第八章 联立方程计量经济模型理论方法

Theory and Methodology of Simultaneous-Equations

Econometrics Model

教学基本要求

本章是课程的重点内容之一 , 与单方程模型并列。通过教学，要求学生达到：

掌握：线性联立方程计量经济学模型的基本概念，线性联立方程模型的矩阵表示，结构式与简约式的定义及联系 , 有关模型识别的概念和实用的识别方法，几种主要的单方程估计方法（间接最小二乘法、两阶段最小二乘法、工具变量法、）的原理与应用。

第一节 引言：问题的提出第二节 联立方程计量经济学模型的若

干基本概念第三节 联立方程计量经济学模型的识

别第四节：联立方程模型的参数估计

第一节 引言：问题的提出

一、经济研究中的联立方程计量经济学问题

二、计量经济学方法中的联立方程问题

一、经济研究中的联立方程计量经济学问题

⒈ 研究对象

经济系统，而不是单个经济活动

“ 系统”的相对性 相互依存、互为因果，而不是单向因果关系 必须用一组方程才能描述清楚

⒉一个简单的宏观经济系统

由国内生产总值 Y 、居民消费总额 C 、投资总额 I和政府消费额 G 等变量构成简单的宏观经济系统。

将政府消费额 G 由系统外部给定，其他内生。

tttt

tttt

ttt

GICY

YYI

YC

21210

110

在消费方程和投资方程中，国内生产总值决定居民消费总额和投资总额；

在国内生产总值方程中，它又由居民消费总额和投资总额所决定。

二、计量经济学方法中的联立方程问题

⒈随机解释变量问题

解释变量中出现随机变量，而且与误差项相关。 为什么？

tttt

tttt

ttt

GICY

YYI

YC

21210

110

⒉损失变量信息问题

如果用单方程模型的方法估计某一个方程，将损失变量信息。

为什么？

tttt

tttt

ttt

GICY

YYI

YC

21210

110

⒊损失方程之间的相关性信息问题

联立方程模型系统中每个随机方程之间往往存在某种相关性。

表现于不同方程随机误差项之间。 如果用单方程模型的方法估计某一个方程，将损

失不同方程之间相关性信息。

tttt

tttt

ttt

GICY

YYI

YC

21210

110

⒋结论

必须发展新的估计方法估计联立方程计量经济学模型，以尽可能避免出现这些问题。

这就从计量经济学理论方法上提出了联立方程问题。

第二节 联立方程计量经济学模型的若干基本概念

变量方程结构式模型简化式模型参数关系体系

一、变量

⒈内生变量 （ Endogenous Variables ）

对联立方程模型系统而言，已经不能用被解释变量与解释变量来划分变量，而将变量分为内生变量和外生变量两大类。

内生变量是具有某种概率分布的随机变量，它的参数是联立方程系统估计的元素。

内生变量是由模型系统决定的，同时也对模型系统产生影响。

内生变量一般都是经济变量。

一般情况下，内生变量与随机项相关，即

Cov Y E Y E Y Ei i i i i i( , ) (( ( ))( ( )))

0

)(

)()()(

)))(((

ii

iiii

iii

YE

EYEYE

YEYE

• 在联立方程模型中，内生变量既作为被解释变量，又可以在不同的方程中作为解释变量。

⒉外生变量 (Exogenous Variables)

外生变量一般是确定性变量，或者是具有临界概率分布的随机变量，其参数不是模型系统研究的元素。

外生变量影响系统，但本身不受系统的影响。 外生变量一般是经济变量、条件变量、政策变量、

虚变量。 一般情况下，外生变量与随机项不相关。

⒊ 先决变量（ Predetermined Variables ），也称前定变量

外生变量与滞后变量 (Lagged Endogenous Variables) 统称为先决变量（或前定变量）。

滞后变量是联立方程计量经济学模型中重要的不可缺少的一部分变量，有滞后内生变量与滞后外生变量，用以反映经济系统的动态性与连续性。联立方程模型一般涉及滞后内生变量。

先决变量只能作为解释变量。

二、结构式模型Structural Model

⒈定义

根据经济理论和行为规律建立的描述经济变量之间直接结构关系的计量经济学方程系统称为结构式模型。 模型的每个方程都有具体的经济意义。

结构式模型中的每一个方程都是结构方程（ Structural Equations ）。

各个结构方程的参数被称为结构参数（ Structural Parameters or Coefficients ） 。

将一个内生变量表示为其它内生变量、先决变量和随机误差项的函数形式，被称为结构方程的正规形式。

⒉结构方程的方程类型

行为方程

技术方程

随机方程 制度方程

统计方程

定义方程

恒等方程 平衡方程

经验方程

结构方程的正规形式。

无随机误差项 , 参数已知 .

⒊完备的结构式模型

具有 g 个内生变量、 k 个先决变量、 g 个结构方程的模型被称为完备的结构式模型。

在完备的结构式模型中，独立的结构方程的数目等于内生变量的数目，每个内生变量都分别由一个方程来描述。

线性模型结构式的一般形式

设线性联立方程组模型包含 g 个内生变量 Y1 ， Y2 ，…，Yg ； k 个前定变量 X1 ， X2 ，…， Xk 。模型规范形式为：

(8.1)giuXcXcXc

YbYbYbYbYbY

ikikii

gigiiiiiiiii

,,2,1 ,2211

11112211

实际的方程组有 g 个方程 .

⒋完备的结构式模型的矩阵表示

习惯上用 Y 表示内生变量， X表示先决变量， μ表示随机项， β表示内生变量的结构参数， γ表示先决变量的结构参数，如果模型中有常数项，可以看成为一个外生的虚变量，它的观测值始终取 1 。

(8.2) XY

X

Y) (

Y

Y

Y

Y

y y y

y y y

y y yg

n

n

g g gn

1

2

11 12 1

21 22 2

1 2

X

X

X

X

x x x

x x x

x x xk

n

n

k k kn

1

2

11 12 1

21 22 2

1 2

1

2

11 12 1

21 22 2

1 2

g

n

n

g g gn

11 12 1

21 22 2

1 2

g

g

g g gg

gkgg

k

k

21

22221

11211

讨论 (8.1) 中 B 和 的形式。

⒌简单宏观经济模型的矩阵表示

tttt

tttt

ttt

GICY

YYI

YC

21210

110

Y

C

I

Y

C C C

I I I

Y Y Y

t

t

t

n

n

n

1 2

1 2

1 2

X

1 1 1 1

1 0 1 1

1 2

Y

G

Y Y Y

G G Gt

t

n

n

000022221

11211

2

1

n

n

100111

010

0001

) ( 201

01

三、简化式模型 Reduced-Form Model

⒈定义

用所有先决变量作为每个内生变量的解释变量，所形成的模型称为简化式模型。

简化式模型并不反映经济系统中变量之间的直接关系，并不是经济系统的客观描述。

由于简化式模型中作为解释变量的变量中没有内生变量，可以采用普通最小二乘法估计每个方程的参数，所以它在联立方程模型研究中具有重要的作用。

简化式模型中每个方程称为简化式方程 (Reduced-Form Equations)，方程的参数称为简化式参数 (Reduced-Form Coefficients) 。

⒉简化式模型的矩阵形式

(8.3) XY

11 12 1

21 22 2

1 2

k

k

g g gk

1

2

11 12 1

21 22 2

1 2

g

n

n

g g gn

⒊简单宏观经济模型的简化式模型

C Y G

I Y G

Y Y G

t t t t

t t t t

t t t t

10 11 1 12

20 21 1 22

30 31 1 32

四、参数关系体系

⒈定义

（ 8.4)式描述了简化式参数与结构式参数之间的关系，称为参数关系体系。

(8.4) -Bor 1

Y X

Y X

Y X

1 1 Y X

⒉作用

利用参数关系体系，首先估计简化式参数，然后可以计算得到结构式参数。

从参数关系体系还可以看出，简化式参数反映了先决变量对内生变量的直接与间接影响之和，这是简化式模型的另一个重要作用。

下面举例子说明。

注意：简化式参数与结构式参数之间的区别与联系。

QQQ

uTPQ

uYPQ

sd

s

d

2232221

1131211

结构式模型：考虑单一商品市场均衡

Y、 T外生变量

000011

010

001

1

00000

00

00

232122

131112

2232122

1131112

TYPQQ

TYPQQ

uTYPQQ

uTYPQQ

sd

sd

sd

sd

1222

23

1222

13

1222

2111

1222

2312

1222

1322

1222

21121122

1222

2312

1222

1322

1222

21121122

1

122212221222

1222

22

1222

12

1222

22

1222

12

1222

12

1222

22

1

2321

1311

22

12

111

000

0

0

011

10

01

1333231

2232221

vTYP

vTYQ

，

整理得简化式模型为：中第二行与第一行相同因为

由 此 可 知 ， 只 有 B 可 逆 ， 才 能 从 结 构 式 导 出 简 化 式 。 但 要知 道 B 是 不 容 易 的 。 实 际 应 用 中 ， 经 常 的 做 法 是 ：

先 估 计 出 简 化 式 参 数 值 π i j， 再 利 用 二 者 间 的关 系 式 ， 求 出 结 构 参 数 β i j γ、 i j来 。

应 用 这 种 方 法 前 ， 要 满 足 一 个 条 件 ， 那 就 是“ 模 型 是 可 识 别 的 ”

第三节 联立方程计量经济学模型的识别The Identification Problem

一、识别的概念二、从定义出发识别模型 三、结构式识别条件 四、实际应用中的经验方法

一、识别的概念

⒈为什么要对模型进行识别？

从一个例子看

ttt

ttt

ttt

ICY

YI

YC

210

110

• 消费方程是包含 C 、 Y 和常数项的直接线性方程。• 投资方程和国内生产总值方程的某种线性组合（消去 I ）所构成的新方程也是包含 C 、 Y 和常数项的直接线性方程。

如果利用 C 、 Y 的样本观测值并进行参数估计后，很难判断得到的是消费方程的参数估计量还是新组合方程的参数估计量。

只能认为原模型中的消费方程是不可估计的。 这种情况被称为不可识别。 只有可以识别的方程才是可以估计的。

QQQ

uPbbQ

uPbbQ

sd

s

d

22221

11211

： 模型：考虑某种商品市场均衡另一例子

Qd、Qs、P均为内生变量，模型对应的简化式为：

供需均衡均衡价格

221

111

vQ

vP

2212

2211211212

2212

112111

bb

bbbb

bb

bb

若用OLS估计出π 来，根据2个方程，来求4个参数，是不可求解的。

此问题中，值得注意的是：模型中的供给方程和需求方程具有相同的形式——相同的变量和相同的函数形式。

特别，两个方程的线性组合而成的方程为：

vPbbbb

vbPaQ

21

222121

21

212111

这就出问题了——用Q、P的样本数据估计出的参数，到底对应的是那个式子呢？需求方程？供给方程？它们的线性组合？

模型的识别问题是从能否由被估计出的简化式参数中求出结构式参数的计算问题引申出来的。分为两个层次的判断问题：

1 ）结构参数能否求出的问题——模型可识别？2 ）若能求出，所得参数值是否唯一——恰好识别？ 这涉及代数理论中的方程组解的概念，比较具体有三

种定义。

⒉识别的定义 3 种定义：

“ 如果联立方程模型中某个结构方程不具有确定的统计形式，则称该方程为不可识别。”

“ 如果联立方程模型中某些方程的线性组合可以构成与某一个方程相同的统计形式，则称该方程为不可识别。”

“根据参数关系体系，在已知简化式参数估计值时，如果不能得到联立方程模型中某个结构方程的确定的结构参数估计值，则称该方程为不可识别。”

⒊模型的识别 上述识别的定义是针对结构方程而言的。 模型中每个需要估计其参数的随机方程都存在识

别问题。 如果一个模型中的所有随机方程都是可以识别的，则认为该联立方程模型系统是可以识别的。反过来，如果一个模型系统中存在一个不可识别的随机方程，则认为该联立方程模型系统是不可以识别的。

恒等方程由于不存在参数估计问题，所以也不存在识别问题。但是，在判断随机方程的识别性问题时，应该将恒等方程考虑在内。

⒋恰好识别 (Just Identification) 与过度识别 (Overidentification)

如果某一个随机方程具有一组参数估计量，称其为恰好识别；

如果某一个随机方程具有多组参数估计量，称其为过度识别。

模型识别

每一个结构方程可识别

不可识别

可识别

至少有一个结构方程不可识别

恰好识别

过度识别

识别条件图示

二、从定义出发识别模型

为外生变量为内生变量；

均衡模型：仍然考虑某种商品市场

RTYPQQ

QQQ

uTPQ

uRYPQ

sd

sd

s

d

,,,,

2210

13210

… … … … （ a ）

… … … … （ b ）

27654

13210

vTRYP

vTRYQ

相应的简化模型：

1 、 例 题 1 ： 由 简 约 式 到 结 构 式 的 模 型 识 别 性

11

217

11

136

11

125

11

23

11

32

11

21

11

10014

11

000

参数间关系：8 个 方 程 7 个 变 量 ， 方 程

是 可 求 解 的 。实 际 上 ， 方 程 （ a ） 式

的 结 构 参 数 可 由 以 下 方 程 组唯 一 确 定 ：

2163

1152

371

0140

/

所 以 需 求 方 程 （ a ） 式 是 恰好 识 别 的 。

B

方程（b）式的结构参数可由以下方程组确定出两组解来：

3172

261

0140

3172

351

0140

//

或

条件过多，所以供给方程（b）是过渡识别的。

上述方法是利用定义来判断模型的可识别性，对稍微多些方程的模型，这种方法就困难重重了，所以我们将在下一节学习模型识别的条件。

2. 例题 2：唯一的统计形式

第 2 与第 3 个方程的线性组合得到的新方程具有与消费方程相同的统计形式，所以消费方程也是不可识别的。

ttt

ttt

ttt

ICY

YI

YC

210

110

第 1 与第 3 个方程的线性组合得到的新方程具有与投资方程相同的统计形式，所以投资方程也是不可识别的。

于是，该模型系统不可识别。 参数关系体系由 3 个方程组成，剔除一个矛盾

方程， 2 个方程不能求得 4个结构参数的确定值。也证明消费方程与投资方程都是不可识别的。

3. 例题 3

消费方程是可以识别的，因为任何方程的线性组合都不能构成与它相同的统计形式。（少 I 与 ,说明解释变量少容易可识别 )

投资方程仍然是不可识别的，因为第 1 、第 2 与第 3 个方程的线性组合（消去 C ）构成与它相同的统计形式。

于是，该模型系统仍然不可识别。

C Y

I Y Y

Y C I

t t t

t t t t

t t t

0 1 1

0 1 2 1 2

1tY

参数关系体系由 6 个方程组成，剔除 2 个矛盾方程，由 4 个方程是不能求得所有 5 个结构参数的确定估计值。

可以得到消费方程参数的确定值，证明消费方程可以识别；因为只能得到它的一组确定值，所以消费方程是恰好识别的方程。

投资方程都是不可识别的。 注意：与例题 2相比，在投资方程中增加了 1个变量，消费方程变成可以识别。

4. 例题 4

消费方程仍然是可以识别的，因为任何方程的线性组合都不能构成与它相同的统计形式。

投资方程也是可以识别的，因为任何方程的线性组合都不能构成与它相同的统计形式。

于是，该模型系统是可以识别的。

C Y C

I Y Y

Y C I

t t t t

t t t t

t t t

0 1 2 1 1

0 1 2 1 2

参数关系体系由 9 个方程组成，剔除 3 个矛盾方程，在已知简化式参数估计值时，由 6 个方程能够求得所有 6 个结构参数的确定估计值。

所以也证明消费方程和投资方程都是可以识别的。

而且，只能得到所有 6 个结构参数的一组确定值，所以消费方程和投资方程都是恰好识别的方程。

注意：与例题 2 相比，在消费方程中增加了 1个变量，投资方程变成可以识别。

6. 例题 6

消费方程和投资方程仍然是可以识别的，因为任何方程的线性组合都不能构成与它们相同的统计形式。

于是，该模型系统是可以识别的。

ttt

tttt

ttttt

ICY

YYI

PCYC

21210

131210

参数关系体系由 12 个方程组成，剔除 4 个矛盾方程，在已知简化式参数估计值时，由 8 个方程能够求得所有 7 个结构参数的确定估计值。

所以也证明消费方程和投资方程都是可以识别的。 但是，求解结果表明，对于消费方程的参数，只能得到一组确定值，所以消费方程是恰好识别的方程；

而对于投资方程的参数，能够得到多组确定值，所以投资方程是过度识别的方程。

注意： 在求解线性代数方程组时，如果方程数目大于未知

数数目，被认为无解；如果方程数目小于未知数数目，被认为有无穷多解。

但是在这里，无穷多解意味着没有确定值，所以，如果参数关系体系中有效方程数目小于未知结构参数估计量数目，被认为不可识别。

如果参数关系体系中有效方程数目大于未知结构参数估计量数目，那么每次从中选择与未知结构参数估计量数目相等的方程数，可以解得一组结构参数估计值，换一组方程，又可以解得一组结构参数估计值，这样就可以得到多组结构参数估计值，被认为可以识别，但不是恰好识别，而是过度识别。

⒌如何修改模型使不可识别的方程变成可以识别

或者在其它方程中增加变量； 或者在该不可识别方程中减少变量。 必须保持经济意义的合理性。

三、结构式识别条件

对规模较大的模型而言，利用定义来判断模型的可识别性的方法过于繁难，我们将在本节学习模型识别的条件。

因为计量经济学首先构造出来的模型是结构式的。因此，直接对结构式模型进行识别的方法更为常用。

此处给出结构式的识别秩条件和阶条件，基本要求是会使用秩条件进行模型的识别，重点在于应用。理解或记住其原理即可。

模型中所有方程都是可识别的，则模型是可识别的。所以识别条件都是建立在单个结构式方程上的——关键在于方程的识别。

⒈结构式识别条件

直接从结构模型出发 一种规范的判断方法 每次用于 1 个随机方程

具体描述为：

模 型 结 构 式 的 识 别 条 件考 虑 结 构 式 模 型 一 般 形 式 ：

gkgkgggggmm

kkgg

kkgg

uXXXYYY

uXXXYYY

uXXXYYY

22112211

222221212222121

112121111212111

模 型 矩 阵 形 式 ：

UXBY

UX

Y,

或

g个 内 生 变 量 ；k个 前 定 变 量 ；

g个 方 程 ；

列而成的矩阵）。行中非零元素所对应的去掉第行，再阵。（或说：去掉第所对应的列而形成的矩

个结构方程包含的变量行，去掉第中去掉第，为从模型系数矩阵矩阵前定变量的个数为

生变量个数为个结构方程中所含的内假定第

i

i

ii

k

gi

iii

i

,,

,

识 别 判 断 矩 阵 iiB

)()1( ii kgkggiiB

的；个结构方程是过度识别则第若

的；个结构方程是恰好识别则第若阶条件：

个结构方程可识别；则第若秩个结构方程不可识别；则第若秩

秩条件：：个结构方程的识别条件第

igkk

igkk

igR

igR

i

ii

ii

ii

ii

,1

,1

,1,

,1,

注意：秩条件是方程可识别的充分必要条件，而阶条件只是必要条件，即秩条件成立时方程一定可识别，阶条件成立，方程也不一定可识别。

识别的秩条件和阶条件

一般将该条件的前一部分称为秩条件（ Rank Condition ），用以判断结构方程是否识别；

将后一部分称为阶条件（ Order Conditon ），用以判断结构方程恰好识别或者过度识别。

⒉例题一

C Y C P

I Y Y

Y C I

t t t t t

t t t t

t t t

0 1 2 1 3 1 1

0 1 2 1 2

0000111

0010

001

201

3201

Ct It Yt 1 Yt-1 Ct-1 Pt-1

B

判断第 1 个结构方程的识别状态

01

1 211

12)( 11 gR

所以，该方程可以识别。

因为

11 11 gkk

所以，第 1 个结构方程为恰好识别的结构方程。

判断第 2 个结构方程的识别状态

所以，该方程可以识别。

因为

所以，第 2 个结构方程为过度识别的结构方程。

001

1 3222

12)( 22 gR

12 22 gkk

第 3 个方程是平衡方程，不存在识别问题。 综合以上结果，该联立方程模型是可以识别的。 与从定义出发识别的结论一致。

二：一个识别判断的例子

为外生变量为内生变量；

均衡模型：仍然考虑某种商品市场

RTYPQQ

QQQ

uTPQ

uRYPQ

sd

sd

s

d

,,,,

2210

13210

…………（45）…………（46）

项）个前定变量（包括常数个内生变量 4,3

000000

000

00

2201

13201

kg

TRYPQQ

uTRYPQQ

uTRYPQQ

sd

sd

sd

0000011

0010

001

1

201

3201

TRYPQQ sd

模型系数矩阵：

1 ）第一个结构方程的识别：根据模型系数矩阵

01

1, 2

11

别的。—第一个方程是恰好识—

；阶条件：；秩条件：秩1134

12,

11

11

gkk

gR

2）第二个结构方程的识别：

001

1, 32

22

别的。—第二个方程是过度识—

；阶条件：；秩条件：秩

121224

12,

22

22

gkk

gR

3）第三个方程是恒等式，不需识别。结论：模型可识别。

四、实际应用中的经验方法

当一个联立方程计量经济学模型系统中的方程数目比较多时，无论是从识别的概念出发，还是利用规范的结构式或简化式识别条件，对模型进行识别，困难都是很大的，或者说是不可能的。

理论上很严格的方法在实际中往往是无法应用的，在实际中应用的往往是一些经验方法。

关于联立方程计量经济学模型的识别问题，实际上不是等到理论模型已经建立了之后再进行识别，而是在建立模型的过程中设法保证模型的可识别性。

“ 在建立某个结构方程时，要使该方程包含前面每一个方程中都不包含的至少 1 个变量（内生或先决变量）；同时使前面每一个方程中都包含至少 1个该方程所未包含的变量，并且互不相同。”

该原则的前一句话是保证该方程的引入不破坏前面已有方程的可识别性。只要新引入方程包含前面每一个方程中都不包含的至少 1 个变量，那么它与前面方程的任意线性组合都不能构成与前面方程相同的统计形式，原来可以识别的方程仍然是可以识别的。

该原则的后一句话是保证该新引入方程本身是可以识别的。只要前面每个方程都包含至少 1 个该方程所未包含的变量，并且互不相同。那么所有方程的任意线性组合都不能构成与该方程相同的统计形式。

在实际建模时，将每个方程所包含的变量记录在如下表所示的表式中，将是有帮助的。

变量 1 变量 2 变量 3 变量 4 变量 5 变量 6 …

方程 1 × × ×

方程 2 × × × ×

方程 3 × × × ×

方程 4 × × ×

…

Klein 模型 1

ttttt uPWWPC 113210 )(

ttttt uKPPI 2171654

tttt uWTYWTYW 311098 )()(

ttttt GICTY

tttt PWWY

ttt IKK 1

消费函数 :

投资函数 :

劳动要求 :

恒等式 :

其中 C= 消费支出， I= 投资支出， G= 政府支出， P= 利润， W= 民间工资， W‘= 政府工资， K= 资本存量， T= 税收， Y= 税后收入， t= 时间，内生变量为 C 、 I 、 W 、 Y 、 P 和 K ，其余为前定变量。

作业 :

P291----3\4\7\9

第四节：联立方程模型的参数估计

对联立方程组模型参数的估计方法有两大类：

1）单一方程估计法，包括：间接最小二乘法（ILS）、工

具变量法（IV）、两阶段最小二乘法（TSLS）、有限信息

最大似然估计法（LIML）等。这些方法是对方程组中的每

一个可识别的结构方程逐一单独地估计其参数，最后得到

整个模型的参数估计值。这些方法都仅用到了模型简化式

方程信息，因此称为有限信息方法。

一、联立方程模型参数估计概述

2 ）方程组系统估计法，包括：三阶段最小二乘法（ 3SLS ）、完全信息最大似然估计法（ FIML ）等。这些方法是对模型中所有结构方程的参数同时进行估计，从而获得模型全部参数的估计值。它利用了模型的全部方程信息，称为完全信息方法。

基础的计量经济学一般讲述有限信息方法。

完全信息方法

iu对结构式方程中的随机误差变量 ，有假设：

1 、均值为 0 ，

2 、

3 、

此处的 相当于单方程模型中的 u 。

nkuE ik ,,2,1;0 nuii IuuCov

i 2,

mji

IuuCov nijji

,,2,1,

, 2

iu

ILS适用于恰好识别的结构方程，对过度识别的结构方程

是不适宜的，对不可识别的结构方程不能用。它的原理

是通过简约式模型的参数估计值，唯一地求出结构方程

的参数估计值。

用一个例子说明其算法和步骤。

二、间接最小二乘法（ILS）

321

321

33332321313

23233232

12121112121

.,3

,,3

XXX

YYY

uXcYbYbY

uXcYbY

uXcXcYbY

个前定变量

，个内生变量模型有

1 ）算法：考虑如下模型

3333213232131

23232132321

1321211132121

00

000

00

uXcXXYYbYb

uXcXXYbYY

uXXcXcYYbY

33

23

1211

3231

23

12

00

00

0

1

10

01

,

c

c

cc

bb

b

b

模型可写成矩阵形式：

系数矩阵为：

-

-

33332321313

23232221212

13132121111

11

vXXXY

vXXXY

vXXXY

得到模型简化式：，从而，得到简化式参数计算出

23232221212

13132121111

vXXXY

vXXXY

考 虑 第 一 个 结 构 方 程 ：

它 是 恰 好 识 别 的 ， 方 程 中 包 含 两 个 内 生 变 量 Y 1 、 Y 2 ，

对 应 的 简 化 式 ：

12121112121 uXcXcYbY

2 ） ILS 步骤：

0231213

12221212

11211211

b

cb

cb

22121212

21121111

231312 /

bc

bc

b

利用结构式与简约式系数的关系式B

可得方程组：

若已知 πij ，即可解出惟一的 cij ，第一个结构方程得以估计。这样，结构方程的参数估计值用传统的 OLS就得到了。

ILS 的步骤

一、先对模型作识别判断，找出恰好识别的方程；

二、利用简约式和结构式参数的关系式 求出线性方程式三、对简约式求 OLS ，得到 ，将代入关系式，求出

B

and B

21 , ffB

间接最小二乘方法步骤

一、求恰好识别方程结构式参数与简约式模型参数的唯一关系式 ;

二、对简约式模型逐个方程求 OLS ，得到简约式模型中所有的参数估计值；

三、将简约式参数估计值代入关系式，求结构方程参数的估计值

三、两阶段最小二乘法（TSLS）

方程是过度识别的，ILS方法不适宜了。下面我们介绍使用TSLS方法，其思想是估计分两个阶段：第一阶段是对结构方程右端所包含的所有内生

变量（作为解释变量）所对应的简化式方程进行OLS估计,得到内生变量的估计（回归)值；第二阶段是用第一阶段作出的内生变量的估计

值替换结构方程中右端的内生（解释）变量后，再进行OLS估计，即得到其结构参数的TSLS估计量。

TSLS方法不管方程是恰好识别的，还是过度识别的，都是有效的，计算步骤是一样的。

右 端 包 含 的 内 生 变 量 是 Y 3 ， 其 简 化 式 方 程 为 ：

33332321313 vXXXY

对 此 简 化 式 方 程 使 用 O L S 法 估 计 得 ：

3332321313 XXXY

23233232 uXcYbY 考 虑 第 二 个 结 构 方 程 ：

… … （ c

333 eYY

有 ， 代 入 （ c ） 式 有 ：

'3233232 2

uXcYbY

… … （ d ）

对 （ d ） 式 应 用 O L S ， 即 得 到 结 构 参 数 的 估 计 值 。

值得注意的是：对（d）式应用OLS时，所使用的

样本数据是样本观测值Y2t、X3t和Y3t的估计值

Y3t。

强调的是：只要结构方程式可识别的，就可以应

用TSLS方法进行参数估计，而且此方法是最

常用的。

∧

TSLS法的使用条件如下：

1）结构方程的随机误差项需满足零均值、同方

差、序列无关假设；

2）所有的k个前定变量与随机误差项不相关；前

定变量间无严重的多重共线性；

3）样本容量n足够大，至少要n>k；

4）待估计的结构方程式可识别的。

TSLS法估计量的性质如下：

1）小样本下的TSLS估计量是有偏的；

2）大样本下的TSLS估计量是一致的(渐近无

偏）；

3）方程恰好识别时，ILS与TSLS估计一致；

4）模型可识别时，每一个结构方程都可用TSLS估计参数。

TSLS是最常用的方法——先建立理论联立结构方程组模型，再进行单个方程的TSLS估计。

四、工具变量法I VILS和TSLS都属于工具变量法。工具变量法，即对模型方程中出现随机解

释变量X时，选择一个合适的变量Z作为工具变量，将OLS估计值

YXXX 1

重新写为： YZXZIV

1

对工具变量Z，要求满足：

⑴Z与随机误差变量u渐近不相关，即有 0lim n

uzP ii

⑵Z与被替代的随机解释变量渐近相关，有： n

xzP iilim

为一有限常数。

ILS 和 TSLS 的工具变量

1 、 ILS 的工具变量：若一个恰好识别的方程被解释变量为 ，出现在右边作为解释变量的内生变量为 ，未出现的前定变量为 ，用这些未出现的前定变量代替作为解释变量的内生变量，就成为 ILS 的工具变量。所以，此时

工具变量即为全部前定变量。而原解释变量为

1y

132 ,,, kyyy 1121 ,,, kxxx

kkk xxxxxZ ,,,,,, 11121

),,,,,( 1132 kkk xxyyyX

2 、 TSLS 的工具变量

如果一个过度识别的方程，出现在右边作为解释变量的内生变量为

但未出现的前定变量个数要多于 ，不能象 ILS 一样用前定变量代替。根据TSLS 的原理，工具变量中那些内生解释变量是用估计值代替的，即有：

132 ,,, myyy

11 k

kkm xxyyyZ ,,,ˆ,,ˆ,ˆ 1132

其中： kk xx ,,1 是方程中出现的前定变量。原解释变量 kkm xxyyyX ,,,,,, 1132

三者之间的关系

ILS 是 TSLS 的一种特殊形式，而 ILS 和 TS

LS 都是工具变量法。即有：

ILSTSLSIV

工具变量法的几个概念：1 、工具变量只针对随机解释变量；但写法上要写出所有替代或未替

代的解释变量。

2 、在联立方程结构方程中，要替代的只是出现在解释变量中的内生变量；

3 、恰好识别的方程中，作为解释变量出现的内生变量个数与未出现的前定变量个数相同，所以用未出现的前定变量来替代内生变量，形成工具变量。所以 ILS 的工具变量正好是全部的前定变量；

4 、过度识别方程中，内生解释变量个数要少于未出现的前定变量个数，所以可考虑用自身简约式的估计值来代替内生解释变量。 TSLS 的工具变量就是将原解释变量中的内生变量用估计值代替形成。

kkm xxyyyX ,,,,,, 1132 kkm xxyyyZ ,,,ˆ,,ˆ,ˆ 1132

联立方程模型参数估计的 Eviews 实现

在做参数估计前 , 须先对随机结构方程作识别判断 , 确定估计方法 . 若方程是恰好识别的 , 则可用间接 OLS; 若方程是过度识别的 , 则须用二阶段最小二乘估计 .

在 Eviews 中 , 上述两种方法都采用二阶段的 OLS, 即 TSLS.

步骤 首先 , 确定模型中的内生变量及外生变量 , 建立工作文件 , 并将各变量的样本数据输

入 , 建立序列 . 其次 , 点总菜单 quick—Estimate Equation, 在方法框里选 TSLS, 显示

估计是逐个方程展开。以 Eviews 附带的工作文件 cs.wf 为例。工作文件界面为：

其中 CS （人均消费）、 INV （投资）和 GDP为内生变量。 Gov_net 为外生变量。

建立模型如下：

cs=c(1)+c(2)*gdp+u1

inv=c(3)+c(4)*gdp+c(5)*gdp(-1)+u2

Gdp=cs+inv+gov_net经模型的识别判断，第一个消费方程过度

识别，第二个投资方程为恰好识别，模型可以识别，故可用 TSLS 来估计参数。

可以逐个方程回归。因第一个方程过度识别，所以要用全部前定变量为工具变量（常变量可不写）。出现界面为：

结果： Dependent Variable: CS Method: Two-Stage Least Squares Date: 12/18/05 Time: 13:27 Sample(adjusted): 1947:2 1994:4 Included observations: 191 after adjusting endpoints

Instrument list: GOV_NET GDP(-1) Variable CoefficientStd. Error t-Statistic Prob. C -195.7920 8.749597 -22.37726 0.0000 GDP 0.706348 0.002676 263.9937 0.0000 R-squared 0.997296 Mean dependent var 1953.966 Adjusted R-squared 0.997282 S.D. dependent var 848.4387 S.E. of regression 44.23232 Sum squared resid 369778.1 F-statistic 69692.66 Durbin-Watson stat 0.122247 Prob(F-statistic) 0.000000

各项指标较令人满意。

第二个方程恰好识别，工具变量正是全体前定变量，命令截图如下：

结果： Dependent Variable: INV Method: Two-Stage Least Squares Date: 12/18/05 Time: 13:34 Sample(adjusted): 1947:2 1994:4 Included observations: 191 after adjusting endpoints Instrument list: GOV_NET GDP(-1) Variable CoefficientStd. Error t-Statistic Prob. C -455.098521307 133.037097245 -3.42083923004 0.00076578 GDP 14.1088937141 12.3798414198 1.13966675627 0.255875108 GDP(-1) -13.9602274136 12.434575533 -1.12269432732 0.262999 R-squared -1.36062640573 Mean dependent var 303.927224124 Adjusted R-squared -1.3857394526 S.D. dependent var 261.368286007

S.E. of regression 403.705248945 Sum squared resid 30639850.4689

F-statistic 37.6556812684 Durbin-Watson stat 1.25547782065 Prob(F-statistic) 1.76479958893e-14

R2 和修正的 R2 显然不合理，模型中 GDP 与滞后一期的值有较强的共线性。此时可考虑用其它方法来估计参数。

三阶段最小二乘估计（ 3SLS ）简介

⒈概念 3SLS 是由 Zellner 和 Theil 于 1962年提出的同

时估计联立方程模型全部结构方程的系统估计方法。

其基本思路是 3SLS=2SLS+GLS

即首先用 2SLS 估计模型系统中每一个结构方程，然后再用 GLS 估计模型系统。

⒉三阶段最小二乘法的步骤 ⑴ 用 2SLS 估计结构方程

Yi i i i Z ~

得到方程随机误差项的估计值。

Z Y Xii i 0 0 Y X0 0 0

i i i

( )Y X X X X X Y0 01

0i i i

Z Y Xii i 0 0

( ) i i i i iY Z Z Z1

Yi i iZ e y yil il il

OLS估计

OLS估计

⑵ 求随机误差项方差—协方差矩阵的估计量

ei i i ine e e

1 2

( )( )

ij

i j

i i j jn g k n g k

e e

1 1

( ) ij

I (#)

(#) 中 表示“直积”，即用符号后面的矩阵去乘符号前面矩阵的每个元素。协方差矩阵 是由 (g×g) 个子矩阵组成，每个子矩阵都是一个主对角阵，且主对角线元素相同。 (#) 的成立建立在联立方程模型的两条基本假设上（前面提到），放弃两条假设，每个子矩阵就不是一个主对角阵，且主对角线元素也不相同。

假设一：

假设二：

nuii IuuCovi 2,

mji

IuuCov nijji

,,2,1,

, 2

⑶ 用 GLS 估计原模型系统

Y Z ~

得到结构参数的 3SLS 估计量为：

( )

( ( ) ) ( )

Z Z Z Y

Z I Z Z I Y

1 1 1

1 1 1

也就是说，用 TSLS 得到第一组参数估计值，并借此计算残差值，进而构造 的值，得到广义最小二乘估计 GLS 所需要的矩阵 ，再利用 GLS 求出模型中参数的最终估计值。

Eviews提供了 3SLS 方法，但需用系统来求估计值。一般了解 3SLS 的原理，并知道如何用软件来求估计值，对结果能作分析即可。

ij

⒊三阶段最小二乘法估计量的统计性质

⑴如果联立方程模型系统中所有结构方程都是可以识别的，并且非奇异，则 3SLS 估计量是一致性估计量。

⑵ 3SLS 估计量比 2SLS 估计量更有效。为什么？

⑶如果 Σ 是对角矩阵，即模型系统中不同结构方程的随机误差项之间无相关性，那么可以证明 3SLS 估计量与 2SLS 估计量是等价的。

⑷这反过来说明， 3SLS 方法主要优点是考虑了模型系统中不同结构方程的随机误差项之间的相关性。

上面提及的 CS 模型中，用 3SLS 估计先要建立系统（ system), 点 object\new object\system

上图中公式与工具变量（ INST ）是后来输入的，刚出来的System 界面是空的。注意：公式中的参数必须是 C 的序列。

在 New Object 选 System 并给出名字后，点 OK 后出现：

在系统界面的菜单里点 Estimate ，出现界面为：

方法选 3SLS ，点 OK 后，有结果（ 1 ）

System: SYS1 Estimation Method: Three-Stage Least Squares

Date: 12/18/05 Time: 13:53 Sample: 1947:2 1994:4 Included observations: 191 Total system (balanced) observations 382 Instruments: GDP(-1) GOV_NET C CoefficientStd. Error t-Statistic Prob. C(1) -195.7920 8.703667 -22.49535 0.0000 C(2) 0.706348 0.002662 265.3868 0.0000 C(3) -338.9928 131.3486 -2.580862 0.0102 C(4) 0.600260 12.18907 0.049246 0.9607 C(5) -0.391842 12.24296 -0.032006 0.9745 Determinant residual covariance 6733141.

结果（ 2 ）

Equation: CS=C(1)+C(2)*GDP Observations: 191 R-squared 0.997296 Mean dependent var 1953.966 Adjusted R-squared 0.997282 S.D. dependent var 848.4387 S.E. of regression 44.23232 Sum squared resid 369778.1 Durbin-Watson stat 0.122247 Equation: INV=C(3)+C(4)*GDP+C(5)*GDP(-1)

Observations: 191 R-squared 0.926725 Mean dependent var 303.9272 Adjusted R-squared 0.925946 S.D. dependent var 261.3683 S.E. of regression 71.12603 Sum squared resid 951075.4 Durbin-Watson stat 0.080463

从拟合度和参数估计值经济意义的合理性上看， 3SLS 的结果比 TSLS 要好得多。