מציאת צורה של מבני Tensegrity

1

מציאת צורה של מבני Tensegrity

מציג : אסף כץ

הפרויקט בוצע בהנחיית ד"ר עופר שי

אוניברסיטת תל אביבהפקולטה להנדסה ע"ש איבי ואלדר פליישמן

המחלקה למכניקה, חומרים ומערכות

2

ראשי פרקים

מבוא•

? Tensegrityמהן מערכות –

רקע, היסטוריה ויישומים–

:Tensegrity( של מבני Form-Findingמציאת צורה )•

שיטות גרפיות:–

Guzmanשיטת •

Hennenbergטרנספורמציית •

שיטות קינמטיות–

שיטות סטטיות–

מסקנות וכיווני מחקר אפשריים•

3

? Tensegrityמהן מערכות

Tension + Integrity = TensegrityFuller, 1975

מבוא

4

הגדרות

הם מבנים הנוצרים על ידי Tensegrityמבני •

שילוב של אלמנטים קשיחים הנתונים ללחיצה

( ואלמנטים מחברים הנתונים struts)תומכנים/

למתיחה )כבלים(

רציפות המתיחה :•Tensegrity היא התוצאה המתקבלת כאשר לחיצה ומתיחה

. המתיחה הינה רציפה (integrity)נמצאים באיזון מושלם ומאוזנת ע"י לחיצה בלתי רציפה

(self-stress)מתיחה יוצרת מערכת מתכנסת •הלחיצה- גורם מקשר, מסתעף ולא יציב•

5

הזזת כדור פינג-פונג1.

קרונית נגררת, בעליה ובירידה.2.מבוא

6

.....מעט היסטוריה

מי הממציא ? •• Loganson Karl1921 Study in balance?•Richard Buckminster Fuller )1895-1983(? •K.D. Snenlson )1927- (?

מבוא

7

יישומים

ארכיטקטורה ועיצוב•

תחום החלל•

רובוטיקה•

צבאי- מבנים נפרשים קלי משקל•

רפואה•

מבוא

8

יישומים אפשריים

מבוא

מבוא9

מבוא10

מבוא11

12

)Form- Finding( מציאת צורה

13

Tensegrity מציאת צורה -

להלן יוצגו שיטות "גרפיות" כפתרון מהיר, אם כי לא שלם, •

Tensegrity שיטות של בדיקת יציבות מבנה 7ובהמשך יוצגו

בחלוקה לשתי משפחות:

שיטות קינמטיות–

שיטות סטטיות–

14

שיטות גרפיות

שיטות גרפיות- טכניקות פתרון המאפשרות להוסיף ולחסר •יחידות בסיס של צמתים וקשתות מן הטופולוגיה, ללא שינוי

אופיו של הייצוג הטופולוגי. כלומר :יציבות/ אי-יציבות המבנה לא תשתנה כתוצאה מביצוע פעולות אלה.

חוזקן של השיטות הוא במהירות התכנסותן ובפשטותן.•

חסרון מרכזי הוא חוסר ודאות לגבי יציבות המבנה, והעדר מדד •מדויק לאופטימיזציה במיקום הצמתים.

15

Guzmanשיטת (.2004מאוניברסיטת מדריד ) Miguel de Guzmanמפתח השיטה: •

השיטה מאפשרת :•

משקל.- בשיוויTensegrityלבחון אם טופולוגיה נתונה יכולה לייצג מבנה –

על בסיס הטופולוגיה Tensegrityיישום מספר עקרונות בבנייה של מבנה –)בהכללה, קיימת יותר מאפשרות אחת עבור טופולוגיה נתונה(.

משקל.- בשיוויTensegrityתכנון טופולוגיות חדשות של מבני –

.משקל-בשיווי בניה של מבנים חדשים–

Guzman

16

Guzmanעקרונות שיטת ניתנת לביטוי כסכום Tensegrityטופולוגיה של מבנה •

גרף ) )סופר-פוזיציה( של יחידות בסיס הנקראות "אטומים"(.K4מלא בן ארבעה צמתים-

שני אלמנטים שונים, המחברים בין אותם הצמתים, ניתנים •הכוח באלמנט החדש יהיה סכום הכוחות בשני . לאיחוד

האלמנטים הללו.

(self-stress) הנתונים למאמץ עצמי Tensegrityשני מבני •ניתנים לאיחוד )עם אילוצים מסוימים(. המבנה המאוחד

. במאמץ עצמיTensegrityהמתקבל יהיה אף הוא מבנה

השיטה איננה דנה ביציבות של המבנה אלא רק בסוגיית היותו •כדי לבחון את יציבות המבנה יש להשתמש )בשיווי-משקל.

דוגמת אלה שיוצגו בהמשך(., בשיטות אחרות

A

B

A

B

+

A

B C

D E

F

A

B C

D E

F

A

B C

D E

F

A

B C

D E

F

A

B C

D E

F

Guzman

17

הגדרות

מתיחויות( )ωij על מסגרת הינו אוסף של סקלרים ωמאמץ •

בקשתות.• ωij= ωji .כיוון שהם מתייחסים לאותה הקשת

אם בנוסף יתקיים התנאי הבא: ( self-stress) מאמץ זה יכונה מאמץ עצמי •

סכום הוקטורים הוא אפס., pi כלומר לכל צומת

: Tensegrityובצורה אחרת, קיימים שני תנאים לקיום של מבנה •

הסכום של הווקטורים בכל צומת שווה לאפס.1.

הסכום של שני הווקטורים שרשומים בקצותיו2. של כל אלמנט שווה לאפס.

0pp i,ij קשת

jiij

+

+

-Pi

jipp

Guzman

18

הגדרות

Guzman

הוא מסגרת במאמץ ,)Tensegrity ,T)Pמבנה

הוחלפו בכבל ωij>0 שבהן ijעצמי שבו הקשתות

לא מתיח )קצותיו מאולצים כך שלא יוכלו

ωij<0להתרחק זה מזה(, והקשתות שבהן

בתומכנים שלא ניתנים לכיווץ. קשתות הוחלפו

הוסרו. ωij=0בהן

19

בסיסיות- אטומיםTensegrityיחידות

סוגים של אטומים דו-מימדיים.4•דואליות• רציפות המתיחה•

Guzman

20

Tensegrityפרוק ובניה של מבנה

ניתן לפירוק למספר סופי של Tensegrityכל מבנה •

יחיד.אינוהפירוק של המבנה לאטומים אטומים.

הוכחה :• נתון, נוסיף שרשרת של אטומים במאמצים עצמיים, כך Tensegrityלמבנה

שבכל שלב צומת נוסף הופך לצומת שכל הקשתות המתחברות אליו מקבלות מתיחות אפס.

צמתים d+2בסופו של התהליך תתקבל מסגרת במאמץ עצמי, שבה יש רק שאינם מתאפסים- כלומר אטום.

הוא סכום של אטום זה והאטומים ההפוכים לזה , נראה גם שהמבנה המקורישהשתתפו בתהליך.

Guzman

: פירוק1תאוריה

21


בכל שלב יש רק שני מצבים אפשריים : •

Aבדיוק שלוש קשתות נפגשות בצומת –

Guzman

D

A

B

C

+

A

B

C D

A

B

C D

→

למעלה משלוש קשתות עם מתיחויות שונות מאפס –

D

A

B

C

+

A

B

C D

A

B

C D

→E E E

מאמץ עצמי ייחודי )עדי כדי הכפלה A,B,C,D שצמתיו הם Kלאטום ABבקבוע(. נבחר כך שהוא יהיה הפוך למתיחות בקשת

יהיו AC, AD גם המתיחויות A) (. בגלל שיווי משקל בצומת הפוכות.

Aייתכן שיתווספו קשתות חדשות, אך הן אינן משפיעות על צומת

KKABAB

KAB

: המשך

"תת-שלב" שתכליתו להביא למצב של מפגש שלוש Aקשתות בלבד בצומת

22


כיון שהסכום של מאמצים עצמיים, אף הוא מאמץ עצמי, •ובכל שלב צומת נוסף הופך להיות "צומת אפס" אז לאחר

מספר שלבים סופי נקבל מסגרת במאמץ עצמי בעלת ארבעה

.צמתים בלבד. ובכך סיימנו את תהליך הפירוק

Guzman

: המשך

23


אם נתון צירוף של נקודות, שאין שלוש מהן על קו ישר, • Tensegrityאזי אפשרי לבנות, שלב אחר שלב, מבנה

אשר נקודות אלו הן צמתיו. כל האלמנטים והווקטורים מחושבים שלב אחר שלב.

הוכחה :•–N :נקודות במישור יסומנו A1,A2,A3,…..,AN . וירכיבו אטום.A1,A2,A3,A4אקראית יבחרו – .A1,A2,A3,A5 , תורכב לאטום נוסף שצמתיו הם A5 נקודה חדשה,–האטום החדש יתוסף לקודמו. –

ניתן להמשיך בצורה זו ולהוסיף עוד ועוד צמתים.

Guzman

: 2תאוריה הרכבה

24

Guzmanפרוק ובניה בשיטת דוגמא :

נתונה טופולוגיה המייצגת מבנה מישורי• בשיווי-משקל.Tensegrityיש לבדוק אם טופולוגיה זו יכולה לייצג מבנה •

אם ניתן, יש למקם את הצמתים במישור ולאפיין את הקשתות ככבלים או •מותחנים.

Guzman

דוגמא דו- :מימדית

25


Guzman

26Guzman

!!!K4התקבל אטום לפיכך הטופולוגיה הנתונה בתרגיל מתאימה

Tensegrityלייצוג מבנה

ניתן לבנות את הטופולוגיה המקורית חזרה באמצעות הוספת שני האטומים

שהשתתפו בפירוק


27Guzman

כעת בניה מעשית:

שבו BCEFנגדיר טופולוגיה זו כאטום דו מימדי הצמתים ימוקמו שרירותית במישור )אסור

למקם שלושה צמתים על אותו הישר(. התומכנים מודגשים.

A

B

D

C

F

E

בתהליך הפוך לתהליך הפירוק :

.D שיצרף חזרה את צומת BDEFנוסיף אטום

BCEF שנוספה בפירוק, נקבע BEכדי להיפטר מהקשת BE

BDEFBE

B

D

F

E

?BFאיך נדע את אופיו של

. ABCFלהשלמת תהליך הבניה נוסיף אטום

יעלמו BF, CF יבוצע באופן שבו הקשתות המיותרות Aמיקום צומת כתוצאה מהחיבור

A: תמוקם

BF,CFעל השקול של הכוחות באלמנטים -

Fעל ישר העובר דרך -

לא על ישר המחבר שני צמתים קיימים-


28Guzman

A

B

D

C

F

E

A

F

CB

A: תמוקם

BF,CFעל השקול של הכוחות באלמנטים -

Fעל ישר העובר דרך -

לא על ישר המחבר שני צמתים קיימים-

?BCאיך נדע את אופיו של


29

Guzmanסיכום ביניים

עקרונות בסיסיים:•סכום הווקטורים בכל צומת שווה לאפס.1.

.סכום הווקטורים הרשומים בקצותיו של כל אלמנט שווה לאפס2.

השיטה מאפשרת לבצע בדיקה מהירה לגבי היכולת של טופולוגיה •וכן לבנות טופולוגיות חדשות למבני , Tensegrityמסוימת לייצג מבנה

Tensegrity.תוך שימוש במספר כלים פשוטים

ולבנות Tensegrityהשיטה מאפשרת לממש טופולוגיה נתונה של מבנה •ממנה מבנה ממשי, כלומר למקם את הצמתים ולקבוע את האופי של כל

אלמנט ככבל או תומכן.

מתקבל מבנה בשיווי משקל אך נדרשת הרחבה Guzmanמן התיאוריה של •כדי להוכיח את יציבות מבנה.

Guzman

30

Hennenbergטרנספורמציית

•G)p( היא מסגרת נתונה ב d }, i,j } היא קשת שלG כך ש Pi≠Pj.

3 קשתות אחרות )d+1ונחליף אותה ב , Gנמחק את הקשת מתוך • אשר pkמימדי(, כולן מחוברות לצומת חדש -קשתות במקרה הדו

אך לא מתלכד איתם(. )pjל piממוקם על ישר המחבר את

pjול pi לpk קשתות יחברו את 2 •

•d-1 קשתות יחברו לצמתים אחרים של G .

יוסט ממקומו לנקודת שיווי-משקל.pkצומת •

Hennenberg

i

j

k

i

j

k

i

j

G)p(

31

Hennenbergטרנספורמציית

הנחה: •

מס' הצמתים(, - nקשתות ) n-2 קשיח בעל G כל גרף יכול להתקבל מביצוע של , 3שדרגתו הנמוכה ביותר היא

והכנסת צמתים, כאשר Hennenbergטרנספורמציות . K4מתחילים מגרף

הנחה הופכית:•

קשתות ולקבל בצורה n-2 בעל G ניתן לפעול על גרף יש חשיבות לבחירת הצמתים אותם . K4הפוכה גרף

.Gמפחיתים מגרף

Hennenberg

32

סיכום שיטות גרפיות

תנאי מינימלי לבחינה . eH≥2n-2הינו קיום היחס Hennenbergתנאי הכרחי לשיטת•

כלומר טרנספורמציית . n>4כאשר היחס . eG≥3n/2 הינו Guzmanבשיטת

Hennenberg 4מחייבת שיהיה צומת אחד לפחות שדרגתו בתחילת הפירוק הינה

(. )או יותר

יש חשיבות לסדר הפירוק. פירוק לא נכון עלול להביא Hennenbergבפירוק •

אין חשיבות לסדר הפירוק )למעט שיקולי מהירות Guzmanלכישלון. בשיטת

ההתכנסות(.

לאורך כל שלבי הפירוק. e=2n-2 שומרת על הקשר Hennenbergטרנספורמציית •

e≥2n-2לעומתה אינה מקיימת בהכרח קשר זה ולעיתים , Guzmanשיטת

יתרונה . Guzman פחות אינטואיטיבית ביחס לשיטת Hennenbergטרנספורמציית •

ויש , Tensegrityהוא במהירות התכנסותה אך היא עדין לא הוכחה מתמטית למבני

סכנה של פירוק לא נכון שיוביל למסקנה שגויה.

33

שיטות קינמטיות

אורך הכבלים נשמר קבוע ואילו אורך התומכנים גדל •למקסימום.

או לחילופין

אורך התומכנים נשמר ומקצרים את הכבלים למינימום.•

גישה זו מבטאת את האופן שבו מבצעים את הבניה בפועל

מציאת צורה

מציאת צורה34

שלוש שיטות קינמטיות:

.שיטה אנליטית1.

.שיטת אופטימיזציה לא ליניארית2.

.שיטה איטרטיבית – הרפיה דינמית3.

שיטות קינמטיות

35

. שיטה אנליטית1

יבחן מבנה פשוט שבו הכבלים מסודרים לאורך קשתות •של פריזמה.

הצמתים בבסיס Vמספר תומכנים מחברים את •התחתון לצמתים המתאימים בבסיס העליון.

בין θכתלות במספר הצמתים והמרחקים , ישנה זוית •המצולע העליון והתחתון שבה מתקבל מבנה

Tensegrity .יציב

yrespectivl,strutandcabledenotesandc

Hv

j2cos1R2l

Hcos1R2l

222s

222c

2j/v. ניצב והזווית בין קצוות התומכן היא 12במצב ההתחלתי הכבל

j הוא שלם קטן מ V: מן הגיאומטריה מתקבל .

, יגיע לערך מכסימלי כאשר :ls , האורך של התומכן, lcלכבל באורך נתון,

v

j

2

1

ניתן לפתור בצורה אנליטית רק מבנים פשוטים ביותר. • פריזמתיים בהם קיימת Tensegrityלמשל מבני

סימטריה וניתן להגיע לשיווי משקל ע"י סיבוב יחסי של המצולע העליון ביחס לתחתון.

למקרים שאינם סימטריים הפתרון הופך להיות לא מעשי •בגלל ריבוי הנעלמים.

36

. שיטת אופטימיזציה לא ליניארית2

מבנה כלשיטה זו הופכת את בעיית מציאת הצורה של •Tensegrity.לבעיית מינימום מאולצת

מתחילים ממערכת שבה נתונה הטופולוגיה ומיקומי הצמתים.•מאריכים תומכן אחד או יותר, תוך שמירה על יחס אורכים •

קבוע עד שמגיעים לקונפיגורציה שבה אורכיהם מקסימליים.בעיית המינימום המאולצת היא מהצורה הבאה:•

» Minimize f)x,y,z(» Subject to gi)x,y,z(=0 for i=1,….,n

פונקצית המטרה יכולה להיות,לדוגמה, האורך השלילי של •אחד התומכנים

מציאת צורה

37

: (Pellegrino)נבחן את הדוגמא הבאה •

פריזמה משולשת:• ושלושה lc=1יש תשעה כבלים באורך יחידה •

תומכנים.אחד הבסיסים מקובע ולכן שלושה צמתים ידועים •

מתוך השישה.מציאת צורה

בעיית המינימום המאולצת תהיה מהצורה:•

הם שישה הכבלים הנותרים שאינם c1, c2,….,c6כאשר • הם התומכניםs1,s2,s3ידועים

01l

01l

01l

01l

01l

tosubjected

limizemin

21s

23s

21s

22s

26c

22c

21c

21s


38

יתרונות : דוגמת( מאפשר שימוש בתוכנות פשוטותMatlab.) מאפשרת למצוא גיאומטריות חדשות עבור טופולוגיה

נתונה, על ידי הגדרת יחסים חדשים בין האורכים של .התומכנים

חסרונות: מספר האילוצים הולך וגדל עם כל אלמנט שנוסף

)בעייתי במערכות גדולות(. למערכת אין דרך ישירה לשלוט בכוחות המתפתחים

באלמנטים השונים.


39

. שיטה איטרטיבית- הרפיה דינמית3

למבנה בקונפיגורציה ראשונית נתונה, עליו פועלים כוחות •חיצוניים נתונים, משוואת שיווי-המשקל ניתנת לחישוב ע"י

אינטגרציה של המשוואה הדינאמית

כאשר : Kמטריצת הקשיחות M מטריצת המסה Dמטריצת השיכוך ( damping ) fוקטור הכוחות החיצוניים

הם וקטורי התזוזה, המהירות והתאוצה בהתאמה ביחס לקונפיגורציה ההתחלתית.

fKddDdM...

מציאת צורה

d , d , d...


יתרונות : לשיטה יכולת התכנסות טובה למבנים בהם מספר

צמתים מועט.

חסרונות: מאבדת מהאפקטיביות שלה כאשר מספר הצמתים

גדל. נוצר סרבול כאשר דרושים מספר יחסים שונים בין

הכבלים לתומכנים, דבר אשר מגביל את השיטה למבנים סימטריים ולא מורכבים מדי.

. שיטה איטרטיבית- הרפיה דינמית3

41

שיטות סטטיות

בשיטות אלו מוצאים את הקשר שבין קונפיגורציה •בטופולוגיה ידועה והכוחות הפועלים על האלמנטים

שלה.

קשר זה מנותח באמצעות אחת מהשיטות הבאות:•

שיטה אנליטית1.

)force density( שיטת צפיפות הכוח2.

שיטת מינימום אנרגיה3.

שיטת הקואורדינטות המופחתות4.

מציאת צורה

42

שיטה אנליטית .1נביט שוב בדוגמא הבאה:

כדי ליצור מערכת משוואות לינאריות בשיווי משקל מוגדר פרמטר חדש :

qij.צפיפות כוח = כוח מחולק באורך –

y ו z בכיוון 1לפיכך משוואת שיווי המשקל בצומת

תהיה :

0j2

sinRqsinRq :y

0HqHq :z

3,12,1

3,12,1

j

2

1

הפתרון היחיד של שתי משוואות אלה עבורו כל הכבלים במתיחה הוא :

באופן לא מפתיע זהו גם הפתרון שהתקבל בשיטה הקינמטית

43

שיטת צפיפות הכוח .2

לא משוואות מערכת להפוך שנועד הפשוט המתמטי ב"טריק" ונדון נחזור למערכת של משוואות לינאריות., ליניאריות בצמתים

, היא:i בצומת כלשהו, xלדוגמא, משוואת שיווי-המשקל בכיוון

כאשר:

t הכוח באלמנט –

l אורך האלמנט –

f –וקטור הכוחות החיצוניים

j

ixjiij

ij fxxl

t

מציאת צורה

•lij.הוא פונקציה של הקואורדינטות ולכן המשוואה איננה ליניארית

qij=tij/lij נגדיר לפיכך פרמטר חדש : ••q.נקרא צפיפות הכוח וערכו צריך להיות ידוע בתחילת תהליך מציאת הצורה

ניתנות לכתיבה באופן x צמתים, משוואות שיווי-המשקל בכיוון n אלמנטים ו bלמבנה ובו הבא:

xssTs fxQCC : כאשר

Cs : מטריצת הפגישות[bxn]

Q : .מטריצה אלכסונית המכילה את צפיפויות הכוח

xs : וקטור הכולל את קואורדינטותx.

fx : בכיוון וקטור הכוחות החיצוניים הפועלים על הצמתיםx.

44

שיטת צפיפות הכוח .2

0Dxs

ניתנות לכתיבה באופן x צמתים, משוואות שיווי-המשקל בכיוון n אלמנטים ו bלמבנה ובו הבא:

xssTs fxQCC : כאשר

Cs : מטריצת הפגישות[bxn]

Q : .מטריצה אלכסונית המכילה את צפיפויות הכוח

xs : וקטור הכולל את קואורדינטותx.

fx : בכיוון וקטור הכוחות החיצוניים הפועלים על הצמתיםx.

אז לרוב אין צמתים שמיקומם (self-stress)כיוון שמדובר במבנה בעומס עצמי

מאולץ ואין כוחות חיצוניים.

ניתן לפיכך לרשום :

D

.z ו yביטויים דומים יופיעו בכיוונים D הינה מטריצת צפיפות הכוח וניתן לחשבה ישירות ללא מעבר דרךQ ו Cs

בצורה הבאה:

i 0ל j בין קשר אין אם

j,i if q

j,i if q-

D ik ik

ij

ij

45

ראינו קודם לכן שבמאמץ עצמי:

כאשר:

ωij>0 לכבלים

ωij<0 לתומכנים

מציאת צורה

. שיטת מינימום אנרגיה3

אם נשווה ביטוי זה לביטוי שקיבלנו זה עתה לגבי צפיפות הכוח :

qij לצפיפויות הכוח זהים ωijברור הוא שהמאמצים העצמיים

,Tensegrityקיום המשוואה לעיל הינו תנאי הכרחי אך אינו מספיק לקיומו של מבנה

יש תנאי נוסף שיש להתחשב בו....

j

ixjiij fxxq

0pp i,ij קשת

jiij

46

: ωנגדיר ביטוי לאנרגיה המקושר למצב המאמצים

,pp2

1pE

T

ij

2ijij ||PP||

2

1pE

z

y

x

p

. שיטת מינימום אנרגיה3

כאשר הקצוות של האלמנט זזים, האנרגיה נבנית כפונקציה ריבועית של ההתארכות. משוואה זו תקבל ערך מינימום כתלות ישירה בהתארכותו של

האלמנט.

. p של x,y,z - המכיל את קואורדינטות הdnהוא וקטור באורך

יתקבל לפיכך :

כאשר :

i0ל j בין קשר אין אם

ji if

ji if

ikik

ij

ij


. שיטת הקואורדינטות המופחתות4Tensegrityמבנה

b =מספר האלמנטים

mכבלים o תומכנים

)התייחסות כאל אילוצים

דו-צדדיים לכבלים(

b=m+o

נגדיר סט קואורדינטות מוכללות בלתי תלויות המגדירות את המיקום

. g=]g1,g2,….,gN[Tוהאוריינטציה של התומכנים

)N=3xO )x,y,θ :בדו-מימד

)N=5xO )x,y,z,θ,φבתלת מימד:


. שיטת הקואורדינטות המופחתות4 בשיווי-משקל עם t=]t1,t2,…,tM[T הכוחות בכבלים (self stress)במצב מאמצים עצמיים

התומכנים המתאימים ואין כוחות חיצוניים.

מערכת של משוואות שיווי-משקל תוך שימוש בעיקרון של עבודה מדומה תביא למציאת כל

הכוחות הפועלים במערכת.

.אך ללא התארכות של התומכנים, δgנניח תזוזה מדומה של המבנה בגודל

הוא :jהשינוי באורך של כבל

ועבור כל הכבלים :

: ]A ]NXMכאשר

.gg

ll

N

1ii

i

jj

gAl T

i

jij g

lA


. שיטת הקואורדינטות המופחתות4העבודה המתקבלת היא זו של הכבלים )התומכנים לא משנים את אורכם( ולכן :

tTδl=)At(Tδg

At=0. לפיכך δgבשיווי משקל ביטוי זה שווה לאפס לכל תזוזה מדומה

ניתן לקבל סט של תנאים מתוך שתי הדרישות הבאות :

rank A<Mלפתרון לא טרוויאלי נדרש: 1.

tj>0 for j=1,2,….,Mרק פתרונות חיוביים הינם בעלי עניין : 2.

50

סיכום ומסקנות שיטות מציאת הצורה שיטות המחולקות לשתי משפחות :7בחלקה השני של העבודה הוצגו

שיטות קינמטיות. 1

מגדירות קונפיגורציה עם אורך מכסימלי של התומכנים או אורך מינימלי של שיטות סטטיות. 2

הכבלים, כאשר הסוג השני נשמר קבוע ואינו משתנה.

מחפשות קונפיגורציות בשיווי-משקל המאפשרות מצב של עומסים פנימיים

במבנה.

שיטה אנליטית – מקרים פשוטים או סימטריים•

שיטה אנליטית –מקרים פשוטים או סימטריים•

שיטת אופטימיזציה לא ליניארית•

שיטה איטרטיבית – הרפיה דינמית•

השיטות לא ניתנות ליישום בקונפיגורציה שאינה •מוגדרת היטב

שתי השיטות שימשו בהצלחה לקביעת פרטים של •קונפיגורציה ידועה.

(force densityשיטת צפיפות הכוח )•

שיטת מינימום אנרגיה •

שיטת הקואורדינטות המופחתות•

שיטות

אקוויולנטיות

טובה למציאת קונפיגורציות חדשות. •

קושי בשליטה על אורכי האלמנטים עם •השינוי במתיחויות.

שליטה טובה על הצורה של המבנה .•

ריבוי מניפולציות סימבוליות•

51

מסקנות וכיווני מחקר אפשריים

תחום מחקרי מבטיח בתחומים רבים•

אין נכון להיום שיטה המאפשרת פתרון מלא למקרה כללי•

Guzmanשיטת •

מאפשרת לבצע בדיקה מהירה לגבי היכולת של טופולוגיה •ולבנות טופולוגיות , Tensegrityמסוימת לייצג מבנה

תוך שימוש במספר כלים Tensegrityחדשות למבני פשוטים

מתקבל מבנה בשווי-משקל- נדרשת הרחבה להוכחת •יציבות

לטיפול במבני Hennenbergטרנספורמציית •

Tensegrity רעיון חדש אשר מצדיק המשך בחינה

והוכחה

Documents

מציאת צורה של מבני Tensegrity