36

# r# 27 ' . ,* #>R 4 t $&7 # . 7i/! dveronica/MI402/camila.pdf · &-l8 e = ! ! "# %$& '( ' )' * ,+ -"# . "0/ /1 ' 32# 4 3 ! 5 ! # 6 "7 4/1 8"9$: +;7 2# =$& 2#

  • Upload
    others

  • View
    0

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: # r# 27 ' . ,* #>R 4 t $&7 # . 7i/! dveronica/MI402/camila.pdf · &-l8 e = ! ! "# %$& '( ' )' * ,+ -"# . "0/ /1 ' 32# 4 3 ! 5 ! # 6 "7 4/1 8"9$: +;7 2# =$& 2#

����������� �����������������

�����! #"%$&�('*),+.-0/(+1"2+ + 34)�-656"%)�7(89);:#<>= ?@)A"B�C7D+.8�E FHGI+.8��(J9 #"B-

8K5L)�MA),NO+.�(J9= +.-QP #5L=IJ9=RMA=RSR),+R-UTVM�WR-L-6),'#+.-0 X?Y+&Z[ &-6)�+R��+.-

\^]`_badce%f2c,g1h`]ic>j2k;lnm ]`]`hHo�m ]`]pm lrq^\�ststutvtw,x

y lnk,z{m}|n|nk;l�ce6~�m ln�;abhp��c1\*a��lnm�c.�#k;ab�A�,]pm � �����t��m �

Page 2: # r# 27 ' . ,* #>R 4 t $&7 # . 7i/! dveronica/MI402/camila.pdf · &-l8 e = ! ! "# %$& '( ' )' * ,+ -"# . "0/ /1 ' 32# 4 3 ! 5 ! # 6 "7 4/1 8"9$: +;7 2# =$& 2#

� � &-L8�E =

��������� ������������������������������� !���!����"#� �%$&�'�(�'� ��)'���*�,+��-"#�.�"0/�����/1�'� ��32#���4�3�!�5���!��� ������������#���6���

�"7�4/1�8��"9$:��+�;7��2#���=<&/*�������*�!>�$&����2#����� ��>?$:�,+�@*�.AB>*/�������$:��+�;7��2#���-/1���C$:������).��2����!�����*�8/1"#+��4��/!+���2#�����,�

��"9���4�3�"7�������-D*�E��*���.�"9"#�F��"G�"7���8���*���!�'�H�5�I�"7���J�,�K�4"GML�+���2#�'�7N

O "#� ��"C���������+�@��!>����!$&"7��;#�!2#�J�,�P/*�����Q�R���������������������R����������������� !�,������"7���P� "#���,�9$&"7������P�!���+���S����!���

���C�8"7������'+��')'�����K27+JL�� ����2#���H"9�*�UT'"7�������*���7N

V �����4��������"#�K�!"9�4LIWE���5�YX'"7���'� �����8��+�@*���!����"Q��"Q�8�'�8"#�.��'���4���!��Z*2#�����'��/*�����-�3����� �� �����������,�

����������������� !�,������"7���[� "#���,�Q����� 2#�!��������#N\�]�����3��+J�,�����0�!"C^=�'�_�"C`K����+��R� "#��LQ�!�����*�R/������a27�'�4/��������

"#� ��"7�9"#� ����4�����'� "#��N O ����I�b� "3c_��"3"#��� "#�9"7� ����5�,���'��"7�a�����dX���2#�������'�0"������ ���e���f�8g7������d�����4/!+�"#�

��"9��"7�����#���4�!�-X�h�2#������"#��L8/�� �'/1�'���iN

j �!�"#���#���8��"Q"GWE/���"7����k�"#�0/������-���H��"7�������*����"7�l�4����)'���*���m�K/1��� �"7�����'���n"9/!��"#�!����mX,�3��"9���_�"7��"7����",>

2#����������"#���������Q�Q�4����"7+��a��"C�������_�*������� !�,������"7���#>�"H�����������9�Q�8g7������Q�!"Cop��/�+���2#"�/*�����a���_�"#)'�������#>

c_�*�����!�q� �'+��!�#k�"7�r"GWE/�+�h�2#�mM���d�����s/1����"#� � "#�r"#��27�'�.����,�*���#>R����� ���4�������t����$&"7��"#�.�"7�i/!�����������d�*�,�

���E$&�'���4�,��mXI���#N

u � "GWE"#�8/�+��v���!�4g7����27�q��"7��Lv27�'��������"#�������v2#��� �!� 27�'�Iw ���.��v��"x�������'�=���.������!��S#�����q/1�'�

����������������� !�,������"7���r<zy!N[�a/�/�+zN|{}���'�����~N��~> ���'�'� >}/nNx�.���������.�'AG>[2#�'�������.����m�����"�27�'�4/��������

���C�8"7��'+���)'���,�K2#+�L���� ��2#���C"9���UT'"7���J�,�*���#N

Page 3: # r# 27 ' . ,* #>R 4 t $&7 # . 7i/! dveronica/MI402/camila.pdf · &-l8 e = ! ! "# %$& '( ' )' * ,+ -"# . "0/ /1 ' 32# 4 3 ! 5 ! # 6 "7 4/1 8"9$: +;7 2# =$& 2#

TV= � 5L ���J9=

� ������� � �

��� ����������������� �!��� "

��� ����������# �!$ �&%'�(� "

� )*�(� �,+ ��-/.�� 01���2���'34�5� �!6 � 7

8 9:�<;�=� �>+ � 7

" ?�@A��%B�C�&��-/.D� �

7 )*�=�2�C���E�!� $E� � F

� )*�=�2�C���E�!� $E� � GH�!I���� �!6 � J

� N � V � ����4��������"#�H��"6^�L�W!���5�HK "7���'� �����8��+�@�������� NYNYN6NYNYN6NYNYNYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYN �

� N � V � ����4��������"#�H��"6^=���4"7�_����0^=�����mZ*2��,���'� NYNYNYN6NYNYN6NYNYNYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYN ��

� N �EN � V W!"7�4/!+�� NYNYN6NYNYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYNYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYN � �

� N � ����3��+����7k�"#�H�!"�^i�'�_�"�`K�,��+���NYNYNYN6NYNYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYNYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYN � �

� N �!N � V � ����5�,���'��"7�H��"1KRh�2#���MLC"#�!��S#����� NYNYNYN6NYNYN6NYNYNYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYN �'N

F )*�=�2�C���E�!� $E� �POQ�=RE� � � ��@&� � �

��N � �0�*L�+�����"Q�K�UT'"7�������*�8�,�����!�4�������α"β��"7��27�'��@�"72#�����'� NYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYN6NYNYN �U�

��N � N � S "#�!����������"#�l�4����)'���*���m�H��/1�'� �"#�����'���n/*�����α"βN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYN6NYNYN � �

��N � �0�*L�+�����"Q�K�UT'"7�������*�8�,�����!�4�������β27�'��@�"72#����� NYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYN �U�

��N � S "7�������*���!"Y/���"7�������X,�3/*�����-���4���'�!��"#�X,���#���8$&�!������sNYN6NYNYNYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYN �U���N � V WE"#�8/�+�� NYNYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYNYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYN �UT

J GV�E@ 6 �4�&�W<� �M�YX<� $ � ���2W<� � ��"

Page 4: # r# 27 ' . ,* #>R 4 t $&7 # . 7i/! dveronica/MI402/camila.pdf · &-l8 e = ! ! "# %$& '( ' )' * ,+ -"# . "0/ /1 ' 32# 4 3 ! 5 ! # 6 "7 4/1 8"9$: +;7 2# =$& 2#

� ����� @&� �!6 � � 7

� N � j �!�"#���#���8���'�0^=�'�8"#�.��'�H��"Y{ � ���8"#����� j ����"7�F��"T"T−1

N6NYNYNYN6NYNYN6NYNYN � N

� N � S "7���mX,���#���8�*�8^��,�� ��S��b�!$&�����4����������"�[����@�"7� NYN6NYNYN6NYNYNYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYN � �

� N �EN � V � ����5�,���'��"7�H��"6^�LIWE���4�HK "#�����������8��+�@*�����#� NYN6NYNYNYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYN �'�

� N �EN � V � ����5�,���'��"7�H��"6^=�'�8"#�.��'�0^i������Z*2#�����'� NYNYN6NYNYNYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYN ���

� N � ^=gG������8��"Yop��/�+���2#"fN6NYNYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYNYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYN � �

� N � ^=gG������� �"#���I���X'��� O "� H��'��� Ll��/�@�� �'� NYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYNYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYN �/T

� N ��N � �a+�)'�'���m��8��� O "� H��'�E� L0��/!@����'�|NYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYNYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYN � �

� N ��N � �a+�)'�'���m��8��� ����3��+����7k�"#� NYN6NYNYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYNYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYN �.�

� N N ^=gG������ S "7+��� NYNYNYN6NYNYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYNYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYN ���

���PO � ��� � � $ %'��� � 8 7

� )�- 5�+ J� �� +>7 OM�+.-

� N � `����Iw ���_��8��" S �����'� N6NYNYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYNYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYN � �

� N � V � ����4�,���X,�,�H�!"α"β

NYNYNYN6NYNYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYNYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYN6NYNYN � �

� N � �b�.�"7� X,��+��'�C��"6`��'�EZ?�����#�8/*�,���α"β

NYNYN6NYNYN6NYNYNYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYN6NYNYN � �

� N � ^=g7�����-�*���C"7� ����4�,��mX,���K�*���C� ���3��+����#k�"7�H�!"�^i�'�_�"�`K�,��+��*<β = 1.0

A3NYNYN6NYNYN6NYN �2N

��N N � "#�8/1�0��" $:��+�;#��27�J�C"7� 27��27+��'�~W10−3

/*�����101

2#�'� /1�'�\��"%/!����XI�0"7� � ���"7���[�4LIWE���8�

/1���C2#��2#+��-�!"6� � T/T/T�{ �� NYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYNYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYN � ���N � �0+�)'�!���HXI��+��'� "#�H��"

π(α|dados) 2#����������"#���������4��/������'���n�*�����-"#� �EN �/T NYN6NYNYNYN �'�

� )�- 5�+ J� �� )AS 8K"2+R-

��N � S "7�������*���!"#�0�4��� )'���*�����K�-/1�'��"#� �������~/*�����α

NYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYN ���

Page 5: # r# 27 ' . ,* #>R 4 t $&7 # . 7i/! dveronica/MI402/camila.pdf · &-l8 e = ! ! "# %$& '( ' )' * ,+ -"# . "0/ /1 ' 32# 4 3 ! 5 ! # 6 "7 4/1 8"9$: +;7 2# =$& 2#

� P =>5L)��1+.:#<.= � - 5�+15��,- 5L),'#+

��������� ������������������������������� !���!����"#� �%$&�'�(�'� ��)'���*�,+��-"#�.�"0/�����/1�'� ��32#���4�3�!�5���!��� ������������#���6���

�"7�4/1�8��"9$:��+�;#��27�J�!>�/�������$:��+�;7��2#����/1�'�H$:������)'��2����!�����*�8/1"#+��8��/�+���2����#���-�!"6���4���"#�������4D��!��*�,�_�"

"#�F�!"7�"7���8���������'�H�4�,�"7�������K�4"GML�+���2#���#N

� �!��� ������������#���x�������_�*������� E��������"7��� <z� � ��QA8g ������"#���*�������d� "#)'�!���_�"#�d27�'�������#k�"7�d��������"��

/�� ��2#"#� ���4��"Q$:������).�3������2#�E����!�-/1�'�l�%�����_�*����� "6 !�������!"#����< �U�'�'� A��

• � $:��+�;7��27�J�4/1�'�0$:���!��).�8g3��"7X������r�d��/�+���2��,�����4��"7/1"7����*�5��"3���e/*���������d��"��"7��������"7�f2#���*�

27��27+���N

• ��'�r�����!D*��;7��2#������"a�"#��������"#� 2��,�*�327��27+���>E�����,2B@����������3�����4���*���.�"0���3�4�,�"7���J�,+1�����8"#�.M�

�I�g9c_��"Y��M�,�5���!@��-27��hm���27����"bw��4��+�2��,�������!�-/*�������8c_�*�,+ ��2#�'� ��"Y�3$:��+�;7��27�J�3/1�'�K$:������)'�!N

• �0�l"BW��"#�!��k�"#�0�*�-����2M@*�����!���-"#� 2����*�-27��27+��������-"#� ��,���� ���2��,�4"7�_�"Q�����!"#/1"#�!��"#�.�"7�#N

• � "GW��"#�������=������+}���i����2B@����������!> ��"7/1�'���9��"8��� )'���,����"8�����8"#� �=�!"82#��2#+����#>pg8�!��� ������!��h����

�,/�����W!���5�,�*���8"7�_�"Q�!�'���4��+ >E/1"7+����"7�'��"7�5��27"#�.����,+p�!�8+����8�m�"�N

�0+�)����5�,�Q����� ������!�����7k�"#�Q/1��/���+�����"7�9/*�����r�*�,���'�9��"�$:��+�;7��2#���d�����=�,�9�����������������#k�"#�R+��')����'���4�,+z>

� "#������+�+z> )'���4�4�!>Y�,����� �J����� ���.X'"#� ���!>�"=� � � E��N �H�|27�'�.���L,�����!>%�����8�����������������#k�"7� � "#������+�+K"

+���)'���'� �4��+:>a/1�'�r"GWE"#�8/�+��!>Q�����q@*L �3���mM�t/1"#� c_�������v�*�,��"��,�*�q�*�,�=���!$&"#� ;#��27�J���r�*� ����� �� �����������,�

����������������� !�,������"7���#N

� � 7� #5L)�� =

j ���Ew "G���X��d/!�����!2#��/*��+p��"#� ��"3������*�,+�@��4g���"#��+���S��,�l���E$&"#��;7��2#�����0/*�����d�4���������������������4����� ���*�,���-�

!���!����"#� �l�!���+���S#�����������C�4"G�������+��')����,�K2#+�L���� ��2��,�C"9�*��T'"#� �J�������#N

N

Page 6: # r# 27 ' . ,* #>R 4 t $&7 # . 7i/! dveronica/MI402/camila.pdf · &-l8 e = ! ! "# %$& '( ' )' * ,+ -"# . "0/ /1 ' 32# 4 3 ! 5 ! # 6 "7 4/1 8"9$: +;7 2# =$& 2#

� ��� 56"B= J�8(: <.=

�f�!��� ������������#���|�������_�*������� !�,������"7���#>���� ���8/1�'� ����.�"r�4���!"#+�� ��"i$:������).�!>K�,/���"7��"#�.M���|� "G�

)'�����_�"Q������������������������27���3��+J�����

F (t;α, β) = Φ

{1

α

[(t

β

) 12

−(t

β

)− 12

]},

<:��N � A

�'���!"t > 0

"Φ(Z)

gQ�6$&�����#��������� �� �����!�����,�3��27���3��+J�,�*�6�*�3�������4��+1/*����������N j �H/��������8"G������α"

����8� "#��/1"727���X,���8"7�_�",>?/*�������8"7�� �'�H��"Q$&�'� �5�3"9"7��2#��+J�!N

j ��� "#�X'"6c_��"Y/1"7+J��"#c_�*�,�����8��N �

Z =1

α

[(T

β

) 12

−(T

β

)− 12

]<:��N �'A

�"7�F����� �� �����������,���������4��+n2#�'�F�8g#�!�J�0"QXI����������2#���

1N

S "#�����8$&�'� �5�E>���$&���!�����8�!"Y�!"#��� ���*���!"Y��"Tg9�*�,�*�-/1�'�

f(t;α, β) =1

2√2παβ

[(t

β

) 12

−(β

t

) 32

]exp

[− 1

2α2

(t

β+β

t− 2)]

t, α, β > 0<&��N �'A

u ���+���S#�������a�0��������$&�'���4���#���a"7� ��N �E>'�a�8g#�����0"K�0X,��� ������27�J�l��"T<&X'"bw��9 E"7����� � N � A ���,�Q���!����*���

2#���4�

E(T ) = β

(1 +

α2

2

),

<:��N �_A

V ar(T ) = (αβ)2(1 +

5α2

4

) <:��N N A

�0+�g7� ����������>l� "T�"#� ����� �� �����������,�t�%�����_�*������� E��������"7���52#�'� /*�������4"G�� �'�

α"β>l"#�_����

T−1�"#� �����������������������������_�*������� !�,������"7���R2#�'� /*�������8"7�� �'�

α"β−1

>p� "#� /1"#27���XI���4"7�_�"�N V � ���

��������$&�'���4�����,��/1���!"9� "#�K$:��2#��+��8"7�_�"0XE��� M�E>�27�'��� ����"7�������!�-��$:�,�����"Qc_��"ΦT−1(t) = 1−ΦT

(1

t

)

Page 7: # r# 27 ' . ,* #>R 4 t $&7 # . 7i/! dveronica/MI402/camila.pdf · &-l8 e = ! ! "# %$& '( ' )' * ,+ -"# . "0/ /1 ' 32# 4 3 ! 5 ! # 6 "7 4/1 8"9$: +;7 2# =$& 2#

"Y��� �����fT−1(t) = fT

(1

t

)1

t2N {\���C��� ����>!�"7�8�'�Cc_��"

E(T−1) = β−1

(1 +

α2

2

),

<:��N � A

V ar(T−1) =(αβ−1

)2(1 +

5α2

4

) <:��N �'A

� P #5L=IJ9=.M�=.SR);+

O �3 E"#�#��� � N � >���"7��L��8�'� ��������6c_��"R�6�'�E�"#�!���������'��"7� ����4�����'� "#�%�!"a�4LIWE���4�QX'"#� �'��� ���8��+�@*�����#�

���'� /*�,�����8"7����'�}�*�Q���������������������Q����� ���*���!�-�� !�����!��"#� � �!"#/1"7����"0�*�9� �'+��!�����9��"C���4�Q"#c_�*���#���6�*�,�

+�����"��,� "#�βN[�a+�g#� ������� ��>.�0����� �� �����������,�02#���Iw ���_��a"GW!�,��R�!�'�["#� ����4�����'� "#�\��"��4LIWE���4�CX�"#�����������4� �

+�@��������6�����3gR��X,��+��J�,�*�!>_"R��� ����� �!�5�6�!��� ������!�����#���627�'�Iw �!�_M�3�,�������_������2��Y��"7��L3���!����*�!>��8�'�������!���

c_��"Y�'�C"7� ����4�����'� "#�H��"9�4LIWE���4�6X'"#�����������8��+�@��������������4�,�������_������2����8"#�.�"R�����!"#/1"#�!��"#�.�"7�#N

O �4 E"#�#��� � N �E>*��"7�����4��/���"7��"7�_M�,���'�0�'�C"#�����5���!�'��"7�C��"Y�8�'�8"#�.��'�H�8������Z*2#�������#>�/1�'���H�'�l"7� �� �

�4�����'� "#�\��"��4���4"7�_��'�\27�'�_X'"7��27���'�*�,���[/1����"7� �*���a"GWE������ �'�3�����R� "#� "#� ���!��2#���#N\�a+�g7� ����� ����>����4�

����� �� �����!�����,�=27�'�Iw ���.M� ����� ���.������2��i��"7��L��'�!����*�!>\�4�'�����,������c_��"d�'��"7� ����4�����'� "#�6��"5�4�'�8"#�.��'�

�8������Z*2#�������H���,�4����� ���.������2��,�4"7�_�"R������"#/1"7����"7�_�"7�#N

O �| E"7����� � N �E>%��� "7� ������|��"r�������!+J���#����� "#��L ��"#��+���S��,����2#�'� � ���_����������"r2#�'�8/*��������"7��� "

"#�����5���!�'��"7�#>�2#�mM�,���'�H�*���C��"7�#k�"7�a���.�"#� ���'� "#�7N

O �Y E"7�����6�E>.� "#��LQ$&"7��M�a���4�Q���*L�+���� "K�*��T'"#� ���*�Q���9�8����"7+��R��"K$:������).��� S ��� �� �����!�����,�Q����� ���*�,���-�

!���!����"#� �#N

Page 8: # r# 27 ' . ,* #>R 4 t $&7 # . 7i/! dveronica/MI402/camila.pdf · &-l8 e = ! ! "# %$& '( ' )' * ,+ -"# . "0/ /1 ' 32# 4 3 ! 5 ! # 6 "7 4/1 8"9$: +;7 2# =$& 2#

� P #5L=IJ9=.M�=.SR);+ TVM,W.-L-L)�'#+

����� ������ �������������������� ���� ��"!#�$���%�&���� ��('()*�%+*,-�

� �'�8"T1, . . . , Tn

���4�l�,�4�'�����l�,+�"��I��'� �J����" M���4��@��n�*�C���������������������C� � ���>�2#��� �!"#��� ���*���!"

�*�����-"#�F�!N ��"Q$&�����#���8��"QX'"#� �'��� ���8��+�@*�����#�3�*���*��/1�'�

L(α, β) =

(1

2√2π

)n(1

αβ

)n n∏

i=1

[(β

ti)

12 + (

β

ti)

32

]exp

{− 1

2α2

n∑

i=1

(tiβ+β

ti− 2)}

V �����-X'"#�����������4��+�@*�,�����3/1���!"Y� "#�C��"#"7��27���mM�-�*�-� "#)'�!���.�"Q$&�'���4�

L(α, β) =

(1

2√2π

)n(1

αβ12

)n n∏

i=1

(ti + β)

t32i

exp

{− 1

2α2

n∑

i=1

(tiβ+β

ti− 2)} < � N �.A

� $&�����#���8��"9+��')I� X'"7���'� �����8��+m@*���!���3g9�*�,�*�-/1�'�

l(α, β)∞− n lnα− n

2ln β +

n∑

i=1

ln(β + ti)−nu

2α2β− nβ

2vα2+

n

α2,

< � N � A

�'���!"

u =1

n

n∑

i=1

ti, v =

(1

n

n∑

i=1

1

ti

)−1

, K(x) =

(1

n

n∑

i=1

1

x+ ti

)−1

�0�C��"#� ��X,�������C�*��$&�!�������-+��'),� X'"#� �'��� ���8��+m@*�����#�32#���F��"7��/1"#�m��4�,�'�C/*�,�����8"7����'�H�����

∂l(α, β)

∂α= −n

α+

n

α3

(u

β+β

v− 2)

∂l(α, β)

∂β= −n

β+n

2

(1

β+

2

K(β)

)+

n

2α2

(u

β2− 1

v

)

∂2l(α, β)

∂α2=

n

α2− 3n

α4

(u

β+β

v− 2)

∂2l(α, β)

∂α∂β=

n

α3

(− u

β2+1

v

)

∂2l(α, β)

∂β2=

n

β2− n

2

(1

β2+2K ′(β)

K2(β)

)− nu

α2β3

Page 9: # r# 27 ' . ,* #>R 4 t $&7 # . 7i/! dveronica/MI402/camila.pdf · &-l8 e = ! ! "# %$& '( ' )' * ,+ -"# . "0/ /1 ' 32# 4 3 ! 5 ! # 6 "7 4/1 8"9$: +;7 2# =$& 2#

j �C"7� ����5�,���'��"7�H��"9�5L�W!���5�6X'"7���'� �����4��+�@*�,�����3�����8�'�!��������H���'+���27���'�*�,�����������3��+mM�,��"����-"#�_�"

∂l(α, β)

∂α= 0

∂l(α, β)

∂β= 0

`����4�β > 0

> � "#� ����������i���i�4����"7+��i� � ���> �"7�4���Yc_��"8�="7� ����5�,���'�Q��"8�4LIWE���4�5X'"#�����������8�m�

+�@����������!"β>β>�gY�-������SR/1�'���m��mX,�3�*�-��"7)'�����_�"9"7c_�*���#���4�*�,�8+�����"#���

β2 + v[u+K(β)]− β[2v +K(β)] = 0< � N � T.A

V �,�������=>E�"7�4���Cc_��"Y�-"#�����5���!�'�K��"9�5LIWE���5�6X'"7���'� �����8��+�@*���!���3��"α>α>�g9�*�����-/1�'�

α =

(u

β+β

v− 2) 1

2 < � N ��� A

S "#���!"�c_��" � N � T gi���4� "#c_�*���#���x�*�,�|+�����"#����"#�β>�@*L �!"#2#"7�������*����"=��"i��� /�� ��2#"7�����8"#�.��

���"#���,��mX'��/*�����-���!�"7�βN O "#��"9������*��+�@���>!� "#��L827�'��� ����"7�������8�-�8g7����!�8�!" O "� H��'�E� L0��/!@����'�nN

V ��)�"#+�@*�����E5"7d��+zN < �U� � � A3�4��� �� �'�qc��!"��|�!��� ������������#��� 27�'�Iw ���.M�x����� ���.������2�� ��"α"βg

(α, β) ∼ N{(α, β); I−1(α, β)}, �'���!" I(α, β) gR���4�,�� ��Sl���!$&�'� �5�,�����Y��" �[��� @�"#�R<&X'"bw��- �"#���,� � N �'A

�*�����-/1�'�

2n

α20

0 n

[1

α2β2+ E

(1

T + β

)2]

,

< � N � �'A

j ����"7� X'"Yc_��"

E

(1

T + β

)2

=1

2√2παβ

12

∫ ∞

0

f(t)e−nh(t)dt,< � N � �.A

�'���!"

f(t) =1

t32 (t+ β)

− nh(t) = − 1

2α2

[t

β+β

t− 2]

{[����� ��"7���'+mX'"#�=� "7c_�*�����,�v"#� � N � �!>a�!���+���S#�I� ��"��q�8g7����!� ��"xop��/!+J��27" /*����� ��/�� �UWE���4���7k�"#�r��"

���.�"7)'���,���#NY{\"#+��r�,/�����WE���4�����,�d��"-op��/�+���2#"r< X'"�w��i E"7����� � N �.AB>~�"#�8�'�Rc_��"E

(1

T + β

)2

∼= 1

4β2

"

Page 10: # r# 27 ' . ,* #>R 4 t $&7 # . 7i/! dveronica/MI402/camila.pdf · &-l8 e = ! ! "# %$& '( ' )' * ,+ -"# . "0/ /1 ' 32# 4 3 ! 5 ! # 6 "7 4/1 8"9$: +;7 2# =$& 2#

��� �����F���5�,�����SR���E$&�'���4���#���3��"�[��� @�"#�Hg9�*���*��/1�'�

2n

α20

0

(n

β2

) 1

α2 +1

4

< � N � �_A

S "#�����i$&�'� �5�E> ���9"#� ����4�����'� "#�Q��"-�4LIWE���4�4X'"#�����������8��+�@������#�d�����=�,�������_������2����8"#�.�"3�����!"#/1"7�E�

��"7�_�"7�#>*M�,+ c_��"

var(α) ∼= α2

2nvar(β) ∼=

(β2

n

) 1

α2 +1

4

−1

< � N �2N A

Q"#����+��8"7�_�",> /1����"B�b��"��"#�9���_�"7��"7����"8�!�r�"#�8/1�r�4g7��������"�$:������)'�d�*�����i/1�'�θ = β

(1 + α2

2

) >

X'"�w����="7c�������������N �!N u �������������8g7����!���!"#+����< X'"�w�� E"7����� �!N �'A9"427�'��������"#��������� �i$&�����4�i� �����

/�+���Z*2#���*� �*�q�5�,�����S ���E$&�'���4���#��� ��" �[��� @�"#�7>Y�v"#�����5���!�'�i��"x�5L�WE���4�tX'"#�����������4��+�@��������θ =

β

(1 +

α2

2

) �"#� ��� �����.��,���2#���8"#�_�"R���������������������3���'� �5��+n�*�,�*�-/1�'�

θ ∼ N{θ;σ2θ},

< � N ��� A

�'���!"6�3X,��� �����!2#���σ2θ

$&���~�'�!����*��/1���

∂θ

∂β= 1 +

α2

2

∂θ

∂α= βα

�0��� ���i>

σ2θ =

(1 +

α2

2

)2

V ar(β) + (αβ)2V ar(α)

=

(1 +

α2

2

)2β2

n

(1

α2+1

4

)−1

+ (αβ)2α2

2n

=

(1 +

α2

2

)2β2

n

(1

α2+1

4

)−1

+β2α4

2n

� T

Page 11: # r# 27 ' . ,* #>R 4 t $&7 # . 7i/! dveronica/MI402/camila.pdf · &-l8 e = ! ! "# %$& '( ' )' * ,+ -"# . "0/ /1 ' 32# 4 3 ! 5 ! # 6 "7 4/1 8"9$: +;7 2# =$& 2#

����� ������ ��������������������� ���+ ���� ��� �*�����-�����%�

j �C"7� ����5�,���'��"7�H��"9�4�'�8"7�_����H��� �*�����H/*�����-�-�!��� ������������#��������� ���*���!�-�� !�������!"#���H�����8�'�E����!�'�

c_�*�����!�Y� "H��)'����+J�0���}�8�'�8"#�_��'�P���8�'� ��������P�,�'�}/1��/���+J�,2#���'�*�����7>��'�-� "�w��Qc_�*�,�����9��"H��)��*��+��a�R�4g7���J�

�8�'� �����+p"��8XI����������27�J�8���8�'� �����+����0"#c_�*�,�#k�"#�R�����*���0"#� ��N �5"6��N N >1� "#��/1"727���X,���8"7�_�",N0� � �'+����#���

��"7����"6� ��� �"#�4�������4���'�H"#� ����4�����'� "#�H��"Y�8�'�8"#�.��'�7>�/1�'��g7�F/*�����-"#� ��"62#�����8�8����� �"7�5���*���-/1�'��� ���

����+����#����N

�0��� ���i> ���i���.X'g#�Y��"-�������Y���Y"7c_�*���7k�"#�6�*���*���9"#� �!N �i"-��N N > /�� �'/1k�"G� ��"8��)'�*��+����R���Y"7c_�*���#k�"7�

��N �8"9�!N � ���C� �*���l27�'��� "#� /(������"7�_�"7�a"7� ����4�,��mX,���H���8�'�����,���#N O "#� ��"62#��� ��>��"7�4�'�

u = β

(1 +

1

2α2

) < � N � �'A

v−1 = β−1

(1 +

1

2α2

) < � N � �.A

LC"#����+�X'"7�����8"#��� "6� ��� �"#�4�3�"7�4�'�Hc_��"

u

β=

(1 +

1

2α2

)

v−1 = β−1 u

β

�0��� ���i>*�-� �'+����#���-��"7����"Y������"7�5��g9�*�,�*�-/1�'�

α = 2

[(uv

) 12 − 1

] 12 < � N ��� A

β = (uv)12

< � N � T.A

� ���������������������32#���Iw ���_��8����� ���.������2��3��"α"βg

α

β

∼ N

α

β

,

α2

2n0

0αβ2

n

1 +3

4α2

(1 +1

2α2)2

< � N � � A

j ��� "#�X'"%c_��" ���p"#�����4���!�'��"7�p�!" �8�'�8"#�.��'�~�8������Z*2#������� ���,�0����� ���.������2��,�4"7�_�"}������"7/1"#����"7�_�"#�

<&X'"bw��4 E"#�#��� � N ��AGN

��

Page 12: # r# 27 ' . ,* #>R 4 t $&7 # . 7i/! dveronica/MI402/camila.pdf · &-l8 e = ! ! "# %$& '( ' )' * ,+ -"# . "0/ /1 ' 32# 4 3 ! 5 ! # 6 "7 4/1 8"9$: +;7 2# =$& 2#

��� � � � 0 � � � �>�

V ��" "GWE"7�4/!+��K$&�'���'�!������K"#� ^=2�`����'+b< �U� �,�.A("}��"G$&"#� "G� ��" ���K�"7�4/1�H��"P$:��+�;7��27�J����" � TK"#� /("72#hmZ*2#���

�4�,�"7���J�,���#>E�*�������l"7�F@��'�����#N j �l�������'�C"7� M�,�8�*� � ���1"#+�� � N � N

� ���1"7+J� � N � � `��'�Iw ���.��8��" S ���!�'��'N �EN � � �'�EN T � �'�EN N � �,�!N � �U� �EN T

�UT���N � � �U� N N �,����N � � � �EN � �_�'��N �

V �����4��������"#�9��"8�4LIWE���4�5X'"#�����������4��+�@*�,������"8��"8�8�'�8"#�_��'�9�8�����mZ*2��,���'�Q$&�'����� 2#��+�27��+J�,���'�7N

j ����"7� X'" c_��" �x"#�����5���!�'�8��"��4LIWE���4��X'"#� �'��� ���8��+�@*�����#� ��"β$&�'�l�'�!������x�,�����X'g#�5�����8g7������

���"#���,��mX'� O "� H��'�E� L0��/!@����'�nN O "#� �"-/!����2#"7�����8"#�.��!>~��"7� ����5�,���'�0��"��8�'�8"#�.��'�a�8������Z�2����!�'�0$&�'�

�!���+��mS������C2#�'�8�02M@��!�"����!��2#����+'" $&�'�_��"GZ*�������a��� 27�����g#� ���l��"%/*�������*�!>I���+_c��!" |β(i)−β(i−1)| < 10−20,

�'���!"i� "#/�� "#� "#�.M�5�,�C���.�"#�����#k�"7�#N0< X'"�w��4 E"7����� � N �_ABN

�0�C"#� ����4�,��mX,���K/1���_��������H/*�����α"β"#� ����4��/�� "#� "#�_����*���l�*� � �,�("7+J� � N �EN

� ���1"7+J� � N � � V �����5�,���XI���K��"α"β

^=gG��������α β

^=���4"7�_����0^=�����mZ*2��,���'� T!N ���.� N � � �EN T'�UT��

^�LIWE���5�HK "#� �'��� ���8��+�@*�,����� T!N ���.� N � � �EN T,� � �

�b�.�"7� X,�,+��'�l�!"Y2#�'�!Z*�����#�8$&�'�����F���!������'�C�!���+���S����!���8���"#�������8��� �����_��,���2#�!N O ���"9c��!"�� � �,�1"#+J�

� N ��� "#� X'"���/1"#�����327�'�4���!� "GWE"#�8/�+�� /*�,��� �,/�+���2����Y�����4"G�������+��')'�����Y"BWE/�+���2#�mM���*�,����27���4�!>\���4�

X'"#SYc_��"9�827�'�Iw ���.��8��"9�*���!�'�Cg9�3�������/1"#c_��"7����N

� �

Page 13: # r# 27 ' . ,* #>R 4 t $&7 # . 7i/! dveronica/MI402/camila.pdf · &-l8 e = ! ! "# %$& '( ' )' * ,+ -"# . "0/ /1 ' 32# 4 3 ! 5 ! # 6 "7 4/1 8"9$: +;7 2# =$& 2#

� �,�1"#+J� � N �����b�_�"#�X,��+��'�C��"6`��'�!Z*�����#�8/*�����α"β

� |�� h`g.c;�bk;lα β

� T�� �=N � � T�� �/N �

� ���h`g.c ~�m lnk� <4T!N � ��� �� T!N ��� ��� A <4T!N �'N �.� T!N �=T � �.A < � � � N ��� ���� �I�_�EN � � T.��A < � � N N ���.� �� �,�'�!N � � ���'A

� k;g>m a �nkt| � k��� <4T!N � ��� �� T!N ��� ��� A <4T!N �'N �.� T!N �=T � �.A < � � � N � �'� � �I�_�EN �'� � T'A < � � N N � �'�'�� �,�'�!N �'� ��� A

j ��� "#�X'"4c_��"-@*Lr�r/1�'� ��������+����*����"��*����"��,+���S#�����,����"��"#� �"#�Y��"-@!��/ ���"#��"7�Y�!��+��,�"7�������a"-�!���+���S����

�'�C���_�"#� XI��+��'�K��"92#���!Z?�����#�8/�������2#�'�!2#+������K���'��� "6����"bw "#�������-�'�i�����8���-@���/ �,�"7��"9����+��!N

����� � �� ���'��%,�� �����*� ���%+ ���� ����'(�

�0�R�����3��+J�,�#k�"#�0�!"-^=�'�.�"-`K��� +��4$&�'����� $&"#�mM���02#�'�!�����!"#���,�����r�,�4�'�����,�a�!"n = 5, 10, 20

"3�'�

/*�������8"7�� �'����"R$&�'� �5��27�'�8�α = 0.1, 0.5, 1.0, 2.0.

E"7� /1"#� �*����"Q)'"7��"7����+����*���!"�>E��/*�����,�4"G����3��"

"#� 2���+��β$&�'�nZ!W!�����8"#�

1.0.

O ���"�c_��"K�Q����)����4"7�_��R�*�a����� ������!�����#���a��27���3��+J�����0��"H�%�����_�*������� !�,������"7���l< X'"�w��Q�a"7c_�*�����,�

��N � A[�"#� ����� �� �����!�����,�Q���'� �5��+!/*����������N � �'�4"Z27�'�8�Y� "#���!�����4�RX,��� �JLUX�"#+?��+�"��,��'�����a���'���4��+!/*�I�

��������N V +�"7X,�,���������Yc����������,���6������)����4"7�_��Y�*�Y����� �� �����������,�Y��27���3��+J�,�*�9��"0�������_�*������� !�,������"7���

�"7�4���

Z2 =1

α2

[T

β+β

T− 2] < � N ���'A

� "7c_�*�����,� � N �'�3/1����"9��"7�l��"7"#� 2#���mM�-�*����"7)'�����.�"9�4����"7�����

βTα2Z2 = T 2 + β2 − 2βT

T 2 + β2 − 2βT − βTα2Z2 = 0

T 2 − β[α2Z2 + 2]T + β2 = 0< � N �,�.A

� �

Page 14: # r# 27 ' . ,* #>R 4 t $&7 # . 7i/! dveronica/MI402/camila.pdf · &-l8 e = ! ! "# %$& '( ' )' * ,+ -"# . "0/ /1 ' 32# 4 3 ! 5 ! # 6 "7 4/1 8"9$: +;7 2# =$& 2#

LC"#����+�X'"7�����4�-"7c����������8���8� "#)'���!���4)'���,�i�*�,�*�-"7� � N �,�3�"#�8�'�

∆ = [α2Z2 + 2]β2 − 4β2

T1 = β[α2Z2 + 2]−(α4Z4

4+ α2Z2

) 12

T2 = β[α2Z2 + 2] +

(α4Z4

4+ α2Z2

) 12

`���� �������8/1����"B�b� "6)�"#���,�C� ���8"#� �'�l��+�"#�,��������'�K�*��� "��������0��"7�������0����h�S#"#�C� ��+m���/�+����K"Y�8/�����27"#��� �

�8"#�.��-g

• Q"#�����H� �!�4"7���'�l�,+�"#�,��'� �����K/�� ��X'"7����"7�_�"#�l��"9���4�����������������������3���'� �5�,+~/*�,�������(Z)

• Q"#�����K�����4"7���'�H��+�"#�,��������'��/!���UX'"#����"#�_�"#�C�!"9�!�5�3�!��� ������������#���������m$&�'���8"a�������_�"#�X,��+���� T!> ���

• �"U ≤ 0.5 >*"7�_M�,�-��'�8" T = T1

>*� "#�*���-����4"T = T2

� �������Y"#��� "#��� "#� ��+�������'�9��"7�����i�*����"#�����'�Y"#� � T/T/T������3��+J�,�#k�"7�Q��"5^=�'�.�"5`K��� +��|<&X'"bw��� E"7�����

� N �_AGN O � � ���1"7+J� � N �!>�"#��27�'�_��������b� "9�'�C� "#���!+�M�,���'�C�*�,�C�����3��+����7k�"#�K��"6^=�'�_�"�`K�,��+���N

������"#�����4�!�'�l��"7����+mM���!�'�C���8"#�������4��"Y� ���3��+����7k�"#�H��"6^=�'�_�"�`K��� +���>�������"7� X,�I� ��"Yc��!"6���l"7� �� �

�4�����'� "#�K��"R�5L�W!���5�9X'"#� �'��� ���8��+�@*�����#��"R��"Q�8�'�8"#�.��'���8������Z�2��������K��/���"7��"7�_M�,�F�!� 27�'�8/1�'� ��I�

�8"#�.��d� ���8��+����C2#�'�e� "#+������,�d���5X�h�27���=>n"#� /1"#27�J��+��4"7�_�"�/*�����4X,��+��'��"7�a/1"7c��!"#���'�Q��"αNR�0/ �'�R���4�

���!��/1"#�#���8���'�C� "#���!+�M�,���'�#>�������I�b� "9���F/��������,�8�!�'�HXEh�2#���'�H��"7��� "#�0"#� ����4��������"#�

KRh�27���(α) ≈ KRh�2#���

(α) ≈ −αn

KRh�2#���(β) ≈ KRh�27���

(β) ≈ α2

4n

j ��� "#�X'"9c_��"R/*�����3�!�αZ!WE��>����4"7�����*�6c_��"Q������5�,��@��3���8�'� �����+(���!�4"7�_M����X�h�27���������4�����!�

"9/*�����-�!� M���4����@!�8���8�'�����,+nZEW!�!>?�-�8"#�����*��c_��"α�,���8"#�_����-X�h�27���-�����8"#�.M�!N

� �

Page 15: # r# 27 ' . ,* #>R 4 t $&7 # . 7i/! dveronica/MI402/camila.pdf · &-l8 e = ! ! "# %$& '( ' )' * ,+ -"# . "0/ /1 ' 32# 4 3 ! 5 ! # 6 "7 4/1 8"9$: +;7 2# =$& 2#

� ���1"7+J� � N � � ^=g#�!�J���*���C"#�����4�,���X,�,�K�*���C�����3��+J�,�#k�"#�K��"6^=�'�.�"6`K����+��?<β = 1.0

A

�α

V �����5�I��mX,�3��"α

V � ����4�,��mX,����"β

α αKah�2#���

(α)Kah�27���

(α) β βKah�2#���

(β)KRh�27���

(β)

N T!N � T!N T,�_�UT.�,� T!N T��_�UT'��� � T!N T N � � ��� � T!N T N � ��� �'� ��N T/T � � �EN TUT � � � N TUT � � � N TUT � �

T!N N TEN �U�/N��=N T!N ���=N��=N � TEN �/T,�=T N � TEN �/T,�=T N ��N �UT N/N �EN � T N � � N � T N/N � N � T N �

� N T TEN �.� � �.� T!N �'� � �'� � TEN � �,� N � � TEN � �,� N�� ��N �'� T'� �EN ��� N � � N ���UT'� � N ��� N���EN T TEN �'� � � � ���!$ � � N �/T � � ���!$ �!N N�� ��� ���!$ �!N N,� ��� ���!$

� T T!N � T!N T,� N � N � T!N T�� N � N � � T!N T N � � �'� � T!N T N � � �'� ��N T/T � � �EN TUT � � � N TUT � � � N TUT � �

T!N N TEN � ���=N�� T!N � �U�=N�� � TEN ���UT��'� � TEN ���UT��'� ��N �U� � � �EN ��� � � � N ��� ��� � N ��� � �

� N T TEN �_� �'�'� TEN �_� � � � TEN N �,�'� � � T!N N ����� ��N ���'� � �EN �,�.�'� � N �,�.� � � N �,�.�'�

�EN T TEN � N �/T � ���!$ � � N �,� ��� ���!$ �!N �_��� � ���!$ �!N �.�'� � ���!$

�UT T!N � T!N T��.�UT T!N T��.�/TUT'� � T!N T N��U�'� � � T!N T N��U�'� � ��N T/T'�,� �EN TUT.�,� � N TUT.�,� � N TUT.�,�

T!N N T!N ���/T � TEN ���UT � � T!N � �'��� � T!N � �'��� ��N �U� T � �EN ��� T'� � N ��� T � � N ��� T'�

� N T T!N �'�.�'� T!N ���.�.� � � T!N N/N�� � � TEN N/Nd� � � ��N � � T N �EN � �'N � � N � � T N � N � �'N �

�EN T TEN � ���U��� T!N � � ��� � � � N � �'� � � � N � �.��� �!N �'� � � ��N N �UT.� �!N ��� � � �EN N �UT.�

���E$ �}�4�,�� ��SR���!$&�'� �5�,�����3��"�[����@�"7�C� ����)���+J�,�

��� 8 � � 01��� � ��(���E%'� �:�&��� 3 6=� �P� � ����� � ���

u � �8g7�������� ���8/�+�"7�%/��������6��"7�������,���!��X�h�27���6���'��"7� ����4�����'� "#�%��"a�4LIWE���4�QX'"#� �'��� ���8��+�@*�����#�

"9��"9�8�'�4"7�_��'�H�8�����mZ*2��,���'�Hg9�*�,���8/1�'�

α∗ =

(n

n− 1

)α β∗ =

(1 +

α∗

4n

)−1 < � N �I�_A

α∗ =

(n

n− 1

)α β∗ =

(1 +

α∗

4n

)−1 < � N � N A

�'N

Page 16: # r# 27 ' . ,* #>R 4 t $&7 # . 7i/! dveronica/MI402/camila.pdf · &-l8 e = ! ! "# %$& '( ' )' * ,+ -"# . "0/ /1 ' 32# 4 3 ! 5 ! # 6 "7 4/1 8"9$: +;7 2# =$& 2#

u ���+���S#���������'�r� "#���!+�M�,���'��w�Lt�8�'� ������!�'���*���r� "#�7k�"#���,�_�"7�����'��"7���"#�8�'��c_��"|�t����� �� �����������,�

2#���Iw ���.M�8����� ���.������2#����"α∗

"β∗

g

α∗

β∗

∼ N

α

β

,

nα2

2(n− 1)2 0

016nβ2

(4n+ α2)2[0.25 + α−2 + I(α)]

< � N � � A

S "9$&�'� �5�3� ���8��+����7>E�"#�8�'�Hc��!"6�-�!��� ������������#���32#�'�Iw �!�_M�8�,�������_������2��3��"α∗

"β∗

g

α∗

β∗

∼ N

α

β

,

nα2

2(n− 1)2 0

016nβ2

(4n+ α2)2

1 +3

4α2

(1 +1

2α2)2

< � N ���'A

� P #5L=IJ9=.M�=.SR);+ ?Y+&Z[ &-6)�+R��+

� ��� � +*�%'(�(����� ���%���&���%+�� �%�&���* ��(+*���α�β�*��� � �%+*)�� � �(�*�%�

O "#�M� � "#���,��>R��"#��L ��"7��"#�.X'�'+�X����*� �!�5�s���*L,+�����"����UT'"7���J�,�*�s/*�����s�s������� �����������,�s����� ���*�,���-�

!���!����"#� �a27�'��� ����"7�����!���5���m$&"#� "#�.�"#�l/������'�����H�*���4���!$&�'� �5�I�� X,���H/*�����α"βN�� ��"7�������*����"6�8/������'���

��"6y�"��(��"GT��0/*�����α"βg9�*���*��/(���

π(α, β)∞{detI(α, β)} 12 ,

<z�EN �,�.A

�'���!"I(α, β)

gY���4�,�����SR���!$&�'���4�,�����3��"�[��� @�"#�Y< X'"�w��-/1�'�H"GWE"#�8/�+��!>*���UWr����� � ������> �U� ���'AGN

`�����������"#���������8����/�����WE���4�����,�3��"9op��/�+J�,2#"R/*�����E(T + β)−2 ∼= 1

4β2

>!�"#�8�'�H�3$&�'� �5��� ���8/�+�� �

Z*2#���*�-���-�4�,�����Sa���!$&�'���4�,�����3�!"�[��� @�"#�K�*���*��"7� � N � ��> "9��/�� ���'� �n�*���-���!$&�'���4�I�� X,��/*�����α"βg

�*�����-/1�'�

π(α, β) =

√2n2

4β2+

n2

2α2β2=

√2n2

α2β2

(1

α2+1

4

)

�U�

Page 17: # r# 27 ' . ,* #>R 4 t $&7 # . 7i/! dveronica/MI402/camila.pdf · &-l8 e = ! ! "# %$& '( ' )' * ,+ -"# . "0/ /1 ' 32# 4 3 ! 5 ! # 6 "7 4/1 8"9$: +;7 2# =$& 2#

�0��� ���i>

π(α, β)∞ 1

αβ

(1

α2+1

4

) 12

,<z�EN � � A

�'���!"α, β > 0.

j �!�����/�� ���'� �1�*���3���!$&�����4�,�� X,�Y/*�����α"β>���� �����8�����!�3������"7/1"#���!;#��27�J�3"#�.���"

α"β<&X'"bw��3/1�'�

"GWE"7�4/�+���>*����Wi���!� � �J���!> �U� �,�.A�g9�����*�-/1���

π(α, β)∞ 1

αβ,

<z�EN �UT.A

α, β > 0.

`�����������"#���������r�5/�� ���'� � ��"-y�"��(��"GTE�Q�*�,�*�d"7� �EN � � >n�5��"#��� ���*�,��"32#�'�Iw �!�_M�d�d/1��� �"7�����'��� /*�����

α"βg9�*�,�*�-/1�'�

π(α, β|dados)∞

∏ni=1(β + ti) exp

{−A(β)

α2

}

αn+1β(n

2+ 1)

H(α2)

,<z�EN � � A

�'���!"H(α2) =

(1

α2+1

4

)−1

2 " A(β) = nu

2β+nβ

2v− n

N

j ��� "#�X'"6c_��"H(α2) = 1

c_�*�������82#����������"#�����4���l��/������'���n�*�,�8���!$&�'���4�I��mXI�3�*�,�*�-"#� ��N �/TEN

F � � � � � � @�� � ���(�&� � ��% $E� @�� � �:� ���E���2� % � � % � �&��%'�α�β

�0� �!"#��� ���*�,��"#� �4����)'���*���m�}�9/1��� �"7�����'����/*�,���α"β�����Y���!����*���}/1"#+��Q���_�"#)'�������,�9�*�9�!"#��� ���*�,��"

2#���Iw ���.M�8�-/1�'��"7���������~�����*�-"7� �EN � � "#���

α>*� "#��/1"727���X,���8"7�_�",N

� ��"#��� ���*�,��"3�4����)����*�,+ �4/1�'� �"#�����'���p/*�����α2#�'��� ����"7�����!�����5/�� ���'� � �����*�5"7� ��N �UT!>(/1����"���"7�

"#� 2#� ��M��2#�'�8�

π(α|dados)∞ en

α2

αn+1

∫ ∞

0

f(β)e−nh(β)dβ,<z�EN �.�'A

�'���!"

f(β) =

∏ni=1(β + ti)

βn2+1

− nh(β) =nu

2βα2− nβ

2vα2

� �

Page 18: # r# 27 ' . ,* #>R 4 t $&7 # . 7i/! dveronica/MI402/camila.pdf · &-l8 e = ! ! "# %$& '( ' )' * ,+ -"# . "0/ /1 ' 32# 4 3 ! 5 ! # 6 "7 4/1 8"9$: +;7 2# =$& 2#

u ���+���S#�������Q�Y�,/�����WE���4�������R��"lop��/�+���27"H/*�����9�Q���.�"7)'���,+�"7� �EN �.�E>'�"#�8�'� �Q��"#)������.�"C�!"#��� ���*���!"

�4����)'���*�,+~��/1�'� �"#� ���'� �~/*�����α

π(α|dados)∞α−n exp

{− n

α2

[√u

v− 1]}

,<z�EN ���.A

�'���!"α > 0

N

`���� �r/�� ���'� �P�*�,�i���E$&�'���4�,��mXI�d�*���*�r"7� �EN � � > ����"#�!����������"8�4����)����*�,+P��/1�'� �"#�����'���P/������α>

��/�� �UWE���5�����3/1�'�lop�,/�+J��27"Qg

π(α|dados)∞α−(n+1)(4 + α2)12 exp

{− n

α2

[√u

v− 1]}

,<z�EN �,�_A

�'���!"α > 0

N

� ��"7�������*����"5�5�,��)'���*��+ �=/1�'��"#� ���'� � /*�,���β>P27�'��� ����"7�����!������/!��������� �*������"7� �EN �/T!>[�'�E������

���.�"7)'���,�����8����"#��� ���*�,��"Y/1�'��"7���������~27�'�Iw ���.M�-"7�αg

π(β|dados)∞β−(n

2+ 1)∏n

i=1(β + ti)

{u

2β+

β

2v− 1}n2

,<z�EN � N A

�'���!"β > 0

N

`�����������"#�����������5/!���������p�*���*�4"#� �EN � � >(�5��"7�������*����"��5��� )'���*��+p�5/1��� �"7�����'��� /������β/1����"���"7�

"#� 2#� ��M��2#�'�8�

π(β|dados)∞∏n

i=1(β + ti)

β

n

2+ 1

∫ ∞

0

f(α)e−nh(α)dα,<z�EN � � A

�'���!"

f(α) = (4 + α2)

1

2 − nh(α) = −A(β)α2

− 2(n+ 1) lnα,

�'���!"A(β)

"7� �L8��"GZ*�����*�-"#� ��N � � N

� �

Page 19: # r# 27 ' . ,* #>R 4 t $&7 # . 7i/! dveronica/MI402/camila.pdf · &-l8 e = ! ! "# %$& '( ' )' * ,+ -"# . "0/ /1 ' 32# 4 3 ! 5 ! # 6 "7 4/1 8"9$: +;7 2# =$& 2#

`�����������"#��������������/�� �UWE���4���#���6��"Rop��/!+J��27"0/*�������6���.�"7)'����+?"7� �EN � � >E����"7�������*����"a�4����)����*�,+?�

/1�'��"#� ���'� � ��/�� �UWE���4���*��/*�����βg

π(β|dados)∞

∏ni=1(β + ti)

{4 +

[2n

n+ 2

] [u

2β+

β

2v− 1]}12

β

n

2+ 1

{u

2β+

β

2v− 1}(n+ 1)

2

,<z�EN �'�'A

�'���!"β > 0

N

� ��� � +*�%'(�(����� ���%���&���%+�� �%�&���* ��(+*���β

� �%+*)�� � �(�*�

�0��� ���4�������β2#����@�"72#���!��>?��$&�!�������-��"QX'"#�����������4��+�@*�,�����3/������

αg9�*���*��/1�'�

L(α)∞α−n exp

{−A(β)

α2

},

<z�EN ���.A

�'���!"A(β)

g9��"GZ*�����*�-"7� �EN � � N

`�����������"#��������� �i/�� ���'� �}��"dy�"��(��"GTE�π(α)∞α−1, α > 0,

�i��"7�������*����"5�i/1�'� �"#�����'���}/*�����αg

�*�����-/1�'�

π(α|dados)∞αn+1 exp

{−A(β)

α2

},

<z�EN � � A

�'���!"α > 0

>A(β)

g9��"7Z������*��"#� �EN � � "Y�-27�'���M���.�"Y�!"Y/!���'/1�'� 2#���'�*��+����*�,��"Rg

2n

n

2

[u

2β+

β

2v− 1]n2

Γ(n2

)

� ��� � ��+����(���������*� ���*� ���� ��� ����� � ������ �&�$��� �%,%��� � ���� �

�0��� ���4�������β27�'��@�"72#����� "���/!��������� �!"ry�"��(��"GT���/*�����

α>}����"7�������*����"d/�� "#���m��mX,�=/*�,�������4�

$&�!��������'����"7� XI�������tn+1

<&X'"bw��4{}� "#���7> ��� � � AKg9�*���*��/1�'�

f(tn+1|dados) =∫ ∞

0

f(tn+1|α)π(α|dados)dα,<z�EN �=T.A

�U�

Page 20: # r# 27 ' . ,* #>R 4 t $&7 # . 7i/! dveronica/MI402/camila.pdf · &-l8 e = ! ! "# %$& '( ' )' * ,+ -"# . "0/ /1 ' 32# 4 3 ! 5 ! # 6 "7 4/1 8"9$: +;7 2# =$& 2#

�'���!"π(α|dados) gY�����*�-"7� �EN � � "

f(tn+1|α) =(β + tn+1)

2√2παβ

1

2 t

3

2n+1

exp

{− 1

α2

(tn+1

2β+

β

2tn+1 − 1

)} < ��N � � A

�0��� ���i>

f(tn+1) =n

n

2 (β + tn+1)[u/(2β) + β/(2v − 1)]n

2 Γ(n+ 1

2)

2√2πβ

1

2 t

3

2n+1Γ(

n

2)

{(nu+ tn+1)/(2β) +

1

2β(n/v + 1/tn+1)− (n+ 1)

}n+ 12

,<z�EN �.�'A

�'���!"tn+1 > 0

N

�"βgY��"7��2#����@�"#27������>?/1����"B�b��"Y�������0�-/�� �UWE���4���#���-�!"6op��/�+J�,2#"9/������-���_�"#)'�������K"6��� �����F�'�!�"7�

�-�!"#��� ���*�,��"Y/�� "#���m��mX,��/������-��$&�!��������'��� "#� XI�����,�tn+1

N

� ��� � � � � '(�

�%�����_�*�������� !�������!"#����< �U�'��� AY2#�'�!�����!"#�����s��� 27�'�Iw ���.�� �!"r�������'���!���"#�8/1����"d$:��+�;7��2#������"

� T ��� � �C� �*�,�����,�H�!"9��+��!�4h����m��2#��� M�,�*���H/�������+�"#+����8"7�_�"a�*�3����� "#���,���������'+����8"#�.���"Q�'� 2#��+������!�3"#�

� �42#��27+����a/1���a��"7)'�������!N O � � ���1"7+J���EN N "7��2#���_��������b��" � T � ������"7� X,���7k�"#�8<&�"#�8/1�d��"6$:��+�;7��27�J�8"#�

2#��2#+��'��W10−3

A%��'�4���*�,�H2#���F� ���"#� �0�4LIWE���8�3/1�'�H2#��2#+�����"Y� � TUT/T-{ ��MN

O ���"6c��!"3��� � T � >1��� � �'�EN ���8"6X�� � � � N � �!N0�a�a"#�����5�I���XI���l��"��5L�W!���5��X'"7���'� �����4��+�@*���!���8�����

�*���!�'��/1�'�α = 0.1704

"β = 131.82.

`��'�!�����!"#���,�������6����� ������!�����#���6����� ���_������2��Y�!�'��"#�����5�,���'��"7�

��" �4LIWE���4��X'"7���'� �����8��+�@*�����#�H" �0�,/�����W!���5�,�����H��"%op��/�+���27" /*�����l���_�"#)'�������n�"7�4�'�pc_��" �'� ���_�"#� XI��+��'�

��"=2#�'�!Z*�������|��" � T�� /*�����α"β���,�

(0.1506; 0.1902)"(128.31; 135.52)

>H��"7��/1"727��mX,���8"#�.�",N

u ���+���S��,�����6�6/�����/�����"#�*�,��"0��"a���_X,�,�����,��2#���9����"7� ����4�����'� ��"a�4LIWE���4�QX'"7���'� �����4��+�@*�,�����Q�"7�4���%c_��"

θ = 133.73N

�UT

Page 21: # r# 27 ' . ,* #>R 4 t $&7 # . 7i/! dveronica/MI402/camila.pdf · &-l8 e = ! ! "# %$& '( ' )' * ,+ -"# . "0/ /1 ' 32# 4 3 ! 5 ! # 6 "7 4/1 8"9$: +;7 2# =$& 2#

� ���1"#+��-�EN N � � "#�8/1����"R$:��+�;7��27�J��"7� 2#��2#+��'�%W10−3

/*�,���101

2#�'� /1�'�H��"Q/�� ��XI��"#� � �� "#� �l�4LIWE���4�

/1�'�H2#��2#+�����"Y� � T/T/T-{ ���UT � T �'� � � �'� � T/T � T'� � T�� � T�� � T N � T.� � T'� � T��

� T'� � T � � T � �� � �� � �� � �� � �� � �� � ��U� ���U� � �UT � � T

� �UT � � � � � � � �,� � �,� � �,� � �,� � �,� � �,� � ��� � ��� � � � �'N,�

� �/T � �/T � �UT � � � � � � � � � � � � � � � � �.� � �.� � �.� � �'� � �,�

� ��� � ��� � �,� � �,� � � � � � � � �.� � �'� � �'� � �'� � � � � � � � � �

� � � � �_� � �.� � �.� � �_� � �_� � �_� � �'� � �'� � � N � � � � �.� � �'�

� � � �2N�� �'Nd� �'N � �'N/N �'N�� �'N � �'N � �'N � �'N � �2N � �2N�� �U� �

��� � ��� � �U� � �U��� �U�'� �U� � � �UT � �,� �U�'� � � �

� ��"7�������*����"3�4����)����*�,+ �5/1�'� �"#�����'��� /*�����α>n2#�'��� ����"7�����!���r�5/������'���

π(α, β)∞ 1

αβ

"3�d��/����I�

WE���4���#������"Yo �,/�+J��27"Q/*�����-���_�"7)'�������Kg

π(α|dados)∞α−101 exp

[−1.4663

α2

],

<z�EN �'�.A

/*�����α > 0

N

j ��� "#�X'"%c��!"��C�8���*�H��"7�����l���������������������!>α∗ ∼= 0.1704

>I2#�'����2#����" 27�'� �l"#�����5���!�'� ��" �5L�W!���5�

X'"#� �'��� ���8��+�@*�����#�3/*�����αN

�s�!"#��� ���*���!" �5�,��)'���*��+��C/1�'� �"#� ���'� �./������α>I27�'��������"#���������0�C/������'� �

π(α, β)∞ 1

αβ

(1

α2+1

4

)12

"Y�8�,/�����WE���4�������3��"Yop��/�+J�,2#"Q/*�����-���_�"#)'�������Kg

π(α|dados)∞α−102(4 + α2)

1

2 exp

[−1.4663

α2

],

<z�EN ���_A

/*�����α > 0

N

O � � �,�1"#+J�Y�EN � >_"#�!2#�'�.����,�-� ��"l��+�)������}XI��+�����"#� �!"π(α|dados) 27�'��� ����"7�����!�����9/�� ���'� ���*�����Y"7�

�EN �/T!N V � ��"#�lXI��+��'� "#�H��"7�����8�!���+��mS��������K�*�-27�'��� ������#���4����[��)������-��N ��N

� �

Page 22: # r# 27 ' . ,* #>R 4 t $&7 # . 7i/! dveronica/MI402/camila.pdf · &-l8 e = ! ! "# %$& '( ' )' * ,+ -"# . "0/ /1 ' 32# 4 3 ! 5 ! # 6 "7 4/1 8"9$: +;7 2# =$& 2#

� ���1"#+��4�EN � �}�0+�)'���!�HX,�,+��'� "#�H��"π(α|dados) 2#�'�!�����!"#���,�����4�-/!���������n�*���*��"#� �EN �/T

αS "7�������*����"6^�����)����*��+n/1�'��"7���������~/*�,���

α

^=g7������8��"6op�,/�+J��27"

T!N � � T!N T/T/T/T

T!N � � T!N T/T��'�

T!N � � T!N �.� � �

T!N �'N N/N N T/T/T

T!N �U� � � ��N � �'�

T!N � � �.� � N N �'�

T!N � � �,� � N T N �

T!N �U� � T'�EN ��� �

T!N �UT � � N � T.�

T!N � � T!N �'� �/T

T!N �'� T!N � �'�UT

O � �[��)'�������EN �!> �'��� "#� XI�I�b� "i������"7�������*����"7�8�4��� )'������������/1�'��"#� ���'� ��/*�����α> 2#�mM����������2#���5�E>

2#����������"#���������5���l/�� ���'� ���l�EN � � "3�EN �/TEN S "Y$:�I���>?�4��/�����"7�_�"Y��������� �"#S6�*�8"7��2#��+�@*�8�*�,�0/�� ���'� ���H�*�,�

���E$&�'���4�,��mXI���a�EN � � "-��N �UT!>(��"GX'"G� ��"-�,�5$:�,��5�*�5������"7/1"#����;7��2#�����7�5/�� ���'� ���G���'�l/��������8"G����'�α"β.

`��'�F����� ��>��*�-/���L,���2���� "#27�'�8"#���*���b��"9�������l�-/�� ���'� �n�5�,���K�����4/!+�"#�7>π(α, β)∞ 1

αβ

N

� ��"#�!����������"Y�4��� )'������+n�-/1�'��"7���������~/*�,���β>*27�'��� ����"7�������!�4�-/�� ���'� �

π(α, β)∞ 1

αβ

g

π(β|dados)∞ β−51.5∏101

i=1(β + ti)

(66.86/β + β/259.86− 1)50.5 ,<z�EN � N A

/*�����β > 0

N

�s��"7�������*����" �4����)����*�,+'�C/1�'� �"#� ���'� �./*�����β>I2#�'�!�����!"#���,�����a�C/�� ���'� �

π(α, β)∞ 1

αβ

(1

α2+1

4

)12

�'�

Page 23: # r# 27 ' . ,* #>R 4 t $&7 # . 7i/! dveronica/MI402/camila.pdf · &-l8 e = ! ! "# %$& '( ' )' * ,+ -"# . "0/ /1 ' 32# 4 3 ! 5 ! # 6 "7 4/1 8"9$: +;7 2# =$& 2#

0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 0.2 0.21 0.220

5

10

15

20

25

30

35

alpha

�[��)'�����-�EN � � S "#�!����������"#�l�4����)'���*���m�H��/1�'� �"#�����'���n/*�����α

"Y�8�,/�����WE���4�������3��"Yop��/�+J�,2#"Q/*�����-���_�"#)'�������Kg

π(β|dados)∞ β−51.5∏101

i=1(β + ti)

(66.86/β + β/259.86− 1)51 ×{4 + 1.96

(66.86

β+

β

259.86− 1)}1

2,<z�EN � � A

/*�����β > 0

N

S �t�4"7���4�x$&�'� �5�E>C��"7����+mM�������������8��+���� "#�4$&�'���,� �'�E����!�'�d/*�,���t�����!"#��� ���*���!"#�r�4����)����*�,���5�

/1�'��"#� ���'� �~/*�����βN

�0��� ���4�������β = 132

27�'��@�"72#������>?����"#��� ���*�,��"6��/1�'� �"#�����'� �~/*�����αg9�*�����-/1�'�

π(α|dados)∞1.1643× 10−55

α102exp

[−1.4665

α2

],

<z�EN �.�'A

�'���!"α > 0

N

� ��"#��� ���*�,��"l/�� "#���m��mX,�Q/*�����Y�R$&�!������9�'�!��"#�X,���#���t102

����� ���4�������β = 132

27�'��@�"72#�����Ygl�����*�

/1�'�

π(t102|dados)∞3.0749× 107(132 + t102)

t1102.5(0.4636 + t102/264+66/t102)51,

<z�EN �'�.A

�'���!"t102 > 0.

���

Page 24: # r# 27 ' . ,* #>R 4 t $&7 # . 7i/! dveronica/MI402/camila.pdf · &-l8 e = ! ! "# %$& '( ' )' * ,+ -"# . "0/ /1 ' 32# 4 3 ! 5 ! # 6 "7 4/1 8"9$: +;7 2# =$& 2#

� TV=R�('*M,8�-�� &-Q GI89SR &- 5�� O-

� �!��� ������!�����#������"8����� ���*�,���-�� !�����!��"#� �9g-���4�����������������������r�,/�+���2�L�X'"#+}�r���4�dX,��� ��"#������"-��"

���m��*�,�#k�"#� c_��"0��2#�'� ��"#� $&� "#c���"#�.�"7�4"7�_�"a�*��L,��"#�6���6"7��)'"7��@*��� �J�!N[�a/1"7�����%��"l��"#���,/�+���2�L�X'"#+?�Y���4�

)'��������"rX,�,����"#�*���!"i��"=� ��������#k�"7�#>K@�L ���4� �!��Z*27��+��*�,��"r"#� ��"#� "#�.X'�'+�X'"7�5�8g7����!�'�8��"i���E$&"#��;7��2#���

"#�M�,�h�����2#�!>_��"GXE���������Y$:�,��Y�*�Y���������������������Y�������_�*������� !�,������"7��� ��������/�� "#��"7�_����%���5�9"#�����E������

�*�r$:���4h�+�����"GWE/1�'��"7��2#����+a<&X'"bw�� �%@*�,����2M@*��� T_T.������� �*� ��"7�#> �U� �/T.AGN�{\���62��,�����=����� ����>\�����3��+J�,�#k�"#�

���,��$&� "#c���"7�_�"7�4"7�_�"��E���+���S#���*���9/*�����="#� ����*���3�,��/�� �'/�� ��"#������"#�6��"#� ��"7���4gG��������6"#� ��,�h�� ���2#���6��"

���E$&"#��;7��2#���!N

S "#���!" c_��" "#�����5���!�'��"7�~��" �4LIWE���5� X'"7���'� �����8��+�@*�����#��"}��"}�8�'�4"7�_��'�~�8�����mZ*2��,���'�~27�'�8/1�'� ����-�

��"=��"=$&�'� �5� �����4��+��,�#>%"7� �3�!������82#�����'�527�'��� ����"7�����!�'�5�*�,�5� ���3��+����#k�"7�#>���"72#�'�8"#�!�*�I�b� "��������4�'�

"#�����5���!�'��"7����"R�4���4"7�_������8������Z�2����!�'�#>E/1�'�������,��"#�����4���!�'��"7�K"BWE/�+�h�2#�m��'�%"a$:L�27"#���K��"R� "#��"7� 2#��+m�

2#�!+J�������#N� �"������4��� ����i$&�'�6�3���m��=/1"7c_��"#�*� "#�.M��� ���3"7� ����4�����'� "#�6��"5�4���4"7�_����6�8������Z�2��������

2#��� XEh�2#����2#�'� ����)'���!�6��"7X'"7� � "#�K�!���+���S����!�'�#>�/1�����%/*�����6"#� �"Q2#�����3�'��"#� ����4��������"#�%�'����)'���*���m� /1����"#�

��"7�0�,+�M�,�4"7�_�"RX���"#���,���'�#N

�0+�g7�f������� ��>~@*Ld���4�d/1������������+����*���!"���"32#�'�.��'� �*���R�d/����'�!+�"#�4�5�!"����*�,�Q����h�S#"7�R�*�d"GWE/���"7�����,�

�*�����C"7� � N ���!>��!���+���S������K/*�,���H)'"7����� � �!�4"7���'�p��+�"#�,��������'�n/����UX'"#����"#�.�"7� �*�C�!��� ������������#���H����� ���*�,���-�

!���!����"#� �#N u � �8g7������4�5�,���C"7Z�2#��"7�_�"���"7���J�82#����������"#�����0���4�-�������� $&�����4�������8��"T>Y = ln(T )

>

M�,+ c_��"Y�"7�F���������������������

sinh� ���'���4��+(2#�'� $&�������,�8������� ����������������27���3��+J�,�*�3�*���*�-/1���

F (y) = Φ

((α2

)sinh

[(y − µ)

2

]),

�'���!"αgr� /*�,�����8"7�������"�$&�����4� "

µ = ln(β)gr� /*�,�����8"7�������"r"7��2#��+J�!Ns`��'� ��� ����> � �4�����

�4�����9"GZ*2#��"#�.�"5��"4)'"7�����Y� �!�4"7���'����+�"��I��'� �����QX������!�'�6�*�=����� ������!�����#���=�������_�*������� E��������"7���Y27�'�

/*�������8"7�� �'�H��"Q$&�'� �5�α"9��"9"#� 2��,+J�

βg9�������l����"7)'�����_�"Q$ �����!+J�

T = β

1 + α2Z2

2+ αZ

(α2Z2

4+ 1

)12

�,�

Page 25: # r# 27 ' . ,* #>R 4 t $&7 # . 7i/! dveronica/MI402/camila.pdf · &-l8 e = ! ! "# %$& '( ' )' * ,+ -"# . "0/ /1 ' 32# 4 3 ! 5 ! # 6 "7 4/1 8"9$: +;7 2# =$& 2#

O �Y�8"7����!�'+��')����R�*��T'"#�������*�!>��Y�!���+��mS����#���9���6�8g7������Y��"0o �,/�+J��27"C/*�����9���.�"7)'�������#>./1�'� ��������+��m����

� �'�!�"#���#���x��"="BW!/!��"#� ��k�"#�d�����4/!+�"7�8/������|���8��"#�!����������"7�5�5��� )'���*���m�8� /1�'��"#� ���'� �C��"α"β�*�

����� �� �����!�����,�-�������_�*������� !�,������"7���#N

V ��"#�r� "#���!+�M�,���'�d/1����"#� � "#����"�)��������!"����.�"7��"7����"�/���LI���27��>[w�L�c_��" �����t�����8/�+�"#�5��"�� "#��"7�

���.�"7��/�� "7M�,���'�#N j ��� "#� X�"4c_��"-/*�������'�Q��"7����+mM�������Y��/!��"#� "#�.M�������Y��"7� �"�����,�*��+�@!��>~�*�,�rg-��"72#"#� ��LI�

������/�� �')'���,�5����2#�'�8/��!���2#���'�*�,��������Z�� ���2��,���'�-�_���8"#����2����8"7�_�"d�'�s"7��/1"#27�J��+���S#�����'�3"#� ���E$&"#��;7��2#���

�*��T'"#� �J���*�EN O "7� �"9����,�*��+�@!��$&���~�!���+���S#�������4^��,�+J���nN

j "GWE"7�4/�+��t2#����������"#�������t�*�s E"#�#���q�EN ��>l�8�'�����xc_��"��'�d��"#� ��+�������'�d�'�E����!�'�d�E���+���S��,���������

�8"7����!�'+���)'���,��27+JL�� ����2#���K"Q�*��T'"#�������*���H�����-� ���8��+���� "#�#N u �4��X,�,�_M�,)'"#� �*���8"7������'+��')'���6�*�UT'"7�������*�

gC�Q"#� 2#�'+�@*�Q��"H�'�!������}/�� ���'� ���["H2#����������"#���������9���4�R/������'���E���!$&�����4�,�� X,�!>�/1���!"G�b� "C�'�!�"#�}���E$&"#��;7��27�J���

�4�����H�,2#�������*���C/*�����-���C/*�������4"G�� �'�H�*�-�!��� ������������#��������� ���*���!�-�� !�����!��"#� �#N

� � / $&�(J9)�'

����� � �����+*, %� ���%������ ���+ ��%� �*���#���� ���� ����� ����� �*�T

�T−1

u ���+���S#������������������$&�'���4�����,�-"7�F��N �3�"#�8�'�

α2Z2 =1

βT + β

1

T− 2

"Y�,/�+���2����!�����8�'/1"7�����!�'�C+�����"#���K"7��/1"#�������#�8�"#�8�'�

α2 =1

βE(T ) + βE

(1

T

)− 2,

/1�'���E(Z2) = 1.

�"T ∼ BS(α, β)

"T−1 ∼ BS(α, β−1)

"7�_M�,��>��*�-�8"#� �5��$&�'� �5�β2T−1 ∼ BS(α, β−1β2) =

BS(α, β).

� N

Page 26: # r# 27 ' . ,* #>R 4 t $&7 # . 7i/! dveronica/MI402/camila.pdf · &-l8 e = ! ! "# %$& '( ' )' * ,+ -"# . "0/ /1 ' 32# 4 3 ! 5 ! # 6 "7 4/1 8"9$: +;7 2# =$& 2#

�0��� ���i>

α2 + 2 =1

βE(T ) +

β2

βE(T−1)

β(α2 + 2) = E(T ) + E(T ),/1�����

β2E(T−1) = E(T )

S "#�����8$&�'� �5�E>

E(T ) = β

(1 +

α2

2

) < � N � � A

S �4�8"7���8�-�4���!��>

α2 + 2 =1

βE(T ) + βE(T−1)

2βE(T−1) = α2 + 2,/1����� 1

βE(T ) = βE(T−1)

V �.M����>

E(T−1) = β−1

(1 +

α2

2

) < � N N T.A

S "9$&�'� �5�E>!�����8��+��,�K���C�4���4"7�_����H��"9��"7)'���!�*�8�'���!"#�F��"T"T−1

$&�'����� ���!������'�#N

����� � �$� � � ��, %� ��� ��� &������� + � �%�� ��%,%� �*��� �(�&)*�$�

���5�I�����S0���!$&�'���4���#���6��"��[��� @�"#�7>!/*�,������2#��������"��!�������4"7�������'�*��+:>�/1���!"Q� "#�K��"7Z������*��2#�'�8�

1 − I(θ) = E

[(∂l(θ)

∂θ

)2]

2 − I(θ) = V ar

(∂l(θ)

∂θ

)

3 − I(θ) = −E(∂2l(θ)

∂θ2

)

{[�,���-�-2��,���8�3��+����/*�������8gG�� ��2#�!>E�"#�8�'�

1 − I(θ) = (Ikj(θ)) 1 ≤ j, k ≤ d,< � N N�� A

� �

Page 27: # r# 27 ' . ,* #>R 4 t $&7 # . 7i/! dveronica/MI402/camila.pdf · &-l8 e = ! ! "# %$& '( ' )' * ,+ -"# . "0/ /1 ' 32# 4 3 ! 5 ! # 6 "7 4/1 8"9$: +;7 2# =$& 2#

M�,+ c_��"

Ijk = E

[∂l(θ)

∂θj

∂l(θ)

∂θk

].

O ���"Qc��!"Ijj(θ) = E

[(∂l(θ)

∂θj

)2], j = 1, . . . , d

N

�" ∇l(θ) =(∂l(θ)

∂θ1

, . . . ,∂l(θ)

∂θd

) �"#�8�'�Hc_��"

2 − I(θ) = V ar (∇l(θ)) < � N N �'A

3 − I(θ) = −||E(∂2l(θ)

∂θj∂θk

)|| 1 ≤ j, k ≤ d

< � N N �.A

� � � � � 01��� � ��(���E%'� �:�&� )*I � � � � � %'�E��� � � �����(@�-/�

`�����������"#� "6���5�,�����SR���E$&�'���4���#���3��"�[��� @�"#�H�*�����-/1�'�−E

(∂2l(α, β)

∂α2

)−E

(∂2l(α, β)

∂α∂β

)

−E(∂2l(α, β)

∂α∂β

)−E

(∂2l(α, β)

∂β2

)

,

< � N N �_A

�'���!"

E

(∂2l(α, β)

∂α2

)= E

(n

α2− 3n

α4

(u

β+β

v− 2))

=n

α2− 3n

α4

E(T )

β− 3n

α4βE(T−1) +

6n

α4

= −2nα2

E

(n

α3

(− u

β2+1

v

))= − n

α3

E(T )

β2+

n

α3E(T−1) = 0

E

(n

β2− n

2

(1

β2+2K ′(β)

K2(β)

)− nu

α2β3

)=

n

2β2− nE(T )

α2β3− nE

(K ′(β)

K2(β)

)

= − n

α2β2− nE

(K ′(β)

K2(β)

)

= − n

α2β2− nE

(1

(T + β)2

)

�'�

Page 28: # r# 27 ' . ,* #>R 4 t $&7 # . 7i/! dveronica/MI402/camila.pdf · &-l8 e = ! ! "# %$& '( ' )' * ,+ -"# . "0/ /1 ' 32# 4 3 ! 5 ! # 6 "7 4/1 8"9$: +;7 2# =$& 2#

� � � � � 01��� � ��(���E%'� �:�&� )*�A�� @A�2�E� )*�C� � � 6 �(���A�

� �'�8"T, T1, . . . , Tn

���4�����8�'� ������,+�"��I��'� �J�5����������������� !�,������"7���R2#�'� �!"#��� ���*���!"-�*���*�d"#�

��N �!N `��'��� ����"7��"

u =1

n

n∑

i=1

Ti v =

(1

n

n∑

i=1

1

Ti

)−1

E���1"G� ��"Cc_��"H/1"#+��Q+�"#�!�!�'�})'���,����"#�}�����4"7���'�u"v−1

2#���_X'"7��)'"7� /*�����E(T )

"E(T−1)

>.��"7��/1"72G�

��mX,���8"#�.�",N � ���3�1g#�f/1"7+�� � "7�'� "#�4�r`�"#�.�����+[���ro ���8�m�"�>(���,�1"G�b� "�c��!"u"v−1

���,�r�!��� ���������h��!�'�

���'� �5�,+��-"#�_�"Q����� ���_������2����8"7�_�"R"Y��+�g#� �!����� ��>����5��27�'�3�����*���#����+����!"����K����$&�'� �5�

au+ bv−1 =1

n

n∑

i=1

[aTi + bT−1i ]

gQM�,���1g7� ����� �� ������h��*�����'���4��+��8"#�.�"R/*�,���3������a"bN

�0��� ���i>

√(n)

u− E(T )

v − E(T−1)

∼ N

0

0

,

�'���!"

Σ =

σ11 σ12

σ21 σ22

,

σ11 = V ar(T ) = (αβ)2(1 +

5α2

4

)

σ12 = Cov(T, T−1) = E(1)− E(T )E(T−1) = 1−(1 +

1

2α2

)2

σ22 = V ar(T−1) =

(αβ−1)2(1 +

5α2

4

)

{\����g#�i>�c_��"#� "#�8�'�l"7��2#���_������l�����������������������32#�'��w ���_��8����� ���_������2��3��"α

β

=

f1(u, v)

f2(u, v)

,

���

Page 29: # r# 27 ' . ,* #>R 4 t $&7 # . 7i/! dveronica/MI402/camila.pdf · &-l8 e = ! ! "# %$& '( ' )' * ,+ -"# . "0/ /1 ' 32# 4 3 ! 5 ! # 6 "7 4/1 8"9$: +;7 2# =$& 2#

�'���!"

f1(u, v) =

2

(x

y)

1

2 − 1

1

2

"

f2(x, y) = (xy)

1

2

u �����!���4"BWE/*���������4"#�F� g#� ��"9��" � �UT�+��'�#>��'�E�g#��� ��"

√(n)

(α− α)

(β − β)

∼ N

0

0

, Σ

�'���!"

Σ =

∂f1∂x

∂f1∂y

∂f2∂x

∂f2∂y

Σ

∂f1∂x

∂f1∂y

∂f2∂x

∂f2∂y

x=E(T ),y=E(T−1)

=

α2

20

0 (αβ)2

1 +3

4α2

(1 +1

2α2)2

����� ��� � �*�"�*��� ��� '(� � �

�0��� ���4�������8@i27�'�4�-���4�3$&�����#���8���*��X'"6�!"Y���F/*�,�����8"7����m�b�!���8"#��� ���'����+

θ27�'� −h �"#���!�

�8�4LIWE���4�3"7�θ>*�-�4gG������-�!"6op��/!+J��27"Q/*�����-��/�� �UWE���5���7k�"#�H�!"Y���_�"#)'�������Kg9����$&�'���4�

I =

∫f(θ)exp[−nh(θ)]dθ

/1�'�H"GWE/*���!�����4��"9��g7����"9��" � �UT�+��'�K��"h"f���-��"#�!�'�C��"

θ< X'"�w����9�����7> � ��"#� ��"7T�"��9���*�,��"�> �U�'� T'AGN

`�����������"#� "Y�-2���� �4"7�Fc_��"θg9���!�������4"7�������'�*�,+z>!�8�,/�����W!���5�,�����3��"Yo �,/�+J��27"Qg

I ∼=(2π

n

) 12

σf(θ)exp[−nh(θ)],

� �

Page 30: # r# 27 ' . ,* #>R 4 t $&7 # . 7i/! dveronica/MI402/camila.pdf · &-l8 e = ! ! "# %$& '( ' )' * ,+ -"# . "0/ /1 ' 32# 4 3 ! 5 ! # 6 "7 4/1 8"9$: +;7 2# =$& 2#

�'���!"σ = h”(θ)

12N

O �82#�����8�3��+����/*�������-g7�����27��>!27�'�θε<m,

�"#�8�'�

I ∼= (2π)m2 det(nD2h(θ))− 1

2f(θ) exp [−nh(θ)],

�'���!"θ�5��W!���4�mS�� −h(θ) " D2h(θ)

g9�5�I�����SR@�"7��� �J���*�-��"h�UXI��+������*��"#�

θN

����� ��� � �*� � ��$��� �� ������� ��� ��%+��� � �*)*�&�%+

V ��"d�8g7�������� "d������"7�J�=�*�="GWE/*�,������� "#� � g#� ��"5�!" � �UT�+��'�6�,�g5�=/������4"7�����r�'� ��"#�iN={[�����=� "

�'�!�"#�Y�="#� ����4�������9��"4�4LIWE���4�dX'"7���'� �����8��+�@*���!���φ��"

φ>\�="#� 2#�'� "5�*���!��/1�'� ∂ lnL

∂φ

>\�'���!"5o]g

��$&�����#���i��"-X'"7���'� �����4��+�@*���!���!>~g8"BW!/������������="7� � g#� ��"-��" � �UT�+��'�9"-��)��*��+������r�rS7"#� �="#�φ> 27�'�

2M@��!�"Y���!��2#����+φ(i)

N}�a� �����i>!�"#�8�'�

Sφ = 0 = Sφ(i) + (φ− φ(i))

[∂Sφ∂φ

]

φ=φ(i)

LC"��,�����,�Iw��������-"7� ��8"BW!/!��"#� �����5���!�g7�-� ��"Q��� X,�,+��'�H��/�� �UWE���4�����φ(i+1)

/������φ

φ(i+1) = φ(i) − Sφ(i)[∂Sφ∂φ

]φ=φ(i)

= φ(i) +Sφ(i)

I(φ(i))

V ��"Y���UX'�-X,��+��'�H"7�_����8��"7� X'"Y2#�'�8�-��� X,��+��'�H������27����+(/*�����8��/�����WE���4�3���_�"#�����������

φ(i+2) = φ(i+1) − Sφ(i+1)[∂Sφ∂φ

]φ=φ(i+1)

= φ(i+1) +Sφ(i+1)

I(φ(i+1)),

V � � ��������#k�"7�327�'� �4�����6�!"d��� /*�����,�4"G����!>P�����!$&�'� �5�,�����I(φ)

g5���5�=�4�,�����S,>\"5"#�.M��� g

��"72#"#� ��L�� ���8���_X'"7� �;G�b+��!N

j �1"7� X,�,�#k�"#�CX,L�+����*�,� �

�/T

Page 31: # r# 27 ' . ,* #>R 4 t $&7 # . 7i/! dveronica/MI402/camila.pdf · &-l8 e = ! ! "# %$& '( ' )' * ,+ -"# . "0/ /1 ' 32# 4 3 ! 5 ! # 6 "7 4/1 8"9$: +;7 2# =$& 2#

• j �8g7�������$:��+�@*�3c����������4�-�4�,�� ��Sag9S#"#� �8�'�=�-�4�,�����SR��"9���!$&�����4���#����g9� ����)���+J���7N

• �"#�8/���" g}X���LUX'"7+'�"7�_���� XIL������'� 2M@��!�"#� ������2#�����m�~" 27�'�4/������,�p���~X'"#�����������8��+�@��������,�~"#��27�'�_������*�,�

�,/ �'�l�-27�'�_X'"7��)';7��27�J�!N

• u �f�5���!"#�����5��"�X'"#� ��Z*2#���9�d27�'�.X'"#��)�;#��27�J��g-�,����M�,���������f2#� ���g#�����d�!"�/*�������*�d2#���4�!>~/1�'�

"BWE"#�8/�+���>��������ε > 0

�����!������������,�8"7�_�"Q/1"7c��!"#���!> |φ(i) − φ(i−1)| < εN

� � " � � � � $ �E% � �2������ ���M�2�E@�� � � � �&��A@

���� ��������������������������� ��!#"%$'&(�)&�"%$+*,�)&�"%$+!,�)&#-�$'-.��/�-�$+*�"�*�01$'&2"3�54%$+!

"�-�06$+/�"�4�"�$+470�"�"�$+48%9:���<;�=��>���?�@+��A�9CB=�D#�#*E9FB=�D��)�#*G9

H IB�;# )3;BI��JK�LM�ON

�<�=P,�5���RQS�TB=�D��#B=�D#U��%@V��AR9WB=�DX�)�#B=�DX�)UE@Y�IZ5��@[�#A�AR9W�=��J\���B=�D<Z��69

N����IZR@]B=�DX�=Z5��AR9

H )?�����T������ #�=B�;GQF��^����Y_3BJ<�=P`J��a_��)_3�=�#�K�#^a_��=J3������ IBJK�#^

B��G@b"�c�@�@'�Z5N�A�dR@]*�$+!KA�e��A#A�dR@]*�$+!KAgf��E@'�c�N�A�d�@]*�$+!KAaN�B��<^=h�P���@�@]B<dI"KAZi@]"<c)�XA�AR9

N�f��K^=h�P��%@#@�@#@]B<c)fXA�d"<A�Z��XA�cR@�@��)U�*%$+&#!<cIB<dI"KAZi@Y��U#*�$+!<cIB<dI"KA�d"<A#A�9

H ���#�<�P�N�B�;#�\J��M ������3�IB=��jIB

������B��#B<e��R$+/#4�c5N�B�^)�k<B���B�U���$l/�4<c�N<B�������f��If�e��R$+/#4�c5N�fm^)�k�f��f�U���$l/�4<c�N�f

������B��#B<e��R$+4�0Kc5N�B�^)�k<B���B�U���$l403c�N<B�������f��If�e��R$+4�0Kc5N�fm^)�k�f��f�U���$l403c�N�f

H IB�;# )3;BI��JK�On%@'fXA

B=�D�-��#*G9o�<�=P`p����RQS�TB=�D�-��#B=�D�-�UE@Y�IZR@+f�U��%@bp<A#A�AR9W�=��J7n����=ZR@]B=�D#-�Z5��AR9

H B�;I><�=P3�)��_��7���

>#����9FB=�D�"���*G9rq�?��;�s@'f�e=B=�D�"<A=t����Ke="#*

J��INu�)�Ke�@'��Z�fXA5UE@�@+�3Z�"<A�c�@#@Y�IZ�fXA5UE@]"�Z5n�A�A#A5UE@�@+�3Zi@]"<cIB<dI"KA�A�c�@#@'�Z�f�dI"KA�e�@Y�IZ5N�A�A#A�9

v �G@+�3Z�f�dI"KA�cR@�@��=Z�B�d"<A=UG@��=ZI03A#A�9

B=�D�"��If19

� �

Page 32: # r# 27 ' . ,* #>R 4 t $&7 # . 7i/! dveronica/MI402/camila.pdf · &-l8 e = ! ! "# %$& '( ' )' * ,+ -"# . "0/ /1 ' 32# 4 3 ! 5 ! # 6 "7 4/1 8"9$: +;7 2# =$& 2#

f��#BI�D�"�UG@��=Z v A�c5J��INu�u9

B��G@#@'3Z�f�A=UG@+f3Z=N�A#e="KA�d @]*%$+!<AR9

>#��>�U��

�=��J

H ���#�<�P�N�B�;#�#^\J��` ������3�=B=��jB

B

f

N�B��K^=h�P��%@#@]B<dI"KAZi@]"<c)�XA�AR9rN�f��K^=h�P��%@#@�@+f�d"<A�Z��XA�cR@Y�IZR@#@Y�IZB<dI"KA5UE@Y�IZ=0�A�A#A�AR9

������B��#B<e��R$+/#4�c5N�B�^)�k<B���B�U���$l/�4<c�N<B�������f��If�e��R$+/#4�c5N�fm^)�k�f��f�U���$l/�4<c�N�f

������B��#B<e��R$+4�0Kc5N�B�^)�k<B���B�U���$l403c�N<B�������f��If�e��R$+4�0Kc5N�fm^)�k�f��f�U���$l403c�N�f��=��J

� � " � � � � $ �E% � �2����VX � P�&�!�(-/W<� �

���� ���������������������

�<�=P7?����RQ ��*�*�* H ^#�Y_#�;B�j�����^\J�� � �5�#�����#B�P<;��

�<�#"�*�B3�)��*%$ �u9:fu�)���u9 H �D��=_#k3;��\J�B�^gk3��^�^#��f���;���J�BJ���^\J��L�M� B�� k<BP�BOf2�3�5D<�

H >���P�B=��J<�2��^aJ�BJK�#^

�<�=P7k����RQS�

�3�=P��I�3�=PI_<P��JE@b*��Y�AR9 H >���P�B7����_K�PK�#^7B�;��BI��=P3���^a�3�IPI_KB�;���P<�7�L�_

#���5�I��X����P���J%@]*��V��A�9 H >��P�B\����_K�PK�#^7B�;��BI��=P3���^a��X���<�=PI_3����P<�7�L�_

�X�)�fu�Ic �+B��Id"�c��3�IPKd"�U�"8�e�@#@�@bB3�d503c)���=P3d50�AZI03A=U#B��Id"�c��3�IPKd"<A�d�@b*%$l!<AR9

��"��fu�Ic �+B��Id"�c��3�IPKd"�U�"8�UG@#@�@bB3�d503c)���=P3d50�AZI03A=U#B��Id"�c��3�IPKd"<A�d�@b*%$l!<AR9

�5�\����� �*%$+!

�%@'kXA5��X�u9

��;#^�

�%@'kXA5���"G9

�.�

Page 33: # r# 27 ' . ,* #>R 4 t $&7 # . 7i/! dveronica/MI402/camila.pdf · &-l8 e = ! ! "# %$& '( ' )' * ,+ -"# . "0/ /1 ' 32# 4 3 ! 5 ! # 6 "7 4/1 8"9$: +;7 2# =$& 2#

�=��J`�=��J �MB=�D#�#*E9FB=�DX�)�#*G9

H IB�;# )3;BI��JK�LM�ON

�<�=P,�5���RQS�

B=�D��#B=�D#U��%@V��AR9

B=�DX�)�#B=�DX�)UE@Y�IZ5��@[�#A�AR9

�=��J

��#BI�D<Z��19

N����IZR@]B=�DX�=Z5��AR9

H )?�����T������ #�=B�; ��^����Y_KBJ<�IP2J��L_��)_K�=���K�#^g_��IJ3���3�� BJ<��^

B��G@b"�c�@�@'�Z5N�A�dR@]*�$+!KA�e��A#A�dR@]*�$+!KA�9rf��G@'�c5N�A�d�@b*%$l!<AR9

B5_���_1@'?�A5��BG9rf�_��)_1@+?�A5�If69

H IB�;# )3;BI��JK�On%@'fXA

B=�D�-��#*G9

�<�=P`p����RQS�

B=�D�-��#B=�D�-�UE@Y�IZR@+f�U��%@bp<A#A�AR9

�=��J

n����IZR@]B=�D�-�Z5��AR9

H B�;I><�=P3�)��_��7���

>#����9FB=�D�"���*G9

q�?��;�s@'f�e=B=�D�"<A=t����Ke="#*

J��INu�)�Ke�@'��Z�fXA5UE@�@+�3Z�"<A�c�@#@Y�IZ�fXA5UE@]"�Z5n�A�A#A5UE@�@+�3Zi@]"<cIB<dI"KA�A�c�@#@'�Z�f�dI"KA�e�@Y�IZ5N�A�A#A�9

v �G@+�3Z�f�dI"KA�cR@�@��=Z�B�d"<A=UG@��=ZI03A#A�9CB=�D�"��f19:f��#B=�D�"�UG@Y�IZ v A�c=J��NX��9

B��G@#@'3Z�f�A=UG@+f3Z=N�A#e="KA�d @]*%$+!<AR9

>#��>�U��

�'�

Page 34: # r# 27 ' . ,* #>R 4 t $&7 # . 7i/! dveronica/MI402/camila.pdf · &-l8 e = ! ! "# %$& '( ' )' * ,+ -"# . "0/ /1 ' 32# 4 3 ! 5 ! # 6 "7 4/1 8"9$: +;7 2# =$& 2#

�=��J

BIN���P<�R@'?�A=�#BE9

f�N��P<�R@+?�A5�f19

�I��J

H IB�;� )3;B=��J<��Ba_��J3�=B J�B�^\��^����Y_3BI���)N<B�^

_KB5_��)_<�<^)�_1@bB5_��)_uAZK��*#*�*E9

_#f�_��)_<�<^)�_1@+f�_��)_uAZK��*#*�*E9

_KBIN<�P<�I�<^��_6@]BN���P<��AZK��*#*�*E9

_#f#N<�P<�I�<^��_6@'f�N���P<��AZK��*#*�*E9

H IB�;# )3;BI��JK�2�aN��� ���

N�B5_��)_<�=_KB=_���_XeIB3��9

N�f�_��)_<�=_#f�_���_Xe)fu��9

N�BIN<�P<�I�=_3BIN<�PK��eIB3��9

N�f#N<�P<�I�=_�f#N<�PK��e)fu��9

^BIN��7P���^�u� H ^IB�;5N�BP��#^LP���^)3;=��BJ<��^

�=��J

����� ��� � �*� � ��' ��

`�����������"#� "RR =

p1

p2

,M�,+nc_��"

p1

"p2

�;7� ������� ���������#k�"7��2#����@�"#27���*�,�H�������4�����%"R�����������!"#/1"#���

��"7�_�"7�#N

�0��� ���i>!��"Qc_����� "#���8�'�K�����1"7�l�3"#� /1"#���,�����-"9��X,��� �J���!���3��"Q���4��$&�!����������"RR

>�/1�'�K"GWE"7�4/�+���>

log RR>_/1"7+��9�8g7������9��"7+���!>."BW!/����������4�'�}"7� ��g7����"C��" � ��TE+��'� �,�gl�Q/�� ���8"#�����a������"7� "#� ���9$&�!�����,��N

S "#�����8$&�'� �5�E>

log RR = logRR +

[∂ log RR

∂p1

]

(p1,p2)

(p1 − p1) +

[∂ log RR

∂p2

]

(p1,p2)

(p2 − p2)

���

Page 35: # r# 27 ' . ,* #>R 4 t $&7 # . 7i/! dveronica/MI402/camila.pdf · &-l8 e = ! ! "# %$& '( ' )' * ,+ -"# . "0/ /1 ' 32# 4 3 ! 5 ! # 6 "7 4/1 8"9$: +;7 2# =$& 2#

{\��� M�,�_��!>

E[ ˆlogRR] = logRR

V ar[ ˆlogRR] =

(1

p1

)2

V Ar(p1) +

(− 1p2

)2

V ar(p2) + 2

[∂ log RR

∂p1

∂ log RR

∂p2

]

p1,p2

Cov(p1, p2),

�'���!"Cov(p1, p2) = 0.

��� ?@)A7�M�)�=RS."2+��D+

�%@*�,����2M@*��� T_T.�E> �> �-Nm> �?� ��"7�#>}�6N�> ��� �/T!N �?�,���)'��"8$:����+���� "5�8����"7+��3����������������� !���!����"#� ��X��7N

���.X'"#� ��" 9����� �������~N�� V V V � �����!����2G����'���C��� LC"#+��J���!��+�� bTd� � >��.� � � �'�=T

�%�����_�*�����i>��[N � Nm>p !�����!��"#� �#> (N `aNm> �U�'�'� NQ� �!"� $:���8��+ Ti��$ +��m$&"6����� �� �����E������~NQy!Nn�a/!/�+ N � >

� �U� ���.���EN

�%�����_�*�����i>��[N � Nm>� !���!����"#� �#>E (N.`aN�> �U�'��� N V � ����5�I����'�6$&�'�}�a$:���8��+ TY��$1+��m$&"������ ������!�!����'��� C���@

��/�/!+���2#�,����'������-$:�,���)'�!"�N y!N*�0/�/�+ N � >?�'���I���,�_�EN

�%�UW(> �N V NE{\NE���!� �N!`0N � ������> ��� ���!NP�K��T'"#� �J��� �b�!$&"#� "#��27"R���d ���,���� ���2���+*�0�*��+mTE� ���7NP�C�!����� �'�E�

� "#� +�"7T�>ELC"��,������)!>?^=�6N

V ��)�"#+�@*�����E�>(^|N�>(�������~>?o}N(y!N�> ��N � Nm> �U� � � N �b�!$&"7��"7��2#"��'�i�@�"Y/*�������4"G�"7���l��$[�@�"6����� ���*�,���-�

!���!����"#� �R$:�,���)'��"6+���$&"Y������� �����!�������������"7� �'� �5�IWE���3��� +�����"#+��m@������="#�����4�,������~N � "72B@��!�'�8"7�� ��27�

���!>?� N�� ��� N/N N

N �-N � N O )!> S N �Q�������~> O NP����+J���� ��� @��*���~>}�UTUT'�!N�^=�����mZ*"#���4���4"7�_�"7� ����4�,����'� $&�'�Y�@�"

��,� /*�����,�4"G�"#� �����������������[ !�,������"7���%����� ������!�!����'�~N[`��'�4/!�!M�,����'����+? _M�,���� ���27�&

S �,M�Y�0�*��+mT������

� N

Page 36: # r# 27 ' . ,* #>R 4 t $&7 # . 7i/! dveronica/MI402/camila.pdf · &-l8 e = ! ! "# %$& '( ' )' * ,+ -"# . "0/ /1 ' 32# 4 3 ! 5 ! # 6 "7 4/1 8"9$: +;7 2# =$& 2#

�.�!>?�,�'�I��� � �r< 9N "7+�� "7X���"#�7N 27�'���,+���2#�,�"��,2#� �*�.ABN

y'�,�4"7� LYN LC��"#" �?>Q� T/T'�!N � `��'�8/*��� ��� �'� ��$ � �� L0���!���'� O ���3�1"7��� Q"#�!"#���I��'� �d$&�'�5�@�"

����������������� !�,������"7��� S ��� �� �����E������~N-`����4�3���!��2��I��������R���| _M�,���� ���27�#N � @�"#�'�T �,�x^="7�@������#>pX'�'+zN

�.�E>��!��N N >*/!/~N � � � � � ���!N

y�������� �'��) � �~>E�6N�`aN!^|N � �'��)�>!�UT/T'�EN �b�8/����UX'"#�5���.�"#�X,��+?"#� ����4�,����'�-$&��� �@�"0 ��,� /*�������4"G�"7�

����������������� !�,������"7���H����� �� �����E������ < 9N �4�,�@nN T'�'� �_�~N 2#��� C@���� �?��2#�!+�bT��,� � �'��)�� �� 9N /1�!$�AGN

y�����)'"r�0+��1"#��� �C2M@�2#���#> �U��� �!N �b�!$&"#� "#��27"#�8$&�'���@�"=�������_�*������� !�,������"7���3$:�,���)'@�"�+���$&"d�8����"#+

��� ����)x�K��T'"#� �J���q�4"G�@����!�#N `����4/!�!M�,����'����+C �M�,�������27�&

S �,�� �a�*��+mT������ �'N >K� � �U���'�UT!> O �'� �@E�

��+�+������~N

�9��� �#> LYN V N�> � ��"7���.T8�,���5y!N_�aN �9���*���!"�> �U�'� T!N � @�"CXI��+������m�T6��$n/1�'��"7������� "BWE/*����� ���'��� �*��� "#�5�'�

op��/�+���2#"�� �K�8"7�@!���~N V �����UT��l��� �'���'�K�,$ 9"7�'��)'"a��N��K��� �*�����n>?y!N ����)'"7�6< V �~N ABN O �'� �@ �'+�+������n>

�a�8� �"#� �*���iN

^ Nn`����'+ >(y!N �MNm> �U� �I��N �b�E$&"#��"7�_��J��+ �"72M@�����c_��"7�a$&�'� � "7�����!+�+p/1��/���+J�I��������#NK�H"#� �'��/���2#"QLC"#� "���� 2B@

op���1�'���,��'� ��"7��LC"#/1��� l� L0o � L0�,�,� T � �/TEN � ����)'@_��{[�, �"7�������r�a��� �*�'��27"Y�K�,��"�> S ��T���'�~> j N

{}� "#���7>~ (N(y!N�> �U� � � NK�K�UT'"7�������� ���,���� ���2#����{}� ��2#��/�+�"7�#>1^=���!"#+��0�����=�a/!/�+���2��,��������#NKy��'@�� � ��+�"7T�>

O "� � �'� �1N

�@���"7�E��o ���sy�"#��)!> �UTUT'�!N �b�!$&"7��"#�!2#"#�3$&�'�Y�@!" �?�,���)'�!"5o �m$&"d^=����"7+K�K��� "#�t�'�|�@�"d����� ���*�,���-�

!���!����"#� � S �����������!����'�~N} E���3��+J�I��m�'��������`��'�8/��!��,����'�~>EX'��+ N �'�E>���� � >�/�/nN �.�I� � T!N

� �