1

การเขี�ยนโปรแกรมภาษาการเขี�ยนโปรแกรมภาษา คอมพิ�วเตอร� คอมพิ�วเตอร�11

Lec07Lec07 : : [[ ขี�อม�ลชน�ด Array การทำ�างานก�บ เมตร�กซ์� ]Last Update :: 06/11/2551

โดย อ . น�ฐพิงศ์� ส่%งเน�ยมhttp://www.siam2dev.comxnattapong@hotmail.comxnattapong2002@yahoo.com

2

อาเรย์� (Array)• คื�อกลุ่��มของจำ�านวนที่��ถู�กเก�บอย์�างม�โคืรงสร�าง

321 aaa 321 aaa

3

2

1

a

a

a

3

2

1

a

a

a

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

เวกเตอร�แถว (Row Vector)

เวกเตอร�แถว (Row Vector)

เวกเตอร�คอล�มน� (Column Vector)

เวกเตอร�คอล�มน� (Column Vector)

อาเรย�ส่องม�ต� หร(อ เมตร�กซ์� (Matrix)

อาเรย�ส่องม�ต� หร(อ เมตร�กซ์� (Matrix)

3

การคื�านวณระหว�างอาเรย์�ก"บอาเรย์�

• การคื�านวณระหว�างอาเรย์�ก"บอาเรย์� ไม�ว�าจำะเป็%นการ บวก ลุ่บ คื�ณหร�อหาร

– จำ�านวน Element ขีองอาเรย�จำะต�องม�ขีนาด เทำ%าก�น

– การค�านวณระหว%างอาเรย�จำะกระทำ�าระหว%าง Element ต%อ Element

• การคื�ณ การหาร การย์กก�าลุ่"ง แบบอาเรย์�น"'นจำะน�าเอา Element ณ ตำ�าแหน�งเดี�ย์วก"นของสองอาเรย์�มาที่�าการคื�ณ หาร หร�อ ย์กก�าลุ่"งก"น

• ตำ�องใช้� *. ./ .\ .^ เพื่��อให�ตำ�างไป็จำากการคื�ณหารแบบเมตำร-กซ์�

4

เมตำร-กซ์�• คื�ออาเรย์�ข�อม�ลุ่สองม-ตำ-• การบวกแลุ่ะการลุ่บเมตำร-กซ์�ม�ลุ่"กษณะเช้�น

เดี�ย์วก"นก"บการบวกแลุ่ะลุ่บของอาเรย์�• เมตำร-กซ์�ที่��น�ามาบวกหร�อลุ่บก"นตำ�องเป็%นเมตำร-

กซ์�ที่��ม�ขนาดีเที่�าก"น• การคื�ณแลุ่ะการหารของเมตำร-กซ์�แตำกตำ�างจำาก

การคื�ณแลุ่ะหารของอาเรย์�

5

การคื�ณเมตำร-กซ์�• ใช้�เคืร��องหมาย์* • การคื�ณก"นของเมตำร-กซ์� A แลุ่ะ เมตำร-กซ์� B

จำ�านวนคือลุ่"มน�ของ A จำะตำ�องเที่�าก"บจำ�านวน แถูวของ B

• ถู�าเมตำร-กซ์� A ม�ขนาดี m p แลุ่ะเมตำร-กซ์� B ม�ขนาดี p n ผลุ่ลุ่"พื่ธ์�ของการคื�ณระหว�างเม

ตำร-กซ์� A แลุ่ะ B จำะม�ขนาดี m n• โดีย์ป็กตำ- AB จำะม�คื�าไม�เที่�าก"บ BA

6

เมทำร�กซ์� (matrix) (pl. matrices)

เมที่ร-กซ์�เป็%นร�ป็แบบหน2�งของคืณ-ตำศาสตำร� ซ์2�งม"นถู�กเข�ย์นอย์��ในร�ป็

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a a a

a a a

a a a

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a a a

a a a

a a a

หร�อ

7

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a a a

a a a

a a a

เราใช้�ส"ญลุ่"กษณ� aij แที่นส�วนป็ระกอบ (component) ในหลุ่"ก i แถูว j โดีย์ aij อาจำจำะเป็%นจำ�านวนน"บ จำ�านวนเตำ�ม

หร�อจำ�านวนจำร-ง ก�ไดี�

m แถูว (row)

n หลุ่"ก(หร�อสดีมภ์� ) (column)

8

เราเร�ย์กเมที่ร-กซ์�ที่��ม�จำ�านวนหลุ่"ก m หลุ่"กแลุ่ะแถูว n แถูว ว�าเมที่ร-กซ์�ขนาดี mxn (m by n matrix)

aเป็%นเมที่ร-กซ์�ขนาดี a bเป็%นเมที่ร-กซ์�ขนาดีa

b

เป็%นเมที่ร-กซ์�ขนาดี

a b c d

e f g h

i j k l

เป็%นเมที่ร-กซ์�ขนาดี

9

การเทำ%าก�นขีองเมทำร�กซ์�11 12 111 12 1

21 22 221 22 2

1 21 2

qn

qn

p p pqm m mn

b b ba a a

b b ba a a

b b ba a a

เมที่ร-กซ์� 2 เมที่ร-กซ์�จำะเที่�าก"นไดี�ก�ตำ�อเม��อ1. เมที่ร-กซ์�ที่"'งสองม�ขนาดีเที่�าก"น ,m p n q

2. แตำ�ลุ่ะส�วนป็ระกอบที่��ป็ระจำ�าหลุ่"กแลุ่ะแถูวเดี�ย์วก"น ตำ�องม�คื�าเที่�าก"น ij ija b

10

2

1

x

y

1 2

3 4 3 4

x y

0 2 0 1

3 5 4

p r

q s t

11

การบวกและลบก�นขีองเมทำร�กซ์� การบวกแลุ่ะลุ่บก"นของเมที่ร-กซ์� 2 เมที่ร-กซ์�จำะที่�าไดี�

ก�ตำ�อเม��อ เมทำร�กซ์�ทำ�,ง 2 ม�ขีนาดเด�ยวก�นแลุ่ะผลุ่ลุ่"พื่ที่�ที่��ไดี�เป็%นเมที่ร-กซ์�ที่��ม�ขีนาดเทำ%าเด�ม แลุ่ะ

แตำ�ลุ่ะส�วนป็ระกอบม�คื�าเที่�าก"นก"บ ผลุ่รวม (หร�อผลุ่ตำ�าง)ของส�วนป็ระกอบของเมที่ร-กซ์�ที่"'งสองที่��อย์��แถูวแลุ่ะหลุ่"กเดี�ย์วก"น

12

11 12 111 12 1

21 22 221 22 2

1 21 2

qn

qn

p p pqm m mn

b b ba a a

b b ba a a

b b ba a a

11 11 12 12 1 1

21 21 22 22 2 2

1 1 2 2

n n

n n

m m m m mn mn

a b a b a b

a b a b a b

a b a b a b

13

11 12 111 12 1

21 22 221 22 2

1 21 2

qn

qn

p p pqm m mn

b b ba a a

b b ba a a

b b ba a a

11 11 12 12 1 1

21 21 22 22 2 2

1 1 2 2

n n

n n

m m m m mn mn

a b a b a b

a b a b a b

a b a b a b

14

ค-ณส่มบ�ต�บางประการขีองเมทำร�กซ์� ถู�าให� A,B แลุ่ะ C แที่นเมที่ร-กซ์�ที่��ม�ขนาดี mxn แลุ่�ว

1.A B B A (สลุ่"บที่��การบวก)

2. A B C A B C (เป็ลุ่��ย์นกลุ่��มการบวก)

3. A A A (เอกลุ่"กษณ�การบวก)

เม��อ0 0 0

0 0 0

0 0 0

m แถูว

n หลุ่"ก

15

4. ( )A A (ผกผ"นการบวก)

น"'นคื�อถู�า

แลุ่�ว

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a a a

a a aA

a a a

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a a a

a a aA

a a a

16

5.การคื�ณเมที่ร-กซ์�ดี�วย์จำ�านวนจำร-งน"'นคื�อถู�า

แลุ่�ว

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a a a

a a aA

a a a

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a a a

a a aA

a a a

17

การค�ณเมทำร�กซ์� ถู�า A เป็%นเมที่ร-กซ์�ขนาดี mxnB เป็%นเมที่ร-กซ์�ขนาดี pxq

เราจำะหาผลุ่คื�ณของเมที่ร-กซ์� A แลุ่ะ B ไดี�โดีย์AB

BA

18

ข�อส"งเกตำ

m n p qA B C

19

ส"งเกตำว�าในการคื�ณเมที่ร-กซ์�ไม%สามารถูสลุ่"บที่��ไดี�AB BA

แตำ�ว�าในการคื�ณ เมที่ร-กซ์�ย์"งคืงสามารถูเป็ลุ่��ย์นกลุ่��มไดี� A BC AB C

20

ส่ร-ปการค�ณเมทำร�กซ์�m n n p m pA B C 1.

2. AB BA

3. A BC AB C

A(B+C) = AB+AC(B+C)A = BA+CA

4. แลุ่ะ

21

เมทำร�กซ์�จำ�ต-ร�ส่ (square matrix)

เมที่ร-กซ์�คื�อเมที่ร-กซ์�ที่��ม�จำ�านวนของหลุ่"ก เที่�าก"นก"บจำ�านวนแถูว

เมที่ร-กซ์�ดี"งกลุ่�าวน�' จำะม�บที่บาที่มากในการหาผลุ่เฉลุ่ย์ของสมการ

n nA

22

เมทำร�กซ์�ทำแยงม-ม (diagonal matrix)

เมที่ร-กซ์�คื�อเมทำร�กซ์�จำ�ต-ร�ส่ ที่��ม�สมาช้-กในแถูวที่�� i หลุ่"กที่�� j หร�อ aij ม�คื�าเป็%น 0 เม��อi j

11

22

0 0

0 0

0 0 nn

a

a

a

23

พื่-จำารณาว�าเมที่ร-กซ์�ใดีตำ�อไป็น�'เป็%นเมที่ร-กซ์�จำ"ตำ�ร"ส หร�อเมที่ร-กซ์�ที่แย์งม�ม

2 0

0 5

2 3

4 5

2 0

0 1

0 0

24

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

25

เราเร�ย์กเมที่ร-กซ์�ที่แย์งม�ม ที่��ม�สมาช้-กในแนวที่แย์งเป็%น 1 ที่"'งหมดีว�าเมที่ร-กซ์�เอกลุ่"กษณ� (identity matrix)

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I

26

ส"งเกตำว�าเมที่ร-กซ์�เอกลุ่"กษณ�ขนาดี nxn คื�ณก"บเมที่ร-กซ์� ขนาดี nxn ใดีๆ จำะไดี�เมที่ร-กซ์�น"'นเสมอ

AI IA A

ที่�าไม?

27

2 3

4 5A

จำงหาคื�า A2 เม��อ แลุ่ะ A2 =AA

28

หมาย์เหตำ�n

n times

A AA A

29

2 0

0 5A

จำงหาคื�า A4 เม��อ

30

ทำฤษฎี�บทำ ถู�า A เป็%นเมที่ร-กซ์�ที่แย์งม�ม11

22

0 0

0 0

0 0 nn

a

aA

a

แลุ่�ว

11

22

0 0

0 0

0 0

n

n

n

n

nn

a

aA

a

31

2 0

0 5A

จำงหาคื�า A10 เม��อ

32

เราพื่บว�าสามารถูบวก ลุ่บ เมที่ร-กซ์�ไดี� ซ์2�งม�ร�ป็แบบคืลุ่�าย์ คืลุ่2งก"บการบวก แลุ่ะ ลุ่บ ของจำ�านวนจำร-ง

ส�าหร"บการคื�ณเมที่ร-กซ์� ม�คืวามแตำกตำ�างก"นก"บการคื�ณ จำ�านวนจำร-ง ซ์12งไม%จำ�านวนว%าเมทำร�กซ์� 2 ค%าจำะค�ณก�นได�

เส่มอไป แลุ่ะการคื�ณเมที่ร-กซ์�ไม�สามารถูสลุ่"บที่��ไดี�

แลุ่ะเราไม%ม�การหารเมทำร�กซ์�

33

ผกผ�นการค�ณขีองเมทำร�กซ์� ส"งเกตำไดี�ว�าส�าหร"บเมที่ร-กซ์�จำ"ตำ�ร"ส เม��อน�าไป็คื�ณก"บเมที่ร-กซ์�

เอกลุ่"กษณ�ก�จำะไดี�เมที่ร-กซ์�น"'นเสมอAI IA A

แลุ่ะส�าหร"บเมที่ร-กซ์� A ใดีๆ น"'น เราตำ�องการหาเมที่ร-กซ์�ซ์2�งAB BA I

ถู�าเราหาเมที่ร-กซ์�น"'นเจำอ เราจำะเร�ย์กเมที่ร-กซ์�ดี"งกลุ่�าวว�า ผกผ�นการค�ณขีองเมทำร�กซ์� A หร(อ A-1

34

การที่��จำะบอกว�าจำะสามารถูหาผกผ"นการคื�ณของเมที่ร-กซ์� ไดี�หร�อไม�น"'น เราจำะพื่-จำารณาผ�านตำ"วก�าหนดีของเมที่ร-กซ์�

(determinant of a matrix) แลุ่ะเราใช้�ส"ญลุ่"กษณ�

det( )A หร�อ11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a a a

a a a

a a a

แที่นตำ"วก�าหนดีของเมที่ร-กซ์�น"'น

35

ตำ"วก�าหนดีของเมที่ร-กซ์�ขนาดี 2x2

a bad bc

c d

1 2

3 4

36

2 0

0 5A

จำงหาคื�า det(A) เม��อ

37

ส"งเกตำว�าเมที่ร-กซ์�ที่แย์งม�มม�คื�าก�าหนดี (determinant) คื�อผลุ่คื�ณของสมาช้-กในแนวที่แย์งม�ม

11

2211 22

0 0

0 0

0 0

nn

nn

a

aa a a

a

38

ทำฤษฎี�บทำ เมที่ร-กซ์�จำ"ตำ�ร"สใดีๆ จำะม�เมที่ร-กซ์�ผกผ"น ก�ตำ�อเม��อ เมที่ร-กซ์�น"'น ม�คื�าก�าหนดี (determinant) ไม�เป็%นศ�นย์�

39

ผกผ�นการค�ณขีองเมทำร�กซ์� 2x2a b

Ac d

ผกผ"นการคื�ณของเมที่ร-กซ์�

คื�อ 1 1

det( )

d bA

c aA

หร�อ 1 1 d bA

c aad bc

40

จำงหาผกผ"นการคื�ณของเมที่ร-กซ์�1 2

3 4

ผกผ"นการคื�ณของเมที่ร-กซ์�คื�อ

41

จำงหาผกผ"นการคื�ณของเมที่ร-กซ์�1 1

2 2

42

การหาผลุ่เฉลุ่ย์ของระบบสมการโดีย์ผกผ"นการคื�ณของเมที่ร-กซ์�

ระบบสมการ 1 1 1

2 2 2

a x b y c

a x b y c

สามารถูถู�กเข�ย์น

ในร�ป็เมที่ร-กซ์�ไดี�เป็%น 1 1 1

2 2 2

a b cx

a b cy

43

1 1 1

2 2 2

a b cx

a b cy

เราสามารถูพื่-จำารณาระบบสมการในร�ป็เมที่ร-กซ์�ไดี�เป็%นAX B

1 1 1

2 2 2

a b cx

A X Ba b cy

44

1 1A AX A B

เราพื่บว�า AX B

1 1A A X IX X A B

45

2x y

0x y

จำงหาผลุ่เฉลุ่ย์ของระบบสมการ

46

2 3 7x y

1x y

จำงหาผลุ่เฉลุ่ย์ของระบบสมการ

47

กฎีขีองเครเมอร� (Cramer’s rule)

เคืรเมอร�ไดี�น�าเสนอว-ธ์�การหาผลุ่เฉลุ่ย์ของระบบสมการอย์�างม�ระบบคื�อส�าหร"บระบบสมการเช้-งเส�น

a b x

c d y

48

a b x

c c y

b

dx

a b

c d

a

by

a b

c d

49

2 3 7x y 1y x

จำงหาผลุ่เฉลุ่ย์ของระบบสมการ

50

โป็รแกรม TestArray ออกแบบหน�าจำอ ด�งร�ป ออกแบบหน�าจำอ ด�งร�ป

LbRow

LbCol

LbArray

TxtRow

TxtCol

BtnOK

BtnCancel

51

If TxtRow.Text = "" Or TxtCol.Text = "" Then MsgBox("กร-ณาป4อนต�วเลขีด�วย") Exit Sub Else Dim row As Int16 = TxtRow.Text Dim col As Int16 = TxtCol.Text Dim k(row - 1, col - 1) As Int16 For i As Int16 = 0 To row - 1 For j As Int16 = 0 To col - 1 Randomize() k(i, j) = Int(Rnd() * 9 + 1) LbArray.Text &= k(i, j) & " " Next j LbArray.Text &= vbCrLf Next i End If

โป็รแกรม TestArrayด�ลเบ�,ลคล�กทำ�2ป-5ม ด�ลเบ�,ลคล�กทำ�2ป-5ม OK OK แล�วเขี�ยนค�าส่�2งด�งน�,แล�วเขี�ยนค�าส่�2งด�งน�,

Private Sub Private Sub BtnOK_Click(ByVBtnOK_Click(ByVal sender As al sender As System.Object, System.Object, ByVal e As ByVal e As System.EventArSystem.EventArgs) Handles gs) Handles BtnOK.ClickBtnOK.Click

........End subEnd sub

52

If TxtRow.Text = "" Or TxtCol.Text = "" Then MsgBox("กร-ณาป4อนต�วเลขีด�วย") Exit Sub Else Dim row As Int16 = TxtRow.Text Dim col As Int16 = TxtCol.Text Dim k(row - 1, col - 1) As Int16 For i As Int16 = 0 To row - 1 For j As Int16 = 0 To col - 1 Randomize() k(i, j) = Int(Rnd() * 9 + 1) LbArray.Text &= k(i, j) & " " Next j LbArray.Text &= vbCrLf Next i End If

53

ผลุ่การ RUN โป็รแกรม TestArray

54

Array ใน VB.NET2005

• การป็ระกาศ Array 1 ม-ตำ-– Dim A() as Int16– Dim A(10) AS INT16– Dim B(2) as string

• การป็ระกาศ Array 2 ม-ตำ-– Dim A(2,2) as int16– Dim B(3,3) as String– Dim MyArr(4,4) as int32

55

44 88 22 1010 2525

Arr1(1) = 4 Arr1(2) = 8 Arr1(3) = 2 Arr1(4) = 10 Arr1(5) = 25

Arr(0)Arr(0)

Array 1 Array 1 dimensiondimension

56

A =

57

1 5 16Dim Arr ( ) As Int 1 5 16Dim Arr ( ) As Int 4 11 4 4 11 4 : : 1 2 8Arr ( ) = 1 2 8Arr ( ) = : : 1 3 2Arr ( ) = 1 3 2Arr ( ) =

: : 14 10 14 10 : : 1 5 25Arr ( ) = 1 5 25Arr ( ) = 4444444. = 4444444. =

- 16 1 1Dim ArrSize As Int = Arr .Length - 16 1 1Dim ArrSize As Int = Arr .Length 4 4 44 44444441 6= 1 4 4 44 44444441 6= 1 LbArray.Text &= Arr1(i) & " " LbArray.Text &= Arr1(i) & " " 4 444 44 444 4 233 16DimArr ( , )AsInt 233 16DimArr ( , )AsInt 2 1 1 5 2 1 2 10 2 1 3Arr ( , ) = : Arr ( , ) = : Arr ( , ) = 2 1 1 5 2 1 2 10 2 1 3Arr ( , ) = : Arr ( , ) = : Arr ( , ) =1515

2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3Arr ( , ) = : Arr ( , ) = : Arr ( , ) = 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3Arr ( , ) = : Arr ( , ) = : Arr ( , ) = 2 3 1 2 2 3 2 2 2 3 3 2Arr ( , ) = : Arr ( , ) = : Arr ( , ) = 2 3 1 2 2 3 2 2 2 3 3 2Arr ( , ) = : Arr ( , ) = : Arr ( , ) = LbArray2.Text = Nothing LbArray2.Text = Nothing 16 1 3For row As Int = To 16 1 3For row As Int = To 16 1 3For col As Int = To 16 1 3For col As Int = To LbArray2.Text &= Arr2(row, col) & " " LbArray2.Text &= Arr2(row, col) & " " Next col Next col LbArray2.Text &= vbCrLf LbArray2.Text &= vbCrLf 4 444 4444 444 444

58

•5A•2A