به نام خدا

:عنوان سمینار

-RUNGEحل انتگرال عددی معادالت حرکت با روش

KUTTA

:RUNGE-KUTTA فرض های اساسی روش

.حل را در همسایگی نقطه تعادل محدود میکنیم

غیر خطی بودن را به اندازه کافی کوچک در نظر

میگیریم.

:هدف

دو Order ب<ا RUNGE-KUTTA ابت<دا مع<ادالت روش

RUNGE-KUTTAرا ب<ه دس<ت آورده س<پس مع<ادالت روش

چه<ار را لیس<ت خ<واهیم ک<رد و در آخ<ر ی<ک معادل<ه Orderب<ا

ن<ام ب<ه ش<ده -Runge-kuttaتص<حیح

Fehlberg.را معرفی خواهیم کرد

: به جمالت باقیمانده از بسط تیلور گفته orderتعریف

میشود.

اول را در orderابتدا معدله دیفرانسیل سیستم غیر خطی

نظر میگیریم:

میباشد. حل معادله t و x(t) یک تابع غیر خطی از f که

باال از طریق بسط تیلور به صورت زیر است:

یک نمو زمانی کوچک میباشد.برای T در معادله قبل

محاسبات عددی ما باید تعداد جمالت را در سری قبل

مشتق N+1 تعداد x(t)محدود کنیم.فرض کنیم که حل

پیوسته دارد.معادله قبل را می توان با چند جمله ای

ام به صورت زیر در می آید:Nتیلور درجه

برای هایی که

نسبت به زمان را می توان به x(t)مشتقات گوناگون

صورت زیر بیان کرد:

را به فرم مجزا از زمان 11.166 در ادامه معادله

بیان میکنیم. زمانهای مجزا را به صورت زیر در نظر

میگیریم:

نمادها به صورت زیر معرفی میشوند:

در معادله 11.168 و 11.167با جایگذاری معادالت

داریم:11.166

که:

نمادهای معدله قبل به صورت زیر معرفی میشوند:

ام در فرم order n حال می توانیم سری تیلور

مستقل از زمان به صورت زیر بنویسیم:

میباشد.x(t) مقدار اولیه x(0)که

روش 11.171 بوس<یله معادل<ه 11.164 روش ح<ل ع<ددی معادل<ه

روش order Nتیل<ور ای <ب<رای پای<ه تیل<و<ر میش<ود.رو<ش <نامی<ده

runge-kutta میباش<د.ر<وش ت<یل<ور< ی<ک اش<کال مهم <د<ارد ک<ه د<ر آن< ب<ه

پیچی<<ده <x(t)م<ش<<تقا<ت << م<حاس<<بات< <<ر<ا رو<ن<<د ک<<ه <<ا<ی<ن نی<<از <<دا<ریم

مش<ت<قات <runge-kuttaمیکن<د.ر<و<ش ب<ه <f <نی<از <ب<ه می<کن<د. ر<ف<ع را<

اس<تخراج <مع<اد<الت <رو<ش اس<ت <ک<ه runge-kuttaمنظ<ور <الزم<

) را ب<ه ف<رم مناس<بی نو<ش<ت.< مش<تقا<ت اول و 11.171م<ع<ادل<ه ق<بل<ی (

را به صورت زیر مینو<یسی<م:fدوم

با قرار دادن

در معادله قبل و جایگذاری نتایج در

بدست می آوریم:11.171معادله

به صورت مستقیم وابسته به زمان نیست. که با fمعموال

این فرض معادله باال به صورت زیر در می آید:

را به صورت زیر در نظر میگیریم:x(k+1)یک تقریب از

اعداد ثابت هستند و c2 و c1که

با قرار دادن معدالت α وc2 و c1 ثابت میباشد.ثابتهای α که

و تطبیق باطرف 11.174 در طرف اول معادله 11.176 و 11.175

دوم به دست می آیند.

خواهیم داشت:11.176با نوشتن بسط تیلور معادله

داریم :11.175 و 11.177 و 11.176با استفاده از معادله اول

ثابتها به صورت 11.174با مساوی قرار دادن معادله قبلی با معادله

زیر بدست میایند:

در اینجا دو معادله و سه مجهول داریم پس معادله باال حل

واحدی ندارد. پس یکی از ثابت ها را اختیاری انتخاب میکنیم

در نظر میگیریم. پس داریم:c2=0که

second-orderمعادله11.176 و 11.175با جایگذاری ثابتها در

Runge-kutta

نامیده میشود:RK2می آید که به اختصار

که:

اگ<ر در ابت<دای محاس<بات چه<ار جمل<ه اول بس<ط تیل<ور را در نظ<ر

بگ<یریم< و< هم<ا<ن م<حاس<بات< <قبلی ر<ا انج<ام د<هیم مع<ادالت جدی<دی بدس<ت

ش<ناخته RK4 ی<ا fourth-order Runge-Kuttaمی< <آین<د. <ای<ن رو<ش <ب<ه

میشود:

که:

RK4 و RK2 ب<ا دقت اب<زار آس<ان و ب<ه عن<وان در ص<ورتی

ب<ه <ا<ن<داز<ه ک<ا<فی ک<وچ<ک <باش<د.< ی<ک روش مطمئن< Tش<نا<خته م<یش<وند< ک<ه <

انج<ام< د<هیم ا<گ<ر <جوابه<ا ب<ه< هم< T/2 و< Tا<ین< اس<ت< ک<ه محاس<بات را ب<را<ی

T/4 و T/2ن<زدی<ک ب<و<د ج<و<اب قا<ب<ل ق<ب<و<ل اس<ت< <وگ<رن<ه مح<اس<ب<ات <را ب<رای

ان<ج<ام م<ی<دهیم<. هم<ین< رون<د <را ان<ج<ام< می<دهی<م ت<ا ب<ه ج<واب نه<ا<ئی برس<ی<م.

ر<ون<د م<ذک<ور مس<تلزم< محاس<بات ط<والنی <می<باش<د. <روش< <

> > Runge-kutta-Fehlberg ی<ا RKF45 مش<کل م<ذک<ور را

حل کر<ده.

RK5 وRK4 در هر مرحله یک تخمین از RK45 روش

در هر مرحله انجام میدهد که میانگینی از دو روش جواب

پایه محاسبات نرم افزار RK45مسئله است. روش

MATLAB.میباشد

برای سیستم های چند درجه آزادی غیر RK4 معادالت

خطی به صورت زیر است(حروف پر رنگ بیانگر ماتریس

میباشند) :

معادله دیفرانسیل سیستم جرم-فنر غیر خطی به مثال :

صورت زیر است:

برای دو RK4پاسخ را برای شرایط مرزی اولیه با روش

حالت زیر بدست آورید:

برای دو حالت در نظر بگیرید.T=0.1sپریود

: 2 : حالت 1حالت

> t> 0 را برای دو حالت برای t بر حسب q(t)نمودار

5 s.رسم کنید

را به فرم حالت تبدیل میکنیم. برای اینکار aمعادله حل :

عالئم زیر را معرفی میکنیم:

با جایگذاری معادله برداری به جای اسکالر داریم :

بردار حالت و بردار تحریک به صورت زیر بیان میشوند:

به 11.187 و 11.186 از معادالت RK4فرم برداری روش

صورت زیر بیان میشوند