МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ

ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Кафедра естественно-научных дисциплин

Ю.Ф. Пугачев,

В.В. Ефимов

ФИЗИКА

Учебное пособие

В 3 частях

ЧАСТЬ 1. КЛАССИЧЕСКАЯ И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА

Ульяновск 2007

ББК В 3я 73

П 88

Пугачев Ю.Ф. Физика: учеб. пособие. В 3 ч. / Ю.Ф. Пугачев, В.В. Ефимов. – Ульяновск:

УВАУ ГА, 2007. – Ч. 1: Классическая и релятивистская механика. – 116 с.

Учебное пособие составлено на основании требований Государственного образователь-

ного стандарта.

Изложены основные вопросы классической и релятивистской механики. В частности, де-

тально рассмотрено гравитационное взаимодействие, невесомость и космические скорости,

движение тел переменной массы и движение в неинерциальных системах отсчета.

Используемый в пособии математический аппарат учитывает последовательность изло-

жения курса высшей математики в училище.

Знание и применение физических методов исследования и законов современной физики

обеспечивает надежную теоретическую базу для дальнейшего изучения курсантами таких

дисциплин, как «Электротехника и электроника», «Авиационная метеорология», «Аэроди-

намика и динамика полета» и т.п.

Предназначено для курсантов первого курса специализаций 160503.65.01 – Летная экс-

плуатация гражданских воздушных судов, 160505.65.01 – Управление воздушным движени-

ем, специальности 280102.65 – Безопасность технологических процессов и производств (на

воздушном транспорте).

СОДЕРЖАНИЕ

Введение ......................................................................................................................................3

Глава 1. Кинематика...................................................................................................................4

Глава 2. Динамика ....................................................................................................................19

Глава 3. Виды и законы силовых взаимодействий ...............................................................38

Глава 4. Энергия. закон сохранения энергии.........................................................................46

Глава 5. Неинерциальная система отсчета.............................................................................61

Глава 6. Динамика абсолютно твердого тела ........................................................................66

Глава 7. Элементы механики сплошной среды .....................................................................79

Глава 8. Пространство и время в классической физике.

Ограниченность классических представлений ........................................................97

Глава 9. Элементы релятивистской механики.....................................................................102

Рекомендуемая литература....................................................................................................114

© Пугачев Ю.Ф., Ефимов В.В., 2007

© Ульяновск, УВАУ ГА, 2007

2

3

ВВЕДЕНИЕ

Физика – наука экспериментальная, ее законы базируются на фактах, уста-

новленных опытным путем. Законы физики представляют собой количест-

венные соотношения и формулируются на математическом языке. В основе

современной физики лежит относительно небольшое количество фундамен-

тальных законов, охватывающих в значительной степени все многообразие

экспериментальных данных.

Физика является одной из фундаментальных дисциплин, которые заклады-

вают основу для общенаучной и общетехнической подготовки будущего спе-

циалиста. Объединяя все достижения современной научно-технической мыс-

ли, физика служит базой для развития самых передовых технологий и произ-

водств. Ядерная энергетика, микроэлектроника, нанотехнологии, лазерная тех-

ника, сверхпроводимость – все это вышло из недр физических лабораторий и

определяет уровень современной человеческой цивилизации. Однако не ме-

нее важным для становления инженера является овладение физическим

мышлением, а также техникой физического эксперимента. Знание и примене-

ние физических методов исследования и законов современной физики обес-

печивают надежную теоретическую базу для дальнейшей самостоятельной

плодотворной работы выпускников.

Большая часть теоретического материала и задач данного пособия заимст-

вована из известных пособий, но переработана авторами. Названия и обозначе-

ния единиц измерения величин, используемых в пособии, соответствуют Меж-

дународной системе единиц измерения (СИ).

4

КЛАССИЧЕСКАЯ И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА

Предмет механики. Механика – наука о механическом движении матери-

альных тел и происходящих при этом взаимодействиях между ними.

Движение макроскопических тел со скоростями, которые значительно

меньше скорости света, изучается в классической механике Ньютона. Законы

движения материальных объектов со скоростями, близкими к скорости света,

рассматриваются в релятивистской механике.

Глава 1. КИНЕМАТИКА

Основная задача кинематики. Кинематикой называется раздел механики,

посвященный изучению движения материальных объектов без учета их масс и

действующих на них сил.

В зависимости от вида изучаемого объекта в кинематике выделяют кинема-

тику материальной точки, твердого тела и непрерывно изменяемой среды (де-

формируемого твердого тела, жидкости, газа). Для описания движения наблю-

датель выбирает систему отсчета, под которой понимают тело отсчета (реаль-

ное или воображаемое) и связанную с ним систему координат, а также опреде-

ленный способ измерения времени. Это позволяет наблюдателю устанавливать

в любой момент времени положение изучаемого объекта по отношению к сис-

теме отсчета. Выбор системы координат в значительной мере произволен. Чаще

всего используется прямоугольная декартова система xyz. Однако в ряде задач,

характеризуемых определенными элементами симметрии, удобно использовать

соответствующие им координатные системы, в частности, полярную, цилинд-

рическую и сферическую.

Основной задачей кинематики является расчет кинематических характери-

стик движущихся объектов, к которым относятся скорость, ускорение и траек-

тория.

5

1.1. Три способа кинематического описания

движения материальной точки

При построении моделей механических систем важнейшей абстракцией яв-

ляется понятие материальной точки. Материальной точкой называется физиче-

ский объект, размерами которого, по условиям рассматриваемой задачи, можно

пренебречь. Такая абстракция позволяет отвлечься от физических размеров

объекта и определить его положение в пространстве с помощью координат гео-

метрической точки. Например, при решении задач, связанных с движением

космических объектов, последние удобно рассматривать как материальные

точки. Для описания движения материальной точки используются три способа

задания движения – векторный, координатный и естественный (траекторный).

Векторный способ описания движения точки. При таком способе описа-

ния движения на теле отсчета выбирают точку О (начало отсчета), из которой в

направлении движущейся точки М проводят радиус-вектор. При движении точ-

ки М модуль и направление радиус-вектора r изменяются, т.е. радиус-вектор

является функцией времени. Если вид функции r = r(t) известен, то уравнение

движения точки М задано в векторной форме. Конец радиус-вектора r(t) описы-

вает в пространстве кривую, которая называется траекторией движущейся

точки. Таким образом, закон движения в векторной форме имеет вид

r = r(t) или r = r(t)er, (1.1)

где er = r/r(t) – единичный вектор в направлении вектора r, r(t) – модуль вектора r.

Задание движения точки с помощью векторного способа является наиболее

общим, так как векторное уравнение (1.1) можно в дальнейшем представить в

любой координатной системе.

Координатный способ описания движения точки. В этом случае с те-

лом отсчета связывают систему координат, позволяющую каждой точке про-

странства сопоставить три числа, которые называются координатами точки.

Наиболее распространенными системами являются прямоугольная декартова,

цилиндрическая и сферическая системы координат. Будем пользоваться в ос-

новном прямоугольной декартовой системой координат, в которой положение

материальной точки М определяется тремя координатами. При движении точки

эти координаты изменяются во времени:

z(t)y(t), zx(t), yx . (1.2)

Эти уравнения представляют собой координатную форму записи закона

движения.

В случае движения точки по заранее заданной поверхности достаточно двух

уравнений движения (например, x = x(t) и y = y(t) при движении по плоскости

xoy), а при движении по координатной оси – одного уравнения.

Естественный (траекторный) способ описания движения точки. Если

точка М движется по некоторой заданной траектории, то для описания движе-

ния выбирают на траектории начало отсчета (т. О*), положительное и отрица-

тельное направления отсчета длины дуги О*М, которую обозначают буквой s и

называют дуговой координатой (рис. 1.1). Зависимость s = s(t) (вместе с урав-

нением траектории) описывает движение точки по заданной траектории. Урав-

нение траектории и закон движения можно записать так:

s(t)z(t), sy(t), zx(t), yx . (1.3)

Рис. 1.1

6

Все три способа задания движения совершенно равноправны и могут быть

использованы для описания движения материальной точки, так как их можно

связать соотношениями

kjir z(t)y(t)x(t)(t) , (1.4)

где i, j, k – орты декартовой системы координат;

.122

222

dx

dz

dx

dy

dx

dsdzdydxds (1.5)

Из формулы (1.5) вытекает, что между дуговой координатой s и координа-

тами x, у, z имеется интегральная связь вида:

x

x

dxdx

dz

dx

dys

0

.122

(1.6)

1.2. Кинематические характеристики точки

Число степеней свободы. Средняя скорость точки. Поскольку физическое

пространство, в котором мы живем, является трехмерным, то для описания по-

ложения материальной точки в пространстве необходим набор из трех незави-

симых геометрических параметров – трех координат. Эту особенность геомет-

рического описания движения точки в физике характеризуют понятием «число

степеней свободы». Число независимых геометрических параметров, которые

определяют положение материального объекта в пространстве, называется чис-

лом степеней свободы и обозначается буквой i. Следовательно, для материаль-

ной точки в пространстве i = 3. В случае ее движения по заданной плоскости

или координатной оси число i соответственно равно 2 или 1.

Основными величинами, характеризующими движение материальной точки,

являются векторы перемещения, скорости и ускорения.

Вектором перемещения называется вектор Δr, соединяющий положения

движущейся точки в начале и в конце некоторого промежутка времени ∆t.

7

Численное значение вектора перемещения (|∆r| ≡ MM1) равно кратчайшему

расстоянию между начальным и конечным положениями точки за рассматри-

ваемый промежуток времени ∆t (|∆r| ≡ |r1 – r|)

(рис. 1.2) Не следует смешивать понятие пере-

мещения точки с пройденным ею путем. Пере-

мещение – вектор, а пройденный путь – скаляр.

Кроме того, они не совпадают численно (даже в

случае прямолинейного движения). Если точка

М, двигаясь по кривой, переместилась из поло-

жения А в положение В, а затем вернулась обратно в А, то вектор перемещения

Δr = 0, а пройденный путь равен 2АВ.

Рис. 1.2

Средней скоростью точки на некотором участке пути называется величина,

равная отношению пройденного пути ∆l к промежутку времени ∆t, за который

этот путь пройден. Эту скорость в дальнейшем будем называть средней ариф-

метической скоростью:

.ΔΔ tl/vср (1.7)

Скорость, согласно формуле (1.7), характеризует быстроту движения мате-

риальной точки в среднем за промежуток времени ∆t, но не содержит информа-

ции о направлении движения точки.

Вектор мгновенной скорости. Для детального кинематического описания

движения точки во времени вводится вектор мгновенной скорости v как предел,

к которому стремится вектор средней скорости при стремлении промежутка ∆t

к нулю, т.е.

./lim/0

trtt

ср

vrv

При ∆t → 0 точка M1 стремится к точке М, а вектор vср поворачивается и в пре-

деле совпадает с направлением касательной к траектории в точке М (рис. 1.3).

Следовательно, вектор мгновенной скорости определяется соотношением

/dt.drv (1.8)

8

Согласно (1.8) вектор v характеризует быстроту и направление движения

точки в каждый момент времени t.

При координатном способе описания

движения вектор скорости v находят по

его проекциям на оси соответствующей

системы координат. Так, если уравнения

движения заданы в декартовых координа-

тах (1.2), то согласно (1.8) проекции век-

тора скорости на оси х, у, z имеют вид Рис. 1.3

.,,dt

dzv

dt

dyv

dt

dxv zyx (1.9)

Таким образом, проекции вектора скорости v на декартовы оси равны пер-

вым производным от соответствующих координат по времени. Модуль скоро-

сти точки определяют по формуле

.222

222

dt

dz

dt

dy

dt

dxvvvv zyx

При естественном способе описания движения используется проекция век-

тора скорости v на касательную с единичным вектором τ, которая определяется

по формуле

,dt

dsv (1.10)

где s – дуговая координата.

Ускорение точки. В общем случае вектор скорости точки изменяется по

величине и направлению, т.е. v = v(t). Изменение скорости во времени характе-

ризуется ускорением а. Вектор среднего ускорения равен отношению изменения

вектора скорости к тому промежутку времени, в течение которого это измене-

ние произошло, т.е. aср = Δv/Δt. Вектор мгновенного ускорения равен первой

производной от вектора скорости v(t) по времени или второй производной от

r(t) по времени:

2

2

dt

d

dt

da

rv . (1.11)

9

Если уравнения движения заданы в координатной форме, то ускорение а

определяют по его проекциям на оси координат. В частности, для уравнений

движения (1.2) проекции ускорения на оси х, у, z имеют вид:

.,,2

2

2

2

2

2

dt

zd

dt

dva

dt

yd

dt

dva

dt

xd

dt

dva z

zy

yx

x (

В эт

1.12)

ом случае модуль ускорения

.2

2

22

2

22

2

2222

dt

zd

dt

yd

dt

xdaaaa zyx (1.13)

При естественном способе описания движения точки (в случае криволиней-

ног

(1.14)

точки из положения M 1

изм

о движения) ускорение разлагается на две составляющие: касательное aτ (тан-

генциальное) и нормальное an (центростремительное) ускорения, т.е.

.aaa 222, aaa nτnτ

Пусть при перемещении в положение M скорость

енилась от v до v1 = v + ∆v. Разложим ∆v на два слагаемых: ∆v = ∆vτ + ∆vn.

Тогда по определению (рис. 1.4)

.Δt

Δv

Δt

Δv

Δt

Δv n

Δt

τ

ΔtΔtnτa

000limlimlim

Рис. 1.4

Определим проекцию ускорения тельную (коэффициент при единич-

ном

на каса

векторе τ):

dt

dv

Δt

Δva ττ

Δtτ

lim

0. (1.15)

10

11

) касательное уск роиз-

водной от проекции скорости v по времени t.

образуем далее выражение для проекции ускорения на нормаль n (коэф-

фиц

Согласно выражению (1.15 орение aτ равно первой п

Пре

иент при единичном векторе n для вектора a). Поскольку при ∆t → 0, v1 → v,

sin∆ ~ ∆, то

.sin1

00limlim ds

d

dt

dsv

ds

ds

dt

dv

t

v

t

va

t

n

tn

Поскольку , то для получаем выражение na vv vdtdsdds /,

,02

v

an (1.16)

где = ds/d – радиус кривизны траектории в точке М.

ьное ускор адра-

та скорости точки к радиусу кривизны ее траектории.

(1.15) с учетом v = |vτ| следует, что касательное ускорение

е ускорение a = aτ + an

опр

но характеризовать из-

мен

чки ускоренное, при aτ < 0 – замедленное.

Пр

ний, а также радиуса кривизны = v2/ an.

По

Согласно формуле (1.16) нормал ение an равно отношению кв

Из определения

характеризует изменение скорости по величине. Полно

еделяет изменение вектора v по величине и направлению. В результате

можно сделать вывод, что нормальное ускорение долж

ение вектора а по направлению.

Проекция an = v2/ положительна, поэтому нормальное ускорение an всегда

направлено по нормали к центру кривизны. Согласно выражению (1.15) каса-

тельное ускорение aτ может быть как положительным, так и отрицательным.

Если vτ > 0, то при aτ > 0 движение то

и vτ < 0 все изменяется наоборот.

Виды и характер движения точки. Возможные частные случаи движения

удобно классифицировать с помощью естественного способа задания движения

точки. Для этого проанализируем зависимость от времени: скорости v, каса-

тельного aτ и нормального an ускоре

отношению к виду траектории возможны три ситуации: ≠ const (криволи-

нейное движение), = const (движение по окружности радиусом R = ) и = ∞

(прямолинейное движение). В каждом из этих случаев точка может двигаться

равномерно (aτ = 0), равнопеременно (равноускоренно при vτaτ > 0, равнозамед-

ленно при vτaτ < 0), а в общем случае неравномерно с переменным во времени

касательным ускорением (aτ = f(t)), что имеет место, например, в случае коле-

бательного движения. По известному касательному ускорению можно найти

модуль скорости v и путь l, пройденный точкой за время t:

,,)()()(0

000

vvdttavtvdttadvadt

dv ttv

v

(1.17)

ttl

dttvtldttvdlvdt

dl)()()( – пройденный т

000

очкой путь. (1.18)

ты, которые следуют из соотношений (1.17) и (1.18) дл

ных случаев движения материальной точки, приведены в табл. (v и а – модули

скорости и ускорения).

Характер и законы

движения точки

Вид движения точки

Равномерное движение:

a = 0,

l = v0t

Равнопеременное движение:

a = const,

l = v0t at2/2

Переменное дви-жение:

a =

Результа я всех част-

Таблица

Классификация движений точки по виду траектории и характеру движения

a(t),

12

v = v0 = const,

v = v0 at avv0

0 (

t

dtt) ,

t

dttvl0

)(

Криволинейно

const

е движение: c

t

)(0

onstan v2

)(0

t

2atv an

)(

)(2 tv

tan

Движение по окружности:

= R = const co

R

v

20 nstan

R

atvan

20

R

tvan

)(2

Прямолинейное: = Нормальное ускорение an = v2/ = 0, т.е. вектор скорости не

изменяет свое направление при движении точки

Из уравнений равнопеременного движения получаем полезное для практи-

ч етов соотношение (для его вывода из этих уравнений нужно исклю-

.

еских расч

чить время t):

alvv 220

2

13

е виды движения тела. Часто при изучении движения твердых

тел можно пренебречь изменением их размеров и форм. В этом случае тела

считают абсолютно твердыми, т.е. такими, расстояния между любыми точками

которых остаются постоянными. Абсолютно твердое тело – это полезная абст-

ракция тела являются поступа-

тел

твер

поворота , т.е. = (t). Зави-

вращения тела, т.е.

1.3. Кинематика абсолютно твердого тела

Простейши

. Простейшими движениями абсолютно твердого

ьное и вращательное.

Поступательным движением твердого тела называется такое его движе-

ние, при котором любая прямая, проведенная в теле, движется параллельно са-

мой себе. Например, движение поршня паровой машины относительно цилинд-

ра, движение кабины «колеса обозрения» и т.д. Все точки твердого тела при по-

ступательном движении описывают одинаковые траектории, которые лишь

сдвинуты относительно друг друга, и имеют одинаковые скорости и ускорения.

При изучении поступательного движения дого тела достаточно изучить

движение какой-то одной его точки. Для удобства в качестве такой точки чаще

всего выбирают центр масс тела. Это понятие совпадает с понятием центра

тяжести тела, если оно движется вблизи Земли или по ее поверхности.

Вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной оси называ-

ется такое его движение, при котором все точки тела, рас-

положенные на одной прямой, называемой осью вращения

(ось z на рис. 1.5), остаются неподвижными, а остальные

точки тела описывают концентрические окружности с

центрами на оси вращения. Эти окружности расположены

в плоско

Рис. 1.5

стях, перпендикулярных оси вращения. Для опи-

сания вращения твердого тела вводят величины, относя-

щиеся ко всему телу в целом, а не к отдельным его точкам:

угол поворота тела, угловые скорость и ускорение тела.

При вращении тела угол изменяется со временем

симость = (t) называется кинематическим уравнением

закон вращательного движения тела имеет вид:

).(t (1.19)

14

гловую скорость тела ω получим, переходя к пределу при ∆t→0:

Рассмотрим твердое тело, имеющее ось вращения O1O2 (см. рис. 1.5). Пусть

положение некоторой точки М тела характеризуется радиус-вектором OM, пер-

пендикулярным оси вращения. За время ∆t радиус-вектор OM повернется на

угол ∆φ. Тогда средняя угловая скорость вращения тела ωср = ∆φ/∆t, а мгновен-

ную у

.limd

0 dttt

(1.20)

ода часо-

вой стрелки (рис. 1.6). В отличие от векторов ли-

ной скорости v,

мер, «правилом буравчика»)

векторами.

Угловая скорость в обще

теристики изменения с теч

равный первой производной

Оказывается удобным и возможным приписать угловой скорости тела век-

торные свойства. Условимся считать, что вектор угловой скорости ω направлен

по оси вращения так, чтобы вращение, рассматри-

ваемое с его конца, происходило против х

ней ускорения a и силы F, направ-

ления которых определяются свойствами физиче-

ских объектов (такие векторы называются истин-

ными или полярными), векторы угловой скорости

ω и углового ускорения ε, направление которых

мы оговариваем специальным правилом (напри-

, называются псевдовекторами или аксиональными

м случае зависит от времени ( = (t)). Для харак-

ением времени введем вектор углового ускорения ε,

от вектора скорости ω по времени t, т.е.

Рис. 1.6

dt

dωε

dt

d

ωε . (1.21)

Вектор углового ускорения ε направлен по оси вращения в направлении

вектора

при вра-

щательном движении. Выведем формулы, связывающие линейные скорость и

, если угловая скорость возрастает (ускоренное вращение), и проти-

воположен , если уменьшается (замедленное вращение).

Взаимосвязь между линейными и угловыми характеристиками

15

ускорение точек твердого тела с угловыми скоростью и ускорением тела. Посколь-

ку повернется на угол dφ, т

(ри

за время dt отрезок OM очка M опишет дугу ds = dφ

с. 1.7). Тогда мгновенная скорость ,ωR/dtRdds/dtvτ касательное

ускорение ar = dv/dt = Rd/dt = R, а нормальное ускорение ,/ 22 RRvan

так как = R.

Рис. 1.7

Таким образом, при вращательном движении тела справедливы следующие

соотношения для линейных и угловых (ω, ε) характеристик:

1) v = R – линейная скорость точки;

2) a = R – касательное ускорение точки;

3) an = 2R – нормальное ускорение точки;

4)

),,,( aaav n

42 Ra – ускорение точки.

любую точку ор r

в точку М. Векторное произведение ω r по модулю и направлению совпадает

с вектором скорос

полное

Приведем соотношения (1.22) к векторному виду. Для этого выберем на оси

вращения O1O2 (см. рис. 1.7) А и проведем из нее радиус-вект

ти v точки М:

rvvRrr ,,),sin( rω .

(1.22)

Следовательно, можно записать, что вектор скорости v = ω r, а вектор ус-

корения точки М:

.,dt

d

dt

d

dt

)d( rωr

ωrωa

nτnτ vωarεaaa

Таким образом, в векторной форме взаимосвязь между линейными и угло-

выми

(1.23)

1. Равномерное вращение. При равномерном вращении = 0, = const,

= учае можно ввести понятие периода вращ

вращения Т называется время, в течение которого тело совершает один оборот,

т.е. поворачивается на угол = 2π. Если число оборотов в секунду n, а полное

число π

2. Равнопеременное вращение. При равнопеременном вращении = const.

В этом случае, проинтегрировав уравнения (1.20) и (1.21) (при = const) и по-

ния, описывающие равнопеременное вращение тела:

характеристиками при вращательном движении имеет вид:

.

sinsin

2Rωa

εR,

,r),(rRωR,v

nn

ττ

vωa

arεa

rωrωv

Проиллюстрируем полученные выражения на примере равномерного, рав-

нопеременного и переменного вращения твердого тела.

t. В этом сл ения Т. Периодом

оборотов N, то T = 1/n, = 2πn, = 2πN (1 оборот = 2 ), тогда = 2π/T.

ложив в начальный момент времени t = 0, = 0, = 0 = 0, получим выраже-

2

,,2

00t

ttconst . (1.24)

Исключив из выражений (1.24) время t получим полезное кинематическое

соотношение

220

2 . (1.25)

16

17

движения определяются путем интегрирования уравнений

3. Переменное движение. В этом случае = (t), а скорость и закон вра-

щательного

d ),(/ tdt ),(/ tdtd т.е. (0 = 0) по формулам

Сопоставление формул, точки при естественном

способе (см. табл.), с аналогичными формулами вращательного движения пока-

зыв друг в друга при замене ду

угол поворота φ, линейной скорости v точки на угловую скорость ω и касатель-

ног

t t

dttdtt0 0

0 .)(,)( (1.26)

описывающих движение

ает, что они переходят говой координаты s на

о ускорения aτ на угловое ускорение ε:

.,, avs

1.4. Сложное движение

Во многих практических приложениях законов и формул кинематики дви-

жение приходится рассматривать одновременно по отношению как к непод-

виж стемам отсчета. Например, при наблюдении за

траекторией полета ракеты с корабля в океане за неподвижную систему отсчета

лог

осительным.

ным, так и к подвижным си

ично принять Землю (наблюдательный пункт на поверхности Земли), а сис-

тему отсчета, связанную с движущимся кораблем, считать подвижной. По-

скольку выбор неподвижной системы отсчета определяется соображениями

прикладного характера, то можно выбрать систему отсчета так, чтобы рассмат-

риваемая материальная точка или тело в ней покоились. Таким образом, меха-

ническое движение всегда имеет относительный характер.

Движение по отношению к условно неподвижной системе отсчета принято

называть абсолютным, а по отношению к подвижной системе отсчета – отно-

сительным. В приведенном выше примере движение ракеты по отношению к

Земле будет абсолютным, а по отношению к кораблю – отн

18

равилу

сло

Движение самой подвижной системы отсчета по отношению к неподвижной

системе называется переносным движением.

Взаимосвязь между радиус-векторами, скоростями и ускорениями в абсо-

лютном, переносном и относительном движениях определяется по п

жения векторов:

0 отнперабсотнабс vvvrrr ,коротнперабс аааа (1.27)

где aкор – ускорение Кориолиса.

,2 отнперкор vωa (1.28)

где угловая скорость вращения подвижной системы;

подвижной системы.

движения рассмотрим качение без скольже-

ния молинейном учас

и aC центра С колеса

счи ем ереносном со ско-

рос

ωпер –

vотн – скорость точки относительно

В качестве примера сложного

колеса радиусом R на пря тке дороги и рассчитаем ско-

рость ускорение точки М (модули скорости vC и ускорения

та заданными). Колесо участвует в двух движениях: п

тью vC и ускорением aC центра колеса и относительном – вращении колеса

относительно центра С с угловой скоростью ω и ускорением ε (рис. 1.8).

Рис. 1.8

Для определения угловой скорости и углового ускорения учтем, что ско-

рость точки А колеса при качении без скольжения равна нулю, т.е.

vA = vпер + vотн = vC + vотн = 0. Поскольку ,Rvотн

.

то в проекции на направле-

ние движения колеса получим R 0vC Отсюда

.1

R

a

dt

dv

Rdt

d

R

v CСС ,

19

оскольку

, то

Для точки М имеем vМ = vпер + vотн. П направления векторов vпер и

vотн для этой точки совпадают C R .2 СМ vvv Абсолютное ускорение

точки М определим по формуле (1.27). При этом учтем, что

а у

лучим

,Cпер aa ,Cотн aRa C

nотн aRa 2 , ,/22 RvRa C

nотн

скорение Кориолиса равно нулю, поскольку переносное движение поступа-

тельное, т.е. пер = 0. В результате по

./Rva)(a)a(a

aaaaaaa

CCnотн

τотнC

yxMnотн

τотнCM

24222

22

4

Глава 2. ДИНАМИКА

Основная задача динамики. Динамикой называется раздел механики, в ко-

тором изучается движение материальных тел под действием приложенных к

ним сил. Основоположником ся Г. Галилей, который

впервые установил закон движения постоянной силы – за-

кон

мент времени, прини-

мае

законов взаимодействия материальной точки с окружающими телами, если

динамики как науки являет

тела под действием

равноускоренного падения. Он открыл закон инерции и сформулировал ме-

ханический принцип относительности. Основные законы динамики были сфор-

мулированы И. Ньютоном. Эти законы в современной интерпретации состав-

ляют содержание трех законов Ньютона, а построенная на их основе механика

называется классической механикой Галилея – Ньютона.

Основная задача динамики точки состоит в том, чтобы определить уравне-

ния движения материального объекта, если известны все силы, действующие на

этот объект. Для решения этого класса задач необходимо знать начальные ус-

ловия, т.е. положение и скорость объекта в некоторый мо

мый за начальный. Примером такой задачи является определение дальности

полета снаряда по заданной начальной скорости, действующим на снаряд силе

сопротивления воздуха и силе тяжести.

Кроме того, в динамике рассматривается и обратная задача – определение

20

ет вокруг Солнца, полученные И. Кеп-

лер

аемых объектов намного меньше ско-

рос

его состояние (покоя или движения). Это свойство опреде-

ляется как инертность. Инертностью (инерцией) называют свойство тел, про-

явл своего

движения или покоя по отношению к некоторой системе отсчета. Инертность

при

сопротивление» такой

известен кинематический закон ее движения. Классическим примером решения

такой задачи является открытие Ньютоном закона всемирного тяготения. Зная

кинематические законы движения план

ом в результате обобщения огромного количества наблюдений, Ньютон

пришел к выводу, что каждая планета должна притягиваться к Солнцу с силой,

которая прямо пропорциональна ее массе, массе Солнца и обратно пропорцио-

нальна квадрату расстояния между ними.

Решение как прямой (основной), так и обратной задач динамики основано на

использовании трех законов Ньютона. Поскольку законы Ньютона являются

обобщением опытных данных, то критерием их справедливости является совпаде-

ние следствий из этих законов с результатами экспериментов. Оказывается, что во

всех случаях, когда скорость движения изуч

ти света, такое совпадение имеет место с большой степенью точности.

Формулирование трех основных законов динамики требует предварительно-

го определения таких важнейших динамических понятий, как инертность, мас-

са, импульс и сила.

2.1. Важнейшие понятия динамики материальной точки

Инертность. Опыт показывает, что всякое материальное тело «противится»

попыткам изменить

яющееся в том, что тела стремятся сохранить неизменным состояние

водит к тому, что изменение состояния движения или покоя материального

объекта всегда происходит постепенно, а не мгновенно.

Масса. Массой т называется физическая величина, являющаяся одной из

основных характеристик материи и определяющая ее инерционные и гравита-

ционные свойства.

Масса как мера инертности тела проявляется при попытке изменить его ско-

рость. Как известно, во всех случаях тело оказывает «

21

поп

масса тела).

массой (mгр).

ны друг другу, а при обычном

выб

ти

его

ытке. Масса тела как раз и является количественной мерой этой «сопротив-

ляемости». В этом качестве она присутствует во втором законе динамики Нью-

тона (mин – инертная

В теории гравитации Ньютона масса тела, с одной стороны, является мерой

интенсивности гравитационного поля, создаваемого этим телом, а с другой –

мерой воздействия гравитационного поля на тело, помещенное в это поле. Мас-

са тела, проявляющаяся как мера интенсивности гравитационного взаимодей-

ствия, называется гравитационной

Способность тела создавать гравитационное поле, а также его способность

«сопротивляться» изменению скорости являются независимыми проявлениями

различных физических сущностей, поэтому массы mгр и mин не обязаны быть оди-

наковыми. Однако эксперимент показывает, что инертная и гравитационная мас-

сы с большой степенью точности пропорциональ

оре единиц эти величины совпадают. В настоящее время это эксперименталь-

но подтверждается с относительной точностью до 10-12 ((mин – mгр)/ mин = 10-12).

В ньютоновской (классической) механике масса рассматривается как адди-

тивная и неизменная характеристика тела. Аддитивность массы означает, что

масса сложного объекта равна сумме масс составляющих его частей. Например,

масса какого-либо тела равна сумме масс составляющих его атомов или моле-

кул. Неизменность массы предполагает, что масса тела не зависит от скорос

движения. Позднейшие исследования показали, что ньютоновские постула-

ты об аддитивности и неизменности массы выполняются лишь приближенно и

только при определенных условиях. В частности, постулат о неизменности мас-

сы выполняется при скоростях, намного меньших скорости света (v <<c), а по-

стулат об аддитивности массы для системы из N объектов лишь тогда, когда

энергия взаимодействий между этими объектами намного меньше некоторой

характерной энергии, называемой энергией покоя.

Импульс. Импульсом (количеством движения) материальной точки называ-

ется физическая величина, равная произведению ее массы на скорость:

p = mv. (2.1)

22

вели-

чин

света, импульс можно считать вспомогательной величиной, так как основными

ы подразделяются на

, возникающие при не-

посредств

, на

Первый закон Ньютона. В качестве первого закона движения Ньютон

принял закон инерции, установленный Галилеем. Первый закон Ньютона гла-

сит ли равно-

мерного прямолинейного движения до тех пор, пока силовое воздействие со

стороны состояние

здействия со стороны других тел, на-

зывается свободным движением или движением по инерции. В классической

мех ествуют системы о

ся первый закон Ньютона, т.е. такие системы, в которых всякое предоставленное

Импульс p является векторной мерой механического движения материаль-

ной точки и под действием приложенной силы может изменяться как по

е, так и по направлению. При скоростях, которые намного меньше скорости

измеряемыми параметрами являются масса и скорость.

Сила. Сила F в механике определяется как мера механического воздействия

на данное тело со стороны другого тела. Это действие может проявляться как в

изменении скорости тела, так и в его деформации. Сил

контактн . Контактными называются силыые и полевые

енном контакте прижатых друг к другу тел (упругости и трения). По-

левыми называются такие силы когда действие одного тела другое передает-

ся посредством создаваемых этими телами полей (силы тяготения, электромаг-

нитные силы).

Понятие силы является основным понятием динамики, которое позволило

Ньютону сформулировать три закона механики.

2.2. Законы Ньютона. Инерциальные системы отсчета

: всякое тело (материальная точка) сохраняет состояние покоя и

других тел не заставит его изменить это . Математически

это утверждение можно записать в виде:

.0 если,01

N

kkFa (2.2)

Движение тела, не испытывающего во

анике постулируется, что сущ тсчета, в которых выполняет-

23

сам

центрической

сис

а

а скорость изменения импульса материальной точки рав-

на

о себе тело сохраняет состояние покоя или прямолинейного и равномерного

движения. Эти системы отсчета называются инерциальными. Системы отсчета,

в которых не выполняется первый закон Ньютона, называются неинерциальны-

ми. Все инерциальные системы движутся поступательно относительно друг

друга с постоянной скоростью (без ускорения). Опыт показывает, что с боль-

шой степенью точности можно считать инерциальной систему отсчета, начало

координат которой совмещено с центром Солнца, а оси проведены в направле-

нии трех удаленных, а поэтому практически неподвижных, звезд. Эта система

отсчета называется гелиоцентрической (от греч. helios – Солнце).

Система отсчета, жестко связанная с Землей (геоцентрическая система – от

греч. geo – Земля), является неинерциальной из-за вращения Земли и ее движе-

ния по орбите вокруг Солнца. Тем не менее для большинства практических

приложений эффекты, обусловленные неинерциальностью гео

темы, пренебрежимо малы и эту систему отсчета приближенно можно счи-

тать инерциальной.

Второй закон Ньютона является обобщением большого числа эксперимен-

тальных данных и устан вливает взаимосвязь между изменением импульса тела

и действующими на него силами. Второй закон Ньютона гласит: в инерциаль-

ной системе отсчет

приложенной силе и направлена по прямой, по которой эта сила действует:

Fp

dt

d. (2.3)

В случае, если на точку действуют несколько сил, под приложенной силой

понимается их равнодействующая:

N

kk NkFF

1

сил). номера2,...,1,(,

Используя определение (2.1) для импульса p и постулат о неизменности

массы, представим второй закон Ньютона (2.3) в виде

.mdt

d

dt

dm

dt

)d(m FvaF

vF

v (2.4)

24

е отсчета ускорение ма-

териальной точки прямо пропорционально приложенной силе и обратно про-

порционально . Второй закон Ньютона является тем

соо

(2.5)

ающий большое число экспери-

чая магнитных взаи действ

2.3. Преобразования Г

Преобразования Галилея. Как уже отмечалось, первый и второй законы

Ньютона выполняются лишь в инерциальных системах отсчета. Рассмотрим

инерциальные системы xyz и x'y'z', первая из которых будет неподвижной, а

вторая движется поступательно вдоль положительного направления оси x с по-

стоянной скоростью V (рис. 2.2). Пусть координаты некоторой движущейся

Таким образом, в классической механике получается еще одна формулиров-

ка второго закона Ньютона: в инерциальной систем

массе фундаментальным

тношением, которое позволяет решать основную задачу динамики – задачу

нахождения кинематического закона движения по заданным силам и началь-

ным условиям. В Международной системе единиц (СИ) сила измеряется в

ньютонах. Один ньютон (1 Н) равен силе, под действием которой материальная

точка массой m = 1 кг получает ускорение a = 1 м/с-2.

Третий закон Ньютона гласит: силы взаимодействия двух материальных

точек равны по величине, противоположны по направлению и действуют вдоль

прямой, соединяющей эти точки (рис. 2.1):

F2 = -F1.

Одна из сил, например F1, согласно Ньютону, определяет действие, а другая

сила F2 – противодействие. Вместе с тем следует отметить, что третий закон

Ньютона, обобщ

ментальных данных, справедлив не всегда. Он вы-

полняется точно при всех видах контактных взаи-

модействий, а также при полевых взаимодействиях между телами, кроме слу-

ий между движущимися зарядами.

алилея

и механический принцип относительности

мо

Рис. 2.1

m1 mF1 F2

2

25

точ твенно (x, y, z) и (x', y', z'). Тогда, если в

начальн дают, то в момент

времени t' координаты точки М в этих системах будут связаны соотношениями:

ки М в обеих системах будут соответс

ый момент времени t начала координат систем совпа

.,,, ttzzyyVtxx (2.6)

Рис. 2.2

Формулы (2.6) называются преобразованиями Галилея для координат и вре-

мени. Они могут быть представлены также в виде обратного преобразования:

.,,, ttzzyytVxx (2.7)

Механический принцип относительности. Из преобразований Галилея

вытекает частный случай (V = const) классического способа сложения скоро-

стей (см. формулы (1.27)). В самом деле, продифференцировав формулы (2.7)

по времени, получим

.,, VvvvvvvVvv zzyyxx (2.8)

о

неподвижной системы координат (абсолютная) равна векторной сумме ее ско-

рос одвижной системы (относител

виж

Согласно векторному соотношению (2.8) скорость точки М относительн

ти v′ относительно п ьная) и скорости V под-

ной системы относительно неподвижной (переносная).

Продифференцировав выражение (2.8) по времени t, получим (V = const)

.,, zzyyxx aaaaaa (2.9)

Поскольку проекции ускорений точки М в обеих инерциальных системах ко-

орди то одинаковы и векторы этих ускоренинат одинаковы, й (a = a′). Масса в

26

кла

им и тем же во всех

ине на

Нью все механические явл

системах отсчета протекают одинаково при одинаковых начальных условиях.

Дру

r F, (2.10)

где r – радиус-вектор, соединяющий центр т. О с точкой приложения силы.

ссической механике не зависит от скорости, следовательно, произведения мас-

сы m на векторы ускорения a и a′ в обеих инерциальных системах отсчета также

будут одинаковыми. Это означает, что вид второго закона Ньютона (ma = F), опи-

сывающего движение точки под действием силы F, будет одн

рциальных системах отсчета. Неизменность выражения для второго зако

тона отражает тот факт, что ения во всех инерциальных

гими словами, все инерциальные системы отсчета эквивалентны между собой.

Это утверждение называется принципом относительности Галилея.

Следует отметить, что преобразования Галилея и классический принцип

сложения скоростей справедливы лишь в ньютоновской механике, т.е. для ско-

ростей, которые малы по сравнению со скоростью света. Принцип эквивалент-

ности инерциальных систем отсчета справедлив не только для механических,

но и для любых физических явлений.

2.4. Меры действия силы и динамические меры

механического движения

Момент силы. Работа и мощность силы. Моментом силы F относи-

тельно точки О (рис. 2.3) называется вектор М0, определяемый векторным

соотношением

M0 =

Рис. 2.3

27

ого

произведения, т.е. вектор М0 перпендикулярен плоскости, проведенной через

векторы r и F, и образует с ними правую тройку векторов.

Из формулы (2.10) следует, что модуль момента силы

Направление вектора момента силы определяется по правилу векторн

,),(sin0 FhFrM Fr (2.11)

где h = rsin – плечо силы.

Момент М0 характеризует способность силы вызыва вращение тела вокруг

точки О.

Мерой действия силы в процессе превращения механического движения в

другую является

я и от перемещения

точ

ть

форму движения материи работа силы. Работой постоянной

силы на прямолинейном участке пути (рис. 2.4,а) называется физическая вели-

чина, зависящая от числового значения силы, ее направлени

ки приложения силы:

.),cos( FsFsА vF (2.12)

Рис. 2.4

понятие элем

ляемой скалярным произведением силы F и вектора перемещения dr (рис. 2.4,б):

В случае переменной силы вводится ентарной работы δА, опреде-

dsF),d(FdsFdrδA τ rFcos , (2.13)

где ds – модуль элементарного перемещения;

Fτ = Fcos – проекция силы на касательную;

– угол между направлением силы F и касательной к траектории.

Работа, совершаемая силой F на конечном участке пути ВС, очевидно, равна

сумме элементарных работ на отдельных бесконечно малых участках криволи-

ней определяется криволинейным

(2.14)

И δА

сил

ния.

Если построить график зависимости Fτ от длины дуги s, которую описывает

точ трически элемент

бразить заштрихованной фигурой (рис. 2.5,а). Работа А на конечном перемеще-

нии

з у ра-

бот

ной пути, поэтому она интегралом:

C

BC FA cos ds . B

з выражения (2.13) следует, что если угол < 90°, то элементарная работа

ы F положительна, так как составляющая Fτ = Fcos совпадает по направле-

нию с вектором перемещения dr. В этом случае силу F называют движущей. Если

> 90°, работа A силы F отрицательна и называется силой сопротивле

ка приложения силы, то геоме арную работу δА можно изо-

будет равна площади, ограниченной кривой Fτ(s), осью абсцисс и ордина-

тами начала В и конца С пути. Так, например, работа силы F, растягивающей

пружину с коэффициентом жесткости k на длину х, будет изображена в виде

аштрихованного треугольника (рис. 2.5,б, Fx = Fynp = kx). Аналитически эт

у можно вычислить по формуле (2.14):

.x

kkxdxdxFAx x

x 0 0

2

2 (2.15)

а б

Рис. 2.5

В соответствии с формулой (2.13) за единицу работы в СИ принимается

[А] = 1 Дж = 1 Н · 1 м.

Работа силы, определяемая соотношением (2.14), вообще говоря, зависит от

траектории, которую описывает точка приложения силы. Однако существует

28

29

класс сил (силы тяготения, тяжести, электростатические силы и др.), работа ко-

торых не зависит ни от формы траектории, ни от

закона движения точки по траектории. Она зави-

сит только от начального и конечного положений

движущейся точки (рис. 2.6), поэтому AB1C = AB2C.

Такие силы называются консервативными, а их

работа по замкнутому L равна нулю: контуру

Рис. 2.6 0L

δA . (2.16)

Мощность N силы определяется как работа силы в единицу времени:

vFvFdt

dsF

dt

δAN

coscos

. (2.17)

Момент импульса. Кинетическая энергия. Динамическими мерами дви-

жения называются величины, зависящие от скорости, радиус-вектора r и массы

точки. К таким величинам относятся импульс p = mv, момент импульса L0 и ки-

нет

L0 материальной точки относительно центра О определя-

етс

ическая энергия К.

Момент импульса

я векторным соотношением (рис. 2.7)

vrL m0 , (2.18)

где r – радиус-вектор материальной точки относительно центра О.

Рис. 2.7

30

гия, завися-

щая от скорости точки и определяемая по соотношению

Кинетической энергией К материальной точки называется энер

.2

2mvK (2.19)

2.5. Законы изменения момента импульса

и кинетической энергии материальной точки

Уравнение моментов. Оно устан т связь между изменением момента

им

природы, а следует из

второго закона Ньютона. Для его получения продифференцируем момент им-

пул

авливае

пульса точки и моментом силы, действующей на эту материальную точку.

Уравнение моментов не является независимым законом

ьса L0 по времени t:

dt

dm

dt

d

dt

)md(

dt

d prv

rvrL

0 . (2.20)

мпульсом тv, то первое

слагаем том второго за-

кона Ньютона dp/dt = F) можно заменить моментом силы F, действующей на

мат

Так как вектор dr/dt по направлению совпадает с и

ое в формуле (2.20) равно нулю. Второе слагаемое (с уче

ериальную точку. Таким образом, формула (2.20) принимает вид

)(dt

dFM

L0

0 – уравнение моментов для точки. (2.21)

Рассмотрим частный случай, когда сумма моментов сил, действующих на

точку, равна нулю. Тогда из (2.21) следует, что dL0 /dt = 0, а значит, момент

им намическая мера механического

стоянной во времени величиной. Это утверждение называется законом сохра-

нен

е точку О,

пульса точки, как ди движения, остается по-

ия момента импульса точки.

В частности, если к точке приложены центральные силы, то момент сил от-

носительно их центра О будет все время равен нулю. Центральными называ-

ются силы, линии действия которых проходят через одну и ту ж

31

наз ром сил, а зн

(F = F(r)). Примером центральных сил могут служить силы притяжения планет

к Со

ываемую цент ачения сил зависят от расстояния до этого центра

лнцу; центр этих сил совпадает с центром Солнца. В случае центральных

сил момент импульса сохраняется, т.е.

const.m vrL0 (2.22)

Взаимосвязь между изменением кинетической энергии материальной

точки и работой сил. Рассмотрим

перемещение материальной точки по криво-

линейной траектории из положения В в С, которое происходит под действием

силы F. Согласно второму закону Ньютона (m = const),

.dt

dm F

v (2.23)

Умножая обе части этого уравнения скалярно на скорость v = dr/dt, получа-

ем dt

ddm

rF

vv .

dt

Учитывая, что 22 2 /vd/dd vvvv , и сокращая на dt, получаем:

зменения кинетической

энергии на конечном участке пути:

.d)/d(mv rF 22

Интегрируя обе части полученного уравнения вдоль траектории движения

между произвольными точками В и С, получаем закон и

B

.drF22

(2.24)

Согласно

CBC mvmv 22

формуле (2.24) изменение кинетической энергии материальной

точки при ее перемещении на некотором участке траектории равно работе сил,

приложенных на этом участке пути энер-

гия точки сохраняется на тех участках траектории, где суммарная работа всех

сил

к точке . Очевидно, что кинетическая

равна нулю.

32

уравнения динамики

системы материальных точек

газа в некотором объеме V, Земля и Луна вместе с искусственными спутниками

станциями и т.д. Всякая выделенная для изучения механиче-

ская система испытывает воздействие со стороны окружающих тел, которые не

вхо атриваемой систе-

мы дейс ится вне системы (внешние силы),

и силы взаимодействия с материальными точками внутри системы (внутренние

сил i e

материал

рого центра О называется векторная сумма моментов импульсов точек систе-

мы

2.6. Основные понятия и

Импульс, момент импульса и кинетическая энергия системы. Совокуп-

ность конечного числа взаимодействующих материальных точек или тел назы-

вается механической системой. Примерами такой системы являются молекулы

и космическими

дят в эту систему. В связи с этим на каждую точку рассм

твуют силы, источник которых наход

ы). Внутренние силы обозначаются символом F , а внешние – символом F

(индексы е и i от начальных букв французских слов external – внешний и inter-

nal – внутренний). Механическая система называется замкнутой, если на точки

этой системы не действуют внешние силы или сумма внешних сил равна нулю:

N

k

ek .

1

0F (2.25)

Таким образом, можно сказать, что механическая система как единое целое

в этом случае не подвержена внешним силовым воздействиям (она изолирована

в механическом смысле).

Импульсом системы N материальных точек называется векторная сумма

импульсов отдельных материальных точек, образующих данную систему:

N

kkm vP – импульс системы как ее аддитивная характеристика. (2.26) k 1

Моментом импульса системы N ьных точек относительно некото-

, вычисленных относительно того же центра:

N

1k

0 .kkk m vrL (2.27)

Кинетической энергией системы N материальных точек называется сумма

кинетических энергий отдельных материальных точек системы:

33

.2

-mN

kkv

K (2.28) 21k

рым законом Ньютона:

Закон изменения импульса системы. Центр масс. При движении системы

из N материальных точек их импульсы pk = mk · vk изменяются под действием

внешних и внутренних сил в соответствии со вто

N

kj

ikj

ek

k

dt

dFF

p. (2.29)

При суммировании внутренних cил ikjF по индексу j следует учесть, что час-

тица с номером k не может взаимодействовать сама с собой, следовательно, ин-

дек до N, кроме

Изменение во времени всех импульсов pk приведет в общем случае к изме-

нен

с j принимает все значения от 1 j = k.

ию импульса Р системы, определенного по формуле (2.26). Дифференцируя

равенство (2.26) по времени t и используя уравнение (2.29), получаем

k kjdt 1

k k

ikj

ek

k .dt1 1

FF (2.30)

Поскольку внутренние силы входят попарно и удовлетворяют третьему закону

Нью нут

ы точек или тел:

N N N Ndd pP

тона ( ikjF = – i

kjF ), то сумма всех в ренних сил системы (вторая двойная

сумма в формуле (2.30)) N точек всегда равна нулю. В результате получим урав-

нение, определяющее закон изменения импульса систем

.dt

d N

k

ek

1

FP

(2.31)

Согласно закону (2.31) изменение импульса Р системы определяется только

вне как импульс каждой точки с

действием как внешних, так и внутренних сил, приложенных к этой точке. Внут-

рен

шними силами, тогда истемы изменяется под

ние силы могут косвенно повлиять на изменение импульса Р, если они спо-

собны изменить внешние силы. Такая возможность реализуется парашютистом,

34

лу со-

противления.

ы удобно и масс

а инерции), сходное с понятием центра тяжести тела или системы тел.

Радиус

когда он за счет мускульной (внутренней) силы с помощью строп изменяет

форму и положение купола парашюта, т.е. изменяет внешнюю силу – си

При описании движения систем спользовать понятие центра

(центр

-вектор центра масс определяется следующим образом:

.mm,m

mN

kk

N

kkk

C

1

1

rr (2.32)

Продифференцировав выражение для rC по времени t, получим формулу для

скорости центра масс:

.mm/dtdm

NN

vr mmm

Из уравнения (2.31) с учетом (2.33) следует уравнение движения центра

масс системы:

Ck

kkk

kk

C vPP

v 11 (2.33)

.dt

dm

N

i

ek

C

1

Fv

(2.34)

Соотношения (2.31), (2.34) для системы точек по внешнему виду совпа-

даю

го закона Ньютона для материальной точки. Вместе с

тем следует обратить внимание на то, что силы в правых частях формул

(2.3 еделены по материальным точкам систе

как геометрическая точка в пространстве не обладает собственной массой (в

ура

едует, что центр масс (точка С) системы движется так, как

двигалась бы материальная точка, имеющая массу, равную массе системы,

есл , равная сумм

ных

т с уравнениями (2.3), (2.4), выражающими в математическом виде физи-

ческую сущность второ

1), (2.34) распр мы, а центр масс

внение (2.34) входит общая масса системы). С учетом сказанного из урав-

нения (2.34) сл

и бы на нее действовала сила е всех внешних сил, приложен-

к точкам этой системы.

Уравнение (2.34) определяет движение только центра масс системы и не со-

держит никакой информации о движении отдельных ее материальных точек.

Например, колесо движется по дороге под действием силы F (рис. 2.8), прило-

женной со стороны оси, силы реакции дороги, состоящей из нормальной реак-

ции N и силы трения Fтр. Предположим, что силой трения можно пренебречь

(идеально гладкая поверхность). Тогда из формулы (2.34) после проецирования

на ось х получается дифференциальное уравнение

./ FdtmdvCx (2.35)

Рис. 2.8

Решив его при F = const, получим закон равноускоренного движения центра

колеса 0 x0 – начальная

(v – начальная скорость, координата центра колеса):

.2

,2

000t

m

Ftvxx

m

Ftvv CCx (2.36)

Вместе с тем понятно, что колесо может вращаться. При этом его точки

движутся по окружностям относительно центра С. Однако из уравнения (2.35)

нельзя извлечь какую-либо информацию о вращательном движении колеса (ее

там нет – эта информация исчезла в результате суммирования уравнений (2.29)

для отдельных точек). В связи с эти о утверждать, что закон движения

цен

аща-

тельного движения твердого тела, нужно получить уравнение, которое опреде-

лял нта импульса системы.

м можн

тра масс описывает только поступательное движение системы как целого.

Для того чтобы появилась возможность динамического описания вр

о бы изменение моме

35

Закон изменения момента импульса системы. Момент импульса системы

N материальных точек, определяемый согласно формуле (2.27), изменяется во

времени в процессе движения отдельных точек системы. Для каждой точки

справедливо уравнение моментов (2.21), которое для точки с номером k при на-

личии внешних и внутренних сил будет иметь следующий вид (M0 = r F):

36

kj

ikjk

ekk

k

dtFrr F0 . (2.37)

Поскольку момент импульса k00 ,LL а его

NdL

N

kk /dtd/dtd

100 ,LL (2.38)

то после суммирования (2.38) по всем материальным точкам системы

(k = 1, 2,…, N) получим

N

k 1

производная по времени

N

i

N

k

N

kj

ikj.F (2.39) k

ekkdt

d

1 1

0 rFrL

F .

Из рис. 2.9 следует, что моменты сил равны по величине (у них одно и

же о

м

зультате уравнение (2.39) упрощается и закон изменения момента импульса

сис нимает вид

В силу закона действия и противодействия (третий закон Ньютона) F kj = –i

ijk

то ijk

ikj FF и

направлениюплечо h) и противоположны п ijkj

ikj FrF . Поэтому сум- kr

1

N

kjk

N

k

ма оментов всех внутренних сил всегда равна нулю 0ikjFr . В ре-

темы точек или тел при

,0dtM (2.40)

где

N

k

ee

1

FrM – сумма момент сил.

0 edL

ов всех внешнихkjk0

Рис. 2.9

огласно уравн ьса L0 системы опре-

деляется только моментами внешних сил, аналогично тому, как изменение им-

пульса Р системы определяется внешними силами.

Закон изменения кинетической энергии системы. Запишем закон изменения

кинетической энергии для материальной точки с номером k (k = 1, 2, ..., N), на ко-

торую действуют внешние и внутренние силы (v0k, vk – скорости этой точки в

начальном и конечном положениях изучаемой системы):

С ению (2.40) изменение момента импул

.22

20k

2ik

ek

k AAmvmv

(2.41)

щее закон изменения кине-

ти

Согласно закону (2.42) кинетическая энергия системы изменяется за счет

раб внешние и внутренн

точки механической системы. Причем суммарная работа внутренних сил в об-

ще

По определению (2.28) кинетическая энергия системы равна сумме энергий

отдельных материальных точек. Поэтому, выполнив суммирование (2.41) по

индексу k от 1 до N, получим уравнение, определяю

ческой энергии системы точек или тел:

N

k

N

k

ik

ek AAKK

1 10 . (2.42)

оты, которую выполняют ие силы, действующие на

м случае не равна нулю, тогда как векторные суммы внутренних сил и их

моментов тождественно равны нулю.

37

38

КОНЫ СИЛОВЫХ В

ктер взаимодействия между различными

элементарными частицами – основными «кирпичиками мироздания».

Сильное взаимодействие является наиболее интенсивным из четырех перечис-

ленны ствие

при не слишком высокой температуре не вызывает никаких процессов и его роль

сво

протекаю-

ща

Глава 3. ВИДЫ И ЗА ЗАИМОДЕЙСТВИЙ

Фундаментальные взаимодействия. На разных расстояниях действуют раз-

личные типы сил (ядерные, атомные, молекулярные, упругие силы, силы трения

и т.д.), однако все они в конечном счете сводятся к так называемым четырем

фундаментальным взаимодействиям – сильному, электромагнитному, слабому и

гравитационному. Они определяют хара

х взаимодействий. В обычном стабильном веществе сильное взаимодей

дится к созданию прочной связи между нуклонами (протонами, нейтронами) в

атомных ядрах. Это обусловлено тем, что радиус сильного взаимодействия состав-

ляет 10-15 м. Однако при достаточно больших температурах (высоких энергиях)

сильное взаимодействие приводит к многочисленным ядерным реакциям. Среди

них важную роль играет реакция термоядерного синтеза, в результате которой че-

тыре нуклона объединяются и образуют ядро атома гелия. Эта реакция,

я при участии слабого взаимодействия, является основным источником энергии

Солнца и звезд и, следовательно, основным источником энергии на Земле. Пробле-

мы развития энергетики человечество связывает с возможностью овладения про-

цессом управляемого термоядерного синтеза.

Электромагнитное взаимодействие является дальнодействующим и может

приводить как к притяжению, так и к отталкиванию между телами, что обу-

словлено существованием двух типов электрических зарядов – положительного

и отрицательного (например положительно заряженных ядер и отрицательно

заряженных электронов в атомах и молекулах вещества). Таким образом, элек-

тромагнитное взаимодействие определяет возможность устойчивого существо-

вания различных химических элементов и разных веществ. К электромагнит-

ному взаимодействию сводятся силы упругости, силы трения, силы поверхно-

стного натяжения в жидкостях и т.д.

39

играет в физике особую роль. Интенсив-

нос

ом или газообразном состоянии. Оно связано с появлением сил

взаимодействия на поверхности контакта их частей, называемых силами трения и

являющихся примером сил контактного взаимодействия. Силы трения характе-

риз местить одно тело отно-

сительн ения сил трения представляет собой

очень сложную физико-механическую проблему, рассмотрение которой пока-

зыв

Слабое взаимодействие обладает настолько малым радиусом действия, что

он до сих пор не измерен (его ожидаемое значение порядка 10-18 м). Поэтому в

молекулах, где атомы находятся друг от друга на расстояниях около 10-10 м,

слабое взаимодействие не проявляется. Тем не менее роль слабого взаимодей-

ствия в природе чрезвычайно велика, так как оно обусловливает ряд чрезвы-

чайно важных процессов в физике элементарных частиц. Достаточно сказать,

что, если бы удалось «выключить» слабое взаимодействие, прекратился бы

процесс термоядерного синтеза в недрах Солнца и звезд и они бы погасли.

Гравитационное взаимодействие

ть его в 1033 раз меньше интенсивности слабого взаимодействия. Однако

гравитационное взаимодействие обладает бесконечным радиусом действия, по-

этому его эффекты столь значительны. На каждое тело, находящееся вблизи

поверхности Земли, действуют одновременно все атомы Земли, что и обуслов-

ливает закон всемирного тяготения, проявляющийся через действие гравитаци-

онных сил.

3.1. Явления трения скольжения, качения

и вязкого сопротивления

Внешнее и внутреннее трение. Явление трения имеет место на границе

между разными соприкасающимися телами (в твердом, жидком или газообраз-

ном состояниях) или между отдельными частицами (слоями) одного и того же

тела в жидк

уются тем, что они возникают только при попытке с

о другого. Механизм возникнов

ает, что силы трения имеют электромагнитную природу и определяются ха-

рактером взаимодействия атомов и молекул в соприкасающихся слоях.

40

коя или

ско

г к другу шероховатых тел. В этом случае касание происходит не

по

т силы трения, определяемые взаимодействием атомов и молекул на

пов

которая на 2-3 порядка (в 100-1000 раз) меньше реальной (геометриче-

ско

Различают трение двух видов: внешнее, или сухое, и внутреннее, или жид-

кое (вязкое).

Внешним трением называется явление возникновения сил трения между со-

прикасающимися твердыми телами при отсутствии смазочного материала меж-

ду ними.

Внутренним трением называется явление возникновения сил трения между

отдельными слоями жидкостей или газов при их движении относительно друг

друга.

Трение покоя и трение скольжения. Сухое трение в состоянии по

льжения (при поступательном движении) возникает в плоскости контакта

прижатых дру

всей геометрической поверхности соприкосновения тел, а в местах, распо-

ложенных на выступах, – так называемых «пятнах». В «пятнах» касания тел и

возникаю

ерхности выступов, которые при скольжении тел разрушаются и возникают

вновь. Суммарная площадь «пятен» остается приблизительно постоянной вели-

чиной,

й) площади контакта тел.

Установлено, что предельная (максимальная) сила трения покоя, которая

возникает между телами А и В при отсутствии относительного скольжения

(рис. 3.1), пропорциональна силе нормального давления, которая, согласно

третьему закону Ньютона, численно равна реакции опоры N:

,0max NfFтр (3.1)

где f0 – коэффициент трения покоя.

Рис. 3.1

41

я (при отн

направление силы трения покоя определяются действующими на тело А внеш-

трения покоя удовлетворяет неравенству

(3.2)

Если к телу будет приложена сила F, превышающая значение максимально

возможной силы (3.1), то тело А начнет смещаться относительно тела В. Воз-

никнет сила трения скольжения, которая несколько меньше силы и про-

порциональна нормальной реакции N

Опыт показывает, что коэффициенты f0 и f зависят от состояния поверхно-

сти природы

пло

нт f

ь. Этот факт можно связать с тем, что

вначале при увеличении скорости вы ы шероховатых тел все меньше запа-

даю ается), а

ивается).

ической формы, которое

лежит на горизонтальной плоскости (рис. 3.2). В этом случае имеет место контакт

До возникновения скольжени осительном равновесии) модуль и

ними силами, причем значение силы

N. fF поктр 0

maxтрF

:

,fNF сктр (3.3)

где f – коэффициент трения скольжения.

соприкасающихся тел, их химической и практически не зависят от

щади контакта тел, а коэффициент f при малых скоростях не зависит и от

числового значения скорости относительного движения.

При увеличении скорости относительного движения коэффицие сначала

уменьшается, а затем начинает возрастат

ступ

т в углубления (трение уменьш затем при больших скоростях раз-

рушаются и измельчаются (трение увелич

Значения коэффициента f определяются опыт-

ным путем. Например, для трения дерева по дереву

f = 0,4-0,7; металла по металлу – f = 0,15-0,25; стали

по льду – f = 0,027.

Трение качения. Явление трения качения свя-

зано с возникновением системы сил, которые пре-

пятствуют качению одного тела по поверхности

другого. Для выяснения причины появления трения

качения рассмотрим абсолютно твердое тело цилиндр

Рис. 3.2

42

меж

ьной силы трения покоя: F < f0N. Следовательно, колесо не

смо

такого сопротивления при качении реальных твердых тел может

бы

ду телами по образующей цилиндра в точке А (точечный контакт в сечении,

перпендикулярном оси цилиндра). В центре колеса приложим силу F, которая

меньше максимал

жет проскальзывать в точке А.

В отсутствие скольжения возникает сила трения покоя, равная силе F. Оп-

ределим момент всех сил относительно точки А. Силы mg, N и Fтр проходят че-

рез точку А и не создают момент силы, а момент силы F отличается от нуля

(М = FR ≠ 0). Это означает, что под действием сколь угодно малой силы F ци-

линдр должен катиться по плоскости. Однако из опыта известно, что качение

тела начинается только при достижении силой F определенного значения, дос-

таточного для преодоления действия сил, которые препятствуют качению.

Причиной

ть только их способность деформироваться под действием внешних сил. В

результате в окрестности точки А возникает площадка, по которой распределя-

ются контактные силы взаимодействия тел (силы давления и силы реакции).

При попытке повернуть тело приходится колесо как бы вкатывать на горку.

Таким образом, сопротивление качению возникает благодаря деформации

тел в месте их соприкосновения, тогда как сопротивление скольжению всецело

определяется их шероховатостью.

Вязкое трение. При движении тел в жидкой или газообразной среде при

малых скоростях (меньше некоторой критической скорости) сила сопротивле-

ния пропорциональна скорости

.сопр vF

При больших скоростях сила сопротивления пр

(3.4)

опорциональна квадрату (и

даж

(3.5)

размеров тела, состояния его по-

вер тся, как правило, опытным

е кубу) скорости v

vFсопр * .

Коэффициенты μ и μ* зависят от формы и

хности, свойств окружающей среды и определяю

путем.

43

Гука

Виды деформации тела. Изменение формы и размеров тел, т.е.

деформация

тела под действием внешних сил его атомы и мо-

лек ьных положен ому

ещению частиц препятствуют силы их взаимодействия с окружающими

сос

в исходные равновесные положения. В результате форма и

размеры тела самопроизвольно восстанавливаются под действием внутренних

сил. Такая деформация называется упругой.

ки, что происходит их взаимная

перестройка, которая не способствует их возвращению в исходные положения

пос

мации растяжения-

сжа

рхности поперечного сечения стержня.

Равноде этих

ь:

3.2. Сила упругости. Закон

, возникает в результате действия на тело внешних сил.

При деформации твердого

улы смещаются из первоначал ий равновесия в новые. Эт

перем

едними атомами и молекулами. Если смещение всех частиц было не слиш-

ком большим, то после прекращения действия внешних сил атомы и молекулы

возвращаются

Если смещения атомов и молекул так вели

ле снятия нагрузки, то такая деформация называется пластической.

Простейшими видами деформации являются дефор

тия и сдвига. Все остальные реально осуществимые на практике деформа-

ции, например кручение и изгиб, сводятся к этим простейшим деформациям.

Деформация растяжения-сжатия представлена на рис. 3.3. К концу закре-

пленного однородного стержня длиной l0 приложена сила Fn, перпендикуляр-

ная площади поперечного сечения стержня. В результате длина стержня увели-

чивается на величину Δl= l – l0, называемую абсолютной деформацией (Δl > 0 –

растяжение, Δl < 0 – сжатие). Силы упругости, уравновешивающие внешнюю

нормальную силу F , распределены по повеn

йствующая сил численно равна внешней силе (Fупр = -Fn – третий за-

кон Ньютона). В области упругой деформации между силой упругости и абсо-

лютной деформацией Δl существует прямо пропорциональная взаимосвяз

lkF упрn – закон Гука для растяжения – сжатия, (3.6)

где k – коэффициент сдвиговой жесткости.

44

е

нию показыв

Деформация сдвига имеет место в том случае, когда плоские слои тела, па-

раллельные некоторой плоскости, называемой

плоскостью сдвига, смещаются относительно друг

друга, не искривляясь и не изм няясь в размерах.

Для иллюстрации деформации сдвига рассмотрим

куб ABCD из однородного материала (рис. 3.4) с

закрепленной нижней гранью. Если к верхней гра-

ни ВС приложить касательную силу Fτ, то куб де-

формируется в равновеликий параллелепипед

AB1C1D. Горизонтальные слои куба смещаются в одном направлении (вправо) –

имеет место сдвиговая деформация. На верхнюю часть куба со стороны нижней

его части действуют силы упругости, распределенные по касательной к сече-

Рис. 3.3

куба. Опыт ает, что в области упругости равнодействующая сил

упругости пропорциональна углу γ, т.е.

γkF сдупрτ – закон Гука для сдвига, (3.7)

где сдk – коэффициент сдвиговой жесткости.

Рис. 3.4

Деформация изгиба реализуется в случае, когда к стержню или балке при-

лож

вблизи выпуклой поверхности деформированной балки слои растянуты, а возле

вогнутой – сжаты. Таким образом, деформация изгиба сводится к деформациям

ена сила F, перпендикулярная его осевой линии (рис 3.5). Очевидно, что

45

растяжения и сжатия. При этом между силой упругости и стрелой изгиба λ

(максимальный изгиб балки) существует линейная взаимосвязь:

– закон Гука для изгиба, (3.8)

где kиз – коэффициент жесткости изгиба.

λkF изуприз

Рис. 3.5

Деформация кручения наблюдается, если один конец образца (проволоки

или н, а к друг

м си образца. Между модулем момента

упругих сил и максимальным углом φ* поворота крайнего сечения наблюдается

пропорциональная зависимость:

– закон Гука для кручения, (3.9)

где kкр – коэффициент крутильной жесткости.

Коэффициенты жесткости для различных деформаций зависят от вида мате-

риала, геометрических размеров образцов и определя тся, как правило, опыт-

ным путем.

фундаментальных взаимодействий. Универ-

сальность альность

стержня) закрепле ому концу приложена пара сил с вращатель-

ным оментом М, направленным вдоль о

*kM крупркр

ю

3.3. Закон всемирного тяготения

Закон гравитации. Взаимодействие тел, проявляющееся через силы грави-

тации, является одним из четырех

и фундамент этих сил состоит в том, что они определяются

46

. Ньютон пришел к выводу, что

сил

ассами m1 и m2 выражение

только массой тел и не зависят от их природы

а тяготения обратно пропорциональна квадрату расстояний между взаи-

модействующими телами, и предложил для закона тяготения между телами с

точечными м

2

21

r

mmF – закон всемирного тяготения, (3.10)

.

а движения и взаимодействия ма-

терии выделяют механическую (потенциальную и кинетическую), внутреннюю

(те тромагнитн

4.1. Потенциальная энергия консервативных сил

Потен ил. Важ-

нейшей составной частью механической энергии является потенциальная

эне

ятие

потенциальной энергии имеет смысл лишь в том случае, когда на материальные

точки системы действуют только консервативные силы, т.е. силы, работа кото-

рых не зависит от формы траекторий точек системы. Примером таких сил яв-

ляются силы тяготения, упругости, электростатического взаимодействия.

213-11 скгм 106,6745 где

Глава 4. ЭНЕРГИЯ. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ

Энергия. Понятие энергии как единой количественной меры различных

форм движения и взаимодействия материи является фундаментальным понятием

физики. В соответствии с р зличными формами

пловую), элек ую, ядерную и некоторые другие виды энергии.

циальная энергия и ее связь с работой консервативных с

ргия, которая определяется как часть общей механической энергии систе-

мы, зависящей от взаимного расположения материальных точек системы и их

положений (координат) во внешнем силовом поле. Из этого определения следу-

ет, что потенциальная энергия системы не должна зависеть от того, каким обра-

зом данная конфигурация частиц системы возникла. Это значит, что пон

47

Сл опреде-

ляться только работой консервативных сил. Другими словами, работа консер-

ват

едовательно, изменение потенциальной энергии системы должно

ивных сил при переходе из состояния 1 в состояние 2 равна убыли потенци-

альной энергии:

.2112 dПdAΔПППA (4.1)

Таким образом, поскольку реально измеряемой величиной является работа

сил, то из формулы (4.1) следует, что потенциальная энергия определена неод-

нозначно (сдвиг П на постоянную величину не изменяет значения работы). По-

средством определения работы сил в реальных процессах мы можем найти

только разность потенциальных энергий.

Процедура придания потенциальной энергии как физической величине од-

нозначности называется нормировкой и заключается в том, что, согласно выра-

жению (4.1), потенциальную энергию системы в некотором ее положении мож-

но считать равной любому наперед заданному значению, например нулю. Это

состояние системы соответствует так называемому нулевому уровню для потен-

циальной энергии системы (П0 = 0). Условие нормировки обычно учитывает

физические особенности каждой конкретной задачи. Например, при рассмотрении

дви йствием силы тяжести потенциал

ности Земли целесообразно принять равной нулю, тогда П = mgh. Если же рас-

сма

ьной энергии системы отдельно для

сил

жения тела под де ьную энергию у поверх-

тривается движение космического объекта под действием силы всемирного

тяготения, то естественно предположить, что потенциальная энергия системы

«Земля – космический объект» равна нулю на бесконечном расстоянии от Зем-

ли, т.е. там, где сила взаимодействия обращается в нуль (П0 = П(∞) = 0).

Рассмотрим вопрос о знаке потенциал

притяжения и сил отталкивания в том случае, когда потенциальная энергия

системы, точки которой удалены на бесконечные расстояния друг от друга,

принята за нуль. Тогда при переходе системы из заданного состояния 1 в со-

стояние 2 (нулевой уровень), где потенциальная энергия равна нулю П2 = 0, си-

лы системы совершат работу А10, которая на основании (4.1) равна потенциаль-

ной энергии в состоянии 1:

101 АП – определение потенциальной энергии. (4.2)

Из формулы (4.2) следует, что потенциальная энергия численно равна работе

консервативных сил при переходе системы из заданного положения на нулевой

уровень. В случае, когда действуют только силы притяжения (рис. 4.1,а), работа

10 1cosкактак0,cos ,)d,(,)dd(F(r)dA rFrrFrF 11

а в случае сил отталкивания (рис. 4.1,б)

1

10 0.d(r)A rF

б а

48

от-

талкивания – положительной.

В качестве примера выполним расчет потенциальной энергии материальной

Земли. Потенциальная энергия тела в

гравитационном поле Земли на высоте h от ее поверхности (рис. 4.2) по опреде-

лению (4.2) равна работе сил притяжения по пе емещению точки массой т с

высоты h над поверхностью Земли в бесконечность (П(∞) = 0).

Рис. 4.1

Таким образом, если нулевой уровень находится на бесконечно большом

расстоянии, то потенциальная энергия системы, на точки которой действуют

только силы притяжения, является величиной отрицательной, в случае сил

точки массой m в гравитационном поле

р

Рис. 4.2

0 M1 F M dr

r

0 M1 M dr F

r r r

49

Поскольку элементарная работа F(r)drdrF(r)dδA cosrF (здесь

cosdrd r – изменение модуля r), то интегрирование вдоль произвольной

траектории от М1 до бесконечно удаленной точки (нулевой уровень) означает

интегрирование по модулю от r1 = R + h до r2 = ∞. Тогда получим

hRM hR

Mmdr

r

MmAП .

2гр

1

(4.3)

Из выражения (4.3) видно, что работа сил тяготения не зависит от вида тра-

ектории, она определяется только высотой h над поверхностью Земли. Потен-

циальная энергия точечного тела у поверхности Земли (h = 0):

.R

Mm-γ)П( 0 (4.4)

Найдем разность потенциальных й точки массой т на высоте h и у

поверхности Земли:

энерги

.hRR

γMmhMmMm

Rγ

hR-γ)П(h)-П(П

20 (4.5)

Если высота h << R, то величиной hR в знаменателе можно пренебречь по срав-

нению с R2. Учитывая, что вблизи поверхности Земли /MmmgFгр , поэтому

мож свободного падения использовать

и записать формулу для потенциальной энергии в поле сил тяжести (с нулевым

уро

2R

вно для ускорения ыражение 2/ RMg

внем на поверхности Земли):

.)( mghhППтяж (4.6)

Зависимости потенциальной энергии сил гравитации П и сгр ил тяжести Птяж

от ис. 4.3. расстояний R и h показаны на р

Рис. 4.3

4.2. Закон сохранения энергии в механике

Полная механическая энергия. Закон сохранения энергии в механике гла-

сит: энергия замкнутой механической системы, в которой действуют только

консервативные силы, всегда остается постоянной. Проиллюстрируем спра-

ведливость этого утверждения на примере замкнутой консервативной системы,

состоящей из N частиц. В этом случае изменение кинети энергии систе-

мы (К2 – К1) при переходе из состоян состояние 2 (рис. 4.4) равно работе

консервативных сил, которая в свою очередь равна убыли (П2 – П1) потенци-

альной энергии системы (см. формулу (4.1)):

ческой

ия 1 в

2112 ППКК . (4.7)

Поскольку состояния 1 и 2 системы произвольны, то

.2211 constПКПК (4.8)

Таким образом, суммарная (полная) механическая энергия системы

ПKE (4.9)

сохраняется, если на материальные точки этой системы действуют только кон-

сервативные силы:

N

const),...,r,r N 22 П(r/vmE

kkk

112 – закон сохранения

(4.10)механической энергии системы.

50

Рис. 4.4

Из рис. 4.4 видно, чт работа по замкнутому

контуру равна нулю:

A1201 = A12 + A20 + A01 = 0.

4.3. Применение законов сохранения

к явлению удара твердых тел

Общие сведения об ударе. Уда зывается явление, при котором за

вес

ную величину. Прямым ударом называется удар, при ко-

тором скорости тел до удара н но общей нормали к по-

верхности соударяющихся тел в точке их соприкосновения (рис. 4.5,а), в про-

тивном случае удар называется косым (рис. 4.5,б). Общая нормаль называется

лин масс тел, то удар назы-

вается ц

Процесс соударения состоит из двух фаз. В течение первой фазы удара тела

деф

о в случае потенциальных полей

ром на

ьма малый промежуток времени скорости сталкивающихся твердых тел

изменяются на конеч

аправлены параллель

ией удара. Если линия удара проходит через центры

ентральным.

ормируются до тех пор, пока проекции их скоростей на линию удара не

станут одинаковыми. При этом часть кинетической энергии тел переходит в по-

тенциальную энергию упругих сил деформированных тел, а частично расходу-

ется на нагревание тел. Во второй фазе удара тела частично восстанавливают

форму. Из-за остаточных деформаций и нагревания тел их кинетическая энергия

51

52

отн = u1 – u2, модуль проекции которой на линию удара

мен

восстанавливается не полностью, поэтому тела расходятся после удара с отно-

сительной скоростью u

ьше, чем до удара. В связи с этим вводится коэффициент восстановления

скорости kв при ударе:

,vv

uuk

nnв

21

(4.11)

где индекс n означает проекцию скорости на нормаль, т.е. на линию удара.

nn 21

Значения определяются опыт-

ным путем. Например стекла равен 15/16,

для слоновой кости двух предельных

идеализированных (kв = 0) и аб-

солютно упругим

В процессе удара величина которых

весьма значительна, поскольку время удара очень мало. Для системы соуда-

ряющихся тел ударные силы являют ренними. Они во много раз превы-

ша

а б

Рис. 4.5

коэффициента kв находятся в пределах 0...1 и

, коэффициент восстановления для

– 8/9, для стали – 5/9, для дерева – 0,6. В

случаях удар называется абсолютно неупругим

(kв = 1).

возникают ударные (мгновенные) силы,

ся внут

ют внешние силы, которые обычно имеют место при соударении тел. Поэто-

му действием внешних сил за время удара можно пренебречь и считать, что

система соударяющихся тел является замкнутой. Это означает, что при ударе

можно применять закон сохранения импульса.

Абсолютно упругий центральный удар. В этом случае (рис. 4.6) выпол-

няются законы сохранения импульса и энергии (kв = 1, нет остаточных дефор-

маций – силы упругости являются консервативными):

22112211 uuvv mmmm ; (4.12)

.2222

222

211

222

211 umumvmvm

(4.13)

Рис. 4.6

Учитывая, что для любых векторов а и b справедливо тождество

(4.14)

преобразуем уравнение (4.13) следующим образом (v2 ≡ v2, u2 ≡ u2):

),)((22 bababa

53

).)( 22 vu(

))(2

)(

2

)(

222

11111

22

222

21

211

uvm

uuvmuvmuvm

(4.15) (v

Перепишем уравнение (4.12) для закона сохранения импульса:

).()( 222111 uvmuvm (4.16)

Подставив выражение (4.16) в (4.15) и выполнив сокращения, получим

.2211 uvuv (4.17)

54

для векторов

ско

Решение системы (4.16) и (4.17) позволяет найти выражения

ростей шаров после удара:

.,21

112122

21

221211 mm

umm

u

2)(2)( vmvmmvmvmm

(4

.18)

ии, когда скор

ша догоняет второй) и антипараллельны (шары до удара движутся навстречу

дру

ара.

Абсолютно неупругий центральный удар. Поскольку kв = 0 (рис. 4.7), то

кин энергия системы двух шаров не сохраняется. Сле

полняется только закон сохранения импульса, причем из (4.11) при kв = 0 полу-

чим

При ударе возможны ситуац ости v1 и v2 параллельны (один

р

г другу). Поэтому при численных расчетах нужно проецировать векторные

соотношения (4.18) на линию уд

етическая довательно, вы-

, что u1 = u2 = u. Тогда

.)m(mmm uvv 212211 (4.19)

Рис. 4.7

Кинетическая энергия системы уменьшается на

.2

)(

22

221

222

211

21ummvmvm

KKK

(4.20)

Подставляя в (4.20) выражение для u2 из (4.19), получаем

.)(21 vmm

K )(2

)(2

))((

22

221

21

221

222112

222

211

vmm

mm

vmvmmmvmvmK

(4.21)

1

55

(4.21) при ударе теряется (переходит

энергию) та часть кинетической энергии, которая представляет собой энергию

отн

язь между потенциальной энергией

и силой взаимодействия

ы. Поэтому между потенциальной

энергией и силой, действующей на материальную точку, должна существовать

опр

Поте материальных точек является функцией

их коорди

Согласно формуле во внутреннюю

осительного движения тел до их удара.

4.4. Взаимосв

Сила – градиент потенциальной энергии. Взаимодействие в консерватив-

ной системе может быть описано с помощью потенциальной энергии либо с

помощью сил взаимодействия точек систем

еделенная взаимосвязь.

нциальная энергия системы N

нат:

).z,y,x,...,z,y,x,...,z,y,(xПП NNNiii111 (4.22)

Пусть частица с номером i получила перемещение dri. Силы, действующие

на эту материальную частицу, выполнят элементарную работу:

.dzFdyFdxFA iziyixi (4.23)

ена изменением координат xi, yi, zi (остальные координаты

фи мволы ниже опускаем):

С другой стороны, эта работа равна убыли потенциальной энергии системы,

которая обусловл

ксированы, их си

).z,y,xdПδA iiii ( (4.24)

Тогда изменение потенциальной энергии как функции трех переменных xi,

yi, z м дифференциалом i определяется ее полны

,dzz

dyy

dxx

dП ii

ii

ii

ППП

(4.25)

где z

ПиyПxП //,/ – частные производные от П соответственно по x,

y, z. Напомним, что при нахождении частной производной от функции многих

56

пер ой энергии П(xi, yi ффе-

ование по одной переменной в предположении, что остальные перемен-

ны

еменных, т.е. потенциальн , zi), нужно выполнить ди

ренцир

е являются постоянными. Для явного отражения этого условия частные

производные обозначают символами x zy ,/ /и/ , которые опреде-

ляют производные, вычисленные при ограничении на ос-

тал

отмеченном выше

ьные переменные:

const.y,xdz

dП

z

П

const,z,xdy

dП

y

Пconst,y,z

dxx

dПП

(4.26)

Из сопоставления формул (4.23) и (4.25) с учетом (4.24) получаем выраже-

ния для проекций силы, действующей на ную точку консер-

вативной системы:

данную материаль

.z

ПF,

y

ПF,

x

ПFix

iiz

iiy

i

(4.27)

kjiF zyx FFF Для вектора силы с учетом выражений

формулу

(4.27) получим

П.gradz

П

y

П

x

П

kjiF (4.28)

Понятия потенциальной ямы и потенциального барьера. Потенциальной

ямой называется ограниченная область пространства, в которой потенциальная

эне . Термин «потенциальная яма» прои

ка (рис. 4.8,а), изображающего зависимость потенциальной энергии частицы от ее

пол тве (для одномерног

личием геометрической ямы в случае сил тяжести.

В качестве параметров потенциальной ямы можно рассматривать ее харак-

тер лубину П*, равную разности потенц

краю

ргия имеет минимум сходит от вида графи-

ожения в пространс о случая). Такая зависимость ассоции-

руется с на

ную ширину d и г иальных энергий на

ямы и на ее дне, где потенциальная энергия минимальна.

Потенциальным барьером называется ограниченная в пространстве область

потенциальной энергии частицы, по обе стороны которой потенциальная энер-

гия резко уменьшается. Потенциальный барьер простой формы для одномерно-

го случая изображен на рис. 4.8,б.

Рис. 4.8

Потенциальный барьер, как и потенциальная яма, характеризуется своей вы-

сотой П* и шириной d. В классической механике преодоление (прохождение)

частицей потенциального барьера возможно только в том случае, если ее кине-

тическая энергия К больше или равна высоте П* барьера.

Понятия потенциальной ямы и потенциального барьера широко используют

в классической и квантовой механике, фи-

зике твердого тела и атомного ядра

рис

тор

больших а, – потенциальной ямы

асстоянии r > r0 на атом в положе-

r0 между атомами А и В действуют

. На

. 4.9 изображен график потенциальной

энергии взаимодействия атомов в молекуле

АВ (или молекул А и В). Он представляет

собой пример потенциальной кривой, ко-

ая на расстояниях, меньших а, характе-

ризуется наличием потенциального барье-

ра бесконечной высоты, а на расстояниях,

глубиной П*. Поскольку Fx = dП/dx, то на р

нии В1 действует сила притяжения, а при r <

силы отталкивания (положение B2).

Рис. 4.9

57

58

рой осуществляются гравитацион-

ное, электромагнитное, ядерное и другие взаимодействия. Согласно представ-

лениям теории поля частицы создают в каждой точке пространства такое со-

сто ствии на другие части-

цы, пом чку этого поля. Таким образом взаимодействие

между материальными частицами передается через посредника, роль которого

игр

оле с течением времени не меняется, оно называется

ста

тики и свойства гравитационного поля. Силовое взаимодей-

ств

явл

4.5. Описание взаимодействия посредством

физического поля

Потенциальное поле. Физическое поле представляет собой особую форму

существования материи, посредством кото

яние материи, которое проявляется в силовом воздей

ещенные в любую то

ает физическое поле.

Концепция передачи взаимодействия посредством поля получила название

близкодействие. Максимально возможная скорость передачи взаимодействия

посредством поля равна скорости распространения света в вакууме и составля-

ет 3·108 м · с-1.

Описание свойств поля осуществляется с помощью одной или нескольких

функций, зависящих от координат х, у, z точки пространства, в которой изучается

поле, и времени t. Если п

ционарным, и функции, описывающие это поле, не будут зависеть от времени.

Особый класс физических стационарных полей представляет потенциальное

поле, которое описывает гравитационное взаимодействие.

Характерис

ие двух тел осуществляется посредством гравитационных полей, которые

создают эти материальные тела.

Гравитационное поле, как и любое другое потенциальное поле, можно опре-

делить двумя величинами – напряженностью и потенциалом. Напряженность

яется силовой характеристикой поля, потенциал – его энергетической харак-

теристикой.

Напряженность G поля в некоторой точке равна силе, с которой гравитационное

поле действует на пробную частицу единичной массы, помещенную в эту точку:

F/mG – силовая характеристика. (4.29)

59

В случае поля точечной массы М вектор напряженности G поля имеет вид

(рис. 4.10):

/r,r

Mγ reeG rr

2. (4.30)

Рис. 4.10

Если точка массой т движется только под действием сил поля тяготения, то

с учетом эквивалентности инертной и гравитационной масс (mин = mгр = m)

можно записать:

.mm Ga (4.31)

У поверхности Земли a = g, поэтому вектор напряженности совпадает с ус-

корением свободного падения (если влияния вращения Земли):

G = g. (4.32)

сти G в разных точках направлены вдоль прямых, которые пе-

ресекаются в силовом центре (см. рис. 4.10).

силовых

вых

н-

нос

не учитывать

Гравитационное поле точечной массы является центральным, поэтому век-

торы напряженно

Для графического изображения полей используется понятие сило-

линий (линий напряженности). Силовые линии определяются как линии,

касательные к которым в каждой точке поля совпадают с вектором напряже

ти.

На рис. 4.11,а изображены силовые линии центрального гравитационного

поля точечной массы, а на рис. 4.11,б – силовые линии однородного поля, в ка-

ждой точке которого напряженность одинакова (G = const).

Рис. 4.11

По определению, потенциал гравитационного поля в некоторой его точке

равен отношению потенциальной энергии П сил тяготения к массе пробной

частицы т, помещенной в данную точку поля:

П/m – энергетическая характеристика. (4.33)

Так как потенциальная энергия материальной точки массой т в гравитаци-

онном поле точечной массы М определяется формулой (4.3), т.е. ,/ rMmП

то потенциал поля массы М определяется выражением

.r

M

m (4.34)

создает

П

Принцип суперпозиции полей. Если поле ся несколькими источни-

кам суперп

зул

ля. Если поле

, то результирую-

щая сила, действующая на помещенную в это поле массу т, равна векторной

сум

их подстановки в последнее выраже-

ние

и, то принцип озиции – это нахождение вектора напряженности ре-

ьтирующего поля в каждой его точке.

Рассмотрим принцип суперпозиции для гравитационного по

создается несколькими материальными точками или телами

ме всех сил:

i

.1

iFF (4.35)

Поскольку F = mG, а Fi=mGi, то после

N

сокращения на т получим формулу для нахождения результирующей на-

пряженности гравитационного поля, создаваемого несколькими источниками:

N

GG – принцип суперпозиции для напряженности. (4.36) i

i1

60

61

Согласно принципу суперпозиции для потенциала поля, созданного не-

ско соотнош

ава 5. Н

гда приходится использовать

зав

осуществить преобразование второго закона Ньютона

ma = F. (5.1)

примените

Преобразование ускорения. В неинерциальной системе отсчета xyz уско-

рен

рения, которое фигурирует

во втором законе Ньютона, можно записать соотношение

кор, (5.2)

где аотн

aпер – ускорение в переносном движении (подвижной системы xyz относи-

тел

лькими источниками, получаем ение

N

ii

1

– принцип суперпозиции для потенциала. (4.37)

Гл ЕИНЕРЦИАЛЬНАЯ СИСТЕМА ОТСЧЕТА

Ранее мы рассматривали движение объектов в инерциальных системах от-

счета. Возникает вопрос, как быть в случаях, ко

едомо неинерциальные системы. Для решения поставленной задачи следует

льно к неинерциальной системе отсчета.

5.1. Основное уравнение динамики

в неинерциальных системах отсчета

ие нужно считать относительным, а в инерциальной системе x1y1z1 рассмат-

ривать как абсолютное. Тогда для абсолютного уско

а = аотн + апер + а

– ускорение в неинерциальной системе xyz;

ьно системы x1y1z1);

акор = 2пер vотн – ускорение Кориолиса, которое отражает эффект взаим-

ного кинематического влияния относительного и переносного движений друг

на друга.

62

(5.3)

альной системе сохранить общую структуру основного

ура д

пер кор

maотн = F + (–maпер) + (–maкор). (5.4)

ащие ускорения, назы-

ваю

F = – ma – переносная сила энергии; (5.5)

) в неинерциальной системе:

отн пер кор

изменяются при переходе от одной системы к другой и

не

Ньютона

в неинерциальной

называются

фи

После подстановки (5.2) в уравнение (5.1) получаем

mаотн + mапер + mакор = F.

Силы инерции. Второй закон Ньютона в неинерциальной системе. Для

того чтобы и в неинерци

внения инамики (5.1), перенесем в правую часть уравнения (5.3) слагае-

мые, содержащие а и а :

Слагаемые в правой части соотношения (5.4), содерж

тся силами инерции:

пер пер

Fкор = –maкор – кориолисова сила энергии. (5.6)

Формальным основанием для названия «силы инерции» является тот факт,

что они имеют размерность силы и позволяют сохранить вид второго закона

Ньютона (с учетом сил инерции

ma = F + F + F . (5.7)

В отличие от реальных физических сил, описывающих взаимодействие тел,

силы инерции F и Fпер кор

подчиняются закону равенства действия и противодействия (третий закон

). Последнее связано с тем, что если к какой-либо материальной точке

системе приложены силы инерции, то не существует проти-

водействующей силы, приложенной к другой материальной точке или телу. По-

этому с позиций классической механики Ньютона силы инерции

ктивными силами, которые исчезают в инерциальных системах.

Использовать термин «сила инерции» очень удобно при описании движе-

ния с позиции наблюдателя в неинерциальной системе отсчета. Он явно «чув-

ствует» действие сил инерции. Например, пассажир ускоряющегося поезда,

взлетающего или приземляющегося самолета ощущает действие этих сил. Они

отклоняют маятник в сторону, противоположную ускорению движущейся сис-

темы отсчета (например, вперед – при торможении поезда и назад – при его

63

тяжести» в

неи

учитывается, поскольку при рассмотрении задач о

равновесии или движении в земных условиях используется понятие силы тяже-

сти тяготения). В самом деле, всякая материальная

точка или тело, находящиеся вблизи поверхности Земли, испытывают действие

гра

разгоне). Поля сил инерции широко используются для интенсификации процес-

сов фильтрации и осаждения, а также для создания «искусственной

нерциальных системах.

5.2. Поле сил тяжести

Влияние вращения Земли на ускорение свободного падения. Сила тяже-

сти. Обычно считается, что система отсчета x1 y1 z1, связанная с Землей, являет-

ся инерциальной. Однако в действительности геоцентрическая система не-

инерциальна, в первую очередь за счет суточного вращения Земли (рис. 5.1).

Неявно этот факт частично

(а не силы гравитационного

витационного притяжения и влияние поля центробежных сил инерции.

Вблизи поверхности Земли h << R, поэтому сила тяготения F = mG практиче-

ски не зависит от высоты h, поскольку модуль напряженности гравитационного

поля (см. формулу (4.30)).

).()( 222

RhconstR

M

hR

M

r

MG

(5.8)

Рис. 5.1

64

Поле центробежных сил обусловлено суточным вращением Земли и опреде-

ляется переносной силой инерции

(5.9)

которую у поверхности Земли (h << R) можно определить по формуле

(5.10)

где – угловая скорость суточного вращения Земли; – широта местности.

Переносная сила инерции напра отивоположно нормальному пере-

нос

тяжести:

,mF nперпер a

,cos2 RmFпер

влена пр

ному ускорению, т.е. перпендикулярно оси вращения Земли. Результирую-

щая сил mG и Fпер называется силой

.F перт m FG (5.11)

Она определяет направление вертикали (направление отвеса) в данной ме-

стности и ускорение

поверхности земли:

с географической широтой свободного падения вблизи

./m/m FGFg перт (5.12)

иктивной центробежной силы,

связ Это значит, чт

тяжести, как равнодействующая реальной и фиктивной сил, не может быть от-

нес

четы для определения относительного вклада гравитаци-

онн значение силы тяжест

рение g. Поскольку Земля сплюснута в направлении земной оси незначительно,

то

Таким образом, ускорение g = G + Fпер/m учитывает суммарный эффект от

действия реальной силы тяготения и наличия ф

анной с вращением Земли. о в ньютоновском смысле сила

ена ни к тому, ни к другому классу этих сил.

Величину g можно экспериментально определить по свободному падению.

Здесь же проведем рас

ых и инерционных сил в и, а следовательно, и в уско-

можно рассматривать ее в виде шара средним радиусом R = 6370 км со сфе-

рически симметричным распределением массы. В этом случае вектор напря-

женности G направлен к центру шара (см. рис. 5.1), а его модуль вблизи

поверхности Земли практически не изменяется и определяется по формуле (5.8)

(M = 5,96·1024 кг – масса Земли):

.см 80,9)1037,6(

1096,51067,6 2-

26

2411

2

R

MG

Из соотношения (5.12) видно, что вклад в ускорение g от центробежных сил

будет наибольшим на экваторе, где cosθ = 1. Тогда

.см 034,01037,6)360024(

14,34 2-62

22

Rаnпер

Таким образом, согласно формуле (5.12), на экваторе ускорение g = 9,80 – 0,034 =

= 9,77 м · с-2, что незначительно отличается от ускорения на полюсе, где

g = 9,80 м · с-2.

На опыте получаются следующие значения: на полюсе g = 9,83 м · с-2, на эк-

ват -2 -2

ние вертикали практически

совпадает с направлением вектора напряженности гравитационного поля Зем-

ли. Таким же образом можно определить силу тяжести вблизи других планет.

В заключение отметим, что понятие силы тяжести определяется для тела,

пок

е мость. Понятие «вес тела» возникло в процессе взвешивания

тел

т ле,

)

шива-

ния

оре g = 9,78 · с . Поскольку пера = 0,034 м · с намного меньше, чем G, то

угол ≈ 0 (см. рис. 5.1), следовательно, направле

n

оящегося относительно Земли. В случае движения тела в поле сил тяжести

следует дополнительно учитывать вклад от кориолисовых сил инерции.

Вес и нев со

в земных условиях, т.е. в неинерциальной системе, связанной с Землей. По

определению, вес ела равен си с которой покоящееся тело действует на

подвес или опор вследствие его притяжения к Земле (рис. 5.2,а). В этом случае

сила веса

P = –T = mg. (5.13

Это определение веса тела сохранилось и по отношению к любой другой

неинерциальной системе отсчета, в которой осуществляется процесс взве

. Например, в лифте, движущемся с ускорением а (рис. 5.2,б), сила веса

).m(mm agagP (5.14)

65

а б

66

В случае свободно вес тела обращается

в нуль. По отношению невесомости, которое

реализуется, в част движется по орби-

те. В этом состоян напряжения, вызы-

ваемые действием зывает, что понятие

веса тела является создать условия,

обеспечивающие и

При

лы представляют собой силы взаи-

модействия отдельных частиц твердого тела.

Рис. 5.2

падающего лифта ускорение а = g и

к лифту имеет место состояние

ности, и в космическом корабле, когда он

ии в твердых телах исчезают внутренние

сил тяжести. Соотношение (5.14) пока

относительным, следовательно, можно

скусственную тяжесть.

Глава 6. ДИНАМИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА

Твердое тело как совокупность материальных точек с наложенными

жесткими связями. Любое произвольное движение твердого тела можно рас-

сматривать как сложное, состоящее из поступательного и вращательного дви-

жений. изучении движения твердого тела разделим его мысленно на от-

дельные частицы массой Δmk (k = 1, 2,..., N), к которым приложены как внеш-

ние, так и внутренние силы. Внутренние си

67

6.1. Т

твердого тела

изменения импульса Р тела

еоремы динамики для простейших видов движения

Динамика поступательного движения тела. При поступательном движе-

нии все точки тела движутся по одинаковым траекториям и имеют одинаковые

скорости и ускорения. Поэтому достаточно изучить динамическое поведение

какой-либо одной точки тела, например, его центра масс, или, что то же самое,

центра тяжести тела. Это означает, что динамика поступательного движения

твердого тела массой т определяется законом

C

N

k

ek m , F

d

dvP

t

P

где

1

, (6.1)

или, что то же самое, законом движения его центра масс:

.dt k1

Отсюда следует, что при поступательном движении твердое тело движется

как материальная точка массой, равной массе тела.

Динамика вращательного движения тела вокруг неподвижной оси. По-

скольку мы рассматриваем твердое тело как совокупность материальных точек

(частиц массой Δmk), то для описания вращательного движения можно восполь

dm

Ne

kC F

v (6.2)

зо-

ваться законом изменения момента импульса системы материальных точек:

e

d

dM

t

L , (6.3)

где тела относительно N

kkk

k Δm vrL 1

– момент импульса некоторого центра О;

ek

kk

e FrM 1

– результирующий (главный) момент внешних сил, дейст-

вующих на это тело.

N

Спроецировав правую и левую части уравнения (6.3) на ось вращения (ось z

на рис. 6.10,а), получим закон изменения проекции Lz момента импульса:

.Mdt

dL ez

z (6.4)

Рис. 6.1

Проекция Lz момента импульса тела L равна сумме проекций на ось z мо-

ментов импульсов отдельных частиц тела:

(6.5)

Вектор Lk = rk mkvk (рис. 6.1,б) перпендикулярен радиус-вектору rk и образует с

осью z угол Поэтому проекция

N

k

N

kkzzkkkz LvmrL

1

.)(

.90 kk kkkkkkkkz vRmvmrL sin .

тно твердого тела скорость kv

Если

учесть, что движении абсолюпри вращательном kR ,

то с учетом выражения (6.5) получим

(6.6)

м инерции твердого тела относи-

те ко – осевым моментом инер

мент инерции точки):

. (6.7)

сительно

N

kzz

N

kkkkkkz ILRmRRmL

1 1

2 .

Величина Iz, равная сумме произведений масс частиц тела на квадраты их

расстояний до оси z, называется моменто

льно этой оси, или корот ции тела ( 2kk Rm – мо-

N

kz

1

2

Аналогично определяются осевые моменты инерции тела отно

осей х и у.

kk RmI

68

69

расчета осевых моментов инерции

Теорема Штейнера

(6.8)

где лой массы те

dm = ρdV (ρ – плотность вещества тела), то

В последней формуле интегрирование проводится по всему объему тела. Инте-

гра йшей геометри-

ческой фо тел определяют экспериментально.

В ка момент инерции однородного (ρ = const)

дис

инат, в которой объем

6.2. Примеры .

Осевые моменты инерции. Из определения осевого момента инерции (6.7)

следует, что при его вычислении для сплошного тела суммирование следует

заменить интегрированием:

,2dmhI z

h – расстояние от физически ма ла dm до оси вращения. Так как

2 .dVhI (6.9) )(V

z

л (6.9) достаточно просто вычислить для однородных тел просте

рмы. Чаще моменты инерции

честве примера рассчитаем

ка радиусом R относительно оси z, проходящей через центр симметрии С

перпендикулярного плоскости диска (рис. 6.2). Воспользуемся формулой (6.9) в

цилиндрической системе коорд HdrrddV (Н – тол-

щина диска). Тогда при Н = r момент инерции

2

0 0

43 .

4

2R

zR

HdrdrHI

Рис. 6.2

Поскольку масса диска ,2HRm получаем

.2

1 2mRI z (6.10)

тел простейшей геометрической формы (т – масса

Приведем без вычисления осевые моменты инерции некоторых однородных

тела), которые рассчитаны

относительно оси z, проходящей через центр масс С.

1. Момент инерции сплошного цилиндра радиусом R относительно его оси:

.2

1 2mRICz (6.10а)

2. Момент инерции толстостенного цилиндра относительно его оси:

),(2

1 22

21 RRmICz (6.10б)

где R1, R2 – его внутренний и внешний радиусы соответственно.

3. Момент инерции тонкостенного цилиндра )( 21 RRR относительно его

оси:

(6.10в)

иной l отн

середину стержня перпендикулярно его длине:

.2R mICz

4. Момент инерции стержня дл осительно оси, проходящей через

.12

1 2mlICz (6.10г)

5. Момент инерции шара радиусом R относительно оси, проходящей через

его

центр:

.5

2 2mRICz (6.10д)

Теорема Штейнера. Если ось z не проходит через центр масс, то для опре-

дел ции используют т

(6.11)

ения осевого момента инер еорему Штейнера:

,2mdII Czz

70

71

кот ельно любо

а инерции относительно параллельной ей оси ICz, проходящей через центр

масс на квадрат

теоремы

ине

мулу (6.10г) и положив d = l/2,

получим

орая гласит: момент инерции тела Iz относит й оси равен сумме

момент

, и произведения массы тела расстояния d между осями.

В качестве примера использования Штейнера вычислим момент

рции стержня относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей

через его конец. Используя теорему (6.11), фор

.3212

mlmmlI z

(6.12) 11 2

22 l

тела отно

но оси. С

уче ащения тела о

6.3. Уравнения вращения сительно

неподвижной оси или центра

Уравнение динамики вращательного движения относитель

том (6.6) уравнение (6.4) для вр тносительно оси z примет вид

.)( e

zz M

dt

Id

(6.13)

Согласно формуле (6.13) производная по времени от момента импульса твердого

тела относительно оси вращения равна результирующему моменту внешних

сил относительно той же оси. Поскольку для твердого тела момент инерции Iz

не зависит от времени (Iz = const), уравнение (6.13) можно переписать в виде

I

MεM

dt

dωI

z

eze

zz – основное уравнение

динамики вращательного движения,

где

(6.14)

dtd / – угловое ускорение тела.

Таким образом, из уравнения (6.14) следует, что угловое ускорение при

вращении твердого тела вокруг оси прямо пропорционально главному (резуль-

тирующему) моменту внешних сил относительно этой оси и обратно пропор-

ционально моменту инерции тела относительно той же оси.

72

ия (6.14) по физиче-

скому с Ньютона для материальной точки

или закону о движении центра масс тела, поэтому иногда его называют вторым

зак

вращения, а роль массы т – осевой момент инерции I . Это сопоставление по-

зво евой момент

нос

ой

оси будет сохраняться, т.е.

Основное уравнение динамики вращательного движен

мыслу аналогично второму закону

оном Ньютона для вращательного движения. При этом роль ускорения а

играет угловое ускорение ε, роль силы F – момент силы Mz относительно оси

z

ляет сделать важный вывод: ос инерции является мерой инерт-

ти тела при его вращении вокруг этой оси.

Из закона вращательного движения (6.13) вытекает, что если проекция ezМ

результирующего момента внешних сил на ось вращения равна нулю (напри-

мер, для замкнутой системы), то момент импульса тела Lz относительно эт

IL zz .const (6.15)

Это утверждение екции момента им-

са тела в з и вращении осевой момент инерции

называется законом сохранения про

пуль амкнутой системе. Если пр

zI остается постоянным, то, согласно (6.15), твердое тело будет вращаться с по-

стоянной угловой скоростью ω. Если же в процессе вращения деформируемого

тела или системы твердых тел суммарный момент инерции изменяется от зна-

чения )(zI 1 до )(

zI 2 (изменяющаяся во времени механическая система), то, со-

гла

ему, на которую не действуют

мом к в

стоянии 2 он уже будет вращаться со скоростью ω2 = ω1I1/I2 = const (при переходе

сно (6.15), угловая скорость тела также будет меняться, принимая соответст-

венно значения ω1 и ω2, которые должны удовлетворять соотношению (6.15):

.2)2(

1)1( constII zz

Справедливость последнего утверждения можно наглядно продемонстриро-

вать с помощью скамьи Жуковского, состоящей из основания и диска, который

может вращаться вокруг вертикальной оси. Человек, находящийся на скамье

Жуковского (рис. 6.3), представляет собой сист

енты внешних сил относительно оси вращения. Поэтому, если челове

исходном состоянии 1 вращается с угловой скоростью ω1, то в конечном со-

73

используют фигуристы, выполняя пируэт –

ноге

й

точки равен нулю и при отсутствии других внешних воздействий правая часть

уравнения

из состояния 1 в состояние 2 момент инерции уменьшается: I2 < I1). Этот эф-

фект

полны несколько оборотов на одной й оборот или

.

Гироскоп. Гироскопом называется быстро вра-

щающееся вокруг собственной оси с угловой скоро-

стью ω твердое тело, которое имеет одну неподвиж-

ную точку (рис. 6.4). Как правило, гироскопы имеют

одну или несколько осей материальной симметрии,

причем тело быстро вращается вокруг оси z* с наи-

большим моментом инерции *zI . Если неподвижная точка О гироскопа совпада-

ет с центром тяжести С (рис. 6.4,а), то момент силы тяжести относительно это

Рис. 6.3

(6.3) обращается в нуль. Тогда уравнение движения гироскопа при-

мет вид (L = Izω)

const.ωconstLdt

dL 0 (6.16)

Рис. 6.4

означает, что ось вращения такого гироскопа спо-

нтацию в пространстве. Это свойство гироскопа по-

в качестве гироскопического компаса. Если непод-

е совпадает с центром тяжести, то гироскоп участвует

Постоянство вектора L

собна сохранять свою орие

зволяет использовать его

вижная точка О гироскопа н

74

мв прецессионном вращательно движении вокруг вертикальной оси z* с угло-

вой скоростью

ω),mgOC/(IΩ z (6.17)

которое реализовано в известной игрушке – юле.

6.4. Закон изменения кинетической энергии твердого тела

Кинетическая энергия тела при поступательном движении. При посту-

пательном движении все точки твердого тела имеют одинаковые скорости. По-

этому, воспользовавшись определением (2.29) для кинетической энергии сис-

темы точек, получим

2

1

2

1

2

2

1

22 Cпост

N

kk

CN

k

kkпост mvKmvvm

K

, (6.18)

где vk = vC (vC – скорость центра мас

с тела).

Кинетическая энергия при вращении тела. При вращении тела вокруг

неподвижной оси скорость любой точки с номером k выражается через угловую

скорость и кратчайшее расстояние Rk до оси (vk = ωRk). Тогда

.2

1

222

1

22

1

2

zвр

N

kkk

N

k

kkвр IKRmvm

K

(6.19)

Плоское движение тела. В этом случае кинетическая энергия состоит из

эне ия со скоростью

тельного движения относительно центра масс:

ргии поступательного движен центра масс и энергии враща-

.2

11

222. CzC

двпл ImvK (6.20)

ассой

∆mk (k = 1,2,..., N), то закон изменения кинетической энергии твердого тела:

Поскольку твердое тело рассматривается как совокупность частиц м

N

k

ekAKK

10 . (6.21)

75

рмул (6.18) – (6.20), работа внешних сил вычисляется по

формуле (2.14), а работа моментов сил – по формуле, которая получается из

(2.1 те тела на угол φ (ds = dφ·R):

В начальном и конечном положениях кинетические энергии K0, К опреде-

ляются с помощью фо

4) при поворо

M

Mzττ (F)dMRdFdsFA

00 0

, (6.22)

где

тела переменной массы

тате

рания топлива в двигателе ра-

кет пло.

Уравнение поступательного движения тела переменной массы (уравнение

Ме

Mz(F) = Fτ·R – момент силы относительно оси вращения z; Fτ – проекция силы

F на касательную к траектории ее точки приложения (окружности радиусом R).

6.5. Движение

1. В ньютоновской механике масса тела может изменяться только в резуль-

отделения от тела или присоединения к нему частиц вещества. Примером

такого тела является ракета. В процессе полета масса ракеты постепенно

уменьшается, так как газообразные продукты сго

ы выбрасываются через со

щерского):

,dm

)(d

m внеш vvFv

(6.23dtdt 1 )

где в рассматривае т и v – масса и скорость тела мый момент времени;

Fвнеш – главный вектор внешних сил, действующих на тело;

v1 – скорость отделяющихся частиц после отделения (если 0dt

dm) либо

присоединяющихся частиц до присоединения (если 0dt

dm).

ой части уравнения Мещерского пре

полнительную силу, действующую на тело переменной массы. Эта сила назы-

2. Второй член прав дставляет собой до-

вается реактивной силой:

,dmdm

)(p uvvF 1 dtdt

76

где щихся или присоединяющих-

ся частиц, т.е. их скорость по отношению к системе отсчета, движущейся по-

сту

u = (v1 – v) – относительная скорость отделяю

пательно вместе с телом.

Реактивная сила характеризует механическое действие на тело отделяющих-

ся от него или присоединяющихся к нему частиц (например, действие на ракету

вытекающей из нее струи газов).

3. Уравнение движения ракеты в отсутствие внешних сил:

.dt

dm

dt

dm u

v

Если начальная скорос о ракета движется прямоли-ть ракеты равна нулю, т

руе газа

на в

нейно в направлении, противоположном относительной скорости и ст

ыходе из сопла двигателя. В этом случае

dt

dmu

dvm

и при и = const связь между скоростью ракеты и ее в

dt

массой ыражается форму-

лой Циолковского:

,ln 0muv (6.24)

m

где т0 – начальная (стартовая) масса ракеты.

4. Максимальная скорость, которую может развить ракета в отсутствие

егося на борту ракеты:

внешних сил, называется характеристической скоростью. Эта скорость дости-

гается в момент окончания работы двигателя из-за использования всего запаса

топлива и окислителя, имевш

,ln0

0max

Tmm

muv

где m – начальная масса топливаТ

Влияние тяготения Земли и сопротивления воздуха вы

и окислителя.

зывает заметное

уменьшение максимальной скорости, фактически приобретаемой ракетой в

процессе работы двигателя, по сравнению с характеристической скоростью.

5. Характеристическая скорость составной (многоступенчатой) ракеты:

n

i ii m

muv

1 0max ln

Ti

i ,m

0

где n – общее число ступеней ракеты,

mTi – масса топлива и окислителя, предназначенных для работы двигателя i-й

ая скорость истечения газов из сопла двигателя i-й ступени,

ракеты

кеты с i-й по n-ю. Увеличение характеристической скорости составной ракеты

у же стартовую массу и тот же за-

пас

6.6. Космические скорости

бы тело стало спутником Зем-

ли,

ступени,

ui – относительн

m0i – стартовая масса части составной , включающей все ступени ра-

по сравнению с одноступенчатой, имеющей т

топлива и окислителя, связано с дополнительным уменьшением массы ра-

кеты путем последовательного отделения от нее первой, второй и следующих

ступеней после сгорания всего топлива, имеющегося в данной ступени.

Первая космическая скорость. Для того что

т.е. двигалось по круговой околоземной орбите, ему нужно сообщить ско-

рость v1, значение которой определяется вторым законом Ньютона. Положив

радиус орбиты равным радиусу Земли R, напишем уравнение

,21 mgR

vm

где т – масса тела,

– ускорение,

тело.

Из

Rv /21

mg – сила тяжести, действующая на

написанного уравнения следует, что

.1 gRv (6.25)

77

Скорость (6.25) называется первой космической скоростью. Радиус

Земли R = 6,37·106 м, g = 9,81 м/c2. Следовательно, 61 1037,681,9 v =

м/c109,7 3 км/c.8

Вторая космическая скорость. Скорость v2, которую нужно сообщить телу

при запуске с Земли для того, чтобы оно вышло из сферы земного притяжения

(т.е при котором притяжение к Земле становит-

ся пренебрежимо малым), называется второй космической скоростью. Для на-

хож

. удалилось на такое расстояние,

дения v2 воспользуемся законом сохранения энергии (сопротивлением воз-

духа при прохождении тела через атмосферу Земли пренебрегаем). В момент

запуска полная энергия тела равна

R

MmG

mvE

2

22 , (6.26)

потенциальная энергия обращается в нуль на бесконечности.

При удалении на бесконечность» полная энергия становится равной

нулю (мы ищем минимальное значение v , поэтому считаем, что скорость тела

на бесконечности (6.26) к нулю, получим

где М – масса Земли;

тела «

2

равна нулю). Приравняв выражение

./22 RGMv (6.27)

Если пренебречь различием между силой тяжести mg и силой гравитацион-

ного притяжения тела к Земле, можно написать равенство

.2R

MmGmg

Отсюда GM/R = gR. Следовательно, выражение (6.27) можно представить в

виде

.22 gRv (6.28)

Приняв во внимание формулу (6.25), получим, что км/c.11212 vv

Отметим, что значение v2 не зависит от направления, в котором запускается

тело с Земли. От этого направления зависит лишь вид траектории, по которой

тело удаляется от Земли.

78

79

. Скорость v

при запуске с Земли для того, чтобы оно покинуло пределы Солнечной систе-

е

Третья космическая скорость 3, которую нужно сообщить телу

мы, называется третьей космической скоростью.

Подставив в формулу (6.27) вместо М массу Солнца (1,97·1030 кг) и вместо

R – радиус земной орбиты (1,50·1011 м; в момент старта с Земли тело находится

на таком расстоянии от Солнца), получим значение скорости, равно

.км/c421050,1/1097,11067,6 3011

Так

м/c102,42 411

ова была бы третья космическая скорость, если бы Земля в момент за-

пуска была неподвижна и не притягивала бы тело к себе. Но Земля сама дви-

жется

относительно Солн-

ца достигается при скорости относительно Земли, равной 42 – 30= 12 км/с, а

при запуске в противоположном направлении 42 + 30 = 72 км/с. Таковы были

бы

ла к Земле. С учетом этого притяжения для третьей космической скоро-

сти км/с.

лошной среды. В этой главе рассмотрены условия

рав

еды, заполняющие некоторую

час

элементов.

Объем ∆V выделяемого в сплошной среде элемента сначала про-

изв

относительно Солнца со скоростью 30 км/с. Поэтому при запуске в на-

правлении орбитального движения Земли скорость 42 км/с

минимальное и максимальное значения из, если бы не было силы притяже-

ния те

получаются значения от 17 до 73

Глава 7. ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

Виды деформации сп

новесия и уравнения движения жидкостей и газов. При этом не будем уг-

лубляться в изучение их атомно-молекулярной структуры, т.е. все тела рас-

сматриваются как бесструктурные сплошные ср

ть пространства объемом V. При изучении механических свойств сплошной

среды будем применять законы механики к отдельным физически малым эле-

ментам среды, рассматривая весь ее объем V как систему большого числа таких

является

ольно задаваемой величиной и не должен входить в окончательные форму-

лировки законов механики сплошной среды. В рационально записанных законах

80

ают зависеть от ∆V. Такие значения

объемов ∆V , обозначаемые также dV, называются физически бесконечно малы-

ми, чтобы подчеркнуть их отличие от бесконечно малых величин, используе-

мых в м беско-

нечно малом объеме dV сплошной среды содержится еще достаточно большое

количеств

жидк текут

т твердых тел. Твердые тела можно подвергать растяжению и сжа-

тию

аддитивные физические величины (масса, энергия, импульс и т.д.) входят в ви-

де их отношений к объемам ∆V. Эти отношения называются средними плотно-

стями, например, ∆m/∆V = – плотность массы вещества, ∆W/∆V = ω – плот-

ность энергии. В общем случае средние плотности физических величин зависят

от положения точки пространства, вокруг которой выделен объем ∆V, и его

значения. При уменьшении объема ∆V (при стягивании ∆V в точку) начиная с

некоторого его значения плотности перест

атематике. Это, в частности, означает, что в любом физически

о атомов, молекул или других структурных единиц этой среды.

Газы, жидкости и твердые тела сильно отличаются друг от друга по механи-

ческим свойствам. Газы и ости легко изменяют свою форму, т.е. под

действием сколь угодно малых сил. Однако для изменения объема газа или

жидкости, как и в случае твердых тел, требуются конечные внешние силы. Сле-

довательно, газы и жидкости ведут себя как упругие тела только в отношении

изменения занимаемого объема. И здесь есть существенное отличие газов и

жидкостей о

или сдвигу в любых направлениях. В жидкостях приходится иметь дело

практически только со всесторонним сжатием, хотя в специальных условиях,

например в капиллярах, жидкость может быть подвергнута деформации рас-

тяжения. При этом в жидкостях возникают упругие силы, удовлетворяющие за-

кону Гука. Что касается газов, то для них в принципе может быть реализовано

только всестороннее сжатие.

7.1. Гидроаэростатика

Давление. Отдельные части жидкости или газа действуют друг на друга с

силами, значения которых зависят от степени сжатия среды. В объеме V* среды

выделим малый объем V, заключенный внутри замкнутой поверхности S

(рис. 7.1). На выделенный объем со стороны остав-

шейся части среды действуют силы всестороннего

81

сжатия, которые распределены по поверхности S. Эти

силы направлены перпендикулярно (нормально) к

каждой элементарной площадке ∆S, иначе их каса-

тельные составляющие привели бы к относительному

смещению слоев среды. Мысленно уберем ту часть

среды, которая окружает выделенный объем V, а ее

действие на тело объемом V заменим распределен-

ными по его поверхности силами давления. Введем понятие среднего давления

как силы, действующей на единичную площадку поверхности тела:

Рис. 7.1

.S

Fp nср

(7.1)

Если давление в разных точках среды имеет разные значения, то в формуле

(7.1) следует совершить предельный переход .0S Тогда давление будет

функцией координат точки в среде:

.),,(dS

В СИ давление р измеряется в паскалях (1 Па = 1 Н·

Закон Паскаля. Согласно формулам (7.1) и (7.2), давление

среды определяется по о ношению к аранее выбран ой

∆S, имеющей определенную ориентацию в пространстве

влияет ли ориентация площадки на значение давления, оп

(7.2). Из закона Паскаля следует, что в состоянии равнов

зависит от ориентац и площадки в жидкой или газообраз

Сжимаемость среды. Для характеристики механических

и газов используется понятие сжимаемости среды,

dFzyxp n (7.2)

м-2).

в данной точке

т з н элементарной площадке

. Возникает вопрос о том,

ределяемого по формуле

есия среды давление р не

и ной среде.

свойств жидкостей

связанно енением е с изм

объемa dV при изменении давления на dp. Количественной мерой сжимаемости

среды является величина

82

,исжимаемостткоэффициен1 dV

Vdp

k (7.3)

где dV/V – относительная деформация объема при всестороннем сжатии среды.

Изм

лах слабо

позволяет ввести и широко ис-

пользовать модель несжимаемой жидкости (k = 0, = const). Для газообразно-

го состояния случаях применима

для :

ерения показывают, что коэффициент k для жидкостей очень мал (для воды

при p = 105 Па k = 10-7 м2/H) и в широких преде зависит от давления и

температуры. Малая сжимаемость жидкостей

вещества во многих модель идеального газа,

которой справедливо уравнение Клапейрона – Менделеева

RT,pVRTμ

ρpRT

μ

mpV (7.4)

где т – масса газа;

μ – молярная масса;

R – универсальная газовая постоянная;

Т – абсолютная температура;

ν = m/μ – число молей вещества.

В изотермических условиях (Т = const) выполняется закон Бойля – Mapuomma:

.2

dpp

constdV

constVconstpV (7.5)

p

сжимаемости газов Коэффициент изотермической

pdp

dppconstdpV

kT

T 2

(7.6)

при обычных (нормальных) условиях во много раз больше (kT = 10-5 м2/H), чем

для жидкостей.

Получим закон распределения давления в несжимаемой жидкости, обуслов-

ленного силами тяжести, если на верхнюю поверхность жидкости действует

constpdV 111

внешнее давление p0. Выделим в жидкости объем ∆V в виде столба высотой h и

83

ρgh∆S = 0)

рассчитываем давление на глубине h:

площадью основания ∆S (рис. 7.2). Из уравнения равновесия выделенного объ-

ема несжимаемой жидкости (в проекции на ось z: p(h) ∆S – p0∆S –

const.ρρgh,pp(h) 0 (7.7)

еделяет закон распределения гидростатического давления

нес

Эта формула опр

жимаемой жидкости.

Рис. 7.2

алкивающую силу, которая действует со с

(или газа) на тело, погруженное в эту среду (закон Архимеда). Для простоты

, которое имеет форму прямоугольного параллелепипеда объ-

тикальной

Вычислим выт тороны жидкости

рассмотрим тело

емом V с площадью основания S и высотой Н. Выталкивающая сила равна вер-

проекции сил давления, распределенных по поверхности параллеле-

пипеда: .)()()( 101012 gHSSghpSHhgpShpShpF жжжy

Следовательно, сила Архимеда

,gVρF жA (7.8)

где в общем случае V – часть объема тела, погруженная в жидкость (объем вы-

тес ка приложения силы Ар тре

ти объема вытесненной жидкости, а если плотность твердого тела во всех

точ

с центром тяжести погруженного в жидкость тела.

ненной жидкости). Точ химеда находится в цен

тяжес

ках одинакова (однородное распределение массы тела), точка приложения

силы Архимеда совпадает

84

Определим закон распределения давления и плотности воздуха (как идеаль-

ного газа) в зависимости от высоты h над по-

верхностью Земли в изотермических условиях,

когда температура Т считается постоянной по

высоте h величиной. Поскольку газ (воздух)

имеет относительно большой коэффициент сжи-

маемости (намного больше, чем у жидкостей),

плотность газа нельзя считать постоянной по

все

й высоте h величиной. Поэтому нужно рас-

сматривать равновесие элементарного слоя газа толщиной dy, в пределах кото-

рого плотность можно считать постоянной (рис. 7.3). Условие его равновесия

имеет вид .)( pSgSdySdpp Отсюда изменение давления

.gdy

Рис. 7.3

dp (7.9)

Согласно формуле (7.4) плотность идеального газа = m/V связана с давле-

ние Подставив это выражение в (7.9), получим м p соотношением = pμ/(RT).

.dygp

dpRTp

dpdy

RT

g (7.10)

Проинтегрировав соотношение (7.10) по у от нуля до h, по р от p0 (давление

на поверхности Земли) до p(h), получим барометрическую формулу

.0RT

gh

epp

(7.11)

С помощью выражения (7.11) получаем аналогичную формулу для плотно-

сти = pμ/(RT):

,0RT

gh

e

(7.12)

где 0 = p0μ/(RT) – плотность воздуха на поверхности Земли.

7.2. Гидродинамика несжимаемой идеальной жидкости

85

Основные понятия кинематики несжимаемой жидкости. Конвективным

потоком ) через некоторую на-

тся объем вещества, который проходит в единицу времени через эту пло-

ща

(или секундным расходом малую площадку ∆S

зывае

дку, т.е. ∆Vсек = ∆V/∆t. Конвективный поток

.cosSvSмvV nсек

Очевидно, что поток не ы (массы, энергии, им-которой физической величин

пульса) равен произведению потока ∆Vсек на плотность этой величины:

.,, Svt

ppSv

t

WWSv

t

mm секnсекnсек

n

Первые равенства в этих формулах представляют определения потоков, а

вто язь с соотв

пол

жидкости в каждой точке любого сечения потока постоянна

по значению и направлению, то течение называется стационарным или уста-

нов меняется в

нестационарным. При стационарном течении любая частица жидкости прохо-

.

Для изображения потока жидкости вводится понятие линий тока, под кото-

рыми понимают линии, касательные к которым в каждой их точке совпадают с

нап При ста-

ционарном течении линии тока не изменяются с течением времени и совпадают

с тр

площадку, перпендикуляр-

ную скорости v, условились проводить число линий тока, пропорциональное

ско

рые устанавливают их взаимосв етствующими плотностями. Если

е скоростей не изменяется с течением времени, т.е. скорость v движения

различных частиц

ившимся. Если поле скоростей о времени, то течение называется

дит данную точку пространства с одной и той же скоростью v

равлением скорости v частиц, проходящих через точку касания.

аекториями движения частиц жидкости.

Линии тока не могут пересекаться, так как в одной и той же точке в данный

момент времени может находиться только одна материальная частица жидко-

сти с определенной скоростью v. Через единичную

рости частиц в данной точке. Тогда по густоте и направлению линий можно

судить о направлении и значении скорости v в разных точках потока.

86

Мысленно выделим в потоке струю жидкости (или газа) с небольшим опе-

речным сечением S. Через точки контура этого сечения проведем линии тока.

Он

нной вдоль оси

тру

п

и образуют так называемую трубку тока. При стационарном течении форма

трубки тока не изменяется во времени. При течении жидкости ее частицы не

могут пересекать боковую поверхность трубки тока, так как скорости частиц у

этой поверхности направлены по касательной к ней. Трубка тока подобна жест-

кой непроницаемой трубке, вдоль которой течет жидкость.

Уравнение неразрывности. Возьмем трубку тока с настолько малой площа-

дью поперечного сечения S, чтобы можно было считать скорость жидкости v оди-

наковой во всех точках этого поперечного сечения и направле

бки. При стационарном течении за одно и то же время dt через различные се-

чения трубки пройдет одинаковая масса dm жидкости, равная vSdt (– плотность

жидкости). Отсюда вытекает уравнение неразрывности потока массы:

consvSmсек .t (7.13)

Для двух сечений трубки, площадь которых S1 и S2 (рис. 7.4), получим

1v1S1 = 2v2S2. В случае несжимаемой жидкости плотность одинакова во всех

сечениях трубки тока, т.е. 1 = , тогда v1S1= v2S2. Полученное соотношение

справедливо для любых сечений данной трубки тока и называется уравнением

неразрывности потока среды, т.е.

.constvS (7.14)

Рис. 7.4

Из уравнения (7.13) следует, что скорости течения несжимаемой жидкости

вдоль трубки тока обратно пропорциональны площадям ее поперечного сечения.

87

ся с ус-

кор тока тонкий сло

следим за его продвижением (метод Лагранжа). Поскольку движение выделен-

ной давления

щ

с

1 1 трубки тока больше, чем давление p0 со

сто переходе ж

расширяющуюся скорость движения ее частиц замедляется.

Таким образом, давление на широких участках трубки больше, чем на более

узких. Экспериментально эти выводы можно проверить, измерив давление в

движущейся жидкости с помощью неподвижной манометрической трубки. Для

этого ее нижнее отверстие должно быть ориентировано параллельно направле-

нию движения жидкости.

Уравнение Бернулли и его применение. Выдел м в стационарном потоке

идеальной несжимаемой жидкости узкую трубку тока, чтобы в лю-

бом

В сужающейся части трубки тока скорость течения жидкости возрастает, а в

расширяющейся – уменьшается, т.е. жидкость на этих участках движет

ением. Выделим в трубке й жидкости толщиной dx и про-

массы dm жидкости является ускоренным, то сила F1, действую-

ая на поверхность этого слоя со стороны широкого участка трубки тока,

должна быть больше, чем ила давления F0, действующая со стороны узкой

части. Их разность dF = F1 – F0 является ускоряющей силой. Поэтому давление

p = F /S со стороны широкой части

роны узкой части трубки. При идкости из узкой части трубки в

и

настолько

из ее поперечных сечений S скорости v можно было бы считать одинако-

выми по сечению и направленными перпендикулярно этим сечениям. Рассмот-

рим в этой трубке тока часть жидкости, заключенную между сечениями S1 и S2,

в которых частицы среды имеют скорости v1 и v2 соответственно (рис. 7.5,а).

Внешними силами, действующими на выделенный (заштрихованный) объем

жидкости, являются силы тяжести (потенциальные силы) и силы давления со

стороны окружающей среды, распределенные по поверхности выделенного

объема жидкости. Для изучения движения этой части жидкости применим за-

кон изменения ее полной механической энергии. За время ∆t выделенная часть

жидкости переместится в новое положение, в котором она будет ограничена се-

чениями S′1 и S′2 (рис. 7.5,б). Объем V* жидкости с двойной штриховкой обла-

дает при стационарном течении постоянной энергией E*, которая входит в

88

вы

(7.16)

ражения энергий E1 и E2 в первом и втором положениях выделенного объема

жидкости соответственно:

*,2/*, 11211111 EghmvmEVVV (7.15)

22 VV .*2/*, 222222 EghmvmEV

Здесь принято во внимание, что объемы ∆V1 и ∆V2 среды движутся поступа-

тельно и имеют кинетическую и потенциальную энергии.

Рис. 7.5

Поскольку силы давления на боковую поверхность трубки тока не выпол-

няют работы (они перпендикулярны v), то сумма работ внешних непотенциаль-

ных сил будет равна работе сил давления в сечениях трубки S1 и S2 при их пе-

ремещении на расстояния tvltvl и соответственно:

б а

2211

.)( 2122211121tVpptvSptvSpAAA pp 12 сек (7.17)

во внимание уравнение неразрывности (7.14

Из закона изменения полной энергии механической системы

Здесь принято ).

1212 AEE (7.18)

и уравнения неразрывности потока массы )( 21 tmmm сек следует фор-

мула

(7.19)

.)()2/2/( 212221

21 сексек Vppghvghvm

89

Поскольку сексек Vm , то из ура получим внения (7.19)

.2/2/ 2222

сечения трубки тока швейцар-

ским ученым Даниилом Бернулли и называется уравнением Бернул

(7.21)

выражает за-

кон й идеальной

сре т заметить, что

р – статическое, gh

(весовое), v /2 — динамическое. Поэтому, согласно формуле (7.21),

можно утверждать, что сумма динамического, гидростатического и статиче-

ско стационарном течении среды является в

ной всех точек данной линии тока.

давление измеряют трубки, пе-

редняя запаян е отверстие.

ление совместно со статическим изм

гнутой трубки с открытым входным отверстием, обращенным навстречу потоку.

Раз

ют силы

вяз

Формула Торричелли. Определим скорость истечения струи несжимаемой

жи

1121 pghvpghv (7.20)

Сечения S1 и S2 выбраны произвольно, следовательно, соотношение (7.20)

будет справедливо для любого . Оно выведено

ли:

.2/2 constpghv

В соответствии с приведенным выводом уравнение Бернулли

сохранения энергии при стационарном течении несжимаемо

ды. С другой стороны, следуе каждое из слагаемых уравне-

ния Бернулли имеет размерность давления: – гидростати-

ческое 2

го давлений при еличиной постоян-

для

Статическое с помощью зонда – изогнутой

часть которой а, а в боковой стенке сделано небольшо

Динамическое дав еряют с помощью изо-

ность давлений в двух таких трубках дает динамическую часть давления.

Для реальных жидкостей уравнение (7.21) выполняется лишь приблизитель-

но, потому что такие жидкости сжимаемы и при их течении возника

кого трения.

дкости из малого отверстия, находящегося в нижней части сосуда. В началь-

ный момент уровень жидкости был на высоте Н от дна. Жидкость вытекает из

открытого сосуда, поэтому давления p1 и p2 в сечениях S1 и S2 (S2 – площадь от-

верстия) одинаковы и равны атмосферному. Применим уравнение Бернулли

(7.21) и уравнение неразрывности (7.14) к этим двум сечениям:

.,2/2/ 221122

21 vSvSpvpghv атматм (7.22)

Поскольку S1 >> S2, то при вычислении скорости v2 в уравнении (7.20) мож-

но пренебречь слагаемым ).(2/ 2121 vvv В этом случае скорость вытекания

90

струи жидкости (v2 ≡ v) определяется по формуле

.Торричеллиформула2 ghv (7.23)

намика несжимаемой вязкой жидкости

7.6). Нижняя

пла вижна, а верхняя пластина площадью S движе

пос

емени τ наступа

достигает

0 высоте сосуда по линейному

зак трения между пластиной и пов

на силе F0 (Fтр = –F0), которая оказывается пропорциональной скорости v0,

площади S и обратно пропорциональной расстоянию между пластинами:

7.3. Гидроди

Явление вязкого трения. Идеальная жидкость, т.е. жидкость без трения,

является абстракцией, которая представляет собой первое приближение при

рассмотрении механических свойств реальных жидкостей или газов. Силы

внутреннего трения возникают между слоями текучей среды, движущимися от-

носительно друг друга. Проведем мысленно опыт с двумя протяженными плос-

копараллельными пластинами, помещенными в жидкость (рис.

стина непод тся под действием

тоянной силы F0. Из опыта следует, что после приложения силы F0 через

некоторый промежуток вр ет состояние установившегося дви-

жения пластины, когда ее скорость некоторого максимального значе-

ния v . Скорость слоев жидкости распределена по

ону. При этом сила ерхностью жидкости рав-

S/b,ηvFтр 0 (7.24)

где – коэффициент динамической вязкости.

Рис. 7.6

На площадь S нижней пластины действует противоположная по направле-

нию сила *трF . Поле скоростей в случае линейной зависимости от координаты у

имеет вид

.)( 00 vdvy

vyv x

x (7bdyb

.25)

С учетом последнего выражения для отношения v0/b закон Ньютона для

чения среды в направлении оси x

(см. рис. 7.6):

внутреннего трения в случае одномерного те

.,*

, dy

dvSFF x

xтрxтр (7.26)

Производная ),0(/ zyx vvdydv характеризующая быстроту изменения

скорости слоев среды в направлении оси у (от слоя к слою), представляет в слу-

чае одномерного течения единственную отличную от нуля компоненту гради-

ента скорости.

си

градиент скорости равны единице. [] = 1 Па с.

ом выражения для касательного к поверхности S напряжения

Коэффициент динамической вязкости η, согласно выражению (7.24), чис-

ленно равен ле трения между слоями, если площадь их соприкосновения и

С учет

SF / закон Ньютона дл см. формулу (7.26)) примет я силы вязкого трения (

вид

.dy

dvxxy (7.27)

Здесь индекс у означает, что сила трения действует на площадку, располо-

жен си у.

Коэффициент η обычно определяется экспериментально, а для газов его

мож помощью молекуляр

вения вязкости в жидкостях и газах.

ную перпендикулярно о

но оценить с но-кинетической теории газов. Согласно

экспериментальным данным, коэффициент η с повышением температуры у

жидкостей уменьшается, а у газов возрастает. Это указывает на различный ме-

ханизм возникно

91

92

ой поток внести подкрашен-

ную и

Такое слои

ри медленном увеличении скорости течения среды всегда наступает такой

момент, когда происходит резкий переход от ламинарного течения к движению

сре ем, которо

(вихревого

траекториям, т.е. движение в опреде-

ленном н

ти среды, средней ско-

рос

остаточно резко при некото-

ром

или физических процессов в них.

так же, как и настоящий аппарат в реаль-

ны х совпада

ляется основным положением теории подобия для моделируемых и реальных

физических явлений и процессов с одинаковым набором критериев подобия.

Ламинарный и турбулентный режимы движения вязкой среды. При не-

большой скорости течения по трубе жидкость можно разделить на слои, кото-

рые скользят относительно друг друга. Если в так

струю, она будет сохранять свою форму перемещаться, не размываясь.

стое течение называется ламинарным.

П

ды с энергичным перемешивани е характерно для турбулентного

) режима движения. Разные частицы среды в заданном месте турбу-

лентного потока движутся по различным

характер смысле носит случай ый .

Английский ученый О. Рейнольдс установил, что режим течения среды в

трубе зависит от значения величины

ρvl/ηRe – числа Рейнольдса, (7.28)

которое является безразмерной комбинацией плотнос

ти v потока по сечению трубопровода, характерного линейного размера l

поперечного сечения и коэффициента динамической вязкости η. При малых

значениях числа Рейнольдса (малые скорости при заданных значениях , l, η)

течение среды всегда ламинарно, а при больших – турбулентно. Переход от ла-

минарного режима к турбулентному происходит д

критическом значении числа Re.

Так, для течения в цилиндрических трубах Reкр = 1000, если в качестве ли-

нейного размера l сечения взять его радиус R (l ≡ R).

Помимо числа Рейнольдса широко используются и другие безразмерные

комбинации (комплексы) физических величин, которые являются критериями,

определяющими состояние движущихся сред

Оказывается, что модель самолета или другого летательного аппарата ведет

себя в аэродинамической трубе точно

х условиях, если для ни ют числа Рейнольдса. Это утверждение яв-

Получим закон распределения скорости ламинарного потока вязкой среды

по сечению цилиндрической трубы радиусом R. С его помощью определим

среднюю скорость потока и секундный расход жидкости или газа, т.е. получим

формулу Ж. Пуазейля. Мысленно выделим внутри потока среды некоторый

объем в виде цилиндра радиусом r и длиной l (рис. 7.7).

Рис. 7.7

При стационарном, т.е. установившемся, течении жидкости или газа в трубе

постоянного сечения скорости всех частиц среды остаются постоянными во вре-

мени, а ускорения равны нулю. Следовательно, сумма всех внешних сил, прил

о-

жен

вид:

(7.29)

После подстановки в формулу (7.29) выражений для площадей основания и

боковой поверхности цилиндра получим дифференциальное уравнение

ных к выделенному цилиндрическому объему, равна нулю. Это условие ста-

ционарности потока позволяет записать уравнение равновесия сил давления и сил

вязкого трения, распределенных по боковой поверхности цилиндра радиусом r.

Поскольку силы тяжести перпендикулярны оси х, а градиент dv/dr < 0, то проек-

ция уравнения стационарности потока на ось х будет иметь

N

kповбокосноснkx SdrdvSpSpF

0.21 .0)/(0

.2

21 rl

pp

dr

dv

(7.30)

Воспользуемся граничным услови при r = R (условие прилипания жид-

кости к поверхности трубы – нет проскальзывания) и выполним интегрирование.

ем v = 0

93

94

В результате получим поле скоростей, которое характеризуется параболиче-

ской зависимостью от расстояния r до оси трубы:

,4

,1)( 22102

2

0 Rl

ppv

R

rvrv

(7.31)

где v0 – скорость потока среды на оси трубы, т.е. при r = 0.

Среднее значение скорости по сечению трубы определим путем усреднения

v(r) по площади S = πR2:

S

R

cpv

rdrR

rv

RdSrv

Sv

0

02

2

02.

221

1)(

1

(7.32)

Секундный расход (конвективный поток) жидкости или газа через попереч-

ное сечение трубы радиусом R рассчитаем по формуле

ф8

)( 421

SvV срсек Rl

pp

Пуазейля.омула

(7.33)

Формула Пуазейля используется при определении коэффициента η для вяз-

ких сред путем измерения объема V вытекшей по тонкой трубке жидкости за

некоторое время t при заданном перепаде давлений ∆p = p1 – p2. Приборы, ко-

торые служат для определения вязкости по этому методу, называются капил-

лярными вискозиметрами.

7.4. Движение тел в жидкостях и газах

Со стороны среды на тело будет действовать система

распределенных по его поверхности сил давления и вязкого трения. Эти силы

приводятся случае к результирующим силе R и моменту

ципу

v* = –v (для этого

движется, к подвиж-

ной нат, связанной с этим телом).

Закон Стокса. Пусть тело движется относительно покоящейся жидкости

или газа со скоростью v.

в общем М. По прин-

относительности Галилея эта система сил будет такой же, как и при обте-

кании неподвижного тела потоком среды, имеющим скорость

следует перейти от лабораторной системы, в которой тело

системе коорди

Суммарную силу R, действующую на тело, разложим на две составляющие.

Одна из них (сила FC) направлена вдоль скорости v* набегающего потока жид-

кости или газа и называется лобовым сопротивлением, а вторая (сила Q) – пер-

пендикулярна v* и называется подъемной силой (рис. 7.8).

Рис. 7.8

Лобовое сопротивление FC при малых числах Рейнольдса (ламинарный ре-

жим) оказывается линейным по скорости, так как основной вклад дают силы

вязкого трения.

В частности, Дж. Стокс теоретически показал, что коэффициент пропор-

циональности μ для шара равен 6πrη. В этом случае сила сопротивления

Стокса.закон6 vrFC (7.34)

Для плохо обтекаемого тела, а также при больших числах Рейнольдса лобовое

сопротивление FC определяется преимущественно характером

распределения дав-

ления в потоке текучей среды (газа или жидкости). В этом случае в хвостовой час-

ти тела возникает интенсивное вихреобразование, следствием которого как раз и

является значительное снижение давления в хвостовой части по отношению к ло-

бовой части тела. Поэтому сила сопротивления при турбулентном режиме оказы-

вается пропорциональной динамическому давлению v2/2:

.*2

2

vvFS C

95

vkFC (7.35)

и со сверхзвуковыми скоростями или близкими к скорости

звука сила сопротивления пропорциональна кубу скорости.

Коэффициент μ*=kS/2 зависит от геометрических размеров (например,

площади S поперечного сечения тела), плотности среды и числа Рейнольдса.

При движени

96

ваемый

пар лера, который формально со

(7.34) при η = 0. В случае реальных жидкостей и газов формула для силы Стокса

пол

. Эта разность дав-

лений силу крыла, пропорциональную

давлению v /2:

Следует отметить, что для модели идеальной жидкости сила лобового сопро-

тивления при любой скорости движения тела равна нулю. Это так назы

адокc Д'Аламбера – Эй гласуется с законом Стокса

ожена в основу одного из лабораторных методов определения коэффициента

вязкости η по экспериментальным данным, которые получены при измерении

скорости падения маленьких шариков в вязкой среде (метод Стокса).

Возникновение подъемной силы Q удобно объяснить, если под движущимся

в среде телом понимать крыло самолета. При обтекании его потоком воздуха

скорость над крылом больше, чем под ним. В результате в соответствии с урав-

нением Бернулли давление под крылом больше, чем над ним

и создает подъемную динамическому 2

.2

*2

Sv

kQ (7.36)

Коэффициент пропорциональности k* зависит от угла атаки (см. рис. 7.8),

который определяет ориентацию крыла по отношению к скорости v полета.

Основы теории подъемной силы были разработаны Н.Е. Жуковским, кото-

рый показал, что подъемная сила Q связана с циркуляцией вектора скорости

потока среды по контуру L продольного сечения тела (по отношению к направ-

лению потока):

L

drvvkQ ,Жуковскогоформула* (7.37)

где v – скорость крыла, v = v(r) – распределение скорости в обтекающем крыло

потоке; циркуляция L

vdr зависит от скорости движения и геометрии крыла, а

также от угла атаки. В достаточно широком диапазоне скоростей циркуляция

прямо пропорциональна скорости крыла. В этом случае из формулы Жуковско-

го вытекает закон (7.36), в котором коэффициент пропорциональности k* зави-

сит только от геометрических параметров крыла и угла атаки.

97

Глава ВРЕМЯ В КЛАССИЧЕСКОЙ

ОГРАНИЧЕННОСТЬ КЛАССИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ

ся

важ

ак как содержание любых наблюдений и экспериментов со-

стоит в фиксации пространственно-временных закономерностей. Исторически

раз ний о свойствах пространства и време

ставляют собой самостоятельные физические сущности, которые не зависят ни

находящихся

войства которых

определяются материальными объектами и происходящими физическими про-

цессами. Такие представления положены в основу неньютоновской (релятиви-

ст -

жении

Важнейшими качествами пространства и времени, имеющими решающее

зна

8. ПРОСТРАНСТВО И ФИЗИКЕ.

Свойство однородности и изотропности. Пространство и время являют

нейшими категориями, обозначающими основные формы существования

материи. Пространство выражает порядок сосуществования отдельных объек-

тов, время – порядок следования. Пространство и время – фундаментальные

понятия физики, т

витие представле ни проходило в двух

направлениях. Согласно первому направлению, пространство и время пред-

друг от друга, ни от в них материальных объектов или происхо-

дящих процессов. Именно на этих представлениях об абсолютном пространстве

и времени основана механика Галилея – Ньютона. Согласно второму направле-

нию, пространство и время рассматриваются не как самостоятельные и незави-

симые физические сущности, а как взаимосвязанные понятия, с

ской) механики, рассматривающей явления, которые наблюдаются при дви

материальных объектов со скоростями, близкими к скорости света.

чение для построения физической картины мира как в ньютоновской, так и в

релятивистской механике, являются: для пространства – однородность и изо-

тропность, для времени – однородность.

Под однородностью пространства понимают эквивалентность всех точек

пространства. Это означает, что если имеется некоторая изолированная физиче-

ская система, то протекание любых физических процессов в ней не зависит от

того, в какой области пространства эта система локализована. Это свойство эк-

вивалентно утверждению, что если все материальные точки изолированной

системы сдвинуть на элементарное перемещение δr, то ни в ее внутренних

движениях, ни в ее состоянии ничего не изменится и дальнейшие процессы бу-

дут происходить точно так же, как до перемещения точек системы на δr.

Под изотропностью пространства понимается эквивалентность различных

направлений в пространстве. Из этого следует, что если системе как единому

целому сообщить угловое перемещение на δφ, то это также не изменит характер

протекания в ней различных физических процессов.

Однородность времени означает эквивалентность различных моментов вре-

мени между собой. Поэтому любой физический процесс протекает одинаково,

независимо от того, в какой момент времени он начинает осуществляться.

8.1. Законы сохранения и свойства пространства и времени

Законы сохранения как отражение свойств пространства и времени.

Метрические свойства пространства и времени – однородность и изотроп-

ность – обусловливают фундаментальные законы природы, имеющие решающее

значение для всех разделов физики:

следствием однородности пространства является закон сохранения

импульса;

следствием изотропности – закон сохранения момента импульс;

следствием однородности времени – закон сохранения энергии.

98

тему, состоящую из двух

мат

альная точка действует на вторую, – Если рассматриваемую систему сме-

стить как целое в пространстве на

В качестве иллюстрации сказанного покажем, как из однородности про-

странства вытекает равенство сил действия и противодействия (третий закон

Ньютона) и, как следствие этого, закон сохранения импульса в замкнутой сис-

теме. С этой целью рассмотрим изолированную сис

ериальных точек. Внутреннюю силу, с которой вторая материальная точка

действует на первую, обозначим через iF , а силу, с которой первая матери-

i

21

.

1r

F12

r 2r , то вследствие однородности

99

про не

изменится. Это значит, что работа внутренних сил должна быть равна нулю:

(8.2)

действия и противодействия, т.е. третий закон Ньютона. Тем са-

ляется

о п

то

системы при

).

законов

классической механики Ньютона

классической механики

механики Ньютона предопределило развитие физической науки в современном

смы

ения материальных точек, из которых,

как казалось, можно построить всевозможные материальные объекты и, таким

странства ни в состоянии системы, ни в ее внутренних движениях ничего

.0)2112221112 rFFrFrFA iiiii (8.1)

Из формулы (8.1) в силу произвольности перемещения δr следует, что

2112ii FF

(

.0 2112ii FF

Таким образом, мы видим, что из однородности пространства следует ра-

венство сил

мым доказано, что закон сохранения импульса для замкнутой системы яв

следствием однородности пространства.

Аналогично можно доказать, что вследствие изотропности пространства при

повороте системы как целого на произвольный угол работа внутренних сил

должна быть равна нулю, поэтому суммарный момент внутренних сил также

равен нулю, что в свою очередь приводит к закону сохранения момента им-

пульса для изолированной системы.

Из однородности времени следует, чт отенциальная энергия взаимодейст-

вия в системе не зависит от времени. Э приводит к закону сохранения полной

механической энергии изолированной отсутствии диссипативных

сил (сил трения и сил сопротивления

8.2. Ограниченность

Основные положения Ньютона. Возникновение

сле этого слова. Роль механики Ньютона не исчерпывалась тем, что в ней

были сформулированы количественные закономерности механического движе-

ния. В созданной Ньютоном картине мира классическая механика устанавлива-

ла универсальный способ описания движ

100

обр

от материальных тел, которые находятся

в п

е, ведет к однородности времени, а сле-

довательно, и к закону сохранения энергии.

2. Для инерциальных систем отсчета справедлив принцип относительности

Гал еские процессы протекают одинаково в

любой и

3. Взаимодействие между любыми физическими объектами, находящимися

на

е практическая его реализация. Следст-

вие

азом, дать теоретическое объяснение любых механических явлений, встре-

чающихся в природе. В основу классической механики в явном или неявном

виде положены следующие постулаты.

1. Физическое пространство является евклидовым, пространство и время

существуют сами по себе и не зависят

ространстве. Евклидовость пространства означает, что оно является одно-

родным и изотропным. Из этого, как мы уже отмечали, следуют законы сохра-

нения импульса и момента импульса. Независимость хода времени от матери-

альных тел, находящихся в пространств

илея, согласно которому все механич

нерциальной системе отсчета.

произвольном расстоянии друг от друга, осуществляется мгновенно (силы

взаимодействия зависят от положений материальных точек в этот же момент

времени). Это означает, что скорость передачи взаимодействия в механике

Ньютона считается бесконечно большой.

4. Масса материальной точки, которая фигурирует в выражении для второго

закона Ньютона, не зависит от скорости ее движения.

5. Все кинематические и динамические переменные (координаты, проекции

импульса, момента импульса и т.д.) можно измерить в принципе сколь угодно

точно. Здесь важно подчеркнуть, что утверждается принципиальная возмож-

ность абсолютно точного измерения, а н

м этого является возможность характеризовать движение любой материаль-

ной частицы с помощью понятия траектории.

Однако постепенно выявилась ограниченность приведенных постулатов и со-

ответственно всего «здания» классической механики. Важную роль в этом сыгра-

ли экспериментальные исследования электромагнитных явлений и разработка ос-

нов теории электромагнетизма в трудах М. Фарадея и Дж. Максвелла. Основной

101

объ

и экспериментальными данными и

вы

иводил к заключению, что скорость

све

ериментальный факт на-

ход

ростей, являющимся следствием

пре

сположе-

ние

ект теории электромагнетизма – электромагнитное поле – представляет собой

вид «немеханической» материи, не подчиняющейся законам Ньютона.

Противоречия между некоторым

водами классической механики. Точные измерения скорости света, вы-

полненные на рубеже XIX-XX вв., показали, что скорость света не зависит от

выбора системы отсчета, т.е. является одинаковой для всех инерциальных

систем отсчета, движущихся относительно друг друга. Кроме того, анализ

различных экспериментальных данных пр

та является предельной скоростью передачи любых взаимодействий и сигна-

лов из одной точки пространства в другую. Этот эксп

ится в резком противоречии с принципом относительности Галилея и выте-

кающими из него преобразованиями. В качестве иллюстрации рассмотрим сле-

дующий мысленный опыт. Пусть в вагоне, движущемся со скоростью v относи-

тельно полотна железной дороги, посылается световой сигнал в направлении

движения. Скорость этого сигнала для наблюдателя в вагоне равна c. В соот-

ветствии с классическим законом сложения ско

образований Галилея, для наблюдателя, стоящего у полотна дороги,

скорость светового сигнала равна v + c, что несовместимо с упомянутым выше

экспериментом. Разрешение этого противоречия привело к созданию реляти-

вистской механики.

Более того, оказалось, что реальное физическое пространство не является

евклидовым, а обладает так называемой кривизной, определяемой ра

м масс в пространстве. Впервые это было экспериментально установлено в

1919 г., когда во время солнечного затмения наблюдалось отклонение световых

лучей от прямолинейного распространения вблизи Солнца.

Выполненные в 1911 г. Э. Резерфордом опыты привели к разработке им

планетарной модели атома. Согласно планетарной модели, электроны движутся

вокруг атомного ядра подобно тому, как движутся планеты вокруг Солнца. Од-

нако, согласно законам классической механики и электродинамики, электрон,

движущийся по круговой орбите вокруг атомного ядра, должен был бы непре-

рывно излучать энергию и упасть на ядро в течение одной стомиллионной

102

ия:

-

тар

ожены два постулата Эйнштейна, которые являются

обо

льности Эйнштейна. Никакие опыты (механиче-

ские,

ют обнаружить, покоится эта система

секунды. Этого в природе, конечно, не происходит. Таким образом, начало

XX в. было отмечено возникновением еще одной проблемы, не поддающейся

описанию в рамках классической физики, – проблемы устойчивости атома.

Решение ее было найдено в первой четверти XX в. в рамках так называемой

квантовой механики – неклассической теории физики микромира. Для описа-

ния поведения электрона в атоме необходимо использовать не классическую, а

квантовую механику.

Границы применимости классической механики. Классическая механика

применима для описан

1) механических систем, в которых скорость составляющих ее объектов

намного меньше скорости света (v << c);

2) только тех объектов, для которых динамические величины с размерно-

стью действия намного больше постоянной Планка h = 6,626·10-34 Дж · с.

Глава 9. ЭЛЕМЕНТЫ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ МЕХАНИКИ

Постулаты Эйнштейна. Релятивистская механика представляет собой раз-

дел физики, в котором рассматриваются законы движения тел при скоростях,

сравнимых со скоростью света (v ≤ c). Релятивистская механика как наука

сформировалась после создания в 1905 г. А. Эйнштейном специальной теории

относительности (СТО), которая подтверждена большим числом тонких и эф-

фектных оптических экспериментов и опытов с быстродвижущимися элемен

ными частицами. Она положена в основу всех физических теорий, рассмат-

ривающих явления при скоростях, сравнимых со скоростью света, а при малых

скоростях (v << c) ее выводы совпадают с результатами механики Ньютона.

В основу СТО пол

бщением многочисленных опытных данных:

1. Принцип относите

электрические, оптические и т.д.), проведенные внутри изолированной

инерциальной системы отсчета, не позволя

103

или д

тема-

тические соотношения ковариантны, т.е. не изменяют своего вида при перехо-

де от одной инерциальной системы отсчета к другой. Это означает, что первый

постулат относи-

тельности Галилея, который справедлив только для механических явлений при

ско

точках

можность передачи сигналов с

бес

делает хронометризацию систем

отс

вижется равномерно и прямолинейно, т.е. все физические процессы про-

текают одинаково во всех инерциальных системах, а описывающие их ма

Эйнштейна является обобщением механического принципа

ростях, намного меньших скорости света.

2. Инвариантность скорости света. Скорость света в вакууме не зависит от

скоростей движения источника света и регистрирующего устройства (наблюдате-

ля), она одинакова (инвариантна) для всех инерциальных систем отсчета.

Более того, все проведенные до настоящего времени эксперименты показыва-

ют, что скорость света в вакууме не только всегда является постоянной величи-

ной, но и представляет собой предельную скорость передачи любого взаимодей-

ствия (сигнала). Это поставило по-новому проблему определения понятия одно-

временности двух событий, т.е. синхронизации хода часов, находящихся в разных

пространства. В механике Ньютона такая проблема не возникала, так как

время считалось абсолютным и допускалась воз

конечно большой скоростью. Согласно определению Эйнштейна, двое часов в

произвольных точках пространства А и В идут одинаково, т.е. синхронно, если

световой сигнал, посланный из А в В в момент t1, придет в В в момент

t = (t1 + t2)/2,

где t2 – время по часам в точке А в момент возвращения сигнала в точку А после

его отражения в В. При такой процедуре синхронизации если часы А идут син-

хронно с В, то и часы В идут синхронно с часами А. Если при этом часы В идут

синхронно с часами С, то и часы А идут синхронно с часами С. Выполнение

этих условий симметрии и транзитивности

чета практически осуществимой.

9.1. Следствия из постулатов

специальной теории относительности

Замедление времени и сокращение длин. Постулаты специальной теории

относительности и введенный Эйнштейном метод синхронизации часов приводят

к таким следствиям, которые сколь интересны, столь и необычны по отношению к

нашим привычным представлениям о свойствах пространства и времени.

Расчет показывает, что интервал времени ∆t0 между двумя событиями в од-

ной и той же точке системы K* отличается от интервала времени ∆t между теми

же событиями в системе К, относительно которой система K* движется с по-

стоянной скоростью V:

104

./1 22 cV

0tt

(9.1)

ого система K* является собственной сис-

темой отсчета):

Это находится в явном противоречии с ньютоновским понятием абсолютно-

го времени.

Следовательно, в данном случае ∆t не является инвариантом, поскольку

имеет место замедление времени, отсчитываемого по часам системы K*, дви-

жущимся вместе с телом (для котор

0 tt ., invt (9.2)

Заме лов в СТО является пря-

мым следствием постулата о постоянстве скорости света и не связана с какими-

либ

щей-

ся с

тим, что неинвариантность временных интерва

о таинственными процессами внутри атомов или в механизме часов.

С помощью близких по содержанию рассуждений можно показать, что из

постоянства скорости света и определения одновременности двух событий,

данного Эйнштейном, следует эффект сокращения длины линейки, движу

о скоростью v = V:

,,/1 022

0 invllcVll (9.3)

где l0 – длина линейки, измеренная наблюдателем в собственной системе отсче-

та K*; l – длина линейки в системе отсчета К, т.е. с позиций наблюдателя, отно-

сительно которого линейка движется.

105

ни ∆t и длины l

тов нашла многочисленные подтверждения в оптических опытах.

она находят отражение в преобразованиях Галилея, из которых

сле

Галилея другими, которые согласуются с постулатами Эйн-

шт оростей переходя

Так

Зависимость интервала време от скорости движения объек-

Преобразования Лоренца в СТО. Свойства пространства и времени в ме-

ханике Ньют

дует абсолютный характер интервалов времени и расстояний между двумя

любыми точками пространства (инвариантность интервалов времени и длины).

Пересмотр свойств пространства и времени в рамках СТО предполагает замену

преобразований

ейна, а в пределах малых ск т в преобразования Галилея.

ие преобразования для координат и времени называются преобразованиями

Лоренца по имени X. Лоренца, впервые их получившего при анализе явлений

электромагнетизма.

Формулы для преобразования координат и времени при переходе от инер-

циальной системы K' к системе К и наоборот имеют следующий вид:

;/1

/,,,

/1 22

2

22 cV

cVxttzzyy

cV

tVxx

(9.4)

,/1

,,,/1 2222 cV

tzzyycV

x

(9.5)

где V – скорость системы координат K',

/ cxVtVtx

движущейся поступательно в направле-

нии

2

оси х системы К, причем их начала координат в начальный момент времени

совпадают.

Формулы (9.4) будем называть прямыми, а формулы (9.5) – обратными пре-

образованиями Лоренца.

9.2. Основные положения релятивистской кинематики

Относительность одновременности. По определению, два события, кото-

рые происходят в разных точках x1 и x2 системы К, являются одновременными,

если они происходят в один и тот же момент времени t1 = t2 ≡ t12 по часам,

106

еделению Эйнштейна. В системе K' эти же события про-

изо

расположенным в этих точках. При этом предполагается, что часы синхронизи-

рованы согласно опр

йдут в точках с координатами 1x и 2x в моменты времени 1t и 2t . Исполь-

зовав преобразования Лоренца, покажем, что события, одновременные в систе-

ме 'будут происходить в разные моменты времени

но, согласно обратному преобразованию Лоренца (9.5), при t1 = t2 ≡ t12 получим

K, в системе K . Действитель-

./1

/,

/1

/22

2212

222

2112

1cV

cVxtt

cV

cVxtt

Выражения для 1t и 2t определяют промежуток времени ∆t' в системе K':

.0,0/1 22 cV

Таким образом, понят

/)( 212

12

tcVxx

ttt (9.6)

ие одновременности имеет смысл в релятивистской

механике только тогда, когда указано, к какой системе координат это утвер-

жд ьным.

Покажем далее, что относительность понятия одновременности в релятиви-

стс

м в

ение относится, т.е. понятие одновременности является относител

кой механике не нарушает причинно-следственных связей в том смысле, что

физические следствия всегда имеют место после причины, их породившей.

Пусть два события происходят в системе K в точках x1 и x2 в оменты ремени со-

ответственно t1 и t2. При этом первое событие является причиной, а второе –

следствием, т.е. t2 > t1. Тогда в соответствии с обратным преобразованием Ло-

ренца

./1

/)()(22

21212

12cV

cVxxtttt

(9.7)

Поскольку максимальная скорость передачи взаимодействия равна скорости

света, то значение x2 – x1 не может быть больше, чем путь, пройденный свето-

вым сигналом за время ∆t = t2 – t1, т.е.

)( 1212 ttcxx . (9.8)

107

(9.8) в (9.7), получаем

Подставляя формулу

.01/1 22 ccV

Из выражения (9.9) видно, что ∆t' всегда больше или равно нулю, так как

V ≤ c, t2 – t1 > 0. Это значит, что второе событие (следствие) происходит в сис

1212

12

tt

Vtttt (9.9)

-

тем

.

используемых инерциальных систем координат.

времени по часам, расположенным в этих же точках используемой сис-

темы. Это значит, что l = x2 – x1, если t1 = t2 ≡ t12 (рис. 9.1,а) В собственной же

сис торой рассматриваемый объек

l0 = (рис. 9.1,б), причем здесь не играют роли моменты времени и ,

в определены и (тело в этой системе не ,

е K после первого события (причины).

Итак, мы видим, что в релятивистской механике, как и в ньютоновской,

причинно-следственные связи носят абсолютный характер, т е. не зависят от

Длина движущегося тела. Длиной l движущегося тела в некоторой системе

отсчета, по определению, называется расстояние между двумя точками этой

системы координат, с которыми совпадают начало и конец тела в один и тот же

момент

теме отсчета K*, в ко т покоится, длина тела *2

*1 xx

которые

*1t

движется

*2t

координаты *1

*2

следовательно, *1x и *

2x = const).

x x

Рис. 9.1

Использовав преобразования Лоренца, установим взаимосвязь между дли-

нами l и l0 в системах K и K* (K ≡ K*). Поскольку, согласно выражению (9.5),

при t1 = t2 ≡ t12 и V = v

,/1

,/1 222221

cvx

cvx

2*121* xvtx 12vt

то

./1/1

22022

12*1

*2 cvll

cv

xxxx

(9.10)

Т , длина l0 тела в собственной системе координат K*

длины же движущегося объекта в системе K (эффект сокращения длины

Собственное время. Собственны временем τ называется интервал времени

между двумя событиями, которы

аким образом больше

l того ).

м

е произошли в одной и той же точке собствен-

ной системы отсчета, связанной с движущимся со скоростью v объектом. Это

значит, что в системе K* время τ = – определяется при условии, что

= , т.е. события происходят в и же точке системы K*, которая

движется равномерно и прямолинейно со скоростью V = v. С учетом сказанного

из прямого преобразования Лоренца следует, что

*2t

одной

*1t

той*1x *

2x

,/1/1 22

108

2c

2 cvv

tt

(9.11)

где

идно, что собственное время τ меньше соответствующе-

го интервала времени в системе, относительно которой тело движется (эффект

замедления хода времени).

Преобразование скоростей. Формула преобразования скоростей в СТО ус-

танавливает связь между проекциями скорости точки в двух произвольных

ине х отсчета. Пусть в системах отсчета K

териальной точки определяется координатным способом:

∆t – интервал времени в системе К, измеренный по часам, которые находят-

ся в разных точках пространства этой системы отсчета.

Из формулы (9.11) в

рциальных система и К' движение ма-

;система)(),(),( Ktzztyytxx (9.12)

.система)(),(),( Ktzztyytxx (9.13)

Тогда компоненты скорости в этих системах будут определяться следую-

щими соотношениями:

;/,,/ dtdzdyvdtdxv / vdt zyx (9.14)

./,/,/ tdzdvtdydvtdxdv zyx (9.15)

109

и в разных системах отсчета:

Использовав прямые преобразования Лоренца (9.4), получим выражения,

связывающие дифференциалы координат и времен

./ 2cxVdtVdxd

dx

(9.16) /1

,,,/1 2222 cV

tddtzddzyddy

cV

ы K' в систему К:

Подставляя формулы (9.16) в (9.14) и используя выражения (9.15), получаем

формулы для сложения скоростей при переходе из систем

./1

/1,

/1,

/1

2222

2

cVvv

cVvv

cVv

Vvv

/1 22 cVvcVvx

y

x

zzy

x

xx

(9.17)

Аналогичные выражения для перехода из системы K в K' следуют из форму-

лы (9.17) путем замены V на –V, а также соответственно zyx vvv ,, на zyx vvv ,,

и наоборот:

./1 2c

v1

1,

/1

/1,

/ 2

22

2 Vv

vv

cVv

cVvv

cVv

V / 22 cVv

x

zz

x

yy

x

x

чем скорость света. Действительно, пусть в системе

K' ется со скоростью v' вдоль оси

x (9.18)

Покажем, что в результате сложения двух скоростей в СТО не может полу-

читься скорость большая,

объект перемеща ).0,0,( zyx vvvv x

Тог выражения (9.17) скорость v объект

ие проекции (при любых значениях скоростей V и v'):

да на основании а в системе К будет

иметь следующ

.0,0,/1 2

zyx vvсcvV

Vvv (9.19)

В случае распространения света (v'= c) из формулы (9.19) следует, что v = c.

По результат вполне закономерен, так как выражения

являются

(c = inv).

ал между двумя событиями – инвариант относительн

зований Лоренца. Как было отмечено ранее, инвариантами преобразований

следний (9.17) и (9.18)

следствием преобразований Лоренца, в основе которых как раз и ле-

жит условие равенства скорости света в разных инерциальных системах отсчета

Интерв о преобра-

110

Гал

востепенную роль в

лея – Ньютона. Однако ни длина тела, ни промежуток времени

не являются преобразований Лоренца.

уя преобразования координат (9.4) и (9.5), можно показать,

антом этих преобразований является величина ∆s, определяемая выражением

форме имеет вид

илея являются длина тела l и промежуток ∆t между двумя событиями.

Именно поэтому промежуток времени и длина играют пер

механике Гали

инвариантами

Использ что инвари-

.)()()(

)()()(2222

12

212

212

212

22

invltczz

yyxxttcs

(9.20)

В дифференциальной этот инвариант в СТО

.2222 dldtcds (9.21)

Величины ∆s и ds называются интервалом между двумя событиями в четы-

рех ве координат и времени.

Если ∆s2 < 0, то из формулы (9.20) следует, что ∆l > c∆t. Это значит, что два

соб

алы, для которых ∆s2 > 0 и следовательно, ∆l < c∆t , называются вре-

мен

законов СТО. Принцип относительно

ет, что все уравнения релятивистской динамики должны быть инвариантными от-

нос ормулируемых

мерном пространст

ытия в точках M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2) не могут быть связаны причинно-

следственной связью, поскольку взаимодействие не может распространяться со

скоростью большей c. Интервалы, для которых ∆s2 < 0, получили название про-

странственно подобных.

Интерв

и подобными. События, описываемые времени подобными интервалами,

могут быть связаны причинно-следственной связью. В этом случае можно вы-

брать такую систему координат, в которой эти события будут происходить в

одной и той же точке пространства последовательно друг за другом.

Интервал, для которого ∆s2 = 0, называется нулевым. Такой интервал суще-

ствует между событиями, связанными световым сигналом (∆l = c∆t).

9.3. Элементы релятивистской динамики

Инвариантность сти СТО предполага-

ительно преобразований Лоренца. Поэтому инвариантность ф

111

зак определяющим

вил

мике. В классической механи-

ке

онов движения в СТО является критерием того, что они пра-

ьно отражают физическую реальность.

Понятие импульса в релятивистской дина

Ньютона импульс определяется соотношением p = m0v, где m0 = const – мас-

са частицы.

В релятивистской механике импульс частицы определяется аналогичным

выражением:

,/1

,22

invcv

mmvp

(9.22)

однако величина т, определяемая вторым соотношением из (9.22) и называемая

релятивистской массой движущейся частицы, зависит от скорости, т.е.

m ≠ const.

0m

ения. При

v << с, что всегда выполняется в классической механике, получаем m ≡ 0 = const.

Величина m0 в релятивистской механике называется массой покоя, т.е. является

мас окоится.

Релятивистские законы Ньютона. Первый закон Ньютона, являющийся

выр

Таким образом, определение (9.22) позволяет сделать важнейший вывод: в ре-

лятивистской динамике масса частицы зависит от скорости ее движ

m

сой в собственной системе K*, в которой частица п

ажением принципа относительности, сохраняет свою классическую форму-

лировку и в релятивистской динамике.

Выражение для второго закона Ньютона в релятивистской динамике также

сохраняет свою классическую формулировку при условии, что импульс p опре-

деляется по формуле (9.22), т.е.

.m

dt

d

dt

dF

vF

p

22

0 (9.23) /cv 1

этом компоненты вектора силы F в общем случае преобразуются

по довольно сложным законам, т.е. сила F ≠ inv. При движении вдоль оси х

про ия на ось у связаны соотнош

Релятивистское уравнение (9.23) ковариантно относительно преобразований

Лоренца. При

екции сил взаимодейств ением

./1 22* cvFF yy (9.23а)

112

д н

ется мгновенная передача взаимодействия без материального по-

сре

ий релятивистской механики относи-

ицы, а также к изменению выражения для ее

кинетической энергии К.

ение для кинетической энер

релятивистскую форму второго закона Ньютона:

Третий закон Ньютона в релятивистской динамике справедлив только для

контактных сил. В механике Ньютона ля сил, действующих а расстоянии,

предполага

дника. Это несовместимо с релятивистским положением о том, что макси-

мальная скорость передачи взаимодействия не может быть больше скорости

света в вакууме. Поэтому для взаимодействий с конечной скоростью распро-

странения «силового сигнала» третий закон Ньютона в своей классической

формулировке неприменим.

Энергия в релятивистской механике. Понятие энергии в релятивистской

механике сохраняет тот же смысл, что и в механике Галилея – Ньютона. Одна-

ко требование ковариантности уравнен

тельно преобразований Лоренца приводит к установлению тесной взаимосвязи

между энергией Е и массой т част

Релятивистское выраж гии получаем, используя

./1 22

0 Fcv

vm

dt

d

(9.24)

Умножая скалярно левую и правую части этого уравнения на dr = vdt, по-

лучаем

.ddt/cv

m

dt

drFv

v

22

0

1 (9.25)

Выражение Fdr определяет элементарную работу δA, совершаемую силой

над частицей за время dt. Следовательно, левая часть уравнения (9.25) может

рассматриваться как приращение dK кинетической энергии релятивистской

частицы за это же время:

dt./cv

m

dt

dd

v K v

22

0

1 (9.26)

Учитывая, что vdv = d(v2/2), и произведя некоторые тождественные преобра-

зования, можно представить формулу (9.26) в виде

./cv

сmddK

22

20

1 (9.27)

Интегрирование этого уравнения приводит к выражению

113

./1 22

20 const

cv

cmK

(9.28)

Постоянная интегрирования оказывается равной m c2, поскольку при v = 0

кинетическая должна быть равна

тивистск

0

энергия частицы нулю. Таким образом, реля-

ое выражение для кинетической энергии имеет вид

./1

2022

20 cm

cv

cmK

(9.29)

нии (9.29) называется пол

частицы (при отсутствии внешних полей):

Первый член в выраже ной энергией свободной

./1

2

22

20 mc

cv

cmE

(9.30)

Второй член в выражении (9.29) называется энергией покоя

(9.31)

Таким образом, в релятивистской механике кинетическую энергию частицы

мож

(9.32)

ет, что кинетическа

ние релятивистской массы, вызванное движением этой точки:

.200 cmE

но представить как разность полной энергии Е и энергии покоя E0:

20

20 cmmcEEK .2mc

Из выражения (9.32) следу я энергия определяет измене-

2/ cKm . (9.33)

Взаимосвязь между энергией и импульсом. Для установления этой взаи-

мосвязи возведем в квадрат выражение (9.22) для релятивистской массы. Тогда

запишем:

114

Умножим формулу (9.34) на c2 и учтем, что полная энергия E = mc2, энергия

пок

(9.35)

(9.34) .220

2222 cmvmcm

оя E0 = m0c2, импульс p = mv. В результате получим

4222242 .2220

20 cpEEcmсvmcm

Отсюда

.,0 invcpEcpEE 222222 (9.36)

ет важно

чае фотона (v = c, E = hν) импульс p = hν/c, поэтому, согласно формуле (9.35),

энергия 0 0

Из выражений (9.22) и (9.30) следу е соотношение p = Ev/c2. В слу-

покоя фотона E0 = 0. Это означает, что масса покоя фотона m = E /c2

также равна нулю, т.е. фотон – безмассовая квазичастица.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

Основная литература

имова Т.И. Курс физики / Т. И. Трофимова. – 7-е изд. – М.: Высш.

шк

кенштейн

4. Трофимова Т.И. Сборник задач по курсу физики с решениями / Т.И. Тро-

фи а. – 3-е изд. – М.: Высш. шк., 2002. – 59

1. Савельев И. В. Курс физики. В 3 т. / И. В. Савельев. – 2-е изд. – СПб.:

Лань, 2006. – Т. 1: Механика. Молекулярная физика. – 351 с.

2. Троф

., 2001. – 542 с.

3. Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики / В.С. Воль-

. – 3-е изд. – СПб.: Книжный мир, 2005. – 327 с.

мова, З. Г. Павлов 1 с.

115

ратура

1. Савельев И.В. Курс физики: в 3 т. / И.В. Савельев. – 2-е изд. – СПб.: Лань,

200

робьев. – 7-е изд. –

М.: Физматлит, 2003. – 640 с.

Дополнительная лите

6. – Т. 2: Электричество. Колебания и волны. Волновая оптика. – 467 с.

2. Детлаф А.А. Курс физики / А.А. Детлаф, Б.М. Яворский. – 4-е изд. – М.:

Высш. шк., 2002. – 718 с.

3. Чертов А.Г. Задачник по физике / А.Г. Чертов, А.А. Во

116

ПУГАЧЕВ

ЮРИЙ ФЕДОРОВИЧ

ЕФИМОВ

ВЛАДИМИР ВИКТОРОВИЧ

ФИЗИКА

Учебное пособие

В 3 частях

ЧАСТЬ 1. КЛАССИЧЕСКАЯ И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА

Редактор Е. . Дергилева

Компьютерная верс ка Н.П. Яргункина

Подписано в печать 0/16. Бумага газетная

Печать офсетная. У 5. Уч.-изд. л. 6,1.

РИО и УОП УВАУ ГА. 432071, г. Ульяновск, ул. Можайского, 8/8

С

т

2007. Формат 60 9

сл. печ. л. 7,2

Тираж Заказ