identificar os candidatos a pontos de máximo e/ou mínimo, encontrando a primeira derivada e fazendo L’ (x) = 0, conforme segue:

L' (x) = ‒ 2x + 26, fazendo L' (x) = 0, temos:

( ) =- + =

- = --

=-

=

' 02 26 0

2 26262

13

L xx

x

x

x

O candidato a ponto de máximo ou mínimo é o 13. Calculando a segunda derivada, obtemos: L ″(x) = – 2. Substituindo o valor de x na função, adquirimos: L ″(13) = – 2 < 0.

Como a segunda derivada apresenta um valor negativo, a concavidade é para baixo, caracterizando um ponto de máximo (P.M.). Portanto, a quantidade que maximiza o lucro é x = 13. Vamos verificar esse resultado através do gráfico da Figura 96.

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0,00

100,00

200,00

5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00x

L(x) ponto de máximox = 13

Figura 96 – Gráfico da função L (x) = – x2 + 26x – 20.Fonte: Elaborada pelos autores (2013).

b. Vimos, na unidade 47, que o custo marginal e a receita marginal são dados pela primeira derivada das funções custo e receita. Logo, fazendo R ′(x) e C ′(x), temos:

Sendo R (x) = 30x – x2, segue: R ′(x) = 30 – 2x. Substituindo o valor de x=13 na função, tem-se o seguinte:

( ) ( )( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )

= -

= -

=

= -

= =

= =

' 13 30 2. 13' 13 30 26' 13 $4,00

Considerando 20 4 , temos:' 4. Assim, ' 13 $4,00.

Logo, mostramos que ' 13 ' 13 $4,00.

R

R

R R

C x x

C x C R

R C R

Exemplo 2

Uma fábrica de brinquedos infantis tem a sua receita diária dada pela função R (x) = – 2x2 + 100x. Diante disso:

a. obtenha o valor de x que maximiza a receita; b. diga qual é a receita para uma produção de 30 e 25 unidades.

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Solução:

a. Procuramos o valor de x que maximiza a receita, ou seja, a quantidade do determinado produto que representa um ponto de máximo. Logo, precisamos encontrar um candidato e definir se ele é um ponto de máximo ou de mínimo. Para isso, usaremos o critério da primeira e segunda derivada, visto nas unidades 44 e 45.

Como no exemplo anterior, primeiramente identificaremos os candidatos a pontos de máximo e/ou mínimo, encontrando a primeira derivada e fazendo R' (x) = 0 do seguinte modo:

A derivada de R é R' (x) = – 4x + 100. Fazendo R' (x) = 0, temos:

( ) =- + =

- = --

=-

=

' 04 100 0

4 1001004

25

R xx

x

x

x

O candidato a ponto de máximo ou mínimo é o 25. Calculando a segunda derivada, temos: R ″(x) = – 4. Substituindo o valor de x = 25 na função, temos: R ″(25) = – 4 < 0. Como a segunda derivada apresenta um valor negativo, a concavidade é para baixo, caracterizando um ponto de máximo (P.M.). Portanto, a quantidade que maximiza a receita é x = 25. Podemos visualizar graficamente este resultado na Figura 97.

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1.250,00

1.000,00

750,00

500,00

250,00

0,00 10,00 20,00 30,00 40,00 50,00 60,00x

R(x)

x = 25ponto demáximo

Figura 97 – Gráfico da função R (x) = – 2x2 + 100x.Fonte: Elaborada pelos autores (2013).

b. Para uma produção diária de 30 unidades, obtém-se:

R (x) = – 2x2 + 100xR (30) = – 2 (30)2 + 100 ⋅ (30)

R (30) = – 1.800 + 3.000R (30) = R$ 1.200,00

Produzindo 25 unidades, teremos:

R (25) = – 2 (25)2 + 100 ⋅ (25)R (25) = – 1.250 + 2.500

R (25) = R$ 1.250,00

Note que para uma produção de 30 unidades obtemos uma receita menor do que para a produção de 25 unidades, o que parece contraditório. Contudo, um administrador deve ficar atento a outras variáveis. A produção de 5 unidades diárias a mais, por exemplo, poderia resultar em um custo maior de logística ou até mesmo de encargos trabalhistas, o que justifica a resposta encontrada.

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Nesta unidade, resolvemos em detalhes alguns exercícios aplicados à Administração, que, com o auxílio das derivadas, proporcionaram uma solução profícua para o problema proposto.

Atividade


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Resumo

Iniciamos a unidade 43 resolvendo passo a passo alguns exercícios sobre regra da cadeia e derivada de segunda ordem. Revimos ainda outras regras importantes, como a do quociente e do produto. Na unidade 44 e 45, apresentamos o conceito de máximos e mínimos de uma função. Vimos que um ponto de máximo ou mínimo de uma função é um ponto no qual seu gráfico muda de crescente para decrescente, ou vice-versa.

Na unidade 46, abordamos exemplos aplicados à Administração e, através do conceito de derivada, mostramos detalhadamente a resolução de exemplos práticos, situações em que o uso da derivada ajudará a resolver problemas comuns no cotidiano de um administrador. Citamos brevemente, na unidade 47, alguns conceitos relacionados à Administração, bem como as funções relacionadas a eles. Na última unidade (unidade 48), abordamos alguns exercícios práticos com o intuito de fazer uma revisão dos principais conceitos vistos até o momento.

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Glossário

ÁlgebraSegundo Demana (2009, p. 7), “a álgebra é o uso de letras ou símbolos para representar números reais.” R

AnálogoQue faz analogia, semelhante, similar. R

AssíntotaEm matemática, uma assíntota de uma curva C é um ponto ou uma curva de onde os pontos de C se aproximam à medida que se percorre C. Quando C é o gráfico de uma função, em geral o termo assíntota refere-se a uma reta. R

Assíntota horizontalÉ a assíntota que intercepta o eixo. R

Assíntota verticalÉ a assíntota que intercepta o eixo. R

Binômio de NewtonDefinido pelo físico e matemático Isaac Newton permite que se calculem potências do tipo. R

Coeficiente angularO valor do coeficiente angular de uma reta é a tangente do seu ângulo de inclinação. R

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ConjunturaRefere-se à determinada circunstância ou ocasião. R

ConsolidarTornar firme; sólido; reunir. R

ConstanteEm Matemática, chamamos de constante qualquer número real que possa realizar operações com expressões algébricas. R

ContextualizaçãoÉ a inserção de algum contexto para a melhor compreensão dos conceitos. R

Custo fixoSegundo Silva e Abrão (2008), é aquele que não depende da produção ou das vendas. Alguns exemplos são: aluguel, salário dos funcionários, impostos, contas de água e luz, entre outros. R

Custo totalÉ a soma do custo fixo e do custo variável. R

Custo variávelSegundo Silva e Abrão (2008), é aquele que varia de acordo com a produção ou a venda. R

DemandadaÉ a quantidade de um produto que os consumidores desejam adquirir por um preço fixado. R

DenotadaMostrada através de determinados sinais. R

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DepreciaçãoNo contexto, reflete o valor desvalorizado do bem a cada período. R

DescartesRené Descartes, por vezes chamado de o fundador da filosofia moderna e o pai da matemática moderna, é considerado um dos pensadores mais influentes da história humana. R

Domínio da funçãoSignifica encontrar todos os valores de x para que a função f(x) exista. R

FermatPierre de Fermat foi um matemático francês que viveu no século XVII. Trabalhou na Universidade de Toulouse antes de se mudar para Bordeaux na segunda metade dos anos 1620. Em Bordeaux, começou suas primeiras pesquisas matemáticas sérias e, em 1629, ele deu uma cópia de sua restauração do trabalho de Apolônio – “Planos” – a um dos matemáticos da instituição. R

Forma fatoradaFatorar um polinômio, escrever esse polinômio como uma multiplicação de dois ou mais polinômios. Ao fazer a fatoração, obtém-se a forma fatorada. Por exemplo:

- +- - =2 ( 4)( 3)12 x xx x

forma fatorada R

Função constanteToda função f: R → R na forma f(x) = k, com k ∈ R, é denominada função constante, ou seja, não importa o valor de x , sua imagem por f será sempre k. Aproxima-se de sua assíntota, mas nunca a ultrapassará. R

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InconcludentesRefere-se a uma situação que admite uma possível conclusão. R

Intensidade física sonoraUm humano pode captar sons com intensidade que vão do limiar auditivo – cerca de 10–12 W/m² (W é a unidade de potência e m² é a unidade de área e assim temos a potência por metro quadrado) – até o limiar que causa dor, que é de 1W/m². R

InterceptarQue se cruzam ou cortam. Neste caso, é o ponto no qual os gráficos se cruzam. R

InvestidorÉ um agente ou instituição que realiza investimentos financeiros, disponibilizando capital para a realização de um determinado projeto. R

LogísticaÉ uma área da gestão responsável por prover recursos e equipamentos para a execução das atividades de uma empresa. No contexto, refere-se ao armazenamento de mercadorias. R

LucroPode ser entendido como a diferença entre a receita e o custo total. R

Margem de contribuição unitáriaÉ a diferença entre a receita e o custo variável. R

Mercado de açõesÉ um ambiente organizado para a negociação de títulos, ações; essas transações podem ocorrer por intermédio das bolsas de valores. R

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Mercado de capitaisRepresenta o mercado da Bolsa de Valores, cujas ações de determinada empresa são comercializadas. R

NotaçõesSímbolos matemáticos usados para expressar os problemas. R

Número de EulerO número vale aproximadamente 2,71826 e a letra é em homenagem a Leonard Euler (1707-1783), que foi quem introduziu a notação. R

PapéisEm Administração, é um título que representa dinheiro, uma ação, por exemplo. R

ParábolaO formato de uma parábola é uma curva aberta e sempre será o gráfico de uma função polinomial do segundo grau, também chamada de função quadrática. R

PermutandoTrocando; dar reciprocamente. R

PitagóricosOs pitagóricos interessavam-se pelo estudo das propriedades dos números. Para eles, o número, sinônimo de harmonia, constituído da soma de pares e ímpares – os números pares e ímpares expressando as relações que se encontram em permanente processo de mutação –, era considerado como a essência das coisas, criando noções opostas (limitado e ilimitado) e sendo a base da teoria da harmonia das esferas. R

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Plano cartesianoSistema de coordenadas criado pelo matemático René Descartes com o objetivo de localizar pontos. Ele é formado por dois eixos: eixo das abscissas (horizontal), geralmente chamado de eixo , e eixo das ordenadas (vertical), geralmente chamado de eixo . R

PolinômioExpressão algébrica formada por números e letras. Quando possui um só termo é chamado de monômio, dois termos, binômio e três termos, trinômio. R

Ponto de acumulaçãoEm matemática, um ponto limite ou ponto de acumulação é um ponto em um conjunto que pode ser aproximado tão bem quanto se queira por infinitos outros pontos do conjunto. Por definição, todo ponto de acumulação é um ponto de fecho. R

Ponto de equilíbrioO ponto de equilíbrio ocorre quando a receita é igual ao custo total. R

ProfícuaSignifica algo bem feito, vantajoso. R

QuocienteÉ o termo usado para designar o resultado da operação de divisão. R

RadicandoO símbolo ,n x chamado radical, indica a raiz enésima de x. Nele, x é chamado radicando e n, índice. R

ReceitaA receita de uma empresa é a soma total de suas vendas e recebimentos. R

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ResgatarRecuperar o valor cedido a outra pessoa mediante pagamento; libertar a preço de dinheiro ou concessões. R

SecanteReta que toca a circunferência ou a curva em dois de seus pontos distintos. R

SimbologiaEstudo dos símbolos; conjunto dos símbolos. R

SubconjuntoDados dois conjuntos A e B, dizemos que A é subconjunto de B quando todo elemento de A é elemento de B. Por exemplo, se A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3, 4, 5}, todos os elementos de A são elementos de B, ou seja, A é subconjunto de B. R

TranslaçãoÉ um deslocamento paralelo que mantém a figura inalterada. R

VariávelUm símbolo, geralmente representado por uma letra, que representa números. R

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Referências

DEMANA, F. D.; WAITS, B. Pré-cálculo. São Paulo: Pearson Education, 2009.

GOLDSTEIN, J. L.; SCHNEIDER, D. I.; LAY, D. C. Matemática aplicada. 12. ed. São Paulo: Bookman, 2012.

GUIDORIZZI, H. L. Matemática para administração. Rio de Janeiro: LCT, 2010.

JACQUES, I. Matemática para economia e administração. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010.

MEDEIROS, V. Z. Pré-cálculo. São Paulo: Thomson, 2005.

MUROLO, A. C.; BONETTO, G. A. Matemática aplicada à administração, economia e contabilidade. São Paulo: Cengage Learning, 2012.

SILVA, F. C. M.; ABRÃO, M. Matemática básica para decisões administrativas. São Paulo: Atlas, 2008.

SILVA, S. M. da; SILVA, E. M. da; SILVA, E. M. da. Matemática básica para cursos superiores. São Paulo: Atlas, 2011.

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