1

Στοχεύοντας στην ανάπτυξη microιας ldquoδιερευνητικής

τάξηςrdquo στο πλαίσιο της διδασκαλίας

των microαθηmicroατικών στο Λύκειο

∆ηmicroήτρης Ντρίζος

Σχολικός Σύmicroβουλος Μαθηmicroατικών

Τρικάλων και Καρδίτσας

drizosdimyahoogr

ΠΕΡΙΛΗΨΗ

Στο άρθρο αυτό αναλύουmicroε ιδέες και περιγράφουmicroε πρακτικές στο πλαίσιο

microιας πρότασης για τη microετάβαση από τη σηmicroερινή microάλλον διεκπεραιωτική

microαθηmicroατική εκπαίδευση σε microια άλλη που θα έχει στον πυρήνα της την ανά-

πτυξη κριτικής και δηmicroιουργικής microαθηmicroατικής σκέψης Κατά την άποψή microας

το ldquoπαιχνίδιrdquo της ποιοτικής αναβάθmicroισης της microαθηmicroατικής εκπαίδευσης

παίζεται καθηmicroερινά microέσα στις σχολικές τάξεις Και εκεί ακριβώς πρέπει

σήmicroερα να επικεντρώσουmicroε την προσοχή microας Εκεί όπου η Εκπαίδευση ndashmicroε

κατάλληλες προϋποθέσειςndash microπορεί εν δυνάmicroει να microετεξελιχθεί σε Παιδεία

ABSTRACT

Aiming at the development of a ldquointerpreting classroomrdquo

within the context of teaching Mathematics at High School

Dimitrios Drizos

School Advisor of Mathematics

In this article we analyse ideas and describe practices within the framework

of a proposal for the transition from the current rather expediting mathe-

2

matical education to another one whose core will be the development of a

critical and creative mathematical way of thinking In our opinion this kind

of game of qualitative upgrading of mathematical education takes place in

the classrooms everyday This is exactly where we should focus οn to the

point where Education-under the appropriate presuppositions- can poten-

tially grow into actual Literacy

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Στο παρόν άρθρο περιγράφουmicroε ποιοτικά στοιχεία που πρέπει να χαρακτη-

ρίζουν τη διδασκαλία των microαθηmicroατικών στοχεύοντας στη συγκρότηση microιας

πρότασης για τη microετάβαση από τη σηmicroερινή microάλλον διεκπεραιωτική microαθη-

microατική εκπαίδευση σε microια άλλη που θα εστιάζεται στην ανάπτυξη κριτικής

και δηmicroιουργικής microαθηmicroατικής σκέψης

Βέβαια η επιτυχία ενός τέτοιου στόχου προϋποθέτει πρώτον έναν επα-

ναπροσδιορισmicroό του υποδείγmicroατος που διέπει σήmicroερα τη λυκειακή εκπαί-

δευση και δεύτερον την εmicroπέδωση καταρχάς και στη συνέχεια τη στήριξη

από τους καθηγητές microιας άλλης πρότασης Μιας πρότασης που θα αναδει-

κνύει τα microαθηmicroατικά και τη διδασκαλία τους σε προνοmicroιακό πεδίο άσκησης

κριτικής σκέψης Που θα αφήνει πίσω αντιλήψεις και πρακτικές οι οποίες

στην πράξη ταυτίζουν τη διδασκαλία των microαθηmicroατικών microε microια ακατάσχετη

τυποποιηmicroένη ασκησιολογία microόνο και microόνο για ldquoεξεταστική κατανάλωσηrdquo

Πρακτικές που συνήθως εστιάζονται microόνο στη διδασκαλία τεχνικών επίλυ-

σης ασκήσεων παραβλέποντας πολλές φορές την ουσία αλλά και τους στό-

χους της διδασκαλίας των microαθηmicroατικών στο Λύκειο

Το ldquoπαιχνίδιrdquo της ποιοτικής αναβάθmicroισης της microαθηmicroατικής εκπαίδευ-

σης παίζεται καθηmicroερινά microέσα στις σχολικές τάξεις Και εκεί ακριβώς πρέ-

πει να επικεντρώσουmicroε την προσοχή microας Εκεί όπου η Εκπαίδευση ndashmicroε κα-

τάλληλες προϋποθέσειςndash microπορεί εν δυνάmicroει να microετεξελιχθεί σε Παιδεία

3

Και ως σχολικός σύmicroβουλος εκτιmicroώ ότι αυτό που σήmicroερα προέχει εί-

ναι να εmicroπνεύσουmicroε τους εκπαιδευτικούς της τάξης Να τους βοηθήσουmicroε

ουσιαστικά στο έργο τους της καθηmicroερινής διδακτικής και παιδαγωγικής

τους πρακτικής Να κερδίσουmicroε έντιmicroα την εmicroπιστοσύνη τους Με στοχευ-

microένες επιmicroορφωτικές συναντήσεις microαζί τους καλές διδακτικές και παιδαγω-

γικές πρακτικές και κυρίως microε την ανάπτυξη θεmicroατικών εργαστηρίων

11 Η ∆Ι∆ΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΙ

Ένα από τα πλέον κρίσιmicroα προβλήmicroατα που σχετίζονται microε τη διδασκαλία

των Μαθηmicroατικών σε microαθητές Λυκείου και όχι microόνον είναι και εκείνο της

ανάπτυξης από τον διδάσκοντα ενός κατάλληλου microαθησιακού περιβάλλο-

ντος ώστε οι νέες γνώσεις να κατανοούνται σε βάθος και να εντάσσονται

στο σύστηmicroα των microαθηmicroατικών γνώσεων που έχουν ήδη στο νου τους οι

microαθητές

Το πρόβληmicroα αυτό είναι βέβαια σύνθετο˙ και έχει απασχολήσει microέχρι

σήmicroερα ως διεπιστηmicroονικό πρόβληmicroα αιχmicroής πάρα πολλούς ερευνητές από

διάφορους χώρους και κυρίως από το χώρο της ∆ιδακτικής των Μαθηmicroατι-

κών και της Γνωστικής Ψυχολογίας (βλ [8] σελ 2) Η σύνταξη γενικών

και ειδικών κατά περίπτωση οδηγιών το προσεγγίζουν σε ένα πρώτο επίπε-

δο δεν δίνουν όmicroως τη λύση Και αυτό γιατί τα Μαθηmicroατικά εκτός από την

ενδογενή τους δυσκολία που οφείλεται και στην ιδιαιτερότητα της συmicroβο-

λικής τους γλώσσας δεν είναιndash ούτε και θα microπορούσαν να είναιndash microόνο ένα

σύνολο από διάφορες τεχνικές επίλυσης ασκήσεων

Το πρόβληmicroα της εmicroπέδωσης νέων γνώσεων εξαρτάται και από πολ-

λούς παράγοντες που δεν σχετίζονται υποχρεωτικά microε το microαθηmicroατικό υπό-

βαθρο των εmicroπλεκοmicroένων microερών Ο ρόλος της προσωπικότητας του καθη-

γητή και η εκπαιδευτική του κουλτούρα τα ενδιαφέροντα των microαθητών αλ-

4

λά και η ικανότητά τους για σύνθεση και αφαίρεση είναι microερικές βασι-

κές παράmicroετροι που επηρεάζουν το πρόβληmicroα microε αποτέλεσmicroα να microην microπο-

ρεί να αναχθεί microόνο σε θέmicroα microαθηmicroατικής κατάρτισης των διδασκόντων

Αναδύεται εδώ ένα κρίσιmicroο ερώτηmicroα που θα microπορούσε να διατυπωθεί

ως εξής

Εντάξει σκιαγραφήσαmicroε microε microεγάλη συντοmicroία κάποιους γενικούς

προβληmicroατισmicroούς για ένα σύνθετο πρόβληmicroα Θα microπορούσε επίσης

να επισηmicroάνει κανείς microε περισσότερες λεπτοmicroέρειες και άλλους

παράγοντες που επηρεάζουν το πρόβληmicroα της διδασκαλίας των

Μαθηmicroατικών Τι microπορούmicroε όmicroως να κάνουmicroε για την αντιmicroετώπι-

σή του

Η συνήθης πρακτική microας λέει ότι όταν δεν microπορούmicroε να δώσουmicroε microια

ακριβή λύση σε ένα πρόβληmicroα η προσοχή microας πρέπει να εστιάζεται στην

αναζήτηση διαφόρων προσεγγίσεων οι οποίες θα microας επέτρεπαν να άρουmicroε

πρακτικά ένα microέρος (microικρό ή microεγαλύτερο κάθε φορά) των ανασταλτικών

παραγόντων που επηρεάζουν την επίλυση του προβλήmicroατος Ας γίνουmicroε

όmicroως πιο συγκεκριmicroένοι microε ορισmicroένες κρίσιmicroες επισηmicroάνσεις που αφορούν

τα Μαθηmicroατικά και τη διδασκαλία τους

Κατά τις απόψεις όσων ενστερνίζονται κυρίως το δασκαλοκεντρικό microο-

ντέλο διδασκαλίας η ουσία των Μαθηmicroατικών εδράζεται στην εσωτερική

δοmicroική τους τελειότητα˙ και η διδασκαλία τους ακολουθεί το πρότυπο της

έκθεσης έτοιmicroων microαθηmicroατικών αποτελεσmicroάτων στην τελική ολοκληρωmicroέ-

νη τους microορφή αδιαφορώντας κατά κανόνα για την πορεία της επινόησής

τους αλλά και για τις φάσεις της σύλληψης των κρίσιmicroων ιδεών Μια δι-

δασκαλία που διαπνέεται από τέτοιες αντιλήψεις δε λύνει πιστεύουmicroε κα-

νένα διδακτικό πρόβληmicroα Και αυτό γιατί οι υποστηρικτές τέτοιων αντιλή-

ψεων δεν αποδέχονται την ύπαρξη διδακτικών προβληmicroάτων αλλά θεω-

ρούν ότι όλα ανάγονται σε ζητήmicroατα (microόνον) καλού ή κακού επιστήmicroονα

microαθηmicroατικού και καλού ή κακού microαθητή Στη βάση ενός τέτοιου microοντέλου

λειτουργεί το microονόδροmicroο δίπολο

5

Καθηγητής (αυθεντικός φορέας της γνώσης)

Μαθητής (παθητικός αποδέκτης έτοιmicroων γνώσεων)

Και microεταξύ των εmicroπλεκοmicroένων microερών (καθηγητής ndash microαθητής) κυριαρ-

χεί συνήθως ο microονόλογος του καθηγητή ή κάποιος κατ επίφαση διάλογος

που εξαντλείται όmicroως στην υποβολή τυπικών ερωτήσεων από το διδάσκο-

ντα και τη διατύπωση microιας αναmicroενόmicroενης απάντησης από τους ίδιους πάντα

καλούς microαθητές Όποιες άλλες ατελείς απαντήσεις κατά κανόνα δεν γίνο-

νται αποδεκτές δεν αξιολογούνται˙ και δεν αξιοποιούνται διδακτικά

Το microοντέλο διδασκαλίας που παραπάνω σκιαγραφήσαmicroε δεν microπορεί

(και δεν πρέπει) να έχει πλέον θέση στην εποχή microας καθώς αφήνει αδιάφο-

ρη και έξω από το παιχνίδι της microάθησης την πλειονότητα των microαθητών

Μια άλλου είδους διδασκαλία που θα παίρνει υπόψη της τις σύγχρονες α-

ντιλήψεις και τάσεις της ∆ιδακτικής των Μαθηmicroατικών πρέπει να πάρει τη

θέση της Οι καινούργιες microαθηmicroατικές έννοιες και προτάσεις πρέπει να ει-

σάγονται και να εξελίσσονται microε φυσικό τρόπο microέσα σε ένα διδακτικό πε-

ριβάλλον όπου κυρίαρχος θα είναι ο ρόλος του ουσιαστικού διαλόγου και

του δηmicroιουργικού προβληmicroατισmicroού Οι microαθητές πρέπει να βρίσκονται στο

επίκεντρο της microαθησιακής διαδικασίας˙ και ο ρόλος του διδάσκοντα να εί-

ναι (κυρίως) αυτός του καλού συντονιστή που υποβάλλει στην κατάλληλη

στιγmicroή εύστοχες ερωτήσεις που έχουν στόχο να προωθούν διαδικασίες έ-

ρευνας και γόνιmicroου προβληmicroατισmicroού στη σχολική τάξη

Η διδασκαλία είναι ανάγκη να συmicroβάλλει ώστε ο microαθητής πρώτον

να σχηmicroατίζει στο microυαλό του οπωσδήποτε microία ή και περισσότερες εποπτι-

κές εικόνες για καθεmicroιά έννοια και πρόταση και δεύτερον να ανακαλύ-

πτει τη διασύνδεσή τους microε άλλες προηγούmicroενες σχετικές γνώσεις του

Σ αυτό το σηmicroείο κρίνουmicroε σκόπιmicroο να κάνουmicroε και κάποιες νύξεις

για την ουσία και το ρόλο των αναπαραστάσεων στη διδασκαλία των Μα-

θηmicroατικών Προκειmicroένου ο microαθητής να λύσει ένα πρόβληmicroα που του έχει

θέσει ο καθηγητής του κάνει microια σειρά συλλογισmicroών οι οποίοι βασίζονται

σε διάφορες αναδιατυπώσεις του προβλήmicroατος˙ δηmicroιουργεί microε τον τρόπο

6

αυτό διάφορες νέες εικόνες που εδράζονται στην πρώτη διατύπωση των

ερωτηmicroάτων Τις εικόνες αυτές τις λέmicroε (και) αναπαραστάσεις του προ-

βλήmicroατος Και οι εικόνες αυτές microπορεί να είναι εσωτερικές (νοητικές-

συmicroβολικές) ή εξωτερικές Στις εξωτερικές αναπαραστάσεις εντάσσονται

και οι λεγόmicroενες γεωmicroετρικές αναπαραστάσεις οι οποίες αποδίδονται ως

γεωmicroετρικά σχήmicroατα γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων ιστογράmicromicroατα

ραβδογράmicromicroατα κυκλικά διαγράmicromicroατα κλπ (βλ [3] [4] και [12]) Σε microια

διαδικασία που microας ενδιαφέρει microόνον η αυστηρή διατύπωση των αποδείξε-

ων και καθόλου ή σχεδόν καθόλου η πορεία της σύλληψης των ιδεών κυ-

ριαρχούν οι νοητικές-συmicroβολικές αναπαραστάσεις και οι αφαιρετικές δι-

αδικασίες

Στην πρότασή microας οι γεωmicroετρικές αναπαραστάσεις (εποπτεία) δεν ει-

σάγονται microε σκοπό να ερmicroηνεύσουν microια microαθηmicroατική πρόταση microετά από την

απόδειξή τους αλλά να συmicroβάλουν από την αρχή στην επινόηση κάποιου

γεωmicroετρικού επιχειρήmicroατος το οποίο πρώτον θα αιτιολογεί τη σύλληψη

της πρότασης και δεύτερον θα microας δίνει και κάποιες ιδέες για την απόδειξή

της (βλ [12] σελ 32-33)

Είναι σηmicroαντικό να σηmicroειώσουmicroε εδώ το εξής Πριν καταλήξει κανείς

στη διατύπωση της λύσης ενός προβλήmicroατος δεν έχει προηγηθεί η εξίσου

σοβαρή φάση της επώασης και της σύλληψης των ιδεών στη βάση κάποιων

αναπαραστάσεων Γιατί λοιπόν να αποσιωπούmicroε και να microην αξιοποιούmicroε

φανερά και microε καθαρό τρόπο τη φάση αυτή

Σχετικά τώρα microε την επικέντρωση της διδασκαλίας των Μαθηmicroατικών

στην αυστηρή έκθεση των τελικών αποτελεσmicroάτων της αφαίρεσης ο

γάλλος πολωνικής καταγωγής microαθηmicroατικός Benoit Mandelbrot που εισή-

γαγε το 1975 τον όρο Fractals microας λέει τα εξής

laquoΕίmicroαι βαθύτατα πεπεισmicroένος ότι πολύ συχνά microάλλον χάνουmicroε

παρά κερδίζουmicroε microε την εξαρχής καταναγκαστική αφαίρεση και

microε την υπερβολική σηmicroασία που δίνουmicroε στην τακτοποίηση των

microαθηmicroατικών εννοιών και των προτάσεωνraquo

7

12 ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ∆Ι∆ΑΚΤΙΚΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ

Τα Μαθηmicroατικά αυτά καθαυτά χαρακτηρίζονται από την εσωτερική δοmicroική

τους τελειότητα Η διδασκαλία τους όmicroως είναι microια εντελώς διαφορετική

υπόθεση Είναι microια κατεξοχήν διαδικασία επικοινωνίας Επικοινωνία του

καθηγητή microε τους microαθητές του microε microια επιδίωξη να κατακτήσουν οι microαθητές

του ορισmicroένες συγκεκριmicroένες κάθε φορά γνώσεις Και εδώ το κρίσιmicroο ε-

ρώτηmicroα που ανακύπτει είναι το εξής Αν ο καθηγητής γνωρίζει καλά την

ύλη που σκοπεύει να διδάξει το στοιχείο αυτό δεν είναι από microόνο του ικα-

νό ώστε να πραγmicroατοποιήσει microια ποιοτική και παράλληλα αποτελεσmicroατική

διδασκαλία Σίγουρα βέβαια η πολύ καλή γνώση της ύλης είναι οπωσδή-

ποτε αναγκαία συνθήκη Όmicroως δεν είναι από microόνη της και ικανή Ο καθη-

γητής είναι απαραίτητο να ξέρει και άλλα περισσότερα πράγmicroατα Και microε-

ταξύ αυτών να ξέρει πολύ καλά το γνωστικό επίπεδο των microαθητών του αλ-

λά και τον τρόπο microε τον οποίο αυτοί microαθαίνουν Να αγαπά τη δουλειά του

και να παίρνει χαρά και ικανοποίηση από τις microικρές ή microεγάλες επιτυχίες του

παιδευτικού του έργου

Πριν τη διδασκαλία ο καθηγητής καλείται να πάρει κρίσιmicroες αποφά-

σεις Και πρώτα απrsquo όλα να αποφασίσει ποιο microέρος της ενότητας που σκο-

πεύει να διδάξει είναι ανάγκη να το παρουσιάσει ο ίδιος στην τάξη Με

ποια σειρά και microε ποιο ακριβώς σχέδιο Κι όλα τα υπόλοιπα πρέπει να

ldquoβγουνrdquo microέσα από έναν καλοσχεδιασmicroένο και καλά συντονισmicroένο διάλογο

microε την τάξη Μια τάξη που υπό την εποπτεία του καθηγητή συνδιαλέγεται

microε στόχο να βρεθούν απαντήσεις στα ερωτήmicroατα που θέτει ο καθηγητής

Μια τάξη που προσοmicroοιάζει κατά κάποιον τρόπο microε εργαστήριο microάθησης

όπου ο καθηγητής ακούει προσεκτικά τις απαντήσεις που δίνονται και επι-

χειρεί συστηmicroατικά όταν κάποια απάντηση δεν είναι η αναmicroενόmicroενη να

φέρει τον microαθητή που την έδωσε στο σηmicroείο εκείνο που θα κατανοήσει ο

ίδιος την αστοχία ή το λάθος που έκανε Αυτό βέβαια είναι κάτι που θέλει

τον χρόνο του Κι εδώ πρέπει να κατανοήσουmicroε όλοι ότι αυτός ο χρόνος

της απαραίτητης αναmicroονής δεν είναι χαmicroένος χρόνος Μόνο έτσι microια πλη-

ροφορία των microαθηmicroατικών microπορεί εν δυνάmicroει στο νου του microαθητή να microε-

8

τεξελιχθεί σε γνώση Κι αυτό γιατί ο νους έχει ανάγκη κάποιου χρόνου ώ-

στε αφού πρώτα επεξεργαστεί τις πληροφορίες να τις εντάξει έπειτα σε

ένα προϋπάρχον γνωστικό σχήmicroα ή αν χρειάζεται να δηmicroιουργήσει και κά-

ποιο καινούριο γνωστικό σχήmicroα

Πέρα όmicroως απrsquo όλα τα παραπάνω να τονίσουmicroε εδώ την αξία και τον

ρόλο του διδακτικού υλικού που θα χρησιmicroοποιήσουmicroε για να ldquoδουλέψειrdquo η

τάξη δηmicroιουργικά Το υλικό αυτό θα πρέπει να υποβοηθά στη σύνδεση των

νέων γνώσεων που θέλουmicroε να διδάξουmicroε microε άλλες προϋπάρχουσες γνώ-

σεις και παράλληλα τα ερωτήmicroατά microας να στοχεύουν στην ανέλιξη της

δηmicroιουργικής και κριτικής σκέψης των microαθητών

Επίσης να σηmicroειώσουmicroε microε ιδιαίτερη έmicroφαση ότι η επιτυχής αντιmicroε-

τώπιση ενός microαθηmicroατικού προβλήmicroατος προϋποθέτει την πνευmicroατική συ-

γκέντρωση του microαθητή πάνω στα ερωτήmicroατα που συγκροτούν το πρόβλη-

microα Πειθαρχηmicroένη σκέψη αλλά και επιmicroονή ώστε αφού πρώτα κατανοήσει

σηmicroείο προς σηmicroείο όλες τις πληροφορίες που του δίνονται να αναζητήσει

έπειτα την κρίσιmicroη ιδέα που θα του επιτρέψει να ldquoξεκλειδώσειrdquo το πρόβλη-

microα Να δει προσεκτικά τη σχέση αυτής της ιδέας microε τις υποθέσεις και τα

συmicroπεράσmicroατα του προβλήmicroατος Να αναλύσει αυτές τις συνδέσεις κατά

τρόπο που θα του επιτρέψουν να κάνει και το επόmicroενο κρίσιmicroο βήmicroα Να

διατυπώσει τη λύση του προβλήmicroατος

2 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΩΝ ∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΩΝ ndash

Η ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΗΣ ΓΝΩΣΗΣ ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ

ΜΙΑΣ ldquo∆ΙΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗΣrdquo ΤΑΞΗΣ

Ξεκινώντας από την κοινά αποδεκτή θέση ότι κάθε διδασκαλία πρέπει να

στοχεύει στην ουσιαστική κατάκτηση των γνώσεων από τους microαθητές microας

κρίνουmicroε σκόπιmicroο να αναφερθούmicroε σε ορισmicroένες προϋποθέσεις που πιστεύ-

ουmicroε ότι ευνοούν microια διδασκαλία των microαθηmicroατικών microε έmicroφαση στην ανά-

πτυξη ερευνητικών δραστηριοτήτων Και ως πρώτη προϋπόθεση θεωρούmicroε

9

την ενσυνείδητη εmicroπλοκή του microαθητή στις διαδικασίες της microάθησης Είναι

απαραίτητο πρώτα απrsquo όλα να πεισθεί ο microαθητής ότι η εν λόγω γνώση τον

ενδιαφέρει και η προσωπική του συmicromicroετοχή σrsquo αυτήν τη διαδικασία microετράει

και έχει νόηmicroα ότι έτσι συmicroβάλλει κι αυτός microε τον δικό του τρόπο στην κα-

τασκευή και διαmicroόρφωση της νέας γνώσης και δεν είναι απλά ένας παθητι-

κός δέκτης ασύνδετων κατά κανόνα πληροφοριών Με αυτές τις προϋπο-

θέσεις δηmicroιουργείται microια τάξη στην οποία οι microαθητές συmicromicroετέχουν στην

αναζήτηση και επινόηση της γνώσης Και ο ρόλος εδώ του διδάσκοντα εί-

ναι κυρίως αυτός του εmicroπνευστή του καθοδηγητή και του καλού συντονι-

στή που υποβάλλει στην κατάλληλη στιγmicroή εύστοχες ερωτήσεις οι οποίες

προωθούν διαδικασίες έρευνας και γόνιmicroου προβληmicroατισmicroού Μια τάξη

στην οποία ο διδάσκων θέτει προβλήmicroατα προς λύση και συγχρόνως λει-

τουργεί διευκολυντικά στη διαπραγmicroάτευσή τους δηmicroιουργεί microια διερευνη-

τική τάξη microαθηmicroατικών (βλ [1])

Σε τέτοιες τάξεις microαθηmicroατικών οι microαθητές στην πορεία διαπραγmicroά-

τευσης κάποιου προβλήmicroατος οδηγούνται σταδιακά υπό την καθοδήγηση

του διδάσκοντα από τη microελέτη επιmicroέρους περιπτώσεων στη διατύπωση ε-

πεκτάσεων και γενικεύσεων microια ικανότητα η οποία σχετίζεται microε τη microαθη-

microατική ανακάλυψη την επινόηση δηλαδή των κρίσιmicroων ιδεών που microάς δεί-

χνουν το δρόmicroο για τη λύση Σ΄ αυτήν τη δηmicroιουργική πορεία και καθώς ο

microαθητής αναζητά επίmicroονα τη λύση κάποιου προβλήmicroατος σηmicroαντικό ρόλο

παίζει και η διαίσθηση που βασίζεται κυρίως στην εποπτεία (κατά τον

Richard Courant η έλλειψη της εξάρτησης των αποδείξεων από τη διαί-

σθηση οδηγεί σε microαθηmicroατική ατροφία)

Με τις παραπάνω σκέψεις επιχειρούmicroε να διευκρινίσουmicroε τις παιδευ-

τικές προθέσεις microιας διερευνητικής τάξης microαθηmicroατικών και παράλληλα να

αναπτύξουmicroε περαιτέρω το διδακτικό σχήmicroα του G Polya για ένα περιβάλ-

λον διερευνητικής διδασκαλίας και microάθησης όπου οι microαθητές για την επί-

λυση ενός προβλήmicroατος

(α) πειραmicroατίζονται και παρατηρούν στο πλαίσιο της επαγωγικής συλλογι-

στικής αντιmicroετωπίζουν δηλαδή πρώτα-πρώτα επιmicroέρους περιπτώσεις

του προβλήmicroατος (ειδικεύσεις)

10

(β) εντοπίζουν microια ιδιότητα ή microια κατάσταση που συνήθως εmicroφανίζεται σε

όλες τις επιmicroέρους περιπτώσεις που εξέτασαν

(γ) διατυπώνουν εικασίες (βλ [9] σελ 57)

(δ) επινοούν ένα σχέδιο για τη microαθηmicroατική απόδειξη των εικασιών το ο-

ποίο στη συνέχεια τροποποιούν όσες φορές απαιτηθεί έως ότου κατα-

λήξουν στο επιθυmicroητό αποτέλεσmicroα

(ε) ελέγχουν αν τα αποδεικτικά βήmicroατα που ακολούθησαν καθώς και το

συmicroπέρασmicroα στο οποίο κατέληξαν είναι απολύτως συνεπή προς όλες

τις υποθέσεις του προβλήmicroατος και

(στ) προσπαθούν να δούν το υπό microελέτη πρόβληmicroα ως ειδίκευση ενός γενι-

κού προβλήmicroατος και ακολούθως να microελετήσουν αυτό το γενικό

πρόβληmicroα

Έχουmicroε τη γνώmicroη ότι ο διάλογος που θα αναπτυχθεί microε έναυσmicroα την

αναζήτηση απαντήσεων σε ερωτήmicroατα τέτοιων δραστηριοτήτων θα συmicro-

βάλλει ώστε να αναδειχθούν και εmicroπεδωθούν ιδέες και πρακτικές που βαθ-

microιαία βελτιώνουν τη microαθηmicroατική ικανότητα η οποία είναι τελικά και το

ποιοτικό ζητούmicroενο της microαθηmicroατικής εκπαίδευσης

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ

Το παρόν άρθρο συmicroπληρώνεται microε επιλεγmicroένα παραδείγmicroατα η διαπραγ-

microάτευση των οποίων υποστηρίζει τη συmicroβολή της γεωmicroετρικής εποπτείας

στη διδασκαλία των microαθηmicroατικών στο Λύκειο και αναδεικνύει τη δυναmicroική

τους στην ερmicroηνεία πραγmicroατικών καταστάσεων

11

Ενδεικτικά παραδείγmicroατα για διαπραγmicroάτευση στη σχολική τάξη

1 Από την εποπτεία και τη διαίσθηση στη microαθηmicroατική τακτοποίηση

της έννοιας της απόλυτης τιmicroής πραγmicroατικού αριθmicroού

Παράδειγmicroα 1

Σε έναν άξονα x xprime να θεωρήσετε τα σηmicroεία ( )A 1 και ( )B 5

α) Να βρείτε αν υπάρχουν και πόσα σηmicroεία ( )M x πάνω στον x xprime τέ-

τοια ώστε

i) MA MB 4+ =

ii) MA MB 1+ =

iii) MA MB 8+ =

β) Χρησιmicroοποιώντας το σύmicroβολο της απόλυτης τιmicroής ν α γράψετε τις γε-

ωmicroετρικές ισότητες i) ii) και iii) microε microορφή εξίσωσης και στη συνέχεια

να βρείτε τις ρίζες των εξισώσεων αυτών

Παράδειγmicroα 2

Σε έναν άξονα x xprime να πάρετε δύο οποιαδήποτε σηmicroεία ( )Α α και ( )Β β

και έπειτα να προσδιορίσετε γεωmicroετρικά τα σηmicroεία του άξονα στα οποία

αντιστοιχούν οι αριθmicroοί α ββ αminus minus και α β+

2 Μια ενότητα θεmicroάτων Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας που αναδεικνύουν

την ιδέα των διαδοχικών γενικεύσεων

21 Θεωρούmicroε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓκαι σηmicroείο Μ που κινείται στην υπο-

τείνουσα ΒΓ Από το Μ φέρνουmicroε τα κάθετα τmicroήmicroατα ΜΚ και ΜΛ

προς τις πλευρές ΑΒ και ΑΓαντίστοιχα Να προσδιορίσετε τη θέση του

Μ στη ΒΓ ώστε το microήκος το τmicroήmicroατος ΚΛ να γίνεται ελάχιστο

22 Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓκαι σηmicroείο Μ που κινείται στην πλευρά ΒΓ

Από το Μ φέρνουmicroε τα κάθετα τmicroήmicroατα ΜΚ και ΜΛ προς τις πλευρές

12

ΑΒ και ΑΓαντίστοιχα Να προσδιορίσετε τη θέση του Μ στη ΒΓ ώστε

το microήκος το τmicroήmicroατος ΚΛ να γίνεται ελάχιστο

23 Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓκαι σηmicroείο M που κινείται στην πλευρά ΒΓ

Φέρνουmicroε τα τmicroήmicroατα ΜΚ και ΜΛ όπου Κ σηmicroείο της πλευράς ΑΒ

και Λ σηmicroείο της πλευράς ΑΓτέτοια ώστε ΒΚΜ ΜΛΓ ω= = όπου ω

γωνία microε το ίδιο σταθερό microέτρο για οποιαδήποτε θέση του Μ Να προσδι-

ορίσετε τη θέση του Μ στη ΒΓ ώστε το microήκος το τmicroήmicroατος ΚΛ να γί-

νεται ελάχιστο

Σχόλιο

Τα επιmicroέρους θέmicroατα 21 22 και 23 της παραπάνω ενότητας θεmicroάτων Ευ-

κλείδειας Γεωmicroετρίας προτείνονται για διαπραγmicroάτευση στην τάξη στο πλαίσιο

microιας ερευνητικής δραστηριότητας που αναδεικνύει την ιδέα της γενίκευσης προ-

βλήmicroατος microε διαδοχικές microεταβολές των υποθέσεων διατηρώντας το ίδιο ζητούmicroε-

νο Εκτιmicroούmicroε ότι ανάλογες δραστηριότητες ndashυπό κατάλληλες βέβαια διδακτικές

προϋποθέσειςndash microπορούν εν δυνάmicroει να συmicroβάλλουν στην ανάπτυξη της δηmicroι-

ουργικής microαθηmicroατικής σκέψης

3 Παραδείγmicroατα που αναδεικνύουν τη φυσική ερmicroηνεία του θεωρή-

microατος του Rolle και του ΘΜΤ του Lagrange

31 Ας υποθέσουmicroε ότι microια συνάρτηση V(t) microετράει τον όγκο του αέρα

που βρίσκεται στους πνεύmicroονες ενός ανθρώπου ως προς το χρόνο t

κατά τη διάρκεια microιας αναπνοής

Υποθέτουmicroε ότι

α) η V είναι συνεχής και περιγράφεται από microια οmicroαλή καmicroπύλη

(γραφική παράσταση παραγωγίσιmicroης συνάρτησης)

β) η V(t) παίρνει την ίδια τιmicroή (περίπου 4 λίτρα) στο τέλος κάθε εισ-

πνοής

Ερώτηση Υπάρχει χρονική στιγmicroή κατά τη διάρκεια microιας αναπνοής

όπου microηδενίζεται ο ρυθmicroός microεταβολής του όγκου του αέρα που βρί-

σκεται στους πνεύmicroονες του ανθρώπου

13

32 Πετάmicroε κατακόρυφα προς τα πάνω microια microπάλα και την ξαναπιάνουmicroε

στο ίδιο ύψος από το οποίο την πετάξαmicroε

α) Να κάνετε πρόχειρα τη γραφική παράσταση της συνάρτησης θέσης

της microπάλας ως προς το χρόνο t

β) Υπάρχει χρονική στιγmicroή t1 που η ταχύτητα της microπάλας microηδενίζεται

Ποια είναι η κλίση (της εφαπτοmicroένης) της γραφικής παράστασης

της συνάρτησης θέσης στο σηmicroείο microε τετmicroηmicroένη t1

33 ∆ύο αυτοκίνητα είναι σταmicroατηmicroένα σrsquo ένα φανάρι το ένα δίπλα στο

άλλο Όταν το φανάρι ανάβει πράσινο ξεκινούν αλλά αναγκάζονται

και τα δύο να σταmicroατήσουν στο επόmicroενο φανάρι Έτσι βρίσκονται και

τα δύο σταmicroατηmicroένα πάλι το ένα δίπλα στο άλλο Υπάρχει χρονική

στιγmicroή κατά την οποία τα δύο αυτοκίνητα έτρεχαν microε την ίδια ταχύτη-

τα

34 Ένας σκιέρ κατεβαίνει microια πλαγιά ξεκινώντας από ένα σηmicroείο Α και

καταλήγοντας σε ένα σηmicroείο Β Υπάρχει περίπτωση ο σκιέρ να απο-

φύγει την κλίση του ευθ τmicroήmicroατος ΑΒ

35 Ο οδηγός ενός Jeep σκοπεύει από το σηmicroείο Α να φτάσει στο Β Η

πλαγιά ΑΒ ορίζεται από την καmicroπύλη ( )y ƒ x= και το Jeep microπορεί να

αναρριχηθεί σε κλίσεις έως 25 Ο οδηγός θα πετύχει το σκοπό του

Α

Β

15

0 m

05 Km

14

36 Ένα σωmicroατίδιο κινείται πάνω στον άξονα των τετmicroηmicroένων (των t)

Χρόνος t σε sec Θέση x(t) σε m

0 2

2 4

5 7

Ο πίνακας δείχνει τη θέση του σωmicroατιδίου σε τρεις χρονικές στιγmicroές

α) Να βρείτε η microέση ταχύτητα του σωmicroατιδίου στο χρονικό διάστηmicroα

[0 5]

β) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον χρονικές στιγmicroές

κατά τις οποίες η στιγmicroιαία ταχύτητα του σωmicroατιδίου είναι ίση microε

τη microέση ταχύτητα στο διάστηmicroα [0 5]

γ) Να εξετάσετε αν υπάρχει microία τουλάχιστον χρονική στιγmicroή κατά

την οποία η επιτάχυνση του σωmicroατιδίου microηδενίζεται

(βλ [13] σελ 11-12)

Θέmicroατα Ανάλυσης που αναδεικνύουν το ρόλο της γεωmicroετρικής εποπτείας

Παράδειγmicroα 1

Έστω κύκλος microε κέντρο ( )0Κ α 0α ne και ακτίνα ρ Αν f είναι microια

παραγωγίσιmicroη συνάρτηση τέτοια ώστε ( ) ( ) 0f α ρ f α ρminus = + = και η

γραφική της παράσταση έχει microε τον κύκλο ακόmicroη ένα τουλάχιστον

κοινό σηmicroείο να αποδείξετε ότι υπάρχουν ( )1 2 ξ ξ α ρ α ρisin minus + microε

( ) ( )1 21f ξ f ξprime primesdot = minus

Παράδειγmicroα 2

Μία συνάρτηση ƒ είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο Υπάρχει

περίπτωση η γραφική της παράσταση να microην τέmicroνει τον φορέα της διχοτό-

microου της πρώτης ορθής γωνίας των αξόνων Να αποδείξετε την εικασία σας

15

Παράδειγmicroα 3

Μια συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο ενώ

microια άλλη συνάρτηση g είναι συνεχής στο και τέτοια ώστε

( )limx

g xrarrminusinfin

= minusinfin και ( )limx

g xrarr+infin

= +infin

Να εξετάσετε αν οι γραφικές παραστάσεις των f και g τέmicroνονται

Παράδειγmicroα 4

Αν microια συνάρτηση ƒ είναι δύο φορές παραγωγίσιmicroη στο [α β] microε την

ιδιότητα ƒ(α) + ƒ(β) = α β

2 ƒ2

+ sdot

τότε υπάρχει ξisin(α β) τέτοιο ώ-

στε ( )ƒ ξ 0primeprime =

Σχόλιο

Το παράδειγmicroα 4 το συmicroπεριλάβαmicroε στο παρόν άρθρο όχι για να πα-

ρουσιάσουmicroε τη συνήθη τυπική του απόδειξη αλλά για να αναδείξουmicroε το

γεωmicroετρικό υπόβαθρο που βρίσκεται πίσω από τις συmicroβολικά διατυπωmicroένες

microαθηmicroατικές σχέσεις

xα βξ1

y

ξ2

Α

Μ

Γ Β

Λ(β ƒ(β))

ε1

ε2

Cƒ

α + β

2

Κ(α ƒα))

Ο

Μια ανάλυση των υποθέσεων

Η υπόθεση ƒ(α) + ƒ(β) = α β

2 ƒ2

+ sdot

γράφεται

16

[ ]1 α βƒ(α) ƒ(β) ƒ

2 2

+ + =

(1)

Το 1ο microέλος της υπόθεσης (1) είναι η τεταγmicroένη του microέσου Μ του

τmicroήmicroατος ΚΛ ενώ το 2ο microέλος είναι η εικόνα microέσω της ƒ του microέσου

του διαστήmicroατος [α β] Η πρώτη απλούστατη γεωmicroετρική ερmicroηνεία της

υπόθεσης (1) είναι ότι η γραφική παράσταση της ƒ τέmicroνει το τmicroήmicroα

ΚΛ στο microέσο του Μ

Επίσης το τετράπλευρο ΚΑΒΛ είναι (γενικά) τραπέζιο microε βάσεις

ΚΑ = ƒ(α) ΛΒ = ƒ(β) και διάmicroεσο την ΜΓ = α β

ƒ2

+

Η υπόθεση (1) σε γεωmicroετρική γλώσσα γράφεται

ΚΑ ΚΒΜΓ

2

+=

σχέση η οποία από την Ευκλείδεια Γεωmicroετρία συνδέει το microήκος της

διαmicroέσου του τραπεζίου ΚΑΒΛ microε τα microήκη των βάσεών του

Το γεγονός ότι η ƒ είναι δύο φορές παραγωγίσιmicroη άρα και microία φορά

microας δηλώνει ότι η γραφική παράσταση της ƒ είναι microια οmicroαλή κα-

microπύλη η οποία δέχεται εφαπτοmicroένη (όχι κατακόρυφη) σε κάθε σηmicroείο

της

Προσέγγιση θεωρητικής τεκmicroηρίωσης

Από τη διαίσθησή microας που βρίσκεται σε πλήρη αρmicroονία microε το Θεώ-

ρηmicroα Μέσης Τιmicroής του ∆ιαφορικού Λογισmicroού υπάρχουν οι εφαπτό-

microενες ευθείες ε1 και ε2 της Cƒ παράλληλες προς την ΚΛ microε συντελε-

στές διεύθυνσης αντίστοιχα ƒ΄(ξ1) και ƒ΄(ξ2)

ƒ΄(ξ1) = λΚΜ ξ1isinα β

α2

+

Είναι

ƒ΄(ξ2) = λΜΛ ξ2isinα β

β2

+

Όmicroως λΚΜ = λΜΛ οπότε ƒ΄(ξ1) = ƒ΄(ξ2) και microε απλή εφαρmicroογή του Θε-

17

ωρήmicroατος του Rolle για τη συνάρτηση ƒ΄ στο [ξ1 ξ2] παίρνουmicroε το

ζητούmicroενο ƒ΄΄(ξ) = 0 όπου ξisin(ξ1 ξ2)

Προβληmicroατισmicroός

Θα microπορούσαmicroε να καταλήξουmicroε στην ƒ΄(ξ1) = ƒ΄(ξ2) στηριζόmicroενοι

στο γεγονός ότι το ΚΑΒΛ είναι τραπέζιο

xξ1

y

ξ2Α

Μ

Γ Β

Λ

Κω

ω

Μ΄

Λ΄

Ο

1 ΚΜ

2 ΜΛ

ΜΜ΄ ΜΓ ΚΑƒ (ξ ) λ εφω (2)

ΚΜ΄ ΑΓΈχουmicroε

ΛΛ΄ ΛΒ ΜΓƒ (ξ ) λ εφω (3)

ΜΛ΄ ΓΒ

minusprime = = = =

minusprime = = = =

Τα τελευταία κλάσmicroατα των (2) και (3) είναι ίσα γιατί ΑΓ = ΓΒ και

ΜΓ ndash ΚΑ = ΛΒ ndash ΜΓ λόγω της σχέσης της διαmicroέσου ΜΓ του τρα-

πεζίου ΚΑΒΛ microε τις βάσεις του ΚΑ και ΛΒ Οπότε ƒ΄(ξ1) = ƒ΄(ξ2)

Η γεωmicroετρική ερmicroηνεία του παραπάνω θέmicroατος microάς επιτρέπει να δια-

τυπώσουmicroε την επόmicroενη γενίκευση

18

Μια γενίκευση διατυπωmicroένη εποπτικά

Έστω συνάρτηση ƒ δύο φορές παραγωγίσιmicroη στο [α β] και τα ση-

microεία Κ(α ƒ(α)) και Λ(β ƒ(β))

Αν το τmicroήmicroα ΚΛ και η γραφική παράσταση της ƒ τέmicroνονται τότε

υπάρχει ξisin(α β) τέτοιο ώστε ƒ΄΄(ξ) = 0

Η ιδέα για τη γενίκευση διατυπωmicroένη στη γλώσσα της Ανάλυσης

Αν στο παραπάνω παράδειγmicroα 4 ονοmicroάζαmicroε γ την τετmicroηmicroένη τού microέ-

σου Γ του ευθυγράmicromicroου τmicroήmicroατος ΑΒ τότε είναι γ α

1β γ

minus=

minus οπότε

α βΓ 0

2

+

Και αν παίρναmicroε το Γ(γ0) στο εσωτερικό του ΑΒ ώστε γ α κ

β γ λ

minus=

minus τό-

τε microε απλές πράξεις θα βρίσκαmicroε λα κβ

Γ 0κ λ

+ +

Η γενίκευση

Αν microια συνάρτηση f είναι δυο φορές παραγωγίσιmicroη στο διάστηmicroα

[ ]αβ microε την ιδιότητα ( ) ( ) ( ) λα κβλf α κf β κ λ f

κ λ

+ + = + +

όπου λα κβ

α βκ λ

+lt lt+

και κλ θετικοί ακέραιοι τότε υπάρχει

( )ξ αβisin τέτοιο ώστε ( )f ξ 0primeprime =

Παράδειγmicroα 5

Έστω συνάρτηση ƒ παραγωγίσιmicroη στο [0 1] microε συνεχή παράγωγο

για την οποία ισχύουν

( )ƒ 0 0= ( ) 1ƒ 1

2= και ( )ƒ 0 0prime gt

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ( )ξ 01isin τέτοιο ώστε ( )ƒ ξ 2ξprime =

19

Σχόλιο

Το παράδειγmicroα 5 το συζητήσαmicroε σε Εργαστήριο Εφαρmicroοσmicroένης ∆ι-

δακτικής των Μαθηmicroατικών (∆ Ντρίζος Ιανουάριος 2016 Καρδίτσα) για

να αναδείξουmicroε την παιδευτική αξία της αναζήτησης πολλών τρόπων λύσης

ενός microαθηmicroατικού ερωτήmicroατος)

1ος

τρόπος λύσης (του ∆ Ντρίζου)

Αρκεί να αποδείξουmicroε ότι η εξίσωση ( )( )2ƒ x x 0primeminus = έχει microία τουλά-

χιστον ρίζα στο διάστηmicroα ( )01 Και αυτό θα microπορούσε να προκύψει

microε εφαρmicroογή του θ του Rolle στη συνάρτηση ( ) ( ) 2g x ƒ x x= minus

[ ]x 01isin

Είναι ( )g 0 0= και ( ) ( ) 2 1 1g 1 ƒ 1 1 1

2 2= minus = minus = minus δηλαδή ( )g 1 0lt

Σχέδιο προσέγγισης του θέmicroατος

Επειδή ( )g 0 0= το ζητούmicroενο θα προέκυπτε microε εφαρmicroογή του θ του

Rolle για την g αν αποδεικνύαmicroε ότι υπάρχει αριθmicroός ( )α 01isin για

τον οποίο ( )g α 0=

Με βάση αυτή την ιδέα και παίρνοντας υπόψη ότι ( )g 1 0lt αναρω-

τιόmicroαστε microήπως θα microπορούσαmicroε να έχουmicroε κάποιο ( )β 01isin ώστε

( )g β 0gt οπότε microε εφαρmicroογή του θ του Bolzano στο διάστηmicroα [ ]β1

θα εξασφαλίζαmicroε την ύπαρξη αριθmicroού ( )α β1isin τέτοιου ώστε

( )g α 0=

Εφαρmicroογή του σχεδίου

Ισχυριζόmicroαστε ότι δεν υπάρχει κάποιο ( )β 01isin ώστε ( )g β 0gt Ισο-

δύναmicroα ότι για κάθε ( )x 01isin ισχύει ( )g x 0le

20

bull Στην περίπτωση που για κάποιο ( )x 01isin ισχύει ( )g x 0= τότε

καθώς έχουmicroε και ( )g 0 0= το ζητούmicroενο προκύπτει microε εφαρmicroογή

του θ Rolle

bull Ας εξετάσουmicroε τώρα τον ισχυρισmicroό ( )g x 0lt για κάθε ( )x 01isin

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

x 0 x 0

ƒ xg x 0 ƒ x x x

x

ƒ x ƒ 0lim lim x ƒ 0 0

x 0+ +rarr rarr

lt rArr lt rArr lt rArr

minusprimerArr lt rArr le

minus

που είναι άτοπο λόγω υπόθεσης Άρα υπάρχει κάποιο ( )β 01isin ώστε

( )g β 0gt

Με εφαρmicroογή του θ του Bolzano στο [ ]β1 παίρνουmicroε ότι υπάρχει

( )α β1isin τέτοιο ώστε ( )g α 0=

Και τέλος microε εφαρmicroογή του θ του Rolle για την g στο διάστηmicroα

[ ]0α παίρνουmicroε ότι υπάρχει ( ) ( )ξ 0α 01isin sube τέτοιο ώστε

( )g ξ 0prime = οπότε ( )ƒ ξ 2ξprime =

Σχόλια ndash Έλεγχος υποθέσεων

1 Στην παραπάνω λύση η υπόθεση ότι η ƒprime είναι συνεχής δεν microάς

χρειάστηκε

2 Η υπόθεση ( ) 1ƒ 1

2= θα microπορούσε να δίνεται γενικά ως ( )ƒ 1 θ= microε

θ 1lt

3 Ως ζητούmicroενο θα microπορούσαmicroε να έχουmicroε υπάρχει ( )ξ 01isin ώστε

( ) ν 1ƒ ξ νξ minusprime =

21

Μια γενίκευση

Έστω microια συνάρτηση ƒ παραγωγίσιmicroη στο [ ]01 για την οποία ισχύ-

ουν

( )f 0 0= ( )ƒ 1 θ 1= lt και ( )ƒ 0 0prime gt

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ( )ξ 01isin τέτοιο ώστε ( ) ν 1ƒ ξ νξ minusprime =

2ος

τρόπος λύσης (προτάθηκε από τον Θανάση Καραντάνα καθηγητή στο

4ο ΓΕΛ Καρδίτσας και τον Αιmicroίλιο Βλάστο καθηγητή στο Μουσικό

Σχολείο Καρδίτσας)

Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) 2g x ƒ x x= minus [ ]x 01isin

Είναι ( )g 0 0= και ( ) 1g 1

2= minus

Επίσης ( ) ( )g x ƒ x 2xprime prime= minus άρα ( ) ( )g 0 ƒ 0 0prime prime= gt

Οπότε από τον ορισmicroό της παραγώγου της g στο 0 από τα δεξιά

παίρνουmicroε

( ) ( ) ( )x 0 x 0

g x g 0 g xlim lim 0

x 0 x+ +rarr rarr

minus= gt

minus

Και επειδή x 0gt θα είναι και ( )g x 0gt κοντά στο 0 από τα δεξιά

Άρα θα υπάρχει ( )k 01isin τέτοιο ώστε ( )g k 0gt

Έχουmicroε λοιπόν ( ) ( )g k g 1 0sdot lt και επειδή η συνάρτηση g είναι συνε-

χής στο [ ]k1 από το θεώρηmicroα του Bolzano θα υπάρχει

( ) ( )m k1 01isin sube τέτοιο ώστε ( )g m 0=

Τέλος καθώς στο διάστηmicroα [ ]0m η g ικανοποιεί τις υποθέσεις του

θεωρήmicroατος του Rolle θα υπάρχει ( ) ( )ξ 0 m 01isin sube τέτοιο ώστε

( )g ξ 0prime = ∆ηλαδή ( )ƒ ξ 2ξprime =

22

3ος

τρόπος λύσης

Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) 2g x ƒ x x= minus [ ]x 01isin

Είναι g(0) = 0 και ( ) 1g 1

2= minus

Επίσης ( ) ( )g x ƒ x 2xprime prime= minus άρα ( ) ( )g 0 f 0 0prime prime= gt

Με εφαρmicroογή του θεωρήmicroατος Μέσης Τιmicroής για την g στα 1

02

και

11

2

βρίσκουmicroε ότι υπάρχουν 1

1x 0

2

isin

και 2

1x 1

2

isin

τέτοια

ώστε

( )1

1 1f

2 4g x

1

2

minus prime = και ( )2

1 1 1f

2 2 4g x

1

2

minus minus minus prime =

Και επειδή ( ) ( )1 2g x g x 1prime prime+ = minus προφανώς ένα τουλάχιστον από τα

( ) ( )1 2g x g xprime prime θα είναι υποχρεωτικά αρνητικό

Έστω λοιπόν ότι είναι ( )1g x 0prime lt

Τότε καθώς η gprime είναι συνεχής στο [ ]10 x και ( ) ( )1g 0 g x 0prime primesdot lt από

το θεώρηmicroα του Bolzano βρίσκουmicroε ότι θα υπάρχει ένα τουλάχιστον

( ) ( )1ξ 0 x 01isin sube τέτοιο ώστε ( )g ξ 0prime = ∆ηλαδή ( )ƒ ξ 2ξprime =

4ος

τρόπος λύσης (προτάθηκε από τον Σεραφείmicro Σαmicroορέλη καθηγητή στο

8ο ΓΕΛ Τρικάλων)

Έστω η συνάρτηση w(x) ƒ (x) 2xprime= minus microε [ )x 01isin για την οποία ι-

σχυριζόmicroαστε ότι w(x) 0ne στο [ )01

Επειδή στο διάστηmicroα [ )01 η συνάρτηση w είναι συνεχής microε

w(x) 0ne προκύπτει ότι η w διατηρεί σταθερό πρόσηmicroο στο [ )01

23

Είναι w(0) ƒ (0) 2 0 ƒ (0) 0prime prime= minus sdot = gt άρα w(x) 0gt για κάθε [ )x 01isin

οπότε και ƒ (x) 2xprime gt για κάθε [ )x 01isin (1)

Με εφαρmicroογή του ΘΜΤ για την ƒ στα διαστήmicroατα 1

02

και 1

12

προκύπτει ότι θα υπάρχουν 1

1x 0

2

isin

και 2

1x 1

2

isin

τέτοια ώστε

1

1ƒ ƒ(0)

2ƒ (x )

1

2

minus prime = και

( )2

1ƒ 1 ƒ

2ƒ (x )

1

2

minus prime =

Με πρόσθεση κατά microέλη παίρνουmicroε

1 2

1 1 1ƒ ƒ(0) ƒ(1) ƒ2 2 2ƒ (x ) ƒ (x ) 1

1 1

2 2

minus + minus prime prime+ = = = (2)

Όmicroως από τη σχέση (1) έχουmicroε 1 1

2 2

ƒ (x ) 2x

ƒ (x ) 2x

prime gt

prime gt και microε πρόσθεση κατά

microέλη παίρνουmicroε

( )2

1 2 1 2 1 2 1 2

1ƒ (x ) ƒ (x ) 2x 2x 1 2x 2x x x

2prime prime+ gt + hArr gt + hArr + lt

που είναι άτοπο καθώς 1

2

10 x

2

1x 1

2

lt lt lt lt

Εποmicroένως o ισχυρισmicroός ότι στο [ )01 είναι w(x) 0ne δεν ευσταθεί

Οπότε θα υπάρχει ( )ξ 01isin τέτοιο ώστε w(ξ) 0 ƒ (ξ) 2ξprime= hArr = (το ξ

αυτό δεν microπορεί να είναι ίσο microε 0 αφού w(0) 0gt )

24

Μια πρόταση

Έστω f και g δυο συναρτήσεις συνεχείς στο διάστηmicroα [ ]αβ για τις

οποίες ισχύει ( ) ( )f x g xgt για κάθε [ ]x αβisin

Υπάρχει πάντοτε θετικός r τέτοιος ώστε ( ) ( )f x g x rgt + για κάθε

[ ]x αβisin

Ένα ερώτηmicroα

Ποιος προβληmicroατισmicroός γεωmicroετρικής υφής θα microπορούσε να microας οδη-

γήσει στη διατύπωση της παραπάνω πρότασης

Απόδειξη της πρότασης

Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) ( )h x f x g x= minus [ ]x αβisin

Η h είναι συνεχής microε θετικές τιmicroές στο [ ]αβ οπότε θα παρουσιάζει

ελάχιστο έστω ίσο microε m mgt0

Άρα ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m mh x m f x g x m f x g x

2 2ge rArr minus ge gt rArr gt +

Οπότε ( ) ( )f x g x rgt + m

r2= microε ( )r 0misin

Σηmicroείωση

Τα παραδείγmicroατα microαθηmicroατικών που συmicroπεριέλαβα στο παρόν άρθρο ανα-

πτύχθηκαν και σε οmicroιλία microου στην Ελληνογαλλική Σχολή Καλαmicroαρί της

Θεσσαλονίκης (27 Φεβρουαρίου 2016) microε θέmicroα τα Ποιοτικά Χαρακτηριστι-

κά στη ∆ιδασκαλία των Μαθηmicroατικών Επίσης κάποια από αυτά χρησιmicroο-

ποιήθηκαν σε σεmicroινάριο ∆ιδακτικής Μαθηmicroατικών που ανέπτυξα στα Τρί-

καλα (5 και 12 Απριλίου 2016)

Αφιέρωση

Το άρθρο αυτό αφιερώνεται στη microνήmicroη του Νίκου Κλαουδάτου καθηγητή

microου κατά τα έτη 2000-2002 στο ΠΜΣ της ∆ιδακτικής και Μεθοδολογίας

των Μαθηmicroατικών στο Τmicroήmicroα Μαθηmicroατικών του ΕΚΠΑ

25

Βιβλιογραφικές αναφορές

Ξενόγλωσσες

[1] Cobb P Wood T Yackel E amp McNeal B (1992) Characteristics of clas-

room mathematics traditions An interactional analysis American Educa-

tional Research Journal 29 573-604

[2] Cobb P amp Steffe L P (1993) The constructivist researcher as the teacher

and model builder Journal for Research in Mathematics Education vol 14

pp 83-94

[3] Eisenberg T amp Dreyfus T On the reluctance to visualize in Mathematics in

Zimmerman W amp Cunnigham S (Eds) 1991 Visualization in teaching

and learning mathematics p 25-37 MAA notes no 19 Mathematical Asso-

ciation of America

[4] Vinner S Visual considerations in College Calculus ndash Students and Teach-

ers in Vermandel A amp Steiner Hans-Georg (Eds) 1988 Theory of mathe-

matics Educations (Proceeding of the third international conferens Andwerp

11-15 July 1988) p 109-116

[5] Year Book 2001 The Roles of Representation in School Mathematics Na-

tional Council of Teachers of Mathematics

Ελληνόγλωσσες

[6] Ανδρεαδάκης Σ Κατσαργύρης Β Μέτης Σ Μπρουχούτας Κ Παπα-

σταυρίδης Σ και Πολύζος Γ (2015) Μαθηmicroατικά Γ΄ Γενικού Λυκείου Οmicroά-

δας Προσανατολισmicroού Θετικών Σπουδών και Σποδών Οικονοmicroίας amp Πληρο-

φορικής Αθήνα ΙΕΠ amp ΙΤΥΕ ∆ιόφαντος

[7] Κατσαργύρης Β Μεντής Κ Παντελίδης Γ και Σουρλάς Κ (1994) Μα-

θηmicroατικά Γ΄ Λυκείου ndash Ανάλυση Αθήνα ΟΕ∆Β

[8] Κλαουδάτος Ν (2011) Σηmicroειώσεις ∆ιδακτικής Μαθηmicroατικών 1) Εισαγωγή

στη γνωσιακή θεωρία 2) Βασικές αρχές της θεωρίας Vygotsky Μεταπτυχιακό

Πρόγραmicromicroα Σπουδών ∆ιδακτικής και Μεθοδολογίας των Μαθηmicroατικών

Τmicroήmicroα Μαθηmicroατικών ΕΚΠΑ

[9] Κλαουδάτος Ν (2011) Σηmicroειώσεις ∆ιδακτικής Μαθηmicroατικών 1) ∆ιδασκαλία

και microάθηση των microαθηmicroατικών microε διαδικασίες επίλυσης προβληmicroάτων 2) Εισα-

γωγή στη Θεωρία της ∆ιδασκαλίας Μεταπτυχιακό Πρόγραmicromicroα Σπουδών ∆ιδα-

κτικής και Μεθοδολογίας των Μαθηmicroατικών Τmicroήmicroα Μαθηmicroατικών ΕΚΠΑ

26

[10] Μάκρας Στρ Γεωmicroετρική εποπτεία και απόδειξη άρθρο στο περιοδικό Ευ-

κλείδης Β΄ τχ 25 (Ιούλιος-Αύγουστος-Σεπτέmicroβριος 1997) σσ 11-17 Αθήνα

Έκδοση της ΕΜΕ

[11] Νεγρεπόντης Σ Γιωτόπουλος Σ amp Γιαννακούλιας Ε (2000) Απειροστικός

Λογισmicroός τόmicroος IIα Αθήνα Εκδόσεις Συmicromicroετρία

[12] Ντρίζος ∆ (2002) Πλεονεκτήmicroατα της γεωmicroετρικής αναπαράστασης των microα-

θηmicroατικών εννοιών Η απόδειξη του θεωρήmicroατος της Μέσης Τιmicroής του διαφο-

ρικού λογισmicroού για συναρτήσεις microιας ή δύο πραγmicroατικών microεταβλητών Ευκλεί-

δης Γ΄ τχ 77 (Ιούλιος-∆εκέmicroβριος 2012) σσ 31-45 Αθήνα Έκδοση της

ΕΜΕ

[13] Ντρίζος ∆ Τα βασικά θεωρήmicroατα του ∆ιαφορικού Λογισmicroού άρθρο στο περι-

οδικό Ευκλείδης Γ΄ τχ 70 (Ιανουάριος-Ιούνιος 2009) σσ 5-23 Αθήνα Έκδο-

ση της ΕΜΕ

[14] Ντρίζος ∆ ∆ιδακτική Αξιοποίηση Προβληmicroάτων Επαγωγικής Συλλογιστικής

στο Πλαίσιο Ανάπτυξης Ιδεών του G Polya άρθρο στο περιοδικό Ευκλείδης

Γ΄ τχ 73 (Ιούλιος-∆εκέmicroβριος 2010) σσ 29-48 Αθήνα Έκδοση της ΕΜΕ

[15] Polya G (2001) Η Μαθηmicroατική Ανακάλυψη τόmicroος 1 (microτφ Στεργιάκη Σπύ-

ρου) Αθήνα Εκδόσεις Κάτοπτρο

[16] Ρίζος Γ (2005) Οι περιπέτειες του Προβλήmicroατος στα σχολικά Μαθηmicroατικά

Θεσσαλονίκη Εκδόσεις Μαθηmicroατική Βιβλιοθήκη

[17] Spivak Michael (1991) ∆ιαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισmicroός (microτφ Γιαν-

νόπουλου Απ) Ηράκλειο Πανεπιστηmicroιακές Εκδόσεις Κρήτης

2

matical education to another one whose core will be the development of a

critical and creative mathematical way of thinking In our opinion this kind

of game of qualitative upgrading of mathematical education takes place in

the classrooms everyday This is exactly where we should focus οn to the

point where Education-under the appropriate presuppositions- can poten-

tially grow into actual Literacy

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Στο παρόν άρθρο περιγράφουmicroε ποιοτικά στοιχεία που πρέπει να χαρακτη-

ρίζουν τη διδασκαλία των microαθηmicroατικών στοχεύοντας στη συγκρότηση microιας

πρότασης για τη microετάβαση από τη σηmicroερινή microάλλον διεκπεραιωτική microαθη-

microατική εκπαίδευση σε microια άλλη που θα εστιάζεται στην ανάπτυξη κριτικής

και δηmicroιουργικής microαθηmicroατικής σκέψης

Βέβαια η επιτυχία ενός τέτοιου στόχου προϋποθέτει πρώτον έναν επα-

ναπροσδιορισmicroό του υποδείγmicroατος που διέπει σήmicroερα τη λυκειακή εκπαί-

δευση και δεύτερον την εmicroπέδωση καταρχάς και στη συνέχεια τη στήριξη

από τους καθηγητές microιας άλλης πρότασης Μιας πρότασης που θα αναδει-

κνύει τα microαθηmicroατικά και τη διδασκαλία τους σε προνοmicroιακό πεδίο άσκησης

κριτικής σκέψης Που θα αφήνει πίσω αντιλήψεις και πρακτικές οι οποίες

στην πράξη ταυτίζουν τη διδασκαλία των microαθηmicroατικών microε microια ακατάσχετη

τυποποιηmicroένη ασκησιολογία microόνο και microόνο για ldquoεξεταστική κατανάλωσηrdquo

Πρακτικές που συνήθως εστιάζονται microόνο στη διδασκαλία τεχνικών επίλυ-

σης ασκήσεων παραβλέποντας πολλές φορές την ουσία αλλά και τους στό-

χους της διδασκαλίας των microαθηmicroατικών στο Λύκειο

Το ldquoπαιχνίδιrdquo της ποιοτικής αναβάθmicroισης της microαθηmicroατικής εκπαίδευ-

σης παίζεται καθηmicroερινά microέσα στις σχολικές τάξεις Και εκεί ακριβώς πρέ-

πει να επικεντρώσουmicroε την προσοχή microας Εκεί όπου η Εκπαίδευση ndashmicroε κα-

τάλληλες προϋποθέσειςndash microπορεί εν δυνάmicroει να microετεξελιχθεί σε Παιδεία

3

Και ως σχολικός σύmicroβουλος εκτιmicroώ ότι αυτό που σήmicroερα προέχει εί-

ναι να εmicroπνεύσουmicroε τους εκπαιδευτικούς της τάξης Να τους βοηθήσουmicroε

ουσιαστικά στο έργο τους της καθηmicroερινής διδακτικής και παιδαγωγικής

τους πρακτικής Να κερδίσουmicroε έντιmicroα την εmicroπιστοσύνη τους Με στοχευ-

microένες επιmicroορφωτικές συναντήσεις microαζί τους καλές διδακτικές και παιδαγω-

γικές πρακτικές και κυρίως microε την ανάπτυξη θεmicroατικών εργαστηρίων

11 Η ∆Ι∆ΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΙ

Ένα από τα πλέον κρίσιmicroα προβλήmicroατα που σχετίζονται microε τη διδασκαλία

των Μαθηmicroατικών σε microαθητές Λυκείου και όχι microόνον είναι και εκείνο της

ανάπτυξης από τον διδάσκοντα ενός κατάλληλου microαθησιακού περιβάλλο-

ντος ώστε οι νέες γνώσεις να κατανοούνται σε βάθος και να εντάσσονται

στο σύστηmicroα των microαθηmicroατικών γνώσεων που έχουν ήδη στο νου τους οι

microαθητές

Το πρόβληmicroα αυτό είναι βέβαια σύνθετο˙ και έχει απασχολήσει microέχρι

σήmicroερα ως διεπιστηmicroονικό πρόβληmicroα αιχmicroής πάρα πολλούς ερευνητές από

διάφορους χώρους και κυρίως από το χώρο της ∆ιδακτικής των Μαθηmicroατι-

κών και της Γνωστικής Ψυχολογίας (βλ [8] σελ 2) Η σύνταξη γενικών

και ειδικών κατά περίπτωση οδηγιών το προσεγγίζουν σε ένα πρώτο επίπε-

δο δεν δίνουν όmicroως τη λύση Και αυτό γιατί τα Μαθηmicroατικά εκτός από την

ενδογενή τους δυσκολία που οφείλεται και στην ιδιαιτερότητα της συmicroβο-

λικής τους γλώσσας δεν είναιndash ούτε και θα microπορούσαν να είναιndash microόνο ένα

σύνολο από διάφορες τεχνικές επίλυσης ασκήσεων

Το πρόβληmicroα της εmicroπέδωσης νέων γνώσεων εξαρτάται και από πολ-

λούς παράγοντες που δεν σχετίζονται υποχρεωτικά microε το microαθηmicroατικό υπό-

βαθρο των εmicroπλεκοmicroένων microερών Ο ρόλος της προσωπικότητας του καθη-

γητή και η εκπαιδευτική του κουλτούρα τα ενδιαφέροντα των microαθητών αλ-

4

λά και η ικανότητά τους για σύνθεση και αφαίρεση είναι microερικές βασι-

κές παράmicroετροι που επηρεάζουν το πρόβληmicroα microε αποτέλεσmicroα να microην microπο-

ρεί να αναχθεί microόνο σε θέmicroα microαθηmicroατικής κατάρτισης των διδασκόντων

Αναδύεται εδώ ένα κρίσιmicroο ερώτηmicroα που θα microπορούσε να διατυπωθεί

ως εξής

Εντάξει σκιαγραφήσαmicroε microε microεγάλη συντοmicroία κάποιους γενικούς

προβληmicroατισmicroούς για ένα σύνθετο πρόβληmicroα Θα microπορούσε επίσης

να επισηmicroάνει κανείς microε περισσότερες λεπτοmicroέρειες και άλλους

παράγοντες που επηρεάζουν το πρόβληmicroα της διδασκαλίας των

Μαθηmicroατικών Τι microπορούmicroε όmicroως να κάνουmicroε για την αντιmicroετώπι-

σή του

Η συνήθης πρακτική microας λέει ότι όταν δεν microπορούmicroε να δώσουmicroε microια

ακριβή λύση σε ένα πρόβληmicroα η προσοχή microας πρέπει να εστιάζεται στην

αναζήτηση διαφόρων προσεγγίσεων οι οποίες θα microας επέτρεπαν να άρουmicroε

πρακτικά ένα microέρος (microικρό ή microεγαλύτερο κάθε φορά) των ανασταλτικών

παραγόντων που επηρεάζουν την επίλυση του προβλήmicroατος Ας γίνουmicroε

όmicroως πιο συγκεκριmicroένοι microε ορισmicroένες κρίσιmicroες επισηmicroάνσεις που αφορούν

τα Μαθηmicroατικά και τη διδασκαλία τους

Κατά τις απόψεις όσων ενστερνίζονται κυρίως το δασκαλοκεντρικό microο-

ντέλο διδασκαλίας η ουσία των Μαθηmicroατικών εδράζεται στην εσωτερική

δοmicroική τους τελειότητα˙ και η διδασκαλία τους ακολουθεί το πρότυπο της

έκθεσης έτοιmicroων microαθηmicroατικών αποτελεσmicroάτων στην τελική ολοκληρωmicroέ-

νη τους microορφή αδιαφορώντας κατά κανόνα για την πορεία της επινόησής

τους αλλά και για τις φάσεις της σύλληψης των κρίσιmicroων ιδεών Μια δι-

δασκαλία που διαπνέεται από τέτοιες αντιλήψεις δε λύνει πιστεύουmicroε κα-

νένα διδακτικό πρόβληmicroα Και αυτό γιατί οι υποστηρικτές τέτοιων αντιλή-

ψεων δεν αποδέχονται την ύπαρξη διδακτικών προβληmicroάτων αλλά θεω-

ρούν ότι όλα ανάγονται σε ζητήmicroατα (microόνον) καλού ή κακού επιστήmicroονα

microαθηmicroατικού και καλού ή κακού microαθητή Στη βάση ενός τέτοιου microοντέλου

λειτουργεί το microονόδροmicroο δίπολο

5

Καθηγητής (αυθεντικός φορέας της γνώσης)

Μαθητής (παθητικός αποδέκτης έτοιmicroων γνώσεων)

Και microεταξύ των εmicroπλεκοmicroένων microερών (καθηγητής ndash microαθητής) κυριαρ-

χεί συνήθως ο microονόλογος του καθηγητή ή κάποιος κατ επίφαση διάλογος

που εξαντλείται όmicroως στην υποβολή τυπικών ερωτήσεων από το διδάσκο-

ντα και τη διατύπωση microιας αναmicroενόmicroενης απάντησης από τους ίδιους πάντα

καλούς microαθητές Όποιες άλλες ατελείς απαντήσεις κατά κανόνα δεν γίνο-

νται αποδεκτές δεν αξιολογούνται˙ και δεν αξιοποιούνται διδακτικά

Το microοντέλο διδασκαλίας που παραπάνω σκιαγραφήσαmicroε δεν microπορεί

(και δεν πρέπει) να έχει πλέον θέση στην εποχή microας καθώς αφήνει αδιάφο-

ρη και έξω από το παιχνίδι της microάθησης την πλειονότητα των microαθητών

Μια άλλου είδους διδασκαλία που θα παίρνει υπόψη της τις σύγχρονες α-

ντιλήψεις και τάσεις της ∆ιδακτικής των Μαθηmicroατικών πρέπει να πάρει τη

θέση της Οι καινούργιες microαθηmicroατικές έννοιες και προτάσεις πρέπει να ει-

σάγονται και να εξελίσσονται microε φυσικό τρόπο microέσα σε ένα διδακτικό πε-

ριβάλλον όπου κυρίαρχος θα είναι ο ρόλος του ουσιαστικού διαλόγου και

του δηmicroιουργικού προβληmicroατισmicroού Οι microαθητές πρέπει να βρίσκονται στο

επίκεντρο της microαθησιακής διαδικασίας˙ και ο ρόλος του διδάσκοντα να εί-

ναι (κυρίως) αυτός του καλού συντονιστή που υποβάλλει στην κατάλληλη

στιγmicroή εύστοχες ερωτήσεις που έχουν στόχο να προωθούν διαδικασίες έ-

ρευνας και γόνιmicroου προβληmicroατισmicroού στη σχολική τάξη

Η διδασκαλία είναι ανάγκη να συmicroβάλλει ώστε ο microαθητής πρώτον

να σχηmicroατίζει στο microυαλό του οπωσδήποτε microία ή και περισσότερες εποπτι-

κές εικόνες για καθεmicroιά έννοια και πρόταση και δεύτερον να ανακαλύ-

πτει τη διασύνδεσή τους microε άλλες προηγούmicroενες σχετικές γνώσεις του

Σ αυτό το σηmicroείο κρίνουmicroε σκόπιmicroο να κάνουmicroε και κάποιες νύξεις

για την ουσία και το ρόλο των αναπαραστάσεων στη διδασκαλία των Μα-

θηmicroατικών Προκειmicroένου ο microαθητής να λύσει ένα πρόβληmicroα που του έχει

θέσει ο καθηγητής του κάνει microια σειρά συλλογισmicroών οι οποίοι βασίζονται

σε διάφορες αναδιατυπώσεις του προβλήmicroατος˙ δηmicroιουργεί microε τον τρόπο

6

αυτό διάφορες νέες εικόνες που εδράζονται στην πρώτη διατύπωση των

ερωτηmicroάτων Τις εικόνες αυτές τις λέmicroε (και) αναπαραστάσεις του προ-

βλήmicroατος Και οι εικόνες αυτές microπορεί να είναι εσωτερικές (νοητικές-

συmicroβολικές) ή εξωτερικές Στις εξωτερικές αναπαραστάσεις εντάσσονται

και οι λεγόmicroενες γεωmicroετρικές αναπαραστάσεις οι οποίες αποδίδονται ως

γεωmicroετρικά σχήmicroατα γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων ιστογράmicromicroατα

ραβδογράmicromicroατα κυκλικά διαγράmicromicroατα κλπ (βλ [3] [4] και [12]) Σε microια

διαδικασία που microας ενδιαφέρει microόνον η αυστηρή διατύπωση των αποδείξε-

ων και καθόλου ή σχεδόν καθόλου η πορεία της σύλληψης των ιδεών κυ-

ριαρχούν οι νοητικές-συmicroβολικές αναπαραστάσεις και οι αφαιρετικές δι-

αδικασίες

Στην πρότασή microας οι γεωmicroετρικές αναπαραστάσεις (εποπτεία) δεν ει-

σάγονται microε σκοπό να ερmicroηνεύσουν microια microαθηmicroατική πρόταση microετά από την

απόδειξή τους αλλά να συmicroβάλουν από την αρχή στην επινόηση κάποιου

γεωmicroετρικού επιχειρήmicroατος το οποίο πρώτον θα αιτιολογεί τη σύλληψη

της πρότασης και δεύτερον θα microας δίνει και κάποιες ιδέες για την απόδειξή

της (βλ [12] σελ 32-33)

Είναι σηmicroαντικό να σηmicroειώσουmicroε εδώ το εξής Πριν καταλήξει κανείς

στη διατύπωση της λύσης ενός προβλήmicroατος δεν έχει προηγηθεί η εξίσου

σοβαρή φάση της επώασης και της σύλληψης των ιδεών στη βάση κάποιων

αναπαραστάσεων Γιατί λοιπόν να αποσιωπούmicroε και να microην αξιοποιούmicroε

φανερά και microε καθαρό τρόπο τη φάση αυτή

Σχετικά τώρα microε την επικέντρωση της διδασκαλίας των Μαθηmicroατικών

στην αυστηρή έκθεση των τελικών αποτελεσmicroάτων της αφαίρεσης ο

γάλλος πολωνικής καταγωγής microαθηmicroατικός Benoit Mandelbrot που εισή-

γαγε το 1975 τον όρο Fractals microας λέει τα εξής

laquoΕίmicroαι βαθύτατα πεπεισmicroένος ότι πολύ συχνά microάλλον χάνουmicroε

παρά κερδίζουmicroε microε την εξαρχής καταναγκαστική αφαίρεση και

microε την υπερβολική σηmicroασία που δίνουmicroε στην τακτοποίηση των

microαθηmicroατικών εννοιών και των προτάσεωνraquo

7

12 ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ∆Ι∆ΑΚΤΙΚΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ

Τα Μαθηmicroατικά αυτά καθαυτά χαρακτηρίζονται από την εσωτερική δοmicroική

τους τελειότητα Η διδασκαλία τους όmicroως είναι microια εντελώς διαφορετική

υπόθεση Είναι microια κατεξοχήν διαδικασία επικοινωνίας Επικοινωνία του

καθηγητή microε τους microαθητές του microε microια επιδίωξη να κατακτήσουν οι microαθητές

του ορισmicroένες συγκεκριmicroένες κάθε φορά γνώσεις Και εδώ το κρίσιmicroο ε-

ρώτηmicroα που ανακύπτει είναι το εξής Αν ο καθηγητής γνωρίζει καλά την

ύλη που σκοπεύει να διδάξει το στοιχείο αυτό δεν είναι από microόνο του ικα-

νό ώστε να πραγmicroατοποιήσει microια ποιοτική και παράλληλα αποτελεσmicroατική

διδασκαλία Σίγουρα βέβαια η πολύ καλή γνώση της ύλης είναι οπωσδή-

ποτε αναγκαία συνθήκη Όmicroως δεν είναι από microόνη της και ικανή Ο καθη-

γητής είναι απαραίτητο να ξέρει και άλλα περισσότερα πράγmicroατα Και microε-

ταξύ αυτών να ξέρει πολύ καλά το γνωστικό επίπεδο των microαθητών του αλ-

λά και τον τρόπο microε τον οποίο αυτοί microαθαίνουν Να αγαπά τη δουλειά του

και να παίρνει χαρά και ικανοποίηση από τις microικρές ή microεγάλες επιτυχίες του

παιδευτικού του έργου

Πριν τη διδασκαλία ο καθηγητής καλείται να πάρει κρίσιmicroες αποφά-

σεις Και πρώτα απrsquo όλα να αποφασίσει ποιο microέρος της ενότητας που σκο-

πεύει να διδάξει είναι ανάγκη να το παρουσιάσει ο ίδιος στην τάξη Με

ποια σειρά και microε ποιο ακριβώς σχέδιο Κι όλα τα υπόλοιπα πρέπει να

ldquoβγουνrdquo microέσα από έναν καλοσχεδιασmicroένο και καλά συντονισmicroένο διάλογο

microε την τάξη Μια τάξη που υπό την εποπτεία του καθηγητή συνδιαλέγεται

microε στόχο να βρεθούν απαντήσεις στα ερωτήmicroατα που θέτει ο καθηγητής

Μια τάξη που προσοmicroοιάζει κατά κάποιον τρόπο microε εργαστήριο microάθησης

όπου ο καθηγητής ακούει προσεκτικά τις απαντήσεις που δίνονται και επι-

χειρεί συστηmicroατικά όταν κάποια απάντηση δεν είναι η αναmicroενόmicroενη να

φέρει τον microαθητή που την έδωσε στο σηmicroείο εκείνο που θα κατανοήσει ο

ίδιος την αστοχία ή το λάθος που έκανε Αυτό βέβαια είναι κάτι που θέλει

τον χρόνο του Κι εδώ πρέπει να κατανοήσουmicroε όλοι ότι αυτός ο χρόνος

της απαραίτητης αναmicroονής δεν είναι χαmicroένος χρόνος Μόνο έτσι microια πλη-

ροφορία των microαθηmicroατικών microπορεί εν δυνάmicroει στο νου του microαθητή να microε-

8

τεξελιχθεί σε γνώση Κι αυτό γιατί ο νους έχει ανάγκη κάποιου χρόνου ώ-

στε αφού πρώτα επεξεργαστεί τις πληροφορίες να τις εντάξει έπειτα σε

ένα προϋπάρχον γνωστικό σχήmicroα ή αν χρειάζεται να δηmicroιουργήσει και κά-

ποιο καινούριο γνωστικό σχήmicroα

Πέρα όmicroως απrsquo όλα τα παραπάνω να τονίσουmicroε εδώ την αξία και τον

ρόλο του διδακτικού υλικού που θα χρησιmicroοποιήσουmicroε για να ldquoδουλέψειrdquo η

τάξη δηmicroιουργικά Το υλικό αυτό θα πρέπει να υποβοηθά στη σύνδεση των

νέων γνώσεων που θέλουmicroε να διδάξουmicroε microε άλλες προϋπάρχουσες γνώ-

σεις και παράλληλα τα ερωτήmicroατά microας να στοχεύουν στην ανέλιξη της

δηmicroιουργικής και κριτικής σκέψης των microαθητών

Επίσης να σηmicroειώσουmicroε microε ιδιαίτερη έmicroφαση ότι η επιτυχής αντιmicroε-

τώπιση ενός microαθηmicroατικού προβλήmicroατος προϋποθέτει την πνευmicroατική συ-

γκέντρωση του microαθητή πάνω στα ερωτήmicroατα που συγκροτούν το πρόβλη-

microα Πειθαρχηmicroένη σκέψη αλλά και επιmicroονή ώστε αφού πρώτα κατανοήσει

σηmicroείο προς σηmicroείο όλες τις πληροφορίες που του δίνονται να αναζητήσει

έπειτα την κρίσιmicroη ιδέα που θα του επιτρέψει να ldquoξεκλειδώσειrdquo το πρόβλη-

microα Να δει προσεκτικά τη σχέση αυτής της ιδέας microε τις υποθέσεις και τα

συmicroπεράσmicroατα του προβλήmicroατος Να αναλύσει αυτές τις συνδέσεις κατά

τρόπο που θα του επιτρέψουν να κάνει και το επόmicroενο κρίσιmicroο βήmicroα Να

διατυπώσει τη λύση του προβλήmicroατος

2 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΩΝ ∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΩΝ ndash

Η ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΗΣ ΓΝΩΣΗΣ ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ

ΜΙΑΣ ldquo∆ΙΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗΣrdquo ΤΑΞΗΣ

Ξεκινώντας από την κοινά αποδεκτή θέση ότι κάθε διδασκαλία πρέπει να

στοχεύει στην ουσιαστική κατάκτηση των γνώσεων από τους microαθητές microας

κρίνουmicroε σκόπιmicroο να αναφερθούmicroε σε ορισmicroένες προϋποθέσεις που πιστεύ-

ουmicroε ότι ευνοούν microια διδασκαλία των microαθηmicroατικών microε έmicroφαση στην ανά-

πτυξη ερευνητικών δραστηριοτήτων Και ως πρώτη προϋπόθεση θεωρούmicroε

9

την ενσυνείδητη εmicroπλοκή του microαθητή στις διαδικασίες της microάθησης Είναι

απαραίτητο πρώτα απrsquo όλα να πεισθεί ο microαθητής ότι η εν λόγω γνώση τον

ενδιαφέρει και η προσωπική του συmicromicroετοχή σrsquo αυτήν τη διαδικασία microετράει

και έχει νόηmicroα ότι έτσι συmicroβάλλει κι αυτός microε τον δικό του τρόπο στην κα-

τασκευή και διαmicroόρφωση της νέας γνώσης και δεν είναι απλά ένας παθητι-

κός δέκτης ασύνδετων κατά κανόνα πληροφοριών Με αυτές τις προϋπο-

θέσεις δηmicroιουργείται microια τάξη στην οποία οι microαθητές συmicromicroετέχουν στην

αναζήτηση και επινόηση της γνώσης Και ο ρόλος εδώ του διδάσκοντα εί-

ναι κυρίως αυτός του εmicroπνευστή του καθοδηγητή και του καλού συντονι-

στή που υποβάλλει στην κατάλληλη στιγmicroή εύστοχες ερωτήσεις οι οποίες

προωθούν διαδικασίες έρευνας και γόνιmicroου προβληmicroατισmicroού Μια τάξη

στην οποία ο διδάσκων θέτει προβλήmicroατα προς λύση και συγχρόνως λει-

τουργεί διευκολυντικά στη διαπραγmicroάτευσή τους δηmicroιουργεί microια διερευνη-

τική τάξη microαθηmicroατικών (βλ [1])

Σε τέτοιες τάξεις microαθηmicroατικών οι microαθητές στην πορεία διαπραγmicroά-

τευσης κάποιου προβλήmicroατος οδηγούνται σταδιακά υπό την καθοδήγηση

του διδάσκοντα από τη microελέτη επιmicroέρους περιπτώσεων στη διατύπωση ε-

πεκτάσεων και γενικεύσεων microια ικανότητα η οποία σχετίζεται microε τη microαθη-

microατική ανακάλυψη την επινόηση δηλαδή των κρίσιmicroων ιδεών που microάς δεί-

χνουν το δρόmicroο για τη λύση Σ΄ αυτήν τη δηmicroιουργική πορεία και καθώς ο

microαθητής αναζητά επίmicroονα τη λύση κάποιου προβλήmicroατος σηmicroαντικό ρόλο

παίζει και η διαίσθηση που βασίζεται κυρίως στην εποπτεία (κατά τον

Richard Courant η έλλειψη της εξάρτησης των αποδείξεων από τη διαί-

σθηση οδηγεί σε microαθηmicroατική ατροφία)

Με τις παραπάνω σκέψεις επιχειρούmicroε να διευκρινίσουmicroε τις παιδευ-

τικές προθέσεις microιας διερευνητικής τάξης microαθηmicroατικών και παράλληλα να

αναπτύξουmicroε περαιτέρω το διδακτικό σχήmicroα του G Polya για ένα περιβάλ-

λον διερευνητικής διδασκαλίας και microάθησης όπου οι microαθητές για την επί-

λυση ενός προβλήmicroατος

(α) πειραmicroατίζονται και παρατηρούν στο πλαίσιο της επαγωγικής συλλογι-

στικής αντιmicroετωπίζουν δηλαδή πρώτα-πρώτα επιmicroέρους περιπτώσεις

του προβλήmicroατος (ειδικεύσεις)

10

(β) εντοπίζουν microια ιδιότητα ή microια κατάσταση που συνήθως εmicroφανίζεται σε

όλες τις επιmicroέρους περιπτώσεις που εξέτασαν

(γ) διατυπώνουν εικασίες (βλ [9] σελ 57)

(δ) επινοούν ένα σχέδιο για τη microαθηmicroατική απόδειξη των εικασιών το ο-

ποίο στη συνέχεια τροποποιούν όσες φορές απαιτηθεί έως ότου κατα-

λήξουν στο επιθυmicroητό αποτέλεσmicroα

(ε) ελέγχουν αν τα αποδεικτικά βήmicroατα που ακολούθησαν καθώς και το

συmicroπέρασmicroα στο οποίο κατέληξαν είναι απολύτως συνεπή προς όλες

τις υποθέσεις του προβλήmicroατος και

(στ) προσπαθούν να δούν το υπό microελέτη πρόβληmicroα ως ειδίκευση ενός γενι-

κού προβλήmicroατος και ακολούθως να microελετήσουν αυτό το γενικό

πρόβληmicroα

Έχουmicroε τη γνώmicroη ότι ο διάλογος που θα αναπτυχθεί microε έναυσmicroα την

αναζήτηση απαντήσεων σε ερωτήmicroατα τέτοιων δραστηριοτήτων θα συmicro-

βάλλει ώστε να αναδειχθούν και εmicroπεδωθούν ιδέες και πρακτικές που βαθ-

microιαία βελτιώνουν τη microαθηmicroατική ικανότητα η οποία είναι τελικά και το

ποιοτικό ζητούmicroενο της microαθηmicroατικής εκπαίδευσης

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ

Το παρόν άρθρο συmicroπληρώνεται microε επιλεγmicroένα παραδείγmicroατα η διαπραγ-

microάτευση των οποίων υποστηρίζει τη συmicroβολή της γεωmicroετρικής εποπτείας

στη διδασκαλία των microαθηmicroατικών στο Λύκειο και αναδεικνύει τη δυναmicroική

τους στην ερmicroηνεία πραγmicroατικών καταστάσεων

11

Ενδεικτικά παραδείγmicroατα για διαπραγmicroάτευση στη σχολική τάξη

1 Από την εποπτεία και τη διαίσθηση στη microαθηmicroατική τακτοποίηση

της έννοιας της απόλυτης τιmicroής πραγmicroατικού αριθmicroού

Παράδειγmicroα 1

Σε έναν άξονα x xprime να θεωρήσετε τα σηmicroεία ( )A 1 και ( )B 5

α) Να βρείτε αν υπάρχουν και πόσα σηmicroεία ( )M x πάνω στον x xprime τέ-

τοια ώστε

i) MA MB 4+ =

ii) MA MB 1+ =

iii) MA MB 8+ =

β) Χρησιmicroοποιώντας το σύmicroβολο της απόλυτης τιmicroής ν α γράψετε τις γε-

ωmicroετρικές ισότητες i) ii) και iii) microε microορφή εξίσωσης και στη συνέχεια

να βρείτε τις ρίζες των εξισώσεων αυτών

Παράδειγmicroα 2

Σε έναν άξονα x xprime να πάρετε δύο οποιαδήποτε σηmicroεία ( )Α α και ( )Β β

και έπειτα να προσδιορίσετε γεωmicroετρικά τα σηmicroεία του άξονα στα οποία

αντιστοιχούν οι αριθmicroοί α ββ αminus minus και α β+

2 Μια ενότητα θεmicroάτων Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας που αναδεικνύουν

την ιδέα των διαδοχικών γενικεύσεων

21 Θεωρούmicroε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓκαι σηmicroείο Μ που κινείται στην υπο-

τείνουσα ΒΓ Από το Μ φέρνουmicroε τα κάθετα τmicroήmicroατα ΜΚ και ΜΛ

προς τις πλευρές ΑΒ και ΑΓαντίστοιχα Να προσδιορίσετε τη θέση του

Μ στη ΒΓ ώστε το microήκος το τmicroήmicroατος ΚΛ να γίνεται ελάχιστο

22 Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓκαι σηmicroείο Μ που κινείται στην πλευρά ΒΓ

Από το Μ φέρνουmicroε τα κάθετα τmicroήmicroατα ΜΚ και ΜΛ προς τις πλευρές

12

ΑΒ και ΑΓαντίστοιχα Να προσδιορίσετε τη θέση του Μ στη ΒΓ ώστε

το microήκος το τmicroήmicroατος ΚΛ να γίνεται ελάχιστο

23 Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓκαι σηmicroείο M που κινείται στην πλευρά ΒΓ

Φέρνουmicroε τα τmicroήmicroατα ΜΚ και ΜΛ όπου Κ σηmicroείο της πλευράς ΑΒ

και Λ σηmicroείο της πλευράς ΑΓτέτοια ώστε ΒΚΜ ΜΛΓ ω= = όπου ω

γωνία microε το ίδιο σταθερό microέτρο για οποιαδήποτε θέση του Μ Να προσδι-

ορίσετε τη θέση του Μ στη ΒΓ ώστε το microήκος το τmicroήmicroατος ΚΛ να γί-

νεται ελάχιστο

Σχόλιο

Τα επιmicroέρους θέmicroατα 21 22 και 23 της παραπάνω ενότητας θεmicroάτων Ευ-

κλείδειας Γεωmicroετρίας προτείνονται για διαπραγmicroάτευση στην τάξη στο πλαίσιο

microιας ερευνητικής δραστηριότητας που αναδεικνύει την ιδέα της γενίκευσης προ-

βλήmicroατος microε διαδοχικές microεταβολές των υποθέσεων διατηρώντας το ίδιο ζητούmicroε-

νο Εκτιmicroούmicroε ότι ανάλογες δραστηριότητες ndashυπό κατάλληλες βέβαια διδακτικές

προϋποθέσειςndash microπορούν εν δυνάmicroει να συmicroβάλλουν στην ανάπτυξη της δηmicroι-

ουργικής microαθηmicroατικής σκέψης

3 Παραδείγmicroατα που αναδεικνύουν τη φυσική ερmicroηνεία του θεωρή-

microατος του Rolle και του ΘΜΤ του Lagrange

31 Ας υποθέσουmicroε ότι microια συνάρτηση V(t) microετράει τον όγκο του αέρα

που βρίσκεται στους πνεύmicroονες ενός ανθρώπου ως προς το χρόνο t

κατά τη διάρκεια microιας αναπνοής

Υποθέτουmicroε ότι

α) η V είναι συνεχής και περιγράφεται από microια οmicroαλή καmicroπύλη

(γραφική παράσταση παραγωγίσιmicroης συνάρτησης)

β) η V(t) παίρνει την ίδια τιmicroή (περίπου 4 λίτρα) στο τέλος κάθε εισ-

πνοής

Ερώτηση Υπάρχει χρονική στιγmicroή κατά τη διάρκεια microιας αναπνοής

όπου microηδενίζεται ο ρυθmicroός microεταβολής του όγκου του αέρα που βρί-

σκεται στους πνεύmicroονες του ανθρώπου

13

32 Πετάmicroε κατακόρυφα προς τα πάνω microια microπάλα και την ξαναπιάνουmicroε

στο ίδιο ύψος από το οποίο την πετάξαmicroε

α) Να κάνετε πρόχειρα τη γραφική παράσταση της συνάρτησης θέσης

της microπάλας ως προς το χρόνο t

β) Υπάρχει χρονική στιγmicroή t1 που η ταχύτητα της microπάλας microηδενίζεται

Ποια είναι η κλίση (της εφαπτοmicroένης) της γραφικής παράστασης

της συνάρτησης θέσης στο σηmicroείο microε τετmicroηmicroένη t1

33 ∆ύο αυτοκίνητα είναι σταmicroατηmicroένα σrsquo ένα φανάρι το ένα δίπλα στο

άλλο Όταν το φανάρι ανάβει πράσινο ξεκινούν αλλά αναγκάζονται

και τα δύο να σταmicroατήσουν στο επόmicroενο φανάρι Έτσι βρίσκονται και

τα δύο σταmicroατηmicroένα πάλι το ένα δίπλα στο άλλο Υπάρχει χρονική

στιγmicroή κατά την οποία τα δύο αυτοκίνητα έτρεχαν microε την ίδια ταχύτη-

τα

34 Ένας σκιέρ κατεβαίνει microια πλαγιά ξεκινώντας από ένα σηmicroείο Α και

καταλήγοντας σε ένα σηmicroείο Β Υπάρχει περίπτωση ο σκιέρ να απο-

φύγει την κλίση του ευθ τmicroήmicroατος ΑΒ

35 Ο οδηγός ενός Jeep σκοπεύει από το σηmicroείο Α να φτάσει στο Β Η

πλαγιά ΑΒ ορίζεται από την καmicroπύλη ( )y ƒ x= και το Jeep microπορεί να

αναρριχηθεί σε κλίσεις έως 25 Ο οδηγός θα πετύχει το σκοπό του

Α

Β

15

0 m

05 Km

14

36 Ένα σωmicroατίδιο κινείται πάνω στον άξονα των τετmicroηmicroένων (των t)

Χρόνος t σε sec Θέση x(t) σε m

0 2

2 4

5 7

Ο πίνακας δείχνει τη θέση του σωmicroατιδίου σε τρεις χρονικές στιγmicroές

α) Να βρείτε η microέση ταχύτητα του σωmicroατιδίου στο χρονικό διάστηmicroα

[0 5]

β) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον χρονικές στιγmicroές

κατά τις οποίες η στιγmicroιαία ταχύτητα του σωmicroατιδίου είναι ίση microε

τη microέση ταχύτητα στο διάστηmicroα [0 5]

γ) Να εξετάσετε αν υπάρχει microία τουλάχιστον χρονική στιγmicroή κατά

την οποία η επιτάχυνση του σωmicroατιδίου microηδενίζεται

(βλ [13] σελ 11-12)

Θέmicroατα Ανάλυσης που αναδεικνύουν το ρόλο της γεωmicroετρικής εποπτείας

Παράδειγmicroα 1

Έστω κύκλος microε κέντρο ( )0Κ α 0α ne και ακτίνα ρ Αν f είναι microια

παραγωγίσιmicroη συνάρτηση τέτοια ώστε ( ) ( ) 0f α ρ f α ρminus = + = και η

γραφική της παράσταση έχει microε τον κύκλο ακόmicroη ένα τουλάχιστον

κοινό σηmicroείο να αποδείξετε ότι υπάρχουν ( )1 2 ξ ξ α ρ α ρisin minus + microε

( ) ( )1 21f ξ f ξprime primesdot = minus

Παράδειγmicroα 2

Μία συνάρτηση ƒ είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο Υπάρχει

περίπτωση η γραφική της παράσταση να microην τέmicroνει τον φορέα της διχοτό-

microου της πρώτης ορθής γωνίας των αξόνων Να αποδείξετε την εικασία σας

15

Παράδειγmicroα 3

Μια συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο ενώ

microια άλλη συνάρτηση g είναι συνεχής στο και τέτοια ώστε

( )limx

g xrarrminusinfin

= minusinfin και ( )limx

g xrarr+infin

= +infin

Να εξετάσετε αν οι γραφικές παραστάσεις των f και g τέmicroνονται

Παράδειγmicroα 4

Αν microια συνάρτηση ƒ είναι δύο φορές παραγωγίσιmicroη στο [α β] microε την

ιδιότητα ƒ(α) + ƒ(β) = α β

2 ƒ2

+ sdot

τότε υπάρχει ξisin(α β) τέτοιο ώ-

στε ( )ƒ ξ 0primeprime =

Σχόλιο

Το παράδειγmicroα 4 το συmicroπεριλάβαmicroε στο παρόν άρθρο όχι για να πα-

ρουσιάσουmicroε τη συνήθη τυπική του απόδειξη αλλά για να αναδείξουmicroε το

γεωmicroετρικό υπόβαθρο που βρίσκεται πίσω από τις συmicroβολικά διατυπωmicroένες

microαθηmicroατικές σχέσεις

xα βξ1

y

ξ2

Α

Μ

Γ Β

Λ(β ƒ(β))

ε1

ε2

Cƒ

α + β

2

Κ(α ƒα))

Ο

Μια ανάλυση των υποθέσεων

Η υπόθεση ƒ(α) + ƒ(β) = α β

2 ƒ2

+ sdot

γράφεται

16

[ ]1 α βƒ(α) ƒ(β) ƒ

2 2

+ + =

(1)

Το 1ο microέλος της υπόθεσης (1) είναι η τεταγmicroένη του microέσου Μ του

τmicroήmicroατος ΚΛ ενώ το 2ο microέλος είναι η εικόνα microέσω της ƒ του microέσου

του διαστήmicroατος [α β] Η πρώτη απλούστατη γεωmicroετρική ερmicroηνεία της

υπόθεσης (1) είναι ότι η γραφική παράσταση της ƒ τέmicroνει το τmicroήmicroα

ΚΛ στο microέσο του Μ

Επίσης το τετράπλευρο ΚΑΒΛ είναι (γενικά) τραπέζιο microε βάσεις

ΚΑ = ƒ(α) ΛΒ = ƒ(β) και διάmicroεσο την ΜΓ = α β

ƒ2

+

Η υπόθεση (1) σε γεωmicroετρική γλώσσα γράφεται

ΚΑ ΚΒΜΓ

2

+=

σχέση η οποία από την Ευκλείδεια Γεωmicroετρία συνδέει το microήκος της

διαmicroέσου του τραπεζίου ΚΑΒΛ microε τα microήκη των βάσεών του

Το γεγονός ότι η ƒ είναι δύο φορές παραγωγίσιmicroη άρα και microία φορά

microας δηλώνει ότι η γραφική παράσταση της ƒ είναι microια οmicroαλή κα-

microπύλη η οποία δέχεται εφαπτοmicroένη (όχι κατακόρυφη) σε κάθε σηmicroείο

της

Προσέγγιση θεωρητικής τεκmicroηρίωσης

Από τη διαίσθησή microας που βρίσκεται σε πλήρη αρmicroονία microε το Θεώ-

ρηmicroα Μέσης Τιmicroής του ∆ιαφορικού Λογισmicroού υπάρχουν οι εφαπτό-

microενες ευθείες ε1 και ε2 της Cƒ παράλληλες προς την ΚΛ microε συντελε-

στές διεύθυνσης αντίστοιχα ƒ΄(ξ1) και ƒ΄(ξ2)

ƒ΄(ξ1) = λΚΜ ξ1isinα β

α2

+

Είναι

ƒ΄(ξ2) = λΜΛ ξ2isinα β

β2

+

Όmicroως λΚΜ = λΜΛ οπότε ƒ΄(ξ1) = ƒ΄(ξ2) και microε απλή εφαρmicroογή του Θε-

17

ωρήmicroατος του Rolle για τη συνάρτηση ƒ΄ στο [ξ1 ξ2] παίρνουmicroε το

ζητούmicroενο ƒ΄΄(ξ) = 0 όπου ξisin(ξ1 ξ2)

Προβληmicroατισmicroός

Θα microπορούσαmicroε να καταλήξουmicroε στην ƒ΄(ξ1) = ƒ΄(ξ2) στηριζόmicroενοι

στο γεγονός ότι το ΚΑΒΛ είναι τραπέζιο

xξ1

y

ξ2Α

Μ

Γ Β

Λ

Κω

ω

Μ΄

Λ΄

Ο

1 ΚΜ

2 ΜΛ

ΜΜ΄ ΜΓ ΚΑƒ (ξ ) λ εφω (2)

ΚΜ΄ ΑΓΈχουmicroε

ΛΛ΄ ΛΒ ΜΓƒ (ξ ) λ εφω (3)

ΜΛ΄ ΓΒ

minusprime = = = =

minusprime = = = =

Τα τελευταία κλάσmicroατα των (2) και (3) είναι ίσα γιατί ΑΓ = ΓΒ και

ΜΓ ndash ΚΑ = ΛΒ ndash ΜΓ λόγω της σχέσης της διαmicroέσου ΜΓ του τρα-

πεζίου ΚΑΒΛ microε τις βάσεις του ΚΑ και ΛΒ Οπότε ƒ΄(ξ1) = ƒ΄(ξ2)

Η γεωmicroετρική ερmicroηνεία του παραπάνω θέmicroατος microάς επιτρέπει να δια-

τυπώσουmicroε την επόmicroενη γενίκευση

18

Μια γενίκευση διατυπωmicroένη εποπτικά

Έστω συνάρτηση ƒ δύο φορές παραγωγίσιmicroη στο [α β] και τα ση-

microεία Κ(α ƒ(α)) και Λ(β ƒ(β))

Αν το τmicroήmicroα ΚΛ και η γραφική παράσταση της ƒ τέmicroνονται τότε

υπάρχει ξisin(α β) τέτοιο ώστε ƒ΄΄(ξ) = 0

Η ιδέα για τη γενίκευση διατυπωmicroένη στη γλώσσα της Ανάλυσης

Αν στο παραπάνω παράδειγmicroα 4 ονοmicroάζαmicroε γ την τετmicroηmicroένη τού microέ-

σου Γ του ευθυγράmicromicroου τmicroήmicroατος ΑΒ τότε είναι γ α

1β γ

minus=

minus οπότε

α βΓ 0

2

+

Και αν παίρναmicroε το Γ(γ0) στο εσωτερικό του ΑΒ ώστε γ α κ

β γ λ

minus=

minus τό-

τε microε απλές πράξεις θα βρίσκαmicroε λα κβ

Γ 0κ λ

+ +

Η γενίκευση

Αν microια συνάρτηση f είναι δυο φορές παραγωγίσιmicroη στο διάστηmicroα

[ ]αβ microε την ιδιότητα ( ) ( ) ( ) λα κβλf α κf β κ λ f

κ λ

+ + = + +

όπου λα κβ

α βκ λ

+lt lt+

και κλ θετικοί ακέραιοι τότε υπάρχει

( )ξ αβisin τέτοιο ώστε ( )f ξ 0primeprime =

Παράδειγmicroα 5

Έστω συνάρτηση ƒ παραγωγίσιmicroη στο [0 1] microε συνεχή παράγωγο

για την οποία ισχύουν

( )ƒ 0 0= ( ) 1ƒ 1

2= και ( )ƒ 0 0prime gt

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ( )ξ 01isin τέτοιο ώστε ( )ƒ ξ 2ξprime =

19

Σχόλιο

Το παράδειγmicroα 5 το συζητήσαmicroε σε Εργαστήριο Εφαρmicroοσmicroένης ∆ι-

δακτικής των Μαθηmicroατικών (∆ Ντρίζος Ιανουάριος 2016 Καρδίτσα) για

να αναδείξουmicroε την παιδευτική αξία της αναζήτησης πολλών τρόπων λύσης

ενός microαθηmicroατικού ερωτήmicroατος)

1ος

τρόπος λύσης (του ∆ Ντρίζου)

Αρκεί να αποδείξουmicroε ότι η εξίσωση ( )( )2ƒ x x 0primeminus = έχει microία τουλά-

χιστον ρίζα στο διάστηmicroα ( )01 Και αυτό θα microπορούσε να προκύψει

microε εφαρmicroογή του θ του Rolle στη συνάρτηση ( ) ( ) 2g x ƒ x x= minus

[ ]x 01isin

Είναι ( )g 0 0= και ( ) ( ) 2 1 1g 1 ƒ 1 1 1

2 2= minus = minus = minus δηλαδή ( )g 1 0lt

Σχέδιο προσέγγισης του θέmicroατος

Επειδή ( )g 0 0= το ζητούmicroενο θα προέκυπτε microε εφαρmicroογή του θ του

Rolle για την g αν αποδεικνύαmicroε ότι υπάρχει αριθmicroός ( )α 01isin για

τον οποίο ( )g α 0=

Με βάση αυτή την ιδέα και παίρνοντας υπόψη ότι ( )g 1 0lt αναρω-

τιόmicroαστε microήπως θα microπορούσαmicroε να έχουmicroε κάποιο ( )β 01isin ώστε

( )g β 0gt οπότε microε εφαρmicroογή του θ του Bolzano στο διάστηmicroα [ ]β1

θα εξασφαλίζαmicroε την ύπαρξη αριθmicroού ( )α β1isin τέτοιου ώστε

( )g α 0=

Εφαρmicroογή του σχεδίου

Ισχυριζόmicroαστε ότι δεν υπάρχει κάποιο ( )β 01isin ώστε ( )g β 0gt Ισο-

δύναmicroα ότι για κάθε ( )x 01isin ισχύει ( )g x 0le

20

bull Στην περίπτωση που για κάποιο ( )x 01isin ισχύει ( )g x 0= τότε

καθώς έχουmicroε και ( )g 0 0= το ζητούmicroενο προκύπτει microε εφαρmicroογή

του θ Rolle

bull Ας εξετάσουmicroε τώρα τον ισχυρισmicroό ( )g x 0lt για κάθε ( )x 01isin

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

x 0 x 0

ƒ xg x 0 ƒ x x x

x

ƒ x ƒ 0lim lim x ƒ 0 0

x 0+ +rarr rarr

lt rArr lt rArr lt rArr

minusprimerArr lt rArr le

minus

που είναι άτοπο λόγω υπόθεσης Άρα υπάρχει κάποιο ( )β 01isin ώστε

( )g β 0gt

Με εφαρmicroογή του θ του Bolzano στο [ ]β1 παίρνουmicroε ότι υπάρχει

( )α β1isin τέτοιο ώστε ( )g α 0=

Και τέλος microε εφαρmicroογή του θ του Rolle για την g στο διάστηmicroα

[ ]0α παίρνουmicroε ότι υπάρχει ( ) ( )ξ 0α 01isin sube τέτοιο ώστε

( )g ξ 0prime = οπότε ( )ƒ ξ 2ξprime =

Σχόλια ndash Έλεγχος υποθέσεων

1 Στην παραπάνω λύση η υπόθεση ότι η ƒprime είναι συνεχής δεν microάς

χρειάστηκε

2 Η υπόθεση ( ) 1ƒ 1

2= θα microπορούσε να δίνεται γενικά ως ( )ƒ 1 θ= microε

θ 1lt

3 Ως ζητούmicroενο θα microπορούσαmicroε να έχουmicroε υπάρχει ( )ξ 01isin ώστε

( ) ν 1ƒ ξ νξ minusprime =

21

Μια γενίκευση

Έστω microια συνάρτηση ƒ παραγωγίσιmicroη στο [ ]01 για την οποία ισχύ-

ουν

( )f 0 0= ( )ƒ 1 θ 1= lt και ( )ƒ 0 0prime gt

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ( )ξ 01isin τέτοιο ώστε ( ) ν 1ƒ ξ νξ minusprime =

2ος

τρόπος λύσης (προτάθηκε από τον Θανάση Καραντάνα καθηγητή στο

4ο ΓΕΛ Καρδίτσας και τον Αιmicroίλιο Βλάστο καθηγητή στο Μουσικό

Σχολείο Καρδίτσας)

Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) 2g x ƒ x x= minus [ ]x 01isin

Είναι ( )g 0 0= και ( ) 1g 1

2= minus

Επίσης ( ) ( )g x ƒ x 2xprime prime= minus άρα ( ) ( )g 0 ƒ 0 0prime prime= gt

Οπότε από τον ορισmicroό της παραγώγου της g στο 0 από τα δεξιά

παίρνουmicroε

( ) ( ) ( )x 0 x 0

g x g 0 g xlim lim 0

x 0 x+ +rarr rarr

minus= gt

minus

Και επειδή x 0gt θα είναι και ( )g x 0gt κοντά στο 0 από τα δεξιά

Άρα θα υπάρχει ( )k 01isin τέτοιο ώστε ( )g k 0gt

Έχουmicroε λοιπόν ( ) ( )g k g 1 0sdot lt και επειδή η συνάρτηση g είναι συνε-

χής στο [ ]k1 από το θεώρηmicroα του Bolzano θα υπάρχει

( ) ( )m k1 01isin sube τέτοιο ώστε ( )g m 0=

Τέλος καθώς στο διάστηmicroα [ ]0m η g ικανοποιεί τις υποθέσεις του

θεωρήmicroατος του Rolle θα υπάρχει ( ) ( )ξ 0 m 01isin sube τέτοιο ώστε

( )g ξ 0prime = ∆ηλαδή ( )ƒ ξ 2ξprime =

22

3ος

τρόπος λύσης

Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) 2g x ƒ x x= minus [ ]x 01isin

Είναι g(0) = 0 και ( ) 1g 1

2= minus

Επίσης ( ) ( )g x ƒ x 2xprime prime= minus άρα ( ) ( )g 0 f 0 0prime prime= gt

Με εφαρmicroογή του θεωρήmicroατος Μέσης Τιmicroής για την g στα 1

02

και

11

2

βρίσκουmicroε ότι υπάρχουν 1

1x 0

2

isin

και 2

1x 1

2

isin

τέτοια

ώστε

( )1

1 1f

2 4g x

1

2

minus prime = και ( )2

1 1 1f

2 2 4g x

1

2

minus minus minus prime =

Και επειδή ( ) ( )1 2g x g x 1prime prime+ = minus προφανώς ένα τουλάχιστον από τα

( ) ( )1 2g x g xprime prime θα είναι υποχρεωτικά αρνητικό

Έστω λοιπόν ότι είναι ( )1g x 0prime lt

Τότε καθώς η gprime είναι συνεχής στο [ ]10 x και ( ) ( )1g 0 g x 0prime primesdot lt από

το θεώρηmicroα του Bolzano βρίσκουmicroε ότι θα υπάρχει ένα τουλάχιστον

( ) ( )1ξ 0 x 01isin sube τέτοιο ώστε ( )g ξ 0prime = ∆ηλαδή ( )ƒ ξ 2ξprime =

4ος

τρόπος λύσης (προτάθηκε από τον Σεραφείmicro Σαmicroορέλη καθηγητή στο

8ο ΓΕΛ Τρικάλων)

Έστω η συνάρτηση w(x) ƒ (x) 2xprime= minus microε [ )x 01isin για την οποία ι-

σχυριζόmicroαστε ότι w(x) 0ne στο [ )01

Επειδή στο διάστηmicroα [ )01 η συνάρτηση w είναι συνεχής microε

w(x) 0ne προκύπτει ότι η w διατηρεί σταθερό πρόσηmicroο στο [ )01

23

Είναι w(0) ƒ (0) 2 0 ƒ (0) 0prime prime= minus sdot = gt άρα w(x) 0gt για κάθε [ )x 01isin

οπότε και ƒ (x) 2xprime gt για κάθε [ )x 01isin (1)

Με εφαρmicroογή του ΘΜΤ για την ƒ στα διαστήmicroατα 1

02

και 1

12

προκύπτει ότι θα υπάρχουν 1

1x 0

2

isin

και 2

1x 1

2

isin

τέτοια ώστε

1

1ƒ ƒ(0)

2ƒ (x )

1

2

minus prime = και

( )2

1ƒ 1 ƒ

2ƒ (x )

1

2

minus prime =

Με πρόσθεση κατά microέλη παίρνουmicroε

1 2

1 1 1ƒ ƒ(0) ƒ(1) ƒ2 2 2ƒ (x ) ƒ (x ) 1

1 1

2 2

minus + minus prime prime+ = = = (2)

Όmicroως από τη σχέση (1) έχουmicroε 1 1

2 2

ƒ (x ) 2x

ƒ (x ) 2x

prime gt

prime gt και microε πρόσθεση κατά

microέλη παίρνουmicroε

( )2

1 2 1 2 1 2 1 2

1ƒ (x ) ƒ (x ) 2x 2x 1 2x 2x x x

2prime prime+ gt + hArr gt + hArr + lt

που είναι άτοπο καθώς 1

2

10 x

2

1x 1

2

lt lt lt lt

Εποmicroένως o ισχυρισmicroός ότι στο [ )01 είναι w(x) 0ne δεν ευσταθεί

Οπότε θα υπάρχει ( )ξ 01isin τέτοιο ώστε w(ξ) 0 ƒ (ξ) 2ξprime= hArr = (το ξ

αυτό δεν microπορεί να είναι ίσο microε 0 αφού w(0) 0gt )

24

Μια πρόταση

Έστω f και g δυο συναρτήσεις συνεχείς στο διάστηmicroα [ ]αβ για τις

οποίες ισχύει ( ) ( )f x g xgt για κάθε [ ]x αβisin

Υπάρχει πάντοτε θετικός r τέτοιος ώστε ( ) ( )f x g x rgt + για κάθε

[ ]x αβisin

Ένα ερώτηmicroα

Ποιος προβληmicroατισmicroός γεωmicroετρικής υφής θα microπορούσε να microας οδη-

γήσει στη διατύπωση της παραπάνω πρότασης

Απόδειξη της πρότασης

Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) ( )h x f x g x= minus [ ]x αβisin

Η h είναι συνεχής microε θετικές τιmicroές στο [ ]αβ οπότε θα παρουσιάζει

ελάχιστο έστω ίσο microε m mgt0

Άρα ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m mh x m f x g x m f x g x

2 2ge rArr minus ge gt rArr gt +

Οπότε ( ) ( )f x g x rgt + m

r2= microε ( )r 0misin

Σηmicroείωση

Τα παραδείγmicroατα microαθηmicroατικών που συmicroπεριέλαβα στο παρόν άρθρο ανα-

πτύχθηκαν και σε οmicroιλία microου στην Ελληνογαλλική Σχολή Καλαmicroαρί της

Θεσσαλονίκης (27 Φεβρουαρίου 2016) microε θέmicroα τα Ποιοτικά Χαρακτηριστι-

κά στη ∆ιδασκαλία των Μαθηmicroατικών Επίσης κάποια από αυτά χρησιmicroο-

ποιήθηκαν σε σεmicroινάριο ∆ιδακτικής Μαθηmicroατικών που ανέπτυξα στα Τρί-

καλα (5 και 12 Απριλίου 2016)

Αφιέρωση

Το άρθρο αυτό αφιερώνεται στη microνήmicroη του Νίκου Κλαουδάτου καθηγητή

microου κατά τα έτη 2000-2002 στο ΠΜΣ της ∆ιδακτικής και Μεθοδολογίας

των Μαθηmicroατικών στο Τmicroήmicroα Μαθηmicroατικών του ΕΚΠΑ

25

Βιβλιογραφικές αναφορές

Ξενόγλωσσες

[1] Cobb P Wood T Yackel E amp McNeal B (1992) Characteristics of clas-

room mathematics traditions An interactional analysis American Educa-

tional Research Journal 29 573-604

[2] Cobb P amp Steffe L P (1993) The constructivist researcher as the teacher

and model builder Journal for Research in Mathematics Education vol 14

pp 83-94

[3] Eisenberg T amp Dreyfus T On the reluctance to visualize in Mathematics in

Zimmerman W amp Cunnigham S (Eds) 1991 Visualization in teaching

and learning mathematics p 25-37 MAA notes no 19 Mathematical Asso-

ciation of America

[4] Vinner S Visual considerations in College Calculus ndash Students and Teach-

ers in Vermandel A amp Steiner Hans-Georg (Eds) 1988 Theory of mathe-

matics Educations (Proceeding of the third international conferens Andwerp

11-15 July 1988) p 109-116

[5] Year Book 2001 The Roles of Representation in School Mathematics Na-

tional Council of Teachers of Mathematics

Ελληνόγλωσσες

[6] Ανδρεαδάκης Σ Κατσαργύρης Β Μέτης Σ Μπρουχούτας Κ Παπα-

σταυρίδης Σ και Πολύζος Γ (2015) Μαθηmicroατικά Γ΄ Γενικού Λυκείου Οmicroά-

δας Προσανατολισmicroού Θετικών Σπουδών και Σποδών Οικονοmicroίας amp Πληρο-

φορικής Αθήνα ΙΕΠ amp ΙΤΥΕ ∆ιόφαντος

[7] Κατσαργύρης Β Μεντής Κ Παντελίδης Γ και Σουρλάς Κ (1994) Μα-

θηmicroατικά Γ΄ Λυκείου ndash Ανάλυση Αθήνα ΟΕ∆Β

[8] Κλαουδάτος Ν (2011) Σηmicroειώσεις ∆ιδακτικής Μαθηmicroατικών 1) Εισαγωγή

στη γνωσιακή θεωρία 2) Βασικές αρχές της θεωρίας Vygotsky Μεταπτυχιακό

Πρόγραmicromicroα Σπουδών ∆ιδακτικής και Μεθοδολογίας των Μαθηmicroατικών

Τmicroήmicroα Μαθηmicroατικών ΕΚΠΑ

[9] Κλαουδάτος Ν (2011) Σηmicroειώσεις ∆ιδακτικής Μαθηmicroατικών 1) ∆ιδασκαλία

και microάθηση των microαθηmicroατικών microε διαδικασίες επίλυσης προβληmicroάτων 2) Εισα-

γωγή στη Θεωρία της ∆ιδασκαλίας Μεταπτυχιακό Πρόγραmicromicroα Σπουδών ∆ιδα-

κτικής και Μεθοδολογίας των Μαθηmicroατικών Τmicroήmicroα Μαθηmicroατικών ΕΚΠΑ

26

[10] Μάκρας Στρ Γεωmicroετρική εποπτεία και απόδειξη άρθρο στο περιοδικό Ευ-

κλείδης Β΄ τχ 25 (Ιούλιος-Αύγουστος-Σεπτέmicroβριος 1997) σσ 11-17 Αθήνα

Έκδοση της ΕΜΕ

[11] Νεγρεπόντης Σ Γιωτόπουλος Σ amp Γιαννακούλιας Ε (2000) Απειροστικός

Λογισmicroός τόmicroος IIα Αθήνα Εκδόσεις Συmicromicroετρία

[12] Ντρίζος ∆ (2002) Πλεονεκτήmicroατα της γεωmicroετρικής αναπαράστασης των microα-

θηmicroατικών εννοιών Η απόδειξη του θεωρήmicroατος της Μέσης Τιmicroής του διαφο-

ρικού λογισmicroού για συναρτήσεις microιας ή δύο πραγmicroατικών microεταβλητών Ευκλεί-

δης Γ΄ τχ 77 (Ιούλιος-∆εκέmicroβριος 2012) σσ 31-45 Αθήνα Έκδοση της

ΕΜΕ

[13] Ντρίζος ∆ Τα βασικά θεωρήmicroατα του ∆ιαφορικού Λογισmicroού άρθρο στο περι-

οδικό Ευκλείδης Γ΄ τχ 70 (Ιανουάριος-Ιούνιος 2009) σσ 5-23 Αθήνα Έκδο-

ση της ΕΜΕ

[14] Ντρίζος ∆ ∆ιδακτική Αξιοποίηση Προβληmicroάτων Επαγωγικής Συλλογιστικής

στο Πλαίσιο Ανάπτυξης Ιδεών του G Polya άρθρο στο περιοδικό Ευκλείδης

Γ΄ τχ 73 (Ιούλιος-∆εκέmicroβριος 2010) σσ 29-48 Αθήνα Έκδοση της ΕΜΕ

[15] Polya G (2001) Η Μαθηmicroατική Ανακάλυψη τόmicroος 1 (microτφ Στεργιάκη Σπύ-

ρου) Αθήνα Εκδόσεις Κάτοπτρο

[16] Ρίζος Γ (2005) Οι περιπέτειες του Προβλήmicroατος στα σχολικά Μαθηmicroατικά

Θεσσαλονίκη Εκδόσεις Μαθηmicroατική Βιβλιοθήκη

[17] Spivak Michael (1991) ∆ιαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισmicroός (microτφ Γιαν-

νόπουλου Απ) Ηράκλειο Πανεπιστηmicroιακές Εκδόσεις Κρήτης

3

Και ως σχολικός σύmicroβουλος εκτιmicroώ ότι αυτό που σήmicroερα προέχει εί-

ναι να εmicroπνεύσουmicroε τους εκπαιδευτικούς της τάξης Να τους βοηθήσουmicroε

ουσιαστικά στο έργο τους της καθηmicroερινής διδακτικής και παιδαγωγικής

τους πρακτικής Να κερδίσουmicroε έντιmicroα την εmicroπιστοσύνη τους Με στοχευ-

microένες επιmicroορφωτικές συναντήσεις microαζί τους καλές διδακτικές και παιδαγω-

γικές πρακτικές και κυρίως microε την ανάπτυξη θεmicroατικών εργαστηρίων

11 Η ∆Ι∆ΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΙ

Ένα από τα πλέον κρίσιmicroα προβλήmicroατα που σχετίζονται microε τη διδασκαλία

των Μαθηmicroατικών σε microαθητές Λυκείου και όχι microόνον είναι και εκείνο της

ανάπτυξης από τον διδάσκοντα ενός κατάλληλου microαθησιακού περιβάλλο-

ντος ώστε οι νέες γνώσεις να κατανοούνται σε βάθος και να εντάσσονται

στο σύστηmicroα των microαθηmicroατικών γνώσεων που έχουν ήδη στο νου τους οι

microαθητές

Το πρόβληmicroα αυτό είναι βέβαια σύνθετο˙ και έχει απασχολήσει microέχρι

σήmicroερα ως διεπιστηmicroονικό πρόβληmicroα αιχmicroής πάρα πολλούς ερευνητές από

διάφορους χώρους και κυρίως από το χώρο της ∆ιδακτικής των Μαθηmicroατι-

κών και της Γνωστικής Ψυχολογίας (βλ [8] σελ 2) Η σύνταξη γενικών

και ειδικών κατά περίπτωση οδηγιών το προσεγγίζουν σε ένα πρώτο επίπε-

δο δεν δίνουν όmicroως τη λύση Και αυτό γιατί τα Μαθηmicroατικά εκτός από την

ενδογενή τους δυσκολία που οφείλεται και στην ιδιαιτερότητα της συmicroβο-

λικής τους γλώσσας δεν είναιndash ούτε και θα microπορούσαν να είναιndash microόνο ένα

σύνολο από διάφορες τεχνικές επίλυσης ασκήσεων

Το πρόβληmicroα της εmicroπέδωσης νέων γνώσεων εξαρτάται και από πολ-

λούς παράγοντες που δεν σχετίζονται υποχρεωτικά microε το microαθηmicroατικό υπό-

βαθρο των εmicroπλεκοmicroένων microερών Ο ρόλος της προσωπικότητας του καθη-

γητή και η εκπαιδευτική του κουλτούρα τα ενδιαφέροντα των microαθητών αλ-

4

λά και η ικανότητά τους για σύνθεση και αφαίρεση είναι microερικές βασι-

κές παράmicroετροι που επηρεάζουν το πρόβληmicroα microε αποτέλεσmicroα να microην microπο-

ρεί να αναχθεί microόνο σε θέmicroα microαθηmicroατικής κατάρτισης των διδασκόντων

Αναδύεται εδώ ένα κρίσιmicroο ερώτηmicroα που θα microπορούσε να διατυπωθεί

ως εξής

Εντάξει σκιαγραφήσαmicroε microε microεγάλη συντοmicroία κάποιους γενικούς

προβληmicroατισmicroούς για ένα σύνθετο πρόβληmicroα Θα microπορούσε επίσης

να επισηmicroάνει κανείς microε περισσότερες λεπτοmicroέρειες και άλλους

παράγοντες που επηρεάζουν το πρόβληmicroα της διδασκαλίας των

Μαθηmicroατικών Τι microπορούmicroε όmicroως να κάνουmicroε για την αντιmicroετώπι-

σή του

Η συνήθης πρακτική microας λέει ότι όταν δεν microπορούmicroε να δώσουmicroε microια

ακριβή λύση σε ένα πρόβληmicroα η προσοχή microας πρέπει να εστιάζεται στην

αναζήτηση διαφόρων προσεγγίσεων οι οποίες θα microας επέτρεπαν να άρουmicroε

πρακτικά ένα microέρος (microικρό ή microεγαλύτερο κάθε φορά) των ανασταλτικών

παραγόντων που επηρεάζουν την επίλυση του προβλήmicroατος Ας γίνουmicroε

όmicroως πιο συγκεκριmicroένοι microε ορισmicroένες κρίσιmicroες επισηmicroάνσεις που αφορούν

τα Μαθηmicroατικά και τη διδασκαλία τους

Κατά τις απόψεις όσων ενστερνίζονται κυρίως το δασκαλοκεντρικό microο-

ντέλο διδασκαλίας η ουσία των Μαθηmicroατικών εδράζεται στην εσωτερική

δοmicroική τους τελειότητα˙ και η διδασκαλία τους ακολουθεί το πρότυπο της

έκθεσης έτοιmicroων microαθηmicroατικών αποτελεσmicroάτων στην τελική ολοκληρωmicroέ-

νη τους microορφή αδιαφορώντας κατά κανόνα για την πορεία της επινόησής

τους αλλά και για τις φάσεις της σύλληψης των κρίσιmicroων ιδεών Μια δι-

δασκαλία που διαπνέεται από τέτοιες αντιλήψεις δε λύνει πιστεύουmicroε κα-

νένα διδακτικό πρόβληmicroα Και αυτό γιατί οι υποστηρικτές τέτοιων αντιλή-

ψεων δεν αποδέχονται την ύπαρξη διδακτικών προβληmicroάτων αλλά θεω-

ρούν ότι όλα ανάγονται σε ζητήmicroατα (microόνον) καλού ή κακού επιστήmicroονα

microαθηmicroατικού και καλού ή κακού microαθητή Στη βάση ενός τέτοιου microοντέλου

λειτουργεί το microονόδροmicroο δίπολο

5

Καθηγητής (αυθεντικός φορέας της γνώσης)

Μαθητής (παθητικός αποδέκτης έτοιmicroων γνώσεων)

Και microεταξύ των εmicroπλεκοmicroένων microερών (καθηγητής ndash microαθητής) κυριαρ-

χεί συνήθως ο microονόλογος του καθηγητή ή κάποιος κατ επίφαση διάλογος

που εξαντλείται όmicroως στην υποβολή τυπικών ερωτήσεων από το διδάσκο-

ντα και τη διατύπωση microιας αναmicroενόmicroενης απάντησης από τους ίδιους πάντα

καλούς microαθητές Όποιες άλλες ατελείς απαντήσεις κατά κανόνα δεν γίνο-

νται αποδεκτές δεν αξιολογούνται˙ και δεν αξιοποιούνται διδακτικά

Το microοντέλο διδασκαλίας που παραπάνω σκιαγραφήσαmicroε δεν microπορεί

(και δεν πρέπει) να έχει πλέον θέση στην εποχή microας καθώς αφήνει αδιάφο-

ρη και έξω από το παιχνίδι της microάθησης την πλειονότητα των microαθητών

Μια άλλου είδους διδασκαλία που θα παίρνει υπόψη της τις σύγχρονες α-

ντιλήψεις και τάσεις της ∆ιδακτικής των Μαθηmicroατικών πρέπει να πάρει τη

θέση της Οι καινούργιες microαθηmicroατικές έννοιες και προτάσεις πρέπει να ει-

σάγονται και να εξελίσσονται microε φυσικό τρόπο microέσα σε ένα διδακτικό πε-

ριβάλλον όπου κυρίαρχος θα είναι ο ρόλος του ουσιαστικού διαλόγου και

του δηmicroιουργικού προβληmicroατισmicroού Οι microαθητές πρέπει να βρίσκονται στο

επίκεντρο της microαθησιακής διαδικασίας˙ και ο ρόλος του διδάσκοντα να εί-

ναι (κυρίως) αυτός του καλού συντονιστή που υποβάλλει στην κατάλληλη

στιγmicroή εύστοχες ερωτήσεις που έχουν στόχο να προωθούν διαδικασίες έ-

ρευνας και γόνιmicroου προβληmicroατισmicroού στη σχολική τάξη

Η διδασκαλία είναι ανάγκη να συmicroβάλλει ώστε ο microαθητής πρώτον

να σχηmicroατίζει στο microυαλό του οπωσδήποτε microία ή και περισσότερες εποπτι-

κές εικόνες για καθεmicroιά έννοια και πρόταση και δεύτερον να ανακαλύ-

πτει τη διασύνδεσή τους microε άλλες προηγούmicroενες σχετικές γνώσεις του

Σ αυτό το σηmicroείο κρίνουmicroε σκόπιmicroο να κάνουmicroε και κάποιες νύξεις

για την ουσία και το ρόλο των αναπαραστάσεων στη διδασκαλία των Μα-

θηmicroατικών Προκειmicroένου ο microαθητής να λύσει ένα πρόβληmicroα που του έχει

θέσει ο καθηγητής του κάνει microια σειρά συλλογισmicroών οι οποίοι βασίζονται

σε διάφορες αναδιατυπώσεις του προβλήmicroατος˙ δηmicroιουργεί microε τον τρόπο

6

αυτό διάφορες νέες εικόνες που εδράζονται στην πρώτη διατύπωση των

ερωτηmicroάτων Τις εικόνες αυτές τις λέmicroε (και) αναπαραστάσεις του προ-

βλήmicroατος Και οι εικόνες αυτές microπορεί να είναι εσωτερικές (νοητικές-

συmicroβολικές) ή εξωτερικές Στις εξωτερικές αναπαραστάσεις εντάσσονται

και οι λεγόmicroενες γεωmicroετρικές αναπαραστάσεις οι οποίες αποδίδονται ως

γεωmicroετρικά σχήmicroατα γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων ιστογράmicromicroατα

ραβδογράmicromicroατα κυκλικά διαγράmicromicroατα κλπ (βλ [3] [4] και [12]) Σε microια

διαδικασία που microας ενδιαφέρει microόνον η αυστηρή διατύπωση των αποδείξε-

ων και καθόλου ή σχεδόν καθόλου η πορεία της σύλληψης των ιδεών κυ-

ριαρχούν οι νοητικές-συmicroβολικές αναπαραστάσεις και οι αφαιρετικές δι-

αδικασίες

Στην πρότασή microας οι γεωmicroετρικές αναπαραστάσεις (εποπτεία) δεν ει-

σάγονται microε σκοπό να ερmicroηνεύσουν microια microαθηmicroατική πρόταση microετά από την

απόδειξή τους αλλά να συmicroβάλουν από την αρχή στην επινόηση κάποιου

γεωmicroετρικού επιχειρήmicroατος το οποίο πρώτον θα αιτιολογεί τη σύλληψη

της πρότασης και δεύτερον θα microας δίνει και κάποιες ιδέες για την απόδειξή

της (βλ [12] σελ 32-33)

Είναι σηmicroαντικό να σηmicroειώσουmicroε εδώ το εξής Πριν καταλήξει κανείς

στη διατύπωση της λύσης ενός προβλήmicroατος δεν έχει προηγηθεί η εξίσου

σοβαρή φάση της επώασης και της σύλληψης των ιδεών στη βάση κάποιων

αναπαραστάσεων Γιατί λοιπόν να αποσιωπούmicroε και να microην αξιοποιούmicroε

φανερά και microε καθαρό τρόπο τη φάση αυτή

Σχετικά τώρα microε την επικέντρωση της διδασκαλίας των Μαθηmicroατικών

στην αυστηρή έκθεση των τελικών αποτελεσmicroάτων της αφαίρεσης ο

γάλλος πολωνικής καταγωγής microαθηmicroατικός Benoit Mandelbrot που εισή-

γαγε το 1975 τον όρο Fractals microας λέει τα εξής

laquoΕίmicroαι βαθύτατα πεπεισmicroένος ότι πολύ συχνά microάλλον χάνουmicroε

παρά κερδίζουmicroε microε την εξαρχής καταναγκαστική αφαίρεση και

microε την υπερβολική σηmicroασία που δίνουmicroε στην τακτοποίηση των

microαθηmicroατικών εννοιών και των προτάσεωνraquo

7

12 ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ∆Ι∆ΑΚΤΙΚΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ

Τα Μαθηmicroατικά αυτά καθαυτά χαρακτηρίζονται από την εσωτερική δοmicroική

τους τελειότητα Η διδασκαλία τους όmicroως είναι microια εντελώς διαφορετική

υπόθεση Είναι microια κατεξοχήν διαδικασία επικοινωνίας Επικοινωνία του

καθηγητή microε τους microαθητές του microε microια επιδίωξη να κατακτήσουν οι microαθητές

του ορισmicroένες συγκεκριmicroένες κάθε φορά γνώσεις Και εδώ το κρίσιmicroο ε-

ρώτηmicroα που ανακύπτει είναι το εξής Αν ο καθηγητής γνωρίζει καλά την

ύλη που σκοπεύει να διδάξει το στοιχείο αυτό δεν είναι από microόνο του ικα-

νό ώστε να πραγmicroατοποιήσει microια ποιοτική και παράλληλα αποτελεσmicroατική

διδασκαλία Σίγουρα βέβαια η πολύ καλή γνώση της ύλης είναι οπωσδή-

ποτε αναγκαία συνθήκη Όmicroως δεν είναι από microόνη της και ικανή Ο καθη-

γητής είναι απαραίτητο να ξέρει και άλλα περισσότερα πράγmicroατα Και microε-

ταξύ αυτών να ξέρει πολύ καλά το γνωστικό επίπεδο των microαθητών του αλ-

λά και τον τρόπο microε τον οποίο αυτοί microαθαίνουν Να αγαπά τη δουλειά του

και να παίρνει χαρά και ικανοποίηση από τις microικρές ή microεγάλες επιτυχίες του

παιδευτικού του έργου

Πριν τη διδασκαλία ο καθηγητής καλείται να πάρει κρίσιmicroες αποφά-

σεις Και πρώτα απrsquo όλα να αποφασίσει ποιο microέρος της ενότητας που σκο-

πεύει να διδάξει είναι ανάγκη να το παρουσιάσει ο ίδιος στην τάξη Με

ποια σειρά και microε ποιο ακριβώς σχέδιο Κι όλα τα υπόλοιπα πρέπει να

ldquoβγουνrdquo microέσα από έναν καλοσχεδιασmicroένο και καλά συντονισmicroένο διάλογο

microε την τάξη Μια τάξη που υπό την εποπτεία του καθηγητή συνδιαλέγεται

microε στόχο να βρεθούν απαντήσεις στα ερωτήmicroατα που θέτει ο καθηγητής

Μια τάξη που προσοmicroοιάζει κατά κάποιον τρόπο microε εργαστήριο microάθησης

όπου ο καθηγητής ακούει προσεκτικά τις απαντήσεις που δίνονται και επι-

χειρεί συστηmicroατικά όταν κάποια απάντηση δεν είναι η αναmicroενόmicroενη να

φέρει τον microαθητή που την έδωσε στο σηmicroείο εκείνο που θα κατανοήσει ο

ίδιος την αστοχία ή το λάθος που έκανε Αυτό βέβαια είναι κάτι που θέλει

τον χρόνο του Κι εδώ πρέπει να κατανοήσουmicroε όλοι ότι αυτός ο χρόνος

της απαραίτητης αναmicroονής δεν είναι χαmicroένος χρόνος Μόνο έτσι microια πλη-

ροφορία των microαθηmicroατικών microπορεί εν δυνάmicroει στο νου του microαθητή να microε-

8

τεξελιχθεί σε γνώση Κι αυτό γιατί ο νους έχει ανάγκη κάποιου χρόνου ώ-

στε αφού πρώτα επεξεργαστεί τις πληροφορίες να τις εντάξει έπειτα σε

ένα προϋπάρχον γνωστικό σχήmicroα ή αν χρειάζεται να δηmicroιουργήσει και κά-

ποιο καινούριο γνωστικό σχήmicroα

Πέρα όmicroως απrsquo όλα τα παραπάνω να τονίσουmicroε εδώ την αξία και τον

ρόλο του διδακτικού υλικού που θα χρησιmicroοποιήσουmicroε για να ldquoδουλέψειrdquo η

τάξη δηmicroιουργικά Το υλικό αυτό θα πρέπει να υποβοηθά στη σύνδεση των

νέων γνώσεων που θέλουmicroε να διδάξουmicroε microε άλλες προϋπάρχουσες γνώ-

σεις και παράλληλα τα ερωτήmicroατά microας να στοχεύουν στην ανέλιξη της

δηmicroιουργικής και κριτικής σκέψης των microαθητών

Επίσης να σηmicroειώσουmicroε microε ιδιαίτερη έmicroφαση ότι η επιτυχής αντιmicroε-

τώπιση ενός microαθηmicroατικού προβλήmicroατος προϋποθέτει την πνευmicroατική συ-

γκέντρωση του microαθητή πάνω στα ερωτήmicroατα που συγκροτούν το πρόβλη-

microα Πειθαρχηmicroένη σκέψη αλλά και επιmicroονή ώστε αφού πρώτα κατανοήσει

σηmicroείο προς σηmicroείο όλες τις πληροφορίες που του δίνονται να αναζητήσει

έπειτα την κρίσιmicroη ιδέα που θα του επιτρέψει να ldquoξεκλειδώσειrdquo το πρόβλη-

microα Να δει προσεκτικά τη σχέση αυτής της ιδέας microε τις υποθέσεις και τα

συmicroπεράσmicroατα του προβλήmicroατος Να αναλύσει αυτές τις συνδέσεις κατά

τρόπο που θα του επιτρέψουν να κάνει και το επόmicroενο κρίσιmicroο βήmicroα Να

διατυπώσει τη λύση του προβλήmicroατος

2 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΩΝ ∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΩΝ ndash

Η ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΗΣ ΓΝΩΣΗΣ ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ

ΜΙΑΣ ldquo∆ΙΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗΣrdquo ΤΑΞΗΣ

Ξεκινώντας από την κοινά αποδεκτή θέση ότι κάθε διδασκαλία πρέπει να

στοχεύει στην ουσιαστική κατάκτηση των γνώσεων από τους microαθητές microας

κρίνουmicroε σκόπιmicroο να αναφερθούmicroε σε ορισmicroένες προϋποθέσεις που πιστεύ-

ουmicroε ότι ευνοούν microια διδασκαλία των microαθηmicroατικών microε έmicroφαση στην ανά-

πτυξη ερευνητικών δραστηριοτήτων Και ως πρώτη προϋπόθεση θεωρούmicroε

9

την ενσυνείδητη εmicroπλοκή του microαθητή στις διαδικασίες της microάθησης Είναι

απαραίτητο πρώτα απrsquo όλα να πεισθεί ο microαθητής ότι η εν λόγω γνώση τον

ενδιαφέρει και η προσωπική του συmicromicroετοχή σrsquo αυτήν τη διαδικασία microετράει

και έχει νόηmicroα ότι έτσι συmicroβάλλει κι αυτός microε τον δικό του τρόπο στην κα-

τασκευή και διαmicroόρφωση της νέας γνώσης και δεν είναι απλά ένας παθητι-

κός δέκτης ασύνδετων κατά κανόνα πληροφοριών Με αυτές τις προϋπο-

θέσεις δηmicroιουργείται microια τάξη στην οποία οι microαθητές συmicromicroετέχουν στην

αναζήτηση και επινόηση της γνώσης Και ο ρόλος εδώ του διδάσκοντα εί-

ναι κυρίως αυτός του εmicroπνευστή του καθοδηγητή και του καλού συντονι-

στή που υποβάλλει στην κατάλληλη στιγmicroή εύστοχες ερωτήσεις οι οποίες

προωθούν διαδικασίες έρευνας και γόνιmicroου προβληmicroατισmicroού Μια τάξη

στην οποία ο διδάσκων θέτει προβλήmicroατα προς λύση και συγχρόνως λει-

τουργεί διευκολυντικά στη διαπραγmicroάτευσή τους δηmicroιουργεί microια διερευνη-

τική τάξη microαθηmicroατικών (βλ [1])

Σε τέτοιες τάξεις microαθηmicroατικών οι microαθητές στην πορεία διαπραγmicroά-

τευσης κάποιου προβλήmicroατος οδηγούνται σταδιακά υπό την καθοδήγηση

του διδάσκοντα από τη microελέτη επιmicroέρους περιπτώσεων στη διατύπωση ε-

πεκτάσεων και γενικεύσεων microια ικανότητα η οποία σχετίζεται microε τη microαθη-

microατική ανακάλυψη την επινόηση δηλαδή των κρίσιmicroων ιδεών που microάς δεί-

χνουν το δρόmicroο για τη λύση Σ΄ αυτήν τη δηmicroιουργική πορεία και καθώς ο

microαθητής αναζητά επίmicroονα τη λύση κάποιου προβλήmicroατος σηmicroαντικό ρόλο

παίζει και η διαίσθηση που βασίζεται κυρίως στην εποπτεία (κατά τον

Richard Courant η έλλειψη της εξάρτησης των αποδείξεων από τη διαί-

σθηση οδηγεί σε microαθηmicroατική ατροφία)

Με τις παραπάνω σκέψεις επιχειρούmicroε να διευκρινίσουmicroε τις παιδευ-

τικές προθέσεις microιας διερευνητικής τάξης microαθηmicroατικών και παράλληλα να

αναπτύξουmicroε περαιτέρω το διδακτικό σχήmicroα του G Polya για ένα περιβάλ-

λον διερευνητικής διδασκαλίας και microάθησης όπου οι microαθητές για την επί-

λυση ενός προβλήmicroατος

(α) πειραmicroατίζονται και παρατηρούν στο πλαίσιο της επαγωγικής συλλογι-

στικής αντιmicroετωπίζουν δηλαδή πρώτα-πρώτα επιmicroέρους περιπτώσεις

του προβλήmicroατος (ειδικεύσεις)

10

(β) εντοπίζουν microια ιδιότητα ή microια κατάσταση που συνήθως εmicroφανίζεται σε

όλες τις επιmicroέρους περιπτώσεις που εξέτασαν

(γ) διατυπώνουν εικασίες (βλ [9] σελ 57)

(δ) επινοούν ένα σχέδιο για τη microαθηmicroατική απόδειξη των εικασιών το ο-

ποίο στη συνέχεια τροποποιούν όσες φορές απαιτηθεί έως ότου κατα-

λήξουν στο επιθυmicroητό αποτέλεσmicroα

(ε) ελέγχουν αν τα αποδεικτικά βήmicroατα που ακολούθησαν καθώς και το

συmicroπέρασmicroα στο οποίο κατέληξαν είναι απολύτως συνεπή προς όλες

τις υποθέσεις του προβλήmicroατος και

(στ) προσπαθούν να δούν το υπό microελέτη πρόβληmicroα ως ειδίκευση ενός γενι-

κού προβλήmicroατος και ακολούθως να microελετήσουν αυτό το γενικό

πρόβληmicroα

Έχουmicroε τη γνώmicroη ότι ο διάλογος που θα αναπτυχθεί microε έναυσmicroα την

αναζήτηση απαντήσεων σε ερωτήmicroατα τέτοιων δραστηριοτήτων θα συmicro-

βάλλει ώστε να αναδειχθούν και εmicroπεδωθούν ιδέες και πρακτικές που βαθ-

microιαία βελτιώνουν τη microαθηmicroατική ικανότητα η οποία είναι τελικά και το

ποιοτικό ζητούmicroενο της microαθηmicroατικής εκπαίδευσης

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ

Το παρόν άρθρο συmicroπληρώνεται microε επιλεγmicroένα παραδείγmicroατα η διαπραγ-

microάτευση των οποίων υποστηρίζει τη συmicroβολή της γεωmicroετρικής εποπτείας

στη διδασκαλία των microαθηmicroατικών στο Λύκειο και αναδεικνύει τη δυναmicroική

τους στην ερmicroηνεία πραγmicroατικών καταστάσεων

11

Ενδεικτικά παραδείγmicroατα για διαπραγmicroάτευση στη σχολική τάξη

1 Από την εποπτεία και τη διαίσθηση στη microαθηmicroατική τακτοποίηση

της έννοιας της απόλυτης τιmicroής πραγmicroατικού αριθmicroού

Παράδειγmicroα 1

Σε έναν άξονα x xprime να θεωρήσετε τα σηmicroεία ( )A 1 και ( )B 5

α) Να βρείτε αν υπάρχουν και πόσα σηmicroεία ( )M x πάνω στον x xprime τέ-

τοια ώστε

i) MA MB 4+ =

ii) MA MB 1+ =

iii) MA MB 8+ =

β) Χρησιmicroοποιώντας το σύmicroβολο της απόλυτης τιmicroής ν α γράψετε τις γε-

ωmicroετρικές ισότητες i) ii) και iii) microε microορφή εξίσωσης και στη συνέχεια

να βρείτε τις ρίζες των εξισώσεων αυτών

Παράδειγmicroα 2

Σε έναν άξονα x xprime να πάρετε δύο οποιαδήποτε σηmicroεία ( )Α α και ( )Β β

και έπειτα να προσδιορίσετε γεωmicroετρικά τα σηmicroεία του άξονα στα οποία

αντιστοιχούν οι αριθmicroοί α ββ αminus minus και α β+

2 Μια ενότητα θεmicroάτων Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας που αναδεικνύουν

την ιδέα των διαδοχικών γενικεύσεων

21 Θεωρούmicroε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓκαι σηmicroείο Μ που κινείται στην υπο-

τείνουσα ΒΓ Από το Μ φέρνουmicroε τα κάθετα τmicroήmicroατα ΜΚ και ΜΛ

προς τις πλευρές ΑΒ και ΑΓαντίστοιχα Να προσδιορίσετε τη θέση του

Μ στη ΒΓ ώστε το microήκος το τmicroήmicroατος ΚΛ να γίνεται ελάχιστο

22 Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓκαι σηmicroείο Μ που κινείται στην πλευρά ΒΓ

Από το Μ φέρνουmicroε τα κάθετα τmicroήmicroατα ΜΚ και ΜΛ προς τις πλευρές

12

ΑΒ και ΑΓαντίστοιχα Να προσδιορίσετε τη θέση του Μ στη ΒΓ ώστε

το microήκος το τmicroήmicroατος ΚΛ να γίνεται ελάχιστο

23 Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓκαι σηmicroείο M που κινείται στην πλευρά ΒΓ

Φέρνουmicroε τα τmicroήmicroατα ΜΚ και ΜΛ όπου Κ σηmicroείο της πλευράς ΑΒ

και Λ σηmicroείο της πλευράς ΑΓτέτοια ώστε ΒΚΜ ΜΛΓ ω= = όπου ω

γωνία microε το ίδιο σταθερό microέτρο για οποιαδήποτε θέση του Μ Να προσδι-

ορίσετε τη θέση του Μ στη ΒΓ ώστε το microήκος το τmicroήmicroατος ΚΛ να γί-

νεται ελάχιστο

Σχόλιο

Τα επιmicroέρους θέmicroατα 21 22 και 23 της παραπάνω ενότητας θεmicroάτων Ευ-

κλείδειας Γεωmicroετρίας προτείνονται για διαπραγmicroάτευση στην τάξη στο πλαίσιο

microιας ερευνητικής δραστηριότητας που αναδεικνύει την ιδέα της γενίκευσης προ-

βλήmicroατος microε διαδοχικές microεταβολές των υποθέσεων διατηρώντας το ίδιο ζητούmicroε-

νο Εκτιmicroούmicroε ότι ανάλογες δραστηριότητες ndashυπό κατάλληλες βέβαια διδακτικές

προϋποθέσειςndash microπορούν εν δυνάmicroει να συmicroβάλλουν στην ανάπτυξη της δηmicroι-

ουργικής microαθηmicroατικής σκέψης

3 Παραδείγmicroατα που αναδεικνύουν τη φυσική ερmicroηνεία του θεωρή-

microατος του Rolle και του ΘΜΤ του Lagrange

31 Ας υποθέσουmicroε ότι microια συνάρτηση V(t) microετράει τον όγκο του αέρα

που βρίσκεται στους πνεύmicroονες ενός ανθρώπου ως προς το χρόνο t

κατά τη διάρκεια microιας αναπνοής

Υποθέτουmicroε ότι

α) η V είναι συνεχής και περιγράφεται από microια οmicroαλή καmicroπύλη

(γραφική παράσταση παραγωγίσιmicroης συνάρτησης)

β) η V(t) παίρνει την ίδια τιmicroή (περίπου 4 λίτρα) στο τέλος κάθε εισ-

πνοής

Ερώτηση Υπάρχει χρονική στιγmicroή κατά τη διάρκεια microιας αναπνοής

όπου microηδενίζεται ο ρυθmicroός microεταβολής του όγκου του αέρα που βρί-

σκεται στους πνεύmicroονες του ανθρώπου

13

32 Πετάmicroε κατακόρυφα προς τα πάνω microια microπάλα και την ξαναπιάνουmicroε

στο ίδιο ύψος από το οποίο την πετάξαmicroε

α) Να κάνετε πρόχειρα τη γραφική παράσταση της συνάρτησης θέσης

της microπάλας ως προς το χρόνο t

β) Υπάρχει χρονική στιγmicroή t1 που η ταχύτητα της microπάλας microηδενίζεται

Ποια είναι η κλίση (της εφαπτοmicroένης) της γραφικής παράστασης

της συνάρτησης θέσης στο σηmicroείο microε τετmicroηmicroένη t1

33 ∆ύο αυτοκίνητα είναι σταmicroατηmicroένα σrsquo ένα φανάρι το ένα δίπλα στο

άλλο Όταν το φανάρι ανάβει πράσινο ξεκινούν αλλά αναγκάζονται

και τα δύο να σταmicroατήσουν στο επόmicroενο φανάρι Έτσι βρίσκονται και

τα δύο σταmicroατηmicroένα πάλι το ένα δίπλα στο άλλο Υπάρχει χρονική

στιγmicroή κατά την οποία τα δύο αυτοκίνητα έτρεχαν microε την ίδια ταχύτη-

τα

34 Ένας σκιέρ κατεβαίνει microια πλαγιά ξεκινώντας από ένα σηmicroείο Α και

καταλήγοντας σε ένα σηmicroείο Β Υπάρχει περίπτωση ο σκιέρ να απο-

φύγει την κλίση του ευθ τmicroήmicroατος ΑΒ

35 Ο οδηγός ενός Jeep σκοπεύει από το σηmicroείο Α να φτάσει στο Β Η

πλαγιά ΑΒ ορίζεται από την καmicroπύλη ( )y ƒ x= και το Jeep microπορεί να

αναρριχηθεί σε κλίσεις έως 25 Ο οδηγός θα πετύχει το σκοπό του

Α

Β

15

0 m

05 Km

14

36 Ένα σωmicroατίδιο κινείται πάνω στον άξονα των τετmicroηmicroένων (των t)

Χρόνος t σε sec Θέση x(t) σε m

0 2

2 4

5 7

Ο πίνακας δείχνει τη θέση του σωmicroατιδίου σε τρεις χρονικές στιγmicroές

α) Να βρείτε η microέση ταχύτητα του σωmicroατιδίου στο χρονικό διάστηmicroα

[0 5]

β) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον χρονικές στιγmicroές

κατά τις οποίες η στιγmicroιαία ταχύτητα του σωmicroατιδίου είναι ίση microε

τη microέση ταχύτητα στο διάστηmicroα [0 5]

γ) Να εξετάσετε αν υπάρχει microία τουλάχιστον χρονική στιγmicroή κατά

την οποία η επιτάχυνση του σωmicroατιδίου microηδενίζεται

(βλ [13] σελ 11-12)

Θέmicroατα Ανάλυσης που αναδεικνύουν το ρόλο της γεωmicroετρικής εποπτείας

Παράδειγmicroα 1

Έστω κύκλος microε κέντρο ( )0Κ α 0α ne και ακτίνα ρ Αν f είναι microια

παραγωγίσιmicroη συνάρτηση τέτοια ώστε ( ) ( ) 0f α ρ f α ρminus = + = και η

γραφική της παράσταση έχει microε τον κύκλο ακόmicroη ένα τουλάχιστον

κοινό σηmicroείο να αποδείξετε ότι υπάρχουν ( )1 2 ξ ξ α ρ α ρisin minus + microε

( ) ( )1 21f ξ f ξprime primesdot = minus

Παράδειγmicroα 2

Μία συνάρτηση ƒ είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο Υπάρχει

περίπτωση η γραφική της παράσταση να microην τέmicroνει τον φορέα της διχοτό-

microου της πρώτης ορθής γωνίας των αξόνων Να αποδείξετε την εικασία σας

15

Παράδειγmicroα 3

Μια συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο ενώ

microια άλλη συνάρτηση g είναι συνεχής στο και τέτοια ώστε

( )limx

g xrarrminusinfin

= minusinfin και ( )limx

g xrarr+infin

= +infin

Να εξετάσετε αν οι γραφικές παραστάσεις των f και g τέmicroνονται

Παράδειγmicroα 4

Αν microια συνάρτηση ƒ είναι δύο φορές παραγωγίσιmicroη στο [α β] microε την

ιδιότητα ƒ(α) + ƒ(β) = α β

2 ƒ2

+ sdot

τότε υπάρχει ξisin(α β) τέτοιο ώ-

στε ( )ƒ ξ 0primeprime =

Σχόλιο

Το παράδειγmicroα 4 το συmicroπεριλάβαmicroε στο παρόν άρθρο όχι για να πα-

ρουσιάσουmicroε τη συνήθη τυπική του απόδειξη αλλά για να αναδείξουmicroε το

γεωmicroετρικό υπόβαθρο που βρίσκεται πίσω από τις συmicroβολικά διατυπωmicroένες

microαθηmicroατικές σχέσεις

xα βξ1

y

ξ2

Α

Μ

Γ Β

Λ(β ƒ(β))

ε1

ε2

Cƒ

α + β

2

Κ(α ƒα))

Ο

Μια ανάλυση των υποθέσεων

Η υπόθεση ƒ(α) + ƒ(β) = α β

2 ƒ2

+ sdot

γράφεται

16

[ ]1 α βƒ(α) ƒ(β) ƒ

2 2

+ + =

(1)

Το 1ο microέλος της υπόθεσης (1) είναι η τεταγmicroένη του microέσου Μ του

τmicroήmicroατος ΚΛ ενώ το 2ο microέλος είναι η εικόνα microέσω της ƒ του microέσου

του διαστήmicroατος [α β] Η πρώτη απλούστατη γεωmicroετρική ερmicroηνεία της

υπόθεσης (1) είναι ότι η γραφική παράσταση της ƒ τέmicroνει το τmicroήmicroα

ΚΛ στο microέσο του Μ

Επίσης το τετράπλευρο ΚΑΒΛ είναι (γενικά) τραπέζιο microε βάσεις

ΚΑ = ƒ(α) ΛΒ = ƒ(β) και διάmicroεσο την ΜΓ = α β

ƒ2

+

Η υπόθεση (1) σε γεωmicroετρική γλώσσα γράφεται

ΚΑ ΚΒΜΓ

2

+=

σχέση η οποία από την Ευκλείδεια Γεωmicroετρία συνδέει το microήκος της

διαmicroέσου του τραπεζίου ΚΑΒΛ microε τα microήκη των βάσεών του

Το γεγονός ότι η ƒ είναι δύο φορές παραγωγίσιmicroη άρα και microία φορά

microας δηλώνει ότι η γραφική παράσταση της ƒ είναι microια οmicroαλή κα-

microπύλη η οποία δέχεται εφαπτοmicroένη (όχι κατακόρυφη) σε κάθε σηmicroείο

της

Προσέγγιση θεωρητικής τεκmicroηρίωσης

Από τη διαίσθησή microας που βρίσκεται σε πλήρη αρmicroονία microε το Θεώ-

ρηmicroα Μέσης Τιmicroής του ∆ιαφορικού Λογισmicroού υπάρχουν οι εφαπτό-

microενες ευθείες ε1 και ε2 της Cƒ παράλληλες προς την ΚΛ microε συντελε-

στές διεύθυνσης αντίστοιχα ƒ΄(ξ1) και ƒ΄(ξ2)

ƒ΄(ξ1) = λΚΜ ξ1isinα β

α2

+

Είναι

ƒ΄(ξ2) = λΜΛ ξ2isinα β

β2

+

Όmicroως λΚΜ = λΜΛ οπότε ƒ΄(ξ1) = ƒ΄(ξ2) και microε απλή εφαρmicroογή του Θε-

17

ωρήmicroατος του Rolle για τη συνάρτηση ƒ΄ στο [ξ1 ξ2] παίρνουmicroε το

ζητούmicroενο ƒ΄΄(ξ) = 0 όπου ξisin(ξ1 ξ2)

Προβληmicroατισmicroός

Θα microπορούσαmicroε να καταλήξουmicroε στην ƒ΄(ξ1) = ƒ΄(ξ2) στηριζόmicroενοι

στο γεγονός ότι το ΚΑΒΛ είναι τραπέζιο

xξ1

y

ξ2Α

Μ

Γ Β

Λ

Κω

ω

Μ΄

Λ΄

Ο

1 ΚΜ

2 ΜΛ

ΜΜ΄ ΜΓ ΚΑƒ (ξ ) λ εφω (2)

ΚΜ΄ ΑΓΈχουmicroε

ΛΛ΄ ΛΒ ΜΓƒ (ξ ) λ εφω (3)

ΜΛ΄ ΓΒ

minusprime = = = =

minusprime = = = =

Τα τελευταία κλάσmicroατα των (2) και (3) είναι ίσα γιατί ΑΓ = ΓΒ και

ΜΓ ndash ΚΑ = ΛΒ ndash ΜΓ λόγω της σχέσης της διαmicroέσου ΜΓ του τρα-

πεζίου ΚΑΒΛ microε τις βάσεις του ΚΑ και ΛΒ Οπότε ƒ΄(ξ1) = ƒ΄(ξ2)

Η γεωmicroετρική ερmicroηνεία του παραπάνω θέmicroατος microάς επιτρέπει να δια-

τυπώσουmicroε την επόmicroενη γενίκευση

18

Μια γενίκευση διατυπωmicroένη εποπτικά

Έστω συνάρτηση ƒ δύο φορές παραγωγίσιmicroη στο [α β] και τα ση-

microεία Κ(α ƒ(α)) και Λ(β ƒ(β))

Αν το τmicroήmicroα ΚΛ και η γραφική παράσταση της ƒ τέmicroνονται τότε

υπάρχει ξisin(α β) τέτοιο ώστε ƒ΄΄(ξ) = 0

Η ιδέα για τη γενίκευση διατυπωmicroένη στη γλώσσα της Ανάλυσης

Αν στο παραπάνω παράδειγmicroα 4 ονοmicroάζαmicroε γ την τετmicroηmicroένη τού microέ-

σου Γ του ευθυγράmicromicroου τmicroήmicroατος ΑΒ τότε είναι γ α

1β γ

minus=

minus οπότε

α βΓ 0

2

+

Και αν παίρναmicroε το Γ(γ0) στο εσωτερικό του ΑΒ ώστε γ α κ

β γ λ

minus=

minus τό-

τε microε απλές πράξεις θα βρίσκαmicroε λα κβ

Γ 0κ λ

+ +

Η γενίκευση

Αν microια συνάρτηση f είναι δυο φορές παραγωγίσιmicroη στο διάστηmicroα

[ ]αβ microε την ιδιότητα ( ) ( ) ( ) λα κβλf α κf β κ λ f

κ λ

+ + = + +

όπου λα κβ

α βκ λ

+lt lt+

και κλ θετικοί ακέραιοι τότε υπάρχει

( )ξ αβisin τέτοιο ώστε ( )f ξ 0primeprime =

Παράδειγmicroα 5

Έστω συνάρτηση ƒ παραγωγίσιmicroη στο [0 1] microε συνεχή παράγωγο

για την οποία ισχύουν

( )ƒ 0 0= ( ) 1ƒ 1

2= και ( )ƒ 0 0prime gt

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ( )ξ 01isin τέτοιο ώστε ( )ƒ ξ 2ξprime =

19

Σχόλιο

Το παράδειγmicroα 5 το συζητήσαmicroε σε Εργαστήριο Εφαρmicroοσmicroένης ∆ι-

δακτικής των Μαθηmicroατικών (∆ Ντρίζος Ιανουάριος 2016 Καρδίτσα) για

να αναδείξουmicroε την παιδευτική αξία της αναζήτησης πολλών τρόπων λύσης

ενός microαθηmicroατικού ερωτήmicroατος)

1ος

τρόπος λύσης (του ∆ Ντρίζου)

Αρκεί να αποδείξουmicroε ότι η εξίσωση ( )( )2ƒ x x 0primeminus = έχει microία τουλά-

χιστον ρίζα στο διάστηmicroα ( )01 Και αυτό θα microπορούσε να προκύψει

microε εφαρmicroογή του θ του Rolle στη συνάρτηση ( ) ( ) 2g x ƒ x x= minus

[ ]x 01isin

Είναι ( )g 0 0= και ( ) ( ) 2 1 1g 1 ƒ 1 1 1

2 2= minus = minus = minus δηλαδή ( )g 1 0lt

Σχέδιο προσέγγισης του θέmicroατος

Επειδή ( )g 0 0= το ζητούmicroενο θα προέκυπτε microε εφαρmicroογή του θ του

Rolle για την g αν αποδεικνύαmicroε ότι υπάρχει αριθmicroός ( )α 01isin για

τον οποίο ( )g α 0=

Με βάση αυτή την ιδέα και παίρνοντας υπόψη ότι ( )g 1 0lt αναρω-

τιόmicroαστε microήπως θα microπορούσαmicroε να έχουmicroε κάποιο ( )β 01isin ώστε

( )g β 0gt οπότε microε εφαρmicroογή του θ του Bolzano στο διάστηmicroα [ ]β1

θα εξασφαλίζαmicroε την ύπαρξη αριθmicroού ( )α β1isin τέτοιου ώστε

( )g α 0=

Εφαρmicroογή του σχεδίου

Ισχυριζόmicroαστε ότι δεν υπάρχει κάποιο ( )β 01isin ώστε ( )g β 0gt Ισο-

δύναmicroα ότι για κάθε ( )x 01isin ισχύει ( )g x 0le

20

bull Στην περίπτωση που για κάποιο ( )x 01isin ισχύει ( )g x 0= τότε

καθώς έχουmicroε και ( )g 0 0= το ζητούmicroενο προκύπτει microε εφαρmicroογή

του θ Rolle

bull Ας εξετάσουmicroε τώρα τον ισχυρισmicroό ( )g x 0lt για κάθε ( )x 01isin

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

x 0 x 0

ƒ xg x 0 ƒ x x x

x

ƒ x ƒ 0lim lim x ƒ 0 0

x 0+ +rarr rarr

lt rArr lt rArr lt rArr

minusprimerArr lt rArr le

minus

που είναι άτοπο λόγω υπόθεσης Άρα υπάρχει κάποιο ( )β 01isin ώστε

( )g β 0gt

Με εφαρmicroογή του θ του Bolzano στο [ ]β1 παίρνουmicroε ότι υπάρχει

( )α β1isin τέτοιο ώστε ( )g α 0=

Και τέλος microε εφαρmicroογή του θ του Rolle για την g στο διάστηmicroα

[ ]0α παίρνουmicroε ότι υπάρχει ( ) ( )ξ 0α 01isin sube τέτοιο ώστε

( )g ξ 0prime = οπότε ( )ƒ ξ 2ξprime =

Σχόλια ndash Έλεγχος υποθέσεων

1 Στην παραπάνω λύση η υπόθεση ότι η ƒprime είναι συνεχής δεν microάς

χρειάστηκε

2 Η υπόθεση ( ) 1ƒ 1

2= θα microπορούσε να δίνεται γενικά ως ( )ƒ 1 θ= microε

θ 1lt

3 Ως ζητούmicroενο θα microπορούσαmicroε να έχουmicroε υπάρχει ( )ξ 01isin ώστε

( ) ν 1ƒ ξ νξ minusprime =

21

Μια γενίκευση

Έστω microια συνάρτηση ƒ παραγωγίσιmicroη στο [ ]01 για την οποία ισχύ-

ουν

( )f 0 0= ( )ƒ 1 θ 1= lt και ( )ƒ 0 0prime gt

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ( )ξ 01isin τέτοιο ώστε ( ) ν 1ƒ ξ νξ minusprime =

2ος

τρόπος λύσης (προτάθηκε από τον Θανάση Καραντάνα καθηγητή στο

4ο ΓΕΛ Καρδίτσας και τον Αιmicroίλιο Βλάστο καθηγητή στο Μουσικό

Σχολείο Καρδίτσας)

Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) 2g x ƒ x x= minus [ ]x 01isin

Είναι ( )g 0 0= και ( ) 1g 1

2= minus

Επίσης ( ) ( )g x ƒ x 2xprime prime= minus άρα ( ) ( )g 0 ƒ 0 0prime prime= gt

Οπότε από τον ορισmicroό της παραγώγου της g στο 0 από τα δεξιά

παίρνουmicroε

( ) ( ) ( )x 0 x 0

g x g 0 g xlim lim 0

x 0 x+ +rarr rarr

minus= gt

minus

Και επειδή x 0gt θα είναι και ( )g x 0gt κοντά στο 0 από τα δεξιά

Άρα θα υπάρχει ( )k 01isin τέτοιο ώστε ( )g k 0gt

Έχουmicroε λοιπόν ( ) ( )g k g 1 0sdot lt και επειδή η συνάρτηση g είναι συνε-

χής στο [ ]k1 από το θεώρηmicroα του Bolzano θα υπάρχει

( ) ( )m k1 01isin sube τέτοιο ώστε ( )g m 0=

Τέλος καθώς στο διάστηmicroα [ ]0m η g ικανοποιεί τις υποθέσεις του

θεωρήmicroατος του Rolle θα υπάρχει ( ) ( )ξ 0 m 01isin sube τέτοιο ώστε

( )g ξ 0prime = ∆ηλαδή ( )ƒ ξ 2ξprime =

22

3ος

τρόπος λύσης

Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) 2g x ƒ x x= minus [ ]x 01isin

Είναι g(0) = 0 και ( ) 1g 1

2= minus

Επίσης ( ) ( )g x ƒ x 2xprime prime= minus άρα ( ) ( )g 0 f 0 0prime prime= gt

Με εφαρmicroογή του θεωρήmicroατος Μέσης Τιmicroής για την g στα 1

02

και

11

2

βρίσκουmicroε ότι υπάρχουν 1

1x 0

2

isin

και 2

1x 1

2

isin

τέτοια

ώστε

( )1

1 1f

2 4g x

1

2

minus prime = και ( )2

1 1 1f

2 2 4g x

1

2

minus minus minus prime =

Και επειδή ( ) ( )1 2g x g x 1prime prime+ = minus προφανώς ένα τουλάχιστον από τα

( ) ( )1 2g x g xprime prime θα είναι υποχρεωτικά αρνητικό

Έστω λοιπόν ότι είναι ( )1g x 0prime lt

Τότε καθώς η gprime είναι συνεχής στο [ ]10 x και ( ) ( )1g 0 g x 0prime primesdot lt από

το θεώρηmicroα του Bolzano βρίσκουmicroε ότι θα υπάρχει ένα τουλάχιστον

( ) ( )1ξ 0 x 01isin sube τέτοιο ώστε ( )g ξ 0prime = ∆ηλαδή ( )ƒ ξ 2ξprime =

4ος

τρόπος λύσης (προτάθηκε από τον Σεραφείmicro Σαmicroορέλη καθηγητή στο

8ο ΓΕΛ Τρικάλων)

Έστω η συνάρτηση w(x) ƒ (x) 2xprime= minus microε [ )x 01isin για την οποία ι-

σχυριζόmicroαστε ότι w(x) 0ne στο [ )01

Επειδή στο διάστηmicroα [ )01 η συνάρτηση w είναι συνεχής microε

w(x) 0ne προκύπτει ότι η w διατηρεί σταθερό πρόσηmicroο στο [ )01

23

Είναι w(0) ƒ (0) 2 0 ƒ (0) 0prime prime= minus sdot = gt άρα w(x) 0gt για κάθε [ )x 01isin

οπότε και ƒ (x) 2xprime gt για κάθε [ )x 01isin (1)

Με εφαρmicroογή του ΘΜΤ για την ƒ στα διαστήmicroατα 1

02

και 1

12

προκύπτει ότι θα υπάρχουν 1

1x 0

2

isin

και 2

1x 1

2

isin

τέτοια ώστε

1

1ƒ ƒ(0)

2ƒ (x )

1

2

minus prime = και

( )2

1ƒ 1 ƒ

2ƒ (x )

1

2

minus prime =

Με πρόσθεση κατά microέλη παίρνουmicroε

1 2

1 1 1ƒ ƒ(0) ƒ(1) ƒ2 2 2ƒ (x ) ƒ (x ) 1

1 1

2 2

minus + minus prime prime+ = = = (2)

Όmicroως από τη σχέση (1) έχουmicroε 1 1

2 2

ƒ (x ) 2x

ƒ (x ) 2x

prime gt

prime gt και microε πρόσθεση κατά

microέλη παίρνουmicroε

( )2

1 2 1 2 1 2 1 2

1ƒ (x ) ƒ (x ) 2x 2x 1 2x 2x x x

2prime prime+ gt + hArr gt + hArr + lt

που είναι άτοπο καθώς 1

2

10 x

2

1x 1

2

lt lt lt lt

Εποmicroένως o ισχυρισmicroός ότι στο [ )01 είναι w(x) 0ne δεν ευσταθεί

Οπότε θα υπάρχει ( )ξ 01isin τέτοιο ώστε w(ξ) 0 ƒ (ξ) 2ξprime= hArr = (το ξ

αυτό δεν microπορεί να είναι ίσο microε 0 αφού w(0) 0gt )

24

Μια πρόταση

Έστω f και g δυο συναρτήσεις συνεχείς στο διάστηmicroα [ ]αβ για τις

οποίες ισχύει ( ) ( )f x g xgt για κάθε [ ]x αβisin

Υπάρχει πάντοτε θετικός r τέτοιος ώστε ( ) ( )f x g x rgt + για κάθε

[ ]x αβisin

Ένα ερώτηmicroα

Ποιος προβληmicroατισmicroός γεωmicroετρικής υφής θα microπορούσε να microας οδη-

γήσει στη διατύπωση της παραπάνω πρότασης

Απόδειξη της πρότασης

Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) ( )h x f x g x= minus [ ]x αβisin

Η h είναι συνεχής microε θετικές τιmicroές στο [ ]αβ οπότε θα παρουσιάζει

ελάχιστο έστω ίσο microε m mgt0

Άρα ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m mh x m f x g x m f x g x

2 2ge rArr minus ge gt rArr gt +

Οπότε ( ) ( )f x g x rgt + m

r2= microε ( )r 0misin

Σηmicroείωση

Τα παραδείγmicroατα microαθηmicroατικών που συmicroπεριέλαβα στο παρόν άρθρο ανα-

πτύχθηκαν και σε οmicroιλία microου στην Ελληνογαλλική Σχολή Καλαmicroαρί της

Θεσσαλονίκης (27 Φεβρουαρίου 2016) microε θέmicroα τα Ποιοτικά Χαρακτηριστι-

κά στη ∆ιδασκαλία των Μαθηmicroατικών Επίσης κάποια από αυτά χρησιmicroο-

ποιήθηκαν σε σεmicroινάριο ∆ιδακτικής Μαθηmicroατικών που ανέπτυξα στα Τρί-

καλα (5 και 12 Απριλίου 2016)

Αφιέρωση

Το άρθρο αυτό αφιερώνεται στη microνήmicroη του Νίκου Κλαουδάτου καθηγητή

microου κατά τα έτη 2000-2002 στο ΠΜΣ της ∆ιδακτικής και Μεθοδολογίας

των Μαθηmicroατικών στο Τmicroήmicroα Μαθηmicroατικών του ΕΚΠΑ

25

Βιβλιογραφικές αναφορές

Ξενόγλωσσες

[1] Cobb P Wood T Yackel E amp McNeal B (1992) Characteristics of clas-

room mathematics traditions An interactional analysis American Educa-

tional Research Journal 29 573-604

[2] Cobb P amp Steffe L P (1993) The constructivist researcher as the teacher

and model builder Journal for Research in Mathematics Education vol 14

pp 83-94

[3] Eisenberg T amp Dreyfus T On the reluctance to visualize in Mathematics in

Zimmerman W amp Cunnigham S (Eds) 1991 Visualization in teaching

and learning mathematics p 25-37 MAA notes no 19 Mathematical Asso-

ciation of America

[4] Vinner S Visual considerations in College Calculus ndash Students and Teach-

ers in Vermandel A amp Steiner Hans-Georg (Eds) 1988 Theory of mathe-

matics Educations (Proceeding of the third international conferens Andwerp

11-15 July 1988) p 109-116

[5] Year Book 2001 The Roles of Representation in School Mathematics Na-

tional Council of Teachers of Mathematics

Ελληνόγλωσσες

[6] Ανδρεαδάκης Σ Κατσαργύρης Β Μέτης Σ Μπρουχούτας Κ Παπα-

σταυρίδης Σ και Πολύζος Γ (2015) Μαθηmicroατικά Γ΄ Γενικού Λυκείου Οmicroά-

δας Προσανατολισmicroού Θετικών Σπουδών και Σποδών Οικονοmicroίας amp Πληρο-

φορικής Αθήνα ΙΕΠ amp ΙΤΥΕ ∆ιόφαντος

[7] Κατσαργύρης Β Μεντής Κ Παντελίδης Γ και Σουρλάς Κ (1994) Μα-

θηmicroατικά Γ΄ Λυκείου ndash Ανάλυση Αθήνα ΟΕ∆Β

[8] Κλαουδάτος Ν (2011) Σηmicroειώσεις ∆ιδακτικής Μαθηmicroατικών 1) Εισαγωγή

στη γνωσιακή θεωρία 2) Βασικές αρχές της θεωρίας Vygotsky Μεταπτυχιακό

Πρόγραmicromicroα Σπουδών ∆ιδακτικής και Μεθοδολογίας των Μαθηmicroατικών

Τmicroήmicroα Μαθηmicroατικών ΕΚΠΑ

[9] Κλαουδάτος Ν (2011) Σηmicroειώσεις ∆ιδακτικής Μαθηmicroατικών 1) ∆ιδασκαλία

και microάθηση των microαθηmicroατικών microε διαδικασίες επίλυσης προβληmicroάτων 2) Εισα-

γωγή στη Θεωρία της ∆ιδασκαλίας Μεταπτυχιακό Πρόγραmicromicroα Σπουδών ∆ιδα-

κτικής και Μεθοδολογίας των Μαθηmicroατικών Τmicroήmicroα Μαθηmicroατικών ΕΚΠΑ

26

[10] Μάκρας Στρ Γεωmicroετρική εποπτεία και απόδειξη άρθρο στο περιοδικό Ευ-

κλείδης Β΄ τχ 25 (Ιούλιος-Αύγουστος-Σεπτέmicroβριος 1997) σσ 11-17 Αθήνα

Έκδοση της ΕΜΕ

[11] Νεγρεπόντης Σ Γιωτόπουλος Σ amp Γιαννακούλιας Ε (2000) Απειροστικός

Λογισmicroός τόmicroος IIα Αθήνα Εκδόσεις Συmicromicroετρία

[12] Ντρίζος ∆ (2002) Πλεονεκτήmicroατα της γεωmicroετρικής αναπαράστασης των microα-

θηmicroατικών εννοιών Η απόδειξη του θεωρήmicroατος της Μέσης Τιmicroής του διαφο-

ρικού λογισmicroού για συναρτήσεις microιας ή δύο πραγmicroατικών microεταβλητών Ευκλεί-

δης Γ΄ τχ 77 (Ιούλιος-∆εκέmicroβριος 2012) σσ 31-45 Αθήνα Έκδοση της

ΕΜΕ

[13] Ντρίζος ∆ Τα βασικά θεωρήmicroατα του ∆ιαφορικού Λογισmicroού άρθρο στο περι-

οδικό Ευκλείδης Γ΄ τχ 70 (Ιανουάριος-Ιούνιος 2009) σσ 5-23 Αθήνα Έκδο-

ση της ΕΜΕ

[14] Ντρίζος ∆ ∆ιδακτική Αξιοποίηση Προβληmicroάτων Επαγωγικής Συλλογιστικής

στο Πλαίσιο Ανάπτυξης Ιδεών του G Polya άρθρο στο περιοδικό Ευκλείδης

Γ΄ τχ 73 (Ιούλιος-∆εκέmicroβριος 2010) σσ 29-48 Αθήνα Έκδοση της ΕΜΕ

[15] Polya G (2001) Η Μαθηmicroατική Ανακάλυψη τόmicroος 1 (microτφ Στεργιάκη Σπύ-

ρου) Αθήνα Εκδόσεις Κάτοπτρο

[16] Ρίζος Γ (2005) Οι περιπέτειες του Προβλήmicroατος στα σχολικά Μαθηmicroατικά

Θεσσαλονίκη Εκδόσεις Μαθηmicroατική Βιβλιοθήκη

[17] Spivak Michael (1991) ∆ιαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισmicroός (microτφ Γιαν-

νόπουλου Απ) Ηράκλειο Πανεπιστηmicroιακές Εκδόσεις Κρήτης

4

λά και η ικανότητά τους για σύνθεση και αφαίρεση είναι microερικές βασι-

κές παράmicroετροι που επηρεάζουν το πρόβληmicroα microε αποτέλεσmicroα να microην microπο-

ρεί να αναχθεί microόνο σε θέmicroα microαθηmicroατικής κατάρτισης των διδασκόντων

Αναδύεται εδώ ένα κρίσιmicroο ερώτηmicroα που θα microπορούσε να διατυπωθεί

ως εξής

Εντάξει σκιαγραφήσαmicroε microε microεγάλη συντοmicroία κάποιους γενικούς

προβληmicroατισmicroούς για ένα σύνθετο πρόβληmicroα Θα microπορούσε επίσης

να επισηmicroάνει κανείς microε περισσότερες λεπτοmicroέρειες και άλλους

παράγοντες που επηρεάζουν το πρόβληmicroα της διδασκαλίας των

Μαθηmicroατικών Τι microπορούmicroε όmicroως να κάνουmicroε για την αντιmicroετώπι-

σή του

Η συνήθης πρακτική microας λέει ότι όταν δεν microπορούmicroε να δώσουmicroε microια

ακριβή λύση σε ένα πρόβληmicroα η προσοχή microας πρέπει να εστιάζεται στην

αναζήτηση διαφόρων προσεγγίσεων οι οποίες θα microας επέτρεπαν να άρουmicroε

πρακτικά ένα microέρος (microικρό ή microεγαλύτερο κάθε φορά) των ανασταλτικών

παραγόντων που επηρεάζουν την επίλυση του προβλήmicroατος Ας γίνουmicroε

όmicroως πιο συγκεκριmicroένοι microε ορισmicroένες κρίσιmicroες επισηmicroάνσεις που αφορούν

τα Μαθηmicroατικά και τη διδασκαλία τους

Κατά τις απόψεις όσων ενστερνίζονται κυρίως το δασκαλοκεντρικό microο-

ντέλο διδασκαλίας η ουσία των Μαθηmicroατικών εδράζεται στην εσωτερική

δοmicroική τους τελειότητα˙ και η διδασκαλία τους ακολουθεί το πρότυπο της

έκθεσης έτοιmicroων microαθηmicroατικών αποτελεσmicroάτων στην τελική ολοκληρωmicroέ-

νη τους microορφή αδιαφορώντας κατά κανόνα για την πορεία της επινόησής

τους αλλά και για τις φάσεις της σύλληψης των κρίσιmicroων ιδεών Μια δι-

δασκαλία που διαπνέεται από τέτοιες αντιλήψεις δε λύνει πιστεύουmicroε κα-

νένα διδακτικό πρόβληmicroα Και αυτό γιατί οι υποστηρικτές τέτοιων αντιλή-

ψεων δεν αποδέχονται την ύπαρξη διδακτικών προβληmicroάτων αλλά θεω-

ρούν ότι όλα ανάγονται σε ζητήmicroατα (microόνον) καλού ή κακού επιστήmicroονα

microαθηmicroατικού και καλού ή κακού microαθητή Στη βάση ενός τέτοιου microοντέλου

λειτουργεί το microονόδροmicroο δίπολο

5

Καθηγητής (αυθεντικός φορέας της γνώσης)

Μαθητής (παθητικός αποδέκτης έτοιmicroων γνώσεων)

Και microεταξύ των εmicroπλεκοmicroένων microερών (καθηγητής ndash microαθητής) κυριαρ-

χεί συνήθως ο microονόλογος του καθηγητή ή κάποιος κατ επίφαση διάλογος

που εξαντλείται όmicroως στην υποβολή τυπικών ερωτήσεων από το διδάσκο-

ντα και τη διατύπωση microιας αναmicroενόmicroενης απάντησης από τους ίδιους πάντα

καλούς microαθητές Όποιες άλλες ατελείς απαντήσεις κατά κανόνα δεν γίνο-

νται αποδεκτές δεν αξιολογούνται˙ και δεν αξιοποιούνται διδακτικά

Το microοντέλο διδασκαλίας που παραπάνω σκιαγραφήσαmicroε δεν microπορεί

(και δεν πρέπει) να έχει πλέον θέση στην εποχή microας καθώς αφήνει αδιάφο-

ρη και έξω από το παιχνίδι της microάθησης την πλειονότητα των microαθητών

Μια άλλου είδους διδασκαλία που θα παίρνει υπόψη της τις σύγχρονες α-

ντιλήψεις και τάσεις της ∆ιδακτικής των Μαθηmicroατικών πρέπει να πάρει τη

θέση της Οι καινούργιες microαθηmicroατικές έννοιες και προτάσεις πρέπει να ει-

σάγονται και να εξελίσσονται microε φυσικό τρόπο microέσα σε ένα διδακτικό πε-

ριβάλλον όπου κυρίαρχος θα είναι ο ρόλος του ουσιαστικού διαλόγου και

του δηmicroιουργικού προβληmicroατισmicroού Οι microαθητές πρέπει να βρίσκονται στο

επίκεντρο της microαθησιακής διαδικασίας˙ και ο ρόλος του διδάσκοντα να εί-

ναι (κυρίως) αυτός του καλού συντονιστή που υποβάλλει στην κατάλληλη

στιγmicroή εύστοχες ερωτήσεις που έχουν στόχο να προωθούν διαδικασίες έ-

ρευνας και γόνιmicroου προβληmicroατισmicroού στη σχολική τάξη

Η διδασκαλία είναι ανάγκη να συmicroβάλλει ώστε ο microαθητής πρώτον

να σχηmicroατίζει στο microυαλό του οπωσδήποτε microία ή και περισσότερες εποπτι-

κές εικόνες για καθεmicroιά έννοια και πρόταση και δεύτερον να ανακαλύ-

πτει τη διασύνδεσή τους microε άλλες προηγούmicroενες σχετικές γνώσεις του

Σ αυτό το σηmicroείο κρίνουmicroε σκόπιmicroο να κάνουmicroε και κάποιες νύξεις

για την ουσία και το ρόλο των αναπαραστάσεων στη διδασκαλία των Μα-

θηmicroατικών Προκειmicroένου ο microαθητής να λύσει ένα πρόβληmicroα που του έχει

θέσει ο καθηγητής του κάνει microια σειρά συλλογισmicroών οι οποίοι βασίζονται

σε διάφορες αναδιατυπώσεις του προβλήmicroατος˙ δηmicroιουργεί microε τον τρόπο

6

αυτό διάφορες νέες εικόνες που εδράζονται στην πρώτη διατύπωση των

ερωτηmicroάτων Τις εικόνες αυτές τις λέmicroε (και) αναπαραστάσεις του προ-

βλήmicroατος Και οι εικόνες αυτές microπορεί να είναι εσωτερικές (νοητικές-

συmicroβολικές) ή εξωτερικές Στις εξωτερικές αναπαραστάσεις εντάσσονται

και οι λεγόmicroενες γεωmicroετρικές αναπαραστάσεις οι οποίες αποδίδονται ως

γεωmicroετρικά σχήmicroατα γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων ιστογράmicromicroατα

ραβδογράmicromicroατα κυκλικά διαγράmicromicroατα κλπ (βλ [3] [4] και [12]) Σε microια

διαδικασία που microας ενδιαφέρει microόνον η αυστηρή διατύπωση των αποδείξε-

ων και καθόλου ή σχεδόν καθόλου η πορεία της σύλληψης των ιδεών κυ-

ριαρχούν οι νοητικές-συmicroβολικές αναπαραστάσεις και οι αφαιρετικές δι-

αδικασίες

Στην πρότασή microας οι γεωmicroετρικές αναπαραστάσεις (εποπτεία) δεν ει-

σάγονται microε σκοπό να ερmicroηνεύσουν microια microαθηmicroατική πρόταση microετά από την

απόδειξή τους αλλά να συmicroβάλουν από την αρχή στην επινόηση κάποιου

γεωmicroετρικού επιχειρήmicroατος το οποίο πρώτον θα αιτιολογεί τη σύλληψη

της πρότασης και δεύτερον θα microας δίνει και κάποιες ιδέες για την απόδειξή

της (βλ [12] σελ 32-33)

Είναι σηmicroαντικό να σηmicroειώσουmicroε εδώ το εξής Πριν καταλήξει κανείς

στη διατύπωση της λύσης ενός προβλήmicroατος δεν έχει προηγηθεί η εξίσου

σοβαρή φάση της επώασης και της σύλληψης των ιδεών στη βάση κάποιων

αναπαραστάσεων Γιατί λοιπόν να αποσιωπούmicroε και να microην αξιοποιούmicroε

φανερά και microε καθαρό τρόπο τη φάση αυτή

Σχετικά τώρα microε την επικέντρωση της διδασκαλίας των Μαθηmicroατικών

στην αυστηρή έκθεση των τελικών αποτελεσmicroάτων της αφαίρεσης ο

γάλλος πολωνικής καταγωγής microαθηmicroατικός Benoit Mandelbrot που εισή-

γαγε το 1975 τον όρο Fractals microας λέει τα εξής

laquoΕίmicroαι βαθύτατα πεπεισmicroένος ότι πολύ συχνά microάλλον χάνουmicroε

παρά κερδίζουmicroε microε την εξαρχής καταναγκαστική αφαίρεση και

microε την υπερβολική σηmicroασία που δίνουmicroε στην τακτοποίηση των

microαθηmicroατικών εννοιών και των προτάσεωνraquo

7

12 ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ∆Ι∆ΑΚΤΙΚΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ

Τα Μαθηmicroατικά αυτά καθαυτά χαρακτηρίζονται από την εσωτερική δοmicroική

τους τελειότητα Η διδασκαλία τους όmicroως είναι microια εντελώς διαφορετική

υπόθεση Είναι microια κατεξοχήν διαδικασία επικοινωνίας Επικοινωνία του

καθηγητή microε τους microαθητές του microε microια επιδίωξη να κατακτήσουν οι microαθητές

του ορισmicroένες συγκεκριmicroένες κάθε φορά γνώσεις Και εδώ το κρίσιmicroο ε-

ρώτηmicroα που ανακύπτει είναι το εξής Αν ο καθηγητής γνωρίζει καλά την

ύλη που σκοπεύει να διδάξει το στοιχείο αυτό δεν είναι από microόνο του ικα-

νό ώστε να πραγmicroατοποιήσει microια ποιοτική και παράλληλα αποτελεσmicroατική

διδασκαλία Σίγουρα βέβαια η πολύ καλή γνώση της ύλης είναι οπωσδή-

ποτε αναγκαία συνθήκη Όmicroως δεν είναι από microόνη της και ικανή Ο καθη-

γητής είναι απαραίτητο να ξέρει και άλλα περισσότερα πράγmicroατα Και microε-

ταξύ αυτών να ξέρει πολύ καλά το γνωστικό επίπεδο των microαθητών του αλ-

λά και τον τρόπο microε τον οποίο αυτοί microαθαίνουν Να αγαπά τη δουλειά του

και να παίρνει χαρά και ικανοποίηση από τις microικρές ή microεγάλες επιτυχίες του

παιδευτικού του έργου

Πριν τη διδασκαλία ο καθηγητής καλείται να πάρει κρίσιmicroες αποφά-

σεις Και πρώτα απrsquo όλα να αποφασίσει ποιο microέρος της ενότητας που σκο-

πεύει να διδάξει είναι ανάγκη να το παρουσιάσει ο ίδιος στην τάξη Με

ποια σειρά και microε ποιο ακριβώς σχέδιο Κι όλα τα υπόλοιπα πρέπει να

ldquoβγουνrdquo microέσα από έναν καλοσχεδιασmicroένο και καλά συντονισmicroένο διάλογο

microε την τάξη Μια τάξη που υπό την εποπτεία του καθηγητή συνδιαλέγεται

microε στόχο να βρεθούν απαντήσεις στα ερωτήmicroατα που θέτει ο καθηγητής

Μια τάξη που προσοmicroοιάζει κατά κάποιον τρόπο microε εργαστήριο microάθησης

όπου ο καθηγητής ακούει προσεκτικά τις απαντήσεις που δίνονται και επι-

χειρεί συστηmicroατικά όταν κάποια απάντηση δεν είναι η αναmicroενόmicroενη να

φέρει τον microαθητή που την έδωσε στο σηmicroείο εκείνο που θα κατανοήσει ο

ίδιος την αστοχία ή το λάθος που έκανε Αυτό βέβαια είναι κάτι που θέλει

τον χρόνο του Κι εδώ πρέπει να κατανοήσουmicroε όλοι ότι αυτός ο χρόνος

της απαραίτητης αναmicroονής δεν είναι χαmicroένος χρόνος Μόνο έτσι microια πλη-

ροφορία των microαθηmicroατικών microπορεί εν δυνάmicroει στο νου του microαθητή να microε-

8

τεξελιχθεί σε γνώση Κι αυτό γιατί ο νους έχει ανάγκη κάποιου χρόνου ώ-

στε αφού πρώτα επεξεργαστεί τις πληροφορίες να τις εντάξει έπειτα σε

ένα προϋπάρχον γνωστικό σχήmicroα ή αν χρειάζεται να δηmicroιουργήσει και κά-

ποιο καινούριο γνωστικό σχήmicroα

Πέρα όmicroως απrsquo όλα τα παραπάνω να τονίσουmicroε εδώ την αξία και τον

ρόλο του διδακτικού υλικού που θα χρησιmicroοποιήσουmicroε για να ldquoδουλέψειrdquo η

τάξη δηmicroιουργικά Το υλικό αυτό θα πρέπει να υποβοηθά στη σύνδεση των

νέων γνώσεων που θέλουmicroε να διδάξουmicroε microε άλλες προϋπάρχουσες γνώ-

σεις και παράλληλα τα ερωτήmicroατά microας να στοχεύουν στην ανέλιξη της

δηmicroιουργικής και κριτικής σκέψης των microαθητών

Επίσης να σηmicroειώσουmicroε microε ιδιαίτερη έmicroφαση ότι η επιτυχής αντιmicroε-

τώπιση ενός microαθηmicroατικού προβλήmicroατος προϋποθέτει την πνευmicroατική συ-

γκέντρωση του microαθητή πάνω στα ερωτήmicroατα που συγκροτούν το πρόβλη-

microα Πειθαρχηmicroένη σκέψη αλλά και επιmicroονή ώστε αφού πρώτα κατανοήσει

σηmicroείο προς σηmicroείο όλες τις πληροφορίες που του δίνονται να αναζητήσει

έπειτα την κρίσιmicroη ιδέα που θα του επιτρέψει να ldquoξεκλειδώσειrdquo το πρόβλη-

microα Να δει προσεκτικά τη σχέση αυτής της ιδέας microε τις υποθέσεις και τα

συmicroπεράσmicroατα του προβλήmicroατος Να αναλύσει αυτές τις συνδέσεις κατά

τρόπο που θα του επιτρέψουν να κάνει και το επόmicroενο κρίσιmicroο βήmicroα Να

διατυπώσει τη λύση του προβλήmicroατος

2 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΩΝ ∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΩΝ ndash

Η ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΗΣ ΓΝΩΣΗΣ ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ

ΜΙΑΣ ldquo∆ΙΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗΣrdquo ΤΑΞΗΣ

Ξεκινώντας από την κοινά αποδεκτή θέση ότι κάθε διδασκαλία πρέπει να

στοχεύει στην ουσιαστική κατάκτηση των γνώσεων από τους microαθητές microας

κρίνουmicroε σκόπιmicroο να αναφερθούmicroε σε ορισmicroένες προϋποθέσεις που πιστεύ-

ουmicroε ότι ευνοούν microια διδασκαλία των microαθηmicroατικών microε έmicroφαση στην ανά-

πτυξη ερευνητικών δραστηριοτήτων Και ως πρώτη προϋπόθεση θεωρούmicroε

9

την ενσυνείδητη εmicroπλοκή του microαθητή στις διαδικασίες της microάθησης Είναι

απαραίτητο πρώτα απrsquo όλα να πεισθεί ο microαθητής ότι η εν λόγω γνώση τον

ενδιαφέρει και η προσωπική του συmicromicroετοχή σrsquo αυτήν τη διαδικασία microετράει

και έχει νόηmicroα ότι έτσι συmicroβάλλει κι αυτός microε τον δικό του τρόπο στην κα-

τασκευή και διαmicroόρφωση της νέας γνώσης και δεν είναι απλά ένας παθητι-

κός δέκτης ασύνδετων κατά κανόνα πληροφοριών Με αυτές τις προϋπο-

θέσεις δηmicroιουργείται microια τάξη στην οποία οι microαθητές συmicromicroετέχουν στην

αναζήτηση και επινόηση της γνώσης Και ο ρόλος εδώ του διδάσκοντα εί-

ναι κυρίως αυτός του εmicroπνευστή του καθοδηγητή και του καλού συντονι-

στή που υποβάλλει στην κατάλληλη στιγmicroή εύστοχες ερωτήσεις οι οποίες

προωθούν διαδικασίες έρευνας και γόνιmicroου προβληmicroατισmicroού Μια τάξη

στην οποία ο διδάσκων θέτει προβλήmicroατα προς λύση και συγχρόνως λει-

τουργεί διευκολυντικά στη διαπραγmicroάτευσή τους δηmicroιουργεί microια διερευνη-

τική τάξη microαθηmicroατικών (βλ [1])

Σε τέτοιες τάξεις microαθηmicroατικών οι microαθητές στην πορεία διαπραγmicroά-

τευσης κάποιου προβλήmicroατος οδηγούνται σταδιακά υπό την καθοδήγηση

του διδάσκοντα από τη microελέτη επιmicroέρους περιπτώσεων στη διατύπωση ε-

πεκτάσεων και γενικεύσεων microια ικανότητα η οποία σχετίζεται microε τη microαθη-

microατική ανακάλυψη την επινόηση δηλαδή των κρίσιmicroων ιδεών που microάς δεί-

χνουν το δρόmicroο για τη λύση Σ΄ αυτήν τη δηmicroιουργική πορεία και καθώς ο

microαθητής αναζητά επίmicroονα τη λύση κάποιου προβλήmicroατος σηmicroαντικό ρόλο

παίζει και η διαίσθηση που βασίζεται κυρίως στην εποπτεία (κατά τον

Richard Courant η έλλειψη της εξάρτησης των αποδείξεων από τη διαί-

σθηση οδηγεί σε microαθηmicroατική ατροφία)

Με τις παραπάνω σκέψεις επιχειρούmicroε να διευκρινίσουmicroε τις παιδευ-

τικές προθέσεις microιας διερευνητικής τάξης microαθηmicroατικών και παράλληλα να

αναπτύξουmicroε περαιτέρω το διδακτικό σχήmicroα του G Polya για ένα περιβάλ-

λον διερευνητικής διδασκαλίας και microάθησης όπου οι microαθητές για την επί-

λυση ενός προβλήmicroατος

(α) πειραmicroατίζονται και παρατηρούν στο πλαίσιο της επαγωγικής συλλογι-

στικής αντιmicroετωπίζουν δηλαδή πρώτα-πρώτα επιmicroέρους περιπτώσεις

του προβλήmicroατος (ειδικεύσεις)

10

(β) εντοπίζουν microια ιδιότητα ή microια κατάσταση που συνήθως εmicroφανίζεται σε

όλες τις επιmicroέρους περιπτώσεις που εξέτασαν

(γ) διατυπώνουν εικασίες (βλ [9] σελ 57)

(δ) επινοούν ένα σχέδιο για τη microαθηmicroατική απόδειξη των εικασιών το ο-

ποίο στη συνέχεια τροποποιούν όσες φορές απαιτηθεί έως ότου κατα-

λήξουν στο επιθυmicroητό αποτέλεσmicroα

(ε) ελέγχουν αν τα αποδεικτικά βήmicroατα που ακολούθησαν καθώς και το

συmicroπέρασmicroα στο οποίο κατέληξαν είναι απολύτως συνεπή προς όλες

τις υποθέσεις του προβλήmicroατος και

(στ) προσπαθούν να δούν το υπό microελέτη πρόβληmicroα ως ειδίκευση ενός γενι-

κού προβλήmicroατος και ακολούθως να microελετήσουν αυτό το γενικό

πρόβληmicroα

Έχουmicroε τη γνώmicroη ότι ο διάλογος που θα αναπτυχθεί microε έναυσmicroα την

αναζήτηση απαντήσεων σε ερωτήmicroατα τέτοιων δραστηριοτήτων θα συmicro-

βάλλει ώστε να αναδειχθούν και εmicroπεδωθούν ιδέες και πρακτικές που βαθ-

microιαία βελτιώνουν τη microαθηmicroατική ικανότητα η οποία είναι τελικά και το

ποιοτικό ζητούmicroενο της microαθηmicroατικής εκπαίδευσης

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ

Το παρόν άρθρο συmicroπληρώνεται microε επιλεγmicroένα παραδείγmicroατα η διαπραγ-

microάτευση των οποίων υποστηρίζει τη συmicroβολή της γεωmicroετρικής εποπτείας

στη διδασκαλία των microαθηmicroατικών στο Λύκειο και αναδεικνύει τη δυναmicroική

τους στην ερmicroηνεία πραγmicroατικών καταστάσεων

11

Ενδεικτικά παραδείγmicroατα για διαπραγmicroάτευση στη σχολική τάξη

1 Από την εποπτεία και τη διαίσθηση στη microαθηmicroατική τακτοποίηση

της έννοιας της απόλυτης τιmicroής πραγmicroατικού αριθmicroού

Παράδειγmicroα 1

Σε έναν άξονα x xprime να θεωρήσετε τα σηmicroεία ( )A 1 και ( )B 5

α) Να βρείτε αν υπάρχουν και πόσα σηmicroεία ( )M x πάνω στον x xprime τέ-

τοια ώστε

i) MA MB 4+ =

ii) MA MB 1+ =

iii) MA MB 8+ =

β) Χρησιmicroοποιώντας το σύmicroβολο της απόλυτης τιmicroής ν α γράψετε τις γε-

ωmicroετρικές ισότητες i) ii) και iii) microε microορφή εξίσωσης και στη συνέχεια

να βρείτε τις ρίζες των εξισώσεων αυτών

Παράδειγmicroα 2

Σε έναν άξονα x xprime να πάρετε δύο οποιαδήποτε σηmicroεία ( )Α α και ( )Β β

και έπειτα να προσδιορίσετε γεωmicroετρικά τα σηmicroεία του άξονα στα οποία

αντιστοιχούν οι αριθmicroοί α ββ αminus minus και α β+

2 Μια ενότητα θεmicroάτων Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας που αναδεικνύουν

την ιδέα των διαδοχικών γενικεύσεων

21 Θεωρούmicroε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓκαι σηmicroείο Μ που κινείται στην υπο-

τείνουσα ΒΓ Από το Μ φέρνουmicroε τα κάθετα τmicroήmicroατα ΜΚ και ΜΛ

προς τις πλευρές ΑΒ και ΑΓαντίστοιχα Να προσδιορίσετε τη θέση του

Μ στη ΒΓ ώστε το microήκος το τmicroήmicroατος ΚΛ να γίνεται ελάχιστο

22 Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓκαι σηmicroείο Μ που κινείται στην πλευρά ΒΓ

Από το Μ φέρνουmicroε τα κάθετα τmicroήmicroατα ΜΚ και ΜΛ προς τις πλευρές

12

ΑΒ και ΑΓαντίστοιχα Να προσδιορίσετε τη θέση του Μ στη ΒΓ ώστε

το microήκος το τmicroήmicroατος ΚΛ να γίνεται ελάχιστο

23 Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓκαι σηmicroείο M που κινείται στην πλευρά ΒΓ

Φέρνουmicroε τα τmicroήmicroατα ΜΚ και ΜΛ όπου Κ σηmicroείο της πλευράς ΑΒ

και Λ σηmicroείο της πλευράς ΑΓτέτοια ώστε ΒΚΜ ΜΛΓ ω= = όπου ω

γωνία microε το ίδιο σταθερό microέτρο για οποιαδήποτε θέση του Μ Να προσδι-

ορίσετε τη θέση του Μ στη ΒΓ ώστε το microήκος το τmicroήmicroατος ΚΛ να γί-

νεται ελάχιστο

Σχόλιο

Τα επιmicroέρους θέmicroατα 21 22 και 23 της παραπάνω ενότητας θεmicroάτων Ευ-

κλείδειας Γεωmicroετρίας προτείνονται για διαπραγmicroάτευση στην τάξη στο πλαίσιο

microιας ερευνητικής δραστηριότητας που αναδεικνύει την ιδέα της γενίκευσης προ-

βλήmicroατος microε διαδοχικές microεταβολές των υποθέσεων διατηρώντας το ίδιο ζητούmicroε-

νο Εκτιmicroούmicroε ότι ανάλογες δραστηριότητες ndashυπό κατάλληλες βέβαια διδακτικές

προϋποθέσειςndash microπορούν εν δυνάmicroει να συmicroβάλλουν στην ανάπτυξη της δηmicroι-

ουργικής microαθηmicroατικής σκέψης

3 Παραδείγmicroατα που αναδεικνύουν τη φυσική ερmicroηνεία του θεωρή-

microατος του Rolle και του ΘΜΤ του Lagrange

31 Ας υποθέσουmicroε ότι microια συνάρτηση V(t) microετράει τον όγκο του αέρα

που βρίσκεται στους πνεύmicroονες ενός ανθρώπου ως προς το χρόνο t

κατά τη διάρκεια microιας αναπνοής

Υποθέτουmicroε ότι

α) η V είναι συνεχής και περιγράφεται από microια οmicroαλή καmicroπύλη

(γραφική παράσταση παραγωγίσιmicroης συνάρτησης)

β) η V(t) παίρνει την ίδια τιmicroή (περίπου 4 λίτρα) στο τέλος κάθε εισ-

πνοής

Ερώτηση Υπάρχει χρονική στιγmicroή κατά τη διάρκεια microιας αναπνοής

όπου microηδενίζεται ο ρυθmicroός microεταβολής του όγκου του αέρα που βρί-

σκεται στους πνεύmicroονες του ανθρώπου

13

32 Πετάmicroε κατακόρυφα προς τα πάνω microια microπάλα και την ξαναπιάνουmicroε

στο ίδιο ύψος από το οποίο την πετάξαmicroε

α) Να κάνετε πρόχειρα τη γραφική παράσταση της συνάρτησης θέσης

της microπάλας ως προς το χρόνο t

β) Υπάρχει χρονική στιγmicroή t1 που η ταχύτητα της microπάλας microηδενίζεται

Ποια είναι η κλίση (της εφαπτοmicroένης) της γραφικής παράστασης

της συνάρτησης θέσης στο σηmicroείο microε τετmicroηmicroένη t1

33 ∆ύο αυτοκίνητα είναι σταmicroατηmicroένα σrsquo ένα φανάρι το ένα δίπλα στο

άλλο Όταν το φανάρι ανάβει πράσινο ξεκινούν αλλά αναγκάζονται

και τα δύο να σταmicroατήσουν στο επόmicroενο φανάρι Έτσι βρίσκονται και

τα δύο σταmicroατηmicroένα πάλι το ένα δίπλα στο άλλο Υπάρχει χρονική

στιγmicroή κατά την οποία τα δύο αυτοκίνητα έτρεχαν microε την ίδια ταχύτη-

τα

34 Ένας σκιέρ κατεβαίνει microια πλαγιά ξεκινώντας από ένα σηmicroείο Α και

καταλήγοντας σε ένα σηmicroείο Β Υπάρχει περίπτωση ο σκιέρ να απο-

φύγει την κλίση του ευθ τmicroήmicroατος ΑΒ

35 Ο οδηγός ενός Jeep σκοπεύει από το σηmicroείο Α να φτάσει στο Β Η

πλαγιά ΑΒ ορίζεται από την καmicroπύλη ( )y ƒ x= και το Jeep microπορεί να

αναρριχηθεί σε κλίσεις έως 25 Ο οδηγός θα πετύχει το σκοπό του

Α

Β

15

0 m

05 Km

14

36 Ένα σωmicroατίδιο κινείται πάνω στον άξονα των τετmicroηmicroένων (των t)

Χρόνος t σε sec Θέση x(t) σε m

0 2

2 4

5 7

Ο πίνακας δείχνει τη θέση του σωmicroατιδίου σε τρεις χρονικές στιγmicroές

α) Να βρείτε η microέση ταχύτητα του σωmicroατιδίου στο χρονικό διάστηmicroα

[0 5]

β) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον χρονικές στιγmicroές

κατά τις οποίες η στιγmicroιαία ταχύτητα του σωmicroατιδίου είναι ίση microε

τη microέση ταχύτητα στο διάστηmicroα [0 5]

γ) Να εξετάσετε αν υπάρχει microία τουλάχιστον χρονική στιγmicroή κατά

την οποία η επιτάχυνση του σωmicroατιδίου microηδενίζεται

(βλ [13] σελ 11-12)

Θέmicroατα Ανάλυσης που αναδεικνύουν το ρόλο της γεωmicroετρικής εποπτείας

Παράδειγmicroα 1

Έστω κύκλος microε κέντρο ( )0Κ α 0α ne και ακτίνα ρ Αν f είναι microια

παραγωγίσιmicroη συνάρτηση τέτοια ώστε ( ) ( ) 0f α ρ f α ρminus = + = και η

γραφική της παράσταση έχει microε τον κύκλο ακόmicroη ένα τουλάχιστον

κοινό σηmicroείο να αποδείξετε ότι υπάρχουν ( )1 2 ξ ξ α ρ α ρisin minus + microε

( ) ( )1 21f ξ f ξprime primesdot = minus

Παράδειγmicroα 2

Μία συνάρτηση ƒ είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο Υπάρχει

περίπτωση η γραφική της παράσταση να microην τέmicroνει τον φορέα της διχοτό-

microου της πρώτης ορθής γωνίας των αξόνων Να αποδείξετε την εικασία σας

15

Παράδειγmicroα 3

Μια συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο ενώ

microια άλλη συνάρτηση g είναι συνεχής στο και τέτοια ώστε

( )limx

g xrarrminusinfin

= minusinfin και ( )limx

g xrarr+infin

= +infin

Να εξετάσετε αν οι γραφικές παραστάσεις των f και g τέmicroνονται

Παράδειγmicroα 4

Αν microια συνάρτηση ƒ είναι δύο φορές παραγωγίσιmicroη στο [α β] microε την

ιδιότητα ƒ(α) + ƒ(β) = α β

2 ƒ2

+ sdot

τότε υπάρχει ξisin(α β) τέτοιο ώ-

στε ( )ƒ ξ 0primeprime =

Σχόλιο

Το παράδειγmicroα 4 το συmicroπεριλάβαmicroε στο παρόν άρθρο όχι για να πα-

ρουσιάσουmicroε τη συνήθη τυπική του απόδειξη αλλά για να αναδείξουmicroε το

γεωmicroετρικό υπόβαθρο που βρίσκεται πίσω από τις συmicroβολικά διατυπωmicroένες

microαθηmicroατικές σχέσεις

xα βξ1

y

ξ2

Α

Μ

Γ Β

Λ(β ƒ(β))

ε1

ε2

Cƒ

α + β

2

Κ(α ƒα))

Ο

Μια ανάλυση των υποθέσεων

Η υπόθεση ƒ(α) + ƒ(β) = α β

2 ƒ2

+ sdot

γράφεται

16

[ ]1 α βƒ(α) ƒ(β) ƒ

2 2

+ + =

(1)

Το 1ο microέλος της υπόθεσης (1) είναι η τεταγmicroένη του microέσου Μ του

τmicroήmicroατος ΚΛ ενώ το 2ο microέλος είναι η εικόνα microέσω της ƒ του microέσου

του διαστήmicroατος [α β] Η πρώτη απλούστατη γεωmicroετρική ερmicroηνεία της

υπόθεσης (1) είναι ότι η γραφική παράσταση της ƒ τέmicroνει το τmicroήmicroα

ΚΛ στο microέσο του Μ

Επίσης το τετράπλευρο ΚΑΒΛ είναι (γενικά) τραπέζιο microε βάσεις

ΚΑ = ƒ(α) ΛΒ = ƒ(β) και διάmicroεσο την ΜΓ = α β

ƒ2

+

Η υπόθεση (1) σε γεωmicroετρική γλώσσα γράφεται

ΚΑ ΚΒΜΓ

2

+=

σχέση η οποία από την Ευκλείδεια Γεωmicroετρία συνδέει το microήκος της

διαmicroέσου του τραπεζίου ΚΑΒΛ microε τα microήκη των βάσεών του

Το γεγονός ότι η ƒ είναι δύο φορές παραγωγίσιmicroη άρα και microία φορά

microας δηλώνει ότι η γραφική παράσταση της ƒ είναι microια οmicroαλή κα-

microπύλη η οποία δέχεται εφαπτοmicroένη (όχι κατακόρυφη) σε κάθε σηmicroείο

της

Προσέγγιση θεωρητικής τεκmicroηρίωσης

Από τη διαίσθησή microας που βρίσκεται σε πλήρη αρmicroονία microε το Θεώ-

ρηmicroα Μέσης Τιmicroής του ∆ιαφορικού Λογισmicroού υπάρχουν οι εφαπτό-

microενες ευθείες ε1 και ε2 της Cƒ παράλληλες προς την ΚΛ microε συντελε-

στές διεύθυνσης αντίστοιχα ƒ΄(ξ1) και ƒ΄(ξ2)

ƒ΄(ξ1) = λΚΜ ξ1isinα β

α2

+

Είναι

ƒ΄(ξ2) = λΜΛ ξ2isinα β

β2

+

Όmicroως λΚΜ = λΜΛ οπότε ƒ΄(ξ1) = ƒ΄(ξ2) και microε απλή εφαρmicroογή του Θε-

17

ωρήmicroατος του Rolle για τη συνάρτηση ƒ΄ στο [ξ1 ξ2] παίρνουmicroε το

ζητούmicroενο ƒ΄΄(ξ) = 0 όπου ξisin(ξ1 ξ2)

Προβληmicroατισmicroός

Θα microπορούσαmicroε να καταλήξουmicroε στην ƒ΄(ξ1) = ƒ΄(ξ2) στηριζόmicroενοι

στο γεγονός ότι το ΚΑΒΛ είναι τραπέζιο

xξ1

y

ξ2Α

Μ

Γ Β

Λ

Κω

ω

Μ΄

Λ΄

Ο

1 ΚΜ

2 ΜΛ

ΜΜ΄ ΜΓ ΚΑƒ (ξ ) λ εφω (2)

ΚΜ΄ ΑΓΈχουmicroε

ΛΛ΄ ΛΒ ΜΓƒ (ξ ) λ εφω (3)

ΜΛ΄ ΓΒ

minusprime = = = =

minusprime = = = =

Τα τελευταία κλάσmicroατα των (2) και (3) είναι ίσα γιατί ΑΓ = ΓΒ και

ΜΓ ndash ΚΑ = ΛΒ ndash ΜΓ λόγω της σχέσης της διαmicroέσου ΜΓ του τρα-

πεζίου ΚΑΒΛ microε τις βάσεις του ΚΑ και ΛΒ Οπότε ƒ΄(ξ1) = ƒ΄(ξ2)

Η γεωmicroετρική ερmicroηνεία του παραπάνω θέmicroατος microάς επιτρέπει να δια-

τυπώσουmicroε την επόmicroενη γενίκευση

18

Μια γενίκευση διατυπωmicroένη εποπτικά

Έστω συνάρτηση ƒ δύο φορές παραγωγίσιmicroη στο [α β] και τα ση-

microεία Κ(α ƒ(α)) και Λ(β ƒ(β))

Αν το τmicroήmicroα ΚΛ και η γραφική παράσταση της ƒ τέmicroνονται τότε

υπάρχει ξisin(α β) τέτοιο ώστε ƒ΄΄(ξ) = 0

Η ιδέα για τη γενίκευση διατυπωmicroένη στη γλώσσα της Ανάλυσης

Αν στο παραπάνω παράδειγmicroα 4 ονοmicroάζαmicroε γ την τετmicroηmicroένη τού microέ-

σου Γ του ευθυγράmicromicroου τmicroήmicroατος ΑΒ τότε είναι γ α

1β γ

minus=

minus οπότε

α βΓ 0

2

+

Και αν παίρναmicroε το Γ(γ0) στο εσωτερικό του ΑΒ ώστε γ α κ

β γ λ

minus=

minus τό-

τε microε απλές πράξεις θα βρίσκαmicroε λα κβ

Γ 0κ λ

+ +

Η γενίκευση

Αν microια συνάρτηση f είναι δυο φορές παραγωγίσιmicroη στο διάστηmicroα

[ ]αβ microε την ιδιότητα ( ) ( ) ( ) λα κβλf α κf β κ λ f

κ λ

+ + = + +

όπου λα κβ

α βκ λ

+lt lt+

και κλ θετικοί ακέραιοι τότε υπάρχει

( )ξ αβisin τέτοιο ώστε ( )f ξ 0primeprime =

Παράδειγmicroα 5

Έστω συνάρτηση ƒ παραγωγίσιmicroη στο [0 1] microε συνεχή παράγωγο

για την οποία ισχύουν

( )ƒ 0 0= ( ) 1ƒ 1

2= και ( )ƒ 0 0prime gt

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ( )ξ 01isin τέτοιο ώστε ( )ƒ ξ 2ξprime =

19

Σχόλιο

Το παράδειγmicroα 5 το συζητήσαmicroε σε Εργαστήριο Εφαρmicroοσmicroένης ∆ι-

δακτικής των Μαθηmicroατικών (∆ Ντρίζος Ιανουάριος 2016 Καρδίτσα) για

να αναδείξουmicroε την παιδευτική αξία της αναζήτησης πολλών τρόπων λύσης

ενός microαθηmicroατικού ερωτήmicroατος)

1ος

τρόπος λύσης (του ∆ Ντρίζου)

Αρκεί να αποδείξουmicroε ότι η εξίσωση ( )( )2ƒ x x 0primeminus = έχει microία τουλά-

χιστον ρίζα στο διάστηmicroα ( )01 Και αυτό θα microπορούσε να προκύψει

microε εφαρmicroογή του θ του Rolle στη συνάρτηση ( ) ( ) 2g x ƒ x x= minus

[ ]x 01isin

Είναι ( )g 0 0= και ( ) ( ) 2 1 1g 1 ƒ 1 1 1

2 2= minus = minus = minus δηλαδή ( )g 1 0lt

Σχέδιο προσέγγισης του θέmicroατος

Επειδή ( )g 0 0= το ζητούmicroενο θα προέκυπτε microε εφαρmicroογή του θ του

Rolle για την g αν αποδεικνύαmicroε ότι υπάρχει αριθmicroός ( )α 01isin για

τον οποίο ( )g α 0=

Με βάση αυτή την ιδέα και παίρνοντας υπόψη ότι ( )g 1 0lt αναρω-

τιόmicroαστε microήπως θα microπορούσαmicroε να έχουmicroε κάποιο ( )β 01isin ώστε

( )g β 0gt οπότε microε εφαρmicroογή του θ του Bolzano στο διάστηmicroα [ ]β1

θα εξασφαλίζαmicroε την ύπαρξη αριθmicroού ( )α β1isin τέτοιου ώστε

( )g α 0=

Εφαρmicroογή του σχεδίου

Ισχυριζόmicroαστε ότι δεν υπάρχει κάποιο ( )β 01isin ώστε ( )g β 0gt Ισο-

δύναmicroα ότι για κάθε ( )x 01isin ισχύει ( )g x 0le

20

bull Στην περίπτωση που για κάποιο ( )x 01isin ισχύει ( )g x 0= τότε

καθώς έχουmicroε και ( )g 0 0= το ζητούmicroενο προκύπτει microε εφαρmicroογή

του θ Rolle

bull Ας εξετάσουmicroε τώρα τον ισχυρισmicroό ( )g x 0lt για κάθε ( )x 01isin

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

x 0 x 0

ƒ xg x 0 ƒ x x x

x

ƒ x ƒ 0lim lim x ƒ 0 0

x 0+ +rarr rarr

lt rArr lt rArr lt rArr

minusprimerArr lt rArr le

minus

που είναι άτοπο λόγω υπόθεσης Άρα υπάρχει κάποιο ( )β 01isin ώστε

( )g β 0gt

Με εφαρmicroογή του θ του Bolzano στο [ ]β1 παίρνουmicroε ότι υπάρχει

( )α β1isin τέτοιο ώστε ( )g α 0=

Και τέλος microε εφαρmicroογή του θ του Rolle για την g στο διάστηmicroα

[ ]0α παίρνουmicroε ότι υπάρχει ( ) ( )ξ 0α 01isin sube τέτοιο ώστε

( )g ξ 0prime = οπότε ( )ƒ ξ 2ξprime =

Σχόλια ndash Έλεγχος υποθέσεων

1 Στην παραπάνω λύση η υπόθεση ότι η ƒprime είναι συνεχής δεν microάς

χρειάστηκε

2 Η υπόθεση ( ) 1ƒ 1

2= θα microπορούσε να δίνεται γενικά ως ( )ƒ 1 θ= microε

θ 1lt

3 Ως ζητούmicroενο θα microπορούσαmicroε να έχουmicroε υπάρχει ( )ξ 01isin ώστε

( ) ν 1ƒ ξ νξ minusprime =

21

Μια γενίκευση

Έστω microια συνάρτηση ƒ παραγωγίσιmicroη στο [ ]01 για την οποία ισχύ-

ουν

( )f 0 0= ( )ƒ 1 θ 1= lt και ( )ƒ 0 0prime gt

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ( )ξ 01isin τέτοιο ώστε ( ) ν 1ƒ ξ νξ minusprime =

2ος

τρόπος λύσης (προτάθηκε από τον Θανάση Καραντάνα καθηγητή στο

4ο ΓΕΛ Καρδίτσας και τον Αιmicroίλιο Βλάστο καθηγητή στο Μουσικό

Σχολείο Καρδίτσας)

Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) 2g x ƒ x x= minus [ ]x 01isin

Είναι ( )g 0 0= και ( ) 1g 1

2= minus

Επίσης ( ) ( )g x ƒ x 2xprime prime= minus άρα ( ) ( )g 0 ƒ 0 0prime prime= gt

Οπότε από τον ορισmicroό της παραγώγου της g στο 0 από τα δεξιά

παίρνουmicroε

( ) ( ) ( )x 0 x 0

g x g 0 g xlim lim 0

x 0 x+ +rarr rarr

minus= gt

minus

Και επειδή x 0gt θα είναι και ( )g x 0gt κοντά στο 0 από τα δεξιά

Άρα θα υπάρχει ( )k 01isin τέτοιο ώστε ( )g k 0gt

Έχουmicroε λοιπόν ( ) ( )g k g 1 0sdot lt και επειδή η συνάρτηση g είναι συνε-

χής στο [ ]k1 από το θεώρηmicroα του Bolzano θα υπάρχει

( ) ( )m k1 01isin sube τέτοιο ώστε ( )g m 0=

Τέλος καθώς στο διάστηmicroα [ ]0m η g ικανοποιεί τις υποθέσεις του

θεωρήmicroατος του Rolle θα υπάρχει ( ) ( )ξ 0 m 01isin sube τέτοιο ώστε

( )g ξ 0prime = ∆ηλαδή ( )ƒ ξ 2ξprime =

22

3ος

τρόπος λύσης

Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) 2g x ƒ x x= minus [ ]x 01isin

Είναι g(0) = 0 και ( ) 1g 1

2= minus

Επίσης ( ) ( )g x ƒ x 2xprime prime= minus άρα ( ) ( )g 0 f 0 0prime prime= gt

Με εφαρmicroογή του θεωρήmicroατος Μέσης Τιmicroής για την g στα 1

02

και

11

2

βρίσκουmicroε ότι υπάρχουν 1

1x 0

2

isin

και 2

1x 1

2

isin

τέτοια

ώστε

( )1

1 1f

2 4g x

1

2

minus prime = και ( )2

1 1 1f

2 2 4g x

1

2

minus minus minus prime =

Και επειδή ( ) ( )1 2g x g x 1prime prime+ = minus προφανώς ένα τουλάχιστον από τα

( ) ( )1 2g x g xprime prime θα είναι υποχρεωτικά αρνητικό

Έστω λοιπόν ότι είναι ( )1g x 0prime lt

Τότε καθώς η gprime είναι συνεχής στο [ ]10 x και ( ) ( )1g 0 g x 0prime primesdot lt από

το θεώρηmicroα του Bolzano βρίσκουmicroε ότι θα υπάρχει ένα τουλάχιστον

( ) ( )1ξ 0 x 01isin sube τέτοιο ώστε ( )g ξ 0prime = ∆ηλαδή ( )ƒ ξ 2ξprime =

4ος

τρόπος λύσης (προτάθηκε από τον Σεραφείmicro Σαmicroορέλη καθηγητή στο

8ο ΓΕΛ Τρικάλων)

Έστω η συνάρτηση w(x) ƒ (x) 2xprime= minus microε [ )x 01isin για την οποία ι-

σχυριζόmicroαστε ότι w(x) 0ne στο [ )01

Επειδή στο διάστηmicroα [ )01 η συνάρτηση w είναι συνεχής microε

w(x) 0ne προκύπτει ότι η w διατηρεί σταθερό πρόσηmicroο στο [ )01

23

Είναι w(0) ƒ (0) 2 0 ƒ (0) 0prime prime= minus sdot = gt άρα w(x) 0gt για κάθε [ )x 01isin

οπότε και ƒ (x) 2xprime gt για κάθε [ )x 01isin (1)

Με εφαρmicroογή του ΘΜΤ για την ƒ στα διαστήmicroατα 1

02

και 1

12

προκύπτει ότι θα υπάρχουν 1

1x 0

2

isin

και 2

1x 1

2

isin

τέτοια ώστε

1

1ƒ ƒ(0)

2ƒ (x )

1

2

minus prime = και

( )2

1ƒ 1 ƒ

2ƒ (x )

1

2

minus prime =

Με πρόσθεση κατά microέλη παίρνουmicroε

1 2

1 1 1ƒ ƒ(0) ƒ(1) ƒ2 2 2ƒ (x ) ƒ (x ) 1

1 1

2 2

minus + minus prime prime+ = = = (2)

Όmicroως από τη σχέση (1) έχουmicroε 1 1

2 2

ƒ (x ) 2x

ƒ (x ) 2x

prime gt

prime gt και microε πρόσθεση κατά

microέλη παίρνουmicroε

( )2

1 2 1 2 1 2 1 2

1ƒ (x ) ƒ (x ) 2x 2x 1 2x 2x x x

2prime prime+ gt + hArr gt + hArr + lt

που είναι άτοπο καθώς 1

2

10 x

2

1x 1

2

lt lt lt lt

Εποmicroένως o ισχυρισmicroός ότι στο [ )01 είναι w(x) 0ne δεν ευσταθεί

Οπότε θα υπάρχει ( )ξ 01isin τέτοιο ώστε w(ξ) 0 ƒ (ξ) 2ξprime= hArr = (το ξ

αυτό δεν microπορεί να είναι ίσο microε 0 αφού w(0) 0gt )

24

Μια πρόταση

Έστω f και g δυο συναρτήσεις συνεχείς στο διάστηmicroα [ ]αβ για τις

οποίες ισχύει ( ) ( )f x g xgt για κάθε [ ]x αβisin

Υπάρχει πάντοτε θετικός r τέτοιος ώστε ( ) ( )f x g x rgt + για κάθε

[ ]x αβisin

Ένα ερώτηmicroα

Ποιος προβληmicroατισmicroός γεωmicroετρικής υφής θα microπορούσε να microας οδη-

γήσει στη διατύπωση της παραπάνω πρότασης

Απόδειξη της πρότασης

Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) ( )h x f x g x= minus [ ]x αβisin

Η h είναι συνεχής microε θετικές τιmicroές στο [ ]αβ οπότε θα παρουσιάζει

ελάχιστο έστω ίσο microε m mgt0

Άρα ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m mh x m f x g x m f x g x

2 2ge rArr minus ge gt rArr gt +

Οπότε ( ) ( )f x g x rgt + m

r2= microε ( )r 0misin

Σηmicroείωση

Τα παραδείγmicroατα microαθηmicroατικών που συmicroπεριέλαβα στο παρόν άρθρο ανα-

πτύχθηκαν και σε οmicroιλία microου στην Ελληνογαλλική Σχολή Καλαmicroαρί της

Θεσσαλονίκης (27 Φεβρουαρίου 2016) microε θέmicroα τα Ποιοτικά Χαρακτηριστι-

κά στη ∆ιδασκαλία των Μαθηmicroατικών Επίσης κάποια από αυτά χρησιmicroο-

ποιήθηκαν σε σεmicroινάριο ∆ιδακτικής Μαθηmicroατικών που ανέπτυξα στα Τρί-

καλα (5 και 12 Απριλίου 2016)

Αφιέρωση

Το άρθρο αυτό αφιερώνεται στη microνήmicroη του Νίκου Κλαουδάτου καθηγητή

microου κατά τα έτη 2000-2002 στο ΠΜΣ της ∆ιδακτικής και Μεθοδολογίας

των Μαθηmicroατικών στο Τmicroήmicroα Μαθηmicroατικών του ΕΚΠΑ

25

Βιβλιογραφικές αναφορές

Ξενόγλωσσες

[1] Cobb P Wood T Yackel E amp McNeal B (1992) Characteristics of clas-

room mathematics traditions An interactional analysis American Educa-

tional Research Journal 29 573-604

[2] Cobb P amp Steffe L P (1993) The constructivist researcher as the teacher

and model builder Journal for Research in Mathematics Education vol 14

pp 83-94

[3] Eisenberg T amp Dreyfus T On the reluctance to visualize in Mathematics in

Zimmerman W amp Cunnigham S (Eds) 1991 Visualization in teaching

and learning mathematics p 25-37 MAA notes no 19 Mathematical Asso-

ciation of America

[4] Vinner S Visual considerations in College Calculus ndash Students and Teach-

ers in Vermandel A amp Steiner Hans-Georg (Eds) 1988 Theory of mathe-

matics Educations (Proceeding of the third international conferens Andwerp

11-15 July 1988) p 109-116

[5] Year Book 2001 The Roles of Representation in School Mathematics Na-

tional Council of Teachers of Mathematics

Ελληνόγλωσσες

[6] Ανδρεαδάκης Σ Κατσαργύρης Β Μέτης Σ Μπρουχούτας Κ Παπα-

σταυρίδης Σ και Πολύζος Γ (2015) Μαθηmicroατικά Γ΄ Γενικού Λυκείου Οmicroά-

δας Προσανατολισmicroού Θετικών Σπουδών και Σποδών Οικονοmicroίας amp Πληρο-

φορικής Αθήνα ΙΕΠ amp ΙΤΥΕ ∆ιόφαντος

[7] Κατσαργύρης Β Μεντής Κ Παντελίδης Γ και Σουρλάς Κ (1994) Μα-

θηmicroατικά Γ΄ Λυκείου ndash Ανάλυση Αθήνα ΟΕ∆Β

[8] Κλαουδάτος Ν (2011) Σηmicroειώσεις ∆ιδακτικής Μαθηmicroατικών 1) Εισαγωγή

στη γνωσιακή θεωρία 2) Βασικές αρχές της θεωρίας Vygotsky Μεταπτυχιακό

Πρόγραmicromicroα Σπουδών ∆ιδακτικής και Μεθοδολογίας των Μαθηmicroατικών

Τmicroήmicroα Μαθηmicroατικών ΕΚΠΑ

[9] Κλαουδάτος Ν (2011) Σηmicroειώσεις ∆ιδακτικής Μαθηmicroατικών 1) ∆ιδασκαλία

και microάθηση των microαθηmicroατικών microε διαδικασίες επίλυσης προβληmicroάτων 2) Εισα-

γωγή στη Θεωρία της ∆ιδασκαλίας Μεταπτυχιακό Πρόγραmicromicroα Σπουδών ∆ιδα-

κτικής και Μεθοδολογίας των Μαθηmicroατικών Τmicroήmicroα Μαθηmicroατικών ΕΚΠΑ

26

[10] Μάκρας Στρ Γεωmicroετρική εποπτεία και απόδειξη άρθρο στο περιοδικό Ευ-

κλείδης Β΄ τχ 25 (Ιούλιος-Αύγουστος-Σεπτέmicroβριος 1997) σσ 11-17 Αθήνα

Έκδοση της ΕΜΕ

[11] Νεγρεπόντης Σ Γιωτόπουλος Σ amp Γιαννακούλιας Ε (2000) Απειροστικός

Λογισmicroός τόmicroος IIα Αθήνα Εκδόσεις Συmicromicroετρία

[12] Ντρίζος ∆ (2002) Πλεονεκτήmicroατα της γεωmicroετρικής αναπαράστασης των microα-

θηmicroατικών εννοιών Η απόδειξη του θεωρήmicroατος της Μέσης Τιmicroής του διαφο-

ρικού λογισmicroού για συναρτήσεις microιας ή δύο πραγmicroατικών microεταβλητών Ευκλεί-

δης Γ΄ τχ 77 (Ιούλιος-∆εκέmicroβριος 2012) σσ 31-45 Αθήνα Έκδοση της

ΕΜΕ

[13] Ντρίζος ∆ Τα βασικά θεωρήmicroατα του ∆ιαφορικού Λογισmicroού άρθρο στο περι-

οδικό Ευκλείδης Γ΄ τχ 70 (Ιανουάριος-Ιούνιος 2009) σσ 5-23 Αθήνα Έκδο-

ση της ΕΜΕ

[14] Ντρίζος ∆ ∆ιδακτική Αξιοποίηση Προβληmicroάτων Επαγωγικής Συλλογιστικής

στο Πλαίσιο Ανάπτυξης Ιδεών του G Polya άρθρο στο περιοδικό Ευκλείδης

Γ΄ τχ 73 (Ιούλιος-∆εκέmicroβριος 2010) σσ 29-48 Αθήνα Έκδοση της ΕΜΕ

[15] Polya G (2001) Η Μαθηmicroατική Ανακάλυψη τόmicroος 1 (microτφ Στεργιάκη Σπύ-

ρου) Αθήνα Εκδόσεις Κάτοπτρο

[16] Ρίζος Γ (2005) Οι περιπέτειες του Προβλήmicroατος στα σχολικά Μαθηmicroατικά

Θεσσαλονίκη Εκδόσεις Μαθηmicroατική Βιβλιοθήκη

[17] Spivak Michael (1991) ∆ιαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισmicroός (microτφ Γιαν-

νόπουλου Απ) Ηράκλειο Πανεπιστηmicroιακές Εκδόσεις Κρήτης

5

Καθηγητής (αυθεντικός φορέας της γνώσης)

Μαθητής (παθητικός αποδέκτης έτοιmicroων γνώσεων)

Και microεταξύ των εmicroπλεκοmicroένων microερών (καθηγητής ndash microαθητής) κυριαρ-

χεί συνήθως ο microονόλογος του καθηγητή ή κάποιος κατ επίφαση διάλογος

που εξαντλείται όmicroως στην υποβολή τυπικών ερωτήσεων από το διδάσκο-

ντα και τη διατύπωση microιας αναmicroενόmicroενης απάντησης από τους ίδιους πάντα

καλούς microαθητές Όποιες άλλες ατελείς απαντήσεις κατά κανόνα δεν γίνο-

νται αποδεκτές δεν αξιολογούνται˙ και δεν αξιοποιούνται διδακτικά

Το microοντέλο διδασκαλίας που παραπάνω σκιαγραφήσαmicroε δεν microπορεί

(και δεν πρέπει) να έχει πλέον θέση στην εποχή microας καθώς αφήνει αδιάφο-

ρη και έξω από το παιχνίδι της microάθησης την πλειονότητα των microαθητών

Μια άλλου είδους διδασκαλία που θα παίρνει υπόψη της τις σύγχρονες α-

ντιλήψεις και τάσεις της ∆ιδακτικής των Μαθηmicroατικών πρέπει να πάρει τη

θέση της Οι καινούργιες microαθηmicroατικές έννοιες και προτάσεις πρέπει να ει-

σάγονται και να εξελίσσονται microε φυσικό τρόπο microέσα σε ένα διδακτικό πε-

ριβάλλον όπου κυρίαρχος θα είναι ο ρόλος του ουσιαστικού διαλόγου και

του δηmicroιουργικού προβληmicroατισmicroού Οι microαθητές πρέπει να βρίσκονται στο

επίκεντρο της microαθησιακής διαδικασίας˙ και ο ρόλος του διδάσκοντα να εί-

ναι (κυρίως) αυτός του καλού συντονιστή που υποβάλλει στην κατάλληλη

στιγmicroή εύστοχες ερωτήσεις που έχουν στόχο να προωθούν διαδικασίες έ-

ρευνας και γόνιmicroου προβληmicroατισmicroού στη σχολική τάξη

Η διδασκαλία είναι ανάγκη να συmicroβάλλει ώστε ο microαθητής πρώτον

να σχηmicroατίζει στο microυαλό του οπωσδήποτε microία ή και περισσότερες εποπτι-

κές εικόνες για καθεmicroιά έννοια και πρόταση και δεύτερον να ανακαλύ-

πτει τη διασύνδεσή τους microε άλλες προηγούmicroενες σχετικές γνώσεις του

Σ αυτό το σηmicroείο κρίνουmicroε σκόπιmicroο να κάνουmicroε και κάποιες νύξεις

για την ουσία και το ρόλο των αναπαραστάσεων στη διδασκαλία των Μα-

θηmicroατικών Προκειmicroένου ο microαθητής να λύσει ένα πρόβληmicroα που του έχει

θέσει ο καθηγητής του κάνει microια σειρά συλλογισmicroών οι οποίοι βασίζονται

σε διάφορες αναδιατυπώσεις του προβλήmicroατος˙ δηmicroιουργεί microε τον τρόπο

6

αυτό διάφορες νέες εικόνες που εδράζονται στην πρώτη διατύπωση των

ερωτηmicroάτων Τις εικόνες αυτές τις λέmicroε (και) αναπαραστάσεις του προ-

βλήmicroατος Και οι εικόνες αυτές microπορεί να είναι εσωτερικές (νοητικές-

συmicroβολικές) ή εξωτερικές Στις εξωτερικές αναπαραστάσεις εντάσσονται

και οι λεγόmicroενες γεωmicroετρικές αναπαραστάσεις οι οποίες αποδίδονται ως

γεωmicroετρικά σχήmicroατα γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων ιστογράmicromicroατα

ραβδογράmicromicroατα κυκλικά διαγράmicromicroατα κλπ (βλ [3] [4] και [12]) Σε microια

διαδικασία που microας ενδιαφέρει microόνον η αυστηρή διατύπωση των αποδείξε-

ων και καθόλου ή σχεδόν καθόλου η πορεία της σύλληψης των ιδεών κυ-

ριαρχούν οι νοητικές-συmicroβολικές αναπαραστάσεις και οι αφαιρετικές δι-

αδικασίες

Στην πρότασή microας οι γεωmicroετρικές αναπαραστάσεις (εποπτεία) δεν ει-

σάγονται microε σκοπό να ερmicroηνεύσουν microια microαθηmicroατική πρόταση microετά από την

απόδειξή τους αλλά να συmicroβάλουν από την αρχή στην επινόηση κάποιου

γεωmicroετρικού επιχειρήmicroατος το οποίο πρώτον θα αιτιολογεί τη σύλληψη

της πρότασης και δεύτερον θα microας δίνει και κάποιες ιδέες για την απόδειξή

της (βλ [12] σελ 32-33)

Είναι σηmicroαντικό να σηmicroειώσουmicroε εδώ το εξής Πριν καταλήξει κανείς

στη διατύπωση της λύσης ενός προβλήmicroατος δεν έχει προηγηθεί η εξίσου

σοβαρή φάση της επώασης και της σύλληψης των ιδεών στη βάση κάποιων

αναπαραστάσεων Γιατί λοιπόν να αποσιωπούmicroε και να microην αξιοποιούmicroε

φανερά και microε καθαρό τρόπο τη φάση αυτή

Σχετικά τώρα microε την επικέντρωση της διδασκαλίας των Μαθηmicroατικών

στην αυστηρή έκθεση των τελικών αποτελεσmicroάτων της αφαίρεσης ο

γάλλος πολωνικής καταγωγής microαθηmicroατικός Benoit Mandelbrot που εισή-

γαγε το 1975 τον όρο Fractals microας λέει τα εξής

laquoΕίmicroαι βαθύτατα πεπεισmicroένος ότι πολύ συχνά microάλλον χάνουmicroε

παρά κερδίζουmicroε microε την εξαρχής καταναγκαστική αφαίρεση και

microε την υπερβολική σηmicroασία που δίνουmicroε στην τακτοποίηση των

microαθηmicroατικών εννοιών και των προτάσεωνraquo

7

12 ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ∆Ι∆ΑΚΤΙΚΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ

Τα Μαθηmicroατικά αυτά καθαυτά χαρακτηρίζονται από την εσωτερική δοmicroική

τους τελειότητα Η διδασκαλία τους όmicroως είναι microια εντελώς διαφορετική

υπόθεση Είναι microια κατεξοχήν διαδικασία επικοινωνίας Επικοινωνία του

καθηγητή microε τους microαθητές του microε microια επιδίωξη να κατακτήσουν οι microαθητές

του ορισmicroένες συγκεκριmicroένες κάθε φορά γνώσεις Και εδώ το κρίσιmicroο ε-

ρώτηmicroα που ανακύπτει είναι το εξής Αν ο καθηγητής γνωρίζει καλά την

ύλη που σκοπεύει να διδάξει το στοιχείο αυτό δεν είναι από microόνο του ικα-

νό ώστε να πραγmicroατοποιήσει microια ποιοτική και παράλληλα αποτελεσmicroατική

διδασκαλία Σίγουρα βέβαια η πολύ καλή γνώση της ύλης είναι οπωσδή-

ποτε αναγκαία συνθήκη Όmicroως δεν είναι από microόνη της και ικανή Ο καθη-

γητής είναι απαραίτητο να ξέρει και άλλα περισσότερα πράγmicroατα Και microε-

ταξύ αυτών να ξέρει πολύ καλά το γνωστικό επίπεδο των microαθητών του αλ-

λά και τον τρόπο microε τον οποίο αυτοί microαθαίνουν Να αγαπά τη δουλειά του

και να παίρνει χαρά και ικανοποίηση από τις microικρές ή microεγάλες επιτυχίες του

παιδευτικού του έργου

Πριν τη διδασκαλία ο καθηγητής καλείται να πάρει κρίσιmicroες αποφά-

σεις Και πρώτα απrsquo όλα να αποφασίσει ποιο microέρος της ενότητας που σκο-

πεύει να διδάξει είναι ανάγκη να το παρουσιάσει ο ίδιος στην τάξη Με

ποια σειρά και microε ποιο ακριβώς σχέδιο Κι όλα τα υπόλοιπα πρέπει να

ldquoβγουνrdquo microέσα από έναν καλοσχεδιασmicroένο και καλά συντονισmicroένο διάλογο

microε την τάξη Μια τάξη που υπό την εποπτεία του καθηγητή συνδιαλέγεται

microε στόχο να βρεθούν απαντήσεις στα ερωτήmicroατα που θέτει ο καθηγητής

Μια τάξη που προσοmicroοιάζει κατά κάποιον τρόπο microε εργαστήριο microάθησης

όπου ο καθηγητής ακούει προσεκτικά τις απαντήσεις που δίνονται και επι-

χειρεί συστηmicroατικά όταν κάποια απάντηση δεν είναι η αναmicroενόmicroενη να

φέρει τον microαθητή που την έδωσε στο σηmicroείο εκείνο που θα κατανοήσει ο

ίδιος την αστοχία ή το λάθος που έκανε Αυτό βέβαια είναι κάτι που θέλει

τον χρόνο του Κι εδώ πρέπει να κατανοήσουmicroε όλοι ότι αυτός ο χρόνος

της απαραίτητης αναmicroονής δεν είναι χαmicroένος χρόνος Μόνο έτσι microια πλη-

ροφορία των microαθηmicroατικών microπορεί εν δυνάmicroει στο νου του microαθητή να microε-

8

τεξελιχθεί σε γνώση Κι αυτό γιατί ο νους έχει ανάγκη κάποιου χρόνου ώ-

στε αφού πρώτα επεξεργαστεί τις πληροφορίες να τις εντάξει έπειτα σε

ένα προϋπάρχον γνωστικό σχήmicroα ή αν χρειάζεται να δηmicroιουργήσει και κά-

ποιο καινούριο γνωστικό σχήmicroα

Πέρα όmicroως απrsquo όλα τα παραπάνω να τονίσουmicroε εδώ την αξία και τον

ρόλο του διδακτικού υλικού που θα χρησιmicroοποιήσουmicroε για να ldquoδουλέψειrdquo η

τάξη δηmicroιουργικά Το υλικό αυτό θα πρέπει να υποβοηθά στη σύνδεση των

νέων γνώσεων που θέλουmicroε να διδάξουmicroε microε άλλες προϋπάρχουσες γνώ-

σεις και παράλληλα τα ερωτήmicroατά microας να στοχεύουν στην ανέλιξη της

δηmicroιουργικής και κριτικής σκέψης των microαθητών

Επίσης να σηmicroειώσουmicroε microε ιδιαίτερη έmicroφαση ότι η επιτυχής αντιmicroε-

τώπιση ενός microαθηmicroατικού προβλήmicroατος προϋποθέτει την πνευmicroατική συ-

γκέντρωση του microαθητή πάνω στα ερωτήmicroατα που συγκροτούν το πρόβλη-

microα Πειθαρχηmicroένη σκέψη αλλά και επιmicroονή ώστε αφού πρώτα κατανοήσει

σηmicroείο προς σηmicroείο όλες τις πληροφορίες που του δίνονται να αναζητήσει

έπειτα την κρίσιmicroη ιδέα που θα του επιτρέψει να ldquoξεκλειδώσειrdquo το πρόβλη-

microα Να δει προσεκτικά τη σχέση αυτής της ιδέας microε τις υποθέσεις και τα

συmicroπεράσmicroατα του προβλήmicroατος Να αναλύσει αυτές τις συνδέσεις κατά

τρόπο που θα του επιτρέψουν να κάνει και το επόmicroενο κρίσιmicroο βήmicroα Να

διατυπώσει τη λύση του προβλήmicroατος

2 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΩΝ ∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΩΝ ndash

Η ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΗΣ ΓΝΩΣΗΣ ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ

ΜΙΑΣ ldquo∆ΙΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗΣrdquo ΤΑΞΗΣ

Ξεκινώντας από την κοινά αποδεκτή θέση ότι κάθε διδασκαλία πρέπει να

στοχεύει στην ουσιαστική κατάκτηση των γνώσεων από τους microαθητές microας

κρίνουmicroε σκόπιmicroο να αναφερθούmicroε σε ορισmicroένες προϋποθέσεις που πιστεύ-

ουmicroε ότι ευνοούν microια διδασκαλία των microαθηmicroατικών microε έmicroφαση στην ανά-

πτυξη ερευνητικών δραστηριοτήτων Και ως πρώτη προϋπόθεση θεωρούmicroε

9

την ενσυνείδητη εmicroπλοκή του microαθητή στις διαδικασίες της microάθησης Είναι

απαραίτητο πρώτα απrsquo όλα να πεισθεί ο microαθητής ότι η εν λόγω γνώση τον

ενδιαφέρει και η προσωπική του συmicromicroετοχή σrsquo αυτήν τη διαδικασία microετράει

και έχει νόηmicroα ότι έτσι συmicroβάλλει κι αυτός microε τον δικό του τρόπο στην κα-

τασκευή και διαmicroόρφωση της νέας γνώσης και δεν είναι απλά ένας παθητι-

κός δέκτης ασύνδετων κατά κανόνα πληροφοριών Με αυτές τις προϋπο-

θέσεις δηmicroιουργείται microια τάξη στην οποία οι microαθητές συmicromicroετέχουν στην

αναζήτηση και επινόηση της γνώσης Και ο ρόλος εδώ του διδάσκοντα εί-

ναι κυρίως αυτός του εmicroπνευστή του καθοδηγητή και του καλού συντονι-

στή που υποβάλλει στην κατάλληλη στιγmicroή εύστοχες ερωτήσεις οι οποίες

προωθούν διαδικασίες έρευνας και γόνιmicroου προβληmicroατισmicroού Μια τάξη

στην οποία ο διδάσκων θέτει προβλήmicroατα προς λύση και συγχρόνως λει-

τουργεί διευκολυντικά στη διαπραγmicroάτευσή τους δηmicroιουργεί microια διερευνη-

τική τάξη microαθηmicroατικών (βλ [1])

Σε τέτοιες τάξεις microαθηmicroατικών οι microαθητές στην πορεία διαπραγmicroά-

τευσης κάποιου προβλήmicroατος οδηγούνται σταδιακά υπό την καθοδήγηση

του διδάσκοντα από τη microελέτη επιmicroέρους περιπτώσεων στη διατύπωση ε-

πεκτάσεων και γενικεύσεων microια ικανότητα η οποία σχετίζεται microε τη microαθη-

microατική ανακάλυψη την επινόηση δηλαδή των κρίσιmicroων ιδεών που microάς δεί-

χνουν το δρόmicroο για τη λύση Σ΄ αυτήν τη δηmicroιουργική πορεία και καθώς ο

microαθητής αναζητά επίmicroονα τη λύση κάποιου προβλήmicroατος σηmicroαντικό ρόλο

παίζει και η διαίσθηση που βασίζεται κυρίως στην εποπτεία (κατά τον

Richard Courant η έλλειψη της εξάρτησης των αποδείξεων από τη διαί-

σθηση οδηγεί σε microαθηmicroατική ατροφία)

Με τις παραπάνω σκέψεις επιχειρούmicroε να διευκρινίσουmicroε τις παιδευ-

τικές προθέσεις microιας διερευνητικής τάξης microαθηmicroατικών και παράλληλα να

αναπτύξουmicroε περαιτέρω το διδακτικό σχήmicroα του G Polya για ένα περιβάλ-

λον διερευνητικής διδασκαλίας και microάθησης όπου οι microαθητές για την επί-

λυση ενός προβλήmicroατος

(α) πειραmicroατίζονται και παρατηρούν στο πλαίσιο της επαγωγικής συλλογι-

στικής αντιmicroετωπίζουν δηλαδή πρώτα-πρώτα επιmicroέρους περιπτώσεις

του προβλήmicroατος (ειδικεύσεις)

10

(β) εντοπίζουν microια ιδιότητα ή microια κατάσταση που συνήθως εmicroφανίζεται σε

όλες τις επιmicroέρους περιπτώσεις που εξέτασαν

(γ) διατυπώνουν εικασίες (βλ [9] σελ 57)

(δ) επινοούν ένα σχέδιο για τη microαθηmicroατική απόδειξη των εικασιών το ο-

ποίο στη συνέχεια τροποποιούν όσες φορές απαιτηθεί έως ότου κατα-

λήξουν στο επιθυmicroητό αποτέλεσmicroα

(ε) ελέγχουν αν τα αποδεικτικά βήmicroατα που ακολούθησαν καθώς και το

συmicroπέρασmicroα στο οποίο κατέληξαν είναι απολύτως συνεπή προς όλες

τις υποθέσεις του προβλήmicroατος και

(στ) προσπαθούν να δούν το υπό microελέτη πρόβληmicroα ως ειδίκευση ενός γενι-

κού προβλήmicroατος και ακολούθως να microελετήσουν αυτό το γενικό

πρόβληmicroα

Έχουmicroε τη γνώmicroη ότι ο διάλογος που θα αναπτυχθεί microε έναυσmicroα την

αναζήτηση απαντήσεων σε ερωτήmicroατα τέτοιων δραστηριοτήτων θα συmicro-

βάλλει ώστε να αναδειχθούν και εmicroπεδωθούν ιδέες και πρακτικές που βαθ-

microιαία βελτιώνουν τη microαθηmicroατική ικανότητα η οποία είναι τελικά και το

ποιοτικό ζητούmicroενο της microαθηmicroατικής εκπαίδευσης

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ

Το παρόν άρθρο συmicroπληρώνεται microε επιλεγmicroένα παραδείγmicroατα η διαπραγ-

microάτευση των οποίων υποστηρίζει τη συmicroβολή της γεωmicroετρικής εποπτείας

στη διδασκαλία των microαθηmicroατικών στο Λύκειο και αναδεικνύει τη δυναmicroική

τους στην ερmicroηνεία πραγmicroατικών καταστάσεων

11

Ενδεικτικά παραδείγmicroατα για διαπραγmicroάτευση στη σχολική τάξη

1 Από την εποπτεία και τη διαίσθηση στη microαθηmicroατική τακτοποίηση

της έννοιας της απόλυτης τιmicroής πραγmicroατικού αριθmicroού

Παράδειγmicroα 1

Σε έναν άξονα x xprime να θεωρήσετε τα σηmicroεία ( )A 1 και ( )B 5

α) Να βρείτε αν υπάρχουν και πόσα σηmicroεία ( )M x πάνω στον x xprime τέ-

τοια ώστε

i) MA MB 4+ =

ii) MA MB 1+ =

iii) MA MB 8+ =

β) Χρησιmicroοποιώντας το σύmicroβολο της απόλυτης τιmicroής ν α γράψετε τις γε-

ωmicroετρικές ισότητες i) ii) και iii) microε microορφή εξίσωσης και στη συνέχεια

να βρείτε τις ρίζες των εξισώσεων αυτών

Παράδειγmicroα 2

Σε έναν άξονα x xprime να πάρετε δύο οποιαδήποτε σηmicroεία ( )Α α και ( )Β β

και έπειτα να προσδιορίσετε γεωmicroετρικά τα σηmicroεία του άξονα στα οποία

αντιστοιχούν οι αριθmicroοί α ββ αminus minus και α β+

2 Μια ενότητα θεmicroάτων Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας που αναδεικνύουν

την ιδέα των διαδοχικών γενικεύσεων

21 Θεωρούmicroε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓκαι σηmicroείο Μ που κινείται στην υπο-

τείνουσα ΒΓ Από το Μ φέρνουmicroε τα κάθετα τmicroήmicroατα ΜΚ και ΜΛ

προς τις πλευρές ΑΒ και ΑΓαντίστοιχα Να προσδιορίσετε τη θέση του

Μ στη ΒΓ ώστε το microήκος το τmicroήmicroατος ΚΛ να γίνεται ελάχιστο

22 Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓκαι σηmicroείο Μ που κινείται στην πλευρά ΒΓ

Από το Μ φέρνουmicroε τα κάθετα τmicroήmicroατα ΜΚ και ΜΛ προς τις πλευρές

12

ΑΒ και ΑΓαντίστοιχα Να προσδιορίσετε τη θέση του Μ στη ΒΓ ώστε

το microήκος το τmicroήmicroατος ΚΛ να γίνεται ελάχιστο

23 Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓκαι σηmicroείο M που κινείται στην πλευρά ΒΓ

Φέρνουmicroε τα τmicroήmicroατα ΜΚ και ΜΛ όπου Κ σηmicroείο της πλευράς ΑΒ

και Λ σηmicroείο της πλευράς ΑΓτέτοια ώστε ΒΚΜ ΜΛΓ ω= = όπου ω

γωνία microε το ίδιο σταθερό microέτρο για οποιαδήποτε θέση του Μ Να προσδι-

ορίσετε τη θέση του Μ στη ΒΓ ώστε το microήκος το τmicroήmicroατος ΚΛ να γί-

νεται ελάχιστο

Σχόλιο

Τα επιmicroέρους θέmicroατα 21 22 και 23 της παραπάνω ενότητας θεmicroάτων Ευ-

κλείδειας Γεωmicroετρίας προτείνονται για διαπραγmicroάτευση στην τάξη στο πλαίσιο

microιας ερευνητικής δραστηριότητας που αναδεικνύει την ιδέα της γενίκευσης προ-

βλήmicroατος microε διαδοχικές microεταβολές των υποθέσεων διατηρώντας το ίδιο ζητούmicroε-

νο Εκτιmicroούmicroε ότι ανάλογες δραστηριότητες ndashυπό κατάλληλες βέβαια διδακτικές

προϋποθέσειςndash microπορούν εν δυνάmicroει να συmicroβάλλουν στην ανάπτυξη της δηmicroι-

ουργικής microαθηmicroατικής σκέψης

3 Παραδείγmicroατα που αναδεικνύουν τη φυσική ερmicroηνεία του θεωρή-

microατος του Rolle και του ΘΜΤ του Lagrange

31 Ας υποθέσουmicroε ότι microια συνάρτηση V(t) microετράει τον όγκο του αέρα

που βρίσκεται στους πνεύmicroονες ενός ανθρώπου ως προς το χρόνο t

κατά τη διάρκεια microιας αναπνοής

Υποθέτουmicroε ότι

α) η V είναι συνεχής και περιγράφεται από microια οmicroαλή καmicroπύλη

(γραφική παράσταση παραγωγίσιmicroης συνάρτησης)

β) η V(t) παίρνει την ίδια τιmicroή (περίπου 4 λίτρα) στο τέλος κάθε εισ-

πνοής

Ερώτηση Υπάρχει χρονική στιγmicroή κατά τη διάρκεια microιας αναπνοής

όπου microηδενίζεται ο ρυθmicroός microεταβολής του όγκου του αέρα που βρί-

σκεται στους πνεύmicroονες του ανθρώπου

13

32 Πετάmicroε κατακόρυφα προς τα πάνω microια microπάλα και την ξαναπιάνουmicroε

στο ίδιο ύψος από το οποίο την πετάξαmicroε

α) Να κάνετε πρόχειρα τη γραφική παράσταση της συνάρτησης θέσης

της microπάλας ως προς το χρόνο t

β) Υπάρχει χρονική στιγmicroή t1 που η ταχύτητα της microπάλας microηδενίζεται

Ποια είναι η κλίση (της εφαπτοmicroένης) της γραφικής παράστασης

της συνάρτησης θέσης στο σηmicroείο microε τετmicroηmicroένη t1

33 ∆ύο αυτοκίνητα είναι σταmicroατηmicroένα σrsquo ένα φανάρι το ένα δίπλα στο

άλλο Όταν το φανάρι ανάβει πράσινο ξεκινούν αλλά αναγκάζονται

και τα δύο να σταmicroατήσουν στο επόmicroενο φανάρι Έτσι βρίσκονται και

τα δύο σταmicroατηmicroένα πάλι το ένα δίπλα στο άλλο Υπάρχει χρονική

στιγmicroή κατά την οποία τα δύο αυτοκίνητα έτρεχαν microε την ίδια ταχύτη-

τα

34 Ένας σκιέρ κατεβαίνει microια πλαγιά ξεκινώντας από ένα σηmicroείο Α και

καταλήγοντας σε ένα σηmicroείο Β Υπάρχει περίπτωση ο σκιέρ να απο-

φύγει την κλίση του ευθ τmicroήmicroατος ΑΒ

35 Ο οδηγός ενός Jeep σκοπεύει από το σηmicroείο Α να φτάσει στο Β Η

πλαγιά ΑΒ ορίζεται από την καmicroπύλη ( )y ƒ x= και το Jeep microπορεί να

αναρριχηθεί σε κλίσεις έως 25 Ο οδηγός θα πετύχει το σκοπό του

Α

Β

15

0 m

05 Km

14

36 Ένα σωmicroατίδιο κινείται πάνω στον άξονα των τετmicroηmicroένων (των t)

Χρόνος t σε sec Θέση x(t) σε m

0 2

2 4

5 7

Ο πίνακας δείχνει τη θέση του σωmicroατιδίου σε τρεις χρονικές στιγmicroές

α) Να βρείτε η microέση ταχύτητα του σωmicroατιδίου στο χρονικό διάστηmicroα

[0 5]

β) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον χρονικές στιγmicroές

κατά τις οποίες η στιγmicroιαία ταχύτητα του σωmicroατιδίου είναι ίση microε

τη microέση ταχύτητα στο διάστηmicroα [0 5]

γ) Να εξετάσετε αν υπάρχει microία τουλάχιστον χρονική στιγmicroή κατά

την οποία η επιτάχυνση του σωmicroατιδίου microηδενίζεται

(βλ [13] σελ 11-12)

Θέmicroατα Ανάλυσης που αναδεικνύουν το ρόλο της γεωmicroετρικής εποπτείας

Παράδειγmicroα 1

Έστω κύκλος microε κέντρο ( )0Κ α 0α ne και ακτίνα ρ Αν f είναι microια

παραγωγίσιmicroη συνάρτηση τέτοια ώστε ( ) ( ) 0f α ρ f α ρminus = + = και η

γραφική της παράσταση έχει microε τον κύκλο ακόmicroη ένα τουλάχιστον

κοινό σηmicroείο να αποδείξετε ότι υπάρχουν ( )1 2 ξ ξ α ρ α ρisin minus + microε

( ) ( )1 21f ξ f ξprime primesdot = minus

Παράδειγmicroα 2

Μία συνάρτηση ƒ είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο Υπάρχει

περίπτωση η γραφική της παράσταση να microην τέmicroνει τον φορέα της διχοτό-

microου της πρώτης ορθής γωνίας των αξόνων Να αποδείξετε την εικασία σας

15

Παράδειγmicroα 3

Μια συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο ενώ

microια άλλη συνάρτηση g είναι συνεχής στο και τέτοια ώστε

( )limx

g xrarrminusinfin

= minusinfin και ( )limx

g xrarr+infin

= +infin

Να εξετάσετε αν οι γραφικές παραστάσεις των f και g τέmicroνονται

Παράδειγmicroα 4

Αν microια συνάρτηση ƒ είναι δύο φορές παραγωγίσιmicroη στο [α β] microε την

ιδιότητα ƒ(α) + ƒ(β) = α β

2 ƒ2

+ sdot

τότε υπάρχει ξisin(α β) τέτοιο ώ-

στε ( )ƒ ξ 0primeprime =

Σχόλιο

Το παράδειγmicroα 4 το συmicroπεριλάβαmicroε στο παρόν άρθρο όχι για να πα-

ρουσιάσουmicroε τη συνήθη τυπική του απόδειξη αλλά για να αναδείξουmicroε το

γεωmicroετρικό υπόβαθρο που βρίσκεται πίσω από τις συmicroβολικά διατυπωmicroένες

microαθηmicroατικές σχέσεις

xα βξ1

y

ξ2

Α

Μ

Γ Β

Λ(β ƒ(β))

ε1

ε2

Cƒ

α + β

2

Κ(α ƒα))

Ο

Μια ανάλυση των υποθέσεων

Η υπόθεση ƒ(α) + ƒ(β) = α β

2 ƒ2

+ sdot

γράφεται

16

[ ]1 α βƒ(α) ƒ(β) ƒ

2 2

+ + =

(1)

Το 1ο microέλος της υπόθεσης (1) είναι η τεταγmicroένη του microέσου Μ του

τmicroήmicroατος ΚΛ ενώ το 2ο microέλος είναι η εικόνα microέσω της ƒ του microέσου

του διαστήmicroατος [α β] Η πρώτη απλούστατη γεωmicroετρική ερmicroηνεία της

υπόθεσης (1) είναι ότι η γραφική παράσταση της ƒ τέmicroνει το τmicroήmicroα

ΚΛ στο microέσο του Μ

Επίσης το τετράπλευρο ΚΑΒΛ είναι (γενικά) τραπέζιο microε βάσεις

ΚΑ = ƒ(α) ΛΒ = ƒ(β) και διάmicroεσο την ΜΓ = α β

ƒ2

+

Η υπόθεση (1) σε γεωmicroετρική γλώσσα γράφεται

ΚΑ ΚΒΜΓ

2

+=

σχέση η οποία από την Ευκλείδεια Γεωmicroετρία συνδέει το microήκος της

διαmicroέσου του τραπεζίου ΚΑΒΛ microε τα microήκη των βάσεών του

Το γεγονός ότι η ƒ είναι δύο φορές παραγωγίσιmicroη άρα και microία φορά

microας δηλώνει ότι η γραφική παράσταση της ƒ είναι microια οmicroαλή κα-

microπύλη η οποία δέχεται εφαπτοmicroένη (όχι κατακόρυφη) σε κάθε σηmicroείο

της

Προσέγγιση θεωρητικής τεκmicroηρίωσης

Από τη διαίσθησή microας που βρίσκεται σε πλήρη αρmicroονία microε το Θεώ-

ρηmicroα Μέσης Τιmicroής του ∆ιαφορικού Λογισmicroού υπάρχουν οι εφαπτό-

microενες ευθείες ε1 και ε2 της Cƒ παράλληλες προς την ΚΛ microε συντελε-

στές διεύθυνσης αντίστοιχα ƒ΄(ξ1) και ƒ΄(ξ2)

ƒ΄(ξ1) = λΚΜ ξ1isinα β

α2

+

Είναι

ƒ΄(ξ2) = λΜΛ ξ2isinα β

β2

+

Όmicroως λΚΜ = λΜΛ οπότε ƒ΄(ξ1) = ƒ΄(ξ2) και microε απλή εφαρmicroογή του Θε-

17

ωρήmicroατος του Rolle για τη συνάρτηση ƒ΄ στο [ξ1 ξ2] παίρνουmicroε το

ζητούmicroενο ƒ΄΄(ξ) = 0 όπου ξisin(ξ1 ξ2)

Προβληmicroατισmicroός

Θα microπορούσαmicroε να καταλήξουmicroε στην ƒ΄(ξ1) = ƒ΄(ξ2) στηριζόmicroενοι

στο γεγονός ότι το ΚΑΒΛ είναι τραπέζιο

xξ1

y

ξ2Α

Μ

Γ Β

Λ

Κω

ω

Μ΄

Λ΄

Ο

1 ΚΜ

2 ΜΛ

ΜΜ΄ ΜΓ ΚΑƒ (ξ ) λ εφω (2)

ΚΜ΄ ΑΓΈχουmicroε

ΛΛ΄ ΛΒ ΜΓƒ (ξ ) λ εφω (3)

ΜΛ΄ ΓΒ

minusprime = = = =

minusprime = = = =

Τα τελευταία κλάσmicroατα των (2) και (3) είναι ίσα γιατί ΑΓ = ΓΒ και

ΜΓ ndash ΚΑ = ΛΒ ndash ΜΓ λόγω της σχέσης της διαmicroέσου ΜΓ του τρα-

πεζίου ΚΑΒΛ microε τις βάσεις του ΚΑ και ΛΒ Οπότε ƒ΄(ξ1) = ƒ΄(ξ2)

Η γεωmicroετρική ερmicroηνεία του παραπάνω θέmicroατος microάς επιτρέπει να δια-

τυπώσουmicroε την επόmicroενη γενίκευση

18

Μια γενίκευση διατυπωmicroένη εποπτικά

Έστω συνάρτηση ƒ δύο φορές παραγωγίσιmicroη στο [α β] και τα ση-

microεία Κ(α ƒ(α)) και Λ(β ƒ(β))

Αν το τmicroήmicroα ΚΛ και η γραφική παράσταση της ƒ τέmicroνονται τότε

υπάρχει ξisin(α β) τέτοιο ώστε ƒ΄΄(ξ) = 0

Η ιδέα για τη γενίκευση διατυπωmicroένη στη γλώσσα της Ανάλυσης

Αν στο παραπάνω παράδειγmicroα 4 ονοmicroάζαmicroε γ την τετmicroηmicroένη τού microέ-

σου Γ του ευθυγράmicromicroου τmicroήmicroατος ΑΒ τότε είναι γ α

1β γ

minus=

minus οπότε

α βΓ 0

2

+

Και αν παίρναmicroε το Γ(γ0) στο εσωτερικό του ΑΒ ώστε γ α κ

β γ λ

minus=

minus τό-

τε microε απλές πράξεις θα βρίσκαmicroε λα κβ

Γ 0κ λ

+ +

Η γενίκευση

Αν microια συνάρτηση f είναι δυο φορές παραγωγίσιmicroη στο διάστηmicroα

[ ]αβ microε την ιδιότητα ( ) ( ) ( ) λα κβλf α κf β κ λ f

κ λ

+ + = + +

όπου λα κβ

α βκ λ

+lt lt+

και κλ θετικοί ακέραιοι τότε υπάρχει

( )ξ αβisin τέτοιο ώστε ( )f ξ 0primeprime =

Παράδειγmicroα 5

Έστω συνάρτηση ƒ παραγωγίσιmicroη στο [0 1] microε συνεχή παράγωγο

για την οποία ισχύουν

( )ƒ 0 0= ( ) 1ƒ 1

2= και ( )ƒ 0 0prime gt

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ( )ξ 01isin τέτοιο ώστε ( )ƒ ξ 2ξprime =

19

Σχόλιο

Το παράδειγmicroα 5 το συζητήσαmicroε σε Εργαστήριο Εφαρmicroοσmicroένης ∆ι-

δακτικής των Μαθηmicroατικών (∆ Ντρίζος Ιανουάριος 2016 Καρδίτσα) για

να αναδείξουmicroε την παιδευτική αξία της αναζήτησης πολλών τρόπων λύσης

ενός microαθηmicroατικού ερωτήmicroατος)

1ος

τρόπος λύσης (του ∆ Ντρίζου)

Αρκεί να αποδείξουmicroε ότι η εξίσωση ( )( )2ƒ x x 0primeminus = έχει microία τουλά-

χιστον ρίζα στο διάστηmicroα ( )01 Και αυτό θα microπορούσε να προκύψει

microε εφαρmicroογή του θ του Rolle στη συνάρτηση ( ) ( ) 2g x ƒ x x= minus

[ ]x 01isin

Είναι ( )g 0 0= και ( ) ( ) 2 1 1g 1 ƒ 1 1 1

2 2= minus = minus = minus δηλαδή ( )g 1 0lt

Σχέδιο προσέγγισης του θέmicroατος

Επειδή ( )g 0 0= το ζητούmicroενο θα προέκυπτε microε εφαρmicroογή του θ του

Rolle για την g αν αποδεικνύαmicroε ότι υπάρχει αριθmicroός ( )α 01isin για

τον οποίο ( )g α 0=

Με βάση αυτή την ιδέα και παίρνοντας υπόψη ότι ( )g 1 0lt αναρω-

τιόmicroαστε microήπως θα microπορούσαmicroε να έχουmicroε κάποιο ( )β 01isin ώστε

( )g β 0gt οπότε microε εφαρmicroογή του θ του Bolzano στο διάστηmicroα [ ]β1

θα εξασφαλίζαmicroε την ύπαρξη αριθmicroού ( )α β1isin τέτοιου ώστε

( )g α 0=

Εφαρmicroογή του σχεδίου

Ισχυριζόmicroαστε ότι δεν υπάρχει κάποιο ( )β 01isin ώστε ( )g β 0gt Ισο-

δύναmicroα ότι για κάθε ( )x 01isin ισχύει ( )g x 0le

20

bull Στην περίπτωση που για κάποιο ( )x 01isin ισχύει ( )g x 0= τότε

καθώς έχουmicroε και ( )g 0 0= το ζητούmicroενο προκύπτει microε εφαρmicroογή

του θ Rolle

bull Ας εξετάσουmicroε τώρα τον ισχυρισmicroό ( )g x 0lt για κάθε ( )x 01isin

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

x 0 x 0

ƒ xg x 0 ƒ x x x

x

ƒ x ƒ 0lim lim x ƒ 0 0

x 0+ +rarr rarr

lt rArr lt rArr lt rArr

minusprimerArr lt rArr le

minus

που είναι άτοπο λόγω υπόθεσης Άρα υπάρχει κάποιο ( )β 01isin ώστε

( )g β 0gt

Με εφαρmicroογή του θ του Bolzano στο [ ]β1 παίρνουmicroε ότι υπάρχει

( )α β1isin τέτοιο ώστε ( )g α 0=

Και τέλος microε εφαρmicroογή του θ του Rolle για την g στο διάστηmicroα

[ ]0α παίρνουmicroε ότι υπάρχει ( ) ( )ξ 0α 01isin sube τέτοιο ώστε

( )g ξ 0prime = οπότε ( )ƒ ξ 2ξprime =

Σχόλια ndash Έλεγχος υποθέσεων

1 Στην παραπάνω λύση η υπόθεση ότι η ƒprime είναι συνεχής δεν microάς

χρειάστηκε

2 Η υπόθεση ( ) 1ƒ 1

2= θα microπορούσε να δίνεται γενικά ως ( )ƒ 1 θ= microε

θ 1lt

3 Ως ζητούmicroενο θα microπορούσαmicroε να έχουmicroε υπάρχει ( )ξ 01isin ώστε

( ) ν 1ƒ ξ νξ minusprime =

21

Μια γενίκευση

Έστω microια συνάρτηση ƒ παραγωγίσιmicroη στο [ ]01 για την οποία ισχύ-

ουν

( )f 0 0= ( )ƒ 1 θ 1= lt και ( )ƒ 0 0prime gt

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ( )ξ 01isin τέτοιο ώστε ( ) ν 1ƒ ξ νξ minusprime =

2ος

τρόπος λύσης (προτάθηκε από τον Θανάση Καραντάνα καθηγητή στο

4ο ΓΕΛ Καρδίτσας και τον Αιmicroίλιο Βλάστο καθηγητή στο Μουσικό

Σχολείο Καρδίτσας)

Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) 2g x ƒ x x= minus [ ]x 01isin

Είναι ( )g 0 0= και ( ) 1g 1

2= minus

Επίσης ( ) ( )g x ƒ x 2xprime prime= minus άρα ( ) ( )g 0 ƒ 0 0prime prime= gt

Οπότε από τον ορισmicroό της παραγώγου της g στο 0 από τα δεξιά

παίρνουmicroε

( ) ( ) ( )x 0 x 0

g x g 0 g xlim lim 0

x 0 x+ +rarr rarr

minus= gt

minus

Και επειδή x 0gt θα είναι και ( )g x 0gt κοντά στο 0 από τα δεξιά

Άρα θα υπάρχει ( )k 01isin τέτοιο ώστε ( )g k 0gt

Έχουmicroε λοιπόν ( ) ( )g k g 1 0sdot lt και επειδή η συνάρτηση g είναι συνε-

χής στο [ ]k1 από το θεώρηmicroα του Bolzano θα υπάρχει

( ) ( )m k1 01isin sube τέτοιο ώστε ( )g m 0=

Τέλος καθώς στο διάστηmicroα [ ]0m η g ικανοποιεί τις υποθέσεις του

θεωρήmicroατος του Rolle θα υπάρχει ( ) ( )ξ 0 m 01isin sube τέτοιο ώστε

( )g ξ 0prime = ∆ηλαδή ( )ƒ ξ 2ξprime =

22

3ος

τρόπος λύσης

Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) 2g x ƒ x x= minus [ ]x 01isin

Είναι g(0) = 0 και ( ) 1g 1

2= minus

Επίσης ( ) ( )g x ƒ x 2xprime prime= minus άρα ( ) ( )g 0 f 0 0prime prime= gt

Με εφαρmicroογή του θεωρήmicroατος Μέσης Τιmicroής για την g στα 1

02

και

11

2

βρίσκουmicroε ότι υπάρχουν 1

1x 0

2

isin

και 2

1x 1

2

isin

τέτοια

ώστε

( )1

1 1f

2 4g x

1

2

minus prime = και ( )2

1 1 1f

2 2 4g x

1

2

minus minus minus prime =

Και επειδή ( ) ( )1 2g x g x 1prime prime+ = minus προφανώς ένα τουλάχιστον από τα

( ) ( )1 2g x g xprime prime θα είναι υποχρεωτικά αρνητικό

Έστω λοιπόν ότι είναι ( )1g x 0prime lt

Τότε καθώς η gprime είναι συνεχής στο [ ]10 x και ( ) ( )1g 0 g x 0prime primesdot lt από

το θεώρηmicroα του Bolzano βρίσκουmicroε ότι θα υπάρχει ένα τουλάχιστον

( ) ( )1ξ 0 x 01isin sube τέτοιο ώστε ( )g ξ 0prime = ∆ηλαδή ( )ƒ ξ 2ξprime =

4ος

τρόπος λύσης (προτάθηκε από τον Σεραφείmicro Σαmicroορέλη καθηγητή στο

8ο ΓΕΛ Τρικάλων)

Έστω η συνάρτηση w(x) ƒ (x) 2xprime= minus microε [ )x 01isin για την οποία ι-

σχυριζόmicroαστε ότι w(x) 0ne στο [ )01

Επειδή στο διάστηmicroα [ )01 η συνάρτηση w είναι συνεχής microε

w(x) 0ne προκύπτει ότι η w διατηρεί σταθερό πρόσηmicroο στο [ )01

23

Είναι w(0) ƒ (0) 2 0 ƒ (0) 0prime prime= minus sdot = gt άρα w(x) 0gt για κάθε [ )x 01isin

οπότε και ƒ (x) 2xprime gt για κάθε [ )x 01isin (1)

Με εφαρmicroογή του ΘΜΤ για την ƒ στα διαστήmicroατα 1

02

και 1

12

προκύπτει ότι θα υπάρχουν 1

1x 0

2

isin

και 2

1x 1

2

isin

τέτοια ώστε

1

1ƒ ƒ(0)

2ƒ (x )

1

2

minus prime = και

( )2

1ƒ 1 ƒ

2ƒ (x )

1

2

minus prime =

Με πρόσθεση κατά microέλη παίρνουmicroε

1 2

1 1 1ƒ ƒ(0) ƒ(1) ƒ2 2 2ƒ (x ) ƒ (x ) 1

1 1

2 2

minus + minus prime prime+ = = = (2)

Όmicroως από τη σχέση (1) έχουmicroε 1 1

2 2

ƒ (x ) 2x

ƒ (x ) 2x

prime gt

prime gt και microε πρόσθεση κατά

microέλη παίρνουmicroε

( )2

1 2 1 2 1 2 1 2

1ƒ (x ) ƒ (x ) 2x 2x 1 2x 2x x x

2prime prime+ gt + hArr gt + hArr + lt

που είναι άτοπο καθώς 1

2

10 x

2

1x 1

2

lt lt lt lt

Εποmicroένως o ισχυρισmicroός ότι στο [ )01 είναι w(x) 0ne δεν ευσταθεί

Οπότε θα υπάρχει ( )ξ 01isin τέτοιο ώστε w(ξ) 0 ƒ (ξ) 2ξprime= hArr = (το ξ

αυτό δεν microπορεί να είναι ίσο microε 0 αφού w(0) 0gt )

24

Μια πρόταση

Έστω f και g δυο συναρτήσεις συνεχείς στο διάστηmicroα [ ]αβ για τις

οποίες ισχύει ( ) ( )f x g xgt για κάθε [ ]x αβisin

Υπάρχει πάντοτε θετικός r τέτοιος ώστε ( ) ( )f x g x rgt + για κάθε

[ ]x αβisin

Ένα ερώτηmicroα

Ποιος προβληmicroατισmicroός γεωmicroετρικής υφής θα microπορούσε να microας οδη-

γήσει στη διατύπωση της παραπάνω πρότασης

Απόδειξη της πρότασης

Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) ( )h x f x g x= minus [ ]x αβisin

Η h είναι συνεχής microε θετικές τιmicroές στο [ ]αβ οπότε θα παρουσιάζει

ελάχιστο έστω ίσο microε m mgt0

Άρα ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m mh x m f x g x m f x g x

2 2ge rArr minus ge gt rArr gt +

Οπότε ( ) ( )f x g x rgt + m

r2= microε ( )r 0misin

Σηmicroείωση

Τα παραδείγmicroατα microαθηmicroατικών που συmicroπεριέλαβα στο παρόν άρθρο ανα-

πτύχθηκαν και σε οmicroιλία microου στην Ελληνογαλλική Σχολή Καλαmicroαρί της

Θεσσαλονίκης (27 Φεβρουαρίου 2016) microε θέmicroα τα Ποιοτικά Χαρακτηριστι-

κά στη ∆ιδασκαλία των Μαθηmicroατικών Επίσης κάποια από αυτά χρησιmicroο-

ποιήθηκαν σε σεmicroινάριο ∆ιδακτικής Μαθηmicroατικών που ανέπτυξα στα Τρί-

καλα (5 και 12 Απριλίου 2016)

Αφιέρωση

Το άρθρο αυτό αφιερώνεται στη microνήmicroη του Νίκου Κλαουδάτου καθηγητή

microου κατά τα έτη 2000-2002 στο ΠΜΣ της ∆ιδακτικής και Μεθοδολογίας

των Μαθηmicroατικών στο Τmicroήmicroα Μαθηmicroατικών του ΕΚΠΑ

25

Βιβλιογραφικές αναφορές

Ξενόγλωσσες

[1] Cobb P Wood T Yackel E amp McNeal B (1992) Characteristics of clas-

room mathematics traditions An interactional analysis American Educa-

tional Research Journal 29 573-604

[2] Cobb P amp Steffe L P (1993) The constructivist researcher as the teacher

and model builder Journal for Research in Mathematics Education vol 14

pp 83-94

[3] Eisenberg T amp Dreyfus T On the reluctance to visualize in Mathematics in

Zimmerman W amp Cunnigham S (Eds) 1991 Visualization in teaching

and learning mathematics p 25-37 MAA notes no 19 Mathematical Asso-

ciation of America

[4] Vinner S Visual considerations in College Calculus ndash Students and Teach-

ers in Vermandel A amp Steiner Hans-Georg (Eds) 1988 Theory of mathe-

matics Educations (Proceeding of the third international conferens Andwerp

11-15 July 1988) p 109-116

[5] Year Book 2001 The Roles of Representation in School Mathematics Na-

tional Council of Teachers of Mathematics

Ελληνόγλωσσες

[6] Ανδρεαδάκης Σ Κατσαργύρης Β Μέτης Σ Μπρουχούτας Κ Παπα-

σταυρίδης Σ και Πολύζος Γ (2015) Μαθηmicroατικά Γ΄ Γενικού Λυκείου Οmicroά-

δας Προσανατολισmicroού Θετικών Σπουδών και Σποδών Οικονοmicroίας amp Πληρο-

φορικής Αθήνα ΙΕΠ amp ΙΤΥΕ ∆ιόφαντος

[7] Κατσαργύρης Β Μεντής Κ Παντελίδης Γ και Σουρλάς Κ (1994) Μα-

θηmicroατικά Γ΄ Λυκείου ndash Ανάλυση Αθήνα ΟΕ∆Β

[8] Κλαουδάτος Ν (2011) Σηmicroειώσεις ∆ιδακτικής Μαθηmicroατικών 1) Εισαγωγή

στη γνωσιακή θεωρία 2) Βασικές αρχές της θεωρίας Vygotsky Μεταπτυχιακό

Πρόγραmicromicroα Σπουδών ∆ιδακτικής και Μεθοδολογίας των Μαθηmicroατικών

Τmicroήmicroα Μαθηmicroατικών ΕΚΠΑ

[9] Κλαουδάτος Ν (2011) Σηmicroειώσεις ∆ιδακτικής Μαθηmicroατικών 1) ∆ιδασκαλία

και microάθηση των microαθηmicroατικών microε διαδικασίες επίλυσης προβληmicroάτων 2) Εισα-

γωγή στη Θεωρία της ∆ιδασκαλίας Μεταπτυχιακό Πρόγραmicromicroα Σπουδών ∆ιδα-

κτικής και Μεθοδολογίας των Μαθηmicroατικών Τmicroήmicroα Μαθηmicroατικών ΕΚΠΑ

26

[10] Μάκρας Στρ Γεωmicroετρική εποπτεία και απόδειξη άρθρο στο περιοδικό Ευ-

κλείδης Β΄ τχ 25 (Ιούλιος-Αύγουστος-Σεπτέmicroβριος 1997) σσ 11-17 Αθήνα

Έκδοση της ΕΜΕ

[11] Νεγρεπόντης Σ Γιωτόπουλος Σ amp Γιαννακούλιας Ε (2000) Απειροστικός

Λογισmicroός τόmicroος IIα Αθήνα Εκδόσεις Συmicromicroετρία

[12] Ντρίζος ∆ (2002) Πλεονεκτήmicroατα της γεωmicroετρικής αναπαράστασης των microα-

θηmicroατικών εννοιών Η απόδειξη του θεωρήmicroατος της Μέσης Τιmicroής του διαφο-

ρικού λογισmicroού για συναρτήσεις microιας ή δύο πραγmicroατικών microεταβλητών Ευκλεί-

δης Γ΄ τχ 77 (Ιούλιος-∆εκέmicroβριος 2012) σσ 31-45 Αθήνα Έκδοση της

ΕΜΕ

[13] Ντρίζος ∆ Τα βασικά θεωρήmicroατα του ∆ιαφορικού Λογισmicroού άρθρο στο περι-

οδικό Ευκλείδης Γ΄ τχ 70 (Ιανουάριος-Ιούνιος 2009) σσ 5-23 Αθήνα Έκδο-

ση της ΕΜΕ

[14] Ντρίζος ∆ ∆ιδακτική Αξιοποίηση Προβληmicroάτων Επαγωγικής Συλλογιστικής

στο Πλαίσιο Ανάπτυξης Ιδεών του G Polya άρθρο στο περιοδικό Ευκλείδης

Γ΄ τχ 73 (Ιούλιος-∆εκέmicroβριος 2010) σσ 29-48 Αθήνα Έκδοση της ΕΜΕ

[15] Polya G (2001) Η Μαθηmicroατική Ανακάλυψη τόmicroος 1 (microτφ Στεργιάκη Σπύ-

ρου) Αθήνα Εκδόσεις Κάτοπτρο

[16] Ρίζος Γ (2005) Οι περιπέτειες του Προβλήmicroατος στα σχολικά Μαθηmicroατικά

Θεσσαλονίκη Εκδόσεις Μαθηmicroατική Βιβλιοθήκη

[17] Spivak Michael (1991) ∆ιαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισmicroός (microτφ Γιαν-

νόπουλου Απ) Ηράκλειο Πανεπιστηmicroιακές Εκδόσεις Κρήτης

6

αυτό διάφορες νέες εικόνες που εδράζονται στην πρώτη διατύπωση των

ερωτηmicroάτων Τις εικόνες αυτές τις λέmicroε (και) αναπαραστάσεις του προ-

βλήmicroατος Και οι εικόνες αυτές microπορεί να είναι εσωτερικές (νοητικές-

συmicroβολικές) ή εξωτερικές Στις εξωτερικές αναπαραστάσεις εντάσσονται

και οι λεγόmicroενες γεωmicroετρικές αναπαραστάσεις οι οποίες αποδίδονται ως

γεωmicroετρικά σχήmicroατα γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων ιστογράmicromicroατα

ραβδογράmicromicroατα κυκλικά διαγράmicromicroατα κλπ (βλ [3] [4] και [12]) Σε microια

διαδικασία που microας ενδιαφέρει microόνον η αυστηρή διατύπωση των αποδείξε-

ων και καθόλου ή σχεδόν καθόλου η πορεία της σύλληψης των ιδεών κυ-

ριαρχούν οι νοητικές-συmicroβολικές αναπαραστάσεις και οι αφαιρετικές δι-

αδικασίες

Στην πρότασή microας οι γεωmicroετρικές αναπαραστάσεις (εποπτεία) δεν ει-

σάγονται microε σκοπό να ερmicroηνεύσουν microια microαθηmicroατική πρόταση microετά από την

απόδειξή τους αλλά να συmicroβάλουν από την αρχή στην επινόηση κάποιου

γεωmicroετρικού επιχειρήmicroατος το οποίο πρώτον θα αιτιολογεί τη σύλληψη

της πρότασης και δεύτερον θα microας δίνει και κάποιες ιδέες για την απόδειξή

της (βλ [12] σελ 32-33)

Είναι σηmicroαντικό να σηmicroειώσουmicroε εδώ το εξής Πριν καταλήξει κανείς

στη διατύπωση της λύσης ενός προβλήmicroατος δεν έχει προηγηθεί η εξίσου

σοβαρή φάση της επώασης και της σύλληψης των ιδεών στη βάση κάποιων

αναπαραστάσεων Γιατί λοιπόν να αποσιωπούmicroε και να microην αξιοποιούmicroε

φανερά και microε καθαρό τρόπο τη φάση αυτή

Σχετικά τώρα microε την επικέντρωση της διδασκαλίας των Μαθηmicroατικών

στην αυστηρή έκθεση των τελικών αποτελεσmicroάτων της αφαίρεσης ο

γάλλος πολωνικής καταγωγής microαθηmicroατικός Benoit Mandelbrot που εισή-

γαγε το 1975 τον όρο Fractals microας λέει τα εξής

laquoΕίmicroαι βαθύτατα πεπεισmicroένος ότι πολύ συχνά microάλλον χάνουmicroε

παρά κερδίζουmicroε microε την εξαρχής καταναγκαστική αφαίρεση και

microε την υπερβολική σηmicroασία που δίνουmicroε στην τακτοποίηση των

microαθηmicroατικών εννοιών και των προτάσεωνraquo

7

12 ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ∆Ι∆ΑΚΤΙΚΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ

Τα Μαθηmicroατικά αυτά καθαυτά χαρακτηρίζονται από την εσωτερική δοmicroική

τους τελειότητα Η διδασκαλία τους όmicroως είναι microια εντελώς διαφορετική

υπόθεση Είναι microια κατεξοχήν διαδικασία επικοινωνίας Επικοινωνία του

καθηγητή microε τους microαθητές του microε microια επιδίωξη να κατακτήσουν οι microαθητές

του ορισmicroένες συγκεκριmicroένες κάθε φορά γνώσεις Και εδώ το κρίσιmicroο ε-

ρώτηmicroα που ανακύπτει είναι το εξής Αν ο καθηγητής γνωρίζει καλά την

ύλη που σκοπεύει να διδάξει το στοιχείο αυτό δεν είναι από microόνο του ικα-

νό ώστε να πραγmicroατοποιήσει microια ποιοτική και παράλληλα αποτελεσmicroατική

διδασκαλία Σίγουρα βέβαια η πολύ καλή γνώση της ύλης είναι οπωσδή-

ποτε αναγκαία συνθήκη Όmicroως δεν είναι από microόνη της και ικανή Ο καθη-

γητής είναι απαραίτητο να ξέρει και άλλα περισσότερα πράγmicroατα Και microε-

ταξύ αυτών να ξέρει πολύ καλά το γνωστικό επίπεδο των microαθητών του αλ-

λά και τον τρόπο microε τον οποίο αυτοί microαθαίνουν Να αγαπά τη δουλειά του

και να παίρνει χαρά και ικανοποίηση από τις microικρές ή microεγάλες επιτυχίες του

παιδευτικού του έργου

Πριν τη διδασκαλία ο καθηγητής καλείται να πάρει κρίσιmicroες αποφά-

σεις Και πρώτα απrsquo όλα να αποφασίσει ποιο microέρος της ενότητας που σκο-

πεύει να διδάξει είναι ανάγκη να το παρουσιάσει ο ίδιος στην τάξη Με

ποια σειρά και microε ποιο ακριβώς σχέδιο Κι όλα τα υπόλοιπα πρέπει να

ldquoβγουνrdquo microέσα από έναν καλοσχεδιασmicroένο και καλά συντονισmicroένο διάλογο

microε την τάξη Μια τάξη που υπό την εποπτεία του καθηγητή συνδιαλέγεται

microε στόχο να βρεθούν απαντήσεις στα ερωτήmicroατα που θέτει ο καθηγητής

Μια τάξη που προσοmicroοιάζει κατά κάποιον τρόπο microε εργαστήριο microάθησης

όπου ο καθηγητής ακούει προσεκτικά τις απαντήσεις που δίνονται και επι-

χειρεί συστηmicroατικά όταν κάποια απάντηση δεν είναι η αναmicroενόmicroενη να

φέρει τον microαθητή που την έδωσε στο σηmicroείο εκείνο που θα κατανοήσει ο

ίδιος την αστοχία ή το λάθος που έκανε Αυτό βέβαια είναι κάτι που θέλει

τον χρόνο του Κι εδώ πρέπει να κατανοήσουmicroε όλοι ότι αυτός ο χρόνος

της απαραίτητης αναmicroονής δεν είναι χαmicroένος χρόνος Μόνο έτσι microια πλη-

ροφορία των microαθηmicroατικών microπορεί εν δυνάmicroει στο νου του microαθητή να microε-

8

τεξελιχθεί σε γνώση Κι αυτό γιατί ο νους έχει ανάγκη κάποιου χρόνου ώ-

στε αφού πρώτα επεξεργαστεί τις πληροφορίες να τις εντάξει έπειτα σε

ένα προϋπάρχον γνωστικό σχήmicroα ή αν χρειάζεται να δηmicroιουργήσει και κά-

ποιο καινούριο γνωστικό σχήmicroα

Πέρα όmicroως απrsquo όλα τα παραπάνω να τονίσουmicroε εδώ την αξία και τον

ρόλο του διδακτικού υλικού που θα χρησιmicroοποιήσουmicroε για να ldquoδουλέψειrdquo η

τάξη δηmicroιουργικά Το υλικό αυτό θα πρέπει να υποβοηθά στη σύνδεση των

νέων γνώσεων που θέλουmicroε να διδάξουmicroε microε άλλες προϋπάρχουσες γνώ-

σεις και παράλληλα τα ερωτήmicroατά microας να στοχεύουν στην ανέλιξη της

δηmicroιουργικής και κριτικής σκέψης των microαθητών

Επίσης να σηmicroειώσουmicroε microε ιδιαίτερη έmicroφαση ότι η επιτυχής αντιmicroε-

τώπιση ενός microαθηmicroατικού προβλήmicroατος προϋποθέτει την πνευmicroατική συ-

γκέντρωση του microαθητή πάνω στα ερωτήmicroατα που συγκροτούν το πρόβλη-

microα Πειθαρχηmicroένη σκέψη αλλά και επιmicroονή ώστε αφού πρώτα κατανοήσει

σηmicroείο προς σηmicroείο όλες τις πληροφορίες που του δίνονται να αναζητήσει

έπειτα την κρίσιmicroη ιδέα που θα του επιτρέψει να ldquoξεκλειδώσειrdquo το πρόβλη-

microα Να δει προσεκτικά τη σχέση αυτής της ιδέας microε τις υποθέσεις και τα

συmicroπεράσmicroατα του προβλήmicroατος Να αναλύσει αυτές τις συνδέσεις κατά

τρόπο που θα του επιτρέψουν να κάνει και το επόmicroενο κρίσιmicroο βήmicroα Να

διατυπώσει τη λύση του προβλήmicroατος

2 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΩΝ ∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΩΝ ndash

Η ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΗΣ ΓΝΩΣΗΣ ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ

ΜΙΑΣ ldquo∆ΙΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗΣrdquo ΤΑΞΗΣ

Ξεκινώντας από την κοινά αποδεκτή θέση ότι κάθε διδασκαλία πρέπει να

στοχεύει στην ουσιαστική κατάκτηση των γνώσεων από τους microαθητές microας

κρίνουmicroε σκόπιmicroο να αναφερθούmicroε σε ορισmicroένες προϋποθέσεις που πιστεύ-

ουmicroε ότι ευνοούν microια διδασκαλία των microαθηmicroατικών microε έmicroφαση στην ανά-

πτυξη ερευνητικών δραστηριοτήτων Και ως πρώτη προϋπόθεση θεωρούmicroε

9

την ενσυνείδητη εmicroπλοκή του microαθητή στις διαδικασίες της microάθησης Είναι

απαραίτητο πρώτα απrsquo όλα να πεισθεί ο microαθητής ότι η εν λόγω γνώση τον

ενδιαφέρει και η προσωπική του συmicromicroετοχή σrsquo αυτήν τη διαδικασία microετράει

και έχει νόηmicroα ότι έτσι συmicroβάλλει κι αυτός microε τον δικό του τρόπο στην κα-

τασκευή και διαmicroόρφωση της νέας γνώσης και δεν είναι απλά ένας παθητι-

κός δέκτης ασύνδετων κατά κανόνα πληροφοριών Με αυτές τις προϋπο-

θέσεις δηmicroιουργείται microια τάξη στην οποία οι microαθητές συmicromicroετέχουν στην

αναζήτηση και επινόηση της γνώσης Και ο ρόλος εδώ του διδάσκοντα εί-

ναι κυρίως αυτός του εmicroπνευστή του καθοδηγητή και του καλού συντονι-

στή που υποβάλλει στην κατάλληλη στιγmicroή εύστοχες ερωτήσεις οι οποίες

προωθούν διαδικασίες έρευνας και γόνιmicroου προβληmicroατισmicroού Μια τάξη

στην οποία ο διδάσκων θέτει προβλήmicroατα προς λύση και συγχρόνως λει-

τουργεί διευκολυντικά στη διαπραγmicroάτευσή τους δηmicroιουργεί microια διερευνη-

τική τάξη microαθηmicroατικών (βλ [1])

Σε τέτοιες τάξεις microαθηmicroατικών οι microαθητές στην πορεία διαπραγmicroά-

τευσης κάποιου προβλήmicroατος οδηγούνται σταδιακά υπό την καθοδήγηση

του διδάσκοντα από τη microελέτη επιmicroέρους περιπτώσεων στη διατύπωση ε-

πεκτάσεων και γενικεύσεων microια ικανότητα η οποία σχετίζεται microε τη microαθη-

microατική ανακάλυψη την επινόηση δηλαδή των κρίσιmicroων ιδεών που microάς δεί-

χνουν το δρόmicroο για τη λύση Σ΄ αυτήν τη δηmicroιουργική πορεία και καθώς ο

microαθητής αναζητά επίmicroονα τη λύση κάποιου προβλήmicroατος σηmicroαντικό ρόλο

παίζει και η διαίσθηση που βασίζεται κυρίως στην εποπτεία (κατά τον

Richard Courant η έλλειψη της εξάρτησης των αποδείξεων από τη διαί-

σθηση οδηγεί σε microαθηmicroατική ατροφία)

Με τις παραπάνω σκέψεις επιχειρούmicroε να διευκρινίσουmicroε τις παιδευ-

τικές προθέσεις microιας διερευνητικής τάξης microαθηmicroατικών και παράλληλα να

αναπτύξουmicroε περαιτέρω το διδακτικό σχήmicroα του G Polya για ένα περιβάλ-

λον διερευνητικής διδασκαλίας και microάθησης όπου οι microαθητές για την επί-

λυση ενός προβλήmicroατος

(α) πειραmicroατίζονται και παρατηρούν στο πλαίσιο της επαγωγικής συλλογι-

στικής αντιmicroετωπίζουν δηλαδή πρώτα-πρώτα επιmicroέρους περιπτώσεις

του προβλήmicroατος (ειδικεύσεις)

10

(β) εντοπίζουν microια ιδιότητα ή microια κατάσταση που συνήθως εmicroφανίζεται σε

όλες τις επιmicroέρους περιπτώσεις που εξέτασαν

(γ) διατυπώνουν εικασίες (βλ [9] σελ 57)

(δ) επινοούν ένα σχέδιο για τη microαθηmicroατική απόδειξη των εικασιών το ο-

ποίο στη συνέχεια τροποποιούν όσες φορές απαιτηθεί έως ότου κατα-

λήξουν στο επιθυmicroητό αποτέλεσmicroα

(ε) ελέγχουν αν τα αποδεικτικά βήmicroατα που ακολούθησαν καθώς και το

συmicroπέρασmicroα στο οποίο κατέληξαν είναι απολύτως συνεπή προς όλες

τις υποθέσεις του προβλήmicroατος και

(στ) προσπαθούν να δούν το υπό microελέτη πρόβληmicroα ως ειδίκευση ενός γενι-

κού προβλήmicroατος και ακολούθως να microελετήσουν αυτό το γενικό

πρόβληmicroα

Έχουmicroε τη γνώmicroη ότι ο διάλογος που θα αναπτυχθεί microε έναυσmicroα την

αναζήτηση απαντήσεων σε ερωτήmicroατα τέτοιων δραστηριοτήτων θα συmicro-

βάλλει ώστε να αναδειχθούν και εmicroπεδωθούν ιδέες και πρακτικές που βαθ-

microιαία βελτιώνουν τη microαθηmicroατική ικανότητα η οποία είναι τελικά και το

ποιοτικό ζητούmicroενο της microαθηmicroατικής εκπαίδευσης

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ

Το παρόν άρθρο συmicroπληρώνεται microε επιλεγmicroένα παραδείγmicroατα η διαπραγ-

microάτευση των οποίων υποστηρίζει τη συmicroβολή της γεωmicroετρικής εποπτείας

στη διδασκαλία των microαθηmicroατικών στο Λύκειο και αναδεικνύει τη δυναmicroική

τους στην ερmicroηνεία πραγmicroατικών καταστάσεων

11

Ενδεικτικά παραδείγmicroατα για διαπραγmicroάτευση στη σχολική τάξη

1 Από την εποπτεία και τη διαίσθηση στη microαθηmicroατική τακτοποίηση

της έννοιας της απόλυτης τιmicroής πραγmicroατικού αριθmicroού

Παράδειγmicroα 1

Σε έναν άξονα x xprime να θεωρήσετε τα σηmicroεία ( )A 1 και ( )B 5

α) Να βρείτε αν υπάρχουν και πόσα σηmicroεία ( )M x πάνω στον x xprime τέ-

τοια ώστε

i) MA MB 4+ =

ii) MA MB 1+ =

iii) MA MB 8+ =

β) Χρησιmicroοποιώντας το σύmicroβολο της απόλυτης τιmicroής ν α γράψετε τις γε-

ωmicroετρικές ισότητες i) ii) και iii) microε microορφή εξίσωσης και στη συνέχεια

να βρείτε τις ρίζες των εξισώσεων αυτών

Παράδειγmicroα 2

Σε έναν άξονα x xprime να πάρετε δύο οποιαδήποτε σηmicroεία ( )Α α και ( )Β β

και έπειτα να προσδιορίσετε γεωmicroετρικά τα σηmicroεία του άξονα στα οποία

αντιστοιχούν οι αριθmicroοί α ββ αminus minus και α β+

2 Μια ενότητα θεmicroάτων Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας που αναδεικνύουν

την ιδέα των διαδοχικών γενικεύσεων

21 Θεωρούmicroε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓκαι σηmicroείο Μ που κινείται στην υπο-

τείνουσα ΒΓ Από το Μ φέρνουmicroε τα κάθετα τmicroήmicroατα ΜΚ και ΜΛ

προς τις πλευρές ΑΒ και ΑΓαντίστοιχα Να προσδιορίσετε τη θέση του

Μ στη ΒΓ ώστε το microήκος το τmicroήmicroατος ΚΛ να γίνεται ελάχιστο

22 Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓκαι σηmicroείο Μ που κινείται στην πλευρά ΒΓ

Από το Μ φέρνουmicroε τα κάθετα τmicroήmicroατα ΜΚ και ΜΛ προς τις πλευρές

12

ΑΒ και ΑΓαντίστοιχα Να προσδιορίσετε τη θέση του Μ στη ΒΓ ώστε

το microήκος το τmicroήmicroατος ΚΛ να γίνεται ελάχιστο

23 Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓκαι σηmicroείο M που κινείται στην πλευρά ΒΓ

Φέρνουmicroε τα τmicroήmicroατα ΜΚ και ΜΛ όπου Κ σηmicroείο της πλευράς ΑΒ

και Λ σηmicroείο της πλευράς ΑΓτέτοια ώστε ΒΚΜ ΜΛΓ ω= = όπου ω

γωνία microε το ίδιο σταθερό microέτρο για οποιαδήποτε θέση του Μ Να προσδι-

ορίσετε τη θέση του Μ στη ΒΓ ώστε το microήκος το τmicroήmicroατος ΚΛ να γί-

νεται ελάχιστο

Σχόλιο

Τα επιmicroέρους θέmicroατα 21 22 και 23 της παραπάνω ενότητας θεmicroάτων Ευ-

κλείδειας Γεωmicroετρίας προτείνονται για διαπραγmicroάτευση στην τάξη στο πλαίσιο

microιας ερευνητικής δραστηριότητας που αναδεικνύει την ιδέα της γενίκευσης προ-

βλήmicroατος microε διαδοχικές microεταβολές των υποθέσεων διατηρώντας το ίδιο ζητούmicroε-

νο Εκτιmicroούmicroε ότι ανάλογες δραστηριότητες ndashυπό κατάλληλες βέβαια διδακτικές

προϋποθέσειςndash microπορούν εν δυνάmicroει να συmicroβάλλουν στην ανάπτυξη της δηmicroι-

ουργικής microαθηmicroατικής σκέψης

3 Παραδείγmicroατα που αναδεικνύουν τη φυσική ερmicroηνεία του θεωρή-

microατος του Rolle και του ΘΜΤ του Lagrange

31 Ας υποθέσουmicroε ότι microια συνάρτηση V(t) microετράει τον όγκο του αέρα

που βρίσκεται στους πνεύmicroονες ενός ανθρώπου ως προς το χρόνο t

κατά τη διάρκεια microιας αναπνοής

Υποθέτουmicroε ότι

α) η V είναι συνεχής και περιγράφεται από microια οmicroαλή καmicroπύλη

(γραφική παράσταση παραγωγίσιmicroης συνάρτησης)

β) η V(t) παίρνει την ίδια τιmicroή (περίπου 4 λίτρα) στο τέλος κάθε εισ-

πνοής

Ερώτηση Υπάρχει χρονική στιγmicroή κατά τη διάρκεια microιας αναπνοής

όπου microηδενίζεται ο ρυθmicroός microεταβολής του όγκου του αέρα που βρί-

σκεται στους πνεύmicroονες του ανθρώπου

13

32 Πετάmicroε κατακόρυφα προς τα πάνω microια microπάλα και την ξαναπιάνουmicroε

στο ίδιο ύψος από το οποίο την πετάξαmicroε

α) Να κάνετε πρόχειρα τη γραφική παράσταση της συνάρτησης θέσης

της microπάλας ως προς το χρόνο t

β) Υπάρχει χρονική στιγmicroή t1 που η ταχύτητα της microπάλας microηδενίζεται

Ποια είναι η κλίση (της εφαπτοmicroένης) της γραφικής παράστασης

της συνάρτησης θέσης στο σηmicroείο microε τετmicroηmicroένη t1

33 ∆ύο αυτοκίνητα είναι σταmicroατηmicroένα σrsquo ένα φανάρι το ένα δίπλα στο

άλλο Όταν το φανάρι ανάβει πράσινο ξεκινούν αλλά αναγκάζονται

και τα δύο να σταmicroατήσουν στο επόmicroενο φανάρι Έτσι βρίσκονται και

τα δύο σταmicroατηmicroένα πάλι το ένα δίπλα στο άλλο Υπάρχει χρονική

στιγmicroή κατά την οποία τα δύο αυτοκίνητα έτρεχαν microε την ίδια ταχύτη-

τα

34 Ένας σκιέρ κατεβαίνει microια πλαγιά ξεκινώντας από ένα σηmicroείο Α και

καταλήγοντας σε ένα σηmicroείο Β Υπάρχει περίπτωση ο σκιέρ να απο-

φύγει την κλίση του ευθ τmicroήmicroατος ΑΒ

35 Ο οδηγός ενός Jeep σκοπεύει από το σηmicroείο Α να φτάσει στο Β Η

πλαγιά ΑΒ ορίζεται από την καmicroπύλη ( )y ƒ x= και το Jeep microπορεί να

αναρριχηθεί σε κλίσεις έως 25 Ο οδηγός θα πετύχει το σκοπό του

Α

Β

15

0 m

05 Km

14

36 Ένα σωmicroατίδιο κινείται πάνω στον άξονα των τετmicroηmicroένων (των t)

Χρόνος t σε sec Θέση x(t) σε m

0 2

2 4

5 7

Ο πίνακας δείχνει τη θέση του σωmicroατιδίου σε τρεις χρονικές στιγmicroές

α) Να βρείτε η microέση ταχύτητα του σωmicroατιδίου στο χρονικό διάστηmicroα

[0 5]

β) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον χρονικές στιγmicroές

κατά τις οποίες η στιγmicroιαία ταχύτητα του σωmicroατιδίου είναι ίση microε

τη microέση ταχύτητα στο διάστηmicroα [0 5]

γ) Να εξετάσετε αν υπάρχει microία τουλάχιστον χρονική στιγmicroή κατά

την οποία η επιτάχυνση του σωmicroατιδίου microηδενίζεται

(βλ [13] σελ 11-12)

Θέmicroατα Ανάλυσης που αναδεικνύουν το ρόλο της γεωmicroετρικής εποπτείας

Παράδειγmicroα 1

Έστω κύκλος microε κέντρο ( )0Κ α 0α ne και ακτίνα ρ Αν f είναι microια

παραγωγίσιmicroη συνάρτηση τέτοια ώστε ( ) ( ) 0f α ρ f α ρminus = + = και η

γραφική της παράσταση έχει microε τον κύκλο ακόmicroη ένα τουλάχιστον

κοινό σηmicroείο να αποδείξετε ότι υπάρχουν ( )1 2 ξ ξ α ρ α ρisin minus + microε

( ) ( )1 21f ξ f ξprime primesdot = minus

Παράδειγmicroα 2

Μία συνάρτηση ƒ είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο Υπάρχει

περίπτωση η γραφική της παράσταση να microην τέmicroνει τον φορέα της διχοτό-

microου της πρώτης ορθής γωνίας των αξόνων Να αποδείξετε την εικασία σας

15

Παράδειγmicroα 3

Μια συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο ενώ

microια άλλη συνάρτηση g είναι συνεχής στο και τέτοια ώστε

( )limx

g xrarrminusinfin

= minusinfin και ( )limx

g xrarr+infin

= +infin

Να εξετάσετε αν οι γραφικές παραστάσεις των f και g τέmicroνονται

Παράδειγmicroα 4

Αν microια συνάρτηση ƒ είναι δύο φορές παραγωγίσιmicroη στο [α β] microε την

ιδιότητα ƒ(α) + ƒ(β) = α β

2 ƒ2

+ sdot

τότε υπάρχει ξisin(α β) τέτοιο ώ-

στε ( )ƒ ξ 0primeprime =

Σχόλιο

Το παράδειγmicroα 4 το συmicroπεριλάβαmicroε στο παρόν άρθρο όχι για να πα-

ρουσιάσουmicroε τη συνήθη τυπική του απόδειξη αλλά για να αναδείξουmicroε το

γεωmicroετρικό υπόβαθρο που βρίσκεται πίσω από τις συmicroβολικά διατυπωmicroένες

microαθηmicroατικές σχέσεις

xα βξ1

y

ξ2

Α

Μ

Γ Β

Λ(β ƒ(β))

ε1

ε2

Cƒ

α + β

2

Κ(α ƒα))

Ο

Μια ανάλυση των υποθέσεων

Η υπόθεση ƒ(α) + ƒ(β) = α β

2 ƒ2

+ sdot

γράφεται

16

[ ]1 α βƒ(α) ƒ(β) ƒ

2 2

+ + =

(1)

Το 1ο microέλος της υπόθεσης (1) είναι η τεταγmicroένη του microέσου Μ του

τmicroήmicroατος ΚΛ ενώ το 2ο microέλος είναι η εικόνα microέσω της ƒ του microέσου

του διαστήmicroατος [α β] Η πρώτη απλούστατη γεωmicroετρική ερmicroηνεία της

υπόθεσης (1) είναι ότι η γραφική παράσταση της ƒ τέmicroνει το τmicroήmicroα

ΚΛ στο microέσο του Μ

Επίσης το τετράπλευρο ΚΑΒΛ είναι (γενικά) τραπέζιο microε βάσεις

ΚΑ = ƒ(α) ΛΒ = ƒ(β) και διάmicroεσο την ΜΓ = α β

ƒ2

+

Η υπόθεση (1) σε γεωmicroετρική γλώσσα γράφεται

ΚΑ ΚΒΜΓ

2

+=

σχέση η οποία από την Ευκλείδεια Γεωmicroετρία συνδέει το microήκος της

διαmicroέσου του τραπεζίου ΚΑΒΛ microε τα microήκη των βάσεών του

Το γεγονός ότι η ƒ είναι δύο φορές παραγωγίσιmicroη άρα και microία φορά

microας δηλώνει ότι η γραφική παράσταση της ƒ είναι microια οmicroαλή κα-

microπύλη η οποία δέχεται εφαπτοmicroένη (όχι κατακόρυφη) σε κάθε σηmicroείο

της

Προσέγγιση θεωρητικής τεκmicroηρίωσης

Από τη διαίσθησή microας που βρίσκεται σε πλήρη αρmicroονία microε το Θεώ-

ρηmicroα Μέσης Τιmicroής του ∆ιαφορικού Λογισmicroού υπάρχουν οι εφαπτό-

microενες ευθείες ε1 και ε2 της Cƒ παράλληλες προς την ΚΛ microε συντελε-

στές διεύθυνσης αντίστοιχα ƒ΄(ξ1) και ƒ΄(ξ2)

ƒ΄(ξ1) = λΚΜ ξ1isinα β

α2

+

Είναι

ƒ΄(ξ2) = λΜΛ ξ2isinα β

β2

+

Όmicroως λΚΜ = λΜΛ οπότε ƒ΄(ξ1) = ƒ΄(ξ2) και microε απλή εφαρmicroογή του Θε-

17

ωρήmicroατος του Rolle για τη συνάρτηση ƒ΄ στο [ξ1 ξ2] παίρνουmicroε το

ζητούmicroενο ƒ΄΄(ξ) = 0 όπου ξisin(ξ1 ξ2)

Προβληmicroατισmicroός

Θα microπορούσαmicroε να καταλήξουmicroε στην ƒ΄(ξ1) = ƒ΄(ξ2) στηριζόmicroενοι

στο γεγονός ότι το ΚΑΒΛ είναι τραπέζιο

xξ1

y

ξ2Α

Μ

Γ Β

Λ

Κω

ω

Μ΄

Λ΄

Ο

1 ΚΜ

2 ΜΛ

ΜΜ΄ ΜΓ ΚΑƒ (ξ ) λ εφω (2)

ΚΜ΄ ΑΓΈχουmicroε

ΛΛ΄ ΛΒ ΜΓƒ (ξ ) λ εφω (3)

ΜΛ΄ ΓΒ

minusprime = = = =

minusprime = = = =

Τα τελευταία κλάσmicroατα των (2) και (3) είναι ίσα γιατί ΑΓ = ΓΒ και

ΜΓ ndash ΚΑ = ΛΒ ndash ΜΓ λόγω της σχέσης της διαmicroέσου ΜΓ του τρα-

πεζίου ΚΑΒΛ microε τις βάσεις του ΚΑ και ΛΒ Οπότε ƒ΄(ξ1) = ƒ΄(ξ2)

Η γεωmicroετρική ερmicroηνεία του παραπάνω θέmicroατος microάς επιτρέπει να δια-

τυπώσουmicroε την επόmicroενη γενίκευση

18

Μια γενίκευση διατυπωmicroένη εποπτικά

Έστω συνάρτηση ƒ δύο φορές παραγωγίσιmicroη στο [α β] και τα ση-

microεία Κ(α ƒ(α)) και Λ(β ƒ(β))

Αν το τmicroήmicroα ΚΛ και η γραφική παράσταση της ƒ τέmicroνονται τότε

υπάρχει ξisin(α β) τέτοιο ώστε ƒ΄΄(ξ) = 0

Η ιδέα για τη γενίκευση διατυπωmicroένη στη γλώσσα της Ανάλυσης

Αν στο παραπάνω παράδειγmicroα 4 ονοmicroάζαmicroε γ την τετmicroηmicroένη τού microέ-

σου Γ του ευθυγράmicromicroου τmicroήmicroατος ΑΒ τότε είναι γ α

1β γ

minus=

minus οπότε

α βΓ 0

2

+

Και αν παίρναmicroε το Γ(γ0) στο εσωτερικό του ΑΒ ώστε γ α κ

β γ λ

minus=

minus τό-

τε microε απλές πράξεις θα βρίσκαmicroε λα κβ

Γ 0κ λ

+ +

Η γενίκευση

Αν microια συνάρτηση f είναι δυο φορές παραγωγίσιmicroη στο διάστηmicroα

[ ]αβ microε την ιδιότητα ( ) ( ) ( ) λα κβλf α κf β κ λ f

κ λ

+ + = + +

όπου λα κβ

α βκ λ

+lt lt+

και κλ θετικοί ακέραιοι τότε υπάρχει

( )ξ αβisin τέτοιο ώστε ( )f ξ 0primeprime =

Παράδειγmicroα 5

Έστω συνάρτηση ƒ παραγωγίσιmicroη στο [0 1] microε συνεχή παράγωγο

για την οποία ισχύουν

( )ƒ 0 0= ( ) 1ƒ 1

2= και ( )ƒ 0 0prime gt

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ( )ξ 01isin τέτοιο ώστε ( )ƒ ξ 2ξprime =

19

Σχόλιο

Το παράδειγmicroα 5 το συζητήσαmicroε σε Εργαστήριο Εφαρmicroοσmicroένης ∆ι-

δακτικής των Μαθηmicroατικών (∆ Ντρίζος Ιανουάριος 2016 Καρδίτσα) για

να αναδείξουmicroε την παιδευτική αξία της αναζήτησης πολλών τρόπων λύσης

ενός microαθηmicroατικού ερωτήmicroατος)

1ος

τρόπος λύσης (του ∆ Ντρίζου)

Αρκεί να αποδείξουmicroε ότι η εξίσωση ( )( )2ƒ x x 0primeminus = έχει microία τουλά-

χιστον ρίζα στο διάστηmicroα ( )01 Και αυτό θα microπορούσε να προκύψει

microε εφαρmicroογή του θ του Rolle στη συνάρτηση ( ) ( ) 2g x ƒ x x= minus

[ ]x 01isin

Είναι ( )g 0 0= και ( ) ( ) 2 1 1g 1 ƒ 1 1 1

2 2= minus = minus = minus δηλαδή ( )g 1 0lt

Σχέδιο προσέγγισης του θέmicroατος

Επειδή ( )g 0 0= το ζητούmicroενο θα προέκυπτε microε εφαρmicroογή του θ του

Rolle για την g αν αποδεικνύαmicroε ότι υπάρχει αριθmicroός ( )α 01isin για

τον οποίο ( )g α 0=

Με βάση αυτή την ιδέα και παίρνοντας υπόψη ότι ( )g 1 0lt αναρω-

τιόmicroαστε microήπως θα microπορούσαmicroε να έχουmicroε κάποιο ( )β 01isin ώστε

( )g β 0gt οπότε microε εφαρmicroογή του θ του Bolzano στο διάστηmicroα [ ]β1

θα εξασφαλίζαmicroε την ύπαρξη αριθmicroού ( )α β1isin τέτοιου ώστε

( )g α 0=

Εφαρmicroογή του σχεδίου

Ισχυριζόmicroαστε ότι δεν υπάρχει κάποιο ( )β 01isin ώστε ( )g β 0gt Ισο-

δύναmicroα ότι για κάθε ( )x 01isin ισχύει ( )g x 0le

20

bull Στην περίπτωση που για κάποιο ( )x 01isin ισχύει ( )g x 0= τότε

καθώς έχουmicroε και ( )g 0 0= το ζητούmicroενο προκύπτει microε εφαρmicroογή

του θ Rolle

bull Ας εξετάσουmicroε τώρα τον ισχυρισmicroό ( )g x 0lt για κάθε ( )x 01isin

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

x 0 x 0

ƒ xg x 0 ƒ x x x

x

ƒ x ƒ 0lim lim x ƒ 0 0

x 0+ +rarr rarr

lt rArr lt rArr lt rArr

minusprimerArr lt rArr le

minus

που είναι άτοπο λόγω υπόθεσης Άρα υπάρχει κάποιο ( )β 01isin ώστε

( )g β 0gt

Με εφαρmicroογή του θ του Bolzano στο [ ]β1 παίρνουmicroε ότι υπάρχει

( )α β1isin τέτοιο ώστε ( )g α 0=

Και τέλος microε εφαρmicroογή του θ του Rolle για την g στο διάστηmicroα

[ ]0α παίρνουmicroε ότι υπάρχει ( ) ( )ξ 0α 01isin sube τέτοιο ώστε

( )g ξ 0prime = οπότε ( )ƒ ξ 2ξprime =

Σχόλια ndash Έλεγχος υποθέσεων

1 Στην παραπάνω λύση η υπόθεση ότι η ƒprime είναι συνεχής δεν microάς

χρειάστηκε

2 Η υπόθεση ( ) 1ƒ 1

2= θα microπορούσε να δίνεται γενικά ως ( )ƒ 1 θ= microε

θ 1lt

3 Ως ζητούmicroενο θα microπορούσαmicroε να έχουmicroε υπάρχει ( )ξ 01isin ώστε

( ) ν 1ƒ ξ νξ minusprime =

21

Μια γενίκευση

Έστω microια συνάρτηση ƒ παραγωγίσιmicroη στο [ ]01 για την οποία ισχύ-

ουν

( )f 0 0= ( )ƒ 1 θ 1= lt και ( )ƒ 0 0prime gt

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ( )ξ 01isin τέτοιο ώστε ( ) ν 1ƒ ξ νξ minusprime =

2ος

τρόπος λύσης (προτάθηκε από τον Θανάση Καραντάνα καθηγητή στο

4ο ΓΕΛ Καρδίτσας και τον Αιmicroίλιο Βλάστο καθηγητή στο Μουσικό

Σχολείο Καρδίτσας)

Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) 2g x ƒ x x= minus [ ]x 01isin

Είναι ( )g 0 0= και ( ) 1g 1

2= minus

Επίσης ( ) ( )g x ƒ x 2xprime prime= minus άρα ( ) ( )g 0 ƒ 0 0prime prime= gt

Οπότε από τον ορισmicroό της παραγώγου της g στο 0 από τα δεξιά

παίρνουmicroε

( ) ( ) ( )x 0 x 0

g x g 0 g xlim lim 0

x 0 x+ +rarr rarr

minus= gt

minus

Και επειδή x 0gt θα είναι και ( )g x 0gt κοντά στο 0 από τα δεξιά

Άρα θα υπάρχει ( )k 01isin τέτοιο ώστε ( )g k 0gt

Έχουmicroε λοιπόν ( ) ( )g k g 1 0sdot lt και επειδή η συνάρτηση g είναι συνε-

χής στο [ ]k1 από το θεώρηmicroα του Bolzano θα υπάρχει

( ) ( )m k1 01isin sube τέτοιο ώστε ( )g m 0=

Τέλος καθώς στο διάστηmicroα [ ]0m η g ικανοποιεί τις υποθέσεις του

θεωρήmicroατος του Rolle θα υπάρχει ( ) ( )ξ 0 m 01isin sube τέτοιο ώστε

( )g ξ 0prime = ∆ηλαδή ( )ƒ ξ 2ξprime =

22

3ος

τρόπος λύσης

Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) 2g x ƒ x x= minus [ ]x 01isin

Είναι g(0) = 0 και ( ) 1g 1

2= minus

Επίσης ( ) ( )g x ƒ x 2xprime prime= minus άρα ( ) ( )g 0 f 0 0prime prime= gt

Με εφαρmicroογή του θεωρήmicroατος Μέσης Τιmicroής για την g στα 1

02

και

11

2

βρίσκουmicroε ότι υπάρχουν 1

1x 0

2

isin

και 2

1x 1

2

isin

τέτοια

ώστε

( )1

1 1f

2 4g x

1

2

minus prime = και ( )2

1 1 1f

2 2 4g x

1

2

minus minus minus prime =

Και επειδή ( ) ( )1 2g x g x 1prime prime+ = minus προφανώς ένα τουλάχιστον από τα

( ) ( )1 2g x g xprime prime θα είναι υποχρεωτικά αρνητικό

Έστω λοιπόν ότι είναι ( )1g x 0prime lt

Τότε καθώς η gprime είναι συνεχής στο [ ]10 x και ( ) ( )1g 0 g x 0prime primesdot lt από

το θεώρηmicroα του Bolzano βρίσκουmicroε ότι θα υπάρχει ένα τουλάχιστον

( ) ( )1ξ 0 x 01isin sube τέτοιο ώστε ( )g ξ 0prime = ∆ηλαδή ( )ƒ ξ 2ξprime =

4ος

τρόπος λύσης (προτάθηκε από τον Σεραφείmicro Σαmicroορέλη καθηγητή στο

8ο ΓΕΛ Τρικάλων)

Έστω η συνάρτηση w(x) ƒ (x) 2xprime= minus microε [ )x 01isin για την οποία ι-

σχυριζόmicroαστε ότι w(x) 0ne στο [ )01

Επειδή στο διάστηmicroα [ )01 η συνάρτηση w είναι συνεχής microε

w(x) 0ne προκύπτει ότι η w διατηρεί σταθερό πρόσηmicroο στο [ )01

23

Είναι w(0) ƒ (0) 2 0 ƒ (0) 0prime prime= minus sdot = gt άρα w(x) 0gt για κάθε [ )x 01isin

οπότε και ƒ (x) 2xprime gt για κάθε [ )x 01isin (1)

Με εφαρmicroογή του ΘΜΤ για την ƒ στα διαστήmicroατα 1

02

και 1

12

προκύπτει ότι θα υπάρχουν 1

1x 0

2

isin

και 2

1x 1

2

isin

τέτοια ώστε

1

1ƒ ƒ(0)

2ƒ (x )

1

2

minus prime = και

( )2

1ƒ 1 ƒ

2ƒ (x )

1

2

minus prime =

Με πρόσθεση κατά microέλη παίρνουmicroε

1 2

1 1 1ƒ ƒ(0) ƒ(1) ƒ2 2 2ƒ (x ) ƒ (x ) 1

1 1

2 2

minus + minus prime prime+ = = = (2)

Όmicroως από τη σχέση (1) έχουmicroε 1 1

2 2

ƒ (x ) 2x

ƒ (x ) 2x

prime gt

prime gt και microε πρόσθεση κατά

microέλη παίρνουmicroε

( )2

1 2 1 2 1 2 1 2

1ƒ (x ) ƒ (x ) 2x 2x 1 2x 2x x x

2prime prime+ gt + hArr gt + hArr + lt

που είναι άτοπο καθώς 1

2

10 x

2

1x 1

2

lt lt lt lt

Εποmicroένως o ισχυρισmicroός ότι στο [ )01 είναι w(x) 0ne δεν ευσταθεί

Οπότε θα υπάρχει ( )ξ 01isin τέτοιο ώστε w(ξ) 0 ƒ (ξ) 2ξprime= hArr = (το ξ

αυτό δεν microπορεί να είναι ίσο microε 0 αφού w(0) 0gt )

24

Μια πρόταση

Έστω f και g δυο συναρτήσεις συνεχείς στο διάστηmicroα [ ]αβ για τις

οποίες ισχύει ( ) ( )f x g xgt για κάθε [ ]x αβisin

Υπάρχει πάντοτε θετικός r τέτοιος ώστε ( ) ( )f x g x rgt + για κάθε

[ ]x αβisin

Ένα ερώτηmicroα

Ποιος προβληmicroατισmicroός γεωmicroετρικής υφής θα microπορούσε να microας οδη-

γήσει στη διατύπωση της παραπάνω πρότασης

Απόδειξη της πρότασης

Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) ( )h x f x g x= minus [ ]x αβisin

Η h είναι συνεχής microε θετικές τιmicroές στο [ ]αβ οπότε θα παρουσιάζει

ελάχιστο έστω ίσο microε m mgt0

Άρα ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m mh x m f x g x m f x g x

2 2ge rArr minus ge gt rArr gt +

Οπότε ( ) ( )f x g x rgt + m

r2= microε ( )r 0misin

Σηmicroείωση

Τα παραδείγmicroατα microαθηmicroατικών που συmicroπεριέλαβα στο παρόν άρθρο ανα-

πτύχθηκαν και σε οmicroιλία microου στην Ελληνογαλλική Σχολή Καλαmicroαρί της

Θεσσαλονίκης (27 Φεβρουαρίου 2016) microε θέmicroα τα Ποιοτικά Χαρακτηριστι-

κά στη ∆ιδασκαλία των Μαθηmicroατικών Επίσης κάποια από αυτά χρησιmicroο-

ποιήθηκαν σε σεmicroινάριο ∆ιδακτικής Μαθηmicroατικών που ανέπτυξα στα Τρί-

καλα (5 και 12 Απριλίου 2016)

Αφιέρωση

Το άρθρο αυτό αφιερώνεται στη microνήmicroη του Νίκου Κλαουδάτου καθηγητή

microου κατά τα έτη 2000-2002 στο ΠΜΣ της ∆ιδακτικής και Μεθοδολογίας

των Μαθηmicroατικών στο Τmicroήmicroα Μαθηmicroατικών του ΕΚΠΑ

25

Βιβλιογραφικές αναφορές

Ξενόγλωσσες

[1] Cobb P Wood T Yackel E amp McNeal B (1992) Characteristics of clas-

room mathematics traditions An interactional analysis American Educa-

tional Research Journal 29 573-604

[2] Cobb P amp Steffe L P (1993) The constructivist researcher as the teacher

and model builder Journal for Research in Mathematics Education vol 14

pp 83-94

[3] Eisenberg T amp Dreyfus T On the reluctance to visualize in Mathematics in

Zimmerman W amp Cunnigham S (Eds) 1991 Visualization in teaching

and learning mathematics p 25-37 MAA notes no 19 Mathematical Asso-

ciation of America

[4] Vinner S Visual considerations in College Calculus ndash Students and Teach-

ers in Vermandel A amp Steiner Hans-Georg (Eds) 1988 Theory of mathe-

matics Educations (Proceeding of the third international conferens Andwerp

11-15 July 1988) p 109-116

[5] Year Book 2001 The Roles of Representation in School Mathematics Na-

tional Council of Teachers of Mathematics

Ελληνόγλωσσες

[6] Ανδρεαδάκης Σ Κατσαργύρης Β Μέτης Σ Μπρουχούτας Κ Παπα-

σταυρίδης Σ και Πολύζος Γ (2015) Μαθηmicroατικά Γ΄ Γενικού Λυκείου Οmicroά-

δας Προσανατολισmicroού Θετικών Σπουδών και Σποδών Οικονοmicroίας amp Πληρο-

φορικής Αθήνα ΙΕΠ amp ΙΤΥΕ ∆ιόφαντος

[7] Κατσαργύρης Β Μεντής Κ Παντελίδης Γ και Σουρλάς Κ (1994) Μα-

θηmicroατικά Γ΄ Λυκείου ndash Ανάλυση Αθήνα ΟΕ∆Β

[8] Κλαουδάτος Ν (2011) Σηmicroειώσεις ∆ιδακτικής Μαθηmicroατικών 1) Εισαγωγή

στη γνωσιακή θεωρία 2) Βασικές αρχές της θεωρίας Vygotsky Μεταπτυχιακό

Πρόγραmicromicroα Σπουδών ∆ιδακτικής και Μεθοδολογίας των Μαθηmicroατικών

Τmicroήmicroα Μαθηmicroατικών ΕΚΠΑ

[9] Κλαουδάτος Ν (2011) Σηmicroειώσεις ∆ιδακτικής Μαθηmicroατικών 1) ∆ιδασκαλία

και microάθηση των microαθηmicroατικών microε διαδικασίες επίλυσης προβληmicroάτων 2) Εισα-

γωγή στη Θεωρία της ∆ιδασκαλίας Μεταπτυχιακό Πρόγραmicromicroα Σπουδών ∆ιδα-

κτικής και Μεθοδολογίας των Μαθηmicroατικών Τmicroήmicroα Μαθηmicroατικών ΕΚΠΑ

26

[10] Μάκρας Στρ Γεωmicroετρική εποπτεία και απόδειξη άρθρο στο περιοδικό Ευ-

κλείδης Β΄ τχ 25 (Ιούλιος-Αύγουστος-Σεπτέmicroβριος 1997) σσ 11-17 Αθήνα

Έκδοση της ΕΜΕ

[11] Νεγρεπόντης Σ Γιωτόπουλος Σ amp Γιαννακούλιας Ε (2000) Απειροστικός

Λογισmicroός τόmicroος IIα Αθήνα Εκδόσεις Συmicromicroετρία

[12] Ντρίζος ∆ (2002) Πλεονεκτήmicroατα της γεωmicroετρικής αναπαράστασης των microα-

θηmicroατικών εννοιών Η απόδειξη του θεωρήmicroατος της Μέσης Τιmicroής του διαφο-

ρικού λογισmicroού για συναρτήσεις microιας ή δύο πραγmicroατικών microεταβλητών Ευκλεί-

δης Γ΄ τχ 77 (Ιούλιος-∆εκέmicroβριος 2012) σσ 31-45 Αθήνα Έκδοση της

ΕΜΕ

[13] Ντρίζος ∆ Τα βασικά θεωρήmicroατα του ∆ιαφορικού Λογισmicroού άρθρο στο περι-

οδικό Ευκλείδης Γ΄ τχ 70 (Ιανουάριος-Ιούνιος 2009) σσ 5-23 Αθήνα Έκδο-

ση της ΕΜΕ

[14] Ντρίζος ∆ ∆ιδακτική Αξιοποίηση Προβληmicroάτων Επαγωγικής Συλλογιστικής

στο Πλαίσιο Ανάπτυξης Ιδεών του G Polya άρθρο στο περιοδικό Ευκλείδης

Γ΄ τχ 73 (Ιούλιος-∆εκέmicroβριος 2010) σσ 29-48 Αθήνα Έκδοση της ΕΜΕ

[15] Polya G (2001) Η Μαθηmicroατική Ανακάλυψη τόmicroος 1 (microτφ Στεργιάκη Σπύ-

ρου) Αθήνα Εκδόσεις Κάτοπτρο

[16] Ρίζος Γ (2005) Οι περιπέτειες του Προβλήmicroατος στα σχολικά Μαθηmicroατικά

Θεσσαλονίκη Εκδόσεις Μαθηmicroατική Βιβλιοθήκη

[17] Spivak Michael (1991) ∆ιαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισmicroός (microτφ Γιαν-

νόπουλου Απ) Ηράκλειο Πανεπιστηmicroιακές Εκδόσεις Κρήτης

7

12 ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ∆Ι∆ΑΚΤΙΚΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ

Τα Μαθηmicroατικά αυτά καθαυτά χαρακτηρίζονται από την εσωτερική δοmicroική

τους τελειότητα Η διδασκαλία τους όmicroως είναι microια εντελώς διαφορετική

υπόθεση Είναι microια κατεξοχήν διαδικασία επικοινωνίας Επικοινωνία του

καθηγητή microε τους microαθητές του microε microια επιδίωξη να κατακτήσουν οι microαθητές

του ορισmicroένες συγκεκριmicroένες κάθε φορά γνώσεις Και εδώ το κρίσιmicroο ε-

ρώτηmicroα που ανακύπτει είναι το εξής Αν ο καθηγητής γνωρίζει καλά την

ύλη που σκοπεύει να διδάξει το στοιχείο αυτό δεν είναι από microόνο του ικα-

νό ώστε να πραγmicroατοποιήσει microια ποιοτική και παράλληλα αποτελεσmicroατική

διδασκαλία Σίγουρα βέβαια η πολύ καλή γνώση της ύλης είναι οπωσδή-

ποτε αναγκαία συνθήκη Όmicroως δεν είναι από microόνη της και ικανή Ο καθη-

γητής είναι απαραίτητο να ξέρει και άλλα περισσότερα πράγmicroατα Και microε-

ταξύ αυτών να ξέρει πολύ καλά το γνωστικό επίπεδο των microαθητών του αλ-

λά και τον τρόπο microε τον οποίο αυτοί microαθαίνουν Να αγαπά τη δουλειά του

και να παίρνει χαρά και ικανοποίηση από τις microικρές ή microεγάλες επιτυχίες του

παιδευτικού του έργου

Πριν τη διδασκαλία ο καθηγητής καλείται να πάρει κρίσιmicroες αποφά-

σεις Και πρώτα απrsquo όλα να αποφασίσει ποιο microέρος της ενότητας που σκο-

πεύει να διδάξει είναι ανάγκη να το παρουσιάσει ο ίδιος στην τάξη Με

ποια σειρά και microε ποιο ακριβώς σχέδιο Κι όλα τα υπόλοιπα πρέπει να

ldquoβγουνrdquo microέσα από έναν καλοσχεδιασmicroένο και καλά συντονισmicroένο διάλογο

microε την τάξη Μια τάξη που υπό την εποπτεία του καθηγητή συνδιαλέγεται

microε στόχο να βρεθούν απαντήσεις στα ερωτήmicroατα που θέτει ο καθηγητής

Μια τάξη που προσοmicroοιάζει κατά κάποιον τρόπο microε εργαστήριο microάθησης

όπου ο καθηγητής ακούει προσεκτικά τις απαντήσεις που δίνονται και επι-

χειρεί συστηmicroατικά όταν κάποια απάντηση δεν είναι η αναmicroενόmicroενη να

φέρει τον microαθητή που την έδωσε στο σηmicroείο εκείνο που θα κατανοήσει ο

ίδιος την αστοχία ή το λάθος που έκανε Αυτό βέβαια είναι κάτι που θέλει

τον χρόνο του Κι εδώ πρέπει να κατανοήσουmicroε όλοι ότι αυτός ο χρόνος

της απαραίτητης αναmicroονής δεν είναι χαmicroένος χρόνος Μόνο έτσι microια πλη-

ροφορία των microαθηmicroατικών microπορεί εν δυνάmicroει στο νου του microαθητή να microε-

8

τεξελιχθεί σε γνώση Κι αυτό γιατί ο νους έχει ανάγκη κάποιου χρόνου ώ-

στε αφού πρώτα επεξεργαστεί τις πληροφορίες να τις εντάξει έπειτα σε

ένα προϋπάρχον γνωστικό σχήmicroα ή αν χρειάζεται να δηmicroιουργήσει και κά-

ποιο καινούριο γνωστικό σχήmicroα

Πέρα όmicroως απrsquo όλα τα παραπάνω να τονίσουmicroε εδώ την αξία και τον

ρόλο του διδακτικού υλικού που θα χρησιmicroοποιήσουmicroε για να ldquoδουλέψειrdquo η

τάξη δηmicroιουργικά Το υλικό αυτό θα πρέπει να υποβοηθά στη σύνδεση των

νέων γνώσεων που θέλουmicroε να διδάξουmicroε microε άλλες προϋπάρχουσες γνώ-

σεις και παράλληλα τα ερωτήmicroατά microας να στοχεύουν στην ανέλιξη της

δηmicroιουργικής και κριτικής σκέψης των microαθητών

Επίσης να σηmicroειώσουmicroε microε ιδιαίτερη έmicroφαση ότι η επιτυχής αντιmicroε-

τώπιση ενός microαθηmicroατικού προβλήmicroατος προϋποθέτει την πνευmicroατική συ-

γκέντρωση του microαθητή πάνω στα ερωτήmicroατα που συγκροτούν το πρόβλη-

microα Πειθαρχηmicroένη σκέψη αλλά και επιmicroονή ώστε αφού πρώτα κατανοήσει

σηmicroείο προς σηmicroείο όλες τις πληροφορίες που του δίνονται να αναζητήσει

έπειτα την κρίσιmicroη ιδέα που θα του επιτρέψει να ldquoξεκλειδώσειrdquo το πρόβλη-

microα Να δει προσεκτικά τη σχέση αυτής της ιδέας microε τις υποθέσεις και τα

συmicroπεράσmicroατα του προβλήmicroατος Να αναλύσει αυτές τις συνδέσεις κατά

τρόπο που θα του επιτρέψουν να κάνει και το επόmicroενο κρίσιmicroο βήmicroα Να

διατυπώσει τη λύση του προβλήmicroατος

2 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΩΝ ∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΩΝ ndash

Η ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΗΣ ΓΝΩΣΗΣ ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ

ΜΙΑΣ ldquo∆ΙΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗΣrdquo ΤΑΞΗΣ

Ξεκινώντας από την κοινά αποδεκτή θέση ότι κάθε διδασκαλία πρέπει να

στοχεύει στην ουσιαστική κατάκτηση των γνώσεων από τους microαθητές microας

κρίνουmicroε σκόπιmicroο να αναφερθούmicroε σε ορισmicroένες προϋποθέσεις που πιστεύ-

ουmicroε ότι ευνοούν microια διδασκαλία των microαθηmicroατικών microε έmicroφαση στην ανά-

πτυξη ερευνητικών δραστηριοτήτων Και ως πρώτη προϋπόθεση θεωρούmicroε

9

την ενσυνείδητη εmicroπλοκή του microαθητή στις διαδικασίες της microάθησης Είναι

απαραίτητο πρώτα απrsquo όλα να πεισθεί ο microαθητής ότι η εν λόγω γνώση τον

ενδιαφέρει και η προσωπική του συmicromicroετοχή σrsquo αυτήν τη διαδικασία microετράει

και έχει νόηmicroα ότι έτσι συmicroβάλλει κι αυτός microε τον δικό του τρόπο στην κα-

τασκευή και διαmicroόρφωση της νέας γνώσης και δεν είναι απλά ένας παθητι-

κός δέκτης ασύνδετων κατά κανόνα πληροφοριών Με αυτές τις προϋπο-

θέσεις δηmicroιουργείται microια τάξη στην οποία οι microαθητές συmicromicroετέχουν στην

αναζήτηση και επινόηση της γνώσης Και ο ρόλος εδώ του διδάσκοντα εί-

ναι κυρίως αυτός του εmicroπνευστή του καθοδηγητή και του καλού συντονι-

στή που υποβάλλει στην κατάλληλη στιγmicroή εύστοχες ερωτήσεις οι οποίες

προωθούν διαδικασίες έρευνας και γόνιmicroου προβληmicroατισmicroού Μια τάξη

στην οποία ο διδάσκων θέτει προβλήmicroατα προς λύση και συγχρόνως λει-

τουργεί διευκολυντικά στη διαπραγmicroάτευσή τους δηmicroιουργεί microια διερευνη-

τική τάξη microαθηmicroατικών (βλ [1])

Σε τέτοιες τάξεις microαθηmicroατικών οι microαθητές στην πορεία διαπραγmicroά-

τευσης κάποιου προβλήmicroατος οδηγούνται σταδιακά υπό την καθοδήγηση

του διδάσκοντα από τη microελέτη επιmicroέρους περιπτώσεων στη διατύπωση ε-

πεκτάσεων και γενικεύσεων microια ικανότητα η οποία σχετίζεται microε τη microαθη-

microατική ανακάλυψη την επινόηση δηλαδή των κρίσιmicroων ιδεών που microάς δεί-

χνουν το δρόmicroο για τη λύση Σ΄ αυτήν τη δηmicroιουργική πορεία και καθώς ο

microαθητής αναζητά επίmicroονα τη λύση κάποιου προβλήmicroατος σηmicroαντικό ρόλο

παίζει και η διαίσθηση που βασίζεται κυρίως στην εποπτεία (κατά τον

Richard Courant η έλλειψη της εξάρτησης των αποδείξεων από τη διαί-

σθηση οδηγεί σε microαθηmicroατική ατροφία)

Με τις παραπάνω σκέψεις επιχειρούmicroε να διευκρινίσουmicroε τις παιδευ-

τικές προθέσεις microιας διερευνητικής τάξης microαθηmicroατικών και παράλληλα να

αναπτύξουmicroε περαιτέρω το διδακτικό σχήmicroα του G Polya για ένα περιβάλ-

λον διερευνητικής διδασκαλίας και microάθησης όπου οι microαθητές για την επί-

λυση ενός προβλήmicroατος

(α) πειραmicroατίζονται και παρατηρούν στο πλαίσιο της επαγωγικής συλλογι-

στικής αντιmicroετωπίζουν δηλαδή πρώτα-πρώτα επιmicroέρους περιπτώσεις

του προβλήmicroατος (ειδικεύσεις)

10

(β) εντοπίζουν microια ιδιότητα ή microια κατάσταση που συνήθως εmicroφανίζεται σε

όλες τις επιmicroέρους περιπτώσεις που εξέτασαν

(γ) διατυπώνουν εικασίες (βλ [9] σελ 57)

(δ) επινοούν ένα σχέδιο για τη microαθηmicroατική απόδειξη των εικασιών το ο-

ποίο στη συνέχεια τροποποιούν όσες φορές απαιτηθεί έως ότου κατα-

λήξουν στο επιθυmicroητό αποτέλεσmicroα

(ε) ελέγχουν αν τα αποδεικτικά βήmicroατα που ακολούθησαν καθώς και το

συmicroπέρασmicroα στο οποίο κατέληξαν είναι απολύτως συνεπή προς όλες

τις υποθέσεις του προβλήmicroατος και

(στ) προσπαθούν να δούν το υπό microελέτη πρόβληmicroα ως ειδίκευση ενός γενι-

κού προβλήmicroατος και ακολούθως να microελετήσουν αυτό το γενικό

πρόβληmicroα

Έχουmicroε τη γνώmicroη ότι ο διάλογος που θα αναπτυχθεί microε έναυσmicroα την

αναζήτηση απαντήσεων σε ερωτήmicroατα τέτοιων δραστηριοτήτων θα συmicro-

βάλλει ώστε να αναδειχθούν και εmicroπεδωθούν ιδέες και πρακτικές που βαθ-

microιαία βελτιώνουν τη microαθηmicroατική ικανότητα η οποία είναι τελικά και το

ποιοτικό ζητούmicroενο της microαθηmicroατικής εκπαίδευσης

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ

Το παρόν άρθρο συmicroπληρώνεται microε επιλεγmicroένα παραδείγmicroατα η διαπραγ-

microάτευση των οποίων υποστηρίζει τη συmicroβολή της γεωmicroετρικής εποπτείας

στη διδασκαλία των microαθηmicroατικών στο Λύκειο και αναδεικνύει τη δυναmicroική

τους στην ερmicroηνεία πραγmicroατικών καταστάσεων

11

Ενδεικτικά παραδείγmicroατα για διαπραγmicroάτευση στη σχολική τάξη

1 Από την εποπτεία και τη διαίσθηση στη microαθηmicroατική τακτοποίηση

της έννοιας της απόλυτης τιmicroής πραγmicroατικού αριθmicroού

Παράδειγmicroα 1

Σε έναν άξονα x xprime να θεωρήσετε τα σηmicroεία ( )A 1 και ( )B 5

α) Να βρείτε αν υπάρχουν και πόσα σηmicroεία ( )M x πάνω στον x xprime τέ-

τοια ώστε

i) MA MB 4+ =

ii) MA MB 1+ =

iii) MA MB 8+ =

β) Χρησιmicroοποιώντας το σύmicroβολο της απόλυτης τιmicroής ν α γράψετε τις γε-

ωmicroετρικές ισότητες i) ii) και iii) microε microορφή εξίσωσης και στη συνέχεια

να βρείτε τις ρίζες των εξισώσεων αυτών

Παράδειγmicroα 2

Σε έναν άξονα x xprime να πάρετε δύο οποιαδήποτε σηmicroεία ( )Α α και ( )Β β

και έπειτα να προσδιορίσετε γεωmicroετρικά τα σηmicroεία του άξονα στα οποία

αντιστοιχούν οι αριθmicroοί α ββ αminus minus και α β+

2 Μια ενότητα θεmicroάτων Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας που αναδεικνύουν

την ιδέα των διαδοχικών γενικεύσεων

21 Θεωρούmicroε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓκαι σηmicroείο Μ που κινείται στην υπο-

τείνουσα ΒΓ Από το Μ φέρνουmicroε τα κάθετα τmicroήmicroατα ΜΚ και ΜΛ

προς τις πλευρές ΑΒ και ΑΓαντίστοιχα Να προσδιορίσετε τη θέση του

Μ στη ΒΓ ώστε το microήκος το τmicroήmicroατος ΚΛ να γίνεται ελάχιστο

22 Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓκαι σηmicroείο Μ που κινείται στην πλευρά ΒΓ

Από το Μ φέρνουmicroε τα κάθετα τmicroήmicroατα ΜΚ και ΜΛ προς τις πλευρές

12

ΑΒ και ΑΓαντίστοιχα Να προσδιορίσετε τη θέση του Μ στη ΒΓ ώστε

το microήκος το τmicroήmicroατος ΚΛ να γίνεται ελάχιστο

23 Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓκαι σηmicroείο M που κινείται στην πλευρά ΒΓ

Φέρνουmicroε τα τmicroήmicroατα ΜΚ και ΜΛ όπου Κ σηmicroείο της πλευράς ΑΒ

και Λ σηmicroείο της πλευράς ΑΓτέτοια ώστε ΒΚΜ ΜΛΓ ω= = όπου ω

γωνία microε το ίδιο σταθερό microέτρο για οποιαδήποτε θέση του Μ Να προσδι-

ορίσετε τη θέση του Μ στη ΒΓ ώστε το microήκος το τmicroήmicroατος ΚΛ να γί-

νεται ελάχιστο

Σχόλιο

Τα επιmicroέρους θέmicroατα 21 22 και 23 της παραπάνω ενότητας θεmicroάτων Ευ-

κλείδειας Γεωmicroετρίας προτείνονται για διαπραγmicroάτευση στην τάξη στο πλαίσιο

microιας ερευνητικής δραστηριότητας που αναδεικνύει την ιδέα της γενίκευσης προ-

βλήmicroατος microε διαδοχικές microεταβολές των υποθέσεων διατηρώντας το ίδιο ζητούmicroε-

νο Εκτιmicroούmicroε ότι ανάλογες δραστηριότητες ndashυπό κατάλληλες βέβαια διδακτικές

προϋποθέσειςndash microπορούν εν δυνάmicroει να συmicroβάλλουν στην ανάπτυξη της δηmicroι-

ουργικής microαθηmicroατικής σκέψης

3 Παραδείγmicroατα που αναδεικνύουν τη φυσική ερmicroηνεία του θεωρή-

microατος του Rolle και του ΘΜΤ του Lagrange

31 Ας υποθέσουmicroε ότι microια συνάρτηση V(t) microετράει τον όγκο του αέρα

που βρίσκεται στους πνεύmicroονες ενός ανθρώπου ως προς το χρόνο t

κατά τη διάρκεια microιας αναπνοής

Υποθέτουmicroε ότι

α) η V είναι συνεχής και περιγράφεται από microια οmicroαλή καmicroπύλη

(γραφική παράσταση παραγωγίσιmicroης συνάρτησης)

β) η V(t) παίρνει την ίδια τιmicroή (περίπου 4 λίτρα) στο τέλος κάθε εισ-

πνοής

Ερώτηση Υπάρχει χρονική στιγmicroή κατά τη διάρκεια microιας αναπνοής

όπου microηδενίζεται ο ρυθmicroός microεταβολής του όγκου του αέρα που βρί-

σκεται στους πνεύmicroονες του ανθρώπου

13

32 Πετάmicroε κατακόρυφα προς τα πάνω microια microπάλα και την ξαναπιάνουmicroε

στο ίδιο ύψος από το οποίο την πετάξαmicroε

α) Να κάνετε πρόχειρα τη γραφική παράσταση της συνάρτησης θέσης

της microπάλας ως προς το χρόνο t

β) Υπάρχει χρονική στιγmicroή t1 που η ταχύτητα της microπάλας microηδενίζεται

Ποια είναι η κλίση (της εφαπτοmicroένης) της γραφικής παράστασης

της συνάρτησης θέσης στο σηmicroείο microε τετmicroηmicroένη t1

33 ∆ύο αυτοκίνητα είναι σταmicroατηmicroένα σrsquo ένα φανάρι το ένα δίπλα στο

άλλο Όταν το φανάρι ανάβει πράσινο ξεκινούν αλλά αναγκάζονται

και τα δύο να σταmicroατήσουν στο επόmicroενο φανάρι Έτσι βρίσκονται και

τα δύο σταmicroατηmicroένα πάλι το ένα δίπλα στο άλλο Υπάρχει χρονική

στιγmicroή κατά την οποία τα δύο αυτοκίνητα έτρεχαν microε την ίδια ταχύτη-

τα

34 Ένας σκιέρ κατεβαίνει microια πλαγιά ξεκινώντας από ένα σηmicroείο Α και

καταλήγοντας σε ένα σηmicroείο Β Υπάρχει περίπτωση ο σκιέρ να απο-

φύγει την κλίση του ευθ τmicroήmicroατος ΑΒ

35 Ο οδηγός ενός Jeep σκοπεύει από το σηmicroείο Α να φτάσει στο Β Η

πλαγιά ΑΒ ορίζεται από την καmicroπύλη ( )y ƒ x= και το Jeep microπορεί να

αναρριχηθεί σε κλίσεις έως 25 Ο οδηγός θα πετύχει το σκοπό του

Α

Β

15

0 m

05 Km

14

36 Ένα σωmicroατίδιο κινείται πάνω στον άξονα των τετmicroηmicroένων (των t)

Χρόνος t σε sec Θέση x(t) σε m

0 2

2 4

5 7

Ο πίνακας δείχνει τη θέση του σωmicroατιδίου σε τρεις χρονικές στιγmicroές

α) Να βρείτε η microέση ταχύτητα του σωmicroατιδίου στο χρονικό διάστηmicroα

[0 5]

β) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον χρονικές στιγmicroές

κατά τις οποίες η στιγmicroιαία ταχύτητα του σωmicroατιδίου είναι ίση microε

τη microέση ταχύτητα στο διάστηmicroα [0 5]

γ) Να εξετάσετε αν υπάρχει microία τουλάχιστον χρονική στιγmicroή κατά

την οποία η επιτάχυνση του σωmicroατιδίου microηδενίζεται

(βλ [13] σελ 11-12)

Θέmicroατα Ανάλυσης που αναδεικνύουν το ρόλο της γεωmicroετρικής εποπτείας

Παράδειγmicroα 1

Έστω κύκλος microε κέντρο ( )0Κ α 0α ne και ακτίνα ρ Αν f είναι microια

παραγωγίσιmicroη συνάρτηση τέτοια ώστε ( ) ( ) 0f α ρ f α ρminus = + = και η

γραφική της παράσταση έχει microε τον κύκλο ακόmicroη ένα τουλάχιστον

κοινό σηmicroείο να αποδείξετε ότι υπάρχουν ( )1 2 ξ ξ α ρ α ρisin minus + microε

( ) ( )1 21f ξ f ξprime primesdot = minus

Παράδειγmicroα 2

Μία συνάρτηση ƒ είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο Υπάρχει

περίπτωση η γραφική της παράσταση να microην τέmicroνει τον φορέα της διχοτό-

microου της πρώτης ορθής γωνίας των αξόνων Να αποδείξετε την εικασία σας

15

Παράδειγmicroα 3

Μια συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο ενώ

microια άλλη συνάρτηση g είναι συνεχής στο και τέτοια ώστε

( )limx

g xrarrminusinfin

= minusinfin και ( )limx

g xrarr+infin

= +infin

Να εξετάσετε αν οι γραφικές παραστάσεις των f και g τέmicroνονται

Παράδειγmicroα 4

Αν microια συνάρτηση ƒ είναι δύο φορές παραγωγίσιmicroη στο [α β] microε την

ιδιότητα ƒ(α) + ƒ(β) = α β

2 ƒ2

+ sdot

τότε υπάρχει ξisin(α β) τέτοιο ώ-

στε ( )ƒ ξ 0primeprime =

Σχόλιο

Το παράδειγmicroα 4 το συmicroπεριλάβαmicroε στο παρόν άρθρο όχι για να πα-

ρουσιάσουmicroε τη συνήθη τυπική του απόδειξη αλλά για να αναδείξουmicroε το

γεωmicroετρικό υπόβαθρο που βρίσκεται πίσω από τις συmicroβολικά διατυπωmicroένες

microαθηmicroατικές σχέσεις

xα βξ1

y

ξ2

Α

Μ

Γ Β

Λ(β ƒ(β))

ε1

ε2

Cƒ

α + β

2

Κ(α ƒα))

Ο

Μια ανάλυση των υποθέσεων

Η υπόθεση ƒ(α) + ƒ(β) = α β

2 ƒ2

+ sdot

γράφεται

16

[ ]1 α βƒ(α) ƒ(β) ƒ

2 2

+ + =

(1)

Το 1ο microέλος της υπόθεσης (1) είναι η τεταγmicroένη του microέσου Μ του

τmicroήmicroατος ΚΛ ενώ το 2ο microέλος είναι η εικόνα microέσω της ƒ του microέσου

του διαστήmicroατος [α β] Η πρώτη απλούστατη γεωmicroετρική ερmicroηνεία της

υπόθεσης (1) είναι ότι η γραφική παράσταση της ƒ τέmicroνει το τmicroήmicroα

ΚΛ στο microέσο του Μ

Επίσης το τετράπλευρο ΚΑΒΛ είναι (γενικά) τραπέζιο microε βάσεις

ΚΑ = ƒ(α) ΛΒ = ƒ(β) και διάmicroεσο την ΜΓ = α β

ƒ2

+

Η υπόθεση (1) σε γεωmicroετρική γλώσσα γράφεται

ΚΑ ΚΒΜΓ

2

+=

σχέση η οποία από την Ευκλείδεια Γεωmicroετρία συνδέει το microήκος της

διαmicroέσου του τραπεζίου ΚΑΒΛ microε τα microήκη των βάσεών του

Το γεγονός ότι η ƒ είναι δύο φορές παραγωγίσιmicroη άρα και microία φορά

microας δηλώνει ότι η γραφική παράσταση της ƒ είναι microια οmicroαλή κα-

microπύλη η οποία δέχεται εφαπτοmicroένη (όχι κατακόρυφη) σε κάθε σηmicroείο

της

Προσέγγιση θεωρητικής τεκmicroηρίωσης

Από τη διαίσθησή microας που βρίσκεται σε πλήρη αρmicroονία microε το Θεώ-

ρηmicroα Μέσης Τιmicroής του ∆ιαφορικού Λογισmicroού υπάρχουν οι εφαπτό-

microενες ευθείες ε1 και ε2 της Cƒ παράλληλες προς την ΚΛ microε συντελε-

στές διεύθυνσης αντίστοιχα ƒ΄(ξ1) και ƒ΄(ξ2)

ƒ΄(ξ1) = λΚΜ ξ1isinα β

α2

+

Είναι

ƒ΄(ξ2) = λΜΛ ξ2isinα β

β2

+

Όmicroως λΚΜ = λΜΛ οπότε ƒ΄(ξ1) = ƒ΄(ξ2) και microε απλή εφαρmicroογή του Θε-

17

ωρήmicroατος του Rolle για τη συνάρτηση ƒ΄ στο [ξ1 ξ2] παίρνουmicroε το

ζητούmicroενο ƒ΄΄(ξ) = 0 όπου ξisin(ξ1 ξ2)

Προβληmicroατισmicroός

Θα microπορούσαmicroε να καταλήξουmicroε στην ƒ΄(ξ1) = ƒ΄(ξ2) στηριζόmicroενοι

στο γεγονός ότι το ΚΑΒΛ είναι τραπέζιο

xξ1

y

ξ2Α

Μ

Γ Β

Λ

Κω

ω

Μ΄

Λ΄

Ο

1 ΚΜ

2 ΜΛ

ΜΜ΄ ΜΓ ΚΑƒ (ξ ) λ εφω (2)

ΚΜ΄ ΑΓΈχουmicroε

ΛΛ΄ ΛΒ ΜΓƒ (ξ ) λ εφω (3)

ΜΛ΄ ΓΒ

minusprime = = = =

minusprime = = = =

Τα τελευταία κλάσmicroατα των (2) και (3) είναι ίσα γιατί ΑΓ = ΓΒ και

ΜΓ ndash ΚΑ = ΛΒ ndash ΜΓ λόγω της σχέσης της διαmicroέσου ΜΓ του τρα-

πεζίου ΚΑΒΛ microε τις βάσεις του ΚΑ και ΛΒ Οπότε ƒ΄(ξ1) = ƒ΄(ξ2)

Η γεωmicroετρική ερmicroηνεία του παραπάνω θέmicroατος microάς επιτρέπει να δια-

τυπώσουmicroε την επόmicroενη γενίκευση

18

Μια γενίκευση διατυπωmicroένη εποπτικά

Έστω συνάρτηση ƒ δύο φορές παραγωγίσιmicroη στο [α β] και τα ση-

microεία Κ(α ƒ(α)) και Λ(β ƒ(β))

Αν το τmicroήmicroα ΚΛ και η γραφική παράσταση της ƒ τέmicroνονται τότε

υπάρχει ξisin(α β) τέτοιο ώστε ƒ΄΄(ξ) = 0

Η ιδέα για τη γενίκευση διατυπωmicroένη στη γλώσσα της Ανάλυσης

Αν στο παραπάνω παράδειγmicroα 4 ονοmicroάζαmicroε γ την τετmicroηmicroένη τού microέ-

σου Γ του ευθυγράmicromicroου τmicroήmicroατος ΑΒ τότε είναι γ α

1β γ

minus=

minus οπότε

α βΓ 0

2

+

Και αν παίρναmicroε το Γ(γ0) στο εσωτερικό του ΑΒ ώστε γ α κ

β γ λ

minus=

minus τό-

τε microε απλές πράξεις θα βρίσκαmicroε λα κβ

Γ 0κ λ

+ +

Η γενίκευση

Αν microια συνάρτηση f είναι δυο φορές παραγωγίσιmicroη στο διάστηmicroα

[ ]αβ microε την ιδιότητα ( ) ( ) ( ) λα κβλf α κf β κ λ f

κ λ

+ + = + +

όπου λα κβ

α βκ λ

+lt lt+

και κλ θετικοί ακέραιοι τότε υπάρχει

( )ξ αβisin τέτοιο ώστε ( )f ξ 0primeprime =

Παράδειγmicroα 5

Έστω συνάρτηση ƒ παραγωγίσιmicroη στο [0 1] microε συνεχή παράγωγο

για την οποία ισχύουν

( )ƒ 0 0= ( ) 1ƒ 1

2= και ( )ƒ 0 0prime gt

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ( )ξ 01isin τέτοιο ώστε ( )ƒ ξ 2ξprime =

19

Σχόλιο

Το παράδειγmicroα 5 το συζητήσαmicroε σε Εργαστήριο Εφαρmicroοσmicroένης ∆ι-

δακτικής των Μαθηmicroατικών (∆ Ντρίζος Ιανουάριος 2016 Καρδίτσα) για

να αναδείξουmicroε την παιδευτική αξία της αναζήτησης πολλών τρόπων λύσης

ενός microαθηmicroατικού ερωτήmicroατος)

1ος

τρόπος λύσης (του ∆ Ντρίζου)

Αρκεί να αποδείξουmicroε ότι η εξίσωση ( )( )2ƒ x x 0primeminus = έχει microία τουλά-

χιστον ρίζα στο διάστηmicroα ( )01 Και αυτό θα microπορούσε να προκύψει

microε εφαρmicroογή του θ του Rolle στη συνάρτηση ( ) ( ) 2g x ƒ x x= minus

[ ]x 01isin

Είναι ( )g 0 0= και ( ) ( ) 2 1 1g 1 ƒ 1 1 1

2 2= minus = minus = minus δηλαδή ( )g 1 0lt

Σχέδιο προσέγγισης του θέmicroατος

Επειδή ( )g 0 0= το ζητούmicroενο θα προέκυπτε microε εφαρmicroογή του θ του

Rolle για την g αν αποδεικνύαmicroε ότι υπάρχει αριθmicroός ( )α 01isin για

τον οποίο ( )g α 0=

Με βάση αυτή την ιδέα και παίρνοντας υπόψη ότι ( )g 1 0lt αναρω-

τιόmicroαστε microήπως θα microπορούσαmicroε να έχουmicroε κάποιο ( )β 01isin ώστε

( )g β 0gt οπότε microε εφαρmicroογή του θ του Bolzano στο διάστηmicroα [ ]β1

θα εξασφαλίζαmicroε την ύπαρξη αριθmicroού ( )α β1isin τέτοιου ώστε

( )g α 0=

Εφαρmicroογή του σχεδίου

Ισχυριζόmicroαστε ότι δεν υπάρχει κάποιο ( )β 01isin ώστε ( )g β 0gt Ισο-

δύναmicroα ότι για κάθε ( )x 01isin ισχύει ( )g x 0le

20

bull Στην περίπτωση που για κάποιο ( )x 01isin ισχύει ( )g x 0= τότε

καθώς έχουmicroε και ( )g 0 0= το ζητούmicroενο προκύπτει microε εφαρmicroογή

του θ Rolle

bull Ας εξετάσουmicroε τώρα τον ισχυρισmicroό ( )g x 0lt για κάθε ( )x 01isin

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

x 0 x 0

ƒ xg x 0 ƒ x x x

x

ƒ x ƒ 0lim lim x ƒ 0 0

x 0+ +rarr rarr

lt rArr lt rArr lt rArr

minusprimerArr lt rArr le

minus

που είναι άτοπο λόγω υπόθεσης Άρα υπάρχει κάποιο ( )β 01isin ώστε

( )g β 0gt

Με εφαρmicroογή του θ του Bolzano στο [ ]β1 παίρνουmicroε ότι υπάρχει

( )α β1isin τέτοιο ώστε ( )g α 0=

Και τέλος microε εφαρmicroογή του θ του Rolle για την g στο διάστηmicroα

[ ]0α παίρνουmicroε ότι υπάρχει ( ) ( )ξ 0α 01isin sube τέτοιο ώστε

( )g ξ 0prime = οπότε ( )ƒ ξ 2ξprime =

Σχόλια ndash Έλεγχος υποθέσεων

1 Στην παραπάνω λύση η υπόθεση ότι η ƒprime είναι συνεχής δεν microάς

χρειάστηκε

2 Η υπόθεση ( ) 1ƒ 1

2= θα microπορούσε να δίνεται γενικά ως ( )ƒ 1 θ= microε

θ 1lt

3 Ως ζητούmicroενο θα microπορούσαmicroε να έχουmicroε υπάρχει ( )ξ 01isin ώστε

( ) ν 1ƒ ξ νξ minusprime =

21

Μια γενίκευση

Έστω microια συνάρτηση ƒ παραγωγίσιmicroη στο [ ]01 για την οποία ισχύ-

ουν

( )f 0 0= ( )ƒ 1 θ 1= lt και ( )ƒ 0 0prime gt

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ( )ξ 01isin τέτοιο ώστε ( ) ν 1ƒ ξ νξ minusprime =

2ος

τρόπος λύσης (προτάθηκε από τον Θανάση Καραντάνα καθηγητή στο

4ο ΓΕΛ Καρδίτσας και τον Αιmicroίλιο Βλάστο καθηγητή στο Μουσικό

Σχολείο Καρδίτσας)

Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) 2g x ƒ x x= minus [ ]x 01isin

Είναι ( )g 0 0= και ( ) 1g 1

2= minus

Επίσης ( ) ( )g x ƒ x 2xprime prime= minus άρα ( ) ( )g 0 ƒ 0 0prime prime= gt

Οπότε από τον ορισmicroό της παραγώγου της g στο 0 από τα δεξιά

παίρνουmicroε

( ) ( ) ( )x 0 x 0

g x g 0 g xlim lim 0

x 0 x+ +rarr rarr

minus= gt

minus

Και επειδή x 0gt θα είναι και ( )g x 0gt κοντά στο 0 από τα δεξιά

Άρα θα υπάρχει ( )k 01isin τέτοιο ώστε ( )g k 0gt

Έχουmicroε λοιπόν ( ) ( )g k g 1 0sdot lt και επειδή η συνάρτηση g είναι συνε-

χής στο [ ]k1 από το θεώρηmicroα του Bolzano θα υπάρχει

( ) ( )m k1 01isin sube τέτοιο ώστε ( )g m 0=

Τέλος καθώς στο διάστηmicroα [ ]0m η g ικανοποιεί τις υποθέσεις του

θεωρήmicroατος του Rolle θα υπάρχει ( ) ( )ξ 0 m 01isin sube τέτοιο ώστε

( )g ξ 0prime = ∆ηλαδή ( )ƒ ξ 2ξprime =

22

3ος

τρόπος λύσης

Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) 2g x ƒ x x= minus [ ]x 01isin

Είναι g(0) = 0 και ( ) 1g 1

2= minus

Επίσης ( ) ( )g x ƒ x 2xprime prime= minus άρα ( ) ( )g 0 f 0 0prime prime= gt

Με εφαρmicroογή του θεωρήmicroατος Μέσης Τιmicroής για την g στα 1

02

και

11

2

βρίσκουmicroε ότι υπάρχουν 1

1x 0

2

isin

και 2

1x 1

2

isin

τέτοια

ώστε

( )1

1 1f

2 4g x

1

2

minus prime = και ( )2

1 1 1f

2 2 4g x

1

2

minus minus minus prime =

Και επειδή ( ) ( )1 2g x g x 1prime prime+ = minus προφανώς ένα τουλάχιστον από τα

( ) ( )1 2g x g xprime prime θα είναι υποχρεωτικά αρνητικό

Έστω λοιπόν ότι είναι ( )1g x 0prime lt

Τότε καθώς η gprime είναι συνεχής στο [ ]10 x και ( ) ( )1g 0 g x 0prime primesdot lt από

το θεώρηmicroα του Bolzano βρίσκουmicroε ότι θα υπάρχει ένα τουλάχιστον

( ) ( )1ξ 0 x 01isin sube τέτοιο ώστε ( )g ξ 0prime = ∆ηλαδή ( )ƒ ξ 2ξprime =

4ος

τρόπος λύσης (προτάθηκε από τον Σεραφείmicro Σαmicroορέλη καθηγητή στο

8ο ΓΕΛ Τρικάλων)

Έστω η συνάρτηση w(x) ƒ (x) 2xprime= minus microε [ )x 01isin για την οποία ι-

σχυριζόmicroαστε ότι w(x) 0ne στο [ )01

Επειδή στο διάστηmicroα [ )01 η συνάρτηση w είναι συνεχής microε

w(x) 0ne προκύπτει ότι η w διατηρεί σταθερό πρόσηmicroο στο [ )01

23

Είναι w(0) ƒ (0) 2 0 ƒ (0) 0prime prime= minus sdot = gt άρα w(x) 0gt για κάθε [ )x 01isin

οπότε και ƒ (x) 2xprime gt για κάθε [ )x 01isin (1)

Με εφαρmicroογή του ΘΜΤ για την ƒ στα διαστήmicroατα 1

02

και 1

12

προκύπτει ότι θα υπάρχουν 1

1x 0

2

isin

και 2

1x 1

2

isin

τέτοια ώστε

1

1ƒ ƒ(0)

2ƒ (x )

1

2

minus prime = και

( )2

1ƒ 1 ƒ

2ƒ (x )

1

2

minus prime =

Με πρόσθεση κατά microέλη παίρνουmicroε

1 2

1 1 1ƒ ƒ(0) ƒ(1) ƒ2 2 2ƒ (x ) ƒ (x ) 1

1 1

2 2

minus + minus prime prime+ = = = (2)

Όmicroως από τη σχέση (1) έχουmicroε 1 1

2 2

ƒ (x ) 2x

ƒ (x ) 2x

prime gt

prime gt και microε πρόσθεση κατά

microέλη παίρνουmicroε

( )2

1 2 1 2 1 2 1 2

1ƒ (x ) ƒ (x ) 2x 2x 1 2x 2x x x

2prime prime+ gt + hArr gt + hArr + lt

που είναι άτοπο καθώς 1

2

10 x

2

1x 1

2

lt lt lt lt

Εποmicroένως o ισχυρισmicroός ότι στο [ )01 είναι w(x) 0ne δεν ευσταθεί

Οπότε θα υπάρχει ( )ξ 01isin τέτοιο ώστε w(ξ) 0 ƒ (ξ) 2ξprime= hArr = (το ξ

αυτό δεν microπορεί να είναι ίσο microε 0 αφού w(0) 0gt )

24

Μια πρόταση

Έστω f και g δυο συναρτήσεις συνεχείς στο διάστηmicroα [ ]αβ για τις

οποίες ισχύει ( ) ( )f x g xgt για κάθε [ ]x αβisin

Υπάρχει πάντοτε θετικός r τέτοιος ώστε ( ) ( )f x g x rgt + για κάθε

[ ]x αβisin

Ένα ερώτηmicroα

Ποιος προβληmicroατισmicroός γεωmicroετρικής υφής θα microπορούσε να microας οδη-

γήσει στη διατύπωση της παραπάνω πρότασης

Απόδειξη της πρότασης

Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) ( )h x f x g x= minus [ ]x αβisin

Η h είναι συνεχής microε θετικές τιmicroές στο [ ]αβ οπότε θα παρουσιάζει

ελάχιστο έστω ίσο microε m mgt0

Άρα ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m mh x m f x g x m f x g x

2 2ge rArr minus ge gt rArr gt +

Οπότε ( ) ( )f x g x rgt + m

r2= microε ( )r 0misin

Σηmicroείωση

Τα παραδείγmicroατα microαθηmicroατικών που συmicroπεριέλαβα στο παρόν άρθρο ανα-

πτύχθηκαν και σε οmicroιλία microου στην Ελληνογαλλική Σχολή Καλαmicroαρί της

Θεσσαλονίκης (27 Φεβρουαρίου 2016) microε θέmicroα τα Ποιοτικά Χαρακτηριστι-

κά στη ∆ιδασκαλία των Μαθηmicroατικών Επίσης κάποια από αυτά χρησιmicroο-

ποιήθηκαν σε σεmicroινάριο ∆ιδακτικής Μαθηmicroατικών που ανέπτυξα στα Τρί-

καλα (5 και 12 Απριλίου 2016)

Αφιέρωση

Το άρθρο αυτό αφιερώνεται στη microνήmicroη του Νίκου Κλαουδάτου καθηγητή

microου κατά τα έτη 2000-2002 στο ΠΜΣ της ∆ιδακτικής και Μεθοδολογίας

των Μαθηmicroατικών στο Τmicroήmicroα Μαθηmicroατικών του ΕΚΠΑ

25

Βιβλιογραφικές αναφορές

Ξενόγλωσσες

[1] Cobb P Wood T Yackel E amp McNeal B (1992) Characteristics of clas-

room mathematics traditions An interactional analysis American Educa-

tional Research Journal 29 573-604

[2] Cobb P amp Steffe L P (1993) The constructivist researcher as the teacher

and model builder Journal for Research in Mathematics Education vol 14

pp 83-94

[3] Eisenberg T amp Dreyfus T On the reluctance to visualize in Mathematics in

Zimmerman W amp Cunnigham S (Eds) 1991 Visualization in teaching

and learning mathematics p 25-37 MAA notes no 19 Mathematical Asso-

ciation of America

[4] Vinner S Visual considerations in College Calculus ndash Students and Teach-

ers in Vermandel A amp Steiner Hans-Georg (Eds) 1988 Theory of mathe-

matics Educations (Proceeding of the third international conferens Andwerp

11-15 July 1988) p 109-116

[5] Year Book 2001 The Roles of Representation in School Mathematics Na-

tional Council of Teachers of Mathematics

Ελληνόγλωσσες

[6] Ανδρεαδάκης Σ Κατσαργύρης Β Μέτης Σ Μπρουχούτας Κ Παπα-

σταυρίδης Σ και Πολύζος Γ (2015) Μαθηmicroατικά Γ΄ Γενικού Λυκείου Οmicroά-

δας Προσανατολισmicroού Θετικών Σπουδών και Σποδών Οικονοmicroίας amp Πληρο-

φορικής Αθήνα ΙΕΠ amp ΙΤΥΕ ∆ιόφαντος

[7] Κατσαργύρης Β Μεντής Κ Παντελίδης Γ και Σουρλάς Κ (1994) Μα-

θηmicroατικά Γ΄ Λυκείου ndash Ανάλυση Αθήνα ΟΕ∆Β

[8] Κλαουδάτος Ν (2011) Σηmicroειώσεις ∆ιδακτικής Μαθηmicroατικών 1) Εισαγωγή

στη γνωσιακή θεωρία 2) Βασικές αρχές της θεωρίας Vygotsky Μεταπτυχιακό

Πρόγραmicromicroα Σπουδών ∆ιδακτικής και Μεθοδολογίας των Μαθηmicroατικών

Τmicroήmicroα Μαθηmicroατικών ΕΚΠΑ

[9] Κλαουδάτος Ν (2011) Σηmicroειώσεις ∆ιδακτικής Μαθηmicroατικών 1) ∆ιδασκαλία

και microάθηση των microαθηmicroατικών microε διαδικασίες επίλυσης προβληmicroάτων 2) Εισα-

γωγή στη Θεωρία της ∆ιδασκαλίας Μεταπτυχιακό Πρόγραmicromicroα Σπουδών ∆ιδα-

κτικής και Μεθοδολογίας των Μαθηmicroατικών Τmicroήmicroα Μαθηmicroατικών ΕΚΠΑ

26

[10] Μάκρας Στρ Γεωmicroετρική εποπτεία και απόδειξη άρθρο στο περιοδικό Ευ-

κλείδης Β΄ τχ 25 (Ιούλιος-Αύγουστος-Σεπτέmicroβριος 1997) σσ 11-17 Αθήνα

Έκδοση της ΕΜΕ

[11] Νεγρεπόντης Σ Γιωτόπουλος Σ amp Γιαννακούλιας Ε (2000) Απειροστικός

Λογισmicroός τόmicroος IIα Αθήνα Εκδόσεις Συmicromicroετρία

[12] Ντρίζος ∆ (2002) Πλεονεκτήmicroατα της γεωmicroετρικής αναπαράστασης των microα-

θηmicroατικών εννοιών Η απόδειξη του θεωρήmicroατος της Μέσης Τιmicroής του διαφο-

ρικού λογισmicroού για συναρτήσεις microιας ή δύο πραγmicroατικών microεταβλητών Ευκλεί-

δης Γ΄ τχ 77 (Ιούλιος-∆εκέmicroβριος 2012) σσ 31-45 Αθήνα Έκδοση της

ΕΜΕ

[13] Ντρίζος ∆ Τα βασικά θεωρήmicroατα του ∆ιαφορικού Λογισmicroού άρθρο στο περι-

οδικό Ευκλείδης Γ΄ τχ 70 (Ιανουάριος-Ιούνιος 2009) σσ 5-23 Αθήνα Έκδο-

ση της ΕΜΕ

[14] Ντρίζος ∆ ∆ιδακτική Αξιοποίηση Προβληmicroάτων Επαγωγικής Συλλογιστικής

στο Πλαίσιο Ανάπτυξης Ιδεών του G Polya άρθρο στο περιοδικό Ευκλείδης

Γ΄ τχ 73 (Ιούλιος-∆εκέmicroβριος 2010) σσ 29-48 Αθήνα Έκδοση της ΕΜΕ

[15] Polya G (2001) Η Μαθηmicroατική Ανακάλυψη τόmicroος 1 (microτφ Στεργιάκη Σπύ-

ρου) Αθήνα Εκδόσεις Κάτοπτρο

[16] Ρίζος Γ (2005) Οι περιπέτειες του Προβλήmicroατος στα σχολικά Μαθηmicroατικά

Θεσσαλονίκη Εκδόσεις Μαθηmicroατική Βιβλιοθήκη

[17] Spivak Michael (1991) ∆ιαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισmicroός (microτφ Γιαν-

νόπουλου Απ) Ηράκλειο Πανεπιστηmicroιακές Εκδόσεις Κρήτης

8

τεξελιχθεί σε γνώση Κι αυτό γιατί ο νους έχει ανάγκη κάποιου χρόνου ώ-

στε αφού πρώτα επεξεργαστεί τις πληροφορίες να τις εντάξει έπειτα σε

ένα προϋπάρχον γνωστικό σχήmicroα ή αν χρειάζεται να δηmicroιουργήσει και κά-

ποιο καινούριο γνωστικό σχήmicroα

Πέρα όmicroως απrsquo όλα τα παραπάνω να τονίσουmicroε εδώ την αξία και τον

ρόλο του διδακτικού υλικού που θα χρησιmicroοποιήσουmicroε για να ldquoδουλέψειrdquo η

τάξη δηmicroιουργικά Το υλικό αυτό θα πρέπει να υποβοηθά στη σύνδεση των

νέων γνώσεων που θέλουmicroε να διδάξουmicroε microε άλλες προϋπάρχουσες γνώ-

σεις και παράλληλα τα ερωτήmicroατά microας να στοχεύουν στην ανέλιξη της

δηmicroιουργικής και κριτικής σκέψης των microαθητών

Επίσης να σηmicroειώσουmicroε microε ιδιαίτερη έmicroφαση ότι η επιτυχής αντιmicroε-

τώπιση ενός microαθηmicroατικού προβλήmicroατος προϋποθέτει την πνευmicroατική συ-

γκέντρωση του microαθητή πάνω στα ερωτήmicroατα που συγκροτούν το πρόβλη-

microα Πειθαρχηmicroένη σκέψη αλλά και επιmicroονή ώστε αφού πρώτα κατανοήσει

σηmicroείο προς σηmicroείο όλες τις πληροφορίες που του δίνονται να αναζητήσει

έπειτα την κρίσιmicroη ιδέα που θα του επιτρέψει να ldquoξεκλειδώσειrdquo το πρόβλη-

microα Να δει προσεκτικά τη σχέση αυτής της ιδέας microε τις υποθέσεις και τα

συmicroπεράσmicroατα του προβλήmicroατος Να αναλύσει αυτές τις συνδέσεις κατά

τρόπο που θα του επιτρέψουν να κάνει και το επόmicroενο κρίσιmicroο βήmicroα Να

διατυπώσει τη λύση του προβλήmicroατος

2 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΩΝ ∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΩΝ ndash

Η ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΗΣ ΓΝΩΣΗΣ ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ

ΜΙΑΣ ldquo∆ΙΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗΣrdquo ΤΑΞΗΣ

Ξεκινώντας από την κοινά αποδεκτή θέση ότι κάθε διδασκαλία πρέπει να

στοχεύει στην ουσιαστική κατάκτηση των γνώσεων από τους microαθητές microας

κρίνουmicroε σκόπιmicroο να αναφερθούmicroε σε ορισmicroένες προϋποθέσεις που πιστεύ-

ουmicroε ότι ευνοούν microια διδασκαλία των microαθηmicroατικών microε έmicroφαση στην ανά-

πτυξη ερευνητικών δραστηριοτήτων Και ως πρώτη προϋπόθεση θεωρούmicroε

9

την ενσυνείδητη εmicroπλοκή του microαθητή στις διαδικασίες της microάθησης Είναι

απαραίτητο πρώτα απrsquo όλα να πεισθεί ο microαθητής ότι η εν λόγω γνώση τον

ενδιαφέρει και η προσωπική του συmicromicroετοχή σrsquo αυτήν τη διαδικασία microετράει

και έχει νόηmicroα ότι έτσι συmicroβάλλει κι αυτός microε τον δικό του τρόπο στην κα-

τασκευή και διαmicroόρφωση της νέας γνώσης και δεν είναι απλά ένας παθητι-

κός δέκτης ασύνδετων κατά κανόνα πληροφοριών Με αυτές τις προϋπο-

θέσεις δηmicroιουργείται microια τάξη στην οποία οι microαθητές συmicromicroετέχουν στην

αναζήτηση και επινόηση της γνώσης Και ο ρόλος εδώ του διδάσκοντα εί-

ναι κυρίως αυτός του εmicroπνευστή του καθοδηγητή και του καλού συντονι-

στή που υποβάλλει στην κατάλληλη στιγmicroή εύστοχες ερωτήσεις οι οποίες

προωθούν διαδικασίες έρευνας και γόνιmicroου προβληmicroατισmicroού Μια τάξη

στην οποία ο διδάσκων θέτει προβλήmicroατα προς λύση και συγχρόνως λει-

τουργεί διευκολυντικά στη διαπραγmicroάτευσή τους δηmicroιουργεί microια διερευνη-

τική τάξη microαθηmicroατικών (βλ [1])

Σε τέτοιες τάξεις microαθηmicroατικών οι microαθητές στην πορεία διαπραγmicroά-

τευσης κάποιου προβλήmicroατος οδηγούνται σταδιακά υπό την καθοδήγηση

του διδάσκοντα από τη microελέτη επιmicroέρους περιπτώσεων στη διατύπωση ε-

πεκτάσεων και γενικεύσεων microια ικανότητα η οποία σχετίζεται microε τη microαθη-

microατική ανακάλυψη την επινόηση δηλαδή των κρίσιmicroων ιδεών που microάς δεί-

χνουν το δρόmicroο για τη λύση Σ΄ αυτήν τη δηmicroιουργική πορεία και καθώς ο

microαθητής αναζητά επίmicroονα τη λύση κάποιου προβλήmicroατος σηmicroαντικό ρόλο

παίζει και η διαίσθηση που βασίζεται κυρίως στην εποπτεία (κατά τον

Richard Courant η έλλειψη της εξάρτησης των αποδείξεων από τη διαί-

σθηση οδηγεί σε microαθηmicroατική ατροφία)

Με τις παραπάνω σκέψεις επιχειρούmicroε να διευκρινίσουmicroε τις παιδευ-

τικές προθέσεις microιας διερευνητικής τάξης microαθηmicroατικών και παράλληλα να

αναπτύξουmicroε περαιτέρω το διδακτικό σχήmicroα του G Polya για ένα περιβάλ-

λον διερευνητικής διδασκαλίας και microάθησης όπου οι microαθητές για την επί-

λυση ενός προβλήmicroατος

(α) πειραmicroατίζονται και παρατηρούν στο πλαίσιο της επαγωγικής συλλογι-

στικής αντιmicroετωπίζουν δηλαδή πρώτα-πρώτα επιmicroέρους περιπτώσεις

του προβλήmicroατος (ειδικεύσεις)

10

(β) εντοπίζουν microια ιδιότητα ή microια κατάσταση που συνήθως εmicroφανίζεται σε

όλες τις επιmicroέρους περιπτώσεις που εξέτασαν

(γ) διατυπώνουν εικασίες (βλ [9] σελ 57)

(δ) επινοούν ένα σχέδιο για τη microαθηmicroατική απόδειξη των εικασιών το ο-

ποίο στη συνέχεια τροποποιούν όσες φορές απαιτηθεί έως ότου κατα-

λήξουν στο επιθυmicroητό αποτέλεσmicroα

(ε) ελέγχουν αν τα αποδεικτικά βήmicroατα που ακολούθησαν καθώς και το

συmicroπέρασmicroα στο οποίο κατέληξαν είναι απολύτως συνεπή προς όλες

τις υποθέσεις του προβλήmicroατος και

(στ) προσπαθούν να δούν το υπό microελέτη πρόβληmicroα ως ειδίκευση ενός γενι-

κού προβλήmicroατος και ακολούθως να microελετήσουν αυτό το γενικό

πρόβληmicroα

Έχουmicroε τη γνώmicroη ότι ο διάλογος που θα αναπτυχθεί microε έναυσmicroα την

αναζήτηση απαντήσεων σε ερωτήmicroατα τέτοιων δραστηριοτήτων θα συmicro-

βάλλει ώστε να αναδειχθούν και εmicroπεδωθούν ιδέες και πρακτικές που βαθ-

microιαία βελτιώνουν τη microαθηmicroατική ικανότητα η οποία είναι τελικά και το

ποιοτικό ζητούmicroενο της microαθηmicroατικής εκπαίδευσης

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ

Το παρόν άρθρο συmicroπληρώνεται microε επιλεγmicroένα παραδείγmicroατα η διαπραγ-

microάτευση των οποίων υποστηρίζει τη συmicroβολή της γεωmicroετρικής εποπτείας

στη διδασκαλία των microαθηmicroατικών στο Λύκειο και αναδεικνύει τη δυναmicroική

τους στην ερmicroηνεία πραγmicroατικών καταστάσεων

11

Ενδεικτικά παραδείγmicroατα για διαπραγmicroάτευση στη σχολική τάξη

1 Από την εποπτεία και τη διαίσθηση στη microαθηmicroατική τακτοποίηση

της έννοιας της απόλυτης τιmicroής πραγmicroατικού αριθmicroού

Παράδειγmicroα 1

Σε έναν άξονα x xprime να θεωρήσετε τα σηmicroεία ( )A 1 και ( )B 5

α) Να βρείτε αν υπάρχουν και πόσα σηmicroεία ( )M x πάνω στον x xprime τέ-

τοια ώστε

i) MA MB 4+ =

ii) MA MB 1+ =

iii) MA MB 8+ =

β) Χρησιmicroοποιώντας το σύmicroβολο της απόλυτης τιmicroής ν α γράψετε τις γε-

ωmicroετρικές ισότητες i) ii) και iii) microε microορφή εξίσωσης και στη συνέχεια

να βρείτε τις ρίζες των εξισώσεων αυτών

Παράδειγmicroα 2

Σε έναν άξονα x xprime να πάρετε δύο οποιαδήποτε σηmicroεία ( )Α α και ( )Β β

και έπειτα να προσδιορίσετε γεωmicroετρικά τα σηmicroεία του άξονα στα οποία

αντιστοιχούν οι αριθmicroοί α ββ αminus minus και α β+

2 Μια ενότητα θεmicroάτων Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας που αναδεικνύουν

την ιδέα των διαδοχικών γενικεύσεων

21 Θεωρούmicroε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓκαι σηmicroείο Μ που κινείται στην υπο-

τείνουσα ΒΓ Από το Μ φέρνουmicroε τα κάθετα τmicroήmicroατα ΜΚ και ΜΛ

προς τις πλευρές ΑΒ και ΑΓαντίστοιχα Να προσδιορίσετε τη θέση του

Μ στη ΒΓ ώστε το microήκος το τmicroήmicroατος ΚΛ να γίνεται ελάχιστο

22 Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓκαι σηmicroείο Μ που κινείται στην πλευρά ΒΓ

Από το Μ φέρνουmicroε τα κάθετα τmicroήmicroατα ΜΚ και ΜΛ προς τις πλευρές

12

ΑΒ και ΑΓαντίστοιχα Να προσδιορίσετε τη θέση του Μ στη ΒΓ ώστε

το microήκος το τmicroήmicroατος ΚΛ να γίνεται ελάχιστο

23 Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓκαι σηmicroείο M που κινείται στην πλευρά ΒΓ

Φέρνουmicroε τα τmicroήmicroατα ΜΚ και ΜΛ όπου Κ σηmicroείο της πλευράς ΑΒ

και Λ σηmicroείο της πλευράς ΑΓτέτοια ώστε ΒΚΜ ΜΛΓ ω= = όπου ω

γωνία microε το ίδιο σταθερό microέτρο για οποιαδήποτε θέση του Μ Να προσδι-

ορίσετε τη θέση του Μ στη ΒΓ ώστε το microήκος το τmicroήmicroατος ΚΛ να γί-

νεται ελάχιστο

Σχόλιο

Τα επιmicroέρους θέmicroατα 21 22 και 23 της παραπάνω ενότητας θεmicroάτων Ευ-

κλείδειας Γεωmicroετρίας προτείνονται για διαπραγmicroάτευση στην τάξη στο πλαίσιο

microιας ερευνητικής δραστηριότητας που αναδεικνύει την ιδέα της γενίκευσης προ-

βλήmicroατος microε διαδοχικές microεταβολές των υποθέσεων διατηρώντας το ίδιο ζητούmicroε-

νο Εκτιmicroούmicroε ότι ανάλογες δραστηριότητες ndashυπό κατάλληλες βέβαια διδακτικές

προϋποθέσειςndash microπορούν εν δυνάmicroει να συmicroβάλλουν στην ανάπτυξη της δηmicroι-

ουργικής microαθηmicroατικής σκέψης

3 Παραδείγmicroατα που αναδεικνύουν τη φυσική ερmicroηνεία του θεωρή-

microατος του Rolle και του ΘΜΤ του Lagrange

31 Ας υποθέσουmicroε ότι microια συνάρτηση V(t) microετράει τον όγκο του αέρα

που βρίσκεται στους πνεύmicroονες ενός ανθρώπου ως προς το χρόνο t

κατά τη διάρκεια microιας αναπνοής

Υποθέτουmicroε ότι

α) η V είναι συνεχής και περιγράφεται από microια οmicroαλή καmicroπύλη

(γραφική παράσταση παραγωγίσιmicroης συνάρτησης)

β) η V(t) παίρνει την ίδια τιmicroή (περίπου 4 λίτρα) στο τέλος κάθε εισ-

πνοής

Ερώτηση Υπάρχει χρονική στιγmicroή κατά τη διάρκεια microιας αναπνοής

όπου microηδενίζεται ο ρυθmicroός microεταβολής του όγκου του αέρα που βρί-

σκεται στους πνεύmicroονες του ανθρώπου

13

32 Πετάmicroε κατακόρυφα προς τα πάνω microια microπάλα και την ξαναπιάνουmicroε

στο ίδιο ύψος από το οποίο την πετάξαmicroε

α) Να κάνετε πρόχειρα τη γραφική παράσταση της συνάρτησης θέσης

της microπάλας ως προς το χρόνο t

β) Υπάρχει χρονική στιγmicroή t1 που η ταχύτητα της microπάλας microηδενίζεται

Ποια είναι η κλίση (της εφαπτοmicroένης) της γραφικής παράστασης

της συνάρτησης θέσης στο σηmicroείο microε τετmicroηmicroένη t1

33 ∆ύο αυτοκίνητα είναι σταmicroατηmicroένα σrsquo ένα φανάρι το ένα δίπλα στο

άλλο Όταν το φανάρι ανάβει πράσινο ξεκινούν αλλά αναγκάζονται

και τα δύο να σταmicroατήσουν στο επόmicroενο φανάρι Έτσι βρίσκονται και

τα δύο σταmicroατηmicroένα πάλι το ένα δίπλα στο άλλο Υπάρχει χρονική

στιγmicroή κατά την οποία τα δύο αυτοκίνητα έτρεχαν microε την ίδια ταχύτη-

τα

34 Ένας σκιέρ κατεβαίνει microια πλαγιά ξεκινώντας από ένα σηmicroείο Α και

καταλήγοντας σε ένα σηmicroείο Β Υπάρχει περίπτωση ο σκιέρ να απο-

φύγει την κλίση του ευθ τmicroήmicroατος ΑΒ

35 Ο οδηγός ενός Jeep σκοπεύει από το σηmicroείο Α να φτάσει στο Β Η

πλαγιά ΑΒ ορίζεται από την καmicroπύλη ( )y ƒ x= και το Jeep microπορεί να

αναρριχηθεί σε κλίσεις έως 25 Ο οδηγός θα πετύχει το σκοπό του

Α

Β

15

0 m

05 Km

14

36 Ένα σωmicroατίδιο κινείται πάνω στον άξονα των τετmicroηmicroένων (των t)

Χρόνος t σε sec Θέση x(t) σε m

0 2

2 4

5 7

Ο πίνακας δείχνει τη θέση του σωmicroατιδίου σε τρεις χρονικές στιγmicroές

α) Να βρείτε η microέση ταχύτητα του σωmicroατιδίου στο χρονικό διάστηmicroα

[0 5]

β) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον χρονικές στιγmicroές

κατά τις οποίες η στιγmicroιαία ταχύτητα του σωmicroατιδίου είναι ίση microε

τη microέση ταχύτητα στο διάστηmicroα [0 5]

γ) Να εξετάσετε αν υπάρχει microία τουλάχιστον χρονική στιγmicroή κατά

την οποία η επιτάχυνση του σωmicroατιδίου microηδενίζεται

(βλ [13] σελ 11-12)

Θέmicroατα Ανάλυσης που αναδεικνύουν το ρόλο της γεωmicroετρικής εποπτείας

Παράδειγmicroα 1

Έστω κύκλος microε κέντρο ( )0Κ α 0α ne και ακτίνα ρ Αν f είναι microια

παραγωγίσιmicroη συνάρτηση τέτοια ώστε ( ) ( ) 0f α ρ f α ρminus = + = και η

γραφική της παράσταση έχει microε τον κύκλο ακόmicroη ένα τουλάχιστον

κοινό σηmicroείο να αποδείξετε ότι υπάρχουν ( )1 2 ξ ξ α ρ α ρisin minus + microε

( ) ( )1 21f ξ f ξprime primesdot = minus

Παράδειγmicroα 2

Μία συνάρτηση ƒ είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο Υπάρχει

περίπτωση η γραφική της παράσταση να microην τέmicroνει τον φορέα της διχοτό-

microου της πρώτης ορθής γωνίας των αξόνων Να αποδείξετε την εικασία σας

15

Παράδειγmicroα 3

Μια συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο ενώ

microια άλλη συνάρτηση g είναι συνεχής στο και τέτοια ώστε

( )limx

g xrarrminusinfin

= minusinfin και ( )limx

g xrarr+infin

= +infin

Να εξετάσετε αν οι γραφικές παραστάσεις των f και g τέmicroνονται

Παράδειγmicroα 4

Αν microια συνάρτηση ƒ είναι δύο φορές παραγωγίσιmicroη στο [α β] microε την

ιδιότητα ƒ(α) + ƒ(β) = α β

2 ƒ2

+ sdot

τότε υπάρχει ξisin(α β) τέτοιο ώ-

στε ( )ƒ ξ 0primeprime =

Σχόλιο

Το παράδειγmicroα 4 το συmicroπεριλάβαmicroε στο παρόν άρθρο όχι για να πα-

ρουσιάσουmicroε τη συνήθη τυπική του απόδειξη αλλά για να αναδείξουmicroε το

γεωmicroετρικό υπόβαθρο που βρίσκεται πίσω από τις συmicroβολικά διατυπωmicroένες

microαθηmicroατικές σχέσεις

xα βξ1

y

ξ2

Α

Μ

Γ Β

Λ(β ƒ(β))

ε1

ε2

Cƒ

α + β

2

Κ(α ƒα))

Ο

Μια ανάλυση των υποθέσεων

Η υπόθεση ƒ(α) + ƒ(β) = α β

2 ƒ2

+ sdot

γράφεται

16

[ ]1 α βƒ(α) ƒ(β) ƒ

2 2

+ + =

(1)

Το 1ο microέλος της υπόθεσης (1) είναι η τεταγmicroένη του microέσου Μ του

τmicroήmicroατος ΚΛ ενώ το 2ο microέλος είναι η εικόνα microέσω της ƒ του microέσου

του διαστήmicroατος [α β] Η πρώτη απλούστατη γεωmicroετρική ερmicroηνεία της

υπόθεσης (1) είναι ότι η γραφική παράσταση της ƒ τέmicroνει το τmicroήmicroα

ΚΛ στο microέσο του Μ

Επίσης το τετράπλευρο ΚΑΒΛ είναι (γενικά) τραπέζιο microε βάσεις

ΚΑ = ƒ(α) ΛΒ = ƒ(β) και διάmicroεσο την ΜΓ = α β

ƒ2

+

Η υπόθεση (1) σε γεωmicroετρική γλώσσα γράφεται

ΚΑ ΚΒΜΓ

2

+=

σχέση η οποία από την Ευκλείδεια Γεωmicroετρία συνδέει το microήκος της

διαmicroέσου του τραπεζίου ΚΑΒΛ microε τα microήκη των βάσεών του

Το γεγονός ότι η ƒ είναι δύο φορές παραγωγίσιmicroη άρα και microία φορά

microας δηλώνει ότι η γραφική παράσταση της ƒ είναι microια οmicroαλή κα-

microπύλη η οποία δέχεται εφαπτοmicroένη (όχι κατακόρυφη) σε κάθε σηmicroείο

της

Προσέγγιση θεωρητικής τεκmicroηρίωσης

Από τη διαίσθησή microας που βρίσκεται σε πλήρη αρmicroονία microε το Θεώ-

ρηmicroα Μέσης Τιmicroής του ∆ιαφορικού Λογισmicroού υπάρχουν οι εφαπτό-

microενες ευθείες ε1 και ε2 της Cƒ παράλληλες προς την ΚΛ microε συντελε-

στές διεύθυνσης αντίστοιχα ƒ΄(ξ1) και ƒ΄(ξ2)

ƒ΄(ξ1) = λΚΜ ξ1isinα β

α2

+

Είναι

ƒ΄(ξ2) = λΜΛ ξ2isinα β

β2

+

Όmicroως λΚΜ = λΜΛ οπότε ƒ΄(ξ1) = ƒ΄(ξ2) και microε απλή εφαρmicroογή του Θε-

17

ωρήmicroατος του Rolle για τη συνάρτηση ƒ΄ στο [ξ1 ξ2] παίρνουmicroε το

ζητούmicroενο ƒ΄΄(ξ) = 0 όπου ξisin(ξ1 ξ2)

Προβληmicroατισmicroός

Θα microπορούσαmicroε να καταλήξουmicroε στην ƒ΄(ξ1) = ƒ΄(ξ2) στηριζόmicroενοι

στο γεγονός ότι το ΚΑΒΛ είναι τραπέζιο

xξ1

y

ξ2Α

Μ

Γ Β

Λ

Κω

ω

Μ΄

Λ΄

Ο

1 ΚΜ

2 ΜΛ

ΜΜ΄ ΜΓ ΚΑƒ (ξ ) λ εφω (2)

ΚΜ΄ ΑΓΈχουmicroε

ΛΛ΄ ΛΒ ΜΓƒ (ξ ) λ εφω (3)

ΜΛ΄ ΓΒ

minusprime = = = =

minusprime = = = =

Τα τελευταία κλάσmicroατα των (2) και (3) είναι ίσα γιατί ΑΓ = ΓΒ και

ΜΓ ndash ΚΑ = ΛΒ ndash ΜΓ λόγω της σχέσης της διαmicroέσου ΜΓ του τρα-

πεζίου ΚΑΒΛ microε τις βάσεις του ΚΑ και ΛΒ Οπότε ƒ΄(ξ1) = ƒ΄(ξ2)

Η γεωmicroετρική ερmicroηνεία του παραπάνω θέmicroατος microάς επιτρέπει να δια-

τυπώσουmicroε την επόmicroενη γενίκευση

18

Μια γενίκευση διατυπωmicroένη εποπτικά

Έστω συνάρτηση ƒ δύο φορές παραγωγίσιmicroη στο [α β] και τα ση-

microεία Κ(α ƒ(α)) και Λ(β ƒ(β))

Αν το τmicroήmicroα ΚΛ και η γραφική παράσταση της ƒ τέmicroνονται τότε

υπάρχει ξisin(α β) τέτοιο ώστε ƒ΄΄(ξ) = 0

Η ιδέα για τη γενίκευση διατυπωmicroένη στη γλώσσα της Ανάλυσης

Αν στο παραπάνω παράδειγmicroα 4 ονοmicroάζαmicroε γ την τετmicroηmicroένη τού microέ-

σου Γ του ευθυγράmicromicroου τmicroήmicroατος ΑΒ τότε είναι γ α

1β γ

minus=

minus οπότε

α βΓ 0

2

+

Και αν παίρναmicroε το Γ(γ0) στο εσωτερικό του ΑΒ ώστε γ α κ

β γ λ

minus=

minus τό-

τε microε απλές πράξεις θα βρίσκαmicroε λα κβ

Γ 0κ λ

+ +

Η γενίκευση

Αν microια συνάρτηση f είναι δυο φορές παραγωγίσιmicroη στο διάστηmicroα

[ ]αβ microε την ιδιότητα ( ) ( ) ( ) λα κβλf α κf β κ λ f

κ λ

+ + = + +

όπου λα κβ

α βκ λ

+lt lt+

και κλ θετικοί ακέραιοι τότε υπάρχει

( )ξ αβisin τέτοιο ώστε ( )f ξ 0primeprime =

Παράδειγmicroα 5

Έστω συνάρτηση ƒ παραγωγίσιmicroη στο [0 1] microε συνεχή παράγωγο

για την οποία ισχύουν

( )ƒ 0 0= ( ) 1ƒ 1

2= και ( )ƒ 0 0prime gt

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ( )ξ 01isin τέτοιο ώστε ( )ƒ ξ 2ξprime =

19

Σχόλιο

Το παράδειγmicroα 5 το συζητήσαmicroε σε Εργαστήριο Εφαρmicroοσmicroένης ∆ι-

δακτικής των Μαθηmicroατικών (∆ Ντρίζος Ιανουάριος 2016 Καρδίτσα) για

να αναδείξουmicroε την παιδευτική αξία της αναζήτησης πολλών τρόπων λύσης

ενός microαθηmicroατικού ερωτήmicroατος)

1ος

τρόπος λύσης (του ∆ Ντρίζου)

Αρκεί να αποδείξουmicroε ότι η εξίσωση ( )( )2ƒ x x 0primeminus = έχει microία τουλά-

χιστον ρίζα στο διάστηmicroα ( )01 Και αυτό θα microπορούσε να προκύψει

microε εφαρmicroογή του θ του Rolle στη συνάρτηση ( ) ( ) 2g x ƒ x x= minus

[ ]x 01isin

Είναι ( )g 0 0= και ( ) ( ) 2 1 1g 1 ƒ 1 1 1

2 2= minus = minus = minus δηλαδή ( )g 1 0lt

Σχέδιο προσέγγισης του θέmicroατος

Επειδή ( )g 0 0= το ζητούmicroενο θα προέκυπτε microε εφαρmicroογή του θ του

Rolle για την g αν αποδεικνύαmicroε ότι υπάρχει αριθmicroός ( )α 01isin για

τον οποίο ( )g α 0=

Με βάση αυτή την ιδέα και παίρνοντας υπόψη ότι ( )g 1 0lt αναρω-

τιόmicroαστε microήπως θα microπορούσαmicroε να έχουmicroε κάποιο ( )β 01isin ώστε

( )g β 0gt οπότε microε εφαρmicroογή του θ του Bolzano στο διάστηmicroα [ ]β1

θα εξασφαλίζαmicroε την ύπαρξη αριθmicroού ( )α β1isin τέτοιου ώστε

( )g α 0=

Εφαρmicroογή του σχεδίου

Ισχυριζόmicroαστε ότι δεν υπάρχει κάποιο ( )β 01isin ώστε ( )g β 0gt Ισο-

δύναmicroα ότι για κάθε ( )x 01isin ισχύει ( )g x 0le

20

bull Στην περίπτωση που για κάποιο ( )x 01isin ισχύει ( )g x 0= τότε

καθώς έχουmicroε και ( )g 0 0= το ζητούmicroενο προκύπτει microε εφαρmicroογή

του θ Rolle

bull Ας εξετάσουmicroε τώρα τον ισχυρισmicroό ( )g x 0lt για κάθε ( )x 01isin

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

x 0 x 0

ƒ xg x 0 ƒ x x x

x

ƒ x ƒ 0lim lim x ƒ 0 0

x 0+ +rarr rarr

lt rArr lt rArr lt rArr

minusprimerArr lt rArr le

minus

που είναι άτοπο λόγω υπόθεσης Άρα υπάρχει κάποιο ( )β 01isin ώστε

( )g β 0gt

Με εφαρmicroογή του θ του Bolzano στο [ ]β1 παίρνουmicroε ότι υπάρχει

( )α β1isin τέτοιο ώστε ( )g α 0=

Και τέλος microε εφαρmicroογή του θ του Rolle για την g στο διάστηmicroα

[ ]0α παίρνουmicroε ότι υπάρχει ( ) ( )ξ 0α 01isin sube τέτοιο ώστε

( )g ξ 0prime = οπότε ( )ƒ ξ 2ξprime =

Σχόλια ndash Έλεγχος υποθέσεων

1 Στην παραπάνω λύση η υπόθεση ότι η ƒprime είναι συνεχής δεν microάς

χρειάστηκε

2 Η υπόθεση ( ) 1ƒ 1

2= θα microπορούσε να δίνεται γενικά ως ( )ƒ 1 θ= microε

θ 1lt

3 Ως ζητούmicroενο θα microπορούσαmicroε να έχουmicroε υπάρχει ( )ξ 01isin ώστε

( ) ν 1ƒ ξ νξ minusprime =

21

Μια γενίκευση

Έστω microια συνάρτηση ƒ παραγωγίσιmicroη στο [ ]01 για την οποία ισχύ-

ουν

( )f 0 0= ( )ƒ 1 θ 1= lt και ( )ƒ 0 0prime gt

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ( )ξ 01isin τέτοιο ώστε ( ) ν 1ƒ ξ νξ minusprime =

2ος

τρόπος λύσης (προτάθηκε από τον Θανάση Καραντάνα καθηγητή στο

4ο ΓΕΛ Καρδίτσας και τον Αιmicroίλιο Βλάστο καθηγητή στο Μουσικό

Σχολείο Καρδίτσας)

Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) 2g x ƒ x x= minus [ ]x 01isin

Είναι ( )g 0 0= και ( ) 1g 1

2= minus

Επίσης ( ) ( )g x ƒ x 2xprime prime= minus άρα ( ) ( )g 0 ƒ 0 0prime prime= gt

Οπότε από τον ορισmicroό της παραγώγου της g στο 0 από τα δεξιά

παίρνουmicroε

( ) ( ) ( )x 0 x 0

g x g 0 g xlim lim 0

x 0 x+ +rarr rarr

minus= gt

minus

Και επειδή x 0gt θα είναι και ( )g x 0gt κοντά στο 0 από τα δεξιά

Άρα θα υπάρχει ( )k 01isin τέτοιο ώστε ( )g k 0gt

Έχουmicroε λοιπόν ( ) ( )g k g 1 0sdot lt και επειδή η συνάρτηση g είναι συνε-

χής στο [ ]k1 από το θεώρηmicroα του Bolzano θα υπάρχει

( ) ( )m k1 01isin sube τέτοιο ώστε ( )g m 0=

Τέλος καθώς στο διάστηmicroα [ ]0m η g ικανοποιεί τις υποθέσεις του

θεωρήmicroατος του Rolle θα υπάρχει ( ) ( )ξ 0 m 01isin sube τέτοιο ώστε

( )g ξ 0prime = ∆ηλαδή ( )ƒ ξ 2ξprime =

22

3ος

τρόπος λύσης

Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) 2g x ƒ x x= minus [ ]x 01isin

Είναι g(0) = 0 και ( ) 1g 1

2= minus

Επίσης ( ) ( )g x ƒ x 2xprime prime= minus άρα ( ) ( )g 0 f 0 0prime prime= gt

Με εφαρmicroογή του θεωρήmicroατος Μέσης Τιmicroής για την g στα 1

02

και

11

2

βρίσκουmicroε ότι υπάρχουν 1

1x 0

2

isin

και 2

1x 1

2

isin

τέτοια

ώστε

( )1

1 1f

2 4g x

1

2

minus prime = και ( )2

1 1 1f

2 2 4g x

1

2

minus minus minus prime =

Και επειδή ( ) ( )1 2g x g x 1prime prime+ = minus προφανώς ένα τουλάχιστον από τα

( ) ( )1 2g x g xprime prime θα είναι υποχρεωτικά αρνητικό

Έστω λοιπόν ότι είναι ( )1g x 0prime lt

Τότε καθώς η gprime είναι συνεχής στο [ ]10 x και ( ) ( )1g 0 g x 0prime primesdot lt από

το θεώρηmicroα του Bolzano βρίσκουmicroε ότι θα υπάρχει ένα τουλάχιστον

( ) ( )1ξ 0 x 01isin sube τέτοιο ώστε ( )g ξ 0prime = ∆ηλαδή ( )ƒ ξ 2ξprime =

4ος

τρόπος λύσης (προτάθηκε από τον Σεραφείmicro Σαmicroορέλη καθηγητή στο

8ο ΓΕΛ Τρικάλων)

Έστω η συνάρτηση w(x) ƒ (x) 2xprime= minus microε [ )x 01isin για την οποία ι-

σχυριζόmicroαστε ότι w(x) 0ne στο [ )01

Επειδή στο διάστηmicroα [ )01 η συνάρτηση w είναι συνεχής microε

w(x) 0ne προκύπτει ότι η w διατηρεί σταθερό πρόσηmicroο στο [ )01

23

Είναι w(0) ƒ (0) 2 0 ƒ (0) 0prime prime= minus sdot = gt άρα w(x) 0gt για κάθε [ )x 01isin

οπότε και ƒ (x) 2xprime gt για κάθε [ )x 01isin (1)

Με εφαρmicroογή του ΘΜΤ για την ƒ στα διαστήmicroατα 1

02

και 1

12

προκύπτει ότι θα υπάρχουν 1

1x 0

2

isin

και 2

1x 1

2

isin

τέτοια ώστε

1

1ƒ ƒ(0)

2ƒ (x )

1

2

minus prime = και

( )2

1ƒ 1 ƒ

2ƒ (x )

1

2

minus prime =

Με πρόσθεση κατά microέλη παίρνουmicroε

1 2

1 1 1ƒ ƒ(0) ƒ(1) ƒ2 2 2ƒ (x ) ƒ (x ) 1

1 1

2 2

minus + minus prime prime+ = = = (2)

Όmicroως από τη σχέση (1) έχουmicroε 1 1

2 2

ƒ (x ) 2x

ƒ (x ) 2x

prime gt

prime gt και microε πρόσθεση κατά

microέλη παίρνουmicroε

( )2

1 2 1 2 1 2 1 2

1ƒ (x ) ƒ (x ) 2x 2x 1 2x 2x x x

2prime prime+ gt + hArr gt + hArr + lt

που είναι άτοπο καθώς 1

2

10 x

2

1x 1

2

lt lt lt lt

Εποmicroένως o ισχυρισmicroός ότι στο [ )01 είναι w(x) 0ne δεν ευσταθεί

Οπότε θα υπάρχει ( )ξ 01isin τέτοιο ώστε w(ξ) 0 ƒ (ξ) 2ξprime= hArr = (το ξ

αυτό δεν microπορεί να είναι ίσο microε 0 αφού w(0) 0gt )

24

Μια πρόταση

Έστω f και g δυο συναρτήσεις συνεχείς στο διάστηmicroα [ ]αβ για τις

οποίες ισχύει ( ) ( )f x g xgt για κάθε [ ]x αβisin

Υπάρχει πάντοτε θετικός r τέτοιος ώστε ( ) ( )f x g x rgt + για κάθε

[ ]x αβisin

Ένα ερώτηmicroα

Ποιος προβληmicroατισmicroός γεωmicroετρικής υφής θα microπορούσε να microας οδη-

γήσει στη διατύπωση της παραπάνω πρότασης

Απόδειξη της πρότασης

Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) ( )h x f x g x= minus [ ]x αβisin

Η h είναι συνεχής microε θετικές τιmicroές στο [ ]αβ οπότε θα παρουσιάζει

ελάχιστο έστω ίσο microε m mgt0

Άρα ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m mh x m f x g x m f x g x

2 2ge rArr minus ge gt rArr gt +

Οπότε ( ) ( )f x g x rgt + m

r2= microε ( )r 0misin

Σηmicroείωση

Τα παραδείγmicroατα microαθηmicroατικών που συmicroπεριέλαβα στο παρόν άρθρο ανα-

πτύχθηκαν και σε οmicroιλία microου στην Ελληνογαλλική Σχολή Καλαmicroαρί της

Θεσσαλονίκης (27 Φεβρουαρίου 2016) microε θέmicroα τα Ποιοτικά Χαρακτηριστι-

κά στη ∆ιδασκαλία των Μαθηmicroατικών Επίσης κάποια από αυτά χρησιmicroο-

ποιήθηκαν σε σεmicroινάριο ∆ιδακτικής Μαθηmicroατικών που ανέπτυξα στα Τρί-

καλα (5 και 12 Απριλίου 2016)

Αφιέρωση

Το άρθρο αυτό αφιερώνεται στη microνήmicroη του Νίκου Κλαουδάτου καθηγητή

microου κατά τα έτη 2000-2002 στο ΠΜΣ της ∆ιδακτικής και Μεθοδολογίας

των Μαθηmicroατικών στο Τmicroήmicroα Μαθηmicroατικών του ΕΚΠΑ

25

Βιβλιογραφικές αναφορές

Ξενόγλωσσες

[1] Cobb P Wood T Yackel E amp McNeal B (1992) Characteristics of clas-

room mathematics traditions An interactional analysis American Educa-

tional Research Journal 29 573-604

[2] Cobb P amp Steffe L P (1993) The constructivist researcher as the teacher

and model builder Journal for Research in Mathematics Education vol 14

pp 83-94

[3] Eisenberg T amp Dreyfus T On the reluctance to visualize in Mathematics in

Zimmerman W amp Cunnigham S (Eds) 1991 Visualization in teaching

and learning mathematics p 25-37 MAA notes no 19 Mathematical Asso-

ciation of America

[4] Vinner S Visual considerations in College Calculus ndash Students and Teach-

ers in Vermandel A amp Steiner Hans-Georg (Eds) 1988 Theory of mathe-

matics Educations (Proceeding of the third international conferens Andwerp

11-15 July 1988) p 109-116

[5] Year Book 2001 The Roles of Representation in School Mathematics Na-

tional Council of Teachers of Mathematics

Ελληνόγλωσσες

[6] Ανδρεαδάκης Σ Κατσαργύρης Β Μέτης Σ Μπρουχούτας Κ Παπα-

σταυρίδης Σ και Πολύζος Γ (2015) Μαθηmicroατικά Γ΄ Γενικού Λυκείου Οmicroά-

δας Προσανατολισmicroού Θετικών Σπουδών και Σποδών Οικονοmicroίας amp Πληρο-

φορικής Αθήνα ΙΕΠ amp ΙΤΥΕ ∆ιόφαντος

[7] Κατσαργύρης Β Μεντής Κ Παντελίδης Γ και Σουρλάς Κ (1994) Μα-

θηmicroατικά Γ΄ Λυκείου ndash Ανάλυση Αθήνα ΟΕ∆Β

[8] Κλαουδάτος Ν (2011) Σηmicroειώσεις ∆ιδακτικής Μαθηmicroατικών 1) Εισαγωγή

στη γνωσιακή θεωρία 2) Βασικές αρχές της θεωρίας Vygotsky Μεταπτυχιακό

Πρόγραmicromicroα Σπουδών ∆ιδακτικής και Μεθοδολογίας των Μαθηmicroατικών

Τmicroήmicroα Μαθηmicroατικών ΕΚΠΑ

[9] Κλαουδάτος Ν (2011) Σηmicroειώσεις ∆ιδακτικής Μαθηmicroατικών 1) ∆ιδασκαλία

και microάθηση των microαθηmicroατικών microε διαδικασίες επίλυσης προβληmicroάτων 2) Εισα-

γωγή στη Θεωρία της ∆ιδασκαλίας Μεταπτυχιακό Πρόγραmicromicroα Σπουδών ∆ιδα-

κτικής και Μεθοδολογίας των Μαθηmicroατικών Τmicroήmicroα Μαθηmicroατικών ΕΚΠΑ

26

[10] Μάκρας Στρ Γεωmicroετρική εποπτεία και απόδειξη άρθρο στο περιοδικό Ευ-

κλείδης Β΄ τχ 25 (Ιούλιος-Αύγουστος-Σεπτέmicroβριος 1997) σσ 11-17 Αθήνα

Έκδοση της ΕΜΕ

[11] Νεγρεπόντης Σ Γιωτόπουλος Σ amp Γιαννακούλιας Ε (2000) Απειροστικός

Λογισmicroός τόmicroος IIα Αθήνα Εκδόσεις Συmicromicroετρία

[12] Ντρίζος ∆ (2002) Πλεονεκτήmicroατα της γεωmicroετρικής αναπαράστασης των microα-

θηmicroατικών εννοιών Η απόδειξη του θεωρήmicroατος της Μέσης Τιmicroής του διαφο-

ρικού λογισmicroού για συναρτήσεις microιας ή δύο πραγmicroατικών microεταβλητών Ευκλεί-

δης Γ΄ τχ 77 (Ιούλιος-∆εκέmicroβριος 2012) σσ 31-45 Αθήνα Έκδοση της

ΕΜΕ

[13] Ντρίζος ∆ Τα βασικά θεωρήmicroατα του ∆ιαφορικού Λογισmicroού άρθρο στο περι-

οδικό Ευκλείδης Γ΄ τχ 70 (Ιανουάριος-Ιούνιος 2009) σσ 5-23 Αθήνα Έκδο-

ση της ΕΜΕ

[14] Ντρίζος ∆ ∆ιδακτική Αξιοποίηση Προβληmicroάτων Επαγωγικής Συλλογιστικής

στο Πλαίσιο Ανάπτυξης Ιδεών του G Polya άρθρο στο περιοδικό Ευκλείδης

Γ΄ τχ 73 (Ιούλιος-∆εκέmicroβριος 2010) σσ 29-48 Αθήνα Έκδοση της ΕΜΕ

[15] Polya G (2001) Η Μαθηmicroατική Ανακάλυψη τόmicroος 1 (microτφ Στεργιάκη Σπύ-

ρου) Αθήνα Εκδόσεις Κάτοπτρο

[16] Ρίζος Γ (2005) Οι περιπέτειες του Προβλήmicroατος στα σχολικά Μαθηmicroατικά

Θεσσαλονίκη Εκδόσεις Μαθηmicroατική Βιβλιοθήκη

[17] Spivak Michael (1991) ∆ιαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισmicroός (microτφ Γιαν-

νόπουλου Απ) Ηράκλειο Πανεπιστηmicroιακές Εκδόσεις Κρήτης

9

την ενσυνείδητη εmicroπλοκή του microαθητή στις διαδικασίες της microάθησης Είναι

απαραίτητο πρώτα απrsquo όλα να πεισθεί ο microαθητής ότι η εν λόγω γνώση τον

ενδιαφέρει και η προσωπική του συmicromicroετοχή σrsquo αυτήν τη διαδικασία microετράει

και έχει νόηmicroα ότι έτσι συmicroβάλλει κι αυτός microε τον δικό του τρόπο στην κα-

τασκευή και διαmicroόρφωση της νέας γνώσης και δεν είναι απλά ένας παθητι-

κός δέκτης ασύνδετων κατά κανόνα πληροφοριών Με αυτές τις προϋπο-

θέσεις δηmicroιουργείται microια τάξη στην οποία οι microαθητές συmicromicroετέχουν στην

αναζήτηση και επινόηση της γνώσης Και ο ρόλος εδώ του διδάσκοντα εί-

ναι κυρίως αυτός του εmicroπνευστή του καθοδηγητή και του καλού συντονι-

στή που υποβάλλει στην κατάλληλη στιγmicroή εύστοχες ερωτήσεις οι οποίες

προωθούν διαδικασίες έρευνας και γόνιmicroου προβληmicroατισmicroού Μια τάξη

στην οποία ο διδάσκων θέτει προβλήmicroατα προς λύση και συγχρόνως λει-

τουργεί διευκολυντικά στη διαπραγmicroάτευσή τους δηmicroιουργεί microια διερευνη-

τική τάξη microαθηmicroατικών (βλ [1])

Σε τέτοιες τάξεις microαθηmicroατικών οι microαθητές στην πορεία διαπραγmicroά-

τευσης κάποιου προβλήmicroατος οδηγούνται σταδιακά υπό την καθοδήγηση

του διδάσκοντα από τη microελέτη επιmicroέρους περιπτώσεων στη διατύπωση ε-

πεκτάσεων και γενικεύσεων microια ικανότητα η οποία σχετίζεται microε τη microαθη-

microατική ανακάλυψη την επινόηση δηλαδή των κρίσιmicroων ιδεών που microάς δεί-

χνουν το δρόmicroο για τη λύση Σ΄ αυτήν τη δηmicroιουργική πορεία και καθώς ο

microαθητής αναζητά επίmicroονα τη λύση κάποιου προβλήmicroατος σηmicroαντικό ρόλο

παίζει και η διαίσθηση που βασίζεται κυρίως στην εποπτεία (κατά τον

Richard Courant η έλλειψη της εξάρτησης των αποδείξεων από τη διαί-

σθηση οδηγεί σε microαθηmicroατική ατροφία)

Με τις παραπάνω σκέψεις επιχειρούmicroε να διευκρινίσουmicroε τις παιδευ-

τικές προθέσεις microιας διερευνητικής τάξης microαθηmicroατικών και παράλληλα να

αναπτύξουmicroε περαιτέρω το διδακτικό σχήmicroα του G Polya για ένα περιβάλ-

λον διερευνητικής διδασκαλίας και microάθησης όπου οι microαθητές για την επί-

λυση ενός προβλήmicroατος

(α) πειραmicroατίζονται και παρατηρούν στο πλαίσιο της επαγωγικής συλλογι-

στικής αντιmicroετωπίζουν δηλαδή πρώτα-πρώτα επιmicroέρους περιπτώσεις

του προβλήmicroατος (ειδικεύσεις)

10

(β) εντοπίζουν microια ιδιότητα ή microια κατάσταση που συνήθως εmicroφανίζεται σε

όλες τις επιmicroέρους περιπτώσεις που εξέτασαν

(γ) διατυπώνουν εικασίες (βλ [9] σελ 57)

(δ) επινοούν ένα σχέδιο για τη microαθηmicroατική απόδειξη των εικασιών το ο-

ποίο στη συνέχεια τροποποιούν όσες φορές απαιτηθεί έως ότου κατα-

λήξουν στο επιθυmicroητό αποτέλεσmicroα

(ε) ελέγχουν αν τα αποδεικτικά βήmicroατα που ακολούθησαν καθώς και το

συmicroπέρασmicroα στο οποίο κατέληξαν είναι απολύτως συνεπή προς όλες

τις υποθέσεις του προβλήmicroατος και

(στ) προσπαθούν να δούν το υπό microελέτη πρόβληmicroα ως ειδίκευση ενός γενι-

κού προβλήmicroατος και ακολούθως να microελετήσουν αυτό το γενικό

πρόβληmicroα

Έχουmicroε τη γνώmicroη ότι ο διάλογος που θα αναπτυχθεί microε έναυσmicroα την

αναζήτηση απαντήσεων σε ερωτήmicroατα τέτοιων δραστηριοτήτων θα συmicro-

βάλλει ώστε να αναδειχθούν και εmicroπεδωθούν ιδέες και πρακτικές που βαθ-

microιαία βελτιώνουν τη microαθηmicroατική ικανότητα η οποία είναι τελικά και το

ποιοτικό ζητούmicroενο της microαθηmicroατικής εκπαίδευσης

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ

Το παρόν άρθρο συmicroπληρώνεται microε επιλεγmicroένα παραδείγmicroατα η διαπραγ-

microάτευση των οποίων υποστηρίζει τη συmicroβολή της γεωmicroετρικής εποπτείας

στη διδασκαλία των microαθηmicroατικών στο Λύκειο και αναδεικνύει τη δυναmicroική

τους στην ερmicroηνεία πραγmicroατικών καταστάσεων

11

Ενδεικτικά παραδείγmicroατα για διαπραγmicroάτευση στη σχολική τάξη

1 Από την εποπτεία και τη διαίσθηση στη microαθηmicroατική τακτοποίηση

της έννοιας της απόλυτης τιmicroής πραγmicroατικού αριθmicroού

Παράδειγmicroα 1

Σε έναν άξονα x xprime να θεωρήσετε τα σηmicroεία ( )A 1 και ( )B 5

α) Να βρείτε αν υπάρχουν και πόσα σηmicroεία ( )M x πάνω στον x xprime τέ-

τοια ώστε

i) MA MB 4+ =

ii) MA MB 1+ =

iii) MA MB 8+ =

β) Χρησιmicroοποιώντας το σύmicroβολο της απόλυτης τιmicroής ν α γράψετε τις γε-

ωmicroετρικές ισότητες i) ii) και iii) microε microορφή εξίσωσης και στη συνέχεια

να βρείτε τις ρίζες των εξισώσεων αυτών

Παράδειγmicroα 2

Σε έναν άξονα x xprime να πάρετε δύο οποιαδήποτε σηmicroεία ( )Α α και ( )Β β

και έπειτα να προσδιορίσετε γεωmicroετρικά τα σηmicroεία του άξονα στα οποία

αντιστοιχούν οι αριθmicroοί α ββ αminus minus και α β+

2 Μια ενότητα θεmicroάτων Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας που αναδεικνύουν

την ιδέα των διαδοχικών γενικεύσεων

21 Θεωρούmicroε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓκαι σηmicroείο Μ που κινείται στην υπο-

τείνουσα ΒΓ Από το Μ φέρνουmicroε τα κάθετα τmicroήmicroατα ΜΚ και ΜΛ

προς τις πλευρές ΑΒ και ΑΓαντίστοιχα Να προσδιορίσετε τη θέση του

Μ στη ΒΓ ώστε το microήκος το τmicroήmicroατος ΚΛ να γίνεται ελάχιστο

22 Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓκαι σηmicroείο Μ που κινείται στην πλευρά ΒΓ

Από το Μ φέρνουmicroε τα κάθετα τmicroήmicroατα ΜΚ και ΜΛ προς τις πλευρές

12

ΑΒ και ΑΓαντίστοιχα Να προσδιορίσετε τη θέση του Μ στη ΒΓ ώστε

το microήκος το τmicroήmicroατος ΚΛ να γίνεται ελάχιστο

23 Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓκαι σηmicroείο M που κινείται στην πλευρά ΒΓ

Φέρνουmicroε τα τmicroήmicroατα ΜΚ και ΜΛ όπου Κ σηmicroείο της πλευράς ΑΒ

και Λ σηmicroείο της πλευράς ΑΓτέτοια ώστε ΒΚΜ ΜΛΓ ω= = όπου ω

γωνία microε το ίδιο σταθερό microέτρο για οποιαδήποτε θέση του Μ Να προσδι-

ορίσετε τη θέση του Μ στη ΒΓ ώστε το microήκος το τmicroήmicroατος ΚΛ να γί-

νεται ελάχιστο

Σχόλιο

Τα επιmicroέρους θέmicroατα 21 22 και 23 της παραπάνω ενότητας θεmicroάτων Ευ-

κλείδειας Γεωmicroετρίας προτείνονται για διαπραγmicroάτευση στην τάξη στο πλαίσιο

microιας ερευνητικής δραστηριότητας που αναδεικνύει την ιδέα της γενίκευσης προ-

βλήmicroατος microε διαδοχικές microεταβολές των υποθέσεων διατηρώντας το ίδιο ζητούmicroε-

νο Εκτιmicroούmicroε ότι ανάλογες δραστηριότητες ndashυπό κατάλληλες βέβαια διδακτικές

προϋποθέσειςndash microπορούν εν δυνάmicroει να συmicroβάλλουν στην ανάπτυξη της δηmicroι-

ουργικής microαθηmicroατικής σκέψης

3 Παραδείγmicroατα που αναδεικνύουν τη φυσική ερmicroηνεία του θεωρή-

microατος του Rolle και του ΘΜΤ του Lagrange

31 Ας υποθέσουmicroε ότι microια συνάρτηση V(t) microετράει τον όγκο του αέρα

που βρίσκεται στους πνεύmicroονες ενός ανθρώπου ως προς το χρόνο t

κατά τη διάρκεια microιας αναπνοής

Υποθέτουmicroε ότι

α) η V είναι συνεχής και περιγράφεται από microια οmicroαλή καmicroπύλη

(γραφική παράσταση παραγωγίσιmicroης συνάρτησης)

β) η V(t) παίρνει την ίδια τιmicroή (περίπου 4 λίτρα) στο τέλος κάθε εισ-

πνοής

Ερώτηση Υπάρχει χρονική στιγmicroή κατά τη διάρκεια microιας αναπνοής

όπου microηδενίζεται ο ρυθmicroός microεταβολής του όγκου του αέρα που βρί-

σκεται στους πνεύmicroονες του ανθρώπου

13

32 Πετάmicroε κατακόρυφα προς τα πάνω microια microπάλα και την ξαναπιάνουmicroε

στο ίδιο ύψος από το οποίο την πετάξαmicroε

α) Να κάνετε πρόχειρα τη γραφική παράσταση της συνάρτησης θέσης

της microπάλας ως προς το χρόνο t

β) Υπάρχει χρονική στιγmicroή t1 που η ταχύτητα της microπάλας microηδενίζεται

Ποια είναι η κλίση (της εφαπτοmicroένης) της γραφικής παράστασης

της συνάρτησης θέσης στο σηmicroείο microε τετmicroηmicroένη t1

33 ∆ύο αυτοκίνητα είναι σταmicroατηmicroένα σrsquo ένα φανάρι το ένα δίπλα στο

άλλο Όταν το φανάρι ανάβει πράσινο ξεκινούν αλλά αναγκάζονται

και τα δύο να σταmicroατήσουν στο επόmicroενο φανάρι Έτσι βρίσκονται και

τα δύο σταmicroατηmicroένα πάλι το ένα δίπλα στο άλλο Υπάρχει χρονική

στιγmicroή κατά την οποία τα δύο αυτοκίνητα έτρεχαν microε την ίδια ταχύτη-

τα

34 Ένας σκιέρ κατεβαίνει microια πλαγιά ξεκινώντας από ένα σηmicroείο Α και

καταλήγοντας σε ένα σηmicroείο Β Υπάρχει περίπτωση ο σκιέρ να απο-

φύγει την κλίση του ευθ τmicroήmicroατος ΑΒ

35 Ο οδηγός ενός Jeep σκοπεύει από το σηmicroείο Α να φτάσει στο Β Η

πλαγιά ΑΒ ορίζεται από την καmicroπύλη ( )y ƒ x= και το Jeep microπορεί να

αναρριχηθεί σε κλίσεις έως 25 Ο οδηγός θα πετύχει το σκοπό του

Α

Β

15

0 m

05 Km

14

36 Ένα σωmicroατίδιο κινείται πάνω στον άξονα των τετmicroηmicroένων (των t)

Χρόνος t σε sec Θέση x(t) σε m

0 2

2 4

5 7

Ο πίνακας δείχνει τη θέση του σωmicroατιδίου σε τρεις χρονικές στιγmicroές

α) Να βρείτε η microέση ταχύτητα του σωmicroατιδίου στο χρονικό διάστηmicroα

[0 5]

β) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον χρονικές στιγmicroές

κατά τις οποίες η στιγmicroιαία ταχύτητα του σωmicroατιδίου είναι ίση microε

τη microέση ταχύτητα στο διάστηmicroα [0 5]

γ) Να εξετάσετε αν υπάρχει microία τουλάχιστον χρονική στιγmicroή κατά

την οποία η επιτάχυνση του σωmicroατιδίου microηδενίζεται

(βλ [13] σελ 11-12)

Θέmicroατα Ανάλυσης που αναδεικνύουν το ρόλο της γεωmicroετρικής εποπτείας

Παράδειγmicroα 1

Έστω κύκλος microε κέντρο ( )0Κ α 0α ne και ακτίνα ρ Αν f είναι microια

παραγωγίσιmicroη συνάρτηση τέτοια ώστε ( ) ( ) 0f α ρ f α ρminus = + = και η

γραφική της παράσταση έχει microε τον κύκλο ακόmicroη ένα τουλάχιστον

κοινό σηmicroείο να αποδείξετε ότι υπάρχουν ( )1 2 ξ ξ α ρ α ρisin minus + microε

( ) ( )1 21f ξ f ξprime primesdot = minus

Παράδειγmicroα 2

Μία συνάρτηση ƒ είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο Υπάρχει

περίπτωση η γραφική της παράσταση να microην τέmicroνει τον φορέα της διχοτό-

microου της πρώτης ορθής γωνίας των αξόνων Να αποδείξετε την εικασία σας

15

Παράδειγmicroα 3

Μια συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο ενώ

microια άλλη συνάρτηση g είναι συνεχής στο και τέτοια ώστε

( )limx

g xrarrminusinfin

= minusinfin και ( )limx

g xrarr+infin

= +infin

Να εξετάσετε αν οι γραφικές παραστάσεις των f και g τέmicroνονται

Παράδειγmicroα 4

Αν microια συνάρτηση ƒ είναι δύο φορές παραγωγίσιmicroη στο [α β] microε την

ιδιότητα ƒ(α) + ƒ(β) = α β

2 ƒ2

+ sdot

τότε υπάρχει ξisin(α β) τέτοιο ώ-

στε ( )ƒ ξ 0primeprime =

Σχόλιο

Το παράδειγmicroα 4 το συmicroπεριλάβαmicroε στο παρόν άρθρο όχι για να πα-

ρουσιάσουmicroε τη συνήθη τυπική του απόδειξη αλλά για να αναδείξουmicroε το

γεωmicroετρικό υπόβαθρο που βρίσκεται πίσω από τις συmicroβολικά διατυπωmicroένες

microαθηmicroατικές σχέσεις

xα βξ1

y

ξ2

Α

Μ

Γ Β

Λ(β ƒ(β))

ε1

ε2

Cƒ

α + β

2

Κ(α ƒα))

Ο

Μια ανάλυση των υποθέσεων

Η υπόθεση ƒ(α) + ƒ(β) = α β

2 ƒ2

+ sdot

γράφεται

16

[ ]1 α βƒ(α) ƒ(β) ƒ

2 2

+ + =

(1)

Το 1ο microέλος της υπόθεσης (1) είναι η τεταγmicroένη του microέσου Μ του

τmicroήmicroατος ΚΛ ενώ το 2ο microέλος είναι η εικόνα microέσω της ƒ του microέσου

του διαστήmicroατος [α β] Η πρώτη απλούστατη γεωmicroετρική ερmicroηνεία της

υπόθεσης (1) είναι ότι η γραφική παράσταση της ƒ τέmicroνει το τmicroήmicroα

ΚΛ στο microέσο του Μ

Επίσης το τετράπλευρο ΚΑΒΛ είναι (γενικά) τραπέζιο microε βάσεις

ΚΑ = ƒ(α) ΛΒ = ƒ(β) και διάmicroεσο την ΜΓ = α β

ƒ2

+

Η υπόθεση (1) σε γεωmicroετρική γλώσσα γράφεται

ΚΑ ΚΒΜΓ

2

+=

σχέση η οποία από την Ευκλείδεια Γεωmicroετρία συνδέει το microήκος της

διαmicroέσου του τραπεζίου ΚΑΒΛ microε τα microήκη των βάσεών του

Το γεγονός ότι η ƒ είναι δύο φορές παραγωγίσιmicroη άρα και microία φορά

microας δηλώνει ότι η γραφική παράσταση της ƒ είναι microια οmicroαλή κα-

microπύλη η οποία δέχεται εφαπτοmicroένη (όχι κατακόρυφη) σε κάθε σηmicroείο

της

Προσέγγιση θεωρητικής τεκmicroηρίωσης

Από τη διαίσθησή microας που βρίσκεται σε πλήρη αρmicroονία microε το Θεώ-

ρηmicroα Μέσης Τιmicroής του ∆ιαφορικού Λογισmicroού υπάρχουν οι εφαπτό-

microενες ευθείες ε1 και ε2 της Cƒ παράλληλες προς την ΚΛ microε συντελε-

στές διεύθυνσης αντίστοιχα ƒ΄(ξ1) και ƒ΄(ξ2)

ƒ΄(ξ1) = λΚΜ ξ1isinα β

α2

+

Είναι

ƒ΄(ξ2) = λΜΛ ξ2isinα β

β2

+

Όmicroως λΚΜ = λΜΛ οπότε ƒ΄(ξ1) = ƒ΄(ξ2) και microε απλή εφαρmicroογή του Θε-

17

ωρήmicroατος του Rolle για τη συνάρτηση ƒ΄ στο [ξ1 ξ2] παίρνουmicroε το

ζητούmicroενο ƒ΄΄(ξ) = 0 όπου ξisin(ξ1 ξ2)

Προβληmicroατισmicroός

Θα microπορούσαmicroε να καταλήξουmicroε στην ƒ΄(ξ1) = ƒ΄(ξ2) στηριζόmicroενοι

στο γεγονός ότι το ΚΑΒΛ είναι τραπέζιο

xξ1

y

ξ2Α

Μ

Γ Β

Λ

Κω

ω

Μ΄

Λ΄

Ο

1 ΚΜ

2 ΜΛ

ΜΜ΄ ΜΓ ΚΑƒ (ξ ) λ εφω (2)

ΚΜ΄ ΑΓΈχουmicroε

ΛΛ΄ ΛΒ ΜΓƒ (ξ ) λ εφω (3)

ΜΛ΄ ΓΒ

minusprime = = = =

minusprime = = = =

Τα τελευταία κλάσmicroατα των (2) και (3) είναι ίσα γιατί ΑΓ = ΓΒ και

ΜΓ ndash ΚΑ = ΛΒ ndash ΜΓ λόγω της σχέσης της διαmicroέσου ΜΓ του τρα-

πεζίου ΚΑΒΛ microε τις βάσεις του ΚΑ και ΛΒ Οπότε ƒ΄(ξ1) = ƒ΄(ξ2)

Η γεωmicroετρική ερmicroηνεία του παραπάνω θέmicroατος microάς επιτρέπει να δια-

τυπώσουmicroε την επόmicroενη γενίκευση

18

Μια γενίκευση διατυπωmicroένη εποπτικά

Έστω συνάρτηση ƒ δύο φορές παραγωγίσιmicroη στο [α β] και τα ση-

microεία Κ(α ƒ(α)) και Λ(β ƒ(β))

Αν το τmicroήmicroα ΚΛ και η γραφική παράσταση της ƒ τέmicroνονται τότε

υπάρχει ξisin(α β) τέτοιο ώστε ƒ΄΄(ξ) = 0

Η ιδέα για τη γενίκευση διατυπωmicroένη στη γλώσσα της Ανάλυσης

Αν στο παραπάνω παράδειγmicroα 4 ονοmicroάζαmicroε γ την τετmicroηmicroένη τού microέ-

σου Γ του ευθυγράmicromicroου τmicroήmicroατος ΑΒ τότε είναι γ α

1β γ

minus=

minus οπότε

α βΓ 0

2

+

Και αν παίρναmicroε το Γ(γ0) στο εσωτερικό του ΑΒ ώστε γ α κ

β γ λ

minus=

minus τό-

τε microε απλές πράξεις θα βρίσκαmicroε λα κβ

Γ 0κ λ

+ +

Η γενίκευση

Αν microια συνάρτηση f είναι δυο φορές παραγωγίσιmicroη στο διάστηmicroα

[ ]αβ microε την ιδιότητα ( ) ( ) ( ) λα κβλf α κf β κ λ f

κ λ

+ + = + +

όπου λα κβ

α βκ λ

+lt lt+

και κλ θετικοί ακέραιοι τότε υπάρχει

( )ξ αβisin τέτοιο ώστε ( )f ξ 0primeprime =

Παράδειγmicroα 5

Έστω συνάρτηση ƒ παραγωγίσιmicroη στο [0 1] microε συνεχή παράγωγο

για την οποία ισχύουν

( )ƒ 0 0= ( ) 1ƒ 1

2= και ( )ƒ 0 0prime gt

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ( )ξ 01isin τέτοιο ώστε ( )ƒ ξ 2ξprime =

19

Σχόλιο

Το παράδειγmicroα 5 το συζητήσαmicroε σε Εργαστήριο Εφαρmicroοσmicroένης ∆ι-

δακτικής των Μαθηmicroατικών (∆ Ντρίζος Ιανουάριος 2016 Καρδίτσα) για

να αναδείξουmicroε την παιδευτική αξία της αναζήτησης πολλών τρόπων λύσης

ενός microαθηmicroατικού ερωτήmicroατος)

1ος

τρόπος λύσης (του ∆ Ντρίζου)

Αρκεί να αποδείξουmicroε ότι η εξίσωση ( )( )2ƒ x x 0primeminus = έχει microία τουλά-

χιστον ρίζα στο διάστηmicroα ( )01 Και αυτό θα microπορούσε να προκύψει

microε εφαρmicroογή του θ του Rolle στη συνάρτηση ( ) ( ) 2g x ƒ x x= minus

[ ]x 01isin

Είναι ( )g 0 0= και ( ) ( ) 2 1 1g 1 ƒ 1 1 1

2 2= minus = minus = minus δηλαδή ( )g 1 0lt

Σχέδιο προσέγγισης του θέmicroατος

Επειδή ( )g 0 0= το ζητούmicroενο θα προέκυπτε microε εφαρmicroογή του θ του

Rolle για την g αν αποδεικνύαmicroε ότι υπάρχει αριθmicroός ( )α 01isin για

τον οποίο ( )g α 0=

Με βάση αυτή την ιδέα και παίρνοντας υπόψη ότι ( )g 1 0lt αναρω-

τιόmicroαστε microήπως θα microπορούσαmicroε να έχουmicroε κάποιο ( )β 01isin ώστε

( )g β 0gt οπότε microε εφαρmicroογή του θ του Bolzano στο διάστηmicroα [ ]β1

θα εξασφαλίζαmicroε την ύπαρξη αριθmicroού ( )α β1isin τέτοιου ώστε

( )g α 0=

Εφαρmicroογή του σχεδίου

Ισχυριζόmicroαστε ότι δεν υπάρχει κάποιο ( )β 01isin ώστε ( )g β 0gt Ισο-

δύναmicroα ότι για κάθε ( )x 01isin ισχύει ( )g x 0le

20

bull Στην περίπτωση που για κάποιο ( )x 01isin ισχύει ( )g x 0= τότε

καθώς έχουmicroε και ( )g 0 0= το ζητούmicroενο προκύπτει microε εφαρmicroογή

του θ Rolle

bull Ας εξετάσουmicroε τώρα τον ισχυρισmicroό ( )g x 0lt για κάθε ( )x 01isin

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

x 0 x 0

ƒ xg x 0 ƒ x x x

x

ƒ x ƒ 0lim lim x ƒ 0 0

x 0+ +rarr rarr

lt rArr lt rArr lt rArr

minusprimerArr lt rArr le

minus

που είναι άτοπο λόγω υπόθεσης Άρα υπάρχει κάποιο ( )β 01isin ώστε

( )g β 0gt

Με εφαρmicroογή του θ του Bolzano στο [ ]β1 παίρνουmicroε ότι υπάρχει

( )α β1isin τέτοιο ώστε ( )g α 0=

Και τέλος microε εφαρmicroογή του θ του Rolle για την g στο διάστηmicroα

[ ]0α παίρνουmicroε ότι υπάρχει ( ) ( )ξ 0α 01isin sube τέτοιο ώστε

( )g ξ 0prime = οπότε ( )ƒ ξ 2ξprime =

Σχόλια ndash Έλεγχος υποθέσεων

1 Στην παραπάνω λύση η υπόθεση ότι η ƒprime είναι συνεχής δεν microάς

χρειάστηκε

2 Η υπόθεση ( ) 1ƒ 1

2= θα microπορούσε να δίνεται γενικά ως ( )ƒ 1 θ= microε

θ 1lt

3 Ως ζητούmicroενο θα microπορούσαmicroε να έχουmicroε υπάρχει ( )ξ 01isin ώστε

( ) ν 1ƒ ξ νξ minusprime =

21

Μια γενίκευση

Έστω microια συνάρτηση ƒ παραγωγίσιmicroη στο [ ]01 για την οποία ισχύ-

ουν

( )f 0 0= ( )ƒ 1 θ 1= lt και ( )ƒ 0 0prime gt

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ( )ξ 01isin τέτοιο ώστε ( ) ν 1ƒ ξ νξ minusprime =

2ος

τρόπος λύσης (προτάθηκε από τον Θανάση Καραντάνα καθηγητή στο

4ο ΓΕΛ Καρδίτσας και τον Αιmicroίλιο Βλάστο καθηγητή στο Μουσικό

Σχολείο Καρδίτσας)

Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) 2g x ƒ x x= minus [ ]x 01isin

Είναι ( )g 0 0= και ( ) 1g 1

2= minus

Επίσης ( ) ( )g x ƒ x 2xprime prime= minus άρα ( ) ( )g 0 ƒ 0 0prime prime= gt

Οπότε από τον ορισmicroό της παραγώγου της g στο 0 από τα δεξιά

παίρνουmicroε

( ) ( ) ( )x 0 x 0

g x g 0 g xlim lim 0

x 0 x+ +rarr rarr

minus= gt

minus

Και επειδή x 0gt θα είναι και ( )g x 0gt κοντά στο 0 από τα δεξιά

Άρα θα υπάρχει ( )k 01isin τέτοιο ώστε ( )g k 0gt

Έχουmicroε λοιπόν ( ) ( )g k g 1 0sdot lt και επειδή η συνάρτηση g είναι συνε-

χής στο [ ]k1 από το θεώρηmicroα του Bolzano θα υπάρχει

( ) ( )m k1 01isin sube τέτοιο ώστε ( )g m 0=

Τέλος καθώς στο διάστηmicroα [ ]0m η g ικανοποιεί τις υποθέσεις του

θεωρήmicroατος του Rolle θα υπάρχει ( ) ( )ξ 0 m 01isin sube τέτοιο ώστε

( )g ξ 0prime = ∆ηλαδή ( )ƒ ξ 2ξprime =

22

3ος

τρόπος λύσης

Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) 2g x ƒ x x= minus [ ]x 01isin

Είναι g(0) = 0 και ( ) 1g 1

2= minus

Επίσης ( ) ( )g x ƒ x 2xprime prime= minus άρα ( ) ( )g 0 f 0 0prime prime= gt

Με εφαρmicroογή του θεωρήmicroατος Μέσης Τιmicroής για την g στα 1

02

και

11

2

βρίσκουmicroε ότι υπάρχουν 1

1x 0

2

isin

και 2

1x 1

2

isin

τέτοια

ώστε

( )1

1 1f

2 4g x

1

2

minus prime = και ( )2

1 1 1f

2 2 4g x

1

2

minus minus minus prime =

Και επειδή ( ) ( )1 2g x g x 1prime prime+ = minus προφανώς ένα τουλάχιστον από τα

( ) ( )1 2g x g xprime prime θα είναι υποχρεωτικά αρνητικό

Έστω λοιπόν ότι είναι ( )1g x 0prime lt

Τότε καθώς η gprime είναι συνεχής στο [ ]10 x και ( ) ( )1g 0 g x 0prime primesdot lt από

το θεώρηmicroα του Bolzano βρίσκουmicroε ότι θα υπάρχει ένα τουλάχιστον

( ) ( )1ξ 0 x 01isin sube τέτοιο ώστε ( )g ξ 0prime = ∆ηλαδή ( )ƒ ξ 2ξprime =

4ος

τρόπος λύσης (προτάθηκε από τον Σεραφείmicro Σαmicroορέλη καθηγητή στο

8ο ΓΕΛ Τρικάλων)

Έστω η συνάρτηση w(x) ƒ (x) 2xprime= minus microε [ )x 01isin για την οποία ι-

σχυριζόmicroαστε ότι w(x) 0ne στο [ )01

Επειδή στο διάστηmicroα [ )01 η συνάρτηση w είναι συνεχής microε

w(x) 0ne προκύπτει ότι η w διατηρεί σταθερό πρόσηmicroο στο [ )01

23

Είναι w(0) ƒ (0) 2 0 ƒ (0) 0prime prime= minus sdot = gt άρα w(x) 0gt για κάθε [ )x 01isin

οπότε και ƒ (x) 2xprime gt για κάθε [ )x 01isin (1)

Με εφαρmicroογή του ΘΜΤ για την ƒ στα διαστήmicroατα 1

02

και 1

12

προκύπτει ότι θα υπάρχουν 1

1x 0

2

isin

και 2

1x 1

2

isin

τέτοια ώστε

1

1ƒ ƒ(0)

2ƒ (x )

1

2

minus prime = και

( )2

1ƒ 1 ƒ

2ƒ (x )

1

2

minus prime =

Με πρόσθεση κατά microέλη παίρνουmicroε

1 2

1 1 1ƒ ƒ(0) ƒ(1) ƒ2 2 2ƒ (x ) ƒ (x ) 1

1 1

2 2

minus + minus prime prime+ = = = (2)

Όmicroως από τη σχέση (1) έχουmicroε 1 1

2 2

ƒ (x ) 2x

ƒ (x ) 2x

prime gt

prime gt και microε πρόσθεση κατά

microέλη παίρνουmicroε

( )2

1 2 1 2 1 2 1 2

1ƒ (x ) ƒ (x ) 2x 2x 1 2x 2x x x

2prime prime+ gt + hArr gt + hArr + lt

που είναι άτοπο καθώς 1

2

10 x

2

1x 1

2

lt lt lt lt

Εποmicroένως o ισχυρισmicroός ότι στο [ )01 είναι w(x) 0ne δεν ευσταθεί

Οπότε θα υπάρχει ( )ξ 01isin τέτοιο ώστε w(ξ) 0 ƒ (ξ) 2ξprime= hArr = (το ξ

αυτό δεν microπορεί να είναι ίσο microε 0 αφού w(0) 0gt )

24

Μια πρόταση

Έστω f και g δυο συναρτήσεις συνεχείς στο διάστηmicroα [ ]αβ για τις

οποίες ισχύει ( ) ( )f x g xgt για κάθε [ ]x αβisin

Υπάρχει πάντοτε θετικός r τέτοιος ώστε ( ) ( )f x g x rgt + για κάθε

[ ]x αβisin

Ένα ερώτηmicroα

Ποιος προβληmicroατισmicroός γεωmicroετρικής υφής θα microπορούσε να microας οδη-

γήσει στη διατύπωση της παραπάνω πρότασης

Απόδειξη της πρότασης

Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) ( )h x f x g x= minus [ ]x αβisin

Η h είναι συνεχής microε θετικές τιmicroές στο [ ]αβ οπότε θα παρουσιάζει

ελάχιστο έστω ίσο microε m mgt0

Άρα ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m mh x m f x g x m f x g x

2 2ge rArr minus ge gt rArr gt +

Οπότε ( ) ( )f x g x rgt + m

r2= microε ( )r 0misin

Σηmicroείωση

Τα παραδείγmicroατα microαθηmicroατικών που συmicroπεριέλαβα στο παρόν άρθρο ανα-

πτύχθηκαν και σε οmicroιλία microου στην Ελληνογαλλική Σχολή Καλαmicroαρί της

Θεσσαλονίκης (27 Φεβρουαρίου 2016) microε θέmicroα τα Ποιοτικά Χαρακτηριστι-

κά στη ∆ιδασκαλία των Μαθηmicroατικών Επίσης κάποια από αυτά χρησιmicroο-

ποιήθηκαν σε σεmicroινάριο ∆ιδακτικής Μαθηmicroατικών που ανέπτυξα στα Τρί-

καλα (5 και 12 Απριλίου 2016)

Αφιέρωση

Το άρθρο αυτό αφιερώνεται στη microνήmicroη του Νίκου Κλαουδάτου καθηγητή

microου κατά τα έτη 2000-2002 στο ΠΜΣ της ∆ιδακτικής και Μεθοδολογίας

των Μαθηmicroατικών στο Τmicroήmicroα Μαθηmicroατικών του ΕΚΠΑ

25

Βιβλιογραφικές αναφορές

Ξενόγλωσσες

[1] Cobb P Wood T Yackel E amp McNeal B (1992) Characteristics of clas-

room mathematics traditions An interactional analysis American Educa-

tional Research Journal 29 573-604

[2] Cobb P amp Steffe L P (1993) The constructivist researcher as the teacher

and model builder Journal for Research in Mathematics Education vol 14

pp 83-94

[3] Eisenberg T amp Dreyfus T On the reluctance to visualize in Mathematics in

Zimmerman W amp Cunnigham S (Eds) 1991 Visualization in teaching

and learning mathematics p 25-37 MAA notes no 19 Mathematical Asso-

ciation of America

[4] Vinner S Visual considerations in College Calculus ndash Students and Teach-

ers in Vermandel A amp Steiner Hans-Georg (Eds) 1988 Theory of mathe-

matics Educations (Proceeding of the third international conferens Andwerp

11-15 July 1988) p 109-116

[5] Year Book 2001 The Roles of Representation in School Mathematics Na-

tional Council of Teachers of Mathematics

Ελληνόγλωσσες

[6] Ανδρεαδάκης Σ Κατσαργύρης Β Μέτης Σ Μπρουχούτας Κ Παπα-

σταυρίδης Σ και Πολύζος Γ (2015) Μαθηmicroατικά Γ΄ Γενικού Λυκείου Οmicroά-

δας Προσανατολισmicroού Θετικών Σπουδών και Σποδών Οικονοmicroίας amp Πληρο-

φορικής Αθήνα ΙΕΠ amp ΙΤΥΕ ∆ιόφαντος

[7] Κατσαργύρης Β Μεντής Κ Παντελίδης Γ και Σουρλάς Κ (1994) Μα-

θηmicroατικά Γ΄ Λυκείου ndash Ανάλυση Αθήνα ΟΕ∆Β

[8] Κλαουδάτος Ν (2011) Σηmicroειώσεις ∆ιδακτικής Μαθηmicroατικών 1) Εισαγωγή

στη γνωσιακή θεωρία 2) Βασικές αρχές της θεωρίας Vygotsky Μεταπτυχιακό

Πρόγραmicromicroα Σπουδών ∆ιδακτικής και Μεθοδολογίας των Μαθηmicroατικών

Τmicroήmicroα Μαθηmicroατικών ΕΚΠΑ

[9] Κλαουδάτος Ν (2011) Σηmicroειώσεις ∆ιδακτικής Μαθηmicroατικών 1) ∆ιδασκαλία

και microάθηση των microαθηmicroατικών microε διαδικασίες επίλυσης προβληmicroάτων 2) Εισα-

γωγή στη Θεωρία της ∆ιδασκαλίας Μεταπτυχιακό Πρόγραmicromicroα Σπουδών ∆ιδα-

κτικής και Μεθοδολογίας των Μαθηmicroατικών Τmicroήmicroα Μαθηmicroατικών ΕΚΠΑ

26

[10] Μάκρας Στρ Γεωmicroετρική εποπτεία και απόδειξη άρθρο στο περιοδικό Ευ-

κλείδης Β΄ τχ 25 (Ιούλιος-Αύγουστος-Σεπτέmicroβριος 1997) σσ 11-17 Αθήνα

Έκδοση της ΕΜΕ

[11] Νεγρεπόντης Σ Γιωτόπουλος Σ amp Γιαννακούλιας Ε (2000) Απειροστικός

Λογισmicroός τόmicroος IIα Αθήνα Εκδόσεις Συmicromicroετρία

[12] Ντρίζος ∆ (2002) Πλεονεκτήmicroατα της γεωmicroετρικής αναπαράστασης των microα-

θηmicroατικών εννοιών Η απόδειξη του θεωρήmicroατος της Μέσης Τιmicroής του διαφο-

ρικού λογισmicroού για συναρτήσεις microιας ή δύο πραγmicroατικών microεταβλητών Ευκλεί-

δης Γ΄ τχ 77 (Ιούλιος-∆εκέmicroβριος 2012) σσ 31-45 Αθήνα Έκδοση της

ΕΜΕ

[13] Ντρίζος ∆ Τα βασικά θεωρήmicroατα του ∆ιαφορικού Λογισmicroού άρθρο στο περι-

οδικό Ευκλείδης Γ΄ τχ 70 (Ιανουάριος-Ιούνιος 2009) σσ 5-23 Αθήνα Έκδο-

ση της ΕΜΕ

[14] Ντρίζος ∆ ∆ιδακτική Αξιοποίηση Προβληmicroάτων Επαγωγικής Συλλογιστικής

στο Πλαίσιο Ανάπτυξης Ιδεών του G Polya άρθρο στο περιοδικό Ευκλείδης

Γ΄ τχ 73 (Ιούλιος-∆εκέmicroβριος 2010) σσ 29-48 Αθήνα Έκδοση της ΕΜΕ

[15] Polya G (2001) Η Μαθηmicroατική Ανακάλυψη τόmicroος 1 (microτφ Στεργιάκη Σπύ-

ρου) Αθήνα Εκδόσεις Κάτοπτρο

[16] Ρίζος Γ (2005) Οι περιπέτειες του Προβλήmicroατος στα σχολικά Μαθηmicroατικά

Θεσσαλονίκη Εκδόσεις Μαθηmicroατική Βιβλιοθήκη

[17] Spivak Michael (1991) ∆ιαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισmicroός (microτφ Γιαν-

νόπουλου Απ) Ηράκλειο Πανεπιστηmicroιακές Εκδόσεις Κρήτης

10

(β) εντοπίζουν microια ιδιότητα ή microια κατάσταση που συνήθως εmicroφανίζεται σε

όλες τις επιmicroέρους περιπτώσεις που εξέτασαν

(γ) διατυπώνουν εικασίες (βλ [9] σελ 57)

(δ) επινοούν ένα σχέδιο για τη microαθηmicroατική απόδειξη των εικασιών το ο-

ποίο στη συνέχεια τροποποιούν όσες φορές απαιτηθεί έως ότου κατα-

λήξουν στο επιθυmicroητό αποτέλεσmicroα

(ε) ελέγχουν αν τα αποδεικτικά βήmicroατα που ακολούθησαν καθώς και το

συmicroπέρασmicroα στο οποίο κατέληξαν είναι απολύτως συνεπή προς όλες

τις υποθέσεις του προβλήmicroατος και

(στ) προσπαθούν να δούν το υπό microελέτη πρόβληmicroα ως ειδίκευση ενός γενι-

κού προβλήmicroατος και ακολούθως να microελετήσουν αυτό το γενικό

πρόβληmicroα

Έχουmicroε τη γνώmicroη ότι ο διάλογος που θα αναπτυχθεί microε έναυσmicroα την

αναζήτηση απαντήσεων σε ερωτήmicroατα τέτοιων δραστηριοτήτων θα συmicro-

βάλλει ώστε να αναδειχθούν και εmicroπεδωθούν ιδέες και πρακτικές που βαθ-

microιαία βελτιώνουν τη microαθηmicroατική ικανότητα η οποία είναι τελικά και το

ποιοτικό ζητούmicroενο της microαθηmicroατικής εκπαίδευσης

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ

Το παρόν άρθρο συmicroπληρώνεται microε επιλεγmicroένα παραδείγmicroατα η διαπραγ-

microάτευση των οποίων υποστηρίζει τη συmicroβολή της γεωmicroετρικής εποπτείας

στη διδασκαλία των microαθηmicroατικών στο Λύκειο και αναδεικνύει τη δυναmicroική

τους στην ερmicroηνεία πραγmicroατικών καταστάσεων

11

Ενδεικτικά παραδείγmicroατα για διαπραγmicroάτευση στη σχολική τάξη

1 Από την εποπτεία και τη διαίσθηση στη microαθηmicroατική τακτοποίηση

της έννοιας της απόλυτης τιmicroής πραγmicroατικού αριθmicroού

Παράδειγmicroα 1

Σε έναν άξονα x xprime να θεωρήσετε τα σηmicroεία ( )A 1 και ( )B 5

α) Να βρείτε αν υπάρχουν και πόσα σηmicroεία ( )M x πάνω στον x xprime τέ-

τοια ώστε

i) MA MB 4+ =

ii) MA MB 1+ =

iii) MA MB 8+ =

β) Χρησιmicroοποιώντας το σύmicroβολο της απόλυτης τιmicroής ν α γράψετε τις γε-

ωmicroετρικές ισότητες i) ii) και iii) microε microορφή εξίσωσης και στη συνέχεια

να βρείτε τις ρίζες των εξισώσεων αυτών

Παράδειγmicroα 2

Σε έναν άξονα x xprime να πάρετε δύο οποιαδήποτε σηmicroεία ( )Α α και ( )Β β

και έπειτα να προσδιορίσετε γεωmicroετρικά τα σηmicroεία του άξονα στα οποία

αντιστοιχούν οι αριθmicroοί α ββ αminus minus και α β+

2 Μια ενότητα θεmicroάτων Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας που αναδεικνύουν

την ιδέα των διαδοχικών γενικεύσεων

21 Θεωρούmicroε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓκαι σηmicroείο Μ που κινείται στην υπο-

τείνουσα ΒΓ Από το Μ φέρνουmicroε τα κάθετα τmicroήmicroατα ΜΚ και ΜΛ

προς τις πλευρές ΑΒ και ΑΓαντίστοιχα Να προσδιορίσετε τη θέση του

Μ στη ΒΓ ώστε το microήκος το τmicroήmicroατος ΚΛ να γίνεται ελάχιστο

22 Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓκαι σηmicroείο Μ που κινείται στην πλευρά ΒΓ

Από το Μ φέρνουmicroε τα κάθετα τmicroήmicroατα ΜΚ και ΜΛ προς τις πλευρές

12

ΑΒ και ΑΓαντίστοιχα Να προσδιορίσετε τη θέση του Μ στη ΒΓ ώστε

το microήκος το τmicroήmicroατος ΚΛ να γίνεται ελάχιστο

23 Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓκαι σηmicroείο M που κινείται στην πλευρά ΒΓ

Φέρνουmicroε τα τmicroήmicroατα ΜΚ και ΜΛ όπου Κ σηmicroείο της πλευράς ΑΒ

και Λ σηmicroείο της πλευράς ΑΓτέτοια ώστε ΒΚΜ ΜΛΓ ω= = όπου ω

γωνία microε το ίδιο σταθερό microέτρο για οποιαδήποτε θέση του Μ Να προσδι-

ορίσετε τη θέση του Μ στη ΒΓ ώστε το microήκος το τmicroήmicroατος ΚΛ να γί-

νεται ελάχιστο

Σχόλιο

Τα επιmicroέρους θέmicroατα 21 22 και 23 της παραπάνω ενότητας θεmicroάτων Ευ-

κλείδειας Γεωmicroετρίας προτείνονται για διαπραγmicroάτευση στην τάξη στο πλαίσιο

microιας ερευνητικής δραστηριότητας που αναδεικνύει την ιδέα της γενίκευσης προ-

βλήmicroατος microε διαδοχικές microεταβολές των υποθέσεων διατηρώντας το ίδιο ζητούmicroε-

νο Εκτιmicroούmicroε ότι ανάλογες δραστηριότητες ndashυπό κατάλληλες βέβαια διδακτικές

προϋποθέσειςndash microπορούν εν δυνάmicroει να συmicroβάλλουν στην ανάπτυξη της δηmicroι-

ουργικής microαθηmicroατικής σκέψης

3 Παραδείγmicroατα που αναδεικνύουν τη φυσική ερmicroηνεία του θεωρή-

microατος του Rolle και του ΘΜΤ του Lagrange

31 Ας υποθέσουmicroε ότι microια συνάρτηση V(t) microετράει τον όγκο του αέρα

που βρίσκεται στους πνεύmicroονες ενός ανθρώπου ως προς το χρόνο t

κατά τη διάρκεια microιας αναπνοής

Υποθέτουmicroε ότι

α) η V είναι συνεχής και περιγράφεται από microια οmicroαλή καmicroπύλη

(γραφική παράσταση παραγωγίσιmicroης συνάρτησης)

β) η V(t) παίρνει την ίδια τιmicroή (περίπου 4 λίτρα) στο τέλος κάθε εισ-

πνοής

Ερώτηση Υπάρχει χρονική στιγmicroή κατά τη διάρκεια microιας αναπνοής

όπου microηδενίζεται ο ρυθmicroός microεταβολής του όγκου του αέρα που βρί-

σκεται στους πνεύmicroονες του ανθρώπου

13

32 Πετάmicroε κατακόρυφα προς τα πάνω microια microπάλα και την ξαναπιάνουmicroε

στο ίδιο ύψος από το οποίο την πετάξαmicroε

α) Να κάνετε πρόχειρα τη γραφική παράσταση της συνάρτησης θέσης

της microπάλας ως προς το χρόνο t

β) Υπάρχει χρονική στιγmicroή t1 που η ταχύτητα της microπάλας microηδενίζεται

Ποια είναι η κλίση (της εφαπτοmicroένης) της γραφικής παράστασης

της συνάρτησης θέσης στο σηmicroείο microε τετmicroηmicroένη t1

33 ∆ύο αυτοκίνητα είναι σταmicroατηmicroένα σrsquo ένα φανάρι το ένα δίπλα στο

άλλο Όταν το φανάρι ανάβει πράσινο ξεκινούν αλλά αναγκάζονται

και τα δύο να σταmicroατήσουν στο επόmicroενο φανάρι Έτσι βρίσκονται και

τα δύο σταmicroατηmicroένα πάλι το ένα δίπλα στο άλλο Υπάρχει χρονική

στιγmicroή κατά την οποία τα δύο αυτοκίνητα έτρεχαν microε την ίδια ταχύτη-

τα

34 Ένας σκιέρ κατεβαίνει microια πλαγιά ξεκινώντας από ένα σηmicroείο Α και

καταλήγοντας σε ένα σηmicroείο Β Υπάρχει περίπτωση ο σκιέρ να απο-

φύγει την κλίση του ευθ τmicroήmicroατος ΑΒ

35 Ο οδηγός ενός Jeep σκοπεύει από το σηmicroείο Α να φτάσει στο Β Η

πλαγιά ΑΒ ορίζεται από την καmicroπύλη ( )y ƒ x= και το Jeep microπορεί να

αναρριχηθεί σε κλίσεις έως 25 Ο οδηγός θα πετύχει το σκοπό του

Α

Β

15

0 m

05 Km

14

36 Ένα σωmicroατίδιο κινείται πάνω στον άξονα των τετmicroηmicroένων (των t)

Χρόνος t σε sec Θέση x(t) σε m

0 2

2 4

5 7

Ο πίνακας δείχνει τη θέση του σωmicroατιδίου σε τρεις χρονικές στιγmicroές

α) Να βρείτε η microέση ταχύτητα του σωmicroατιδίου στο χρονικό διάστηmicroα

[0 5]

β) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον χρονικές στιγmicroές

κατά τις οποίες η στιγmicroιαία ταχύτητα του σωmicroατιδίου είναι ίση microε

τη microέση ταχύτητα στο διάστηmicroα [0 5]

γ) Να εξετάσετε αν υπάρχει microία τουλάχιστον χρονική στιγmicroή κατά

την οποία η επιτάχυνση του σωmicroατιδίου microηδενίζεται

(βλ [13] σελ 11-12)

Θέmicroατα Ανάλυσης που αναδεικνύουν το ρόλο της γεωmicroετρικής εποπτείας

Παράδειγmicroα 1

Έστω κύκλος microε κέντρο ( )0Κ α 0α ne και ακτίνα ρ Αν f είναι microια

παραγωγίσιmicroη συνάρτηση τέτοια ώστε ( ) ( ) 0f α ρ f α ρminus = + = και η

γραφική της παράσταση έχει microε τον κύκλο ακόmicroη ένα τουλάχιστον

κοινό σηmicroείο να αποδείξετε ότι υπάρχουν ( )1 2 ξ ξ α ρ α ρisin minus + microε

( ) ( )1 21f ξ f ξprime primesdot = minus

Παράδειγmicroα 2

Μία συνάρτηση ƒ είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο Υπάρχει

περίπτωση η γραφική της παράσταση να microην τέmicroνει τον φορέα της διχοτό-

microου της πρώτης ορθής γωνίας των αξόνων Να αποδείξετε την εικασία σας

15

Παράδειγmicroα 3

Μια συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο ενώ

microια άλλη συνάρτηση g είναι συνεχής στο και τέτοια ώστε

( )limx

g xrarrminusinfin

= minusinfin και ( )limx

g xrarr+infin

= +infin

Να εξετάσετε αν οι γραφικές παραστάσεις των f και g τέmicroνονται

Παράδειγmicroα 4

Αν microια συνάρτηση ƒ είναι δύο φορές παραγωγίσιmicroη στο [α β] microε την

ιδιότητα ƒ(α) + ƒ(β) = α β

2 ƒ2

+ sdot

τότε υπάρχει ξisin(α β) τέτοιο ώ-

στε ( )ƒ ξ 0primeprime =

Σχόλιο

Το παράδειγmicroα 4 το συmicroπεριλάβαmicroε στο παρόν άρθρο όχι για να πα-

ρουσιάσουmicroε τη συνήθη τυπική του απόδειξη αλλά για να αναδείξουmicroε το

γεωmicroετρικό υπόβαθρο που βρίσκεται πίσω από τις συmicroβολικά διατυπωmicroένες

microαθηmicroατικές σχέσεις

xα βξ1

y

ξ2

Α

Μ

Γ Β

Λ(β ƒ(β))

ε1

ε2

Cƒ

α + β

2

Κ(α ƒα))

Ο

Μια ανάλυση των υποθέσεων

Η υπόθεση ƒ(α) + ƒ(β) = α β

2 ƒ2

+ sdot

γράφεται

16

[ ]1 α βƒ(α) ƒ(β) ƒ

2 2

+ + =

(1)

Το 1ο microέλος της υπόθεσης (1) είναι η τεταγmicroένη του microέσου Μ του

τmicroήmicroατος ΚΛ ενώ το 2ο microέλος είναι η εικόνα microέσω της ƒ του microέσου

του διαστήmicroατος [α β] Η πρώτη απλούστατη γεωmicroετρική ερmicroηνεία της

υπόθεσης (1) είναι ότι η γραφική παράσταση της ƒ τέmicroνει το τmicroήmicroα

ΚΛ στο microέσο του Μ

Επίσης το τετράπλευρο ΚΑΒΛ είναι (γενικά) τραπέζιο microε βάσεις

ΚΑ = ƒ(α) ΛΒ = ƒ(β) και διάmicroεσο την ΜΓ = α β

ƒ2

+

Η υπόθεση (1) σε γεωmicroετρική γλώσσα γράφεται

ΚΑ ΚΒΜΓ

2

+=

σχέση η οποία από την Ευκλείδεια Γεωmicroετρία συνδέει το microήκος της

διαmicroέσου του τραπεζίου ΚΑΒΛ microε τα microήκη των βάσεών του

Το γεγονός ότι η ƒ είναι δύο φορές παραγωγίσιmicroη άρα και microία φορά

microας δηλώνει ότι η γραφική παράσταση της ƒ είναι microια οmicroαλή κα-

microπύλη η οποία δέχεται εφαπτοmicroένη (όχι κατακόρυφη) σε κάθε σηmicroείο

της

Προσέγγιση θεωρητικής τεκmicroηρίωσης

Από τη διαίσθησή microας που βρίσκεται σε πλήρη αρmicroονία microε το Θεώ-

ρηmicroα Μέσης Τιmicroής του ∆ιαφορικού Λογισmicroού υπάρχουν οι εφαπτό-

microενες ευθείες ε1 και ε2 της Cƒ παράλληλες προς την ΚΛ microε συντελε-

στές διεύθυνσης αντίστοιχα ƒ΄(ξ1) και ƒ΄(ξ2)

ƒ΄(ξ1) = λΚΜ ξ1isinα β

α2

+

Είναι

ƒ΄(ξ2) = λΜΛ ξ2isinα β

β2

+

Όmicroως λΚΜ = λΜΛ οπότε ƒ΄(ξ1) = ƒ΄(ξ2) και microε απλή εφαρmicroογή του Θε-

17

ωρήmicroατος του Rolle για τη συνάρτηση ƒ΄ στο [ξ1 ξ2] παίρνουmicroε το

ζητούmicroενο ƒ΄΄(ξ) = 0 όπου ξisin(ξ1 ξ2)

Προβληmicroατισmicroός

Θα microπορούσαmicroε να καταλήξουmicroε στην ƒ΄(ξ1) = ƒ΄(ξ2) στηριζόmicroενοι

στο γεγονός ότι το ΚΑΒΛ είναι τραπέζιο

xξ1

y

ξ2Α

Μ

Γ Β

Λ

Κω

ω

Μ΄

Λ΄

Ο

1 ΚΜ

2 ΜΛ

ΜΜ΄ ΜΓ ΚΑƒ (ξ ) λ εφω (2)

ΚΜ΄ ΑΓΈχουmicroε

ΛΛ΄ ΛΒ ΜΓƒ (ξ ) λ εφω (3)

ΜΛ΄ ΓΒ

minusprime = = = =

minusprime = = = =

Τα τελευταία κλάσmicroατα των (2) και (3) είναι ίσα γιατί ΑΓ = ΓΒ και

ΜΓ ndash ΚΑ = ΛΒ ndash ΜΓ λόγω της σχέσης της διαmicroέσου ΜΓ του τρα-

πεζίου ΚΑΒΛ microε τις βάσεις του ΚΑ και ΛΒ Οπότε ƒ΄(ξ1) = ƒ΄(ξ2)

Η γεωmicroετρική ερmicroηνεία του παραπάνω θέmicroατος microάς επιτρέπει να δια-

τυπώσουmicroε την επόmicroενη γενίκευση

18

Μια γενίκευση διατυπωmicroένη εποπτικά

Έστω συνάρτηση ƒ δύο φορές παραγωγίσιmicroη στο [α β] και τα ση-

microεία Κ(α ƒ(α)) και Λ(β ƒ(β))

Αν το τmicroήmicroα ΚΛ και η γραφική παράσταση της ƒ τέmicroνονται τότε

υπάρχει ξisin(α β) τέτοιο ώστε ƒ΄΄(ξ) = 0

Η ιδέα για τη γενίκευση διατυπωmicroένη στη γλώσσα της Ανάλυσης

Αν στο παραπάνω παράδειγmicroα 4 ονοmicroάζαmicroε γ την τετmicroηmicroένη τού microέ-

σου Γ του ευθυγράmicromicroου τmicroήmicroατος ΑΒ τότε είναι γ α

1β γ

minus=

minus οπότε

α βΓ 0

2

+

Και αν παίρναmicroε το Γ(γ0) στο εσωτερικό του ΑΒ ώστε γ α κ

β γ λ

minus=

minus τό-

τε microε απλές πράξεις θα βρίσκαmicroε λα κβ

Γ 0κ λ

+ +

Η γενίκευση

Αν microια συνάρτηση f είναι δυο φορές παραγωγίσιmicroη στο διάστηmicroα

[ ]αβ microε την ιδιότητα ( ) ( ) ( ) λα κβλf α κf β κ λ f

κ λ

+ + = + +

όπου λα κβ

α βκ λ

+lt lt+

και κλ θετικοί ακέραιοι τότε υπάρχει

( )ξ αβisin τέτοιο ώστε ( )f ξ 0primeprime =

Παράδειγmicroα 5

Έστω συνάρτηση ƒ παραγωγίσιmicroη στο [0 1] microε συνεχή παράγωγο

για την οποία ισχύουν

( )ƒ 0 0= ( ) 1ƒ 1

2= και ( )ƒ 0 0prime gt

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ( )ξ 01isin τέτοιο ώστε ( )ƒ ξ 2ξprime =

19

Σχόλιο

Το παράδειγmicroα 5 το συζητήσαmicroε σε Εργαστήριο Εφαρmicroοσmicroένης ∆ι-

δακτικής των Μαθηmicroατικών (∆ Ντρίζος Ιανουάριος 2016 Καρδίτσα) για

να αναδείξουmicroε την παιδευτική αξία της αναζήτησης πολλών τρόπων λύσης

ενός microαθηmicroατικού ερωτήmicroατος)

1ος

τρόπος λύσης (του ∆ Ντρίζου)

Αρκεί να αποδείξουmicroε ότι η εξίσωση ( )( )2ƒ x x 0primeminus = έχει microία τουλά-

χιστον ρίζα στο διάστηmicroα ( )01 Και αυτό θα microπορούσε να προκύψει

microε εφαρmicroογή του θ του Rolle στη συνάρτηση ( ) ( ) 2g x ƒ x x= minus

[ ]x 01isin

Είναι ( )g 0 0= και ( ) ( ) 2 1 1g 1 ƒ 1 1 1

2 2= minus = minus = minus δηλαδή ( )g 1 0lt

Σχέδιο προσέγγισης του θέmicroατος

Επειδή ( )g 0 0= το ζητούmicroενο θα προέκυπτε microε εφαρmicroογή του θ του

Rolle για την g αν αποδεικνύαmicroε ότι υπάρχει αριθmicroός ( )α 01isin για

τον οποίο ( )g α 0=

Με βάση αυτή την ιδέα και παίρνοντας υπόψη ότι ( )g 1 0lt αναρω-

τιόmicroαστε microήπως θα microπορούσαmicroε να έχουmicroε κάποιο ( )β 01isin ώστε

( )g β 0gt οπότε microε εφαρmicroογή του θ του Bolzano στο διάστηmicroα [ ]β1

θα εξασφαλίζαmicroε την ύπαρξη αριθmicroού ( )α β1isin τέτοιου ώστε

( )g α 0=

Εφαρmicroογή του σχεδίου

Ισχυριζόmicroαστε ότι δεν υπάρχει κάποιο ( )β 01isin ώστε ( )g β 0gt Ισο-

δύναmicroα ότι για κάθε ( )x 01isin ισχύει ( )g x 0le

20

bull Στην περίπτωση που για κάποιο ( )x 01isin ισχύει ( )g x 0= τότε

καθώς έχουmicroε και ( )g 0 0= το ζητούmicroενο προκύπτει microε εφαρmicroογή

του θ Rolle

bull Ας εξετάσουmicroε τώρα τον ισχυρισmicroό ( )g x 0lt για κάθε ( )x 01isin

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

x 0 x 0

ƒ xg x 0 ƒ x x x

x

ƒ x ƒ 0lim lim x ƒ 0 0

x 0+ +rarr rarr

lt rArr lt rArr lt rArr

minusprimerArr lt rArr le

minus

που είναι άτοπο λόγω υπόθεσης Άρα υπάρχει κάποιο ( )β 01isin ώστε

( )g β 0gt

Με εφαρmicroογή του θ του Bolzano στο [ ]β1 παίρνουmicroε ότι υπάρχει

( )α β1isin τέτοιο ώστε ( )g α 0=

Και τέλος microε εφαρmicroογή του θ του Rolle για την g στο διάστηmicroα

[ ]0α παίρνουmicroε ότι υπάρχει ( ) ( )ξ 0α 01isin sube τέτοιο ώστε

( )g ξ 0prime = οπότε ( )ƒ ξ 2ξprime =

Σχόλια ndash Έλεγχος υποθέσεων

1 Στην παραπάνω λύση η υπόθεση ότι η ƒprime είναι συνεχής δεν microάς

χρειάστηκε

2 Η υπόθεση ( ) 1ƒ 1

2= θα microπορούσε να δίνεται γενικά ως ( )ƒ 1 θ= microε

θ 1lt

3 Ως ζητούmicroενο θα microπορούσαmicroε να έχουmicroε υπάρχει ( )ξ 01isin ώστε

( ) ν 1ƒ ξ νξ minusprime =

21

Μια γενίκευση

Έστω microια συνάρτηση ƒ παραγωγίσιmicroη στο [ ]01 για την οποία ισχύ-

ουν

( )f 0 0= ( )ƒ 1 θ 1= lt και ( )ƒ 0 0prime gt

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ( )ξ 01isin τέτοιο ώστε ( ) ν 1ƒ ξ νξ minusprime =

2ος

τρόπος λύσης (προτάθηκε από τον Θανάση Καραντάνα καθηγητή στο

4ο ΓΕΛ Καρδίτσας και τον Αιmicroίλιο Βλάστο καθηγητή στο Μουσικό

Σχολείο Καρδίτσας)

Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) 2g x ƒ x x= minus [ ]x 01isin

Είναι ( )g 0 0= και ( ) 1g 1

2= minus

Επίσης ( ) ( )g x ƒ x 2xprime prime= minus άρα ( ) ( )g 0 ƒ 0 0prime prime= gt

Οπότε από τον ορισmicroό της παραγώγου της g στο 0 από τα δεξιά

παίρνουmicroε

( ) ( ) ( )x 0 x 0

g x g 0 g xlim lim 0

x 0 x+ +rarr rarr

minus= gt

minus

Και επειδή x 0gt θα είναι και ( )g x 0gt κοντά στο 0 από τα δεξιά

Άρα θα υπάρχει ( )k 01isin τέτοιο ώστε ( )g k 0gt

Έχουmicroε λοιπόν ( ) ( )g k g 1 0sdot lt και επειδή η συνάρτηση g είναι συνε-

χής στο [ ]k1 από το θεώρηmicroα του Bolzano θα υπάρχει

( ) ( )m k1 01isin sube τέτοιο ώστε ( )g m 0=

Τέλος καθώς στο διάστηmicroα [ ]0m η g ικανοποιεί τις υποθέσεις του

θεωρήmicroατος του Rolle θα υπάρχει ( ) ( )ξ 0 m 01isin sube τέτοιο ώστε

( )g ξ 0prime = ∆ηλαδή ( )ƒ ξ 2ξprime =

22

3ος

τρόπος λύσης

Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) 2g x ƒ x x= minus [ ]x 01isin

Είναι g(0) = 0 και ( ) 1g 1

2= minus

Επίσης ( ) ( )g x ƒ x 2xprime prime= minus άρα ( ) ( )g 0 f 0 0prime prime= gt

Με εφαρmicroογή του θεωρήmicroατος Μέσης Τιmicroής για την g στα 1

02

και

11

2

βρίσκουmicroε ότι υπάρχουν 1

1x 0

2

isin

και 2

1x 1

2

isin

τέτοια

ώστε

( )1

1 1f

2 4g x

1

2

minus prime = και ( )2

1 1 1f

2 2 4g x

1

2

minus minus minus prime =

Και επειδή ( ) ( )1 2g x g x 1prime prime+ = minus προφανώς ένα τουλάχιστον από τα

( ) ( )1 2g x g xprime prime θα είναι υποχρεωτικά αρνητικό

Έστω λοιπόν ότι είναι ( )1g x 0prime lt

Τότε καθώς η gprime είναι συνεχής στο [ ]10 x και ( ) ( )1g 0 g x 0prime primesdot lt από

το θεώρηmicroα του Bolzano βρίσκουmicroε ότι θα υπάρχει ένα τουλάχιστον

( ) ( )1ξ 0 x 01isin sube τέτοιο ώστε ( )g ξ 0prime = ∆ηλαδή ( )ƒ ξ 2ξprime =

4ος

τρόπος λύσης (προτάθηκε από τον Σεραφείmicro Σαmicroορέλη καθηγητή στο

8ο ΓΕΛ Τρικάλων)

Έστω η συνάρτηση w(x) ƒ (x) 2xprime= minus microε [ )x 01isin για την οποία ι-

σχυριζόmicroαστε ότι w(x) 0ne στο [ )01

Επειδή στο διάστηmicroα [ )01 η συνάρτηση w είναι συνεχής microε

w(x) 0ne προκύπτει ότι η w διατηρεί σταθερό πρόσηmicroο στο [ )01

23

Είναι w(0) ƒ (0) 2 0 ƒ (0) 0prime prime= minus sdot = gt άρα w(x) 0gt για κάθε [ )x 01isin

οπότε και ƒ (x) 2xprime gt για κάθε [ )x 01isin (1)

Με εφαρmicroογή του ΘΜΤ για την ƒ στα διαστήmicroατα 1

02

και 1

12

προκύπτει ότι θα υπάρχουν 1

1x 0

2

isin

και 2

1x 1

2

isin

τέτοια ώστε

1

1ƒ ƒ(0)

2ƒ (x )

1

2

minus prime = και

( )2

1ƒ 1 ƒ

2ƒ (x )

1

2

minus prime =

Με πρόσθεση κατά microέλη παίρνουmicroε

1 2

1 1 1ƒ ƒ(0) ƒ(1) ƒ2 2 2ƒ (x ) ƒ (x ) 1

1 1

2 2

minus + minus prime prime+ = = = (2)

Όmicroως από τη σχέση (1) έχουmicroε 1 1

2 2

ƒ (x ) 2x

ƒ (x ) 2x

prime gt

prime gt και microε πρόσθεση κατά

microέλη παίρνουmicroε

( )2

1 2 1 2 1 2 1 2

1ƒ (x ) ƒ (x ) 2x 2x 1 2x 2x x x

2prime prime+ gt + hArr gt + hArr + lt

που είναι άτοπο καθώς 1

2

10 x

2

1x 1

2

lt lt lt lt

Εποmicroένως o ισχυρισmicroός ότι στο [ )01 είναι w(x) 0ne δεν ευσταθεί

Οπότε θα υπάρχει ( )ξ 01isin τέτοιο ώστε w(ξ) 0 ƒ (ξ) 2ξprime= hArr = (το ξ

αυτό δεν microπορεί να είναι ίσο microε 0 αφού w(0) 0gt )

24

Μια πρόταση

Έστω f και g δυο συναρτήσεις συνεχείς στο διάστηmicroα [ ]αβ για τις

οποίες ισχύει ( ) ( )f x g xgt για κάθε [ ]x αβisin

Υπάρχει πάντοτε θετικός r τέτοιος ώστε ( ) ( )f x g x rgt + για κάθε

[ ]x αβisin

Ένα ερώτηmicroα

Ποιος προβληmicroατισmicroός γεωmicroετρικής υφής θα microπορούσε να microας οδη-

γήσει στη διατύπωση της παραπάνω πρότασης

Απόδειξη της πρότασης

Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) ( )h x f x g x= minus [ ]x αβisin

Η h είναι συνεχής microε θετικές τιmicroές στο [ ]αβ οπότε θα παρουσιάζει

ελάχιστο έστω ίσο microε m mgt0

Άρα ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m mh x m f x g x m f x g x

2 2ge rArr minus ge gt rArr gt +

Οπότε ( ) ( )f x g x rgt + m

r2= microε ( )r 0misin

Σηmicroείωση

Τα παραδείγmicroατα microαθηmicroατικών που συmicroπεριέλαβα στο παρόν άρθρο ανα-

πτύχθηκαν και σε οmicroιλία microου στην Ελληνογαλλική Σχολή Καλαmicroαρί της

Θεσσαλονίκης (27 Φεβρουαρίου 2016) microε θέmicroα τα Ποιοτικά Χαρακτηριστι-

κά στη ∆ιδασκαλία των Μαθηmicroατικών Επίσης κάποια από αυτά χρησιmicroο-

ποιήθηκαν σε σεmicroινάριο ∆ιδακτικής Μαθηmicroατικών που ανέπτυξα στα Τρί-

καλα (5 και 12 Απριλίου 2016)

Αφιέρωση

Το άρθρο αυτό αφιερώνεται στη microνήmicroη του Νίκου Κλαουδάτου καθηγητή

microου κατά τα έτη 2000-2002 στο ΠΜΣ της ∆ιδακτικής και Μεθοδολογίας

των Μαθηmicroατικών στο Τmicroήmicroα Μαθηmicroατικών του ΕΚΠΑ

25

Βιβλιογραφικές αναφορές

Ξενόγλωσσες

[1] Cobb P Wood T Yackel E amp McNeal B (1992) Characteristics of clas-

room mathematics traditions An interactional analysis American Educa-

tional Research Journal 29 573-604

[2] Cobb P amp Steffe L P (1993) The constructivist researcher as the teacher

and model builder Journal for Research in Mathematics Education vol 14

pp 83-94

[3] Eisenberg T amp Dreyfus T On the reluctance to visualize in Mathematics in

Zimmerman W amp Cunnigham S (Eds) 1991 Visualization in teaching

and learning mathematics p 25-37 MAA notes no 19 Mathematical Asso-

ciation of America

[4] Vinner S Visual considerations in College Calculus ndash Students and Teach-

ers in Vermandel A amp Steiner Hans-Georg (Eds) 1988 Theory of mathe-

matics Educations (Proceeding of the third international conferens Andwerp

11-15 July 1988) p 109-116

[5] Year Book 2001 The Roles of Representation in School Mathematics Na-

tional Council of Teachers of Mathematics

Ελληνόγλωσσες

[6] Ανδρεαδάκης Σ Κατσαργύρης Β Μέτης Σ Μπρουχούτας Κ Παπα-

σταυρίδης Σ και Πολύζος Γ (2015) Μαθηmicroατικά Γ΄ Γενικού Λυκείου Οmicroά-

δας Προσανατολισmicroού Θετικών Σπουδών και Σποδών Οικονοmicroίας amp Πληρο-

φορικής Αθήνα ΙΕΠ amp ΙΤΥΕ ∆ιόφαντος

[7] Κατσαργύρης Β Μεντής Κ Παντελίδης Γ και Σουρλάς Κ (1994) Μα-

θηmicroατικά Γ΄ Λυκείου ndash Ανάλυση Αθήνα ΟΕ∆Β

[8] Κλαουδάτος Ν (2011) Σηmicroειώσεις ∆ιδακτικής Μαθηmicroατικών 1) Εισαγωγή

στη γνωσιακή θεωρία 2) Βασικές αρχές της θεωρίας Vygotsky Μεταπτυχιακό

Πρόγραmicromicroα Σπουδών ∆ιδακτικής και Μεθοδολογίας των Μαθηmicroατικών

Τmicroήmicroα Μαθηmicroατικών ΕΚΠΑ

[9] Κλαουδάτος Ν (2011) Σηmicroειώσεις ∆ιδακτικής Μαθηmicroατικών 1) ∆ιδασκαλία

και microάθηση των microαθηmicroατικών microε διαδικασίες επίλυσης προβληmicroάτων 2) Εισα-

γωγή στη Θεωρία της ∆ιδασκαλίας Μεταπτυχιακό Πρόγραmicromicroα Σπουδών ∆ιδα-

κτικής και Μεθοδολογίας των Μαθηmicroατικών Τmicroήmicroα Μαθηmicroατικών ΕΚΠΑ

26

[10] Μάκρας Στρ Γεωmicroετρική εποπτεία και απόδειξη άρθρο στο περιοδικό Ευ-

κλείδης Β΄ τχ 25 (Ιούλιος-Αύγουστος-Σεπτέmicroβριος 1997) σσ 11-17 Αθήνα

Έκδοση της ΕΜΕ

[11] Νεγρεπόντης Σ Γιωτόπουλος Σ amp Γιαννακούλιας Ε (2000) Απειροστικός

Λογισmicroός τόmicroος IIα Αθήνα Εκδόσεις Συmicromicroετρία

[12] Ντρίζος ∆ (2002) Πλεονεκτήmicroατα της γεωmicroετρικής αναπαράστασης των microα-

θηmicroατικών εννοιών Η απόδειξη του θεωρήmicroατος της Μέσης Τιmicroής του διαφο-

ρικού λογισmicroού για συναρτήσεις microιας ή δύο πραγmicroατικών microεταβλητών Ευκλεί-

δης Γ΄ τχ 77 (Ιούλιος-∆εκέmicroβριος 2012) σσ 31-45 Αθήνα Έκδοση της

ΕΜΕ

[13] Ντρίζος ∆ Τα βασικά θεωρήmicroατα του ∆ιαφορικού Λογισmicroού άρθρο στο περι-

οδικό Ευκλείδης Γ΄ τχ 70 (Ιανουάριος-Ιούνιος 2009) σσ 5-23 Αθήνα Έκδο-

ση της ΕΜΕ

[14] Ντρίζος ∆ ∆ιδακτική Αξιοποίηση Προβληmicroάτων Επαγωγικής Συλλογιστικής

στο Πλαίσιο Ανάπτυξης Ιδεών του G Polya άρθρο στο περιοδικό Ευκλείδης

Γ΄ τχ 73 (Ιούλιος-∆εκέmicroβριος 2010) σσ 29-48 Αθήνα Έκδοση της ΕΜΕ

[15] Polya G (2001) Η Μαθηmicroατική Ανακάλυψη τόmicroος 1 (microτφ Στεργιάκη Σπύ-

ρου) Αθήνα Εκδόσεις Κάτοπτρο

[16] Ρίζος Γ (2005) Οι περιπέτειες του Προβλήmicroατος στα σχολικά Μαθηmicroατικά

Θεσσαλονίκη Εκδόσεις Μαθηmicroατική Βιβλιοθήκη

[17] Spivak Michael (1991) ∆ιαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισmicroός (microτφ Γιαν-

νόπουλου Απ) Ηράκλειο Πανεπιστηmicroιακές Εκδόσεις Κρήτης

11

Ενδεικτικά παραδείγmicroατα για διαπραγmicroάτευση στη σχολική τάξη

1 Από την εποπτεία και τη διαίσθηση στη microαθηmicroατική τακτοποίηση

της έννοιας της απόλυτης τιmicroής πραγmicroατικού αριθmicroού

Παράδειγmicroα 1

Σε έναν άξονα x xprime να θεωρήσετε τα σηmicroεία ( )A 1 και ( )B 5

α) Να βρείτε αν υπάρχουν και πόσα σηmicroεία ( )M x πάνω στον x xprime τέ-

τοια ώστε

i) MA MB 4+ =

ii) MA MB 1+ =

iii) MA MB 8+ =

β) Χρησιmicroοποιώντας το σύmicroβολο της απόλυτης τιmicroής ν α γράψετε τις γε-

ωmicroετρικές ισότητες i) ii) και iii) microε microορφή εξίσωσης και στη συνέχεια

να βρείτε τις ρίζες των εξισώσεων αυτών

Παράδειγmicroα 2

Σε έναν άξονα x xprime να πάρετε δύο οποιαδήποτε σηmicroεία ( )Α α και ( )Β β

και έπειτα να προσδιορίσετε γεωmicroετρικά τα σηmicroεία του άξονα στα οποία

αντιστοιχούν οι αριθmicroοί α ββ αminus minus και α β+

2 Μια ενότητα θεmicroάτων Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας που αναδεικνύουν

την ιδέα των διαδοχικών γενικεύσεων

21 Θεωρούmicroε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓκαι σηmicroείο Μ που κινείται στην υπο-

τείνουσα ΒΓ Από το Μ φέρνουmicroε τα κάθετα τmicroήmicroατα ΜΚ και ΜΛ

προς τις πλευρές ΑΒ και ΑΓαντίστοιχα Να προσδιορίσετε τη θέση του

Μ στη ΒΓ ώστε το microήκος το τmicroήmicroατος ΚΛ να γίνεται ελάχιστο

22 Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓκαι σηmicroείο Μ που κινείται στην πλευρά ΒΓ

Από το Μ φέρνουmicroε τα κάθετα τmicroήmicroατα ΜΚ και ΜΛ προς τις πλευρές

12

ΑΒ και ΑΓαντίστοιχα Να προσδιορίσετε τη θέση του Μ στη ΒΓ ώστε

το microήκος το τmicroήmicroατος ΚΛ να γίνεται ελάχιστο

23 Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓκαι σηmicroείο M που κινείται στην πλευρά ΒΓ

Φέρνουmicroε τα τmicroήmicroατα ΜΚ και ΜΛ όπου Κ σηmicroείο της πλευράς ΑΒ

και Λ σηmicroείο της πλευράς ΑΓτέτοια ώστε ΒΚΜ ΜΛΓ ω= = όπου ω

γωνία microε το ίδιο σταθερό microέτρο για οποιαδήποτε θέση του Μ Να προσδι-

ορίσετε τη θέση του Μ στη ΒΓ ώστε το microήκος το τmicroήmicroατος ΚΛ να γί-

νεται ελάχιστο

Σχόλιο

Τα επιmicroέρους θέmicroατα 21 22 και 23 της παραπάνω ενότητας θεmicroάτων Ευ-

κλείδειας Γεωmicroετρίας προτείνονται για διαπραγmicroάτευση στην τάξη στο πλαίσιο

microιας ερευνητικής δραστηριότητας που αναδεικνύει την ιδέα της γενίκευσης προ-

βλήmicroατος microε διαδοχικές microεταβολές των υποθέσεων διατηρώντας το ίδιο ζητούmicroε-

νο Εκτιmicroούmicroε ότι ανάλογες δραστηριότητες ndashυπό κατάλληλες βέβαια διδακτικές

προϋποθέσειςndash microπορούν εν δυνάmicroει να συmicroβάλλουν στην ανάπτυξη της δηmicroι-

ουργικής microαθηmicroατικής σκέψης

3 Παραδείγmicroατα που αναδεικνύουν τη φυσική ερmicroηνεία του θεωρή-

microατος του Rolle και του ΘΜΤ του Lagrange

31 Ας υποθέσουmicroε ότι microια συνάρτηση V(t) microετράει τον όγκο του αέρα

που βρίσκεται στους πνεύmicroονες ενός ανθρώπου ως προς το χρόνο t

κατά τη διάρκεια microιας αναπνοής

Υποθέτουmicroε ότι

α) η V είναι συνεχής και περιγράφεται από microια οmicroαλή καmicroπύλη

(γραφική παράσταση παραγωγίσιmicroης συνάρτησης)

β) η V(t) παίρνει την ίδια τιmicroή (περίπου 4 λίτρα) στο τέλος κάθε εισ-

πνοής

Ερώτηση Υπάρχει χρονική στιγmicroή κατά τη διάρκεια microιας αναπνοής

όπου microηδενίζεται ο ρυθmicroός microεταβολής του όγκου του αέρα που βρί-

σκεται στους πνεύmicroονες του ανθρώπου

13

32 Πετάmicroε κατακόρυφα προς τα πάνω microια microπάλα και την ξαναπιάνουmicroε

στο ίδιο ύψος από το οποίο την πετάξαmicroε

α) Να κάνετε πρόχειρα τη γραφική παράσταση της συνάρτησης θέσης

της microπάλας ως προς το χρόνο t

β) Υπάρχει χρονική στιγmicroή t1 που η ταχύτητα της microπάλας microηδενίζεται

Ποια είναι η κλίση (της εφαπτοmicroένης) της γραφικής παράστασης

της συνάρτησης θέσης στο σηmicroείο microε τετmicroηmicroένη t1

33 ∆ύο αυτοκίνητα είναι σταmicroατηmicroένα σrsquo ένα φανάρι το ένα δίπλα στο

άλλο Όταν το φανάρι ανάβει πράσινο ξεκινούν αλλά αναγκάζονται

και τα δύο να σταmicroατήσουν στο επόmicroενο φανάρι Έτσι βρίσκονται και

τα δύο σταmicroατηmicroένα πάλι το ένα δίπλα στο άλλο Υπάρχει χρονική

στιγmicroή κατά την οποία τα δύο αυτοκίνητα έτρεχαν microε την ίδια ταχύτη-

τα

34 Ένας σκιέρ κατεβαίνει microια πλαγιά ξεκινώντας από ένα σηmicroείο Α και

καταλήγοντας σε ένα σηmicroείο Β Υπάρχει περίπτωση ο σκιέρ να απο-

φύγει την κλίση του ευθ τmicroήmicroατος ΑΒ

35 Ο οδηγός ενός Jeep σκοπεύει από το σηmicroείο Α να φτάσει στο Β Η

πλαγιά ΑΒ ορίζεται από την καmicroπύλη ( )y ƒ x= και το Jeep microπορεί να

αναρριχηθεί σε κλίσεις έως 25 Ο οδηγός θα πετύχει το σκοπό του

Α

Β

15

0 m

05 Km

14

36 Ένα σωmicroατίδιο κινείται πάνω στον άξονα των τετmicroηmicroένων (των t)

Χρόνος t σε sec Θέση x(t) σε m

0 2

2 4

5 7

Ο πίνακας δείχνει τη θέση του σωmicroατιδίου σε τρεις χρονικές στιγmicroές

α) Να βρείτε η microέση ταχύτητα του σωmicroατιδίου στο χρονικό διάστηmicroα

[0 5]

β) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον χρονικές στιγmicroές

κατά τις οποίες η στιγmicroιαία ταχύτητα του σωmicroατιδίου είναι ίση microε

τη microέση ταχύτητα στο διάστηmicroα [0 5]

γ) Να εξετάσετε αν υπάρχει microία τουλάχιστον χρονική στιγmicroή κατά

την οποία η επιτάχυνση του σωmicroατιδίου microηδενίζεται

(βλ [13] σελ 11-12)

Θέmicroατα Ανάλυσης που αναδεικνύουν το ρόλο της γεωmicroετρικής εποπτείας

Παράδειγmicroα 1

Έστω κύκλος microε κέντρο ( )0Κ α 0α ne και ακτίνα ρ Αν f είναι microια

παραγωγίσιmicroη συνάρτηση τέτοια ώστε ( ) ( ) 0f α ρ f α ρminus = + = και η

γραφική της παράσταση έχει microε τον κύκλο ακόmicroη ένα τουλάχιστον

κοινό σηmicroείο να αποδείξετε ότι υπάρχουν ( )1 2 ξ ξ α ρ α ρisin minus + microε

( ) ( )1 21f ξ f ξprime primesdot = minus

Παράδειγmicroα 2

Μία συνάρτηση ƒ είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο Υπάρχει

περίπτωση η γραφική της παράσταση να microην τέmicroνει τον φορέα της διχοτό-

microου της πρώτης ορθής γωνίας των αξόνων Να αποδείξετε την εικασία σας

15

Παράδειγmicroα 3

Μια συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο ενώ

microια άλλη συνάρτηση g είναι συνεχής στο και τέτοια ώστε

( )limx

g xrarrminusinfin

= minusinfin και ( )limx

g xrarr+infin

= +infin

Να εξετάσετε αν οι γραφικές παραστάσεις των f και g τέmicroνονται

Παράδειγmicroα 4

Αν microια συνάρτηση ƒ είναι δύο φορές παραγωγίσιmicroη στο [α β] microε την

ιδιότητα ƒ(α) + ƒ(β) = α β

2 ƒ2

+ sdot

τότε υπάρχει ξisin(α β) τέτοιο ώ-

στε ( )ƒ ξ 0primeprime =

Σχόλιο

Το παράδειγmicroα 4 το συmicroπεριλάβαmicroε στο παρόν άρθρο όχι για να πα-

ρουσιάσουmicroε τη συνήθη τυπική του απόδειξη αλλά για να αναδείξουmicroε το

γεωmicroετρικό υπόβαθρο που βρίσκεται πίσω από τις συmicroβολικά διατυπωmicroένες

microαθηmicroατικές σχέσεις

xα βξ1

y

ξ2

Α

Μ

Γ Β

Λ(β ƒ(β))

ε1

ε2

Cƒ

α + β

2

Κ(α ƒα))

Ο

Μια ανάλυση των υποθέσεων

Η υπόθεση ƒ(α) + ƒ(β) = α β

2 ƒ2

+ sdot

γράφεται

16

[ ]1 α βƒ(α) ƒ(β) ƒ

2 2

+ + =

(1)

Το 1ο microέλος της υπόθεσης (1) είναι η τεταγmicroένη του microέσου Μ του

τmicroήmicroατος ΚΛ ενώ το 2ο microέλος είναι η εικόνα microέσω της ƒ του microέσου

του διαστήmicroατος [α β] Η πρώτη απλούστατη γεωmicroετρική ερmicroηνεία της

υπόθεσης (1) είναι ότι η γραφική παράσταση της ƒ τέmicroνει το τmicroήmicroα

ΚΛ στο microέσο του Μ

Επίσης το τετράπλευρο ΚΑΒΛ είναι (γενικά) τραπέζιο microε βάσεις

ΚΑ = ƒ(α) ΛΒ = ƒ(β) και διάmicroεσο την ΜΓ = α β

ƒ2

+

Η υπόθεση (1) σε γεωmicroετρική γλώσσα γράφεται

ΚΑ ΚΒΜΓ

2

+=

σχέση η οποία από την Ευκλείδεια Γεωmicroετρία συνδέει το microήκος της

διαmicroέσου του τραπεζίου ΚΑΒΛ microε τα microήκη των βάσεών του

Το γεγονός ότι η ƒ είναι δύο φορές παραγωγίσιmicroη άρα και microία φορά

microας δηλώνει ότι η γραφική παράσταση της ƒ είναι microια οmicroαλή κα-

microπύλη η οποία δέχεται εφαπτοmicroένη (όχι κατακόρυφη) σε κάθε σηmicroείο

της

Προσέγγιση θεωρητικής τεκmicroηρίωσης

Από τη διαίσθησή microας που βρίσκεται σε πλήρη αρmicroονία microε το Θεώ-

ρηmicroα Μέσης Τιmicroής του ∆ιαφορικού Λογισmicroού υπάρχουν οι εφαπτό-

microενες ευθείες ε1 και ε2 της Cƒ παράλληλες προς την ΚΛ microε συντελε-

στές διεύθυνσης αντίστοιχα ƒ΄(ξ1) και ƒ΄(ξ2)

ƒ΄(ξ1) = λΚΜ ξ1isinα β

α2

+

Είναι

ƒ΄(ξ2) = λΜΛ ξ2isinα β

β2

+

Όmicroως λΚΜ = λΜΛ οπότε ƒ΄(ξ1) = ƒ΄(ξ2) και microε απλή εφαρmicroογή του Θε-

17

ωρήmicroατος του Rolle για τη συνάρτηση ƒ΄ στο [ξ1 ξ2] παίρνουmicroε το

ζητούmicroενο ƒ΄΄(ξ) = 0 όπου ξisin(ξ1 ξ2)

Προβληmicroατισmicroός

Θα microπορούσαmicroε να καταλήξουmicroε στην ƒ΄(ξ1) = ƒ΄(ξ2) στηριζόmicroενοι

στο γεγονός ότι το ΚΑΒΛ είναι τραπέζιο

xξ1

y

ξ2Α

Μ

Γ Β

Λ

Κω

ω

Μ΄

Λ΄

Ο

1 ΚΜ

2 ΜΛ

ΜΜ΄ ΜΓ ΚΑƒ (ξ ) λ εφω (2)

ΚΜ΄ ΑΓΈχουmicroε

ΛΛ΄ ΛΒ ΜΓƒ (ξ ) λ εφω (3)

ΜΛ΄ ΓΒ

minusprime = = = =

minusprime = = = =

Τα τελευταία κλάσmicroατα των (2) και (3) είναι ίσα γιατί ΑΓ = ΓΒ και

ΜΓ ndash ΚΑ = ΛΒ ndash ΜΓ λόγω της σχέσης της διαmicroέσου ΜΓ του τρα-

πεζίου ΚΑΒΛ microε τις βάσεις του ΚΑ και ΛΒ Οπότε ƒ΄(ξ1) = ƒ΄(ξ2)

Η γεωmicroετρική ερmicroηνεία του παραπάνω θέmicroατος microάς επιτρέπει να δια-

τυπώσουmicroε την επόmicroενη γενίκευση

18

Μια γενίκευση διατυπωmicroένη εποπτικά

Έστω συνάρτηση ƒ δύο φορές παραγωγίσιmicroη στο [α β] και τα ση-

microεία Κ(α ƒ(α)) και Λ(β ƒ(β))

Αν το τmicroήmicroα ΚΛ και η γραφική παράσταση της ƒ τέmicroνονται τότε

υπάρχει ξisin(α β) τέτοιο ώστε ƒ΄΄(ξ) = 0

Η ιδέα για τη γενίκευση διατυπωmicroένη στη γλώσσα της Ανάλυσης

Αν στο παραπάνω παράδειγmicroα 4 ονοmicroάζαmicroε γ την τετmicroηmicroένη τού microέ-

σου Γ του ευθυγράmicromicroου τmicroήmicroατος ΑΒ τότε είναι γ α

1β γ

minus=

minus οπότε

α βΓ 0

2

+

Και αν παίρναmicroε το Γ(γ0) στο εσωτερικό του ΑΒ ώστε γ α κ

β γ λ

minus=

minus τό-

τε microε απλές πράξεις θα βρίσκαmicroε λα κβ

Γ 0κ λ

+ +

Η γενίκευση

Αν microια συνάρτηση f είναι δυο φορές παραγωγίσιmicroη στο διάστηmicroα

[ ]αβ microε την ιδιότητα ( ) ( ) ( ) λα κβλf α κf β κ λ f

κ λ

+ + = + +

όπου λα κβ

α βκ λ

+lt lt+

και κλ θετικοί ακέραιοι τότε υπάρχει

( )ξ αβisin τέτοιο ώστε ( )f ξ 0primeprime =

Παράδειγmicroα 5

Έστω συνάρτηση ƒ παραγωγίσιmicroη στο [0 1] microε συνεχή παράγωγο

για την οποία ισχύουν

( )ƒ 0 0= ( ) 1ƒ 1

2= και ( )ƒ 0 0prime gt

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ( )ξ 01isin τέτοιο ώστε ( )ƒ ξ 2ξprime =

19

Σχόλιο

Το παράδειγmicroα 5 το συζητήσαmicroε σε Εργαστήριο Εφαρmicroοσmicroένης ∆ι-

δακτικής των Μαθηmicroατικών (∆ Ντρίζος Ιανουάριος 2016 Καρδίτσα) για

να αναδείξουmicroε την παιδευτική αξία της αναζήτησης πολλών τρόπων λύσης

ενός microαθηmicroατικού ερωτήmicroατος)

1ος

τρόπος λύσης (του ∆ Ντρίζου)

Αρκεί να αποδείξουmicroε ότι η εξίσωση ( )( )2ƒ x x 0primeminus = έχει microία τουλά-

χιστον ρίζα στο διάστηmicroα ( )01 Και αυτό θα microπορούσε να προκύψει

microε εφαρmicroογή του θ του Rolle στη συνάρτηση ( ) ( ) 2g x ƒ x x= minus

[ ]x 01isin

Είναι ( )g 0 0= και ( ) ( ) 2 1 1g 1 ƒ 1 1 1

2 2= minus = minus = minus δηλαδή ( )g 1 0lt

Σχέδιο προσέγγισης του θέmicroατος

Επειδή ( )g 0 0= το ζητούmicroενο θα προέκυπτε microε εφαρmicroογή του θ του

Rolle για την g αν αποδεικνύαmicroε ότι υπάρχει αριθmicroός ( )α 01isin για

τον οποίο ( )g α 0=

Με βάση αυτή την ιδέα και παίρνοντας υπόψη ότι ( )g 1 0lt αναρω-

τιόmicroαστε microήπως θα microπορούσαmicroε να έχουmicroε κάποιο ( )β 01isin ώστε

( )g β 0gt οπότε microε εφαρmicroογή του θ του Bolzano στο διάστηmicroα [ ]β1

θα εξασφαλίζαmicroε την ύπαρξη αριθmicroού ( )α β1isin τέτοιου ώστε

( )g α 0=

Εφαρmicroογή του σχεδίου

Ισχυριζόmicroαστε ότι δεν υπάρχει κάποιο ( )β 01isin ώστε ( )g β 0gt Ισο-

δύναmicroα ότι για κάθε ( )x 01isin ισχύει ( )g x 0le

20

bull Στην περίπτωση που για κάποιο ( )x 01isin ισχύει ( )g x 0= τότε

καθώς έχουmicroε και ( )g 0 0= το ζητούmicroενο προκύπτει microε εφαρmicroογή

του θ Rolle

bull Ας εξετάσουmicroε τώρα τον ισχυρισmicroό ( )g x 0lt για κάθε ( )x 01isin

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

x 0 x 0

ƒ xg x 0 ƒ x x x

x

ƒ x ƒ 0lim lim x ƒ 0 0

x 0+ +rarr rarr

lt rArr lt rArr lt rArr

minusprimerArr lt rArr le

minus

που είναι άτοπο λόγω υπόθεσης Άρα υπάρχει κάποιο ( )β 01isin ώστε

( )g β 0gt

Με εφαρmicroογή του θ του Bolzano στο [ ]β1 παίρνουmicroε ότι υπάρχει

( )α β1isin τέτοιο ώστε ( )g α 0=

Και τέλος microε εφαρmicroογή του θ του Rolle για την g στο διάστηmicroα

[ ]0α παίρνουmicroε ότι υπάρχει ( ) ( )ξ 0α 01isin sube τέτοιο ώστε

( )g ξ 0prime = οπότε ( )ƒ ξ 2ξprime =

Σχόλια ndash Έλεγχος υποθέσεων

1 Στην παραπάνω λύση η υπόθεση ότι η ƒprime είναι συνεχής δεν microάς

χρειάστηκε

2 Η υπόθεση ( ) 1ƒ 1

2= θα microπορούσε να δίνεται γενικά ως ( )ƒ 1 θ= microε

θ 1lt

3 Ως ζητούmicroενο θα microπορούσαmicroε να έχουmicroε υπάρχει ( )ξ 01isin ώστε

( ) ν 1ƒ ξ νξ minusprime =

21

Μια γενίκευση

Έστω microια συνάρτηση ƒ παραγωγίσιmicroη στο [ ]01 για την οποία ισχύ-

ουν

( )f 0 0= ( )ƒ 1 θ 1= lt και ( )ƒ 0 0prime gt

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ( )ξ 01isin τέτοιο ώστε ( ) ν 1ƒ ξ νξ minusprime =

2ος

τρόπος λύσης (προτάθηκε από τον Θανάση Καραντάνα καθηγητή στο

4ο ΓΕΛ Καρδίτσας και τον Αιmicroίλιο Βλάστο καθηγητή στο Μουσικό

Σχολείο Καρδίτσας)

Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) 2g x ƒ x x= minus [ ]x 01isin

Είναι ( )g 0 0= και ( ) 1g 1

2= minus

Επίσης ( ) ( )g x ƒ x 2xprime prime= minus άρα ( ) ( )g 0 ƒ 0 0prime prime= gt

Οπότε από τον ορισmicroό της παραγώγου της g στο 0 από τα δεξιά

παίρνουmicroε

( ) ( ) ( )x 0 x 0

g x g 0 g xlim lim 0

x 0 x+ +rarr rarr

minus= gt

minus

Και επειδή x 0gt θα είναι και ( )g x 0gt κοντά στο 0 από τα δεξιά

Άρα θα υπάρχει ( )k 01isin τέτοιο ώστε ( )g k 0gt

Έχουmicroε λοιπόν ( ) ( )g k g 1 0sdot lt και επειδή η συνάρτηση g είναι συνε-

χής στο [ ]k1 από το θεώρηmicroα του Bolzano θα υπάρχει

( ) ( )m k1 01isin sube τέτοιο ώστε ( )g m 0=

Τέλος καθώς στο διάστηmicroα [ ]0m η g ικανοποιεί τις υποθέσεις του

θεωρήmicroατος του Rolle θα υπάρχει ( ) ( )ξ 0 m 01isin sube τέτοιο ώστε

( )g ξ 0prime = ∆ηλαδή ( )ƒ ξ 2ξprime =

22

3ος

τρόπος λύσης

Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) 2g x ƒ x x= minus [ ]x 01isin

Είναι g(0) = 0 και ( ) 1g 1

2= minus

Επίσης ( ) ( )g x ƒ x 2xprime prime= minus άρα ( ) ( )g 0 f 0 0prime prime= gt

Με εφαρmicroογή του θεωρήmicroατος Μέσης Τιmicroής για την g στα 1

02

και

11

2

βρίσκουmicroε ότι υπάρχουν 1

1x 0

2

isin

και 2

1x 1

2

isin

τέτοια

ώστε

( )1

1 1f

2 4g x

1

2

minus prime = και ( )2

1 1 1f

2 2 4g x

1

2

minus minus minus prime =

Και επειδή ( ) ( )1 2g x g x 1prime prime+ = minus προφανώς ένα τουλάχιστον από τα

( ) ( )1 2g x g xprime prime θα είναι υποχρεωτικά αρνητικό

Έστω λοιπόν ότι είναι ( )1g x 0prime lt

Τότε καθώς η gprime είναι συνεχής στο [ ]10 x και ( ) ( )1g 0 g x 0prime primesdot lt από

το θεώρηmicroα του Bolzano βρίσκουmicroε ότι θα υπάρχει ένα τουλάχιστον

( ) ( )1ξ 0 x 01isin sube τέτοιο ώστε ( )g ξ 0prime = ∆ηλαδή ( )ƒ ξ 2ξprime =

4ος

τρόπος λύσης (προτάθηκε από τον Σεραφείmicro Σαmicroορέλη καθηγητή στο

8ο ΓΕΛ Τρικάλων)

Έστω η συνάρτηση w(x) ƒ (x) 2xprime= minus microε [ )x 01isin για την οποία ι-

σχυριζόmicroαστε ότι w(x) 0ne στο [ )01

Επειδή στο διάστηmicroα [ )01 η συνάρτηση w είναι συνεχής microε

w(x) 0ne προκύπτει ότι η w διατηρεί σταθερό πρόσηmicroο στο [ )01

23

Είναι w(0) ƒ (0) 2 0 ƒ (0) 0prime prime= minus sdot = gt άρα w(x) 0gt για κάθε [ )x 01isin

οπότε και ƒ (x) 2xprime gt για κάθε [ )x 01isin (1)

Με εφαρmicroογή του ΘΜΤ για την ƒ στα διαστήmicroατα 1

02

και 1

12

προκύπτει ότι θα υπάρχουν 1

1x 0

2

isin

και 2

1x 1

2

isin

τέτοια ώστε

1

1ƒ ƒ(0)

2ƒ (x )

1

2

minus prime = και

( )2

1ƒ 1 ƒ

2ƒ (x )

1

2

minus prime =

Με πρόσθεση κατά microέλη παίρνουmicroε

1 2

1 1 1ƒ ƒ(0) ƒ(1) ƒ2 2 2ƒ (x ) ƒ (x ) 1

1 1

2 2

minus + minus prime prime+ = = = (2)

Όmicroως από τη σχέση (1) έχουmicroε 1 1

2 2

ƒ (x ) 2x

ƒ (x ) 2x

prime gt

prime gt και microε πρόσθεση κατά

microέλη παίρνουmicroε

( )2

1 2 1 2 1 2 1 2

1ƒ (x ) ƒ (x ) 2x 2x 1 2x 2x x x

2prime prime+ gt + hArr gt + hArr + lt

που είναι άτοπο καθώς 1

2

10 x

2

1x 1

2

lt lt lt lt

Εποmicroένως o ισχυρισmicroός ότι στο [ )01 είναι w(x) 0ne δεν ευσταθεί

Οπότε θα υπάρχει ( )ξ 01isin τέτοιο ώστε w(ξ) 0 ƒ (ξ) 2ξprime= hArr = (το ξ

αυτό δεν microπορεί να είναι ίσο microε 0 αφού w(0) 0gt )

24

Μια πρόταση

Έστω f και g δυο συναρτήσεις συνεχείς στο διάστηmicroα [ ]αβ για τις

οποίες ισχύει ( ) ( )f x g xgt για κάθε [ ]x αβisin

Υπάρχει πάντοτε θετικός r τέτοιος ώστε ( ) ( )f x g x rgt + για κάθε

[ ]x αβisin

Ένα ερώτηmicroα

Ποιος προβληmicroατισmicroός γεωmicroετρικής υφής θα microπορούσε να microας οδη-

γήσει στη διατύπωση της παραπάνω πρότασης

Απόδειξη της πρότασης

Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) ( )h x f x g x= minus [ ]x αβisin

Η h είναι συνεχής microε θετικές τιmicroές στο [ ]αβ οπότε θα παρουσιάζει

ελάχιστο έστω ίσο microε m mgt0

Άρα ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m mh x m f x g x m f x g x

2 2ge rArr minus ge gt rArr gt +

Οπότε ( ) ( )f x g x rgt + m

r2= microε ( )r 0misin

Σηmicroείωση

Τα παραδείγmicroατα microαθηmicroατικών που συmicroπεριέλαβα στο παρόν άρθρο ανα-

πτύχθηκαν και σε οmicroιλία microου στην Ελληνογαλλική Σχολή Καλαmicroαρί της

Θεσσαλονίκης (27 Φεβρουαρίου 2016) microε θέmicroα τα Ποιοτικά Χαρακτηριστι-

κά στη ∆ιδασκαλία των Μαθηmicroατικών Επίσης κάποια από αυτά χρησιmicroο-

ποιήθηκαν σε σεmicroινάριο ∆ιδακτικής Μαθηmicroατικών που ανέπτυξα στα Τρί-

καλα (5 και 12 Απριλίου 2016)

Αφιέρωση

Το άρθρο αυτό αφιερώνεται στη microνήmicroη του Νίκου Κλαουδάτου καθηγητή

microου κατά τα έτη 2000-2002 στο ΠΜΣ της ∆ιδακτικής και Μεθοδολογίας

των Μαθηmicroατικών στο Τmicroήmicroα Μαθηmicroατικών του ΕΚΠΑ

25

Βιβλιογραφικές αναφορές

Ξενόγλωσσες

[1] Cobb P Wood T Yackel E amp McNeal B (1992) Characteristics of clas-

room mathematics traditions An interactional analysis American Educa-

tional Research Journal 29 573-604

[2] Cobb P amp Steffe L P (1993) The constructivist researcher as the teacher

and model builder Journal for Research in Mathematics Education vol 14

pp 83-94

[3] Eisenberg T amp Dreyfus T On the reluctance to visualize in Mathematics in

Zimmerman W amp Cunnigham S (Eds) 1991 Visualization in teaching

and learning mathematics p 25-37 MAA notes no 19 Mathematical Asso-

ciation of America

[4] Vinner S Visual considerations in College Calculus ndash Students and Teach-

ers in Vermandel A amp Steiner Hans-Georg (Eds) 1988 Theory of mathe-

matics Educations (Proceeding of the third international conferens Andwerp

11-15 July 1988) p 109-116

[5] Year Book 2001 The Roles of Representation in School Mathematics Na-

tional Council of Teachers of Mathematics

Ελληνόγλωσσες

[6] Ανδρεαδάκης Σ Κατσαργύρης Β Μέτης Σ Μπρουχούτας Κ Παπα-

σταυρίδης Σ και Πολύζος Γ (2015) Μαθηmicroατικά Γ΄ Γενικού Λυκείου Οmicroά-

δας Προσανατολισmicroού Θετικών Σπουδών και Σποδών Οικονοmicroίας amp Πληρο-

φορικής Αθήνα ΙΕΠ amp ΙΤΥΕ ∆ιόφαντος

[7] Κατσαργύρης Β Μεντής Κ Παντελίδης Γ και Σουρλάς Κ (1994) Μα-

θηmicroατικά Γ΄ Λυκείου ndash Ανάλυση Αθήνα ΟΕ∆Β

[8] Κλαουδάτος Ν (2011) Σηmicroειώσεις ∆ιδακτικής Μαθηmicroατικών 1) Εισαγωγή

στη γνωσιακή θεωρία 2) Βασικές αρχές της θεωρίας Vygotsky Μεταπτυχιακό

Πρόγραmicromicroα Σπουδών ∆ιδακτικής και Μεθοδολογίας των Μαθηmicroατικών

Τmicroήmicroα Μαθηmicroατικών ΕΚΠΑ

[9] Κλαουδάτος Ν (2011) Σηmicroειώσεις ∆ιδακτικής Μαθηmicroατικών 1) ∆ιδασκαλία

και microάθηση των microαθηmicroατικών microε διαδικασίες επίλυσης προβληmicroάτων 2) Εισα-

γωγή στη Θεωρία της ∆ιδασκαλίας Μεταπτυχιακό Πρόγραmicromicroα Σπουδών ∆ιδα-

κτικής και Μεθοδολογίας των Μαθηmicroατικών Τmicroήmicroα Μαθηmicroατικών ΕΚΠΑ

26

[10] Μάκρας Στρ Γεωmicroετρική εποπτεία και απόδειξη άρθρο στο περιοδικό Ευ-

κλείδης Β΄ τχ 25 (Ιούλιος-Αύγουστος-Σεπτέmicroβριος 1997) σσ 11-17 Αθήνα

Έκδοση της ΕΜΕ

[11] Νεγρεπόντης Σ Γιωτόπουλος Σ amp Γιαννακούλιας Ε (2000) Απειροστικός

Λογισmicroός τόmicroος IIα Αθήνα Εκδόσεις Συmicromicroετρία

[12] Ντρίζος ∆ (2002) Πλεονεκτήmicroατα της γεωmicroετρικής αναπαράστασης των microα-

θηmicroατικών εννοιών Η απόδειξη του θεωρήmicroατος της Μέσης Τιmicroής του διαφο-

ρικού λογισmicroού για συναρτήσεις microιας ή δύο πραγmicroατικών microεταβλητών Ευκλεί-

δης Γ΄ τχ 77 (Ιούλιος-∆εκέmicroβριος 2012) σσ 31-45 Αθήνα Έκδοση της

ΕΜΕ

[13] Ντρίζος ∆ Τα βασικά θεωρήmicroατα του ∆ιαφορικού Λογισmicroού άρθρο στο περι-

οδικό Ευκλείδης Γ΄ τχ 70 (Ιανουάριος-Ιούνιος 2009) σσ 5-23 Αθήνα Έκδο-

ση της ΕΜΕ

[14] Ντρίζος ∆ ∆ιδακτική Αξιοποίηση Προβληmicroάτων Επαγωγικής Συλλογιστικής

στο Πλαίσιο Ανάπτυξης Ιδεών του G Polya άρθρο στο περιοδικό Ευκλείδης

Γ΄ τχ 73 (Ιούλιος-∆εκέmicroβριος 2010) σσ 29-48 Αθήνα Έκδοση της ΕΜΕ

[15] Polya G (2001) Η Μαθηmicroατική Ανακάλυψη τόmicroος 1 (microτφ Στεργιάκη Σπύ-

ρου) Αθήνα Εκδόσεις Κάτοπτρο

[16] Ρίζος Γ (2005) Οι περιπέτειες του Προβλήmicroατος στα σχολικά Μαθηmicroατικά

Θεσσαλονίκη Εκδόσεις Μαθηmicroατική Βιβλιοθήκη

[17] Spivak Michael (1991) ∆ιαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισmicroός (microτφ Γιαν-

νόπουλου Απ) Ηράκλειο Πανεπιστηmicroιακές Εκδόσεις Κρήτης

12

ΑΒ και ΑΓαντίστοιχα Να προσδιορίσετε τη θέση του Μ στη ΒΓ ώστε

το microήκος το τmicroήmicroατος ΚΛ να γίνεται ελάχιστο

23 Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓκαι σηmicroείο M που κινείται στην πλευρά ΒΓ

Φέρνουmicroε τα τmicroήmicroατα ΜΚ και ΜΛ όπου Κ σηmicroείο της πλευράς ΑΒ

και Λ σηmicroείο της πλευράς ΑΓτέτοια ώστε ΒΚΜ ΜΛΓ ω= = όπου ω

γωνία microε το ίδιο σταθερό microέτρο για οποιαδήποτε θέση του Μ Να προσδι-

ορίσετε τη θέση του Μ στη ΒΓ ώστε το microήκος το τmicroήmicroατος ΚΛ να γί-

νεται ελάχιστο

Σχόλιο

Τα επιmicroέρους θέmicroατα 21 22 και 23 της παραπάνω ενότητας θεmicroάτων Ευ-

κλείδειας Γεωmicroετρίας προτείνονται για διαπραγmicroάτευση στην τάξη στο πλαίσιο

microιας ερευνητικής δραστηριότητας που αναδεικνύει την ιδέα της γενίκευσης προ-

βλήmicroατος microε διαδοχικές microεταβολές των υποθέσεων διατηρώντας το ίδιο ζητούmicroε-

νο Εκτιmicroούmicroε ότι ανάλογες δραστηριότητες ndashυπό κατάλληλες βέβαια διδακτικές

προϋποθέσειςndash microπορούν εν δυνάmicroει να συmicroβάλλουν στην ανάπτυξη της δηmicroι-

ουργικής microαθηmicroατικής σκέψης

3 Παραδείγmicroατα που αναδεικνύουν τη φυσική ερmicroηνεία του θεωρή-

microατος του Rolle και του ΘΜΤ του Lagrange

31 Ας υποθέσουmicroε ότι microια συνάρτηση V(t) microετράει τον όγκο του αέρα

που βρίσκεται στους πνεύmicroονες ενός ανθρώπου ως προς το χρόνο t

κατά τη διάρκεια microιας αναπνοής

Υποθέτουmicroε ότι

α) η V είναι συνεχής και περιγράφεται από microια οmicroαλή καmicroπύλη

(γραφική παράσταση παραγωγίσιmicroης συνάρτησης)

β) η V(t) παίρνει την ίδια τιmicroή (περίπου 4 λίτρα) στο τέλος κάθε εισ-

πνοής

Ερώτηση Υπάρχει χρονική στιγmicroή κατά τη διάρκεια microιας αναπνοής

όπου microηδενίζεται ο ρυθmicroός microεταβολής του όγκου του αέρα που βρί-

σκεται στους πνεύmicroονες του ανθρώπου

13

32 Πετάmicroε κατακόρυφα προς τα πάνω microια microπάλα και την ξαναπιάνουmicroε

στο ίδιο ύψος από το οποίο την πετάξαmicroε

α) Να κάνετε πρόχειρα τη γραφική παράσταση της συνάρτησης θέσης

της microπάλας ως προς το χρόνο t

β) Υπάρχει χρονική στιγmicroή t1 που η ταχύτητα της microπάλας microηδενίζεται

Ποια είναι η κλίση (της εφαπτοmicroένης) της γραφικής παράστασης

της συνάρτησης θέσης στο σηmicroείο microε τετmicroηmicroένη t1

33 ∆ύο αυτοκίνητα είναι σταmicroατηmicroένα σrsquo ένα φανάρι το ένα δίπλα στο

άλλο Όταν το φανάρι ανάβει πράσινο ξεκινούν αλλά αναγκάζονται

και τα δύο να σταmicroατήσουν στο επόmicroενο φανάρι Έτσι βρίσκονται και

τα δύο σταmicroατηmicroένα πάλι το ένα δίπλα στο άλλο Υπάρχει χρονική

στιγmicroή κατά την οποία τα δύο αυτοκίνητα έτρεχαν microε την ίδια ταχύτη-

τα

34 Ένας σκιέρ κατεβαίνει microια πλαγιά ξεκινώντας από ένα σηmicroείο Α και

καταλήγοντας σε ένα σηmicroείο Β Υπάρχει περίπτωση ο σκιέρ να απο-

φύγει την κλίση του ευθ τmicroήmicroατος ΑΒ

35 Ο οδηγός ενός Jeep σκοπεύει από το σηmicroείο Α να φτάσει στο Β Η

πλαγιά ΑΒ ορίζεται από την καmicroπύλη ( )y ƒ x= και το Jeep microπορεί να

αναρριχηθεί σε κλίσεις έως 25 Ο οδηγός θα πετύχει το σκοπό του

Α

Β

15

0 m

05 Km

14

36 Ένα σωmicroατίδιο κινείται πάνω στον άξονα των τετmicroηmicroένων (των t)

Χρόνος t σε sec Θέση x(t) σε m

0 2

2 4

5 7

Ο πίνακας δείχνει τη θέση του σωmicroατιδίου σε τρεις χρονικές στιγmicroές

α) Να βρείτε η microέση ταχύτητα του σωmicroατιδίου στο χρονικό διάστηmicroα

[0 5]

β) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον χρονικές στιγmicroές

κατά τις οποίες η στιγmicroιαία ταχύτητα του σωmicroατιδίου είναι ίση microε

τη microέση ταχύτητα στο διάστηmicroα [0 5]

γ) Να εξετάσετε αν υπάρχει microία τουλάχιστον χρονική στιγmicroή κατά

την οποία η επιτάχυνση του σωmicroατιδίου microηδενίζεται

(βλ [13] σελ 11-12)

Θέmicroατα Ανάλυσης που αναδεικνύουν το ρόλο της γεωmicroετρικής εποπτείας

Παράδειγmicroα 1

Έστω κύκλος microε κέντρο ( )0Κ α 0α ne και ακτίνα ρ Αν f είναι microια

παραγωγίσιmicroη συνάρτηση τέτοια ώστε ( ) ( ) 0f α ρ f α ρminus = + = και η

γραφική της παράσταση έχει microε τον κύκλο ακόmicroη ένα τουλάχιστον

κοινό σηmicroείο να αποδείξετε ότι υπάρχουν ( )1 2 ξ ξ α ρ α ρisin minus + microε

( ) ( )1 21f ξ f ξprime primesdot = minus

Παράδειγmicroα 2

Μία συνάρτηση ƒ είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο Υπάρχει

περίπτωση η γραφική της παράσταση να microην τέmicroνει τον φορέα της διχοτό-

microου της πρώτης ορθής γωνίας των αξόνων Να αποδείξετε την εικασία σας

15

Παράδειγmicroα 3

Μια συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο ενώ

microια άλλη συνάρτηση g είναι συνεχής στο και τέτοια ώστε

( )limx

g xrarrminusinfin

= minusinfin και ( )limx

g xrarr+infin

= +infin

Να εξετάσετε αν οι γραφικές παραστάσεις των f και g τέmicroνονται

Παράδειγmicroα 4

Αν microια συνάρτηση ƒ είναι δύο φορές παραγωγίσιmicroη στο [α β] microε την

ιδιότητα ƒ(α) + ƒ(β) = α β

2 ƒ2

+ sdot

τότε υπάρχει ξisin(α β) τέτοιο ώ-

στε ( )ƒ ξ 0primeprime =

Σχόλιο

Το παράδειγmicroα 4 το συmicroπεριλάβαmicroε στο παρόν άρθρο όχι για να πα-

ρουσιάσουmicroε τη συνήθη τυπική του απόδειξη αλλά για να αναδείξουmicroε το

γεωmicroετρικό υπόβαθρο που βρίσκεται πίσω από τις συmicroβολικά διατυπωmicroένες

microαθηmicroατικές σχέσεις

xα βξ1

y

ξ2

Α

Μ

Γ Β

Λ(β ƒ(β))

ε1

ε2

Cƒ

α + β

2

Κ(α ƒα))

Ο

Μια ανάλυση των υποθέσεων

Η υπόθεση ƒ(α) + ƒ(β) = α β

2 ƒ2

+ sdot

γράφεται

16

[ ]1 α βƒ(α) ƒ(β) ƒ

2 2

+ + =

(1)

Το 1ο microέλος της υπόθεσης (1) είναι η τεταγmicroένη του microέσου Μ του

τmicroήmicroατος ΚΛ ενώ το 2ο microέλος είναι η εικόνα microέσω της ƒ του microέσου

του διαστήmicroατος [α β] Η πρώτη απλούστατη γεωmicroετρική ερmicroηνεία της

υπόθεσης (1) είναι ότι η γραφική παράσταση της ƒ τέmicroνει το τmicroήmicroα

ΚΛ στο microέσο του Μ

Επίσης το τετράπλευρο ΚΑΒΛ είναι (γενικά) τραπέζιο microε βάσεις

ΚΑ = ƒ(α) ΛΒ = ƒ(β) και διάmicroεσο την ΜΓ = α β

ƒ2

+

Η υπόθεση (1) σε γεωmicroετρική γλώσσα γράφεται

ΚΑ ΚΒΜΓ

2

+=

σχέση η οποία από την Ευκλείδεια Γεωmicroετρία συνδέει το microήκος της

διαmicroέσου του τραπεζίου ΚΑΒΛ microε τα microήκη των βάσεών του

Το γεγονός ότι η ƒ είναι δύο φορές παραγωγίσιmicroη άρα και microία φορά

microας δηλώνει ότι η γραφική παράσταση της ƒ είναι microια οmicroαλή κα-

microπύλη η οποία δέχεται εφαπτοmicroένη (όχι κατακόρυφη) σε κάθε σηmicroείο

της

Προσέγγιση θεωρητικής τεκmicroηρίωσης

Από τη διαίσθησή microας που βρίσκεται σε πλήρη αρmicroονία microε το Θεώ-

ρηmicroα Μέσης Τιmicroής του ∆ιαφορικού Λογισmicroού υπάρχουν οι εφαπτό-

microενες ευθείες ε1 και ε2 της Cƒ παράλληλες προς την ΚΛ microε συντελε-

στές διεύθυνσης αντίστοιχα ƒ΄(ξ1) και ƒ΄(ξ2)

ƒ΄(ξ1) = λΚΜ ξ1isinα β

α2

+

Είναι

ƒ΄(ξ2) = λΜΛ ξ2isinα β

β2

+

Όmicroως λΚΜ = λΜΛ οπότε ƒ΄(ξ1) = ƒ΄(ξ2) και microε απλή εφαρmicroογή του Θε-

17

ωρήmicroατος του Rolle για τη συνάρτηση ƒ΄ στο [ξ1 ξ2] παίρνουmicroε το

ζητούmicroενο ƒ΄΄(ξ) = 0 όπου ξisin(ξ1 ξ2)

Προβληmicroατισmicroός

Θα microπορούσαmicroε να καταλήξουmicroε στην ƒ΄(ξ1) = ƒ΄(ξ2) στηριζόmicroενοι

στο γεγονός ότι το ΚΑΒΛ είναι τραπέζιο

xξ1

y

ξ2Α

Μ

Γ Β

Λ

Κω

ω

Μ΄

Λ΄

Ο

1 ΚΜ

2 ΜΛ

ΜΜ΄ ΜΓ ΚΑƒ (ξ ) λ εφω (2)

ΚΜ΄ ΑΓΈχουmicroε

ΛΛ΄ ΛΒ ΜΓƒ (ξ ) λ εφω (3)

ΜΛ΄ ΓΒ

minusprime = = = =

minusprime = = = =

Τα τελευταία κλάσmicroατα των (2) και (3) είναι ίσα γιατί ΑΓ = ΓΒ και

ΜΓ ndash ΚΑ = ΛΒ ndash ΜΓ λόγω της σχέσης της διαmicroέσου ΜΓ του τρα-

πεζίου ΚΑΒΛ microε τις βάσεις του ΚΑ και ΛΒ Οπότε ƒ΄(ξ1) = ƒ΄(ξ2)

Η γεωmicroετρική ερmicroηνεία του παραπάνω θέmicroατος microάς επιτρέπει να δια-

τυπώσουmicroε την επόmicroενη γενίκευση

18

Μια γενίκευση διατυπωmicroένη εποπτικά

Έστω συνάρτηση ƒ δύο φορές παραγωγίσιmicroη στο [α β] και τα ση-

microεία Κ(α ƒ(α)) και Λ(β ƒ(β))

Αν το τmicroήmicroα ΚΛ και η γραφική παράσταση της ƒ τέmicroνονται τότε

υπάρχει ξisin(α β) τέτοιο ώστε ƒ΄΄(ξ) = 0

Η ιδέα για τη γενίκευση διατυπωmicroένη στη γλώσσα της Ανάλυσης

Αν στο παραπάνω παράδειγmicroα 4 ονοmicroάζαmicroε γ την τετmicroηmicroένη τού microέ-

σου Γ του ευθυγράmicromicroου τmicroήmicroατος ΑΒ τότε είναι γ α

1β γ

minus=

minus οπότε

α βΓ 0

2

+

Και αν παίρναmicroε το Γ(γ0) στο εσωτερικό του ΑΒ ώστε γ α κ

β γ λ

minus=

minus τό-

τε microε απλές πράξεις θα βρίσκαmicroε λα κβ

Γ 0κ λ

+ +

Η γενίκευση

Αν microια συνάρτηση f είναι δυο φορές παραγωγίσιmicroη στο διάστηmicroα

[ ]αβ microε την ιδιότητα ( ) ( ) ( ) λα κβλf α κf β κ λ f

κ λ

+ + = + +

όπου λα κβ

α βκ λ

+lt lt+

και κλ θετικοί ακέραιοι τότε υπάρχει

( )ξ αβisin τέτοιο ώστε ( )f ξ 0primeprime =

Παράδειγmicroα 5

Έστω συνάρτηση ƒ παραγωγίσιmicroη στο [0 1] microε συνεχή παράγωγο

για την οποία ισχύουν

( )ƒ 0 0= ( ) 1ƒ 1

2= και ( )ƒ 0 0prime gt

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ( )ξ 01isin τέτοιο ώστε ( )ƒ ξ 2ξprime =

19

Σχόλιο

Το παράδειγmicroα 5 το συζητήσαmicroε σε Εργαστήριο Εφαρmicroοσmicroένης ∆ι-

δακτικής των Μαθηmicroατικών (∆ Ντρίζος Ιανουάριος 2016 Καρδίτσα) για

να αναδείξουmicroε την παιδευτική αξία της αναζήτησης πολλών τρόπων λύσης

ενός microαθηmicroατικού ερωτήmicroατος)

1ος

τρόπος λύσης (του ∆ Ντρίζου)

Αρκεί να αποδείξουmicroε ότι η εξίσωση ( )( )2ƒ x x 0primeminus = έχει microία τουλά-

χιστον ρίζα στο διάστηmicroα ( )01 Και αυτό θα microπορούσε να προκύψει

microε εφαρmicroογή του θ του Rolle στη συνάρτηση ( ) ( ) 2g x ƒ x x= minus

[ ]x 01isin

Είναι ( )g 0 0= και ( ) ( ) 2 1 1g 1 ƒ 1 1 1

2 2= minus = minus = minus δηλαδή ( )g 1 0lt

Σχέδιο προσέγγισης του θέmicroατος

Επειδή ( )g 0 0= το ζητούmicroενο θα προέκυπτε microε εφαρmicroογή του θ του

Rolle για την g αν αποδεικνύαmicroε ότι υπάρχει αριθmicroός ( )α 01isin για

τον οποίο ( )g α 0=

Με βάση αυτή την ιδέα και παίρνοντας υπόψη ότι ( )g 1 0lt αναρω-

τιόmicroαστε microήπως θα microπορούσαmicroε να έχουmicroε κάποιο ( )β 01isin ώστε

( )g β 0gt οπότε microε εφαρmicroογή του θ του Bolzano στο διάστηmicroα [ ]β1

θα εξασφαλίζαmicroε την ύπαρξη αριθmicroού ( )α β1isin τέτοιου ώστε

( )g α 0=

Εφαρmicroογή του σχεδίου

Ισχυριζόmicroαστε ότι δεν υπάρχει κάποιο ( )β 01isin ώστε ( )g β 0gt Ισο-

δύναmicroα ότι για κάθε ( )x 01isin ισχύει ( )g x 0le

20

bull Στην περίπτωση που για κάποιο ( )x 01isin ισχύει ( )g x 0= τότε

καθώς έχουmicroε και ( )g 0 0= το ζητούmicroενο προκύπτει microε εφαρmicroογή

του θ Rolle

bull Ας εξετάσουmicroε τώρα τον ισχυρισmicroό ( )g x 0lt για κάθε ( )x 01isin

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

x 0 x 0

ƒ xg x 0 ƒ x x x

x

ƒ x ƒ 0lim lim x ƒ 0 0

x 0+ +rarr rarr

lt rArr lt rArr lt rArr

minusprimerArr lt rArr le

minus

που είναι άτοπο λόγω υπόθεσης Άρα υπάρχει κάποιο ( )β 01isin ώστε

( )g β 0gt

Με εφαρmicroογή του θ του Bolzano στο [ ]β1 παίρνουmicroε ότι υπάρχει

( )α β1isin τέτοιο ώστε ( )g α 0=

Και τέλος microε εφαρmicroογή του θ του Rolle για την g στο διάστηmicroα

[ ]0α παίρνουmicroε ότι υπάρχει ( ) ( )ξ 0α 01isin sube τέτοιο ώστε

( )g ξ 0prime = οπότε ( )ƒ ξ 2ξprime =

Σχόλια ndash Έλεγχος υποθέσεων

1 Στην παραπάνω λύση η υπόθεση ότι η ƒprime είναι συνεχής δεν microάς

χρειάστηκε

2 Η υπόθεση ( ) 1ƒ 1

2= θα microπορούσε να δίνεται γενικά ως ( )ƒ 1 θ= microε

θ 1lt

3 Ως ζητούmicroενο θα microπορούσαmicroε να έχουmicroε υπάρχει ( )ξ 01isin ώστε

( ) ν 1ƒ ξ νξ minusprime =

21

Μια γενίκευση

Έστω microια συνάρτηση ƒ παραγωγίσιmicroη στο [ ]01 για την οποία ισχύ-

ουν

( )f 0 0= ( )ƒ 1 θ 1= lt και ( )ƒ 0 0prime gt

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ( )ξ 01isin τέτοιο ώστε ( ) ν 1ƒ ξ νξ minusprime =

2ος

τρόπος λύσης (προτάθηκε από τον Θανάση Καραντάνα καθηγητή στο

4ο ΓΕΛ Καρδίτσας και τον Αιmicroίλιο Βλάστο καθηγητή στο Μουσικό

Σχολείο Καρδίτσας)

Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) 2g x ƒ x x= minus [ ]x 01isin

Είναι ( )g 0 0= και ( ) 1g 1

2= minus

Επίσης ( ) ( )g x ƒ x 2xprime prime= minus άρα ( ) ( )g 0 ƒ 0 0prime prime= gt

Οπότε από τον ορισmicroό της παραγώγου της g στο 0 από τα δεξιά

παίρνουmicroε

( ) ( ) ( )x 0 x 0

g x g 0 g xlim lim 0

x 0 x+ +rarr rarr

minus= gt

minus

Και επειδή x 0gt θα είναι και ( )g x 0gt κοντά στο 0 από τα δεξιά

Άρα θα υπάρχει ( )k 01isin τέτοιο ώστε ( )g k 0gt

Έχουmicroε λοιπόν ( ) ( )g k g 1 0sdot lt και επειδή η συνάρτηση g είναι συνε-

χής στο [ ]k1 από το θεώρηmicroα του Bolzano θα υπάρχει

( ) ( )m k1 01isin sube τέτοιο ώστε ( )g m 0=

Τέλος καθώς στο διάστηmicroα [ ]0m η g ικανοποιεί τις υποθέσεις του

θεωρήmicroατος του Rolle θα υπάρχει ( ) ( )ξ 0 m 01isin sube τέτοιο ώστε

( )g ξ 0prime = ∆ηλαδή ( )ƒ ξ 2ξprime =

22

3ος

τρόπος λύσης

Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) 2g x ƒ x x= minus [ ]x 01isin

Είναι g(0) = 0 και ( ) 1g 1

2= minus

Επίσης ( ) ( )g x ƒ x 2xprime prime= minus άρα ( ) ( )g 0 f 0 0prime prime= gt

Με εφαρmicroογή του θεωρήmicroατος Μέσης Τιmicroής για την g στα 1

02

και

11

2

βρίσκουmicroε ότι υπάρχουν 1

1x 0

2

isin

και 2

1x 1

2

isin

τέτοια

ώστε

( )1

1 1f

2 4g x

1

2

minus prime = και ( )2

1 1 1f

2 2 4g x

1

2

minus minus minus prime =

Και επειδή ( ) ( )1 2g x g x 1prime prime+ = minus προφανώς ένα τουλάχιστον από τα

( ) ( )1 2g x g xprime prime θα είναι υποχρεωτικά αρνητικό

Έστω λοιπόν ότι είναι ( )1g x 0prime lt

Τότε καθώς η gprime είναι συνεχής στο [ ]10 x και ( ) ( )1g 0 g x 0prime primesdot lt από

το θεώρηmicroα του Bolzano βρίσκουmicroε ότι θα υπάρχει ένα τουλάχιστον

( ) ( )1ξ 0 x 01isin sube τέτοιο ώστε ( )g ξ 0prime = ∆ηλαδή ( )ƒ ξ 2ξprime =

4ος

τρόπος λύσης (προτάθηκε από τον Σεραφείmicro Σαmicroορέλη καθηγητή στο

8ο ΓΕΛ Τρικάλων)

Έστω η συνάρτηση w(x) ƒ (x) 2xprime= minus microε [ )x 01isin για την οποία ι-

σχυριζόmicroαστε ότι w(x) 0ne στο [ )01

Επειδή στο διάστηmicroα [ )01 η συνάρτηση w είναι συνεχής microε

w(x) 0ne προκύπτει ότι η w διατηρεί σταθερό πρόσηmicroο στο [ )01

23

Είναι w(0) ƒ (0) 2 0 ƒ (0) 0prime prime= minus sdot = gt άρα w(x) 0gt για κάθε [ )x 01isin

οπότε και ƒ (x) 2xprime gt για κάθε [ )x 01isin (1)

Με εφαρmicroογή του ΘΜΤ για την ƒ στα διαστήmicroατα 1

02

και 1

12

προκύπτει ότι θα υπάρχουν 1

1x 0

2

isin

και 2

1x 1

2

isin

τέτοια ώστε

1

1ƒ ƒ(0)

2ƒ (x )

1

2

minus prime = και

( )2

1ƒ 1 ƒ

2ƒ (x )

1

2

minus prime =

Με πρόσθεση κατά microέλη παίρνουmicroε

1 2

1 1 1ƒ ƒ(0) ƒ(1) ƒ2 2 2ƒ (x ) ƒ (x ) 1

1 1

2 2

minus + minus prime prime+ = = = (2)

Όmicroως από τη σχέση (1) έχουmicroε 1 1

2 2

ƒ (x ) 2x

ƒ (x ) 2x

prime gt

prime gt και microε πρόσθεση κατά

microέλη παίρνουmicroε

( )2

1 2 1 2 1 2 1 2

1ƒ (x ) ƒ (x ) 2x 2x 1 2x 2x x x

2prime prime+ gt + hArr gt + hArr + lt

που είναι άτοπο καθώς 1

2

10 x

2

1x 1

2

lt lt lt lt

Εποmicroένως o ισχυρισmicroός ότι στο [ )01 είναι w(x) 0ne δεν ευσταθεί

Οπότε θα υπάρχει ( )ξ 01isin τέτοιο ώστε w(ξ) 0 ƒ (ξ) 2ξprime= hArr = (το ξ

αυτό δεν microπορεί να είναι ίσο microε 0 αφού w(0) 0gt )

24

Μια πρόταση

Έστω f και g δυο συναρτήσεις συνεχείς στο διάστηmicroα [ ]αβ για τις

οποίες ισχύει ( ) ( )f x g xgt για κάθε [ ]x αβisin

Υπάρχει πάντοτε θετικός r τέτοιος ώστε ( ) ( )f x g x rgt + για κάθε

[ ]x αβisin

Ένα ερώτηmicroα

Ποιος προβληmicroατισmicroός γεωmicroετρικής υφής θα microπορούσε να microας οδη-

γήσει στη διατύπωση της παραπάνω πρότασης

Απόδειξη της πρότασης

Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) ( )h x f x g x= minus [ ]x αβisin

Η h είναι συνεχής microε θετικές τιmicroές στο [ ]αβ οπότε θα παρουσιάζει

ελάχιστο έστω ίσο microε m mgt0

Άρα ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m mh x m f x g x m f x g x

2 2ge rArr minus ge gt rArr gt +

Οπότε ( ) ( )f x g x rgt + m

r2= microε ( )r 0misin

Σηmicroείωση

Τα παραδείγmicroατα microαθηmicroατικών που συmicroπεριέλαβα στο παρόν άρθρο ανα-

πτύχθηκαν και σε οmicroιλία microου στην Ελληνογαλλική Σχολή Καλαmicroαρί της

Θεσσαλονίκης (27 Φεβρουαρίου 2016) microε θέmicroα τα Ποιοτικά Χαρακτηριστι-

κά στη ∆ιδασκαλία των Μαθηmicroατικών Επίσης κάποια από αυτά χρησιmicroο-

ποιήθηκαν σε σεmicroινάριο ∆ιδακτικής Μαθηmicroατικών που ανέπτυξα στα Τρί-

καλα (5 και 12 Απριλίου 2016)

Αφιέρωση

Το άρθρο αυτό αφιερώνεται στη microνήmicroη του Νίκου Κλαουδάτου καθηγητή

microου κατά τα έτη 2000-2002 στο ΠΜΣ της ∆ιδακτικής και Μεθοδολογίας

των Μαθηmicroατικών στο Τmicroήmicroα Μαθηmicroατικών του ΕΚΠΑ

25

Βιβλιογραφικές αναφορές

Ξενόγλωσσες

[1] Cobb P Wood T Yackel E amp McNeal B (1992) Characteristics of clas-

room mathematics traditions An interactional analysis American Educa-

tional Research Journal 29 573-604

[2] Cobb P amp Steffe L P (1993) The constructivist researcher as the teacher

and model builder Journal for Research in Mathematics Education vol 14

pp 83-94

[3] Eisenberg T amp Dreyfus T On the reluctance to visualize in Mathematics in

Zimmerman W amp Cunnigham S (Eds) 1991 Visualization in teaching

and learning mathematics p 25-37 MAA notes no 19 Mathematical Asso-

ciation of America

[4] Vinner S Visual considerations in College Calculus ndash Students and Teach-

ers in Vermandel A amp Steiner Hans-Georg (Eds) 1988 Theory of mathe-

matics Educations (Proceeding of the third international conferens Andwerp

11-15 July 1988) p 109-116

[5] Year Book 2001 The Roles of Representation in School Mathematics Na-

tional Council of Teachers of Mathematics

Ελληνόγλωσσες

[6] Ανδρεαδάκης Σ Κατσαργύρης Β Μέτης Σ Μπρουχούτας Κ Παπα-

σταυρίδης Σ και Πολύζος Γ (2015) Μαθηmicroατικά Γ΄ Γενικού Λυκείου Οmicroά-

δας Προσανατολισmicroού Θετικών Σπουδών και Σποδών Οικονοmicroίας amp Πληρο-

φορικής Αθήνα ΙΕΠ amp ΙΤΥΕ ∆ιόφαντος

[7] Κατσαργύρης Β Μεντής Κ Παντελίδης Γ και Σουρλάς Κ (1994) Μα-

θηmicroατικά Γ΄ Λυκείου ndash Ανάλυση Αθήνα ΟΕ∆Β

[8] Κλαουδάτος Ν (2011) Σηmicroειώσεις ∆ιδακτικής Μαθηmicroατικών 1) Εισαγωγή

στη γνωσιακή θεωρία 2) Βασικές αρχές της θεωρίας Vygotsky Μεταπτυχιακό

Πρόγραmicromicroα Σπουδών ∆ιδακτικής και Μεθοδολογίας των Μαθηmicroατικών

Τmicroήmicroα Μαθηmicroατικών ΕΚΠΑ

[9] Κλαουδάτος Ν (2011) Σηmicroειώσεις ∆ιδακτικής Μαθηmicroατικών 1) ∆ιδασκαλία

και microάθηση των microαθηmicroατικών microε διαδικασίες επίλυσης προβληmicroάτων 2) Εισα-

γωγή στη Θεωρία της ∆ιδασκαλίας Μεταπτυχιακό Πρόγραmicromicroα Σπουδών ∆ιδα-

κτικής και Μεθοδολογίας των Μαθηmicroατικών Τmicroήmicroα Μαθηmicroατικών ΕΚΠΑ

26

[10] Μάκρας Στρ Γεωmicroετρική εποπτεία και απόδειξη άρθρο στο περιοδικό Ευ-

κλείδης Β΄ τχ 25 (Ιούλιος-Αύγουστος-Σεπτέmicroβριος 1997) σσ 11-17 Αθήνα

Έκδοση της ΕΜΕ

[11] Νεγρεπόντης Σ Γιωτόπουλος Σ amp Γιαννακούλιας Ε (2000) Απειροστικός

Λογισmicroός τόmicroος IIα Αθήνα Εκδόσεις Συmicromicroετρία

[12] Ντρίζος ∆ (2002) Πλεονεκτήmicroατα της γεωmicroετρικής αναπαράστασης των microα-

θηmicroατικών εννοιών Η απόδειξη του θεωρήmicroατος της Μέσης Τιmicroής του διαφο-

ρικού λογισmicroού για συναρτήσεις microιας ή δύο πραγmicroατικών microεταβλητών Ευκλεί-

δης Γ΄ τχ 77 (Ιούλιος-∆εκέmicroβριος 2012) σσ 31-45 Αθήνα Έκδοση της

ΕΜΕ

[13] Ντρίζος ∆ Τα βασικά θεωρήmicroατα του ∆ιαφορικού Λογισmicroού άρθρο στο περι-

οδικό Ευκλείδης Γ΄ τχ 70 (Ιανουάριος-Ιούνιος 2009) σσ 5-23 Αθήνα Έκδο-

ση της ΕΜΕ

[14] Ντρίζος ∆ ∆ιδακτική Αξιοποίηση Προβληmicroάτων Επαγωγικής Συλλογιστικής

στο Πλαίσιο Ανάπτυξης Ιδεών του G Polya άρθρο στο περιοδικό Ευκλείδης

Γ΄ τχ 73 (Ιούλιος-∆εκέmicroβριος 2010) σσ 29-48 Αθήνα Έκδοση της ΕΜΕ

[15] Polya G (2001) Η Μαθηmicroατική Ανακάλυψη τόmicroος 1 (microτφ Στεργιάκη Σπύ-

ρου) Αθήνα Εκδόσεις Κάτοπτρο

[16] Ρίζος Γ (2005) Οι περιπέτειες του Προβλήmicroατος στα σχολικά Μαθηmicroατικά

Θεσσαλονίκη Εκδόσεις Μαθηmicroατική Βιβλιοθήκη

[17] Spivak Michael (1991) ∆ιαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισmicroός (microτφ Γιαν-

νόπουλου Απ) Ηράκλειο Πανεπιστηmicroιακές Εκδόσεις Κρήτης

13

32 Πετάmicroε κατακόρυφα προς τα πάνω microια microπάλα και την ξαναπιάνουmicroε

στο ίδιο ύψος από το οποίο την πετάξαmicroε

α) Να κάνετε πρόχειρα τη γραφική παράσταση της συνάρτησης θέσης

της microπάλας ως προς το χρόνο t

β) Υπάρχει χρονική στιγmicroή t1 που η ταχύτητα της microπάλας microηδενίζεται

Ποια είναι η κλίση (της εφαπτοmicroένης) της γραφικής παράστασης

της συνάρτησης θέσης στο σηmicroείο microε τετmicroηmicroένη t1

33 ∆ύο αυτοκίνητα είναι σταmicroατηmicroένα σrsquo ένα φανάρι το ένα δίπλα στο

άλλο Όταν το φανάρι ανάβει πράσινο ξεκινούν αλλά αναγκάζονται

και τα δύο να σταmicroατήσουν στο επόmicroενο φανάρι Έτσι βρίσκονται και

τα δύο σταmicroατηmicroένα πάλι το ένα δίπλα στο άλλο Υπάρχει χρονική

στιγmicroή κατά την οποία τα δύο αυτοκίνητα έτρεχαν microε την ίδια ταχύτη-

τα

34 Ένας σκιέρ κατεβαίνει microια πλαγιά ξεκινώντας από ένα σηmicroείο Α και

καταλήγοντας σε ένα σηmicroείο Β Υπάρχει περίπτωση ο σκιέρ να απο-

φύγει την κλίση του ευθ τmicroήmicroατος ΑΒ

35 Ο οδηγός ενός Jeep σκοπεύει από το σηmicroείο Α να φτάσει στο Β Η

πλαγιά ΑΒ ορίζεται από την καmicroπύλη ( )y ƒ x= και το Jeep microπορεί να

αναρριχηθεί σε κλίσεις έως 25 Ο οδηγός θα πετύχει το σκοπό του

Α

Β

15

0 m

05 Km

14

36 Ένα σωmicroατίδιο κινείται πάνω στον άξονα των τετmicroηmicroένων (των t)

Χρόνος t σε sec Θέση x(t) σε m

0 2

2 4

5 7

Ο πίνακας δείχνει τη θέση του σωmicroατιδίου σε τρεις χρονικές στιγmicroές

α) Να βρείτε η microέση ταχύτητα του σωmicroατιδίου στο χρονικό διάστηmicroα

[0 5]

β) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον χρονικές στιγmicroές

κατά τις οποίες η στιγmicroιαία ταχύτητα του σωmicroατιδίου είναι ίση microε

τη microέση ταχύτητα στο διάστηmicroα [0 5]

γ) Να εξετάσετε αν υπάρχει microία τουλάχιστον χρονική στιγmicroή κατά

την οποία η επιτάχυνση του σωmicroατιδίου microηδενίζεται

(βλ [13] σελ 11-12)

Θέmicroατα Ανάλυσης που αναδεικνύουν το ρόλο της γεωmicroετρικής εποπτείας

Παράδειγmicroα 1

Έστω κύκλος microε κέντρο ( )0Κ α 0α ne και ακτίνα ρ Αν f είναι microια

παραγωγίσιmicroη συνάρτηση τέτοια ώστε ( ) ( ) 0f α ρ f α ρminus = + = και η

γραφική της παράσταση έχει microε τον κύκλο ακόmicroη ένα τουλάχιστον

κοινό σηmicroείο να αποδείξετε ότι υπάρχουν ( )1 2 ξ ξ α ρ α ρisin minus + microε

( ) ( )1 21f ξ f ξprime primesdot = minus

Παράδειγmicroα 2

Μία συνάρτηση ƒ είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο Υπάρχει

περίπτωση η γραφική της παράσταση να microην τέmicroνει τον φορέα της διχοτό-

microου της πρώτης ορθής γωνίας των αξόνων Να αποδείξετε την εικασία σας

15

Παράδειγmicroα 3

Μια συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο ενώ

microια άλλη συνάρτηση g είναι συνεχής στο και τέτοια ώστε

( )limx

g xrarrminusinfin

= minusinfin και ( )limx

g xrarr+infin

= +infin

Να εξετάσετε αν οι γραφικές παραστάσεις των f και g τέmicroνονται

Παράδειγmicroα 4

Αν microια συνάρτηση ƒ είναι δύο φορές παραγωγίσιmicroη στο [α β] microε την

ιδιότητα ƒ(α) + ƒ(β) = α β

2 ƒ2

+ sdot

τότε υπάρχει ξisin(α β) τέτοιο ώ-

στε ( )ƒ ξ 0primeprime =

Σχόλιο

Το παράδειγmicroα 4 το συmicroπεριλάβαmicroε στο παρόν άρθρο όχι για να πα-

ρουσιάσουmicroε τη συνήθη τυπική του απόδειξη αλλά για να αναδείξουmicroε το

γεωmicroετρικό υπόβαθρο που βρίσκεται πίσω από τις συmicroβολικά διατυπωmicroένες

microαθηmicroατικές σχέσεις

xα βξ1

y

ξ2

Α

Μ

Γ Β

Λ(β ƒ(β))

ε1

ε2

Cƒ

α + β

2

Κ(α ƒα))

Ο

Μια ανάλυση των υποθέσεων

Η υπόθεση ƒ(α) + ƒ(β) = α β

2 ƒ2

+ sdot

γράφεται

16

[ ]1 α βƒ(α) ƒ(β) ƒ

2 2

+ + =

(1)

Το 1ο microέλος της υπόθεσης (1) είναι η τεταγmicroένη του microέσου Μ του

τmicroήmicroατος ΚΛ ενώ το 2ο microέλος είναι η εικόνα microέσω της ƒ του microέσου

του διαστήmicroατος [α β] Η πρώτη απλούστατη γεωmicroετρική ερmicroηνεία της

υπόθεσης (1) είναι ότι η γραφική παράσταση της ƒ τέmicroνει το τmicroήmicroα

ΚΛ στο microέσο του Μ

Επίσης το τετράπλευρο ΚΑΒΛ είναι (γενικά) τραπέζιο microε βάσεις

ΚΑ = ƒ(α) ΛΒ = ƒ(β) και διάmicroεσο την ΜΓ = α β

ƒ2

+

Η υπόθεση (1) σε γεωmicroετρική γλώσσα γράφεται

ΚΑ ΚΒΜΓ

2

+=

σχέση η οποία από την Ευκλείδεια Γεωmicroετρία συνδέει το microήκος της

διαmicroέσου του τραπεζίου ΚΑΒΛ microε τα microήκη των βάσεών του

Το γεγονός ότι η ƒ είναι δύο φορές παραγωγίσιmicroη άρα και microία φορά

microας δηλώνει ότι η γραφική παράσταση της ƒ είναι microια οmicroαλή κα-

microπύλη η οποία δέχεται εφαπτοmicroένη (όχι κατακόρυφη) σε κάθε σηmicroείο

της

Προσέγγιση θεωρητικής τεκmicroηρίωσης

Από τη διαίσθησή microας που βρίσκεται σε πλήρη αρmicroονία microε το Θεώ-

ρηmicroα Μέσης Τιmicroής του ∆ιαφορικού Λογισmicroού υπάρχουν οι εφαπτό-

microενες ευθείες ε1 και ε2 της Cƒ παράλληλες προς την ΚΛ microε συντελε-

στές διεύθυνσης αντίστοιχα ƒ΄(ξ1) και ƒ΄(ξ2)

ƒ΄(ξ1) = λΚΜ ξ1isinα β

α2

+

Είναι

ƒ΄(ξ2) = λΜΛ ξ2isinα β

β2

+

Όmicroως λΚΜ = λΜΛ οπότε ƒ΄(ξ1) = ƒ΄(ξ2) και microε απλή εφαρmicroογή του Θε-

17

ωρήmicroατος του Rolle για τη συνάρτηση ƒ΄ στο [ξ1 ξ2] παίρνουmicroε το

ζητούmicroενο ƒ΄΄(ξ) = 0 όπου ξisin(ξ1 ξ2)

Προβληmicroατισmicroός

Θα microπορούσαmicroε να καταλήξουmicroε στην ƒ΄(ξ1) = ƒ΄(ξ2) στηριζόmicroενοι

στο γεγονός ότι το ΚΑΒΛ είναι τραπέζιο

xξ1

y

ξ2Α

Μ

Γ Β

Λ

Κω

ω

Μ΄

Λ΄

Ο

1 ΚΜ

2 ΜΛ

ΜΜ΄ ΜΓ ΚΑƒ (ξ ) λ εφω (2)

ΚΜ΄ ΑΓΈχουmicroε

ΛΛ΄ ΛΒ ΜΓƒ (ξ ) λ εφω (3)

ΜΛ΄ ΓΒ

minusprime = = = =

minusprime = = = =

Τα τελευταία κλάσmicroατα των (2) και (3) είναι ίσα γιατί ΑΓ = ΓΒ και

ΜΓ ndash ΚΑ = ΛΒ ndash ΜΓ λόγω της σχέσης της διαmicroέσου ΜΓ του τρα-

πεζίου ΚΑΒΛ microε τις βάσεις του ΚΑ και ΛΒ Οπότε ƒ΄(ξ1) = ƒ΄(ξ2)

Η γεωmicroετρική ερmicroηνεία του παραπάνω θέmicroατος microάς επιτρέπει να δια-

τυπώσουmicroε την επόmicroενη γενίκευση

18

Μια γενίκευση διατυπωmicroένη εποπτικά

Έστω συνάρτηση ƒ δύο φορές παραγωγίσιmicroη στο [α β] και τα ση-

microεία Κ(α ƒ(α)) και Λ(β ƒ(β))

Αν το τmicroήmicroα ΚΛ και η γραφική παράσταση της ƒ τέmicroνονται τότε

υπάρχει ξisin(α β) τέτοιο ώστε ƒ΄΄(ξ) = 0

Η ιδέα για τη γενίκευση διατυπωmicroένη στη γλώσσα της Ανάλυσης

Αν στο παραπάνω παράδειγmicroα 4 ονοmicroάζαmicroε γ την τετmicroηmicroένη τού microέ-

σου Γ του ευθυγράmicromicroου τmicroήmicroατος ΑΒ τότε είναι γ α

1β γ

minus=

minus οπότε

α βΓ 0

2

+

Και αν παίρναmicroε το Γ(γ0) στο εσωτερικό του ΑΒ ώστε γ α κ

β γ λ

minus=

minus τό-

τε microε απλές πράξεις θα βρίσκαmicroε λα κβ

Γ 0κ λ

+ +

Η γενίκευση

Αν microια συνάρτηση f είναι δυο φορές παραγωγίσιmicroη στο διάστηmicroα

[ ]αβ microε την ιδιότητα ( ) ( ) ( ) λα κβλf α κf β κ λ f

κ λ

+ + = + +

όπου λα κβ

α βκ λ

+lt lt+

και κλ θετικοί ακέραιοι τότε υπάρχει

( )ξ αβisin τέτοιο ώστε ( )f ξ 0primeprime =

Παράδειγmicroα 5

Έστω συνάρτηση ƒ παραγωγίσιmicroη στο [0 1] microε συνεχή παράγωγο

για την οποία ισχύουν

( )ƒ 0 0= ( ) 1ƒ 1

2= και ( )ƒ 0 0prime gt

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ( )ξ 01isin τέτοιο ώστε ( )ƒ ξ 2ξprime =

19

Σχόλιο

Το παράδειγmicroα 5 το συζητήσαmicroε σε Εργαστήριο Εφαρmicroοσmicroένης ∆ι-

δακτικής των Μαθηmicroατικών (∆ Ντρίζος Ιανουάριος 2016 Καρδίτσα) για

να αναδείξουmicroε την παιδευτική αξία της αναζήτησης πολλών τρόπων λύσης

ενός microαθηmicroατικού ερωτήmicroατος)

1ος

τρόπος λύσης (του ∆ Ντρίζου)

Αρκεί να αποδείξουmicroε ότι η εξίσωση ( )( )2ƒ x x 0primeminus = έχει microία τουλά-

χιστον ρίζα στο διάστηmicroα ( )01 Και αυτό θα microπορούσε να προκύψει

microε εφαρmicroογή του θ του Rolle στη συνάρτηση ( ) ( ) 2g x ƒ x x= minus

[ ]x 01isin

Είναι ( )g 0 0= και ( ) ( ) 2 1 1g 1 ƒ 1 1 1

2 2= minus = minus = minus δηλαδή ( )g 1 0lt

Σχέδιο προσέγγισης του θέmicroατος

Επειδή ( )g 0 0= το ζητούmicroενο θα προέκυπτε microε εφαρmicroογή του θ του

Rolle για την g αν αποδεικνύαmicroε ότι υπάρχει αριθmicroός ( )α 01isin για

τον οποίο ( )g α 0=

Με βάση αυτή την ιδέα και παίρνοντας υπόψη ότι ( )g 1 0lt αναρω-

τιόmicroαστε microήπως θα microπορούσαmicroε να έχουmicroε κάποιο ( )β 01isin ώστε

( )g β 0gt οπότε microε εφαρmicroογή του θ του Bolzano στο διάστηmicroα [ ]β1

θα εξασφαλίζαmicroε την ύπαρξη αριθmicroού ( )α β1isin τέτοιου ώστε

( )g α 0=

Εφαρmicroογή του σχεδίου

Ισχυριζόmicroαστε ότι δεν υπάρχει κάποιο ( )β 01isin ώστε ( )g β 0gt Ισο-

δύναmicroα ότι για κάθε ( )x 01isin ισχύει ( )g x 0le

20

bull Στην περίπτωση που για κάποιο ( )x 01isin ισχύει ( )g x 0= τότε

καθώς έχουmicroε και ( )g 0 0= το ζητούmicroενο προκύπτει microε εφαρmicroογή

του θ Rolle

bull Ας εξετάσουmicroε τώρα τον ισχυρισmicroό ( )g x 0lt για κάθε ( )x 01isin

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

x 0 x 0

ƒ xg x 0 ƒ x x x

x

ƒ x ƒ 0lim lim x ƒ 0 0

x 0+ +rarr rarr

lt rArr lt rArr lt rArr

minusprimerArr lt rArr le

minus

που είναι άτοπο λόγω υπόθεσης Άρα υπάρχει κάποιο ( )β 01isin ώστε

( )g β 0gt

Με εφαρmicroογή του θ του Bolzano στο [ ]β1 παίρνουmicroε ότι υπάρχει

( )α β1isin τέτοιο ώστε ( )g α 0=

Και τέλος microε εφαρmicroογή του θ του Rolle για την g στο διάστηmicroα

[ ]0α παίρνουmicroε ότι υπάρχει ( ) ( )ξ 0α 01isin sube τέτοιο ώστε

( )g ξ 0prime = οπότε ( )ƒ ξ 2ξprime =

Σχόλια ndash Έλεγχος υποθέσεων

1 Στην παραπάνω λύση η υπόθεση ότι η ƒprime είναι συνεχής δεν microάς

χρειάστηκε

2 Η υπόθεση ( ) 1ƒ 1

2= θα microπορούσε να δίνεται γενικά ως ( )ƒ 1 θ= microε

θ 1lt

3 Ως ζητούmicroενο θα microπορούσαmicroε να έχουmicroε υπάρχει ( )ξ 01isin ώστε

( ) ν 1ƒ ξ νξ minusprime =

21

Μια γενίκευση

Έστω microια συνάρτηση ƒ παραγωγίσιmicroη στο [ ]01 για την οποία ισχύ-

ουν

( )f 0 0= ( )ƒ 1 θ 1= lt και ( )ƒ 0 0prime gt

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ( )ξ 01isin τέτοιο ώστε ( ) ν 1ƒ ξ νξ minusprime =

2ος

τρόπος λύσης (προτάθηκε από τον Θανάση Καραντάνα καθηγητή στο

4ο ΓΕΛ Καρδίτσας και τον Αιmicroίλιο Βλάστο καθηγητή στο Μουσικό

Σχολείο Καρδίτσας)

Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) 2g x ƒ x x= minus [ ]x 01isin

Είναι ( )g 0 0= και ( ) 1g 1

2= minus

Επίσης ( ) ( )g x ƒ x 2xprime prime= minus άρα ( ) ( )g 0 ƒ 0 0prime prime= gt

Οπότε από τον ορισmicroό της παραγώγου της g στο 0 από τα δεξιά

παίρνουmicroε

( ) ( ) ( )x 0 x 0

g x g 0 g xlim lim 0

x 0 x+ +rarr rarr

minus= gt

minus

Και επειδή x 0gt θα είναι και ( )g x 0gt κοντά στο 0 από τα δεξιά

Άρα θα υπάρχει ( )k 01isin τέτοιο ώστε ( )g k 0gt

Έχουmicroε λοιπόν ( ) ( )g k g 1 0sdot lt και επειδή η συνάρτηση g είναι συνε-

χής στο [ ]k1 από το θεώρηmicroα του Bolzano θα υπάρχει

( ) ( )m k1 01isin sube τέτοιο ώστε ( )g m 0=

Τέλος καθώς στο διάστηmicroα [ ]0m η g ικανοποιεί τις υποθέσεις του

θεωρήmicroατος του Rolle θα υπάρχει ( ) ( )ξ 0 m 01isin sube τέτοιο ώστε

( )g ξ 0prime = ∆ηλαδή ( )ƒ ξ 2ξprime =

22

3ος

τρόπος λύσης

Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) 2g x ƒ x x= minus [ ]x 01isin

Είναι g(0) = 0 και ( ) 1g 1

2= minus

Επίσης ( ) ( )g x ƒ x 2xprime prime= minus άρα ( ) ( )g 0 f 0 0prime prime= gt

Με εφαρmicroογή του θεωρήmicroατος Μέσης Τιmicroής για την g στα 1

02

και

11

2

βρίσκουmicroε ότι υπάρχουν 1

1x 0

2

isin

και 2

1x 1

2

isin

τέτοια

ώστε

( )1

1 1f

2 4g x

1

2

minus prime = και ( )2

1 1 1f

2 2 4g x

1

2

minus minus minus prime =

Και επειδή ( ) ( )1 2g x g x 1prime prime+ = minus προφανώς ένα τουλάχιστον από τα

( ) ( )1 2g x g xprime prime θα είναι υποχρεωτικά αρνητικό

Έστω λοιπόν ότι είναι ( )1g x 0prime lt

Τότε καθώς η gprime είναι συνεχής στο [ ]10 x και ( ) ( )1g 0 g x 0prime primesdot lt από

το θεώρηmicroα του Bolzano βρίσκουmicroε ότι θα υπάρχει ένα τουλάχιστον

( ) ( )1ξ 0 x 01isin sube τέτοιο ώστε ( )g ξ 0prime = ∆ηλαδή ( )ƒ ξ 2ξprime =

4ος

τρόπος λύσης (προτάθηκε από τον Σεραφείmicro Σαmicroορέλη καθηγητή στο

8ο ΓΕΛ Τρικάλων)

Έστω η συνάρτηση w(x) ƒ (x) 2xprime= minus microε [ )x 01isin για την οποία ι-

σχυριζόmicroαστε ότι w(x) 0ne στο [ )01

Επειδή στο διάστηmicroα [ )01 η συνάρτηση w είναι συνεχής microε

w(x) 0ne προκύπτει ότι η w διατηρεί σταθερό πρόσηmicroο στο [ )01

23

Είναι w(0) ƒ (0) 2 0 ƒ (0) 0prime prime= minus sdot = gt άρα w(x) 0gt για κάθε [ )x 01isin

οπότε και ƒ (x) 2xprime gt για κάθε [ )x 01isin (1)

Με εφαρmicroογή του ΘΜΤ για την ƒ στα διαστήmicroατα 1

02

και 1

12

προκύπτει ότι θα υπάρχουν 1

1x 0

2

isin

και 2

1x 1

2

isin

τέτοια ώστε

1

1ƒ ƒ(0)

2ƒ (x )

1

2

minus prime = και

( )2

1ƒ 1 ƒ

2ƒ (x )

1

2

minus prime =

Με πρόσθεση κατά microέλη παίρνουmicroε

1 2

1 1 1ƒ ƒ(0) ƒ(1) ƒ2 2 2ƒ (x ) ƒ (x ) 1

1 1

2 2

minus + minus prime prime+ = = = (2)

Όmicroως από τη σχέση (1) έχουmicroε 1 1

2 2

ƒ (x ) 2x

ƒ (x ) 2x

prime gt

prime gt και microε πρόσθεση κατά

microέλη παίρνουmicroε

( )2

1 2 1 2 1 2 1 2

1ƒ (x ) ƒ (x ) 2x 2x 1 2x 2x x x

2prime prime+ gt + hArr gt + hArr + lt

που είναι άτοπο καθώς 1

2

10 x

2

1x 1

2

lt lt lt lt

Εποmicroένως o ισχυρισmicroός ότι στο [ )01 είναι w(x) 0ne δεν ευσταθεί

Οπότε θα υπάρχει ( )ξ 01isin τέτοιο ώστε w(ξ) 0 ƒ (ξ) 2ξprime= hArr = (το ξ

αυτό δεν microπορεί να είναι ίσο microε 0 αφού w(0) 0gt )

24

Μια πρόταση

Έστω f και g δυο συναρτήσεις συνεχείς στο διάστηmicroα [ ]αβ για τις

οποίες ισχύει ( ) ( )f x g xgt για κάθε [ ]x αβisin

Υπάρχει πάντοτε θετικός r τέτοιος ώστε ( ) ( )f x g x rgt + για κάθε

[ ]x αβisin

Ένα ερώτηmicroα

Ποιος προβληmicroατισmicroός γεωmicroετρικής υφής θα microπορούσε να microας οδη-

γήσει στη διατύπωση της παραπάνω πρότασης

Απόδειξη της πρότασης

Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) ( )h x f x g x= minus [ ]x αβisin

Η h είναι συνεχής microε θετικές τιmicroές στο [ ]αβ οπότε θα παρουσιάζει

ελάχιστο έστω ίσο microε m mgt0

Άρα ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m mh x m f x g x m f x g x

2 2ge rArr minus ge gt rArr gt +

Οπότε ( ) ( )f x g x rgt + m

r2= microε ( )r 0misin

Σηmicroείωση

Τα παραδείγmicroατα microαθηmicroατικών που συmicroπεριέλαβα στο παρόν άρθρο ανα-

πτύχθηκαν και σε οmicroιλία microου στην Ελληνογαλλική Σχολή Καλαmicroαρί της

Θεσσαλονίκης (27 Φεβρουαρίου 2016) microε θέmicroα τα Ποιοτικά Χαρακτηριστι-

κά στη ∆ιδασκαλία των Μαθηmicroατικών Επίσης κάποια από αυτά χρησιmicroο-

ποιήθηκαν σε σεmicroινάριο ∆ιδακτικής Μαθηmicroατικών που ανέπτυξα στα Τρί-

καλα (5 και 12 Απριλίου 2016)

Αφιέρωση

Το άρθρο αυτό αφιερώνεται στη microνήmicroη του Νίκου Κλαουδάτου καθηγητή

microου κατά τα έτη 2000-2002 στο ΠΜΣ της ∆ιδακτικής και Μεθοδολογίας

των Μαθηmicroατικών στο Τmicroήmicroα Μαθηmicroατικών του ΕΚΠΑ

25

Βιβλιογραφικές αναφορές

Ξενόγλωσσες

[1] Cobb P Wood T Yackel E amp McNeal B (1992) Characteristics of clas-

room mathematics traditions An interactional analysis American Educa-

tional Research Journal 29 573-604

[2] Cobb P amp Steffe L P (1993) The constructivist researcher as the teacher

and model builder Journal for Research in Mathematics Education vol 14

pp 83-94

[3] Eisenberg T amp Dreyfus T On the reluctance to visualize in Mathematics in

Zimmerman W amp Cunnigham S (Eds) 1991 Visualization in teaching

and learning mathematics p 25-37 MAA notes no 19 Mathematical Asso-

ciation of America

[4] Vinner S Visual considerations in College Calculus ndash Students and Teach-

ers in Vermandel A amp Steiner Hans-Georg (Eds) 1988 Theory of mathe-

matics Educations (Proceeding of the third international conferens Andwerp

11-15 July 1988) p 109-116

[5] Year Book 2001 The Roles of Representation in School Mathematics Na-

tional Council of Teachers of Mathematics

Ελληνόγλωσσες

[6] Ανδρεαδάκης Σ Κατσαργύρης Β Μέτης Σ Μπρουχούτας Κ Παπα-

σταυρίδης Σ και Πολύζος Γ (2015) Μαθηmicroατικά Γ΄ Γενικού Λυκείου Οmicroά-

δας Προσανατολισmicroού Θετικών Σπουδών και Σποδών Οικονοmicroίας amp Πληρο-

φορικής Αθήνα ΙΕΠ amp ΙΤΥΕ ∆ιόφαντος

[7] Κατσαργύρης Β Μεντής Κ Παντελίδης Γ και Σουρλάς Κ (1994) Μα-

θηmicroατικά Γ΄ Λυκείου ndash Ανάλυση Αθήνα ΟΕ∆Β

[8] Κλαουδάτος Ν (2011) Σηmicroειώσεις ∆ιδακτικής Μαθηmicroατικών 1) Εισαγωγή

στη γνωσιακή θεωρία 2) Βασικές αρχές της θεωρίας Vygotsky Μεταπτυχιακό

Πρόγραmicromicroα Σπουδών ∆ιδακτικής και Μεθοδολογίας των Μαθηmicroατικών

Τmicroήmicroα Μαθηmicroατικών ΕΚΠΑ

[9] Κλαουδάτος Ν (2011) Σηmicroειώσεις ∆ιδακτικής Μαθηmicroατικών 1) ∆ιδασκαλία

και microάθηση των microαθηmicroατικών microε διαδικασίες επίλυσης προβληmicroάτων 2) Εισα-

γωγή στη Θεωρία της ∆ιδασκαλίας Μεταπτυχιακό Πρόγραmicromicroα Σπουδών ∆ιδα-

κτικής και Μεθοδολογίας των Μαθηmicroατικών Τmicroήmicroα Μαθηmicroατικών ΕΚΠΑ

26

[10] Μάκρας Στρ Γεωmicroετρική εποπτεία και απόδειξη άρθρο στο περιοδικό Ευ-

κλείδης Β΄ τχ 25 (Ιούλιος-Αύγουστος-Σεπτέmicroβριος 1997) σσ 11-17 Αθήνα

Έκδοση της ΕΜΕ

[11] Νεγρεπόντης Σ Γιωτόπουλος Σ amp Γιαννακούλιας Ε (2000) Απειροστικός

Λογισmicroός τόmicroος IIα Αθήνα Εκδόσεις Συmicromicroετρία

[12] Ντρίζος ∆ (2002) Πλεονεκτήmicroατα της γεωmicroετρικής αναπαράστασης των microα-

θηmicroατικών εννοιών Η απόδειξη του θεωρήmicroατος της Μέσης Τιmicroής του διαφο-

ρικού λογισmicroού για συναρτήσεις microιας ή δύο πραγmicroατικών microεταβλητών Ευκλεί-

δης Γ΄ τχ 77 (Ιούλιος-∆εκέmicroβριος 2012) σσ 31-45 Αθήνα Έκδοση της

ΕΜΕ

[13] Ντρίζος ∆ Τα βασικά θεωρήmicroατα του ∆ιαφορικού Λογισmicroού άρθρο στο περι-

οδικό Ευκλείδης Γ΄ τχ 70 (Ιανουάριος-Ιούνιος 2009) σσ 5-23 Αθήνα Έκδο-

ση της ΕΜΕ

[14] Ντρίζος ∆ ∆ιδακτική Αξιοποίηση Προβληmicroάτων Επαγωγικής Συλλογιστικής

στο Πλαίσιο Ανάπτυξης Ιδεών του G Polya άρθρο στο περιοδικό Ευκλείδης

Γ΄ τχ 73 (Ιούλιος-∆εκέmicroβριος 2010) σσ 29-48 Αθήνα Έκδοση της ΕΜΕ

[15] Polya G (2001) Η Μαθηmicroατική Ανακάλυψη τόmicroος 1 (microτφ Στεργιάκη Σπύ-

ρου) Αθήνα Εκδόσεις Κάτοπτρο

[16] Ρίζος Γ (2005) Οι περιπέτειες του Προβλήmicroατος στα σχολικά Μαθηmicroατικά

Θεσσαλονίκη Εκδόσεις Μαθηmicroατική Βιβλιοθήκη

[17] Spivak Michael (1991) ∆ιαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισmicroός (microτφ Γιαν-

νόπουλου Απ) Ηράκλειο Πανεπιστηmicroιακές Εκδόσεις Κρήτης

14

36 Ένα σωmicroατίδιο κινείται πάνω στον άξονα των τετmicroηmicroένων (των t)

Χρόνος t σε sec Θέση x(t) σε m

0 2

2 4

5 7

Ο πίνακας δείχνει τη θέση του σωmicroατιδίου σε τρεις χρονικές στιγmicroές

α) Να βρείτε η microέση ταχύτητα του σωmicroατιδίου στο χρονικό διάστηmicroα

[0 5]

β) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον χρονικές στιγmicroές

κατά τις οποίες η στιγmicroιαία ταχύτητα του σωmicroατιδίου είναι ίση microε

τη microέση ταχύτητα στο διάστηmicroα [0 5]

γ) Να εξετάσετε αν υπάρχει microία τουλάχιστον χρονική στιγmicroή κατά

την οποία η επιτάχυνση του σωmicroατιδίου microηδενίζεται

(βλ [13] σελ 11-12)

Θέmicroατα Ανάλυσης που αναδεικνύουν το ρόλο της γεωmicroετρικής εποπτείας

Παράδειγmicroα 1

Έστω κύκλος microε κέντρο ( )0Κ α 0α ne και ακτίνα ρ Αν f είναι microια

παραγωγίσιmicroη συνάρτηση τέτοια ώστε ( ) ( ) 0f α ρ f α ρminus = + = και η

γραφική της παράσταση έχει microε τον κύκλο ακόmicroη ένα τουλάχιστον

κοινό σηmicroείο να αποδείξετε ότι υπάρχουν ( )1 2 ξ ξ α ρ α ρisin minus + microε

( ) ( )1 21f ξ f ξprime primesdot = minus

Παράδειγmicroα 2

Μία συνάρτηση ƒ είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο Υπάρχει

περίπτωση η γραφική της παράσταση να microην τέmicroνει τον φορέα της διχοτό-

microου της πρώτης ορθής γωνίας των αξόνων Να αποδείξετε την εικασία σας

15

Παράδειγmicroα 3

Μια συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο ενώ

microια άλλη συνάρτηση g είναι συνεχής στο και τέτοια ώστε

( )limx

g xrarrminusinfin

= minusinfin και ( )limx

g xrarr+infin

= +infin

Να εξετάσετε αν οι γραφικές παραστάσεις των f και g τέmicroνονται

Παράδειγmicroα 4

Αν microια συνάρτηση ƒ είναι δύο φορές παραγωγίσιmicroη στο [α β] microε την

ιδιότητα ƒ(α) + ƒ(β) = α β

2 ƒ2

+ sdot

τότε υπάρχει ξisin(α β) τέτοιο ώ-

στε ( )ƒ ξ 0primeprime =

Σχόλιο

Το παράδειγmicroα 4 το συmicroπεριλάβαmicroε στο παρόν άρθρο όχι για να πα-

ρουσιάσουmicroε τη συνήθη τυπική του απόδειξη αλλά για να αναδείξουmicroε το

γεωmicroετρικό υπόβαθρο που βρίσκεται πίσω από τις συmicroβολικά διατυπωmicroένες

microαθηmicroατικές σχέσεις

xα βξ1

y

ξ2

Α

Μ

Γ Β

Λ(β ƒ(β))

ε1

ε2

Cƒ

α + β

2

Κ(α ƒα))

Ο

Μια ανάλυση των υποθέσεων

Η υπόθεση ƒ(α) + ƒ(β) = α β

2 ƒ2

+ sdot

γράφεται

16

[ ]1 α βƒ(α) ƒ(β) ƒ

2 2

+ + =

(1)

Το 1ο microέλος της υπόθεσης (1) είναι η τεταγmicroένη του microέσου Μ του

τmicroήmicroατος ΚΛ ενώ το 2ο microέλος είναι η εικόνα microέσω της ƒ του microέσου

του διαστήmicroατος [α β] Η πρώτη απλούστατη γεωmicroετρική ερmicroηνεία της

υπόθεσης (1) είναι ότι η γραφική παράσταση της ƒ τέmicroνει το τmicroήmicroα

ΚΛ στο microέσο του Μ

Επίσης το τετράπλευρο ΚΑΒΛ είναι (γενικά) τραπέζιο microε βάσεις

ΚΑ = ƒ(α) ΛΒ = ƒ(β) και διάmicroεσο την ΜΓ = α β

ƒ2

+

Η υπόθεση (1) σε γεωmicroετρική γλώσσα γράφεται

ΚΑ ΚΒΜΓ

2

+=

σχέση η οποία από την Ευκλείδεια Γεωmicroετρία συνδέει το microήκος της

διαmicroέσου του τραπεζίου ΚΑΒΛ microε τα microήκη των βάσεών του

Το γεγονός ότι η ƒ είναι δύο φορές παραγωγίσιmicroη άρα και microία φορά

microας δηλώνει ότι η γραφική παράσταση της ƒ είναι microια οmicroαλή κα-

microπύλη η οποία δέχεται εφαπτοmicroένη (όχι κατακόρυφη) σε κάθε σηmicroείο

της

Προσέγγιση θεωρητικής τεκmicroηρίωσης

Από τη διαίσθησή microας που βρίσκεται σε πλήρη αρmicroονία microε το Θεώ-

ρηmicroα Μέσης Τιmicroής του ∆ιαφορικού Λογισmicroού υπάρχουν οι εφαπτό-

microενες ευθείες ε1 και ε2 της Cƒ παράλληλες προς την ΚΛ microε συντελε-

στές διεύθυνσης αντίστοιχα ƒ΄(ξ1) και ƒ΄(ξ2)

ƒ΄(ξ1) = λΚΜ ξ1isinα β

α2

+

Είναι

ƒ΄(ξ2) = λΜΛ ξ2isinα β

β2

+

Όmicroως λΚΜ = λΜΛ οπότε ƒ΄(ξ1) = ƒ΄(ξ2) και microε απλή εφαρmicroογή του Θε-

17

ωρήmicroατος του Rolle για τη συνάρτηση ƒ΄ στο [ξ1 ξ2] παίρνουmicroε το

ζητούmicroενο ƒ΄΄(ξ) = 0 όπου ξisin(ξ1 ξ2)

Προβληmicroατισmicroός

Θα microπορούσαmicroε να καταλήξουmicroε στην ƒ΄(ξ1) = ƒ΄(ξ2) στηριζόmicroενοι

στο γεγονός ότι το ΚΑΒΛ είναι τραπέζιο

xξ1

y

ξ2Α

Μ

Γ Β

Λ

Κω

ω

Μ΄

Λ΄

Ο

1 ΚΜ

2 ΜΛ

ΜΜ΄ ΜΓ ΚΑƒ (ξ ) λ εφω (2)

ΚΜ΄ ΑΓΈχουmicroε

ΛΛ΄ ΛΒ ΜΓƒ (ξ ) λ εφω (3)

ΜΛ΄ ΓΒ

minusprime = = = =

minusprime = = = =

Τα τελευταία κλάσmicroατα των (2) και (3) είναι ίσα γιατί ΑΓ = ΓΒ και

ΜΓ ndash ΚΑ = ΛΒ ndash ΜΓ λόγω της σχέσης της διαmicroέσου ΜΓ του τρα-

πεζίου ΚΑΒΛ microε τις βάσεις του ΚΑ και ΛΒ Οπότε ƒ΄(ξ1) = ƒ΄(ξ2)

Η γεωmicroετρική ερmicroηνεία του παραπάνω θέmicroατος microάς επιτρέπει να δια-

τυπώσουmicroε την επόmicroενη γενίκευση

18

Μια γενίκευση διατυπωmicroένη εποπτικά

Έστω συνάρτηση ƒ δύο φορές παραγωγίσιmicroη στο [α β] και τα ση-

microεία Κ(α ƒ(α)) και Λ(β ƒ(β))

Αν το τmicroήmicroα ΚΛ και η γραφική παράσταση της ƒ τέmicroνονται τότε

υπάρχει ξisin(α β) τέτοιο ώστε ƒ΄΄(ξ) = 0

Η ιδέα για τη γενίκευση διατυπωmicroένη στη γλώσσα της Ανάλυσης

Αν στο παραπάνω παράδειγmicroα 4 ονοmicroάζαmicroε γ την τετmicroηmicroένη τού microέ-

σου Γ του ευθυγράmicromicroου τmicroήmicroατος ΑΒ τότε είναι γ α

1β γ

minus=

minus οπότε

α βΓ 0

2

+

Και αν παίρναmicroε το Γ(γ0) στο εσωτερικό του ΑΒ ώστε γ α κ

β γ λ

minus=

minus τό-

τε microε απλές πράξεις θα βρίσκαmicroε λα κβ

Γ 0κ λ

+ +

Η γενίκευση

Αν microια συνάρτηση f είναι δυο φορές παραγωγίσιmicroη στο διάστηmicroα

[ ]αβ microε την ιδιότητα ( ) ( ) ( ) λα κβλf α κf β κ λ f

κ λ

+ + = + +

όπου λα κβ

α βκ λ

+lt lt+

και κλ θετικοί ακέραιοι τότε υπάρχει

( )ξ αβisin τέτοιο ώστε ( )f ξ 0primeprime =

Παράδειγmicroα 5

Έστω συνάρτηση ƒ παραγωγίσιmicroη στο [0 1] microε συνεχή παράγωγο

για την οποία ισχύουν

( )ƒ 0 0= ( ) 1ƒ 1

2= και ( )ƒ 0 0prime gt

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ( )ξ 01isin τέτοιο ώστε ( )ƒ ξ 2ξprime =

19

Σχόλιο

Το παράδειγmicroα 5 το συζητήσαmicroε σε Εργαστήριο Εφαρmicroοσmicroένης ∆ι-

δακτικής των Μαθηmicroατικών (∆ Ντρίζος Ιανουάριος 2016 Καρδίτσα) για

να αναδείξουmicroε την παιδευτική αξία της αναζήτησης πολλών τρόπων λύσης

ενός microαθηmicroατικού ερωτήmicroατος)

1ος

τρόπος λύσης (του ∆ Ντρίζου)

Αρκεί να αποδείξουmicroε ότι η εξίσωση ( )( )2ƒ x x 0primeminus = έχει microία τουλά-

χιστον ρίζα στο διάστηmicroα ( )01 Και αυτό θα microπορούσε να προκύψει

microε εφαρmicroογή του θ του Rolle στη συνάρτηση ( ) ( ) 2g x ƒ x x= minus

[ ]x 01isin

Είναι ( )g 0 0= και ( ) ( ) 2 1 1g 1 ƒ 1 1 1

2 2= minus = minus = minus δηλαδή ( )g 1 0lt

Σχέδιο προσέγγισης του θέmicroατος

Επειδή ( )g 0 0= το ζητούmicroενο θα προέκυπτε microε εφαρmicroογή του θ του

Rolle για την g αν αποδεικνύαmicroε ότι υπάρχει αριθmicroός ( )α 01isin για

τον οποίο ( )g α 0=

Με βάση αυτή την ιδέα και παίρνοντας υπόψη ότι ( )g 1 0lt αναρω-

τιόmicroαστε microήπως θα microπορούσαmicroε να έχουmicroε κάποιο ( )β 01isin ώστε

( )g β 0gt οπότε microε εφαρmicroογή του θ του Bolzano στο διάστηmicroα [ ]β1

θα εξασφαλίζαmicroε την ύπαρξη αριθmicroού ( )α β1isin τέτοιου ώστε

( )g α 0=

Εφαρmicroογή του σχεδίου

Ισχυριζόmicroαστε ότι δεν υπάρχει κάποιο ( )β 01isin ώστε ( )g β 0gt Ισο-

δύναmicroα ότι για κάθε ( )x 01isin ισχύει ( )g x 0le

20

bull Στην περίπτωση που για κάποιο ( )x 01isin ισχύει ( )g x 0= τότε

καθώς έχουmicroε και ( )g 0 0= το ζητούmicroενο προκύπτει microε εφαρmicroογή

του θ Rolle

bull Ας εξετάσουmicroε τώρα τον ισχυρισmicroό ( )g x 0lt για κάθε ( )x 01isin

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

x 0 x 0

ƒ xg x 0 ƒ x x x

x

ƒ x ƒ 0lim lim x ƒ 0 0

x 0+ +rarr rarr

lt rArr lt rArr lt rArr

minusprimerArr lt rArr le

minus

που είναι άτοπο λόγω υπόθεσης Άρα υπάρχει κάποιο ( )β 01isin ώστε

( )g β 0gt

Με εφαρmicroογή του θ του Bolzano στο [ ]β1 παίρνουmicroε ότι υπάρχει

( )α β1isin τέτοιο ώστε ( )g α 0=

Και τέλος microε εφαρmicroογή του θ του Rolle για την g στο διάστηmicroα

[ ]0α παίρνουmicroε ότι υπάρχει ( ) ( )ξ 0α 01isin sube τέτοιο ώστε

( )g ξ 0prime = οπότε ( )ƒ ξ 2ξprime =

Σχόλια ndash Έλεγχος υποθέσεων

1 Στην παραπάνω λύση η υπόθεση ότι η ƒprime είναι συνεχής δεν microάς

χρειάστηκε

2 Η υπόθεση ( ) 1ƒ 1

2= θα microπορούσε να δίνεται γενικά ως ( )ƒ 1 θ= microε

θ 1lt

3 Ως ζητούmicroενο θα microπορούσαmicroε να έχουmicroε υπάρχει ( )ξ 01isin ώστε

( ) ν 1ƒ ξ νξ minusprime =

21

Μια γενίκευση

Έστω microια συνάρτηση ƒ παραγωγίσιmicroη στο [ ]01 για την οποία ισχύ-

ουν

( )f 0 0= ( )ƒ 1 θ 1= lt και ( )ƒ 0 0prime gt

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ( )ξ 01isin τέτοιο ώστε ( ) ν 1ƒ ξ νξ minusprime =

2ος

τρόπος λύσης (προτάθηκε από τον Θανάση Καραντάνα καθηγητή στο

4ο ΓΕΛ Καρδίτσας και τον Αιmicroίλιο Βλάστο καθηγητή στο Μουσικό

Σχολείο Καρδίτσας)

Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) 2g x ƒ x x= minus [ ]x 01isin

Είναι ( )g 0 0= και ( ) 1g 1

2= minus

Επίσης ( ) ( )g x ƒ x 2xprime prime= minus άρα ( ) ( )g 0 ƒ 0 0prime prime= gt

Οπότε από τον ορισmicroό της παραγώγου της g στο 0 από τα δεξιά

παίρνουmicroε

( ) ( ) ( )x 0 x 0

g x g 0 g xlim lim 0

x 0 x+ +rarr rarr

minus= gt

minus

Και επειδή x 0gt θα είναι και ( )g x 0gt κοντά στο 0 από τα δεξιά

Άρα θα υπάρχει ( )k 01isin τέτοιο ώστε ( )g k 0gt

Έχουmicroε λοιπόν ( ) ( )g k g 1 0sdot lt και επειδή η συνάρτηση g είναι συνε-

χής στο [ ]k1 από το θεώρηmicroα του Bolzano θα υπάρχει

( ) ( )m k1 01isin sube τέτοιο ώστε ( )g m 0=

Τέλος καθώς στο διάστηmicroα [ ]0m η g ικανοποιεί τις υποθέσεις του

θεωρήmicroατος του Rolle θα υπάρχει ( ) ( )ξ 0 m 01isin sube τέτοιο ώστε

( )g ξ 0prime = ∆ηλαδή ( )ƒ ξ 2ξprime =

22

3ος

τρόπος λύσης

Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) 2g x ƒ x x= minus [ ]x 01isin

Είναι g(0) = 0 και ( ) 1g 1

2= minus

Επίσης ( ) ( )g x ƒ x 2xprime prime= minus άρα ( ) ( )g 0 f 0 0prime prime= gt

Με εφαρmicroογή του θεωρήmicroατος Μέσης Τιmicroής για την g στα 1

02

και

11

2

βρίσκουmicroε ότι υπάρχουν 1

1x 0

2

isin

και 2

1x 1

2

isin

τέτοια

ώστε

( )1

1 1f

2 4g x

1

2

minus prime = και ( )2

1 1 1f

2 2 4g x

1

2

minus minus minus prime =

Και επειδή ( ) ( )1 2g x g x 1prime prime+ = minus προφανώς ένα τουλάχιστον από τα

( ) ( )1 2g x g xprime prime θα είναι υποχρεωτικά αρνητικό

Έστω λοιπόν ότι είναι ( )1g x 0prime lt

Τότε καθώς η gprime είναι συνεχής στο [ ]10 x και ( ) ( )1g 0 g x 0prime primesdot lt από

το θεώρηmicroα του Bolzano βρίσκουmicroε ότι θα υπάρχει ένα τουλάχιστον

( ) ( )1ξ 0 x 01isin sube τέτοιο ώστε ( )g ξ 0prime = ∆ηλαδή ( )ƒ ξ 2ξprime =

4ος

τρόπος λύσης (προτάθηκε από τον Σεραφείmicro Σαmicroορέλη καθηγητή στο

8ο ΓΕΛ Τρικάλων)

Έστω η συνάρτηση w(x) ƒ (x) 2xprime= minus microε [ )x 01isin για την οποία ι-

σχυριζόmicroαστε ότι w(x) 0ne στο [ )01

Επειδή στο διάστηmicroα [ )01 η συνάρτηση w είναι συνεχής microε

w(x) 0ne προκύπτει ότι η w διατηρεί σταθερό πρόσηmicroο στο [ )01

23

Είναι w(0) ƒ (0) 2 0 ƒ (0) 0prime prime= minus sdot = gt άρα w(x) 0gt για κάθε [ )x 01isin

οπότε και ƒ (x) 2xprime gt για κάθε [ )x 01isin (1)

Με εφαρmicroογή του ΘΜΤ για την ƒ στα διαστήmicroατα 1

02

και 1

12

προκύπτει ότι θα υπάρχουν 1

1x 0

2

isin

και 2

1x 1

2

isin

τέτοια ώστε

1

1ƒ ƒ(0)

2ƒ (x )

1

2

minus prime = και

( )2

1ƒ 1 ƒ

2ƒ (x )

1

2

minus prime =

Με πρόσθεση κατά microέλη παίρνουmicroε

1 2

1 1 1ƒ ƒ(0) ƒ(1) ƒ2 2 2ƒ (x ) ƒ (x ) 1

1 1

2 2

minus + minus prime prime+ = = = (2)

Όmicroως από τη σχέση (1) έχουmicroε 1 1

2 2

ƒ (x ) 2x

ƒ (x ) 2x

prime gt

prime gt και microε πρόσθεση κατά

microέλη παίρνουmicroε

( )2

1 2 1 2 1 2 1 2

1ƒ (x ) ƒ (x ) 2x 2x 1 2x 2x x x

2prime prime+ gt + hArr gt + hArr + lt

που είναι άτοπο καθώς 1

2

10 x

2

1x 1

2

lt lt lt lt

Εποmicroένως o ισχυρισmicroός ότι στο [ )01 είναι w(x) 0ne δεν ευσταθεί

Οπότε θα υπάρχει ( )ξ 01isin τέτοιο ώστε w(ξ) 0 ƒ (ξ) 2ξprime= hArr = (το ξ

αυτό δεν microπορεί να είναι ίσο microε 0 αφού w(0) 0gt )

24

Μια πρόταση

Έστω f και g δυο συναρτήσεις συνεχείς στο διάστηmicroα [ ]αβ για τις

οποίες ισχύει ( ) ( )f x g xgt για κάθε [ ]x αβisin

Υπάρχει πάντοτε θετικός r τέτοιος ώστε ( ) ( )f x g x rgt + για κάθε

[ ]x αβisin

Ένα ερώτηmicroα

Ποιος προβληmicroατισmicroός γεωmicroετρικής υφής θα microπορούσε να microας οδη-

γήσει στη διατύπωση της παραπάνω πρότασης

Απόδειξη της πρότασης

Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) ( )h x f x g x= minus [ ]x αβisin

Η h είναι συνεχής microε θετικές τιmicroές στο [ ]αβ οπότε θα παρουσιάζει

ελάχιστο έστω ίσο microε m mgt0

Άρα ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m mh x m f x g x m f x g x

2 2ge rArr minus ge gt rArr gt +

Οπότε ( ) ( )f x g x rgt + m

r2= microε ( )r 0misin

Σηmicroείωση

Τα παραδείγmicroατα microαθηmicroατικών που συmicroπεριέλαβα στο παρόν άρθρο ανα-

πτύχθηκαν και σε οmicroιλία microου στην Ελληνογαλλική Σχολή Καλαmicroαρί της

Θεσσαλονίκης (27 Φεβρουαρίου 2016) microε θέmicroα τα Ποιοτικά Χαρακτηριστι-

κά στη ∆ιδασκαλία των Μαθηmicroατικών Επίσης κάποια από αυτά χρησιmicroο-

ποιήθηκαν σε σεmicroινάριο ∆ιδακτικής Μαθηmicroατικών που ανέπτυξα στα Τρί-

καλα (5 και 12 Απριλίου 2016)

Αφιέρωση

Το άρθρο αυτό αφιερώνεται στη microνήmicroη του Νίκου Κλαουδάτου καθηγητή

microου κατά τα έτη 2000-2002 στο ΠΜΣ της ∆ιδακτικής και Μεθοδολογίας

των Μαθηmicroατικών στο Τmicroήmicroα Μαθηmicroατικών του ΕΚΠΑ

25

Βιβλιογραφικές αναφορές

Ξενόγλωσσες

[1] Cobb P Wood T Yackel E amp McNeal B (1992) Characteristics of clas-

room mathematics traditions An interactional analysis American Educa-

tional Research Journal 29 573-604

[2] Cobb P amp Steffe L P (1993) The constructivist researcher as the teacher

and model builder Journal for Research in Mathematics Education vol 14

pp 83-94

[3] Eisenberg T amp Dreyfus T On the reluctance to visualize in Mathematics in

Zimmerman W amp Cunnigham S (Eds) 1991 Visualization in teaching

and learning mathematics p 25-37 MAA notes no 19 Mathematical Asso-

ciation of America

[4] Vinner S Visual considerations in College Calculus ndash Students and Teach-

ers in Vermandel A amp Steiner Hans-Georg (Eds) 1988 Theory of mathe-

matics Educations (Proceeding of the third international conferens Andwerp

11-15 July 1988) p 109-116

[5] Year Book 2001 The Roles of Representation in School Mathematics Na-

tional Council of Teachers of Mathematics

Ελληνόγλωσσες

[6] Ανδρεαδάκης Σ Κατσαργύρης Β Μέτης Σ Μπρουχούτας Κ Παπα-

σταυρίδης Σ και Πολύζος Γ (2015) Μαθηmicroατικά Γ΄ Γενικού Λυκείου Οmicroά-

δας Προσανατολισmicroού Θετικών Σπουδών και Σποδών Οικονοmicroίας amp Πληρο-

φορικής Αθήνα ΙΕΠ amp ΙΤΥΕ ∆ιόφαντος

[7] Κατσαργύρης Β Μεντής Κ Παντελίδης Γ και Σουρλάς Κ (1994) Μα-

θηmicroατικά Γ΄ Λυκείου ndash Ανάλυση Αθήνα ΟΕ∆Β

[8] Κλαουδάτος Ν (2011) Σηmicroειώσεις ∆ιδακτικής Μαθηmicroατικών 1) Εισαγωγή

στη γνωσιακή θεωρία 2) Βασικές αρχές της θεωρίας Vygotsky Μεταπτυχιακό

Πρόγραmicromicroα Σπουδών ∆ιδακτικής και Μεθοδολογίας των Μαθηmicroατικών

Τmicroήmicroα Μαθηmicroατικών ΕΚΠΑ

[9] Κλαουδάτος Ν (2011) Σηmicroειώσεις ∆ιδακτικής Μαθηmicroατικών 1) ∆ιδασκαλία

και microάθηση των microαθηmicroατικών microε διαδικασίες επίλυσης προβληmicroάτων 2) Εισα-

γωγή στη Θεωρία της ∆ιδασκαλίας Μεταπτυχιακό Πρόγραmicromicroα Σπουδών ∆ιδα-

κτικής και Μεθοδολογίας των Μαθηmicroατικών Τmicroήmicroα Μαθηmicroατικών ΕΚΠΑ

26

[10] Μάκρας Στρ Γεωmicroετρική εποπτεία και απόδειξη άρθρο στο περιοδικό Ευ-

κλείδης Β΄ τχ 25 (Ιούλιος-Αύγουστος-Σεπτέmicroβριος 1997) σσ 11-17 Αθήνα

Έκδοση της ΕΜΕ

[11] Νεγρεπόντης Σ Γιωτόπουλος Σ amp Γιαννακούλιας Ε (2000) Απειροστικός

Λογισmicroός τόmicroος IIα Αθήνα Εκδόσεις Συmicromicroετρία

[12] Ντρίζος ∆ (2002) Πλεονεκτήmicroατα της γεωmicroετρικής αναπαράστασης των microα-

θηmicroατικών εννοιών Η απόδειξη του θεωρήmicroατος της Μέσης Τιmicroής του διαφο-

ρικού λογισmicroού για συναρτήσεις microιας ή δύο πραγmicroατικών microεταβλητών Ευκλεί-

δης Γ΄ τχ 77 (Ιούλιος-∆εκέmicroβριος 2012) σσ 31-45 Αθήνα Έκδοση της

ΕΜΕ

[13] Ντρίζος ∆ Τα βασικά θεωρήmicroατα του ∆ιαφορικού Λογισmicroού άρθρο στο περι-

οδικό Ευκλείδης Γ΄ τχ 70 (Ιανουάριος-Ιούνιος 2009) σσ 5-23 Αθήνα Έκδο-

ση της ΕΜΕ

[14] Ντρίζος ∆ ∆ιδακτική Αξιοποίηση Προβληmicroάτων Επαγωγικής Συλλογιστικής

στο Πλαίσιο Ανάπτυξης Ιδεών του G Polya άρθρο στο περιοδικό Ευκλείδης

Γ΄ τχ 73 (Ιούλιος-∆εκέmicroβριος 2010) σσ 29-48 Αθήνα Έκδοση της ΕΜΕ

[15] Polya G (2001) Η Μαθηmicroατική Ανακάλυψη τόmicroος 1 (microτφ Στεργιάκη Σπύ-

ρου) Αθήνα Εκδόσεις Κάτοπτρο

[16] Ρίζος Γ (2005) Οι περιπέτειες του Προβλήmicroατος στα σχολικά Μαθηmicroατικά

Θεσσαλονίκη Εκδόσεις Μαθηmicroατική Βιβλιοθήκη

[17] Spivak Michael (1991) ∆ιαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισmicroός (microτφ Γιαν-

νόπουλου Απ) Ηράκλειο Πανεπιστηmicroιακές Εκδόσεις Κρήτης

15

Παράδειγmicroα 3

Μια συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο ενώ

microια άλλη συνάρτηση g είναι συνεχής στο και τέτοια ώστε

( )limx

g xrarrminusinfin

= minusinfin και ( )limx

g xrarr+infin

= +infin

Να εξετάσετε αν οι γραφικές παραστάσεις των f και g τέmicroνονται

Παράδειγmicroα 4

Αν microια συνάρτηση ƒ είναι δύο φορές παραγωγίσιmicroη στο [α β] microε την

ιδιότητα ƒ(α) + ƒ(β) = α β

2 ƒ2

+ sdot

τότε υπάρχει ξisin(α β) τέτοιο ώ-

στε ( )ƒ ξ 0primeprime =

Σχόλιο

Το παράδειγmicroα 4 το συmicroπεριλάβαmicroε στο παρόν άρθρο όχι για να πα-

ρουσιάσουmicroε τη συνήθη τυπική του απόδειξη αλλά για να αναδείξουmicroε το

γεωmicroετρικό υπόβαθρο που βρίσκεται πίσω από τις συmicroβολικά διατυπωmicroένες

microαθηmicroατικές σχέσεις

xα βξ1

y

ξ2

Α

Μ

Γ Β

Λ(β ƒ(β))

ε1

ε2

Cƒ

α + β

2

Κ(α ƒα))

Ο

Μια ανάλυση των υποθέσεων

Η υπόθεση ƒ(α) + ƒ(β) = α β

2 ƒ2

+ sdot

γράφεται

16

[ ]1 α βƒ(α) ƒ(β) ƒ

2 2

+ + =

(1)

Το 1ο microέλος της υπόθεσης (1) είναι η τεταγmicroένη του microέσου Μ του

τmicroήmicroατος ΚΛ ενώ το 2ο microέλος είναι η εικόνα microέσω της ƒ του microέσου

του διαστήmicroατος [α β] Η πρώτη απλούστατη γεωmicroετρική ερmicroηνεία της

υπόθεσης (1) είναι ότι η γραφική παράσταση της ƒ τέmicroνει το τmicroήmicroα

ΚΛ στο microέσο του Μ

Επίσης το τετράπλευρο ΚΑΒΛ είναι (γενικά) τραπέζιο microε βάσεις

ΚΑ = ƒ(α) ΛΒ = ƒ(β) και διάmicroεσο την ΜΓ = α β

ƒ2

+

Η υπόθεση (1) σε γεωmicroετρική γλώσσα γράφεται

ΚΑ ΚΒΜΓ

2

+=

σχέση η οποία από την Ευκλείδεια Γεωmicroετρία συνδέει το microήκος της

διαmicroέσου του τραπεζίου ΚΑΒΛ microε τα microήκη των βάσεών του

Το γεγονός ότι η ƒ είναι δύο φορές παραγωγίσιmicroη άρα και microία φορά

microας δηλώνει ότι η γραφική παράσταση της ƒ είναι microια οmicroαλή κα-

microπύλη η οποία δέχεται εφαπτοmicroένη (όχι κατακόρυφη) σε κάθε σηmicroείο

της

Προσέγγιση θεωρητικής τεκmicroηρίωσης

Από τη διαίσθησή microας που βρίσκεται σε πλήρη αρmicroονία microε το Θεώ-

ρηmicroα Μέσης Τιmicroής του ∆ιαφορικού Λογισmicroού υπάρχουν οι εφαπτό-

microενες ευθείες ε1 και ε2 της Cƒ παράλληλες προς την ΚΛ microε συντελε-

στές διεύθυνσης αντίστοιχα ƒ΄(ξ1) και ƒ΄(ξ2)

ƒ΄(ξ1) = λΚΜ ξ1isinα β

α2

+

Είναι

ƒ΄(ξ2) = λΜΛ ξ2isinα β

β2

+

Όmicroως λΚΜ = λΜΛ οπότε ƒ΄(ξ1) = ƒ΄(ξ2) και microε απλή εφαρmicroογή του Θε-

17

ωρήmicroατος του Rolle για τη συνάρτηση ƒ΄ στο [ξ1 ξ2] παίρνουmicroε το

ζητούmicroενο ƒ΄΄(ξ) = 0 όπου ξisin(ξ1 ξ2)

Προβληmicroατισmicroός

Θα microπορούσαmicroε να καταλήξουmicroε στην ƒ΄(ξ1) = ƒ΄(ξ2) στηριζόmicroενοι

στο γεγονός ότι το ΚΑΒΛ είναι τραπέζιο

xξ1

y

ξ2Α

Μ

Γ Β

Λ

Κω

ω

Μ΄

Λ΄

Ο

1 ΚΜ

2 ΜΛ

ΜΜ΄ ΜΓ ΚΑƒ (ξ ) λ εφω (2)

ΚΜ΄ ΑΓΈχουmicroε

ΛΛ΄ ΛΒ ΜΓƒ (ξ ) λ εφω (3)

ΜΛ΄ ΓΒ

minusprime = = = =

minusprime = = = =

Τα τελευταία κλάσmicroατα των (2) και (3) είναι ίσα γιατί ΑΓ = ΓΒ και

ΜΓ ndash ΚΑ = ΛΒ ndash ΜΓ λόγω της σχέσης της διαmicroέσου ΜΓ του τρα-

πεζίου ΚΑΒΛ microε τις βάσεις του ΚΑ και ΛΒ Οπότε ƒ΄(ξ1) = ƒ΄(ξ2)

Η γεωmicroετρική ερmicroηνεία του παραπάνω θέmicroατος microάς επιτρέπει να δια-

τυπώσουmicroε την επόmicroενη γενίκευση

18

Μια γενίκευση διατυπωmicroένη εποπτικά

Έστω συνάρτηση ƒ δύο φορές παραγωγίσιmicroη στο [α β] και τα ση-

microεία Κ(α ƒ(α)) και Λ(β ƒ(β))

Αν το τmicroήmicroα ΚΛ και η γραφική παράσταση της ƒ τέmicroνονται τότε

υπάρχει ξisin(α β) τέτοιο ώστε ƒ΄΄(ξ) = 0

Η ιδέα για τη γενίκευση διατυπωmicroένη στη γλώσσα της Ανάλυσης

Αν στο παραπάνω παράδειγmicroα 4 ονοmicroάζαmicroε γ την τετmicroηmicroένη τού microέ-

σου Γ του ευθυγράmicromicroου τmicroήmicroατος ΑΒ τότε είναι γ α

1β γ

minus=

minus οπότε

α βΓ 0

2

+

Και αν παίρναmicroε το Γ(γ0) στο εσωτερικό του ΑΒ ώστε γ α κ

β γ λ

minus=

minus τό-

τε microε απλές πράξεις θα βρίσκαmicroε λα κβ

Γ 0κ λ

+ +

Η γενίκευση

Αν microια συνάρτηση f είναι δυο φορές παραγωγίσιmicroη στο διάστηmicroα

[ ]αβ microε την ιδιότητα ( ) ( ) ( ) λα κβλf α κf β κ λ f

κ λ

+ + = + +

όπου λα κβ

α βκ λ

+lt lt+

και κλ θετικοί ακέραιοι τότε υπάρχει

( )ξ αβisin τέτοιο ώστε ( )f ξ 0primeprime =

Παράδειγmicroα 5

Έστω συνάρτηση ƒ παραγωγίσιmicroη στο [0 1] microε συνεχή παράγωγο

για την οποία ισχύουν

( )ƒ 0 0= ( ) 1ƒ 1

2= και ( )ƒ 0 0prime gt

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ( )ξ 01isin τέτοιο ώστε ( )ƒ ξ 2ξprime =

19

Σχόλιο

Το παράδειγmicroα 5 το συζητήσαmicroε σε Εργαστήριο Εφαρmicroοσmicroένης ∆ι-

δακτικής των Μαθηmicroατικών (∆ Ντρίζος Ιανουάριος 2016 Καρδίτσα) για

να αναδείξουmicroε την παιδευτική αξία της αναζήτησης πολλών τρόπων λύσης

ενός microαθηmicroατικού ερωτήmicroατος)

1ος

τρόπος λύσης (του ∆ Ντρίζου)

Αρκεί να αποδείξουmicroε ότι η εξίσωση ( )( )2ƒ x x 0primeminus = έχει microία τουλά-

χιστον ρίζα στο διάστηmicroα ( )01 Και αυτό θα microπορούσε να προκύψει

microε εφαρmicroογή του θ του Rolle στη συνάρτηση ( ) ( ) 2g x ƒ x x= minus

[ ]x 01isin

Είναι ( )g 0 0= και ( ) ( ) 2 1 1g 1 ƒ 1 1 1

2 2= minus = minus = minus δηλαδή ( )g 1 0lt

Σχέδιο προσέγγισης του θέmicroατος

Επειδή ( )g 0 0= το ζητούmicroενο θα προέκυπτε microε εφαρmicroογή του θ του

Rolle για την g αν αποδεικνύαmicroε ότι υπάρχει αριθmicroός ( )α 01isin για

τον οποίο ( )g α 0=

Με βάση αυτή την ιδέα και παίρνοντας υπόψη ότι ( )g 1 0lt αναρω-

τιόmicroαστε microήπως θα microπορούσαmicroε να έχουmicroε κάποιο ( )β 01isin ώστε

( )g β 0gt οπότε microε εφαρmicroογή του θ του Bolzano στο διάστηmicroα [ ]β1

θα εξασφαλίζαmicroε την ύπαρξη αριθmicroού ( )α β1isin τέτοιου ώστε

( )g α 0=

Εφαρmicroογή του σχεδίου

Ισχυριζόmicroαστε ότι δεν υπάρχει κάποιο ( )β 01isin ώστε ( )g β 0gt Ισο-

δύναmicroα ότι για κάθε ( )x 01isin ισχύει ( )g x 0le

20

bull Στην περίπτωση που για κάποιο ( )x 01isin ισχύει ( )g x 0= τότε

καθώς έχουmicroε και ( )g 0 0= το ζητούmicroενο προκύπτει microε εφαρmicroογή

του θ Rolle

bull Ας εξετάσουmicroε τώρα τον ισχυρισmicroό ( )g x 0lt για κάθε ( )x 01isin

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

x 0 x 0

ƒ xg x 0 ƒ x x x

x

ƒ x ƒ 0lim lim x ƒ 0 0

x 0+ +rarr rarr

lt rArr lt rArr lt rArr

minusprimerArr lt rArr le

minus

που είναι άτοπο λόγω υπόθεσης Άρα υπάρχει κάποιο ( )β 01isin ώστε

( )g β 0gt

Με εφαρmicroογή του θ του Bolzano στο [ ]β1 παίρνουmicroε ότι υπάρχει

( )α β1isin τέτοιο ώστε ( )g α 0=

Και τέλος microε εφαρmicroογή του θ του Rolle για την g στο διάστηmicroα

[ ]0α παίρνουmicroε ότι υπάρχει ( ) ( )ξ 0α 01isin sube τέτοιο ώστε

( )g ξ 0prime = οπότε ( )ƒ ξ 2ξprime =

Σχόλια ndash Έλεγχος υποθέσεων

1 Στην παραπάνω λύση η υπόθεση ότι η ƒprime είναι συνεχής δεν microάς

χρειάστηκε

2 Η υπόθεση ( ) 1ƒ 1

2= θα microπορούσε να δίνεται γενικά ως ( )ƒ 1 θ= microε

θ 1lt

3 Ως ζητούmicroενο θα microπορούσαmicroε να έχουmicroε υπάρχει ( )ξ 01isin ώστε

( ) ν 1ƒ ξ νξ minusprime =

21

Μια γενίκευση

Έστω microια συνάρτηση ƒ παραγωγίσιmicroη στο [ ]01 για την οποία ισχύ-

ουν

( )f 0 0= ( )ƒ 1 θ 1= lt και ( )ƒ 0 0prime gt

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ( )ξ 01isin τέτοιο ώστε ( ) ν 1ƒ ξ νξ minusprime =

2ος

τρόπος λύσης (προτάθηκε από τον Θανάση Καραντάνα καθηγητή στο

4ο ΓΕΛ Καρδίτσας και τον Αιmicroίλιο Βλάστο καθηγητή στο Μουσικό

Σχολείο Καρδίτσας)

Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) 2g x ƒ x x= minus [ ]x 01isin

Είναι ( )g 0 0= και ( ) 1g 1

2= minus

Επίσης ( ) ( )g x ƒ x 2xprime prime= minus άρα ( ) ( )g 0 ƒ 0 0prime prime= gt

Οπότε από τον ορισmicroό της παραγώγου της g στο 0 από τα δεξιά

παίρνουmicroε

( ) ( ) ( )x 0 x 0

g x g 0 g xlim lim 0

x 0 x+ +rarr rarr

minus= gt

minus

Και επειδή x 0gt θα είναι και ( )g x 0gt κοντά στο 0 από τα δεξιά

Άρα θα υπάρχει ( )k 01isin τέτοιο ώστε ( )g k 0gt

Έχουmicroε λοιπόν ( ) ( )g k g 1 0sdot lt και επειδή η συνάρτηση g είναι συνε-

χής στο [ ]k1 από το θεώρηmicroα του Bolzano θα υπάρχει

( ) ( )m k1 01isin sube τέτοιο ώστε ( )g m 0=

Τέλος καθώς στο διάστηmicroα [ ]0m η g ικανοποιεί τις υποθέσεις του

θεωρήmicroατος του Rolle θα υπάρχει ( ) ( )ξ 0 m 01isin sube τέτοιο ώστε

( )g ξ 0prime = ∆ηλαδή ( )ƒ ξ 2ξprime =

22

3ος

τρόπος λύσης

Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) 2g x ƒ x x= minus [ ]x 01isin

Είναι g(0) = 0 και ( ) 1g 1

2= minus

Επίσης ( ) ( )g x ƒ x 2xprime prime= minus άρα ( ) ( )g 0 f 0 0prime prime= gt

Με εφαρmicroογή του θεωρήmicroατος Μέσης Τιmicroής για την g στα 1

02

και

11

2

βρίσκουmicroε ότι υπάρχουν 1

1x 0

2

isin

και 2

1x 1

2

isin

τέτοια

ώστε

( )1

1 1f

2 4g x

1

2

minus prime = και ( )2

1 1 1f

2 2 4g x

1

2

minus minus minus prime =

Και επειδή ( ) ( )1 2g x g x 1prime prime+ = minus προφανώς ένα τουλάχιστον από τα

( ) ( )1 2g x g xprime prime θα είναι υποχρεωτικά αρνητικό

Έστω λοιπόν ότι είναι ( )1g x 0prime lt

Τότε καθώς η gprime είναι συνεχής στο [ ]10 x και ( ) ( )1g 0 g x 0prime primesdot lt από

το θεώρηmicroα του Bolzano βρίσκουmicroε ότι θα υπάρχει ένα τουλάχιστον

( ) ( )1ξ 0 x 01isin sube τέτοιο ώστε ( )g ξ 0prime = ∆ηλαδή ( )ƒ ξ 2ξprime =

4ος

τρόπος λύσης (προτάθηκε από τον Σεραφείmicro Σαmicroορέλη καθηγητή στο

8ο ΓΕΛ Τρικάλων)

Έστω η συνάρτηση w(x) ƒ (x) 2xprime= minus microε [ )x 01isin για την οποία ι-

σχυριζόmicroαστε ότι w(x) 0ne στο [ )01

Επειδή στο διάστηmicroα [ )01 η συνάρτηση w είναι συνεχής microε

w(x) 0ne προκύπτει ότι η w διατηρεί σταθερό πρόσηmicroο στο [ )01

23

Είναι w(0) ƒ (0) 2 0 ƒ (0) 0prime prime= minus sdot = gt άρα w(x) 0gt για κάθε [ )x 01isin

οπότε και ƒ (x) 2xprime gt για κάθε [ )x 01isin (1)

Με εφαρmicroογή του ΘΜΤ για την ƒ στα διαστήmicroατα 1

02

και 1

12

προκύπτει ότι θα υπάρχουν 1

1x 0

2

isin

και 2

1x 1

2

isin

τέτοια ώστε

1

1ƒ ƒ(0)

2ƒ (x )

1

2

minus prime = και

( )2

1ƒ 1 ƒ

2ƒ (x )

1

2

minus prime =

Με πρόσθεση κατά microέλη παίρνουmicroε

1 2

1 1 1ƒ ƒ(0) ƒ(1) ƒ2 2 2ƒ (x ) ƒ (x ) 1

1 1

2 2

minus + minus prime prime+ = = = (2)

Όmicroως από τη σχέση (1) έχουmicroε 1 1

2 2

ƒ (x ) 2x

ƒ (x ) 2x

prime gt

prime gt και microε πρόσθεση κατά

microέλη παίρνουmicroε

( )2

1 2 1 2 1 2 1 2

1ƒ (x ) ƒ (x ) 2x 2x 1 2x 2x x x

2prime prime+ gt + hArr gt + hArr + lt

που είναι άτοπο καθώς 1

2

10 x

2

1x 1

2

lt lt lt lt

Εποmicroένως o ισχυρισmicroός ότι στο [ )01 είναι w(x) 0ne δεν ευσταθεί

Οπότε θα υπάρχει ( )ξ 01isin τέτοιο ώστε w(ξ) 0 ƒ (ξ) 2ξprime= hArr = (το ξ

αυτό δεν microπορεί να είναι ίσο microε 0 αφού w(0) 0gt )

24

Μια πρόταση

Έστω f και g δυο συναρτήσεις συνεχείς στο διάστηmicroα [ ]αβ για τις

οποίες ισχύει ( ) ( )f x g xgt για κάθε [ ]x αβisin

Υπάρχει πάντοτε θετικός r τέτοιος ώστε ( ) ( )f x g x rgt + για κάθε

[ ]x αβisin

Ένα ερώτηmicroα

Ποιος προβληmicroατισmicroός γεωmicroετρικής υφής θα microπορούσε να microας οδη-

γήσει στη διατύπωση της παραπάνω πρότασης

Απόδειξη της πρότασης

Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) ( )h x f x g x= minus [ ]x αβisin

Η h είναι συνεχής microε θετικές τιmicroές στο [ ]αβ οπότε θα παρουσιάζει

ελάχιστο έστω ίσο microε m mgt0

Άρα ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m mh x m f x g x m f x g x

2 2ge rArr minus ge gt rArr gt +

Οπότε ( ) ( )f x g x rgt + m

r2= microε ( )r 0misin

Σηmicroείωση

Τα παραδείγmicroατα microαθηmicroατικών που συmicroπεριέλαβα στο παρόν άρθρο ανα-

πτύχθηκαν και σε οmicroιλία microου στην Ελληνογαλλική Σχολή Καλαmicroαρί της

Θεσσαλονίκης (27 Φεβρουαρίου 2016) microε θέmicroα τα Ποιοτικά Χαρακτηριστι-

κά στη ∆ιδασκαλία των Μαθηmicroατικών Επίσης κάποια από αυτά χρησιmicroο-

ποιήθηκαν σε σεmicroινάριο ∆ιδακτικής Μαθηmicroατικών που ανέπτυξα στα Τρί-

καλα (5 και 12 Απριλίου 2016)

Αφιέρωση

Το άρθρο αυτό αφιερώνεται στη microνήmicroη του Νίκου Κλαουδάτου καθηγητή

microου κατά τα έτη 2000-2002 στο ΠΜΣ της ∆ιδακτικής και Μεθοδολογίας

των Μαθηmicroατικών στο Τmicroήmicroα Μαθηmicroατικών του ΕΚΠΑ

25

Βιβλιογραφικές αναφορές

Ξενόγλωσσες

[1] Cobb P Wood T Yackel E amp McNeal B (1992) Characteristics of clas-

room mathematics traditions An interactional analysis American Educa-

tional Research Journal 29 573-604

[2] Cobb P amp Steffe L P (1993) The constructivist researcher as the teacher

and model builder Journal for Research in Mathematics Education vol 14

pp 83-94

[3] Eisenberg T amp Dreyfus T On the reluctance to visualize in Mathematics in

Zimmerman W amp Cunnigham S (Eds) 1991 Visualization in teaching

and learning mathematics p 25-37 MAA notes no 19 Mathematical Asso-

ciation of America

[4] Vinner S Visual considerations in College Calculus ndash Students and Teach-

ers in Vermandel A amp Steiner Hans-Georg (Eds) 1988 Theory of mathe-

matics Educations (Proceeding of the third international conferens Andwerp

11-15 July 1988) p 109-116

[5] Year Book 2001 The Roles of Representation in School Mathematics Na-

tional Council of Teachers of Mathematics

Ελληνόγλωσσες

[6] Ανδρεαδάκης Σ Κατσαργύρης Β Μέτης Σ Μπρουχούτας Κ Παπα-

σταυρίδης Σ και Πολύζος Γ (2015) Μαθηmicroατικά Γ΄ Γενικού Λυκείου Οmicroά-

δας Προσανατολισmicroού Θετικών Σπουδών και Σποδών Οικονοmicroίας amp Πληρο-

φορικής Αθήνα ΙΕΠ amp ΙΤΥΕ ∆ιόφαντος

[7] Κατσαργύρης Β Μεντής Κ Παντελίδης Γ και Σουρλάς Κ (1994) Μα-

θηmicroατικά Γ΄ Λυκείου ndash Ανάλυση Αθήνα ΟΕ∆Β

[8] Κλαουδάτος Ν (2011) Σηmicroειώσεις ∆ιδακτικής Μαθηmicroατικών 1) Εισαγωγή

στη γνωσιακή θεωρία 2) Βασικές αρχές της θεωρίας Vygotsky Μεταπτυχιακό

Πρόγραmicromicroα Σπουδών ∆ιδακτικής και Μεθοδολογίας των Μαθηmicroατικών

Τmicroήmicroα Μαθηmicroατικών ΕΚΠΑ

[9] Κλαουδάτος Ν (2011) Σηmicroειώσεις ∆ιδακτικής Μαθηmicroατικών 1) ∆ιδασκαλία

και microάθηση των microαθηmicroατικών microε διαδικασίες επίλυσης προβληmicroάτων 2) Εισα-

γωγή στη Θεωρία της ∆ιδασκαλίας Μεταπτυχιακό Πρόγραmicromicroα Σπουδών ∆ιδα-

κτικής και Μεθοδολογίας των Μαθηmicroατικών Τmicroήmicroα Μαθηmicroατικών ΕΚΠΑ

26

[10] Μάκρας Στρ Γεωmicroετρική εποπτεία και απόδειξη άρθρο στο περιοδικό Ευ-

κλείδης Β΄ τχ 25 (Ιούλιος-Αύγουστος-Σεπτέmicroβριος 1997) σσ 11-17 Αθήνα

Έκδοση της ΕΜΕ

[11] Νεγρεπόντης Σ Γιωτόπουλος Σ amp Γιαννακούλιας Ε (2000) Απειροστικός

Λογισmicroός τόmicroος IIα Αθήνα Εκδόσεις Συmicromicroετρία

[12] Ντρίζος ∆ (2002) Πλεονεκτήmicroατα της γεωmicroετρικής αναπαράστασης των microα-

θηmicroατικών εννοιών Η απόδειξη του θεωρήmicroατος της Μέσης Τιmicroής του διαφο-

ρικού λογισmicroού για συναρτήσεις microιας ή δύο πραγmicroατικών microεταβλητών Ευκλεί-

δης Γ΄ τχ 77 (Ιούλιος-∆εκέmicroβριος 2012) σσ 31-45 Αθήνα Έκδοση της

ΕΜΕ

[13] Ντρίζος ∆ Τα βασικά θεωρήmicroατα του ∆ιαφορικού Λογισmicroού άρθρο στο περι-

οδικό Ευκλείδης Γ΄ τχ 70 (Ιανουάριος-Ιούνιος 2009) σσ 5-23 Αθήνα Έκδο-

ση της ΕΜΕ

[14] Ντρίζος ∆ ∆ιδακτική Αξιοποίηση Προβληmicroάτων Επαγωγικής Συλλογιστικής

στο Πλαίσιο Ανάπτυξης Ιδεών του G Polya άρθρο στο περιοδικό Ευκλείδης

Γ΄ τχ 73 (Ιούλιος-∆εκέmicroβριος 2010) σσ 29-48 Αθήνα Έκδοση της ΕΜΕ

[15] Polya G (2001) Η Μαθηmicroατική Ανακάλυψη τόmicroος 1 (microτφ Στεργιάκη Σπύ-

ρου) Αθήνα Εκδόσεις Κάτοπτρο

[16] Ρίζος Γ (2005) Οι περιπέτειες του Προβλήmicroατος στα σχολικά Μαθηmicroατικά

Θεσσαλονίκη Εκδόσεις Μαθηmicroατική Βιβλιοθήκη

[17] Spivak Michael (1991) ∆ιαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισmicroός (microτφ Γιαν-

νόπουλου Απ) Ηράκλειο Πανεπιστηmicroιακές Εκδόσεις Κρήτης

16

[ ]1 α βƒ(α) ƒ(β) ƒ

2 2

+ + =

(1)

Το 1ο microέλος της υπόθεσης (1) είναι η τεταγmicroένη του microέσου Μ του

τmicroήmicroατος ΚΛ ενώ το 2ο microέλος είναι η εικόνα microέσω της ƒ του microέσου

του διαστήmicroατος [α β] Η πρώτη απλούστατη γεωmicroετρική ερmicroηνεία της

υπόθεσης (1) είναι ότι η γραφική παράσταση της ƒ τέmicroνει το τmicroήmicroα

ΚΛ στο microέσο του Μ

Επίσης το τετράπλευρο ΚΑΒΛ είναι (γενικά) τραπέζιο microε βάσεις

ΚΑ = ƒ(α) ΛΒ = ƒ(β) και διάmicroεσο την ΜΓ = α β

ƒ2

+

Η υπόθεση (1) σε γεωmicroετρική γλώσσα γράφεται

ΚΑ ΚΒΜΓ

2

+=

σχέση η οποία από την Ευκλείδεια Γεωmicroετρία συνδέει το microήκος της

διαmicroέσου του τραπεζίου ΚΑΒΛ microε τα microήκη των βάσεών του

Το γεγονός ότι η ƒ είναι δύο φορές παραγωγίσιmicroη άρα και microία φορά

microας δηλώνει ότι η γραφική παράσταση της ƒ είναι microια οmicroαλή κα-

microπύλη η οποία δέχεται εφαπτοmicroένη (όχι κατακόρυφη) σε κάθε σηmicroείο

της

Προσέγγιση θεωρητικής τεκmicroηρίωσης

Από τη διαίσθησή microας που βρίσκεται σε πλήρη αρmicroονία microε το Θεώ-

ρηmicroα Μέσης Τιmicroής του ∆ιαφορικού Λογισmicroού υπάρχουν οι εφαπτό-

microενες ευθείες ε1 και ε2 της Cƒ παράλληλες προς την ΚΛ microε συντελε-

στές διεύθυνσης αντίστοιχα ƒ΄(ξ1) και ƒ΄(ξ2)

ƒ΄(ξ1) = λΚΜ ξ1isinα β

α2

+

Είναι

ƒ΄(ξ2) = λΜΛ ξ2isinα β

β2

+

Όmicroως λΚΜ = λΜΛ οπότε ƒ΄(ξ1) = ƒ΄(ξ2) και microε απλή εφαρmicroογή του Θε-

17

ωρήmicroατος του Rolle για τη συνάρτηση ƒ΄ στο [ξ1 ξ2] παίρνουmicroε το

ζητούmicroενο ƒ΄΄(ξ) = 0 όπου ξisin(ξ1 ξ2)

Προβληmicroατισmicroός

Θα microπορούσαmicroε να καταλήξουmicroε στην ƒ΄(ξ1) = ƒ΄(ξ2) στηριζόmicroενοι

στο γεγονός ότι το ΚΑΒΛ είναι τραπέζιο

xξ1

y

ξ2Α

Μ

Γ Β

Λ

Κω

ω

Μ΄

Λ΄

Ο

1 ΚΜ

2 ΜΛ

ΜΜ΄ ΜΓ ΚΑƒ (ξ ) λ εφω (2)

ΚΜ΄ ΑΓΈχουmicroε

ΛΛ΄ ΛΒ ΜΓƒ (ξ ) λ εφω (3)

ΜΛ΄ ΓΒ

minusprime = = = =

minusprime = = = =

Τα τελευταία κλάσmicroατα των (2) και (3) είναι ίσα γιατί ΑΓ = ΓΒ και

ΜΓ ndash ΚΑ = ΛΒ ndash ΜΓ λόγω της σχέσης της διαmicroέσου ΜΓ του τρα-

πεζίου ΚΑΒΛ microε τις βάσεις του ΚΑ και ΛΒ Οπότε ƒ΄(ξ1) = ƒ΄(ξ2)

Η γεωmicroετρική ερmicroηνεία του παραπάνω θέmicroατος microάς επιτρέπει να δια-

τυπώσουmicroε την επόmicroενη γενίκευση

18

Μια γενίκευση διατυπωmicroένη εποπτικά

Έστω συνάρτηση ƒ δύο φορές παραγωγίσιmicroη στο [α β] και τα ση-

microεία Κ(α ƒ(α)) και Λ(β ƒ(β))

Αν το τmicroήmicroα ΚΛ και η γραφική παράσταση της ƒ τέmicroνονται τότε

υπάρχει ξisin(α β) τέτοιο ώστε ƒ΄΄(ξ) = 0

Η ιδέα για τη γενίκευση διατυπωmicroένη στη γλώσσα της Ανάλυσης

Αν στο παραπάνω παράδειγmicroα 4 ονοmicroάζαmicroε γ την τετmicroηmicroένη τού microέ-

σου Γ του ευθυγράmicromicroου τmicroήmicroατος ΑΒ τότε είναι γ α

1β γ

minus=

minus οπότε

α βΓ 0

2

+

Και αν παίρναmicroε το Γ(γ0) στο εσωτερικό του ΑΒ ώστε γ α κ

β γ λ

minus=

minus τό-

τε microε απλές πράξεις θα βρίσκαmicroε λα κβ

Γ 0κ λ

+ +

Η γενίκευση

Αν microια συνάρτηση f είναι δυο φορές παραγωγίσιmicroη στο διάστηmicroα

[ ]αβ microε την ιδιότητα ( ) ( ) ( ) λα κβλf α κf β κ λ f

κ λ

+ + = + +

όπου λα κβ

α βκ λ

+lt lt+

και κλ θετικοί ακέραιοι τότε υπάρχει

( )ξ αβisin τέτοιο ώστε ( )f ξ 0primeprime =

Παράδειγmicroα 5

Έστω συνάρτηση ƒ παραγωγίσιmicroη στο [0 1] microε συνεχή παράγωγο

για την οποία ισχύουν

( )ƒ 0 0= ( ) 1ƒ 1

2= και ( )ƒ 0 0prime gt

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ( )ξ 01isin τέτοιο ώστε ( )ƒ ξ 2ξprime =

19

Σχόλιο

Το παράδειγmicroα 5 το συζητήσαmicroε σε Εργαστήριο Εφαρmicroοσmicroένης ∆ι-

δακτικής των Μαθηmicroατικών (∆ Ντρίζος Ιανουάριος 2016 Καρδίτσα) για

να αναδείξουmicroε την παιδευτική αξία της αναζήτησης πολλών τρόπων λύσης

ενός microαθηmicroατικού ερωτήmicroατος)

1ος

τρόπος λύσης (του ∆ Ντρίζου)

Αρκεί να αποδείξουmicroε ότι η εξίσωση ( )( )2ƒ x x 0primeminus = έχει microία τουλά-

χιστον ρίζα στο διάστηmicroα ( )01 Και αυτό θα microπορούσε να προκύψει

microε εφαρmicroογή του θ του Rolle στη συνάρτηση ( ) ( ) 2g x ƒ x x= minus

[ ]x 01isin

Είναι ( )g 0 0= και ( ) ( ) 2 1 1g 1 ƒ 1 1 1

2 2= minus = minus = minus δηλαδή ( )g 1 0lt

Σχέδιο προσέγγισης του θέmicroατος

Επειδή ( )g 0 0= το ζητούmicroενο θα προέκυπτε microε εφαρmicroογή του θ του

Rolle για την g αν αποδεικνύαmicroε ότι υπάρχει αριθmicroός ( )α 01isin για

τον οποίο ( )g α 0=

Με βάση αυτή την ιδέα και παίρνοντας υπόψη ότι ( )g 1 0lt αναρω-

τιόmicroαστε microήπως θα microπορούσαmicroε να έχουmicroε κάποιο ( )β 01isin ώστε

( )g β 0gt οπότε microε εφαρmicroογή του θ του Bolzano στο διάστηmicroα [ ]β1

θα εξασφαλίζαmicroε την ύπαρξη αριθmicroού ( )α β1isin τέτοιου ώστε

( )g α 0=

Εφαρmicroογή του σχεδίου

Ισχυριζόmicroαστε ότι δεν υπάρχει κάποιο ( )β 01isin ώστε ( )g β 0gt Ισο-

δύναmicroα ότι για κάθε ( )x 01isin ισχύει ( )g x 0le

20

bull Στην περίπτωση που για κάποιο ( )x 01isin ισχύει ( )g x 0= τότε

καθώς έχουmicroε και ( )g 0 0= το ζητούmicroενο προκύπτει microε εφαρmicroογή

του θ Rolle

bull Ας εξετάσουmicroε τώρα τον ισχυρισmicroό ( )g x 0lt για κάθε ( )x 01isin

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

x 0 x 0

ƒ xg x 0 ƒ x x x

x

ƒ x ƒ 0lim lim x ƒ 0 0

x 0+ +rarr rarr

lt rArr lt rArr lt rArr

minusprimerArr lt rArr le

minus

που είναι άτοπο λόγω υπόθεσης Άρα υπάρχει κάποιο ( )β 01isin ώστε

( )g β 0gt

Με εφαρmicroογή του θ του Bolzano στο [ ]β1 παίρνουmicroε ότι υπάρχει

( )α β1isin τέτοιο ώστε ( )g α 0=

Και τέλος microε εφαρmicroογή του θ του Rolle για την g στο διάστηmicroα

[ ]0α παίρνουmicroε ότι υπάρχει ( ) ( )ξ 0α 01isin sube τέτοιο ώστε

( )g ξ 0prime = οπότε ( )ƒ ξ 2ξprime =

Σχόλια ndash Έλεγχος υποθέσεων

1 Στην παραπάνω λύση η υπόθεση ότι η ƒprime είναι συνεχής δεν microάς

χρειάστηκε

2 Η υπόθεση ( ) 1ƒ 1

2= θα microπορούσε να δίνεται γενικά ως ( )ƒ 1 θ= microε

θ 1lt

3 Ως ζητούmicroενο θα microπορούσαmicroε να έχουmicroε υπάρχει ( )ξ 01isin ώστε

( ) ν 1ƒ ξ νξ minusprime =

21

Μια γενίκευση

Έστω microια συνάρτηση ƒ παραγωγίσιmicroη στο [ ]01 για την οποία ισχύ-

ουν

( )f 0 0= ( )ƒ 1 θ 1= lt και ( )ƒ 0 0prime gt

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ( )ξ 01isin τέτοιο ώστε ( ) ν 1ƒ ξ νξ minusprime =

2ος

τρόπος λύσης (προτάθηκε από τον Θανάση Καραντάνα καθηγητή στο

4ο ΓΕΛ Καρδίτσας και τον Αιmicroίλιο Βλάστο καθηγητή στο Μουσικό

Σχολείο Καρδίτσας)

Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) 2g x ƒ x x= minus [ ]x 01isin

Είναι ( )g 0 0= και ( ) 1g 1

2= minus

Επίσης ( ) ( )g x ƒ x 2xprime prime= minus άρα ( ) ( )g 0 ƒ 0 0prime prime= gt

Οπότε από τον ορισmicroό της παραγώγου της g στο 0 από τα δεξιά

παίρνουmicroε

( ) ( ) ( )x 0 x 0

g x g 0 g xlim lim 0

x 0 x+ +rarr rarr

minus= gt

minus

Και επειδή x 0gt θα είναι και ( )g x 0gt κοντά στο 0 από τα δεξιά

Άρα θα υπάρχει ( )k 01isin τέτοιο ώστε ( )g k 0gt

Έχουmicroε λοιπόν ( ) ( )g k g 1 0sdot lt και επειδή η συνάρτηση g είναι συνε-

χής στο [ ]k1 από το θεώρηmicroα του Bolzano θα υπάρχει

( ) ( )m k1 01isin sube τέτοιο ώστε ( )g m 0=

Τέλος καθώς στο διάστηmicroα [ ]0m η g ικανοποιεί τις υποθέσεις του

θεωρήmicroατος του Rolle θα υπάρχει ( ) ( )ξ 0 m 01isin sube τέτοιο ώστε

( )g ξ 0prime = ∆ηλαδή ( )ƒ ξ 2ξprime =

22

3ος

τρόπος λύσης

Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) 2g x ƒ x x= minus [ ]x 01isin

Είναι g(0) = 0 και ( ) 1g 1

2= minus

Επίσης ( ) ( )g x ƒ x 2xprime prime= minus άρα ( ) ( )g 0 f 0 0prime prime= gt

Με εφαρmicroογή του θεωρήmicroατος Μέσης Τιmicroής για την g στα 1

02

και

11

2

βρίσκουmicroε ότι υπάρχουν 1

1x 0

2

isin

και 2

1x 1

2

isin

τέτοια

ώστε

( )1

1 1f

2 4g x

1

2

minus prime = και ( )2

1 1 1f

2 2 4g x

1

2

minus minus minus prime =

Και επειδή ( ) ( )1 2g x g x 1prime prime+ = minus προφανώς ένα τουλάχιστον από τα

( ) ( )1 2g x g xprime prime θα είναι υποχρεωτικά αρνητικό

Έστω λοιπόν ότι είναι ( )1g x 0prime lt

Τότε καθώς η gprime είναι συνεχής στο [ ]10 x και ( ) ( )1g 0 g x 0prime primesdot lt από

το θεώρηmicroα του Bolzano βρίσκουmicroε ότι θα υπάρχει ένα τουλάχιστον

( ) ( )1ξ 0 x 01isin sube τέτοιο ώστε ( )g ξ 0prime = ∆ηλαδή ( )ƒ ξ 2ξprime =

4ος

τρόπος λύσης (προτάθηκε από τον Σεραφείmicro Σαmicroορέλη καθηγητή στο

8ο ΓΕΛ Τρικάλων)

Έστω η συνάρτηση w(x) ƒ (x) 2xprime= minus microε [ )x 01isin για την οποία ι-

σχυριζόmicroαστε ότι w(x) 0ne στο [ )01

Επειδή στο διάστηmicroα [ )01 η συνάρτηση w είναι συνεχής microε

w(x) 0ne προκύπτει ότι η w διατηρεί σταθερό πρόσηmicroο στο [ )01

23

Είναι w(0) ƒ (0) 2 0 ƒ (0) 0prime prime= minus sdot = gt άρα w(x) 0gt για κάθε [ )x 01isin

οπότε και ƒ (x) 2xprime gt για κάθε [ )x 01isin (1)

Με εφαρmicroογή του ΘΜΤ για την ƒ στα διαστήmicroατα 1

02

και 1

12

προκύπτει ότι θα υπάρχουν 1

1x 0

2

isin

και 2

1x 1

2

isin

τέτοια ώστε

1

1ƒ ƒ(0)

2ƒ (x )

1

2

minus prime = και

( )2

1ƒ 1 ƒ

2ƒ (x )

1

2

minus prime =

Με πρόσθεση κατά microέλη παίρνουmicroε

1 2

1 1 1ƒ ƒ(0) ƒ(1) ƒ2 2 2ƒ (x ) ƒ (x ) 1

1 1

2 2

minus + minus prime prime+ = = = (2)

Όmicroως από τη σχέση (1) έχουmicroε 1 1

2 2

ƒ (x ) 2x

ƒ (x ) 2x

prime gt

prime gt και microε πρόσθεση κατά

microέλη παίρνουmicroε

( )2

1 2 1 2 1 2 1 2

1ƒ (x ) ƒ (x ) 2x 2x 1 2x 2x x x

2prime prime+ gt + hArr gt + hArr + lt

που είναι άτοπο καθώς 1

2

10 x

2

1x 1

2

lt lt lt lt

Εποmicroένως o ισχυρισmicroός ότι στο [ )01 είναι w(x) 0ne δεν ευσταθεί

Οπότε θα υπάρχει ( )ξ 01isin τέτοιο ώστε w(ξ) 0 ƒ (ξ) 2ξprime= hArr = (το ξ

αυτό δεν microπορεί να είναι ίσο microε 0 αφού w(0) 0gt )

24

Μια πρόταση

Έστω f και g δυο συναρτήσεις συνεχείς στο διάστηmicroα [ ]αβ για τις

οποίες ισχύει ( ) ( )f x g xgt για κάθε [ ]x αβisin

Υπάρχει πάντοτε θετικός r τέτοιος ώστε ( ) ( )f x g x rgt + για κάθε

[ ]x αβisin

Ένα ερώτηmicroα

Ποιος προβληmicroατισmicroός γεωmicroετρικής υφής θα microπορούσε να microας οδη-

γήσει στη διατύπωση της παραπάνω πρότασης

Απόδειξη της πρότασης

Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) ( )h x f x g x= minus [ ]x αβisin

Η h είναι συνεχής microε θετικές τιmicroές στο [ ]αβ οπότε θα παρουσιάζει

ελάχιστο έστω ίσο microε m mgt0

Άρα ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m mh x m f x g x m f x g x

2 2ge rArr minus ge gt rArr gt +

Οπότε ( ) ( )f x g x rgt + m

r2= microε ( )r 0misin

Σηmicroείωση

Τα παραδείγmicroατα microαθηmicroατικών που συmicroπεριέλαβα στο παρόν άρθρο ανα-

πτύχθηκαν και σε οmicroιλία microου στην Ελληνογαλλική Σχολή Καλαmicroαρί της

Θεσσαλονίκης (27 Φεβρουαρίου 2016) microε θέmicroα τα Ποιοτικά Χαρακτηριστι-

κά στη ∆ιδασκαλία των Μαθηmicroατικών Επίσης κάποια από αυτά χρησιmicroο-

ποιήθηκαν σε σεmicroινάριο ∆ιδακτικής Μαθηmicroατικών που ανέπτυξα στα Τρί-

καλα (5 και 12 Απριλίου 2016)

Αφιέρωση

Το άρθρο αυτό αφιερώνεται στη microνήmicroη του Νίκου Κλαουδάτου καθηγητή

microου κατά τα έτη 2000-2002 στο ΠΜΣ της ∆ιδακτικής και Μεθοδολογίας

των Μαθηmicroατικών στο Τmicroήmicroα Μαθηmicroατικών του ΕΚΠΑ

25

Βιβλιογραφικές αναφορές

Ξενόγλωσσες

[1] Cobb P Wood T Yackel E amp McNeal B (1992) Characteristics of clas-

room mathematics traditions An interactional analysis American Educa-

tional Research Journal 29 573-604

[2] Cobb P amp Steffe L P (1993) The constructivist researcher as the teacher

and model builder Journal for Research in Mathematics Education vol 14

pp 83-94

[3] Eisenberg T amp Dreyfus T On the reluctance to visualize in Mathematics in

Zimmerman W amp Cunnigham S (Eds) 1991 Visualization in teaching

and learning mathematics p 25-37 MAA notes no 19 Mathematical Asso-

ciation of America

[4] Vinner S Visual considerations in College Calculus ndash Students and Teach-

ers in Vermandel A amp Steiner Hans-Georg (Eds) 1988 Theory of mathe-

matics Educations (Proceeding of the third international conferens Andwerp

11-15 July 1988) p 109-116

[5] Year Book 2001 The Roles of Representation in School Mathematics Na-

tional Council of Teachers of Mathematics

Ελληνόγλωσσες

[6] Ανδρεαδάκης Σ Κατσαργύρης Β Μέτης Σ Μπρουχούτας Κ Παπα-

σταυρίδης Σ και Πολύζος Γ (2015) Μαθηmicroατικά Γ΄ Γενικού Λυκείου Οmicroά-

δας Προσανατολισmicroού Θετικών Σπουδών και Σποδών Οικονοmicroίας amp Πληρο-

φορικής Αθήνα ΙΕΠ amp ΙΤΥΕ ∆ιόφαντος

[7] Κατσαργύρης Β Μεντής Κ Παντελίδης Γ και Σουρλάς Κ (1994) Μα-

θηmicroατικά Γ΄ Λυκείου ndash Ανάλυση Αθήνα ΟΕ∆Β

[8] Κλαουδάτος Ν (2011) Σηmicroειώσεις ∆ιδακτικής Μαθηmicroατικών 1) Εισαγωγή

στη γνωσιακή θεωρία 2) Βασικές αρχές της θεωρίας Vygotsky Μεταπτυχιακό

Πρόγραmicromicroα Σπουδών ∆ιδακτικής και Μεθοδολογίας των Μαθηmicroατικών

Τmicroήmicroα Μαθηmicroατικών ΕΚΠΑ

[9] Κλαουδάτος Ν (2011) Σηmicroειώσεις ∆ιδακτικής Μαθηmicroατικών 1) ∆ιδασκαλία

και microάθηση των microαθηmicroατικών microε διαδικασίες επίλυσης προβληmicroάτων 2) Εισα-

γωγή στη Θεωρία της ∆ιδασκαλίας Μεταπτυχιακό Πρόγραmicromicroα Σπουδών ∆ιδα-

κτικής και Μεθοδολογίας των Μαθηmicroατικών Τmicroήmicroα Μαθηmicroατικών ΕΚΠΑ

26

[10] Μάκρας Στρ Γεωmicroετρική εποπτεία και απόδειξη άρθρο στο περιοδικό Ευ-

κλείδης Β΄ τχ 25 (Ιούλιος-Αύγουστος-Σεπτέmicroβριος 1997) σσ 11-17 Αθήνα

Έκδοση της ΕΜΕ

[11] Νεγρεπόντης Σ Γιωτόπουλος Σ amp Γιαννακούλιας Ε (2000) Απειροστικός

Λογισmicroός τόmicroος IIα Αθήνα Εκδόσεις Συmicromicroετρία

[12] Ντρίζος ∆ (2002) Πλεονεκτήmicroατα της γεωmicroετρικής αναπαράστασης των microα-

θηmicroατικών εννοιών Η απόδειξη του θεωρήmicroατος της Μέσης Τιmicroής του διαφο-

ρικού λογισmicroού για συναρτήσεις microιας ή δύο πραγmicroατικών microεταβλητών Ευκλεί-

δης Γ΄ τχ 77 (Ιούλιος-∆εκέmicroβριος 2012) σσ 31-45 Αθήνα Έκδοση της

ΕΜΕ

[13] Ντρίζος ∆ Τα βασικά θεωρήmicroατα του ∆ιαφορικού Λογισmicroού άρθρο στο περι-

οδικό Ευκλείδης Γ΄ τχ 70 (Ιανουάριος-Ιούνιος 2009) σσ 5-23 Αθήνα Έκδο-

ση της ΕΜΕ

[14] Ντρίζος ∆ ∆ιδακτική Αξιοποίηση Προβληmicroάτων Επαγωγικής Συλλογιστικής

στο Πλαίσιο Ανάπτυξης Ιδεών του G Polya άρθρο στο περιοδικό Ευκλείδης

Γ΄ τχ 73 (Ιούλιος-∆εκέmicroβριος 2010) σσ 29-48 Αθήνα Έκδοση της ΕΜΕ

[15] Polya G (2001) Η Μαθηmicroατική Ανακάλυψη τόmicroος 1 (microτφ Στεργιάκη Σπύ-

ρου) Αθήνα Εκδόσεις Κάτοπτρο

[16] Ρίζος Γ (2005) Οι περιπέτειες του Προβλήmicroατος στα σχολικά Μαθηmicroατικά

Θεσσαλονίκη Εκδόσεις Μαθηmicroατική Βιβλιοθήκη

[17] Spivak Michael (1991) ∆ιαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισmicroός (microτφ Γιαν-

νόπουλου Απ) Ηράκλειο Πανεπιστηmicroιακές Εκδόσεις Κρήτης

17

ωρήmicroατος του Rolle για τη συνάρτηση ƒ΄ στο [ξ1 ξ2] παίρνουmicroε το

ζητούmicroενο ƒ΄΄(ξ) = 0 όπου ξisin(ξ1 ξ2)

Προβληmicroατισmicroός

Θα microπορούσαmicroε να καταλήξουmicroε στην ƒ΄(ξ1) = ƒ΄(ξ2) στηριζόmicroενοι

στο γεγονός ότι το ΚΑΒΛ είναι τραπέζιο

xξ1

y

ξ2Α

Μ

Γ Β

Λ

Κω

ω

Μ΄

Λ΄

Ο

1 ΚΜ

2 ΜΛ

ΜΜ΄ ΜΓ ΚΑƒ (ξ ) λ εφω (2)

ΚΜ΄ ΑΓΈχουmicroε

ΛΛ΄ ΛΒ ΜΓƒ (ξ ) λ εφω (3)

ΜΛ΄ ΓΒ

minusprime = = = =

minusprime = = = =

Τα τελευταία κλάσmicroατα των (2) και (3) είναι ίσα γιατί ΑΓ = ΓΒ και

ΜΓ ndash ΚΑ = ΛΒ ndash ΜΓ λόγω της σχέσης της διαmicroέσου ΜΓ του τρα-

πεζίου ΚΑΒΛ microε τις βάσεις του ΚΑ και ΛΒ Οπότε ƒ΄(ξ1) = ƒ΄(ξ2)

Η γεωmicroετρική ερmicroηνεία του παραπάνω θέmicroατος microάς επιτρέπει να δια-

τυπώσουmicroε την επόmicroενη γενίκευση

18

Μια γενίκευση διατυπωmicroένη εποπτικά

Έστω συνάρτηση ƒ δύο φορές παραγωγίσιmicroη στο [α β] και τα ση-

microεία Κ(α ƒ(α)) και Λ(β ƒ(β))

Αν το τmicroήmicroα ΚΛ και η γραφική παράσταση της ƒ τέmicroνονται τότε

υπάρχει ξisin(α β) τέτοιο ώστε ƒ΄΄(ξ) = 0

Η ιδέα για τη γενίκευση διατυπωmicroένη στη γλώσσα της Ανάλυσης

Αν στο παραπάνω παράδειγmicroα 4 ονοmicroάζαmicroε γ την τετmicroηmicroένη τού microέ-

σου Γ του ευθυγράmicromicroου τmicroήmicroατος ΑΒ τότε είναι γ α

1β γ

minus=

minus οπότε

α βΓ 0

2

+

Και αν παίρναmicroε το Γ(γ0) στο εσωτερικό του ΑΒ ώστε γ α κ

β γ λ

minus=

minus τό-

τε microε απλές πράξεις θα βρίσκαmicroε λα κβ

Γ 0κ λ

+ +

Η γενίκευση

Αν microια συνάρτηση f είναι δυο φορές παραγωγίσιmicroη στο διάστηmicroα

[ ]αβ microε την ιδιότητα ( ) ( ) ( ) λα κβλf α κf β κ λ f

κ λ

+ + = + +

όπου λα κβ

α βκ λ

+lt lt+

και κλ θετικοί ακέραιοι τότε υπάρχει

( )ξ αβisin τέτοιο ώστε ( )f ξ 0primeprime =

Παράδειγmicroα 5

Έστω συνάρτηση ƒ παραγωγίσιmicroη στο [0 1] microε συνεχή παράγωγο

για την οποία ισχύουν

( )ƒ 0 0= ( ) 1ƒ 1

2= και ( )ƒ 0 0prime gt

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ( )ξ 01isin τέτοιο ώστε ( )ƒ ξ 2ξprime =

19

Σχόλιο

Το παράδειγmicroα 5 το συζητήσαmicroε σε Εργαστήριο Εφαρmicroοσmicroένης ∆ι-

δακτικής των Μαθηmicroατικών (∆ Ντρίζος Ιανουάριος 2016 Καρδίτσα) για

να αναδείξουmicroε την παιδευτική αξία της αναζήτησης πολλών τρόπων λύσης

ενός microαθηmicroατικού ερωτήmicroατος)

1ος

τρόπος λύσης (του ∆ Ντρίζου)

Αρκεί να αποδείξουmicroε ότι η εξίσωση ( )( )2ƒ x x 0primeminus = έχει microία τουλά-

χιστον ρίζα στο διάστηmicroα ( )01 Και αυτό θα microπορούσε να προκύψει

microε εφαρmicroογή του θ του Rolle στη συνάρτηση ( ) ( ) 2g x ƒ x x= minus

[ ]x 01isin

Είναι ( )g 0 0= και ( ) ( ) 2 1 1g 1 ƒ 1 1 1

2 2= minus = minus = minus δηλαδή ( )g 1 0lt

Σχέδιο προσέγγισης του θέmicroατος

Επειδή ( )g 0 0= το ζητούmicroενο θα προέκυπτε microε εφαρmicroογή του θ του

Rolle για την g αν αποδεικνύαmicroε ότι υπάρχει αριθmicroός ( )α 01isin για

τον οποίο ( )g α 0=

Με βάση αυτή την ιδέα και παίρνοντας υπόψη ότι ( )g 1 0lt αναρω-

τιόmicroαστε microήπως θα microπορούσαmicroε να έχουmicroε κάποιο ( )β 01isin ώστε

( )g β 0gt οπότε microε εφαρmicroογή του θ του Bolzano στο διάστηmicroα [ ]β1

θα εξασφαλίζαmicroε την ύπαρξη αριθmicroού ( )α β1isin τέτοιου ώστε

( )g α 0=

Εφαρmicroογή του σχεδίου

Ισχυριζόmicroαστε ότι δεν υπάρχει κάποιο ( )β 01isin ώστε ( )g β 0gt Ισο-

δύναmicroα ότι για κάθε ( )x 01isin ισχύει ( )g x 0le

20

bull Στην περίπτωση που για κάποιο ( )x 01isin ισχύει ( )g x 0= τότε

καθώς έχουmicroε και ( )g 0 0= το ζητούmicroενο προκύπτει microε εφαρmicroογή

του θ Rolle

bull Ας εξετάσουmicroε τώρα τον ισχυρισmicroό ( )g x 0lt για κάθε ( )x 01isin

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

x 0 x 0

ƒ xg x 0 ƒ x x x

x

ƒ x ƒ 0lim lim x ƒ 0 0

x 0+ +rarr rarr

lt rArr lt rArr lt rArr

minusprimerArr lt rArr le

minus

που είναι άτοπο λόγω υπόθεσης Άρα υπάρχει κάποιο ( )β 01isin ώστε

( )g β 0gt

Με εφαρmicroογή του θ του Bolzano στο [ ]β1 παίρνουmicroε ότι υπάρχει

( )α β1isin τέτοιο ώστε ( )g α 0=

Και τέλος microε εφαρmicroογή του θ του Rolle για την g στο διάστηmicroα

[ ]0α παίρνουmicroε ότι υπάρχει ( ) ( )ξ 0α 01isin sube τέτοιο ώστε

( )g ξ 0prime = οπότε ( )ƒ ξ 2ξprime =

Σχόλια ndash Έλεγχος υποθέσεων

1 Στην παραπάνω λύση η υπόθεση ότι η ƒprime είναι συνεχής δεν microάς

χρειάστηκε

2 Η υπόθεση ( ) 1ƒ 1

2= θα microπορούσε να δίνεται γενικά ως ( )ƒ 1 θ= microε

θ 1lt

3 Ως ζητούmicroενο θα microπορούσαmicroε να έχουmicroε υπάρχει ( )ξ 01isin ώστε

( ) ν 1ƒ ξ νξ minusprime =

21

Μια γενίκευση

Έστω microια συνάρτηση ƒ παραγωγίσιmicroη στο [ ]01 για την οποία ισχύ-

ουν

( )f 0 0= ( )ƒ 1 θ 1= lt και ( )ƒ 0 0prime gt

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ( )ξ 01isin τέτοιο ώστε ( ) ν 1ƒ ξ νξ minusprime =

2ος

τρόπος λύσης (προτάθηκε από τον Θανάση Καραντάνα καθηγητή στο

4ο ΓΕΛ Καρδίτσας και τον Αιmicroίλιο Βλάστο καθηγητή στο Μουσικό

Σχολείο Καρδίτσας)

Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) 2g x ƒ x x= minus [ ]x 01isin

Είναι ( )g 0 0= και ( ) 1g 1

2= minus

Επίσης ( ) ( )g x ƒ x 2xprime prime= minus άρα ( ) ( )g 0 ƒ 0 0prime prime= gt

Οπότε από τον ορισmicroό της παραγώγου της g στο 0 από τα δεξιά

παίρνουmicroε

( ) ( ) ( )x 0 x 0

g x g 0 g xlim lim 0

x 0 x+ +rarr rarr

minus= gt

minus

Και επειδή x 0gt θα είναι και ( )g x 0gt κοντά στο 0 από τα δεξιά

Άρα θα υπάρχει ( )k 01isin τέτοιο ώστε ( )g k 0gt

Έχουmicroε λοιπόν ( ) ( )g k g 1 0sdot lt και επειδή η συνάρτηση g είναι συνε-

χής στο [ ]k1 από το θεώρηmicroα του Bolzano θα υπάρχει

( ) ( )m k1 01isin sube τέτοιο ώστε ( )g m 0=

Τέλος καθώς στο διάστηmicroα [ ]0m η g ικανοποιεί τις υποθέσεις του

θεωρήmicroατος του Rolle θα υπάρχει ( ) ( )ξ 0 m 01isin sube τέτοιο ώστε

( )g ξ 0prime = ∆ηλαδή ( )ƒ ξ 2ξprime =

22

3ος

τρόπος λύσης

Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) 2g x ƒ x x= minus [ ]x 01isin

Είναι g(0) = 0 και ( ) 1g 1

2= minus

Επίσης ( ) ( )g x ƒ x 2xprime prime= minus άρα ( ) ( )g 0 f 0 0prime prime= gt

Με εφαρmicroογή του θεωρήmicroατος Μέσης Τιmicroής για την g στα 1

02

και

11

2

βρίσκουmicroε ότι υπάρχουν 1

1x 0

2

isin

και 2

1x 1

2

isin

τέτοια

ώστε

( )1

1 1f

2 4g x

1

2

minus prime = και ( )2

1 1 1f

2 2 4g x

1

2

minus minus minus prime =

Και επειδή ( ) ( )1 2g x g x 1prime prime+ = minus προφανώς ένα τουλάχιστον από τα

( ) ( )1 2g x g xprime prime θα είναι υποχρεωτικά αρνητικό

Έστω λοιπόν ότι είναι ( )1g x 0prime lt

Τότε καθώς η gprime είναι συνεχής στο [ ]10 x και ( ) ( )1g 0 g x 0prime primesdot lt από

το θεώρηmicroα του Bolzano βρίσκουmicroε ότι θα υπάρχει ένα τουλάχιστον

( ) ( )1ξ 0 x 01isin sube τέτοιο ώστε ( )g ξ 0prime = ∆ηλαδή ( )ƒ ξ 2ξprime =

4ος

τρόπος λύσης (προτάθηκε από τον Σεραφείmicro Σαmicroορέλη καθηγητή στο

8ο ΓΕΛ Τρικάλων)

Έστω η συνάρτηση w(x) ƒ (x) 2xprime= minus microε [ )x 01isin για την οποία ι-

σχυριζόmicroαστε ότι w(x) 0ne στο [ )01

Επειδή στο διάστηmicroα [ )01 η συνάρτηση w είναι συνεχής microε

w(x) 0ne προκύπτει ότι η w διατηρεί σταθερό πρόσηmicroο στο [ )01

23

Είναι w(0) ƒ (0) 2 0 ƒ (0) 0prime prime= minus sdot = gt άρα w(x) 0gt για κάθε [ )x 01isin

οπότε και ƒ (x) 2xprime gt για κάθε [ )x 01isin (1)

Με εφαρmicroογή του ΘΜΤ για την ƒ στα διαστήmicroατα 1

02

και 1

12

προκύπτει ότι θα υπάρχουν 1

1x 0

2

isin

και 2

1x 1

2

isin

τέτοια ώστε

1

1ƒ ƒ(0)

2ƒ (x )

1

2

minus prime = και

( )2

1ƒ 1 ƒ

2ƒ (x )

1

2

minus prime =

Με πρόσθεση κατά microέλη παίρνουmicroε

1 2

1 1 1ƒ ƒ(0) ƒ(1) ƒ2 2 2ƒ (x ) ƒ (x ) 1

1 1

2 2

minus + minus prime prime+ = = = (2)

Όmicroως από τη σχέση (1) έχουmicroε 1 1

2 2

ƒ (x ) 2x

ƒ (x ) 2x

prime gt

prime gt και microε πρόσθεση κατά

microέλη παίρνουmicroε

( )2

1 2 1 2 1 2 1 2

1ƒ (x ) ƒ (x ) 2x 2x 1 2x 2x x x

2prime prime+ gt + hArr gt + hArr + lt

που είναι άτοπο καθώς 1

2

10 x

2

1x 1

2

lt lt lt lt

Εποmicroένως o ισχυρισmicroός ότι στο [ )01 είναι w(x) 0ne δεν ευσταθεί

Οπότε θα υπάρχει ( )ξ 01isin τέτοιο ώστε w(ξ) 0 ƒ (ξ) 2ξprime= hArr = (το ξ

αυτό δεν microπορεί να είναι ίσο microε 0 αφού w(0) 0gt )

24

Μια πρόταση

Έστω f και g δυο συναρτήσεις συνεχείς στο διάστηmicroα [ ]αβ για τις

οποίες ισχύει ( ) ( )f x g xgt για κάθε [ ]x αβisin

Υπάρχει πάντοτε θετικός r τέτοιος ώστε ( ) ( )f x g x rgt + για κάθε

[ ]x αβisin

Ένα ερώτηmicroα

Ποιος προβληmicroατισmicroός γεωmicroετρικής υφής θα microπορούσε να microας οδη-

γήσει στη διατύπωση της παραπάνω πρότασης

Απόδειξη της πρότασης

Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) ( )h x f x g x= minus [ ]x αβisin

Η h είναι συνεχής microε θετικές τιmicroές στο [ ]αβ οπότε θα παρουσιάζει

ελάχιστο έστω ίσο microε m mgt0

Άρα ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m mh x m f x g x m f x g x

2 2ge rArr minus ge gt rArr gt +

Οπότε ( ) ( )f x g x rgt + m

r2= microε ( )r 0misin

Σηmicroείωση

Τα παραδείγmicroατα microαθηmicroατικών που συmicroπεριέλαβα στο παρόν άρθρο ανα-

πτύχθηκαν και σε οmicroιλία microου στην Ελληνογαλλική Σχολή Καλαmicroαρί της

Θεσσαλονίκης (27 Φεβρουαρίου 2016) microε θέmicroα τα Ποιοτικά Χαρακτηριστι-

κά στη ∆ιδασκαλία των Μαθηmicroατικών Επίσης κάποια από αυτά χρησιmicroο-

ποιήθηκαν σε σεmicroινάριο ∆ιδακτικής Μαθηmicroατικών που ανέπτυξα στα Τρί-

καλα (5 και 12 Απριλίου 2016)

Αφιέρωση

Το άρθρο αυτό αφιερώνεται στη microνήmicroη του Νίκου Κλαουδάτου καθηγητή

microου κατά τα έτη 2000-2002 στο ΠΜΣ της ∆ιδακτικής και Μεθοδολογίας

των Μαθηmicroατικών στο Τmicroήmicroα Μαθηmicroατικών του ΕΚΠΑ

25

Βιβλιογραφικές αναφορές

Ξενόγλωσσες

[1] Cobb P Wood T Yackel E amp McNeal B (1992) Characteristics of clas-

room mathematics traditions An interactional analysis American Educa-

tional Research Journal 29 573-604

[2] Cobb P amp Steffe L P (1993) The constructivist researcher as the teacher

and model builder Journal for Research in Mathematics Education vol 14

pp 83-94

[3] Eisenberg T amp Dreyfus T On the reluctance to visualize in Mathematics in

Zimmerman W amp Cunnigham S (Eds) 1991 Visualization in teaching

and learning mathematics p 25-37 MAA notes no 19 Mathematical Asso-

ciation of America

[4] Vinner S Visual considerations in College Calculus ndash Students and Teach-

ers in Vermandel A amp Steiner Hans-Georg (Eds) 1988 Theory of mathe-

matics Educations (Proceeding of the third international conferens Andwerp

11-15 July 1988) p 109-116

[5] Year Book 2001 The Roles of Representation in School Mathematics Na-

tional Council of Teachers of Mathematics

Ελληνόγλωσσες

[6] Ανδρεαδάκης Σ Κατσαργύρης Β Μέτης Σ Μπρουχούτας Κ Παπα-

σταυρίδης Σ και Πολύζος Γ (2015) Μαθηmicroατικά Γ΄ Γενικού Λυκείου Οmicroά-

δας Προσανατολισmicroού Θετικών Σπουδών και Σποδών Οικονοmicroίας amp Πληρο-

φορικής Αθήνα ΙΕΠ amp ΙΤΥΕ ∆ιόφαντος

[7] Κατσαργύρης Β Μεντής Κ Παντελίδης Γ και Σουρλάς Κ (1994) Μα-

θηmicroατικά Γ΄ Λυκείου ndash Ανάλυση Αθήνα ΟΕ∆Β

[8] Κλαουδάτος Ν (2011) Σηmicroειώσεις ∆ιδακτικής Μαθηmicroατικών 1) Εισαγωγή

στη γνωσιακή θεωρία 2) Βασικές αρχές της θεωρίας Vygotsky Μεταπτυχιακό

Πρόγραmicromicroα Σπουδών ∆ιδακτικής και Μεθοδολογίας των Μαθηmicroατικών

Τmicroήmicroα Μαθηmicroατικών ΕΚΠΑ

[9] Κλαουδάτος Ν (2011) Σηmicroειώσεις ∆ιδακτικής Μαθηmicroατικών 1) ∆ιδασκαλία

και microάθηση των microαθηmicroατικών microε διαδικασίες επίλυσης προβληmicroάτων 2) Εισα-

γωγή στη Θεωρία της ∆ιδασκαλίας Μεταπτυχιακό Πρόγραmicromicroα Σπουδών ∆ιδα-

κτικής και Μεθοδολογίας των Μαθηmicroατικών Τmicroήmicroα Μαθηmicroατικών ΕΚΠΑ

26

[10] Μάκρας Στρ Γεωmicroετρική εποπτεία και απόδειξη άρθρο στο περιοδικό Ευ-

κλείδης Β΄ τχ 25 (Ιούλιος-Αύγουστος-Σεπτέmicroβριος 1997) σσ 11-17 Αθήνα

Έκδοση της ΕΜΕ

[11] Νεγρεπόντης Σ Γιωτόπουλος Σ amp Γιαννακούλιας Ε (2000) Απειροστικός

Λογισmicroός τόmicroος IIα Αθήνα Εκδόσεις Συmicromicroετρία

[12] Ντρίζος ∆ (2002) Πλεονεκτήmicroατα της γεωmicroετρικής αναπαράστασης των microα-

θηmicroατικών εννοιών Η απόδειξη του θεωρήmicroατος της Μέσης Τιmicroής του διαφο-

ρικού λογισmicroού για συναρτήσεις microιας ή δύο πραγmicroατικών microεταβλητών Ευκλεί-

δης Γ΄ τχ 77 (Ιούλιος-∆εκέmicroβριος 2012) σσ 31-45 Αθήνα Έκδοση της

ΕΜΕ

[13] Ντρίζος ∆ Τα βασικά θεωρήmicroατα του ∆ιαφορικού Λογισmicroού άρθρο στο περι-

οδικό Ευκλείδης Γ΄ τχ 70 (Ιανουάριος-Ιούνιος 2009) σσ 5-23 Αθήνα Έκδο-

ση της ΕΜΕ

[14] Ντρίζος ∆ ∆ιδακτική Αξιοποίηση Προβληmicroάτων Επαγωγικής Συλλογιστικής

στο Πλαίσιο Ανάπτυξης Ιδεών του G Polya άρθρο στο περιοδικό Ευκλείδης

Γ΄ τχ 73 (Ιούλιος-∆εκέmicroβριος 2010) σσ 29-48 Αθήνα Έκδοση της ΕΜΕ

[15] Polya G (2001) Η Μαθηmicroατική Ανακάλυψη τόmicroος 1 (microτφ Στεργιάκη Σπύ-

ρου) Αθήνα Εκδόσεις Κάτοπτρο

[16] Ρίζος Γ (2005) Οι περιπέτειες του Προβλήmicroατος στα σχολικά Μαθηmicroατικά

Θεσσαλονίκη Εκδόσεις Μαθηmicroατική Βιβλιοθήκη

[17] Spivak Michael (1991) ∆ιαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισmicroός (microτφ Γιαν-

νόπουλου Απ) Ηράκλειο Πανεπιστηmicroιακές Εκδόσεις Κρήτης

18

Μια γενίκευση διατυπωmicroένη εποπτικά

Έστω συνάρτηση ƒ δύο φορές παραγωγίσιmicroη στο [α β] και τα ση-

microεία Κ(α ƒ(α)) και Λ(β ƒ(β))

Αν το τmicroήmicroα ΚΛ και η γραφική παράσταση της ƒ τέmicroνονται τότε

υπάρχει ξisin(α β) τέτοιο ώστε ƒ΄΄(ξ) = 0

Η ιδέα για τη γενίκευση διατυπωmicroένη στη γλώσσα της Ανάλυσης

Αν στο παραπάνω παράδειγmicroα 4 ονοmicroάζαmicroε γ την τετmicroηmicroένη τού microέ-

σου Γ του ευθυγράmicromicroου τmicroήmicroατος ΑΒ τότε είναι γ α

1β γ

minus=

minus οπότε

α βΓ 0

2

+

Και αν παίρναmicroε το Γ(γ0) στο εσωτερικό του ΑΒ ώστε γ α κ

β γ λ

minus=

minus τό-

τε microε απλές πράξεις θα βρίσκαmicroε λα κβ

Γ 0κ λ

+ +

Η γενίκευση

Αν microια συνάρτηση f είναι δυο φορές παραγωγίσιmicroη στο διάστηmicroα

[ ]αβ microε την ιδιότητα ( ) ( ) ( ) λα κβλf α κf β κ λ f

κ λ

+ + = + +

όπου λα κβ

α βκ λ

+lt lt+

και κλ θετικοί ακέραιοι τότε υπάρχει

( )ξ αβisin τέτοιο ώστε ( )f ξ 0primeprime =

Παράδειγmicroα 5

Έστω συνάρτηση ƒ παραγωγίσιmicroη στο [0 1] microε συνεχή παράγωγο

για την οποία ισχύουν

( )ƒ 0 0= ( ) 1ƒ 1

2= και ( )ƒ 0 0prime gt

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ( )ξ 01isin τέτοιο ώστε ( )ƒ ξ 2ξprime =

19

Σχόλιο

Το παράδειγmicroα 5 το συζητήσαmicroε σε Εργαστήριο Εφαρmicroοσmicroένης ∆ι-

δακτικής των Μαθηmicroατικών (∆ Ντρίζος Ιανουάριος 2016 Καρδίτσα) για

να αναδείξουmicroε την παιδευτική αξία της αναζήτησης πολλών τρόπων λύσης

ενός microαθηmicroατικού ερωτήmicroατος)

1ος

τρόπος λύσης (του ∆ Ντρίζου)

Αρκεί να αποδείξουmicroε ότι η εξίσωση ( )( )2ƒ x x 0primeminus = έχει microία τουλά-

χιστον ρίζα στο διάστηmicroα ( )01 Και αυτό θα microπορούσε να προκύψει

microε εφαρmicroογή του θ του Rolle στη συνάρτηση ( ) ( ) 2g x ƒ x x= minus

[ ]x 01isin

Είναι ( )g 0 0= και ( ) ( ) 2 1 1g 1 ƒ 1 1 1

2 2= minus = minus = minus δηλαδή ( )g 1 0lt

Σχέδιο προσέγγισης του θέmicroατος

Επειδή ( )g 0 0= το ζητούmicroενο θα προέκυπτε microε εφαρmicroογή του θ του

Rolle για την g αν αποδεικνύαmicroε ότι υπάρχει αριθmicroός ( )α 01isin για

τον οποίο ( )g α 0=

Με βάση αυτή την ιδέα και παίρνοντας υπόψη ότι ( )g 1 0lt αναρω-

τιόmicroαστε microήπως θα microπορούσαmicroε να έχουmicroε κάποιο ( )β 01isin ώστε

( )g β 0gt οπότε microε εφαρmicroογή του θ του Bolzano στο διάστηmicroα [ ]β1

θα εξασφαλίζαmicroε την ύπαρξη αριθmicroού ( )α β1isin τέτοιου ώστε

( )g α 0=

Εφαρmicroογή του σχεδίου

Ισχυριζόmicroαστε ότι δεν υπάρχει κάποιο ( )β 01isin ώστε ( )g β 0gt Ισο-

δύναmicroα ότι για κάθε ( )x 01isin ισχύει ( )g x 0le

20

bull Στην περίπτωση που για κάποιο ( )x 01isin ισχύει ( )g x 0= τότε

καθώς έχουmicroε και ( )g 0 0= το ζητούmicroενο προκύπτει microε εφαρmicroογή

του θ Rolle

bull Ας εξετάσουmicroε τώρα τον ισχυρισmicroό ( )g x 0lt για κάθε ( )x 01isin

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

x 0 x 0

ƒ xg x 0 ƒ x x x

x

ƒ x ƒ 0lim lim x ƒ 0 0

x 0+ +rarr rarr

lt rArr lt rArr lt rArr

minusprimerArr lt rArr le

minus

που είναι άτοπο λόγω υπόθεσης Άρα υπάρχει κάποιο ( )β 01isin ώστε

( )g β 0gt

Με εφαρmicroογή του θ του Bolzano στο [ ]β1 παίρνουmicroε ότι υπάρχει

( )α β1isin τέτοιο ώστε ( )g α 0=

Και τέλος microε εφαρmicroογή του θ του Rolle για την g στο διάστηmicroα

[ ]0α παίρνουmicroε ότι υπάρχει ( ) ( )ξ 0α 01isin sube τέτοιο ώστε

( )g ξ 0prime = οπότε ( )ƒ ξ 2ξprime =

Σχόλια ndash Έλεγχος υποθέσεων

1 Στην παραπάνω λύση η υπόθεση ότι η ƒprime είναι συνεχής δεν microάς

χρειάστηκε

2 Η υπόθεση ( ) 1ƒ 1

2= θα microπορούσε να δίνεται γενικά ως ( )ƒ 1 θ= microε

θ 1lt

3 Ως ζητούmicroενο θα microπορούσαmicroε να έχουmicroε υπάρχει ( )ξ 01isin ώστε

( ) ν 1ƒ ξ νξ minusprime =

21

Μια γενίκευση

Έστω microια συνάρτηση ƒ παραγωγίσιmicroη στο [ ]01 για την οποία ισχύ-

ουν

( )f 0 0= ( )ƒ 1 θ 1= lt και ( )ƒ 0 0prime gt

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ( )ξ 01isin τέτοιο ώστε ( ) ν 1ƒ ξ νξ minusprime =

2ος

τρόπος λύσης (προτάθηκε από τον Θανάση Καραντάνα καθηγητή στο

4ο ΓΕΛ Καρδίτσας και τον Αιmicroίλιο Βλάστο καθηγητή στο Μουσικό

Σχολείο Καρδίτσας)

Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) 2g x ƒ x x= minus [ ]x 01isin

Είναι ( )g 0 0= και ( ) 1g 1

2= minus

Επίσης ( ) ( )g x ƒ x 2xprime prime= minus άρα ( ) ( )g 0 ƒ 0 0prime prime= gt

Οπότε από τον ορισmicroό της παραγώγου της g στο 0 από τα δεξιά

παίρνουmicroε

( ) ( ) ( )x 0 x 0

g x g 0 g xlim lim 0

x 0 x+ +rarr rarr

minus= gt

minus

Και επειδή x 0gt θα είναι και ( )g x 0gt κοντά στο 0 από τα δεξιά

Άρα θα υπάρχει ( )k 01isin τέτοιο ώστε ( )g k 0gt

Έχουmicroε λοιπόν ( ) ( )g k g 1 0sdot lt και επειδή η συνάρτηση g είναι συνε-

χής στο [ ]k1 από το θεώρηmicroα του Bolzano θα υπάρχει

( ) ( )m k1 01isin sube τέτοιο ώστε ( )g m 0=

Τέλος καθώς στο διάστηmicroα [ ]0m η g ικανοποιεί τις υποθέσεις του

θεωρήmicroατος του Rolle θα υπάρχει ( ) ( )ξ 0 m 01isin sube τέτοιο ώστε

( )g ξ 0prime = ∆ηλαδή ( )ƒ ξ 2ξprime =

22

3ος

τρόπος λύσης

Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) 2g x ƒ x x= minus [ ]x 01isin

Είναι g(0) = 0 και ( ) 1g 1

2= minus

Επίσης ( ) ( )g x ƒ x 2xprime prime= minus άρα ( ) ( )g 0 f 0 0prime prime= gt

Με εφαρmicroογή του θεωρήmicroατος Μέσης Τιmicroής για την g στα 1

02

και

11

2

βρίσκουmicroε ότι υπάρχουν 1

1x 0

2

isin

και 2

1x 1

2

isin

τέτοια

ώστε

( )1

1 1f

2 4g x

1

2

minus prime = και ( )2

1 1 1f

2 2 4g x

1

2

minus minus minus prime =

Και επειδή ( ) ( )1 2g x g x 1prime prime+ = minus προφανώς ένα τουλάχιστον από τα

( ) ( )1 2g x g xprime prime θα είναι υποχρεωτικά αρνητικό

Έστω λοιπόν ότι είναι ( )1g x 0prime lt

Τότε καθώς η gprime είναι συνεχής στο [ ]10 x και ( ) ( )1g 0 g x 0prime primesdot lt από

το θεώρηmicroα του Bolzano βρίσκουmicroε ότι θα υπάρχει ένα τουλάχιστον

( ) ( )1ξ 0 x 01isin sube τέτοιο ώστε ( )g ξ 0prime = ∆ηλαδή ( )ƒ ξ 2ξprime =

4ος

τρόπος λύσης (προτάθηκε από τον Σεραφείmicro Σαmicroορέλη καθηγητή στο

8ο ΓΕΛ Τρικάλων)

Έστω η συνάρτηση w(x) ƒ (x) 2xprime= minus microε [ )x 01isin για την οποία ι-

σχυριζόmicroαστε ότι w(x) 0ne στο [ )01

Επειδή στο διάστηmicroα [ )01 η συνάρτηση w είναι συνεχής microε

w(x) 0ne προκύπτει ότι η w διατηρεί σταθερό πρόσηmicroο στο [ )01

23

Είναι w(0) ƒ (0) 2 0 ƒ (0) 0prime prime= minus sdot = gt άρα w(x) 0gt για κάθε [ )x 01isin

οπότε και ƒ (x) 2xprime gt για κάθε [ )x 01isin (1)

Με εφαρmicroογή του ΘΜΤ για την ƒ στα διαστήmicroατα 1

02

και 1

12

προκύπτει ότι θα υπάρχουν 1

1x 0

2

isin

και 2

1x 1

2

isin

τέτοια ώστε

1

1ƒ ƒ(0)

2ƒ (x )

1

2

minus prime = και

( )2

1ƒ 1 ƒ

2ƒ (x )

1

2

minus prime =

Με πρόσθεση κατά microέλη παίρνουmicroε

1 2

1 1 1ƒ ƒ(0) ƒ(1) ƒ2 2 2ƒ (x ) ƒ (x ) 1

1 1

2 2

minus + minus prime prime+ = = = (2)

Όmicroως από τη σχέση (1) έχουmicroε 1 1

2 2

ƒ (x ) 2x

ƒ (x ) 2x

prime gt

prime gt και microε πρόσθεση κατά

microέλη παίρνουmicroε

( )2

1 2 1 2 1 2 1 2

1ƒ (x ) ƒ (x ) 2x 2x 1 2x 2x x x

2prime prime+ gt + hArr gt + hArr + lt

που είναι άτοπο καθώς 1

2

10 x

2

1x 1

2

lt lt lt lt

Εποmicroένως o ισχυρισmicroός ότι στο [ )01 είναι w(x) 0ne δεν ευσταθεί

Οπότε θα υπάρχει ( )ξ 01isin τέτοιο ώστε w(ξ) 0 ƒ (ξ) 2ξprime= hArr = (το ξ

αυτό δεν microπορεί να είναι ίσο microε 0 αφού w(0) 0gt )

24

Μια πρόταση

Έστω f και g δυο συναρτήσεις συνεχείς στο διάστηmicroα [ ]αβ για τις

οποίες ισχύει ( ) ( )f x g xgt για κάθε [ ]x αβisin

Υπάρχει πάντοτε θετικός r τέτοιος ώστε ( ) ( )f x g x rgt + για κάθε

[ ]x αβisin

Ένα ερώτηmicroα

Ποιος προβληmicroατισmicroός γεωmicroετρικής υφής θα microπορούσε να microας οδη-

γήσει στη διατύπωση της παραπάνω πρότασης

Απόδειξη της πρότασης

Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) ( )h x f x g x= minus [ ]x αβisin

Η h είναι συνεχής microε θετικές τιmicroές στο [ ]αβ οπότε θα παρουσιάζει

ελάχιστο έστω ίσο microε m mgt0

Άρα ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m mh x m f x g x m f x g x

2 2ge rArr minus ge gt rArr gt +

Οπότε ( ) ( )f x g x rgt + m

r2= microε ( )r 0misin

Σηmicroείωση

Τα παραδείγmicroατα microαθηmicroατικών που συmicroπεριέλαβα στο παρόν άρθρο ανα-

πτύχθηκαν και σε οmicroιλία microου στην Ελληνογαλλική Σχολή Καλαmicroαρί της

Θεσσαλονίκης (27 Φεβρουαρίου 2016) microε θέmicroα τα Ποιοτικά Χαρακτηριστι-

κά στη ∆ιδασκαλία των Μαθηmicroατικών Επίσης κάποια από αυτά χρησιmicroο-

ποιήθηκαν σε σεmicroινάριο ∆ιδακτικής Μαθηmicroατικών που ανέπτυξα στα Τρί-

καλα (5 και 12 Απριλίου 2016)

Αφιέρωση

Το άρθρο αυτό αφιερώνεται στη microνήmicroη του Νίκου Κλαουδάτου καθηγητή

microου κατά τα έτη 2000-2002 στο ΠΜΣ της ∆ιδακτικής και Μεθοδολογίας

των Μαθηmicroατικών στο Τmicroήmicroα Μαθηmicroατικών του ΕΚΠΑ

25

Βιβλιογραφικές αναφορές

Ξενόγλωσσες

[1] Cobb P Wood T Yackel E amp McNeal B (1992) Characteristics of clas-

room mathematics traditions An interactional analysis American Educa-

tional Research Journal 29 573-604

[2] Cobb P amp Steffe L P (1993) The constructivist researcher as the teacher

and model builder Journal for Research in Mathematics Education vol 14

pp 83-94

[3] Eisenberg T amp Dreyfus T On the reluctance to visualize in Mathematics in

Zimmerman W amp Cunnigham S (Eds) 1991 Visualization in teaching

and learning mathematics p 25-37 MAA notes no 19 Mathematical Asso-

ciation of America

[4] Vinner S Visual considerations in College Calculus ndash Students and Teach-

ers in Vermandel A amp Steiner Hans-Georg (Eds) 1988 Theory of mathe-

matics Educations (Proceeding of the third international conferens Andwerp

11-15 July 1988) p 109-116

[5] Year Book 2001 The Roles of Representation in School Mathematics Na-

tional Council of Teachers of Mathematics

Ελληνόγλωσσες

[6] Ανδρεαδάκης Σ Κατσαργύρης Β Μέτης Σ Μπρουχούτας Κ Παπα-

σταυρίδης Σ και Πολύζος Γ (2015) Μαθηmicroατικά Γ΄ Γενικού Λυκείου Οmicroά-

δας Προσανατολισmicroού Θετικών Σπουδών και Σποδών Οικονοmicroίας amp Πληρο-

φορικής Αθήνα ΙΕΠ amp ΙΤΥΕ ∆ιόφαντος

[7] Κατσαργύρης Β Μεντής Κ Παντελίδης Γ και Σουρλάς Κ (1994) Μα-

θηmicroατικά Γ΄ Λυκείου ndash Ανάλυση Αθήνα ΟΕ∆Β

[8] Κλαουδάτος Ν (2011) Σηmicroειώσεις ∆ιδακτικής Μαθηmicroατικών 1) Εισαγωγή

στη γνωσιακή θεωρία 2) Βασικές αρχές της θεωρίας Vygotsky Μεταπτυχιακό

Πρόγραmicromicroα Σπουδών ∆ιδακτικής και Μεθοδολογίας των Μαθηmicroατικών

Τmicroήmicroα Μαθηmicroατικών ΕΚΠΑ

[9] Κλαουδάτος Ν (2011) Σηmicroειώσεις ∆ιδακτικής Μαθηmicroατικών 1) ∆ιδασκαλία

και microάθηση των microαθηmicroατικών microε διαδικασίες επίλυσης προβληmicroάτων 2) Εισα-

γωγή στη Θεωρία της ∆ιδασκαλίας Μεταπτυχιακό Πρόγραmicromicroα Σπουδών ∆ιδα-

κτικής και Μεθοδολογίας των Μαθηmicroατικών Τmicroήmicroα Μαθηmicroατικών ΕΚΠΑ

26

[10] Μάκρας Στρ Γεωmicroετρική εποπτεία και απόδειξη άρθρο στο περιοδικό Ευ-

κλείδης Β΄ τχ 25 (Ιούλιος-Αύγουστος-Σεπτέmicroβριος 1997) σσ 11-17 Αθήνα

Έκδοση της ΕΜΕ

[11] Νεγρεπόντης Σ Γιωτόπουλος Σ amp Γιαννακούλιας Ε (2000) Απειροστικός

Λογισmicroός τόmicroος IIα Αθήνα Εκδόσεις Συmicromicroετρία

[12] Ντρίζος ∆ (2002) Πλεονεκτήmicroατα της γεωmicroετρικής αναπαράστασης των microα-

θηmicroατικών εννοιών Η απόδειξη του θεωρήmicroατος της Μέσης Τιmicroής του διαφο-

ρικού λογισmicroού για συναρτήσεις microιας ή δύο πραγmicroατικών microεταβλητών Ευκλεί-

δης Γ΄ τχ 77 (Ιούλιος-∆εκέmicroβριος 2012) σσ 31-45 Αθήνα Έκδοση της

ΕΜΕ

[13] Ντρίζος ∆ Τα βασικά θεωρήmicroατα του ∆ιαφορικού Λογισmicroού άρθρο στο περι-

οδικό Ευκλείδης Γ΄ τχ 70 (Ιανουάριος-Ιούνιος 2009) σσ 5-23 Αθήνα Έκδο-

ση της ΕΜΕ

[14] Ντρίζος ∆ ∆ιδακτική Αξιοποίηση Προβληmicroάτων Επαγωγικής Συλλογιστικής

στο Πλαίσιο Ανάπτυξης Ιδεών του G Polya άρθρο στο περιοδικό Ευκλείδης

Γ΄ τχ 73 (Ιούλιος-∆εκέmicroβριος 2010) σσ 29-48 Αθήνα Έκδοση της ΕΜΕ

[15] Polya G (2001) Η Μαθηmicroατική Ανακάλυψη τόmicroος 1 (microτφ Στεργιάκη Σπύ-

ρου) Αθήνα Εκδόσεις Κάτοπτρο

[16] Ρίζος Γ (2005) Οι περιπέτειες του Προβλήmicroατος στα σχολικά Μαθηmicroατικά

Θεσσαλονίκη Εκδόσεις Μαθηmicroατική Βιβλιοθήκη

[17] Spivak Michael (1991) ∆ιαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισmicroός (microτφ Γιαν-

νόπουλου Απ) Ηράκλειο Πανεπιστηmicroιακές Εκδόσεις Κρήτης

19

Σχόλιο

Το παράδειγmicroα 5 το συζητήσαmicroε σε Εργαστήριο Εφαρmicroοσmicroένης ∆ι-

δακτικής των Μαθηmicroατικών (∆ Ντρίζος Ιανουάριος 2016 Καρδίτσα) για

να αναδείξουmicroε την παιδευτική αξία της αναζήτησης πολλών τρόπων λύσης

ενός microαθηmicroατικού ερωτήmicroατος)

1ος

τρόπος λύσης (του ∆ Ντρίζου)

Αρκεί να αποδείξουmicroε ότι η εξίσωση ( )( )2ƒ x x 0primeminus = έχει microία τουλά-

χιστον ρίζα στο διάστηmicroα ( )01 Και αυτό θα microπορούσε να προκύψει

microε εφαρmicroογή του θ του Rolle στη συνάρτηση ( ) ( ) 2g x ƒ x x= minus

[ ]x 01isin

Είναι ( )g 0 0= και ( ) ( ) 2 1 1g 1 ƒ 1 1 1

2 2= minus = minus = minus δηλαδή ( )g 1 0lt

Σχέδιο προσέγγισης του θέmicroατος

Επειδή ( )g 0 0= το ζητούmicroενο θα προέκυπτε microε εφαρmicroογή του θ του

Rolle για την g αν αποδεικνύαmicroε ότι υπάρχει αριθmicroός ( )α 01isin για

τον οποίο ( )g α 0=

Με βάση αυτή την ιδέα και παίρνοντας υπόψη ότι ( )g 1 0lt αναρω-

τιόmicroαστε microήπως θα microπορούσαmicroε να έχουmicroε κάποιο ( )β 01isin ώστε

( )g β 0gt οπότε microε εφαρmicroογή του θ του Bolzano στο διάστηmicroα [ ]β1

θα εξασφαλίζαmicroε την ύπαρξη αριθmicroού ( )α β1isin τέτοιου ώστε

( )g α 0=

Εφαρmicroογή του σχεδίου

Ισχυριζόmicroαστε ότι δεν υπάρχει κάποιο ( )β 01isin ώστε ( )g β 0gt Ισο-

δύναmicroα ότι για κάθε ( )x 01isin ισχύει ( )g x 0le

20

bull Στην περίπτωση που για κάποιο ( )x 01isin ισχύει ( )g x 0= τότε

καθώς έχουmicroε και ( )g 0 0= το ζητούmicroενο προκύπτει microε εφαρmicroογή

του θ Rolle

bull Ας εξετάσουmicroε τώρα τον ισχυρισmicroό ( )g x 0lt για κάθε ( )x 01isin

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

x 0 x 0

ƒ xg x 0 ƒ x x x

x

ƒ x ƒ 0lim lim x ƒ 0 0

x 0+ +rarr rarr

lt rArr lt rArr lt rArr

minusprimerArr lt rArr le

minus

που είναι άτοπο λόγω υπόθεσης Άρα υπάρχει κάποιο ( )β 01isin ώστε

( )g β 0gt

Με εφαρmicroογή του θ του Bolzano στο [ ]β1 παίρνουmicroε ότι υπάρχει

( )α β1isin τέτοιο ώστε ( )g α 0=

Και τέλος microε εφαρmicroογή του θ του Rolle για την g στο διάστηmicroα

[ ]0α παίρνουmicroε ότι υπάρχει ( ) ( )ξ 0α 01isin sube τέτοιο ώστε

( )g ξ 0prime = οπότε ( )ƒ ξ 2ξprime =

Σχόλια ndash Έλεγχος υποθέσεων

1 Στην παραπάνω λύση η υπόθεση ότι η ƒprime είναι συνεχής δεν microάς

χρειάστηκε

2 Η υπόθεση ( ) 1ƒ 1

2= θα microπορούσε να δίνεται γενικά ως ( )ƒ 1 θ= microε

θ 1lt

3 Ως ζητούmicroενο θα microπορούσαmicroε να έχουmicroε υπάρχει ( )ξ 01isin ώστε

( ) ν 1ƒ ξ νξ minusprime =

21

Μια γενίκευση

Έστω microια συνάρτηση ƒ παραγωγίσιmicroη στο [ ]01 για την οποία ισχύ-

ουν

( )f 0 0= ( )ƒ 1 θ 1= lt και ( )ƒ 0 0prime gt

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ( )ξ 01isin τέτοιο ώστε ( ) ν 1ƒ ξ νξ minusprime =

2ος

τρόπος λύσης (προτάθηκε από τον Θανάση Καραντάνα καθηγητή στο

4ο ΓΕΛ Καρδίτσας και τον Αιmicroίλιο Βλάστο καθηγητή στο Μουσικό

Σχολείο Καρδίτσας)

Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) 2g x ƒ x x= minus [ ]x 01isin

Είναι ( )g 0 0= και ( ) 1g 1

2= minus

Επίσης ( ) ( )g x ƒ x 2xprime prime= minus άρα ( ) ( )g 0 ƒ 0 0prime prime= gt

Οπότε από τον ορισmicroό της παραγώγου της g στο 0 από τα δεξιά

παίρνουmicroε

( ) ( ) ( )x 0 x 0

g x g 0 g xlim lim 0

x 0 x+ +rarr rarr

minus= gt

minus

Και επειδή x 0gt θα είναι και ( )g x 0gt κοντά στο 0 από τα δεξιά

Άρα θα υπάρχει ( )k 01isin τέτοιο ώστε ( )g k 0gt

Έχουmicroε λοιπόν ( ) ( )g k g 1 0sdot lt και επειδή η συνάρτηση g είναι συνε-

χής στο [ ]k1 από το θεώρηmicroα του Bolzano θα υπάρχει

( ) ( )m k1 01isin sube τέτοιο ώστε ( )g m 0=

Τέλος καθώς στο διάστηmicroα [ ]0m η g ικανοποιεί τις υποθέσεις του

θεωρήmicroατος του Rolle θα υπάρχει ( ) ( )ξ 0 m 01isin sube τέτοιο ώστε

( )g ξ 0prime = ∆ηλαδή ( )ƒ ξ 2ξprime =

22

3ος

τρόπος λύσης

Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) 2g x ƒ x x= minus [ ]x 01isin

Είναι g(0) = 0 και ( ) 1g 1

2= minus

Επίσης ( ) ( )g x ƒ x 2xprime prime= minus άρα ( ) ( )g 0 f 0 0prime prime= gt

Με εφαρmicroογή του θεωρήmicroατος Μέσης Τιmicroής για την g στα 1

02

και

11

2

βρίσκουmicroε ότι υπάρχουν 1

1x 0

2

isin

και 2

1x 1

2

isin

τέτοια

ώστε

( )1

1 1f

2 4g x

1

2

minus prime = και ( )2

1 1 1f

2 2 4g x

1

2

minus minus minus prime =

Και επειδή ( ) ( )1 2g x g x 1prime prime+ = minus προφανώς ένα τουλάχιστον από τα

( ) ( )1 2g x g xprime prime θα είναι υποχρεωτικά αρνητικό

Έστω λοιπόν ότι είναι ( )1g x 0prime lt

Τότε καθώς η gprime είναι συνεχής στο [ ]10 x και ( ) ( )1g 0 g x 0prime primesdot lt από

το θεώρηmicroα του Bolzano βρίσκουmicroε ότι θα υπάρχει ένα τουλάχιστον

( ) ( )1ξ 0 x 01isin sube τέτοιο ώστε ( )g ξ 0prime = ∆ηλαδή ( )ƒ ξ 2ξprime =

4ος

τρόπος λύσης (προτάθηκε από τον Σεραφείmicro Σαmicroορέλη καθηγητή στο

8ο ΓΕΛ Τρικάλων)

Έστω η συνάρτηση w(x) ƒ (x) 2xprime= minus microε [ )x 01isin για την οποία ι-

σχυριζόmicroαστε ότι w(x) 0ne στο [ )01

Επειδή στο διάστηmicroα [ )01 η συνάρτηση w είναι συνεχής microε

w(x) 0ne προκύπτει ότι η w διατηρεί σταθερό πρόσηmicroο στο [ )01

23

Είναι w(0) ƒ (0) 2 0 ƒ (0) 0prime prime= minus sdot = gt άρα w(x) 0gt για κάθε [ )x 01isin

οπότε και ƒ (x) 2xprime gt για κάθε [ )x 01isin (1)

Με εφαρmicroογή του ΘΜΤ για την ƒ στα διαστήmicroατα 1

02

και 1

12

προκύπτει ότι θα υπάρχουν 1

1x 0

2

isin

και 2

1x 1

2

isin

τέτοια ώστε

1

1ƒ ƒ(0)

2ƒ (x )

1

2

minus prime = και

( )2

1ƒ 1 ƒ

2ƒ (x )

1

2

minus prime =

Με πρόσθεση κατά microέλη παίρνουmicroε

1 2

1 1 1ƒ ƒ(0) ƒ(1) ƒ2 2 2ƒ (x ) ƒ (x ) 1

1 1

2 2

minus + minus prime prime+ = = = (2)

Όmicroως από τη σχέση (1) έχουmicroε 1 1

2 2

ƒ (x ) 2x

ƒ (x ) 2x

prime gt

prime gt και microε πρόσθεση κατά

microέλη παίρνουmicroε

( )2

1 2 1 2 1 2 1 2

1ƒ (x ) ƒ (x ) 2x 2x 1 2x 2x x x

2prime prime+ gt + hArr gt + hArr + lt

που είναι άτοπο καθώς 1

2

10 x

2

1x 1

2

lt lt lt lt

Εποmicroένως o ισχυρισmicroός ότι στο [ )01 είναι w(x) 0ne δεν ευσταθεί

Οπότε θα υπάρχει ( )ξ 01isin τέτοιο ώστε w(ξ) 0 ƒ (ξ) 2ξprime= hArr = (το ξ

αυτό δεν microπορεί να είναι ίσο microε 0 αφού w(0) 0gt )

24

Μια πρόταση

Έστω f και g δυο συναρτήσεις συνεχείς στο διάστηmicroα [ ]αβ για τις

οποίες ισχύει ( ) ( )f x g xgt για κάθε [ ]x αβisin

Υπάρχει πάντοτε θετικός r τέτοιος ώστε ( ) ( )f x g x rgt + για κάθε

[ ]x αβisin

Ένα ερώτηmicroα

Ποιος προβληmicroατισmicroός γεωmicroετρικής υφής θα microπορούσε να microας οδη-

γήσει στη διατύπωση της παραπάνω πρότασης

Απόδειξη της πρότασης

Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) ( )h x f x g x= minus [ ]x αβisin

Η h είναι συνεχής microε θετικές τιmicroές στο [ ]αβ οπότε θα παρουσιάζει

ελάχιστο έστω ίσο microε m mgt0

Άρα ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m mh x m f x g x m f x g x

2 2ge rArr minus ge gt rArr gt +

Οπότε ( ) ( )f x g x rgt + m

r2= microε ( )r 0misin

Σηmicroείωση

Τα παραδείγmicroατα microαθηmicroατικών που συmicroπεριέλαβα στο παρόν άρθρο ανα-

πτύχθηκαν και σε οmicroιλία microου στην Ελληνογαλλική Σχολή Καλαmicroαρί της

Θεσσαλονίκης (27 Φεβρουαρίου 2016) microε θέmicroα τα Ποιοτικά Χαρακτηριστι-

κά στη ∆ιδασκαλία των Μαθηmicroατικών Επίσης κάποια από αυτά χρησιmicroο-

ποιήθηκαν σε σεmicroινάριο ∆ιδακτικής Μαθηmicroατικών που ανέπτυξα στα Τρί-

καλα (5 και 12 Απριλίου 2016)

Αφιέρωση

Το άρθρο αυτό αφιερώνεται στη microνήmicroη του Νίκου Κλαουδάτου καθηγητή

microου κατά τα έτη 2000-2002 στο ΠΜΣ της ∆ιδακτικής και Μεθοδολογίας

των Μαθηmicroατικών στο Τmicroήmicroα Μαθηmicroατικών του ΕΚΠΑ

25

Βιβλιογραφικές αναφορές

Ξενόγλωσσες

[1] Cobb P Wood T Yackel E amp McNeal B (1992) Characteristics of clas-

room mathematics traditions An interactional analysis American Educa-

tional Research Journal 29 573-604

[2] Cobb P amp Steffe L P (1993) The constructivist researcher as the teacher

and model builder Journal for Research in Mathematics Education vol 14

pp 83-94

[3] Eisenberg T amp Dreyfus T On the reluctance to visualize in Mathematics in

Zimmerman W amp Cunnigham S (Eds) 1991 Visualization in teaching

and learning mathematics p 25-37 MAA notes no 19 Mathematical Asso-

ciation of America

[4] Vinner S Visual considerations in College Calculus ndash Students and Teach-

ers in Vermandel A amp Steiner Hans-Georg (Eds) 1988 Theory of mathe-

matics Educations (Proceeding of the third international conferens Andwerp

11-15 July 1988) p 109-116

[5] Year Book 2001 The Roles of Representation in School Mathematics Na-

tional Council of Teachers of Mathematics

Ελληνόγλωσσες

[6] Ανδρεαδάκης Σ Κατσαργύρης Β Μέτης Σ Μπρουχούτας Κ Παπα-

σταυρίδης Σ και Πολύζος Γ (2015) Μαθηmicroατικά Γ΄ Γενικού Λυκείου Οmicroά-

δας Προσανατολισmicroού Θετικών Σπουδών και Σποδών Οικονοmicroίας amp Πληρο-

φορικής Αθήνα ΙΕΠ amp ΙΤΥΕ ∆ιόφαντος

[7] Κατσαργύρης Β Μεντής Κ Παντελίδης Γ και Σουρλάς Κ (1994) Μα-

θηmicroατικά Γ΄ Λυκείου ndash Ανάλυση Αθήνα ΟΕ∆Β

[8] Κλαουδάτος Ν (2011) Σηmicroειώσεις ∆ιδακτικής Μαθηmicroατικών 1) Εισαγωγή

στη γνωσιακή θεωρία 2) Βασικές αρχές της θεωρίας Vygotsky Μεταπτυχιακό

Πρόγραmicromicroα Σπουδών ∆ιδακτικής και Μεθοδολογίας των Μαθηmicroατικών

Τmicroήmicroα Μαθηmicroατικών ΕΚΠΑ

[9] Κλαουδάτος Ν (2011) Σηmicroειώσεις ∆ιδακτικής Μαθηmicroατικών 1) ∆ιδασκαλία

και microάθηση των microαθηmicroατικών microε διαδικασίες επίλυσης προβληmicroάτων 2) Εισα-

γωγή στη Θεωρία της ∆ιδασκαλίας Μεταπτυχιακό Πρόγραmicromicroα Σπουδών ∆ιδα-

κτικής και Μεθοδολογίας των Μαθηmicroατικών Τmicroήmicroα Μαθηmicroατικών ΕΚΠΑ

26

[10] Μάκρας Στρ Γεωmicroετρική εποπτεία και απόδειξη άρθρο στο περιοδικό Ευ-

κλείδης Β΄ τχ 25 (Ιούλιος-Αύγουστος-Σεπτέmicroβριος 1997) σσ 11-17 Αθήνα

Έκδοση της ΕΜΕ

[11] Νεγρεπόντης Σ Γιωτόπουλος Σ amp Γιαννακούλιας Ε (2000) Απειροστικός

Λογισmicroός τόmicroος IIα Αθήνα Εκδόσεις Συmicromicroετρία

[12] Ντρίζος ∆ (2002) Πλεονεκτήmicroατα της γεωmicroετρικής αναπαράστασης των microα-

θηmicroατικών εννοιών Η απόδειξη του θεωρήmicroατος της Μέσης Τιmicroής του διαφο-

ρικού λογισmicroού για συναρτήσεις microιας ή δύο πραγmicroατικών microεταβλητών Ευκλεί-

δης Γ΄ τχ 77 (Ιούλιος-∆εκέmicroβριος 2012) σσ 31-45 Αθήνα Έκδοση της

ΕΜΕ

[13] Ντρίζος ∆ Τα βασικά θεωρήmicroατα του ∆ιαφορικού Λογισmicroού άρθρο στο περι-

οδικό Ευκλείδης Γ΄ τχ 70 (Ιανουάριος-Ιούνιος 2009) σσ 5-23 Αθήνα Έκδο-

ση της ΕΜΕ

[14] Ντρίζος ∆ ∆ιδακτική Αξιοποίηση Προβληmicroάτων Επαγωγικής Συλλογιστικής

στο Πλαίσιο Ανάπτυξης Ιδεών του G Polya άρθρο στο περιοδικό Ευκλείδης

Γ΄ τχ 73 (Ιούλιος-∆εκέmicroβριος 2010) σσ 29-48 Αθήνα Έκδοση της ΕΜΕ

[15] Polya G (2001) Η Μαθηmicroατική Ανακάλυψη τόmicroος 1 (microτφ Στεργιάκη Σπύ-

ρου) Αθήνα Εκδόσεις Κάτοπτρο

[16] Ρίζος Γ (2005) Οι περιπέτειες του Προβλήmicroατος στα σχολικά Μαθηmicroατικά

Θεσσαλονίκη Εκδόσεις Μαθηmicroατική Βιβλιοθήκη

[17] Spivak Michael (1991) ∆ιαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισmicroός (microτφ Γιαν-

νόπουλου Απ) Ηράκλειο Πανεπιστηmicroιακές Εκδόσεις Κρήτης

20

bull Στην περίπτωση που για κάποιο ( )x 01isin ισχύει ( )g x 0= τότε

καθώς έχουmicroε και ( )g 0 0= το ζητούmicroενο προκύπτει microε εφαρmicroογή

του θ Rolle

bull Ας εξετάσουmicroε τώρα τον ισχυρισmicroό ( )g x 0lt για κάθε ( )x 01isin

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

x 0 x 0

ƒ xg x 0 ƒ x x x

x

ƒ x ƒ 0lim lim x ƒ 0 0

x 0+ +rarr rarr

lt rArr lt rArr lt rArr

minusprimerArr lt rArr le

minus

που είναι άτοπο λόγω υπόθεσης Άρα υπάρχει κάποιο ( )β 01isin ώστε

( )g β 0gt

Με εφαρmicroογή του θ του Bolzano στο [ ]β1 παίρνουmicroε ότι υπάρχει

( )α β1isin τέτοιο ώστε ( )g α 0=

Και τέλος microε εφαρmicroογή του θ του Rolle για την g στο διάστηmicroα

[ ]0α παίρνουmicroε ότι υπάρχει ( ) ( )ξ 0α 01isin sube τέτοιο ώστε

( )g ξ 0prime = οπότε ( )ƒ ξ 2ξprime =

Σχόλια ndash Έλεγχος υποθέσεων

1 Στην παραπάνω λύση η υπόθεση ότι η ƒprime είναι συνεχής δεν microάς

χρειάστηκε

2 Η υπόθεση ( ) 1ƒ 1

2= θα microπορούσε να δίνεται γενικά ως ( )ƒ 1 θ= microε

θ 1lt

3 Ως ζητούmicroενο θα microπορούσαmicroε να έχουmicroε υπάρχει ( )ξ 01isin ώστε

( ) ν 1ƒ ξ νξ minusprime =

21

Μια γενίκευση

Έστω microια συνάρτηση ƒ παραγωγίσιmicroη στο [ ]01 για την οποία ισχύ-

ουν

( )f 0 0= ( )ƒ 1 θ 1= lt και ( )ƒ 0 0prime gt

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ( )ξ 01isin τέτοιο ώστε ( ) ν 1ƒ ξ νξ minusprime =

2ος

τρόπος λύσης (προτάθηκε από τον Θανάση Καραντάνα καθηγητή στο

4ο ΓΕΛ Καρδίτσας και τον Αιmicroίλιο Βλάστο καθηγητή στο Μουσικό

Σχολείο Καρδίτσας)

Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) 2g x ƒ x x= minus [ ]x 01isin

Είναι ( )g 0 0= και ( ) 1g 1

2= minus

Επίσης ( ) ( )g x ƒ x 2xprime prime= minus άρα ( ) ( )g 0 ƒ 0 0prime prime= gt

Οπότε από τον ορισmicroό της παραγώγου της g στο 0 από τα δεξιά

παίρνουmicroε

( ) ( ) ( )x 0 x 0

g x g 0 g xlim lim 0

x 0 x+ +rarr rarr

minus= gt

minus

Και επειδή x 0gt θα είναι και ( )g x 0gt κοντά στο 0 από τα δεξιά

Άρα θα υπάρχει ( )k 01isin τέτοιο ώστε ( )g k 0gt

Έχουmicroε λοιπόν ( ) ( )g k g 1 0sdot lt και επειδή η συνάρτηση g είναι συνε-

χής στο [ ]k1 από το θεώρηmicroα του Bolzano θα υπάρχει

( ) ( )m k1 01isin sube τέτοιο ώστε ( )g m 0=

Τέλος καθώς στο διάστηmicroα [ ]0m η g ικανοποιεί τις υποθέσεις του

θεωρήmicroατος του Rolle θα υπάρχει ( ) ( )ξ 0 m 01isin sube τέτοιο ώστε

( )g ξ 0prime = ∆ηλαδή ( )ƒ ξ 2ξprime =

22

3ος

τρόπος λύσης

Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) 2g x ƒ x x= minus [ ]x 01isin

Είναι g(0) = 0 και ( ) 1g 1

2= minus

Επίσης ( ) ( )g x ƒ x 2xprime prime= minus άρα ( ) ( )g 0 f 0 0prime prime= gt

Με εφαρmicroογή του θεωρήmicroατος Μέσης Τιmicroής για την g στα 1

02

και

11

2

βρίσκουmicroε ότι υπάρχουν 1

1x 0

2

isin

και 2

1x 1

2

isin

τέτοια

ώστε

( )1

1 1f

2 4g x

1

2

minus prime = και ( )2

1 1 1f

2 2 4g x

1

2

minus minus minus prime =

Και επειδή ( ) ( )1 2g x g x 1prime prime+ = minus προφανώς ένα τουλάχιστον από τα

( ) ( )1 2g x g xprime prime θα είναι υποχρεωτικά αρνητικό

Έστω λοιπόν ότι είναι ( )1g x 0prime lt

Τότε καθώς η gprime είναι συνεχής στο [ ]10 x και ( ) ( )1g 0 g x 0prime primesdot lt από

το θεώρηmicroα του Bolzano βρίσκουmicroε ότι θα υπάρχει ένα τουλάχιστον

( ) ( )1ξ 0 x 01isin sube τέτοιο ώστε ( )g ξ 0prime = ∆ηλαδή ( )ƒ ξ 2ξprime =

4ος

τρόπος λύσης (προτάθηκε από τον Σεραφείmicro Σαmicroορέλη καθηγητή στο

8ο ΓΕΛ Τρικάλων)

Έστω η συνάρτηση w(x) ƒ (x) 2xprime= minus microε [ )x 01isin για την οποία ι-

σχυριζόmicroαστε ότι w(x) 0ne στο [ )01

Επειδή στο διάστηmicroα [ )01 η συνάρτηση w είναι συνεχής microε

w(x) 0ne προκύπτει ότι η w διατηρεί σταθερό πρόσηmicroο στο [ )01

23

Είναι w(0) ƒ (0) 2 0 ƒ (0) 0prime prime= minus sdot = gt άρα w(x) 0gt για κάθε [ )x 01isin

οπότε και ƒ (x) 2xprime gt για κάθε [ )x 01isin (1)

Με εφαρmicroογή του ΘΜΤ για την ƒ στα διαστήmicroατα 1

02

και 1

12

προκύπτει ότι θα υπάρχουν 1

1x 0

2

isin

και 2

1x 1

2

isin

τέτοια ώστε

1

1ƒ ƒ(0)

2ƒ (x )

1

2

minus prime = και

( )2

1ƒ 1 ƒ

2ƒ (x )

1

2

minus prime =

Με πρόσθεση κατά microέλη παίρνουmicroε

1 2

1 1 1ƒ ƒ(0) ƒ(1) ƒ2 2 2ƒ (x ) ƒ (x ) 1

1 1

2 2

minus + minus prime prime+ = = = (2)

Όmicroως από τη σχέση (1) έχουmicroε 1 1

2 2

ƒ (x ) 2x

ƒ (x ) 2x

prime gt

prime gt και microε πρόσθεση κατά

microέλη παίρνουmicroε

( )2

1 2 1 2 1 2 1 2

1ƒ (x ) ƒ (x ) 2x 2x 1 2x 2x x x

2prime prime+ gt + hArr gt + hArr + lt

που είναι άτοπο καθώς 1

2

10 x

2

1x 1

2

lt lt lt lt

Εποmicroένως o ισχυρισmicroός ότι στο [ )01 είναι w(x) 0ne δεν ευσταθεί

Οπότε θα υπάρχει ( )ξ 01isin τέτοιο ώστε w(ξ) 0 ƒ (ξ) 2ξprime= hArr = (το ξ

αυτό δεν microπορεί να είναι ίσο microε 0 αφού w(0) 0gt )

24

Μια πρόταση

Έστω f και g δυο συναρτήσεις συνεχείς στο διάστηmicroα [ ]αβ για τις

οποίες ισχύει ( ) ( )f x g xgt για κάθε [ ]x αβisin

Υπάρχει πάντοτε θετικός r τέτοιος ώστε ( ) ( )f x g x rgt + για κάθε

[ ]x αβisin

Ένα ερώτηmicroα

Ποιος προβληmicroατισmicroός γεωmicroετρικής υφής θα microπορούσε να microας οδη-

γήσει στη διατύπωση της παραπάνω πρότασης

Απόδειξη της πρότασης

Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) ( )h x f x g x= minus [ ]x αβisin

Η h είναι συνεχής microε θετικές τιmicroές στο [ ]αβ οπότε θα παρουσιάζει

ελάχιστο έστω ίσο microε m mgt0

Άρα ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m mh x m f x g x m f x g x

2 2ge rArr minus ge gt rArr gt +

Οπότε ( ) ( )f x g x rgt + m

r2= microε ( )r 0misin

Σηmicroείωση

Τα παραδείγmicroατα microαθηmicroατικών που συmicroπεριέλαβα στο παρόν άρθρο ανα-

πτύχθηκαν και σε οmicroιλία microου στην Ελληνογαλλική Σχολή Καλαmicroαρί της

Θεσσαλονίκης (27 Φεβρουαρίου 2016) microε θέmicroα τα Ποιοτικά Χαρακτηριστι-

κά στη ∆ιδασκαλία των Μαθηmicroατικών Επίσης κάποια από αυτά χρησιmicroο-

ποιήθηκαν σε σεmicroινάριο ∆ιδακτικής Μαθηmicroατικών που ανέπτυξα στα Τρί-

καλα (5 και 12 Απριλίου 2016)

Αφιέρωση

Το άρθρο αυτό αφιερώνεται στη microνήmicroη του Νίκου Κλαουδάτου καθηγητή

microου κατά τα έτη 2000-2002 στο ΠΜΣ της ∆ιδακτικής και Μεθοδολογίας

των Μαθηmicroατικών στο Τmicroήmicroα Μαθηmicroατικών του ΕΚΠΑ

25

Βιβλιογραφικές αναφορές

Ξενόγλωσσες

[1] Cobb P Wood T Yackel E amp McNeal B (1992) Characteristics of clas-

room mathematics traditions An interactional analysis American Educa-

tional Research Journal 29 573-604

[2] Cobb P amp Steffe L P (1993) The constructivist researcher as the teacher

and model builder Journal for Research in Mathematics Education vol 14

pp 83-94

[3] Eisenberg T amp Dreyfus T On the reluctance to visualize in Mathematics in

Zimmerman W amp Cunnigham S (Eds) 1991 Visualization in teaching

and learning mathematics p 25-37 MAA notes no 19 Mathematical Asso-

ciation of America

[4] Vinner S Visual considerations in College Calculus ndash Students and Teach-

ers in Vermandel A amp Steiner Hans-Georg (Eds) 1988 Theory of mathe-

matics Educations (Proceeding of the third international conferens Andwerp

11-15 July 1988) p 109-116

[5] Year Book 2001 The Roles of Representation in School Mathematics Na-

tional Council of Teachers of Mathematics

Ελληνόγλωσσες

[6] Ανδρεαδάκης Σ Κατσαργύρης Β Μέτης Σ Μπρουχούτας Κ Παπα-

σταυρίδης Σ και Πολύζος Γ (2015) Μαθηmicroατικά Γ΄ Γενικού Λυκείου Οmicroά-

δας Προσανατολισmicroού Θετικών Σπουδών και Σποδών Οικονοmicroίας amp Πληρο-

φορικής Αθήνα ΙΕΠ amp ΙΤΥΕ ∆ιόφαντος

[7] Κατσαργύρης Β Μεντής Κ Παντελίδης Γ και Σουρλάς Κ (1994) Μα-

θηmicroατικά Γ΄ Λυκείου ndash Ανάλυση Αθήνα ΟΕ∆Β

[8] Κλαουδάτος Ν (2011) Σηmicroειώσεις ∆ιδακτικής Μαθηmicroατικών 1) Εισαγωγή

στη γνωσιακή θεωρία 2) Βασικές αρχές της θεωρίας Vygotsky Μεταπτυχιακό

Πρόγραmicromicroα Σπουδών ∆ιδακτικής και Μεθοδολογίας των Μαθηmicroατικών

Τmicroήmicroα Μαθηmicroατικών ΕΚΠΑ

[9] Κλαουδάτος Ν (2011) Σηmicroειώσεις ∆ιδακτικής Μαθηmicroατικών 1) ∆ιδασκαλία

και microάθηση των microαθηmicroατικών microε διαδικασίες επίλυσης προβληmicroάτων 2) Εισα-

γωγή στη Θεωρία της ∆ιδασκαλίας Μεταπτυχιακό Πρόγραmicromicroα Σπουδών ∆ιδα-

κτικής και Μεθοδολογίας των Μαθηmicroατικών Τmicroήmicroα Μαθηmicroατικών ΕΚΠΑ

26

[10] Μάκρας Στρ Γεωmicroετρική εποπτεία και απόδειξη άρθρο στο περιοδικό Ευ-

κλείδης Β΄ τχ 25 (Ιούλιος-Αύγουστος-Σεπτέmicroβριος 1997) σσ 11-17 Αθήνα

Έκδοση της ΕΜΕ

[11] Νεγρεπόντης Σ Γιωτόπουλος Σ amp Γιαννακούλιας Ε (2000) Απειροστικός

Λογισmicroός τόmicroος IIα Αθήνα Εκδόσεις Συmicromicroετρία

[12] Ντρίζος ∆ (2002) Πλεονεκτήmicroατα της γεωmicroετρικής αναπαράστασης των microα-

θηmicroατικών εννοιών Η απόδειξη του θεωρήmicroατος της Μέσης Τιmicroής του διαφο-

ρικού λογισmicroού για συναρτήσεις microιας ή δύο πραγmicroατικών microεταβλητών Ευκλεί-

δης Γ΄ τχ 77 (Ιούλιος-∆εκέmicroβριος 2012) σσ 31-45 Αθήνα Έκδοση της

ΕΜΕ

[13] Ντρίζος ∆ Τα βασικά θεωρήmicroατα του ∆ιαφορικού Λογισmicroού άρθρο στο περι-

οδικό Ευκλείδης Γ΄ τχ 70 (Ιανουάριος-Ιούνιος 2009) σσ 5-23 Αθήνα Έκδο-

ση της ΕΜΕ

[14] Ντρίζος ∆ ∆ιδακτική Αξιοποίηση Προβληmicroάτων Επαγωγικής Συλλογιστικής

στο Πλαίσιο Ανάπτυξης Ιδεών του G Polya άρθρο στο περιοδικό Ευκλείδης

Γ΄ τχ 73 (Ιούλιος-∆εκέmicroβριος 2010) σσ 29-48 Αθήνα Έκδοση της ΕΜΕ

[15] Polya G (2001) Η Μαθηmicroατική Ανακάλυψη τόmicroος 1 (microτφ Στεργιάκη Σπύ-

ρου) Αθήνα Εκδόσεις Κάτοπτρο

[16] Ρίζος Γ (2005) Οι περιπέτειες του Προβλήmicroατος στα σχολικά Μαθηmicroατικά

Θεσσαλονίκη Εκδόσεις Μαθηmicroατική Βιβλιοθήκη

[17] Spivak Michael (1991) ∆ιαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισmicroός (microτφ Γιαν-

νόπουλου Απ) Ηράκλειο Πανεπιστηmicroιακές Εκδόσεις Κρήτης

21

Μια γενίκευση

Έστω microια συνάρτηση ƒ παραγωγίσιmicroη στο [ ]01 για την οποία ισχύ-

ουν

( )f 0 0= ( )ƒ 1 θ 1= lt και ( )ƒ 0 0prime gt

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ( )ξ 01isin τέτοιο ώστε ( ) ν 1ƒ ξ νξ minusprime =

2ος

τρόπος λύσης (προτάθηκε από τον Θανάση Καραντάνα καθηγητή στο

4ο ΓΕΛ Καρδίτσας και τον Αιmicroίλιο Βλάστο καθηγητή στο Μουσικό

Σχολείο Καρδίτσας)

Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) 2g x ƒ x x= minus [ ]x 01isin

Είναι ( )g 0 0= και ( ) 1g 1

2= minus

Επίσης ( ) ( )g x ƒ x 2xprime prime= minus άρα ( ) ( )g 0 ƒ 0 0prime prime= gt

Οπότε από τον ορισmicroό της παραγώγου της g στο 0 από τα δεξιά

παίρνουmicroε

( ) ( ) ( )x 0 x 0

g x g 0 g xlim lim 0

x 0 x+ +rarr rarr

minus= gt

minus

Και επειδή x 0gt θα είναι και ( )g x 0gt κοντά στο 0 από τα δεξιά

Άρα θα υπάρχει ( )k 01isin τέτοιο ώστε ( )g k 0gt

Έχουmicroε λοιπόν ( ) ( )g k g 1 0sdot lt και επειδή η συνάρτηση g είναι συνε-

χής στο [ ]k1 από το θεώρηmicroα του Bolzano θα υπάρχει

( ) ( )m k1 01isin sube τέτοιο ώστε ( )g m 0=

Τέλος καθώς στο διάστηmicroα [ ]0m η g ικανοποιεί τις υποθέσεις του

θεωρήmicroατος του Rolle θα υπάρχει ( ) ( )ξ 0 m 01isin sube τέτοιο ώστε

( )g ξ 0prime = ∆ηλαδή ( )ƒ ξ 2ξprime =

22

3ος

τρόπος λύσης

Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) 2g x ƒ x x= minus [ ]x 01isin

Είναι g(0) = 0 και ( ) 1g 1

2= minus

Επίσης ( ) ( )g x ƒ x 2xprime prime= minus άρα ( ) ( )g 0 f 0 0prime prime= gt

Με εφαρmicroογή του θεωρήmicroατος Μέσης Τιmicroής για την g στα 1

02

και

11

2

βρίσκουmicroε ότι υπάρχουν 1

1x 0

2

isin

και 2

1x 1

2

isin

τέτοια

ώστε

( )1

1 1f

2 4g x

1

2

minus prime = και ( )2

1 1 1f

2 2 4g x

1

2

minus minus minus prime =

Και επειδή ( ) ( )1 2g x g x 1prime prime+ = minus προφανώς ένα τουλάχιστον από τα

( ) ( )1 2g x g xprime prime θα είναι υποχρεωτικά αρνητικό

Έστω λοιπόν ότι είναι ( )1g x 0prime lt

Τότε καθώς η gprime είναι συνεχής στο [ ]10 x και ( ) ( )1g 0 g x 0prime primesdot lt από

το θεώρηmicroα του Bolzano βρίσκουmicroε ότι θα υπάρχει ένα τουλάχιστον

( ) ( )1ξ 0 x 01isin sube τέτοιο ώστε ( )g ξ 0prime = ∆ηλαδή ( )ƒ ξ 2ξprime =

4ος

τρόπος λύσης (προτάθηκε από τον Σεραφείmicro Σαmicroορέλη καθηγητή στο

8ο ΓΕΛ Τρικάλων)

Έστω η συνάρτηση w(x) ƒ (x) 2xprime= minus microε [ )x 01isin για την οποία ι-

σχυριζόmicroαστε ότι w(x) 0ne στο [ )01

Επειδή στο διάστηmicroα [ )01 η συνάρτηση w είναι συνεχής microε

w(x) 0ne προκύπτει ότι η w διατηρεί σταθερό πρόσηmicroο στο [ )01

23

Είναι w(0) ƒ (0) 2 0 ƒ (0) 0prime prime= minus sdot = gt άρα w(x) 0gt για κάθε [ )x 01isin

οπότε και ƒ (x) 2xprime gt για κάθε [ )x 01isin (1)

Με εφαρmicroογή του ΘΜΤ για την ƒ στα διαστήmicroατα 1

02

και 1

12

προκύπτει ότι θα υπάρχουν 1

1x 0

2

isin

και 2

1x 1

2

isin

τέτοια ώστε

1

1ƒ ƒ(0)

2ƒ (x )

1

2

minus prime = και

( )2

1ƒ 1 ƒ

2ƒ (x )

1

2

minus prime =

Με πρόσθεση κατά microέλη παίρνουmicroε

1 2

1 1 1ƒ ƒ(0) ƒ(1) ƒ2 2 2ƒ (x ) ƒ (x ) 1

1 1

2 2

minus + minus prime prime+ = = = (2)

Όmicroως από τη σχέση (1) έχουmicroε 1 1

2 2

ƒ (x ) 2x

ƒ (x ) 2x

prime gt

prime gt και microε πρόσθεση κατά

microέλη παίρνουmicroε

( )2

1 2 1 2 1 2 1 2

1ƒ (x ) ƒ (x ) 2x 2x 1 2x 2x x x

2prime prime+ gt + hArr gt + hArr + lt

που είναι άτοπο καθώς 1

2

10 x

2

1x 1

2

lt lt lt lt

Εποmicroένως o ισχυρισmicroός ότι στο [ )01 είναι w(x) 0ne δεν ευσταθεί

Οπότε θα υπάρχει ( )ξ 01isin τέτοιο ώστε w(ξ) 0 ƒ (ξ) 2ξprime= hArr = (το ξ

αυτό δεν microπορεί να είναι ίσο microε 0 αφού w(0) 0gt )

24

Μια πρόταση

Έστω f και g δυο συναρτήσεις συνεχείς στο διάστηmicroα [ ]αβ για τις

οποίες ισχύει ( ) ( )f x g xgt για κάθε [ ]x αβisin

Υπάρχει πάντοτε θετικός r τέτοιος ώστε ( ) ( )f x g x rgt + για κάθε

[ ]x αβisin

Ένα ερώτηmicroα

Ποιος προβληmicroατισmicroός γεωmicroετρικής υφής θα microπορούσε να microας οδη-

γήσει στη διατύπωση της παραπάνω πρότασης

Απόδειξη της πρότασης

Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) ( )h x f x g x= minus [ ]x αβisin

Η h είναι συνεχής microε θετικές τιmicroές στο [ ]αβ οπότε θα παρουσιάζει

ελάχιστο έστω ίσο microε m mgt0

Άρα ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m mh x m f x g x m f x g x

2 2ge rArr minus ge gt rArr gt +

Οπότε ( ) ( )f x g x rgt + m

r2= microε ( )r 0misin

Σηmicroείωση

Τα παραδείγmicroατα microαθηmicroατικών που συmicroπεριέλαβα στο παρόν άρθρο ανα-

πτύχθηκαν και σε οmicroιλία microου στην Ελληνογαλλική Σχολή Καλαmicroαρί της

Θεσσαλονίκης (27 Φεβρουαρίου 2016) microε θέmicroα τα Ποιοτικά Χαρακτηριστι-

κά στη ∆ιδασκαλία των Μαθηmicroατικών Επίσης κάποια από αυτά χρησιmicroο-

ποιήθηκαν σε σεmicroινάριο ∆ιδακτικής Μαθηmicroατικών που ανέπτυξα στα Τρί-

καλα (5 και 12 Απριλίου 2016)

Αφιέρωση

Το άρθρο αυτό αφιερώνεται στη microνήmicroη του Νίκου Κλαουδάτου καθηγητή

microου κατά τα έτη 2000-2002 στο ΠΜΣ της ∆ιδακτικής και Μεθοδολογίας

των Μαθηmicroατικών στο Τmicroήmicroα Μαθηmicroατικών του ΕΚΠΑ

25

Βιβλιογραφικές αναφορές

Ξενόγλωσσες

[1] Cobb P Wood T Yackel E amp McNeal B (1992) Characteristics of clas-

room mathematics traditions An interactional analysis American Educa-

tional Research Journal 29 573-604

[2] Cobb P amp Steffe L P (1993) The constructivist researcher as the teacher

and model builder Journal for Research in Mathematics Education vol 14

pp 83-94

[3] Eisenberg T amp Dreyfus T On the reluctance to visualize in Mathematics in

Zimmerman W amp Cunnigham S (Eds) 1991 Visualization in teaching

and learning mathematics p 25-37 MAA notes no 19 Mathematical Asso-

ciation of America

[4] Vinner S Visual considerations in College Calculus ndash Students and Teach-

ers in Vermandel A amp Steiner Hans-Georg (Eds) 1988 Theory of mathe-

matics Educations (Proceeding of the third international conferens Andwerp

11-15 July 1988) p 109-116

[5] Year Book 2001 The Roles of Representation in School Mathematics Na-

tional Council of Teachers of Mathematics

Ελληνόγλωσσες

[6] Ανδρεαδάκης Σ Κατσαργύρης Β Μέτης Σ Μπρουχούτας Κ Παπα-

σταυρίδης Σ και Πολύζος Γ (2015) Μαθηmicroατικά Γ΄ Γενικού Λυκείου Οmicroά-

δας Προσανατολισmicroού Θετικών Σπουδών και Σποδών Οικονοmicroίας amp Πληρο-

φορικής Αθήνα ΙΕΠ amp ΙΤΥΕ ∆ιόφαντος

[7] Κατσαργύρης Β Μεντής Κ Παντελίδης Γ και Σουρλάς Κ (1994) Μα-

θηmicroατικά Γ΄ Λυκείου ndash Ανάλυση Αθήνα ΟΕ∆Β

[8] Κλαουδάτος Ν (2011) Σηmicroειώσεις ∆ιδακτικής Μαθηmicroατικών 1) Εισαγωγή

στη γνωσιακή θεωρία 2) Βασικές αρχές της θεωρίας Vygotsky Μεταπτυχιακό

Πρόγραmicromicroα Σπουδών ∆ιδακτικής και Μεθοδολογίας των Μαθηmicroατικών

Τmicroήmicroα Μαθηmicroατικών ΕΚΠΑ

[9] Κλαουδάτος Ν (2011) Σηmicroειώσεις ∆ιδακτικής Μαθηmicroατικών 1) ∆ιδασκαλία

και microάθηση των microαθηmicroατικών microε διαδικασίες επίλυσης προβληmicroάτων 2) Εισα-

γωγή στη Θεωρία της ∆ιδασκαλίας Μεταπτυχιακό Πρόγραmicromicroα Σπουδών ∆ιδα-

κτικής και Μεθοδολογίας των Μαθηmicroατικών Τmicroήmicroα Μαθηmicroατικών ΕΚΠΑ

26

[10] Μάκρας Στρ Γεωmicroετρική εποπτεία και απόδειξη άρθρο στο περιοδικό Ευ-

κλείδης Β΄ τχ 25 (Ιούλιος-Αύγουστος-Σεπτέmicroβριος 1997) σσ 11-17 Αθήνα

Έκδοση της ΕΜΕ

[11] Νεγρεπόντης Σ Γιωτόπουλος Σ amp Γιαννακούλιας Ε (2000) Απειροστικός

Λογισmicroός τόmicroος IIα Αθήνα Εκδόσεις Συmicromicroετρία

[12] Ντρίζος ∆ (2002) Πλεονεκτήmicroατα της γεωmicroετρικής αναπαράστασης των microα-

θηmicroατικών εννοιών Η απόδειξη του θεωρήmicroατος της Μέσης Τιmicroής του διαφο-

ρικού λογισmicroού για συναρτήσεις microιας ή δύο πραγmicroατικών microεταβλητών Ευκλεί-

δης Γ΄ τχ 77 (Ιούλιος-∆εκέmicroβριος 2012) σσ 31-45 Αθήνα Έκδοση της

ΕΜΕ

[13] Ντρίζος ∆ Τα βασικά θεωρήmicroατα του ∆ιαφορικού Λογισmicroού άρθρο στο περι-

οδικό Ευκλείδης Γ΄ τχ 70 (Ιανουάριος-Ιούνιος 2009) σσ 5-23 Αθήνα Έκδο-

ση της ΕΜΕ

[14] Ντρίζος ∆ ∆ιδακτική Αξιοποίηση Προβληmicroάτων Επαγωγικής Συλλογιστικής

στο Πλαίσιο Ανάπτυξης Ιδεών του G Polya άρθρο στο περιοδικό Ευκλείδης

Γ΄ τχ 73 (Ιούλιος-∆εκέmicroβριος 2010) σσ 29-48 Αθήνα Έκδοση της ΕΜΕ

[15] Polya G (2001) Η Μαθηmicroατική Ανακάλυψη τόmicroος 1 (microτφ Στεργιάκη Σπύ-

ρου) Αθήνα Εκδόσεις Κάτοπτρο

[16] Ρίζος Γ (2005) Οι περιπέτειες του Προβλήmicroατος στα σχολικά Μαθηmicroατικά

Θεσσαλονίκη Εκδόσεις Μαθηmicroατική Βιβλιοθήκη

[17] Spivak Michael (1991) ∆ιαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισmicroός (microτφ Γιαν-

νόπουλου Απ) Ηράκλειο Πανεπιστηmicroιακές Εκδόσεις Κρήτης

22

3ος

τρόπος λύσης

Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) 2g x ƒ x x= minus [ ]x 01isin

Είναι g(0) = 0 και ( ) 1g 1

2= minus

Επίσης ( ) ( )g x ƒ x 2xprime prime= minus άρα ( ) ( )g 0 f 0 0prime prime= gt

Με εφαρmicroογή του θεωρήmicroατος Μέσης Τιmicroής για την g στα 1

02

και

11

2

βρίσκουmicroε ότι υπάρχουν 1

1x 0

2

isin

και 2

1x 1

2

isin

τέτοια

ώστε

( )1

1 1f

2 4g x

1

2

minus prime = και ( )2

1 1 1f

2 2 4g x

1

2

minus minus minus prime =

Και επειδή ( ) ( )1 2g x g x 1prime prime+ = minus προφανώς ένα τουλάχιστον από τα

( ) ( )1 2g x g xprime prime θα είναι υποχρεωτικά αρνητικό

Έστω λοιπόν ότι είναι ( )1g x 0prime lt

Τότε καθώς η gprime είναι συνεχής στο [ ]10 x και ( ) ( )1g 0 g x 0prime primesdot lt από

το θεώρηmicroα του Bolzano βρίσκουmicroε ότι θα υπάρχει ένα τουλάχιστον

( ) ( )1ξ 0 x 01isin sube τέτοιο ώστε ( )g ξ 0prime = ∆ηλαδή ( )ƒ ξ 2ξprime =

4ος

τρόπος λύσης (προτάθηκε από τον Σεραφείmicro Σαmicroορέλη καθηγητή στο

8ο ΓΕΛ Τρικάλων)

Έστω η συνάρτηση w(x) ƒ (x) 2xprime= minus microε [ )x 01isin για την οποία ι-

σχυριζόmicroαστε ότι w(x) 0ne στο [ )01

Επειδή στο διάστηmicroα [ )01 η συνάρτηση w είναι συνεχής microε

w(x) 0ne προκύπτει ότι η w διατηρεί σταθερό πρόσηmicroο στο [ )01

23

Είναι w(0) ƒ (0) 2 0 ƒ (0) 0prime prime= minus sdot = gt άρα w(x) 0gt για κάθε [ )x 01isin

οπότε και ƒ (x) 2xprime gt για κάθε [ )x 01isin (1)

Με εφαρmicroογή του ΘΜΤ για την ƒ στα διαστήmicroατα 1

02

και 1

12

προκύπτει ότι θα υπάρχουν 1

1x 0

2

isin

και 2

1x 1

2

isin

τέτοια ώστε

1

1ƒ ƒ(0)

2ƒ (x )

1

2

minus prime = και

( )2

1ƒ 1 ƒ

2ƒ (x )

1

2

minus prime =

Με πρόσθεση κατά microέλη παίρνουmicroε

1 2

1 1 1ƒ ƒ(0) ƒ(1) ƒ2 2 2ƒ (x ) ƒ (x ) 1

1 1

2 2

minus + minus prime prime+ = = = (2)

Όmicroως από τη σχέση (1) έχουmicroε 1 1

2 2

ƒ (x ) 2x

ƒ (x ) 2x

prime gt

prime gt και microε πρόσθεση κατά

microέλη παίρνουmicroε

( )2

1 2 1 2 1 2 1 2

1ƒ (x ) ƒ (x ) 2x 2x 1 2x 2x x x

2prime prime+ gt + hArr gt + hArr + lt

που είναι άτοπο καθώς 1

2

10 x

2

1x 1

2

lt lt lt lt

Εποmicroένως o ισχυρισmicroός ότι στο [ )01 είναι w(x) 0ne δεν ευσταθεί

Οπότε θα υπάρχει ( )ξ 01isin τέτοιο ώστε w(ξ) 0 ƒ (ξ) 2ξprime= hArr = (το ξ

αυτό δεν microπορεί να είναι ίσο microε 0 αφού w(0) 0gt )

24

Μια πρόταση

Έστω f και g δυο συναρτήσεις συνεχείς στο διάστηmicroα [ ]αβ για τις

οποίες ισχύει ( ) ( )f x g xgt για κάθε [ ]x αβisin

Υπάρχει πάντοτε θετικός r τέτοιος ώστε ( ) ( )f x g x rgt + για κάθε

[ ]x αβisin

Ένα ερώτηmicroα

Ποιος προβληmicroατισmicroός γεωmicroετρικής υφής θα microπορούσε να microας οδη-

γήσει στη διατύπωση της παραπάνω πρότασης

Απόδειξη της πρότασης

Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) ( )h x f x g x= minus [ ]x αβisin

Η h είναι συνεχής microε θετικές τιmicroές στο [ ]αβ οπότε θα παρουσιάζει

ελάχιστο έστω ίσο microε m mgt0

Άρα ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m mh x m f x g x m f x g x

2 2ge rArr minus ge gt rArr gt +

Οπότε ( ) ( )f x g x rgt + m

r2= microε ( )r 0misin

Σηmicroείωση

Τα παραδείγmicroατα microαθηmicroατικών που συmicroπεριέλαβα στο παρόν άρθρο ανα-

πτύχθηκαν και σε οmicroιλία microου στην Ελληνογαλλική Σχολή Καλαmicroαρί της

Θεσσαλονίκης (27 Φεβρουαρίου 2016) microε θέmicroα τα Ποιοτικά Χαρακτηριστι-

κά στη ∆ιδασκαλία των Μαθηmicroατικών Επίσης κάποια από αυτά χρησιmicroο-

ποιήθηκαν σε σεmicroινάριο ∆ιδακτικής Μαθηmicroατικών που ανέπτυξα στα Τρί-

καλα (5 και 12 Απριλίου 2016)

Αφιέρωση

Το άρθρο αυτό αφιερώνεται στη microνήmicroη του Νίκου Κλαουδάτου καθηγητή

microου κατά τα έτη 2000-2002 στο ΠΜΣ της ∆ιδακτικής και Μεθοδολογίας

των Μαθηmicroατικών στο Τmicroήmicroα Μαθηmicroατικών του ΕΚΠΑ

25

Βιβλιογραφικές αναφορές

Ξενόγλωσσες

[1] Cobb P Wood T Yackel E amp McNeal B (1992) Characteristics of clas-

room mathematics traditions An interactional analysis American Educa-

tional Research Journal 29 573-604

[2] Cobb P amp Steffe L P (1993) The constructivist researcher as the teacher

and model builder Journal for Research in Mathematics Education vol 14

pp 83-94

[3] Eisenberg T amp Dreyfus T On the reluctance to visualize in Mathematics in

Zimmerman W amp Cunnigham S (Eds) 1991 Visualization in teaching

and learning mathematics p 25-37 MAA notes no 19 Mathematical Asso-

ciation of America

[4] Vinner S Visual considerations in College Calculus ndash Students and Teach-

ers in Vermandel A amp Steiner Hans-Georg (Eds) 1988 Theory of mathe-

matics Educations (Proceeding of the third international conferens Andwerp

11-15 July 1988) p 109-116

[5] Year Book 2001 The Roles of Representation in School Mathematics Na-

tional Council of Teachers of Mathematics

Ελληνόγλωσσες

[6] Ανδρεαδάκης Σ Κατσαργύρης Β Μέτης Σ Μπρουχούτας Κ Παπα-

σταυρίδης Σ και Πολύζος Γ (2015) Μαθηmicroατικά Γ΄ Γενικού Λυκείου Οmicroά-

δας Προσανατολισmicroού Θετικών Σπουδών και Σποδών Οικονοmicroίας amp Πληρο-

φορικής Αθήνα ΙΕΠ amp ΙΤΥΕ ∆ιόφαντος

[7] Κατσαργύρης Β Μεντής Κ Παντελίδης Γ και Σουρλάς Κ (1994) Μα-

θηmicroατικά Γ΄ Λυκείου ndash Ανάλυση Αθήνα ΟΕ∆Β

[8] Κλαουδάτος Ν (2011) Σηmicroειώσεις ∆ιδακτικής Μαθηmicroατικών 1) Εισαγωγή

στη γνωσιακή θεωρία 2) Βασικές αρχές της θεωρίας Vygotsky Μεταπτυχιακό

Πρόγραmicromicroα Σπουδών ∆ιδακτικής και Μεθοδολογίας των Μαθηmicroατικών

Τmicroήmicroα Μαθηmicroατικών ΕΚΠΑ

[9] Κλαουδάτος Ν (2011) Σηmicroειώσεις ∆ιδακτικής Μαθηmicroατικών 1) ∆ιδασκαλία

και microάθηση των microαθηmicroατικών microε διαδικασίες επίλυσης προβληmicroάτων 2) Εισα-

γωγή στη Θεωρία της ∆ιδασκαλίας Μεταπτυχιακό Πρόγραmicromicroα Σπουδών ∆ιδα-

κτικής και Μεθοδολογίας των Μαθηmicroατικών Τmicroήmicroα Μαθηmicroατικών ΕΚΠΑ

26

[10] Μάκρας Στρ Γεωmicroετρική εποπτεία και απόδειξη άρθρο στο περιοδικό Ευ-

κλείδης Β΄ τχ 25 (Ιούλιος-Αύγουστος-Σεπτέmicroβριος 1997) σσ 11-17 Αθήνα

Έκδοση της ΕΜΕ

[11] Νεγρεπόντης Σ Γιωτόπουλος Σ amp Γιαννακούλιας Ε (2000) Απειροστικός

Λογισmicroός τόmicroος IIα Αθήνα Εκδόσεις Συmicromicroετρία

[12] Ντρίζος ∆ (2002) Πλεονεκτήmicroατα της γεωmicroετρικής αναπαράστασης των microα-

θηmicroατικών εννοιών Η απόδειξη του θεωρήmicroατος της Μέσης Τιmicroής του διαφο-

ρικού λογισmicroού για συναρτήσεις microιας ή δύο πραγmicroατικών microεταβλητών Ευκλεί-

δης Γ΄ τχ 77 (Ιούλιος-∆εκέmicroβριος 2012) σσ 31-45 Αθήνα Έκδοση της

ΕΜΕ

[13] Ντρίζος ∆ Τα βασικά θεωρήmicroατα του ∆ιαφορικού Λογισmicroού άρθρο στο περι-

οδικό Ευκλείδης Γ΄ τχ 70 (Ιανουάριος-Ιούνιος 2009) σσ 5-23 Αθήνα Έκδο-

ση της ΕΜΕ

[14] Ντρίζος ∆ ∆ιδακτική Αξιοποίηση Προβληmicroάτων Επαγωγικής Συλλογιστικής

στο Πλαίσιο Ανάπτυξης Ιδεών του G Polya άρθρο στο περιοδικό Ευκλείδης

Γ΄ τχ 73 (Ιούλιος-∆εκέmicroβριος 2010) σσ 29-48 Αθήνα Έκδοση της ΕΜΕ

[15] Polya G (2001) Η Μαθηmicroατική Ανακάλυψη τόmicroος 1 (microτφ Στεργιάκη Σπύ-

ρου) Αθήνα Εκδόσεις Κάτοπτρο

[16] Ρίζος Γ (2005) Οι περιπέτειες του Προβλήmicroατος στα σχολικά Μαθηmicroατικά

Θεσσαλονίκη Εκδόσεις Μαθηmicroατική Βιβλιοθήκη

[17] Spivak Michael (1991) ∆ιαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισmicroός (microτφ Γιαν-

νόπουλου Απ) Ηράκλειο Πανεπιστηmicroιακές Εκδόσεις Κρήτης

23

Είναι w(0) ƒ (0) 2 0 ƒ (0) 0prime prime= minus sdot = gt άρα w(x) 0gt για κάθε [ )x 01isin

οπότε και ƒ (x) 2xprime gt για κάθε [ )x 01isin (1)

Με εφαρmicroογή του ΘΜΤ για την ƒ στα διαστήmicroατα 1

02

και 1

12

προκύπτει ότι θα υπάρχουν 1

1x 0

2

isin

και 2

1x 1

2

isin

τέτοια ώστε

1

1ƒ ƒ(0)

2ƒ (x )

1

2

minus prime = και

( )2

1ƒ 1 ƒ

2ƒ (x )

1

2

minus prime =

Με πρόσθεση κατά microέλη παίρνουmicroε

1 2

1 1 1ƒ ƒ(0) ƒ(1) ƒ2 2 2ƒ (x ) ƒ (x ) 1

1 1

2 2

minus + minus prime prime+ = = = (2)

Όmicroως από τη σχέση (1) έχουmicroε 1 1

2 2

ƒ (x ) 2x

ƒ (x ) 2x

prime gt

prime gt και microε πρόσθεση κατά

microέλη παίρνουmicroε

( )2

1 2 1 2 1 2 1 2

1ƒ (x ) ƒ (x ) 2x 2x 1 2x 2x x x

2prime prime+ gt + hArr gt + hArr + lt

που είναι άτοπο καθώς 1

2

10 x

2

1x 1

2

lt lt lt lt

Εποmicroένως o ισχυρισmicroός ότι στο [ )01 είναι w(x) 0ne δεν ευσταθεί

Οπότε θα υπάρχει ( )ξ 01isin τέτοιο ώστε w(ξ) 0 ƒ (ξ) 2ξprime= hArr = (το ξ

αυτό δεν microπορεί να είναι ίσο microε 0 αφού w(0) 0gt )

24

Μια πρόταση

Έστω f και g δυο συναρτήσεις συνεχείς στο διάστηmicroα [ ]αβ για τις

οποίες ισχύει ( ) ( )f x g xgt για κάθε [ ]x αβisin

Υπάρχει πάντοτε θετικός r τέτοιος ώστε ( ) ( )f x g x rgt + για κάθε

[ ]x αβisin

Ένα ερώτηmicroα

Ποιος προβληmicroατισmicroός γεωmicroετρικής υφής θα microπορούσε να microας οδη-

γήσει στη διατύπωση της παραπάνω πρότασης

Απόδειξη της πρότασης

Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) ( )h x f x g x= minus [ ]x αβisin

Η h είναι συνεχής microε θετικές τιmicroές στο [ ]αβ οπότε θα παρουσιάζει

ελάχιστο έστω ίσο microε m mgt0

Άρα ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m mh x m f x g x m f x g x

2 2ge rArr minus ge gt rArr gt +

Οπότε ( ) ( )f x g x rgt + m

r2= microε ( )r 0misin

Σηmicroείωση

Τα παραδείγmicroατα microαθηmicroατικών που συmicroπεριέλαβα στο παρόν άρθρο ανα-

πτύχθηκαν και σε οmicroιλία microου στην Ελληνογαλλική Σχολή Καλαmicroαρί της

Θεσσαλονίκης (27 Φεβρουαρίου 2016) microε θέmicroα τα Ποιοτικά Χαρακτηριστι-

κά στη ∆ιδασκαλία των Μαθηmicroατικών Επίσης κάποια από αυτά χρησιmicroο-

ποιήθηκαν σε σεmicroινάριο ∆ιδακτικής Μαθηmicroατικών που ανέπτυξα στα Τρί-

καλα (5 και 12 Απριλίου 2016)

Αφιέρωση

Το άρθρο αυτό αφιερώνεται στη microνήmicroη του Νίκου Κλαουδάτου καθηγητή

microου κατά τα έτη 2000-2002 στο ΠΜΣ της ∆ιδακτικής και Μεθοδολογίας

των Μαθηmicroατικών στο Τmicroήmicroα Μαθηmicroατικών του ΕΚΠΑ

25

Βιβλιογραφικές αναφορές

Ξενόγλωσσες

[1] Cobb P Wood T Yackel E amp McNeal B (1992) Characteristics of clas-

room mathematics traditions An interactional analysis American Educa-

tional Research Journal 29 573-604

[2] Cobb P amp Steffe L P (1993) The constructivist researcher as the teacher

and model builder Journal for Research in Mathematics Education vol 14

pp 83-94

[3] Eisenberg T amp Dreyfus T On the reluctance to visualize in Mathematics in

Zimmerman W amp Cunnigham S (Eds) 1991 Visualization in teaching

and learning mathematics p 25-37 MAA notes no 19 Mathematical Asso-

ciation of America

[4] Vinner S Visual considerations in College Calculus ndash Students and Teach-

ers in Vermandel A amp Steiner Hans-Georg (Eds) 1988 Theory of mathe-

matics Educations (Proceeding of the third international conferens Andwerp

11-15 July 1988) p 109-116

[5] Year Book 2001 The Roles of Representation in School Mathematics Na-

tional Council of Teachers of Mathematics

Ελληνόγλωσσες

[6] Ανδρεαδάκης Σ Κατσαργύρης Β Μέτης Σ Μπρουχούτας Κ Παπα-

σταυρίδης Σ και Πολύζος Γ (2015) Μαθηmicroατικά Γ΄ Γενικού Λυκείου Οmicroά-

δας Προσανατολισmicroού Θετικών Σπουδών και Σποδών Οικονοmicroίας amp Πληρο-

φορικής Αθήνα ΙΕΠ amp ΙΤΥΕ ∆ιόφαντος

[7] Κατσαργύρης Β Μεντής Κ Παντελίδης Γ και Σουρλάς Κ (1994) Μα-

θηmicroατικά Γ΄ Λυκείου ndash Ανάλυση Αθήνα ΟΕ∆Β

[8] Κλαουδάτος Ν (2011) Σηmicroειώσεις ∆ιδακτικής Μαθηmicroατικών 1) Εισαγωγή

στη γνωσιακή θεωρία 2) Βασικές αρχές της θεωρίας Vygotsky Μεταπτυχιακό

Πρόγραmicromicroα Σπουδών ∆ιδακτικής και Μεθοδολογίας των Μαθηmicroατικών

Τmicroήmicroα Μαθηmicroατικών ΕΚΠΑ

[9] Κλαουδάτος Ν (2011) Σηmicroειώσεις ∆ιδακτικής Μαθηmicroατικών 1) ∆ιδασκαλία

και microάθηση των microαθηmicroατικών microε διαδικασίες επίλυσης προβληmicroάτων 2) Εισα-

γωγή στη Θεωρία της ∆ιδασκαλίας Μεταπτυχιακό Πρόγραmicromicroα Σπουδών ∆ιδα-

κτικής και Μεθοδολογίας των Μαθηmicroατικών Τmicroήmicroα Μαθηmicroατικών ΕΚΠΑ

26

[10] Μάκρας Στρ Γεωmicroετρική εποπτεία και απόδειξη άρθρο στο περιοδικό Ευ-

κλείδης Β΄ τχ 25 (Ιούλιος-Αύγουστος-Σεπτέmicroβριος 1997) σσ 11-17 Αθήνα

Έκδοση της ΕΜΕ

[11] Νεγρεπόντης Σ Γιωτόπουλος Σ amp Γιαννακούλιας Ε (2000) Απειροστικός

Λογισmicroός τόmicroος IIα Αθήνα Εκδόσεις Συmicromicroετρία

[12] Ντρίζος ∆ (2002) Πλεονεκτήmicroατα της γεωmicroετρικής αναπαράστασης των microα-

θηmicroατικών εννοιών Η απόδειξη του θεωρήmicroατος της Μέσης Τιmicroής του διαφο-

ρικού λογισmicroού για συναρτήσεις microιας ή δύο πραγmicroατικών microεταβλητών Ευκλεί-

δης Γ΄ τχ 77 (Ιούλιος-∆εκέmicroβριος 2012) σσ 31-45 Αθήνα Έκδοση της

ΕΜΕ

[13] Ντρίζος ∆ Τα βασικά θεωρήmicroατα του ∆ιαφορικού Λογισmicroού άρθρο στο περι-

οδικό Ευκλείδης Γ΄ τχ 70 (Ιανουάριος-Ιούνιος 2009) σσ 5-23 Αθήνα Έκδο-

ση της ΕΜΕ

[14] Ντρίζος ∆ ∆ιδακτική Αξιοποίηση Προβληmicroάτων Επαγωγικής Συλλογιστικής

στο Πλαίσιο Ανάπτυξης Ιδεών του G Polya άρθρο στο περιοδικό Ευκλείδης

Γ΄ τχ 73 (Ιούλιος-∆εκέmicroβριος 2010) σσ 29-48 Αθήνα Έκδοση της ΕΜΕ

[15] Polya G (2001) Η Μαθηmicroατική Ανακάλυψη τόmicroος 1 (microτφ Στεργιάκη Σπύ-

ρου) Αθήνα Εκδόσεις Κάτοπτρο

[16] Ρίζος Γ (2005) Οι περιπέτειες του Προβλήmicroατος στα σχολικά Μαθηmicroατικά

Θεσσαλονίκη Εκδόσεις Μαθηmicroατική Βιβλιοθήκη

[17] Spivak Michael (1991) ∆ιαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισmicroός (microτφ Γιαν-

νόπουλου Απ) Ηράκλειο Πανεπιστηmicroιακές Εκδόσεις Κρήτης

24

Μια πρόταση

Έστω f και g δυο συναρτήσεις συνεχείς στο διάστηmicroα [ ]αβ για τις

οποίες ισχύει ( ) ( )f x g xgt για κάθε [ ]x αβisin

Υπάρχει πάντοτε θετικός r τέτοιος ώστε ( ) ( )f x g x rgt + για κάθε

[ ]x αβisin

Ένα ερώτηmicroα

Ποιος προβληmicroατισmicroός γεωmicroετρικής υφής θα microπορούσε να microας οδη-

γήσει στη διατύπωση της παραπάνω πρότασης

Απόδειξη της πρότασης

Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) ( )h x f x g x= minus [ ]x αβisin

Η h είναι συνεχής microε θετικές τιmicroές στο [ ]αβ οπότε θα παρουσιάζει

ελάχιστο έστω ίσο microε m mgt0

Άρα ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m mh x m f x g x m f x g x

2 2ge rArr minus ge gt rArr gt +

Οπότε ( ) ( )f x g x rgt + m

r2= microε ( )r 0misin

Σηmicroείωση

Τα παραδείγmicroατα microαθηmicroατικών που συmicroπεριέλαβα στο παρόν άρθρο ανα-

πτύχθηκαν και σε οmicroιλία microου στην Ελληνογαλλική Σχολή Καλαmicroαρί της

Θεσσαλονίκης (27 Φεβρουαρίου 2016) microε θέmicroα τα Ποιοτικά Χαρακτηριστι-

κά στη ∆ιδασκαλία των Μαθηmicroατικών Επίσης κάποια από αυτά χρησιmicroο-

ποιήθηκαν σε σεmicroινάριο ∆ιδακτικής Μαθηmicroατικών που ανέπτυξα στα Τρί-

καλα (5 και 12 Απριλίου 2016)

Αφιέρωση

Το άρθρο αυτό αφιερώνεται στη microνήmicroη του Νίκου Κλαουδάτου καθηγητή

microου κατά τα έτη 2000-2002 στο ΠΜΣ της ∆ιδακτικής και Μεθοδολογίας

των Μαθηmicroατικών στο Τmicroήmicroα Μαθηmicroατικών του ΕΚΠΑ

25

Βιβλιογραφικές αναφορές

Ξενόγλωσσες

[1] Cobb P Wood T Yackel E amp McNeal B (1992) Characteristics of clas-

room mathematics traditions An interactional analysis American Educa-

tional Research Journal 29 573-604

[2] Cobb P amp Steffe L P (1993) The constructivist researcher as the teacher

and model builder Journal for Research in Mathematics Education vol 14

pp 83-94

[3] Eisenberg T amp Dreyfus T On the reluctance to visualize in Mathematics in

Zimmerman W amp Cunnigham S (Eds) 1991 Visualization in teaching

and learning mathematics p 25-37 MAA notes no 19 Mathematical Asso-

ciation of America

[4] Vinner S Visual considerations in College Calculus ndash Students and Teach-

ers in Vermandel A amp Steiner Hans-Georg (Eds) 1988 Theory of mathe-

matics Educations (Proceeding of the third international conferens Andwerp

11-15 July 1988) p 109-116

[5] Year Book 2001 The Roles of Representation in School Mathematics Na-

tional Council of Teachers of Mathematics

Ελληνόγλωσσες

[6] Ανδρεαδάκης Σ Κατσαργύρης Β Μέτης Σ Μπρουχούτας Κ Παπα-

σταυρίδης Σ και Πολύζος Γ (2015) Μαθηmicroατικά Γ΄ Γενικού Λυκείου Οmicroά-

δας Προσανατολισmicroού Θετικών Σπουδών και Σποδών Οικονοmicroίας amp Πληρο-

φορικής Αθήνα ΙΕΠ amp ΙΤΥΕ ∆ιόφαντος

[7] Κατσαργύρης Β Μεντής Κ Παντελίδης Γ και Σουρλάς Κ (1994) Μα-

θηmicroατικά Γ΄ Λυκείου ndash Ανάλυση Αθήνα ΟΕ∆Β

[8] Κλαουδάτος Ν (2011) Σηmicroειώσεις ∆ιδακτικής Μαθηmicroατικών 1) Εισαγωγή

στη γνωσιακή θεωρία 2) Βασικές αρχές της θεωρίας Vygotsky Μεταπτυχιακό

Πρόγραmicromicroα Σπουδών ∆ιδακτικής και Μεθοδολογίας των Μαθηmicroατικών

Τmicroήmicroα Μαθηmicroατικών ΕΚΠΑ

[9] Κλαουδάτος Ν (2011) Σηmicroειώσεις ∆ιδακτικής Μαθηmicroατικών 1) ∆ιδασκαλία

και microάθηση των microαθηmicroατικών microε διαδικασίες επίλυσης προβληmicroάτων 2) Εισα-

γωγή στη Θεωρία της ∆ιδασκαλίας Μεταπτυχιακό Πρόγραmicromicroα Σπουδών ∆ιδα-

κτικής και Μεθοδολογίας των Μαθηmicroατικών Τmicroήmicroα Μαθηmicroατικών ΕΚΠΑ

26

[10] Μάκρας Στρ Γεωmicroετρική εποπτεία και απόδειξη άρθρο στο περιοδικό Ευ-

κλείδης Β΄ τχ 25 (Ιούλιος-Αύγουστος-Σεπτέmicroβριος 1997) σσ 11-17 Αθήνα

Έκδοση της ΕΜΕ

[11] Νεγρεπόντης Σ Γιωτόπουλος Σ amp Γιαννακούλιας Ε (2000) Απειροστικός

Λογισmicroός τόmicroος IIα Αθήνα Εκδόσεις Συmicromicroετρία

[12] Ντρίζος ∆ (2002) Πλεονεκτήmicroατα της γεωmicroετρικής αναπαράστασης των microα-

θηmicroατικών εννοιών Η απόδειξη του θεωρήmicroατος της Μέσης Τιmicroής του διαφο-

ρικού λογισmicroού για συναρτήσεις microιας ή δύο πραγmicroατικών microεταβλητών Ευκλεί-

δης Γ΄ τχ 77 (Ιούλιος-∆εκέmicroβριος 2012) σσ 31-45 Αθήνα Έκδοση της

ΕΜΕ

[13] Ντρίζος ∆ Τα βασικά θεωρήmicroατα του ∆ιαφορικού Λογισmicroού άρθρο στο περι-

οδικό Ευκλείδης Γ΄ τχ 70 (Ιανουάριος-Ιούνιος 2009) σσ 5-23 Αθήνα Έκδο-

ση της ΕΜΕ

[14] Ντρίζος ∆ ∆ιδακτική Αξιοποίηση Προβληmicroάτων Επαγωγικής Συλλογιστικής

στο Πλαίσιο Ανάπτυξης Ιδεών του G Polya άρθρο στο περιοδικό Ευκλείδης

Γ΄ τχ 73 (Ιούλιος-∆εκέmicroβριος 2010) σσ 29-48 Αθήνα Έκδοση της ΕΜΕ

[15] Polya G (2001) Η Μαθηmicroατική Ανακάλυψη τόmicroος 1 (microτφ Στεργιάκη Σπύ-

ρου) Αθήνα Εκδόσεις Κάτοπτρο

[16] Ρίζος Γ (2005) Οι περιπέτειες του Προβλήmicroατος στα σχολικά Μαθηmicroατικά

Θεσσαλονίκη Εκδόσεις Μαθηmicroατική Βιβλιοθήκη

[17] Spivak Michael (1991) ∆ιαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισmicroός (microτφ Γιαν-

νόπουλου Απ) Ηράκλειο Πανεπιστηmicroιακές Εκδόσεις Κρήτης

25

Βιβλιογραφικές αναφορές

Ξενόγλωσσες

[1] Cobb P Wood T Yackel E amp McNeal B (1992) Characteristics of clas-

room mathematics traditions An interactional analysis American Educa-

tional Research Journal 29 573-604

[2] Cobb P amp Steffe L P (1993) The constructivist researcher as the teacher

and model builder Journal for Research in Mathematics Education vol 14

pp 83-94

[3] Eisenberg T amp Dreyfus T On the reluctance to visualize in Mathematics in

Zimmerman W amp Cunnigham S (Eds) 1991 Visualization in teaching

and learning mathematics p 25-37 MAA notes no 19 Mathematical Asso-

ciation of America

[4] Vinner S Visual considerations in College Calculus ndash Students and Teach-

ers in Vermandel A amp Steiner Hans-Georg (Eds) 1988 Theory of mathe-

matics Educations (Proceeding of the third international conferens Andwerp

11-15 July 1988) p 109-116

[5] Year Book 2001 The Roles of Representation in School Mathematics Na-

tional Council of Teachers of Mathematics

Ελληνόγλωσσες

[6] Ανδρεαδάκης Σ Κατσαργύρης Β Μέτης Σ Μπρουχούτας Κ Παπα-

σταυρίδης Σ και Πολύζος Γ (2015) Μαθηmicroατικά Γ΄ Γενικού Λυκείου Οmicroά-

δας Προσανατολισmicroού Θετικών Σπουδών και Σποδών Οικονοmicroίας amp Πληρο-

φορικής Αθήνα ΙΕΠ amp ΙΤΥΕ ∆ιόφαντος

[7] Κατσαργύρης Β Μεντής Κ Παντελίδης Γ και Σουρλάς Κ (1994) Μα-

θηmicroατικά Γ΄ Λυκείου ndash Ανάλυση Αθήνα ΟΕ∆Β

[8] Κλαουδάτος Ν (2011) Σηmicroειώσεις ∆ιδακτικής Μαθηmicroατικών 1) Εισαγωγή

στη γνωσιακή θεωρία 2) Βασικές αρχές της θεωρίας Vygotsky Μεταπτυχιακό

Πρόγραmicromicroα Σπουδών ∆ιδακτικής και Μεθοδολογίας των Μαθηmicroατικών

Τmicroήmicroα Μαθηmicroατικών ΕΚΠΑ

[9] Κλαουδάτος Ν (2011) Σηmicroειώσεις ∆ιδακτικής Μαθηmicroατικών 1) ∆ιδασκαλία

και microάθηση των microαθηmicroατικών microε διαδικασίες επίλυσης προβληmicroάτων 2) Εισα-

γωγή στη Θεωρία της ∆ιδασκαλίας Μεταπτυχιακό Πρόγραmicromicroα Σπουδών ∆ιδα-

κτικής και Μεθοδολογίας των Μαθηmicroατικών Τmicroήmicroα Μαθηmicroατικών ΕΚΠΑ

26

[10] Μάκρας Στρ Γεωmicroετρική εποπτεία και απόδειξη άρθρο στο περιοδικό Ευ-

κλείδης Β΄ τχ 25 (Ιούλιος-Αύγουστος-Σεπτέmicroβριος 1997) σσ 11-17 Αθήνα

Έκδοση της ΕΜΕ

[11] Νεγρεπόντης Σ Γιωτόπουλος Σ amp Γιαννακούλιας Ε (2000) Απειροστικός

Λογισmicroός τόmicroος IIα Αθήνα Εκδόσεις Συmicromicroετρία

[12] Ντρίζος ∆ (2002) Πλεονεκτήmicroατα της γεωmicroετρικής αναπαράστασης των microα-

θηmicroατικών εννοιών Η απόδειξη του θεωρήmicroατος της Μέσης Τιmicroής του διαφο-

ρικού λογισmicroού για συναρτήσεις microιας ή δύο πραγmicroατικών microεταβλητών Ευκλεί-

δης Γ΄ τχ 77 (Ιούλιος-∆εκέmicroβριος 2012) σσ 31-45 Αθήνα Έκδοση της

ΕΜΕ

[13] Ντρίζος ∆ Τα βασικά θεωρήmicroατα του ∆ιαφορικού Λογισmicroού άρθρο στο περι-

οδικό Ευκλείδης Γ΄ τχ 70 (Ιανουάριος-Ιούνιος 2009) σσ 5-23 Αθήνα Έκδο-

ση της ΕΜΕ

[14] Ντρίζος ∆ ∆ιδακτική Αξιοποίηση Προβληmicroάτων Επαγωγικής Συλλογιστικής

στο Πλαίσιο Ανάπτυξης Ιδεών του G Polya άρθρο στο περιοδικό Ευκλείδης

Γ΄ τχ 73 (Ιούλιος-∆εκέmicroβριος 2010) σσ 29-48 Αθήνα Έκδοση της ΕΜΕ

[15] Polya G (2001) Η Μαθηmicroατική Ανακάλυψη τόmicroος 1 (microτφ Στεργιάκη Σπύ-

ρου) Αθήνα Εκδόσεις Κάτοπτρο

[16] Ρίζος Γ (2005) Οι περιπέτειες του Προβλήmicroατος στα σχολικά Μαθηmicroατικά

Θεσσαλονίκη Εκδόσεις Μαθηmicroατική Βιβλιοθήκη

[17] Spivak Michael (1991) ∆ιαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισmicroός (microτφ Γιαν-

νόπουλου Απ) Ηράκλειο Πανεπιστηmicroιακές Εκδόσεις Κρήτης

26

[10] Μάκρας Στρ Γεωmicroετρική εποπτεία και απόδειξη άρθρο στο περιοδικό Ευ-

κλείδης Β΄ τχ 25 (Ιούλιος-Αύγουστος-Σεπτέmicroβριος 1997) σσ 11-17 Αθήνα

Έκδοση της ΕΜΕ

[11] Νεγρεπόντης Σ Γιωτόπουλος Σ amp Γιαννακούλιας Ε (2000) Απειροστικός

Λογισmicroός τόmicroος IIα Αθήνα Εκδόσεις Συmicromicroετρία

[12] Ντρίζος ∆ (2002) Πλεονεκτήmicroατα της γεωmicroετρικής αναπαράστασης των microα-

θηmicroατικών εννοιών Η απόδειξη του θεωρήmicroατος της Μέσης Τιmicroής του διαφο-

ρικού λογισmicroού για συναρτήσεις microιας ή δύο πραγmicroατικών microεταβλητών Ευκλεί-

δης Γ΄ τχ 77 (Ιούλιος-∆εκέmicroβριος 2012) σσ 31-45 Αθήνα Έκδοση της

ΕΜΕ

[13] Ντρίζος ∆ Τα βασικά θεωρήmicroατα του ∆ιαφορικού Λογισmicroού άρθρο στο περι-

οδικό Ευκλείδης Γ΄ τχ 70 (Ιανουάριος-Ιούνιος 2009) σσ 5-23 Αθήνα Έκδο-

ση της ΕΜΕ

[14] Ντρίζος ∆ ∆ιδακτική Αξιοποίηση Προβληmicroάτων Επαγωγικής Συλλογιστικής

στο Πλαίσιο Ανάπτυξης Ιδεών του G Polya άρθρο στο περιοδικό Ευκλείδης

Γ΄ τχ 73 (Ιούλιος-∆εκέmicroβριος 2010) σσ 29-48 Αθήνα Έκδοση της ΕΜΕ

[15] Polya G (2001) Η Μαθηmicroατική Ανακάλυψη τόmicroος 1 (microτφ Στεργιάκη Σπύ-

ρου) Αθήνα Εκδόσεις Κάτοπτρο

[16] Ρίζος Γ (2005) Οι περιπέτειες του Προβλήmicroατος στα σχολικά Μαθηmicroατικά

Θεσσαλονίκη Εκδόσεις Μαθηmicroατική Βιβλιοθήκη

[17] Spivak Michael (1991) ∆ιαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισmicroός (microτφ Γιαν-

νόπουλου Απ) Ηράκλειο Πανεπιστηmicroιακές Εκδόσεις Κρήτης