有限温度有限密度 QCD 入門

北沢 正清大阪大学

目次

１，有限温度密度 QCD への招待２，平衡状態３，静的なゆらぎ４，動的構造

目次１，有限温度密度 QCD への招待

２，平衡状態

標準模型と QCD QCD の相転移・相構造 格子 QCD と熱力学量 重イオン衝突実験 中性子星

３，静的なゆらぎ

カイラル対称性 真空状態： BCS 理論 NJL 模型 カラー超伝導

４，動的構造

ゆらぎ モーメント・キュムラント 臨界点でのゆらぎの増大 格子 QCD の Taylor 展開法 QCD 相構造の実験的探索

線形応答 スペクトル関数 調和振動子の例 松原グリーン関数 格子 QCD

１，有限温度密度 QCD への招待

標準模型と QCD QCD の相転移・相構造 格子 QCD と熱力学量 重イオン衝突実験 中性子星

標準模型

重力電磁気力弱い力強い力

量子電磁気学（ QED ）

量子色力学（ QCD）

電弱統一理論

＋ヒッグス粒子

量子色力学（ QCD ）

漸近的自由性低エネルギー（長距離）　強結合高エネルギー（短距離）　弱結合

カラーの閉じ込め

カイラル対称性の自発的破れハドロンの質量の起源／軽いパイ粒子

クォーク・グルオンは単体では観測されない

QCD の相転移

温度

ハドロン相(閉じこめ相 )

クォーク・グルオン・プラズマ

QCD の相転移

温度

バリオン数化学ポテンシャル

ハドロン相(閉じこめ相 )

クォーク・グルオン・プラズマ

QCD の相転移

カラー超伝導

温度

バリオン数化学ポテンシャル

ハドロン相(閉じこめ相 )

クォーク・グルオン・プラズマ

QCD の相転移

カラー超伝導

温度

ＱＣＤ臨界点

バリオン数化学ポテンシャル

ハドロン相(閉じこめ相 )

クォーク・グルオン・プラズマ

水の相図

QCD Critical Point(s) QCD Critical Point(s)

Where is the QCD critical point? And, how many?

Stephanov, ’07

MK, et al.,2002

MK, et al.,2002

QCD Critical Point(s) QCD Critical Point(s)

Where is the QCD critical point? And, how many?

Stephanov, ’07

GL analysisinduced by axial anomaly

Yamamoto, et al. ’06

Zhang, et al., ’09

Basler, Buballa, ’10

格子 QCD 数値シミュレーション時空を格子化し、数値解析する

Bluegene@KEK

格子 QCD 数値シミュレーション時空を格子化し、数値解析する

注意：現在の数値解析技術では、m=0 の解析しかできない「符号問題」

Bluegene@KEK

熱力学量

熱力学量 e エネルギー密度p 圧力

HotQCD, arXiv:0903.4379

• T=150-180MeV 付近でe が急激に増大

• 明確な相転移点はない　“クロスオーバー”

ハドロン共鳴ガス (HRG) 模型

存在の知られているハドロンから成る自由ガス

part

icle

data

gro

up

よりHRG 模型

格子 QCD で計算される熱力学量の低温部の振る舞いをよく再現

“ トレースアノマリ” バリオン数感受率

Stefan-Boltzmann 極限QCD が記述する物質の高温極限

ゼロ質量のクォークとグルオンからなる自由ガス

• Boson:

• Fermion:

有限温度 ( ゼロ密度 )QCD

QCD の低温および高温極限には単純な描像が適用でき、かつそれらは全く異なるのに連続的につながっている。

中間領域では何が起こっているのだろうか？低温のハドロンの運命は？高温のクォークの運命は？

TTc*

pn

K

u

s

s

d

du

d

gg

g g

g

相対論的重イオン衝突実験

小さなビッグバン

加速した原子核を衝突させる

相対論的重イオン衝突実験

ＲＨＩＣアメリカ2000年～全長 6km光速の 99.996%

ＬＨＣスイス・フランス

2010年～全長 30km

光速の 99.9999%

高温物質の時間発展

QGP

熱平衡化~1fm/c

ハドロン化

衝突

化学凍結 (Chemical Freezeout)

観測される粒子収量が、 T, mB のみでフィット可能！

化学平衡が実現している

化学凍結点の衝突エネルギー依存性STAR 2012

大　　　小

小　　　大

様々な　　　　の衝突実験によりQCD 相構造の探索ができる

BESプログラム @RHICBeam Energy Scan

運動学的凍結（ kinetic Freezeout)

粒子収量の pT分布Blast wave fit「温度＋流れ」

STAR 200GeV

高温物質の時間発展

QGP

熱平衡化~1fm/c

ハドロン化 化学凍結 運動学的凍結

衝突

楕円フロー

反応平面

実空間

ビーム軸

x

z

反応平面

非中心衝突

Ｙ

pT 空間v2 >0 v2 <0

非中心衝突では、粒子は非等方的に放出される。

フロー

流体模型

Song, Bass & Heinz, PRC 2011

粒子流は流体模型によってよく記述される速い熱平衡化 t~1fm/c

ずり粘性係数 h がものすごく小さい。

4

s

強結合 QGP の発見RHIC で発見された QGP は、強く結合した物質であった

クォーク数スケーリング

v2 >0

楕円フロー v2

運動量をクォーク数で割算流れがぴったり重なる！

解釈

クォーク数スケーリング / BES

クォーク数スケーリングの破れ？ <19.6GeVLHC energy

中性子星• パルサーとして観測

• 質量 1.4~2M• 半径　 ~10km• 表面温度　 106~108K• 中心密度　 5~15r0

何が分かるの？

• 状態方程式• 冷却速度• グリッジ• 他もろもろ

状態方程式（ EoS ）

のこと

状態方程式が決まると、星が作れる！

ｰ（ drあたり質量） × （重力）に一般相対論的効果を加味

Tolman-Openheimer-Volkov(TOV)方程式

質量－半径の関係

連星中性子星の典型的質量

2010年に発見

~1.4M

(1.97±0.04)M

NOTE: 自由度が増えるほど、 EoS は柔らかくなるDemorest+2010

初期宇宙と QGP

ビッグバン後の 10-5秒までの宇宙は QGP だった

ここまでのまとめ

QCD の極限状態には面白い物理がある それらに迫る観測手段がある

ここまでのまとめ

カラー超伝導

ＱＣＤ臨界点

ハドロン相(閉じこめ相 )

クォーク・グルオン・プラズマ

QCD の極限状態には面白い物理がある それらに迫る観測手段がある

将来の重イオン衝突実験FAIR @GSI,GermanyNICA @Dubna, RussiaJ-PARC @東海村

FAIR

NICA

J-PARC

目次

１，有限温度密度 QCD への招待２，平衡状態３，静的なゆらぎ４，動的性質

２，平衡状態

カイラル対称性 真空状態： BCS 理論 NJL 模型 カラー超伝導

「カイラル対称性」ってなんだ？ 準備１：複素スカラー場

• 変換 のもとで L は不変

準備２：ゼロ質量 Dirac場

• 変換 のもとで L はやっぱり不変

ゼロ質量 Dirac場

スピノル表示

• 変換 のもとで L は不変

“ カイラル対称性”

カイラル変換

注意

• 質量項は、カイラル対称性を explicit に破る

• Nfフレーバーの系では、カイラル対称性は

自発的対称性の破れと超伝導

BCS 理論は自発的対称性の破れの概念の導入において著しく重要な役割を果たした。

BCS (Bardeen-Cooper-Schrieffer) 理論

金属のフェルミ面付近の電子には、格子振動による引力が存在

フェルミ面は、電子対（ Cooper pair) の形成に対し不安定となる

Cooper, 1956

BCS ハミルトニアン

変分による解法BCS ハミルトニアン

の基底状態　　 を知りたい。ただし、粒子数の期待値を固定。

を最小化すればよい。

BCS 状態

W にこの試行関数を代入

変分して解くと、

ただし

ギャップ方程式

左辺と右辺が相互規定的“ 自己無撞着方程式”

BCS 近似 Dk は k に依らず一定

の解がある“BCS 状態”

NOTE ：本当は、エネルギーが低いことも示さなくてはいけない。

BCS 状態の性質フェルミ面が“にじむ”

変な期待値

U(1)変換に対し不変でない！

なる変換の下で状態が変わる

BCS 真空からの励起BCS 真空に消滅生成演算子を掛けてみる

消滅演算子を作り直す

“Bogoliubov の準粒子”

準粒子の励起エネルギー

NOTE:ギャップの存在が、超伝導電流の起源QCD 真空における質量の起源への応用（ NJL 模型）

南部－ Jona-Lasinio(NJL) 模型

NJL 模型は、カイラル変換の下で不変

Nambu, Jona-Lasinio, 1961Hatsuda, Kunihiro, 1994

運動量空間に展開

BCS 模型と似ているスピンの上下→粒子・反粒子

クォーク・反クォークがクーパーペアを作ることで質量ギャップを獲得する。

フェルミ面のずれに対する超伝導の応答

unlocking region

n

p

p

磁場が侵入すると、上下スピンのフェルミ面がずれる クーパーペアが組みにくくなる

一次相転移

超伝導の磁場に対する応答

unlocking region

n

p

p

磁場が侵入すると、上下スピンのフェルミ面がずれる クーパーペアが組みにくくなる

Color Superconductivity Color Superconductivity

Ii j ijI I

I

q q

•pairing in scalar (JP=0+) channel

color,flavor anti-symmetric

T

m

attractive channel in one-gluon exchange interaction.

quark (fermion) system

Cooper instability at sufficiently low T

[３ ]c×[３ ]c＝ [３ ]c＋ [６ ]c

At extremely dense matter,

u d

s

Dud

Dus Dds

( )%

Various Phases of Color Superconductivity Various Phases of Color Superconductivity

u d

s

Dud

Dus Dds

u d

s

Dud

Dus Dds

Color-Flavor Locking (CFL)2-flavor SuperCondoctor (2SC)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

cL R B

cL R B

SU SU SU U

SU SU SU U%

( ) ( ) ( ) ( )

( )

L R c B

L R c

SU SU SU U

SU Z

analogy with B-phasein 3He superfluid

T

m

ms~m ms<<m

Color Superconductivity in Compact Stars Color Superconductivity in Compact Stars

u d

s

mismatched Fermi surfaces common Fermi surface

Dud

Dus Dds

•effect of strange quark mass ms

•neutrality and b-equilibrium conditions

Mismatch of densities

T

m

~Fp m

Various Phases of Color Superconductivity Various Phases of Color Superconductivity

u d

s

Dud

Dus Dds

2*2*2=8 possibilities of distinct phases

Dud=Dus=Dds >0 CFL Alford, et al. ‘98

Dud>0, Dus=Dds =0 2SC Bailin, Love ‘84

+ chiral symmetry restoration

3 order parameters Dud, Dus, Dds

Dud>0, Dus>0, Dds

=0uSC Ruster, et al. ‘03

Dud>0, Dds>0, Dus

=0dSC Matsuura, et al., ‘04cf.) Neumann, Buballa, Oertel ’03

many phases at intermediate densitiesT

m

Abuki, Kunihiro, 2005; Ruster et al.,2005

Abuki, Kunihiro, 2005; Ruster et al.,2005

Various Phases of Color Superconductivity Various Phases of Color Superconductivity

u d

s

Dud

Dus Dds

2*2*2=8 possibilities of distinct phases

Dud=Dus=Dds >0 CFL Alford, et al. ‘98

Dud>0, Dus=Dds =0 2SC Bailin, Love ‘84

+ chiral symmetry restoration

3 order parameters Dud, Dus, Dds

Dud>0, Dus>0, Dds

=0uSC Ruster, et al. ‘03

Dud>0, Dds>0, Dus

=0dSC Matsuura, et al., ‘04cf.) Neumann, Buballa, Oertel ’03

many phases at intermediate densitiesT

m

３，静的なゆらぎ

ゆらぎ モーメント・キュムラント 臨界点でのゆらぎの増大 テーラー展開法 QCD 相構造の実験的探索

静的ゆらぎ

P(N)

VN

N

• Variance:

観測量は、平衡状態においてもゆらいでいる

ゆらぎの応用• 物質のミクロな性質の理解• 外場に対する系の応答• 有限密度格子 QCD （テーラー展開法）• 重イオン衝突実験による QCD 相図探索

モーメントP(N)

N

確率分布を特徴づける量

モーメント母関数

キュムラントモーメント母関数キュムラント母関数

NOTE ：キュムラントは、示量的である

練習

二項分布関数

ポアッソン分布

量子統計力学

（静的）量子統計力学のいちばん大事な式

“ 密度行列”

“分配関数”

量子統計における粒子数ゆらぎ

NOTE: 分配関数とは、要するにモーメント母関数である。　　 　 これらの関係式は、保存電荷のみで成立！

ゆらぎは、 N の m に対する応答に等しい！

感受率としてのゆらぎ

テーラー展開法 on the lattice

• テーラー展開法の係数はキュムラントである。• 奇数次は荷電共役対称性により消える。• 収束半径内でないと展開の妥当性が保証できない。

格子 QCD上のキュムラントの解析がアツいLATTICE2013 より

重イオン衝突におけるゆらぎの観測

Detector

V

検出器に到達する粒子数を、衝突イベント毎に数える“event-by-event 解析”

重イオン衝突におけるゆらぎの観測

Detector

検出器に到達する粒子数を、衝突イベント毎に数える“event-by-event 解析”

問１：どんな現象が期待されるのか問２：このように観測されるゆらぎは、何者なのか？

基本自由度の識別 Free Boltzmann Poisson

基本自由度の識別 Free Boltzmann Poisson

RBC-Bielefeld ’09

QCD 臨界点の捜索2 次相転移点近傍では、ゆらぎが増大する。

例：イジング模型

N個のスピン

QCD 臨界点の捜索2 次相転移点近傍では、ゆらぎが増大する。

例：イジング模型

N個のスピン

長さ L で大体同じ向き“ 相関長”

N/L個の独立なスピンの集団

ゆらぎは Ld/2 で増大し、臨界点で発散する。

Proton # Fluctuations @ STAR-BES Proton # Fluctuations @ STAR-BES

STAR, PRL2010

Proton # Fluctuations @ STAR-BES Proton # Fluctuations @ STAR-BES

STAR, PRL2010 STAR, 2011

low mhigh m

Proton # Fluctuations @ STAR-BES Proton # Fluctuations @ STAR-BES

STAR, 2012 (Quark Matter) STAR, 2011

low mhigh m

Proton # Cumulants @ STAR-BES Proton # Cumulants @ STAR-BES

STAR,QM2012

Something interesting??

CAUTION!

proton number baryon number

MK, Asakawa, 2011;2012

保存電荷の高次ゆらぎ

QCD 相図上でのバリオン数ゆらぎ

Asakawa, Ejiri, MK, 2009

Impact of Negative Third Cumulants Impact of Negative Third Cumulants

Once negative m3(BBB) is established, it is evidences that

(1) cB has a peak structure in the QCD phase diagram.(2) Hot matter beyond the peak is created in the collisions.

•No dependence on any specific models.•Just the sign! No normalization (such as by Nch).

Charge Fluctuation @ LHC Charge Fluctuation @ LHC

ALICE, PRL110,152301(2013)

D-measure

• D ~ 3-4 Hadronic• D ~ 1 Quark

LHC:significant suppressionfrom hadronic value

ＬＨＣ終状態の電荷ゆらぎは、ハドロン化以前に生成されたものを強く反映している！

Dh Dependence @ ALICE Dh Dependence @ ALICE ALICE

PRL 2013

t

z

Dh

rapidity window

観測されたゆらぎは、いつ形成されたのか？

ゆらぎのダイナミクス（動的振る舞い）の議論が必要

Detector

保存電荷 vs 非保存電荷

境界を通過する電荷のみが変化に寄与

V V

保存電荷の場合 非保存電荷の場合

for for

体積内の任意の場所で電荷が変化できる

Time Evolution in HIC Time Evolution in HIC

Quark-Gluon Plasma

Hadronization

Freezeout

格子 QCD vs 重イオン衝突 HotQCD, LATTICE2013

格子 QCD で得られたゆらぎ -m/T 関係線

高次ゆらぎの観測値は、化学凍結点での熱平衡値と一致しない！

高次ゆらぎのダイナミクスの記述のために

空間を離散化し、各セルの粒子数で系を記述する

probability

MK, Asakawa, Ono, 2013

Master Equation for P(n)

x-hat: lattice-QCD notation

LHC での 2,4 次ゆらぎ

2nd

4th

MK, Asakawa, Ono, 2013

４，動的構造

線形応答 スペクトル関数 調和振動子の例 松原グリーン関数 格子 QCD クォークスペクトル関数

統計力学 vs 時間 ?

問： 統計力学は、時間変化する現象も記述できるか？

答： 熱平衡状態からのずれが小さければ、いける！

例：音波、粘性係数、場の励起

有限温度実時間相関関数

線形応答１平衡状態にある系に外場を加える

密度行列の時間発展

時刻ｔにおける演算子 A の期待値

線形応答２

遅延グリーン関数：

Lehmann表示

スペクトル関数

Spectral Functions at T>0 Spectral Functions at T>0

quasi-particle excitationwidth ~ decay rate

transport coefficients

r(w

,p)

w

peaks

Kubo formulae

slope at the origin

0

( )~ lim

•shear viscosity : T12

•bulk viscosity : Tmm

•electric conductivity : Jii

Spectral Functions at T>0 Spectral Functions at T>0

0( , ) Im FT ( ), (0) ( )O x O x p

r(w

,p=0)

w

r(w

,p)

w

T = 0 T > 0

Difficulties at T>0: continuous spectrumfixed temporal extent: T=1/aNt

(1/ 2 )

/ 2 / 2( ) ( )

T

T T

eD d

e e

松原グリーン関数

Matsubara Green Function Matsubara Green Function

1 2 1 2ˆ ˆ( ) ( ) () ) )( exp( EE EG DUO O SO O

0( ) ( )n

nG i d e G

0( ) ( )i t

R RG d e G t

analytic continuationni i

Retarded (real-time) propagator

Spectral function1

( ) Im ( )RG

Imaginary-time (Matsubara) propagator

Analytic Continuation Analytic Continuation

Lattice Dynamics

discrete and noisy continuous

Extracting Spectral Functions Extracting Spectral Functions

( ) ( , ) ( )D d K

(( )) ) (0OD T O

( / 2 )

/ 2 / 2( , )

eK

e e

Ill-posed problem

lattice observablediscrete and noisy

spectral functioncontinuous

MEM analysis of r (w)most probable image estimated bylattice data + prior knowledge Asakawa, Hatsuda, Nakahara, 1999

qualitative structure of r (w).errors only for average for finite range

Quarks at Extremely High T Quarks at Extremely High T •Hard Thermal Loop approx. ( p, w, mq<<T )•1-loop (g<<1)

Klimov ’82, Weldon ’83Braaten, Pisarski ’89

( , ) p

“plasmino”

p / mT

w

/ mT

6T

gTm

0

1( , )

( , )S

p

p γ p

•Gauge independent spectrum

•2 collective excitations having a “thermal mass”

•The plasmino mode has a minimum at finite p.

Decomposition of Quark Propagator Decomposition of Quark Propagator

0

free

0( (

( )

)

1

)

,SP M

E E

p p

p p

p

0 ((

))

2

E m

E

p

p

pp

0

0

( )( , ) ( , )

(( ) ),

S S

S

p p

p

p

p

Free quark with mass mHTL ( high T limit )

0 0

HTL

( ) ( )

1( , )S

P

p p

p

p p

p / m

w

/ m

Decomposition of Quark Propagator Decomposition of Quark Propagator

0

free

0

( ,)

)( ) (

SE E

p p

pp

p

0 ((

))

2

E m

E

p

p

pp

0

0

( )( , ) ( , )

(( ) ),

S S

S

p p

p

p

p

Free quark with mass mHTL ( high T limit )0

HTL

0

( , )( ) ( )

Sp p

p pp

p / mT

w

/ mT

0

0

( )

( , )

(

( )

, )

( , )

p

p

p

p

p

Quark Spectrum as a function of m0 Quark Spectrum as a function of m0

Quark propagator in hot medium at T >>Tc

- as a function of bare scalar mass m0

•How is the interpolating behavior?•How does the plasmino excitation emerge as m00 ?

Baym, Blaizot, Svetisky 1992

m0 << gT

w

m0 >> gT

w

We know two gauge-independent limits:

m0mT-mT

r+(w,p=0) r+(w,p=0)

Fermion Spectrum in QED & Yukawa Model Fermion Spectrum in QED & Yukawa Model Baym, Blaizot, Svetisky, ‘92

0

1( )

2L i i m g

Yukawa model:

1-loop approx.:

m/T=0.01

0.80.40.2

0.1

r +(w

,p=0)

/w T

Spectral Function for g =1 , T =1

thermal mass mT=gT/4

single peak at m0

Plasmino peak disappearsas m0 /T becomes larger.

cf.) massless fermion + massive bosonM.K., Kunihiro, Nemoto,’06

0

1 1 1

2 c

m

Spectral Function Spectral Function

wE1-E2

Z1

Z2

wE1-E2

Z1Z2

T = 3Tc 643x16 ( b = 7.459)

E2

E1

2

1 2

Z

Z Z

w = m0 pole of free quark

m0 / T

E /

TZ

2 / (

Z1+

Z 2)

T=3Tc

1

2

1

2

( ) ( )

( )

E

E

Z

Z

0

1 1 1

2 c

m

Spectral Function Spectral Function T = 3Tc 643x16 ( b = 7.459)

E2

E1

2

1 2

Z

Z Z

w = m0 pole of free quark

m0 / T

E /

TZ

2 / (

Z1+

Z 2)

1

2

1

2

( ) ( )

( )

E

E

Z

Z

•Limiting behaviors for are as expected.•Quark propagator approaches the chiral symmetric one near m0=0.•E2>E1 : qualitatively different from the 1-loop result.

0 00,m m

T=3Tc

Spatial Volume Dependence of mT Spatial Volume Dependence of mT

mT/T

483x16643x16

1283x16

mT/T=0.771(12)mT/T=0.725(14)

•Result on 1283x16 seems to converge.•Much larger lattice is desirable.•No lattice spacing dependence.

3 3/ ~ 1/N N V

Note: lowest p

min

22

x x

Np T

L N

•Nx/Nt=4 pmin~1.57T•Nx/Nt=8 pmin~0.79T

MK, et al.,PRD,2012

Quark Dispersion on 1283x16 Lattice Quark Dispersion on 1283x16 Lattice

T=3TcHTL(1-loop)

E2 has a minimum at p>0

•Existence of the plasmino minimum is indicated.•E2, however, is not the position of plasmino pole.

MK, et al.,in preparation

まとめ 有限温度・密度 QCD は、各種の相転移など様々な興味深い物性現象を持つ。

これら物性現象は、重イオン衝突実験や中性子星の観測などを通して実験的に検証することも可能になりつつある。

格子 QCD による「仮想実験」も重要。

興味を持った人はぜひ参入して下さい。

おまけ

宅急便問題問直方体の三辺 x,y,z の和 x+y+z=L を保ったまま体積 V=xyz を最大にする x,y,z を求めよ。

解ラグランジュの未定乗数法を使う