Մաթեմատիկանպ ր ո ց ո ւ մ

О_1сdL_1СС_3с_ QIs О

Is,I s #

ОСМ

5 1 15 ° 3

—» լՅ

СО

'Հ է

ժ 3 3 -= rd" 3 ­

° 4 33 3 ^

г ՜

©ГГ՝ լՅ ССЪ. Օ լ с i -13ճԼ=■ с 3

■=■ S . 5гг e . j=. ПГ J Ժ

ՊԱՇՏՈՆԱԿԱՆՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ԴԱԱԱՎԱՆԴՈՒՄԸ 2010-11 ՈՒԱՈՒՄՆԱԿԱՆ ՏԱՐՈՒՄ/մեթոդական նամակ/....................................................................3

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ Հ . Ս. Մ ի ք ա յե լ յա նԲԱՐՈՅԱԿԱՆ ԱՐԺԵՔՆԵՐԸ ԵՎ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ՈՒՍՈՒՑՄԱՆ ԳՈՐԾԸՆԹԱՑԸ. ԱՈԱՔԻՆՈՒԹՅՈՒՆ ԵՎ ԱՐԱՏ ....................... 20

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆԲ .Բ . Ն ե ր ս ի ս յա ն , Ս .Վ . Ա բ ա ջ յա նԱՄԲՈՂՋ ՄԱՄ ՊԱՐՈՒՆԱԿՈՂ ԱՆՀԱՎԱՄԱՐՈՒՄՆԵՐ (Ավագ դպրոցի խորացված ուսուցման հոսքի համար)......................... 36

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆԿ. Գ. Ա ռ ա ք ե լ յա նՄ .Ո . Ո ս կ ա ն յա նՎԵԿՏՈՐՆԵՐԻ ԿԻՐԱՈՈՒՄԸ ԵՐԿՐԱՉԱՓԱԿԱՆ ԽՆԴԻՐՆԵՐ ԼՈՒԾԵԼԻՍ.............................................................43

ՕԳՆՈՒԹՅՈՒՆ ՈՒՍՈՒՑՉԻՆ Ն. Կ ո ս յա ն«ԵՐԿՐԱՉԱՓՈՒԹՅՈՒՆ - 10» ԴԱՄԱԳՐՔԻ ՄԻ ԽՆԴՐԻ ԼՈՒԾՄԱՆ ՄԱՄԻՆ.......................................................................52

ՄԻՋԱՈԱՐԿԱՏԱԿԱՆ Գ. է լո յա ն , Ն. Պ ե տ ր ո ս յա նԲՆԱԿԱՆ ԹՎԵՐԻ ՔԱՈԱԿՈՒՄԻՆԵՐԻ ԳՈՒՄԱՐԻ ՈՐՈՇՄԱՄԲ ՖԻԶԻԿԱԿԱՆ ԽՆԴԻՐՆԵՐԻ ԼՈՒԾՄԱՆ ՄԻ ՔԱՆԻ ՕՐԻՆԱԿՆԵՐԻ ՄԱՄԻՆ............................................57

Խ մ բ ա գ ր ա կ ա ն խ ո ր հ ո ւ ր դ

Հւսմլեւո Միքա յելյա ն գլխավոր խմբագիր

Սա րիբեկ Հա կոբյա ն գլխավոր խմբագրի տեղակալ, պատասխանատու քարտուղար

Խ ո ր հ ր դ ի ա ն դ ա մ ն ե ր

Աբրահամյան Արսւմ Այվազյան էդվարդ Առաքելյան Կորյուն Բաղդասարյան Գևորգ Զաքարյան Վանիկ Հարությունյան Հայկունի Ղուկասյան Նորայր Ղուշչյան Ալեքսանդր Միքայելյան Օնիկ Մովսիսյան Յուրա Նավասարդյան Հայկազ Աաֆարյան Գրիգոր Աեդրակյան Նաիրի Տոնոյան Գառնիկ

Ն կ ար ի չՎ. Հ. Միքայելյան

Հ ա մ ա կ ա ր գ չ ա յ ի նձ և ա վ ո ր ո ւ մ ըԳոհար Խաչատրյանի

Տիգրան Մեծի 67, սենյակ 401 375005 Երևան 5 Tigran Metsi 67, Room 401 375005 Yerevan 5, Armenia

« Մ ա թ ե մ ա տ ի կ ա ն դ պ ր ո ց ո ւ մ » գ ի տ ա մ ե թ ո դ ա կ ա ն ա մ ս ա գ ի ր № 4, 2010թ.

Լրատվական գործունեություն իրականացնող' « Կ ր թ ո ւ թ յ ա ն ա զ գ ա յ ի ն ի ն ս տ ի տ ո ւ տ » ՓԲԸ

Հասցեն' Երևան, Տիգրան Մեծի 67, վկայական՛ N 01 Ա 044424,տրված 16.02.1999թ.

Ամսագրի թողարկման պատասխանատու՝ գլխ ա վոր խմբագիր Համլետ Միքայելյան

Հանձնված է տպագրության 29.07.201 Օթ: Տպաքանակը" 2010, ծավալը 4 մամուլ: Թուղթ' օֆսեթ: Չափսը’ 70x100 1/i6:

Գինը' 700 դրամ:

Հանրակրթական դպրոցներին հատկացվում է ա ն վ ճ ա ր

Phone: (010) 55 99 38 Fax: (010) 55 92 98 E-mail: aniedu.am Internet: http://www.aniedu.am

Պ Ա Շ Տ Ո Ն Ա Կ Ա Ն

Պա շ տ ո ն ա կ ա ն

ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ԴԱՍԱՎԱՆԴՈՒՄԸ 2010-2011 ՈՒՍՈՒՄՆԱԿԱՆ ՏԱՐՈՒՄ

/մեթոդական նամակ/

2010-2011 ուստարվա նախապատրաստման գործընթացում կատարված

կարևորագույն աշխատանքը 12-ամյա կրթության շրջանակներում ավագ դպրո­

ցի «Մաթեմատիկա» բնագավառի առարկաների չափորոշիչների և ծրագրերի

գործածությունն է նաև 11-րդ դասարանում: Չափորոշիչները և ծրագրերը համա­

պատասխանում են «Հսսնրակրթությսսն մասին» ՀՀ օրենքում ամփոփված հիմ­

նական դրույթներին և հանրակրթության պետական չափորոշչի պահանջներին:

Առարկայական ծրագրերը ծառայելու են որպես հիմնական փաստաթուղթ

չափորոշիչների վրա հիմնված կրթություն իրականացնելու համար:

Հիմնական դպրոցի «Մաթեմատիկա» բնագավառի առարկաների չափորո­

շիչների և ծրագրերի' նախորդ ուստարում գործածված տարբերակները նույնու­

թյամբ երաշխավորվում են նաև 2010-2011 ուստարում:

Այսպիսով, գործածության են երաշխավորվում հետևյալ առարկաների ծրա­

գրերը.

• Մաթեմատիկա' 12-ամյա կրթության 5-6-րդ դասարանների ծրագիրը,

• Հանրահաշիվ' 12֊ամյա կրթության 7-9-րդ դասարանների ծրագիրը,

• Երկրաչափություն' 12-ամյա կրթության 7-9-րդ դասարանների և ավագ

դպրոցի 10-րդ, 11-րդ դասարանների ընդհանուր հոսքի և տարբերակված

հոսքերի ծրագրերը,

• Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի տարրեր’ 12-ամյա կրթության

ավագ դպրոցի 10-րդ, 11-րդ դասարանների ընդհանուր հոսքի և տարբե­

րակված հոսքերի ծրագրերը:

Առարկայական ծրագրերից յուրաքանչյուրում ներկայացված են դասընթա­

ցի նպատակները, կրթական ընդհանուր խնդիրներն ըստ դասարանների և ըստ

թեմաների: Թեմաներից յուրաքանչյուրի համար նշված են նախատեսվող ժամա­

քանակը, թեմայի բովանդակությունը, դրանց վերաբերյալ կրթական հիմնական

3

Պ Ա Շ Տ Ո Ն Ա Կ Ա Ն

խնդիրները, ինչպես նաև սովորողների համար ակնկալվող չափորոշչային գիտե­լիքները, կարողությունները և հմտությունները: օրագրում թեմաների համար ժամա­քանակի բաշխումը օրինակելի է, և այն անհրաժեշտության դեպքում դպրոցի հա­յեցողությամբ կարող է կրել մասնակի փոփոխություններ:

Չափորոշիչներում ներկայացվում են նաև սովորողների սոցիալական հմտու­

թյունների զարգացման և արժեքային համակարգի ձևավորման խնդիրները, ընդ

որում' դրանք դիտվում են որպես բոլոր թեմաներին ուղեկցող կրթական խնդիրներ:

Ուսուցումն իրականացնելու համար գործածության են երաշխավորվում

առարկայական ծրագրերին համապատասխան հետևյալ դասագրքերը և ուսուց­

չի ձեռնարկները:

1. Բ.Նահապետյան, Ա.Աբրահամյան «Մաթեմատիկա 5», «Մաթեմատիկա 6»,

«Մակ. Արմենիա», Եր., 2006-2007թթ.

2. ԲՆահապետյան, Ա.Աբրահամյան, «Մաթեմատիկան 5-6-րդ դասարաններում»,

ուսուցչի մեթոդական ձեռնարկ, «Մակ. Արմենիա», Եր. 2006թ.

3. Ա.Մ. Նիկոլսկի և ուր. «Մաթեմատիկա 5», «Մաթեմատիկա 6», Եր. «Անտա-

րես», 2006-2007թթ.

4. Ուսուցչի մեթոդական ձեռնարկ ըստ Ա. Մ. Նիկոլսկու «Մաթեմատիկա 5,6»

դասագրքերի, Եր., «Անտարես», 2006թ.

5. Հ. Միքայելյան, «Հանրւսհւսշվիվ 7», «Հանրահաշիվ 8», «Հանրահաշիվ 9»

Եր., «Էդիթ-Պրինտ», 2006-08թթ.

6. Հ. Միքայելյան, «Հանրահաշվի ուսուցումը 7-9-րդ դասարաններում, Ուսուց­

չի ձեռնարկ», Եր., «Էդիթ-Պրինտ», 2006թ.

7. Գ. Գևորգյան, Ա. Աահակյան, «Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի

տարրեր 10», «Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի տարրեր 11»,

Ընդհանուր և հումանիտար հոսքերի համար, Եր., «Էդիթ-Պրինտ», 2009-10թթ.

8. Գ. Գևորգյան, Ա. Աահակյան, «Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի

տարրեր 10», «Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի տարրեր 11»,

բնագիտամաթեմատիկական հոսքերի համար, Եր., «Տիգրան Մեծ», 2009-10թթ.

9. է. Այվազյան, «Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի տարրեր: Ուսուցչի

մեթոդական ձեռնարկ», ընդհանուր և հումանիտար հոսքերի համար, Եր.,

«Էդիթ-Պրինտ», 2009թ.

10. է. Այվազյան, «Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի տարրեր: Ուսուցչի

մեթոդական ձեռնարկ», բնագիտամաթեմատիկական հոսքերի համար, Եր.,

«Տիգրան Մեծ», 2009 թ.

11. Լ. Աթանասյան և ուրիշ, «Երկրաչափություն 7», «Երկրաչափություն 8»,

«Երկրաչափություն 9». Եր., «Զանգակ 97», 2006-08 թթ.

12. Ա. Հակոբյան, «Երկրաչափություն 7-9», Ուսուցչի մեթոդական ձեռնարկ, Եր.,

«Զանգակ-97», 2006 թ.

4

Պ Ա Շ Տ Ո Ն Ա Կ Ա Ն

13. Ռ. Արամյան, «Երկրաչափություն 7», «Երկրաչափություն 8», «Երկրաչա­փություն 9» այլընտրանքային դասագրքեր, «Մակ. Արմենիւս», 2006-08թթ.

14. Ս. Հակոբյան «Երկրաչափություն 10», «Երկրաչափություն 11» դասագիրք /հումանիտար և ընդհանուր հոսքեր/, «Տիգրան Մեծ» հրատ., 2009-2010թթ.

15. Ս. Հակոբյան «Երկրաչափություն 10-12» ուսուցչի ձեռնարկ, «Տիգրան Մեծ» հրատ., 2009թ.

16. Ի. Շարիգին «Երկրաչափություն 10», «Երկրաչափություն 11» դասագիրք, /բնագիտամաթեմատիկական հոսքեր/, «Անտարես» հրատ., 2009-2010թթ.

17. Ռ.Ավետիսյան, Ռ.Խաչատրյան «Երկրաչափություն 10-12» ուսուցչի ձեռնարկ /բնագիտամաթեմատիկական հոսքեր/, «Անտարես» հրատ., 2009թ.:

18. Լ. Աթանասյան և ուրիշներ, «Երկրաչափություն 10» /բնագիտամաթեմատի­կական հոսքեր/, Եր., «Զանգակ-97», 2010 թ.

Ի՞նչ գործընթացներ են առավել կարևորվում

ուսուցումը կազմակերպելիս

1. «Մաթեմատիկա» բնագավառի առարկաները դասավանդելիս ավելի ընդգծված է շեշտադրվում ուսուցման բովանդակության գործնական-կիրառա- կան ուղղվածությունը:

2. Կրթական գործընթացը չափորոշչային պահանջներին առավելագույնս համապատասխանեցնելու նպատակով առաջնահերթ խնդիր է համարվում մա­թեմատիկայի հանրակրթական նշանակության բացահայտումը, մաթեմատիկայի ուսուցման պարտադիր մակարդակի ապահովումը: Դրան էապես կնպաստի դա­սավանդման նոր մեթոդների կիրառումը, նոր տեխնոլոգիաների ներդրումը դա- սւսպրոցեսում:

3. Ըստ չափորոշչային պահանջների' ուսումնական գործընթացում հար­կավոր է ապահովել նաև սովորողների պատրաստվածության ցանկալի մակար­

դակը (նախընտրելի է առավել մեծ թվով սովորողների ընդգրկումը)' դրանով իսկ

շրջանավարտների համար հնարավորություն ստեղծելով շարունակել կրթությու­նը բարձրագույն և միջնակարգ մասնագիտական ուսումնական հաստատու­թյուններում: Այդ նպատակով 2010-2011 ուստարում ավագ դպրոցի համար առաջարկվում են հոսքային չորս խմբերին համապատասխան երկուական դա­սագրքեր, այն է' ա/ հումանիտար և ընդհանուր հոսքերի և բ/ բնագիտամաթեմա­տիկական հոսքերի դասագրքեր:

4. 2010-2011 ուստարում 12-ամյա կրթության շրջանակներում կշարու­նակվի ուսուցման արդյունքների ստուգման և գնահատման նոր կարգի համընդ­հանուր կիրառումը, որով հստակեցվում և որոշակիացվում են գնահատման «10» միավորային սանդղակը, աշակերտների գրավոր աշխատանքները և բանավոր հարցումները ստուգելու, ընթացիկ և կիսամյակային գնահատումներ կատարելու սկզբունքները: Մասնավորապես, հիմնական դպրոցի սովորողների գիտելիքնե­

5

Պ Ա Շ Տ Ո Ն Ա Կ Ա Ն

րը, կարողությունները և հմտությունները ստւգելու և գնահատելու համար արդեն մշակվել են առաջադրանքների ժողովածուներ, որոնցում առկա են գնահատման 10 միավորային համակարգին համապատասխան տարբերակներ' ըստ ընթացիկ գնահատման մեթոդաբանության:

Մաթեմատիկայի ուսուցումը 5-6-րդ դասարաններում

2010-2011 ուստարում հիմնական դպրոցի 5-րդ և 6-րդ դասարաններում սովորողները մաթեմատիկան կշարունակեն ուսումնասիրել «Մաթեմատիկա 5», «Մաթեմատիկա 6» դասագրքերով: Ընդ որում' այդ դասարաններում մաթեմատի­կան կուսուցանվի մեկ հիմնական [1] և մեկ այլընտրանքային [3] դասագրքերով:

Դասագրքերի հետ միաժամանակ առաջարկվում են ուսումնաօժանդակ ձեռնարկներ, որոնց թվում նաև [21] ստուգողական և ինքնուրույն աշխատանք­ների ժողովածուն: Վերջինս կոչված է վերացնելու մեթոդական ուղեցույցում ընդգրկված ստուգողական աշխատանքների տեսականու և քանակի պակասը: Դրանում ընդգրկված են նաև թեմատիկ աշխատանքներ և թեստեր:

Համաձայն կրթակարգի' տարրական դպրոցի հիմնական խնդիրը ուսում­

նական գործունեություն իրականացնելու (սովորել սովորելու) ունակ երեխայի ձևավորումն է: Աակայն մաթեմատիկայի բնագավառում այդ գերխնդիրը միայն տարրական դպրոցով չի սահմանափակվում: Այն շարունակվում է 5-6-րդ դա­սարանների մաթեմատիկայի դասընթացում' ռացիոնալ թվերի բազմության նյու­թի հիման վրա: Իրականում միջնակարգ մաթեմատիկական կրթության այս աս­տիճանը յուրահատուկ անցումային օղակի դեր է կատարում' ապահովելով ռա­ցիոնալ թվերի թվաբանության, հանրահաշվի և երկրաչափության դասընթացնե­րի սահուն անցումը:

Հաշվի առնելով, որ բնական, ամբողջ և ռացիոնալ թվերի համակարգի ու­սումնասիրությունը ավարտվում է 6-րդ դասարանում և ավելի բարձր դասարան­ներում դրանց ուսուցմանը այլևս չենք անդրադառնալու, դրանք հիմնականում

ներառված են ուսուցման ամփոփիչ (չափորոշչային) արդյունքների մեջ և այդ պատճառով էլ հենքային են ինչպես ավարտական, այնպես էլ բուհական ընդու­նելության քննությունների համար: Անհրաժեշտ է նկատի ունենալ, որ կրթության այս փուլի թերությունները չեն կարող վերացվել, վերականգնվել հաջորդ փուլե­րի ուսուցմամբ, ինչպես բազմիցս նշվել է' աստիճանաբար խորանալով դրանք ունենում են անցանկալի ազդեցություն սովորողների համար: Հետևաբար' հարկ է առանձնակի հոգատարությամբ, զգուշությամբ և ջանադրաբար իրականացնել բնական, ամբողջ և ռացիոնալ թվերի թվաբանության ուսուցումը: Դրանց բավա­կանաչափ բարձր մակարդակի ապահովումը, ինչպես նաև այդ դասընթացում ներառված հանրահաշվի նախագիտելիքների և երկրաչափության տարրերի նա- խաուսուցումը միայն հնարավորություն կընձեռի սովորողներին պատշաճ մա­կարդակով նախապատրաստել ապագա ուսումնառության տարիների «Մաթե­մատիկա» բնագավառի առարկաների «դեդուկտիվ» դասընթացների ուսուցումը:

6

Պ Ա Շ Տ Ո Ն Ա Կ Ա Ն

Լրացուցիչ գրականություն

19. Մաթեմատիկա, հանրակրթական դպրոցի չափորոշիչ և ծրագրեր, «Անտա-

րես», 2006թ.

20. Հանրակրթությւսն պետական կրթակարգ ՀՀ, ԿԳՆ» Եր., «Անտարես», 2004թ.

21. Ռ. Խաչատրյան, «Ստուգողական և ինքնուրույն աշխատանքների ժողովա­

ծու 5, 6-րդ դասարանների համար» Եր., 2006-2007թթ.

22. Ս. Հակոբյան, է. Այվազյան և ուրիշ. Մաթեմատիկայի դասավանդումը 2008­

2009 ուս. տարում, մեթոդական նամակ, «ՄԴ» 2008թ., N 3, 3-11 էջեր:

23. Ռ. Խաչատրյան «Մաթեմատիկա 5» աշխատանքային տետր, «Զանգակ»

հրատ., 2007թ.: «Մաթեմատիկա 6» աշխատանքային տետր, «Էդիթ-Պրինտ»

հրատ., 2008թ.:

Հանրահաշվի ուսուցումը 7- 9-րդ դասարաններում

2010-2011 ուստարում 7-րդ, 8-րդ և 9-րդ դասարաններում սովորողները

«Հանրահաշիվ» առարկան կուսումնասիրեն Հ.Մ. Միքայելյանի «Հանրահաշիվ 7»,

«Հանրահաշիվ 8», «Հանրահաշիվ 9» դասագրքերով: Արդեն երկրորդ տարին է,

ինչ գործածության մեջ է մտել նաև միջին դպրոցի 9-րդ դասարանի վերամշակ­

ված դասագիրքը, որով ամբողջանում է հանրահաշվի դասընթացը: Դասագրքում

տեղ են գտել բոլոր այն թեմաները, որոնք նախատեսված են առարկայական

ծրագրով: Ընդ որում' կարևոր է նկատի ունենալ, որ որոշ թեմաներ ներմուծված

են առաջին անգամ: Դրանք վերաբերում են' «Հաջորդականություններ» (հաջոր­

դականության բնութագրիչները' միջին թվաբանական, մոդա, մեդիա), «Պարզ

իրավիճակներում հնարավոր տարբերակների հաշվումը» (տեղափոխություններ,

զուգորդություններ, կարգավորություններ) և «Պատահույթ, պատահույթի հավա­

նականությունը»:

Ուսուցումն արդյունավետ դարձնելու նպատակով մշակված և երաշխա­

վորված է բավականաչափ հարուստ մեթոդական գրականություն: Ի թիվս այլ

ձեռնարկների' կարևոր է հատկապես Հ. Մ. Միքայելյանի [26], [27], [28] ուղե­

ցույցները, որոնցում ընդգրկված են համապատասխանաբար 7-րդ, 8-րդ, 9-րդ

դասարանների դասագրքերի խնդիրներից շատերի լուծումները, ինչպես նաև

ցուցումներ ու խորհուրդներ դրանց լուծման վերաբերյալ: Հատկապես կարևոր է

հեղինակի կողմից կատարված խնդիրների դասակարգումն ըստ չափորոշչային

երեք' պարտադիր (Մ), միջին (Բ) և բարձր (Գ) պատրաստվածության մակարդակ­

ների: Այդ ուղեցույցների շնորհիվ հնարավոր կլինի ապահովել անցում չափորո-

շիչների վրա հիմնված ուսուցման, ինչը ըստ Հանրակրթության պետական կրթա-

կարգի' համարվում է կրթական բարեփոխումների առաջնային հիմնախնդիրնե-

րից մեկը:

7

Պ Ա Շ Տ Ո Ն Ա Կ Ա Ն

Արժեքավոր է նաև Գ. Հովհաննիսյանի կողմից մշակված [31] աշխատան­

քային տետրերի գործածությունը 7-րդ, 8-րդ և 9-րդ դասարաններում: Մեթոդա­

կան առումով կատարվել են լուրջ մշակումներ ծրագրային նյութն ավելի մատ­

չելի դարձնելու, դրանցով ուսումնական ամենօրյա աշխատանքը կազմակեր­

պելու ուղղությամբ: Աշխատանքային տետրերը ծառայում են նաև դասընթացի

բովանդակությունը ժամանակակից մեթոդներով դասավանդման համար: Այդ

նպատակով տետրերում ընդգրկված են անհատական և խմբային աշխատանք­

ների' հետաքրքիր և աշխույժ ձևերով ներկայացված վարժություններ, ինչպես

նաև մեծ թվով թեստային առաջադրանքներ, որոնք թարմություն են մտցնում

ուսուցման գործընթացում և, միաժամանակ, հնարավորություն են տալիս ուսում­

նառությանը մասնակից դարձնել բոլոր աշակերտներին' առավել կարևորելով

հատկապես այն գիտելիքներն ու կարողությունները, որոնք համապատասխա­

նում են չափորոշչային Ա մակարդակին:

Անհրաժեշտ է հիշել, որ միջին դպրոցի 7-9 դասարաններում հանրահաշվի

ուսուցումը խիստ կարևորվում է իր հանրակրթական նշանակությամբ, այդ դա­

սարաններում են ձևավորվում և կուտակվում այն գիտելիքները, կարողություններն

ու հմտությունները, առանց որոնց հնարավոր չէ ապահովել կրթության շարունա­

կականությունը ավագ դպրոցում: Նույնքան էական են նաև դրանց կիրառություն­

ները մարդու աշխատանքային գործունեության մեջ, հետագա ամբողջ գիտակ­

ցական կյանքում:

Ուստի անհրաժեշտ է առանձնակի հոգածություն և պատասխանատվու­

թյուն ցուցաբերել հատկապես սովորողների փաստարկելու կարողությունների

ձևավորմանը, հանրահաշվական արտահայտությունների, հավասարությունների

և անհավասարությունների վերաբերյալ օրենքներն ու հատկությունները կիրա­

ռելու, հավասարում, անհավասարում, համակարգ, համախումբ բանաձերը լու­

ծելու, ֆունկցիայի գաղափարը ընկալելու հարցերում: Նույնքան կարևորվում են

միջառարկայական կապերը, սովորողների լեզվա-տրամաբանական մտածողու­

թյան զարգացումը:

Լրացուցիչ գրականություն

24. Հ. Միքայելյան, «Հանրահաշվի ուսուցումը 6-8-րդ դասարաններում, Մեթո­

դական ձեռնարկ» (մասնավոր մեթոդիկա), Եր., «Հայ էդիթ», 2000 թ.

25. Հ . Միքայելյան, «Հանրահաշվի ուսուցման հիմնահարցեր» Եր., «էդիթ-

Պրինտ», 2003 թ.

26. Հ. Միքայելյան, «Հանրահաշիվ 7. խնդիրների լուծումներ, ցուցումներ, մեթո­

դական խորհուրդներ», Եր., «Զանգակ-97», 2007 թ.

27. Հ. Միքայելյան, «Հանրահաշիվ 8. խնդիրների լուծումներ, ցուցումներ, մեթո­

դական խորհուրդներ», Եր. «Էդիթ-Պրինտ», 2009 թ.

8

Պ Ա Շ Տ Ո Ն Ա Կ Ա Ն

28. Հ. Միքայելյան, «Հանրահաշիվ 9. խնդիրների լուծումներ, ցուցումներ, մեթո­

դական խորհուրդներ», Եր., «Էդիթ-Պրինտ», 2010 թ.

29. Գ. Հովհաննիսյան. Աշխատանքային տետր «Հանրահաշիվ 7», «Հանրահա­

շիվ 8», «Հանրահաշիվ 9», Եր. «Էդիթ-Պրինտ», 2007-2008 թթ:

«Հանրահաշիվ և մաթ. անալիզի տարրեր» առարկայի

ուսուցումը 10-11-րդ դասարաններում

2010-2011 ուստարում «Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի տար­

րեր (ՀՄԱՏ)» առարկայի 10-11-րդ դասարանների ուսուցումը տարվում է ՀՀ հան­

րակրթական ավագ դպրոցի ՀՄԱՏ առարկայի նոր ծրագրերով և չափորոշիչ-

ներով, որոնք նախորդ ծրագրերի և չափորոշիչների համեմատ կրել են որոշակի

փոփոխություններ: Դրանք վերաբերում են ինչպես առարկայի բովանդակությա­

նը, այնպես էլ դասընթացի կառուցվածքին ու նրա դասավանդման ոճին:

U. Կառուցվածքային փոփոխություններ?. Համաձայն «Մաթեմատիկա» բնա­

գավառի առարկայական չափորոշիչների եռամյա ավագ դպրոցում ուսուցումը

կազմակերպվում է տարբերակված հենքով' ըստ տարբերակված հանրակրթա­

կան (հումանիտար), ընդհանուր, ընդհանուր հարակից և խորացված ուսուցման

(ֆիզմաթ) հոսքերի համար նախատեսված ծրագրերի ու չափորոշիչների:

2010-2011 ուստարում ՀՀ հանրակրթական դպրոցների 10-11-րդ դասարան­

ում «Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի տարրեր» առարկայի ուսու­

ցումը տարվում է Գ. Գևորգյանի և Ա. Աահակյանի [7] և [8] դասագրքերով, որոնք

ուղեկցվում են է. Այվազյանի վերը նշված հոսքերին համապատասխան մեթոդա­

կան ձեռնարկներով, ինչպես նաև «Լուծումների ուղեցույց» բոլոր հոսքերի հա­

մար ընդհանուր ձեռնարկով: Դրանցից առաջին երկուսը հասցեագրված է ուսու­

ցիչներին, իսկ երրորդը' հիմնականում բարձր դասարաններում սովորողներին:

Բ. Բովանդակային փոփոխություններ. Մաթեմատիկական կրթության զար­

գացման նոր մարտահրավերների հենքի վրա առարկայի բովանդակային միջու­

կում կատարվել է բովանդակային դաշտի ընդլայնում: Այդ պատճառով ՀՄԱՏ

առարկայի ծրագիր են ներթափանցել նոր թեմաներ' «Իրական թվեր» և «Կոմպ­

լեքս թվեր» (վերջինս միայն խորացված հոսքում, 10-րդ դասարանում), «Ասույթ­

ներ, փոփոխական պարունակող ասույթ, դրանց տրամաբանական գումարը,

արտադրյալը, ժխտումը: Հետևություն և համարժեքություն (11-րդ դասարան)»,

«Դեդուկտիվ մտահանգում, դրա հիմնական կանոնները, ինդուկտիվ մտահան­

գում: Ապացուցում և հերքում, դրանց հիմնական մեթոդները (խորացված հոս-

քում, 11-րդ դասարան)», «Վիճակագրության և հավանականությունների տեսու­

թյան տարրեր» (12-րդ դասարան) և «Ինտեգրալ» (12-րդ դասարան' խորացված

ուսուցման հոսքում):

9

Պ Ա Շ Տ Ո Ն Ա Կ Ա Ն

Գ. Մակարդակային և տրամաբանական փոփոխություններ: Գործող չափո- րոշիչներով և ծրագրերով առաջին անգամ ավագ դպրոցում պաշտոնապես կի­րառվում է տարբերակված' մակարդակային (հոսքային) ուսուցում, որն իր հեր­թին առաջ է բերում մաթեմատիկայի ուսուցման ոճային տարբերություններ ինչ­պես մաթեմատիկայի ընկալման մակարդակի ու խորության, այնպես էլ' ծավալի առումով: Ընդ որում յուրաքանչյուր հոսքում կարևորվում է մաթեմատիկայի նշա­նակության մեկնւսբւսնություններից մեկը: Այսպես, օրինակ, հումանիտար հոսքի մաթեմատիկայի ծրագրի և չափորոշչի հիմքում ընկած է մաթեմատիկայի հան­րակրթական նշանակությունը (մաթեմատիկա բոլորի համար), իսկ ֆիզմաթ հոս­քի հիմքում, բնականաբար, նախամասնագիտականնշանակությունը: Հենց սրա­նից էլ բխում են վերոհիշյալ ոճային-մակարդակային, խորքային ու ծավալային տարբերությունները:

Որոշակիորեն բարելավվել է նաև առարկայի հիմքում դրված ապացուցո- ղական կառույցը: Հնւսրւսվորինս հստակեցվել է նյութի դեդուկտիվ շարադրանքը: Շարունակվում է աշխատանքը սովորողների լեզվատրամաբանական մտածո­ղության հետագա զարգացման ուղղությամբ: Դրան նպաստում է նաև «Ապա­ցուցման և հերքման հիմնական մեթոդները» նոր թեմայի ուսուցումը և ապացուց­ման խնդիրների լուծումը:

11-րդ դասարանի դասագրքերի կառուցվածքը: Դասընթացի հիմնական տեսական նյութը բաշխված է 4 գլուխների' հումանիտար և ընդհանուր հոսքե- րում և 5 գլուխների' բնագիտամաթեմատիկական հոսքերում, որոնցից յուրա­քանչյուրն իր հերթին տրոհված է պարագրաֆների: Յուրաքանչյուր պարագրաֆ, տեսական նյութին նվիրված տեքստից բացի, ունի տվյալ թեմայի տեսական մա­սի յուրացմանն ուղղված բացատրական մաս և վարժություններ ու խնդիրներ, որոնք կարող են օգտագործվել ինչպես դասարանային, այնպես էլ տնային հանձ­նարարությունների համար:

Ավագ դպրոցի դասագրքերի գլխավոր առանձնահատկությունն այն է, որ դրանք հասցեագրված են միջնակարգ դպրոցի սովորողների ամենահասուն' 16­18 տարեկան պատանիներին: Թերևս այդ առանձնահատկության ամենացայ- տուն դրսևորումը ՀԱԱՏ առարկայի դասագրքերում յուրաքանչյուր թեմայի տե­սական նյութի շարադրման ոճն է:

Հեղինակներն աշխատել են պահպանել տեսական բանաձևումների տե­սակների ավանդական անվանումները' սահմանում, թեորեմ, հատկություն:

Յուրաքանչյուր պարագրաֆի վարժությունների և խնդիրների համակար­գին նախորդում են «Հասկացե՞լ եք դասը» խորագրով հարցերն ու առաջա­դրանքները, որոնց նպատակը սովորողների կողմից դասանյութի (տեսության) յուրացման որակի ինքնաստուգումն է: Այս խորագրից հետո շարադրվում են թեմայի հիմնական վարժություններն ու խնդիրները: Ուսուցչի աշխատանքը հեշտացնելու և դասարանում շերտավորված ու անհատական աշխատանք կազ­մակերպելու նպատակով այդ վարժություններից ու խնդիրներից յուրաքանչյուրը տեքստում առանձնացված է նախորդ դասագրքերում արդեն ներդրված հատուկ նշաններով:

10

Պ Ա Շ Տ Ո Ն Ա Կ Ա Ն

Լրացուցիչ գրականություն

30. է. Այվազյան, «Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի տարրեր 10»: Լուծումների ուղեցույց», ընդհանուր, հումանիտար և բնագիտամաթեմա­տիկական հոսքերի համար, Եր., «Էդիթ-Պրինտ», 2009 թ.:

31. Գ. Գևորգյան և ուրիշ. Մաթեմատիկա, պետական ավարտական և միաս­նական քննության ուղեցույց, Եր., ԳԹԿ, 2008թ.:

32. Բ. Ներսիսյան, է. Այվազյան և ուրիշ. «Ուսումնական թեստերի ժողովածու». Հանրահաշիվ և մաթ. անալիզի տարրեր - 10, 11, Եր. «էդիթ Պրինտ» 2009- 10թթ.

Երկրաչափության ուսուցումը 7-11-րդ դասարաններում

2010-2011 ուստարում 7-րդ, 8-րդ և 9-րդ դասարաններում սովորողները կշարունակեն «Երկրաչափություն» առարկան ուսումնասիրել «Երկրաչափու­թյուն 7», «Երկրաչափություն 8» և «Երկրաչափություն 9». Աթանասյան և ուրիշ­ներ' հիմնական և Ո. Արամյանի այլընտրանքային դասագրքերով: Դրանք կազմ­ված են ըստ 12-ամյա դպրոցի ուսումնական ծրագրերի:

Օգտակար են նաև այդ դասագրքերին կից ուսուցչի ձեռնարկները, որոն­ցում ամփոփված են անհրաժեշտ մեթոդական ցուցումներ, խորհուրդներ, առա­ջարկվում են լրացուցիչ խնդիրներ, ինքնուրույն և ստուգողական աշխատանք­ների տարբերակներ, թելադրությունների և թեստերի տեքստեր: Աթանասյան և ուրիշներ դասագրքերին կից առաջարկվում են Ո. Խաչատրյանի կազմած «Երկ­րաչափություն 7», «Երկրաչափություն 8», «Երկրաչափություն 9» աշխատանքա­յին տետրերը:

Հիմնական դպրոցի երկրաչափության դասագրքերին կից առաջարկվում է նաև Ա. Հակոբյան, Ո. Խաչատրյան «Երկրաչափություն 7, 8, 9» /գիտելիքների ստուգման և գնահատման առաջադրանքների ժողովածու/ մեթոդական ձեռնարկ­ները, որոնցում ներառված առաջադանքները կազմված են գնահատման 10 միա- վորային համակարգին համապատասխան:

Միջին դպրոցի Երկրաչափության դասընթացը, ինչպես հայտնի է, հիմ­նականում նվիրված է հարթաչափությանը, սակայն չպետք է աչքաթող անել այն հանգամանքը, որ ծրագրում նախատեսվում է նաև որոշակի գիտելիքներ տարա­ծական պատկերների, մասնավորապես բազմանիստերի ու պտտական մարմին­ների, դրանց մակերևույթների մակերեսների և ծավալների հաշվման վերաբեր­յալ: Դասագրքերում այդ հարցերը բավարար չափով լուսաբանված են և, որ կա­րևոր է, դրանք հիմք են հանդիսանում ավագ դպրոցում տարածաչափության դաս­ընթացը արդյունավետ սկսելու համար:

2010-2011 ուստարում 10-11-րդ դասարաններում ուսուցումը իրականաց­վելու է հոսքային ուսուցման համար ստեղծված դասագրքերով' Ա. Հակոբյան,

11

Պ Ա Շ Տ Ո Ն Ա Կ Ա Ն

«Երկրաչափություն 10», «Երկրաչափություն 11» դասագրքերով/հումանիտար և ընդհանուր հոսքեր/ և Ի. Շարիգին, «Երկրաչափություն 10», «Երկրաչափություն 11» դասագրքերով /բնագիտամաթեմատիկական հոսքեր/:

Նոր դասագրքերը կոչված են 12-ամյա դպրոցի չափորոշչային պահանջ­

ներին ու ծրագրերին համապատասխան ուսուցման գործընթացն ուղղորդելու, և ավագ դպրոցի առջև դրված խնդիրների լուծման համար գործուն միջոցներ

ապահովելուն: Ընդհանուր և հումանիտար հոսքերի դասագրքում ուսումնական նյութը ներկայացված է առավել մատչելի շարադրանքով' հաշվի առնելով տվյալ

հոսքերի սովորողների հետաքրքրություններն ու հակումները: Առանձնակի հե­տաքրքրություն են ներկայացնում դասագրքում զետեղված պատմական և հե­

տաքրքրաշարժ տեղեկությունները երկրաչափության մասին, և որ առավել կարևոր է, դասագրքում ներդրված են նոր մոտեցումներ, որոնք սովորողներին

կտրամադրեն ինքնուրույն և համագործակցային աշխատանքի: Հատկապես հու­մանիտար հոսքում սովորողների համար անակնկալ կլինի տեսական նյութի

ընթացիկ շարադրանքը, որի հիմնական մոտեցումը սովորողին դեպի երկրաչա­փություն ուղղորդելն է, և դրա շնորհիվ երկրաչափական զգացողություն և ճա­

շակ ձևավորելը:Դասագրքին կից առաջարկվող ուսուցչի ձեռնարկում տրված ուսուցման և

գնահատման ժամանակակից մեթոդների վերաբերյալ պարզաբանումները էա­պես կօգնեն ուսուցչին հաջողությամբ իրականացնել ինտերակտիվ և համա­

գործակցային աշխատանքը սովորողների հետ: Ուսուցչի ձեռնարկում առկա են ծավալուն, համառոտ գրավոր աշխատանքների համար նախատեսված տարբե­

րակներ, ինչպես նաև մաթեմատիկական թելադրություններ և լրացուցիչ տարա­բնույթ նյութեր:

Ի. Շարիգինի հեղինակած «Երկրաչափություն 10 և 11» դասագրքերը նա­խատեսված են ընդհանուր հարակից և խորացված ուսուցման հոսքերի համար:

Դասագրքերը համապատասխանում է տվյալ հոսքերի ծրագրերին և չափորոշ­չային պահանջներին: Ուսուցիչների համար նորույթ է դասագրքերում առկա

խնդիրների մի զգալի մասը, դրանք հեղինակային խնդիրներ են և, բնականա­բար, անհրաժեշտություն կզգացվի այդ խնդիրների հաղթահարման:

Հատկապես խորացված ուսուցման հոսքում սովորողների համար լայն հնարավորություններ են ստեղծվում երկրաչափության ավելի խորքային ուսուց­

ման համար, դրան կնպաստի ինչպես դասագրքում առկա խնդիրների համա­կարգը, այնպես էլ ներկայացված տեսական նյութերը: Բնականաբար այդ գործ­

ընթացում կարևորվում է ուսուցչի դերը թե սովորողներին տրամադրելու, թե նրանց հետ համագործակցելու առումով:

Նկատի ունենալով Ի. Շարիգինի դասագրքով նախորդ ուսումնական տա­րում աշխատած ուսուցիչների կարծիքը' 2010-2011 ուստարում դասագրքերի

ցանկում ներառված է նաև ԼԱթանասյւսն և ուր. «Երկրաչափություն 10» դասագիր­քը, որը' հատկապես սկզբնական փուլում արդյունավետորեն համադրելով Ի. Շա-

12

Պ Ա Շ Տ Ո Ն Ա Կ Ա Ն

րիգինի դասագրքին, կարելի է հասնել ուսումնական նյութի յուրացման ավելի լավ արդյունքների:

Դասագրքին կից առաջւսկվում է Ռ. Ավետիսյան, Ռ. Խաչատրյան «Երկ­րաչափություն 10-12» մեդոդական ձեռնարկը: Ձեռնարկում ներառված են ծա­վալուն և համառոտ գրավոր աշխատանքների տարբերակներ, օրինակելի թեմա­տիկ պլանավորումներ և ցուցումներ որոշ, առավել դժվար խնդիրների լուծում­ների վերաբերյալ: Իսկ 10-րդ դասարանի դասագրքի առավել դժվար խնդիրների լուծման համար կարելի է օգտվել Կ. Առաքելյանի [39] օժանդակ ձեռնարկից:

Վերջում հարկավոր է հիշեցնել, որ 2010-2011 ուստարում հանրակրթական ավագ դպրոցում շրջանավարտներ չեն լինի: Այսինքն, 11-րդ դասարանի աշա­կերտները ուսումնառությունը դպրոցում շարունակելու են նաև հաջորդ տարի'12-րդ դասարանում: Սակայն մասնագիտական կոդմնորոշման աշխատանքները պետք է սկսել ավելի վաղ:

Լրացուցիչ գրականություն

33. Հ. Միքայելյան և ուրիշ. Ավագ դպրոցի մաթեմատիկայի առարկայական չա- փորոշիչներ և ծրագրեր, Եր., «Տիգրան Մեծ», 2009թ.:

34. Ա. Հակոբյան, Ռ. Խաչատրյան «Երկրաչափություն 7, 8, 9» գիտելիքների ստուգման և գնահատման առաջադրանքների ժողովածու, «Զանգակ-97» հրատ., 2009 թ.:

35. Ա. Հակոբյան, Ռ. Խաչատրյան «Երկրաչափություն 10,11,» գիտելիքների ստուգման և գնահատման թեմատիկ առաջադրանքների ժողովածու, «Զւսն- գակ-97» հրատ., 2010 թ.:

36. Ռ. Խաչատրյան, «Երկրաչափություն 7», «Երկրաչափություն 8», «Երկրա­չափություն 9», «Երկրաչափություն 10» աշխատանքային տետրեր, Եր. «Զանգակ-97», 2008-2009թթ.:

37. Ռ. Խաչատրյան, «Գործնական առաջադրանքներ» /Մաթեմատիկա 5-6-րդդասարաններ, Երկրաչափություն 7-9-րդ դասարաններ, Եր. «Զանգակ-97», 2009թ.:

38. Կ. Առաքելյան, «Շարիգինի դասագրքի խնդիրների լուծման ուղեցույց» Եր., «Անտարես», 2010թ.

Պարզաբանումներ գնահատման նոր համակարգի վերաբերյալ

Գնահատման նոր համակարգի ներդրման անհրաժեշտությունը պայմանա­վորված է Հանրակրթական պետական կրթակարգի այն պահանջով, համաձայն

13

Պ Ա Շ Տ Ո Ն Ա Կ Ա Ն

որի հանրակրթության որակը բարելավելու և ազգային արժեքներ կրող ժո­ղովրդավարական հասարակության քաղաքացի ձևավորելու համար անհրա­ժեշտ է ի թիվս այլ միջոցառումների, նաև մշակել և ներդրել հանրակրթական դպրոցի գործունեության, ուսումնական գործընթացի կազմակերպման և ուսուց­ման արդյունքների գնահատման նոր համակարգ:

Համաձայն «Սովորողների ընթացիկ գնահատման մեթոդաբանության», ըն­թացիկ գնահատումը բաղկացած է երկու' իրար փոխլրացնող ձևերից.

ա) ուսուցանող /ձևավորող/ որակական գնահատում,բ) միավորային /ամփոփիչ/ գնահատում:

Միավորային գնահատման արդյունքներն արտահայտվում են միավորնե­րով' թվանշանային գնահատականով, իսկ ուսուցանող կամ ձևավորող գնահատ­ման ժամանակ սովորողների առաջադիմության մասին տրվում են լոկ որակա­կան' բառային նկարագրություններ և արժևորումներ:

2010-2011 ուսումնական տարում ամբողջությամբ գործածության մեջ է մտնում հանրակրթական ուսումնական հաստատություններում սովորողների առաջադիմության գնահատման նոր մեթոդաբանությունը:

Գնահատման հիմնական նպատակը սովորողի գիտելիքների, կարողու­թյունների ու հմտությունների մակարդակի, անձնային որակների ստուգումն իրականացնելը և դրա հիման վրա ուսումնական գործընթացի կատարելագործ­ման և ուսման վերահսկումն է:

Միջին և ավագ դպրոցների «Մաթեմատիկա» ուսումնական բնագավառը ներկայացվում է «Մաթեմատիկա 5-6» «Հանրահաշիվ 7-9» «Հանրահաշիվ և մա­թեմատիկական անալիզի տարրեր 10-12», «Երկրաչափություն 7-12» առարկա­ներով: Այս առարկաների ուսումնառության արդյունքները միավորային /ամ­փոփիչ/ գնահատմամբ պարզելու համար առաջարկվում է ստուգումներ' հետևյալ բաղադրիչների տեսքով.

1. բանավոր հարցում,2. գործնական աշխատանք,3. թեմատիկ գրավոր հարցում,4. կիսամյակային ամփոփիչ գրավոր աշխատանք:

Նշված այս չորս տեսակների կիրառման նպատակները և հաճախակա­նությունները տարբեր են: Գնահատումը կատարվում է 10 միավորային սանդ­ղակով: Յուրաքանչյուր բաղադրիչն իր ընդհանուր ծավալով պետք է ընդգրկի մաթեմատիկական վերոհիշյալ առարկաների կիսամյակային ամբողջ տեսական նյութը: Գնահատման համակարգի վերաբերյալ ավելի հանգամանալի տեղե­կատվություն կարելի է ստանալ ԿԱԻ-ի Ինտերնետ կայքից' www. aniedu. am հասցեով:

14

Սարիբեկ Հակոբյան

Պ Ա Շ Տ Ո Ն Ա Կ Ա Ն

էդվսւրդ Այվազյան Ռիտա Խաչատրյան

Տ ա ր ր ա կ ա ն դ պ ր ո ց

Մաթեմատիկա

2010-2011 ուսումնական տարում կրտսեր դպրոցում ևս շարունակվում է

բարեփոխումների գործընթացը: Այն վերաբերում է և' գործող դասագրքերին, և'

ուսումնաօժանդակ նյութերին, և' գնահատման համակարգին:

Այս ուսումնական տարում կրտսեր դպրոցում «Մաթեմատիկա» առարկա­

յից ՀՀ ԿԳՆ կողմից երաշխավորվում են հետևյալ դասագրքերը

Առաջին դասարան

1. Վ.Հովհւսննիսյւսն և ուր., «Մաթեմատիկա -1» (I մաս, գիրք-տետր), Եր.,«Արևիկ», 2009թ.

2. Վ. Հովհաննիսյան և ուր., «Մաթեմատիկա -1» (II մաս,), Եր., «Արևիկ», 2009թ.:

3. Մ. Մկրտչյան և ուր., «Մաթեմատիկա -1» (I մաս, գիրք-տետր), Եր., «Զանգւսկ-

97», 2009թ.:4. Ա. Մկրտչյան և ուր., «Մաթեմատիկա -1» (II մաս,), Եր., «Զանգակ-97», 2009թ.:

Երկրորդ դասարան

1. Վ. Հովհաննիսյան և ուր., «Մաթեմատիկա -2» դասագիրք, Եր., «Արևիկ», 2010թ.:

2. Ա. Մկրտչյան և ուր., «Մաթեմատիկա -2» դասագիրք, Եր., «Զանգակ-97», 2010թ.:

Երրորդ դասարան

1. Վ. Հովհաննիսյան և ուր., «Մաթեմատիկա -3» դասագիրք, Եր., «Արևիկ», 2008թ.:

2. Ա. Մկրտչյան և ուր., «Մաթեմատիկա -3» դասագիրք, Եր., «Զանգակ-97», 2008թ.:

Չորրորդ դասարան

1. Վ. Հովհաննիսյան և ուր., «Մաթեմատիկա -4» դասագիրք, Եր., «Արևիկ», 2009թ.:

2. Ա. Մկրտչյան և ուր., «Մաթեմատիկա -4» դասագիրք, Եր., «Զանգակ-97», 2009թ.:

Դասագրքերին կից ( I - IV դասարանների համար) ստեղծված են ուսուցչի

ձեռնարկներ, որոնք ուսուցչին ուղղորդում են դասերը ճիշտ պլանավորելու և ա­

ռավել դժվար առաջադրանքները մատչելի մատուցելու, մաթեմատիկայի ուսուց­

ման գործընթացն արդյունավետ կազմակերպելու գործում: Ստեղծվել են նաև

մաթեմատիկայի աշխատանքային տետրեր, որոնք ծրագրային նյութի յուրա­

ցումը ավելի մատչելի կդարձնեն:

15

Պ Ա Շ Տ Ո Ն Ա Կ Ա Ն

Ուսուցչի աշխատանքը թեթևացնելու և դասի արդյունավետությունը բարձ­

րացնելու նպատակով I-IV դասարանների համար ստեղծվել են ուսումնական

պաստառներ իրենց մեթոդական ուղեցույցներով (յուրաքանչյուր դասարանի

համար 12 պաստառ):Այս ուսումնական տարում գունազարդ հրատարակվել է «Զվարճալի մաթե­

մատիկա» գրքույկը (հեղինակներ Ա. Աարգսյան, Ա. Գրիգորյան), որտեղ առաջին դասարանի ծրագրային նյութը ներկայացված է ինքնատիպ բանաստեղծություն­

ներով, որոնք մատչելի կդարձնեն մաթեմատիկական նոր հասկացությունների յուրացումն ու ամրապնդումը: Այս ձևով նյութի մատուցումը համահունչ է առա­

ջին դասարանցիների տարիքային առանձնահատկություններին:Անցած ուստարվա ընթացքում Հայաստանի մարզերի հանրակրթական

դպրոցներում անցկացվեցին քննարկումներ երկրորդ դասարանում գործածվող «Մաթեմատիկայի» դասագրքերի շուրջ: Դպրոցներից հավաքվեցին կարծիքներ,

որոնք ուսումնասիրվեցին և անհրաժեշտ վերլուծությունների հիման վրա ստեղծ­վեցին ամփոփաթերթեր հասցեագրված դասագրքերի համապատասխան հրա­

տարակիչներին: Նպատակն էր օժանդակել լրամշակման աշխատանքներին, բարելավել մաթեմատիկայի գործող դասագրքերը:

Այս ուստարում նման աշխատանք է նախատեսվում նաև III դասարանի մաթեմատիկայի գործող դասագրքերի համար:

Գնահատման համակարգում ևս կատարվել են բարեփոխումներ, որոնք պայմանավորված էին կրթության որակն արմատապես բարելավելու, յուրաքան­

չյուր սովորողի ուսումնական գործընթացը խթանելու և շարունակական զարգա­ցում ապահովելու պահանջով:

2009-2010 ուստարում հանրակրթական դպրոցներում ներդրվեց սովորող­ների ընթացիկ գնահատման երկու բաղադրիչից միայն մեկը' ամփոփիչ (միա-

վորային) գնահատումը, որը տարրական դպրոցի մաթեմատիկայի I - IV դասա­րաններում իրականացվում է 4 բաղադրիչով բանավոր հարցում, թեմատիկ գրա­

վոր աշխատանք, գործնական աշխատանք, կիսամյակային ամփոփիչ գրավոր աշխատանք:

Գնահատման նոր համակարգը ճիշտ կիրառելու համար ուսուցիչներին էր ներկայացվել Ա. Մարզպանի, Մ. Մանուկյանի, Լ. Աթոյանի հեղինակած «Միավո-

րային գնահատումը II-IV դասարաններում» (Մաթեմատիկա) մեթոդական ձեռ­նարկը (Եր., «Արևիկ», 2009թ.), որտեղ միավորային գնահատման յուրաքանչյուր

տեսակ մանրամասն պարզաբանված է, և ներկայացված են համապատասխան նմուշօրինակներ:

Այս տարի հրատարակվել են Ա. Աարգսյանի, Մ. Մանուկյանի « Թեմատիկ և կիսամյակային գրավոր աշխատանքներ» Մաթեմատիկա -2, Մաթեմատիկա -3,

Մաթեմատիկա -4 ուսումնաօժանդակ ձեռնարկները, Եր., « Արևիկ», 2010թ:Դրանք հասցեագրված են տարրական դպրոցի ուսուցիչներին և ներառում

են II -IV դասարաններում թեմատիկ և կիսամյակային ամփոփիչ գրավոր աշխա­

16

Պ Ա Շ Տ Ո Ն Ա Կ Ա Ն

տանքներ (իրենց հատկորոշիչներով), որոնք համապատասխանում են «Մաթե­մատիկա» առարկայի չափորոշչային պահանջներին և ծրագրին:

Թեմատիկ և կիսամյակային գրավոր աշխատանքները կազմված են պար­զից բարդ սկզբունքով կրտսեր դպրոցականի տարիքային առանձնահատկու­

թյուններին համապատասխան: Դրանք կօգնեն ուսուցիչներին ճիշտ կազմակեր­պելու գրավոր աշխատանքների գնահատման գործընթացը:

Ընդգրկված նյութերը ներկայացված են երկու բաժնով, ինչը հնարավորու­թյուն է տալիս, չափորոշչային պահանջները պահպանելով, առանձնահատուկ

մոտեցում ցուցաբերելու այլընտրանքային դասագրքեր գործածող սովորող­ներին:

Կներդրվի նաև սովորողների ընթացիկ գնահատման երկրորդ բաղադրիչը' ուսուցանող գնահատումը:

Եթե միավորային կամ քանակական գնահատման արդյունքներն արտա­հայտվում են միավորներով, ապա ուսուցանող կամ որակական գնահատման

ժամանակ աշակերտի առաջադիմության մասին տրվում են բառային նկարա­գրություններ և արժևորումներ: Հիմնական տարբերակիչ շատ առանձնահատ­

կություններից բացի, այդ երկու ձևն իրարից տարբերվում են նաև ըստ այն խնդիրների, որոնց լուծման համար դրանք կիրառելի են: Ուսուցանող (որա­

կական) գնահատման խնդիրն է' ապահովել սովորողների ուսումնական առաջ­ընթացը և խթանել ուսուցումը: Այն ուսուցիչների և աշակերտների կողմից իրա­

կանացվող համատեղ աշխատանք է, որը հենվում է դիտարկման արդյունքների և ձեռք բերված տվյալների վրա: Այն նպաստում է կրթության բովանդակության

յուրացմանը ուսուցումը դարձնելով առավել արդյունավետ ու նպատակային:Ուսուցանող գնահատման միջոցով ուսուցիչը հնարավորություն է ունենում

պարզել սովորողի ձեռքբերումները, դժվարությունները, իսկ իրավիճակի վերլու­ծությունից հետո մշակել հետագա քայլերը առաջադիմությունը բարելավելու

նպատակով:Գնահատման այս ձևն իրականացնելիս կարևորվում է հետադարձ կապի

ապահովումը: Այն հանգեցնում է դասավանդման ընթացքում առաջացած թերու­թյունների շտկմանը: Անհրաժեշտ է աշակերտին մշտական տեղեկություններ

տրամադրել այն մասին, թե նա ի՜նչ է յուրացրել և ո՜ր հարցերում է դժվարացել:

Դա աշակերտին օգնում է տեղեկանալու իր բացթողումների մասին, ուսուցչի օգնությամբ կամ միայնակ գործողություններ ձեռնարկել դրանք շտկելու, իր

իմացական մակարդակը բարձրացնելու և կարողություններն ու հմտությունները զարգացնելու համար:

Հետադարձ կապն անհրաժեշտ է նաև ուսուցչին պարզելու, թե նա ինչպես է մատուցել դասանյութը:

Ուսուցանող գնահատման նպատակով «Մաթեմատիկա» առարկայից կա­րելի է օգտագործել հայտորոշիչ աշխատանքների հետևյալ տեսակները բանա­

17

Պ Ա Շ Տ Ո Ն Ա Կ Ա Ն

վոր հարցում, ուսուցանող գրավոր աշխատանք (հայտորոշիչ թեստ), տնային աշխատանք, գործնական աշխատանք:

Այդ նպատակով կարելի է օգտագործել կարճ ժամանակի համար նախա­տեսվող առաջադրանքներ: Կարճ ժամանակով առաջադրանքները կարող են լի­

նել տարբեր տիպի և բնույթի ըստ թեմայի և ուսուցման նպատակների: Այդպիսի առաջադրանքների նպատակն է պարգել ենթաթեմայի, նոր հասկացության, գա­

ղափարի կամ թեմայի փոքր մասի յուրացման աստիճանը: Այն կարող է տևել 5­10 րոպե:

Ուսուցանող գնահատման այս ձևերը կարելի է իրականացնել անհատա­

կան, խմբային կամ համագործակցային աշխատանքների միջոցով:

Այս ուստարում կհրատարակվի 0 . Աիքայելյանի, Ա. Աիքայելյանի «Գնա­

հատման նոր համակարգը որպես կրթության որակի բարելավման խթան», ինչ­

պես նաև «Տարրական դպրոցում սովորողների ընթացիկ գնահատման մեթոդա­

կան ուղեցույց» ձեռնարկները, որոնք մեծ օգնություն կլինեն ուսուցիչներին:

Այս ուսումնական տարում ուսուցիչները պետք է ծանոթանան ուսուցանող

գնահատման իրագործման ձևերին ու տեսակներին և ցանկության դեպքում կա­

րող են դրանք կիրառել:

Հանրակրթությւսն մի շարք դպրոցներում կատարվել են մշտւսդիտւսրկում-

ներ' չափորոշչային պահանջների իրականացման, ուսուցման նոր մեթոդների

կիրառման, գնահատման նոր համակարգի ներդրման նպատակներով:

Արդյունքում պարզվել է, որ ուսուցիչները շատ դեպքերում քիչ ուշադրու­

թյուն են դարձնում «զարգացնող» ուսուցմանը, որի կիրառումը նպաստում է

կրտսեր դպրոցականի զարգացմանը, նրա իմացական, ֆիզիկական, հոգեբանա­

կան զարգացման բնագավառում' առաջ բերելով որակական փոփոխություններ:

«Զարգացնող» ուսուցում ապահովելու համար ուսուցիչն աշակերտին

պետք է մղի ակտիվ գործունեության, որպեսզի նա իր գիտելիքները կարողանա

օգտագործել նաև ոչ ստանդարտ իրավիճակում, յուրաքանչյուր խնդրի լուծման

համար հանդես բերի ինքնուրույնություն և նախաձեռնություն: Աշակերտն ինք­

նուրույն ձեռք բերի գիտելիքներ, առաջ քաշի վարկածներ, ստեղծագործական

մոտեցում ցուցաբերի ցանկացած աշխատանքի, ինքնուրույն ուղղի կատարած

սխալը: Այդպիսի աշխատանքների կազմակերպումը կնպաստի աշակերտի երևա­

կայության, մտածողության և խոսքի զարգացմանը, որոնք շատ կարևոր են մա­

թեմատիկայի ուսուցման արդյունավետ գործընթաց ապահովելու համար:

Այդ խնդիրներն իրագործելու համար ուսուցիչը պետք է լավ նախապատ­

րաստվի յուրաքանչյուր դասին: Նա պետք է նախապես դասը պլանավորի' հստակ

պատկերացնելով, թե ի՞նչ սովորեցնել, ինչպե՞ս, ի՞նչ մեթոդներով ու հնարներով,

ինչպե՞ս գնահատել և գնահատման ի՞նչ ձևեր կիրառել:

Դիտարկումներից պարզվել է, որ ուսուցիչները քիչ են կիրառում ակտիվ

ուսուցման մեթոդներ' մնալով ավանդական ուսուցման շրջանակներում: Աաթե-

18

Պ Ա Շ Տ Ո Ն Ա Կ Ա Ն

մատիկայի ուսուցումը կդառնա էլ ավելի արդյունավետ, եթե հաճախակի կիրա­

ռեն այդ մեթոդները, հատկապես' համագործակցային ուսուցումը փոքր խմբե­

րով (3-4): Այդ մեթոդների կիրառումը մղում է աշակերտին ակտիվ գործունեու­

թյան, ստեղծում ուսուցման համար բարենպաստ միջավայր, թուլացնում լարվա­

ծությունը, ստեղծում փոխադարձ վստահության մթնոլորտ:

Քիչ են օգտագործվում նաև խաղային տեխնոլոգիաներ, որոնք շատ կարևոր են կրտսեր դպրոցականի համար: Դրանք աշակերտի ուշադրությունը կենտրոնացնում են, առաջացնում հետաքրքրություն: Խաղի ժամանակ ամենա­թույլ աշակերտն անգամ ոգևորությամբ է մասնակցում խաղին և խաղալով սովորում: Բացի մաթեմատիկական դիդակտիկ խաղերից, կարելի է կիրառել նաև մաթեմատիկական ստեղծագործական բնույթի խաղեր, որոնք կընպաստեն աշակերտների ստեղծագործական կարողությունների, երևակայության և ինք­նուրույնության զարգացմանը:

Ուսուցիչը պետք է նոր գաղափարների և մոտեցումների կրողը լինի, միայն ստեղծագործական մոտեցմամբ, մանկավարժական ու հոգեբանական նորանոր ձեռքբերումների շնորհիվ է հնարավոր հասնել ուսուցման գործընթացում բարձր արդյունքների:

Առարկայի մասին առավել հանգամանալից տեղեկույթ կարելի է ստանալ ԿԱԻ համացանցային կայքից ' www. aniedu. am հասցեով:

Սոնա Սարգսյան Մարինե Մանուկյան

Գայանե Բեդիրյան Կրթության ազգային ինստիտուտի մասնագետներ

19

Ա Ր Ժ Ե Ք Ա Յ Ի Ն Հ Ա Մ Ա Կ Ա Ր Գ

Ա ր ժ ե ք ա յ ի ն հ ա մ ա կ ա ր գ

ԲԱՐՈՅԱԿԱՆ ԱՐԺԵՔՆԵՐԸ ԵՎ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ՈՒՍՈՒՑՄԱՆ ԳՈՐԾԸՆԹԱՑԸ.

ԱՌԱՔԻՆՈՒԹՅՈՒՆ ԵՎ ԱՐԱՏ

Հ. Ս. Մ իքա յե լյա ն

Բարի, գեղեցիկ, առաքինի ընկերը մարդուՋիվանի

Ներածություն

Ընկերոջ ընդհանրական և կատարյալ կերպար ստեղծելու և գովերգելու հա­

մար բանաստեղծը, անշուշտ, իրավունք ունի և պետք է նրան վերագրի բարոյա­

կան բարձր արժեքներ: Սակայն չեմ կարծում, թե այդ նպատակի համար հայ

ժողովրդի մեծ գուսանի ընտրած առաքինության արժեքը նաև ժամանակի հա­

սարակության մեջ տարածված բարոյական բարձր որակ չի եղել: Հիշում եմ, երբ

ես դեռ երեխա էի, Ջավախքի հեռավոր մեր գյուղի երգասացները ինչպես էին

ընդգծում «առաքինի» բառը Ջիվանու երգը կատարելիս: «Առաքինի» բառը առ­

նում էր բոլորին ու երգվում մի ուրույն կորովով: Իսկ համապատասխան որակով

բնութագրվում էին միայն առանձնահատուկ մարդիկ' առանձնահատուկ մարդ­

կանց կողմից: «Առաքինություն» բառը այսօր դուրս է մղվել մեր բառապաշարից,

և այդ որակի ընկալումը կարծես գոյություն չունի հասարակության համար: Սա

մի ավելորդ ագամ վկայում է մեր հասարակության մեջ տիրող բարոյական խորը

ճգնաժամի մասին:

Ի՞նչ է առաքինությունը, արդյո՞ք բարոյական այս որակը անհրաժեշտ է մար­

դուն, քաղաքացուն, հասարակության անդամին, ի՞նչ է պետք անել մարդուն ա­

ռաքինի դարձնելու համար: Արիստոտելը, Կանտը և այլ իմաստասերներ գտնում

են, որ առաքինությունները մարդուն ոչ թե տրվում են ի վերուստ, այլ ձեռք են

բերվում գիտակցված ու նպատւսկւսուղղված ջանքերի շնորհիվ (տես [1], [2]): Եվ

այդ ջանքերի մեջ մեծ է կրթության դերը:

Իսկ ի՞նչ կարող է տալ մաթեմատիկական կրթությունը երեխային առաքինի

դարձնելու, նրա մեջ առաքինություններ ձևավորելու գործում: [12] և [13] աշխա­

տանքներում մենք նշել ենք սովորողների հոգևոր արժեքների ձևավորման գոր­

20

Ա Ր Ժ Ե Ք Ա Յ Ի Ն Հ Ա Մ Ա Կ Ա Ր Գ

ծում մաթեմատիկայի ուսուցման գործընթացի կարևորությունը, դիտարկել այդ

գործընթացում բարոյական այնպիսի արժեքների ձևավորման խնդիրը, ինչպի­

սիք են երջանկությունը, բարին, արդարությունը: Սույն հոդվածով կանդրադառ­

նանք մաթեմատիկայի ուսուցման գործընթացի միջոցով առաքինության բարո­

յական արժեքի ձևավորման խնդրին:

Առաքինություն

«Առաքինություն» - հունարեն' «arte» նշանակում է կատարելություն, իսկ լա­

տիներենում առաքինության համար գործածվում է «virtu» բառը, որ նշանակում է

«արի», «քաջ» (դրա հիմքում ընկած «virtu» բառը նշանակում է «տղամարդ»):

Վերածննդի շրջանում «virtu» բառի նշանակությունը մոտենում է առաքինության

հունական նշանակությունը, «virtuos» ֊ը իր գործի մեջ կատարելության հասած

արվեստագետն է:

Ներկայումս «առաքինություն» եզրը ունի երկու իմաստ: Մի կողմից, այն գոր­

ծածվում է բարոյականության համարժեք իմաստով: Այս տեսակետից «առաքինի

մարդ» և «բարոյական մարդ» արտահայտությունները ունեն նույն իմաստը: Այս

իմաստով է գործածել «առաքինի» եզրը նաև Ջիվանին իր բարոյական մոտե­

ցումը արտահայտելիս' «բարի, գեղեցիկ, առաքինի ընկերը մարդու»: Միևնույն

իմաստն են արտահայտում նաև «անբարոյականը» և «արատավորը»: Այս ընդ­

հանրական իմաստով առաքինությունը հետևյալ կերպ է բնութագրել է. Կանտը.

«առաքինությունը իր պարտքը ճշգրտորեն կատարելուն ուղղված մտածելա­

կերպ է» (տես [3]):

Մյուս կողմից, առաքինությունը բարոյական կոնկրետ, դրական որակ է, որի

հակառակ երևույթը արատն է: Եվ առաքինությունները նույնքան տարատեսակ

են, ինչքան մարդկային գործունեությունը: Առաքինություններ են ազնվությունը,

արդարությունը, անկեղծությունը, կարեկցանքը, մեծահոգությունը, քաջությունը,

առատւսձենությունը...: Արատներ են դրանց հակառակ երևույթները' անազնվու­

թյունը, անարդարությունը, կեղծավորությունը, անգթությունը, փոքրոգությունը,

վախկոտությունը, ժլատությունը ...: Եվ մարդը կարող է բարոյական այս որակ­

ներից մեկով լինել առաքինի, իսկ մյուսով' արատավոր: Նա կարող է լինել ազ­

նիվ, բայց վախկոտ, քաջ ու անազնիվ, անկեղծ, բայց ժլատ, առատաձեռն ու

անարդար և այլն:

Եթե առաքինությության դիտարկումը' որպես բարոյականության համարժեք

հասկացություն, մարդու բնավորության ընդհանրական ցուցանիշ է, ապա որպես

բարոյական կոնկրետ որակ այն հանդես է գալիս որպես նեղ անձնային որակ: Եվ

այս երկրորդ մոտեցումը հնարավորություն է տաիս ավելի հանգամանորեն

ուսումնասիրել մարդկային բարոյականությունը, նրա հակասականությունը, ա­

վելի արդյունավետ իրականացնել բարոյական դաստիարակության խնդիրները:

21

Ա Ր Ժ Ե Ք Ա Յ Ի Ն Հ Ա Մ Ա Կ Ա Ր Գ

Առաքինության մասին առաջին ուսմունքը զարգացրել է Արիստոտելը (տես [1]): Նա առաքինությունը դիտում է որպես երկու ծայրահեղ արատների' լիա­

ռատության և պակասության միջև ընկած ոսկե միջին: Այսպես' վտանգի հանդեպ խիզախությունը խելացնորության և վախկոտության միջինն է, նյութական բա­

րիքների հանդեպ առատաձեռնությունը շռայլության և ժլատության միջինը, պատվի և անպատվության հանդեպ փառապանձությունը' անբարտավանության

և նվաստության, ճշմարտախոսությունը' պարծենկոտության և կեղծավորության, սրամտությունը' խեղկատակության և անտաշության կամ բռիության, ընկերասի­

րությունը' անհաշտության, կռվասիրության և քծնողության, ամաչկոտությունը' անամոթության և երկչոտության և այլն:

Բարոյագիտության պատմության մեջ առանձնացվում են առաքինությունների երկու հիմնարար խմբեր' Հին Հունաստանի «արմատական» առաքինություն­

ները, որոնք են' չափավորությունը, խիզախությունը, իմաստությունը, արդարու­թյունը, և քրիստոնեության «աստվածաբանական» առաքինությունները' հույս,

հավատ, սեր (տես [6]):Վ. Ա. Աոլովևը ինչպես արմատական, այնպես էլ աստվածաբանական առաքի­

նությունները չի համարում ինքնին այդպիսիք. դրանք բարոյական նշանակու­թյուն են ձեռք բերում իրենց կիրառման առարկայից կախված: Օրինակ, համար­

ձակորեն կատարված հանցագործությունը չի կարելի խիզախություն համարել կամ թշնամուն հայտնած գաղտնիքը' ազնվություն (տես [4]): Նա մարդու առա­քինությունների հիմքում դնում է երեք որակներ' ամոթը, կարեկցանքը, երկյու­

ղածությունը: Ամոթը արտացոլում է մարդու վերաբերմունքը ցածրի, բնական

հակումների, ընդհանրապես բնական էության նկատմամբ - մարդը ամաչում է իր վրա դրա իշխանությունից և դրան ենթարկվելուց: Կարեկցանքը արտացոլում է

մարդու վերաբերմունքը մյուս մարդկանց և կենդանի արարածների նկատմամբ, և կարեկցանքը արտահայտվում է նրանում, որ մարդը վերապրում է ուրիշի

տառապանքը, ցույց է տալիս իր համերաշխությունը նրա հետ: Երկյուղածությու­նը արտացոլում է մարդու վերաբերմունքը բարձրյալի նկատմամբ: Բարձրյալից

մարդը չի կարող ամաչել, նրան չի կարող կարեկցել, բայց կարող է խոնարհվել նրան' ցույց տալով իր բարեպաշտությունը:

Տասնութերորդ դարի ԱՄՆ ֊ի հանրահայտ քաղաքական գործիչ, գրող և գիտնական, Բ. Ֆրանկլինը, որի նկարը պատկերված է ԱՄՆ 100 դոլարանոցի

վրա, որպես կյանքի հիմնական հայտանիշ համարում է հաջողությունը և, այդ պատճառով, ըստ Ֆրանկլինի, առաքինությունը պետք է չափել հաջողության

հասնելու համար նրա օգտակարությամբ (տես [5]): Այդ տեսակետից ելնելով, նա առանձնացնում է հետևյալ առաքինությունները, որոնցից առաջին երեքը համա­

րում է հինական.- աշխատասիրություն,

- դրամական պարտավորությունների ճշգրիտ կատարում,

- խնայողություն,

22

Ա Ր Ժ Ե Ք Ա Յ Ի Ն Հ Ա Մ Ա Կ Ա Ր Գ

- ուտելու և խմելու մեջ չափավորություն,

- սակավախոսություն' դատարկ խոսակցություններից խուսափելու ունակու­

թյուն,

- կարգապահություն ամեն ինչում,

- վճռականություն ընդունված պլանների իրագործման մեջ,

- անկեղծություն,

- ազնվություն,

- արդարություն,

- չափավորություն,

- մաքրություն հագուկապի և բնակարանի մեջ,

- հանգստություն' դատարկ բաներից, սովորական և անխուսափելի

անախորժություններից չհուզվելու ունակություն,

- ողջամտություն,

- համեստություն:

Առաքինությունները ըստ Արիստոտելի

և մաթեմատիկական կրթությունը

Եթե հետևելու լինենք Արիստոտելի ուսմունքին, ապա մաթեմատիկական

կրթությունը, հավանաբար, նպաստում է առաքինությունների ձևավորմանը, քա­

նի որ այն մարդուն հնարավորություն է տալիս ճիշտ գնահատել իրադրությունը,

իր հնարավորությունները, հեռու է պահում ծայրահեղություններից, նրան դարձ­

նում է չափավոր: Եթե կոնկրետ առաքինութուններին անդրադառնանք, ապա

մաթեմատիկական կրթությունը տարբեր առաքինությունների ձևավորման խնդրում

կարող է ունենալ տարբեր նշանակություն: Այստեղ մենք ավելի շատ կանդրա­

դառնանք ոչ թե կոնկրետ առաքինությունների, այլ դրանց վերին և ստորին ծայ­

րահեղությունների ձևավորման խնդրում մաթեմատիկական կրթության ունեցած

դերին: Այս մոտեցումը մաթեմատիկայի ուսուցչին հնարավորություն կտա մաթե­

մատիկայի ուսուցման գործընթցը հեռու պահել ավելորդ ծայրահեղություններ

կամ արատներ ձևավորելու վտանգից:

Մեզ թվում է, թե մաթեմատիկայի ուսուցման գործընթացը նպաստում է վտան­

գի զգացողության, իրադրության, նրանում իր հնարավորությունների և վտան­

գից առաջացած հնարավոր հետևանքների ճիշտ գնահատման, վտանգավոր

իրադրության մեջ կշռադատված մոտեցումների ցուցաբերման և ավելորդ զգաց­

մուքայնության չդրսևորման որակների ձևավորմանը: Այս բոլոր որակները մա-

թեմատկական կրթություն ստացած մարդուն կարող են հեռու պահել խելացնո­

րությունից կամ խենթությունից, լինել զգույշ: Իսկ առօրեական իրւսդրություն-

23

Ա Ր Ժ Ե Ք Ա Յ Ի Ն Հ Ա Մ Ա Կ Ա Ր Գ

ներից, շփումերից հեռու մնալը, որ կարող է տեղի ունենալ մաթեմատիկայով

զբաղվելու համար անհրաժեշտ անհատական երկարատև աշխատանքի ար­

դյունքում, վտանգի հանդեպ կարող է առաջացնել վախի զգացում: Հետևապես'

մեծ սպասելիքներ չպետք է ունենալ, թե մաթեմատիկական կրթություն ստացած

մարդը վտանգի հանդեպ կդրսևորի խիզախություն:

վախկոտություն խիզախություն խելացնորություն

Նյութական ծախսերի ճշգրիտ հաշվարկ կատարելու, ծախսեր պահանջող

պլաններ կազմելու ունակությունների մեծացումը, վիրտուալի և իրականի Փոխ­

հարաբերությունների անսովորությունը, կշռադատված մոտեցումների ցուցաբե­

րումը, ավելորդ զգացմունքայնության պակասը - ահա ունակություններ, որոնց

ձևավորմանը և զարգացմանը նպաստում է մաթեմատիկական կրթությունը և,

որոնք, միևնույն ժամանակ, չեն նպաստում կամ ավելին' բացառում են շռայլու­

թյան դրսևորումը: Հետևապես, պետք է ենթադրել, որ մաթեմատիկական կրթու­

թյունը նյութական ծախսերի նկատմամբ ավելի շատ դեպի ժլատության է մղում,

քան շռայլության, և նման կրթություն ստացած մարդը ավելի քիչ է հակված

առատաձեռնության:

ժլատություն առատաձեռնություն շռայլություն

I ^ ~1

Մաթեմատիկայի իմացությունը մեծացնում է մարդու արժեքը ուրիշների աչ­

քում: Ուրեմն, պետք է սպասել, որ մաթեմատիկական կրթությունը կարող է մար­

դուն մղել դեպի պարծենկոտության: Միևնույն ժամանակ, ճշմարտային արժեքի

ձևավորման գործում մաթեմատիկական կրթության մեծ դերը կարող է հեռացնել

մարդուն կեղծավորությունից: Հետևապես, մաթեմատիկական կրթությունը պետք

է, որ մարդուն ավելի շատ մղի ճշմարտախոսության, և նման մարդը որոշ չափով

կարող է հակված լինել նաև պարծենկոտության:

կեղծավորություն ճշմարտախոսություն պարծենկոտություն

Մաթեմատիկայի ուսուցման գործընթացը ձևավորում է հստակ մտածողու­

թյուն, ինչը նպաստում է այլոց հետ համաձայնության գալուն, հաշտ ապրելուն և,

հետևապես, փոքրացնում է անհաշտության դրսևորման հնարավորությունը: Միև­

նույն ժամանակ, այդ գործընթացը, ավելացնելով մարդու ինտելեկտուալ կարո­

24

Ա Ր Ժ Ե Ք Ա Յ Ի Ն Հ Ա Մ Ա Կ Ա Ր Գ

ղությունների նկատմամբ հավատը, մեծացնում է սեփական արժանապատվության

զգացումը, ինչը կարող է խոչընդոտել քծնողությանը: Այսպիսով, մաթեմատիկա­

կան կրթությունը պետք է, որ ձևավորի անհաշտության և քծնողության միջև ըն­

կած ընկերասիրությանն ուղղված որակներ: Մաթեմատիկայի լավ իմացությունը

կարող է նաև առաջացնել մեծամտություն, ինչը չի նպաստում ընկերասիրության

որակի ձևավորմանը: Ընկերասիրության որակի ձևավորմանը կարող է խոչընդո­

տել նաև մաթեմատիկական գիտելիքների և կարողությունների ձեռքբերման հա­

մար անհրաժեշտ անհատական երկարատև աշխատանքը, որ պահանջում է

մեկուսացում:

քծնանք ընկերասիրություն անհաշտություն

Մաթեմատիկական կրթությունը կարող է նպաստել սկսելու նոր ձեռնարկում­

ներ, ավարտին հասցնելու սկսած գործը, իրականացնել նոր պլաններ: Սրանք

մարդուն հաղորդում են վստահություն իր ուժերի նկատմամբ, ինչը իր հերթին

բացառում է երկչոտությունը: Եվ նման գործունեության մեջ մեծ վստահությունը

երբեմն կարող է բացառել նաև ամոթի որակի դրսևորումը: Սակայն մաթեմատի­

կայով չափից ավելի տարվելը սովորողին հեռու է պահում առօրեական շփում­

ներից, ինչը պատճառ կարող է դառնալ նման իրադրություններում երկչոտու­

թյան դրսևորման և համապատասխան որակի ձևավորման: Ինչ վերաբերում է

անամոթությանը, ապա այն կարող է դրսևորվել մեծամտության պատճառով,

որակ, որ հնարավորություն ունի ձևավորվելու մաթեմատիկական կրթության ար­

դյունքում: Այսպիսով, մաթեմատիկական կրթությունը հիմնականում չի նպաս­

տում ամաչկոտության առաքինության ձևավորմանը և կարող է ունենալ երկակի

նշանակություն, առօրեական իրադրություններում այն տանում է ամաչկոտու­

թյան ստորին ծայրահեղության' երկչոտության որակի ձևավորմանը, իսկ ինտե-

լեկտուալ գործունեության հետ կապված իրադրություններում' ամաչկոտության

վերին որակի' անամոթության (այստեղ ավելի տեղին է գործածել անհամեստու­

թյան որակը) ձևավորմանը:

երկչոտություն ամաչկոտություն անամոթություն

25

Ա Ր Ժ Ե Ք Ա Յ Ի Ն Հ Ա Մ Ա Կ Ա Ր Գ

«Արմատական» առաքինությունները

և մաթեմատիկական կրթությունը

Ինչպես նշվեց վերևում, Հին Հունաստանի «արմատական» առաքինություն­ներն են չափավորությունը, խիզախությունը, իմաստությունը և արդարությունը: Ի՞նչ ազդեցություն ունի մաթեմատիկական կրթությունը սովորողների մոտ բարոյական այս որակների ձևավորման գործընթացի վրա:

Չափավորությունը չափավոր լինելու հատկությունն է: Համաձայն [10]-ի չա­փավոր նշանակում է ա. ըստ անհրաժեշտ չափի, հարկ եղածի չափ, բ. ծայրա­հեղությունների չհանգող, միջին չափը պահպանող, պատշաճ կարգը, չափը պահպանող, գ. միջին, համեստ, բավարար, դ. ոչ արմատական, արմատական փոփոխություններ' միջոցառումներ չպահանջող:

ա. Այս նշանակությամբ որակ դրսևորելու համար նախ անհրաժեշտ է ունենալ չափի զգացում, հարկ եղածի չափը գնահատելու կարողություն: Ինչ վերաբերում է չափի զգացմանը, ապա այն ձևավորվում է համապատասխան փորձի արդյուն­քում, ինչը հավանաբար քիչ կախում ունի կրթությունից: Իսկ ահա հարկ եղածի չափը գնահատելու կարողությունը կապված է մտածողության, երևակայության և հոգեկան այլ գործընթացների հետ, որոնց ձևավորման գործում իր որոշակի դերն ունի մաթեմատիկայի ուսուցման գործընթացը: Հետևապես, մաթեմատի­կայի ուսուցման գործընթացը նպաստում է այս նշանակությամբ չափավորու­թյան առաքինության ձևավորմանը:

բ. Մաթեմատիկական կրթությունը այս նշանակությամբ չափավոր լինելու խնդրում, մեր կարծիքով, դրսևորվում է ըստ հետևյալ աղյուսակի'

Առօրեականիրադրություններում

միջին չափից ավելի ցածր, երբեմն' ծայահեղության հասնող մոտեցում

Մասնագիտական գործունեության մեջ

միջին չափը պահպանող, ծայրահեղությունների չհանգող մոտեցում

Ինտելեկտուալ գործունեության մեջ

միջին չափից ավելի բարձր, երբեմն' ծայահեղության հասնող մոտեցում

գ. Չափավոր լինելու այս նշանակությունը մոտ է նրա բ նշանակությանը: դ. Մաթեմատիկական կրթությունը ձևավորում և զարգացնում է այնպիսի

ունակություններ, որոնք չեն պահանջում արմատական փոփոխություններ կամ միջոցառումներ:

Խիզախությունը, ըստ [9] ֊ի, խիզախ' համարձակ, հանդուգն, անվախ, ան­վեհեր լինելու հատկությունն է: Միաժամանակ' խիզախությունը նորի, գեղեցիկի, վեհի բուռն ձգտումն է:

Մաթեմատիկական կրթությունը չի նպաստում առօրեական իրադրություննե­րում ճիշտ կողմնորոշվելուն և, հետևապես, պետք է կարծել, որ նման կրթությունը այստեղ չի նպաստում խիզախության որակի դրսևորմանը: Միևնույն ժամանակ

26

Ա Ր Ժ Ե Ք Ա Յ Ի Ն Հ Ա Մ Ա Կ Ա Ր Գ

կիրառական կարևոր նշանակությունը, մտածողության, երևակայության և հոգե­կան այլ որակների ձևավորման և զարգացման գործում մաթեմատիկական կրթու­թյան ունեցած մեծ դերը ցույց են տալիս, որ մասնագիտական գործունեության ոլորտում, առանձնապես' երբ խոսքը գնում է մաթեմատիկայի կիրառությամբ մասնագիտություններին, նման կրթությամբ մարդը կարող է իր գործունեության մեջ լինել անվախ,համարձակ, հանդուգն և խիզախ:

Հոգեկան որակների ձևավորման և զարգացման գործում ունեցած մեծ դերով մաթեմատիկական կրթությունը մեծապես նպաստում է նորի բացահայտմանը, մանավանդ' եթե այդ նորը կապված է մաթեմատիկական գիտելիքի հետ: Հե­տևապես, նման կրթությունը կարող է համարձակություն, խիզախություն հաղոր- դել մարդուն' նորի բացահայտման, դրան ձգտելու խնդրում:

Հանրահատ է համաչափության մաթեմատիկական գաղափարի դերը ճար­տարապետության և երաժշտության մեջ: Համաչափությունը ընկած է ընդհան­րապես գեղեցիկի գաղափարի հիմքում, այն կարող է լինել գեղեցիկի չափանիշ գրականության, թատրոնի, կերպարվեստի, քանդկագործության և արվեստի այլ բնագավառների ստեղծագործություններում: Նման մոտեցումը ունի հենքային խորություն և այդ խորքերի բացահայտումը կարող է առաջացնել ձգտում գեղե­ցիկի նկատմամբ: Միևնույն ժամանակ, մաթեմատիկական օրինաչփությունները, հասկացությունների միջև առկա ներքին խորը կապերը գեղեցիկի անսովոր դրսևորումներ են, որոնց իմացությունը նույնպես նպաստում է գեղեցիկի ձևա­վորմանը և առաջացնում է որոշակի ձգտում դրա նկատմամբ:

Իմաստությունը, ըստ [9] ֊ի, նշանակում է' ա. Իմաստուն լինելը: բ. Երևույթ­ների' դեպքերի ևն խոր իմացություն' ըմբռնում: գ. Հանճարեղ' իմաստալից խոսք' միտք' առած' գրվածք: դ. Խոր իմացականություն, հանճար: Որպես առաքի­նություն' իմաստությունը մենք կդիտարկենք միայն ա և բ նշանակություններով:

ա. Իմաստուն լինելը:Մաթեմատիկական կրթությունը այս նշանակությամբ իմաստուն լինելու խնդ­

րում, մեր կարծիքով, դրսևորվում է ըստ հետևյալ աղյուսակի, որի առաջին սյու­նակում տրված է իմաստուն եզրի ստուգաբանությունը ըստ [9] ֊ի, իսկ երկրորդ սյունակում' մաթեմատիկայի ուսուցման գործընթացի ազդեցությունը համապա­տասխան որակի ձևավորման համար:

Մտավոր մեծ կարողություններով օժտված, շատ խելոք

Նպաստում է մեծապես

Իմաստությամբ լի Նպաստում է

Կենսափորձ ու կյանքի խոր ճանաչողություն ունեցող

Չի նպաստում

Ընդհանրապես' խելացի Նպաստում է մեծապես

Իմաստալից բաներ խոսող Նպաստում է

Հմուտ, ճարտար Նպաստում է մասամբ

Գիտուն, գիտնական, փիլիսոփա Նպաստում է

27

Ա Ր Ժ Ե Ք Ա Յ Ի Ն Հ Ա Մ Ա Կ Ա Ր Գ

բ. Երևույթների' դեպքերի ևն խոր իմացություն' ըմբռնում: Շատ երևույթների հիմքերում ընկած են մաթեմատիկական ինչ-ինչ օրինաչափություններ և առանց մաթեմատիկայի կիրառության անհնար է ուսումնասիրել և խորությամբ հաս­կանալ դրանք: Այդպիսիք են ֆիզիկայի և բնական այլ գիտություններում դի­տարկվող երևույթները: Իսկ այլ երևույթների խորը ուսումնասիրությունն ու իմա­ցությունն էլ պահանջում է մտածողության, երևակայության և հոգեկան այլ որակների առկայություն, ինչին մեծապես նպաստում է մաթեմատիկայի ուսուց­ման գործընթացը: Հետևապես, մաթեմատիկական կրթությունը մեծապես նպաս­տում է այս իմաստով իմաստության որակի ձևավորմանը և զարգացմանը:

Արդարության առաքինության ձևավորման խնդրում մաթեմատիկական կրթու­թյան դերը հանգամանորեն քննարկվել է [13] աշխատանքում: Այստեղ ավելաց­նենք միայն, որ բոլոր ժամանակներում և բոլոր իրադրություններում ծագած ցանկացած խնդրի ճշմարիտ լուծումը համարվել է արդար: Հեևւսպես' նման լու­ծումներ գտնելու համար անհրաժեշտ պայմաններից մեկը կապված է ճշմար- տային արժեքի, մանավանդ' տրամաբանական ճշմարիտի իմացության աստի­ճանից: Հաշվի առնելով ճշմարտային արժեքի ձևավորման գործում մաթեմատի­կական կրթության հսկայական և անփոխարինելի դերը, կարելի է վստահորեն ա­սել, որ մաթեմատիկական կրթությունը մեծապես նպաստում է, ավելին' նպատա- կաուղղված է արդարության բարոյական որակի ձևավորմանը և, մանավանդ, բացահայտմանը:

«Աստվածաբանական» հիմնական առաքինությունները

և մաթեմատիկական կրթությունը

Չնայած այն բանի, որ քրիստոնեական մտածելակերպով «աստվածաբանա­կան» հիմնական առաքինությունները ուղղված են Արարչին (պետք է հավատալ Արարչին, սիրել նրան և հուսալ նրա օգնությամբ փրկության իրականացմանը), այնուամենայնիվ, մենք կդիտարկենք ընդհանրապես (ոչ միայն Արարչի ուղղված) հավատի, սիրո և հույսի առաքինությունների ձևավորման խնդիրը մաթեմատի­կայի ուսուցման գործընթացի միջոցով:

Սիրո որակի ձևավորման մեջ մաթեմատիկական կրթության դերին մենք անդ­րադարձել ենք [12] ֊ում:

Մեծ դեր ունի մաթեմատիկական կրթությունը հավատի առաքինության ձևա­վորման գործում: Այսօր գիտական հետազոտությունների հավաստիությունը մե­ծապես պայմանավորված է դրանցում մաթեմատիկայի կիրառության աստիճա­նից: Կարելի է վստահորեն ասել, որ գիտական հետազոտության հավաստիու­թյան նկատմամբ հավատը ուղիղ համեմատական է նրա հիմնավորման մեջ մա­թեմատիկայի մասնակցության չափին: Նույնն է պատկերը տեխնիկական նորա­րարությունների պարագայում, դրանց նկատմամբ հավատը պայմանավորված է դրանց հիմքում ընած մաթեմատիկական հաշվարկներով: Ընդհանրապես, կարե­

28

Ա Ր Ժ Ե Ք Ա Յ Ի Ն Հ Ա Մ Ա Կ Ա Ր Գ

լի է ասել, որ բոլոր ժամանակներում հասարակության կողմից մաթեմատիկան դիտվել է որպես ճշմարիտի նկատմամբ հավատի հիմնական աղբյուրներից մե­կը: Այս տեսակետից ինչքան մեծ է սովորողի կրթական գործընթացում մաթեմա­տիկայի չափաբաժինը, այնքան մեծ կարող է լինել նրա մոտ վերը նշված հա­վատը: Չափազանց կարևոր է մարդու հավատը սեփական ունակությունների, ուժերի, մանավանդ' մտավոր' ինտելեկտուալ կարողությունների նկատմամբ: Եվ այստեղ մաթեմատիկան այն փորձաքարն է, որին բախվելով' ստուգվում, նաև' ձևավորվում է բարոյական այդ որակը: Մաթեմատիկայի ուսուցիչը պարտավոր է հաշվի առնել այս հանգամանքը: Նա պետք է աշակերտներին մաթեմատիկական առաջադրանքներ տալուց անպայման հաշվի առնի նրա ունակությունները, մա­թեմատիկական մի քանի առաջադրանքների ինքնուրույն լուծումը կարող է թևա­վորել սովորողին, նրա մոտ ձևավորել հավատ սեփական ինտելեկտուալ կարո­ղությունների նկատմամբ և, հակառակը, մի քանի ձախողումներից հետո սովո­րողը կարող է թևաթափ լինել, կորցնել հավատը սեփական ուժերի նկատմամբ: Ահա այս հանգամանքն է հաշվի առնվել մեր կողմից հանրահաշվի դասագրքե­րում երբեմն շատ պարզ թվացող, բայց և կիրառական նշանակություն ունեցող առաջադրանքներ զետեղելիս: Դրանք նախատեսված են մաթեմատիկական ոչ բարձր ունակություններ ունեցող աշակերտների համար և կարող են ծառայել սեփական ինտելեկտուալ կարողությունների նկատմամբ հավատի ձևավորման կարևորագույն խնդրի իրագործմանը: Միաժամանակ, մաթեմատիկական դատո­ղությունների հստակությունը, մտահանգումների միջոցով ստացած ճշմարտա- յին կոնկրետ արժեքները, խնդիրների ու վարժությունների հստակ պատասխան­ները ձևավորում են ոչ միայն ճշմարիտի նկատմամբ վերը նշված ընդհանրական հավատի որակը, այլև տալիս են հավատ գործունեության կոնկրետ տեսակի մեջ ակնկալվող արդյունքին, նախանշված նպատակին հասնելու նկատմամբ: Եվ այստեղ նույնպես ուսուցիչը պարտավոր է գործել' հաշվի առնելով սովորողի

մաթեմատիկական ունակությունները: Հարկ է նշել, որ թե՜ մաթեմատիկայի ա­

ռարկայական չափորոշիչը' իր երեք մակարդակներով, թե՜ դասագրքերը նման մոտեցում ցուցաբերելու հնարավորություն տալիս են: Այս բոլորը գալիս են հաս­տատելու մաթեմատիկական կրթության մեծ դերը սովորողների մոտ հավատի առաքինության ձևավորման գործում:

Ըստ [6] ֊ի, որևէ ցանկալի բանի սպասելը' դրա իրականանալու հավատով,

կամ' որևէ բանի իրականանալու, տեղի ունենալու հավանականությունը հույսն

է: Հետևապես, նախորդ պարբերությանից հետևում է, որ մաթեմատիկայի ուսուց­

ման գործընթացը նպաստում է նաև հույսի առաքինության ձևավորմանը: Ընդ

որում, ուսուցչից է մեծապես կախված նման որակի ձևավորման աստիճանը: Այս­

տեղ նույնպես, եթե ոչ բարձր ունակություններով աշակերտին հանձնարարվում

են իր ուժերից վեր առաջադրանքներ, ապա դրա կատարման սպասելը' իրակա­

նանալու հավատով' անհնար է, այսինքն' սովորողը կորցնում է հույսը' հուսա­

թափ է լինում, իսկ նման մի քանի փորձերը կարող են ի չիք դարձնել մաթեմա­

29

Ա Ր Ժ Ե Ք Ա Յ Ի Ն Հ Ա Մ Ա Կ Ա Ր Գ

տիկայի ուսուցման միջոցով նրա մոտ հույսի որակի ձևավորման հնարավորու­

թյունները: Եվ հակառակը, իր ուժերին համապատասխանող մի քանի առաջա­

դրանքների կատարումը բավարար է մաթեմատիկայի ուսուցման գործընթացը

այդ որակի ձևավորման գործընթացի մեջ ներառելու համար:

Ի մի բերելով ասվածը, կարող ենք եզրակացնել, որ սովորողների մոտ քրիս­տոնեական հիմնական առաքինությունների' սիրո, հույսի և հավատի ձևավոր­ման խնդրում մեծ դեր ունի մաթեմատիկայի ուսուցման գործընթացը: Եվ այստեղ խոսքը վերաբերում է ոչ թե մի քանի աշակերտների մաթեմատիկական գիտելիք­ներ տալու պարզ աշխատանքին, այլ մաթեմատիկայի կրթական ներուժի օգտւս- գործմամբ նշված արժեքները բոլոր աշակերտների մոտ արմատավորելու բարդ ու դժվարին գործընթացին:

Սոլովևյսւն առաքինությունները

և մաթեմատիկական կրթությունը

Անդրադառնանք առաքինության սոլովևյան ըմբռնմանը և դրա ձևավորման մեջ մաթեմատիկական կրթության դերին: Ինչպես նշվեց վերևում, Սոլովևը առաքինությունների հիմքում դնում է երեք որակներ' ամոթը, կարեկցանքը, երկյուղածությունը:

Ամոթը արտացոլում է մարդու վերաբերմունքը ցածրի, իր բնական հակում­ների, ընդհանրապես բնական էության նկատմամբ - մարդը ամաչում է իր վրա դրա իշխանությունից և դրան ենթարկվելուց: Մաթեմատիկական կրթությունը և, ընդհանրապես, մաթեմատիկայով զբաղվելը հոգևոր գործունեություն է, որ պա­հանջում է ուժերի մեծ լարում, մարդուն հեռու է պահում իր բնական հակում­ներից և բնական էությունից: Հետևապես' նման գործունեութունը, մասնավորա­պես' մաթեմատիկայի ուսուցման գործընթացը մարդուն հեռու է պահում ամոթի զգացումից:

Ավելի հանգամանորեն քննարկենք ամոթի որակի ձևավորման գործում մա­թեմատիկական կրթության ունեցած դերի հարցը: Ըստ [9] ֊ի ամոթ նշանակում է' ա. ոչ բարեբարո արարքից անհարմար զգալու կամ զղջալու ներքին խռովու­թյուն' հուզում, բ. անպատվության' ստորացման զգացում, գ. պատշաճության' ողջախոհության ընդունված կանոններին հակասող արարքի կամ վիճակի զգացում:

ա. Մաթեմատիկայով զբաղվելը' որպես մտավոր բարձր ունակություններ պահանջող զբաղմունք, արդեն հարգանք է ներշնչում այլոց մեջ և նրանով զբաղ­վողը կարող է անպատվության զգացում չունենալ: Միևնույն ժամանակ, մաթե­մատիկայի ուսուցումը տալիս է վերլուծելու կարողություն, մասնավորապես' սե­փական արարքները վերլուծելու կարողություն, արարքներ, որոնք կարող են լի­նել նաև ոչ բարեբարո: Հարկ է նշել, որ սեփական արարքը ճիշտ գնահատելու կարողությունը, անհրաժեշտության դեպքում դրա համար զղջալու զգացումը միանգամայն դրական որակներ են, որոնք և կարող են հետագայում մարդուն հե­

30

Ա Ր Ժ Ե Ք Ա Յ Ի Ն Հ Ա Մ Ա Կ Ա Ր Գ

ռու պահել ոչ բարեբարո արարքներից: Այսպիսով, մաթեմատիկայի ուսուցման գործընթացը նպաստում է այս իմաստով ամոթի որակի ձևավորմանը:

բ. Սակայն մաթեմատիկայի ուսուցման գործընթացը հղի է սովորողի ստո-

րացման վիճակի հասցնելու և համապատասխան զգացում առաջացնելու վտան­գով: Սովորաբար ստորացման զգացումը առաջանում է համեմատության ընթաց­

քում, և այն կարող է համակել համեմատության ընթացքում կողմերից մեկին, ով

մյուսին զիջում է շատ մեծ տարբերությամբ: Այդպիսի զգացման կարող է հան­

գեցնել, օրինակ, մարզական մրցման ընթացքում կողմերից մեկին' նրա նկատմամբ

մյուսի շատ մեծ առավելությամբ տարած հաղթանակը: Հարկ է նկատել, որ

դպրոցական հասակի երեխաները ավելի խոցելի են այս տեսակետից: Հետևա­

պես, պետք է զգույշ լինել մաթեմատիկայի ուսուցման ընթացքում մրցումներ

կազմակերպելիս կամ խմբային ու համագործակցային մեթոդներով ուսուցումը

կազմակերպելիս, արդյո՞ք ուսուցումը չի հանգում ունակություններով իրարից

խիստ տարբեր կողմերի մրցման:

գ. Այնուհետև, ինչպես ցույց է տրվել [11] ֊ում, մաթեմատիկայի ուսուցման գործընթացը նպաստում է կամքի ուժի, զսպվածության ձևավորմանը, որոնք,

իրենց հերթին, թույլ են տալիս չգայթակղվել և չշեղվել ընդունված բարոյական

նորմերից, չկատարել պատշաճության' ողջախոհության ընդունված կանոններին

հակասող արարք, չընկնել նման վիճակի մեջ, չունենալ համապատասխան զգա­

ցում և չզգալ ամոթ:

Կարեկցանքը ըստ [9] ֊ի նշանակում է' ա. կայուն վերաբերմունք ուրիշի

վշտի' հուզմունքների նկատմամբ, բ. կարեկից' ցավակից լինելը, ցավակցություն,

վշտակցություն, գ. գութ, խղճահարություն, դ. բարյացակամ վերաբերմունք:

ա. Մաթեմատիկայի ուսուցման գործընթացը զուտ ինտելեկտուալ գործու­

նեություն է: Եթե, օրինակ, գրականության դասաժամին գրական ստեղծագոր­ծության վերլուծության ընթացքում սովորողը հնարավորություն ունի իր հուզա­

կան վերաբերմունքը դրսևորել և դրսևորում է ստեղծագործության այս կամ այն

հերոսի նկատմամբ, որը նաև օրինակ է ծառայում սովորողին, նաև' բարոյական

այս կամ այն որակի ընդօրինակման խնդրում, ապա մաթեմատիկայի դասաժամը

զերծ է նման հնարավորություններից: Նրանում զգացմունքային տարրը կարող է

դրսևորվել ուսուցման ընթացքում առաջացած դժվարությունները հաղթահարե­

լուց առաջացած ուրախության կամ դրանք հաղթահարել չկարողանալուց առա­

ջացած տխրության միջոցով: Լավ ուսուցիչը կարող է օգտագործել սա և սո­

վորողների մոտ արթնացնել կարեկցանքի զգացմունքը' կազմակերպելով փոխօգ­նություն ուսուցման համագործակցային, խմբային կամ այլ եղանակներով:

բ. Ցավակից լինելու, ցավակցություն, վշտակցություն արտահայտելու իմաս­

տով կարեկցանքի որակը ձևավորվում է մարդկանց հետ շփվելու, նրանց հոգ­

սերը, դժվարությունները տեսնելու, կիսելու և նման այլ գործողությունների ըն­

թացքում: Իսկ մաթեմատիկական կրթությունը, լինելով մտավոր մեծ լարում և

երկարատև անհատական աշխատանք պահանջող գործունեություն, մարդուն

31

Ա Ր Ժ Ե Ք Ա Յ Ի Ն Հ Ա Մ Ա Կ Ա Ր Գ

կարող է հեռու պահել նման գործողություններից և, հետևապես, չնպաստել կամ

խանգարել կարեկցանքի որակի ձևավորմանը:

գ. Գութ կամ գթասրտություն նշանակում է այլոց նկատմամբ բարյացակամ,

հոգատար, սիրալիր վերաբերմունք (տես [6]): ճիշտ կազմակերպելու դեպքում

մաթեմատիկայի ուսուցման գործընթացը կարող է նպաստել բարոյական այս

որակների ձևավորմանը (տես [12], [13]):

դ. Որպես բարյացակամ վերաբերմունք կարեկցանքի ձևավորման գործում

մաթեմատիկայի ուսուցման գործընթացը ունի մեծ ազդեցություն (տես [13]):

Երկյուղածության որակի ձևավորման մեջ նույնպես մաթեմատիկական կրթու­

թյունը ունի կարևոր դեր: Ի տարբերություն ֆիզիկոսների, որոնք միջնադարում

իրենց հայտնագործությունների համար կարող էին ենթարկվել ինկվիզիցիայի

կողմից պատժվելու վտանգին, մաթեմատիկոսները ի սկզբանե գտել են, որ

Աստված, արարելով աշխարհը, նրա կառույցի հիմքում դրել է մաթեմատիկան, և

մաթեմատիկոսների խնդիրը եղել է միայն ուսումնասիրել այդ աստվածային կա­

ռույցը, հայտնաբերել նրա տեսքը (տես [7]): Այդ պատճառով նրանք զերծ են

մնացել ինկվիզիցիայի հետապնդումներից և դադաստանից: Եվ նրանք ճշմա­

րիտ են եղել: Իսկ աստվածային այդ կառույցի հետ հաղորդակցությունը, որ կա­

տարվում է մաթեմատիկայի ուսուցման ընթացքում, չի կարող մարդուն չհիացնել

նրա գեղեցկությամբ և հզորությամբ: Իսկ նման ստեղծագործության հեղինակի'

Աստծո նկատմամբ մարդը բնականաբար կարող է միայն խոնարհում ունենալ:

Հետևապես, մաթեմատիկական կրթությունը կարող է նպաստել երկյուղածության

որակի ձևավորմանը: Միաժամանակ, նման գիտակցումը պահանջում է վերլու­

ծական կարողություններ, ողջախոհություն և համանման այլ որակներ, որոնց

ձևավորման մեջ նույնպես մաթեմատիկական կրթությունը ունի կարևոր նշանա­

կություն:

Ֆրանկլինյան առաքինությունները

և մաթեմատիկական կրթությունը

Այսօր մաթեմատիկան ունի կրթական հսկայական ներուժ և առանց մաթեմա­

տիկական պատշաճ կրթության դժվար է ակնկալել հաջողություն ժամանակա­

կից աշխարհում, մանավանդ' մաթեմատիկական կիրառություններ ունեցող մաս-

նագիտություններ ընտրելիս: Հետևապես' մաթեմատիկական կրթությունը նպաս­

տում է առաքինության ֆրանկլինիյան ընկալման հիմնական հայտանիշի' հաջո­

ղության ձևավորմանը և զարգացմանը: Իսկ Բ. Ֆրանկլինի առանձնացրած երեք

հիմնական առաքինությունների' աշխատասիրության, դրամական պարտավո-

րությունների ճշգրիտ կատարման և խնայողության որակների ձևավորման գոր­

ծում մաթեմատիկական կրթության ունեցած դերի մասին կարելի է ասել հետևյալը:

32

Ա Ր Ժ Ե Ք Ա Յ Ի Ն Հ Ա Մ Ա Կ Ա Ր Գ

Մաթեմատիկական կրթությունը տրվում է միայն համառ ու հետևողական աշխատանքի' աշխատասիրության դրսևորմամբ: Հետևապես' այն նպաստում է ֆրանկլինյան առաքինության այս որակի ձևավորմանը:

Մաթեմատիկական կրթության բովանդակության մեջ ճշմարտային արժեքի գերակայությունը կարող է նպաստել նաև դրամական պարտավորությունների ճշգրիտ կատարմանը, իսկ նրանում պլանների հստակությունը, նրա միջոցով հաշվարկներ կատարելու ունակությունների առկայությունը հիմք են ստեղծում նաև ձևավորել խնայողության որակի ձևավորման համար:

Բ. Ֆրանկլինի դիտարկած մնացած առաքինությունների ձևավորման մեջ մաթեմատիկական կրթության ունեցած դերը, մեր կարծիքով, կարելի է գնահա- տել հետևյալ կերպ:

Ուտելու և խմելու մեջ չափավորություն: Մաթեմատիկայի ուսուցման գործ­ընթացը բերում է ինտելեկտուալ տարրի գերակայության, պահանջում է մտավոր ակտիվ գործունեություն, որակներ, որոնք մղում են կենսական պահանջների դրսևորման հարցում, այդ թվում' ուտելու և խմելու մեջ չափավորության (տես նաև չափավորության դիտարկումը արմատական առաքինությունների բաժնում):

Սակավախոսություն: Կ. Մարքսը իր նամակներից մեկի երկարաշունչ լինելը բացատրում է ժամանակի սղությամբ: Այսինքն' իրերի, երևույթների խորքը թա­փանցելու դեպքում, դրանց էությունը ճշմարիտ արտահայտելու համար երկար բացատրությունների կարիք չի զգացվում: Մաթեմատիկայի ուսուցման գործըն­թացը համարյա ամենուրեք ուղեկցվում է մաթեմատիկական և կիրառական երևույթների էությունը բացահայտելու գործողություններով: Միևնույն ժամանակ այն պահանջում է երկարատև, հետևողական անհատական մտավոր աշխա­տանք: Այս բոլորը նպաստում են սակավախոսության որակի դրսևորմանը:

Կարգապահություն: Մաթեմատիկական կառույցի հստակությունը, նրանում փաստերի հետևողական փոխկապակցվածությունը կարգապահության անկրկ­նելի օրինակ են ծառայում, ինչը մեծապես կարող է նպաստել նաև կարգապա­հության բարոյական որակի ձևավորմանը:

Վճռականություն: Մաթեմատիկական կրթությունը առօրեական խնդիրնեի լուծման մեջ քիչ ազդեցություն ունի, ավելի շատ կարող է դարձնել անվճռական, քանի որ չի նպաստում առօրեական շփումների իրականացմանը: Իսկ մասնագի­տական և ինտելեկտուալ հարցերի, խնդիրների լուծման մեջ մարդուն դարձնում է վճռական, քանի որ մեծացնում է ինտելեկտուալ կարողությունները և հնարա­վորություն է տալիս մաթեմատիկայի կարևոր կիրառությունների իրականացման:

Անկեղծություն: Մաթեմատիկայի ուսուցման համար պահանջվող երկարատև աշխատանքը մարդուն կարող է դարձնել ինքնամփոփ, ինչը նրան չի մղում ան­կեղծության: Միևնույն ժամանակ, մարդը հաճախ անկեղծ չի լինում իր իմացածը գաղտնի պահելու, դիմացինի հետ կիսվել չցանկանալու պատճառով: Մաթեմա­տիկական գիտելիքի անսպասելիությունը, հետաքրքրաշարժությունը, գեղագի­տական, կիրառական արժեքները որոշակի հուզական լիցք են առաջացնում դրա կրողի մոտ, ինչը կարիք է զգում այլոց հետ կիսվելու, հաղորդակցվելու: Հետևա-

33

Ա Ր Ժ Ե Ք Ա Յ Ի Ն Հ Ա Մ Ա Կ Ա Ր Գ

պես' մաթեմատիկական գիտելիքը մարդուն կարող է մղել անկեղծության: Երբեմն առաջադրված խնդրի լուծման հետ կապված հացերում, երբ առկա է մրցակցային տարրը, կարող է դրսևորվել ոչ թե անկեղծությունը, այլ իմացածը գաղտնի պահելու ցանկությունը: Ուսուցիչը պետք է զգոն լինի, որովհետև նման դեպքերը իրենց մեջ պարունակում են նախանձի և բարոյական այլ արատների սերմեր:

Ազնվություն: Մաթեմատիկական կրթության մեջ ճշմարտային արժեքի ակտիվ մասնակցությունը մաթեմատիկայի ուսուցման գործընթացում սովորողին կարող

է մղել ազնվության: Իսկ այդ նպատակին հասնելու և կրթական գործընթացի ճիշտ կազմակերպման համար կարևոր է իմանալ մեծ իմաստասեր Լ. Ն. Տոլստո-

յի մոտեցումը ազնվության մասին, «որպեսզի ազնիվ ապրել, պետք է խարխա­փել, զարնվել, սխալվել, սկսել ու թողնել, և նորից սկսել... Իսկ հանգստությունը

հոգևոր ստորություն է» (տես [8]): Եվ մաթեմատիկայի ուսուցման գործընթացը, հավանաբար ավելի շատ, քան ուսումնական այլ առարկաներ, լի է սովորողին

անհրաժեշտ հոգևոր «անհանգստություն» պարգևող տարրերով: Իսկապես, դժվար է միանգամից գտնել մաթեմատիկական շատ թե քիչ լուրջ առաջադրան­

քի լուծման ճամապարհը: Անգամ մեծ մաթեմատիկոսները թույլ են տվել լուրջ սխալներ շատ դժվար խնդիրների լուծման մեջ: Եվ միայն տարիներ անց այդ

սխալները նկատվել են այլ մաթեմատիկոսների կողմից: Սակայն նույն սխալները լուրջ ներդրում են ունեցել նոր և ճշմարիտ լուծումների և, ընդհանրապես, մաթե­մատիկայի զարգացման համար: Այս մոտեցման լույսի ներքո միայն տարա­

կուսանք կարող են առաջացնել մաթեմատիկական թեստերի գնահատման այն չափանիշները, համաձայն որոնց նախատեսվում է սովորողին «պատժել»' թես-

տը գնահատելիս միավորներ հանել այն առաջադրանքների համար, որոնց լուծ­ման ընթացքը սխալ է ընտրված (տես [14]):

Արդարություն: Արդարության ձևավորման գործում մաթեմատիկայի ուսուց­ման գործընթացը ունի մեծ ազդեցություն (տես «արմատական» առաքինություն­

ներին նվիրված բաժինը և [13] ֊ը):Չափավորության որակը դիտարկված է արմատական առաքինությունների

բաժնում:

Մաքրություն հագուկապի և բնակարանի մեջ: Դժվար է սպասել, որ մաթե­մատիկայի ուսուցման գործընթացը հագուկապի և բնակարանի մեջ և, ընդհան­րապես, կենցաղում կարող է նպաստել մաքության որակի ձևավորմանը, այն

անգամ կարող է այստեղ նպաստել ավելորդ թափթփվածության դրսևորման: Մենք ավելի կարևոր ենք համարում մտածողության մաքրությունը, ինչի ձևավոր­

ման գործում մաթեմատիկայի ուսուցման գործընթացը ունի մեծ նշանակություն (տես [11]):

Հանգստություն' դատարկ բաներից, սովորական և անխուսափելի անախոր­ժություններից չհուզվելու ունակություն: Մաթեմատիկայի ուսուցումը' մանավանդ'

մաթեմատիկական խնդիրների լուծումը հնարավորություն է տալիս կտրվել առ­

34

Ա Ր Ժ Ե Ք Ա Յ Ի Ն Հ Ա Մ Ա Կ Ա Ր Գ

օրեական միջավայրից, չզգալ նրա բերած անախորժությունները, չհուզվել դրւսն- ցոով և, ուրեմն, կարող է նպաստել դիտարկվող որակի ձևավորմանը:

Ողջամտություն: Տես իմաստության որակի դիտարկումը «արմատական» առա­քինություններին նվիրված բաժնում:

Համեստություն: Եթե մաթեմատիկայի ուսուցման գործընթացը նպատակա- ուղղվում է մաթեմատիկայի' որպես իրական աշխարհի երևույթների հիմքում ընկած անընդգրկելի, խորը և գեղեցիկ օրինաչափությունների բացահայտմանը, ապա այն կարող է միայն համեստություն ձևավորել մարդու մեջ: Իսկ եթե այդ գործընթացը նպատակաուղղվում է սովորողի' խնդիրներ լուծելու կարողություն­ների բացահայտմանը, այդ հարցում դասընկերների հետ մրցակցության, ապա այն կարող է ուժեղների մոտ ձևավորել անհամեստություն, մեծամտություն, իսկ թույլերի մոտ' թերարժեքության բարդույթ(տես [11]):

Գրականություն

1. А ри стотель , Сочинения, т. 4 (Никомахова этика.), М. 1983.2. Э. Кант, Сочинения, т. 4, 1965.3. Э. Кант. Трактаты и письма. М. 1980.4. В. С. Соловев, Оправдание добра, М., 1897.5. Б. Франклин, Избр. Соч., М., 1956.6. А. А. Гусейнов, Р. Г. Апресян, Э тика , М., 2007.7 . М. Клайн, Математика. Поиск истыни, М., 1991.8 . JI. Н. Толстой, Исповедь. В чем моя вера, Полн. Собр. Соч. ,т. 90, М., 1957.

9. է. Աղայան, Արդի հայերենի բացատրական բառարան, հ. 1, Երևան, 1976:10. է. Աղայան, Արդի հայերենի բացատրական բառարան, հ. 2, Երևան, 1976:11. Հ. Ս. Աիքայելյան, Մաթեմատիկական կրթությունը և սովորողների հոգեկան

կոփումը, Մանկավարժություն, N1, 2010:12. Հ. Ս. Աիքայելյան, Երջանկությունը և մաթեմատիկական կրթությունը, Մաթե­

մատիկան դպրոցում, N2, 2010:13. Հ. Ս. Աիքայելյան, Բարոյական արժեքները և մաթեմատիկայի ուսուցման

գործընթացը, բարին, չարը, արդարությունը, Մաթեմատիկան դպրոցում, N3, 2010 :

14 . Մ. Մկրտչյան, Մաթեմատիկայի թեստերի մասին, Մաթեմատիկան դպրոցում,N 1, 2009:

35

Գ Ի Տ Ա Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

ԴՒՏԱՄԵԹՈԴԱկԱՕյ

ԱՄԲՈՂԶ Մ Ա Ս ՊԱՐՈՒ4յԱկք1ՂԱ ՆՀԱ ՎԱ ՍԱ ՐՌ ԻՄ Ն ԵՐ

(Ավագ դպրոցի խորացված ուսուցման հոսքի համար)Բ.Բ. Ներսիսյան, Ս.Վ. Աբաջյան Երևանի Խ.Աբովյանի անվան ՀՊՄՀ

Հեղինակները [3]-ում ուշադրություն են դարձրել х թվի ամբողջ մաս

պարունակող հավասարումների լուծմանը: Սույն հոդվածը նպատակ է հետա­պնդում առավել խորը և մանրակրկիտ ներկայացնել « х թվի ամբողջ մաս պա-

րունակող անհավասարումներ» թեման, որը, ինչպես նշվել էր նախորդ հոդ­վածում, առավել նպատակահարմար է, հատկապես, կամընտրական կամ ար­տադասարանական պարապմունքների անցկացման համար:

Սահմանում: Իրական х թվի ամբողջ մաս անվանում են այն ամենամեծ

ամբողջ թիվը, որը չի գերազանցում ճ թիվը:

X թվի ամբողջ մասը նշանակում են [х] պայմանանշանով և կարդում'

«ամբողջ մաս х »:

Օրինակ. [1.5] = 1, [2,8] = 2, [-2,8] = ֊3 , [4] = 4, [ - з] = ֊3 և այլն:

X թվի ամբողջ մասի սահմանումից հետևում է, որ

[х] < X < [х] + 1 ,

կամ

0 < X - [х] < ] :

Նշենք [*]-ի մի քանի կարևորագույն հատկություններ, որոնք կկիրառենք

հոդվածում բերվող խնդիրների լուծման ժամանակ:

1°. \ / x e R , n e Z համար

[x + ո] = [x] + [«] = [x ] + ո :

2°. Եթե a , b s R և [«] = [b\, ապա

36

Գ Ի Տ Ա Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

- \ < a - b <1:

3°. \/x <e R , п <е N համար

\nx\ >n\x\ և Г M l X

ո ո

4 . Ցանկացած բնական ft ֊ի դեպքում ճիշտ է

ո+

ո + 1= ո

2 2

բանաձևը:

Ցույց տանք, որ կամայական x և у թվերի համար տեղի ունեն հետևյալ

անհավասարությունները.

ա) [х] + [у]<[х + у]<[х] + [у] + 1:

Բ) [ x ] - [ y ] ֊ l < [ x ֊ y ] < [ x ] - [ y ] - .

Օգտվելով X = [x] + {x} և у = [у] + {у} հավասարություններից, կարող ենք գրել'

[х + у] = [[х] + [у] + {х}+ {у} ] = [х] + [у] + [{х}+ {у}],

բայց քանի որ [{х}+ {у}] = 0, եթե W + M <1 և [{X} + M ] = 1

ապա ա) անհավասարությունը տեղի ունի:Նման ձևով կստանանք'

[ х ֊ у ] = [[х] ֊ [у] + {х} - [у}] = [х] ֊ [у] + [{х}֊ [у}],

եթե {х}<[у}, ապա [{х}+{у}] = -1 և, եթե {х}>[у}, ապա [{х}֊[у}] = 0,

այսինքն' բ) անհավասարությունը նույնպես ճշմարիտ է:

Այժմ լուծենք մի քանի անհավասարումներ:

1. 3 ,5 < [6 х ]< 7 :

Լուծում: Պարզ է, որ նշված անհավասարումը համարժեք է

4 < 6x < 8

կրկնակի անհավասարմանը, որտեղից կստանանք'

2 , 4— < x < — :3 3

Պատ'2 4

3 ’ 3

2. [Зх]>[2х]:

Լուծում: Կարող ենք գրել'

37

Գ Ի Տ Ա Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

[з[х] + 3{х}] > [2[х] + 2{х}]<=> [х] > [2{х}] ֊ [з{х}]:

Դիտարկենք դեպքեր.

ա) եթե х> 0, ապա անհավասւսրումը ճշմարիտ է,

բ) եթե [х] = —1, ապա կստանանք [з{х}] - [2{х}] > 1, որի լուծումն է'

X £

Գ) եթե [x] < ֊2 , ապա անհավասարումը լուծում չունի:

Պատ'

3.X X

<.3 . 7

Լուծում: Կատարենք նշանակում' J^ = a ՝ կստանանք' [4a]<[3a], որը նման է

նախորդ անհավասարմանը:

Նշված անհավասարումը համարժեք է

[«]< [з{«}]֊[4{«}]

անհավասարմանը:

Դիտարկենք դեպքեր.

1. եթե а < 0, ապա անհավասարումը տեղի ունի, քանի որ

֊1 < [3{a}]֊[4{a}]<0:

2. եթե [а] = 0, ապա անհավասարումը տեղի ունի, եթե

՜ 2 .ձ '

3 ՜ 4

3. եթե [<3f] > 1, ապա անհավասարումը տեղի ունենալ չի կարող:

fn 1Հ 10 ; - ս - — ս

. 4, _3 2J

Այսպիսով' անհավասարման լուծումն է a e | ՜°°;՜^

Նշենք, որ հավասարման դեպքը տեղի ունի, եթե'

ձ _ ձ3 ’ 2

ս2 3

3 ’ 4

Г з շ^ Г 1 0 Г 1 0a g — ;— ս ս4 3) _ շ ’ 3 j u _ 4 4 J _3 2)

2 3

3 ’ 4

Այսինքն' x e (֊օօ;3)ս[4;6)ս[8;9) :

38

Գ Ի Տ Ա Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

Պատ' X е ( ֊ °о;з) ս [4;б) ս [8;9):

4.2 х ֊1

3

2х + 5

5

2хԼուծում: Կատարելով նշանակում' — = а , կստանանք'

2[а] + 5 W - -3֊[З{а}]<1:

Դիտարկենք а թվի {а} կոտորակային մասի այն միջակւսյքերը, որոնց դեպքում

5{а}-^- և 3{а} արտահայտությունները դառնում են ամբողջ թվեր: Կազմենք

աղյուսակ (տես. նկ.1), որտեղ միջակայքերին համապատասխան նշված են ամ­բողջ մասերի արժեքները:

Wւ i5 j

Г ՛ ; 4 ]15 15 J [ 4 - А15 3)

[ ֊ : 7 ]Ъ 15)

՜ 7 . 2 1_15 ’ 3 J

՜շ 1зЛ1_3 ’ 15J

Г— ;llLl5 J

Г 5{а} — —1Լ 3j

-1 0 1 1 2 3 4

[З{а}] 0 0 0 1 1 2 2

- [з{«}] ֊1 0 1 0 1 1 2

Աղյուսակից երևում է, որ'եթե [а]< -1, ապա անհավասարումը տեղի ունի,

եթե [а] = 0, անհավասարումը տեղի ունի, եթե {а}е

եթե [а] = 1, անհավասարումը տեղի ունի, եթե {а}е

Այսպիսով' անհավասարման լուծումն է'

13

15

0;— : 15

13a g | — |ս

151,— I:

15Անցում կատարելով х փոփոխականի, կստանանք'

x g ( ֊ oo;6,5)u [7,5;8):

Պատ' X e ( ֊ օօ;6,5) ս [7,5;8):

1՜5. 2x + - < x + 5:

Լուծում: Այս անհավասարումը համարժեք է

0

39

Գ Ի Տ Ա Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

2{х}+ -2

- 5 < { х } անհավասարմւսնը:[х] +

Քննարկենք դեպքեր'

եթե [х]< 3, ապա անհավասարումը տեղի ունի, քանի որ 2{х}+1 < 2 ,

եթե [х] = 4, կստանանք' 2{х}+^-

ապա այն լուծում է:

ս)սպհսոՎ- « < | . հ ս Կ ւ ո ւօում օ այս Դէպ*ում ՚ 1 ,

եթե [х] = 5, կստանանք՝

< {х} °

— 1 < {х}, պարզ է , որ եթե 2{х}+ - < 1,

4:4-

2{х}+12 2{х }+ ^ = 0 ^ { х } < | « х е [ 5;5^] :

Պատ՝ x g f -o °;4- l j ա [ 5;5-M :

6 .8x + 19

7

16(x + l)

11Լուծում: Անհավասարումը լուծելիս օգտվենք համապատասխան հավասարու­մից և անհավասարման աջ ևձախ մասերի գրաֆիկներից:

л

У

ձ 17 9 7 2

4 16 8 4

39 23 25 15 31 37

Тб Т 8 4 8 8

Նկ.1

4

X

40

Գ Ի Տ Ա Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

Ձախ մասի գրաֆիկը իրենից ներկայացնում է աբսցիսների առանցքին զուգահեռ հատվածներ, իսկ աջ մասի գրաֆիկն ուղիղ գիծ է, որն այդ հատված­

ների հետ հատվում է 5 կետերում, որոնց աբսցիսներն էլ կլինեն հավասարման լուծումները:

Օգտվելով գրաֆիկից, դժվար չէ կռահել անհավասարման լուծումը:

"31Պատ'

17 9 Г 7 о 39 23л 25 15)XG 7б% ս ? ;2J u Л6 т,u т tJ" 8-•+00

Դիտարկենք ամբողջ մաս պարունակողքառակուսային անհավասարում:

7. X2 - [х] - 2 < 0:

Լուծում: I եղանակ. Անհավասրումը գրաֆիկորեն լուծելու համար այն գրենք հետևյալ տեսքով'

X2 - 2 <[х\ :

Գծելով այս անհավասարման աջ և ձախ մասերի գրաֆիկները, դժվար չէ գրել

անհավասարման լուծումը' х е [-1 ;-\/3 ]и {2}:

II եղանակ: Անհավասարումը լուծենք հանրահաշվական եղանակով:

X2 - X - 2 < 0 <=> X2 - X - 2 < -{х} < 0 => X e [ - 1;2]:

Այս միջակայքի .х՜-երի համար'

[x] = -1,0,1,2 :Դիտարկենք դեպքեր.

41

Գ Ի Տ Ա Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

եթե [х] = —1 , կստանանք х 2 <1<=>хе [— l; l] , այսինքն' хе [-1 ;0 ),

եթե [x] = 0, կստանանք x 2 < 2 <=> x e [-^ [2 ;42 ] , այսինքն' x e [0;1),

եթե [x] = l , կստանանք x 2 <3 о x e [ -^ 3 ;а/з ], այսինքն' x e

եթե [x] = 2 , կստանանք x 2 < 4 <=> x e [ - 2 ; 2 ] , այսինքն' x = 2 :

Միավորելով նշված պատասխանները, կստանանք ւսնհավասարմւսն լուծումը'

x g [ ֊ 1 ; V 3 ] u {2}:

Պատ' х е [-1 ;л / 3 ]и { 2 } :

ԳՐԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆ

1. В. К. Смышляев, Практикум по решению задач школьной математики- Москва «Просвещение» 1978.

2. Գևորգյան Գ., Աահակյան Ա., Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի տարրեր - 9,10: - Եր.:էդիթ Պրինտ, 2001:

3. Բ. Ներսիսյան, Ա. Աբւսջյւսն, Ամբողջ մաս պարունակող հավասարումներ, Մաթեմատիկան դպրոցում, N 3, 2010:

42

Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

Մ ե թ ո դ ա կ ա ն

Վ Ե Կ Տ Ո Ր Ն Ե Ր Ի Կ Ի Ր Ա Ո Ո Ւ Մ Ը

Ե Ր Կ Ր Ա Չ Ա Փ Ա Կ Ա Ն

Խ Ն Դ Ի Ր Ն Ե Ր ԼՈՒԾԵԼԻՍ

Կ.Գ. Առաքելյան (գիտ. թեկնածու, դոցենտ)

Մ.Ո. Ոսկա նյա ն (Վարդենիսի թ.1 դպրոցի ուսուցչուհի)

Ինչպես հայտնի է, մաթեմատիկայի դպրոցական դասընթացում «Վեկտոր֊

ներ» թեման ուսումնասիրվում է երկրաչափության մեջ (և’ հարթաչափության, և’

տարածաչափության մեջ): Առաջադրված խնդիրների տեքստերը, որոնք վերա­

բերվում են այդ թեմային, որպես կանոն, պարունակում են վեկտորներ: Այդ

խնդիրները, ըստ էության, նպատակաուդդված են «վեկտոր» հասկացության

հետ կապված սահմանումերի, գործողությունների և կանոնների յուրացմանը:

Վեկտորների ուսուցումը կդառնա ինքնանպատակ, եթե այդ հասկացության հետ

կապված առնչությունները սահմանափակվեն միայն այդպիսի խնդիրներով: Ինչ

խոսք, նման խնդիրներն անհրաժեշտ են, որպեսզի սովորողները կարողանան

ազատ գործողություններ կատարել վեկտորների հետ: Սակայն, սահմանափակ­

վել միայն այդ խնդիրներով, սովորողները հնարավորություն չեն ունենա հասկա­

նալու այդ թեմայի ներմուծման անհրաժեշտությունը, ինչպես նաև նրա դերն ու

նշանակությունը երկրաչափության մեջ: Վեկտորների կարևորությունն ու օգտա­

կարությունը ի հայտ են գալիս այն դեպքում, երբ նրանք կիրառվում են երկրա­

չափական այնպիսի խնդիրներում, որոնց պայմաններում վեկտորներ հանդես

չեն գալիս:

Բնագիտամաթեմատիկական հոսքի երկրաչափության դասընթացում, որ­

տեղ կարող են դիտարկվել դժվարավուն խնդիրներ, կարելի է առանձնացել

բազմաթիվ խնդիրներ, որոնք ավելի հաջողությամբ են լուծվում վեկտորների կի-

րառմամբ, որի շնորհիվ լուծումը դառնում է ավելի արդյունավետ և հետաքրքիր:

Երկրաչափական խնդիրների լուծման վեկտորական մեթոդը կարևոր մեթոդ­

ներից մեկն է դպրոցական մաթեմատիկայի դասընթացում: Գաղտնիք չէ, որ այդ

43

Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

մեթոդը դժվարամատչելի է սովորողների (ինչ՞ու չէ, երբեմն' նաև ուսուցիչների) համար: Վեկտորական մեթոդի դժվարություններից մեկն այն է, որ սովորողները ոչ բավարար չափով են տիրապետում այն կիրառելու կարողություններին և հմտություններին:

Վեկտորների կիրառմամբ խնդիրներ լուծելու կարողությունը պահանջում է որոշակի հմտություններ: Վեկտորների մեթոդը, ինչպես և ցանկացած այլ մեթոդ, միշտ չէ, որ կիրառելի է տվյալ խնդիրը լուծելիս: Խնդիրների լուծման հարուստ փորձով միայն կարելի է նախապես կռահել, թե տվյալ խնդրի լուծման համար վեկտորների մեթոդը կիրառելի է, թե' ոչ:

Սույն հոդվածում կներկայացվի որոշ օգտակար պնդումների հավաքածու, որոնք կարող են նպաստել վեկտորական մեթոդի ձևավորմանը' երկրաչափա­կան խնդիրների լուծման համար: Դրան հասնելու համար ամենից առաջ սովո­րողները պետք է կարողանան.

1) վեկտորների հետ կատարել հիմնական գործողությունները,2) կատարել ձևական ձևափոխություններ վեկտորական արտահայտու­

թյունների հետ,3) տրված վեկտորը վերլուծել երկու ոչ համագիծ (երեք ոչ համահարթ)

վեկտորների միջոցով,4) երկրաչափական խնդրի պայմանը ներկայացնել վեկտորական լեզվով:Այդ նպատակով անհրաժեշտ է սովորողների մեջ ներարկել այնպիսի

կարողություններ, որ նրանք կարողանան տվյալ խնդրի պայմանը' երկրաչափա­կան փաստը ներկայացնել վեկտորական լեզվով, և հակառակը' վեկտորական արտահայտությանը տալ երկրաչափական մեկնաբանություն: Այլ կերպ ասած, ուսուցիչը պետք է ստեղծի այնպիսի իրադրություն, որ նրանք կարողանան ստեղծել խնդրի վեկտորական մոդելը: Բերենք պարզ օրինակներ:

1) «а և ծ ուղիղների զուգահեռության» պայմանը կարող է փոխարինվել « а

և b համագիծ վեկտորներ»-ով, որը անալիտիկ գրառմամբ ներկայաց­

վում է a =kb տեսքով:

2) а և ծ ուղիղների ուղղահայացության պայմանը' а և ծ ուղղահայաց

վեկտորներով, որոնց սկալյար արտադրյալը հավասար է 0-ի (a-b = 0):

3) «а և b ուղիղների կազմած անկյունը» կարելի է փոխարինել «а և ծ

վեկտորների կազմած անկյունը» պայմանով, այնուհետև ներկայացնել

а ■ bանալիտիկ գրառումը' cos(թ = ------— :

И ՚ ^

Որպեսզի սովորողների մեջ ձևավորվի երկրաչափական խնդրի տեքստի, այսպես ասած, թարգմանության կարողությունը վեկտորական լեզվով, անհրա­ժեշտ է սկսել նրանից, որ սկզբնական շրջանում նրանք կարողանան տեքստի առանձին դետալները և նրանց կապը ներկայացնել վեկտորական լեզվով: Այդ­

44

Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

պիսի հմտություններ զարգացնելու համար օգտակար կլինի, որ ուսուցչի միջո­ցով սովորողները նախապես տեղեկանան վեկտորների վերաբերյալ որոշ կա­րևոր առնչությունների ցանկի, որոնք հնարավորություն կտան երկրաչափական հիմնական հասկացությունները թարգմանել վեկտորական լեզվով և գտնել վեկ­տորական արտահայտության երկրաչափական մեկնաբանությունը: Դրանով հանդերձ, սովորողների մոտ համակարգվում են նաև վեկտորական հանրահաշ­վից ստացած գիտելիքները: Այդ ցանկի իմացությունը և գործածությունը կնպաս­տի վեկտորների ճիշտ ընտրություն կատարել' տվյալ երկրաչափական խնդիրը լուծելիս, ինչպես նաև կօգնի' խնդրի պայմանը գրառել ընտրված վեկտորների միջոցով և անել համապատասխան եզրակացություններ:

Ներկայացնենք այդ ցանկը:

1) Ցանկացած երեք' А,В,С կետերի համար

3) ЪрЬМ-\\АВ հատվածի միջնակետն է, ապա ցանկացած 0 կետի համար

4) Եթե M -ը \jlN -\\AB LC D հատվածների միջնակետերն են, ապա ճիշտ են

հետևյալ հավասարությունները'

5) С կետը А В հատվածը բաժանում է Л հարաբերությամբ (А С :С В = Л )

այն և միայն այն դեպքում, երբ

որտեղ Օ-ն ցանկացած կետ է:

6) ABCD քառանկյունը կլինի զուգահեռագիծ այն և միայն այն դեպքում,

երբ տեղի ունի հետևյալ պայմաններից որևէ մեկը.

Ш) A C = AB+ AD ,

բ) A B = D C ,

գ) OA+ ОС = ОВ+ OD (Օ-ն ցանկացած կետ է):

7) М կետը կլինի A B C եռանկյան միջնագծերի հատման կետն այն և միայն

այն դեպքում, երբ տեղի ունի հետևյալ պայմաններից որևէ մեկը.

A B + B C = A C (եռանկյան կանոնը):

2) Ցանկացածն U.B կետերի և կամայական 0 կետի համար

AB = OB— OA (վեկտորների հանման կանոնը):

O M = - :

О А + Л О В)( = ----------------

1 + Л

45

Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

Ш) М А+ М В+ М С = О ,

բ) О М = ֊ [ 0 А + 0 В + 0 С у որտեղ 0-Կ ցանկացած կետ է:

8) А В և CD ուղիղները զուգահեռ են այն և միայն այն դեպքում, երբ

A B = к CD , որտեղի՜ն զրոյից տարբեր որևէ թիվ է:

9) С կետը պատկանում tA B ուղղին այն և միայն այն դեպքում, երբ

A C = k AB (к-Կ զրոյից տարբեր որևէ թիվ է):

-> 210) Եթե AB = a , ապա AB = a 2 :

11) A B C -Կ ուղղանկյուն եռանկյուն է, եթե

CA- СВ = 0 (Z C = 90°):

12) A B C -Կ սուրանկյուն եռանկյուն է, եթե միաժամանակ տեղի ունեն

հետևյալ անհավասարությունները'

А В -А С > 0, BA-В С > О, СА СВ > 0 :

13) A B C -Կ բութանկյուն եռանկյուն է, եթե տեղի ունի հետևյալ պայմաններից

որևէ մեկը'

А В -А С < О, В А В С < 0, C A C B < Q \

14) H կետը կլինի A B C եռանկյան բարձրությունների հատման կետը այն և

միայն այն դեպքում, երբ տեղի ունի հետևյալ պայմաններից որևէ մեկը.

Ш) HA H B = H C H A= H B H C ,

բ) О Н = ОА+ОВ+ О С , որտեղ 0-Կ A B C եռանկյանն արտագծած

շրջանագծի կենտրոնն է:

15) Եթե 0-Կ A B C եռանկյանն արտագծած շրջանագծի կենտրոնն է, ապա

sin(2 A) ■ О Ал- sin(25) • 0В+ sin(2C) • О С = О :

16) Եթե Q-ն A B C եռանկյանը ներգծած շրջանագծի կենտրոնն է, ապա տեղի

ունի հետևյալ առնչություններից որևէ մեկը.

ա) a ■ QA+ b ■ QB+ с ■ QC = 0 (a = ВС , b = AC , с = A B ) ,

a-OA+b OB+c OCԲ) UQ = ----------------------------- (^՜ն ցանկացած կետ է):

a + b + c

17) Եթե А,В,С կետերը չեն պատկանում միևնույն ուղղին, ապա D կետը

46

Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

պատկանում է A B C հարթությանը այն և միայն այն դեպքում, երբ տեղի

ունի հետևյալ հավասարությունը'

որտեղ 0-ն ցանկացած կետ է, և x + y + z = 1:

18) Տարածության մեջ ցանկացած բ վեկտորի համար գոյություն ունի միակ

վերլուծություն տրված a ,b ,c ոչ համահարթ վեկտորների միջոցով'

(X,y, z - ը միարժեքորեն որոշվող թվեր են):

Մասնավորաբար, եթե xa + yb +zc = 0 , ապա х = у = z = 0 :

19) Եթե H -ը ABCD օրթոկենտրոն քառանիստի բարձրությունների հատման

կետն է, ապա

որտեղ 0-ն այդ քառանիստին արտագծած գնդային մակերևույթի կենտրոնն

է (քառանիստը կոչվում է օոտոկենտոոն. եթե նրա բարձրությունները հատվում են միևնույն կետում):

20) Տարածության ցանկացած A , A 2,...,An կետերի համար գոյություն ունի

միակ^քկետ, որի համար

(յ^/կետը կոչվում է А 1,А 2,...,Ап կետերի համախմբի ցենտրոիդ):

21) յ^/կետը A l ,A 2,...,An կետերի համախմբի ցենտրոիդն է այն և միայն այն

դեպքում, երբ տարածության ցանկացած О կետի համար

22) Եթե 0-ն А1,А 2,...,Ап կանոնավոր բազմանկյան կենտրոնն է, ապա

0 4լ + 0А 2 + ... + 0А п = О :

Դիտարկենք մի քանի խնդիրներ:Խնդիր 1: Հետևյալ վեկտորական հավասարություններին տալ երկրաչափա­կան մեկնաբանություն.

ա) (a + b )2 + ( a - b ) 2 = 2a2 + 2b2, որտեղ a ֊ն և b ֊ն ոչ համագիծ վեկ­

տորներ են,

0 D = X ■ 0A+ у ■ 0В+ z ■ ОС = О ,

р = ха + yb + zc

М А 1 + М А 2 + ...+МАп = 0

47

Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

բ) (ci + b + c )2 = (a+ b )2 +(b + c)2 + (c + ci)2 - a 2 - b 2 - c 2 (a,b,c վեկ­

տորները համահարթ չեն):

Լուծում: ա) Դիտարկենք կամայական ABCD զուգահեռագիծ, նշանակենք'

A B = a , AD = b : Քանի որ A C = a + b , իսկ BD = a - b , ուստի տրված

հավասարությանը կարելի է տալ այսպիսի երկրաչափական մեկնաբանություն'

զուգահեռագծի անկյունագծերի քառակուսիների գումարը հավասար է նրա

բոլոր կողմերի քառակուսիների գումարին:

բ) Դիտարկենք AAX = a, AB = b, AD = c վեկտորների վրա կառուցված

ABCDA lB lC 1D l զուգահեռանիստը: Այդ դեպքում տրված հավասարությունը

կարելի է մեկնաբանել այսպես' զուգահեռանիստի որևէ գագաթից ելնող

անկյունագծի քառակուսին հավասար է այդ գագաթից ելնող նիստերի

անկյունագծերի քառակուսիների գումարին' առանց այդ գագաթից ելնող

կողերի քառակուսիների գումարի:

Իրոք, քանի որ a + b + c = A C l , ct + b = A A l , a + c = A D ։, b + c = A C ,

ուստի տրված հավասարությունը կներկայացվի այսպես'

A C ՜ = A A 2 + AD է + A C 2 - A A 2 - A B 2 - A D 2,

որն էլ վերոնշյալ պնդման մաթեմատիկական գրառումն է:

Խնդիր 5: Կառուցել խորանարդի երկու կից նիստերի խաչվող անկյունագծերի ընդհանուր ուղղահայացը: Գտնել այդ անկյունագծերի հեռավորությունը, եթե խորանարդի կողը հավասար է 1-ի:

Լուծում : Դիտարկենք ABCDA lB lC lD 1 խորանարդը (նկ.1): Դիցուք պահանջ­

վում է կառուցել BAX և CBX խաչվող ուղիղների ընդհանուր M N ուղղահայացը:

Նշանակենք' ВА = а, В С = b, BBX =с : Ենթադրենք'

В М = х -BAX,C֊N = v -C B 1 : В М և C N վեկտորները վերածենք ըստ a ,b , c

բազիսային վեկտորների: Քանի որ— —►

BAx =a + c, CB} =c —b, B M = x(a + c), C N = v { c - b ) , հետևաբար

M N = MB+ BC+ CN = -xct + (1 ֊ y)b + (у ֊ z)c :

Քանի որ M N L B A X և M N J. CB }, ուստի

M N -B A X =0 և M N -C B { = 0: (1)

Քանի որ a ,b , c վեկտորները զույգ առ զույգ

48

Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

ուղղահայաց են, ուստի

а -Ь = Ь -с =с -а = 0:

Մյուս կողմից, a 2 = b 2 = с 2 = 1:

Այս նկատառումներով (1) հավասարությունների մեջ տեղաղրելով արժեք­ները և կատարելով գործողությունները, կունենանք'

[ 2 х ֊ у = 0 1 2որտեղից х = - յ = ֊ :

{ х - 2 у = -\ , 3 3

Հետևաբար, М և N կետերը ВАХ և СВХ անկյունագծերը բաժանում են 1:2

հարաբերությամբ' սկսած В և Bj կետերից, որից էլ հետևում tM V -ի կառուցումը:

Մյուս կողմից, ստացել ենք'

1 - 1 г 1 -M N = a+ — b H— с :

3 3 3Դժվար չէ համոզվել, որ

M N = — \3

Խնդիր 2. Տրված է A B C եռանկյունը և կամայական О կետ: Ապացուցել, որ'

ա) ОА2 + О В 2 + О С 2 = ЗО М 2 + М А 2 + М В 2 + М С 2, որտեղ M -ը եռանկյան

միջնագծերի հատման կետն է,

բ) ОА2 + О В2 + О С 2 արտահայտությունը կընդունի փոքրագույն արժեք այն և

միայն այն դեպքում, երբ О կետը համընկնում է^քկետին:

Լուծում: Նկատենք, որ

О А = О М + М А ,

ов = о м + м в ,

О С = О М + М С \Այդ երեք հավասարությունները բարձրացնելով քառակուսի և գումարելով, կստանանք'

-> ք -> -> ^ 2 ^ 2 ^ 2 ОА +ОВ +ОС = 3 • ОМ + 2 • Ом\ МА+ МВ+ М С +МА + M B + M C :

Այնուհետև, հաշվի առնելով այն, ար վեկտորի քառակուսին հավասար է իր

երկարության քառակուսուն, և որ M -ը A B C եռանկյան ցենտրոիդն է, վերջին

հավասարությունը կարող ենք գրել հետևյալ տեսքով'

ОА2 + O B 2 + O C 2 = 3 • O M 2 + M A 2 + M B 2 + M C 2 \

49

Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

Խնդրի առաջին մասն ապացուցված է:

Ստացված հավասարությունից հետևում է, որ 0 4 2 + 0 В 2 + 0 С 2 արտահայտու­

թյունը կընդունի փոքրագույն արժեք միայն այն դեպքում, երբ 3 0 М 2 =0 (քա­

նի որ М А 2 + М В2 + М С 2 գումարը հաստատուն է), այսինքն' О М = 0: Ստաց-

վում է, որ О և М կետերի հեռավորությունը զրո է, նշանակում է' О կետը

համընկնում է եռանկյան միջնագծերի հատմանդ/կետին:

Դիտողություն: Լուծված խնդրից հետևում է, որ A B C եռանկյան հարթության այն

կետը, որից նրա գագաթները եղած հեռավորությունների քառակուսիների գումարը փոքրագույնն է, այդ եռանկյան միջնագծերի հատման կետն է:

Խնդիր 3. Ապացուցել, որ շրջանագծի ցանկացած կետից նրան ներգծած կա­նոնավոր բազմանկյան բոլոր գագաթներից ունեցած հեռավորությունների քա­ռակուսիների գումարը հաստատուն է: Ինչի՞ է հավասար այդ գումարը, եթե շրջանագծի շառավիղը R է:

Լուծում: Դիցուք А\Аг ...A„-q շրջանագծին ներգծած կանոնավոր բազմանկյունն

է, M -ը' նրա կենտրոնը: Շրջանագծի ցանկացած P կետի համար կարող ենք

գրել'

РА к = Р М + Ш к :

Այդ հավասարության երկու մասերը բարձրացնելով քառակուսի, կստանանք'

-» -» -»Р А 2 = Р М 2 + 2 ■ P M -М Ак + М Ак :

£-ին տալով 1, 2, ..., ո արժեքները և գումարելով ստացված ո հավասարու­

թյունները, կունենանք հետևյալ հավասարությունը'

Р А 2 + Р М 2+... + Р А 2 =

= ո ■ Р М 2 + 2 ■ ա [ ա ճ + ա շ+ ... +MAn j +M A 2 + M A 2 + ... + М А 2 \

Քանի որ М АХ + М А2 + ...+М А п = 0 (տե՜ս [3]) և М А Х=М А2 = ...=МАп = Р М ,

ուստի (5) հավասարությունը կարելի է ներկայացնել հետևյալ տեսքով'

Р А 2 + РА 2 2 + ... + РАп 2 = 2 Ո - P M 2 :

Այս հավասարությունից պարզ երևոմ է, որ Р А 2 + Р А 2 +... + Р А 2 գումարը

հաստատուն մեծություն է (PM -ը շրջանագծի շառավիղն է): Տեղադրելով' PM -R ,

կստանանք այդ մեծության արժեքը' 2«R2:

50

Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

Խնդիր 4. ABCAxBiCi-\\ եռանկյուն պրիզմա է: Հնարավո՞ր է, որ այդ պրիզմայի

կողմնային նիստերի A B U В С Х և САг անկյունազծերը զուգահեռ լինեն միևնույն

հարթությանը:Լուծում: Ընտրենք բազիսային վեկտորներ'

АА1 = а, ABl = b, AC = с

Այս դեպքում'

ABl =a+b, BC\=a + c - b , C A \= a - c \ Aj

Եթե AB-\, BC-\ և CA\ անկյունազծերը (նկ.2) զուգահեռ

լինեին որևէ հարթությանը, ւսււյւս АВ-у, ВС-у, CJA վեկ­

տորները կլինեին կոմպլանար (համահարթ): Ցույց տանք, որ դա հնարավոր չէ: Եթե նրանք լինեին

համահարթ, ապա գոյություն կունենային այնպիսի x

և у թվեր, որոնց համար տեղի կունենար

Ճ8յ =x-BC l +y-CA1, այսինքն'

a + b = x(a + c -b ) + y(a - c ) հավասարությունը:

Հաշվի առնելով այն փաստը, որ բազիսային վեկտորների միջոցով վերլուծումը միակն է, կունենանք'

x + y = Լ X — —1, x — y = 0,

որոնք անհամատեղ են:

Պատասխան' Ո'չ:

ԳՐԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆ

1. Э.Г. Готман. Стереометрические задачи и методы их решения. Москва,

М Ц Н М О , 2006г.:

2. Математика в школе, №3, 1985г.:

3. Կ.Գ. Առաքելյան: «Կետերի համակարգի ցենտրոիդը և նրա կիրառումը խնդիրներ լուծելիս»: Մաթեմատիկան դպրոցում, թ.1., 2005թ.:

4. Կ.Գ. Առաքելյան: «Երկրաչափության խնդրագիրք». Երևան, «Աստղիկ Գրա­տուն» հր. 2008թ.:

51

Օ Գ Ն Ո Ւ Թ Յ Ո Ւ Ն Ո Ւ Ս Ո Ւ Ց Չ Ի Ն

Օ գ ն ո ւ թ յ ո ւ ն ո ւ ս ո ւ ց չ ի ն

«ԵՐԿՐԱՉԱՓՈՒԹՅՈՒՆ - 10» ԴԱՍԱԳՐՔԻ ՍԻ ԽՆԴՐԻ ԼՈՒԾՍԱՆ ՍԱՍԻՆ

Նաիրա ԿոպանԵրևանի թ.195 ավագ դպրոց

ԵՊՄՀ հայցորդ

Ավագ դպրոցի բնագիտամաթեմատիկական հոսքի 10-րդ դասարանի երկրա­չափության դասագրքի (հեղինակ' Ի.Ֆ, Շարիգին) շատ խնդիրներ բարդ են և դժվարամատչելի աշակերտների համար:

Այդ խնդիրները լուծելիս անհրաժեշտություն է առաջանում տալ հնարա- վորինս մանրամասն բացատրություններ, որպեսզի լուծումը լիովին հասանելի լինի սովորողներին, հասկանալի դառնա տեսական անցած նյութերի հետ եղած կապը:

Ստորև ներկայացվում է այդպիսի մի խնդիր (1.7. Պատկերների հեռավորու­թյունը տարածության մեջ: Խնդիր №2.) մանրամասն լուծումով: Այն պա­րունակում է երեք ենթախնդիր, որոնցից յուրաքանչյուրը կարող է դիտվել իբրև առանձին խնդիր: Դրանով էլ պայմանավորված է այդ խնդրի ծավալուն լուծումը:

Խնդիր. 1 կողովդiBCD կանոնավոր տետրաէդրումM -ը AB կողի միջնակետն է, K -Կ'

CD կողի միջնակետը: Գտնել C M և B K ուղիղների.

1) կազմած անկյունը,2) հեռավորությունը,

3) C M և B K հատվածներն իրենց ընդհանուր ուղղահայացով ի՞նչ հարաբե­

րությամբ են բաժանվում:

Լուծում: 1) D կետը միացնենք M կետին: K -ով տանենք C M -ին զուգահեռ A4N

հատվածը, այն A C D M ֊ի միջին գիծն է: Z (B K ;C M )= Z (B K ;K N ) = Z B K N ,

քանի որ А'Л'Цс'М : Նշանակենք այդ անկյունը «-ով: Գտնենք այն: Միացնենք jV

և В կետերը և, N KB եռանկյան մեջ կիրառելով կոսինուսների թեորեմը,

կստանանք'

52

Օ Գ Ն Ո Ւ Թ Յ Ո Ւ Ն Ո Ւ Ս Ո Ւ Ց Չ Ի Ն

D cosctr = -

Մյուս կողմից.

K N =

K N 2 + K B 2 - N B 2

2 -K N -K B

С М л/з2 4

ՔК В = С М = — ;2 “

B N 2 = М В2 + M N 2 =— : 16

Հետևաբար,

coser = — , որտեղից'

a = arccos-2

3

2) Կառուցենք C M և B K ուղիների ընդհանուր ուղղահայացը: Ընտրենք որևէ

հարթություն, որն ուղղւսհւսյաց լինի C M -ին: Տանենք բուրգի DO բարձրությունը:

О կետով տանենք ճ/Յ-ին զուգահեռ E F հատվածը: Այն ուղղահայաց կլինի СМ -

ին, քանի որ A B -ն ուղղահայաց է C M -ին: DO -ով և E F -ով որոշվող E D F

հարթությունն ուղղահայաց կլինի C M -ին, քանի որ նրան պատկանող E F և DO

երկու հատող ուղիղներն ուղղահայաց են C M -ին: C M ուղիղն այդ հարթությունը

հատում է О կետում: Եթե E D F հարթության վրա գտնենք В К թեքի պրոյեկցիան և

Օ-ից տանենք նրան ուղղահայաց ուղիղ, ապա այն ուղղահայաց կլինի նա և5^

թեքին (ըստ երեք ուղղահայացների

թեորեմի): К կետից տանենք E D F

հարթությանն ուղղահայաց K K ՛ ուղիղ:

Այն կլինի զուգահեռ C M ուղղին: К/

կետը К ֊ի պրոյեկցիան է E D F հար­

թության վրա: Քանի որ К К ՛ ֊ը զուգահեռ

է C M -ին և К -ն D C -ի միջնակետն է, ապա

А " ֊ը կլինի D0-\\ միջնակետը: В կետից А

տանենք E D F հարթությանն ուղղահա­

յաց' В В ՛: Քանի որ M , B e A B , A8||£F

և M O ! E F , ուստի B 'e E F , ВВ ' 1 E F

և В й '—О М : Նշանակում է' M O B 'В ֊ն

53

Օ Գ Ն Ո Ւ Թ Յ Ո Ւ Ն Ո Ւ Ս Ո Ւ Ց Չ Ի Ն

ուղղանկյուն է և

OB' = M B = — :2

Ակնհայտ է, որ K'B'-\\ և КВ-\\ հատման Q կետը պատկանում է նաև BD C

նիստին: D կետը միացնենք .F-ին: Նկատենք, որ

О СA K K 'Q = ABB 'Q , քանի որ K K ' = — = O M = В В ' ,

Z K 'Q K = Z B Q B ' (որպես հակադիր անկյուններ): Հետևաբար,

Q K = QB և K 'Q = QB ' :

F կետը В С կողմը բաժանում է 2:1 հարաբերությամբ' հաշված С գագաթից (Օ-ն

միջնագծերի հատման կետն է և д а Ц А В ): AD C F ֊ում տանենք K N միջին գիծը:

C N = N F = — :3

ռր

Հետևաբար, BF=FN, քանի որ B F = — : DF^ KN պայմանից հետևում է, որ D F-Կ

անցնում է Я К -ի Q միջնակետով:

A K 'O B ' ֊ը ուղղանկյուն եռանկյուն է: Օ-ից տանենք K 'B ' ներքնաձիգին 0 Р

ուղղահայացը:

A K 'Q K ֊ում .P-ից տանենք K 'K ֊ին զուգահեռ Р Р ' հատվածը:

P P ' _Լ E D F , քանի որ K 'K 1 E D F և PP 'W K 'K ՛. P -Կ B K թեքի P ՛ կետի

պրոյեկցիան է E D F հարթության վրա:

P ' կետից տանենք .PO-ին զուգահեռ P 'L հատվածը:

Քանի որ Р 'Щ РО և P O _Լ C M , ուստի , P 'L L C M : Մյուս կողմիից,

P 0 _Լ В 'K ' և B 'K ' -ը ВК-\\ պրոյեկցիան է E D F հարթության վրա, ուստի

P O _Լ В К (ըստ երեք ուղղահայացների թեորեմի):

P 'L L P O և PO _ԼB K պայմանից հետևում է, որ P 'L L B K : Այսպիսով,

P 'L L C M և P 'L ձ- B K , այսինքն' P 'L -ը C M -ի և BK-\\ ընդհանուր

ուղղահայացն է: Գտնենք այդ ուղղահայացի երկարությունը:

P P 'W K 'K և O LW K K ' պայմաններից հետևում է, որ PP 'WOL: O P P 'Q -ն

ուղղանկյուն է, քանի որ 0 P _ԼC M և P ' L I C M : Քանի որ P 'L = OP, ուստի

բավական է գտնել 0P-\\ երկարությունը: А К '0 'В ' - ում

S = ֊ O P B 'K ' և Տ = — 0 K ' ■ O B '\2 2

54

Օ Գ Ն Ո Ւ Թ Յ Ո Ւ Ն Ո Ւ Ս Ո Ւ Ց Չ Ի Ն

О Р = ° Г О В ' ; O K ^ ' - O D - ՀВ 'К ' 2 2

( 1 V 1 11------= = -= ; ОВ ' = М В = ֊ ;

л/з J Ք 2

Г '5 ' = М о к ') 2 + (OB ')2 = J - + - = - Ж ; 0i> = ^ L : V6 4 2 V 3 VTo

Այսպիսով, 5ATL երկու խաչվող ուղիղների հեռավորությունը1

л/Й)է:

3) Գտնենք В Р '.Р 'К հարաբերությունը: Քանի որ K K '\P 'P և Р 'Р \В В ',

ուստի ըստ Թալեսի ընդհանրացված թեորեմի՝

B P ' B 'P

՝р7к ~ Т к ՛ ՛

Բավական է գտնել, թե P կետը ի՞նչ հարաբերությամբ է բաժանում BK-\\ В 'К '

պրոյեկցիան: Դիտարկենք А К 'О В '֊ը: Քանի որ այն ուղղանկյուն եռանկյուն է,

ուստի,

Р К ' =

Р К ' _ (O K ')2 _

(OK')է \ 2 t \ 2

к 'в 'և Р В ' =

(OB') к 'в ' ՚

Р В ' (OB')2 ’

Р К ' I I 2

O K ' = - O D = — \ O B ' = - \շ Ք 2

B P ' B 'P 3

P B ' 6 4 3 ’ P 'K P K ' 2 ՛

Որոշենք, թե ի՞նչ հարաբերությամբ է բաժանվում C M հատվածը P 'L ընդ­

հանուր ուղղահայացով: Դրա համար գտնենք ՕԼ հատվածի երկարությունը:

Քանի որ O PP 'L ֊ն ուղղանկյուն է, ուստի O L = P 'P \ hX'QK-\\q

EIL Ж , p y .K 7 C .S f- , к 'к Л с о ՚ ; в е - О К ֊ * * ֊ £ :К К Q K Q K 2 շ /з 2 4

, В Р ' 3Հետևաբար, մնում է գտնել Q P '֊ը: Օգտվենք —;— = — հավասարությունից:

Р К 2

ՀBQ + Q P ' _ 3 . Q p f= S _ . p p ' = J _ 20 _ 1 .

Q K - Q P ' 2 ’ 2 0 ’ 2V3 S 10л/3՝

4

55

Օ Գ Ն Ո Ւ Թ Յ Ո Ւ Ն Ո Ւ Ս Ո Ւ Ց Չ Ի Ն

Օ Լ = Բ Բ ' =

յ _____ լ _

1 . CL C O - O L У з ՜Ю л /յ 9 3

Юл/з ՚ L M O M + OL 1 1 6

2л/з Юл/з

Այսպիսով, որոնելի հեռավորությունը հավասար է որոնելի անկյան

շկոսինուսը հավասար է - - ի , ընդհանուր ուղղահայացով C M հատվածը բաժան­

վում է 3:2 հարաբերությամբ (հաշված С կետից), իսկ В К հատվածը' 3:2 հարա­

բերությամբ (հաշվւսծ5 կետից):

56

Մ Ի Ջ Ա Ռ Ա Ր Կ Ա Յ Ա Կ Ա Ն

Մ ի ջ ա ռ ա ր կ ա յ ա կ ա ն

ԲՆԱԿԱՆ ԹՎԵՐԻ ՔԱՌԱԿՈՒՍԻՆԵՐԻ ԳՈՒՄԱՐԻ ՈՐՈՇՄԱՄԲ ՖԻԶԻԿԱ ԿԱՆ Խ ՆԴԻՐՆԵՐԻ

ԼՈՒԾՄԱՆ ՄԻ ՔԱՆԻ Օ Ր Ի Ն Ա Կ Ն Ե Ր Ի ՄԱԱԻՆ

Գարեգին էլոյան Խ. Աբովյանի անվան ՀՊՄՀ

Նահապետ Պետրոսյան Կապանի վարժարան

Հայտնի է, որ ֆիզիկական խնդիրների լուծումը զարգացնում է սովորող­

ների տեսական գիտելիքները գործնականում կիրառելու ունակությունը, նրանց

մեջ ձևավորում գործնական հմտություններ և ունակություններ: Վերջապես,

նման խնդիրների լուծումն ունի նաև դաստիարակչական նշանակություն, քանի

որ դրանց լուծման պրոցեսով կարելի է ակնառու կերպով ցուցադրել ֆիզիկայի

առաջնակարգ գաղափարների ու հայացքների հաստատման դինամիկան և դիա­

լեկտիկան:

Վերը թվարկված կարևոր գործառույթներից բացի ֆիզիկական խնդիրների

լուծումը կարող է էապես նպաստել սովորողների գիտելիքների համակարգմանը,

ինչպես նաև միջառարկայական կապերի ամրապնդմանը, որոնք ոչ պակաս կա­

րևորություն ունեցող մանկավարժական և մեթոդական խնդիրներ են: Այս առու­

մով սովորողների գիտելիքների համակարգման հիմնախնդիրը լավ քննարկված

է [4] աշխատանքում, որին մենք չենք անդրադառնա, սակայն արժե այստեղ նշել

մի քանի կարևոր նկատառումներ:

1) Ուսուցման գործընթացում սովորողների գիտելիքների համակարգումը

արդի ժամանակաշրջանում առանձնահատուկ կարևոր նշանակություն ունի'

կապված դպրոցում դասավանդման գիտական մակարդակի հետագա բարձրաց­

ման, դպրոցականների մտածողության ձևավորման գործում ուսուցման դերի

ուժեղացման, նրանց գիտական աշխարհայացքի ձևավորման հետ: Գիտություն­

ների հիմունքները սովորողների մեջ գիտելիքների հետագա ինքնուրույն

հարստացման և նրանց ապագա աշխատանքի նախապատրաստման հիմքն են:

57

Մ Ի Ջ Ա Ռ Ա Ր Կ Ա Յ Ա Կ Ա Ն

Աճում են գիտահետազոտական որոնումների տարրերը ամենատարբեր բնագա­վառների աշխատողների գործունեության կառուցվածքում: Այդպիսի աշխա­տանքը պահանջում է գիտատեսական մտածողության որոշակի կուլտուրա:

2) Համակարգումը հնարավորություն է տալիս ավելի արդյունավետ օգ­տագործել հիշողությունը, կարգավորել գիտելիքները և դրա հետ միասին ծառա­յում է որպես նոր գիտելիքների աղբյուր:

3) Հաճախ ֆիզիկայի դասավանդումը դպրոցում կատարվում է որպես իրար հետ կարծես կապ չունեցող առանձին երևույթների ուսումնասիրման պրո­ցես, որի հետևանքով սովորողները չեն կարողանում տեսնել ֆիզիկական տար­բեր երևույթների համանմանությունն ու ներքին կապերը, չեն կարողանում ընդ­հանրացումներ կատարել:

Ինչ վերաբերում է միջառարկայական կապերի (մասնավորապես մաթեմա­տիկայի և ֆիզիկայի միջառարկայական կապերի ամրապնդմանը), ապա այստեղ հարկ է նշել, որ այն հնարավորություն է տալիս ավելի լրիվ ու բազմակողմանի դիտարկել սովորած հարցերը, վերաիմաստավորել և խորացնել սովորողների գիտելիքները: Միջառարկայական կապերի վերահանումը և ցուցադրումը առանձ­նապես արդյունավետ է անցած նյութի կրկնության ժամանակ:

Նշված խնդիրներից բացի, միջառարկայական կապերի ամրապնդումն իր հերթին նույնպես օգնում է վերևում նշված սովորողների գիտելիքների համա­կարգման խնդրի լուծմանը:

Մեր կարծիքով, սովորողների գիտելիքների համակարգման կարևորա­գույն հիմնախնդրի լուծմանը արդյունավետորեն կարող են նպաստել նաև միասնական մաթեմատիկական մոտեցում պահանջող ֆիզիկական խնդիրների լուծումը, որն իր հերթին կարծես հանդես է գալիս որպես, այսպես կոչված, մաթե­մատիկական համանմանության (կամ հանգունության) եղանակ: Ներկա աշխա­տանքում կքննարկենք ֆիզիկայի տարբեր բաժիններին առնչվող մի քանի խնդիրներ, որոնց լուծումը բերվում է բնական թվերի քառակուսիների գումարի հաշվվմանը: Այստեղ մաթեմատիկական բանաձևերի ստացումը կատարվում է միևնույն տեսքով, սակայն ֆիզիկական երևույթներ նկարագրող պարամետրերն ունեն իրենց համաբանությունները: Մինչ նմանատիպ խնդիրների լուծման օրինակներին անցնելը' փորձենք մաթեմատիկորեն լուծել բնական թվերի քառակուսիների գումարի որոշման խնդիրը, որը մաթեմատիկայում հայտնի է որպես Արքիմեդի խնդիր:

Այսպիսով, անհրաժեշտ է գտնել բնական թվերի քառակուսիների գումարը'

բնական շարքի առաջին ո անդամների Տ2 գումարը.

Տ2 = Բ + 22 + 32 +--- + Ո2 : (1)

Որպեսզի գտնենք բնական շարքի առաջին ո անդամների գումարը,

դիտարկենք հետևյալ նույնությունը.

Зх2 + Зх + 1 = (х + 7)3 - х 3: (2)

58

Մ Ի Ջ Ա Ռ Ա Ր Կ Ա Յ Ա Կ Ա Ն

Այս նույնության մեջ ենթադրելով х = 1,2,3,...,ո և անդամ առ անդամ

գումարելով ստացված ո հատ հավասարումները' գտնում ենք, որ

3 12 + 2 2 + 3 2 -l---- + Ո 1 )+ 3(l + 2 + 3 Н----- + и ) + Л — (и + l) — 1 (3)

Բնական թվերի 1 + 2 + Зл------Ւո գումարը նշանակելով Տ2 և(1)-ը հաշվի

առնելով' (3)-ի փոխարեն կունենանք

ՅՏ2 + ՅՏյ + ո — (ո +

Հեշտ է համոզվել, որ

(ո + 1)ո

■1:

Տ,2

(4)

(5)

(5)-ը (4)-ի մեջ տեդադրելով' հեշտ է համոզվել, որ ^ -ի համար ստացվում է'

ո(ո + 1)(2ո + 1)

6

Այսինքն մենք ստացանք, որ

I 2 + 2 2 + 3 2 +•, + ո2 = ո{ո + \\2 ո + \)

6

(6)

(7)

Այժմ անցնենք (7) առնչության կիրառմամբ մի քանի խնդիրների քննարկմանը:

Խնդիր 1. т զանգված և а կողմ

ունեցողքառակուսի համասեռ թիթեղը (Օ անկյունային արագությամբ պտտվում է իր համաչափության կենտրոնով անցնող մակերևույթին ուղղահայաց առանցքի շուրջը: Որոշել նրա կինետիկ էներգիան:

Լուծում. Եթե թիթեղը մտովի

բաժանենք А т 1, А т 2, . . . ,Атп զանգ­

վածով ո թվով տարրական փոքր մասերի այնպես, որ նրանցից յուրաքանչյուրը հնարավոր լինի համարել նյութականկետ, ապա թիթեղի կինետիկ էներգիան հավասար կլինի նրա տարրական մասերի կինետիկ էներգիաների գումարին.

i= l

— У AmշՀԼ, ,2 2

г Г г , ( 0i= l

гг iz (8)i = l

59

Մ Ի Ջ Ա Ռ Ա Ր Կ Ա Յ Ա Կ Ա Ն

(Այստեղ հաշվի առնենք,որ У;=сш|,): / , У A m /t ՜ մեծությունը կոչվում է1=1

մարմնի իներցիայի մոմենտ z առանցքի նկատմամբ (նկ.1): Այսպիսով, կինետիկ

էներգիան'

֊ ի2 .

(9)

Նախ ապացուցենք հետևյալ թեո­րեմը. Հարթ մարմնի իներցիայի մոմենտն

իր հարթությանն ուղղահայաց առանցքի

նկատմամբ հւսվասար է այդ առանցքի և

մարմնի հատման կետով անցնող, մարմնի

հարթությանը պատկանող երկու փոխ-

ուղղահայաց առանցքների նկատմամբ

իներցիայի մոմենտների գումարին:

Ապացույց. Ենթադրենք մարմինը գտնվում

է X O Y հարթության մեջ (նկ.2): Ունենք'Ո Ո ո

/ = У Am г 2 = У Am (г ■*•+- г 2) = У А т .г .2 + У ճ/աz / j г i z / j г ' г х гУ / -< z гх / j гг гу (10)

i = l i = l

Այսինքն' մենք ստացանք, որ I

1=1 1=1

Մեր խնդրում / х = / у , հետևաբար 7 21 х : Կինետիկ էներգիայի համար

կունենանք Е _ = Ճ Հ ,:

Հաշվենք <7 կողմ և m զանգված ունեցող քառակուսի

թիթեղի իներցիայի մոմենտը X առանցքի նկատմամբ (նկ. 3):

Քառակուսին բաժանելով X առանցքին զուգահեռ 8 լայ­

նության Am զանգվածով տարրական շերտերի, կունենանք'

/ = 2 У Am.г 2 = 2 A m Y г 2 , (11)л; / j г г х / j г х ’ ՝ 'г= 1 г= 1

որտեղ N -ը թիթեղի մի կեսում շերտերի թիվն է:

Քանի որ տարրական շերտի հաստությունը Տ է, ապա

կարելի է գրել, որ նկ. 3

Լ = 2 Խո(Ց2 + 4 Տ 2 + 9 Տ 2 +■■■ + N 2 Ց2) = 2 Խ ոՑ 2 (l + 2 2 + Յ2 + • • • + N 2 ):(12)

(7)-ը հաշվի առնելով կստանանք'

г դ л N (N m i)(2 N m )Լ. = 2Ann) ---------- --------- : (13)

6

60

Մ Ի Ջ Ա Ռ Ա Ր Կ Ա Յ Ա Կ Ա Ն

Քանի որ N-ը բավականաչափ մեծ թիվ է (N >> 1,

նկատմամբ կարող ենք անտեսել, և որից հետո կստանանք.

2АпкУ N 3т

Հաշվի առնելով,որ

3

m = 2Am N և

ապա 1-ը նրա

(14)

— = SN : 2

(14)-ի փոխարեն կարող ենք գրել'

т а 2

12 ՚

Վերջնական տեսքով կ -\\ համար կունենանք' ք

կինետիկ էներգիայի համար կստանանք

Ж.

(15)

2Լ.та՜

т а 2 со2

12

իսկ

(16)

Խ նդիր 2. Որոշել т 0 զանգված ունեցող ծանր

առաձգական զսպանակից կախված т զանգվածով

ծանրոցի սեփական տատանումների պարբերությու­

նը (նկ.4):

Լուծում. Եթե զսպանակի զանգվածը

համեմատելի է ծանրոցի զանգվածի հետ, ապա սե­

փական տատանումների պարբերությունն այլևս չի

կարելի որոշել Т = 2лф и /к բանաձևով (վերջինիս

ստացման ժամանակ զսպանակի զանգվածը ան­

տեսվում է):

Դիցուք' ծանրոցը կատարում է ներդաշնակ

տատանումներ со0 սեփական շրջանային հաճախականությամբ և а լայնույթով:

Այդ դեպքում զսպանակի յուրաքանչյուր գալար, որը գտնվում է անշարժ

կախման կետից х հեռավորության վրա, ունի

4 ХА = —аI

(17)

տատանման լայնույթ, որտեղ £ ֊ը ամբողջ զսպանակի երկարությունն է դադարի

վիճակում: Եթե ենթադրենք, որ զսպանակն ունի N գալար, ապա /-րդ գալարի

տատանման լայնույթը (հաշված կախման կետից) հավասար կլինի'

61

Մ Ի Ջ Ա Ռ Ա Ր Կ Ա Յ Ա Կ Ա Ն

, ա4 = ֊ : (18)

1 NԶսպանակի կինետիկ էներգիան, երբ ծանրոցն անցնում է հավասարա­

կշռության դիրքով, հավասար է'

= լ ք ո կ 2А 2 = ! Ը լ < ^ _ ֆ է2 . (19)

2 ՜՜է N 2 N N ~է

Համաձայն (7) բանաձևի'

f y . N W + D P N + l ) . (շօ)6

Հետևաբար £ կւո-ի համար կստանանք'

^ m0co a N (N + 1)(2N +1) _----------------- :------------ ■ (21)2 N J 6

եթե N >> 1 , ապա (21 )-ի փոխարեն կարելի է գրել'

լ ոկ

2 3իսկ համակարգի (բեռի և զանգվածի) առավելագույն կինետիկ էներգիան հավասար է'

յ—т 1 2 2 1 2 2 1 ^£կաօ* = ~ т а °>0 + -■~ a W0 = ~

т ,дан— — Jci2co^ ՛. (23)

Առավելագույն ձգվւսծությւսն պահին պոտենցիալ էներգիան հավասար է'

,, ка2Е щтах= — , (24)

որտեղ k-ն զսպանակի կոշտությունն է: Е щтах= Е Цтах հավասարությունից

ստանում ենք'

каք mrm + — a 2w 2 , (25)

V з J

իսկ զսպանակի հաճախության և պարբերության համար համապատասխանա­բար '

I к ^ „ \ т + т п/3

տ° = խ ^ ւ 1 - Т = Ч ^ ^ : <26)

Այսպիսով, զսպանակից կախված բեռի տատանման պարբերությունը ավելի ճիշտ որոշելու համար անհրաժեշտ է ծանրոցի զանգվածին գումարել զսպանակի զանգվածի 1/3-ը: Ակնհայտ է, որ եթե զսպանակի զանգվածը շատ

62

Մ Ի Ջ Ա Ռ Ա Ր Կ Ա Յ Ա Կ Ա Ն

փոքր է բեռի զանգվածի համեմատ, ապա այս ճշտումը նոր արդյունքներ չի բերում:

Խնդիր 3. էլեկտրամեկուսիչի շատ բարակ շերտով ծածկված d հաստությամբ հաղորդալարը խիտ փաթաթված է հարթ պարույրի տեսքով, որի

արտաքին շառավիղը R է (R » d y . Պարույրը տեղադրում են В = B 0coscot

օրենքով փոփոխվող մագնիսական դաշտում,որի ուժագծերն ուղղահայաց են պարույրի հարթությանը:

Որոշել պարույրում մակածված ԷԼՇՈւ-ն:

Լուծում. Կամայական R t շառավղով գալարում մակածված ԷԼՇՈւ-ն

հավասար է այդ գալարով մագնիսական հոսքի փոփոխման արագությանը (ածան­ցյալին), այսինքն'

£ , = - Հ . (27)

որտեղ

Փ = B S t = В жII2 = B0n lV coscot : (28)

Հետևաբար մակածված Շէ ԷԼՇՈւ-ի համար կստանանք

£ = B 0n R 2 cosincot: (29)

Ամբողջ պարույրում մակածված ԷԼՇՈւ-ն կլինի'

£ 'y ' S, = B0ncosincot՝y՝\ R 2 , (30)i= l i= l

որտեղ n = R /d գալարների թիվն է:

Y^ R 2 d ' (2d) ' x x x (ud)2 d ( l 2 ՝ ........n 2): (31)i= l

(7)-ը հաշվի առնելով' կարող ենք գրել'

Д ո2 ,շ ո(ո + 1)(2ո + 1)Y R t2 = d 2 —-------^ ^ : (32)1=1 6

Ըստ պայմանի R » d , հետևաբար ո » 1 , ուստի կարող ենք գրել, որ

^ ո2 d 2ns R 3T R = ------- = — : (33)j֊ t 1 3 3d

Պարույրում մակածված ԷԼՇՈւ-ի համար կունենանք'

1 ,£ = — TlR B 0cosincot: (34)

3dԻնչպես տեսնում ենք' դիտարկված բոլոր ֆիզիկական խնդիրների

լուծումը տրվում է միատեսակ մաթեմատիկական մոտեցմամբ, մասնավորապես բնական թվերի քառակուսիների գումարի որոշմամբ: Ըստ էության, այս փաստը

63

ո

ընդգծում է այն մաթեմատիկական համանմանությունը, որն առկա է ամենա­տարբեր ֆիզիկական երևույթների (կամ խնդիրների) դիտարկման ժամանակ:

Կրկնության ժամանակ օգտակար է բերել միասնական մաթեմատիկական տեսքի բերվող կամ միասնական մաթեմատիկական բանաձևերի կիրառմամբ երևույթների կամ խնդիրների օրինակներ և կատարել որոշ ընդհանրացումներ:

_____________________Մ Ի Ջ Ա Ռ Ա Ր Կ Ա Յ Ա Կ Ա Ն _____________________

Գրականություն

1. Կ. Աթայան, Ս. Մայիլյան, Հ. Սարգսյան, Լ Պետրոսյան. ՖԻԶԻԿԱՅԻ ԽՆԴԻՐՆԵՐ տեսակները և լուծման մեթոդները, «ԲՆԱԳԵՏԻ» ՄԱՏԵՆԱՇԱՐ, Մաս առաջին Երևան 2004,

2. Լ.Ն.Պետրոսյան, էլեկտրական և մագնիսական պարզագույն համակարգերի նկարագրման մաթեմատիկական համանմանությունը որպես գիտելիքների համակցման միջոց, Ե., Նոյան տապան, 2009:

3. Է.Մ.Ղազարյան Ա. Ա. Մելիք - Օհանջանյան, Ներդաշնակ տատանումների վերաբերյալ խնդիրների լուծման էներգետիկ մեթոդի մասին, «Մաթեմատիկական և ֆիզիկական դպրոցում» 1982, N3:

4. А. В. Усова, В. В. Завьяков, О систематизации знаний учащихся в процессе обучения физике, «Физика в школе», 1976, N1.

5. А. М. Цатурян, Повторение курса физики с привлечением знаний учащихся по математике, «Физика в школе», 1990, N4.

6. В. С. Кущенко, Сборник конкурсных задач по математике, Изд. «Судостроение», Ленинград, 1968.

64