ЛЕКЦИЯ 5

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И

МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ

5.1.Системы линейных уравнений. Основные

понятия......................................................................2

5.2.Методы решения систем линейных

уравнений...................................................................5

5.1. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. ОСНОВНЫЕ

ПОНЯТИЯ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Системой m линейных уравнений с n неизвестными

называется система вида:

)1(

...

............................................

...

...

2211

22222121

11212111

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

,

где Ra ij - коэффициенты С.Л.У (системы линейных уравнений), Rbi -

свободные члены.

ЗАМЕЧАНИЕ. Иногда такую систему называют линейной системой

алгебраических уравнений (С.Л.А.У). Объясним, почему:

алгебраической - потому что левая часть всех уравнений есть многочлен от n

переменных nxxx ,..,, 21 ;

линейной - потому что многочлены от n переменных nxxx ,..,, 21 являются

многочленами первой степени (как линейная функция).

Здесь и далее (для краткости и т.к. никакие другие системы не

рассматриваются) мы будем опускать прилагательное "алгебраический".

Запись С.Л.У в виде (1) называют ещё координатной записью системы.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. С.Л.У называют однородной, если все её свободные

члены равны нулю:

0...21 nbbb .

Если существует хотя бы один свободный член 0: ii bb , то С.Л.У.

называется неоднородной.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Решением С.Л.У. называется такой набор значений

неизвестных 00

2

0

1 ,..,, nxxx , который при подстановке их в каждое уравнение

С.Л.У даёт тождество.

Любое конкретное решение С.Л.У (среди множества возможных) называют

его частным решением.

ЗАМЕЧАНИЕ. Решить С.Л.У. - это значит решить две задачи:

1. Определить, имеет ли вообще С.Л.У решения и сколько их.

2. Найти все существующие решения.

Более подробно остановимся на вопросе о существовании решений С.Л.У:

если С.Л.У - однородная, то она всегда имеет тривиальное решение:

0...21 nxxx .

если у однородной С.Л.У есть хотя бы одно нетривиальное решение, то

всего решений - бесконечно много.

если С.Л.У - неоднородная, то возможно несколько вариантов:

1. она имеет единственное решение,

2. решений бесконечно много,

3. решений нет.

Вообще, говоря о количестве решений С.Л.У, мы решаем вопрос о

совместности или несовместности системы:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. С.Л.У называется совместной, если она имеет хотя бы

одно решение. Если решений нет - С.Л.У называется несовместной.

О том, как определить совместность С.Л.У, а также количество решений,

будет подробно рассказано ниже, в п. 5.2.3.

Теперь остановимся на вопросе формы записи С.Л.У. Помимо введённой

ранее записи (1) существуют ещё и другие, которые мы рассмотрим далее.

ФОРМЫ ЗАПИСИ С.Л.У.

1. Координатная форма записи (введённая ранее - (1)):

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

...

............................................

...

...

2211

22222121

11212111

2. Векторная форма записи:

Рассмотрим коэффициенты ija при одном неизвестном iх как элементы

столбца (матрицы-столбца) ia , а неизвестный iх - как коэффициент. на

который умножается этот столбец. Тогда мы получим векторную форму

записи С.Л.У:

)2( ....

.......

2

1

2

1

2

2

22

12

1

1

21

11

m

n

mn

n

n

mm b

b

b

x

a

a

a

x

a

a

a

x

a

a

a

или, обозначая столбцы baaa n ,,..,, 21 :

bxaxaxa nn ..2211 .

ЗАМЕЧАНИЕ. Векторная форма записи позволяет говорить о решении

С.Л.У. как о возможности представления столбца свободных членов b в виде

линейной комбинации столбцов коэффициентов системы naaa ,..,, 21 . При этом

коэффициенты в этой линейной комбинации и будут решениями системы

nxxx ,..,, 21 . То есть, если необходимо представить один вектор в виде

линейной комбинации некоторых других, то для этого нужно составить

С.Л.У в векторной форме и решить её - см. ПРИМЕР 1.

ПРИМЕР 1. Проверить, является ли вектор 1,1,0 d

линейной комбинацией

векторов 1,2,3 ,1,3,1 ,1,1,2 cba

.

Решение:

Для того, чтобы ответить на этот вопрос, мы должны найти ненулевое

решение С.Л.У (составленное в координатной форме):

1

1

0

1

2

3

1

3

1

1

1

2

321 xxx .

3. Матричная форма записи:

Рассмотрим произведение матрицы коэффициентов и столбца неизвестных:

nmnmm

nn

nn

nmnmm

n

n

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

x

x

x

aaa

aaa

aaa

..

...........................................

..

..

..

..

........

..

..

2211

2222121

1212111

2

1

21

22221

11211

и приравняем его к столбцу свободных членов:

mnmnmm

nn

nn

b

b

b

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

..

..

...........................................

..

..

2

1

2211

2222121

1212111

Тогда, согласно определению равных матриц (см. ЛЕКЦИЯ 2, п.2.2.2) мы

увидим, что эта запись равносильна координатной форме записи (1), которую

мы можем записать в виде произведения матрицы коэффициентов А и

матрицы-столбца неизвестных Х :

mnmnmm

nn

nn

b

b

b

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

..

..

...........................................

..

..

2

1

2211

2222121

1212111

~ BXA ,

где

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

А

..

........

..

..

21

22221

11211

,

nx

x

x

Х..

2

1

,

mb

b

b

В..

2

1

.

5.2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ

УРАВНЕНИЙ

5.2.1. МЕТОД КРАМЕРА

Метод применим только для систем из n уравнений с n неизвестными:

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

...

............................................

...

...

2211

22222121

11212111

у которых матрица коэффициентов системы

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

А

..

........

..

..

21

22221

11211

-

невырожденная (см. ЛЕКЦИЯ 2, п.2.2.2), т.е. 0det A .

Такие системы называют крамеровскими .

ТЕОРЕМА (КРАМЕРА). Если С.Л.У. является крамеровской ( 0det A )

тогда её решение единственно и находится по формулам Крамера:

;,..,2,1,det

njA

xj

j

где определитель j получается из определителя системы Adet заменой j-го

столбца столбцом свободных членов:

Доказательство (для n = 2):

1. Рассмотрим крамеровскую систему из 2-х уравнения с 2-мя неизвестными:

2222121

1212111

bxaxa

bxaxa.

Умножим первое уравнение на )( 21а , второе - на 11а и сложим их:

Умножим первое уравнение на 22а , второе - на )( 12а и сложим их:

и получим систему уравнений:

212122112212211

121211212212211

babaxaaaa

babaxaaaa,

откуда

2221

111

21122211

1212111

1222

121

21122211

2121221

ba

ba

aaaa

babax

ab

ab

aaaa

babax

2. Для крамеровской системы размерности больше, чем 2, доказательство

приведём ниже -см. п.5.2.2.).

ПРИМЕР 2. Решить систему

2233

433

32

321

321

321

xxx

xxx

xxx

методом Крамера (или найти решение системы по формулам Крамера).

Решение:

Проверим, возможно ли применить формулы Крамера (т.е. посчитаем

определитель системы):

05

233

331

112

det

A ,

значит матрица невырожденная и можно применить формулы Крамера:

.3,2,15det

j

Ax

jj

j

Посчитаем отдельно все определители 3,2,1 jj :

5

232

334

113

1

.

15

223

341

132

2

.

10

233

431

312

3

.

Тогда

25

10,3

5

15,1

5

5321

xxx .

5.2.2. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ

ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ

В этом пункте мы докажем ТЕОРЕМУ (КРАМЕРА)(см.п.5.2.1) для случая

2n и в ходе этого доказательства предъявим способ решения С.Л.У. с

помощью обратной матрицы.

Доказательство ТЕОРЕМЫ КРАМЕРА ( 2n ):

Так как 0det A , тогда существует единственная обратная матрица 1A .

Запишем С.Л.У в матричной форме:

BXA ,

умножим обе части равенства на 1A слева:

BAXAA 11 ,

BAXE 1 ,

BAX 1 - решение С.Л.У. в матричном виде.

Таким образом, для того чтобы найти решение системы, нужно найти

обратную матрицу 1А (см. ЛЕКЦИЯ 3, п.3.4.) и умножить её справа на

матрицу свободных членов B .

Докажем, что это решение есть сокращённый вид формул Крамера

njA

xj

j ,..,2,1,det

.

Доказательство проведём для крамеровской системы 3-го порядка (для

большего порядка доказательство аналогично).

Рассмотрим С.Л.У из 3-х уравнений с 3-мя неизвестными:

3333232131

2323222121

1313212111

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

,

запишем решение системы в матричном виде :

333232131

323222121

313212111

3

2

1

332313

3222

1 11

AbAbAb

AbAbAb

AbAbAb

b

b

b

AAA

AAA

AAA

BAX 12

312111

,

откуда

1

33323

23222

13121

3132121111

11

aab

aab

aab

AbAbAbx ,

2

33331

23221

13111

3232221212

11

aba

aba

aba

AbAbAbx ,

3

33231

22221

11211

3332321313

11

baa

baa

baa

AbAbAbx .

Что и требовалось доказать.

ПРИМЕР 3. Решить систему из ПРИМЕРА 2 матричным методом:

2233

433

32

321

321

321

xxx

xxx

xxx

.

Решение:

Матрица системы

233

331

112

A , её определитель 05

233

331

112

det

A ,

значит у неё существует единственная обратная матрица 1А .

Находим эту матрицу любым удобным способом (через алгебраические

дополнения - см. ЛЕКЦИЯ 3, п.3.4., ТЕОРЕМА 4 или с помощью

элементарных преобразований -см. ЛЕКЦИЯ 4. п.4.2):

15

9

5

12

15

7

5

11

05

1

5

3

1A .

Теперь умножаем её справа на столбец свободных членов и получаем

матрицу неизвестных X :

2

3

1

15

9

5

12

15

7

5

11

05

1

5

3

2

4

3

X ,

2

3

1

X , т.е.

2

3

1

3

2

1

x

x

x

.

5.2.3. ТЕОРЕМА КРОНЕКЕРА-КАПЕЛЛИ. МЕТОД ГАУССА

Теорема Кронекера-Капелли является критерием совместности или

несовместности С.Л.У. Для её формулировки необходимо ввести понятие

расширенной матрицы.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если

А=

mnmm

inii

n

aaa

aaa

aaa

...

.........

...

.........

...

21

21

11211

-

матрица С.Л.У.

mnmnmm

nn

nn

b

b

b

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

..

..

...........................................

..

..

2

1

2211

2222121

1212111

,

тогда расширенная матрица этой системы будет выглядеть так:

B|A

mmnmm

n

n

baaa

baaa

baaa

|..

..|........

|..

|..

21

222221

111211

ТЕОРЕМА КРОНЕКЕРА-КАПЕЛЛИ. Для совместности С.Л.У.

необходимо и достаточно, чтобы ранг системы был равен рангу

расширенной матрицы системы, т.е.

B|Arangrang A .

ЗАМЕЧАНИЕ. Очевидно, что эту теорему имеет смысл рассматривать

только для неоднородных С.Л.У, так как однородные системы всегда

совместны - имеют тривиальное (нулевое) решение.

На практике имеет значение следующее утверждение:

УТВЕРЖДЕНИЕ (О КОЛИЧЕСТВЕ РЕШЕНИЙ С.Л.У.) Если

nA B|Arangrang -количеству неизвестных, то решение С.Л.У -

единственно, если nA B|Arangrang - то решений бесконечно много.

Теперь перейдём к рассмотрению метода Гаусса (или методу

последовательных исключений неизвестных).

Рассмотрим С.Л.У.

mnmnmm

nn

nn

b

b

b

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

..

..

...........................................

..

..

2

1

2211

2222121

1212111

.

1. Проверим, удовлетворяет ли эта система теореме Кронекера-Капелли,

т.е.проверим выполнение равенства:

B|Arangrang A .

Для этого, с помощью элементарных преобразований строк, приведём

расширенную матрицу B|A к ступенчатому виду (см. ЛЕКЦИЯ 4, п.4.2.1:

ПРИВЕДЕНИЕ МАТРИЦЫ К СТУПЕНЧАТОМУ ВИДУ)

ЗАМЕЧАНИЕ. Такие преобразования ещё называют "прямым ходом

Гаусса" .

2. В полученной ступенчатой матрице выделяем базисный минор (см.

ЛЕКЦИЯ 4, п.4.3.) и базисные переменные (т.е. те переменные,

коэффициенты которых входят в базисный минор).

3. Исходную С.Л.У. заменяем на эквивалентную ей систему, состоящую из r

уравнений, выражающих r базисных переменных через n-r оставшихся

переменных, называемых свободными.

Далее возможно два случая:

Если r=n , то С.Л.У имеет единственное решение. Действительно, в

этом случае все строки полученной ступенчатой матрицы не являются

нулевыми:

nr

n

n

n

b

ba

ba

baa

|1..00

..|........

|..00

|..10

|..1

34

34

23

23

1

1

1

1

1

12

Очевидно, что число ненулевых строк расширенной матрицы B|A и

матрица системы А совпадают, а значит:

B|Arangrang A .

Чтобы найти решение, необходимо от полученной ступенчатой матрицы

перейти к эквивалентной системе уравнений:

nr

n

nr

nnr

n

nn

nn

nn

bx

bxax

bxa

bxax

bxaxax

........

...

...

..

111

1

34

34

23

23

2

11

11

2121

1

Далее из последнего уравнения берём nr

n bx , подставляем его в предыдущее

уравнение и находим значение :1nx

111

1

nr

nr

nr

n bbax .

Таким образом мы совершаем так называемый "обратный ход Гаусса".

Продолжая описанный процесс дальше, последовательно находим решение

системы.

Если r<n , то С.Л.У имеет бесконечно много решений, которые

выражаются через n-r свободных переменных. Это возможно, когда среди

строк преобразованной расширенной матрицы есть нулевые:

0|..00

.|..1.....

..|........

| ..10

| ..1

1

23

23

1

1

1

1

1

12

rk

rnk

rrk

n

n

baa

ba

baa

Очевидно, что число ненулевых строк расширенной матрицы B|A и

матрицы системы А совпадают, а значит :

B|Arangrang A .

Аналогично предыдущему случаю, перейдём к эквивалентной системе:

........

...

...

..

11

34

34

23

23

2

11

11

2121

1

rk

nrnk

rrrk

r

nn

nn

nn

bxaxax

bxa

bxax

bxaxax

Придадим свободным переменным nrr xxx ,...,, 21 произвольные значения

Rnrr ,...,, 21 :

nn

rr

rr

x

x

x

..

,

,

22

11

и выразим через них базисную переменную :rx

rk

nrnk

rrrk

nrnk

rrrk

rk

r baaxaxabx ... 1111 .

Подставим его в предыдущее уравнение, найдём значение второй базисной

переменной 1rx и, продолжая далее делать "обратный ход Гаусса", найдём

общее решение системы:

.............

...

.............

22

11

11

30

3

20

2

0

11

nn

rr

rr

rk

nrnk

rrrk

r

x

x

x

baax

xx

xx

xx

,

где решения 0

1

0

2

0

1 ,.., rxxx - зависят от коэффициентов расширенной матрицы и

параметров Rnrr ,...,, 21 .

ЗАМЕЧАНИЕ. Придавая параметрам nrr ,...,, 21 конкретные числовые

значения, мы будем получать различные частные решения С.Л.У.

ПРИМЕР 4.

1.Решить систему

4

53

82

zyx

yx

zx

методом Гаусса.

Решение:

Составим расширенную матрицу системы и с помощью элементарных

преобразований приведём её к ступенчатому виду:

4|111

5|031

8|201

(3)(1)

8|201

5|031

4|111

(2)+(1) , (3)-(1)

4|110

1|140

4|111

(2)+4(3)

4|110

15|500

4|111

)3(5

1)2()1(

3|100

4|110

4|111

Посчитаем ранг расширенной и исходной матриц:

3B|Arangrang A и равен числу неизвестных, значит система имеет

единственное решение.

От расширенной матрицы

3|100

4|110

4|111

перейдём к эквивалентной системе уравнений:

3

4

4

z

zy

zyx

Сделаем "обратный ход Гаусса" и найдём решение системы:

3

1434

23)1(44

z

zy

zyx

,

3

1

2

z

y

x

.

2.Решить систему

023

0

1232

zyx

zyx

zyx

методом Гаусса.

Решение:

Составим расширенную матрицу системы и с помощью элементарных

преобразований приведём её к ступенчатому виду:

0|123

0|111

1|232

(2)(1)

0|123

1|232

0|111

(1)3-(3)(2),2(2)

0|450

1|450

0|111

(2)-(3)

1|000

1|450

0|111

Посчитаем ранг расширенной и исходной матриц: 3B|Arang2rang A ,

значит (см. ТЕОРЕМА КРОНЕКЕРА-КАПЕЛЛИ) система уравнений

несовместна.

3. Решить систему

1422

74

332

2

tzyx

tzyx

tzyx

tzyx

методом Гаусса.

Решение:

Составим расширенную матрицу системы и с помощью элементарных

преобразований приведём её к ступенчатому виду:

1|4221

7|1114

3|3112

2|1111

(1)-(4)(1),4-(3)(1),2-(2)

1|5330

1|5330

1|5330

2|1111

(2)-(4)(2),-(3)

0|0000

0|0000

1|5330

2|1111

(2)3

1

0|0000

0|00003

1|

3

5110

2|1111

Посчитаем ранг расширенной и исходной матриц:

4B|Arang2rang A (число неизвестных), значит (см. УТВЕРЖДЕНИЕ

(О КОЛИЧЕСТВЕ РЕШЕНИЙ С.Л.У.) система уравнений имеет

бесконечно много решений.

Выделим базисный минор 10

11 , тогда базисные переменные - yx, ,

свободные переменные - z, t .

Перейдём к эквивалентной системе уравнений:

3

1

3

5

2

tzy

tzyx

Придадим переменным z и t произвольные значения и сделаем "восходящий

ход метода Гаусса":

t

z

tzy

tzyx

3

1

3

5

2

,

t

z

tzy

tzyx

3

1

3

5

3

1

3

5

3

5

3

42

3

1

3

52

,

получаем

R

t

z

y

x

,,3

1

3

5

3

5

3

4

- решение системы (общее).

Если мы хотим найти какое-то конкретное частное решение, нужно придать

двум переменным tz и некоторые значения ( 00 , tz ), а по ним

вычислить оставшиеся два значения yx и .

Например:

3

13

3

13

3

51

3

1

3

5

5

7

3

53

3

4

3

5

3

4

3

1

y

x

t

z

,

3

1

3

13

5

7

t

z

y

x

- частное решение системы.