Universal Systems- מערכות שלמותראינו שכל פונקציה בוליאנית ניתנת למימוש ע"י סכום מכפלות ו/או מכפלת סכומים.

,NOT, AND} לכן כל פונקציה בוליאנית ניתנת למימוש ע"י קבוצת האופרטורים OR}.

אם כל פונקציה בוליאנית ניתנת למימוש שלמה: קבוצת אופרטורים הנה הגדרהבעזרת הפעלות של אופרטורים מהקבוצה בלבד על משתני הפונקציה.

היא קבוצה שלמה.{NOT,AND,OR}: מסקנה

היא שלמה.{NOT, OR}א. טענה:•

.היא שלמה{NOT, AND } ב.

(א )של הוכחה:

בעזרת *,+,' )המהווים מערכת שלמה( F פונקציה כלשהי. ראשית נציג את Fתהי בלבד. כעת נמיר כל שימוש באופרטור * בשימוש ב- +,' בלבד, באופן הבא:

נחליף אותם ב-G*Q מכילה ביטויים מהצורה Fאם

G*Q = ((G*Q)’)’ = (G’+Q’)’ .

נעשית באופן דומה(.ב)הוכחת

NOR -ו NANDמערכות שלמות NAND - מכיוון ש :{NOT, AND} היא שלמה מספיק להראות כי ניתן לממש בלבד:NANDע"י NOT ו-ANDאת

X’ = (X • X)’ = NAND(X,X)

A • B = ((A • B)’)’ = )NAND)A,B))’= NAND(NAND(A,B),NAND(A,B))

היא מערכת שלמה.{NAND}: מסקנה

NOR - מכיוון ש :{NOT, OR} היא שלמה מספיק להראות כי ניתן לממש את OR-ו NOT ע"יNOR:בלבד

X’ = (X + X)’ = NOR(X,X)

A + B = ((A + B)’)’ = )NOR)A,B))’= NOR(NOR(A,B),NOR(A,B))

היא מערכת שלמה.{NOR}: מסקנה

NOR/NANDפישוט מעגלי

:Nandמימוש ע"י

22112121

2

1

TTTT' TTTT

CBCBBCT

BABAABT

C

A

BC

A

B1

32

C

A

B

13

2

1

2

AB3

4

5

6BC

T1’

T2’

C

A

B1

23 AB + BC

T1+T2=AB+BC

. ניתן להגיע לאותה דרגת פישוט גם 6+4 מבטלים זה את זה, וכן גם 5+3שערים : בדרך הבאה

) Karnaugh(פישוט פונקציות בעזרת מפות קרנו:טבלה של שני משתנים

00011110

0x’y’z’x’y’zx’yzx’yz’1xy’z’xy’zxyzxyz’

yzx

01

0x’y’x’y

1xy’xy

yy

x

x

01

0m0m1

1m2m3

00011110

0m0m1m3m2

1m4m5m7m6

* כל שני ריבועים סמוכים במפה נבדלים במשתנה אחד בלבד.m2 + m6 x’yz’ + xyz’ yz’

z

y

01

11

yx

x

y

:טבלה של שלושה משתנים

f = m1+m2+m3 וגמהד :

f = x+y סקנה מהטבלהמ :

x

00011110

0100111011x

y

z

)f = x’y’z’ + xy’z’ + xyz + xyz’ + x’yz’(סכום מכפלות: : כדי לפשט את הפונקציה נחפש ריבועים מוכללים העיקרון

ים.1גדולים שיכסו את ה-

פונקציה "פשוטה"

ריבועים גדולים

1. z’2. xy

f=z’ + xy

וגמהד :

00011110

0111111x

z

דוגמה נוספת:y

f = x’y’ + xz + xy

x(y + z)לא ניתן לפישוט ע"י מפת קרנו

f = x’y’ + y’z + xy

y’(x’+z) לא ניתן לפישוט ע"י מפת קרנו

הפישוט המינימלי לא תמיד יחיד

2310

6754

00011110

0111

0111

11

1011w

x

yzwx

מפה של ארבעה משתנים:

f=x’z’ + w’z’

z

y

מפה של חמישה משתנים:

111

1

111111

111111

C

D EE

B

A

f = AC’ + AD’E’ + CDE’ + B’D’E’

00011110

01000

0100

1111

101001w

x

צירופים אדישים

z

y

“Don’t Care”"או 1 (ניתן להשים ל ""0“,

:סכום מכפלות f = z’w + zx ואין הכרח שתהיה עקביות).f = w(z’ + x) מכפלת סכומים:

00011110

0111111x

y

zNOR/NANDמימוש ע"י שערי

f = xy’ + yz’ + yx’

x

y

z

fx

y

z

f

וגמהד :

00011110

0111111x

y

z:II (NOR/NAND (מימוש ע"י שערי

f = xy’ + yz’ + yx’ (x y) + yz’ y(x’ + z’) + xy’

x

yz

xzy

f

f

NANDx’+z’

(xy’)’

I

II

I II