Upload
others
View
0
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
����������� �����������������
�����! #"%$&�('*),+.-0/(+1"2+ + 34)�-656"%)�7(89);:#<>= ?@)A"B�C7D+.8�E FHGI+.8��(J9 #"B-
8K5L)�MA),NO+.�(J9= +.-QP #5L=IJ9=RMA=RSR),+R-UTVM�WR-L-6),'#+.-0 X?Y+&Z[ &-6)�+R��+.-
\^]`_badce%f2c,g1h`]ic>j2k;lnm ]`]`hHo�m ]`]pm lrq^\�ststutvtw,x
y lnk,z{m}|n|nk;l�ce6~�m ln�;abhp��c1\*a��lnm�c.�#k;ab�A�,]pm � �����t��m �
�
� � &-L8�E =
��������� ������������������������������� !���!����"#� �%$&�'�(�'� ��)'���*�,+��-"#�.�"0/�����/1�'� ��32#���4�3�!�5���!��� ������������#���6���
�"7�4/1�8��"9$:��+�;7��2#���=<&/*�������*�!>�$&����2#����� ��>?$:�,+�@*�.AB>*/�������$:��+�;7��2#���-/1���C$:������).��2����!�����*�8/1"#+��4��/!+���2#�����,�
��"9���4�3�"7�������-D*�E��*���.�"9"#�F��"G�"7���8���*���!�'�H�5�I�"7���J�,�K�4"GML�+���2#�'�7N
O "#� ��"C���������+�@��!>����!$&"7��;#�!2#�J�,�P/*�����Q�R���������������������R����������������� !�,������"7���P� "#���,�9$&"7������P�!���+���S����!���
���C�8"7������'+��')'�����K27+JL�� ����2#���H"9�*�UT'"7�������*���7N
V �����4��������"#�K�!"9�4LIWE���5�YX'"7���'� �����8��+�@*���!����"Q��"Q�8�'�8"#�.��'���4���!��Z*2#�����'��/*�����-�3����� �� �����������,�
����������������� !�,������"7���[� "#���,�Q����� 2#�!��������#N\�]�����3��+J�,�����0�!"C^=�'�_�"C`K����+��R� "#��LQ�!�����*�R/������a27�'�4/��������
"#� ��"7�9"#� ����4�����'� "#��N O ����I�b� "3c_��"3"#��� "#�9"7� ����5�,���'��"7�a�����dX���2#�������'�0"������ ���e���f�8g7������d�����4/!+�"#�
��"9��"7�����#���4�!�-X�h�2#������"#��L8/�� �'/1�'���iN
j �!�"#���#���8��"Q"GWE/���"7����k�"#�0/������-���H��"7�������*����"7�l�4����)'���*���m�K/1��� �"7�����'���n"9/!��"#�!����mX,�3��"9���_�"7��"7����",>
2#����������"#���������Q�Q�4����"7+��a��"C�������_�*������� !�,������"7���#>�"H�����������9�Q�8g7������Q�!"Cop��/�+���2#"�/*�����a���_�"#)'�������#>
c_�*�����!�q� �'+��!�#k�"7�r"GWE/�+�h�2#�mM���d�����s/1����"#� � "#�r"#��27�'�.����,�*���#>R����� ���4�������t����$&"7��"#�.�"7�i/!�����������d�*�,�
���E$&�'���4�,��mXI���#N
u � "GWE"#�8/�+��v���!�4g7����27�q��"7��Lv27�'��������"#�������v2#��� �!� 27�'�Iw ���.��v��"x�������'�=���.������!��S#�����q/1�'�
����������������� !�,������"7���r<zy!N[�a/�/�+zN|{}���'�����~N��~> ���'�'� >}/nNx�.���������.�'AG>[2#�'�������.����m�����"�27�'�4/��������
���C�8"7��'+���)'���,�K2#+�L���� ��2#���C"9���UT'"7���J�,�*���#N
�
TV= � 5L ���J9=
� ������� � �
��� ����������������� �!��� "
��� ����������# �!$ �&%'�(� "
� )*�(� �,+ ��-/.�� 01���2���'34�5� �!6 � 7
8 9:�<;�=� �>+ � 7
" ?�@A��%B�C�&��-/.D� �
7 )*�=�2�C���E�!� $E� � F
� )*�=�2�C���E�!� $E� � GH�!I���� �!6 � J
� N � V � ����4��������"#�H��"6^�L�W!���5�HK "7���'� �����8��+�@�������� NYNYN6NYNYN6NYNYNYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYN �
� N � V � ����4��������"#�H��"6^=���4"7�_����0^=�����mZ*2��,���'� NYNYNYN6NYNYN6NYNYNYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYN ��
� N �EN � V W!"7�4/!+�� NYNYN6NYNYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYNYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYN � �
� N � ����3��+����7k�"#�H�!"�^i�'�_�"�`K�,��+���NYNYNYN6NYNYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYNYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYN � �
� N �!N � V � ����5�,���'��"7�H��"1KRh�2#���MLC"#�!��S#����� NYNYNYN6NYNYN6NYNYNYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYN �'N
F )*�=�2�C���E�!� $E� �POQ�=RE� � � ��@&� � �
��N � �0�*L�+�����"Q�K�UT'"7�������*�8�,�����!�4�������α"β��"7��27�'��@�"72#�����'� NYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYN6NYNYN �U�
��N � N � S "#�!����������"#�l�4����)'���*���m�H��/1�'� �"#�����'���n/*�����α"βN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYN6NYNYN � �
��N � �0�*L�+�����"Q�K�UT'"7�������*�8�,�����!�4�������β27�'��@�"72#����� NYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYN �U�
��N � S "7�������*���!"Y/���"7�������X,�3/*�����-���4���'�!��"#�X,���#���8$&�!������sNYN6NYNYNYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYN �U���N � V WE"#�8/�+�� NYNYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYNYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYN �UT
J GV�E@ 6 �4�&�W<� �M�YX<� $ � ���2W<� � ��"
�
� ����� @&� �!6 � � 7
� N � j �!�"#���#���8���'�0^=�'�8"#�.��'�H��"Y{ � ���8"#����� j ����"7�F��"T"T−1
N6NYNYNYN6NYNYN6NYNYN � N
� N � S "7���mX,���#���8�*�8^��,�� ��S��b�!$&�����4����������"�[����@�"7� NYN6NYNYN6NYNYNYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYN � �
� N �EN � V � ����5�,���'��"7�H��"6^�LIWE���4�HK "#�����������8��+�@*�����#� NYN6NYNYNYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYN �'�
� N �EN � V � ����5�,���'��"7�H��"6^=�'�8"#�.��'�0^i������Z*2#�����'� NYNYN6NYNYNYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYN ���
� N � ^=gG������8��"Yop��/�+���2#"fN6NYNYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYNYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYN � �
� N � ^=gG������� �"#���I���X'��� O "� H��'��� Ll��/�@�� �'� NYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYNYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYN �/T
� N ��N � �a+�)'�'���m��8��� O "� H��'�E� L0��/!@����'�|NYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYNYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYN � �
� N ��N � �a+�)'�'���m��8��� ����3��+����7k�"#� NYN6NYNYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYNYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYN �.�
� N N ^=gG������ S "7+��� NYNYNYN6NYNYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYNYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYN ���
���PO � ��� � � $ %'��� � 8 7
� )�- 5�+ J� �� +>7 OM�+.-
� N � `����Iw ���_��8��" S �����'� N6NYNYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYNYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYN � �
� N � V � ����4�,���X,�,�H�!"α"β
NYNYNYN6NYNYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYNYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYN6NYNYN � �
� N � �b�.�"7� X,��+��'�C��"6`��'�EZ?�����#�8/*�,���α"β
NYNYN6NYNYN6NYNYNYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYN6NYNYN � �
� N � ^=g7�����-�*���C"7� ����4�,��mX,���K�*���C� ���3��+����#k�"7�H�!"�^i�'�_�"�`K�,��+��*<β = 1.0
A3NYNYN6NYNYN6NYN �2N
��N N � "#�8/1�0��" $:��+�;#��27�J�C"7� 27��27+��'�~W10−3
/*�����101
2#�'� /1�'�\��"%/!����XI�0"7� � ���"7���[�4LIWE���8�
/1���C2#��2#+��-�!"6� � T/T/T�{ �� NYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYNYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYN � ���N � �0+�)'�!���HXI��+��'� "#�H��"
π(α|dados) 2#����������"#���������4��/������'���n�*�����-"#� �EN �/T NYN6NYNYNYN �'�
� )�- 5�+ J� �� )AS 8K"2+R-
��N � S "7�������*���!"#�0�4��� )'���*�����K�-/1�'��"#� �������~/*�����α
NYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYNYN6NYNYN6NYNYN ���
�
� P =>5L)��1+.:#<.= � - 5�+15��,- 5L),'#+
��������� ������������������������������� !���!����"#� �%$&�'�(�'� ��)'���*�,+��-"#�.�"0/�����/1�'� ��32#���4�3�!�5���!��� ������������#���6���
�"7�4/1�8��"9$:��+�;#��27�J�!>�/�������$:��+�;7��2#����/1�'�H$:������)'��2����!�����*�8/1"#+��8��/�+���2����#���-�!"6���4���"#�������4D��!��*�,�_�"
"#�F�!"7�"7���8���������'�H�4�,�"7�������K�4"GML�+���2#���#N
� �!��� ������������#���x�������_�*������� E��������"7��� <z� � ��QA8g ������"#���*�������d� "#)'�!���_�"#�d27�'�������#k�"7�d��������"��
/�� ��2#"#� ���4��"Q$:������).�3������2#�E����!�-/1�'�l�%�����_�*����� "6 !�������!"#����< �U�'�'� A��
• � $:��+�;7��27�J�4/1�'�0$:���!��).�8g3��"7X������r�d��/�+���2��,�����4��"7/1"7����*�5��"3���e/*���������d��"��"7��������"7�f2#���*�
27��27+���N
• ��'�r�����!D*��;7��2#������"a�"#��������"#� 2��,�*�327��27+���>E�����,2B@����������3�����4���*���.�"0���3�4�,�"7���J�,+1�����8"#�.M�
�I�g9c_��"Y��M�,�5���!@��-27��hm���27����"bw��4��+�2��,�������!�-/*�������8c_�*�,+ ��2#�'� ��"Y�3$:��+�;7��27�J�3/1�'�K$:������)'�!N
• �0�l"BW��"#�!��k�"#�0�*�-����2M@*�����!���-"#� 2����*�-27��27+��������-"#� ��,���� ���2��,�4"7�_�"Q�����!"#/1"#�!��"#�.�"7�#N
• � "GW��"#�������=������+}���i����2B@����������!> ��"7/1�'���9��"8��� )'���,����"8�����8"#� �=�!"82#��2#+����#>pg8�!��� ������!��h����
�,/�����W!���5�,�*���8"7�_�"Q�!�'���4��+ >E/1"7+����"7�'��"7�5��27"#�.����,+p�!�8+����8�m�"�N
�0+�)����5�,�Q����� ������!�����7k�"#�Q/1��/���+�����"7�9/*�����r�*�,���'�9��"�$:��+�;7��2#���d�����=�,�9�����������������#k�"#�R+��')����'���4�,+z>
� "#������+�+z> )'���4�4�!>Y�,����� �J����� ���.X'"#� ���!>�"=� � � E��N �H�|27�'�.���L,�����!>%�����8�����������������#k�"7� � "#������+�+K"
+���)'���'� �4��+:>a/1�'�r"GWE"#�8/�+��!>Q�����q@*L �3���mM�t/1"#� c_�������v�*�,��"��,�*�q�*�,�=���!$&"#� ;#��27�J���r�*� ����� �� �����������,�
����������������� !�,������"7���#N
� � 7� #5L)�� =
j ���Ew "G���X��d/!�����!2#��/*��+p��"#� ��"3������*�,+�@��4g���"#��+���S��,�l���E$&"#��;7��2#�����0/*�����d�4���������������������4����� ���*�,���-�
!���!����"#� �l�!���+���S#�����������C�4"G�������+��')����,�K2#+�L���� ��2��,�C"9�*��T'"#� �J�������#N
N
� ��� 56"B= J�8(: <.=
�f�!��� ������������#���|�������_�*������� !�,������"7���#>���� ���8/1�'� ����.�"r�4���!"#+�� ��"i$:������).�!>K�,/���"7��"#�.M���|� "G�
)'�����_�"Q������������������������27���3��+J�����
F (t;α, β) = Φ
{1
α
[(t
β
) 12
−(t
β
)− 12
]},
<:��N � A
�'���!"t > 0
"Φ(Z)
gQ�6$&�����#��������� �� �����!�����,�3��27���3��+J�,�*�6�*�3�������4��+1/*����������N j �H/��������8"G������α"
����8� "#��/1"727���X,���8"7�_�",>?/*�������8"7�� �'�H��"Q$&�'� �5�3"9"7��2#��+J�!N
j ��� "#�X'"6c_��"Y/1"7+J��"#c_�*�,�����8��N �
Z =1
α
[(T
β
) 12
−(T
β
)− 12
]<:��N �'A
�"7�F����� �� �����������,���������4��+n2#�'�F�8g#�!�J�0"QXI����������2#���
1N
S "#�����8$&�'� �5�E>���$&���!�����8�!"Y�!"#��� ���*���!"Y��"Tg9�*�,�*�-/1�'�
f(t;α, β) =1
2√2παβ
[(t
β
) 12
−(β
t
) 32
]exp
[− 1
2α2
(t
β+β
t− 2)]
t, α, β > 0<&��N �'A
u ���+���S#�������a�0��������$&�'���4���#���a"7� ��N �E>'�a�8g#�����0"K�0X,��� ������27�J�l��"T<&X'"bw��9 E"7����� � N � A ���,�Q���!����*���
2#���4�
E(T ) = β
(1 +
α2
2
),
<:��N �_A
V ar(T ) = (αβ)2(1 +
5α2
4
) <:��N N A
�0+�g7� ����������>l� "T�"#� ����� �� �����������,�t�%�����_�*������� E��������"7���52#�'� /*�������4"G�� �'�
α"β>l"#�_����
T−1�"#� �����������������������������_�*������� !�,������"7���R2#�'� /*�������8"7�� �'�
α"β−1
>p� "#� /1"#27���XI���4"7�_�"�N V � ���
��������$&�'���4�����,��/1���!"9� "#�K$:��2#��+��8"7�_�"0XE��� M�E>�27�'��� ����"7�������!�-��$:�,�����"Qc_��"ΦT−1(t) = 1−ΦT
(1
t
)
�
"Y��� �����fT−1(t) = fT
(1
t
)1
t2N {\���C��� ����>!�"7�8�'�Cc_��"
E(T−1) = β−1
(1 +
α2
2
),
<:��N � A
V ar(T−1) =(αβ−1
)2(1 +
5α2
4
) <:��N �'A
� P #5L=IJ9=.M�=.SR);+
O �3 E"#�#��� � N � >���"7��L��8�'� ��������6c_��"R�6�'�E�"#�!���������'��"7� ����4�����'� "#�%�!"a�4LIWE���4�QX'"#� �'��� ���8��+�@*�����#�
���'� /*�,�����8"7����'�}�*�Q���������������������Q����� ���*���!�-�� !�����!��"#� � �!"#/1"7����"0�*�9� �'+��!�����9��"C���4�Q"#c_�*���#���6�*�,�
+�����"��,� "#�βN[�a+�g#� ������� ��>.�0����� �� �����������,�02#���Iw ���_��a"GW!�,��R�!�'�["#� ����4�����'� "#�\��"��4LIWE���4�CX�"#�����������4� �
+�@��������6�����3gR��X,��+��J�,�*�!>_"R��� ����� �!�5�6�!��� ������!�����#���627�'�Iw �!�_M�3�,�������_������2��Y��"7��L3���!����*�!>��8�'�������!���
c_��"Y�'�C"7� ����4�����'� "#�H��"9�4LIWE���4�6X'"#�����������8��+�@��������������4�,�������_������2����8"#�.�"R�����!"#/1"#�!��"#�.�"7�#N
O �4 E"#�#��� � N �E>*��"7�����4��/���"7��"7�_M�,���'�0�'�C"#�����5���!�'��"7�C��"Y�8�'�8"#�.��'�H�8������Z*2#�������#>�/1�'���H�'�l"7� �� �
�4�����'� "#�\��"��4���4"7�_��'�\27�'�_X'"7��27���'�*�,���[/1����"7� �*���a"GWE������ �'�3�����R� "#� "#� ���!��2#���#N\�a+�g7� ����� ����>����4�
����� �� �����!�����,�=27�'�Iw ���.M� ����� ���.������2��i��"7��L��'�!����*�!>\�4�'�����,������c_��"d�'��"7� ����4�����'� "#�6��"5�4�'�8"#�.��'�
�8������Z*2#�������H���,�4����� ���.������2��,�4"7�_�"R������"#/1"7����"7�_�"7�#N
O �| E"7����� � N �E>%��� "7� ������|��"r�������!+J���#����� "#��L ��"#��+���S��,����2#�'� � ���_����������"r2#�'�8/*��������"7��� "
"#�����5���!�'��"7�#>�2#�mM�,���'�H�*���C��"7�#k�"7�a���.�"#� ���'� "#�7N
O �Y E"7�����6�E>.� "#��LQ$&"7��M�a���4�Q���*L�+���� "K�*��T'"#� ���*�Q���9�8����"7+��R��"K$:������).��� S ��� �� �����!�����,�Q����� ���*�,���-�
!���!����"#� �#N
�
� P #5L=IJ9=.M�=.SR);+ TVM,W.-L-L)�'#+
����� ������ �������������������� ���� ��"!#�$���%�&���� ��('()*�%+*,-�
� �'�8"T1, . . . , Tn
���4�l�,�4�'�����l�,+�"��I��'� �J����" M���4��@��n�*�C���������������������C� � ���>�2#��� �!"#��� ���*���!"
�*�����-"#�F�!N ��"Q$&�����#���8��"QX'"#� �'��� ���8��+�@*�����#�3�*���*��/1�'�
L(α, β) =
(1
2√2π
)n(1
αβ
)n n∏
i=1
[(β
ti)
12 + (
β
ti)
32
]exp
{− 1
2α2
n∑
i=1
(tiβ+β
ti− 2)}
V �����-X'"#�����������4��+�@*�,�����3/1���!"Y� "#�C��"#"7��27���mM�-�*�-� "#)'�!���.�"Q$&�'���4�
L(α, β) =
(1
2√2π
)n(1
αβ12
)n n∏
i=1
(ti + β)
t32i
exp
{− 1
2α2
n∑
i=1
(tiβ+β
ti− 2)} < � N �.A
� $&�����#���8��"9+��')I� X'"7���'� �����8��+m@*���!���3g9�*�,�*�-/1�'�
l(α, β)∞− n lnα− n
2ln β +
n∑
i=1
ln(β + ti)−nu
2α2β− nβ
2vα2+
n
α2,
< � N � A
�'���!"
u =1
n
n∑
i=1
ti, v =
(1
n
n∑
i=1
1
ti
)−1
, K(x) =
(1
n
n∑
i=1
1
x+ ti
)−1
�0�C��"#� ��X,�������C�*��$&�!�������-+��'),� X'"#� �'��� ���8��+m@*�����#�32#���F��"7��/1"#�m��4�,�'�C/*�,�����8"7����'�H�����
∂l(α, β)
∂α= −n
α+
n
α3
(u
β+β
v− 2)
∂l(α, β)
∂β= −n
β+n
2
(1
β+
2
K(β)
)+
n
2α2
(u
β2− 1
v
)
∂2l(α, β)
∂α2=
n
α2− 3n
α4
(u
β+β
v− 2)
∂2l(α, β)
∂α∂β=
n
α3
(− u
β2+1
v
)
∂2l(α, β)
∂β2=
n
β2− n
2
(1
β2+2K ′(β)
K2(β)
)− nu
α2β3
�
j �C"7� ����5�,���'��"7�H��"9�5L�W!���5�6X'"7���'� �����4��+�@*�,�����3�����8�'�!��������H���'+���27���'�*�,�����������3��+mM�,��"����-"#�_�"
∂l(α, β)
∂α= 0
∂l(α, β)
∂β= 0
`����4�β > 0
> � "#� ����������i���i�4����"7+��i� � ���> �"7�4���Yc_��"8�="7� ����5�,���'�Q��"8�4LIWE���4�5X'"#�����������8�m�
+�@����������!"β>β>�gY�-������SR/1�'���m��mX,�3�*�-��"7)'�����_�"9"7c_�*���#���4�*�,�8+�����"#���
β2 + v[u+K(β)]− β[2v +K(β)] = 0< � N � T.A
V �,�������=>E�"7�4���Cc_��"Y�-"#�����5���!�'�K��"9�5LIWE���5�6X'"7���'� �����8��+�@*���!���3��"α>α>�g9�*�����-/1�'�
α =
(u
β+β
v− 2) 1
2 < � N ��� A
S "#���!"�c_��" � N � T gi���4� "#c_�*���#���x�*�,�|+�����"#����"#�β>�@*L �!"#2#"7�������*����"=��"i��� /�� ��2#"7�����8"#�.��
���"#���,��mX'��/*�����-���!�"7�βN O "#��"9������*��+�@���>!� "#��L827�'��� ����"7�������8�-�8g7����!�8�!" O "� H��'�E� L0��/!@����'�nN
V ��)�"#+�@*�����E5"7d��+zN < �U� � � A3�4��� �� �'�qc��!"��|�!��� ������������#��� 27�'�Iw ���.M�x����� ���.������2�� ��"α"βg
(α, β) ∼ N{(α, β); I−1(α, β)}, �'���!" I(α, β) gR���4�,�� ��Sl���!$&�'� �5�,�����Y��" �[��� @�"#�R<&X'"bw��- �"#���,� � N �'A
�*�����-/1�'�
2n
α20
0 n
[1
α2β2+ E
(1
T + β
)2]
,
< � N � �'A
j ����"7� X'"Yc_��"
E
(1
T + β
)2
=1
2√2παβ
12
∫ ∞
0
f(t)e−nh(t)dt,< � N � �.A
�'���!"
f(t) =1
t32 (t+ β)
− nh(t) = − 1
2α2
[t
β+β
t− 2]
{[����� ��"7���'+mX'"#�=� "7c_�*�����,�v"#� � N � �!>a�!���+���S#�I� ��"��q�8g7����!� ��"xop��/!+J��27" /*����� ��/�� �UWE���4���7k�"#�r��"
���.�"7)'���,���#NY{\"#+��r�,/�����WE���4�����,�d��"-op��/�+���2#"r< X'"�w��i E"7����� � N �.AB>~�"#�8�'�Rc_��"E
(1
T + β
)2
∼= 1
4β2
"
�
��� �����F���5�,�����SR���E$&�'���4���#���3��"�[��� @�"#�Hg9�*���*��/1�'�
2n
α20
0
(n
β2
) 1
α2 +1
4
< � N � �_A
S "#�����i$&�'� �5�E> ���9"#� ����4�����'� "#�Q��"-�4LIWE���4�4X'"#�����������8��+�@������#�d�����=�,�������_������2����8"#�.�"3�����!"#/1"7�E�
��"7�_�"7�#>*M�,+ c_��"
var(α) ∼= α2
2nvar(β) ∼=
(β2
n
) 1
α2 +1
4
−1
< � N �2N A
Q"#����+��8"7�_�",> /1����"B�b��"��"#�9���_�"7��"7����"8�!�r�"#�8/1�r�4g7��������"�$:������)'�d�*�����i/1�'�θ = β
(1 + α2
2
) >
X'"�w����="7c�������������N �!N u �������������8g7����!���!"#+����< X'"�w�� E"7����� �!N �'A9"427�'��������"#��������� �i$&�����4�i� �����
/�+���Z*2#���*� �*�q�5�,�����S ���E$&�'���4���#��� ��" �[��� @�"#�7>Y�v"#�����5���!�'�i��"x�5L�WE���4�tX'"#�����������4��+�@��������θ =
β
(1 +
α2
2
) �"#� ��� �����.��,���2#���8"#�_�"R���������������������3���'� �5��+n�*�,�*�-/1�'�
θ ∼ N{θ;σ2θ},
< � N ��� A
�'���!"6�3X,��� �����!2#���σ2θ
$&���~�'�!����*��/1���
∂θ
∂β= 1 +
α2
2
∂θ
∂α= βα
�0��� ���i>
σ2θ =
(1 +
α2
2
)2
V ar(β) + (αβ)2V ar(α)
=
(1 +
α2
2
)2β2
n
(1
α2+1
4
)−1
+ (αβ)2α2
2n
=
(1 +
α2
2
)2β2
n
(1
α2+1
4
)−1
+β2α4
2n
� T
����� ������ ��������������������� ���+ ���� ��� �*�����-�����%�
j �C"7� ����5�,���'��"7�H��"9�4�'�8"7�_����H��� �*�����H/*�����-�-�!��� ������������#��������� ���*���!�-�� !�������!"#���H�����8�'�E����!�'�
c_�*�����!�Y� "H��)'����+J�0���}�8�'�8"#�_��'�P���8�'� ��������P�,�'�}/1��/���+J�,2#���'�*�����7>��'�-� "�w��Qc_�*�,�����9��"H��)��*��+��a�R�4g7���J�
�8�'� �����+p"��8XI����������27�J�8���8�'� �����+����0"#c_�*�,�#k�"#�R�����*���0"#� ��N �5"6��N N >1� "#��/1"727���X,���8"7�_�",N0� � �'+����#���
��"7����"6� ��� �"#�4�������4���'�H"#� ����4�����'� "#�H��"Y�8�'�8"#�.��'�7>�/1�'��g7�F/*�����-"#� ��"62#�����8�8����� �"7�5���*���-/1�'��� ���
����+����#����N
�0��� ���i> ���i���.X'g#�Y��"-�������Y���Y"7c_�*���7k�"#�6�*���*���9"#� �!N �i"-��N N > /�� �'/1k�"G� ��"8��)'�*��+����R���Y"7c_�*���#k�"7�
��N �8"9�!N � ���C� �*���l27�'��� "#� /(������"7�_�"7�a"7� ����4�,��mX,���H���8�'�����,���#N O "#� ��"62#��� ��>��"7�4�'�
u = β
(1 +
1
2α2
) < � N � �'A
v−1 = β−1
(1 +
1
2α2
) < � N � �.A
LC"#����+�X'"7�����8"#��� "6� ��� �"#�4�3�"7�4�'�Hc_��"
u
β=
(1 +
1
2α2
)
v−1 = β−1 u
β
�0��� ���i>*�-� �'+����#���-��"7����"Y������"7�5��g9�*�,�*�-/1�'�
α = 2
[(uv
) 12 − 1
] 12 < � N ��� A
β = (uv)12
< � N � T.A
� ���������������������32#���Iw ���_��8����� ���.������2��3��"α"βg
α
β
∼ N
α
β
,
α2
2n0
0αβ2
n
1 +3
4α2
(1 +1
2α2)2
< � N � � A
j ��� "#�X'"%c_��" ���p"#�����4���!�'��"7�p�!" �8�'�8"#�.��'�~�8������Z*2#������� ���,�0����� ���.������2��,�4"7�_�"}������"7/1"#����"7�_�"#�
<&X'"bw��4 E"#�#��� � N ��AGN
��
��� � � � 0 � � � �>�
V ��" "GWE"7�4/!+��K$&�'���'�!������K"#� ^=2�`����'+b< �U� �,�.A("}��"G$&"#� "G� ��" ���K�"7�4/1�H��"P$:��+�;7��27�J����" � TK"#� /("72#hmZ*2#���
�4�,�"7���J�,���#>E�*�������l"7�F@��'�����#N j �l�������'�C"7� M�,�8�*� � ���1"#+�� � N � N
� ���1"7+J� � N � � `��'�Iw ���.��8��" S ���!�'��'N �EN � � �'�EN T � �'�EN N � �,�!N � �U� �EN T
�UT���N � � �U� N N �,����N � � � �EN � �_�'��N �
V �����4��������"#�9��"8�4LIWE���4�5X'"#�����������4��+�@*�,������"8��"8�8�'�8"#�_��'�9�8�����mZ*2��,���'�Q$&�'����� 2#��+�27��+J�,���'�7N
j ����"7� X'" c_��" �x"#�����5���!�'�8��"��4LIWE���4��X'"#� �'��� ���8��+�@*�����#� ��"β$&�'�l�'�!������x�,�����X'g#�5�����8g7������
���"#���,��mX'� O "� H��'�E� L0��/!@����'�nN O "#� �"-/!����2#"7�����8"#�.��!>~��"7� ����5�,���'�0��"��8�'�8"#�.��'�a�8������Z�2����!�'�0$&�'�
�!���+��mS������C2#�'�8�02M@��!�"����!��2#����+'" $&�'�_��"GZ*�������a��� 27�����g#� ���l��"%/*�������*�!>I���+_c��!" |β(i)−β(i−1)| < 10−20,
�'���!"i� "#/�� "#� "#�.M�5�,�C���.�"#�����#k�"7�#N0< X'"�w��4 E"7����� � N �_ABN
�0�C"#� ����4�,��mX,���K/1���_��������H/*�����α"β"#� ����4��/�� "#� "#�_����*���l�*� � �,�("7+J� � N �EN
� ���1"7+J� � N � � V �����5�,���XI���K��"α"β
^=gG��������α β
^=���4"7�_����0^=�����mZ*2��,���'� T!N ���.� N � � �EN T'�UT��
^�LIWE���5�HK "#� �'��� ���8��+�@*�,����� T!N ���.� N � � �EN T,� � �
�b�.�"7� X,�,+��'�l�!"Y2#�'�!Z*�����#�8$&�'�����F���!������'�C�!���+���S����!���8���"#�������8��� �����_��,���2#�!N O ���"9c��!"�� � �,�1"#+J�
� N ��� "#� X'"���/1"#�����327�'�4���!� "GWE"#�8/�+�� /*�,��� �,/�+���2����Y�����4"G�������+��')'�����Y"BWE/�+���2#�mM���*�,����27���4�!>\���4�
X'"#SYc_��"9�827�'�Iw ���.��8��"9�*���!�'�Cg9�3�������/1"#c_��"7����N
� �
� �,�1"#+J� � N �����b�_�"#�X,��+��'�C��"6`��'�!Z*�����#�8/*�����α"β
� |�� h`g.c;�bk;lα β
� T�� �=N � � T�� �/N �
� ���h`g.c ~�m lnk� <4T!N � ��� �� T!N ��� ��� A <4T!N �'N �.� T!N �=T � �.A < � � � N ��� ���� �I�_�EN � � T.��A < � � N N ���.� �� �,�'�!N � � ���'A
� k;g>m a �nkt| � k��� <4T!N � ��� �� T!N ��� ��� A <4T!N �'N �.� T!N �=T � �.A < � � � N � �'� � �I�_�EN �'� � T'A < � � N N � �'�'�� �,�'�!N �'� ��� A
j ��� "#�X'"4c_��"-@*Lr�r/1�'� ��������+����*����"��*����"��,+���S#�����,����"��"#� �"#�Y��"-@!��/ ���"#��"7�Y�!��+��,�"7�������a"-�!���+���S����
�'�C���_�"#� XI��+��'�K��"92#���!Z?�����#�8/�������2#�'�!2#+������K���'��� "6����"bw "#�������-�'�i�����8���-@���/ �,�"7��"9����+��!N
����� � �� ���'��%,�� �����*� ���%+ ���� ����'(�
�0�R�����3��+J�,�#k�"#�0�!"-^=�'�.�"-`K��� +��4$&�'����� $&"#�mM���02#�'�!�����!"#���,�����r�,�4�'�����,�a�!"n = 5, 10, 20
"3�'�
/*�������8"7�� �'����"R$&�'� �5��27�'�8�α = 0.1, 0.5, 1.0, 2.0.
E"7� /1"#� �*����"Q)'"7��"7����+����*���!"�>E��/*�����,�4"G����3��"
"#� 2���+��β$&�'�nZ!W!�����8"#�
1.0.
O ���"�c_��"K�Q����)����4"7�_��R�*�a����� ������!�����#���a��27���3��+J�����0��"H�%�����_�*������� !�,������"7���l< X'"�w��Q�a"7c_�*�����,�
��N � A[�"#� ����� �� �����!�����,�Q���'� �5��+!/*����������N � �'�4"Z27�'�8�Y� "#���!�����4�RX,��� �JLUX�"#+?��+�"��,��'�����a���'���4��+!/*�I�
��������N V +�"7X,�,���������Yc����������,���6������)����4"7�_��Y�*�Y����� �� �����������,�Y��27���3��+J�,�*�9��"0�������_�*������� !�,������"7���
�"7�4���
Z2 =1
α2
[T
β+β
T− 2] < � N ���'A
� "7c_�*�����,� � N �'�3/1����"9��"7�l��"7"#� 2#���mM�-�*����"7)'�����.�"9�4����"7�����
βTα2Z2 = T 2 + β2 − 2βT
T 2 + β2 − 2βT − βTα2Z2 = 0
T 2 − β[α2Z2 + 2]T + β2 = 0< � N �,�.A
� �
LC"#����+�X'"7�����4�-"7c����������8���8� "#)'���!���4)'���,�i�*�,�*�-"7� � N �,�3�"#�8�'�
∆ = [α2Z2 + 2]β2 − 4β2
T1 = β[α2Z2 + 2]−(α4Z4
4+ α2Z2
) 12
T2 = β[α2Z2 + 2] +
(α4Z4
4+ α2Z2
) 12
`���� �������8/1����"B�b� "6)�"#���,�C� ���8"#� �'�l��+�"#�,��������'�K�*��� "��������0��"7�������0����h�S#"#�C� ��+m���/�+����K"Y�8/�����27"#��� �
�8"#�.��-g
• Q"#�����H� �!�4"7���'�l�,+�"#�,��'� �����K/�� ��X'"7����"7�_�"#�l��"9���4�����������������������3���'� �5�,+~/*�,�������(Z)
• Q"#�����K�����4"7���'�H��+�"#�,��������'��/!���UX'"#����"#�_�"#�C�!"9�!�5�3�!��� ������������#���������m$&�'���8"a�������_�"#�X,��+���� T!> ���
• �"U ≤ 0.5 >*"7�_M�,�-��'�8" T = T1
>*� "#�*���-����4"T = T2
� �������Y"#��� "#��� "#� ��+�������'�9��"7�����i�*����"#�����'�Y"#� � T/T/T������3��+J�,�#k�"7�Q��"5^=�'�.�"5`K��� +��|<&X'"bw��� E"7�����
� N �_AGN O � � ���1"7+J� � N �!>�"#��27�'�_��������b� "9�'�C� "#���!+�M�,���'�C�*�,�C�����3��+����7k�"#�K��"6^=�'�_�"�`K�,��+���N
������"#�����4�!�'�l��"7����+mM���!�'�C���8"#�������4��"Y� ���3��+����7k�"#�H��"6^=�'�_�"�`K��� +���>�������"7� X,�I� ��"Yc��!"6���l"7� �� �
�4�����'� "#�K��"R�5L�W!���5�9X'"#� �'��� ���8��+�@*�����#��"R��"Q�8�'�8"#�.��'���8������Z�2��������K��/���"7��"7�_M�,�F�!� 27�'�8/1�'� ��I�
�8"#�.��d� ���8��+����C2#�'�e� "#+������,�d���5X�h�27���=>n"#� /1"#27�J��+��4"7�_�"�/*�����4X,��+��'��"7�a/1"7c��!"#���'�Q��"αNR�0/ �'�R���4�
���!��/1"#�#���8���'�C� "#���!+�M�,���'�#>�������I�b� "9���F/��������,�8�!�'�HXEh�2#���'�H��"7��� "#�0"#� ����4��������"#�
KRh�27���(α) ≈ KRh�2#���
(α) ≈ −αn
KRh�2#���(β) ≈ KRh�27���
(β) ≈ α2
4n
j ��� "#�X'"9c_��"R/*�����3�!�αZ!WE��>����4"7�����*�6c_��"Q������5�,��@��3���8�'� �����+(���!�4"7�_M����X�h�27���������4�����!�
"9/*�����-�!� M���4����@!�8���8�'�����,+nZEW!�!>?�-�8"#�����*��c_��"α�,���8"#�_����-X�h�27���-�����8"#�.M�!N
� �
� ���1"7+J� � N � � ^=g#�!�J���*���C"#�����4�,���X,�,�K�*���C�����3��+J�,�#k�"#�K��"6^=�'�.�"6`K����+��?<β = 1.0
A
�α
V �����5�I��mX,�3��"α
V � ����4�,��mX,����"β
α αKah�2#���
(α)Kah�27���
(α) β βKah�2#���
(β)KRh�27���
(β)
N T!N � T!N T,�_�UT.�,� T!N T��_�UT'��� � T!N T N � � ��� � T!N T N � ��� �'� ��N T/T � � �EN TUT � � � N TUT � � � N TUT � �
T!N N TEN �U�/N��=N T!N ���=N��=N � TEN �/T,�=T N � TEN �/T,�=T N ��N �UT N/N �EN � T N � � N � T N/N � N � T N �
� N T TEN �.� � �.� T!N �'� � �'� � TEN � �,� N � � TEN � �,� N�� ��N �'� T'� �EN ��� N � � N ���UT'� � N ��� N���EN T TEN �'� � � � ���!$ � � N �/T � � ���!$ �!N N�� ��� ���!$ �!N N,� ��� ���!$
� T T!N � T!N T,� N � N � T!N T�� N � N � � T!N T N � � �'� � T!N T N � � �'� ��N T/T � � �EN TUT � � � N TUT � � � N TUT � �
T!N N TEN � ���=N�� T!N � �U�=N�� � TEN ���UT��'� � TEN ���UT��'� ��N �U� � � �EN ��� � � � N ��� ��� � N ��� � �
� N T TEN �_� �'�'� TEN �_� � � � TEN N �,�'� � � T!N N ����� ��N ���'� � �EN �,�.�'� � N �,�.� � � N �,�.�'�
�EN T TEN � N �/T � ���!$ � � N �,� ��� ���!$ �!N �_��� � ���!$ �!N �.�'� � ���!$
�UT T!N � T!N T��.�UT T!N T��.�/TUT'� � T!N T N��U�'� � � T!N T N��U�'� � ��N T/T'�,� �EN TUT.�,� � N TUT.�,� � N TUT.�,�
T!N N T!N ���/T � TEN ���UT � � T!N � �'��� � T!N � �'��� ��N �U� T � �EN ��� T'� � N ��� T � � N ��� T'�
� N T T!N �'�.�'� T!N ���.�.� � � T!N N/N�� � � TEN N/Nd� � � ��N � � T N �EN � �'N � � N � � T N � N � �'N �
�EN T TEN � ���U��� T!N � � ��� � � � N � �'� � � � N � �.��� �!N �'� � � ��N N �UT.� �!N ��� � � �EN N �UT.�
���E$ �}�4�,�� ��SR���!$&�'� �5�,�����3��"�[����@�"7�C� ����)���+J�,�
��� 8 � � 01��� � ��(���E%'� �:�&��� 3 6=� �P� � ����� � ���
u � �8g7�������� ���8/�+�"7�%/��������6��"7�������,���!��X�h�27���6���'��"7� ����4�����'� "#�%��"a�4LIWE���4�QX'"#� �'��� ���8��+�@*�����#�
"9��"9�8�'�4"7�_��'�H�8�����mZ*2��,���'�Hg9�*�,���8/1�'�
α∗ =
(n
n− 1
)α β∗ =
(1 +
α∗
4n
)−1 < � N �I�_A
α∗ =
(n
n− 1
)α β∗ =
(1 +
α∗
4n
)−1 < � N � N A
�'N
u ���+���S#���������'�r� "#���!+�M�,���'��w�Lt�8�'� ������!�'���*���r� "#�7k�"#���,�_�"7�����'��"7���"#�8�'��c_��"|�t����� �� �����������,�
2#���Iw ���.M�8����� ���.������2#����"α∗
"β∗
g
α∗
β∗
∼ N
α
β
,
nα2
2(n− 1)2 0
016nβ2
(4n+ α2)2[0.25 + α−2 + I(α)]
< � N � � A
S "9$&�'� �5�3� ���8��+����7>E�"#�8�'�Hc��!"6�-�!��� ������������#���32#�'�Iw �!�_M�8�,�������_������2��3��"α∗
"β∗
g
α∗
β∗
∼ N
α
β
,
nα2
2(n− 1)2 0
016nβ2
(4n+ α2)2
1 +3
4α2
(1 +1
2α2)2
< � N ���'A
� P #5L=IJ9=.M�=.SR);+ ?Y+&Z[ &-6)�+R��+
� ��� � +*�%'(�(����� ���%���&���%+�� �%�&���* ��(+*���α�β�*��� � �%+*)�� � �(�*�%�
O "#�M� � "#���,��>R��"#��L ��"7��"#�.X'�'+�X����*� �!�5�s���*L,+�����"����UT'"7���J�,�*�s/*�����s�s������� �����������,�s����� ���*�,���-�
!���!����"#� �a27�'��� ����"7�����!���5���m$&"#� "#�.�"#�l/������'�����H�*���4���!$&�'� �5�I�� X,���H/*�����α"βN�� ��"7�������*����"6�8/������'���
��"6y�"��(��"GT��0/*�����α"βg9�*���*��/(���
π(α, β)∞{detI(α, β)} 12 ,
<z�EN �,�.A
�'���!"I(α, β)
gY���4�,�����SR���!$&�'���4�,�����3��"�[��� @�"#�Y< X'"�w��-/1�'�H"GWE"#�8/�+��!>*���UWr����� � ������> �U� ���'AGN
`�����������"#���������8����/�����WE���4�����,�3��"9op��/�+J�,2#"R/*�����E(T + β)−2 ∼= 1
4β2
>!�"#�8�'�H�3$&�'� �5��� ���8/�+�� �
Z*2#���*�-���-�4�,�����Sa���!$&�'���4�,�����3�!"�[��� @�"#�K�*���*��"7� � N � ��> "9��/�� ���'� �n�*���-���!$&�'���4�I�� X,��/*�����α"βg
�*�����-/1�'�
π(α, β) =
√2n2
4β2+
n2
2α2β2=
√2n2
α2β2
(1
α2+1
4
)
�U�
�0��� ���i>
π(α, β)∞ 1
αβ
(1
α2+1
4
) 12
,<z�EN � � A
�'���!"α, β > 0.
j �!�����/�� ���'� �1�*���3���!$&�����4�,�� X,�Y/*�����α"β>���� �����8�����!�3������"7/1"#���!;#��27�J�3"#�.���"
α"β<&X'"bw��3/1�'�
"GWE"7�4/�+���>*����Wi���!� � �J���!> �U� �,�.A�g9�����*�-/1���
π(α, β)∞ 1
αβ,
<z�EN �UT.A
α, β > 0.
`�����������"#���������r�5/�� ���'� � ��"-y�"��(��"GTE�Q�*�,�*�d"7� �EN � � >n�5��"#��� ���*�,��"32#�'�Iw �!�_M�d�d/1��� �"7�����'��� /*�����
α"βg9�*�,�*�-/1�'�
π(α, β|dados)∞
∏ni=1(β + ti) exp
{−A(β)
α2
}
αn+1β(n
2+ 1)
H(α2)
,<z�EN � � A
�'���!"H(α2) =
(1
α2+1
4
)−1
2 " A(β) = nu
2β+nβ
2v− n
N
j ��� "#�X'"6c_��"H(α2) = 1
c_�*�������82#����������"#�����4���l��/������'���n�*�,�8���!$&�'���4�I��mXI�3�*�,�*�-"#� ��N �/TEN
F � � � � � � @�� � ���(�&� � ��% $E� @�� � �:� ���E���2� % � � % � �&��%'�α�β
�0� �!"#��� ���*�,��"#� �4����)'���*���m�}�9/1��� �"7�����'����/*�,���α"β�����Y���!����*���}/1"#+��Q���_�"#)'�������,�9�*�9�!"#��� ���*�,��"
2#���Iw ���.M�8�-/1�'��"7���������~�����*�-"7� �EN � � "#���
α>*� "#��/1"727���X,���8"7�_�",N
� ��"#��� ���*�,��"3�4����)����*�,+ �4/1�'� �"#�����'���p/*�����α2#�'��� ����"7�����!�����5/�� ���'� � �����*�5"7� ��N �UT!>(/1����"���"7�
"#� 2#� ��M��2#�'�8�
π(α|dados)∞ en
α2
αn+1
∫ ∞
0
f(β)e−nh(β)dβ,<z�EN �.�'A
�'���!"
f(β) =
∏ni=1(β + ti)
βn2+1
− nh(β) =nu
2βα2− nβ
2vα2
� �
u ���+���S#�������Q�Y�,/�����WE���4�������R��"lop��/�+���27"H/*�����9�Q���.�"7)'���,+�"7� �EN �.�E>'�"#�8�'� �Q��"#)������.�"C�!"#��� ���*���!"
�4����)'���*�,+~��/1�'� �"#� ���'� �~/*�����α
π(α|dados)∞α−n exp
{− n
α2
[√u
v− 1]}
,<z�EN ���.A
�'���!"α > 0
N
`���� �r/�� ���'� �P�*�,�i���E$&�'���4�,��mXI�d�*���*�r"7� �EN � � > ����"#�!����������"8�4����)����*�,+P��/1�'� �"#�����'���P/������α>
��/�� �UWE���5�����3/1�'�lop�,/�+J��27"Qg
π(α|dados)∞α−(n+1)(4 + α2)12 exp
{− n
α2
[√u
v− 1]}
,<z�EN �,�_A
�'���!"α > 0
N
� ��"7�������*����"5�5�,��)'���*��+ �=/1�'��"#� ���'� � /*�,���β>P27�'��� ����"7�����!������/!��������� �*������"7� �EN �/T!>[�'�E������
���.�"7)'���,�����8����"#��� ���*�,��"Y/1�'��"7���������~27�'�Iw ���.M�-"7�αg
π(β|dados)∞β−(n
2+ 1)∏n
i=1(β + ti)
{u
2β+
β
2v− 1}n2
,<z�EN � N A
�'���!"β > 0
N
`�����������"#�����������5/!���������p�*���*�4"#� �EN � � >(�5��"7�������*����"��5��� )'���*��+p�5/1��� �"7�����'��� /������β/1����"���"7�
"#� 2#� ��M��2#�'�8�
π(β|dados)∞∏n
i=1(β + ti)
β
n
2+ 1
∫ ∞
0
f(α)e−nh(α)dα,<z�EN � � A
�'���!"
f(α) = (4 + α2)
1
2 − nh(α) = −A(β)α2
− 2(n+ 1) lnα,
�'���!"A(β)
"7� �L8��"GZ*�����*�-"#� ��N � � N
� �
`�����������"#��������������/�� �UWE���4���#���6��"Rop��/!+J��27"0/*�������6���.�"7)'����+?"7� �EN � � >E����"7�������*����"a�4����)����*�,+?�
/1�'��"#� ���'� � ��/�� �UWE���4���*��/*�����βg
π(β|dados)∞
∏ni=1(β + ti)
{4 +
[2n
n+ 2
] [u
2β+
β
2v− 1]}12
β
n
2+ 1
{u
2β+
β
2v− 1}(n+ 1)
2
,<z�EN �'�'A
�'���!"β > 0
N
� ��� � +*�%'(�(����� ���%���&���%+�� �%�&���* ��(+*���β
� �%+*)�� � �(�*�
�0��� ���4�������β2#����@�"72#���!��>?��$&�!�������-��"QX'"#�����������4��+�@*�,�����3/������
αg9�*���*��/1�'�
L(α)∞α−n exp
{−A(β)
α2
},
<z�EN ���.A
�'���!"A(β)
g9��"GZ*�����*�-"7� �EN � � N
`�����������"#��������� �i/�� ���'� �}��"dy�"��(��"GTE�π(α)∞α−1, α > 0,
�i��"7�������*����"5�i/1�'� �"#�����'���}/*�����αg
�*�����-/1�'�
π(α|dados)∞αn+1 exp
{−A(β)
α2
},
<z�EN � � A
�'���!"α > 0
>A(β)
g9��"7Z������*��"#� �EN � � "Y�-27�'���M���.�"Y�!"Y/!���'/1�'� 2#���'�*��+����*�,��"Rg
2n
n
2
[u
2β+
β
2v− 1]n2
Γ(n2
)
� ��� � ��+����(���������*� ���*� ���� ��� ����� � ������ �&�$��� �%,%��� � ���� �
�0��� ���4�������β27�'��@�"72#����� "���/!��������� �!"ry�"��(��"GT���/*�����
α>}����"7�������*����"d/�� "#���m��mX,�=/*�,�������4�
$&�!��������'����"7� XI�������tn+1
<&X'"bw��4{}� "#���7> ��� � � AKg9�*���*��/1�'�
f(tn+1|dados) =∫ ∞
0
f(tn+1|α)π(α|dados)dα,<z�EN �=T.A
�U�
�'���!"π(α|dados) gY�����*�-"7� �EN � � "
f(tn+1|α) =(β + tn+1)
2√2παβ
1
2 t
3
2n+1
exp
{− 1
α2
(tn+1
2β+
β
2tn+1 − 1
)} < ��N � � A
�0��� ���i>
f(tn+1) =n
n
2 (β + tn+1)[u/(2β) + β/(2v − 1)]n
2 Γ(n+ 1
2)
2√2πβ
1
2 t
3
2n+1Γ(
n
2)
{(nu+ tn+1)/(2β) +
1
2β(n/v + 1/tn+1)− (n+ 1)
}n+ 12
,<z�EN �.�'A
�'���!"tn+1 > 0
N
�"βgY��"7��2#����@�"#27������>?/1����"B�b��"Y�������0�-/�� �UWE���4���#���-�!"6op��/�+J�,2#"9/������-���_�"#)'�������K"6��� �����F�'�!�"7�
�-�!"#��� ���*�,��"Y/�� "#���m��mX,��/������-��$&�!��������'��� "#� XI�����,�tn+1
N
� ��� � � � � '(�
�%�����_�*�������� !�������!"#����< �U�'��� AY2#�'�!�����!"#�����s��� 27�'�Iw ���.�� �!"r�������'���!���"#�8/1����"d$:��+�;7��2#������"
� T ��� � �C� �*�,�����,�H�!"9��+��!�4h����m��2#��� M�,�*���H/�������+�"#+����8"7�_�"a�*�3����� "#���,���������'+����8"#�.���"Q�'� 2#��+������!�3"#�
� �42#��27+����a/1���a��"7)'�������!N O � � ���1"7+J���EN N "7��2#���_��������b��" � T � ������"7� X,���7k�"#�8<&�"#�8/1�d��"6$:��+�;7��27�J�8"#�
2#��2#+��'��W10−3
A%��'�4���*�,�H2#���F� ���"#� �0�4LIWE���8�3/1�'�H2#��2#+�����"Y� � TUT/T-{ ��MN
O ���"6c��!"3��� � T � >1��� � �'�EN ���8"6X�� � � � N � �!N0�a�a"#�����5�I���XI���l��"��5L�W!���5��X'"7���'� �����4��+�@*���!���8�����
�*���!�'��/1�'�α = 0.1704
"β = 131.82.
`��'�!�����!"#���,�������6����� ������!�����#���6����� ���_������2��Y�!�'��"#�����5�,���'��"7�
��" �4LIWE���4��X'"7���'� �����8��+�@*�����#�H" �0�,/�����W!���5�,�����H��"%op��/�+���27" /*�����l���_�"#)'�������n�"7�4�'�pc_��" �'� ���_�"#� XI��+��'�
��"=2#�'�!Z*�������|��" � T�� /*�����α"β���,�
(0.1506; 0.1902)"(128.31; 135.52)
>H��"7��/1"727��mX,���8"#�.�",N
u ���+���S��,�����6�6/�����/�����"#�*�,��"0��"a���_X,�,�����,��2#���9����"7� ����4�����'� ��"a�4LIWE���4�QX'"7���'� �����4��+�@*�,�����Q�"7�4���%c_��"
θ = 133.73N
�UT
� ���1"#+��-�EN N � � "#�8/1����"R$:��+�;7��27�J��"7� 2#��2#+��'�%W10−3
/*�,���101
2#�'� /1�'�H��"Q/�� ��XI��"#� � �� "#� �l�4LIWE���4�
/1�'�H2#��2#+�����"Y� � T/T/T-{ ���UT � T �'� � � �'� � T/T � T'� � T�� � T�� � T N � T.� � T'� � T��
� T'� � T � � T � �� � �� � �� � �� � �� � �� � ��U� ���U� � �UT � � T
� �UT � � � � � � � �,� � �,� � �,� � �,� � �,� � �,� � ��� � ��� � � � �'N,�
� �/T � �/T � �UT � � � � � � � � � � � � � � � � �.� � �.� � �.� � �'� � �,�
� ��� � ��� � �,� � �,� � � � � � � � �.� � �'� � �'� � �'� � � � � � � � � �
� � � � �_� � �.� � �.� � �_� � �_� � �_� � �'� � �'� � � N � � � � �.� � �'�
� � � �2N�� �'Nd� �'N � �'N/N �'N�� �'N � �'N � �'N � �'N � �2N � �2N�� �U� �
��� � ��� � �U� � �U��� �U�'� �U� � � �UT � �,� �U�'� � � �
� ��"7�������*����"3�4����)����*�,+ �5/1�'� �"#�����'��� /*�����α>n2#�'��� ����"7�����!���r�5/������'���
π(α, β)∞ 1
αβ
"3�d��/����I�
WE���4���#������"Yo �,/�+J��27"Q/*�����-���_�"7)'�������Kg
π(α|dados)∞α−101 exp
[−1.4663
α2
],
<z�EN �'�.A
/*�����α > 0
N
j ��� "#�X'"%c��!"��C�8���*�H��"7�����l���������������������!>α∗ ∼= 0.1704
>I2#�'����2#����" 27�'� �l"#�����5���!�'� ��" �5L�W!���5�
X'"#� �'��� ���8��+�@*�����#�3/*�����αN
�s�!"#��� ���*���!" �5�,��)'���*��+��C/1�'� �"#� ���'� �./������α>I27�'��������"#���������0�C/������'� �
π(α, β)∞ 1
αβ
(1
α2+1
4
)12
"Y�8�,/�����WE���4�������3��"Yop��/�+J�,2#"Q/*�����-���_�"#)'�������Kg
π(α|dados)∞α−102(4 + α2)
1
2 exp
[−1.4663
α2
],
<z�EN ���_A
/*�����α > 0
N
O � � �,�1"#+J�Y�EN � >_"#�!2#�'�.����,�-� ��"l��+�)������}XI��+�����"#� �!"π(α|dados) 27�'��� ����"7�����!�����9/�� ���'� ���*�����Y"7�
�EN �/T!N V � ��"#�lXI��+��'� "#�H��"7�����8�!���+��mS��������K�*�-27�'��� ������#���4����[��)������-��N ��N
� �
� ���1"#+��4�EN � �}�0+�)'���!�HX,�,+��'� "#�H��"π(α|dados) 2#�'�!�����!"#���,�����4�-/!���������n�*���*��"#� �EN �/T
αS "7�������*����"6^�����)����*��+n/1�'��"7���������~/*�,���
α
^=g7������8��"6op�,/�+J��27"
T!N � � T!N T/T/T/T
T!N � � T!N T/T��'�
T!N � � T!N �.� � �
T!N �'N N/N N T/T/T
T!N �U� � � ��N � �'�
T!N � � �.� � N N �'�
T!N � � �,� � N T N �
T!N �U� � T'�EN ��� �
T!N �UT � � N � T.�
T!N � � T!N �'� �/T
T!N �'� T!N � �'�UT
O � �[��)'�������EN �!> �'��� "#� XI�I�b� "i������"7�������*����"7�8�4��� )'������������/1�'��"#� ���'� ��/*�����α> 2#�mM����������2#���5�E>
2#����������"#���������5���l/�� ���'� ���l�EN � � "3�EN �/TEN S "Y$:�I���>?�4��/�����"7�_�"Y��������� �"#S6�*�8"7��2#��+�@*�8�*�,�0/�� ���'� ���H�*�,�
���E$&�'���4�,��mXI���a�EN � � "-��N �UT!>(��"GX'"G� ��"-�,�5$:�,��5�*�5������"7/1"#����;7��2#�����7�5/�� ���'� ���G���'�l/��������8"G����'�α"β.
`��'�F����� ��>��*�-/���L,���2���� "#27�'�8"#���*���b��"9�������l�-/�� ���'� �n�5�,���K�����4/!+�"#�7>π(α, β)∞ 1
αβ
N
� ��"#�!����������"Y�4��� )'������+n�-/1�'��"7���������~/*�,���β>*27�'��� ����"7�������!�4�-/�� ���'� �
π(α, β)∞ 1
αβ
g
π(β|dados)∞ β−51.5∏101
i=1(β + ti)
(66.86/β + β/259.86− 1)50.5 ,<z�EN � N A
/*�����β > 0
N
�s��"7�������*����" �4����)����*�,+'�C/1�'� �"#� ���'� �./*�����β>I2#�'�!�����!"#���,�����a�C/�� ���'� �
π(α, β)∞ 1
αβ
(1
α2+1
4
)12
�'�
0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 0.2 0.21 0.220
5
10
15
20
25
30
35
alpha
�[��)'�����-�EN � � S "#�!����������"#�l�4����)'���*���m�H��/1�'� �"#�����'���n/*�����α
"Y�8�,/�����WE���4�������3��"Yop��/�+J�,2#"Q/*�����-���_�"#)'�������Kg
π(β|dados)∞ β−51.5∏101
i=1(β + ti)
(66.86/β + β/259.86− 1)51 ×{4 + 1.96
(66.86
β+
β
259.86− 1)}1
2,<z�EN � � A
/*�����β > 0
N
S �t�4"7���4�x$&�'� �5�E>C��"7����+mM�������������8��+���� "#�4$&�'���,� �'�E����!�'�d/*�,���t�����!"#��� ���*���!"#�r�4����)����*�,���5�
/1�'��"#� ���'� �~/*�����βN
�0��� ���4�������β = 132
27�'��@�"72#������>?����"#��� ���*�,��"6��/1�'� �"#�����'� �~/*�����αg9�*�����-/1�'�
π(α|dados)∞1.1643× 10−55
α102exp
[−1.4665
α2
],
<z�EN �.�'A
�'���!"α > 0
N
� ��"#��� ���*�,��"l/�� "#���m��mX,�Q/*�����Y�R$&�!������9�'�!��"#�X,���#���t102
����� ���4�������β = 132
27�'��@�"72#�����Ygl�����*�
/1�'�
π(t102|dados)∞3.0749× 107(132 + t102)
t1102.5(0.4636 + t102/264+66/t102)51,
<z�EN �'�.A
�'���!"t102 > 0.
���
� TV=R�('*M,8�-�� &-Q GI89SR &- 5�� O-
� �!��� ������!�����#������"8����� ���*�,���-�� !�����!��"#� �9g-���4�����������������������r�,/�+���2�L�X'"#+}�r���4�dX,��� ��"#������"-��"
���m��*�,�#k�"#� c_��"0��2#�'� ��"#� $&� "#c���"#�.�"7�4"7�_�"a�*��L,��"#�6���6"7��)'"7��@*��� �J�!N[�a/1"7�����%��"l��"#���,/�+���2�L�X'"#+?�Y���4�
)'��������"rX,�,����"#�*���!"i��"=� ��������#k�"7�#>K@�L ���4� �!��Z*27��+��*�,��"r"#� ��"#� "#�.X'�'+�X'"7�5�8g7����!�'�8��"i���E$&"#��;7��2#���
"#�M�,�h�����2#�!>_��"GXE���������Y$:�,��Y�*�Y���������������������Y�������_�*������� !�,������"7��� ��������/�� "#��"7�_����%���5�9"#�����E������
�*�r$:���4h�+�����"GWE/1�'��"7��2#����+a<&X'"bw�� �%@*�,����2M@*��� T_T.������� �*� ��"7�#> �U� �/T.AGN�{\���62��,�����=����� ����>\�����3��+J�,�#k�"#�
���,��$&� "#c���"7�_�"7�4"7�_�"��E���+���S#���*���9/*�����="#� ����*���3�,��/�� �'/�� ��"#������"#�6��"#� ��"7���4gG��������6"#� ��,�h�� ���2#���6��"
���E$&"#��;7��2#���!N
S "#���!" c_��" "#�����5���!�'��"7�~��" �4LIWE���5� X'"7���'� �����8��+�@*�����#��"}��"}�8�'�4"7�_��'�~�8�����mZ*2��,���'�~27�'�8/1�'� ����-�
��"=��"=$&�'� �5� �����4��+��,�#>%"7� �3�!������82#�����'�527�'��� ����"7�����!�'�5�*�,�5� ���3��+����#k�"7�#>���"72#�'�8"#�!�*�I�b� "��������4�'�
"#�����5���!�'��"7����"R�4���4"7�_������8������Z�2����!�'�#>E/1�'�������,��"#�����4���!�'��"7�K"BWE/�+�h�2#�m��'�%"a$:L�27"#���K��"R� "#��"7� 2#��+m�
2#�!+J�������#N� �"������4��� ����i$&�'�6�3���m��=/1"7c_��"#�*� "#�.M��� ���3"7� ����4�����'� "#�6��"5�4���4"7�_����6�8������Z�2��������
2#��� XEh�2#����2#�'� ����)'���!�6��"7X'"7� � "#�K�!���+���S����!�'�#>�/1�����%/*�����6"#� �"Q2#�����3�'��"#� ����4��������"#�%�'����)'���*���m� /1����"#�
��"7�0�,+�M�,�4"7�_�"RX���"#���,���'�#N
�0+�g7�f������� ��>~@*Ld���4�d/1������������+����*���!"���"32#�'�.��'� �*���R�d/����'�!+�"#�4�5�!"����*�,�Q����h�S#"7�R�*�d"GWE/���"7�����,�
�*�����C"7� � N ���!>��!���+���S������K/*�,���H)'"7����� � �!�4"7���'�p��+�"#�,��������'�n/����UX'"#����"#�.�"7� �*�C�!��� ������������#���H����� ���*�,���-�
!���!����"#� �#N u � �8g7������4�5�,���C"7Z�2#��"7�_�"���"7���J�82#����������"#�����0���4�-�������� $&�����4�������8��"T>Y = ln(T )
>
M�,+ c_��"Y�"7�F���������������������
sinh� ���'���4��+(2#�'� $&�������,�8������� ����������������27���3��+J�,�*�3�*���*�-/1���
F (y) = Φ
((α2
)sinh
[(y − µ)
2
]),
�'���!"αgr� /*�,�����8"7�������"�$&�����4� "
µ = ln(β)gr� /*�,�����8"7�������"r"7��2#��+J�!Ns`��'� ��� ����> � �4�����
�4�����9"GZ*2#��"#�.�"5��"4)'"7�����Y� �!�4"7���'����+�"��I��'� �����QX������!�'�6�*�=����� ������!�����#���=�������_�*������� E��������"7���Y27�'�
/*�������8"7�� �'�H��"Q$&�'� �5�α"9��"9"#� 2��,+J�
βg9�������l����"7)'�����_�"Q$ �����!+J�
T = β
1 + α2Z2
2+ αZ
(α2Z2
4+ 1
)12
�,�
O �Y�8"7����!�'+��')����R�*��T'"#�������*�!>��Y�!���+��mS����#���9���6�8g7������Y��"0o �,/�+J��27"C/*�����9���.�"7)'�������#>./1�'� ��������+��m����
� �'�!�"#���#���x��"="BW!/!��"#� ��k�"#�d�����4/!+�"7�8/������|���8��"#�!����������"7�5�5��� )'���*���m�8� /1�'��"#� ���'� �C��"α"β�*�
����� �� �����!�����,�-�������_�*������� !�,������"7���#N
V ��"#�r� "#���!+�M�,���'�d/1����"#� � "#����"�)��������!"����.�"7��"7����"�/���LI���27��>[w�L�c_��" �����t�����8/�+�"#�5��"�� "#��"7�
���.�"7��/�� "7M�,���'�#N j ��� "#� X�"4c_��"-/*�������'�Q��"7����+mM�������Y��/!��"#� "#�.M�������Y��"7� �"�����,�*��+�@!��>~�*�,�rg-��"72#"#� ��LI�
������/�� �')'���,�5����2#�'�8/��!���2#���'�*�,��������Z�� ���2��,���'�-�_���8"#����2����8"7�_�"d�'�s"7��/1"#27�J��+���S#�����'�3"#� ���E$&"#��;7��2#���
�*��T'"#� �J���*�EN O "7� �"9����,�*��+�@!��$&���~�!���+���S#�������4^��,�+J���nN
j "GWE"7�4/�+��t2#����������"#�������t�*�s E"#�#���q�EN ��>l�8�'�����xc_��"��'�d��"#� ��+�������'�d�'�E����!�'�d�E���+���S��,���������
�8"7����!�'+���)'���,��27+JL�� ����2#���K"Q�*��T'"#�������*���H�����-� ���8��+���� "#�#N u �4��X,�,�_M�,)'"#� �*���8"7������'+��')'���6�*�UT'"7�������*�
gC�Q"#� 2#�'+�@*�Q��"H�'�!������}/�� ���'� ���["H2#����������"#���������9���4�R/������'���E���!$&�����4�,�� X,�!>�/1���!"G�b� "C�'�!�"#�}���E$&"#��;7��27�J���
�4�����H�,2#�������*���C/*�����-���C/*�������4"G�� �'�H�*�-�!��� ������������#��������� ���*���!�-�� !�����!��"#� �#N
� � / $&�(J9)�'
����� � �����+*, %� ���%������ ���+ ��%� �*���#���� ���� ����� ����� �*�T
�T−1
u ���+���S#������������������$&�'���4�����,�-"7�F��N �3�"#�8�'�
α2Z2 =1
βT + β
1
T− 2
"Y�,/�+���2����!�����8�'/1"7�����!�'�C+�����"#���K"7��/1"#�������#�8�"#�8�'�
α2 =1
βE(T ) + βE
(1
T
)− 2,
/1�'���E(Z2) = 1.
�"T ∼ BS(α, β)
"T−1 ∼ BS(α, β−1)
"7�_M�,��>��*�-�8"#� �5��$&�'� �5�β2T−1 ∼ BS(α, β−1β2) =
BS(α, β).
� N
�0��� ���i>
α2 + 2 =1
βE(T ) +
β2
βE(T−1)
β(α2 + 2) = E(T ) + E(T ),/1�����
β2E(T−1) = E(T )
S "#�����8$&�'� �5�E>
E(T ) = β
(1 +
α2
2
) < � N � � A
S �4�8"7���8�-�4���!��>
α2 + 2 =1
βE(T ) + βE(T−1)
2βE(T−1) = α2 + 2,/1����� 1
βE(T ) = βE(T−1)
V �.M����>
E(T−1) = β−1
(1 +
α2
2
) < � N N T.A
S "9$&�'� �5�E>!�����8��+��,�K���C�4���4"7�_����H��"9��"7)'���!�*�8�'���!"#�F��"T"T−1
$&�'����� ���!������'�#N
����� � �$� � � ��, %� ��� ��� &������� + � �%�� ��%,%� �*��� �(�&)*�$�
���5�I�����S0���!$&�'���4���#���6��"��[��� @�"#�7>!/*�,������2#��������"��!�������4"7�������'�*��+:>�/1���!"Q� "#�K��"7Z������*��2#�'�8�
1 − I(θ) = E
[(∂l(θ)
∂θ
)2]
2 − I(θ) = V ar
(∂l(θ)
∂θ
)
3 − I(θ) = −E(∂2l(θ)
∂θ2
)
{[�,���-�-2��,���8�3��+����/*�������8gG�� ��2#�!>E�"#�8�'�
1 − I(θ) = (Ikj(θ)) 1 ≤ j, k ≤ d,< � N N�� A
� �
M�,+ c_��"
Ijk = E
[∂l(θ)
∂θj
∂l(θ)
∂θk
].
O ���"Qc��!"Ijj(θ) = E
[(∂l(θ)
∂θj
)2], j = 1, . . . , d
N
�" ∇l(θ) =(∂l(θ)
∂θ1
, . . . ,∂l(θ)
∂θd
) �"#�8�'�Hc_��"
2 − I(θ) = V ar (∇l(θ)) < � N N �'A
3 − I(θ) = −||E(∂2l(θ)
∂θj∂θk
)|| 1 ≤ j, k ≤ d
< � N N �.A
� � � � � 01��� � ��(���E%'� �:�&� )*I � � � � � %'�E��� � � �����(@�-/�
`�����������"#� "6���5�,�����SR���E$&�'���4���#���3��"�[��� @�"#�H�*�����-/1�'�−E
(∂2l(α, β)
∂α2
)−E
(∂2l(α, β)
∂α∂β
)
−E(∂2l(α, β)
∂α∂β
)−E
(∂2l(α, β)
∂β2
)
,
< � N N �_A
�'���!"
E
(∂2l(α, β)
∂α2
)= E
(n
α2− 3n
α4
(u
β+β
v− 2))
=n
α2− 3n
α4
E(T )
β− 3n
α4βE(T−1) +
6n
α4
= −2nα2
E
(n
α3
(− u
β2+1
v
))= − n
α3
E(T )
β2+
n
α3E(T−1) = 0
E
(n
β2− n
2
(1
β2+2K ′(β)
K2(β)
)− nu
α2β3
)=
n
2β2− nE(T )
α2β3− nE
(K ′(β)
K2(β)
)
= − n
α2β2− nE
(K ′(β)
K2(β)
)
= − n
α2β2− nE
(1
(T + β)2
)
�'�
� � � � � 01��� � ��(���E%'� �:�&� )*�A�� @A�2�E� )*�C� � � 6 �(���A�
� �'�8"T, T1, . . . , Tn
���4�����8�'� ������,+�"��I��'� �J�5����������������� !�,������"7���R2#�'� �!"#��� ���*���!"-�*���*�d"#�
��N �!N `��'��� ����"7��"
u =1
n
n∑
i=1
Ti v =
(1
n
n∑
i=1
1
Ti
)−1
E���1"G� ��"Cc_��"H/1"#+��Q+�"#�!�!�'�})'���,����"#�}�����4"7���'�u"v−1
2#���_X'"7��)'"7� /*�����E(T )
"E(T−1)
>.��"7��/1"72G�
��mX,���8"#�.�",N � ���3�1g#�f/1"7+�� � "7�'� "#�4�r`�"#�.�����+[���ro ���8�m�"�>(���,�1"G�b� "�c��!"u"v−1
���,�r�!��� ���������h��!�'�
���'� �5�,+��-"#�_�"Q����� ���_������2����8"7�_�"R"Y��+�g#� �!����� ��>����5��27�'�3�����*���#����+����!"����K����$&�'� �5�
au+ bv−1 =1
n
n∑
i=1
[aTi + bT−1i ]
gQM�,���1g7� ����� �� ������h��*�����'���4��+��8"#�.�"R/*�,���3������a"bN
�0��� ���i>
√(n)
u− E(T )
v − E(T−1)
∼ N
0
0
,Σ
,
�'���!"
Σ =
σ11 σ12
σ21 σ22
,
σ11 = V ar(T ) = (αβ)2(1 +
5α2
4
)
σ12 = Cov(T, T−1) = E(1)− E(T )E(T−1) = 1−(1 +
1
2α2
)2
σ22 = V ar(T−1) =
(αβ−1)2(1 +
5α2
4
)
{\����g#�i>�c_��"#� "#�8�'�l"7��2#���_������l�����������������������32#�'��w ���_��8����� ���_������2��3��"α
β
=
f1(u, v)
f2(u, v)
,
���
�'���!"
f1(u, v) =
2
(x
y)
1
2 − 1
1
2
"
f2(x, y) = (xy)
1
2
u �����!���4"BWE/*���������4"#�F� g#� ��"9��" � �UT�+��'�#>��'�E�g#��� ��"
√(n)
(α− α)
(β − β)
∼ N
0
0
, Σ
�'���!"
Σ =
∂f1∂x
∂f1∂y
∂f2∂x
∂f2∂y
Σ
∂f1∂x
∂f1∂y
∂f2∂x
∂f2∂y
x=E(T ),y=E(T−1)
=
α2
20
0 (αβ)2
1 +3
4α2
(1 +1
2α2)2
����� ��� � �*�"�*��� ��� '(� � �
�0��� ���4�������8@i27�'�4�-���4�3$&�����#���8���*��X'"6�!"Y���F/*�,�����8"7����m�b�!���8"#��� ���'����+
θ27�'� −h �"#���!�
�8�4LIWE���4�3"7�θ>*�-�4gG������-�!"6op��/!+J��27"Q/*�����-��/�� �UWE���5���7k�"#�H�!"Y���_�"#)'�������Kg9����$&�'���4�
I =
∫f(θ)exp[−nh(θ)]dθ
/1�'�H"GWE/*���!�����4��"9��g7����"9��" � �UT�+��'�K��"h"f���-��"#�!�'�C��"
θ< X'"�w����9�����7> � ��"#� ��"7T�"��9���*�,��"�> �U�'� T'AGN
`�����������"#� "Y�-2���� �4"7�Fc_��"θg9���!�������4"7�������'�*�,+z>!�8�,/�����W!���5�,�����3��"Yo �,/�+J��27"Qg
I ∼=(2π
n
) 12
σf(θ)exp[−nh(θ)],
� �
�'���!"σ = h”(θ)
12N
O �82#�����8�3��+����/*�������-g7�����27��>!27�'�θε<m,
�"#�8�'�
I ∼= (2π)m2 det(nD2h(θ))− 1
2f(θ) exp [−nh(θ)],
�'���!"θ�5��W!���4�mS�� −h(θ) " D2h(θ)
g9�5�I�����SR@�"7��� �J���*�-��"h�UXI��+������*��"#�
θN
����� ��� � �*� � ��$��� �� ������� ��� ��%+��� � �*)*�&�%+
V ��"d�8g7�������� "d������"7�J�=�*�="GWE/*�,������� "#� � g#� ��"5�!" � �UT�+��'�6�,�g5�=/������4"7�����r�'� ��"#�iN={[�����=� "
�'�!�"#�Y�="#� ����4�������9��"4�4LIWE���4�dX'"7���'� �����8��+�@*���!���φ��"
φ>\�="#� 2#�'� "5�*���!��/1�'� ∂ lnL
∂φ
>\�'���!"5o]g
��$&�����#���i��"-X'"7���'� �����4��+�@*���!���!>~g8"BW!/������������="7� � g#� ��"-��" � �UT�+��'�9"-��)��*��+������r�rS7"#� �="#�φ> 27�'�
2M@��!�"Y���!��2#����+φ(i)
N}�a� �����i>!�"#�8�'�
Sφ = 0 = Sφ(i) + (φ− φ(i))
[∂Sφ∂φ
]
φ=φ(i)
LC"��,�����,�Iw��������-"7� ��8"BW!/!��"#� �����5���!�g7�-� ��"Q��� X,�,+��'�H��/�� �UWE���4�����φ(i+1)
/������φ
φ(i+1) = φ(i) − Sφ(i)[∂Sφ∂φ
]φ=φ(i)
= φ(i) +Sφ(i)
I(φ(i))
V ��"Y���UX'�-X,��+��'�H"7�_����8��"7� X'"Y2#�'�8�-��� X,��+��'�H������27����+(/*�����8��/�����WE���4�3���_�"#�����������
φ(i+2) = φ(i+1) − Sφ(i+1)[∂Sφ∂φ
]φ=φ(i+1)
= φ(i+1) +Sφ(i+1)
I(φ(i+1)),
V � � ��������#k�"7�327�'� �4�����6�!"d��� /*�����,�4"G����!>P�����!$&�'� �5�,�����I(φ)
g5���5�=�4�,�����S,>\"5"#�.M��� g
��"72#"#� ��L�� ���8���_X'"7� �;G�b+��!N
j �1"7� X,�,�#k�"#�CX,L�+����*�,� �
�/T
• j �8g7�������$:��+�@*�3c����������4�-�4�,�� ��Sag9S#"#� �8�'�=�-�4�,�����SR��"9���!$&�����4���#����g9� ����)���+J���7N
• �"#�8/���" g}X���LUX'"7+'�"7�_���� XIL������'� 2M@��!�"#� ������2#�����m�~" 27�'�4/������,�p���~X'"#�����������8��+�@��������,�~"#��27�'�_������*�,�
�,/ �'�l�-27�'�_X'"7��)';7��27�J�!N
• u �f�5���!"#�����5��"�X'"#� ��Z*2#���9�d27�'�.X'"#��)�;#��27�J��g-�,����M�,���������f2#� ���g#�����d�!"�/*�������*�d2#���4�!>~/1�'�
"BWE"#�8/�+���>��������ε > 0
�����!������������,�8"7�_�"Q/1"7c��!"#���!> |φ(i) − φ(i−1)| < εN
� � " � � � � $ �E% � �2������ ���M�2�E@�� � � � �&��A@
���� ��������������������������� ��!#"%$'&(�)&�"%$+*,�)&�"%$+!,�)&#-�$'-.��/�-�$+*�"�*�01$'&2"3�54%$+!
"�-�06$+/�"�4�"�$+470�"�"�$+48%9:���<;�=��>���?�@+��A�9CB=�D#�#*E9FB=�D��)�#*G9
H IB�;# )3;BI��JK�LM�ON
�<�=P,�5���RQS�TB=�D��#B=�D#U��%@V��AR9WB=�DX�)�#B=�DX�)UE@Y�IZ5��@[�#A�AR9W�=��J\���B=�D<Z��69
N����IZR@]B=�DX�=Z5��AR9
H )?�����T������ #�=B�;GQF��^����Y_3BJ<�=P`J��a_��)_3�=�#�K�#^a_��=J3������ IBJK�#^
B��G@b"�c�@�@'�Z5N�A�dR@]*�$+!KA�e��A#A�dR@]*�$+!KAgf��E@'�c�N�A�d�@]*�$+!KAaN�B��<^=h�P���@�@]B<dI"KAZi@]"<c)�XA�AR9
N�f��K^=h�P��%@#@�@#@]B<c)fXA�d"<A�Z��XA�cR@�@��)U�*%$+&#!<cIB<dI"KAZi@Y��U#*�$+!<cIB<dI"KA�d"<A#A�9
H ���#�<�P�N�B�;#�\J��M ������3�IB=��jIB
������B��#B<e��R$+/#4�c5N�B�^)�k<B���B�U���$l/�4<c�N<B�������f��If�e��R$+/#4�c5N�fm^)�k�f��f�U���$l/�4<c�N�f
������B��#B<e��R$+4�0Kc5N�B�^)�k<B���B�U���$l403c�N<B�������f��If�e��R$+4�0Kc5N�fm^)�k�f��f�U���$l403c�N�f
H IB�;# )3;BI��JK�On%@'fXA
B=�D�-��#*G9o�<�=P`p����RQS�TB=�D�-��#B=�D�-�UE@Y�IZR@+f�U��%@bp<A#A�AR9W�=��J7n����=ZR@]B=�D#-�Z5��AR9
H B�;I><�=P3�)��_��7���
>#����9FB=�D�"���*G9rq�?��;�s@'f�e=B=�D�"<A=t����Ke="#*
J��INu�)�Ke�@'��Z�fXA5UE@�@+�3Z�"<A�c�@#@Y�IZ�fXA5UE@]"�Z5n�A�A#A5UE@�@+�3Zi@]"<cIB<dI"KA�A�c�@#@'�Z�f�dI"KA�e�@Y�IZ5N�A�A#A�9
v �G@+�3Z�f�dI"KA�cR@�@��=Z�B�d"<A=UG@��=ZI03A#A�9
B=�D�"��If19
� �
f��#BI�D�"�UG@��=Z v A�c5J��INu�u9
B��G@#@'3Z�f�A=UG@+f3Z=N�A#e="KA�d @]*%$+!<AR9
>#��>�U��
�=��J
H ���#�<�P�N�B�;#�#^\J��` ������3�=B=��jB
B
f
N�B��K^=h�P��%@#@]B<dI"KAZi@]"<c)�XA�AR9rN�f��K^=h�P��%@#@�@+f�d"<A�Z��XA�cR@Y�IZR@#@Y�IZB<dI"KA5UE@Y�IZ=0�A�A#A�AR9
������B��#B<e��R$+/#4�c5N�B�^)�k<B���B�U���$l/�4<c�N<B�������f��If�e��R$+/#4�c5N�fm^)�k�f��f�U���$l/�4<c�N�f
������B��#B<e��R$+4�0Kc5N�B�^)�k<B���B�U���$l403c�N<B�������f��If�e��R$+4�0Kc5N�fm^)�k�f��f�U���$l403c�N�f��=��J
� � " � � � � $ �E% � �2����VX � P�&�!�(-/W<� �
���� ���������������������
�<�=P7?����RQ ��*�*�* H ^#�Y_#�;B�j�����^\J�� � �5�#�����#B�P<;��
�<�#"�*�B3�)��*%$ �u9:fu�)���u9 H �D��=_#k3;��\J�B�^gk3��^�^#��f���;���J�BJ���^\J��L�M� B�� k<BP�BOf2�3�5D<�
H >���P�B=��J<�2��^aJ�BJK�#^
�<�=P7k����RQS�
�3�=P��I�3�=PI_<P��JE@b*��Y�AR9 H >���P�B7����_K�PK�#^7B�;��BI��=P3���^a�3�IPI_KB�;���P<�7�L�_
#���5�I��X����P���J%@]*��V��A�9 H >��P�B\����_K�PK�#^7B�;��BI��=P3���^a��X���<�=PI_3����P<�7�L�_
�X�)�fu�Ic �+B��Id"�c��3�IPKd"�U�"8�e�@#@�@bB3�d503c)���=P3d50�AZI03A=U#B��Id"�c��3�IPKd"<A�d�@b*%$l!<AR9
��"��fu�Ic �+B��Id"�c��3�IPKd"�U�"8�UG@#@�@bB3�d503c)���=P3d50�AZI03A=U#B��Id"�c��3�IPKd"<A�d�@b*%$l!<AR9
�5�\����� �*%$+!
�%@'kXA5��X�u9
��;#^�
�%@'kXA5���"G9
�.�
�=��J`�=��J �MB=�D#�#*E9FB=�DX�)�#*G9
H IB�;# )3;BI��JK�LM�ON
�<�=P,�5���RQS�
B=�D��#B=�D#U��%@V��AR9
B=�DX�)�#B=�DX�)UE@Y�IZ5��@[�#A�AR9
�=��J
��#BI�D<Z��19
N����IZR@]B=�DX�=Z5��AR9
H )?�����T������ #�=B�; ��^����Y_KBJ<�IP2J��L_��)_K�=���K�#^g_��IJ3���3�� BJ<��^
B��G@b"�c�@�@'�Z5N�A�dR@]*�$+!KA�e��A#A�dR@]*�$+!KA�9rf��G@'�c5N�A�d�@b*%$l!<AR9
B5_���_1@'?�A5��BG9rf�_��)_1@+?�A5�If69
H IB�;# )3;BI��JK�On%@'fXA
B=�D�-��#*G9
�<�=P`p����RQS�
B=�D�-��#B=�D�-�UE@Y�IZR@+f�U��%@bp<A#A�AR9
�=��J
n����IZR@]B=�D�-�Z5��AR9
H B�;I><�=P3�)��_��7���
>#����9FB=�D�"���*G9
q�?��;�s@'f�e=B=�D�"<A=t����Ke="#*
J��INu�)�Ke�@'��Z�fXA5UE@�@+�3Z�"<A�c�@#@Y�IZ�fXA5UE@]"�Z5n�A�A#A5UE@�@+�3Zi@]"<cIB<dI"KA�A�c�@#@'�Z�f�dI"KA�e�@Y�IZ5N�A�A#A�9
v �G@+�3Z�f�dI"KA�cR@�@��=Z�B�d"<A=UG@��=ZI03A#A�9CB=�D�"��f19:f��#B=�D�"�UG@Y�IZ v A�c=J��NX��9
B��G@#@'3Z�f�A=UG@+f3Z=N�A#e="KA�d @]*%$+!<AR9
>#��>�U��
�'�
�=��J
BIN���P<�R@'?�A=�#BE9
f�N��P<�R@+?�A5�f19
�I��J
H IB�;� )3;B=��J<��Ba_��J3�=B J�B�^\��^����Y_3BI���)N<B�^
_KB5_��)_<�<^)�_1@bB5_��)_uAZK��*#*�*E9
_#f�_��)_<�<^)�_1@+f�_��)_uAZK��*#*�*E9
_KBIN<�P<�I�<^��_6@]BN���P<��AZK��*#*�*E9
_#f#N<�P<�I�<^��_6@'f�N���P<��AZK��*#*�*E9
H IB�;# )3;BI��JK�2�aN��� ���
N�B5_��)_<�=_KB=_���_XeIB3��9
N�f�_��)_<�=_#f�_���_Xe)fu��9
N�BIN<�P<�I�=_3BIN<�PK��eIB3��9
N�f#N<�P<�I�=_�f#N<�PK��e)fu��9
^BIN��7P���^�u� H ^IB�;5N�BP��#^LP���^)3;=��BJ<��^
�=��J
����� ��� � �*� � ��' ��
`�����������"#� "RR =
p1
p2
,M�,+nc_��"
p1
"p2
�;7� ������� ���������#k�"7��2#����@�"#27���*�,�H�������4�����%"R�����������!"#/1"#���
��"7�_�"7�#N
�0��� ���i>!��"Qc_����� "#���8�'�K�����1"7�l�3"#� /1"#���,�����-"9��X,��� �J���!���3��"Q���4��$&�!����������"RR
>�/1�'�K"GWE"7�4/�+���>
log RR>_/1"7+��9�8g7������9��"7+���!>."BW!/����������4�'�}"7� ��g7����"C��" � ��TE+��'� �,�gl�Q/�� ���8"#�����a������"7� "#� ���9$&�!�����,��N
S "#�����8$&�'� �5�E>
log RR = logRR +
[∂ log RR
∂p1
]
(p1,p2)
(p1 − p1) +
[∂ log RR
∂p2
]
(p1,p2)
(p2 − p2)
���
{\��� M�,�_��!>
E[ ˆlogRR] = logRR
V ar[ ˆlogRR] =
(1
p1
)2
V Ar(p1) +
(− 1p2
)2
V ar(p2) + 2
[∂ log RR
∂p1
∂ log RR
∂p2
]
p1,p2
Cov(p1, p2),
�'���!"Cov(p1, p2) = 0.
��� ?@)A7�M�)�=RS."2+��D+
�%@*�,����2M@*��� T_T.�E> �> �-Nm> �?� ��"7�#>}�6N�> ��� �/T!N �?�,���)'��"8$:����+���� "5�8����"7+��3����������������� !���!����"#� ��X��7N
���.X'"#� ��" 9����� �������~N�� V V V � �����!����2G����'���C��� LC"#+��J���!��+�� bTd� � >��.� � � �'�=T
�%�����_�*�����i>��[N � Nm>p !�����!��"#� �#> (N `aNm> �U�'�'� NQ� �!"� $:���8��+ Ti��$ +��m$&"6����� �� �����E������~NQy!Nn�a/!/�+ N � >
� �U� ���.���EN
�%�����_�*�����i>��[N � Nm>� !���!����"#� �#>E (N.`aN�> �U�'��� N V � ����5�I����'�6$&�'�}�a$:���8��+ TY��$1+��m$&"������ ������!�!����'��� C���@
��/�/!+���2#�,����'������-$:�,���)'�!"�N y!N*�0/�/�+ N � >?�'���I���,�_�EN
�%�UW(> �N V NE{\NE���!� �N!`0N � ������> ��� ���!NP�K��T'"#� �J��� �b�!$&"#� "#��27"R���d ���,���� ���2���+*�0�*��+mTE� ���7NP�C�!����� �'�E�
� "#� +�"7T�>ELC"��,������)!>?^=�6N
V ��)�"#+�@*�����E�>(^|N�>(�������~>?o}N(y!N�> ��N � Nm> �U� � � N �b�!$&"7��"7��2#"��'�i�@�"Y/*�������4"G�"7���l��$[�@�"6����� ���*�,���-�
!���!����"#� �R$:�,���)'��"6+���$&"Y������� �����!�������������"7� �'� �5�IWE���3��� +�����"#+��m@������="#�����4�,������~N � "72B@��!�'�8"7�� ��27�
���!>?� N�� ��� N/N N
N �-N � N O )!> S N �Q�������~> O NP����+J���� ��� @��*���~>}�UTUT'�!N�^=�����mZ*"#���4���4"7�_�"7� ����4�,����'� $&�'�Y�@�"
��,� /*�����,�4"G�"#� �����������������[ !�,������"7���%����� ������!�!����'�~N[`��'�4/!�!M�,����'����+? _M�,���� ���27�&
S �,M�Y�0�*��+mT������
� N
�.�!>?�,�'�I��� � �r< 9N "7+�� "7X���"#�7N 27�'���,+���2#�,�"��,2#� �*�.ABN
y'�,�4"7� LYN LC��"#" �?>Q� T/T'�!N � `��'�8/*��� ��� �'� ��$ � �� L0���!���'� O ���3�1"7��� Q"#�!"#���I��'� �d$&�'�5�@�"
����������������� !�,������"7��� S ��� �� �����E������~N-`����4�3���!��2��I��������R���| _M�,���� ���27�#N � @�"#�'�T �,�x^="7�@������#>pX'�'+zN
�.�E>��!��N N >*/!/~N � � � � � ���!N
y�������� �'��) � �~>E�6N�`aN!^|N � �'��)�>!�UT/T'�EN �b�8/����UX'"#�5���.�"#�X,��+?"#� ����4�,����'�-$&��� �@�"0 ��,� /*�������4"G�"7�
����������������� !�,������"7���H����� �� �����E������ < 9N �4�,�@nN T'�'� �_�~N 2#��� C@���� �?��2#�!+�bT��,� � �'��)�� �� 9N /1�!$�AGN
y�����)'"r�0+��1"#��� �C2M@�2#���#> �U��� �!N �b�!$&"#� "#��27"#�8$&�'���@�"=�������_�*������� !�,������"7���3$:�,���)'@�"�+���$&"d�8����"#+
��� ����)x�K��T'"#� �J���q�4"G�@����!�#N `����4/!�!M�,����'����+C �M�,�������27�&
S �,�� �a�*��+mT������ �'N >K� � �U���'�UT!> O �'� �@E�
��+�+������~N
�9��� �#> LYN V N�> � ��"7���.T8�,���5y!N_�aN �9���*���!"�> �U�'� T!N � @�"CXI��+������m�T6��$n/1�'��"7������� "BWE/*����� ���'��� �*��� "#�5�'�
op��/�+���2#"�� �K�8"7�@!���~N V �����UT��l��� �'���'�K�,$ 9"7�'��)'"a��N��K��� �*�����n>?y!N ����)'"7�6< V �~N ABN O �'� �@ �'+�+������n>
�a�8� �"#� �*���iN
^ Nn`����'+ >(y!N �MNm> �U� �I��N �b�E$&"#��"7�_��J��+ �"72M@�����c_��"7�a$&�'� � "7�����!+�+p/1��/���+J�I��������#NK�H"#� �'��/���2#"QLC"#� "���� 2B@
op���1�'���,��'� ��"7��LC"#/1��� l� L0o � L0�,�,� T � �/TEN � ����)'@_��{[�, �"7�������r�a��� �*�'��27"Y�K�,��"�> S ��T���'�~> j N
{}� "#���7>~ (N(y!N�> �U� � � NK�K�UT'"7�������� ���,���� ���2#����{}� ��2#��/�+�"7�#>1^=���!"#+��0�����=�a/!/�+���2��,��������#NKy��'@�� � ��+�"7T�>
O "� � �'� �1N
�@���"7�E��o ���sy�"#��)!> �UTUT'�!N �b�!$&"7��"#�!2#"#�3$&�'�Y�@!" �?�,���)'�!"5o �m$&"d^=����"7+K�K��� "#�t�'�|�@�"d����� ���*�,���-�
!���!����"#� � S �����������!����'�~N} E���3��+J�I��m�'��������`��'�8/��!��,����'�~>EX'��+ N �'�E>���� � >�/�/nN �.�I� � T!N
� �